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|---|---|---|
**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法》单元测试1（附答案）**
一、我会填。(14分)
1．30×2800的积的末尾有( )个0；50×40的积的末尾有( )个0。
2．一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的10倍(两个乘数均不为0)，积就扩大到原来的( )倍。
3．49×57的积的个位上的数是( )，积是( )位数。
4．最大的两位数的10倍是( )，最小的两位数的9倍是( )。
5．一外国朋友乘下午2:30的飞机飞往上海参加世博会，预计晚上9:30到达。如果飞机每小时飞行600km，那么这位外国朋友离上海大约( )km。
6．在下面的○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
7×600○6×70 30×30○31×29 18×15○18×16
12×20○20×12 3×5×21○15×21 41×18○41×17＋41
二、仔细推敲，认真辨析。(对的打"√"，错的打"×")(6分)
1．一个乘数末尾有一个0，另一个乘数末尾也有一个0，积的末尾一定只有两个0。 ( )
2．21×26的积大约是500。 ( )
3．(28＋12)×30与28＋12×30的计算结果相同。 ( )
4．268×4的积是三位数。 ( )
5．1和任何数相乘都等于这个数本身。 ( )
6．最大的四位数减去最大的三位数，差是1。 ( )
三、选择。(5分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．0和任何数相乘都得( )
①0 ②这个数 ③不确定
2．25＋75×13应该先计算( )
①加法 ②乘法 ③都可以
3．与45－0结果相等的式子是( )
①45×0 ②45＋0 ③0×45
4．605×7的积中间有( )
①1个0 ②2个0.09 ③0个0来源：www.bcjy123.com/tiku/
5．40＋40＋40＋39＋1可以写为( )
①40×3 ②40×4 ③40×5
四、我会算。(49分)
1．直接写结果。(9分)
37×20＝ 50×40＝ 120×30＝
24×40＝ 34×90＝ 70×60＝
15×50＝ 18×50＝ 27×30＝
2．列竖式计算。(18分)
3．脱式计算。(16分)
(648－258)÷3 125×8×6
14×62＋62 1000－28×27
4．你会列式计算吗？(6分)
(1)72的30倍是多少？
(2)26个62的和是多少？
(3)43的50倍与2000的差是多少？
五、联系实际，解决问题。(21分)
1．(1)一共有16箱苹果，每箱重12千克，一共重多少千克？(2分)
(2)如果每箱售价85元，这些苹果一共多少元？(2分)
2．一台风扇原价280元，现价190元，学校买了8台电风扇，能便宜多少钱？(4分)
3．学校买回12套儿童读物，每套4本，每本8元，一共用去多少钱？(4分)
4．一个果园收了2800千克苹果，计划用纸箱装运，每箱装25千克。准备82个纸箱，够吗？(4分)
5．我们有儿童45人，老师4人，哪种购票方式更省钱？(5分)
+----+--------------------+
| 售 | 成人票：8元/人 |
| | |
| 票 | 儿童票：5元/人 |
| | |
| 处 | 团体票：6元/人 |
| | |
| | (满40人可购团体票) |
+----+--------------------+
六、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A题：(5分)
火车每小时行96千米。我乘火车从北京到上海用了13小时。
(1)北京到上海的铁路长多少千米？(1分)
(2)小明是8月5日下午7时乘火车从北京出发，他什么时候到达上海？(2分)
(3)你还能提出哪些数学问题？(2分)
B题：(5分)
找规律填空。
附加题。(5分)
聪聪在做两位数乘两位数计算时，把第一个因数25的个位看成了8，结果比正确的积多了81，正确结果应该是多少？
**参考答案**
一、1．3 3 2．10 3．3 4 4．990 90 5．4200
> 6．＝ ＞ ＜ ＝ ＝ ＝
二、1．× 2．√ 3．× 4．× 5．√ 6．×
三、1．① 2．② 3．② 4．③ 5．②
四、1．740 2000 3600 960 3060 4200 750 900 810
2．308 910 1161 1247 450 868
3．130 6000 930 244
4．(1)72×30＝2160
(2)26×62＝1612
(3)43×50－2000＝150
五、1．(1)12×16＝192(千克) (2)85×16＝1360(元)
2．(280－190)×8＝720(元)
3．8×4×12＝384(元)
4．25×82＝2050(千克) 2050＜2800 不够
5．分开买成人票和儿童票更省钱。
六、A：(1)13×96＝1248(千米)
(2)8月6日上午8时到
(3)略
B：118 74； 37 29 18 16 12
附加题：81÷3＝27 27×25＝675
| 1 | |
**2019年上海市中考数学试卷**
**一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】**
1．（4分）（2019•上海）下列运算正确的是
A． B． C． D．
2．（4分）（2019•上海）如果，那么下列结论错误的是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•上海）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是
A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大
5．（4分）（2019•上海）下列命题中，假命题是
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
6．（4分）（2019•上海）已知与外切，与、都内切，且，，，那么的半径长是
A．11 B．10 C．9 D．8
**二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】**
7．（4分）（2019•上海）计算：[ ]{.underline}．
8．（4分）（2019•上海）已知，那么[ ]{.underline}．
9．（4分）（2019•上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是[ ]{.underline}．
10．（4分）（2019•上海）如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是[ ]{.underline}．
11．（4分）（2019•上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是："今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．"大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛[ ]{.underline}
斛米．（注斛是古代一种容量单位）
13．（4分）（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么关于的函数解析式是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约[ ]{.underline}千克．
15．（4分）（2019•上海）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么[ ]{.underline}度．
16．（4分）（2019•上海）如图，在正边形中，设，，那么向量用向量、表示为[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是[ ]{.underline}．
18．（4分）（2019•上海）在和△中，已知，，，，点、分别在边、上，且△，那么的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7题，满分78分）**
19．（10分）（2019•上海）计算：
20．（10分）（2019•上海）解方程：
21．（10分）（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当时，求点的坐标．
22．（10分）（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求点到的距离；
（2）求、两点的距离．
23．（12分）（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
24．（12分）（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的"不动点"．
①试求抛物线的"不动点"的坐标；
②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的"不动点"，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
25．（14分）（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
**2019年上海市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】**
1．（4分）（2019•上海）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故错误；
（C）原式，故错误；
（D）原式，故错误；
故选：．
2．（4分）（2019•上海）如果，那么下列结论错误的是
A． B． C． D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
故选：．
3．（4分）（2019•上海）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是
A． B． C． D．
【考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质
【分析】一次函数当时，函数值总是随自变量增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大．
【解答】解：.该函数图象是直线，位于第一、三象限，随的增大而增大，故本选项正确．
.该函数图象是直线，位于第二、四象限，随的增大而减小，故本选项错误．
.该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，故本选项错误．
.该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项错误．
故选：．
4．（4分）（2019•上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是
A．甲的成绩比乙稳定 B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大 D．甲的成绩的中位数比乙大
【考点】算术平均数；中位数；方差
【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为，
甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：．
5．（4分）（2019•上海）下列命题中，假命题是
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
【考点】命题与定理
【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：.矩形的对角线相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；
.矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
.矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，
故选：．
6．（4分）（2019•上海）已知与外切，与、都内切，且，，，那么的半径长是
A．11 B．10 C．9 D．8
【考点】圆与圆的位置关系
【分析】如图，设，，的半径为，，．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设，，的半径为，，．
由题意：，
解得，
故选：．
**二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】**
7．（4分）（2019•上海）计算：[ ]{.underline}．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解答】解：．
8．（4分）（2019•上海）已知，那么[ 0 ]{.underline}．
【考点】函数值
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当时，．
故答案为：0．
9．（4分）（2019•上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是[ ]{.underline}．
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：正方形的面积是3，
它的边长是．
故答案为：
10．（4分）（2019•上海）如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】根的判别式
【分析】由于方程没有实数根，则其判别式△，由此可以建立关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
【解答】解：由题意知△，
．
故填空答案：．
11．（4分）（2019•上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是[ ]{.underline}．
【考点】列表法与树状图法
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
掷的点数大于4的概率为，
故答案为：．
12．（4分）（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是："今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．"大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛[ ]{.underline}
斛米．（注斛是古代一种容量单位）
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米斛，
则，
故，
则．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
13．（4分）（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么关于的函数解析式是[ ]{.underline}．
【考点】函数关系式
【分析】根据登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，可求出与的关系式．
【解答】解：由题意得与之间的函数关系式为：．
故答案为：．
14．（4分）（2019•上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约[ 90 ]{.underline}千克．
【考点】用样本估计总体；扇形统计图
【分析】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案．
【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约（千克），
故答案为：90．
15．（4分）（2019•上海）如图，已知直线，含角的三角板的直角顶点在上，角的顶点在上，如果边与的交点是的中点，那么[ 120 ]{.underline}度．
【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质求的度数．
【解答】解：是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
故答案为120．
16．（4分）（2019•上海）如图，在正边形中，设，，那么向量用向量、表示为[ ]{.underline}．
【考点】平面向量
【分析】连接．利用三角形法则：，求出即可．
【解答】解：连接．
多边形是正六边形，
，，
，
，
，
故答案为．
17．（4分）（2019•上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是[ 2 ]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；解直角三角形
【分析】由折叠可得，，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到，进而得到．
【解答】解：如图所示，由折叠可得，，
正方形中，是的中点，
，
，
，
又是的外角，
，
，
，
．
故答案为：2．
18．（4分）（2019•上海）在和△中，已知，，，，点、分别在边、上，且△，那么的长是[ ]{.underline}．
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据勾股定理求得，设，则，根据全等三角形的性质得出，，，即可求得，根据等角的余角相等求得，即可证得△，根据其性质得出，解得求出的长．
【解答】解：如图，在和△中，，，，，
，
设，则，
△，
，，，
，
，，
，
△，
，即，
解得，
的长为，
故答案为．
**三、解答题（本大题共7题，满分78分）**
19．（10分）（2019•上海）计算：
【考点】分数指数幂；实数的运算
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
20．（10分）（2019•上海）解方程：
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
经检验是增根，分式方程的解为．
21．（10分）（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知一次函数的图象平行于直线，且经过点，与轴交于点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点在轴上，当时，求点的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题
【分析】（1）设一次函数的解析式为，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与轴的解得为，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：，
一次函数的图象平行于直线，
，
一次函数的图象经过点，
，
，
一次函数的解析式为；
（2）由，令，得，
，
一次函数的图形与轴的解得为，
点在轴上，
设点的坐标为，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
点的坐标是．
22．（10分）（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求点到的距离；
（2）求、两点的距离．
【考点】解直角三角形的应用；矩形的性质
【分析】（1）过点作，垂足为点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在△中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离；
（2）连接，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离．
【解答】解：（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示．
由题意，得：厘米，．
四边形是矩形，
，
．
在△中，厘米．
又厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：点到的距离为厘米．
（2）连接，，，如图4所示．
由题意，得：，，
是等边三角形，
．
四边形是矩形，
．
在中，厘米，厘米，
厘米，
厘米．
答：、两点的距离是厘米．
23．（12分）（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【考点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）连接，根据，，即可得出垂直平分，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出，求出，再根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接，，，
、是的两条弦，且，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
；
（2）如图2，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
24．（12分）（2019•上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的"不动点"．
①试求抛物线的"不动点"的坐标；
②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的"不动点"，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；
（2）①设抛物线"不动点"坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为"不动点"，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解．
【解答】解：（1），
故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；
（2）①设抛物线"不动点"坐标为，则，
解得：或3，
故"不动点"坐标为或；
②新抛物线顶点为"不动点"，则设点，
新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，
四边形是梯形，
直线在轴左侧，
与不平行，
，
又点，点，
，
故新抛物线是由抛物线向左平移2个单位得到的，
新抛物线的表达式为：．
25．（14分）（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求的值；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题．
（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．
（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，，
平分，
，同理，
，，
，
．
（2）解：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
（3）与相似，，
中必有一个内角为
是锐角，
．
①当时，
，
，
，
，此时．
②当时，，
，
与相似，
，此时．
综上所述，或，或．
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**2014年辽宁省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）已知a=，b=log~2~，c=log，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣
8．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（ ）
A．d＜0 B．d＞0 C．a~1~d＜0 D．a~1~d＞0
9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[，\]上单调递增 B．在区间\[，\]上单调递减
C．在区间\[﹣，\]上单调递减 D．在区间\[﹣，\]上单调递增
10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\]
12．（5分）已知定义在\[0，1\]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈\[0，1\]，且x≠y，有\|f（x）﹣f（y）\|＜\|x﹣y\|．
若对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．**
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=[ ]{.underline}．
14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x^2^和y=x^2^上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是[ ]{.underline}．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，﹣+的最小值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C~1~：﹣=1过点P且离心率为．
（Ⅰ）求C~1~的方程；
（Ⅱ）若椭圆C~2~过点P且与C~1~有相同的焦点，直线l过C~2~的右焦点且与C~2~交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
21．（12分）已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）
证明：
（Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，），使f（x~0~）=0；
（Ⅱ）存在唯一x~1~∈（，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＜π．
**四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.**
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
**不等式选讲**
24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤．
**2014年辽宁省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1}
【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C~U~（A∪B）．
【解答】解：A∪B={x\|x≥1或x≤0}，
∴C~U~（A∪B）={x\|0＜x＜1}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．
【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
∴z=2+3i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
3．（5分）已知a=，b=log~2~，c=log，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=＜2^0^=1，
b=log~2~＜log~2~1=0，
c=log=log~2~3＞log~2~2=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．
6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
【分析】使用"插空法"．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．
【解答】解：使用"插空法"．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣ D．8﹣
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，
其底面面积S=2×2﹣2××π×1^2^=4﹣，
柱体的高h=2，
故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．
8．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（ ）
A．d＜0 B．d＞0 C．a~1~d＜0 D．a~1~d＞0
【分析】由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．
【解答】解：∵等差数列{a~n~}的公差为d，∴a~n+1~﹣a~n~=d，
又数列{2}为递减数列，
∴=＜1，
∴a~1~d＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[，\]上单调递增 B．在区间\[，\]上单调递减
C．在区间\[﹣，\]上单调递减 D．在区间\[﹣，\]上单调递增
【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间\[，\]上单调递增，则答案可求．
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin\[2（x﹣）+\]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间\[，\]上单调递增．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足"同增异减"原则，是中档题．
10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，
即准线方程为：x=﹣2，
∴p＞0，=﹣2即p=4，
∴抛物线C：y^2^=8x，在第一象限的方程为y=2，
设切点B（m，n），则n=2，
又导数y′=2，则在切点处的斜率为，
∴即m=2m，
解得=2（舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．
11．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\]
【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
【解答】解：当x=0时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（\*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1\]上单调递增，
f（x）~max~=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≤，
由（\*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）~min~=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是\[﹣6，﹣2\]．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
12．（5分）已知定义在\[0，1\]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈\[0，1\]，且x≠y，有\|f（x）﹣f（y）\|＜\|x﹣y\|．
若对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈\[0，\]，且y∈\[0，\]；x∈\[0，\]，且y∈\[，1\]；x∈\[0，\]，且y∈\[，1\]；及当x∈\[，1\]，且y∈\[，1\]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．
【解答】解：依题意，定义在\[0，1\]上的函数y=f（x）的斜率\|k\|＜，
依题意可设k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，\|f（x）﹣f（y）\|＜\|x﹣y\|．
当x∈\[0，\]，且y∈\[0，\]时，\|f（x）﹣f（y）\|=\|kx﹣ky\|=k\|x﹣y\|≤k\|﹣0\|=k×＜；
当x∈\[0，\]，且y∈\[，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|=\|kx﹣（k﹣ky）\|=\|k（x+y）﹣k\|≤\|k（1+）﹣k\|=＜；
当y∈\[0，\]，且x∈\[，1\]时，同理可得，\|f（x）﹣f（y）\|＜；
当x∈\[，1\]，且y∈\[，1\]时，\|f（x）﹣f（y）\|=\|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）\|=k\|x﹣y\|≤k×（1﹣）=＜；
综上所述，对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜，
∵对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立，
∴m≥，即m的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．**
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件\|y﹣x\|＜1，计算输出y的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=+2=5，\|5﹣9\|=4＞1；
第二次循环x=5，y=+2=，\|﹣5\|=＞1；
第三次循环x=，y=+2．\|+2﹣\|=＜1，
满足条件\|y﹣x\|＜1，跳出循环，输出y=．
故答案为：．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x^2^和y=x^2^上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2\[（1﹣）﹣（﹣1+）\]=2×=，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[ 12 ]{.underline}．
【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出\|AN\|+\|BN\|的值．
【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，
∵Q在椭圆C上，∴\|QF~1~\|+\|QF~2~\|=2a=6，
∴\|AN\|+\|BN\|=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，﹣+的最小值为[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】首先把：4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到\|2a+b\|^2^，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．
【解答】解：∵4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0，
∴=
由柯西不等式得，
\[\]\[\]=\|2a+b\|^2^
故当\|2a+b\|最大时，有
∴
∴﹣+===，
当b=时，取得最小值为﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a^2^+c^2^=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，即9=a^2^+c^2^﹣4，
∴a^2^+c^2^=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A~1~，A~2~的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个"的概率；
（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设A~1~表示事件"日销售量不低于100个"，A~2~表示事件"日销售量低于50个"
B表示事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个"，
因此P（A~1~）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A~2~）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量X的分布列为
--- ------- ------- ------- -------
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
--- ------- ------- ------- -------
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．
【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此•=0，所以EF⊥BC；
（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），依题意，可求得一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．
（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），
由得其中一个=（1，﹣，1），
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则
cosθ=\|cos＜，＞\|=\|\|=，
因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．
【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．
20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C~1~：﹣=1过点P且离心率为．
（Ⅰ）求C~1~的方程；
（Ⅱ）若椭圆C~2~过点P且与C~1~有相同的焦点，直线l过C~2~的右焦点且与C~2~交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）设切点P（x~0~，y~0~），（x~0~＞0，y~0~＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C~2~的焦点．可设椭圆C~2~的方程为（b~1~＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+，
A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设切点P（x~0~，y~0~），（x~0~＞0，y~0~＞0），则切线的斜率为，
可得切线的方程为，化为x~0~x+y~0~y=4．
令x=0，可得；令y=0，可得．
∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S==．
∵4=，当且仅当时取等号．
∴．此时P．
由题意可得，，解得a^2^=1，b^2^=2．
故双曲线C~1~的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C~1~的焦点（±，0），即为椭圆C~2~的焦点．
可设椭圆C~2~的方程为（b~1~＞0）．
把P代入可得，解得=3，
因此椭圆C~2~的方程为．
由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
联立，化为，
∴，．
∴x~1~+x~2~==，
x~1~x~2~==．
，，
∵，∴，
∴+，
∴，解得m=或m=，
因此直线l的方程为：或．
【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题．
21．（12分）已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）
证明：
（Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，），使f（x~0~）=0；
（Ⅱ）存在唯一x~1~∈（，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＜π．
【分析】（Ⅰ）根据x∈（0，）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数，
再根据f（0）＞0，f（）＜0，得出此结论；
（Ⅱ）构造函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈\[，π\]，
令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t~1~∈（0，），
即证g（x）存在唯一的零点x~1~∈（，π），满足x~0~+x~1~＜π．
【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣cosx＜0，
∴函数f（x）在（0，）上为减函数，
又f（0）=π﹣＞0，f（）=﹣π^2^﹣＜0；
∴存在唯一的x~0~∈（0，），使f（x~0~）=0；
（Ⅱ）考虑函数h（x）=﹣4ln（3﹣x），x∈\[，π\]，
令t=π﹣x，则x∈\[，π\]时，t∈\[0，\]，
记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），
则u′（t）=﹣•
=﹣
=﹣
=
=，
由（Ⅰ）得，当t∈（0，x~0~）时，u′（t）＞0；
在（0，x~0~）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x~0~\]时，u（t）＞0，
∴u（t）在（0，x~0~\]上无零点；
在（x~0~，）上u（t）是减函数，且u（x~0~）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，
∴存在唯一的t~1~∈（x~0~，），使u（t~1~）=0；
∴存在唯一的t~1~∈（0，），使u（t~1~）=0；
∴存在唯一的x~1~=π﹣t~1~∈（，π），使h（x~1~）=h（π﹣t~1~）=u（t~1~）=0；
∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，
∴存在唯一的x~1~∈（，π），使g（x~1~）=0，
∵x~1~=π﹣t~1~，t~1~＞x~0~，∴x~0~+x~1~＜π．
【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目．
**四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.**
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；
（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
∴∠BDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠BDA=90°，
∴AB为圆的直径；
（Ⅱ）连接BC，DC，则
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE为直角，
∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，
∴AB=ED．
【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x^2^+y^2^=1上，求出C的方程，化为参数方程．
（Ⅱ）解方程组求得P~1~、P~2~的坐标，可得线段P~1~P~2~的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．
【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x^2^+y^2^=1上，
∴x^2^+=1，即曲线C的方程为 x^2^+=1，化为参数方程为  （0≤θ＜2π，θ为参数）．
（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P~1~（1，0）、P~2~（0，2），
则线段P~1~P~2~的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，
即 ρ=．
【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．
**不等式选讲**
24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤．
【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=\[0，\]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1≤1 可得①，或 ②．
解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为\[0，\]．
（Ⅱ）证明：
由g（x）=16x^2^﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，
∴N=\[﹣，\]，
∴M∩N=\[0，\]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，
∴x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^ =xf（x）\[x+f（x）\]=﹣≤，
故要证的不等式成立．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．
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**2017年湘潭市初中毕业学业考试**
**数学试题卷**
**考试时量：120分钟 满分：120分**
**一、选择题：本大题共8个小题,每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
1\. （2017·湖南湘潭）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：性质符号相同，分子分母位置颠倒的两个数称为互为倒数，所以2117的倒数是
考点：互为倒数的定义
2.（2017·湖南湘潭）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.C．  D．  
【答案】D
【解析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）------能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图------能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图------能反映物体的左面形状。
从正面看到的图是，故选D
考点：三视图
3\. （2017·湖南湘潭）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：x\<2，不包括2，画空心圆圈，小于向左拐；x＞-1，不包括-12，画空心圆圈，大于向右拐，故选B
考点：不等式
4\. （2017·湖南湘潭）下列计算正确的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】试题分析：A． 正确 B．和 无法进行加法运算 C. D．，故选A
考点：代数式的运算
5\. （2017·湖南湘潭）"莲城读书月"活动结束后，对八年级（三）班45人所阅读书籍数量情况的统计结果如下表所示：
------------ ----- ----- ----- ---------
阅读数量 1本 2本 3本 3本以上
人数（人） 10 18 13 4
------------ ----- ----- ----- ---------
根据统计结果，阅读2本书籍的人数最多，这个数据2是（ ）
A．平均数 B．中位数 C.众数 D．方差
【答案】C
【解析】
试题分析：用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设*n*个数据，*x*~1~，*x*~2~，...*x~n~*的平均数为，则方差*S*^2^=\[（*x*~1~﹣）^2^+（*x*~2~﹣）^2^+...+（*x~n~*﹣）^2^\]．
45个 数据中，数据2共18个，个数最多，故选C
考点：方差；平均数；中位数；众数
6\. （2017·湖南湘潭）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：中，x+2≥2，∴故选C
考点：二次根式
7\. （2017·湖南湘潭）如图，在半径为4的中，是直径，是弦，且，垂足为点，，则阴影部分的面积是（ ）
A.  B． C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：∵，∴，∴，故选C
考点：垂径定理，扇形的面积
8\. （2017·湖南湘潭）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：，即y≥0,观察图形知，故选C
考点：一次函数与不等式的关系
\[来源:学科网\]
**二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）**
9\. （2017·湖南湘潭）因式分解： [ ]{.underline} ．
【答案】(m+n)(m-n)
【解析】
试题分析：利用平方差公式，知
考点：因式分解
10. （2017·湖南湘潭）截止2016年底，到韶山观看大型实景剧《中国出了个毛泽东》的观众约为925000人次，将925000用科学计数法表示为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
所以，925000**用科学计数法可表示为**
考点：科学记数法的表示方法
11. （2017·湖南湘潭）计算： [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：分式的运算
12.（2017·湖南湘潭）某同学家长应邀安参加孩子就读中学的开放日活动，他打算上午随机听一节孩子所在1班的课，下表是他拿到的当天上午1班的课表，如果每一节课被听的机会均等，那么他听数学课的概率是 [ ]{.underline} ．
\[来源:学科网
【答案】
【解析】
试题分析：随机听一节孩子所在1班的课，一共4中情况，听数学只占1只占一种情况，∴概率是
考点：简单的概率计算
13\. 如图，在中，已知，则 [ ]{.underline} ．
【答案】60°
【解析】
试题分析：利用知识点：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，60°
考点：圆周角定理
14.如图，在中，分别是边的中点，则与的面积比 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：∵分别是边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴∽
∴
考点：相似三角形及中位线性质定理
15.如图，在中，，平分交于点，垂直平分，垂足为点，请任意写出一组相等的线段 [ ]{.underline} ．
【答案】BC=BE或DC=DE
【解析】
试题分析:利用角平分线性质定理，知BC=BE；利用∽，得DC=DE
考点：角平分线性质定理
16. 阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则 [ ]{.underline} ．
【答案】6
【解析】
试题分析:利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6
考点：新定义问题
**三、解答题 （本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分） \[来源:学科网**
17.计算：
考点：(1)、实数运算；(2)、三角函数
【解析】试题分析：首先根据0次幂、绝对值以及三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行求和.
【解答】
原式==
18\. "鸡兔同笼"是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于"鸡兔同笼"的记载："今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问笼中各有几只鸡和兔？
考点：二元一次方程组的应用
【解析】试题分析：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据：①鸡数+兔数=35，②鸡足+兔足=94，列出方程组求解可得．
【解答】
解：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得
解得
∴笼中各有11只鸡，24只兔
19\. 从这，1，三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标.
（1）写出该点所有可能的坐标；
（2）求该点在第一象限的概率.
考点：树状图或列表求概率
【解析】试题分析：列表如图：
---- ------------ ----------- -----------
-2 1 3
-2 （-2，-2） （-2，1） （-2，3）
1 （1，-2） （1，1） （1，3）
3 （3，-2） （3，1） （3，3)
---- ------------ ----------- -----------
由表可知该点在第一象限的概率为 
【解答】
（1）见解析；（2）
20\. 如图，在中，连接并延长交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
考点：平行四边形，全等三角形
【解析】试题分析：（1）利用AAS或ASA,证明．（2）先证明三角形ABF是等腰三角形，再的度数.
【解答】
1. ∵
∴AD∥DF
∴∠ADE=∠EFC
∵，∠AED=∠CEF
∴
2. ∵
∴AD=BC
∵
∴AD=FC\[来源:学,科,网\]
∴FC=BC
∵
∴AB=BF
∵
∴=108°
21.为响应习总书记足球进校园的号召，某学校积极开展与足球有关的宣传与实践活动.学生会体育部为了解本学校对足球运动的态度，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的统计图表（部分信息未给出）.
（1）在上面的统计表中 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} .
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）该校共有学生人，根据统计信息，估计爱好足球运动（包括喜欢和非常喜欢）的学生有多少人？
【解析】
(1) 利用，求得总数100人，再求m=40
(2)先求出喜欢足球人数35人，再将条形统计图补充完整
(3)1200（0.05+0.35）=480
【解】
（1）m=5÷0.05-50-10=40,n=50÷100=0.5
2. 1000.35=35
图形如下：
（3）1200（0.05+0.35）=480
考点：统计图
22.由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到"十字相乘法"进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式：\_\_\_\_\_\_)；
（2）应用：请用上述方法解方程：.
【解析】
(1)把8分解成24，且2+4=6
(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3
【解】
（1）\_2\_\_4\_)；
（2）
解：
考点："十字相乘法"因式分解，解一元二次方程
23.某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为米，，,.
（1）求旋转木马处到出口处的距离；
（2）求海洋球处到出口处的距离（结果保留整数）.
【解析】
(1) 利用BE=AEsin30°，求BE
(2) 利用DE=CDCOS30°，求DE
【解】
1. ∵AE=80，∠BAE=30°，
∴BE=AEsin30°=80×=40米
2. ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=
∴∠D=
∵CD=34米
∴DE=CDCOS30°=34×=
∴DB=DE+BE=40+
考点：三角函数的应用
24.已知反比例函数的图象过点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式.
【解析】
（1）把代入得
（2）由一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，知只有一组解，
得有2个相等的实数根，再利用求a
【解】
（1）∵
∴
∴
2. ∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点
∴只有一组解
∴只有一组解
∴有2个相等的实数根
∴
a= -3
∴y= -3x+6
考点：一次函数与反比例函数
25.已知抛物线的解析式为.
（1）当自变量时，函数值随的增大而减少，求的取值范围；
（2）如图，若抛物线的图象经过点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于.
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1)∵自变量时，函数值随的增大而减少,∴,b≥0
（2）①把代入，得
②作线段AB的垂直平分线，交抛物线于两点，此时
【解】
（1）∵自变量时，函数值随的增大而减少
∴对称轴在直线x=2的右边
∴
b≥0
(2) ①把代入，得
∴
②存在
作线段AB的垂直平分线，与抛物线交于两点，此时
抛物线的对称轴是直线x=1，则B（1，0）
∵
∴直线AB表达式y=5x-5，E(1.5,2.5)
∴直线表达式k=
设直线表达式
把E(1.5,2.5)代入表达式得，b=2.8
直线表达式
由题意得
解得，
∴,
考点：二次函数
26.如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.
（1）探究：如左图，当动点在上运动时；
①判断是否成立？请说明理由；
②设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）
 \[来源:Zxxk.Com\]
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**小学三年级下册数学奥数知识点****讲****解第9课《和****差问题》****试题附答案**
\[来源:学科网\]
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**答案**
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\[来源:学科网\]
\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
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**2013年四川省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={x\|x+2=0}，集合B={x\|x^2^﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B
5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点到双曲线x^2^﹣=1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
7．（5分）函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x~0~，y~0~）使得f（f（y~0~））=y~0~，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[e^﹣1^﹣1，1\] C．\[1，e+1\] D．\[e^﹣1^﹣1，e+1\]
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）二项式（x+y）^5^的展开式中，含x^2^y^3^的项的系数是[ ]{.underline}（用数字作答）．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=[ ]{.underline}．
13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是[ ]{.underline}．
14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是[ ]{.underline}．
15．（5分）设P~1~，P~2~，...P~n~为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P~1~，P~2~，...P~n~的距离之和最小，则称点P为P~1~，P~2~，...P~n~的一个"中位点"，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是[ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）**
16．（12分）在等差数列{a~n~}中，a~1~+a~3~=8，且a~4~为a~2~和a~9~的等比中项，求数列{a~n~}的首项，公差及前n项和．
17．（12分）在△ABC中，2cos^2^cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p~i~（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 14 6 10
... ... ... ...
2100 1027 376 697
----------- -------------------- -------------------- --------------------
乙的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 12 11 7
... ... ... ...
2100 1051 696 353
----------- -------------------- -------------------- --------------------
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABC，AB=AC=2AA~1~，∠BAC=120°，D，D~1~分别是线段BC，B~1~C~1~的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A~1~BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A~1~M﹣N的余弦值．
20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
21．（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x~1~，f（x~1~）），B（x~2~，f（x~2~））为该函数图象上的点，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x~2~＜0，求x~2~﹣x~1~的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
**2013年四川省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={x\|x+2=0}，集合B={x\|x^2^﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅
【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．
【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B中的方程x^2^﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A∩B={﹣2}．
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．
所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选：B．
【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．
【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．
而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．
故选：D．
【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，
解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题．
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，
则￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
6．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点到双曲线x^2^﹣=1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
【解答】解：∵抛物线方程为y^2^=4x
∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）
又∵双曲线的方程为
∴a^2^=1且b^2^=3，可得a=1且b=，
双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，
化成一般式得：．
因此，抛物线y^2^=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==
故选：B．
【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
7．（5分）函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．
【解答】解：函数的定义域为{x\|x≠0}，排除A．
当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，
当x→+∞时，x^3^＜3^x^﹣1，此时y→0，排除D，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
【分析】因为lga﹣lgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．
【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，
因为，，
所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，
共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须\|x﹣y\|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．
【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，
由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，
它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则\|x﹣y\|≤2，
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，
由图可知所求的概率为：=
故选：C．
【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．
10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x~0~，y~0~）使得f（f（y~0~））=y~0~，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[e^﹣1^﹣1，1\] C．\[1，e+1\] D．\[e^﹣1^﹣1，e+1\]
【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y~0~））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项
【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x~0~，y~0~）使得f（f（y~0~））=y~0~，则y~0~∈\[﹣1，1\]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y~0~∈\[0，1\]时f（f（y~0~））=y~0~是否成立
由于是一个增函数，可得出f（y~0~）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
故选：A．
【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）二项式（x+y）^5^的展开式中，含x^2^y^3^的项的系数是[ 10 ]{.underline}（用数字作答）．
【分析】利用二项式（x+y）^5^的展开式的通项公式T~r+1~=x^5﹣r^•y^r^，结合题意即可求得答案．
【解答】解：设二项式（x+y）^5^的展开式的通项公式为T~r+1~，
则T~r+1~=x^5﹣r^•y^r^，
令r=3，
则含x^2^y^3^的项的系数是=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=[ ]{.underline}．
【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是[ （﹣7，3） ]{.underline}．
【分析】由偶函数性质得：f（\|x+2\|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（\|x+2\|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出\|x+2\|的范围，再求x范围即可．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（\|x+2\|）=f（x+2），
则f（x+2）＜5可化为f（\|x+2\|）＜5，
即\|x+2\|^2^﹣4\|x+2\|＜5，（\|x+2\|+1）（\|x+2\|﹣5）＜0，
所以\|x+2\|＜5，
解得﹣7＜x＜3，
所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．
故答案为：（﹣7，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．
15．（5分）设P~1~，P~2~，...P~n~为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P~1~，P~2~，...P~n~的距离之和最小，则称点P为P~1~，P~2~，...P~n~的一个"中位点"，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是[ ①④ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）．
【分析】对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则线段AB上任一点都为"中位点"，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，正确；
对于②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可；
对于③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
【解答】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为"中位点"，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确；
②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误；
④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）**
16．（12分）在等差数列{a~n~}中，a~1~+a~3~=8，且a~4~为a~2~和a~9~的等比中项，求数列{a~n~}的首项，公差及前n项和．
【分析】设该数列的公差为d，前n项和为S~n~，则利用a~1~+a~3~=8，且a~4~为a~2~和a~9~的等比中项，建立方程，即可求得数列{a~n~}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．
【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为S~n~，则
∵a~1~+a~3~=8，且a~4~为a~2~和a~9~的等比中项，
∴2a~1~+2d=8，（a~1~+3d）^2^=（a~1~+d）（a~1~+8d）
解得a~1~=4，d=0或a~1~=1，d=3
∴前n项和为S~n~=4n或S~n~=．
【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题．
17．（12分）在△ABC中，2cos^2^cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．
【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由
可得，
可得，
即，
即，
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p~i~（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 14 6 10
... ... ... ...
2100 1027 376 697
----------- -------------------- -------------------- --------------------
乙的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 12 11 7
... ... ... ...
2100 1051 696 353
----------- -------------------- -------------------- --------------------
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
【分析】（I）变量x是在1，2，3，...，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．
【解答】解：（I）变量x是在1，2，3，...，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，
当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P~1~==；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P~2~==；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P~3~==；
故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：
---- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
输出y值为1的频率 输出y值为2的频率 输出y值为3的频率
甲   
乙   
---- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；
（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ 0 1 2 3
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以所求的数学期望Eξ==1
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABC，AB=AC=2AA~1~，∠BAC=120°，D，D~1~分别是线段BC，B~1~C~1~的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A~1~BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A~1~M﹣N的余弦值．
【分析】（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A~1~BC．由等腰三角形"三线合一"得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA~1~⊥l且AD、AA~1~是平面ADD~1~A~1~内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（II）连接A~1~P，过点A作AE⊥A~1~P于E，过E点作EF⊥A~1~M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A~1~MN⊥平面A~1~AE，
从而得到AE⊥平面A~1~MN，结合EF⊥A~1~M，由三垂线定理得AF⊥A~1~M，可得∠AFE就是二面角A﹣A~1~M﹣N的平面角．设AA~1~=1，分别在Rt△A~1~AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A﹣A~1~M﹣N的余弦值．
【解答】解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A~1~BC，BC⊂平面A~1~BC，
∴直线l∥平面A~1~BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA~1~⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA~1~⊥l
∵AD、AA~1~是平面ADD~1~A~1~内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD~1~A~1~；
（II）连接A~1~P，过点A作AE⊥A~1~P于E，过E点作EF⊥A~1~M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A~1~AE，结合MN⊂平面A~1~MN得平面A~1~MN⊥平面A~1~AE，
∵平面A~1~MN∩平面A~1~AE=A~1~P，AE⊥A~1~P，∴AE⊥平面A~1~MN，
∵EF⊥A~1~M，EF是AF在平面A~1~MN内的射影，
∴AF⊥A~1~M，可得∠AFE就是二面角A﹣A~1~M﹣N的平面角
设AA~1~=1，则由AB=AC=2AA~1~，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1
Rt△A~1~AP中，A~1~P==；Rt△A~1~AM中，A~1~M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A﹣A~1~M﹣N的余弦值等于．
【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；
（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．
【解答】解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），且椭圆C经过点．
∴c=1，2a=PF~1~+PF~2~==2，即a=
∴椭圆的离心率e===...4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2±）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x~1~，kx~1~+2），（x~2~，kx~2~+2），则
，，又\|AQ\|^2^=（1+k^2^）x^2^，
∴，即=...①
将y=kx+2代入中，得（2k^2^+1）x^2^+8kx+6=0...②
由△=（8k）^2^﹣24（2k^2^+1）＞0，得k^2^＞
由②知x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=，代入①中化简得x^2^=...③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）^2^﹣3x^2^=18
由③及k^2^＞可知0＜x^2^＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2）^2^﹣3x^2^=18得（y﹣2）^2^∈（，）且﹣1≤y≤1，则y∈\[，2﹣\]
综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）^2^﹣3x^2^=18，其中x∈（﹣，），y∈\[，2﹣\]...13分
【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．
21．（14分）已知函数，其中a是实数，设A（x~1~，f（x~1~）），B（x~2~，f（x~2~））为该函数图象上的点，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x~2~＜0，求x~2~﹣x~1~的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；
（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x~1~+2）（2x~2~+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；
（III）当x~1~＜x~2~＜0或0＜x~1~＜x~2~时，∵，故不成立，∴x~1~＜0＜x~2~．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．
【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）^2^+a，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在\[﹣1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x~1~＜x~2~＜0，∴f（x）=x^2^+2x+a，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x~1~），f′（x~2~），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴，
∴（2x~1~+2）（2x~2~+2）=﹣1．
∴2x~1~+2＜0，2x~2~+2＞0，
∴=1，当且仅当﹣（2x~1~+2）=2x~2~+2=1，即，时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x~2~＜0，求x~2~﹣x~1~的最小值为1．
（III）当x~1~＜x~2~＜0或0＜x~1~＜x~2~时，∵，故不成立，∴x~1~＜0＜x~2~．
当x~1~＜0时，函数f（x）在点A（x~1~，f（x~1~）），处的切线方程为
，即．
当x~2~＞0时，函数f（x）在点B（x~2~，f（x~2~））处的切线方程为，即．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，
由①及x~1~＜0＜x~2~可得﹣1＜x~1~＜0，
由①②得=．
∵函数，y=﹣ln（2x~1~+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，
∴a（x~1~）=在（﹣1，0）上单调递减，且x~1~→﹣1时，ln（2x~1~+2）→﹣∞，即﹣ln（2x~1~+2）→+∞，也即a（x~1~）→+∞．
x~1~→0，a（x~1~）→﹣1﹣ln2．
∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．
【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第3单元 第一节：数花生**
一、填一填。
（ ）、37、（ ）、39、（ ）、（ ）
（ ）、（ ）、61、（ ）、63、64\[来源:学\#科\#网\]
（ ）、26、27、（ ）、（ ）、（ ）
（ ）、80、（ ）、82、（ ）、（ ）
**二、判断题 。**
1、一个数个位上是2，十位上是8，这个数是28。 （ ）
2、十位上一个数也没有就写0。 （ ）
3、一个数里面有9个一，8个十，这个数读作89。（ ）
4、45与54都有数字4和5，所以它们一样大。 （ ）
5、最大的一位数与最小的两位数相差1。 （ ）
三、写一写下面的数字。
我有二十七个桃 我有42个香蕉
写作 [ ]{.underline} 读作 [ ]{.underline}
我有三十一个胡萝卜 我有78个松子
写作 [ ]{.underline} 读作 [ ]{.underline}
我有二十一个西瓜 我有53个苹果
写作 [ ]{.underline}  读作 [ ]{.underline}
四、按要求来填数。
（1）填一填 w W w .X k b 1. c O m\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
---- ---- -- -- --
66 67
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----------------------- -- -------------------------------------- -- --
87\[来源:Z§xx§k.Com\] 89
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（2）看图填数
> （ ）个十和 （ ）个十和 （ ）个十
>
> （ ）个一  （ ）个十一
答案
一、填一填。
36、37、38、39、40、41
59、60、61、62、63、64
25、26、27、28、29、30
79、80、81、82、83、84
**二、判断题 。**
1、× 2、× 3、√ 4、× 5、√
三、写一写下面的数字。
我有二十七个桃 我有42个香蕉
写作 [ 27]{.underline} 读作 [ 四十二]{.underline}
我有三十一个胡萝卜 我有78个松子
写作 [ 31]{.underline} [ ]{.underline} 读作 [ 七十八]{.underline}
我有二十一个西瓜   我有53个苹果
写作 [ 21]{.underline} 读作 [ 五十三]{.underline}
四、按要求来填数。
（1）填一填 w W w .X k b 1. c O m
---- ---- ---- ----------------------- ----
66 67 68 69\[来源:学\#科\#网\] 70
---- ---- ---- ----------------------- ----
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87 88 89 90 91
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（2）看图填数
> （3 ）个十和 （ 2 ）个十和 （ 4 ）个十
>
> （4 ）个一 （ 3 ）个十一
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**2020-2021学年甘肃省定西市岷县二年级（上）期末数学试卷**
**一、填空我最棒（每空1分，共29分）**
1．（7分）3×8读作[ ]{.underline}，表示[ ]{.underline}个[ ]{.underline}相加的和是[ ]{.underline}，也可以表示[ ]{.underline}个[ ]{.underline}相加的和是[ ]{.underline}。
2．（5分）45÷5，读作[ ]{.underline}表示把[ ]{.underline}平均分成[ ]{.underline}份，每份是[ ]{.underline}，计算所用的口诀是[ ]{.underline}。
3．（2分）一张可以换[ ]{.underline}张，或者可以换[ ]{.underline}张。
4．（3分）4的8倍是[ ]{.underline}，16是2的[ ]{.underline}倍，[ ]{.underline}的5倍是30。
5．（2分）填上合适的单位。
> 杯子高约8[ ]{.underline}.
>
> 教室门高约2[ ]{.underline}。
6．（3分）
------------------------------ ------------------------------ ----------------------------
3米＝[ ]{.underline}厘米 100角＝[ ]{.underline}元 4角＝[ ]{.underline}分
------------------------------ ------------------------------ ----------------------------
7．（3分）在下面的横线里填"＜"、"＞"或"＝"。
-------------------------- ---------------------------- -------------------------------
3×6[ ]{.underline}15 3×2[ ]{.underline}72÷8 39+15[ ]{.underline}35+19
-------------------------- ---------------------------- -------------------------------
8．（4分）6+6+6＝[ ]{.underline}×[ ]{.underline}，2+2+2+2+2＝[ ]{.underline}×[ ]{.underline}。
**二、我是公正小法官（对的打"√"，错的打"×"，每小题2分，共10分）**
9．（2分）两张1元的人民币可以换4张5角的人民币。[ ]{.underline}（判断对错）
10．（2分）两个乘数都是8，列式为8+8。[ ]{.underline}（判断对错）
11．（2分）课桌高约10厘米。[ ]{.underline}（判断对错）
12．（2分）2×6和12÷6使用的口诀都是"二六十二"。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（2分）把14朵花平均分成2份，每份是7朵。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、我是计算小能手（共27分）**
14．（10分）直接写出得数。
16÷2＝ 3×8＝ 70﹣25＝ 2×5＝ 4×9＝
-------- -------- ---------- --------- -----------
72÷8＝ 25÷5＝ 45÷9＝ 3×6+6＝ 3×7﹣18＝
15．（9分）列竖式算一算。
------------ -------------- --------------
42+29+14＝ 81﹣37﹣15＝ 100﹣69+25＝
------------ -------------- --------------
16．（8分）看图列式计算。
> （1）一共有多少个笑脸？
>
> （2）平均每个小朋友得几根？
**四、我会动手操作（共12分）**
17．（4分）第二行的图案是从第一行的哪张纸上剪下来的？连一连。
18．（4分）看图填空。
> 橡皮长[ ]{.underline}厘米
>
> 铅笔长[ ]{.underline}厘米
19．（2分）画△，△的个数是□的3倍。
> □□□
>
> [ ]{.underline}
20．（2分）画一条比11厘米少8厘米的线段。
**五、我能解决问题（共22分）**
21．（4分）笑笑家有42包花茶，花茶数量是红茶数量的6倍，红茶有多少包？
22．（4分）两个年级一共种了多少棵树？
23．（14分）购买学习用品。
> （1）买1盏台灯、1支钢笔和1个文具盒需要多少元？
>
> （2）王阿姨买了2盏台灯，付了100元，应找回多少元？
>
> （3）请你提出一个数学问题并解答。
**2020-2021学年甘肃省定西市岷县二年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空我最棒（每空1分，共29分）**
1．【分析】依据整数乘法的意义和读法可知，3×8读作3乘8，表示8个3相加的和是24，也可以表示3个8相加的和是24。
> 【解答】解：3×8读作3乘8，表示8个3相加的和是24，也可以表示3个8相加的和是24。
>
> 故答案为：3乘8，8，3，24，3，8，24。
>
> 【点评】本题考查了有关乘法算式的两种意义和读法的掌握情况。
2．【分析】根据除法算式的读法，被除数÷除数＝商，除法平均分的意义：把一个整体平均分成若干份，求每份是几；用到的乘法口诀是"五九四十五"，由此解答即可。
> 【解答】解：45÷5，读作：45除以5，表示把45平均分成5份，每份是9，计算所用的口诀是五九四十五。
>
> 故答案为：45除以5，45，5，9，五九四十五。
>
> 【点评】本题考查了除法的意义以及除法算式的读法和乘法口诀的灵活运用情况，要熟练掌握。
3．【分析】认识常见人民币的面值及特征，掌握兑换方法。
> 【解答】解：一张100元人民币可以换10张10元人民币，或可以换5张20元人民币。
>
> 【点评】认识各种面值的人民币，懂得兑换人民币。
4．【分析】要求4的8倍是多少，用4×8即可；
> 要求16是2的几倍，用16除以2即可；
>
> 要求什么数的5倍是30，用30除以5即可。
>
> 【解答】解：4×8＝40
>
> 16÷2＝8
>
> 30÷5＝6
>
> 答：4的8倍是32，16是2的8倍，6的5倍是30。
>
> 故答案为：32，8，6。
>
> 【点评】此题考查了整数乘除法的意义及运用情况。
5．【分析】根据生活经验以及对长度单位和数据大小的认识，结合实际情况可知:计量杯子的高度用"厘米"做单位，计量教室门的高度用"米"做单位，据此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 杯子高约8厘米.
>
> 教室门高约2米。
>
> 故答案为：厘米，米。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
6．【分析】高级单位米化成低级单位厘米乘进率100即可；
> 根据1元＝10角，所以100角＝10元；
>
> 根据1角＝10分，所以4角＝40分。
>
> 【解答】解：
-------------- ------------- -----------
3米＝300厘米 100角＝10元 4角＝40分
-------------- ------------- -----------
> 故答案为：300，10，40。
>
> 【点评】本题主要考查人民币和长度的常用单位，关键利用单位换算之间的关系做题。
7．【分析】根据乘法口诀以及加法的计算方法，分别求出两边算式的结果，再比较。
> 【解答】解：
--------- ----------- --------------
3×6＞15 3×2＜72÷8 39+15＝35+19
--------- ----------- --------------
> 故答案为：＞，＜，＝。
>
> 【点评】解决本题关键是正确的计算出各个算式的结果。
8．【分析】6+6+6是3个6相加，相同的加数是6，加数的个数是3，所以算式就是6×3；
> 2+2+2+2+2是5个2相加，相同的加数是2，加数的个数是5，所以算式是5×2。
>
> 【解答】解：6+6+6＝6×3，2+2+2+2+2＝2×5。
>
> 故答案为：6，3；2，5。
>
> 【点评】本题考查了乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算。
**二、我是公正小法官（对的打"√"，错的打"&\#215;"，每小题2分，共10分）**
9．【分析】两张1元的人民币是2元，4张5角也是2元。
> 【解答】解：1元+1元＝2元；
>
> 5角+5角+5角+5角＝20角
>
> 20角＝2元
>
> 由此可知：题干中两张1元的人民币可以换4张5角的人民币，这种说法是正确的。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要熟练掌握人民币的换算。
10．【分析】根据乘法的意义，两个乘数都是8，它们的积是8×8，据此判断即可。
> 【解答】解：8×8＝64
>
> 所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查了学生根据乘法各部分的名称来解答问题的能力，注意区分两个乘数与两个加数。
11．【分析】根据生活经验以及对长度单位和数据大小的认识，结合实际情况可知:计量课桌的高度用"分米"做单位，据此解答即可。
> 【解答】解：课桌高约10分米，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
12．【分析】2×6中的两个乘数分别是2和6，所以运用乘法口诀"二六十二"；12÷6中，被除数是12，除数是6，所使用的口诀也是"二六十二"，由此求解。
> 【解答】解：2×6和12÷6使用的口诀都是"二六十二"；说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查了学生根据乘法口诀求积和求商的方法。
13．【分析】由题意可知：把14平均分成2份，求每份是几，用14除以2，求出结果，再与7比较即可判断。
> 【解答】解：14÷2＝7（朵）
>
> 把14朵花平均分成2份，每份是7朵，
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查了除法平均分的意义：把一个数平均分成若干份，求每份是几，用除法求解。
**三、我是计算小能手（共27分）**
14．【分析】根据整数加减乘除法以及四则混合运算的顺序，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
16÷2＝8 3×8＝24 70﹣25＝45 2×5＝10 4×9＝36
--------- --------- ------------ ----------- ------------
72÷8＝9 25÷5＝5 45÷9＝5 3×6+6＝24 3×7﹣18＝3
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
15．【分析】根据整数加减法竖式计算的方法计算；没有括号的加减混合运算按照从左到右的顺序计算。
> 【解答】解：42+29+14＝85
>
> 81﹣37﹣15＝29
>
> 100﹣69+25＝56
>
> 【点评】本题考查了整数加减法竖式计算的方法，计算式要细心，注意把相同数位对齐。
16．【分析】（1）通过观察图片可知，一行有8个笑脸，求3行一共有多少个笑脸，根据乘法的意义，用乘法解答。
> （2）通过观察图片可知，一共有6根，平均分给2个小朋友，每个小朋友分得多少根？根据"等分"除法的意义，用除法解答。
>
> 【解答】解：（1）8×3＝24（个）
>
> 答：一共有24个笑脸。
>
> （2）6÷2＝3（根）
>
> 答：平均每个小朋友分得3根。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
**四、我会动手操作（共12分）**
17．【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。据此连线即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。
18．【分析】用直尺的"0"刻度线和物体的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该物体的长度；或用最后的刻度减去开始的刻度即可。
> 【解答】解：
>
> 橡皮长2厘米。
>
> 铅笔长4厘米。
>
> 故答案为：2；4。
>
> 【点评】本题考查了学生测量物体长度的能力，关键是灵活运用测量方法。
19．【分析】□有3个，根据倍数关系，△应画3×3＝9个，据此解答即可。
> 【解答】解：3×3＝9（个）
>
> △△△△△△△△△
>
> 故答案为：△△△△△△△△△。
>
> 【点评】本题解答依据是：求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
20．【分析】画一条比11厘米短8厘米的线段，也就是画一条长11﹣8＝3厘米的线段。
> 【解答】解：11﹣8＝3（厘米）
>
> 如图：
>
> 【点评】此题考查画线段的方法，先求出这条线段的长度，再根据线段的特点画出即可。
**五、我能解决问题（共22分）**
21．【分析】根据倍数关系，用42除以6就是红茶有多少包。
> 【解答】解：42÷6＝7（包）
>
> 答：红茶有7包。
>
> 【点评】本题解答依据是：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。
22．【分析】先用54减去29求出三年级植树的棵数，然后再加上二年级植树的棵数即可。
> 【解答】解：54﹣29+54
>
> ＝25+54
>
> ＝79（棵）
>
> 答：两个年级一共种了79棵树。
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键。
23．【分析】（1）根据加法的意义，用加法把台灯、钢笔、文具盒的价格合并起来即可。
> （2）首先根据加法的意义，用加法求出买2盏台灯一共需要元，然后根据求一个数比另一个多或少几，用减法解答。
>
> （3）答案不唯一。提出的问题是：一副乒乓球拍比一支钢笔贵多少元？根据求一个数比另一个数多几，用减法解答。
>
> 【解答】解：（1）35+16+9＝60（元）
>
> 答：买1盏台灯、1支钢笔和1个文具盒需要60元。
>
> （2）35+35＝70（元）
>
> 100﹣70＝30（元）
>
> 答：应找回30元。
>
> （3）答案不唯一。一副乒乓球拍比一支钢笔贵多少元？
>
> 28﹣16＝12（元）
>
> 答：一副乒乓球拍比一支钢笔贵12元。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
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**《小小图书馆》同步练习**
> **一、口算下面各题。**
>
> 52－27＝ 44＋36＝ 82－48＝
>
> 140＋80＝ 160－90＝ 640－400＝
>
> 900－600＝ 1000－500＝ 1200－900＝
>
> **二、计算下面各题。**
>
> 
>
> \[来源:学科网\]
>
> **三、笔算下面各题。**
>
> 628－456＝ 946－828＝ 753－427＝
>
> **四、填表。**
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------------------+
| > 被减数 | > 674\[来源:学科网ZXXK\] | > 925 | > 756 | > 564 | > 927 |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------------------+
| > 减数 | > 482 | > 817 | > 539 | > 257 | > 598 |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------------------+
| > 差 | | | | | > \[来源:学科网\] |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------------------+
> **五、列式计算。**
>
> 1．被减数是985，减数是392，差是多少？
>
> 2．比656少128的数是多少？
>
> **六、解决问题。**
>
> 1.店里有球鞋950双，卖了一些后还剩下246双。卖去了多少双？
>
> 2．服装厂购进一批布料，做衣服用去670米，剩下的比用去的少235米。剩下多少米？
>
> 3\. 食堂买来大米450千克，面粉600千克，面粉比大米多多少千克？
>
> 4\. 一个商店上午卖出运动鞋126双，下午比上午少卖出31双，下午卖出多少双？全天共卖出多少双？
>
> **参考答案：**
>
> **一、口算下面各题。\[来源:学科网\]**
>
> 52－27＝25 44＋36＝80 82－48＝34
>
> 140＋80＝220 160－90＝70 640－400＝240
>
> 900－600＝300 1000－500＝500 1200－900＝300
>
> **二、计算下面各题。**
>
> **571 384**
>
> **三、笔算下面各题。**
>
> 628－456＝172 946－828＝118 753－427＝326
>
> **四、填表。**
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 被减数 | > 674 | > 925 | > 756 | > 564 | > 927 |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 减数 | > 482 | > 817 | > 539 | > 257 | > 598 |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
| > 差 | > 192\[来源:学科网ZXXK\] | > 108 | > 217 | > 307 | > 329 |
+----------+--------------------------+-------+-------+-------+-------+
> **五、列式计算。**
>
> 1．593
>
> 2．528
>
> **六、解决问题。**
>
> 1.704
>
> 2．435
3\. 150
4\. 95 221
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**高考数学全套知识点（通用版）**
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的"确定性、互异性、无序性"。
中元素各表示什么？
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3\. 注意下列性质：
（3）德摩根定律：
4\. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
6\. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7\. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象）
8\. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9\. 求函数的定义域有哪些常见类型？
10\. 如何求复合函数的定义域？
义域是\_。
11\. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12\. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
13\. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14\. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
∴......）
15\. 如何利用导数判断函数的单调性？
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
∴a的最大值为3）
16\. 函数*f*(*x*)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17\. 你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。）
如：
18\. 你掌握常用的图象变换了吗？
注意如下"翻折"变换：
19\. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
的双曲线。
应用：①"三个二次"（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系------二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20\. 你在基本运算上常出现错误吗？
21\. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
22\. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
23\. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
24\. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
25\. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
（x，y）作图象。
27\. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面------先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28\. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29\. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
图象？
30\. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
"奇"、"偶"指k取奇、偶数。
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
31\. 熟练掌握两角和、差、倍、**降幂公式**及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
32\. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
33\. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
34\. 不等式的性质有哪些？
答案：C
35\. 利用均值不等式：
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
36\. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38\. 用"穿轴法"解高次不等式------"奇穿，偶切"，从最大根的右上方开始
39\. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40\. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
**证明：**
（按不等号方向放缩）
42\. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或"△"问题）
43\. 等差数列的定义与性质
0的二次函数）
项，即：
44\. 等比数列的定义与性质
46\. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
**解：**
［练习］
（2）叠乘法
**解：**
（3）等差型递推公式
［练习］
（4）等比型递推公式
［练习］
（5）倒数法
47\. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
**解：**
［练习］
（2）错位相减法：
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
［练习］
48\. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题------按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款------分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足
p------贷款数，r------利率，n------还款期数
49\. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的**顺序**排成一
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
50\. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
（2）中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51\. 二项式定理
性质：
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
表示）
52\. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）："A与B不能同时发生"叫做A、B互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53\. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
**解析：**有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10^3^
而至少有2件次品为"恰有2次品"和"三件都是次品"
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
**解析：**∵一件一件抽取（有顺序）
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54\. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55\. 对总体分布的估计------用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
56\. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量------既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）------方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
（7）向量的加、减法如图：
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
表示。
57\. 平面向量的数量积
数量积的几何意义：
（2）数量积的运算法则
［练习］
答案：
答案：2
答案：
58\. 线段的定比分点
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59\. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：
线面平行的性质：
三垂线定理（及逆定理）：
线面垂直：
面面垂直：
60\. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱*l*，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
（2）如图，正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中对角线BD~1~＝8，BD~1~与侧面B~1~BCC~1~所成的为30°。
①求BD~1~和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD~1~和AD所成的角；
③求二面角C~1~---BD~1~---B~1~的大小。
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线......）
61\. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）点B到面ACB~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）直线A~1~D~1~到面AB~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）面AB~1~C与面A~1~DC~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（5）点B到直线A~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
62\. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱------底面为正多边形的直棱柱
正棱锥------底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
它们各包含哪些元素？
63\. 球有哪些性质？
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
积为（ ）
答案：A
64\. 熟记下列公式了吗？
（2）直线方程：
65\. 如何判断两直线平行、垂直？
66\. 怎样判断直线*l*与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的"垂径定理"。
67\. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
68\. 分清圆锥曲线的定义
70\. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
71\. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72\. 有关中点弦问题可考虑用"代点法"。
答案：
73\. 如何求解"对称"问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A\'（x\'，y\'）为A关于点M的对称点。
75\. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
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**2012年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一．选择题**
1．（5分）已知集合A={x\|x是平行四边形}，B={x\|x是矩形}，C={x\|x是正方形}，D={x\|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
2．（5分）函数的反函数是（ ）
A．y=x^2^﹣1（x≥0） B．y=x^2^﹣1（x≥1）
C．y=x^2^+1（x≥0） D．y=x^2^+1（x≥1）
3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，S~n~=2a~n+1~，则当n＞1时，S~n~=（ ）
A．（）^n﹣1^ B．2^n﹣1^ C．（）^n﹣1^ D．（﹣1）
7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
**二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）**
13．（5分）的展开式中x^2^的系数为[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F分别为BB~1~，CC~1~的中点，那么异面直线AE与D~1~F所成角的余弦值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！**
17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b^2^=3ac，求A．
18．（12分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，前n项和
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x~1~，x~2~，若过两点（x~1~，f（x~1~）），（x~2~，f（x~2~））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
**2012年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题**
1．（5分）已知集合A={x\|x是平行四边形}，B={x\|x是矩形}，C={x\|x是正方形}，D={x\|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可．
【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，
正方形是矩形，所以C⊆B．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题．
2．（5分）函数的反函数是（ ）
A．y=x^2^﹣1（x≥0） B．y=x^2^﹣1（x≥1） C．y=x^2^+1（x≥0） D．y=x^2^+1（x≥1）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用反函数的求法求解即可．
【解答】解：因为函数，解得x=y^2^﹣1，
所以函数的反函数是y=x^2^﹣1（x≥0）．
故选：A．
【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查计算能力．
3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式，然后求出ϕ的值．
【解答】解：因为函数是偶函数，
所以，k∈z，所以k=0时，ϕ=∈\[0，2π\]．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能力．
4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为α为第二象限角，，
所以cosα=﹣=﹣．
所以sin2α=2sinαcosα==．
故选：A．
【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．
5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．
【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且
∴c=2，a^2^=8
∴b^2^=a^2^﹣c^2^=4
∴椭圆的方程为
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．
6．（5分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，S~n~=2a~n+1~，则当n＞1时，S~n~=（ ）
A．（）^n﹣1^ B．2^n﹣1^ C．（）^n﹣1^ D．（﹣1）
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵S~n~=2a~n+1~，得S~n~=2（S~n+1~﹣S~n~），即3S~n~=2S~n+1~，
由a~1~=1，所以S~n~≠0．则=．
∴数列{S~n~}为以1为首项，公比为的等比数列
∴S~n~=．
故选：A．
【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．
【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．
8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C~1~A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC~1~A中，易证OE∥C~1~A，从而C~1~A∥平面BDE，
∴直线AC~1~与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
在三棱锥E﹣ABD中，V~E﹣ABD~=S~△ABD~×EC=××2×2×=
在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S~△EBD~=×2×=2
∴V~A﹣BDE~=×S~△EBD~×h=×2×h=
∴h=1
故选：D．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题
9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】9Y：平面向量的综合题．菁优网版权所有
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC^2^=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求
【解答】解：∵•=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵\|\|=1，\|\|=2
∴AB=
由射影定理可得，AC^2^=AD•AB
∴
∴
∴==
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．
10．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据双曲线的定义，结合\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，利用余弦定理，即可求cos∠F~1~PF~2~的值．
【解答】解：将双曲线方程x^2^﹣y^2^=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，
设\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|=2m，则根据双曲线的定义，\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=2a可得m=2，
∴\|PF~1~\|=4，\|PF~2~\|=2，
∵\|F~1~F~2~\|=2c=4，
∴cos∠F~1~PF~2~====．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
11．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log~5~2＜，1＞z=＞，即可得到答案．
【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，
0＜log~5~2＜log~5~=，即y∈（0，）；
1=e^0^＞=＞=，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．
【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA，且DG=，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=，第六次回到E点，AE=．
故需要碰撞6次即可．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题
**二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）**
13．（5分）的展开式中x^2^的系数为[ 7 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x^2^的系数即可．
【解答】解：因为的展开式的通项公式为：=，
当8﹣2r=2，即r=3时，的展开式中x^2^的系数为：=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，考查计算能力．
14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为[ ﹣1 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小
结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小
由可得C（0，1），此时z=﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题
15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．
∵0≤x＜2π，
∴﹣≤x﹣＜，
∴y~max~=2，此时x﹣=，
∴x=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F分别为BB~1~，CC~1~的中点，那么异面直线AE与D~1~F所成角的余弦值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】L2：棱柱的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，则，=（0，2，﹣1），由此利用向量法能够求出异面直线AE与D~1~F所成角的余弦值．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），E（2，2，1）D~1~（0，0，2），F（0，2，1）
∴，=（0，2，﹣1），
设异面直线AE与D~1~F所成角为θ，
则cosθ=\|cos＜，＞\|=\|\|=．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
**三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！**
17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b^2^=3ac，求A．
【考点】8N：数列与三角函数的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；2A：探究型．
【分析】由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理将条件2b^2^=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A
【解答】解：由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=
由2b^2^=3ac得2sin^2^B=3sinAsinC=，
所以sinAsinC=
所以cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣
即cosAcosC﹣=﹣，可得cosAcosC=0
所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角
所以A是直角，或A=
【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性
18．（12分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，前n项和
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）直接利用已知，求出a~2~，a~3~；
（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．
【解答】解：（1）数列{a~n~}中，a~1~=1，前n项和，
可知，得3（a~1~+a~2~）=4a~2~，
解得a~2~=3a~1~=3，由，
得3（a~1~+a~2~+a~3~）=5a~3~，
解得a~3~==6．
（2）由题意知a~1~=1，
当n＞1时，有a~n~=s~n~﹣s~n﹣1~=，
整理得，
于是a~1~=1，
a~2~=a~1~，
a~3~=a~2~，
...，
a~n﹣1~=a~n﹣2~，
，
将以上n个式子两端分别相乘，
整理得：．
综上{a~n~}的通项公式为
【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，
设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）
∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）
∴•=﹣=0，•=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
取=（b，，0）
设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则
取=（1，﹣，）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=
∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）
∴cos＜，＞==
设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈\[0，\]，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°
【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题
20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）记A~i~表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，B~i~表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．B=，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率．
（Ⅱ），P（B~1~）=2×0.4×0.6=0.48，，，由C=A~1~•B~2~+A~2~•B~1~+A~2~•B~2~，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记A~i~表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
B~i~表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
A表示事件：第3次发球，甲得1分，
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．
∴B=，
P（A）=0.4，P（A~0~）=0.4^2^=0.16，
P（A~1~）=2×0.6×0.4=0.48，
P（B）=
=P（A~0~•A）+P（）
=
=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）
=0.352．
答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．
（Ⅱ），
P（B~1~）=2×0.4×0.6=0.48，
，
，
∵C=A~1~•B~2~+A~2~•B~1~+A~2~•B~2~，
∴P（C）=P（A~1~•B~2~+A~2~B~1~+A~2~•B~2~）
=P（A~1~•B~2~）+P（A~2~•B~1~）+P（A~2~•B~2~）
=P（A~1~）P（B）+P（A~2~）P（B~1~）+P（A~2~）P（B~2~）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072．
答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．
【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n次独立重复试验的性质和公式的灵活运用．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x~1~，x~2~，若过两点（x~1~，f（x~1~）），（x~2~，f（x~2~））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；3：解题思想；32：分类讨论．
【分析】（1）先对函数进行求导，通过a的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．
（2）根据导函数的根，判断a的范围，进而解出直线l的方程，利用l与x轴的交点为（x~0~，0），可解出a的值．
【解答】解：（1）f′（x）=x^2^+2x+a=（x+1）^2^+a﹣1．
①当a≥1时，f′（x）≥0，
且仅当a=1，x=﹣1时，f′（x）=0，
所以f（x）是R上的增函数；
②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，
x~1~=﹣1﹣，x~2~=﹣1+，
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
当x∈时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
（2）由题意x~1~，x~2~，是方程f′（x）=0的两个根，
故有a＜1，，，
因此=
=
==，
同理．
因此直线l的方程为：y=．
设l与x轴的交点为（x~0~，0）得x~0~=，
=，
由题设知，点（x~0~，0）在曲线y=f（x）上，故f（x~0~）=0，
解得a=0，或a=或a=
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力．
22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）设A（x~0~，（x~0~+1）^2^），根据y=（x+1）^2^，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；
（Ⅱ）设（t，（t+1）^2^）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）^2^=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t^2^+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x~0~，（x~0~+1）^2^），
∵y=（x+1）^2^，y′=2（x+1）
∴l的斜率为k=2（x~0~+1）
当x~0~=1时，不合题意，所以x~0~≠1
圆心M（1，），MA的斜率．
∵l⊥MA，∴2（x~0~+1）×=﹣1
∴x~0~=0，∴A（0，1），
∴r=\|MA\|=；
（Ⅱ）设（t，（t+1）^2^）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）^2^=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t^2^+1
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为
∴
∴t^2^（t^2^﹣4t﹣6）=0
∴t~0~=0，或t~1~=2+，t~2~=2﹣
抛物线C在点（t~i~，（t~i~+1）^2^）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y=2x+1①，y=2（t~1~+1）x﹣②，y=2（t~2~+1）x﹣③
②﹣③：x=
代入②可得：y=﹣1
∴D（2，﹣1），
∴D到l的距离为
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．
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**绝密★启用前**
**2019年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试（北京卷）**
本试卷共16页，共300分，考试时长150分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 140分）
本部分共35小题，每小题4分，共140分。在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
某中学制作主题为"点亮中国"的宫灯。图1为学生手绘的设计图。读图，回答第1、2题。
1．甲面中绘有多座大桥，可以推断所示区域
A．建桥成本低 B．水运条件缺乏
C．交通需求量大 D．人口迁移频繁
2．乙面的中国地图上1厘米代表实地距离约为
A．50千米 B．200千米
C．500千米 D．2 000千米
平顶山市地处豫西山地向黄淮海平原的过渡地带。图2为该市各观测点年平均降水量图。读图，回答第3题。
3．导致该市年平均降水量空间差异的主要因素是
A．太阳辐射 B．海陆位置 C．植被覆盖率 D．地形条件
读图3，回答第4、5题。
4．图示区域内
A．河流径流量季节变化大 B．湖泊水主要来自于运河
C．农田盐渍化现象较普遍 D．植被以落叶阔叶林为主
5．长江三角洲区域一体化发展可以促进该区域
①乡镇数量明显增多 ②城市服务功能增强 ③第三产业结构趋同 ④工业地域联系紧密
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
图4是中国某机场空调耗能变化示意图。读图，回答第6题。
6．该机场最可能位于
> A．黑 B．青 C．港 D．黔
图5为某日08时亚洲局部海平面气压分布图。读图，回答第7题。
7．图示区域
> A．①地的风向为东南 B．②地有大雾出现
>
> C．③地未来有强降水 D．④地寒暖流交汇
图6示意某地商业和农业地租水平。读图，回答第8题。
8．该图体现
> A．两种用地类型呈交错分布 B．两种地租变化率的差异小
>
> C．商业用地向郊区持续扩展 D．农业用地受到政策的保护
2019年1月31日《人民日报》以"4000公里，南菜北运"为标题，讲述了一名司机驾车从广西运输蔬菜水果至新疆的经历。本次运输于1月27日从广西出发，途经贵州、重庆、四川、陕西、甘肃，1月30日晚到达新疆。据此，回答第9、10题。
9．本次运输过程中，该车辆
> A．由季风区进入非季风区 B．先后经过内流区和外流区
>
> C．穿越秦岭和柴达木盆地 D．正午影子的长度保持不变
10．南菜北运对输出地的主要影响有
> ①增加农民收入 ②加大保鲜技术投入
>
> ③降低商业网点等级 ④改变城市内部路网结构
>
> A．①② B．①③ C．②④ D．③④
莫霍面深度不一，图7为长江中下游某区域莫霍面的等深线分布图。读图，回答第11题。
11．据图可推断
> A．①地地壳厚度最薄 B．②地金属矿产丰富
>
> C．③地地幔深度最浅 D．④地地下水埋藏深
12．在中国新疆乌鲁木齐南山矿区以及俄罗斯阿尔泰山北麓等地，出土了公元前7\~前5世纪楚国生产的凤鸟纹刺绣丝绸。据此可以判断
> A．东周时期丝织品做工精良，远播西域地区
>
> B．楚国是中西交通起点，楚文化有明显西域特征
>
> C．汉代丝路开通之前，中原与西域没有交往
>
> D．东周时期楚国与西域交流广泛，生活方式趋同
13．《诗》《书》等原是孔子编订的私学教材，至汉代，位列官方史书《汉书》的《艺文志》第一大部类"六艺略"。导致这一变化的主要原因是
> A．诸子"百家争鸣"
>
> B．始皇帝焚书坑儒
>
> C．汉武帝独尊儒术
>
> D．司马迁撰《史记》
14．据《梦溪笔谈》记载，张咏任崇阳知县时，因"民不务耕织"而唯以植茶获利，遂下令将茶树全部砍掉，改种桑麻。有人入市买菜，他怒斥："汝村民皆有土田，何不自种而费钱买菜？"这反映出，宋代
> A．官府垄断茶利，商业环境恶劣
>
> B．农副产品较少，货币使用率低
>
> C．地方官员固守重农抑商的思想
>
> D．商人社会地位较以往愈加低下
15．明万历十五年，顾宪成等人奏疏忤旨，神宗要求内阁拟票重罚。内阁首辅申时行等只拟罚俸，神宗震怒，令"还改票来！"申时行只得遵旨。这说明，明代内阁大学士
> A．仅作为侍从顾问，不参决政事
>
> B．万历年间开始参与军国大事决策
>
> C．按照皇帝的传谕来票拟和批红
>
> D．掌握票拟权力，但仍需服从君权
16．为下表选取表名，最恰当的是
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名称 相关信息
开滦唐山煤矿 1878年建，中国近代煤炭工业
北洋水师大沽船坞 1880年建，北方最早的船舶修造厂
北洋银元局 1902年建，位于天津，造币中心
京师自来水公司 1908年建，北京第一座官营自来水厂
------------------ ----------------------------------
> A．京津冀地区晚清民族企业简表
>
> B．北京近代民族企业简表
>
> C．洋务运动时期北方企业简表
>
> D．近代民族资本主义企业简表
17．1938年初，中国共产党创建了晋察冀抗日根据地。下列表述正确的是，它
A．是八路军正面战场的战区之一
B．壮大了新四军的力量
C．是抗战时期中共中央所在地
D．是敌后战场的组成部分
18．毛泽东在中共七届二中全会上指出："我党同党外民主人士长期合作的政策，必须在全党思想上和工作上确定下来。我们必须把党外大多数民主人士看成和自己的干部一样，同他们诚恳地坦白地商量和解决那些必须商量和解决的问题。"能体现这一思想的是
①《共同纲领》 ②人民代表大会制度 ③政治协商制度 ④民主集中制
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
19．1972年，中国致函联合国非殖民化特别委员会，指出"香港、澳门是被英国和葡萄牙当局占领的中国领土的一部分，解决香港、澳门问题完全是属于中国主权范围内的问题，根本不属于通常所谓'殖民地'范畴"。联合国采纳了中国的立场。中国政府这一举措
A．奠定了独立自主外交政策的基石 B．掌握了解决港澳问题的主动权
C．是"一国两制"的具体体现 D．标志着香港和澳门回归祖国
20．古代希腊禁止妇女参加奥林匹克运动会，但有为妇女专设的运动会，城邦也很重视女子体育教育。这说明，古希腊
A．奥运会缺乏公平竞争的体育精神 B．妇女与男子拥有同样的政治权利
C．奥运会导致城邦内部的阶级分裂 D．妇女有权参与城邦社会文化生活
21．图8取材于某中学生创作的关于俄国农奴制改革的漫画。结合所学判断，农奴获得自由
A．即获得了土地、权力和财富
B．指的是摆脱了人身依附关系
C．是通过自下而上方式实现的
D．受到当时社会各阶层的反对
图8 "如此自由"
22．1924年，英国保守党和自由党对工党政府提出了谴责动议，工党政府将它视为不信任案。按照英国政治体制，政府接下来可以
A．否决谴责动议，继续执政
B．要求解散议会，重新大选
C．将谴责动议提交国王裁决
D．向最高法院提起违宪诉讼
23．日本自1963年起成为世界上最大的钢铁出口国。同年，美国指责日本对美进行钢铁倾销，日本遂减少对美出口。1968年美国迫使日本签署协定，日本再次大幅减少对美钢铁出口。这说明
A．"一超多强"的世界格局已形成
B．世界经济一体化的进程加速
C．日本难以摆脱美国的经济控制
D．美国开始建立世界经济霸权
24．"刀把楼、北京结、天梯、鹰飞倒仰......"箭扣长城因其形如"满弓扣箭"得名，城楼和山崖融合在一起，残垣断壁，雄浑苍凉，别有一种深沉之美，是明代长城最险段之一。箭扣长城的修缮不求结构完整，而是保持其残缺状态，开发方式也将区别于其他传统景区。下列选项正确的是
图9
①箭扣长城作为长城文化载体，蕴含着丰富的历史文化信息
②"箭扣之美"具有独特性，修缮和开发方案应量身打造
③文化具有继承性，"箭扣之美"来自时间，越古老的文化越有价值
④文化需要发展，只有旅游开发才能让长城文化"活"起来
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
25．一碗妈妈做的炸酱面，是挥之不去的儿时记忆；一碗豆花，融溢着对外婆的深深思念；一碗羊肉泡馍，沉淀着浓浓的乡愁......食物温暖了胃，也温暖了心；味蕾会恋上食物，心会记起那个人。这说明
A．食物所承载的文化是不断发展的
B．情感与思念是饮食文化发展的源泉
C．不同地区的饮食文化相互交流，不断融合
D．一方水土养一方人，食物承载着家的温暖和故乡情怀
26．登滕王阁，看"落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色"；游西湖，感受"水光潋滟晴方好，山色空蒙雨亦奇"。纵情山水之间，品味诗词之美，"跟着诗词去旅行"成为人们出游新选择。对此认识正确的是
A．游历大好河山，感受诗词魅力，有助于深化文化体验
B．以文塑旅，以旅彰文，传承诗词文化重在发掘其经济价值
C．文化旅游的发展取决于人们的文化修养
D．文化与旅游相结合是文化创新的根本途径
27．清扫街巷、修剪花木等社区劳动，果蔬种植、木工制作、机床操作等学农学工实践，"医生""博物馆讲解员"等职业体验......丰富多彩的劳动教育课程，让同学们在不一样的学习中收获成长。开展劳动教育，旨在引导学生
①了解社会，提高实践能力，实现全面发展
②提高劳动技能，促进劳动力市场充分竞争
③树立职业平等观，推动社会分工的细化
④树立正确价值观，崇尚劳动，尊重劳动者
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
28．一百多年前，艺术家把自己对未来生活的畅想画在了纸上，展示了人们对邮寄方式的幻想。随着科技进步，当时异想天开的想法，如今成为了生活中的现实。这说明
图10
A．科学幻想是推动科技创新的基础
B．意识具有直接现实性，可以把幻想变为现实
C．意识具有能动性，人们可以在想象中创造出现实世界
D．通过实践，观念的东西可以变成现实的东西
29．二环路边，繁花点点，玉泉山下，绿意盎然......八百余公里城市绿道，串起北京的河道、青山和历史文化遗迹，成为人们散步休闲、健身赏景的好去处，在立交桥、环路、地铁奏响的城市旋律中，谱写了一段舒缓的和弦。城市绿道
①是城市建设中的新事物，实现了新事物与旧事物的相互转化
②使城市生活与山水田园形成有机联系，提升了城市的整体功能
②满足了市民休闲需要，说明事物的价值在于对客体需要的满足
④改善了首都人居环境，体现了城市规划中的人文关怀
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
30．"新举措·新变化·新气象"，某校学生在全国人大相关内容的学习中搜集到以下资料。
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| ◊全国人大常委会在执法检查中引入专业机构作为第三方进行评估，推动人大监督提质增效，增强科学性，使监督更有力度、更具权威性。 |
| |
| ◊全国人大建立预算审查联系代表机制，选取具有财政预算、会计、税收等专业背景，或者有机关、企业、农村等领域工作经历的代表，参加预算编制通报会、预算草案初审会。 |
| |
| ◊全国人大常委会在听取和审议最高人民法院、最高人民检察院专项工作报告之外，首次对"两高"工作开展专题询问。 |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
对这些新举措理解正确的是
①引入第三方评估，使人大立法工作更好地反映民意、集中民智
②建立预算审查联系代表机制，可以增强监督的针对性、实效性
③人大行使质询权开展专题询问，有利于加大人大监督工作力度
④人大创新工作机制，不断提高监督的能力和水平
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
31．"司法局喊你来当人民陪审员了！"2018年底，不少北京市民收到了一条短信，告知已被随机抽选为人民陪审员的候选人。这是《中华人民共和国人民陪审员法》颁布实施后，第一次尝试从常住人口中随机抽选候选人，以确保群众参与的广泛性。下列选项正确的是
①从市民中抽选人民陪审员，满足了公众行使国家权力的诉求
②公民依法参加审判活动，有利于促进司法公正，提升司法公信
③让普通市民参加审判活动，目的在于提高法院的审判工作效率
④这一举措可以促进公众直接接触、了解法律，推动法治社会建设
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
32．
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| 北京轨道交通11号线西段（冬奥支线）工程环境影响评价第一次公示 |
| |
| 时间：2019-03-20 |
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| 根据《中华人民共和国环境保护法》《中华人民共和国环境影响评价法》《环境影响评价公众参与办法》（生态环境部令第4号）《关于发布\<环境影响评价公众参与办法\>配套文件的公告》（生态环境部公告2018年第48号）等相关规定，现对北京轨道交通11号线西段（冬奥支线）工程环境影响评价公众参与相关信息进行第一次公示，具体如下： |
| |
| ...... |
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关于环境影响评价公示，下列观点合理的是
①对重大项目进行环境影响评价是贯彻绿色发展理念的体现
②让公众参与环境影响评价是政府简政放权的新举措
③依法公示维护了公民的知情权、参与权、表达权、监督权
④这一做法顺应社会发展的要求，扩大了基层民主的范围
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
33．2022年北京将举办冬奥会，这给冰雪产业带来了新的发展机会。冰雪产业主要包括冰雪装备、冰雪旅游、冰雪赛事、冰雪运动培训、冰雪营销五大板块。下列选项正确的是
A．对冰雪装备企业减税降费，会提高冰雪装备产品的价值
B．冰雪营销产业的发展会增加冰雪旅游消费的需求弹性
C．冰雪赛事发展会增加冰雪运动培训产业的就业机会
D．冰雪产业链的延伸使五大冰雪产业的替代性增加
34．中国是世界上最大规模使用工业机器人的国家。图12为关于"企业使用机器人的影响因素"的调查结果。
图12
下列说法正确的是
①（1）表明劳动力成本的降低会促进机器人的使用
②（2）表明工人流动性越低的企业越倾向于使用机器人
③（3）表明产品市场的需求会影响生产要素的投入
④（4）和（5）表明机器人暂时无法全面替代劳动力
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
35．货币是国家的"名片"，如今在一些国家的货币上，出现了由中国企业承建的地标建筑和大型工程的图案。
几内亚法郎：凯乐塔水利枢纽 塔吉克斯坦索莫尼：塔吉克斯坦国家图书馆
图13
这一现象适用于说明
A．区域经济一体化深入发展 B．中国企业走出去，助力当地发展
C．中国外交政策的基本立场 D．中国放宽市场准入，扩大对外开放
第二部分（非选择题 共160分）
36．（36分）中国与东南亚山水相连，人文相通，跨境合作不断深化。读图14，回答下列问题。
> （1）说明图示区域地震多发的原因和主要危害。（8分）
跨境经济合作区在促进相邻国家经济发展中具有重要作用。
（2）阐述建立跨境经济合作区对当地减少贫困的积极作用。（8分）
老挝是一个传统的农业国家，工业薄弱。近年来，该国优质玉米、香蕉、咖啡豆等农产品出口量增加。
（3）分析老挝发展多种优质农产品的有利条件。（10分）
琅勃拉邦自然风光优美、地域文化独特，游客多选择在1月至2月期间前往旅游。
（4）简述游客选择该时段出行的理由。（10分）
37．（38分）历史·记忆
历史记忆与祖先认同
材料一 北魏拓跋珪即位后，采纳汉臣崔宏建议，自谓黄帝之后。据《魏书》记载，拓跋氏追溯的初祖是受封北土的黄帝嫡孙。拓跋珪及继任的三位皇帝亲往或遣使至涿鹿黄帝庙祭祀。
至孝文帝，又下诏："魏之先出于黄帝，以土德王，故为拓跋氏。夫土者，黄中之色，万物之元也；宜改姓元氏。"面对关于迁都的质疑，他说："黄帝以天下未定，居于涿鹿，既定之后，亦迁于河南。"孝文帝主持定姓族时，汉臣薛宗起建议不应以祖先曾经的居住地为确定门第等级的主要标准，他说："陛下黄帝之胤，受封北土，岂可亦谓之胡邪！"
（1）概述北魏统治者追溯祖先的目的、过程与效果。（10分）
历史记忆与时代使命
材料二 黄宗羲生活于明末清初，两百年后其政治思想备受推崇。梁启超与谭嗣同等曾将《明夷待访录》"节钞"送人。革命党人陈天华认为，《明夷待访录》"虽不及《民约论》（又译《社会契约论》）之完备，民约之理，却已包括在内"。该书中的《原君》《原臣》也曾被用作兴中会的宣传品。
民国时期，梁启超反思说："畴昔谈立宪、谈共和者，偶见经典中某字某句与立宪、共和等字义略相近，辄摭拾以沾沾自喜，谓此制为我所固有。其实今世共和、立宪制度之为物，即泰西亦不过起于近百年......比附之言，传播既广......以为所谓立宪、共和者不过如是，而不复追求其真义之所存。"
（2）评析清末民初关于黄宗羲的"记忆复兴"这一现象。（12分）
历史记忆与历史书写
材料三 法国高中历史教科书（法德通用版）有关"法国大革命"的部分思考题
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**序号** **思考题**
1 阅读阿瑟·杨（当时旅法的英国人）的游记节选，作者认为1787年君主制危机主要表现有哪些？
2 持续数百年之久的旧制度为什么在几个月之内就崩溃了？
3 旧制度下，贵族和教士都有哪些特权？
4 阅读西哀士的《什么是第三等级》节选，为什么西哀士认为贵族成了"让人难以忍受的阶层"，而只有第三等级才能代表整个民族？
5 大卫通过他的画《网球厅宣誓》想传达怎样的政治信息？
6 为什么攻占巴士底狱被视为旧制度崩溃的象征？
7 阅读《人权宣言》和《独立宣言》，列表比较二者的异同。
8 组织关于《人权宣言》和《独立宣言》现实性的讨论。
9 阅读课本中的示意图，1791年的立宪君主制与现代民主制有什么异同？
10 欧洲人是如何理解和接纳法国大革命的？
11 你认为纪念法国大革命还有意义吗？
12 为什么法国大革命没有像英国那样产生一个持久的立宪君主制？
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（3）①上表中思考题具有哪些特点？并简要说明。（8分）
> ②为"美国独立战争---华盛顿---联邦政府的建立"这一单元的学习，设计一组思考题。（8分）
>
> （要求：设计3\~6个思考题；多角度、多层次涵盖该单元的主要内容；揭示该单元三部分之间的内在联系；体现创新性和思考深度。）
38．（31分）壮丽70年，奋斗新时代。
材料一 制定规划，谋定而动。70年来，中国共产党团结带领全国人民，将民主和集中相结合，合理规划，统筹安排，从建国初期的"一五计划"到正在贯彻实施的"十三五规划"，从"三步走"战略到"两个一百年"奋斗目标，分阶段、有步骤地推进社会主义现代化建设事业。
商以求同，协以成事。"有事好商量，众人的事情由众人商量"，70年来，我国不断推进政党协商、人大协商、政府协商、政协协商、人民团体协商、基层协商以及社会组织协商，"民主恳谈会""参与式预算"等形式不断涌现，常态化、多层次、各方面有序参与的格局正进一步形成。
集中力量，办成大事。70年来，我们党带领人民办成了一系列关系国计民生的大事。从"两弹一星"、神舟飞船等重大项目，到三峡工程、青藏铁路、港珠澳大桥等重大基础设施工程；从成功举办北京奥运会、上海世博会等重大国际活动，到打好脱贫攻坚战、推进供给侧结构性改革、着力建设现代化经济体系......
（1）结合材料一，运用《政治生活》相关知识，说明我国是如何发挥政治优势凝聚中国力量的。（12分）
材料二
改革开放以来，城镇化发展逐渐赶上了工业化进程（如图15和图16所示），这是中国经济发生的一项历史性变化。
（2）从图17和图18中**任选一幅**，借助所选的图，运用经济知识，说明上述历史性变化是如何发生的。（8分）
材料三 "歌以咏志"，歌声承载着历史，歌声礼赞着时代，歌声放飞着梦想......
