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152
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|---|---|---|
**小升初知识点复习专项练习-数的运算20小数乘法**
**一．选择题（共10小题）**
1．2.5×0.4的积有（ ）
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ---------
A． 没有小数 B． 一位小数 C． 2位小数
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ---------
2．0.25×0.4÷0.25×4的结果是（ ）
---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- -----
A． 1 B． 0.4 C． 0.16 D． 1.6
---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- -----
3．在下面几个算式的计算结果中，第（ ）个算式的计算结果最小．
---- ----- ------------ ----- ---------- ----- -----------
A． 12.5×0.678 B． 1.25×678 C． 12.5×6.78
---- ----- ------------ ----- ---------- ----- -----------
4．下表是太阳与五大行星之间的距离，哪颗行星离太阳的距离大约是火星离太阳的3倍？（ ）
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
| 到太阳的距离 | 金星 | 火星 | 木星 | 土星 | 天王星 |
| | | | | | |
| （百万千米） | | | | | |
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
| | 108.0 | 227.9 | 778.3 | 1427.0 | 2870.0 |
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------ ----- --------
A． 金星 B． 木星 C． 土星 D． 天王星
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------ ----- --------
5．我国约有13亿人口，如果每人每天节约1分钱，那么每天能节约（ ）
---- ----- ------- ----- ------ ----- ------- ----- --------
A． 1.3亿 B． 13亿 C． 130万 D． 1300万
---- ----- ------- ----- ------ ----- ------- ----- --------
6．下列说法不正确的是（ ）
---- ----- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
A． 78×0.1的意义是表示78的十分之一是多少
B． 要统计你一学期来数学各次考试成绩，并分析进步还是退步要选用折线统计图
C． 一商品先降价后再涨价，价格会发生变化
D． 千克：吨化成最简整数比是1：1
---- ----- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
7．5×0.8表示求（ ）
---- ----- -------------- ----- -------------- ----- -----------------
A． 5个0.8是多少 B． 0.8个5是多少 C． 5的十分之八多少
---- ----- -------------- ----- -------------- ----- -----------------
8．数a（a≠0）乘一个小数，积与数a比较（ ）
---- ----- -------- ----- ----------- ----- ----------- ----- -----------
A． 不一定 B． 积大于数a C． 积小于数a D． 积等于数a
---- ----- -------- ----- ----------- ----- ----------- ----- -----------
9．昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（ ）左右．
---- ----- --------- ----- ------- ----- ---------- ----- -------
A． 0.8分钟 B． 5分钟 C． 0.08分钟 D． 4分钟
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10．因为2.75×38=104.5，所以27.5×（ ）=10.45．
---- ----- ------- ----- ------ ----- ----- ----- ----
A． 0.038 B． 0.38 C． 3.8 D． 38
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**二．填空题**
12．一个数的1.2倍一定比1大．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}（判断对错）．
13．在算式中的合适的位置上添上小数点，使算式成立．
58×25=14.5 1764÷63=0.28．
14．4个0.25 的积是1．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
15．一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
16．把2.5×4.4进行简算是2.5×4.4=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}或2.5×4.4=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}+[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
17．一个数乘小数，积一定小于这个数．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．（判断对错）
18．一个数乘小于1的数，积一定小于这个数．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．（判断对错）
19．在横线里填上"＞""="或"＜"．
7.2×0.9[ \_\_\_\_\_\_\_]{.underline}\_\_ 7.2 1.04×3.57[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}3.57×0.14 5.24[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}5.24÷0.7
3.2÷0.01[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}3.2×0.01．
20．小数乘法的意义与整数乘法的意义完全相同．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．（判断对错）
21．（•台湾模拟）0.0625×0.25×0.5×256．
22．用竖式计算，带★要求验算．
---------- ----------- -----------------------------
0.55×9.6 ★3.64÷2.8 0.13×3.01得数保留一位小数．
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28．育红小学开展"勤工俭学"活动，同学们利用业余时间收集废纸，年3个月全校共收集废纸225.67kg．照这样计算，全校一年（按8.5个月计算）大约收集废纸多少千克？（得数保留整数）
29．用竖式计算并验算：0.28×6.45．
30．把一根绳子对折三次后，每段长0.2米，这根绳子原来长多少米？
**小升初知识点复习专项练习-数的运算20小数乘法**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．2.5×0.4的积有（ ）
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A． 没有小数 B． 一位小数 C． 2位小数
---- ----- ---------- ----- ---------- ----- ---------
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 小数乘法的计算方法是：先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，乘得积的小数位数不够时，要在前面添0补足，再点小数点．依此求出算式的积． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：2.5×0.4=1， |
| | |
| | 1没有小数． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查了学生小数乘法计算的能力． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
2．0.25×0.4÷0.25×4的结果是（ ）
---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- -----
A． 1 B． 0.4 C． 0.16 D． 1.6
---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- -----
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；小数除法． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 压轴题． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据小数四则混合运算的顺序进行计算即可． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：0.25×0.4÷0.25×4， |
| | |
| | =0.1÷0.25×4， |
| | |
| | =0.4×4， |
| | |
| | =1.6； |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 这道题的本意是考查四则混合运算的顺序，如果不按顺序进行计算，有的同学可能就会认为答案是1，选择A；其实这道题也是有点错误，如果是0.25×0.4÷0.25×0.4，效果会更好． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
3．在下面几个算式的计算结果中，第（ ）个算式的计算结果最小．
---- ----- ------------ ----- ---------- ----- -----------
A． 12.5×0.678 B． 1.25×678 C． 12.5×6.78
---- ----- ------------ ----- ---------- ----- -----------
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据积不变的规律，先将一个因数变为12.5，再比较另一个因数的大小即可求解． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为1.25×678=12.5×67.8， |
| | |
| | 0.678＜6.78＜67.8， |
| | |
| | 所以算式12.5×0.678的计算结果最小． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查一个数乘小数积的变化规律． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
4．下表是太阳与五大行星之间的距离，哪颗行星离太阳的距离大约是火星离太阳的3倍？（ ）
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
| 到太阳的距离 | 金星 | 火星 | 木星 | 土星 | 天王星 |
| | | | | | |
| （百万千米） | | | | | |
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
| | 108.0 | 227.9 | 778.3 | 1427.0 | 2870.0 |
+--------------+-------+-------+-------+--------+--------+
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------ ----- --------
A． 金星 B． 木星 C． 土星 D． 天王星
---- ----- ------ ----- ------ ----- ------ ----- --------
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 观察统计表可知，火星离太阳的距离是227.9百万千米，根据题意，就用火星与太阳的距离乘3，即可求出哪颗行星离太阳的距离大约是火星离太阳的3倍． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：227.9×3=683.7（百万千米）， |
| | |
| | 对照太阳与五大行星之间的距离统计表，可知木星离太阳的距离大约是火星离太阳的3倍； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解决此题就是求227.9百万千米的3倍是多少，先列式计算出得数，再对照表中的数据得出答案． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
5．我国约有13亿人口，如果每人每天节约1分钱，那么每天能节约（ ）
---- ----- ------- ----- ------ ----- ------- ----- --------
A． 1.3亿 B． 13亿 C． 130万 D． 1300万
---- ----- ------- ----- ------ ----- ------- ----- --------
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 先将1分钱化单位为元，则1分=0.01元，再把亿化为单位个，然后与13亿相乘即可． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：1分=0.01元，13亿=1300000000， |
| | |
| | 0.01×1300000000=13000000元=1300万元； |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 主要考查小数乘法，关键是看清数位． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
6．下列说法不正确的是（ ）
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A． 78×0.1的意义是表示78的十分之一是多少
B． 要统计你一学期来数学各次考试成绩，并分析进步还是退步要选用折线统计图
C． 一商品先降价后再涨价，价格会发生变化
D． 千克：吨化成最简整数比是1：1
---- ----- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；分数四则复合应用题；比的意义；统计图的选择． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合判断题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | A，因为0.1表示十分之一，所以78×0.1表示求78的是多少． |
| | |
| | B，根据折线统计图的特点和作用，折线统计图不仅把表示数量的倒数，而且能反映数量增减变化的趋势． |
| | |
| | C，一商品先降价后再涨价，降价是把原价看作单位"1"，再涨价是把降价后的价格看作单位"1"，因此，现价比原价低． |
| | |
| | D，根据化简比的方法，两个数量的比，首先化成相等单位后再进行化简． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：A，因为0.1表示十分之一，所以78×0.1表示求78的是多少．所以78×0.1的意义是表示78的十分之一是多少．是正确的． |
| | |
| | B，根据折线统计图的特点和作用，折线统计图不仅把表示数量的倒数，而且能反映数量增减变化的趋势．因此，要统计你一学期来数学各次考试成绩，并分析进步还是退步要选用折线统计图．是正确的． |
| | |
| | C，一商品先降价后再涨价，降价是把原价看作单位"1"，再涨价是把降价后的价格看作单位"1"，因此，现价比原价低．因此，一商品先降价后再涨价，价格会发生变化．是正确的． |
| | |
| | D，根据化简比的方法，两个数量的比，首先化成相等单位后再进行化简． |
| | |
| |  |
| | |
| | =0.8千克：800千克 |
| | |
| | =0.8：800 |
| | |
| | =1：1000； |
| | |
| | 因此，化成最简整数比是1：1．是错误的． |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的知识面比较广，目的是培养学生认真审题、分析数量关系的习惯． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
7．5×0.8表示求（ ）
---- ----- -------------- ----- -------------- ----- -----------------
A． 5个0.8是多少 B． 0.8个5是多少 C． 5的十分之八多少
---- ----- -------------- ----- -------------- ----- -----------------
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合填空题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 依据整数乘小数的意义：求一个数的十分之几、百分之几、千分之几...是多少，据此解答． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：5×0.8表示5的十分之八是多少， |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查学生对于整数乘小数意义的掌握情况． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
8．数a（a≠0）乘一个小数，积与数a比较（ ）
---- ----- -------- ----- ----------- ----- ----------- ----- -----------
A． 不一定 B． 积大于数a C． 积小于数a D． 积等于数a
---- ----- -------- ----- ----------- ----- ----------- ----- -----------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 此题有两种情况：（1）当乘的这个小数大于1时，所得的积就大于a；（2）当乘的这个小数小于1时，所得的积就小于a，据此解答． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）当乘的这个小数大于1时，所得的积就大于a； |
| | |
| | （2）当乘的这个小数小于1时，所得的积就小于a； |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查利用小数乘法的规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
9．昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（ ）左右．
---- ----- --------- ----- ------- ----- ---------- ----- -------
A． 0.8分钟 B． 5分钟 C． 0.08分钟 D． 4分钟
---- ----- --------- ----- ------- ----- ---------- ----- -------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，也就是4小时的0.02倍，可以先求出小麦开花的时间，再进行估算即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据题意可得： |
| | |
| | 小麦开花的时间是：4×0.02=0.08（小时）， |
| | |
| | 0.08小时=4.8分钟≈5分钟． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算，要注意单位不同时，化成相同的单位． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
10．因为2.75×38=104.5，所以27.5×（ ）=10.45．
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A． 0.038 B． 0.38 C． 3.8 D． 38
---- ----- ------- ----- ------ ----- ----- ----- ----
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；积的变化规律． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据积的变化规律，进行选择即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由题意可知，104.5缩小10倍是10.45，2.75扩大10倍是27.5，只有另一个因数缩小100倍，它们的积才能缩小10倍，所以，38缩小10倍是：0.38． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 根据小数乘法的意义，由积的变化规律直接进行选择，注意倍数的变化，才能选择正确． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**二．填空题**12．一个数的1.2倍一定比1大．[ × ]{.underline}（判断对错）．
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 专题： | 小数的认识． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 分析： | 解答此题只要举出一个一个数的1.2倍不比1大的例子即可得出答案． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：0的1.2倍是0×1.2=0， |
| | |
| | 所以一个数的1.2倍一定比1大是错误的； |
| | |
| | 故答案为：×． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题要考虑全面，要注意特殊数"0"． |
+--------+--------------------------------------------------------------+
13．在算式中的合适的位置上添上小数点，使算式成立．
58×25=14.5 1764÷63=0.28．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；小数除法． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）两个因数的个位上的数相乘时末尾是0，根据小数的性质，把末尾的0去掉后是14.5，所以积中一共有两位小数，所以只要使因数中共有两位小数即可； |
| | |
| | （2）商是两位小数，所以可以使被除数是两位小数即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）5.8×2.5=14.5 |
| | |
| | （2）17.64÷63=0.28． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题答案不唯一，第一小题还可以是0.58×25=14.5等；第二小题也可以是1.764÷6.3=0.28等． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
14．4个0.25 的积是1．[ × ]{.underline}．
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据题意，计算4个0.25的积可列式为 0.25×0.25×0.25×0.25，计算后结果小数点后面会有8位小数，而题中的结果是1，所以原题说法错误． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：0.25×0.25×0.25×0.25，=0.00390625， |
| | |
| | 故答案为：×． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查的是根据题目的表述确定算式的运算顺序，然后再进行列式计算即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
15．一个数小数点向左移动一位后，得到的数比原数小3.06，原数是[ 3.4 ]{.underline}．
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；小数点位置的移动与小数大小的变化规律． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 小数的认识． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据得到的数比原来小3.06，知道原数与移动小数点后的数相差3.06，而一个数的小数点向左移动一位说明原数是移动小数点后的数的10倍，那原数与移动小数点后的数相差（10﹣1）倍，由此列式解答即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：3.06÷（10﹣1） |
| | |
| | =3.06÷9 |
| | |
| | =0.34 |
| | |
| | 0.34×10=3.4； |
| | |
| | 答：原来的数是3.4； |
| | |
| | 故答案为：3.4． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查了差倍公式的应用，即找出对应的差和对应的倍数，列式解答即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
16．把2.5×4.4进行简算是2.5×4.4=[ 2.5 ]{.underline}×[ 4 ]{.underline}×[ 1.1 ]{.underline}或2.5×4.4=[ 2.5 ]{.underline}×[ 4 ]{.underline}+[ 2.5 ]{.underline}×[ 0.4 ]{.underline}．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 2.5×4.4，可以转化为：2.5×4×1.1，运用乘法结合律简算；也可以转化为：2.5×（4+0.4），运用乘法分配律简算． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：方法一： |
| | |
| | 2.5×4.4 |
| | |
| | =（2.5×4）×1.1 |
| | |
| | =10×1.1 |
| | |
| | =11； |
| | |
| | 方法二： |
| | |
| | 2.5×4.4 |
| | |
| | =2.5×（4+0.4） |
| | |
| | =2.5×4+2.5×0.4 |
| | |
| | =10+1 |
| | |
| | =11； |
| | |
| | 故答案为：2.5、4、11；2.5、4、2.5、0.4． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握乘法结合律、分配律的意义，并且能够灵活运用乘法结合律、分配律进行简便计算． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
17．一个数乘小数，积一定小于这个数．[ × ]{.underline}．（判断对错）
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合判断题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数；一个数（0 除外）乘大于1的数，积大于原数．据此进行判断． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：一个数乘小数，积一定小于这个数．此说法错误． |
| | |
| | 故答案为：×． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握：一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数；一个数（0 除外）乘大于1的数，积大于原数． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
18．一个数乘小于1的数，积一定小于这个数．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；小数大小的比较． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据题意，可以假设一个数是0，因为0乘任何小于1的数都等于0，再根据题意进行判断即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由题意，可以假设一个数是0，因为0乘任何小于1的数都等于0，那么它们的积和这个数相等，与原题不相符，所以原题是错误的． |
| | |
| | 故填：错误． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 根据判断题的要求，只要找出一个与题意不相符的就可以判断此题的正误． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
19．在横线里填上"＞""="或"＜"．
7.2×0.9[ ]{.underline}7.2 1.04×3.57[ ]{.underline}3.57×0.14 5.24[ ]{.underline}5.24÷0.7
3.2÷0.01[ ]{.underline}3.2×0.01．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；小数除法；积的变化规律． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 一个数（0除外）乘一个小于1的数和除以大于1的数，得到的结果小于它本身；一个数（0除外）除以一个小于1的数和乘大于1的数，得到的结果大于它本身．依此比较即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）7.2×0.9＜7.2； |
| | |
| | （2）1.04×3.57＞3.57×0.14； |
| | |
| | （3）5.24＜5.24÷0.7； |
| | |
| | （4）3.2÷0.01＞3.2×0.01． |
| | |
| | 故答案为：＜，＞，＜，＞． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 不用计算，根据一个数乘或者除以的数比1大还是比1小进行比较． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
20．小数乘法的意义与整数乘法的意义完全相同．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 小数乘整数的意义与整数乘法意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算，一个数乘小数的意义：与整数乘法的意义有所不同，它是整数乘法意义的进一步扩展．它可以理解为是求这个数的十分之几、百分几、千分之几...，是不完全相同的． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：小数乘整数：与整数乘法意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算． |
| | |
| | 例如：2.5×6 表示6个2.5是多少或2.5的6倍是多少． |
| | |
| | 一个数乘小数的意义：与整数乘法的意义有所不同，它是整数乘法意义的进一步扩展．它可以理解为是求这个数的十分之几、百分几、千分之几...是多少． |
| | |
| | 如，2.5×0.6表示2.5的十分之六是多少，2.5×0.98表示2.5的百分之九十八是多少． |
| | |
| | 所以小数乘法的意义与整数乘法的意义完全相同是错误的． |
| | |
| | 故答案为：错误． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要是考查对整数乘法的意义和小数乘法的意义理解． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
22．（•台湾模拟）0.0625×0.25×0.5×256．
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 首先把小数分数分数，再运用乘法交换律和结合律进行简算． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：0.0625×0.25×0.5×256 |
| | |
| | =（×256）× |
| | |
| | =16× |
| | |
| | =2． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握小数化成分数的方法，并且能够灵活运用乘法的交换律和结合律进行简便计算． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
27．用竖式计算，带★要求验算．
---------- ----------- -----------------------------
0.55×9.6 ★3.64÷2.8 0.13×3.01得数保留一位小数．
---------- ----------- -----------------------------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；近似数及其求法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据小数乘除法竖式计算的方法进行计算即可；注意验算方法的选择；用四舍五入法进行保留小数的位数． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| | 0.55×9.6=5.28； |
| | |
| |  |
| | |
| | 3.64÷2.8=1.3； |
| | |
| |  |
| | |
| | 验算： |
| | |
| |  |
| | |
| | 0.13×3.01≈0.4； |
| | |
| | ． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查小数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算即可；注意验算方法的选择；用四舍五入法进行保留小数的位数． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
28．育红小学开展"勤工俭学"活动，同学们利用业余时间收集废纸，年3个月全校共收集废纸225.67kg．照这样计算，全校一年（按8.5个月计算）大约收集废纸多少千克？（得数保留整数）
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 简单应用题和一般复合应用题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 首先求出平均每个月收集废纸多少千克，再根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：225.67÷3×8.5 |
| | |
| | =75.2×8.5 |
| | |
| | ≈639（千克）， |
| | |
| | 答：全校一年（按8.5个月计算）大约收集废纸639千克． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握小数乘法、除法的意义及它们的计算法则，并且能够利用小数乘、除法解决有关的实际问题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
29．用竖式计算并验算：0.28×6.45．
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 本题根据小数除法的运算法则计算即可，可根据乘法与除法的互逆关系进行验算． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：0.28×6.45=1.806 |
| | |
| |  |
| | |
| | 验算： |
| | |
| |  |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 完成本题要注意小数点位置的变化． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------+
30．把一根绳子对折三次后，每段长0.2米，这根绳子原来长多少米？
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 小数乘法；简单图形的折叠问题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 简单应用题和一般复合应用题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 对折一次，每段是全长的，对折两次，每段是全长的，连续三次对折后，每段就是全长的，它对应的数量是0.2米，由此用除法求出这根绳子的全长． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：连续三次对折后，每段就是全长的； |
| | |
| | 0.2÷=1.6（米）； |
| | |
| | 答：这根绳子原来长1.6米． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题的关键是找出单位"1"，然后根据对折的次数确定每段的长度是全长的几分之几，用除法就可以求出单位"1"的量． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | |
北师大版五年级数学下册期末模拟试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、填空（每空1分，共18分）
1.300厘米3=（ ）分米3 2米3=（ ）升 时=（ ）分
2.2÷5= =（ ）%= （ ）（填小数）
3.一件上衣原价300元，现按八五折出售，应卖（ ）元。
4.根据下面图示，可列算式 ：\_\_\_\_\_\_\_○\_\_\_\_\_\_\_ 表示：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
5.在括号里填上合适的容积或体积单位。
一听可口可乐的净含量是355（ ）。 一间教室的体积约144（ ）。
6\. 的倒数是（ ）。
7.六年一班6名同学参加"华杯赛" 决赛，他们的成绩如下：12、95、120、69、80、95。这组数据的平均数是（ ），中位数是（ ），众数是（ ），（ ）能比较好地反映这8名参赛选手的平均水平。
8.把一个正方体方木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32，原正方体方木块的表面积是（ ），体积是（ ）。
二、明辨是非（对的打"√"，错的打"×"并改正）（每题2分，共8分）
（ ）1.一次英语测试，六年一班40名学生，2人不及格，及格率是98%。
（ ）2.一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是15厘米，这个长方体的棱长总和60厘米。
（ ）3.足球的个数比篮球少，那么篮球的个数比足球多。
（ ）4.一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩全长的。
三、对号入座，把正确答案的序号填在括号里（每题2分，共8分）
1.小光要统计今年1---6月份气温变化情况，用（ ）比较合适。
A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图
2.服装加工厂加工1500套校服，5天加工了这批校服的，离交货日期只有一周了，照这样的速度（ ）完成任务。
A. 能 B. 不能 C．无法确定能否
3.一种桃汁，大瓶装（1200mL）售价8元，小瓶装（400mL）售价3元。两家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案：
甲店 乙店 丙店
购买12升这种桃汁，要想省钱到（ ）购买。
A．甲店 B．乙店 C．两个店均可 D. 丙店
4.将 按右面的方式摆放在桌面上。
8个 按这种方式摆放，有（ ）个面露在外面。
A. 20 B. 23 C. 26 D.29
四、计算（28分）
1.直接写得数（每题0.5分，共4分）
3÷= ×= ×= ＋=
×21= 2－= ÷= ÷=
2.脱式计算，能简算的要简算（每题3，共12分）
3.解方程（每题2分，共6分）
X=36 X-X=20 X÷= 0.6
4.计算下面图形的表面积和体积（表面积和体积各3分，共6分）
表面积：
体积：
五、画一画，涂一涂（每题2分，共6分）
1.用图形表示4÷。 2.请用线段图表示男生比女生多
3.下两幅图是不完整的正方体展开图，请分别把它们补充成完整的正方体展开图。
六、解决问题（32分）
1.一次数学测验，五年一班有30人取得优秀，优秀率达到75%，五年一班共有多少名学生？（3分）
2.淘气家有3口人，三月份妈妈的工资收入是1000元，爸爸的工资收入比妈妈多。
（1）三月份爸爸工资收入是多少元？（4分）
（2）妈妈三月份工资收入比淘气家三月份的总支出少，三月份的总支出是多少元？（4分）
3.将一根竹竿插入河中，插入泥中的部分占全长的，水面以下部分占全长的。如果水面以下部分长156厘米，那么这根竹竿长多少厘米？插入泥中的部分有多长？（6分）
4.做右面无盖正方体鱼缸。
（1）至少需要玻璃多少平方厘米？（3分）
（2）把这个鱼缸装满水，需要多少升水？（3分）
（3）将一块铁浸入上面那个装满水的鱼缸中再取出，结果水面下降0.8厘米。铁块的体积是多少？（3分）
5.六（1）班有40名学生，参加各种课外小组人数占全班总人数的百分数如下图：
（1）参加哪个小组的人数最多，是多少人？（3分）
（2）参加哪个小组的人数最少，是多少人？（3分）
七、附加题（奖励3分）
一根2米长的长方体木料，底面是一个正方形，如果把这根木料截去80厘米，那么表面积减少320平方厘米，原来这根木料的底面边长是（ ），表面积是（ ），体积是（ ）。
参考答案
一、填空（每空1分，共18分）
1.0.3 2000 25 ； 2.2 40 0.4 ； 3.255 ； 4.× 的是多少 5.毫升 立方米；6.6；7.78.5 87.5 95 中位数；8.96厘米^2^ 64厘米^3^
二、明辨是非（对的打"√"，错的打"×"并改正）（每题2分，共8分）
（×）1.改正：一次英语测试，六年一班40名学生，2人不及格，及格率是95%。
（√）2.一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是15厘米，这个长方体的棱长总和60厘米。
（×）3.改正：足球的个数比篮球少，那么篮球的个数比足球多
（×）4.改正：一条路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩全长的。
学生可能有不同的改正方法，只要合理即可。
三、对号入座，把正确答案的序号填在括号里（每题2分，共8分）
1.B 2.B 3.A 4.C
四、计算（28分）
1.直接写得数（每题0.5分，共4分）答案略。
2.脱式计算，能简算的要简算（每题3，共12分）
÷× 7.5× + 7.5×
=×× (2分) =7.5×（+）（2分）
= （1分） =7.5 （1分）
24÷（）
=+- （1分） =24÷（×）（1分）
=- （1分） =24× （1分）
= （1分） =20 （1分）
3.解方程（每题2分，共6分）
过程和结果各1分。
**4.**表面积：（10×7+10×6+7×6）×2=344(平方厘米) （算式2分，结果1分）
体积：10×7×6=420(立方厘米) （算式2分，结果1分）
五、画一画，涂一涂（每题2分，共6分）
1\.  2.
> 可以用不同的图形表示。
3.答案不唯一。
六、解决问题（32分）
1.五年一班共有X名学生。75%X=30 X=40
> 2分 1分
2.⑴[1000+1000×2/5]{.underline}=[1400]{.underline}(元)
> 3分 1分
>
> ⑵[解：设三月份总支出是X元。X-1/9X=1000]{.underline} [X= 1125]{.underline}
>
> 3分 1分
3.[解：设这根竹竿长X厘米。2/3X=156]{.underline} [X=234]{.underline}
2分 1分
[234×1/6]{.underline}=[39（厘米）]{.underline}
2分 1分
4\. ⑴[40×40×5]{.underline}=[8000（平方厘米）]{.underline}
> 2分 1分
>
> ⑵[40×40×40]{.underline}=[64000（立方厘米]{.underline}）= [64升]{.underline} 也可以先化单位40厘米=4分米
1分 1分 1分
> ⑶[40×40×0.8]{.underline}=[1280（立方厘米）]{.underline}
>
> 2分 1分
5.⑴[体育小组]{.underline} [40×40%=16（人）]{.underline}⑵[美术小组]{.underline} [40×15%=6（人）]{.underline}
> 1分 2分 1分 2分
解决问题的答错了一律扣0.5分，单位名称错误扣0.5分。
七、附加题（奖励3分）
底面边长是：1厘米 表面积是：802平方厘米 体积是：200立方厘米
| 1 | |
**达州市2020年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试**
**数学**
**本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．**
**考试时间120分钟，满分120分．**
**温馨提示：**
**1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致．**
**2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．**
**3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．**
**4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷（选择题 共30分）**
**一、单项选择题（每小题3分，共30分）**
1.人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台"朝日新闻"报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B. C. D. 万
【答案】A
【解析】
【分析】
通过科学记数法的公式计算即可：；
【详解】1002万=10020000=．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数点位置是解题的关键．
2.下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A. 3.14 B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞4^2^，3^2^＜12＜4^2^
∴＞4，3＜＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A、手的对面是勤，所以本选项不符合题意；
B、手的对面是口，所以本选项符合题意；
C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意；
D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关键．
4.下列说法正确的是（ ）
A. 为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查．
B. 确定事件一定会发生．
C. 某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98．
D. 数据6、5、8、7、2的中位数是6．
【答案】D
【解析】
【分析】
可用普查的定义或适用范围判断A选项；根据确定事件的定义判断B选项；用众数的概念判断C选项；最后用中位数的定义判断D选项．
【详解】全国中小学生数量极大，不适合全面普查，为了解全国中小学生心理状况，应采用抽样调查方式，故A选项错误；
确定事件包括必然事件与不可能事件，不可能事件不会发生，故B选项错误；
众数为一组数据当中出现次数最多的数据，该组数据中98，99均分别出现两次，故众数为98，99，C选项错误；
将一组数据按数值大小顺序排列，位于中间位置的数值为该组数据的中位数，2，5，6，7，8中位数为6，故D选项正确；
综上：本题答案为D选项．
【点睛】本题考查统计知识当中的相关概念，解答本题关键是熟悉各概念的定义，按照定义逐项排除即可．
5.图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则（ ）
 
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【详解】解：∵*S*~主~，*S*~左~，
∴主视图的长，左视图的长，
则俯视图的两边长分别为：、，
*S*~俯~，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键．
6.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据规律求出小球的总个数,再将选项逐项化简求值即可解题.
【详解】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,
选项B中,故B,C,D均正确,
故本题选A.
【点睛】本题考查了图形的规律,合并同类项,需要学生具有较强的逻辑抽象能力,能够不重不漏的表示出小球的总数是解题关键.
7.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即"结绳计数"．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A. 10 B. 89 C. 165 D. 294
【答案】D
【解析】
【分析】
类比十进制"满十进一"，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．
【详解】依题意，还在自出生后的天数是：
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．
8.如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A
∵恰好与、相切
∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA
∵OB=OA=O＇B=O＇A,
∴四边形O＇BOA是正方形
∴∠O=90°
∴劣弧的长为．
故答案为B．
【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．
9.如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
分析】
根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
10.如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断．
【详解】解：①∵
∴△OBD是等腰三角形
∵四边形是矩形
∴DE=BE=BD，DA⊥OB
∴平分，OE⊥BD故①正确；
②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB
∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90°
∵∠EDF=∠AOF
∵DA⊥OB，
∴OA=AD
在△OFA和△OBD中
∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB
∴△OFA≌△OBD
∴OF=BD,即②正确；
③过F作FH⊥AD，垂足为H,
∵平分，DA⊥OB
∴FH=AF
∵，DA⊥OB
∴∠HDF=45°
∴sin∠HDF=,即；故③正确；
④由②得∠EDF=∠AOF，
∵G为OF中点
∴OG=OF
∵DE=BE=BD，OF=BD
∴OG=DE
在△OGA和△AED中
OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA
∴△OGA≌△AED
∴OG=EF,∠GAO=∠DAE
∴△GAE是等腰三角形
∵DA⊥OB
∴∠OAG+∠DAG=90°
∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90°
∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
故答案为A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（每小题3分，共18分）**
11.2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以"同心共筑中国梦"为主题，包含有"建国创业""改革开放""伟大复兴"三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】②③①
【解析】
【分析】
制作扇形统计图的一般步骤是：1、计算各部分在总体中所占的百分比；2、计算各个扇形的圆心角的度数；3、在圆中依次作出上面的扇形，并标出百分比；据此解答即可．
【详解】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
【点睛】本题考查了扇形统计图的相关知识，解题的关键明确制作扇形统计图的一般步骤．
12.如图，点与点关于直线对称，则\_\_\_\_\_\_．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
【详解】解：∵点与点关于直线对称
∴a=-2，,解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键．
13.小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为\_\_\_\_\_．（结果精确到．参考数据：）
【答案】11m
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题．
【详解】如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵ 在*D*处测得旗杆顶端*A*的仰角为52º，
∴∠ADE=52º，
∵BC=DE=8m，
∴AE=DE⋅tan52º≈8×1.28≈10.24m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.
∴AB约为：11m.
故答案为：11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键．
14.如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9
【解析】
【分析】
设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S~四边形EBDC~=S~△AOE~即可得S~△AOB~=S~四边形ABDC~，根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，
代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A（4,3），B（2,6）；
∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S~△BOD~=S~△AOC~，
∴S~四边形EBDC~=S~△AOE~，
∴S~△AOB~=S~四边形ABDC~= ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
15.已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【详解】解：
则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵4^2^+3^2^=5^2^
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
16.已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则\_\_\_\_\_，的值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2). (3).
【解析】
【分析】
联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
【详解】解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点睛】本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
**三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）**
17.计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】
先运用乘方、负整数指数幂、零次幂、立方根的知识化简，然后计算即可．
【详解】解：
=
=1．
【点睛】本题考查了乘方、负整数指数幂、零次幂、立方根等知识，掌握相关知识的运算法则是解答本题的关键．
18.求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简原式，再把*x*的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）与有1个交点，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；
（2）连接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分线得出∠1=∠3，等量代换进而证出OD∥BA，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切线，即与有1个交点.
【详解】解：（1）如下图，补全图形：
（2）如下图，连接OD，
∵点D在上，
∴OB=OD，
∴∠1=∠2，
又∵BM平分，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BA，
∴∠ODE+∠BED=180°，
∵
∴∠ODE=90°，
∴OD是的切线，
∴与有1个交点.
【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定，熟练掌握尺规作图的步骤及圆的切线的判定定理是解题的关键.
20.争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
------ --------- ------
等级 成绩/分 频数
A a
B 8
C 5
D 4
------ --------- ------
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）3，40；（2）660人；（3）
【解析】
【分析】
（1）用20分别减去其它三个等级的人数即为*a*的值，用B等级的频数除以20即可求出*b*的值；
（2）用A、B两个等级的人数之和除以20再乘以1200计算即可；
（3）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式解答．
【详解】解：（1）；
8÷20=40%，∴*b*=40；
故答案为：3，40；
（2）人；
答：估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级人数是660人；
（3）记A等级中的2名女生为M、N，1名男生为Y，所有可能的情况如图所示：
由上图可知：共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率=．
【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
21.如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积S．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）6
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理可得，根据旋转的性质，，可证明四边形是平行四边形，再根据，D、E分别是边、的中点，可知，所以四边形是菱形；
（2）由（1）得菱形的对角线互相垂直平分，再根据，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可；
【详解】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵D、E分别是边、的中点，
∴，
又∵绕点E旋转180度后得，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，连接AD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD与BF相互垂直且平分，
又∵，
∴，
令，，
在Rt△ABO中，，
∴,
即，
解得：，，
即由图可知，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键．
22.某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
------ ----------------- ----------------- -------------------
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a 380 940
餐椅 160
------ ----------------- ----------------- -------------------
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）*a*=260；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【解析】
【分析】
（1）用含*a*的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于*a*的方程，解方程并检验即得结果；
（2）设购进餐桌*x*张，销售利润为*W*元．根据购进总数量不超过200张，得出关于*x*的一元一次不等式，解不等式即可求出*x*的取值范围，再根据"总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润"即可得出*W*关于*x*的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）根据题意，得：，
解得：*a*=260，
经检验：*a*=260是所列方程的解，
∴*a*=260；
（2）设购进餐桌*x*张，则购进餐椅（5*x*+20）张，销售利润为*W*元．
由题意得：*x*+5*x*+20≤200，解得：*x*≤30．
∵*a*＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
*W*＝*x*×(940﹣260﹣4×120）+*x*×(380﹣260）+（5*x*+20﹣*x*×4）×(160﹣120）＝280*x*+800，
∵*k*＝280＞0，
∴*W*随*x*的增大而增大，
∴当*x*＝30时，*W*取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于*a*的分式方程；（2）根据数量关系找出*W*关于*x*的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．
23.如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交射线于点E．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：
当时，得表1：
-- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
... 1 2 3 4 5 ...
... 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 ...
-- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
当时，得表2：
-- ----- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -----
... 1 2 3 4 5 6 7 ...
... 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 ...
-- ----- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -----
这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，\_\_\_\_\_的长度为自变量，\_\_\_\_\_的长度为因变量；
②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤
【解析】
【分析】
（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因为∠B＝∠C＝90°，即可证得相似；
（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，即可判断自变量和因变量；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，由△ABP∽△PCE，利用对应边成比例求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
【详解】解：（1）证明：∵，
∴∠APE＝90°，
∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，
∴∠APB＝∠CEP，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE；
（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，所以BP的长度为自变量，CE的长度为因变量；
故答案为：BP，CE；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，
∵△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴y＝
＝，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为，
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴≤2，
解得m≤，
∴m的取值范围为：0＜m≤．
【点睛】本题考察了代数几何综合题、相似三角形的判定与性质、梯形的性质、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用．
24.（1）【阅读与证明】
如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．
①完成证明：点E是点C关于的对称点，
，，．
正中，，，
，得．
在中，，\_\_\_\_\_\_．
在中，，\_\_\_\_\_\_．
②求证：．
（2）【类比与探究】
把（1）中"正"改为"正方形"，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①\_\_\_\_\_\_；
②线段、、之间存在数量关系\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（3）【归纳与拓展】
如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；
（2）类比（1）的方法即可作答；
（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，即60°；
∵
∴
故答案为60°，30°；
②在FB上取FN=AF，连接AN
∵∠AFN=∠EFG=60°
∴△AFN是等边三角形
∴AF=FN=AN
∵FN=AF
∴∠BAC=∠NAF=60°
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2
∴∠BAN=∠2
∵点C关于的对称点E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE，∠FEG=30°
∴EF=2FG
∴BN=EF=2FG
∵BF=BN+NF
∴BF=2FG+AF
（2）①点E是点C关于的对称点，
，，．
正方形ABCD中，，，
，得．
在中，，
45．
在中，，
45．
故答案为45°；
②在FB上取FN=AF，连接AN
∵∠AFN=∠EFG=45°
∴△AFN是等腰直角三角形
∴∠NAF=90°，AF=AN
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF
∴∠BAN=∠2
∵点C关于的对称点E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE，∠FEG=45°
∴EF=FG
∴BN=EF=FG
∵BF=BN+NF
∴BF=FG+AF
（3）由（1）得：当∠BAC=60°时
BF=AF+2FG= ；
由（2）得：当∠BAC=90°时
BF=AF+2FG=；
以此类推，当当∠BAC= 60°时， ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）存在点P，坐标为（2，-3）；（3）
【解析】
【分析】
（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；
（2）首先假设存在点P，然后根据面积相等构建等式，看是否有解，即可得解；
（3）首先设点M坐标，根据面积最大构建二次函数求最大值得出点M坐标，然后设点N坐标，再次构建二次函数求最小值，即可得解．
【详解】（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）假设存在该点P，设其坐标为（*a*，）
∵A的坐标为（4,0），B的坐标为（0，-2）
∴OA=4，OB=2，，
∴点P到直线的距离为
∵
∴
∴
∴存在这样的点P，点P的坐标为（2，-3）
（3）设M坐标为
当的面积最大时，即
的面积最大为4，
∴M坐标为
设N的坐标为
当时，有最小值，
其值为.
【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题．
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**小升初重点中学真题之工程问题篇**
**1 （三帆中学考题）**\
原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植\_\_\_\_\_\_棵树.\
**2 （首师附中考题）**\
一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。现乙先做4天，问甲还要多少天完成？\
**3 （人大附中考题）**\
一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，......两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？\
**4 （西城四中考题）\
**如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 \_\_\_\_\_\_小时。
**预测**\
有A，B两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20时，乙车需要24时，丙车需要30时。现在甲车装运A堆煤，乙车装运B堆煤，丙车开始先装运A堆煤，中途转向装运B堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运A堆煤用了多少时间？\
**预测**\
单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？
**预测**\
某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升。现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它\
们恰好相等。那么水池中原有多少水？
** 工程问题答案\
**1 （三帆中学考题）
【解】： 3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原来要种的，所以原来每人要植树15÷3=5棵。
2 (首师附中考题）\
【解】：甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12× =22.5天。现在乙了4天就相当于甲做了4× =2.5天，所以甲还要做20天。
3 （人大附中考题）\
\
【解】：甲的工作效率= ，乙的工作效率= ，合作工效= ，甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时，这样1÷ = =8... ，所以合作了8小时，这样还剩下 就是甲做的，所以甲还要做 ÷ =3 ，所以两人总共作了8+8+ 小时。
4 （西城四中考题）
【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙60分钟可以灌满，甲、乙两管80分钟可以灌满，乙、丙两根水管75分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、75的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份，甲、乙每分钟灌1200÷80=15份，乙、丙每分钟灌1200÷75=16份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200÷11= 分钟。\
方法二：设工作效率求解，省略。
5 (北大附中考题)
【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×4×18=1080份，增加3人每天增加\
1小时，那么需要的时间=1080÷（15+3）÷(4+1)=12天，所以提前6天完成。
**北大附中辅导班试题之：工程问题（一）**
**北大附中辅导班试题之：工程问题（二）**
**北大附中培训试题系列之：工程问题（一）**
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**2020年初中学业水平考试数学**
**一、选择题**
1.2的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2×=1，
∴2的倒数是，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2.sin45°的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=．
故选B．
【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
3.2019新型冠状光病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】0.00012=．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法．
4.如图是由4个完全相同的正方形搭成的几何体，则（ ）
A. 三视图都相同 B. 俯视图与左视图都相同
C. 主视图与俯视图都相同 D. 主视图与左视图相同
【答案】D
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从正面看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从左边看最下面一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，
从上面看靠外边一层有1个小正方形，靠里边一层有2个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除运算法则逐个运算即可求解．
【详解】解：选项A：，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C正确；
选项D：，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则是解决此类题的关键．
6.下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 全等三角形的对应角相等 D. 正方形的四个角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
【详解】A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
7.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的容量是4 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是3 D. 样本的平均数是3.5
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均数的计算公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是，选项D错误
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出样本数据是解题关键．
8.点D，E分别是三角形ABC的边AB，AC的中点，如图，
求证：且
证明：延长DE到F， 使EF=DE，连接FC，DC，AF，
又AE=EC，则四边形ADCF是平行四边形，
接着以下是排序错误的证明过程；
①；
②；
③四边形DBCF是平行四边形；
④且
则正确的证明排序应是：（ ）
A. ②③①④ B. ②①③④ C. ①③④② D. ①③②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已经证明出四边形ADCF是平行四边形，则利用平行四边形的性质可得，可得，证出四边形DBCF是平行四边形，得出，且,即可得出结论且，对照题中步骤，即可得出答案.
【详解】解：四边形ADCF是平行四边形，
，
，
四边形DBCF是平行四边形,
，且;
,
;
且;
对照题中四个步骤，可得②③①④正确；
故答案选：A.
【点睛】本题考查平行四边形性质与判定综合应用；当题中出现中点的时候，可以利用中线倍长的辅助线做法，证明平行四边形后要记得用平行四边形的性质继续解题.
9.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
10.观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，...；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A. 499 B. 500 C. 501 D. 1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为*n*的值．
【详解】设最后三位数为*x*－4,*x*－2,*x*．
由题意得: *x*－4+*x*－2+*x*=3000,
解得*x*=1002．
*n*=1002÷2=501．
故选C．
【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
11.一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
【答案】B
【解析】
【分析】
设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．
【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，
若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60\<120，
∴不符合题意；
若从120cm长的木条上截取，
①当60cm与75cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=80，y=96，
∵80+96=176cm\>120cm，
∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=45，y=72，
∵60cm \<45+72=117cm\<120cm，
∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；
③当60cm与120cm是对应边时，
∵两三角形相似，
∴，
解得x=375，y=50，
∵60cm \<37.5+50=87.5cm\<120cm，
∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；
综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应边的不同分情况讨论．
12.把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可得．
【详解】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则与相同
由对称轴得：，解得
当时，由函数得；由函数得
则，即
将，代入得：
整理得：
解得
则m的最大值为6
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．
**二、填空题**
13.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据负有理数的减法法则计算即可．
【详解】．
故答案为:6．
【点睛】本题考查负有理数的减法计算,关键在于熟练掌握计算法则．
14.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】==．
故答案为．
15.如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD\_\_\_\_\_\_\_\_\_菱形（是，或不是）．
【答案】是
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据"两张对边平行且相等的纸条"得出，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据菱形的判定即可得．
【详解】如图，过点B作，交DA延长线于点E，过点D作，交BA延长线于点F
由题意得：
四边形ABCD是平行四边形
和中，
平行四边形ABCD是菱形
故答案为：是．
【点睛】本题考查了平行四边形与菱形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握平行四边形与菱形的判定是解题关键．
16.经过人民路十字路口红绿灯处两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式计算可得．
【详解】解：由题意画出"树状图"如下：
∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况，
∴至少有一辆向左转的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
17.如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质得出正六边形的面积和的面积，再根据旋转的性质、线段的和差得出的长，从而可得的面积，然后根据即可得．
【详解】六边形ABCDEF是边长为3正六边形
其每个内角的度数为，，
，
如图，连接BE，交AD于点O，交AC于点P，则点O为正六边形的中心
是等边三角形，
是等腰三角形，且
由旋转的性质可知，，
则
故答案为：9．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、旋转的性质等知识点，熟练掌握正六边形的性质与旋转的性质是解题关键．
18.已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：
①当时，都随x的增大而增大；
②当时， ；
③的图像的两个交点之间的距离是2；
④函数的最小值为2；
则所有正确的结论是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】当时，，
当时，，
画出两个函数的图象如下所示：
则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误
当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确
当时，
即的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为
因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确
又，当且仅当，即时，等号成立
即函数的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
**三、解答题**
19.计算：
【答案】10．
【解析】
【分析】
先计算零指数幂、绝对值运算、算术平方根，再计算二次根式的乘法、去括号、有理数的乘方，然后计算二次根式的加减法即可得．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值运算、算术平方根、二次根式的加减法与乘法等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
20.解方程组：
【答案】．
【解析】
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
①②得
解得
将代入②得
解得
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
21.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．
【答案】（1）k\>-1；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据∆\>0列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
【详解】解：（1）由题意得
∆=4+4k\>0，
∴k\>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，
∴
=
=
=
=1.
【点睛】本题考查了一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*=0（*a*≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若*x*~1~，*x*~2~为方程的两个根，则*x*~1~，*x*~2~与系数的关系式：，．
22.在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签定了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中．
（1）种植B品种树苗有多少棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高?
【答案】（1）种植B品种树苗有棵；（2）补全图形见解析；（3）C品种果树苗的成活率最高．
【解析】
【分析】
（1）由总量乘以B品种树苗所占的百分比即可得到答案；
（2）先计算出种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可；
（3）分别计算出三种树苗的成活率，结合已知的种树苗的成活率，从而可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：种植B品种树苗有：
（棵）．
（2）因为种树苗种植了棵，
所以成活棵，
补全图形如下：
图②
（3）种树苗的成活率为：
种树苗的成活率为：
C品种果树苗的成活率为，
品种果树苗的成活率为
所以：C品种果树苗的成活率最高．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计算，掌握以上知识是解题的关键．
23.如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC．
（1）求证：EF是圆O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；
(2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．
【详解】解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°
又EC=EF，∴∠C=∠EFC，
∴∠CGF=∠GFE,
又∠CGF=∠AGD，
∴∠GFE=∠AGD
∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，
∴OF⊥EF，
∴EF是圆O的切线．
(2)如下图所示，
∵D是OA的中点，且AB=4，
∴DO=1，BD=BO+DO=3，
又AB=CD=4，
∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=3²+4²=5²，
∴BC=5，
又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，
∴△ABF∽△CBD，
∴，代入数据后得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．
24.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0\<x≤600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程
【解析】
【分析】
（1）根据"工作时间=总工作量÷每天工作量"，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，
∴（0\<x≤600）；
（2）由题意得
，
解得x~1~=1，x~2~=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解
1+0.2=1.2千立方米，
600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
25.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线段HE，过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F，G，设四边形BGEF的面积为，以HB，BC为邻边的矩形面积为，且，当时，求AH的长；
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题根据可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又因为在中，利用勾股定理逆定理可得出为等腰直角三角形，可得，所以也是等腰直角三角形，可得，所以得出四边形ABCD是正方形；
（2）根据题意，易证得，可得，设，则，，可得，则，令，即：，解方程即可得出的长.
【详解】解：（1）依题意可得：
，
四边形为平行四边形；
又，
四边形为矩形；
又在中，，且三边满足
为等腰直角三角形；
,
,
,
,
四边形为正方形；
即：四边形为正方形.
（2）由题可得：,
，
又
，
在与中
设，则，
可得：，，
令，可得，
解得：，（舍去）.
即.
【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是或倍的关系，则利用勾股定理逆定理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和熟练应用这个全等模型.
26.已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y~2~=-x^2^+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；
（2）设B（t，0），根据由题意得y~2~由y~1~平移所得，可设y~2~的解析式为：y~2~=-（x-1）（x-t）=-x^2^+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得y~D~=\|BB\|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y~2~的解析式；
（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．
【详解】解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x~1~=-3，x~2~=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=-0^2^-2×0+3=3，
∴C的坐标为（0，3），
综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；
（2）设B（t，0），
由题意得y~2~由y~1~平移所得，
∴a=-1，
∴可设y~2~的解析式为：y~2~=-（x-1）（x-t）=-x^2^+（1+t）x-t，
∴D（，），
∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，
∴△BDB是等腰直角三角形，
∴y~D~=\|BB\|，
∴=（t-1），
解得t=3，
∴B（3，0），
∴y~2~=-x^2^+4x-3；
（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，
∴y~P~=y~C~=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B左边，
当BQ为边时，则CP∥BQ，
此时y~P~=y~C~=3，P点在y~1~上，
将y~P~=3，代入y~1~得，
解得x~1~=0，x~2~=-2，
∴此时P的坐标为（-2，3）；
当BQ为对角线时，则BC∥QP，
∵y~C~-y~B~=3，
∴y~Q~-y~P~=3，
∵Q在x轴上，
∴y~P~=-3，
将y~P~=-3代入y~1~得，
解得x~1~=-1+，x~2~=-1-，
将y~P~=-3代入y~2~得-x^2^+4x-3=-3，
解得x~1~=0，x~2~=4，
∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），
综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
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24【解析】（1）设数列的公比为，则，且，所以，；
（2），，，
，两式相减得到
25【解析】（1），所以方程的根的个数即的零点的个数，所以，令，，其中单调递减，且，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，且时，，时，，结合图像可知，若函数有且仅有一个零点，则；
（2）令
，由得或，当时，（舍），所以，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以；当时，，所以当时，，单调递增，当
时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，综上的．
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**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择：（将正确答案的序号填在括号里，每小题2分，共10分）**
1．（2分）六（1）班有60名学生，选举班长的得票数为：丁丁30票，方方9票，丽丽15票，英英6票。下列图中，（ ）图准确地表示了这一结果。
A． B． C．
2．（2分）如果*a*是一个大于1的任意自然数，那么下面各式中得数最大的是（ ）
A． B． C．
3．（2分）在推导圆的面积公式时，把一个圆分成若干（偶数）等份后，拼成一个近似长方形，这个长方形的长近似于（ ）
A．圆的半径 B．圆的周长 C．圆周长的
4．（2分）甲数是乙数的80%，丙数是甲数的80%，三个数中，（ ）最大．
A．甲数 B．乙数 C．丙数
5．（2分）如图表示一件衣服原价与现价的关系，下列叙述错误的是（ ）
> 
A．现价比原价便宜20% B．现价比原价贵20%
C．现价与原价比是4：5
**二、填空：（共13小题，每小题2分，共26分）**
6．（2分）"小花的身高是妈妈身高的。"这句话中把[ ]{.underline}看作单位"1"，数量关系式是：[ ]{.underline}×[ ]{.underline}＝小花的身高。
7．（2分）图中画双斜线的部分占整个图形的几分之几，列式为：×[ ]{.underline}。
> 
8．（2分）3÷5＝[ ]{.underline}%＝＝[ ]{.underline}：30＝12÷[ ]{.underline}.
9．（2分）六（1）班某天数学课上，教室里坐着有48人，有2人请病假没来，这天的出勤率为[ ]{.underline}。
10．（2分）在〇里填上"＞、＜、＝"。
---------------------------------------------- ------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.2×〇2.2 8÷12〇66.7% ×〇÷
---------------------------------------------- ------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11．（2分）数学课上，小红剪了一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，你能猜出她至少要准备[ ]{.underline}平方厘米的正方形纸片，剪成的圆形纸片至少对折[ ]{.underline}次可以找到圆心。
12．（2分）花篮里玫瑰花和百合花枝数的比是4：5，玫瑰花比百合花少，百合花比玫瑰花多[ ]{.underline}%．
13．（2分）一种药水是药粉和水按1：30的比配成的，现在有药粉30千克，可以配制[ ]{.underline}千克的药水。
14．（2分）大圆的半径相当于小圆的直径，大圆周长和小圆周长的比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}，小圆面积和大圆面积的比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}．
15．（2分）光明小学有540人，近视人数有120人，近视人数与全校人数的最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
16．（2分）一件400元的羽绒服，打折后卖240元，现价是原价的[ ]{.underline}%，比原价便宜了[ ]{.underline}%。
17．（2分）10吨菜籽可榨3.5吨菜籽油，菜籽的出油率是[ ]{.underline}，榨1吨菜籽油约需[ ]{.underline}（得数保留两位小数）吨菜籽。
18．（2分）依据图中的规律，在括号里填上适当的分数。
> 
**三、判断：对的在括号里打√，错的打×（每小题1分，共5分）**
19．（1分）一批试制产品有120个，全部合格，合格率是120%。[ ]{.underline}（判断对错）
20．（1分）某班男、女生人数的比是7：8，男生占全班人数的．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．（1分）甲比乙多，也就是乙比甲少．[ ]{.underline}．（判断对错）
22．（1分）半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
23．（1分）9%和表示的意义完全相同。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、计算（4小题，共16分）**
24．（4分）直接写出得数。
--------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
×12＝ 2.5÷＝ ÷＝ 9×÷＝
×＝ 0.6÷30%＝ 3.6×＝ 1÷10%﹣3＝
--------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------
25．（6分）计算下面各题，能简算的要简算。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------
÷（﹣×） 4.5÷+3.5×
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------
26．（6分）解方程。
------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
*x*+1.2＝4.8 *x*﹣75%*x*＝25
------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
**五、实践操作题（2小题，共13分）**
27．（5分）在下图中按要求确定位置。
> （1）图书馆在学校的[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向上，距离约是[ ]{.underline}千米。
>
> （2）小刚家在学校东偏南30°方向3千米处，请在图上画出小刚家的位置。
>
> 
28．（8分）小区有一块长方形空地（如图），现要建一个最大的半圆形花坛。
> （1）请你在图中画出这个半圆形。
>
> （2）计算出这个半圆形花坛的面积。
>
> （3）围绕花坛走一周，至少要走多少米？
>
> 
**六、解决问题（6小题，共30分）**
29．（4分）王阿姨爱好运动，在健身俱乐部锻炼了3个月后，体重变成了45千克，比锻炼前减少了5千克。王阿姨的体重减轻了百分之几？
30．（5分）通常情况下，体积相等的水的质量比冰的质量重。一桶水重90千克，现有一块和这桶水体积相等的冰，这块冰有多重？（列方程解答）
31．（5分）六年（1）班45名同学准备到大、小两个会议室打扫卫生。大会议室的面积是200*m*^2^，小会议室的面积是50*m*^2^，如果你是班长，你认为大、小会议室各分配多少人？
32．（5分）某班去年期末考试数学成绩优分人数比前年增加了10%，今年又比去年增加了20%，两年以来这个班的优分人数共增加了百分之几？
33．（5分）某农场有一千亩小麦地，采用无人机喷洒农药，一台无人机6小时可以完成，另一台无人机10小时可以完成。两台无人机同时工作，几小时可以喷洒完？
34．（6分）政府为了更好地加强城市建设，就社会热点问题广泛征求市民的意见，方式是发调查表，要求每位被调查人员只写一个你最关心的有关城市建设的问题，经统计整理，发现提出环境保护问题的人数最多，达700人，同时制作了下面的统计图。根据统计图回答下列问题：
> （1）共收回调查表多少张？
>
> （2）提出道路交通问题的有多少人？
>
> 
**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择：（将正确答案的序号填在括号里，每小题2分，共10分）**
1．【分析】分别算出这四个学生所得的票数占总票数的百分之几，即可正确选出答案。
> 【解答】解：30÷60＝50%
>
> 9÷60＝15%
>
> 15÷60＝25%
>
> 6÷60＝10%
>
> 由此可知：丁丁所得的票数占总票数的50%，方方所得的票数占总票数的15%，丽丽所得的票数占总票数的25%，英英所得的票数占总票数10%。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要能正确算出这四个学生所得的票数占总票数的百分之几。
2．【分析】根据一个数乘小于1的数积小于这个数，一个数乘大于1的数积大于这个数；一个数除以小于1的数商大于这个数，一个数除以大于1的数商小于这个数；由此解答．
> 【解答】解：*A*、*a*×的积小于*a*；
>
> *B*、*a*÷的商大于*a*；
>
> *C*、÷*a*（大于1）的商小于；
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查不用计算判断积与因数的大小关系，商与被除数的大小关系．
3．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份（偶数份），沿半径剪开后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。据此解答。
> 【解答】解：在推导圆的面积公式时，把一个圆分成若干（偶数）等份后，拼成一个近似长方形，这个长方形的长近似于圆周长的。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
4．【分析】先把乙数看作单位"1"，则甲数就是80%，再把甲数看作单位"1"，运用分数乘法意义求出丙数是乙数的百分之几，最后比较三个数即可解答．
> 【解答】解：把乙数看作单位"1"，
>
> 甲数：1×80%＝0.8
>
> 0.8×80%＝0.64
>
> 1＞0.8＞0.64
>
> 所以乙数最大．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】解答本题的关键是用乙数表示出甲数和丙数，解答的依据是分数大小比较方法．
5．【分析】根据线段图可知：把原价看成5份，那么现价就是4份，用现价比上原价即可求出现价和原价的比是多少；用原价减去现价求出两者之差，然后再除以原价，即可求出现价比原价便宜百分之几；用原价减去现价，然后再除以现价，即可求出原价比现价贵百分之几，由此计算出结果，再进行判断即可。
> 【解答】解：把原价看成5份，那么现价就是4份
>
> （5﹣4）÷5
>
> ＝1÷5
>
> ＝20%，所以现价比原价便宜20%，说法正确；
>
> （5﹣4）÷4
>
> ＝1÷4
>
> ＝25%，原价比现价贵25%，所以现价比原价贵20%说法错误；
>
> 现价与原价比是4：5，说法正确。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】根据百分数的意义，求一个数比另一个数或或少百分之几，用这两数之差除以另一个数。
**二、填空：（共13小题，每小题2分，共26分）**
6．【分析】根据判断单位"1"的方法：一般是把"比、占、是、相当于"这些关键词后面的量看作单位"1"，即分数"的"字前面的量看作单位"1"，进行解答即可。
> 【解答】解："小花的身高是妈妈身高的。"这句话中把妈妈的身高看作单位"1"，数量关系式是：妈妈的身高×＝小花的身高。
>
> 故答案为：妈妈的身高、妈妈的身高、。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握单位"1"的判断方法及应用。
7．【分析】把整个长方形看作单位"1"，把它平均分成3份，其中的2份就是，再把这平均分成4份，其中的3份也就是的。
> 【解答】解：图中画双斜线的部分占整个图形的几分之几，列式为：×。
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】这道题考查的是分数乘分数的意义，要熟练掌握。
8．【分析】根据商不变的性质，3÷5的被除数、除数都乘4就是12÷20；3÷5＝0.6，把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%；，根据分数的基本性质，分子、分母都乘2就是；根据比与除法的关系3÷5＝3：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘6就是18：30。
> 【解答】解：3÷5＝60%＝＝18：30＝12÷20。
>
> 故答案为：60，6，18，20。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
9．【分析】出勤率是指出勤人数占总人数的百分数，计算方法为：出勤率＝出勤人数÷总人数×100%；由此解答即可。
> 【解答】解：48÷（2+48）×100%
>
> ＝0.96×100%
>
> ＝96%
>
> 答：今天的出勤率是96%。
>
> 故答案为：96%。
>
> 【点评】本题属于百分率的问题，计算方法是用部分或全部的数量除以全部的数量再乘100%，最大结果为100%。
10．【分析】（1）根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，因为小于1，所以2.2×＜2.2；
> （2）因为8÷12＝0.，66.7%＝0.667，0.＞0.667，所以8÷12＜66.7%；
>
> （3）根据一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；所以＜。据此解答。
>
> 【解答】解：
---------------------------------------------- ------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.2×＜2.2 8÷12＜66.7% ×＜÷
---------------------------------------------- ------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
> 故答案为：＜；＜；＜。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握不用计算判断因数与积之间大小关系的方法、商与被除数之间大小关系的方法及应用，小数大小比较的方法及应用。
11．【分析】先依据圆的面积公式求出圆的半径的平方，又因在正方形中最大圆的直径等于正方形的边长，所以可以用圆的半径表示出正方形的面积，从而问题得解。
> 【解答】解：设圆的半径为*r*，
>
> 则*r*^2^＝12.56÷3.14＝4
>
> 正方形的面积为：2*r*×2*r*＝4*r*^2^＝16
>
> 答：她至少要准备12平方厘米的正方形纸片；剪成的圆形纸片至少对折2次可以找到圆心。
>
> 故答案为：16，2。
>
> 【点评】解答此题的关键是明白：正方形中最大圆的直径等于正方形的边长。
12．【分析】花篮里玫瑰花和百合花枝数的比是4：5，即将总数量当作单位"1"，其中玫瑰花有4份，百合花有5份，所以玫瑰花比百合花少5﹣4份，根据求一个数是另一个数的百分之几得出：玫瑰花比百合花少（5﹣4）÷5；百合花比玫瑰花多（5﹣4）÷4．
> 【解答】解：（5﹣4）÷5；
>
> ＝1÷5
>
> ＝
>
> （5﹣4）÷4
>
> ＝1÷4
>
> ＝25%
>
> 答：玫瑰花比百合花少，百合花比玫瑰花多25%．
>
> 故答案为：，25．
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用除法．
13．【分析】根据题意得：药粉占1份，是30千克，水占30份，药水则是1+30＝31份，用一份的重量乘药水总份数就是药水的重量；据此解答即可。
> 【解答】解：30×（1+30）
>
> ＝30×31
>
> ＝930（千克）
>
> 答：可以配制930千克的药水。
>
> 故答案为：930。
>
> 【点评】此题主要考查比的意义的灵活运用．关键是明确每份的重量和药水的总份数是多少。
14．【分析】设小圆的半径是1，则小圆的直径就是1×2＝2，也就是大圆的半径是2，再根据圆的周长*C*＝π*d*＝2π*r*求出两个圆的周长，利用圆的面积*S*＝π*r*^2^，得出两个圆的面积，然后再写出比、化简比；即可解答．
> 【解答】解：设小圆的半径是1，则小圆的直径就是1×2＝2，也就是大圆的半径是2
>
> 小圆的周长：π×1×2＝2π
>
> 大圆的周长：π×2×2＝4π
>
> 4π：2π＝2：1；
>
> 小圆面积（π×1^2^）＝π
>
> 大圆面积（π×2^2^）＝4π
>
> π：4π＝1：4；
>
> 答：大圆周长和小圆周长的比是2：1，小圆面积和大圆面积的比是1：4．
>
> 故答案为：2：1；1，4．
>
> 【点评】本题可以记住结论：两个圆的周长比就是它们直径的比（半径的比）；两个圆的面积比是它们半径平方的比．
15．【分析】近视人数与全校人数的比是：120：540。
> 再根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。）化简比即可。
>
> 求比值用比的前项除以比的后项。
>
> 【解答】解：光明小学有540人，近视人数有120人，近视人数与全校人数的最简整数比是2：9，比值是。
>
> 故答案为：2：9；。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确的化简比和求比值。
16．【分析】用现价除以原价即可；
> 把原价看作单位"1"，用1﹣现价所占的百分率即可。
>
> 【解答】解：240÷400＝60%；
>
> 1﹣60%＝40%。
>
> 故答案为：60；40。
>
> 【点评】这道题考查了百分数的应用题，要熟练掌握。
17．【分析】（1）求出油率，根据：出油率＝油的质量÷菜籽的重量，然后乘100%即可；
> （2）求榨1吨菜油，需要菜籽多少吨，用"10÷3.5"解答即可。
>
> 【解答】解：（1）3.5÷10×100%
>
> ＝0.35×100%
>
> ＝35%
>
> 答：菜籽的出油率是35%；
>
> （2）10÷3.5≈2.86（吨）
>
> 答：榨1吨菜籽油约需2.86吨菜籽。
>
> 故答案为：35%，2.86。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，应根据出油率、菜籽的重量和榨出油的重量三者之间的关系进行解答。
18．【分析】结合图示和分数中显示的规律可知：分子为图中阴影小三角形的个数，分母为图中所有小三角形的个数。结合发现的规律可知分子构成的数列为：3，5，7，9，11，13，......；
> 分母构成的规律用式子表示为：1+3＝4，4+5＝9，9+7＝16，16+9＝25，25+11＝36，36+13＝49，......。故第6层的分数为。
>
> 【解答】解：分子构成的数列为：3，5，7，9，11，13，......；
>
> 分母构成的规律用式子表示为：1+3＝4，4+5＝9，9+7＝16，16+9＝25，25+11＝36，36+13＝49，......。
>
> 故第6层的分数为。
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
**三、判断：对的在括号里打√，错的打&\#215;（每小题1分，共5分）**
19．【分析】合格率、出勤率、优秀率、出油率、出粉率......最大是100%，不可能超过100%。
> 【解答】解：根据"合格率＝×100%"
>
> ×100%
>
> ＝1×100%
>
> ＝100%
>
> 即这批试制产品有120个，全部合格，合格率是100%.
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此类题无需计算，只要超过100%就是错误的。
20．【分析】男、女生人数的比是7：8，也就是说男生占全班人数中的7份，女生占8份，全班人数就为7+8＝15（份），则男生占全班人数的：7÷15，即．
> 【解答】解：男生占全班人数的：
>
> 7÷（7+8），
>
> ＝7÷15，
>
> ＝；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了学生对比的概念的理解，以及对求一个数是另一个数的几分之几的掌握情况．
21．【分析】设乙数是1，并把乙数看成单位"1"，那么甲数是乙数的1+，由此用乘法求出甲数；再把甲数看成单位"1"，求出甲乙两数的差，然后用这个差除以甲数就是乙比甲少几分之几．
> 【解答】解：设乙数是1；
>
> 1×（1+），
>
> ＝1×，
>
> ＝；
>
> （﹣1），
>
> ＝，
>
> ＝；
>
> ；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题重在区分两个单位"1"的不同，找出它们各自的标准，然后设出数据，再根据基本的数量关系求解．
22．【分析】圆的周长是长度单位厘米，圆的面积是面积单位平方厘米，两者之间不能互换，因此无法比较大小．
> 【解答】解：圆的周长是长度单位厘米，圆的面积是面积单位平方厘米，两者之间不能互换，因此无法比较大小．
>
> 答：半径是2厘米的圆，它的周长和面积不能进行大小的比较．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查的是不能互换的两单位之间也不能进行大小的比较．
23．【分析】百分数表示一个数是另一个数的百分之几，表示的是两个数的关系；分数，既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体数量，由此判断。
> 【解答】解：9%只表示两个数之间的关系，不能表示具体数量，9%不能带单位名称；
>
> 是分数，既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体数量，也就是说可以带单位名称；
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查了分数和百分数的意义的不同，注意百分数只能表示两个数的关系。
**四、计算（4小题，共16分）**
24．【分析】根据分数、小数以及百分数乘除法和四则混合运算的顺序直接进行口算即可。
> 【解答】解：
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------
×12＝9 2.5÷＝12.5 ÷＝ 9×÷＝7
×＝ 0.6÷30%＝2 3.6×＝2 1÷10%﹣3＝7
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
25．【分析】（1）先计算乘法，再计算减法，最后计算除法；
> （2）将除法改写成乘法，然后运用乘法分配律简算。
>
> 【解答】解：÷（﹣×）
>
> ＝÷（﹣）
>
> ＝÷
>
> ＝
>
> 4.5÷+3.5×
>
> ＝4.5×+3.5×
>
> ＝×（4.5+3.5）
>
> ＝×8
>
> ＝5
>
> 【点评】本题主要考查了分数的巧算，合理运用运算定律是本题解题的关键。
26．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去1.2，再两边同时除以求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同除以5%求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*+1.2＝4.8
>
> *x*+1.2﹣1.2＝4.8﹣1.2
>
> *x*＝3.6
>
> *x*÷＝3.6
>
> *x*＝8.1
>
> （2）*x*﹣75%*x*＝25
>
> 5%*x*＝25
>
> 5%*x*÷5%＝25÷5%
>
> *x*＝500
>
> 【点评】本题考查了学生利用等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、实践操作题（2小题，共13分）**
27．【分析】结合图示，连线学校和图书馆，用量角器量出角度为45°，用直尺结合比例尺，可知距离为2千米；然后因为，小刚家在学校东偏南30°方向3千米处，则在图中画出标记处小刚家的位置即可。
> 【解答】解：（1）图书馆在学校的北偏西45°方向上，距离约是2千米。
>
> （2）
>
> 故答案为：（1）北；西45°（答案为不唯一，）；2；（2）
>
> 【点评】考查根据方向和距离确定物体的位置的问题，结合图示直观分析出数据即可。
28．【分析】根据题意，这个半圆的半径最大为10米，根据圆的面积＝π*r*^2^可计算出这个半圆所在的圆的面积，用所在圆的面积再除以2即是这个半圆的面积；围绕花坛走一周，即是求半圆的周长；列式解答即可得到答案。
> 【解答】解：（1）所画半圆如下图：
>
> 
>
> （2）半圆形花坛的面积：3.14×10^2^÷2＝157（平方米），
>
> 答：这个半圆形花坛的面积是157平方米；
>
> （3）花坛的周长：
>
> 3.14×20÷2+20
>
> ＝62.8÷2+20
>
> ＝31.4+20
>
> ＝51.4（米）
>
> 答：围绕花坛走一周，至少要走51.4米。
>
> 故答案为：（1）（2）157平方米；（3）51.4米。
>
> 【点评】解答此题要明确长方形的草坪的宽就是这个半圆形花圃的半径，然后再根据圆的面积公式进行计算即可。
**六、解决问题（6小题，共30分）**
29．【分析】体重变成了45千克，比锻炼前减少了5千克，则王阿姨原来体重是（45+5）千克，用王阿姨比锻炼前减少的体重除以原来的体重。
> 【解答】解：5÷（45+5）
>
> ＝5÷50
>
> ＝0.1
>
> ＝10%
>
> 答：王阿姨的体重减轻了10%。
>
> 【点评】求一个数比另一个数多或少百分之几，用这两数之差除以另一个数。
30．【分析】首先根据题意，设这块冰有*x*千克重，然后根据：这块冰的重量×（1+）＝这桶水的重量，列出方程，求出这块冰有多重即可。
> 【解答】解：设这块冰有*x*千克重，
>
> （1+）*x*＝90
>
> *x*＝90
>
> *x*×＝90×
>
> *x*＝81
>
> 答：这块冰有81千克重。
>
> 【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
31．【分析】先求出大、小两个会议室面积的比，大、小两个会议室的面积比是200：50＝4：1，把45名同学平均分成（4+1）份，先用除法求出1份（小会议室分配）人数，再用乘法求出4份（大会议室分配）人数。
> 【解答】解：200：50＝4：1
>
> 45÷（4+1）
>
> ＝45÷5
>
> ＝9（人）
>
> 9×4＝36（人）
>
> 答：大会议室应分配36人，小会议室应分配9人。
>
> 【点评】此题属于按比例分配问题。在求出大小、会议室应分配的人数比后，也可再分别求出大小、小会议室应分配总人数的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
32．【分析】把前年的优秀人数看作"1"，根据百分数乘法的意义，去年的优秀人数为1×（1+10%），再把去年的优秀人数看作单位"1"，根据百分数乘法的意义，今年的优秀人数是是1×（1+10%）×（1+10%）。用今年优秀人数与年前优秀之差除以前年优秀人数。
> 【解答】解：\[1×（1+10%）×（1+10%）﹣1\]÷1
>
> ＝\[110%×110%﹣1\]÷1
>
> ＝\[1.21﹣1\]÷1
>
> ＝0.21÷1
>
> ＝0.21
>
> ＝21%
>
> 答：两年以来这个班的优分人数共增加了21%。
>
> 【点评】求一个数比另一个数多或少百分之几，用这两数之差除以另一个数。关键是根据百分数乘法的意义分别求出去年、今年优秀人数。
33．【分析】把这个农场的小麦面积看作单位"1"，根据"工作效率＝"，这两台无人机的工作效率分别是、，根据"工作时间＝工作量÷工作效率"，用除以这两台无人机的工作效率之和就是需要的时间。
> 【解答】解：÷（+）
>
> ＝÷
>
> ＝（小时）
>
> 答：小时可以喷洒完。
>
> 【点评】此题是工作问题。解答此题的关键是工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系。注意，此类题通常把工作量看作"1"。
34．【分析】（1）把收回调查表的总数看作单位"1"，提出环境保护问题的人数最多，达700人，占回收调查表总数的35%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。
> （2）把收回调查表的总数看作单位"1"，提出道路交通问题占20%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
>
> 【解答】解：（1）700÷35%
>
> ＝700÷0.35
>
> ＝2000（张）
>
> 答：共收回调查表2000张。
>
> （2）2000×20%＝400（人）
>
> 答：提出道路交通问题的有400人。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
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日期：2021/4/27 16:02:30；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**2019年陕西省中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•陕西）计算：
A．1 B．0 C．3 D．
2．（3分）（2019•陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•陕西）如图，是的角平分线，，若，则的度数为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•陕西）若正比例函数的图象经过点，则的值为
A． B．0 C．1 D．2
5．（3分）（2019•陕西）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•陕西）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为
A． B． C． D．3
7．（3分）（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•陕西）如图，在矩形中，，，若点，分别在，上，且，，，分别是的三等分点，则四边形的面积为
A．1 B． C．2 D．4
9．（3分）（2019•陕西）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
**二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）**
11．（3分）（2019•陕西）已知实数，0.16，，，，，其中为无理数的是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•陕西）如图，是矩形的对称中心，，，若一个反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共78分）**
15．（5分）（2019•陕西）计算：
16．（5分）（2019•陕西）化简：
17．（5分）（2019•陕西）如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，求作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）（2019•陕西）如图，点，，在直线上，，，且，求证：．
19．（7分）（2019•陕西）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以"不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代"为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份"阅读该主题相关书籍的读书量"（下面简称："读书量" 进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的"读书量"（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份"读书量"的众数为[ ]{.underline}．
（2）求本次所抽取学生四月份"读书量"的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份"读书量"为5本的学生人数．
20．（7分）（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）
21．（7分）（2019•陕西）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为
（1）写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为时，飞机距离地面的高度为，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面时，飞机外的气温．
22．（7分）（2019•陕西）现有、两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有2个白球，1个红球；袋装有2个红球，1个白球．
（1）将袋摇匀，然后从袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）（2019•陕西）如图，是的一条弦，是的切线．作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的长．
24．（10分）（2019•陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点堆成的抛物线为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求复合条件的点的坐标．
25．（12分）（2019•陕西）问题提出：
（1）如图1，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔的占地面积忽略不计）
**2019年陕西省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）计算：
A．1 B．0 C．3 D．
【考点】零指数幂
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．
故选：．
3．（3分）如图，是的角平分线，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据平行线的性质，即可得出的度数．
【解答】解：，
，
，
平分，
，
又，且与为同位角，
，
故选：．
4．（3分）若正比例函数的图象经过点，则的值为
A． B．0 C．1 D．2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】由正比例函数图象过点，可知点的坐标满足正比例函数的关系式，由此可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：正比例函数的图象经过点，
，解得：．
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】解：，故选项错误，
，故选项错误，
，故选项错误，
，故选项正确，
故选：．
6．（3分）如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为
A． B． C． D．3
【考点】角平分线的性质
【分析】过点作于如图所示，根据角平分线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点作于如图所示，
为的平分线，且于，于，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据"上加下减"的原则求得平移后的解析式，令，解得即可．
【解答】解：由"上加下减"的原则可知，将函数的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为，
此时与轴相交，则，
，即，
点坐标为，
故选：．
8．（3分）如图，在矩形中，，，若点，分别在，上，且，，，分别是的三等分点，则四边形的面积为
A．1 B． C．2 D．4
【考点】：矩形的性质；平行四边形的判定与性质
【分析】由题意可证，，，，可得四边形为平行四边形，即可求解．
【解答】解：，，，
、分别是的三等分点
，
，且
，
同理可得，
四边形为平行四边形，且和间距离为1
，
故选：．
9．（3分）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接，得到，求出，即可．
【解答】解：连接．
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据关于轴对称，，不变，变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：抛物线与关于轴对称，
，解之得，
故选：．
**二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）**
11．（3分）已知实数，0.16，，，，，其中为无理数的是[ ，， ]{.underline}．
【考点】立方根；算术平方根；无理数
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，、0.16是有理数；
无理数有、、．
故答案为：、、．
12．（3分）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为[ 6 ]{.underline}．
【考点】正多边形和圆
【分析】根据正六边形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知，，为两个边长相等的等边三角形，
，
故答案为6．
13．（3分）如图，是矩形的对称中心，，，若一个反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为[ ， ]{.underline}．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；中心对称
【分析】根据矩形的性质求得，由是矩形的对称中心，求得，设反比例函数的解析式为，代入点的坐标，即可求得的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得点的坐标．
【解答】解：，，
，
是矩形的对称中心，
，
设反比例函数的解析式为，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，解得，
故的坐标为，．
故答案为，．
14．（3分）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为[ 2 ]{.underline}．
【考点】轴对称最短路线问题；正方形的性质
【分析】作以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取""，再求得，即可得出，，再根据△为等腰直角三角形，即可得到．
【解答】解：如图所示，作以为对称轴作的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，取""，
正方形边长为8，
，
为中点，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，，
，
△为等腰直角三角形，
，
即的最大值为2，
故答案为：2．
**三、解答题（共78分）**
15．（5分）计算：
【考点】实数的运算；负整数指数幂
【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
16．（5分）化简：
【考点】分式的混合运算
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式
．
17．（5分）如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，求作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；作图复杂作图
【分析】作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
【解答】解：如图所示：即为所求．
18．（5分）如图，点，，在直线上，，，且，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据平行线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：，
，即，
，
，
在和中，
，
．
19．（7分）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以"不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代"为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份"阅读该主题相关书籍的读书量"（下面简称："读书量" 进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的"读书量"（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份"读书量"的众数为[ 3 ]{.underline}．
（2）求本次所抽取学生四月份"读书量"的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份"读书量"为5本的学生人数．
【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）根据统计图可知众数为3；
（2）平均数；
（3）四月份"读书量"为5本的学生人数（人．
【解答】解：（1）根据统计图可知众数为3，
故答案为3；
（2）平均数；
（3）四月份"读书量"为5本的学生人数（人，
答：四月份"读书量"为5本的学生人数为120人．
20．（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动带点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；相似三角形的应用
【分析】过点作于点，则，．解，得出，那么．再证明，根据相似三角形对应边成比例求出，进而求出即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，．
在中，，
，
．
，，
．
由题意，易知，
，
即，
解之，得，
．
这棵古树的高为．
21．（7分）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为
（1）写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为时，飞机距离地面的高度为，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面时，飞机外的气温．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：；
（2）将，代入，得，
当时地面气温为
，
假如当时飞机距地面时，飞机外的气温为．
22．（7分）现有、两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，袋装有2个白球，1个红球；袋装有2个红球，1个白球．
（1）将袋摇匀，然后从袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的，两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性
【分析】（1）（摸出白球）；
（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种（颜色不相同），（颜色相同），这个游戏规则对双方不公平
【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种
（摸出白球）；
（2）根据题意，列表如下：
----- ----------- ----------- -------------
红1 红2 白
白1 （白1，红 （白1，红 （白1，白）
白2 （白2，红 （白2，红 （白2，白）
红 （红，红 （红，红 （白1，白）
----- ----------- ----------- -------------
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种
（颜色不相同），（颜色相同）
这个游戏规则对双方不公平
23．（8分）如图，是的一条弦，是的切线．作并与交于点，延长交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据切线的性质得出，等腰三角形的性质，根据等角的余角相等得出，即可证得；
（2）证得，求得，，由，求得，即可证得．
【解答】（1）证明：是的切线，
，
，．
又，
，
，
（2）解：连接
是的直径，
在中，，，
，
，
，
由（1）知，，
，，
即，
又，
．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点堆成的抛物线为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求复合条件的点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分、两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
（2）点、在上的对应点分别为、，
设抛物线的表达式，
将代入，得，
抛物线的表达式为，
，，
，，
设：，，
轴，
点的坐标为，
，，
与相似，
①时，
，即，
解得：或4；
②当时，
同理可得：或6；
、、、均在第一象限，
符合条件的点的坐标为或或或．
25．（12分）问题提出：
（1）如图1，已知，试确定一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，，，若要在该矩形中作出一个面积最大的，且使，求满足条件的点到点的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔，按规定，要以塔为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区．根据实际情况，要求顶点是定点，点到塔的距离为50米，，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区？若可以，求出满足要求的平行四边形的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔的占地面积忽略不计）
【考点】四边形综合题
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．
（2）以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，点，即为所求．
（3）可以，如图所示，连接，作的外接圆，则点在优弧上，取的中点，连接，，四边形即为所求．
【解答】解：（1）如图记为点所在的位置．
（2）如图，
，，取的中点，则．
以点为圆心，长为半径作，一定于相交于，两点，
连接，，，，点不能再矩形外；
的顶点或位置时，的面积最大，
作，垂足为，则，
，
由对称性得．
（3）可以，如图所示，连接，
为的对称中心，，，
，
作的外接圆，则点在优弧上，取的中点，连接，，
则，且，△为正三角形．
连接并延长，经过点至，使，连接，，
，
四边形为菱形，且，
作，垂足为，连接，则，
，
所以符合要求的的最大面积为．
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学（江苏卷）**
本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
> 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积、为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．**
1．最小正周期为，其中，则 [ ▲]{.underline}
2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 [ ▲]{.underline}
3．的形式，则= [ ▲]{.underline}
4．，则集合A中有 [ ▲]{.underline} 个元素
5．的夹角为，，则 [ ▲]{.underline}
6．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 [ ▲]{.underline}
7．某地区为了解70\~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），现随机地选择50位老人做调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 序号 | 分组 | 组中值 | 频数 | 频率 |
| | | | | |
| （*i*） | 睡眠时间 | （*G~i~*） | （人数） | （*F~i~*） |
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 1 | \[4，5） | 4.5 | 6 | 0.12 |
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 2 | \[5，6） | 5.5 | 10 | 0.20 |
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 3 | \[6，7） | 6.5 | 20 | 0.40 |
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 4 | \[7，8） | 7.5 | 10 | 0.20 |
+---------+----------+------------+----------+------------+
| 5 | \[8，9\] | 8.5 | 4 | 0.08 |
+---------+----------+------------+----------+------------+
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为[ ]{.underline}．
8．直线是曲线的一条切线，则实数*b*的值为 [ ▲]{.underline}
9．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程： [( ▲ )]{.underline}
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第*n*行（）从左向右的第3个数为 [ ▲]{.underline}
11．的最小值为 [ ▲]{.underline}
12．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= [ ▲]{.underline}
13．若，则的最大值 [ ▲]{.underline}
14．对于总有成立，则= [ ▲]{.underline}
**\
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15．（14分）如图，在平面直角坐标系*xoy*中，以*ox*轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值。
16．（14分）在四面体中，，且E、F分别是AB、BD的中点，
求证：（1）直线EF//面ACD
（2）面EFC⊥面BCD
17．（14分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20*km*，BC=10*km*，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为*ykm*。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=*θ*(*rad*)，将*y*表示成*θ*的函数关系式；
②设OP=*x*(*km*)，将*y*表示成*x*的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
18．（16分）设平面直角坐标系*xoy*中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：
（1）求实数*b*的取值范围
（2）求圆C的方程
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与*b*无关）？请证明你的结论。
19．（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时，求的数值；②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
20\. （16分）
若，，为常数，且
（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）
（2）设为两实数，且若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）
卷2
[21](http://www.mathschina.com)．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．
A．选修4---1 几何证明选讲
如图，设△*ABC*的外接圆的切线*AE*与*BC*的延长线交于点*E*，∠*BAC*的平分线与*BC*交于点*D*．求证：．
B．选修4---2 矩阵与变换
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线*F*，求*F*的方程．
C．选修4---4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
D．选修4---5 不等式证明选讲
设*a*，*b*，*c*为正实数，求证：．
必做题
22．记动点*P*是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
23．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：
，
由求导法则，得，化简得等式：．
（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋*x*）*^n^*＝（，正整数），证明：＝．
（2）对于正整数，求证：
（i）＝0；
（ii）＝0；
（iii）．
绝密★启用前
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数 学**
本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的
准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2.选择题答案使用2B
铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式:
样本数据,,,的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式
其中为底面积，为高
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1.的最小正周期为，其中，则= [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查三角函数的周期公式.
【答案】10
2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故
【答案】
3.表示为，则= [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴＝0，＝1，因此
【答案】1
4.A=，则A Z 的元素的个数 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．
【答案】0
5.，的夹角为，， 则 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查向量的线性运算．
=，7
【答案】7
6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．
【答案】
7.算法与统计的题目
8.直线是曲线的一条切线，则实数b＝ [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
【答案】ln2－1
9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：
[（ ▲ ）]{.underline}.
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
【答案】
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋...＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
【答案】
11.已知，，则的最小值 [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得
，当且仅当＝3 时取"＝"．
【答案】3
12.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= [ ▲]{.underline} ． ? ?
【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．
【答案】
13．若AB=2, AC=BC ，则的最大值 [ ▲]{.underline} ． ?
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，
根据面积公式得=，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有解得，
故当时取得最大值
【答案】
14.对于总有≥0 成立，则= [ ▲]{.underline} ．
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
【答案】4
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为．
（Ⅰ）求tan()的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
由条件的，因为,为锐角，所以=
因此
（Ⅰ）tan()=
（Ⅱ） ，所以
∵为锐角，∴，∴=
16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，
求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；
（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．
【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，
∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．
（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,
CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝10－10ta，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
19.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．
（Ⅰ）①当n＝4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．
若删去，则有即
化简得＝0，因为≠0，所以=4 ；
若删去，则有，即，故得=1．
综上=1或－4．
②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．
若删去，则有＝，即．故得=6 ；
若删去，则＝，即．
化简得3＝0，因为d≠0，所以也不能删去；
若删去，则有＝，即．故得= 2 ．
当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，...，，， 中，
由于不能删去首项或末项，若删去，则必有＝，这与d≠0 矛盾；同样若删
去也有＝，这与d≠0 矛盾；若删去，...， 中任意一个，则必有
＝，这与d≠0 矛盾．
综上所述，n∈{4，5}．
（Ⅱ）略
20.若，，为常数，
且
（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；
（Ⅱ）设为两实数，且,若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．
（Ⅰ）恒成立
（\*）
因为
所以，故只需（\*）恒成立
综上所述，对所有实数成立的充要条件是：
（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为
2°如果.
（1）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以即
当时，令，则，所以，
当时，，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
（2）当时.，
当，因为，所以，
故=
当，因为，所以
故=
因为，所以，所以
当时，令，则，所以，
当时， ，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和
=
综上得在区间上的单调增区间的长度和为
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数学附加题参考答案**
**21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分**
**A．选修4---1 几何证明选讲**
如图，设△*ABC*的外接圆的切线*AE*与*BC*的延长线交于点*E*，∠*BAC*的平分线与*BC*交于点*D*．求证：．
证明：如图，因为 是圆的切线，
所以，,
又因为是的平分线，
所以
从而
因为 ,
所以 ,故.
因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,
,
而,所以
**B．选修4---2 矩阵与变换**
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线*F*，求*F*的方程．
解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点
> 则有
>
> ，即，所以
又因为点在椭圆上，故，从而
所以，曲线的方程是
**C．选修4---4 参数方程与极坐标**
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
解： 因椭圆的参数方程为
故可设动点的坐标为，其中.
因此
所以。当是，取最大值2
**D．选修4---5 不等式证明选讲**
设*a*，*b*，*c*为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
**22．【必做题】**记动点*P*是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,
由，得，所以
显然不是平角，所以为钝角等价于
，则等价于
即 ，得
因此，的取值范围是
**23．【必做题】**．请先阅读：
在等式（）的两边求导，得：，
由求导法则，得，化简得等式：．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．
（2）对于正整数，求证：
（i）； （ii）； （iii）．
**证明：（1）**在等式两边对求导得
移项得 （\*）
**（2）（i）**在（\*）式中，令，整理得
所以
> **（ii）**由（1）知
两边对求导，得
在上式中，令
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
> （iii）将等式两边在上对积分
>
> 由微积分基本定理，得
>
> 所以
| 1 | |
**数 学**
考生须知：
1. 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，考生先将自己的"姓名"、"考号"、"考场"、"座位号"在答题卡上填写清楚，将"条形码"准确粘贴在条形码区域内.
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.
4. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
5. 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
**卷I（选择题）**
**一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分请选出每小题中一个最符合题意的选项,不选、多选、错选,均不给分)**
1.实数中，为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2\. 某自动控制器的芯片，可植入粒晶体管,这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3\. 将如图的七巧板的其中几块,拼成一个多边形,为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D． 
4\. 如图，点均在上，，则的度数为（ ）
A． B． C. D．
5\. 如图,三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为（ ）
A． B． C. D．
6\. 如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等.则小球从出口落出的概率是（ ）
A． B． C. D．
7\. 长度分别为的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为（ ）
A． B． C. D．
8\. 如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止,延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
9\. 如图，等腰直角三角形中, ,将绕点顺时针旋转
,得到,连结,过点作交的延长线于点，连结,则的度数（ ）
A.随着的增大而增大
B.随着的增大而减小
C.不变
D.随着的增大,先增大后减小
10.同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶,它们各自单独行驶并返回的最远距离是现在它们都从地出发,行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注人乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回地，而乙车继续行驶,到地后再行驶返回地.则地最远可距离地（ ）
A. B. C. D.
**卷II（非选择题）**
**二、填空题:（每题5分，共30分）**
11.分解因式： [ ]{.underline} ．
12\. 若关于的二元一次方程组的解为"则多项式可以是 [ ]{.underline} (写出一个即可).
13\. 如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为,剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为 [ ]{.underline} ．
14\. 如图,已知边长为的等边三角形中，分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点,连结.若的长为,则的值为 [ ]{.underline} ．
15.有两种消费券:券,满元减元，券,满元减元，即一次购物大于等于元、元，付款时分别减元、元小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券,这样两人共付款元则所购商品的标价是 [ ]{.underline} 元.
16.将两条邻边长分别为的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片)，各种剪法剪出的等腰三角
形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 [ ]{.underline} (填序号).
1. ② ③ ④ ⑤
**三、解答题(本大题有8小题,第17\~20小题每小题8分,第21小题10分,第22,23小题每小题12分,第24小题14分,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)**
17.计算：
化简：
18.如图，点是的边的中点,连结并延长，交的延长线于点.
若的长为,求的长.
若，试添加一个条件，并写出的度数.
19\. 一只羽毛球的重量合格标准是克克(含克，不含克)，某厂对月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如下统计图表。
4月份生产的羽毛球重量统计表
------ ------------ ------------
组别 重量（克） 数量（只）
------ ------------ ------------
求表中的值及图中组扇形的圆心角的度数.
问这些抽样检验的羽毛球中,合格率是多少?如果购得月份生产的羽毛球筒(每简只),估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只?
20.我国传统的计重工具一秤的应用，方便了人们的生活. 如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为(厘米)时，秤钩所挂物重为 (斤),则是的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
---------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（厘米） 1 2 4 7 11 12
（斤） 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
---------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
在上表的数据中，发现有一对数据记录错误.在图2中，通过描点的方法，观察判断哪\--对是错误的?
根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时,秤钩所挂物重是多少?
21.如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，
若移动滑块使求的度数和棚宽的长.
当由变为时，问棚宽是增加还是减少?增加或减少了多少?
（结果精确到，参考数据：）
22\. 问题:如图，在中,，在的延长线上取点，作,使.若,求的度数，
答案:
思考:如果把以上"问题"中的条件去掉,其余条件不变，那么的度数会改变吗?说明理由，
如果把以上"问题"中的条件""去掉,再将""改为"" ,其余条件不变,求的度数，
第22题图如图1，排球场长为宽为网高为队员站在底线点处发球,球从点的正上方的点发出.运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即,这时水平距离,以直线为轴,直线为轴,建立平面直角坐标系,如图2.
若球向正前方运动(即轴垂直于底线),求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式(不必写出取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说明理由。
若球过网后的落点是对方场地①号位内的点(如图1,点P距底线、边线),问发球点在底线上的哪个位置? (参考数据:取)
24.如图1,矩形中,中,的延长线相交于点,且将绕点逆时针旋转得到
当时,求点到直线的距离.
在图1中,取的中点,连结,如图2.
1. 当与矩形的一条边平行时,求点到直线的距离.
2. 当线段与矩形的边有且只有一个交点时,求该交点到直线的距离的取值范围，
**数学试卷参考答案**
**一、选择题(本大题有10小题，共40分)**
1-5: 6-10:
**二、填空题：（每小题6分，共计30分）**
11\. 12.答案不唯一，如
13\. 14.
15\. 16.①②③④
**三、解答题(本大题有8小题,第17\~20小题每小题8分,第21小题10分,第22,23小题每小题12分,第24小题14分,共80分)**
17.解：原式
原式
18\. 解:四边形是平行四边形,
，
是的中点，
,
答案不唯一,如,得
19.解:
的值为组的扇形圆心角的度数为
合格率为
，
合格率为,非合格品的羽毛球有只，
20\. 解：
答：，这一组数据是错误的
设，把和代入得
当时，
答:当秤砣到秤纽的水平距离厘米时,秤钩所挂物重为斤。
21\. 解:
是等边三角形，
延长菱形对角线交于点，则
是等边三角形，
答:当由变为，棚宽是减少了，减少
22\. 解:度数不会改变.
,①
,②
由①,②得
(2)设
则
23\. 解:设
将代入，得
当时,
当时,
这次发球过网,但出界了.
如图，分别过点作底线、边线的平行线
交于点
在中,
当时，
或(舍)，
而
发球点要在底线上且距右侧边线处.
24\.
解:作于点,如图1,
，
点到直线的距离为
①当时，如图2,
作于点,
，
是等腰直角三角形，
点到的距离为
当时，如图3，
作于点
则为等腰直角三角形，
点C到的距离为
3. 设为所求距离，
第一种情况，当与相交时，
当点在上时，如图4,
,
,
即
当点在上时，如图5,
作于点，
即，
第二种情况，当与相交但不与相交时，
当在上时，
显然有
即
当点在上时，
如图6,与交于点
过点作于点交于点
即
即
第三种情况，当经过点时，如图7,
显然
由以上三种情况
| 1 | |
**2015-2016学年九年级（下）期中数学试卷**
**一、选择题（每小题3分，共30分）**
1．如果a与﹣2的和为0，那么a是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a^3^•a^2^=a^6^ B．（﹣a^2^）^3^=﹣a^6^ C．（ab）^3^=ab^3^ D．a^8^÷a^2^=a^4^
3．在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．"打开电视，正在播放《新闻联播》"是必然事件
B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大，方差越小
6．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于x的一元二次方程中一定有实数根的是（ ）
A．x^2^﹣2x+4=0 B．x^2^+2x+4=0 C．x^2^﹣2x﹣4=0 D．x^2^+4=0
8．在半径等于4cm的圆内有长为4cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°
9．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx^2^+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A． a B．a C． D．
**二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
11．4是[ ]{.underline}的算术平方根．
12．因式分解：x^2^y﹣y=[ ]{.underline}．
13．函数中，自变量x的取值范围是[ ]{.underline}．
14．如图，AB∥CD，∠C=20°，∠A=55°，则∠E=[ ]{.underline}．
15．已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值为[ ]{.underline}．
16．某市南线路段的304盏太阳能路灯一年大约可节电226 900千瓦时，226 900千瓦时用科学记数法表示为[ ]{.underline}千瓦时（保留两个有效数字）．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为[ ]{.underline}cm（结果保留π）．
18．如图，点A~1~、A~2~、A~3~在x轴上，且OA~1~=A~1~A~2~=A~2~A~3~，分别过点A~1~、A~2~、A~3~作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B~1~、B~2~、B~3~，分别过点B~1~、B~2~、B~3~作x轴的平行线，分别与y轴交于点C~1~、C~2~、C~3~，连结OB~1~、OB~2~、OB~3~，那么图中阴影部分的面积之和为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共76分）**
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22．解方程：．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连接AO，在AO的延长线上取一点D，连接BD，CD
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由．
24．吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康、有消息称，我国准备从2011年元月一日起在公众场所实行"禁烟"，为配合"禁烟"行动，某校组织同学们在某社区开展了"你支持哪种戒烟方式"的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：
根据统计图解答：
（1）同学们一共随机调查了多少人？
（2）请你把统计图补充完整；
（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持"强制戒烟"的概率是多少？假定该社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持"警示戒烟"这种方式？
25．如图，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）
26．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC=，①求⊙O半径长；②求PB的长．
27．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S~△PBD~=4，．
（1）求点D的坐标及BD长；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；
（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条件的Q点的坐标．
28．"绿色出行，低碳健身"已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量...依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 时段 | x | 还车数 | 借车数 | 存量y |
| | | | | |
| | | （辆） | （辆） | （辆） |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 6：00﹣7：00 | 1 | 45 | 5 | 100 |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 7：00﹣8：00 | 2 | 43 | 11 | n |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| ... | ... | ... | ... | ... |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m=[ ]{.underline}，解释m的实际意义：[ ]{.underline}；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．
29．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为[ ]{.underline}，F的坐标为[ ]{.underline}；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
**2015-2016学年九年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题3分，共30分）**
1．如果a与﹣2的和为0，那么a是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念，互为相反数的两个数和为0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得a﹣2=0，则a=2．
故选A．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a^3^•a^2^=a^6^ B．（﹣a^2^）^3^=﹣a^6^ C．（ab）^3^=ab^3^ D．a^8^÷a^2^=a^4^
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a^3^•a^2^=a^5^，故A错误；
B、（﹣a^2^）^3^=﹣a^6^，故B正确；
C、应为（ab）^3^=a^3^b^3^，故C错误；
D、应为a^8^÷a^2^=a^6^，故D错误．
故选：B．
3．在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进而判断得出答案．
【解答】解：在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形中，是中心对称图形有正方形、菱形共有2个．
故选：B．
4．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】俯视图是指从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆；
B、三棱锥的俯视图是三角形；
C、球的俯视图是圆；
D、正方体的俯视图是四边形．
故选D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．"打开电视，正在播放《新闻联播》"是必然事件
B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查
C．数据1，1，2，2，3的众数是3
D．一组数据的波动越大，方差越小
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；众数；方差．
【分析】利用必然事件的定义、普查和抽样调查的特点、众数的定义、方差的定义即可作出判断．
【解答】解：A、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故本选项错误，
B、想了解某饮料中含色素的情况，应用抽样调查，故本选项正确，
C、数据1，1，2，2，3的众数是1、2，故本选项错误，
D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项错误，
故选B．
6．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】先从1～9这九个自然数中找出是2的倍数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是2的倍数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是：．
故选B．
7．下列关于x的一元二次方程中一定有实数根的是（ ）
A．x^2^﹣2x+4=0 B．x^2^+2x+4=0 C．x^2^﹣2x﹣4=0 D．x^2^+4=0
【考点】根的判别式．
【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式△与0的关系，进而选择正确的选项．
【解答】解：A、x^2^﹣2x+4=0，△=4﹣4×4=﹣12＜0，此选项错误；
B、x^2^+2x+4=0，△=4﹣4×4=﹣12＜0，此选项错误；
C、x^2^﹣2x﹣4=0，△=4+4×4=20＞0，此选项正确；
D、x^2^+4=0，△=0﹣4×4=﹣16＜0，此选项错误；
故选C．
8．在半径等于4cm的圆内有长为4cm的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）
A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°
【考点】圆周角定理；解直角三角形．
【分析】先画图，再根据垂径定理得出AC，根据三角函数得出∠O，由圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图，
过点O作OD⊥AB，交⊙O于点D，交AB于点C，
∵OA=4，AB=4，
∴AC=2，
∴sin∠O==，
∴∠O=60°，
∴∠E=60°，
∴∠F=120°，
故选D．
9．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx^2^+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax^2^+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx^2^+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx^2^+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx^2^+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
10．如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A． a B．a C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用"边角边"证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，
∴MG=CG=×a=，
∴HN=，
故选：D．
**二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
11．4是[ 16 ]{.underline}的算术平方根．
【考点】算术平方根．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵4^2^=16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
12．因式分解：x^2^y﹣y=[ y（x+1）（x﹣1） ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=y（x^2^﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
13．函数中，自变量x的取值范围是[ x≠﹣5 ]{.underline}．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+5≠0，
解得x≠﹣5．
故答案为x≠﹣5．
14．如图，AB∥CD，∠C=20°，∠A=55°，则∠E=[ 35° ]{.underline}．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠EFD，根据三角形外角性质得出∠E=∠EFD﹣∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=55°，
∴∠EFD=∠A=55°，
∵∠C=20°，
∴∠E=∠EFD﹣∠C=55°﹣20°=35°，
故答案为：35°．
15．已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值为[ 8 ]{.underline}．
【考点】代数式求值．
【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣2b=﹣2，
∴4﹣2a+4b=4﹣2（a﹣2b）=4+4=8．
故答案为：8
16．某市南线路段的304盏太阳能路灯一年大约可节电226 900千瓦时，226 900千瓦时用科学记数法表示为[ 2.3×10^5^ ]{.underline}千瓦时（保留两个有效数字）．
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．题中226 900有6位整数，n=6﹣1=5．
有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：226 900=2.269×10^5^≈2.3×10^5^．
故答案为：2.3×10^5^．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为[ 10π ]{.underline}cm（结果保留π）．
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：l===10πcm．
18．如图，点A~1~、A~2~、A~3~在x轴上，且OA~1~=A~1~A~2~=A~2~A~3~，分别过点A~1~、A~2~、A~3~作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B~1~、B~2~、B~3~，分别过点B~1~、B~2~、B~3~作x轴的平行线，分别与y轴交于点C~1~、C~2~、C~3~，连结OB~1~、OB~2~、OB~3~，那么图中阴影部分的面积之和为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的\|k\|，得到S~△OB1C1~=S~△OB2C2~=S~△OB3C3~=\|k\|=2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和．
【解答】解：根据题意可知S~△OB1C1~=S~△OB2C2~=S~△OB3C3~=\|k\|=2，
∵OA~1~=A~1~A~2~=A~2~A~3~，A~1~B~1~∥A~2~B~2~∥A~3~B~3~∥y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s~1~，s~2~，s~3~
则s~1~=\|k\|=2，
∵OA~1~=A~1~A~2~=A~2~A~3~，
∴s~2~：S~△OB2C2~=1：4，s~3~：S~△OB3C3~=1：9，
∴图中阴影部分的面积分别是s~1~=2，s~2~=，s~3~=，
∴图中阴影部分的面积之和=2++=2．
故答案为：2．
**三、解答题（本大题共76分）**
19．计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】分别根据绝对值的性质、负整数指数幂的运算法则及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=3+1﹣2+3
=5．
20．先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．
【分析】先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的条件下，代入计算即可
【解答】解：
=
=
=，
当时，
原式===．
21．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】对不等式2﹣x＞0，移项得x＜2，对不等式两边乘以6，然后再移项、合并同类项解出不等式的解，再根据不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等式组的解．
【解答】解：由题意，
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
22．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】由于x^2^﹣4=（x+2）（x﹣2），本题的最简公分母是（x+2）（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）（x+2），
得：x（x+2）﹣（x^2^﹣4）=1，
化简，得2x=﹣3，
∴x=，
检验：当x=时，（x﹣2）（x+2）≠0，
∴x=是原方程的根．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连接AO，在AO的延长线上取一点D，连接BD，CD
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法结合SAS得出即可；
（2）利用菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出即可．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴∠BAO=∠CAO，
在△ABD和△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
（2）解：当AO=AD时，四边形ABDC是菱形．
理由：∵AO=AD，∴AO=DO，
又∵BO=CO，AO⊥BC，
∴四边形ABDC是菱形．
24．吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康、有消息称，我国准备从2011年元月一日起在公众场所实行"禁烟"，为配合"禁烟"行动，某校组织同学们在某社区开展了"你支持哪种戒烟方式"的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下统计图：
根据统计图解答：
（1）同学们一共随机调查了多少人？
（2）请你把统计图补充完整；
（3）如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持"强制戒烟"的概率是多少？假定该社区有1万人，请估计该地区大约有多少人支持"警示戒烟"这种方式？
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
【分析】（1）根据替代品戒烟30人占总体的10%，即可求得总人数；
（2）根据求得的总人数，结合扇形统计图可以求得药物戒烟的人数，从而求得警示戒烟的人数，再根据各部分的人数除以总人数，即可求得各部分所占的百分比；
（3）根据扇形统计图中"强制戒烟"的百分比即可回答其概率，再进一步根据样本估计总体．
【解答】解：（1）30÷10%=300（人）．
∴一共调查了300人．
（2）由（1）可知，总人数是300人．
药物戒烟：300×15%=45（人）；
警示戒烟：300﹣120﹣30﹣45=105（人）；105÷300=35%；
强制戒烟：120÷300=40%．
完整的统计图如图所示：
（3）设该市发支持"强制戒烟"的概率为P，由（1）可知，P=120÷300=40%=0.4．
支持"警示戒烟"这种方式的人有10000•35%=3500（人）．
25．如图，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACD的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：由题意可知，∠BAC=45°，
∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°．
作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，（海里），
在Rt△BCD中，（海里）．
答：此时渔船C与海监船B的距离是海里．
26．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．
（1）求证：DC为⊙O切线；
（2）若DC=1，AC=，①求⊙O半径长；②求PB的长．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连结OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，则根据切线的判定定理得到DC为⊙O切线；
（2）①连结BC，如图，在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AD=2，再Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比计算出AB=，从而得到⊙O半径长为；
②证明△EOC∽△EAD，然后利用相似比可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴DC为⊙O切线；
（2）解：①连结BC，如图，
在Rt△ACD中，∵CD=1，AC=，
∴AD==2，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，即：AB=2：，
∴AB=，
∴⊙O半径长为；
②∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴=，即=，
∴BE=．
27．如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S~△PBD~=4，．
（1）求点D的坐标及BD长；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；
（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条件的Q点的坐标．
【考点】反比例函数综合题；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数与一次函数的交点问题；直角梯形；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐标；根据相似三角形的判定得出=，求出AP，即可求出BD；
（2）根据三角形PBD的面积求出P的坐标，把P的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；
（3）根据图象上P的坐标求出即可；
（4）作DQ∥x轴，把y=2代入反比例函数的解析式，求出即可．
【解答】解：（1）在y=kx+2中，当x=0，得：y=2，
∴点D的坐标是（0，2），
∵AP∥OD，
∴△PAC∽△DOC，
∵=，
∴==，
∴AP=6，
∵BD=6﹣2=4，
答：点D的坐标是（0，2），BD的长是4．
（2）∵S~△PBD~=PB•BD=×PB×4=4，
∴BP=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分别代入y=kx+2和y=得：k=2，m=12，
∴一次函数的解析式是y=2x+2，反比例函数的解析式是y=，
（3）由图形可知一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞2．
（4）Q（6，2）．
28．"绿色出行，低碳健身"已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量...依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 时段 | x | 还车数 | 借车数 | 存量y |
| | | | | |
| | | （辆） | （辆） | （辆） |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 6：00﹣7：00 | 1 | 45 | 5 | 100 |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| 7：00﹣8：00 | 2 | 43 | 11 | n |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
| ... | ... | ... | ... | ... |
+--------------+-----+--------+--------+--------+
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m=[ 60 ]{.underline}，解释m的实际意义：[ 该停车场当日6：00时的自行车数 ]{.underline}；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意m+45﹣5=100，说明6点之前的存量为60；
（2）先求出n的值，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x﹣4）辆，把x=3代入y=﹣4x^2^+44x+60得到8：00～9：00的存量为156；把x=4代入y=﹣4x^2^+44x+60得到9：00～10：00的存量为172，所以156﹣x+（3x﹣4）=172，然后解方程即可．
【解答】解：（1）m+45﹣5=100，解得m=60，
即6点之前的存量为60．
m表示该停车场当日6：00时的自行车数；
（2）n=100+43﹣11=132，
设二次函数的解析式为y=ax^2^+bx+c，
把（1，100），（2，132）、（0，60）代入得
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣4x^2^+44x+60（x为1﹣12的整数）；
（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x﹣4）辆，
把x=3代入y=﹣4x^2^+44x+60得y=﹣4×3^2^+44×3+60=156，
把x=4代入y=﹣4x^2^+44x+60得y=﹣4×4^2^+44×4+60=172，即此时段的存量为172，
所以156﹣x+（3x﹣4）=172，解得x=10，
答：此时段借出自行车10辆．
29．如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）点E的坐标为[ （]{.underline}[t，t） ]{.underline}，F的坐标为[ （10﹣]{.underline}[t，t） ]{.underline}；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）过点A作AD⊥OB，由点A的坐标为（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，进而可得：BD=4，进而可得点B的坐标为：（10，0），然后设OA的关系式：y=kx，然后将A（6，8）代入即可得直线OA的关系式，然后设直线AB的关系式为：y=kx+b，然后将A，B两点代入，即可确定直线AB的关系式，由过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，可知点Q、E、F三点的纵坐标相等均为t，然后由点E在OA上，点F在AB上，将点E、F的纵坐标分别代入对应的关系式，即可得到得到点E、F的坐标；
（2）由EF∥OP，欲使四边形POFE是平行四边形，只需EF=OP即可，从而可得关于t的等式，解答即可；
（3）分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，
∵点A的坐标为（6，8），
∴OD=6，AD=8，
由勾股定理得：OA=10，
∵OA=OB，
∴OB=10，
∴BD=4，
∴点B的坐标为：（10，0），
设直线OA的关系式：y=kx，
将A（6，8）代入上式，得：
6k=8，
解得：k=，
所以直线OA的关系式：y=x，
设直线AB的关系式为：y=kx+b，
将A，B两点代入上式得：
，
解得：，
所以直线AB的关系式为：y=﹣2x+20，
∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，
∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，
∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，
动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，
∴t秒后，OQ=t，OP=2t，
∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，
将点E的纵坐标t代入y=x，得：x=t，
∴E点的坐标为：（，t），
将点E的纵坐标t代入y=﹣2x+20，得：x=10﹣t，
∴F点的坐标为：（10﹣t，t），
故答案为：（t，t），（10﹣t，t）；
（2）由（1）知：E（t，t），F（10﹣t，t），
∴EF=10﹣t﹣t=10﹣t，
∵四边形POFE是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10﹣t=2t，
解得：t=，
∴当t为时，四边形POFE是平行四边形；
（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当EF⊥PF时，PE^2^+PF^2^=EF^2^，
由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10﹣t，EF=10﹣，
∴PM=，PN=10﹣，
∵PE^2^=ME^2^+MP^2^，PF^2^=PN^2^+FN^2^，
∴t^2^+（t）^2^+（10﹣t）^2^+t^2^=（10﹣）^2^，
解得：t~1~=0（舍去），t~2~=；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON﹣OP，
∴10﹣=10﹣﹣2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP﹣OM，
∴10﹣=2t﹣t，
解得：t=4，
∴当t=和4时，使△PEF为直角三角形．
**2016年8月8日**
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**2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z\|x^2^﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．如图，复平面上的点Z~1~，Z~2~，Z~3~，Z~4~到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z~1~，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A．Z~1~ B．Z~2~ C．Z~3~ D．Z~4~
3．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）
①y=x^3^②y=x^2^+1③y=\|x\|④y=2^x^．
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
4．已知变量x，y满足：：，则z=（）^2x+y^的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：1
7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
8．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f
A．0 B．3 C．6 D．﹣
9．若（1+x）（1﹣2x）^7^=a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~8~x^8^，则a~1~+a~2~+...+a~7~的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣131
10．已知圆C~1~：x^2^+2cx+y^2^=0，圆C~2~：x^2^﹣2cx+y^2^=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C~1~，C~2~都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．\[，1） B．（0，） C．\[，1） D．（0，\]
11．定义在R上的函数f（x）对任意x~1~、x~2~（x~1~≠x~2~）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s^2^﹣2s）≤﹣f（2t﹣t^2^），则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）
A．\[﹣3，﹣） B．\[﹣3，﹣\] C．\[﹣5，﹣） D．\[﹣5，﹣\]
12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A．7π B．19π C． π D． π
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为[ ]{.underline}．
14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为[ ]{.underline}．
15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y^2^=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为[ ]{.underline}．
16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+...+g=[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3， sinB+sinA=2．
（Ⅰ） 求角A 的大小；
（Ⅱ） 求△ABC 的面积．
18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的"星级卖场"．
（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为m，乙型号电视机的"星级卖场"数量为n，比较m，n 的大小关系；
（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s^2^，根据茎叶图推断b为何值时，s^2^达到最小值．（只需写出结论）
19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE
折起到△A~1~DE的位置，使A~1~D⊥DC，如图．
（1）求证：A~1~E⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣A~1~B﹣C的余弦值；
（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A~1~DP⊥平面A~1~BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．如图，已知椭圆： +y^2^=1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若=6，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
21．设函数f（x）=x^2^﹣（a﹣2）x﹣alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x~1~，x~2~，求证：．
**四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】**
22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q．
（Ⅰ）求证：QC•BC=QC^2^﹣QA^2^；
（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求\|PA\|+\|PB\|的值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．（1）已知函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x+3\|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；
（2）若x，y，z∈R，x^2^+y^2^+z^2^=1，求m=x+y+z的最大值．
**2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z\|x^2^﹣4x﹣5＜0}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合B，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：B={x∈Z\|x^2^﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z\|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，
则A∩B={1，3，4}，
故A∩B的子集个数为2^3^=8个，
故选：C
2．如图，复平面上的点Z~1~，Z~2~，Z~3~，Z~4~到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z~1~，则复数z•i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A．Z~1~ B．Z~2~ C．Z~3~ D．Z~4~
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】判断复数的几何意义，利用复数的乘法运算法则，推出结果即可．
【解答】解：由题意可知复数z所对应的点为Z~1~，是虚部大于0的纯虚数，则复数z•i是负实数，
对应点在x负半轴，即Z~2~，共轭复数是Z~2~．
故选：B．
3．下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是（ ）
①y=x^3^②y=x^2^+1③y=\|x\|④y=2^x^．
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（﹣∞，0）与（0，+∞）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确．
【解答】解：①y′=3x^2^≥0恒成立，所以函数在R上递增，无极值点
②y′=2x，当x＞0时函数单调递增；当x＜0时函数单调递减且y′\|~x=0~=0②符合
③结合该函数图象可知在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0\]递减，③符合
④y=2^x^在R上递增，无极值点
故选B
4．已知变量x，y满足：：，则z=（）^2x+y^的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设m=2x+y得y=﹣2x+m，
平移直线y=﹣2x+m，
由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线y=﹣2x+m的截距最大，
此时m最大．
由，解得，即A（1，2），
代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4．
即目标函数z=（）^2x+y^的最大值为z=（）^4^=4．
故选：D．
5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，根据判断条件依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=475时满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n=12，i=1
满足条件n是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n＞123，
不满足条件n是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n＞123，
不满足条件n是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n＞123，
满足条件n是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n＞123，
不满足条件n是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6．
故选：B．
6．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A．45：13 B．3：1 C．80：27 D．2：1
【考点】等差数列的性质．
【分析】直接把两等差数列第7项之比化为前13项和的比得答案．
【解答】解：设两个等差数列分别为{a~n~}，{b~n~}，它们的前n项和分别为S~n~，T~n~，
则=，
∴．
故选：B．
7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布，（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据ξ服从正态分布N，得到曲线的对称轴是直线x=100，利用ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，即可求得结论．
【解答】解：∵ξ服从正态分布N
∴曲线的对称轴是直线x=100，
∵ξ在（80，120）内取值的概率为0.8，
∴ξ在（0，100）内取值的概率为0.5，
∴ξ在（0，80）内取值的概率为0.5﹣0.4=0.1．
故选：B．
8．函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f
A．0 B．3 C．6 D．﹣
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由已知中的函数的图象，我们易求出函数的解析式，进而分析出函数的性质，根据函数是一个周期函数，我们可以将f（1）+f（2）+...+f=8=，故解得：ω=，可得函数解析式为：f（x）=2sinx，
所以，有：f（1）=
f（2）=2
f（3）=
f（4）=0
f（5）=﹣
f（6）=﹣2
f（7）=﹣
f（8）=0
f（9）=
...
观察规律可知函数f（x）的值以8为周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，
由于2015=251\*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+...+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=0．
故选：A．
9．若（1+x）（1﹣2x）^7^=a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~8~x^8^，则a~1~+a~2~+...+a~7~的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．125 D．﹣131
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a~1~+a~2~+...+a~8~的值．
【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）^7^=a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~8~x^8^，
∴a~8~=•（﹣2）^7^=﹣128．
令x=0得：（1+0）（1﹣0）^7^=a~0~，即a~0~=1；
令x=1得：（1+1）（1﹣2）^7^=a~0~+a~1~+a~2~+...+a~7~+a~8~=﹣2，
∴a~1~+a~2~+...+a~7~=﹣2﹣a~0~﹣a~8~=﹣2﹣1+128=125．
故选C．
10．已知圆C~1~：x^2^+2cx+y^2^=0，圆C~2~：x^2^﹣2cx+y^2^=0，c是椭圆C： +=1的半焦距，若圆C~1~，C~2~都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．\[，1） B．（0，） C．\[，1） D．（0，\]
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e的范围求出结果．
【解答】解：已知圆C~1~：x^2^+2cx+y^2^=0，
转化成标准形式为：（x+c）^2^+y^2^=c^2^，
圆C~2~：x^2^﹣2cx+y^2^=0，
转化成标准形式为：（x﹣c）^2^+y^2^=c^2^，
圆C~1~，C~2~都在椭圆内，
所以：（c，0）到（a，0）的距离大于c
则：\|c﹣a\|＞c
解得：a＞2c
由于：e=
所以：e，
由于椭圆的离心率e∈（0，1）
则：0＜e＜．
故选：B．
11．定义在R上的函数f（x）对任意x~1~、x~2~（x~1~≠x~2~）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s^2^﹣2s）≤﹣f（2t﹣t^2^），则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）
A．\[﹣3，﹣） B．\[﹣3，﹣\] C．\[﹣5，﹣） D．\[﹣5，﹣\]
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s^2^﹣2s）≤﹣f（2t﹣t^2^）便得到，s^2^﹣2s≥t^2^﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．
【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；
∴由f（s^2^﹣2s）≤﹣f（2t﹣t^2^）得：
s^2^﹣2s≥t^2^﹣2t；
∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；
以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；
不等式组所表示的平面区域，如图所示：
即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；
设，整理成：；
；
∴，解得：；
∴的取值范围是\[\]．
故选：D．
12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A．7π B．19π C． π D． π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．
【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1
由题意可得：球心到底面的距离为，
∴球的半径为r==．
外接球的表面积为：4πr^2^=7π
故选：A．
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
【解答】解：根据三视图得知：
该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，
所以：V==
故答案为：
14．已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数λ的值为[ 1 ]{.underline}．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且，
∴向量•=\|\|\|\|cos60°=2×2×=2，
∵，且，
∴•=（λ+）•=0，
即λ•+•=0，
则λ•（﹣）+•（﹣）=0，
即λ•﹣λ^2^+^2^﹣•=0，
则2λ﹣4λ+4﹣2=0，
2λ=2，解得λ=1，
故答案是：1．
15．已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y^2^=4cx的准线被双曲线截得的弦长是（e为双曲线的离心率），则e的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线，根据准线和双曲线相交的弦长关系建立方程，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．
【解答】解：∵抛物线y^2^=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴当x=﹣c时，﹣=1，即=﹣1==，即y=±，
即准线被双曲线C截得的弦长为：，
∵抛物线y^2^=4cx的准线被双曲线截得的弦长是，
∴=be^2^，
即： c^2^=3ab，
∴2c^4^=9a^2^（c^2^﹣a^2^），
∴2e^4^﹣9e^2^+9=0
∴e=或，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，
∴渐近线y=x的斜率＜1，
即b＜c，则b^2^＜c^2^，
即c^2^﹣a^2^＜a^2^，
则c^2^＜2a^2^，
c＜a，
则e=＜
∴e=．
故答案为：
16．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+...+g=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】数列的求和．
【分析】本题解决问题的关键是利用累加法和信息题型的应用，即利用出题的意图求数列的和．
【解答】解：根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），
且若n为奇数则g（n）=n，
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+...g（2^n^﹣1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+...g（2^n+1^﹣1）
=1+3+...+（2^n+1^﹣1）+g（2）+g（4）+...+g（2^n+1^﹣2）
=+g（1）+g（2）+...+g（2^n^﹣1）=4^n^+f（n）
即f（n+1）﹣f（n）=4^n^
分别取n为1，2，...，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+4^2^+...+4^n^=（4^n^﹣1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+...g（2^n^﹣1）=（4^n﹣1^﹣1）+1
令n=2015得
g（1）+g（2）+g（3）+...+g=．
故答案为：
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3， sinB+sinA=2．
（Ⅰ） 求角A 的大小；
（Ⅱ） 求△ABC 的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．
（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•sinA，计算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴ sinB=3sinA，
再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．
（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a^2^=7=c^2^+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．
当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．
当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．
18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的"星级卖场"．
（Ⅰ）当a=b=3时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为m，乙型号电视机的"星级卖场"数量为n，比较m，n 的大小关系；
（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为s^2^，根据茎叶图推断b为何值时，s^2^达到最小值．（只需写出结论）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲、乙组数据的平均数，甲型号电视机的"星级卖场"数量为m=5，乙型号电视机的"星级卖场"数量为n=5，可得结论；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a=1，b=0时，s^2^达到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为=24，
乙组数据的平均数为=26.5，
甲型号电视机的"星级卖场"数量为m=5，乙型号电视机的"星级卖场"数量为n=5，
所以m=n；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
X的分布列为：
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
X 0 1 2
P   
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
∴Eξ=0×+1×+2×=1．
（Ⅲ）若a=1，b=0时，s^2^达到最小值．
19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE
折起到△A~1~DE的位置，使A~1~D⊥DC，如图．
（1）求证：A~1~E⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣A~1~B﹣C的余弦值；
（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A~1~DP⊥平面A~1~BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明DC⊥平面A~1~DE，可得DC⊥A~1~E，利用A~1~E⊥DE，DC∩DE=D，可得A~1~E⊥平面BCDE；
（2）以EB，ED，EA~1~分别为x，y，z轴，建立坐标系，求出平面A~1~BE、平面A~1~BC的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角E﹣A~1~B﹣C的余弦值；
（3）设P（t，0，0）（0≤t≤2），求出平面A~1~DP的法向量，利用平面A~1~DP⊥平面A~1~BC，可得结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BE，BE∥DC，
∴DE⊥DC，
∵A~1~D⊥DC，A~1~D∩DE=D，
∴DC⊥平面A~1~DE，
∴DC⊥A~1~E，
∵A~1~E⊥DE，DC∩DE=D，
∴A~1~E⊥平面BCDE；
（2）解：由题意，以EB，ED，EA~1~分别为x，y，z轴，建立坐标系，则DE=2，
A~1~（0，0，2），B（2，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），
∴=（﹣2，0，2），=（2，2，0），
平面A~1~BE的一个法向量为=（0，1，0），
设平面A~1~BC的一个法向量为=（x，y，z），则，
∴=（﹣，1，﹣），
∴cos＜，＞=，
∴二面角E﹣A~1~B﹣C的余弦值为﹣；
（3）解：在线段EB上不存在一点P，使平面A~1~DP⊥平面A~1~BC，
设P（t，0，0）（0≤t≤2），则=（t，0，﹣2），=（0，2，﹣2），
设平面A~1~DP的法向量为=（a，b，c），则，
∴=（2，，t），
∵平面A~1~DP⊥平面A~1~BC，
∴﹣2+﹣t=0，
∴t=﹣3，
∵0≤t≤2，
∴在线段EB上不存在一点P，使平面A~1~DP⊥平面A~1~BC．
20．如图，已知椭圆： +y^2^=1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若=6，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可得A，B的坐标，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，进而求得x~2~的表达式，进而根据=6，求得x~0~的表达式，由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，进而求得x~0~的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知\|BO\|和\|AO\|的值，设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，进而可表示出四边形AEBF的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆： +y^2^=1，A（2，0），B（0，1），
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x~0~，kx~0~），E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），其中x~1~＜x~2~，
且x~1~，x~2~满足方程（1+4k^2^）x^2^=4，
故x~2~=﹣x~1~=．①
由=6，知x~0~﹣x~1~=6（x~2~﹣x~0~），得x~0~=（6x~2~+x~1~）=x~2~=，
由D在AB上知x~0~+2kx~0~=2，得x~0~=，
所以=，
化简得24k^2^﹣25k+6=0，
解得k=或k=．
（Ⅱ）由题设，\|BO\|=1，\|AO\|=2．
由（Ⅰ）知，E（x~1~，kx~1~），F（x~2~，kx~2~），
不妨设y~1~=kx~1~，y~2~=kx~2~，由①得x~2~＞0，
根据E与F关于原点对称可知y~2~=﹣y~1~＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S~△OBE~+S~△OBF~+S~△OAE~+S~△OAF~
=\|OB\|•（﹣x~1~）+\|OB\|•x~2~+\|OA\|•y~2~+\|OA\|•（﹣y~1~）
=\|OB\|（x~2~﹣x~1~）+\|OA\|（y~2~﹣y~1~）=x~2~+2y~2~
==≤=2，
当x~2~=2y~2~时，上式取等号．所以S的最大值为2．
21．设函数f（x）=x^2^﹣（a﹣2）x﹣alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x~1~，x~2~，求证：．
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．
【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；
（3））由x~1~，x~2~是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x~1~＜x~2~．则，．
两式相减得+alnx~2~=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．
【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．
==．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．
所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．
∵a＞0，∴．
令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，
所以存在零点h（a~0~）=0，a~0~∈（2，3），
当a＞a~0~时，h（a）＞0；当0＜a＜a~0~时，h（a）＜0．
所以满足条件的最小正整数a=3．
又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．
（3）∵x~1~，x~2~是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．
不妨设0＜x~1~＜x~2~．则，．
两式相减得+alnx~2~=0，
化为a=．
∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．
故只要证明即可，
即证明x~1~+x~2~＞，即证明，
设，令g（t）=lnt﹣，则=．
∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0
．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，
∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．
**四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】**
22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线 PQ相交于点Q．
（Ⅰ）求证：QC•BC=QC^2^﹣QA^2^；
（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦AB的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QC•BC=QC^2^﹣QA^2^．
（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲 1
证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，
由切割线定理得：
QA^2^=QB•QC=（QC﹣BC）•QC，
∴QC•BC=QC^2^﹣QA^2^．
（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，
∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，
∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，
∴△QAB∽△QCA，
∴=，∴AB=．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求\|PA\|+\|PB\|的值．
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ^2^=x^2^+y^2^，进行代换即得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求\|PA\|+\|PB\|的值．
【解答】解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
又由得 ρ^2^=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x^2^+（y﹣）^2^=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得（3﹣t）^2^+（t）^2^=5，即t^2^﹣3t+4=0
设t~1~，t~2~是上述方程的两实数根，
所以t~1~+t~2~=3
又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t~1~，t~2~，
所以\|PA\|+\|PB\|=\|t~1~\|+\|t~2~\|=t~1~+t~2~=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．（1）已知函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x+3\|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；
（2）若x，y，z∈R，x^2^+y^2^+z^2^=1，求m=x+y+z的最大值．
【考点】柯西不等式的几何意义；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）去绝对值号可得f（x）=\|x﹣1\|+\|x+3\|=，从而确定使f（x）为常函数时x的取值范围；
（2）由柯西不等式可得（x^2^+y^2^+z^2^）（++）≥（x+y+z）^2^；从而解得．
【解答】解：（1）f（x）=\|x﹣1\|+\|x+3\|=，
故当x∈\[﹣3，1\]时，f（x）为常数函数；
（2）由柯西不等式可得，
（x^2^+y^2^+z^2^）（++）≥（x+y+z）^2^；
即（x+y+z）^2^≤9；
故x+y+z≤3；
故m=x+y+z的最大值为3．
**2016年10月18日**
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**2013年天津市高考数学试卷（理科）**
**一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）
A．64 B．73 C．512 D．585
4．（5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）函数f（x）=2^x^\|log~0.5~x\|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a\|x\|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
**二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=[ ]{.underline}．
10．（5分）的二项展开式中的常数项为[ ]{.underline}．
11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则\|CP\|=[ ]{.underline}．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为[ ]{.underline}．
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=[ ]{.underline}时，取得最小值．
**三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos^2^x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱A~1~A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA~1~=AB=2，E为棱AA~1~的中点．
（Ⅰ）证明B~1~C~1~⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B~1~﹣CE﹣C~1~的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C~1~E上，且直线AM与平面ADD~1~A~1~所成角的正弦值为，求线段AM的长．
18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．
19．（14分）已知首项为的等比数列{a~n~}不是递减数列，其前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且S~3~+a~3~，S~5~+a~5~，S~4~+a~4~成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设T~n~=S~n~﹣（n∈N^\*^），求数列{T~n~}的最大项的值与最小项的值．
20．（14分）已知函数f（x）=x^2^lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e^2^时，有．
**2013年天津市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．
【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2}
∴A∩B={x\|﹣2≤x≤2}∩{x\|x≤1，x∈R}={x\|﹣2≤x≤1}
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选：A．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）
A．64 B．73 C．512 D．585
【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．
【解答】解：经过第一次循环得到S=0+1^3^，不满足S≥50，x=2，
执行第二次循环得到S=1^3^+2^3^，不满足S≥50，x=4，
执行第三次循环得到S=1^3^+2^3^+4^3^=73，
满足判断框的条件，退出循环，执行"是"，输出S=73．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
4．（5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】对于①由球的体积公式V=可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
【解答】解：①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；
③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
【解答】解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x
又抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，
∴则，
A，B两点的纵坐标分别是y=±=，
又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线
∴，得p=2．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．
6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．
【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，
∴由余弦定理得：AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，
∴AC=，
则由正弦定理=得：sin∠BAC==．
故选：C．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
7．（5分）函数f（x）=2^x^\|log~0.5~x\|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
【解答】解：函数f（x）=2^x^\|log~0.5~x\|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（）^x^．与y=\|log~0.5~x\|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．
8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a\|x\|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）\|x﹣\|+1＞x\|x\|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）\|x+1\|+1＞x\|x\|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．
【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x\|x\|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）\|x﹣\|+1＞x\|x\|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x\|x\|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）\|x+1\|+1＜x\|x\|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
**二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=[ 1+2i ]{.underline}．
【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．
【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，
所以a﹣1+（a+1）i=bi，
所以，解得a=1，b=2，
所以a+bi=1+2i．
故答案为：1+2i．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．
10．（5分）的二项展开式中的常数项为[ 15 ]{.underline}．
【分析】利用二项展开式的通项公式T~r+1~=•（﹣1）^r^•中x的幂指数为0即可求得答案．
【解答】解；设的二项展开式中的通项为T~r+1~，则T~r+1~=•（﹣1）^r^•，
由6﹣r=0得：r=4．
∴的二项展开式中的常数项为•（﹣1）^4^==15．
故答案为：15．
【点评】本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则\|CP\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．
【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x^2^+y^2^=4x，圆心为C（2，0），
点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），
所以\|CP\|==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．
【解答】解：∵，．
∴==
=+﹣==1，
化为，
∵，∴．
故答案为．
【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．
13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．
【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，
即：，
CF=，
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力．
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=[ ﹣2 ]{.underline}时，取得最小值．
【分析】由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
【解答】解：∵a+b=2，b＞0，
∴=，（a＜2）
设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=﹣+，
f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，
∴当a=﹣2时，取得最小值．
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．
综合，则当a=﹣2时，取得最小值．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
**三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos^2^x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间\[﹣，\]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．
【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos^2^x=（1+cos2x）
∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos^2^x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1
=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）
因此，f（x）的最小正周期T==π；
（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤
∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．
【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．
16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P（A）==
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为
（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）==
P（X=4）==
X的分布列为
EX==
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
x 1 2 3 4
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱A~1~A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA~1~=AB=2，E为棱AA~1~的中点．
（Ⅰ）证明B~1~C~1~⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B~1~﹣CE﹣C~1~的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C~1~E上，且直线AM与平面ADD~1~A~1~所成角的正弦值为，求线段AM的长．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA~1~两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B~1~C~1~⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B~1~CE和平面CEC~1~的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B~1~﹣CE﹣C~1~的正弦值可求；
（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C~1~的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD~1~A~1~的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD~1~A~1~所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．
【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B~1~（0，2，2），C~1~（1，2，1），E（0，1，0）．
则，
而=0．
所以B~1~C~1~⊥CE；
（Ⅱ）解：，
设平面B~1~CE的法向量为，
则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．
所以．
由（Ⅰ）知B~1~C~1~⊥CE，又CC~1~⊥B~1~C~1~，所以B~1~C~1~⊥平面CEC~1~，
故为平面CEC~1~的一个法向量，
于是=．
从而==．
所以二面角B~1~﹣CE﹣C~1~的正弦值为．
（Ⅲ）解：，
设 0≤λ≤1，
有．
取为平面ADD~1~A~1~的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD~1~A~1~所成的角，
则=
=．
于是．
解得．所以．
所以线段AM的长为．
【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．
18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．
【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），由消去y得，（2+3k^2^）x^2^+6k^2^x+3k^2^﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴当x=﹣c时，，得y=±，
∴=，
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），
设C（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），
由消去y得，（2+3k^2^）x^2^+6k^2^x+3k^2^﹣6=0，
∴x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=，又A（﹣，0），B（，0），
∴
=（x~1~+，y~1~）•（﹣x~2~．﹣y~2~）+（x~2~+，y~2~）•（﹣x~1~．﹣y~1~），
=6﹣（2+2k^2^）x~1~x~2~﹣2k^2^（x~1~+x~2~）﹣2k^2^，
=6+=8，解得k=．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．
19．（14分）已知首项为的等比数列{a~n~}不是递减数列，其前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且S~3~+a~3~，S~5~+a~5~，S~4~+a~4~成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设T~n~=S~n~﹣（n∈N^\*^），求数列{T~n~}的最大项的值与最小项的值．
【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S~3~+a~3~，S~5~+a~5~，S~4~+a~4~成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a~n~}不是递减数列，求出q值，可得答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S~n~的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
∵S~3~+a~3~，S~5~+a~5~，S~4~+a~4~成等差数列．
∴S~5~+a~5~﹣（S~3~+a~3~）=S~4~+a~4~﹣（S~5~+a~5~）
即4a~5~=a~3~，
故q^2^==
又∵数列{a~n~}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=﹣
∴数列{a~n~}的通项公式a~n~=×（﹣）^n﹣1^=（﹣1）^n﹣1^•
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
S~n~=1﹣（﹣）^n^=
当n为奇数时，S~n~随n的增大而减小，所以1＜S~n~≤S~1~=
故0＜≤=﹣=
当n为偶数时，S~n~随n的增大而增大，所以1＞S~n~≥S~2~=
故0＞≥=﹣=
综上，对于n∈N^\*^，总有≤≤
故数列{T~n~}的最大项的值为，最小项的值为
【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．
20．（14分）已知函数f（x）=x^2^lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e^2^时，有．
【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（ ，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），
求导数可得f′（x）=2xlnx+x^2^•=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0，可解得x=，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- -----------------------------------------------
x （0，）  （ ，+∞）
f′（x） ﹣ 0 \+
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- -----------------------------------------------
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（ ，+∞）
（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞），
由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e^t^）=e^2t^lne^t^﹣t=t（e^2t^﹣1）＞0，
故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；
（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，
从而====，其中u=lns，
要使成立，只需，
即2＜，即2＜2+，
只需，变形可得只需0＜lnu＜，
当t＞e^2^时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e^2^，矛盾，
所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，
另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，
令F′（u）=0，可解得u=2，
当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，
故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，
故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，
综上可证：当t＞e^2^时，有成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．
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**1961年试题**
**试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.**
**一、**(1)求(2-x)10展开式里x7的系数.
(2)解方程:2lgx=lg(x+12).(注:lg是以10为底的对数的符号.)
(5)一个水平放着的圆柱形排水管,内半径是12厘米.排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含有150°(如图).求这个截面上有水部分的面积.(取π=3.14.) 
(6)已知△ABC的一边BC在平面N内,△ABC所在的平面与平面N组成二面角a(a＜90°).从A点作平面N的垂线AA＇,A＇是垂足.设△ABC的面积是S,求证△A＇BC的面积是Scosa.
**\[Key\] 一、**(1)解:在这个展开式里含有x7的项是第八项.它的系数是
=-960.
(2)**解:2lgx=lg(x+12),**
lgx2=lg(x+12),
∴x2=x+12,x2-x-12=0,
**(x-4)(x+3)=0,**
**∴x1=4,x2=-3.**
**当x=-3时,lgx没有意义,舍去;x=4为原方程的解.**
**(3)解:**根据根式的定义,x-1≥0,∴x≥1;
又根据分母不能为零,x-5≠0,∴x≠5.
所以自变量x的允许值的范围是x≥1,但x≠5.
(5)**解法一:**
∴截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
**解法二:**
∴ 截面上有水部分的面积=60π-36
=60×3.14-36=152.4(平方厘米).
(6)**证明:**
**二、**一个机器制造厂的三年生产计划,每年比上一年增产机器的台数相同.如果第三年比原计划多生产1千台,那末每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半,原计划每年各生产机器多少台?
**\[Key\] 二、**
**解法一:**
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数分别为x,x+y,x+2y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x=4,x+y=6,x+2y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
**解法二:**
设原计划第一、二、三年生产机器的千台数为别为x-y,x,x+y.依题意,得方程组:
这个方程组经过变形后,得方程组:
解这个方程组,得
由第一组解,得x-y=4,x=6,x+y=8.
第二组解不合题意,舍去.
答:原计划第一、二、三年各生产机器4千台、6千台、8千台.
**三、**有一块圆环形的铁皮,它的内半径是45厘米,外半径是75厘米.用它的五分之一(如图中的阴影部分),作圆台形水桶的侧面,这个水桶的容积是多少立方厘米?
**\[Key\] 三、**
**解:**
**四、**在平地上有A、B两点.A在山的正东.B在山的东南,且在A的西65°南300米的地方.在A测得山顶的仰角是30°,求山高.(sin70°=0.940.精确到10米.) 
**\[Key\] 四、**
**解:**如图,CD为山的高.
在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=65°,
∴∠ABC=180°-(45°+65°)=70°;
又AB=300(米)
在直角三角形ACD中,∠CAD=30°,
=100×2.45×0.940
=230(米)
答:山高是230米
**五、**下面甲、乙两题,选作一题.
甲、k是什么实数的时候,方程x2-2(k+3)x+3k2+1=0有实数根?
乙、设方程8x2-(8sina)x+2+cos2a=0的两个根相等,求a.
**\[Key\] 五、**
**甲、解法一:**当这个方程的判别式Δ=0或者Δ\>0的时候,原方程有实数根.
(k+3)2-(3k2+1)
=-2k2+6k+8.
解 -2k2+6k+8=0,
即 k2-3k-4=0,
得 k=-1或者k=4.
解 -2k2+6k+8\>0,
即 -k2+3k+4\>0,
得 -1\<k\<4.
所以在-1≤k≤4的时候,原方程有实数根.
**解法二:**
这个方程有实数根的条件是:
(k+3)2-(3k2+1)≥0
化简得:
-k2+3k+4≥0,
k2-3k-4≤0,
(k+1)(k-4)≤0,
∴-1≤k≤4的时候,方程有实数根.
**乙、解:**因为方程的两个根相等,所以
(8sina)2-4·8(2+cos2a)=0.
化简:
2sin2a-(2+cos2a)=0,
2sin2a-(3-2sin2a)=0,
4sin2a-3=0.
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《圆柱和圆锥》单元测试4（附答案）**
一、快乐小帮手。(22分)
1．圆柱的上下两个面叫做( )，它们是两个相同的( )。
2．圆柱的曲面叫做( )。
3．圆柱的体积公式是( )。
4．圆柱的表面积=( )。
5．圆锥有( )个底面，( )条高。
6．圆锥的体积V=( )。
7．一个圆柱的底面半径是5厘米，高8厘米，它的侧面积是( )，体积是( )。
8．一个圆锥的底面积是9平方分米，高是4分米，它的体积是( )。
二、森林小医生。(对的打"√"，错的打"×")(12分)
1．圆柱的体积比表面积大。( )
2．圆锥和圆柱一样都有无数条高。( )
3．圆锥的侧面展开图是长方形。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．圆柱体积是圆锥体积的3倍。( )
5．当圆柱的底面周长和圆柱的高相等时，它的侧面展开图是一个正方形。( )
6．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，侧面积也扩大到原来的2倍。( )
三、精选细选。(将正确答案的序号填在括号里)(10分)
1．圆柱有( )条高。
A．2 B．3 C．无数
2．如果一个圆柱的体积不变，底面积扩大到原来的5倍，那么高应该( )。
A．扩大到原来的5倍
B．缩小到原来的
C．缩小到原来的
3．做一个圆柱形铁皮油桶，若求用多少铁皮，是求油桶的( )。
A．侧面积 B．表面积 C．体积
4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，这个圆柱的体积是12.6立方米，则这个圆锥的体积是( )。
A．12.6立方米
B．4.2立方米
C．6.3立方米
5．一个圆柱的底面半径和高都是5分米，它的侧面积是多少平方分米？正确的列式是( )。
A．3.14×(5÷2)×5
B．2×3.14×5×5
C．3.14×52×5
四、动脑筋，连一连。(左面的图形旋转一周，得到什么立体图形)(10分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
 
 
 
 
五、解决问题。(16分)
1．求圆柱的侧面积和表面积。(6分)
2．求下面图形的体积。(10分)
六、问题银行。(30分)
1．有一堆沙子，沙堆形状是圆锥形，测得沙堆的底面直径是6米，高是2米，如果每立方米沙子重1.8吨，这堆沙子重多少吨？
2．要建造一个直径是6米，深2米的圆柱形鱼池，这个鱼池占地面积是多少平方米？它的体积是多少立方米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．有一个粮仓(如图所示)，如果每立方米装粮食500千克，那么这个粮仓能装多少千克粮食？
附加题。(10分)
一个圆锥形沙堆，底面积是125.6平方米，高是0.8米，把这堆沙子铺在长3米，宽2米的沙坑内，可以铺多厚？(得数保留两位小数)
**参考答案**
一、1．底面 圆 2．侧面 3．V=Sh 4．侧面积＋2个底面积
5．1 1 6．Sh 7．251.2平方厘米 628立方厘米
8．12立方分米
二、1．× 2．× 3．× 4．× 5．√ 6．√
三、1．C 2．B 3．B 4．B 5．B
四、 · ·
· ·
· ·
· ·
五、1．62.8cm2 87.92 cm2 2．282.6分米3 216.66厘米3
六、1．33.912吨 2．28.26米2 56.52米3 3．3179.25千克
附加题：5.58米
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《**圆柱和圆锥**------圆柱的体积》同步检测1（附答案）**
一、认真思考，仔细填写。
1、圆柱体积计算公式是 [ ]{.underline} ，用字母表示是 [ ]{.underline} 。
2、一个圆柱的底面积是30cm^2^，高是3cm，这个圆柱的体积是 [ ]{.underline} cm^3^。
3、0.25L = [ ]{.underline} cm^3^，0.75 m^3^ = [ ]{.underline} L，125 cm^3^ = [ ]{.underline} mL。
4、一个圆柱形容器，从里面量，底面的直径是10cm，高是0.05m，它的容积是 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} mL。来源：www.bcjy123.com/tiku/
5、一个圆柱的体积是60 cm^3^，高是4cm，这个圆柱的底面积是 [ ]{.underline} cm^2^。
二、精挑细选，对号入座。（选择正确答案的序号填在括号里）
1、一个桶可以装水50升，也就是说这个水桶原容积是50（ ）。
A、立方厘米 B、立方分米 C、立方米
2、一个油箱能装汽油多少升？是求油箱的( )。
A、表面积 B、体积 C、容积
3、做一个圆柱形饼干筒需要多少铁皮？这是求圆柱的（ ）。
A、侧面积 B、表面积 D、容积
来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、计算下面各圆柱的体积。
四、解决问题。
1、两个高相等的圆柱，一个底面积是25cm^2^，体积是100cm^3^ 。另一个底面积是30cm^2^，它的体积是多少？
> 2、一个圆柱形水桶，从里面量底面周长是50.24厘米，高是6分米。这个水桶的容积是多少升？
3、一个圆柱形铁皮油桶，从里面量底面直径是20dm，高是75dm，这个油桶里装满了汽油，将这些汽油加入相同的摩托车，可以加满多少辆摩托车？
4、为了测量一个瓶子的容积，淘气做了一个小实验（如右图，单位：厘米）。量得底面的内直径为8厘米，这个瓶子的容积是多少？
5、将一个底面半径为20厘米，高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米，高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高是多少厘米？
五、有A、B两个圆柱形容器，最初在容器A里装2升水，容器B是空的。现在，往两
> 个容器里，以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
>
> 如果B容器的底面半径为5厘米，求A容器的底面直径是多少？（不考虑容器的厚度）
**部分答案：**
二、1、B 2、C 3、B
三、1、V = 8×1.5 = 12（dm^3^）
2、V = 3.14×（）^2^×6.5 = 20.41（m^3^）
3、V = 3.14×3^2^×10 = 282.6（cm^3^）
四、2、12.0576升
5、圆锥体积：×20^2^××27= 3600（立方厘米）
圆柱体积：30^2^××20 = 18000（立方厘米）
（3600＋18000）÷（×15^2^）= 96（厘米）
五、0.4×4 = 1.6（升） 1.6升 = 1600（立方厘米） 3.14×5^2^ = 96（厘米）
根据高度相等的列方徎。
1600÷78.5 =
=
1600×3.14×r^2^ = 3600×78.5
r^2^ =
r^2^ =
r^2^ = （）^2^
r =
d = ×2 = 15 A容器底面直径是15厘米。
| 1 | |
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.
2. 若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由得，所以，故选C.
考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.\[来源:ZXXK\]
3\. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A．5 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为，设顶层的灯数为，则，解之得，故选D.
考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.
4\. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
考点：双曲线的标准议程与几何性质.
5\. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．5
【答案】B
【解析】
试题分析：模拟算法，开始：输入；
不成立；
不成立；
不成立；
成立；
输出，结束得算法.故选B.
考点：程序框图.
6\. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
C.函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
考点：三角函数的图象和性质.
7\. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，使得为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C.2 D．1
【答案】A
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值.
8\. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C.40 D．60
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形是以角为直角的直角三角形，,从而,又，且平面，故四边形中边长为的正方形，过作于，由易知平面，在直角三角形中可求得，从而,故选B.
考点：1.三视图；2.多面体和体积.
9\. 已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．
【答案】A
10. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）
A．36 B． C. D．
【答案】A
考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.
11\. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：在同一坐标系内作出函数与函数和图象，通过图象可知，当直线绕着原点从轴旋转到与图中直线重合时，符合题意，当时，，设直线与函数的切点为，则，解之得，所以直线的斜率，所以的取值范围为，故选B.
考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.
【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.
12\. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】C
考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 若、满足约束条件，则的最大值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
考点：线性规划.
14\. 在中，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
考点：数量积的几何运算.
【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想.
15\. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：数列的前项和为
，所以，
又，所以，由此可得，即应填.
考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.
【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋*f*(*n*)或*a~n~*~＋1~＝*f*(*n*)·*a~n~*，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.
16\. 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 [ ]{.underline} ．
【答案】
考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）
在中，内角、、所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.
【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边.
18\. （本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）设点、分别是，的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2) 平面；(3) .
（3）在平面内过点作，
考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.
【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.
19\. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.\[来源:ZXXK\]
（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）.
，化简得，因为点在椭圆上，所以，即
，所以．\[来源:\]
（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，，
由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，
即，，所以，
整理得，所以，
所以.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.
20\. （本小题满分12分）
设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2) ；（3）的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.
21\. （本小题满分12分）
已知，设函数.
（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；
（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.
【答案】(1)；(2) .
【解析】
试题分析：(1)求函数的导数得，分别讨论时函数在区间的最大值点是否符合题意即可；
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，令
，，根据题意，可以知道的最大值为1，则
恒成立，
由于，则，
当时，，则，若，则在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.
∴，满足条件，∴的取值范围是.
考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值.
【答案】(1) ；（2）.
考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用.
23\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设.
（1）解不等式；
（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围.
【答案】(1) ；（2）
考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.
\[来源:Z&xx&k.Com\]
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法》单元测试3（附答案）**
一、填一填。 (每题2分，共20分)
1．7.8＋7.8＋7.8＋7.8＋7.8=( )×( )。
2．将6.58的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的( )倍，结果是( )。
3．两个因数的积是0.56，如果把这两个因数都扩大为原来的10倍，那么积是( )。
4．0.37×12.94的积是( )位小数，0.35×2.04的积化简后是( )位小数。
5．根据规律填出横线上的数。
1.7，3.4，6.8\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_。来源：www.bcjy123.com/tiku/
6．2.5缩小到原来的是( )，再扩大1000倍是( )。
7．在下面的括号里填上"＞"、"＜"或"="。
653×0.9( )653 1×0.99( )1
5.37×1.1( )5.37 0.54×1( )5.4×0.1
8．去掉3.045的小数点，得到的数是( )，原数就扩大了( )倍。
9．25×10.2=25×10＋( )×25，运用了( )。
10．0.375这个数中的数字"7"在( )位上，如果把这个数扩大1000倍，"7"在( )上。
二、辨一辨。(对的打"√"，错的打"×")(5分)
1．在计算小数乘法时，和计算小数加减法一样，把小数点对齐再计算。 ( )
2．6.5×0.24的积化简后是两位小数。 ( )
3．整数乘法的运算律不适用小数乘法。 ( )
4．一个数去掉小数点后扩大了10倍，这个数一定是一位小数。 ( )
5．两个小数相乘，积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和。 ( )
三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)(5分)
1．把0.07的小数点向左移动一位，又向右移动三位，得( )。
A．0.7 B.7 C.70
2．下列算式中与3.84×2.65的积相等的是( )。
A．3.84×26.5 B．38.4×0.265 C．0.384×0.265
3．用简便方法计算25.5×99＋25.5=25.5×(99＋1)时运用了乘法( )。
A．交换律 B．分配律 C．结合律
4．235×14=3290，那么2.35×1.4的结果是( )。
A．3.29 B．0.329 C．32.9
5．买10千克大米需付28.4元，买5千克同样的大米需付( )元钱。
A．14.00 B．14.2 C．1.42
四、算一算。(36分)
1．(6分)算一算。
0.2×0.5= 7×0.08= 1.5×0.4=
0.05×1.6= 0.12×6= 0.4×0.25=
1.8×5= 0.8×1.25= 50×0.34=
3.2×4= 0.8×0.08= 3.6×0.5=
2．(8分)用竖式计算下面各题。
2.46×4= 2.35×0.48=
2.08×25= 0.32×0.26=
3．(12分)用你喜欢的方法计算下面各题。
7.2×2.5－15.65 0.25×1.25×3.2
2.5×4.7×0.4 2.43×5.2＋2.43×4.8
4．(4分)改正。
(1)0.78×6.1=47.58
0.7 8
×6.1
7 8
4 6 8
4 7.5 8
(2)60.5×1.9－1.8
=60.5×0.1
=6.05
5．(6分)根据65×39=2535，在下面的( )里填上合适的数。
25.35=( )×( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
=( )×( )
=( )×( )
0.2535=( )×( )
=( )×( )
=( )×( )
五、解决问题。(29分)
1．(4分)王奶奶家有一个小花园，她想给小花园围一圈篱笆，至少需要多少米长的篱笆？
2．(4分)小明搬新家了。下面是小明家客厅的示意图，妈妈准备在客厅铺上强化木地板，至少要买多少平方米的地板？来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．(4分)一杯酸奶1.60元，请问4杯酸奶需要多少钱？
4．(5分)一种洗发露原价24.6元，降价后每瓶18.7元。小明买了3瓶这样的洗发露，比原来便宜了多少钱？
5．(6分)1公顷松柏林每天分泌杀菌素30千克，36.4公顷松柏林30天分泌杀菌素多少千克？
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书目 单价(元)
语文 8.55
数学 7.25
英语 10.70
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班级 人数
四(1)班 42
四(2)班 40
四(3)班 45
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6．(6分)
(1)三个班共交数学书费多少钱？
(2)你还能提出什么数学问题？并试着解答。
六、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得l0分)
1．选做题A(5分)
"抗震英雄事迹报告会"在学校报告厅举行。小红准备给英雄蒋阿姨送上一束鲜花。康乃馨每枝0.8元，玫瑰每枝1.3元，小红只有5元钱，她想两种花都买，请写出一种买法。
2．选做题B(5分)
李老师带王聪、谢红、赵军去北京参加数学夏令营活动，往返交通费需要多少钱？（单程票价每人45.5元，儿童半价）
附加题。(5分)
东风小学四(2)班48人到郊外春游合影留念。一次拍摄6寸照片可附送5张照片，费用14.5元，另外再加印每张1.5元，全班每人都要1张，一共需要多少元？
**参考答案**
一、1．7.8 5 2．10 65.8 3．56 4．四 三
5．13.6 27.2 6．0.025 25 7．＜ ＜ ＞ =
8．3045 1000 9．0.2 乘法的分配律 10．百分 十位
二、1．× 2．√ 3．× 4．√ 5．√
三、1．B 2．B 3．B 4．A 5．B
四、1．0.1 0.56 0.6 0.08 0.72 0.1 9 1 17
12.8 0.064 1.8
2．9.84 1.128 52 0.0832
3．2.35 1 4.7 24.3
4．(1)0.78×6.1=4.758 (2)60.5×1.9－1.8
0.7 8 =114.95－1.8
× 6.1 =113.15
7 8
4 6 8
4.7 5 8
5．25.35=0.65×39 0.2535=0.65×0.39
=6.5×3.9 =0.065×3.9
=65×0.39 =6.5×0.039
(答案不唯一)
五、1．(30.4＋16.5)×2=93.8(米)
2．7.2×4.5=32.4(平方米)
3．1.60×4=6.40(元)
4．(24.6－18.7)×3=5.9×3=17.7(元)
5．30×36.4×30=32760(千克)
6．(1)(42＋40＋45)×7.25=920.75(元)
(2)略
六、1．3×0.8＋1.3×2=5(元) 买3枝康乃馨和2枝玫瑰。
2．45.5×0.5×3×2＋45.5×2=227.5(元)
附加题：(48－5)×1.5＋14.5=79(元)
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> **河北省衡水中学2017届高三下学期第四周周测**
>
> **理数试题**
>
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．
考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．
2\. 如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】试题分析：为将复数所对应的点逆时针旋转得，选B.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为
3\. 下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）
①；②；③；④
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②③
【答案】C
考点：函数的极值．
4\. 已知变量满足：，则的最大值为（ ）
A.  B.  C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数经过点时取得最大值，所以，故选D．
考点：简单的线性规划问题．
5\. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
考点：程序框图．
6\. 两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A. 2 B. 3 C.  D. 
【答案】B
【解析】试题分析：设这两个数列的前项和分别为，则，故选B．
考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的性质．
7\. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ）\[来源:Z。xx。k.Com\]
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
【答案】B
【解析】试题分析：由题意知服从正态分布，，则由正态分布图象的对称性可知，，故选B．
考点：正态分布．
8\. 函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A. 0 B.  C.  D. 
【答案】A
考点：三角函数的周期性.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.
9\. 若，则的值是（ ）
A. -2 B. -3 C. 125 D. -131
【答案】C
【解析】试题分析：令，得；令，得，即．又，所以，故选C．
考点：二项式定理．
10\. 已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】试题分析：由题意，得圆的圆心分别为和，半径均为，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆都在椭圆内，则需满足不等式，所以离心率，故选B．
考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．
11\. 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. \[来源:Z\#xx\#k.Com\]
【答案】D
考点：1.函数的基本性质；2.线性规划.
【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.
12\. 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高平面，即四面体的高为．在中，，由余弦定理，得，所以，所以由正弦定理可知的外接圆半径为．设这个外接圆的圆心为，半径为，则由外接球的对称性可得．在中，，即，所以外接球表面积为，故选A．
考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．
【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】该几何体可以看作是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为，因此体积为．
14\. 已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．
15\. 已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由题意得 ,因为过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以 ,因此
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
16\. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，，10的因数有1,2,5,10，，那么\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
【解析】由题意得
所以
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
【答案】(1);（2）．
【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．
试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.
又因为，所以.
因为为锐角三角形，所以.
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
18\. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的"星级卖场".
（1）当时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为，乙型号电视机的"星级卖场"数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
【答案】（1）．
（2）的分布列为：
.
（3）时，达到最小值.
【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为.
乙组数据的平均数为.
由茎叶图，知甲型号电视剧的"星级卖场"的个数，乙型号电视剧的"星级卖场"的个数，所以.
（2）由题意，知的所有可能取值为0,1,2.
且，，
所以的分布列为
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
 0 1 2
   
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以.
（3）当时，达到最小值.
试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到"星级卖场"的个数进行比较；（2）写出的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解．
考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．
19\. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析;（2）;（3）结论：在线段上不存在一点，使平面平面.
【解析】试题分析：（1）易证得，结合可推出平面，从而推出，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角公式求解；（3）假设存在点，求出平面的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出的值，从而作出判断．
（3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得，
∵，∴在线段上不存在点，使得平面平面．（12分 ）
考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．
【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．
20\. 如图，已知椭圆，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
【答案】（1）或;（2）.
【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线的方程，然后设的方程为.设，，，联立直线与椭圆的方程，得到间的关系，再由与点在线段上求得的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点到线段的距离，从而得到四边形的面积的表面式，进而求得其最大值．
试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点，则直线的方程为.
设直线的方程为.设，其中，
联立直线与椭圆的方程，消去，得方程.（3分）
故，由知，，
得，由点在线段上，知，得，
所以，化简，得，解得或.
（2）根据点到直线的距离公式，知点到线段的距离分别为，
又，
所以四边形的面积为
 ，
当且仅当，即时，取等号，
所以四边形面积的最大值为.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式．
21\. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．
【答案】(1) 当时， 的单调增区间为,当时，的单调增区间为，单调减区间为;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，，单调增区间为．时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可判定大小.
试题解析:(1)解：  ．
当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为．
当时，由，得；由，得.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.
不妨设，则，.
两式相减得，
即．
所以.因为，
当时，， 当x∈时，，
故只要证即可，即证明，
即证明，
即证明.设．
令，则.
因为，所以，当且仅当t＝1时，，所以在上是增函数．
又，所以当时，总成立．所以原题得证
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；\[来源:Z,xx,k.Com\]
（2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
【答案】(1) 的普通方程为,圆*C*的直角坐标方程为. (2).
【解析】试题分析：(1) 由加减消元得直线的普通方程，由可得圆*C*的直角坐标方程(2)根据直线参数方程几何意义得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程，并利用韦达定理得.
试题解析：(1)由得直线的普通方程为
又由得圆*C*的直角坐标方程为
即.
\(2\) 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，
得 ，即
由于，故可设是上述方程的两实数根，
所以又直线过点，两点对应的参数分别为
所以.
23\. 选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；
（2）若，，求的最大值．
【答案】（1）时，为常函数; （2）3.
考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．
附加题：
24\. 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦．
①设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；
②若直线的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2)①；②．
【解析】试题分析：(1)首先根据与圆相切的两条直线求得点的坐标，然后求得直线的方程，由此可求得椭圆的方程；(2) ①直线斜率均存在，设出直线、的方程，然后分别联立椭圆方程，结合韦达定理求得点的坐标，再结合中点求得斜率，从而求得定点；②将①中直线的方程代入椭圆方程中，然后将的长度表示出来，再结合基本不等式即可求出范围．
\(2\) ①若直线斜率均存在，设直线,则中点. 先考虑的情形.
由得.
由直线过点，可知判别式恒成立.
由韦达定理，得，故，
将上式中的换成，则同理可得.
若，得，则直线斜率不存在. 此时直线过点.
下证动直线过定点.
② 当直线的斜率均存在且不为时，
由①可知，将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得,
所以
.
同理，，
 ，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，由四点构成的四边形面积的取值范围为.
考点：1、直线与圆的位置关系；2、椭圆的方程及几何性质；3、直线与椭圆的位置关系．
25\. 已知函数（为自然对数的底数，），，．
（1）若，，求在上的最大值的表达式；
（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；
（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ．
【解析】试题分析：(1)先求函数导数，根据定义域以及  取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数．
试题解析：(1) 时，,
；
①当时，，在上为增函数，此时，
②当时，，在上为增函数，
故在上为增函数，此时
③当时，，在上为增函数，在上为减函数，
若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，
此时
若，即时，在上为增函数，则此时，
综上所述：
（2），，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上恰有两个相异实根，
 ，
实数的取值范围是，
（3）由题设：，（\*）
∵，故在上单调递减，在上单调递增，
（\*），
设，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
而，
且，
故存在，使，
且时，，时，，
又∵，，
∴时，使的图像恒在图像的上方的最大整数．
26\. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．
注：（1）表中表示出手次命中次；
（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
 
（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率；
（2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率；
（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．
【答案】（1）；（2）；(3) 不具有线性相关关系
【解析】试题分析：（1）从表中计数，易建联在比赛中超过的场次为8，由古典概型概率公式可得概率；
（2）从9场比赛中任选2场共有36种选法，两场中都不超过的有10种选法，因此至少有一场超过的有26种选法，由此可得所求概率；
（3）两人变量呈线性相关，在散点图所对应的点必须靠近某条直线，本题中显然不靠近一条直线，因此不是线性相关．
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**北师大版小学一年级下册数学期末考试试卷6（附答案）**
一、我会填。（24分）
1、
2、一个两位数的个位上的数是3，十位上的数是5，这个数是（ ）。
3、比大小。
32 28 69 71 1m 120cm 35 cm 3m
4、6元 =（ ）角来源：www.bcjy123.com/tiku/
40角 =（ ）元
35角 =（ ）元（ ）角
120cm =（ ）m（ ）cm来源：www.bcjy123.com/tiku/
5、手掌宽约8（ ）；
楼房高约20（ ）；
铅笔长约21（ ）。
二、算一算。（10分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
25＋20 = 40－18 =
9＋27 = 83－7 =
42＋24 = 68＋19 =
52－25＋36 = 27＋27－9 =
20＋70－52 = 42－13－15 =
三、下面是3个小朋友投篮情况统计图。（12分）
1、从统计图中可以知道，他们一共投进了（ ）个球。
2、（ ）投进的次数最多，（ ）投进的次数最少。
3、如果他们每人再投一次，能投进球的很可能是（ ）。
四、森林医生。（改错）（4分）
五、它们可能是多少？画"√"。（6分）
六、下边的照片分别是谁拍的？（填号码）。（4分）
七、认一认，涂一涂，数一数。（8分）
1、把长方形涂上红色，把正方形涂上绿色。
2、数一数，三角形有（ ）个，圆有（ ）个。
八、根据图形中所填的数的规律，找出与众不同的一个图形，并把它圈起来。（2分）
九、买衣服。（12分）
1、妈妈带80元钱，能买哪套衣服？
（ ）牌上衣和（ ）牌裤子。
2、如果要买一件上衣和两条裤子，最少要用多少元钱？
= （元）
十、小松鼠吃了多少个松果？（6分）
= （个）
十一、参加体育锻炼。（12分）
1. 参加三项体育锻炼的一共有多少人？
2、你还能提出什么数学问题？请提出并算一算。
**期末测试卷的部分答案：**
一、1、25，27，29，30 40，70，80 2、53 3、﹥ ﹤ ﹤ ﹤
4、60， 4 ， 3，5 1，20 5、cm m cm
二、45 22 36 76 66 87 61 45 38 14
三、1、20 2、小明 小兰 3、小明
四、 3 5 6 0
[＋ 1 9]{.underline} [－ 1 7]{.underline}
5 4 4 3
五、√ √
六、② ③ ①
七、2、1 7
八、提示：图③与众不同。规律是：上面两个数的和等于下面的数。
九、1、提示：答案不唯一，只要上衣和裤子的总价不超过80元即可。
2、31＋24＋38 = 93（元）
十、30－17 = 13（个）
十一、1、28＋11＋59 = 98（人）
2. 提示：能提出很多问题。
> 例如：① 游泳的比跳高的多多少人？ 28－11 = 17（人）
>
> ② 跑步的和跳高的一共有多少人？ 59＋11 = 70（人）
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**(浙江卷)**
**语 文**
**第1卷(共42分)**
**一、(18分．每小题3分)**
**1．下列词语中加点字的读音，完全相同的一组是**
** A．删除 膻味 籼米 潸然泪下**
**B．信笺 歼灭 缄默 间不容发**
**C．飙升 鱼鳔 剽悍 彪炳青史**
**D．血缘 戏谑 噱头 空穴来风**
**2．下列各句中，没有错别字的一项是**
**A．书刊要装帧，门面要装潢，居室要装修，营造一个舒适温馨而又口味高雅的家可以说是工薪阶层中许多人的梦想。**
**B．舞台上，弟弟的朗颂声情并茂，姐姐的伴奏锦上添花；母亲心中的那丝担忧很快便烟消云散了。**
**C．2008年1月以来，中国居民物价指数CPI出现了明显的涨幅，不少低收入家庭倍感通货膨涨的压力。**
**D．在骄阳的曝晒下，牵牛花堰旗息鼓，美人蕉慵倦无力，矜持的牡丹也耷拉下了高贵的头颅，失去了先前的神采。**
**3．下列各句中，加点词语能被括号中的词语替换且不改变句意的一项是**
**A．中国高等教育用不到十年的时间实现了从精英教育到大众教育的跨越，但大发展过程中，难免会泥沙俱下，出现各种各样的问题。（鱼龙混杂）**
**B．她不属于学院派，自然少受那些清规戒律的约束，其创作往往天马行空，充满神奇瑰丽的想象。（金科玉律）**
**C．最近，浙江手机上网资费全面下调，广大用户对此额手称庆。专家预测，未来通过手机收看体育赛事或许会成为一种潮流。（弹冠相庆）**
**D．NBA季后赛中，由于缺少了主力姚明，火箭队内线空虚，在防守上往往顾此失彼，实力明显削弱。（捉襟见肘）**
**4．下列各句中，没有语病的一句是**
**A．5月8日，俄罗斯国家杜马以压倒性票数批准新任总统梅德韦杰夫对俄前任总统普京的总理提名，梅德韦杰夫于当日签署了任命书。**
**B．这种无纺布环保袋经过工艺处理后，具备了防水、易清洗、容量大、满足消费者对环保袋的客观需求的优势。**
**C．在交融与冲突并存的文化环境中，能否用东方雕塑语言来表达这个精神，恰恰是中国当代雕塑所欠缺的。**
**D．奥运圣火登顶珠峰的瞬间，无论是参与登顶的勇士，还是全世界观看这一壮举的人们，无不毫无例外地感受到了心灵的震撼。**
**5．下列各句中，所引诗词最符合语境的一项是**
**A．"明月别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。"夏夜的西湖边，热闹的不仅是那些可爱的小生灵，更有璀璨的华灯和络绎的游人。**
**B．"疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏。"到现在我才知道，原来桂花的风骨，在于它的孤傲；桂花的品格，在于它的清幽。**
**C．"女娲炼石补天处，石破天惊逗秋雨。"高亢的乐声响彻苍穹，回荡在黄沙漫漫的高原上，也打动了他那颗布满伤痕的心。**
**D．"云中谁寄锦书来？雁字回时，月满西楼。"在异乡忙于追梦的游子，又怎能体会到母亲在故乡的牵挂和守望呢？**
**6．下列有关文学常识的表述，不正确的一项是**
**A．加西亚•马尔克斯是魔幻现实主义最杰出的代表作家、诺贝尔文学奖获得者，他的《百年孤独》被誉为"再现拉丁美洲历史社会图景的鸿篇巨制"。**
**B．中国古代戏曲主要指元杂剧和明清传奇。关汉卿的《窦娥冤》和王实甫的《西厢记》代表了元杂剧的最高成就，汤显祖的《牡丹亭》则是清传奇的代表作。**
**C．"家国之思"是中国古典文学作品中常见主题之一，唐代杜甫的《春望》和南唐后主的《虞美人》（春花秋月何时了）都抒发了国破家亡的之痛。**
**D．诗人经营意象往往匠心独运，徐志摩用"凉风"下的"水莲花"比喻姑娘的娇羞，而舒婷则用"木棉""红硕的花朵"象征现代女性的独立。**
**二、（12分，每小题3分）**
**阅读下面的文字，完成7---10题。**
**众所周知，生物多样性是地球生命体系稳态延续的基本前提。但人类社会的活动由于受到价值定位的影响，总会对某些生物物种过分偏爱，而对另一些生物物种漠然视之，甚至对某些物种厌恶有加，因而在地球生命体系中并存的生物物种，在人类社会中总会受到各不相同的待遇。这种不公正性，首先表现为人类社会控制下的生物群落，在物种数量上比自然生态系统中要少得多；其次表现为不同物种受到的待遇也互有区别，而且无视其原生特性；再次表现为相互间的关系得按照人类的意志加以调控。这些特征体现了人类社会对地球生命体系的偏离。这样的偏离积累扩大后，最终都会影响到地球生命体系的生物多样性。**
**不同文化对生物物种的价值定位，完全屈从于相关民族文化稳态运行的需要，而这样的需要又具有多重性，因而不同民族文化对生物的价值定位并不具有通约性。比较不同民族文化对生物物种的价值定位，其间也无规律可言。目前愈演愈烈的农田化进程和作物种植、牲畜饲养的单一化，恰好是全球范围内文化辐合趋同演替的自然结果。要消除这些威胁，更好地维护生物多样性，出路只有一个，那就是人类的食品结构必须尽可能多样化，尽可能从更多的生物物种中获取食物来源。而做到这一点的根本保证，也只能是民族文化的多元并存。**
**在文化辐合趋同演替的背景下，人类生产食品的办法也会日趋单一化。目前，在全球范围内，最为通行的作物保护措施就是化学农药的使用。但任何化学农药都会不加区别的消灭一切除作物和家养动物以外的物种，这对生物多样性的破坏是不言而喻的事实。然而，随着文化的辐合趋同，人类无法找到一种更好的化学农药的替代品，以至于生物多样的保护成了一纸空文。**
**生物多样性维护的另一个重要的威胁是化肥的滥用。人类在使用化肥时关注的仅是作物本身，对使用化肥的负面效应即使了解，也往往是不加理会。化肥的使用对于土壤微生物的存活是一个重大威胁，而这又会导致其它众多生物的生存压力。加上过量化肥对水体的污染，还会威胁到水生动植物的生存。然而，在文化辐合趋同的背景下，这些对生物多样性的明显威胁却无法得到缓解与消除。工业文明的食物生产模式在这一背景下，被不加区别地大范围推广，这同样会使生物多样性的维护更加艰难。**
**为了维护生物的多样性，人类社会应当拥有尽可能多的食物来源渠道和食物生产办法，以便分散对不同生物物种的生存压力。要使食物生产的多样化成为可能，同样需要民族文化的多元并存。因此，文化的辐合趋同本身就是对生物多样性的损害。如果没有认识到这一负面效应，维护生物多样性永远只能是一个理想，而无法落到实处。**
**7．对体现"人类社会对地球生命体系的偏离"的特征，表述不正确的一项是**
**A．人类社会对地球生命体系中并存物种不公正是受到价值定位的影响。**
**B．在物种数量上，人类社会控制下的生物群落远远少于自然生态系统中的生物群落。**
**C．人类社会对待不同物种或厌恶、或漠视、或偏爱，且无视其原生特性。**
**D．人类按照自己的主观意志调节控制物种与物种之间的相互关系。**
**8．对文化辐合趋同造成的结果，理解不恰当的一项是**
**A．食物来源集中于较少的生物物种，食品结构相对单一。**
**B．农田化进程愈演愈烈，作物种植、牲畜饲养单一化。**
**C．人类生产食品的办法日趋单一化，如作物保护措施单一。**
**D．工业文明的食物生产模式使生物多样性的维护更加艰难。**
**9．根据全文内容，最适合做这篇文章标题的一项是**
**A．文化辐合趋同对人类生态安全的威胁**
**B．文化辐合趋同对生物多样性的危害**
**C．生物多样性与文化多样性**
**D．生物多样性与合理利用地球资源**
**10．根据原文提供的信息，以下推断不正确的一项是**
**A．地球生命体系的稳态延续与民族文化的辐合趋同之间存在冲突。**
**B．生物多样性的保护之所以成为一纸空文，是因为客观上存在的困难以及人类的漠视。**
**C．文化的辐合趋同意味着对地球生命体系的破坏，它对人类弊大于利。**
**D．民族文化的多元并存是维护生物多样性的根本保证，也是地球生命体系稳态延续的客观要求。**
**三、（12分，每小题3 分）**
**阅读下面的文言文，完成11---14题。**
**居易字乐天，太原下邽人。弱冠，名未振，观光上国，谒顾况。[况，吴人，恃才少所推可]{.underline}，因谑之曰："长安百物皆贵，居大不易。"及览诗卷，至"离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生"，乃叹曰："有句如此，居天下亦不难。老夫前言戏之耳。"贞元十六年，中书舍人高郢下进士、拔萃，皆中，补校书郎。元和元年，作乐府及诗百余篇，规讽时事，流闻禁中。上悦之召拜翰林学士，历左拾遗。时盗杀宰相，就师汹汹。居易首上疏，请亟捕贼。权贵有嫌其出位，怒。俄有言："居易母堕井死，而贼《新井篇》，言既浮华，行不可用。"贬江州司马。初以勋庸①暴露不宜，实无他肠，怫怒奸党，遂失志。亦能顺适所遇，托浮屠死生说忘形骸者。久之，转中书舍人，知制诰。河朔乱，兵出无功，又言事，不，多听，乞外，除为杭州刺史。文宗立，召迁刑部侍郎。会昌初致仕，卒。**
**居易累以忠鲠遭摈，乃放纵诗酒。[既复用，又皆幼君，仕情顿而索寞]{.underline}。卜居履道里，与香山僧如满等结净社。疏沼种树，构石楼，凿八节滩，为游赏之乐，茶铛酒杓不相离。尝科头②箕踞，谈禅咏古，晏如也。自号醉吟先生，作传。酷好佛，亦经月不荤，称香山居士。与胡杲、吉皎、郑据、刘真、卢贞、张浑、如满、李文爽燕集，皆高年不仕，日相招致，时人慕之，绘《九老图》。**
**公诗以六义为主，不赏艰难。每成篇，必令其家老妪读之，问解则录。后人评白诗如山东父老课农桑，言言皆实者也。鸡林国③行贾售于其国相，率篇百金，伪者即能辨之。与元稹极善胶漆，音韵亦同，天下曰"元白"。元卒，与刘宾客齐名，曰"刘白"云。公好神仙，自制飞云履，焚香振足，如拔烟雾，冉冉生云。初来九江，居庐阜峰下，作草堂，烧丹。今尚存。**
** （本文有删节）**
**【注】①勋庸：这里指被刺杀的宰相武元衡。②科头：不戴帽子，裸露发髻。③鸡林国：朝鲜半岛古国名。**
**11．对下列句子加点词语的解释，不正确的一项是**
**A．会昌初致仕 致仕：做官。**
**B．居易累以忠鲠遭摈 累：屡次。**
**C．与胡杲......李文爽燕集 燕：通"宴"，宴饮。**
**D．不赏艰难 艰难：艰涩。**
**12．下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一组是**
**A． 权贵有嫌其出位 B． 乃放纵诗酒**
** 既其出，则或咎其欲出者 今其智乃反不能及**
**C． 鸡林国行贾售于其国相 D． 与刘宾客齐名**
** 今是溪独见辱于愚 无乃与仆私心剌谬乎**
**13．下列各句括号中补出的省略成分，不正确的一项是**
**A．及览（其）诗卷 B．流闻（于）禁中 **
**C．（老妪）问解则录 D．伪者（国相）即能辨之**
**14．下列对原文有关内容的赏析，不正确的一项是**
**A．本文开篇以顾况对白居易的前"谑"后"叹"，侧面表现了白居易在诗歌创作上的非凡才华。**
**B．白居易性格耿直，常上书直言论事，触怒了权贵奸党，这给他的仕途蒙上了阴影，也是他"放纵诗酒"的重要原因之一。**
**C．白居易的诗歌内容真实，辞句晓畅，风格平易，在当时流传甚广。内至宫廷，外达异邦，诗名远播。**
**D．白居易居庙堂之上，则"兼济天下"；处江湖之远，则"独善其身"。儒、释两家思想的影响，并存于他人生的各个阶段。**
**四、（18分）**
**15．（8分）**
**⑴把文言文阅读材料中画线的句子译成现代汉语。（5分）**
**①况，吴人，恃才少所推可。（2分）**
**[ ]{.underline}**
**②既复用，又皆幼君，仕情顿而索寞。（3分）**
**[ ]{.underline}**
**⑵用斜线（／）给下面的文言文断句。（3分）**
** 政姊荣闻人有刺杀韩相者贼不得国不知其名姓暴其尸而县之千金乃於邑曰其是吾弟与嗟乎严仲子知吾弟立起如韩之巿而死者果政也**
** （《史记•刺客列传》）**
**16．阅读下面这首诗，然后回答问题。（6分）**
** 日暮倚杖水边①**
** （金）王寂**
** 水国西风小摇落，撩人羁绪乱如丝。**
** 大夫泽畔行吟处，司马江头送别时。**
** 尔辈何伤吾道在，此心惟有彼苍知。**
** 苍颜华发今如许，便挂衣冠已慢迟。**
**【注】①此诗为王寂被贬官至河南蔡州时所作。**
**⑴此诗颔联以[ ]{.underline}和[ ]{.underline}两位被贬异乡的古人自况，用典精当，对仗工整。（2分）**
**⑵指出"羁绪"在全诗中的具体内容，并简要赏析首联在写法上的特点。（4分）**
**[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}**
**17．补写出下列名句名篇中的空缺部分。（只选4个小题）（4分）**
**⑴[ ]{.underline}，铁马秋风大散关。（陆游《书愤》**
**⑵但见悲鸟号古木，雄飞雌从绕林间。[ ]{.underline}，[ ]{.underline}。（李白《蜀道难》**
**⑶古人之观于天地、山川、草木、虫鱼、鸟兽，往往有得，[ ]{.underline}。（王安石《游褒禅山记》**
**⑷一人之心，千万人之心。秦爱纷奢，人亦念其家。[ ]{.underline}，[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}。（杜牧《阿房宫赋》**
**⑸回首向来萧瑟处，归去，[ ]{.underline}。（苏轼《定风波》**
**五、（18分）**
**阅读下面的文字，完成18---21题。**
** 乌 米〔俄〕阿•马•高尔基**
**①......每当早晨醒来，我便打开房间的窗户，倾听着从山上透过果园中茂密的绿阴向我传来的心事重重的歌声。无论我醒得多早，这歌声都已经回荡在充满着盛开的桃花和无花果的香甜气息的晨空里了。**
**②清风从阿伊------偑特里山巍峨的峰顶簌簌吹来，微微地拂动着我窗前浓密的树叶，树叶的簌簌声给歌声增添了许多令人心旷神怡的美感。歌曲本身并不优美，而且有些单调，整个曲调很不和谐。在看来本应该停顿的地方，听到的[却是悲伤而激动的呼号]{.underline}，随后这一惊心动魄的喊叫又同样出人意外地变作了[柔肠百转的怨诉]{.underline}。这歌是一个苍老而颤抖的嗓音唱出来的，日复一日，从早到晚，什么时候都能听到这支像山溪一般流下来的唱不尽的歌子。**
**③村民们对我说，这心事重重的歌声他们已经听了七个年头。我问他们："这是谁在唱？"他们告诉我，这是一个叫乌米的疯老婆子唱的。六年前她的丈夫和两个孩子出海捕鱼，至今没有回来。**
**④从那时起，乌米便每天坐在自家土屋的门槛上，望着大海歌唱，等待着自己的亲人。一次，我去看她。我沿着蜿蜒的小道，经过几个伫立在山坡上的土屋，穿过一个个果园和葡萄园，爬上了高山。在山石背后翠绿树丛中，我看到了乌米老太婆的那所半坍塌的土屋。在从亚伊拉山顶滚下的巨石中间，长着几株法国梧桐、无花果树和桃树。溪水潺潺地流着，在它流过的地方形成许多小小的瀑布，土屋顶上长着青草，墙上爬着曲曲弯弯的藤蔓，屋门正对着大海。**
**⑤乌米坐在门旁的石头上，她的身材匀称颀长，白发苍苍。她那布满细小皱纹的脸，已被太阳晒成了棕褐色。层层叠叠的石堆，年久失修的半塌的土屋，在炎热的蓝天衬托下的阿伊------偑特里山的灰色峰顶，以及在太阳照耀下寒光熠熠的大海，所有这一切在老人周围形成了一种肃穆静谧的气氛。在乌米脚下的山坡上，有一些零零落落的村舍。透过果园的绿树丛看去，它们那五颜六色的屋顶，酷似一个被打翻了的颜料箱。从山下不时传来马具的叮当声，还有潮水拍击海岸的沙沙声。偶尔还可以听到聚集在集巿上咖啡馆附近的人们的喧嚷声。在这儿的山顶上是一片宁静，只有淙淙的溪水，伴随着还在六年前已经开始了的乌米的幽思漫漫的歌声。**
**⑥乌米一面唱，一面用笑脸迎着我。她的脸在微笑时皱得越发厉害了。她的眼睛年轻而明亮，眼里燃烧着专心致志的期待之火。她温存地打量了我一眼，重又凝视着一片荒漠似的大海。**
**⑦我走近前去，在她身旁坐下，听着她歌唱。歌子是那样奇特：满怀信心的曲调不时为忧思所代替，其中含有焦灼不安和疲倦的调子，它时而中断，寂然无声；时而又响起来，充满了喜悦和希望......**
**⑧但是不论这歌曲表现什么样的情绪，乌米老太太的脸上却只有一种表情，那是一种坚信不疑的期待，一种满怀信心的、安详而喜悦的期待。**
**⑨我问她："你的丈夫叫什么名字？"她粲然一笑，回答说："阿布德拉伊姆......大儿子叫阿赫乔姆，还有一个叫尤努斯......他们很快就会回来的。他们正在路上，我马上就会看到船了。你也会看见的确"**
**⑩她说"你也会看见的"这句话时，似乎深信，见到他们父子对我说来也将是莫大的幸福，似乎当她丈夫的渔船出现在海天之际，出现在她那被南方的烈日晒干了的、木乃伊般的棕色手指所指的那一道深蓝色的细线上时，我会感到莫大的快乐。**
**⑾随后她又唱起了那支期待和希望之歌。我看着她，一面听，一面想："就这样怀着希望该有多好啊！心里充满了对未来巨大欢乐的期待，这样活着该有多好啊！"**
**⑿乌米一直在唱着，她微笑地摇晃着身躯，目不转睛地凝视着在日光下闪烁着耀眼光辉的茫茫大海。**
**⒀她完全沉湎在一种思念里，不理会任何别的东西了，坐在她身旁的我对她说来已不复存在。我对她这种全神贯注的神态满怀敬意，我觉得，她这种只怀着一种希望的生活很值得羡慕，我沉默着，情愿让她把我忘却。这一天海上风平浪静，它像一面明镜，映射出明亮的天色，但并未使我产生什么希望。随后我便满怀惆怅悄然离去。身后传来了歌声和溪水响亮的淙淙声，海鸥在海上翱翔，一大群海豚在离岸不远的地方尽情嬉戏，远方是苍茫的大海。**
**⒁年迈的乌米永远等不到什么了，但她将怀着希望活着和死去......**
**18．本文着意勾勒了乌米的形象，请从两个方面概括乌米的主要性格特征。（各不超过两个词）（2分）**
** ⑴□□ ⑵□□**
**19．指出第5自然段中景物描写所采用的手法，并简析该段景物描写的作用。（5分）**
**[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}**
**20．（5分）**
** ⑴请用一句概括乌米歌声的情感内涵。（不超过10个字）（2分）**
-- -- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- -- --
** ⑵文中反复写她的歌声有何目的？（3分）**
**[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}**
**21．鲁迅《祝福》中的"我"既是不可或缺的人物形象，又是主人公祥林嫂命运的见证，其重要性与本篇中的"我"相似。请赏析《乌米》中"我"的形象与作用。（6分）**
**[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}**
**[ ]{.underline}**
**六、（12分）**
**22．把下列带序号的句子组合成语意连贯的一段话并填入横线处。（只填序号）（3分）**
** 奥林匹亚的废墟之美，究竟属于哪种美呢？[ ]{.underline}。**
**①因而残垣断壁失去部分的构图，也就容易让人通过想象获得。**
**②也许废墟和残垣断壁本身就是美，这种美与其整体建筑结构左右对称有关。**
**③不论是帕台农神庙还是厄瑞克特翁庙，我们推想它失去的部分时，不是依据实感，而是依据这种想象。**
**④我们的感动，就是看到残缺美的感动。**
**⑤这想象的喜悦，不是所谓空想的诗，而是悟性的陶醉。**
**23．根据下面的情境，补写流水与树根的对话。（4分）**
**一天，流水遇到了树根。**
**流水讽刺树根说：[ ]{.underline}**
**树根谦和地回答：[ ]{.underline}**
** 到了春天，流水穿过山涧，走过草地，惊讶地看到树根滋养出的鲜花装点了大地。**
**24．从下面这则关于四川大地震的新闻材料中提炼一个论点，并概括出一个能证明论点的事实论据。（5分）**
**听到乐刘会的呼救声，救援人员闻讯赶到。此时乐刘会压在废墟中已近70个小时，援救过程中她断断续续告诉记者：**
**"被困时，我没有掉过一滴眼泪。"**
**"我等着你们来救我，我相信你们会来救我。"**
**"我听到外面有人在说话，我就不停地喊救命......"**
**"没有（你们的）声音，我就不喊了。我要节省力气。"**
**"我坚持着。我现在还活着，我很高兴。"**
**"我希望大家不要为我担心，我在里面会自己保护自己的。"**
**在废墟中，她告诉其他被埋的同事："一定要坚持，肯定会有人来救我们。"正是靠着坚定的信心，她熬过了漫长的时间。**
**5月15日下午4点，被埋72个小时后，乐刘会终于获救。当躺在担架上的乐刘会看到妈妈时，她再也忍不住了，放声痛哭。**
** 论点：□□□□□□□□□□□（不超过10个字）（2分）**
** 论据：**
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
**七、（60分）**
**25．阅读下面的文字，根据要求作文。（60分）**
**都巿和乡村，是我们栖居的空间；都巿生活和乡村生活，是我们平凡的生活。当我们从平凡中回望时，每个人都会有不同的感触和期待。**
**请以"触摸都巿"或"感受乡村"为题，写一篇作文，可讲述你自己或身边的故事，抒发你的真情实感，也可阐明斧思想观点。**
**【注意】①立意自定，角度自选。②除诗歌外，文体不限。③不少于800字。④不得抄袭。**
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**2007年**考研**数学（三）真题**
--------------------------------
1. **选择题**（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 当时，与等价的无穷小量是（ ）
> .
2. 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( )
.若存在，则 若存在，则
.若存在，则存在 若存在，则存在
3. 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）
.
4. 设函数连续，则二次积分等于（ ）
5. 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）
10 20 30 40
6. 曲线渐近线的条数为（ ）
0 1 2 3
（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )
（A） (B)
（C） (D)
（8）设矩阵，则A与B（ ）
（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
\(C\) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )
\(10\) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( )
（A） (B)
\(C\) (D)
**二、填空题：**11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）.
（12）设函数，则.
（13）设是二元可微函数，则\_\_\_\_\_\_\_\_.
（14）微分方程满足的特解为[\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.]{.underline}
（15）设距阵则的秩为\_\_\_\_\_\_\_.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题**：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.
（18）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分其中
（19）（本题满分11分）
设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：
（Ⅰ）存在使得；
（Ⅱ）存在使得
（20）（本题满分10分）
将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的概率密度.
（24）（本题满分11分）
设总体的概率密度为
.
其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.
（Ⅰ）求参数的矩估计量；
（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.
**2007年**考研**数学（三）真题**
--------------------------------
**一、选择题**（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
1. 当时，与等价的无穷小量是（B）
> .
2. 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D)
.若存在，则 若存在，则
.若存在，则存在 若存在，则存在
3. 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ）
.
4. 设函数连续，则二次积分等于（B）
5. 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D）
10 20 30 40
6. 曲线渐近线的条数为（D）
0 1 2 3
（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A)
（A） (B)
\(C\) (D)
（8）设矩阵，则A与B（B）
（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
\(C\) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)
\(10\) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A)
（A） (B)
\(C\) (D)
**二、填空题：**11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）.
（12）设函数，则.
（13）设是二元可微函数，则.
（14）微分方程满足的特解为[]{.underline}.
（15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿.
**三、解答题**：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）
设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.
【**详解**】：
（18）（本题满分11分）
设二元函数
计算二重积分其中
【**详解**】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即
利用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得
设，其中
于是
由于，故
为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而
，故
令作换元，则，于是且
，代入即得
综合以上计算结果可知
（19）（本题满分11分）
设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：
（Ⅰ）存在使得；
（Ⅱ）存在使得
【**详解**】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在
(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即.
（20）（本题满分10分）
将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.
【**详解**】：
【**详解**】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
的解.
即距阵方程组(3)有解的充要条件为.
> 当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：
当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：
（22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记，其中E为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵B.
【**详解**】：
（Ⅰ）可以很容易验证，于是
于是是矩阵B的特征向量.
B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即
，
所以B的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，
于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下：
于是求得B的属于1的特征向量为
因而，矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.
矩阵B属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数.
（Ⅱ）由有
令矩阵，
则，所以
那么
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的概率密度.
【**详解**】：
（Ⅰ），其中D为中的那部分区域；
求此二重积分可得
（Ⅱ）
当时，；
当时，；
当时，
当时，
于是
（24）（本题满分11分）
设总体的概率密度为
.
其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.
（Ⅰ）求参数的矩估计量；
（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.
【**详解**】：
（Ⅰ）记，则
**，**
解出，因此参数的矩估计量为；
（Ⅱ）只须验证是否为即可，而
，而
，，
，
于是
因此不是为的无偏估计量.
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2020年广东省初中学业水平考试
**数 学**
**说明：**1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．
> 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
>
> 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
>
> 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
>
> 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
**一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．**
1．9的相反数是
> A．﹣9 B．9 C． D．﹣
2．一组数据2、4、3、5、2的中位数是
> A．5 B．3．5 C．3 D．2．5
3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为
> A．（﹣3 ，2） B．（﹣2 ，3） C．（2 ，﹣3） D．（3 ，﹣2）
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为
> A．4 B．5 C．6 D．7
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
> A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
6．已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
> A．8 B． C．16 D．4
7．把函数y=（x﹣1）^2^+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
> A．y=x^2^+2 B．y=（x﹣1）^2^+1
>
> C．y=（x﹣2）^2^+2 D．y=（x﹣1）^2^+3
8．不等式组的解集为
> A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
9．如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
> A．1 B． C． D．2
10．如题10图，抛物线y=ax^2^+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b^2^﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有
> A．4个 B．3个 C．2个 D．1
>
> **\
> **
**二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．**
11．分解因式：xy﹣x=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12．如果单项式3x^m^y与﹣5x^3^y^n^ 是同类项，那么m+n=\_\_\_\_\_\_\_\_．
13．若+\|b+1\|=0，则（a+b）^2020^=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．已知x=5﹣y，xy=2，计算3x+3y﹣4xy的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为\_\_\_\_\_\_m．
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA、BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA、BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
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**
**三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）**
18．先化简，再求值：(x+y)^2^+(x+y)(x﹣y) ﹣2x^2^，其中x=,y=．
19．某中学展开主题为"垃圾分类知多少"的调查活动，调查问卷设置了"非常了解"、"比较了解"、"基本了解""不太了解"四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级 ．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
------------ ---------- ---------- ---------- ----------
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数（人） 24 72 18 x
------------ ---------- ---------- ---------- ----------
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校"非常了解"和"比较了解"垃圾分类知识的学生共有多少人？
20．如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
**四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）**
21．已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x^2^+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
22．如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
23．某社区拟建A、B两类摊位以搞活"地摊经济"，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
**五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）**
24．如题24图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
25．如题25图，抛物线y=与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=CD．
（1）求b、c的值；
（2）求直线BD的直线解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
2020年广东省初中学业水平考试
**数 学**
**说明：**1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．
> 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
>
> 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
>
> 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
>
> 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
**一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．**
1．9的相反数是
> A．﹣9 B．9 C． D．﹣
【答案】A
【解析】正数的相反数是负数．
【考点】相反数
2．一组数据2、4、3、5、2的中位数是
> A．5 B．3．5 C．3 D．2．5
【答案】C
【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数．
【考点】中位数
3．在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为
> A．（﹣3 ，2） B．（﹣2 ，3） C．（2 ，﹣3） D．（3 ，﹣2）
【答案】D
【解析】关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【考点】对称性
4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为
> A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】（n-2）×180°=540°，解得n=5．
【考点】n边形的内角和
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
> A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【答案】B
【解析】偶数次方根的被开方数是非负数．
【考点】二次根式
6．已知△ABC的周长为16，点D、E、F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为
> A．8 B． C．16 D．4
【答案】A
【解析】三角形的中位线等于第三边的一半．
【考点】三角形中位线的性质．
7．把函数y=（x﹣1）^2^+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
> A．y=x^2^+2 B．y=（x﹣1）^2^+1
>
> C．y=（x﹣2）^2^+2 D．y=（x﹣1）^2^+3
【答案】C
【解析】左加右减，向右x变为x-1，y=（x﹣1﹣1）^2^+2y=（x﹣2）^2^+2 ．
【考点】函数的平移问题．
8．不等式组的解集为
> A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【答案】D
【解析】解不等式．
【考点】不等式组的解集表示．
9．如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
> A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】解法一：排除法
过点F作FG∥BC交BE与点G，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=，∴BE＞．
解法二：角平分线的性质
延长EF、BC、B'C'交于点O，可知∠EOB=∠EOB'=30°，可得∠BEO=∠B'EO=60°， ∴∠AEB'=60°．设BE=B'E=2x，由三角函数可得AE=x，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．
【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．
10．如题10图，抛物线y=ax^2^+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b^2^﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有
> A．4个 B．3个 C．2个 D．1
【答案】B
【解析】由a＜0，b＞0，c＞0可得①错误；由△＞0可得②正确；由x=-2时，y＜0可得③正确．当x=1时，a+b+c＞0，当x=-2时，4a-2b+c＞0即-4a+2b-c＞0，两式相减得5a-b+2c＞0，即5a+2c＞b，∵b＞0，∴5a+b+2c＞0可得④正确．
【考点】二次函数的图象性质．
**二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共27分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．**
11．分解因式：xy﹣x=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x（y-1）
【解析】提公因式
【考点】因式分解
12．如果单项式3x^m^y与﹣5x^3^y^n^ 是同类项，那么m+n=\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】m=3，n=1
【考点】同类项的概念
13．若+\|b+1\|=0，则（a+b）^2020^=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】算术平方根、绝对值都是非负数，∴a=2，b=-1，-1的偶数次幂为正
【考点】非负数、幂的运算
14．已知x=5﹣y，xy=2，计算3x+3y﹣4xy的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】7
【解析】x+y=5，原式=3（x+y）-4xy，15-8=7
【考点】代数式运算
15．如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】45°
【解析】菱形的对角线平分对角，∠ABC=150°，∠ABD=75°
【考点】垂直平分线的性质、菱形的性质
16．如题16图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为\_\_\_\_\_\_m．
【答案】
【解析】连接BO、AO可得△ABO为等边，可知AB=1，l=，2πr=得r=
【考点】弧长公式、圆锥
17．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA、BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA、BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】 点B到点E的距离不变，点E在以B为圆心的圆上，线段BD与圆的交点即为所求最短距离的E点，BD=，BE=2
【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题
**三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）**
18．先化简，再求值：(x+y)^2^+(x+y)(x﹣y) ﹣2x^2^，其中x=,y=．
【答案】
解：
原式=x^2^+2xy+y^2^+x^2^-y^2^-2x^2^
=2xy
把x=,y=代入，
原式=2××=2
【解析】完全平方公式、平方差公式，合并同类项
【考点】整式乘除，二次根式
19．某中学展开主题为"垃圾分类知多少"的调查活动，调查问卷设置了"非常了解"、"比较了解"、"基本了解""不太了解"四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级 ．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：
------------ ---------- ---------- ---------- ----------
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数（人） 24 72 18 x
------------ ---------- ---------- ---------- ----------
（1）求x的值；
（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校"非常了解"和"比较了解"垃圾分类知识的学生共有多少人？
【答案】
解：
（1）由题意得24+72+18+x=120，解得x=6
（2）**1800×=1440（人）**
答：估算该校"非常了解"和"比较了解"垃圾分类知识的学生共有1440人．
【解析】统计表的分析
【考点】概率统计
20．如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】
证明：
∵BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE
∴△BFDF≌△CFE（AAS）
∴∠DBF=∠ECF
∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【解析】等式的性质、等角对等边
【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法
**四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）**
21．已知关于x、y的方程组与的解相同．
（1）求a、b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x^2^+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】
解：
1. 由题意得，解得
由，解得
（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得x^2^﹣4x+12=0
（x-）^2^=0
x~1~=x~2~=
∴该三角形的形状是等腰三角形
∵（2）^2^=24，（）^2^=12
∴（2）^2^=（）^2^+（）^2^
∴该三角形的形状是等腰直角三角形
【解析】理解方程组同解的概念，一元二次方程的解法、三角形形状的判断
【考点】二元一次方程组、一元二次方程、勾股定理逆定理
22．如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．
【答案】
1. 证明：过点O作OE⊥CD交于点E
∵AD∥BC，∠DAB=90°
∴∠OBC=90°即OB⊥BC
∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD
∴OB=OE
∵AB是⊙O的直径
∴OE是⊙O的半径
∴直线CD与⊙O相切
（2）连接OD、OE
∵由（1）得，直线CD、AD、BC与⊙O相切
∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，
∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO
∴∠AOD=∠EOD，CD=3
∵=
∴∠APE=∠AOE=∠AOD
∵AD∥BC
∴∠ADE+∠BCE=180°
∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°
∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO
∴△ODE∽△CDO
∴即
∴OD=
∵在Rt△AOD中，AO=
∴tan∠AOD==
∴tan∠APE=
【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法
【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数
23．某社区拟建A、B两类摊位以搞活"地摊经济"，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A、B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A、B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【答案】
解：（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米.