70年长歌未央。《我为祖国献石油》唱出了石油工人投身祖国建设的豪迈，《在希望的田野上》反映了改革初期农民心底的喜悦，《幸福在哪里》激发了人们对未来的无限憧憬，《春天的故事》唱响了神州大地荡起的滚滚春潮，《不忘初心》情深意长、催人奋进......在共和国成立70周年之际，"我和我的祖国，一刻也不能分割"更是响彻了大江南北。
（3）结合材料三，综合运用哲学与文化相关知识，谈谈你对"歌以咏志"的理解。（11分）
39．（11分）我国发明专利申请量连续8年位居世界第一，已经成为国际公认的知识产权大国。
我国对发明专利进行保护并设置了保护期限。有同学提出疑问：技术不像苹果，一个苹果我吃完了你就不能享用了，技术却不一样，一个人使用一项技术的同时并不会妨碍他人使用，技术共享看起来对大家都有利。那么，为什么要对专利进行保护？而且既然保护，为什么不是永久保护而要设置保护期限？
参考材料包的内容，针对这位同学的疑问，从经济角度谈谈你的认识。
40．（16分）古往今来，社会关怀是一个重大议题。
16世纪上半期，德国许多地区和城市颁布法令，进行济贫改革。萨克森的莱斯尼希市设立济贫公共基金，将关闭的修道院的资产以及信徒捐给教会和修会的财物转入公共基金。公共基金的日常管理由10位民主选举产生的世俗人士负责。他们还接管了城市的济贫事务，统筹管理，对接受救济的对象进行资格审查，避免了教会和修会救济的弊端。
（1）概述16世纪上半期德国济贫改革的内容及主要特点。（6分）
2018年德国65岁及以上人口占总人口数量的20.6%。图20示意德国各州65岁及以上人口密度分布。据图，回答第（2）题。
（2）描述德国老龄人口密度的分布特征，列举人口老龄化对该国可能带来的影响。（10分）
41．（28分）长城脚下，妫水河畔，2019年世界园艺博览会在北京举办。
在北京世界园艺博览会上，辽宁园的设计体现出传统重工业向高新技术产业转型的理念。沈阳、大连拥有普通高等学校70余所和多个国家重点实验室。2016年沈阳高新技术产业开发区和大连高新技术产业开发区升级为沈大国家自主创新示范区。2017年该省高新技术产业总产值的80%以上来自沈阳和大连。
（1）概述沈阳和大连发展高新技术产业的共同有利条件。（10分）
承德避暑山庄是中国古代皇家园林的典范，始建于清康熙年间，分山区、平原区和湖区，集北国山岳、塞外草原、江南水乡风景于一园。宫殿建筑布局多为方形，以围墙和长廊构成封闭式整体。八座庙宇围绕在避暑山庄外，呈放射状布局，如众星捧月。外八庙既有汉式传统宫殿、府邸，又有佛教庙宇，分别呈现出蒙、藏、汉的建筑风格。
（2）分析避暑山庄园林建筑体现的中国传统政治和文化内涵。（8分）
2019年北京世界园艺博览会的主题是"绿色生活，美丽家园"。
山峦层林尽染，平原蓝绿交融，城乡鸟语花香。这样的自然美景，既带给人们美的享受，也是人类走向未来的依托。实现人类文明与地球生态共生共赢，我们应该
------追求人与自然和谐
------追求绿色发展繁荣
------追求热爱自然情怀
------追求科学治理精神
------追求携手合作应对
（3）建设美丽家园是人类的共同梦想。在上述五个"追求"中**任选一个**，从哲学角度谈谈如何建设"美丽家园"。（10分）
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科综合能力测试（北京卷）参考答案
第一部分共35小题，每小题4分，共140分。
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．B 12．A 13．C 14．C 15．D 16．A 17．D 18．C 19．B 20．D 21．B 22．B 23．C 24.A 25.D 26.A 27.B 28.D
29.C 30.C 31.D 32.A 33.C 34.D 35.B
第二部分共6小题，共160分。
36．（36分）
> （1）原因：地处板块交界地带，地壳运动活跃。
>
> 危害：人员伤亡，财产损失，森林和水等自然资源与环境被破坏。
>
> （2）发展边境贸易，创造就业机会，增加收入，培养人才，改善基础设施，促进相关产业发展等。
>
> （3）热量充足，降水丰沛，山地垂直分异明显，环境污染小，农耕历史悠久。
>
> （4）处于旱季，降水相对少，气温相对低，湿度适宜，灾害相对少，出行安全。
37．（38分）参考答案要点：
> （1）目的：认同中原文化；巩固自己的政治统治。
>
> 过程：拓跋珪自称黄帝是其祖先；此后多个皇帝通过祭祀承认和延续这一祖先认同；孝文帝采取了一系列措施（改汉姓、迁都洛阳、定姓族等）加以强化。
>
> 效果：北魏统治者获得汉臣认可，通过祖先认同实现文化认同；客观上促进了民族融合；为结束长期分裂局面创造了有利条件。
>
> （2）答案示例：
>
> 黄宗羲政治思想的核心是反对封建专制，提倡民主（民本）。
>
> 晚清时期，维新、革命志士主张开启民智，反对君主专制，宣传民主思想。他们一方面引入西方资产阶级政治学说，另一方面又积极发掘中国传统思想中的近代因素，作为自己政治主张的理论依据。黄宗羲的思想符合维新派和革命派的需要，因此受到重视。他们将《明夷待访录》与卢梭《民约论》相比附，宣传"人民主权"思想，反对君主专制，从而赋予黄宗羲的思想以近代意义，社会上出现了对黄宗羲"记忆复兴"的现象。
>
> 进入民国后，封建王朝已被推翻，共和政体建立，民主共和观念逐渐深入人心，时代的要求以及国人关注热点已发生变化，对黄宗羲政治思想的关注逐渐淡化。
>
> 总之，清末民初对黄宗羲的"记忆复兴"是对时代需求的回应。
>
> （3）（略）
38.（31分）
> （1）坚持党的全面领导，总揽全局、协调各方，调动一切积极因素，集中力量办大事。
>
> 坚持以人民为中心，尊重人民主体地位，实现最广大人民的根本利益。坚持民主集中制，坚持中央集中统一领导，充分发扬民主，凝聚人民力量。发展社会主义协商民主，丰富民主形式，拓宽民主渠道，凝聚共识。
>
> （2）选择图17：图17表明，恩格尔系数不断下降，食品支出占家庭消费总支出的比例下降，消费结构发生变化，消费不断升级。消费影响生产，食品主要来自农业，因此，工业化进程伴随着农业占比的下降和服务业占比的上升，农村富余劳动力逐渐转移，成为城镇发展的经济要素，城镇化发展赶上了工业化进程。
>
> 选择图18：图18表明，农业劳动生产率提高，农业生产需要的劳动力数量相对减少，农村富余劳动力逐渐转移到工业和服务业集中的城镇，因此，工业化进程伴随着农业占比的下降和服务业占比的上升，城镇化发展赶上了工业化进程。
>
> （3）可以从社会存在与社会意识、文化的作用等角度回答。
39.（11分）
> 专利保护制度可以保护知识产权，使得专利所有者可以通过专利授权获得收益，激励创新，增加侵权成本，抑制假冒商品生产，维护市场秩序，创造良好营商环境。设置保护期限，可以避免技术的过度垄断，鼓励适度竞争，在专利的社会效益和发明者的创新激励之间达到平衡。
40．（16分）
> （1）参考答案要点：
>
> 内容：设立济贫公共基金；世俗人士负责救济事务；实施资格审查。
>
> 特点：济贫由教会主导转向世俗主导。
>
> （2）特征：分布不均，西部密度大，东部密度小，东北部差异显著。
>
> 影响：劳动力数量减少，养老压力加大等。
41．（28分）
> （1）政策支持，普通高等学校数量多，研发能力强，高新技术产业集聚，交通便利。
>
> （2）空间布局体现了皇权神圣、等级森严以及大一统的政治理念。
>
> 建筑形式体现出统一多民族国家的特点，以及团结少数民族、巩固国家统一的意愿。
>
> 多样建筑风格彰显了中国不同地域、不同民族和不同文化的艺术特色。
>
> 皇家园林既具有皇家气派，又彰显了和而不同、多元融合的传统文化理念。
（3）可以从规律、联系、矛盾、价值观等角度回答。
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**一、选择题**
1\. 化学与人体健康及环境保护息息相关。下列叙述正确的是
A. 食品加工时不可添加任何防腐剂
B. 掩埋废旧电池不会造成环境污染
C. 天然气不完全燃烧会产生有毒气体
D. 使用含磷洗涤剂不会造成水体污染
【答案】C
【解析】
分析】
【详解】A．食品加工时，可适当添加食品添加剂和防腐剂等，如苯甲酸钠，故A错误；
B．废旧电池中含有重金属等金属离子，会造成土壤污染，水体污染等，故B错误；
C．天然气主要成分为甲烷，不完全燃烧会产生一氧化碳等有毒气体，故C正确；
D．含磷洗涤剂的排放，使水中磷过多，造成水中藻类疯长，消耗水中溶解的氧，水体变浑浊，故D错误；
故选C。
2\. 为阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是
A. 重水()中含有的质子数为
B. 的与完全反应时转移的电子数为
C. 环状()分子中含有的键数为
D. 的溶液中离子数为
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．的质子数为10，18g的物质的量为 0.9mol， 则重水()中所含质子数为，A错误；
B．与反应的化学方程式为：3NO~2~+H~2~O=2HNO~3~+NO，该反应消耗3个NO~2~分子转移的电子数为2个，则有3mol的NO~2~参与反应时，转移的电子数为，B错误；
C．一个()分子中含有的键数为8个，32gS~8~的物质的量为mol，则含有的键数为，C正确；
D．酸性溶液中存在：，含Cr元素微粒有和，则的溶液中离子数应小于，D错误；
故选C。
3\. 实验室制备下列气体的方法可行的是
--- ---------- ------------------------------
气体 方法
A 氨气 加热氯化铵固体
B 二氧化氮 将铝片加到冷浓硝酸中
C 硫化氢 向硫化钠固体滴加浓硫酸
D 氧气 加热氯酸钾和二氧化锰的混合物
--- ---------- ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．氯化铵不稳定，加热易分解生成氨气和氯化氢，但两者遇冷又会化合生成氯化铵固体，所以不能用于制备氨气，A不可行；
B．将铝片加到冷浓硝酸中会发生钝化现象，不能用于制备二氧化氮，B不可行；
C．硫化氢为还原性气体，浓硫酸具有强氧化性，不能用浓硫酸与硫化钠固体反应制备该硫化氢气体，因为该气体会与浓硫酸发生氧化还原反应，C不可行；
D．实验室加热氯酸钾和二氧化锰的混合物，生成氯化钾和氧气，二氧化锰作催化剂，可用此方法制备氧气，D可行；
故选D。
4\. 下列叙述正确的是
A. 甲醇既可发生取代反应也可发生加成反应
B. 用饱和碳酸氢纳溶液可以鉴别乙酸和乙醇
C. 烷烃的沸点高低仅取决于碳原子数的多少
D. 戊二烯与环戊烷互为同分异构体
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．甲醇为一元饱和醇，不能发生加成反应，A错误；
B．乙酸可与饱和碳酸氢钠反应，产生气泡，乙醇不能发生反应，与饱和碳酸钠互溶，两者现象不同，可用饱和碳酸氢纳溶液可以鉴别两者，B正确；
C．含相同碳原子数的烷烃，其支链越多，沸点越低，所以烷烃的沸点高低不仅仅取决于碳原子数的多少，C错误；
D．戊二烯分子结构中含2个不饱和度，其分子式为C~5~H~8~，环戊烷分子结构中含1个不饱和度，其分子式为C~5~H~10~，两者分子式不同，不能互为同分异构体，D错误。
故选B。
5\. W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z的最外层电子数是W和X的最外层电子数之和，也是Y的最外层电子数的2倍。W和X的单质常温下均为气体。下列叙述正确的是
A. 原子半径：
B. W与X只能形成一种化合物
C. Y氧化物为碱性氧化物，不与强碱反应
D. W、X和Z可形成既含有离子键又含有共价键的化合物
【答案】D
【解析】
【分析】W．X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z的最外层电子数是W和X的最外层电子数之和，也是Y的最外层电子数的2倍，则分析知，Z的最外层电子数为偶数，W和X的单质常温下均为气体，则推知W和X为非金属元素，所以可判断W为H元素，X为N元素，Z的最外层电子数为1+5=6，Y的最外层电子数为=3，则Y为Al元素，Z为S元素，据此结合元素及其化合物的结构与性质分析解答。
【详解】根据上述分析可知，WH元素，X为N元素，Y为Al元素，Z为S元素，则
A．电子层数越多的元素原子半径越大，同周期元素原子半径依次减弱，则原子半径：Y(Al)＞Z(S)＞X(N)＞W(H)，A错误；
B．W为H元素，X为N元素，两者可形成NH~3~和N~2~H~4~，B错误；
C．Y为Al元素，其氧化物为两性氧化物，可与强酸、强碱反应，C错误；
D．W、X和Z可形成(NH~4~)~2~S、NH~4~HS，两者既含有离子键又含有共价键，D正确。
故选D。
6\. 已知相同温度下，。某温度下，饱和溶液中、、与的关系如图所示。
下列说法正确的是
A. 曲线①代表的沉淀溶解曲线
B. 该温度下的值为
C. 加适量固体可使溶液由a点变到b点
D. 时两溶液中
【答案】B
【解析】
【分析】BaCO~3~、BaSO~4~均为难溶物，饱和溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＋{－lg\[*c*()\]}＝－lg\[*c*(Ba^2＋^)×*c*()\]＝－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]，同理可知溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＋{－lg\[*c*()\]}＝－lg\[*K*~sp~(BaCO~3~)\]，因*K*~sp~(BaSO~4~)＜ *K*~sp~(BaCO~3~)，则－lg\[*K*~sp~(BaCO~3~)\]＜－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]，由此可知曲线①为－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系，曲线②为－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系。
【详解】A．由题可知，曲线上的点均为饱和溶液中微粒浓度关系，由上述分析可知，曲线①为BaSO~4~的沉淀溶解曲线，选项A错误；
B．曲线①为BaSO~4~溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系，由图可知，当溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＝3时，－lg\[*c*()＝7，则－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]＝7＋3＝10，因此*K*~sp~(BaSO~4~)＝1.0×10^－10^，选项B正确；
C．向饱和BaSO~4~溶液中加入适量BaCl~2~固体后，溶液中*c*(Ba^2＋^)增大，根据温度不变则*K*~sp~(BaSO~4~)不变可知，溶液中*c*()将减小，因此a点将沿曲线①向左上方移动，选项C错误；
D．由图可知，当溶液中*c*(Ba^2＋^)＝10^－5.1^时，两溶液中＝＝，选项D错误；
答案选B。
7\. 乙醛酸是一种重要的化工中间体，可果用如下图所示的电化学装置合成。图中的双极膜中间层中的解离为和，并在直流电场作用下分别问两极迁移。下列说法正确的是
A. 在上述电化学合成过程中只起电解质的作用
B. 阳极上的反应式为：+2H^+^+2e^-^=+H~2~O
C. 制得乙醛酸，理论上外电路中迁移了电子
D. 双极膜中间层中的在外电场作用下向铅电极方向迁移
【答案】D
【解析】
【分析】该装置通电时，乙二酸被还原为乙醛酸，因此铅电极为电解池阴极，石墨电极为电解池阳极，阳极上Br^-^被氧化为Br~2~，Br~2~将乙二醛氧化为乙醛酸，双极膜中间层的H^+^在直流电场作用下移向阴极，OH^-^移向阳极。
【详解】A．KBr在上述电化学合成过程中除作电解质外，同时还是电解过程中阳极的反应物，生成的Br~2~为乙二醛制备乙醛酸的中间产物，故A错误；
B．阳极上为Br^-^失去电子生成Br~2~，Br~2~将乙二醛氧化为乙醛酸，故B错误；
C．电解过程中阴阳极均生成乙醛酸，1mol乙二酸生成1mol乙醛酸转移电子为2mol，1mol乙二醛生成1mol乙醛酸转移电子为2mol，根据转移电子守恒可知每生成1mol乙醛酸转移电子为1mol，因此制得2mol乙醛酸时，理论上外电路中迁移了2mol电子，故C错误；
D．由上述分析可知，双极膜中间层的H^+^在外电场作用下移向阴极，即H^+^移向铅电极，故D正确；
综上所述，说法正确的是D项，故答案为D。
**二、非选择题**
8\. 碘(紫黑色固体，微溶于水)及其化合物广泛用于医药、染料等方面。回答下列问题：
(1)的一种制备方法如下图所示：
①加入粉进行转化反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_，生成的沉淀与硝酸反应，生成\_\_\_\_\_\_\_后可循环使用。
②通入的过程中，若氧化产物只有一种，反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_；若反应物用量比时，氧化产物为\_\_\_\_\_\_\_；当，单质碘的收率会降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)以为原料制备的方法是：先向溶液中加入计量的，生成碘化物；再向混合溶液中加入溶液，反应得到，上述制备的总反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)溶液和溶液混合可生成沉淀和，若生成，消耗的至少为\_\_\_\_\_\_\_。在溶液中可发生反应。实验室中使用过量的与溶液反应后，过滤，滤液经水蒸气蒸馏可制得高纯碘。反应中加入过量的原因是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^ (2). AgNO~3~ (3). FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~ (4). I~2~、FeCl~3~ (5). I~2~被过量的进一步氧化 (6). (7). 4 (8). 防止单质碘析出
【解析】
【分析】
【详解】(1) ①由流程图可知悬浊液中含AgI ，AgI可与Fe反应生成FeI~2~和Ag，FeI~2~易溶于水，在离子方程式中能拆，故加入粉进行转化反应的离子方程式为2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^，生成的银能与硝酸反应生成硝酸银参与循环中，故答案为：2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^；AgNO~3~；
②通入的过程中，因I^-^还原性强于Fe^2+^，先氧化还原性强的I^-^，若氧化产物只有一种，则该氧化产物只能是I~2~，故反应的化学方程式为FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~，若反应物用量比时即过量，先氧化完全部I^-^再氧化Fe^2+^，恰好将全部I^-^和Fe^2+^氧化，故氧化产物为I~2~、FeCl~3~，当即过量特别多，多余的氯气会与生成的单质碘以及水继续发生氧化还原反应，单质碘的收率会降低，故答案为：FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~；I~2~、FeCl~3~；I~2~被过量的进一步氧化；
(2)先向溶液中加入计量的，生成碘化物即含I^-^的物质；再向混合溶液中（含I^-^）加入溶液，反应得到，上述制备的两个反应中I^-^为中间产物，总反应为与发生氧化还原反应，生成和，根据得失电子守恒、电荷守恒\]及元素守恒配平离子方程式即可得：，故答案为：；
\(3\) 溶液和溶液混合可生成沉淀和，化学方程式为4KI+2CuSO~4~=2CuI +I~2~+2K~2~SO~4~，若生成，则消耗的至少为4mol；反应中加入过量，I^-^浓度增大，可逆反应平衡右移，增大溶解度，防止升华，有利于蒸馏时防止单质碘析出，故答案为：4；防止单质碘析出。
9\. 胆矾()易溶于水，难溶于乙醇。某小组用工业废铜焙烧得到的(杂质为氧化铁及泥沙)为原料与稀硫酸反应制备胆矾，并测定其结晶水的含量。回答下列问题：
(1)制备胆矾时，用到的实验仪器除量筒、酒精灯、玻璃棒、漏斗外，还必须使用的仪器有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.烧杯 B.容量瓶 C.蒸发皿 D.移液管
(2)将加入到适量的稀硫酸中，加热，其主要反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_，与直接用废铜和浓硫酸反应相比，该方法的优点是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)待完全反应后停止加热，边搅拌边加入适量，冷却后用调为3.5～4，再煮沸，冷却后过滤。滤液经如下实验操作：加热蒸发、冷却结晶、\_\_\_\_\_\_\_、乙醇洗涤、\_\_\_\_\_\_\_，得到胆矾。其中，控制溶液为3.5～4的目的是\_\_\_\_\_\_\_，煮沸的作用是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)结晶水测定：称量干燥坩埚的质量为，加入胆矾后总质量为，将坩埚加热至胆矾全部变为白色，置于干燥器中冷至室温后称量，重复上述操作，最终总质量恒定为。根据实验数据，胆矾分子中结晶水的个数为\_\_\_\_\_\_\_(写表达式)。
(5)下列操作中，会导致结晶水数目测定值偏高的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
①胆矾未充分干燥 ②坩埚未置于干燥器中冷却 ③加热时有少胆矾迸溅出来
【答案】 (1). A、C (2). CuO+H~2~SO~4~CuSO~4~+H~2~O (3). 不会产生二氧化硫且产生等量胆矾消耗硫酸少（硫酸利用率高） (4). 过滤 (5). 干燥 (6). 除尽铁，抑制硫酸铜水解 (7). 破坏氢氧化铁胶体，易于过滤 (8). (9). ①③
【解析】
【分析】
【详解】(1)制备胆矾时，根据题干信息可知，需进行溶解、过滤、结晶操作，用到的实验仪器除量筒、酒精灯、玻璃棒、漏斗外，还必须使用的仪器有烧杯和蒸发皿，A、C符合题意，故答案为：A、C；
(2)将加入到适量的稀硫酸中，加热，其主要反应的化学方程式为CuO+H~2~SO~4~CuSO~4~+H~2~O；直接用废铜和浓硫酸反应生成硫酸铜与二氧化硫和水，与这种方法相比，将加入到适量的稀硫酸中，加热制备胆矾的实验方案具有的优点是：不会产生二氧化硫且产生等量胆矾消耗硫酸少（硫酸利用率高）；
\(3\) 硫酸铜溶液制硫酸铜晶体，操作步骤有加热蒸发、冷却结晶、过滤、乙醇洗涤、干燥；中含氧化铁杂质，溶于硫酸后会形成铁离子，为使铁元素以氢氧化铁形成沉淀完全，需控制溶液为3.5～4，酸性环境同时还可抑制铜离子发生水解；操作过程中可能会生成氢氧化铁胶体，所以煮沸，目是破坏氢氧化铁胶体，使其沉淀，易于过滤，故答案为：过滤；干燥；除尽铁，抑制硫酸铜水解；破坏氢氧化铁胶体，易于过滤；
\(4\) 称量干燥坩埚的质量为，加入胆矾后总质量为，将坩埚加热至胆矾全部变为白色，置于干燥器中冷至室温后称量，重复上述操作，最终总质量恒定为。则水的质量是(－)g，所以胆矾（CuSO~4~•nH~2~O）中n值的表达式为=n:1，解得n＝；
\(5\) ①胆矾未充分干燥，捯饬所测m~2~偏大，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏高，符合题意；
②坩埚未置于干燥器中冷却，部分白色硫酸铜会与空气中水蒸气结合重新生成胆矾，导致所测m~3~偏大，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏低，不符合题意；
③加热胆矾晶体时有晶体从坩埚中溅出，会使m~3~数值偏小，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏高，符合题意；综上所述，①③符合题意，故答案为：①③。
10\. 二氧化碳催化加氢制甲醇，有利于减少温室气体二氧化碳回答下列问题：
(1)二氧化碳加氢制甲醇的总反应可表示为：
该反应一般认为通过如下步骤来实现：
①
②
总反应的\_\_\_\_\_\_\_；若反应①为慢反应，下列示意图中能体现上述反应能量变化的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_。
A. B. C. D.
(2)合成总反应在起始物时，在不同条件下达到平衡，设体系中甲醇的物质的量分数为，在℃下的、在下的如图所示。
①用各物质的平衡分压表示总反应的平衡常数，表达式\_\_\_\_\_\_\_；
②图中对应等压过程的曲线是\_\_\_\_\_\_\_，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_；
③当时，的平衡转化率\_\_\_\_，反应条件可能为\_\_\_或\_\_\_。
【答案】 (1). -49 (2). A (3). Δ*H*~1~为正值，Δ*H*~2~为和Δ*H*为负值，反应①的活化能大于反应②的 (4). (5). b (6). 总反应Δ*H*\<0，升高温度时平衡向逆反应方向移动，甲醇的物质的量分数变小 (7). 33.3% (8). 5×10^5^Pa，210℃ (9). 9×10^5^Pa，250℃
【解析】
【分析】
【详解】(1)二氧化碳加氢制甲醇的总反应可表示为：，该反应一般认为通过如下步骤来实现：①，②，根据盖斯定律可知，①+②可得二氧化碳加氢制甲醇的总反应为： ；该反应总反应为放热反应，因此生成物总能量低于反应物总能量，反应①为慢反应，因此反应①的活化能高于反应②，同时反应①的反应物总能量低于生成物总能量，反应②的反应物总能量高于生成物总能量，因此示意图中能体现反应能量变化的是A项，故答案为：-49；A；Δ*H*~1~为正值，Δ*H*~2~为和Δ*H*为负值，反应①的活化能大于反应②的。
(2)①二氧化碳加氢制甲醇的总反应为，因此利用各物质的平衡分压表示总反应的平衡常数，表达式*K*~p~=，故答案为：。
②该反应正向为放热反应，升高温度时平衡逆向移动，体系中将减小，因此图中对应等压过程的曲线是b，故答案为：b；总反应Δ*H*\<0，升高温度时平衡向逆反应方向移动，甲醇的物质的量分数变小。
③设起始*n*(CO~2~)=1mol，*n*(H~2~)=3mol，则，当平衡时时，=0.1，解得x=mol，平衡时CO~2~的转化率α==33.3%；由图可知，满足平衡时的条件有：5×10^5^Pa，210℃或9×10^5^Pa，250℃，故答案为：33.3%；5×10^5^Pa，210℃；9×10^5^Pa，250℃。
**【化学---选修3：物质结构与性质】**
11\. 我国科学家研发的全球首套千吨级太阳能燃料合成项目被形象地称为"液态阳光"计划。该项目通过太阳能发电电解水制氢，再采用高选择性催化剂将二氧化碳加氢合成甲醇。回答下列问题：
（1）太阳能电池板主要材料为单晶硅或多晶硅。Si的价电子层的电子排式为\_\_\_\_\_\_\_\_；单晶硅的晶体类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~是生产高纯硅的前驱体，其中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~可发生水解反应，机理如下：
含s、p、d轨道的杂化类型有：①dsp^2^、②sp^3^d、③sp^3^d^2^，中间体SiCl~4~(H~2~O)中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_\_（填标号）。
（2）CO~2~分子中存在\_\_\_\_\_\_\_个键和\_\_\_\_\_\_个键。
（3）甲醇的沸点（64.7℃）介于水（100℃）和甲硫醇（CH~3~SH，7.6℃）之间，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）我国科学家发明了高选择性的二氧化碳加氢合成甲醇的催化剂，其组成为ZnO/ZrO~2~固溶体。四方ZrO~2~晶胞如图所示。Zr^4+^离子在晶胞中的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_，晶胞参数为a pm、a pm、c pm，该晶体密度为\_\_\_\_\_\_g·cm^-3^（写出表达式）。在ZrO~2~中掺杂少量ZrO后形成的催化剂，化学式可表示为Zn~x~Zr~1-x~O~y~，则y=\_\_\_\_\_\_\_\_（用x表达）。
【答案】 (1). 3s^2^3p^2^ (2). 原子晶体(共价晶体) (3). sp^3^ (4). ② (5). 2 (6). 2 (7). 甲硫醇不能形成分子间氢键，而水和甲醇均能，且水比甲醇的氢键多 (8). 8 (9). (10). 2-x
【解析】
【分析】
【详解】(1)基态Si原子的核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^2^，因此Si的价电子层的电子排式为3s^2^3p^2^；晶体硅中Si原子与Si原子之间通过共价键相互结合，整块晶体是一个三维的共价键网状结构，因此晶体硅为原子晶体；SiCl~4~中Si原子价层电子对数为4+=4，因此Si原子采取sp^3^杂化；由图可知，SiCl~4~(H~2~O)中Si原子的δ键数为5，说明Si原子的杂化轨道数为5，由此可知Si原子的杂化类型为sp^3^d，故答案为：3s^2^3p^2^；原子晶体(共价晶体)；sp^3^；②；
(2)CO~2~的结构式为O=C=O，1个双键中含有1个δ键和1个π键，因此1个CO~2~分子中含有2个δ键和2个π键，故答案为：2；2；
(3)甲醇分子之间和水分子之间都存在氢键，因此沸点高于不含分子间氢键的甲硫醇，甲醇分子之间氢键的总强度低于水分子之间氢键的总强度，因此甲醇的沸点介于水和甲硫醇之间，故答案为：甲硫醇不能形成分子间氢键，而水和甲醇均能，且水比甲醇的氢键多；
(4)以晶胞中右侧面心的Zr^4+^为例，同一晶胞中与Zr^4+^连接最近且等距的O^2-^数为4，同理可知右侧晶胞中有4个O^2-^与Zr^4+^相连，因此Zr^4+^离子在晶胞中的配位数是4+4=8；1个晶胞中含有4个ZrO~2~微粒，1个晶胞的质量*m*=，1个晶胞的体积为(a×10^-10^cm)×(a×10^-10^cm)×(c×10^-10^cm)=a^2^c×10^-30^cm^3^，因此该晶体密度===g·cm^-3^；在ZrO~2~中掺杂少量ZrO后形成的催化剂，化学式可表示为Zn~x~Zr~1-x~O~y~，其中Zn元素为+2价，Zr为+4价，O元素为-2价，根据化合物化合价为0可知2x+4×(1-x)=2y，解得y=2-x，故答案为：；2-x。
**【化学---选修5：有机化学基础】**
12\. 近年来，以大豆素(化合物C)为主要成分的大豆异黄酮及其衍生物，因其具有优良的生理活性而备受关注。大豆素的合成及其衍生化的一种工艺路线如下：
\
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)反应生成E至少需要\_\_\_\_\_\_\_氢气。
(3)写出E中任意两种含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由E生成F的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)由G生成H分两步进行：反应1)是在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，则反应2)的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物B的同分异构体中能同时满足下列条件的有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
a.含苯环的醛、酮
b.不含过氧键()
c.核磁共振氢谱显示四组峰，且峰面积比为3∶2∶2∶1
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(7)根据上述路线中的相关知识，以丙烯为主要原料用不超过三步的反应设计合成下图有机物，写出合成路线\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 间苯二酚（或1,3-苯二酚） (2). 2 (3). 酯基，醚键，酮基（任写两种） (4).  +H~2~O (5). 取代反应 (6). C (7).    
【解析】
【分析】由合成路线图，可知，A（间苯二酚）和B（）反应生成C（），与碳酸二甲酯发生酯化反应，生成，与氢气发生加成反应生成，发生消去反应，生成F，F先氧化成环氧化合物G，G在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，然后发生酯的水解生成H，据此分析解答。
【详解】(1)A为，化学名称为间苯二酚（或1,3-苯二酚），故答案为：间苯二酚（或1,3-苯二酚）；
(2)D为 ，与氢气发生加成反应生成，碳碳双键及酮基都发生了加成反应，所以反应生成E至少需要2氢气，故答案为：2；
(3)E为，含有的含氧官能团的名称为酯基，醚键，酮基（任写两种），故答案为：酯基，醚键，酮基（任写两种）；
(4)E为，发生消去反应，生成，化学方程式为 +H~2~O，故答案为： +H~2~O；
(5)由G生成H分两步进行：反应1)是在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，则反应2)是将酯基水解生成羟基，反应类型为取代反应，故答案为：取代反应；
(6)化合物B为，同分异构体中能同时满足下列条件：.含苯环的醛、酮；b.不含过氧键()；c.核磁共振氢谱显示四组峰，且峰面积比为3∶2∶2∶1，说明为醛或酮，而且含有甲基，根据要求可以写出：，，，，故有4种，答案为：C；
(7)以丙烯为主要原料用不超过三步的反应设计合成下图有机物，可以将丙烯在m-CPBA的作用下生成环氧化合物，环氧化合物在酸催化下水发生加成反应，然后再与碳酸二甲酯发生酯化反应即可，故合成路线为：   。
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**作业要求**
1. 用干净、完整的数学本作答；需抄题并标清题号；
（如第一大题的第一小题：一/1、）
2. 每次做题前，都要有标题，标题一般是课题的名称加时间；
3. 作业（昨晚拍照发给我）一般在下次上课前上交，最晚是下次上课前半小时，；
4. 作业不附带答案，讲解一般单独进行；若是错误率较高，则在下节课上课前5分钟内讲解；
若上交的作业是电子文档，重命名为：（姓名）+（专题名称）
**竖式谜题（基础版）**
一、竖式计算
45×9= 63×2= 123×3= 217×4=
182÷7= 486÷6= 648÷9= 171÷9=
二、填空
{width="1.6375in" height="1.957638888888889in"}{width="1.6375in" height="1.957638888888889in"}{width="1.7673611111111112in" height="1.7180555555555554in"}
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**北师大版小学数学总复习《解决问题的策略》检测试题二（附答案）**
一、小小探索家。(填空)
1．常见的统计图有( )、( )、( )。
2．一个盒子里装有6个红球和1个黄球，任意摸一个球，摸到( )的可能性大。
3．在一个装满蓝色球的袋子里任意摸一个球，一定是( )球。
4．用一枚五角的硬币掷10次，正面朝上的可能性是( )，反面朝上的可能性是( )。
5．鸡兔同笼，有15个头，40条腿，鸡有( )只，兔有( )只。
二、火眼金睛。(对的打"√"，错的打"×")
1．天气预报说明天下雨的概率是90％，则明天下雨的可能性是1。( )
2．太阳从西边升起的可能性是1。( )
3．折线统计图只能反映数据的增减变化情况，不能反映数量多少。( )
4．五名同学的身高分别是135cm，136cm，142cm，143cm，140cm，他们的平均身高是140cm。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)
1．往下面的靶子上掷飞镖，最容易投中阴影部分的是( )。
2．二年级有120人，根据右图可知：音乐组有( )人，
书法组有( )人，美术组有( )人。
A．30 B．54 C．36
3．苹果的成份中含有水、维生素C、维生素E和其他，应选择( )统计图来表示各
种成份的含量。( )
A．条形 B．折线 C．扇形来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、小猫钓鱼。(连一连)
(一次摸1个，摸到自球的可能性)
8红2白
5红5白 1
8白
10红 0
2红8白
五、解决问题。
小冬和小刚玩象棋，用摸球来决定谁先走。口袋里放4个红球，1个黑球，(球形状完全相同)，摸到红球小冬先走，摸到黑球小刚先走，这样公平吗？
六、相信你最棒。
在一个六面体的6个面分别标上数字，使得这个六面体掷出后，"5"朝上的可能性是。你应该怎么办？来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案：**
一、1．折线统计图 条形统计图 扇形统计图 2．红球 3．蓝色
4．50％ 50％ 5．10 5
二、1．× 2．× 3．× 4．×
三、1．A 2．A C B 3．C
四、
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、不公平
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**孝感市2020年高中阶段学校招生考试**
**数学试卷**
**一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，不涂，错涂或多涂的，一律得0分）**
1.如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A. B. C. D.
2.如图，直线，相交于点，，垂足为点.若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5.某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
------------- --- --- --- ----
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 3 4 2 1
------------- --- --- --- ----
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）
A.4，6 B.6，6 C.4，5 D.6，5
6.已知，，那么代数式的值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
7.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位:）是反比例函数关系，它的图象如图所示.则这个反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
8.将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在四边形中，，，，，.动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动.过点作，垂足为.设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点.若，，则的长为（ ）
A. B. C.4 D.
**二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）**
11.原子钟是北斗导航卫星的"心脏"，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒.数据100万用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12.有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，，....若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_.（结果保留根号）
14.在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操.为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（类：总时长分钟；类：5分钟总时长分钟；类：10分钟总时长分钟；类：总时长分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两解不完整的统计图.
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_人.
15.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为"赵爽弦图".在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.如图，已知菱形的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线和上，.平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，连接，，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.解答写在答题卡上）**
17.计算：
18.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足.连接，分别与，交于点，.
求证：.
19.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数，2，5，8.
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率.
20.如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空.
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_.
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_.
21.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值.
22.某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知乙产品的售价比甲产品的售价多5元，丙产品的售价是甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买农产品最少要花费多少元？
23.已知内接于，，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记.
（1）如图1，若，①直接写出的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
②当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）如图2，若，且，，求的长.
24.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点.
（1）当时，直接写出点的坐标；
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为.设点的横坐标为，记.
①用含的代数式表示；
②设，求的最大值.
**参考答案**
**一、精心选一选，相信自己的判断！**
1-5 ABCCB 6-10 DCADB
**二、细心填一填，试试自己的身手！**
11\. 12. 13.
14.336 15. 16.
**三、用心做一做，显显自己的能力！**
17.解：原式
18.证明：∵四边形为平行四边形，
∴，.
∴，.
在和中，，
∴.
∴.
19.解：（1）抽取到的数为偶数的概率为.
（2）列表如下：
+-------+---+---+---+---+
| 第1次 | | 2 | 5 | 8 |
| | | | | |
| 第2次 | | | | |
+-------+---+---+---+---+
| | | | | |
+-------+---+---+---+---+
| 2 | | | | |
+-------+---+---+---+---+
| 5 | | | | |
+-------+---+---+---+---+
| 8 | | | | |
+-------+---+---+---+---+
∵差的绝对值有16种可能，绝对值大于3的有6种可能，
∴差的绝对值大于3的概率.
20.解：（1）如图所示：
点的坐标为；
（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
点的坐标为.
21.解：（1）
∵无论为何实数，，∴.
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）由一元二次方程根与系数的关系得：
，.
∵，∴，∴，
∴，
化简得：，解得.
22.（l）设甲产品的售价为元，则乙产品的售价为元，
丙产品的售价为元，由题意有：.
解得：.经检验，既符合方程，也符合题意.
∴，.
故：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元.
（2）设的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种农产品有，则乙种农产品有，
甲种农产品有，∴.∴.
设按此销售方案购买农产品所需费用元，则
.
∵随的增大而增大，∴当时，取最小值，且.
故：按此方案购买农产品最少要花费300元.
23.解：（1）①；
②；
（2）如图，连接，连接并延长交于点，连接，则，
∴.
∵与相切，∴.∴.
∵平分，∴.
∴，∴.
∵，.
∵四边形内接于，∴.
又∵，∴.
又∵，∴.
又∵公共，∴，∴.
∵，∴.
∵，公共，
∴.
∴，即，∴.
∴.
24.（1），，，；
（2）如图1，作轴于点.
在和中，∵，，
∴，，，.
∴，∴.
∴.
（3）①如图2，作与的延长线交于点.
∵，∴，
∴，.∴.
∵，，∴.
∵，∴，
∴.
∵，，∴.
∴，∴.
∵，轴，
∴，.
∴.∴，∴.
∴，
∴.
②∵，，
∴当时，；
当时，.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）**
**数学（文科）试卷**
**注意事项：**
> 1．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
>
> 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
>
> 3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第一部分（共60分）**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。**
1．已知全集，则集合C*~u~A*等于
（A）{1，4} （B）{4，5}
（C）{1，4，5} （D）{2，3，6}
2．函数的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3．抛物线的准线方程是
（A） （B）
（C） （D）
4．已知,则的值为
（A） （B） （C） （D）
5．等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
6．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
7．Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
8．设函数f（x）=2^x^+1（x∈R）的反函数为f ^-1^~~（x）,则函数y= f ^-1^（x）的图象是
9．已知双曲线C∶＞0,b＞0）,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是
（A）a （B）b
（C） （D）
10．已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则
（A） （B）c
（C） （D）
11．给出如下三个命题：
①设a,bR,且\>1,则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
③若f（x）=log~i~x,则f（\|x\|）是偶函数。
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③
12．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v~1~，v~2~,v~3~,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
（A） （B）
（C） （D）
**第二部分（共90分）**
**二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。**
13．的展开式中项的系数是 [ ]{.underline} 。（用数字作答）
14．已知实数、满足条件则的最大值为 [ ]{.underline} 。
15．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 [ ]{.underline} 种。（用数字作答）
16．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝。若＝的值为 [ ]{.underline} 。
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。**
17．（本小题满分12分）
设函数。其中向量。
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值。
18．（本小题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率。
（注：本小题结果可用分数表示）
19．（本小题满分12分）
如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD，,BC=6。
（Ⅰ）求证：BD
（Ⅱ）求二面角的大小。
20．（本小题满分12分）
已知实数列等比数列,其中成等差数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和记为证明： ＜128...）。
21．（本小题满分12分）
已知在区间\[0,1\]上是增函数,在区间上是减函数,又
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间（m＞0）上恒有≤x成立,求m的取值范围。
22．（本小题满分14分）
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
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**高考数学选择题专项训练（八）**
1、若{a~n~}是等比数列，a~4~a~7~＝－512, a~3~＋a~8~＝124, 且公比q是整数，则a~10~等于（ ）。
（A）256 （B）－256 （C）512 （D）－512
2、已知数列{2n－11}，那么有最小值的S~n~是（ ）。
（A）S~1~ （B）S~5~ （C）S~6~ （D）S~11~
3、如果x~n~=(1－)(1－)(1－)......(1－)，则x~n~等于（ ）。
（A）0 （B）1 （C） （D）不确定
4、数列的通项公式是a~n~＝(1－2x)^n^，若a~n~存在，则x的取值范围是（ ）。
（A）\[0, \] （B）\[0, -\] （C）\[0, 1\] （D）\[0,- 1\]
5、不等式x^2^－x＋1\>0的解集是（ ）。
（A）{x\| x\<或x\>} （B）R
（C） （D）以上都不对
6、已知方程x^2^＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0至少有一个实根，那么实数k的取值范围是（ ）。
（A）k≥2或k≤－2 （B）－2≤k≤2
（C）k＝±2 （D）k＝2
7、已知集合P＝{x\| (x－1)(x－4)≥0}，Q＝{n\| (n＋1)(n－5)≤0,
> n∈N}与集合S，且S∩P＝{1, 4}，S∩Q＝S，那么集合S的元素的个数是（ ）。
（A）2个（B）2个或4个（C）2个或3个或4个（D）无穷多个
8、有四位司机，四位售票员分配到四辆公共汽车上，使每辆车分别有一位司机和一名售票员，则可能的分配方案数是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
9、有4个学生和3名教师排成一行照相，规定两端不排教师，那么排法的种数是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
10、在1，2，3，4，9中任取两个数分别作对数的底和真数，可得不同的对数值的个数是（ ）。
（A）9 （B）12 （C）16 （D）20
11、下列等式中，不正确的是（ ）。
（A）(n＋1)＝ （B）
（C）＝(n－2)! （D）＝
12、在(1＋2x－x2)^4^展开式中，x^7^的系数是（ ）。
（A）－8 （B）12 （C）6 （D）－12
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **C** **B** **A** **C** **B** **C** **C** **C** **C** **A** **B** **A**
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**2011-2020全国各地高考数学真题汇编**
**公众号"一个高中僧"整理**
**2020年8月**
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目录
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 9
[2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 15](\l)
[2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 21](\l)
[2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 25](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 29](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 34](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试 39](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 44](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 48](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 51](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 54](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 57](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 60](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 66](\l)
[2011年普通高考学校招生全国统一考试（湖北卷） 77](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 82](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类 88](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 92](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 97](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 102](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 107](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 112](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 117](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 122](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 128](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 134](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 140](\l)
[2011年上海市高考数学试题（理科） 145](\l)
[2011年上海市高考数学试题（文科） 149](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 152](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 156](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 161](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 165](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 171](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 175](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 180](\l)
[2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 184](\l)
[2011江苏高考数学试卷 187](\l)
[2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 192](\l)
[2012年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 195](\l)
[2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 199](\l)
[2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 207](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 212](\l)
[数学（理科） 212](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 216](\l)
[数学（文科） 216](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 221](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 227](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 231](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 236](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 240](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 244](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 248](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 254](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 258](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 264](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 269](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 275](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 280](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 284](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 287](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 292](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 296](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 301](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 305](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 309](\l)
[数学（理科） 309](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 312](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 315](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 319](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 323](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 327](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 332](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 336](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 342](\l)
[2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 347](\l)
[2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 351](\l)
[2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 354](\l)
[2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 359](\l)
[2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 362](\l)
[2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 367](\l)
[2013年北京市高考数学试卷（理科） 372](\l)
[2013年北京市高考数学试卷（文科） 376](\l)
[2013年安徽省高考数学试卷（理科） 380](\l)
[2013年安徽省高考数学试卷（文科） 384](\l)
[2013年福建省高考数学试卷（理科） 388](\l)
[2013年福建省高考数学试卷（文科） 393](\l)
[2013年广东省高考数学试卷（理科） 398](\l)
[2013年广东省高考数学试卷（文科） 402](\l)
[2013年湖北省高考数学试卷（理科） 406](\l)
[2013年湖北省高考数学试卷（文科） 411](\l)
[2013年湖南省高考数学试卷（理科） 416](\l)
[2013年湖南省高考数学试卷（文科） 420](\l)
[2013年江西省高考数学试卷（理科） 423](\l)
[2013年江西省高考数学试卷（文科） 427](\l)
[2013年辽宁省高考数学试卷（理科） 431](\l)
[2013年辽宁省高考数学试卷（文科） 436](\l)
[2013年山东省高考数学试卷（理科） 441](\l)
[2013年山东省高考数学试卷（文科） 445](\l)
[2013年陕西省高考数学试卷（理科） 449](\l)
[2013年陕西省高考数学试卷（文科） 453](\l)
[2013年上海市高考数学试卷（理科） 457](\l)
[2013年上海市高考数学试卷（文科） 460](\l)
[2013年四川省高考数学试卷（理科） 463](\l)
[2013年四川省高考数学试卷（文科） 468](\l)
[2013年天津市高考数学试卷（理科） 472](\l)
[2013年天津市高考数学试卷（文科） 476](\l)
[2013年浙江省高考数学试卷（理科） 480](\l)
[2013年浙江省高考数学试卷（文科） 484](\l)
[2013年重庆市高考数学试卷（理科） 488](\l)
[2013年重庆市高考数学试卷（文科） 492](\l)
[2013年上海市春季高考数学试卷 496](\l)
[2013年江苏省高考数学试卷 501](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 505](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 512](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 519](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 526](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 532](\l)
[2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 536](\l)
[2014年北京市高考数学试卷（理科） 542](\l)
[2014年北京市高考数学试卷（文科） 547](\l)
[2014年天津市高考数学试卷（理科） 552](\l)
[2014年天津市高考数学试卷（文科） 557](\l)
[2014年安徽省高考数学试卷（理科） 562](\l)
[2014年安徽省高考数学试卷（文科） 567](\l)
[2014年福建省高考数学试卷（理科） 572](\l)
[2014年福建省高考数学试卷（文科） 578](\l)
[2014年广东省高考数学试卷（理科） 582](\l)
[2014年广东省高考数学试卷（文科） 586](\l)
[2014年湖北省高考数学试卷（理科） 590](\l)
[2014年湖北省高考数学试卷（文科） 595](\l)
[2014年湖南省高考数学试卷（理科） 599](\l)
[2014年湖南省高考数学试卷（文科） 604](\l)
[2014年江苏省高考数学试卷 608](\l)
[2014年江西省高考数学试卷（理科） 614](\l)
[2014年江西省高考数学试卷（文科） 620](\l)
[2014年辽宁省高考数学试卷（理科） 625](\l)
[2014年辽宁省高考数学试卷（文科） 631](\l)
[2014年山东省高考数学试卷（理科） 637](\l)
[2014年山东省高考数学试卷（文科） 642](\l)
[2014年陕西省高考数学试卷（理科） 646](\l)
[2014年陕西省高考数学试卷（文科） 651](\l)
[2014年上海市高考数学试卷（理科） 656](\l)
[2014年上海市高考数学试卷（文科） 660](\l)
[2014年四川省高考数学试卷（理科） 664](\l)
[2014年四川省高考数学试卷（文科） 669](\l)
[2014年浙江省高考数学试卷（理科） 673](\l)
[2014年浙江省高考数学试卷（文科） 678](\l)
[2014年重庆市高考数学试卷（理科） 682](\l)
[2014年重庆市高考数学试卷（文科） 686](\l)
[2015年安徽省高考数学试卷（理科） 690](\l)
[2015年安徽省高考数学试卷（文科） 694](\l)
[2015年北京市高考数学试卷（理科） 698](\l)
[2015年北京市高考数学试卷（文科） 702](\l)
[2015年福建省高考数学试卷（理科） 707](\l)
[2015年福建省高考数学试卷（文科） 712](\l)
[2015年广东省高考数学试卷（理科） 716](\l)
[2015年广东省高考数学试卷（文科） 719](\l)
[2015年湖北省高考数学试卷（理科） 722](\l)
[2015年湖北省高考数学试卷（文科） 727](\l)
[2015年湖南省高考数学试卷（理科） 731](\l)
[2015年湖南省高考数学试卷（文科） 736](\l)
[2015年江苏省高考数学试卷 740](\l)
[2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 744](\l)
[2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 750](\l)
[2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 755](\l)
[2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 761](\l)
[2015年山东省高考数学试卷（理科） 767](\l)
[2015年山东省高考数学试卷（文科） 770](\l)
[2015年陕西省高考数学试卷（理科） 774](\l)
[2015年陕西省高考数学试卷（文科） 778](\l)
[2015年上海市高考数学试卷（理科） 783](\l)
[2015年上海市高考数学试卷（文科） 786](\l)
[2015年四川省高考数学试卷（理科） 789](\l)
[2015年四川省高考数学试卷（文科） 793](\l)
[2015年天津市高考数学试卷（理科） 797](\l)
[2015年天津市高考数学试卷（文科） 801](\l)
[2015年浙江省高考数学试卷（理科） 804](\l)
[2015年浙江省高考数学试卷（文科） 808](\l)
[2015年重庆市高考数学试卷（理科） 811](\l)
[2015年重庆市高考数学试卷（文科） 815](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 819](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 824](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 830](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 836](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 841](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 846](\l)
[2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 852](\l)
[2016年北京市高考数学试卷（理科） 858](\l)
[2016年北京市高考数学试卷（文科） 862](\l)
[2016年天津市高考数学试卷（理科） 866](\l)
[2016年天津市高考数学试卷（文科） 871](\l)
[2016年江苏省高考数学试卷 876](\l)
[2016年浙江省高考数学试卷（理科） 881](\l)
[2016年浙江省高考数学试卷（文科） 885](\l)
[2016年山东省高考数学试卷（理科） 889](\l)
[2016年山东省高考数学试卷（文科） 894](\l)
[2016年四川省高考数学试卷（理科） 899](\l)
[2016年四川省高考数学试卷（文科） 905](\l)
[2016年上海市高考数学试卷（理科） 910](\l)
[2016年上海市高考数学试卷（文科） 914](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 918](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 924](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 930](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 935](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 940](\l)
[2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 945](\l)
[2017年北京市高考数学试卷（理科） 950](\l)
[2017年北京市高考数学试卷（文科） 954](\l)
[2017年天津市高考数学试卷（理科） 958](\l)
[2017年天津市高考数学试卷（文科） 962](\l)
[2017年山东省高考数学试卷（理科） 965](\l)
[2017年山东省高考数学试卷（文科） 970](\l)
[2017年江苏省高考数学试卷 974](\l)
[2017年浙江省高考数学试卷 979](\l)
[2017年上海市高考数学试卷 983](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 986](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 991](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 996](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 1001](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 1006](\l)
[2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 1011](\l)
[2018年北京市高考数学试卷（理科） 1016](\l)
[2018年北京市高考数学试卷（文科） 1020](\l)
[2018年江苏省高考数学试卷 1024](\l)
[2018年上海市高考数学试卷 1029](\l)
[2018年天津市高考数学试卷（理科） 1032](\l)
[2018年天津市高考数学试卷（文科） 1036](\l)
[2018年浙江省高考数学试卷 1040](\l)
[2019年全国Ⅰ理科高考数学试卷 1044](\l)
[2019年全国Ⅰ文科高考数学试卷 1048](\l)
[2019年全国Ⅱ理科高考数学试卷 1052](\l)
[2019年全国Ⅱ文科高考数学试卷 1055](\l)
[2019年全国Ⅲ理科高考数学试卷 1058](\l)
[2019年全国Ⅲ文科高考数学试卷 1063](\l)
[2019年北京理科高考数学试卷 1067](\l)
[2019年北京文科高考数学试卷 1070](\l)
[2019年天津理科高考数学试卷 1073](\l)
[2019年天津文科高考数学试卷 1076](\l)
[2019年江苏省高考数学试卷 1079](\l)
[2019年浙江省高考数学试卷 1083](\l)
[2019年上海春季高考数学试卷 1087](\l)
[2019年上海秋季高考数学试卷 1090](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1092](\l)
[理科数学Ⅰ 1092](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1097](\l)
[文科数学Ⅰ 1097](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1105](\l)
[新高考数学Ⅰ(山东) 1105](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1110](\l)
[理科数学Ⅱ 1110](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1116](\l)
[文科数学Ⅱ 1116](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1121](\l)
[新高考数学Ⅱ(海南) 1121](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1128](\l)
[理科数学Ⅲ 1128](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试 1133](\l)
[文科数学Ⅲ 1133](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 1139](\l)
[数学 1139](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 1144](\l)
[数学 1144](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 1150](\l)
[数学 1150](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 1155](\l)
[数学Ⅰ 1155](\l)
[2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 1162](\l)
[（上海卷） 1162](\l)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数{width="0.3541666666666667in" height="0.3541666666666667in"}的共轭复数是（ ）
A．{width="0.3541666666666667in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} C．﹣i D．i
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^
3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
{width="1.7847222222222223in" height="3.5694444444444446in"}
A．120 B．720 C．1440 D．5040
4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
{width="1.7152777777777777in" height="1.0694444444444444in"}
A．{width="0.6458333333333334in" height="0.7847222222222222in"} B．{width="0.6458333333333334in" height="0.7847222222222222in"} C．{width="0.7847222222222222in" height="0.7847222222222222in"} D．{width="0.7847222222222222in" height="0.7847222222222222in"}
7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A，B两点，\|AB\|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} B．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} C．2 D．3
8．（5分）{width="1.1458333333333333in" height="0.3541666666666667in"}的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
9．（5分）由曲线y={width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} B．4 C．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} D．6
10．（5分）已知{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}与{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P~1~：\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|＞1⇔θ∈\[0，{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}）；P~2~：\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|＞1⇔θ∈（{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}，π\]；P~3~：\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|＞1⇔θ∈\[0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）；P~4~：\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|＞1⇔θ∈（{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，π\]；其中的真命题是（ ）
A．P~1~，P~4~ B．P~1~，P~3~ C．P~2~，P~3~ D．P~2~，P~4~
11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）{width="1.5in" height="0.3541666666666667in"}的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A．f（x）在{width="0.6458333333333334in" height="0.3541666666666667in"}单调递减 B．f（x）在（{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}）单调递减
C．f（x）在（0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）单调递增 D．f（x）在（{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}）单调递增
12．（5分）函数y={width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，则z=x+2y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F~1~F~2~在x轴上，离心率为{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}．过F~l~的直线交于A，B两点，且△ABF~2~的周长为16，那么C的方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，则棱锥O﹣ABCD的体积为[ ]{.underline}．
16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC={width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，则AB+2BC的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共8小题，满分70分）**
17．（12分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且2a~1~+3a~2~=1，a~3~^2^=9a~2~a~6~，
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}}的前n项和．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
{width="2.0in" height="1.3541666666666667in"}
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 8 20 42 22 8
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
B配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 4 12 42 32 10
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y={width="1.2152777777777777in" height="0.7152777777777778in"}
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}∥{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}={width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}•{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）={width="0.3541666666666667in" height="0.3541666666666667in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，求k的取值范围．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
{width="2.1458333333333335in" height="1.3541666666666667in"}
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}=2{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，P点的轨迹为曲线C~2~
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|．
24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值．
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）复数{width="0.3541666666666667in" height="0.3541666666666667in"}=（ ）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^
4．（5分）椭圆{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}=1的离心率为（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}
5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
{width="1.7847222222222223in" height="3.5694444444444446in"}
A．120 B．720 C．1440 D．5040
6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
{width="1.7152777777777777in" height="1.0694444444444444in"}
A．{width="0.6458333333333334in" height="0.7847222222222222in"} B．{width="0.6458333333333334in" height="0.7847222222222222in"} C．{width="0.7847222222222222in" height="0.7847222222222222in"} D．{width="0.7847222222222222in" height="0.7847222222222222in"}
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，\|AB\|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（ ）
A．（{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}） B．（﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，0） C．（0，{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}） D．（{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}）
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）+cos（2x+{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}），则（ ）
A．y=f（x）在（0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）单调递增，其图象关于直线x={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}对称
B．y=f（x）在（0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）单调递增，其图象关于直线x={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}对称
C．y=f（x）在（0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）单调递减，其图象关于直线x={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}对称
D．y=f（x）在（0，{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}）单调递减，其图象关于直线x={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}对称
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈\[﹣1，1\]时 f（x）=x^2^，那么函数y=f（x）的图象与函数y=\|lgx\|的图象的交点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}与向量k{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}垂直，则k=[ ]{.underline}．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，则z=x+2y的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共8小题，满分70分）**
17．（12分）已知等比数列{a~n~}中，a~1~={width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，公比q={width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}．
（Ⅰ）S~n~为{a~n~}的前n项和，证明：S~n~={width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{b~n~}的通项公式．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
{width="2.2152777777777777in" height="1.5in"}
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 8 20 42 22 8
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
B配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 4 12 42 32 10
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y={width="1.2152777777777777in" height="0.7152777777777778in"}
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21．（12分）已知函数f（x）={width="0.3541666666666667in" height="0.3541666666666667in"}+{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
{width="2.1458333333333335in" height="1.3541666666666667in"}
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}=2{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，P点的轨迹为曲线C~2~
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|．
24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值．
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数z=1+i，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"} 为z 的共轭复数，则z•{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y={width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}（x≥0）的反函数为（ ）
A．y={width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}（x∈R） B．y={width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
4．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．1
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则{width="0.5in" height="0.3541666666666667in"}=（ ）
A．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5分）设向量{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}满足\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|=\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|=1，{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}=﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，＜{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}＞=60°，则\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|的最大值等于（ ）
A．2 B．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} C．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} D．1
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知α∈（{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，π），sinα={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，则tan2α=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C={width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，a+c={width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}b，求C．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
{width="1.9305555555555556in" height="1.2152777777777777in"}
20．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~=0且{width="1.2847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设{width="0.9305555555555556in" height="0.5in"}，记{width="0.7152777777777778in" height="0.5in"}，证明：S~n~＜1．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
{width="1.5in" height="1.4305555555555556in"}
22．（12分）（Ⅰ）设函数{width="1.4305555555555556in" height="0.3541666666666667in"}，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：{width="1.2847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}．
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁~U~（M∩N）=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
2．（5分）函数y={width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}（x≥0）的反函数为（ ）
A．y={width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}（x∈R） B．y={width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
3．（5分）设向量{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}、{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}满足\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|=\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|=1，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}•{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}=﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，\|{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}+2{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}\|=（ ）
A．.{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} B．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} C．、{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} D．.{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}
4．（5分）若变量x、y满足约束条件{width="0.7847222222222222in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x+3y的最小值为（ ）
A．17 B．14 C．5 D．3
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
6．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．3 C．6 D．9
8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2 B．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} C．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} D．1
9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则{width="0.5in" height="0.3541666666666667in"}=（ ）
A．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} B．﹣{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}
11．（5分）设两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=（ ）
A．4 B．{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} C．8 D．{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（1﹣x）^10^的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为：[ ]{.underline}．
14．（5分）已知a∈（π，{width="0.2847222222222222in" height="0.3541666666666667in"}），tanα=2，则cosα=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为C~1~D~1~的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~2~=6，6a~1~+a~3~=30，求a~n~和S~n~．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
{width="1.9305555555555556in" height="1.2152777777777777in"}
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x~0~处取得极小值，x~0~∈（1，3），求a的取值范围．
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
{width="1.5in" height="1.4305555555555556in"}
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
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**数学（理科）试题**
第Ⅰ卷（选择题共50分）
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.**
（1）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为
(A)2 (B) -2 (C) (D)
（2）双曲线的实轴长是
(A)2 (B) (C) 4 (D)
（3）设是定义在R上的奇函数，当时，,则
(A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3
（4）设变量x,y满足\|x\|+\|y\|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为
\(A\) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
（5）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为
\(A\) 2 (B) (C) (D)
（6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为{width="2.6458333333333335in" height="2.861111111111111in"}
(A)48 (B) (C) (D)80
（7）命题"所有能被2整除的整数都是偶数"的否定是
\(A\) 所有不能被2整除的整数都是偶数
\(B\) 所有不能被2整除的整数都不是偶数
\(C\) 存在一个不能被2整除的整数是偶数
\(D\) 存在一个能被2整除的整数不是偶数
（8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足且的集合S的个数是
(A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8
（9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
\(A\) (B)
\(C\) (D)
（10）函数在区间\[0,1\]上的图像如图所示，则m,n的值可能是{width="2.5in" height="1.8541666666666667in"}
\(A\) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡的相应位置**
（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 [ ]{.underline} .
{width="2.5in" height="3.2152777777777777in"}
（12）设，则 [ ]{.underline} .
（13）已知向量**a,b**满足**(a+2b)·(a-b)=-6**，且\|**a**\|=1,\|**b**\|=2，则**a**与**b**的夹角为 [ ]{.underline} .
（14）已知⊿ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则⊿ABC的面积为 [ ]{.underline} .
（15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点下列命题中正确的是 [ ]{.underline} .（写出所有正确的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
**三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡的指定区域内**
（16）（本小题满分12分）
设，其中a为正实数.
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为R上的单调函数，求a的取值范围
（17）（本小题满分12分）
如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，⊿OAB, ⊿OAC, ⊿ODE, ⊿ODF都是正三角形.
{width="3.0694444444444446in" height="2.361111111111111in"}{width="2.6458333333333335in" height="2.5694444444444446in"}
（Ⅰ）证明直线BC∥EF;
（Ⅱ）求棱锥F-OBED的体积.
（18）（本小题满分13分）
在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n≥1.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）设x≥1,y≥1，证明；
（Ⅱ）设1\<a≤b≤c，证明.
（20）（本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立
（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；
（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小
（21）（本小题满分13分）
设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程{width="2.2152777777777777in" height="2.2847222222222223in"}
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
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数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页全卷满分150分，考试时间120分钟
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交
> 参考公式：
>
> 椎体体积，其中S为椎体的底面积，h为椎体的高.
>
> 若（x，y），（x，y）...，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ，
>
> ，
>
> 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.
>
> 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
（A）2 （B） 2 （C） （D）
（2）集合，,,则等于
（A） （B） （C） （D）
（3）双曲线的实轴长是
（A）2 （B） （C） 4 （D） 4
（4） 若直线过圆的圆心,则a的值为
（A）1 （B） 1 （C） 3 （D） 3
（5）若点（a,b）在 图像上，,则下列点也在此图像上的是
（A）（，b） （B）（10a,1b） （C） （,b+1） （D）（a^2^,2b）
（6）设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为
（A）1，1 （B）2，2 （C ）1，2 （D）2，1
{width="1.4472222222222222in" height="1.8333333333333333in"}（7）若数列的通项公式是
（A）15 （B）12
（C） （D）
（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A） 48
（B）32+8
（C）48+8
（D）80
（9） 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
（A） （B） （C） （D）
{width="1.8847222222222222in" height="1.4in"}（10）函数在区间〔0,1〕
上的图像如图所示，则n可能是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
第II卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 [ ]{.underline} .
（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 [ ]{.underline} .
{width="1.6770833333333333in" height="2.6in"}（13）函数的定义域是 [ ]{.underline} .
（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=-6，且=1，=2，
则a与b的夹角为 [ ]{.underline} .
（15）设=，其中a，bR，ab0，若
对一切则xR恒成立，则
①
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交
以上结论正确的是 [ ]{.underline} （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）（本小题满分13分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.
（17）（本小题满分13分）
设直线
> （I）证明与相交；
>
> （II）证明与的交点在椭圆
（18）（本小题满分13分）
设，其中为正实数.
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.
（19）（本小题满分13分）
{width="1.8111111111111111in" height="2.05in"}如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形
（Ⅰ）证明直线；
（Ⅱ）求棱锥的体积.
（20）（本小题满分10分）
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
---------------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量
温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.
（21）（本小题满分13分）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和.
2011年普通高等学校招生全国统一考试
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数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分考试时间长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1．已知集合P=｛x︱x^2^≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是
A．(-∞, -1\] B．\[1, +∞）
C．\[-1，1\] D．（-∞，-1\] ∪\[1，+∞）
2．复数
A．i B．-i C． D．
{width="1.8854166666666667in" height="2.90625in"}3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A． B．
C． (1,0) D．(1，)
4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A．-3
B．-
C．
D．2
5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，
> 延长AF与圆O交于另一点G给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA；
{width="2.8541666666666665in" height="1.7916666666666667in"} ②AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C为常数）已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
{width="2.7152777777777777in" height="2.6458333333333335in"}
A．8 B． C．10 D．
8．设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
A． B．
C． D．
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．在中若b=5，，tanA=2，则sinA=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；a=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
10．已知向量**a**=（，1），**b**=（0，-1），**c**=（k，）若**a**-2**b**与**c**共线，则k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
11．在等比数列{a~n~}中，a~1~=，a~4~=-4，则公比q=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个（用数字作答）
13．已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_
14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C过坐标原点；
② 曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a
> 其中，所有正确结论的序号是
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
15．（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
16．（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
> (Ⅰ)求证：平面
（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.
{width="1.9305555555555556in" height="1.9305555555555556in"}
17．本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示
{width="3.7152777777777777in" height="1.5in"}
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望
（**注：**方差，其中为，，...... 的平均数）
18．（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围
19．（本小题共14分）
已知椭圆.过点（*m*,0）作圆的切线*I*交椭圆*G*于*A*，*B*两点.
（I）求椭圆*G*的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为*m*的函数，并求的最大值.
20．（本小题共13分）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由
2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
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数学（文）
本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x^2^≤1｝,那么{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
A．(-∞, -1\] B．\[1, +∞）
C．\[-1，1\] D．（-∞，-1\] ∪\[1，+∞）
2．复数
A．i B．-i C． D．
{width="2.2604166666666665in" height="2.0395833333333333in"}3．如果那么
A．y\< x\<1 B．x\< y\<1
C．1\< x\<y D．1\<y\<x
4．若p是真命题，q是假命题，则A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
{width="1.875in" height="2.925in"} D．﹁q是真命题
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A．32
B．16+16
C．48
D．16+32
6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为
A．2 B．3
C．4 D．5
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．在中.若b=5，，sinA=，则a=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
10．已知双曲线（＞0）的一条渐近线的方程为，则= [ ]{.underline} .
11．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）.若a-2b与c共线，则k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12．在等比数列{a~n~}中，a~1~=，a~4~=4，则公比q=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；a~1~+a~2~+...+a~n~= \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13．已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_
14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tR）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）= [ ]{.underline} N（t）的所有可能取值为 [ ]{.underline}
三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
{width="2.8958333333333335in" height="1.0416666666666667in"}
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
> （2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差其中为的平均数）
17．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
{width="2.1458333333333335in" height="2.1458333333333335in"}
18．（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间\[0,1\]上的最小值.
19．（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆*G*的方程；
（II）求的面积.
20．（本小题共13分）
若数列满足，则称为数列，记.
（Ⅰ）写出一个E数列A~5~满足；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
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**数学（理工农医类）**
**本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题满分150分**
**注意事项：**
1. **答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号，姓名"与考生本人准考证号，姓名是否一致**
2. **第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效**
3. **考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回**
> 参考公式：
>
> 样本数据x~1~,x~2~,...，x~a~的标准差 锥体体积公式
>
> {width="3.7152777777777777in" height="0.5in"}
>
> 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
>
> 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
>
> V=Sh
>
> 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
>
> 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
```{=html}
<!-- -->
```
1. i是虚数单位，若集合S=，则
> A. B. C. D.
>
> 2.若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的
>
> A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件
>
> C.充要条件 C.既不充分又不必要条件
>
> 3.若tan=3，则的值等于
>
> A.2 B.3 C.4 D.6
>
> 4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
>
> {width="1.9625in" height="1.4243055555555555in"}
>
> A. B.
>
> C. D.
>
> 5.（e^2^+2x）dx等于
>
> A.1 B.e-1 C.e D.e+1
>
> 6.(1+2x)^3^的展开式中，x^2^的系数等于
>
> A.80 B.40 C.20 D.10
>
> 7.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F~1~，F~2~，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于
>
> A. B.或2 C.2 D.
>
> 8.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是
>
> A.\[-1.0\] B.\[0.1\] C.\[0.2\] D.\[-1.2\]
>
> 9.对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是
>
> A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
>
> 10.已知函数f(x)=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：
>
> ①△ABC一定是钝角三角形
>
> ②△ABC可能是直角三角形
>
> ③△ABC可能是等腰三角形
>
> ④△ABC不可能是等腰三角形
>
> 其中，正确的判断是
>
> A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④
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**数 学(理工农医类)**
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置
11.运行如图所示的程序，输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_
12.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC{width="1.198611111111111in" height="1.5486111111111112in"}的体积等于\_\_\_\_\_\_
13.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.5743055555555556in" height="0.7263888888888889in"}14.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于\_\_\_\_\_\_
15.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意∈R，均有
则称映射f具有性质P
先给出如下映射：
{width="3.2152777777777777in" height="1.1388888888888888in"}
其中，具有性质P的映射的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_（写出所有具有性质P的映射的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（本小题满分13分）
已知等比数列{a~n~}的公比q=3，前3项和S~3~=
（I）求数列{a~n~}的通项公式；
（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a~3~，求函数f（x）的解析式
17.（本小题满分13分）
已知直线l：y=x+m，m∈R
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x^2^=4y是否相切？说明理由
18.（本小题满分13分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3\<x\<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大
19.（本小题满分13分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，......，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X~1~的概率分布列如下所示：
{width="5.784722222222222in" height="1.0694444444444444in"}
且X~1~的数字期望EX~1~=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X~2~，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X~2~的数学期望.
- 在（I）、（II）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
> 注：（1）产品的"性价比"=；
>
> （2）"性价比"大的产品更具可购买性.
20.（本小题满分14分）
{width="2.5625in" height="1.7291666666666667in"}如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP.
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由
21\. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 （其中a＞0，b＞0）.
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1^；
（II）若曲线C：x^2^+y^2^=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C'：，求a，b的值.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为M.
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.
准考证号\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
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**数学（文史类）**
**本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页满分150分**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号，姓名"与考生本人准考证号、姓名是否一致**
**2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效**
**3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回**
**参考公式：**
样本数据x1,x2....，xn的标准差
{width="2.7152777777777777in" height="0.5in"}
其中{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为样本平均数
柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高
锥体公式
V={width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}Sh
其中S为底面面积，h为高
球的表面积、体积公式S=4πR^2^，V={width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}πR^3^
其中R为球的半径
**第I卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的**
1\. 若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于
A.｛0，1｝ B.｛-1，0，1｝
C.｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝
2\. i是虚数单位1+i^3^等于
A.i B.-i C.1+i D.1-i
3\. 若a∈R，则"a=1"是"\|a\|=1"的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
{width="1.8208333333333333in" height="2.4916666666666667in"}4.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A. 6 B. 8 C. 10 D.12
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A.3 B.11 C.38 D.123
6.若关于x的方程x^2^+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A. (-1,1)
B. (-2,2)
C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
{width="1.8798611111111112in" height="1.179861111111111in"}7.如图，矩形*ABCD*中，点E为边CD的重点，若在矩形*ABCD*内部随机取一个点Q，则点Q取自△*ABE*内部的概率等于
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} B. {width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} C. {width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} D. {width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
8.已知函数f（x）={width="0.8541666666666666in" height="0.5in"}若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
9.若a∈（0， {width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}），且sin^2^a+cos2a={width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，则tana的值等于
A. {width="0.2847222222222222in" height="0.5in"} B. {width="0.2847222222222222in" height="0.5in"} C. {width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} D. {width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}
10\. 若a\>0, b\>0, 且函数f(x)=4x^3^-ax^2^-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
11\. 设圆锥曲线I'的两个焦点分别为F~1~，F~2~，若曲线I'上存在点P满足{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}：{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}：{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}= 4:3:2，则曲线I'的离心率等于
A. {width="0.5in" height="0.4305555555555556in"} B. {width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
C. {width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"} D. {width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}
12.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个"类"，记为\[k\]，即\[k\]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2011∈\[1\]
②-3∈\[3\]；
③Z=\[0\]∪\[1\]∪\[2\]∪\[3\]∪\[4\];
④"整数a，b属于同一"类"的充要条件是"a-b∈\[0\]".
A.1 B.2 C.3 D.4
**绝密 ★ 启用前**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
--------------------------------------------
**数 学（文史类）**
**第II卷（非选择题 共90分）**
**注意事项：**
**用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置**
13\. 若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.2548611111111112in" height="1.292361111111111in"}14. 若△*ABC*的面积为{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，*BC*=2，C={width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，则边*AB*的长度等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.如图，正方体*ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~*中，*AB*=2，点E为*AD*的中点，点F在*CD*上，若EF∥平面AB~1~C，则线段*EF*的长度等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.商家通常依据"乐观系数准则"确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b-a），这里，x被称为乐观系数.
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c-a）是（b-c）和（b-a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.**
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{a~n~}中，a~1~=1，a~3~=-3.
（I）求数列{a~n~}的通项公式；
（II）若数列{a~n~}的前k项和S~k~=-35，求k的值.
{width="2.2291666666666665in" height="1.8020833333333333in"}
18.（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x^2^=4y相切于点A
1. 求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
19.（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
--- --- ----- ------ --- ---
x 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
--- --- ----- ------ --- ---
1. 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（11） 在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x~1~, x~2~, x~3~，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x~1~, x~2~, x~3~, y~1~, y~2~,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，四棱锥*P-ABCD*中，*PA*⊥底面*ABCD*，*AB*⊥*AD*，点E在线段*AD*上，且*CE∥AB*
1. {width="1.90625in" height="1.3020833333333333in"}求证：CE⊥平面*PAD*；
（11）若*PA*=*AB*=1，*AD*=3，*CD*={width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，∠*CDA*=45°，求四棱锥*P-ABCD*的体积
21.（本小题满分12分）
设函数f（{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}）={width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}，其中，角{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}.
（1）若点P的坐标为{width="0.5694444444444444in" height="0.5in"}，求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：{width="0.6458333333333334in" height="0.7847222222222222in"}，上的一个动点，试确定角{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的取值范围，并求函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的最小值和最大值.
22.（本小题满分14分）
已知a，b为常数，且a≠0，函数{width="2.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}（e=2.71828...是自然对数的底数）.
（I） 求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m\<M），使得对每一个t∈\[m，M\]，直线y=t与曲线{width="1.2152777777777777in" height="0.5in"}都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.
()
试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
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**数学（理科）**
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求做大的答案无效
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的，答案无效
5. 考生必须保持答题卡得整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
> 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高
>
> {width="2.845138888888889in" height="0.8486111111111111in"}线性回归方程{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}中系数计算公式
>
> 其中{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}表示样本均值
>
> N是正整数，则{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}...{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}）
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1\. 设复数{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}满足{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，其中{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位，则{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}=
A．{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} B. {width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} C. {width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} Ｄ．{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}
2．已知集合{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"} ∣{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}为实数，且{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}为实数，且{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}的元素个数为
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
3\. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则
Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0
4\. 设函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ．{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}是偶函数 Ｂ．{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}是奇函数
Ｃ．{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}是偶函数 Ｄ．{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}是奇函数
5\. 在平面直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}上的区域{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}由不等式组{width="0.8541666666666666in" height="0.8541666666666666in"}给定若{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}为{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}上的动点，点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的坐标为{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}的最大值为
A．{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} B．{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} C．4 D．3
6\. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} C．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
{width="1.6458333333333333in" height="1.7291666666666667in"}7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
{width="1.84375in" height="1.6770833333333333in"}{width="2.3854166666666665in" height="1.6145833333333333in"}
A. B. C. D.
8.设S是整数集Z的非空子集，如果{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}有{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}且{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}有有{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}，则下列结论恒成立的是
A. {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中至少有一个关于乘法是封闭的
B. {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中至多有一个关于乘法是封闭的
C. {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中每一个关于乘法都是封闭的
16. **填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分**
**(一）必做题（9-13题）**
9\. 不等式{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}的解集是 [.]{.underline}
10\. {width="0.7152777777777778in" height="0.5in"}的展开式中，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的系数是 [ ]{.underline} （用数字作答）
11\. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}，则k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12\. 函数{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}在x=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_处取得极小值
13\. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为\_\_\_\_\_cm.
2. **选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）**
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}外一点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}分别作圆的切线
{width="1.6770833333333333in" height="1.21875in"}和割线交圆于{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"},{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，且{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}=7，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}是圆上一点使得{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}=5，
∠{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}=∠{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}, 则{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}= [ ]{.underline}
3. **解答题本大题共6小题，满分80分解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤**
```{=html}
<!-- -->
```
1. （本小题满分12分）
已知函数
2. 求的值；
3. 设求的值.
17\. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
------ ----- ----- ----- ----- -----
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
------ ----- ----- ----- ----- -----
1. 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
2. 当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
3. 从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）
18.(本小题满分13分)
{width="2.03125in" height="1.6354166666666667in"} 如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"},PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
\(1\) 证明：AD {width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}平面DEF;
\(2\) 求二面角P-AD-B的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆{width="2.5in" height="0.2847222222222222in"}中的一个内切，另一个外切
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M{width="1.5in" height="0.5in"}，且P为L上动点，求{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的最大值及此时点P的坐标.
20.（本小题共14分）
设b\>0,数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}满足a~1~=b，{width="1.6458333333333333in" height="0.5in"}.
（1）求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}.实数p，q满足{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，x~1~，x~2~是方程{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}的两根，记{width="1.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
（1）过点{width="1.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a^2^-4b\>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，切点分别为{width="1.7152777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}与y轴分别交与F,F\'线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) {width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}X{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"};
（3）设D={ (x,y)\|y≤x-1,y≥{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}(x+1)^2^-{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}}.当点(p,q)取遍D时，求{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}的最小值 （记为{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}）和最大值（记为{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}）.
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
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数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂答案无效
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高
线性回归方程中系数计算公式
样本数据x~1~,x~2~,......，xa的标准差，
其中表示样本均值
N是正整数，则
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A．-i B．i C．-1 D．1
2．已知集合A=为实数，且，B=且则AB的元素个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）若为实数，（），则=
A． B． C．1 D．2
4．函数的定义域是
A． B．（1，+）
C．（-1，1）∪（1，+∞） D．（-，+）
5．不等式2x^2^-x-1\>0的解集是
A． B．（1， +）
C．（-，1）∪（2，+） D．
6．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为
A．3 B．4 C．3 D．4
7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
8．设圆C与圆x^2^+（y-3）^2^=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为
{width="3.2847222222222223in" height="2.6458333333333335in"}
A． B．4 C． D．2
10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，（f·g）（x）=；（f·g）（x）=．则下列恒等式成立的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分
11．已知是同等比数列，a~2~=2,a~4~-a~3~=4,则此数列的公比q=\_\_\_\_\_\_
12．设函数,若,则f（-a）=\_\_\_\_\_\_\_
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：
-------- ------ ------ ------ ------ ------
时间 1 2 3 4 5
命中率 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
-------- ------ ------ ------ ------ ------
小李这5天的平均投篮命中率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0\<）和（t），它们的交点坐标为 [ ]{.underline}
{width="2.6458333333333335in" height="2.2152777777777777in"}
15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分为12分）
已知函数，R
> （1）求的值；
>
> （2）设，f（3）=,f（3+2）=．求sin（ ）的值
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分用x~n~表示编号为n（n=1,2,...,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
---------- ---- ---- ---- ---- ----
编号n 1 2 3 4 5
成绩x~n~ 70 76 72 70 72
---------- ---- ---- ---- ---- ----
> （1）求第6位同学的成绩x~6~，及这6位同学成绩的标准差s;
>
> （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率
18．（本小题满分13分）
图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．
> （1）证明：四点共面；
>
> （2）设G为A A′中点，延长\\到H′，使得．证明：
{width="3.5694444444444446in" height="2.8541666666666665in"}
19．（本小题满分14分）
设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x^2^-2（1-a）的单调性
20．（本小题满分14分）
设b\>0，数列}满足a~1~=b,
> （1）求数列的通项公式；
>
> （2）证明：对于一切正整数n，2ab+1
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
> （1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
>
> （2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；
>
> （3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l~1~与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围
试卷类型：A
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
> 本试卷三大题21小题，全卷满分150分考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
> 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑
>
> 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效
>
> 3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内答在试题卷、草稿纸上无效
>
> 4．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位，则{width="0.7152777777777778in" height="0.5in"}=
A．- {width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"} B．-1 C．{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"} D．1
2．已知{width="3.2152777777777777in" height="0.5in"},则{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}=
A．{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.4305555555555556in" height="0.5in"} C．{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"} D．{width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}
3．已知函数，若{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}，则*x*的取值范围为
A．{width="2.1458333333333335in" height="0.5in"} B．{width="2.3541666666666665in" height="0.5in"}
C．{width="2.2152777777777777in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="2.4305555555555554in" height="0.4305555555555556in"}
4．将两个顶点在抛物线{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n {width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}3
5．已知随机变量{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}服从正态分布{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，且Ｐ（{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}＜4）＝{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，则Ｐ（0＜{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}＜2）＝
Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2
6．已知定义在R上的奇函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}和偶函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}满足{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}（{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}＞0,且{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}）．若{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}=
A．2 B．{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} C． {width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}
7．如图，用K、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}三类不同的元件连接成一个系统当{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}正常工作且{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为
{width="4.0in" height="0.8541666666666666in"}
A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576
8．已知向量a=（*x*+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若*x*,*y*满足不等式{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，则z的取值范围为
A．\[-2，2\] B．\[-2，3\] C．\[-3，2\] D．\[-3，3\]
9．若实数a,b满足{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}且{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则称a与b互补，记，那么{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}是a与b互补的
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件
10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：{width="1.0694444444444444in" height="0.3541666666666667in"}，其中M~0~为t=0时铯137的含量已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A．5太贝克 B．75In2太贝克
C．150In2太贝克 D．150太贝克
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分
11．{width="0.8541666666666666in" height="0.5in"}的展开式中含{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的项的系数为 [ ]{.underline} （结果用数值表示）
12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 [ ]{.underline} （结果用最简分数表示）
13．《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 [ ]{.underline} 升
{width="1.3229166666666667in" height="1.0104166666666667in"}14．如图，直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}所在的平面为{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}（其中{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}轴一与{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
> 轴重合）所在的平面为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}
>
> （Ⅰ）已知平面{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}内有一点{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，则点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}在平面{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}内的射影{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的
>
> 坐标为 [ ]{.underline} ；
>
> （Ⅱ）已知平面{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}内的曲线{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的方程是{width="1.6458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}，则曲线{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}在平面{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}内的射影{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的方程是 [ ]{.underline}
15．给{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}个自上而下相连的正方形着黑色或白色当{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
{width="2.8541666666666665in" height="1.8541666666666667in"}
> 由此推断，当{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 [ ]{.underline} 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 [ ]{.underline} 种，（结果用数值表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分10分）
> 设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知{width="1.5in" height="0.4305555555555556in"}
>
> （Ⅰ）求的周长
>
> （Ⅱ）求{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的值
17．（本小题满分12分）
> 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度*x*（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}时，车流速度v是车流密度*x*的一次函数．
>
> （Ⅰ）当{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}时，求函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的表达式;
>
> （Ⅱ）当车流密度{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
18．（本小题满分12分）
> 如图，已知正三棱柱{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}的各棱长都是4，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}是{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}的中点，动点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}在侧棱{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}上，且不与点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}重合．
>
> （Ⅰ）当{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}=1时，求证：{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}⊥{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}；
>
> {width="1.3333333333333333in" height="1.2916666666666667in"}（Ⅱ）设二面角{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}的大小为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的最小值．
19．（本小题满分13分）
> 已知数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}项和为{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，且满足：{width="0.4305555555555556in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} {width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}N^\*^，{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}．
>
> （Ⅰ）求数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式；
>
> （Ⅱ）若存在{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} N^\*^，使得{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}成等差数列，是判断：对于任意的{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"}N^\*^，且{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.14583333333333334in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.14583333333333334in"}是否成等差数列，并证明你的结论．
20．（本小题满分14分）
> 平面内与两定点{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}连续的斜率之积等于非零常数{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}的点的轨迹，加上{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}两点所成的曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}可以是圆、椭圆成双曲线．
>
> （Ⅰ）求曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的方程，并讨论{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的形状与{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}值得关系；
>
> （Ⅱ）当{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}时，对应的曲线为{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}；对给定的{width="1.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，对应的曲线为{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，设{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}是{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的两个焦点试问：在{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}撒谎个，是否存在点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，使得△{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的面积{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}若存在，求{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的值；若不存在，请说明理由
21．（本小题满分14分）
> （Ⅰ）已知函数{width="1.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，求函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的最大值；
>
> （Ⅱ）设{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}...，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}均为正数，证明：
>
> （1）若{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}...{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}...{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，则；
>
> （2）若{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}...{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}=1，则{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}
2011年普通高考学校招生全国统一考试（湖北卷）
--------------------------------------------
**数学（文史类）**
2. **选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
```{=html}
<!-- -->
```
17. **已知**{width="3.3541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}**则**{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}
**A.** {width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"} **B.**{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}**C.**{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}**D.**{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}
**2. 若向量**{width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}**，则**{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}**与**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**的夹角等于**
**A.** {width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} **B.**{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}**C.** {width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}**D.**{width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
**3. 若定义在R上的偶函数**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**和奇函数**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**满足**{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}**，则**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**=**
**A.** {width="3.3541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}**B.**{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} **C.**{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}**D.**{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
**4. 将两个顶点在抛物线**{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}**上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为**{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}**，则**
**A.** {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} **B.** {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} **C.**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} **D.**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}
**5. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间**{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}**内的频数为**
**A.18 B.36**
**C.54 D.72**
**6. 已知函数**{width="1.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}**，若**{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}**，则x的取值范围为**
**A.**{width="2.3541666666666665in" height="0.5in"}
**B.**{width="2.1458333333333335in" height="0.5in"}
**C.**{width="2.4305555555555554in" height="0.5in"}
**D.**{width="2.2847222222222223in" height="0.5in"}
**7.设球的体积为**{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**，它的内接正方体的体积为**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**，下列说法中最合适的是**
**A.** {width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**比**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**大约多一半**
**B.** {width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**比**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**大约多两倍半**
**C.** {width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**比**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**大约多一倍**
**D.** {width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**比**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**大约多一杯半**
**8. 直线**{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}**与不等式组**{width="0.9305555555555556in" height="1.0in"}**表示的平面区域的公共点有**
**A.0个**
**B.1个**
**C.2个**
**D.无数个**
**9. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为**
**A.1升**
**B.**{width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}**升**
**C.**{width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}**升**
**D.**{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}**升**
**10.若实数a，b满足**{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}**，且**{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}**，则称a与b互补，记**{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}
**那么**{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}**是a与b互补的**
**A.必要不充分条件**
**B.充分不必要的条件**
**C.充要条件**
**D.既不充分也不必要条件**
4. **填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分**
**11. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_家**
**12.**{width="0.8541666666666666in" height="0.5in"}**的展开式中含**{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}**的项的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（结果用数值表示）**
**13.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**14.过点（-1,2）的直线l被圆**{width="1.6458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}**截得的弦长**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}**，则直线l的斜率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**15.里氏震级M的计算公式为：**{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}**，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2847222222222222in"}**是**
**相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振**
**幅为0.001，则此次地震的震级为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振**
**幅的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_倍**
**三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤**
**16.（本小题满分12分）**
**设**{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}**的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知**{width="1.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
**(I) 求**{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}**的周长；**
**(II)求**{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}**的值七彩教育网**
**17.（本小题满分12分）**
**成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列**{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}**中的**{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}
**(I) 求数列**{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}**的通项公式；**
**(II) 数列**{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}**的前n项和为**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**，求证：数列**{width="0.6458333333333334in" height="0.5in"}**是等比数列**
**18. （本小题满分12分）**
**如图，已知正三棱柱**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**-**{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}**的底面边长为2，侧棱长为**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**，点E在侧棱**{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}**上，点F在侧棱**{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}**上，且**{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}**,**{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}**.**
**(I) 求证：**{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**；**
**(II) 求二面角**{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}**的大小**{width="1.6458333333333333in" height="2.2152777777777777in"}
{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}**19. （本小题满分12分）**
**提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流魔都达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当**{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}**时，车流速度v是车流密度x的一次函数**
**(I) 当**{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}**时，求函数**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}**的表达式；**
**(II) 当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）**{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}**可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）**
**20. （本小题满分13分）**
**设函数**{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}**，**{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}**，其中**{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}**，a、b为常数，已知曲线**{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}**与**{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}**在点（2,0）处有相同的切线l**
**(I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；**
**(II)若方程**{width="1.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}**有三个互不相同的实根0、**{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**，其中**{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}**，且对任意的**{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**，**{width="1.5in" height="0.2152777777777778in"}**恒成立，求实数m的取值范围**
**21. （本小题满分14分）**
**平面内与两定点**{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}**（**{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2847222222222222in"}**两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线**
**(I) 求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；**
**(II)当m=1时，对应的曲线为**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**；对给定的**{width="1.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}**，对应的曲线为**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2847222222222222in"}**设**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**、**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**是**{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2847222222222222in"}**的两**
**个焦点试问：在**{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**上，是否存在点N，使得**{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}**的面积**{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}**若存在，求**{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}**的值；若不存在，请说明理由**
**\
**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
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数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分
参考公式：（1），其中为两个事件，且，
（2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高
（3）球的体积公式，其中为求的半径
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的
1.若，为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，，则""是""则（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
-------- ---- ---- ------
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
-------- ---- ---- ------
由算得
附表：
-- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- ------- ------- --------
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关"
B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关"
C．有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
D．有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6\. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
7\. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上
> 一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9.在直角坐标系中，曲线C~1~的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 [ ]{.underline}
10.设,则的最小值为 [ ]{.underline}
{width="1.3229166666666667in" height="1.1041666666666667in"}11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，
,垂足为D, 与相交与点F，则的长为 [ ]{.underline}
.
> 二、必做题（12\~16题）
12、设是等差数列的前项和，且，则
{width="1.84375in" height="3.1055555555555556in"}
13、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 [ ]{.underline}
14、在边长为1的正三角形中，设，则
{width="1.1354166666666667in" height="1.3104166666666666in"}15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件"豆子落在正方形内"，B表示事件"豆子落在扇形（阴影部分）内"，则
（1）；（2）
16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则
（1） （2）
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
18\. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
---------------- --- --- --- ---
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
---------------- --- --- --- ---
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率
(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望
19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．
{width="2.5208333333333335in" height="2.1979166666666665in"}（I）证明：
（II）求二面角的余弦值．
20\. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时{width="2.0694444444444446in" height="1.7152777777777777in"}
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少
1. {width="2.8020833333333335in" height="2.3847222222222224in"}(本小题满分13分）
如图7，椭圆{width="1.7152777777777777in" height="0.4305555555555556in"}的离心率为{width="0.2847222222222222in" height="0.5in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}轴被曲线{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"} 截得的线段长等于{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的长半轴长
（Ⅰ）求{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的方程；
（Ⅱ）设{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}与{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}轴的交点为M，过坐标原点O的直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}与{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}相交于点A,B,直线MA,MB分别与{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}相交与D,E.
（i）证明：{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}；
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"},使得{width="0.2152777777777778in" height="0.5in"}={width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}?
请说明理由
22.（本小题满分13分）
已知函数() =，g ()=+
（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类
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本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．
参考公式（1）柱体体积公式{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，其中{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为底面面积，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为高．
（2）球的体积公式{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}，其中{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为球的半径．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{width="3.0in" height="0.2847222222222222in"}则{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}（ ）
A．{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"} B．{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"} Ｃ．{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"} Ｄ．{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}
２．若{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位，且{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，则
Ａ．{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} Ｂ．{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"} Ｃ．{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"} Ｄ．{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}
３．{width="1.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}的
A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"} Ｂ．{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
Ｃ．{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"} Ｄ．{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
-------- ---- ---- ------
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
-------- ---- ---- ------
由{width="5.0in" height="0.5in"}
附表：
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- -------- ---------
{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"} 0．050 0．010 0．001
{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"} 3．841 6．635 10．828
---------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- -------- ---------
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
B. 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关"
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关"
6．设双曲线{width="1.2847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}的渐近线方程为{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}则{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．曲线{width="1.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}在点{width="0.6458333333333334in" height="0.4305555555555556in"}处的切线的斜率为（ ）
A．{width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} C．{width="0.4305555555555556in" height="0.5in"} D．{width="0.2847222222222222in" height="0.5in"}
8．已知函数{width="2.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}若有{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}则{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的取值范围为
A．{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"} B．{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"} C．{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} D．{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9．在直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中，曲线{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的参数方程为{width="1.7152777777777777in" height="0.5694444444444444in"}．在极坐标系（与直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}取相同的长度单位，且以原点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为极点，以{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}轴正半轴为极轴）中，曲线{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的方程为{width="1.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}则{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}与{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的交点个数为 [ ]{.underline} ．
答案：2
10．已知某试验范围为\[10，90\]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 [ ]{.underline}
(二)必做题（11-16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}则输出的数等于 [ ]{.underline} ．
12．已知{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}为奇函数，{width="2.4305555555555554in" height="0.2152777777777778in"} [ ]{.underline} ．
13．设向量{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}满足{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}且{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的方向相反，则{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的坐标为 [ ]{.underline} ．
14．设{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}在约束条件{width="0.7152777777777778in" height="0.7847222222222222in"}下，目标函数{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的最大值为4，则{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}的值为 [ ]{.underline} ．
15．已知圆{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}直线{width="1.0694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}
（1）圆{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的圆心到直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}的距离为 [ ]{.underline} ．
\(2\) 圆{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}上任意一点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}到直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}的距离小于2的概率为 [ ]{.underline} ．
16、给定{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，设函数{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}满足：对于任意大于{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的正整数{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}
（1）设{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，则其中一个函数{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}在{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}处的函数值为 [ ]{.underline} ；
（2）设{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，且当{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}时，{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}，则不同的函数{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的个数为 [ ]{.underline}
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}中，角{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}所对的边分别为{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}且满足{width="1.1458333333333333in" height="0.2152777777777778in"}
（I）求角{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的大小；
（II）求{width="1.5in" height="0.4305555555555556in"}的最大值，并求取得最大值时角{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的大小．
18．（本题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
-------- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- ----- ---------------------------------------------------------------------------------------------------
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 {width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} {width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} {width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
-------- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- ----- ---------------------------------------------------------------------------------------------------
（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
19．（本题满分12分）
如图3，在圆锥{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}中，已知{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}的直径{width="2.8541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}的中点．
（I）证明：{width="1.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}
{width="2.5208333333333335in" height="2.1979166666666665in"}（II）求直线和平面{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}所成角的正弦值．
20．（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的表达式；
（II）设{width="1.5in" height="0.4305555555555556in"}若{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
21．已知平面内一动点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}到点F（1，0）的距离与点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}到{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}轴的距离的等等于1．
（I）求动点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的轨迹{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的方程；
（II）过点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}作两条斜率存在且互相垂直的直线{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，设{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}与轨迹{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}相交于点{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}与轨迹{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}相交于点{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，求{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的最小值．
当且仅当{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}即{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}时，{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}取最小值16．
22．（本小题13分）
设函数{width="1.8541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
(I)讨论{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的单调性；
（II）若{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}有两个极值点{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}，记过点{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}的直线的斜率为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，问：是否存在{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，使得{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}若存在，求出{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的值，若不存在，请说明理由．
**绝密★启用前**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
--------------------------------------------
**理科数学**
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第I卷1至2页第Ⅱ卷3
至4页，满分150分，考试时间120分钟.
考试结束后，
**考试注意**：
1. 答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考试本人的准考证号、姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回
**参考公式：**
样本数据（{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}**），（**{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}**），\...，（**{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}**）**的线性相关系数
{width="2.0694444444444446in" height="1.0in"} 其中
> {width="1.2847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}
>
> {width="1.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
>
> 锥体的体积公式
{width="0.6458333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
其中{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为底面积，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为高
**第Ⅰ卷**
1. **选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.**
```{=html}
<!-- -->
```
2. 若{width="0.6458333333333334in" height="0.4305555555555556in"},则复数{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}= ( )
A.{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} B. {width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} C. {width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} D.{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}
3. 若集合{width="2.7847222222222223in" height="0.4305555555555556in"},则{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}= ( )
A.{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"} B.{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"} C.{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} D.{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}
4. 若{width="1.2152777777777777in" height="0.6458333333333334in"},则{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的定义域为 ( )
A. ({width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"},0) B. ({width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"},0\] C. ({width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"},{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"}) D. (0,{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"})
5. 若{width="1.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"},则{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的解集为 ( )
A. (0,{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"}) B. (-1,0){width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}(2,{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"})
C. (2,{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"}) D. (-1,0)
6. 已知数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}项和{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}满足:{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"},且{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"},那么{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"} ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
7. 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}表示变量Y与X之间的线性相关系数,{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( )
A.{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"} B. {width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"} C.{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"} D. {width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}
8. 观察下列各式:{width="2.4305555555555554in" height="0.2847222222222222in"}则{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}的末四位数字为 ( )
A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125
9. 已知{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}是三个相互平行的平面,平面{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}之间的距离为{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"},平面{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}之间的距离为{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}.直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}与{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}分别交于{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}.那么{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}是{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 若曲线{width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}与曲线{width="1.5in" height="0.2152777777777778in"}有四个不同的交点,则实数{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}的取值范围是 ( )
A. {width="0.7847222222222222in" height="0.5in"} B. {width="1.2847222222222223in" height="0.5in"}
C. {width="0.7847222222222222in" height="0.5in"} D. {width="1.5694444444444444in" height="0.5in"}{width="1.3944444444444444in" height="1.1333333333333333in"}
2. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
{width="2.6041666666666665in" height="1.7819444444444446in"}{width="5.784722222222222in" height="1.7847222222222223in"}
**第II卷**
**二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
6. 已知{width="0.7152777777777778in" height="0.3541666666666667in"}，{width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}与{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}的夹角为 [ ]{.underline} .
7. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 [ ]{.underline} .
13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="5.784722222222222in" height="0.8541666666666666in"}
10\. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2;
s=0+1+2=3, n=3;
S=3+(-1)+3=5, n=4;
S=5+1+4=10,此时s\>9,输出
10. 若椭圆{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的焦点在x轴上，过点{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}作圆{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 [ ]{.underline} .
**三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.**
15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为{width="1.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 [ ]{.underline} .
15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的最大值为 [ ]{.underline} .
2. 此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，再解出y的范围，{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}，最后综合解出x-2y+1的范围{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，那么绝对值最大，就去5
（PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出所以高考注重的还是基础+基础！）
3. **本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
```{=html}
<!-- -->
```
16. （本小题满分12分）
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
A. 求X的分布列；
B. 求此员工月工资的期望.
```{=html}
<!-- -->
```
17. （本小题满分12分）
在△ABC中，角{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}的对边分别是{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，已知{width="1.6458333333333333in" height="0.4305555555555556in"}.
3. 求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的值；
4. 若{width="1.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}，求边{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的值.
```{=html}
<!-- -->
```
18. （本小题满分12分）
已知两个等比数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，满足{width="3.0694444444444446in" height="0.2847222222222222in"}.
2. 若{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}=1，求数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式；
3. 若数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}唯一，求{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的值.
```{=html}
<!-- -->
```
19. （本小题满分12分）
设{width="1.7847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}
1. 若{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}上存在单调递增区间，求{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的取值范围；
2. 当{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}时，{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}上的最小值为{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}，求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在该区间上的最大值.
```{=html}
<!-- -->
```
3. （本小题满分13分）
{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}是双曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}：{width="1.6458333333333333in" height="0.4305555555555556in"}上一点，{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}分别是双曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的左、右定点，直线{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的斜率之积为{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}.
7. 求双曲线的离心率；
8. 过双曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}两点，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为坐标原点，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为双曲线上的一点，满足{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}，求{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的值.
```{=html}
<!-- -->
```
21. {width="2.678472222222222in" height="1.7020833333333334in"}（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，找出依
次排列的四个相互平行的平面 {width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}，使
得{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间
的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}的四个顶点满足：{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}（i=1,2,3,4），求该正四面体{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}的体积.
**\
**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
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**文科数学**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．
**考生注意**：
> 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．
>
> 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
>
> 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
>
> **参考公式：**
>
> 样本数据的回归方程：
>
> 其中， 锥体体积公式
>
> 其中为底面积，为高
>
> **第I卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.若，则复数=（ ）
A. B. C. D.
2.若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则的定义域为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1 B.2 C. D.
5.设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
6.观察下列各式：则，...，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
{width="2.90625in" height="1.75in"}7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
----------------- ----- ----- ----- ----- -----
父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178
儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177
----------------- ----- ----- ----- ----- -----
则y对x的线性回归方程为
A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176
9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
{width="5.284722222222222in" height="0.9305555555555556in"}
10.如图，一个"凸轮"放置于直角坐标系X轴上方，其"底端"落在原点O处，一顶点及
中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.
{width="4.361111111111111in" height="1.2152777777777777in"}
今使"凸轮"沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中"凸轮"每时每刻都有一个"最高点"，其中心也在不断移动位置，则在"凸轮"滚动一周的过程中，将其"最高点"和"中心点"所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）
{width="5.576388888888889in" height="1.5694444444444444in"}
**注意事项：**
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
**二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
3. 11．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=\_\_\_.
（PS: 这道题是道基础题，在我们做过的高考题中2007年广东文科的第四题，以及寒假题海班文科讲义73页的第十题，几乎是原题考查的就是向量的基本运算送分题(\*\^\_\_\^\*) ）
C. 若双曲线的离心率e=2，则m=[\_\_\_\_]{.underline}.
13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是[\_\_\_\_]{.underline}.
{width="6.138888888888889in" height="0.7152777777777778in"}
11. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=\_\_\_\_\_\_\_.
偏题）
15．对于，不等式的解集为[\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
**三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16.(本小题满分12分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
2. 求此人被评为优秀的概率；
3. 求此人被评为良好及以上的概率．
18.(本小题满分12分）
> {width="2.8319444444444444in" height="2.3208333333333333in"}如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
19.(本小题满分12分）
> 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
20.(本小题满分13分）
设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，
若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为
的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
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**数 学（供理科考生使用）**
**注意事项：**
**1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．**
**3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**1．为正实数，为虚数单位，，则**
**A．2 B． C． D．1**
**2．已知*M*，*N*为集合*I*的非空真子集，且*M*，*N*不相等，若，则**
**A．*M* B．*N* C．*I* D．**
**3．已知*F*是抛物线*y*^2^=*x*的焦点，*A*，*B*是该抛物线上的两点，，则线段*AB*的中点到*y*轴的距离为**
**A． B．1 C． D．**
**4．△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，*a*sin*A*sin*B*+*b*cos^2^*A*=，则**
{width="1.34375in" height="3.25in"} **A． B． C． D．**
**5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件*A*="取到的2个数之和**
> **为偶数"，事件*B*="取到的2个数均为偶数"，则*P*（*B*︱*A*）=**
**A． B．**
**C． D．**
**6．执行右面的程序框图，如果输入的*n*是4，则输出的*P*是**
**A．8**
**B．5**
**C．3**
**D．2**
**7．设sin，则**
**A． B． C． D．**
{width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"}**8．如图，四棱锥*S*---*ABCD*的底面为正方形，*SD*底面*ABCD*，**
**则下列结论中不正确的是**
**A．*AC*⊥*SB***
**B．*AB*∥平面*SCD***
**C．*SA*与平面*SBD*所成的角等于*SC*与平面*SBD*所成的角**
**D．*AB*与*SC*所成的角等于*DC*与*SA*所成的角**
**9．设函数，则满足的*x*的取值范围是**
**A．，2\] B．\[0，2\] C．\[1，+\] D．\[0，+\]**
**10．若，，均为单位向量，且，，则的最大值为**
**A． B．1 C． D．2**
**11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为**
**A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）**
**12．已知球的直径*SC*=4，*A*，*B*是该球球面上的两点，*AB*=，，则棱锥*S*---*ABC*的体积为**
**A． B． C． D．1**
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
**13．已知点（2，3）在双曲线*C*：上，*C*的焦距为4，则它的离心率为 [ ]{.underline} ．**
**14．调查了某地若干户家庭的年收入*x*（单位：万元）和年饮食支出*y*（单位：万元），调查显示年收入*x*与年饮食支出*y*具有线性相关关系，并由调查数据得到*y*对*x*的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_万元．**
{width="0.9388888888888889in" height="0.975in"}**15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯**
**视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 [ ]{.underline} ．**
{width="1.75in" height="1.8229166666666667in"}**16．已知函数=*A*tan（*x*+）（），*y*=**
**的部分图像如下图，则 [ ]{.underline} ．**
**三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．**
**17．（本小题满分12分）**
**已知等差数列{*a*~n~}满足*a*~2~=0，*a*~6~+*a*~8~=-10**
**（I）求数列{*a*~n~}的通项公式；**
**（II）求数列的前*n*项和．**
**18．（本小题满分12分）**
**如图，四边形*ABCD*为正方形，*PD*⊥平面*ABCD*，*PD*∥*QA*，*QA*=*AB*=*P D．***
{width="1.8645833333333333in" height="1.2083333333333333in"}**（I）证明：平面*PQC*⊥平面*DCQ*；**
**（II）求二面角*Q*---*BP*---*C*的余弦值．**
**19．（本小题满分12分）**
> **某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成*n*小块地，在总共2*n*小块地中，随机选*n*小块地种植品种甲，另外*n*小块地种植品种乙．**
**（I）假设*n*=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为*X*，求*X*的分布列和数学期望；**
**（II）试验时每大块地分成8小块，即*n*=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm^2^）如下表：**
------------ --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
**品种甲** **403** **397** **390** **404** **388** **400** **412** **406**
**品种乙** **419** **403** **412** **418** **408** **423** **400** **413**
------------ --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
> **分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？**
>
> **附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．**
**20．（本小题满分12分）**
> **如图，已知椭圆*C*~1~的中心在原点*O*，长轴左、右端点*M*，*N*在*x*轴上，椭圆*C*~2~的短轴为*MN*，且*C*~1~，*C*~2~的离心率都为*e*，直线*l*⊥MN，*l*与*C*~1~交于两点，与*C*~2~交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为*A*，*B*，*C*，*D．***
{width="1.4152777777777779in" height="1.625in"}**（I）设，求与的比值；**
**（II）当*e*变化时，是否存在直线*l*，使得*BO*∥*AN*，并说明理由．**
**21．（本小题满分12分）**
**已知函数．**
**（I）讨论的单调性；**
**（II）设，证明：当时，；**
**（III）若函数的图像与*x*轴交于*A*，*B*两点，线段*AB*中点的横坐标为*x*~0~，证明：（*x*~0~）＜0．**
**请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．**
**22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲**
**如图，*A*，*B*，*C*，*D*四点在同一圆上，*AD*的延长线与*BC*的延长线交于*E*点，且*EC*=*ED．***
{width="1.2229166666666667in" height="1.3in"} **（I）证明：*CD*//*AB*；**
**（II）延长*CD*到*F*，延长*DC*到*G*，使得*EF*=*EG*，证明：*A*，*B*，*G*，*F***
**四点共圆．**
**23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程**
> **在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为（为参数），曲线*C*~2~的参数方程为（，为参数），在以*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线*l*：*θ*=与*C*~1~，*C*~2~各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．**
**（I）分别说明*C*~1~，*C*~2~是什么曲线，并求出*a*与*b*的值；**
**（II）设当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点分别为*A*~1~，*B*~1~，当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点为*A*~2~，*B*~2~，求四边形*A*~1~*A*~2~*B*~2~*B*~1~的面积．**
**24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲**
**已知函数=\|*x*-2\|*x*-5\|．**
**（I）证明：≤≤3；**
**（II）求不等式≥*x*^2^*x*+15的解集．**
**\
**
**绝密★启用前**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
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**文科数学**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．
**考生注意**：
> 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．
>
> 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
>
> 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
>
> **参考公式：**
>
> 样本数据的回归方程：
>
> 其中， 锥体体积公式
>
> 其中为底面积，为高
>
> **第I卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.若，则复数=（ ）
A. B. C. D.
2.若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则的定义域为( )
A. B. C. D.
4.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1 B.2 C. D.
5.设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
6.观察下列各式：则，...，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
{width="2.90625in" height="1.75in"}7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
----------------- ----- ----- ----- ----- -----
父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178
儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177
----------------- ----- ----- ----- ----- -----
则y对x的线性回归方程为
A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176
{width="1.8736111111111111in" height="0.8902777777777777in"}
9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
{width="5.284722222222222in" height="0.9305555555555556in"}
{width="1.2152777777777777in" height="1.2847222222222223in"}
10.如图，一个"凸轮"放置于直角坐标系X轴上方，其"底端"落在原点O处，一顶点及
中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.
{width="4.361111111111111in" height="1.2152777777777777in"}
今使"凸轮"沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中"凸轮"每时每刻都有一个"最高点"，其中心也在不断移动位置，则在"凸轮"滚动一周的过程中，将其"最高点"和"中心点"所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）
{width="5.576388888888889in" height="1.5694444444444444in"}
**第II卷**
**注意事项：**
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
**二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
4. 11．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=\_\_\_.
```{=html}
<!-- -->
```
D. 若双曲线的离心率e=2，则m=[\_\_\_\_]{.underline}.
13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是[\_\_\_\_]{.underline}.
{width="6.138888888888889in" height="0.7152777777777778in"}
(PS: 程序框图的题一直是大家的青睐，就是一个循环计算的过程2010天津文科卷的第3题，考题与此类似)
12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=\_\_\_\_\_\_\_.
15．对于，不等式的解集为[\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
**三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16.(本小题满分12分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
4. 求此人被评为优秀的概率；
5. 求此人被评为良好及以上的概率．
18.(本小题满分12分）
> {width="2.8319444444444444in" height="2.3208333333333333in"}如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
19.(本小题满分12分）
> 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
20.(本小题满分13分）
设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，
若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为
的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
--------------------------------------------
**数 学（供理科考生使用）**
**注意事项：**
**1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．**
**3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**1．为正实数，为虚数单位，，则**
**A．2 B． C． D．1**
**2．已知*M*，*N*为集合*I*的非空真子集，且*M*，*N*不相等，若，则**
**A．*M* B．*N* C．*I* D．**
**3．已知*F*是抛物线*y*^2^=*x*的焦点，*A*，*B*是该抛物线上的两点，，则线段*AB*的中点到*y*轴的距离为**
**A． B．1 C． D．**
**4．△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，*a*sin*A*sin*B*+*b*cos^2^*A*=，则**
{width="1.34375in" height="3.25in"} **A． B． C． D．**
**5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件*A*="取到的2个数之和**
> **为偶数"，事件*B*="取到的2个数均为偶数"，则*P*（*B*︱*A*）=**
**A． B．**
**C． D．**
**6．执行右面的程序框图，如果输入的*n*是4，则输出的*P*是**
**A．8**
**B．5**
**C．3**
**D．2**
**7．设sin，则**
**A． B． C． D．**
{width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"}**8．如图，四棱锥*S*---*ABCD*的底面为正方形，*SD*底面*ABCD*，**
**则下列结论中不正确的是**
**A．*AC*⊥*SB***
**B．*AB*∥平面*SCD***
**C．*SA*与平面*SBD*所成的角等于*SC*与平面*SBD*所成的角**
**D．*AB*与*SC*所成的角等于*DC*与*SA*所成的角**
**9．设函数，则满足的*x*的取值范围是**
**A．，2\] B．\[0，2\] C．\[1，+\] D．\[0，+\]**
**10．若，，均为单位向量，且，，则的最大值为**
**A． B．1 C． D．2**
**11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为**
**A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）**
**12．已知球的直径*SC*=4，*A*，*B*是该球球面上的两点，*AB*=，，则棱锥*S*---*ABC*的体积为**
**A． B． C． D．1**
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
**13．已知点（2，3）在双曲线*C*：上，*C*的焦距为4，则它的离心率为 [ ]{.underline} ．**
**14．调查了某地若干户家庭的年收入*x*（单位：万元）和年饮食支出*y*（单位：万元），调查显示年收入*x*与年饮食支出*y*具有线性相关关系，并由调查数据得到*y*对*x*的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_万元．**
{width="0.9388888888888889in" height="0.975in"}**15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯**
**视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 [ ]{.underline} ．**
{width="1.75in" height="1.8229166666666667in"}**16．已知函数=*A*tan（*x*+）（），*y*=**
**的部分图像如下图，则 [ ]{.underline} ．**
**三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．**
**17．（本小题满分12分）**
**已知等差数列{*a*~n~}满足*a*~2~=0，*a*~6~+*a*~8~=-10**
**（I）求数列{*a*~n~}的通项公式；**
**（II）求数列的前*n*项和．**
**18．（本小题满分12分）**
**如图，四边形*ABCD*为正方形，*PD*⊥平面*ABCD*，*PD*∥*QA*，*QA*=*AB*=*P D．***
{width="1.8645833333333333in" height="1.2083333333333333in"}**（I）证明：平面*PQC*⊥平面*DCQ*；**
**（II）求二面角*Q*---*BP*---*C*的余弦值．**
**19．（本小题满分12分）**
> **某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成*n*小块地，在总共2*n*小块地中，随机选*n*小块地种植品种甲，另外*n*小块地种植品种乙．**
**（I）假设*n*=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为*X*，求*X*的分布列和数学期望；**
**（II）试验时每大块地分成8小块，即*n*=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm^2^）如下表：**
------------ --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
**品种甲** **403** **397** **390** **404** **388** **400** **412** **406**
**品种乙** **419** **403** **412** **418** **408** **423** **400** **413**
------------ --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
> **分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？**
>
> **附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．**
**20．（本小题满分12分）**
> **如图，已知椭圆*C*~1~的中心在原点*O*，长轴左、右端点*M*，*N*在*x*轴上，椭圆*C*~2~的短轴为*MN*，且*C*~1~，*C*~2~的离心率都为*e*，直线*l*⊥MN，*l*与*C*~1~交于两点，与*C*~2~交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为*A*，*B*，*C*，*D．***
{width="1.4152777777777779in" height="1.625in"}**（I）设，求与的比值；**
**（II）当*e*变化时，是否存在直线*l*，使得*BO*∥*AN*，并说明理由．**
**21．（本小题满分12分）**
**已知函数．**
**（I）讨论的单调性；**
**（II）设，证明：当时，；**
**（III）若函数的图像与*x*轴交于*A*，*B*两点，线段*AB*中点的横坐标为*x*~0~，证明：（*x*~0~）＜0．**
**请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．**
**22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲**
**如图，*A*，*B*，*C*，*D*四点在同一圆上，*AD*的延长线与*BC*的延长线交于*E*点，且*EC*=*ED．***
{width="1.2229166666666667in" height="1.3in"} **（I）证明：*CD*//*AB*；**
**（II）延长*CD*到*F*，延长*DC*到*G*，使得*EF*=*EG*，证明：*A*，*B*，*G*，*F***
**四点共圆．**
**23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程**
> **在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为（为参数），曲线*C*~2~的参数方程为（，为参数），在以*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线*l*：*θ*=与*C*~1~，*C*~2~各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．**
**（I）分别说明*C*~1~，*C*~2~是什么曲线，并求出*a*与*b*的值；**
**（II）设当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点分别为*A*~1~，*B*~1~，当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点为*A*~2~，*B*~2~，求四边形*A*~1~*A*~2~*B*~2~*B*~1~的面积．**
**24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲**
**已知函数=\|*x*-2\|*x*-5\|．**
**（I）证明：≤≤3；**
**（II）求不等式≥*x*^2^*x*+15的解集．**
**\
**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
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**数 学（供文科考生使用）**
**注意事项：**
**1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．**
**3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**1．已知集合*A*={*x*}，*B*={*x*}}，则*AB*=**
**A．{*x*} B．{*x*}**
**C．{*x*} D．{*x*}**
**2．为虚数单位，**
**A．0 B．2 C． D．4**
**3．已知向量，，，则**
**A． B． C．6 D．12**
**4．已知命题*P*：*n*∈N，2*^n^*＞1000，则*P*为**
**A．*n*∈N，2*^n^*≤1000 B．*n*∈N，2*^n^*＞1000**
**C．*n*∈N，2*^n^*≤1000 D．*n*∈N，2*^n^*＜1000**
**5．若等比数列{*a~n~*}满足*a~n~a~n~*~+1~=16*^n^*，则公比为**
**A．2 B．4 C．8 D．16**
**6．若函数为奇函数，则*a*=**
**A． B． C． D．1**
**7．已知*F*是抛物线*y*^2^=*x*的焦点，*A*，*B*是该抛物线上的两点，，则线段*AB*的中点到*y*轴的距离为**
{width="0.7305555555555555in" height="0.7583333333333333in"} **A． B．1 C． D．**
**8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图**
> **如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是**
**A．4 B． C．2 D．**
{width="1.34375in" height="3.25in"}**9．执行右面的程序框图，如果输入的*n*是4，则输出的*P*是**
**A．8**
**B．5**
**C．3**
**D．2**
**10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，**
**∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为**
**A． B．**
**C． D．**
**11．函数的定义域为，，对任意，，**
**则的解集为**
{width="1.75in" height="1.8229166666666667in"} **A．（，1） B．（，+）**
**C．（，） D．（，+）**
**12．已知函数=*A*tan（*x*+）（），*y*=的**
**部分图像如下图，则**
**A．2+ B．**
**C． D．**
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分．第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题\~第24题为选考题，考生根据要求做答．**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
**13．已知圆*C*经过*A*（5，1），*B*（1，3）两点，圆心在*x*轴上，则*C*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**14．调查了某地若干户家庭的年收入*x*（单位：万元）和年饮食支出*y*（单位：万元），调查显示年收入*x*与年饮食支出*y*具有线性相关关系，并由调查数据得到*y*对*x*的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_万元．**
**15．*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，*S*~2~=*S*~6~，*a*~4~=1，则*a*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**16．已知函数有零点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．**
**17．（本小题满分12分）**
**△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，*a*sin*A*sin*B*+*b*cos^2^*A*=*a*．**
**（I）求；**
**（II）若*c*^2^=*b*^2^+*a*^2^，求B．**
**18．（本小题满分12分）**
**如图，四边形*ABCD*为正方形，*QA*⊥平面*ABCD*，*PD*∥*QA*，*QA*=*AB*=*PD．***
{width="1.8645833333333333in" height="1.2083333333333333in"}**（I）证明：*PQ*⊥平面*DCQ*；**
**（II）求棱锥*Q*---*ABCD*的的体积与棱锥*P*---*DCQ*的体积的比值．**
**19．（本小题满分12分）**
> **某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成*n*小块地，在总共2*n*小块地中，随机选*n*小块地种植品种甲，另外*n*小块地种植品种乙．**
**（I）假设*n*=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；**
> **（II）试验时每大块地分成8小块，即*n*=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm^2^）如下表：**
------------ --------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- ---------
**品种甲** **403** **397** **390** **404** **388** **400** **412** **406**
**品种乙** **419** **403** **412** **418** **408** **423** **400** **413**
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> **分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？**
>
> **附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．**
**20．（本小题满分12分）**
**设函数=*x*+*ax*^2^+*b*ln*x*，曲线*y*=过*P*（1,0），且在*P*点处的切斜线率为2．**
**（I）求*a*，*b*的值；**
**（II）证明：≤2*x*-2．**
**21．（本小题满分12分）**
> {width="1.5090277777777779in" height="1.7333333333333334in"}**如图，已知椭圆*C*~1~的中心在原点*O*，长轴左、右端点*M*，*N*在*x*轴上，椭圆*C*~2~的短轴为*MN*，且*C*~1~，*C*~2~的离心率都为*e*，直线*l*⊥MN，*l*与*C*~1~交于两点，与*C*~2~交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为*A*，*B*，*C*，*D．***
**（I）设，求与的比值；**
**（II）当*e*变化时，是否存在直线*l*，使得*BO*∥*AN*，并说明理由．**
**请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．**
**22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲**
**如图，*A*，*B*，*C*，*D*四点在同一圆上，*AD*的延长线与*BC*的延长线交于*E*点，且*EC*=*ED．***
**（I）证明：*CD*//*AB*；**
**（II）延长*CD*到*F*，延长*DC*到*G*，使得*EF*=*EG*，证明：*A*，*B*，*G*，*F*四点共圆．**
{width="1.1208333333333333in" height="1.1916666666666667in"}
**23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程**
> **在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为（为参数），曲线*C*~2~的参数方程为（，为参数），在以*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线*l*：*θ*=与*C*~1~，*C*~2~各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．**
**（I）分别说明*C*~1~，*C*~2~是什么曲线，并求出*a*与*b*的值；**
> **（II）设当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点分别为*A*~1~，*B*~1~，当=时，*l*与*C*~1~，*C*~2~的交点为*A*~2~，*B*~2~，求四边形*A*~1~*A*~2~*B*~2~*B*~1~的面积．**
**24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲**
**已知函数=\|*x*-2\|*x*-5\|．**
**（I）证明：≤≤3；**
**（II）求不等式≥*x*^2^*x*+15的解集．**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
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**理 科 数 学**
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
**注意事项：**
1\. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.
2\. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试卷上
3\. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
**参考公式：**
> 柱体的体积公式：{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，其中{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}表示柱体的底面积，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}表示柱体的高.
>
> 圆柱的侧面积公式：{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，其中c是圆柱的底面周长，{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}是圆柱的母线长.
>
> 球的体积公式V={width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}, 其中R是球的半径.
>
> 球的表面积公式：S=4π{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"},其中R是球的半径.
>
> 用最小二乘法求线性回归方程系数公式{width="2.1458333333333335in" height="0.9305555555555556in"} .
>
> 如果事件{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}互斥，那么{width="1.6458333333333333in" height="0.2152777777777778in"}.
**第1卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
（1）设集合 ***M*** ={x\|x^2^+x-6\<0}，***N*** ={x\|1≤x≤3},则***M***∩***N*** =
（A）\[1,2) （B）\[1,2\] （C）( 2,3\] （D）\[2,3\]
（2）复数z={width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}({width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）若点（a,9）在函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}的图象上，则tan={width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的值为：
（A）0 （B） {width="0.2847222222222222in" height="0.5in"} （C）1 （D）{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}
(4)不等式\|x-5\|+\|x+3\|≥10的解集是
（A）\[-5,7\] (B)\[-4,6\] (C)(-∞,-5\]∪\[7，+∞) （D）(-∞，-4\]∪\[6,+∞)
（5）对于函数y=f（x），x∈**R**，"y=\|f(x)\|的图像关于y轴"是"y=f（x）是奇函数"的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）若函数{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} (ω\>0)在区间{width="0.5in" height="0.5in"}上单调递增，在区间{width="0.5694444444444444in" height="0.5in"}上单调递减，则ω=
（A）3 （B）2 （C）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （D）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
（7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
{width="5.784722222222222in" height="1.0in"}
根据上表可得回归方程{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}中的{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
（A）63.6万元 （B）65.5万元 （C）67.7万元 （D）72.0万元
（8）已知双曲线{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}（a\>0,b\>0）的两条渐近线均和圆C：x^2^+y^2^-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
（A）{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} （B）{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} （C）{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"} （D）{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
（9）函数{width="1.0in" height="0.4305555555555556in"}的图象大致是
{width="5.791666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
（10）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x^3^-x，则函数y=f（x）的图像在区间\[0,6\]上与x轴的交点个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
{width="1.9270833333333333in" height="2.816666666666667in"}（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
（A）3 （B）2
（C）1 （D）0
（12）设{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}是平面直角坐标系中两两不同的四点，若{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"} (λ∈R)，{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}(μ∈R)，且{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"},则称{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}调和分割{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"} ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是
（A）C可能是线段AB的中点
（B）D可能是线段AB的中点
（C）C，D可能同时在线段AB上
（D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上
**第II卷（共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.**
（13）执行右图所示的程序框图，输入{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，m=3，n=5，则输出的y的值是 [ ]{.underline} .
(14)若{width="0.7152777777777778in" height="0.5694444444444444in"}展开式的常数项为60，则常数a的值为 [ ]{.underline} .
（15）设函数{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}（x＞0），观察：
{width="1.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
f~2~ (x)=f(f~1~（x）)= {width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}
f~3~ (x)=f(f~2~（x）)= {width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}
f~4~ (x)=f(f~3~（x）)= {width="0.6458333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
......
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N^\*^且n≥2时，f~m~（x）=f（f~m-1~（x））= [ ]{.underline} .
（16）已知函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}={width="2.0in" height="0.2847222222222222in"}
当2＜a＜3＜b＜4时，函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}的零点{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"} [ ]{.underline} .
**三、解答题：本大题共6小题，共74分.**
**（17）（本小题满分12分）**
在{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知{width="1.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}.
（Ⅰ）求{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}的值；
（Ⅱ）若cosB={width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，b=2, 求△ABC的面积S.
**（18）（本小题满分12分）**
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}表示红队队员获胜的总盘数，求{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的分布列和数学期望{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}.
{width="2.71875in" height="1.09375in"}**（１９）（本小题满分12分）**
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，
∠ ACB={width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，ＥＡ ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，
ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ上的中点，求证：ＧＭ ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ-２ＡＥ,求平面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
**（20）（本小题满分12分）**
等比数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}中，{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}中的任何两个数不在下表的同一列.
-------- -------- -------- --------
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
-------- -------- -------- --------
（Ⅰ）求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}满足：{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的前n项和S~n~.
**（21）（本小题满分12分）**
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}立方米，且{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}千元.设该容器的建造费用为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}千元.
（Ⅰ）写出{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}关于{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的函数表达式，并求该函数的定义域；
{width="2.5208333333333335in" height="1.1145833333333333in"}（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}.
**（22）（本小题满分14分）**
已知直线l与椭圆C: {width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}交于P{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}.Q{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}两不同点，且△OPQ的面积S={width="0.2847222222222222in" height="0.5in"},其中Q为坐标原点
（Ⅰ）证明X~1~^2^+X~2~^2^和Y~1~^2^+Y~2~^2^均为定值
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S~△ODE~=S~△ODG~=S~△OEG~若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
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文科数学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分150分考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
注意事项：
> 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上
>
> 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上
>
> 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按能上能下要求作答的答案无效
>
> 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
参考公式：
柱体的体积公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高
圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长
球的体积公式：，其中R是球的半径
球的表面积公式：，其中R是球的半径
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．
1．设集合 M ={x\|（x+3）（x-2）\<0}，N ={x\|1≤x≤3},则M∩N =
A．\[1,2） B．\[1,2\] C．（ 2,3\] D．\[2,3\]
2．复数z={width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}（{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若点（a,9）在函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}的图象上，则tan={width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的值为
A．0 B．{width="0.2847222222222222in" height="0.5in"} C．1 D．{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}
4．曲线{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是
A．-9 B．-3 C．9 D．15
5．已知a，b，c∈R，命题"若{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}=3，则{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}≥3"，的否命题是
A．若a+b+c≠3，则{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}\<3
B．若a+b+c=3，则{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}\<3
C．若a+b+c≠3，则{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}≥3
D．若{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}≥3，则a+b+c=3
6．若函数{width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} （ω\>0）在区间{width="0.5in" height="0.5in"}上单调递增，在区间{width="0.5694444444444444in" height="0.5in"}上单调递减，则ω=
A．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} C．2 D．3
7．设变量x，y满足约束条件{width="1.1458333333333333in" height="0.7847222222222222in"}，则目标函数{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}的最大值为
A．11 B．10 C．9 D．8．5
8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
------------------- ---- ---- ---- ----
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
------------------- ---- ---- ---- ----
> 根据上表可得回归方程{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}中的{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
9．设M（{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}）为抛物线C：{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}为半径的圆和抛物线C的准线相交，则{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的取值范围是
A．（0，2） B．\[0，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
10．函数的图象大致是
{width="6.638888888888889in" height="1.3541666666666667in"}
{width="1.0638888888888889in" height="1.3493055555555555in"}11．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
> 其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯
>
> 视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命
>
> 题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
12．设{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}是平面直角坐标系中两两不同的四点，若{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"} （λ∈R），{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}（μ∈R），且{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"},则称{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}调和分割{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"} ,已知点C（c，o）,D（d，O） （c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
{width="1.99375in" height="2.816666666666667in"}第II卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
> 为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽
>
> 取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 [ ]{.underline} ．
14．执行右图所示的程序框图，输入*l*=2，m=3，n=5，则输出的y的值
> 是 [ ]{.underline}
15．已知双曲线{width="1.7152777777777777in" height="0.4305555555555556in"}和椭圆{width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}有相同的
> 焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程
>
> 为 [ ]{.underline} ．
16．已知函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}={width="2.0in" height="0.2847222222222222in"}当2＜a＜3＜b＜4时，函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}的零点{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"} [ ]{.underline} ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
> 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知{width="1.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}．
（I）求{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}的值；
（II）若cosB={width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，{width="2.0in" height="0.2152777777777778in"}
18．（本小题满分12分）
> 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
>
> （I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
>
> （II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
19．（本小题满分12分）
> 如图，在四棱台{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}中，{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}平面{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，底面{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}是平行四边形，{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}60°
>
> {width="2.1145833333333335in" height="1.1444444444444444in"}（Ⅰ）证明：{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}；
>
> （Ⅱ）证明：{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}．{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
20．（本小题满分12分）
> 等比数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}中，{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}中的任何两个数不在下表的同一列．
-------- -------- -------- --------
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
-------- -------- -------- --------
> （Ⅰ）求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式；
>
> （Ⅱ）若数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}满足：，求数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的前{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}项和{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}．
21．（本小题满分12分）
> 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}立方米，且{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}．设该容器的建造费用为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}千元．
>
> （Ⅰ）写出{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}关于{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的函数表达式，并求该函数的定义域；
>
> （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}．
{width="2.004166666666667in" height="0.8861111111111111in"}
22．（本小题满分14分）
> 在平面直角坐标系{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中，已知椭圆{width="1.0in" height="0.4305555555555556in"}．如图所示，斜率为{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}且不过原点的直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}交椭圆{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}于{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}两点，线段{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}的中点为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，射线{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}交椭圆{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}于点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}，交直线{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}于点{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}．
>
> （Ⅰ）求{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}的最小值；
>
> （Ⅱ）若{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}∙{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}，
>
> （i）求证：直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}过定点；
{width="2.3333333333333335in" height="1.9166666666666667in"}（ii）试问点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}能否关于{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}轴对称？若能，求出此时{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}的外接圆方程；若不能，
> 请说明理由．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
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数学（理工农医类）
1. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1\. 设{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}是向量，命题"若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣= ∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣"的逆命题是 （ ）
（A）若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣ （B）若{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣
（C）若∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣ （D）若∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣=∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣，则{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}= -{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则抛物线的方程是 （ ）
（A）{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"} （B）{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"} (C) {width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"} (D) {width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
3.设函数{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}满足{width="2.0694444444444446in" height="0.2152777777777778in"},则{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的图像可能是（ ）
{width="5.784722222222222in" height="1.5in"}4. {width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}（x∈R展开式中的常数项是 （ ）
（A）-20 （B）-15 （C）15 （D）20
3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
8. {width="2.091666666666667in" height="1.9916666666666667in"}{width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}
9. {width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
10. 8-2π
11. {width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
```{=html}
<!-- -->
```
4. 函数f(x)={width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}---cosx在\[0，+∞）内 （ ）
```{=html}
<!-- -->
```
5. 没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
5. 设集合M={y\|{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}x---{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}x\|,x∈R},
N={x\|\|x---{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}\|\<{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"},i为虚数单位，x∈R},则M∩N为（ ）
(A)(0,1)
(B)(0,1\]
(C)\[0,1)
(D)\[0,1\]
6. 右图中，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分当{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}=6，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}=9，p=8.5时，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}等于 （ ）
{width="1.8666666666666667in" height="2.9in"}(A)11
(B)10
(C)8
(D)7
9.设（{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}），（{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}），...，（{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}）是变量{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}个样本点，直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是【D】
{width="1.8541666666666667in" height="1.3645833333333333in"}（A）{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的相关系数为直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}的斜率
（B）{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的相关系数在0到1之间
（C）当{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}为偶数时，分布在{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}两侧的样本点的个数一定相同
（D）直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}过点{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
10.甲乙两人一起去游"2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【D】
（A）{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （B）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （C）{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （D）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
11.设{width="2.6458333333333335in" height="0.7152777777777778in"}若{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，则{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}= 1
12.设{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"},一元二次方程{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}有正数根的充要条件是{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}= [3或4]{.underline}
13.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
......
照此规律，第{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}个等式为 {width="2.8541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}
14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为[2000]{.underline}（米）
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
{width="2.2708333333333335in" height="1.1875in"}A．（不等式选做题）若关于{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的不等式{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}存在实数解，则实数{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的取值范围是{width="1.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}
B．（几何证明选做题）如图，{width="2.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，且{width="1.7152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}，则{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}中，以原点为极点，{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线{width="2.2152777777777777in" height="0.7152777777777778in"}（{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为参数）和曲线{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}上，则{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的最小值为 [3]{.underline}
三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
{width="4.364583333333333in" height="1.3333333333333333in"}如图，在{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}中，{width="2.0694444444444446in" height="0.2847222222222222in"}是{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}上的高，沿{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}把{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}折起，使{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
{width="2.03125in" height="1.5in"}（Ⅱ ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}与 {width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}夹角的余弦值
17.（本小题满分12分）
如图，设P是圆{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"}上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且{width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程{width="1.3541666666666667in" height="1.3541666666666667in"}
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}的直线被C所截线段的长度
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理
\
19.（本小题满分12分）如图，从点P~1~（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=e~x~于点Q~1~（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P~2~再从P~2~作x轴的垂线交曲线于点Q~2~，依次重复上述过程得到一系列点：P~1~，Q~I~；P~2~，Q~2~...P~n~，Q~n~，记{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}点的坐标为（{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，0）（k=1,2，...，n）
（Ⅰ）试求{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}与{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的关系（2≤k≤n）；
（ Ⅱ）求{width="2.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}
20.（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L~1~和L~2~，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
{width="2.0694444444444446in" height="0.7152777777777778in"}{width="5.5in" height="1.1458333333333333in"}
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望
**\
**
2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
--------------------------------------------
**文科数学**
2. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1\. 设{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}是向量，命题"若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣= ∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣"的逆命题是【D】
（A）若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣ （B）若{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣
（C）若∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣，则∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣ （D）若∣{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}∣=∣{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}∣，则{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}= -{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则抛物线的方程是 【C】
（A）{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"} （B）{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"} (C) {width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"} (D) {width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
3.设{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，则下列不等式中正确的是 【B】
（A） {width="1.2152777777777777in" height="0.4305555555555556in"} （B）{width="1.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
（c）{width="1.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"} (D) {width="1.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
4\. 函数{width="0.4305555555555556in" height="0.3541666666666667in"}的图像是 【B】
{width="5.930555555555555in" height="1.2847222222222223in"}
4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【A】
```{=html}
<!-- -->
```
12. {width="2.091666666666667in" height="1.9916666666666667in"}{width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}
13. {width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
14. 8-2π
15. {width="0.2847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
6.方程{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}在{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}内【C】
(A)没有根 (B)有且仅有一个根
\(C\) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根
7.如右框图，当{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}时，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}等于 【B】
\(A\) 7 (B) 8 (C)10 （D）11
8.设集合M={y\|{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}x---{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}x\|,x∈R},{width="2.9305555555555554in" height="3.576388888888889in"}
N={x\|\|x---{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}\|\<{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"},i为虚数单位，x∈R},则M∩N为【C】
(A)(0,1)
(B)(0,1\]
(C)\[0,1)
(D)\[0,1\]
9.设{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}··· ，{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}是变量{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}次方个样本点，直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）
\(A\) 直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}过点{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}
（B）{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的相关系数为直线{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}的斜率
（C）{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的相关系数在0到1之间
（D）当{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}为偶数时，分布在{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}两侧的样本点的个数一定相同
{width="1.7847222222222223in" height="1.2847222222222223in"}
10.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）
2. **填空题（ 共5道小题，每小题5分，共25分）**
```{=html}
<!-- -->
```
11. 设f(x)= lgx,x\>0, 则f(f(-2))=\_\_\_\_\_\_.
> {width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"},x≤0，
12. {width="1.875in" height="1.1416666666666666in"}如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，
那么2x-y的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
13. 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14. 设n∈{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"},一元二次方程{width="0.8541666666666666in" height="0.2152777777777778in"}有整数根的充要条件是n=\_\_\_\_\_.
```{=html}
<!-- -->
```
15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）若不等式{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}对任意{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}恒成立，则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
B.（几何证明选做题）如图，
{width="2.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}
且AB=6，AC+4，AD+12，则AE=\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.8229166666666667in" height="1.03125in"} C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线{width="1.2152777777777777in" height="0.5in"} （{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为参数）和曲线{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}上，则{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
3. **解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）**
```{=html}
<!-- -->
```
16. （本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°
{width="2.7152777777777777in" height="0.8541666666666666in"}
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D---ＡＢＣ的表面积
17.（本小题满分12分）
设椭圆C: {width="1.5in" height="0.4305555555555556in"}过点（0，4），离心率为{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}的直线被C所截线段的中点坐标
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理
19.（本小题满分12分）
如图，从点{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}做x轴的垂线交曲线{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}于点{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}曲线在{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}点处的切线与x轴交于点{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，再从{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}做x轴的垂线交曲线于点{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，依次重复上述过程得到一系列点：{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}记{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}点的坐标为{width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}.
{width="1.625in" height="1.0625in"}20.（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L~1~和L~2~，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
{width="5.930555555555555in" height="1.2847222222222223in"}
（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
（Ⅱ ）分别求通过路径L~1~和L~2~所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径
21.（本小题满分14分）
设{width="2.1458333333333335in" height="0.2152777777777778in"}
（Ⅰ）求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}与{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}的大小关系；
（Ⅲ）求{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的取值范围，使得{width="0.7847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}＜{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}对任意{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}＞0成立
2011年上海市高考数学试题（理科）
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一、填空题（56分）
1、函数{width="0.8541666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的反函数为{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"} [ ]{.underline}
2、若全集{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，集合{width="1.7152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}，则{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"} [ ]{.underline}
3、设{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}为常数，若点{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}是双曲线{width="0.7847222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的一个焦点，则{width="0.2847222222222222in" height="0.14583333333333334in"} [ ]{.underline}
4、不等式{width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}的解为 [ ]{.underline}
5、在极坐标系中，直线{width="1.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}与直线{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的夹角大小为 [ ]{.underline}
6、在相距2千米的{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}、{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}两点处测量目标{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，若{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}、{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}两点之间的距离是 [ ]{.underline} 千米
7、若圆锥的侧面积为{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}，底面积为{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，则该圆锥的体积为 [ ]{.underline}
{width="2.5in" height="0.75in"}8、函数{width="1.7152777777777777in" height="0.4305555555555556in"}的最大值为 [ ]{.underline}
9、马老师从课本上抄录一个随机变量{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的概率分布律如下表
请小牛同学计算{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的数学期望，尽管"！"处无法完全看清，且两个"？"处字迹模糊，但能肯定这两个"？"处的数值相同据此，小牛给出了正确答案{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"} [ ]{.underline}
10、行列式{width="0.4305555555555556in" height="0.5in"}（{width="1.2847222222222223in" height="0.2152777777777778in"}）的所有可能值中，最大的是 [ ]{.underline}
11、在正三角形{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}中，{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}是{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}上的点，{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}，则{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"} [ ]{.underline}
12、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 [ ]{.underline} （默认每月天数相同，结果精确到{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}）
13、设{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}是定义在{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}上、以1为周期的函数，若{width="1.0694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}在{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}上的值域为{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在区间{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}上的值域为 [ ]{.underline}
14、已知点{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}、{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}，记{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的中点为{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，取{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}中的一条，记其端点为{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，使之满足{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}；记{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的中点为{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，取{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}中的一条，记其端点为{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}、{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，使之满足{width="1.7152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}；依次下去，得到点{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.8541666666666666in" height="0.2847222222222222in"} [ ]{.underline}
二、选择题（20分）
15、若{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}，且{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，则下列不等式中，恒成立的是**〖答〗**（ ）
A {width="0.9305555555555556in" height="0.2152777777777778in"} B {width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"} C {width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"} D {width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}
16、下列函数中，既是偶函数，又是在区间{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}上单调递减的函数为**〖答〗**（ ）
A {width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} B {width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"} C {width="0.5in" height="0.2847222222222222in"} D {width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
17、设{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}是空间中给定的5个不同的点，则使{width="2.3541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}成立的点{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}的个数为**〖答〗**（ ）
A 0 B 1 C 5 D 10
18、设{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}是各项为正数的无穷数列，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}是边长为{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}的矩形面积（{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}），则{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}为等比数列的充要条件为**〖答〗**（ ）
A {width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}是等比数列
B {width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}或{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}是等比数列
C {width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}和{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}均是等比数列
D {width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}和{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}均是等比数列，且公比相同
三、解答题（74分）
19、（12分）已知复数{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}满足{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}（{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}为虚数单位），复数{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}的虚部为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}是实数，求{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}
20、（12分）已知函数{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，其中常数{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}满足{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}
⑴ 若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，判断函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的单调性；
⑵ 若{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}，求{width="1.0694444444444444in" height="0.2152777777777778in"}时{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的取值范围
21、（14分）已知{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}是底面边长为1的正四棱柱，{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}是{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的交点
{width="2.1458333333333335in" height="2.5in"}⑴ 设{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}与底面{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}所成的角的大小为{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，二面角{width="0.9305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}的大小为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
求证：{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}；
⑵ 若点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}到平面{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}的距离为{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}，求正四棱柱{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}的高
22、（18分）已知数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}和{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式分别为{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}（{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}），将集合
{width="2.6458333333333335in" height="0.2847222222222222in"}中的元素从小到大依次排列，构成数列{width="1.2152777777777777in" height="0.2847222222222222in"}
⑴ 求{width="0.7152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}；
⑵ 求证：在数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}中、但不在数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}中的项恰为{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}；
⑶ 求数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的通项公式
23、（18分）已知平面上的线段{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}及点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，在{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}上任取一点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，线段{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}长度的最小值称为点{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}到线段{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}的距离，记作{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}
⑴ 求点{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}到线段{width="1.7152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}的距离{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"}；
⑵ 设{width="6.944444444444445e-2in" height="0.2152777777777778in"}是长为2的线段，求点集{width="1.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}所表示图形的面积；
⑶ 写出到两条线段{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}距离相等的点的集合{width="1.7847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，其中{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}，
{width="0.7152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}是下列三组点中的一组对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分
① {width="2.1458333333333335in" height="0.2152777777777778in"}
② {width="2.2152777777777777in" height="0.2152777777777778in"}
③ {width="2.0in" height="0.2152777777777778in"}
2011年上海市高考数学试题（文科）
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一、填空题（56分）
1、若全集，集合，则 [ ]{.underline}
2、 [ ]{.underline}
{width="1.375in" height="1.3229166666666667in"}3、若函数的反函数为，则 [ ]{.underline}
4、函数的最大值为 [ ]{.underline}
5、若直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为 [ ]{.underline}
6、不等式的解为 [ ]{.underline}
7、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的侧面积是 [ ]{.underline}
8、在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是 [ ]{.underline} 千米
9、若变量、满足条件，则的最大值为 [ ]{.underline}
10、课题组进行城市农空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为、、若用分层抽样抽取个城市，则丙组中应抽取的城市数为 [ ]{.underline}
11、行列式（）的所有可能值中，最大的是 [ ]{.underline}
12、在正三角形中，是上的点，，则 [ ]{.underline}
13、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 [ ]{.underline} （默认每月天数相同，结果精确到）
14、设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 [ ]{.underline}
二、选择题（20分）
15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为**〖答〗**（ ）
A B C D
16、若，且，则下列不等式中，恒成立的是**〖答〗**（ ）
A B C D
17、若三角方程与的解集分别为和，则**〖答〗**（ ）
A B C D
18、设是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点的个数为**〖答〗**（ ）
A 0 B 1 C 2 D 4
三、解答题（74分）
19、（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求
{width="1.9395833333333334in" height="2.2583333333333333in"}20、（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高求：
⑴ 异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
⑵ 四面体的体积
21、（14分）已知函数，其中常数满足
⑴ 若，判断函数的单调性；
⑵ 若，求时折取值范围
22、（16分）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为
⑴ 若与重合，求的焦点坐标；
⑵ 若，求的最大值与最小值；
⑶ 若的最小值为，求的取值范围
23、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；
⑵ 中有多少项不是数列中的项？说明理由；
⑶ 求数列的前项和（）
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
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**数 学(理工类)**
本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B) =P(A)+P(B) {width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"} {width="0.7152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}
在n次独立重复试验中事{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
{width="2.5in" height="0.2847222222222222in"}
第一部分（选择题 共60分）
注意事项：
1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
\[11.5，15.5) 2 \[15.5,19.5) 4 \[19.5，23．5) 9 \[23.5,27.5) 18
\[27.5，31.5) 1l \[31.5，35.5) 12 \[35.5．39.5) 7 \[39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在\[31.5，43.5)的概率约是
(A){width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} (B){width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} (C){width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （D）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
2、复数{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}=
(A){width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} （B）{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （C）0 （D）{width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}
3、{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
(A){width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
（B）{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}\[来源:Zxxk.Com\]
(C){width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"} {width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}共面
（D）{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}共点{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2847222222222222in"}共面
{width="1.0569444444444445in" height="0.8868055555555555in"}4、如图，正六边形ABCDEF中，{width="1.0in" height="0.2152777777777778in"}=\[来源:Zxxk.Com\]
(A)0 (B){width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} (C){width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"} (D){width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}
5、5函数，{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在点{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}处有定义是{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在点{width="0.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}处连续的
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件
6.在{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}ABC中．{width="2.2847222222222223in" height="0.2152777777777778in"}.则A的取值范围是
(A)(0，{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}\] (B)\[ {width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}) (c)(0，{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}\] (D) \[ {width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"})
{width="5.430555555555555in" height="0.4305555555555556in"}
7．已知{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}是R上的奇函数，且当{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}时，{width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的反函数的图像大致是
{width="5.784722222222222in" height="1.6458333333333333in"}
8.数列{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的首项为{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"} 为等差数列且{width="1.5in" height="0.2847222222222222in"} .若则{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}地至{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}少72吨的货{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
10.在抛物线{width="1.4305555555555556in" height="0.2847222222222222in"}上取横坐标为{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}，{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆{width="1.0in" height="0.2847222222222222in"}相切，则抛物线顶点的坐标为
（A）{width="0.5694444444444444in" height="0.2152777777777778in"} （B）{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"} （C）{width="0.5in" height="0.2152777777777778in"} （D）{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}
11.已知定义在{width="0.5in" height="0.2847222222222222in"}上的函数{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}满足{width="1.1458333333333333in" height="0.2152777777777778in"}，当{width="0.6458333333333334in" height="0.2847222222222222in"}时，{width="1.1458333333333333in" height="0.2847222222222222in"}.设{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}在{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}上的最大值为{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}，且{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}的前{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}项和为{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}，则{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
（A）3 （B{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （C）2 （D）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
12.在集合{width="0.7847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}中任取一个偶数{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}和一个奇数{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}构成以原点为起点的向量{width="0.6458333333333334in" height="0.2152777777777778in"}.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}，其中面积不超过{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的平行四边形的个数为{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}，则{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}
（A）{width="0.2152777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （B）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}C）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （D）{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.计算{width="1.5in" height="0.4305555555555556in"} [ ]{.underline} .
14.双曲线{width="3.9305555555555554in" height="0.4305555555555556in"}P到左准线的距离是 [ ]{.underline} .
15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 [ ]{.underline} .
{width="1.1270833333333334in" height="1.7236111111111112in"}16.函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}的定义域为A，若{width="1.8541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}时总有
{width="1.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}为单函数.例如，函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}=2x+1（{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}）是单函数.下列命题：
1. 函数{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}={width="0.2152777777777778in" height="0.2152777777777778in"}（x{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}R）是单函数；
2. 若{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}为单函数，{width="2.8541666666666665in" height="0.2847222222222222in"}
3. 若f：A{width="0.2152777777777778in" height="0.14583333333333334in"}B为单函数，则对于任意b{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}B，它至多有一个原象；
4. 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 [ ]{.underline} .（写出所有真命题的编号）
三、解答题
17、
已知函数{width="2.7152777777777777in" height="0.4305555555555556in"}
(1)求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的最小正周期和最小值；
（2）已知{width="3.4305555555555554in" height="0.4305555555555556in"}，求证：{width="1.0694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}
18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）有人独立来该租车点则车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为{width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}；两人租车时间都不会超过四小时
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}，求{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}的分布列与数学期望{width="0.2847222222222222in" height="0.2152777777777778in"}；
19．(本小题共l2分)
如图，在直三棱柱AB-A~1~B~1~C~1~中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA~1~ =1．D是棱CC~1~上的一点，P是AD的延长线与A~1~C~1~的延长线的交点，且PB~1~∥平面BDA．
(I)求证：CD=C~1~D：
(II)求二面角A-A~1~D-B的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点C到平面B~1~DP的距离．
{width="2.2152777777777777in" height="1.6388888888888888in"}
20．(本小题共12分)
设{width="0.14583333333333334in" height="0.2152777777777778in"}为非零实数，{width="4.145833333333333in" height="0.4305555555555556in"}
(1)写出{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"}并判断{width="0.3541666666666667in" height="0.2847222222222222in"}是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；
(II)设{width="1.2847222222222223in" height="0.2847222222222222in"}，求数列{width="0.2847222222222222in" height="0.2847222222222222in"}的前n项和{width="0.2152777777777778in" height="0.2847222222222222in"}．
21．(本小题共l2分)\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}，0)，过其{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
(I)当\|{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}CD \| = {width="0.3541666666666667in" height="0.4305555555555556in"}时，求直线l的方程；
(II)当点P异于A、B两点时，求证：{width="0.5694444444444444in" height="0.2847222222222222in"} 为定值
{width="3.0in" height="2.2847222222222223in"}
22．(本小题共l4分)
已知{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}函数{width="1.7847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}
(I)设函数{width="1.2847222222222223in" height="0.2152777777777778in"}，求{width="0.3541666666666667in" height="0.2152777777777778in"}的单调区间与极值；
(Ⅱ)设{width="0.4305555555555556in" height="0.2152777777777778in"}，解关于{width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"}的方程{width="3.2847222222222223in" height="0.4305555555555556in"}
(Ⅲ)试比较{width="1.5694444444444444in" height="0.5in"}与{width="0.14583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}的大小.
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
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**数 学(文史类)**
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球是表面积公式
如果事件*A*、*B*相互独立，那么 其中**R**表示球的半径
球的体积公式
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么
*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率 其中**R**表示球的半径
第一部分（选择题 共60分）
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．
2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．若全集，，则
（A） （B） （C） （D）
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
> \[11.5，15.5) 2 \[15.5，19.5) 4 \[19.5，23.5) 9 \[23.5，27.5) 18
>
> \[27.5，31.5) 1l \[31.5，35.5) 12 \[35.5，39.5) 7 \[39.5，43.5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占
（A） （B） （C） （D）
3．圆的圆心坐标是
（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)
4．函数的图象关于直线*y*=*x*对称的图象像大致是
{width="5.430555555555555in" height="1.2847222222222223in"}
5．"*x*＝3"是"*x*^2^＝9"的
（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件
6．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A）， （B），
（C），，共面 （D），，共点，，共面
{width="1.0472222222222223in" height="0.9152777777777777in"}7．如图，正六边形*ABCDEF*中，
（A）**0** （B）
（C） （D）
8．在△*ABC*中，，则*A*的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9．数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*a*~1~=1，*a~n~*~+1~ =3*S~n~*（*n* ≥1），则*a*~6~=
（A）3 × 4^4^ （B）3 × 4^4^+1 （C）4^4^ （D）4^4^+1
10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}少72吨的货{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
11．在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
（A） （B） （C） （D）
12．在集合中任取一个偶数*a*和一个奇数*b*构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为*n*，其中面积等于2的平行四边形的个数为{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}*m*，则
> （A） （B） （{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}C） （D）
第二部分（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．的展开式中的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（用数字作答）
14．双曲线上一点*P*到双曲线右焦点的距离是4，那么*P*到左准线的距离是\_\_\_\_．
> {width="1.1416666666666666in" height="1.1416666666666666in"}．
15．如图，半径为4的球*O*中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．函数的定义域为*A*，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2*x*+1()是单函数．下列命题：
①函数（*x***R**）是单函数；
②指数函数（*x***R**）是单函数；
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题共l2分）
> 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
18．（本小题共l2分）
已知函数，*x***R**．
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，．求证：．
19．（本小题共l2分）
{width="1.761111111111111in" height="1.2763888888888888in"}如图，在直三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，∠*BAC*=90°，*AB*=*AC*=*AA*~1~=1，延长*A*~1~*C*~1~至点*P*，使*C*~1~*P*＝*A*~1~*C*~1~，连接*AP*交棱*CC*~1~于*D*．
（Ⅰ）求证：*PB*~1~∥平面*BDA*~1~；
（Ⅱ）求二面角*A*－*A*~1~*D*－*B*的平面角的余弦值；
20．（本小题共12分）
已知是以*a*为首项，*q*为公比的等比数列，为它的前*n*项和．
（Ⅰ）当、、成等差数列时，求*q*的值；
（Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数*k*，、、也成等差数列．
21．（本小题共l2分）
{width="1.5777777777777777in" height="1.1729166666666666in"}过点*C*(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与*x*轴交于两点、，过点*C*的直线*l*与椭圆交于另一点*D*，并与*x*轴交于点*P*，直线*AC*与直线*BD*交于点*Q*．
（I）当直线*l*过椭圆右焦点时，求线段*CD*的长；
（Ⅱ）当点*P*异于点*B*时，求证：为定值．
22．（本小题共l4分）
已知{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}函数，．
（Ⅰ）设函数*F*(*x*)＝18*f*(*x*)－*x*^2^\[*h*(*x*)\]^2^，求*F*(*x*)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于*x*的方程；
（Ⅲ）设，证明：．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
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数学理科
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么
棱柱的体积公式 圆锥的体积公式
其中S表示棱柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积
h表示棱柱的高 h表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，复数=
A． B．
{width="1.6791666666666667in" height="2.7in"} C． D．
2．设则"且"是""的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为
> 的前项和，，则的值为
A．-110 B．-90
C．90 D．110
5．在的二项展开式中，的系数为
A． B． C． D．
{width="2.698611111111111in" height="1.5208333333333333in"}6．如图，在△中，是边上的点，且，则的值为
A． B．
C． D．
7．已知则
A． B． C． D．
8．对实数和，定义运算""： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
{width="2.0618055555555554in" height="2.2666666666666666in"}9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
> 从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人
>
> 数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积
为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
11．已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的
> {width="1.6770833333333333in" height="1.4083333333333334in"}直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，
>
> 则=\_\_\_\_\_\_\_\_.
12．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一
> 点，且若与圆相切，则
>
> 线段的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
13．已知集合，则集合=\_\_\_\_\_\_\_\_.
14．已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
> 已知函数
>
> （Ⅰ）求的定义域与最小正周期；
（II）设，若求的大小．
16．（本小题满分13分）
> 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，
是正方形的中心，，平面，且
（Ⅰ）求异面直线AC与A~1~B~1~所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的
长．
{width="2.3506944444444446in" height="2.05in"}
18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
> （Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明
．
20．（本小题满分14分）
已知数列与满足：， ，且
．
> （Ⅰ）求的值；
>
> （Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
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数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式
其中S表示棱柱的底面面积
表示棱柱的高
{width="1.6770833333333333in" height="3.248611111111111in"}**一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．**
1．是虚数单位，复数={width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}
A． B．
C． D．
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A．-4 B．0
C． D．4
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，则输出的值为
A．,0．5 B．1 {width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}
C．2 {width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"} D．4
4．设集合，，
则""是""的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 {width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"} D．即不充分也不必要条件
5．已知则
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则 （ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
8．对实数，定义运算""：设函数若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．\[-2，-1\]
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上
2．本卷共12小题，共110分
{width="2.34375in" height="2.4166666666666665in"}**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于\_\_\_\_\_\_\_\_
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
11．已知为等差数列，为其前项和，，
若则的值为\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.6770833333333333in" height="1.4083333333333334in"}12．已知，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
13．如图已知圆中两条弦{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}与相交于点，是延长
线上一点，且
若与圆相切，则的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
14．已知直角梯形中，//,,,
是腰上的动点，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**三、解答题**{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}**：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15．（本小题满分13分）
编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- ---- ---- ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---- ---- ----
运动员编号 {width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}
得{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- ---- ---- ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---- ---- ----
> （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}填入相应的空格；
------ -- -- --
区间
人数
------ -- -- --
> （Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}机抽取2人，
>
> （i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
>
> （ii）求这2人得分之和大于50的概率．
16．（本{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}小题满分13分）
> {width="2.0416666666666665in" height="2.2756944444444445in"}在△中，内角的对边分别为，已知
>
> （Ⅰ）求的值；
>
> （Ⅱ）的值．
17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，，，为中点，
平面，{width="6.944444444444445e-2in" height="6.944444444444445e-2in"}，
为中点．
> （Ⅰ）证明：//平面；
>
> （Ⅱ）证明：平面；
>
> （Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．
18．（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为F~1~，F~2~点满足
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF~2~与椭圆相交于A，B两点，若直线PF~2~与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程
19．（本小题满分14分）已知函数，其中．
> （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
>
> （Ⅱ）当时，求的单调区间；
>
> （Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
20．（本小题满分14分）
已知数列满足
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明是等比数列；
（Ⅲ）设为的前项和，证明
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设函数,则实数=
A．-4或-2 B．-4或2 C．-2或4 D．-2或2
2．把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若=
A．3-i B．3+i C．1+3i D．3
{width="1.5520833333333333in" height="1.5833333333333333in"}3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
{width="4.010416666666667in" height="1.1729166666666666in"}
4．下列命题中错误的是
A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面，平面，，那么
D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
5．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
A．14 B．16 C．17 D．19
6．若，，，，则
A． B． C． D．
7．若为实数，则""是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则
A． B． C． D．
9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A． B． C． D
10．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
A．=1且=0 B．
{width="1.4833333333333334in" height="3.25in"} C．=2且=2 D． =2且=3
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11．若函数为偶函数，则实数 = [ ]{.underline}
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 [ ]{.underline}
13．设二项式（x-）^6^（a\>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，
> 若B=4A，则a的值是 [ ]{.underline}
14．若平面向量α，β满足\|α\|=1，\|β\|≤1，且以向量α，β为邻边的
> 平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 [ ]{.underline}
15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试得公司个数若，则随机变量X的数学期望
> [ ]{.underline}
16．设为实数，若则的最大值是 [．]{.underline}
17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 [．]{.underline}
三、解答题;本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c．
> 已知且．
>
> （Ⅰ）当时，求的值；
>
> （Ⅱ）若角为锐角，求p的取值范围；
19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列
> （1）求数列的通项公式及
>
> （2）记，，当时，试比较与的大小．
20．（本题满分15分）
> 如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
>
> （Ⅰ）证明：AP⊥BC；
>
> {width="1.7041666666666666in" height="2.058333333333333in"}（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由
21．（本题满分15分）
> 已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M
>
> （Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
>
> {width="1.3770833333333334in" height="1.7333333333333334in"}（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
22．（本题满分14分）
设函数
（I）若的极值点，求实数；
（II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数
2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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数学试题（文科）
选择题部分（共50分）
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
（1）若，则
A． B． C． D．
（2）若复数，为虚数单位，则
A． B． C． D．3
（3）若实数*x，y*满足不等式组则3*x*+4*y*的最小值是
A．13 B．15 C．20 D．28
（4）若直线不平行于平面，且，则
A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交
（5）在中，角所对的边分．若，则
A．- B． C． -1 D．1
（6）若为实数，则 "0\<ab\<1"是"b\<"的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
{width="4.097222222222222in" height="1.1875in"}{width="1.6041666666666667in" height="1.3680555555555556in"}
（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
A． B． C． D．
（9）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，C~2~的一条渐近线与以C~1~的长轴为直径的圆相交于两点．若C~1~恰好将线段三等分，则
A．a^2^ = B．a^2^=13 C．b^2^= D．b^2^=2
（10）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
{width="5.763888888888889in" height="1.3958333333333333in"}
非选择题部分 （共100分）
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分**
（11）设函数 ,若,则实数=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（12）若直线与直线互相垂直，则实数=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="3.9027777777777777in" height="2.3125in"}
（14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.425in" height="3.122916666666667in"}（15）若平面向量α、β 满足，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角 θ的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（16）若实数满足，则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（17）若数列中的最大项是第项，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**三、解答题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤**
（18）（本题满分14分）已知函数，，，．的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为．
> {width="2.7083333333333335in" height="1.5104166666666667in"}（Ⅰ）求的最小正周期及的值；
>
> （Ⅱ）若点的坐标为，，求的值．
（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．
> （Ⅰ）求数列的通项公式；
>
> （Ⅱ）对，试比较与的大小．
{width="1.59375in" height="1.7604166666666667in"}（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上．
> （Ⅰ）证明：⊥；
>
> （Ⅱ）已知，，，．求二面角的大小．
（21）（本小题满分15分）设函数，
> （Ⅰ）求的单调区间；
>
> （Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
注：为自然对数的底数．
{width="1.5in" height="2.4583333333333335in"}（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点过点做圆的两条切线，交直线：于两点
（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离
> （Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
**\
**
2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
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**数学试题卷(理工农医类)**
数学试题卷(理工农医类)共4页满分150分考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回
```{=html}
<!-- -->
```
1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）复数
（A） （B）
（C） （D）
（2） 是的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要
（3）已知，则
（A） (B) 2 (C) 3 (D) 6
（4）的展开式中的系数相等，则n=
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
（5）下列区间中，函数在其上为增函数的是
（A）（- （B） （C） （D）
（6）若的内角A、B、C所对的变a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为
（A） （B） (C) 1 (D)
（7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
（A） （B）4 (C) (D) 5
{width="5.763888888888889in" height="0.9861111111111112in"}
（9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
（A） （B） (C) (D)
（10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13
二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上
（11）在等差数列中，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
(12)已知单位向量，的夹角为60°，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（14）已知，且，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（15）设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则椭圆半径能取到的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
\(16\) (本小题满分13分)
设，满足，求函数在上的最大值和最小值
\(17\) (本小题满分13分)（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，(Ⅱ)小问7分.）
设的导数满足，其中常数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ) 设，求函数的极值.
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，(Ⅱ)小问7分.）
如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，.
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
(Ⅱ) 若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值.
{width="2.7708333333333335in" height="2.0833333333333335in"}
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.）
如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
{width="2.4722222222222223in" height="2.548611111111111in"}
{width="4.618055555555555in" height="1.7847222222222223in"}
2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
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**数学试题卷（文史类）**
满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在等差数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}中，{width="0.4583333333333333in" height="0.2777777777777778in"}，＝
A．12 B．14 C．16 D．18
2．设，则=
A．\[0，2\] B．{width="0.4027777777777778in" height="0.2777777777777778in"}
C．{width="1.1944444444444444in" height="0.2777777777777778in"} D．{width="1.1805555555555556in" height="0.2777777777777778in"}
3．曲线在点（1，2）处的切线方程为
A． B．
C． D．
4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在内的频率为
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．已知向量共线，那么的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设的大小关系是
A． B． C． D．
7．若函数{width="1.1111111111111112in" height="0.4305555555555556in"}{width="0.5069444444444444in" height="0.2222222222222222in"}在处取最小值，则
A．{width="0.4583333333333333in" height="0.2361111111111111in"} B．{width="0.4375in" height="0.25in"} C．3 D．4
8．若△{width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的内角，{width="0.5208333333333334in" height="0.2222222222222222in"}满足，则{width="0.5416666666666666in" height="0.19444444444444445in"}
A．{width="0.3472222222222222in" height="0.4722222222222222in"} B．{width="0.1736111111111111in" height="0.4305555555555556in"} C．{width="0.4305555555555556in" height="0.4722222222222222in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"}
9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于{width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"} 两点，左焦点在以{width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
A．{width="0.5208333333333334in" height="0.2638888888888889in"} B．{width="0.4791666666666667in" height="0.2638888888888889in"} C． {width="0.5277777777777778in" height="0.4722222222222222in"} D．，
10．高为{width="0.2638888888888889in" height="0.2361111111111111in"}的四棱锥{width="0.75in" height="0.19444444444444445in"}的底面是边长为1的正方形，点{width="0.1597222222222222in" height="0.19444444444444445in"}、{width="0.1736111111111111in" height="0.18055555555555555in"}、{width="0.1736111111111111in" height="0.18055555555555555in"}、{width="0.1736111111111111in" height="0.19444444444444445in"}、{width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}均在半径为1的同一球面上，则底面{width="0.5069444444444444in" height="0.19444444444444445in"}的中心与顶点{width="0.1597222222222222in" height="0.19444444444444445in"}之间的距离为
A．{width="0.3472222222222222in" height="0.4722222222222222in"} B．{width="0.6388888888888888in" height="0.4722222222222222in"} C．{width="0.1736111111111111in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="0.2638888888888889in" height="0.2361111111111111in"}
二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上
11．的展开式中的系数是 [ ]{.underline}
12．若,且，则 [ ]{.underline}
13．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 [ ]{.underline}
14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 [ ]{.underline}
15．若实数的最大值是 [ ]{.underline}
三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
> 设是公比为正数的等比数列，，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和
17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）
> 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（I）没有人申请A片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率
18．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）
> 设函数
（1）求{width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的最小正周期；
（II）若函数{width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的图象按{width="0.9027777777777778in" height="0.5625in"}平移后得到函数{width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}的图象，求{width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}在{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}上的最大值
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）
> 设的导数为，若函数{width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}的图像关于直线{width="0.5277777777777778in" height="0.4305555555555556in"}对称，且．
（Ⅰ）求实数{width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的值
（Ⅱ）求函数{width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的极值
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
如题（20）图，在四面体{width="0.5069444444444444in" height="0.19444444444444445in"}中，平面ABC⊥平面{width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值
{width="2.1041666666666665in" height="1.8055555555555556in"}
21．（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
> 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e={width="0.2916666666666667in" height="0.4652777777777778in"}，一条准线的方程是{width="0.5972222222222222in" height="0.24305555555555555in"}
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为{width="0.2847222222222222in" height="0.4236111111111111in"}，问：是否存在定点F，使得{width="0.3333333333333333in" height="0.2847222222222222in"}与点P到直线*l*：{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由
{width="2.6666666666666665in" height="2.125in"}
题（21）图
2011江苏高考数学试卷
--------------------
**注意事项：**
**考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求**
6. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）本卷满分为160分考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回
7. 答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置
8. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符
9. 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效
10. 如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗
**参考公式：**
2. **样本数据x~1~ ,x~2~ ，...，x~n~的方差s^2^=**{width="0.4583333333333333in" height="0.4722222222222222in"}**（x^i^ -**{width="0.13194444444444445in" height="0.2222222222222222in"}**）^2^,其中**{width="0.5277777777777778in" height="0.4722222222222222in"}**.**
3. **(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c为底面积，h 为高.**
**（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S为底面积，h 为高.**
**一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上**
1、已知集合{width="1.9444444444444444in" height="0.2222222222222222in"} 则{width="1.2638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}
2、函数{width="1.3472222222222223in" height="0.25in"}的单调增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3、设复数i满足{width="1.1319444444444444in" height="0.2222222222222222in"}（i是虚数单位），则{width="0.13194444444444445in" height="0.13194444444444445in"}的实部是\_\_\_\_\_\_\_\_\_
4、根据如图所示的伪代码，当输入{width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}分别为2，3时，最后输出的m的值是\_\_\_\_\_\_\_\_
Read *a，b*
If *a*\>*b* Then
m{width="0.2152777777777778in" height="0.1597222222222222in"}*a*
Else
m{width="0.2152777777777778in" height="0.1597222222222222in"}*b*
End If
Print m
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是\_\_\_\_\_\_
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差{width="0.6527777777777778in" height="0.25in"}
7、已知{width="1.0555555555555556in" height="0.4305555555555556in"} 则{width="0.4791666666666667in" height="0.4305555555555556in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
8、在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}中，过坐标原点的一条直线与函数{width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_
9、函数{width="2.0in" height="0.2222222222222222in"}是常数，{width="0.9027777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的部分图象如图所示，则{width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}
{width="0.18055555555555555in" height="0.4305555555555556in"}{width="0.3611111111111111in" height="0.4305555555555556in"}{width="1.2708333333333333in" height="0.7708333333333334in"}
10、已知{width="0.3888888888888889in" height="0.3333333333333333in"}是夹角为{width="0.2916666666666667in" height="0.4305555555555556in"}的两个单位向量，{width="1.7222222222222223in" height="0.3333333333333333in"} 若{width="0.5694444444444444in" height="0.3055555555555556in"}，则k的值为
11、已知实数{width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，函数{width="1.5416666666666667in" height="0.5069444444444444in"}，若{width="1.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_
12、在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}中，已知点P是函数{width="1.1736111111111112in" height="0.25in"}的图象上的动点，该图象在P处的切线{width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}交y轴于点M，过点P作{width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
13、设{width="1.3888888888888888in" height="0.25in"}，其中{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}成公比为q的等比数列，{width="0.6388888888888888in" height="0.25in"}成公差为1的等差数列，则q的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_
14、设集合{width="3.0833333333333335in" height="0.4305555555555556in"},
{width="2.8333333333333335in" height="0.2222222222222222in"}, 若{width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"} 则实数m的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="2.2993055555555557in" height="2.7083333333333335in"}**二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤**
15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为{width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}
（1）若{width="1.4375in" height="0.4305555555555556in"} 求A的值；
（2）若{width="1.1736111111111112in" height="0.4305555555555556in"}，求{width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的值.
16、如图，在四棱锥{width="0.7777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
15. 平面BEF⊥平面PAD
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得{width="0.5in" height="0.19444444444444445in"}四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm{width="0.1111111111111111in" height="0.2152777777777778in"}）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm{width="9.722222222222222e-2in" height="0.2152777777777778in"}）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值
P
{width="1.7444444444444445in" height="1.8416666666666666in"}
18、如图，在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}中，M、N分别是椭圆{width="0.8472222222222222in" height="0.4583333333333333in"}的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k\>0，求证：PA⊥PB
19、已知*a*，*b*是实数，函数{width="2.0972222222222223in" height="0.25in"} {width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}和{width="0.4027777777777778in" height="0.2222222222222222in"}是{width="0.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}的导函数，若{width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}在区间I上恒成立，则称{width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}和{width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}在区间I上单调性一致
（1）设{width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，若函数{width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}和{width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}在区间{width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设{width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}且{width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，若函数{width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}和{width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}在以*a*，*b*为端点的开区间上单调性一致，求\|*a*-*b*\|的最大值
20、设M为部分正整数组成的集合，数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的首项{width="0.4305555555555556in" height="0.2361111111111111in"}，前n项和为{width="0.2152777777777778in" height="0.25in"}，已知对任意整数k属于M，当n\>k时，{width="1.6666666666666667in" height="0.25in"}都成立
（1）设M=｛1｝，{width="0.4722222222222222in" height="0.2361111111111111in"}，求{width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的通项公式
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．（5分）复数{width="0.4722222222222222in" height="0.3611111111111111in"}=（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
2．（5分）已知集合A={1，3，{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）
A．0或{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"} B．0或3 C．1或{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"} D．1或3
3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A．{width="0.7361111111111112in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.7361111111111112in" height="0.4305555555555556in"} C．{width="0.7361111111111112in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="0.7361111111111112in" height="0.4305555555555556in"}
4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B．{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"} D．1
5．（5分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~5~=5，S~5~=15，则数列{width="0.7638888888888888in" height="0.4305555555555556in"}的前100项和为（ ）
A．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若{width="0.18055555555555555in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.18055555555555555in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}=0，\|{width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，\|{width="0.1111111111111111in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则{width="0.18055555555555555in" height="0.20833333333333334in"}=（ ）
A．{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"}
7．（5分）已知α为第二象限角，{width="1.2638888888888888in" height="0.3888888888888889in"}，则cos2α=（ ）
A．﹣{width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"} B．﹣{width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"} C．{width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"}
8．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}
9．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，{width="0.5in" height="0.3888888888888889in"}，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10．（5分）已知函数y=x^3^﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，{width="0.6527777777777778in" height="0.3611111111111111in"}，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6527777777777778in"}则z=3x﹣y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）当函数y=sinx﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}．
15．（5分）若{width="0.5972222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中{width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"}的系数为[ ]{.underline}．
16．（5分）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA~1~=∠CAA~1~=60°，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为[ ]{.underline}．
**三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，{width="0.5694444444444444in" height="0.18055555555555555in"}，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
{width="2.2777777777777777in" height="2.4027777777777777in"}
19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈\[0，π\]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆{width="1.8055555555555556in" height="0.4305555555555556in"}（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
22．（12分）函数f（x）=x^2^﹣2x﹣3，定义数列{ x~n~}如下：x~1~=2，x~n+1~是过两点P（4，5），Q~n~（ x~n~，f（ x~n~））的直线PQ~n~与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x~n~＜x~n+1~＜3；
（Ⅱ）求数列{ x~n~}的通项公式．
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
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**一．选择题**
1．（5分）已知集合A={x\|x是平行四边形}，B={x\|x是矩形}，C={x\|x是正方形}，D={x\|x是菱形}，则（ ）
A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
2．（5分）函数{width="1.1666666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的反函数是（ ）
A．y=x^2^﹣1（x≥0） B．y=x^2^﹣1（x≥1）
C．y=x^2^+1（x≥0） D．y=x^2^+1（x≥1）
3．（5分）若函数{width="2.25in" height="0.3333333333333333in"}是偶函数，则φ=（ ）
A．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}
4．（5分）已知α为第二象限角，{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，则sin2α=（ ）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}
5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A．{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} B．{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} C．{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}
6．（5分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，S~n~=2a~n+1~，则当n＞1时，S~n~=（ ）
A．（{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}）^n﹣1^ B．2^n﹣1^ C．（{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}）^n﹣1^ D．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}（{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}﹣1）
7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B．{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} C．{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} D．1
9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}={width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}={width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}•{width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}=0，\|{width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}\|=1，\|{width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}\|=2，则{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=（ ）
A．{width="0.5833333333333334in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.5833333333333334in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.5833333333333334in" height="0.3333333333333333in"}
10．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}
11．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，{width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
**二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）**
13．（5分）{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}的展开式中x^2^的系数为[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.9166666666666666in" height="0.6666666666666666in"}则z=3x﹣y的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）当函数y=sinx﹣{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F分别为BB~1~，CC~1~的中点，那么异面直线AE与D~1~F所成角的余弦值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！**
17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b^2^=3ac，求A．
18．（12分）已知数列{a~n~}中，a~1~=1，前n项和{width="0.8333333333333334in" height="0.3333333333333333in"}
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
{width="2.25in" height="2.4166666666666665in"}
20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．
21．（12分）已知函数{width="1.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x~1~，x~2~，若过两点（x~1~，f（x~1~）），（x~2~，f（x~2~））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆{width="1.8333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）\|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
3．（5分）下面是关于复数z={width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}的四个命题：其中的真命题为（ ），
> p~1~：\|z\|=2，
>
> p~2~：z^2^=2i，
>
> p~3~：z的共轭复数为1+i，
>
> p~4~：z的虚部为﹣1．
A．p~2~，p~3~ B．p~1~，p~2~ C．p~2~，p~4~ D．p~3~，p~4~
4．（5分）设F~1~、F~2~是椭圆E：{width="0.25in" height="0.5in"}+{width="0.25in" height="0.5in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x={width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}上一点，△F~2~PF~1~是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}
5．（5分）已知{a~n~}为等比数列，a~4~+a~7~=2，a~5~a~6~=﹣8，则a~1~+a~10~=（ ）
A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7
6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a~1~，a~2~，...，a~n~，输出A，B，则（ ）
{width="2.75in" height="4.666666666666667in"}
A．A+B为a~1~，a~2~，...，a~n~的和
B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}为a~1~，a~2~，...，a~n~的算术平均数
C．A和B分别是a~1~，a~2~，...，a~n~中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a~1~，a~2~，...，a~n~中最小的数和最大的数
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
{width="3.0in" height="2.0833333333333335in"}
A．6 B．9 C．12 D．18
8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y^2^=16x的准线交于点A和点B，\|AB\|=4{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，则C的实轴长为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} C．4 D．8
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）在区间\[{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，π\]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.5833333333333334in" height="0.3333333333333333in"} D．（0，2\]
10．（5分）已知函数f（x）={width="0.8333333333333334in" height="0.3333333333333333in"}，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．{width="1.0in" height="1.0833333333333333in"} B．{width="1.0in" height="1.25in"}
C．{width="1.0in" height="1.1666666666666667in"} D．{width="1.0in" height="1.3333333333333333in"}
11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} C．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}
12．（5分）设点P在曲线{width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则\|PQ\|最小值为（ ）
A．1﹣ln2 B．{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"} C．1+ln2 D．{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}
**二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）已知向量{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}夹角为45°，且{width="1.5833333333333333in" height="0.25in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}=[ ]{.underline}．
14．（5分）设x，y满足约束条件：{width="0.9166666666666666in" height="0.6666666666666666in"}；则z=x﹣2y的取值范围为[ ]{.underline}．
15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，50^2^），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为[ ]{.underline}．
{width="2.9166666666666665in" height="0.9166666666666666in"}
16．（5分）数列{a~n~}满足a~n+1~+（﹣1）^n^a~n~=2n﹣1，则{a~n~}的前60项和为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}asinC﹣b﹣c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}；求b，c．
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
----------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
----------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AC=BC={width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}AA~1~，D是棱AA~1~的中点，DC~1~⊥BD
（1）证明：DC~1~⊥BC；
（2）求二面角A~1~﹣BD﹣C~1~的大小．
{width="1.5in" height="2.3333333333333335in"}
20．（12分）设抛物线C：x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x﹣1^﹣f（0）x+{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}x^2^；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若{width="1.25in" height="0.3333333333333333in"}，求（a+1）b的最大值．
**四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．**
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
{width="1.6666666666666667in" height="1.4166666666666667in"}
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C~1~的参数方程是{width="0.8333333333333334in" height="0.4166666666666667in"}（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C~2~的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C~2~上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C~1~上任意一点，求\|PA\|^2^+\|PB\|^2^+\|PC\|^2^+\|PD\|^2^的取值范围．
24．已知函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤\|x﹣4\|若的解集包含\[1，2\]，求a的取值范围．
**2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣x﹣2＜0}，B={x\|﹣1＜x＜1}，则（ ）
A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅
2．（5分）复数z={width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}的共轭复数是（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）在一组样本数据（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~n~，y~n~）（n≥2，x~1~，x~2~，...，x~n~不全相等）的散点图中，若所有样本点（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n）都在直线y={width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．﹣1 B．0 C．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} D．1
4．（5分）设F~1~、F~2~是椭圆E：{width="0.25in" height="0.5in"}+{width="0.25in" height="0.5in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x={width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}上一点，△F~2~PF~1~是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}
5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（ ）
A．（1﹣{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，2） B．（0，2） C．（{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}﹣1，2） D．（0，1+{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}）
6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a~1~，a~2~，...，a~n~，输出A，B，则（ ）
{width="2.75in" height="4.666666666666667in"}
A．A+B为a~1~，a~2~，...，a~n~的和
B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}为a~1~，a~2~，...，a~n~的算术平均数
C．A和B分别是a~1~，a~2~，...，a~n~中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a~1~，a~2~，...，a~n~中最小的数和最大的数
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
{width="3.0in" height="2.0833333333333335in"}
A．6 B．9 C．12 D．18
8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，则此球的体积为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}π B．4{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}π C．4{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}π D．6{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}π
9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x={width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}和x={width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}
10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y^2^=16x的准线交于点A和点B，\|AB\|=4{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，则C的实轴长为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} C．4 D．8
11．（5分）当0＜x≤{width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}时，4^x^＜log~a~x，则a的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}） B．（{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，1） C．（1，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}） D．（{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，2）
12．（5分）数列{a~n~}满足a~n+1~+（﹣1）^n^a~n~=2n﹣1，则{a~n~}的前60项和为（ ）
A．3690 B．3660 C．1845 D．1830
**二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为[ ]{.underline}．
14．（5分）等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~3~+3S~2~=0，则公比q=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知向量{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}夹角为45°，且{width="1.5833333333333333in" height="0.25in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}=[ ]{.underline}．
16．（5分）设函数f（x）={width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的最大值为M，最小值为m，则M+m=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c={width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，求b，c．
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
----------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
----------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC={width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}AA~1~，D是棱AA~1~的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC~1~⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC~1~分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
{width="2.0in" height="2.0in"}
20．（12分）设抛物线C：x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
21．（12分）设函数f（x）=e^x^﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
{width="1.6666666666666667in" height="1.4166666666666667in"}
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C~1~的参数方程是{width="0.8333333333333334in" height="0.4166666666666667in"}（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C~2~的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C~2~上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，{width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C~1~上任意一点，求\|PA\|^2^+\|PB\|^2^+\|PC\|^2^+\|PD\|^2^的取值范围．
24．已知函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤\|x﹣4\|若的解集包含\[1，2\]，求a的取值范围．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
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数学（理科）
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本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.
1．已知集合A={x∈R\|3x+2＞0} B={x∈R\|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=
A （-{width="0.16666666666666666in" height="0.1375in"}，-1）B （-1，-{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"}） C （-{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"},3）D (3,+{width="0.16666666666666666in" height="0.1375in"})
2．设不等式组{width="0.7548611111111111in" height="0.5in"}，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A）{width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} （B）{width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"} （C）{width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} （D）{width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"}
3．设a，b∈R。"a=0"是"复数a+bi是纯虚数"的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="1.2548611111111112in" height="1.8625in"}
A. 2 B .4 C.8 D. 16
5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )
A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB
C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ²
{width="1.7548611111111112in" height="0.9409722222222222in"}
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
{width="2.0493055555555557in" height="0.8527777777777777in"}
A. 28+6{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} B. 30+6{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} C. 56+ 12{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} D. 60+12{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"}
8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）
{width="1.9215277777777777in" height="1.461111111111111in"}
A.5 B.7 C.9 D.11
第二部分(非选择题共110分)
二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.
9．直线{width="0.8722222222222222in" height="0.5in"}为参数)与曲线{width="1.0097222222222222in" height="0.5in"}为参数)的交点个数为\_\_\_\_\_\_。
10．已知{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}等差数列{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}为其前n项和。若{width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"}，{width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}=\_\_\_\_\_\_\_。
11．在△ABC中，若{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}=2，b+c=7，cosB={width="0.29444444444444445in" height="0.43125in"}，则b=\_\_\_\_\_\_\_。
12．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线{width="0.14722222222222223in" height="0.21597222222222223in"}=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.
其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则{width="0.5881944444444445in" height="0.26458333333333334in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_，{width="0.6277777777777778in" height="0.26458333333333334in"}的最大值为\_\_\_\_\_\_。
14.已知{width="1.93125in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.9215277777777777in" height="0.2548611111111111in"}，若同时满足条件：
①{width="0.5097222222222222in" height="0.19583333333333333in"}，{width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}或{width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}；
②{width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}, {width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}。
则m的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。
三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
已知函数{width="1.8722222222222222in" height="0.43125in"}。
（1）求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的定义域及最小正周期；
（2）求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调递增区间。
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~C⊥CD,如图2.
(I)求证：A~1~C⊥平面BCDE；
(II)若M是A~1~D的中点，求CM与平面A~1~BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A~1~DP与平面A~1~BE垂直？说明理由
{width="3.4611111111111112in" height="1.8625in"}
17．（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
---------- -------------- -------------- --------------
"厨余垃圾"箱 "可回收物"箱 "其他垃圾"箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
---------- -------------- -------------- --------------
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}其中*a*＞0，{width="0.5979166666666667in" height="0.19583333333333333in"}=600。当数据{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的方差{width="0.1763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}最大时，写出{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的值（结论不要求证明），并求此时{width="0.1763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}的值。
（注：{width="2.8625in" height="0.43125in"}，其中{width="0.1375in" height="0.23541666666666666in"}为数据{width="0.8041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}的平均数）
18．（本小题共13分）
已知函数{width="1.461111111111111in" height="0.28402777777777777in"}，{width="0.9902777777777778in" height="0.2548611111111111in"}.
（1）若曲线{width="0.6375in" height="0.21597222222222223in"}与曲线{width="0.6277777777777778in" height="0.21597222222222223in"}在它们的交点{width="0.3625in" height="0.28402777777777777in"}处具有公共切线，求{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}，{width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的值；
（2）当{width="0.5388888888888889in" height="0.21597222222222223in"}时，求函数{width="0.8333333333333334in" height="0.21597222222222223in"}的单调区间，并求其在区间{width="0.5979166666666667in" height="0.28402777777777777in"}上的最大值.
19．（本小题共14分）
已知曲线{width="2.529166666666667in" height="0.28402777777777777in"}.
（1）若曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}是焦点在{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴上的椭圆，求{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围；
（2）设{width="0.43125in" height="0.19583333333333333in"}，曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}与{width="0.15694444444444444in" height="0.1763888888888889in"}轴的交点为{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}（点{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}位于点{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的上方），直线{width="0.6958333333333333in" height="0.21597222222222223in"}与
曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}交于不同的两点{width="0.21597222222222223in" height="0.1763888888888889in"}，{width="0.19583333333333333in" height="0.19583333333333333in"}，直线{width="0.3625in" height="0.21597222222222223in"}与直线{width="0.3236111111111111in" height="0.1763888888888889in"}交于点{width="0.1763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}，求证：{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，{width="0.1763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}，{width="0.19583333333333333in" height="0.19583333333333333in"}
三点共线.
20．（本小题共13分）
设{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}是由{width="0.38263888888888886in" height="0.15694444444444444in"}个实数组成的{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}行{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}列的数表，满足：每个数的绝对值不大于{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}，且所有数的和为零. 记{width="0.56875in" height="0.28402777777777777in"}为所有这样的数表组成的集合. 对于{width="0.8430555555555556in" height="0.28402777777777777in"}，记{width="0.37222222222222223in" height="0.2548611111111111in"}为{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的第{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}行各数之和（{width="0.6375in" height="0.20555555555555555in"}），{width="0.4215277777777778in" height="0.26458333333333334in"}为{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的第{width="0.1375in" height="0.20555555555555555in"}列各数之和（{width="0.6375in" height="0.21597222222222223in"}）；记{width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}为{width="0.43125in" height="0.28402777777777777in"}，{width="0.45069444444444445in" height="0.28402777777777777in"}，...，{width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}，{width="0.46111111111111114in" height="0.28402777777777777in"}，{width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}，...，{width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}中的最小值.
（1）对如下数表{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，求{width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的值；
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} {width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.34305555555555556in" height="0.19583333333333333in"}
{width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.34305555555555556in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.20555555555555555in" height="0.1763888888888889in"}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
（2）设数表{width="0.7944444444444444in" height="0.28402777777777777in"}形如
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} {width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}
{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"} {width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.20555555555555555in" height="0.1763888888888889in"}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
求{width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的最大值；
（3）给定正整数{width="9.791666666666667e-2in" height="0.16666666666666666in"}，对于所有的{width="1.0493055555555555in" height="0.28402777777777777in"}，求{width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的最大值.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
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数学（文科）
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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四{width="9.722222222222222e-3in" height="2.9166666666666667e-2in"}个选项中，选出符合题目要求的一项.
**1**.已知集合{width="1.5097222222222222in" height="0.30416666666666664in"}，{width="1.93125in" height="0.30416666666666664in"}，则{width="0.43125in" height="0.20555555555555555in"}= ( )
A．{width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"} B．{width="0.6076388888888888in" height="0.43125in"} C．{width="0.5388888888888889in" height="0.43125in"} D．{width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}
2.在复平面内，复数{width="0.3333333333333333in" height="0.40208333333333335in"}对应的点坐标为（ ）
A． （1,3） B． （3,1） C．{width="0.4215277777777778in" height="0.20555555555555555in"} D．{width="0.4409722222222222in" height="0.1763888888888889in"}
3.设不等式组{width="0.7256944444444444in" height="0.5in"}表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A．{width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} B． {width="0.41180555555555554in" height="0.43125in"} C． {width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} D． {width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"}
4\. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5.函数{width="1.1375in" height="0.46111111111111114in"}的零点个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
6\. 已知{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}为等比数列.下面结论中正确的是（ ）
A．{width="0.8625in" height="0.2548611111111111in"} B．{width="0.9215277777777777in" height="0.26458333333333334in"}
C．若{width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.49027777777777776in" height="0.2548611111111111in"} D．若{width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}
7\. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．{width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"} B．{width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"} C．{width="0.7055555555555556in" height="0.2548611111111111in"} D． {width="0.7256944444444444in" height="0.2548611111111111in"}
8\. 某棵果树前{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}年得总产量{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}与{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}年的年平均产量最高，{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的值为（ ）
{width="2.25in" height="1.7930555555555556in"}A．5 B． C． 9 D．11
{width="1.75in" height="1.6576388888888889in"}
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.直线{width="0.40208333333333335in" height="0.1763888888888889in"}被圆{width="1.1076388888888888in" height="0.2548611111111111in"}截得的弦长为 [ ]{.underline} .
10.已知{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}为等差数列，{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}为其前{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和.若{width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"}，{width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} [ ]{.underline} ；{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}= [ ]{.underline} .
11\. 在△ABC中，若{width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}，{width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，{width="0.56875in" height="0.43125in"}，则{width="0.30416666666666664in" height="0.19583333333333333in"}的大小为 [ ]{.underline} .
12.已知函数{width="0.7743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}，若{width="0.6763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}，则{width="1.1076388888888888in" height="0.2548611111111111in"} [ ]{.underline} .
13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则{width="0.5881944444444445in" height="0.23541666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} .
14.已知{width="1.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.9215277777777777in" height="0.2548611111111111in"}.若{width="1.1375in" height="0.22569444444444445in"}或{width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}，则{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是 [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题13分）
已知函数{width="1.8722222222222222in" height="0.43125in"}.
（1）求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的定义域及最小正周期；
{width="2.375in" height="1.6909722222222223in"}（2）求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调递减区间.
16\. （本小题14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AC，AB上的中点，
点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~F⊥CD，如图2.
（1）求证：DE∥平面A~1~CB;
（2）求证：A~1~F⊥BE;
（3）线段A~1~B上是否存在点Q,使A~1~C⊥平面DEQ？说明理由.
17.（本小题13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
---------- -------------- -------------- --------------
"厨余垃圾"箱 "可回收物"箱 "其他垃圾"箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
---------- -------------- -------------- --------------
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}，其中{width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"}，{width="1.0097222222222222in" height="0.19583333333333333in"}.当数据{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的方差{width="0.20555555555555555in" height="0.22569444444444445in"}最大时，写出{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的值（结论不要求证明），并求此时{width="0.20555555555555555in" height="0.22569444444444445in"}的值.
（注：方差{width="2.6666666666666665in" height="0.40208333333333335in"}，其中{width="0.12777777777777777in" height="0.22569444444444445in"}为{width="0.6763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}的平均数）
18.（本小题13分）
已知函数{width="0.9708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}（{width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"}），{width="0.9902777777777778in" height="0.2548611111111111in"}.
（1）若曲线{width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}与曲线{width="0.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}在它们的交点（1，{width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}）处具有公共切线，求{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}的值；
（2）当{width="0.8625in" height="0.22569444444444445in"}时，求函数{width="0.8333333333333334in" height="0.22569444444444445in"}在区间{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}上的最大值为28，求{width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的取值范围.
19.（本小题14分）
已知椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}:{width="1.5in" height="0.46111111111111114in"}的一个顶点为{width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}，离心率为{width="0.29444444444444445in" height="0.4708333333333333in"}.直线{width="0.8041666666666667in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}交于不同的两点M,N.
（Ⅰ）求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}的方程；
（Ⅱ）当△AMN得面积为{width="0.34305555555555556in" height="0.4708333333333333in"}时，求{width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的值.
20.（本小题13分）
设A是如下形式的2行3列的数表，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"} {width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}
{width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"} {width="0.15694444444444444in" height="0.20555555555555555in"}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
满足：性质P：{width="1.4215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}，且{width="1.2256944444444444in" height="0.22569444444444445in"}.
记{width="0.37222222222222223in" height="0.2548611111111111in"}为A的第{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}行各数之和{width="0.5291666666666667in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.4215277777777778in" height="0.26458333333333334in"}为A的第{width="0.1375in" height="0.20555555555555555in"}列各数之和{width="0.6666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}；
记{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}为{width="0.46111111111111114in" height="0.26458333333333334in"}，{width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}，{width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}，{width="0.5in" height="0.26458333333333334in"}，{width="0.49027777777777776in" height="0.26458333333333334in"}中的最小值.
（1）对如下数表A,求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的值；
----- ------ ------
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
----- ------ ------
（2）设数表A形如
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 -1-2{width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"}
{width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} -1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
其中{width="0.7256944444444444in" height="0.19583333333333333in"}.求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最大值；
（3）对所以满足性质P的2行3列的数表A,求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最大值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
============================================
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
> 参考公式：
>
> 如果事件{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}互斥；则{width="1.6569444444444446in" height="0.22569444444444445in"}
>
> 如果事件{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}相互独立；则{width="1.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}
>
> 如果{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}是事件，且{width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}；则{width="1.1958333333333333in" height="0.46111111111111114in"}
>
> 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数{width="0.1375in" height="0.1375in"}满足：{width="1.06875in" height="0.22569444444444445in"}；则{width="0.26458333333333334in" height="0.1375in"}（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.5in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.5097222222222222in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"}
（2）下列函数中，不满足：{width="1.0291666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的是（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.6763888888888889in" height="0.2743055555555556in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.9215277777777777in" height="0.2743055555555556in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.8236111111111111in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.7256944444444444in" height="0.22569444444444445in"}
{width="1.8541666666666667in" height="2.03125in"}（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.12777777777777777in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"}
4.公比为{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}等比数列{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的各项都是{width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}正数，且{width="0.6763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}，
则{width="0.6763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
{width="3.754861111111111in" height="4.333333333333333in"}
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
（6）设平面{width="0.16666666666666666in" height="0.15694444444444444in"}与平面{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}相交于直线{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}，直线{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}在平面{width="0.16666666666666666in" height="0.15694444444444444in"}内，直线{width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}在平面{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}内，且{width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}
则"{width="0.4708333333333333in" height="0.22569444444444445in"}"是"{width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}"的（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 充分不必要条件 {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 必要不充分条件
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 充要条件 {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"} 即不充分不必要条件
（7）{width="1.0979166666666667in" height="0.43125in"}的展开式的常数项是（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.22569444444444445in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.22569444444444445in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"}
（8）在平面直角坐标系中，{width="1.0097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}，将向量{width="0.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}按逆时针旋转{width="0.26458333333333334in" height="0.43125in"}后，得向量{width="0.29444444444444445in" height="0.26458333333333334in"}
则点{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的坐标是（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.9215277777777777in" height="0.26458333333333334in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.8236111111111111in" height="0.26458333333333334in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.7743055555555556in" height="0.26458333333333334in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.6958333333333333in" height="0.26458333333333334in"}
（9）过抛物线{width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}的焦点{width="0.1763888888888889in" height="0.1763888888888889in"}的直线交抛物线于{width="0.3333333333333333in" height="0.22569444444444445in"}两点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}是原点，若{width="0.5881944444444445in" height="0.2743055555555556in"}；
则{width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}的面积为（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.29444444444444445in" height="0.4708333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.3625in" height="0.4708333333333333in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.34305555555555556in" height="0.23541666666666666in"}
（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换
的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}份纪念品
的同学人数为（ ）
{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}或{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}{width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}或{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} {width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} {width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}或{width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} {width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}或{width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}
第II卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
{width="1.875in" height="1.825in"}二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
（11）若{width="0.29444444444444445in" height="0.1763888888888889in"}满足约束条件：{width="0.7944444444444444in" height="0.7743055555555556in"}；则{width="0.37222222222222223in" height="0.1763888888888889in"}的取值范围为{width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是{width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}
（13）在极坐标系中，圆{width="0.7548611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的圆心到直线{width="0.9611111111111111in" height="0.43125in"}的距离是{width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}
（14）若平面向量{width="0.2743055555555556in" height="0.26458333333333334in"}满足：{width="0.7548611111111111in" height="0.3333333333333333in"}；则{width="0.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}的最小值是{width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}
（15）设{width="0.4708333333333333in" height="0.19583333333333333in"}的内角{width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}所对的边为{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}；则下列命题正确的是{width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}
①若{width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}；则{width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ②若{width="0.6958333333333333in" height="0.19583333333333333in"}；则{width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"}
③若{width="0.7944444444444444in" height="0.22569444444444445in"}；则{width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ④若{width="0.9902777777777778in" height="0.22569444444444445in"}；则{width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"}
⑤若{width="1.3041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}；则{width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"}
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分12分)
设函数{width="2.107638888888889in" height="0.4708333333333333in"}
（I）求函数{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小正周期；
（II）设函数{width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}对任意{width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}，有{width="1.1076388888888888in" height="0.43125in"}，且当{width="0.6666666666666666in" height="0.43125in"}时，{width="1.0979166666666667in" height="0.43125in"}；
求函数{width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.49027777777777776in" height="0.22569444444444445in"}上的解析式。
（17）（本小题满分12分）
某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，则使用后
该试题回库，并增补一道{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类试题和一道{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题入{width="2.9166666666666667e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}库，此次调题工作结束；若调用
的是{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有{width="0.40208333333333335in" height="0.16666666666666666in"}道
试题，其中有{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}道{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题和{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}道{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，以{width="0.19583333333333333in" height="0.1763888888888889in"}表示两次调题工作完成后，试
题库中{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类试题的数量。
（Ⅰ）求{width="0.6763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}的概率；
（Ⅱ）设{width="0.43125in" height="0.15694444444444444in"}，求{width="0.19583333333333333in" height="0.1763888888888889in"}的分布列和均值（数学期望）。
（18）（本小题满分12分）
平面图形{width="0.8041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}如图4所示，其中{width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}是矩形，{width="1.0979166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，{width="1.0590277777777777in" height="0.23541666666666666in"}，
{width="1.1666666666666667in" height="0.2743055555555556in"}。现将该平面图形分别沿{width="0.2743055555555556in" height="0.19583333333333333in"}和{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}折叠，使{width="0.4708333333333333in" height="0.19583333333333333in"}与{width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}所在平面都
与平面{width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}垂直，再分别连接{width="0.9020833333333333in" height="0.2548611111111111in"},得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答
下列问题。
{width="2.8430555555555554in" height="3.6569444444444446in"}。
（Ⅰ）证明：{width="0.7256944444444444in" height="0.2548611111111111in"}； （Ⅱ）求{width="0.3236111111111111in" height="0.26458333333333334in"}的长；
（Ⅲ）求二面角{width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的余弦值。
（19）（本小题满分13分）K\]
设{width="1.8625in" height="0.43125in"}
（I）求{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}上的最小值；
（II）设曲线{width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}在点{width="0.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}的切线方程为{width="0.5291666666666667in" height="0.43125in"}；求{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}的值。
（20）（本小题满分13分）
如图，{width="1.176388888888889in" height="0.2548611111111111in"}分别是椭圆{width="1.7055555555555555in" height="0.46111111111111114in"}
的左，右焦点，过点{width="0.1763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}作{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴的垂线交椭圆的上半部分于点{width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，{width="2.0104166666666665in" height="2.1666666666666665in"}
过点{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}作直线{width="0.29444444444444445in" height="0.2548611111111111in"}的垂线交直线{width="0.49027777777777776in" height="0.46111111111111114in"}于点{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}；
（I）若点{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的坐标为{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}；求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}的方程；
（II）证明：直线{width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}只有一个交点。
（21）（本小题满分13分）
> 数列{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}满足：{width="2.2354166666666666in" height="0.26458333333333334in"}
（I）证明：数列{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列的充分必要条件是{width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}
（II）求{width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围，使数列{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递增数列。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
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数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
> 第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足：{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}；则{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}
（2）设集合{width="1.5in" height="0.25in"},集合{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是函数{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的定义域；则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
（3）{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
4\. 命题"存在实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"},，使{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}"的否定是（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"} 对任意实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}, 都有{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"} 不存在实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}
{width="0.25in" height="0.25in"} 对任意实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}, 都有{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 存在实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}
5\. 公比为2的等比数列{{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}} 的各项都是正数，且 {width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}{width="0.25in" height="0.25in"}=16，则{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
{width="2.25in" height="2.6666666666666665in"}
（6）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
（7）要得到函数{width="1.0in" height="0.25in"}的图象，只要将函数{width="0.75in" height="0.25in"}的图象（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"} 向左平移1个单位 {width="0.25in" height="0.25in"} 向右平移1个单位
{width="0.25in" height="0.25in"} 向左平移{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}个单位 {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 向右平移{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}个单位
（8）若{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件：{width="0.8333333333333334in" height="0.75in"}；则{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的最小值是（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
（9））若直线{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与圆{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}有公共点，则实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}取值范围是（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}
（10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中
任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
{width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
第II卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
{width="1.875in" height="1.825in"}（11）设向量{width="2.25in" height="0.25in"}，若{width="0.5in" height="0.25in"}⊥{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"},则{width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}{width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"}
（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是{width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"}
（13）若函数{width="1.0in" height="0.25in"}的单调递{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}增区间是{width="0.5in" height="0.25in"}，则{width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}
（14）过抛物线{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的焦点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直线交该抛物线于{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}两点，若{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}=\_\_\_\_\_\_
（15）若四面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的三组对棱分别{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}相等，即{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，
> 则\_\_\_\_\_\_{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}\_\_.(写出所有正确结论编号)
①四{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每组对棱相互垂直
②四面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个面的面积相等
③从四面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于{width="0.25in" height="0.25in"}而小于{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
④连接四面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每组对棱中点的线段互垂直平分\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
⑤从四面体{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
（16）(本小题满分12分)
设{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的内角{width="0.5in" height="0.25in"}所对的边为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且有{width="2.5833333333333335in" height="0.16666666666666666in"}
（Ⅰ）求角{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的大小；\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
（II） 若{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，求{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的长。
（17）（本小题满分12分）
设定义在（0，+{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}）上的函数{width="1.75in" height="0.4166666666666667in"}
（Ⅰ）求{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的最小值；
（II）若曲线{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}在点{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}处的切线方程为{width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.25in" height="0.25in"}的值。
（18）（本小题满分13分）
若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，
得到如下频率分布表：
----------- ---------- ----------
**分组** **频数** **频率**
\[-3, -2) 0.1
\[-2, -1) 8
（1,2\] 0.5
（2,3\] 10
（3,4\]
合计 50 1
----------- ---------- ----------
（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3\]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中
的合格品的件数。
{width="1.96875in" height="3.1145833333333335in"}
（19）（本小题满分12分）K\]
如图，长方体{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}中，底面{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}是正方形，
{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是棱{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}上任意一点。
（Ⅰ）证明：{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.5in" height="0.25in"} ；
（Ⅱ）如果{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}=2,{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}={width="0.25in" height="0.25in"}, {width="0.75in" height="0.25in"}, 求{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 的长。
（20）（本小题满分13分）
> {width="1.7638888888888888in" height="1.8145833333333334in"}如图，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}分别是椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}：{width="0.25in" height="0.5in"}+{width="0.25in" height="0.5in"}=1（{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}）的左、右焦点，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的顶点，
>
> {width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的另一个交点，{width="1.0in" height="0.25in"}.
（Ⅰ）求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的离心率；
（Ⅱ）已知{width="0.5in" height="0.25in"}面积为40{width="0.25in" height="0.25in"}，求{width="0.25in" height="0.25in"} 的值
（21）（本小题满分13分）
设函数{width="1.0833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}.
（Ⅰ）求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}；
（Ⅱ）设{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.25in" height="0.25in"}，求{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
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数学（理科）
**第I卷（选择题 共50分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1. 若复数{width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}满足{width="0.6277777777777778in" height="0.19583333333333333in"}，则{width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}等于（ ）
A．{width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"} B．{width="0.3236111111111111in" height="0.19583333333333333in"} C．{width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"} D．{width="0.3236111111111111in" height="0.19583333333333333in"}
2. 等差数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}中，{width="1.323611111111111in" height="0.2548611111111111in"}，则数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 下列命题中，真命题是（ ）
> A．{width="1.0881944444444445in" height="0.26458333333333334in"} B．{width="1.0590277777777777in" height="0.23541666666666666in"}
C．{width="0.6375in" height="0.19583333333333333in"}的充要条件是{width="0.5097222222222222in" height="0.43125in"} D．{width="0.7548611111111111in" height="0.20555555555555555in"}是{width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}的充分条件
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
5. 下列不等式一定成立的是（ ）
> A．{width="1.6277777777777778in" height="0.43125in"} B．{width="2.1375in" height="0.43125in"}
C．{width="1.4708333333333334in" height="0.2548611111111111in"} D．{width="1.1958333333333333in" height="0.43125in"}
6. 如图所示，在边长为1的正方形{width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}中任取一点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好取自阴影部分的概率为（ ）
> {width="1.75in" height="1.2861111111111112in"}A．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} B．{width="0.15694444444444444in" height="0.43125in"} C．{width="0.15694444444444444in" height="0.43125in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"}
7. 设函数{width="1.5590277777777777in" height="0.5291666666666667in"}，则下列结论错误的是（ ）
A．{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的值域为{width="0.34305555555555556in" height="0.22569444444444445in"} B．{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}是偶函数
C．{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}不是周期函数 D．{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}不是单调函数
8. 双曲线{width="0.7944444444444444in" height="0.46111111111111114in"}的右焦点与抛物线{width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"}的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
> A．{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} B．{width="0.34305555555555556in" height="0.23541666666666666in"} C．3 D．5
9. 若直线{width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}上存在点{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件{width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}，则实数{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的最大值为（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} B．1 C．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．2
10. 函数{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}上有定义，若对任意{width="0.9215277777777777in" height="0.23541666666666666in"}，有{width="2.1375in" height="0.43125in"}，则称{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}上具有性质{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。设{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在\[1,3\]上具有性质{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，现给出如下命题：
①{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.3236111111111111in" height="0.22569444444444445in"}上的图像时连续不断的；
②{width="0.46111111111111114in" height="0.2548611111111111in"}在{width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}上具有性质{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}；
③若{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}处取得最大值1，则{width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.5881944444444445in" height="0.22569444444444445in"}；
④对任意{width="1.2944444444444445in" height="0.26458333333333334in"}，有{width="3.7944444444444443in" height="0.43125in"}。
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
**第Ⅱ卷（非选择题 共100分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。**
11. {width="0.56875in" height="0.2548611111111111in"}的展开式中{width="0.19583333333333333in" height="0.22569444444444445in"}的系数等于8，则实数{width="0.2743055555555556in" height="0.15694444444444444in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【2】
12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的{width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【{width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"}】
{width="1.7944444444444445in" height="2.9506944444444443in"}
13. 已知{width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}的三边长成公比为{width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"}的等比数列，则其最大角的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【{width="0.4215277777777778in" height="0.4708333333333333in"}】
14. 数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的通项公式{width="1.1958333333333333in" height="0.43125in"}，前{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和为{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.5in" height="0.2548611111111111in"} \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15. 对于实数{width="0.2743055555555556in" height="0.20555555555555555in"}，定义运算"{width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}"：{width="1.5291666666666666in" height="0.5590277777777778in"}，设{width="1.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}，且关于{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的方程为{width="1.1958333333333333in" height="0.22569444444444445in"}恰有三个互不相等的实数根{width="0.5979166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.46111111111111114in" height="0.2548611111111111in"}的取值范围是\_\_\_\_\_。【{width="0.7645833333333333in" height="0.4708333333333333in"}】
**三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
16. （本小题满分13分）
> 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
{width="5.768055555555556in" height="1.2777777777777777in"}
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
> （II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为{width="0.22569444444444445in" height="0.21597222222222223in"}，生产一辆乙品牌轿车的利润为{width="0.23541666666666666in" height="0.23541666666666666in"}，分别求{width="0.22569444444444445in" height="0.21597222222222223in"}，{width="0.23541666666666666in" height="0.23541666666666666in"}的分布列；
>
> （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
17. （本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）{width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}；
（2）{width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}；
（3）{width="2.3625in" height="0.22569444444444445in"}；
（4）{width="2.7743055555555554in" height="0.2548611111111111in"}；
（5）{width="2.7645833333333334in" height="0.2548611111111111in"}。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
18. （本小题满分13分）
如图，在长方体{width="1.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}中，{width="0.9611111111111111in" height="0.23541666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.2743055555555556in" height="0.19583333333333333in"}中点。
（Ⅰ）求证：{width="0.7944444444444444in" height="0.23541666666666666in"}；
（Ⅱ）在棱{width="0.29444444444444445in" height="0.23541666666666666in"}上是否存在一点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使得{width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}平面{width="0.43125in" height="0.23541666666666666in"}？若存在，求{width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角{width="0.8722222222222222in" height="0.23541666666666666in"}的大小为{width="0.26458333333333334in" height="0.22569444444444445in"}，求{width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长。
{width="2.433333333333333in" height="1.7916666666666667in"}
19. （本小题满分13分）
> 如图，椭圆{width="1.7743055555555556in" height="0.46111111111111114in"}的左焦点为{width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}，右焦点为{width="0.20555555555555555in" height="0.23541666666666666in"}，离心率{width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"}。过{width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}的直线交椭圆于{width="0.3333333333333333in" height="0.20555555555555555in"}两点，且{width="0.5in" height="0.23541666666666666in"}的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程。
> {width="2.4895833333333335in" height="1.75in"}（Ⅱ）设动直线{width="0.93125in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有且只有一个公共点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，且与直线{width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}相交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}。试探究：
>
> 在坐标平面内是否存在定点{width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}，使得以{width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}为直径的圆恒过点{width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}？若存在，求出点{width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}的坐标；若不存在，说明理由。
20. （本小题满分14分）
已知函数{width="1.8430555555555554in" height="0.2548611111111111in"}
（Ⅰ）若曲线{width="0.6569444444444444in" height="0.22569444444444445in"}在点{width="0.5881944444444445in" height="0.22569444444444445in"}处的切线平行于{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴，求函数{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调区间；
> （Ⅱ）试确定{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围，使得曲线{width="0.6569444444444444in" height="0.22569444444444445in"}上存在唯一的点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设曲线{width="1.2944444444444445in" height="0.2548611111111111in"}在矩阵{width="0.5097222222222222in" height="0.5in"} {width="0.6763888888888889in" height="0.5in"}对应的变换作用下得到的曲线为{width="0.7944444444444444in" height="0.2548611111111111in"}。
（Ⅰ）求实数{width="0.29444444444444445in" height="0.20555555555555555in"}的值。 （Ⅱ）求{width="0.22569444444444445in" height="0.20555555555555555in"}的逆矩阵。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数{width="1.7548611111111112in" height="0.22569444444444445in"}，且{width="0.8923611111111112in" height="0.22569444444444445in"}的解集为{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}。
（Ⅰ）求{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的值；
（Ⅱ）若{width="0.7055555555555556in" height="0.20555555555555555in"}，且{width="1.1666666666666667in" height="0.43125in"}，求证：{width="1.0291666666666666in" height="0.19583333333333333in"}。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
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数学（文科）
**第I卷（选择题 共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.复数{width="0.5291666666666667in" height="0.2548611111111111in"}等于（ ）
A. {width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} B．{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} C．{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} D．{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"}
2..已知集合{width="0.93125in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.7944444444444444in" height="0.22569444444444445in"}，下列结论成立的是（ ）
A. {width="0.5590277777777778in" height="0.19583333333333333in"} B．{width="0.8722222222222222in" height="0.20555555555555555in"} C．{width="0.8625in" height="0.20555555555555555in"} D．{width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}
3.已知向量{width="0.8722222222222222in" height="0.3333333333333333in"}，{width="0.6277777777777778in" height="0.3333333333333333in"}，则{width="0.4409722222222222in" height="0.30416666666666664in"}的充要条件是（ ）
A. {width="0.5388888888888889in" height="0.43125in"} B．{width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"} C．{width="0.3923611111111111in" height="0.1763888888888889in"} D．{width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"}
4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）
A. 球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
5.已知双曲线{width="0.8430555555555556in" height="0.46111111111111114in"}的右焦点为{width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. {width="0.43125in" height="0.4708333333333333in"} B．{width="0.3625in" height="0.4708333333333333in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"}
{width="1.625in" height="2.725in"}
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出{width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}值等于（ ）
A. {width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.19583333333333333in"} C．0 D．{width="0.26458333333333334in" height="0.1763888888888889in"}
7.直线{width="1.0979166666666667in" height="0.26458333333333334in"}与圆{width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}相交于{width="0.3333333333333333in" height="0.20555555555555555in"}两点，则弦{width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长度等于（ ）
A. {width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} C．{width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} D．1
8.函数{width="1.2548611111111112in" height="0.43125in"}的图像的一条对称轴是（ ）
A. {width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"} B．{width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"} C．{width="0.56875in" height="0.43125in"} D．{width="0.56875in" height="0.43125in"}
9.设{width="1.2354166666666666in" height="0.7743055555555556in"}，{width="1.5291666666666666in" height="0.5291666666666667in"}，则{width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}值为（ ）
A. 1 B．0 C．{width="0.23541666666666666in" height="0.1763888888888889in"} D．{width="0.43125in" height="0.15694444444444444in"}
10.若直线{width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}上存在点{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件{width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}，则实数{width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的最大值为（ ）
A. {width="0.23541666666666666in" height="0.1763888888888889in"} B．1 C．{width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．2
11.数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的通项公式{width="0.9708333333333333in" height="0.43125in"}，其前{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和为{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.34305555555555556in" height="0.2548611111111111in"}等于（ ）
A. 1006 B．2012 C．503 D．0
12.已知{width="2.529166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，且{width="1.6375in" height="0.22569444444444445in"}，现给出如下结论：
①{width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}；②{width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}；③{width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}；④{width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}。
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
2. **填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。**
13.在{width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}中，已知{width="0.9020833333333333in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.8923611111111112in" height="0.22569444444444445in"}，{width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"}，则{width="0.43125in" height="0.19583333333333333in"}\_\_\_\_\_\_\_。【{width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"}】
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是\_\_\_\_\_\_\_。【12】
15.已知关于{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的不等式{width="1.1375in" height="0.22569444444444445in"}在R上恒成立，则实数{width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【{width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}】
16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。
{width="4.127777777777778in" height="0.8722222222222222in"}
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3. **解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17.（本小题满分12分）
在等差数列{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和等比数列{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}中，{width="1.1958333333333333in" height="0.23541666666666666in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的前10项和{width="0.5881944444444445in" height="0.2548611111111111in"}。
（Ⅰ）求{width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和{width="0.1763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}；
（Ⅱ）现分别从{width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
4. （本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
{width="5.768055555555556in" height="0.6736111111111112in"}
（I）求回归直线方程{width="0.7548611111111111in" height="0.3333333333333333in"}，其中{width="1.323611111111111in" height="0.3333333333333333in"}
> （II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入---成本）
5. {width="1.4791666666666667in" height="2.0416666666666665in"}（本小题满分12分）
如图，在长方体{width="1.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}中，{width="1.5097222222222222in" height="0.23541666666666666in"}，
{width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}为棱{width="0.3333333333333333in" height="0.23541666666666666in"}上的一点。
（I）求三棱锥{width="0.7256944444444444in" height="0.23541666666666666in"}的体积；
（II）当{width="0.8041666666666667in" height="0.23541666666666666in"}取得最小值时，求证：{width="0.5291666666666667in" height="0.23541666666666666in"}平面{width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"}。
6. （本小题满分13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）{width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}；
（2）{width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}；
（3）{width="2.3625in" height="0.22569444444444445in"}；
（4）{width="2.7743055555555554in" height="0.2548611111111111in"}；
（5）{width="2.7645833333333334in" height="0.2548611111111111in"}。
（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
7. {width="2.0in" height="1.8958333333333333in"}（本小题满分12分）
如图，等边三角形{width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}的边长为{width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}，且其三个顶点均在抛
物线{width="1.3923611111111112in" height="0.2548611111111111in"}上。
（I）求抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程；
> （II）设动直线{width="0.1076388888888889in" height="0.19583333333333333in"}与抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相切于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与直线{width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}相交于
>
> 点{width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}。证明：以{width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}为直径的圆恒过{width="0.15694444444444444in" height="0.1763888888888889in"}轴上某定点。
8. （本小题满分14分）
已知函数{width="1.823611111111111in" height="0.43125in"}且在{width="0.43125in" height="0.43125in"}上的最大值为{width="0.40208333333333335in" height="0.43125in"}。
（I）求函数{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的解析式；
（II）判断函数{width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在{width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}内的零点个数，并加以证明。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
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**数学（理科）**
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
**注意事项：**
6. 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2**B**铅笔将试卷类型（**A**）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处".
7. 选择题每小题选出答案后，用2**B**铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
8. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
9. 作答选做题时，请先用2**B**铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
10. 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
**参考公式：**柱体的体积公式{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为柱体的底面积，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为柱体的高.
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 设{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位，则复数{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}=( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}
2．设集合{width="2.0833333333333335in" height="0.25in"}；则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
3\. 若向量{width="1.5in" height="0.25in"}；则{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}
4\. 下列函数中，在区间{width="0.5in" height="0.25in"}上为增函数的是( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
5\. 已知变量{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.75in" height="0.75in"}，则{width="0.75in" height="0.25in"}的最大值为( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}
{width="2.2604166666666665in" height="2.3541666666666665in"}
6\. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}
7\. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，
其个位数为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的概率是( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
8\. .对任意两个非零的平面向量{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，定义{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}；若平面向量{width="0.25in" height="0.25in"}满足{width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，
{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的夹角{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，且{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}都在集合{width="0.75in" height="0.5in"}中，则{width="0.5in" height="0.25in"}( )
{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} {width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
**二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。**
**(一）必做题（9-13题）**
9\. 不等式{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的解集为\_\_\_\_\_
10\. {width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的展开式中{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为\_\_\_\_\_\_。（用数字作答）
> 11\. 已知递增的等差数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，则{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}
{width="2.5631944444444446in" height="2.7083333333333335in"}12. 曲线{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}在点{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}处的切线方程为 [ ]{.underline}
13\. 执行如图2所示的程序框图，若输入{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，
则输出{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ]{.underline}
3. **选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）**
14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}和{width="0.25in" height="0.25in"}的参数方程分别为
{width="0.8333333333333334in" height="0.5833333333333334in"}是参数） 和{width="1.4166666666666667in" height="0.5833333333333334in"}是参数），它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_.
{width="2.0729166666666665in" height="1.4895833333333333in"}
15.(几何证明选讲选做题）如图3，圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半径为{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}
是圆周上的三点，满足，{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}做圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的切线
与{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的延长线交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。**
11. (本小题满分12分)
已知函数{width="2.3333333333333335in" height="0.4166666666666667in"}的最小正周期为{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}
（1）求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；
（2）设{width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，{width="2.4166666666666665in" height="0.4166666666666667in"}；求{width="0.75in" height="0.25in"}的值
{width="2.3340277777777776in" height="2.3833333333333333in"}
12. (本小题满分13分)
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图
如图4所示，其中成绩分组区间是：
\[40,50\]\[50,60\]\[60,70\]\[70,80\]\[80,90\]\[90,100\]。
（1）求图中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；
（2）从成绩不低于{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分的学生中随机选取{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}人，
该{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}人中成绩在{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分以上（含{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分）的人数记为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，
求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的数学期望。
{width="2.3229166666666665in" height="1.6145833333333333in"}18.(本小题满分13分)
如图所示，在四棱锥{width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}中，底面{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为矩形，
{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上，{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}。
1. 证明：{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}；
2. 若{width="1.0in" height="0.25in"}，求二面角{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的正切值；
19.(本小题满分14分)
设数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，满足{width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，且{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}成等差数列。
（1）求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值；（2）求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的通项公式。
（3）证明：对一切正整数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，有{width="1.4166666666666667in" height="0.5in"}
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，已知椭圆{width="1.75in" height="0.5in"}的离心率{width="0.5in" height="0.5in"}，且椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的
点到{width="0.5in" height="0.25in"}的距离的最大值为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}；
（1）求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程；
（2）在椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上，是否存在点{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}使得直线{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}与圆{width="1.0in" height="0.25in"}相交于不同的
两点{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，且{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积最大？若存在，求出点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的坐标及相对应的{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积；
若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
设{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，集合{width="1.25in" height="0.25in"}，{width="2.4166666666666665in" height="0.25in"}，{width="0.75in" height="0.25in"}。
（1）求集合{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（用区间表示）
（2）求函数{width="2.0in" height="0.25in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内的极值点。
**\
**
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
============================================
**数学（文科）**
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
**注意事项：**
11. 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2**B**铅笔将试卷类型（**A**）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处".