解得x=3
经检验x=3是原方程的解
∴x+2=5（平方米）
答：每个A、B类摊位占地面积各为5平方米和3平方米.
2. 设A类摊位数量为a个，则B类摊位数量为（90-a）个，最大费用为y元.
由90-a≥3a，解得a≤22.5
∵a为正整数
∴a的最大值为22
y=40a+30（90-a）=10a+2700
∵10＞0
∴y随a的增大而增大
∴当a=22时，y=10×22+2700=2920（元）
答：这90个摊位的最大费用为2920元.
【解析】分式方程的应用题注意检验，等量关系的确定是关键
【考点】分式方程的应用，不等式的应用，一次函数应用
**五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）**
24．如题24图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=\_2\_\_\_\_\_\_\_；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【答案】
（2）解：过点D作DP⊥x轴交于点P
由题意得，S矩形OBC=AB•AO=k=8，S矩形ADPO=AD•AO=k=2
∴=即BD=AB
∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3
（3）连接OE
由题意得S△OEC=OC•CE=1，S△OBC=OC•CB=4
∴即CE=BE
∵∠DEB=∠CEF，∠DBE=∠FCE
∴△DEB∽△FEC
∴CF=BD
∵OC=GC，AB=OC
∴FG=AB-CF=BD-BD=BD
∵AB∥OG
∴BD∥FG
∴四边形BDFG为平行四边形
【解析】反比例函数k的几何意义，三角形面积的表示，清楚相似比与线段比的关
【考点】反比例函数、相似三角形、三角形的面积比、平行四边形的判定
25．如题25图，抛物线y=与x轴交于点A、B，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC=CD．
（1）求b、c的值；
（2）求直线BD的直线解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】
解：（1）由题意得A（-1,0），B（3,0），代入抛物线解析式得
，解得
（2）过点D作DE⊥x轴交于点E
∵OC∥OC，BC=CD，OB=3
∴
∴OE=
∴点D的横坐标为x~D~=-
∵点D是射线BC与抛物线的交点
∴把x~D~=-代入抛物线解析式得y~D~=+1
∴D(-,+1)
设直线BD解析式为y=kx+m，将B（3，0）、D(-,+1)代入
，解得
∴直线BD的直线解析式为y=
（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n＜0，Q（x，0）且x＜3
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=
tan∠PQB=tan∠ADB，即=1，解得x=
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得-n=2
tan∠QPB=tan∠ABD，即=，解得x=
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得-n=
tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得-n=2
tan∠PQM=tan∠DAE，即=，解得x=
综上所述，Q~1~（，0）、Q~2~（，0）、Q~3~（，0）、Q~4~（，0）
【解析】分类讨论不重不漏，计算能力要求高
【考点】一次函数、二次函数、平面直角坐标系、相似三角形、三角函数、分类讨论、二次根式计算
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**北师大版小学五年级上册数学第1单元《小数除法------谁打电话的时间长》同步检测2（附答案）**
一、口算直通车。
34÷10= 20÷5=
3.4÷1= 2÷0.5=
3.6÷4= 8.1÷9=
36÷40= 0.81÷0.9=来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、填一填。
1.被除数和除数同时扩大到原来的100倍，商( )；同时缩小到原来的，商( )。
2.0.83里面有（ ）个0.01，8.3里面有( )个0.01。
3.计算5.04÷0.4时，要先把0.4的小数点向右移动( )位，转化成( )；5.04必须同时转化成( )。
4.3.96÷0.3 = ( ) ÷3
63÷0.42 = ( ) ÷42
三、计算下面各题，并验算。
42.3÷2.35 2.1÷0.84
来源：www.bcjy123.com/tiku/
38.75÷6.2 6.2÷12.4
四、完成下表后，根据规律填空。
-------- ----- ----- ----- ----- -----
被除数 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6
除数 1.8 1.2 1 0.9 0.6
商
-------- ----- ----- ----- ----- -----
从表中可以看出：
当除数等于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
当除数小于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
当除数大于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
五、计算下面两组题。
1.2=□ 0.48 =□
1.68÷0.12=□ 4.8÷0.12=□
0.012=□ 48 =□
六、解决问题。
1.长颈鹿身高是5.25米，梅花鹿身高是1.5米 ，长颈鹿的高度是梅花鹿高度的几倍？
2.一个普通鸡蛋的质量是0.07千克，蛋黄的质量是0.028千克，蛋壳的质量是0.007千克，其余是蛋清。
(1)蛋清的质量是多少千克？
(2)妈妈要用0.175千克的蛋清，她需要用几个鸡蛋？
七、动脑筋。
一个小数的小数点向右移动一位，这个数就比原来大51.48，原数是多少？如果小数点向右移动两位比原来大51.48，原数又是多少？
**参考答案**
一、3.4 3.4，4 4，0.9 0.9，0.9 0.9
二、l. 不变 不变
2\. 83 830 来源：www.bcjy123.com/tiku/
3\. 一 4 50.4
4\. 39.6 6300
三、l8 2.5 6.25 0.5
四、2 3 3.6 4 6 等于 大于 小于
五、l. 4 14 140，4 40 400
六、l. 5.25÷1.5＝3.5
2.(1)0.07－0.028－0.007＝0.035(千克)
(2)0.175÷0.035＝5(个)
七、51.48÷(10－1)＝5.72 51.48÷(100－1)＝0.52
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）**
**数 学（理工农医类）**
**本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。**
**2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。**
**3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。**
4. **考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的**
**1．如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为**
**A．3**
**B．5**
**C．6**
**D．10**
**2．将的图象按向量a=平移，则平移后所得图象的解析式为**
**A．**
**B．**
**C．**
**D．**
**3．设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果P={x\|log~2~x\<1},Q={x\|\|x-2\|\<1},那么P-Q等于**
**A．{x\|0\<x\<1}**
**B．{x\|0\<x≤1}**
**C．{x\|1≤x\<2}**
**D．{x\|2≤x\<3}**
**4．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：**
**①m＇⊥n＇m⊥n**
**②m⊥n m＇⊥n＇**
**③m＇与n＇相交m与n相交或重合**
**④m＇与n＇平行m与n平行或重合**
**其中不正确的命题个数是**
**A．1**
**B．2**
**C．3**
**D．4**
**5．已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2,则**
**A．0**
**B．1**
**C．**
**D．**
**6．若数列{a~n~}满足N\*）,则称{a~n~}为"等方比数列"**
**甲：数列{a~n~}是等方比数列；乙：数列{a~n~}是等比数列.则**
**A．甲是乙的充分条件但不是必要条件**
**B．甲是乙的必要条件但不是充分条件**
**C．甲是乙的充要条件**
**D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件**
**7．双曲线C~1~：（a\>0,b\>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F~1~和F~2~；抛物线C~2~的准线为l，焦点为F~2~；C~1~与C~2~的一个交点为M，则等于**
> **A．-1**
>
> **B．1**
>
> **C．**
>
> **D．**
**8．已知两个等差数列{a~n~}和{b~n~}的前n项和分别为A~n~和B~n~，且，则使得为整数的正整数n的个数是**
> **A．2**
>
> **B．3**
>
> **C．4**
>
> **D．5**
**9．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=（m,n）与向量b=（1,-1）的夹角为θ，则的概率是**
> **A．**
>
> **B．**
>
> **C．**
>
> **D．**
**10．已知直线（a,b是非零常数）与圆x^2^+y^2^=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有**
> **A．60条**
>
> **B．66条**
>
> **C．72条**
>
> **D．78条**
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。**
**11．已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= [ ]{.underline} ；b= [ ]{.underline} 。**
**12．复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z^2^-4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是 [ ]{.underline} 。（写出一个有序实数对即可）**
**13．设变量x，y满足约束条件则目标函数2x+y的最小值为 [ ]{.underline} 。**
**14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 [ ]{.underline} 。（用数值作答）**
**15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：**
**（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 [ ]{.underline} 。**
**（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 [ ]{.underline} 小时后，学生才能回到教室。**
**三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
**16．（本小题满分12分）**
**已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ。**
**（Ⅰ）求θ的取值范围；**
**（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin^2^的最大值与最小值。**
**17．（本小题满分12分）**
----------- -----------
**分 组** **频 数**
**4**
**25**
**30**
**29**
**10**
**2**
**合 计** **100**
----------- -----------
**在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）**
**共有100个数据，将数据分组如右表：**
**（Ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出**
**频率分布直方图；**
**（Ⅱ）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概**
**率是多少；**
**（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是1.32）作为代表。据此，估计纤度的期望。**
**18．（本小题满分12分）**
**如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。**
**（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；**
**（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。**
**19．（本小题满分12分）**
**在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x^2^=2py（p\>0）相交于A、B两点。**
**（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；**
**（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）**
**20．（本小题满分13分）**
**已知定义在正实数集上的函数f（x）=x^2^+2ax，g（x）=3a^2^lnx+b，其中a\>0。设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同。**
**（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；**
**（Ⅱ）求证：f（x） ≥g（x） （x\>0）。**
**21．（本小题满分14分）**
**已知m，n为正整数。**
**（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x\>-1时，（1+x）^m^≥1+mx；**
**（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,2...，n；**
**（Ⅲ）求出满足等式3^n^+4^m^+...+（n+2）^m^=（n+3）^n^的所有正整数n。**
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**2019年广西百色市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）**
1．（3分）（2019•百色）三角形的内角和等于
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•百色）如图，已知，，则的大小是
A． B． C． D．32
3．（3分）（2019•百色）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（3分）（2019•百色）方程的解是
A．无解 B． C． D．
5．（3分）（2019•百色）下列几何体中，俯视图不是圆的是
A．四面体 B．圆锥
C．球 D．圆柱
6．（3分）（2019•百色）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•百色）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
8．（3分）（2019•百色）不等式组的解集是
A． B．或 C． D．
9．（3分）（2019•百色）抛物线可由抛物线如何平移得到的
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
10．（3分）（2019•百色）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
11．（3分）（2019•百色）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
12．（3分）（2019•百色）阅读理解：
已知两点，，，，则线段的中点的坐标公式为：，．
如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有，满足等式：．
设，则，满足的等式是
A． B．
C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．（3分）（2019•百色）的相反数是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•百色）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•百色）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•百色）观察一列数：，0，3，6，9，12，，按此规律，这一列数的第21个数是[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•百色）如图，与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，，，则△的面积为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•百色）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（6分）（2019•百色）计算：
20．（6分）（2019•百色）求式子的值，其中．
21．（6分）（2019•百色）如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．
22．（8分）（2019•百色）如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点、．
（1）求证：；
（2）若点恰好是的中点，，求的值．
23．（8分）（2019•百色）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
------ ---- ---- ---- ---- ----
编号 一 二 三 四 五
人数 15 20 10
------ ---- ---- ---- ---- ----
已知前面两个小组的人数之比是．
解答下列问题：
（1）[ ]{.underline}．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
24．（10分）（2019•百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
25．（10分）（2019•百色）如图，已知、是的两条割线，与交于、两点，过圆心且与交于、两点，平分．
（1）求证：；
（2）过点的切线交于，若，，求的值．提示：
26．（12分）（2019•百色）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点．
（1）求、的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
**2019年广西百色市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）**
1．（3分）三角形的内角和等于
A． B． C． D．
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：．
2．（3分）如图，已知，，则的大小是
A． B． C． D．32
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质进行解答便可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】中位数
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为2、4、6、8、10、12，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
4．（3分）方程的解是
A．无解 B． C． D．
【考点】解分式方程；分式方程的解
【分析】移项可得，可得；
【解答】解：，
移项可得，
，
经检验是方程的根，
方程的根是；
故选：．
5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是
A．四面体 B．圆锥
C．球 D．圆柱
【考点】简单几何体的三视图
【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：、俯视图是三角形，故此选项正确；
、俯视图是圆，故此选项错误；
、俯视图是圆，故此选项错误；
、俯视图是圆，故此选项错误；
故选：．
6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数字604800用科学记数法表示为．
故选：．
7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：．
8．（3分）不等式组的解集是
A． B．或 C． D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故选：．
9．（3分）抛物线可由抛物线如何平移得到的
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】按照"左加右减，上加下减"的规律即可．
【解答】解：因为．
所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线．
故选：．
10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是
A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定
B．两人成绩的众数相同
C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定
D．两人的平均成绩不相同
【考点】折线统计图；众数；方差
【分析】根据折线统计图得出两人成绩的波动幅度，结合众数、平均数和方差的定义逐一判断即可得．
【解答】解：，由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，选项错误；
．小韦成绩的众数为10环，小黄成绩的众数为9环，此选项错误；
．小韦成绩的平均数为，小黄的平均成绩为，此选项错误；
故选：．
11．（3分）下列四个命题：
①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①
【考点】命题与定理
【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等；其命题：内错角相等两直线平行是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题；
故选：．
12．（3分）阅读理解：
已知两点，，，，则线段的中点的坐标公式为：，．
如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有，满足等式：．
设，则，满足的等式是
A． B．
C． D．
【考点】坐标与图形性质
【分析】根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入，满足的等式．
【解答】解：点，点，点为弦的中点，
，．
，．
又，满足等式：，
．
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13．（3分）的相反数是[ 16 ]{.underline}．
【考点】相反数
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加""，据此解答即可．
【解答】解：的相反数是16．
故答案为：16
14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由在实数范围内有意义，得．
解得，
故答案是：．
15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率公式求解可得．
【解答】解：在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，
所以编号是偶数的概率为，
故答案为：．
16．（3分）观察一列数：，0，3，6，9，12，，按此规律，这一列数的第21个数是[ 57 ]{.underline}．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据数列中的已知数得出这列数的第个数为，据此求解可得．
【解答】解：由题意知，这列数的第个数为，
当时，，
故答案为：57．
17．（3分）如图，与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，，，则△的面积为[ 18 ]{.underline}．
【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：与△是以坐标原点为位似中心的位似图形，点，，，，
，，
△的面积为：．
故答案为：18．
18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则[ ]{.underline}．
【考点】多边形；三角形的稳定性
【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形的底边边上的高等于的一半，据此可得为．
【解答】解：，
平行四边形的底边边上的高等于的一半，
．
故答案为：
**三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（6分）计算：
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂
【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
【解答】解：原式；
20．（6分）求式子的值，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
21．（6分）如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，，函数的图象经过点．
（1）求的值及直线的函数表达式：
（2）求四边形的周长．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【分析】（1）根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）依题意有：点在反比例函数的图象上，
，
，
又轴，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）作于点，
，
，
在平行四边形中，
，，
四边形的周长为：，
即四边形的周长为．
22．（8分）如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点、．
（1）求证：；
（2）若点恰好是的中点，，求的值．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由""可证，可得；
（2）由线段垂直平分线的性质可得．
【解答】（1）证明：四边形是菱形
，
、
（2）是中点，且
直线为的垂直平分线
23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：
------ ---- ---- ---- ---- ----
编号 一 二 三 四 五
人数 15 20 10
------ ---- ---- ---- ---- ----
已知前面两个小组的人数之比是．
解答下列问题：
（1）[ 5 ]{.underline}．
（2）补全条形统计图：
（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）
【考点】：列表法与树状图法；：统计表；：条形统计图
【分析】（1）由题意知；
（2），，；
（3）一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：．
【解答】解：（1）由题意知，
故答案为：5；
（2），
，
，
故答案为5；
（2）补全图形如下：
（3）由题意得，
设第一组3位同学分别为、、，设第五组2位同学分别为、，
由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：．
24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是千米小时，水流速度是千米小时，根据路程速度时间，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，根据时间路程速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是千米小时，水流速度是千米小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米小时，水流速度是3千米小时．
（2）设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲、丙两地相距千米．
25．（10分）如图，已知、是的两条割线，与交于、两点，过圆心且与交于、两点，平分．
（1）求证：；
（2）过点的切线交于，若，，求的值．提示：
【考点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由题意可得，且，即可证；
（2）由切线的性质和勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求，由平行线分线段成比例可得，即可求的值．
【解答】证明：（1）平分
，且
（2）切于
26．（12分）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于、两点．
（1）求、的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出，的值；
（2）由（1）可得出抛物线及直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，结合点，的坐标可得出，的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；
（3）过点作轴，垂足为点，由点的坐标可得出，的长，再利用正弦的定义即可求出的值．
【解答】解：（1）将代入，得：，
；
将代入，得：，
．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为，直线的解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为，．
设点的坐标为，则，．
是以为底边的等腰三角形，
，即，
整理，得：，
解得：，，
点的坐标为或．
（3）过点作轴，垂足为点，如图所示．
当点的坐标为时，，，
；
当点的坐标为时，，，
．
满足（2）的条件时，的值的值为或．
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日期：2019/7/11 8:51:08；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**河北衡水中学2016-2017学年度**
**高三下学期数学第三次摸底考试（理科）**
> **必考部分**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，则集合等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. ，若，则等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ）
A.  B. 41 C.  D. 
4\. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.  B.  C.  D. 2
5\. 在中，" "是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6\. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 20世纪30年代，德国数学家洛萨\-\--科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的""猜想.如图是验证""猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定
9\. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）
A.  B.  C. 57 D. 33
10\. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（ ）
A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275
11\. 已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（ ）
A.  B. 2 C.  D. 
12\. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）学§科§网\...
A.  B.  C.  D. 
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上**
13\. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
------------------------------------------- ----- ---- ----- ---- ------
价格 8.5 9 9.5 10 10.5
销售量 12 11 9 7 6
------------------------------------------- ----- ---- ----- ---- ------
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，
.
（1）求边的长；
（2）求的值.
18\. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．学§科§网\...
19\. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
20\. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求．
21\. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据： ）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．
**选考部分**
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．
（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；
（2）求证：为定值．
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知实数满足．
（1）求的取值范围；
（2）若，求证：．
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**2021年河北省普通高中学业水平选择性考试**
**物理**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 银河系中存在大量的铝同位素，核衰变的衰变方程为，测得核的半衰期为72万年，下列说法正确的是（ ）
A. 核的质量等于核的质量
B. 核的中子数大于核的中子数
C. 将铝同位素放置在低温低压环境中，其半衰期不变
D. 银河系中现有的铝同位素将在144万年后全部衰变为
2\. 铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从*O*点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从*P*点做竖直上抛运动，到达最高点*Q*再返回*P*点，整个过程所用时间为，*O*点到竖直平面、*P*点到*Q*点的距离均为，重力加速度取，则为（ ）
A. 100∶1 B. 1∶100 C. 1∶200 D. 200∶1
3\. 普朗克常量，光速为*c*，电子质量为，则在国际单位制下的单位是（ ）
A. B. m C. D.
4\. "祝融号"火星车登陆火星之前，"天问一号"探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ ）
A. B. C. D.
5\. 如图，距离为*d*的两平行金属板*P*、*Q*之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为，一束速度大小为*v*的等离子体垂直于磁场喷入板间，相距为*L*的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为，导轨平面与水平面夹角为，两导轨分别与*P*、*Q*相连，质量为*m*、电阻为*R*的金属棒垂直导轨放置，恰好静止，重力加速度为*g*，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
B. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，
C. 导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，
D. 导轨处磁场方向垂直导轨平面向下，
6\. 一半径为*R*的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点*P*处，另一端系一个小球，小球位于*P*点右侧同一水平高度的*Q*点时，绳刚好拉直，将小球从*Q*点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为*g*，不计空气阻力）（ ）
A. B. C. D.
7\. 如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为*B*，导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处*O*点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与*x*轴夹角均为，一电容为*C*的电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与*x*轴垂直，在外力*F*作用下从*O*点开始以速度*v*向右匀速运动，忽略所有电阻，下列说法正确的是（ ）
A. 通过金属棒的电流为
B. 金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为
C. 金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D. 金属棒运动过程中，外力*F*做功的功率恒定
**二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．**
8\. 如图，发电机的矩形线圈长为、宽为*L*，匝数为*N*，放置在磁感应强度大小为*B*的匀强磁场中，理想变压器的原、副线圈匝数分别为、和，两个副线圈分别接有电阻和，当发电机线圈以角速度匀速转动时，理想电流表读数为*I*，不计线圈电阻，下列说法正确的是（ ）
A. 通过电阻的电流为 B. 电阻两端的电压为
C. 与的比值为 D. 发电机的功率为
9\. 如图，矩形金属框竖直放置，其中、足够长，且杆光滑，一根轻弹簧一端固定在*M*点，另一端连接一个质量为*m*的小球，小球穿过杆，金属框绕轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对杆静止，若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（ ）
A. 小球的高度一定降低 B. 弹簧弹力的大小一定不变
C. 小球对杆压力的大小一定变大 D. 小球所受合外力的大小一定变大
10\. 如图，四个电荷量均为的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为、、和，其中*x*轴上的两个点电荷位置固定，*y*轴上的两个点电荷可沿*y*轴对称移动（），下列说法正确的是（ ）
A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B. 当取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C. 当时，将一带负电的试探电荷由点移至点，静电力做正功
D. 当时，将一带负电的试探电荷放置在点处，其所受到的静电力方向与*x*轴正方向成倾斜向上
**三、非选题：共54分．第11～14题为必考题，每个试题考生都必须作答．第15～16题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共62分．**
11\. 某同学研究小灯泡的伏安特性，实验室提供的器材有；小灯泡（，），直流电源（），滑动变阻器，量程合适的电压表和电流表，开关和导线若干，设计的电路如图1所示。
（1）根据图1，完成图2中实物连线\_\_\_\_\_\_；
（2）按照图1连线后，闭合开关，小灯泡闪亮一下后熄灭，观察发现灯丝被烧断，原因可能是\_\_\_\_\_\_（单项选择，填正确答案标号）；
A．电流表短路
B．滑动变阻器的滑片接触不良
C．滑动变阻器滑片的初始位置在*b*端
（3）更换小灯泡后，该同学正确完成了实验操作，将实验数据描点作图，得到图像，其中一部分如图3所示，根据图像计算出*P*点对应状态下小灯泡的电阻为\_\_\_\_\_\_（保留三位有效数字）。
12\. 某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系，所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为，其上可放钩码）、刻度尺，当地重力加速度为，实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持最下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量*M*、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量及系统总机械能的减少量，结果如下表所示：
-- ------- ------- ------- ------- -------
0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
0.582 0.490 0.392 0.294 0.195
0.393 0.490 0.686 0.785
-- ------- ------- ------- ------- -------
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为\_\_\_\_\_\_J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的数据所缺数据为\_\_\_\_\_\_；
（3）若*M*为横轴，为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出图像\_\_\_\_\_\_；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则物块与木板之间的摩擦因数为\_\_\_\_\_\_（保留两位有效数字）
13\. 如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端*A*处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：
（1）滑道段的长度；
（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
14\. 如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为*B*的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上*O*点处的粒子源垂直极板向上发射速度为、带正电的粒子束，单个粒子的质量为*m*、电荷量为*q*，一足够长的挡板与正极板成倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，*C*、*P*是负极板上的两点，*C*点位于*O*点的正上方，*P*点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从上方打入的粒子，长度为，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力。。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在*P*点处的粒子靶上，求可调电源电压的大小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板上，求电压的最小值；
（3）若粒子靶在负极板上的位置*P*点左右可调，则负极板上存在*H*、*S*两点（，*H*、*S*两点末在图中标出）、对于粒子靶在区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到*n*（）种能量的粒子，求和的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
**（二）选考题：共12分．请考生从2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．**
15\. 两个内壁光滑、完全相同的绝热汽缸A、B，汽缸内用轻质绝热活塞封闭完全相同的理想气体，如图1所示，现向活塞上表面缓慢倒入细沙，若A中细沙的质量大于B中细沙的质量，重新平衡后，汽缸A内气体的内能\_\_\_\_\_\_（填"大于""小于"或"等于"）汽缸B内气体的内能，图2为重新平衡后A、B汽缸中气体分子速率分布图像，其中曲线\_\_\_\_\_\_（填图像中曲线标号）表示汽缸B中气体分子的速率分布规律。
16\. 某双层玻璃保温杯夹层中有少量空气，温度为27℃时，压强为。
（1）当夹层中空气的温度升至37℃，求此时夹层中空气的压强；
（2）当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为27℃，大气压强为。
17\. 如图，一弹簧振子沿*x*轴做简谐运动，振子零时刻向右经过*A*点，后第一次到达*B*点，已知振子经过*A、B*两点时的速度大小相等，内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为\_\_\_\_\_\_\_\_s，振幅为\_\_\_\_\_\_m。
18\. 将两块半径均为*R*、完全相同的透明半圆柱体*A*、*B*正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体*A*，设圆心处入射角为，当时，*A*右侧恰好无光线射出；当时，有光线沿*B*的半径射出，射出位置与*A*的圆心相比下移*h*，不考虑多次反射，求：
（1）半圆柱体对该单色光折射率；
（2）两个半圆柱体之间的距离*d*。
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> **《1分有多长》同步练习**
>
> 一、填空
>
> 1、在括号内填上"时""分"或"秒"。
>
> （1）上一节数学课是40（ ）。
>
> （2）小红跑得真快，跑50米用了10（ ）。\[来源:Zxxk.Com\]
>
> （3）明明中午吃饭用了20（ ）。
>
> （4）爸爸每天工作约8（ ）。
>
> 2、钟面上一共有（ ）个大格，每个大格分成了（ ）个小格，钟面上一共有（ ）个小格。
>
> 3、7个6是（ ），40里面有（ ）个5。
>
> 4、1分=（ ）秒 （ ）时=60分
>
> 二、周密思考，认真填空。
>
> 1、钟面上一共有（ ）个大格，（ ）个小格。时针走一大格是1（ ）。
>
> 分针走一小格是1（ ）。秒针走60小格，分针走（ ）个小格，是（ ）分。
>
> 2、时针从12起走到5，要走（ ）小时；分针从6起走到12，要走（ ）分；
>
> 秒针从12起走到8，要走（ ）秒。
>
> 3、在（ ）里填上合适的数。
>
> 1小时=（ ）分 60秒=（ ）分 1时15分=（ ）分
>
> 120分=（ ）小时 3小时=（ ）分 85秒=（ ）分（ ）秒
>
> 4、跑50米，小红用了10秒，小明用了9秒。（ ）跑得快。
>
> 5、一个人唱一首歌需要5分钟，6个人一起合唱这首歌要（ ）分钟。
>
> 6、在（ ）里填上＜、＞或＝。
>
> 2分（ ）150秒 50分（ ）1时 2分（ ）120秒
>
> 60秒（ ）1时 1分30秒（ ）90秒 半分钟（ ）30秒
>
> 三、在（ ）里填上合适的时间单位。\[来源:学+科+网\]
>
> 小红跑50米用了12（ ）； 做10道口算题大约用1（ ）；
>
> 课间休息10（ ）； 爸爸每天工作8（ ）；
>
> 小军吃饭用25（ ）； 一场电影需1（ ）30（ ） ；
>
> 做一次深呼吸用8（ ）。
>
> 四、写出下面钟面表示的时刻。
>
> 
**参考答案：**
> 一、填空
>
> 1、
>
> （1）（ 分 ）
>
> （2）（ 秒 ）
>
> （3）（ 分 ）\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
>
> （4）（ 时 ）
>
> 2、 （ 12 ） （5 ） （ 60 ）
>
> 3、 （ 42 ） （ 8 ）
>
> 4、1分=（ 60 ）秒 （ 1 ）时=60分
>
> 二、
>
> 1、 （ 12 ） （ 60 ） （ 时 ）
>
> （ 分 ） （ 1 ） （ 1 ）
>
> 2、 （ 5 ） （ 6 ）
>
> （ 8 ）
>
> 3、
>
> 1小时=（ 60 ）分 60秒=（ 1 ）分 1时15分=（ 75 ）分
>
> 120分=（ 2 ）小时 3小时=（ 180 ）分 85秒=（1）分（ 25 ）秒
>
> 4、 （ 小明 ）
>
> 5、 （ 5 ）
>
> 6、
>
> 2分（ ＜ ）150秒 50分（ ＜ ）1时 2分（＝ ）120秒
>
> 60秒（＜ ）1时 1分30秒（ ＝ ）90秒 半分钟（＝ ）30秒
>
> 三、
>
> 小红跑50米用了12（ 秒 ）； 做10道口算题大约用1（ 分 ）；
>
> 课间休息10（ 分 ）； 爸爸每天工作8（ 时 ）；
>
> 小军吃饭用25（ 分 ）； 一场电影需1（ 时 ）30（ 分 ） ；
>
> 做一次深呼吸用8（ 秒 ）。
>
> 四、
6时45分 3时5分 9时20分 7时55分
> 06：45 03：05 09：20 07：55
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
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> **条件概率专题**
**一、知识点**
① 只须将无条件概率替换为条件概率，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质
② 在古典概型中 **\-\--**
3. 在几何概型中 **\-\--**
**条件概率及全概率公式**
3.1.对任意两个事件*A*、*B*, 是否恒有*P*(*A*)≥*P*(*A*\|*B*).
答：不是. 有人以为附加了一个*B*已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有*P*(*A*)≥*P*(*A*\|*B*), 这种猜测是错误的. 事实上,可能*P*(*A*)≥*P*(*A*\|*B*), 也可能*P*(*A*)≤*P*(*A*\|*B*), 下面举例说明.
在0,1,...,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令
*A*={抽到一数字是3的倍数};* B*~1~={抽到一数字是偶数};* B*~2~={抽到一数字大于8}, 那么
* P*(*A*)=3/10, *P*(*A*\|*B*~1~)=1/5, *P*(*A*\|*B*~2~)=1. 因此有 *P*(*A*)＞*P*(*A*\|*B*~1~), *P*(*A*)＜*P*(*A*\|*B*~2~).
3.2.以下两个定义是否是等价的.
定义1. 若事件*A*、*B*满足*P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*), 则称*A*、*B*相互独立.
定义2. 若事件*A*、*B*满足*P*(*A*\|*B*)=*P*(*A*)或*P*(*B*\|*A*)=*P*(*B*), 则称*A*、*B*相互独立.
答：不是的.因为条件概率的定义为
* P*(*A*\|*B*)=*P*(*AB*)/*P*(*B*) 或 *P*(*B*\|*A*)=*P*(*AB*)/*P*(*A*)
自然要求*P*(*A*)≠0, *P*(*B*)≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,*P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*)对于*P*(*A*)=0或*P*(*B*)=0也是成立的. 事实上, 若*P*(*A*)=0由0≤*P*(*AB*)≤*P*(*A*)=0可知*P*(*AB*)=0故 *P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*).
因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.
3.3.对任意事件*A*、*B*, 是否都有* P*(*AB*)≤*P*(*A*)≤*P*(*A*+*B*)≤*P*(*A*)+*P*(*B*).
答：是的.由于 *P*(*A*+*B*)=*P*(*A*)+*P*(*B*)-*P*(*AB*) (\*)
因为* P*(*AB*)≥0, 故 *P*(*A*+*B*)≤*P*(*A*)+*P*(*B*).
由*P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*\|*A*), 因为0≤*P*(*B*\|*A*)≤1,故 *P*(*AB*)≤*P*(*A*);
同理*P*(*AB*)≤*P*(*B*), 从而 *P*(*B*)-*P*(*AB*)≥0, 由(\*)知 *P*(*A*+*B*)≥*P*(*A*).
原命题得证.
3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: *P*(*A*\|*B*), *P*(*B*\|*A*), *P*(*AB*). 从事件的角度去考察, 在*A*、*B*相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?
{width="1.28125in" height="1.1354166666666667in"}答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:
*P*(*A*\|*B*)的计算基于附加样本空间*Ω~B~*;
*P*(*B*\|*A*)的计算基于附加样本空间*Ω~A~*;
*P*(*AB*)的计算基于原有样本空间*Ω*.
3.5.在*n*个事件的乘法公式：
*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*)=*P*(*A*~1~)*P*(*A*~2~\|*A*~1~)*P*(*A*~3~\|*A*~1~*A*~2~)...*P*(*A~n~*\|*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)
中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)\>0呢?
答：按条件概率的本意, 应要求*P*(*A*~1~)\>0, *P*(*A*~1~*A*~2~)\>0, ..., *P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-2~)\>0, *P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)\>0.
事实上, 由于*A*~1~*A*~2~*A*~3~...*A~n~*~-2~ {width="0.17708333333333334in" height="0.13541666666666666in"}*A*~1~*A*~2~*A*~3~...*A~n~*~-2~*A~n~*~-1~, 从而便有*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-2~) ≥*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)\>0. 这样, 除*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)\>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-2~) \>0, ..., *P*(*A*~1~*A*~2~) \>0, *P*(*A*~1~)\>0便是题设条件*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*~-1~)\>0的自然结论了.
3.6.计算*P*(*B*)时, 如果事件*B*的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.
答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个"公式"来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于*A*~1~,*A*~2~,...,*A~n~*的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出*n*个事件*A~i~,* 使之满足
{width="1.5833333333333333in" height="0.53125in"} (\*)
就可得 {width="2.125in" height="0.25in"}. (\*\*)
这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.
因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(\*\*)式, 而要有(\*\*)式, 关键又在于适当地对*Ω*进行一个分割, 即有(\*)式.
3.7.设*P*(*A*)≠0, *P*(*B*)≠0, 因为有
(1)若*A*、*B*互不相容, 则*A*、*B*一定不独立.
(2)若*A*、*B*独立, 则*A*、*B*一定不互不相容.
故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.
答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在*P*(*A*)≠0, *P*(*B*)≠0的前提下, 事件*A*、*B*既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出"*A*、*B*既不独立又不互不相容是不存在的". 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.
5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记*A~i~*={第*i*次取到新球}, *i*=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~互相不独立, 又*A*~1~*A*~2~*A*~3~={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~可能同时发生, 因此*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~不互不相容.
3.8.事件*A*、*B*的"对立"与"互不相容"有什么区别和联系? 事件*A*、*B* "独立"与"互不相容"又有什么区别和联系?
答："对立"与"互不相容"区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: "对立" →"互不相容", 反之未必成立.
至于"独立"与"互不相容"的区别和联系, 并非一目了然.{width="1.3229166666666667in" height="1.1458333333333333in"}
事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.
事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系*P*(*A*\|*B*)=*P*(*A*)或*P*(*B*\|*A*)=*P*(*B*)时, 称*A*、*B*是相互独立的.
它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件*A*、*B*, 则有"*A*、*B*互不相容" →"*A*、*B*不独立". 其等价命题是: 在*P*(*A*)\>0与*P*(*B*)\>0下, 则有"*A*、*B*独立" →"*A*、*B*不互不相容"(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.
3.9.设*A*、*B*为两个事件,若
0\<*P*(*A*)\<1, 0\<*P*(*B*)\<1. (\*)
则*A*、*B*相互独立, *A*、*B*互不相容, {width="1.0520833333333333in" height="0.20833333333333334in"}, 这三种情形中的任何两种不能同时成立.
答：在条件(\*)下
当*A*、*B*相互独立时, 有 *P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*);
当*A*、*B*互不相容时, 有 *P*(*AB*)\<*P*(*A*)*P*(*B*);
当 {width="1.0520833333333333in" height="0.20833333333333334in"}时, 有 *P*(*AB*)\>*P*(*A*)*P*(*B*).
在条件(\*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, *A*、*B*相互独立, *A*、*B*互不相容, {width="1.0520833333333333in" height="0.20833333333333334in"}这三种情形中的任何两种不能同时成立.
此结论表明: 在条件(\*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.
3.10.证明: 若*P*(*A*)=0或*P*(*A*)=1, 则*A*与任何事件*B*相互独立.
答：若*P*(*A*)=0, 又{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}, 故0≤*P*(*AB*)≤*P*(*A*)=0.
于是*P*(*AB*)=0=*P*(*A*)*P*(*B*),所以*A*与任何事件*B*相互独立.
若*P*(*A*)=1, 则 {width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}.由前面所证知, {width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}与任何事件*B*相互独立. 再由事件独立性的性质知, {width="0.17708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}与*B*相互独立, 即*A*与*B*相互独立.另种方法证明: 由*P*(*A*)=1知 {width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}, 进而有{width="0.78125in" height="0.25in"}.
又 {width="0.9583333333333334in" height="0.20833333333333334in"}且*AB*与{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}互不相容, 故 {width="3.1354166666666665in" height="0.25in"}.
即*A*与*B*相互独立.
3.11.设*A*、*B*是两个基本事件, 且0\<*P*(*A*)\<1,*P*(*B*)\>0, {width="1.34375in" height="0.25in"}, 问事件*A*与*B*是什么关系?
\[解1\]由已知条件 {width="1.34375in" height="0.25in"}可得 {width="1.1979166666666667in" height="0.4895833333333333in"}.
由比例性质, 得 {width="2.3229166666666665in" height="0.4895833333333333in"}.
所以 *P*(*AB*)=*P*(*A*)*P*(*B*).因此事件*A*与*B*相互独立.
\[解2\]由 {width="2.3645833333333335in" height="0.25in"} 得
{width="2.3020833333333335in" height="0.25in"}.
因而 {width="1.8645833333333333in" height="0.25in"}.
又 {width="1.6354166666666667in" height="0.25in"},
所以 *P*(*B*\|*A*)=*P*(*B*).
因此事件*A*与*B*相互独立.
3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件.
答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若*A*为小概率事件, 不妨设*P*(*A*)=*ε*(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则*A*迟早要发生的概率为1.
事实上, 设*A~k~*={*A*在第*k*次试验中发生}, 则*P*(*A~k~*)=ε, {width="0.9479166666666666in" height="0.2604166666666667in"}, 在前*n*次试验中*A*都不发生的概率为:
{width="3.0729166666666665in" height="0.2604166666666667in"}.
于是在前*n*次试验中, *A*至少发生一次的概率为
{width="1.75in" height="0.25in"}
{width="2.5104166666666665in" height="0.2604166666666667in"}.
如果把试验一次接一次地做下去, 即让*n*→∞, 由于0＜ε＜1, 则当*n*→∞时, 有*p~n~*→1.
以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾.
3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.
答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.
3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同, 从而试验的结果就不会互相影响, 上述说法对吗?
答：不对. 我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.
一个罐子中装有4个黑球和3个红球, 随机地抽取一个之后, 再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球, 这种手续反复进行, 显然每次试验的条件是相同的. 每抽取一次以后, 这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.
3.15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.
答：不一定. 例如某射手每次击中目标的概率是*p*，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止. 此试验只有两个可能的结果：*A*={命中}；{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"} ={未命中}，且*P*(*A*)=*p.* 并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设*X~k~*={第*k*次射中}，*X~k~*显然是一个随机变量，但
* P*(*X~k~*=*k*)=*q^k^*^-1^*p*，*k*=1,2,...，其中*q*=*p*-1，
可见*X~k~*是服从参数为*p*的几何分布，而不是二项分布.
3.16.某人想买某本书, 决定到3个新华书店去买, 每个书店有无此书是等可能的. 如有, 是否卖完也是等可能的. 设3个书店有无此书, 是否卖完是相互独立的. 求此人买到此本书的概率.
答：(37/64).
3.17.在空战中, 甲机先向乙机开火, 击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被击落, 就进行还击, 击落甲机的概率是0.3, 则再进攻乙机, 击落乙机的概率是0.4. 在这几个回合中,
(1) 甲机被击落的概率是多少?
(2) 乙机被击落的概率是多少?
答：以*A*表示事件"第一次攻击中甲击落乙", 以*B*表示事件"第二次攻击中乙击落甲", 以*C*表示事件"第三次攻击中甲击落乙".
(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能, 故甲机被击落的概率为
> {width="3.1354166666666665in" height="0.25in"}.
(2)乙机被击落有两种情况. 一是第一次攻击中甲击落乙, 二是第三次攻击中甲击落乙, 故乙机被击落的概率是
> {width="2.1979166666666665in" height="0.25in"}
>
> {width="2.3333333333333335in" height="0.25in"}
>
> =0.2+(1-0.2)(1-0.3)×0.4=0.424.
3.18.某个问题, 若甲先答, 答对的概率为0.4; 若甲答错, 由乙答, 答对的概率为0.5. 求问题由乙答出的概率.
答：(0.3)
3.19.有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次, 一周内某天借书的可能性相同, 求
(1)5个人都在星期天借书的概率;
(2)5个人都不在星期天借书的概率;
(3)5个人不都在星期天借书的概率.
答： (1)(1/7^5^);
(2)(6^5^/7^7^);
(3)(1-1/7^5^).
窗体顶端
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| **1.** 从1, 2, 3,..., 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. | **二、例题** |
| | |
| | **解.**设事件*A*表示"甲取到的数比乙大", |
| | |
| | 设事件*B*表示"甲取到的数是5的倍数". |
| | |
| | 则显然所要求的概率为*P*(*A*\|*B*). |
| | |
| | 根据公式 {width="1.2604166666666667in" height="0.4583333333333333in"} |
| | |
| | 而*P*(*B*)=3/15=1/5 , |
| | |
| | {width="2.03125in" height="0.53125in"}, |
| | |
| | ∴ *P*(*A*\|*B*)=9/14. |
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窗体底端
窗体顶端
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| **2.** 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. | **解.**设事件*A*表示"掷出含有1的点数", |
| | |
| | 设事件*B*表示"掷出的三个点数都不一样". |
| | |
| | 则显然所要求的概率为*P*(*A*\|*B*). |
| | |
| | 根据公式 {width="1.2604166666666667in" height="0.4583333333333333in"} |
| | |
| | {width="1.0104166666666667in" height="0.4166666666666667in"}, |
| | |
| | {width="1.3645833333333333in" height="0.4166666666666667in"}, *P*(*A*\|*B*)=1/2. |
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **3.** 袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了*N*次都没有取到黑球的概率. | **1解.**设事件*A~i~*表示"第*i*次取到白球". (*i*=1,2,...,*N*) |
| | |
| | 则根据题意*P*(*A*~1~)=1/2 , *P*(*A*~2~\|*A*~1~)=2/3, |
| | |
| | 由乘法公式可知: |
| | |
| | *P*(*A*~1~*A*~2~)=*P*(*A*~2~\|*A*~1~)*P*(*A*~1~)=1/3. |
| | |
| | 而 *P*(*A*~3~\|*A*~1~*A*~2~)=3/4 , |
| | |
| | * P*(*A*~1~*A*~2~*A*~3~)=*P*(*A*~3~\|*A*~1~*A*~2~)*P*(*A*~1~*A*~2~)=1/4 . |
| | |
| | 由数学归纳法可以知道 |
| | |
| | * P*(*A*~1~*A*~2~...*A~N~*)=1/(*N*+1). |
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窗体底端
窗体顶端
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| **4. ** 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. | **解.**设事件*A*表示"取到的是甲袋", 则{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}表示"取到的是乙袋", |
| | |
| | 事件*B*表示"最后取到的是白球". |
| | |
| | 根据题意 : *P*(*B*\|*A*)=5/12 , |
| | |
| | {width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}, |
| | |
| | *P*(*A*)=1/2. |
| | |
| | ∴ {width="2.53125in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | {width="1.8333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}. |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
窗体底端
窗体顶端
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| **5.** 有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. | **解.**设事件*A~i~*表示"从甲袋取的2个球中有*i*个白球",其中*i*=0,1,2 . |
| | |
| | 事件*B*表示"从乙袋中取到的是白球". |
| | |
| | 显然*A*~0~, *A*~1~, *A*~2~构成一完备事件组,且根据题意 |
| | |
| | * P*(*A*~0~)=1/10 , *P*(*A*~1~)=3/5 , *P*(*A*~2~)=3/10 ; |
| | |
| | * P*(*B*\|*A*~0~)=2/5 , *P*(*B*\|*A*~1~)=1/2 , *P*(*B*\|*A*~2~)=3/5 ; |
| | |
| | 由全概率公式 |
| | |
| | *P*(*B*)=*P*(*B*\|*A*~0~)*P*(*A*~0~)+*P*(*B*\|*A*~1~)*P*(*A*~1~)+*P*(*B*\|*A*~2~)*P*(*A*~2~) |
| | |
| | =2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25. |
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **6.** 袋中装有编号为1, 2,..., *N*的*N*个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. | **解.**设事件*A*表示"第一次取到的是1号球",则 {width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}表示"第一次取到的是非1号球"; |
| | |
| | 事件*B*表示"最后取到的是2号球". |
| | |
| | 显然* P*(*A*)=1/*N*, |
| | |
| | {width="0.9479166666666666in" height="0.4270833333333333in"}, |
| | |
| | 且* P*(*B*\|*A*)=1/(*N*-1), |
| | |
| | {width="1.0729166666666667in" height="0.2604166666666667in"}; |
| | |
| | ∴ {width="2.53125in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | =1/(*N*-1)×1/*N*+1/*N*×(*N*-1)/*N* |
| | |
| | =(*N*^2^-*N*+1)/*N*^2^(*N*-1). |
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **7. ** 袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率. | **解.**设事件*A*~1~表示"第一次取到的是红球", |
| | |
| (1)取出的两只球都是红球; | 设事件*A*~2~表示"第二次取到的是红球". |
| | |
| (2)取出的两只球都是黑球; | (1)要求的是事件*A*~1~*A*~2~的概率. |
| | |
| (3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; | 根据题意* P*(*A*~1~)=4/5, |
| | |
| (4)第二次取出的是红球. | {width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}, |
| | |
| | *P*(*A*~2~\|*A*~1~)=7/9, |
| | |
| | ∴*P*(*A*~1~*A*~2~)=*P*(*A*~1~)*P*(*A*~2~\|*A*~1~)=4/5×7/9=28/45. |
| | |
| | (2)要求的是事件{width="0.40625in" height="0.2604166666666667in"}的概率. |
| | |
| | 根据题意: {width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}, |
| | |
| | {width="1.1354166666666667in" height="0.2604166666666667in"}, |
| | |
| | ∴{width="3.15625in" height="0.25in"}. |
| | |
| | (3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件 {width="0.875in" height="0.25in"}的概率. |
| | |
| | {width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}, {width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}, |
| | |
| | {width="3.2395833333333335in" height="0.25in"}, |
| | |
| | {width="3.1979166666666665in" height="0.25in"}, |
| | |
| | ∴ {width="3.1979166666666665in" height="0.25in"}. |
| | |
| | (4)要求第二次取出红球,即求事件*A*~2~的概率. |
| | |
| | 由全概率公式 : |
| | |
| | {width="2.96875in" height="0.25in"}=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5. |
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **8. ** 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. | **解.**设事件*A*表示"射手能通过选拔进入比赛", |
| | |
| | 设事件*B~i~*表示"射手是第*i*级射手".(*i*=1,2,3,4) |
| | |
| | 显然, *B*~1~、*B*~2~、*B*~3~、*B*~4~构成一完备事件组,且 |
| | |
| | *P*(*B*~1~)=4/20, *P*(*B*~2~)=8/20, *P*(*B*~3~)=7/20, *P*(*B*~4~)=1/20; |
| | |
| | *P*(*A*\|*B*~1~)=0.9, *P*(*A*\|*B*~2~)=0.7, *P*(*A*\|*B*~3~)=0.5, *P*(*A*\|*B*~4~)=0.2. |
| | |
| | 由全概率公式得到 |
| | |
| | *P*(*A*)=*P*(*A*\|*B*~1~)*P*(*B*~1~)+*P*(*A*\|*B*~2~)*P*(*B*~2~)+*P*(*A*\|*B*~3~)*P*(*B*~3~)+*P*(*A*\|*B*~4~)*P*(*B*~4~) |
| | |
| | =0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645. |
+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
窗体底端
窗体顶端
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **9.** 轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少? | **解.**设事件*A*~1~表示"飞机能飞到距目标400米处", |
| | |
| | 设事件*A*~2~表示"飞机能飞到距目标200米处", |
| | |
| | 设事件*A*~3~表示"飞机能飞到距目标100米处", |
| | |
| | 用事件*B*表示"目标被击中". |
| | |
| | 由题意, *P*(*A*~1~)=0.5, *P*(*A*~2~)=0.3, *P*(*A*~3~)=0.2, |
| | |
| | 且*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~构成一完备事件组. |
| | |
| | 又已知 *P*(*B*\|*A*~1~)=0.01, *P*(*B*\|*A*~2~)=0.02, *P*(*B*\|*A*~3~)=0.1. |
| | |
| | 由全概率公式得到 : |
| | |
| | *P*(*B*)=*P*(*B*\|*A*~1~)*P*(*A*~1~)+*P*(*B*\|*A*~2~)*P*(*A*~2~)+*P*(*B*\|*A*~3~)*P*(*A*~3~) |
| | |
| | =0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031. |
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **10. ** 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少? | **解.**设事件*A~i~*表示"第*i*道工序出次品", *i*=1,2,3,4 |
| | |
| | 因为各道工序的加工互不影响,因此*A~i~*是相互独立的事件. |
| | |
| | *P*(*A*~1~)=0.02, *P*(*A*~2~)=0.03, *P*(*A*~3~)=0.05, *P*(*A*~4~)=0.03, |
| | |
| | 只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(*A*~1~+*A*~2~+*A*~3~+*A*~4~)这个事件的概率. |
| | |
| | 为了运算简便,我们求其对立事件的概率 |
| | |
| | {width="2.5833333333333335in" height="0.28125in"} |
| | |
| | {width="1.8333333333333333in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | =(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876. |
| | |
| | ∴*P*(*A*~1~+*A*~2~+*A*~3~+*A*~4~)=1-0.876=0.124. |
+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
窗体底端
窗体顶端
+-------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **11. ** 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求 | **解.**设事件*A~i~*表示"第*i*次命中目标", *i*=1,2,3 |
| | |
| (1)射击三次皆中目标的概率; | 根据已知条件 *P*(*A~i~*)=0.8, {width="0.8333333333333334in" height="0.2604166666666667in"} ,*i*=1,2,3 |
| | |
| (2)射击三次有且只有2次命中目标的概率; | 某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件*A~i~*是相互独立的 . |
| | |
| (3)射击三次至少有二次命中目标的概率. | (1)射击三次皆中目标的概率即求*P*(*A*~1~*A*~2~*A*~3~). |
| | |
| | 由独立性: |
| | |
| | *P*(*A*~1~*A*~2~*A*~3~)=*P*(*A*~1~)*P*(*A*~2~)*P*(*A*~3~)=0.8^3^=0.512. |
| | |
| | (2)"射击三次有且只有2次命中目标"这个事件用*B*表示. |
| | |
| | 显然 {width="2.1770833333333335in" height="0.2604166666666667in"}, |
| | |
| | 又根据独立性得到: |
| | |
| | {width="3.5520833333333335in" height="0.28125in"}. |
| | |
| | (3)"射击三次至少有2次命中目标"这个事件用*C*表示. |
| | |
| | 至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以*C*=*B*+*A*~1~*A*~2~*A*~3~ |
| | |
| | *P*(*C*)=*P*(*B*)+*P*(*A*~1~*A*~2~*A*~3~)=0.384+0.512=0.896. |
+-------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **12. ** 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率. | **解.**设事件*A~i~*表示"第*i*人能译出密码", *i*=1,2,3. |
| | |
| | 由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为*P*(*A*~1~+*A*~2~+*A*~3~). |
| | |
| | 已知*P*(*A*~1~)=1/3, *P*(*A*~2~)=1/4, *P*(*A*~3~)=1/5, |
| | |
| | 而 {width="3.4583333333333335in" height="0.28125in"} |
| | |
| | =(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4. |
| | |
| | ∴*P*(*A*~1~+*A*~2~+*A*~3~)=1-0.4=0.6. |
+-------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
窗体底端
窗体顶端
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **13. ** 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率. | **解.**设事件*A~i~*表示"第*i*次命中目标", *i*=1,2,3. |
| | |
| | 设事件*B~i~*表示"目标被命中*i*弹", *i*=0,1,2,3. |
| | |
| | 设事件*C*表示"目标被摧毁". |
| | |
| | 由已知*P* (*A*~1~)=0.4, *P*(*A*~2~)=0.5, *P*(*A*~3~)=0.7; |
| | |
| | * P*(*C*\|*B*~0~)=0, *P*(*C*\|*B*~1~)=0.2, *P*(*C*\|*B*~2~)=0.6, *P*(*C*\|*B*~3~)=0.8. |
| | |
| | 又由于三次射击是相互独立的,所以 |
| | |
| | {width="4.333333333333333in" height="0.2604166666666667in"}, |
| | |
| | {width="2.71875in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | {width="2.7395833333333335in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | =0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36, |
| | |
| | {width="2.7395833333333335in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | {width="2.7395833333333335in" height="0.2604166666666667in"} |
| | |
| | =0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41, |
| | |
| | {width="4.333333333333333in" height="0.25in"}. |
| | |
| | 由全概率公式得到 |
| | |
| | *P*(*C*)=*P*(*C*\|*B*~0~)*P*(*B*~0~)+*P*(*C*\|*B*~1~)*P*(*B*~1~)+*P*(*C*\|*B*~2~)*P*(*B*~2~)+*P*(*C*\|*B*~3~)*P*(*B*~3~) |
| | |
| | =0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43. |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**三、练习题**
1．已知P(B\|A)=,P(A)=,则P(AB)=( )
A． B. C． D.
2．由"0"、"1" 组成的三位数码组中，若用A表示"第二位数字为0"的事件，用B表示"第一位数字为0"的事件，则P(A\|B)=（ ）
A. B. C. D.
3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 [ ]{.underline} .
５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则
（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？
（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？
６．某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率
7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表
（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率 （2）求这个代表恰好是团员代表的概率
（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率
（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率
8．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？
(2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）
9．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）
10．在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？
| 1 | |
**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[，3\] D．\[2，3\]
9．（5分）函数y=﹣x^4^+x^2^+2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=[ ]{.underline}．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是[ ]{.underline}．
15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．若S~m~=63，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K^2^=，
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2\|\|=\|\|+\|\|．
21．（12分）已知函数f（x）=．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
**2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x\|x﹣1≥0}={x\|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x\|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】cos2α=1﹣2sin^2^α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin^2^α=1﹣2×=．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．
6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，
则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．
则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换．
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[，3\] D．\[2，3\]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈\[\]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|==2，
∵点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d==，
∵sin（）∈\[﹣1，1\]，∴d=∈\[\]，
∴△ABP面积的取值范围是：
\[，\]=\[2，6\]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
9．（5分）函数y=﹣x^4^+x^2^+2的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x^3^+2x=﹣2x（2x^2^﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x^2^﹣1）＜0，
得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x^2^﹣1）＞0，
得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得=，即：，解得a=b，
双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．
故选：D．
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】推导出S~△ABC~==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为，
∴S~△ABC~==，
∴sinC==cosC，
∵0＜C＜π，∴C=．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C==，OO′==2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），
∴，
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是[ 分层抽样 ]{.underline}．
【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是[ 3 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z最大．
【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）．
z=x+y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，
当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，
最大值为2+3×=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
16．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=[ ﹣2 ]{.underline}．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．
【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x）
满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，
可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3，
则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．若S~m~=63，求m．
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a~n~}的通项公式．
（2）当a~1~=1，q=﹣2时，S~n~=，由S~m~=63，得S~m~==63，m∈N，无解；当a~1~=1，q=2时，S~n~=2^n^﹣1，由此能求出m．
【解答】解：（1）∵等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
∴1×q^4^=4×（1×q^2^），
解得q=±2，
当q=2时，a~n~=2^n﹣1^，
当q=﹣2时，a~n~=（﹣2）^n﹣1^，
∴{a~n~}的通项公式为，a~n~=2^n﹣1^，或a~n~=（﹣2）^n﹣1^．
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．
当a~1~=1，q=﹣2时，S~n~===，
由S~m~=63，得S~m~==63，m∈N，无解；
当a~1~=1，q=2时，S~n~===2^n^﹣1，
由S~m~=63，得S~m~=2^m^﹣1=63，m∈N，
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K^2^=，
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；
由此填写列联表如下；
---------------- ------- --------- ------
超过m 不超过m 总计
第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
---------------- ------- --------- ------
（3）根据（2）中的列联表，计算
K^2^===10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；
（2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，CM⊂半圆弦所在平面，
∴CM⊥AD，
M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：存在P是AM的中点，
理由：
连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC∥平面PBD．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2\|\|=\|\|+\|\|．
【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），利用点差法得6（x~1~﹣x~2~）+8m（y~1~﹣y~2~）=0，k==﹣=﹣
又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），可得x~1~+x~2~=2
由++=，可得x~3~﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex~1~=2﹣x~1~，\|FB\|=2﹣x~2~，\|FP\|=2﹣x~3~=．即可证明\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|．
【解答】解：（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x~1~+x~2~=2，y~1~+y~2~=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x~1~+x~2~）（x~1~﹣x~2~）+4（y~1~+y~2~）（y~1~﹣y~2~）=0，
即6（x~1~﹣x~2~）+8m（y~1~﹣y~2~）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴k=﹣．
（2）证明：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），
可得x~1~+x~2~=2
∵++=，F（1，0），∴x~1~﹣1+x~2~﹣1+x~3~﹣1=0，
∴x~3~=1
由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex~1~=2﹣x~1~，\|FB\|=2﹣x~2~，\|FP\|=2﹣x~3~=．
则\|FA\|+\|FB\|=4﹣，
∴\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|，
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）
由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．
（2）可得=﹣．可得f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax^2^+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
只需（x）≥﹣e，即可．
【解答】解：（1）=﹣．
∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，
∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．
即2x﹣y﹣1=0为所求．
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得=﹣．
令f′（x）=0，可得，
当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，
注意到a≥1时，函数g（x）=ax^2^+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
函数f（x）的图象如下：
∵a≥1，∴，则≥﹣e，
∴f（x）≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．
【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）⊙O的普通方程为x^2^+y^2^=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．
（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m^2^+1）y^2^+2+2m^2^﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x^2^+y^2^=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，
∴tan^2^α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴或，
综上α的取值范围是（，）．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），
设A（x~1~，y~1~），（B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），
联立，得（m^2^+1）y^2^+2+2m^2^﹣1=0，
，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在\[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学（宁夏、 海南卷）**
**本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**注意事项：**
**1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的**
**准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．**
**2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．**
**3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．**
**4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．**
> **5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．**
**参考公式：**
**样本数据，，，的标准差 锥体体积公式**
**其中为样本平均数 其中为底面面积、为高**
**柱体体积公式 球的表面积、体积公式**
**，**
**其中为底面面积，为高 其中为球的半径**
第I卷
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，**
**只有一项是符合题目要求的．**
1．已知命题，，则（ ）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
**【答案】：C**
**【分析】**：是对的否定，故有：
2．已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**D
**【分析】**：
3．函数在区间的简图是（ ）
**【答案】：**A
**【分析】**：排除Ｂ、Ｄ，
排除Ｃ。也可由五点法作图验证。
4．已知是等差数列，，其前10项和，
则其公差（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**D
**【分析】**：
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
**【答案】：**C
**【分析】**：由程序知，
6．已知抛物线的焦点为，
点，在抛物线上，
且， 则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**C
**【分析】**：由抛物线定义，
即：．
7．已知，，成等差数列，成等比数列，
则的最小值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
**【答案】：D**
**【分析】**：
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中
标出 的尺寸（单位：cm），可得这个几
何体的体积是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
**【答案】：**B
**【分析】**：如图，
9．若，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**C
**【分析】**：
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**D
**【分析】**：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程
为则切线与坐标轴交点为所以：
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
---------- --- --- --- ----
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
---------- --- --- --- ----
---------- --- --- --- ----
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
---------- --- --- --- ----
---------- --- --- --- ----
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
---------- --- --- --- ----
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**B
**【分析】**：
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，
且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、
三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
**【答案】：**B
**【分析】**：如图，设正三棱锥的各棱长为，
则四棱锥的各棱长也为，
于是
**第II卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线
的距离为6，则该双曲线的离心率为[ ]{.underline}．
**【答案】：**3
**【分析】**：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别
向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：
14．设函数为奇函数，则[ ]{.underline}．
**【答案】：-**1
**【分析】**：
15．是虚数单位，[ ]{.underline}．（用的形式表示，）
**【答案】：**
**【分析】**：
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排
一个班，不同的安排方法共有 [ ]{.underline} 种．（用数字作答）
**【答案】：**240
**【分析】**：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂一个班，
共有种安排方法。
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面
内的两个测点与．现测得，
并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，
．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面与侧面
均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
证明：
（Ⅰ）由题设，连结，
为等腰直角三角形，
所以，且，
又为等腰三角形，故，
且，从而．
所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，
得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
的中点，．
．
故等于
二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆
有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，
使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
20．（本小题满分12分）
如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，
当时，
，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，
故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
22．**请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．**
**作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．**
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是
的割线，与交于两点，圆心在
的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，
两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲
设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
解：
（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，
当时，取得最小值．
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**河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试**
**理科试卷**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2.如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A． B． C． D．
3.下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．③④ D．②③
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6.两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
8.函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A．0 B． C． D．
9.若，则的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．125 D．-131
10.已知圆，圆，椭圆（，焦距为），若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
11.定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
A．7 B．19 C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 [ ]{.underline} .
14.已知向量与的夹角为60°，且，若，且，则实数的值为 [ ]{.underline} .
15.已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为 [ ]{.underline} .
16.用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，的因数有1,2,5,10，，那么 [ ]{.underline} .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.(本小题满分12分)
在锐角中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的面积.
18\. (本小题满分12分)
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的"星级卖场".
(1)当时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为，乙型号电视机的"星级卖场"数量为，比较，的大小关系；
(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求的分布列和数学期望；
(3)若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值.(只需写出结论)
19\. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20\. (本小题满分12分)
如图，已知椭圆：，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点.
(1)若，求的值；
(2)求四边形面积的最大值.
21\. (本小题满分12分)设函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
(3)若方程有两个不相等的实数根，比较与0的大小.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与⊙相切于点是⊙的弦，的平分线交⊙于点，连接，并延长与直线相交于点.
(1)求证：；
(2)若，求弦的长.
23\. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为.
(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(2)若点坐标，圆与直线交于两点，求的值.
24\. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
(1)已知函数，求的取值范围，使为常函数；
(2)若，求的最大值.
参考答案及解析
一、选择题
1\. C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.A
二、填空题
13\. 14.1 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)在中，由正弦定理，得，即.(3分)
又因为，所以. (5分)
当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. (12分)
18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为.(1分)
乙组数据的平均数为.(2分)
由茎叶图，知甲型号电视剧的"星级卖场"的个数，乙型号电视剧的"星级卖场"的个数，所以. (4分)
(2)由题意，知的所有可能取值为0,1,2. (5分)
且，，（8分）
所以的分布列为
-- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
0 1 2
  
-- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以. （10分）
（3）当时，达到最小值. (12分)
19.解：（1）∵，，∴，又∵，，∴平面.∴，又∵，，∴平面；(4分)
（2）∵平面，，∴以，，分别为轴，轴和轴，如图建立空间直角坐标系，易知，则，，，，∴，，平面的一个法向量，设平面的法向量，由，，得，令，得，∴，由图，得二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为； （8分）
（3）假设在线段上存在一点，使得平面平面，设，则，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得，
∵，∴在线段上不存在点，使得平面平面．(12分 )
20.解：(1)依题设得椭圆的顶点，则直线的方程为.(1分)
设直线的方程为.设，其中.联立直线与椭圆的方程，消去，得方程.(3分)
故，由知，，得，由点在线段上，知，得，所以，化简，得，解得或.（6分）
(2)根据点到直线的距离公式，知点到线段的距离分别为，又
，所以四边形的面积为
，当且仅当，即时，取等号.所以四边形面积的最大值为.(12分)
21.解：(1) ．
当时， ，函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，由，得；由，得.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（4分）
(2)由(1)得，若函数有两个零点，则，且的最小值，即.因为，所以.
令，显然在上为增函数，且
，所以存在.
当时，；当时，.所以满足条件的最小正整数.
又当时，，所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.
(3)证明：因为是方程的两个不等实根，由(1)知.
不妨设，则
两式相减得，
即．
所以.
因为，当时，，当时，，
故只要证\> 即可，即证明，
即证明，
即证明.设t＝．
令，则.
因为，所以，当且仅当时，，
所以在上是增函数．
又，所以当总成立．所以原题得证．（12分）
22\. 解：(1)∵与⊙相切于点,∴由切割线定理得，∴.(5分)
(2)∵与⊙相切于点,∴,∵,∴.由及(1)知，.由，知，∴，∴.(10分)
23\. 解：(1)由得直线的普通方程为.(2分)
又由得圆的直角坐标方程为，即.(5分)
（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于，故可设是上述方程的两实数根，所以，又直线的过点，两点对应的参数分别为，所以.(10分)
24.解：(1) .(4分)
则当时，为常函数.(5分)
（2）由柯西不等式得，所以，当且仅当，即时，取最大值，因此的最大值为3.（10分）
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**2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）**
**理科数学**
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由图知，.
{width="3.138888888888889in" height="1.0729166666666667in"}
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
{width="2.9097222222222223in" height="1.9423611111111112in"}
根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
答案：
C
解析：
A.低于万元的比率估计为，正确.
B.不低于万元的比率估计为，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.万到万的比率为，正确.
3.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入，知，故.
5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记，，由及，得，，又由余弦定理知，得，从而.
6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
{width="2.0625in" height="2.3125in"}
A.{width="1.7916666666666667in" height="1.7604166666666667in"}
B.{width="1.7916666666666667in" height="1.8125in"}
C.{width="1.71875in" height="1.75in"}
D.{width="1.8229166666666667in" height="1.78125in"}
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.
{width="2.6979166666666665in" height="2.6041666666666665in"}
故选D.
7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：
B
解析：
若，则.①，则单调递增；②，则单调递减，∴甲乙，又若单调递增，则恒成立，∴恒成立，∴，，∴甲乙.综上：甲乙，选B.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（ ）（）
{width="1.5048611111111112in" height="1.2131944444444445in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
过C作的垂线交于点M，过B作的垂线交于点N，
由题意得，，，即.
所以
，
所以
.得A，C两点到水平面的高度差约为，故选B。
{width="3.625in" height="3.2in"}
9.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.
∴
∴
∴.
又∵.如图，.
{width="1.4791666666666667in" height="0.6951388888888889in"}
10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
把位置依次标为到.
总数：先排个，有种，再排个，有一种，故共有种.
满足题设的排法：先排个，有种.其间有个空，选个空插入有种.故.
满足题设排法的另一种解释：的位置有，，，，，，，，，，共种.
11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记为所在圆面的圆心，则.
{width="1.2652777777777777in" height="1.0145833333333334in"}
又，所以
.
所以.故选A.
12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵为奇函数，∴关于中心对称，∴.
因为偶函数，故关于轴对称，周期为.
∴，.即，.
，.
故
.
故选D.
二、填空题
13.曲线在点处的切线方程为 [ ]{.underline} .
答案：
.
解析：
，，.
切线：.
14.已知向量，，.若，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
，.所以.
15.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.
设，，则，得.所以，四边形面积为.
{width="2.5375in" height="1.5743055555555556in"}
16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 [ ]{.underline} .
{width="2.3472222222222223in" height="1.3777777777777778in"}
答案：
解析：
由图可知，的最小正周期，∴.
∵，∴，∴，.
∴，∴，.
∴或.
结合图像可知，满足的离轴最近的正数区间，无正数；
的离轴最近的正数区间为，最小正整数.
{width="3.404166666666667in" height="1.5743055555555556in"}
三、解答题
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
{width="2.545138888888889in" height="1.7715277777777778in"}
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
{width="2.432638888888889in" height="0.7868055555555555in"}
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为；
（2）由题意.
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列：②数列是等差数列：③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，
答案：
见解析
解析：
①，,证明：设等差数列的公差为.因为，所以，
则.所以，所以
.所以是首项为，公差为的等差数列.
19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
{width="0.8798611111111111in" height="1.0375in"}
答案：\
见解析；
解析:\
（1）
连，取中点连，，
由为，的中点，则，
又，，则共面，故面.
又在侧面中，则
又，则.
{width="1.8770833333333334in" height="2.0277777777777777in"}
（2），则.
又则.
如图以为原点建立坐标轴，则，，，，.
{width="2.3583333333333334in" height="2.5729166666666665in"}
设则.
则面法向量为，对面设法向量为，则
，
则.
要求最小正弦值则求最大余弦值.
当时二面角余弦值最大，则时二面角正弦值最小.
20.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线，与的位置关系，并说明理由.
答案：\
见解析；
解析：\
（1）， .
（2）设，，.
，所以
①.
，所以
②.
所以，是方程的两根.
又，所以
.
所以，即直线与相切.
21.已知且，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
答案：\
见解析；
解析：\
（1）时，，
.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题知在有两个不等根；
.
令，，在单调递增，在单调递减.
又，，.
所以且.
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
答案：
见解析
解析：\
（1）.
（2）设，，由
.
又在上，所以
.
则为为圆心，半径为的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.
{width="1.2256944444444444in" height="1.2159722222222222in"}
23.已知函数，.
（1）画出和的图象；
（2）若，求的取值范围.
{width="4.614583333333333in" height="3.9270833333333335in"}
答案：
见解析；
解析：
（1）；
{width="3.7784722222222222in" height="2.329861111111111in"}
（2）当时，恒不满足，此时；
当时，恒成立，必有
.
当时，
时，，，所以.
时，，，令，所以.
时，，.
，所以.
所以，.
| 1 | |
> 
>
> 一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立
的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
考点：必要不充分条件的判定.
2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，所以，即，故选A.
考点：复数概念及二项式定理的应用.
3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，因为数列是等差数列，所以设数列的通项公式为，则，所以，因为是一个与无关的常数，所以或，所以可能是或，故选B.
考点：等差数列的通项公式.
4.中三边上的高依次为，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，根据三角形的面积相等，所以可设，由余弦定理得，即，所以三角形为钝角三角形，故选C.
考点：余弦定理的应用.
5.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，
则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
考点：函数单调性的应用及导数的运算.
6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其
面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
考点：椭圆的定义的应用.
7.已知等式，定义映
射，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由
所以，
所以，故选C.
考点：二项式定理的应用.
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直
角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取的中点，连接，将平移到，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线与所成角，在直角三角形中，即可求解角的正切值.
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某
次考试成绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的
学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A． B． C． D．\[来源:Z。xx。k.Com\]
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量的值的计算公式：
【答案】B
考点：独立性检验的应用.
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．67
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，底层可以个，然后在底层每个球之间放一个，第二层能放个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放个、个、个，一共可放置个，故选C.
考点：空间几何体的机构特征.
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位
分数之和.如：，依次类推可得：
，其中.设
，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，，则，因为，所以时，有最小值，此时最小值为，故选C.
考点：归纳推理.
【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到的值是解答的关键.
12.已知，直线与函数的图像在处相切，设
，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最小值  B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
【答案】D
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.
【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得的值，得出函数的解析式，再判断函数的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解的取值范围.
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如
图所示的程序框图，输出的值是 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：程序框图的计算与输出.
14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，
则 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，，设与交于点，则，即分有向线段所成的比为，所以，即，因为，所以，即点的坐标为.
考点：向量的运算.
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在
此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两
点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐
标系下的方程为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
【答案】
考点：圆的一般方程.
【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出在直角坐标下的坐标为，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.
16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比
数列，，则的最小值为 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到的取值范围，再代入，利用导数研究其单调性确定最值即可.
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差
数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
考点：等比数列通项公式及数列求和.
18．（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，
，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
（2）在平面内，过点作的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示
设
，且
考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织\[来源:学\|科\|网\]
了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有
一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具
体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每
点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，
并计算其数学期望和方差.
【答案】（1）种；（2）分布列见解析，，.
【解析】
试题分析：（1）若种口味均不一样，有种，若其中两瓶口味一样，有种，若三瓶口味一样，有种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖瓶数的分布列、数学期望和方差.
试题解析：（1）若三瓶口味均不一样，有
若其中两瓶口味不一样，有，若三瓶口味一样，有8种，
所以小王共有56+56+8=120种选择方式
考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在
抛物线的准线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以
为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）①或；②.
试题解析：（1）椭圆短轴下端点在抛物线的准线上，
，
所以椭圆的方程为
（2）①由（1），知，设，则的圆心坐标为
的方程为，当时，所在直线方程为，此时，与题意不符，不成立，.
可设直线所在直线方程为，即
又圆的半径
由，得
解得
圆的方程为或
当且仅当，即时取等号
又，当时，直线的方程为
，
，
综上，，所以实数的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.
【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.
21.（本小题满分12分）设为实数，函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）设函数当有两个极值点时，总有
，求实数的值（为的导函数）.
【答案】（1）最大值是；（2）.
试题解析：（1）当时，
则，令，则
显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有
在区间内是减函数，又当时，，
，此时单调递增；
当时，
，此时单调递减；
在区间内的极大值也即最大值是
①当，不等式恒成立，；
②当时，恒成立，
令函数
显然是内的减函数，当，
③时，恒成立，即
由②，当，，即
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为，对任意的恒成立.通过讨论①当时，②当时，③时的情况是解解答的难点.
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线
分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（2）由切割线定理，得，又
又是的平分线，\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
由相交弦定理，得.
考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为
参数）距离的最小值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）
为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.\[来源:学+科+网\]
（2）当时，，故
的普通方程为，到的距离
所以当时，取得最小值.
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式.\[来源:学\|科\|网\]
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为.
试题解析：（1）当时，
所以当，函数取得最大值2.
（2）由，得
两边平方，得
即
得，
所以当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为.
考点：绝对值不等式的求解.
| 1 | |
**本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
**一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题均只有一个正确选项）**
1.设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.非不充分不必要条件
【答案】A
考点：充分条件与必要条件.
【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
2.若满足则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故.
考点：线性规划.
3.一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：记题中的等比数列的公比为 .依题意有 ，即 ，得 ，故选A.
考点：等比数列的性质.
4.已知，二次三项式对于一切实数恒成立.又，使成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为二次三项式ax^2^ +2x +b≥0对于一切实数x恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以，故选D。
考点：1.二次函数恒成立问题;2.均值定理的应用3.存在性命题.
5.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（ ）
A. B. C.  D. \[来源:学科网ZXXK\]
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，是方程的两根，所以，所以数列的偶数项均为正值，因为，故．
考点：等比数列的性质.
6.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为点在圆上，所以，可设，
代入原函数化简为：
，故函数的最小正周期为，
函数的最小值．故应选B．
考点：1.二倍角公式；2.两角和的余弦公式；3.三角函数的周期与最值．
7.在数列中，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
试题分析：依题意得，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，当时，
，又，因此，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和公式.
8.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是，，动点从点出发沿着圆弧按的路线运动（其中五点共线），记点运动的路程为，设,与的函数关系为，则的大致图象是（ ）
A. B.
 
C. D.
【答案】A
，∴函数的图象是曲线，且为单调递增，当时，∵，设与
--
--
的夹角为，与，∴，∴ ，∴函数的图象是曲线，且为单调递减．故选：A.
考点：1.函数的性质及应用；2.平面向量及应用．
9.设等比数列的前项和为，若，则=（ ）
A.27 B.81 C.243 D.729
【答案】C
【解析】
试题分析：利用等比数列的性质可得， 即，因为，所以时有，从而可得，所以，，故选C.
考点：等比数列的定义及性质.
10.已知函数的最大值和最小值分别是，则为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
【答案】A
考点：三角函数的性质及应用．
11.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
考点：1．函数与方程；2．不等式的性质.
【方法点点晴】本题主要考查了函数零点的概念、零点的求法以及数形结合思想；解决此类问题的灌浆时作出两函数图象在同一坐标系中的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再利用数形结合确定零点的取值范围；同是本题在作函数时，应该先作出的图象，然后再将轴下方的图象翻折到轴上方即可.
12.已知正实数，若，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
考点：基本不等式.
【方法点睛】本题主要考查了基本不等式的用法，目的主要考查考生的综合分析能力；本题在解答的关键是对的恰当拆项，和拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式成立的基本条件，即"一正、二定、三相等"；切记要注意"等号"成立的条件.
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）**
13.已知正实数，且，则的最小值为 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，得．当且仅当，即时，有最小值．
考点：柯西不等式.
14.若函数在区间是减函数，则的取值范围是 [ ]{.underline} .
【答案】．
【解析】
试题分析：
时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．
15\. 如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且，点为内（含边界）的动点，设则的最大值等于 [ ]{.underline} .
【答案】
考点：1.简单线性规划；2.平面向量的基本定理及其意义．
【思路点睛】因为本题四边形是边长为1的正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系，然后再利用向量的坐标表示来求解；选择以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，设，所以根据已知条件可得：，所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设，所以z表示直线在y轴上的截距，要求的最大值，只需求截距的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过点时截距最大，所以将点坐标带入直线方程，即可得到的最大值，即的最大值．
16\. 若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则 [ ]{.underline} .
【答案】45
考点：1.无穷数列；2.等差数列的前n项和.
【思路点睛】本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，由对任意的正整数k，该数列中恰有个，可知数列为：假设在第组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式，得到值后加1即可得答案．
**三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）**
17\. 如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，.
（1）求证：；
（2）当时，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
（2）由条件知，设，
则，根据割线定理得,
即即，
解得或（舍去），则 10分
考点：与圆有关的比例线段.
18\. 设函数
（1）当时，解不等式：；
（2）若不等式的解集为，求的值.
【答案】（1）; (2) 
故，
当时，有，解得．\[来源:学.科.网\]
当时，则有，解得 ．
综上可得，当或时，f(x)≤2的解集为．
考点：1.带绝对值的函数；2.绝对值不等式的解法．
19\. 如图，正三角形的边长为2，分别在三边和上，且为的中点，.
（1）当时，求的大小；
（2）求的面积的最小值及使得取最小值时的值.
【答案】（1）；（2）当时，取最小值.\[来源:学科网ZXXK\]
（2）**＝**
．
当时，取最小值．
考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.倍角公式.
【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是"变角、变函数名和变运算形式"，其中的核心是"变角"，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
20\. 已知为锐角，且，函数，数列的首项.
（1）求函数的表达式；
（2）求数列的前项和.\[来源:Zxxk.Com\]
【答案】（1） ；（2）
 是首项为 ,公比的等比数列,  ，，错位相减法得.
考点：1三角函数的化简；2.数列的通项公式和前项和.
21\. 已知函数.
（1）设.若函数在处的切线过点，求的值；
（2）设函数，且，当时，比较与1的大小关系.
【答案】（1）；（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）①利用导数几何意义求切线斜率：，函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得.（2）由题意，，要确定其最小值，需多次求导，反复确定求单调性，最后确定.
试题解析：（1）由题意，得，
所以函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，
将点代入，得.
（2）由题意，，
而等价于，
令，则，且，，
令，则，
因， 所以，
所以导数在上单调递增，于是，
从而函数在上单调递增，即.
所以
考点：1.导数几何意义；2.利用导数求函数单调性.
22\. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
试题解析：（Ⅰ）由于，
考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．
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**2019年湖北省武汉市中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•武汉）实数2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
2．（3分）（2019•武汉）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
4．（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•武汉）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•武汉）"漏壶"是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•武汉）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•武汉）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，，、，两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接．若的面积为3，则；②若，则；③若，则，其中真命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）（2019•武汉）如图，是的直径，、是（异于、上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•武汉）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•武汉）的化简结果为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•武汉）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：，分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•武汉）计算的结果是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•武汉）如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•武汉）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•武汉）问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．
问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共8题，共72分）**
17．（8分）（2019•武汉）计算：．
18．（8分）（2019•武汉）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：．
19．（8分）（2019•武汉）为弘扬中华传统文化，某校开展"双剧进课堂"的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：表示"很喜欢"， 表示"喜欢"， 表示"一般"， 表示"不喜欢"，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取[ ]{.underline}名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为[ ]{.underline}；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示"喜欢"的类的学生大约有多少人？
20．（8分）（2019•武汉）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点画线段，使，且．
（2）如图1，在边上画一点，使．
（3）如图2，过点画线段，使，且．
21．（8分）（2019•武汉）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）（2019•武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表：
---------------- ------ ------ ------
售价（元件） 50 60 80
周销售量（件 100 80 40
周销售利润（元 1000 1600 1600
---------------- ------ ------ ------
注：周销售利润周销售量（售价进价）
（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是[ ]{.underline}元件；当售价是[ ]{.underline}元件时，周销售利润最大，最大利润是[ ]{.underline}元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值．
23．（10分）（2019•武汉）在中，，，是上一点，连接．
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．
（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点．
①如图2，若，求证：．
②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示）
24．（12分）（2019•武汉）已知抛物线和
（1）如何将抛物线平移得到抛物线？
（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．
①若，求点的横坐标；
②若，直接写出点的横坐标．
（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．
**2019年湖北省武汉市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）实数2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：实数2019的相反数是：．
故选：．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
3．（3分）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：、3个球都是黑球是随机事件；
、3个球都是白球是不可能事件；
、三个球中有黑球是必然事件；
、3个球中有白球是随机事件；
故选：．
4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：．
5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，如图所示：．
故选：．
6．（3分）"漏壶"是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
随的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：．
7．（3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为
A． B． C． D．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使的有6种结果，
关于的一元二次方程有实数解的概率为，
故选：．
8．（3分）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，，、，两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接．若的面积为3，则；②若，则；③若，则，其中真命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
【解答】解：过点作轴，为垂足，连接．
的面积为3，
，
反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
，
，正确，是真命题；
②反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
在所在的每一个象限随着的增大而增大，
若，则，正确，是真命题；
③当、两点关于原点对称时，，则，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选：．
9．（3分）如图，是的直径，、是（异于、上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是
A． B． C． D．
【分析】如图，连接．设．易知点在以为圆心为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是，由题意，设，则，利用弧长公式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接．设．
是直径，
，
是的内心，
，
，
，
，
，
易知点在以为圆心为半径的圆上，运动轨迹是，点的运动轨迹是，
，设，则
．
故选：．
10．（3分）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是
A． B． C． D．
【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【解答】解：；
；
；
，
，
，
，
原式．
故选：．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）**
11．（3分）的化简结果为[ 4 ]{.underline}．
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：，
故答案为：4．
12．（3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：，分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是[ ]{.underline}．
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为18、20、23、25、27，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
13．（3分）计算的结果是[ ]{.underline}．
【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
【解答】解：原式
．
故答案为：
14．（3分）如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为[ ]{.underline}．
【分析】设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即；
故答案为：．
15．（3分）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是[ ， ]{.underline}．
【分析】由于抛物线沿轴向右平移1个单位得到，从而得到抛物线与轴的两交点坐标为，，然后根据抛物线与轴的交点问题得到一元二方程的解．
【解答】解：关于的一元二次方程变形为，
把抛物线沿轴向右平移1个单位得到，
因为抛物线经过点、，
所以抛物线与轴的两交点坐标为，，
所以一元二方程的解为，．
故答案为，．
16．（3分）问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．
问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是[ ]{.underline}．
【分析】（1）在上截取，通过三角形求得证得，得出是等边三角形，得出，即可求得，连接，延长到，使，连接，证得是等边三角形，得出，然后通过证得，得出，即可证得结论；
（2）以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，可证，可得，则，即当、、、四点共线时，值最小，最小值为的长度，根据勾股定理先求得、，然后求的长度，即可求的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，在上截取，
在和中
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
连接，延长到，使，连接，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
是等边三角形，
，
，，，，
，
在和中
，
，
；
（2）解：如图2：以为边作等边三角形，以为边作等边．连接，作，交的延长线于．
和是等边三角形
，，，
在和中
，
当、、、四点共线时，值最小，
，，
，
，
．
，
，
，
最小值为，
故答案为，
**三、解答题（共8题，共72分）**
17．（8分）计算：．
【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：
．
18．（8分）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：．
【分析】根据平行线的性质可得，又，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出．
【解答】解：，
，
，
，
又，，
．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展"双剧进课堂"的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：表示"很喜欢"， 表示"喜欢"， 表示"一般"， 表示"不喜欢"，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取[ 50 ]{.underline}名学生进行统计调查，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小为[ ]{.underline}；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示"喜欢"的类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：（人，类所对应的扇形圆心角的大小；
（2）类学生：（人，据此补充条形统计图；
（3）该校表示"喜欢"的类的学生大约有（人．
【解答】解：（1）这次共抽取：（人，
类所对应的扇形圆心角的大小，
故答案为50，；
（2）类学生：（人，
条形统计图补充如下
该校表示"喜欢"的类的学生大约有（人，
答：该校表示"喜欢"的类的学生大约有690人；
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点画线段，使，且．
（2）如图1，在边上画一点，使．
（3）如图2，过点画线段，使，且．
【分析】（1）作平行四边形即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
（3）作平行四边形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段即为所求；
（2）如图所示，点即为所求；
（3）如图所示，线段即为所求．
21．（8分）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接、，证明，得出，即可得出结论；
（2）连接，，证明得出，求出，由直角三角形的性质得出，，图中阴影部分的面积，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接、，如图1所示：
和是它的两条切线，
，，
，
切于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，如图2所示：
，
，
，，
，
，
垂直平分，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在，，
中，，
，
，
，，
图中阴影部分的面积．
22．（10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元的三组对应值如表：
---------------- ------ ------ ------
售价（元件） 50 60 80
周销售量（件 100 80 40
周销售利润（元 1000 1600 1600
---------------- ------ ------ ------
注：周销售利润周销售量（售价进价）
（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是[ 40 ]{.underline}元件；当售价是[ ]{.underline}元件时，周销售利润最大，最大利润是[ ]{.underline}元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过65元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值．
【分析】（1）①依题意设，解方程组即可得到结论；
②该商品进价是，设每周获得利润：解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，，由于对称轴是，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①依题意设，
则有
解得：
所以关于的函数解析式为；
②该商品进价是，
设每周获得利润
则有，
解得：，
，
当售价是70元件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
（2）根据题意得，，
对称轴，
①当时（舍，②当时，时，求最大值1400，
解得：．
23．（10分）在中，，，是上一点，连接．
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：．
（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点．
①如图2，若，求证：．
②如图3，若是的中点，直接写出的值．（用含的式子表示）
【分析】（1）如图1中，延长交于点．想办法证明即可．
（2）①如图2中，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
②如图3中，作交的延长线于，作于．不妨设，则．想办法求出，（用表示），即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长交于点．
，
，
，
，，
，
，
，，
，
．
（2）①证明：如图2中，作交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图3中，作交的延长线于，作于．不妨设，则．
则，，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
24．（12分）已知抛物线和
（1）如何将抛物线平移得到抛物线？
（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．
①若，求点的横坐标；
②若，直接写出点的横坐标．
（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．
【分析】（1）向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到；
（2）易求点，，联立方程，可得，；设，，
①当时，则有，求得；
②当时，，，则有，求得；
（3）设经过与的直线解析式为，
，则可知△，求得，
求出直线的解析式为，直线的解析式为，则可求，，
再由面积，可得，即可求解；
【解答】解：（1）向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到；
（2）与轴正半轴的交点，
直线经过点，
，
，
与的交点为的解，
或，
，，
设，且，
轴，
，
①当时，
，
则有，
，
点横坐标为；
②当时，
，，
，
；
点横坐标为；
（3）设经过与的直线解析式为，
，
则有，
△，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，，
，
，
，
；
| 1 | |
**2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}}，，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．\[0，2\] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P~0~（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知命题p~1~：函数y=2^x^﹣2^﹣x^在R为增函数，p~2~：函数y=2^x^+2^﹣x^在R为减函数，则在命题q~1~：p~1~∨p~2~，q~2~：p~1~∧p~2~，q~3~：（￢p~1~）∨p~2~和q~4~：p~1~∧（￢p~2~）中，真命题是（ ）
A．q~1~，q~3~ B．q~2~，q~3~ C．q~1~，q~4~ D．q~2~，q~4~
6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），则{x\|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x\|x＜﹣2或x＞4} B．{x\|x＜0或x＞4}
C．{x\|x＜0或x＞6} D．{x\|x＜﹣2或x＞2}
9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa^2^ B． C． D．5πa^2^
11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设y=f（x）为区间\[0，1\]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间\[0，1\]上的均匀随机数x~1~，x~2~，...x~N~和y~1~，y~2~，...y~N~，由此得到N个点（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，N），再数出其中满足y~i~≤f（x~i~）（i=1，2，...，N）的点数N~1~，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为[ ]{.underline}．
14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是[ ]{.underline}（写出三种）
15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为[ ]{.underline}．
16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共8小题，满分90分）**
17．（12分）设数列满足a~1~=2，a~n+1~﹣a~n~=3•2^2n﹣1^
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）令b~n~=na~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
+----------------+-----+-----+
| 性别 | 男 | 女 |
| | | |
| 是否需要志愿者 | | |
+----------------+-----+-----+
| 需要 | 40 | 30 |
+----------------+-----+-----+
| 不需要 | 160 | 270 |
+----------------+-----+-----+
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
附：K^2^=．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是椭圆的左、右焦点，过F~1~斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足\|PA\|=\|PB\|，求E的方程．
21．（12分）设函数f（x）=e^x^﹣1﹣x﹣ax^2^．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC^2^=BE•CD．
23．（10分）已知直线C~1~（t为参数），C~2~（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C~1~与C~2~的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C~1~的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=\|2x﹣4\|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
**2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}}，，则A∩B=（ ）
A．（0，2） B．\[0，2\] C．{0，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．
【解答】解：A={x∈R\|\|x\|≤2，}={x∈R\|﹣2≤x≤2}，
故A∩B={0，1，2}．
应选D．
【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．
2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】因为，所以先求\|z\|再求的值．
【解答】解：由可得．
另解：
故选：A．
【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．
3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题．
【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=，
∴y′=，
所以k=y′\|~x=﹣1~=2，得切线的斜率为2，所以k=2；
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故选：A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P~0~（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，
再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
5．（5分）已知命题p~1~：函数y=2^x^﹣2^﹣x^在R为增函数，p~2~：函数y=2^x^+2^﹣x^在R为减函数，则在命题q~1~：p~1~∨p~2~，q~2~：p~1~∧p~2~，q~3~：（￢p~1~）∨p~2~和q~4~：p~1~∧（￢p~2~）中，真命题是（ ）
A．q~1~，q~3~ B．q~2~，q~3~ C．q~1~，q~4~ D．q~2~，q~4~
【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】先判断命题p~1~是真命题，P~2~是假命题，故p~1~∨p~2~为真命题，（﹣p~2~）为真命题，p~1~∧（﹣p~2~）为真命题．
【解答】解：易知p~1~是真命题，而对p~2~：y′=2^x^ln2﹣ln2=ln2（），
当x∈\[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p~2~是假命题．
由此可知，q~1~真，q~2~假，q~3~假，q~4~真．
故选：C．
【点评】只有p~1~与P~2~都是真命题时，p~1~∧p~2~才是真命题．只要p~1~与p~2~中至少有一个真命题，p~1~∨p~2~就是真命题．
6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；12：应用题．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．
7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】28：操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S=的值．
∵S==1﹣=
故选：D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），则{x\|f（x﹣2）＞0}=（ ）
A．{x\|x＜﹣2或x＞4} B．{x\|x＜0或x＞4} C．{x\|x＜0或x＞6} D．{x\|x＜﹣2或x＞2}
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），可得f（x）=f（\|x\|）=2^\|x\|^﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2^x^﹣4（x≥0），可得f（x）=f（\|x\|）=2^\|x\|^﹣4，
则f（x﹣2）=f（\|x﹣2\|）=2^\|x﹣2\|^﹣4，要使f（\|x﹣2\|）＞0，只需2^\|x﹣2\|^﹣4＞0，\|x﹣2\|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GW：半角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】解：由，α是第三象限的角，
∴可得，
则，
应选A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．
10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa^2^ B． C． D．5πa^2^
【考点】LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，
球的表面积为，
故选：B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x~1~+x~2~=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．
【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k~PN~=1，
设双曲线方程为，
A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则有，
两式相减并结合x~1~+x~2~=﹣24，y~1~+y~2~=﹣30得
=，
从而k==1
即4b^2^=5a^2^，
又a^2^+b^2^=9，
解得a^2^=4，b^2^=5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设y=f（x）为区间\[0，1\]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间\[0，1\]上的均匀随机数x~1~，x~2~，...x~N~和y~1~，y~2~，...y~N~，由此得到N个点（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，N），再数出其中满足y~i~≤f（x~i~）（i=1，2，...，N）的点数N~1~，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．
【解答】解：由题意可知得，
故积分的近似值为．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．
14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是[ 三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） ]{.underline}（写出三种）
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．
【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．
故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．
【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为[ （x﹣3）^2^+y^2^=2 ]{.underline}．
【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．
【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=r^2^，
则（4﹣a）^2^+（1﹣b）^2^=r^2^，（2﹣a）^2^+（1﹣b）^2^=r^2^，=﹣1，
解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）^2^+y^2^=2．
故答案为：（x﹣3）^2^+y^2^=2．
【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．
16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=[ 60° ]{.underline}．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．
【解答】解：由△ADC的面积为可得
解得，则．
AB^2^=AD^2^+BD^2^﹣2AD•BD•cos120°=，
，
则=．
故∠BAC=60°．
【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．
**三、解答题（共8小题，满分90分）**
17．（12分）设数列满足a~1~=2，a~n+1~﹣a~n~=3•2^2n﹣1^
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）令b~n~=na~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）由题意得a~n+1~=\[（a~n+1~﹣a~n~）+（a~n~﹣a~n﹣1~）+...+（a~2~﹣a~1~）\]+a~1~=3（2^2n﹣1^+2^2n﹣3^+...+2）+2=2^2（n+1）﹣1^．由此可知数列{a~n~}的通项公式为a~n~=2^2n﹣1^．
（Ⅱ）由b~n~=na~n~=n•2^2n﹣1^知S~n~=1•2+2•2^3^+3•2^5^++n•2^2n﹣1^，由此入手可知答案．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a~n+1~=\[（a~n+1~﹣a~n~）+（a~n~﹣a~n﹣1~）+...+（a~2~﹣a~1~）\]+a~1~
=3（2^2n﹣1^+2^2n﹣3^+...+2）+2=3×+2=2^2（n+1）﹣1^．
而a~1~=2，
所以数列{a~n~}的通项公式为a~n~=2^2n﹣1^．
（Ⅱ）由b~n~=na~n~=n•2^2n﹣1^知S~n~=1•2+2•2^3^+3•2^5^+...+n•2^2n﹣1^①
从而2^2^S~n~=1•2^3^+2•2^5^+...+n•2^2n+1^②
①﹣②得（1﹣2^2^）•S~n~=2+2^3^+2^5^+...+2^2n﹣1^﹣n•2^2n+1^．
即．
【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．
18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（Ⅰ）证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．
【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．
（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，
求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，
建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
则．
可得．
因为
所以PE⊥BC．
（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），
设=（x，y，z）为平面PEH的法向量
则即
因此可以取，
由，
可得
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
+----------------+-----+-----+
| 性别 | 男 | 女 |
| | | |
| 是否需要志愿者 | | |
+----------------+-----+-----+
| 需要 | 40 | 30 |
+----------------+-----+-----+
| 不需要 | 160 | 270 |
+----------------+-----+-----+
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
附：K^2^=．
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，
（2）求K^2^的观测值查表，下结论；
（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．
【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
（2）K^2^的观测值 
因为9.967＞6.635，且P（K^2^≥6.635）=0.01，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是椭圆的左、右焦点，过F~1~斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数列．
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足\|PA\|=\|PB\|，求E的方程．
【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（I）根据椭圆的定义可知\|AF~2~\|+\|BF~2~\|+\|AB\|=4a，进而根据\|AF~2~\|，\|AB\|，\|BF~2~\|成等差数表示出\|AB\|，进而可知直线l的方程，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x~1~+x~2~和x~1~x~2~进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．
（II）设AB的中点为N（x~0~，y~0~），根据（1）则可分别表示出x~0~和y~0~，根据\|PA\|=\|PB\|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．
【解答】解：（I）由椭圆定义知\|AF~2~\|+\|BF~2~\|+\|AB\|=4a，又2\|AB\|=\|AF~2~\|+\|BF~2~\|，
得，l的方程为y=x+c，其中．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则A、B两点坐标满足方程组
化简的（a^2^+b^2^）x^2^+2a^2^cx+a^2^（c^2^﹣b^2^）=0
则
因为直线AB斜率为1，\|AB\|=\|x~1~﹣x~2~\|=，
得，故a^2^=2b^2^
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x~0~，y~0~），由（I）知，．
由\|PA\|=\|PB\|，得k~PN~=﹣1，
即
得c=3，从而
故椭圆E的方程为．
【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力
21．（12分）设函数f（x）=e^x^﹣1﹣x﹣ax^2^．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论．
【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据e^x^≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．
【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e^x^﹣1﹣x，f′（x）=e^x^﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时，f\'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f\'（x）＞0．
故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加
（II）f′（x）=e^x^﹣1﹣2ax
由（I）知e^x^≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，
从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由e^x^＞1+x（x≠0）可得e^﹣x^＞1﹣x（x≠0）．
从而当时，f′（x）＜e^x^﹣1+2a（e^﹣x^﹣1）=e^﹣x^（e^x^﹣1）（e^x^﹣2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f\'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．
22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC^2^=BE•CD．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（I）先根据题中条件：""，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．
（II）欲证BC^2^=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故．
即BC^2^=BE×CD．（10分）
【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．
23．（10分）已知直线C~1~（t为参数），C~2~（θ为参数），
（Ⅰ）当α=时，求C~1~与C~2~的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C~1~的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（I）先消去参数将曲线C~1~与C~2~的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，
（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．
【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C~1~的普通方程为，C~2~的普通方程为x^2^+y^2^=1．
联立方程组，
解得C~1~与C~2~的交点为（1，0）．
（Ⅱ）C~1~的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．
则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，
联立①②可得x=sin^2^α，y=﹣cosαsinα；
A点坐标为（sin^2^α，﹣cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，
P点轨迹的普通方程．
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．
24．（10分）设函数f（x）=\|2x﹣4\|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．
【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；
（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，
函数y=f（x）的图象如图所示．
（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）
当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．
故不等式f（x）≤ax的解集非空时，
a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪\[，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
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**中学学科网2008年高考湖北卷理科数学试题全解全析**
解析作者：李华
**绝密★启用前**
**数 学（理工农医类）**
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
> ★祝考试顺利★
**注意事项**：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
4.