12. 选择题每小题选出答案后，用2**B**铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
13. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
14. 作答选做题时，请先用2**B**铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
15. 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
**参考公式：**锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.
球的体积，其中为球的半径。
一组数据的标准差，
其中{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}表示这组数据的平均数。
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是**
> **符合题目要求的。**
1\. 设为虚数单位，则复数=( )
2．设集合；则( )
3\. 若向量；则( )
4\. 下列函数为偶函数的是( )
5\. 已知变量满足约束条件，则的最小值为( )
6\. 在中，若，则( )
{width="2.0729166666666665in" height="1.8333333333333333in"}
7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )
8\. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，
则弦的长等于( )
{width="2.09375in" height="2.3645833333333335in"}
9\. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为
8\. .对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足，
与的夹角，且都在集合中，则( )
**二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。**
**(一）必做题（11-13题）**
9\. 函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_
10\. 等比数列满足，则
> 11\. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，
>
> 则这组数据为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（从小到大排列）
4. **选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）**
14\. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为
是参数，）和是参数），它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_.
15.(几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆想切于点，
是弦上的点，，若，
则\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。**
13. (本小题满分12分)
已知函数，且。
（1）求的值；
（2）设，；求的值
14. {width="2.2604166666666665in" height="2.2395833333333335in"}(本小题满分13分)
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图
如图4所示，其中成绩分组区间是：
\[50,60\]\[60,70\]\[70,80\]\[80,90\]\[90,100\]。
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩
相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在
\[50，90）之外的人数。
{width="4.302083333333333in" height="0.7291666666666666in"}
18.(本小题满分13分)
{width="2.2604166666666665in" height="1.90625in"}如图5所示，在四棱锥中，平面，，是中点，
是上的点，且，为中边上的高。
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面．
19.(本小题满分14分)
设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．
（1）求的值；（2）求数列的通项公式。
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点，
且在在上。
（1）求的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程
21.（本小题满分14分）
设，集合，，。
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在内的极值点。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
============================================
数学（理科）
本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．方程{width="0.9583333333333334in" height="0.20833333333333334in"}的一个根是
A．{width="0.4583333333333333in" height="0.18055555555555555in"} B．{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"} C．{width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"} D．{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}
2．命题"{width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.4722222222222222in" height="0.2361111111111111in"}"的否定是
A．{width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.4722222222222222in" height="0.2361111111111111in"} B．{width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.4722222222222222in" height="0.2361111111111111in"}
C．{width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"} D．{width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}
**3**．**已知二次函数**{width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}**的图象如图所示，则它与**{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}**轴所围图形的面积为**
A．{width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}
C．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为
A．{width="0.2222222222222222in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.19375in" height="0.18055555555555555in"}
C．{width="0.2916666666666667in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}
5．设{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，且{width="0.6111111111111112in" height="0.18055555555555555in"}，若{width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}能被
13整除，则{width="0.25in" height="0.1388888888888889in"}
A．0 B．1
C．11 D．12
6．设{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}是正数，且{width="1.0138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="1.0416666666666667in" height="0.2361111111111111in"}，{width="1.0277777777777777in" height="0.20833333333333334in"}，
则{width="0.69375in" height="0.4166666666666667in"}
A．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3888888888888889in"}
C．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}
**7**．**定义在**{width="1.0138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}**上的函数**{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}**，如果对于任意给定的等比数列**{width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}**，** {width="0.5in" height="0.2222222222222222in"}**仍**
> **是等比数列，**则称{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}为"保等比数列函数". 现有**定义在**{width="1.0138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}**上的**如下函
>
> 数：
>
> ①{width="0.5965277777777778in" height="0.2361111111111111in"}； ②{width="0.5965277777777778in" height="0.2361111111111111in"}； ③{width="0.7638888888888888in" height="0.25in"}； ④{width="0.8055555555555556in" height="0.20833333333333334in"}.
>
> 则其中是"保等比数列函数"的{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的序号为
3. ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
> {width="1.5104166666666667in" height="1.5in"}8．如图，在圆心角为直角的扇形*OAB*中，分别以*OA*，*OB*为直径作两个半圆. 在扇形*OAB*
>
> 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.3888888888888889in" height="0.3888888888888889in"}
C．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.1527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}
9．函数{width="0.9027777777777778in" height="0.2361111111111111in"}在区间{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
10．我国古代数学名著《九章算术》中"开立圆术"曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. "开立圆术"相当于给出了已知球的体积{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，求其直径{width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的一个近似公式{width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据{width="0.8611111111111112in" height="0.18055555555555555in"}判断，下列近似公式中最精确的一个是
18. {width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} B．{width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"} C．{width="0.75in" height="0.4305555555555556in"} D．{width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11---14题）
11．设△{width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}的内角{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}所对的边分别为{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}，{width="0.125in" height="0.18055555555555555in"}，{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}. 若{width="1.5277777777777777in" height="0.20833333333333334in"}，则角{width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"} [ ]{.underline} ．
12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果{width="0.2361111111111111in" height="0.1388888888888889in"} [ ]{.underline} .
{width="2.160416666666667in" height="2.765277777777778in"}
13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99．3位回文数有90个：101，111，121，...，191，202，...，999．则
> （Ⅰ）4位回文数有 [ ]{.underline} 个；
>
> （Ⅱ）{width="0.9166666666666666in" height="0.2222222222222222in"}位回文数有 [ ]{.underline} 个．
14．如图，双曲线{width="1.2777777777777777in" height="0.4027777777777778in"}的两顶点为{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}，虚轴两端点为{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}，两焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}. 若以{width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}为直径的圆内切于菱形{width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，切点分别为{width="0.7083333333333334in" height="0.20833333333333334in"}. 则
（Ⅰ）双曲线的离心率{width="0.2361111111111111in" height="0.1388888888888889in"} [ ]{.underline} ；
（Ⅱ）菱形{width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}的面积{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}与矩形{width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"}的面积{width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}的比值{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} [ ]{.underline} .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点*D*在{width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的弦*AB*上移动，{width="0.4722222222222222in" height="0.16666666666666666in"}，连接*OD*，过点*D*
作{width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的垂线交{width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}于点*C*，则*CD*的最大值为 [ ]{.underline} .
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系*xOy*中，以原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线{width="0.3888888888888889in" height="0.3888888888888889in"}与曲线{width="0.75in" height="0.4722222222222222in"}（*t*为参数）
相交于*A*，*B*两点，则线段*AB*的中点的直角坐标为 [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
> 已知向量{width="1.7083333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="2.0965277777777778in" height="0.25in"}，设函数{width="0.9305555555555556in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.4861111111111111in" height="0.20833333333333334in"}的图象关于直线{width="0.3611111111111111in" height="0.1388888888888889in"}对称，其中{width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}为常数，且{width="0.6527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}.
（Ⅰ）求函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的最小正周期；
（Ⅱ）若{width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}的图象经过点{width="0.3888888888888889in" height="0.3888888888888889in"}，求函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.3888888888888889in"}上的取值范围.
18．（本小题满分12分）
**已知等差数列**{width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}**前三项的和为**{width="0.19375in" height="0.18055555555555555in"}**，前三项的积为**{width="0.1111111111111111in" height="0.18055555555555555in"}**.**
（Ⅰ）**求等差数列**{width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}**的通项公式；**
（Ⅱ）**若**{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}**，**{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}**，**{width="0.1527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}**成等比数列，求数列**{width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}**的前**{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}**项和.**
19．（本小题满分12分）
> 如图1，{width="0.7638888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.18055555555555555in"}，过动点*A*作{width="0.625in" height="0.18055555555555555in"}，垂足*D*在线段*BC*上且异于点*B*，连接*AB*，沿{width="0.2638888888888889in" height="0.16666666666666666in"}将△{width="0.34652777777777777in" height="0.16666666666666666in"}折起，使{width="0.7916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}（如图2所示）．
（Ⅰ）当{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的长为多少时，三棱锥{width="0.5833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥{width="0.5833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}的体积最大时，设点{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}分别为棱{width="0.25in" height="0.18055555555555555in"}，{width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的中点，试在
棱{width="0.25in" height="0.18055555555555555in"}上确定一点{width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}，使得{width="0.3888888888888889in" height="0.18055555555555555in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，并求{width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}与平面{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}所成角的大小．
第19题图
20．（本小题满分12分）
> **根据以往的经验，某工程施工期间的降水量*X*（单位：mm）对工期的影响如下表：**
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
降水量***X*** {width="0.5416666666666666in" height="0.18055555555555555in"} {width="0.9027777777777778in" height="0.18055555555555555in"} {width="0.9027777777777778in" height="0.18055555555555555in"} {width="0.5416666666666666in" height="0.18055555555555555in"}
工期延误天数{width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"} 0 2 6 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
> 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量***X***小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. **求：**
（Ⅰ）工期延误天数{width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"}的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是{width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的条件下，工期延误不超过6天的概率.
21．（本小题满分13分）
> 设{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}是单位圆{width="0.6666666666666666in" height="0.2361111111111111in"}上的任意一点，{width="9.652777777777778e-2in" height="0.18055555555555555in"}是过点{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}轴垂直的直线，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线{width="9.652777777777778e-2in" height="0.18055555555555555in"}与{width="0.125in" height="0.1388888888888889in"} 轴的交点，点{width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}在直线{width="9.652777777777778e-2in" height="0.18055555555555555in"}上，且满足{width="1.9305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}. 当点{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}在圆上运动时，记点*M*的轨迹为曲线{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}．
（Ⅰ）求曲线{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的方程，判断曲线{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
> （Ⅱ）过原点且斜率为{width="0.125in" height="0.18055555555555555in"}的直线交曲线{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}于{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.1527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}两点，其中{width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}在第一象限，它在{width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"}轴上的射影为点{width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}，直线{width="0.2638888888888889in" height="0.20833333333333334in"}交曲线{width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}于另一点{width="0.18055555555555555in" height="0.16666666666666666in"}. 是否存在{width="0.16666666666666666in" height="0.1388888888888889in"}，使得对任意的{width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}，都有{width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}？若存在，求{width="0.16666666666666666in" height="0.1388888888888889in"}的值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
> （Ⅰ）已知函数{width="1.7638888888888888in" height="0.2361111111111111in"}，其中{width="0.125in" height="0.125in"}为有理数，且{width="0.5277777777777778in" height="0.18055555555555555in"}. 求{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的
>
> 最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设{width="0.8055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.34652777777777777in" height="0.2222222222222222in"}为正有理数. 若{width="0.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，则{width="1.1666666666666667in" height="0.2361111111111111in"}；
> （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当{width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}为正有理数时，有求导公式{width="0.8055555555555556in" height="0.2361111111111111in"}.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
============================================
数学（文科）
本试题卷共4页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，{width="1.5in" height="0.25in"}，则满足条件{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
的集合*C*的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
------ ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
分组 {width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.5in" height="0.25in"} {width="0.5in" height="0.25in"}
频数 2 3 4 5 4 2
------ ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
则样本数据落在区间{width="0.5in" height="0.25in"}的频率为
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
3．函数{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}在区间{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}上的零点的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
> 5．过点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的直线，将圆形区域{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
>
> A．{width="0.75in" height="0.25in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} D．{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}
>
> 6．已知定义在区间{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}上的函数
>
> {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的图象如图所示，
则{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的图象为
> **7．定义在**{width="1.0in" height="0.25in"}**上的函数**{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**，如果对于任意给定的等比数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**，**{width="0.5in" height="0.25in"}**仍是等比数列，**则称{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为"保等比数列函数". 现有**定义在**{width="1.0in" height="0.25in"}**上的**如下函数：
>
> ①{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}； ②{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}； ③{width="0.75in" height="0.25in"}； ④{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}.
>
> 则其中是"保等比数列函数"的{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的序号为
A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
> 8．设△{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的内角{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}所对的边分别为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}. 若三边的长为连续的三个正整数，且{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.9166666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="1.0833333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} D．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}
9．设{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，则"{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}"是"{width="1.5833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}"的
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件
{width="1.5104166666666667in" height="1.5in"}10．如图，在圆心角为直角的扇形*OAB*中，分别以*OA*，*OB*为直径作两个半圆. 在扇形*OAB*
> 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
C．{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}\
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位
置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
> 11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 [ ]{.underline} 人．
12．若{width="0.8333333333333334in" height="0.4166666666666667in"}（{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为实数，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位），则{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} .
13．已知向量{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则
（Ⅰ）与{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}同向的单位向量的坐标表示为 [ ]{.underline} ；
（Ⅱ）向量{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}与向量{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}夹角的余弦值为 [ ]{.underline} .
14．若变量{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.75in" height="0.6666666666666666in"} 则目标函数{width="0.75in" height="0.25in"}的最小值是 [ ]{.underline} .
{width="2.625in" height="3.25in"}15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 [ ]{.underline} .
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} .
17．**传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：**
> 将三角形数**1，3，6，10，**{width="0.16666666666666666in" height="8.333333333333333e-2in"}记为数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{width="0.25in" height="0.25in"}. 可以推测：
（Ⅰ）{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中的第**\_\_\_\_\_\_\_\_项；**
（Ⅱ）{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}**\_\_\_\_\_\_\_\_.（用*k*表示）**
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）
> 设函数{width="2.9166666666666665in" height="0.25in"}{width="0.5in" height="0.25in"}的图象关于直线{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}对称，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为常数，且{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}.
（Ⅰ）求函数{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的最小正周期；
（Ⅱ）若{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的图象经过点{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}，求函数{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的值域.
19．（本小题满分12分）
> 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}.
（Ⅰ）证明：直线{width="0.5in" height="0.25in"}平面{width="0.5in" height="0.25in"}；
> （Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
20．（本小题满分13分）
**已知等差数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**前三项的和为**{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**，前三项的积为**{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}**.**
（Ⅰ）**求等差数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**的通项公式；**
（Ⅱ）**若**{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}**，**{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}**，**{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}**成等比数列，求数列**{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}**的前**{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**项和.**
21．（本小题满分14分）
> 设{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是单位圆{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}上的任意一点，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}是过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴垂直的直线，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 轴的交点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在直线{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}上，且满足{width="1.9166666666666667in" height="0.25in"}. 当点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在圆上运动时，记点*M*的轨迹为曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．
（Ⅰ）求曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程，判断曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
> （Ⅱ）过原点斜率为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直线交曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}两点，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在第一象限，且它在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的射影为点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线{width="0.25in" height="0.25in"}交曲线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}于另一点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}. 是否存在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使得对任意的{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，都有{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}？若存在，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
> **设函数**{width="1.6666666666666667in" height="0.25in"}**，**{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**为正整数，*a*，*b*为常数. 曲线**{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}**在**{width="0.5in" height="0.25in"} **处的切线方程为**{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}**.**
（Ⅰ）**求*a*，*b*的值；**
（Ⅱ）**求函数**{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**的最大值；**
（Ⅲ）**证明：**{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}**.**
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
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数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={-1,0,1}，N={x\|x^2^≤x}，则M∩N=
A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}
2.命题"若α={width="0.1875in" height="0.4375in"}，则tanα=1"的逆否命题是
A.若α≠{width="0.1875in" height="0.4375in"}，则tanα≠1 B. 若α={width="0.1875in" height="0.4375in"}，则tanα≠1
C. 若tanα≠1，则α≠{width="0.1875in" height="0.4375in"} D. 若tanα≠1，则α={width="0.1875in" height="0.4375in"}
3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
{width="4.125in" height="2.2395833333333335in"}
4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n），用最小二乘法建立的回归方程为{width="0.14583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（{width="0.14583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.14583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
5\. 已知双曲线C ：{width="0.22916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}-{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 B.{width="0.22916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}-{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 C.{width="0.22916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}-{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 D.{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-{width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1\[w\~\#ww.zz&st\^ep.com@\]
6\. 函数f（x）=sinx-cos(x+{width="0.1875in" height="0.4375in"})的值域为
A． \[ -2 ,2\] B.\[-{width="0.25in" height="0.25in"},{width="0.25in" height="0.25in"}\] C.\[-1,1 \] D.\[-{width="0.2708333333333333in" height="0.4791666666666667in"} , {width="0.2708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}\]
7\. 在△ABC中，AB=2，AC=3，{width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}= 1则{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}.\[中&%国教\*\^育出版\~网\]
A.{width="0.25in" height="0.25in"} B.{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"} C.{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"} D.{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
8．已知两条直线{width="0.125in" height="0.25in"} ：*y*=*m* 和{width="0.14583333333333334in" height="0.25in"}： y={width="0.4791666666666667in" height="0.4375in"}(*m*＞0)，{width="0.125in" height="0.25in"}与函数{width="0.7708333333333334in" height="0.2708333333333333in"}的图像从左至右相交于点A，B ，{width="0.14583333333333334in" height="0.25in"}与函数{width="0.7708333333333334in" height="0.2708333333333333in"}的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，{width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"}的最小值为\[来源%&:中国\~\*教育\#出版网\]
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.22916666666666666in"} B.{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"} C.{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"} D.{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}
二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
9\. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线{width="0.1875in" height="0.25in"}：{width="0.7291666666666666in" height="0.5in"} (t为参数)与曲线{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"} ：{width="0.8541666666666666in" height="0.5in"}
({width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"}为参数，{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}) 有一个公共点在X轴上，则{width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}.
10.不等式\|2x+1\|-2\|x-1\|\>0的解集为\_\_\_\_\_\_\_.
11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等
于\_\_\_\_\_\_\_.
(二)必做题（12\~16题）
12.已知复数{width="0.7291666666666666in" height="0.25in"} (i为虚数单位)，则\|z\|=\_\_\_\_\_.
13.( {width="0.3541666666666667in" height="0.25in"}-{width="0.2916666666666667in" height="0.4583333333333333in"})^6^的二项展开式中的常数项为 [ ]{.underline} .（用数字作答）
14.如果执行如图3所示的程序框图，输入{width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"},*n*=3,则输出的数*S*= [.]{.underline}
{width="1.75in" height="3.2291666666666665in"}
15.函数f（x）=sin ({width="0.5in" height="0.1875in"})的导函数{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.
（1）若{width="0.4583333333333333in" height="0.4375in"}，点P的坐标为（0，{width="0.3541666666666667in" height="0.4791666666666667in"}），则{width="0.2916666666666667in" height="0.14583333333333334in"} [ ]{.underline} ;
（2）若在曲线段{width="0.3958333333333333in" height="0.25in"}与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 [ ]{.underline} .
{width="1.78125in" height="2.1875in"}
16.设*N*=2*^n^*（*n*∈N^\*^，*n*≥2），将N个数x~1~,x~2~,...，x~N~依次放入编号为1,2，...，N的N个位置，得到排列P~0~=x~1~x~2~...x~N~.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}和后{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}个位置，得到排列P~1~=x~1~x~3~...x~N-1~x~2~x~4~...x~N~，将此操作称为C变换，将P~1~分成两段，每段{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}个数，并对每段作C变换，得到{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}；当2≤i≤n-2时，将P~i~分成2^i^段，每段{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}个数，并对每段C变换，得到P~i+1~，例如，当N=8时，P~2~=x~1~x~5~x~3~x~7~x~2~x~6~x~4~x~8~，此时x~7~位于P~2~中的第4个位置.
（1）当N=16时，x~7~位于P~2~中的第\_\_\_个位置；
（2）当N=2^n^（n≥8）时，x~173~位于P~4~中的第\_\_\_个位置.
17.（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
--------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ------------
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） {width="0.14583333333333334in" height="0.14583333333333334in"} 30 25 {width="0.14583333333333334in" height="0.1875in"} 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
--------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ------------
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；\[&%中国教育出\~版网\*\#\]
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
（注：将频率视为概率）\[中%\#国教\*育\^出版网\~\]
18.（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.\[来源%:\*中\#国教\~育出\@版网\]
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
{width="2.8020833333333335in" height="2.5520833333333335in"}
19.（本小题满分12分）
已知数列{*a~n~*}的各项均为正数，记*A*（*n*）=*a*~1~+*a*~2~+......+*a*~n~，*B*（*n*）=*a*~2~+*a*~3~+......+*a~n~*~+1~，*C*（*n*）=*a*~3~+*a*~4~+......+*a~n~*~+2~，*n*=1,2，...... \[来\^&源:中教网@\~%\]
1. 若*a*~1~=1，*a*~2~=5，且对任意*n*∈N﹡，三个数*A*（*n*），*B*（*n*），*C*（*n*）组成等差数列，求数列{ *a~n~* }的通项公式.
2. 证明：数列{ *a~n~* }是公比为*q*的等比数列的充分必要条件是：对任意{width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，三个数*A*（*n*），*B*（*n*），*C*（*n*）组成公比为*q*的等比数列.
20.（本小题满分13分）\[来\#源:中教%&\*网\~\]
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
21.（本小题满分13分）\[www.z%zstep.co\*\~&m\^\]
在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的点均在C~2~：（x-5）^2^＋y^2^=9外，且对C~1~上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C~2~上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C~1~的方程；
（Ⅱ）设P(x~0~,y~0~)（y~0~≠±3）为圆C~2~外一点，过P作圆C~2~的两条切线，分别与曲线C~1~相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
22.（本小题满分13分）
已知函数{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}={width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，其中*a*≠0.\[来源\^:zz\#\~s&tep.\@com\]
1. 若对一切x∈R，{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}≥1恒成立，求*a*的取值集合.
2. **在函数**{width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}**的图像上取定两点**{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}**，**{width="0.8541666666666666in" height="0.25in"}{width="0.6041666666666666in" height="0.25in"}**，记直线AB的斜率为K，**问：是否存在x~0~∈（x~1~，x~2~），使{width="0.7291666666666666in" height="0.25in"}成立？若存在，求{width="0.1875in" height="0.25in"}的取值范围；若不存在，请说明理由.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
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数学（文科）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1\. 设集合M={width="0.59375in" height="0.28125in"}，N={width="0.7604166666666666in" height="0.3020833333333333in"}，则M∩N=（ Ｂ ）
A．{width="0.59375in" height="0.28125in"} B．{width="0.375in" height="0.28125in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.28125in"} D．{width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}
2．复数{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}（{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}为虚数单位）的共轭复数是（ A ）
A．{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} B．{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} C．{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}
3．命题"若{width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}"的逆否命题是（ C ）
A．若{width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"} B． 若{width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}
C．若{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"} D． 若{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
{width="4.125in" height="2.2291666666666665in"}
5．设某大学的女生体重*y*（单位：kg）与身高*x*（单位：cm）具有线性相关关系，根据
> 一组样本数据（*x*~i~，*y*~i~）（{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}=1，2，...，n），用最小二乘法建立的回归方程为{width="0.15625in" height="0.28125in"}=0.85*x*-85.71，则下列结论中不正确的是（ D ）
A．*y*与*x*具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心{width="0.40625in" height="0.2604166666666667in"}
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
6．已知双曲线C ：{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，
则C的方程为（ A ）
A．{width="0.8020833333333334in" height="0.4583333333333333in"} B．{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"} C．{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"} D．{width="0.8020833333333334in" height="0.4583333333333333in"}.
7．设 *a*＞*b*＞1 ，{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}，给出下列三个结论：
① {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} ② {width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}＜{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"} ③{width="1.65625in" height="0.25in"}．
其中所有的正确结论的序号是（ D ）
A ．① B．① ② C ．② ③ D．① ②③
8．在△ABC中，AC={width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（ Ｂ ）
A ．{width="0.28125in" height="0.46875in"} B．{width="0.34375in" height="0.46875in"} C．{width="0.625in" height="0.46875in"} D．{width="0.7083333333333334in" height="0.46875in"}
9．设定义在*R*上的函数{width="0.375in" height="0.21875in"}是最小正周期为2π的偶函数，{width="0.40625in" height="0.21875in"}是{width="0.375in" height="0.21875in"}的导函数．
> 当*x*∈\[0,π\] 时，0＜{width="0.375in" height="0.21875in"}＜1； 当*x*∈（0，π） 且{width="0.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}时 ，{width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0 ．
>
> 则函数{width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}在\[-2π，2π\] 上的零点个数为（ Ｂ ）
A ．2 B ．4 C ．5 D． 8
10．在极坐标系中，曲线{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}：{width="1.53125in" height="0.2604166666666667in"}与曲线{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}：{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}{width="0.5in" height="0.21875in"}
的一个交点在极轴上，则*a*= [ ]{.underline} ．
11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃\~63℃，精确度要求{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少实验次数为 [ ]{.underline} ．
(二)必做题（12\~16题）\[中\#国\~教育@\*出%版网\]
12．不等式{width="0.9895833333333334in" height="0.21875in"}的解集为 [ ]{.underline} ．
13．图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场
比赛中得分的方差为 [ ]{.underline} ．
(注：方差{width="2.90625in" height="0.4270833333333333in"}，
其中{width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}为*x*~1~，*x*~2~，...，*x*~n~的平均数)
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则输出的数{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} ．
{width="3.7083333333333335in" height="2.6145833333333335in"}\[中国%教&育\*\@出版\~网\]
15．如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP ＝3，则{width="0.71875in" height="0.23958333333333334in"} [ ]{.underline} ．
16．对于{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，将{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}表示为{width="2.9166666666666665in" height="0.2604166666666667in"}，
> 当{width="0.34375in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.40625in" height="0.25in"}，当{width="0.7916666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}为0或1．定义{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}如下：在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的上述表示中，
>
> 当{width="1.0104166666666667in" height="0.25in"}中等于1的个数为奇数时，b~n~=1；否则b~n~=0．
（1）{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"} [ ]{.underline} ；
（2）记c~m~为数列{b~n~}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，
则c~m~的最大值是 [ ]{.underline} ．
17.（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
--------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- ------------
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） {width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"} 30 25 {width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"} 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
--------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- ------------
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）
18.（本小题满分12分）
已知函数{width="2.96875in" height="0.4270833333333333in"}的部分图像如图5所示.
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数{width="1.9583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}的单调递增区间.
{width="1.3125in" height="1.3958333333333333in"}
19.（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
{width="2.2916666666666665in" height="2.8125in"}
20.（本小题满分13分）
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金*d*万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第*n*年年底企业上缴资金后的剩余资金为*a~n~*万元.
（Ⅰ）用*d*表示*a*~1~，*a*~2~，并写出{width="0.28125in" height="0.25in"}与*a~n~*的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过*m*（*m*≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金*d*的值（用*m*表示）.
21.（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的椭圆E的一个焦点为圆C：x^2^+y^2^-4x+2=0的圆心.\[中国教育出%版网\^@\*&\]
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的直线*l*~1~，*l*~2~.当直线*l*~1~，*l*~2~都与圆C相切时，求P的坐标.
22.（本小题满分13分）
已知函数f(x)=e^x^-ax，其中a＞0.\[@\#中国\^教育出版&网\~\]
（1）若对一切x∈R，f(x) {width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}1恒成立，求a的取值集合；\[z
（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x~1~, f(x~1~)）,B(x~2~, f(x~2~))(x~1~\<x~2~)，记直线AB的斜率为*k*，证明：存在x~0~∈（x~1~,x~2~）,使{width="0.71875in" height="0.25in"}恒成立.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
============================================
数学
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
参考公式：
棱锥的体积{width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为底面积，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．**（2012年江苏省5分）**已知集合{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.5in" height="0.25in"} [ ▲]{.underline} ．
2．**（2012年江苏省5分）**某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 [ ▲]{.underline} 名学生．
3．**（2012年江苏省5分）**设{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}（i为虚数单位），则{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ▲]{.underline} ．
4．**（2012年江苏省5分）**下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 [ ▲]{.underline} ．
{width="1.9166666666666667in" height="2.0in"}
5．**（2012年江苏省5分）**函数{width="1.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}的定义域为 [ ▲]{.underline} ．
6．**（2012年江苏省5分）**现有10个数，它们能构成一个以1为首项，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 [ ▲]{.underline} ．
7．**（2012年江苏省5分）**如图，在长方体{width="1.0in" height="0.25in"}中，{width="1.0in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，则四棱锥{width="0.75in" height="0.25in"}的体积为 [ ▲]{.underline} cm^3^．
{width="2.0in" height="1.5in"}
8．**（2012年江苏省5分）**在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，若双曲线{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}的离心率为{width="0.25in" height="0.25in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ▲]{.underline} ．
9．**（2012年江苏省5分）**如图，在矩形{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}中，{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在边{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上，若{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的值是 [ ▲]{.underline} ．
{width="1.5833333333333333in" height="1.8333333333333333in"}
10．**（2012年江苏省5分）**设{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是定义在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上且周期为2的函数，在区间{width="0.5in" height="0.25in"}上，
{width="1.8333333333333333in" height="0.6666666666666666in"}其中{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}．若{width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，
则{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ▲]{.underline} ．
11．**（2012年江苏省5分）**设{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为锐角，若{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}，则{width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的值为 [ ▲]{.underline} ．
12．**（2012年江苏省5分）**在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程为{width="1.25in" height="0.25in"}，若直线{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有公共点，则{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最大值是 [ ▲]{.underline} ．
13．**（2012年江苏省5分）**已知函数{width="1.75in" height="0.25in"}的值域为{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，若关于x的不等式
> {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的解集为{width="0.75in" height="0.25in"}，则实数c的值为 [ ▲]{.underline} ．
14．**（2012年江苏省5分）**已知正数{width="0.5in" height="0.25in"}满足：{width="2.3333333333333335in" height="0.25in"}则{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的取值范围是 [ ▲]{.underline} ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
**演算步骤．**
15．**（2012年江苏省14分）**在{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}中，已知{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}．
（1）求证：{width="0.9166666666666666in" height="0.16666666666666666in"}；
（2）若{width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}求A的值．
16．**（2012年江苏省14分）**如图，在直三棱柱{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}中，{width="0.75in" height="0.25in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}分别是棱{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}上的点（点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 不同于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}），且{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}为{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的中点．
求证：（1）平面{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.5in" height="0.25in"}；
（2）直线{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}．
{width="1.6666666666666667in" height="1.8333333333333333in"}
17．**（2012年江苏省14分）**如图，建立平面直角坐标系{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴在地平面上，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程{width="1.75in" height="0.4166666666666667in"}表示的曲线上，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
> （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
{width="3.3333333333333335in" height="1.4166666666666667in"}
18．**（2012年江苏省16分）**若函数{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}在{width="0.5in" height="0.25in"}处取得极大值或极小值，则称{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}为函数{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的极值点。
已知{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}是实数，1和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是函数{width="1.25in" height="0.25in"}的两个极值点．
（1）求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；
（2）设函数{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的导函数{width="1.0in" height="0.25in"}，求{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的极值点；
（3）设{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，其中{width="0.75in" height="0.25in"}，求函数{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的零点个数．
19．**（2012年江苏省16分）**如图，在平面直角坐标系{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}中，椭圆{width="1.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}的左、右焦点分别为{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}．已知{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}和{width="0.5833333333333334in" height="0.5in"}都在椭圆上，其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}是椭圆上位于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上方的两点，且直线{width="0.25in" height="0.25in"}与直线{width="0.25in" height="0.25in"}平行，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与{width="0.25in" height="0.25in"}交于点P．
（i）若{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}，求直线{width="0.25in" height="0.25in"}的斜率；
（ii）求证：{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}是定值．
{width="2.0833333333333335in" height="1.5in"}
20．**（2012年江苏省16分）**已知各项均为正数的两个数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}和{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足：{width="1.25in" height="0.5833333333333334in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，
（1）设{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，求证：数列{width="0.5833333333333334in" height="0.5833333333333334in"}是等差数列；
（2）设{width="1.0in" height="0.5in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是等比数列，求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值．{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}
\]**数学Ⅱ(附加题)**
**21．\[选做题\]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**A**．\[选修4 - 1：几何证明选讲\] **（2012年江苏省10分）**如图，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}是圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直径，{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为圆上位于{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}异侧的两点，连结{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}并延长至点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，连结{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}．
求证：{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．
{width="1.6666666666666667in" height="1.8333333333333333in"}
**B**．\[选修4 - 2：矩阵与变换\] **（2012年江苏省10分）**已知矩阵{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的逆矩阵{width="1.0833333333333333in" height="0.8333333333333334in"}，求矩阵{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的特征值．
**C**．\[选修4 - 4：坐标系与参数方程\] **（2012年江苏省10分）**在极坐标中，已知圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}经过点{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}，圆心为直线{width="1.3333333333333333in" height="0.5in"}与极轴的交点，求圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的极坐标方程．
**D**．\[选修4 - 5：不等式选讲\] **（2012年江苏省10分）**已知实数x，y满足：{width="1.6666666666666667in" height="0.4166666666666667in"}求证：{width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}．
**【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
22．**（2012年江苏省10分）**设{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}；当两条棱平行时，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}．
（1）求概率{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}；
（2）求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的分布列，并求其数学期望{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}．
23．**（2012年江苏省10分）**设集合{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}．记{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为同时满足下列条件的集合{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的个数：
①{width="0.5in" height="0.25in"}；②若{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}；③若{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.75in" height="0.3333333333333333in"}。
（1）求{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}；
（2）求{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的解析式（用{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示）．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
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数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：
锥体体积公式V={width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}Sh，其中S为底面积，h为高。
**第I卷**
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛*z*︱*z*=*x*+*y*,*x*∈A,*y*∈B｝中的元素的个数为（ ）
A．5 B.4 C.3 D.2
2.下列函数中，与函数y={width="0.3333333333333333in" height="0.5in"}定义域相同的函数为（ ）
A．y={width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} B.y={width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} C.y=*x*e*^x^* D. {width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}
3.若函数{width="1.4166666666666667in" height="0.5in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}=（ ）
A.lg101 B.b C.1 D.0
4.若tan{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}+{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} =4,则sin2{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}=（ ）
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} B. {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} C. {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D. {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
5．下列命题中，假命题为（ ）
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}为实数的充分必要条件是{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为共轭复数
C．若{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}R，且{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}则{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}至少有一个大于1
D．对于任意{width="1.5833333333333333in" height="0.25in"}都是偶数
6．观察下列各式：{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}{width="2.5in" height="0.25in"}则{width="0.75in" height="0.25in"}（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
7．在直角三角形{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}中，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是斜边{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，
则{width="0.9166666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
------ ----------- --------------- ----------
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
------ ----------- --------------- ----------
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
9.样本（{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，样本（{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数为{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，若样本（{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，其中{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，则*n*,*m*的大小关系为( )
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} D．不能确定
10．如右图，已知正四棱锥{width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}所有棱长都为1，点E是侧棱{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上一动点，过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}垂直于{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记{width="1.25in" height="0.25in"}截面下面部分的体积为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}则函数{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的图像大致为
{width="1.75in" height="1.3333333333333333in"}
{width="5.75in" height="1.4166666666666667in"}
**理科数学**
第Ⅱ卷
注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
**二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。**
11.计算定积分{width="1.25in" height="0.3333333333333333in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
12.设数列{*a~n~*},{*b~n~*}都是等差数列，若*a*~1~+*b*~1~=7，*a*~3~+*b*~3~=21，则*a*~5~+*b*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
13椭圆{width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}（*a*＞*b*＞0）的左、右顶点分别是*A*,*B*,左、右焦点分别是*F*~1~，*F*~2~。若\|*AF*~1~\|，\|*F*~1~*F*~2~\|，\|*F*~1~*B*\|成等比数列，则此椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="5.75in" height="1.0in"}
三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共5分。
15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线*C*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^-2*x*=0，以原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线*C*的极坐标方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式\|2*x*-1\|+\|2*x*+1\|≤6的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知数列{*a~n~*}的前*n*项和{width="1.6666666666666667in" height="0.4166666666666667in"},且*S~n~*的最大值为8.
（1）确定常数*k*，求*a~n~*；
（2）求数列{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的前*n*项和*T~n~*。
17.（本小题满分12分）
在△*ABC*中，角*A*,*B*,*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*。已知{width="2.5833333333333335in" height="0.4166666666666667in"}
（1）求证： {width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}
（2）若{width="0.5in" height="0.25in"}，求△*ABC*的面积。
18.（本题满分12分）
如图，从*A*~1~（1,0,0），*A*~2~（2,0,0），*B*~1~（0，2，0），*B*~2~（0,2,0），*C*~1~（0,0,1），*C*~2~（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点*O*两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量*V*（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积*V*=0）。
{width="2.25in" height="2.0in"}
（1）求*V*=0的概率；
(2)求*V*的分布列及数学期望。
19.（本题满分12分）
在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，已知*AB*=*AC*=*AA*~1~={width="0.25in" height="0.25in"}，*BC*=4，在*A*~1~在底面*ABC*的投影是线段*BC*的中点*O*。
{width="3.25in" height="2.5in"}
（1）证明在侧棱*AA*~1~上存在一点*E*，使得*OE*⊥平面*BB*~1~*C*~1~*C*，并求出*AE*的长；
（2）求平面{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}与平面*BB*~1~*C*~1~*C*夹角的余弦值。
20\. （本题满分13分）
已知三点*O*（0,0），*A*（-2,1），*B*（2,1），曲线*C*上任意一点*M*（*x*，*y*）满足{width="2.1666666666666665in" height="0.25in"}.
1. 求曲线*C*的方程；
（2）动点*Q*（*x*~0~，*y*~0~）（-2＜*x*~0~＜2）在曲线*C*上，曲线*C*在点*Q*处的切线为*l*向：是否存在定点*P*（0，*t*）（*t*＜0），使得*l*与*PA*，*PB*都不相交，交点分别为*D*,*E*，且△*QAB*与△*PDE*的面积之比是常数？若存在，求*t*的值。若不存在，说明理由。
21\. （本小题满分14分）
若函数*h*(*x*)满足
（1）*h*(0)=1，*h*(1)=0；
（2）对任意{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，有*h*(*h*(*a*))=*a*；
（3）在（0,1）上单调递减。
则称*h*(*x*)为补函数。已知函数{width="2.1666666666666665in" height="0.5in"}
判函数*h*(*x*)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，使得*h*(*m*)=*m*，称*m*是函数h(x)的中介元，记{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}时*h*(*x*)的中介元为*x~n~*，且{width="0.75in" height="0.5in"}，若对任意的{width="0.5in" height="0.25in"}，都有*S*~n~\< {width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"},求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围；
（3）当{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}=0，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}时，函数*y*= *h*(*x*)的图像总在直线*y*=1-*x*的上方，求*P*的取值范围。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
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数学（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：\[来源:Zxxk.Com\]
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：\[来源:Z,xx,k.Com\]
锥体体积公式V={width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh，其中S为底面积，h为高。
6. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1\. 若复数z=1+i (i为虚数单位) {width="0.13541666666666666in" height="0.2916666666666667in"}是z的共轭复数 ， 则{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.2916666666666667in"}²的虚部为
A 0 B -1 C 1 D -2
2 {width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} 若全集U=｛x∈**R**\|x^2^≤4} A=｛x∈**R**\|\|x+1\|≤1}的补集CuA为
A \|x∈**R** \|0＜x＜2\| B \|x∈**R** \|0≤x＜2\|
C \|x∈**R** \|0＜x≤2\| D \|x∈**R** \|0≤x≤2\|
3.设函数{width="1.4479166666666667in" height="0.71875in"}，则f（f（3））=
A.{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} B.3 C. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. {width="0.21875in" height="0.4270833333333333in"}
4.若{width="1.1770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则tan2α=
A. -{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C. -{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
5\. 观察下列事实\|x\|+\|y\|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， \|x\|+\|y\|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， \|x\|+\|y\|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ....则\|x\|+\|y\|=20的不同整数解（x，y）的个数为
A.76 B.80 C.86 D.92
6.小波一星期的{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为
{width="5.760416666666667in" height="1.6041666666666667in"}
A.30％ B.10％ C.3％ D.不能确定
7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
{width="2.2708333333333335in" height="1.71875in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.4270833333333333in"} B.5 C.4 D. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
8.椭圆{width="1.5in" height="0.4583333333333333in"}的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F~1~，F~2~。若
\|AF~1~\|,\|F~1~F~2~\|,\|F~1~B\|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B. {width="0.28125in" height="0.46875in"} C. {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. {width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}
9.已知{width="1.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}若*a*=*f*（lg5），{width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
10.如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为{width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，以A为圆心，AB为半径作圆弧{width="0.40625in" height="0.25in"}与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：ms）沿圆弧{width="0.40625in" height="0.25in"}行至点C后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是
{width="1.65625in" height="1.0729166666666667in"}
{width="5.760416666666667in" height="1.21875in"}
11\. 不等式{width="0.8020833333333334in" height="0.375in"}的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
12.设单位向量**m**=（x，y），**b**=（2，-1）。若{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
13.等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，公比不为1。若a~1~=1，且对任意的{width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}都有a~n＋2~＋a~n＋1~-2a~n~=0，则S~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
14.过直线x+y-{width="0.2916666666666667in" height="0.15625in"}=0上点P作圆x^2^+y^2^=1的两条切线，若两条切{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}线的夹角是60°，则点P的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
{width="5.760416666666667in" height="1.0625in"}
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC。\[来源:学科网\]
（1）求cosA；
（2）若a=3，△ABC的面积为{width="0.34375in" height="0.23958333333333334in"}，求b，c。
17.（本小题满分12分）
已知数列\|a~n~\|的前n项和{width="0.8333333333333334in" height="0.2604166666666667in"}（其中c{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}，k为常数），且a~2~=4，a~6~=8a~3~
（1）求a~n~；
（2）求数列{na~n~}的前n项和T~n~。
18.（本小题满分12分）
如图，从A~1~（1,0,0），A~2~（2,0,0），B~1~（0,1,0,）B~2~（0,2,0），C~1~（0,0,1），C~2~（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。
{width="2.0729166666666665in" height="1.7916666666666667in"}
16. 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
17. 求这3点与原点O共面的概率。
19\. （本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4{width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.
{width="2.9375in" height="1.15625in"}
A. 求证：平面DEG⊥平面CFG；
B. {width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}求多面体C{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}DEFG的体积。
20.（本小题满分13分）
已知三点O（0,0），A（-2,1）{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}，B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足{width="2.4583333333333335in" height="0.3125in"}
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x~0~,y~0~）(-2\<x~0~\<2)是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比。
21.（本小题满分14分）
已知函数{width="1.5416666666666667in" height="0.25in"}在{width="0.34375in" height="0.28125in"}上单调递减且满足{width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}.
（1）求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围；
（2）设{width="1.34375in" height="0.21875in"}，求{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}在{width="0.34375in" height="0.28125in"}上的最大值和最小值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
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数学（理科）
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. **已知全集**{width="1.5729166666666667in" height="0.28125in"}**，集合**{width="0.9479166666666666in" height="0.28125in"}，集合{width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"}，则{width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"}
**A．**{width="0.375in" height="0.28125in"} **B．**{width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"} **C．**{width="0.46875in" height="0.28125in"} **D．**{width="0.5104166666666666in" height="0.28125in"}
2.**复数**{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}
**A．**{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} **B．**{width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"} **C．**{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"} **D．**{width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}
3\. **已知两个非零向量**{width="0.2604166666666667in" height="0.2604166666666667in"}**满足**{width="0.7916666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，则下面结论正确
**A．**{width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"} **B．**{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"} **C．**{width="0.46875in" height="0.3333333333333333in"} **D．**{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}
4\. **已知命题**{width="2.625in" height="0.28125in"}**，则**{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是
**A．**{width="2.4583333333333335in" height="0.28125in"} **B．**{width="2.4895833333333335in" height="0.28125in"}
**C**{width="2.4166666666666665in" height="0.28125in"} **D．**{width="2.4479166666666665in" height="0.28125in"}
5\. **一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为**
**A．**{width="0.34375in" height="0.19791666666666666in"} **B．**{width="0.53125in" height="0.3020833333333333in"} **C．**{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"} **D．**{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}
6\. **在等差数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**中，已知**{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}**，则该数列前11项和**{width="0.34375in" height="0.25in"}
**A．58 B．88 C．143 D．176**
7\. **已知**{width="1.8229166666666667in" height="0.2916666666666667in"}**，则**{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}
**A．**{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"} **B．**{width="0.40625in" height="0.46875in"} **C．**{width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} **D．**{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}
{width="2.3125in" height="1.2083333333333333in"}8. **设变量**{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}**满足**{width="0.96875in" height="0.78125in"}**，则**{width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为**
**A．20 B．35 C．45 D．55**
9\. **执行如图所示的程序框图，则输出的**{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}**值是**
{width="5.270833333333333in" height="0.6770833333333334in"}
10\. **在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，**
**则该矩形面积小于32**{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}**的概率为**
**A．**{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} **B．**{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} **C．**{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} **D．**{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
11\. 设**函数**{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}**满足**{width="1.9270833333333333in" height="0.28125in"}**，且当**{width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}**时，**{width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}**.又函数**{width="1.25in" height="0.3020833333333333in"}**，则函数**{width="1.2083333333333333in" height="0.28125in"}**在**{width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}**上的零点个数为**
**A．5 B．6 C．7 D．8**
12\. **若**{width="0.75in" height="0.28125in"}**，则下列不等式恒成立的是**
**A．**{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"} **B．**{width="1.3333333333333333in" height="0.4583333333333333in"}
**C．**{width="0.9479166666666666in" height="0.4270833333333333in"} **D．**{width="1.15625in" height="0.4270833333333333in"}
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
{width="2.509027777777778in" height="1.5465277777777777in"}
13\. **一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积**
**为 [ ]{.underline} ．**
14.**已知等比数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**为递增数列，且**{width="1.7604166666666667in" height="0.28125in"}**，则数列**{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**的通项公式**{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}**\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**因为**{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**为递增数列，所以**{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}**，**{width="0.4479166666666667in" height="0.2604166666666667in"}
15\. **已知**{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**为抛物线**{width="0.5in" height="0.25in"}**上两点，点**{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**的横坐标分别为**{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}**，过**{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**分别作抛物**
**线的切线，两切线交于点**{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}**，则点A的纵坐标为 [ ]{.underline} ．**
**三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．**
**17．（本小题满分12分）**
在{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，角{width="0.46875in" height="0.21875in"}的对边分别为{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，角{width="0.46875in" height="0.21875in"}成等差数列。
（1）求{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}的值；
（2）边{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}成等比数列，求{width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}的值
{width="2.397222222222222in" height="2.2944444444444443in"}18. **（本小题满分12分）**
如图，直三棱柱{width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，{width="1.03125in" height="0.19791666666666666in"}，点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}分别为{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}和{width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的中点
（1）证明：{width="1.2395833333333333in" height="0.21875in"}；
（2）若二面角{width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}为直二面角，求{width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}的值
{width="2.09375in" height="1.5in"}19. **（本小题满分12分）**
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"
（1）根据已知条件完成下面的{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？
------ ---------- -------- ------
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
------ ---------- -------- ------
（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的"体育迷"人数为{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}.若每次抽取的结果是相互独立的，求{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的分布列，期望{width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}和方差{width="0.46875in" height="0.28125in"}
附：{width="1.46875in" height="0.5416666666666666in"}，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- -------
{width="0.75in" height="0.3020833333333333in"} 0.05 0.01
{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"} 3.841 6.635
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- -------
20\. **（本小题满分12分）**
{width="1.8333333333333333in" height="1.1770833333333333in"}如图，椭圆{width="2.2916666666666665in" height="0.4583333333333333in"}，动圆{width="1.3854166666666667in" height="0.2604166666666667in"}.点{width="0.375in" height="0.25in"}分别为{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的左、右顶点，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}相交于{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}四点
（1）求直线{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与直线{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}交点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的轨迹方程；
（2）设动圆{width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}与{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}相交于{width="0.71875in" height="0.21875in"}四点，其中{width="0.53125in" height="0.25in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}.若矩形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}与矩形{width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}的面积相等，证明：{width="0.4583333333333333in" height="0.2604166666666667in"}为定值
21\. **（本小题满分12分）**设{width="3.28125in" height="0.2916666666666667in"}，曲线{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}与直线{width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}在{width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}点相切.
（1）求{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}的值；
（2）证明：当{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"}
{width="2.125in" height="1.617361111111111in"}22. **（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲**
**如图，**{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}**和**{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}**相交于*A*，*B*两点，*过A*作两圆的切线分别交两圆于**{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**两点，连结**{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}**并延长交**{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}**于点**{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}**.**
**证明：（I）**{width="1.1770833333333333in" height="0.19791666666666666in"}**；**
**（II）**{width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}
23\. **（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程**
在直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，圆{width="0.8229166666666666in" height="0.2604166666666667in"}，圆{width="1.15625in" height="0.3020833333333333in"}
（1）在以{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为极点，{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极坐标方程，并求出圆{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的交点坐标（用极坐标表示）
（2）求圆{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程
24\. **（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲**
已知{width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，不等式{width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}的解集为{width="0.9166666666666666in" height="0.3020833333333333in"}
（1）求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值
（2）若{width="1.28125in" height="0.5in"}恒成立，求{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
============================================
数学（文科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。**
（1）已知向量{width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"} = (1,---1)，{width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"} = (2,{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}).若{width="0.34375in" height="0.23958333333333334in"} = 1,则{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"} =
\(A\) ---1 (B) ---{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (C) {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D)1
（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 {width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}=
(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}
（3）复数{width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}
\(A\) {width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"} (B){width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"} (C) {width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"} (D) {width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}
（4）在等差数列{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}中，已知{width="0.46875in" height="0.25in"}=16，则{width="0.53125in" height="0.25in"}=
\(A\) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
（5）**已知命题**{width="2.625in" height="0.28125in"}**，则**{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是
**A．**{width="2.4583333333333335in" height="0.28125in"} **B．**{width="2.4895833333333335in" height="0.28125in"}
**C．**{width="2.4166666666666665in" height="0.28125in"} **D．**{width="2.4479166666666665in" height="0.28125in"}
（6）已知{width="1.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.15625in"}(0，π)，则{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}=
\(A\) {width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}1 (B) {width="0.40625in" height="0.46875in"} (C) {width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} (D) 1
（7）将圆{width="1.6145833333333333in" height="0.25in"}平分的直线是
（A）{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"} （B）{width="0.84375in" height="0.21875in"} （C）{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"} （D）{width="0.84375in" height="0.21875in"}
（8）函数{width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的单调递减区间为
（A）（{width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}1,1\] （B）（0,1\] （C.）\[1，+∞） （D）（0，+∞）
{width="2.3125in" height="1.2083333333333333in"}
（9）**设变量**{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}**满足**{width="0.96875in" height="0.78125in"}**，则**{width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为**
**A．20 B．35 C．45 D．55**
（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是
{width="5.010416666666667in" height="0.6666666666666666in"}
\(A\) 4 (B) {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (C) {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D) {width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}1
（11）在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm^2^的概率为
:(A) {width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} (B) {width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} (C) {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D) {width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
（12）已知P,Q为抛物线{width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}上两点，点P,Q的横坐标分别为4，{width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
\(A\) 1 (B) 3 (C) {width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}4 (D) {width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}8
**第Ⅱ卷**
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题\~第24题为选考题，考生根据要求做答。
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。**
（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="2.2395833333333335in" height="1.6875in"}
（14）已知等比数列｛{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}｝为递增数列.若{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}＞0,且{width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}2,则数列｛{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}｝的公比{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
（15）已知双曲线{width="0.7395833333333334in" height="0.25in"},点{width="0.40625in" height="0.25in"}为其两个焦点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为双曲线上一点，若{width="0.28125in" height="0.25in"}⊥{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"},则∣{width="0.28125in" height="0.25in"}∣+∣{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}∣的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
（16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}正方形。若PA=2{width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"},则△OAB的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
（17）(本小题满分12分)
在{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，角*A*、*B*、*C*的对边分别为{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.15625in"}*，*角*A*，*B*，*C*成等差数列。
(Ⅰ)求{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}的值；
(Ⅱ)边{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.15625in"}成等比数列，求{width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}的值。
（18）(本小题满分12分)
如图，直三棱柱{width="1.0104166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.875in" height="0.21875in"}，
{width="1.09375in" height="0.2604166666666667in"}AA′=1，点{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}分别为{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}和{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的中点。
(Ⅰ)证明：{width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}∥平面{width="0.59375in" height="0.21875in"};{width="1.8333333333333333in" height="1.9583333333333333in"}
(Ⅱ)求三棱锥{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}的体积。
（椎体体积公式V={width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh,其中S为地面面积，h为高）
（19）(本小题满分12分)
{width="2.09375in" height="1.5in"}电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"，已知"体育迷"中有10名女性。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别
有关？
------ ---------- -------- ------
非体育迷 体育迷 合计
男
女
合计
------ ---------- -------- ------
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为"超级体育迷"，已知"超级体育迷"中有2名女性，若从"超级体育迷"中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。
附{width="1.625in" height="0.5in"}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- -------
{width="0.75in" height="0.3020833333333333in"} 0.05 0.01
{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"} 3.841 6.635
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- -------
{width="1.8333333333333333in" height="1.1770833333333333in"}（20）(本小题满分12分)
如图，动圆{width="1.0520833333333333in" height="0.2604166666666667in"},1＜{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}＜3,
与椭圆{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}：{width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"}相交于A，B，C，D四点，点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}分别为{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的左，右顶点。
(Ⅰ)当{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与直线{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}交点M的轨迹方程。
（21）(本小题满分12分)
> 设{width="1.3333333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，证明：
(Ⅰ)当{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}＞1时，{width="0.375in" height="0.21875in"}＜{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}；
(Ⅱ)当{width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}.
{width="2.125in" height="1.617361111111111in"}**请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。**
(22)(本小题满分10分)选修4{width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}1：几何证明选讲
> 如图，⊙*O*和⊙{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}相交于{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}两点，过*A*作两圆的切线分别交两圆于*C*，*D*两点，连接*DB*并延长交⊙*O*于点*E*。证明
(Ⅰ){width="1.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}；
(Ⅱ) {width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}。
(23)(本小题满分10分)选修4{width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}4：坐标系与参数方程
在直角坐标{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，圆{width="1.03125in" height="0.2604166666666667in"}，圆{width="1.3854166666666667in" height="0.2604166666666667in"}。
(Ⅰ)在以*O*为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆{width="0.4270833333333333in" height="0.25in"}的极坐标方程，并求出圆{width="0.4270833333333333in" height="0.25in"}的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆{width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程。
(24)(本小题满分10分)选修4{width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}5：不等式选讲
已知{width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，不等式{width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}的解集为{width="0.9166666666666666in" height="0.3020833333333333in"}
(Ⅰ)求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值
(Ⅱ)若{width="1.28125in" height="0.4270833333333333in"}恒成立，求*k*的取值范围。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
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数学（理科）
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
锥体的体积公式：V={width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。
第I卷（共60分）
11. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为
A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i
2 已知全集{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}B为
A {1,2,4} B {2,3,4}
C {0,2,4} D {0,2,3,4}
3 设a＞0 a≠1 ，则"函数f(x)= a^x^在R上是减函数 "，是"函数g(x)=(2-a) {width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}在R上是增函数"的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 \[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，......，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间\[1,450\]的人做问卷A，编号落入区间\[451,750\]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15
{width="3.9479166666666665in" height="0.9166666666666666in"}
（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为
{width="2.5444444444444443in" height="3.79375in"}
（A）2（B）3（C）4（D）5
(7)若{width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}{width="0.8854166666666666in" height="0.46875in"}，则sin{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}=
（A）{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}（B）{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（C）{width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"}（D）{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
（8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）^2^，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（2012）=
（A）335（B）338（C）1678（D）2012
(9)函数{width="0.7916666666666666in" height="0.3020833333333333in"}的图像大致为
{width="5.768055555555556in" height="1.2125in"}
（10）已知椭圆C：{width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}的离心率为{width="0.16666666666666666in" height="0.3020833333333333in"}，双曲线*x*²-*y*²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为
{width="5.768055555555556in" height="0.36666666666666664in"}
（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为
（A）232 (B)252 (C)472 (D)484
(12)设函数{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}（x）={width="0.16666666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，g（x{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}）=ax^2^+bx{width="1.1875in" height="0.1875in"}若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x~1~,y~1~）,B(x~2~,y~2~),则下列判断正确的是
A.当a\<0时，x~1~+x~2~\<0,y~1~+y~2~\>0
B. 当a\<0时, x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\<0
C.当a\>0时，x~1~+x~2~\<0{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}, y~1~+y~2~\<0
D. 当a\>0时，x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\>0
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）若不等式{width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}的解集为{width="1.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（14）如图，正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，E,F分别为线段AA~1~,B~1~C上的点，则三棱锥D~1~-EDF的{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
{width="2.125in" height="1.8229166666666667in"}
（15）设a＞0.若曲线{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=\_\_\_\_\_\_。
{width="2.3270833333333334in" height="1.84375in"}（16）如图，在平面直角坐标系{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，{width="0.23958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
（17）（本小题满分12分）
> 已知向量{width="3.15625in" height="0.3645833333333333in"}，函数{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"}的最大值
>
> 为6．
（Ⅰ）求{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅱ）将函数{width="0.625in" height="0.21875in"}的图像向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩
短为原来的{width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，得到函数{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}的图像，求{width="0.34375in" height="0.21875in"}在{width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}
上的值域．
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是等腰梯形，
> {width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.23958333333333334in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}平面{width="1.21875in" height="0.21875in"}，
>
> {width="1.0520833333333333in" height="0.19791666666666666in"}．
（Ⅰ）求证{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅱ）求二面角{width="0.8229166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为{width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}，命中得1分，没有命中得
0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为{width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}，每命中一次得2分，没有命中得0分．该
射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的分布列及数学期望{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
（20）（本小题满分12分）
在等差数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中，{width="1.6770833333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
（Ⅰ）求数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的通项公式；
（Ⅱ）对任意{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，将数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中落入区间{width="0.59375in" height="0.23958333333333334in"}内的项的个数记为{width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，求数列{width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
的前{width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}项和{width="0.21875in" height="0.23958333333333334in"}．
（21）（本小题满分13分）
在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}是抛物线{width="0.84375in" height="0.23958333333333334in"}{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}的焦点，{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}是抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}上
位于第一象限内的任意一点，过{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}三点的圆的圆心为{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，点{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}到抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的准线
的距离为{width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的方程；
（Ⅱ）是否存在点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}，使得直线{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}与抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相切于点{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}若存在，求出点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的横坐标为{width="0.23958333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，直线{width="0.8645833333333334in" height="0.3645833333333333in"}与抛物线{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}有两个不同的交点{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}，{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与
圆{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}有两个不同的交点{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}，求当{width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的最小值．
（22）（本小题满分13分）
> 已知函数{width="1.03125in" height="0.375in"}（{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为常数，{width="0.9479166666666666in" height="0.19791666666666666in"}是自然对数的底数），曲线{width="0.625in" height="0.21875in"} 在点{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}处的切线与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴平行．
（Ⅰ）求{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的值；
（Ⅱ）求{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的单调区间；
（Ⅲ）设{width="1.34375in" height="0.23958333333333334in"}，其中{width="0.40625in" height="0.21875in"}是{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的导函数．证明：对任意{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，
{width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
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数学（文科）
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷（共60分）
1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为
A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i
（2） 已知全集{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}B为
A {1,2,4} B {2,3,4}
C {0,2,4} D {0,2,3,4}
(3)函数{width="1.8229166666666667in" height="0.4895833333333333in"}的定义域为（ ）
A {width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"} B {width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"} C {width="0.46875in" height="0.28125in"} D {width="0.46875in" height="0.28125in"}
（4）在某次测量中得到的*A*样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若*B*样本数据恰好是*A*样本数据都加2后所得数据，则*A*，*B*两样本的下列数字特征对应相同的是
(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差
（5）设命题{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}：函数{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}的最小正周期为{width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"} ；命题q：函数{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"} 的图象关于直线{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} 对称.则下列判断正确的是
(A)p为真 (B) {width="0.16666666666666666in" height="0.11458333333333333in"}q为假 (C) p {width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}q为假 (D)p {width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}q 为真
（6）设变量{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}满足约束条件{width="0.9270833333333334in" height="0.78125in"}则目标函数z=3x-y的取值范围是
（A）{width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}（B）{width="0.6666666666666666in" height="0.46875in"}（C）{width="0.4270833333333333in" height="0.23958333333333334in"} （D）{width="0.5in" height="0.46875in"}
（8）函数{width="1.7604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}的最大值与最小值之和为
(A){width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"} (B)0 (C)－1 (D){width="0.5in" height="0.21875in"}
（9）圆{width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}与圆{width="1.5in" height="0.25in"}的位置关系为 （ ）
（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离
(10)函数{width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}的图像大致为
{width="5.768055555555556in" height="1.2180555555555554in"}
(11)已知双曲线{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}：{width="1.4583333333333333in" height="0.40625in"}的离心率为2.若抛物线{width="1.21875in" height="0.23958333333333334in"}的焦点到双曲线{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}的渐近线的距离为2，则抛物线{width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}的方程为
\(A\) {width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"} (B) {width="0.7604166666666666in" height="0.4166666666666667in"} (C){width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"} (D){width="0.5520833333333334in" height="0.23958333333333334in"}
(12)设函数{width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}，{width="2.09375in" height="0.25in"}.若{width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}的图像与{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}的图像有且仅有两个不同的公共点A（x~1~,y~1~）,B(x~2~,y~2~),则下列判断正确的是
A.当a\<0时，x~1~+x~2~\<0,y~1~+y~2~\>0
B. 当a\<0时, x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\<0
C.当a\>0时，x~1~+x~2~\<0, y~1~+y~2~\<0
D. 当a\>0时，x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\>0
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）如图，正方体{width="1.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}的棱长为1，E为线段{width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}上的一点，则三棱锥{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.3020833333333333in" height="1.1875in"}
(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.
4. 若函数{width="1.34375in" height="0.23958333333333334in"}在［－1，2］上的最大值为4，最小值为*m*，且函数{width="1.125in" height="0.25in"}在{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上是增函数，则*a*＝＿＿＿＿.
（16）如图，在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，{width="0.28125in" height="0.25in"}的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
{width="2.1041666666666665in" height="1.5729166666666667in"}{width="2.1041666666666665in" height="1.5729166666666667in"}
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
（17）在{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的内角{width="0.71875in" height="0.19791666666666666in"}所对的边分别为{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，已知{width="2.25in" height="0.21875in"}.
（Ⅰ）求证{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}成等比数列；
（Ⅱ）若{width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}求{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的面积.
(18)(本小题满分12分)
> 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
>
> (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
>
> (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
(19) (本小题满分12分)
> 如图，几何体{width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}是四棱锥，△{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}为正三角形，{width="1.2083333333333333in" height="0.19791666666666666in"}.
>
> (Ⅰ)求证：{width="0.59375in" height="0.16666666666666666in"}；
>
> (Ⅱ)若∠{width="0.7604166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，*M*为线段*AE*的中点，
>
> 求证：{width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}∥平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}.
（20）(本小题满分12分)
已知等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前5项和为105，且{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}.
(Ⅰ)求数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的通项公式；
(Ⅱ)对任意{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，将数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}中不大于{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}的项的个数记为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}.求数列{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}的前*m*项和
（21）（本小题满分13分）
如图，椭圆M：{width="0.84375in" height="0.4583333333333333in"}{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}的离心率为{width="0.28125in" height="0.46875in"}，直线{width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}和{width="0.5in" height="0.21875in"}所围成的矩形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}的面积为8。
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线{width="0.84375in" height="0.21875in"}{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}与椭圆M有两个不同的交点P，Q，{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与矩形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}有两个不同的交点S，T。求{width="0.4270833333333333in" height="0.4583333333333333in"}的最大值及取得最大值时{width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}的值。
{width="1.9791666666666667in" height="1.4583333333333333in"}
（22）（本小题13分）.
已知函数{width="4.177083333333333in" height="0.4270833333333333in"}曲线{width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}在点{width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}处的切线与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴平行。
{width="0.875in" height="0.28125in"}
{width="1.6770833333333333in" height="0.28125in"}
{width="5.768055555555556in" height="0.27847222222222223in"}
2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
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数学（理科）
一、选择题
1\. 集合{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}（ ） {width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
2\. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}
3\. 设{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}是虚数单位，则"{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}"是"复数{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}为纯虚数"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4\. 已知圆{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}过点{width="0.5in" height="0.25in"}的直线，则（ ）
A．{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交 B．{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相切
C．{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相离 D．以上三个选项均有可能
{width="1.6944444444444444in" height="1.1458333333333333in"}5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱{width="1.0in" height="0.25in"}，{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，则直线{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与直线{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}夹角的余弦值为（ ）{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}
A．{width="0.25in" height="0.5in"} B．{width="0.25in" height="0.5in"}
C．{width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
6\. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}示），设甲乙两组数据的平均数分别为{width="0.25in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}，中位数分别为{width="0.25in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}，则（ ）
{width="1.8680555555555556in" height="1.3854166666666667in"} A．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.25in" height="0.25in"}
B．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.25in" height="0.25in"}
C．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.25in" height="0.25in"}
D．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.25in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}{width="0.25in" height="0.25in"}
7\. 设函数{width="0.75in" height="0.25in"}，则（ ）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极大值点 {width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极小值点
C．{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极大值点 D．{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极小值点\[来源:学,科,网\]
8\. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
9{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}. 在{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}中角{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}所对边长分别为{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，若{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的最小值为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.5in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}
10\. 右图是用模拟方法估计圆周率{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的程序框图，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示估计结果，则图中空白框内应填
{width="1.9027777777777777in" height="2.123611111111111in"}入（ ）
A．{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
B．{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
C．{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
D．{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11\. 观察下列不等式
{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}
{width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}，
{width="1.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}，
......
照此规律，第五个不等式为 [ ]{.underline} {width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} [ ]{.underline} ．
12\. {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}展开式中{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为10， 则实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} ．
{width="1.2222222222222223in" height="0.8194444444444444in"}13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}下降1米后，水面宽 [ ]{.underline} 米．
14\. 设函数{width="1.5833333333333333in" height="0.5in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是由{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴和曲线{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}及该曲线在点{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}处的切线所围成的封闭区域，则{width="0.75in" height="0.25in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的最大值为 [ ]{.underline} ．
15\. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}使{width="1.25in" height="0.25in"}成立，则实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} ．
{width="1.3194444444444444in" height="1.125in"}B．（几何证{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，垂足为F{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，若{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.75in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} ．\[来源:学科网ZXXK\]
C．（坐标系与参数方程）直线{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与圆{width="0.75in" height="0.25in"}相交的弦长为 [．]{.underline}
{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}三、解答题
16.{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}（本小题满分12分）\[来源:学&科&网\]
函数{width="1.6666666666666667in" height="0.4166666666666667in"}（{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，
（1）求函数{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的解析式；
（2）设{width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值．
17.（本小题满分12分）
设{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的公比不为1的等比数列，其前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，且{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}成等差数列．
（1）求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的公比；
（2）证明：对任意{width="0.5in" height="0.25in"}，{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}成等差数列．
18\. （本小题满分12分）
（1）如图，证明命题"{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内的一条直线，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}外的一条直线（{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}不垂直于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}），{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的投影，若{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}"为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
{width="1.5833333333333333in" height="1.0in"}
19\. （本小题满分12分）
{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}已知椭圆{width="1.0in" height="0.5in"}，椭圆{width="0.25in" height="0.25in"}以{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的长轴为短轴，且与{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}有相同的离心率．
（1）求椭圆{width="0.25in" height="0.25in"}的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}和{width="0.25in" height="0.25in"}上，{width="0.75in" height="0.25in"}，求直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的方程．
20.（本小题满分13分）
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
-------------------------- ----- ----- ----- ----- -----
办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5
频 率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
-------------------------- ----- ----- ----- ----- -----
从第{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}一个顾{width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}客开始办理业务时计时．
（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（2）{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的分布列及数学期望．
21． （本小题满分14分）\[来源:学科网\]
设函数{width="2.5in" height="0.25in"}
（1）设{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，证明：{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}在区间{width="0.5in" height="0.5in"}内存在唯一的零点；
（2）设{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，若对任意{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，有{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}是{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}在{width="0.5in" height="0.5in"}内的零点，判断数列{width="1.0in" height="0.25in"}的增减性．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
============================================
数学（文科）
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）**
1．集合{width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}，{width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}，则{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.21875in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} D．{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．{width="0.59375in" height="0.21875in"} B．{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} D．{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}
3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
{width="1.03125in" height="0.9375in"}
4．设{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}，{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}是虚数单位，则"{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}"是"复数{width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}为纯虚数"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）
(1) {width="1.3541666666666667in" height="1.9388888888888889in"}{width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}
B．{width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}
C．{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
D．{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
6．已知圆{width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}，{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}过点{width="0.5in" height="0.21875in"}的直线，则（ ）
A．{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相交 B．{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相切
C．{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相离 D．以上三个选项均有可能
7．设向量{width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}=（1，{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}）与{width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}=（-1， 2{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}）垂直，则{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}等于（ ）
A．{width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C．0 D．-1
{width="2.0in" height="0.8958333333333334in"}8．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
{width="4.25in" height="0.8541666666666666in"}
9．设函数{width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则（ ）
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}为{width="0.40625in" height="0.28125in"}的极大值点 B．{width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}为{width="0.40625in" height="0.28125in"}的极小值点
C．{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}为{width="0.40625in" height="0.28125in"}的极大值点 D．{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}为 {width="0.40625in" height="0.28125in"}的极小值点
10．小王从甲地到乙地的时速分别为{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}和{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}（{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}），其全程的平均时速为{width="0.125in" height="0.15625in"}，则（ ）
A．{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} B．{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
C．{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"} D．{width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}
**二、填空题：把答案填写在答题**{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}**卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．设函数{width="1.1666666666666667in" height="0.8333333333333334in"}则{width="0.875in" height="0.28125in"} [ ]{.underline} ．
12．观察下列不等式
{width="0.6875in" height="0.4166666666666667in"},
{width="0.9791666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，
{width="1.2708333333333333in" height="0.40625in"}，
......\[来源:Z．xx．k．Com\]
照此规律，第五个不等式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13．在三角形{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，角{width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}所对应的长分别为{width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}，若{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} ．
{width="0.9611111111111111in" height="0.6277777777777778in"}14．右图是抛物线形拱桥，当水面在{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 [ ]{.underline} 米．
15．**（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）**
A．（不等式选做题）若存在实数{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}使{width="1.25in" height="0.21875in"}成立，则实数{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范是 [ ]{.underline} ．
B．（几何证明选做题）如图，在圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，直径{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与弦{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}垂直，垂足为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，
垂足为{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，若{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.7395833333333334in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} ．
C．（坐标系与{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}参数方程）直线{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}与圆{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}相交的弦长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）**
{width="1.3541666666666667in" height="1.1458333333333333in"}16．已知等比数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的公比为{width="0.53125in" height="0.4270833333333333in"}．
（Ⅰ）若{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和；
（Ⅱ）证明：对任意{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}，{width="0.28125in" height="0.25in"}成等差数列．
17．（本小题满分12分）
函数{width="1.65625in" height="0.4270833333333333in"}（{width="0.9270833333333334in" height="0.19791666666666666in"}）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为{width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}．
（Ⅰ）求函数{width="0.375in" height="0.21875in"}的解析式；
（Ⅱ）设{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}的值．
18．（本小题满分12分）
直三棱柱{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}中，{width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}．
{width="1.5104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}（Ⅰ）证明{width="0.71875in" height="0.25in"}；
（Ⅱ）已知{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.65625in" height="0.25in"}，求三棱锥{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}的体积．
19．（本小题满分12分）
假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
{width="3.9375in" height="1.2916666666666667in"}
（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}{width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
20．（本小题满分13分）
已知椭圆{width="1.03125in" height="0.4583333333333333in"}，椭圆{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}以{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的长轴为短轴，且与{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}有相同的离心率．
（Ⅰ）求椭圆{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的方程；
（Ⅱ）设{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点，点{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}分别在椭圆{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}和{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}上，{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，求直线{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的方程．
21．（本小题满分14分）
设函数{width="2.53125in" height="0.2604166666666667in"}
（Ⅰ）设{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.9479166666666666in" height="0.21875in"}，证明：{width="0.40625in" height="0.25in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.46875in"}内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}为偶数，{width="0.71875in" height="0.3020833333333333in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.3020833333333333in"}，求{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}b+3c的最小值和最大值；
（Ⅲ）设{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，若对任意{width="0.375in" height="0.25in"}{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，有{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
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数学（理科）
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一．填空题
1．计算：{width="0.40625in" height="0.4270833333333333in"} [ ]{.underline} （{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}为虚数单位）.
2．若集合{width="1.2916666666666667in" height="0.21875in"}，{width="1.25in" height="0.21875in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"} [ ]{.underline} .
3．函数{width="1.375in" height="0.5in"}的值域是 [ ]{.underline} .
4．若{width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}是直线{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的一个法向量，则{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的倾斜角的大小为 [ ]{.underline} （结果用反三角
5．在{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的二项展开式中，常数项等于 [ ]{.underline} .
6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}为公比的等比数列，体积分别记为
{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，则{width="1.6354166666666667in" height="0.3020833333333333in"} [ ]{.underline} .
7．已知函数{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}（{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}为常数）.若{width="0.375in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}上是增函数，则{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围是 [ ]{.underline} .
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}的半圆面，则该圆锥的体积为 [ ]{.underline} .
9．已知{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}是奇函数，且{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}，若{width="1.09375in" height="0.21875in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"} [ ]{.underline} .
{width="1.75in" height="1.0416666666666667in"}
10．如图，在极坐标系中，过点{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}的直线{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与极轴的夹角{width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}，
若将{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的极坐标方程写成{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}的形式，则{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"} [ ]{.underline} .
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 [ ]{.underline} （结果用最简分数表示）.
12．在平行四边形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}中，{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，边{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的长分别为2、1，若{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}分别是边{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}、{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}上的点，且满足{width="1.03125in" height="0.5416666666666666in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的取值范围是 [ ]{.underline} .
13．已知函数{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}的图象是折线段{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}、{width="0.53125in" height="0.4270833333333333in"}、{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，
函数{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}（{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}）的图象与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴围成的图形的面积为 [ ]{.underline} .
{width="1.4333333333333333in" height="1.5854166666666667in"}
14．如图，{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}是四面体{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}中互相垂直的棱，{width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，若{width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，
且{width="1.8229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}、{width="0.125in" height="0.15625in"}为常数，则四面体{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}的体积的最
大值是 [ ]{.underline} .
**二、选择题（20分）**
15．若{width="0.5104166666666666in" height="0.23958333333333334in"}是关于{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的实系数方程{width="1.03125in" height="0.21875in"}的一个复数根，则（ ）
A．{width="0.78125in" height="0.21875in"} B．{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"} C．{width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"} D．{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}
16．在{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，若{width="1.6354166666666667in" height="0.21875in"}，则{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
17．设{width="1.90625in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"}，随机变量{width="0.16666666666666666in" height="0.23958333333333334in"}取值{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}的概率均为{width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，随机变量{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}取值{width="2.9895833333333335in" height="0.4479166666666667in"}的概率也均为{width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，若记{width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}分别为{width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的方差，则（ ）
A．{width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"} B．{width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"}
C．{width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}与{width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的大小关系与{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}的取值有关
18．设{width="0.96875in" height="0.4270833333333333in"}，{width="1.46875in" height="0.25in"}，在{width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在四棱锥*P*-*ABCD*中，底面*ABCD*是矩形，
*PA*⊥底面*ABCD*，*E*是*PC*的中点.已知*AB=*2，
*AD=*2{width="0.21875in" height="0.19791666666666666in"}，*PA=*2.求：
（1）三角形*PCD*的面积；（6分）
（2）异面直线*BC*与*AE*所成的角的大小.（6分）
20．已知函数{width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}.
（1）若{width="1.6145833333333333in" height="0.21875in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围；（6分）
（2）若{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}是以2为周期的偶函数，且当{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，有{width="0.84375in" height="0.21875in"}，求函数
{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}的反函数.（8分）
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为*y*轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里*A*处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
{width="0.6145833333333334in" height="0.2604166666666667in"}；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
援船出发{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}小时后，失事船所在位置的横坐标为.
（1）当{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}时，写出失事船所在位置*P*的纵坐标. 若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
22．在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，已知双曲线{width="1.09375in" height="0.25in"}.
（1）过{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的左顶点引{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及*x*轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线*l*交{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}于*P*、*Q*两点，若*l*与圆{width="0.75in" height="0.25in"}相切，求证：
*OP*⊥*OQ*；（6分）
（3）设椭圆{width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}. 若*M*、*N*分别是{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}、{width="0.20833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}上的动点，且*OM*⊥*ON*，
求证：*O*到直线*MN*的距离是定值.（6分）
23．对于数集{width="1.53125in" height="0.25in"}，其中{width="1.34375in" height="0.25in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，定义向量集
{width="1.96875in" height="0.2604166666666667in"}. 若对于任意{width="0.3958333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，存在{width="0.4270833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，使得{width="0.59375in" height="0.25in"}，则称*X*
具有性质**P**. 例如{width="0.9270833333333334in" height="0.21875in"}具有性质**P**.
（1）若*x*＞2，且{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，求*x*的值；（4分）
（2）若*X*具有性质**P**，求证：1∈*X*，且当*x~n~*＞1时，*x*~1~=1；（6分）
（3）若*X*具有性质**P**，且*x*~1~=1，*x*~2~=*q*（*q*为常数），求有穷数列{width="0.90625in" height="0.25in"}的通
项公式.（8分）
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
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数学（文科）
1. 填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．计算：{width="0.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}= [ ]{.underline} （*i*为虚数单位）.
2．若集合{width="1.2604166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"}，则{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}= [ ]{.underline} .
3．函数{width="1.3645833333333333in" height="0.5in"}的最小正周期是 [ ]{.underline} .
4．若{width="0.625in" height="0.2604166666666667in"}是直线{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的一个方向向量，则{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的倾斜角的大小为[ ]{.underline} （结果用反三角函数值表示）.
5.一个高为2的圆柱，底面周长为{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}，该圆柱的表面积为 [ ]{.underline} .
6.方程{width="1.0729166666666667in" height="0.21875in"}的解是 [ ]{.underline} .
7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}为公比的等比数列，体积分别记为{width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}，则{width="1.5in" height="0.3020833333333333in"} [ ]{.underline} .
8.在{width="0.6145833333333334in" height="0.5104166666666666in"}的二项式展开式中，常数项等于 [ ]{.underline} .
9.已知{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}是奇函数，若{width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}且{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"} [ ]{.underline} .
10.满足约束条件{width="0.84375in" height="0.28125in"}的目标函数{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}的最小值是 [ ]{.underline} .
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同
学选择的项目相同的概率是 [ ]{.underline} （结果用最简分数表示）.
12.在矩形{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}中，边{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的长分别为2、1，若{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}分别是边{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}、{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}上的点，且满足{width="0.8854166666666666in" height="0.6354166666666666in"}，则{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}的取值范围是 [ ]{.underline}
13.已知函数{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}的图像是折线段{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.5in" height="0.21875in"}、{width="0.5104166666666666in" height="0.4270833333333333in"}、{width="0.46875in" height="0.21875in"}，函数{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}（{width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}）的图像与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴围成的图形的面积为 [ ]{.underline} .
14.已知{width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，各项均为正数的数列{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}满足{width="0.40625in" height="0.25in"}，{width="0.875in" height="0.25in"}，若{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的值是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15.若{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"}{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}是关于{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的实系数方程{width="0.9895833333333334in" height="0.21875in"}的一个复数根，则（ ）
A．{width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"} B.{width="0.84375in" height="0.21875in"} C.{width="0.9270833333333334in" height="0.21875in"} D.{width="0.84375in" height="0.21875in"}
16.对于常数{width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}、{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，"{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}"是"方程{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的曲线是椭圆"的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
17.在△{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，若{width="1.5729166666666667in" height="0.21875in"}，则△{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的形状是（ ）
A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
18.若{width="2.15625in" height="0.4270833333333333in"}（{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}），则在{width="0.875in" height="0.25in"}中，正数的个数是（ ）
A．16 B.72 C.86 D.100
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．如图，在三棱锥*P*-*ABC*中，*PA*⊥底面*ABC*，*D*是
*PC*的中点.已知∠*BAC*={width="0.17708333333333334in" height="0.2916666666666667in"}，*AB=*2，*AC=*2{width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，
*PA=*2.求：
（1）三棱锥*P*-*ABC*的体积；（6分）
（2）异面直线*BC*与*AD*所成的角的大小（结果用反三
角函数值表示）.（6分）
20．已知函数{width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}.
（1）若{width="1.6145833333333333in" height="0.21875in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围；（6分）
（2）若{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}是以2为周期的偶函数，且当{width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，有{width="0.84375in" height="0.21875in"}，求函数
{width="0.625in" height="0.21875in"}{width="0.71875in" height="0.21875in"}的反函数.（8分）
21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为*y*轴
正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海
里*A*处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
{width="0.6145833333333334in" height="0.2604166666666667in"}；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
援船出发{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}小时后，失事船所在位置的横坐标为{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}.
（1）当{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}时，写出失事船所在位置*P*的纵坐标. 若此时
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）
22．在平面直角坐标系{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，已知双曲线{width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}.
（1）设*F*是*C*的左焦点，*M*是*C*右支上一点. 若\|*MF*\|=2{width="0.21875in" height="0.19791666666666666in"}，求过*M*点的坐标；（5分）（2）过*C*的左顶点作*C*的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；（5分）
（3）设斜率为{width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}的直线*l2*交*C*于*P*、*Q*两点，若*l*与圆{width="0.75in" height="0.25in"}相切，
求证：*OP*⊥*OQ*；（6分）
23．对于项数为*m*的有穷数列数集{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}，记{width="1.625in" height="0.25in"}（*k*=1,2,...,*m*），即{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}
为{width="0.875in" height="0.25in"}中的最大值，并称数列{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}是{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是
1,3,3,5,5.
（1）若各项均为正整数的数列{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}；（4分）
（2）设{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}是{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的控制数列，满足{width="1.03125in" height="0.25in"}（*C*为常数，*k*=1,2,...,*m*）.
求证：{width="0.5in" height="0.25in"}（*k*=1,2,...,*m*）；（6分）
（3）设*m*=100，常数{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}.若{width="1.3854166666666667in" height="0.3020833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}是{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}的控制数列，
求{width="2.46875in" height="0.25in"}.
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
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数学（理科）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
{width="1.5833333333333333in" height="0.25in"} {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
如果事件相互独立，那么 其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径
{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"} 球的体积公式
如果事件{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在一次试验中发生的概率是{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，那么 {width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次独立重复试验中事件{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好发生{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次的概率 其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径
{width="2.3333333333333335in" height="0.25in"}
**第一部分 （选择题 共60分）**
**注意事项：**
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
**一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1、{width="0.5in" height="0.25in"}的展开式中{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数是（ ）
A、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} B、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} C、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} D、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}
2、复数{width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}（ ）
A、{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} B、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} C、{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} D、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
3、函数{width="1.5833333333333333in" height="0.75in"}在{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} C、等于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、等于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
{width="1.7708333333333333in" height="1.1770833333333333in"}4、如图，正方形{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的边长为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，延长{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}至{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，连接{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}则{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}（ ）
A、{width="0.4166666666666667in" height="0.5in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C、{width="0.25in" height="0.5in"} D、{width="0.25in" height="0.5in"}
5、函数{width="1.5833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}的图象可能是（ ）
{width="5.75in" height="1.6666666666666667in"}
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}都是非零向量，下列四个条件中，使{width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立的充分条件是（ ）
A、{width="0.5in" height="0.25in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、{width="0.5in" height="0.25in"} D、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}且{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
8、已知抛物线关于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴对称，它的顶点在坐标原点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，并且经过点{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。若点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到
该抛物线焦点的距离为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ）
A、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料1千克、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料2千克；生产乙产品1桶需耗{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料2千克，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
{width="2.2604166666666665in" height="1.1770833333333333in"}10、如图，半径为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半球{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的底面圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内，过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的垂线交半球面于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，过圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直径{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}作平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}成{width="0.25in" height="0.25in"}角的平面与半球面相交，所得交线上到平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的距离最大的点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，该交线上的一点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两点间的球面距离为（ ）
11、方程{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}中的{width="1.6666666666666667in" height="0.25in"}，且{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是公差为{width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的等差数列，{width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，则{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}（ ）
A、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} B、{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} C、{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} D、{width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}
**第二部分 （非选择题 共90分）**
**注意事项：**
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）**
13、设全集{width="1.0in" height="0.25in"}，集合{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}\_\_\_\_\_\_\_。
{width="1.417361111111111in" height="1.417361111111111in"}14、如图，在正方体{width="1.25in" height="0.25in"}中，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}分别是{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的中点，则异面直线{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}所成角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15、椭圆{width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}的左焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}与椭圆相交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，当{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的周长最大时，{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
16、记{width="0.25in" height="0.25in"}为不超过实数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最大整数，例如，{width="0.5in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.75in" height="0.25in"}。设{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正整数，数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，{width="1.75in" height="0.6666666666666666in"}，现有下列命题：
①当{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}时，数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}都存在正整数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，当{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}时总有{width="0.5in" height="0.25in"}；
③当{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}时，{width="0.75in" height="0.25in"}；
④对某个正整数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，若{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。
其中的真命题有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（写出所有真命题的编号）
**三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）**
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，系统{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在任意时刻发生故障的概率分别为{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；
（Ⅱ）设系统{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的概率分布列及数学期望{width="0.25in" height="0.25in"}。
18、(本小题满分12分)
{width="1.1770833333333333in" height="1.1770833333333333in"} 函数{width="2.6666666666666665in" height="0.4166666666666667in"}在一个周期内的图象如图所示，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为图象的最高点，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为图象与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴的交点，且{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为正三角形。
（Ⅰ）求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值及函数{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的值域；
（Ⅱ）若{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，且{width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的值。
{width="1.9895833333333333in" height="1.1875in"}19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}中，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="1.0833333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，平面{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}。
（Ⅰ）求直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，且{width="1.0in" height="0.25in"}对一切正整数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都成立。
（Ⅰ）求{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值；
（Ⅱ）设{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，数列{width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，当{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}最大？并求出{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的最大值。
{width="1.8541666666666667in" height="1.5729166666666667in"}21、(本小题满分12分) 如图，动点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到两定点{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}、{width="0.5in" height="0.25in"}构成{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="1.25in" height="0.16666666666666666in"}，设动点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的轨迹为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。
（Ⅰ）求轨迹{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程；
（Ⅱ）设直线{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与轨迹{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交于点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，求{width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}的取值范围。
22、(本小题满分14分) （lb ylfx）
已知{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正实数，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为自然数，抛物线{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴相交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，设{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}为该抛物线在点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}处的切线在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的截距。
（Ⅰ）用{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}；
（Ⅱ）求对所有{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都有{width="1.1666666666666667in" height="0.5in"}成立的{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最小值；
（Ⅲ）当{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}时，比较{width="1.1666666666666667in" height="0.5in"}与{width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的大小，并说明理由。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
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数学（文科）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
{width="1.5833333333333333in" height="0.25in"} {width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}
如果事件相互独立，那么 其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径
{width="1.3333333333333333in" height="0.25in"} 球的体积公式
如果事件{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在一次试验中发生的概率是{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，那么 {width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}
在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次独立重复试验中事件{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好发生{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次的概率 其中{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径
{width="2.3333333333333335in" height="0.25in"}
**第一部分 （选择题 共60分）**
**注意事项：**
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
**一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1、设集合{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ）
A、{width="0.25in" height="0.25in"} B、{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C、{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} D、{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}
2、{width="0.5in" height="0.25in"}的展开式中{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、42
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为（ ）
A、101 B、808 C、1212 D、2012
4、函数{width="1.5in" height="0.25in"}的图象可能是（ ）
{width="5.5in" height="1.5in"}
{width="1.7708333333333333in" height="1.1770833333333333in"}5、如图，正方形{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的边长为{width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，延长{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}至{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，连接{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}则{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}（ ）
A、{width="0.4166666666666667in" height="0.5in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C、{width="0.25in" height="0.5in"} D、{width="0.25in" height="0.5in"}
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}都是非零向量，下列四个条件中，使{width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立的充分条件是（ ）
A、{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}且{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、{width="0.5in" height="0.25in"} C、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} D、{width="0.5in" height="0.25in"}
8、若变量{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.9166666666666666in" height="1.25in"}，则{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的最大值是（ ）
A、12 B、26 C、28 D、33
9、已知抛物线关于{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴对称，它的顶点在坐标原点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，
并且经过点{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。若点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到该抛物线焦点的距离为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ）
A、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}
{width="2.2604166666666665in" height="1.1770833333333333in"}10、如图，半径为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半球{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的底面圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内，过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的垂线交半球面于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，过圆{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直径{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}作平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}成{width="0.25in" height="0.25in"}角的平面与半球面相交，所得交线上到平面{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的距离最大的点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，该交线上的一点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两点间的球面距离为（ ）
A、{width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} B、{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} C、{width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} D、{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}
11、方程{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}中的{width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}，且{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、28条 B、32条 C、36条 D、48条
12、设函数{width="1.5in" height="0.25in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是公差不为0的等差数列，{width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，则{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}（ ）
A、0 B、7 C、14 D、21
**第二部分 （非选择题 共90分）**
**注意事项：**
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）**
13、函数{width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（用区间表示）
{width="1.417361111111111in" height="1.417361111111111in"}14、如图，在正方体{width="1.25in" height="0.25in"}中，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}分别是{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的中点，则异面直线{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}所成的角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15、椭圆{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}为定值，且{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的的左焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}与椭圆相交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是\_\_\_\_\_\_。
16、设{width="0.25in" height="0.25in"}为正实数，现有下列命题：
①若{width="0.75in" height="0.25in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}；
②若{width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，则{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}；
③若{width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}；
④若{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。
其中的真命题有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（写出所有真命题的编号）
**三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）**
17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，系统{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和系统{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在任意时刻发生故障的概率分别为{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值；
（Ⅱ）求系统{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
18、(本小题满分12分) 已知函数{width="2.0833333333333335in" height="0.4166666666666667in"}。
（Ⅰ）求函数{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，求{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的值。
{width="1.9895833333333333in" height="1.1875in"}19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}中，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，{width="1.0833333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}内的射影{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上。
（Ⅰ）求直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与平面{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角{width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，常数{width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="1.0in" height="0.25in"}对一切正整数{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都成立。
（Ⅰ）求数列{width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的通项公式；
（Ⅱ）设{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，当{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，数列{width="0.5in" height="0.5in"}的前{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和最大？
{width="1.8541666666666667in" height="1.5729166666666667in"}
21、(本小题满分12分) 如图，动点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与两定点{width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}、{width="0.5in" height="0.25in"}构成{width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，且直线{width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的斜率之积为4，设动点{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的轨迹为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。
（Ⅰ）求轨迹{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程；
（Ⅱ）设直线{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与轨迹{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交于点{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且{width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，求{width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}的取值范围。
22、(本小题满分14分) 已知{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正实数，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为自然数，抛物线{width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}与{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴相交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，设{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}为该抛物线在点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}处的切线在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的截距。
（Ⅰ）用{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示{width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}；
（Ⅱ）求对所有{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都有{width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}成立的{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最小值；
（Ⅲ）当{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}时，比较{width="3.0833333333333335in" height="0.5in"}与
{width="1.25in" height="0.5in"}的大小，并说明理由。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
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数学（理科）
本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟
第I卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}是虚数单位，复数{width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=
（A）{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} （Ｂ）{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} （Ｃ）{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"} （Ｄ）{width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}
（２）设{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，则"{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}"是"{width="1.1145833333333333in" height="0.21875in"}{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}为偶函数"的
（A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件
{width="1.2506944444444446in" height="2.5833333333333335in"}
（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值为{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，输出{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值为
（A）{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"} （Ｂ）{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"} （Ｃ）{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"} （Ｄ）{width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}
（4）函数{width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}在区间{width="0.34375in" height="0.21875in"}内的零点个数是
（A）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）3
（5）在{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的二项展开式中，{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的系数为
（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40
（6）在△ABC中，内角{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}所对的边分别是{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，已知{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，则cosC=
（A）{width="0.23958333333333334in" height="0.4270833333333333in"} （Ｂ）{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"} （Ｃ）{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"} （Ｄ）{width="0.25in" height="0.4270833333333333in"}
（7）已知△ABC为等边三角形，{width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，设点P，Q满足{width="0.6979166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，{width="1.0520833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，若{width="0.9270833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}
（A）{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （Ｂ）{width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"} （Ｃ）{width="0.5520833333333334in" height="0.46875in"} （Ｄ）{width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"}
（8）设{width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}，{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，若直线{width="1.59375in" height="0.21875in"}与圆{width="1.21875in" height="0.25in"}相切，则{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的取值范围是
（A）{width="0.96875in" height="0.2604166666666667in"} （Ｂ）{width="1.78125in" height="0.2604166666666667in"}
（Ｃ）{width="1.1770833333333333in" height="0.2604166666666667in"} （Ｄ）{width="1.96875in" height="0.2604166666666667in"}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 [ ]{.underline} 所学校，中学中抽取 [ ]{.underline} 所学校.
（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：{width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"})，则该几何体的体积为 [ ]{.underline} {width="0.21875in" height="0.21875in"}.
{width="2.0in" height="1.3229166666666667in"}
（11）已知集合{width="1.28125in" height="0.21875in"}，集合{width="1.8333333333333333in" height="0.21875in"},且{width="0.96875in" height="0.21875in"}，则{width="0.28125in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} ,{width="0.23958333333333334in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} .
（12）己知抛物线的参数方程为{width="0.6770833333333334in" height="0.53125in"}（{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为参数），其中{width="0.34375in" height="0.21875in"}，焦点为{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，准线为{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}，过抛物线上一点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}作的垂线，垂足为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，若{width="0.71875in" height="0.21875in"}，点{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的横坐标是3，则{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} .
点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，{width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5104166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则线段{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的长为 [ ]{.underline} .
{width="1.5in" height="1.2395833333333333in"}
（14）已知函数{width="0.6979166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的图象与函数{width="0.625in" height="0.21875in"}的图象恰有两个交点，则实数{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）已知函数{width="2.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}.
(Ⅰ)求函数{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的最小正周期；
（Ⅱ）求函数{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}在区间{width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加
趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用{width="0.34375in" height="0.21875in"}分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，求随机变量{width="0.13541666666666666in" height="0.21875in"}的分布列与
数学期望{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}.
{width="1.8333333333333333in" height="2.4791666666666665in"}
（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥{width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}丄平面{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}，
{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}丄{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}丄{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.875in" height="0.21875in"}，{width="0.7604166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4479166666666667in" height="0.19791666666666666in"}.
(Ⅰ)证明：{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}丄{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅱ）求二面角{width="0.8229166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的正弦值；
（Ⅲ）设{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为棱{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}上的点，满足异面直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成的角为{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}，
求{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的长.
（18）(本小题满分13分）已知{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}是等差数列，其前{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和为{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，{{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}是等比数列,且{width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}={width="0.3645833333333333in" height="0.25in"}，
{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.75in" height="0.25in"}.
(Ⅰ)求数列{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}与{{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}的通项公式；
(Ⅱ)记{width="2.34375in" height="0.25in"}；证明：{width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}.
（19）（本小题满分14分）设椭圆{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}的左、右顶点分别为{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}，点P在椭圆上且异于
{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}两点，{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点.
（Ⅰ）若直线{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的斜率之积为{width="0.28125in" height="0.4270833333333333in"}，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，证明：直线{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的斜率{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}满足{width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}.
（20）（本小题满分14分）已知函数{width="1.3333333333333333in" height="0.21875in"}的最小值为{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}.
（Ⅰ）求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值；（Ⅱ）若对任意的{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"},有{width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}成立，求实数{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的最小值；
（Ⅲ）证明：{width="1.5104166666666667in" height="0.46875in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}.
**2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
数学（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1\. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2\. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
﹒如果事件A,B胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).
﹒棱柱的体积公式V=Sh.
其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V={width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh
其中S表示圆锥的底面面积，
H表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i是虚数单位，复数{width="0.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=
> （A）1-i （B）-1+I
>
> （C）1+I （D）-1-i
2. 设变量x,y满足约束条件{width="1.0520833333333333in" height="0.78125in"},则目标函数z=3x-2y的最小值为
> （A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为{width="1.6979166666666667in" height="4.041666666666667in"}
> {width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
4. 已知a=2^1.2^，b={width="0.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}^-0.2^，c=2log~5~2，则a，b，c的大小关系为
> （A）c\<b\<a （{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}B）c\<a\<b C）b\<a\<c （D）b\<c\<a
5. 设x{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R，则"x\>{width="0.125in" height="0.4270833333333333in"}"是"2x^2^+x-1\>0"的
```{=html}
<!-- -->
```
A. 充分而不必要条{width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
```{=html}
<!-- -->
```
6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）{width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}内是增函数的为
```{=html}
<!-- -->
```
A. y=cos2x，x{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R
B. y=log~2~\|x\|，x{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R且x≠0
C. y={width="0.40625in" height="0.4583333333333333in"}，x{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R
D. y=x3+1，x{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R
E. 将函数f(x)=sin{width="0.25in" height="0.15625in"}（其中{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}\>0）的图像向右平移{width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}个单位长度，所得图像经过点（{width="0.19791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，0），则{width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}的最小值是
> （A）{width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （B）1 C）{width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （D）2
F. 在△ABC中，{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"} A=90°，AB=1，设点P，Q满足{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}={width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} =(1-{width="0.125in" height="0.15625in"}){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.15625in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R。若{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}{width="9.375e-2in" height="0.11458333333333333in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}=-2，则{width="0.125in" height="0.15625in"}=
> （A）{width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （B）{width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C）{width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （D）2
**第Ⅱ卷**
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。\[来源:Zxxk.Com\]
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）集合{width="1.46875in" height="0.3020833333333333in"}中最小整{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}数位 [.]{.underline}
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 [ ]{.underline} {width="0.2916666666666667in" height="0.3020833333333333in"}.
{width="2.53125in" height="2.8020833333333335in"}
（11）已知双曲线{width="1.9895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}与双曲线{width="1.1354166666666667in" height="0.4583333333333333in"}有相同的渐近
线，且{width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的右焦点为{width="0.6354166666666666in" height="0.2604166666666667in"},则{width="0.2604166666666667in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} {width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline}
（12）设{width="0.59375in" height="0.21875in"}**,**若直线{width="1.15625in" height="0.21875in"}与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆{width="0.78125in" height="0.25in"}相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}面积的最小值为 [。]{.underline}
（13）如图，已知{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}和{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}是圆的两条弦，过点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}作圆的切线与{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的延长线相交于{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}.过点{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}作{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的平行线与圆交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"},与{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}相交于点{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"},{width="0.53125in" height="0.19791666666666666in"},{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"},{width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"},则线段{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}长为 [.]{.underline}
{width="2.5520833333333335in" height="1.9270833333333333in"}
（14）已知函数{width="0.75in" height="0.5in"}的图像与函数{width="0.46875in" height="0.21875in"}的图像恰有两个交点，则实数{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是 [.]{.underline}
**三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15题）（本小题满分13分）**
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
**（16）（本小题满分13分）**
在{width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，内角{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}所对的分别是{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}；已知{width="1.8333333333333333in" height="0.46875in"}；
（I）求{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}和{width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的值； （II）求{width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的值。
{width="3.09375in" height="2.4375in"}17.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥{width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，底面{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是矩形，
{width="2.90625in" height="0.2604166666666667in"}
（I）求异面直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正切值；
（II）证明：平面{width="0.5520833333333334in" height="0.19791666666666666in"}平面{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}；
（III）求直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正弦值。
（18）（本题{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}满分13分）
已知{width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}是等差数列，其前{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和为{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}是等比数列，{width="0.71875in" height="0.25in"}
{width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.75in" height="0.25in"}.
(Ⅰ)求数列{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}与{{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}的通项公式；
(Ⅱ)记{width="2.1354166666666665in" height="0.25in"}；证明：{width="2.0in" height="0.2604166666666667in"}
（19）（本小题满分14分）已知椭圆{width="1.5in" height="0.4583333333333333in"}，点{width="1.03125in" height="0.46875in"}在椭圆上；
（I）求椭圆的离心率；
（II）设{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为椭圆的右顶点，{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点，若{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在椭圆上且满足{width="0.8020833333333334in" height="0.28125in"}求直线{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}
的斜率的值。
（20）（本小题满分14分）
已知函数{width="1.9895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}
（I）求函数{width="0.375in" height="0.21875in"}的单调区间；
（II）若函数{width="0.375in" height="0.21875in"}在区间{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内恰有两个零点，求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围；
（III）当{width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，设函数{width="0.375in" height="0.21875in"}在区间{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}上的最大值为{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，最小值为{width="0.34375in" height="0.21875in"}，
记{width="1.2604166666666667in" height="0.21875in"}；求函数{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}在区间{width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}上的最小值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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理科数学
**本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页**．**满分150分，考试时间120分**{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**钟**．
**请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、**{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**写在答题纸上**．
**选择题部分（共50分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．设集合*A*＝{*x*\|1＜*x*＜4}，*B*＝{*x*\|*x* ^2^－2*x*－3≤0}，则*A*∩({width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}*~R~B*)＝
A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)
2．已知i是虚数单位，则{width="0.2916666666666667in" height="0.375in"}＝
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
3．设*a*{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**R**，则"*a*＝1"是"直线*l*~1~：*ax*＋2*y*－1＝0与直线*l*~2~：*x*＋(*a*＋1)*y*＋4＝0平行"的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．把函数*y*＝cos2*x*＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
{width="5.385416666666667in" height="2.4895833333333335in"}
5．设***a***，***b***是两个非零向量．
> A．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***⊥***b***
>
> B．若***a***⊥***b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|
>
> C．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***
>
> D．若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|
6．若从1，2，2，...，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
7．设*S ~n~*是公差为*d*(*d*≠0)的无穷等差数列{*a ~n~*}的前*n*项和，则下列命题错误的是
> A．若*d*＜0，则数列{*S ~n~*}有最大项
>
> B．若数列{*S ~n~*}有最大项，则*d*＜0
>
> C．若数列{*S ~n~*}是递增数列，则对任意的*n*{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0
>
> D．若对任意的*n*{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0，则数列{*S ~n~*}是递增数列
{width="1.90625in" height="1.6770833333333333in"}8．如图，*F*~1~，*F*~2~分别是双曲线C：{width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}(*a*，*b*＞0)的左右焦点，*B*是虚轴的端点，直线*F*~1~*B*与C{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的两条渐近线分别交于*P*，*Q*两点，线段*PQ*的垂直平分线与*x*轴交于点*M*．若\|*MF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|，则C的离心率是
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.40625in"} B．{width="0.25in" height="0.40625in"}
C．{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}
9．设*a*＞0，*b*＞0．\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
A．若{width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＞*b*
B．若{width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＜*b*
C．若{width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＞*b*
D．若{width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＜*b*
10．已知矩形*ABCD*，*AB*＝1，*BC*＝{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}．将{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABD*沿矩形的对角线*BD*所在的直线进行翻着，在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线*AC*与直线*BD*垂直
B．存在某个位置，使得直线*AB*与直线*CD*垂直
C．存在某个位置，使得直线*AD*与直线*BC*垂直
D．对任意位置，三直线"*AC*与*BD*"，"*AB*与*CD*"，"*AD*与*BC*"均不垂直
**非选择题部分（共100分）**
**注意事项：**
1**．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上**．
{width="1.5902777777777777in" height="1.95in"}2**．在答题纸**{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}**上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑**．
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．**
11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三
棱锥的体积等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_cm^3^．
{width="1.2083333333333333in" height="3.595833333333333in"}
12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13．设公比为*q*(*q*＞0)的等比数列{*a ~n~*}的前*n*项和为{*S ~n~*}．若
{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}，则*q*＝\_\_\_{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．若将函数{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}表示为
{width="2.8645833333333335in" height="0.2604166666666667in"}
其中{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，...，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}为实数，则{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABC*中，*M*是*BC*的中点，*AM*＝3，*BC*＝10，则{width="0.5104166666666666in" height="0.20833333333333334in"}＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="2.4791666666666665in" height="1.0520833333333333in"}
16．定义：曲线C上的点到直线*l*的距离的最小值称为曲线C到直线*l*的距离．已知曲线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*到直线*l*：*y*＝*x*的距离等于C~2~：*x* ^2^＋(*y*＋4) ^2^ ＝2到直线*l*：*y*＝*x*的距离，则实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
17．设*a*{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**R**，若*x*＞0时均有\[(*a*－1)*x*－1\]( *x* ^2^－*ax*－1)≥0，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
18．(本小题满分14分)在{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*{width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}，*c*．已知cos*A*＝{width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}，
sin*B*＝{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}cos*C*．
(Ⅰ)求tan*C*的值；
(Ⅱ)若*a*＝{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABC*的面积．
19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量*X*为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求*X*的分布列；
(Ⅱ)求*X*的数学期望*E*(*X*)．
20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥*P---ABCD*中，底面是边长为{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的菱形，且∠*BAD*＝120°，且*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*＝{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，*M*，*N*分别为*PB*，*PD*的中点．
(Ⅰ)证明：*MN*∥平面*ABCD*；
(Ⅱ) 过点*A*作*AQ*⊥*PC*，垂足为点*Q*，求二面角*A---MN---Q*的平面角的余弦值．
{width="1.9583333333333333in" height="2.0in"}21．(本小题满分15分)如图，椭圆C：(*a*＞*b*＞0)的离心率为，其左焦点到点*P*(2，1)的距离为．不过原点*O*的直线*l*与C相交于*A*，*B*两点，且线段*AB*被直线*OP*平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABP*的面积取最大时直线*l*的方程．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式
球体的面积公式
S=4πR^2^
球的体积公式
V={width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}πR^3^
其中R表示球的半径
锥体的体积公式V={width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
柱体体积公式V=Sh
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
台体的体积公式
V={width="1.7395833333333333in" height="0.5416666666666666in"}
其中S~1~，S~2~分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高
如果事件A,B互斥 ，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（C~U~Q）=
A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}
C.{1，2{width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}，5} D.{1,2}
2\. 已知i是虚数单位，则{width="0.4375in" height="0.5416666666666666in"}=
A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
3\. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
{width="1.4479166666666667in" height="2.5416666666666665in"}
A.1cm^3^ B.2cm^3^ C.3cm^3^ D.6cm^3^
4．设a∈R ，则"a＝1"是"直线l~1~：ax+2y=0与直线l~2~ ：x+(a+1)y+4=0平行的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
5\. 设{width="0.125in" height="0.25in"}是直线，a，β是两个不同的平面
A. 若{width="0.125in" height="0.25in"}∥a，{width="0.125in" height="0.25in"}∥β，则a∥β B. 若{width="0.125in" height="0.25in"}∥a，{width="0.125in" height="0.25in"}⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β，{width="0.125in" height="0.25in"}⊥a，则{width="0.125in" height="0.25in"}⊥β D. 若a⊥β, {width="0.125in" height="0.25in"}∥a，则{width="9.375e-2in" height="0.25in"}⊥β
6\. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
{width="5.010416666666667in" height="2.28125in"}
7.设a，b是两个非零向量。
A.若\|a+b\|=\|a\|-\|b\|，则a⊥b
B.若a⊥b，则\|a+b\|=\|a\|-\|b\|
C.若\|a+b\|=\|a\|-\|b\|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa，则\|a+b\|=\|a\|-\|b\|
8\. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
{width="2.4166666666666665in" height="2.0625in"}
A.3 B.2 C. {width="0.3125in" height="0.3125in"} D. {width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}
9\. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A. {width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"} {width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"} B. {width="0.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} C.5 D.6
10\. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A. 若e^a^+2a=e^b^+3b，则a＞b
B. 若e^a^+2a=e^b^+3b，则a＜b
C. 若e^a^-2a=e^b^-3b，则a＞b
D. 若e^a^-2a=e^b^-3b，则a＜b\[来源:学+科+网\]
2012年普通高等学校招生全国统一考试
**数 学（文科）**
**非选择题部分（共100分）**
**注意事**{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}**项：**
**1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。**
**2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。**
**二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。**
11\. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12\. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为{width="0.3645833333333333in" height="0.59375in"}的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
{width="1.0729166666666667in" height="4.1875in"}
13\. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
14\. 设z=x+2y，其中实数x，y满足{width="1.1875in" height="1.25in"}， 则z的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则{width="0.75in" height="0.3020833333333333in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_.
16\. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈\[0，1\]时，f（x）=x＋1，则{width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
17\. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C~1~：y=x^2^+a到直线l:y=x的距离等于曲线C~2~：x^2^+(y+4)^2^=2到直线l:y=x的距离，则实数a=\_\_\_\_\_\_\_.
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA={width="0.3125in" height="0.3125in"}ac{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}osB。
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.
19\. （本题满分14分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~n~={width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}，n∈N﹡，数列{b~n~}满足a~n~=4log~2~b~n~＋3，n∈N﹡.
（1）求a~n~，b~n~；
（2）求数列{a~n~·b~n~}的前n项和T~n~.
{width="1.6458333333333333in" height="1.4583333333333333in"}20. （本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，AD∥BC，AD⊥AB，AB={width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}。AD=2，BC=4,AA~1~=2，E是DD~1~的中点，F是平面B~1~C~1~E与直线AA~1~的交点。
（1）证明：（i）EF∥A~1~D~1~；
（ii）BA~1~⊥平面B~1~C~1~EF；
（2）求BC~1~与平面B~1~C~1~EF所成的角的正弦值。\[来源:学科网\]
21.（本题满分15分）已知a∈R，函数{width="1.7604166666666667in" height="0.3125in"}
（1）求f(x)的单调区间
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ {width="0.5208333333333334in" height="0.3541666666666667in"}＞0.
22\. （本题满分14分）如图，在直角坐标系{width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}xOy中，点P（1，{width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}）到抛物线C：{width="0.2604166666666667in" height="0.3125in"}=2px（P＞0）的准线的距离为{width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。
{width="1.6041666666666667in" height="1.7291666666666667in"}
（1）求p,t的值。
（2）求△ABP面积的最大值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
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数学（理科）
1. 填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的( )
1.在等差数列{width="0.40625in" height="0.3125in"}中，{width="1.09375in" height="0.3020833333333333in"},则{width="0.40625in" height="0.3125in"}的前5项和{width="0.25in" height="0.3125in"}=
A.7 B.15 C.20 D.25
2. 不等式{width="0.875in" height="0.5416666666666666in"}的解集为
3. 对任意的实数k，直线y=kx+1与圆{width="0.9791666666666666in" height="0.3125in"}的位置关系一定是
```{=html}
<!-- -->
```
A. 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
```{=html}
<!-- -->
```
4. {width="1.1875in" height="0.6666666666666666in"}的展开式中常数项为
A.{width="0.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} B.{width="0.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} C.{width="0.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} D.105
5、设{width="1.0104166666666667in" height="0.28125in"}是方程{width="1.25in" height="0.28125in"}的两个根，则{width="0.9375in" height="0.28125in"}的值为
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3
6、设{width="0.5208333333333334in" height="0.22916666666666666in"}R，向量{width="2.3854166666666665in" height="0.3541666666666667in"}，且{width="0.9583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}，则{width="1.4791666666666667in" height="0.4583333333333333in"}
（A）{width="0.3125in" height="0.3125in"} （B）{width="0.40625in" height="0.3125in"} （C）{width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"} （D）10
7、已知{width="0.46875in" height="0.28125in"}是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则"{width="0.46875in" height="0.28125in"}为\[0，1\]上的增函数"是"{width="0.46875in" height="0.28125in"}为\[3，4\]上的减函数"的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
{width="2.1770833333333335in" height="2.5208333333333335in"}8、设函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}在R上可导，其导函数为{width="0.5104166666666666in" height="0.28125in"}，且函数{width="1.34375in" height="0.28125in"}的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值{width="0.46875in" height="0.28125in"}和极小值{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}
（B）函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}和极小值{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}
（C）函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值{width="0.46875in" height="0.28125in"}和极小值{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}
（D）函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值{width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}和极小值{width="0.46875in" height="0.28125in"}
9、设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}和{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，且长为{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的棱与长为{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的棱异面，则{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是
（A）{width="0.6458333333333334in" height="0.3333333333333333in"} （B）{width="0.625in" height="0.3333333333333333in"} （C）{width="0.6145833333333334in" height="0.3333333333333333in"} （D）{width="0.59375in" height="0.3333333333333333in"}
10、设平面点集{width="5.354166666666667in" height="0.625in"}，则{width="0.5416666666666666in" height="0.2604166666666667in"}所表示的平面图形的面积为
（A）{width="0.3645833333333333in" height="0.5416666666666666in"} （B）{width="0.3541666666666667in" height="0.5416666666666666in"} （C）{width="0.3645833333333333in" height="0.5416666666666666in"} （D）{width="0.22916666666666666in" height="0.5416666666666666in"}
二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上
11、若{width="1.6041666666666667in" height="0.3541666666666667in"}，其中{width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}为虚数单位，则{width="0.625in" height="0.25in"} [；]{.underline}
12、{width="1.6041666666666667in" height="0.59375in"} [ ]{.underline} 。
13、设{width="0.59375in" height="0.25in"}的内角{width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"}的对边分别为{width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}，且{width="2.34375in" height="0.5416666666666666in"}则{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline}
14、过抛物线{width="0.6979166666666666in" height="0.3125in"}的焦点{width="0.22916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}作直线交抛物线于{width="0.4166666666666667in" height="0.28125in"}两点，若{width="1.9479166666666667in" height="0.5416666666666666in"}则
{width="0.4166666666666667in" height="0.3541666666666667in"}= [ ]{.underline} 。
15、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 [ ]{.underline} （用数字作答）.
三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设{width="2.2916666666666665in" height="0.5416666666666666in"}其中{width="0.5208333333333334in" height="0.25in"}，曲线{width="0.8020833333333334in" height="0.28125in"}在点
{width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}处的切线垂直于{width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}轴.
（Ⅰ） 求{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的值；
（Ⅱ） 求函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}的极值.
17、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获
胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为{width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}，乙每次投篮投中的概率
为{width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}，且各次投篮互不影响.
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数{width="0.17708333333333334in" height="0.28125in"}的分布列与期望
18、（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）
设{width="3.6875in" height="0.5416666666666666in"}，其中{width="0.5625in" height="0.25in"}
（Ⅰ）求函数{width="0.8333333333333334in" height="0.3541666666666667in"} 的值域
（Ⅱ）若{width="0.5104166666666666in" height="0.3541666666666667in"}在区间{width="0.9270833333333334in" height="0.59375in"}上为增函数，求 {width="0.20833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的最大值。
19、（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）
{width="1.4020833333333333in" height="1.507638888888889in"} 如图，在直三棱柱{width="1.1979166666666667in" height="0.3020833333333333in"} 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面{width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"} 的距离;
（Ⅱ）若{width="0.9375in" height="0.3125in"},求二面角 {width="1.0833333333333333in" height="0.3125in"}的平面角的余弦值。
20、（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为{width="0.5104166666666666in" height="0.3020833333333333in"}，线段{width="0.78125in" height="0.3125in"}的中点分别为{width="0.5208333333333334in" height="0.3020833333333333in"}，且△{width="0.5729166666666666in" height="0.3020833333333333in"} 是面积为4的直角三角形。
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过{width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"}做直线{width="0.125in" height="0.25in"}交椭圆于P，Q两点，使{width="0.9791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}，求直线{width="0.125in" height="0.25in"}的方程
{width="3.1770833333333335in" height="2.5416666666666665in"}
**21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。）**
设数列{width="0.4166666666666667in" height="0.3541666666666667in"}的前{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}项和{width="0.25in" height="0.3125in"}满足{width="1.3020833333333333in" height="0.3125in"}，其中{width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}。
（I）求证：{width="0.4166666666666667in" height="0.3541666666666667in"}是首项为1的等比数列；
（II）若{width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}，求证：{width="1.3229166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，并给出等号成立的充要条件。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
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数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（1）命题"若p则q"的逆命题是
（A）若q则p （B）若{width="0.20833333333333334in" height="0.14583333333333334in"}p则{width="0.20833333333333334in" height="0.14583333333333334in"} q
（C）若{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}则{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"} （D）若p则{width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}
（2）不等式{width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"} 的解集是为
（A）{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} （B） {width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"} （C）（-2，1）（D）{width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}∪{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}
（3）设A，B为直线{width="0.5104166666666666in" height="0.22916666666666666in"}与圆{width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"} 的两个交点，则{width="0.59375in" height="0.28125in"}
（A）1 （B）{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"} （C）{width="0.3125in" height="0.3125in"} （D）2
（4）{width="0.7291666666666666in" height="0.3125in"} 的展开式中{width="0.22916666666666666in" height="0.28125in"}的系数为
（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270
（5）{width="1.9791666666666667in" height="0.5729166666666666in"}
（A）{width="0.4895833333333333in" height="0.59375in"}（B）{width="0.3541666666666667in" height="0.5416666666666666in"}（C）{width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} （D）{width="0.3541666666666667in" height="0.59375in"}
（6）设{width="0.5104166666666666in" height="0.25in"} ，向量{width="1.7083333333333333in" height="0.3333333333333333in"}且{width="0.5104166666666666in" height="0.3020833333333333in"} ，则{width="0.71875in" height="0.3333333333333333in"}
（A）{width="0.3125in" height="0.3125in"} （B）{width="0.40625in" height="0.3125in"} （C）{width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"} （D）{width="0.25in" height="0.25in"}
（7）已知{width="1.7083333333333333in" height="0.3541666666666667in"}，{width="1.7083333333333333in" height="0.3541666666666667in"}，{width="0.875in" height="0.3125in"}则a,b,c的大小关系是
（A） {width="0.78125in" height="0.25in"} （B）{width="0.78125in" height="0.25in"} （C）{width="0.78125in" height="0.25in"} （D）{width="0.78125in" height="0.25in"}
（8）设函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}在{width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上可导，其导函数{width="0.5104166666666666in" height="0.28125in"}，且函数{width="0.46875in" height="0.28125in"}在{width="0.59375in" height="0.25in"}处取得极小值，则函数{width="0.90625in" height="0.28125in"}的图象可能是
{width="5.364583333333333in" height="2.34375in"}
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}和{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}且长为{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的棱与长为{width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的棱异面，则{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是
（A）{width="0.6458333333333334in" height="0.3333333333333333in"} （B）{width="0.625in" height="0.3333333333333333in"} （C）{width="0.6145833333333334in" height="0.3333333333333333in"}（D）{width="0.59375in" height="0.3333333333333333in"}
（10）设函数{width="2.7291666666666665in" height="0.3125in"}集合{width="2.2395833333333335in" height="0.28125in"}
{width="1.9166666666666667in" height="0.28125in"}则{width="0.6458333333333334in" height="0.2604166666666667in"}为
（A）{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）{width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和{width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"} [ ]{.underline}
（12）函数{width="1.7604166666666667in" height="0.28125in"} 为偶函数，则实数{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline}
（13）设△{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的内角{width="0.875in" height="0.25in"} 的对边分别为{width="0.75in" height="0.25in"}，且{width="1.7916666666666667in" height="0.5416666666666666in"}，则{width="0.6458333333333334in" height="0.25in"} [ ]{.underline}
（14）设{width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为直线{width="0.7708333333333334in" height="0.5416666666666666in"}与双曲线{width="2.0520833333333335in" height="0.5729166666666666in"} 左支的交点，{width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"}是左焦点，{width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}垂直于{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}轴，则双曲线的离心率{width="0.3125in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline}
（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 [ ]{.underline} （用数字作答）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知{width="0.15625in" height="0.25in"}{width="0.40625in" height="0.3125in"}为等差数列，且{width="1.9791666666666667in" height="0.3125in"}（Ⅰ）求数列{width="0.40625in" height="0.3125in"}的通项公式；（Ⅱ）记{width="0.40625in" height="0.3125in"}的前{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}项和
为{width="0.2604166666666667in" height="0.3125in"}，若{width="0.8854166666666666in" height="0.3125in"}成等比数列，求正整数{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}的值。
17．（本小题满分13分）已知函数{width="1.6145833333333333in" height="0.3125in"}在{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}处取得极值为{width="0.5208333333333334in" height="0.25in"}
（1）求a、b的值；（2）若{width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值28，求{width="0.46875in" height="0.28125in"}在{width="0.5625in" height="0.28125in"}上的最大值．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为{width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}，乙每次投篮投中的概率为{width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数{width="1.7916666666666667in" height="0.28125in"}（其中{width="2.0520833333333335in" height="0.28125in"} ）在{width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为{width="0.22916666666666666in" height="0.5416666666666666in"}（I）求{width="0.46875in" height="0.28125in"}的解析式； （II）求函数
{width="2.2291666666666665in" height="0.8333333333333334in"}的值域。
{width="2.1875in" height="2.8541666666666665in"}（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱{width="1.1979166666666667in" height="0.3125in"}中，{width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，{width="0.22916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}为{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的中点。（Ⅰ）求异面直线{width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"}和{width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的距离；（Ⅱ）若{width="0.9375in" height="0.3125in"}，求二面角{width="1.0833333333333333in" height="0.3125in"}的平面角的余弦值。
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
{width="4.479166666666667in" height="3.5729166666666665in"}已知椭圆的中心为原点{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，长轴在{width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"} 轴上，上顶点为{width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"} ，左、右焦点分别为{width="0.5104166666666666in" height="0.3125in"} ，线段{width="0.78125in" height="0.3125in"} 的中点分别为{width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"} ，且△{width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过{width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"} 作直线交椭圆于{width="0.4375in" height="0.28125in"}，{width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}，求△{width="0.5416666666666666in" height="0.3125in"}的面积
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）{width="0.78125in" height="0.25in"}=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ+1，1），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ+2，2），若（{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B．{width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．（﹣1，0） D．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）函数f（x）=log2（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．{width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"} B．{width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"} C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．{width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"} C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．{width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+{width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则k=（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．{width="2.09375in" height="0.3645833333333333in"}
C．{width="1.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cotα= ．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组{width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，{width="3.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC={width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
{width="2.4583333333333335in" height="1.1458333333333333in"}
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF1\|=\|BF1\|，证明：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列．
22．（12分）已知函数{width="1.8229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+{width="2.875in" height="0.3645833333333333in"}．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x\|x2﹣2x＞0}，B={x\|﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＜x＜{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}}，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B．{width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} C．4 D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C：{width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，则C的渐近线方程为（ ）
A．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} B．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} C．y=±x D．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
{width="1.65625in" height="2.598611111111111in"}
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
{width="1.3020833333333333in" height="1.8333333333333333in"}
A．{width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.2423611111111112in" height="2.047222222222222in"}
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E：{width="1.488888888888889in" height="0.4888888888888889in"}的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} B．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}
C．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} D．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}
11．（5分）已知函数f（x）={width="1.2090277777777778in" height="0.4888888888888889in"}，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
12．（5分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3...若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，{width="0.9486111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，{width="0.9486111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知两个单位向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为60°，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则t= ．
14．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}an+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则数列{an}的通项公式是an= ．
15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．
16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
{width="2.204861111111111in" height="1.270138888888889in"}
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
{width="2.6256944444444446in" height="1.53125in"}
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
{width="1.2708333333333333in" height="1.09375in"}
23．已知曲线C1的参数方程为{width="0.875in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（ ）
A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅
2．（5分）若α为第二象限角，sinα={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则cosα=（ ）
A．{width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
3．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（λ+1，1），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（λ+2，2），若（{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥（{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）不等式\|x2﹣2\|＜2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）
5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．224
6．（5分）函数f（x）=log2（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．{width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"} B．{width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"} C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
7．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．{width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"} C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且\|AB\|=3，则C的方程为（ ）
A．{width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"} B．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} C．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} D．{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}
9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
{width="2.1875in" height="1.6354166666666667in"}
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）
A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若{width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}，则k=（ ）
A．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ．
14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）
15．（5分）若x、y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.6451388888888889in"}，则z=﹣x+y的最小值为 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，{width="3.2597222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn={width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC={width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．
{width="1.9583333333333333in" height="0.9583333333333334in"}
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．
21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．
（Ⅰ）求a={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈\[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（12分）已知双曲线C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF1\|=\|BF1\|，证明：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列．
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x\|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
2．（5分）{width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=（ ）
A．﹣1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i B．﹣1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i C．1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i D．1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i
3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
4．（5分）已知双曲线C：{width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，则C的渐近线方程为（ ）
A．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} B．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} C．y=±x D．y={width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
6．（5分）设首项为1，公比为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an
7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
{width="1.8076388888888888in" height="2.834722222222222in"}
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x的焦点，P为C上一点，若\|PF\|=4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则△POF的面积为（ ）
A．2 B．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．4
9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在\[﹣π，π\]的图象大致为（ ）
A．{width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"} B．{width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"}
C．{width="1.28125in" height="0.96875in"} D．{width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"}
10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.667361111111111in" height="2.4375in"}
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
12．（5分）已知函数f（x）={width="1.2090277777777778in" height="0.4888888888888889in"}，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．（5分）已知两个单位向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为60°，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则t= ．
14．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.9576388888888889in" height="0.40625in"}，则z=2x﹣y的最大值为 ．
15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．
16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{{width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和．
18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
{width="4.167361111111111in" height="1.1145833333333333in"}
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
{width="3.1152777777777776in" height="1.40625in"}
20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
{width="1.2708333333333333in" height="1.09375in"}
23．已知曲线C1的参数方程为{width="0.875in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
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一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）已知集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}
C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}
2．（5分）{width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}=（ ）
A．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．1
3．（5分）设x，y满足约束条件 {width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}，则z=2x﹣3y的最小值是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，C={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则△ABC的面积为（ ）
A．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+2 B．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2 D．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1
5．（5分）设椭圆C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}
6．（5分）已知sin2α={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2（α+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（ ）
{width="1.18125in" height="1.8111111111111111in"}
A．1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
B．1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}
C．1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
D．1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
A．{width="1.03125in" height="1.03125in"} B．{width="1.03125in" height="1.0416666666666667in"}
C．{width="1.0416666666666667in" height="1.0416666666666667in"} D．{width="1.0520833333333333in" height="1.0416666666666667in"}
10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若\|AF\|=3\|BF\|，则l的方程为（ ）
A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）或 y=﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）
C．y={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1）或 y=﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1） D．y={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）或 y=﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）
11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）=0
12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．
13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ．
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}= ．
15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，底面边长为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 ．
16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位后，与函数y=sin（2x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象重合，则φ= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+...+a3n﹣2．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB={width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}，求三棱锥C﹣A1DE的体积．
{width="1.71875in" height="2.2291666666666665in"}
19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
{width="3.7506944444444446in" height="2.542361111111111in"}
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，在y轴上截得线段长为2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求圆P的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x
（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．
22．【选修4﹣1几何证明选讲】
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
{width="1.5416666666666667in" height="1.03125in"}
23．已知动点P、Q都在曲线{width="1.0618055555555554in" height="0.40625in"}（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）{width="0.9902777777777778in" height="0.36527777777777776in"}
（Ⅱ）{width="1.1569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}．
2013年北京市高考数学试卷（理科）
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）"φ=π"是"曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="1.0625in" height="2.9381944444444446in"}
A．1 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）
A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1
6．（5分）若双曲线{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的离心率为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B．{width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"} C．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}
7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．2 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}
8．（5分）设关于x，y的不等式组{width="1.2916666666666667in" height="0.71875in"}表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（ ）
A．{width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）在极坐标系中，点（2，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．
10．（5分）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= ．
11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= ．
{width="1.1041666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
13．（5分）向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在正方形网格中的位置如图所示，若{width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}（λ，μ∈R），则{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}= ．
{width="1.4583333333333333in" height="0.8958333333333334in"}
14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．
{width="1.2291666666666667in" height="1.1354166666666667in"}
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤
15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天
{width="4.677777777777778in" height="2.2291666666666665in"}
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求{width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}的值．
{width="1.28125in" height="1.4791666666666667in"}
18．（13分）设l为曲线C：y={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
20．（13分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2...的最小值记为Bn，dn=An﹣Bn．
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3...，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N\*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3...）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，...），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
2013年北京市高考数学试卷（文科）
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc B．{width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．a2＞b2 D．a3＞b3
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} B．y=e﹣x C．y=lg\|x\| D．y=﹣x2+1
4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sinB=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．1
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="0.9527777777777777in" height="2.6375in"}
A．1 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）双曲线{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}的离心率大于{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的充分必要条件是（ ）
A．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
{width="1.78125in" height="1.6145833333333333in"}
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p= ；准线方程为 ．
10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 ．
{width="2.5006944444444446in" height="2.1145833333333335in"}
11．（5分）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= ．
12．（5分）设D为不等式组{width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为 ．
13．（5分）函数f（x）={width="1.125in" height="0.6875in"}的值域为 ．
14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足{width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos 4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），且f（α）={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求α的值．
16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
{width="5.261111111111111in" height="2.3541666666666665in"}
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．
{width="1.7416666666666667in" height="1.7715277777777778in"}
18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆{width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
20．（14分）给定数列a1，a2，...，an．对i=1，2，...，n﹣1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n﹣i项ai+1，ai+2，...，an的最小值记为Bi，di=Ai﹣Bi．
（Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）设a1，a2，...，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，...，dn﹣1是等比数列；
（Ⅲ）设d1，d2，...，dn﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，...，an﹣1是等差数列．
2013年安徽省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．（5分）设i是虚数单位，{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}是复数z的共轭复数，若（z•{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）i+2=2z，则z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
{width="1.8458333333333334in" height="2.3625in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．（5分）"a≤0"是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x\|x＜﹣1或x＞{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}，则f（10x）＞0的解集为（ ）
A．{x\|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x\|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x\|x＞﹣lg2} D．{x\|x＜﹣lg2}
7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，...，xn，使得{width="1.1354166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=...={width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，则n的取值范围是（ ）
{width="1.8958333333333333in" height="1.6770833333333333in"}
A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
9．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|={width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，则点集{P\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+μ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，\|λ\|+\|μ\|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ）
A．{width="0.3125in" height="0.1875in"} B．{width="0.3125in" height="0.1875in"} C．{width="0.3125in" height="0.1875in"} D．{width="0.3125in" height="0.1875in"}
10．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）若{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的展开式中x4的系数为7，则实数a= ．
12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= ．
13．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为 ．
14．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，...，An，...和B1，B2，...，Bn，...分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是 ．
{width="1.3541666666666667in" height="1.6666666666666667in"}
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为四边形
②当CQ={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为等腰梯形
③当CQ={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S与C1D1的交点R满足C1R={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
④当{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
{width="1.4479166666666667in" height="1.375in"}
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的单调性．
17．（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
18．（12分）设椭圆E：{width="0.9270833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
19．（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
{width="1.9270833333333333in" height="0.9791666666666666in"}
20．（13分）设函数fn（x）=﹣1+x+{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（x∈R，n∈N+），证明：
（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]，满足fn（xn）=0；
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
2013年安徽省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（a∈R）是纯虚数，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．（5分）已知A={x\|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}
3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
{width="1.613888888888889in" height="1.9291666666666667in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）直线x+2y﹣5+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
7．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，...xn，使得{width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}={width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=...={width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，则n的取值范围为（ ）
{width="1.9895833333333333in" height="1.84375in"}
A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．（5分）函数y=ln（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+{width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的定义域为 ．
12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，则x+y的最大值为 ．
13．（5分）若非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=3\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，则{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角的余弦值为 ．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）= ．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为四边形
②当CQ={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为等腰梯形
③当CQ={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S与C1D1的交点R满足C1R={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
④当{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
{width="1.4479166666666667in" height="1.375in"}
三、解答题
16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．
17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：
{width="5.354861111111111in" height="2.0208333333333335in"}
（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，估计{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}﹣{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．
{width="2.03125in" height="1.5729166666666667in"}
19．（13分）设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N\*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2（an+{width="0.3020833333333333in" height="0.4583333333333333in"}）求数列{bn}的前n项和Sn．
20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
21．（13分）已知椭圆C：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
2013年福建省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.
1．（5分）已知复数z的共轭复数{width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则"a=3"是"A⊆B"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）双曲线{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}
4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：\[40，50），\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100\]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
{width="2.1875in" height="1.4479166666666667in"}
A．588 B．480 C．450 D．120
5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
{width="1.2993055555555555in" height="2.6770833333333335in"}
A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和
C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和
7．（5分）在四边形ABCD中，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.3125in" height="0.1875in"} C．5 D．10
8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
9．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+...+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•...•am（n﹣1）+m，（m，n∈N\*），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}
D．数列{cn}为等比数列，公比为{width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}
10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是（ ）
A．A=N\*，B=N
B．A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x\|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.
11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为 ．
12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．
{width="1.0in" height="1.0104166666666667in"}
13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，AB=3{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=3，则BD的长为 ．
{width="1.8020833333333333in" height="0.8854166666666666in"}
14．（4分）椭圆Γ：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y={width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
15．（4分）当x∈R，\|x\|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+...+xn+...={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
两边同时积分得：{width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}dx+{width="0.3125in" height="0.4375in"}xdx+{width="0.3125in" height="0.4375in"}x2dx+...+{width="0.3125in" height="0.4375in"}xndx+...={width="0.3125in" height="0.4375in"}{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}dx
从而得到如下等式：1×{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3+...+{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n+1+...=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3+...+{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n+1= ．
三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，...，A9和B1，B2，...，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点{width="1.5520833333333333in" height="0.28125in"}．
（1）求证：点{width="1.5520833333333333in" height="0.28125in"}都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
{width="2.09375in" height="2.09375in"}
19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
{width="1.9895833333333333in" height="1.4791666666666667in"}
20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（{width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵{width="0.625in" height="0.3958333333333333in"}对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且{width="0.9270833333333334in" height="0.5729166666666666in"}，求点P的坐标．
22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为{width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，直线l的极坐标方程为{width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，且点A在直线l上．
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为{width="1.5625in" height="0.40625in"}，试判断直线l与圆C的位置关系．
23．设不等式\|x﹣2\|＜a（a∈N\*）的解集为A，且{width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|的最小值．
2013年福建省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设点P（x，y），则"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．1 D．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）
A．{width="1.3020833333333333in" height="1.0104166666666667in"} B．{width="1.34375in" height="1.03125in"} C．{width="1.21875in" height="1.0in"} D．{width="1.3645833333333333in" height="0.9791666666666666in"}
6．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）
A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0
7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．\[0，2\] B．\[﹣2，0\] C．\[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2\]
8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（ ）
{width="1.3958333333333333in" height="2.795138888888889in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（{width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}），则φ的值可以是（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）在四边形ABCD中，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.3125in" height="0.1875in"} C．5 D．10
11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：
--- --- --- --- --- --- ---
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
--- --- --- --- --- --- ---
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}x+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（ ）
A．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞b′，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞a′ B．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞b′，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜a′ C．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜b′，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞a′ D．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜b′，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜a′
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.
13．（4分）已知函数f（x）={width="1.4270833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}））= ．
14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为 ．
15．（4分）椭圆Γ：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y={width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：
（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合"保序同构"，现给出以下3对集合：
①A=N，B=N\*；
②A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|﹣8≤x≤10}；
③A={x\|0＜x＜1}，B=R．
其中，"保序同构"的集合对的序号是 ．（写出"保序同构"的集合对的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；
（Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（Ⅰ）当正视方向与向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积．
{width="1.2395833333333333in" height="1.4270833333333333in"}
19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
----------- ------- ------- ------- --------
P（x2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
----------- ------- ------- ------- --------
{width="4.719444444444444in" height="2.1041666666666665in"}
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？附：{width="1.7604166666666667in" height="0.4791666666666667in"}（注：此公式也可以写成k2={width="1.71875in" height="0.4270833333333333in"}）
20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，\|CO\|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求\|MN\|；
（Ⅱ）若\|AF\|2=\|AM\|•\|AN\|，求圆C的半径．
{width="1.6041666666666667in" height="1.7708333333333333in"}
21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
{width="1.34375in" height="1.28125in"}
22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
2013年广东省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合M={x\|x2+2x=0，x∈R}，N={x\|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2）
4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为
--- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------
X 1 2 3
P {width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
--- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------
则X的数学期望E（X）=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．2 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3
5．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
{width="2.0729166666666665in" height="2.4375in"}
A．4 B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．6
6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的方程是（ ）
A．{width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"} B．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} C．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} D．{width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"}
8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，...，n}．令集合S={（x，y，z）\|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为 ．
10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ．
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 ．
{width="1.8541666666666667in" height="2.5006944444444446in"}
12．（5分）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ．
13．（5分）给定区域D：{width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}．令点集T={（x0，y0）∈D\|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 条不同的直线．
14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为{width="0.8541666666666666in" height="0.4479166666666667in"}（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为 ．
15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ．
{width="2.0729166666666665in" height="1.7083333333333333in"}
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（12分）已知函数f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R．
（Ⅰ）求f（﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值；
（Ⅱ）若cosθ={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，θ∈（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2π），求f（2θ+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
{width="0.9583333333333334in" height="0.7916666666666666in"}
18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，{width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
{width="4.177777777777778in" height="1.6458333333333333in"}
19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，{width="1.59375in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有{width="1.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}．
20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值．
21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当{width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}时，求函数f（x）在\[0，k\]上的最大值M．
2013年广东省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合S={x\|x2+2x=0，x∈R}，T={x\|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（ ）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
2．（5分）函数f（x）={width="0.6354166666666666in" height="0.375in"}的定义域为（ ）
A．（﹣1，+∞） B．\[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．\[﹣1，1）∪（1，+∞）
3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）已知sin（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+α）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosα=（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ）
{width="2.1666666666666665in" height="3.1256944444444446in"}
A．1 B．2 C．4 D．7
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
{width="1.6145833333333333in" height="2.2916666666666665in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．1
7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A．{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"} B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．{width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}
8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的方程是（ ）
A．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} B．{width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"} C．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} D．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}
10．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是已知的平面向量且{width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，关于向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的分解，有如下四个命题：
①给定向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，总存在向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，使{width="0.5208333333333334in" height="0.20833333333333334in"}；
②给定向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，总存在实数λ和μ，使{width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}；
③给定单位向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和正数μ，总存在单位向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和实数λ，使{width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和单位向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，使{width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}；
上述命题中的向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）
11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+\|a2\|+a3+\|a4\|= ．
12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= ．
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件{width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+y的最大值是 ．
选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）
如图，在矩形ABCD中，{width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．
{width="1.7604166666666667in" height="1.03125in"}
四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（12分）已知函数{width="1.9895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）求{width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值；
（2）若{width="2.0833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，求{width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
分组（重量） \[80，85） \[85，90） \[90，95） \[95，100）
频数（个） 5 10 20 15
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在\[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在\[80，85）和\[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在\[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的概率．
18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．
{width="3.542361111111111in" height="2.2708333333333335in"}
19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N\*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）证明：a2={width="0.59375in" height="0.25in"}；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有{width="2.1666666666666665in" height="0.4270833333333333in"}．
20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值．
21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＜0时，求函数f（x）在\[k，﹣k\]上的最小值m和最大值M．
2013年湖北省高考数学试卷（理科）
================================
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在复平面内，复数z={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知全集为R，集合A={x\|（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x≤1}，B={x\|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．{x\|x≤0} B．{x\|2≤x≤4} C．{x\|0≤x＜2或x＞4} D．{x\|0＜x≤2或x≥4}
3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（5分）将函数y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）已知0＜θ＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则双曲线{width="1.8333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}与C2：{width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}﹣{width="1.1458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
6．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}
7．（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度{width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A．1+25ln5 B．8+25ln{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．4+25ln5 D．4+50ln2
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
{width="1.6458333333333333in" height="2.511111111111111in"}
A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4 C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4
9．（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
{width="1.9270833333333333in" height="1.9479166666666667in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ）
A．{width="1.75in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="1.75in" height="0.3645833333333333in"}
C．{width="1.75in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="1.75in" height="0.3645833333333333in"}
填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
11．（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为 ；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间\[100，250）内的户数为 ．
{width="3.1569444444444446in" height="1.8541666666666667in"}
12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= ．
{width="2.8652777777777776in" height="3.1256944444444446in"}
13．（5分）设x，y，z∈R，且满足：{width="2.1041666666666665in" height="0.25in"}，则x+y+z= ．
14．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，...，第n个三角形数为{width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数{width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，
正方形数N（n，4）=n2，
五边形数{width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，
六边形数N（n，6）=2n2﹣n，
...
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= ．
15．（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值为 ．
{width="1.3125in" height="1.15625in"}
16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为{width="1.0625in" height="0.40625in"}为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为{width="1.6875in" height="0.3854166666666667in"}为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求sinBsinC的值．
18．（12分）已知等比数列{an}满足：\|a2﹣a3\|=10，a1a2a3=125．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使得{width="1.40625in" height="0.4270833333333333in"}？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足{width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
{width="1.3020833333333333in" height="1.2395833333333333in"}
20．（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．
（Ⅰ）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
21．（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
{width="1.3958333333333333in" height="1.25in"}
22．（14分）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（Ⅱ）证明：{width="2.8125in" height="0.4270833333333333in"}；
（Ⅲ）设x∈R，记\[x\]为不小于x的最小整数，例如{width="1.9270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}．令{width="2.75in" height="0.23958333333333334in"}的值．
（参考数据：{width="4.416666666666667in" height="0.3958333333333333in"}．
2013年湖北省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩∁∪A=（ ）
A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}
2．（5分）已知{width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则双曲线C1：{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}与C2：{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=2.347x﹣6.423；
②y与x负相关且{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣3.476x+5.648；
③y与x正相关且{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=5.437x+8.493；
④y与x正相关且{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．{width="1.65625in" height="1.3125in"} B．{width="1.6041666666666667in" height="1.3020833333333333in"} C．{width="1.7083333333333333in" height="1.3020833333333333in"} D．{width="1.59375in" height="1.3229166666666667in"}
6．（5分）将函数y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}
8．（5分）x为实数，\[x\]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣\[x\]在R上为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（ ）
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） C．（0，1） D．（0，+∞）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2= ．
12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则
（Ⅰ）平均命中环数为 ；
（Ⅱ）命中环数的标准差为 ．
13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i= ．
{width="1.25in" height="3.198611111111111in"}
14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0{width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= ．
15．（5分）在区间\[﹣2，4\]上随机地取一个数x，若x满足\|x\|≤m的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则m= ．
16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有"天池盆测雨"题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是 ；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= （用数值作答）．
{width="2.0625in" height="1.8645833333333333in"}
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求sinBsinC的值．
19．（13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．
（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．
{width="1.6145833333333333in" height="1.6666666666666667in"}
21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）={width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
（i）判断f（1），f（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）是否成等比数列，并证明f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤f（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）；
（ii）a、b的几何平均数记为G．称{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．
22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．
{width="1.3958333333333333in" height="1.25in"}
2013年湖南省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，则角A等于（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.625in" height="0.65625in"}，则x+2y的最大值是（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．0 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（5分）已知{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量，{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，若向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的取值范围为（ ）
A．{width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}
7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）
A．1 B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}
8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）
{width="1.3645833333333333in" height="1.28125in"}
A．2 B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：{width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}，（t为参数）过椭圆C：{width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 ．
10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为 ．
11．（5分）如图，在半径为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为 ．
{width="1.3229166666666667in" height="1.3541666666666667in"}
12．（5分）若{width="0.28125in" height="0.28125in"}x2dx=9，则常数T的值为 ．
13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
{width="2.2708333333333335in" height="1.8854166666666667in"}
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若\|PF1\|+\|PF2\|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 ．
15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，则
（1）a3= ；
（2）S1+S2+...+S100= ．
16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）\|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为 ．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），g（x）=2sin2{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．
18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示：
--- ---- ---- ---- ----
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
--- ---- ---- ---- ----
这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米．
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好"相近"的概率；
（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
{width="1.125in" height="1.1458333333333333in"}
19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
{width="1.6458333333333333in" height="1.7708333333333333in"}
20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径"．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的"L路径"．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的"L路径"长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，"L路径"不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的"L路径"长度之和最小．
{width="1.6979166666666667in" height="1.1145833333333333in"}
21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：{width="0.9479166666666666in" height="0.23958333333333334in"}；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求抛物线E的方程．
22．（13分）已知a＞0，函数{width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）记f（x）在区间\[0，4\]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2013年湖南省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）"1＜x＜2"是"x＜2"成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
4．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，则角A等于（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．1 C．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
8．（5分）已知{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0．若向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值为（ ）
A．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} D．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}
9．（5分）已知事件"在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB"发生的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B= ．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线{width="1.0104166666666667in" height="0.40625in"}（s为参数）和直线{width="1.0104166666666667in" height="0.40625in"}（t为参数）平行，则常数a的值为 ．
12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ．
{width="2.2708333333333335in" height="1.8854166666666667in"}
13．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}，则x+y的最大值为 ．
14．（5分）设F1，F2是双曲线C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为 ．
15．（5分）对于E={a1，a2，...．a100}的子集X={ai1，ai2，...，aik}，定义X的"特征数列"为x1，x2...，x100，其中xi1=xi2=...xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的"特征数列"为0，1，1，0，0，...，0
（1）子集{a1，a3，a5}的"特征数列"的前3项和等于 ；
（2）若E的子集P的"特征数列"P1，P2，...，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的"特征数列"q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（1）求f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值．
（2）求使f（x）＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立的x的取值集合．
17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
（1）证明：AD⊥C1E；
（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．
{width="1.8125in" height="1.1770833333333333in"}
18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示：
--- ---- ---- ---- ----
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
--- ---- ---- ---- ----
这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
------ ---- ---- ---- ----
Y 51 48 45 42
频数 4
------ ---- ---- ---- ----
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．
{width="1.59375in" height="1.65625in"}
19．（13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N\*
（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．
20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆{width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．
21．（13分）已知函数f（x）={width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．
2013年江西省高考数学试卷（理科）
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一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i
2．（5分）函数y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ln（1﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1） C．（0，1\] D．\[0，1\]
3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，...的第四项等于（ ）
A．﹣24 B．0 C．12 D．24
4．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
5．（5分）（x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）5的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
6．（5分）若S1={width="0.28125in" height="0.28125in"}x2dx，S2={width="0.28125in" height="0.28125in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}dx，S3={width="0.28125in" height="0.28125in"}exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1
7．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
{width="4.927777777777778in" height="1.7083333333333333in"}
A．S=2\*i﹣2 B．S=2\*i﹣1 C．S=2\*i D．S=2\*i+4
8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
{width="2.5215277777777776in" height="0.9791666666666666in"}
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（5分）过点（{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）引直线l与曲线y={width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
10．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
{width="2.8444444444444446in" height="1.0625in"}
A．{width="1.3958333333333333in" height="1.2395833333333333in"} B．{width="1.3958333333333333in" height="1.2395833333333333in"} C．{width="1.3854166666666667in" height="1.2395833333333333in"} D．{width="1.3854166666666667in" height="1.2395833333333333in"}
二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
11．（5分）函数y=sin2x+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x最小正周期T为 ．
12．（5分）设{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量．且{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+3{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，则向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}方向上的射影为 ．
13．（5分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）= ．
14．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p= ．
三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．
15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为{width="0.4895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ．
16．（不等式选做题）
在实数范围内，不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集为 ．
四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
18．（12分）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2{width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"}
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令b{width="1.15625in" height="0.4791666666666667in"}，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N\*，都有T{width="0.6041666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
19．（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
{width="2.2395833333333335in" height="2.0833333333333335in"}
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
{width="2.3854166666666665in" height="2.21875in"}
21．（13分）如图，椭圆C：{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}经过点P（1，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），离心率e={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
{width="2.46875in" height="1.28125in"}
22．（14分）已知函数f（x）={width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对称；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
2013年江西省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）若集合A={x∈R\|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（ ）
A．4 B．2 C．0 D．0或4
3．（5分）若sin{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则cosα=（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
6．（5分）下列选项中，使不等式x＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x2成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
{width="6.656944444444444in" height="1.1979166666666667in"}
A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11
8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.3333333333333335in" height="1.7083333333333333in"}
A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π
9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则\|FM\|：\|MN\|=（ ）
A．2：{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．1：2 C．1：{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1：3
10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ）
{width="1.0833333333333333in" height="1.4270833333333333in"}
A．{width="1.2291666666666667in" height="1.1666666666666667in"} B．{width="1.2604166666666667in" height="1.1979166666666667in"} C．{width="1.2291666666666667in" height="1.1666666666666667in"} D．{width="1.25in" height="1.1666666666666667in"}
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）若曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．
12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N\*）等于 ．
13．（5分）设f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin3x+cos3x，若对任意实数x都有\|f（x）\|≤a，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 ．
15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ．
{width="2.6152777777777776in" height="1.0520833333333333in"}
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn={width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，求数列{bn}的前n项和Tn．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）若C={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值．
18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋
（1）写出数量积X的所有可能取值
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
{width="1.8229166666666667in" height="1.4270833333333333in"}
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求点B1到平面EA1C1 的距离．
{width="1.7291666666666667in" height="1.3645833333333333in"}
20．（13分）椭圆C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．
{width="1.8854166666666667in" height="1.0104166666666667in"}
21．（14分）设函数{width="2.1979166666666665in" height="0.7916666666666666in"}常数且a∈（0，1）．
（1）当a={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求f（f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的模长为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2
2．（5分）已知集合A={x\|0＜log4x＜1}，B={x\|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．（1，2\]
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为（ ）
A．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
{width="2.5215277777777776in" height="1.5520833333333333in"}
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，且a＞b，则∠B=（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）使得（3x+{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）
{width="1.6666666666666667in" height="2.3854166666666665in"}
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．{width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}
C．{width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}
11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16
12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，f（2）={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则x＞0时，f（x）（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
{width="2.5215277777777776in" height="2.4375in"}
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
15．（5分）已知椭圆{width="1.7604166666666667in" height="0.4895833333333333in"}的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的离心率e= ．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）设向量{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）若{width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值；
（2）设函数{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
{width="1.5833333333333333in" height="1.6770833333333333in"}
19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，答对每道乙类题的概率都是{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，切线MA的斜率为﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
{width="1.8229166666666667in" height="1.7291666666666667in"}
21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1+2xcosx，当x∈\[0，1\]时，
（I）求证：{width="1.2395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF2=AD•BC．
{width="1.8541666666666667in" height="1.1041666666666667in"}
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为{width="0.8125in" height="0.65625in"}（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x\|\|x\|＜2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）复数{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的模长为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为（ ）
A．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
{width="2.5215277777777776in" height="1.5520833333333333in"}
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，且a＞b，则∠B=（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）已知函数f（x）=ln（{width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
{width="1.8541666666666667in" height="3.0944444444444446in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．{width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}
C．{width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}
11．（5分）已知椭圆C：{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，{width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16
二、填空题
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
{width="2.5215277777777776in" height="2.4375in"}
14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
15．（5分）已知F为双曲线C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 ．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）设向量{width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）若{width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值；
（2）设函数{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
{width="1.8125in" height="1.375in"}
19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．
（1）所取的2道题都是甲类题的概率；
（2）所取的2道题不是同一类题的概率．
20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，切线MA的斜率为﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
{width="1.8229166666666667in" height="1.7291666666666667in"}
21．（12分）（1）证明：当x∈\[0，1\]时，{width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}；
（2）若不等式{width="1.9791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}对x∈\[0，1\]恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲）
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
（1）∠FEB=∠CEB；
（2）EF2=AD•BC．
{width="2.4902777777777776in" height="1.6041666666666667in"}
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为{width="0.8125in" height="0.65625in"}（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
2013年山东省高考数学试卷（理科）
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一、选择题
1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，{width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，底面是边长为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．0 D．{width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组{width="0.875in" height="0.65625in"}所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．{width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A．{width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} B．{width="1.2604166666666667in" height="1.1145833333333333in"} C．{width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} D．{width="1.2604166666666667in" height="1.0625in"}
9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
10．（5分）用0，1，2，...，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
11．（5分）抛物线C1：{width="1.1243055555555554in" height="0.36527777777777776in"}的焦点与双曲线C2：{width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}
12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当{width="0.22013888888888888in" height="0.37569444444444444in"}取得最大值时，{width="0.6145833333333334in" height="0.37569444444444444in"}的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．3
二、填空题
13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为 ．
{width="2.8444444444444446in" height="4.172916666666667in"}
14．（4分）在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为 ．
15．（4分）已知向量{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为120°，且\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=3，\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=2．若{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，且{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}⊥{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，则实数λ的值为 ．
16．（4分）定义"正对数"：ln+x={width="1.2090277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则{width="1.65625in" height="0.36527777777777776in"}；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
{width="2.5944444444444446in" height="2.375in"}
19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，其余每局比赛甲队获胜的概率都是{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且{width="0.9791666666666666in" height="0.48055555555555557in"}（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N\*）求数列{cn}的前n项和Rn．
21．（13分）设函数{width="2.5in" height="0.42569444444444443in"}．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程\|lnx\|=f（x）根的个数．
22．（13分）椭圆C：{width="1.738888888888889in" height="0.4888888888888889in"}的左右焦点分别是F1，F2，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明{width="0.7597222222222222in" height="0.42569444444444443in"}为定值，并求出这个定值．
2013年山东省高考数学试卷（文科）
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一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．
1．（5分）复数z={width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（i为虚数单位），则\|z\|=（ ）
A．25 B．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．5 D．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（ ）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则f（﹣1）=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
{width="1.3541666666666667in" height="1.1979166666666667in"}
A．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，8 B．{width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"} D．8，8
5．（5分）函数f（x）={width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}+{width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}的定义域为（ ）
A．（﹣3，0\] B．（﹣3，1\] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0\] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1\]
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
{width="2.3645833333333335in" height="3.1465277777777776in"}
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则c=（ ）
A．{width="0.3125in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1
8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A．{width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} B．{width="1.2604166666666667in" height="1.1145833333333333in"} C．{width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} D．{width="1.2604166666666667in" height="1.0625in"}
10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（ ）{width="1.28125in" height="0.3854166666666667in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．36 D．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}
11．（5分）抛物线C1：{width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}的焦点与双曲线C2：{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}
12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当{width="0.21875in" height="0.375in"}取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（ ）
A．0 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 ．
14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组{width="0.9583333333333334in" height="0.65625in"}所表示的区域上一动点，则线段\|OM\|的最小值为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知{width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，若∠ABO=90°，则实数t的值为 ．
16．（4分）定义"正对数"：ln+x={width="1.2083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a；
②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；
③若a＞0，b＞0，则{width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}；
④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分，
17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：
---------- ------ ------ ------ ------ ------
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
---------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率．
18．（12分）设函数f（x）={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间\[{width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．
{width="2.4166666666666665in" height="1.8333333333333333in"}
20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足{width="1.1354166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=1﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，求{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间
（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求实数t的值．
2013年陕西省高考数学试卷（理科）
================================
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）设全集为R，函数{width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}的定义域为M，则∁RM为（ ）
A．\[﹣1，1\] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1\]∪\[1，+∞）
2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
{width="1.40625in" height="1.40625in"}
A．25 B．30 C．31 D．61
3．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为向量，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|是"{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，...，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间\[481，720\]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
{width="2.542361111111111in" height="1.4895833333333333in"}
A．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若\|z1﹣z2\|=0，则{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}={width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} B．若z1={width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=z2
C．若\|z1\|=\|z2\|，则z1•{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=z2•{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} D．若\|z1\|=\|z2\|，则z12=z22
7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．（5分）设函数f（x）={width="1.2708333333333333in" height="0.6875in"}，则当x＞0时，f\[f（x）\]表达式的展开式中常数项为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（ ）
{width="1.4791666666666667in" height="1.4583333333333333in"}
A．\[15，20\] B．\[12，25\] C．\[10，30\] D．\[20，30\]
10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（ ）
A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[2x\]=2\[x\] C．\[x+y\]≤\[x\]+\[y\] D．\[x﹣y\]≤\[x\]﹣\[y\]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则m等于 ．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ．
{width="1.5208333333333333in" height="1.6875in"}
13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x﹣1\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为 ．
14．（5分）观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
...
照此规律，第n个等式可为 ．
选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
15．（5分）（不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 ．
16．（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= ．
{width="2.1354166666666665in" height="1.0416666666666667in"}
17．（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 ．
{width="1.3854166666666667in" height="1.1875in"}
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
18．（12分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）={width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
19．（12分）设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，{width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}．
（Ⅰ） 证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
{width="2.511111111111111in" height="1.7604166666666667in"}
21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较{width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}与{width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的大小，并说明理由．
2013年陕西省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）设全集为R，函数f（x）={width="0.375in" height="0.1875in"}的定义域为M，则∁RM为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
2．（5分）已知向量 {width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，m），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，2），若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则实数m等于（ ）
A．﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．0
3．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab•logcb=logca B．logab•logca=logcb
C．logabc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac
4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
{width="1.40625in" height="1.40625in"}
A．25 B．30 C．31 D．61
5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间\[20，25）上的为一等品，在区间\[15，20）和区间\[25，30）上的为二等品，在区间\[10，15）和\[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）
{width="3.0215277777777776in" height="2.3333333333333335in"}
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
6．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
7．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2
8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（ ）
A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]=\[x\] C．\[2x\]=2\[x\] D．\[x\]+\[x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]=\[2x\]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）双曲线{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的离心率为 ．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ．
{width="2.9381944444444446in" height="2.2291666666666665in"}
13．（5分）观察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=22×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5
...
照此规律，第n个等式可为 ．
14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 （m）．
{width="1.2291666666666667in" height="1.125in"}
选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
15．（5分）（不等式选做题）
设a，b∈R，\|a﹣b\|＞2，则关于实数x的不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是 ．
16．（几何证明选做题）
如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．
{width="1.71875in" height="0.6458333333333334in"}
17．（坐标系与参数方程选做题）
圆锥曲线{width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}（t为参数）的焦点坐标是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
18．（12分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）={width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
19．（12分）设Sn表示数列{an}的前n项和．
（Ⅰ） 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；
（Ⅱ） 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn={width="0.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}．判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ） 证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．
{width="2.0208333333333335in" height="1.25in"}
21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
------ ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
------ ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
---------- ---- ----- ----- ----- ----
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
---------- ---- ----- ----- ----- ----
（Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
22．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y={width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}有唯一公共点．
（Ⅲ） 设a＜b，比较f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）与{width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的大小，并说明理由．
2013年上海市高考数学试卷（理科）
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一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）计算：{width="0.4270833333333333in" height="0.3125in"}{width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}= ．
2．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．
3．（4分）若{width="0.5104166666666666in" height="0.46875in"}={width="0.4166666666666667in" height="0.40625in"}，x+y= ．
4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是 ．
5．（4分）设常数 a∈R，若（x2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ．
6．（4分）方程{width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3x﹣1的实数解为 ．
7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 ．
8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．
9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若AB=4，BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
10．（4分）设非零常数d是等差数列x1，x2，...，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，...，x19，则方差Dξ= ．
11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin2x+sin2y={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sin（x+y）= ．
12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为 ．
13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（\|y\|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π{width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．
{width="2.125in" height="1.2083333333333333in"}
14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y\|y=g（x），x∈I}．已知定义域为\[0，3\]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（\[0，1））=\[1，2），f﹣1（（2，4\]）=\[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
16．（5分）钱大姐常说"便宜没好货"，她这句话的意思是："不便宜"是"好货"的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
17．（5分）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A．18 B．28 C．48 D．63
18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}．若m、M分别为（{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）•（{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
{width="1.8125in" height="1.0833333333333333in"}
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间\[a，b\]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在\[a，b\]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的\[a，b\]中，求b﹣a的最小值．
22．（16分）如图，已知双曲线C1：{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，曲线C2：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为"C1﹣C2型点"
（1）在正确证明C1的左焦点是"C1﹣C2型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C1﹣C2型点"；
（3）求证：圆x2+y2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点都不是"C1﹣C2型点"
{width="2.2708333333333335in" height="1.46875in"}
23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2\|x+c+4\|﹣\|x+c\|．数列a1，a2，a3，...满足an+1=f（an），n∈N\*．
（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N\*，an+1﹣an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，...，an，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
2013年上海市高考数学试卷（文科）
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一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1．（4分）不等式{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜0的解为 ．
2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= ．
3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．
4．（4分）已知{width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，{width="0.5208333333333334in" height="0.40625in"}，则y= ．
5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是 ．
6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a= ．
8．（4分）方程{width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}的实数解为 ．
9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos（2x﹣2y）= ．
10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}= ．
{width="0.8333333333333334in" height="1.0104166666666667in"}
11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）
12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若AB=4，BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
13．（4分）设常数a＞0，若9x+{width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}对一切正实数x成立，则a的取值范围为 ．
14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为{width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为{width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则{width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.3125in" height="0.1875in"} C．1+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
16．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
17．（5分）钱大姐常说"好货不便宜"，她这句话的意思是："好货"是"不便宜"的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
18．（5分）记椭圆{width="0.90625in" height="0.4375in"}围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，...），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，...上时，x+y的最大值分别是M1，M2，...，则{width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}Mn=（ ）
A．0 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
{width="1.6770833333333333in" height="1.6666666666666667in"}
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+{width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，判断函数{width="1.5104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的奇偶性，并说明理由．
（Ⅱ） 令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间\[a，a+10π\]上的零点个数的所有可能．
22．（16分）已知函数f（x）=2﹣\|x\|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N\*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，...，an，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
23．（18分）如图，已知双曲线C1：{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，曲线C2：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为"C1﹣C2型点"
（1）在正确证明C1的左焦点是"C1﹣C2型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C1﹣C2型点"；
（3）求证：圆x2+y2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点都不是"C1﹣C2型点"
{width="2.2708333333333335in" height="1.46875in"}
2013年四川省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={x\|x+2=0}，集合B={x\|x2﹣4=0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅
2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
{width="1.7083333333333333in" height="1.1354166666666667in"}
A．A B．B C．C D．D
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
{width="2.21875in" height="2.21875in"}
A．{width="0.9791666666666666in" height="0.75in"} B．{width="0.8125in" height="0.7395833333333334in"} C．{width="1.0in" height="0.7708333333333334in"} D．{width="0.9166666666666666in" height="0.75in"}
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B
5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜φ＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
{width="1.2916666666666667in" height="1.40625in"}
A．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的渐近线的距离是（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．1 D．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
7．（5分）函数y={width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}的图象大致是（ ）
A．{width="1.3229166666666667in" height="1.2708333333333333in"} B．{width="1.3645833333333333in" height="1.1979166666666667in"} C．{width="1.34375in" height="1.25in"} D．{width="1.40625in" height="1.25in"}
8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）设函数f（x）={width="0.65625in" height="0.25in"}（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[e﹣1﹣1，1\] C．\[1，e+1\] D．\[e﹣1﹣1，e+1\]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 （用数字作答）．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则λ= ．
13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），则tan2α的值是 ．
14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是 ．
15．（5分）设P1，P2，...Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，...Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，...Pn的一个"中位点"，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
17．（12分）在△ABC中，2cos2{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 14 6 10
... ... ... ...
2100 1027 376 697
----------- -------------------- -------------------- --------------------
乙的频数统计图（部分）
----------- -------------------- -------------------- --------------------
运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数
30 12 11 7
... ... ... ...
2100 1051 696 353
----------- -------------------- -------------------- --------------------
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
{width="3.2819444444444446in" height="3.6569444444444446in"}
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
{width="1.7083333333333333in" height="1.3854166666666667in"}
20．（13分）已知椭圆C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点{width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且{width="1.6354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，求点Q的轨迹方程．
21．（14分）已知函数{width="1.6770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
2013年四川省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}
2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
{width="1.5104166666666667in" height="1.7708333333333333in"}
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（ ）
{width="1.7083333333333333in" height="1.1354166666666667in"}
A．A B．B C．C D．D
4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线{width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的距离是（ ）
A．{width="0.3125in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1
6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜φ＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
{width="1.2916666666666667in" height="1.40625in"}
A．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成\[0，5），\[5，10），...，\[30，35），\[35，40\]时，所作的频率分布直方图是（ ）
{width="2.28125in" height="1.2291666666666667in"}
A．{width="1.9375in" height="1.3125in"} B．{width="1.9375in" height="1.3125in"} C．{width="1.9375in" height="1.3125in"} D．{width="1.9375in" height="1.3125in"}
8．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.8854166666666666in"}且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（ ）
A．48 B．30 C．24 D．16
9．（5分）从椭圆{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
10．（5分）设函数f（x）={width="0.65625in" height="0.25in"}（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[1，e\] B．\[1，1+e\] C．\[e，1+e\] D．\[0，1\]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）lg{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+lg{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的值是 ．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则λ= ．
13．（5分）已知函数f（x）=4x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= ．
14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），则tan2α的值是 ．
15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影．
18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 14 | 6 | 10 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1027 | 376 | 697 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
乙的频数统计表（部分）
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
| | | | |
| 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 30 | 12 | 11 | 7 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| ... | ... | ... | ... |
+-------+-----------+-----------+-----------+
| 2100 | 1051 | 696 | 353 |
+-------+-----------+-----------+-----------+
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
{width="2.3020833333333335in" height="3.354861111111111in"}
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：{width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，其中S为底面面积，h为高）
{width="1.7604166666666667in" height="1.25in"}
20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且{width="1.6979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}．请将n表示为m的函数．
21．（14分）已知函数{width="1.6770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
2013年天津市高考数学试卷（理科）
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一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）{width="1.7916666666666667in" height="4.031944444444444in"}
A．64 B．73 C．512 D．585
4．（5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则其体积缩小到原来的{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆{width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相切．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则p=（ ）
A．1 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．3
6．（5分）在△ABC中，∠ABC={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3，则sin∠BAC=（ ）
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
7．（5分）函数f（x）=2x\|log0.5x\|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a\|x\|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若{width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，则实数a的取值范围是（ ）
A．{width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"}
C．{width="1.9166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="1.0520833333333333in" height="0.3854166666666667in"}
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi= ．
10．（5分）{width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的常数项为 ．
11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为{width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则\|CP\|= ．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则AB的长为 ．
13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为 ．
{width="1.9895833333333333in" height="1.46875in"}
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a= 时，{width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数f（x）=﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间{width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值和最小值．
16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求线段AM的长．
{width="1.6666666666666667in" height="1.6458333333333333in"}
18．（13分）设椭圆{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若{width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，求k的值．
19．（14分）已知首项为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N\*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn=Sn﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（n∈N\*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有{width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}．
2013年天津市高考数学试卷（文科）
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一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
{width="1.78125in" height="2.979861111111111in"}
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（5分）设a，b∈R，则"（a﹣b）a2＜0"是"a＜b"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．2 D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）在区间\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．0
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间\[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（{width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）
A．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} B．\[1，2\] C．{width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．（0，2\]
8．（5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）= ．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，则正方体的棱长为 ．
11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线{width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 ．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则AB的长为 ．
13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为 ．
{width="1.7604166666666667in" height="1.4375in"}
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则{width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1）
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标（x，y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1） （2，1，2）
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4"，求事件B发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）求b的值；
（2）求sin（2B﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值．
17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点
（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；
（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．
{width="2.0520833333333335in" height="1.5416666666666667in"}
18．（13分）设椭圆{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若{width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，求k的值．
19．（14分）已知首项为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N\*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 证明{width="1.53125in" height="0.4270833333333333in"}．
20．（14分）设a∈\[﹣2，0\]，已知函数{width="2.1875in" height="0.6666666666666666in"}
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明{width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
2013年浙江省高考数学试卷（理科）
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一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
2．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（ ）
A．（﹣2，1\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
3．（5分）已知x，y为正实数，则（ ）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则"f（x）是奇函数"是"φ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则（ ）
{width="1.53125in" height="3.2194444444444446in"}
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
6．（5分）已知{width="2.0104166666666665in" height="0.3854166666666667in"}，则tan2α=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足{width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，且对于边AB上任一点P，恒有{width="1.5416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC
8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（ ）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
{width="2.0208333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ\[fα（P）\]，Q2=fα\[fβ（P）\]，恒有PQ1=PQ2，则（ ）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）设二项式{width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}的展开式中常数项为A，则A= ．
12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 cm3．
{width="1.3020833333333333in" height="1.7604166666666667in"}
13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足{width="0.875in" height="0.65625in"}，若z的最大值为12，则实数k= ．
14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）
15．（4分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若\|FQ\|=2，则直线l的斜率等于 ．
16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若{width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则sin∠BAC= ．
17．（4分）设{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量，非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，x、y∈R．若{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为30°，则{width="0.34375in" height="0.40625in"}的最大值等于 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|．
19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若{width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求a：b：c．
20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
{width="2.0in" height="1.9479166666666667in"}
21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
{width="2.125in" height="2.1145833333333335in"}
22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈\[0，2\]时，求\|f（x）\|的最大值．
2013年浙江省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（ ）
A．\[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．\[﹣4，1\] D．（﹣2，1\]
2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
3．（5分）若α∈R，则"α=0"是"sinα＜cosα"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
{width="1.8333333333333333in" height="2.1458333333333335in"}
A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0
8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
{width="1.2395833333333333in" height="1.1354166666666667in"}
A．{width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"} B．{width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"} C．{width="1.1770833333333333in" height="1.1354166666666667in"} D．{width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"}
9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
{width="2.0208333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
10．（5分）设a，b∈R，定义运算"∧"和"∨"如下：
a∧b={width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} a∨b={width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）已知函数f（x）={width="0.375in" height="0.1875in"}，若f（a）=3，则实数a= ．
12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于 ．
13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于 ．
14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ．
{width="1.21875in" height="3.425in"}
15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足 {width="0.875in" height="0.6458333333333334in"} 若z的最大值为12，则实数k= ．
16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于 ．
17．（4分）设{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量，非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，x、y∈R．若{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为30°，则{width="0.34375in" height="0.40625in"}的最大值等于 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PA={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值．
{width="1.8958333333333333in" height="2.0833333333333335in"}
21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若\|a\|＞1，求f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值．
22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求\|MN\|的最小值．
{width="2.823611111111111in" height="2.2916666666666665in"}
2013年重庆市高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为（ ）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）{width="0.9583333333333334in" height="0.1875in"}（﹣6≤a≤3）的最大值为（ ）
A．9 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．3 D．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
{width="1.3854166666666667in" height="0.8541666666666666in"}
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.3645833333333335in" height="1.875in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（ ）
A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则\|PM\|+\|PN\|的最小值为（ ）
A．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣1 B．5{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣4 C．6﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）
{width="1.6145833333333333in" height="2.795138888888889in"}
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1
10．（5分）在平面上，{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}⊥{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，\|{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=\|{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=1，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}．若\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] B．（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] C．（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] D．（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z={width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（i是虚数单位），则\|z\|= ．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8= ．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为 ．
{width="0.9375in" height="0.9166666666666666in"}
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线{width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}（t为参数）相交于A，B两点，则\|AB\|= ．
16．若关于实数x的不等式\|x﹣5\|+\|x+3\|＜a无解，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的"三色球"购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
-------- ------------------ ----------
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
-------- ------------------ ----------
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
{width="1.4895833333333333in" height="1.7319444444444445in"}
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ab=c2．
（1）求C；
（2）设cosAcosB={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，{width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求tanα的值．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P\'Q，求圆Q的标准方程．
{width="1.4479166666666667in" height="1.1770833333333333in"}
22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3...，n}，Pn={{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为"稀疏集"．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
2013年重庆市高考数学试卷（文科）
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一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为（ ）
A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有{width="0.46875in" height="0.28125in"} D．不存在x∈R，使得x2＜0
3．（5分）函数y={width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}的定义域为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
4．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则\|PQ\|的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
{width="1.7708333333333333in" height="3.761111111111111in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间\[22，30）内的概率为（ ）
{width="1.625in" height="1.1666666666666667in"}
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
{width="2.854861111111111in" height="2.0833333333333335in"}
A．180 B．200 C．220 D．240
9．（5分）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
10．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使\|A1B1\|=\|A2B2\|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．{width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}
二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|= ．
12．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．
13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．
14．（5分）OA为边，OB为对角线的矩形中，{width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，则实数k= ．
15．（5分）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
17．（13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得{width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，{width="1.21875in" height="0.9791666666666666in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，其中{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}为样本平均值，线性回归方程也可写为{width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}．
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．
{width="1.84375in" height="2.15625in"}
20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP\'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
{width="1.9375in" height="1.6145833333333333in"}
2013年上海市春季高考数学试卷
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一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．
1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是 ．
2．（3分）方程2x=8的解是 ．
3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是 ．
4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是 ．
5．（3分）已知向量{width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，{width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}．若{width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k= ．
6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是 ．
7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是 ．
8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b= ．
9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为 ．
{width="1.1875in" height="1.1979166666666667in"}
10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）．
11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn= ．
12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 ．
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．
13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}
14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的反函数，下列结论正确的是（ ）
A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=4
15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）
16．（3分）函数f（x）={width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}的大致图象是（ ）
A．{width="1.2916666666666667in" height="0.9270833333333334in"} B．{width="1.2916666666666667in" height="0.9270833333333334in"} C．{width="1.5in" height="0.9270833333333334in"} D．{width="1.4791666666666667in" height="0.9270833333333334in"}
17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．{width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．{width="0.6458333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
18．（3分）若复数z1，z2满足z1={width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（ ）
A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4
20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（ ）
A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅） D．∁U{0}
23．（3分）已知a，b，c∈R，"b2﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若{width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求该三棱柱的体积．
{width="1.1770833333333333in" height="1.3645833333333333in"}
26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
{width="1.375in" height="1.0729166666666667in"}
27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S{width="0.7604166666666666in" height="0.28125in"}，数列{bn}满足b{width="0.5625in" height="0.3229166666666667in"}，求{width="1.6979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且{width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}，求直线l的方程．
29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足{width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N\*．
（1）若{width="1.0208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），求θn的最大值及相应n的值．
{width="2.0104166666666665in" height="1.0104166666666667in"}
31．（18分）已知真命题："函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形"的充要条件为"函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数"．
（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）={width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} 图象对称中心的坐标；
（3）已知命题："函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象"的充要条件为"存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数"．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
2013年江苏省高考数学试卷
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．
1．（5分）函数y=3sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期为 ．
2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为 ．
3．（5分）双曲线{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的两条渐近线方程为 ．
4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有 个子集．
5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 ．
{width="1.8854166666666667in" height="2.3229166666666665in"}
6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：
-------- -------- -------- -------- -------- --------
运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
-------- -------- -------- -------- -------- --------
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．
7．（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为 ．
8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= ．
{width="1.59375in" height="1.6666666666666667in"}
9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是 ．
10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB，BE={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC，若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ1{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为 ．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2={width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}，则椭圆C的离心率为 ．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则满足条件的实数a的所有值为 ．
14．（5分）在正项等比数列{an}中，{width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，a6+a7=3，则满足a1+a2+...+an＞a1a2...an的最大正整数n的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα，sinα），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求证：{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}；
（2）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1），若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，求α，β的值．
16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
{width="2.3020833333333335in" height="1.6666666666666667in"}
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使\|MA\|=2\|MO\|，求圆心C的横坐标的取值范围．
18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cosC={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
{width="2.667361111111111in" height="0.8229166666666666in"}
19．（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn={width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，n∈N\*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N\*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．
20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．
\[选做题\]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．\[选修4-1：几何证明选讲\]（本小题满分10分）
21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．
求证：AC=2AD．
{width="1.3125in" height="1.3541666666666667in"}
B．\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分）
22．（10分）已知矩阵A={width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，B={width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，求矩阵A﹣1B．
C．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分0分）
23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（ 为参数），曲线C的参数方程为{width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
D．\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分0分）
24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．
第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
{width="1.3958333333333333in" height="1.84375in"}
26．（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，...，{width="1.8854166666666667in" height="0.4375in"}，...，即当{width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜n≤{width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}（k∈N\*）时，{width="0.9791666666666666in" height="0.28125in"}．记Sn=a1+a2+...+an（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n\|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x﹣3≥0}，B={x\|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A．\[1，2） B．\[﹣1，1\] C．\[﹣1，2） D．\[﹣2，﹣1\]
2．（5分）{width="0.5625in" height="0.4798611111111111in"}=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．3 C．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在\[0，π\]的图象大致为（ ）
{width="1.3854166666666667in" height="1.1666666666666667in"}
A．{width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"} B．{width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"}
C．{width="1.5520833333333333in" height="0.9583333333333334in"} D．{width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"}
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
{width="1.9583333333333333in" height="3.6465277777777776in"}
A．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}
8．（5分）设α∈（0，{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}），β∈（0，{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}），且tanα={width="0.6368055555555555in" height="0.36666666666666664in"}，则（ ）
A．3α﹣β={width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．3α+β={width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} C．2α﹣β={width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．2α+β={width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}
9．（5分）不等式组{width="0.7083333333333334in" height="0.41875in"}的解集记为D，有下列四个命题：
p~1~：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p~2~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~1~，p~2~ D．p~1~，p~3~
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=4{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}，则\|QF\|=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．3 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
{width="2.125in" height="2.1041666666666665in"}
A．6{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．6 C．4{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} D．4
**二、填空题（共4小题，每小题5分）**
13．（5分）（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为[ ]{.underline}．（用数字填写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}（{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}），则{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}与{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}的夹角为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，a~n~≠0，a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a~n+2~﹣a~n~=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a~n~}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
{width="4.136111111111111in" height="2.2395833333333335in"}
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数{width="0.10625in" height="0.1875in"}和样本方差s^2^（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ^2^），其中μ近似为样本平均数{width="0.10625in" height="0.1875in"}，σ^2^近似为样本方差s^2^．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：{width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}≈12.2．
若Z～N（μ，σ^2^）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，AB⊥B~1~C．
（Ⅰ）证明：AC=AB~1~；
（Ⅱ）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，AB=BC，求二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值．
{width="2.6152777777777776in" height="1.5729166666666667in"}
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：{width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}+{width="0.22708333333333333in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为{width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（12分）设函数f（x）=ae^x^lnx+{width="0.4479166666666667in" height="0.42569444444444443in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
**选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
{width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"}
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．已知曲线C：{width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22708333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1，直线l：{width="0.6270833333333333in" height="0.40625in"}（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
**选修4-5：不等式选讲**
24．若a＞0，b＞0，且{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）已知集合M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
2．（5分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
3．（5分）设z={width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}+i，则\|z\|=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．2
4．（5分）已知双曲线{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}﹣{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．1
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}+{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（ ）
A．{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"} C．{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}{width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}
7．（5分）在函数①y=cos\|2x\|，②y=\|cosx\|，③y=cos（2x+{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}），④y=tan（2x﹣{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
{width="2.9902777777777776in" height="2.125in"}
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
{width="1.9583333333333333in" height="3.6465277777777776in"}
A．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} D．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=x的焦点为F，A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x~0~\|，则x~0~=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.41805555555555557in"}且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分**
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为[ ]{.underline}．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ ]{.underline}．
15．（5分）设函数f（x）={width="1.1243055555555554in" height="0.6868055555555556in"}，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=[ ]{.underline}m．
{width="1.5416666666666667in" height="1.375in"}
**三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知{a~n~}是递增的等差数列，a~2~，a~4~是方程x^2^﹣5x+6=0的根．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求数列{{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}}的前n项和．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
质量指标值分组 \[75，85） \[85，95） \[95，105） \[105，115） \[115，125）
频数 6 26 38 22 8
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
{width="2.823611111111111in" height="2.9694444444444446in"}
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定？
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，B~1~C的中点为O，且AO⊥平面BB~1~C~1~C．
（1）证明：B~1~C⊥AB；
（2）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
{width="1.9583333333333333in" height="0.9895833333333334in"}
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当\|OP\|=\|OM\|时，求l的方程及△POM的面积．
21．（12分）设函数f（x）=alnx+{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}x^2^﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，求a的取值范围．
**请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
{width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"}
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．已知曲线C：{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1，直线l：{width="0.6263888888888889in" height="0.40625in"}（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
**【选修4-5：不等式选讲】**
24．若a＞0，b＞0，且{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
---------------------------------------------
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）设复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称，z~1~=2+i，则z~1~z~2~=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
3．（5分）设向量{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}，{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}满足\|{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}\|={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}﹣{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}\|={width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，则{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}•{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}，AB=1，BC={width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，则AC=（ ）
A．5 B．{width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} C．2 D．1
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
{width="3.0006944444444446in" height="2.7715277777777776in"}
A．{width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} C．{width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
{width="2.667361111111111in" height="3.823611111111111in"}
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.38263888888888886in"} B．{width="0.34375in" height="0.38263888888888886in"} C．{width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，BC=CA=CC~1~，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} C．{width="0.3229166666666667in" height="0.38263888888888886in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38263888888888886in"}
12．（5分）设函数f（x）={width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}sin{width="0.3020833333333333in" height="0.36736111111111114in"}，若存在f（x）的极值点x~0~满足x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题\~第24题为选考题，考生根据要求作答）**
13．（5分）（x+a）^10^的展开式中，x^7^的系数为15，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n+1~=3a~n~+1．
（Ⅰ）证明{a~n~+{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}}是等比数列，并求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）证明：{width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}+...+{width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD={width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，求三棱锥E﹣ACD的体积．
{width="2.2708333333333335in" height="1.5520833333333333in"}
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}={width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}={width="0.10694444444444444in" height="0.19791666666666666in"}﹣{width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}{width="0.10694444444444444in" height="0.1875in"}．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：{width="0.2263888888888889in" height="0.47847222222222224in"}+{width="0.2263888888888889in" height="0.48680555555555555in"}=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣e^﹣x^﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜{width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB^2^．
{width="1.53125in" height="1.4375in"}
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，{width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}\]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y={width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
**六、解答题（共1小题，满分0分）**
24．设函数f（x）=\|x+{width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}\|+\|x﹣a\|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x\|x^2^﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ）
A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2}
2．（5分）{width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}=（ ）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
3．（5分）函数f（x）在x=x~0~处导数存在，若p：f′（x~0~）=0：q：x=x~0~是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．（5分）设向量{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}满足\|{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}﹣{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|={width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（5分）等差数列{a~n~}的公差为2，若a~2~，a~4~，a~8~成等比数列，则{a~n~}的前n项和S~n~=（ ）
A．n（n+1） B．n（n﹣1） C．{width="0.5520833333333334in" height="0.3659722222222222in"} D．{width="0.5520833333333334in" height="0.3659722222222222in"}
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
{width="3.0006944444444446in" height="2.7715277777777776in"}
A．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}
7．（5分）正三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面边长为2，侧棱长为{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，D为BC中点，则三棱锥A﹣B~1~DC~1~的体积为（ ）
A．3 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．1 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
{width="2.667361111111111in" height="3.823611111111111in"}
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则\|AB\|=（ ）
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.3840277777777778in"} B．6 C．12 D．7{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}
11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2\] B．（﹣∞，﹣1\] C．\[2，+∞） D．\[1，+∞）
12．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，1\] B．\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\] C．\[﹣{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}\] D．\[﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}\]
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为[ ]{.underline}．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=[ ]{.underline}．
16．（5分）数列{a~n~}满足a~n+1~={width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}，a~8~=2，则a~1~=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AP=1，AD={width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，三棱锥P﹣ABD的体积V={width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，求A到平面PBC的距离．
{width="2.604861111111111in" height="1.8229166666666667in"}
19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：
{width="4.521527777777778in" height="1.7916666666666667in"}
（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^﹣3x^2^+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．
**三、选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB^2^．
{width="1.53125in" height="1.4375in"}
**四、选修4-4，坐标系与参数方程**
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}\]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y={width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
**五、选修4-5：不等式选讲**
24．设函数f（x）=\|x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\|+\|x﹣a\|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设z={width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}，N={x\|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4\] B．\[0，4） C．\[﹣1，0） D．（﹣1，0\]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}、{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}满足：\|{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|=1，（{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）⊥{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，（2{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）⊥{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，则\|{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|=（ ）
A．2 B．{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} C．1 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则C的方程为（ ）
A．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1 B．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+y^2^=1 C．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1
7．（5分）曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．{width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"} B．16π C．9π D．{width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F~1~、F~2~，点A在C上，若\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|，则cos∠AF~2~F~1~=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}
10．（5分）等比数列{a~n~}中，a~4~=2，a~5~=5，则数列{lga~n~}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）{width="0.8868055555555555in" height="0.4701388888888889in"}的展开式中x^2^y^2^的系数为[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）是减函数，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，求B．
18．（12分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=13，a~2~为整数，且S~n~≤S~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~={width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
{width="1.4270833333333333in" height="1.78125in"}
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a~1~=1，a~n+1~=ln（a~n~+1），证明：{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}＜a~n~≤{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}（n∈N^\*^）．
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
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**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
3．（5分）不等式组{width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0} C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}
5．（5分）函数y=ln（{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1） C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
6．（5分）已知{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}为单位向量，其夹角为60°，则（2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则C的方程为（ ）
A．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1 C．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} B．16π C．9π D．{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}
11．（5分）双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．4 D．4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
{width="1.5416666666666667in" height="1.78125in"}
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}
3．（5分）不等式组{width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0}
C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}
5．（5分）函数y=ln（{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1）
C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R）
6．（5分）已知{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}为单位向量，其夹角为60°，则（2{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}﹣{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）•{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C：{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则C的方程为（ ）
A．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1 B．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+y^2^=1 C．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．{width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+{width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．{width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"} B．16π C．9π D．{width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}
11．（5分）双曲线C：{width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}﹣{width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} C．4 D．4{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2．
（Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列；
（Ⅱ）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
{width="1.4270833333333333in" height="1.78125in"}
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值．
21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
2014年北京市高考数学试卷（理科）
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**一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y={width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"} B．y=（x﹣1）^2^ C．y=2^﹣x^ D．y=log~0.5~（x+1）
3．（5分）曲线{width="0.9576388888888889in" height="0.40625in"}（θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）
{width="2.4791666666666665in" height="3.011111111111111in"}
A．7 B．42 C．210 D．840
5．（5分）设{a~n~}是公比为q的等比数列，则"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若x，y满足{width="0.875in" height="0.65625in"}，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），若S~1~，S~2~，S~3~分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S~1~=S~2~=S~3~ B．S~2~=S~1~且S~2~≠S~3~ C．S~3~=S~1~且S~3~≠S~2~ D．S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为"优秀""合格""不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称"学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）复数（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=[ ]{.underline}．
10．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，1），且{width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}（λ∈R），则\|λ\|=[ ]{.underline}．
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}﹣x^2^=1具有相同渐近线，则C的方程为[ ]{.underline}；渐近线方程为[ ]{.underline}．
12．（5分）若等差数列{a~n~}满足a~7~+a~8~+a~9~＞0，a~7~+a~10~＜0，则当n=[ ]{.underline}时，{a~n~}的前n项和最大．
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有[ ]{.underline}种．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间\[{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上具有单调性，且f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=f（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），则f（x）的最小正周期为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）**
15．（13分）如图，在△ABC中，∠B={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
{width="0.96875in" height="1.375in"}
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
------- ---------- ---------- ------- ---------- ----------
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}的大小（只需写出结论）．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
{width="2.8652777777777776in" height="2.375in"}
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈\[0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜b对x∈（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x^2^+y^2^=2的位置关系，并证明你的结论．
20．（13分）对于数对序列P：（a~1~，b~1~），（a~2~，b~2~），...，（a~n~，b~n~），记T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），其中max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}表示T~k﹣1~（P）和a~1~+a~2~+...+a~k~两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T~1~（P），T~2~（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T~5~（P）最小，并写出T~5~（P）的值（只需写出结论）．
2014年北京市高考数学试卷（文科）
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**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项**
1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e^﹣x^ B．y=x C．y=lnx D．y=\|x\|
3．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，4），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，1），则2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="2.604861111111111in" height="2.15625in"}
A．1 B．3 C．7 D．15
5．（5分）设a，b是实数，则"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣log~2~x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
7．（5分）已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为"可食用率"，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at^2^+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
{width="2.0in" height="1.5729166666666667in"}
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=[ ]{.underline}．
10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），（{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为[ ]{.underline}．
11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为[ ]{.underline}．
{width="2.3229166666666665in" height="2.3229166666666665in"}
12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则c=[ ]{.underline}；sinA=[ ]{.underline}．
13．（5分）若x，y满足{width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，则z={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x+y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
+-------+--------+--------+
| 工序 | 粗加工 | 精加工 |
| | | |
| 时间 | | |
| | | |
| 原料 | | |
+-------+--------+--------+
| 原料A | 9 | 15 |
+-------+--------+--------+
| 原料B | 6 | 21 |
+-------+--------+--------+
则最短交货期为[ ]{.underline} 个工作日．
**三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12，数列{b~n~}满足b~1~=4，b~4~=20，且{b~n~﹣a~n~}为等比数列．
（1）求数列{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（2）求数列{b~n~}的前n项和．
16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x~0~，y~0~的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最大值和最小值．
{width="2.125in" height="1.9375in"}
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA~1~=AC=2，BC=1，E、F分别为A~1~C~1~、BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~；
（2）求证：C~1~F∥平面ABE；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
{width="1.5208333333333333in" height="1.7916666666666667in"}
18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
------ ------------ ------
排号 分组 频数
1 \[0，2） 6
2 \[2，4） 8
3 \[4，6） 17
4 \[6，8） 22
5 \[8，10） 25
6 \[10，12） 12
7 \[12，14） 6
8 \[14，16） 2
9 \[16，18） 2
合计 100
------ ------------ ------
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
{width="2.886111111111111in" height="2.1145833333333335in"}
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
20．（13分）已知函数f（x）=2x^3^﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
2014年天津市高考数学试卷（理科）
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**一、选择题（共8小题，每小题5分）**
1．（5分）i是虚数单位，复数{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}i D．﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}i
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="3.3965277777777776in"}
A．15 B．105 C．245 D．945
4．（5分）函数f（x）=log{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}（x^2^﹣4）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
5．（5分）已知双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1
C．{width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3326388888888889in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．{width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3326388888888889in" height="0.43680555555555556in"}=1
6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB^2^=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
{width="1.53125in" height="2.03125in"}
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
7．（5分）设a，b∈R，则"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=μ{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，若{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=1，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则λ+μ=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
**二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）**
9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[ ]{.underline}名学生．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}m^3^．
{width="2.3125in" height="3.0840277777777776in"}
11．（5分）设{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a，2sinB=3sinC，则cosA的值为[ ]{.underline}．
13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）=\|x^2^+3x\|，x∈R，若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos^2^x+{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最大值和最小值．
16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
{width="2.1354166666666665in" height="1.71875in"}
18．（13分）设椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|F~1~F~2~\|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t．
20．（14分）设f（x）=x﹣ae^x^（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明x~1~+x~2~随着a的减小而增大．
2014年天津市高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）i是虚数单位，复数{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}i D．﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}i
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e^x^＞1，则￢p为（ ）
A．∃x~0~≤0，使得（x~0~+1）e{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}≤1 B．∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}≤1
C．∀x＞0，总有（x+1）e^x^≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e^x^≤1
4．（5分）设a=log~2~π，b=log{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}π，c=π^﹣2^，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
5．（5分）设{a~n~}的首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~=（ ）
A．2 B．﹣2 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）已知双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1
C．{width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3326388888888889in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．{width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3326388888888889in" height="0.43680555555555556in"}=1
7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB^2^=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（ ）
{width="1.53125in" height="2.03125in"}
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
8．（5分）已知函数f（x）={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} C．π D．2π
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[ ]{.underline}名学生．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}m^3^．
{width="2.3125in" height="3.0840277777777776in"}
11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为[ ]{.underline}．
{width="1.4166666666666667in" height="3.386111111111111in"}
12．（5分）函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是[ ]{.underline}．
13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=1，则λ的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）={width="1.426388888888889in" height="0.4888888888888889in"}，若函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点，则实数a的取值范围为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：
-------- -------- -------- --------
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
-------- -------- -------- --------
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；
（Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件M发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}b，sinB={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值．
17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AD=2，PA=PD={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，
（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；
（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
{width="2.03125in" height="1.7291666666666667in"}
18．（13分）设椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|F~1~F~2~\|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过点F~2~的直线l与该圆相切于点M，\|MF~2~\|=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求椭圆的方程．
19．（14分）已知函数f（x）=x^2^﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}ax^3^（a＞0），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，求a的取值范围．
20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t．
2014年安徽省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i是虚数单位，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+i•{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
2．（5分）"x＜0"是"ln（x+1）＜0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
{width="1.59375in" height="1.9895833333333333in"}
A．34 B．55 C．78 D．89
4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是{width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
5．（5分）x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或﹣1 B．2或{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．2或﹣1 D．2或1
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．0 D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
{width="2.5631944444444446in" height="2.8965277777777776in"}
A．21+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．18+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．21 D．18
8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，点Q满足{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），曲线C={P\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}cosθ+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P\|0＜r≤\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．**
11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是[ ]{.underline}．
12．（5分）数列{a~n~}是等差数列，若a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列，则q=[ ]{.underline}．
13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^n^的展开式为a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~n~x^n^．若点A~i~（i，a~i~）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=[ ]{.underline}．
{width="1.4791666666666667in" height="1.5in"}
14．（5分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A、B两点，若\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，AF~2~⊥x轴，则椭圆E的方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知两个不相等的非零向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，两组向量{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}和{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}均由2个{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}和3个{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}排列而成，记S={width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，S~min~表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则S~min~与\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|无关；
③若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则S~min~与\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|无关；
④若\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|＞4\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，则S~min~＞0；
⑤若\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=2\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，S~min~=8\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．**
16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值．
17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，乙获胜的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
19．（13分）如图，已知两条抛物线E~1~：y^2^=2p~1~x（p~1~＞0）和E~2~：y^2^=2p~2~x（p~2~＞0），过原点O的两条直线l~1~和l~2~，l~1~与E~1~，E~2~分别交于A~1~、A~2~两点，l~2~与E~1~、E~2~分别交于B~1~、B~2~两点．
（Ⅰ）证明：A~1~B~1~∥A~2~B~2~；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l~1~，l~2~）与E~1~、E~2~分别交于C~1~、C~2~两点．记△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的面积分别为S~1~与S~2~，求{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的值．
{width="2.5215277777777776in" height="2.46875in"}
20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，A~1~A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A~1~、C、D三点的平面记为α，BB~1~与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB~1~的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA~1~=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
{width="1.3958333333333333in" height="1.7708333333333333in"}
21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）^p^＞1+px；
（Ⅱ）数列{a~n~}满足a~1~＞{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，a~n+1~={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}a~n~+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a~n~^1﹣p^．证明：a~n~＞a~n+1~＞{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}．
2014年安徽省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设i是虚数单位，复数i^3^+{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
2．（5分）命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈R，\|x\|+x^2^＜0 B．∀x∈R，\|x\|+x^2^≤0
C．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0 D．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^≥0
3．（5分）抛物线y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^2^的准线方程是（ ）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2
4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
{width="1.59375in" height="1.9895833333333333in"}
A．34 B．55 C．78 D．89
5．（5分）设a=log~3~7，b=2^3.3^，c=0.8^1.1^，则（ ）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
6．（5分）过点P（﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣1）的直线l与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\] B．（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]
7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
{width="2.5319444444444446in" height="2.792361111111111in"}
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．6 D．7
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（5分）设{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}为非零向量，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=2\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，两组向量{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}和{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}，均由2个{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}和2个{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}排列而成，若{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}所有可能取值中的最小值为4\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．0
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）{width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}+log~3~{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+log~3~{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，过点A作BC的垂线，垂足为A~1~，过点A~1~作AC的垂线，垂足为A~2~，过点A~2~作A~1~C的垂线，垂足为A~3~...，依此类推，设BA=a~1~，AA~1~=a~2~，A~1~A~2~=a~3~，...，A~5~A~6~=a~7~，则a~7~=[ ]{.underline}．
{width="2.2291666666666665in" height="1.3229166666666667in"}
13．（5分）不等式组{width="0.875in" height="0.65625in"}表示的平面区域的面积为[ ]{.underline}．
14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）={width="1.3743055555555554in" height="0.4479166666666667in"}，则f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线l在点P（x~0~，y~0~）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处"切过"曲线C．
下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①直线l：y=0在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=x^3^
②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处"切过"曲线C：y=（x+1）^2^
③直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=sinx
④直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=tanx
⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处"切过"曲线C：y=lnx．
**三、解答题（本大题共6小题，共75分）**
16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求cosA与a的值．
17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：\[0，2\]，（2，4\]，（4，6\]，（6，8\]，（8，10\]，（10，12\]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"．
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P（K^2^≥k~0~） 0.10 0.05 0.010 0.005
k~0~ 2.706 3.841 6.635 7.879
---------------- ------- ------- ------- -------
附：K^2^={width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}．
{width="2.4902777777777776in" height="1.9166666666666667in"}
18．（12分）数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1），n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：数列{{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}是等差数列；
（Ⅱ）设b~n~=3^n^•{width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．
{width="2.09375in" height="1.7395833333333333in"}
20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
21．（13分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A，B两点，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|．
（Ⅰ）若\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，求\|AF~2~\|；
（Ⅱ）若cos∠AF~2~B={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求椭圆E的离心率．
2014年福建省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．**
1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
3．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若a~1~=2，S~3~=12，则a~6~等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
{width="1.7083333333333333in" height="1.3958333333333333in"}
A．{width="1.1875in" height="1.4479166666666667in"} B．{width="1.2083333333333333in" height="1.4479166666666667in"} C．{width="1.21875in" height="1.0833333333333333in"} D．{width="1.7083333333333333in" height="1.2395833333333333in"}
5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（ ）
{width="1.6666666666666667in" height="3.9590277777777776in"}
A．18 B．20 C．21 D．40
6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点，则"k=1"是"△OAB的面积为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）={width="1.042361111111111in" height="0.4888888888888889in"}，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数
C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为\[﹣1，+∞）
8．（5分）在下列向量组中，可以把向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（3，2）表示出来的是（ ）
A．{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（0，0），{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（1，2） B．{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣1，2），{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（5，﹣2）
C．{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（3，5），{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（6，10） D．{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（2，﹣3），{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣2，3）
9．（5分）设P，Q分别为圆x^2^+（y﹣6）^2^=2和椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A．5{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．7+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．6{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^ B．（1+a^5^）（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c）^5^
C．（1+a）^5^（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c^5^） D．（1+a^5^）（1+b）^5^（1+c+c^2^+c^3^+c^4^+c^5^）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置**
11．（4分）若变量 x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则z=3x+y的最小值为[ ]{.underline}．
12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则△ABC的面积等于[ ]{.underline}．
13．（4分）要制作一个容器为4m^3^，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是[ ]{.underline}（单位：元）
14．（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为[ ]{.underline}．
{width="1.53125in" height="1.3645833333333333in"}
15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**
16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（1）若0＜α＜{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，且sinα={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
17．（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
{width="1.1875in" height="1.4583333333333333in"}
18．（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
19．（13分）已知双曲线E：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l~1~，l~2~于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
{width="1.5729166666666667in" height="2.0729166666666665in"}
**在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换**
20．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^．
21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A^﹣1^=（{width="0.2916666666666667in" height="0.3958333333333333in"}）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A^﹣1^的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
**五、选修4-4：极坐标与参数方程**
22．（7分）已知直线l的参数方程为{width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}（t为参数），圆C的参数方程为{width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
**六、选修4-5：不等式选讲**
23．已知定义域在R上的函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p^2^+q^2^+r^2^≥3．
2014年福建省高考数学试卷（文科）
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**一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分**
1．（5分）若集合P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x\|3≤x＜4} B．{x\|3＜x＜4} C．{x\|2≤x＜3} D．{x\|2≤x≤3}
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
{width="1.4583333333333333in" height="2.2291666666666665in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x≥0
C．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0 D．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~≥0
6．（5分）已知直线l过圆x^2^+（y﹣3）^2^=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，0）对称
8．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
{width="1.59375in" height="0.9895833333333334in"}
A．{width="1.2083333333333333in" height="1.0in"} B．{width="1.1145833333333333in" height="0.9270833333333334in"} C．{width="1.3958333333333333in" height="0.84375in"} D．{width="1.1458333333333333in" height="0.9375in"}
9．（5分）要制作一个容积为4m^3^，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则{width="1.0618055555555554in" height="0.20902777777777778in"}等于（ ）
A．{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} B．2{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} C．3{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} D．4{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=1，设平面区域Ω={width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a^2^+b^2^的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）间的"L﹣距离"定义为\|P~1~P~2~\|=\|x~1~﹣x~2~\|+\|y~1~﹣y~2~\|．则平面内与x轴上两个不同的定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于定值（大于\|F~1~F~2~\|）的点的轨迹可以是（ ）
A．{width="1.375in" height="1.21875in"} B．{width="1.34375in" height="1.2395833333333333in"} C．{width="1.3541666666666667in" height="1.2291666666666667in"} D．{width="1.375in" height="1.2291666666666667in"}
**二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分**
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
{width="0.8020833333333334in" height="0.8020833333333334in"}
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则AB等于[ ]{.underline}．
15．（4分）函数f（x）={width="1.4590277777777778in" height="0.4888888888888889in"}的零点个数是[ ]{.underline}．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于[ ]{.underline}．
**三．解答题：本大题共6小题，共74分.**
17．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~=3，a~5~=81．
（Ⅰ）求a~n~；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
{width="1.2708333333333333in" height="1.6354166666666667in"}
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
-------- ---------------------- -------------------------
行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10000
-------- ---------------------- -------------------------
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
22．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^．
2014年广东省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.**
1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
3．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.43680555555555556in"}=1与曲线{width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
5．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，0，﹣1），则下列向量中与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}成60°夹角的是（ ）
A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1）
6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
{width="4.719444444444444in" height="1.875in"}
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
8．（5分）设集合A={（x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~）\|x~i~∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
**二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9\~13题）**
9．（5分）不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5的解集为[ ]{.underline}．
10．（5分）曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为[ ]{.underline}．
11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为[ ]{.underline}．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=[ ]{.underline}．
13．（5分）若等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^，则lna~1~+lna~2~+...+lna~20~=[ ]{.underline}．
**（二）、选做题（14\~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C~1~和C~2~的方程分别为ρsin^2^θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~和C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则{width="0.96875in" height="0.4173611111111111in"}=[ ]{.underline}．
{width="2.28125in" height="1.1354166666666667in"}
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），x∈R，且f（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，θ∈（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），求f（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣θ）．
17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
------------ ------ ------
分组 频数 频率
\[25，30\] 3 0.12
（30，35\] 5 0.20
（35，40\] 8 0.32
（40，45\] n~1~ f~1~
（45，50\] n~2~ f~2~
------------ ------ ------
（1）确定样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率．
18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
{width="2.0416666666666665in" height="1.5520833333333333in"}
19．（14分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，且S~3~=15．
（1）求a~1~，a~2~，a~3~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式．
20．（14分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为（{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．（14分）设函数f（x）={width="2.2180555555555554in" height="0.4479166666666667in"}，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．
2014年广东省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（ ）
A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}
2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（3，1），则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
4．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.6451388888888889in"}，则z=2x+y的最大值等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
5．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．2^x^﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"} B．x^3^sinx C．2cosx+1 D．x^2^+2^x^
6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．40 C．25 D．20
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则"a≤b"是"sinA≤sinB"的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.43680555555555556in"}=1与{width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的（ ）
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~∥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
10．（5分）对任意复数ω~1~，ω~2~，定义ω~1~\*ω~2~=ω~1~{width="0.28055555555555556in" height="0.25in"}~2~，其中{width="0.1875in" height="0.1875in"}~2~是ω~2~的共轭复数，对任意复数z~1~，z~2~，z~3~有如下命题：
①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~）
②z~1~\*（z~2~+z~3~）=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~）
③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~\*（z~2~\*z~3~）；
④z~1~\*z~2~=z~2~\*z~1~
则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）**
11．（5分）曲线y=﹣5e^x^+3在点（0，﹣2）处的切线方程为[ ]{.underline}．
12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为[ ]{.underline}．
13．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~1~a~5~=4，则log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=[ ]{.underline}．
**（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）在极坐标系中，曲线C~1~与C~2~的方程分别为2ρcos^2^θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则{width="0.96875in" height="0.4173611111111111in"}=[ ]{.underline}．
{width="1.7916666666666667in" height="0.9166666666666666in"}
**四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），x∈R，且f（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，θ∈（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），求f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣θ）．
17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：
------------ --------------
年龄（岁） 工人数（人）
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
合计 20
------------ --------------
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差．
18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．
（1）证明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．
{width="2.792361111111111in" height="1.875in"}
19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~满足S~n~^2^﹣（n^2^+n﹣3）S~n~﹣3（n^2^+n）=0，n∈N^\*^．
（1）求a~1~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有{width="0.7923611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.7923611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+...+{width="0.7923611111111111in" height="0.42569444444444443in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
20．（14分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为（{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．（14分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^3^+x^2^+ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，试讨论是否存在x~0~∈（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1），使得f（x~0~）=f（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）．
2014年湖北省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）i为虚数单位，（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
2．（5分）若二项式（2x+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^7^的展开式中{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}的系数是84，则实数a=（ ）
A．2 B．{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"} C．1 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}
3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=bx+a，则（ ）
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）{width="5.636111111111111in" height="1.7604166666666667in"}
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
6．（5分）若函数f（x），g（x）满足{width="0.34375in" height="0.28055555555555556in"}f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sin{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x，g（x）=cos{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x^2^，
其中为区间\[﹣1，1\]上的正交函数的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）由不等式组{width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}确定的平面区域记为Ω~1~，不等式组{width="0.7083333333333334in" height="0.4173611111111111in"}确定的平面区域记为Ω~2~，在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}
9．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F~1~PF~2~={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．3 D．2
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（\|x﹣a^2^\|+\|x﹣2a^2^\|﹣3a^2^），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）
A．\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] B．\[﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\] C．\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\]
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．**
11．（5分）设向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（3，3），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣1），若（{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+λ{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥（{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣λ{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则实数λ=[ ]{.underline}．
12．（5分）直线l~1~：y=x+a和l~2~：y=x+b将单位圆C：x^2^+y^2^=1分成长度相等的四段弧，则a^2^+b^2^=[ ]{.underline}．
13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=[ ]{.underline}．
{width="1.6145833333333333in" height="2.761111111111111in"}
**三、解答题**
14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M~f~（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M~f~（a，b）=c={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，即M~f~（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）=[ ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）=[ ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=[ ]{.underline}．
{width="1.875in" height="1.2083333333333333in"}
16．已知曲线C~1~的参数方程是{width="0.6145833333333334in" height="0.6368055555555555in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣{width="1.4590277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，t∈\[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A~1~B~1~，A~1~D~1~的中点，点P，Q分别在棱DD~1~，BB~1~上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
{width="1.75in" height="1.7708333333333333in"}
20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
+------------+-----------+----------+--------+
| 年入流量X | 40＜X＜80 | 80≤X≤120 | X＞120 |
+------------+-----------+----------+--------+
| 发电机最多 | 1 | 2 | 3 |
| | | | |
| 可运行台数 | | | |
+------------+-----------+----------+--------+
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
22．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
2014年湖北省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁~U~A=（ ）
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7}
2．（5分）i为虚数单位，（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）命题"∀x∈R，x^2^≠x"的否定是（ ）
A．∀x∉R，x^2^≠x B．∀x∈R，x^2^=x C．∃x∉R，x^2^≠x D．∃x∈R，x^2^=x
4．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.9576388888888889in" height="0.6861111111111111in"}，则2x+y的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~，点数之和大于5的概率记为p~2~，点数之和为偶数的概率记为p~3~，则（ ）
A．p~1~＜p~2~＜p~3~ B．p~2~＜p~1~＜p~3~ C．p~1~＜p~3~＜p~2~ D．p~3~＜p~1~＜p~2~
6．（5分）根据如下样本数据：
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
得到了回归方程{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}x+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则（ ）
A．{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＜0 B．{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞0 C．{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＜0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＜0 D．{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＜0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞0
7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）{width="5.636111111111111in" height="1.7604166666666667in"}
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
8．（5分）设a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线{width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.6041666666666666in" height="0.4888888888888889in"}=1的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（ ）
A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1，3} D．{﹣2﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1，3}
10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}
**二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.**
11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为[ ]{.underline}件．
12．（5分）若向量{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣3），\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0，则\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=[ ]{.underline}．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，a=1，b={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则B=[ ]{.underline}．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为[ ]{.underline}．
{width="2.2291666666666665in" height="2.7819444444444446in"}
15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为[ ]{.underline}．
{width="2.9694444444444446in" height="1.3333333333333333in"}
16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F={width="0.9166666666666666in" height="0.42569444444444443in"}．
（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为[ ]{.underline}辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加[ ]{.underline}辆/小时．
17．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有\|MB\|=λ\|MA\|，则：
（Ⅰ）b=[ ]{.underline}；
（Ⅱ）λ=[ ]{.underline}．
**三、解答题**
18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}t﹣sin{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}t，t∈\[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
19．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD~1~、BB~1~、A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点，求证：
（Ⅰ）直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直线AC~1~⊥平面PQMN．
{width="1.71875in" height="1.625in"}
21．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数与最小数．
22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
2014年湖南省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）满足{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=i（i为虚数单位）的复数z=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i
2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，则f（1）+g（1）=（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数是（ ）
A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20
5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x^2^＞y^2^，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
{width="2.2291666666666665in" height="3.0840277777777776in"}
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
{width="1.375in" height="1.8229166666666667in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"} B．{width="0.8861111111111111in" height="0.37569444444444444in"} C．pq D．{width="0.9576388888888889in" height="0.19791666666666666in"}﹣1
9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且{width="0.4479166666666667in" height="0.43680555555555556in"}f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（ ）
A．x={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．x={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} C．x={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．x={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
10．（5分）若函数f（x）=x^2^+e^x^﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（x＜0）与g（x）=x^2^+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣{width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}） B．（{width="0.6777777777777778in" height="0.38472222222222224in"}） C．（{width="0.7402777777777778in" height="0.38472222222222224in"}） D．（{width="0.7402777777777778in" height="0.38472222222222224in"}）
**二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）**
11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的直线l与曲线C：{width="0.875in" height="0.40625in"}，（α为参数）交于A，B两点，且\|AB\|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是[ ]{.underline}．
12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，BC=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则⊙O的半径等于[ ]{.underline}．
{width="1.1979166666666667in" height="1.2395833333333333in"}
13．若关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}}，则a=[ ]{.underline}．
**（二）必做题（14-16题）**
14．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=[ ]{.underline}．
15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y^2^=2px（p＞0）经过C，F两点，则{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=[ ]{.underline}．
{width="1.5208333333333333in" height="1.7604166666666667in"}
16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），C（3，0），动点D满足\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，则\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分**
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}和{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sin∠CBA={width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，求BC的长．
{width="1.8229166666666667in" height="1.6145833333333333in"}
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形．
（Ⅰ）证明：O~1~O⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值．
{width="1.8333333333333333in" height="1.71875in"}
20．（13分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若{a~n~}是递增数列，且a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，求p的值；
（Ⅱ）若p={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且{a~2n﹣1~}是递增数列，{a~2n~}是递减数列，求数列{a~n~}的通项公式．
21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C~1~：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为e~1~；双曲线C~2~：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的左、右焦点分别为F~3~，F~4~，离心率为e~2~，已知e~1~e~2~={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，且\|F~2~F~4~\|={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）过F~1~作C~1~的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C~2~交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
{width="2.792361111111111in" height="1.84375in"}
22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}．
（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）+f（x~2~）＞0，求a的取值范围．
2014年湖南省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，则￢p为（ ）
A．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＞0 B．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
C．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＜0 D．∀x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0
2．（5分）已知集合A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|x＞2} B．{x\|x＞1} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|1＜x＜3}
3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（ ）
A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（ ）
A．f（x）={width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"} B．f（x）=x^2^+1 C．f（x）=x^3^ D．f（x）=2^﹣x^
5．（5分）在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）若圆C~1~：x^2^+y^2^=1与圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）
A．21 B．19 C．9 D．﹣11
7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（ ）
{width="2.2291666666666665in" height="3.0840277777777776in"}
A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\]
8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
{width="1.375in" height="1.8229166666666667in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（5分）若0＜x~1~＜x~2~＜1，则（ ）
A．{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}﹣{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＞lnx~2~﹣lnx~1~ B．{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}﹣{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜lnx~2~﹣lnx~1~
C．x~2~{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＞x~1~{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"} D．x~2~{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜x~1~{width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}
10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），C（3，0），动点D满足\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，则\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|的取值范围是（ ）
A．\[4，6\] B．\[{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣1，{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}+1\] C．\[2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+1\]
**二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）复数{width="0.3020833333333333in" height="0.42569444444444443in"}（i为虚数单位）的实部等于[ ]{.underline}．
12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：{width="0.8013888888888889in" height="0.8340277777777778in"}（t为参数）的普通方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，则z=2x+y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（5分）若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数，则a=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，75分）**
16．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~={width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~={width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}+（﹣1）^n^a~n~，求数列{b~n~}的前2n项和．
17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），（a，b），（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，b），（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），（a，b），（a，b），（a，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），
（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，b），（a，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），（a，b），（a，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}），（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，b）（a，b）
其中a，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}分别表示甲组研发成功和失败，b，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
{width="1.6875in" height="0.8958333333333334in"}
19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，EA=2，∠ADC={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，∠BEC={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
{width="1.75in" height="0.71875in"}
20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C~1~：{width="0.22847222222222222in" height="0.5298611111111111in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.5409722222222222in"}=1（a~1~＞0，b~1~＞0）和椭圆C~2~：{width="0.22847222222222222in" height="0.5409722222222222in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.5298611111111111in"}=1（a~2~＞b~2~＞0）均过点P（{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，1），且以C~1~的两个顶点和C~2~的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C~1~交于A、B两点，与C~2~只有一个公共点，且\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|？证明你的结论．
{width="1.3020833333333333in" height="1.4895833333333333in"}
21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记x~i~为f（x）的从小到大的第i（i∈N^\*^）个零点，证明：对一切n∈N^\*^，有{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+...+{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
．
2014年江苏省高考数学试卷
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**一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）**
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=[ ]{.underline}．
2．（5分）已知复数z=（5+2i）^2^（i为虚数单位），则z的实部为[ ]{.underline}．
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是[ ]{.underline}．
{width="1.1354166666666667in" height="2.6152777777777776in"}
4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是[ ]{.underline}．
5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的交点，则φ的值是[ ]{.underline}．
6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间\[80，130\]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有[ ]{.underline}株树木的底部周长小于100cm．
{width="3.229861111111111in" height="1.8958333333333333in"}
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~2~=1，a~8~=a~6~+2a~4~，则a~6~的值是[ ]{.underline}．
8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S~1~，S~2~，体积分别为V~1~，V~2~，若它们的侧面积相等，且{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的值是[ ]{.underline}．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知函数f（x）=x^2^+mx﹣1，若对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是[ ]{.underline}．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax^2^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=3{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的值是[ ]{.underline}．
{width="2.0104166666666665in" height="0.90625in"}