```{=html}
<!-- -->
```
1. 设*a*=(1,-2),*b*=(-3,4),*c*=(3,2),则(*a*+2*b*)·*c*=
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11
2. 若非空集合*A*,*B*,*C*满足*A*∪*B=C*，且*B*不是*A*的子集，则
A."*x*∈*C*"是"*x*∈*A*"的充分条件但不是必要条件
B. "*x*∈*C*"是"*x*∈*A*"的必要条件但不是充分条件
C. "*x*∈*C*"是"*x*∈*A*"的充分条件
D. "*x*∈*C*" 既不是"*x*∈*A*"的充分条件也不是"*x*∈*A*"必要条件
**【标准答案】２．Ｂ**
**【试题解析】由韦恩图，知Ｂ正确．**
**【高考考点】集合的运算的理解和充分条件与必要条件．**
**【易错提醒】不理解要得到充分条件与必要条件，那个做为条件，那个做结论．**
**【学科网备考提示】对＂抽象＂的集合问题常用韦恩图来分析问题，这其实是数形结合的思想．**
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为
A. B. C. D. **【标准答案】３．Ｂ**
**【试题解析】易知球的半径是，所以根据球的体积公式知，故**B为正确答案．
**【高考考点】球的体积公式和空间想象能力。**
**【易错提醒】记错公式。**
**【学科网备考提示】对立体几何中的公式要牢记在心。**
5.将函数*y=*3sin（*x*-*θ*）的图象*F按向量（*，3*）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=*,则*θ*的一个可能取值是
A. B. C. D.
**【标准答案】5．Ａ**
**【试题解析】依题意可得图象的解析式为,当对称，根据选项可知A正确。**
**【高考考点】图象的平移和三角函数中对称与最值。**
**【易错提醒】将图象平移错了。**
**【学科网备考提示】函数图象的平移是考生应掌握的知识点。**
**6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为**
**A.540 B.300 C.180 D.150**
**【标准答案】6．Ｄ**
**【试题解析】将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，所以共有种方案，故Ｄ正确．**
**【高考考点】考查排列组合的基本知识。**
**【易错提醒】不知如何分类与分步。**
**【学科网备考提示】排列组合的问题要注意分类与分步，些题一方面要注意分类与分步，另一方面还要注意如何分组与分配。**
7.若f(x)=上是减函数，则*b*的取值范围是
A.\[-1，+∞\] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）
**【标准答案】７．Ｃ**
**【试题解析】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故**Ｃ为正确答案．
**【高考考点】考查导数与单调性的关系，恒成立问题以及不等式的相关问题。**
**【易错提醒】对在什么时候取等号，什么时候不取等号搞不清楚。**
**【学科网备考提示】恒成立问题是高考中的常考问题，常与不等式有关。**
**8.已知m∈N\*,a,b∈R，若 ,则a·b=**
**A．-m B．m C．-1 D．1**
**【标准答案】８．Ａ**
**【试题解析】易知由洛必达法则有，所以．**
**【高考考点】考查极限的概念和运算，当然些题可以用二项式定理将展开后就可以求极限了。**
**【易错提醒】不知如何求，或者是的展开式写错。**
**【学科网备考提示】用洛必达法则求极限高中生也应该有所了解，事实际上07年湖北卷的那道和极限有关的题也可以用洛必达法则。**
9.过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A.16条 B.17条 C.32条 D.34条
**【标准答案】９．Ｃ**
**【试题解析】可知过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有。**
**【高考考点】考查圆的方程和计数问题。**
**【易错提醒】除了最短的弦长与最长的弦长各只有一条外，忽略了其它长度的有两条。**
**【学科网备考提示】圆中和弦长有关的问题常构造直角三角形较简单。**
10.如图所示，"嫦娥一号"探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c~1~和2c~2~分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a~1~和2a~2~分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①*a~1~+c~1~=a~2~+c~2~*;②*a~1~-c~1~=a~2~-c~2~*;③*c~1~a~2~＞a~1~c~1~*;④＜.
其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
**【标准答案】10．Ｂ**
**【试题解析】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．**
**【高考考点】椭圆的基本量之间的关系．**
**【易错提醒】没有抓住问题的关键，用错不等式。**
**【学科网备考提示】圆锥曲线的基本量之间的关系是高考常考内容，考生应从代数、几何、不等式方面入手。**
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.设(其中表示z~1~的共轭复数)，已知z~2~的实部是-1，则z~2~的虚部为 [ ]{.underline} *.*
 12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为 [ ]{.underline} .
 13.已知函数*f(x)=x^2^+2x+a,f(bx)=9x-6x*+2,其中x∈R，*a*,*b*为常数，则方程*f*(*ax+b*)=0的解集为
[ ]{.underline} .
**【标准答案】13．**
**【试题解析】由题意知所以**
**，所以解集为。**
**【高考考点】函数解析式与一元二次方程根的求法。**
**【易错提醒】的值取错。**
**【学科网备考提示】掌握常见的函数解析式的求法，还要注意一元二次方程根的情况与有关。**
14.已知函数f(x)=2^x^,等差数列{a~x~}的公差为2.若*f(a*~2~*+a*~4~*+a*~6~*+a*~8~*+a*~10~)=4,则
Log~2~\[f(a~1~)·f(a~2~)·f(a)·...·f(a~10~)\]= [ ]{.underline} .
**【标准答案】14．**
**【试题解析】依题意有。而**
**【高考考点】等差数列的概念与对数的运算。**
**【易错提醒】没有注意到也是成等差数列的。**
**【学科网备考提示】等差等比数列、对数以及对数函数是高中数学的重要内容，这些内容要熟练掌握。**
15.观察下列等式：
 **【标准答案】15．**
**【试题解析】由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，**
**第四项均为零，所以。**
**【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。**
**【易错提醒】没有正确理解题意。**
**【学科网备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。**
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
16.（本小题满分12分）
已知函数*f*(*t*)=
（Ⅰ）将函数*g(x*)化简成Asin(ω*x*+*φ*)+*B*（*A*＞0，ω＞0，*φ*∈\[0，2π\]）的形式；
（Ⅱ）求函数*g(x*)的值域.
**【标准答案】16．**
解：（1）
(2)由，得 。在上为减函数，在上是增函数 。
又 （当）。
即。
故的值域为。
**【试题解析】本题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。**
**【高考考点】函数的定义域、值域，三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力。**
**【易错提醒】容易忽略函数的定义域。**
**【学科网备考提示】三角函数的常用公式和三角中的恒等变换、代数式的化简变形是高中数学的重要内容，学生应熟练掌握。**
**17.（本小题满分12分）**
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上*n*号的有*n*个（*n*=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.*ξ*表示所取球的标号.
（Ⅰ）求*ξ*的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若*η*=*a*ξ-*b*,E*η*=1,D*η*=11,试求a,b的值.
**【标准答案】17．**
**解：（1）的分布列为：**
-- ------- ------- ------- ------- -------
**0** **1** **2** **3** **4**
-- ------- ------- ------- ------- -------
**所以。**
**（2）由，得，即，又，所以**
**当 时，由，得；**
**当 时，由，得。**
**，或，即为所求。**
**【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力。**
**【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。**
**【易错提醒】记错期望和方差的公式，特别是方差的公式。**
**【学科网备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。**
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若直线AC与平面A~1~BC所成的角为θ,二面角A~1~-BC-A的大小为*φ*的大小关系，并予以证明.
**【标准答案】18．**
**于是在中，在中，，**
**由，得，又所以。**
**解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，**
**则，**
**于是，。**
**设平面的一个法向量为，则**
**由得**
**可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。**
**所以，，**
**所以。**
**于是由，得，**
**即，又所以。**
**【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。**
**【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。**
**【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。**
**【学科网备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。**
**19.（本小题满分13分）**
如图，在以点O为圆心，\|AB\|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，
∠POB=30°，曲线C是满足\|\|MA\|-\|MB\|\|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.
**【标准答案】19．**
**（1）解法1：以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，**
**由题意得。**
**所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。**
**设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，**
**则**
**所以曲线的方程为。**
**解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则由题意可得**
**所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。**
**设双曲线的方程为**
**则由解得，**
**所以曲线的方程为。**
**（2）解法1：由题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理得**
**......①**
**因为与双曲线相交不同的两点E、F，**
**......②**
**设则由①式得，于是**
**.**
**而原点到直线的距离,**
**若面积不小于，即，则有,**
**解得......③**
**综合②、③知，直线的斜率的取值范围为.**
 **解得......④**
**综合②、④知，直线的斜率的取值范围为.**
**【试题解析】本题条件涉及到一动点到两定点距离差的绝对值，容易想到双曲线的定义，所以第（1）问只要求求了出双曲线方程中的与。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。**
**【高考考点】本题考查直线、圆和双曲线等平面几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力和运算能力。**
**【易错提醒】直线与双曲线有两个交点时，在联立后的一元二次方程的二次项系数不能为零，再就是解不等式后，结果是取交集还是并集，那些地方要带等号那些地方不带等号，这些都考生容量出错的地方。**
**【学科网备考提示】要牢记圆锥曲线的定义，并会灵活运用；不等式的解法要熟练掌握。**
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
*V*（*t*）=
**（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,...,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？**
**（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）**
**【标准答案】20．**
**解：（1）①当时，**
**化简得，**
**解得.**
**②当时，,**
**化简得，**
**解得.**
**综上得，,或.**
**故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。**
**（2）由（1）知，的最大值只能在(4,10)内内达到。**
**由,**
**令，解得（舍去）。**
**当变化时，与的变化情况如下表：**
-- ----------- ------------ ------------
**(4,8)** **8** **(8,10)**
**+** **0** **-**
**极大值**
-- ----------- ------------ ------------
**由上表，在时取得最大值（亿立方米）。**
**故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。**
**【试题解析】第（1）问实际上就是解不等式，当然要注意问题的转化；第（2）问求最值要先求导再通过单调性求最值。**
**【高考考点】本题考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。**
**【易错提醒】不等式解出后在写最后的结果时出错；求导求错。**
**【学科网备考提示】解不等式是高中数学的重要内容，不等式问题贯穿高中数学的始终；导数是新增加的内容，是处理许多问题的有利工具，是高考的必考内容，考生一定要认真掌握。**
21.(本小题满分14分)
已知数列{*a*~n~}和{*b*~n~}满足：a~1~=λ,*a*~n+1~=其中λ为实数，*n*为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{*a*~n~}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{*b*~n~}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜*a*＜*b*,*S*~n~为数列{*b*~n~}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有
*a*＜*S*~n~＜*b*?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
**【标准答案】21．**
**（1）证明；假设存在一个实数，使是等比数列，则有，**
**即矛盾。**
**所以不是等比数列。**
**（2）解：因为**
**又，所以**
**当时，些时不是等比数列；**
**当时，由上可知。**
**故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。**
**当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。**
**【试题解析】第（1）问问的是证明 "不是等比数列"，这样的问题显然用"反证法"；第（2）正着问，那就顺着推；第（3）问要先求和再解建立不等式。**
**【高考考点】本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理能力。**
**【易错提醒】本题主要是，没有掌握解题的基本方法，再就是没有分类讨论。**
**【学科网备考提示】对等比数列、等差数列、数求和的知识要熟练掌握，数列中要特别注意递推关系式的结构。**
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**绝密★启用前**
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 设，则（ ）
A. B. C. D.
2\. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3\. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4\. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
5\. 在正方体中，*P*为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
6\. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
7\. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
8\. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
9\. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"，称为"表距"，和都称为"表目距"，与的差称为"表目距的差"则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
10\. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
11\. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12\. 设，，．则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．**
13\. 已知双曲线的一条渐近线为，则*C*的焦距为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 已知向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 记内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，面积为，，，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写出符合要求的一组答案即可）．
**三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共60分．**
17\. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ----------------------------------------- ------
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 102 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ----------------------------------------- ------
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18\. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
19\. 记为数列的前*n*项和，为数列的前*n*项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求通项公式．
20\. 设函数，已知是函数的极值点．
（1）求*a*；
（2）设函数．证明:．
21\. 已知抛物线焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
**（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22\. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23\. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求*a*取值范围．
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**三年级数学下册 期末试卷及答案**
班级 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline} 分数 [ ]{.underline}
**总分：100分 考试时间：90分**
1. 你会填吗？**（22分）**
1.7平方分米=（ ）平方厘米 2000米=（ ）千米
2.500平方分米=（ ）平方米 6分米=（ ）米
3.1元5角＋5元3角＝（ ）元（ ）角 5角=（ ）元
4.选合适的单位填空。
一棵树约2（ ）。 教室的门高约为200（ ）。
一个铅笔盒表面的面积约为40（ ）。 英语书封面的面积大约是5（ ）。
5.汽车行驶时，车轮做（ ）运动，车身做（ ）运动。
6.正方形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴。
7.25×76的积是（ ）位数，积的末尾有（ ）个0。
8.3.04读作： [ ]{.underline}  [ ]{.underline} 读作： [ ]{.underline}
零点七五写作： [ ]{.underline} 九分之六写作：
2. 快乐ABC。（5分）
1.计算小数加减时，要（ ）对齐。
A.首位 B.末位 C.小数点
2.与1相等的分数有（ ）个。
A.无数 B.2 C.1
3.一份试卷满分是100分，学生的得分不可能是（ ）。
A.80分 B.110分 C.59分
5.一包方便面[2.80]{.underline} 元。横线上的数读作：（ ）
A.二点八零 B.二点八十 C.二点八
三、小法官（5分）
1.边长是1米的正方形面积一定是1平方米。 （ ）
2.把一根木头锯成4段，每段是这根木头的 （ ）\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
3.小数的末尾添上"0"或去掉"0"，小数大小不变。 （ ）\[来源:学\*科\*网\]
4.两位数乘两位数结果一定是四位数。 （ ）
5.周长相等的长方形面积也一定相等。 （ ）
四、小小神算手。（26分）
1.快快算。（6分）
10×27= 630÷9= 9.3-2.6= 490÷70= ***1―***= 560÷7=
***＋***= 365×2= ***－***= 71×80= ***+***=  7.5-5.6=
2.列竖式计算 （ 12分）
36×38= 72×17= 46.75-22.4=
\[来源:学科网ZXXK\]
805÷5= 28.16+35.4= 43×26=
3.用递等式计算（8分）
8.2+（9.6－4.8） 43×（200－185） 306÷6×34 984－18×26
4.列式计算 （8分）
⑴ 3.5与1.8的差再加上2.9，和是多少？
⑵  比25的19倍多48的数是多少
⑶ 184减去21乘6的积，差是多少？
⑷ 118与26的差的25倍是多少？
五、计算图形的周长和面积。（6分）
64米
六、解决问题。（24分）
2.有一个长方形的游泳池，长20米，长比宽长5米，这个长方形的游泳池周长是多少？面积是多少？
3.乐乐买书用去8.55元，买钢笔用去3.2元，付给售货员15元，应找回多少元？
4.食堂运来了850千克大米，吃了16，平均每天吃28千克，还剩多少
千克大米？
5.一幢大楼有12层，每层住8户，15幢这样的大楼一共住多少户？
6.李虹家准备在客厅地面上铺上方砖，选择哪种方砖便宜？需要这种
方砖多少块？
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
***七.作图（4分）***
①帆船图向（ ）平移了（ ）格
②在方格纸上画出三角形向右平移5格的图形。
三年级数学试卷答案
一、1、800 4 2、 23 0.9
3、6元9角 0.7
4、米 米 米 平方厘米 平方分米
5、旋转 平移 6、 4 无数 7、 4 2
8、三点零四 八分之三 0.75
二、 1、C 2、A 3、B 4、C 5、A
三、1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、×
四、1、270 70 6.7 7 80
730 5680 1 1.9
2、1368 1224 24.35
161 63.56 1118
3、13 645 1734 516
4、（1）3.5-1.8+2.9=4.6 （2）25×19+48=523
（3）184-21**×6=58 （4）（1****18-26）×25=2300**
**五、周长：64×4=256（米） 面积：64×64=4096（平方米）**
**周长：（36+24）×2+6×2=132（米） 面积：36×24-12×6=792（平方米）**
**六、1、 2、70米 300平方米 3、3.25**
**4、402 5、1440 6、选择4分米的方砖便宜，****需要150块**
**七、1、 下 6 2、略\[来源:Zxxk.Com\]**
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**2019年湖南省湘潭市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•湘潭）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4 B．2 C．1 D．
6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的"两干一轨"项目中的"一轨"，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多"地铁"这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10
7．（3分）（2019•湘潭）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
9．（3分）（2019•湘潭）函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•湘潭）若，，则[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以"我和我亲爱的祖国"为主题的"快闪"活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•湘潭）计算：[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•湘潭）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形中，若，则添加一个条件[ ]{.underline}，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中"弦"指圆弧所对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为[ ]{.underline}平方米．
**三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）**
17．（6分）（2019•湘潭）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，
20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以"关心他人，关爱自己"为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
------ --- -- --- --- ---
分数
人数 5 5 2 1
等第
------ --- -- --- --- ---
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的[ ]{.underline}．
（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为[ ]{.underline}．
（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？
21．（6分）（2019•湘潭）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行""的高考选考方案．"3"是指语文、数学、外语三科必考；"1"是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，"2"是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）""的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如："物、政、化"与"物、化、政"属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
23．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
**2019年湖南省湘潭市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A． B． C． D．
【分析】根据负数的定义可得为答案．
【解答】解：的绝对值；
；
；
．
故选：．
2．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A． B．
C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将24000用科学记数法表示为：，
故选：．
4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项符合题意；
故选：．
5．（3分）（2019•湘潭）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4 B．2 C．1 D．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的"两干一轨"项目中的"一轨"，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多"地铁"这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，
极差为，故不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故是不正确的；
，即平均数是8，故事正确的．
【解答】解：，即平均数是8，故事正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故不正确，
从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故是不正确的；
极差为，故不正确；
故选：．
7．（3分）（2019•湘潭）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则
A． B． C． D．
【分析】首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
【解答】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，
而，
．
故选：．
8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
9．（3分）（2019•湘潭）函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
10．（3分）（2019•湘潭）若，，则[ 15 ]{.underline}．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：15．
11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以"我和我亲爱的祖国"为主题的"快闪"活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是[ ]{.underline}．
【分析】随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】解：选出的恰为女生的概率为，
故答案为．
12．（3分）（2019•湘潭）计算：[ 4 ]{.underline}．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：4．
13．（3分）（2019•湘潭）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为[ ]{.underline}．
【分析】根据"上加下减"的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为，
故答案为：．
14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为[ ]{.underline}．
【分析】根据边形的内角和是，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：．
故四边形的内角和为．
故答案为：．
15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形中，若，则添加一个条件[ ]{.underline}，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中"弦"指圆弧所对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为[ 10 ]{.underline}平方米．
【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦矢矢即可得到结论．
【解答】解：弦米，半径弦，
，
，
，
弧田面积（弦矢矢，
故答案为：10．
**三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）**
17．（6分）（2019•湘潭）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②，，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
19．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，
【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出的长．
【解答】解：如图所示：连接，由题意可得：，，，，
在直角中，．
在直角中，．
答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．
20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以"关心他人，关爱自己"为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
------ --- -- --- --- ---
分数
人数 5 5 2 1
等第
------ --- -- --- --- ---
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的[ 7 ]{.underline}．
（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为[ ]{.underline}．
（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？
【分析】（1）根据组人数以及百分比求出总人数，再求出即可．
（2）根据圆心角百分比计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）总人数（人，，
故答案为7．
（2）所占的圆心角，
故答案为．
（3）（人，
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．
21．（6分）（2019•湘潭）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得出，，，，由平行线的性质得出，得出，证出，，即可得出结论；
（2）连接交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形是菱形；理由如下：
沿着边翻折，得到，
，，，，
，
，
，
，，
四边形是菱形；
（2）连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形的面积．
22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行""的高考选考方案．"3"是指语文、数学、外语三科必考；"1"是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，"2"是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）""的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如："物、政、化"与"物、化、政"属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为．
23．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
【分析】（1）先求出，再判断出四边形是矩形，得出，进而求出点的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角函数求出，进而求出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于，
，
切轴于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
双曲线经过圆心，
，
双曲线的解析式为；
（2）如图，过点，作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题
（2）根据题意，可设种礼盒降价元盒，则种礼盒的销售量为：盒，再列出关系式即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，
则有，解得
故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．
（2）设种湘莲礼盒降价元盒，利润为元，依题意
总利润
化简得
当时，取得最大值为1307，
故当种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出、、，即可求出关系式；
（2）可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时点横坐标的取值范围；
（3）由于点是的中点，可求出点的坐标，根据对称找出关于直线、的对称点，连接两个对称点的直线与、的交点、，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】解：（1）抛物线过，、三点
解得：，，；
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
，在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3），，，
，，，
是的中点，
，
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为、，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，，即点，
，
即：的周长最小值为3，
26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
【分析】（1）在中，求出的正切值即可解决问题．
（2）①分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
②．利用四点共圆解决问题即可．
（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图一（1）中，
四边形是矩形，
，
，
．
（2）①如图一（1）中，当时，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
是等边三角形，
，
．
如图一（2）中，当时，易证，
，
，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为5或．
②结论：大小不变．
理由：如图一（1）中，，
，，，四点共圆，
．
如图一（2）中，，
，，，四点共圆，
，
，
，
综上所述，．
（3）如图二中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，，
．
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第四单元《有趣的图形------动手做（二）》同步检测1（附答案）**
一、这是一副七巧板，我们给它们编上号。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（ ）号是正方形，（ ）号是三角形，（ ）号是平行四边形。
二、在正确答案后面的□里画"√"。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、用哪两块七巧板可以拼成一个平行四边形？
①② ⑥⑦ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、用③、④和⑤三块七巧板能拼成一个
能 不能
3、用哪三块七巧板可以拼成一个长方形？
③④⑤ ①③⑤
三、用七巧板拼出下面的图案，并想一想它们分别像什么？
四、西方有一种和中国的七巧板类似的拼板，叫做"幸运之七"。意思是，如果用这7块拼板拼出一个有意义的图形，你将会很幸运。
> 
下面哪些图形是用"幸运之七"拼成的？（画"√" ）
五、用七巧板拼出下面的图案。
六、选用七巧板中的几块，拼出你喜爱的图案。
**部分答案：**
一、5；1，2，4，6，7；3
二、1、⑥⑦ 2、能 3、③④⑤
三、杯子 剪刀 小猫
四、
五、
六、提示：本题答案不唯一。
例如：剪子
| 1 | |
**高考数学选择填空题技巧------十种武器**
在考场上，几乎所有同学都会遇到不会做的题目。在这个时候，大多数同学选择的是放弃或者瞎猜。而较难的选择题、填空题都有一些解题技巧，在使用这些技巧后，不需要严谨论证也能够得出正确的答案。这些技巧不是纯猜乱猜，而是有一定根据的推断，利用各种方法在没有完全做出题目的情况下得到正确的答案。
**第一武器：排除法**
目前高考数学选择题为四选一单项选择题，所以选择一个符合题意的选项等于选择三个不合题意的选项。例如：范围问题可把一些简单的数代入，符合条件则排除不含这个数的范围选项，不合条件则排除含这个数的范围。当然，选取数据时要注意考虑选项的特征，不能选取所有选项都含有或都不含的数。
例如：（08江西）已知函数*f*(*x*)＝2*mx*^2^－2(4－*m*)*x*＋l，*g*(*x*)＝*mx*，若对于任一实数*x*，*f*(*x*)与*g*(*x*)的值至少有一个为正数，则实数*m*的取值范围是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
我们可以简单的代入数据m=4及m=2，容易检验这两个数都是符合条件的，所以正确选项为B。
再如，选择题中的解不等式问题都直接应用排除法，与范围问题类似。选择题中的数列求通项公式、求和公式问题也可应用排除法。令n等于1，2，3......即可。
使用排除法应注意积累常见特例。如：常函数，常数列（零数列），斜率不存在的直线......
**第二武器：增加条件法**
当发现条件无法使所有变量确定时，而所求为定值时，可自我增加一个条件，使题目简单。
例如：（07全国2）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
发现有A、B、C三个动点，只有一个条件，显然无法确定A、B、C的位置，可令C为原点，此时可求A、B的坐标，得出答案B。
其实，特值法是狭义的增加条件法。因为我们习惯具体的数字，不习惯抽象的字母符号，所以经常可以把题目中的字母换成符合条件的数字解题。
**第三武器：以小见大法**
关于一些判断性质类的题目，可以用点来检验，只有某些点的性质符合性质，函数才可能符合性质。以小见大法通常结合排除法。
例如：（08江西）函数是（ ）
A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数
我们可以通过计算f(π/2),f(-π/2),f(3π/2),f(5π/2)就可以选出选项A。
类似的，周期性，对称性，奇偶性都可通过试验得到，赋特殊值，以小见大，结合排除法。图像平移的问题也可通过点的平移，选出正确答案。
**第四武器：极限法**
有时做题，我们可以令参数取到极限位置，甚至不可能取到的位置，此时的结果一般是我们最后结果的范围或最值。
例如：（08全国）设，则双曲线的离心率e的取值范围是
A． B.
C. D.
我们令a=1得到一侧结果，令a趋于正无穷，此时是等轴双曲线，可得另一侧结果，选项为B。
**第五武器：关键点法**
抓住题目叙述的关键点，往往能够排除很多选项，达到出奇制胜的效果。
例如：（07浙江）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
看到二次函数的条件，应该排除A,B选项。此题最终应选择C。
**第六武器：对称法**
数学中很多东西具有对称性，尤其是求最值的问题大多在字母相等的时候取得。
例如：（07宁夏）已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4
令x,y,a,b,c,d都相等，可得出答案D。
**第七武器：小结论法**
积累些小结论，做题事半功倍。比如三角函数的周期与函数本质次数的关系。正四面体与球的数据。线性规划取得最值的问题。
**第八武器：感觉法**
做题达到一定量了，跟着感觉走也能做对题。
例如：（06东城）设定义域为R的函数f(x)满足以下条件：①对任意；②对任意。则以下不等式不一定成立的是
我们发现a的范围没有任何要求，若a=2，那么f(-3)不受条件控制，所以答案只能选C。
**第九武器：归纳法（规律法）**
很多数列的题目，规律是很容易发现的。
例如：（08海淀）双曲线的左、右焦点分别为，点（）在其右支上，且满足，，则的值
（A）（B） （C） （D）
很容易得到x~1~=2,x~2~=4,可以猜到选择答案C。
**第十武器：分析选项**
例如：（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
看到此题四个选项，我们比较容易发现A选项显然不正确，因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以排除C选项。而B选项与A,C,D显然不是一个系列，而高考题里正确选项与干扰项应该是统一的，所以正确答案为D。
上述十种方法需要反复练习，才能在高考中熟练应用，决胜千里！
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{width="0.4861111111111111in" height="0.3888888888888889in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=
> A．{*x*\|2\<*x*≤3} B．{*x*\|2≤*x*≤3}
>
> C．{*x*\|1≤*x*\<4} D．{*x*\|1\<*x*\<4}
2．
> A．1 B．−1
>
> C．i D．−i
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
> A．120种 B．90种
>
> C．60种 D．30种
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为
> A．20° B．40°
>
> C．50° D．90°
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
> A．62% B．56%
>
> C．46% D．42%
>
> 6．基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
>
> A．1.2天 B．1.8天
>
> C．2.5天 D．3.5天
7．已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是
> A． B．
>
> C． D．
8．若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是
> A． B．
>
> C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知曲线.
> A．若*m*\>*n*\>0，则*C*是椭圆，其焦点在*y*轴上
>
> B．若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
>
> C．若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
>
> D．若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
10．下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)的部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)=
{width="2.0520833333333335in" height="1.4552351268591426in"}
> A． B． C． D．
11．已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则
> A． B．
>
> C． D．
12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.
> A．若*n*=1，则*H*(*X*)=0
>
> B．若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
>
> C．若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
>
> D．若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
{width="2.604807524059493in" height="1.7916666666666667in"}
16．已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
> 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
> 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
> 已知公比大于的等比数列满足．
1. 求的通项公式；
2. 求.
> {width="6.772222222222222in" height="3.8784722222222223in"}
>
> 19．（12分）
>
> 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
0.050 0.010 0.001
-- --------------------
3.841 6.635 10.828
20．（12分）
如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
{width="1.2083333333333333in" height="1.1145833333333333in"}
> 21．（12分）
>
> 已知椭圆*C*：过点*M*（2，3）,点*A*为其左顶点，且*AM*的斜率为 ，
>
> （1）求*C*的方程；
>
> （2）点*N*为椭圆上任意一点，求△*AMN*的面积的最大值.
{width="6.772222222222222in" height="4.648611111111111in"}
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围．
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**北师大版小学六年级上册数学期中测试卷一（附答案）**
**一、**填空题。（每小题2分，共24分）
1、一个圆有无数条半径，它们都（ ）。
2、按规律填数：100％，0.9，,\_\_\_\_\_\_ (百分数)，\_\_\_\_\_ (分数),\_\_\_\_\_（小数），\_\_\_\_\_\_\_ (成数)。
3、圆的周长是直径的（ ）倍。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4、比300少20％的数是（ ）
5、一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是（ ）厘米。
6、六（1）班有29名男同学，21名女同学，女同学占全班人数的（ ）％
7、甲数是40，乙数是80，甲数是乙数的（ ）％。
8、一个圆的半径扩大2倍，面积扩大（ ）倍。
9、甲数是5，乙数是4，那么甲数比乙数多（ ）％ 。
10、把5克盐溶于95克水中，盐占盐水的（ ）％ 。
11、用同样长的铁丝围成长方形、正方形和圆形，则围成的（ ）面积最大。
12、六年级（1）班某天的出勤率是98％，班级共50人，这个班当天缺勤（ ）人。
**二、我会选**（把正确答案的序号填在括号里，每小题2分，共10分）
1、100比80大（ ）。
A．20％ B．25％ C．80％
2、笑笑和淘气放学后一块儿回家。走了一段路程后，笑笑对淘气说：我己走了全程的40％，淘气说：我己走了全程的90％。（ ）先到家。
A．笑笑 B．淘气 C．无法确定
3、一台电冰箱的原价是2100元，现在按七折出售，求现价多少元？列式是（ ）
A 2100÷70％ B 2100×70％ C 2100×（1-70％）
4、画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米。
A 3 B 6 C 9 D 12
5、九月份比八月份用水节约了8％，九月份的用水是八月份的（ ）
A 108％ B 92％ C 8％ D 无法判断
**三、下面请你判是非。（**每小题2分，共10分）
（正确的在括号里画"√"，错的在括号里画"×"。）
1、同一个圆中，直径是半径的2倍。（ ）
2、在100克水中放入10克盐，盐的重量占**盐水**重量的10％。 ( )
3、如果甲比乙多20%，则乙比甲一定少20%。 （ ）
4、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。（ ）
5、一种商品打"八五折"出售，也就是把这种商品优惠了15％ 。（ ）
**四、计算题：（**每小题2分，共10分）（仔细一点，这可是容易出错的哟！）
① ×56× ② 7×30％ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
③×6％ ④12×（ + ） ⑤4÷4％
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**五、解方程：（**每小题3分，共6分）
① 50％χ + 30％ χ = 8 ② χ - 20％ χ = 40
**六、连线题：（**将问题与相应的算式用线连接起来， 10分）
六年级一班有男同学25名，女同学20名。
①男同学人数是女同学的几倍？ 20÷25
②女同学的人数是男同学的百分之几？ （25-20）÷20
③男同学比女同学多百分之几？ 25÷20
④女同学比男同学少百分之几？ （25-20）÷（25+20）
⑤女同学比男同学少的人数是全班人数的百分之几？ （25-20）÷25
**七、实际应用。让我们来体验数学在生活中的应用吧。你要细心可别出错哟。多读几遍题再做吧。（**每小题5分，共30分）
1、同乐学校六年级有男生80人，女生60人，女生比男生少百分之几？
2、同乐学校十月份的用电量是1200度，比九月份节省20％，同乐学校九月份的用电量是多少度？
3、圆的周长为12.56米，那么这个圆的半径是多少米？面积是多少平方米？
4、一件商品降价8折出售，便宜了84元，原价是多少元？
5、笑笑在银行存了20000元人民币，定期三年，年利率是2.70％。到期时交纳利息所得税20％后，银行应付给笑笑本金和利息一共多少元？
6、某村去年植树2400棵，比前年少20％，前年比去年多百分之几？
参考答案：
一、1、相等 2、70%、、0.5、四成 3、∏ 4、240
5、15.7 6、42 7、50 8、4 9、25
10、5 11、圆 12、1
二、1、B 2、B 3、B 4、A 5、B
三、1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、√
四、2、2.1、0.01、15、100
五、χ =10 χ =50
六、
①男同学人数是女同学的几倍？ 25÷20
②女同学的人数是男同学的百分之几？ 20÷25
③男同学比女同学多百分之几？ （25-20）÷20
④女同学比男同学少百分之几？ （25-20）÷25
⑤女同学比男同学少的人数是全班人数的百分之几？ （25-20）÷（25+20）
七、1、（80-60）÷80=25%
2、1200÷（1-20%）=1500（度）
3、12.56÷3.14÷2=2（米）
3.14×2×2=12.56（平方米）
4、84÷（1-80%）=420（元）
5、20000×2.70％×3×（1-20%）+20000=21296（元）
6、2400÷（1-20%）=3000（棵）
（3000-2400）÷2400=25%
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> **《算得对吗》同步练习**
1. 下面的计算对吗？
> （1）556＋307＝853 （2）425＋29＝715
>
>  
>
> （3）431＋213＝844
>
> 
**二、用竖式计算。**
（1）430＋57 （2）125＋371
（3）36＋511 （4）75－27
> **三、选择。（将正确答案的序号填在括号里）**
>
> （1）用减法验算294+406=700的算式是（ ）。\[来源:学科网\]
>
> A. 406+294 B. 700-406 C. 406-294
>
> （2）用加法验算606-415=191的算式是（ ）。
>
> A. 606+191 B. 415+191 C. 606+415
>
> （3）被减数不变，减数减少100，则差（ ）。
>
> A. 增加100 B. 减少100 C.不变
四、先估算，再把下面的算式按和的大小，从小到大排列。
498＋504 412＋189 899－205 999－801
（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）
五、在表里填上合适的数，并验算结果是否正确。\[来源:Zxxk.Com\]
------ ----------------------------- ----- --------------------
加数 295 459
加数 503 471
和 723\[来源:学,科,网Z,X,X,K\] 515 \[来源:Zxxk.Com\]
------ ----------------------------- ----- --------------------
六.学校图书馆有故事书406本，漫画书258本，科技书349本。
（1）故事书比漫画书多多少本？
（2）漫画书和科技书一共有多少本？
（3）你还能提出什么数学问题？并解答。
**参考答案：**
一：（1）×；（2）×；（3）×
二：（1）487；（2）496；（3）547；（4）48
三：（1）B；（2）B；（3）B
四：1002，601，694，198；198＞601＞694＞1002。
五：220；220；930。
六：（1）答：故事书比漫画书多406-258=148本；
（2）答：漫画书和科技书一共258+349=607本；
（3）答：科技书比漫画书多多少本？
科技书比漫画书多349-258=91本。\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
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**2021年广东省普通高中学业水平选择性考试**
**物理**
**一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 科学家发现银河系中存在大量的放射性同位素铝26，铝26的半衰期为72万年，其衰变方程为，下列说法正确的是（ ）
A. Y是氦核
B. Y是质子
C. 再经过72万年，现有的铝26衰变一半
D. 再经过144万年，现有的铝26全部衰变
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】AB．根据核反应的质量数和电荷数守恒可知，该核反应是
即Y是正电子，选项AB错误；
CD．因72万年是一个半衰期，可知再过72万年，现有的铝26衰变一半；再过144万年，即两个半衰期，现有的铝26衰变四分之三，选项C正确，D错误；
故选C。
2\. 2021年4月，我国自主研发的空间站"天和"核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径
B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期
D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】根据核心舱做圆周运动向心力由地球的万有引力提供，可得
可得
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。
故选D。
3\. 唐代《来耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力*F*通过耕索分别拉两种犁，*F*与竖直方向的夹角分别为和，，如图所示，忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B. 耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C. 曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D. 直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
【答案】B
【解析】
【分析】
详解】A．将拉力*F*正交分解如下图所示
则在*x*方向可得出
*F~x~*~曲~ *=* *F*sin*α*
*F~x~*~直~ *=* *F*sin*β*
在*y*方向可得出
*F~y~*~曲~ *=* *F*cos*α*
*F~y~*~直~ *=* *F*cos*β*
由题知*α \< β*则
sin*α* \< sin*β*
cos*α* \> cos*β*
则可得到
*F~x~*~曲~ \< *F~x~*~直~
*F~y~*~曲~ \> *F~y~*~直~
A错误、B正确；
CD．耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对相互作用力，它们大小相等，方向相反，无论是加速还是匀速，则CD错误。
故选B。
4\. 由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆与横杆链接而成，*P*、*Q*为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆始终保持水平。杆绕*O*点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. *P*点的线速度大小不变
B. *P*点的加速度方向不变
C. *Q*点在竖直方向做匀速运动
D. *Q*点在水平方向做匀速运动
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．由题知杆*OP*绕*O*点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则*P*点绕*O*点做匀速圆周运动，则*P*点的线速度大小不变，A正确；
B．由题知杆*OP*绕*O*点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则*P*点绕*O*点做匀速圆周运动，*P*点的加速度方向时刻指向*O*点，B错误；
C．*Q*点在竖直方向的运动与*P*点相同，位移*y*关于时间*t*的关系为
*y* *=* *l~OP~*⋅sin( + *ωt*)
则可看出*Q*点在竖直方向不是匀速运动，C错误；
D．*Q*点在水平方向的位移*x*关于时间*t*的关系为
*x* *=* *l~OP~*⋅cos( + *ωt*) + *l~PQ~*
则可看出*Q*点在水平方向也不是匀速运动，D错误。
故选A。
5\. 截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流，四根平行直导线均通入电流，，电流方向如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是（ ）
A \
B. 
C. \
D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】因，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用；根据两通电直导线间的安培力作用满足"同向电流相互吸引，异向电流相互排斥"，则正方形左右两侧的直导线要受到吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线要受到排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C。
故选C。
6\. 图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，*a*、*b*是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是（ ）
A. *a*点的电势比*b*点的低
B. *a*点的电场强度比*b*点的小
C. 液滴在*a*点的加速度比在*b*点的小
D. 液滴在*a*点的电势能比在*b*点的大
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．高压电源左为正极，则所加强电场的场强向右，而沿着电场线电势逐渐降低，可知
故A错误；
B．等差等势线的疏密反映场强的大小，由图可知*a*处的等势线较密，则
故B错误；
C．液滴的重力不计，根据牛顿第二定律可知，液滴的加速度为
因，可得
故C错误；
D．液滴在电场力作用下向右加速，则电场力做正功，动能增大，电势能减少，即
故D正确；
故选D。
7\. 某同学设计了一个充电装置，如图所示，假设永磁铁的往复运动在螺线管中产生近似正弦式交流电，周期为0.2s，电压最大值为0.05V，理想变压器原线圈接螺线管，副线圈接充电电路，原、副线圈匝数比为1∶60，下列说法正确的是（ ）
A. 交流电的频率为10Hz
B. 副线圈两端电压最大值为3V
C. 变压器输入电压与永磁铁磁场强弱无关
D. 充电电路的输入功率大于变压器的输入功率
【答案】B
【解析】
分析】
【详解】A．周期是T=0.2s，频率是
故A错误；
B．由理想变压器原理可知
解得，副线两端的最大电压为
故B正确；
C．根据法拉第电磁感应定律可知，永磁铁磁场强，线圈中产生的感应电动势越大，变压器的输入电压会越大，故C错误；
D．由理想变压器原理可知，充电电路的输入功率等于变压器的输入功率，故D错误。
故选B。
**二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
8\. 赛龙舟是端午节的传统活动。下列和图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有（ ）
A. \
B. 
C. \
D. 
【答案】BD
【解析】
【分析】
【详解】A．此图是速度图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出现甲乙船头并齐，故A错误；
B．此图是速度图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，速度图像中图像与横轴围成的面积表示位移，由图可以判断在中途甲、丙位移会相同，所以在中途甲丙船头会并齐，故B正确；
C．此图是位移图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以中途不可能出现甲丁船头并齐，故C错误；
D．此图是位移图像，交点表示相遇，所以甲戊在中途船头会齐，故D正确。
故选BD
9\. 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡销的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为*m*的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为*h*，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为*g*，下列说法正确的有（ ）
A. 甲在空中的运动时间比乙的长
B. 两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C. 从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少
D. 从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】A．由平抛运动规律可知，做平抛运动的时间
因为两手榴弹运动的高度差相同，所以在空中运动时间相等，故A错误；
B．做平抛运动的物体落地前瞬间重力的功率
因为两手榴弹运动的高度差相同，质量相同，所以落地前瞬间，两手榴弹重力功率相同，故B正确；
C．从投出到落地，手榴弹下降的高度为*h*，所以手榴弹重力势能减小量
故C正确；
D．从投出到落地，手榴弹做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，故D错误。
故选BC。
10\. 如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨和，与平行，是以*O*为圆心的圆弧导轨，圆弧左侧和扇形内有方向如图的匀强磁场，金属杆的*O*端与*e*点用导线相接，*P*端与圆弧接触良好，初始时，可滑动的金属杆静止在平行导轨上，若杆绕*O*点在匀强磁场区内从*b*到*c*匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（ ）
A. 杆产生的感应电动势恒定
B. 杆受到的安培力不变
C. 杆做匀加速直线运动
D. 杆中的电流逐渐减小
【答案】AD
【解析】
【分析】
【详解】A．*OP*转动切割磁感线产生的感应电动势为
因为*OP*匀速转动，所以杆*OP*产生的感应电动势恒定，故A正确；
BCD．杆*OP*匀速转动产生的感应电动势产生的感应电流由*M*到*N*通过*MN*棒，由左手定则可知，*MN*棒会向左运动，*MN*棒运动会切割磁感线，产生电动势与原来电流方向相反，让回路电流减小，*MN*棒所受合力为安培力，电流减小，安培力会减小，加速度减小，故D正确，BC错误。
故选AD。
**三、非选择题：共54分，第11\~14题为必考题，考生都必须作答。第15\~16题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共42分。**
11\. 某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数*n*和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
----- ------ ------- ------- ------- ------- -------
*n* 1 2 3 4 5 6
8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
----- ------ ------- ------- ------- ------- -------
（1）利用计算弹簧的压缩量：，，\_\_\_\_\_\_cm，压缩量的平均值\_\_\_\_\_\_cm；
（2）上述是管中增加\_\_\_\_\_\_个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
（3）忽略摩擦，重力加速度*g*取，该弹簧的劲度系数为\_\_\_\_\_\_N/m。（结果保留3位有效数字）
【答案】 (1). 6.04 (2). 6.05 (3). 3 (4). 48.6
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]根据压缩量的变化量为
\[2\]压缩量的平均值为
（2）\[3\]因三个是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
（3）\[4\]根据钢球的平衡条件有
解得
12\. 某小组研究热敏电阻阻值随温度的变化规律。根据实验需要已选用了规格和量程合适的器材。
（1）先用多用电表预判热敏电阻阻值随温度的变化趋势。选择适当倍率的欧姆挡，将两表笔\_\_\_\_\_\_，调节欧姆调零旋钮，使指针指向右边""处。测量时观察到热敏电阻温度越高，相同倍率下多用电表指针向右偏转角度越大，由此可判断热敏电阻阻值随温度的升高而\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）再按图连接好电路进行测量。
①闭合开关S前，将滑动变阻器的滑片滑到\_\_\_\_\_\_\_端（选填"*a*"或"*b*"）。
将温控室的温度设置为*T*，电阻箱调为某一阻值。闭合开关S，调节滑动变阻器，使电压表和电流表的指针偏转到某一位置。记录此时电压表和电流表的示数、*T*和。断开开关S。
再将电压表与热敏电阻C端间的导线改接到D端，闭合开关S。反复调节和，使电压表和电流表的示数与上述记录的示数相同。记录此时电阻箱的阻值。断开开关S。
②实验中记录的阻值\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）。此时热敏电阻阻值\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 短接 (2). 减小 (3). *b* (4). 大于 (5).
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]\[2\]选择倍率适当的欧姆档，将两表笔短接；欧姆表指针向右偏转角度越大，则阻值越小，可判断热敏电阻的阻值随温度升高而减小。
（2）①\[3\]闭合开关S前，应将滑动变阻器*R*~1~的阻值调到最大，即将滑片滑到*b*端；
②\[4\]\[5\]因两次电压表和电流表的示数相同，因为
即
可知*R*~01~大于*R*~02~。
13\. 算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框*b*，甲、乙相隔，乙与边框*a*相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框*a*；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
【答案】（1）能；（2）0.2s
【解析】
【分析】
【详解】（1）甲乙滑动时的加速度大小均为
甲与乙碰前的速度*v*~1~，则
解得
*v*~1~=0.3m/s
甲乙碰撞时由动量守恒定律
解得碰后乙的速度
*v*~3~=0.2m/s
然后乙做减速运动，当速度减为零时则
可知乙恰好能滑到边框*a*；
（2）甲与乙碰前运动的时间
碰后甲运动的时间
则甲运动的总时间为
14\. 图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆*a*、*b*、*c*围成的区域，圆*a*内为无场区，圆*a*与圆*b*之间存在辐射状电场，圆*b*与圆*c*之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆*b*上*P*点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆*a*与圆*b*之间电势差为*U*，圆*b*半径为*R*，圆*c*半径为，电子质量为*m*，电荷量为*e*，忽略相对论效应，取。
（1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从*Q*点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在*Q*点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求*k*的最大值。
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】
【详解】（1）电子在电场中加速有
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得
联立解得
在磁场Ⅰ中的运动周期为
由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为
在磁场Ⅰ中的运动时间为
联立解得
从*Q*点出来的动能为
（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，由几何关系可得
解得
由于
联立解得
**（二）选考题：共12分，请考生从2道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15\. 在高空飞行的客机上某乘客喝完一瓶矿泉水后，把瓶盖拧紧。下飞机后发现矿泉水瓶变瘪了，机场地面温度与高空客舱内温度相同。由此可判断，高空客舱内的气体压强\_\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）机场地面大气压强：从高空客舱到机场地面，矿泉水瓶内气体的分子平均动能\_\_\_\_\_\_（选填"变大"、"变小"或"不变"）。
【答案】 (1). 小于 (2). 不变
【解析】
【分析】
【详解】\[1\]机场地面温度与高空客舱温度相同，由题意知瓶内气体体积变小，以瓶内气体为研究对象，根据理想气体状态方程
故可知高空客舱内的气体压强小于机场地面大气压强；
\[2\]由于温度是平均动能的标志，气体的平均动能只与温度有关，机场地面温度与高空客舱温度相同，故从高空客舱到机场地面，瓶内气体的分子平均动能不变。
16\. 为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再抽取药液，如图所示，某种药瓶的容积为0.9mL，内装有0.5mL的药液，瓶内气体压强为，护士把注射器内横截面积为、长度为0.4cm、压强为的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】以注入后的所有气体为研究对象，由题意可知瓶内气体发生等温变化，设瓶内气体体积为*V*~1~,有
注射器内气体体积为*V*~2~，有
根据理想气体状态方程有
代入数据解得
17\. 如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离*A*后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为*T*。经时间，小球从最低点向上运动的距离\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）；在时刻，小球的动能\_\_\_\_\_\_（选填"最大"或"最小"）。
【答案】 (1). 小于 (2). 最大
【解析】
【分析】
【详解】\[1\]根据简谐振动的位移公式
则时有
所以小球从最低点向上运动的距离为
则小球从最低点向上运动的距离小于。
\[2\]在时，小球回到平衡位置，具有最大的振动速度，所以小球的动能最大。
18\. 如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接收到光的强度变化而触发工作的。光从挡风玻璃内侧*P*点射向外侧*M*点再折射到空气中，测得入射角为，折射角为；光从*P*点射向外侧*N*点，刚好发生全反射并被Q接收，求光从玻璃射向空气时临界角的正弦值表达式。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】根据光的折射定律有
根据光的全反射规律有
联立解得
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> **《买电器》同步练习**
一、口算：看谁算的又对又快
> 670＋300= 460＋200=
>
> 1800＋200= 1800－200=
>
> 380－200= 1000－800=
>
> 300+700= 1600-700=
>
> 200+400= 2800-300=
>
> 300+500+800= 400+600+900=
二、数学游戏：你说我算。
（1）两个数的和是1000\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
> （ ）＋（ ）=1000
（2）两个数的差是400
> （ ）－（ ）=400
（3）两个数的差是200
> （ ）－（ ）=200
（4）两个数的和是800
> （ ）＋（ ）=800
三、数字游戏。
1\. 两个数的和是500。
（ ）＋（ ）=500
2\. 两个数的差是700。
（ ）－（ ）=700
四、解决问题。
1\.
   
800元 1200元 500元 160元\[来源:学\#科\#网\]
（1）买 1 台洗衣机和 1 台电视机共花多少钱？
（2）1 台洗衣机比 1 台电视机贵多少钱？
（3）1 台电冰箱比 1 台电视机便宜多少钱？
2\. 小明家买电冰箱花了1800元，小红家在商场打折时买了同一款式的冰箱花了1500元，那么小红家比小明家少花了多少钱？
参考答案：
一、 口算：看谁算的又对又快
> 670＋300=970 460＋200= 660 \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 1800＋200=2000 1800－200= 1600
>
> 380－200= 180 1000－800=200
>
> 300+700=1000 1600-700=900
>
> 200+400=600 2800-300=2500
>
> 300+500+800=1600 400+600+900=1900
二、数学游戏：你说我算。
> （1）两个数的和是1000
>
> （ 500 ）＋（ 500 ）=1000
>
> （2）两个数的差是400
>
> （ 600 ）－（ 200 ）=400
>
> （3）两个数的差是200
>
> （ 400 ）－（ 200 ）=200
（4）两个数的和是800
> （ 400 ）＋（ 400 ）=800\[来源:Z+xx+k.Com\]
三、数字游戏。
> 1\. 两个数的和是500。
>
> （ 200 ）＋（ 300 ）=500
>
> 2\. 两个数的差是700。
>
> （ 800 ）－（ 100 ）=700
四、解决问题。
1\.
（1）2000\[来源:学科网ZXXK\]
（2）400
（3）300
2.1800-1500=300
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第4单元 第三节：动手做（二）**
**一、填空。**
1、写数：
---- -- ---- ---- -- -- -- -- ------------------------------------
83 81 80 
---- -- ---- ---- -- -- -- -- ------------------------------------
2、（ ）个十是70。 100里面有（ ）个10。
3、76里面有7个（ ）和（ ）个一。
4、一个两位数，个位上是6，十位上的数字和个位上相同，这个数是（ ）。
5、从小往大数，79前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。
6、66里面有（ ）个十和（ ）个一。
7、3个一和7个十组成的数是（ ）。
8、43比20多（ ），还可以说（ ）比（ ）少（ ）。
9、最大的两位数是（ ），它比100少（ ）。
\[来源:学\*科\*网\]
二**、数一数，填一填。**
正方形（ ）个 平行四边形（ ）个 三角形（ ）个 长方形（ ）个
**三、用下面小棒摆出相应的图形。**
① ② ③ ④ ⑤ ⑥\[来源:Zxxk.Com\]
1. 如果摆一个正方形，可以选择哪几根小棒？
2、请你摆一个长方形，用哪些小棒可以摆出来？
四、礼品店有67米彩带，昨天卖出19米，今天卖出22米。
⑴两天一共卖出多少米？
⑵王阿姨需要20米彩带，剩下的够不够?
**答案\[来源:学+科+网\]**
**一、填空。\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]**
1、写数：
---- ---- ---- ---------------------- ---- -------------------------------------- ---- --------------------------------------- ---------------------------------------
83 82 81 80 \[来源:Zxxk.Com\] 83 84 85 86   87
---- ---- ---- ---------------------- ---- -------------------------------------- ---- --------------------------------------- ---------------------------------------
2、7 10
3、10 6
4、66
5、78 80
6、6 6
7、73
8、23， 20比40少23。
9、99，1
二**、数一数，填一填。**
正方形（3 ）个 平行四边形（9 ）个 三角形（5 ）个 长方形（9 ）个
**三、用下面小棒摆出相应的图形。**
① ② ③  ④ ⑤ ⑥
1、① ② ③ ⑤
2、④ ⑥ 和①②③⑤中任意两个
四、
⑴19+22=41米 答：两天一共卖出41米。
⑵67-41=26米 答：剩下的够。
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**小学数学小升初复合应用题闯关**
1．农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？
2．某班存放科技书150本，故事书比科技书的2倍少50本，故事书有多少本？
3．张明与李强两家人共用一个水表，五月份他们两家人共用水80吨，已知每吨水1.5元，该月水费他们两家按3：2分担。五月份张明家要交水费多少元？
4．学校买4副羽毛球拍和20根跳绳，付出150元，找回11.4元．每副羽毛球拍18.4元，每根跳绳多少元？
5．某市出租车收费标准如下：3千米及3千米以下8元；3千米以上每增加1千米收费1.20元，另外每次付费需另加1元燃料费。李军乘车从家里出发到少年宫共付了19.8元，他家和少年宫相距多少千米？
6．某图书室借阅图书的归还期限为10天。小敏借了一本故事书，如果每天看5页，16天才能看完。她每天至少再多看几页才能按时归还？
7．大桥乡修一条长2100米的水渠，已修了5天，平均每天修240米。余下的任务要在3天内完成，平均每天应修多少米？
8．毛尖茶每500克售价150元，"五一"期间搞促销活动，每购买500克赠送0.05千克。李老师要买2.2千克茶叶，应付多少元？
9．王工程师和刘技术员一起从公司出发，合乘一辆出租车。王工程师去实验室，刘技术员去工地（如图）。两人商定出租车费用由两人合理分摊。已知出租车的车费标准为：0～3千米（起程价）10元，3千米以上部分每千米1.8元。那么，请你帮他们算一算两人各应承担多少元车费。
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10．汽车厂计划25天组装汽车4000辆，实际提前5天完成，实际平均每天组装汽车多少辆？
11．买10千克苹果和20千克梨共用去70元，1千克苹果的价钱和1.5千克梨的价钱相等，苹果和梨的单价各是多少？
12．小红和小明做同样的口算题，小红每分钟做60道口算题，小明每分钟做75道口算题，当小明做完时，小红还有45道没有做，小明做了几分钟？
13．爱达花园小学向希望工程捐款，六（1）班捐的占六年级的，六年级捐的占全校捐款的，全校共捐款2400元，六（1）班捐了多少元？（用两种方法解答）
14．一个乒乓球从25米的高空下落，每次弹起的高度是下落高度的，它第四次下落后又能弹起多少米？
15．甲、乙两车共运货物100吨。其中甲车的货物的正好和乙车的货物相等。那么甲、乙两车各运货物多少吨？
16．职工技术学校原有科技书、文艺书630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，又买来科技书多少本？
17．学校开展大课间活动，五（1）班有的学生参加了跳绳活动，25%的同学参加乒乓球活动，剩下的15人全部踢足球，五（1）班共有多少人？
18．星期天，爷爷带哥哥和妹妹到锡惠公园去玩．临行时，爷爷用新买的水筒备满了一筒水（共12杯）。下面是哥哥和妹妹俩人的对话：
哥哥："我喝了一筒水的50%。"
妹妹："我喝了一筒水的。"
请你算一算，哥哥和妹妹两人共喝了几杯水？
19．商场上有一批货，第一天运走了总数的，第二天运的比总数的40%多4吨，这时还剩20吨，这批货物共有多少吨？
20．一袋米重600千克，第一周吃了40%，第二周吃了，两周一共吃了多少千克？
21．三年级一班36名同学来秋游。
（1）同学们在路上排成2队，平均每队多少人？
（2）这些同学和2位老师一起租游船，1条游船最多坐4人，租10条游船够吗？
22．一共有65颗树苗，每行种9颗．可以种几行？还剩几棵？
23．玩具汽车每辆售价4.5元，王叔叔打算买来送幼儿园的小朋友．他有120元，最多可买多少辆？
24．学校买回50盏日光灯，每个教室安装6盏，可以安几个教室？还剩下多少盏？
25．学校今年冬天要招收200名一年级新生，平均分成5个班，如果用1301～1340表示一年级三班40名学生的学籍号，那么其他各班的学籍号分别是多少？
26．下面是晓兰的妈妈和爸爸的身份证号码，请你先分一分，下面的哪个身份证号是爸爸的？你能说出晓兰妈妈出生于哪一年的几月几日吗？
A.11010219700503142X B.11010219711026321X
27．991301，1表示男生，0表示女生，99表示1999年入学，1表示一年级，三十表示在班里30号，那么973040表示什么？
28．新城水泥厂今年三月份生产水泥2700吨，比计划超产450吨，超产了百分之几？
29．一列货车和一列客车同时从相距504千米的两地相对开出，小时相遇，客车每小时行64千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答）
30．地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周所用的时间的4倍多13天。水星绕太阳一周要用多少天？（用方程解）
31．育英小学三年级有学生86人，比二年级学生人数的2倍少4人，二年级有学生多少人？
32．4只篮球和8只足球共卖560元，6只篮球和3只足球共卖390元，问：一只篮球和一只足球各卖多少元？
33．实验小学本学期开学时买来12个篮球和21个排球，共用去3120元．已知2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱．篮球与排球的单价各是多少元？
**参考答案**
1．18天
【解析】已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨，根据乘法的意义可知，已烧了1.2×16吨，则还剩下（39-1.2×16）吨，剩下的煤每天烧1.1吨，根据除法的意义可知，还可烧\[（39-1.2×16）÷1.1\]天。
解：（39-1.2×16）÷1.1
=（39-19.2）÷1.1
=19.8÷1.1
=18（天）
答：还可以烧18天。
考点：整数、小数复合应用题。
点评：本题根据乘法与除法的意义：乘法与除法互为逆运算。
2．250本
【解析】存放科技书150本，科技书的2倍为（150×2）本，故事书比科技书的2倍少50本，则故事书有（150×2-50）本。
解：150×2-50，
=300-50，
=250（本）．
答：故事书有250本。
3．72元
【解析】首先根据单价×数量=总价，求出五月份他们两家共交水费多少元，再根据按比例分配的方法解答．
解：1.5×80=120（元）
120×33+2
=120×35
=72（元
答：五月份张明家要交水费72元。
4．3.25元
【解析】要求每根跳绳多少元，就要知道买20根跳绳共付了多少元，由题意可知：买跳绳的钱数为（150-11.4-4×18.4）元，进而根据除法的意义列式解答即可。
解：（150-11.4-4×18.4）÷20
=（150-11.4-73.6）÷20
=65÷20
=3.25（元）
答：每根跳绳3.25元。
5．12千米
【解析】因为3千米及3千米以下8元，每次付费需另加1元燃料费，所以19.8-1-8=10.8（元），这10.8元是3千米以上的路程付的钱，这部分的路程是10.8÷1.2=9（千米），再加上3千米，即为所求。
解：（19.8-1-8）÷1.2+3
=10.8÷1.2+3
=9+3
=12（千米）
答：他家和少年宫相距12千米。
6．3页
【解析】先求出这本故事书的总页数，即5×16=80（页），归还期限为10天，那么每天要看80÷10=8（页），要按时归还，她每天至少再多看8-5=3（页）。
解：5×16÷10-5
=80÷10-5
=8-5
=3（页）
答：她每天至少再多看3页才能按时归还。
7．300米
【解析】根据"工作效率×工作时间=工作总量"计算出前5天共修的工作量，然后用"总长-修了的"计算出余下的工作量，继而用"余下的工作量÷需用的时间"即为所求。
解：（2100-240×5）÷3
=900÷3
=300（米）
答：平均每天应修300米。
8．600元
【解析】每购买500克赠送0.05千克，说明150元能卖（0.5+0.05）千克的茶叶，要求应付多少元，只要求出2.2千克里面含有几个（0.5+0.05）千克，然后乘150即可解决问题。
解：500克=0.5千克
150×\[2.2÷（0.5+0.05）\]
=150×4
=600（元）
答：应付600元。
9．5.9元、20.3元
【解析】从公司到实验室这4千米的车费由两人平均分摊，即：\[10+1.8×（4-3）\]÷2，从实验室到工地的车费由刘技术员一人承担，即1.8×（12-4）．分别列式解答即可。
解：\[10+1.8×（4-3）\]÷2
=\[10+1.8\]÷2
=11.8÷2
=5.9（元）
5.9+1.8×（12-4）
=5.9+1.8×8
=5.9+14.4
=20.3（元）
答：王工程师和刘技术员各应承担5.9元、20.3元。
考点：整数、小数复合应用题。
10．200辆
【解析】计划25天完成，实际提前5天完成，即实际工作25-5=20（天）就完成了任务，求平均每天组装汽车多少辆，用除法：4000÷20=200（辆）。
解：4000÷（25-5）
=4000÷20
=200（辆）
答：实际平均每天组装汽车200辆。
11．苹果的单价是3元，梨的单价是2元
【解析】设梨的单价为x元，则苹果的单价为1.5x元，根据"单价×数量=总价"分别求出买苹果的总价和买梨的总价，进而根据"买苹果的总价+买梨的总价=70元"列出方程，求出梨的单价，进而得出苹果的单价。
解：设梨的单价为x元，则苹果的单价为1.5x元。
x×20+1.5x×10=70，
20x+15x=70，
35x=70，
x=2；
1.5x=2×1.5=3；
答：苹果的单价是3元，梨的单价是2元。
12．3分钟
【解析】由题意可知：最后小明比小红多做45道题，因为小明每分钟比小红多做（75-60）=15（道）题，用"45÷15"即可求出小明做的时间。
解：45÷（75-60）
=45÷15
=3（分钟）
答：小明做了3分钟。
13．200元
【解析】①把全校的捐款总数可知单位"1"，用2400乘以就是六年级的学生捐款的数量，用六年级的学生捐款总数乘以就是六（1）班捐宽的数。
②设六（1）班捐了x元．用x÷÷，就是总钱数2400元，列方程解答即可。
解：（1）2400××
=600×
=200（人）
（2）解：设六（1）班捐了x元。
x÷÷=2400
x×3×4=2400
12x=2400
x=200
答：六（1）班捐了200元。
考点：分数四则复合应用题。
14．0.64米
【解析】根据题意知：要把原来的高度看作是单位"1"，每次弹起的高度是下落高度的，它第四次下落后弹起的高度就是25米的的的的。
解：25×（×××）
=25×
=0.64（米）
答：它第四次下落后又能弹起0.64米。
15．甲车有60吨，乙车有40吨
【解析】其中甲车的货物的正好和乙车的货物相等，则总量是甲车货物的1+，根据分数除法的意义，甲车有100÷（1+）吨，进而根据减法求出乙车的货物有多少吨。
解：100÷（1+）
=100÷
=60（吨）
100-60=40（吨）．
答：甲车有60吨，乙车有40吨。
16．90本
【解析】原来共有书630本，其中科技书占20%，则文艺书占全部的（1-20%），有文艺书\[630×（1-20%）\]，又购进一部分科技书后，科技占总数的30%，则此时文艺书占总数的（1-30%），此时共有书\[630×（1-20%）÷（1-30%）\]本，所以又买来科技书的本数为：\[630×（1-20%）÷（1-30%）-630\]本.
解：630×（1-20%）÷（1-30%）-630
=630×80%÷70%-630
=720-630
=90（本）
答：又买来科技书90本。
17．36人
【解析】本题的单位"1"是五（1）班的总学生人数；设五（1）班的人数为x，那么五（1）班参加了跳绳活动的人数是x，参加乒乓球活动的人数是25%x，余下的人数就是15人。五（1）班的人数减去参加了跳绳活动的x人减去参加乒乓球活动的25%x人就是踢足球的人数15人；根据这个等量关系列出方程。
解：五（1）班共有x人．由题意可得：
x-x-25%x=15
x-x=15
x-x=15
x=15
x=36
答：五（1）班共有36人。
考点：分数、百分数复合应用题。
点评：本题也可用算术法：根据"的学生参加了跳绳活动，25%的同学参加乒乓球活动，剩下的15人全部踢足球"，找到15人占五（1）人数的（1\--25%）；因此：15÷（1\--25%）=36（人）。
18．10杯
【解析】一筒水共12杯，哥哥喝了一筒水的50%，也就是喝了12杯的50%，把12杯水看作单位"1"，哥哥喝了12×50%；妹妹喝了一筒水的，也就是喝了12杯的，即12×；然后列式解答即可。
解：12×50%+12×
=6+4
=10（杯）
或12×（50%+）
=12×56
=10（杯）
答：哥哥和妹妹两人共喝了10杯水。
19．90吨
【解析】我们把这批货的重量看成单位"1"。"第二天运的比总数的40%多4吨"假设第二天只运了总数40%，那么就要多剩下4吨，此时一共运走了总数的+40%，剩下的占总数的1-（+40%），也就是还剩下了20+4吨；用剩下的吨数除以它对应的分数就是单位"1"的量。
解：1-（+40%）
=1-
=；
（20+4）÷
=24÷
=90（吨）；
答：这批货物共有90吨。
20．360千克
【解析】由"第一周吃了40%，第二周吃了"，可知两天共吃了这袋米的（40%+），已知一袋米重600千克，那么两周一共吃了600×（40%+）=360（千克）．解决问题．
解：600×（40%+）
=600×（0.4+0.2）
=600×0.6
=360（千克）
答：两周一共吃了360千克。
21．18人；够
【解析】（1）把36平均分成2份，求得每一份是多少，也就求出了平均每队有多少人，用除法计算；
（2）先求出租游船的共有多少人，再由"1条游船最多坐4人"，进而求得必须租几条游船才能保证师生都能到河的对岸，再与10条游船比较得解。
解：（1）36÷2=18（人）
答：平均每队18人。
（2）师生共有的人数：36+2=38（人）
须租游船的条数：38÷4≈10（条）
答：租10条游船够。
考点：有余数的除法应用题。
点评：此题考查整数除法和有余数的除法应用题，解答第二题时要注意：如果租9条船，就还剩下2人，所以此题要运用"进一法"求近似数，只能租10条船。
22．7行，2棵
【解析】用树苗的总棵数65除以每行9棵即求出可以种几行，还剩几棵。
解：65÷9=7（行）......2（棵）
答：可以种7行，还剩2棵。
23．26辆
【解析】要求他有120元，最多可买多少辆，即求120里面含有几个4.5，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答。
解：120÷4.5=26（辆）......3（元）
答：最多可买26辆。
考点：有余数的除法应用题。
24．8个，2盏
【解析】根据除法的意义，看50里面有几个6，就可以安几个教室。
解：50÷6=8（个）......2（盏）
答：可以安8个教室，还剩下2盏。
25．一年级一班的学籍号是1101～1140；
一年级二班的学籍号是1201～1240；
一年级四班的学籍号是1401～1440；
一年级五班的学籍号是1501～1540。
【解析】1301～1340表示一年级三班40名学生的学籍号，那么第一个数字1表示一年级，第二个数字3表示班，后面两位表示这个班的第几号。
解：200÷5=40，所以每班都是40人。
一年级一班的学籍号是1101～1140；
一年级二班的学籍号是1201～1240；
一年级四班的学籍号是1401～1440；
一年级五班的学籍号是1501～1540。
考点：数字编码。
26．爸爸的身份证号是11010219711026321X，妈妈是1970年5月3日出生的。
【解析】根据身份的知识可知：倒数第二个数是单数的是男性，双数的是女性，可确定哪个身份证是爸爸的哪个是妈妈的，身份证的第7到14位是表示的出生年月，可知妈妈的出生年月日。
解：第17位是奇数的身份证号是爸爸的，所以爸爸的身份证是11010219711026321X；那么11010219700503142X是妈妈的身份证号，它的7\--14位是19700503，所以：妈妈是1970年5月3日出生的。
答：爸爸的身份证号是11010219711026321X，妈妈是1970年5月3日出生的。
27．1997年入学三年级班里4号女生
【解析】991301中99表示1999年入学，1表示一年级，可知：这个编号的前两位表示入学的年份，第三位表示年级，第四五位表示学号，最后一位表示性别，1表示男生，0表示女生。
解：由分析可得：973040表示1997年入学三年级班里4号女生。
28．20%
【解析】超产了百分之几就是求超产的是计划的百分之几，先求出计划的产量，然后用超出的量÷计划的产量就是超产了百分之几。
解：450÷（2700-450）
=450÷2250
=20%
答：超产了20%。
考点：百分数的实际应用。
29．48千米
【解析】这是行程问题中的相遇问题，货车和客车同时从两地相对开出，所行驶的时间相同．要求货车每小时行多少千米需要求出货车行驶的路程，由题目条件可以得出：（客车速度+火货车速度）×=两地距离。
解：设货车每小时行x千米，由题意可得方程。
（64+x）×=504
64+x=112
x=48
答：货车每小时行48千米。
考点：列方程解应用题。
点评：此题是行程问题中的相遇问题：路程=速度和×相遇时间这一数量关系列出方程解决问题。
30．88天
【解析】根据题意数量间的相等关系：水星绕太阳一周所用的时间×4+13=地球绕太阳一周要用的时间，设水星绕太阳一周所用的时间是x天。
解：水星绕太阳一周所用的时间是x天。
4X+13=365
4x+13-13=365-13
4X=352
X=88
答：水星绕太阳一周所用的时间是88天。
31．45人
【解析】此题用方程解答比较容易。根据题意可找出等量关系式：二年级学生人数×2-4=三年级学生86人，设二年级有学生x人。
解：设二年级有学生x人，由题意得，
2x-4=86
2x=90
x=45
答：二年级有学生45人。
32．一只足球卖50元，一只篮球卖40元。
【解析】设一只足球卖x元，由"4只篮球和8只足球共卖560元"，得一只篮球卖（560-8x）元，由"6只篮球和3只足球共卖390元"，得一只篮球卖（390-3x）元，列方程求解即可。
解：设一只足球卖x元，由题意得，
（560-8x）=（390-3x）
140-2x=65-x
3x=150
x=50
（560-8x）=×（560-8×50）
=×160
=40
答：一只足球卖50元，一只篮球卖40元。
考点：简单的等量代换问题。
点评：解答此题先根据题中的两个条件，设其中一个量为x，则另一个量用两种含x的式子来表示，再建立等量关系，列出方程求解。
33．120元，80元
【解析】根据"2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱"得出21个排球价钱相当于14个篮球的价钱，由此求出篮球的价钱，再根据2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱，可求出排球的价钱。
解：因为2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱
所以21个排球相当于篮球的个数：21÷3×2=14（个）
所以12篮球的价钱+14篮球的价钱=3120
26篮球的价钱=3120
一个篮球的价钱=3120÷26
一个篮球的价钱=120
因为2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱，
所以3个排球的价钱=120×2
3个排球的价钱=240
一个排球的价钱=240÷3
一个排球的价钱=80
答：篮球与排球的单价各是120元，80元。
点评：解题的关键是2个篮球的价钱恰好等于3个排球的价钱，得出21个排球的个数相当于篮球的个数，21÷3×2=14（个）。
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲****解第12课《****图形的****整体****与部分》试题附答案**
**答****案**
例一
例二\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]\[来源:Zxxk.Com\]
例四
\[来源:Z.xx.k.Com\]
例五
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
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**历史部分**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。写在试卷上无效。**
**3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.据《史记》记载，春秋时期，楚国国君熊通要求提升爵位等级，遭到周桓王拒绝。熊通怒称现在周边地区都归附了楚国，"而王不加位，我自尊耳""乃自立，（楚）武王"。这表明当时周朝
A. 礼乐制度不复存在 B. 王位世袭制度消亡
C. 宗法制度开始解体 D. 分封制度受到挑战
2.图4为唐代著名画家阎立本的《步辇图》，描绘了唐太宗李世民接见吐蕃使臣的情景。该作品体现了
A. 西域风情与中土文化的交汇 B. 文人意趣与市井风情的杂糅
C. 艺术审美与史料价值的统一 D. 现实主义与浪漫主义的融合
3.北宋时，宋真宗派人到福建取得占城稻三万斛，令江淮两浙诸路种植，后扩大到北方诸路；宋仁宗时，大、小麦被推广到广南东路惠州等地。南宋时，"四川田土，无不种麦"。这说明宋代
A. 土地利用效率提高 B. 发明翻车提高了生产力
C. 区域经济发展均衡 D. 民众饮食结构根本改变
4.清代，纂修宗谱成为一种普遍的社会行为，每部宗谱均有族规、家训，其内容主要包括血缘伦理、持家立业、报效国家等。这表明，宗谱的纂修
A. 反映了科举制度导向作用 B. 体现了儒家思想观念
C. 维持了士族家庭的血统纯正 D. 确立了四民社会结构
5.1876年，英国传教士在上海创办的《格致汇编》设有"互相问答"栏目，其中大多问题是从读者的兴趣、关注点出发的。各类问题所占比例如表1所示。
表1 《格致汇编》"互相问答"栏目各类问题所占比例
-------------------- ---------- ---------- ----------------
应用科学、各种技术 自然常识 基础科学 奇异和其他问题
42．5% 22．8% 17．5% 17．2%
-------------------- ---------- ---------- ----------------
据此可知，当时
A. 中体西用思想的传播受到了抑制 B. 中外交汇促进维新思想深入发展
C. 西学传播适应了兴办实业的需求 D. 崇尚科学成为了社会的主流思潮
6.20世纪20年代，中国度量衡的状况是，"同一秤也，有公秤、私秤、米秤、油秤之分别""同一天平也，有库平、漕平、湘平、关平之分别""同一尺也，有海关尺、营造尺、裁衣尺、鲁班尺及京放、海放之分别"。这一状况
A. 提高了市场交易的成本 B. 加剧了军阀林立的局面
C. 造成国民经济结构失衡 D. 阻断了商品的大量流通
7.1949年5月，中共中央发出指示："只强调和资本家斗争，而不强调联合愿意和我们合作的资本家......这是一种实际上立即消灭资产阶级的倾向""和党的方针政策是在根本上相违反的"。这指示有利于当时
A. 在经济领域实行公私合营 B. 接管城市后生产的恢复发展
C. 确立国营经济的主导地位 D. 对新民主主义政策进行调整
8.1983年，安徽某濒临倒闭的国营制药厂被8个年轻人承包，实行有奖有罚的经济责任制，9个月就盈利12万元。后来安徽省委、省政府从中得到启示，下发通知明确提出，小型国营企业也可以实行承包经营。由此可以看出
A. 市场经济体制在全国逐步建立 B. 政企职责不分弊端得到解决
C. 经济所有制结构开始发生变化 D. 企业的经营自主权逐渐扩大
9.雅典城邦通过抽签产生的公民陪审团规模很大，代表不同的公民阶层，负责解释法律、认定事实、审理案件等。而在罗马，通常由专业法官和法学家进行司法解释。由此可见，在雅典城邦的司法实践中
A. 职业法官拥有审判权 B. 负责司法解释主体与罗马相同
C. 公民直接行使司法权 D. 公民陪审团维护所有人法律权益
10.16世纪的思想家蒙田从教育要培养"完全的绅士"理念出发，强调要注重培养身心和谐发展的"完整的人"，即不仅体魄强健、知识渊博，而且具有良好的判断力和爱国、坚韧、勇敢、关心公益等优秀品质。蒙田的教育主张
A. 体现了文艺复兴思想对人的认识 B. 推动了资产阶级革命的高涨
C. 反映了启蒙运动生而平等的理念 D. 摆脱了宗教观念的长期束缚
11.有人描写19世纪六七十年代的巴黎：人们在巴黎内部建立了两座截然不同、彼此敌对的城市，一座是"奢靡之城"，另一座是"悲惨之城"，前者被后者包围。当时"悲惨之城"的形成，主要是因为
A. 波旁王朝的苛政 B. 资产阶级的贪婪
C. 贸易中心的转移 D. 教会统治的腐朽
12.1992年，墨西哥签订《北美自由贸易协定》以后，又制定了一系列负面清单，如规定外资占商业银行的投资比例不得高于普通股本的30%，外资不得经营内陆港口、海运及空港等。这些规定旨在
A. 发展国家特色产业 B. 改善对外贸易的机制和环境
C. 保障国家经济安全 D. 巩固区域经济集团化的成果
**二、非选择题：共52分。第41---42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第45---47题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共37分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
材料一 20世纪50年代，中国与民主德国的关系良好，贸易和文化交往十分频繁。与此同时，中国与联邦德国之间处于对立状态。1955年，联邦德国与苏联建交后，中国逐步推动与联邦德国的民间往来。60年代，随着中苏关系日益紧张，中国与民主德国关系降到了冰点。70年代初，联邦德国调整"新东方政策"，决定改善与中国的关系。1972年10月，两国外长在北京签署建立外交关系的公报，决定互派大使。此后，两国的交流活动迅速升温。
------摘编自刘德斌主编《国际关系史》等
材料二 1993年，德国实施"新亚洲政策"，十分重视发展与中国的关系。德国企业认为在中国"差不多所有行业都有前景"，纷纷进军中国市场。1998年，德国总理施罗德将实现外交政策"正常化"作为重要目标，对外不依附于任何国家，谋求世界政治大国地位，并与中国共同"推动世界经济出现多元认同"。中国认为加强中德在多极化世界中的合作，有利于提高各自国际地位，扩大各自在国际上的活动余地，并促进世界和平、安全和稳定。2004年，中德在中欧全面战略伙伴关系框架内建立"具有全球责任的中德战略伙伴"关系，中德关系发展到了新的高度。
------摘编自吴友法《德国现当代史》等
（1）根据材料一并结合所学知识，概述20世纪50\~70年代中国与民主德国、联邦德国关系的变化及其原因。
（2）根据材料二并结合所学知识，简述中德建立战略伙伴关系的历史条件。
（3）根据材料并结合所学知识，简析20世纪70年代以来中德关系发展的历史启示。
14.阅读材料，完成下列要求。
材料 关于宋代历史，海内外学者著述颇丰，叙述各有侧重，如《儒家统治的时代：宋的转型》《中国思想与宗教的奔流：宋朝》《宋史：文治昌盛与武功弱势》等，这些书名反映了作者对时代特征的理解。
结合所学知识，就中国古代某一历史时期，自拟一个能够反映其时代特征的书名，并运用具体史实予以论证。(要求：论证充分，史实准确，表述清晰。)
**（二）选考题：共15分。请考生从3道历史题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15.【历史------选修1：历史上重大改革回眸】
材料 表2清末新政时期部分商务法规、章程内容
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 商会简明章程(1904年) | 商务繁富之区设立商务总会，商务发达稍次之地则设商务 |
| | |
| | 分会。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 商人通例(1904年) | 肯定商人的地位，规定享有的权利和应遵循的通行规则等。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 公司律(1904年) | 规定公司的创办程序、组织形式与经营方式，商办公司与 |
| | |
| | 官办公司、官商合办公司"享一体保护之利益"。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 奖给商勋章程(1906年) | 凡制造新式机器者，奖以三等至一等商勋，赏加四品至二 |
| | |
| | 品顶戴。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 华商办理农工商实业爵赏章程(1907年) | 凡集股创办企业的华商，根据资本额多少，可分别获一、 |
| | |
| | 二、三等子爵和三品卿、四品卿爵赏。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
------摘编自朱英《晚清经济政策与改革措施》等
（1）根据材料，概括清末新政在振兴商务方面采取措施。
（2）根据材料并结合所学知识，简析材料中的法规、章程对传统商业的突破性意义。
16.【历史------选修3：20世纪的战争与和平】
材料 巴黎和会上，瓜分土耳其的中东阿拉伯领地时，法国坚持要占有包括黎巴嫩、巴勒斯坦、摩苏尔在内的大叙利亚。英国反对，认为大叙利亚的面积过大。即使法国放弃对巴勒斯坦和摩苏尔的要求后，英国仍不同意大叙利亚计划，逼得法国总理克里孟梭说，这样一来"留给劳合·乔治选择的只有枪或剑了"。关于如何处置战败国德国的殖民地和土耳其的中东阿拉伯领地，各主要国家接受了美国总统威尔逊倡议的"十四点原则"中的委任统治主张。即实行委任统治是因为"其居民尚不能自立"，接受委任统治的国家也就是接受了为"此等人民之福利及发展"的"文明之神圣任务"。
------摘编自廑等主编《世界史》
（1）根据材料并结合所学知识，概括英法发生的争执及其实质。
（2）根据材料并结合所学知识，围绕英法争执，评价威尔逊的委任统治主张。
17.【历史------选修4：中外历史人物评说】
材料 苏绰（498\~546），武功（今陕西扶风）人。他"博览群书，尤善算术"，深受西魏执政者宇文泰信任，委以政事。西魏立国之初，疆域狭小，民族关系复杂，经济文化落后。为强国富民，苏绰建议减官员、置屯田，并创"朱出墨入，及计帐、户籍之法"，为后世财政、会计领域长期沿用。他又制定"六条诏书"，包括先治心、敦教化、尽地利、擢贤良、恤狱讼、均赋役等内容，宇文泰"甚重之，常置诸座右。又令百司习诵之。其牧守令长，非通六条及计帐者，不得居官"。通过"六条诏书"等改革，西魏成功凝聚起民心，由弱变强，为后来北周统一北方乃至隋统一全国奠定了基础。苏绰"性俭素，不治产业......常以天下为己任，博求贤俊，共弘治道，凡所荐达，皆至大官"。在"积思劳倦"十余年后，苏绰因病去世，宇文泰"痛惜之，哀动左右"。
------据《周书》
（1）根据材料，简析苏绰被宇文泰倚重的原因。
（2）根据材料并结合所学知识，概括"六条诏书"的历史意义。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试**
**一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
治沟造地是陕西省延安市对黄土高原的丘陵沟壑区，在传统打坝淤地的基础上，集耕地营造、坝系修复、生态建设和新农村发展为一体的"田水路林村"综合整治模式，实现了乡村生产、生活、生态协调发展（下图）。据此完成下面小题。
1\. 与传统的打坝淤地工程相比，治沟造地更加关注（ ）
A. 增加耕地面积 B. 防治水土流失 C. 改善人居环境 D. 提高作物产量
2\. 治沟造地对当地生产条件的改善主要体现在（ ）
A. 优化农业结构 B. 方便田间耕作 C. 健全公共服务 D. 提高耕地肥力
3\. 推测开展治沟造地的地方（ ）
①居住用地紧张 ②生态环境脆弱 ③坡耕地比例大 ④农业生产精耕细作
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
为获得冬季防风、夏季通风的效果，我国东北平原的某城市对一居住区进行了相应的建筑布局规划，规划建筑物为高层（7层以上）和多层（7层或以下）。下图示意在该居住区内规划的两个居住片区、道路、出入口及当地盛行风向。据此完成下面小题。
4\. 下列建筑布局中，适合居住片区II的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5\. 相对居住片区II，居住片区I的建筑布局宜（ ）
①建筑密度大 ②建筑密度小 ③以高层建筑为主 ④以多层建筑为主（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6\. 该居住区出入口的设计主要是为了避开（ ）
A. 春季盛行风 B. 夏季盛行风 C. 秋季盛行风 D. 冬季盛行风
利用大型挖泥船将海底岩石搅碎，并将碎石和泥沙一起吹填造地，成为在海中建设人工岛的主要方式。下图示意人工岛地下淡水分布。据此完成下面小题。
7\. 参照上图，在造岛物质满足水渗透的前提下，人工岛形成并保持相对稳定的地下淡水区的条件是（ ）
①降水充沛且季节分配均匀 ②降水充沛且季节集中 ③人工岛足够长 ④人工岛足够宽
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
8\. 人工岛地下淡水一般不作为日常生产生活水源，主要因为其（ ）
A. 取水难度大 B. 开采周期长 C. 水质较差 D. 储量较少
岳桦林带是长白山海拔最高的森林带。岳桦林带气候寒冷，生长季短，只有其下部的岳桦才结实（种子）。岳桦结实的海拔上限称为岳桦结实线，岳桦林分布上限即长白山林线。监测表明，20世纪90年代以来，长白山北坡气候持续变暖，岳桦结实线基本稳定；林线的海拔快速提升了70\~80米，但近年趋于稳定。据此完成下面小题。
9\. 目前，长白山北坡林线附近的岳桦多为（ ）
A 幼树 B. 中龄结实树
C. 老树 D. 各树龄组混生
10\. 推测20世纪90年代以来，长白山北坡岳桦林带（ ）
A. 冬季升温幅度小，生长季稳定 B. 冬季升温幅度大，生长季延长
C. 冬季升温幅度大，生长季稳定 D. 冬季升温幅度小，生长季延长
11\. 在气候变暖背景下，长白山北坡林线近年却趋于稳定，原因可能是（ ）
A. 降水稳定 B. 水土流失量稳定
C. 土壤肥力稳定 D. 岳桦结实线稳定
**二、非选择题：共160分。第36\~42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第43\~47题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共135分。**
12.阅读图文材料，完成下列要求。
葡萄喜光，耐旱。下图为某坡度较大的地方采用顺坡垄方式种植葡萄的景观。该地位于52°N附近，气候湿润。
（1）当地采用顺坡垄种植葡萄，据此分析该地区的降水特点。
（2）指出该地种植葡萄宜选择坡向，并分析与梯田相比，顺坡垄利用光照的优势。
（3）说明温带半干旱地区坡地耕作不宜采用顺坡垄的理由。
13.阅读图文材料，完成下列要求
形成玄武岩的岩浆流动性好，喷出冷凝后，形成平坦的地形单元。如图所示，某海拔500米左右的玄武岩台地上，有较多海拔700米左右的玄武岩平顶山，及少量海拔900米左右的玄武岩尖顶山。调查发现，构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩分别形成于不同喷发时期。
（1）指出玄武岩台地形成以来因流水侵蚀而发生的变化。
（2）根据侵蚀程度，指出构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩形成的先后次序，并说明判断理由。
（3）说明玄武岩台地上有平顶山、尖顶山分布的原因。
14.\[地理------选修3：旅游地理\]
景泰蓝制作是北京市地方传统技艺，已入选国家非物质文化遗产名录。近年来，北京市某企业依托其景泰蓝艺术博物馆、景泰蓝制作技艺互动体验中心以及工厂店，在夏秋季节每周五、周六17时至22时，举办"景泰蓝文化体验之夜"活动，吸引众多的市民与游客前来观光和互动。
简述举办"景泰蓝文化体验之夜"活动的旅游价值。
15.\[地理------选修6：环境保护\]
高原鼠兔多穴居于植被低矮的高山草甸地区，因啃食植物曾被看作是引起高山草向退化的有害动物而被大量灭杀。土壤全氮含量是衡量土壤肥力的重要指标。通常土壤肥力越高，植被生长越好，生态系统抗退化能力越强。下图示意青藏高原某典型区域高原鼠兔有效洞口（有鼠兔活动）密度与土壤全氮含量的关系。
分析高原鼠兔密度对高山草甸退化的影响，并提出防控高原鼠兔的策略。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）文科综合政治试题**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.新冠肺炎疫情发生以后，医用口罩、防护服、消毒液等防疫物资一度紧缺，不少大型制造企业开启了"跨界"生产之路，如某电器集团紧急成立医疗子公司，迅速调整生产计划，很快向市场提供医疗物资生产设备和医用口罩。企业短时间内紧急转产、快速投产，说明（ ）
①我国相关制造业有完整灵活的供应链
②市场需求对企业生产有重要导向作用
③企业具有转产防疫产品的前瞻性战略
④企业可以通过转产快速化解市场风险
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
2.为发挥农业保险对支农惠农、促进农业发展作用，中央财政于2007年开始实施农业保险保费补贴政策。截至2019年底，农业保险累计支付赔款2400多亿元，服务农户数从0．5亿户次增至1．8亿户次，提供的风险保障从0．1万亿元增加到3．6万亿元。农业保险保费补贴政策发挥作用的路径是（ ）
①获得财政补贴，降低成本支出
②增加生产投入，促进产业发展
③购买农业保险，支付保险费用
④转移灾害风险，稳定收入预期
A. ①→③→④→② B. ①→③→②→④
C. ③→①→④→② D. ③→①→②→④
3.2015年10月，人民币跨境支付系统（CIPS）正式启动。CIPS是由中国人民银行组织开发，为境内外金融机构人民币跨境和离岸业务提供资金清算与结算服务的系统。截至2020年5月末，有96个国家和地区的969家银行接入该系统。CIPS的推广使用表明（ ）
①人民币实现跨境自由流动
②人民币国际化进程加速
③人民币在全球可自由兑換
④中国对外贸易结算风险降低
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
信息时代。数据在经济社会生活中的作用越来越重要。据此完成下面小题。
4\. 2019年10月，《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》首次将数据与劳动、资本、土地等并列，将其列为生产要素。数据被列为生产要素是因为（ ）
①数据广泛融入生产过程，具有独特创造力
②数据是最具流动性的基础性资源
②数据的所有权和使用权可以分离
④数据对提高生产效率作用日益凸显
A ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
5\. 在新一轮政府机构改革中，浙江、福建等省成立大数据管理局，负责统筹数据资源建设管理，协调全省政务信息化、电子政务建设，推进信息化发展和大数据融合应用、大数据相关产业发展和行业管理。创新设立大数据管理局旨在（ ）
①推动经济转型升级发展②保障地方政府依法行政
③改革完善基层行政体制④优化地方政府职能配置
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6.2019年10月26日，十三届全国人大常委会第十四次会议通过《关于国家监察委员会制定监察法规的决定》。根据这一决定，国家监察委员会为执行法律的规定、履行领导地方各级监察委员会职责，可根据宪法和法律，制定监察法规。该决定表明（ ）
①全国人大常委会在监察立法工作中发挥主导作用
②全国人大常委会可以授权国家监察委员会制定法规
③国家监察委员会是全国人大行使监督权的职能机构
④国家监察委员会拥有自主制定本部门法律的权力
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
7.国家主席习近平在2019年4月第二届"一带一路"国际合作高峰论坛开幕式上的主旨演讲中，用"万物得其本者生，百事得其道者成"来形容共建"一带一路"。下列选项与"本"和"道"含义不相符的是（ ）
A. 经济全球化的历史潮流
B. 全球治理体系变革的时代要求
C. 各国人民过上更好日子的强烈愿望
D. 发展中国家实现区域经济一体化的迫切需要
8.家庭联产承包责任制拉开了中国改革开放的序幕，农村改革带来的希望在心底里流淌、在劳动中萌发，文艺工作者的创作激情和灵感在希望的田野上点燃，歌曲《在希望的田野上》由此诞生。如今，这首唱响大江南北的歌已凝结成标示时代巨变的音乐符号，激励着亿万中华儿女奋发进取。这表明（ ）
①群众喜闻乐见是评价艺术价值的客观标准
②社会主义文艺要坚持讴歌人民、讴歌劳动
③激情与灵感是艺术创作的源泉与动力
④优秀的文艺作品既要回应时代要求又能引领时代方向
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
9.在数千年发展历程中，亚洲人民创造了辉煌的文化成果。《诗经》《论语》《塔木德》《一千零一夜》《聚俱吠陀》《源氏物话》等名篇经典，楔形文字、地图、玻璃、阿拉伯数字、造纸术、印刷木等发明......既独树一帜、各领风骚，又和谐共生、交相辉映，记录了亚洲人民对美好生活的追求，都是人类文明的宝贵财富。从中得到的启示是（ ）
①文化的多样性来自于社会生产生活的丰富性
②历史积淀的厚度是衡量文化先进程度的尺度
③丰富多彩的优秀文化是人民群众创造力的集中体现
④文化作为一种精神力量规定了文明发展的进程和趋势
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10.工业遗产的开发利用是城市转型发展亟待解决的问题。许多城市巧妙利用闲置的厂房和设备，精心打造文创产业园、时尚设计园、爱国主义教育基地等，厂房变成博物馆，仓库改成音乐厅，厂区转为影视基地......工业遗产的"华丽转身"表明（ ）
①事物间的联系是客观的，与人的意识无关
②把握联系的多样性是正确认识和有效利用事物的前提
③事物发展关键在于把事物的内部联系转变为外部联系
④人们可以通过实践调整事物之间原有的联系，建立新的联系
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
11.2019年3月18日，习近平在学校思想政治理论课教师座谈会上强调，青少年阶段是人生的"拔节孕德期"。最需要精心引导和栽培；要给学生心灵埋下真善美的种子，引导学生扣好人生第一粒扣子。因为（ ）
①青年学生的价值观决定于其行为选择
②青年学生的价值观一旦形成就会稳定不变
③价值观教有是青年学生健康成长的必修课
④正确价值观是青年学生走好人生道路的重要向导
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
12.广西某山村有许多珍稀鸟类，但一直存在打鸟、捕鸟等现象。近年来，该村引导村民树立"绿水青山就是金山银山"的理念，建设观鸟基地，吸引天南海北的"鸟友"前来参观，以护鸟观鸟、旅游观光、休闲度假为特色的产业蓬勃发展，以前打鸟、捕鸟的村民成为爱鸟、护鸟的"土专家"和良好生态环境的自觉守护者。这表明（ ）
①社会意识的发展变化根源于生产生活的发展变化
②不与社会存在同步变化的社会意识是落后的社会意识
③社会意识能够转化为改变社会存在的物质力量
④社会意识能否推动社会发展取决于其是否反映社会存在
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
**二、非选择题：共52分。**
13.阅读材料，完成下列要求
材料一 2013\~2019年我国最终消费支出对GDP增长贡献率和居民恩格尔系数的变化
材料二 2019年11月，第二届中国国际进口博览会在上海举行，共有155个国家(地区)、26个国际组织、3893家企业参加，超过50万名境内外专业采购商到会洽谈采购，累计意向成交额711.3亿美元。进博会设置装备、食品、医药、健康、服务等展区，与大众品质生活的消费密切相关：从新抗癌药到智能化的医疗设备，从体现绿色概念的护肤品到高科技垃圾粉碎机，从可穿戴外骨骼机器人到有助于创建"养老型城市"的康养产品等，集中反映了当前消费的新热点、新趋势。
(1)解读材料一包含的经济信息。
(2)结合材料并运用经济知识，说明消费变化对我国生产将产生的重要影响。
14.阅读材料，完成下列要求。
《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》要求深化村民自治实践，"坚持自治为基，加强农村群众性自治组织建设，健全和创新村党组织领导的充满活力的村民自治机制"。
某地探索创新村民自治机制，形成"四会管村"模式。村党支部委员会根据村民自治有关规定，讨论决定旧村改造事项并提出要求。5个村民小组组长挨家挨户走访村民，汇集村民意见建议300多条，初步估算总投资上亿元。村民议事会经过反复商议，形成两套改造安置方案。第一套方案经费投入较多，涉及村头大树和祠堂的保留利用;第二套方案现代时尚，且相对省钱。两套方案并报村民代表大会投票表决，第一套方案获得通过。在全体村民的积极支持配合下，村民委员会精心组织实施，不到两个半月，378户、10万平方米的旧房全部顺利拆迁完毕。
运用政治生活知识说明"四会管村"实现村民自治的工作机制及其意义。
15.阅读材料，完成下列要求。
在抗击新冠肺炎疫情过程中，国家卫生健康委组织专家对医疗救治工作不断进行分析、研判、总结，先后制修订和发布7版新冠肺炎诊疗方案，为保卫人民生命健康提供了重要保障。第1版方案较简单，主要包括病原学特点、病例特点、病例定义、鉴别诊断、病例发现与报告、治疗等方面内容。第3版方案细化了中医治疗方案等内容。第7版方案增加病理改变内容，增补和调整临床表现、诊断标准、治疗方法和出院标准等，并纳入无症状感染者可能具有感染性、康复者恢复期血浆治疗等新发现，形成了包括13个方面内容的比较完整的诊疗体系。
中医药是中国人民在几千年生产生活实践中创造的，是中华文化的瑰宝，在抗击新冠肺炎疫情中彰显了独特的价值和魅力。坚持中西医结合、中西药并用，发挥中医药治未病、辩证施治、多靶点干预的独特优势，全程参与深度介入疫情防控，形成了覆盖诊疗过程的中医诊疗规范和技术方案，在全国推广使用，有效降低了发病率、转重率、病亡率，提高了治愈率，加快了恢复期康复。中医药还走出国门助力全球抗疫，中方专家线上线下与日本、韩国、意大利、柬埔寨等国专家分享救治经验，将新冠肺炎中医药诊疗方案译成英文并发布在国家卫生健康委网站与世界各国共享。
(1)诊疗方案的变化反映了对新冠肺炎认识的发展，运用认识论原理加以分析。
(2)结合材料并运用文化生活知识，说明弘扬中医药文化对于坚定文化自信的作用。
(3)请就如何发挥中医药在"健康中国"建设中的作用提两条建议。
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自主招生面试题集锦
北京大学（2015-2011）
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2015年北京大学自主招生"博雅人才培养计划"部分面试题
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1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战
2.如何治理雾霾，有何建议
3.中国传统文化将如何走出去
4.微信在人际交往中的作用
5.欧洲历史上的分与合
6.如何看待中国申请冬奥会
2015年自主招生面试真题部分面试题如下：
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1、请谈一下动物迁徙的意义?
2、谈谈你对嘀嘀打车与专车经营的看法。
3、你认为的文学阅读的最高境界是什么?
4、请谈有教无类与因材施教的关系。
5、请谈你对国企高管限薪令的看法。
6、有人提议将网络战归为武力冲突，谈谈你的看法。
7、谈谈你对亚投行的看法。
8、有人提议在基础教育阶段实施男女分开管理，即开办男校和女校，谈谈你的看法。
9、谈一谈信仰、义务、责任的关系。
10、爱因斯坦说："简单是科学追求的伟大目标。"谈谈你的看法。
11、请你设计一下中国的养老体系?
12、你如何看待就医不要钱这种理想设计?
13、谈一谈你对批判性思维和惯性思维的关系的理解。
14、谈一谈你所认识的经济全球化下中国的粮食问题。
15、谈一谈自我意识?
16、有人说在全球化背景下我国粮食安全已经不是一个问题，你怎么看?
17、对"绿水金山就是真金白银"有何看法 ?
18、你对"贫富分化是经济发展必然现象"有何看法?
19、谈一谈你对自主招生的看法。
2014年自主招生面试真题。
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1.在当代人的生活和媒体语言中，诸如3D、4G、PM2.5、CPI等随处可见，你认为这些符号的流行会伤害汉语的文化价值和纯洁性吗?说说你的理由。
2\. 试论科学和技术上的模仿与创新是一种什么样的关系?可以从中国近年在航天、航空、航海和高铁等领域的技术进展举例展开。
3\. 古人云："人唯求旧，器唯求新。"请谈谈你对这句话的理解。
4\. 越来越多的中国人读不懂中国文化的"原典"，如此下去，中国文化如何延续?
5.某国外名校称"我们所教历史中的大部分是我们教过的人创造的"，那么你认为北京大学在中国近现代史进程中发挥过怎样的作用。
6.北大某学者近期表示告别微信，认为其中文字泛滥可能导致注意力资源的不当配置，而沉溺于社交网络将使人逐渐丧失自己思考和选择的能力。对此你怎么看?
7\. 现在流行一个词："儒商"。请问你如何理解儒和商之间的关系?
8\. 雾霾是近期的一个重要话题。你认为人们的精神层面是否也有"雾霾"，应该如何对待?
9\. 你认为街上的警察多一点好，还是少一点好?
10.国内外一系列统计表明，彩票中大奖的人，很少有人从此富裕起来，倒是绝大多数都很快把奖金消费掉，重新回到原状。请你分析一下其中的社会原因和心理原因。
11\. 儒家说："名不正则言不顺。"但佛家却主张"看破名目"，抓住事物的本质。你如何看待这两种主张?
12\. 有人说"道德应成为科学的指路明灯"，但也有人认为道德束缚了科学研究。谈谈你的看法。
13\. 爱因斯坦指出："提出一个问题往往比解决一个问题更重要"，谈谈你的理解和看法。
14\. 孩子们回家看老人时，经常捧着手机玩，让老人备受冷落。老人气愤地说"你们就和手机过吧"，对此谈谈你的感想和评价。
15\. 对"传统商务与电子商务是互相取代还是彼此融合"这个话题，谈谈你的看法。
16\. 煤炭作为燃料是制造雾霾天气的重要元凶之一，而太阳能、风能目前又不能保证持续供应，因此有人说发展核电势在必行，但是前苏联和日本的核电站事故又给人造成核电心理阴影。请对此谈谈自己的看法。
17\. 作家滕文骥说"面对历史，诚实是最合适的态度"，"面对历史，跪着的德国人比站着的日本人高大"。请你谈谈对这一观点的看法。
18\. 有人提出"技能是21世纪的全球货币"。你对此有何评论?
19.希腊人芝诺认为运动是不可能的，并且提出了一个论证。他说，由A点运动到B点，必先到达AB的中点C，而要运动到C点，必先到达AC的中点D，可是AD还有中点，如此这般的中点有无穷多个，因此，我们根本无法离开A点。他的论证是否合理?
20\. 中国古代有一个成语叫"杞人忧天"，你如何看待杞人的忧天?
2013年自主选拔录取面试题
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1\. 你认为，如何通过竞技体育促进群众体育和人民健康?
2\. 有人认为，人生的发展应顺其自然，不应刻意追求。请谈谈你的看法。
3\. 从市场经济角度，请谈谈你对"信言不美，美言不信"这句话的理解。
4\. 十九世纪末，北洋水师号称"远东第一舰队"，但在甲午海战中全军覆没。请谈谈你的看法。
5\. 乔布斯说，领导者和追随者最大的区别在于创新。请谈谈你的看法。
6\. 有人认为全球变暖是人为破坏环境的结果，也有人认为是气候周期性变化的反映。请谈谈你的看法。
7\. 近年来，社会上对所谓的"超级中学"批评不断，但家长们却仍然要把孩子们送进这些中学。请谈谈你的看法。
8\. "机遇只偏爱有准备的头脑。"请谈谈你的理解。
9\. 有人说，"化学学科正在经历着一场革命的阵痛，它正在从实验科学向数学科学拓展。"请谈谈你的见解。
10\. 儒家文化强调：仁、义、礼、智、信，你认为最重要的是哪一点?
11\. 鲁迅说："一切好诗，到唐已被做完。"请谈谈你对这句话的见解。
12\. 有观点认为运河、水坝等人工水利设施是水资源利用与艺术的完美结合。但反对者则认为这些人工水利设施破坏了自然的和谐与美。请谈谈你的看法。
13\. 说说你一个最突出的缺点，试分析造成这一缺点的原因和可能的克服途径。
14\. 在陌生人为主的现代社会，怎样做到取信于人?
15\. 有人认为，科举制度是中国古代第五大发明，也有人认为科举制度阻碍了近现代中国的发展。请谈谈你的看法。
16\. 有人说，现代交通、通讯技术拉近了人与人之间的距离;也有人说，这些技术使人与人之间的距离更远了。请谈谈你的看法。
17\. "物必先腐，而后虫生"，请谈谈你的理解。
18\. 有人说，法律是通过限制自由来保障自由。请谈谈你的看法。
19\. 爱因斯坦认为，科学是人类精神的自由创造和自由发明。请结合这句话谈谈科学与艺术的区别。
20\. 鲍林说，"当任何一种物质的性质与结构(以原子、分子和组成它的更小的粒子表示)联系起来时，这种性质是最容易、最清楚地被认识和理解的"。请谈谈你的理解。
2012年自主招生面试题
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1\. 近几年很多用人单位在招聘员工时，很看重应聘者的本科毕业学校。请谈谈你的看法。
2\. 国际连锁超市中大多数商品都是中国制造，但大部分利润都被外企赚走。你如何看待这一现象?
3\. 培根说："金钱是忠实的男仆，也是恶毒的女主人。"请谈谈你的认识。
4\. 怎样的机制能够鼓励见义勇为，减少袖手踯躅?
5\. 文化产业化进程中，价值倾向和市场取向哪个更重要?
6\. 一般来说青少年的阅读爱好总是和成年人有所区别，那么对于公认的经典作品而言也存在这种区别吗?请举例分析。
7.一方面是大批非法饲养的宠物狗给社会带来环境和疾病的危害;另一方面，反对虐待和食用犬肉的人不惜通过阻断高速公路出口来维护动物权利。请就此谈谈你的观点和解决办法。
8\. 国家有关部门最近颁布通知，从2012年元月起，禁止在每集电视剧剧情播放过程中插播广告。你认为电视剧生产商和广告公司会采取什么办法来应对，以弥补他们失去的广告时间和经济损失?
9\. 目前，文化软实力的竞争在世界各国综合国力竞争中的地位和作用日益凸显。请谈谈什么是文化软实力。你认为包含哪些要素?
10\. 母语对于学习和掌握一门外语有帮助吗?一个母语很差的人，他学外语能够精通吗?
11\. 对患有绝症的病人，你认为应该隐瞒病情还是如实告知?
12\. 北京大学"中学校长实名推荐制"要求"不孝敬父母不得被推荐"，引起社会热议。请谈谈你的看法。
13\. 中小学升学时的择校现象愈演愈烈。请谈谈你的看法。
14\. 齐白石先生说："学我者生，似我者死。"你如何理解这句话?
15\. 目前，我国部分食品存在中国、外国双重质量标准的现象。你如何看待这一问题?
16\. "科学"的对立面是不是"迷信"?为什么?
17\. 柏拉图在《理想国》中认为，应该由哲学家来统治和管理国家。你是否同意他的意见。
18\. "温州7.23动车事故"以后，有人说中国经济慢些走。你同意这样的说法吗?为什么?
19.同是封建社会，在西欧，"领主永远是领主，农奴永远是农奴"，在中国却有"朝为田舍郎，暮登天子堂，将相本无种，男儿当自强"的情形。这对中西方社会的发展产生了什么影响?
20\. 经济学原理告诉我们，某物价格高趋，购买者盖寡;反之，价格低趋，购买者必多。但是现实生活中却是：前几年房地产价格不断上涨，购买者趋之若鹜;而今房地产价格下跌，买楼处却门可罗雀。为什么?
2011年自主招生面试题
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1\. 马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道："蒸汽机一开始就是人力的对头"。请谈谈你的看法。
2\. 近期房产税、车船税、"馒头税"等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。
3\. 哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话："请享受无法回避的痛苦"，谈谈你的理解。
4\. 假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么?为什么?
5\. 有人说："智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧"，请谈谈你的看法。
6\. 现在很多家长在高中阶段就把孩子送到国外学习，谈谈你的看法。
7\. 国家最近规定，中央和省级机构录用公务员，一般情况下都须具有两年以上基层工作经历，不再招收应届毕业生，你对此有何评论。
8\. "穷则独善其身，达则兼济天下"，在今天是否还适用?
9\. 目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。
10\. 有人认为"三纲"(君臣、父子、夫妻)无益,"五常"(仁义礼智信)可取。试述你的观点。
11\. 近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗?
12\. 古人云"诗画同源"，"诗是无形画，画是有形诗"。请谈谈你的见解。
13\. 请从世界历史和国际政治的角度，分析"只有永远的利益，没有永远的朋友"这句话的含义。
14\. 今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同?
15\. 网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意?
16\. 日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事?
17\. 在鲁迅的小说《祝福》中，"我"作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂"人死后是没有灵魂的"?
18\. 牛顿第一定律可以被实验验证吗?
19\. "火"被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识"火"?
20\. 诗曰："我看青山多妩媚，料青山看我应如是"，说说你的理解。
21\. 现在人类一方面在保护自然，另一方面又在破坏着自然。你认为地球上的生物会有怎样的未来?
22\. 一些世界非物质文化遗产可能在若干年后还是会消失,保护还有意义吗?请谈谈你的看法。
23\. 地球上有些生物是人类想消灭但难以消灭的，另一些生物又是人类想保护但保护不了的。谈谈你的看法。
24\. 如果将来全基因组测序可以用来预测个人的全部遗传信息,你对那个时代的到来有何看法?
25\. 有人认为："水资源短缺是中国未来面临的一个比能源问题更巨大的挑战"。你同意吗?为什么?
26\. 普罗米修斯盗火，燧人氏钻木取火，请谈谈两者不同的文化寓意。
27\. 有人说，低收入人群的生活质量是衡量一个社会文明进步的标志，谈谈你的看法。
28\. 近日在国家博物馆北广场树立了孔子雕像，引起各方关注。请谈谈你的看法。
29\. 近年来，影视剧中出现不少"穿帮"镜头，请从文化建设角度谈谈你的看法。
30\. 3月11日下午1:46，日本近海发生8.8级地震并引发海啸，面对这一灾难，请谈谈你的感想。
清华大学（2015-2010）
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2015年自主招生部分面试题
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1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?
2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?
3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的"学雷锋"活动动员演讲。
4."是休学创业，还是毕业后创业。"
5.要不要休学当老板?
2014年自主招生"自强计划"面试题
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**结构性参考题目：**
提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公?
追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么?
**二、自强计划：**
**1、请讲一个你癿经历中体现你"自强"癿敀事。**
**2、你对自己癿大学生活有何规划?将来想仍事何种职业?**
**3、你认为自己癿家乡至今仌然贫困癿原因是有哪些?应该如何解决?**
**4、你曾经遇到过癿最大困难是什么?你是如何面对和解决癿?**
**5、谈谈"如何看待春运.一票难求.现象，怎么解决这个问题?**
**6、如何看待社会公平?**
7、结合考生的申请材料，提出一些与考生自身经历有关的问题，如问考生家乡的特产是什么。
**考察点：主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。**
2014年自主招生"领军计划"面试题
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"领军计划"面试形式上，均为三位考官面试一位学生，考官提问、考生回答，每道问题有3至5分钟的回答时间，考生在回答前可以先整理一下思路再作答。一般一个学生需要回答3至5个问题，每场面试的时长约计10至15分钟。体质测试方面，今年新增了"坐位体前屈"一项，此外还包括肺活量、立定跳远、台阶测试等。
清华"领军计划"考生在该校三教参加面试，每位考生面试时间大约15分钟，有三个老师提问，一共需要回答三至五个问题。"领军计划"初审时比较严格，参加测试的大部分考生都会享受加分。结果预计元旦前公布。以下是2014年清华领军计划部分面试题：
1、怎么看待单独二孩政策？
2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？
3、怎么看待社会公平？
2013年自主招生面试题
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1.近期上海、南京、杭州等地连续出现"H7N9禽流感"感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息？
追问：假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办？
2."人类一思考，上帝就发笑"。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。
追问：基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么？
3.请以"我和诺贝尔奖的距离"为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。
4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围"2013'感动中国'的一位人物"，并阐述理由。
2012年自主招生部分面试题
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清华，领军计划：
问题统一，集中在对学生个人能力的和发展规划方面。
1、你认为最成功的人是谁?为什么这样认为?
2、谈谈你在学习生活中最有成就感的一件事。
3、发表一篇竞选清华大学学生会主席的演讲，时间两分钟。
4、你觉得人类理想社会是什么样子?也有考生被问到一些比较个性化的问题，比如关于职业理想、专业兴趣等。
清华，保送考面试题：主要有社会热点、对学科的认识、对自身的认识等问题。
1、你的爱好是什么?你觉得自己有那些缺点?
2、就你了解的某个朋友，你谈谈他的理想是什么?
3、假如你能穿越到20年后，你希望那时候的自己是个什么样的人?
4、假如你到了生命的最后时刻，请说说自己的遗言。
5、如果你昨天的笔试成绩距离我们学校的标准有一点差距，给你最后一分钟，你想如何补救?
6、你为什么选择报考这个专业?主要理由是什么?
7、谈谈你对这个学科的了解。北大和人大也有法律系，你为什么选择了清华法律系?
8、最近社会热点是什么?(然后根据你知道的热点进一步提问)9、国家号召有志青年去西部，但也有高中生、大学生毕业后抢着出国，你对这两个方面有什么看法?
10、你觉得国家需要什么样的人才?你自己想成为什么样的人?
11、你喜欢和什么样的人交朋友?为什么?
12、说一下你从小到大观察过的动物、植物等。
13、大学里有各种机会，你将如何规划你的大学生活?
一、专业组
\*如何测量人体的电阻?
\*正常油和地沟油如何鉴别?
\*加油站为什么不能用手机打电话?
\*盒装牛奶为什么不能放在微波炉里面加热?
\*运用经济学原理解释珠三角地区产业升级的模式。
\*北京大学校长周其凤写过一首歌词叫做《化学是你，化学是我》，其中提到人的记忆和思维都要借助化学作用，请你加以阐述。
\*如何分辨矿泉水和蒸馏水?\*空瓶子放入水中，如何使它沉下去?
\*如何收集闪电的电能?
二、综合组
\*如何理解"社会进步的动力是下一代不听上一代的话"这句话?
\*怎样看待将"萌照"放在毕业论文中这一做法?
\*怎样看待故宫宝物被盗事件?
\*骆家辉说他自己"流的是中国人的血，但要为美国效力"，你怎样看待?
\*怎样理解梵语"空即是色、色即是空"?
\*中国的十二生肖是什么来历?十二生肖的顺序能否颠倒?为什么?
\*卡扎菲和萨达姆都活了69岁。有人说，他们都没活到中国的70年房产权的年限。你怎么看待这个说法?
\*请你比较美国大学的公开课和中国大学的公开课。
\*金庸有14部武侠小说，请问你觉得书中的哪一位人物武功最高?为什么?
\*有说法认为"2012年是世界末日"，你怎么看待这种说法?
\*如果你是一名记者，你将向温家宝总理提什么问题?
2011年自主招生部分面试题
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1.如何看待高考加分政策?
2.《阿凡达》很火，欧美大片、日本动漫也很受欢迎。如何在这种环境下发展中国文化?
3.用一个成语形容你眼中的哥本哈根气候会议。
4.用关键词概括2009年中国现状。
5.中国是否已步入高房价时代，你的观点是?
6.一根火柴在不能折断的前提下，如何摆成一个三角形?
7.就张磊向耶鲁大学捐款8888888美元发表观点。
8.第一次和第二次世界大战期间，有什么重大的化学发明?
9.为什么要把清华大学作为第一志愿填报?
10.老子和孔子有一天打架，你会帮助谁?
11.谈古论今──请任选中国古代和当代人物各一位进行对比阐释。
12.为什么要上大学，是否每个人都应该上大学
13.汪洋上，只有一艘船，你只能带5个人走，你带谁?
14.学历史与报读清华经管有什么关系?
15.用成语形容一个企业家、一个政治家、一个思想家。
16.发表观点：武广高速铁路通车时速达世界第一。
远程面试题目：
1.谈古论今：任选中国古代和当代人物各一位作对比阐释。
2.为什么要上大学，是否每个人都应该上大学?
3.假设你是清华校长，说说明年怎么举办清华百年校庆?
2010年自主招生考试部分面试题
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1、谈古论今──请任选中国古代和当代人物各一位进行对比阐释。
2、为什么要上大学，是否每个人都应该上大学?
3、假设你是清华校长，说说明年怎么举办清华百年校庆?
4、如果老子和孔子打架，你会帮谁?
5、用一个成语来形容你眼中的哥本哈根气候会议。
6、用关键词概括2009年中国的现状。
7、中国是否已步入高房价时代，你的观点是什么?
8、学历史与报读清华经管有什么关系?
9、第一次和第二次世界大战期间，有什么重大的化学发明?
10、一根火柴在不能折断的前提下，如何摆成一个三角形?
11、汪洋上，只有一艘船，你只能带5个人走，你带谁?
12、用成语形容一个企业家、一个政治家、一个思想家。
13、为什么要把清华大学作为第一志愿填报?
浙江大学（2014-2010）
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2014自主招生面试题（部分）
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面试就是考试，考生一进来，面试官就在全方位观察考生，考生言行举止等，都是考查的内容。考官通过全方位考查，看考生是否适合到浙大学习。
面试题：
说一下最能代表家乡特点的一个风俗。
你有什么绰号？
现在不仅有IQ(智商)，EQ(情商)，还有一种叫AQ，就是指抗打击能力，你觉得你在这3个方面哪个更加突出？如果你未来成功的话，这3个Q当中，哪个所占的比例比较大？
爱因斯坦和达尔文，谁对人类的贡献更大？
从小到大，你印象最深、一直坚持的事情是什么？
20年以后，你能给你家乡带来什么？
考官一口气说10个词，请考生复述一遍。
你怎么看待医患纠纷？
你怎么看待学霸和你的关系？
请你用英文介绍下你的家庭情况。
你高中做的最有成就感的事情是什么？
用英语说下父母的童年。
如果PX项目落户你的家乡，你对此有什么看法？
你觉得浙大现阶段有什么不足？有什么改进的建议？
你最喜欢自己高中的哪一点？
你对当地的经济发展有什么建议？
关于马航失联事件，如果你是国家领导人，你会对全国人民怎么说？
诸子百家是指哪些？你最倾向于哪一家？
如果你是乌克兰总统，你会怎么治理好这个国家，处理好克里米亚问题？
假如你的生命只剩下两个小时，你会做点什么？
你觉得大学生应该具备什么品质？
浙江大学应该是怎么样的一所大学？
2013自主招生面试
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每个面试考场，有5名来自各个学科的教授，他们随机组合成为一个面试小组，群面7\~8名考生，问题随机产生，考生想好就可以答题。
热身问题就让人有点摸不着头脑。他们组原本安排8名考生，结果走进考场的只有7位。考官第一个问题就是："请你们每个人都猜一下，为什么这位同学没有出现？"
- 在专业学习方面，你的规划是怎样的？
- 雾霾天，是现在大家非常关心的一个话题。如果你们到了浙大，进入了你们心仪的专业，你们会怎么利用自己的专业知识，来为减少雾霾天气作出贡献？
- 你和父母之间最大的矛盾是什么？你是怎么解决的？
- 你赞成女性在外工作，还是当家庭主妇？（英语论述题）
- 在网络这么发达的情况下，你如何看待电影院受到冲击的问题？
- 假设一下你60岁了，要退休了，你会做些什么？
- 阿迪达斯的广告语是：impossible is nothing（无所不能） ；而李宁的广告语是：anything is possible（一切皆有可能），你怎么看？（英语论述题）
2012部分自主招生面试题目
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鸟巢、水立方、2008年奥运火炬，这三样东西哪样最能代表中国?
人工饲养的动物放归野外后，很多动物不适应野外生活。如果你是一位规划设计师，你通过什么办法来避免这样的问题，你会如何保护动物?
你心目中的美是什么样子的?你们觉得浙大紫金港校区美吗?
如何理解大生意和小生意?(需要用英文问答)
如果你要给一所学校建造房子，你会设计成大房子，还是小房子?(需要用英文问答)
如果你是个设计师，你会为富人做设计，还会为普通人做设计?(需要用英文问答)
如何理解各层面的政策对设计的影响?(需要用英文问答)
设计师如何帮助小孩子理解事物?(需要用英文问答)
设计和环保是什么关系?(需要用英文问答)你想选择的专业是什么?
你的优势和劣势?
你的兴趣爱好是什么?
你的特长是什么?(之后老师根据学生的回答提问)
你生活的当地有什么景点或特产，发展的优势和劣势分别是什么?
怎么向幼儿园的小朋友、小学生、初中生介绍"椭圆"?
电磁波的应用?
看一个圆、两个圆的图形，你能迅速联想到什么?
鸡蛋里为什么也会出现三聚氰胺?
中国内地为什么没有人获得诺贝尔奖?
你要做小池塘的大鱼还是大池塘里的小鱼?
请说一下为什么考浙大?
学英文的作用是什么?
钱钟书当年高考时语文和历史分数很高，接近满分，数学和英语分数却很低，都没及格，但是最终还是被清华录取了，你怎么看这个事?
你想成为乔布斯吗?
2011自主招生面试题：
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面试考官由三人构成，一方面针对学生的履历进行提问，同时倾听学生对所选问题的回答，并进行简单互动。每位同学面试的时间不尽相同，大概在10分钟到20分钟。
1、你怎么看待开心农场的'偷菜'行为？"
2、如何看待"偷菜"改为"摘菜"？
3、假如没有光纤会怎样？
4、谈谈太空旅游。
5、你准备选择什么专业？为什么？
6、你最喜欢中国的哪个节日？
人民币应该升值吗？"
设想一种自主招生的模式。
你怎么看chimerica（中美国）这个单词？
孔子、苏东坡名言有哪些？
谈谈对孔子"己欲立而立人，己欲达而达人"这句话的理解。
另外考到了哥本哈根气候变化大会、第16届亚运会、甲流。
2010年自主招生试题(含面试题)
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面试环节，每组约为7-11人，按校分组。首先是简单自我介绍，然后是阐述观点。
部分面试题包括：
从手机、三农、德与思、美国四个词中任选其一做3分钟评论。
(英文试题)若你准备出一本书，你会选择哪些话题，从哪些方面进行策划?
2010年房价是涨还是跌?
佛山优势
奥巴马获诺贝尔和平奖
上海迪斯尼的利与弊
真小人还是伪君子
正说历史与戏说历史
高学历与高素质
北京交通大学（2013）
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2013年自主招生部分面试题（具考生回忆，仅供参考）：
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1.80后、90后各自的优点和缺点有哪些？
2.网络的发展前景你怎么看？
3.火车和飞机哪种交通方式更安全？
4.关于城市的交通拥堵问题，你有什么自己的看法和解决措施？
5.你认为自己有哪些缺点和优点？
6.关于物理学科和数学学科你更喜欢哪一个？（考生报名材料中提到自己喜欢物理和数学）
7.最近你关注过哪些国内外的大事？
8.两辆汽车行驶在高速路上，一辆慢行，一辆快行，一直行驶下去，哪辆会先掉下去？
9.关于如何组装、拆分电脑的一个问题。
北京林业大学（2013）
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2013年北京林业大学自主招生面试题：
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1.中国式过马路的方式有哪些？
2.道德与现实哪个更重要？
3.如果你是法海，会阻挡许仙和白娘子的爱情吗？
4.如果你是刘翔，你会不会参加下一届奥运会呢？
5.请简单谈谈您对中国计划生育的看法？
6.请分析您对禁烟的看法。
7."披着羊皮的狼"和"披着狼皮的羊"哪个会更重要？
8.你觉得中国好声音哪个歌手会红，为什么？
9.请谈谈您对江南style爆红的理解？
10.手机等网络已经走进人类的生活，您认为网络对人性是疏远还是亲近，为什么呢？
11.假如人生如歌，你觉得你的人生会是怎样的一部歌曲呢？
复旦大学（2014-2013）
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**2014年自主招生面试考题**
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3月1日，2014年复旦大学千分考过线同学进行面试。因为报到时间是上午八点，苏州实验中学的李欣妍前天下午就到上海安顿下来。"整个流程有四小时，但其实面试的时间也就一个多小时，因为考生多吧。"小李告诉记者，面试是1对5，"每个教室安排一个老师提问，我记得一共进了五个教室。"
(一)专业类
● 朱元璋对于中国法律的进程有何作用
● 英美法系与中国法系的区别
● 请举出一个量子力学科学家的名字
● 你知道哪些从复旦毕业的经济学家
● 请你说说化学和生活的联系
● 最近这10年中国的变化
● 新闻和宣传的区别
● 对纸质报纸和网络媒体的看法
● 希腊为什么会出现债务危机
● 汇率是怎么算出来的
● 日本也有很多外债，但为什么不像希腊出现危机
● 如果用特殊折射率的材料做隐身衣会怎么做
(二)逻辑思维类
● "三人戴五帽"的逻辑推理
● 将五个苹果分给五个人，为何还剩下一个苹果
● 你相不相信神的存在
● 为什么开水不响，响水不开
(三)社会热点类
● 如果你是市长，有一天遇到不明缘由的雾霾，你会怎么处理
● 对"单独两孩"政策的看法
● 如何设计关于嘀嘀和快的打车的采访
● 如何看待当前的乌克兰危机
● 你对传统文化的态度是什么，如果让你做城市规划，会怎么处理城市里的古建筑
● 对于崔永元和方舟子关于转基因的争论，你怎么看
● 如何看待PM2.5的官方和民间数据不一样
● 名记者作为患者家属，在产生医患纠纷发微博怒斥护士，你怎么看
(四)临场反应类
● 如果你是晚会组织者，请具体说说将如何组织
● 用简单易行的方法测量山峰高度
● 如果你是宇航员，突然发现太空舱门无法打开，你会如何处理
● 你的陈述显示你在该专业没什么成绩，你怎么让我相信你适合这个专业
● 最喜欢哪个皇帝
● 点评一句话：人口普查进万家 全面清点你我他
● 谈谈上海迪士尼乐园的利与弊
● 如果进大学以后你的室友没有洗脚的习惯，你怎么办
● 用英语写一份热水壶说明书
**2013年自主招生面试考题**
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◆两会是指哪两会
◆两会你对哪个议题最感兴趣
◆钓鱼岛问题为何发生在这样一个时间节点
◆PM2.5是什么
◆你希望房价上涨还是下跌
◆如果你是市长，如何治理拥堵
◆莫言《蛙》的题目是怎么来的
◆如何看待教育公平
◆怎么看异地高考政策
◆对"打针防癌"怎么看
◆对长春婴儿事件、李双江之子案件的看法。
◆你认为有外星人吗?
◆科学与伦理的关系?
◆直线是从经验总结而来，还是人类定义的?复旦有一个数学系的教授不同意你的观点，怎么办?
◆你幸福么
◆你辛苦么
◆你打过架么
◆为什么打架
◆你谈过恋爱么
◆西游记有几个妖怪?孙悟空，八戒这些算吗?
◆梁山上吃什么肉
◆你觉得为理想等待多久才合适?
◆什么是成功?
◆一个硬币绕另一个硬币旋转，内侧硬币不动，问外侧硬币转了多少圈
◆人为什么鼻孔朝下长
◆52张牌，四种花色，抽几张能保证有七张相同花色
◆有那么多业余爱好是父母逼你的吗，这样赶时间表不累吗
◆请用英语讲一个笑话
◆有一个封闭的房间(和外界没有能量交换)，里面有一台空调，无论是开冷风还是暖风都能降低室内湿度，请问这是为什么?
◆如何估算家里空调的电流?
◆围绕所报专业的题目也很多
◆如何把碗上的油渍去除(不能用酒精)?
◆对于近来很热的自主招生培训班，你有什么看法?
◆平时会有多少时间用来阅读?阅读些什么内容的书?请列举五篇课本中出现过的唐代作者写的作品。
◆你认为怎么样中华文化才是真正得到复兴?你认为中华民族在实现伟大复兴的过程中，有哪些外来因素会产生影响?
◆你认为导致成绩好的学生比成绩不好的学生成绩优异的原因是什么?你认为成绩不好的学生在哪方面胜过成绩好的学生?
◆对于近来很热的自主招生培训班，你有什么看法?
◆对于人口老龄化问题，你认为中国的老龄化和西方的老龄化有何不同?
◆为什么不选择出国留学?
◆有人说研究癌症就像选了条不归路，努力奋斗一生也不一定有成果，你怎么看?
◆你认为医学发展至今现在遇到了什么重大的瓶颈?你认为其它学科的发展对于医学的进步有哪些推动作用?
◆上海最大的社会问题是什么?
◆现今有很多人都在闯红灯，你如何看待这种现象?可以从心理考虑这种现象的根源是什么?你刚提到了盲从，那你认为盲从的根源是什么?
◆你觉得有哪些方法可以测量一座山的高度?你知道打火机的原理吗?里面的燃料是什么?未来的打火机有可能是什么样子的?
◆为什么玻璃能透光，煤炭不能?黑色玻璃能不能透光?
◆语言的基础是什么?中文和英文的语言基础有什么不同?
◆你听说过吴英案吗?简述这个案件并且分析。
◆做过什么志愿者?为什么局限于这个岗位?有什么反思?
◆二附中的特点是什么?
◆科学与人文什么关系?
◆靠吟诗作对过活难道不可以吗?
◆你对"孝"是否赞同?
◆高中对教材的使用怎么样?
◆你知道猫屎咖啡吗?愿意试试吗?
◆如果你是市长，如何治理拥堵?
◆平行公理是什么?证明三角形内角和是一百八十度。
◆你名字的由来。
西安交通大学
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**2013年自主招生面试考题**
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1.一个铜质的球和一个铝质的球，外形、体积一样，重量不一样，在不破坏球体的情况下，如何区分材质。
2.一个人从100米的悬崖上掉下来却没有摔死，为什么?
3.建立"天空"与"钟表"两个词汇之间的联系。
4.解释一下太阳能电池的工作原理，并谈一下未来的应用。
5.一个人用8块钱买了一筐鸡蛋，9块钱卖出去了，后来觉得有点亏，又花10块钱买了回来，结果11块钱又卖了出去，这个人挣了多少钱?
6.把一张百元钞票放在小孩张开的食指和中指之间，当你发出指令并松手，除非侥幸，99%的人无法用手指夹住纸币。请问为什么?
**2012西安交大自主招生面试题**
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1.你认为上大学的目的是什么?
2.在这个世界上，到处可见有才华的"穷人"，但是许多没有任何才华的人都能功成名就，春风得意。为什么我们的人生境遇会如此不同?谈谈你的看法。
3.柏杨写的《丑陋的中国人》，你对此怎么看?
4.两个外观、重量完全相同的空心球，一个是铜做的，一个是铝做的，在不破坏的条件下，如何运用物理知识判断出他们的材质。
5.请谈谈网购的优缺点?
6.谈谈90后中学生的优缺点?
7.一个静止站立的人，除了身高、体重外，还可向外界传达哪些物理信息?
**2011西安交大自主招生面试题**
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**部分面试题：**
如果从天而降100万元，你怎么用?
如何看待"旭日阳刚"组合?
请找出水果"芦柑"的5个"亲戚"。
山东大学（2014-2011）
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**2014年自主招生面试题**
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面试的题目都是完全开放，根据考生个人的兴趣特长点，面试组专家会不断追问，像莫言作品、雾霾治理、炒菜中的化学问题、化学在生活中的应用等一系列贴近生活的话题，都成为当天的考题。"面试官很和蔼，在自我介绍的过程中，你所谈到的每个点，都有可能成为接下来的问题，而整场面试，也主要围绕着你透露的信息而展开。"
- "考官问我四大名著读了哪几本？为什么不读另外的？里面的人物最喜欢谁。"
- 每个考场有五名考官，学生挨个单独进入考场，坐在讲台上，台下的考官会根据考生选择的专业和自我介绍中的信息发问，还有一名英语老师会用英语提问一些很常见的问题，
- 如果从地球的一端向另一端穿过地心打洞，之后，放入一个小球，球体会在里面做什么运动？
- 在炒菜中遇到的化学问题有哪些，举例说明。
- 谈谈化学在生活中的作用
- 生活中的溶液有哪些
- 对莫言作品的评价
- 如何治理雾霾
**2013年自主招生面试题**
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**文科：**以开放性题目为主，并不拘泥于课本知识，还有不少时政题。
1.请谈谈你对铁道部改革的看法。
2.北约自主招生考试笔试时，语文曾有一题是让考生以清华、北大、高考、状元等几个名词来编一则笑话。而在今天的复试中，一位女生也被考官要求讲一则笑话。
**理科：**理科的题目则更偏重生活。
1.电与磁的运用、CT原理等与人们日常生活相关的话题都出现在考题中，
2.为什么将这种流感病毒命名为H7N9
3.如果冰的密度比水大，这个世界将会变成什么样?
4.还有如果人眼是红外线，这个世界将有何不同?
**英语：**
1.在学科特长面试结束后单独进行5分钟的英语面试
2.用英文自我介绍?
3.如果给你一元钱，你会买什么?
4.如果有了一百万，你会如何花?
5.介绍一下你最喜欢的一本书?
**2012年山东大学自主招生面试部分选题**
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1.宇航员的宇航服有什么好处?
2.说说隐形飞机"隐形"的原理。
3.蚂蚁从10层楼上摔下来会不会摔死?
4.如果世界上的事物都是热胀冷缩的会怎样?有没有冷胀热缩的现象?
5.大树会无限长高吗?
6.从一个从政者立场出发，该怎样杜绝食品安全问题?
7.对郭美美事件的看法。
8.如何看待《焦点访谈》这一栏目?
9.怎么认识经济中"绿色GDP"的问题。
10.对"空巢老人"问题的产生有何看法，有何解决措施?
11.地沟油的化学本质是什么?
12.分析一下海南旅游宰客这一经济现象
13.你怎样看待家长给孩子报班学乐器?"
14."怎样改善现代环境?"
15."毕业后愿意继续深造还是工作"
16.跳远分为几个阶段，这几个阶段的能量转化是什么?
17.如何制碘?
18.请简述回答化雪剂的成分?
19.含铅汽油中，铅是以什么形式出现的?
20.物体都是热胀冷缩吗?
21.如何建设世界一流大学?
**2011年自主招生部分面试题**
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1、对曹操墓真假之辨，你有什么看法?
2、现在鉴宝类电视节目盛行，可能会助长盗墓之风。你怎么看待?
3、如果长辈有错误，你会不会批评他?家人如果批评你，你会怎么办?
4、用海水和淡水洗衣服哪个干的快?
5、把一个正方体涂成红色，然后分成125块，有多少块两面都是红色的?
6、郎朗应美国白宫之邀演出，独奏了一曲《我的祖国》。你对这件事有何看法?
7、你对春晚改革有何建议?......
上海交通大学（2015-2009）
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2014年**自主招生面试考题**
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1、走出交大后，怎样的你是成功的？
2、设想一下十年后的自己是什么样子？
3、有人把人生比作是一条曲线，你会如何描述这条曲线？
4、你即将面临毕业，有两个机会：一个是去西部地区的能源企业，国家重点行业，可以大大施展才华，而另一个是留在上海，一家外企，生活安逸，请问你将作出何种选择，为什么？
5、用十个词来形容自己？如果请你的同学来形容你，他们会怎么说？
6、你为什么选择了现在的这个专业？你是如何理解这个专业的？
7、如果你是外星人，你在地球上待了一段时间要回去了，你最想带回去的东西是什么？为什么？
8、是时代造就英雄还是英雄造就时代？
9、除学习外，你花时间最多的是什么？
10、你觉得上海/江苏/浙江社会发展目前有哪三个瓶颈问题亟待解决？
11、在你遇到挫折时，对你帮助最大的是谁？
12、你觉得一个人成功最重要的三个要素是什么?
13、一只熊从20米高的地方掉下来，只用了两秒钟，问这只熊是什么颜色的？
14、如果你是一个企业的老板，企业亏损，除了裁员，你还有没有其他的方法解决
15.温家宝总理答记者问时引用了古诗词，请你举例并解释一下。
16.活熊取胆是否人道？
17.PM2.5的值如何降低？
18.竹子为什么是一节一节的？
19、给出一段用繁体字写的文言文且没有标点符号，请朗读之，并为文段断句。遇到看不懂的繁体字跳过。（据说每有人这道题ok的）
20、谈谈你对纳税与公民权利的关系。
21、过去一年里，你最关心的国际大事、国内大事、本地大事分别是什么？为什么最关注这些？
22、如果你担任中国国家形象片的导演，给你一分钟时间介绍中国，你怎么拍？
23、2012全球duodi选举，被称为选举年。其中美国大选令人关注。谈谈新任美国总统与中美关系、台海局势关系。
24、介绍一位诺贝尔奖获得者，并总结他的成功经验。
25、中国文化的核心是什么？
26、说说你最爱看的书，为什么爱看。（此题被认为最简单也最2试题，考生反而没什么准备）
27、在精神领域，进化论是否适用？为什么？
28、如何看待＂正说历史＂与＂戏说历史＂？
29、说出GDP、CPI、PPI、FDI、FTA的英文全称，并用中文解释清楚。
30、出师表中关于管理的话有哪些？试着背一下。
31、中国现在有多少网民？世界呢？
32、比尔盖茨和钱学森，你更崇拜谁？为什么？
33、现有数列：8，1，6，4，3，7，0，1，3。他们的排列顺序基于什么规则？
34、宏观与微观的区别？
35、三峡与上海的联系是什么？请说出5点。
36、现场说出一个能让我（专家）笑的出来的笑话，并说说幽默感在交流中的重要性。
48、你最大的缺点是什么？如何克服？
49、给你一张A4纸，你可以用来做什么？
50、为什么选择文学专业？将来你有志于的研究方向是什么？
51、文学和哲学的区别在哪里？
52、滚动摩擦和滑动摩擦有什么区别？
53、请谈一下超导现象。
54、你的家乡在哪里？请介绍一下你家乡的风土人情。
55、请谈一下你眼中的陶行知。
56、请谈一下方舟子与韩寒之争的社会意义。
57、请谈一下你对黑格尔名言"历史给我们的教训是，人们从来都不知道汲取历史的教训"的理解。
58、请说一下你的个人经历。 59、请用英语介绍一下你的学校。
60、请说出两位著名的物理学家，并说出他们因何著名。
61、让你为钱学森设计一幢房子，你怎么设计？
62、请为铁道部门设计事故的预案。
63、谈谈对"占领华尔街"的看法。
64、如何看待目前的中东、北非局势。
65、玉皇大帝与如来佛哪个大？
66、生物学与我们的生活有什么联系？
67、是如何认识《进化论》的？
68、上海距离国际金融中心有多远？
69、你看过《诗经》原著吗？
**2013年自主招生面试考题**
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1.上联是："北京雾霾，遮天蔽日，沁入心脾"，请对下联。
2.为什么动物的头都是圆的?
3.PM2.5如何测量?
4.能否通过新材料来帮助聋哑儿童?
5.太湖蓝藻跟哪些化学元素有关?
追问：生活中接触到的哪些物品包含这些元素?
**2012年上海交大自主招生部分面试题**
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1、有没有一件事情让你感到愤怒或悲伤或委屈或难过，请描述。
2、请用十个词形容自己;如果请某一位你的同学形容你，他会怎么说。
3、是时代造就英雄还是英雄造就时代?
4、除学习外，你花时间最多的是什么?
5、请你列举一种清洁能源的搜集、转换和应用的过程。
6、请你描述十年后的今天的情形。
7、有人把人生比作是一条曲线，你会如何描述这条曲线?
8、请举例说明你学习新知识的情形以及你如何养成一个好习惯。
9、给你一杯三升的水和一杯五升的水，如何倒出四升的?
10、谈谈你对活熊取胆事件的看法。
11、PM2.5是什么?如何治理方法?
12、你知道哪些民间公益环保组织，他们有什么积极意义?
13、谈谈你在经济生活中扮演的角色。
14、你怎么看待人民币升值?
15、交通拥堵费该不该收?为什么?
16、如果你是外星人，你在地球上待了一段时间要回去了，你最想带回去的东西是什么?为什么?
17、谈谈中药和西药的差别。
18、你如何看待医患关系紧张?
19、走出交大后，怎样的你是成功的?
20、你即将毕业，有两个机会：一个是去西部地区的能源企业，国家重点行业，可以大大施展才华，而另一个是留在上海，一家外企，生活安逸，请问你将作出何种选择，为什么?
**2010年上海交通大学自主招生面试题**
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面试时5名考生一组，每人先用1分钟时间阐述同一个问题,然后在余下的半个小时里，小组成员一起讨论另一问题。
- 如果进入交大，交大能为你带来什么?你能为交大带来什么?
- 对于谷歌退出中国，你们怎么看?
- 你对火车票实名制的看法。
- 请对海地地震、汶川地震发表自己的看法。
**2009年上海交通大学自主招生面试题**
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- 三国演义中谁的名字是双名?
- 你眼中的'90后'是什么样的?
- 天空为什么是蓝色?干净的海水为什么是绿色?
- 如何杜绝大头娃娃、三鹿等类似事件?
- 近期温家宝总理在剑桥大学演讲被打断，你如何看待?
- 妈妈做的哪些事对你产生很大影响?
- 假如你是中学校长，为实施素质教育你将首先做哪几件事?
- 北京奥运会有什么负面影响?
- 2008年发生了什么大事?
- 明年上海将举行世博会，口号是什么?你觉得你将在其中扮演什么角色?
- 此次金融危机是金融还是经济先开始出现问题?
- 对衢州人懒、经济落后的说法有什么看法?
- 成绩考差了怎么办?
- 对大学有什么期望?
- 如果发现不符合期望怎么办?
- 找工作时，看重薪水还是专业对口?
- \"范跑跑\"现象你如何看待?
- 如何看待\"人肉搜索\"现象?
- 某医生在工作了一年后转行到了银行，对此有何看法?
- 如果你是老板，有200名员工，在金融危机下，你会怎样裁员?
- 一个铺好地板的房间水管铺错了，在不弄坏地板的情况下，如何确定水道走向?
- 大学毕业后，你面临两份工作：一份专业对口而工资很低，一份专业不对口而工资较高，你怎么选择?
四川大学（2013）
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2013年自主招生面试
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参加面试的考生被分成了上午38组、下午38组，每组20人。
每个人的面试时间为12分钟，首先是1分钟的自我介绍，然后考生需抽取两道题目，选择其中一道作答，3名考官还会围绕题目或自我介绍内容随机提问。今年的面试题目不分文理科，内容包罗万象，但大多紧贴现实热点。
- 要不要扶起摔倒的老人
- 如何看待香港奶粉限购令
- 你认为莫言是最优秀的作家么？
- 什么是绿色GDP
- 中国文化软实力如何输出
- 该怎么解决婆媳问题"
南京大学（2013）
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2013年自主招生面试
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1.母狮子养了一只小羚羊，你觉得为什么？
2.百家讲坛一开始都是请杨振宁等物理学家讲授专业的物理学知识，可是在最火的时候却是请易中天、于丹等学者讲授传统的中国传统文化知识，你怎么看？
3.说出地壳结构中最多的前五位元素。
4\. 清明节有哪些习俗？
5.如果让你安排清明节的节目，你会安排什么？
6.光速不变的原理。
7.国家的GDP怎么算？
9.你觉得中国的经济能超过美国吗？
10.中国有四大发明，如果选出第五大发明，你觉得是什么？
11.能用若干个不同的小正方形组成一个大正方形吗？
12\. 你对《哥特巴赫的猜想》怎么看？
13\. 对越来越多的家长送学生出国说说你的看法。
14.大学生书面用语不规范你怎么看？
15.网络信息对经典名著造成的冲击，你怎么看？
17.从物理和人文的角度谈谈"惯性"一词。
18.中国文明从石器、青铜器、铁器一步步的进化，你怎么看？
19.二氧化碳含量上升，海水酸度上升，会有什么影响，国家应该怎么办？
20.中国的传统节日有哪些？
1、常有人把单词"Chemistry"拆分为chem is try，谈谈你的看法。
2、有人说一切历史都是当代史，谈谈你的看法。
3、跟正方形四条边都能构成等腰三角形的点有多少个？在同一个平面内有多少个？
4、微波炉门上常加有铁丝网格，能起什么作用？手机在铁盒里为什么就听不到铃声？
5、说说四大文明古国有哪些思想家。
6、对吴仁宝的华西村模式，谈谈理解和看法。
7、说说SARS和H7N9的关系，以及区别。
8、简述光电效应，第一个因研究光子而获得诺贝尔奖的是谁？
12、对爱因斯坦相对论的理解。
13、"人生而平等，但又无时无刻不在枷锁之中"你怎么看？
**中山大学**（2015-2013）
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2015年中山大学
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中山大学2015年首次取消了统一笔试环节。8200多考生提交报名材料，1400多人获得面试资格。中大招办透露，预计600名左右的考生将获得自主招生候选资格。中大2015年计划招收7730名本科生。
其中第一轮面试表现突出的30名考生将进入15日的第二轮深度面试---------如果二面通过，这些考生高考成绩只需达到一本线即可被中山大学录取。
面试形式：由不少于5名专家组成一组，采用"小组面试"方式，通过考生自我介绍、随机抽题、发表不同观点、讨论辩论等方式来考察学生知识结构、思辨能力、阅读能力、合作能力和价值观念等。
部分面试真题：
雷军(小米)和董明珠(格力)的'赌局'你怎么看？
公务员工资该不该涨？
支不支持大学生 创业？
如果采访'一带一路'沿线国家最想采访哪一个，为什么？
2014年中山大学自主招生面试题
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1.如果你是苹果公司CEO，你会收购哪个公司？
2.长生不老有可能实现吗？会不会带来老龄化的问题？
3.科学发展滚滚向前，武侠小说武功今不胜昔，你怎么看？
4.如果你要创业，想在哪个朝代？
5.对"女汉子"这个词，谈谈你的看法？
6.谈谈你对"小资"的看法。
7.你是否知道马航客机失联事件，怎样看待这一让人揪心的事情？
8.你怎样看待在转基因问题上方舟子与崔永元的骂战？
9.老年人摔倒该不该扶？
10.谈谈你对昆明火车站暴恐案的看法？
11.微信是拉开还是增进了人与人的距离？
2013年自主招生面试题
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1.上应否取消计划生育？
2.有关婚姻的娱乐节目是否应该取消？
3.PM2.5如何测量？
4.在宠物犬和猎犬之间你选择做哪一个
5.北京和上海都有雾霾，哪个城市的雾霾程度更严重？为什么？
6.Iphone、facebook新技术对生活有哪些影响？
2012年中山大学自主招生面试题
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"请你谈谈云计算？"
"谈谈你对'穿越'的看法。"
"活熊取胆不人道，那么用小白鼠做实验就人道吗？"
"请你为伦敦奥运会开幕式设计一个火炬的点火方式。"
"三好学生应不应该取消？"
"如果你是政协委员，你会提什么议案？"
"你对温家宝'十一五'没有继续'保八'的看法？"
"你怎么看普京第三次当选？"
"PM2.5的检测说明什么？"
"你最美的梦境是什么？"
2011年中山大学自主招生面试题
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你怎么看待开心农场的偷菜行为？\"
如何看待\"偷菜\"改为\"摘菜\"？
假如没有光纤会怎样？
谈谈太空旅游。
设想一种自主招生的模式。
你怎么看chimerica（中美国）这个单词？
孔子、苏东坡名言有哪些？
谈谈对孔子\"己欲立而立人，己欲达而达人\"这句话的理解。
自主招生\"神题\"
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教育学者、21世纪教育研究院副院长熊丙奇认为，高校出这些怪题是"跑偏"了的表现，从这些题目上，看不出跟学校的人才培养特色有什么关系，而考生的能力主要是通过学生在日常学习生活中的积累、通过对话来展现。"在我看来，这些考题的质量并不高，除了'神化'自主招生，增加考生的焦虑之外，并没有多大的价值。"
华南理工大学
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（考题由第三方机构命题）
- 500G的电影拷到U盘上，U盘的重量会不会增加？
- 《西游记》里一共有多少个妖怪？
- 哥本哈根和哈根达斯有什么区别
- 你上一次哭是为什么？
- 杜甫到底忙不忙
- 你幸福吗？
- 怎么把斧头卖给习近平"
- 馒头与面包打架，你怎么看？
**参考意见：**
1.面包和馒头原料都是面粉，文学角度可以从"本是同根生，相煎何太急"拓展；
2.中外对比角度可以从中外文化或者产品在市场的竞争拓展；
3.材料分析角度可以从两者"打架"时材料的硬度、"四两拨千斤"拓展；
4.食品保质期对比或生物的角度可以从两者含水量、细菌培养载体等拓展；
5.环保角度可以从制作馒头和面包消耗的能量等方面对比拓展；
7.营养的角度，可以对比馒头和面包哪个更利于健康。
- 牛顿因被苹果砸到脑袋而发现了万有引力定律。若当时牛顿被砸傻了，那么这个世界会有是什么改变？"
- "在非洲草原上，一只大象把蚂蚁踩骨折了，如何使蚂蚁康复？
- 你对新组建的政府有什么看法？"
- 苹果公司于4月1日对霸王条约发表道歉声明，谈谈你的看法。
- 你对房叔房婶房爷有什么看法？
不知名高校
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- 核战爆发以后，在某地有一防护罩，进入者可活命，但防护罩只能进入5个人，剩下警察、医生、孕妇、小男孩、科学家、小说家、流行歌手、小偷8个人，选出其中5人进入防护罩。请罗列这5个人的身份。
- 有一位学生，家庭非常困难，大学毕业之际，他有机会申请公费去国外留学，请问他应该申请出国还是找工作?
- 中国老龄化问题越来越严重，通过什么样的方式能够缓解这一现状?
- 如来佛祖和玉皇大帝谁大？
- 鸟叔名字翻译成中文叫啥？
- 孔子老子打架你帮谁？
- 如果你是法海，会阻挡许仙和白娘子的爱情吗？
- 灰太狼不吃喜羊羊，改吃草后，会怎么样？
- 如果外星人来地球会带走(来)什么？
厦门大学
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昨日的面试其实很简单，每位考生只考三道题------两道综合素质题，一道依据文理科，分别为自然科学题和人文社科题，总共15分钟。
- 太空马桶排便的原理？
- 如果一只苍蝇飞到瓶子中，没有着壁，它会不会增加瓶子的重量？
- 说出食盐水和蔗糖水至少四种辨别方法，口尝除外；
- 如何让鸡蛋竖立在桌子上？
- 飞行器的减速装置？
- 白酒为何越久越醇？
- "吃什么，补什么"对吗？
- 通货膨胀会对社会造成什么样影响
- 对"先看病后付费"有何看法
- 大学里如何处理恋爱和学业的矛盾
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**小学奥数必须掌握的30个知识模块**
1．和差倍问题
和差问题 和倍问题 差倍问题
已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数
公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系
公式 ①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题 求出同一条件下的
和与差 和与倍数 差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个"单一量"，题目一般用"照这样的速度"......等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树
基本公式 棵数=段数＋1
棵距×段数=总长 棵数=段数－1
棵距×段数=总长 棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：假设每头牛吃草的速度为"1"份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n\>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=\[n/m \]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：\[X\]表示不超过X的最大整数。
例\[4.351\]=4；\[0.321\]=0；\[2.9999\]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1) ×公差；
数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用
十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+......+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+......+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法......，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2\...\.... +mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法......不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2\...\.... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+...+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+...+（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+...+行数×列数
15．质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3......an都是合数N的质因数，且a1\<a2\<a3\<......\<an。
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×......×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48......；
18的倍数有：18、36、54、72......；
那么12和18的公倍数有：36、72、108......；
那么12和18最小的公倍数是36，记作\[12，18\]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法
17．数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b\|a。
2、常用符号：整除符号"\|"，不能整除符号""；因为符号"∵"，所以的符号"∴"；
二、整除判断方法：
1\. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2\. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3\. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4\. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5\. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6\. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7\. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1\. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2\. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3\. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4\. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18．余数及其应用
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q......r，且0\<r\<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c\|a-b或c\|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19．余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m\|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位"1"平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位"1"平均分成几份，表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21．分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
22．分数拆分
一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：
① =+；
②=+（d为自然数）；
23．完全平方数
完全平方数特征：
1\. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2\. 除以3余0或余1；反之不成立。
3\. 除以4余0或余1；反之不成立。
4\. 约数个数为奇数；反之成立。
5\. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6\. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7\. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。
比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
25．综合行程
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26．工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为"1"（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评：合久必分，分久必合。
27．逻辑推理
基本方法简介：
①条件分析---假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
②条件分析---列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③条件分析------图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示"是，有"等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
28．几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
常用方法：
1\. 连辅助线方法
2\. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
3\. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4\. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29．立体图形
名称 图形 特征 表面积 体积
长
方
体 8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等； S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正
方
体 8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等； S=6a2 V=a3
圆
柱
体 上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形； S=S侧+2S底
S侧=Ch V=Sh
圆
锥
体 下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离； S=S侧+S底
S侧=rl V=Sh
球
体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 S=4r2 V=r3
30．时钟问题---快慢表问题
基本思路：
1、 按照行程问题中的思维方法解题；
2、 不同的表当成速度不同的运动物体；
3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、 时间是标准表所经过的时间；
合理利用行程问题中的比例关系；
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**北师大版小学二年级下册数学第一单元《除法》单元测试2（附答案）**一、 。(20分)
1．30÷7=( )......( )。
2．57里面最多有( )个9，还余( )。
3．在有余数的除法中，余数不能( )或( )除数。
4．□÷6=□......□，余数最大能填( )。
5．36是4的( )倍。9的3倍是( )。
6．26名同学去划船，一条船最多能坐4名同学，要租( )条船。
二、 。(10分)
1．△÷5=7......□，□里最大可以填( )。
A．6 B．5 C．4
2．余数是2的算式是( )。
A．30÷7 B．67÷9 C．54÷6
3．有4盒乒乓球，每盒装8个，求一共有多少个乒乓球。正确的算式是( )。
A．4×8=32(个)
B．4＋8=12(个)
C．8÷4=2(个)
4．下面计算错误的是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．34÷5=6......4
B．55÷8=7......1
C．41÷7=5......6
5．从45里面连续减6，最多可以减( )次。
A．6 B．7 C．8
三、 。(12分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.
□÷□=□(盘)......□(个) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
□÷□=□(个)......□(个)
2.
□÷□=□(束)......□(个)
□÷□=□(个)......□(个)
四、 。(18分)
五、 。(8分)
32÷7 58÷9 76÷8 19÷8
余数是3 余数是4
34÷5 45÷6 18÷5 66÷7
六、 。(8分)
1．50里面有几个7？还多几？
2．从40里面减去24除以4的商，差是多少？
七、 。(24分)
1．一本书有50页，小明已经看了26页，剩下的他想4天看完。算一算，他平均每天要看几页？
2．为庆祝祖国61岁生日，学校举行文艺会演。参加演出的男同学有9人，女同学有35人。参加演出的女同学人数是男同学的几倍？还多几人？
3．23名同学租车去水立方游玩，每辆车准乘4人，需要租几辆车？
。(10分)
公园里有一串彩灯共80盏。按2盏红灯、3盏黄灯、4盏绿灯的顺序排列，最后一盏灯是什么颜色？
**参考答案**
一、1．4 2
2．6 3
3．大于 等于
4．5
5．9 27
6．7
二、1．C 2．A 3．A 4．B 5．B
三、1．14÷4=3(盘)......2(个) 14÷3=4(个)......2(个)
2．19÷9=2(束)......1(个) 19÷2=9(个)......1(个)
四、9......3 9......6 9 8......8 8......4 5......7
五、
六、1．50÷7=7......1 2．40－24÷4=34
七、1．(50－26)÷4=6(页)
2．35÷9=3(倍)......8(人)
3．23÷4=5(辆)......3(人) 5＋1=6(辆)
附加题：2＋3＋4=9(盏) 80÷9=8......8(盏) 绿色
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**2015年安徽省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）**
1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（ ）
A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁~U~B）=（ ）
A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}
3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=lnx B．y=x^2^+1 C．y=sinx D．y=cosx
5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x^2^﹣=1 B．﹣y^2^=1 C．x^2^﹣=1 D．﹣y^2^=1
7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）直线3x+4y=b与圆x^2^+y^2^﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（ ）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2
10．（5分）函数f（x）=ax^3^+bx^2^+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
**二、填空题**
11．（3分）lg+2lg2﹣（）^﹣1^=[ ]{.underline}．
12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=[ ]{.underline}．
13．（3分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n~=a~n﹣1~+（n≥2），则数列{a~n~}的前9项和等于[ ]{.underline}．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为[ ]{.underline}．
15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是[ ]{.underline}．（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．
**三、解答题**
16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）^2^+2cos^2^x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为\[40，50\]，\[50，60\]，...，\[80，90\]，\[90，100\]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在\[40，60\]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在\[40，50\]的概率．
18．已知数列{a~n~}是递增的等比数列，且a~1~+a~4~=9，a~2~a~3~=8．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设S~n~为数列{a~n~}的前n项和，b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
**2015年安徽省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）**
1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（ ）
A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．
【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁~U~B）=（ ）
A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}
【分析】进行补集、交集的运算即可．
【解答】解：∁~R~B={1，5，6}；
∴A∩（∁~R~B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．
故选：B．
【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．
3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．
【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，
所以p是q成立的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=lnx B．y=x^2^+1 C．y=sinx D．y=cosx
【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．
【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；
对于B，是偶函数，但是不存在零点；
对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；
对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．
5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．
【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故选：A．
【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．
6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x^2^﹣=1 B．﹣y^2^=1 C．x^2^﹣=1 D．﹣y^2^=1
【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．
【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±x，
由A可得渐近线方程为y=±2x，
由B可得渐近线方程为y=±x，
由C可得渐近线方程为y=x，
由D可得渐近线方程为y=x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，n=1
满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=，n=2
满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=，n=3
满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=，n=4
不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）直线3x+4y=b与圆x^2^+y^2^﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（ ）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．
【解答】解：由圆x^2^+y^2^﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1，
∴圆心坐标为（1，1），半径为1，
∵直线3x+4y=b与圆x^2^+y^2^﹣2x﹣2y+1=0相切，
∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，
即，解得：b=2或b=12．
故选：D．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2
【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，
可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，
运用面积求解即可．
【解答】解：∵
∴
三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=
∴AB⊥BC，
∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，
S~△OAC~=S~△ABC~==1，
S~△OAB~=S~△OBC~=×^2^=
该四面体的表面积：2，
故选：C．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．
10．（5分）函数f（x）=ax^3^+bx^2^+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．
【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax^2^+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x~1~+x~2~=﹣＞0且x~1~x~2~=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax^2^+2bx+c，
由图象知当当x＜x~1~时函数递增，当x~1~＜x＜x~2~时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x~1~+x~2~=﹣＞0且x~1~x~2~=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．
**二、填空题**
11．（3分）lg+2lg2﹣（）^﹣1^=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
【解答】解：lg+2lg2﹣（）^﹣1^
=lg5﹣lg2+2lg2﹣2
=lg5+lg2﹣2
=1﹣2
=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．
12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=[ 2 ]{.underline}．
【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．
13．（3分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n~=a~n﹣1~+（n≥2），则数列{a~n~}的前9项和等于[ 27 ]{.underline}．
【分析】通过a~n~=a~n﹣1~+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．
【解答】解：∵a~n~=a~n﹣1~+（n≥2），
∴a~n~﹣a~n﹣1~=（n≥2），
∴数列{a~n~}的公差d=，
又a~1~=1，
∴a~n~=1+（n﹣1）=，
∴S~9~=9a~1~+•d=9+36×=27，
故答案为：27．
【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．
【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，
所以2a=﹣1，解得a=﹣；
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．
15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是[ ①④⑤ ]{.underline}．（写出所有正确结论得序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．
【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．
【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，
则=，AB=2，所以\|\|=1，即是单位向量；①正确；
因为=2，所以，故\|\|=2；故②错误；④正确；
夹角为120°，故③错误；
⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．
**三、解答题**
16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）^2^+2cos^2^x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）^2^+2cos^2^x
=sin^2^x+2sinxcosx+cos^2^x+2cos^2^x
=1+sin2x+1+cos2x
=sin（2x+）+2，...（4分）
所以f（x）的最小正周期为T=π；...（6分）
（Ⅱ）由0≤x≤得，
0≤2x≤π，
所以≤2 x+≤；...（8分）
根据正弦函数y=sinx的图象可知
当时，f（x）有最大值为2+，...（11分）
当时，f（x）有最小值为1．...（13分）
【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为\[40，50\]，\[50，60\]，...，\[80，90\]，\[90，100\]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在\[40，60\]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在\[40，50\]的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评分在\[40，60\]的受访职工和评分都在\[40，50\]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在\[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A~1~，A~2~，A~3~；
受访职工评分在\[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B~1~，B~2~．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别是{A~1~，A~2~}，{A~1~，A~3~}，{A~1~，B~1~}，{A~1~，B~2~}，{A~2~，A~3~}，{A~2~，B~1~}，{A~2~，B~2~}，{A~3~，B~1~}，{A~3~，B~2~}，{B~1~，B~2~}，
又因为所抽取2人的评分都在\[40，50）的结果有1种，即{B~1~，B~2~}，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．
18．已知数列{a~n~}是递增的等比数列，且a~1~+a~4~=9，a~2~a~3~=8．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设S~n~为数列{a~n~}的前n项和，b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a~n~}的通项公式；
（2）求出b~n~=，利用裂项法即可求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【解答】解：（1）∵数列{a~n~}是递增的等比数列，且a~1~+a~4~=9，a~2~a~3~=8．
∴a~1~+a~4~=9，a~1~a~4~=a~2~a~3~=8．
解得a~1~=1，a~4~=8或a~1~=8，a~4~=1（舍），
解得q=2，即数列{a~n~}的通项公式a~n~=2^n﹣1^；
（2）S~n~==2^n^﹣1，
∴b~n~===﹣，
∴数列{b~n~}的前n项和T~n~=+...+﹣=﹣=1﹣．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
【分析】（1）利用V~P﹣ABC~=•S~△ABC~•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．
【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S~△ABC~==．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以V~P﹣ABC~=•S~△ABC~•PA=；
（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，
从而NC=AC﹣AN=．
由MN∥PA得==．
【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；
（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．
【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且\|BM\|=2\|MA\|，
∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），
解得x=a，y=b，即M（a，b），
又∵直线OM的斜率为，∴=，
∴a=b，c==2b，
∴椭圆E的离心率e==；
（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，
∴N（，﹣），∴=（，），
又∵=（﹣a，b），
∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a^2^+=（5b^2^﹣a^2^），
由（1）可知a^2^=5b^2^，故•=0，即MN⊥AB．
【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．
21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；
（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），
∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．
又∵f（x）==，
∴f′（x）==，
∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；
因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；
（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，
∴x=r是f（x）的极大值点，
∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．
【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．
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2017年杭州市中考试卷
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一．选择题
1．-2²=（ ）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
2．太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学计数法表示为（ ）
A．1.5×10^8^ B．1.5×10^9^ C．0.15×10^9^ D．15×10^7^
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
4．\|1+\|+\|1-\|=（ ）\[来源:学科网\]
A．1 B． C．2 D．2
5．设x，y，c是实数，（ ）\[来源:Zxxk.Com\]
A．若x=y，则x+c=y-c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
6．若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x-1＜0 C．＜-1 D．-2x＜12
7．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1-x）=10.8
C．10.8（1+x）^2^=16.8 D．10.8\[（1+x）+（1+x）²\]16.8
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）
A．l~1~:l~2~=1:2，S~1~:S~2~=1:2  B．l~1~:l~2~=1:4，S~1~:S~2~=1:2
C．l~1~:l~2~=1:2，S~1~:S~2~=1:4 D．l~1~:l~2~=1:4，S~1~:S~2~=1:4
9．设直线x=1是函数y=ax²+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）
A．若m＞1，则（m-1）a+b＞0
B．若m＞1，则（m-1）a+b＜0
C．若m＜1，则（m-1）a+b＞0
D．若m＜1，则（m-1）a+b＜0
10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E位AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D，设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x-y²=3 B．2x-y²=9 C．3x-y²=15 D．4x-y²=21
二．填空题
11．数据2，2，3，4，5的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_
12．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT=40°，则∠ATB=\_\_\_\_\_\_\_\_
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_
14．若，则m=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于\_\_\_\_\_\_\_
\[来源:学,科,网\]
16．某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克。三天全部售完，共计所得270元，若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉\_\_\_\_\_\_\_\_千克。（用含t的代数式表示。）
三．解答题
17．为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）。
（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；
（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数。
18．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）。
（1）当-2＜x≤3时，求y的取值范围
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m-n=4，求点P的坐标。
19．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC。
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值。
20．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y。
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么?
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG。\[来源:学科网\]
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长。
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y~1~=（x+a）（x-a-1），其中a≠0。
（1）若函数y~1~的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y~2~=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x~0~，m）和Q（1，n）在函数y~1~的图象上，若m＜n，求x~0~的取值范围。
23．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
--- ------ ------ ------ ------
ɑ 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
--- ------ ------ ------ ------
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长。
\[来源:学\|科\|网\]
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> **小学一年级数学下册第三次月检测试题**
**一、直接写得数：**
**27 + 14 = 72 --19 = 43 --30 = 70 + 26=**
**59 -- 15 = 70 + 18 = 16 + 28 = 24+ 54 = 18 + 34 -29= 63--15 +27= 40+ 18-12=**
**二、填一填：**
**1、99第一个9是（ ）个（ ）第二个9是（ ）个（ ）。**
**2、79是由( )个十和( )个一组成。**
**3、与59 相邻的数是（ ）和（ ）。**
**4、钟面上长针叫（ ）针，短针叫（ ）针。**
**5、2元7角 = （ ）角1元 =（ ）角1米=（ ）厘米**
**6、读数和写数都从（ ）位起，从右边起第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（ ）位。**
**7、找规律。10、15、20、（ ）、（ ）。**
**8、用竖式计算时（ ）要对齐，先从（ ）位算起；当个位相加满十时要向（ ）进一；当个位不够减时，向（ ）位退一；笔算连加连减和加减混合时，要从（ ）到右。**
**9、一张桌子高80（ ），黑板长约4（ ）。**
**10、60里面有（ ）个十，50里面有（ ）个十。**
**11、8个十是（ ），10个十是（ ）。**
**12、（ ）个十是90，（ ）个十是40。**
**13、九十九后面一个数是（ ） 。**
**14、写出三个个位上是4的两位数（ ）（ ）（ ）。**
**15、比78大1的数是（ ）；比100小1 的数是（ ）；**
**16、50比（ ）大1，比（ ）小1。**
**17、1元=（ ）角 1角=（ ）分18角=（ ）元（ ）角 **
**16分=（ ）角（ ）分 2角9分=（ ）分 60分=（ ）角**
**三、在O里 填〈 、 〉、 = 。**
**78 --8 O78 --50 35 +50O35 +5 1元O100分**
**49 +4O49 +40 57 + 7O60 + 4 4角8分O50分**
**48 + 6O52 --8 23 +7 O2 +26 20厘米O2米**
**四、我会用竖式计算**
**26 + 13= 73 -- 17= 63 + 29=**
**49+16-37= 69--17+18= 53--24+26 =**
**五、列式计算**
**1、一个加数是38，另一个加数是27，和是多少？**
**2、减数是19，被减数是91，差是多少？**
**3、75比57多多少？**
**4、一个数加13是60，这个数是多少？**
**六、应用题**
**1、小明有50元钱，买了一个书包花了34元，买了一本故事书花了8元，小明还剩多少元钱？**
**2、树上结了许多桃子。小猴摘了9个，还剩45个，树上原来有多少个桃子？**
**3、操场上原来有92个同学，走了27个，又来了15个。现在一共有多少个同学？**
**4、小芳今年10岁了，小芳的妈妈今年38岁了。你能提出什么问题？并列式计算。**
**5、踢毽子比赛开始了，小明踢了47个，小芳踢的是最大的两位数，小芳比小明多踢了多少个？**
**七、动手画一画：**
**1、画一条4厘米长的线段。**
**2、把本册书学到的平面图形画一画。**
> **小学一年级数学下册5月份测试题答案及评分标准:**
**一、直接写得数：（共11分，每小题1分）**
**27 + 14 =41 72 --19 =53 43 --30 =13 70 + 26=96**
**59 -- 15 =44 70 + 18 =88 16 + 28 =44 24+ 54 =78 18 + 34 -29=23 63--15 +27=75 40+ 18-12=46**
**二、填一填：（共24分，每空0.5分）**
**1、99第一个9是（9）个（10）第二个9是（9）个（1）。**
**2、79是由(7)个十和(9)个一组成。**
**3、与59 相邻的数是（58）和（60）。**
**4、钟面上长针叫（分）针，短针叫（时）针。**
**5、2元7角 =（27）角，1元=（10）角，1米=（100）厘米。**
**6、读数和写数都从（高）位起，从右边起第一位是（个）位，第二位是（十）位，第三位是（百）位。**
**7、找规律。10、15、20、（25）、（30）。**
**8、用竖式计算时（相同数位）要对齐，先从（个）位算起；当个位相加满十时要向（十）进一；当个位不够减时，向（十）位退一；笔算连加连减和加减混合时，要从（左 ）到右。**
**9、一张桌子高80（厘米），黑板长约4（米）。**
**10、60里面有（6）个十，50里面有（5）个十。**
**11、8个十是（80），10个十是（100）。**
**12、（9）个十是90，（4）个十是40。**
**13、九十九后面一个数是（100） 。**
**14、写出三个个位上是4的两位数（14）（24）（34）。**
**15、比78大1的数是（79）；比100小1 的数是（99）；**
**16、50比（49）大1，比（51）小1。**
**17、1元=（10）角，1角=（10）分，18角=（1）元（8）角。**
**16分=（1）角（6）分 2角9分=（29）分 60分=（6）角**
**三、在O里 填〈 、 〉、 = 。（共9分，每小题1分）**
**78--8 〈 78 --50 35 +5 〉35 +5 1元=100分**
**49 +4〈49 +40 57 + 7= 60 + 4 4角8分〈50分**
**48 + 6〉52 --8 23 +7 〉2 +26 20厘米〈2米**
**四、我会用竖式计算（共18分，每小题3分）**
**26 + 13= 39 73 -- 17=56 63 + 29=92**
**26 73 63**
**+ 13 \_17 +29**
[ ]{.underline} [ ]{.underline} **[、]{.underline}**
**39 56 92**
**49+16-37= 27 69--17+18=70 53--24+26 =**
**49 6 9 5 3**
**+ 16 \_1 7 ---2 4**
**[、]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}**
**65 5 2 2 9**
**[\_ 37]{.underline} [+ 1、8]{.underline} + 2 6**
**27 7 0 [、]{.underline}**
**5 5**
**五、列式计算（共8分，每小题2分）**
**1、一个加数是38，另一个加数是27，和是多少？**
38+27=65
**2、减数是19，被减数是91，差是多少？**
**91-19=72**
**3、75比57多多少？**
**75-57=18**
**4、一个数加13是60，这个数是多少？**
**60-13=47**
**六、应用题（共20分，每小题4分）**
**1、小明有50元钱，买了一个书包花了34元，买了一本故事书花了8元，小明还剩多少元钱？**
**50元-34元-8元=8元**
**2、树上结了许多桃子。小猴摘了9个，还剩45个，树上原来有多少个桃子？**
**9+45=54（个）**
**3、操场上原来有92个同学，走了27个，又来了15个。现在一共有多少个同学？**
**92-27+15=80（个）**
**4、小芳今年10岁了，小芳的妈妈今年38岁了。你能提出什么问题？并列式计算。**
**妈妈比小芳大多少岁？**
**38-10=28（岁）（也可提别的）**
**5、踢毽子比赛开始了，小明踢了47个，小芳踢的是最大的两位数，小芳比小明多踢了多少个？**
**99-47=52（个）**
**七、动手画一画：（共10分，每小题5分）**
**1、画一条4厘米长的线段。**
**------------------（要有端点）**
**2、把本册书学到的平面图形画一画。**
**（五种基本图形）**
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**2015-2016学年五校联考九年级（下）第一次月考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）**
1．2015的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了"300000公里正线运动考核"标志着中国高速快车从"中国制造"到"中国创造"的飞跃，将300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×10^5^ B．3×10^4^ C．0.3×10^5^ D．30×10^4^
3．下列计算正确的是（ ）
A．a^2^a^3^=a^5^ B．a^2^+a^3^=a^5^ C．（a^3^）^2^=a^5^ D．a^3^÷a^2^=1
4．下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
5．若a、b为实数，a＞0，b＜0，且\|a\|＜\|b\|，那么下列正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
6．一元二次方程2x^2^+3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．将抛物线y=x^2^向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+2）^2^﹣3 B．y=（x+2）^2^+3 C．y=（x﹣2）^2^+3 D．y=（x﹣2）^2^﹣3
8．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax^2^+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A~1~，A~2~，A~3~...都在x轴上，点B~1~，B~2~，B~3~...都在直线y=x上，△OA~1~B~1~，△B~1~A~1~A~2~，△B~2~B~1~A~2~，△B~2~A~2~A~3~，△B~3~B~2~A~3~...都是等腰直角三角形，且OA~1~=1，则点B~2015~的坐标是（ ）
A．（2^2014^，2^2014^） B．（2^2015^，2^2015^） C．（2^2014^，2^2015^） D．（2^2015^，2^2014^）
**二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）**
11．在函数中，自变量x的取值范围是[ ]{.underline}．
12．分解因式：a^2^﹣4b^2^=[ ]{.underline}．
13．一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是[ ]{.underline}．
14．设x~1~、x~2~是一元二次方程x^2^﹣5x﹣1=0的两实数根，则x~1~^2^+x~2~^2^的值为[ ]{.underline}．
15．已知二次函数y=（x﹣2）^2^+3，当x[ ]{.underline}时，y随x的增大而减小．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共10小题，共86分）**
17．计算：\|﹣3\|﹣（5﹣π）^0^+．
18．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）^2^，其中a=﹣1，b=．
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20．解分式方程： +=1．
21．为开展"争当书香少年"活动，小石对本校部分同学进行"最喜欢的图书类别"的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被调查的学生共[ ]{.underline}人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为[ ]{.underline}度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢"文史类"图书的学生有[ ]{.underline}人．
22．小颖和小丽做"摸球"游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
23．如果抛物线y=ax^2^+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x^2^+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x^2^+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
24．某物流公 司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
25．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
26．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x^2^+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
**2015-2016学年五校联考九年级（下）第一次月考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）**
1．2015的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2015的相反数是：﹣2015，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了"300000公里正线运动考核"标志着中国高速快车从"中国制造"到"中国创造"的飞跃，将300000用科学记数法表示为（ ）
A．3×10^5^ B．3×10^4^ C．0.3×10^5^ D．30×10^4^
【考点】科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：300000=3×10^5^，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a^2^a^3^=a^5^ B．a^2^+a^3^=a^5^ C．（a^3^）^2^=a^5^ D．a^3^÷a^2^=1
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算法则分别计算得出即可．
【解答】解：A、a^2^a^3^=a^5^，正确；
B、a^2^+a^3^无法计算，故此选项错误；
C、（a^3^）^2^=a^6^，故此选项错误；
D、a^3^÷a^2^=a，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4．下列事件中，必然事件是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
【考点】随机事件．
【分析】必然事件是指一定会发生的事件．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；
B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；
C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；
D、抛出的篮球会下落是必然事件．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．
5．若a、b为实数，a＞0，b＜0，且\|a\|＜\|b\|，那么下列正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
【考点】绝对值．
【分析】根据题意取a=2，b=﹣3，求出a+b=﹣1，再比较即可．
【解答】解：∵\|b\|＞\|a\|，且a＞0，b＜0，
∴取a=2，b=﹣3，
∴a+b=﹣1，
故选A．
【点评】本题有理数的大小比较的应用，采取了取特殊值法．
6．一元二次方程2x^2^+3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵△=3^2^﹣4×2×1=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
7．将抛物线y=x^2^向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+2）^2^﹣3 B．y=（x+2）^2^+3 C．y=（x﹣2）^2^+3 D．y=（x﹣2）^2^﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x^2^的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=x^2^的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）^2^﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把点（a，b）代入反比例函数y=求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点（a，b）反比例函数y=上，
∴b=，即ab=2，
∴原式=2﹣4=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax^2^+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax^2^+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax^2^+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax^2^+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax^2^+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A~1~，A~2~，A~3~...都在x轴上，点B~1~，B~2~，B~3~...都在直线y=x上，△OA~1~B~1~，△B~1~A~1~A~2~，△B~2~B~1~A~2~，△B~2~A~2~A~3~，△B~3~B~2~A~3~...都是等腰直角三角形，且OA~1~=1，则点B~2015~的坐标是（ ）
A．（2^2014^，2^2014^） B．（2^2015^，2^2015^） C．（2^2014^，2^2015^） D．（2^2015^，2^2014^）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据OA~1~=1，可得点A~1~的坐标为（1，0），然后根据△OA~1~B~1~，△B~1~A~1~A~2~，△B~2~B~1~A~2~，△B~2~A~2~A~3~，△B~3~B~2~A~3~...都是等腰直角三角形，求出A~1~A~2~，B~1~A~2~，A~2~A~3~，B~2~A~3~...的长度，然后找出规律，求出点B~2015~的坐标．
【解答】解：∵OA~1~=1，
∴点A~1~的坐标为（1，0），
∵△OA~1~B~1~是等腰直角三角形，
∴A~1~B~1~=1，
∴B~1~（1，1），
∵△B~1~A~1~A~2~是等腰直角三角形，
∴A~1~A~2~=1，B~1~A~2~=，
∵△B~2~B~1~A~2~为等腰直角三角形，
∴A~2~A~3~=2，
∴B~2~（2，2），
同理可得，B~3~（2^2^，2^2^），B~4~（2^3^，2^3^），...B~n~（2^n﹣1^，2^n﹣1^），
∴点B~2015~的坐标是（2^2014^，2^2014^）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）**
11．在函数中，自变量x的取值范围是[ x≥4 ]{.underline}．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4，
则自变量x的取值范围是x≥4．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．分解因式：a^2^﹣4b^2^=[ （a+2b）（a﹣2b） ]{.underline}．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a^2^﹣b^2^=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a^2^﹣4b^2^=（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
13．一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是[ 120 ]{.underline}．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，进行求解即可．
【解答】解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为120，这组数据的中位数为120，故答案为120．
【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
14．设x~1~、x~2~是一元二次方程x^2^﹣5x﹣1=0的两实数根，则x~1~^2^+x~2~^2^的值为[ 27 ]{.underline}．
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x~1~+x~2~=5，x~1~x~2~=﹣1，然后把x~1~^2^+x~2~^2^转化为x~1~^2^+x~2~^2^=（x~1~+x~2~）^2^﹣2x~1~x~2~，最后整体代值计算．
【解答】解：∵x~1~、x~2~是一元二次方程x^2^﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x~1~+x~2~=5，x~1~x~2~=﹣1，
∴x~1~^2^+x~2~^2^=（x~1~+x~2~）^2^﹣2x~1~x~2~=25+2=27，
故答案为：27．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
15．已知二次函数y=（x﹣2）^2^+3，当x[ ≤2 ]{.underline}时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
【解答】解：在y=（x﹣2）^2^+3中，a=1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x=2，
当x≤2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x≥2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=[ 3 ]{.underline}．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题．
【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，
∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，
∴k=3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
**三、解答题（本大题共10小题，共86分）**
17．计算：\|﹣3\|﹣（5﹣π）^0^+．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】先根据绝对值，零指数幂，二次根式的性质求出每一部分的值，再代入求出即可．
【解答】解：原式=3﹣1+5
=7．
【点评】本题考查了绝对值，零指数幂，二次根式的性质的应用，能求出每一部分的值是解此题的关键，难度适中．
18．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）^2^，其中a=﹣1，b=．
【考点】整式的混合运算---化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a^2^﹣2ab+a^2^+2ab+b^2^=2a^2^+b^2^，
当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了"的原则是解答此题的关键．
20．解分式方程： +=1．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x^2^﹣4，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．为开展"争当书香少年"活动，小石对本校部分同学进行"最喜欢的图书类别"的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被调查的学生共[ 40 ]{.underline}人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为[ 72 ]{.underline}度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢"文史类"图书的学生有[ 300 ]{.underline}人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据条形图可知喜欢"社科类"的有5人，根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；
（2）根据条形图可知喜欢"文学类"的有12人，即可补全条形统计图；
（3）计算出喜欢"艺术类"的人数，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（4）用该年级的总人数乘以"文史类"的学生所占比例，即可求出喜欢的学生人数．
【解答】解：（1）5÷12.5%=40（人）
答：此次被调查的学生共40人；
（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）
（3）8÷40=20%
360°×20%=72°
答：扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72度；
（4）1200×=300（人）
答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢"文史类"图书的学生有300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．小颖和小丽做"摸球"游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
> 1 2 3 4
>
> 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
>
> 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
>
> 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
>
> 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，
故小颖获胜的概率为： =，则小丽获胜的概率为：，
∵＜，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．如果抛物线y=ax^2^+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x^2^+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x^2^+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；
（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，
根据顶点式得：y=x^2^﹣2x+2；
（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b^2^+1），且﹣1+2b+c+1=1，
∴c=1﹣2b，
∵顶点纵坐标c+b^2^+1=2﹣2b+b^2^=（b﹣1）^2^+1，
∴当b=1时，c+b^2^+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x^2^+2x．
【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．
24．某物流公 司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；
（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，
依题意得：，
解之得：．
答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．
（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，
依题意得：a≤（330﹣a）×2，
解得：a≤220，
设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，
根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大
当W取最大值时a=220，
即W=19800元．
所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
25．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x~1~=1，x~2~=3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S~△PAB~=S~△ABD~﹣S~△PBD~=×2×2﹣×2×=2﹣=．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
26．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x^2^+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；
（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；
（3）过D作x轴的垂线交BC于点P，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
【解答】方法一：
（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴==，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE^2^=BC^2^+CE^2^，即（5）^2^=（10x）^2^+（5x）^2^，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣x^2^+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x^2^+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，
令y=0，可得0=﹣x^2^+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴H（﹣4，0），G（12，0），
①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DH=DG=8，
故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；
②当PD不垂直于x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8．
∵PD⊥DQ，
∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，
∴Rt△PDN∽Rt△DQI，
∵PN=8，
∴PN≠DI，
∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，
∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或
（12，0）．
方法二：
（1）略．
（2），设OE=3a，OD=4a，
∴DE=CE=5a，∴OE=AB=8a，
由（1）知：，
∴AD=6a，
∴OA=BC=10a，
∵BE=5，
∴（5a）^2^+（10a）^2^=（5）^2^，
∴a=1，
∴E（0，3），∴y=﹣，
∴D（4，0），∵B（10，8），
∴F（10，），
∵M为BE的中点，∴M（5，），
∴KBD×KMF==﹣1，
∴MF⊥BD．
（3）设P（t，8）（0＜t＜10），
∵D（4，0），
∵PD⊥DQ，PD=PQ，
∴△PDQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
①点Q可视为点P绕点D顺时针旋转90°而成，
将D点平移至原点，D′（0，0），则P′（t﹣4，8），
将P′点绕原点顺时针旋转90°，则Q′（8，4﹣t），
将D′点平移至D点，则Q′平移后即为Q（12，4﹣t），
把Q（12，4﹣t）代入抛物线，
∴﹣=4﹣t，
∴t=4，
∴Q（12，0）；
②点Q可视为点P绕点D逆时针旋转90°而成，同理可得：Q（﹣4，0），
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和抛物线与坐标轴的交点等知识．在（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是解题的关键，在（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段的长是解题的关键，在（3）中确定出Q点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．
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**2019年江苏省无锡市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）**
1．（3分）（2019•无锡）5的相反数是
A． B．5 C． D．
2．（3分）（2019•无锡）函数中的自变量的取值范围是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•无锡）分解因式的结果是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•无锡）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
5．（3分）（2019•无锡）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
6．（3分）（2019•无锡）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
8．（3分）（2019•无锡）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•无锡）如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为2，则的值为
A．2 B． C．．4 D．
10．（3分）（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工个零件为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为
A．10 B．9 C．8 D．7
**二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）**
11．（2分）（2019•无锡）的平方根是[ ]{.underline}．
12．（2分）（2019•无锡）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为[ ]{.underline}人次．
13．（2分）（2019•无锡）计算：[ ]{.underline}．
14．（2分）（2019•无锡）某个函数具有性质：当时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是[ ]{.underline}（只要写出一个符合题意的答案即可）．
15．（2分）（2019•无锡）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是[ ]{.underline}．
16．（2分）（2019•无锡）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为[ ]{.underline}．
17．（2分）（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为[ ]{.underline}．
18．（2分）（2019•无锡）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）（2019•无锡）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）（2019•无锡）解方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）（2019•无锡）如图，在中，，点、分别在、上，，、相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．（6分）（2019•无锡）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为[ ]{.underline}；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用"画树状图"或"列表"等方法写出分析过程）
23．（6分）（2019•无锡）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
-------- ------ ------ ------ --------
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
-------- ------ ------ ------ --------
（1）扇形统计图中"不及格"所占的百分比是[ ]{.underline}；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
24．（8分）（2019•无锡）一次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，且．的外接圆的圆心的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
25．（8分）（2019•无锡）"低碳生活，绿色出行"是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点的坐标，并解释点的实际意义．
26．（10分）（2019•无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，为上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在中，为的中点，作的中点．
②如图3，在由小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作的高．
27．（10分）（2019•无锡）已知二次函数的图象与轴交于、两点，在左侧，且，与轴交于点．
（1）求点坐标，并判断的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线相交于点，已知，直线与轴交于点，连接．
①若的面积为8，求二次函数的解析式；
②若为锐角三角形，请直接写出的取值范围．
28．（12分）（2019•无锡）如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若．
①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论""是否总是成立？请说明理由．
**2019年江苏省无锡市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填在相应的括号内）**
1．（3分）5的相反数是
A． B．5 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上""号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是，
故选：．
2．（3分）函数中的自变量的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：函数中：，
解得：．
故选：．
3．（3分）分解因式的结果是
A． B． C． D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：．
故选：．
4．（3分）已知一组数据：66，66，62，67，63，这组数据的众数和中位数分别是
A．66，62 B．66，66 C．67，62 D．67，66
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是66，得到这组数据的众数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：62，63，66，66，67，
第3个数是66，
所以中位数是66，
在这组数据中出现次数最多的是66，
即众数是66，
故选：．
5．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，这个几何体可能是
A．长方体 B．四棱锥 C．三棱锥 D．圆锥
【分析】有2个视图是长方形可得该几何体为柱体，第3个视图也是长方形可得该几何体为长方体，进而判断出几何体的形状．．
【解答】解：有2个视图是长方形，
该几何体为柱体，
第3个视图是长方形，
该几何体为长方体．
故选：．
6．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
7．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：．
8．（3分）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
【解答】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9．（3分）如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为．若的面积为2，则的值为
A．2 B． C．．4 D．
【分析】再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【解答】解：连结，如图，
轴，
，
，
，
．
故选：．
10．（3分）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工个零件为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知的值至少为
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据15名工人的前期工作量名工人的后期工作量列出不等式并解答．
【解答】解：设原计划天完成，开工天后3人外出培训，
则，
得到．
所以．
整理，得．
．
将其代入化简，得，即，
整理，得．
，
，
．
至少为9．
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）**
11．（2分）的平方根是[ ]{.underline}．
【分析】根据平方根的定义求解．
【解答】解：的平方根是．
故答案为：．
12．（2分）2019年6月29日，新建的无锡文化旅游城将盛大开业，开业后预计接待游客量约20000000人次，这个年接待客量可以用科学记数法表示为[ ]{.underline}人次．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将20000000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
13．（2分）计算：[ ]{.underline}．
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
14．（2分）某个函数具有性质：当时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是[ （答案不唯一） ]{.underline}（只要写出一个符合题意的答案即可）．
【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
【解答】解：中开口向上，对称轴为，
当时随着的增大而增大，
故答案为：（答案不唯一）．
15．（2分）已知圆锥的母线长是，侧面积是，则这个圆锥底面圆的半径是[ 3 ]{.underline}．
【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
【解答】解：圆锥的母线长是，侧面积是，
圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
，
故答案为：3．
16．（2分）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为[ ]{.underline}．
【分析】直接利用图象把代入，进而得出，之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．
【解答】解：图象过，则，
则，
故，
，
，
解得：．
故答案为：．
17．（2分）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为[ 25 ]{.underline}．
【分析】如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出，再证明，推出，，，设，在中，则有，推出，由，推出，推出，可得，求出即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．
，，，
，，
，
，
设，，
，
或（舍弃），
，
四边形是矩形，
，
设，，，
，，，
，
，，，设，
在中，则有，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为25．
18．（2分）如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】过点作于点，作于点，作于点．由，，得到，易证，求得，设，则，易证，，所以，当时，面积的最大值为8．
【解答】解：过点作于点，作于点，作于点．
，，
，
易证，
，
即
，
设，则，
易证，
，
，
当时，面积的最大值为8．
故答案为8．
**三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用幂的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用公式法求解可得；
（2）两边都乘以化为整式方程，解之求得的值，继而检验即可得．
【解答】解：（1），，，
△，
则，
；
（2）两边都乘以，得：，
解得，
经检验是方程的解．
21．（8分）如图，在中，，点、分别在、上，，、相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到根据等腰三角形的判定定理即可得到
【解答】（1）证明：，
，
在与中，
；
（2）证明：由（1）知，
，
．
22．（6分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为[ ]{.underline}；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用"画树状图"或"列表"等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸到红球的结果数为2，
所以两次摸到红球的概率．
23．（6分）《国家学生体质健康标准》规定：体质测试成绩达到90.0分及以上的为优秀；达到80.0分至89.9分的为良好；达到60.0分至79.9分的为及格；59.9分及以下为不及格．某校为了了解九年级学生体质健康状况，从该校九年级学生中随机抽取了的学生进行体质测试，测试结果如下面的统计表和扇形统计图所示．
各等级学生平均分统计表
-------- ------ ------ ------ --------
等级 优秀 良好 及格 不及格
平均分 92.1 85.0 69.2 41.3
-------- ------ ------ ------ --------
（1）扇形统计图中"不及格"所占的百分比是[ ]{.underline}；
（2）计算所抽取的学生的测试成绩的平均分；
（3）若所抽取的学生中所有不及格等级学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估计该九年级学生中约有多少人达到优秀等级．
【分析】（1）根据各组的百分比之和为1，计算即可；
（2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）设总人数为个，列不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）扇形统计图中"不及格"所占的百分比是；
故答案为：；
（2）；
答：所抽取的学生的测试成绩的平均分为84.1分；
（3）设总人数为个， 所以 又因为为整数 所以，
即优秀的学生有 人．
24．（8分）一次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，且．的外接圆的圆心的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由垂径定理得：点为的中点，，则，即，而，，则，即可求解；
（2），，，则，则，即，即可求解．
【解答】解：（1）作，
由垂径定理得：点为的中点，
，
，，即，
，，
，
即，
设，将、带入得：，
（2），，
，则，
，
阴影部分面积为．
25．（8分）"低碳生活，绿色出行"是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求点的坐标，并解释点的实际意义．
【分析】（1）由点，点，点表示的实际意义，可求解；
（2）理解点表示的实际意义，则点的横坐标为小明从甲地到乙地的时间，点纵坐标为小丽这个时间段走的路程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：小丽速度
设小明速度为
由题意得：
答：小明的速度为，小丽的速度为．
（2）由图象可得：点表示小明到了甲地，此时小丽没到，
点的横坐标，
点的纵坐标
点，
26．（10分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，为上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在中，为的中点，作的中点．
②如图3，在由小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作的高．
【分析】（1）连结并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
（2）①连结，交于点，连结交于点，连结并延长交于点，点即为所求；
②结合网格特点和三角形高的概念作图可得．
【解答】解：（1）如图1，连结并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
（2）①如图2，连结，交于点，连结交于点，连结并延长交于点，即为所求
②如图3所示，即为所求．
27．（10分）已知二次函数的图象与轴交于、两点，在左侧，且，与轴交于点．
（1）求点坐标，并判断的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线相交于点，已知，直线与轴交于点，连接．
①若的面积为8，求二次函数的解析式；
②若为锐角三角形，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）确定，则，则对称轴在轴右侧，即，即可求解；
（2）①过点作，则，，求出，、，由，即可求解；②分为锐角、当为锐角时，两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）令，则，，
，对称轴在轴右侧，即
，；
（2）①过点作，
则，
，
设，则，
，，
，，
则，
，
，
，
，，
设，
即，
令，则，
，
，，
；
②由①知，，，，则一定为锐角，
，，，
当为锐角时，
，
，
解得；
当为锐角时，
，
，
解得，
综上：，；
故：．
28．（12分）如图1，在矩形中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
（1）若．
①如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论""是否总是成立？请说明理由．
【分析】（1）①利用勾股定理求出，由，推出，即可解决问题．
②分三种情形分别求解即可：如图中，当' 时．如图中，当' 时．如图中，当' 时．
（2）如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
．
②如图中，当' 时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
．
如图中，当' 时，
在中，，
在'中则有：，解得．
如图中，当' 时，易证四边形'为正方形，易知．
综上所述，满足条件的的值为或或．
（2）如图中，
，
又翻折，
，，
又' ，，
，
' ，
即四边形是正方形，
如图，设．
，
，
易证△' ，
，
翻折，
' ，
' ' ，
' ，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:36:50；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(20****14秋)**
**第3单元 第五节****：小小养殖场**
一、根据涂色部分写数。
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- --------------------- -- -- --------------------------
 \[来源:学\#科\#网\] \[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- --------------------- -- -- --------------------------
有（ ）个格子涂色。 有（ ）个格子涂色。
二、另一只青蛙可能吃了多少只害虫？（画√）
---------- ---------- ----------
**42只** **80只** **91只**
---------- ---------- ----------
**三**、写数。
1、写出十位是5的两位数。 [ ]{.underline} 。
2、写出100以内个位是5的数。 [ ]{.underline} 。
四、看图写数。
**五、填空。**
（1）10个一是（ ）；10个十是（ ）。
（2）6个十和8个一是（ ）；53里有（ ）个十和（ ）个一。\[来源:学科网ZXXK\]
（3）一个一个地数，把69前面的一个数和后面的两个数写出来。
（ ）、69、（ ）、（ ）
（4）一十一十地数，把70前面的两个数和后面的两个数写出来。
（ ）、（ ）、70、（ ）、（ ）
六、计算。
50＋40＝ 70－20＝ 40＋50＝ 90－80＝
20＋50＝ 10＋90＝ 30－20＝ 60－30＝
答案
一、根据涂色部分写数。
-------------------------------------------------------- -- ------------------------------------ -- -- -- -- -- -- -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- --------------------- -- ------------------------------------ -- --
 
\[来源:Z+xx+k.Com\]
 \[来源:学\|科\|网\] 
-------------------------------------------------------- -- ------------------------------------ -- -- -- -- -- -- -- -- -- ------------------------------------ -- -- -- --------------------- -- ------------------------------------ -- --
有（ 24 ）个格子涂色。 有（ 36 ）个格子涂色。
二、
---------- ---------- ----------
**42只** **80只** **91只**
**√**
---------- ---------- ----------
**三**、写数。
1、写出十位是5的两位数。 [ 50 51 52 53 54 55 56 75 58 59]{.underline} 。
2、写出100以内个位是5的数。 [ 15 25 35 45 55 65 75 85 95]{.underline} 。
四、看图写数。
15  51 30 33
**五、填空。**
（1）10；100
（2）68；5 3。
（3）（ 68 ）、69、（ 70 ）、（ 71 ）
（4）（ 50 ）、（ 60 ）、70、（ 80 ）、（ 90 ）
六、计算。
50＋40＝90 70－20＝50 40＋50＝90 90－80＝10
20＋50＝70 10＋90＝100 30－20＝10 60－30＝30
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
**数学（文科）试卷**
**一、选择题：**本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等比数列{*a~n~*}中，*a*~1~ =8，*a*~4~ =64则公比q为
A．2 B．3 C．4 D．8
2．设全集U={*a*，*b*，c，d}，A={*a*，c}，B={*b*}，则A∩（**C**~u~B）=
A． B．{*a*} C．{c} D．{*a*，c}
3．垂直于同一平面的两条直线
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
4．（2*x－*1）^6^展开式中*x*^2^的系数为
A．15 B．60 C．120 D．240
5．"*－*1\<*x*\<1"是"*x*^2^\<1"的
A．充分必要条件 B．充分但不必要条件
C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列各式中，值为的是
A．2si*n*15°cos15° B．cos^2^15°*－*si*n*^2^15°
C．2si*n*^2^15°*－*1 D．si*n*^2^15°+cos^2^15°
7．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张票至少有2张价格相同的概率为
A． B． C． D．
8．若直线*y*=*kx*+1与圆*x*^2^+*y*^2^=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则*k*的值为
A．或 B． C．或 D．
9．已知向量，，且∥，则向量=
A． B． C． D．
10．设P（3，1）为二次函数*f*（*x*）=*ax*^2^*－*2*ax*+*b*（*x*≥1）的图象与其反函数*y*=*f^－^*^1^（*x*）的图象的一个交点，则
A． B．
C． D．
11．设是1*－a*和1+*a*的等比中项，则*a*+3*b*的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知以F~1~（*－*2，0）、F~2~（2，0）为焦点的椭圆与直线*x*+*y*+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在答题卡相应位置上。**
13．在ΔABC中，AB=1，BC=2，B=60°，则AC=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
14．已知，则z=3*x*+*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（以数字作答）
16．函数的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分13分。（I）小问5分。（II）小问8分。）
设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立。
（I）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（II）若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率。
18．（本小题满分13分，（I）小问4分，（II）小问9分。）
已知函数*f*（*x*）=。
（I）求*y*=*f*（*x*）的定义域；
（II）若角α在第一象限且cosα=，求*f*（α）。
19．（本小题满分12分，第（I）小问6分，（II）小问6分。）
如题（19）图，在直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~中，∠ABC=90°，AB=1，BC=，AA~1~=2；点D在棱BB~1~上，BD=BB~1~；B~1~E⊥A~1~D，垂足为E。求：
（I）异面直线A~1~D与B~1~C~1~的距离；
（II）四棱锥C---ABDE的体积。
20．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
21．（本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分。）
如题（21）图，倾斜角为α的直线经过抛物线*y*^2^=8*x*的焦点F，且与抛物线交与A、B两点。
（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（II）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交*x*轴于点P，证明\|FP\|*－*\|FP\|cos2α为定值，并求此定值。
22．（本小题满分12分，其中（I）小问5分，（II）小问7分。）
已知各项均为正数的数列{*a~n~*}的前*n*项和S*~n~*满足S~1~\>1，且
6S*~n~*=（*a~n~*+1）（*a~n~*+2），*n*∈**N^\*^**
（I）求{*a~n~*}的通项公式；
（II）设数列{*b~n~*}满足*a~n~*=1，并记T*~n~*为{*b~n~*}的前*n*项和，求证：
3T*~n~*+1\>log~2~（*a~n~*+3），*n*∈**N^\*^**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数 学（理工类）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：
·如果事件互斥，那么 球的表面积公式
·如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
**一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．是虚数单位，（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．4
B．11
C．12
D．14
3．""是""的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数的反函数是（ ）
> A．
>
> B．
>
> C．
>
> D．
6．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
7．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．设均为正数，且，，．则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（ ）
A．\[-6，1\]
B．
C．（-6，1\]
D．\[-1，6\]
**第Ⅱ卷**
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．**
11．若的二项展开式中的系数为，则[ ]{.underline}（用数字作答）
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为[ ]{.underline}．
13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则[ ]{.underline}．
14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是[ ]{.underline}．
15．如图，在中，，是边上一点，，则[ ]{.underline}．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有[ ]{.underline}种（用数字作答）．
**三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值。
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球。现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为。
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程。
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**浙江省2020年初中学业水平考试（湖州市）**
**数学试题卷**
**卷Ⅰ**
**一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）**
**下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分.**
1.数4的算术平方根是（ ）
A.2 B. C. D.