13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinB=2sinC，则cosC的最小值是[ ]{.underline}．
**二、解答题（本大题共6小题，共计90分）**
15．（14分）已知α∈（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π），sinα={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（1）求sin（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+α）的值；
（2）求cos（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣2α）的值．
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
{width="1.8854166666666667in" height="2.0104166666666665in"}
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F~1~，F~2~分别为椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF~2~并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F~1~C．
（1）若点C的坐标为（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），且BF~2~={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求椭圆的方程；
（2）若F~1~C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
{width="2.0in" height="1.84375in"}
18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
{width="3.1256944444444446in" height="2.2916666666666665in"}
19．（16分）已知函数f（x）=e^x^+e^﹣x^，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立，试比较e^a﹣1^与a^e﹣1^的大小，并证明你的结论．
20．（16分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S~n~=a~m~，则称{a~n~}是"H数列"．
（1）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=2^n^（n∈N^\*^），证明：{a~n~}是"H数列"；
（2）设{a~n~}是等差数列，其首项a~1~=1，公差d＜0，若{a~n~}是"H数列"，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a~n~}，总存在两个"H数列"{b~n~}和{c~n~}，使得a~n~=b~n~+c~n~（n∈N^\*^）成立．
**三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】**
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
{width="1.1145833333333333in" height="1.125in"}
**【选修4-2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知矩阵A={width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，B={width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，向量{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.25in" height="0.40625in"}，x，y为实数，若A{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=B{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，求x+y的值．
**【选修4-3：极坐标及参数方程】**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程{width="0.8013888888888889in" height="0.8340277777777778in"}（t为参数），直线l与抛物线y^2^=4x相交于AB两点，则线段AB的长为[ ]{.underline}．
**【选修4-4：不等式选讲】**
24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy．
**(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）**
25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x~1~，x~2~，x~3~，随机变量X表示x~1~，x~2~，x~3~中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
26．（10分）已知函数f~0~（x）={width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}（x＞0），设f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^．
（1）求2f~1~（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}f~2~（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值；
（2）证明：对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}f~n~（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）\|={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}都成立．
2014年江西省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}是z的共轭复数，若z+{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=2，（z﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
2．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1\] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0\]∪\[1，+∞）
3．（5分）已知函数f（x）=5^\|x\|^，g（x）=ax^2^﹣x（a∈R），若f\[g（1）\]=1，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c^2^=（a﹣b）^2^+6，C={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．3{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
{width="2.0729166666666665in" height="1.2916666666666667in"}
A．{width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"} B．{width="0.8958333333333334in" height="0.5104166666666666in"} C．{width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"} D．{width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"}
6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
+------+--------+------+------+
| 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+--------+------+------+
| 男 | 6 | 14 | 20 |
+------+--------+------+------+
| 女 | 10 | 22 | 32 |
+------+--------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+--------+------+------+
表2
+------+----+----+------+
| 视力 | 好 | 差 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+----+----+------+
| 男 | 4 | 16 | 20 |
+------+----+----+------+
| 女 | 12 | 20 | 32 |
+------+----+----+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+----+----+------+
表3
+------+------+------+------+
| 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+------+------+------+
| 男 | 8 | 12 | 20 |
+------+------+------+------+
| 女 | 8 | 24 | 32 |
+------+------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+------+------+------+
表4
+--------+------+--------+------+
| 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+--------+------+--------+------+
| 男 | 14 | 6 | 20 |
+--------+------+--------+------+
| 女 | 2 | 30 | 32 |
+--------+------+--------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+--------+------+--------+------+
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
{width="5.906944444444444in" height="0.6875in"}
A．7 B．9 C．10 D．11
8．（5分）若f（x）=x^2^+2{width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}f（x）dx，则{width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．1
9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π C．（6﹣2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）π D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π
10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=11，AD=7，AA~1~=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l~i~（i=2，3，4），l~1~=AE，将线段l~1~，l~2~，l~3~，l~4~竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
{width="1.9583333333333333in" height="1.8854166666666667in"}
A．{width="1.21875in" height="2.0729166666666665in"} B．{width="1.21875in" height="2.1145833333333335in"} C．{width="1.21875in" height="2.1041666666666665in"} D．{width="1.21875in" height="2.125in"}
**二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题**
11．（5分）对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**坐标系与参数方程选做题**
12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A．ρ={width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}，0≤θ≤{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．ρ={width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}，0≤θ≤{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
**三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）若曲线y=e^﹣x^上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是[ ]{.underline}．
15．（5分）已知单位向量{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}与{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}的夹角为α，且cosα={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=3{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣2{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=3{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}的夹角为β，则cosβ=[ ]{.underline}．
16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的直线与椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于[ ]{.underline}．
**五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）
（1）当a={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，θ={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，求f（x）在区间\[0，π\]上的最大值与最小值；
（2）若f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
18．（12分）已知首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}（b~n~≠0，n∈N^\*^）满足a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0．
（1）令c~n~={width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，求数列{c~n~}的通项公式；
（2）若b~n~=3^n﹣1^，求数列{a~n~}的前n项和S~n~．
19．（12分）已知函数f（x）=（x^2^+bx+b）{width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}（b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）上单调递增，求b的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
{width="1.9166666666666667in" height="1.4583333333333333in"}
21．（13分）如图，已知双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣y^2^=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x~0~，y~0~）（y~0~≠0）的直线l：{width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}相交于点N．证明：当点P在C上移动时，{width="0.5520833333333334in" height="0.4173611111111111in"}恒为定值，并求此定值．
{width="2.1666666666666665in" height="1.8958333333333333in"}
22．（14分）随机将1，2，...，2n（n∈N^\*^，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a~1~，最大数为a~2~；B组最小数为b~1~，最大数为b~2~；记ξ=a~2~﹣a~1~，η=b~2~﹣b~1~．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}表示C的对立事件，判断P（C）和P（{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）的大小关系，并说明理由．
2014年江西省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则\|z\|=（ ）
A．1 B．2 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
2．（5分）设全集为R，集合A={x\|x^2^﹣9＜0}，B={x\|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁~R~B）=（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1\] D．（﹣3，3）
3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
4．（5分）已知函数f（x）={width="1.176388888888889in" height="0.5298611111111111in"}（a∈R），若f\[f（﹣1）\]=1，则a=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．2
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则{width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}的值为（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）下列叙述中正确的是（ ）
A．若a，b，c∈R，则"ax^2^+bx+c≥0"的充分条件是"b^2^﹣4ac≤0"
B．若a，b，c∈R，则"ab^2^＞cb^2^"的充要条件是"a＞c"
C．命题"对任意x∈R，有x^2^≥0"的否定是"存在x∈R，有x^2^≥0"
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
+------+--------+------+------+
| 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+--------+------+------+
| 男 | 6 | 14 | 20 |
+------+--------+------+------+
| 女 | 10 | 22 | 32 |
+------+--------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+--------+------+------+
表2
+------+----+----+------+
| 视力 | 好 | 差 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+----+----+------+
| 男 | 4 | 16 | 20 |
+------+----+----+------+
| 女 | 12 | 20 | 32 |
+------+----+----+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+----+----+------+
表3
+------+------+------+------+
| 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+------+------+------+
| 男 | 8 | 12 | 20 |
+------+------+------+------+
| 女 | 8 | 24 | 32 |
+------+------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+------+------+------+
表4
+--------+------+--------+------+
| 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+--------+------+--------+------+
| 男 | 14 | 6 | 20 |
+--------+------+--------+------+
| 女 | 2 | 30 | 32 |
+--------+------+--------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+--------+------+--------+------+
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
{width="5.906944444444444in" height="0.6875in"}
A．7 B．9 C．10 D．11
9．（5分）过双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）
A．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 C．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1
10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax^2^﹣x+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}与y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a（a∈R）的图象不可能的是（ ）
A．{width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} B．{width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} C．{width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} D．{width="1.1041666666666667in" height="1.0729166666666667in"}
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是[ ]{.underline}．
12．（5分）已知单位向量{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}与{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}的夹角为α，且cosα={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，若向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=3{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣2{width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，则\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=[ ]{.underline}．
13．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=7，公差为d，前n项和为S~n~，当且仅当n=8时S~n~取得最大值，则d的取值范围为[ ]{.underline}．
14．（5分）设椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点为F~1~，F~2~，过F~2~作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F~1~B与y轴相交于点D，若AD⊥F~1~B，则椭圆C的离心率等于[ ]{.underline}．
15．（5分）x，y∈R，若\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|≤2，则x+y的取值范围为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos^2^x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，α∈（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π），求sin（α+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值．
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~={width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N^\*^．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N^\*^，使得a~1~，a~n~，a~m~成等比数列．
18．（12分）已知函数f（x）=（4x^2^+4ax+a^2^）{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，其中a＜0．
（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间\[1，4\]上的最小值为8，求a的值．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AA~1~⊥BC，A~1~B⊥BB~1~，
（1）求证：A~1~C⊥CC~1~；
（2）若AB=2，AC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，BC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，问AA~1~为何值时，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~体积最大，并求此最大值．
{width="1.84375in" height="1.0833333333333333in"}
20．（13分）如图，已知抛物线C：x^2^=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N~1~，与（1）中的定直线相交于点N~2~，证明：\|MN~2~\|^2^﹣\|MN~1~\|^2^为定值，并求此定值．
{width="1.71875in" height="1.8020833333333333in"}
21．（14分）将连续正整数1，2，...，n（n∈N^\*^）从小到大排列构成一个数{width="0.5215277777777778in" height="0.1875in"}，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．
（1）求p（100）；
（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n\|h（n）=1，n≤100，n∈N^\*}^，求当n∈S时p（n）的最大值．
2014年辽宁省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）已知a={width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，b=log~2~{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，c=log{width="0.36527777777777776in" height="0.4888888888888889in"}，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}是非零向量，已知命题p：若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0；命题q：若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.3645833333333335in" height="2.636111111111111in"}
A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．8﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{{width="0.43680555555555556in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列，则（ ）
A．d＜0 B．d＞0 C．a~1~d＜0 D．a~1~d＞0
9．（5分）将函数{width="1.176388888888889in" height="0.36527777777777776in"}的图象向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递增 B．在区间\[{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减
C．在区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减 D．在区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递增
10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
11．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\]
12．（5分）已知定义在\[0，1\]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈\[0，1\]，且x≠y，有\|f（x）﹣f（y）\|＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x﹣y\|．
若对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立，则m的最小值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．**
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=[ ]{.underline}．
{width="1.6458333333333333in" height="2.8027777777777776in"}
14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x^2^和y=x^2^上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是[ ]{.underline}．
{width="1.6666666666666667in" height="1.7395833333333333in"}
15．（5分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的最小值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2，cosB={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
{width="3.1152777777777776in" height="1.7291666666666667in"}
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
{width="1.4375in" height="1.5625in"}
20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C~1~：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1过点P且离心率为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求C~1~的方程；
（Ⅱ）若椭圆C~2~过点P且与C~1~有相同的焦点，直线l过C~2~的右焦点且与C~2~交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
{width="1.7395833333333333in" height="1.6979166666666667in"}
21．（12分）已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）
证明：
（Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），使f（x~0~）=0；
（Ⅱ）存在唯一x~1~∈（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＜π．
**四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.**
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
{width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
**不等式选讲**
24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共12小题，每小题5分）**
1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）已知a={width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，b=log~2~{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，c=log{width="0.36527777777777776in" height="0.4888888888888889in"}，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}是非零向量，已知命题p：若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0；命题q：若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（ ）
{width="1.1354166666666667in" height="0.75in"}
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.28125in" height="2.5006944444444446in"}
A．8﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．8﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．8﹣π D．8﹣2π
8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣1 C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
9．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{2{width="0.43680555555555556in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列，则（ ）
A．d＞0 B．d＜0 C．a~1~d＞0 D．a~1~d＜0
10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）={width="1.6152777777777778in" height="0.7923611111111111in"}，则不等式f（x﹣1）≤{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的解集为（ ）
A．\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] B．\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]
C．\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]
11．（5分）将函数{width="1.176388888888889in" height="0.36527777777777776in"}的图象向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递增 B．在区间\[{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减
C．在区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减 D．在区间\[﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递增
12．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\]
**二、填空题（共4小题，每小题5分）**
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=[ ]{.underline}．
{width="1.4479166666666667in" height="4.584027777777778in"}
14．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=3x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的最小值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2，cosB={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
---------- ---------- ------------ ------
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
---------- ---------- ------------ ------
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：X^2^={width="1.5520833333333333in" height="0.5298611111111111in"}
-------------- ------- ------- -------
P（x^2^＞k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
-------------- ------- ------- -------
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．
附：锥体的体积公式V={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}Sh，其中S为底面面积，h为高．
{width="2.5215277777777776in" height="2.7506944444444446in"}
20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．
{width="1.7395833333333333in" height="1.6979166666666667in"}
21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）{width="0.65625in" height="0.38472222222222224in"}+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣1．
证明：
（Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），使f（x~0~）=0；
（Ⅱ）存在唯一x~1~∈（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＞π．
**四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
{width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
**选修4-5：不等式选讲**
24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
2014年山东省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）^2^=（ ）
A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）设集合A={x\|\|x﹣1\|＜2}，B={y\|y=2^x^，x∈\[0，2\]}，则A∩B=（ ）
A．\[0，2\] B．（1，3） C．\[1，3） D．（1，4）
3．（5分）函数f（x）={width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的定义域为（ ）
A．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}） B．（2，+∞） C．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（2，+∞） D．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[2，+∞）
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A．{width="1.0097222222222222in" height="0.43680555555555556in"} B．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1）
C．sinx＞siny D．x^3^＞y^3^
6．（5分）直线y=4x与曲线y=x^3^在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．2 D．4
7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
{width="2.0104166666666665in" height="1.2708333333333333in"}
A．6 B．8 C．12 D．18
8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}） B．（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
9．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.4173611111111111in"}，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2
10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1，双曲线C~2~的方程为{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1，C~1~与C~2~的离心率之积为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，则C~2~的渐近线方程为（ ）
A．x±{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}y=0 B．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
**二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）**
11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ ]{.underline}．
{width="2.21875in" height="3.1881944444444446in"}
12．（5分）若△ABC中，已知{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=tanA，当A={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，△ABC的面积为[ ]{.underline}．
13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~，则{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=[ ]{.underline}．
14．（5分）若（ax^2^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^6^的展开式中x^3^项的系数为20，则a^2^+b^2^的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的"对称函数"为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）={width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}关于f（x）=3x+b的"对称函数"，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（m，cos2x），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（sin2x，n），函数f（x）={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，且y=f（x）的图象过点（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）和点（{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．
17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：C~1~M∥平面A~1~ADD~1~；
（Ⅱ）若CD~1~垂直于平面ABCD且CD~1~={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．
{width="2.0729166666666665in" height="1.7083333333333333in"}
18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，在D上的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，在D上的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
{width="2.0625in" height="0.5520833333333334in"}
19．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^{width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
20．（13分）设函数f（x）={width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣k（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+lnx）（k为常数，e=2.71828...是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
21．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
2014年山东省高考数学试卷（文科）
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**一.选择题每小题5分，共50分**
1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）^2^=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i
2．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣2x＜0}，B={x\|1≤x≤4}，则A∩B=（ ）
A．（0，2\] B．（1，2） C．\[1，2） D．（1，4）
3．（5分）函数f（x）={width="0.7923611111111111in" height="0.4583333333333333in"}的定义域为（ ）
A．（0，2） B．（0，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（ ）
A．方程x^3^+ax+b=0没有实根
B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根
5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A．x^3^＞y^3^ B．sinx＞siny
C．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1） D．{width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}＞{width="0.4173611111111111in" height="0.43680555555555556in"}
6．（5分）已知函数y=log~a~（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）{width="1.6875in" height="1.6979166666666667in"}
A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1
7．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（3，m），若向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则实数m=（ ）
A．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．0 D．﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
{width="2.0104166666666665in" height="1.2708333333333333in"}
A．6 B．8 C．12 D．18
9．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）
A．f（x）={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．f（x）=x^2^ C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）
10．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.4173611111111111in"}，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，a^2^+b^2^的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2
**二.填空题每小题5分，共25分**
11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[ ]{.underline}．
{width="1.6979166666666667in" height="2.698611111111111in"}
12．（5分）函数y={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin2x+cos^2^x的最小正周期为[ ]{.underline}．
13．（5分）一个六棱锥的体积为2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为[ ]{.underline}．
14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则圆C的标准方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且\|FA\|=c，则双曲线的渐近线方程为[ ]{.underline}．
**三.解答题共6小题，共75分**
16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
------ ---- ----- -----
地区 A B C
数量 50 150 100
------ ---- ----- -----
（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，B=A+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．
{width="1.8645833333333333in" height="1.4583333333333333in"}
19．（12分）在等差数列{a~n~}中，已知公差d=2，a~2~是a~1~与a~4~的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=a{width="0.5625in" height="0.38472222222222224in"}，记T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~，求T~n~．
20．（13分）设函数f（x）=alnx+{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，直线y=x被椭圆C截得的线段长为{width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明存在常数λ使得k~1~=λk~2~，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
2014年陕西省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．\[0，1\] B．\[0，1） C．（0，1\] D．（0，1）
2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的最小正周期是（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．π C．2π D．4π
3．（5分）定积分{width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}（2x+e^x^）dx的值为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1
4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="4.219444444444444in"}
A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^
5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} B．4π C．2π D．{width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"} B．f（x）=x^3^ C．f（x）=（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^x^ D．f（x）=3^x^
8．（5分）原命题为"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
9．（5分）设样本数据x~1~，x~2~，...，x~10~的均值和方差分别为1和4，若y~i~=x~i~+a（a为非零常数，i=1，2，...，10），则y~1~，y~2~，...，y~10~的均值和方差分别为（ ）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
{width="2.3020833333333335in" height="1.0833333333333333in"}
A．y={width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x B．y={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}x^3^﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x
C．y={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}x^3^﹣x D．y=﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}x^3^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x
**二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[ ]{.underline}．
12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）设0＜θ＜{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（sin2θ，cosθ），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（cosθ，1），若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则tanθ=[ ]{.underline}．
14．（5分）观察分析下表中的数据：
-------- ----------- ------------- -----------
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
-------- ----------- ------------- -----------
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是[ ]{.underline}．
**（不等式选做题）**
15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则{width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}的最小值为[ ]{.underline}．
**（几何证明选做题）**
16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[ ]{.underline}．
{width="1.1145833333333333in" height="1.0208333333333333in"}
**（坐标系与参数方程选做题）**
17．在极坐标系中，点（2，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）到直线{width="1.261111111111111in" height="0.36527777777777776in"}的距离是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）**
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
{width="2.948611111111111in" height="1.28125in"}
20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，求\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|；
（Ⅱ）设{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=m{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+n{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
---------------- ----- -----
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
---------------- ----- -----
----------------------- ----- -----
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
----------------------- ----- -----
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C~1~：{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C~2~：y=﹣x^2^+1（y≤0）连接而成，C~1~与C~2~的公共点为A，B，其中C~1~的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C~1~，C~2~分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
{width="1.3854166666666667in" height="1.6041666666666667in"}
23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g~1~（x）=g（x），g~n+1~（x）=g（g~n~（x）），n∈N~+~，求g~n~（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N~+~，比较g（1）+g（2）+...+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
2014年陕西省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1） C．（0，1\] D．\[0，1）
2．（5分）函数f（x）=cos（2x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的最小正周期是（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．π C．2π D．4π
3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}的值为（ ）
A．5 B．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．3 D．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="4.219444444444444in"}
A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^
5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x^3^ B．f（x）=3^x^ C．f（x）=x{width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"} D．f（x）=（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^x^
8．（5分）原命题为"若{width="0.6368055555555555in" height="0.42569444444444443in"}＜a~n~，n∈N~+~，则{a~n~}为递减数列"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假
9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x~1~，x~2~，...，x~10~，其均值和方差分别为{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}和s^2^，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，s^2^+100^2^ B．{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}+100，s^2^+100^2^
C．{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}，s^2^ D．{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}+100，s^2^
10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
{width="2.511111111111111in" height="1.2395833333333333in"}
A．y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^3^﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^2^﹣x B．y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^3^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^2^﹣3x
C．y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^3^﹣x D．y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^3^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x^2^﹣2x
**二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）抛物线y^2^=4x的准线方程是[ ]{.underline}．
12．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[ ]{.underline}．
13．（5分）设0＜θ＜{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（sin2θ，cosθ），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣cosθ），若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则tanθ=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知f（x）={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，x≥0，若f~1~（x）=f（x），f~n+1~（x）=f（f~n~（x）），n∈N~+~，则f~2014~（x）的表达式为[ ]{.underline}．
**选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题**
15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则{width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}的最小值为[ ]{.underline}．
**几何证明选做题**
16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[ ]{.underline}．
{width="1.1145833333333333in" height="1.0208333333333333in"}
**坐标系与参数方程选做题**
17．在极坐标系中，点（2，{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）到直线{width="1.261111111111111in" height="0.36527777777777776in"}的距离是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，共75分）**
18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．
{width="2.948611111111111in" height="1.28125in"}
20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=m{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+n{width="0.26944444444444443in" height="0.20902777777777778in"}（m，n∈R）
（Ⅰ）若m=n={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|；
（Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
---------------- ----- ------ ------ ------ ------
赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000
车辆数（辆） 500 130 100 150 120
---------------- ----- ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
22．（13分）已知椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）经过点（0，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），离心率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，左右焦点分别为F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+m与椭圆交于A、B两点，与以F~1~F~2~为直径的圆交于C、D两点，且满足{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}={width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，求直线l的方程．
{width="1.6666666666666667in" height="1.3958333333333333in"}
23．（14分）设函数f（x）=lnx+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，{width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＜1恒成立，求m的取值范围．
2014年上海市高考数学试卷（理科）
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**一、填空题（共14题，满分56分）**
1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[ ]{.underline}．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+{width="0.13541666666666666in" height="0.38472222222222224in"}）•{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=[ ]{.underline}．
3．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[ ]{.underline}．
4．（4分）设f（x）={width="1.4069444444444446in" height="0.4888888888888889in"}，若f（2）=4，则a的取值范围为[ ]{.underline}．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[ ]{.underline}．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为[ ]{.underline}（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是[ ]{.underline}．
8．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~={width="0.3541666666666667in" height="0.31319444444444444in"}（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[ ]{.underline}．
9．（4分）若f（x）={width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}﹣{width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[ ]{.underline}．
10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=[ ]{.underline}．
12．（4分）设常数a使方程sinx+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cosx=a在闭区间\[0，2π\]上恰有三个解x~1~，x~2~，x~3~，则x~1~+x~2~+x~3~=[ ]{.underline}．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为[ ]{.underline}．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣{width="0.4888888888888889in" height="0.2611111111111111in"}，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则m的取值范围为[ ]{.underline}．
**二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分**
15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P~i~（i=1，2，...8）是上底面上其余的八个点，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}（i=1，2，...，8）的不同值的个数为（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="0.9895833333333334in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组{width="0.9486111111111111in" height="0.5215277777777778in"}的解的情况是（ ）
A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解
B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解
C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解
D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解
18．（5分）设f（x）={width="1.176388888888889in" height="0.6666666666666666in"}，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．\[﹣1，2\] B．\[﹣1，0\] C．\[1，2\] D．\[0，2\]
**三、解答题（共5题，满分72分）**
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V．
{width="1.2291666666666667in" height="1.0729166666666667in"}
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）={width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
{width="1.4479166666666667in" height="0.6979166666666666in"}
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）已知数列{a~n~}满足{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1．
（1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围；
（2）设{a~n~}是公比为q的等比数列，S~n~=a~1~+a~2~+...a~n~，若{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，n∈N^\*^，求q的取值范围．
（3）若a~1~，a~2~，...a~k~成等差数列，且a~1~+a~2~+...a~k~=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a~1~，a~2~，...a~k~的公差．
2014年上海市高考数学试卷（文科）
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**一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。**
1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[ ]{.underline}．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+{width="0.13541666666666666in" height="0.38472222222222224in"}）•{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=[ ]{.underline}．
3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1，则f（1）=[ ]{.underline}．
4．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆{width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[ ]{.underline}．
5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为[ ]{.underline}．
6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[ ]{.underline}．
7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为[ ]{.underline}（结果用反三角函数值表示）
8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于[ ]{.underline}．
{width="1.9479166666666667in" height="1.5104166666666667in"}
9．（4分）设f（x）={width="0.9576388888888889in" height="0.6256944444444444in"}，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为[ ]{.underline}．
10．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~={width="0.3541666666666667in" height="0.31319444444444444in"}（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[ ]{.underline}．
11．（4分）若f（x）={width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}﹣{width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[ ]{.underline}．
12．（4分）方程sinx+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cosx=1在闭区间\[0，2π\]上的所有解的和等于[ ]{.underline}．
13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣{width="0.4888888888888889in" height="0.2611111111111111in"}，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则m的取值范围为[ ]{.underline}．
**二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分**
15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P~i~（i=1，2，...，7）是小正方形的其余顶点，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}（i=1，2，...，7）的不同值的个数为（ ）
{width="1.3958333333333333in" height="1.4166666666666667in"}
A．7 B．5 C．3 D．1
18．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组{width="0.9486111111111111in" height="0.5215277777777778in"}的解的情况是（ ）
A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解
B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解
C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解
D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解
**三、解答题（共5小题，满分74分）**
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V．
{width="1.2291666666666667in" height="1.0729166666666667in"}
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）={width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
{width="1.4479166666666667in" height="0.6979166666666666in"}
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．
23．（18分）已知数列{a~n~}满足{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1．
（1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围；
（2）若{a~n~}是等比数列，且a~m~={width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a~n~}的公比；
（3）若a~1~，a~2~，...a~100~成等差数列，求数列a~1~，a~2~，...a~100~的公差的取值范围．
2014年四川省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．（5分）在x（1+x）^6^的展开式中，含x^3^项的系数为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
3．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 B．向右平行移动{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度
4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
{width="2.6465277777777776in" height="2.7715277777777776in"}
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
7．（5分）平面向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=m{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}（m∈R），且{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角等于{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角，则m=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC~1~上，直线OP与平面A~1~BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（ ）
{width="1.3854166666666667in" height="1.3229166666666667in"}
A．\[{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，1\] B．\[{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，1\] C．\[{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}\] D．\[{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，1\]
9．（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（{width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}）=2f（x）
③\|f（x）\|≥2\|x\|
其中的所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．{width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）复数{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=[ ]{.underline}．
12．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）={width="2.2090277777777776in" height="0.4888888888888889in"}，则f（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于[ ]{.underline}m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}≈1.73）
{width="1.4375in" height="0.8854166666666666in"}
14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则\|PA\|•\|PB\|的最大值是[ ]{.underline}．
15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+{width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有[ ]{.underline}．（写出所有真命题的序号）
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos（α+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
17．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18．（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．
{width="3.9694444444444446in" height="1.6458333333333333in"}
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^）．
（1）若a~1~=﹣2，点（a~8~，4b~7~）在函数f（x）的图象上，求数列{a~n~}的前n项和S~n~；
（2）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，求数列{{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}}的前n项和T~n~．
20．（13分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}最小时，求点T的坐标．
21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
2014年四川省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）已知集合A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）在"世界读书日"前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度
4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（锥体体积公式：V={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}Sh，其中S为底面面积，h为高）
{width="2.125in" height="1.2916666666666667in"}
A．3 B．2 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．1
5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
{width="2.6465277777777776in" height="2.7715277777777776in"}
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知b＞0，log~5~b=a，lgb=c，5^d^=10，则下列等式一定成立的是（ ）
A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c
8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
{width="2.03125in" height="1.1979166666666667in"}
A．{width="0.7493055555555556in" height="0.1875in"}m B．{width="0.8340277777777778in" height="0.1875in"}m C．{width="0.8340277777777778in" height="0.1875in"}m D．{width="0.8340277777777778in" height="0.1875in"}m
9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则\|PA\|+\|PB\|的取值范围是（ ）
A．\[{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] B．\[{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] C．\[{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\]
10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．{width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y^2^=1的离心率等于[ ]{.underline}．
12．（5分）复数{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=[ ]{.underline}．
13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）={width="2.2090277777777776in" height="0.4888888888888889in"}，则f（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
14．（5分）平面向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=m{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}（m∈R），且{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角等于{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角，则m=[ ]{.underline}．
15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+{width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有[ ]{.underline}．（写出所有真命题的序号）
**三、解答题（共6小题，共75分）**
16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（Ⅰ）求"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率；
（Ⅱ）求"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos（α+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC~1~A~1~；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC~1~的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A~1~MC？请证明你的结论．
{width="1.2916666666666667in" height="1.4375in"}
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^）
（Ⅰ）证明：数列{b~n~}为等比数列；
（Ⅱ）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~．
20．（13分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
2014年浙江省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题（每小题5分，共50分）**
1．（5分）设全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}，则∁~U~A=（ ）
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）
{width="2.5840277777777776in" height="2.1458333333333335in"}
A．90cm^2^ B．129cm^2^ C．132cm^2^ D．138cm^2^
4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos3x的图象（ ）
A．向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位 B．向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位
C．向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位 D．向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位
5．（5分）在（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，记x^m^y^n^项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
6．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（ ）
A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9
7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（ ）
A．{width="1.1354166666666667in" height="1.0833333333333333in"} B．{width="1.0104166666666667in" height="1.0520833333333333in"} C．{width="1.125in" height="1.0625in"} D．{width="1.0in" height="1.0520833333333333in"}
8．（5分）记max{x，y}={width="0.7923611111111111in" height="0.46944444444444444in"}，min{x，y}={width="0.7923611111111111in" height="0.46944444444444444in"}，设{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}为平面向量，则（ ）
A．min{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}≤min{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|} B．min{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}≥min{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}
C．max{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^}≤\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^+\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^ D．max{\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^}≥\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^+\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|^2^
9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ~i~（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p~i~（i=1，2）．
则（ ）
A．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~） B．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~）
C．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~） D．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~）
10．（5分）设函数f~1~（x）=x^2^，f~2~（x）=2（x﹣x^2^），{width="1.4590277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，i=0，1，2，...，99．记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，k=1，2，3，则（ ）
A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~2~＜I~1~＜I~3~ C．I~1~＜I~3~＜I~2~ D．I~3~＜I~2~＜I~1~
**二、填空题**
11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[ ]{.underline}．
{width="1.125in" height="3.073611111111111in"}
12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，E（ξ）=1，则D（ξ）=[ ]{.underline}．
13．（4分）当实数x，y满足{width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有[ ]{.underline}种（用数字作答）．
15．（4分）设函数f（x）={width="1.0944444444444446in" height="0.5298611111111111in"}，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[ ]{.underline}．
17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是[ ]{.underline}．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
{width="1.7916666666666667in" height="1.6875in"}
**三、解答题**
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，cos^2^A﹣cos^2^B={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinAcosA﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）若sinA={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求△ABC的面积．
19．（14分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~a~2~a~3~...a~n~={width="0.5840277777777778in" height="0.28055555555555556in"}（n∈N^\*^）．若{a~n~}为等比数列，且a~1~=2，b~3~=6+b~2~．
（Ⅰ）求a~n~和b~n~；
（Ⅱ）设c~n~={width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}（n∈N^\*^）．记数列{c~n~}的前n项和为S~n~．
（i）求S~n~；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N^\*^均有S~k~≥S~n~．
20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．
{width="1.4166666666666667in" height="1.3020833333333333in"}
21．（15分）如图，设椭圆C：{width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l~1~与l垂直，证明：点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．
{width="1.9583333333333333in" height="1.5833333333333333in"}
22．（14分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，求3a+b的取值范围．
2014年浙江省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）**
1．（5分）设集合S={x\|x≥2}，T={x\|x≤5}，则S∩T=（ ）
A．（﹣∞，5\] B．\[2，+∞） C．（2，5） D．\[2，5\]
2．（5分）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则"四边形ABCD为菱形"是"AC⊥BD"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="1.3854166666666667in"}
A．72cm^3^ B．90cm^3^ C．108cm^3^ D．138cm^3^
4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos3x的图象（ ）
A．向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位 B．向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位
C．向左平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位 D．向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位
5．（5分）已知圆x^2^+y^2^+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
6．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
7．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（ ）
A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9
8．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（ ）
A．{width="1.1354166666666667in" height="1.0833333333333333in"} B．{width="1.0104166666666667in" height="1.0520833333333333in"} C．{width="1.125in" height="1.0625in"} D．{width="1.0in" height="1.0520833333333333in"}
9．（5分）设θ为两个非零向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角，已知对任意实数t，\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+t{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|的最小值为1．（ ）
A．若θ确定，则\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|唯一确定 B．若θ确定，则\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|唯一确定
C．若\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|确定，则θ唯一确定 D．若\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|确定，则θ唯一确定
10．（5分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（ ）
{width="1.6458333333333333in" height="1.5729166666666667in"}
A．{width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}
**二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）**
11．（4分）已知i是虚数单位，计算{width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=[ ]{.underline}．
12．（4分）若实数x，y满足{width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则x+y的取值范围是[ ]{.underline}．
13．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[ ]{.underline}．
{width="1.125in" height="3.073611111111111in"}
14．（4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是[ ]{.underline}．
15．（4分）设函数f（x）={width="1.9277777777777778in" height="0.5298611111111111in"}，若f（f（a））=2，则a=[ ]{.underline}．
16．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a^2^+b^2^+c^2^=1，则a的最大值是[ ]{.underline}．
17．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共5小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）**
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin^2^{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+4sinAsinB=2+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
19．（14分）已知等差数列{a~n~}的公差d＞0，设{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，S~2~•S~3~=36．
（Ⅰ）求d及S~n~；
（Ⅱ）求m，k（m，k∈N^\*^）的值，使得a~m~+a~m+1~+a~m+2~+...+a~m+k~=65．
20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
{width="1.4166666666666667in" height="1.3020833333333333in"}
21．（15分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a＞0），若f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值记为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）证明：当x∈\[﹣1，1\]时，恒有f（x）≤g（a）+4．
22．（14分）已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x^2^=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=3{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，
（Ⅰ）若\|PF\|=3，求点M的坐标；
（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．
{width="1.7291666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
2014年重庆市高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）对任意等比数列{a~n~}，下列说法一定正确的是（ ）
A．a~1~，a~3~，a~9~成等比数列 B．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列
C．a~2~，a~4~，a~8~成等比数列 D．a~3~，a~6~，a~9~成等比数列
3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=3，{width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A．{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=0.4x+2.3 B．{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=2x﹣2.4 C．{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=﹣2x+9.5 D．{width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=﹣0.3x+4.4
4．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（k，3），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，4），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，1）且（2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣3{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则实数k=（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．0 C．3 D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
{width="1.7395833333333333in" height="2.2083333333333335in"}
A．s＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．s＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．s＞{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．s＞{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2^x^＞0；q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（ ）
{width="1.9479166666666667in" height="2.15625in"}
A．54 B．60 C．66 D．72
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．3
9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（ ）
A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．**
11．（5分）设全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁~U~A）∩B=[ ]{.underline}．
12．（5分）函数f（x）=log~2~{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}•log{width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}（2x）的最小值为[ ]{.underline}．
13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）^2^+（y﹣a）^2^=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=[ ]{.underline}．
**三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分**
14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知直线l的参数方程为{width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=[ ]{.underline}．
16．若不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
**四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（13分）已知函数f（x）={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤φ＜{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象关于直线x={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＜α＜{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），求cos（α+{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）的值．
18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，M为BC上的一点，且BM={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，MP⊥AP．
（Ⅰ）求PO的长；
（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．
{width="3.2506944444444446in" height="1.28125in"}
20．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．
（Ⅰ）确定a，b的值；
（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．
21．（12分）如图，设椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上．DF~1~⊥F~1~F~2~，{width="0.7923611111111111in" height="0.5in"}=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，△DF~1~F~2~的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
{width="2.2708333333333335in" height="1.9166666666666667in"}
22．（12分）设a~1~=1，a~n+1~={width="0.8645833333333334in" height="0.3020833333333333in"}+b（n∈N^\*^）
（Ⅰ）若b=1，求a~2~，a~3~及数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立，证明你的结论．
2014年重庆市高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=2，a~3~+a~5~=10，则a~7~=（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
4．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x^2^+x C．f（x）=2^x^﹣2^﹣x^ D．f（x）=2^x^+2^﹣x^
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
{width="1.9270833333333333in" height="2.698611111111111in"}
A．10 B．17 C．19 D．36
6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有\|x\|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="1.8229166666666667in" height="1.9895833333333333in"}
A．12 B．18 C．24 D．30
8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．4 D．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}
9．（5分）若log~4~（3a+4b）=log~2~{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则a+b的最小值是（ ）
A．6+2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．7+2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．6+4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．7+4{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
10．（5分）已知函数f（x）={width="2.125in" height="0.6256944444444444in"}，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1\]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2\]∪（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] B．（﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2\]∪（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] C．（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2\]∪（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] D．（﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2\]∪（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．**
11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为60°，且{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣2，﹣6），\|{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=[ ]{.underline}．
13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤φ＜{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度得到y=sinx的图象，则f（{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x^2^+y^2^+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为[ ]{.underline}．
15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为[ ]{.underline}（用数字作答）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（13分）已知{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列，S~n~表示{a~n~}的前n项和．
（Ⅰ）求a~n~及S~n~；
（Ⅱ）设{b~n~}是首项为2的等比数列，公比为q满足q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0．求{b~n~}的通项公式及其前n项和T~n~．
17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在\[50，60）与\[60，70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在\[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在\[60，70）中的概率．
{width="2.2291666666666665in" height="1.6666666666666667in"}
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos^2^{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+sinBcos^2^{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=2sinC，且△ABC的面积S={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sinC，求a和b的值．
19．（12分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣lnx﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，M为BC上一点，且BM={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．
{width="3.3652777777777776in" height="1.3958333333333333in"}
21．（12分）如图，设椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上，DF~1~⊥F~1~F~2~，{width="0.7923611111111111in" height="0.5in"}=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，△DF~1~F~2~的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
{width="2.2916666666666665in" height="1.9791666666666667in"}
2015年安徽省高考数学试卷（理科）
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一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5分）设i是虚数单位，则复数{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1
3．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}﹣x2=1 D．y2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1
5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
6．（5分）若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，...，2x10﹣1的标准差为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．32
7．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
{width="2.6465277777777776in" height="2.573611111111111in"}
A．1+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．1+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
8．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则下列结论正确的是（ ）
A．\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1 B．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=1 D．（4{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}
9．（5分）函数f（x）={width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
{width="2.7402777777777776in" height="2.09375in"}
A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）
二.填空题（每小题5分，共25分）
11．（5分）（x3+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）7的展开式中的x5的系数是 （用数字填写答案）
12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R）距离的最大值是 ．
13．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为
{width="2.5319444444444446in" height="3.136111111111111in"}
14．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于 ．
15．（5分）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
三.解答题（共6小题，75分）
16．（12分）在△ABC中，∠A={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，AB=6，AC=3{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
17．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）
18．（12分）设n∈N\*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=x12x32...x2n﹣12，证明：Tn≥{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．
19．（13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．
{width="1.8958333333333333in" height="1.78125in"}
20．（13分）设椭圆E的方程为{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求E的方程．
21．（13分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数\|f（sinx）﹣f0（sinx）\|在\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}满足条件D≤1时的最大值．
2015年安徽省高考数学试卷（文科）
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1. 选择题（共10小题，每小题5分，满分50分
1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（ ）
A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i
2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（ ）
A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}
3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx
5．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（ ）
A．x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1 C．x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1
7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（ ）
{width="1.8854166666666667in" height="2.6256944444444446in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（ ）
A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12
9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
{width="2.3541666666666665in" height="2.6569444444444446in"}
A．1+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．1+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
{width="1.4791666666666667in" height="1.1458333333333333in"}
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
二、填空题
11．（3分）lg{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2lg2﹣（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣1= ．
12．（3分）在△ABC中，AB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．
13．（3分）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（n≥2），则数列{an}的前9项和等于 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为 ．
15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量{width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}满足{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）
①{width="0.15625in" height="0.3229166666666667in"}为单位向量；②{width="0.15625in" height="0.3229166666666667in"}为单位向量；③{width="0.5in" height="0.3229166666666667in"}；④{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}；⑤（4{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}．
三、解答题
16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为\[40，50\]，\[50，60\]，...，\[80，90\]，\[90，100\]
（1）求频率分布图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在\[40，60\]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在\[40，50\]的概率．
{width="3.3027777777777776in" height="2.0208333333333335in"}
18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn={width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值．
{width="2.6465277777777776in" height="1.8333333333333333in"}
20．设椭圆E的方程为{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．
21．已知函数f（x）={width="0.5625in" height="0.4270833333333333in"}（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
2015年北京市高考数学试卷（理科）
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一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）复数i（2﹣i）=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）若x，y满足{width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．2
3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
{width="1.5in" height="3.4902777777777776in"}
A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，"m∥β"是"α∥β"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
{width="2.792361111111111in" height="2.375in"}
A．2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．4+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．5
6．（5分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2{width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"} D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）
{width="1.53125in" height="1.09375in"}
A．{x\|﹣1＜x≤0} B．{x\|﹣1≤x≤1} C．{x\|﹣1＜x≤1} D．{x\|﹣1＜x≤2}
8．（5分）汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
{width="2.3854166666666665in" height="1.90625in"}
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 （用数字作答）
10．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+y=0，则a= ．
11．（5分）在极坐标系中，点（2，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）到直线ρ（cosθ+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinθ）=6的距离为 ．
12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则{width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}= ．
13．（5分）在△ABC中，点M，N满足{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=x{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+y{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则x= ，y= ．
14．（5分）设函数f（x）={width="1.7083333333333333in" height="0.4895833333333333in"}，
①若a=1，则f（x）的最小值为 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）已知函数f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin{width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣π，0\]上的最小值．
16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
{width="1.8333333333333333in" height="2.34375in"}
18．（13分）已知函数f（x）=ln{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞{width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）{width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
19．（14分）已知椭圆C：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13分）已知数列{an}满足：a1∈N\*，a1≤36，且an+1={width="1.4479166666666667in" height="0.53125in"}（n=1，2，...），记集合M={an\|n∈N\*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
2015年北京市高考数学试卷（文科）
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一、选择题（每小题5分,共40分）
1．（5分）若集合A={x\|﹣5＜x＜2}，B={x\|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣3＜x＜2} B．{x\|﹣5＜x＜2} C．{x\|﹣3＜x＜3} D．{x\|﹣5＜x＜3}
2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
3．（5分）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=\|lnx\| D．y=2﹣x
4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
---------- ------
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
---------- ------
A．90 B．100 C．180 D．300
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
{width="1.7708333333333333in" height="3.761111111111111in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是非零向量，"{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|"是"{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
{width="2.4270833333333335in" height="2.7402777777777776in"}
A．1 B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2
8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
--------------- -------------- --------------------------
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日 12 35000
2015年5月15日 48 35600
--------------- -------------- --------------------------
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
二、填空题
9．（5分）复数i（1+i）的实部为 ．
10．（5分）2﹣3，{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，log25三个数中最大数的是 ．
11．（5分）在△ABC中，a=3，b={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠A={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，则∠B= ．
12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．
13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 ．
{width="2.0416666666666665in" height="1.7708333333333333in"}
14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
{width="3.8131944444444446in" height="1.8125in"}
三、解答题（共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间\[0，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值．
16．（13分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买．
----- ---- ---- ---- ----
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
----- ---- ---- ---- ----
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
{width="1.28125in" height="1.4479166666666667in"}
19．（13分）设函数f（x）={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]上仅有一个零点．
20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
2015年福建省高考数学试卷（理科）
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1. 选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（ ）
A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅
2．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．y=\|sinx\| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x
3．（5分）若双曲线E：{width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且\|PF1\|=3，则\|PF2\|等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
--------------- ----- ----- ------ ------ ------
根据上表可得回归直线方程{width="0.6041666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，其中{width="1.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
5．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}则z=2x﹣y的最小值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
{width="1.3020833333333333in" height="3.6881944444444446in"}
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）已知{width="2.0729166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，若P点是△ABC所在平面内一点，且{width="1.25in" height="0.4479166666666667in"}，则{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．{width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于 ．（用数字作答）
12．（4分）若锐角△ABC的面积为{width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，且AB=5，AC=8，则BC等于 ．
13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
{width="1.1041666666666667in" height="1.7708333333333333in"}
14．（4分）若函数f（x）={width="1.2604166666666667in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞），则实数a的取值范围是 ．
15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串{width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，其中xk（k=1，2，...，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x1x2...x7的码元满足如下校验方程组：{width="1.625in" height="0.7916666666666666in"}
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 ．
三、解答题
16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
{width="1.3229166666666667in" height="1.5729166666666667in"}
18．（13分）已知椭圆E：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）过点{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，且离心率e为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G{width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
{width="1.6979166666666667in" height="1.53125in"}
19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在\[0，2π）内有两个不同的解α，β
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）={width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣1．
20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；
（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x2．
四、选修4-2：矩阵与变换
21．（7分）已知矩阵A={width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}，B={width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=m，（m∈R）
（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
六、选修4-5：不等式选讲
23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b2+c2的最小值．
2015年福建省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4
2．（5分）若集合M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}
3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．y=ex C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
{width="1.4895833333333333in" height="2.3645833333333335in"}
A．2 B．7 C．8 D．128
5．（5分）若直线{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.375in"}=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（5分）若sinα=﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+k{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，若{width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k的值等于（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）={width="1.1979166666666667in" height="0.625in"}的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
{width="1.4479166666666667in" height="1.1041666666666667in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
{width="1.75in" height="1.9375in"}
A．8+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．11+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．14+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．15
10．（5分）变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11．（5分）已知椭圆E：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4，点M到直线l的距离不小于{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] B．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1） D．\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）
12．（5分）"对任意x{width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 ．
14．（4分）在△ABC中，AC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是 ．
15．（4分）若函数f（x）=2\|x﹣a\|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在\[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于 ．
16．（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（12分）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2{width="0.4270833333333333in" height="0.2604166666666667in"}+n，求b1+b2+b3+...+b10的值．
18．（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示：
------ ---------- ------
组号 分组 频数
1 \[4，5） 2
2 \[5，6） 8
3 \[6，7） 7
4 \[7，8\] 3
------ ---------- ------
（1）现从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率；
（2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数．
19．（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且\|AF\|=3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
{width="1.3541666666666667in" height="1.5833333333333333in"}
20．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．
{width="1.8125in" height="1.3333333333333333in"}
21．（12分）已知函数f（x）=10{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+10cos2{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．
22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．
2015年广东省高考数学试卷（理科）
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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）若集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}，N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y={width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} B．y=x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．y=2x+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D．y=x+ex
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．1
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0或2x+y﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0或2x﹣y﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0
6．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．6 D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）已知双曲线C：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的离心率e={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）
9．（5分）在（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1）4的展开式中，x的系数为 ．
10．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．
11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，sinB={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，C={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则b= ．
12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．
14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点A的极坐标为A（2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），则点A到直线l的距离为 ．
15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．
{width="2.1458333333333335in" height="1.2708333333333333in"}
三、解答题
16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（sinx，cosx），x∈（0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（1）若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，求tanx的值；
（2）若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求x的值．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 |
| | | | | | | | |
| 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 |
| | | | | | | | |
| 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 |
| | | | | | | | |
| 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 |
| | | | | | | | |
| 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 |
| | | | | | | | |
| 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 |
| | | | | | | | |
| 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 |
| | | | | | | | |
| 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 |
| | | | | | | | |
| 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}和方差s2；
（3）36名工人中年龄在{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}﹣s和{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
{width="2.09375in" height="1.0833333333333333in"}
19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}﹣1．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+...nan=4﹣{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N+．
（1）求a3的值；
（2）求数列{an}的前 n项和Tn；
（3）令b1=a1，bn={width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}+（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+...+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．
2015年广东省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）
1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（ ）
A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}
2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D．y=x2+sinx
4．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x+3y的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，cosA={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．且b＜c，则b=（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2 C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．3
6．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
8．（5分）已知椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣2），{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1）则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）\|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）\|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（ ）
A．200 B．150 C．100 D．50
二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）
11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ．（用区间表示）
12．（5分）已知样本数据 x1，x2，...，xn的均值{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，...，2xn+1 的均值为 ．
13．（5分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=5﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则 b= ．
坐标系与参数方程选做题
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为{width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"} （t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为 ．
几何证明选讲选做题
15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则 AD= ．
{width="1.15625in" height="0.875in"}
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（12分）已知 tanα=2．
（1）求tan（α+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值；
（2）求{width="2.2708333333333335in" height="0.4270833333333333in"} 的值．
17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以\[160，180），\[180，200），\[200，220），\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取多少户？
{width="3.2090277777777776in" height="1.84375in"}
18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA的距离．
{width="1.5520833333333333in" height="1.03125in"}
19．（14分）设数列 {an}的前n项和为Sn，n∈N\*．已知a1=1，a2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a3={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4的值；
（2）证明：{an+1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}an}为等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）2+\|x﹣a\|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 在区间 （0，+∞）内的零点个数．
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
{width="2.604861111111111in" height="1.4375in"}
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）设a1，a2，...，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，...，an成等比数列；q：（a12+a22+...+an﹣12）（a22+a32+...+an2）=（a1a2+a2a3+...+an﹣1an）2，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（5分）已知符号函数sgnx={width="0.875in" height="0.6979166666666666in"}，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn\[g（x）\]=sgnx B．sgn\[g（x）\]=﹣sgnx C．sgn\[g（x）\]=sgn\[f（x）\] D．sgn\[g（x）\]=﹣sgn\[f（x）\]
7．（5分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记P1为事件"x+y≥{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的概率，P2为事件"\|x﹣y\|≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的概率，P3为事件"xy≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的概率，则（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1
8．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
9．（5分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
10．（5分）设x∈R，\[x\]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得\[t\]=1，\[t2\]=2，...，\[tn\]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5分）已知向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=3，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}= ．
12．（5分）函数f（x）=4cos2{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）﹣2sinx﹣\|ln（x+1）\|的零点个数为 ．
13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
{width="2.3645833333333335in" height="1.5625in"}
14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为 ；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}； ②{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=2； ③{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
{width="1.8541666666666667in" height="1.9375in"}
选修4-1：几何证明选讲
15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}= ．
{width="1.84375in" height="1.2291666666666667in"}
选修4-4：坐标系与参数方程
16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为{width="0.59375in" height="0.7916666666666666in"}（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则\|AB\|= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11分）某同学用"五点法"画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
-------------- --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
ωx+φ 0 {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} π {width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 2π
x {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，0），求θ的最小值．
18．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1时，记cn={width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值．
{width="2.0729166666666665in" height="2.0416666666666665in"}
20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
--- ----- ----- -----
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
--- ----- ----- -----
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
{width="3.6777777777777776in" height="1.5104166666666667in"}
22．（14分）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n与e的大小；
（2）计算{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.53125in"}，由此推测计算{width="0.8020833333333334in" height="0.4791666666666667in"}的公式，并给出证明；
（3）令cn=（a1a2...an）{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．
2015年湖北省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）i为虚数单位，i607=（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（3分）命题"∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1"的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（3分）函数f（x）={width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}+lg{width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的定义域为（ ）
A．（2，3） B．（2，4\] C．（2，3）∪（3，4\] D．（﹣1，3）∪（3，6\]
7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx={width="0.7916666666666666in" height="0.6979166666666666in"}，则（ ）
A．\|x\|=x\|sgnx\| B．\|x\|=xsgn\|x\| C．\|x\|=\|x\|sgnx D．\|x\|=xsgnx
8．（3分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记p1为事件"x+y≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的概率，P2为事件"xy≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的概率，则（ ）
A．p1＜p2＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} C．p2＜{width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
10．（3分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
二、填空题
11．（3分）已知向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=3，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}= ．
12．（3分）设变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则3x+y的最大值为 ．
13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣x2的零点个数为 ．
14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间\[0.3，0.9\]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a= ．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的人数为 ．
{width="3.1777777777777776in" height="1.6041666666666667in"}
15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
{width="2.3645833333333335in" height="1.5625in"}
16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为 ．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为 ．
{width="1.6875in" height="1.5625in"}
17．（3分）a为实数，函数f（x）=\|x2﹣ax\|在区间\[0，1\]上的最大值记为g（a）．当a= 时，g（a）的值最小．
三、解答题
18．（12分）某同学将"五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，\|φ\|＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
-------------- --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
wx+φ 0 {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} π {width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 2π
x {width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1时，记cn={width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值．
{width="1.6875in" height="1.6666666666666667in"}
21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜bg（x）+（1﹣b）．
22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
{width="3.6777777777777776in" height="1.5104166666666667in"}
2015年湖南省高考数学试卷（理科）
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一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分
1．（5分）已知{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）设A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
{width="1.3229166666666667in" height="3.2819444444444446in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）若变量x、y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5分）已知（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）5的展开式中含x{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}的项的系数为30，则a=（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．6 D．﹣6
7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附"若X﹣N=（μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
{width="1.5208333333333333in" height="1.2916666666666667in"}
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|{width="0.7708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x1）﹣g（x2）\|=2的x1、x2，有\|x1﹣x2\|min={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则φ=（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率={width="1.0520833333333333in" height="0.4166666666666667in"}）（ ）
{width="2.40625in" height="2.8340277777777776in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.8125in" height="0.4479166666666667in"} D．{width="0.8958333333333334in" height="0.4479166666666667in"}
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）{width="0.28125in" height="0.28125in"}（x﹣1）dx= ．
12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是 ．{width="4.334027777777778in" height="0.8020833333333334in"}
13．（5分）设F是双曲线C：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
14．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= ．
15．（5分）已知函数f（x）={width="0.8229166666666666in" height="0.53125in"}若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是 ．
三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲
16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．
{width="1.6875in" height="1.3854166666666667in"}
选修4-4：坐标系与方程
17．（6分）已知直线l：{width="0.84375in" height="0.8125in"}（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），直线l与曲线C的交点为A，B，求\|MA\|•\|MB\|的值．
选修4-5：不等式选讲
18．设a＞0，b＞0，且a+b={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．
七、标题
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．
（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求四面体ADPQ的体积．
{width="1.8541666666666667in" height="1.9270833333333333in"}
22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同向．
（1）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率；
（2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈\[0，+∞\]）．记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N\*）个极值点．证明：
（Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥{width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，则对一切n∈N\*，xn＜\|f（xn）\|恒成立．
2015年湖南省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（每小题5分，共50分）
1．（5分）已知{width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是（ ）
{width="4.511111111111111in" height="0.8854166666666666in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（5分）设x∈R，则"x＞1"是"x3＞1"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
{width="1.3229166666666667in" height="3.2819444444444446in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）若双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）若实数a，b满足{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则ab的最小值为（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2 C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．4
8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|{width="0.7708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率={width="1.0520833333333333in" height="0.4166666666666667in"}）（ ）
{width="2.2395833333333335in" height="2.2916666666666665in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.8958333333333334in" height="0.4479166666666667in"} D．{width="0.8125in" height="0.4479166666666667in"}
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）= ．
12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为 ．
13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= ．
14．（5分）已知函数f（x）=\|2x﹣2\|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 ．
15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则ω= ．
三、解答题
16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且B为钝角，求A，B，C．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
{width="1.8541666666666667in" height="1.875in"}
19．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N\*，
（Ⅰ）证明an+2=3an；
（Ⅱ）求Sn．
20．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同向．
（Ⅰ）求C2的方程；
（Ⅱ）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率．
21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈\[0，+∞\]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N\*）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N\*，xn≤\|f（xn）\|恒成立，求a的取值范围．
2015年江苏省高考数学试卷
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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ．
2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ．
3．（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 ．
4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．
{width="1.2604166666666667in" height="1.3645833333333333in"}
5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
6．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣2），若m{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+n{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．
7．（5分）不等式2{width="0.4270833333333333in" height="0.2604166666666667in"}＜4的解集为 ．
8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则tanβ的值为 ．
9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
11．（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N\*），则数列{{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}}的前10项的和为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ．
13．（5分）已知函数f（x）=\|lnx\|，g（x）={width="1.34375in" height="0.4895833333333333in"}，则方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为 ．
14．（5分）设向量{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（cos{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，sin{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+cos{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）（k=0，1，2，...，12），则{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（ak•ak+1）的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1．
{width="2.4166666666666665in" height="2.7715277777777776in"}
17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y={width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
{width="2.0520833333333335in" height="1.8541666666666667in"}
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
{width="1.75in" height="1.2291666666666667in"}
19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）∪（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞），求c的值．
20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：2{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，2{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，2{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，2{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
{width="1.4270833333333333in" height="1.6041666666666667in"}
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）已知x，y∈R，向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}是矩阵{width="0.4166666666666667in" height="0.40625in"}的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣4=0，求圆C的半径．
\[选修4-5：不等式选讲】
24．解不等式x+\|2x+3\|≥2．
【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
{width="1.4479166666666667in" height="1.4166666666666667in"}
26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，...，n）（n∈N\*），设Sn={（a，b）\|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设复数z满足{width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=i，则\|z\|=（ ）
A．1 B．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：{width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若{width="0.6972222222222222in" height="0.26944444444444443in"}＜0，则y0的取值范围是（ ）
A．{width="0.9576388888888889in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.9576388888888889in" height="0.38472222222222224in"}
C．{width="1.1659722222222222in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="1.1659722222222222in" height="0.38472222222222224in"}
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
{width="2.1041666666666665in" height="1.7291666666666667in"}
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，{width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}，则（ ）
A．{width="1.1243055555555554in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}
C．{width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
{width="1.875in" height="1.53125in"}
A．（kπ﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z B．（2kπ﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2kπ+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z
C．（k﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，k+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z D．（{width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}，2k+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
{width="1.7916666666666667in" height="4.531944444444444in"}
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
{width="2.3020833333333335in" height="1.5625in"}
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．\[{width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．\[{width="0.6451388888888889in" height="0.36527777777777776in"}） C．\[{width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}） D．\[{width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+{width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}）为偶函数，则a= ．
14．（5分）一个圆经过椭圆{width="0.5520833333333334in" height="0.43680555555555556in"}=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．
15．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}．则{width="0.13541666666666666in" height="0.37569444444444444in"}的最大值为 ．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是 ．
三、解答题：
17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn={width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}，求数列{bn}的前n项和．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
{width="2.4166666666666665in" height="1.6041666666666667in"}
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
{width="4.198611111111111in" height="2.1041666666666665in"}
---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"} {width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"} {width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"} {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（xi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）2 {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（wi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）2 {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（xi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）（yi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}） {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（wi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）（yi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
表中wi={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}i，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.....（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}﹣{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y={width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
选修4一1:几何证明选讲
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}CE，求∠ACB的大小．
{width="1.6145833333333333in" height="1.5625in"}
选修4一4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
选修4一5：不等式选讲
24．（10分）已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
**2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x\|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
{width="4.771527777777778in" height="2.3854166666666665in"}
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．（5分）设函数f（x）={width="1.6791666666666667in" height="0.5298611111111111in"}，则f（﹣2）+f（log212）=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
{width="1.65625in" height="1.5833333333333333in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}
7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则\|MN\|=（ ）
A．2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．8 C．4{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} D．10
8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
{width="3.667361111111111in" height="2.6569444444444446in"}
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
{width="1.34375in" height="0.90625in"}
A．{width="0.96875in" height="1.0208333333333333in"} B．{width="0.9895833333333334in" height="1.0520833333333333in"}
C．{width="0.9583333333333334in" height="1.03125in"} D．{width="0.9895833333333334in" height="1.0416666666666667in"}
11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} D．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}
12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）设向量{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}，{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}不平行，向量λ{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}与{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+2{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}平行，则实数λ= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=x+y的最大值为 ．
15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．
16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求{width="0.38333333333333336in" height="0.36666666666666664in"}；
（2）若AD=1，DC={width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}，求BD和AC的长．
18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
{width="1.8125in" height="1.3229166666666667in"}
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．
{width="1.3333333333333333in" height="0.9375in"}
20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈\[﹣1，1\]，都有\|f（x1）﹣f（x2）\|≤e﹣1，求m的取值范围．
四、选做题.选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，求四边形EBCF的面积．
{width="1.5520833333333333in" height="1.5520833333333333in"}
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：{width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求\|AB\|的最大值．
选修4-5：不等式选讲
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}+{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}＞{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}+{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}；
（2）{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}+{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}＞{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}+{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
**2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x\|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣4，﹣3），则向量{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（ ）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则\|AB\|=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
{width="2.1041666666666665in" height="1.8020833333333333in"}
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．10 D．12
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
{width="1.875in" height="1.53125in"}
A．（kπ﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z B．（2kπ﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2kπ+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z
C．（k﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，k+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z D．（{width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}，2k+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
{width="1.7916666666666667in" height="4.531944444444444in"}
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知函数f（x）={width="1.511111111111111in" height="0.5298611111111111in"}，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
{width="2.3020833333333335in" height="1.5625in"}
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
二、本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．
14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a= ．
15．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+y的最大值为 ．
16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求该三棱锥的侧面积．
{width="2.1875in" height="1.5in"}
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
{width="4.198611111111111in" height="2.1041666666666665in"}
---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"} {width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"} {width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"} {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（xi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）2 {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（wi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）2 {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（xi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）（yi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}） {width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（wi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}）（yi﹣{width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
表中wi={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}i，{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.....（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}﹣{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}{width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}．
20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=12，其中O为坐标原点，求\|MN\|．
21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}CE，求∠ACB的大小．
{width="1.6145833333333333in" height="1.5625in"}
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ={width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
**2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．（5分）已知集合A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
2．（5分）若为a实数，且{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
{width="4.771527777777778in" height="2.3854166666666665in"}
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分）{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣1），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，2）则（2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）{width="0.20902777777777778in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
{width="1.65625in" height="1.5833333333333333in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），C（2，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
{width="2.9277777777777776in" height="3.136111111111111in"}
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知等比数列{an}满足a1={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（ ）
A．2 B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
{width="1.34375in" height="0.90625in"}
A．{width="0.96875in" height="1.0208333333333333in"} B．{width="0.9895833333333334in" height="1.0520833333333333in"}
C．{width="0.9583333333333334in" height="1.03125in"} D．{width="0.9895833333333334in" height="1.0416666666666667in"}
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣{width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（1，+∞） B．（{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）
C．（{width="0.5625in" height="0.36527777777777776in"}） D．（﹣∞，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，）{width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}
二、填空题
13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a= ．
14．（3分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=2x+y的最大值为 ．
15．（3分）已知双曲线过点{width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}且渐近线方程为y=±{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x，则该双曲线的标准方程是 ．
16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．
三．解答题
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求{width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
{width="6.313194444444444in" height="2.1354166666666665in"}
B地区用户满意度评分的频数分布表
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
满意度评分分组 \[50，60） \[60，70） \[70，80） \[80，90） \[90，100）
频数 2 8 14 10 6
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
{width="1.9166666666666667in" height="1.3541666666666667in"}
20．椭圆C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1，（a＞b＞0）的离心率{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，点（2，{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求四边形EBCF的面积．
{width="1.5520833333333333in" height="1.5520833333333333in"}
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：{width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求\|AB\|的最大值．
六、选修4-5不等式选讲
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＞{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}；
（2）{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＞{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
**2015年山东省高考数学试卷（理科）**
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x\|x2﹣4x+3＜0}，B={x\|2＜x＜4}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．（5分）若复数z满足{width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（ ）个单位．
A．向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a2 B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a2 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a2 D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a2
5．（5分）不等式\|x﹣1\|﹣\|x﹣5\|＜2的解集是（ ）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）
6．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.625in" height="0.65625in"}，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．2π
8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）设函数f（x）={width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）
A．\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\] B．\[0，1\] C．\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞） D．\[1，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）观察下列各式：
C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=40；
C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=41；
C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=42；
C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+C{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=43；
...
照此规律，当n∈N\*时，
C{width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}+C{width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}+C{width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}+...+C{width="0.3958333333333333in" height="0.28125in"}= ．
12．（5分）若"∀x∈\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，tanx≤m"是真命题，则实数m的最小值为 ．
13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为 ．
{width="2.0in" height="2.3854166666666665in"}
14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是\[﹣1，0\]，则a+b= ．
15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．
三、解答题
16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．
{width="2.0in" height="1.4270833333333333in"}
18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为"三位递增数"（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数"；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：{width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（i）求\|{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|的值；
（ii）求△ABQ面积的最大值．
21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
2015年山东省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．（5分）若复数z满足{width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（ ）个单位．
A．向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）当m∈N\*，命题"若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根"的逆否命题是（ ）
A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0
6．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）
{width="2.3229166666666665in" height="0.9479166666666666in"}
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．（5分）在区间\[0，2\]上随机地取一个数x，则事件"﹣1≤log{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}（x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤1"发生的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）若函数f（x）={width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A．{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"} C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}π D．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}π
10．（5分）设函数f（x）={width="0.9583333333333334in" height="0.4895833333333333in"}，若f（f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}））=4，则b=（ ）
A．1 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是 ．
{width="1.90625in" height="2.6881944444444446in"}
12．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.625in" height="0.65625in"}，则z=x+3y的最大值为 ．
13．（5分）过点P（1，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}= ．
14．（5分）定义运算"⊗"x⊗y={width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为 ．
15．（5分）过双曲线C：{width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 ．
{width="1.84375in" height="2.667361111111111in"}
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
---------------- -------------- ----------------
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
---------------- -------------- ----------------
（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，sin（A+B）={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，ac=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求sinA和c的值．
18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
{width="1.8229166666666667in" height="1.6875in"}
19．（12分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{{width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}}的前n项和为{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）={width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．
21．（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，且点（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：{width="0.7604166666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（Ⅰ）求{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的值；
（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
2015年陕西省高考数学试卷（理科）
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一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1．（5分）设集合M={x\|x2=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
{width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"}
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
{width="2.125in" height="1.4375in"}
A．5 B．6 C．8 D．10
4．（5分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
{width="1.5833333333333333in" height="1.4270833333333333in"}
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）对任意向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\| B．\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|﹣\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|
C．（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）2=\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|2 D．（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）•（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2
8．（5分）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
{width="1.3229166666666667in" height="3.104861111111111in"}
A．2 B．4 C．10 D．28
9．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），q=f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），r={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
12．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
14．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p= ．
15．（5分）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 ．
16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
{width="1.6979166666666667in" height="0.6041666666666666in"}
三、解答题，共5小题，共70分
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（a，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b）与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
{width="3.1881944444444446in" height="1.3229166666666667in"}
19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：
------------ ---- ---- ---- ----
T（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 40 60 80 20
------------ ---- ---- ---- ----
（1）求T的分布列与数学期望ET；
（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20．（12分）已知椭圆E：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
{width="1.7916666666666667in" height="1.3854166666666667in"}
21．（12分）设fn（x）是等比数列1，x，x2，...，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x{width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求⊙O的直径．
{width="1.65625in" height="0.9791666666666666in"}
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{width="0.6979166666666666in" height="0.8125in"}（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求{width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}+{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的最大值．
2015年陕西省高考数学试卷（文科）
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一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）
1．（5分）设集合M={x\|x2=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
{width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"}
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
4．（5分）设f（x）={width="1.0208333333333333in" height="0.5in"}，则f（f（﹣2））=（ ）
A．﹣1 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
{width="1.5833333333333333in" height="1.4270833333333333in"}
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（ ）
{width="1.3229166666666667in" height="3.0944444444444446in"}
A．1 B．2 C．5 D．10
8．（5分）对任意向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\| B．\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|﹣\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|
C．（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）2=\|{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}\|2 D．（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）•（{width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2
9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），q=f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），r={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．
14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 ．
{width="2.125in" height="1.4375in"}
15．（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为 ．
16．（5分）观察下列等式：
1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
...
据此规律，第n个等式可为 ．
三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（a，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b）与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=BC={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
{width="3.0944444444444446in" height="1.21875in"}
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求a的值．
19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
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日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
20．（12分）如图，椭圆E：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
{width="1.9375in" height="1.3645833333333333in"}
21．（12分）设fn（x）=x+x2+...+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n．
三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分\[选修4-1：几何证明选讲\]
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求⊙O的直径．
{width="1.65625in" height="0.9791666666666666in"}
\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{width="0.6979166666666666in" height="0.8125in"}（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
\[选修4-5：不等式选讲\]
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求{width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}+{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的最大值．
2015年上海市高考数学试卷（理科）
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一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= ．
2．（4分）若复数z满足3z+{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为{width="0.6979166666666666in" height="0.5104166666666666in"}解为{width="0.375in" height="0.40625in"}，则c1﹣c2= ．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则a= ．
5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 ．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x，则C2的渐近线方程为 ．
10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈\[0，2\]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
11．（4分）在（1+x+{width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．
12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= （元）．
13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，...，xm满足0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，且\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12（m≥2，m∈N\*），则m的最小值为 ．
14．在锐角三角形 A BC中，tanA={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）设z1，z2∈C，则"z1、z2中至少有一个数是虚数"是"z1﹣z2是虚数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）已知点A的坐标为（4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
18．（5分）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（n∈N\*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限{width="0.7708333333333334in" height="0.4895833333333333in"}=（ ）
A．﹣1 B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．1 D．2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
{width="1.7708333333333333in" height="1.5in"}
20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．
（1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t1，1\]上的最大值是否超过3？说明理由．
{width="1.5104166666666667in" height="0.8020833333333334in"}
21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2\|x1y2﹣x2y1\|；
（2）设l1与l2的斜率之积为﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求面积S的值．
22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N\*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0项是最大项，即a{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}≥an（n∈N\*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；
（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N\*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}∈（﹣2，2）．
23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈\[f（a），f（b）\]，存在x0∈\[a，b\]，使得f（x0）=c；
（3）证明："u0为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解，"的充要条件是"u0+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"，并证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
2015年上海市高考数学试卷（文科）
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一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）
1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为 ．
2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}，则A∩B= ．
3．（4分）若复数z满足3z+{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）={width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的反函数，则f﹣1（2）= ．
5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为{width="0.6979166666666666in" height="0.5104166666666666in"}解为{width="0.375in" height="0.40625in"}，则c1﹣c2= ．
6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则a= ．
7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 ．
9．（4分）若x，y满足{width="0.625in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．
10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
11．（4分）在（2x+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．
12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为 ．
13．（4分）已知平面向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，且\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|}={1，2，3}，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值是 ．
14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，...，xm满足0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，且\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12（m≥2，m∈N\*），则m的最小值为 ．
二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15．（5分）设z1、z2∈C，则"z1、z2均为实数"是"z1﹣z2是实数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）下列不等式中，与不等式{width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜2解集相同的是（ ）
A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）
C．{width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
17．（5分）已知点A的坐标为（4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
18．（5分）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（n∈N\*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限{width="0.7708333333333334in" height="0.4895833333333333in"}=（ ）
A．﹣1 B．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．1 D．2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的中点，E为劣弧{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．
{width="1.8125in" height="1.9791666666666667in"}
20．（14分）已知函数f（x）=ax2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，其中a为常数
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在\[1，2\]上的单调性，并说明理由．
21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．
（1）求t1与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t1，t2\]上的最大值是否超过3？说明理由．
{width="1.2291666666666667in" height="1.5625in"}
22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S={width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\|；
（2）设l1：y=kx，{width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，S={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求k的值；
（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．
23．（18分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N\*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N\*），求证：{bn}的第n0项是最大项；
（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N\*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N\*，an≠0，且{width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}．
2015年四川省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜1} C．{x\|1＜x＜2} D．{x\|2＜x＜3}
2．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=（ ）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
{width="0.96875in" height="3.136111111111111in"}
A．﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．y=cos（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） B．y=sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
5．（5分）过双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．6 D．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=6，\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=4，若点M、N满足{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如果函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字填写答案）．
12．（5分）sin15°+sin75°的值是 ．
13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时．
14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．
{width="1.1875in" height="1.34375in"}
15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m={width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}，n={width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3，...）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}}的前n项和为Tn，求使得\|Tn﹣1\|{width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立的n的最小值．
17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
{width="2.4791666666666665in" height="1.4583333333333333in"}
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+tan{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+tan{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+tan{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值．
{width="1.1458333333333333in" height="0.8541666666666666in"}
20．（13分）如图，椭圆E：{width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的离心率是{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得{width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
{width="1.4583333333333333in" height="1.0625in"}
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
2015年四川省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设集合M={x\|﹣1＜x＜2}，集合N={x\|1＜x＜3}，则M∪N=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜2} C．{x\|1＜x＜3} D．{x\|1＜x＜2}
2．（5分）设向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，4）与向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，6）共线，则实数x=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
4．（5分）设a，b为正实数，则"a＞b＞1"是"log2a＞log2b＞0"的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．y=cos（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） B．y=sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
{width="0.96875in" height="3.136111111111111in"}
A．﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）过双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．6 D．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时
9．（5分）设实数x，y满足{width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，则xy的最大值为（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．12 D．16
10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}= ．
12．（5分）lg0.01+log216的值是 ．
13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是 ．
14．（5分）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是 ．
15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m={width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}，n={width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3...）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}的前n项和为Tn，求Tn．
17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．
（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
-------- ------- ------- ------- ------- -------
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
-------- ------- ------- ------- ------- -------
（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
{width="3.1881944444444446in" height="1.7604166666666667in"}
（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．
19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求p的值．
20．（13分）如图，椭圆E：{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率是{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，点P（0，1）在短轴CD上，且{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣1
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
{width="1.4479166666666667in" height="1.5416666666666667in"}
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
2015年天津市高考数学试卷（理科）
================================
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（ ）
A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则目标函数z=x+6y的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．18 D．40
3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
{width="1.2916666666666667in" height="2.9277777777777776in"}
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
4．（5分）设x∈R，则"\|x﹣2\|＜1"是"x2+x﹣2＞0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
{width="1.28125in" height="1.2916666666666667in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．3 C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2\|x﹣m\|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）={width="1.1770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞） B．（﹣∞，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） C．（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） D．（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2）
二.填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
{width="2.573611111111111in" height="2.1458333333333335in"}
11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为 ．
12．（5分）在（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）6的展开式中，x2的系数为 ．
13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，b﹣c=2，cosA=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a的值为 ．
14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为 ．
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]内的最大值和最小值．
16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
（Ⅰ）设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求线段A1E的长．
{width="2.2083333333333335in" height="1.8645833333333333in"}
18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N\*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）设bn={width="0.65625in" height="0.4895833333333333in"}，n∈N\*，求数列{bn}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}截得的线段的长为c，\|FM\|={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求直线FM的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：\|x2﹣x1\|＜{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2．
2015年天津市高考数学试卷（文科）
================================
一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（ ）
A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}
2．（5分）若实数x，y满足条件{width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
{width="1.2916666666666667in" height="2.917361111111111in"}
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）设x∈R，则"1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1 D．x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
{width="1.28125in" height="1.2916666666666667in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．3 C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2\|x﹣m\|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）={width="1.1770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）i是虚数单位，计算{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的结果为 ．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．
{width="2.573611111111111in" height="2.1458333333333335in"}
11．（5分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为 ．
12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 时，log2a•log2（2b）取得最大值．
13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件"编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，b﹣c=2，cosA=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值．
17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AA1={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BB1=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
{width="1.3854166666666667in" height="2.511111111111111in"}
18．（13分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N\*，求数列{cn}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，\|PM\|=λ\|MQ\|．
（i）求λ的值．
（ii）若\|PM\|sin∠BQP={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求椭圆的方程．
20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}．
2015年浙江省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）
1．（5分）已知集合P={x\|x2﹣2x≥0}，Q={x\|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（ ）
A．\[0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．\[1，2\]
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
{width="1.7604166666666667in" height="2.5944444444444446in"}
A．8cm3 B．12cm3 C．{width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（ ）
A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0
4．（5分）命题"∀n∈N\*，f（n）∈N\*且f（n）≤n"的否定形式是（ ）
A．∀n∈N\*，f（n）∉N\*且f（n）＞n B．∀n∈N\*，f（n）∉N\*或f（n）＞n
C．∃n0∈N\*，f（n0）∉N\*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N\*，f（n0）∉N\*或f（n0）＞n0
5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
{width="1.2604166666666667in" height="1.46875in"}
A．{width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"} C．{width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}
6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：对任意有限集A，B，"A≠B"是"d（A，B）＞0"的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=\|x+1\| D．f（x2+2x）=\|x+1\|
8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
{width="1.3958333333333333in" height="1.3958333333333333in"}
A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．（6分）双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．
10．（6分）已知函数f（x）={width="1.34375in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是 ．
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a= ．
13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 ．
{width="1.4791666666666667in" height="1.28125in"}
14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值是 ．
15．（6分）已知{width="0.5729166666666666in" height="0.2708333333333333in"}是空间单位向量，{width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，若空间向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="1.3958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，且对于任意x，y∈R，{width="2.84375in" height="0.2708333333333333in"}=1（x0，y0∈R），则x0= ，y0= ，{width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}\|= ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，b2﹣a2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．
{width="1.625in" height="1.625in"}
18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值．
（1）证明：当\|a\|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求\|a\|+\|b\|的最大值．
19．（15分）已知椭圆{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}上两个不同的点A，B关于直线y=mx+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
{width="1.6041666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
20．（15分）已知数列{an}满足a1={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}且an+1=an﹣an2（n∈N\*）
（1）证明：1≤{width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}≤2（n∈N\*）；
（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明{width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}（n∈N\*）．
2015年浙江省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合P={x\|x2﹣2x≥3}，Q={x\|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A．\[3，4） B．（2，3\] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3\]
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
{width="1.7604166666666667in" height="2.5944444444444446in"}
A．8cm3 B．12cm3 C．{width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}
3．（5分）设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
A．{width="1.0625in" height="0.90625in"} B．{width="1.0729166666666667in" height="0.96875in"} C．{width="1.0729166666666667in" height="1.0208333333333333in"} D．{width="1.0625in" height="1.03125in"}
6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
{width="1.375in" height="0.9270833333333334in"}
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
8．（5分）设实数a，b，t满足\|a+1\|=\|sinb\|=t．则（ ）
A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定
C．若t确定，则sin{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9．（6分）计算：log2{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}= ，2{width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}= ．
10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1= ，d= ．
11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，最小值是 ．
12．（6分）已知函数f（x）={width="1.1145833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（﹣2））= ，f（x）的最小值是 ．
13．（4分）已知{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}1，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2是平面单位向量，且{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}1•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，若平面向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}1={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=1，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|= ．
14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值是 ．
15．（4分）椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+A）=2．
（Ⅰ）求{width="1.0208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}的值；
（Ⅱ）若B={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，a=3，求△ABC的面积．
17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N\*），b1+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b2+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b3+...+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bn=bn+1﹣1（n∈N\*）
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
{width="1.625in" height="1.625in"}
19．（15分）如图，已知抛物线C1：y={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
{width="2.2916666666666665in" height="1.375in"}
20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1时，求函数f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在\[﹣1，1\]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
2015年重庆市高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）
A．A=B B．A∩B=∅ C．A{width="0.1875in" height="0.3229166666666667in"}B D．B{width="0.1875in" height="0.3229166666666667in"}A
2．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
3．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
{width="1.75in" height="0.9375in"}
A．19 B．20 C．21.5 D．23
4．（5分）"x＞1"是"{width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}（x+2）＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.34375in" height="2.1666666666666665in"}
A．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）若非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，且（{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（3{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．π
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）
{width="1.4583333333333333in" height="3.5631944444444446in"}
A．s≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．s≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．s≤{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．s≤{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则\|AB\|=（ ）
A．2 B．6 C．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}
9．（5分）若tanα=2tan{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则{width="1.0416666666666667in" height="0.7604166666666666in"}=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（5分）设双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+{width="0.59375in" height="0.25in"}，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）∪（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） D．（﹣∞，﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）∪（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞）
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则（a+bi）（a﹣bi）= ．
12．（5分）{width="0.9375in" height="0.3854166666666667in"}的展开式中x8的系数是 （用数字作答）．
13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，A的角平分线AD={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则AC= ．
三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE= ．
{width="1.2708333333333333in" height="1.0520833333333333in"}
15．（5分）已知直线l的参数方程为{width="0.625in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为{width="2.8645833333333335in" height="0.3645833333333333in"}，则直线l与曲线C的交点的极坐标为 ．
16．若函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|的最小值为5，则实数a= ．
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
18．（13分）已知函数f（x）=sin（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）sinx﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在\[{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的单调性．
19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
{width="1.5in" height="1.4479166666666667in"}
20．（12分）设函数f（x）={width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在\[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
21．（12分）如题图，椭圆{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若\|PF1\|=2+{width="0.7604166666666666in" height="0.23958333333333334in"}\|=2﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若\|PF1\|=\|PQ\|，求椭圆的离心率e．
{width="2.3125in" height="1.7916666666666667in"}
22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若λ={width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+{width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜{width="0.4270833333333333in" height="0.2604166666666667in"}＜2+{width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}．
2015年重庆市高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
2．（5分）"x=1"是"x2﹣2x+1=0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（ ）
A．\[﹣3，1\] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3\]∪\[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
{width="1.75in" height="0.9375in"}
A．19 B．20 C．21.5 D．23
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{width="3.8340277777777776in" height="1.1145833333333333in"}
A．{width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）若tanα={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，tan（α+β）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则tanβ=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）已知非零向量{width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}满足\|{width="0.15625in" height="0.3229166666666667in"}\|=4\|{width="0.15625in" height="0.3229166666666667in"}\|，且{width="0.15625in" height="0.3229166666666667in"}⊥（{width="0.5208333333333334in" height="0.3229166666666667in"}）则{width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}的夹角为（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
{width="1.7916666666666667in" height="3.0527777777777776in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）设双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．±{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．±{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．±1 D．±{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
10．（5分）若不等式组{width="0.875in" height="0.65625in"}，表示的平面区域为三角形，且其面积等于{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）复数（1+2i）i的实部为 ．
12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 ．
13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，3sinA=2sinB，则c= ．
14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则{width="0.375in" height="0.1875in"}+{width="0.375in" height="0.1875in"}的最大值为 ．
15．（5分）在区间\[0，5\]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的回归方程{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}t+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程{width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}t+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}中
{width="2.875in" height="1.2395833333333333in"}．
18．（13分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈{width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求g（x）的值域．
19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x={width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
{width="1.7708333333333333in" height="1.4375in"}
21．（13分）如题图，椭圆{width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若\|PF1\|=2+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，\|PF2\|=2﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若\|PQ\|=λ\|PF1\|，且{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤λ＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，试确定椭圆离心率e的取值范围．
{width="2.1458333333333335in" height="1.5208333333333333in"}
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） B．（﹣3，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） C．（1，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） D．（{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，3）
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则\|x+yi\|=（ ）
A．1 B．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2
3．（5分）已知等差数列{a~n~}前9项的和为27，a~10~=8，则a~100~=（ ）
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）已知方程{width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） C．（0，3） D．（0，{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则它的表面积是（ ）
{width="1.4680555555555554in" height="1.5in"}
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（ ）
A．{width="1.5194444444444444in" height="1.25in"} B．{width="1.6284722222222223in" height="1.3972222222222221in"}
C．{width="1.551388888888889in" height="1.3784722222222223in"} D．{width="1.5638888888888889in" height="1.3652777777777778in"}
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．a^c^＜b^c^ B．ab^c^＜ba^c^
C．alog~b~c＜blog~a~c D．log~a~c＜log~b~c
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
{width="1.948611111111111in" height="3.345833333333333in"}
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知\|AB\|=4{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，\|DE\|=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|≤{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），x=﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为f（x）的零点，x={width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13．（5分）设向量{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，1），{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2），且\|{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=\|{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）（2x+{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）^5^的展开式中，x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字填写答案）
15．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5，则a~1~a~2~...a~n~的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[ ]{.underline}元．
**三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c={width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，△ABC的面积为{width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
{width="2.4618055555555554in" height="1.0194444444444444in"}
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
{width="3.2375in" height="2.0708333333333333in"}
20．（12分）设圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明\|EA\|+\|EB\|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C~1~，直线l交C~1~于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，证明：x~1~+x~2~＜2．
**请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
{width="1.7375in" height="0.9805555555555555in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集．
{width="2.904166666666667in" height="2.7180555555555554in"}
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
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**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a={width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，c=2，cosA={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则b=（ ）
A．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．2 D．3
5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则该椭圆的离心率为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）将函数y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象向右平移{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
C．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） D．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则它的表面积是（ ）
{width="1.4680555555555554in" height="1.5in"}
A．17π B．18π C．20π D．28π
8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．log~a~c＜log~b~c B．log~c~a＜log~c~b C．a^c^＜b^c^ D．c^a^＞c^b^
9．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（ ）
A．{width="1.5194444444444444in" height="1.25in"} B．{width="1.6284722222222223in" height="1.3972222222222221in"}
C．{width="1.551388888888889in" height="1.3784722222222223in"} D．{width="1.5638888888888889in" height="1.3652777777777778in"}
10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
{width="1.948611111111111in" height="3.345833333333333in"}
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）若函数f（x）=x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，1\] B．\[﹣1，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[﹣1，﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分**
13．（5分）设向量{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x，x+1），{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2），且{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则x=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则tan（θ﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若\|AB\|=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则圆C的面积为[ ]{.underline}．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[ ]{.underline}元．
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）已知{a~n~}是公差为3的等差数列，数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求{b~n~}的前n项和．
18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
{width="2.2625in" height="1.6791666666666667in"}
19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
{width="4.313888888888889in" height="2.154166666666667in"}
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y^2^=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（Ⅰ）求{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
{width="1.7375in" height="0.9805555555555555in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集．
{width="2.904166666666667in" height="2.7180555555555554in"}
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
=============================================
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a={width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，c=2，cosA={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则b=（ ）
A．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．2 D．3
5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则该椭圆的离心率为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）将函数y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象向右平移{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=2sin（2x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
C．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） D．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则它的表面积是（ ）
{width="1.4680555555555554in" height="1.5in"}
A．17π B．18π C．20π D．28π
8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．log~a~c＜log~b~c B．log~c~a＜log~c~b C．a^c^＜b^c^ D．c^a^＞c^b^
9．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（ ）
A．{width="1.5194444444444444in" height="1.25in"} B．{width="1.6284722222222223in" height="1.3972222222222221in"}
C．{width="1.551388888888889in" height="1.3784722222222223in"} D．{width="1.5638888888888889in" height="1.3652777777777778in"}
10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
{width="1.948611111111111in" height="3.345833333333333in"}
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）若函数f（x）=x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，1\] B．\[﹣1，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[﹣1，﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分**
13．（5分）设向量{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x，x+1），{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2），且{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则x=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则tan（θ﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=[ ]{.underline}．
15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若\|AB\|=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则圆C的面积为[ ]{.underline}．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[ ]{.underline}元．
**三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）已知{a~n~}是公差为3的等差数列，数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求{b~n~}的前n项和．
18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
{width="2.2625in" height="1.6791666666666667in"}
19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
{width="4.313888888888889in" height="2.154166666666667in"}
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y^2^=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（Ⅰ）求{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
{width="1.7375in" height="0.9805555555555555in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集．
{width="2.904166666666667in" height="2.7180555555555554in"}
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
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**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量{width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（1，m），{width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2），且（{width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}+{width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}）⊥{width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
{width="3.7625in" height="1.2305555555555556in"}
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
{width="1.9618055555555556in" height="1.7625in"}
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） B．x={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）
C．x={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） D．x={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
{width="1.4618055555555556in" height="3.602777777777778in"}
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则sin2α=（ ）
A．{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}
10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A．{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}
11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：{width="0.22430555555555556in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22430555555555556in" height="0.4875in"}=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则E的离心率为（ ）
A．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则{width="0.22430555555555556in" height="0.48055555555555557in"}（x~i~+y~i~）=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC={width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，a=1，则b=[ ]{.underline}．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是[ ]{.underline}（填序号）
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ ]{.underline}．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1．
（Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′={width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
{width="2.2180555555555554in" height="1.3784722222222223in"}
20．（12分）已知椭圆E：{width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}+{width="0.22430555555555556in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）={width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）={width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
**请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
{width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是{width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|={width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x+{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
===============================================
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则{width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
{width="1.5451388888888888in" height="1.8333333333333333in"}
A．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=2sin（2x﹣{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
C．y=2sin（x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） D．y=2sin（x+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π B．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}π C．8π D．4π
5．（5分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，曲线y={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．1 C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．2
6．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
{width="1.9618055555555556in" height="1.7625in"}
A．20π B．24π C．28π D．32π
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
{width="1.4618055555555556in" height="3.602777777777778in"}
A．7 B．12 C．17 D．34
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx^的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2^x^ D．y={width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}x~i~=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知向量{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，4），{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2），且{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}∥{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}，则z=x﹣2y的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC={width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，a=1，则b=[ ]{.underline}．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=\[a~n~\]，求数列{b~n~}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[2.6\]=2．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，OD′=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
{width="2.25in" height="1.4361111111111111in"}
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
21．（12分）已知A是椭圆E：{width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+{width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积
（II）当2\|AM\|=\|AN\|时，证明：{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}＜k＜2．
**请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
{width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"}
**\[选项4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是{width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|={width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x+{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
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**一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合S={x\|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x\|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣∞，2\]∪\[3，+∞）
C．\[3，+∞） D．（0，2\]∪\[3，+∞）
2．（5分）若z=1+2i，则{width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）已知向量{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
{width="3.063888888888889in" height="2.936111111111111in"}
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．（5分）若tanα={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则cos^2^α+2sin2α=（ ）
A．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）已知a={width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，b={width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c={width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
{width="1.6861111111111111in" height="4.384722222222222in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）在△ABC中，B={width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高等于{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC，则cosA等于（ ）
A．{width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．﹣{width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．﹣{width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
{width="3.3652777777777776in" height="1.6472222222222221in"}
{width="3.3652777777777776in" height="1.6284722222222223in"}
A．18+36{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．54+18{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．90 D．81
10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B．{width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} C．6π D．{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}
11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）定义"规范01数列"{a~n~}如下：{a~n~}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a~1~，a~2~，...，a~k~中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的"规范01数列"共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.8784722222222222in" height="0.6541666666666667in"}，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）函数y=sinx﹣{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象可由函数y=sinx+{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象至少向右平移[ ]{.underline}个单位长度得到．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若\|AB\|=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则\|CD\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=1+λa~n~，其中λ≠0．
（1）证明{a~n~}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S~5~={width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，求λ．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}y~i~=9.32，{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}t~i~y~i~=40.17，{width="1.0194444444444444in" height="0.5in"}=0.55，{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}≈2.646．
参考公式：相关系数r={width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}，
回归方程{width="0.10277777777777777in" height="0.21805555555555556in"}={width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}={width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}，{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}={width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}{width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}．
{width="3.7118055555555554in" height="2.397222222222222in"}
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
{width="1.801388888888889in" height="1.5833333333333333in"}
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记\|f（x）\|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：\|f′（x）\|≤2A．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
{width="1.5451388888888888in" height="1.551388888888889in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
===============================================
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B=（ ）
A．{4，8} B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
2．（5分）若z=4+3i，则{width="0.3013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=（ ）
A．1 B．﹣1 C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}i D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}i
3．（5分）已知向量{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
{width="3.063888888888889in" height="2.936111111111111in"}
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
A．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}
6．（5分）若tanθ={width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2θ=（ ）
A．{width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
7．（5分）已知a={width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，b={width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c={width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
{width="1.6861111111111111in" height="4.384722222222222in"}
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）在△ABC中，B={width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高等于{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC，则sinA=（ ）
A．{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
{width="3.3652777777777776in" height="3.345833333333333in"}
A．18+36{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．54+18{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．90 D．81
11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B．{width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} C．6π D．{width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+{width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.8784722222222222in" height="0.6472222222222223in"}，则z=2x+3y﹣5的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）函数y=sinx﹣{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移[ ]{.underline}个单位长度得到．
15．（5分）已知直线l：x﹣{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y+6=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则\|CD\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共5小题，满分60分）**
17．（12分）已知各项都为正数的数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0．
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}y~i~=9.32，{width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}t~i~y~i~=40.17，{width="1.0194444444444444in" height="0.5in"}=0.55，{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}≈2.646．
参考公式：相关系数r={width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}，
回归方程{width="0.10277777777777777in" height="0.21805555555555556in"}={width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}={width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}，{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}={width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣{width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}{width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}．
{width="3.7118055555555554in" height="2.397222222222222in"}
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
{width="1.9166666666666667in" height="1.7180555555555554in"}
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜{width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中{width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
{width="1.5451388888888888in" height="1.551388888888889in"}
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为{width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+{width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2{width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
2016年北京市高考数学试卷（理科）
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**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）若x，y满足{width="0.7131944444444445in" height="0.6479166666666667in"}，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）
{width="1.9631944444444445in" height="3.2131944444444445in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）设{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}，{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}是向量，则"\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|=\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|"是"\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}+{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|=\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}﹣{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3798611111111111in"}＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^x^﹣（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^y^＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
{width="2.51875in" height="2.379861111111111in"}
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．1
7．（5分）将函数y=sin（2x﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）图象上的点P（{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，s的最小值为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} B．t={width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}，s的最小值为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
C．t={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，s的最小值为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} D．t={width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}，s的最小值为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=[ ]{.underline}．
10．（5分）在（1﹣2x）^6^的展开式中，x^2^的系数为[ ]{.underline}．（用数字作答）
11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则\|AB\|=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和．若a~1~=6，a~3~+a~5~=0，则S~6~=[ ]{.underline}．
13．（5分）双曲线{width="0.23125in" height="0.48125in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）设函数f（x）={width="1.0743055555555556in" height="0.4909722222222222in"}．
①若a=0，则f（x）的最大值为[ ]{.underline}；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}cosA+cosC的最大值．
16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
----- ----------------------------
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
----- ----------------------------
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ~1~，表格中数据的平均数记为μ~0~，试判断μ~0~和μ~1~的大小．（结论不要求证明）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD={width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}的值，若不存在，说明理由．
{width="2.0833333333333335in" height="1.8979166666666667in"}
18．（13分）设函数f（x）=xe^a﹣x^+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14分）已知椭圆C：{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：\|AN\|•\|BM\|为定值．
20．（13分）设数列A：a~1~，a~2~，...，a~N~ （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a~k~＜a~n~，则称n是数列A的一个"G时刻"，记G（A）是数列A的所有"G时刻"组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a~n~使得a~n~＞a~1~，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a~n~﹣a~n﹣1~≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于a~N~﹣a~1~．
2016年北京市高考数学试卷（文科）
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**一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）**
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）
A．{x\|2＜x＜5} B．{x\|x＜4或x＞5} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|x＜2或x＞5}
2．（5分）复数{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}=（ ）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
{width="1.8888888888888888in" height="2.592361111111111in"}
A．8 B．9 C．27 D．36
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）
A．y={width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2^﹣x^
5．（5分）圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A．1 B．2 C．{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"} D．2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
**二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）**
9．（5分）已知向量{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}=（1，{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}），{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}=（{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，1），则{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}与{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}夹角的大小为[ ]{.underline}．
10．（5分）函数f（x）={width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}（x≥2）的最大值为[ ]{.underline}．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为[ ]{.underline}．
{width="2.0in" height="1.9909722222222221in"}
12．（5分）已知双曲线{width="0.23125in" height="0.48125in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，0），则a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（5分）在△ABC中，∠A={width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}，a={width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}c，则{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}=[ ]{.underline}．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有[ ]{.underline}种；
②这三天售出的商品最少有[ ]{.underline}种．
**三、解答题（共6小题，满分80分）**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，{b~n~}是等比数列，且b~2~=3，b~3~=9，a~1~=b~1~，a~14~=b~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设c~n~=a~n~+b~n~，求数列{c~n~}的前n项和．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
{width="3.3520833333333333in" height="1.9166666666666667in"}
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
{width="1.9256944444444444in" height="1.5645833333333334in"}
19．（14分）已知椭圆C：{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
20．（13分）设函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
2016年天津市高考数学试卷（理科）
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**一、选择题**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y\|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.9631944444444445in" height="0.6576388888888889in"}，则目标函数z=2x+5y的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）在△ABC中，若AB={width="0.2965277777777778in" height="0.18541666666666667in"}，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
{width="2.129861111111111in" height="3.7222222222222223in"}
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）设{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q，则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3333333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1 B．{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3333333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1 C．{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1 D．{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}的值为（ ）
A．﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
8．（5分）已知函数f（x）={width="1.7409722222222221in" height="0.5277777777777778in"}（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\] B．\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\] C．\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\]∪{{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}} D．\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）∪{{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}}
**二、填空题**
9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}的值为[ ]{.underline}．
10．（5分）（x^2^﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^8^的展开式中x^7^的系数为[ ]{.underline}（用数字作答）
11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
[ ]{.underline}m^3^
{width="2.407638888888889in" height="2.4631944444444445in"}
12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}．
{width="1.2777777777777777in" height="1.1666666666666667in"}
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}），则a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）设抛物线{width="0.6576388888888889in" height="0.4722222222222222in"}（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}p，0），AF与BC相交于点E．若\|CF\|=2\|AF\|，且△ACE的面积为3{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，则p的值为[ ]{.underline}．
**三、计算题**
15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}﹣x）cos（x﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）﹣{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间\[﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}\]上的单调性．
16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件"选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；
（ II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
{width="1.7777777777777777in" height="1.9444444444444444in"}
18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项．
（1）设c~n~=b~n+1~^2^﹣b~n~^2^，n∈N^+^，求证：数列{c~n~}是等差数列；
（2）设a~1~=d，T~n~={width="0.23125in" height="0.48125in"}（﹣1）^k^b~k~^2^，n∈N^\*^，求证：{width="0.4444444444444444in" height="0.48125in"}＜{width="0.3333333333333333in" height="0.42569444444444443in"}．
19．（14分）设椭圆{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1（a＞{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}）的右焦点为F，右顶点为A．已知{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
2016年天津市高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y\|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，甲获胜的概率是{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，则甲不输的概率为（ ）
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}
3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
{width="0.6576388888888889in" height="2.1756944444444444in"}
A．{width="0.6576388888888889in" height="1.01875in"} B．{width="0.6479166666666667in" height="1.0090277777777779in"} C．{width="0.6576388888888889in" height="1.01875in"} D．{width="0.6479166666666667in" height="1.0090277777777779in"}
4．（5分）已知双曲线{width="0.23125in" height="0.48125in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣y^2^=1 B．x^2^﹣{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1
C．{width="0.3333333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3333333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1 D．{width="0.3333333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.3145833333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1
5．（5分）设x＞0，y∈R，则"x＞y"是"x＞\|y\|"的 （ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}） B．（﹣∞，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）∪（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，+∞） C．（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}） D．（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，+∞）
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}的值为（ ）
A．﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
8．（5分）已知函数f（x）=sin^2^{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}sinωx﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\] B．（0，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\]∪\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，1） C．（0，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\] D．（0，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\]∪\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}\]
**二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分**
9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）e^x^，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为[ ]{.underline}．
11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为[ ]{.underline}．
{width="1.5in" height="4.259027777777778in"}
12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为{width="0.3423611111111111in" height="0.3888888888888889in"}，则圆C的方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[ ]{.underline}．
{width="1.2777777777777777in" height="1.1666666666666667in"}
14．（5分）已知函数f（x）={width="1.7409722222222221in" height="0.5277777777777778in"}（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，80分**
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B={width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，求sinC的值．
16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
----------- --- --- ----
肥料 原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
----------- --- --- ----
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE={width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
{width="2.435416666666667in" height="1.98125in"}
18．（13分）已知{a~n~}是等比数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}={width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}，S~6~=63．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^\*^，b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项，求数列{（﹣1）^n^b{width="0.19444444444444445in" height="0.2777777777777778in"}}的前2n项和．
19．（14分）设椭圆{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1（a＞{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}）的右焦点为F，右顶点为A，已知{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
20．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
2016年江苏省高考数学试卷
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**一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）**
1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x\|﹣2＜x＜3}，则A∩B=[ ]{.underline}．
2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是[ ]{.underline}．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4354166666666667in"}=1的焦距是[ ]{.underline}．
4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是[ ]{.underline}．
5．（5分）函数y={width="0.7409722222222223in" height="0.25in"}的定义域是[ ]{.underline}．
6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是[ ]{.underline}．
{width="2.129861111111111in" height="2.861111111111111in"}
7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是[ ]{.underline}．
8．（5分）已知{a~n~}是等差数列，S~n~是其前n项和，若a~1~+a~2~^2^=﹣3，S~5~=10，则a~9~的值是[ ]{.underline}．
9．（5分）定义在区间\[0，3π\]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是[ ]{.underline}．
10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是[ ]{.underline}．
{width="2.046527777777778in" height="1.2131944444444445in"}
11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间\[﹣1，1）上，f（x）={width="1.3611111111111112in" height="0.6298611111111111in"}，其中a∈R，若f（﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）=f（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}），则f（5a）的值是[ ]{.underline}．
12．（5分）已知实数x，y满足{width="0.8798611111111111in" height="0.6576388888888889in"}，则x^2^+y^2^的取值范围是[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}=4，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}=﹣1，则{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}的值是[ ]{.underline}．
{width="1.5465277777777777in" height="1.4256944444444444in"}
14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是[ ]{.underline}．
**二、解答题（共6小题，满分90分）**
15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，C={width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B~1~B上，且B~1~D⊥A~1~F，A~1~C~1~⊥A~1~B~1~．求证：
（1）直线DE∥平面A~1~C~1~F；
（2）平面B~1~DE⊥平面A~1~C~1~F．
{width="1.5090277777777779in" height="1.8423611111111111in"}
17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A~1~B~1~C~1~D~1~，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~（如图所示），并要求正四棱柱的高O~1~O是正四棱锥的高PO~1~的4倍．
（1）若AB=6m，PO~1~=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO~1~为多少时，仓库的容积最大？
{width="1.6576388888888889in" height="1.75in"}
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x^2^+y^2^﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}+{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}，求实数t的取值范围．
{width="1.4444444444444444in" height="1.4166666666666667in"}
19．（16分）已知函数f（x）=a^x^+b^x^（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
20．（16分）记U={1，2，...，100}，对数列{a~n~}（n∈N^\*^）和U的子集T，若T=∅，定义S~T~=0；若T={t~1~，t~2~，...，t~k~}，定义S~T~={width="0.26875in" height="0.2590277777777778in"}+{width="0.26875in" height="0.2590277777777778in"}+...+{width="0.26875in" height="0.2590277777777778in"}．例如：T={1，3，66}时，S~T~=a~1~+a~3~+a~66~．现设{a~n~}（n∈N^\*^）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S~T~=30．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，...，k}，求证：S~T~＜a~k+1~；
（3）设C⊆U，D⊆U，S~C~≥S~D~，求证：S~C~+S~C∩D~≥2S~D~．
**附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4---1几何证明选讲】**
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
{width="2.2131944444444445in" height="1.0743055555555556in"}
**B.【选修4---2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知矩阵A={width="0.5in" height="0.39791666666666664in"}，矩阵B的逆矩阵B^﹣1^={width="0.5555555555555556in" height="0.5923611111111111in"}，求矩阵AB．
**C.【选修4---4：坐标系与参数方程】**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{width="0.6944444444444444in" height="0.8145833333333333in"}（t为参数），椭圆C的参数方程为{width="0.7965277777777777in" height="0.4076388888888889in"}（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
24．设a＞0，\|x﹣1\|＜{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，\|y﹣2\|＜{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，求证：\|2x+y﹣4\|＜a．
**附加题【必做题】**
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y^2^=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．
{width="1.4256944444444444in" height="1.5465277777777777in"}
26．（10分）（1）求7C{width="0.19444444444444445in" height="0.2777777777777778in"}﹣4C{width="0.19444444444444445in" height="0.2777777777777778in"}的值；
（2）设m，n∈N^\*^，n≥m，求证：（m+1）C{width="0.19444444444444445in" height="0.2777777777777778in"}+（m+2）C{width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}+（m+3）C{width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}+...+nC{width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}+（n+1）C{width="0.19444444444444445in" height="0.2777777777777778in"}=（m+1）C{width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}．
2016年浙江省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合P={x∈R\|1≤x≤3}，Q={x∈R\|x^2^≥4}，则P∪（∁~R~Q）=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣2，3\] C．\[1，2） D．（﹣∞，﹣2\]∪\[1，+∞）
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域{width="0.8798611111111111in" height="0.6479166666666667in"}中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则\|AB\|=（ ）
A．2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"} B．4 C．3{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"} D．6
4．（5分）命题"∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ B．∀x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
C．∃x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ D．∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
5．（5分）设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
6．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）{width="2.1944444444444446in" height="1.2965277777777777in"}
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
7．（5分）已知椭圆{width="1.5923611111111111in" height="0.48125in"}与双曲线C~2~：{width="0.23125in" height="0.48125in"}﹣y^2^=1（n＞0）的焦点重合，e~1~，e~2~分别为C~1~，C~2~的离心率，则（ ）
A．m＞n且e~1~e~2~＞1 B．m＞n且e~1~e~2~＜1 C．m＜n且e~1~e~2~＞1 D．m＜n且e~1~e~2~＜1
8．（5分）已知实数a，b，c．（ ）
A．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
B．若\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
C．若\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
D．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．**
9．（4分）若抛物线y^2^=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是[ ]{.underline}．
10．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ ]{.underline}cm^2^，体积是[ ]{.underline}cm^3^．
{width="1.6111111111111112in" height="1.9444444444444444in"}
12．（6分）已知a＞b＞1，若log~a~b+log~b~a={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，a^b^=b^a^，则a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（6分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^，则a~1~=[ ]{.underline}，S~5~=[ ]{.underline}．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是[ ]{.underline}．
{width="2.138888888888889in" height="1.0277777777777777in"}
15．（4分）已知向量{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}，{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}，\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|=1，\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|=2，若对任意单位向量{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}，均有\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|+\|{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}\|≤{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，则{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S={width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}，求角A的大小．
17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
{width="1.6020833333333333in" height="0.9722222222222222in"}
18．（15分）已知a≥3，函数F（x）=min{2\|x﹣1\|，x^2^﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）={width="0.7131944444444445in" height="0.4722222222222222in"}
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a）
19．（15分）如图，设椭圆C：{width="0.23125in" height="0.48125in"}+y^2^=1（a＞1）
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
{width="2.0833333333333335in" height="1.4631944444444445in"}
20．（15分）设数列满足\|a~n~﹣{width="0.3611111111111111in" height="0.42569444444444443in"}\|≤1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求证：\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^）
（Ⅱ）若\|a~n~\|≤（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^n^，n∈N^\*^，证明：\|a~n~\|≤2，n∈N^\*^．
2016年浙江省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁~U~P）∪Q=（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）函数y=sinx^2^的图象是（ ）
A．{width="1.25in" height="1.0833333333333333in"} B．{width="1.2222222222222223in" height="1.0833333333333333in"} C．{width="1.25in" height="1.0833333333333333in"} D．{width="1.25in" height="1.0833333333333333in"}
4．（5分）若平面区域{width="0.8888888888888888in" height="0.6666666666666666in"}，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}
5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log~a~b＞1，则（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
6．（5分）已知函数f（x）=x^2^+bx，则"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥\|x\|且f（x）≥2^x^，x∈R．（ ）
A．若f（a）≤\|b\|，则a≤b B．若f（a）≤2^b^，则a≤b
C．若f（a）≥\|b\|，则a≥b D．若f（a）≥2^b^，则a≥b
8．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）{width="2.1944444444444446in" height="1.3055555555555556in"}
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
**二、填空题**
9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ ]{.underline}cm^2^，体积是[ ]{.underline}cm^3^．
{width="1.6388888888888888in" height="1.8888888888888888in"}
10．（6分）已知a∈R，方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是[ ]{.underline}，半径是[ ]{.underline}．
11．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
12．（6分）设函数f（x）=x^3^+3x^2^+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^，x∈R，则实数a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（4分）设双曲线x^2^﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.4444444444444444in"}=1的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，若点P在双曲线上，且△F~1~PF~2~为锐角三角形，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD={width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[ ]{.underline}．
{width="1.4722222222222223in" height="1.3611111111111112in"}
15．（4分）已知平面向量{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，\|{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}\|=1，\|{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}\|=2，{width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}=1，若{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}为平面单位向量，则\|{width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}\|+\|{width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}\|的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，求cosC的值．
17．（15分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求通项公式a~n~；
（Ⅱ）求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和．
18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
{width="1.5in" height="1.1388888888888888in"}
19．（15分）如图，设抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于\|AF\|﹣1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
{width="1.8055555555555556in" height="1.7777777777777777in"}
20．（15分）设函数f（x）=x^3^+{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}，x∈\[0，1\]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x^2^
（Ⅱ）{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}＜f（x）≤{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
2016年山东省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）若复数z满足2z+{width="0.1111111111111111in" height="0.19444444444444445in"}=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）设集合A={y\|y=2^x^，x∈R}，B={x\|x^2^﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是\[17.5，30\]，样本数据分组为\[17.5，20），\[20，22.5），\[22.5，25），\[25，27.5），\[27.5，30\]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
{width="3.0555555555555554in" height="1.7777777777777777in"}
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）若变量x，y满足{width="0.8055555555555556in" height="0.6388888888888888in"}，则x^2^+y^2^的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
{width="2.0277777777777777in" height="2.6944444444444446in"}
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}π B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.25in" height="0.3888888888888889in"}π C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.25in" height="0.3888888888888889in"}π D．1+{width="0.25in" height="0.3888888888888889in"}π
6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）函数f（x）=（{width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}sinx+cosx）（{width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} B．π C．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} D．2π
8．（5分）已知非零向量{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}满足4\|{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}\|=3\|{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}\|，cos＜{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}＞={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．若{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}⊥（t{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}+{width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} D．﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}
9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}时，f（x+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）=f（x﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x^ D．y=x^3^
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为[ ]{.underline}．
{width="1.9722222222222223in" height="3.138888888888889in"}
12．（5分）若（ax^2^+{width="0.25in" height="0.3888888888888889in"}）^5^的展开式中x^5^的系数是﹣80，则实数a=[ ]{.underline}．
13．（5分）已知双曲线E：{width="0.2222222222222222in" height="0.4722222222222222in"}﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.5in"}=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2\|AB\|=3\|BC\|，则E的离心率是[ ]{.underline}．
14．（5分）在\[﹣1，1\]上随机地取一个数k，则事件"直线y=kx与圆（x﹣5）^2^+y^2^=9相交"发生的概率为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数f（x）={width="1.4166666666666667in" height="0.5in"}，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题,：本大题共6小题，共75分.**
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}AC=2{width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
{width="1.5555555555555556in" height="1.1666666666666667in"}
18．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=3n^2^+8n，{b~n~}是等差数列，且a~n~=b~n~+b~n+1~．
（Ⅰ）求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令c~n~={width="0.8333333333333334in" height="0.5833333333333334in"}，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
19．（12分）甲、乙两人组成"星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则"星队"得3分；如果只有一个人猜对，则"星队"得1分；如果两人都没猜对，则"星队"得0分．已知甲每轮猜对的概率是{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，乙每轮猜对的概率是{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设"星队"参加两轮活动，求：
（I）"星队"至少猜对3个成语的概率；
（II）"星队"两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+{width="0.3888888888888889in" height="0.4166666666666667in"}，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}对于任意的x∈\[1，2\]成立．
21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：{width="0.2222222222222222in" height="0.4722222222222222in"}+{width="0.2222222222222222in" height="0.5in"}=1（a＞b＞0）的离心率是{width="0.25in" height="0.3888888888888889in"}，抛物线E：x^2^=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S~1~，△PDM的面积为S~2~，求{width="0.2222222222222222in" height="0.4722222222222222in"}的最大值及取得最大值时点P的坐标．
{width="1.8055555555555556in" height="1.25in"}
2016年山东省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
2．（5分）若复数z={width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}，其中i为虚数单位，则{width="0.10208333333333333in" height="0.18541666666666667in"}=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是\[17.5，30\]，样本数据分组为\[17.5，20），\[20，22.5），\[22.5，25），\[25，27.5），\[27.5，30\]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
{width="3.064583333333333in" height="1.7777777777777777in"}
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）若变量x，y满足{width="0.7965277777777777in" height="0.6479166666666667in"}，则x^2^+y^2^的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
{width="2.0277777777777777in" height="2.685416666666667in"}
A．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}π B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}π C．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}π D．1+{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"}π
6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知圆M：x^2^+y^2^﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，则圆M与圆N：（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a^2^=2b^2^（1﹣sinA），则A=（ ）
A．{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} D．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}
9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}时，f（x+{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）=f（x﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x^ D．y=x^3^
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为[ ]{.underline}．
{width="2.1944444444444446in" height="3.5277777777777777in"}
12．（5分）观察下列等式：
（sin{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}×1×2；
（sin{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+sin（{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}×2×3；
（sin{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+...+sin（{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}×3×4；
（sin{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+...+sin（{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}×4×5；
...