2近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强.2019年我国国内生产总值约为991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知四边形内接于，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.数据，0，3，4，4的平均数是（ ）
A.4 B.3 C.2.5 D.2
6.已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.实数根的个数与实数的取值有关
7.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形，若，则菱形的面积与正方形的面积之比是（ ）
A.1 B. C. D.
8.已知在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于点和点.则下列直线中，与轴的交点不在线段上的直线是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，已知是斜边上的高线，，以为圆心，为半径的圆交于点，过点作的切线，交于点.则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
10.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）
A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
**卷Ⅱ**
**二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）**
11.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12.化简：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13.如图，已知是半圆的直径，弦，，.则与之间的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如下表所示，
+--------+---------+----------+----------+
| 第二次 | 白 | 红Ⅰ | 红Ⅱ |
| | | | |
| 第一次 | | | |
+--------+---------+----------+----------+
| 白 | 白，白 | 的，红Ⅰ | 白，红Ⅱ |
+--------+---------+----------+----------+
| 红Ⅰ | 红Ⅰ，白 | 红Ⅰ，红Ⅰ | 红Ⅰ，红Ⅱ |
+--------+---------+----------+----------+
| 红Ⅱ | 红Ⅱ，白 | 红Ⅱ，红Ⅰ | 红Ⅱ，红Ⅱ |
+--------+---------+----------+----------+
则两次摸出的球都是红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知是网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连结.若的面积是2，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题（本题有8小题，共66分）**
17.计算：.
18.解不等式组
19.有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，表示熨烫台的高度.
（1）如图2-1，若，，求的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是（如图2-2）.求该熨烫台支撑杆的长度（结果精确到）.
（参考数据：，，，.）
20.为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）.
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求扇形统计图中表示"满意"的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是"非常满意"或"满意"的学生共有多少人？
21.如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结，平分.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
22.某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高，乙车间维持不变.
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
23.已知在中，，是边上的一点，将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（不与点，重合），折痕交边于点.
（1）特例感知 如图1，若，是的中点，求证：；
（2）变式求异 如图2，若，，，过点作于点，求和的长；
（3）化归探究 如图3，若，，且当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置，请直接写出的取值范围.
24.如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴的交点为.过点的直线与抛物线交于另一点（点在对称轴左侧），点在的延长线上，连结，，和.
（1）如图1，当轴时，
①已知点的坐标是，求抛物线的解析式；
②若四边形是平行四边形，求证：.
（2）如图2，若，，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
**参考答案**
**一、选择题**
1-5 ACABD 6-10 ABCDD
**二、填空题**
11\. 12. 13.3
14\. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：原式.
18.解：解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解是.
19.解：（1）过点作于点，如图2-1
∵，，
∴.
∴.
（2）过点作于点，如图2-2
∵，，
∴.
∴.
即该熨烫台支撑杆的长度约为.
20.解：（1）被抽查的学生人数是（人）.
∵（人）.
∴补全的条形统计图如图所示.
（2）扇形统计图中表示满意的扇形的圆心角度数是.
（3）∵（人）.
∴估计该校对学习效果的满意度是非常满意或满意的学生共有700人.
21.（1）证明：∵平分，∴.
∵，∴.
（2）解：∵，∴.
∵是的直径，，
∴.
22.解：（1）设甲车间有名工人参与生产，乙车间有名工人参与生产.
由题意，得
解得
答：甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产.
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘名工人.
由题意，得
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：乙车间需临时招聘的工人数为5人.
②企业完成生产任务所需的时间为
（天）.
∴选择方案一需增加的费用为（元）.
选择方案二需增加的费用为（元）.
∵，∴选择方案一能更节省开支.
23.（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，∴，，
由题意，得，，
∴，∴是等边三角形.
∴.
（2）解：∵，，
∴.
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，解得.
在中，，
将沿着过点的直线折叠，
情况一：当点落在线段上的点处时，如图2-1
∵，∴，
∴，
∴；
情况二：当点落在线段上的点处时，如图2-2
同理可得，
∴.
综上所述，的长为或.
（3）.
 
24.（1）①解：∵轴，点的坐标是，
∴点的坐标是.
把点，的坐标分别代入，
得，解得
∴抛物线的解析式为.
②证明：过点作轴于点，交于点，如图1
∵轴，∴，
又∵点的坐标是，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，，∴.
又∵，
∴，∴.
∴，即.
（2）解：由题意，得抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标是，
假设存在这样的点，使四边形是平行四边形，如图2
设点的坐标是，.
过点作轴于点，交于点，
则.
∵四边形是平行四边形，
∴，，∴.
∴，∴，.
过点作轴于点，交于点，
则，∴，
∴.
∵，，
∴，解得.
∴点的纵坐标是.
∵轴，∴点的坐标是，点的坐标是.
∴.
∵点的坐标，
∴.
∵，∴.
由，得，
解得.∴.
∴点的纵坐标是.
∴点的坐标是.
∴存在这样的点，使四边形是平行四边形.
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**2017年浙江省台州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）**
1．5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ）
A．978×10^3^ B．97.8×10^4^ C．9.78×10^5^ D．0.978×10^6^
4．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
5．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为I=，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）=a^2^﹣2 B．（a+1）（a﹣2）=a^2^+a﹣2
C．（a+b）^2^=a^2^+b^2^ D．（a﹣b）^2^=a^2^﹣2ab+b^2^
8．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
9．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ ------------ ------------
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ ------------ ------------
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
10．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．4
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**
11．因式分解：x^2^+6x=[ ]{.underline}．
12．如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=[ ]{.underline}．
13．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为[ ]{.underline}厘米．（结果保留π）
14．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为[ ]{.underline}元/千克．
15．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为[ ]{.underline}．
16．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共80分）**
17．计算： +（﹣1）^0^﹣\|﹣3\|．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x=2017．
19．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）
20．如图，直线l~1~：y=2x+1与直线l~2~：y=mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l~1~，l~2~分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
21．家庭过期药品属于"国家危险废物"，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是[ ]{.underline}．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=[ ]{.underline}，n=[ ]{.underline}；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
22．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC^2^+PB^2^的值．
23．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：
-------------------- ----- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
速度v（千米/小时） ... 5 10 20 32 40 48 ...
流量q（辆/小时） ... 550 1000 1600 1792 1600 1152 ...
-------------------- ----- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是[ ]{.underline}（只填上正确答案的序号）
①q=90v+100；②q=；③q=﹣2v^2^+120v．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．
24．在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x^2^﹣5x+2=0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照"第四步"的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明"第三步"操作得到的m就是方程x^2^﹣5x+2=0的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0，b^2^﹣4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m~1~，n~1~，m~2~，n~2~与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m~1~，n~1~），Q（m~2~，n~2~）就是符合要求的一对固定点？
**2017年浙江省台州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）**
1．5的相反数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：B．
2．如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，上边是一个小矩形，两矩形没有邻边，
故选：A．
3．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ）
A．978×10^3^ B．97.8×10^4^ C．9.78×10^5^ D．0.978×10^6^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：978000用科学记数法表示为：9.78×10^5^，
故选：C．
4．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
【考点】WA：统计量的选择．
【分析】根据各自的定义判断即可．
【解答】解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的方差，
故选A
5．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【考点】KF：角平分线的性质．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：A．
6．已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为I=，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】根据反比例函数的性质即可解决问题．
【解答】解：∵I=，电压为定值，
∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限，
故选C．
7．下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）=a^2^﹣2 B．（a+1）（a﹣2）=a^2^+a﹣2
C．（a+b）^2^=a^2^+b^2^ D．（a﹣b）^2^=a^2^﹣2ab+b^2^
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a^2^﹣4，不符合题意；
B、原式=a^2^﹣a﹣2，不符合题意；
C、原式=a^2^+b^2^+2ab，不符合题意；
D、原式=a^2^﹣2ab+b^2^，符合题意，
故选D
8．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠EBC，
故选C．
9．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ ------------ ------------
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ ------------ ------------
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．
【解答】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），
10.8+0.3x=16.5+0.3y，
0.3（x﹣y）=5.7，
x﹣y=19．
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．
故选：D．
10．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质；LB：矩形的性质．
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB﹣BE=4x﹣y，得出方程4x﹣y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．
【解答】解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB﹣BE=4x﹣y，
∴4x﹣y=x+y，
解得：x=y，
∴AE=y，
∴==；
故选：A．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**
11．因式分解：x^2^+6x=[ x（x+6） ]{.underline}．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=x（6+x），
故答案为：x（x+6）．
12．如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=[ 110° ]{.underline}．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平角定义求出∠1的邻补角=180°﹣∠1，再根据两直线平行，同位角相等即可得解．
【解答】解：∵∠1=70°，
∴∠1的邻补角=180°﹣∠1=110°，
∵a∥b，
∴∠2=110°．
故答案为：110°．
13．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为[ 2π ]{.underline}厘米．（结果保留π）
【考点】MN：弧长的计算．
【分析】根据弧长公式l=列式计算即可得解．
【解答】解：的长==2π（厘米）．
故答案为：2π．
14．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为[ 10 ]{.underline}元/千克．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．
【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣5%）≥，
解得，x≥10，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克10元．
故答案为：10．
15．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有5种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=，
故答案为：．
16．如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是[ ]{.underline}[≤a≤3﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】MM：正多边形和圆．
【分析】当正方形ABCD的顶点A、B、C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D=，
∴a=，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
则△AEB是等腰三角形，四边形AFGD是等腰梯形，
过F，G分别作FH⊥AD，GN⊥AD，
设AE=x，则AF=1﹣x，
∴AB=x，AH=DN=（1﹣x），
∴AD=1+（1﹣x），
∴x=1+（1﹣x），
∴x=﹣1，
∴AB=3﹣，
∴正方形边长a的取值范围是：≤a≤3﹣，
故答案为：≤a≤3﹣．
**三、解答题（本大题共8小题，共80分）**
17．计算： +（﹣1）^0^﹣\|﹣3\|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：原式=3+1﹣3
=1．
18．先化简，再求值：（1﹣）•，其中x=2017．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）•
=
=
=，
当x=2017时，原式=．
19．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．
【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
20．如图，直线l~1~：y=2x+1与直线l~2~：y=mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l~1~，l~2~分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）由点P（1，b）在直线l~1~上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l~2~中，即可求出m值；
（2）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线l~1~：y=2x+1上，
∴b=2×1+1=3；
∵点P（1，3）在直线l~2~：y=mx+4上，
∴3=m+4，
∴m=﹣1．
（2）当x=a时，y~C~=2a+1；
当x=a时，y~D~=4﹣a．
∵CD=2，
∴\|2a+1﹣（4﹣a）\|=2，
解得：a=或a=．
∴a的值为或．
21．家庭过期药品属于"国家危险废物"，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是[ ③ ]{.underline}．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
①m=[ 20 ]{.underline}，n=[ 6 ]{.underline}；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【考点】VC：条形统计图；V4：抽样调查的可靠性；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调査的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；
②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；
③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．
【解答】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%=1000（户），
m%==20%，m=20，
n%==6%，n=6．
故答案为20，6；
②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）=100，
条形统计图补充如下：
③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；
④180×10%=18（万户）．
若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
22．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC^2^+PB^2^的值．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC^2^+PB^2^=2（PM^2^+PN^2^）=2（AN^2^+PN^2^）=2PA^2^=PE^2^=2^2^=4；
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠AEP=∠ABP=45°，
∵PE是直径，
∴∠PAB=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，
∴PM=AN，
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC=PM，PB=PN，
∴PC^2^+PB^2^=2（PM^2^+PN^2^）=2（AN^2^+PN^2^）=2PA^2^=PE^2^=2^2^=4．
23．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：
-------------------- ----- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
速度v（千米/小时） ... 5 10 20 32 40 48 ...
流量q（辆/小时） ... 550 1000 1600 1792 1600 1152 ...
-------------------- ----- ----- ------ ------ ------ ------ ------ -----
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是[ ③ ]{.underline}（只填上正确答案的序号）
①q=90v+100；②q=；③q=﹣2v^2^+120v．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）利用函数的增减性即可判断；
（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）①求出v=12或18时，定义的k的值即可解决问题；
②由题意流量q最大时d的值=流量q最大时k的值；
【解答】解：（1）函数①q=90v+100，q随v的增大而增大，显然不符合题意．
函数②q=q随v的增大而减小，显然不符合题意．
故刻画q，v关系最准确的是③．
故答案为③．
（2）∵q=﹣2v^2^+120v=﹣2（v﹣30）^2^+1800，
∵﹣2＜0，
∴v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800．
（3）①当v=12时，q=1152，此时k=96，
当v=18时，q=1512，此时k=84，
∴84＜k≤96．
②当v=30时，q=1800，此时k=60，
∵在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，
∴流量q最大时d的值为60．
24．在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x^2^﹣5x+2=0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照"第四步"的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明"第三步"操作得到的m就是方程x^2^﹣5x+2=0的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0，b^2^﹣4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m~1~，n~1~，m~2~，n~2~与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m~1~，n~1~），Q（m~2~，n~2~）就是符合要求的一对固定点？
【考点】KY：三角形综合题；A3：一元二次方程的解；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据"第四步"的操作方法作出点D即可；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，根据△AOC∽△CDB，可得=，进而得出=，即m^2^﹣5m+2=0，据此可得m是方程x^2^﹣5x+2=0的实数根；
（3）方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）可化为x^2^+x+=0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；
（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得=，进而得到x^2^﹣（m~1~+m~2~）x+m~1~m~2~+n~1~n~2~=0，再根据ax^2^+bx+c=0，可得x^2^+x+=0，最后比较系数可得m~1~，n~1~，m~2~，n~2~与a，b，c之间的关系．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，
∴=，
∴=，
∴m（5﹣m）=2，
∴m^2^﹣5m+2=0，
∴m是方程x^2^﹣5x+2=0的实数根；
（3）方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）可化为
x^2^+x+=0，
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；
（4）如图，P（m~1~，n~1~），Q（m~2~，n~2~），
设方程的根为x，根据三角形相似可得=，
上式可化为x^2^﹣（m~1~+m~2~）x+m~1~m~2~+n~1~n~2~=0，
又∵ax^2^+bx+c=0，即x^2^+x+=0，
∴比较系数可得m~1~+m~2~=﹣，
m~1~m~2~+n~1~n~2~=．
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**2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）**
**一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．**
1．集合M={x\|y=lg（x^2^﹣8x）}，N={x\|x=2n﹣1，n∈Z}，则{1，3，5，7}=（ ）
A．∁~R~（M∩N） B．（∁~R~M）∩N C．（∁~R~M）∩（∁~R~N） D．M∩（∁~R~N）
2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，则\|z\|=（ ）
A． B． C．3 D．2
3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位，所得的图象其中的一条对称轴方程为（ ）
A．x=0 B．x= C．x= D．x=
4．已知等差数列{a~n~}，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，若S~n~=an^2^+4n+a﹣4（a∈R），记数列{}的前n项和为T~n~，则T~10~=（ ）
A． B． C． D．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的s=86，则判断框内的正整数n的所有可能的值为（ ）
A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9
6．已知夹角为的两个向量，，，向量满足（）•（）=0，则\|\|的取值范围为（ ）
A．\[1，\] B．\[0，2\] C．\[1，\] D．\[0，2\]
7．若实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0
8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F~1~，P为左支上一点，\|PF~1~\|=a，P~0~与P关于原点对称，且=0．则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x
9．设函数f（x）=，其中对∀x~1~，x~2~∈（﹣∞，0\]，且x~1~≠x~2~均有x~1~g（x~1~）+x~2~g（x~2~）＞x~1~g（x~2~）+x~2~g（x~1~）成立，且g（0）=1，若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D，且2e∈D（e为自然对数的底数），则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．e D．2e
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则正视图中x的值为（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知正项数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=2，且对于任意的正整数n≥2， +=1，设数列{b~n~}满足b~n~=asin，其前4n项和为T~4n~，则满足T~4n~≤﹣36的最小正整数n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若二次函数f（x）=x^2^+1的图象与曲线C：g（x）=ae^x^+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[，+∞） D．\[，+∞）
**二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．**
13．数列{a~n~}的前n项和记为S~n~，a~1~=3，a~n+1~=2S~n~（n≥1），则S~n~=\_\_\_\_\_\_\_．
14．已知α∈（0，），若cos（α+）=，则tan（2α+）=\_\_\_\_\_\_\_．
15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点，若AF与圆O：x^2^+y^2^=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_．
16．将三项式（x^2^+x+1）^n^展开，当n=0，1，2，3，...时，得到以下等式：
（x^2^+x+1）^0^=1
（x^2^+x+1）^1^=x^2^+x+1
（x^2^+x+1）^2^=x^4^+2x^3^+3x^2^+2x+1
（x^2^+x+1）^3^=x^6^+3x^5^+6x^4^+7x^3^+6x^2^+3x+1
...
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x^2^+x+1）^5^的展开式中，x^7^项的系数为75，则实数a的值为\_\_\_\_\_\_\_．
**三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．
（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；
（2）若DE=，求角A的值．
18．如图，已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，侧面AA~1~B~1~B是菱形，且∠ABB~1~=60°．
（I）求证：AB⊥B~1~C；
（Ⅱ）若AB=B~1~C=2，BC=，求二面角B﹣AB~1~﹣C~1~的正弦值．
19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----- ---- ---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
居民编号 28
问卷得分 36 52 78 70 16 100 72 78 100 24 40 78 78 80 94 55 77 73 58 55
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----- ---- ---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高）
（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；
（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图，试通过茎叶图中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"的赞同程度（不要求算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到"持赞同态度"居民的概率；
（ii）若设被抽到的4人"持赞同态度"的人数为ξ．每次抽取结果相互独立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．
20．已知点M是抛物线C~1~：y^2^=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C~1~上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C~2~，（x一1）^2^+y^2^=1，且\|MC~2~\|=3\|OM\|为坐标原点．
（I）求抛物线C~1~的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．
21．已知函数f（x）=x^3^﹣x^2^+ax+2，g（x）=lnx﹣bx，且曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点，求证：f（mn）＞f（e^2^）（其中e为自然对数的底数）．
**\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
（I）求证：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈\[0，\]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长\|MN\|的取值范围．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x﹣2\|+\|x﹣a\|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）当a=3时，若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
**2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．**
1．集合M={x\|y=lg（x^2^﹣8x）}，N={x\|x=2n﹣1，n∈Z}，则{1，3，5，7}=（ ）
A．∁~R~（M∩N） B．（∁~R~M）∩N C．（∁~R~M）∩（∁~R~N） D．M∩（∁~R~N）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简集合M，根据N={x\|x=2n﹣1，n∈Z}，和{1，3，5，7}可得答案．
【解答】解：∵x^2^﹣8x＞0，解得x＜0或x＞8，
∴M=（﹣∞，0）∪（8，+∞），
∴∁~R~M=\[0，8\]，
∵N={x\|x=2n﹣1，n∈Z}，
∴（∁~R~M）∩N={1，3，5，7}．
故选：B．
2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，则\|z\|=（ ）
A． B． C．3 D．2
【考点】复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求得，再由求得答案．
【解答】解：由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i，
得=，
∴．
故选：C．
3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位，所得的图象其中的一条对称轴方程为（ ）
A．x=0 B．x= C．x= D．x=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角差的正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+），利用正弦函数的对称性即可得解．
【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin\[2（x+）﹣\]=2sin（2x+），
由2x+=kπ+，k∈Z，
可得所得的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z，
当k=0时，可知函数g（x）图象关于直线x=对称．
故选：B．
4．已知等差数列{a~n~}，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，若S~n~=an^2^+4n+a﹣4（a∈R），记数列{}的前n项和为T~n~，则T~10~=（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】由等差数列{a~n~}的前n项和的性质及其S~n~=an^2^+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，a=4．于是S~n~=4n^2^+4n. = ．利用"裂项求和"方法即可得出．
【解答】解：由等差数列{a~n~}的前n项和的性质及其S~n~=an^2^+4n+a﹣4，可得a﹣4=0，解得a=4．
∴S~n~=4n^2^+4n．
∴=．
∴T~10~=+...+
==．
故选：D．
5．执行如图所示的程序框图，若输出的s=86，则判断框内的正整数n的所有可能的值为（ ）
A．7 B．6，7 C．6，7，8 D．8，9
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
s=1，k=0
执行循环体，s=2，k=2
不满足条件2＞n，执行循环体，s=6，k=4
不满足条件4＞n，执行循环体，s=22，k=6
不满足条件6＞n，执行循环体，s=86，k=8
此时，应该满足条件8＞n，执行循环体，退出循环，输出s的值为86，
所以，判断框内n的值满足条件：6≤n＜8，
则判断框内的正整数n的所有可能的值为6，7．
故选：B．
6．已知夹角为的两个向量，，，向量满足（）•（）=0，则\|\|的取值范围为（ ）
A．\[1，\] B．\[0，2\] C．\[1，\] D．\[0，2\]
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得\|+\|=2，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值，进而得到所求范围．
【解答】解：由题意可得•=0，
可得\|+\|==2，
（﹣）•（﹣）=^2^+•﹣•（+）
=\|\|^2^﹣\|\|•\|+\|cos＜+，＞=0，
即为\|\|=2cos＜+，＞，
当cos＜+，＞=1即+，同向时，
\|\|的最大值是2．
则\|\|的取值范围为\[0，2\]．
故选：B．
7．若实数x、y满足不等式组，且z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，化z=ax+y为y=﹣ax+z，从而可得﹣a＜﹣1，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
z=ax+y可化为y=﹣ax+z，
∵z=ax+y仅在点P（﹣，）处取得最小值，
∴﹣a＜﹣1，
∴a＞1，
故选：B．
8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F~1~，P为左支上一点，\|PF~1~\|=a，P~0~与P关于原点对称，且=0．则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的边角关系进行求解即可．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F~2~，
则由对称性知，\|P~0~F~2~\|=\|PF~1~\|=a，
则\|P~0~F~1~\|﹣\|P~0~F~2~\|=2a，
即\|P~0~F~1~\|=3a，
∵=0，∴P~0~F~1~⊥PF~1~，即P~0~F~1~⊥P~0~F~2~，
则4c^2^=（3a）^2^+a^2^=10a^2^=4（a^2^+b^2^）
即3a^2^=4b^2^，
则，即=，
即双曲线的渐近线方程为y=x，
故选：C．
9．设函数f（x）=，其中对∀x~1~，x~2~∈（﹣∞，0\]，且x~1~≠x~2~均有x~1~g（x~1~）+x~2~g（x~2~）＞x~1~g（x~2~）+x~2~g（x~1~）成立，且g（0）=1，若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D，且2e∈D（e为自然对数的底数），则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．e D．2e
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的单调性的定义可得g（x）在（﹣∞，0\]内单调递增，根据题意作出函数f（x）的简图，利用树形结合的思想即可求出．
【解答】解：对∀x~1~，x~2~∈（﹣∞，0\]，且x~1~≠x~2~均有x~1~g（x~1~）+x~2~g（x~2~）＞x~1~g（x~2~）+x~2~g（x~1~），
∴\[g（x~2~）﹣g（x~1~）\]（x~2~﹣x~1~）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0\]内单调递增，
根据题意作出函数f（x）的简图，如图所述，
令f（x）≤1，由f（x）的图象可知x≤e，
若f（x﹣a）≤1，则x≤e+a，
∴D=（﹣∞，e+a\]，
又2e∈D，
∴2e≤a+e，
∴a≥e，则a的最小值是e，
故选：C．
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则正视图中x的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分，画出直观图求出几何体的棱，结合几何体的体积和柱体的体积公式列出方程，求出x即可．
【解答】解：根据三视图知几何体是：
直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分，直观图如图所示：
其中AB=x，且BC=2，长方体底面的宽是，
∵该几何体的体积为，
∴=，解得x=，
故选：D．
11．已知正项数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=2，且对于任意的正整数n≥2， +=1，设数列{b~n~}满足b~n~=asin，其前4n项和为T~4n~，则满足T~4n~≤﹣36的最小正整数n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】数列递推式．
【分析】先由递推公式得到数列{a~n~}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，再求出b~n~，分别计算前4项和，5﹣8项和，9﹣12项和，找到规律得到T~4n~递减，当n=2时，满足，问题得以解决．
【解答】解：由题意可得，当n=2时， +=1，
∴=1，
即a~2~^2^﹣a~2~﹣6=0，
解得a~2~=3或a~2~=﹣2（舍去），
当n≥2， +=1，
∴2（S~n~+1）+S~n﹣1~•a~n~=a~n~（S~n~+1），
∴2（S~n~+1）+（S~n~﹣a~n~）a~n~=a~n~（S~n~+1），
∴2S~n~+2=a~n~^2^+a~n~，
当n≥3时，2S~n﹣1~+2=a~n﹣1~^2^+a~n﹣1~，
两式相减得2a~n~=a~n~^2^+a~n~﹣a~n﹣1~^2^﹣a~n﹣1~，
∴a~n~+a~n﹣1~=a~n~^2^﹣a~n﹣1~^2^，
∵正项数列{a~n~}，
∴a~n~﹣a~n﹣1~=1，（n≥3），
∵a~2~﹣a~1~=1，
∴数列{a~n~}是以2为首项吗，以1为公差的等差数列，
∴a~n~=2+（n﹣1）=n+1，
∴b~n~=（n+1）^2^sin，
∴当n=1时，sin=1，n=2时，sinπ=0，n=3时，sin=﹣1，n=4时，sin2π=0，
∴b~1~+b~2~+b~3~+b~4~=4+0﹣16+0=﹣12，
b~5~+b~6~+b~7~+b~8~=36+0﹣64+0=﹣28，
b~9~+b~10~+b~11~+b~12~=10^2^+0﹣12^2^+0=﹣44，
...
b~4n﹣3~+b~4n﹣2~+b~4n﹣1~+b~n~=（4n﹣2）^2^﹣（4n）^2^=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0，
∴T~4n~递减，
当n=2时，满足，
故选：B
12．若二次函数f（x）=x^2^+1的图象与曲线C：g（x）=ae^x^+1（a＞0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[，+∞） D．\[，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：设公切线与f（x）=x^2^+1的图象切于点（x~1~，），
与曲线C：g（x）=ae^x^+1切于点（x~2~，），
∴2x~1~===，
化简可得，2x~1~=，得x~1~=0或2x~2~=x~1~+2，
∵2x~1~=，且a＞0，∴x~1~＞0，则2x~2~=x~1~+2＞2，即x~2~＞1，
由2x~1~=得a==，
设h（x）=（x＞1），则h′（x）=，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）~max~=h（2）=，
∴实数a的取值范围为（0，\]，
故选：A．
**二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．**
13．数列{a~n~}的前n项和记为S~n~，a~1~=3，a~n+1~=2S~n~（n≥1），则S~n~=3^n^．
【考点】数列递推式．
【分析】由a~n+1~=2S~n~（n≥1），可得S~n+1~﹣S~n~=2S~n~，即S~n+1~=3S~n~利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a~n+1~=2S~n~（n≥1），∴S~n+1~﹣S~n~=2S~n~，即S~n+1~=3S~n~，
∴数列{S~n~}是等比数列，首项为S~1~=3，公比为q=3，
∴S~n~=3•3^n﹣1^=3^n^．
故答案为：3^n^．
14．已知α∈（0，），若cos（α+）=，则tan（2α+）=．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=，由二倍角公式得tan\[2（α+）\]=，由两角差的正切公式得结果．
【解答】解：∵cos（α+）=，α∈（0，），
∵cos^2^（α+）+sin^2^（α+）=1，α+∈（，）
∴sin（α+）=，
∴tan（α+）=，
∴tan\[2（α+）\]= =，
∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan\[2（α+）﹣\]=．
15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点，若AF与圆O：x^2^+y^2^=4相切于点T，且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为=1．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】如图所示，设\|AT\|=m，\|FT\|=2m，即\|AF\|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：\|OT\|^2^=\|TF\|\|AT\|，解得m．又\|OT\|=2，可得b^2^=2+m^2^．c^2^=9m^2^﹣b^2^=12．可得a^2^=b^2^+c^2^，即可得出．
【解答】解：如图所示，设\|AT\|=m，\|FT\|=2m，即\|AF\|=3m．
由△AOT∽△OFT，可得：\|OT\|^2^=\|TF\|\|AT\|，
∴4=2m^2^，解得m=．
又\|OT\|=2，∴b^2^=2+2^2^=6．c^2^=9m^2^﹣b^2^=12．
∴a^2^=b^2^+c^2^=18．
∴椭圆C的标准方程为=1．
故答案为： =1．
16．将三项式（x^2^+x+1）^n^展开，当n=0，1，2，3，...时，得到以下等式：
（x^2^+x+1）^0^=1
（x^2^+x+1）^1^=x^2^+x+1
（x^2^+x+1）^2^=x^4^+2x^3^+3x^2^+2x+1
（x^2^+x+1）^3^=x^6^+3x^5^+6x^4^+7x^3^+6x^2^+3x+1
...
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x^2^+x+1）^5^的展开式中，x^7^项的系数为75，则实数a的值为1．
【考点】归纳推理．
【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x^2^+x+1）^5^的展开式中，x^7^项的系数为30+45a=75，即可求出实数a的值．
【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x^2^+x+1）^5^的展开式中，x^7^项的系数为30+45a=75，
所以a=1．
故答案为：1．
**三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．如图，设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差数列，a=2，线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．
（1）若△BCD的面积为，求线段CD的长；
（2）若DE=，求角A的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）先根据三角形的内角A，B，C成等差数列，求出B的度数，再根据三角的面积公式求出BD，再根据余弦定理即可求出，
（2）根据垂直平分线的性质得到AC=2AE=，再根据正弦定理，即可求出答案．
【解答】解：（1）三角形的内角A，B，C成等差数列，
则有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵△BCD的面积为，a=2
∴BD•BC•sin60°=，
∴BD=，
由余弦定理，CD^2^=BD^2^+BC^2^+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=，
∴CD=，
（2）∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点，DE=，
∴AE=，
∴AC=2AE=2×=，
由正弦定理可得=，
即=，
∴cosA=，
∵0＜A＜180°，
∴A=45°
18．如图，已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，侧面AA~1~B~1~B是菱形，且∠ABB~1~=60°．
（I）求证：AB⊥B~1~C；
（Ⅱ）若AB=B~1~C=2，BC=，求二面角B﹣AB~1~﹣C~1~的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）取AB中点，连接OC，OB~1~，证明AB⊥平面OCB~1~，即可证明．AB⊥B~1~C；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角的余弦值，然后求正弦值即可．
【解答】解：（1）∵四边形AA~1~B~1~B是菱形，且∠ABB~1~=60°．
∴△ABB~1~是等边三角形，
取AB中点，连接OC，OB~1~，则AB⊥OB~1~，
∵CA=CB，∴AB⊥OC，
∵OC∩OB~1~=O，OB~1~，OC⊂平面OB~1~C，
∴AB⊥平面OCB~1~，∴AB⊥B~1~C；
（2）∵△ABB~1~是等边三角形，AB=2，∴OB~1~=，
∵在△ABC中，AB=2，BC=AC=，O为AB的中点，
∴OC=1，
∵B~1~C=2，0B~1~=，∴OB~1~^2^+OC^2^=B~1~C^2^，
∴OB~1~⊥OC，
∵OB~1~⊥AB，
∴OB~1~⊥平面ABC，
以O为坐标原点，OB，OC，OB~1~的方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的坐标系，
可得A（﹣1，0，0），B~1~（0，0，），B（1，0，0），C（0，1，0），
则=+=+=（﹣1，1，），则C（﹣1，1，），
=（1，0，），=（0，1，），
则平面BAB~1~的一个法向量为=（0，1，0），
设=（x，y，z）为平面AB~1~C~1~的法向量，
则： •=x+z=0， •=y+z=0，
令z=﹣1，则x=y=，
可得=（，，﹣1），
故cos＜，＞==，
则sin＜，＞==，
即二面角B﹣AB~1~﹣C~1~的正弦值是．
19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎，这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"的赞同程度，从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----- ---- ---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
居民编号 28
问卷得分 36 52 78 70 16 100 72 78 100 24 40 78 78 80 94 55 77 73 58 55
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----- ---- ---- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（注：表中居民编号由小到大排列，得分越高赞同度越高）
（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；
（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民，将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图，试通过茎叶图中数据信息，用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"的赞同程度（不要求算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民的更多信息，将调查所得的频率视为概率，从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取了4次．
（i）求每次抽取1人，抽到"持赞同态度"居民的概率；
（ii）若设被抽到的4人"持赞同态度"的人数为ξ．每次抽取结果相互独立，求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．
【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）数列{a~n~}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a~n~}为等差数列，即可求出答案；
（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民"全面二胎"的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"的居民有12人，即可求出答案，
（ii）由题意知ξ～B（4，），故ξ的分步列如下表，根据数学期望和方差的计算公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）记数列{a~n~}为由小到大排列居民编号，依题意知数列{a~n~}为等差数列，公差d=10，
且a~3~=28，得到为100分的居民编号分别对应为a~6~，a~9~，
则a~6~=a~3~+3d=58，a~9~=a~3~+6d=88，
所以得分为100分的居民编号分别为58，88，
（Ⅱ）通过茎叶图可以看出，该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值，
农村居民问卷得分的中位数为（94+96）=95，城市居民问卷得分的中位数为（72+73）=72.5，
农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数，
所以农村居民"全面二胎"的赞同程度要高于城市居民；
（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"的居民有12人，
每次抽到"持赞同态度"居民的概率为=，
（ii）由题意知ξ～B（4，），故ξ的分步列如下表，
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
ξ 0 1 2 3 4
P     
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
E（ξ）=4×=
所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=
20．已知点M是抛物线C~1~：y^2^=2px（p＞0）的准线与x轴的交点，点P是抛物线C~1~上的动点，点A、B在y轴上，△APB的内切圆为圆C~2~，（x一1）^2^+y^2^=1，且\|MC~2~\|=3\|OM\|为坐标原点．
（I）求抛物线C~1~的标准方程；
（Ⅱ）求△APB面积的最小值．
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
【分析】（I）求出M（﹣，0），可得=，即可求抛物线C~1~的标准方程；
（Ⅱ）设P（x~0~，y~0~），A（0，b），B（0，c），求得直线PA的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PAB的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．
【解答】解：（I）由题意，C~2~（1，0），
∵\|MC~2~\|=3\|OM\|，
∴M（﹣，0），
∴=，
∴p=1，
∴抛物线C~1~的标准方程是y^2^=2x；
（Ⅱ）设P（x~0~，y~0~），A（0，b），B（0，c），
直线PA的方程为：（y~0~﹣b）x﹣x~0~y+x~0~b=0，
又圆心（1，0）到PA的距离为1，
即=1，整理得：（x~0~﹣2）b^2^+2y~0~b﹣x~0~=0，
同理可得：（x~0~﹣2）c^2^+2y~0~c﹣x~0~=0，
所以，可知b，c是方程（x~0~﹣2）x^2^+2y~0~x﹣x~0~=0的两根，
所以b+c=，bc=，
依题意bc＜0，即x~0~＞2，
则（c﹣b）^2^=，
因为y~0~^2^=2x~0~，所以：\|b﹣c\|=\|\|
所以S=\|b﹣c\|•\|x~0~\|=（x~0~﹣2）++4≥8
当x~0~=4时上式取得等号，
所以△PAB面积最小值为8．
21．已知函数f（x）=x^3^﹣x^2^+ax+2，g（x）=lnx﹣bx，且曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点，求证：f（mn）＞f（e^2^）（其中e为自然对数的底数）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式可得a=3：
（Ⅱ）求出f（x）的导数，可得f（x）在R上递增，要证f（mn）＞f（e^2^），只需证mn＞e^2^，m、n是函数g（x）的两个不同零点，可得lnm=bm，lnn=bn，相加减，可得ln（mn）=ln•=ln•，设m＞n＞0，令t=＞1，则h（t）=lnt•，只需证得当t＞1时，h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2，求得导数，判断单调性，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x^3^﹣x^2^+ax+2的导数为f′（x）=x^2^﹣2x+a，
可得曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线斜率为k=a，
由两点的斜率可得=a，解得a=3；
（Ⅱ）证明：f（x）=x^3^﹣x^2^+x+2的导数为
f′（x）=x^2^﹣2x+1=（x﹣1）^2^≥0，
即有f（x）在R上递增，
要证f（mn）＞f（e^2^），只需证mn＞e^2^，
m、n是函数g（x）的两个不同零点，
可得lnm=bm，lnn=bn，
相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n），
相加可得lnm+lnn=b（m+n），
可得b==，
即有ln（mn）=ln•=ln•，
设m＞n＞0，令t=＞1，则h（t）=lnt•，
下证当t＞1时，h（t）＞2．
即当t＞1时，lnt•＞2，即lnt＞=2（1﹣），
只需证t＞1时，lnt+﹣2＞0，设φ（t）=lnt+﹣2，
则φ′（t）=﹣=＞0，即φ（t）在（1，+∞）递增，
可得φ（t）＞φ（1）=0，即ln（mn）＞2，
故f（mn）＞f（e^2^）．
**\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．如图，直线ED与圆相切于点D，且平行于弦BC，连接EC并延长，交圆于点A，弦BC和AD相交于点F．
（I）求证：AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆，且∠ABC=∠CAB，求∠BAC．
【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（I）连接CD，证明：△CFD∽△ACD，得到，即可证明AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB，即可求∠BAC．
【解答】（I）证明：连接CD，
∵直线ED与圆相切于点D，
∴∠EDC=∠EAD，
∵ED∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠EAD=∠DCB，
∴∠CAD=∠DCF，
∵∠CDF=∠ADC，
∴△CFD∽△ACD，
∴，
∴AB•FC=AC•FB；
（Ⅱ）解：∵D、E、C、F四点共圆，
∴∠CFA=∠CED，
∵ED∥BC，
∴∠ACF=∠CED，
∴∠ACF=∠CFA．
由（I）可知∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DAB，
∴∠EAD=∠DAB，
设∠EAD=∠DAB=x，则∠ABC=∠CAB=2x，
∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，
在等腰△ACF中，∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x，
∴x=
∴∠BAC=2x=．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，φ∈\[0，\]），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为（2，），半径为2，直线l与圆C相交于M，N两点．
（I）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）求当φ变化时，弦长\|MN\|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为： =4，展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t^2^+2tcosφ﹣3=0，利用根与系数的关系可得：\|MN\|=\|t~1~﹣t~2~\|=，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2，），即，半径为2，可得圆的标准方程为： =4，
展开可得：x^2^+y^2^﹣2x﹣2y=0，化为极坐标方程：ρ^2^﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t^2^+2tcosφ﹣3=0，
∴t~1~+t~2~=﹣2cosφ，t~1~t~2~=﹣3．
∴\|MN\|=\|t~1~﹣t~2~\|==2，
∵φ∈\[0，\]，∴cosφ∈，cos^2^φ∈．
∴\|MN\|∈．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x﹣2\|+\|x﹣a\|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）当a=3时，若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）a=1时，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）a=3时，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=2\|x﹣1\|+\|x﹣2\|=，
x≤1时，4﹣3x≤2，解得：≤x≤1，
1＜x＜2时，x≤2，∴1＜x＜2，
x≥2时，3x﹣4≤2，∴x=2，
综上，不等式的解集是{x\|≤x≤2}；
（Ⅱ）a=3时，f（x）=，
x≤1时，6﹣3x≥3，∴f（x）≥3，
1＜x≤2时，2≤4﹣x＜3，∴2≤f（x）＜3，
2＜x≤3时，2＜f（x）≤3，
x＞3时，3x﹣6＞3，∴f（x）＞3，
综上，x=2时，f（x）的最小值是2，
若f（x）≥m恒成立，则m≤2，
故实数m的范围是（﹣∞，2\]．
**2016年9月8日**
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**2020-2021学年四川省成都市高新区益民学校二年级（上）期末数学试卷（二）**
**一、口算。（共8分）**
1．（8分）口算。
3×6＝ 64÷8＝ 2×8＝ 7×8﹣29＝
------- -------- -------- -----------
4×9＝ 16÷2＝ 54÷9＝ 8×6+6＝
8×8＝ 72÷8＝ 8×5＝ 7×5﹣13＝
2×9＝ 42÷7＝ 63÷7＝ 8×5+36＝
**二、填空。（每空1分，共33分）**
2．（2分）
> 小刀长[ ]{.underline}厘米，蜡笔长[ ]{.underline}厘米。
3．（2分）1张能换[ ]{.underline}张；[ ]{.underline}张可以换1张。
4．（3分）1米＝[ ]{.underline}厘米，我的身高约[ ]{.underline}米[ ]{.underline}厘米．
5．（5分）5×6＝30，读作[ ]{.underline}，表示[ ]{.underline}个[ ]{.underline}相加，也可以表示[ ]{.underline}的[ ]{.underline}倍是30。
6．（4分）32÷8＝4读作[ ]{.underline}，其中32叫[ ]{.underline}，4叫[ ]{.underline}，8叫[ ]{.underline}。
7．（2分）[ ]{.underline}的6倍是24，8的[ ]{.underline}倍也是24。
8．（4分）把下面的算式改写成乘法算式。
3+3+3+6+3＝3×[ ]{.underline} 5+6+6+7＝8×[ ]{.underline}
---------------------------------- --------------------------------
6+6+6+6+3＝3×[ ]{.underline} 9﹣1+8＝4×[ ]{.underline}
9．（2分）3个9的和是[ ]{.underline}，3和9的和是[ ]{.underline}。
10．（3分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
-------------- ----------- -------------
39+15〇35+19 7×5+7〇35 90厘米〇1米
-------------- ----------- -------------
11．（6分）横线上最大能填几？
[ ]{.underline}×8＜50 34＞5×[ ]{.underline}
--------------------------- ---------------------------
7×[ ]{.underline}＜30 3×[ ]{.underline}＜28
[ ]{.underline}×8＜55 60＞[ ]{.underline}×9
**三、选择。（每小题2，共10分）**
12．（2分）下列图形中，左右对折能完全重合的图形是（ ）
A． B． C．
13．（2分）6个星期一共有（ ）天。
A．36 B．42 C．48
14．（2分）下列图形正确的测量方法是（ ）
A．
B．
C．
15．（2分）一包方便面3元4角，买一包方便面正确的付款方法是（ ）
A．3张1元和4张2角
B．1张2元、1张1元和2张2角
C．1张2元、1张5角和4张2角
16．（2分）6，12，18，□，按照规律，□里的数应该填（ ）
A．24 B．20 C．26
**四、判断。（每小题1分，共5分）**
17．（1分）8个6相加的和是14。[ ]{.underline}（判断对错）
18．（1分）6米和60厘米一样长。[ ]{.underline}（判断对错）
19．（1分）把18本书分成3份，每份一定是6本。[ ]{.underline}（判断对错）
20．（1分）10个2分硬币和4个5分硬币的钱数一样多。[ ]{.underline}（判断对错）
21．（1分）张敏带3个同学去看戏，票价每人6元，买票共花18元钱。[ ]{.underline}（判断对错）
**五、用竖式计算。(共12分)**
22．（12分）用竖式计算。
46﹣28+35 37+26+18
------------ -----------
95﹣48﹣47 52+46﹣39
**六、解决问题。（共32分）**
23．（5分）书架上原来有75本书，借走49本，又买来18本，现在书架上有多少本书？
24．（15分）
> （1）买8架玩具飞机需要多少元？
>
> （2）玩具客车的价钱是玩具小汽车的多少倍？
>
> （3）有50元钱，买一辆玩具小摩托车，剩下的钱可以买几架玩具小飞机？
>
> （4）起重机的价钱是小汽车的6倍，起重机的价钱是多少元？
>
> （5）请你再提一个数学问题，并尝试解答。
25．（6分）一盒粉笔，4位老师每人拿走5支，还剩8支，这盒粉笔一共有多少支？
26．（6分）一根木头长25米，平均锯成5段，每段长多少米？要锯几次？
27．（10分）一个西瓜重6千克，西瓜和菠萝的重量关系如图，那么一个菠萝重多少千克呢？
**2020-2021学年四川省成都市高新区益民学校二年级（上）期末数学试卷（二）**
**参考答案与试题解析**
**一、口算。（共8分）**
1．【分析】根据整数加减乘除法的计算法则以及四则混合运算的运算顺序计算即可。
> 【解答】解：
3×6＝18 64÷8＝8 2×8＝16 7×8﹣29＝27
--------- --------- --------- -------------
4×9＝36 16÷2＝8 54÷9＝6 8×6+6＝54
8×8＝64 72÷8＝9 8×5＝40 7×5﹣13＝22
2×9＝18 42÷7＝6 63÷7＝9 8×5+36＝76
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
**二、填空。（每空1分，共33分）**
2．【分析】用直尺的"0"刻度线和物体的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该物体的长度；或用最后的刻度减去开始的刻度即可。
> 【解答】解：7﹣2＝5（厘米）
>
> 答：小刀长4厘米，蜡笔长5厘米。
>
> 故答案为：4；5。
>
> 【点评】本题考查了学生测量物体长度的能力，关键是灵活运用测量方法。
3．【分析】本题根据货币、人民币单位换算，1张100元可换算为2张50元，1张20元可换算为4张5元。
> 【解答】解：100＝50+50，故1张100元能换2张50元；5+5+5+5＝20，故4张5元可以换1张100元。
>
> 故答案为：2，4。
>
> 【点评】本题考查货币、人民币的单位换算。
4．【分析】首先根据长度单位间的关系，可得1米＝100厘米；然后根据米、厘米的含义，判断出我的身高约多少即可．
> 【解答】解：1米＝100厘米，我的身高约1米80厘米．
>
> 故答案为：100、1、80．
>
> 【点评】此题主要考查了长度单位间的换算，注意高级单位的名数化成低级单位的名数，乘以单位间的进率，反之，则除以单位间的进率．
5．【分析】乘号读作"乘"；
> 乘法的意义就是求几个相同加数的和的简便运算；
>
> 一个数的几倍是多少用乘法计算。
>
> 【解答】解：5×6＝30，读作五乘六等于三十，表示6个5相加，也可以表示5的6倍是30。
>
> 故答案为：五乘六等于三十、6、5、5、6。
>
> 【点评】理解乘法的意义以及倍数的意义是这道题解题的关键。
6．【分析】根据除法算式的读法和意义，在除法算式里，除号前面的数叫被除数，除号后面的数叫除数，求出的结果叫商；据此填空即可。
> 【解答】解：32÷8＝4读作：三十二除以八等于四，其中32叫被除数，4叫做商，8叫除数。
>
> 故答案为：三十二除以八等于四，被除数，商，除数。
>
> 【点评】此题考查除法算式各部分的名称，以及除法算式的读法和意义。
7．【分析】已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答，这两道题都用除法解答。
> 【解答】解：24÷6＝4
>
> 24÷8＝3
>
> 答：4的6倍是24，8的3倍也是24。
>
> 故答案为：4，3。
>
> 【点评】本题考查了倍数的意义，关键是知道已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法解答。
8．【分析】根据乘法的意义，求几个相同加数的和用乘法进行解答，然后再进一步解答.
> 【解答】解：
3+3+3+6+3＝3×6 5+6+6+7＝8×3
---------------- --------------
6+6+6+6+3＝3×9 9﹣1+8＝4×4
> 故答案为：6，3，9，4。
>
> 【点评】此题考查分数加法的意义：把两个数合并成一个数的运算；乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算。
9．【分析】求3个9的和是多少，列成乘法算式9×3＝27；3和9的和3+9＝12，由此解答即可。
> 【解答】解：3个9的和是27，3和9的和是12。
>
> 故答案为：27，12。
>
> 【点评】此题考查求几个几相加的和是多少，既可以用加法计算，也可以用乘法计算。
10．【分析】根据整数加法和乘法的计算方法计算出结果，然后再进行大小比较即可；1米＝100厘米，90厘米＜100厘米，所以90厘米＜1米。
> 【解答】解：
-------------- ----------- -------------
39+15＝35+19 7×5+7＞35 90厘米＜1米
-------------- ----------- -------------
> 【点评】本题主要考查了算式的大小比较的方法，注意单位不同的要化成相同单位再进行比较大小。
11．【分析】（1）根据乘法口诀"六八四十八"可知：6×8＝48＜50；
> （2）根据乘法口诀"五六三十"可知：5×6＝30，34＞30；
>
> （3）根据乘法口诀"四七二十八"可知：7×4＝28＜30；
>
> （4）根据乘法口诀"三九二十七"可知：3×9＝27＜28；
>
> （5）根据乘法口诀"六八四十八"可知：6×8＝48＜50；
>
> （6）根据乘法口诀"六九五十四"可知：6×9＝54，60＞54。
>
> 【解答】解：
6×8＜50 34＞5×6
--------- ---------
7×4＜30 3×9＜28
6×8＜55 60＞6×9
> 故答案为：6，6，4，9，6，6。
>
> 【点评】解决本题关键是熟练掌握乘法口诀。
**三、选择。（每小题2，共10分）**
12．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行解答即可。
> 【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：对折后两部分能完全重合的图形轴对称图形，所以选项*A*、*C*不符合要求，选项*B*符合要求。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。
13．【分析】一个星期是7天，6个星期是6个7天，即6乘7天，由此求解。
> 【解答】解：6×7＝42（天）
>
> 答：6个星期一共有42天。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查了乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算，知道一星期有7天是关键。
14．【分析】刻度尺的使用规则：①刻度尺要与被测部分对齐；②让刻度尺有刻度的一面紧贴被测部分，测量的始端与0刻度线对齐，如果0刻度线磨损，可以与其它整格刻线对齐，测量结果要减去前面的数值；③读数时视线要与尺面垂直；④读数时结果要估读到分度值的下一位；⑤记录数据要写单位
> 【解答】解：根据刻度尺的使用规则可知，
>
> 选项*C*的测量方法是对的。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了刻度尺的使用以及如何测量物体的长度。
15．【分析】结合选项，计算出每一个选项里的总钱数，看看哪一个是3元4角即可。
> 【解答】解：*A*选项：3个1元是3元，4张2角是8角，3元+8角＝3元8角；
>
> *B*选项：1张2元是2元，1张1元是1元，2张2角是4角，2元+1元+4角＝3元4角；
>
> *C*选项：1张2元是2元，1张5角是5角，4张2角是8角，2元+5角+8角＝3元3角。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确的进行人民币的换算。
16．【分析】规律：依次加6，据此解答即可。
> 【解答】解：□里的数应该填：18+6＝24
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
**四、判断。（每小题1分，共5分）**
17．【分析】求出8个6相加的和是多少，可以用加法算式：6+6+6+6+6+6+6+6，也可以用乘法算式：8×6或6×8，由此判断即可。
> 【解答】解：求出8个6相加的和是多少，可以用加法算式：6+6+6+6+6+6+6+6，也可以用乘法算式：8×6或6×8，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题主要考查了整数乘法的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求几个相同加数的和是多少，用乘法解答。
18．【分析】根据对常用长度单位的认识，1＝100厘米，6米就是6个100厘米，即600厘米，600厘米＞60厘米。
> 【解答】解：6米＝600厘米
>
> 600厘米＞60厘米
>
> 即6米＞60厘米
>
> 6米和60厘米不一样长。
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据数值的大小进行比较。
19．【分析】把18本书分成3份，没有说是平均分，所以每份的数量不确定，只有说是平均分的时候，每份才一定是6本。
> 【解答】解：因为本题没有说明是不是平均分，所以每份的数量不确定，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查了除法的意义，要注意不要漏记"平均分"。
20．【分析】10个2分硬币是2角，4个5分硬币是2角，所以10个2分硬币和4个5分硬币的钱数一样多。
> 【解答】解：2×10＝20（分），20分＝2角，
>
> 5×4＝20（分），20分＝2角，
>
> 所以10个2分硬币和4个5分硬币的钱数一样多，所以这句话正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查了货币、人民币及其常用单位和计算。
21．【分析】根据总价＝单价×数量，用6×4求出张敏花的钱数，再与18元比较大小即可。
> 【解答】解：6×（3+1）
>
> ＝6×4
>
> ＝24（元）
>
> 24≠18
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】根据乘法的意义求出小明和2名同学花的钱数，是解决此题的关键。
**五、用竖式计算。(共12分)**
22．【分析】根据整数加减法竖式计算的方法求解，加减混合运算按照从左到右的顺序计算。
> 【解答】解：46﹣28+35＝53
>
> 37+26+18＝81
>
> 95﹣48﹣47＝0
>
> 52+46﹣39＝59
>
> 【点评】笔算整数加减法的方法：
>
> （1）相同数位对齐；
>
> （2）从个位加起或减起；
>
> （3）哪一位相加满十向上一位进一；
>
> （4）哪一位不够减从上一位借一当十，加上原来的数再减。
**六、解决问题。（共32分）**
23．【分析】先用原来的本数减去借走的本数，然后再加上又买来的本数即可求解。
> 【解答】解：75﹣49+18
>
> ＝26+18
>
> ＝44（本）
>
> 答：现在书架上有44本书。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
24．【分析】（1）买8架玩具飞机需要8×5＝40元；
> （2）玩具客车的价钱是玩具小汽车的16÷8＝2倍；
>
> （3）有50元钱，买一辆玩具小摩托车，剩下的钱可以买（50﹣25）÷5＝5架玩具小飞机；
>
> （4）起重机的价钱是小汽车的6倍，起重机的价钱是8×6＝48元；
>
> （5）2架玩具飞机多少元？（答案不唯一）
>
> 【解答】解：（1）8×5＝40（元）
>
> 答：买8架玩具飞机需要40元。
>
> （2）16÷8＝2
>
> 答：玩具客车的价钱是玩具小汽车的2倍。
>
> （3）（50﹣25）÷5
>
> ＝25÷5
>
> ＝5（架）
>
> 答：可以买5架玩具小飞机。
>
> （4）8×6＝48（元）
>
> 答：起重机的价钱是48元。
>
> （5）2架玩具飞机多少元？（答案不唯一）
>
> 2×5＝10（元）
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键。
25．【分析】先用5乘4求出拿走的总支数，再加上剩下的支数即可。
> 【解答】解：5×4+8
>
> ＝20+8
>
> ＝28（支）
>
> 答：这盒粉笔一共有28支
>
> 【点评】本题解答依据是：求几个相同加数的和，用乘法计算。
26．【分析】根据题干，平均锯成5段，由此利用平均分除法的意义，即可求出每段长多少米，平均锯成5段，需要锯5﹣1＝4次，即可解答。
> 【解答】解：25÷5＝5（米）
>
> 5﹣1＝4（次）
>
> 答：每段长5米；要锯4次。
>
> 【点评】本题考查了平均分除法的意义以及植树问题，注意锯成的段数＝次数+1。
27．【分析】一个西瓜重6千克，3个西瓜重（6×3）千克；又等于9个菠萝重，那么一个菠萝重6×3÷9＝2千克。
> 【解答】解：6×3÷9
>
> ＝18÷9
>
> ＝2（千克）
>
> 答：一个菠萝重2千克。
>
> 【点评】此题考查了等量代换问题的做法，要熟练掌握。
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**2013年安徽省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求**
1．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．（5分）"a≤0"是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x\|x＜﹣1或x＞}，则f（10^x^）＞0的解集为（ ）
A．{x\|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x\|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x\|x＞﹣lg2} D．{x\|x＜﹣lg2}
7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x~1~，x~2~，...，x~n~，使得=...=，则n的取值范围是（ ）
A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
9．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足\|\|=\|\|=•=2，则点集{P\|=λ+μ，\|λ\|+\|μ\|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）若函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）=x~1~，则关于x的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上**
11．（5分）若的展开式中x^4^的系数为7，则实数a=[ ]{.underline}．
12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=[ ]{.underline}．
13．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x^2^于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[ ]{.underline}．
14．（5分）如图，互不相同的点A~1~，A~2~，...，A~n~，...和B~1~，B~2~，...，B~n~，...分别在角O的两条边上，所有A~n~B~n~相互平行，且所有梯形A~n~B~n~B~n+1~A~n+1~的面积均相等，设OA~n~=a~n~，若a~1~=1，a~2~=2，则数列{a~n~}的通项公式是[ ]{.underline}．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC~1~上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C~1~D~1~的交点R满足C~1~R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤**
16．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间\[0，\]上的单调性．
17．（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a^2^）x^2^，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
18．（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F~1~，F~2~分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F~2~P交y轴于点Q，并且F~1~P⊥F~1~Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
19．（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
20．（13分）设函数f~n~（x）=﹣1+x+++...+（x∈R，n∈N~+~），证明：
（1）对每个n∈N~+~，存在唯一的x∈\[，1\]，满足f~n~（x~n~）=0；
（2）对于任意p∈N~+~，由（1）中x~n~构成数列{x~n~}满足0＜x~n~﹣x~n+p~＜．
21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
**2013年安徽省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求**
1．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，
由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），
整理得2+（a^2^+b^2^）i=2a+2bi．
则，解得．
所以z=1+i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出S=++的值
∵S=++=．
故选：D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．
【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；
而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选：A．
【点评】本题考查了公理的意义，比较简单．
4．（5分）"a≤0"是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．
【解答】解：当a=0时，f（x）=\|x\|，在区间（0，+∞）内单调递增．
当a＜0时，，
结合二次函数图象可知函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增．
若a＞0，则函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|，其图象如图
它在区间（0，+∞）内有增有减，
从而若函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．
∴a≤0是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s^2^=\[（x~1~﹣）^2^+（x~2~﹣）^2^+...+（x~n~﹣）^2^\]求解即可．
【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．
五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，
方差=×\[（86﹣90）^2^+（94﹣90）^2^+（88﹣90）^2^+（92﹣90）^2^+（90﹣90）^2^\]=8．
五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，
方差=×\[（88﹣91）^2^+（93﹣91）^2^+（93﹣91）^2^+（88﹣91）^2^+（93﹣91）^2^\]=6．
故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．
6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x\|x＜﹣1或x＞}，则f（10^x^）＞0的解集为（ ）
A．{x\|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x\|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x\|x＞﹣lg2} D．{x\|x＜﹣lg2}
【分析】由题意可得f（10^x^）＞0等价于﹣1＜10^x^＜，由指数函数的单调性可得解集．
【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x\|﹣1＜x＜}，
故可得f（10^x^）＞0等价于﹣1＜10^x^＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10^x^＞﹣1，
而10^x^＜可化为10^x^＜，即10^x^＜10^﹣lg2^，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选：D．
【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．
7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．
故选：B．
【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x~1~，x~2~，...，x~n~，使得=...=，则n的取值范围是（ ）
A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．
【解答】解：令y=f（x），y=kx，
作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，
故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．
故n的取值范围为2，3，4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．
9．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足\|\|=\|\|=•=2，则点集{P\|=λ+μ，\|λ\|+\|μ\|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式\|λ\|+\|μ\|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．
【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则\|\|^2^=（﹣）^2^=﹣2•+=4，则\|\|=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．
由，得：．
所以，解得①．
由\|λ\|+\|μ\|≤1．
所以①等价于或或或．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，
则区域面积为．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．
10．（5分）若函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）=x~1~，则关于x的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求导数f′（x），由题意知x~1~，x~2~是方程3x^2^+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
【解答】解：f′（x）=3x^2^+2ax+b，x~1~，x~2~是方程3x^2^+2ax+b=0的两根，
由3（f（x））^2^+2af（x）+b=0，得x=x~1~，或x=x~2~，
即3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的根为f（x）=x~1~或f（x~2~）=x~2~的解．
如图所示
，
由图象可知f（x）=x~1~有2个解，f（x）=x~2~有1个解，因此3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的不同实根个数为3．
故选：A．
【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上**
11．（5分）若的展开式中x^4^的系数为7，则实数a=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：由通项公式T~r+1~==，
∵的展开式中x^4^的系数为7，∴，解得．
故答案为．
【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．
12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
∴cosC==﹣
∵C∈（0，π）
∴C=
故答案为：
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x^2^于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[ \[1，+∞） ]{.underline}．
【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m^2^），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．
【解答】解：如图所示，可知A，B，
设C（m，m^2^），，．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴=．
化为m^2^﹣a+（m^2^﹣a）^2^=0．
∵m，∴m^2^=a﹣1≥0，解得a≥1．
∴a 的取值范围为\[1，+∞）．
故答案为\[1，+∞）．
【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
14．（5分）如图，互不相同的点A~1~，A~2~，...，A~n~，...和B~1~，B~2~，...，B~n~，...分别在角O的两条边上，所有A~n~B~n~相互平行，且所有梯形A~n~B~n~B~n+1~A~n+1~的面积均相等，设OA~n~=a~n~，若a~1~=1，a~2~=2，则数列{a~n~}的通项公式是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设，利用已知可得A~1~B~1~是三角形OA~2~B~2~的中位线，得到==，梯形A~1~B~1~B~2~A~2~的面积=3S．由已知可得梯形A~n~B~n~B~n+1~A~n+1~的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，...，已知，，可得，...．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a~n~．
【解答】解：设，∵OA~1~=a~1~=1，OA~2~=a~2~=2，A~1~B~1~∥A~2~B~2~，
∴A~1~B~1~是三角形OA~2~B~2~的中位线，∴==，∴梯形A~1~B~1~B~2~A~2~的面积=3S．
故梯形A~n~B~n~B~n+1~A~n+1~的面积=3S．
∵所有A~n~B~n~相互平行，∴所有△OA~n~B~n~（n∈N^\*^）都相似，∴，，，...，
∵，∴，，...．
∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．
∴．
因此数列{a~n~}的通项公式是．
故答案为．
【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC~1~上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是[ ①②③⑤ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C~1~D~1~的交点R满足C~1~R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
当CQ=时，即Q为CC~1~中点，此时可得PQ∥AD~1~，AP=QD~1~==，
故可得截面APQD~1~为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD~1~上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD~1~至N，使D~1~N=，连接AN交A~1~D~1~于S，连接NQ交C~1~D~1~于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD~1~∽△QRC~1~，可得C~1~R：D~1~R=C~1~Q：D~1~N=1：2，故可得C~1~R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C~1~重合，取A~1~D~1~的中点F，连接AF，可证PC~1~∥AF，且PC~1~=AF，
可知截面为APC~1~F为菱形，故其面积为AC~1~•PF==，故正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤**
16．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间\[0，\]上的单调性．
【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；
（2）由于x是\[0，\]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间\[0，\]上的单调性．
【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos^2^ωx
=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，
所以 T==π，∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，
因为0≤x≤，所以≤2x+≤，
当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，
当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，
所以f（x）在区间\[0，\]上单调增，在区间\[，\]上单调减．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．
17．（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a^2^）x^2^，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a^2^）x^2^=0（a＞0）有两个实根x~1~=0，＞0，
故f（x）＞0的解集为{x\|x~1~＜x＜x~2~}，
因此区间I=（0，），区间长度为；
（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间\[1﹣k，1+k\]上取得最小值，即I长度的最小值为．
【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．
18．（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F~1~，F~2~分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F~2~P交y轴于点Q，并且F~1~P⊥F~1~Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；
（2）设P（x~0~，y~0~），F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F~1~P的斜率=，直线F~2~P的方程为．即可得出Q．得到直线F~1~Q的斜率=．利用F~1~Q⊥F~1~P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．
（2）设P（x~0~，y~0~），F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中．
由题设可知：x~0~≠c．则直线F~1~P的斜率=，直线F~2~P的斜率=．
故直线F~2~P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F~1~Q的斜率=．
∵F~1~Q⊥F~1~P，∴=．
化为．
联立，及x~0~＞0，y~0~＞0，
解得，．
即点P在定直线x+y=1上．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．
19．（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．
【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；
（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD⊂平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设，∠OPF=60°
设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=
∵∠OCP=22.5°，∴
∵tan45°==1
∴tan22.5°=
∴OC==
在Rt△OCF中，cos∠COF===
∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos^2^∠COF﹣1=17﹣12
【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．
20．（13分）设函数f~n~（x）=﹣1+x+++...+（x∈R，n∈N~+~），证明：
（1）对每个n∈N~+~，存在唯一的x∈\[，1\]，满足f~n~（x~n~）=0；
（2）对于任意p∈N~+~，由（1）中x~n~构成数列{x~n~}满足0＜x~n~﹣x~n+p~＜．
【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f~n~（1）＞0，f~n~（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．
（2）由题意可得f~n+1~（x~n~）＞f~n~（x~n~）=f~n+1~（x~n+1~）=0，由 f~n+1~（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x~n+1~＜x~n~，故x~n~﹣x~n+p~＞0．用 f~n~（x）的解析式减去f~n+p~ （x~n+p~）的解析式，变形可得x~n~﹣x~n+p~=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，综上可得要证的结论成立．
【解答】证明：（1）对每个n∈N~+~，当x＞0时，由函数f~n~（x）=﹣1+x+），可得
f′（x）=1+++...＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f~1~（x~1~）=0，当n≥2时，f~n~（1）=++...+＞0，即f~n~（1）＞0．
又f~n~（）=﹣1++\[+++...+\]≤﹣+•
=﹣+×=﹣•＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x~n~，满足f~n~（x~n~）=0．
（2）对于任意p∈N~+~，由（1）中x~n~构成数列{x~n~}，当x＞0时，∵f~n+1~（x）=f~n~（x）+＞f~n~（x），
∴f~n+1~（x~n~）＞f~n~（x~n~）=f~n+1~（x~n+1~）=0．
由 f~n+1~（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x~n+1~＜x~n~，即 x~n~﹣x~n+1~＞0，故数列{x~n~}为减数列，即对任意的 n、p∈N~+~，x~n~﹣x~n+p~＞0．
由于 f~n~（x~n~）=﹣1+x~n~+++...+=0 ①，
f~n+p~ （x~n+p~）=﹣1+x~n+p~+++...++\[++...+\]②，
用①减去②并移项，利用 0＜x~n+p~≤1，可得
x~n~﹣x~n+p~=+≤≤＜=＜．
综上可得，对于任意p∈N~+~，由（1）中x~n~构成数列{x~n~}满足0＜x~n~﹣x~n+p~＜．
【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．
21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；
（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
【解答】解：（I）因为事件A："学生甲收到李老师所发信息"与事件B："学生甲收到张老师所发信息"是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）^2^=
（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于"李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位"所包含的基本事件总数为（）^2^，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为
P（X=m）==
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）^2^≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣
假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）^2^能被n+2整除时，
k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；
当（k+1）^2^不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣\[\]处达到最大值（注：\[x\]表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣＜t
因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0
而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k
因此k≤2k﹣＜t
综上得，符合条件的m=2k﹣\[\]
【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分
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**2014年山东省高考数学试卷（文科）**
**一.选择题每小题5分，共50分**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）^2^=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i
2．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣2x＜0}，B={x\|1≤x≤4}，则A∩B=（ ）
A．（0，2\] B．（1，2） C．\[1，2） D．（1，4）
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，2） B．（0，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A．x^3^＞y^3^ B．sinx＞siny
C．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1） D．＞
6．（5分）已知函数y=log~a~（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1
7．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（ ）
A．2 B． C．0 D．﹣
8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
9．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x^2^ C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）
10．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
**二.填空题每小题5分，共25分**
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）函数y=sin2x+cos^2^x的最小正周期为[ ]{.underline}．
13．（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为[ ]{.underline}．
14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且\|FA\|=c，则双曲线的渐近线方程为[ ]{.underline}．
**三.解答题共6小题，共75分**
16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
------ ---- ----- -----
地区 A B C
数量 50 150 100
------ ---- ----- -----
（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．
19．（12分）在等差数列{a~n~}中，已知公差d=2，a~2~是a~1~与a~4~的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=a，记T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~，求T~n~．
20．（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明存在常数λ使得k~1~=λk~2~，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
**2014年山东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一.选择题每小题5分，共50分**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）^2^=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i
【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）^2^的值．
【解答】解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）^2^=（2﹣i）^2^=3﹣4i，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．
2．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣2x＜0}，B={x\|1≤x≤4}，则A∩B=（ ）
A．（0，2\] B．（1，2） C．\[1，2） D．（1，4）
【分析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：A={x\|0＜x＜2}，B={x\|1≤x≤4}，
∴A∩B={x\|1≤x＜2}．
故选：C．
【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．
3．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，2） B．（0，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
【分析】分析可知，，解出x即可．
【解答】解：由题意可得，，
解得，即x＞2．
∴所求定义域为（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题是对基本计算的考查，注意到"真数大于0"和"开偶数次方根时，被开方数要大于等于0"，及"分母不为0"，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是：方程x^3^+ax+b=0没有实根．
故选：A．
【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A．x^3^＞y^3^ B．sinx＞siny
C．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1） D．＞
【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
【解答】解：∵实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），∴x＞y，
A．当x＞y时，x^3^＞y^3^，恒成立，
B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．
C．若ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1），则等价为x^2^＞y^2^成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＞y^2^不成立．
D．若＞，则等价为x^2^+1＜y^2^+1，即x^2^＜y^2^，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＜y^2^不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
6．（5分）已知函数y=log~a~（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1
【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，
当x=1时log~a~（x+c）=log~a~（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，
当x=0时log~a~（x+c）=log~a~c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（ ）
A．2 B． C．0 D．﹣
【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．
【解答】解：由题意可得cos===，
解得 m=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．
8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，
第三组中没有疗效的有6人，
第三组中有疗效的有12人．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．
9．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）
A．f（x）= B．f（x）=x^2^ C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）
【分析】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．
【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，
∴函数的对称轴是x=a，a≠0，
选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．
函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．
10．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a^2^+b^2^的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得：A（2，1）．
化目标函数为直线方程得：（b＞0）．
由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴2a+b=2．
即2a+b﹣2=0．
则a^2^+b^2^的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
**二.填空题每小题5分，共25分**
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：循环前输入的x的值为1，
第1次循环，x^2^﹣4x+3=0≤0，
满足判断框条件，x=2，n=1，x^2^﹣4x+3=﹣1≤0，
满足判断框条件，x=3，n=2，x^2^﹣4x+3=0≤0
满足判断框条件，x=4，n=3，x^2^﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，
输出n：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．
12．（5分）函数y=sin2x+cos^2^x的最小正周期为[ π ]{.underline}．
【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期
【解答】解：∵函数y=sin2x+cos^2^x=sin2x+=sin（2x+）+，
故函数的最小正周期的最小正周期为 =π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
13．（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为[ 12 ]{.underline}．
【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．
【解答】解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，
∴h=1，
棱锥的斜高为：==2，
该六棱锥的侧面积为：=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．
14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为[ （x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4 ]{.underline}．
【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=\|2t\|，
∵圆C截x轴所得弦的长为2，
∴t^2^+3=4t^2^，
∴t=±1，
∵圆C与y轴的正半轴相切，
∴t=﹣1不符合题意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4．
故答案为：（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4．
【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．
15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且\|FA\|=c，则双曲线的渐近线方程为[ y=±x ]{.underline}．
【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x^2^=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．
【解答】解：∵右顶点为A，
∴A（a，0），
∵F为抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点，
F，
∵\|FA\|=c，
∴
抛物线的准线方程为
由得，
，
由①②，得=2c，即c^2^=2a^2^，
∵c^2^=a^2^+b^2^，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，
故答案为：y=±x．
【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．
**三.解答题共6小题，共75分**
16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
------ ---- ----- -----
地区 A B C
数量 50 150 100
------ ---- ----- -----
（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，
故抽样比k==，
故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；
B地区抽取的商品的数量为：×150=3；
C地区抽取的商品的数量为：×100=2；
（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；
且这些事件是等可能发生的，
记"这2件商品来自相同地区"为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，
则A中包含=4种不同的基本事件，
故P（A）=，
即这2件商品来自相同地区的概率为．
【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．
（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，
∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．
【分析】（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；
（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．
【解答】证明：（Ⅰ）连接CE，则
∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，
∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，
∵F为线段PC的中点，
∴PA∥OF，
∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，
∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，
∴BE⊥平面PAC．
【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键
19．（12分）在等差数列{a~n~}中，已知公差d=2，a~2~是a~1~与a~4~的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=a，记T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~，求T~n~．
【分析】（Ⅰ）由于a~2~是a~1~与a~4~的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b~n~=a=n（n+1），因此T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣...+（﹣1）^n^n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵a~2~是a~1~与a~4~的等比中项，
∴，
∵在等差数列{a~n~}中，公差d=2，
∴，即，
化为，解得a~1~=2．
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．
（Ⅱ）∵b~n~=a=n（n+1），
∴T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣...+（﹣1）^n^n•（n+1）．
当n=2k（k∈N^\*^）时，b~2k~﹣b~2k﹣1~=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4k
T~n~=（b~2~﹣b~1~）+（b~4~﹣b~3~）+...+（b~2k~﹣b~2k﹣1~）
=4（1+2+...+k）=4×=2k（k+1）=．
当n=2k﹣1（k∈N^\*^）时，
T~n~=（b~2~﹣b~1~）+（b~4~﹣b~3~）+...+（b~2k﹣2~﹣b~2k﹣3~）﹣b~2k﹣1~
=n（n+1）
=﹣．
故T~n~=．
（也可以利用"错位相减法"）
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．
20．（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．
（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax^2^+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．
【解答】解：，
（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．
（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax^2^+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax^2^+（2a+2）x+a＜0．
以下考虑函数g（x）=ax^2^+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．
①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，
∴g（x）=0的两根一正一负，计算得
当0＜x＜时，g（x）＞0；
当x＞时，g（x）＜0．
综合（1）（2）可知，
当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明存在常数λ使得k~1~=λk~2~，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x~1~，y~1~）（x~1~y~1~≠0），（x~2~，y~2~），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；
（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a^2^=4b^2^．
∴椭圆C的方程可化为x^2^+4y^2^=a^2^．
将y=x代入可得，
因此，解得a=2．
则b=1．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）（i）设A（x~1~，y~1~）（x~1~y~1~≠0），D（x~2~，y~2~），
则B（﹣x~1~，﹣y~1~）．
∵直线AB的斜率，
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率．
设AD方程为y=kx+m，
由题意知k≠0，m≠0．
联立，得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣4=0．
∴．
因此．
由题意可得．
∴直线BD的方程为．
令y=0，得x=3x~1~，即M（3x~1~，0）．
可得．
∴，即．
因此存在常数使得结论成立．
（ii）直线BD方程为，
令x=0，得，即N（）．
由（i）知M（3x~1~，0），
可得△OMN的面积为S==．
当且仅当时等号成立．
∴△OMN面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．
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**2014年湖南省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，则f（1）+g（1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）（x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数是（ ）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x^2^＞y^2^，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B． C．pq D．﹣1
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
10．（5分）若函数f（x）=x^2^+e^x^﹣（x＜0）与g（x）=x^2^+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣） B．（） C．（） D．（）
**二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）**
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且\|AB\|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是[ ]{.underline}．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于[ ]{.underline}．
13．若关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣＜x＜}，则a=[ ]{.underline}．
**（二）必做题（14-16题）**
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=[ ]{.underline}．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y^2^=2px（p＞0）经过C，F两点，则=[ ]{.underline}．
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足\|\|=1，则\|++\|的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分**
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形．
（Ⅰ）证明：O~1~O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值．
20．（13分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若{a~n~}是递增数列，且a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若p=，且{a~2n﹣1~}是递增数列，{a~2n~}是递减数列，求数列{a~n~}的通项公式．
21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为e~1~；双曲线C~2~：﹣=1的左、右焦点分别为F~3~，F~4~，离心率为e~2~，已知e~1~e~2~=，且\|F~2~F~4~\|=﹣1．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）过F~1~作C~1~的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C~2~交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）+f（x~2~）＞0，求a的取值范围．
**2014年湖南省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵=i，
∴z+i=zi，
即z===﹣i，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础．
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即P~1~=P~2~=P~3~．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，则f（1）+g（1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．
【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x^3^+x^2^+1，
根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得
f（x）+g（x）=﹣x^3^+x^2^+1，再令x=1，计算得，
f（1）+g（1）=1．
故选：C．
【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．
4．（5分）（x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数是（ ）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．
【解答】解：由二项式定理可知：T~r+1~=，
要求解（x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数，
所以r=3，
所求系数为：=﹣20．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查．
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x^2^＞y^2^，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，
当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＞y^2^不成立，即命题q为假命题，
则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，
故选：C．
【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈\[﹣3，﹣1\]，
若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t^2^+1∈（1，9\]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6\]，
综上：S=t﹣3∈\[﹣3，6\]，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则
8﹣r+6﹣r=，
∴r=2．
故选：B．
【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B． C．pq D．﹣1
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）^2^，解出即可．
【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，
则（1+p）（1+q）=（1+x）^2^，
解得x=﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有 φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），
f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣\[﹣cos（﹣φ）\]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，
∴φ+=kπ+，k∈z，即 φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．
令x﹣=kπ+，求得 x=kπ+，k∈Z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，
故选：A．
【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
10．（5分）若函数f（x）=x^2^+e^x^﹣（x＜0）与g（x）=x^2^+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣） B．（） C．（） D．（）
【分析】由题意可得e^x0^﹣﹣ln（﹣x~0~+a）=0有负根，函数h（x）=e^x^﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x~0~∈（﹣∞，0），满足x~0~^2^+e^x0^﹣=（﹣x~0~）^2^+ln（﹣x~0~+a），
即e^x0^﹣﹣ln（﹣x~0~+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e^x0^﹣﹣ln（﹣x~0~+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=e^x^﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e^0^﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．
**二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）**
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且\|AB\|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是[ ρ（cosθ﹣sinθ）=1 ]{.underline}．
【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．
【解答】解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，
曲线C：（α为参数），即 （x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长\|AB\|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，
故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1
故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于[ 1.5 ]{.underline}．
【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．
【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则
∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，
∴AD=1，
∴R^2^=2+（R﹣1）^2^，
∴R=1.5．
故答案为：1.5
【点评】本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．若关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣＜x＜}，则a=[ ﹣3 ]{.underline}．
【分析】由题意可得﹣和是\|ax﹣2\|=3的两个根，故有，由此求得a的值．
【解答】解：∵关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣＜x＜}，
∴﹣和是\|ax﹣2\|=3的两个根，∴，∴a=﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
**（二）必做题（14-16题）**
14．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由，解得，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y^2^=2px（p＞0）经过C，F两点，则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．
【解答】解：由题意可得，，
将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y^2^=2px中，得
∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a^2^+2ab﹣b^2^=0，
此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，
取，
从而，
故答案为：．
【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足\|\|=1，则\|++\|的最大值是[ ]{.underline}[+1 ]{.underline}．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得\|++\|≤\|++\|+\|\|，可得\|++\|的最大值．
【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则\|++\|≤\|++\|+\|\|=+1．
∴\|++\|的最大值是 +1，
故答案为：+1．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分**
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，
（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．
则P（B）=，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，
故至少有一种新产品研发成功的概率为．
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
由独立试验的概率计算公式可得，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 120 100 220
P（x）    
-------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
则数学期望E（X）==140．
【点评】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，
∴sin∠BAD==，
∵cos∠CAD=，
∴sin∠CAD==
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，
∴由正弦定理知=，
∴BC=•sin∠BAC=×=3
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形．
（Ⅰ）证明：O~1~O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形．可得O~1~O∥CC~1~∥BB~1~且CC~1~⊥AC，BB~1~⊥BD，进而OO~1~⊥AC，OO~1~⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O~1~O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO~1~为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD~1~B~1~和平面OB~1~C~1~的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，
∴四边形ABCD为菱形，
又∵AC∩BD=O，
故O为BD的中点，
同理O~1~也是B~1~D~1~的中点，
又∵四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形，
∴O~1~O∥CC~1~∥BB~1~且CC~1~⊥AC，BB~1~⊥BD，
∴OO~1~⊥AC，OO~1~⊥BD，
又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，
∴O~1~O⊥底面ABCD；
解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵O~1~O⊥底面ABCD，
∴OB，OC，OO~1~两两垂直，
如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO~1~所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2，
∵∠CBA=60°，
∴OA=OC=1，OB=OD=，
则O（0，0，0），B~1~（），C~1~（0，1，2）
易知，=（0，1，0）是平面BDD~1~B~1~的一个法向量，
设=（x，y，z）是平面OB~1~C~1~的一个法向量，则，即
取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）
设二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：
cosθ=\|cos＜，＞\|=\|\|==，
故二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
20．（13分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若{a~n~}是递增数列，且a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若p=，且{a~2n﹣1~}是递增数列，{a~2n~}是递减数列，求数列{a~n~}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a~2~和a~3~，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用"{a~n~}是递增数列"对求出的p的值取舍；
（Ⅱ）根据数列的单调性和式子"\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^"、不等式的可加性，求出和a~2n+1~﹣a~2n~=，再对数列{a~n~}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a~n~}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a~n~}是递增数列，∴a~n+1~﹣a~n~＞0，
则\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^化为：a~n+1~﹣a~n~=p^n^，
分别令n=1，2可得，a~2~﹣a~1~=p，，
即a~2~=1+p，，
∵a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，∴4a~2~=a~1~+3a~3~，
即4（1+p）=1+3（p^2^+p+1），
化简得3p^2^﹣p=0，解得或0，
当p=0时，数列a~n~为常数数列，不符合数列{a~n~}是递增数列，
∴；
（2）由题意可得，\|a~n+1~﹣a~n~\|=，
则\|a~2n~﹣a~2n﹣1~\|=，\|a~2n+2~﹣a~2n+1~\|=，
∵数列{a~2n﹣1~}是递增数列，且{a~2n~}是递减数列，
∴a~2n+1~﹣a~2n﹣1~＞0，且a~2n+2~﹣a~2n~＜0，
则﹣（a~2n+2~﹣a~2n~）＞0，两不等式相加得
a~2n+1~﹣a~2n﹣1~﹣（a~2n+2~﹣a~2n~）＞0，即a~2n+1~﹣a~2n+2~＞a~2n﹣1~﹣a~2n~，
又∵\|a~2n~﹣a~2n﹣1~\|=＞\|a~2n+2~﹣a~2n+1~\|=，
∴a~2n~﹣a~2n﹣1~＞0，即，
同理可得：a~2n+3~﹣a~2n+2~＞a~2n+1~﹣a~2n~，即\|a~2n+3~﹣a~2n+2~\|＜\|a~2n+1~﹣a~2n~\|，
则a~2n+1~﹣a~2n~=
当数列{a~n~}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N^\*^），
，，，...，，
这2m﹣1个等式相加可得，
==，
则；
当数列{a~n~}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N^\*^）
，，，...，，
这2m个等式相加可得，...﹣...+
=﹣=，
则，且当m=0时a~1~=1符合，
故，
综上得，．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．
21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为e~1~；双曲线C~2~：﹣=1的左、右焦点分别为F~3~，F~4~，离心率为e~2~，已知e~1~e~2~=，且\|F~2~F~4~\|=﹣1．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）过F~1~作C~1~的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C~2~交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e~1~，e~2~，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；
（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．
∵e~1~e~2~=，且\|F~2~F~4~\|=﹣1．
∴，且．
解得：．
∴椭圆C~1~的方程为，双曲线C~2~的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F~1~（﹣1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny﹣1，
联立，得（n^2^+2）y^2^﹣2ny﹣1=0．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~），
则，．
则
==．
∵M在直线AB上，
∴．
直线PQ的方程为，
联立，得．
解得，代入 得．
由2﹣n^2^＞0，得﹣＜n＜．
∴P，Q的坐标分别为，
则P，Q到AB的距离分别为：，．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴．
则四边形APBQ的面积S=\|AB\|．
∴当n^2^=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．
【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）+f（x~2~）＞0，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．
∴f′（x）==，
∵（1+ax）（x+2）^2^＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x~1~=，x~2~=﹣，
且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，
∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x~1~，x~2~分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x~1~）+f（x~2~）=ln\[1+ax~1~\]﹣+ln（1+ax~2~）﹣=ln\[1+a（x~1~+x~2~）+a^2^x~1~x~2~\]﹣
=ln（2a﹣1）^2^﹣=ln（2a﹣1）^2^+﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，
当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）=lnx^2^+﹣2．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴当0＜a＜时，f（x~1~）+f（x~2~）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，
∴当＜a＜1时，f（x~1~）+f（x~2~）＞0；
综上所述，a的取值范围是（，1）．
【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．
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**《租船》同步练习**
> 一、基础练习。
>
> 1.（ ）里最大能填几？
>
> \[来源:Z\#xx\#k.Com\]
>
> 6 ×（ ）＜54 9 × （ ）＜25
>
> \[来源:Z\#xx\#k.Com\]
>
> 3 ×（ ）＜24 9 × （ ）＜47
>
> 3 ×（ ）＜24 7 × （ ）＜44
>
> 2.用竖式计算。
>
> 47÷9= 32÷7= 41÷8= 42÷6=
>
> 27÷4= 37÷5= 37÷5＝ 44÷9＝
>
> 14÷8＝ 53÷7＝ 30÷4＝ 22÷6＝
>
> 二、解决问题。
>
> 1. 新园公司18名职工乘车去博物馆，已知每辆汽车最多可以乘4人，他们至少需要几辆汽车？
>
> 2. 把50块蛋糕平均分给9个小朋友，每个小朋友能分到几块，还剩几块？
>
> 3\. 有25人参加电脑培训班，如果每3人用1台电脑，至少需要多少台电脑？
>
> 三、选择题。
>
> （1）在18、16、36、20、32、24、54中，被4除有余数的是（ ）；被6除有余数的是（ ）。
>
> （2）有45条金鱼，要放到鱼缸里，每个鱼缸最多只能放8条，至少需要（ ）个鱼缸。
>
> A、5个 B、6个 C、5（个）......5（条）
>
> （3）每套学生装用布3米，有10米布，可以做（ ）套这样的学生装。
>
> A、3套 B、4套
\[来源:学,科,网\]
参考答案：
> 一、基础练习。
>
> 1.（ ）里最大能填几？
>
> 6 ×（8 ）＜54 9 × （ 2）＜25\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
>
> 3 ×（7 ）＜24 9 × （ 5）＜47
>
> 3 ×（7 ）＜24 7 × （ 6）＜44
>
> 2.用竖式计算。
>
> 47÷9=5······2 32÷7=4······4
>
> 41÷8=5······1 42÷6=7
>
> 27÷4=6······3 37÷5=7······2
>
> 37÷5＝7······2 44÷9＝4······8
>
> 14÷8＝1······6 53÷7＝7······4
>
> 30÷4＝7······2 22÷6＝3······4
>
> 二、解决问题。
>
> 1. 5
>
> 2. 5 5
3\. 9
> 三、选择题。
>
> （1）被4除有余数的是（18、54）
>
> 被6除有余数的是（16、20、32）\[来源:Zxxk.Com\]
>
> （2）B
>
> （3）A
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**2013年辽宁省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x\|\|x\|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a~n~}的四个命题：
p~1~：数列{a~n~}是递增数列；
p~2~：数列{na~n~}是递增数列；
p~3~：数列是递增数列；
p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p~1~，p~2~ B．p~3~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~1~，p~4~
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a^3^），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a^3^ B．
C． D．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x^2^﹣2（a+2）x+a^2^，g（x）=﹣x^2^+2（a﹣2）x﹣a^2^+8．设H~1~（x）=max{f（x），g（x）}，H~2~（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H~1~（x）的最小值为A，H~2~（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a^2^﹣2a﹣16 B．a^2^+2a﹣16 C．﹣16 D．16
**二、填空题**
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[ ]{.underline}．
14．（5分）已知等比数列{a~n~}是递增数列，S~n~是{a~n~}的前n项和．若a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，则S~6~=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为[ ]{.underline}．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
20．（12分）如图，抛物线C~1~：x^2^=4y，C~2~：x^2^=﹣2py（p＞0），点M（x~0~，y~0~）在抛物线C~2~上，过M作C~1~的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x~0~=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C~2~上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
21．（12分）（1）证明：当x∈\[0，1\]时，；
（2）若不等式对x∈\[0，1\]恒成立，求实数a的取值范围．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。**
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF^2^=AD•BC．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C~1~，直线C~2~的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C~1~与C~2~交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C~1~的圆心，Q为C~1~与C~2~交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
**2013年辽宁省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x\|\|x\|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【分析】求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：由B中的不等式\|x\|＜2，解得：﹣2＜x＜2，即B=（﹣2，2），
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={0，1}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：复数，
所以===．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），\|\|=5，再根据与向量同方向的单位向量为  求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），\|\|==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a~n~}的四个命题：
p~1~：数列{a~n~}是递增数列；
p~2~：数列{na~n~}是递增数列；
p~3~：数列是递增数列；
p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p~1~，p~2~ B．p~3~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~1~，p~4~
【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a~n~}，a~n+1~﹣a~n~=d＞0，∴命题p~1~：数列{a~n~}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{na~n~}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）a~n+1~﹣na~n~=（n+1）d+a~n~，不一定是正实数，
故p~2~不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，
故p~3~不正确，是假命题．
对于数列{a~n~+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 a~n+1~+3（n+1）d﹣a~n~﹣3nd=4d＞0，
故命题p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2，即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，+∞），
∵f（x）=ln（﹣3x）+1，
∴f（﹣x）+f（x）=ln（+3x）+1+ln（﹣3x）+1=ln\[（+3x）（﹣3x）\]+2=ln（1+9x^2^﹣9x^2^）+2=ln1+2=2，
则f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2是解决本题的关键．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i≤8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当i=2时，S=0+=，i=4；
当i=4时，S=+=，i=6；
当i=6时，S=+=，i=8；
当i=8时，S=+=，i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a^3^），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a^3^ B．
C． D．
【分析】利用已知可得=（a，a^3^﹣b），，=（a，a^3^），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵=（a，a^3^﹣b），，=（a，a^3^），且ab≠0．
①若，则=ba^3^=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b（a^3^﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a^3^≠0；
③若，则=a^2^+a^3^（a^3^﹣b）=0，得1+a^4^﹣ab=0，即．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．
故选：C．
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B~1~BCC~1~，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC~1~=，
所以球的半径为：．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．
11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】在△AFB中，由余弦定理可得\|AF\|^2^=\|AB\|^2^+\|BF\|^2^﹣2\|AB\|\|BF\|cos∠ABF，即可得到\|BF\|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
即可得到a，c，进而取得离心率．
【解答】解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得\|AF\|^2^=\|AB\|^2^+\|BF\|^2^﹣2\|AB\|\|BF\|cos∠ABF，
∴，化为（\|BF\|﹣8）^2^=0，解得\|BF\|=8．
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴\|BF′\|=6，\|FF′\|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x^2^﹣2（a+2）x+a^2^，g（x）=﹣x^2^+2（a﹣2）x﹣a^2^+8．设H~1~（x）=max{f（x），g（x）}，H~2~（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H~1~（x）的最小值为A，H~2~（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a^2^﹣2a﹣16 B．a^2^+2a﹣16 C．﹣16 D．16
【分析】本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x^2^+4，g（x）=﹣x^2^﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H~1~（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H~2~（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．
【解答】解：取a=﹣2，则f（x）=x^2^+4，g（x）=﹣x^2^﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．
则H~1~（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H~2~（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由
解得或，
∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．
**二、填空题**
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[ 16π﹣16 ]{.underline}．
【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：2^2^π×4﹣2^2^×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
14．（5分）已知等比数列{a~n~}是递增数列，S~n~是{a~n~}的前n项和．若a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，则S~6~=[ 63 ]{.underline}．
【分析】通过解方程求出等比数列{a~n~}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
【解答】解：解方程x^2^﹣5x+4=0，得x~1~=1，x~2~=4．
因为数列{a~n~}是递增数列，且a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，
所以a~1~=1，a~3~=4．
设等比数列{a~n~}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为[ 44 ]{.underline}．
【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义"到两定点的距离之差为定值2a"解决．求出周长即可．
【解答】解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，
虚轴长为：8；
双曲线图象如图：
\|PF\|﹣\|AP\|=2a=6 ①
\|QF\|﹣\|QA\|=2a=6 ②
而\|PQ\|=16，
①+②
得：\|PF\|+\|QF\|﹣\|PQ\|=12，
∴周长为：\|PF\|+\|QF\|+\|PQ\|=12+2\|PQ\|=44
故答案为：44．
【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为[ 10 ]{.underline}．
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~，
平均数=（x~1~+x~2~+x~3~+x~4~+x~5~）÷5=7；
方差s^2^=\[（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^+（x~5~﹣7）^2^\]÷5=4．
从而有x~1~+x~2~+x~3~+x~4~+x~5~=35，①
（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^+（x~5~﹣7）^2^=20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x~5~=11，则②式变为：
（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
**三、解答题**
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 =+sin^2^x=4sin^2^x，=cos^2^x+sin^2^x=1，
由，可得 4sin^2^x=1，即sin^2^x=．
∵x∈\[0，\]，∴sinx=，即x=．
（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin^2^x=sin2x+=sin（2x﹣）+．
x∈\[0，\]，∴2x﹣∈\[﹣，\]，
∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直
的判定定理可得结论．
（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，
QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．
【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．
故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，
故平面OQM∥平面PBC．
又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
【分析】（1）根据题意，设事件A为"都是甲类题"，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
（2）设事件B为"所取的2道题不是同一类题"，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．
【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为"所取的2道题都是甲类题"，则包含的基本事件共有C=6种，
因此，P（A）=．
（2）设事件B为"所取的2道题不是同一类题"，
从6件中抽取2道，有C~6~^2^种情况，
而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C~4~^1^•C~2~^1^=8种情况，
根据古典概型的计算，有P（B）=．
【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题．
20．（12分）如图，抛物线C~1~：x^2^=4y，C~2~：x^2^=﹣2py（p＞0），点M（x~0~，y~0~）在抛物线C~2~上，过M作C~1~的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x~0~=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C~2~上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C~1~：x^2^=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，
所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），
故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+
因为点M（1﹣，y~0~）在切线MA及抛物线C~2~上，于是
y~0~=﹣（2﹣）+=﹣①
∴y~0~=﹣=﹣②
解得p=2
（Ⅱ）设N（x，y），A（x~1~，），B（x~2~，），x~1~≠x~2~，由N为线段AB中点知x=③，y==④
切线MA，MB的方程为y=（x﹣x~1~）+，⑤；y=（x﹣x~2~）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x~0~，y~0~）的坐标满足x~0~=，y~0~=
因为点M（x~0~，y~0~）在C~2~上，即x~0~^2^=﹣4y~0~，所以x~1~x~2~=﹣⑦
由③④⑦得x^2^=y，x≠0
当x~1~=x~2~时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x^2^=y
因此中点N的轨迹方程为x^2^=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题
21．（12分）（1）证明：当x∈\[0，1\]时，；
（2）若不等式对x∈\[0，1\]恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）记F（x）=sinx﹣x，可求得F′（x）=cosx﹣，分x∈（0，）与x∈（，1）两类讨论，可证得当x∈\[0，1\]时，F（x）≥0，即sinx≥x；记H（x）=sinx﹣x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）利用（1），可求得当x∈\[0，1\]时，ax+x^2^++2（x+2）cosx﹣4≤（a+2）x，分a≤﹣2与a＞﹣2讨论即可求得实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：记F（x）=sinx﹣x，则F′（x）=cosx﹣．
当x∈（0，）时，F′（x）＞0，F（x）在\[0，\]上是增函数；
当x∈（，1）时，F′（x）＜0，F（x）在\[，1\]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈\[0，1\]时，F（x）≥0，即sinx≥x，
记H（x）=sinx﹣x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx﹣1＜0，所以H（x）在\[0，1\]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，x≤sinx≤x．
（2）∵当x∈\[0，1\]时，ax+x^2^++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x^2^+﹣4（x+2）
≤（a+2）x+x^2^+﹣4（x+2）
=（a+2）x，
∴当a≤﹣2时，不等式ax+x^2^++2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]恒成立，
下面证明，当a＞﹣2时，不等式ax+x^2^++2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]不恒成立．
∵当x∈\[0，1\]时，ax+x^2^++2（x+2）cosx﹣4
=（a+2）x+x^2^+﹣4（x+2）
≥（a+2）x+x^2^+﹣4（x+2）
=（a+2）x﹣x^2^﹣
≥（a+2）x﹣x^2^
=﹣x\[x﹣（a+2）\]．
所以存在x~0~∈（0，1）（例如x~0~取和中的较小值）满足
ax~0~+++2（x~0~+2）cosx~0~﹣4＞0，
即当a＞﹣2时，不等式ax+x^2^++2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2\]．
【点评】本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。**
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF^2^=AD•BC．
【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．
（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF^2^=AF•FB．等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF^2^=AF•FB．
∴EF^2^=AD•CB．
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C~1~，直线C~2~的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C~1~与C~2~交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C~1~的圆心，Q为C~1~与C~2~交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
【分析】（I）先将圆C~1~，直线C~2~化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
【解答】解：（I）圆C~1~，直线C~2~的直角坐标方程分别为 x^2^+（y﹣2）^2^=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C~1~与C~2~交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，直接求出不等式\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由\|h（x）\|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x\|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由\|h（x）\|≤2得，
又已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，
所以，
故a=3．
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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**2019年福建省中考数学试卷**
**一、选择题（每小题4分，共40分）**
1．（4分）（2019•福建）计算2^2^+（﹣1）^0^的结果是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（4分）（2019•福建）北京故宫的占地面积约为720000*m*^2^，将720000用科学记数法表示为（ ）
A．72×10^4^ B．7.2×10^5^ C．7.2×10^6^ D．0.72×10^6^
3．（4分）（2019•福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形
4．（4分）（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
5．（4分）（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．（4分）（2019•福建）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）
> 
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
7．（4分）（2019•福建）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^3^＝*a*^3^ B．（2*a*）^3^＝6*a*^3^
C．*a*^6^÷*a*^3^＝*a*^2^ D．（*a*^2^）^3^﹣（﹣*a*^3^）^2^＝0
8．（4分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载："有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？"其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读*x*个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．*x*+2*x*+4*x*＝34685 B．*x*+2*x*+3*x*＝34685
C．*x*+2*x*+2*x*＝34685 D．*x*+*x*+*x*＝34685
9．（4分）（2019•福建）如图，*PA*、*PB*是⊙*O*切线，*A*、*B*为切点，点*C*在⊙*O*上，且∠*ACB*＝55°，则∠*APB*等于（ ）
> 
A．55° B．70° C．110° D．125°
10．（4分）（2019•福建）若二次函数*y*＝\|*a*\|*x*^2^+*bx*+*c*的图象经过*A*（*m*，*n*）、*B*（0，*y*~1~）、*C*（3﹣*m*，*n*）、*D*（，*y*~2~）、*E*（2，*y*~3~），则*y*~1~、*y*~2~、*y*~3~的大小关系是（ ）
A．*y*~1~＜*y*~2~＜*y*~3~ B．*y*~1~＜*y*~3~＜*y*~2~ C．*y*~3~＜*y*~2~＜*y*~1~ D．*y*~2~＜*y*~3~＜*y*~1~
**二、填空题（每小题4分，共24分）**
11．（4分）（2019•福建）因式分解：*x*^2^﹣9＝[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•福建）如图，数轴上*A*、*B*两点所表示的数分别是﹣4和2，点*C*是线段*AB*的中点，则点*C*所表示的数是[ ]{.underline}．
> 
13．（4分）（2019•福建）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有[ ]{.underline}人．
14．（4分）（2019•福建）在平面直角坐标系*xOy*中，▱*OABC*的三个顶点*O*（0，0）、*A*（3，0）、*B*（4，2），则其第四个顶点是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形*ABCD*中心与半径为2的⊙*O*的圆心重合，*E*、*F*分别是*AD*、*BA*的延长与⊙*O*的交点，则图中阴影部分的面积是[ ]{.underline}．（结果保留π）
> 
16．（4分）（2019•福建）如图，菱形*ABCD*顶点*A*在函数*y*＝（*x*＞0）的图象上，函数*y*＝（*k*＞3，*x*＞0）的图象关于直线*AC*对称，且经过点*B*、*D*两点，若*AB*＝2，∠*BAD*＝30°，则*k*＝[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（共86分）**
17．（8分）（2019•福建）解方程组．
18．（8分）（2019•福建）如图，点*E*、*F*分别是矩形*ABCD*的边*AB*、*CD*上的一点，且*DF*＝*BE*．求证：*AF*＝*CE*．
> 
19．（8分）（2019•福建）先化简，再求值：（*x*﹣1）÷（*x*﹣），其中*x*＝+1．
20．（8分）（2019•福建）已知△*ABC*和点*A*\'，如图．
> （1）以点*A*\'为一个顶点作△*A*\'*B*\'*C*\'，使△*A*\'*B*\'*C*\'∽△*ABC*，且△*A*\'*B*\'*C*\'的面积等于△*ABC*面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
>
> （2）设*D*、*E*、*F*分别是△*ABC*三边*AB*、*BC*、*AC*的中点，*D*\'、*E*\'、*F*\'分别是你所作的△*A*\'*B*\'*C*\'三边*A*\'*B*\'、*B*\'*C*\'、*C*\'*A*\'的中点，求证：△*DEF*∽△*D*\'*E*\'*F*\'．
>
> 
21．（8分）（2019•福建）在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，∠*ACB*＝30°，将△*ABC*绕点*A*顺时针旋转一定的角度α得到△*DEC*，点*A*、*B*的对应点分别是*D*、*E*．
> （1）当点*E*恰好在*AC*上时，如图1，求∠*ADE*的大小；
>
> （2）若α＝60°时，点*F*是边*AC*中点，如图2，求证：四边形*BEDF*是平行四边形．
>
> 
22．（10分）（2019•福建）某工厂为贯彻落实"绿水青山就是金山银山"的发展理念，投资组建了日废水处理量为*m*吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
> （1）求该车间的日废水处理量*m*；
>
> （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
23．（10分）（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
-------------- ---- ---- ---- ---- ----
维修次数 8 9 10 11 12
频率（台数） 10 20 30 30 10
-------------- ---- ---- ---- ---- ----
> （1）以这100台机器为样本，估计"1台机器在三年使用期内维修次数不大于10"的概率；
>
> （2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
24．（12分）（2019•福建）如图，四边形*ABCD*内接于⊙*O*，*AB*＝*AC*，*AC*⊥*BD*，垂足为*E*，点*F*在*BD*的延长线上，且*DF*＝*DC*，连接*AF*、*CF*．
> （1）求证：∠*BAC*＝2∠*CAD*；
>
> （2）若*AF*＝10，*BC*＝4，求tan∠*BAD*的值．
>
> 
25．（14分）（2019•福建）已知抛物*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*b*＜0）与*x*轴只有一个公共点．
> （1）若抛物线与*x*轴的公共点坐标为（2，0），求*a*、*c*满足的关系式；
>
> （2）设*A*为抛物线上的一定点，直线*l*：*y*＝*kx*+1﹣*k*与抛物线交于点*B*、*C*，直线*BD*垂直于直线*y*＝﹣1，垂足为点*D*．当*k*＝0时，直线*l*与抛物线的一个交点在*y*轴上，且△*ABC*为等腰直角三角形．
>
> ①求点*A*的坐标和抛物线的解析式；
>
> ②证明：对于每个给定的实数*k*，都有*A*、*D*、*C*三点共线．
**2019年福建省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题4分，共40分）**
1．（4分）（2019•福建）计算2^2^+（﹣1）^0^的结果是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
> 【考点】有理数的加法；有理数的乘方；零指数幂．菁优网版权所有
>
> 【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
>
> 【解答】解：原式＝4+1＝5
>
> 故选：*A*．
2．（4分）（2019•福建）北京故宫的占地面积约为720000*m*^2^，将720000用科学记数法表示为（ ）
A．72×10^4^ B．7.2×10^5^ C．7.2×10^6^ D．0.72×10^6^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为*a*×10*^n^*，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数，据此判断即可．
>
> 【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×10^5^．
>
> 故选：*B*．
3．（4分）（2019•福建）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形
> 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
>
> 【解答】解：*A*、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *B*、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *C*、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *D*、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
>
> 故选：*D*．
4．（4分）（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．
>
> 【解答】解：几何体的主视图为：
>
> 
>
> 故选：*C*．
5．（4分）（2019•福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
> 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
>
> 【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
>
> 故选：*B*．
6．（4分）（2019•福建）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）
> 
A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳
> 【考点】折线统计图；方差．菁优网版权所有
>
> 【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
>
> 方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好
>
> 【解答】解：*A*．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
>
> *B*．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
>
> *C*．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确
>
> *D*．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故*D*错误．
>
> 故选：*D*．
7．（4分）（2019•福建）下列运算正确的是（ ）
A．*a*•*a*^3^＝*a*^3^ B．（2*a*）^3^＝6*a*^3^
C．*a*^6^÷*a*^3^＝*a*^2^ D．（*a*^2^）^3^﹣（﹣*a*^3^）^2^＝0
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
>
> 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
>
> 【解答】解：*A*、原式＝*a*^4^，不符合题意；
>
> *B*、原式＝8*a*^3^，不符合题意；
>
> *C*、原式＝*a*^3^，不符合题意；
>
> *D*、原式＝0，符合题意，
>
> 故选：*D*．
8．（4分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载："有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？"其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读*x*个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．*x*+2*x*+4*x*＝34685 B．*x*+2*x*+3*x*＝34685
C．*x*+2*x*+2*x*＝34685 D．*x*+*x*+*x*＝34685
> 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】设他第一天读*x*个字，根据题意列出方程解答即可．
>
> 【解答】解：设他第一天读*x*个字，根据题意可得：*x*+2*x*+4*x*＝34685，
>
> 故选：*A*．
9．（4分）（2019•福建）如图，*PA*、*PB*是⊙*O*切线，*A*、*B*为切点，点*C*在⊙*O*上，且∠*ACB*＝55°，则∠*APB*等于（ ）
> 
A．55° B．70° C．110° D．125°
> 【考点】圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接*OA*，*OB*，求得∠*AOB*＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
>
> 【解答】解：连接*OA*，*OB*，
>
> ∵*PA*，*PB*是⊙*O*的切线，
>
> ∴*PA*⊥*OA*，*PB*⊥*OB*，
>
> ∵∠*ACB*＝55°，
>
> ∴∠*AOB*＝110°，
>
> ∴∠*APB*＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
>
> 故选：*B*．
>
> 
10．（4分）（2019•福建）若二次函数*y*＝\|*a*\|*x*^2^+*bx*+*c*的图象经过*A*（*m*，*n*）、*B*（0，*y*~1~）、*C*（3﹣*m*，*n*）、*D*（，*y*~2~）、*E*（2，*y*~3~），则*y*~1~、*y*~2~、*y*~3~的大小关系是（ ）
A．*y*~1~＜*y*~2~＜*y*~3~ B．*y*~1~＜*y*~3~＜*y*~2~ C．*y*~3~＜*y*~2~＜*y*~1~ D．*y*~2~＜*y*~3~＜*y*~1~
> 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】由点*A*（*m*，*n*）、*C*（3﹣*m*，*n*）的对称性，可求函数的对称轴为*x*＝，再由*B*（0，*y*~1~）、*D*（，*y*~2~）、*E*（2，*y*~3~）与对称轴的距离，即可判断*y*~1~＞*y*~3~＞*y*~2~；
>
> 【解答】解：∵经过*A*（*m*，*n*）、*C*（3﹣*m*，*n*），
>
> ∴二次函数的对称轴*x*＝，
>
> ∵*B*（0，*y*~1~）、*D*（，*y*~2~）、*E*（2，*y*~3~）与对称轴的距离*B*最远，*D*最近，
>
> ∵\|*a*\|＞0，
>
> ∴*y*~1~＞*y*~3~＞*y*~2~；
>
> 故选：*D*．
**二、填空题（每小题4分，共24分）**
11．（4分）（2019•福建）因式分解：*x*^2^﹣9＝[ （*x*+3）（*x*﹣3） ]{.underline}．
> 【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式利用平方差公式分解即可．
>
> 【解答】解：原式＝（*x*+3）（*x*﹣3），
>
> 故答案为：（*x*+3）（*x*﹣3）．
12．（4分）（2019•福建）如图，数轴上*A*、*B*两点所表示的数分别是﹣4和2，点*C*是线段*AB*的中点，则点*C*所表示的数是[ ﹣1 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】数轴．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据*A*、*B*两点所表示的数分别为﹣4和2，利用中点公式求出线段*AB*的中点所表示的数即可．
>
> 【解答】解：∵数轴上*A*，*B*两点所表示的数分别是﹣4和2，
>
> ∴线段*AB*的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．
>
> 即点*C*所表示的数是﹣1．
>
> 故答案为：﹣1
13．（4分）（2019•福建）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有[ 1200 ]{.underline}人．
> 【考点】用样本估计总体．菁优网版权所有
>
> 【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．
>
> 【解答】解：由题意得：2000×＝1200人，
>
> 故答案为：1200．
14．（4分）（2019•福建）在平面直角坐标系*xOy*中，▱*OABC*的三个顶点*O*（0，0）、*A*（3，0）、*B*（4，2），则其第四个顶点是[ （1，2） ]{.underline}．
> 【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由题意得出*OA*＝3，由平行四边形的性质得出*BC*∥*OA*，*BC*＝*OA*＝3，即可得出结果．
>
> 【解答】解：∵*O*（0，0）、*A*（3，0），
>
> ∴*OA*＝3，
>
> ∵四边形*OABC*是平行四边形，
>
> ∴*BC*∥*OA*，*BC*＝*OA*＝3，
>
> ∵*B*（4，2），
>
> ∴点*C*的坐标为（4﹣3，2），
>
> 即*C*（1，2）；
>
> 故答案为：（1，2）．
15．（4分）（2019•福建）如图，边长为2的正方形*ABCD*中心与半径为2的⊙*O*的圆心重合，*E*、*F*分别是*AD*、*BA*的延长与⊙*O*的交点，则图中阴影部分的面积是[ π﹣1 ]{.underline}．（结果保留π）
> 
>
> 【考点】正方形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】延长*DC*，*CB*交⊙*O*于*M*，*N*，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：延长*DC*，*CB*交⊙*O*于*M*，*N*，
>
> 则图中阴影部分的面积＝×（*S*~圆*O*~﹣*S*~正方形*ABCD*~）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，
>
> 故答案为：π﹣1．
>
> 
16．（4分）（2019•福建）如图，菱形*ABCD*顶点*A*在函数*y*＝（*x*＞0）的图象上，函数*y*＝（*k*＞3，*x*＞0）的图象关于直线*AC*对称，且经过点*B*、*D*两点，若*AB*＝2，∠*BAD*＝30°，则*k*＝[ 6+2]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】连接*OC*，*AC*过*A*作*AE*⊥*x*轴于点*E*，延长*DA*与*x*轴交于点*F*，过点*D*作*DG*⊥*x*轴于点*G*，得*O*、*A*、*C*在第一象限的角平分线上，求得*A*点坐标，进而求得*D*点坐标，便可求得结果．
>
> 【解答】解：连接*OC*，*AC*过*A*作*AE*⊥*x*轴于点*E*，延长*DA*与*x*轴交于点*F*，过点*D*作*DG*⊥*x*轴于点*G*，
>
> 
>
> ∵函数*y*＝（*k*＞3，*x*＞0）的图象关于直线*AC*对称，
>
> ∴*O*、*A*、*C*三点在同直线上，且∠*COE*＝45°，
>
> ∴*OE*＝*AE*，
>
> 不妨设*OE*＝*AE*＝*a*，则*A*（*a*，*a*），
>
> ∵点*A*在在反比例函数*y*＝（*x*＞0）的图象上，
>
> ∴*a*^2^＝3，
>
> ∴*a*＝，
>
> ∴*AE*＝*OE*＝，
>
> ∵∠*BAD*＝30°，
>
> ∴∠*OAF*＝∠*CAD*＝∠*BAD*＝15°，
>
> ∵∠*OAE*＝∠*AOE*＝45°，
>
> ∴∠*EAF*＝30°，
>
> ∴*AF*＝，*EF*＝*AE*tan30°＝1，
>
> ∵*AB*＝*AD*＝2，*AE*∥*DG*，
>
> ∴*EF*＝*EG*＝1，*DG*＝2*AE*＝2，
>
> ∴*OG*＝*OE*+*EG*＝+1，
>
> ∴*D*（+1，2），
>
> 故答案为：6+2．
**三、解答题（共86分）**
17．（8分）（2019•福建）解方程组．
> 【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
>
> 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
>
> 【解答】解：，
>
> ①+②得：3*x*＝9，即*x*＝3，
>
> 把*x*＝3代入①得：*y*＝﹣2，
>
> 则方程组的解为．
18．（8分）（2019•福建）如图，点*E*、*F*分别是矩形*ABCD*的边*AB*、*CD*上的一点，且*DF*＝*BE*．求证：*AF*＝*CE*．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由*SAS*证明△*ADF*≌△*BCE*，即可得出*AF*＝*CE*．
>
> 【解答】证明：∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴∠*D*＝∠*B*＝90°，*AD*＝*BC*，
>
> 在△*ADF*和△*BCE*中，，
>
> ∴△*ADF*≌△*BCE*（*SAS*），
>
> ∴*AF*＝*CE*．
19．（8分）（2019•福建）先化简，再求值：（*x*﹣1）÷（*x*﹣），其中*x*＝+1．
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】先化简分式，然后将*x* 的值代入计算即可．
>
> 【解答】解：原式＝（*x*﹣1）÷
>
> ＝（*x*﹣1）•
>
> ＝，
>
> 当*x*＝+1，
>
> 原式＝
>
> ＝1+．
20．（8分）（2019•福建）已知△*ABC*和点*A*\'，如图．
> （1）以点*A*\'为一个顶点作△*A*\'*B*\'*C*\'，使△*A*\'*B*\'*C*\'∽△*ABC*，且△*A*\'*B*\'*C*\'的面积等于△*ABC*面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
>
> （2）设*D*、*E*、*F*分别是△*ABC*三边*AB*、*BC*、*AC*的中点，*D*\'、*E*\'、*F*\'分别是你所作的△*A*\'*B*\'*C*\'三边*A*\'*B*\'、*B*\'*C*\'、*C*\'*A*\'的中点，求证：△*DEF*∽△*D*\'*E*\'*F*\'．
>
> 
>
> 【考点】三角形的面积；三角形中位线定理；作图---复杂作图；相似三角形的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）分别作*A*\'*C*\'＝2*AC*、*A*\'*B*\'＝2*AB*、*B*\'*C*\'＝2*BC*得△*A*\'*B*\'*C*\'即可所求．
>
> （2）根据中位线定理易得∴△*DEF*∽△*ABC*，△*D*\'*E*\'*F*\'∽△*A*\'*B*\'*C*\'，故△*DEF*∽△*D*\'*E*\'*F*\'
>
> 【解答】解：（1）作线段*A*\'*C*\'＝2*AC*、*A*\'*B*\'＝2*AB*、*B*\'*C*\'＝2*BC*，得△*A*\'*B*\'*C*\'即可所求．
>
> 
>
> 证明：∵*A*\'*C*\'＝2*AC*、*A*\'*B*\'＝2*AB*、*B*\'*C*\'＝2*BC*，
>
> ∴△*ABC*∽△*A*′*B*′*C*′，
>
> ∴
>
> （2）证明：
>
> 
>
> ∵*D*、*E*、*F*分别是△*ABC*三边*AB*、*BC*、*AC*的中点，
>
> ∴*DE*＝，，，
>
> ∴△*DEF*∽△*ABC*
>
> 同理：△*D*\'*E*\'*F*\'∽△*A*\'*B*\'*C*\'，
>
> 由（1）可知：△*ABC*∽△*A*′*B*′*C*′，
>
> ∴△*DEF*∽△*D*\'*E*\'*F*\'．
21．（8分）（2019•福建）在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，∠*ACB*＝30°，将△*ABC*绕点*A*顺时针旋转一定的角度α得到△*DEC*，点*A*、*B*的对应点分别是*D*、*E*．
> （1）当点*E*恰好在*AC*上时，如图1，求∠*ADE*的大小；
>
> （2）若α＝60°时，点*F*是边*AC*中点，如图2，求证：四边形*BEDF*是平行四边形．
>
> 
>
> 【考点】平行四边形的判定；旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得*CA*＝*CD*，∠*ECD*＝∠*BCA*＝30°，∠*DEC*＝∠*ABC*＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠*CAD*，从而利用互余和计算出∠*ADE*的度数；
>
> （2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到*BF*＝*AC*，利用含30度的直角三角形三边的关系得到*AB*＝*AC*，则*BF*＝*AB*，再根据旋转的性质得到∠*BCE*＝∠*ACD*＝60°，*CB*＝*CE*，*DE*＝*AB*，从而得到*DE*＝*BF*，△*ACD*和△*BCE*为等边三角形，接着证明△*CFD*≌△*ABC*得到*DF*＝*BC*，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
>
> 【解答】（1）解：如图1，∵△*ABC*绕点*A*顺时针旋转α得到△*DEC*，点*E*恰好在*AC*上，
>
> ∴*CA*＝*CD*，∠*ECD*＝∠*BCA*＝30°，∠*DEC*＝∠*ABC*＝90°，
>
> ∵*CA*＝*CD*，
>
> ∴∠*CAD*＝∠*CDA*＝（180°﹣30°）＝75°，
>
> ∴∠*ADE*＝90°﹣75°＝15°；
>
> （2）证明：如图2，
>
> ∵点*F*是边*AC*中点，
>
> ∴*BF*＝*AC*，
>
> ∵∠*ACB*＝30°，
>
> ∴*AB*＝*AC*，
>
> ∴*BF*＝*AB*，
>
> ∵△*ABC*绕点*A*顺时针旋转60得到△*DEC*，
>
> ∴∠*BCE*＝∠*ACD*＝60°，*CB*＝*CE*，*DE*＝*AB*，
>
> ∴*DE*＝*BF*，△*ACD*和△*BCE*为等边三角形，
>
> ∴*BE*＝*CB*，
>
> ∵点*F*为△*ACD*的边*AC*的中点，
>
> ∴*DF*⊥*AC*，
>
> 易证得△*CFD*≌△*ABC*，
>
> ∴*DF*＝*BC*，
>
> ∴*DF*＝*BE*，
>
> 而*BF*＝*DE*，
>
> ∴四边形*BEDF*是平行四边形．
22．（10分）（2019•福建）某工厂为贯彻落实"绿水青山就是金山银山"的发展理念，投资组建了日废水处理量为*m*吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．
> （1）求该车间的日废水处理量*m*；
>
> （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
>
> 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出*m*＜35，根据废水处理费用＝该车间处理*m*吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于*m*的一元一次方程，解之即可得出结论；
>
> （2）设一天产生工业废水*x*吨，分0＜*x*≤20及*x*＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于*x*的一元一次不等式，解之即可得出结论．
>
> 【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，
>
> ∴*m*＜35．
>
> 依题意，得：30+8*m*+12（35﹣*m*）＝370，
>
> 解得：*m*＝20．
>
> 答：该车间的日废水处理量为20吨．
>
> （2）设一天产生工业废水*x*吨，
>
> 当0＜*x*≤20时，8*x*+30≤10*x*，
>
> 解得：15≤*x*≤20；
>
> 当*x*＞20时，12（*x*﹣20）+8×20+30≤10*x*，
>
> 解得：20＜*x*≤25．
>
> 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤*x*≤20．
23．（10分）（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
-------------- ---- ---- ---- ---- ----
维修次数 8 9 10 11 12
频率（台数） 10 20 30 30 10
-------------- ---- ---- ---- ---- ----
> （1）以这100台机器为样本，估计"1台机器在三年使用期内维修次数不大于10"的概率；
>
> （2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
>
> 【考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；加权平均数；列表法与树状图法；利用频率估计概率．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）利用概率公式计算即可．
>
> （2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断．
>
> 【解答】解：（1）"1台机器在三年使用期内维修次数不大于10"的概率＝＝0.6．
>
> （2）购买10次时，
-------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用 24000 24500 25000 30000 35000
-------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
> 此时这100台机器维修费用的平均数
>
> *y*~1~＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300
>
> 购买11次时，
-------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
某台机器使用期内维修次数 8 9 10 11 12
该台机器维修费用 26000 26500 27000 27500 32500
-------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
> 此时这100台机器维修费用的平均数
>
> *y*~2~＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，
>
> ∵27300＜27500，
>
> 所以，选择购买10次维修服务．
24．（12分）（2019•福建）如图，四边形*ABCD*内接于⊙*O*，*AB*＝*AC*，*AC*⊥*BD*，垂足为*E*，点*F*在*BD*的延长线上，且*DF*＝*DC*，连接*AF*、*CF*．
> （1）求证：∠*BAC*＝2∠*CAD*；
>
> （2）若*AF*＝10，*BC*＝4，求tan∠*BAD*的值．
>
> 
>
> 【考点】等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠*ABC*＝∠*ACB*，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠*ABC*＝∠*ADB*，根据三角形内角和定理得到∠*ABC*＝（180°﹣∠*BAC*）＝90°﹣∠*BAC*，∠*ADB*＝90°﹣∠*CAD*，从而得到∠*BAC*＝∠*CAD*，即可证得结论；
>
> （2）易证得*BC*＝*CF*＝4，即可证得*AC*垂直平分*BF*，证得*AB*＝*AF*＝10，根据勾股定理求得*AE*、*CE*、*BE*，根据相交弦定理求得*DE*，即可求得*BD*，然后根据三角形面积公式求得*DH*，进而求得*AH*，解直角三角函数求得tan∠*BAD*的值．
>
> 【解答】解：（1）∵*AB*＝*AC*，
>
> ∴＝，∠*ABC*＝∠*ACB*，
>
> ∴∠*ABC*＝∠*ADB*，∠*ABC*＝（180°﹣∠*BAC*）＝90°﹣∠*BAC*，
>
> ∵*BD*⊥*AC*，
>
> ∴∠*ADB*＝90°﹣∠*CAD*，
>
> ∴∠*BAC*＝∠*CAD*，
>
> ∴∠*BAC*＝2∠*CAD*；
>
> （2）解：∵*DF*＝*DC*，
>
> ∴∠*DFC*＝∠*DCF*，
>
> ∴∠*BDC*＝2∠*DFC*，
>
> ∴∠*BFC*＝∠*BDC*＝∠*BAC*＝∠*FBC*，
>
> ∴*CB*＝*CF*，
>
> 又*BD*⊥*AC*，
>
> ∴*AC*是线段*BF*的中垂线，*AB*＝*AF*＝10，*AC*＝10．
>
> 又*BC*＝4，
>
> 设*AE*＝*x*，*CE*＝10﹣*x*，
>
> 由*AB*^2^﹣*AE*^2^＝*BC*^2^﹣*CE*^2^，得100﹣*x*^2^＝80﹣（10﹣*x*）^2^，
>
> 解得*x*＝6，
>
> ∴*AE*＝6，*BE*＝8，*CE*＝4，
>
> ∴*DE*＝＝＝3，
>
> ∴*BD*＝*BE*+*DE*＝3+8＝11，
>
> 作*DH*⊥*AB*，垂足为*H*，
>
> ∵*AB*•*DH*＝*BD*•*AE*，
>
> ∴*DH*＝＝＝，
>
> ∴*BH*＝＝，
>
> ∴*AH*＝*AB*﹣*BH*＝10﹣＝，
>
> ∴tan∠*BAD*＝＝＝．
>
> 
25．（14分）（2019•福建）已知抛物*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*b*＜0）与*x*轴只有一个公共点．
> （1）若抛物线与*x*轴的公共点坐标为（2，0），求*a*、*c*满足的关系式；
>
> （2）设*A*为抛物线上的一定点，直线*l*：*y*＝*kx*+1﹣*k*与抛物线交于点*B*、*C*，直线*BD*垂直于直线*y*＝﹣1，垂足为点*D*．当*k*＝0时，直线*l*与抛物线的一个交点在*y*轴上，且△*ABC*为等腰直角三角形．
>
> ①求点*A*的坐标和抛物线的解析式；
>
> ②证明：对于每个给定的实数*k*，都有*A*、*D*、*C*三点共线．
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）抛物线与*x*轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
>
> （2）①*y*＝*kx*+1﹣*k*＝*k*（*x*﹣1）+1过定点（1，1），且当*k*＝0时，直线*l*变为*y*＝1平行*x*轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线*AD*表达式中的*k*值、直线*AC*表达式中的*k*值，两个*k*值相等即可求解．
>
> 【解答】解：（1）抛物线与*x*轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：*y*＝*a*（*x*﹣2）^2^＝*ax*^2^﹣4*ax*+4*a*，
>
> 则*c*＝4*a*；
>
> （2）*y*＝*kx*+1﹣*k*＝*k*（*x*﹣1）+1过定点（1，1），
>
> 且当*k*＝0时，直线*l*变为*y*＝1平行*x*轴，与轴的交点为（0，1），
>
> 又△*ABC*为等腰直角三角形，
>
> ∴点*A*为抛物线的顶点；
>
> ①*c*＝1，顶点*A*（1，0），
>
> 抛物线的解析式：*y*＝*x*^2^﹣2*x*+1，
>
> ②，
>
> 
>
> *x*^2^﹣（2+*k*）*x*+*k*＝0，
>
> *x*＝（2+*k*±），
>
> *x~D~*＝*x~B~*＝（2+*k*﹣），*y~D~*＝﹣1；
>
> 则*D*，
>
> *y~C~*＝（2+*k*^2^+*k*，
>
> *C*，*A*（1，0），
>
> ∴直线*AD*表达式中的*k*值为：*k~AD~*＝＝，
>
> 直线*AC*表达式中的*k*值为：*k~AC~*＝，
>
> ∴*k~AD~*＝*k~AC~*，点*A*、*C*、*D*三点共线．
>
> 
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**数 学（文科）**
**参考答案**
**一、选择题**
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B
7．C 8．A 9．B 10．A 11．B 12．D
**二、填空题**
13．
14．4
15．
16．
**三、解答题**
17．解：
（1）
又
解得
，是锐角
（2），
，
又
18．解：
（1）由已知得
解得
设数列的公比为，由，可得
又，可知，
即，
解得
由题意得
故数列的通项为
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
故
19．
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域。
如图：
作直线，
即
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得
点的坐标为
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元。
20．（1）证明：在直四棱柱中，
连结，
，
四边形是正方形
又，，
平面，
平面，
平面，
且
平面，
又平面，
（2）连结，连结，
设，
，连结，
平面平面，
要使平面，
须使，
又是的中点
是的中点
又易知，
即是的中点
综上所述，当是的中点时，可使平面
21．
证明：因为，所以的定义域为
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减
所以当，函数没有极值点
当时，
令，
得（舍去），，
当时，随的变化情况如下表：
-- -- -------- --
0
极小值
-- -- -------- --
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为
当时，随的变化情况如下表：
-- ---- -------- ----
\+ 0 －
极大值
-- ---- -------- ----
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为
22．
解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，
椭圆的标准方程为
（2）设
联立
得 ，则
又
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即
解得：，且均满足
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点
所以，直线过定点，定点坐标为
| 1 | |
**北师大版小学六年级下册数学第一单元《**圆柱和圆锥**------圆柱的表面积》同步检测1（附答案）**
一、认真思考，仔细填写。
> 1、把圆柱的侧面沿着（ ）展开，得到一个（ ），它的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ）。
>
> 2、求一个圆柱形物体的表面积，就是把它的（ ）面积加上它的（ ）面积。
>
> 3、圆柱的侧面积是37.68m^2^，圆柱的高是3 m，它的底面周长是（ ）m，直径是（ ）m。
4、一个圆柱的表面积是1758．4m^2^，保留整数约是（ ）m^2^，保留整十数约是
（ ）m^2^。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、火眼金睛。（对的打"√"错的打"×" ）
1、把一个圆柱体的底面半径扩大2倍，高不变，侧面积也扩大2倍。（ ）
2、如果两个圆柱体的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。（ ）
3、把一个圆柱体的底面直径扩大2倍，高不变，表面积也扩大2倍。（ ）
> 4、当一个圆柱体的底面周长和高相等时，沿着高将圆柱体展开，这时侧面展开图是一个正方形。 （ ）
>
> 5、两个圆柱体的高相等，大圆柱体的底面半径长度等于小圆柱体的底面直径长度，那么大圆柱体的侧面积是小圆柱体的侧面积的2倍。 （ ）
三、找朋友，将立体图形与各自的展开图形连接起来。来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、计算下面圆柱的侧面积和表面积。
五、解决问题。
> 1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，正方形的周长是125.6厘米。这个圆柱的底面半径是多少？
>
> 2、在齐齐哈尔市的大街上，有一座造价2万多元的巨型易拉罐造型商亭。它高6m，底面的直径3m，侧面张贴了彩色广告纸，底面刷上了白色油漆，新颖别致的外观引起了路人的好奇。彩色广告纸和白色油漆部分的面积分别是多少？
>
> 3、有一石柱（如右图）， 上部是一圆柱体的一半，下部是一个棱长4m的正方体，求这个石柱的表面积。
>
> 
六、有一个圆柱形的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一圆柱形的直孔（如右下图），圆孔的直径是6厘米，深7厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
**部分答案：**
二、1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、√
四、1、S~侧~ = 12.56×8 = 100.48（cm^2^）；
S~表~ = 100.48＋25.12 = 126.6（cm^2^）
2、S~侧~ = 3.14×6×12 = 226.08（cm^2^）；
S~表~ = 226.08＋56.52 = 282.6（cm^2^）
3、S~侧~ = 3.14×2×2×5 = 62.8（cm^2^）
S~表~ = 62.8＋25.12 = 87.92（cm^2^）
五、1、5厘米 2、56.52平方米 14.13平方米 3、117.68平方米
六、533、8平方厘米
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第四单元《有趣的图形》单元测试1（附答案）**
1. 从正方体、长方体和圆柱的上面看，各看到什么图形？连一连。（4分）
2. 找朋友。（连线）（8分）
3. 对号入座。（选择正确答案的序号）（12分）
1、有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、有（ ）个。
A.5 B.6 C.8
3、正方形的四条边（ ）。
A.相等 B.两条长，两条短 C.不相等
4.三角形有（ ）条边。
A.4 B.3 C.2
4. 接着该画什么？（8分）
1. \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
2. \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
3. \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
4. \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
5. 找一找。（填序号）（9分）
1.（ ）和（ ）可以拼成一个圆。
2.（ ）和（ ）可以拼成一个长方形。
3.（ ）和（ ）可以拼成一个长方形。来源：www.bcjy123.com/tiku/
6. 找出指定的图案，用不同的颜色涂一涂。（12分）
七、火眼金睛。（在正确答案的（ ）里打""）
1.把1个正方形分割成大小相等的2个长方形，哪种分法正确?
（ ） （ ） （ ）
2.把剪成完全相同的4块，下面哪种方法正确?
（ ） （ ） （ ）
3.数一数，有几个三角形？
 有2个△ 有3个△ 有4个△
（ ） （ ） （ ）
4.数一数，有几个正方形？
 有3个口 有4个口 有5个口
（ ） （ ） （ ）
5.数一数，有 几个？
 有4个 有5 有6个
（ ） （ ） （ ）
8. 下面的图形像什么？各是由哪些图形拼成的？（14分）
( )个△ ( )个△ ( )个△
( )个口 ( )个 ( )个口
( )个口
9. 在下面的点子图中，分别画一个长方形、正方形、三角形。（9分）
10. 拼一拼。（9分）
1．两个完全一样的长方形可以拼成一个什么样的图形? 4个完全一样的正方形呢? 6个完全一样的三角形呢?
2．用3根完全一样的小棒可以摆出一个什么样的图形? 4根、6根、l2根呢?
参考答案
三、1.A 2.A 3.A 4.B
四、1.
2.
3.
4.
五、l．①和③或②和⑤
2．①和③
3．②和④
七、3．3个△ 4．4个 5.5个
八、1 2 1； 4 3； 2 3
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**2020年无锡市初中毕业升学考试**
**数学试题**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.﹣7的倒数是（ ）
A. B. 7 C. - D. ﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】
此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）．
【详解】解：﹣7的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣．
故选*C*．
【点睛】此题考查的知识点是倒数．解答此题的关键是要知道乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）．
2.函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由二次根式的被开方数大于等于0问题可解
【详解】解：由已知，3x﹣1≥0可知，故选B．
【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．
3.已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A. 24，25 B. 24，24 C. 25，24 D. 25，25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5=24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，则中位数是25；
故应选：A．
【点睛】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键．
4.若，，则的值等于（ ）
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
【答案】C
【解析】
【分析】
将两整式相加即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴的值等于，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】解：360°÷10＝36°，
故选：A．
【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 等腰三角形 C. 平行四边形 D. 菱形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解．
【详解】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；\
B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；\
C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；\
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．\
故选：B
【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
7.下列选项错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【详解】解：A．，本选项不合题意；
B．，本选项不合题意；
C．1，本选项不合题意；
D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
8.反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m=
∴B（，）
∵点B为反比例函数与一次函数的交点，
∴k=x·y
∴k=×=．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键．
9.如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．
【详解】解：如图
∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．
10.如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】
①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；
②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D~1~，连接D D~1~，与相交于点Q，再将D~1~Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D~2~P，与相交于点P，连接PC，此时四边形的周长为：，其值最小，再由D~1~Q=DQ=D~2~P，，且∠AD~1~D~2~=120°，可得的最小值，即可得解．
【详解】解：①∵线段在边上运动，，
∴,
∴与不可能相等，
则①错误；
②设，
∵，，
∴，即，
假设与相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴，即，
从而得到，解得或（经检验是原方程根），
又，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，
则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，
设，
由，，得，即，
∴，
∵∠B=60°，
∴，
∵，∠A =60°，
∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，
则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D~1~，连接D D~1~，与相交于点Q，再将D~1~Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D~2~P，与相交于点P，连接PC，
∴D~1~Q=DQ=D~2~P，，且∠AD~1~D~2~=120°，
此时四边形的周长为：，其值最小，
∴∠D~1~AD~2~=30°，∠D~2~A D=90°，，
∴根据股股定理可得，，
∴四边形的周长为：,
则④错误，
所以可得②③正确，
故选：D．
【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
**二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）**
11.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式*a*，再利用公式法继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
12.2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000 是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数.确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数.
【详解】解：∵12000=，
故答案为：.
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键.
13.已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
分析】
先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S~侧~=πrl计算即可．
【详解】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r=1cm，高h=，\
∴圆锥的母线，\
∴S~侧~=πrl=π×1×2=2π（cm^2^）．\
故答案为：2πcm^2^．
【点睛】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长l．掌握圆锥的侧面积公式：S~侧~=•2πr•l=πrl是解题的关键．
14.如图，在菱形中，，点在上，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】115°
【解析】
【分析】
先根据菱形性质求出∠BCD，∠ACE，再根据求出∠AEC，最后根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．
【详解】解：四边形ABCD是菱形，，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解∠ACE是解题关键．
15.请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【详解】解：设函数的表达式为y=ax^2^+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）
故答案是：y=x^2^（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
16.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_尺．
【答案】8
【解析】
【分析】
先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深．
【详解】解：设绳长x尺，
由题意得x-4=x-1，
解得x=36，
井深：×36-4=8（尺），
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．
17.二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】或
【解析】
【分析】
先求出点*B*的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠*ABM*=90°时，如图1，过点*M*作*MF*⊥*y*轴于点*F*，易证△*BFM*∽△*AOB*，然后根据相似三角形的性质可求得*BF*的长，进而可得点*M*坐标；当∠*BAM*=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△*BAE*∽△*AMH*求出*AH*的长，继而可得点*M*坐标．
【详解】解：对，当*x*=0时，*y*=3，∴点*B*坐标为（0，3），
抛物线的对称轴是直线：，
当∠*ABM*=90°时，如图1，过点*M*作*MF*⊥*y*轴于点*F*，则，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠*MFB*=∠*BOA*=90°，
∴△*BFM*∽△*AOB*，
∴，即，解得：*BF*=3，
∴*OF*=6，
∴点*M*的坐标是（，6）；
当∠*BAM*=90°时，如图2，过点*A*作*EH*⊥*x*轴，过点*M*作*MH*⊥*EH*于点*H*，过点*B*作*BE*⊥*EH*于点*E*，则，
同上面的方法可得△*BAE*∽△*AMH*，
∴，即，解得：*AH*=9，
∴点*M*的坐标是（，﹣9）；
综上，点*M*的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了抛物线与*y*轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18.如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
作DG∥AC，交BE于点G，得到，进而得到，求出面积最大值，问题得解．
【详解】解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，
∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵AB=4，
∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过OD与CD关系将求面积转化为求面积是解题关键
**三、解答题：本大题共10小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．考生根据要求作答．**
19.计算：
（1） （2）．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用幂的运算，绝对值的定义，及算术平方根的定义计算即可解出答案；
（2）根据同分母分式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：（1）原式=4+5－4=5；
（2）原式=
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算以及分式的加减法，熟记相关的定义与运算法则是解题的关键．
20.解方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据公式法求解即可；
（2）先分别求每一个不等式，然后即可得出不等式组的解集．
【详解】（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，
x===；
（2）解不等式-2x≤0，得x≥0，
解不等式4x+1\<5，得x\<1，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解不等式组，掌握运算法则是解题关键．
21.如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．
22.现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用"画树状图"或"列表"等方法写出分析过程）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式计算即可；\
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为；
故答案为：
（2）画树状图为：\
\
共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=
【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
23.小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
年份 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
收入 3 8 9 14 18
支出 1 4 5 6 6
存款余额 2 6 10 15 34
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
（1）表格中\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）请把下面的条形统计图补充完整：（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）2018年支出最多，为7万元
【解析】
【分析】
（1）本年度收入减去支出后余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10＋a−6＝15，然后解方程即可；
（2）根据题意得，再解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图；
（3）利用（2）中c的值进行判断．
【详解】解：（1）10＋a−6＝15，
解得a＝11，
故答案为11；
（2）根据题意得，
解得，
即存款余额为22万元，
补全条形统计图如下：
；
（3）由图表可知：小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
【点睛】本题考查了图像统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
24.如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与*MN*的交点即为圆心*O*；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以*B*，*C*为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线*l*，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点*B*为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点*B*，即为的角平分线，这条角平分线与线段*MN*的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
25.如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）的周长为
【解析】
【分析】
（1）由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
26.有一块矩形地块，米，米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米、60 元/米、40元/米，设三种花卉的种植总成本为元．
（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，求三种花卉的最低种植总成本．
【答案】（1）当时，；（2）；（3）当时，最小为21600．
【解析】
【分析】
（1）根据，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：；
（3），，则，即可求解．
【详解】解：（1）当时，，，
故
；
（2），，参考（1），由题意得：；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
【点睛】本题考查了一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
27.如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）设，求关于的函数表达式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）解Rt△*ADE*可得和*AE*的长，然后根据平行线的性质、对称的性质可得，进而可判断为等边三角形，再根据*S*=*S*~△*APE*~+*S*~△*ADE*~解答即可；
（2）过点作于点*F*，如图，则四边形*ADEF*是矩形，由（1）得，从而可得，设，则，然后在中根据勾股定理即可利用*x*表示*a*，然后根据*S*=*S*~△*APE*~+*S*~△*ADE*~即可求出结果．
【详解】解：（1）在Rt△*ADE*中，∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∵四边形关于直线的对称图形为四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴*S*=*S*~△*APE*~+*S*~△*ADE*~=；
（2）过点作于点*F*，如图，则四边形*ADEF*是矩形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，解得：，
∴*S*=*S*~△*APE*~+*S*~△*ADE*~=．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，考查的知识点多、综合性强，熟练掌握上述知识是解题的关键．
28.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
【答案】（1）①；②能，；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）①求出点的坐标，直线直线的解析式即可解决问题．
②求出直线的解析式，求出点的坐标，利用矩形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可．
（2）分两种情形：①当点在轴的右侧时，设，求出点的坐标利用待定系数法构建方程求出即可．②当点在轴的左侧时，即为①中点的位置，利用①中结论即可解决问题．
详解】解：（1）①点在的图象上，横坐标为8，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，；
②假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，，
，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，
∴，
，
直线的解析式为，可得，，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
②当点在轴左侧时，即为①中点位置，
∴直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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**五年级数学期末调研测试卷（2021.01）**
测试时间：90分钟 等第：
1. **计算。**
1.直接写出结果。
0.2×5＝ 10－0.99= 0.12×100= 1.2÷4=
0.36÷0.12＝ 16.5÷100= 1.25×8= 2.64＋1.6=
8.8－7.8＝ 1－0.7= 1÷0.25= 0.04÷10=
${0.5}^{2}$＝ 4***a***－***a***= ***y***×***y***= ***b***×7=
2.用竖式计算。
8.6－5.76＝ 0.85×2.4＝
0.756÷0.18＝ 2.4÷0.26≈ （得数保留两位小数）
3.下面各题怎样简便就怎样算。
13.4+5.62+17.6+4.38 2.5 ×0.32 ×12.5 5.5×4.8＋52×0.55
5.95÷0.25÷4 4.83×\[20÷(3.24－3.04)\] 1.01×35
2. **填空。**
1.水果店上半年亏损1500元，记作－1500元，下半年盈利7200元，记作（ ）元。
> 2．太平洋的面积是181344000平方千米，改写成用"万"作单位为（ ）平方千米，改写成用"亿"作单位为（ ）平方千米。
>
> 3．一个梯形的上底和下底的和是40dm，高是18dm，它的面积是（ ）dm^2^，用两个这样的梯形拼成的平行四边形的面积是（ ）dm^2^。
4\. 0.5平方千米=（ ）平方米 50公顷=（ ）平方千米
1.05吨=（ ）千克 2350米=（ ）千米
> 5.一个数的百位上是5，百分位上是6，其余各位上都是0，这个数的计数单位是（ ），有（ ）个这样的计数单位。
>
> 6\. 7.503精确到百分位（ ）；19.9258保留整数是（ ）。
7．甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，乙数是（ ）。
> 8．用10吨海水可以晒出0.3吨盐。用26吨海水可以晒出（ ）吨盐？如果要晒出1.2吨盐，则需要（ ）吨海水？
9.两个整数的和是14，这两个整数的积最大是（ ）。
10.小明有***x***本练习本，给小红***a***本后两人的本数同样多，小明比小红多（ ）本。
**三、选择。**（把正确的答案序号填在括号内。）
1\. 51.37÷0.27，商是190，余数是（ ）。
A. 0.7 B. 0.07 C. 7
2.下面式子中可以写成$a^{2}$的是( )。
A.***a***×***a*** B. ***a***＋2 C.***a***×2
{width="1.625in" height="0.975in"}3.在右图中，平行线间的三个图形，它们的
面积相比 \_\_\_\_\_\_\_\_（ ）
A. 平行四边形的面积最小 B．三角形的面积最大
> C．面积都相等
4.春节快到了5个小朋友每两人之间通一次电话问候，一共要通（ ）次。
A． 5 B． 10 C．11
5.在一个数的末尾添上两个0，这个数就( )。
A．扩大100倍 B．大小不变 C．无法确定
**四、计算与操作。**
1\. 每个方格表示1平方厘米。在方格纸上画一个和三角形面积相等的梯形，再画一个面积是三角形面积2倍的平行四边形。
{width="4.447916666666667in" height="1.3625in"}
> 2.计算组合图形的面积。（单位：厘米）
>
> {width="1.9375in" height="1.1458333333333333in"}
3.如图：已知三角形的面积是60平方厘米，求梯形面积（阴影部分）。（单位：厘米）
{width="2.1458333333333335in" height="1.3229166666666667in"}
**五、解决问题。**
1\. 张大伯家今年一共收获了21吨橘子，已经运走了7.4吨，剩下的计划用一辆载重4吨的卡车来运，至少运多少次才能运完？
2．一块三角形玉米地，底是110米，高是48米，如果每株玉米占地0.24平方米，这块玉米地一共可以种多少株玉米？
3.李大爷用28根1米长的篱笆围成一个长方形菜园，有多少种不同的围法？围成的长方形面积最大是多少？最小是多少？
4.一本书共有***a***页，小明看了***b***天，每天看8页。
（1）.用含有字母的式子表示这本书还剩多少页没看？
（2）.当***a***＝94，***b***＝9时，这本书还剩多少页没看？
5\. 实验学校五年级两个班回收易拉罐情况如下表，完成下面的复式条形统计图。
----------- ------ ------ ------ ------
四月 五月 六月 七月
五（1）班 25 20 26 34
五（2）班 24 30 15 35
----------- ------ ------ ------ ------
实验学校五年级两个班回收易拉罐统计图
\_\_\_\_\_\_\_\_年\_\_\_\_\_月
{width="4.697916666666667in" height="2.5in"}
**1.五⑴班（ ）月回收的易拉罐最多？（ ）月两个班收集易拉罐的个数相差最多？**
**2.五⑵班四个月平均每月回收多少个易拉罐？**
3. **如果回收5个易拉罐可以制成2个新易拉罐，五（1）班四个月回收的易拉罐可以制成几个新易拉罐？**
**五年级数学期末调研测试卷（2021.01）**
**参考答案**
1. **计算**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **直接写出结果。(每题0.5分，共8分)**
> **1 9.01 12 0.3**
>
> **3 0.165 10 4.24**
>
> **1 0.3 4 0.004**
>
> **0.25 3*a*** $\mathbf{y}^{\mathbf{2}}$ **7*b***
**2. 用竖式计算。（每题2分，共8分）**
**2.84 2.04**
**4.2 9.23**
**3. 下面各题怎样简便就怎样算。（每题3分，共18分）**
**41 10 55**
95. **483 35.35**
**二、填空。（每空2分，共20分）**
**1. +7200**
**2. 18134.4万 1.81344亿**
**3. 360 720**
**4. 500000 0.5**
**1050 2.35**
**5. 0.01 50006**
**6. 7.50 20**
**7. 15**
**8. 0.78 40**
**9. 49**
**10. 2*a***
**三、选择题（每题2分，共10分）**
1. **B 2. A 3. C 4. B 5. C**
**四、计算与操作。（第1题每图2分。其余每题2分，共8分）**
**1.略**
**2.146平方厘米**
**3.420平方厘米**
**五、解决问题（1---4题每题5分，第5题8分，共28分）**
**1.（21-7.4）÷4≈4（次）答：至少运多少次才能运完。**
**2.（110×48）÷2÷0.24＝11000（株）**
**3. 有7种不同的围法？围成的长方形面积最大是49平方米，最小是13平方米。**
**4.（1）*a-8b* (2)94-8×9=22（页）**
**5.（1）七 六 （2）（24+30+15+35）÷4=26（个）**
**（3）（25+20+26+34）÷5×2=42（个）**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）**
**数 学（理工农医类）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设是两个集合，则""是""的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有
A．
B．
C．
D．
5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975
6．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．4
B．3
C．2
D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。**
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 [ ]{.underline} 。
12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 [ ]{.underline} 。
13．函数在区间上的最小值是 [ ]{.underline} 。
14．设集合，，，
（1）的取值范围是 [ ]{.underline} ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 [ ]{.underline} 。
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，...，第次全行的数都为1的是第 [ ]{.underline} 行；第61行中1的个数是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（本小题满分12分）
已知函数，。
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值；
（II）求函数的单调递增区间。
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望。
18．（本小题满分12分）
如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且。连结，如图3。
（I）证明：平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角。
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用。从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元。已知，，，。
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论。
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分13分）
已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，...。
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增。
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**2019-2020学年陕西省西安市灞桥区四年级（上）期末数学试卷**
**一、认真填空。（23分）**
1．（2分）365014的最高位是[ ]{.underline}位，万位上是[ ]{.underline}。
2．（1分）2019年上半年，西安市蔬菜产量为[一百四十五万四千七百]{.underline}吨，横线上的数写作[ ]{.underline}。
3．（2分）填一填。
> 2500000000＝[ ]{.underline}亿
>
> 2540000＝[ ]{.underline}万
4．（4分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
---------------- ------------------ ------------------ ----------------------
264058〇264148 12亿〇1200000000 2510680〇2510608 854139514〇854140514
---------------- ------------------ ------------------ ----------------------
5．（3分）下面是小红家到书店的路线图。
> 小红从家先向南走100米到超市，然后向东走200米到邮局，再向[ ]{.underline}走[ ]{.underline}米到学校，再向[ ]{.underline}走210米到银行，最后向东走220米到书店。
6．（1分）要使3□65048210≈34亿，□中填[ ]{.underline}。
7．（3分）分别转动下面的转盘，转盘停止后，[ ]{.underline}转盘指针指向白色区域比黑色区域的可能性小；[ ]{.underline}转盘指针指白色区域比黑色区域的可能性大；[ ]{.underline}转盘指针指向白色区域和黑色区域的可能性相等。（填序号）
8．（2分）分析前三题的规律，直接写出后两题的得数．
21×9＝189 321×9＝2889 4321×9＝38889
----------- ------------- ---------------
54321×9＝ 654321×9＝
9．（1分）图中有[ ]{.underline}条线段．
10．（4分）下面是某天部分城市天气的最低气温数据。
城市 西安 呼和浩特 重庆 北京
---------- ------ ---------- ------ ------
最低气温 1℃ ﹣15℃ 8℃ ﹣2℃
> 这四个城市的最低气温从高到低依次是：[ ]{.underline}℃＞[ ]{.underline}℃＞[ ]{.underline}℃＞[ ]{.underline}℃。
**二、准确判断。（对的画"√"，错的画"×"）（10分）**
11．（1分）0是最小的自然数．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．（1分）两点间的所有连线中线段最短．[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）在﹣8、5.6、14、﹣21、0、﹣7中，负数有3个。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）西安约有[10003700]{.underline}人，横线上的数是一个精确数。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）已知一辆汽车行驶的速度和路程，求时间，要用路程乘速度。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）1周角＝4直角。[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）一个盒子里有5个黑球，小玲从盒子中任意摸出一个，摸出的不可能是黑球。[ ]{.underline}（判断对错）
18．（1分）一个除法算式，被除数乘4，要使商不变，除数要除以4。[ ]{.underline}（判断对错）
19．（1分）306851002读作：三亿零六百八十五万一千零二。[ ]{.underline}（判断对错）
20．（1分）李强的座位在班上的第3列、第2行，用数对表示是（3，2）；张红的座位用数对表示是（1，4），她的座位在班上的第4列、第1行。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、合理选择。（将正确答案的序号填在括号里）10分）**
21．（2分）10000000里面有（ ）个一百万。
A．1 B．10 C．100 D．1000
22．（2分）图中有（ ）组互相平行的线段。
A．4 B．3 C．2 D．1
23．（2分）商店里一个文具盒12元，刘老师带了150元，最多能买（ ）个。
A．13 B．12 C．11 D．10
24．（2分）医院给每个住院的病人都设计了住院号。如儿﹣2019121510表示儿科2019年12月15日入院的床号为10号的病人。那么骨科2019年11月13日入院的床号为18号的病人的住院号是（ ）
A．骨﹣2019111318 B．骨﹣2019181113
C．骨﹣2019131118 D．骨﹣2019111813
25．（2分）四年级（1）班期中考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分。
A．86 B．83 C．87 D．80
**四、仔细计算。（25分）**
26．（8分）直接写得数。
150×60＝ 310×30＝ 420×20＝ 250×40＝
---------- ---------- ---------- ----------
200÷20＝ 550÷11＝ 960÷30＝ 480÷40＝
27．（8分）用竖式计算。
---------- ---------- ---------- ----------
308×27＝ 219×45＝ 364÷28＝ 209÷34＝
---------- ---------- ---------- ----------
28．（9分）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。
------------- ---------- --------------
254+287+213 125×29×8 43×365+43×35
------------- ---------- --------------
**五、精准操作。（7分）**
29．（1分）以下面*O*点为端点，画一条射线。
30．（2分）画出如图已知直线的垂线．
31．（2分）量出图中角的度数，并在图中标出来。
32．（2分）画出50°的角．
**六、解决问题。（25分）**
33．（5分）一张动物园的门票是39元，310名同学去参观动物园，估一估，带13000元买门票够吗？
34．（14分）购物。
> （1）李阿姨带了300元，最多能买多少条裤子？还剩多少元？
>
> （2）孙阿姨想买12件上衣和1条裤子，一共需要多少元？
>
> （3）王阿姨带了429元，买了一件上衣后，剩下的钱用来买裤子，最多能买多少条？
35．（6分）欣欣的小花猫把购物清单弄脏了，请你帮她算出手套的单价是多少？（列综合算式解答）
品名 单价/元 数量 总价/元
------ --------- ------ --------- --
袜子 6 21双 294
手套 14副
**2019-2020学年陕西省西安市灞桥区四年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、认真填空。（23分）**
1．【分析】先数出这个整数的位数，然后根据在数位顺序表中，从右边起，第一位是个位，计数单位是一；第二位是十位，计数单位是十；第三位是百位，计数单位是百；第四位是千位，计数单位是千；第五位是万位，计数单位是万...以此类推；进行解答即可。
> 【解答】解：365014的最高位是十万位，万位上是6。
>
> 故答案为：十万，6。
>
> 【点评】本题是考查数位顺序及整数的认识。
2．【分析】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
> 【解答】解：一百四十五万四千七百写作：1454700。
>
> 故答案为：1454700。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确的写数。
3．【分析】改写成用"亿"作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面带上"亿"字；
> 改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上"万"字。
>
> 【解答】解：2500000000＝25亿
>
> 2540000＝254万
>
> 故答案为：25，254。
>
> 【点评】本题主要考查整数的改写和近似数，注意改写和近似数时要带计数单位。
4．【分析】两个数作比较时，数位多的数大；当数位相等时，从最高位数字比起，依次比较各个数位上的数字，较高数位上的数字越大，这个数大。264058＜264148；12亿＝1200000000；2510680＞2510608；854139514＜854140514。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 264058＜264148；
>
> 12亿＝1200000000；
>
> 2510680＞2510608；
>
> 854139514＜854140514。
>
> 故答案为：＜；＝；＞；＜。
>
> 【点评】本题考查亿以上的数比较大小。按照数的比较法则解决问题即可。
5．【分析】以每次的出发点为观测点，根据上北下南左西右东判断方向，根据图示距离填空即可。
> 【解答】解：小红从家先向南走100米到超市，然后向东走200米到邮局，再向东北走150米到学校，再向东南走210米到银行，最后向东走220米到书店。
>
> 故答案为：东北，150，东南。
>
> 【点评】本题主要考查了路线图的描述，找准观测点是本题解题的关键。
6．【分析】3□65048210≈34亿，显然是用"五入"法求出的近似数，所以□里可以填3，据此解答。
> 【解答】解：3□65048210≈34亿，显然是用"五入"法求出的近似数，所以□里可以填3。
>
> 故答案为3。
>
> 【点评】此题考查的目的是掌握利用"四舍五入法"，省略亿位后面的尾数求近似数的方法。
7．【分析】转盘①白色区域与黑色区域大小相等，指针停在黑色和白色区域的可能性差不多；转盘②白色区域大，黑色区域小，指针停在白色区域的可能性大；转盘③白色区域小，黑色区域大，指针停在黑色区域的可能性大；据此解答即可。
> 【解答】解：转盘停止后，③转盘指针指向白色区域比黑色区域的可能性小；②转盘指针指白色区域比黑色区域的可能性大；①转盘指针指向白色区域和黑色区域的可能性相等。
>
> 故答案为：③，②，①。
>
> 【点评】转盘某一颜色的区域大，指针停在该区域的可能就大，反之，停在该区域的可能性就小；转盘没有某种颜色，不可能停在该颜色区域内。
8．【分析】由于21×9＝189，321×9＝2889，4321×9＝38889；从中发现：当第一个因数最前面的数字为*n*时，得数的最前面的数字就是（*n*﹣1），中间就有*n*﹣1个8，最后一个数字是9，据此解答．
> 【解答】解：因为21×9＝189
>
> 321×9＝2889
>
> 4321×9＝38889
>
> 所以54321×9＝488889
>
> 654321×9＝5888889
>
> 故答案为：488889，5888889
>
> 【点评】考查了"式"的规律，对于此类问题，先寻找规律，再据规律解答．
9．【分析】根据图示，可得一共有4条小线段；然后分别判断出由2条、3条、4条小线段组成的线段的条数；最后把所有的线段的数量求和，求出图中一共有多少条线段即可．
> 【解答】解：根据分析，可得图中一共有线段的数量是：
>
> 4+3+2+1＝10（条）
>
> 答：图中有10条线段．
>
> 故答案为：10．
>
> 【点评】此题主要考查了组合图形的计数问题，注意计数的方法，注意不能多数、漏数．
10．【分析】结合统计表，得到需要比较大小的温度值：1℃，﹣15℃，8℃，﹣2℃。然后根据正数大于负数，正数大小比较、负数大小比较法则可知：8℃＞1℃＞﹣2℃＞﹣15℃。
> 【解答】解：经分析可知：8℃＞1℃＞﹣2℃＞﹣15℃。
>
> 故答案为：8；1；﹣2；﹣15。
>
> 【点评】本题考查正、负数大小的比较。根据比较法则比较即可。
**二、准确判断。（对的画"√"，错的画"&\#215;"）（10分）**
11．【分析】自然数是用以计量事物的个数或表示事物次序的数，即用数码0，1，2，3，4，...所表示的数，表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始（包括0），一个接一个，组成一个无穷的集体．
> 【解答】解：由分析知，0是最小的自然数，
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】根据自然数的概念进行解答．
12．【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，据此判断即可．
> 【解答】解：在两点之间的所有连线中，线段最短；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题考查了对线段的性质的掌握，熟练地记住线段的性质是解答此题的关键．
13．【分析】根据负数的意义，像﹣8、﹣21等都是负数，负数就是在以前学过的数（不包括0）的前面加上"﹣"，它表示与以前学过的这些数是具有相反意义的量。
> 【解答】解：在﹣8、5.6、14、﹣21、0、﹣7中，负数有3个，原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题是考查正、负数的意义。
14．【分析】精确数：与实际完全符合的数，近似数：与实际接近的数。
> 【解答】解：西安约有[10003700]{.underline}人，横线上的数是一个近似数。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查学生对于精确数和近似数的区分，属于基础题，要熟练掌握近似数的特征。
15．【分析】根据速度、时间、路程三者之间的关系得出：时间＝路程÷速度，据此判断即可。
> 【解答】解：速度、时间、路程三者之间的关系：
>
> 时间＝路程÷速度，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查速度、时间、路程三者之间的关系，根据时间＝路程÷速度，直接判断即可。
16．【分析】根据角的分类和周角、直角的意义，周角是360°，平角是180°，直角是90°。由此解答。
> 【解答】解：360°÷90°＝4，即1周角＝4直角。
>
> 所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题主要考查角的分类和几种特殊角的意义及它们之间的关系。
17．【分析】结合对于一定、不可能、可能的理解可知：一个盒子里有5个黑球，小玲从盒子中任意摸出一个，摸出的一定是黑球。据此答题即可。
> 【解答】解：经分析可知：
>
> 一个盒子里有5个黑球，小玲从盒子中任意摸出一个，摸出的一定是黑球。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查事件的确定性和不确定性。明确"一定""可能"或"不可能"的含义，很容易解决这类问题。
18．【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。
> 【解答】解：一个除法算式，被除数乘4，要使商不变，除数要乘4。
>
> 故原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商才不变。
19．【分析】结合大数的读法，分别确定各个数字所处的计数单位，然后读数即可。306851002读作三亿零六百八十五万一千零二。据此判断即可。
> 【解答】解：经分析可知：
>
> 306851002是读作：三亿零六百八十五万一千零二。
>
> 故题干说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查大数的读法。结合读法准则解决问题即可。
20．【分析】由"李强的座位在班上的第3列、第2行，用数对表示是（3，2）"可知，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此根据数对即可确定张红座位所在列、行。
> 【解答】解：李强的座位在班上的第3列、第2行，用数对表示是（3，2）；张红的座位用数对表示是（1，4），她的座位在班上的第1列、第4行。
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中可能有所不同，但同一题中是不变的。
**三、合理选择。（将正确答案的序号填在括号里）10分）**
21．【分析】根据相邻的两个计数单位之间的进率是10，已知千万和百万是相邻单位，所以它们的进率是"十"，据此解答即可。
> 【解答】解：10000000里面有10个一百万。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查十进制计数法，每相邻的两个计数单位间的进率是"十"。
22．【分析】根据平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；由此解答即可。
> 【解答】解：由图可得：图中有2组互相平行的线段；
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了平行的特征及性质。
23．【分析】一个文具盒12元，求150元最多能买多少个文具盒，就是求150里面有多少个12，用150除以12求出商即可，
> 【解答】解：150÷12＝12（个）......6（元）
>
> 6元不够买一个文具盒，舍去；
>
> 答：最多能买12个。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解决本题根据除法的包含意义：求一个数里面有几个另一个数，用除法求解；注意结果要根据实际情况取值。
24．【分析】由题意得：儿﹣2019121510表示儿科2019年12月15日入院的床号为10号的病人，汉字表示科室，前8位数表示入院时间，最后两位表示床位号；据此解答即可。
> 【解答】解：根据编码的特点，骨科2019年11月13日入院的床号为18号的病人的住院号是骨﹣2019111318。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题主要考查从所给样例提取正确信息的能力。
25．【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均成绩83分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。
> 【解答】解：83﹣3＝80
>
> 四年级（1）班期中考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了80分。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题。
**四、仔细计算。（25分）**
26．【分析】根据整数乘除法的计算方法进行解答即可。
> 【解答】解：
150×60＝9000 310×30＝9300 420×20＝8400 250×40＝10000
-------------- -------------- -------------- ---------------
200÷20＝10 550÷11＝50 960÷30＝32 480÷40＝12
> 【点评】此题考查了整数加减乘除法的口算能力，注意认真计算即可。
27．【分析】根据两位数乘除三位数的计算方法进行计算即可。
> 【解答】解：308×27＝8316
>
> 219×45＝9855
>
> 364÷28＝13
>
> 209÷34＝6......5
>
> 【点评】本题主要考查了两位数乘除三位数，注意对应的数位要对齐。
28．【分析】（1）按照加法结合律计算；
> （2）按照乘法交换律计算；
>
> （3）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）254+287+213
>
> ＝254+（287+213）
>
> ＝254+500
>
> ＝754
>
> （2）125×29×8
>
> ＝125×8×29
>
> ＝1000×29
>
> ＝29000
>
> （3）43×365+43×35
>
> ＝43×（365+35）
>
> ＝43×400
>
> ＝17200
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**五、精准操作。（7分）**
29．【分析】根据射线的特点：有一个端点，无限长，由此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了射线的特点及画法。
30．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和*A*点重合，过*A*点沿直角边向已知直线画直线即可．
> 【解答】解：画图如下：
>
> 【点评】本题考查了学生垂线的作法，培养学生的作图能力．
31．【分析】把量角器的中心与这个角的顶点重合，量角器的0°刻度线与角的一边重合，量角器上与角的另一边重合的刻度即为该角的度数。在图中标角的度数，通常弧线回来度数。
> 【解答】解：
>
> 【点评】用量角器量角要做"两重合"，"一看准"。"两重合"是先把量角器的中心与角的顶点重重合；把量角器的零度刻度线与角的一边重合；"一看准"是指最后看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是所量的角的度数。
32．【分析】先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器50°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角．
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题主要考查角的作法．
**六、解决问题。（25分）**
33．【分析】求出310名同学去参观动物园需要多少元钱，也就是估算出39的310倍是多少，用结果和13000进行比较即可解答。
> 【解答】解：39≈40
>
> 310≈300
>
> 40×300＝12000（元）
>
> 12000＜13000
>
> 答：带13000元买门票够。
>
> 【点评】乘法的估算，一般要根据"四舍五入"法把数看作是整十、整百、整千...的数来进行计算，然后按表内乘法的计算方法计算即可。
34．【分析】（1）用300除以裤子的单价，商就是买的条数，余数是剩余钱数。
> （2）用上衣的单价乘12，求买12件上衣的钱数，再加上1条裤子的价钱即可。
>
> （3）用429减去一件上衣的价钱，用剩余钱数除以裤子的单价，就是买裤子的条数。
>
> 【解答】解：（1）300÷76＝3（条）......72（元）
>
> 答：最多买3条裤子，剩72元钱。
>
> （2）12×125+76
>
> ＝1500+76
>
> ＝1576（元）
>
> 答：一共需要1576元。
>
> （3）（429﹣125）÷76
>
> ＝304÷76
>
> ＝4（条）
>
> 答：最多买4条裤子。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
35．【分析】根据图意，先求出21双袜子的钱数，再用总钱数减去21双袜子的钱数，求出14副手套的钱数，根据单价＝总价÷数量，解答即可。
> 【解答】解：（294﹣6×21）÷14
>
> ＝（294﹣126）÷14
>
> ＝168÷14
>
> ＝12（元）
>
> 答：手套的单价是12元。
>
> 【点评】此题考查了单价、数量和总价之间的关系。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 14:51:27；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲****解第2课《从哥尼****斯堡****七桥问题谈起》试题附答案**
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\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
**答案**
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\[来源:学科网ZXXK\]\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
三年级奥数下册：第二讲 从哥尼斯堡七桥问题谈起 习题解答
\[来源:学\_科\_网\]
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**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）cos300°=（ ）
A． B．﹣ C． D．
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁~U~M）=（ ）
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a~n~}，a~1~a~2~a~3~=5，a~7~a~8~a~9~=10，则a~4~a~5~a~6~=（ ）
A． B．7 C．6 D．
5．（5分）（1﹣x）^4^（1﹣）^3^的展开式x^2^的系数是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
6．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA~1~，则异面直线BA~1~与AC~1~所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（5分）已知函数f（x）=\|lgx\|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．\[1，+∞） C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
8．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=1的左、右焦点，点P在C上，∠F~1~PF~2~=60°，则\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（5分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，BB~1~与平面ACD~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设a=log~3~2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）不等式的解集是[ ]{.underline}．
14．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则tan2α=[ ]{.underline}．
15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有[ ]{.underline}种．（用数字作答）
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）记等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，设S~3~=12，且2a~1~，a~2~，a~3~+1成等比数列，求S~n~．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
21．（12分）求函数f（x）=x^3^﹣3x在\[﹣3，3\]上的最值．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）cos300°=（ ）
A． B．﹣ C． D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】解：∵．
故选：C．
【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁~U~M）=（ ）
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据补集意义先求C~U~M，再根据交集的意义求N∩（C~U~M）．
【解答】解：（C~U~M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C~U~M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．
故选：C．
【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，
由图可知，
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
z最大，且最大值为z~max~=1﹣2×（﹣1）=3．
故选：B．
【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a~n~}，a~1~a~2~a~3~=5，a~7~a~8~a~9~=10，则a~4~a~5~a~6~=（ ）
A． B．7 C．6 D．
【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有
【分析】由数列{a~n~}是等比数列，则有a~1~a~2~a~3~=5⇒a~2~^3^=5；a~7~a~8~a~9~=10⇒a~8~^3^=10．
【解答】解：a~1~a~2~a~3~=5⇒a~2~^3^=5；
a~7~a~8~a~9~=10⇒a~8~^3^=10，
a~5~^2^=a~2~a~8~，
∴，∴，
故选：A．
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．
5．（5分）（1﹣x）^4^（1﹣）^3^的展开式x^2^的系数是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】列举（1﹣x）^4^与可以出现x^2^的情况，通过二项式定理得到展开式x^2^的系数．
【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x^2^的情况有：
①m=1，n=2；②m=2，n=0；
系数分别为：①=﹣12；②=6；
x^2^的系数是﹣12+6=﹣6
故选：A．
【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．
6．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA~1~，则异面直线BA~1~与AC~1~所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA~1~B就是异面直线BA~1~与AC~1~所成的角，而三角形A~1~DB为等边三角形，可求得此角．
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA~1~C~1~为平行四边形，
∠DA~1~B就是异面直线BA~1~与AC~1~所成的角，
又A~1~D=A~1~B=DB=AB，
则三角形A~1~DB为等边三角形，∴∠DA~1~B=60°
故选：C．
【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）=\|lgx\|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．\[1，+∞） C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
【考点】34：函数的值域；3A：函数的图象与图象的变换；4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则 lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．
【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以\|lga\|=\|lgb\|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）^2^＞4ab=4
∴a+b＞2
故选：C．
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，
整理得线性规划表达式为：，
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a^2^+b^2^≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）^2^＞4ab=4，进而解决问题．
8．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=1的左、右焦点，点P在C上，∠F~1~PF~2~=60°，则\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求\|PF~1~\|•\|PF~2~\|的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出\|PF~1~\|•\|PF~2~\|的值．
【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，
由余弦定理得
cos∠F~1~PF~2~=
∴\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=4．
法2； 由焦点三角形面积公式得：
∴\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=4；
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．
9．（5分）正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，BB~1~与平面ACD~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB~1~，上下底面中心的连线与平面ACD~1~所成角，即为BB~1~与平面ACD~1~所成角，
直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O~1~，O，设正方体的棱长等于1，
则O~1~O与平面ACD~1~所成角就是BB~1~与平面ACD~1~所成角，即∠O~1~OD~1~，
直角三角形OO~1~D~1~中，cos∠O~1~OD~1~===，
故选：D．
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面
ACD~1~的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．
10．（5分）设a=log~3~2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．
【解答】解：a=log~3~2=，b=ln2=，
而log~2~3＞log~2~e＞1，所以a＜b，
c==，而，
所以c＜a，综上c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．菁优网版权所有
【专题】5C：向量与圆锥曲线．
【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），
则PA=PB=，
∠APO=α，则∠APB=2α，
sinα=，
=
=×（1﹣2sin^2^α）
=（x^2^﹣1）（1﹣）=
=x^2^+﹣3≥2﹣3，
∴当且仅当x^2^=时取"="，故的最小值为2﹣3．
故选：D．
【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．
【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，
则有，
当直径通过AB与CD的中点时，，故．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）不等式的解集是[ {x\|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2} ]{.underline}．
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．
【解答】解：：，数轴标根得：{x\|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}
故答案为：{x\|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}
【点评】本小题主要考查分式不等式及其解法，属基本题．
14．（5分）已知α为第二象限角，sinα=，则tan2α=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】由已知求出cosα，进一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．
【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，
∴cosα=，
则tanα=．
∴tan2α===．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．
15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有[ 30 ]{.underline}种．（用数字作答）
【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．
【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C~3~^1^C~4~^2^种不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C~3~^2^C~4~^1^种不同的选法．
所以不同的选法共有C~3~^1^C~4~^2^+C~3~^2^C~4~^1^=18+12=30种．
故答案为：30
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由椭圆的性质求出\|BF\|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出\|FD\|的值，又由\|BF\|=2\|FD\|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值．
【解答】解：如图，，
作DD~1~⊥y轴于点D~1~，则由，得，所以，，
即，由椭圆的第二定义得
又由\|BF\|=2\|FD\|，得，a^2^=3c^2^，解得e==，
故答案为：．
【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点："数研究形，形助数"，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）记等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，设S~3~=12，且2a~1~，a~2~，a~3~+1成等比数列，求S~n~．
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想．
【分析】由2a~1~，a~2~，a~3~+1成等比数列，可得a~2~^2^=2a~1~（a~3~+1），结合s~3~=12，可列出关于a~1~，d的方程组，求出a~1~，d，进而求出前n项和s~n~．
【解答】解：设等差数列{a~n~}的公差为d，由题意得
，解得或，
∴s~n~=n（3n﹣1）或s~n~=2n（5﹣n）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A﹣）=sin（B+），进而根据A，B的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C的值可求．
【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，
∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB
∴sin（A﹣）=sin（B+），
∵0＜A＜π，0＜B＜π
∴﹣＜A﹣＜＜B+＜
∴A﹣+B+=π，
∴A+B=，C=π﹣（A+B）=
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．
19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有
【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．
（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是0篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．
【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D=A+B•C，
P（A）=0.5×0.5=0.25，
P（B）=2×0.5×0.5=0.5，
P（C）=0.3，
P（D）=P（A+B•C）
=P（A）+P（B•C）
=P（A）+P（B）P（C）
=0.25+0.5×0.3
=0.40．
（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，
则P（E）=（1﹣0.4）^4^+C~4~^1^×0.4×（1﹣0.4）^3^
=0.1296+0.3456
=0.4752，
∴=1﹣0.4752=0.5248，
即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248．
【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．
作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．
SB=，
DE=
EB=
所以SE=2EB
（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
AE==1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．
连接AG，AG=，FG=，
cos∠AFG=，
所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．
【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
21．（12分）求函数f（x）=x^3^﹣3x在\[﹣3，3\]上的最值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解答】解：f′（x）=3x^2^﹣3=3（x+1）（x﹣1），
令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1，
经验证x=﹣1和x=1为极值点，即f（1）=﹣2为极小值，f（﹣1）=2为极大值．
又因为f（﹣3）=﹣18，f（3）=18，
所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数的最值，当然如果连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，属于基础题．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），根据韦达定理求得y~1~+y~2~和y~1~y~2~的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x~2~=y2^2^，依题意可知等式成立进而推断出k~1~=k~2~原式得证．
（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y~2~﹣y~1~的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y^2^=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，
代入①，整理得
y^2^﹣4my+4=0，
设L与C 的交点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则
y~1~+y~2~=4m，y~1~y~2~=4，
点A关于X轴的对称点D为（x~1~，﹣y~1~）．
BD的斜率k~1~===，
BF的斜率k~2~=．
要使点F在直线BD上
需k~1~=k~2~
需4（x~2~﹣1）=y~2~（y~2~﹣y~1~），
需4x~2~=y2^2^，
上式成立，∴k~1~=k~2~，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）=（x~1~﹣1，y~1~）（x~2~﹣1，y~2~）=（x~1~﹣1）（x~2~﹣1）+y~1~y~2~=（my~1~﹣2）（my~2~﹣2）+y~1~y~2~=4（m^2^+1）﹣8m^2^+4=8﹣4m^2^=，
∴m^2^=，m=±．
y~2~﹣y~1~==4=，
∴k~1~=，BD：y=（x﹣1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即
\|a+1\|×=\|（（a﹣1）\|×，
∴4\|a+1\|=5\|a﹣1\|，﹣1＜a＜1，
解得a=．
∴半径r=，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）^2^+y^2^=．
【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．
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**2019年湖北省荆州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•荆州）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．\|﹣4\|
2．（3分）（2019•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．*x*﹣*x*＝ B．*a*^3^•（﹣*a*^2^）＝﹣*a*^6^
C．（﹣1）（+1）＝4 D．﹣（*a*^2^）^2^＝*a*^4^
3．（3分）（2019•荆州）已知直线*m*∥*n*，将一块含30°角的直角三角板*ABC*按如图方式放置（∠*ABC*＝30°），其中*A*，*B*两点分别落在直线*m*，*n*上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
> 
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．（3分）（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
> 
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
5．（3分）（2019•荆州）如图，矩形*ABCD*的顶点*A*，*B*，*C*分别落在∠*MON*的边*OM*，*ON*上，若*OA*＝*OC*，要求只用无刻度的直尺作∠*MON*的平分线．小明的作法如下：连接*AC*，*BD*交于点*E*，作射线*OE*，则射线*OE*平分∠*MON*．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的"三线合一"．小明的作法依据是（ ）
> 
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（3分）（2019•荆州）若一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象不经过第二象限，则关于*x*的方程*x*^2^+*kx*+*b*＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（3分）（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点*A*的坐标为（1，），以原点为中心，将点*A*顺时针旋转30°得到点*A*\'，则点*A*\'的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
8．（3分）（2019•荆州）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
9．（3分）（2019•荆州）已知关于*x*的分式方程﹣2＝的解为正数，则*k*的取值范围为（ ）
A．﹣2＜*k*＜0 B．*k*＞﹣2且*k*≠﹣1 C．*k*＞﹣2 D．*k*＜2且*k*≠1
10．（3分）（2019•荆州）如图，点*C*为扇形*OAB*的半径*OB*上一点，将△*OAC*沿*AC*折叠，点*O*恰好落在上的点*D*处，且*^l^*：*^l^*＝1：3（*^l^*表示的长），若将此扇形*OAB*围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
> 
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
**二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•荆州）二次函数*y*＝﹣2*x*^2^﹣4*x*+5的最大值是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•荆州）如图①，已知正方体*ABCD*﹣*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为4*cm*，*E*，*F*，*G*分别是*AB*，*AA*~1~，*AD*的中点，截面*EFG*将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为[ ]{.underline}*cm*^2^．
> 
13．（3分）（2019•荆州）对非负实数*x*"四舍五入"到个位的值记为（*x*），即当*n*为非负整数时，若*n*﹣0.5≤*x*＜*n*+0.5，则（*x*）＝*n*．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5*x*﹣1）＝6，则实数*x*的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•荆州）如图，灯塔*A*在测绘船的正北方向，灯塔*B*在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔*B*的正南方向，此时测得灯塔*A*在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔*A*，*B*间的距离为[ ]{.underline}海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）
> 
15．（3分）（2019•荆州）如图，*AB*为⊙*O*的直径，*C*为⊙*O*上一点，过*B*点的切线交*AC*的延长线于点*D*，*E*为弦*AC*的中点，*AD*＝10，*BD*＝6，若点*P*为直径*AB*上的一个动点，连接*EP*，当△*AEP*是直角三角形时，*AP*的长为[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线*y*＝*k*~1~*x*平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于*A*，*B*两点，过*B*点的双曲线*y*＝的一支交其中两个正方形的边于*C*，*D*两点，连接*OC*，*OD*，*CD*，则*S*~△*OCD*~＝[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（本大题共8小题，共72分）**
17．（8分）（2019•荆州）已知：*a*＝（﹣1）（+1）+\|1﹣\|，*b*＝﹣2sin45°+（）^﹣1^，求*b*﹣*a*的算术平方根．
18．（8分）（2019•荆州）先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤*a*＜2中选出一个合适的整数作为*a*的值代入求值．
19．（8分）（2019•荆州）如图①，等腰直角三角形*OEF*的直角顶点*O*为正方形*ABCD*的中心，点*C*，*D*分别在*OE*和*OF*上，现将△*OEF*绕点*O*逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接*AF*，*DE*（如图②）．
> （1）在图②中，∠*AOF*＝[ ]{.underline}；（用含α的式子表示）
>
> （2）在图②中猜想*AF*与*DE*的数量关系，并证明你的结论．
>
> 
20．（8分）（2019•荆州）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
------ ------------ ------ ------
组别 个数段 频数 频率
1 0≤*x*＜10 5 0.1
2 10≤*x*＜20 21 0.42
3 20≤*x*＜30 *a*
4 30≤*x*＜40 *b*
------ ------------ ------ ------
> （1）表中的数*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
>
> （3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．
>
> 
21．（8分）（2019•荆州）若二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）图象的顶点在一次函数*y*＝*kx*+*t*（*k*≠0）的图象上，则称*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）为*y*＝*kx*+*t*（*k*≠0）的伴随函数，如：*y*＝*x*^2^+1是*y*＝*x*+1的伴随函数．
> （1）若*y*＝*x*^2^﹣4是*y*＝﹣*x*+*p*的伴随函数，求直线*y*＝﹣*x*+*p*与两坐标轴围成的三角形的面积；
>
> （2）若函数*y*＝*mx*﹣3（*m*≠0）的伴随函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*与*x*轴两个交点间的距离为4，求*m*，*n*的值．
22．（10分）（2019•荆州）如图，*AB*是⊙*O*的直径，点*C*为⊙*O*上一点，点*P*是半径*OB*上一动点（不与*O*，*B*重合），过点*P*作射线1⊥*AB*，分别交弦*BC*，于*D*，*E*两点，在射线*l*上取点*F*，使*FC*＝*FD*．
> （1）求证：*FC*是⊙*O*的切线；
>
> （2）当点*E*是的中点时，
>
> ①若∠*BAC*＝60°，判断以*O*，*B*，*E*，*C*为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
>
> ②若tan∠*ABC*＝，且*AB*＝20，求*DE*的长．
>
> 
23．（10分）（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
----------------- ---------- ----------
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
----------------- ---------- ----------
> 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
>
> （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
>
> （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为[ ]{.underline}辆；
>
> （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
24．（12分）（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形*OABC*的顶点*A*，*C*的坐标分别为（6，0），（4，3），经过*B*，*C*两点的抛物线与*x*轴的一个交点*D*的坐标为（1，0）．
> （1）求该抛物线的解析式；
>
> （2）若∠*AOC*的平分线交*BC*于点*E*，交抛物线的对称轴于点*F*，点*P*是*x*轴上一动点，当*PE*+*PF*的值最小时，求点*P*的坐标；
>
> （3）在（2）的条件下，过点*A*作*OE*的垂线交*BC*于点*H*，点*M*，*N*分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点*M*，*N*，使得以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点*M*的坐标，若不存在，说明理由．
>
> 
**2019年湖北省荆州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•荆州）下列实数中最大的是（ ）
A． B．π C． D．\|﹣4\|
> 【考点】绝对值；算术平方根；实数大小比较．菁优网版权所有
>
> 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
>
> 【解答】解：∵＜π＜＜\|﹣4\|＝4，
>
> ∴所给的几个数中，最大的数是\|﹣4\|．
>
> 故选：*D*．
2．（3分）（2019•荆州）下列运算正确的是（ ）
A．*x*﹣*x*＝ B．*a*^3^•（﹣*a*^2^）＝﹣*a*^6^
C．（﹣1）（+1）＝4 D．﹣（*a*^2^）^2^＝*a*^4^
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；平方差公式；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据合并同类项法则判断*A*；根据单项式乘单项式的法则判断*B*；根据平方差公式以及二次根式的性质判断*C*；根据幂的乘方法则判断*D*．
>
> 【解答】解：*A*、*x*﹣*x*＝*x*，故本选项错误；
>
> *B*、*a*^3^•（﹣*a*^2^）＝﹣*a*^5^，故本选项错误；
>
> *C*、（﹣1）（+1）＝5﹣1＝4，故本选项正确；
>
> *D*、﹣（*a*^2^）^2^＝﹣*a*^4^，故本选项错误；
>
> 故选：*C*．
3．（3分）（2019•荆州）已知直线*m*∥*n*，将一块含30°角的直角三角板*ABC*按如图方式放置（∠*ABC*＝30°），其中*A*，*B*两点分别落在直线*m*，*n*上，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
> 
A．10° B．20° C．30° D．40°
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：∵直线*m*∥*n*，
>
> ∴∠2+∠*ABC*+∠1+∠*BAC*＝180°，
>
> ∵∠*ABC*＝30°，∠*BAC*＝90°，∠1＝40°，
>
> ∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，
>
> 故选：*B*．
4．（3分）（2019•荆州）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
> 
A．该几何体是长方体
B．该几何体的高是3
C．底面有一边的长是1
D．该几何体的表面积为18平方单位
> 【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据数据表面积即可进行判断．
>
> 【解答】解：*A*、该几何体是长方体，正确；
>
> *B*、该几何体的高为3，正确；
>
> *C*、底面有一边的长是1，正确；
>
> *D*、该几何体的表面积为：2×（1×2+2×3+1×3）＝22平方单位，故错误，
>
> 故选：*D*．
5．（3分）（2019•荆州）如图，矩形*ABCD*的顶点*A*，*B*，*C*分别落在∠*MON*的边*OM*，*ON*上，若*OA*＝*OC*，要求只用无刻度的直尺作∠*MON*的平分线．小明的作法如下：连接*AC*，*BD*交于点*E*，作射线*OE*，则射线*OE*平分∠*MON*．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的"三线合一"．小明的作法依据是（ ）
> 
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
> 【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质；作图---基本作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用矩形的性质得到*AE*＝*CE*，则*OE*为等腰三角形底边上的中线，利用等腰三角形的性质可得到射线*OE*平分∠*MON*．
>
> 【解答】解：∵四边形*ABCD*为矩形，
>
> ∴*AE*＝*CE*，
>
> 而*OA*＝*OC*，
>
> ∴*OE*为∠*AOC*的平分线．
>
> 故选：*C*．
6．（3分）（2019•荆州）若一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象不经过第二象限，则关于*x*的方程*x*^2^+*kx*+*b*＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
> 【考点】根的判别式；一次函数的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用一次函数的性质得到*k*＞0，*b*≤0，再判断△＝*k*^2^﹣4*b*＞0，从而得到方程根的情况．
>
> 【解答】解：∵一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象不经过第二象限，
>
> ∴*k*＞0，*b*≤0，
>
> ∴△＝*k*^2^﹣4*b*＞0，
>
> ∴方程有两个不相等的实数根．
>
> 故选：*A*．
7．（3分）（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点*A*的坐标为（1，），以原点为中心，将点*A*顺时针旋转30°得到点*A*\'，则点*A*\'的坐标为（ ）
A．（，1） B．（，﹣1） C．（2，1） D．（0，2）
> 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
>
> 【分析】如图，作*AE*⊥*x*轴于*E*，*A*′*F*⊥*x*轴于*F*．利用全等三角形的性质解决问题即可．
>
> 【解答】解：如图，作*AE*⊥*x*轴于*E*，*A*′*F*⊥*x*轴于*F*．
>
> 
>
> ∵∠*AEO*＝∠*OFA*′＝90°，∠*AOE*＝∠*AOA*′＝∠*A*′*OF*＝30°
>
> ∴∠*AOE*＝∠*A*′，
>
> ∵*OA*＝*OA*′，
>
> ∴△*AOE*≌△*OA*′*F*（*AAS*），
>
> ∴*OF*＝*AE*＝，*A*′*F*＝*OE*＝1，
>
> ∴*A*′（，1）．
>
> 故选：*A*．
8．（3分）（2019•荆州）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
> 【考点】中位数；众数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的"中点"，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可
>
> 【解答】解：*A*、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；
>
> *B*、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；
>
> *C*、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；
>
> *D*．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．
>
> 故选：*C*．
9．（3分）（2019•荆州）已知关于*x*的分式方程﹣2＝的解为正数，则*k*的取值范围为（ ）
A．﹣2＜*k*＜0 B．*k*＞﹣2且*k*≠﹣1 C．*k*＞﹣2 D．*k*＜2且*k*≠1
> 【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
>
> 【解答】解：∵＝2，
>
> ∴＝2，
>
> ∴*x*＝2+*k*，
>
> ∵该分式方程有解，
>
> ∴2+*k*≠1，
>
> ∴*k*≠﹣1，
>
> ∵*x*＞0，
>
> ∴2+*k*＞0，
>
> ∴*k*＞﹣2，
>
> ∴*k*＞﹣2且*k*≠﹣1，
>
> 故选：*B*．
10．（3分）（2019•荆州）如图，点*C*为扇形*OAB*的半径*OB*上一点，将△*OAC*沿*AC*折叠，点*O*恰好落在上的点*D*处，且*^l^*：*^l^*＝1：3（*^l^*表示的长），若将此扇形*OAB*围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
> 
A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9
> 【考点】垂径定理；弧长的计算；圆锥的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】连接*OD*，能得∠*AOB*的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解．
>
> 【解答】解：连接*OD*交*OC*于*M*．
>
> 
>
> 由折叠的知识可得：*OM*＝*OA*，∠*OMA*＝90°，
>
> ∴∠*OAM*＝30°，
>
> ∴∠*AOM*＝60°，
>
> ∵且：＝1：3，
>
> ∴∠*AOB*＝80°
>
> 设圆锥的底面半径为*r*，母线长为*l*，
>
> ＝2π*r*，
>
> ∴*r*：*i*＝2：9．
>
> 故选：*D*．
**二、填空题（本大题共6小题每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•荆州）二次函数*y*＝﹣2*x*^2^﹣4*x*+5的最大值是[ 7 ]{.underline}．
> 【考点】二次函数的最值．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
>
> 【解答】解：*y*＝﹣2*x*^2^﹣4*x*+5＝﹣2（*x*+1）^2^+7，
>
> 即二次函数*y*＝﹣*x*^2^﹣4*x*+5的最大值是7，
>
> 故答案为：7．
12．（3分）（2019•荆州）如图①，已知正方体*ABCD*﹣*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为4*cm*，*E*，*F*，*G*分别是*AB*，*AA*~1~，*AD*的中点，截面*EFG*将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}*cm*^2^．
> 
>
> 【考点】截一个几何体；等边三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据已知条件得到*GF*＝*GE*＝*EF*＝＝2，过*G*作*GH*⊥*EF*于*H*，求得*GH*＝*GF*＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：∵已知正方体*ABCD*﹣*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为4*cm*，*E*，*F*，*G*分别是*AB*，*AA*~1~，*AD*的中点，
>
> ∴*GF*＝*GE*＝*EF*＝＝2，
>
> 过*G*作*GH*⊥*EF*于*H*，
>
> ∴*GH*＝*GF*＝，
>
> ∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2*cm*^2^．
>
> 故答案为：2．
>
> 
13．（3分）（2019•荆州）对非负实数*x*"四舍五入"到个位的值记为（*x*），即当*n*为非负整数时，若*n*﹣0.5≤*x*＜*n*+0.5，则（*x*）＝*n*．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5*x*﹣1）＝6，则实数*x*的取值范围是[ 13≤*x*＜15 ]{.underline}．
> 【考点】一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意得到：6﹣0.5≤0.5*x*﹣1＜6+0.5，据此求得*x*的取值范围．
>
> 【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5*x*﹣1＜6+0.5
>
> 解得13≤*x*＜15．
>
> 故答案是：13≤*x*＜15．
14．（3分）（2019•荆州）如图，灯塔*A*在测绘船的正北方向，灯塔*B*在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔*B*的正南方向，此时测得灯塔*A*在测绘船北偏西63.5°的方向上，则灯塔*A*，*B*间的距离为[ 22.4 ]{.underline}海里（结果保留整数）．（参考数据sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50，≈2.24）
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意得*MN*＝20，∠*ANB*＝63.5°，∠*BMN*＝45°，∠*AMN*＝∠*BNM*＝
>
> 90°，于是得到*BN*＝*MN*＝20，如图，过*A*作*AE*⊥*BN*于*E*，得到四边形*AMNE*是矩形，根据矩形的性质得到*AE*＝*MN*＝20，*EN*＝*AM*，解直角三角形即可得到结论．
>
> 【解答】解：由题意得，*MN*＝20，∠*ANB*＝63.5°，∠*BMN*＝45°，∠*AMN*＝∠*BNM*＝90°，
>
> ∴*BN*＝*MN*＝20，
>
> 如图，过*A*作*AE*⊥*BN*于*E*，
>
> 则四边形*AMNE*是矩形，
>
> ∴*AE*＝*MN*＝20，*EN*＝*AM*，
>
> ∵*AM*＝*MN*•tan26.5°＝20×0.50＝10，
>
> ∴*BE*＝20﹣10＝10，
>
> ∴*AB*＝＝10≈22.4海里．
>
> 故答案为：22.4．
>
> 
15．（3分）（2019•荆州）如图，*AB*为⊙*O*的直径，*C*为⊙*O*上一点，过*B*点的切线交*AC*的延长线于点*D*，*E*为弦*AC*的中点，*AD*＝10，*BD*＝6，若点*P*为直径*AB*上的一个动点，连接*EP*，当△*AEP*是直角三角形时，*AP*的长为[ 4和2.56 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】勾股定理；切线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据切线的性质得出△*ABD*是直角三角形，*DB*^2^＝*CD*•*AD*，根据勾股定理求得*AB*，即可求得*AE*，然后分两种情况求得*AP*的长即可．
>
> 【解答】解：∵过*B*点的切线交*AC*的延长线于点*D*，
>
> ∴*AB*⊥*BD*，
>
> ∴*AB*＝＝＝8，
>
> 当∠*AEP*＝90°时，∵*AE*＝*EC*，
>
> ∴*EP*经过圆心*O*，
>
> ∴*AP*＝*AO*＝4；
>
> 当∠*APE*＝90°时，则*EP*∥*BD*，
>
> ∴＝，
>
> ∵*DB*^2^＝*CD*•*AD*，
>
> ∴*CD*＝＝＝3.6，
>
> ∴*AC*＝10﹣3.6＝6.4，
>
> ∴*AE*＝3.2，
>
> ∴＝，
>
> ∴*AP*＝2.56．
>
> 综上*AP*的长为4和2.56．
>
> 故答案为4和2.56．
16．（3分）（2019•荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线*y*＝*k*~1~*x*平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于*A*，*B*两点，过*B*点的双曲线*y*＝的一支交其中两个正方形的边于*C*，*D*两点，连接*OC*，*OD*，*CD*，则*S*~△*OCD*~＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】设*A*（4，*t*），利用面积法得到×4×*t*＝4+1，解方程得到*A*（4，），利用待定系数法求出直线解析式为*y*＝*x*，再确定*B*（2，），接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为*y*＝，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出*C*（，2），*D*（3，），然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算*S*~△*OCD*~．
>
> 【解答】解：设*A*（4，*t*），
>
> ∵直线*y*＝*k*~1~*x*平分这8个正方形所组成的图形的面积，
>
> ∴×4×*t*＝4+1，解得*t*＝，
>
> ∴*A*（4，），
>
> 把*A*（4，）代入直线*y*＝*k*~1~*x*得4*k*~1~＝，解得*k*~1~＝，
>
> ∴直线解析式为*y*＝*x*，
>
> 当*x*＝2时，*y*＝*x*＝，则*B*（2，），
>
> ∵双曲线*y*＝经过点*B*，
>
> ∴*k*~2~＝2×＝，
>
> ∴双曲线的解析式为*y*＝＝，
>
> 当*y*＝2时，＝2，解得*x*＝，则*C*（，2）；
>
> 当*x*＝3时，*y*＝＝，则*D*（3，），
>
> ∴*S*~△*OCD*~＝3×2﹣×3×﹣×2×﹣（2﹣）×（3﹣）＝．
>
> 故答案为．
**三、解答题（本大题共8小题，共72分）**
17．（8分）（2019•荆州）已知：*a*＝（﹣1）（+1）+\|1﹣\|，*b*＝﹣2sin45°+（）^﹣1^，求*b*﹣*a*的算术平方根．
> 【考点】实数的运算；平方差公式；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用平方差公式和绝对值的计算法则求得*a*的值，由二次根式的化简，特殊角的三角函数值已经负整数指数幂求得*b*的值，代入求值即可．
>
> 【解答】解：∵*a*＝（﹣1）（+1）+\|1﹣\|＝3﹣1+﹣1＝1+，
>
> *b*＝﹣2sin45°+（）^﹣1^＝2﹣+2＝+2．
>
> ∴*b*﹣*a*＝+2﹣1﹣＝1．
>
> ∴＝＝1．
18．（8分）（2019•荆州）先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤*a*＜2中选出一个合适的整数作为*a*的值代入求值．
> 【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤*a*＜2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
>
> 【解答】解：（﹣1）÷
>
> ＝
>
> ＝
>
> ＝，
>
> 当*a*＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
19．（8分）（2019•荆州）如图①，等腰直角三角形*OEF*的直角顶点*O*为正方形*ABCD*的中心，点*C*，*D*分别在*OE*和*OF*上，现将△*OEF*绕点*O*逆时针旋转α角（0°＜α＜
> 90°），连接*AF*，*DE*（如图②）．
>
> （1）在图②中，∠*AOF*＝[ 90°﹣α ]{.underline}；（用含α的式子表示）
>
> （2）在图②中猜想*AF*与*DE*的数量关系，并证明你的结论．
>
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）如图2，利用旋转的性质得到∠*DOF*＝∠*COE*＝α，再根据正方形的性质得到∠*AOD*＝90°，从而得到∠*AOF*＝90°﹣α；
>
> （2）如图②，利用正方形的性质得∠*AOD*＝∠*COD*＝90°，*OA*＝*OD*，再利用△*OEF*为等腰直角三角形得到*OF*＝*OE*，利用（1）的结论得到∠*AOF*＝∠*DOE*，则可证明△*AOF*≌△*DOE*，从而得到*AF*＝*DE*．
>
> 【解答】解：（1）如图2，
>
> ∵△*OEF*绕点*O*逆时针旋转α角，
>
> ∴∠*DOF*＝∠*COE*＝α，
>
> ∵四边形*ABCD*为正方形，
>
> ∴∠*AOD*＝90°，
>
> ∴∠*AOF*＝90°﹣α；
>
> 故答案为90°﹣α；
>
> （2）*AF*＝*DE*．
>
> 理由如下：
>
> 如图②，∵四边形*ABCD*为正方形，
>
> ∴∠*AOD*＝∠*COD*＝90°，*OA*＝*OD*，
>
> ∵∠*DOF*＝∠*COE*＝α，
>
> ∴∠*AOF*＝∠*DOE*，
>
> ∵△*OEF*为等腰直角三角形，
>
> ∴*OF*＝*OE*，
>
> 在△*AOF*和△*DOE*中
>
> ，
>
> ∴△*AOF*≌△*DOE*（*SAS*），
>
> ∴*AF*＝*DE*．
20．（8分）（2019•荆州）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：
------ ------------ ------ ------
组别 个数段 频数 频率
1 0≤*x*＜10 5 0.1
2 10≤*x*＜20 21 0.42
3 20≤*x*＜30 *a*
4 30≤*x*＜40 *b*
------ ------------ ------ ------
> （1）表中的数*a*＝[ 20 ]{.underline}，*b*＝[ 0.08 ]{.underline}；
>
> （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；
>
> （3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．
>
> 
>
> 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），20≤*x*＜30的人数：50×＝20（人），即*a*＝20，30≤*x*＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），*b*＝＝0.08；
>
> （2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人）；
>
> （3）*P*~（选出的2人为一个男生一个女生的概率）~＝＝．
>
> 【解答】解（1）抽查了九年级学生数：5÷0.1＝50（人），
>
> 20≤*x*＜30的人数：50×＝20（人），即*a*＝20，
>
> 30≤*x*＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20＝4（人），
>
> *b*＝＝0.08，
>
> 故答案为20，0.08；
>
> （2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×（1﹣0.1）＝405（人），
>
> 答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；
>
> （3）列表如下
>
> 
>
> ∴*P*~（选出的2人为一个男生一个女生的概率）~＝＝．
21．（8分）（2019•荆州）若二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）图象的顶点在一次函数*y*＝*kx*+*t*（*k*≠0）的图象上，则称*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）为*y*＝*kx*+*t*（*k*≠0）的伴随函数，如：*y*＝*x*^2^+1是*y*＝*x*+1的伴随函数．
> （1）若*y*＝*x*^2^﹣4是*y*＝﹣*x*+*p*的伴随函数，求直线*y*＝﹣*x*+*p*与两坐标轴围成的三角形的面积；
>
> （2）若函数*y*＝*mx*﹣3（*m*≠0）的伴随函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*与*x*轴两个交点间的距离为4，求*m*，*n*的值．
>
> 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得*P*，进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式进行计算得结果；
>
> （2）根据函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*与*x*轴两个交点间的距离为4，列出*n*的方程求得*n*，再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得*m*．
>
> 【解答】解：∵*y*＝*x*^2^﹣4，
>
> ∴其顶点坐标为（0，﹣4），
>
> ∵*y*＝*x*^2^﹣4是*y*＝﹣*x*+*p*的伴随函数，
>
> ∴（0，﹣4）在一次函数*y*＝﹣*x*+*p*的图象上，
>
> ∴﹣4＝0+*p*．
>
> ∴*p*＝﹣4，
>
> ∴一次函数为：*y*＝﹣*x*﹣4，
>
> ∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），
>
> ∴直线*y*＝﹣*x*+*p*与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为\|﹣4\|＝4，
>
> ∴直线*y*＝﹣*x*+*p*与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
>
> （2）设函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*与*x*轴两个交点的横坐标分别为*x*~1~，*x*~2~，则*x*~1~+*x*~2~＝﹣2，*x*~1~*x*~2~＝*n*，
>
> ∴，
>
> ∵函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*与*x*轴两个交点间的距离为4，
>
> ∴，
>
> 解得，*n*＝﹣3，
>
> ∴函数*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*为：*y*＝*x*^2^+2*x*﹣3＝（*x*+1）^2^﹣4，
>
> ∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），
>
> ∵*y*＝*x*^2^+2*x*+*n*是*y*＝*mx*﹣3（*m*≠0）的伴随函数，
>
> ∴﹣4＝﹣*m*﹣3，
>
> ∴*m*＝1．
22．（10分）（2019•荆州）如图，*AB*是⊙*O*的直径，点*C*为⊙*O*上一点，点*P*是半径*OB*上一动点（不与*O*，*B*重合），过点*P*作射线1⊥*AB*，分别交弦*BC*，于*D*，*E*两点，在射线*l*上取点*F*，使*FC*＝*FD*．
> （1）求证：*FC*是⊙*O*的切线；
>
> （2）当点*E*是的中点时，
>
> ①若∠*BAC*＝60°，判断以*O*，*B*，*E*，*C*为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
>
> ②若tan∠*ABC*＝，且*AB*＝20，求*DE*的长．
>
> 
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）连接*OC*，证明*OC*⊥*CF*即可；
>
> （2）①四边形*BOCE*是菱形，可以先证明四边形*BOCE*是平行四边形，再结合半径相等得证四边形*BOCE*是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形*BOCE*是菱形；
>
> ②由三角函数概念得＝tan∠*ABC*＝，可求得*AC*＝12，*BC*＝16，由垂径定理可求出*BH*；利用三角形面积公式求得*PE*＝*BH*＝8，再利用勾股定理或三角函数求得*OP*，*BP*，*DP*，由*DE*＝*PE*﹣*PD*求出*DE*的长．
>
> 【解答】解：（1）证明：连接*OC*，∵*OB*＝*OC*，
>
> ∴∠*OBC*＝∠*OCB*，
>
> ∵*PF*⊥*AB*，
>
> ∴∠*BPD*＝90°，
>
> ∴∠*OBC*+∠*BDP*＝90°，
>
> ∵*FC*＝*FD*
>
> ∴∠*FCD*＝∠*FDC*
>
> ∵∠*FDC*＝∠*BDP*
>
> ∴∠*OCB*+∠*FCD*＝90°
>
> ∴*OC*⊥*FC*
>
> ∴*FC*是⊙*O*的切线．
>
> （2）如图2，连接*OC*，*OE*，*BE*，*CE*，
>
> ①以*O*，*B*，*E*，*C*为顶点的四边形是菱形．理由如下：
>
> ∵*AB*是直径，∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∵∠*BAC*＝60°，∴∠*BOC*＝120°，
>
> ∵点*E*是的中点，
>
> ∴∠*BOE*＝∠*COE*＝60°，
>
> ∵*OB*＝*OE*＝*OC*
>
> ∴△*BOE*，△*OCE*均为等边三角形，
>
> ∴*OB*＝*BE*＝*CE*＝*OC*
>
> ∴四边形*BOCE*是菱形；
>
> ②若tan∠*ABC*＝，且*AB*＝20，求*DE*的长．
>
> ∵＝tan∠*ABC*＝，设*AC*＝3*k*，*BC*＝4*k*（*k*＞0），
>
> 由勾股定理得*AC*^2^+*BC*^2^＝*AB*^2^，即（3*k*）^2^+（4*k*）^2^＝20^2^，解得*k*＝4，
>
> ∴*AC*＝12，*BC*＝16，
>
> ∵点*E*是的中点，
>
> ∴*OE*⊥*BC*，*BH*＝*CH*＝8，
>
> ∴*OE*×*BH*＝*OB*×*PE*，即10×8＝10*PE*，解得：*PE*＝8，
>
> 由勾股定理得*OP*＝＝＝6，
>
> ∴*BP*＝*OB*﹣*OP*＝10﹣6＝4，
>
> ∵＝tan∠*ABC*＝，即*DP*＝*BP*＝＝3
>
> ∴*DE*＝*PE*﹣*DP*＝8﹣3＝5．
>
> 
>
> 
23．（10分）（2019•荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：
----------------- ---------- ----------
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
----------------- ---------- ----------
> 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．
>
> （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
>
> （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为[ 8 ]{.underline}辆；
>
> （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
>
> 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有*x*人，学生有*y*人，根据"若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生"，即可得出关于*x*，*y*的二元一次方程组，解之即可得出结论；
>
> （2）利用租车总辆数＝师生人数÷35结合每辆客车上至少要有2名老师，即可得出租车总辆数为8辆；
>
> （3）设租35座客车*m*辆，则需租30座的客车（8﹣*m*）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于*m*的一元一次不等式组，解之即可得出*m*的取值范围，结合*m*为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为*w*元，根据租车总费用＝400×租用35座客车的数量+320×租用30座客车的数量，即可得出*w*关于*m*的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
>
> 【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有*x*人，学生有*y*人，
>
> 依题意，得：，
>
> 解得：．
>
> 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
>
> （2）∵（234+16）÷35＝7（辆）......5（人），16÷2＝8（辆），
>
> ∴租车总辆数为8辆．
>
> 故答案为：8．
>
> （3）设租35座客车*m*辆，则需租30座的客车（8﹣*m*）辆，
>
> 依题意，得：，
>
> 解得：2≤*m*≤5．
>
> ∵*m*为正整数，
>
> ∴*m*＝2，3，4，5，
>
> ∴共有4种租车方案．
>
> 设租车总费用为*w*元，则*w*＝400*m*+320（8﹣*m*）＝80*m*+2560，
>
> ∵80＞0，
>
> ∴*w*的值随*m*值的增大而增大，
>
> ∴当*m*＝2时，*w*取得最小值，最小值为2720．
>
> ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
24．（12分）（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形*OABC*的顶点*A*，*C*的坐标分别为（6，0），（4，3），经过*B*，*C*两点的抛物线与*x*轴的一个交点*D*的坐标为（1，0）．
> （1）求该抛物线的解析式；
>
> （2）若∠*AOC*的平分线交*BC*于点*E*，交抛物线的对称轴于点*F*，点*P*是*x*轴上一动点，当*PE*+*PF*的值最小时，求点*P*的坐标；
>
> （3）在（2）的条件下，过点*A*作*OE*的垂线交*BC*于点*H*，点*M*，*N*分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点*M*，*N*，使得以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点*M*的坐标，若不存在，说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由平行四边形*OABC*的性质求点*B*坐标，根据抛物线经过点*B*、*C*、*D*用待定系数法求解析式．
>
> （2）由*OE*平分∠*AOC*易证得∠*COE*＝∠*AOE*＝∠*OEC*，故有*CE*＝*OC*，求得点*E*坐标，进而求得直线*OE*解析式．求抛物线对称轴为直线*x*＝7，即求得点*F*坐标．作点*E*关于*x*轴的对称点点*E*\'，由于点*P*在*x*轴上运动，故有*PE*＝*PE*\'，所以当点*F*、*P*、*E*\'在同一直线上时，*PE*+*PF*＝*PE*\'+*PF*＝*FE*\'最小．用待定系数法求直线*E*\'*F*解析式，即求得*E*\'*F*与*x*轴交点*P*的坐标．
>
> （3）设*AH*与*OE*相交于点*G*，且*G*的横坐标为*t*，即能用*t*表示*OG*、*AG*的长，由*AH*⊥*OE*于点*G*，根据勾股定理可得*AG*^2^+*OG*^2^＝*OA*^2^，把*t*代入解方程即求得*t*的值即求得点*G*坐标．待定系数法求直线*AG*解析式，令*y*＝3时求*x*的值即为点*H*坐标．故可得*HE*＝9﹣5＝4，且点*H*、*E*关于直线*x*＝7对称．由于以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的平行四边形中，*H*、*E*固定，以*HE*为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．①以*HE*为边时，可得*MN*∥*HE*，且*MN*＝*HE*，故可得点*M*横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以*HE*为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点*M*在抛物线对称轴上，求顶点即可．
>
> 【解答】解：（1）∵平行四边形*OABC*中，*A*（6，0），*C*（4，3）
>
> ∴*BC*＝*OA*＝6，*BC*∥*x*轴
>
> ∴*x~B~*＝*x~C~*+6＝10，*y~B~*＝*y~C~*＝3，即*B*（10，3）
>
> 设抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*经过点*B*、*C*、*D*（1，0）
>
> ∴ 解得：
>
> ∴抛物线解析式为*y*＝﹣*x*^2^+*x*﹣
>
> （2）如图1，作点*E*关于*x*轴的对称点*E*\'，连接*E*\'*F*交*x*轴于点*P*
>
> ∵*C*（4，3）
>
> ∴*OC*＝
>
> ∵*BC*∥*OA*
>
> ∴∠*OEC*＝∠*AOE*
>
> ∵*OE*平分∠*AOC*
>
> ∴∠*AOE*＝∠*COE*
>
> ∴∠*OEC*＝∠*COE*
>
> ∴*CE*＝*OC*＝5
>
> ∴*x~E~*＝*x~C~*+5＝9，即*E*（9，3）
>
> ∴直线*OE*解析式为*y*＝*x*
>
> ∵直线*OE*交抛物线对称轴于点*F*，对称轴为直线：*x*＝﹣7
>
> ∴*F*（7，）
>
> ∵点*E*与点*E*\'关于*x*轴对称，点*P*在*x*轴上
>
> ∴*E*\'（9，﹣3），*PE*＝*PE*\'
>
> ∴当点*F*、*P*、*E*\'在同一直线上时，*PE*+*PF*＝*PE*\'+*PF*＝*FE*\'最小
>
> 设直线*E*\'*F*解析式为*y*＝*kx*+*h*
>
> ∴ 解得：
>
> ∴直线*E*\'*F*：*y*＝﹣*x*+21
>
> 当﹣*x*+21＝0时，解得：*x*＝
>
> ∴当*PE*+*PF*的值最小时，点*P*坐标为（，0）．
>
> （3）存在满足条件的点*M*，*N*，使得以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的四边形为平行四边形．
>
> 设*AH*与*OE*相交于点*G*（*t*，*t*），如图2
>
> ∵*AH*⊥*OE*于点*G*，*A*（6，0）
>
> ∴∠*AGO*＝90°
>
> ∴*AG*^2^+*OG*^2^＝*OA*^2^
>
> ∴（6﹣*t*）^2^+（*t*）^2^+*t*^2^+（*t*）^2^＝6^2^
>
> ∴解得：*t*~1~＝0（舍去），*t*~2~＝
>
> ∴*G*（，）
>
> 设直线*AG*解析式为*y*＝*dx*+*e*
>
> ∴ 解得：
>
> ∴直线*AG*：*y*＝﹣3*x*+18
>
> 当*y*＝3时，﹣3*x*+18＝3，解得：*x*＝5
>
> ∴*H*（5，3）
>
> ∴*HE*＝9﹣5＝4，点*H*、*E*关于直线*x*＝7对称
>
> ①当*HE*为以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的平行四边形的边时，如图2
>
> 则*HE*∥*MN*，*MN*＝*HE*＝4
>
> ∵点*N*在抛物线对称轴：直线*x*＝7上
>
> ∴*x~M~*＝7+4或7﹣4，即*x~M~*＝11或3
>
> 当*x*＝3时，*y~M~*＝﹣×9+×9﹣＝
>
> ∴*M*（3，）或（11，）
>
> ②当*HE*为以点*M*，*N*，*H*，*E*为顶点的平行四边形的对角线时，如图3
>
> 则*HE*、*MN*互相平分
>
> ∵直线*x*＝7平分*HE*，点*F*在直线*x*＝7上
>
> ∴点*M*在直线*x*＝7上，即*M*为抛物线顶点
>
> ∴*y~M~*＝﹣×49+×7﹣＝4
>
> ∴*M*（7，4）
>
> 综上所述，点*M*坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．
>
> 
>
> 
>
> 
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日期：2019/7/10 10:07:55；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**《辨认方向》同步练习**
> **一、综合练习：**
>
> **1、说一说图中各建筑物分别在打谷场的什么方向。**
>
> **2、说一说打谷场在图中各建筑物的什么方向。\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> **二、拓展练习**
>
> **1、**
>
> **（1）上海大致在北京的 [ ]{.underline} 方向，吉林大致在北京的 [ ]{.underline} 方向，台湾大致在北京的 [ ]{.underline} 方向。**
>
> **（2）我的家乡大致在北京的 [ ]{.underline} 方向。**
>
> **2、**
>
> 
三、辨认方向。
  
鲜 花 小 鸡 鸽 子
   
海 豚 白 马 企 鹅
  
小 熊 钟 表 树 叶
1. 小鸡在白马的\_\_\_\_\_\_\_面，鲜花在白马的\_\_\_\_\_\_面，鸽子在白马的\_\_\_\_\_\_\_面。
2\. 小熊在白马的\_\_\_\_\_\_\_面，钟表在白马的\_\_\_\_\_\_面，树叶在白马的\_\_\_\_\_\_\_面。
> 四、看路线图填空
>
> \[来源:Z。xx。k.Com\]
>
> 红红从甜品屋出发到电影院，她可以有下面几种走法。请把红红的行走路线填完整。
>
> 1、从甜品屋出发，向北走到（ ），再向（ ）走到电影院
>
> 2、从甜品屋出发，向（ ）走到街心花园，再向（ ）走到电影院。
>
> 3、从甜品屋出发，向（ ）走到花店，再向（ ）走到书店，再向北走到电影院。
**参考答案：**
> **一、综合练习：**
>
> **1、学校在打谷场的东北方，饲养场在西北方，鱼塘在西南方，村庄在东南方。**
>
> **2、打谷场在学校的西南方，在饲养场东南方，在鱼塘东北方，在村庄西北方。**
>
> **二、拓展练习**
>
> **1、**
>
> **（1）上海大致在北京的 [东南]{.underline} 方向，吉林大致在北京的 [东北]{.underline} 方向，台湾大致在北京的 [东南]{.underline} 方向。**
>
> **（2）略**
**2、\[来源:学科网\]**
> **胖子书店 车站 天宁商城**
>
> **四中 县委**
>
> **西街学校 南街学校 第二小学**
>
> **三、辨认方向。**
1\. 小鸡在白马的\_\_北\_面，鲜花在白马的\_\_西北\_面，鸽子在白马的\_\_东北\_\_面\_。
2\. 小熊在白马的\_\_\_西南\_面，钟表在白马的\_\_南\_\_面，树叶在白马的\_\_东南\_\_面。
四、看路线图填空
红红从甜品屋出发到电影院，她可以有下面几种走法。请把红红的行走路线填完整。
1、从甜品屋出发，向北走到（ 布店 ），再向（ 东 ）走到电影院
2、从甜品屋出发，向（ 东北 ）走到街心花园，再向（ 东北 ）走到电影院。\[来源:Z.xx.k.Com\]
3、从甜品屋出发，向（ 东 ）走到花店，再向（ 东 ）走到书店，再向北走到电影院。
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**2017年湖北省荆州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）**
1．下列实数中最大的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．﹣4
2．中国企业2016年已经在"一带一路"沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（ ）
A．18×10^4^ B．1.8×10^5^ C．1.8×10^6^ D．18×10^5^
3．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
4．为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
------------------------ --- --- --- ---
户外活动的时间（小时） 1 2 3 6
学生人数（人） 2 2 4 2
------------------------ --- --- --- ---
则关于"户外活动时间"这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3
5．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
7．为配合荆州市"我读书，我快乐"读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（ ）
A．140元 B．150元 C．160元 D．200元
8．《九章算术》中的"折竹抵地"问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x^2^﹣6=（10﹣x）^2^ B．x^2^﹣6^2^=（10﹣x）^2^ C．x^2^+6=（10﹣x）^2^ D．x^2^+6^2^=（10﹣x）^2^
9．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为"倍根方程"．现有下列结论：
①方程x^2^+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x^2^+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax^2^﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax^2^﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx^2^+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）**
11．化简（π﹣3.14）^0^+\|1﹣2\|﹣+（）^﹣1^的结果是[ ]{.underline}．
12．若单项式﹣5x^4^y^2m+n^与2017x^m﹣n^y^2^是同类项，则m﹣7n的算术平方根是[ ]{.underline}．
13．若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为[ ]{.underline}．
14．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有[ ]{.underline}个点．
15．将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为[ ]{.underline}．
16．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是[ ]{.underline}．
17．如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S~矩形OABC~=32，tan∠DOE=，则BN的长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分）\[来源:学科网\]**
19．（1）解方程组：
（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．
20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
21．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图
（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为[ ]{.underline}人；
（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．
22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）
23．已知关于x的一元二次方程x^2^+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x^2^+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
24．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
25．如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
**2017年湖北省荆州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）**
1．下列实数中最大的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．﹣4
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】将各数按照从大到小顺序排列，找出最大数即可．
【解答】解：各数排列得：3＞＞0＞﹣4，
则实数找最大的数是3，
故选A
2．中国企业2016年已经在"一带一路"沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了180 000个就业岗位．将180 000用科学记数法表示应为（ ）
A．18×10^4^ B．1.8×10^5^ C．1.8×10^6^ D．18×10^5^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10^n^，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：180000=1.8×10^5^．
故选：B．
3．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．10°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
【解答】解：由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°﹣50°=10°，
故选：D．
4．为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
------------------------ --- --- --- ---
户外活动的时间（小时） 1 2 3 6
学生人数（人） 2 2 4 2
------------------------ --- --- --- ---
则关于"户外活动时间"这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3
【考点】W5：众数；W2：加权平均数；W4：中位数．
【分析】根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．
【解答】解：∵共10人，
∴中位数为第5和第6人的平均数，
∴中位数=（3+3）÷3=5；
平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3；
故选A．
5．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、20=2^2^×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．
故选B．
7．为配合荆州市"我读书，我快乐"读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（ ）
A．140元 B．150元 C．160元 D．200元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】此题的关键描述："先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元"，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．
【解答】解：设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，
则有：20+0.8x=x﹣10
解得：x=150
即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元．
故选：B．
8．《九章算术》中的"折竹抵地"问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x^2^﹣6=（10﹣x）^2^ B．x^2^﹣6^2^=（10﹣x）^2^ C．x^2^+6=（10﹣x）^2^ D．x^2^+6^2^=（10﹣x）^2^
【考点】KU：勾股定理的应用．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC^2^+BC^2^=AB^2^，即x^2^+6^2^=（10﹣x）^2^．
故选D．
9．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×10^2^×8+30×20×5=800π+3000，
故选：D．
10．规定：如果关于x的一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为"倍根方程"．现有下列结论：
①方程x^2^+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x^2^+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax^2^﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax^2^﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx^2^+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合"倍根方程"的定义进行判断；
②设x~2~=2x~1~，得到x~1~•x~2~=2x~1~^2^=2，得到当x~1~=1时，x~2~=2，当x~1~=﹣1时，x~2~=﹣2，于是得到结论；
③根据"倍根方程"的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx^2^+5x+n=0即可得到正确的结论；
【解答】解：①由x^2^﹣2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x~1~=4，x~2~=﹣2，
∵x~1~≠2x~2~，或x~2~≠2x~1~，
∴方程x^2^﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x^2^+ax+2=0是倍根方程，
∴设x~2~=2x~1~，
∴x~1~•x~2~=2x~1~^2^=2，
∴x~1~=±1，
当x~1~=1时，x~2~=2，
当x~1~=﹣1时，x~2~=﹣2，
∴x~1~+x~2~=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax^2^﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x~2~=2x~1~，
∵抛物线y=ax^2^﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax^2^﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，
∴mn=4，
解mx^2^+5x+n=0得x~1~=﹣，x~2~=﹣，
∴x~2~=4x~1~，
∴关于x的方程mx^2^+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）**
11．化简（π﹣3.14）^0^+\|1﹣2\|﹣+（）^﹣1^的结果是[ 2 ]{.underline}．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+2﹣1﹣2+2=2，
故答案为：2
12．若单项式﹣5x^4^y^2m+n^与2017x^m﹣n^y^2^是同类项，则m﹣7n的算术平方根是[ 4 ]{.underline}．
【考点】22：算术平方根；34：同类项；98：解二元一次方程组．
【分析】根据同类项定义可以得到关于m、n的二元一次方程，即可求得m、n的值即可解题．
【解答】解：∵单项式﹣5x^4^y^2m+n^与2017x^m﹣n^y^2^是同类项，
∴4=m﹣n，2m+n=2，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m﹣7n=16，
∴m﹣7n的算术平方根==4，
故答案为 4．
13．若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为[ k＜3且k≠1 ]{.underline}．
【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2，
解得：x=，
由分式方程的解为负数，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，\[来源:Zxxk.Com\]
故答案为：k＜3且k≠1
14．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有[ 135 ]{.underline}个点．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．
【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点，
第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；
第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
...