照此规律，
（sin{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+（sin{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^+...+（sin{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^﹣2^=[ ]{.underline}．
13．（5分）已知向量{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}=（1，﹣1），{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}=（6，﹣4），若{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}⊥（t{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}+{width="0.10208333333333333in" height="0.21319444444444444in"}），则实数t的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知双曲线E：{width="0.23125in" height="0.48125in"}﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2\|AB\|=3\|BC\|，则E的离心率是[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数f（x）={width="1.4076388888888889in" height="0.4909722222222222in"}，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分**
16．（12分）某儿童节在"六一"儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
{width="1.0645833333333334in" height="1.6111111111111112in"}
17．（12分）设f（x）=2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）^2^．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）的值．
18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
{width="1.6020833333333333in" height="1.8333333333333333in"}
19．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=3n^2^+8n，{b~n~}是等差数列，且a~n~=b~n~+b~n+1~．
（Ⅰ）求数列{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令c~n~={width="0.8423611111111111in" height="0.5833333333333334in"}，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax^2^+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．
21．（14分）已知椭圆 {width="1.7590277777777779in" height="0.4909722222222222in"}的长轴长为4，焦距为{width="0.3145833333333333in" height="0.18541666666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明{width="0.23125in" height="0.48125in"}为定值；
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
{width="2.0743055555555556in" height="1.5in"}
2016年四川省高考数学试卷（理科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为（ ）
A．﹣15x^4^ B．15x^4^ C．﹣20ix^4^ D．20ix^4^
3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度 B．向右平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度
C．向左平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度 D．向右平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度
4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
{width="2.092361111111111in" height="4.157638888888889in"}
A．9 B．18 C．20 D．35
7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2，q：实数x，y满足{width="0.6298611111111111in" height="0.6576388888888889in"}，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y^2^=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且\|PM\|=2\|MF\|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"} B．{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.24097222222222223in" height="0.3888888888888889in"} D．1
9．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）={width="1.2131944444444445in" height="0.4444444444444444in"}图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足{width="0.39791666666666664in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.39791666666666664in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.39791666666666664in" height="0.21319444444444444in"}，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}=﹣2，动点P，M满足{width="0.39791666666666664in" height="0.21319444444444444in"}=1，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}，则\|{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}\|^2^的最大值是（ ）
A．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.5923611111111111in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.6756944444444445in" height="0.3888888888888889in"}
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"}﹣{width="0.5833333333333334in" height="0.3611111111111111in"}=[ ]{.underline}．
12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是[ ]{.underline}．
13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}．
{width="1.4722222222222223in" height="0.8611111111111112in"}
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）+f（2）=[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（{width="0.51875in" height="0.4444444444444444in"}，{width="0.51875in" height="0.4354166666666667in"}）；当P是原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面曲线C上所有点的"伴随点"所构成的曲线C′定义为曲线C的"伴随曲线"．现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A；
②单位圆的"伴随曲线"是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线"C′关于y轴对称；
④一条直线的"伴随曲线"是一条直线．
其中的真命题是[ ]{.underline}（写出所有真命题的序列）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
{width="3.296527777777778in" height="2.064583333333333in"}
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}bc，求tanB．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
{width="1.8243055555555556in" height="1.4444444444444444in"}
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，求a~n~的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣{width="0.23125in" height="0.5465277777777777in"}=1的离心率为e~n~，且e~2~={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，证明：e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞{width="0.51875in" height="0.48125in"}．
20．（13分）已知椭圆E：{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，并求λ的值．
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}﹣e^1﹣x^在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718...为自然对数的底数）．
2016年四川省高考数学试卷（文科）
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**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）^2^=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
2．（5分）设集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度 B．向右平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度
C．向上平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度 D．向下平行移动{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}个单位长度
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a为函数f（x）=x^3^﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
{width="1.98125in" height="4.055555555555555in"}
A．35 B．20 C．18 D．9
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，平面ABC内的动点P，M满足\|{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}\|=1，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}={width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}，则\|{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}\|^2^的最大值是（ ）
A．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} B．{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"} C．{width="0.5923611111111111in" height="0.3888888888888889in"} D．{width="0.6756944444444445in" height="0.3888888888888889in"}
10．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）={width="1.2131944444444445in" height="0.4444444444444444in"}图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
11．（5分）sin750°=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}．
{width="2.2131944444444445in" height="1.9166666666666667in"}
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log~a~b为整数的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）+f（2）=[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（{width="0.51875in" height="0.4444444444444444in"}，{width="0.51875in" height="0.4354166666666667in"}），当P是原点时，定义"伴随点"为它自身，现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A．
②单元圆上的"伴随点"还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的"伴随点"关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的"伴随点"一定共线．
其中的真命题是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5\]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
{width="3.342361111111111in" height="2.111111111111111in"}
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}AD．
{width="1.76875in" height="1.3979166666666667in"}
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+{width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}bc，求tanB．
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^+^
（Ⅰ）若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣{width="0.3145833333333333in" height="0.5465277777777777in"}=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，求e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^．
20．（13分）已知椭圆E：{width="0.23125in" height="0.48125in"}+{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（{width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣ln x，g（x）={width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}﹣{width="0.23125in" height="0.42569444444444443in"}，其中a∈R，e=2.718^...^为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
2016年上海市高考数学试卷（理科）
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**一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.**
1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[ ]{.underline}．
2．（4分）设z={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，其中i为虚数单位，则Imz=[ ]{.underline}．
3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[ ]{.underline}．
4．（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是[ ]{.underline}（米）．
5．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[ ]{.underline}．
6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3，BD~1~与底面所成角的大小为arctan{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，则该正四棱柱的高等于[ ]{.underline}．
7．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[ ]{.underline}．
8．（4分）在（{width="0.25in" height="0.25in"}﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[ ]{.underline}．
9．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[ ]{.underline}．
10．（4分）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组{width="0.6388888888888888in" height="0.4166666666666667in"}无解，则a+b的取值范围为[ ]{.underline}．
11．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[ ]{.underline}．
12．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y={width="0.5in" height="0.25in"}上一个动点，则{width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}•{width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}的取值范围是[ ]{.underline}．
13．（4分）设a，b∈R，c∈\[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为[ ]{.underline}．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A~1~A~2~...A~8~的中心，A~1~（1，0）任取不同的两点A~i~，A~j~，点P满足{width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}+{width="0.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"}+{width="0.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"}={width="0.1111111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，则点P落在第一象限的概率是[ ]{.underline}．
{width="1.8888888888888888in" height="1.5277777777777777in"}
**二、选择题（5&\#215;4=20分）**
15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
16．（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）
{width="1.4166666666666667in" height="1.1666666666666667in"}
A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ
17．（5分）已知无穷等比数列{a~n~}的公比为q，前n项和为S~n~，且{width="0.5555555555555556in" height="0.3055555555555556in"}=S，下列条件中，使得2S~n~＜S（n∈N^\*^）恒成立的是（ ）
A．a~1~＞0，0.6＜q＜0.7 B．a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a~1~＞0，0.7＜q＜0.8 D．a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
**三、解答题（74分）**
19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，{width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}长为{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}π，{width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}长为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积；
（2）求异面直线B~1~C与AA~1~所成的角的大小．
{width="1.8055555555555556in" height="1.5277777777777777in"}
20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"．
{width="1.8888888888888888in" height="1.7222222222222223in"}
21．（14分）双曲线x^2^﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.5in"}=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b={width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，若l的斜率存在，且（{width="0.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"}+{width="0.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"}）•{width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}=0，求l的斜率．
22．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+a）．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
23．（18分）若无穷数列{a~n~}满足：只要a~p~=a~q~（p，q∈N^\*^），必有a~p+1~=a~q+1~，则称{a~n~}具有性质P．
（1）若{a~n~}具有性质P，且a~1~=1，a~2~=2，a~4~=3，a~5~=2，a~6~+a~7~+a~8~=21，求a~3~；
（2）若无穷数列{b~n~}是等差数列，无穷数列{c~n~}是公比为正数的等比数列，b~1~=c~5~=1；b~5~=c~1~=81，a~n~=b~n~+c~n~，判断{a~n~}是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{b~n~}是无穷数列，已知a~n+1~=b~n~+sina~n~（n∈N^\*^），求证："对任意a~1~，{a~n~}都具有性质P"的充要条件为"{b~n~}是常数列"．
2016年上海市高考数学试卷（文科）
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**一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.**
1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[ ]{.underline}．
2．（4分）设z={width="0.3888888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，其中i为虚数单位，则z的虚部等于[ ]{.underline}．
3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[ ]{.underline}．
4．（4分）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是[ ]{.underline}（米）．
5．（4分）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=[ ]{.underline}．
6．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[ ]{.underline}．
7．（4分）若x，y满足{width="0.6298611111111111in" height="0.6479166666666667in"}，则x﹣2y的最大值为[ ]{.underline}．
8．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[ ]{.underline}．
9．（4分）在（{width="0.25in" height="0.24097222222222223in"}﹣{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[ ]{.underline}．
10．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[ ]{.underline}．
11．（4分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为[ ]{.underline}．
12．（4分）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y={width="0.4909722222222222in" height="0.25in"}上一个动点，则{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}•{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}的取值范围是[ ]{.underline}．
{width="1.3145833333333334in" height="1.2777777777777777in"}
13．（4分）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组{width="0.6298611111111111in" height="0.4166666666666667in"}无解，则a+b的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.**
15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F分别为BC、BB~1~的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）
{width="1.4076388888888889in" height="1.2965277777777777in"}
A．直线AA~1~ B．直线A~1~B~1~ C．直线A~1~D~1~ D．直线B~1~C~1~
17．（5分）设a∈R，b∈\[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
**三、简答题：本大题共5题，满分74分**
19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，{width="0.18541666666666667in" height="0.21319444444444444in"}长为{width="0.3055555555555556in" height="0.3611111111111111in"}，{width="0.3888888888888889in" height="0.26875in"}长为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O~1~B~1~与OC所成的角的大小．
{width="1.76875in" height="1.5555555555555556in"}
20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"．
{width="1.8888888888888888in" height="1.7222222222222223in"}
21．（14分）双曲线x^2^﹣{width="0.23125in" height="0.4909722222222222in"}=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A、B两点．
（1）若l的倾斜角为{width="0.2222222222222222in" height="0.3611111111111111in"}，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b={width="0.21319444444444444in" height="0.18541666666666667in"}，若l的斜率存在，且\|AB\|=4，求l的斜率．
22．（16分）对于无穷数列{a~n~}与{b~n~}，记A={x\|x=a~n~，n∈N^\*^}，B={x\|x=b~n~，n∈N^\*^}，若同时满足条件：①{a~n~}，{b~n~}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N^\*^，则称{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列．
（1）若a~n~=2n﹣1，b~n~=4n﹣2，判断{a~n~}与{b~n~}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若a~n~=2^n^且{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列，求数量{b~n~}的前16项的和；
（3）若{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列，{a~n~}为等差数列且a~16~=36，求{a~n~}与{b~n~}的通项公式．
23．（18分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}+a）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；
（2）若关于x的方程f（x）+log~2~（x^2^）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；
（3）设a＞0，若对任意t∈\[{width="0.1388888888888889in" height="0.3611111111111111in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x\|x＜1}，B={x\|3x＜1}，则（ ）
A．A∩B={x\|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x\|x＞1} D．A∩B=∅
2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
{width="1.5520833333333333in" height="1.4166666666666667in"}
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
3．（5分）设有下面四个命题
p1：若复数z满足{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1={width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}；
p4：若复数z∈R，则{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．\[﹣2，2\] B．\[﹣1，1\] C．\[0，4\] D．\[1，3\]
6．（5分）（1+{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
{width="1.3020833333333333in" height="1.7916666666666667in"}
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在{width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}和{width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}两个空白框中，可以分别填入（ ）
{width="1.5416666666666667in" height="2.7819444444444446in"}
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C2
10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则\|AB\|+\|DE\|的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，...，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为60°，\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|= ．
14．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.7923611111111111in" height="0.6555555555555556in"}，则z=3x﹣2y的最小值为 ．
15．（5分）已知双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．
{width="1.5520833333333333in" height="1.4583333333333333in"}
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为{width="0.46875in" height="0.42569444444444443in"}．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
{width="1.8854166666666667in" height="1.21875in"}
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
经计算得{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}={width="0.6361111111111111in" height="0.4798611111111111in"}=9.97，s={width="1.238888888888889in" height="0.49930555555555556in"}={width="1.5in" height="0.49930555555555556in"}≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16．
用样本平均数{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}作为μ的估计值{width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}，用样本标准差s作为σ的估计值{width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（{width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3{width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3{width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，{width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09．
20．（12分）已知椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}），P4（1，{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
\[选修4-4，坐标系与参数方程\]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为 {width="0.625in" height="0.40625in"}，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为{width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}，求a．
\[选修4-5：不等式选讲\]
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围．
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x\|x＜{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}} B．A∩B=∅
C．A∪B={x\|x＜{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}} D．A∪B=R
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，...，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x1，x2，...，xn的平均数 B．x1，x2，...，xn的标准差
C．x1，x2，...，xn的最大值 D．x1，x2，...，xn的中位数
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
{width="1.5520833333333333in" height="1.4166666666666667in"}
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．{width="1.2708333333333333in" height="1.1666666666666667in"} B．{width="1.2395833333333333in" height="1.1875in"}
C．{width="1.1458333333333333in" height="1.0409722222222222in"} D．{width="1.1347222222222222in" height="1.1034722222222222in"}
7．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.7076388888888889in" height="0.6555555555555556in"}，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）函数y={width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}的部分图象大致为（ ）
A．{width="2.0729166666666665in" height="1.8125in"} B．{width="2.0729166666666665in" height="1.8020833333333333in"}
C．{width="2.09375in" height="1.84375in"} D．{width="2.113888888888889in" height="1.8541666666666667in"}
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在{width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}和{width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}两个空白框中，可以分别填入（ ）
{width="1.5416666666666667in" height="2.7819444444444446in"}
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c={width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则C=（ ）
A．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
12．（5分）设A，B是椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1\]∪\[9，+∞） B．（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}\]∪\[9，+∞） C．（0，1\]∪\[4，+∞） D．（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}\]∪\[4，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，2），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，1），若向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}垂直，则m= ．
14．（5分）曲线y=x2+{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}在点（1，2）处的切线方程为 ．
15．（5分）已知α∈（0，{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），tanα=2，则cos（α﹣{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）= ．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，求该四棱锥的侧面积．
{width="1.8854166666666667in" height="1.21875in"}
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
经计算得 {width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}={width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}xi=9.97，s={width="1.238888888888889in" height="0.49930555555555556in"}={width="1.5in" height="0.49930555555555556in"}≈0.212，{width="1.0416666666666667in" height="0.49930555555555556in"}≈18.439，{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}（xi﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16．
（1）求（xi，i）（i=1，2，...，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若\|r\|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}﹣3s，{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}﹣3s，{width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i=1，2，...，n）的相关系数r={width="2.0729166666666665in" height="1.0006944444444446in"}，{width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09．
20．（12分）设A，B为曲线C：y={width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为 {width="0.625in" height="0.40625in"}，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为{width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}，求a．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围．
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
=============================================
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x\|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.1875in" height="2.7090277777777776in"}
A．90π B．63π C．42π D．36π
5．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.9555555555555556in" height="0.6555555555555556in"}，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
{width="1.7916666666666667in" height="4.771527777777778in"}
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）若双曲线C：{width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}﹣{width="0.22708333333333333in" height="0.48680555555555555in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2 B．{width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"} C．{width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"} D．{width="0.34305555555555556in" height="0.38333333333333336in"}
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"} B．{width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"} C．{width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"} D．{width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}
11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"} C．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"} D．﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= ．
14．（5分）函数f（x）=sin2x+{width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosx﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}（x∈\[0，{width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\]）的最大值是 ．
15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 {width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}{width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}= ．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则\|FN\|= ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2{width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
{width="5.969444444444444in" height="2.0625in"}
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
----------- ------- ------- --------
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
----------- ------- ------- --------
K2={width="1.7201388888888889in" height="0.425in"}．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC={width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
{width="1.875in" height="1.5208333333333333in"}
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：{width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}={width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•{width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，{width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4}
2．（5分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i
3．（5分）函数f（x）=sin（2x+{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）设非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|则（ ）
A．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\| C．{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"} D．\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|
5．（5分）若a＞1，则双曲线{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣y2=1的离心率的取值范围是（ ）
A．（{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，+∞） B．（{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，2） C．（1，{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}） D．（1，2）
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
{width="2.1875in" height="2.7090277777777776in"}
A．90π B．63π C．42π D．36π
7．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.9576388888888889in" height="0.6555555555555556in"}，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
8．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
{width="1.7916666666666667in" height="4.771527777777778in"}
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
12．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．3{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）= ．
15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC={width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
{width="1.8125in" height="1.4479166666666667in"}
19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
{width="5.969444444444444in" height="2.0625in"}
（1）记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
---------- -------------- -------------
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
---------- -------------- -------------
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
----------- ------- ------- --------
P（K2≥K） 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
----------- ------- ------- --------
K2={width="1.71875in" height="0.42569444444444443in"}．
20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}={width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=﹣3上，且{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
\[选修4-5：不等式选讲\]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2=1}，B={（x，y）\|y=x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则\|z\|=（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．2
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
{width="6.260416666666667in" height="1.9166666666666667in"}
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
5．（5分）已知双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y={width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}x，且与椭圆{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 B．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 C．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1
6．（5分）设函数f（x）=cos（x+{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}对称
C．f（x+π）的一个零点为x={width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
D．f（x）在（{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，π）单调递减
7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
{width="1.8958333333333333in" height="3.073611111111111in"}
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
10．（5分）已知椭圆C：{width="0.5513888888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．1
12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}+μ{width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} C．{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．2
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.7923611111111111in" height="0.6555555555555556in"}，则z=3x﹣4y的最小值为 ．
14．（5分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4= ．
15．（5分）设函数f（x）={width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，则满足f（x）+f（x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1的x的取值范围是 ．
16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosA=0，a=2{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
{width="2.207638888888889in" height="1.5520833333333333in"}
20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为{width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数），直线l2的参数方程为{width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
\[选修4-5：不等式选讲\]
23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
{width="6.260416666666667in" height="1.9166666666666667in"}
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5分）已知sinα﹣cosα={width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则sin2α=（ ）
A．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）设x，y满足约束条件{width="0.9576388888888889in" height="0.6451388888888889in"}则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A．\[﹣3，0\] B．\[﹣3，2\] C．\[0，2\] D．\[0，3\]
6．（5分）函数f（x）={width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（x﹣{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）的最大值为（ ）
A．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
7．（5分）函数y=1+x+{width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}的部分图象大致为（ ）
A．{width="2.020138888888889in" height="2.15625in"} B．{width="1.9270833333333333in" height="2.09375in"}
C．{width="1.9895833333333333in" height="2.125in"} D．{width="2.051388888888889in" height="2.1041666666666665in"}
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
{width="1.8958333333333333in" height="3.073611111111111in"}
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}
10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．（5分）已知椭圆C：{width="0.5513888888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}
12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．1
二、填空题
13．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，3），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，m），且{width="0.3951388888888889in" height="0.20833333333333334in"}，则m= ．
14．（5分）双曲线{width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0）的一条渐近线方程为y={width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x，则a= ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b={width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，c=3，则A= ．
16．（5分）设函数f（x）={width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，则满足f（x）+f（x﹣{width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1的x的取值范围是 ．
三、解答题
17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+...+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{{width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
{width="2.34375in" height="1.59375in"}
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣{width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2．
\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为{width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数），直线l2的参数方程为{width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
\[选修4-5：不等式选讲\]
23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
2017年北京市高考数学试卷（理科）
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一、选择题.（每小题5分）
1．（5分）若集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣2＜x＜3} C．{x\|﹣1＜x＜1} D．{x\|1＜x＜3}
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="2.1979166666666665in" height="2.5215277777777776in"}
A．2 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）若x，y满足{width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
{width="2.3229166666666665in" height="2.6569444444444446in"}
A．3{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题（每小题5分）
9．（5分）若双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则实数m= ．
10．（5分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}= ．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则\|AP\|的最小值为 ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos（α﹣β）= ．
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．
（2）记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．
{width="2.5215277777777776in" height="2.1875in"}
三、解答题
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
{width="2.7819444444444446in" height="1.2708333333333333in"}
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中"\*"表示服药者，"+"表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
{width="5.791666666666667in" height="2.34375in"}
18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
20．（13分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，...，bn﹣ann}（n=1，2，3，...），其中max{x1，x2，...，xs}表示x1，x2，...，xs这s个数中最大的数．
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，...是等差数列．
**2017年北京市高考数学试卷（文科）**
一、选择题
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}，则∁UA=（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．\[﹣2，2\] D．（﹣∞，﹣2\]∪\[2，+∞）
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
{width="2.1979166666666665in" height="2.5215277777777776in"}
A．2 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）若x，y满足{width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
{width="2.7819444444444446in" height="2.8444444444444446in"}
A．60 B．30 C．20 D．10
7．（5分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
二、填空题
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sinβ= ．
10．（5分）若双曲线x2﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则实数m= ．
11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是 ．
12．（5分）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为 ．
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ．
14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ．
②该小组人数的最小值为 ．
三、解答题
15．（13分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+...+b2n﹣1．
16．（13分）已知函数f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（2x﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]时，f（x）≥﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：\[20，30），\[30，40），...\[80，90\]，并整理得到如下频率分布直方图：
{width="3.636111111111111in" height="2.1041666666666665in"}
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
{width="2.113888888888889in" height="1.6041666666666667in"}
19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
20．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值．
2017年天津市高考数学试卷（理科）
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R\|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R\|﹣1≤x≤5}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.8854166666666666in"}，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3
3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（ ）
{width="2.113888888888889in" height="3.5625in"}
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）设θ∈R，则"\|θ﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"是"sinθ＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 C．{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}
C．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} D．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）已知函数f（x）={width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，2\] B．\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2\] D．\[﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数，则a的值为 ．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 ．
12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为 ．
13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），且{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣4，则λ的值为 ．
14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值．
16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求线段AH的长．
{width="1.6770833333333333in" height="1.7395833333333333in"}
18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
19．（14分）设椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求直线AP的方程．
20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈\[1，x0）∪（x0，2\]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且{width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}∈\[1，x0）∪（x0，2\]，满足\|{width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x0\|≥{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}．
2017年天津市高考数学试卷（文科）
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5分）设x∈R，则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）
{width="2.113888888888889in" height="3.5625in"}
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} B．{width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} C．{width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"} D．{width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（{width="0.5201388888888889in" height="0.3645833333333333in"}），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}
C．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} D．ω={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}
8．（5分）已知函数f（x）={width="1.0409722222222222in" height="0.625in"}，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣2，2\] B．{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数，则a的值为 ．
10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．
12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ．
13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则{width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为 ．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），且{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣4，则λ的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
{width="2.5006944444444446in" height="1.5208333333333333in"}
18．（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N\*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N\*）．
19．（14分）设a，b∈R，\|a\|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间\[x0﹣1，x0+1\]上恒成立，求b的取值范围．
20．（14分）已知椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，\|FQ\|={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
2017年山东省高考数学试卷（理科）
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5分）设函数y={width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2\] C．（﹣2，1） D．\[﹣2，1）
2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}i，z•{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=4，则a=（ ）
A．1或﹣1 B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
4．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为{width="0.15625in" height="0.3125in"}={width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}x+{width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}，已知{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}xi=22.5，{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}yi=160，{width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．163 C．166 D．170
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
{width="2.4270833333333335in" height="3.71875in"}
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜log2（a+b）） B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜log2（a+b）＜a+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
C．a+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜log2（a+b）＜{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D．log2（a+b））＜a+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}
8．（5分）从分别标有1，2，...，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
10．（5分）已知当x∈\[0，1\]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1\]∪\[2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞） B．（0，1\]∪\[3，+∞） C．（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）∪\[2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞） D．（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]∪\[3，+∞）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．
12．（5分）已知{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 是互相垂直的单位向量，若{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 与{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+λ{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
13．（5分）由一个长方体和两个{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
{width="3.229861111111111in" height="1.9270833333333333in"}
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线{width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+sin（ωx﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），其中0＜ω＜3，已知f（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值．
17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的中点．
（Ⅰ）设P是{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
{width="1.3541666666666667in" height="1.4166666666666667in"}
18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）...Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2...Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
{width="1.9270833333333333in" height="1.1979166666666667in"}
20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828...是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：{width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2={width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，M是线段OC延长线上一点，且\|MC\|：\|AB\|=2：3，⊙M的半径为\|MC\|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
{width="2.207638888888889in" height="2.0416666666666665in"}
2017年山东省高考数学试卷（文科）
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一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M={x\|\|x﹣1\|＜1}，N={x\|x＜2}，则M∩N=（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2
3．（5分）已知x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}则z=x+2y的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）已知cosx={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos2x=（ ）
A．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）
{width="1.5104166666666667in" height="2.729861111111111in"}
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
7．（5分）函数y={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．π D．2π
8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
{width="1.59375in" height="0.9375in"}
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
9．（5分）设f（x）={width="1.125in" height="0.4583333333333333in"}若f（a）=f（a+1），则f（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（5分）若函数exf（x）（e=2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A．f（x）=2﹣x B．f（x）=x2 C．f（x）=3﹣x D．f（x）=cosx
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，6），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，λ），若{width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则λ= ．
12．（5分）若直线{width="0.375in" height="0.375in"}=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为 ．
13．（5分）由一个长方体和两个{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
{width="3.229861111111111in" height="1.9270833333333333in"}
14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈\[﹣3，0\]时，f（x）=6﹣x，则f（919）= ．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线{width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
三、解答题
16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣6，S△ABC=3，求A和a．
18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．
{width="2.5944444444444446in" height="1.1034722222222222in"}
19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列{width="0.4375in" height="0.4791666666666667in"}的前n项和Tn．
20．（13分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x3﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ax2，a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：{width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为\|NO\|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
{width="2.3541666666666665in" height="2.542361111111111in"}
2017年江苏省高考数学试卷
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一.填空题
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 ．
2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是 ．
3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．
4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则输出y的值是 ．
{width="2.1666666666666665in" height="2.7715277777777776in"}
5．（5分）若tan（α﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．则tanα= ．
6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值是 ．
{width="1.1347222222222222in" height="1.59375in"}
7．（5分）记函数f（x）={width="0.65625in" height="0.25in"}定义域为D．在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．
9．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，S6={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则a8= ．
10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在同一个平面内，向量{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的模分别为1，1，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α，且tanα=7，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为45°．若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R），则m+n= ．
{width="1.2395833333333333in" height="1.34375in"}
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．
14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）={width="0.8229166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，其中集合D={x\|x={width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，n∈N\*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是 ．
二.解答题
15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
{width="1.71875in" height="1.4375in"}
16．（14分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，sinx），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），x∈\[0，π\]．
（1）若{width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值；
（2）记f（x）={width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：{width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
{width="2.1979166666666665in" height="1.9270833333333333in"}
18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
{width="3.886111111111111in" height="1.8854166666666667in"}
19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+...+an﹣1+an+1+...+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是"P（k）数列"．
（1）证明：等差数列{an}是"P（3）数列"；
（2）若数列{an}既是"P（2）数列"，又是"P（3）数列"，证明：{an}是等差数列．
20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求实数a的取值范围．
二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）
21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
{width="1.6875in" height="0.96875in"}
\[选修4-2：矩阵与变换\]
22．已知矩阵A={width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，B={width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}．
（1）求AB；
（2）若曲线C1：{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．
\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{width="0.625in" height="0.59375in"}（t为参数），曲线C的参数方程为{width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
［选修4-5：不等式选讲］
24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【必做题】
25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
{width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"}
26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N\*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，...，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，...，m+n）．
--- --- --- ----- -----
1 2 3 ... m+n
--- --- --- ----- -----
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜{width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
2017年浙江省高考数学试卷
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一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．（4分）椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率是（ ）
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
{width="1.3854166666666667in" height="1.8020833333333333in"}
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1 B．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+3 C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+1 D．{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+3
4．（4分）若x、y满足约束条件{width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．\[0，6\] B．\[0，4\] C．\[6，+∞） D．\[4，+∞）
5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间\[0，1\]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
6．（4分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则"d＞0"是"S4+S6＞2S5"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
{width="1.1458333333333333in" height="0.9895833333333334in"}
A．{width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"} B．{width="1.0722222222222222in" height="0.8541666666666666in"} C．{width="0.9895833333333334in" height="0.8333333333333334in"} D．{width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"}
8．（4分）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则（ ）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2） D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
{width="1.5in" height="1.28125in"}
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1={width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I2={width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I3={width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则（ ）
{width="0.9583333333333334in" height="1.0409722222222222in"}
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．
12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2= ，ab= ．
13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4= ，a5= ．
14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是 ，cos∠BDC= ．
15．（6分）已知向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是 ，最大值是 ．
16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=\|x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|+a在区间\[1，4\]上的最大值是5，则a的取值范围是 ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
{width="1.875in" height="1.4166666666666667in"}
20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣{width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）e﹣x（x≥{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间\[{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的取值范围．
21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），B（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），抛物线上的点P（x，y）（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求\|PA\|•\|PQ\|的最大值．
{width="1.5208333333333333in" height="1.3958333333333333in"}
22．（15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N\*），证明：当n∈N\*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤{width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}；
（Ⅲ）{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}≤xn≤{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}．
2017年上海市高考数学试卷
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一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．
2．（4分）若排列数{width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4，则m= ．
3．（4分）不等式{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1的解集为 ．
4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．
5．（4分）已知复数z满足z+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0，则\|z\|= ．
6．（4分）设双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若\|PF1\|=5，则\|PF2\|= ．
7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），则{width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标是 ．
{width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"}
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）={width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为 ．
9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x3，④y=x{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为 ．
10．（5分）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N\*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N\*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则{width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}= ．
11．（5分）设a1、a2∈R，且{width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则\|10π﹣a1﹣a2\|的最小值等于 ．
12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的"▲"的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的"▲"的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为 ．
{width="2.0in" height="1.4895833333333333in"}
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）关于x、y的二元一次方程组{width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式D为（ ）
A．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}
14．（5分）在数列{an}中，an=（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n，n∈N\*，则{width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}an（ ）
A．等于{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．等于0 C．等于{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．不存在
15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N\*，则"存在k∈N\*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列"的一个必要条件是（ ）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：{width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C2：x2+{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C1上，Q在C2上，且{width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．
{width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"}
18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N\*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an={width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：{width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且\|OP\|={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求P的坐标；
（2）设P（{width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求直线AQ的方程．
21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"．
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z={width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
2．（5分）已知集合A={x\|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜2} B．{x\|﹣1≤x≤2} C．{x\|x＜﹣1}∪{x\|x＞2} D．{x\|x≤﹣1}∪{x\|x≥2}
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
{width="5.959027777777778in" height="1.9479166666666667in"}
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
{width="1.8333333333333333in" height="1.3541666666666667in"}
A．2{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．3 D．2
8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的直线与C交于M，N两点，则{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（5分）已知函数f（x）={width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0） B．\[0，+∞） C．\[﹣1，+∞） D．\[1，+∞）
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
{width="2.3958333333333335in" height="1.4166666666666667in"}
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
11．（5分）已知双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则\|MN\|=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．3 C．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．4
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+2y的最大值为 ．
14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6= ．
15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求BC．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
{width="2.8444444444444446in" height="1.4270833333333333in"}
19．（12分）设椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：{width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，2} B．{1，2}
C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）设z={width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．1 D．{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
{width="5.959027777777778in" height="1.9479166666666667in"}
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5分）已知椭圆C：{width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}+{width="0.22708333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} D．{width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}
5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π B．12π C．8{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π D．10π
6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}
8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
{width="1.8333333333333333in" height="1.3541666666666667in"}
A．2{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} C．3 D．2
10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8 B．6{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} C．8{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} D．8{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}
11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α={width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，则\|a﹣b\|=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} C．{width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"} D．1
12．（5分）设函数f（x）={width="0.8875in" height="0.4875in"}，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1\] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+2y的最大值为 ．
15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则\|AB\|= ．
16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn={width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ={width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．
{width="3.0840277777777776in" height="1.9583333333333333in"}
19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6） \[0.6，0.7）
频数 1 3 2 4 9 26 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6）
频数 1 5 13 10 16 5
---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
{width="4.709027777777778in" height="3.979861111111111in"}
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）{width="0.38333333333333336in" height="0.36666666666666664in"}=（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}i B．{width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.34375in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}{width="0.34375in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.5861111111111111in" height="0.36666666666666664in"}
2．（5分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．（5分）函数f（x）={width="0.5916666666666667in" height="0.4798611111111111in"}的图象大致为（ ）
A．{width="1.5in" height="1.4895833333333333in"} B．{width="1.5208333333333333in" height="1.5729166666666667in"}
C．{width="1.4895833333333333in" height="1.53125in"} D．{width="1.4479166666666667in" height="1.53125in"}
4．（5分）已知向量{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}，{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}满足\|{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=1，{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}{width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}=﹣1，则{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•（2{width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}{width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x B．y=±{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x C．y=±{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}x D．y=±{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}x
6．（5分）在△ABC中，cos{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}={width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} D．2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}
7．（5分）为计算S=1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}+...+{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
{width="2.636111111111111in" height="3.5840277777777776in"}
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}
9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1={width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[﹣a，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"} D．π
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
12．（5分）已知F1，F2是椭圆C：{width="0.5520833333333334in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为{width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.64375in"}，则z=x+y的最大值为 ．
15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）= ．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为{width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则该圆锥的侧面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
{width="6.438194444444444in" height="3.0631944444444446in"}
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：{width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：{width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2{width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
{width="1.9375in" height="1.9895833333333333in"}
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为{width="0.95625in" height="0.40625in"}，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
\[选修4-5：不等式选讲\]
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
=============================================
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）i（2+3i）=（ ）
A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i
2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
3．（5分）函数f（x）={width="0.5923611111111111in" height="0.48125in"}的图象大致为（ ）
A．{width="1.5in" height="1.4895833333333333in"} B．{width="1.5208333333333333in" height="1.5729166666666667in"}
C．{width="1.4895833333333333in" height="1.53125in"} D．{width="1.4479166666666667in" height="1.53125in"}
4．（5分）已知向量{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}满足\|{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|=1，{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}=﹣1，则{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（2{width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
6．（5分）双曲线{width="0.5520833333333334in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x B．y=±{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x C．y=±{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x D．y=±{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x
7．（5分）在△ABC中，cos{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}={width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} B．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．{width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} D．2{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}
8．（5分）为计算S=1﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+...+{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
{width="2.636111111111111in" height="3.5840277777777776in"}
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[0，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．{width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"} D．π
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ）
A．1﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} B．2﹣{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} C．{width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"} D．{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣1
12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5分）若x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6444444444444445in"}，则z=x+y的最大值为 ．
15．（5分）已知tan（α﹣{width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则tanα= ．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
{width="6.438194444444444in" height="3.0631944444444446in"}
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：{width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：{width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2{width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
{width="2.0729166666666665in" height="1.9479166666666667in"}
20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）已知函数f（x）={width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为{width="0.9569444444444445in" height="0.40625in"}，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
{width="2.1458333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
A．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} B．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"}
C．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} D．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"}
4．（5分）若sinα={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2α=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）（x2+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式中x4的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\]
7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A．{width="1.8229166666666667in" height="1.5in"} B．{width="1.78125in" height="1.4791666666666667in"}
C．{width="1.8229166666666667in" height="1.4895833333333333in"} D．{width="1.7708333333333333in" height="1.4895833333333333in"}
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为{width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，则C=（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．18{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．24{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．54{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
11．（5分）设F1，F2是双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若\|PF1\|={width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\|OP\|，则C的离心率为（ ）
A．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ）．若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ= ．
14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）在\[0，π\]的零点个数为 ．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
{width="4.709027777777778in" height="1.25in"}
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2={width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}，
----------- ------- ------- --------
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
----------- ------- ------- --------
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直，M是{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
{width="2.0416666666666665in" height="1.2708333333333333in"}
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．证明：\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为{width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，（θ为参数），过点（0，﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
{width="2.7402777777777776in" height="2.7715277777777776in"}
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
{width="2.1458333333333335in" height="1.3958333333333333in"}
A．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} B．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"}
C．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} D．{width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"}
4．（5分）若sinα={width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2α=（ ）
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．（5分）函数f（x）={width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}的最小正周期为（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．π D．2π
7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（ ）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\]
9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A．{width="1.8229166666666667in" height="1.5in"} B．{width="1.78125in" height="1.4791666666666667in"}
C．{width="1.8229166666666667in" height="1.4895833333333333in"} D．{width="1.7708333333333333in" height="1.4895833333333333in"}
10．（5分）已知双曲线C：{width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣{width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A．{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．{width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．2{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为{width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，则C=（ ）
A．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．{width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．18{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．24{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．54{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2），{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ）．若{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ= ．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 ．
15．（5分）若变量x，y满足约束条件{width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则z=x+{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y的最大值是 ．
16．（5分）已知函数f（x）=ln（{width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）= ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
{width="4.709027777777778in" height="1.25in"}
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2={width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}，
----------- ------- ------- --------
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
----------- ------- ------- --------
19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直，M是{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
{width="2.0416666666666665in" height="1.2708333333333333in"}
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：{width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+{width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}={width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，证明：2\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|+\|{width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|．
21．（12分）已知函数f（x）={width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为{width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，（θ为参数），过点（0，﹣{width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
{width="2.7402777777777776in" height="2.7715277777777776in"}
2018年北京市高考数学试卷（理科）
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5.00分）在复平面内，复数{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
{width="1.78125in" height="3.6777777777777776in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5.00分）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于{width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}f B．{width="0.3333333333333333in" height="0.2708333333333333in"}f C．{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f D．{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f
5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）{width="2.4375in" height="2.6777777777777776in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5.00分）设{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}均为单位向量，则"\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|3{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|"是"{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5.00分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5.00分）设集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，（2，1）∉A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5.00分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为 ．
10．（5.00分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a= ．
11．（5.00分）设函数f（x）=cos（ωx﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0），若f（x）≤f（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
12．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 ．
13．（5.00分）能说明"若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2\]都成立，则f（x）在\[0，2\]上是增函数"为假命题的一个函数是 ．
14．（5.00分）已知椭圆M：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0），双曲线N：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13.00分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
16．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
{width="1.7291666666666667in" height="1.9375in"}
17．（12.00分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用"ξk=1"表示第k类电影得到人们喜欢．"ξk=0"表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．
18．（13.00分）设函数f（x）=\[ax2﹣（4a+1）x+4a+3\]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
19．（14.00分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=μ{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，求证：{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}为定值．
20．（14.00分）设n为正整数，集合A={α\|α=（t1，t2，...tn），tk∈{0，1}，k=1，2，...，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，...，xn）和β=（y1，y2，...yn），记
M（α，β）={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[（x1+y1﹣\|x1﹣y1\|）+（x2+y2﹣\|x2﹣y2\|）+...（xn+yn﹣\|xn﹣yn\|）\]
（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
2018年北京市高考数学试卷（文科）
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一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5.00分）在复平面内，复数{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
{width="1.78125in" height="3.6777777777777776in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}
4．（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则"ad=bc"是"a，b，c，d成等比数列"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5.00分）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于{width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A．{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}f B．{width="0.3333333333333333in" height="0.2708333333333333in"}f C．{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f D．{width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f
6．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）{width="2.4375in" height="2.6777777777777776in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5.00分）在平面直角坐标系中，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（ ）
{width="1.7708333333333333in" height="1.8020833333333333in"}
A．{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}
8．（5.00分）设集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，（2，1）∉A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5.00分）设向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0），{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，m）．若{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥（m{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则m= ．
10．（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 ．
11．（5.00分）能说明"若a＞b，则{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"为假命题的一组a，b的值依次为 ．
12．（5.00分）若双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（a＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则a= ．
13．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 ．
14．（5.00分）若△ABC的面积为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B= ；{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13.00分）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求e{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+e{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+...+e{width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}．
16．（13.00分）已知函数f（x）=sin2x+{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，m\]上的最大值为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求m的最小值．
17．（13.00分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
---------- -------- -------- -------- -------- -------- --------
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
18．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
{width="2.761111111111111in" height="1.4375in"}
19．（13.00分）设函数f（x）=\[ax2﹣（3a+1）x+3a+2\]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．
20．（14.00分）已知椭圆M：{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，焦距为2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求\|AB\|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）共线，求k．
2018年江苏省高考数学试卷
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B= ．
2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ．
3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
{width="0.5625in" height="0.625in"}
4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ．
{width="1.3125in" height="1.8125in"}
5．（5.00分）函数f（x）={width="0.7604166666666666in" height="0.2604166666666667in"}的定义域为 ．
6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．
7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣{width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}φ＜{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象关于直线x={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，则φ的值为 ．
8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c，则其离心率的值为 ．
9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2\]上，f（x）={width="1.4479166666666667in" height="0.7916666666666666in"}，则f（f（15））的值为 ．
10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
{width="1.4895833333333333in" height="1.5104166666666667in"}
11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值与最小值的和为 ．
12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则点A的横坐标为 ．
13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为 ．
14．（5.00分）已知集合A={x\|x=2n﹣1，n∈N\*}，B={x\|x=2n，n∈N\*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
{width="2.2083333333333335in" height="1.5208333333333333in"}
16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cos（α+β）=﹣{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧{width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
{width="2.0in" height="1.2708333333333333in"}
18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（{width="0.53125in" height="0.3645833333333333in"}），焦点F1（﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），F2（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求直线l的方程．
{width="2.1458333333333335in" height="2.0in"}
19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个"S点"．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在"S点"；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在"S点"，求实数a的值；
（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）={width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在"S点"，并说明理由．
20．（16.00分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若\|an﹣bn\|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N\*，q∈（1，{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}\]，证明：存在d∈R，使得\|an﹣bn\|≤b1对n=2，3，...，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.\[选修4-1：几何证明选讲\]（本小题满分10分）
21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求BC的长．
{width="2.542361111111111in" height="1.6145833333333333in"}
B.\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分）
22．（10.00分）已知矩阵A={width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}．
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．
C.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
D.\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分0分）
24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
{width="2.0in" height="2.2395833333333335in"}
26．设n∈N\*，对1，2，......，n的一个排列i1i2......in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2......in的一个逆序，排列i1i2......in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，...，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
2018年上海市高考数学试卷
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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1\~6题每题4分，第7\~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．（4.00分）行列式{width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}的值为 ．
2．（4.00分）双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的渐近线方程为 ．
3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．
4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= ．
5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则\|z\|= ．
6．（4.00分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= ．
7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣{width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ．
8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且\|{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为 ．
9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示）．
10．（5.00分）设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1（n∈N\*），前n项和为Sn．若{width="0.71875in" height="0.4791666666666667in"}={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则q= ．
11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）={width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}的图象经过点P（p，{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），Q（q，{width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）．若2p+q=36pq，则a= ．
12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2={width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则{width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}+{width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}的最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5.00分）设P是椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．4{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
14．（5.00分）已知a∈R，则"a＞1"是"{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
{width="1.1770833333333333in" height="1.4895833333333333in"}
A．4 B．8 C．12 D．16
16．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．0
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．
{width="1.3541666666666667in" height="1.71875in"}
18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1，求方程f（x）=1﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}在区间\[﹣π，π\]上的解．
19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f（x）={width="2.03125in" height="0.625in"}（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，\|FQ\|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
21．（18.00分）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N\*，都有\|bn﹣an\|≤1，则称{bn}与{an}"接近"．
（1）设{an}是首项为1，公比为{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列，bn=an+1+1，n∈N\*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x\|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．
2018年天津市高考数学试卷（理科）
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一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）设全集为R，集合A={x\|0＜x＜2}，B={x\|x≥1}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．{x\|0＜x≤1} B．{x\|0＜x＜1} C．{x\|1≤x＜2} D．{x\|0＜x＜2}
2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}，则目标函数z=3x+5y的最大值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
3．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ）
{width="2.1770833333333335in" height="4.500694444444444in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5.00分）设x∈R，则"\|x﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|＜{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"是"x3＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5.00分）已知a=log2e，b=ln2，c=log{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．（5.00分）将函数y=sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，π\]上单调递减
C．在区间\[{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 D．在区间\[{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2π\]上单调递减
7．（5.00分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
8．（5.00分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为（ ）
{width="2.1354166666666665in" height="2.4583333333333335in"}
A．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．3
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5.00分）i是虚数单位，复数{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}= ．
10．（5.00分）在（x﹣{width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）5的展开式中，x2的系数为 ．
11．（5.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为 ．
{width="2.573611111111111in" height="2.46875in"}
12．（5.00分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线{width="0.8854166666666666in" height="0.8333333333333334in"}，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为 ．
13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为 ．
14．（5.00分）已知a＞0，函数f（x）={width="1.5104166666666667in" height="0.53125in"}．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 ．
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
16．（13.00分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件"抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工"，求事件A发生的概率．
17．（13.00分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．
{width="1.4166666666666667in" height="1.3958333333333333in"}
18．（13.00分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N\*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N\*），
（i）求Tn；
（ii）证明{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}{width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}={width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣2（n∈N\*）．
19．（14.00分）设椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，点A的坐标为（b，0），且\|FB\|•\|AB\|=6{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}={width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}sin∠AOQ（O为原点），求k的值．
20．（14.00分）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣{width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}；
（Ⅲ）证明当a≥e{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．
2018年天津市高考数学试卷（文科）
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一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R\|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}，则目标函数z=3x+5y的最大值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
3．（5.00分）设x∈R，则"x3＞8"是"\|x\|＞2"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（ ）
{width="2.1770833333333335in" height="4.500694444444444in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5.00分）已知a=log3{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，b=（{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，c=log{width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．（5.00分）将函数y=sin（2x+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间\[{width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0\]上单调递减
C．在区间\[{width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 D．在区间\[{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]上单调递减
7．（5.00分）已知双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}{width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1
8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值为（ ）
{width="1.53125in" height="1.0104166666666667in"}
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5.00分）i是虚数单位，复数{width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}= ．
10．（5.00分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 ．
11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为 ．
{width="1.5729166666666667in" height="1.4479166666666667in"}
12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ．
13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为 ．
14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）={width="1.4270833333333333in" height="0.53125in"}．若对任意x∈\[﹣3，+∞），f（x）≤\|x\|恒成立，则a的取值范围是 ．
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件"抽取的2名同学来自同一年级"，求事件M发生的概率．
16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
{width="1.9583333333333333in" height="1.03125in"}
18．（13.00分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N\*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N\*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+......+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
19．（14.00分）设椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+{width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为{width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|AB\|={width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；
（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有三个互异的公共点，求d的取值范围．
2018年浙江省高考数学试卷
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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA=（ ）
A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．（4.00分）双曲线{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的焦点坐标是（ ）
A．（﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），（0，{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） D．（0，﹣2），（0，2）
3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
{width="1.9583333333333333in" height="2.28125in"}
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（4.00分）复数{width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．（4.00分）函数y=2\|x\|sin2x的图象可能是（ ）
A．{width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} B．{width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} C．{width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} D．{width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"}
6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则"m∥n"是"m∥α"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
--- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ξ 0 1 2
P {width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}
--- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
9．（4.00分）已知{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是平面向量，{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量．若非零向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，向量{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣4{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+3=0，则\|{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣{width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是（ ）
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1 B．{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1 C．2 D．2﹣{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（ ）
A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．（6.00分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？"设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则{width="1.1979166666666667in" height="0.6041666666666666in"}，当z=81时，x= ，y= ．
12．（6.00分）若x，y满足约束条件{width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+3y的最小值是 ，最大值是 ．
13．（6.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=2，A=60°，则sinB= ，c= ．
14．（4.00分）二项式（{width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+{width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）8的展开式的常数项是 ．
15．（6.00分）已知λ∈R，函数f（x）={width="1.3229166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是 ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
16．（4.00分）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）
17．（4.00分）已知点P（0，1），椭圆{width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=m（m＞1）上两点A，B满足{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2{width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14.00分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣{width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）={width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求cosβ的值．
19．（15.00分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
{width="1.6770833333333333in" height="1.90625in"}
20．（15.00分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
21．（15.00分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+{width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
{width="1.6875in" height="2.3125in"}
22．（15.00分）已知函数f（x）={width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；
（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．
2019年全国Ⅰ理科高考数学试卷
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**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则
A． B． C． D．
3．已知，，，则
A． B． C． D．
{width="0.7916666666666666in" height="1.7291666666666667in"}4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是
A． B． C． D．
5．函数的图象在，的大致为
A．{width="1.96875in" height="1.0833333333333333in"} B．{width="1.9791666666666667in" height="1.0625in"}
C．{width="1.96875in" height="1.09375in"} D．{width="1.9479166666666667in" height="1.0833333333333333in"}
{width="0.65625in" height="0.5625in"}6．我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化．每一"重卦"由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻"{width="0.3020833333333333in" height="8.333333333333333e-2in"}"和阴爻"{width="0.3229166666666667in" height="8.333333333333333e-2in"}"，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
7．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
{width="1.4520833333333334in" height="2.089583333333333in"}A． B． C． D．
8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
A． B．
C． D．
9．记为等差数列的前项和．已知，，则
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为
A． B． C． D．
11．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间，单调递增
③在，有4个零点 ④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为
A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．曲线在点处的切线方程为[ ]{.underline}．
14．记为等比数列的前项和．若，，则[ ]{.underline}．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为"主主客客主客主"．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是[ ]{.underline}．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共60分。**
17．（12分）的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
18．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
{width="1.8854166666666667in" height="2.3645833333333335in"}
19．（12分）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
（1）若，求的方程；
（2）若，求．
20．（12分）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示"甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效"的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
证明：，1，2，，为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
2019年全国Ⅰ文科高考数学试卷
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**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．设，则
A．2 B． C． D．1
2．已知集合，2，3，4，5，6，，，3，4，，，3，6，，则
A．， B．， C．， D．，6，
3．已知，，，则
A． B． C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是
{width="0.7916666666666666in" height="1.7291666666666667in"}
A． B． C． D．
5．函数的图象在，的大致为
A．{width="1.96875in" height="1.0833333333333333in"}
B．{width="1.9791666666666667in" height="1.0625in"}
C．{width="1.96875in" height="1.09375in"}
D．{width="1.9479166666666667in" height="1.0833333333333333in"}
6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．
A． B． C． D．
8．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入
{width="1.875in" height="2.6979166666666665in"}
A． B． C． D．
10．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
A． B． C． D．
11．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为
A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．曲线在点处的切线方程为[ ]{.underline}．
14．记为等比数列的前项和，若，，则[ ]{.underline}．
15．函数的最小值为[ ]{.underline}．
16．已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共60分。**
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
-------- ------ --------
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
-------- ------ --------
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
-- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- ------- ------- --------
18．（12分）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
19．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
{width="1.8854166666666667in" height="2.3645833333333335in"}
20．（12分）已知函数，为的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若，时，，求的取值范围．
21．（12分）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切．
（1）若在直线上，求的半径；
（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
2019年全国Ⅱ理科高考数学试卷
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**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．设集合{width="1.40625in" height="0.23958333333333334in"}，{width="1.03125in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}
2．设{width="0.6666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，则在复平面内{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}对应的点位于{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知{width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}，则{width="0.6979166666666666in" height="0.25in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}点的轨道运行．{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为{width="0.21875in" height="0.21875in"}，月球质量为{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，地月距离为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}点到月球的距离为{width="0.125in" height="0.125in"}，根据牛顿运动定律和万有引力定律，{width="0.125in" height="0.125in"}满足方程：{width="1.6770833333333333in" height="0.4166666666666667in"}．
设{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}．由于{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}的值很小，因此在近似计算中{width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则{width="0.125in" height="0.125in"}的近似值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.46875in" height="0.46875in"} B．{width="0.53125in" height="0.46875in"} C．{width="0.5416666666666666in" height="0.46875in"} D．{width="0.53125in" height="0.46875in"}
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6．若{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.7604166666666666in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}
7．设{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}为两个平面，则{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的充要条件是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}内有无数条直线与{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行 B．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}内有两条相交直线与{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行
C．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行于同一条直线 D．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}垂直于同一平面
8．若抛物线{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}的焦点是椭圆{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的一个焦点，则{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．3 C．4 D．8
9．下列函数中，以{width="0.16666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}为周期且在区间{width="0.21875in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.21875in" height="0.3854166666666667in"}单调递增的是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.90625in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.8854166666666666in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.875in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.8645833333333334in" height="0.20833333333333334in"}
10．已知{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}，{width="1.21875in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} C．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}
11．设{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为双曲线{width="1.6354166666666667in" height="0.40625in"}的右焦点，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点，以{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}为直径的圆与圆{width="0.75in" height="0.23958333333333334in"}交于{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}两点，若{width="0.7395833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的离心率为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．{width="0.21875in" height="0.21875in"} C．2 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}
12．设函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的定义域为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，满足{width="1.0104166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，且当{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}．若对任意{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，都有{width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.3854166666666667in"}
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为[ ]{.underline}．
14．已知{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是奇函数，且当{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}．若{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.25in" height="0.13541666666666666in"}[ ]{.underline}．
15．{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的对边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．若{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的面积为[ ]{.underline}．
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有[ ]{.underline}个面，其棱长为[ ]{.underline}．{width="3.4791666666666665in" height="1.96875in"}
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）如图，长方体{width="1.09375in" height="0.21875in"}的底面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是正方形，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在棱{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}上，{width="0.625in" height="0.21875in"}．
（1）证明：{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}；
（2）若{width="0.625in" height="0.21875in"}，求二面角{width="0.75in" height="0.21875in"}的正弦值．
{width="1.4895833333333333in" height="2.3541666666666665in"}
18．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}平后，甲先发球，两人又打了{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}个球该局比赛结束．
（1）求{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}；
（2）求事件"{width="0.40625in" height="0.16666666666666666in"}且甲获胜"的概率．
19．（12分）已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}和{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.375in" height="0.21875in"}，{width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}，{width="1.15625in" height="0.21875in"}．
（1）证明：{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}是等比数列，{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}是等差数列；
（2）求{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}和{width="0.28125in" height="0.21875in"}的通项公式．
20．（12分）已知函数{width="1.0729166666666667in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）讨论{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性，并证明{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}有且仅有两个零点；
（2）设{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}是{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的一个零点，证明曲线{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在点{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}处的切线也是曲线{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"}的切线．
21．（12分）已知点{width="0.53125in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，动点{width="0.5104166666666666in" height="0.20833333333333334in"}满足直线{width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的斜率之积为{width="0.25in" height="0.3854166666666667in"}．记{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的轨迹为曲线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}．
（1）求{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的方程，并说明{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}于{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}两点，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在第一象限，{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}轴，垂足为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，连结{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}并延长交{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}于点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．
{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}证明：{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}是直角三角形；
{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}求{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}面积的最大值．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在极坐标系中，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为极点，点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}在曲线{width="0.84375in" height="0.20833333333333334in"}上，直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}过点{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}且与{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}垂直，垂足为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
（1）当{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}时，求{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}及{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的极坐标方程；
（2）当{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上运动且{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}上时，求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}点轨迹的极坐标方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知函数{width="1.8645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}．
（1）当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，求不等式{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的解集；
（2）当{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围．
2019年全国Ⅱ文科高考数学试卷
===========================
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知集合{width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.84375in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.53125in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}
2．设{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}
3．已知向量{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.5729166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．2 C．{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"} D．50
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}
5．在"一带一路"知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
6．设{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}为奇函数，且当{width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，{width="0.7916666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则当{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.53125in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}
7．设{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}为两个平面，则{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的充要条件是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}内有无数条直线与{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行 B．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}内有两条相交直线与{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行
C．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}平行于同一条直线 D．{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}垂直于同一平面
8．若{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}是函数{width="1.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}两个相邻的极值点，则{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} C．1 D．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}
9．若抛物线{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}的焦点是椭圆{width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的一个焦点，则{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．3 C．4 D．8
10．曲线{width="1.0729166666666667in" height="0.20833333333333334in"}在点{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}处的切线方程为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.96875in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="1.125in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="1.1354166666666667in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.9895833333333334in" height="0.20833333333333334in"}
11．已知{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}，{width="1.21875in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} C．{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}
12．设{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为双曲线{width="1.6354166666666667in" height="0.40625in"}的右焦点，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点，以{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}为直径的圆与圆{width="0.75in" height="0.23958333333333334in"}交于{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}两点，若{width="0.7395833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的离心率为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．{width="0.21875in" height="0.21875in"} C．2 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．若变量{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.9895833333333334in" height="0.6770833333333334in"}则{width="0.6354166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的最大值是[ ]{.underline}．
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为[ ]{.underline}．
15．{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的对边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．已知{width="1.1979166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.2604166666666667in" height="0.16666666666666666in"}[ ]{.underline}．
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有[ ]{.underline}个面，其棱长为[ ]{.underline}．{width="3.4791666666666665in" height="1.96875in"}
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共60分。**
17．（12分）如图，长方体{width="1.09375in" height="0.21875in"}的底面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是正方形，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在棱{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}上，{width="0.625in" height="0.21875in"}．
（1）证明：{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}；
（2）若{width="0.625in" height="0.21875in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，求四棱锥{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}的体积．
{width="1.4895833333333333in" height="2.3541666666666665in"}
18．（12分）已知{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的各项均为正数的等比数列，{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.8020833333333334in" height="0.21875in"}．
（1）求{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的通项公式；
（2）设{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}，求数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和．
19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的频数分布表．
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的分组 {width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"} {width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"} {width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"} {width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}
企业数 2 24 53 14 7
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}
附：{width="0.78125in" height="0.21875in"}．
20．（12分）已知{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}是椭圆{width="1.53125in" height="0.40625in"}的两个焦点，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上的点，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点．
（1）若{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}为等边三角形，求{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的离心率；
（2）如果存在点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，使得{width="0.65625in" height="0.21875in"}，且△{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}的面积等于16，求{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的值和{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围．
21．（12分）已知函数{width="1.40625in" height="0.20833333333333334in"}．证明：
（1）{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}存在唯一的极值点；
（2）{width="0.5520833333333334in" height="0.20833333333333334in"}有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在极坐标系中，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为极点，点{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}在曲线{width="0.84375in" height="0.20833333333333334in"}上，直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}过点{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}且与{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}垂直，垂足为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
（1）当{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}时，求{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}及{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的极坐标方程；
（2）当{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上运动且{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}上时，求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}点轨迹的极坐标方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知函数{width="1.8645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}．
（1）当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，求不等式{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的解集；
（2）当{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围．
2019年全国Ⅲ理科高考数学试卷
===========================
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知集合{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，0，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，0，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}
2．若{width="0.7083333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4．{width="0.9583333333333334in" height="0.23958333333333334in"}的展开式中{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的系数为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．12 B．16 C．20 D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前4项和为15，且{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"}，则{width="0.375in" height="0.21875in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．16 B．8 C．4 D．2
6．已知曲线{width="0.875in" height="0.23958333333333334in"}在点{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}处的切线方程为{width="0.6354166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.34375in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.34375in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}
7．函数{width="0.78125in" height="0.40625in"}在{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的图象大致为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="1.4895833333333333in" height="1.5in"} B．{width="1.4375in" height="1.5520833333333333in"}
C．{width="1.5in" height="1.5208333333333333in"} D．{width="1.4895833333333333in" height="1.5416666666666667in"}
8．如图，点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为正方形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的中心，{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为正三角形，平面{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.65625in" height="1.2604166666666667in"}
A．{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是相交直线
B．{width="0.65625in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是相交直线
C．{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是异面直线
D．{width="0.65625in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是异面直线
9．执行如图所示的程序框图，如果输入{width="0.11458333333333333in" height="0.125in"}为0.01，则输出的{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}值等于{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.46875in" height="3.59375in"}
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}
10．双曲线{width="0.90625in" height="0.40625in"}的右焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的一条渐近线上，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点，若{width="0.7395833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的面积为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.4166666666666667in"} B．{width="0.3229166666666667in" height="0.4166666666666667in"} C．{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"} D．{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}
11．设{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是定义域为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的偶函数，且在{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}单调递减，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
B．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
C．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
D．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
12．设函数{width="1.59375in" height="0.3854166666666667in"}，已知{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}有且仅有5个零点．下述四个结论：
①{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}有且仅有3个极大值点
②{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}有且仅有2个极小值点
③{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}单调递增
④{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围是{width="0.25in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.28125in" height="0.3854166666666667in"}
其中所有正确结论的编号是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．已知{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}为单位向量，且{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，若{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}，则{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}[ ]{.underline}．
14．记{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}为等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和，若{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.5in" height="0.21875in"}，则{width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}[ ]{.underline}．
15．设{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}为椭圆{width="0.90625in" height="0.40625in"}的两个焦点，{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上一点且在第一象限，若△{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}为等腰三角形，则{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的坐标为[ ]{.underline}．
16．学生到工厂劳动实践，利用{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}打印技术制作模型，如图，该模型为长方体{width="1.09375in" height="0.21875in"}，挖去四棱锥{width="0.7083333333333334in" height="0.17708333333333334in"}后所得的几何体，其中{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为长方体的中心，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，分别为所在棱的中点，{width="0.9895833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}打印所用原料密度为{width="0.6354166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为[ ]{.underline}{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．
{width="2.15625in" height="1.5208333333333333in"}
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共60分。**
17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两组，每组100只，其中{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}组小鼠给服甲离子溶液，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
{width="5.458333333333333in" height="1.9479166666666667in"}
记{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18．{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的对边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．已知{width="1.21875in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}；
（2）若{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为锐角三角形，且{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}面积的取值范围．
19．图1是由矩形{width="0.4479166666666667in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.5729166666666666in" height="0.17708333333333334in"}和菱形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}组成的一个平面图形，其中{width="0.4479166666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.8020833333333334in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．将其沿{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}折起使得{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}重合，连结{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}，如图2．
{width="4.552083333333333in" height="1.84375in"}
（1）证明：图2中的{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}四点共面，且平面{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}；
（2）求图2中的二面角{width="0.71875in" height="0.17708333333333334in"}的大小．
20．已知函数{width="1.2395833333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
（1）讨论{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性；
（2）是否存在{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，使得{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}且最大值为1？若存在，求出{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的所有值；若不存在，说明理由．
21．已知曲线{width="0.6354166666666666in" height="0.40625in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为直线{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}上的动点，过{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的两条切线，切点分别为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
（1）证明：直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}过定点；
（2）若以{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}为圆心的圆与直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}相切，且切点为线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，求四边形{width="0.4479166666666667in" height="0.16666666666666666in"}的面积．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．如图，在极坐标系{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.21875in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，弧{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.25in" height="0.21875in"}，{width="0.25in" height="0.21875in"}所在圆的圆心分别是{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，曲线{width="0.21875in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，曲线{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.21875in"}，曲线{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.21875in"}．
（1）分别写出{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}的极坐标方程；
（2）曲线{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}由{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}构成，若点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上，且{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}，求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的极坐标．
{width="2.4791666666666665in" height="1.1354166666666667in"}
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}．
（1）求{width="1.5833333333333333in" height="0.23958333333333334in"}的最小值；
（2）若{width="1.8645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}成立，证明：{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}．
2019年全国Ⅲ文科高考数学试卷
===========================
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知集合{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，0，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.8333333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，0，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}
2．若{width="0.7083333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．函数{width="1.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的零点个数为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前4项和为15，且{width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"}，则{width="0.375in" height="0.21875in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．16 B．8 C．4 D．2
7．已知曲线{width="0.875in" height="0.23958333333333334in"}在点{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}处的切线方程为{width="0.6354166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.34375in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.34375in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}
8．如图，点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为正方形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的中心，{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为正三角形，平面{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.65625in" height="1.2604166666666667in"}
A．{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是相交直线
B．{width="0.65625in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是相交直线
C．{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是异面直线
D．{width="0.65625in" height="0.17708333333333334in"}，且直线{width="0.2916666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是异面直线
9．执行如图所示的程序框图，如果输入{width="0.11458333333333333in" height="0.125in"}为0.01，则输出的{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}值等于{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.46875in" height="3.59375in"}
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}
10．已知{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是双曲线{width="0.90625in" height="0.40625in"}的一个焦点，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为坐标原点．若{width="0.7395833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的面积为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}
11．记不等式组{width="0.6666666666666666in" height="0.4583333333333333in"}表示的平面区域为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．命题{width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}；命题{width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}．下面给出了四个命题
①{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"} ②{width="0.4583333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ③{width="0.46875in" height="0.16666666666666666in"} ④{width="0.5520833333333334in" height="0.16666666666666666in"}
这四个命题中，所有真命题的编号是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
12．设{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是定义域为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的偶函数，且在{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}单调递减，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"} B．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
C．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"} D．{width="1.71875in" height="0.4166666666666667in"}
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．已知向量{width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
14．记{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}为等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和．若{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，则{width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}[ ]{.underline}．
15．设{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}为椭圆{width="0.90625in" height="0.40625in"}的两个焦点，{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上一点且在第一象限，若△{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}为等腰三角形，则{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的坐标为[ ]{.underline}．
16．学生到工厂劳动实践，利用{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}打印技术制作模型，如图，该模型为长方体{width="1.09375in" height="0.21875in"}，挖去四棱锥{width="0.7083333333333334in" height="0.17708333333333334in"}后所得的几何体，其中{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为长方体的中心，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，分别为所在棱的中点，{width="0.9895833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}打印所用原料密度为{width="0.6354166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为[ ]{.underline}{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．
{width="2.15625in" height="1.5208333333333333in"}
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共60分。**
17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两组，每组100只，其中{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}组小鼠给服甲离子溶液，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
{width="5.458333333333333in" height="1.9479166666666667in"}
记{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18．（12分）{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的对边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．已知{width="1.21875in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}；
（2）若{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为锐角三角形，且{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}面积的取值范围．
19．（12分）图1是由矩形{width="0.4479166666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.5729166666666666in" height="0.17708333333333334in"}和菱形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}组成的一个平面图形，其中{width="0.4479166666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.8020833333333334in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．将其沿{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}折起使得{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}重合，连接{width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}，如图2．
{width="4.552083333333333in" height="1.84375in"}
（1）证明：图2中的{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}四点共面，且平面{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}；
（2）求图2中的四边形{width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}的面积．
20．（12分）已知函数{width="1.2395833333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
（1）讨论{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性；
（2）当{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"}时，记{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，最小值为{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}，求{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的取值范围．
21．（12分）已知曲线{width="0.6354166666666666in" height="0.40625in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为直线{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}上的动点，过{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的两条切线，切点分别为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
（1）证明：直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}过定点．
（2）若以{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}为圆心的圆与直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}相切，且切点为线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，求该圆的方程．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）如图，在极坐标系{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.21875in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，弧{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.25in" height="0.21875in"}，{width="0.25in" height="0.21875in"}所在圆的圆心分别是{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，曲线{width="0.21875in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，曲线{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.21875in"}，曲线{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}是弧{width="0.25in" height="0.21875in"}．
（1）分别写出{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}的极坐标方程；
（2）曲线{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}由{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}构成，若点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上，且{width="0.6354166666666666in" height="0.25in"}，求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的极坐标．
{width="2.4791666666666665in" height="1.1354166666666667in"}
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}．
（1）求{width="1.5833333333333333in" height="0.23958333333333334in"}的最小值；
（2）若{width="1.8645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}成立，证明：{width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}或{width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}．
2019年北京理科高考数学试卷
==========================
**一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。**
1．已知复数{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.21875in" height="0.21875in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} C．3 D．5
2．执行如图所示的程序框图，输出的{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.7708333333333333in" height="2.71875in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的参数方程为{width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}为参数），则点{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}到直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的距离是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}
4．已知椭圆{width="1.3333333333333333in" height="0.40625in"}的离心率为{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.53125in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}
5．若{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足{width="0.625in" height="0.20833333333333334in"}，且{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"} B．1 C．5 D．7
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足{width="1.0729166666666667in" height="0.4166666666666667in"}，其中星等为{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}的星的亮度为{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}．已知太阳的星等是{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，天狼星的星等是{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则太阳与天狼星的亮度的比值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．10.1 C．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}
7．设点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}不共线，则"{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}的夹角为锐角"是"{width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线{width="1.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}上任意一点到原点的距离都不超过{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}；
③曲线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}所围成的"心形"区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.5729166666666667in" height="1.53125in"}
A．① B．② C．①② D．①②③
**二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。**
9．函数{width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}的最小正周期是[ ]{.underline}．
10．设等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}，若{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}，则{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}[ ]{.underline}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}的最小值为[ ]{.underline}．
11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，那么该几何体的体积为[ ]{.underline}．
{width="2.21875in" height="2.375in"}
12．已知{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}是平面{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}；②{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}；③{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：[ ]{.underline}．
13．设函数{width="1.1354166666666667in" height="0.23958333333333334in"}为常数）．若{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}为奇函数，则{width="0.25in" height="0.13541666666666666in"}[ ]{.underline}；若{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}上的增函数，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围是[ ]{.underline}．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、65元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、80元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、90元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
①当{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付[ ]{.underline}元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题 共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
15．（13分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5416666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值；
（Ⅱ）求{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}的值．
16．（14分）如图，在四棱锥{width="0.6770833333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="1.15625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}．{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}上，且{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求证：{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}；
（Ⅱ）求二面角{width="0.7395833333333334in" height="0.16666666666666666in"}的余弦值；
（Ⅲ）设点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}在{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}上，且{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}．判断直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是否在平面{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}内，说明理由．
{width="2.0416666666666665in" height="1.5208333333333333in"}
17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生的支付金额分布情况如下：
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------+
| 支付金额（元{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} | {width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"} | {width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"} | 大于2000 |
| | | | |
| 支付方式 | | | |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------+
| 仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} | 18人 | 9人 | 3人 |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------+
| 仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} | 10人 | 14人 | 1人 |
+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------+
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中各随机抽取1人，以{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18．（14分）已知抛物线{width="0.84375in" height="0.23958333333333334in"}经过点{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}．
（Ⅰ）求抛物线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为原点，过抛物线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的焦点作斜率不为0的直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}交抛物线{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}于两点{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，直线{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}分别交直线{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．求证：以{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}为直径的圆经过{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的两个定点．
19．（13分）已知函数{width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求曲线{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的斜率为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的切线方程；
（Ⅱ）当{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，求证：{width="0.8645833333333334in" height="0.20833333333333334in"}；
（Ⅲ）设{width="1.8020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，记{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}上的最大值为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（a）．当{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（a）最小时，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值．
20．（13分）已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，从中选取第{width="0.11458333333333333in" height="0.21875in"}项、第{width="0.125in" height="0.21875in"}项、{width="0.17708333333333334in" height="8.333333333333333e-2in"}、第{width="0.15625in" height="0.21875in"}项{width="1.0in" height="0.21875in"}，若{width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}，则称新数列{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，{width="0.17708333333333334in" height="8.333333333333333e-2in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}为{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的长度为{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}的递增子列．规定：数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的任意一项都是{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的长度为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的递增子列的末项的最小值为{width="0.21875in" height="0.25in"}，长度为{width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}的递增子列的末项的最小值为{width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}．若{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，求证：{width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}；
（Ⅲ）设无穷数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的长度为{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}的递增子列末项的最小值为{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，且长度为{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}末项为{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}的递增子列恰有{width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}个{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，2，{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}，求数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的通项公式．
2019年北京文科高考数学试卷
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**一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。**
1．已知集合{width="1.1354166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.8229166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.53125in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}
2．已知复数{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.21875in" height="0.21875in"} B．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} C．3 D．5
3．下列函数中，在区间{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上单调递增的是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"} B．{width="0.4583333333333333in" height="0.23958333333333334in"} C．{width="0.6354166666666666in" height="0.34375in"} D．{width="0.375in" height="0.3854166666666667in"}
4．执行如图所示的程序框图，输出的{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.7708333333333333in" height="2.71875in"}
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知双曲线{width="1.09375in" height="0.40625in"}的离心率是{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}，则{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．4 C．2 D．{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}
6．设函数{width="1.375in" height="0.20833333333333334in"}为常数），则"{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}"是"{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}为偶函数"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足{width="1.0729166666666667in" height="0.4166666666666667in"}，其中星等为{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}的星的亮度为{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}．已知太阳的星等是{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，天狼星的星等是{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则太阳与天狼星的亮度的比值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．10.1 C．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}
8．如图，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}是半径为2的圆周上的定点，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为圆周上的动点，{width="0.4270833333333333in" height="0.16666666666666666in"}是锐角，大小为{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，图中阴影区域的面积的最大值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="1.6458333333333333in" height="1.6041666666666667in"}
A．{width="0.78125in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.78125in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。**
9．已知向量{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，且{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.28125in" height="0.13541666666666666in"}[ ]{.underline}．
10．若{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足{width="0.9583333333333334in" height="0.6770833333333334in"}则{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}的最小值为[ ]{.underline}，最大值为[ ]{.underline}．
11．设抛物线{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}的焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，准线为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，则以{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为圆心，且与{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}相切的圆的方程为[ ]{.underline}．
12．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，那么该几何体的体积为[ ]{.underline}．
{width="2.21875in" height="2.375in"}
13．已知{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}是平面{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}；②{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}；③{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：[ ]{.underline}．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、65元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、80元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒、90元{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
①当{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付[ ]{.underline}元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
15．（13分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5416666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值；
（Ⅱ）求{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的值．
16．（13分）设{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}是等差数列，{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，且{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}成等比数列．
（Ⅰ）求{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的通项公式；
（Ⅱ）记{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}，求{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}的最小值．
17．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生的支付金额分布情况如下：
+------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| 支付金额 | 不大于2000元 | 大于2000元 |
| | | |
| 支付方式 | | |
+------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| 仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} | 27人 | 3人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| 仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} | 24人 | 1人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
（Ⅰ）估计该校学生中上个月{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
18．（14分）如图，在四棱锥{width="0.6770833333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，底面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}为菱形，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的中点．
（Ⅰ）求证：{width="0.3854166666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅱ）若{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，求证：平面{width="0.4583333333333333in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}；
（Ⅲ）棱{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}上是否存在点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使得{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}？说明理由．
{width="2.15625in" height="1.8125in"}
19．（14分）已知椭圆{width="0.90625in" height="0.40625in"}的右焦点为{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，且经过点{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}．
（Ⅰ）求椭圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的方程；
（Ⅱ）设{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为原点，直线{width="1.1666666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与椭圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}交于两个不同点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴交于点{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．若{width="0.9479166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，求证：直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}经过定点．
20．（14分）已知函数{width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}．
（Ⅰ）求曲线{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的斜率为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的切线方程；
（Ⅱ）当{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，求证：{width="0.8645833333333334in" height="0.20833333333333334in"}；
（Ⅲ）设{width="1.8020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，记{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}上的最大值为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（a）．当{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（a）最小时，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值．
2019年天津理科高考数学试卷
==========================
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．设集合{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，1，2，3，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，3，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="1.21875in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.9583333333333334in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，2，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，2，3，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}
2．设变量{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.84375in" height="0.8854166666666666in"}则目标函数{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，则"{width="0.6770833333333334in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="2.0416666666666665in" height="3.625in"}
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}的焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，准线为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}．若{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}与双曲线{width="1.4583333333333333in" height="0.40625in"}的两条渐近线分别交于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="1.0520833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为原点），则双曲线的离心率为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．{width="0.21875in" height="0.21875in"} C．2 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}
6．已知{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.78125in" height="0.21875in"}，{width="0.5520833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的大小关系为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"}
7．已知函数{width="1.625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}是奇函数，将{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}．若{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小正周期为{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}，且{width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} D．2
8．已知{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}．设函数{width="1.6354166666666667in" height="0.46875in"}若关于{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的不等式{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}在{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}上恒成立，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}是虚数单位，则{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}的值为[ ]{.underline}．
10．{width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的展开式中的常数项为[ ]{.underline}．
11．已知四棱锥的底面是边长为{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}的正方形，侧棱长均为{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为[ ]{.underline}．
12．设{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，直线{width="0.84375in" height="0.20833333333333334in"}和圆{width="1.125in" height="0.4583333333333333in"}为参数）相切，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值为[ ]{.underline}．
13．设{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}的最小值为[ ]{.underline}．
14．在四边形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的延长线上，且{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.6145833333333334in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}所对的边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．已知{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="1.09375in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）求{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的值；
（Ⅱ）求{width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}的值．
16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}之前到校的概率均为{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}表示甲同学上学期间的三天中{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}之前到校的天数，求随机变量{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为事件"上学期间的三天中，甲同学在{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}之前到校的天数比乙同学在{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}之前到校的天数恰好多2"，求事件{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}发生的概率．
17．（13分）如图，{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.8229166666666666in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）求证：{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}；
（Ⅱ）求直线{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}与平面{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角{width="0.7395833333333334in" height="0.16666666666666666in"}的余弦值为{width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，求线段{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的长．
{width="2.1145833333333335in" height="1.9895833333333333in"}
18．（13分）设椭圆{width="1.3333333333333333in" height="0.40625in"}的左焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，上顶点为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．已知椭圆的短轴长为4，离心率为{width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为直线{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴的交点，点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}在{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴的负半轴上．若{width="0.9479166666666666in" height="0.20833333333333334in"}为原点），且{width="0.65625in" height="0.17708333333333334in"}，求直线{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的斜率．
19．（14分）设{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}是等差数列，{width="0.28125in" height="0.21875in"}是等比数列．已知{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.375in" height="0.21875in"}，{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}．
（Ⅰ）求{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}和{width="0.28125in" height="0.21875in"}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.34375in" height="0.21875in"}，{width="1.2604166666666667in" height="0.4895833333333333in"}其中{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}．
{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}求数列{width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}的通项公式；
{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}求{width="0.9270833333333334in" height="0.4479166666666667in"}．
20．（14分）设函数{width="0.90625in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}为{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的导函数．
（Ⅰ）求{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调区间；
（Ⅱ）当{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.20833333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，证明{width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}；
（Ⅲ）设{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}为函数{width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}在区间{width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}内的零点，其中{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，证明{width="1.78125in" height="0.4479166666666667in"}．
2019年天津文科高考数学试卷
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**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．设集合{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，1，2，3，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，3，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="1.21875in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.9583333333333334in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，2，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，2，3，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}
2．设变量{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.84375in" height="0.8854166666666666in"}则目标函数{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，则"{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"}"是"{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的值为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="2.0416666666666665in" height="3.625in"}
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.59375in" height="0.21875in"}，{width="0.5520833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的大小关系为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"}
6．已知抛物线{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}的焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，准线为{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}．若{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}与双曲线{width="1.4583333333333333in" height="0.40625in"}的两条渐近线分别交于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，且{width="1.0520833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为原点），则双曲线的离心率为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} B．{width="0.21875in" height="0.21875in"} C．2 D．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}
7．已知函数{width="1.625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}是奇函数，且{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的最小正周期为{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，将{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}．若{width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} B．{width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"} C．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} D．2
8．已知函数{width="1.2916666666666667in" height="0.65625in"}若关于{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的方程{width="1.40625in" height="0.3854166666666667in"}恰有两个互异的实数解，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围为{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"} C．{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.5in" height="0.3854166666666667in"} D．{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.5in" height="0.3854166666666667in"}
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}是虚数单位，则{width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}的值为[ ]{.underline}．
10．设{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，使不等式{width="0.90625in" height="0.20833333333333334in"}成立的{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围为[ ]{.underline}．
11．曲线{width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"}在点{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}处的切线方程为[ ]{.underline}．
12．已知四棱锥的底面是边长为{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}的正方形，侧棱长均为{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为[ ]{.underline}．
13．设{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}的最小值为[ ]{.underline}．
14．在四边形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的延长线上，且{width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="0.6145833333333334in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．享受情况如表，其中"〇"表示享受，"{width="0.125in" height="0.125in"}"表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.84375in" height="0.4583333333333333in"} {width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}
子女教育 〇 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} 〇
继续教育 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 〇
大病医疗 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"}
住房贷款利息 〇 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 〇
住房租金 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"}
赡养老人 〇 〇 {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} {width="0.125in" height="0.125in"} 〇
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}设{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}发生的概率．
16．（13分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，内角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}所对的边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．已知{width="0.625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="1.09375in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）求{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的值；
（Ⅱ）求{width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}的值．
17．（13分）如图，在四棱锥{width="0.6770833333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，底面{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}为平行四边形，{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为等边三角形，平面{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）设{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}分别为{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的中点，求证：{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}；
（Ⅱ）求证：{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅲ）求直线{width="0.2604166666666667in" height="0.16666666666666666in"}与平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}所成角的正弦值．
{width="2.2916666666666665in" height="1.5in"}
18．（13分）设{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}是等差数列，{width="0.28125in" height="0.21875in"}是等比数列，公比大于0．已知{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.71875in" height="0.21875in"}．
（Ⅰ）求{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}和{width="0.28125in" height="0.21875in"}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="1.09375in" height="0.5833333333333334in"}求{width="1.8854166666666667in" height="0.23958333333333334in"}．
19．（14分）设椭圆{width="1.3333333333333333in" height="0.40625in"}的左焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，左顶点为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，上顶点为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．已知{width="1.25in" height="0.25in"}为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}且斜率为{width="0.15625in" height="0.3854166666666667in"}的直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}与椭圆在{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴上方的交点为{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}同时与{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴和直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}相切，圆心{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}在直线{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}上，且{width="0.6145833333333334in" height="0.17708333333333334in"}．求椭圆的方程．
20．（14分）设函数{width="1.34375in" height="0.23958333333333334in"}，其中{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）若{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，讨论{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性；
（Ⅱ）若{width="0.5833333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，
{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}证明{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}恰有两个零点；
{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}设{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}为{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极值点，{width="0.15625in" height="0.21875in"}为{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的零点，且{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，证明{width="0.71875in" height="0.21875in"}．
2019年江苏省高考数学试卷
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**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.**
1．已知集合{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，0，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.8020833333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.53125in" height="0.2604166666666667in"}[ ]{.underline}．
2．已知复数{width="0.8020833333333334in" height="0.20833333333333334in"}的实部为0，其中{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位，则实数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值是[ ]{.underline}．
3．如图是一个算法流程图，则输出的{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的值是[ ]{.underline}．
{width="1.59375in" height="2.5416666666666665in"}
4．函数{width="1.03125in" height="0.2604166666666667in"}的定义域是[ ]{.underline}．
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是[ ]{.underline}．
6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是[ ]{.underline}．
7．在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，若双曲线{width="1.0833333333333333in" height="0.40625in"}经过点{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，则该双曲线的渐近线方程是[ ]{.underline}．
8．已知数列{width="0.7916666666666666in" height="0.23958333333333334in"}是等差数列，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}是其前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和．若{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，则{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的值是[ ]{.underline}．
9．如图，长方体{width="1.09375in" height="0.21875in"}的体积是120，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为{width="0.28125in" height="0.21875in"}的中点，则三棱锥{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}的体积是[ ]{.underline}．
{width="1.4375in" height="1.1979166666666667in"}
10．在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}是曲线{width="1.0in" height="0.3854166666666667in"}上的一个动点，则点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}到直线{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的距离的最小值是[ ]{.underline}．
11．在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在曲线{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上，且该曲线在点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}处的切线经过点{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为自然对数的底数），则点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的坐标是[ ]{.underline}．
12．如图，在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的中点，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在边{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上，{width="0.6354166666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.16666666666666666in"}与{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}交于点{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}．若{width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}，则{width="0.28125in" height="0.3854166666666667in"}的值是[ ]{.underline}．
{width="1.4791666666666667in" height="0.9375in"}
13．已知{width="1.0520833333333333in" height="0.5729166666666666in"}，则{width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}的值是[ ]{.underline}．
14．设{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}是定义在{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}上的两个周期函数，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的周期为4，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}的周期为2，且{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}是奇函数．当{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"}，{width="1.65625in" height="0.625in"}其中{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}．若在区间{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}上，关于{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的方程{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}有8个不同的实数根，则{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的取值范围是[ ]{.underline}．
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
15．（14分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，角{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的对边分别为{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}．
（1）若{width="0.40625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值；
（2）若{width="0.84375in" height="0.3854166666666667in"}，求{width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}中，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}分别为{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的中点，{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}．
求证：（1）{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}平面{width="0.375in" height="0.21875in"}；
（2）{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}．
{width="1.3333333333333333in" height="1.71875in"}
17．（14分）如图，在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，椭圆{width="1.53125in" height="0.40625in"}的焦点为{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}．过{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}作{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴的垂线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，在{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴的上方，1与圆{width="1.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}交于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，与椭圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}交于点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}．连结{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}并延长交圆{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，连结{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}交椭圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，连结{width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}．已知{width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求椭圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的标准方程；
（2）求点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的坐标．
{width="2.0104166666666665in" height="2.0416666666666665in"}
18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的圆，湖的一侧有一条直线型公路{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，湖上有桥{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}是圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的直径），规划在公路{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}上选两个点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，并修建两段直线型道路{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，规划要求：线段{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}上的所有点到点{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的距离均不小于圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的半径．已知点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}到直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的距离分别为{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}和{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为垂足），测得{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.53125in" height="0.16666666666666666in"}（单位：百米）．
（1）若道路{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}与桥{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}垂直，求道路{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的长；
（2）在规划要求下，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}中能否有一个点选在{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}和{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}的长度均为{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}（单位：百米），求当{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}最小时，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}两点间的距离．
{width="2.2083333333333335in" height="1.0208333333333333in"}
19．（16分）设函数{width="1.625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的导函数．
（1）若{width="0.5520833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}（4）{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值；
（2）若{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，且{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}和{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}的零点均在集合{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，1，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}中，求{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极小值；
（3）若{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，且{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极大值为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，求证：{width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}．
20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为"{width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}数列"．
（1）已知等比数列{width="0.7916666666666666in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}，{width="1.0729166666666667in" height="0.21875in"}，求证：数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}为"{width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}数列"；
（2）已知数列{width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"}满足：{width="0.34375in" height="0.21875in"}，{width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}，其中{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}为数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和．
①求数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}的通项公式；
②设{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}为正整数，若存在"{width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}数列" {width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"}，对任意正整数{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}，当{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，都有{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}成立，求{width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}的最大值．
**【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
**A.\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分）**
21．（10分）已知矩阵{width="0.7083333333333334in" height="0.4583333333333333in"}．
（1）求{width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}；
（2）求矩阵{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的特征值．
**B.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分10分）**
22．（10分）在极坐标系中，已知两点{width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，{width="0.21875in" height="0.3854166666666667in"}，直线1的方程为{width="0.9895833333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
（1）求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两点间的距离；
（2）求点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}到直线{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}的距离．
**C.\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分10分）**
23．设{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，解不等式{width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}．
**【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
24．（10分）设{width="2.125in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}．已知{width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"}．
（1）求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值；
（2）设{width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}，其中{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.5104166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的值．
25．（10分）在平面直角坐标系{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}中，设点集{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="8.333333333333333e-2in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}
，{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3020833333333333in" height="8.333333333333333e-2in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}．令{width="1.1666666666666667in" height="0.2604166666666667in"}．从集合{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"}中任取两个不同的点，用随机变量{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}表示它们之间的距离．
（1）当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，求{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的概率分布；
（2）对给定的正整数{width="0.46875in" height="0.20833333333333334in"}，求概率{width="0.5520833333333334in" height="0.20833333333333334in"}（用{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}表示）
2019年浙江省高考数学试卷
========================
**一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．已知全集{width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，0，{width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}，2，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，集合{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，1，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，0，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.8229166666666666in" height="0.2604166666666667in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"} B．{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，2，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} D．{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，0，1，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}
2．渐进线方程为{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的双曲线的离心率是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.2604166666666667in" height="0.4166666666666667in"} B．1 C．{width="0.23958333333333334in" height="0.21875in"} D．2
3．若实数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件{width="0.875in" height="0.6770833333333334in"}，则{width="0.7083333333333334in" height="0.20833333333333334in"}的最大值是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"} B．1 C．10 D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的"幂势既同，则积不容异"称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，其中{width="0.11458333333333333in" height="0.13541666666666666in"}是柱体的底面积，{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
{width="2.9270833333333335in" height="3.2708333333333335in"}
A．158 B．162 C．182 D．324
5．若{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，则"{width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}"是"{width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}且{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}的图象可能是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="1.4479166666666667in" height="1.5208333333333333in"} B．{width="1.4166666666666667in" height="1.5in"}
C．{width="1.5625in" height="1.5208333333333333in"} D．{width="1.46875in" height="1.6145833333333333in"}
7．设{width="0.5416666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．随机变量{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的分布列是
------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------
{width="0.17708333333333334in" height="0.16666666666666666in"} 0 {width="0.125in" height="0.13541666666666666in"} 1
{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"} {width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}
------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------
则当{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}在{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}内增大时，{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}增大 B．{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}减小
C．{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}先增大后减小 D．{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}先减小后增大
8．设三棱锥{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的底面是正三角形，侧棱长均相等，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}是棱{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}上的点（不含端点）．记直线{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}与直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}所成角为{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}，直线{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}与平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}所成角为{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，二面角{width="0.71875in" height="0.17708333333333334in"}的平面角为{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"} C．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}
9．设{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，函数{width="2.1666666666666665in" height="0.625in"}若函数{width="1.0416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}恰有3个零点，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"} C．{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"} D．{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}
10．设{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}满足{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.7604166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．当{width="0.3645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}时，{width="0.5in" height="0.21875in"} B．当{width="0.3645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}时，{width="0.5in" height="0.21875in"}
C．当{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5in" height="0.21875in"} D．当{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5in" height="0.21875in"}
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。**
11．已知复数{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，其中{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}是虚数单位，则{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
12．已知圆{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}的圆心坐标是{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，半径长是{width="0.125in" height="0.125in"}．若直线{width="0.84375in" height="0.20833333333333334in"}与圆相切与点{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.28125in" height="0.13541666666666666in"}[ ]{.underline}，{width="0.23958333333333334in" height="0.125in"}[ ]{.underline}．
13．在二项式{width="0.59375in" height="0.25in"}的展开式中，常数项是[ ]{.underline}，系数为有理数的项的个数是[ ]{.underline}．
14．在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.46875in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在线段{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}上，若{width="0.8229166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}[ ]{.underline}，{width="0.78125in" height="0.17708333333333334in"}[ ]{.underline}．
15．已知椭圆{width="0.71875in" height="0.40625in"}的左焦点为{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}在椭圆上且在{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴的上方，若线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点在以原点{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为圆心，{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为半径的圆上，则直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的斜率是[ ]{.underline}．
16．已知{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，函数{width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}．若存在{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，使得{width="1.2395833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，则实数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的最大值是[ ]{.underline}．
17．已知正方形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的边长为1．当每个{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，2，3，4，5，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}取遍{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}时，{width="2.84375in" height="0.25in"}的最小值是[ ]{.underline}，最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
18．（14分）设函数{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}．
（1）已知{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.28125in" height="0.20833333333333334in"}，函数{width="0.5520833333333334in" height="0.20833333333333334in"}是偶函数，求{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的值；
（2）求函数{width="1.8020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}的值域．
19．（15分）如图，已知三棱柱{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}，平面{width="0.65625in" height="0.21875in"}平面{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.7916666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，{width="1.0in" height="0.21875in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}分别是{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的中点．
（Ⅰ）证明：{width="0.6145833333333334in" height="0.17708333333333334in"}；
（Ⅱ）求直线{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与平面{width="0.375in" height="0.21875in"}所成角的余弦值．
{width="1.9270833333333333in" height="1.875in"}
20．（15分）设等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.40625in" height="0.21875in"}，{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}．数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足：对每个{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}成等比数列．
（Ⅰ）求数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.28125in" height="0.21875in"}的通项公式；
（Ⅱ）记{width="0.65625in" height="0.46875in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，证明：{width="1.34375in" height="0.25in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}．
21．如图，已知点{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}为抛物线{width="1.0in" height="0.23958333333333334in"}的焦点．过点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直线交抛物线于{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}两点，点{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}在抛物线上，使得{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的重心{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}在{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴上，直线{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}交{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴于点{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，且{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}在点{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的右侧．记{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的面积分别为{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}．
（Ⅰ）求{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求{width="0.20833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的最小值及此时点{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}点坐标．
{width="2.09375in" height="2.1145833333333335in"}
22．（15分）已知实数{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}，设函数{width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}．
（Ⅰ）当{width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}时，求函数{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调区间；
（Ⅱ）对任意{width="0.4583333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}均有{width="0.65625in" height="0.4166666666666667in"}，求{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的取值范围．
注意：{width="1.0104166666666667in" height="0.17708333333333334in"}为自然对数的底数．
2019年上海春季高考数学试卷
==========================
**一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）**
1．已知集合{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，2，3，4，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，5，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.53125in" height="0.2604166666666667in"}[ ]{.underline}．
2．计算{width="1.0833333333333333in" height="0.40625in"}[ ]{.underline}．
3．不等式{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}的解集为[ ]{.underline}．
4．函数{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的反函数为[ ]{.underline}．
5．设{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位，{width="0.84375in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}的值为[ ]{.underline}
6．已知{width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，当方程有无穷多解时，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值为[ ]{.underline}．
7．在{width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}的展开式中，常数项等于[ ]{.underline}．
8．在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.9479166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且{width="0.6145833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}[ ]{.underline}．
9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有[ ]{.underline}种（结果用数值表示）
10．如图，已知正方形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，其中{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，函数{width="0.46875in" height="0.23958333333333334in"}交{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，函数{width="0.46875in" height="0.3333333333333333in"}交{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}于点{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，当{width="0.7916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}最小时，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值为[ ]{.underline}．
{width="2.0520833333333335in" height="1.8020833333333333in"}
11．在椭圆{width="0.71875in" height="0.40625in"}上任意一点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}关于{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴对称，若有{width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}的夹角范围为[ ]{.underline}．
12．已知集合{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.78125in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，存在正数{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，使得对任意{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，都有{width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.15625in"}的值是[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13．下列函数中，值域为{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.5729166666666666in" height="0.19791666666666666in"} D．{width="0.5729166666666666in" height="0.16666666666666666in"}
14．已知{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，则"{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．已知平面{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两两垂直，直线{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}满足：{width="0.40625in" height="0.15625in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}，则直线{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}不可能满足以下哪种关系{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
16．以{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}为圆心的两圆均过{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，与{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴分别交于{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，且满足{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}，则点{width="0.5104166666666666in" height="0.4166666666666667in"}的轨迹是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
**三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）**
17．（14分）如图，在正三棱锥{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="2.40625in" height="0.23958333333333334in"}．
（1）若{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的中点为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的中点为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的夹角；
（2）求{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的体积．
{width="1.2083333333333333in" height="1.2083333333333333in"}
18．（14分）已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.375in" height="0.21875in"}，前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}．
（1）若{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}为等差数列，且{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，求{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}；
（2）若{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}为等比数列，且{width="0.6770833333333334in" height="0.28125in"}，求公比{width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
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年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"} 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"} 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
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（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}表示1978年，第{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}年卫生总费用与年份{width="9.375e-2in" height="0.15625in"}之间拟合函数{width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}研究函数{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（16分）已知抛物线方程{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为焦点，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为抛物线准线上一点，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}为线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与抛物线的交点，定义：{width="0.8020833333333334in" height="0.4166666666666667in"}．
（1）当{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}时，求{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}；
（2）证明：存在常数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，使得{width="1.03125in" height="0.20833333333333334in"}；
（3）{width="0.15625in" height="0.21875in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}为抛物线准线上三点，且{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}，判断{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}与{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}的关系．
21．（18分）已知等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的公差{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.71875in" height="0.21875in"}，集合{width="1.34375in" height="0.28125in"}．
（1）若{width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}；
（2）若{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}使得集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有两个元素；
（3）若集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有三个元素：{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是不超过7的正整数，求{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的所有可能的值．
2019年上海秋季高考数学试卷
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**一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）**
1. 已知集合{width="1.7340277777777777in" height="0.27847222222222223in"}，则{width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}\_\_\_\_\_\_\_\_.