第n个图形有3+6+9+...+3n=3×（1+2+3+...+n）=个点；
当n=9时， =135个点，
故答案为：135．
15．将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为[ 4 ]{.underline}．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．
【解答】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b﹣3．
∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），
∴把点（1，2）代入y=x+b﹣3，得1+b﹣3=2，
解得b=4．
故答案为4．
16．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是[ 60°或120° ]{.underline}．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．
【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：60°或120°．
17．如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．
【考点】N4：作图---应用与设计作图；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．
【解答】解：如图所示，直线OO′即为所求．
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S~矩形OABC~=32，tan∠DOE=，则BN的长为[ 3 ]{.underline}．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义；T7：解直角三角形．
【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE==，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为y=﹣，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．
【解答】解：∵S~矩形OABC~=32，
∴AB•BC=32，
∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，
∴AB=DE，OD=OA，
在Rt△ODE中，tan∠DOE==，即OD=2DE，
∴DE•2DE=32，解得DE=4，
∴AB=4，OA=8，
在Rt△OCM中，∵tan∠COM==，
而OC=AB=4，
∴MC=2，
∴M（﹣2，4），
把M（﹣2，4）代入y=得k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
当x=﹣8时，y=﹣=1，则N（﹣8，1），
∴BN=4﹣1=3．
故答案为3．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分）**
19．（1）解方程组：
（2）先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．
【考点】6D：分式的化简求值；98：解二元一次方程组．
【分析】（1）根据代入消元法可以解答此方程；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）
将①代入②，得
3x+2（2x﹣3）=8，
解得，x=2，
将x=2代入①，得
y=1，
故原方程组的解是；
（2）﹣÷
=
=
=，
当x=2时，原式=．
20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．
【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；
（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，\[来源:学科网ZXXK\]
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
21．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图
（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为[ 56 ]{.underline}人；
（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据A等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以B等所占的百分比求得B等人数，从而补全条形图；
（2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为D等的人数所占百分比即可求解；
（3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）总人数为14÷28%=50人，
B等人数为50×40%=20人．
条形图补充如下：
（2）该年级足球测试成绩为D等的人数为700×=56（人）．
故答案为56；
（3）画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占2种，
所以恰好选到甲、乙两个班的概率是=．
22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4•tan37°可得答案．
【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵tan∠DCF=i==，
∴∠DCF=30°，
∵CD=4，
∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，
∴BF=BC+CF=2+2=4，
过点E作EG⊥AB于点G，
则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，
又∵∠AED=37°，
∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，
则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，
故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．
23．已知关于x的一元二次方程x^2^+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x^2^+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；H3：二次函数的性质．
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x^2^+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）^2^﹣4（1﹣k）=（k﹣3）^2^+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x~1~，x~2~，根据题意得（x~1~﹣3）（x~2~﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）^2^﹣4（1﹣k）=k^2^﹣6k+21=（k﹣3）^2^+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y=x^2^+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵△=（k﹣3）^2^+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x~1~，x~2~，
∴x~1~+x~2~=5﹣k＞0，x~1~•x~2~=1﹣k＞0，
解得k＜1，
即k的取值范围是k＜1；
（3）解：设方程的两个根分别是x~1~，x~2~，
根据题意，得（x~1~﹣3）（x~2~﹣3）＜0，
即x~1~•x~2~﹣3（x~1~+x~2~）+9＜0，
又x~1~+x~2~=5﹣k，x~1~•x~2~=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
24．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据"总利润=每千克利润×销售量"列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；
（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）^2^+2450，
∴当t=30时，w~最大~=2450；
②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）^2^﹣100，
∴当t=41时，w~最大~=2301，\[来源:Zxxk.Com\]
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=﹣（t﹣30）^2^+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）^2^+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=﹣（t﹣30）^2^+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，
而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t^2^+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
25．如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；
（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．
【解答】（1）证明：如图1中，连接QP．
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB==5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴==，∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，
∵OC+CQ+AQ=4，
∴m+t+5t=4，
∴m=4﹣t．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
∵OC+AQ﹣CQ=4，
∴m+5t﹣t=4，
∴m=4﹣t．
（3）解：存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=，
由（2）可知，m=﹣或．
如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，
由（2）可知，m=﹣或．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数 学**
**参考答案**
**一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，共计50分。**
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B
**二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共计30分。**
11．
12．75
13．32
14．
15．
16．
**三、解答题**
17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为
（2）5次预报中至少有2次准确的概率为
（3）"5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确"的概率为
18．本小题主要考查平面的基本性质、或以平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象力、逻辑推理能力和运算能力，满分12分。
**解法一：**
（1）如图：在DD~1~上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND~1~=2
因为AE∥DN，ND~1~∥CF，所以四边形ADNE、CFD~1~N都为平行四边形。
从而ENAD，FD~1~∥CN。
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD~1~∥BE。
> （2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·
因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM
又AB⊥平面BCC~1~B~1~，所以EM⊥平面BCC~1~B~1~
（3）如图，连结EH
因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF
于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0
因为∠MBH=∠CFB，所以
MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB
**解法二：**
（1）建立如图所示的坐标系，则
所以
故共面
又它们有公共点B，
所以E、B、F、D~1~四点共面。
（2）如图，设M（0，0，z）则
而，由题设得
，得z=1
因为M（0，0，1），E（3，0，1），有=（3，0，0）
又，，所以，从而ME⊥BB~1~，ME⊥BC
故ME⊥BB~1~，平面BCC~1~B~1~
（3）设向量⊥截面EBFD~1~，于是
而，得，解得x=-1，y=-2，所以
又⊥平面BCC~1~B~1~，所以和的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）
于是
故
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力，满分14分。
解：
（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x^2^得x^2^－kx－c=0
令A（a，a^2^），B（b，b^2^），则ab=﹣c
因为，解得c=2，
或c=﹣1（舍去）
故c=2
（2）由题意知，直线AQ的斜率为
又r=x^2^的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a
因此，AQ为该抛物线的切线
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设Q（x~0~，﹣c）
若AQ为该抛物线的切线，则k~AQ~=2a
又直线AQ的斜率为，所以
得2ax~0~=a^2^+ab，因a≠0，有
20．
解：设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，
设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程 中有正整数解即可，，
所以：
，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
21．解
（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。
（2）因为，所以，则
==0的根也是的根。
（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，
（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，
的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而
所以当时，；当时，。
（3），所以，即的根为0和1，
所以=0必无实数根，
（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；
（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，
，而，所以，所以不可能小于0，
（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。
所以
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**理科基础**
**参考答案**
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
答案 D C A D D D B C D C A A A B A
题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 C C A B A D C C C A D B C D A
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
答案 C A B C A B D C D C A A C A D
题号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
答案 D B A C C C B D C D C B C C A
题号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
答案 A C A D B A D B B B C D A D D
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**河北衡水高考押题试卷**
**文数（二）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．设集合，，则集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数（，）满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则的值为（ ）
A. B． C. D．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2，则（ ）
A． B． C． D．
5．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）
A. B．
C. D．
7．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若，则为（ ）
A．1 B． C． D．
9．执行下图的程序框图，若输入的，，的值分别为0，1，1，则输出的的值为（ ）
A.81 B． C. D．
10．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）
A. 函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行
D．方程的两个不同的解分别为**，，则的最小值为**
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．向量，，若向量，共线，且，则的值为 [ ]{.underline} ．
14．已知点，，若圆上存在点使，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
15．设，满足约束条件则的最大值为 [ ]{.underline} ．
16．在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，的面积为，为的中点，求的长.
18．如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，，平面平面，，为的中点，为平面内任一点.
（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.
19．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？
（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..
20．已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）
（1）求椭圆的方程.
（2）讨论是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由.
21．设函数.
**（1）试讨论函数**的单调性；
**（2）如果**且关于的方程有两解**，（），证明.**
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．**
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当时，两曲线相交于，两点，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
**已知函数.**
**（1）在给出的直角坐标系中作出函数**的图象，并从图中找出满足不等式的解集**；**
**（2）若函数**的最小值记为，设**，且有，试证明：.**
**试卷答案**
**一、选择题**
1-5:BCAAD 6-10:AADCB 11、12：AC
**二、填空题**
13． 14．16 15． 16．
**三、解答题**
17．解：（1）由，
得.
由正弦定理，得，
即.
又由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）因为，
所以为等腰三角形，且顶角.
故，所以.
在中，由余弦定理，得
.
解得.
18．解：（1）过点存在直线使，理由如下：
由题可知为的中点，又为的中点，
所以在中，有.
若点在直线上，则直线即为所求作直线，
所以有；
若点不在直线上，在平面内，
过点作直线，使，
又，所以，
即过点存在直线使.
（2）连接，，则平面将几何体分成两部分：
三棱锥与几何体（如图所示）.
因为平面平面，且交线为，
又，所以平面.
故为几何体的高.
又四边形为菱形，，，，
所以，
所以.
又，所以平面，
所以，
所以几何体的体积.
19．解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，
故可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩等级为的人数约有.
（2）这100名学生成绩的平均分为（分），
因为，所以该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关.
（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为，3名女生分别为，，.从中抽取2人的所有情况为，，，，，，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有，，，共3种情况，故所求概率.
20．解：（1）由题意可知，
所以，整理，得，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，，
故所求的椭圆方程为.
（2）为定值，理由如下：
设，由，
可知.
联立方程组
消去，化简得，
由，
得，
由根与系数的关系，得
，，③
由，，
得，
整理，得.
将③代入上式，得.
化简整理，得，即.
21．解：（1）由，可知.
因为函数的定义域为，所以，
①若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
②若**，则当在内恒成立，函数**单调递增；
③若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
（2）要证，只需证.
设，
因为，
所以为单调递增函数.
所以只需证，
即证，
只需证.（\*）
又，，
所以两式相减，并整理，得.
把代入（\*）式，
得只需证，
可化为.
令，得只需证.
令（），
则，
所以在其定义域上为增函数，
所以.
综上得原不等式成立.
22．解：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.
由，得.故曲线：化为平面直角坐标系中的普通方程为.
当两曲线有公共点时的取值范围为.
（2）当时，曲线：即，
联立方程消去，得两曲线的交点，所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为，
所以.
23\. 解：（1）因为
所以作出函数的图象如图所示.
从图中可知满足不等式的解集为.
（2）证明：从图中可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
故.
当且仅当时，等号成立，
即，时，原式有最小值，
所以得证.
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**四川南充市2020年初中学业水平考试数学试题（图片版）**
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第9课《格点与面积》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第十一讲 格点与面积习题解答
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**小升初总复习数与代数篇**
第一单元 数的认识
第一单元闯关测试
1. 知识储备所。（38分）
1.截止6月底，全国机动车总保有量达[233000000辆]{.underline}。233000000辆，省略亿位后面的尾数约是（ ）亿辆。www.21-cn-jy.com
2.米表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份；也可以表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。2·1·c·n·j·y
3．在 、、 0.54和42% 这五个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。
4．一篮苹果的个数既是21的倍数，又是21的因数，这篮苹果的个数是（ ）。
5．笑笑家的电脑开机密码是一[个五位数ab](http://www.21cnjy.com)cde，a是最小的奇数，b是最小的质数，c是最小的合数，d是10以内最大的质数，e是10以内最大的既是偶数又是合数的数，这个密码是（ ）。 【来源：21·世纪·教育·网】
6.20.6扩大到原来的100倍是（ ），（ ）缩小到原来的是2.5.
7.在直线上-2，+3，+5，-10，（ ）离0最近，（ ）离0最远。
8.（ ）÷12==（ ）%=（ ）（填小数）
9\. 今年植树节，杨公小学种植了190棵树苗，其中10棵未成活，后来又种植了10棵全部成活。今年杨公小学种植树苗的成活率是（ ）。
10.两个数都是合数，又是互质数，它们的最小公倍数是72，这两个数是（ ）和（ ）。
二、火眼金睛辨对错。（12分）
1.一个自然数不是奇数就是偶数。 （ ）
2.某班期中考试有49人及格，1人不及格，及格率是98%。 （ ）
3.千米也可以写成0.25米和25%千米。 （ ）
4.因为21÷7=3，所以21是倍数，7是因数。 （ ）
5.合格率和出勤率都不会超过 100％。 （ ）
6.0.475保留两位小数约等于0.48；5.495保留两位小数约是5.50。 （ ）
三、对号入座。（10分）
1.8070000000这个数中，8和7各表示（ ）。
A.87个亿 B.8个亿、7个千万
C.8个十亿、7个千万 D.8个千万、7个万
2.在12，-3.6,140，-15，-54、中，负数有（ ）个。
A.2 B.3 C.4 D.5
3.下列分数中，不能化成有限小数的是（ ）。
A. B. C. D.
4.在含盐2%的盐水中，同时加入100克盐和1千克的水后，盐水的含盐率（ ）2%。
A.小于 B.大于 C.等于 D.不确定
5."元旦"晚会前夕，用彩灯布置教室，按"一蓝、二红、二绿、三红"的规律连接起来，第100个灯泡是（ ）色。21世纪教育网版权所有
A.蓝 B.红 C.绿 D.红
四、解决问题**。（40分）**
1.用0、1、5、8四张数字卡片，排成不同的两位数。
（1）其中2、3、5的倍数各有哪些？
（2）其中哪几个数是2和3的公倍数？
2.把1\~99这99个自然数的顺序打乱后重新排列，并把新排列的每个数依次加上1,2,3，,99.问最后得到的99个数之积是奇数还是偶数？21cnjy.com
3.将9,14,22,33,39,91这六个数平均分成两组，使每组的三个数的乘积相等。
4\. 2012伦敦奥运会后，实验小学举办了一次趣味竞赛，结果参加比赛的学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，获得纪念奖的有多少人？21教育网
答案
四、1.（1）2的倍数：10 50 80 18 58 3的倍数：15 51 18 81 5的倍数：10 50 80 15 85 （2）1821·cn·jy·com
2.因为1\~99中共有奇数50个，偶数49个。按最坏分组，每个偶数加上一个奇数，每个奇数加上一个偶数，这样共有98对（奇＋偶），但最后一对一定是（奇＋奇）。因为奇＋奇=偶，而在乘积式中，有一个因数是偶数，所以它们的积必定是偶数。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）**
**数学（理科）试卷**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
（1）""是""的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
> （2）若函数，（其中）的最小正周期是，且，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）直线关于直线对称的直线方程是
（A） （B） （C） （D）
> （4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水。假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
>
> 
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（5）已知随机变量服从正态分布，则
（A）0.16 （B）0.32 （C）0.68 （D）0.84
（6）若P是两条异面直线外的任意一点，则
（A）过点P有且仅有一条直线与都平行
（B）过点P有且仅有一条直线与都垂直
（C）过点P有且仅有一条直线与都相交
（D）过点P有且仅有一条直线与都异面
（7）若非零向量、满足，则
（A） （B） （C） （D）
> （8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
（A） （B） （C） （D）
> （9）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是准线上一点，且，则双曲线的离心率是
（A） （B） （C）2 （D）3
> （10）设，是二次函数，若的值域是，则的值域是
（A） （B） （C） （D）
**第Ⅱ卷**
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。**
（11）已知复数，，则复数\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（12）已知，且，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（13）不等式的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张有10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）
\(15\) 随机变量的分布列如下：
-- ---- --- ---
-1 0 1
-- ---- --- ---
其中成等差数列。若，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（16）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（17）设为实数，若，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
（18）（本题14分）已知的周长为，且
（Ⅰ）求边AB的长；
（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角。
> （20）（本题14分）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。
（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；
（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。
（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程
的两个根，且
（Ⅰ）求，，，；
（Ⅱ）求数列的前项的和；
（Ⅲ）记，
求证：
（22）（本题15分）设，对任意实数，记
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
> （ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。
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**2020-2021学年四川省成都市温江区六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择题（本大题共20小题，每小题1.5分，共30分）**
1．（1.5分）如图，梯形部分占整幅图的多少？用百分数表示为（ ）
> 
A．48% B．54% C．27% D．13.5%
2．（1.5分）10名运动员参加比赛，如果每2人握1次手，一共要握手（ ）次。
A．45 B．55 C．90 D．100
3．（1.5分）工厂质检员检查一批零件，合格的为*a*件，不合格的为*b*件，这批零件的合格率是（ ）
A．×100% B．×100% C．×100% D．×100%
4．（1.5分）一根绳子分成两段，第一段长米，第二段占全长的，比较两段绳子的长（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较
5．（1.5分）银行两年期的存款年利率是2.10%。爸爸把8000元钱存入银行，存定期两年，到期后爸爸可得本息一共多少元？下面列式正确的是（ ）
A．8000×2.10%×2 B．8000×（1+2.10%）×2
C．8000×（1+2.10%×2） D．8000×（1+2.10%）
6．（1.5分）一个减法算式中，减数是差的，被减数与差的最简整数比是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．5：2 D．5：3
7．（1.5分）一堆货物有4吨，第一次运走了总质量的，第二次运走了吨，算式"4×﹣"解决的问题是（ ）
A．两次共运走了多少吨
B．第一次运走了多少吨
C．两次后还剩下多少吨
D．第一次比第二次多运了多少吨
8．（1.5分）一件商品原来在甲商场和乙商场的售价相同.甲商场先降价10%，再涨价10%；乙商场先涨价10%，再降价10%。这件商品现在在两个商场的售价相比（ ）
A．甲商场贵 B．乙商场贵 C．售价一样 D．无法确定
9．（1.5分）一辆汽车从甲地到乙地，去时用8小时，返回用10小时，返回的速度相当于去时速度的（ ）
A．20% B．25% C．80% D．125%
10．（1.5分）甲、乙、丙三人分水果，方案一是按3：4：5分配，方案二是按2：3：4分配，那么按这两种方案分配，乙分得的水果数量（ ）
A．一样多 B．第一种方案分得多
C．第二种方案分得多 D．无法确定
11．（1.5分）一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．要搭成这个立体图形至少需要（ ）个小正方体．
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（1.5分）如图所示，在房子外的屋檐*E*处有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌*BD*，那么监视器看不到的区域是（ ）
> 
A．三角形*AFD* B．三角形*BFD* C．三角形*ABD* D．四边形*BDEC*
13．（1.5分）淘气去超市买东西，在路上遇到同学交谈了一会，然后去超市买了一些学习用品后回家，下面（ ）图比较准确地反映了淘气的活动。
A．
B．
C．
D．
14．（1.5分）大圆的周长是小圆周长的2倍，则大圆的面积是小圆面积的（ ）倍。
A．2 B．4 C．6 D．8
15．（1.5分）如图三幅图中阴影部分的面积相比较。（ ）
> 
A．甲的面积大 B．乙的面积大 C．丙的面积大 D．同样大
16．（1.5分）如图中的*O*~1~和*O*~2~分别是大小相同的两个圆的圆心，长方形的长与宽的比是（ ）
> 
A．2：1 B．3：2 C．3：1 D．4：3
17．（1.5分）如图，大圆内有3个大小不等的小圆，这四个圆的圆心都在同一直线上，若大圆的直径是5厘米，则三个小圆的周长之和是（ ）厘米。
> 
A．7.85 B．15.7 C．31.4 D．78.5
18．（1.5分）如图1，把圆沿半径平均分成若干等份，就能得到一个近似的长方形.如果分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。
> 
>
> 如图2中的长方形*OABC*就是由圆*O*用这样的方法得到的，则阴影部分的面积与圆面积的最简整数比是（ ）
>
> 
A．4：3 B．3：5 C．3：4 D．无法确定
19．（1.5分）把一根铁丝围成一个圆，半径正好是*a*分米，如果把这根铁丝围成一个正方形，它的边长是（ ）分米。
A．1.57*a* B．3.14*a* C．6.28*a* D．3.14*a*^2^
20．（1.5分）如图甲是用无人机从高空拍摄的笑笑家的图片。地面上有①、②、③、④四个观察点，笑笑站在地面上的（ ）号位置看到的样子如图乙所示。
> 
A．① B．② C．③ D．④
**二、计算（本大题共4小题，共23分）**
21．（8分）直接写出得数。
--------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
（1）1﹣27%＝ （2）+25%＝ （3）15×30%＝ （4）45÷45%＝
（5）﹣＝ （6）+＝ （7）1÷×＝ （8）3÷÷＝
--------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
22．（9分）先化简比，再求比值。
----------------------------------------------- ---------------- -------------------------------------------------------------------------------
（1）0.8： （2）0.07：4.2 （3）：
----------------------------------------------- ---------------- -------------------------------------------------------------------------------
23．（12分）脱式计算。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------
（1）7÷+÷7 （2）3×8×（+75%）
（3）（﹣×）÷ （4）0.8×7.7﹣80%+3.3×
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------
24．（4分）解方程。
------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
（1）*x*﹣25%*x*＝ （2）*x*+＝4
------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
**三、操作题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）**
25．（6分）某学校六年级科学考试结果以等级呈现，分*A*、*B*、*C*、*D*四个等级，在一次模拟考试后，随机抽取部分学生的科学成绩进行调查统计，绘制成如下两幅不完整的统计图。
> 
>
> （1）这次调查共抽取了[ ]{.underline}名学生的科学成绩。
>
> （2）*B*等的学生人数占抽样学生人数的[ ]{.underline}。（填百分数）
>
> （3）请把条形统计图补充完整。
>
> （4）如果该校六年级有800名学生，这次模拟考试大约有[ ]{.underline}名学生的科学成绩为*D*等。
26．（6分）如图所示，*O*为圆心，*OACB*为梯形。求阴影部分的周长与面积。（单位：*cm*）
> 
**四、解决问题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
27．（5分）我国大约有60个城市，其中约有的城市供水不足，在这些供水不足的城市中，约有城市严重缺水，全国严重缺水的城市大约有多少个？
> 
28．（5分）淘气家九月份用水14吨，九月份比八月份节约了，淘气家八月份用水多少吨？（用方程解答）
29．（5分）一辆汽车车轮半径为0.4米，车轮每分钟转动500圈，这辆汽车1小时可以行驶多少千米？
30．（5分）一个圆形花坛，直径为20米，在花坛中央有一个半径为2米的圆形喷水池，其余部分按3：5的比例种植草和花，种花的面积是多少平方米？
31．（5分）某项工程由三个工程队共同完成。根据合同，各工程队需完成的工程量如下：甲工程队完成总工程的30%，余下的任务由乙、丙两个工程队按3：4进行分配。当甲工程队完成4000米时，甲正好完成工程总长的。求丙工程队应完成的工程量是多少米？
**五、附加题.填空题。（本大题共5小题，共10分）**
32．（2分）一件商品按100元定价后，打九折出售，仍能获得20%的利润，这件商品的进价是[ ]{.underline}元。
33．（2分）一个圆的周长、直径、半径相加的和是27.84厘米，这个圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
34．（2分）图中，两个正方形中阴影部分的面积比是3：1，空白部分甲和乙的面积比是[ ]{.underline}．
> 
35．（2分）如图所示，*O*为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
36．（2分）一个长方形沿虚线折叠后得到一个多边形（如图所示），这个多边形的面积是原长方形面积的。如果多边形中涂色部分的总面积是2平方厘米，那么原长方形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
**六、解答题本大题共2小题，每小题5分，共10分）**
37．（5分）加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成．当完成加工任务的时，采用新技术，效率提高20%．结果，完成任务的时间提前10天，这批零件共有几个？
38．（5分）如图所示，在等腰直角三角形*ABC*中，*AC*＝4厘米，*BC*是半圆的直径，*A*为扇形*ACD*的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。
> 
**2020-2021学年四川省成都市温江区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共20小题，每小题1.5分，共30分）**
1．【分析】令小正方形的边长是1，则整幅图可以看成是长是10，宽是5的长方形，根据长方形的面积＝长×宽求出整个图形的面积；梯形的上底是3，下底是6，高是3，根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2求出梯形的面积，再用梯形的面积除以整个图形的面积即可。
> 【解答】解：令小正方形的边长是1，
>
> 10×5＝50
>
> （3+6）×3÷2
>
> ＝9×3÷2
>
> ＝13.5
>
> 13.5÷50＝27%
>
> 答：梯形部分占整幅图的27%。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决本题先分别根据长方形和梯形的面积公式分别求出两者的面积，再根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解。
2．【分析】每两人握一次，那么每个人要握9次；10个人一共握9×10次，但这样算每次握手就算成了2次，所以再除以2即可。
> 【解答】解：10×（10﹣1）÷2
>
> ＝90÷2
>
> ＝45（次）
>
> 答：一共要握手45次。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2，握手次数的公式要记住，并灵活运用。
3．【分析】根据合格率＝合格产品数÷产品总数×100%，合格数是*a*，总数是*a*+*b*，由此代入数据解答即可。
> 【解答】解：根据分析可得：
>
> 工厂质检员检查一批零件，合格的为*a*件，不合格的为*b*件，这批零件的合格率是×100%。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对合格率公式的掌握情况，注意要乘上100%。
4．【分析】先算出第一段占全长的几分之几，再与第二段比较大小即可。
> 【解答】解：1﹣
>
> 
>
> 所以第一段长。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题注意两个三分之一的区别，这是一道易错的题目。
5．【分析】本息＝本金×年利率×存期+本金，由此代入数据，进而得解。
> 【解答】解：8000×2.10%×2+8000
>
> ＝8000×（1+2.10%×2）
>
> ＝8336（元）
>
> 答：到期后爸爸可得本息一共8336元。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】这种类型属于利息问题，运用关系式"本息＝本金+本金×年利率×存期"，找清数据，代入公式计算即可。
6．【分析】把差看作单位"1"，由减数是差的，可得减数为，利用被减数＝差+减数，可得被减数＝，再求出被减数与差的最简整数比即可。
> 【解答】解：（1+）：1
>
> ＝：1
>
> ＝5：3。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】关键是找准单位"1"，再根据减数、被减数与差之间的关系解决问题。
7．【分析】把总质量看作是单位"1"，4×表示的是第一次运走了多少吨；根据减法的意义，4×﹣表示的是第一次比第二次多运了多少吨。
> 【解答】解：4×表示的是第一次比第二次多运了多少吨。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解决本题注意找清楚每个数据表示的含义，再根据分数乘法的意义找出乘法部分表示的含义，进而解决问题。
8．【分析】甲商场：根据"一件商品先涨价10%"，确定把原价看作单位"1"，由"后再降价10%"，可知把涨价10%后的价格看作单位"1"，求出现价即可；乙商场：某商品先降价10%的价格是原价的（1﹣10%），后又涨价10%是原价的（1﹣10%）的（1+10%），即是原价的（1﹣10%）×（1+10%），然后比较即可。
> 【解答】解：假设原价为单位"1"
>
> 1×（1+10%）×（1﹣10%）
>
> ＝1×1.1×0.9
>
> ＝0.99
>
> ＝99%
>
> （1﹣10%）×（1+10%）
>
> ＝0.9×1.1
>
> ＝99%
>
> 现价都是原价的99%
>
> 答：最后两店的价格相同。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】完成此题，注意单位"1"的确定，通过比较两店商品现价是原价的百分之几，解决问题。
9．【分析】把甲地到乙地的路程看做单位"1"，去时的速度可以看做是每小时行全程的，返回的速度可以看做每小时行全程的，再求一个数是另一个数的几分之几是多少，用除法进行解答即可。
> 【解答】解：÷×100%
>
> ＝0.8×100%
>
> ＝80%
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】灵活运用公式速度＝路程÷时间，本题关键在于理解去时和返回的路程是一样的。
10．【分析】按照方案一，甲、乙、丙三人分得数量的比是3：4：5，其中乙分得；按照方案二，甲、乙、丙三人分得数量的比是2：3：4，其中乙分得；然后根据分数大小比较的方法进行比较即可。
> 【解答】解：4÷（3+4+5）
>
> ＝4÷12
>
> ＝
>
> 3÷（2+3+4）
>
> 3÷9
>
> ＝
>
> 
>
> 答：两种方案乙分得的数量一样多。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，分数大小比较的方法及应用。
11．【分析】根据几何体从上面、正面和左面看到的形状判断，搭成这个鸡和体，下面需要4个小正方体，分两排，上面1个，下面3个，右齐；上面1个放在前排左侧的小正方体上面．据此可知：至少需要4+1＝5（个）小正方体．据此解答．
> 【解答】解：根据分析可知：
>
> 一个立体图形，从上面看到的形状是，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是．要搭成这个立体图形至少需要5个小正方体．如图：
>
> 
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
12．【分析】本题根据图形覆盖现象规律，屋檐*E*处与广告牌顶点连线的延长线得出，得出三角形*ABD*为监视器盲区。
> 【解答】解：根据图形覆盖现象规律，
>
> *E*处与广告牌*BD*的顶点连线的延长线到地面*A*点，
>
> 得出三角形*ABD*区域为监视器盲区。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是，根据所给出*E*处与广告牌顶点*D*连线并延长，得出视频盲区，解决问题。
13．【分析】根据题干叙述，结合淘气离家的距离变化进行分析即可。
> 【解答】解：淘气的这一过程可分成以下几段：
>
> （1）从家出发到途中交谈前，这一段时间里离家的距离越来越远；
>
> （2）途中交谈，这一段时间离家的距离不变；
>
> （3）途中交谈后到超市，这一段时间里离家的距离越来越远；
>
> （4）在超市买东西，这一段时间离家的距离不变；
>
> （5）从超市回家，这一段时间里离家的距离越来越近。
>
> 只有选项*D*符合这一变化。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解答本题的关键是看懂图意，再根据图意进行分析、判断。
14．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，那么*r*＝，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，因为圆周率一定，所以圆的半径和周长成正比例，圆的面积和半径的平方成正比例。据此解答。
> 【解答】解：因为圆周率一定，所以圆的半径和周长成正比例，大圆的周长是小圆周长的2倍，也就是大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆的面积就是小圆面积的4倍。
>
> 2×2＝4
>
> 答：大圆的面积是小圆面积的4倍。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，以及比的意义及应用。
15．【分析】阴影部分面积等于正方形面积减去空白区域的面积，分别计算空白区域面积，作出比较即可。
> 【解答】解：阴影部分面积等于正方形面积减去空白区域的面积，而三个图的正方形边长相等，所以面积相等，
>
> 所以，只需要比较空白区域面积即可，
>
> 甲空白区域是4个半径为（4÷2）厘米圆的，也就是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积；
>
> 乙空百区域是两个半径为（4÷2）厘米的半圆，也就是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积；
>
> 丙空白区域是一个半径为（4÷2）厘米圆的面积；
>
> 所以，甲、乙、丙空白区域面积相等，
>
> 所以，甲、乙、丙阴影部分面积也相等。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形，将阴影部分面积比较转化为空白区域比较，是本题解题的关键。
16．【分析】由图可知，长方形的宽是圆的直径，长是三个圆的半径，根据比的意义求解即可。
> 【解答】解：长方形的长为三个圆的半径，宽是圆的直径，即两个圆的半径，
>
> 长：宽＝3个半径：2个半径＝3：2。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形，题目较为简单，能够直观的发现长方形长宽与圆半径之间的关系，是本题解题的关键。
17．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，因为大圆内3个圆的直径和等于大圆的直径，所以这三个圆的周长和就等于大圆的周长，据此解答即可。
> 【解答】解：3.14×5＝15.7（厘米）
>
> 答：三个小圆的周长和是15.7厘米。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
18．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆转化为一个近似长方形后面积不变。把圆的面积看作单位"1"，通过观察图形可知，阴影部分的面积相当于该圆面积的（1），再根据比的意义解答即可。
> 【解答】解：（1）：1
>
> ＝：1
>
> ＝3：4
>
> 答：阴影部分的面积与圆面积的最简整数比是3：4。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，以及比的意义的应用。
19．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，正方形的周长公式：*C*＝4*a*，那么*a*＝*C*÷4，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：2×3.14×*a*÷4
>
> ＝6.28*a*÷4
>
> ＝1.57*a*（分米）
>
> 答：正方形的边长是1.57*a*分米。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、正方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【分析】图乙看到的是房子的侧面，所以只能是②或④位置看到的，而小路在房子的左侧，树在房子后面，只能是从②位置看到的，据此解答。
> 【解答】解：图乙看到的是房子的侧面，所以只能是②或④位置看到的，
>
> 而小路在房子的左侧，树在房子后面，只能是从②位置看到的。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了从不同方向观察物体，根据看的图形反向推理，是本题解题的关键。
**二、计算（本大题共4小题，共23分）**
21．【分析】根据分数、小数以及百分数加减乘除法的计算方法直接进行口算即可。
> 【解答】解：
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
（1）1﹣27%＝0.73 （2）+25%＝1 （3）15×30%＝4.5 （4）45÷45%＝100
（5）﹣＝ （6）+＝ （7）1÷×＝ （8）3÷÷＝36
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
22．【分析】根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；再用比的前项除以后项即得比值。
> 【解答】解：（1）0.8：
>
> ＝（0.8×15）：（×15）
>
> ＝12：10
>
> ＝6：5
>
> 0.8：
>
> ＝0.8÷
>
> ＝1.2；
>
> （2）0.07：4.2
>
> ＝（0.07÷0.07）：（4.2÷0.07）
>
> ＝1：60
>
> 0.07：4.2
>
> ＝0.07÷4.2
>
> ＝；
>
> （3）：
>
> ＝（×20）：（×20）
>
> ＝8：5
>
> ：
>
> ＝÷
>
> ＝。
>
> 【点评】此题考查化简比和求比值的方法，要注意区分：化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个数，可以是整数、小数或分数。
23．【分析】（1）先算除法再算加法；
> （2）按照乘法分配律计算；
>
> （3）先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法；
>
> （4）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）7÷+÷7
>
> ＝10+
>
> ＝10
>
> （2）3×8×（+75%）
>
> ＝3×8×+3×8×75%）
>
> ＝8+18
>
> ＝26
>
> （3）（﹣×）÷
>
> ＝（﹣）÷
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （4）0.8×7.7﹣80%+3.3×
>
> ＝0.8×（7.7﹣1+3.3）
>
> ＝0.8×10
>
> ＝8
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
24．【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以75%求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时减去，再两边同时除以求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*﹣25%*x*＝
>
> 75%*x*＝
>
> 75%*x*÷75%＝÷75%
>
> *x*＝
>
> （2）*x*+＝4
>
> *x*+＝4
>
> *x*＝3
>
> *x*＝3
>
> *x*＝5.5
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**三、操作题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）**
25．【分析】（1）用*A*等人数除以所在总人数的百分数即可。
> （2）用*B*等的学生人数除以总人数。
>
> （3）根据条形统计图中的数据及调查总人数，计算各类人数占总人数的百分率，完成作图。
>
> （4）用800乘*D*类成绩所占百分率，计算即可。
>
> 【解答】解：（1）8÷20%＝40（人）
>
> 答：这次调查共抽取了40名学生的科学成绩。
>
> （2）22÷40×100%
>
> ＝0.55×100%
>
> ＝55%
>
> 答：*B*等的学生人数占抽样学生人数的55%。
>
> （3）4÷40×100%
>
> ＝0.1×10%
>
> ＝10%
>
> 1﹣55%﹣20%﹣10%＝15%
>
> 40﹣8﹣22﹣4＝6（名）
>
> 统计图如下：
>
> 
>
> （4）800×15%＝120（名）
>
> 答：这次模拟考试大约有120名学生的科学成绩为*D*等。
>
> 故答案为：40；55%；120。
>
> 【点评】本题主要考查统计图表的填充，关键根据统计表中的数据完成统计图并回答问题。
26．【分析】根据图示，阴影部分的周长等腰半径是4厘米的圆的面积是四分之一加上5厘米和6厘米的两条线段的长；面积等于梯形面积减去圆的面积的四分之一。
> 【解答】解：3.14×4×2÷4+5+6
>
> ＝6.28+11
>
> ＝17.28（厘米）
>
> （4+6）×4÷2﹣3.14×4^2^÷4
>
> ＝20﹣12.56
>
> ＝7.44（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的周长是17.28厘米，面积是7.44平方厘米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的周长和面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，再计算。
**四、解决问题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
27．【分析】先把城市的总数量看成单位"1"，其中约有的城市供水不足，用城市的总数量乘，求出供水不足的城市有多少个；再把供水不足的城市数看成单位"1"，再乘就是严重缺水的城市有多少个。
> 【解答】解：60××
>
> ＝40×
>
> ＝10（个）
>
> 答：全国严重缺水的城市大约有10个。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位"1"，已知单位"1"的量，求它的几分之几是多少用乘法求解。
28．【分析】把八月份的用水量看成单位"1"，并设八月份的用水量是*x*吨；九月份比八月份节约了，那么九月份的用水量是八月份的（1﹣），根据八月份的用水量×（1﹣）＝九月份的用水量列出方程求解。
> 【解答】解：设八月份的用水量是*x*吨。
>
> （1﹣）*x*＝14
>
> *x*＝14
>
> *x*＝18
>
> 答：淘气家八月份用水18吨。
>
> 【点评】解决本题关键是找出单位"1"，根据分数乘法的意义找出等量关系，再列出方程求解。
29．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，把数据代入公式求出车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟转的圈数求出每分钟行驶的速度，然后根据路程＝速度×时间，据此列式解答。
> 【解答】解：1小时＝60分
>
> 2×3.14×0.4×500×60
>
> ＝2.512×500×60
>
> ＝1256×60
>
> ＝75360（米）
>
> 75360米＝75.36千米
>
> 答：这辆汽车1小时可以行驶75.36千米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【分析】首先根据环形面积公式；*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），求出花坛的面积，花坛的面积按3：5的比例种植草和花，去种花的面积占花坛面积的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
> 【解答】解：3+5＝8
>
> 20÷2＝10（米）
>
> 3.14×（10^2^﹣2^2^）×
>
> ＝3.14×（100﹣4）×
>
> ＝3.14×96×
>
> ＝301.44×
>
> ＝188.4（平方米）
>
> 答：种花的面积是188.4平方米。
>
> 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．【分析】根据甲工程队完成4000米时，甲正好完成工程总长的，把工程总长看作单位"1"，根据分数除法的意义，用4000米除以求出工程总长，根据甲工程队完成总工程的30%，余下的任务由乙、丙两个工程队完成，则乙、丙两个工程队一共完成总长的（1﹣30%），根据百分数乘法的意义，用工程总长乘（1﹣30%）求出乙、丙两个工程队一共完成的长度，再根据余下的任务由乙、丙两个工程队按3：4进行分配，则丙工程队完成乙、丙两个工程队的总长度的，所以再用乙、丙两个工程队一共完成的长度乘即可解答。
> 【解答】解：4000÷×（1﹣30%）×
>
> ＝18000×
>
> ＝18000×
>
> ＝7200（米）
>
> 答：丙工程队应完成的工程量是7200米。
>
> 【点评】本题考查了学生根据分数乘法和分数除法的意义解答应用题的能力。
**五、附加题.填空题。（本大题共5小题，共10分）**
32．【分析】九折是指售价是定价的90%，先把定价看成单位"1"，用100元乘90%求出售价；此时仍能获20%的利润，是指售价比进价多20%，是把进价看成单位"1"，它的（1+20%）就是售价，再用售价除以这个百分数即可求出进价。
> 【解答】解：100×90%＝90（元）
>
> 90÷（1+20%）
>
> ＝90÷120%
>
> ＝75（元）
>
> 答：这件商品的进价是75元。
>
> 故答案为：75。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个单位"1"的区别，求单位"1"的百分之几用乘法求解；已知单位"1"的百分之几是多少，求单位"1"用除法求解。
33．【分析】根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，再根据直径半径的关系，*d*＝2*r*，设圆的半径为*r*厘米，已知一个圆的周长、直径、半径相加的和是27.84厘米，据此求出 半径，然后根据圆的面积公式；*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：设圆的半径为*r*厘米
>
> 2×3.14×*r*+2*r*+*r*＝27.84
>
> 6.28*r*+2*r*+*r*＝27.84
>
> 9.28*r*＝27.84
>
> *r*＝3
>
> 3.14×3^2^
>
> ＝3.14×9
>
> ＝28.26（平方厘米）
>
> 答：这个圆的面积是28.26平方厘米。
>
> 故答案为：28.26。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握直径与半径的关系，圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
34．【分析】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是3：1，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是3：1，即*BC*＝3*CG*，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比．
> 
>
> 【解答】解：因为*S*△*BCE*＝×*CE*×*BC*，
>
> 又因为*CE*＝*CG*，
>
> *S*△*GCE*＝*CE*×*CG*＝×*CG*^2^，
>
> 又因为*S*△*BCE*：*S*△*GCE*＝3：1，
>
> 所以 ×*CE*×*BC*：×*CE*×*CG*＝3：1，
>
> 即*BC*：*CG*＝3：1，
>
> *BC*＝3*CG*，
>
> 所以*S*正方形*ABCD*＝*BC*^2^＝3*CG*×3*CG*＝9*CG*^2^，
>
> *S*正方形*ECGF*＝*CG*^2^，
>
> 又因为*S*△*BCE*＝×*CE*×*BC*，*CE*＝*CG*，
>
> 即*S*△*BCE*＝×*CE*×3*CG*＝×*CG*^2^，
>
> 所以大正方形中*j*甲图的面积是：
>
> *S*正方形*ABCD*﹣*S*△*BCE*＝9*CG*^2^﹣*CG*2＝*CG*^2^，
>
> 小正方形乙图的面积是：*S*正方形*EFGCDE*面积＝*CG*^2^
>
> 所以两空白部分的面积比是：*CG*^2^：*CG*^2^＝15：1．
>
> 答：空白部分甲和乙的面积比是15：1．
>
> 故答案为：15：1．
>
> 【点评】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式子来代换，从而解决问题．
35．【分析】假设小圆的半径为*r*，大圆的半径为*R*，则小正方形的边长为*r*，大正方形边长为*R*，阴影部分面积＝*R*^2^﹣*r*^2^＝8（平方厘米），根据圆环的面积公式：*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^）整体代入求解即可。
> 【解答】解：设小圆的半径为*r*厘米，大圆的半径为*R*厘米，
>
> 则小正方形的边长为*r*厘米，大正方形边长为*R*厘米，
>
> 阴影部分面积＝*R*^2^﹣*r*^2^＝8（平方厘米），
>
> 圆环的面积：
>
> 3.14×（*R*^2^﹣*r*^2^）
>
> ＝3.14×8
>
> ＝25.12（平方厘米）
>
> 答：圆环的面积是25.12平方厘米。
>
> 故答案为：25.12。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形，假设未知数然后进行整体代换是本题解题的关键。
36．【分析】如图所示：蓝色部分的面积加上阴影部分的面积就是纸片折叠后所覆盖桌面的面积，由题意知所覆盖桌面的面积占原长方形面积的，而原长方形的面积等于蓝色部分的面积的2倍与阴影部分的面积之和，据此，可设蓝色部分的面积为*x*平方厘米，则纸片折叠后所覆盖桌面的面积是（*x*+2）平方厘米，原长方形的面积是（2*x*+2）平方厘米，由所覆盖桌面的面积占原长方形面积的，可列方程*x*+2＝（2*x*+2），再依据等式的性质解方程即可解决。
> 【解答】解：如上图所示：设蓝色部分的面积为*x*平方厘米，则原长方形的面积是（2*x*+2）平方厘米，根据题意得：
>
> *x*+2＝（2*x*+2）
>
> *x*+2＝*x*+
>
> *x*＝
>
> *x*＝4
>
> 所以原长方形的面积是：
>
> 2*x*+2
>
> ＝2×4+2
>
> ＝8+2
>
> ＝10
>
> 答：原长方形的面积是10平方厘米。
>
> 故答案为：10。
>
> 
>
> 【点评】本题数量之间的关系较为复杂，用方程解决比较好理解．关键是明确数量关系：原长方形的面积等于蓝色部分的面积的2倍与阴影部分的面积之和。
**六、解答题本大题共2小题，每小题5分，共10分）**
37．【分析】在加工剩下的1﹣＝零件时，工效变为原来的（1+20%）＝，那么所用时间就是原来加工这部分零件所用时间的，比原来少用．所以，提前的10天时间，就是原时间的：10÷＝60天；则原计划加工这批零件的时间为60＝150天，从而可求出这批零件的总量．
> 【解答】解：在加工剩下的1﹣＝零件时，工效变为原来的（1+20%）＝，
>
> 那么所用时间就是原来加工这部分零件所用时间的，比原来少用．
>
> 所以，提前的10天时间，就是原时间的：10÷＝60（天）；
>
> 则原计划加工这批零件的时间为60＝150（天）；
>
> 这批零件共有：15×150＝2250（个）．
>
> 答：这批零件共有2250个．
>
> 【点评】此题主要考查工作量、工作时间、工作效率之间的关系，关键是先求出提高工效后的时间，从而逐步得解．
38．【分析】将图形分割，将阴影部分面积转化为两部分，一部分是扇形*ACD*面积与三角形*ABC*面积一半的差，另一部分是半圆形*BEC*的面积与三角形*ABC*面积一半的差，相加即可。
> 【解答】解：如图分割：
>
> 
>
> 阴影部分①的面积＝扇形*ACD*面积﹣三角形*ACE*的面积，
>
> 阴影部分②的面积＝半圆*BEC*面积﹣三角形*BCE*的面积，
>
> 三角形*ACE*的面积+三角形*BCE*的面积＝三角形*ABC*的面积，
>
> 阴影部分面积＝扇形*ACD*的面积+半圆*BEC*的面积﹣三角形*ABC*的面积
>
> ＝×3.14×4^2^+×3.14×（4÷2）^2^﹣×4×4
>
> ＝×3.14×16+×3.14×4﹣8
>
> ＝6.28+6.28﹣8
>
> ＝12.56﹣8
>
> ＝4.56（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。
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日期：2021/4/27 16:01:25；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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2020---2021学年第一学期期末教学质量监测四年级数学试题答案及评分标准
1. 选一选。共20分，每小题2分。 BBBAC CCADC
2. 判一判。共5分，每小题1分。 AAABB
三、填一填。共20分，每空1分。
4360620000,十，十亿，44,4,5，平行，垂直，540,194400,135,300，米，小时，计数单位，6，3，2,1,20170615
四、算一算。共21分。答案略
29题共5分，每式0.5分。
30题共7分，每式2分，验算1分。竖式正确，横式不写得数或得数错误扣0.5分；竖式错误，横式得数正确，不得分。
31题共9分，每式3分。
5. 操作。共9分
第32题5分，画图略（3分），平行（2分），不画垂直符号的扣0.5分。
33题4分，75°（2分），画图略（2分）。
6. 解决问题。共25分，每题5分。
第34-37题算式3分，得数，单位、答共2分。算式错误不得分；得数错误扣2分；得数正确，单位和答有错误扣0.5分。
34．48×（8÷4）=144（页）或48÷4×8+48=144（页）或48÷4×（4+8）=144（页）答：略
35．（120×8-24）÷12=78（捆） 答：略
36．360÷（240÷40）=60（米） 答：略
37．（15+17）×1500=4800（米） 答：略
38.（1）1分。20
（2）3分。8 7 5
（3）1分。正值盛夏，天气炎热，空调等家电用电量大。（意思表达基本正确即可得分）
第六大题有其他合理方法也可。
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第****1单元 第五节：跳伞比赛**
一、口算题。
12＋5＝ 13－3＝ 0＋10＝
20－5＝ 18－6＝ 14＋6＝
11－5＝ 17－9＝ 6＋13＝
二、应用题。\[来源:学科网ZXXK\]
1、果园里有桃树16棵，梨树7棵，果园里的梨树比桃树少几棵？
2、为了奖励同学们的卫生好习惯，老师决定对表现好的同学进行小红花奖励。小雪已经得了12朵小红花，而小磊却得了8朵。问：小雪比小磊多得了几朵？
三、在○里填上"\>""\<"或"="。\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
18－9○17－8  16－8○5＋0
15－6○18－9 12－5○13－6
14－6○15－7 16－7○15－8
四、按要求画一画。
1、画△比○多5个。
○○○○○○○
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
2、画□比☆少3个。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
五、填一填，算一算
8朵  朵
 \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
  16朵
（ ）--（ ）= （ ）
   飞走只
原来有12只 （ ）--（ ）=（ ）
答案
一、
12＋5＝17 13－3＝10 0＋10＝10
20－5＝15 18－6＝12 14＋6＝20
11－5＝6  17－9＝8 6＋13＝19
二、
1、16-7=9（棵） 答：果园里的梨树比桃树少9棵
2、12-8=4（朵） 答：小雪比小磊多得了4朵.
三、
18－9\<17－8 16－8\>5＋0
15－6=18－9 12－5=13－6
14－6=15－7 16－7\>15－8
四、
1、△△△△△△△△△△△△
2、□□□□□□□
五、填一填，算一算\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]\[来源:学。科。网\]
16-8=8
12-7=5
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**2013年山东省高考数学试卷（文科）**
**一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．**
1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则\|z\|=（ ）
A．25 B． C．5 D．
2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁~U~（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁~U~B=（ ）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x^2^+，则f（﹣1）=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
A．4，8 B． C． D．8，8
5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（ ）
A．（﹣3，0\] B．（﹣3，1\] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0\] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1\]
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
11．（5分）抛物线C~1~：的焦点与双曲线C~2~：的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M．若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设正实数x，y，z满足x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
**二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分**
13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）^2^+（y﹣2）^2^=4的弦，其中最短的弦长为[ ]{.underline}．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段\|OM\|的最小值为[ ]{.underline}．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为[ ]{.underline}．
16．（4分）定义"正对数"：ln^+^x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln^+^（a^b^）=bln^+^a；
②若a＞0，b＞0，则ln^+^（ab）=ln^+^a+ln^+^b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
其中的真命题有[ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）
**三．解答题：本大题共6小题，共74分，**
17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米^2^）如表所示：
---------- ------ ------ ------ ------ ------
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
---------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率．
18．（12分）设函数f（x）=﹣sin^2^ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间\[\]上的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．
20．（12分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b~n~}满足=1﹣，n∈N^\*^，求{b~n~}的前n项和T~n~．
21．（12分）已知函数f（x）=ax^2^+bx﹣lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．
**2013年山东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．**
1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则\|z\|=（ ）
A．25 B． C．5 D．
【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．
【解答】解：因为复数z==，
所以\|z\|==．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁~U~（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁~U~B=（ ）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅
【分析】通过已知条件求出A∪B，∁~U~B，然后求出A∩∁~U~B即可．
【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁~U~（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，
B={1，2}，所以∁~U~B={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．
所以A∩∁~U~B={3}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x^2^+，则f（﹣1）=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．
【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x^2^+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
A．4，8 B． C． D．8，8
【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．
【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，
其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，
高PO=2，
则四棱锥的斜高PE=．
所以该四棱锥侧面积S=，
体积V=．
故选：B．
【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．
5．（5分）函数f（x）=+的定义域为（ ）
A．（﹣3，0\] B．（﹣3，1\] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0\] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1\]
【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．
【解答】解：根据题意：，
解得：﹣3＜x≤0
∴定义域为（﹣3，0\]
故选：A．
【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，
第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，
第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，
第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，
不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；
第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，
满足下面一个判断框条件a≥1，
第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，
第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；
故选：C．
【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（ ）
A． B．2 C． D．1
【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值．
【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，
∴由正弦定理=得：===，
∴cosA=，
由余弦定理得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，即1=3+c^2^﹣3c，
解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），
则c=2．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．
9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x=时，，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）
A． B． C．36 D．
【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．
【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．
∴这组数据的平均数是 =91，∴x=4．
∴这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）=．
故选：B．
【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
11．（5分）抛物线C~1~：的焦点与双曲线C~2~：的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M．若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：由，得x^2^=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（）．
由，得，．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C~1~在点M处的切线的斜率为．
由题意可知，得，代入M点得M（）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．（5分）设正实数x，y，z满足x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【分析】将z=x^2^﹣3xy+4y^2^代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．
【解答】解：∵x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0，
∴z=x^2^﹣3xy+4y^2^，又x，y，z为正实数，
∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取"="），
即x=2y（y＞0），
∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x^2^﹣3xy+4y^2^）
=4y﹣2y^2^
=﹣2（y﹣1）^2^+2≤2．
∴x+2y﹣z的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式，将z=x^2^﹣3xy+4y^2^代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
**二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分**
13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）^2^+（y﹣2）^2^=4的弦，其中最短的弦长为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．
【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，
∵=＜2，∴（3，1）在圆内，
∵圆心到此点的距离d=，r=2，
∴最短的弦长为2=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段\|OM\|的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先根据题意做出可行域，欲求\|OM\|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，
由点到直线的距离公式得：
d==，
则\|OM\|的最小值等于．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为[ 5 ]{.underline}．
【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．
【解答】解：因为知，，
所以=（3，2﹣t），
又∠ABO=90°，所以，
可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键．
16．（4分）定义"正对数"：ln^+^x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln^+^（a^b^）=bln^+^a；
②若a＞0，b＞0，则ln^+^（ab）=ln^+^a+ln^+^b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
其中的真命题有[ ①③④ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）
【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．
【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a^b^≥1，故ln^+^（a^b^）=ln（a^b^）=blna，又bln^+^a=blna，故有ln^+^（a^b^）=bln^+^a；当a＜1时，a^b^＜1，故ln^+^（a^b^）=0，又a＜1时bln^+^a=0，所以此时亦有ln^+^（a^b^）=bln^+^a，故①正确；
（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln^+^（ab）=0，ln^+^a+ln^+^b=ln2，所以ln^+^（ab）≠ln^+^a+ln^+^b，故②错误；
（3）对于③，
i．≥1时，此时≥0，
当a≥b≥1时，ln^+^a﹣ln^+^b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；
当a＞1＞b＞0时，ln^+^a﹣ln^+^b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln^+^a﹣ln^+^b=0，成立；
ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln^+^（a+b）=ln（a+b），ln^+^a+ln^+^b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln^+^（a+b）=ln（a+b），ln^+^a+ln^+^b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
故④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．
**三．解答题：本大题共6小题，共74分，**
17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米^2^）如表所示：
---------- ------ ------ ------ ------ ------
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
---------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率．
【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．
（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．
由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的事件有：
（C，D）（C，E），（D，E）共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率p=．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．
18．（12分）设函数f（x）=﹣sin^2^ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间\[\]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值
（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间\[\]上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin^2^ωx﹣sinωxcosωx
=
=
=．
因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π
又ω＞0，所以，解得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），
当时，，
所以，
因此，﹣1≤f（x），
所以f（x）在区间\[\]上的最大值和最小值分别为：．
【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．
【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，
利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，
E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，
取PA的中点H，
则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，
可得HE和CD平行且相等，
故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．
由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，
故有CE∥平面PAD．
（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，
可得AB⊥平面PAC．
再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．
由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．
由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，
而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．
同理可得，FG∥平面PAC．
而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．
∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．
20．（12分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b~n~}满足=1﹣，n∈N^\*^，求{b~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的首项为a~1~，公差为d，由S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1得到关于a~1~与d的方程组，解之即可求得数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a~n~=2n﹣1，继而可求得b~n~=，n∈N^\*^，于是T~n~=+++...+，利用错位相减法即可求得T~n~．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的首项为a~1~，公差为d，由S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1得：，
解得a~1~=1，d=2．
∴a~n~=2n﹣1，n∈N^\*^．
（Ⅱ）由已知++...+=1﹣，n∈N^\*^，得：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．
∴=，n∈N^\*^
由（Ⅰ）知，a~n~=2n﹣1，n∈N^\*^．
∴b~n~=，n∈N^\*^．
又T~n~=+++...+，
∴T~n~=++...++，
两式相减得：T~n~=+（++...+）﹣
=﹣﹣
∴T~n~=3﹣．
【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=ax^2^+bx﹣lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．
【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax^2^+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；
（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax^2^+bx﹣lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b﹣
又a≥0，
故当a=0时，f′（x）=
若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、
所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），
当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax^2^+bx﹣1=0
由于△=b^2^+8a＞0，故有
x~2~=，x~1~=
显然有x~1~＜0，x~2~＞0，
故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；
在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数
综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）
（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，
由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1
整理得2a+b=1，即b=1﹣2a
令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=
令g′（x）==0得x=
当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；
当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减
因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0
故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b
【点评】本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x^2^+2y^2^=2，化为（m^2^+2）y^2^+2mny+n^2^﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长\|AB\|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．
则，解得，∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x^2^+2y^2^=2，化为（m^2^+2）y^2^+2mny+n^2^﹣2=0，
则△=4m^2^n^2^﹣4（m^2^+2）（n^2^﹣2）=4（2m^2^+4﹣2n^2^）＞0，（\*）
，，
∴\|AB\|=
==．
原点O到直线AB的距离d=，
∵，
∴=，化为．（\*\*）
另一方面，=，
∴x~E~=my~E~+n==，即E．
∵，∴．
代入椭圆方程得，
化为n^2^t^2^=m^2^+2，代入（\*\*）得，化为3t^4^﹣16t^2^+16=0，解得．
∵t＞0，∴．经验证满足（\*）．
当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．
则，，解得，或．
又，∴，
∴．
综上可得：．
【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法．
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**2015年广东省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）**
1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（ ）
A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）^2^=（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=x+sin2x B．y=x^2^﹣cosx C．y=2^x^+ D．y=x^2^+sinx
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．（5分）若直线 l~1~和l~2~ 是异面直线，l~1~在平面 α内，l~2~在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l~1~，l~2~都不相交 B．l与l~1~，l~2~都相交
C．l至多与l~1~，l~2~中的一条相交 D．l至少与l~1~，l~2~中的一条相交
7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F~1~（﹣4，0），则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）\|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）\|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（ ）
A．200 B．150 C．100 D．50
**二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）**
11．（5分）不等式﹣x^2^﹣3x+4＞0的解集为[ ]{.underline}．（用区间表示）
12．（5分）已知样本数据 x~1~，x~2~，...，x~n~的均值=5，则样本数据 2x~1~+1，2x~2~+1，...，2x~n~+1 的均值为[ ]{.underline}．
13．（5分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则 b=[ ]{.underline}．
**坐标系与参数方程选做题**
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C~1~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C~2~的参数方程为 （t为参数），则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
**几何证明选讲选做题**
15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分80分）**
16．（12分）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以\[160，180），\[180，200），\[200，220），\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取多少户？
18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA的距离．
19．（14分）设数列 {a~n~}的前n项和为S~n~，n∈N^\*^．已知a~1~=1，a~2~=，a~3~=，且当n≥2时，4S~n+2~+5S~n~=8S~n+1~+S~n﹣1~．
（1）求a~4~的值；
（2）证明：{a~n+1~﹣a~n~}为等比数列；
（3）求数列{a~n~}的通项公式．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C~1~的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）^2^+\|x﹣a\|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．
**2015年广东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）**
1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（ ）
A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）^2^=（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【分析】利用完全平方式展开化简即可．
【解答】解：（1+i）^2^=1^2^+2i+i^2^=1+2i﹣1=2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；注意i^2^=﹣1．
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=x+sin2x B．y=x^2^﹣cosx C．y=2^x^+ D．y=x^2^+sinx
【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．
【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，
对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；
对于B，（﹣x）^2^﹣cos（﹣x）=x^2^﹣cosx；是偶函数；
对于C，，是偶函数；
对于D，（﹣x）^2^+sin（﹣x）=x^2^﹣sinx≠x^2^+sinx，x^2^﹣sinx≠﹣（x^2^+sinx）；所以是非奇非偶的函数；
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即B（4，﹣1）．
此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【分析】运用余弦定理：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，
由余弦定理可得，
a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，
即有4=b^2^+12﹣4×b，
解得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．
6．（5分）若直线 l~1~和l~2~ 是异面直线，l~1~在平面 α内，l~2~在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l~1~，l~2~都不相交 B．l与l~1~，l~2~都相交
C．l至多与l~1~，l~2~中的一条相交 D．l至少与l~1~，l~2~中的一条相交
【分析】可以画出图形来说明l与l~1~，l~2~的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l~1~，l~2~都不相交，这样可推出和l~1~，l~2~异面矛盾，这样便说明D正确．
【解答】解：A．l与l~1~，l~2~可以相交，如图：
∴该选项错误；
B．l可以和l~1~，l~2~中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l可以和l~1~，l~2~都相交，如下图：
，∴该选项错误；
D．"l至少与l~1~，l~2~中的一条相交"正确，假如l和l~1~，l~2~都不相交；
∵l和l~1~，l~2~都共面；
∴l和l~1~，l~2~都平行；
∴l~1~∥l~2~，l~1~和l~2~共面，这样便不符合已知的l~1~和l~2~异面；
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．
7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；
∴基本事件总数为10；
设"选的2件产品中恰有一件次品"为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；
∴P（A）==0.6．
故选：B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．
8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F~1~（﹣4，0），则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F~1~（﹣4，0），可得25﹣m^2^=16，即可求出m．
【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F~1~（﹣4，0），
∴25﹣m^2^=16，
∵m＞0，
∴m=3，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．
∴=3×2+（﹣1）×1=5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）\|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）\|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（ ）
A．200 B．150 C．100 D．50
【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．
【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；
s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；
s=2时，有2×2×2=8种；
s=1时，有1×1×1=1种；
∴card（E）=64+27+8+1=100；
（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；
若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；
若w=2，有4×2=8种；
若w=1，有4×1=4种；
u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；
若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；
若w=2，有3×2=6种；
若w=1，有3×1=3种；
u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；
若w=3，有2×3=6种；
若w=2，有2×2=4种；
若w=1，有2×1=2种；
u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；
若w=3，有1×3=3种；
若w=2，有1×2=2种；
若w=1，有1×1=1种；
∴card（F）=100；
∴card（E）+card（F）=200．
故选：A．
【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．
**二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）**
11．（5分）不等式﹣x^2^﹣3x+4＞0的解集为[ （﹣4，1） ]{.underline}．（用区间表示）
【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．
【解答】解：原不等式等价于x^2^+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；
所以不等式的解集为（﹣4，1）；
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．
12．（5分）已知样本数据 x~1~，x~2~，...，x~n~的均值=5，则样本数据 2x~1~+1，2x~2~+1，...，2x~n~+1 的均值为[ 11 ]{.underline}．
【分析】利用平均数计算公式求解
【解答】解：∵数据x~1~，x~2~，...，x~n~的平均数为均值=5，
则样本数据 2x~1~+1，2x~2~+1，...，2x~n~+1 的均值为：=5×2+1=11；
故答案为：11．
【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．
13．（5分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则 b=[ 1 ]{.underline}．
【分析】由已知可得，b^2^=ac，代入已知条件即可求解b
【解答】解：∵三个正数 a，b，c 成等比数列，
∴b^2^=ac，
∵a=5+2，c=5﹣2，
∴=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题
**坐标系与参数方程选做题**
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C~1~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C~2~的参数方程为 （t为参数），则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ （2，﹣4） ]{.underline}．
【分析】曲线C~1~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C~2~的参数方程为 （t为参数），化为普通方程：y^2^=8x．联立解出即可．
【解答】解：曲线C~1~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．
曲线C~2~的参数方程为 （t为参数），化为普通方程：y^2^=8x．
联立，解得，
则C~1~与C~2~交点的直角坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**几何证明选讲选做题**
15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD=[ 3 ]{.underline}．
【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE^2^=BE•AE，求出BE，即可得出结论．
【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴
由切割线定理可得CE^2^=BE•AE，
∴12=BE•（BE+4），
∴BE=2，
∴OE=4，
∴，
∴AD=3
故答案为：3．
【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
**三、解答题（共6小题，满分80分）**
16．（12分）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．
（2）利用二倍角公式化简求解即可．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）====1．
【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．
17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以\[160，180），\[180，200），\[200，220），\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取多少户？
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在\[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在\[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为\[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为\[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为\[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为\[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，
∴月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取25×=5户．
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA的距离．
【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；
（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，
因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；
（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，
所以BC⊥PD；
（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，
因为PD=PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED中，PE===．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD．
由（2）知：BC⊥平面PDC，
由（1）知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．
设点C到平面PDA的距离为h．
因为V~C﹣PDA~=V~P﹣ACD~，
所以，
所以h==，
所以点C到平面PDA的距离是．
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（14分）设数列 {a~n~}的前n项和为S~n~，n∈N^\*^．已知a~1~=1，a~2~=，a~3~=，且当n≥2时，4S~n+2~+5S~n~=8S~n+1~+S~n﹣1~．
（1）求a~4~的值；
（2）证明：{a~n+1~﹣a~n~}为等比数列；
（3）求数列{a~n~}的通项公式．
【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；
（2）由4S~n+2~+5S~n~=8S~n+1~+S~n﹣1~（n≥2），变形得到4a~n+2~+a~n~=4a~n+1~（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；
（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a~n~}的通项公式．
【解答】（1）解：当n=2时，4S~4~+5S~2~=8S~3~+S~1~，即，
解得：；
（2）证明：∵4S~n+2~+5S~n~=8S~n+1~+S~n﹣1~（n≥2），∴4S~n+2~﹣4S~n+1~+S~n~﹣S~n﹣1~=4S~n+1~﹣4S~n~（n≥2），
即4a~n+2~+a~n~=4a~n+1~（n≥2），
∵，∴4a~n+2~+a~n~=4a~n+1~．
∵=．
∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；
（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，
∴．
即，
∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，
∴，即，
∴数列{a~n~}的通项公式是．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C~1~的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）通过将圆C~1~的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C~1~的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C~1~的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．
【解答】解：（1）∵圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）^2^+y^2^=4，
∴圆C~1~的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），
联立方程组，
消去y可得：（1+k^2^）x^2^﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k^2^）×5＞0，可得k^2^＜
由韦达定理，可得x~1~+x~2~=，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）^2^+y^2^=，其中＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．
理由如下：
联立方程组，
消去y，可得：（1+k^2^）x^2^﹣（3+8k^2^）x+16k^2^=0，
令△=（3+8k^2^）^2^﹣4（1+k^2^）•16k^2^=0，解得k=±，
又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为\[﹣，\]∪{﹣，}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14分）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）^2^+\|x﹣a\|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．
【分析】（1）利用f（0）≤1，得到\|a\|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．
（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．
（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．
【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a^2^+\|a\|﹣a（a﹣1）≤1．可得\|a\|+a﹣1≤0，
当a≥0时，a，可得a∈\[0，\]．
当a＜0时，\|a\|+a﹣1≤0，恒成立．
综上a．
∴a的取值范围：；
（2）函数 f（x）==，
当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，
y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，
当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，
y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
（3）F（x）=f（x）+=，
，
当x＜a时，=，
所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．
当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，
所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．
F（a）=a﹣a^2^+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a^2^+，
F′（a）=1﹣2a==．
所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，
所以F（a）＜，即F（a）＜0，
当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．
综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．
【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．
| 1 | |
11-16题
> **第Ⅱ卷(非选择题共70分)**
二、填空题:本大题其5小题，每小题3分，共15分。
11. 分解因式a^3^-4a的结果是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\
\
12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写出一个即可)，\
\
13.已如m+n=-3.则分式的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\
\
14.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°， B处的俯角为60°。若斜面坡度为\
1：,则斜坡AB的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_米。\
 \
\
\
(第14题) (第15题)\
\
15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D。AC与BD相交于点E，CD^2^=CE·CA,\
分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2。则BO的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\
\
三、解答题:本大题共7小题，其55分。\
16. (6分)先化简，再求值:( x+1)（x-1)+x(2-x),其中x=。
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)**
**数学(供理科考生使用)**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件*A、B*互斥，那么 球的表面积公式
*P(A+B)=P(A)+P(B)* *S=*4
如果事件*A、B*相互独立，那么 其中*R*表示球的半径
*P(A·B)＝P(A)·P(B)* 球的体和只公式
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，
那么*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率 *V*=
其中*R*表示球的半径
一、选择题
1.已知集合,则集合为( )
A. B. C. D.
**答案：**C
解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题，∴，
2.等于( )
A. B. C. D.
**答案：**B
解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题
3.圆与直线没有公共点的充要条件是( )
A. B.
C. D.
**答案：**C
解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线没有公共点
4.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
**答案：**B
解析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题： ∴虚部为
5.已知是平面上的三个点,直线上有一点,满足,则等于( )
A. B. C. D.
**答案：**A
解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。
依题∴
6.设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是( )
A. B. C. D.
**答案：**A
解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标为,且（为点*P*处切线的倾斜角），又∵，∴，
∴
7.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
**答案：**C
解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率
8.将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则等于( )
A. B. C. D.
**答案：**A
解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故
9.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( )
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
**答案：**B
解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有种；∴则不同的安排方案共有种。
10.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
**答案：**A
解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设在抛物线准线的投影为,抛物线的焦点为,则,依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和
11.在正方体中,分别为棱的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线( )
A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条
**答案：**D
解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：
12.设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为( )
A. B. C. D.
**答案：**C
解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，∴，∴另一种情形是，即，得，∴∴满足的所有之和为
第Ⅰ卷（选择题共60分）
二、填空题
13.函数的反函数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。
14.在体积为的球的表面上有三点,两点的球面距离为,则球心到平面的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则,∴设、两点对球心张角为，则,∴,∴,∴为所在平面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，则球心到平面*ABC*的距离为
15.已知的展开式中没有常数项,,则\_\_\_\_\_\_.
答案：5
解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。
16.已知,且在区间有最小值,无最大值,则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题且在区间有最小值,无最大值,∴区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，∴,取得
三、解答题
17.在中,内角对边的边长分别是.已知.
⑴若的面积等于,求;
⑵若,求的面积.
说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）由[余弦定理](http://www.mathschina.com)及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由题意得，
即， 8分
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积． 12分
18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:
---------- ---- ---- ----
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
---------- ---- ---- ----
⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.
说明：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
解析：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 3分
（Ⅱ）的可能值为8，10，12，14，16，且
*P*（=8）=0.2^2^=0.04，
*P*（=10）=2×0.2×0.5=0.2，
*P*（=12）=0.5^2^+2×0.2×0.3=0.37，
*P*（=14）=2×0.5×0.3=0.3，
*P*（=16）=0.3^2^=0.09．
的分布列为
+-----+------+-----+------+-----+------+
| | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
+-----+------+-----+------+-----+------+
| *P* | 0.04 | 0.2 | 0.37 | 0.3 | 0.09 |
| === | | | | | |
+-----+------+-----+------+-----+------+
9分
=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） 12分
19.如图,在棱长为1的正方体中,,截面,截面.
⑴证明:平面和平面互相垂直;
⑵证明:截面和截面面积之和是
定值,并求出这个值;
⑶若与平面所成的角为,求
与平面所成角的正弦值.
说明：本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在[正方体](http://www.mathschina.com)中，，，又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面*PQEF*和截面*PQGH*都是矩形，且*PQ*=1，所以截面*PQEF*和截面*PQGH*面积之和是
，是定值． 8分
（III）解：连结*BC*′交*EQ*于点*M*．
因为，，
所以平面和平面*PQGH*互相平行，因此与平面*PQGH*所成角与与平面所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证*EQ*⊥平面*PQGH，*可知*EM*⊥平面，因此*EM*与的比值就是所求的正弦值．
设交*PF*于点*N，*连结*EN*，由知
．
因为⊥平面*PQEF，*又已知与平面*PQEF*成角，
所以*，*即*，*
解得，可知*E*为*BC*中点．
所以*EM=，*又，
故与平面*PQCH*所成角的正弦值为． 12分
解法二：
以*D*为原点，射线*DA*，*DC*，*DD*′分别为*x*，*y*，*z*轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系*D*－*xyz*由已知得，故
，，，，
，，，
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面*PQEF*的法向量．
因为，所以是平面*PQGH*的法向量．
因为，所以，
所以平面*PQEF*和平面*PQGH*互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以*PQEF*为矩形，同理*PQGH*为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面*PQEF*和截面*PQGH*面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得
，
即，解得．
所以，又，所以与平面*PQGH*所成角的正弦值为
． 12分
20.在直角坐标系中,点到两点的距离之和为4,设点的轨迹为,直线与交于两点.
⑴写出的方程;
⑵若,求的值;
⑶若点在第一象限,证明:当时,恒有.
说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解析：
（Ⅰ）设*P*（*x*，*y*），由[椭圆](http://www.mathschina.com)定义可知，点*P*的轨迹*C*是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线*C*的方程为． 3分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去*y*并整理得，
故． 5分
若，即．
而，
于是，
化简得，所以． 8分
（Ⅲ）
．
因为*A*在第一象限，故．由知，从而．又，
故，
即在题设条件下，恒有． 12分
21.在数列中,,且成等差数列,成等比数列.
⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;
⑵证明:.
说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解析：
（Ⅰ）由条件得
由此可得
． 2分
猜测． 4分
用数学归纳法证明：
①当*n*=1时，由上可得结论成立．
②假设当*n*=*k*时，结论成立，即
，
那么当*n*=*k*+1时，
．
所以当*n*=*k*+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立． 7分
（Ⅱ）．
*n*≥2时，由（Ⅰ）知． 9分
故
综上，原不等式成立． 12分
22.设函数.
⑴求的单调区间和极值;
⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.
说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解析：（Ⅰ）． 2分
故当时，，
时，．
所以在单调递增，在单调递减． 4分
由此知在的极大值为，没有极小值． 6分
（Ⅱ）（ⅰ）当时，
由于，
故关于的不等式的解集为． 10分
（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有
． 12分
又时，．
且．
取整数满足，，且，
则，
即当时，关于的不等式的解集不是．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 14分
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Subsets and Splits