2. 已知{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}且满足{width="0.5555555555555556in" height="0.4027777777777778in"}，求{width="0.25in" height="0.125in"}\_\_\_\_\_\_\_\_.
3. 已知向量{width="0.6666666666666666in" height="0.2638888888888889in"}，{width="0.6527777777777778in" height="0.2638888888888889in"}，则{width="0.13958333333333334in" height="0.23402777777777778in"}与{width="0.13958333333333334in" height="0.23402777777777778in"}的夹角为\_\_\_\_\_\_\_\_.
4. 已知二项式{width="0.5951388888888889in" height="0.3034722222222222in"}，则展开式中含{width="0.19652777777777777in" height="0.22152777777777777in"}项的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
5. 已知*x、y*满足{width="0.7215277777777778in" height="0.7784722222222222in"}，求{width="0.7909722222222222in" height="0.22152777777777777in"}的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
6. 已知函数{width="0.4048611111111111in" height="0.27847222222222223in"}周期为{width="9.513888888888888e-2in" height="0.18333333333333332in"}，且当{width="0.5951388888888889in" height="0.19652777777777777in"}，{width="1.0694444444444444in" height="0.27847222222222223in"}，则{width="0.4861111111111111in" height="0.4027777777777778in"}\_\_\_\_\_\_\_\_.
7. 若{width="0.6965277777777777in" height="0.2534722222222222in"}，且{width="0.7340277777777777in" height="0.4305555555555556in"}，则{width="0.18333333333333332in" height="0.4305555555555556in"}的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
8. 已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}前*n*项和为{width="0.19375in" height="0.2222222222222222in"}，且满足{width="0.7659722222222223in" height="0.2534722222222222in"}，则{width="0.33541666666666664in" height="0.2534722222222222in"}\_\_\_\_\_\_.
9. 过{width="0.5569444444444445in" height="0.2534722222222222in"}的焦点{width="0.18333333333333332in" height="0.18333333333333332in"}并垂直于{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}轴的直线分别与{width="0.5569444444444445in" height="0.2534722222222222in"}交于{width="0.41805555555555557in" height="0.19652777777777777in"}，{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}在{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}上方，{width="0.22152777777777777in" height="0.18333333333333332in"}为抛物线上一点，{width="0.9430555555555555in" height="0.23402777777777778in"}{width="0.7534722222222222in" height="0.29097222222222224in"}，则{width="0.27847222222222223in" height="0.19652777777777777in"}\_\_\_\_\_\_.
10. 某三位数密码锁，每位数字在{width="0.3333333333333333in" height="0.18055555555555555in"}数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是\_\_\_\_\_\_\_.
11. 已知数列{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}满足{width="0.5951388888888889in" height="0.2534722222222222in"}（{width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}），{width="0.6520833333333333in" height="0.27847222222222223in"}在双曲线{width="0.7638888888888888in" height="0.4305555555555556in"}上，则{width="0.8604166666666667in" height="0.31666666666666665in"}\_\_\_\_\_\_\_.
12. 已知{width="2.0125in" height="0.475in"}，若{width="0.44305555555555554in" height="0.2534722222222222in"}，{width="0.4048611111111111in" height="0.27847222222222223in"}与{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}轴交点为{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}，{width="0.4048611111111111in" height="0.27847222222222223in"}为曲线{width="0.15208333333333332in" height="0.18333333333333332in"}，在{width="0.15208333333333332in" height="0.18333333333333332in"}上任意一点{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}，总存在一点{width="0.16458333333333333in" height="0.22152777777777777in"}（{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}异于{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}）使得{width="0.6965277777777777in" height="0.22152777777777777in"}且{width="0.7909722222222222in" height="0.27847222222222223in"}，则{width="0.33541666666666664in" height="0.2534722222222222in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13. 已知直线方程{width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}的一个方向向量{width="0.1527777777777778in" height="0.2361111111111111in"}可以是（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A. {width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"} B. {width="0.3194444444444444in" height="0.20833333333333334in"} C. {width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"} D. {width="0.3194444444444444in" height="0.20833333333333334in"}
```{=html}
<!-- -->
```
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
```{=html}
<!-- -->
```
15. 已知{width="0.4027777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，函数{width="1.7090277777777778in" height="0.3034722222222222in"}，存在常数{width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，使得{width="0.6395833333333333in" height="0.27847222222222223in"}为偶函数，则{width="0.16458333333333333in" height="0.15208333333333332in"}可能的值为（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A. {width="0.18055555555555555in" height="0.4027777777777778in"} B. {width="0.18055555555555555in" height="0.4027777777777778in"} C. {width="0.18055555555555555in" height="0.4027777777777778in"} D. {width="0.18055555555555555in" height="0.4027777777777778in"}
```{=html}
<!-- -->
```
16. 已知{width="1.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}.
①存在{width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}在第一象限，角{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}在第三象限；
②存在{width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}在第二象限，角{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}在第四象限；
A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；
三.**解答题（本大题共5题，共76分）**
17. （本题满分14分）如图，在长方体{width="1.2340277777777777in" height="0.2534722222222222in"}中，{width="0.22152777777777777in" height="0.18333333333333332in"}为{width="0.29097222222222224in" height="0.2534722222222222in"}上一点，已知{width="0.5694444444444444in" height="0.18333333333333332in"}，{width="0.5444444444444444in" height="0.18333333333333332in"}，{width="0.525in" height="0.19652777777777777in"}，{width="0.5444444444444444in" height="0.2534722222222222in"}.
（1）求直线{width="0.3034722222222222in" height="0.2534722222222222in"}与平面{width="0.5in" height="0.19652777777777777in"}的夹角；
（2）求点{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}到平面{width="0.45555555555555555in" height="0.2534722222222222in"}的距离.
{width="1.645138888888889in" height="1.7694444444444444in"}
18.（本题满分14分）已知{width="1.1965277777777779in" height="0.4305555555555556in"}{width="0.4861111111111111in" height="0.20833333333333334in"}.
（1）当{width="0.36041666666666666in" height="0.19652777777777777in"}时，求不等式{width="1.3166666666666667in" height="0.27847222222222223in"}的解集；
（2）若{width="0.5951388888888889in" height="0.27847222222222223in"}时，{width="0.4048611111111111in" height="0.27847222222222223in"}有零点，求{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}的范围.
19.（本题满分14分）如图，{width="0.6833333333333333in" height="0.19652777777777777in"}为海岸线，{width="0.27847222222222223in" height="0.18333333333333332in"}为线段，{width="0.27847222222222223in" height="0.2534722222222222in"}为四分之一圆弧，{width="0.9305555555555556in" height="0.19652777777777777in"}，{width="0.8861111111111111in" height="0.22152777777777777in"}，{width="0.8861111111111111in" height="0.22152777777777777in"}，{width="0.8604166666666667in" height="0.22152777777777777in"}.
（1）求{width="0.27847222222222223in" height="0.2534722222222222in"}长度；
（2）若{width="0.8034722222222223in" height="0.19652777777777777in"}，求{width="0.18333333333333332in" height="0.18333333333333332in"}到海岸线{width="0.6833333333333333in" height="0.19652777777777777in"}的最短距离.（精确到{width="0.6138888888888889in" height="0.19652777777777777in"}）{width="1.5868055555555556in" height="1.4409722222222223in"}
20.（本题满分16分）
已知椭圆{width="0.7909722222222222in" height="0.45555555555555555in"}，{width="0.4048611111111111in" height="0.2534722222222222in"}为左、右焦点，直线{width="9.513888888888888e-2in" height="0.19652777777777777in"}过{width="0.19652777777777777in" height="0.2534722222222222in"}交椭圆于*A、B*两点.
（1）若*AB*垂直于{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}轴时，求{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}；
（2）当{width="0.8861111111111111in" height="0.2659722222222222in"}时，{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}在{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}轴上方时，求{width="0.33541666666666664in" height="0.22152777777777777in"}的坐标；
（3）若直线{width="0.29097222222222224in" height="0.2534722222222222in"}交{width="0.15208333333333332in" height="0.18333333333333332in"}轴于*M*，直线{width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}交{width="0.15208333333333332in" height="0.18333333333333332in"}轴于*N*，是否存在直线{width="9.513888888888888e-2in" height="0.19652777777777777in"}，使{width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}，若存在，求出直线{width="9.513888888888888e-2in" height="0.19652777777777777in"}的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分）
数列{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}有{width="0.27847222222222223in" height="0.19652777777777777in"}项，{width="0.44305555555555554in" height="0.2534722222222222in"}，对任意{width="0.7784722222222222in" height="0.27847222222222223in"}，存在{width="1.5125in" height="0.27847222222222223in"}，若{width="0.19652777777777777in" height="0.2534722222222222in"}与前{width="0.13958333333333334in" height="0.15208333333333332in"}项中某一项相等，则称{width="0.19652777777777777in" height="0.2534722222222222in"}具有性质{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}.
（1）若{width="0.4048611111111111in" height="0.2534722222222222in"}，求{width="0.18333333333333332in" height="0.2534722222222222in"}可能的值；
（2）若{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}不为等差数列，求证：{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}中存在满足性质{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}；
（3）若{width="0.33541666666666664in" height="0.27847222222222223in"}中恰有三项具有性质{width="0.16458333333333333in" height="0.18333333333333332in"}，这三项和为{width="0.16458333333333333in" height="0.19652777777777777in"}，使用{width="0.4305555555555556in" height="0.22152777777777777in"}表示{width="1.1395833333333334in" height="0.2534722222222222in"}.
{width="0.4305555555555556in" height="0.5277777777777778in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学Ⅰ
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**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.若z=1+*i*，则\|z^2^--2*z*\|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2.设集合*A*={*x*\|*x*^2^--4≤0}，*B*={*x*\|2*x*+*a*≤0}，且*A*∩*B*={*x*\|--2≤*x*≤1}，则*a*=（ ）
A. --4 B. --2 C. 2 D. 4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
{width="2.09375in" height="1.3854166666666667in"}
A. B. C. D.
4.已知*A*为抛物线*C*:*y*^2^=2*px*（*p*\>0）上一点，点*A*到*C*的焦点的距离为12，到*y*轴的距离为9，则*p*=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
{width="5.770833333333333in" height="2.0729166666666665in"}
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ）
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} B.
C. D.
6.函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.设函数在的图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为（ ）
{width="3.59375in" height="2.1145833333333335in"}
A. B.
C. D.
8.的展开式中*x*^3^*y*^3^的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
9.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知为球{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知⊙*M*：，直线：，为上的动点，过点作⊙*M*的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
12.若，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13.若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.设为单位向量，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.已知*F*为双曲线的右焦点，*A*为*C*的右顶点，*B*为*C*上的点，且*BF*垂直于*x*轴.若*AB*的斜率为3，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.如图，在三棱锥*P*--*ABC*的平面展开图中，*AC*=1，，*AB*⊥*AC*，*AB*⊥*AD*，∠*CAE*=30°，则cos∠*FCB*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.3965277777777778in" height="1.7222222222222223in"}
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
{width="2.0833333333333335in" height="2.1979166666666665in"}
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
（1）求*E*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}方程；
（2）证明：直线*CD*过定点.
21.已知函数.
（1）当*a*=1时，讨论*f*（*x*）的单调性；
（2）当*x*≥0时，*f*（*x*）≥*x*^3^+1，求*a*的取值范围.
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数．
（1）画出的图像；
{width="1.7916666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
（2）求不等式的解集．
{width="0.4583333333333333in" height="0.4583333333333333in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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文科数学Ⅰ
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**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
2.若，则（ ）
A. 0 B. 1
C. D. 2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
{width="2.09375in" height="1.3854166666666667in"}
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} B. C. D.
4.设*O*为正方形*ABCD*的中心，在*O*，*A*，*B*，*C*，*D*中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
{width="5.770833333333333in" height="2.0729166666666665in"}
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7.设函数在{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为（ ）
{width="3.59375in" height="2.1145833333333335in"}
A. B.
C. D.
8.设，则（ ）
A. B. C. D.
9.执行下面的程序框图，则输出的*n*=（ ）
{width="2.3125in" height="2.59375in"}
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
10.设{width="0.14444444444444443in" height="0.18333333333333332in"}等比数列，且，，则（ ）
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32
11.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
12.已知为球{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.设向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.数列满足，前16项和为540，则 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为*A，B，C，D*四个等级.加工业务约定：对于*A*级品、*B*级品、*C*级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
------ ----- ----- ----- -----
等级 *A* *B* *C* *D*
频数 40 20 20 20
------ ----- ----- ----- -----
乙分厂产品等级的频数分布表
------ ----- ----- ----- -----
等级 *A* *B* *C* *D*
频数 28 17 34 21
------ ----- ----- ----- -----
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18.的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*B*=150°.
（1）若*a*=*c*，*b*=2，求的面积；
（2）若sin*A*+sin*C*=，求*C*.
19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠*APC*=90°．
{width="1.5333333333333334in" height="1.4583333333333333in"}
（1）证明：平面*PAB*⊥平面*PAC*；
（2）设*DO*=，圆锥{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}侧面积为，求三棱锥*P*−*ABC*的体积.
20.已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
21.已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．*
（1）求*E*的方程；
（2）证明：直线*CD*过定点.
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数．
（1）画出的图像；
{width="1.7916666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
（2）求不等式的解集．
{width="0.3611111111111111in" height="0.4861111111111111in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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新高考数学Ⅰ(山东)
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**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=（ ）
A. {*x*\|2\<*x*≤3} B. {*x*\|2≤*x*≤3}
C. {*x*\|1≤*x*\<4} D. {*x*\|1\<*x*\<4}
2.（ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为（ ）
{width="2.3229166666666665in" height="1.5729166666666667in"}
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
6.基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
7.已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
8.若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知曲线.（ ）
A. 若*m*\>*n*\>0，则*C*是椭圆，其焦点在*y*轴上
B. 若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
C. 若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
D. 若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
10.下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*){width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= （ ）
{width="2.0520833333333335in" height="1.4583333333333333in"}
A. B. C. D.
11.已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则（ ）
A. B.
C. D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.（ ）
A. 若*n*=1，则*H*(*X*)=0
B. 若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
C. 若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
D. 若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
{width="1.5888888888888888in" height="1.0930555555555554in"}
16.已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
-- --------------------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- --------------------
20.如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
{width="1.2083333333333333in" height="1.1145833333333333in"}
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
21.已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}取值范围．
22.已知椭圆*C*：的离心率为，且过点*A*（2，1）．
（1）求*C*的方程：
（2）点*M*，*N*在*C*上，且*AM*⊥*AN*，*AD*⊥*MN*，*D*为垂足．证明：存在定点*Q*，使得\|*DQ*\|为定值．
{width="0.4444444444444444in" height="0.3888888888888889in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学Ⅱ
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**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.**
**2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*U*={−2，−1，0，1，2，3}，*A*={−1，0，1}，*B*={1，2}，则（ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
2.若*α*为第四象限角，则（ ）
A. cos2*α*\>0 B. cos2*α*\<0 C. sin2*α*\>0 D. sin2*α*\<0
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
{width="2.729861111111111in" height="2.1666666666666665in"}
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
{width="2.6145833333333335in" height="2.1041666666666665in"}
A. B. C. D.
8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
9.设函数，则*f*(*x*)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
10.已知△*ABC*是面积为{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
11.若，则（ ）
A. B. C. D.
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则*k*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种.
15.设复数，满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*.
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.中，sin^2^*A*－sin^2^*B*－sin^2^*C*=sin*B*sin*C.*
（1）求*A*；
（2）若*BC*=3，求周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，{width="0.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}**≈1.414**.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0){width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合.过*F*且与*x*轴垂直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|.
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）设*M*是*C*~1~与*C*~2~的公共点，若\|*MF*\|=5，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程.
20.如图，已知三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点，过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*.
{width="2.15625in" height="2.59375in"}
（1）证明：*AA*~1~∥*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且*AO*=*AB*，求直线*B*~1~*E*与平面*A*~1~*AMN*所成角的正弦值.
21.已知函数*f*(*x*)=sin^2^*x*sin2*x*.
（1）讨论*f*(*x*)在区间(0，*π*)的单调性；
（2）证明：；
（3）设*n*∈*N*\*，证明：sin^2^*x*sin^2^2*x*sin^2^4*x*...sin^2^2*^n^x*≤{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2*B*铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
{width="0.3472222222222222in" height="0.3888888888888889in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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文科数学Ⅱ
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**注意事项：**
**1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.已知集合*A*={*x*\|\|*x*\|\<3，*x*∈*Z*}，*B*={*x*\|\|*x*\|\>1，*x*∈*Z*}，则*A*∩*B*=（ ）
A. B. {--3，--2，2，3）
C. {--2，0，2} D. {--2，2}
2.（1--i）^4^=（ ）
A. --4 B. 4
C. --4*i* D. 4*i*
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为*a*~1~，*a*~2~，...，*a*~12~.设1≤*i*\<*j*\<*k*≤12．若*k*--*j*=3且*j*--*i*=4，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位大三和弦；若*k*--*j*=4且*j*--*i*=3，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
{width="2.9583333333333335in" height="1.21875in"}
*A.* 5 *B.* 8 *C.* 10 *D.* 15
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
5.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
6.记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*a*~5~--*a*~3~=12，*a*~6~--*a*~4~=24，则=（ ）
A. 2*^n^*--1 B. 2--2^1--*n*^ C. 2--2^*n*--1^ D. 2^1--*n*^--1
7.执行右面的程序框图，若输入的*k*=0，*a*=0，则输出的*k*为（ ）
{width="1.59375in" height="3.3333333333333335in"}
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
9.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10.设函数,则（ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
12.若，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.记为等差数列{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}前*n*项和．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.若*x*，*y*满足约束条件则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求*A*；
（2）若，证明：△*ABC*是直角三角形．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，{width="0.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}**≈1.414**.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合．过*F*且与*x*轴重直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|．
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）若*C*~1~的四个顶点到*C*~2~的准线距离之和为12，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程．
20.如图，已知三棱柱*ABC*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点．过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*．
{width="2.1770833333333335in" height="2.1458333333333335in"}
（1）证明：*AA*~1~//*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*=*AB*=6，*AO*//平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且∠*MPN*=，求四棱锥*B*--*EB*~1~*C*~1~*F*的体积．
21.已知函数*f*（*x*）=2ln*x*+1．
（1）若*f*（*x*）≤2*x*+*c*，求*c*的取值范围；
（2）设*a*\>0时，讨论函数*g*（*x*）={width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}单调性．
**（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
{width="0.3194444444444444in" height="0.3194444444444444in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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新高考数学Ⅱ(海南)
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**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=（ ）
A. {*x*\|2\<*x*≤3} B. {*x*\|2≤*x*≤3}
C. {*x*\|1≤*x*\<4} D. {*x*\|1\<*x*\<4}
2.（ ）
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} 1 B. −1
C{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} i D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为（ ）
{width="2.3229166666666665in" height="1.5729166666666667in"}
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
6.基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
7.已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
8.若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知曲线.（ ）
A. 若*m*\>*n*\>0，则*C*{width="0.14444444444444443in" height="0.18333333333333332in"}椭圆，其焦点在*y*轴上
B. 若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
C. 若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
D. 若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
10.下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)的部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= （ ）
{width="2.4375in" height="1.9375in"}
A. B. C. D.
11.已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则（ ）
A. B.
C. D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.（ ）
A. 若*n*=1，则*H*(*X*)=0
B. 若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
C. 若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
D. 若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13.斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
{width="2.6041666666666665in" height="1.7916666666666667in"}
16.已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
-- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- ------- ------- --------
20.如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
{width="1.2083333333333333in" height="1.1145833333333333in"}
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
21.已知椭圆*C*：过点*M*（2，3）,点*A*为其左顶点，且*AM*的斜率为 ，
（1）求*C*的方程；
（2）点*N*为椭圆上任意一点，求△*AMN*的面积的最大值.
22.已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围．
{width="0.4166666666666667in" height="0.2916666666666667in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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理科数学Ⅲ
=========
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.复数{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A. B.
C. D.
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.设为坐标原点，直线与抛物线*C*：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量***a***，***b***满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则cos*B*=（ ）
A. B. C. D.
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
{width="2.3958333333333335in" height="2.0in"}
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
9.已知2tan*θ*--tan(*θ*+)=7，则tan*θ*=（ ）
A. --2 B. --1 C. 1 D. 2
10.若直线*l*与曲线*y*=和*x*^2^+*y*^2^=都相切，则*l*的方程为（ ）
A. *y*=2*x*+1 B. *y*=2*x*+ C. *y*=*x*+1 D. *y*=*x*+
11.设双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为．*P*是*C*上一点，且*F*~1~*P*⊥*F*~2~*P*．若△*PF*~1~*F*~2~的面积为4，则*a*=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.已知5^5^\<8^4^，13^4^\<8^5^．设*a*=log~5~3，*b*=log~8~5，*c*=log~13~8，则（ ）
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} *a*\<*b*\<*c* B. *b*\<*a*\<*c* C. *b*\<*c*\<*a* D. *c*\<*a*\<*b*
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为*\_\_\_\_\_\_\_\_\_*．
14.的展开式中常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）．
15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.关于函数*f*（*x*）=有如下四个命题：
①*f*（*x*）的图像关于*y*轴对称．
②*f*（*x*）的图像关于原点对称．
③*f*（*x*）的图像关于直线*x*=对称．
④*f*（*x*）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设数列{*a~n~*}满足*a*~1~=3，．
（1）计算*a*~2~，*a*~3~，猜想{*a~n~*}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2*^n^a~n~*}的前*n*项和*S~n~*．
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}841 6.635 10.828
----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- --------
19.如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
{width="1.1979166666666667in" height="1.8541666666666667in"}
（1）证明：点{width="0.1527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
20.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
21.设函数，曲线在点(，*f*())处的切线与*y*轴垂直．
（1）求*b*．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数且*t*≠1），*C*与坐标轴交于*A*、*B*两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程．
**\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
{width="0.3055555555555556in" height="0.4305555555555556in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试
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文科数学Ⅲ
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**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则*A*∩*B*中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.若，则*z*=（ ）
A. 1--*i* B. 1+*i* C. --*i* D. *i*
3.设一组样本数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的方差为0.01，则数据10*x*~1~，10*x*~2~，...，10*x~n~*的方差为（ ）
*A.* 0.01 *B.* 0.1 *C.* 1 *D.* 10
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.在平面内，*A*，*B*是两个定点，*C*是动点，若，则点*C*的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
7.设为坐标原点，直线与抛物线*C*：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
{width="2.3958333333333335in" height="2.0in"}
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
10.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则tan*B*=（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
12.已知函数*f*(*x*)=sin*x*+，则（ ）
A. *f*(*x*)的最小值为2 B. *f*(*x*)的图像关于*y*轴对称
C. *f*(*x*)的图像关于直线对称 D. *f*(*x*)的图像关于直线对称
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.设双曲线*C*： (*a*\>0，*b*\>0)的一条渐近线为*y*=*x*，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.设函数．若，则*a*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设等比数列{*a~n~*}满足，．
（1）求{*a~n~*}的通项公式；
（2）记为数列{log~3~*a~n~*}{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}前*n*项和．若，求*m*．
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----------------- ------- ------- --------
19.如图，{width="0.1527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
{width="1.5208333333333333in" height="1.90625in"}
（1）当时，；
（2）点在平面内．
20.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}取值范围．
21.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为(*t*为参数且*t*≠1)，*C*与坐标轴交于*A*，*B*两点.
（1）求\|\|：
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程.
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
{width="0.3055555555555556in" height="0.375in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
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数学
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**本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.**
**考生注意：**
**1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.**
**2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.**
**参考公式：**
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| **如果事件*A*，*B*互斥，那么** | **柱体的体积公式** |
| | |
| **如果事件*A*，*B*相互独立，那么** | **其中表示柱体的底面积，表示柱体的高** |
| | |
| **如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，那么*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率** | **锥体的体积公式** |
| | |
| **台体的体积公式** | **其中表示锥体的底面积，表示锥体的高** |
| | |
| **其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高** | **球的表面积公式** |
| | |
| | **球的体积公式** |
| | |
| | **其中表示球的半径** |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
**选择题部分（共40分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*P*=，，则*PQ*=（ ）
A. B.
C. D.
2.已知*a*∈**R**，若*a*--1+(*a*--2)*i*(*i*为虚数单位)是实数，则*a*=（ ）
A. 1 B. --1 C. 2 D. --2
3.若实数*x*，*y*满足约束条件，则*z*=2*x*+*y*的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数*y*=*x*cos*x*+sin*x*在区间\[--π，+π\]的图象大致为（ ）
A. {width="1.4166666666666667in" height="1.59375in"} B. {width="1.5104166666666667in" height="1.4895833333333333in"}
C. {width="1.3854166666666667in" height="1.59375in"} D. {width="1.4583333333333333in" height="1.3125in"}
5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（ ）
{width="1.4479166666666667in" height="1.84375in"}
A. B. C. 3 D. 6
6.已知空间中不过同一点的三条直线*m*，*n*，*l*，则"*m*，*n*，*l*在同一平面"是"*m*，*n*，*l*两两相交"的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{*a~n~*}{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}前*n*项和*S~n~*，公差*d*≠0，．记*b*~1~=*S*~2~，*b~n+~*~1~=*S~n+~*~2~--*S*~2*n*~，，下列等式不可能成立的是（ ）
A. 2*a*~4~=*a*~2~+*a*~6~ B. 2*b*~4~=*b*~2~+*b*~6~ C. D.
8.已知点*O*（0，0），*A*（--2，0），*B*（2，0）．设点*P*满足\|*PA*\|--\|*PB*\|=2，且*P*为函数*y*=图像上的点，则\|*OP*\|=（ ）
A. B. C. D.
9.已知*a*，*b***R**且*ab*≠0，若(*x*--*a*)(*x--b*)(*x--*2*a--b*)≥0在*x*≥0上恒成立，则（ ）
A. *a*\<0 B. *a*\>0 C. *b*\<0 D. *b*\>0
10.设集合*S*，*T*，*S***N***^\*^*，*T***N***^\*^*，*S*，*T*中至少有两个元素，且*S*，*T*满足：
①对于任意*x*，*yS*，若*x*≠*y*，都有*xyT*
②对于任意*x*，*yT*，若*x*\<*y*，则*S*；
下列命题正确{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}是（ ）
A. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有7个元素
B. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有6个元素
C. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有4个元素
D. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有5个元素
**非选择题部分（共110分）**
**二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.**
11.已知数列{*a~n~*}满足，则*S*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.设，则*a*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_；*a*~1~+*a*~2~ + *a*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为\_\_\_\_\_\_\_．
15.设直线，圆，，若直线与，都相切，则\_\_\_\_\_\_\_；*b*=\_\_\_\_\_\_．
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
17.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18.在锐角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}对边分别为*a*，*b*，*c*，且．
（I）求角*B*；
（II）求cos*A*+cos*B*+cos*C*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}取值范围．
19.如图，三棱台*DEF*---*ABC*中，面*ADFC*⊥面*ABC*，∠*ACB*=∠*ACD*=45°，*DC* =2*BC*．
{width="2.0in" height="1.6041666666666667in"}
（I）证明：*EF*⊥*DB*；
（II）求*DF*与面*DBC*所成角的正弦值．
20.已知数列{*a~n~*}，{*b~n~*}，{*c~n~*}中，．
（Ⅰ）若数列{*b~n~*}为等比数列，且公比，且，求*q*与*a~n~*的通项公式；
（Ⅱ）若数列{*b~n~*}为等差数列，且公差，证明：．
21.如图，已知椭圆，抛物线，点*A*是椭圆与抛物线的交点，过点*A*的直线*l*交椭圆于点*B*，交抛物线于*M*（*B*，*M*不同于*A*）．
{width="2.4479166666666665in" height="1.8229166666666667in"}
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}直线*l*使*M*为线段*AB*的中点，求*p*的最大值．
22.已知，函数，其中*e*=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记*x*~0~为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
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数学
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**本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．**
**答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**祝各位考生考试顺利！**
**第I卷**
**注意事项：**
**1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．**
**2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．**
**参考公式：**
**如果事件与事件互斥，那么．**
**如果事件与事件相互独立，那么．**
**球的表面积公式，其中表示球的半径．**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为（ ）
A. {width="2.3645833333333335in" height="1.4375in"} B. {width="2.3645833333333335in" height="1.4375in"}
C{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} {width="2.3645833333333335in" height="1.4270833333333333in"} D. {width="2.3645833333333335in" height="1.4270833333333333in"}
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
{width="3.2395833333333335in" height="2.0833333333333335in"}
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数．给出下列结论：
①{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．**
**2．本卷共11小题，共105分．**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．**
10.是虚数单位，复数\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
11.在的展开式中，的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知直线和圆相交于两点．若，则{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.已知，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若是线段上的动点，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="1.6354166666666667in" height="0.9895833333333334in"}
**三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16.在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
{width="2.6569444444444446in" height="2.9277777777777776in"}
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}正弦值．
18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
19.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
20.已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
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数学
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**本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第一部分（选择题 共40分）**
**一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1.已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
{width="2.7715277777777776in" height="2.8756944444444446in"}
A. B. C. D.
5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} B.
C{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"} D.
7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
9.已知，则"存在使得"是""的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
**第二部分（非选择题 共110分）**
**二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.**
11.函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知双曲线，则*C*的右焦点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；*C*的焦点到其渐近线的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知正方形的边长为2，点*P*满足，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量*W*与时间*t*的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
{width="4.073611111111111in" height="1.5520833333333333in"}
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.**
16.如图，在正方体中，*E*为的中点．
{width="2.917361111111111in" height="2.636111111111111in"}
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）*a*的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
-------- ------- -------- ------- --------
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
-------- ------- -------- ------- --------
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19.已知函数．
（Ⅰ）求曲线{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20.已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程：
（Ⅱ）过点的直线*l*交椭圆*C*于点,直线分别交直线于点．求的值．
21.已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{width="0.14444444444444443in" height="0.18333333333333332in"}递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
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数学Ⅰ
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**注意事项**
**考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求**
**1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.**
**2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.**
**3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.**
**4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.**
**5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.**
**参考公式：**
**柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．**
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
1.已知集合，则\_\_\_\_\_{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
2.已知是虚数单位，则复数的实部是\_\_\_\_\_.
3.已知一组数据的平均数为4，则的值是\_\_\_\_\_.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是\_\_\_\_\_.
5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是\_\_\_\_\_.
{width="1.4270833333333333in" height="2.0208333333333335in"}
6.在平面直角坐标系*xOy*中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=*x*，则该双曲线的离心率是\_\_\_\_.
7.已知*y*=*f*(*x*)是奇函数，当*x*≥0时， ，则*f*(-8)的值是\_\_\_\_.
8.已知 =，则的值是\_\_\_\_.
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是\_\_\_\_cm.
{width="1.9270833333333333in" height="1.46875in"}
10.将函数*y*=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与*y*轴最近的对称轴的方程是\_\_\_\_.
11.设{*a~n~*}是公差为*d*的等差数列，{*b~n~*}是公比为*q*的等比数列．已知数列{*a~n~*+*b~n~*}的前*n*项和，则*d*+*q*的值是\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知，则{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}最小值是\_\_\_\_\_\_\_．
13.在△*ABC*中，*D*在边*BC*上，延长*AD*到*P*，使得*AP*=9，若（*m*为常数），则*CD*的长度是\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="2.8333333333333335in" height="0.8958333333333334in"}
14.在平面直角坐标系*xOy*中，已知，*A*，*B*是圆*C*：上的两个动点，满足，则△*PAB*面积的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15.在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*⊥*AC*，*B*~1~*C*⊥平面*ABC*，*E*，*F*分别是*AC*，*B*~1~*C*的中点．
{width="2.4479166666666665in" height="2.1979166666666665in"}
（1）求证：*EF*∥平面*AB*~1~*C*~1~；
（2）求证：平面*AB*~1~*C*⊥平面*ABB*~1~．
16.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
{width="2.3229166666666665in" height="1.3854166666666667in"}
（1）求的值；
（2）在边*BC*上取一点*D*，使得，求的值．
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底*O*在水平线*MN*上、桥*AB*与*MN*平行，为铅垂线(在*AB*上).经测量，左侧曲线*AO*上任一点*D*到*MN*的距离(米)与*D*到的距离*a*(米)之间满足关系式；右侧曲线*BO*上任一点*F*到*MN*的距离(米)与*F*到的距离*b*(米)之间满足关系式.已知点*B*到的距离为40米.
{width="1.5833333333333333in" height="1.8125in"}
（1）求桥*AB*的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩*CD*和*EF*，且*CE*为80米，其中*C*，*E*在*AB*上(不包括端点).桥墩*EF*每米造价*k*(万元)、桥墩*CD*每米造价(万元)(*k*\>0).问为多少米时，桥墩*CD*与*EF*的总造价最低?
18.在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*A*在椭圆*E*上且在第一象限内，*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，直线*AF*~1~与椭圆*E*相交于另一点*B*．
{width="2.75in" height="1.7395833333333333in"}
（1）求△*AF*~1~*F*~2~的周长；
（2）在*x*轴上任取一点*P*，直线*AP*与椭圆*E*的右准线相交于点*Q*，求的最小值；
（3）设点*M*在椭圆*E*上，记△*OAB*与△*MAB*的面积分别为*S*~1~，*S*~2~，若*S*~2~=3*S*~1~，求点*M*的坐标．
19.已知关于*x*的函数与在区间*D*上恒有．
（1）若，求*h*(*x*)的表达式；
（2）若，求*k*的取值范围；
（3）若求证：．
20.已知数列的首项*a*~1~=1，前*n*项和为*S~n~*．设**λ**与*k*是常数，若对一切正整数*n*，均有成立，则称此数列为"**λ**--*k*"数列．
（1）若等差数列是"**λ**--1"数列，求**λ**的值；
（2）若数列是""数列，且*a~n~*＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的**λ**，是否存在三个不同的数列为"**λ**--3"数列，且*a~n~*≥0?若存在，求**λ**的取值范围；若不存在，说明理由，
**数学Ⅱ(附加题)**
**【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**A．\[选修4-2：矩阵与变换\]**
21.平面上点在矩阵对应{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}变换作用下得到点．
（1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
**B．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
**C．\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设，解不等式．
**【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
24.在三棱锥*A*---*BCD*中，已知*CB*=*CD*=,*BD*=2，*O*为*BD*的中点，*AO*⊥平面*BCD*，*AO*=2，*E*为*AC*的中点．
{width="1.1770833333333333in" height="1.3020833333333333in"}
（1）求直线*AB*与*DE*所成角的余弦值；
（2）若点*F*在*BC*上，满足*BF*=*BC*，设二面角*F*---*DE*---*C*的大小为*θ*，求sin*θ*的值．
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复*n*次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为*X~n~*，恰有2个黑球的概率为*p~n~*，恰有1个黑球的概率为*q~n~*．
（1）求*p*~1~·*q*~1~和*p*~2~·*q*~2~；
（2）求2*p~n~*+*q~n~*与2*p~n-~*~1~+*q~n-~*~1~{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}递推关系式和*X~n~*的数学期望*E*(*X~n~*)(用*n*表示) ．
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷
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（上海卷）
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1. 填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 已知集合，，求\_\_\_\_\_\_\_
2. \_\_\_\_\_\_\_\_
3. 已知复数z满足（为虚数单位），则\_\_\_\_\_\_\_
4. 已知行列式，则行列式\_\_\_\_\_\_\_
5. 已知，则\_\_\_\_\_\_\_
6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=
7.已知，则的最大值为
8.已知是公差不为零的等差数列，且，则
9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
10.椭圆，过右焦点F作直线交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为
11、设，若存在定义域的函数既满足"对于任意，的值为或"又满足"关于的方程无实数解"，则的取值范围为
12、已知{width="2.2395833333333335in" height="0.2604166666666667in"}是平面内两两互不平等的向量，满足{width="0.6979166666666666in" height="0.2604166666666667in"}，且{width="0.8958333333333334in" height="0.25in"}(其中)，则K的最大值为
二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）
13、下列不等式恒成立的是（）
A、
B、
C、
D、
14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）
A、
B、
C、
D、
15、在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（ ）
A.
B.
C.
{width="1.6583333333333334in" height="1.5416666666666667in"}D.
{width="1.5256944444444445in" height="1.4513888888888888in"}
16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）
A、只有
B、只有
C、
D、都不是
三、解答题（本题共5小题，共计76分）
综合题分割
17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。
（1）求圆柱体的表面积；
（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角。
综合题分割
18、已知.
（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时的解集；
（2）已知，，，求g(x)的值域.
综合题分割
19、已知：，，且，
（1）若v\>95，求x的取值范围；
（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。
综合题分割
20、双曲线，圆在第一象限交点为A，，曲线。
（1）若，求b；
（2）若，与x轴交点记为,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；
（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示{width="0.5833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}，并求出{width="0.5833333333333334in" height="0.2708333333333333in"}的取值范围。
{width="2.3993055555555554in" height="2.5659722222222223in"}
21.有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.
1. 判断数列和是否具有性质，请说明理由.
2. 若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
3. 若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.
以上由公众号"一个高中僧"整理成册，整理不易，可能有偏差，若有发现，及时联系我们修改。
{width="2.2756944444444445in" height="2.2756944444444445in"}
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**2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分**
1．（5分）已知集合A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）已知S~n~是等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~+a~3~+a~5~=3，则S~5~=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~=，a~3~a~5~=4（a~4~﹣1），则a~2~=（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）
C．（） D．（﹣∞，﹣，）
**二、填空题**
13．（3分）已知函数f（x）=ax^3^﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=[ ]{.underline}．
14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是[ ]{.underline}．
16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax^2^+（a+2）x+1相切，则a=[ ]{.underline}．
**三．解答题**
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
满意度评分分组 \[50，60） \[60，70） \[70，80） \[80，90） \[90，100）
频数 2 8 14 10 6
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=16，BC=10，AA~1~=8，点E，F分别在A~1~B~1~，D~1~C~1~上，A~1~E=D~1~F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
**四、选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=2sinθ，C~3~：ρ=2cosθ．
（1）求C~2~与C~3~交点的直角坐标；
（2）若C~1~与C~2~相交于点A，C~1~与C~3~相交于点B，求\|AB\|的最大值．
**六、选修4-5不等式选讲**
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
**2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分**
1．（5分）已知集合A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3）
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}，
∴A∪B={x\|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．
【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
则a=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；
B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．
【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；
C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
5．（5分）已知S~n~是等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~+a~3~+a~5~=3，则S~5~=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列{a~n~}的性质，a~1~+a~3~+a~5~=3=3a~3~，解得a~3~．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{a~n~}的性质，a~1~+a~3~+a~5~=3=3a~3~，解得a~3~=1．
则S~5~==5a~3~=5．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，
∴剩余部分体积为1﹣=，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．
【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，
可设圆心P（1，p），由PA=PB得
\|p\|=，
得p=
圆心坐标为P（1，），
所以圆心到原点的距离\|OP\|===，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．
9．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~=，a~3~a~5~=4（a~4~﹣1），则a~2~=（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q，
∵，a~3~a~5~=4（a~4~﹣1），
∴=4，
化为q^3^=8，解得q=2
则a~2~==．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V~O﹣ABC~=V~C﹣AOB~===36，故R=6，则球O的表面积为4πR^2^=144π，
故选：C．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．
11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，
此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，
当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，
∴OQ=﹣，
∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，
∴PA+PB=，
当x=时，PA+PB=2，
当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=对称，
且f（）＞f（），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．
12．（5分）设函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）
C．（） D．（﹣∞，﹣，）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，
导数为f′（x）=+＞0，
即有函数f（x）在\[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（\|x\|）＞f（\|2x﹣1\|），
即\|x\|＞\|2x﹣1\|，
平方得3x^2^﹣4x+1＜0，
解得：＜x＜1，
所求x的取值范围是（，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．
**二、填空题**
13．（3分）已知函数f（x）=ax^3^﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=[ ﹣2 ]{.underline}．
【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为[ 8 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（3，2）
将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是[ ]{.underline}[x^2^﹣y^2^=1 ]{.underline}．
【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线方程为y^2^﹣x^2^=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．
【解答】解：设双曲线方程为y^2^﹣x^2^=λ，
代入点，可得3﹣=λ，
∴λ=﹣1，
∴双曲线的标准方程是x^2^﹣y^2^=1．
故答案为：x^2^﹣y^2^=1．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．
16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax^2^+（a+2）x+1相切，则a=[ 8 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax^2^+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．
【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．
由于切线与曲线y=ax^2^+（a+2）x+1相切，
故y=ax^2^+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，
得ax^2^+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a^2^﹣8a=0，
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．
**三．解答题**
17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD平分∠BAC，BD=2DC，
∴；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B=，即∠B=30°．
【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表
B地区用户满意度评分的频数分布表
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
满意度评分分组 \[50，60） \[60，70） \[70，80） \[80，90） \[90，100）
频数 2 8 14 10 6
---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ -------------
（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
------------ ---------- ------------ ------------
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
------------ ---------- ------------ ------------
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出C~A~表示事件："A地区用户的满意度等级为不满意"，C~B~表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"，
P（C~A~），P（C~B~），即可判断不满意的情况．
【解答】解：（Ⅰ）
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C~A~表示事件："A地区用户的满意度等级为不满意"，C~B~表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"，
由直方图得P（C~A~）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
得P（C~B~）=（0.005+0.02）×10=0.25
∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=16，BC=10，AA~1~=8，点E，F分别在A~1~B~1~，D~1~C~1~上，A~1~E=D~1~F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A~1~E=4，EB~1~=12，EM=AA~1~=8．
因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH==6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为．
【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~M~，y~M~），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K~OM~，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a^2^=8，b^2^=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~M~，y~M~），
把直线y=kx+b代入可得（2k^2^+1）x^2^+4kbx+2b^2^﹣8=0，
故x~M~==，y~M~=kx~M~+b=，
于是在OM的斜率为：K~OM~==，即K~OM~•k=．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=﹣a=，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，
∵f（）＞2a﹣2，
∴lna+a﹣1＜0，
令g（a）=lna+a﹣1，
∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
∴a的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．
**四、选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．
【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S~△ABC~﹣S~△AEF~计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分线，
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，
又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，
∵AE=2，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，
∴AD=5，AB=，
∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=2sinθ，C~3~：ρ=2cosθ．
（1）求C~2~与C~3~交点的直角坐标；
（2）若C~1~与C~2~相交于点A，C~1~与C~3~相交于点B，求\|AB\|的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C~2~：ρ=2sinθ，化为ρ^2^=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C~3~：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C~2~与C~3~交点的直角坐标．
（2）由曲线C~1~的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用\|AB\|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C~2~：ρ=2sinθ，化为ρ^2^=2ρsinθ，
∴x^2^+y^2^=2y．
同理由C~3~：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C~2~与C~3~交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C~1~：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C~1~上，
∴A（2sinα，α），B．
∴\|AB\|==4，
当时，\|AB\|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**六、选修4-5不等式选讲**
24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若+＞+，证得\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（+）^2^=a+b+2，
（+）^2^=c+d+2，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则＞，
即有（+）^2^＞（+）^2^，
则+＞+；
（2）①若+＞+，则（+）^2^＞（+）^2^，
即为a+b+2＞c+d+2，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）^2^=（a+b）^2^﹣4ab，
（c﹣d）^2^=（c+d）^2^﹣4cd，
即有（a﹣b）^2^＜（c﹣d）^2^，即为\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|；
②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，则（a﹣b）^2^＜（c﹣d）^2^，
即有（a+b）^2^﹣4ab＜（c+d）^2^﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（+）^2^＞（+）^2^．
综上可得，+＞+是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**文科数学**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**参考公式：**
锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
球的表面积公式：，其中是球的半径．
如果事件互斥，那么．
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，**
**只有一项是符合题目要求的．**
1．满足，且
的集合的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合中必含有,
则或.选B.
2．设的共轭复数是，若，，则等于（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设，由
得选D.
3．函数的图象是（ A ）
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。**是偶函数**，
可排除B、D，由的值域可以确定.选A.
4．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
5．设函数则的值为（ A ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
选A.
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ D ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。
从三视图可以看出该几何体是由一个球和
一个圆柱组合而成的，其表面及为
**选D。**
7．不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C;
由排除A, **故选D。也**可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
8．已知为的三个内角的对边，向量
．若，且，
则角的大小分别为（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查解三角形问题。，
，
.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）
------ ---- ---- ---- ---- ----
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
------ ---- ---- ---- ---- ----
A． B． C．3 D．
解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
选B.
10．已知，则的值是（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。，
，
选C.
11．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，
则该圆的标准方程是（ B ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为由已知得选B.
12．已知函数的图象如图所示，
则满足的关系是（ A ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
.选A.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．**
13．已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个
焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 [ ]{.underline} ．
解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆
得圆与坐标轴的交点分别为
则所以双曲线的标准方程为
14．执行右边的程序框图，若，
则输出的 [ ]{.underline} ．
解析：本小题主要考查程序框图。
，因此输出
15．已知，
则
的值等于 [ ]{.underline} ．
解析：本小题主要考查对数函数问题。
16．设满足约束条件 则的最大值为 [ ]{.underline} ．
解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点
分别为验证知在点时取得最大值11.
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．**
17．（本小题满分12分）
已知函数（，）为偶函数，
且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，
求的单调递减区间．
解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
18．（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，
通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求被选中的概率；
（Ⅱ）求和不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示"恰被选中"这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，因而．
（Ⅱ）用表示"不全被选中"这一事件，
则其对立事件表示"全被选中"这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，
是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
19．（Ⅰ）证明：在中，
由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：过作交于，
由于平面平面，
所以平面．因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，所以四边形的面积为．
故．
20．（本小题满分12分）
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数构成的数列为，．
为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，
且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
20．（Ⅰ）证明：由已知，当时，，
又，所以，
即，所以，又．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，即．
所以当时，．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故在表中第13行第三列，因此．
又，所以．记表中第行所有项的和为，
则．
21．（本小题满分12分）
设函数，已知和为的极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较与的大小．
21．解：（Ⅰ）因为，
又和为的极值点，所以，
因此解方程组得，．
（Ⅱ）因为，，所以，
令，解得，，．
因为当时，；
当时，．
所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，令，则．
令，得，因为时，，
所以在上单调递减．故时，；
因为时，，所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意，恒有，又，因此，
故对任意，恒有．
22．（本小题满分14分）
已知曲线所围成的封闭图形的面积为，
曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．
是上异于椭圆中心的点．
（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，
求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
22．解：（Ⅰ）由题意得又，解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为
，．
解方程组得，，
所以．
设，由题意知，
所以，即，
因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，
因此，
又，所以，故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
（2）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的认识和加减法》单元测试4（无答案）**
一、口算大比拼。(8分)
二、仔细想，认真填。(17分)
1.小数的计数单位是十分之一、( )、( )......分别可以写作0.1、( )、( )......来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.小数点左边第二位是( )位，小数点右边第二位是( )位。
3.10.03读作( )，13.020读作( )。
4.零点八四写作( )，五点零零二写作( )。
5.0.28里面有( )个0.01，0.062里面有( )个。
6.把5.4，5.04，4.50，4.05和5.004，按从小到大的顺序排列起来是
( )＜( )＜( )＜( )＜( )。
三、火眼金睛。(15分)
1.在一个小数点的末尾添上"0"或去掉"0"，小数的大小不变。( )
2.比2.3大而比2.5小的小数只有2.4。( )
3.0.8与0.80的大小相同，但计数单位不同。( )
4.小数中没有最大的数也没有最小的数。( )
5.小明的身高是1米40厘米，用小数表示是1.04米。( )
四、选一选。(15分)
1.在2.8～2.9之间的小数有( )个。
A.9 B.10 C.无数
2.把改写成小数是( )。
A.0.07 B.0.7 C.0.007
3.把2.3改写成用百分之一作单位，而大小不变的数是( )。
A.2.03 B.2.30 C.2.300
4.用"米"作单位，计算"4米6分米+3米2厘米"的正确算式是( )。
A.4.6+3.2 B.4.6+3.02 C.4.O6+3.2
5.20.030这个数的( )位上的"0"可以去掉。
A.个 B.十分 C.千分
五、计算。(24分)
1.竖式计算。(12分)
8.23+10.79 16.28-9.5
0.64+3.77 10.3-5.46
2.脱式计算。(能简算的要简算)(12分)
0.29+3.73+2.27 6.03+4.27-0.03
来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、小免采蘑菇。(连一连)(8分)
0.23 0.28＋1.7
1.98 2.03－0.8
5.77 12.42－9.04
3.38 2.6＋3.17
七、解决问题。(13分)
1.到商店了解各种商品的价钱，在 里用小数表示出来(用"元"作单位)。
   
(1)把上面的小数按从小到大的顺序排列。(3分)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)小红买1个书包和一个文具盒，需要多少元？(3分)
(3)你还能提出什么问题？(3分)
2.在女子l0米跳台跳水双人决赛中，甲第一轮跳出52.88分，比第二轮多跳6.2分，第二轮比第三轮多跳5.7分，甲第三轮跳了多少分？(4分)
附加题。(10分)
在下面的圈里填上合适的小数，使每一横行与每一竖行相加的和为l。
**参考答案**
一、0.7 4.1 5.8 4.4， 4 0.6 0.4 0.7
二、1. 百分之一 千分之一 0.Ol 0.O01
2\. 十 百分
3\. 十点零三 十三点零二零
4\. 0.84 5.002
5\. 28 62
6\. 4.05 4.50 5.004 5.04 5.4
三、l.× 2.× 3.√ 4.√ 5.×
四、l.C 2.A 3.B 4.B 5.C
五、l. 19.02 6.78 4.41 4.84
2\. 6.29 10.27
六、
七、l.(视本地商店具体情况而定)书包 45.00元 矿泉水 l.50元 文具盒l5.50元 鞋20.00元
(1)1.50＜15.50＜20.OO＜45.O0
(2)45.00+15.50=60.50(元)
(3)合理即可，答案略。
2\. 52.88－6.2－5.7=40.98(分)
附加题：
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------吃西瓜》同步检测1（附答案）**
一、快乐小帮手。
1．里面有（ ）个，5个是（ ）。
2\. 1个加上4个是（ ）。
3\. 3个是（ ）,1里面有（ ）个。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4\. （ ）个加上（ ）个是3个，即为。
5\. （ ）个减去（ ）个，还剩（ ）个，就是。
二、公正的小法官。(对的打"√"，错的打"×")
1．3个加上5个就是8个。 ( )
2．在1－中，"1"可以看作4个。 ( )
3．是按从小到大的顺序排列的。( )
4． ( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、看图计算并涂一涂。
1．
2\. 
3\. 
四、看谁先到家。
五、里最小填几？
1\. 2. 3. 4.
六、给下面的小动物排排队。
> \_\_\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_\_\_
七、生活中的数学。
2010年4月14日，青海玉树发生地震后，实验小学积极行动起来，向灾区人民献爱心。
> 三（1）班有的同学捐款，有的同学捐款衣物。向玉树奉献爱心的同学占全班的几分之几？
参考答案
一、1. 3
2\.
3\. 1 9
4\. 1 2
5\. 5 2 3
二、1．√ 2．√ 3．× 4．×
三、自己涂一涂吧！ 1. 2. 3.
四、外象所走路线：
> 小兔所走路线： 1 0
五、1．4 2．4 3．5 4．8
六、
七、
| 1 | |
**2015年湖南省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（每小题5分，共50分）**
1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（5分）设x∈R，则"x＞1"是"x^3^＞1"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
9．（5分）已知A，B，C在圆x^2^+y^2^=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁~U~B）=[ ]{.underline}．
12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）=\|2^x^﹣2\|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是[ ]{.underline}．
15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A~1~，A~2~和1个白球B的甲箱与装有2个红球a~1~，a~2~和2个白球b~1~，b~2~的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC~1~的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B~1~BCC~1~；
（Ⅱ）若直线A~1~C与平面A~1~ABB~1~所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
19．（13分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=3S~n~﹣S~n+1~+3，n∈N^\*^，
（Ⅰ）证明a~n+2~=3a~n~；
（Ⅱ）求S~n~．
20．（13分）已知抛物线C~1~：x^2^=4y的焦点F也是椭圆C~2~：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C~1~与C~2~的公共弦的长为2，过点F的直线l与C~1~相交于A，B两点，与C~2~相交于C，D两点，且与同向．
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率．
21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ae^x^cosx（x∈\[0，+∞\]），记x~n~为f（x）的从小到大的第n（n∈N^\*^）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（x~n~）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N^\*^，x~n~≤\|f（x~n~）\|恒成立，求a的取值范围．
**2015年湖南省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题5分，共50分）**
1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．
【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．
【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是\[130，138\]，\[139，151\]，\[152，153\]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，
所以成绩在区间\[139，151\]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；
故选：B．
【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．
3．（5分）设x∈R，则"x＞1"是"x^3^＞1"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】解：因为x∈R，"x＞1"⇔"x^3^＞1"，
所以"x＞1"是"x^3^＞1"的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（0，1）．
∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1次循环，S=，i=2，
第2次循环，S=，i=3，
第3次循环，S=，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===
故选：B．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c^2^﹣a^2^）=16a^2^，
解得=．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值
【解答】解：∵+=，
∴a＞0，b＞0，
∵（当且仅当b=2a时取等号），
∴，
解可得，ab，即ab的最小值为2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题
8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣\[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）\]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；
x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
9．（5分）已知A，B，C在圆x^2^+y^2^=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|\|的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由题意，AC为直径，所以\|\|=\|2+\|．B为（﹣1，0）时，\|2+\|≤7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC为直径，所以\|\|=\|2+\|
所以B为（﹣1，0）时，\|2+\|≤7．
所以\|\|的最大值为7．
另解：设B（cosα，sinα），
\|2+\|=\|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）\|=\|（cosα﹣6，sinα）\|==，
当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．
故选：B．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．
【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；
其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，
所以原工件材料的利用率为：=；
故选：A．
【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁~U~B）=[ {1，2，3} ]{.underline}．
【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．
【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，
所以∁~U~B={2}，
所以A∪（∁~U~B）={1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}．
【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．
12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为[ x^2^+（y﹣1）^2^=1 ]{.underline}．
【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．
【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ^2^=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x^2^+y^2^=2y，即x^2^+（y﹣1）^2^=1．
故答案为：x^2^+（y﹣1）^2^=1．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．
13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=[ 2 ]{.underline}．
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x^2^+y^2^=r^2^（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x^2^+y^2^=r^2^（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，
即=r，
解得r=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．
14．（5分）已知函数f（x）=\|2^x^﹣2\|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是[ 0＜b＜2 ]{.underline}．
【分析】由函数f（x）=\|2^x^﹣2\|﹣b有两个零点，可得\|2^x^﹣2\|=b有两个零点，从而可得函数y=\|2^x^﹣2\|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围
【解答】解：由函数f（x）=\|2^x^﹣2\|﹣b有两个零点，可得\|2^x^﹣2\|=b有两个零点，
从而可得函数y=\|2^x^﹣2\|函数y=b的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，
故答案为：0＜b＜2
【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k~1~，），（（k~2~，），k~1~，k~2~都为整数，
两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．
【解答】解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，
∴根据三角函数线可得出交点（（k~1~，），（（k~2~，），k~1~，k~2~都为整数，
∵距离最短的两个交点的距离为2，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴12=（）^2^+（）^2^，ω=
故答案为：
【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．
**三、解答题**
16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A~1~，A~2~和1个白球B的甲箱与装有2个红球a~1~，a~2~和2个白球b~1~，b~2~的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．
【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A~1~，a~1~}，{A~1~，a~2~}，{A~1~，b~1~}，{A~1~，b~2~}，{A~2~，a~1~}，{A~2~，a~2~}，
{A~2~，b~1~}，{A~2~，b~2~}，{B，a~1~}，{B，a~2~}，{B，b~1~}，{B，b~2~}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：
{A~1~，a~1~}，{A~1~，a~2~}，{A~2~，a~1~}，{A~2~，a~2~}，共4种，
∴中奖的概率为．
不中奖的概率为：1﹣．
故这种说法不正确．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin^2^B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
∴=tanA，
∵由正弦定理：，又tanA=，
∴=，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin\[π﹣（A+B）\]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，
∴sin^2^B=，
∵0＜B＜π，
∴sinB=，
∵B为钝角，
∴B=，
又∵cosA=sinB=，
∴A=，
∴C=π﹣A﹣B=，
综上，A=C=，B=．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC~1~的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B~1~BCC~1~；
（Ⅱ）若直线A~1~C与平面A~1~ABB~1~所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB~1~，AE⊥BC，BC∩BB~1~=B，推出AE⊥平面B~1~BCC~1~，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B~1~BCC~1~；
（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A~1~C与平面A~1~ABB~1~所成的角为45°，就是∠CA~1~G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB~1~⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB~1~，
∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，
∴AE⊥BC，BC∩BB~1~=B，∴AE⊥平面B~1~BCC~1~，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B~1~BCC~1~；
（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A~1~G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A~1~ABB~1~，
直线A~1~C与平面A~1~ABB~1~所成的角为45°，就是∠CA~1~G，则A~1~G=CG=，
∴AA~1~==，CF=．
三棱锥F﹣AEC的体积：×==．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（13分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=3S~n~﹣S~n+1~+3，n∈N^\*^，
（Ⅰ）证明a~n+2~=3a~n~；
（Ⅱ）求S~n~．
【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过a~n+2~=3S~n~﹣S~n+1~+3与a~n+1~=3S~n﹣1~﹣S~n~+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；
（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2时，由a~n+2~=3S~n~﹣S~n+1~+3，
可得a~n+1~=3S~n﹣1~﹣S~n~+3，
两式相减，得a~n+2~﹣a~n+1~=3a~n~﹣a~n+1~，
∴a~n+2~=3a~n~，
当n=1时，有a~3~=3S~1~﹣S~2~+3=3×1﹣（1+2）+3=3，
∴a~3~=3a~1~，命题也成立，
综上所述：a~n+2~=3a~n~；
（Ⅱ）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，
∴S~2k﹣1~=（a~1~+a~2~）+（a~3~+a~4~）+...+（a~2k﹣3~+a~2k﹣2~）+a~2k﹣1~
=3+3^2^+...+3^k﹣1^+3^k﹣1^
=+3^k﹣1^
=×3^k﹣1^﹣，
S~2k~=S~2k﹣1~+a~2k~=×3^k﹣1^﹣+2×3^k﹣1^=﹣，
综上所述，S~n~=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）已知抛物线C~1~：x^2^=4y的焦点F也是椭圆C~2~：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C~1~与C~2~的公共弦的长为2，过点F的直线l与C~1~相交于A，B两点，与C~2~相交于C，D两点，且与同向．
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率．
【分析】（Ⅰ）通过C~1~方程可知a^2^﹣b^2^=1，通过C~1~与C~2~的公共弦的长为2且C~1~与C~2~的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；
（Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~），通过=可得（x~1~+x~2~）^2^﹣4x~1~x~2~=（x~3~+x~4~）^2^﹣4x~3~x~4~，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由C~1~方程可知F（0，1），
∵F也是椭圆C~2~的一个焦点，∴a^2^﹣b^2^=1，
又∵C~1~与C~2~的公共弦的长为2，C~1~与C~2~的图象都关于y轴对称，
∴易得C~1~与C~2~的公共点的坐标为（±，），
∴，
又∵a^2^﹣b^2^=1，
∴a^2^=9，b^2^=8，
∴C~2~的方程为+=1；
（Ⅱ）如图，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~），
∵与同向，且\|AC\|=\|BD\|，
∴=，∴x~1~﹣x~2~=x~3~﹣x~4~，
∴（x~1~+x~2~）^2^﹣4x~1~x~2~=（x~3~+x~4~）^2^﹣4x~3~x~4~，
设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，
由，可得x^2^﹣4kx﹣4=0，
由韦达定理可得x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4，
由，得（9+8k^2^）x^2^+16kx﹣64=0，
由韦达定理可得x~3~+x~4~=﹣，x~3~x~4~=﹣，
又∵（x~1~+x~2~）^2^﹣4x~1~x~2~=（x~3~+x~4~）^2^﹣4x~3~x~4~，
∴16（k^2^+1）=+，
化简得16（k^2^+1）=，
∴（9+8k^2^）^2^=16×9，解得k=±，
即直线l的斜率为±．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ae^x^cosx（x∈\[0，+∞\]），记x~n~为f（x）的从小到大的第n（n∈N^\*^）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（x~n~）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N^\*^，x~n~≤\|f（x~n~）\|恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8^n^＞4n+3，当a≥π时，验证得\|f（x~n+1~）\|＞x~n+1~，即可得到a的范围．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=ae^x^cosx的导数为f′（x）=ae^x^（cosx﹣sinx），
a＞0，x≥0，则e^x^≥1，
由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，...，
当k为奇数时，f′（x）在kπ+附近左负右正，
当k为偶数时，f′（x）在kπ+附近左正右负．
故x=kπ+，k=0，1，2，...，均为极值点，
x~n~=（n﹣1）π+=nπ﹣，
f（x~n~）=acos（nπ﹣），f（x~n+1~）=acos（nπ+），
当n为偶数时，f（x~n+1~）=﹣e^π^f（x~n~），
当n为奇数时，f（x~n+1~）=﹣e^π^f（x~n~），
即有数列{f（x~n~）}是等比数列；
（Ⅱ）解：由于x~1~≤\|f（x~1~）\|，则≤a，
解得a≥π，
下面证明8^n^＞4n+3．
当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8^k^＞4k+3，
当n=k+1时，8^k+1^=8•8^k^＞8（4k+3）=32k+24
=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，
即有n=k+1时，不等式成立．
综上可得8^n^＞4n+3（n∈N+），
由e^π^＞8，
当a≥π时，
由（Ⅰ）可得\|f（x~n+1~）\|=\|（﹣e^π^）\|^n^\|f（x~1~）\|
＞8^n^\|f（x~1~）\|=8^n^f（x~1~）＞（4n+3）x~1~＞x~n+1~，n∈N+，
综上可得a≥π成立．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．
| 1 | |
**2008年全国高等学校统一招生考试（江苏省）**
**物理试题**
**一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意．**
1．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为*g*，则火星表面的重力加速度约为
A．0.2*g* B．0.4*g*
C．2.5*g* D．5*g*
2．207年度诺贝尔物理学奖授予了法国和德国的两位科学家，以表彰他们发现"巨磁电阻效
应"．基于巨磁电阻效应开发的用于读取硬盘数据的技术,被认为是纳米技术的第一次真正应用．在下列有关其它电阻应用的说法中。错误的是
A.热敏电阻可应用于温度测控装置中
B.光敏电阻是一种光电传感器
C.电阻丝可应用于电热设备中
D.电阻在电路中主要起到通过直流、阻碍交流的作用。
3．一质量为*M*的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力*F*始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为*g*．现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为
A. B.
> C. D. 0
4．在如图所示的逻辑电路中，当*A*端输入电信号"1"、B端输入电信号"0"时，则在*C*和*D*端输出的电信号分别为
>  A.1和0
>
> B.0和1
>
> C.1和l
>
> D.0和0
 5．如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度运动．设滑块运动到*A*点的时刻为*t*=0，距*A*点的水平距离为*x*，水平速度为．由于不同，从*A*点到*B*点的几种可能的运动图象如下列选项所示，其中表示摩擦力做功最大的是
> 
二、多项选择题：本题共4小题．每小题4分．共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分。选对但不全的得2分。错选或不答的得O分．
6．如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且*AB*=*BC*，电场中的*A*、*B*、*C*三点的场强分别为*E*~A~、*E*~B~、*E*~C~，电势分别为、、，*AB*、*BC*间的电势差分别为*U*~AB~、*U*~BC~，则下列关系中正确的有
> A. ＞＞ B. *E*~C~*＞E*~B~*＞E*~A~
>
> C. *U*~AB~＜*U*~BC ~ D. *U*~AB~＝*U*~BC~
7．如图所示，两光滑斜面的倾角分别为30°和45°，质量分别为2*ｍ*和*ｍ*的两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接(不计滑轮的质量和摩擦)，分别置于两个斜面上并由静止释放；若交换两滑块位置，再由静止释放．则在上述两种情形中正确的有
> Ａ.质量为2*ｍ*的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用
>
> B.质量为*ｍ*的滑块均沿斜面向上运动
>
> C.绳对质量为*ｍ*滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力
>
> D.系统在运动中机械能均守恒
8．如图所示的电路中，三个相同的灯泡*a*、*b*、*c*和电感*L*~1~、*L*~2~与直流电源连接，电感的电阻忽略不计．电键*K*从闭合状态突然断开时，下列判断正确的有
A.*a*先变亮，然后逐渐变暗
> B.*b*先变亮，然后逐渐变暗
>
> C.*c*先变亮，然后逐渐变暗
>
> D.*b*、*c*都逐渐变暗
9．如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球*a*和*b*，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3*m*的*a*球置于地面上，质量为*m*的*b*球从水平位置静止释放．当*a*球对地面压力刚好为零时，*b*球摆过的角度为.下列结论正确的是
 A. ＝90°
B. ＝45°
C.*b*球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D.*b*球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
三、简答题：本题分必做题（第lO、11题)和选做题(第12题)两部分。共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．
必做题
lO．(8分)某同学想要了解导线在质量相同时，电阻与截面积的关系，选取了材料相同、质量相等的5卷导线，进行了如下实验：
> (1)用螺旋测微器测量某一导线的直径如下图所示．
读得直径*d＝[ ]{.underline}*ｍｍ．
> （2)该同学经实验测量及相关计算得到如下数据：
+-----------------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 电阻 *Ｒ* | 121.O | 50.O | 23.9 | IO.O | 3.1 |
| | | | | | |
| (Ω) | | | | | |
+-----------------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 导线直径 *d* | O.80l | 0.999 | 1.20l | 1.494 | 1.998 |
| | | | | | |
| (ｍｍ) | | | | | |
+-----------------+-------+-------+-------+-------+-------+
| 导线截面积 *S* | O.504 | 0.784 | 1.133 | 1.753 | 3.135 |
| | | | | | |
| (ｍｍ^２^) | | | | | |
+-----------------+-------+-------+-------+-------+-------+
请你根据以上数据判断，该种导线的电阻*R*与截面积*S*是否满足反比关系?若满足反 比关系，请说明理由；若不满足，请写出*R*与*S*应满足的关系．
(3)若导线的电阻率*ρ*=5.1×10^-7^Ω·m，则表中阻值为3.1Ω的导线长度*l*= [ ]{.underline} ｍ(结
果保留两位有效数字)
11．(10分)某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律．弧形轨道末端水平，离地面的高度为*H*。将钢球从轨道的不同高度*h*处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为*s*．
(1)若轨道完全光滑，*s*^2^与*h*的理论关系应满足*s*^2^＝[ ]{.underline}(用*H*、*h*表示)．
(2)该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：
------------------------- ------ ------ ------ ------ ------
*h*(10^－１^m) 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
*s*^2^ (10^－１^ｍ^２^) 2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
------------------------- ------ ------ ------ ------ ------
请在坐标纸上作出*s*^2^\--*h*关系图．
(3)对比实验结果与理论计算得到的*s*^2^\--*h*关系图线(图中已画出)，自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率 [ ]{.underline} (填"小于"或"大于")理论值．
(4)从*s*^2^\--*h*关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是 [ ]{.underline} ．
12．选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答．并在答题卡上把所选题目对应字母后的方框涂满涂黑．如都作答则按A、B两小题评分．)
A．(选修模块3-3)(12分)
(1)空气压缩机在一次压缩过程中，活塞对气缸中的气体做功为2.0×10^5^J，同时气体的内能增加了1.5×l0^5^J．试问：此压缩过程中，气体 [ ]{.underline} (填"吸收"或"放出")的热量等于 [ ]{.underline} J．
(2)若一定质量的理想气体分别按下图所示的三种不同过程变化，其中表示等压变化的是
[ ]{.underline} (填"A"、"B"或"C")，该过程中气体的内能 [ ]{.underline} (填"增加"、"减少"或"不变")．
(3)设想将1g水均匀分布在地球表面上，估算1cm^2^的表面上有多少个水分子?(已知1mol 水的质量为18g，地球的表面积约为5×10^14^m^2^，结果保留一位有效数字)
**B．(选修模块3-4)(12分)**
(1)一列沿着*x*轴正方向传播的横波，在*t*=O时刻的波形如图甲所示．图甲中某质点的振动图 象如图乙所示．
> 质点*N*的振幅是 [ ]{.underline} m，振动周期为 [ ]{.underline} s，图乙表示质点 [ ]{.underline} (从质点K、L、M、N中选填)的振动图象．该波的波速为 [ ]{.underline} m／s．
(2)惯性系*S*中有一边长为*l*的正方形(如图*A*所示)，从相对*S*系沿*x*方向以接近光速匀速飞行的飞行器上测得该正方形的图象是 [ ]{.underline}
．
(3)描述简谐运动特征的公式是*x*＝[ ]{.underline}．自由下落的篮球缓地面反弹后上升又落下。若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能量损失，此运动[ ]{.underline} (填"是"或"不是")简谐运动．
**C．(选修模块3---5)(12分)**
(1)下列实验中，深入地揭示了光的粒子性一面的有[ ]{.underline}．
> 
>
> (2)场强为*E*、方向竖直向上的匀强电场中有两小球*A*、*B*，它们的质量分别为*m*~１~、*m*~２~，电量分别为*q*~１~、 *q*~２~．*A*、*B*两球由静止释放，重力加速度为*g*，则小球*A*和*Ｂ*组成的系统动量守恒应满足的关系式为[ ]{.underline}．
>
> (3)约里奥·居里夫妇因发现人工放射性而获得了1935年的诺贝尔化学奖，他们发现的放射性元素衰变成的同时放出另一种粒子，这种粒子是[ ]{.underline}．是的同位素，被广泛应用于生物示踪技术．1mg随时间衰变的关系如图所示，请估算4 mg的经多少天的衰变后还剩0.25 mg?
>
> **四、计算题：本题共3小题。共计47分．解答时请写出**
>
> **必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题。答案中必须明确写出数值和单位．**
>
> 13．(15分)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2*L*、网高*h*，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为*g*)
>
> (1)若球在球台边缘O点正上方高度为*h*~1~处以速度，水平发出，落在球台的*P*~1~点(如图
>
> 实线所示)，求*P*~1~点距O点的距离*x~1~*。．
>
> (2)若球在O点正上方以速度水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的*P*~2~(如图虚线所示)，求的大小．
>
> (3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘*P*~3~，求发球点距O点的高度*h*~3~．
>
> 
14．(16分)在场强为*B*的水平匀强磁场中，一质量为*m*、带正电*q*的小球在*O*静止释放，小球的运动曲线如图所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到*z*轴距离的2倍，重力加速度为*g*．求：
(1)小球运动到任意位置*P*(*x*，*y)*的速率.
> (2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离*y*~m~.
>
>  (3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为*E*()的匀强电场时，小球从*O*静止释放后获得的最大速率．
>
> 15．(16分)如图所示，间距为*L*的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为*θ*，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为*B*的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为*d*~1~，间距为*d*~2~．两根质量均为*m*、有效电阻均为*R*的导体棒*a*和*b*放在导轨上，并与导轨垂直． (设重力加速度为*g*)
>
> (1)若*a*进入第2个磁场区域时，*b*以与*a*同样的速度进入第1个磁场区域，求*b*穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△*E*~k~．
>
> (2)若*a*进入第2个磁场区域时，*b*恰好离开第1个磁场区域；此后*a*离开第2个磁场区域时，*b* 又恰好进入第2个磁场区域．且*a*．*b*在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求*b*穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热*Q*．
>
> (3)对于第(2)问所述的运动情况，求*a*穿出第*k*个磁场区域时的速率
>
> 
**2008年全国高等学校统一招生考试（江苏省）**
**物理试题参考答案**
> 
>
> 
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**湖北省鄂州市2020年中考数学真题**
**一、选择题**
1.-2020的相反数是（ ）
A. 2020 B. -2020 C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数直接得出即可.
【详解】-2020的相反数是2020，
故选A.
【点睛】本题是对相反数的考查，熟练掌握相反数知识是解决本题的关键.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可．
【详解】解：A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项正确；
D. ，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，据此找到答案即可．
【详解】解：从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，可得只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三视图的识别，注意：俯视图是从上往下看到的图形．
4.面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取"严防严控"措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金．21亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】21亿=2100000000=2．1×10^9^．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法．
5.如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知,再算出即可得出．
【详解】如图所示,过直角顶点作c∥a，
∵，
∴a∥b∥c，
∴,
∴,
∴．
故选A．
【点睛】本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换．
6.一组数据4，5，，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平均数的公式计算出x的值，再求这组数据的众数即可．
【详解】解：∵4，5，，7，9的平均数为6，
∴，
解得：x=5，
∴这组数据为：4，5，5，7，9，
∴这组数据的众数为5．
故选：B．
【点睛】本题考查平均数及众数，熟练掌握平均数、众数的意义是解题的关键．
7.目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先用含*x*的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于*x*的方程，解方程即得答案．
【详解】解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴*x*的值为40%．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
8.如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9.如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴\<1求出2a与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a\>0，
∵对称轴在y轴右边，
∴，即b\<0 ，
∵抛物线与轴的交点在轴的下方，
∴，
∴，故①错误；
对称轴在1左侧，∴
∴-b\<2a，即2a+b\>0，故②错误；
当x=-2时，y=4a-2b+c\>0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b\>0，
∴2a+a+c\>0，即3a+c\>0，故④正确；
故答案选：B．
【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．
10.如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律．
【详解】解：联立，解得，
∴，，
由题意可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作交y轴于H，则容易得到，
设，则，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
用同样方法可得到，
因此可得到，即
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．
**二、填空题**
11.因式分解：=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果
【详解】原式．
考点：本题考查的是因式分解
点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
12.关于x的不等式组的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接解不等式组即可．
【详解】解：由，得，
由，得，
∴不等式组的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
13.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
试题分析：，解得r=．
考点：弧长的计算．
14.如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】﹣9
【解析】
【分析】
首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵
∴=
∵点A是双曲线上
∴S~△OAC~=
∵∠AOB=90°，\
∴∠AOC+∠BOD=90°，\
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，\
∴∠BOD=∠OAC，\
又∵∠ACO=∠BDO=90°，\
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
15.如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_秒时，与正方形重叠部分的面积为．
【答案】1或．
【解析】
【分析】
将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．
【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S~扇形OAB~-S△~OAB~
由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOB=60°，OE⊥AB
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE=
∴S~扇形OAB~-S△~OAB~
∴OF=
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒
②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S~扇形OCD~-S△~OCD~
由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°，OE⊥CD
在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE=
∴S~扇形OCD~-S△~OCD~
∴OF=
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒
综上，当运动时间为1或秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为
故答案为：1或．
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．
16.如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．
【详解】解：如图，
在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=，
∴OB=4，OA=，
∴，
∴∠OBA=30°，
由切于Q点，可知OQ⊥PQ，
∴，
由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，
∴，此时，，
∴，即∠OPQ=30°，
若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过P作PE⊥y轴于E，
，，
∴，
∵，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．
**三、解答题**
17.先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，-1．
【解析】
【分析】
先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=
=
在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2
当x=-2时，．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键．
18.如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)24
【解析】
【分析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形得出AB=CD，ABCD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合AO=CO，M,N分别是OA和OC中点即可求解；
(2)证明△ABO是等腰三角形，结合M是AO的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC也是等腰三角形，N是OC中点，得到∠DNO=90°，得到EMDN，再由(1)得到EM=DN，得出四边形EMND为矩形，进而求出面积．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，OA=OC，
∴∠BAC=∠DCA，
又点M，N分别为、的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)BD=2BO，又已知BD=2AB，
∴BO=AB，∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的"三线合一"性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO=∠EMO=90°，
同理可证△DOC也为等腰三角形，
又N是OC的中点，
∴由等腰三角形的"三线合一"性质可知：DN⊥CO，
∠DNO=90°，
∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°，
∴EMDN，
又已知EM=BM，由(1)中知BM=DN，
∴EM=DN，
∴四边形EMND为平行四边形，
又∠EMO=90°，∴四边形EMND为矩形，
在Rt△ABM中，由勾股定理有：，
∴AM=CN=3，
∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定方法是解决此类题的关键．
19.某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．以下是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
-------------- ------ ------
学习时间分组 频数 频率
A组（） 9 m
B组（） 18 0.3
C组（） 18 0.3
D组（） n 0.2
E组（） 3 0.05
-------------- ------ ------
（1）频数分布表中\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．
【答案】（1）0.15,12，补充频数分布直方图见解析；（2）450名；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先求出选取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；
（2）先求出选取该校部分学生每天学习时间低于2小时的学生的频率，然后再估计该校有学生1000名中，每天学习时间低于2小时的学生数即可；
（3）先通过列表法确定所有情况数和所需情况数，然后用概率的计算公式计算即可．
【详解】解：（1）随机选取学生数为：18÷0.3=60人
则m=9÷60=0.15，n=60×0.2=12；
故答案为0.15,12；
（2）根据频数分布表可知：
选取该校部分学生每天学习时间低于2小时为0.3+0.15=0.45
则若该校有学生1000名，每天学习时间低于2小时的学生数有1000×0.45=450
所以，估计全校需要提醒的学生有450名；
（3）根据题意列表如下：
则共有6种情况，其中所选2名学生恰为一男生一女生的情况数4种
所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求概率以及频数分布直方图的运用，掌握频数和频率的关系以及树状图或列表法的正确应用是解答本题的关键．
20.已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【答案】（1）k≤3；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x~1~＋x~2~和x~1~x~2~的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x~1~＋x~2~和x~1~x~2~的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax^2^＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
21.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】（1）米；（2）263米
【解析】
【分析】
（1）根据正切的定义即可求出AM的长；
（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解．
【详解】（1）由题意可得AF∥MD
∴∠ACM=∠FAC=
在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);
（2）如图，过点B作BH⊥MD，
在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=
∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，
∵AM⊥DM，AM⊥AF
∴四边形ABHM是矩形
∴MH=AB=50米
∴CH=CM-MH=-50(米)
∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）
故河流的宽度为263米．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
22.如图所示：与的边相切于点C，与、分别交于点D、E，．是的直径．连接，过C作交于G，连接、，与交于点F．
（1）求证：直线与相切；
（2）求证：；
（3）若时，过A作交于M、N两点（M在线段上），求的长．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+．
【解析】
【分析】
(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS证明△BOE≌△BOC,进而推出AB是圆的切线;
(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的性质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出,进而推出,即;
(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,延长BO到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN．
【详解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，
∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，
又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，
由题意得：EO=CO，BO=BO，
∴△BOE≌△BOC(SAS),
∴∠BEO=∠BCO=90°,
∴AB是⊙O的切线．
\(2\)
如图所示DG与OE交点作为H点,
∵EO//GC,
∴∠EHD=∠DGC=90°,
又由(1)所知∠AEO=90°,
∴AE//DF,
∴△AEC∽△DFC,
∴,
由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,
∵DO//GC,
∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,
∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,
又∵∠FED=∠DEC,
∴△FED∽△DEC,
∴,
∴,即．
\(3\)
∵,与∠ACE相等角的tan值都相同．
∴ED=6,则EC=12,
根据勾股定理可得．
∴EO=DO=CO=．
由(2)可得,
在Rt△AEO中,可得,即,
∴,
解得AE=,则AC=,AO=．
连接ON,延长BO交MN于点I,根据垂径定理可知OI⊥MN,
∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．
在Rt△AIO中,可得,即,
解得OI=5,则AI=10,
在Rt△OIN中, ,即,
解得IN=．
∴AN=AI+IN=10+．
【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件．
23.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
------------ ------- ------ ------
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
------------ ------- ------ ------
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）．
【解析】
【分析】
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；
（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，
解得：，
即y与x的函数关系式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，
解得：，
∵，
∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，
由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，
可得：，解得：m≥3，
∵
∴
故m的取值范围为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用------最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．
24.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）
【解析】
【分析】
（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；\
（2）①由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；\
②先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标．
【详解】解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）
将B、C坐标代入抛物线得
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①∵，垂足为N．
∴P（m，），D（m，），
分以下几种情况：
M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=
解得，（舍去）；
P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）
解得，（舍去）；
D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）
解得，（舍去）；
∴符合条件的m的值有-2，，1；
②∵抛物线的解析式为：，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AO=1，CO=2，BO=4，
∴，又=90°，
∴，
∴，
∵与相似
∴，
∴，
∴ ，
∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为：（3，-2）
【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
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> **《奥运开幕》同步练习**
>
> 一、连一连。
>
> 
>
> 二、填一填。
>
> （1）3分＝（ ）秒 （2）4时＝（ ）分
>
> （3）60分＝（ ）时 （4）3时＝（ ）分
>
> （5）180秒＝（ ）分 （6）300秒＝（ ）分
>
> （7）120分＝（ ）时 （8）半小时＝（ ）分
>
> 三、认一认。
>
> 
>
> 四、下面是三（1）班第1小组女同学100米的比赛成绩。
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
| > 姓名 | > 王玲 | > 张勤 | > 孙兰 | > 陈婷 | > 刘颖 |
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
| > 成绩 | > 18秒 | > 19秒 | > 22秒 | > 20秒 | > 17秒 |
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
| > 名次 | | | | | |
+--------+--------+--------+--------+--------+--------+
> ①请你按成绩帮她们排列名次。
>
> ②谁跑得最快？（ ）谁跑得最慢？（ ）
>
> ③你还能提出别的问题吗？ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> 五、下面是健健放学后所做的活动，请你把各种活动完成的时刻记下来，并在钟面上画画看。
>
> 
>
> 六、1号运动员比2号运动员1分钟多跳多少个？
>
> 
>
> 七、从武汉到广州的飞机到达的时刻是晚上9时40分，因天气原因延时30分到达。这架飞机到达广州的时刻是几时几分？
**参考答案：**
1.
> 
>
> 二、
>
> （1）180 （2）240
>
> （3）1 （4）180
>
> （5）3 （6）5\[来源:学科网ZXXK\]
>
> （7）2 （8）30\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
>
> 三、
>
> （1）3：30 （2）6：55 （3）15 （4）7
>
> \[来源:Z,xx,k.Com\]
>
> 四、下面是三（1）班第1小组女同学100米的比赛成绩。
+---------------------------+--------+--------+--------+----------------------+--------+
| > 姓名 | > 王玲 | > 张勤 | > 孙兰 | > 陈婷 | > 刘颖 |
+---------------------------+--------+--------+--------+----------------------+--------+
| > 成绩 | > 18秒 | > 19秒 | > 22秒 | > 20秒 | > 17秒 |
+---------------------------+--------+--------+--------+----------------------+--------+
| > 名次\[来源:学\_科\_网\] | > 2 | > 3 | > 5 | > 4\[来源:学+科+网\] | > 1 |
+---------------------------+--------+--------+--------+----------------------+--------+
> ②刘颖 孙兰
>
> ③略
>
> 五、
到家时刻 4：30
> 作业完成时刻 5：30
>
> 吃完饭时刻 7：00
六、13
七、10时10分
| 1 | |
益阳市2017年普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
试 题 卷
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
> 1．下列四个实数中，最小的实数是
A． B． C． D．
> 2．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是
>
> 
A． B． C． D．
> 3．下列性质中菱形不一定具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
> 4．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学计数法表示为
A． B． C． D．
> 5．下列各式化简后的结果为的是
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
7．如图，电线杆*CD*的高度为，两根拉线*AC*与*BC*相互垂直，∠*CAB*=，则拉线*BC*的长度为（*A*、*D*、*B*在同一条直线上）
> A． B．
>
> C． D．
8．如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1:4的三视图中，其主视图的面积是
A．cm^2^ B．cm^2^
C．cm^2^ D．cm^2^
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）**
> 9．如图，*AB*∥*CD*，*CB*平分∠*ACD*．若∠*BCD* = 28°,则∠*A*的度数为 [ ]{.underline} ．
>
> 10．如图，△*ABC*中，，，*AB*=13，*CD*是*AB*边上的中线．则*CD*= [ ]{.underline} ．
>
> 11．代数式有意义，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
>
> 12．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中"古诗词类"的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为 [ ]{.underline} ．
>
> 13．如图，多边形*ABCDE*的每个内角都相等，则每个内角的度数为 [ ]{.underline} ．
>
> 14．如图，在△*ABC*中，*AB*=*AC*，∠*BAC* = 36°，*DE*是线段*AC*的垂直平分线，若*BE*=，*AE*=，则用含、的代数式表示△*ABC*的周长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题（本大题8个小题，共80分)**
> 15．（本小题满分8分）
>
> 计算：
>
> 16．（本小题满分8分）
>
> 先化简，再求值：，其中．
>
> 17．（本小题满分8分）
>
> 如图，四边形*ABCD*为平行四边形，*F*是*CD*的中点，
>
> 连接*AF*并延长与*BC*的延长线交于点*E*．
>
> 求证：*BC* = *CE*．
>
> 18．（本小题满分10分）
>
> 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．
>
> 运动员甲测试成绩表
------------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7
------------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
> 
>
> （1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
>
> （2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适?为什么? (参考数据：三人成绩的方差分别为、、)
>
> （3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
>
> 19．（本小题满分10分）
>
> 我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造"洞庭之心湿地公园"，其中罗文村的"花海、涂鸦、美食"特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮＋住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．
>
> （1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？
>
> （2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说："我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．"请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？
>
> 20．（本小题满分10分）
>
> 如图，*AB*是⊙*O*的直径，*C*是⊙*O*上一点，*D*在*AB*的延长线上，
且∠*BCD*=∠*A*．
> （1）求证：*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若⊙*O*的半径为3，*CD*=4，求*BD*的长．
>
> 21．（本小题满分12分）
>
> 在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的"互换点"，如（-3，5）与（5，-3）是一对"互换点"．
>
> （1）任意一对"互换点"能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
>
> （2）*M*、*N*是一对"互换点"，若点*M*的坐标为，求直线*MN*的表达式（用含、的代数式表示）；
>
> （3）在抛物线的图象上有一对"互换点"*A*、*B*，其中点*A*在反比例函数的图象上，直线*AB*经过点*P*(，)，求此抛物线的表达式．
>
> 22．（本小题满分14分）
>
> 如图1，直线与抛物线相交于*A*、*B*两点，与轴交于点*M*，*M*、*N*关于轴对称，连接*AN*、*BN*．
>
> （1）①求*A*、*B*的坐标；
>
> ②求证：∠*ANM*=∠*BNM*；
>
> （2）如图2，将题中直线变为，抛物线变为，其他条件不变，那么∠*ANM*=∠*BNM*是否仍然成立？请说明理由．
>
> 益阳市2017年普通初中毕业学业考试
>
> 参考答案及评分标准
>
> 数 学
>
> 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）.
------ ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 *C* *D* *C* *B* *C* *A* *B* *D*
------ ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
> 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
>
> 9．124°； 10．6.5； 11．； 12．48； 13．108°； 14．．
三、解答题（本大题共8小题，第15、16、17小题每小题8分，第18、19、20小题每小题10分，第21小题12分，第22小题14分，共80分）．
> 15．解：原式= 4分
>
> =． 8分
>
> 16．解：原式 4分
>
> ． 6分
>
> 当时，原式=． 8分
>
> 17．证明：如图，∵四边形*ABCD*是平行四边形，
>
> ∴*AD*=*BC*，*AD∥BC*． 2分
>
> ∴∠*DAF*=∠*E*，∠*ADF* =∠*ECF*，
>
> 又∵*F*是*CD*的中点．即*DF*=*CF* 4分
>
> ∴≌． 6分
>
> ∴*AD*=*CE*．∴*BC*=*CE*． 8分
>
> 18．解:（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分 3分
>
> （2）经计算（分），（分），（分）
>
> ∵，
>
>  ∴选乙运动员更合适． 7分
>
> （3）
>
> 10分
>
> 19．解：（1）设去年餐饮利润万元，住宿利润万元，
>
> 依题意得：， 解得．
>
> 答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元． 6分
>
> （2）设今年土特产利润万元，
>
> 依题意得： ，解之得，，
>
> 答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润． 10分
>
> 20．解：（1）如图，连接*OC*．∵*AB*是⊙*O*的直径，*C*是⊙*O*上一点，
>
> ∴∠*ACB=*90°，即∠*ACO+*∠*OCB=*90°
>
> ∵*OA*=*OC*, ∠*BCD=*∠*A*
>
> ∴∠*ACO=*∠*A=*∠*BCD*
>
> ∴∠*BCD +*∠*OCB=*90°,即∠*OCD=*90°
>
> ∴*CD*是⊙*O*的切线． 5分
>
> （2）由（1）及已知有∠*OCD=*90°，*OC*=3，*CD*=4,
>
> 据勾股定理得：*OD* =5
>
> ∴*BD=ODOB=*53 = 2． 10分
>
> 21．解：（1）不一定
>
> 设这一对"互换点"的坐标为和．
>
> ①当时，它们不可能在反比例函数的图象上，
>
> ②当时，由可得，即和都在反比例函数的图象上． 3分
>
> （2）由（，）得*N*（，），设直线*MN*的表达式为 （）．
>
> 则有 解得，
>
> ∴直线*MN*的表达式为． 7分
>
> （3）设点， 则
>
> ∵直线*AB*经过点*P*(，)，由（2）得
>
> ∴，∴
>
> 解并检验得：或，∴或
>
> ∴这一对"互换点"是（2，）和（，2） 10分
>
> 将这一对"互换点"代入得，
>
> ∴解得，∴． 12分
>
> 22． 解：（1）①由已知得，解得：或
>
> 当时，；当时，
>
> ∴*A*、*B*两点的坐标分别为（，），（ 1，2）． 3分
>
> ②如图，过*A*作*AC*⊥轴于*C*，过*B*作*BD*⊥轴于*D*．
>
>  由①及已知有*A*（，），
>
> *B*（ 1，2），*OM*=*ON*=1
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴． 8分
>
> （2）成立， 9分
>
> ①当，△*ABN*是关于*y*轴的轴对称图形，
>
> ∴． 10分
>
> ②当，根据题意得：*OM*=*ON*=，设、*B*．
>
> 如图，过*A*作*AE*⊥轴于*E*，过*B*作*BF*⊥轴于*F*．
>
> 由题意可知：，即
>
>  ∴
>
> ∵
>
> =
>
> ∴,
>
> ∴Rt△*AEN∽*Rt△*BFN*,∴．
>
> .......................................14分
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**数 学（理科）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。**
1．若（为虚数单位），则的值可能是
A．
B．
C．
D．
2．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A．①②
B．①③
C．①④
D． ②④
4．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．
B．
C．
D．
5．函数的最小正周期和最大值分别为
A．
B．
C．
D．
6．给出下列三个等式：
，，。下列函数中不满足其中任何一个等式的是
A．
B．
C．
D．
7．命题"对任意的，"的否定是
A．不存在，
B．存在，
C．存在，
D．对任意的，
8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；......第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为
> 
A．
B．
C．
D．
9．下列各小题中，是的充要条件的是
（1）或；有两个不同的零点。
（2） 是偶函数。
（3） 。
（4） 。
A．
B．
C．
D．
10．阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量S和T的值依次是
A．
B．
C．
D．
11．在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是
A．
B．
C．
D．
12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为
A．
B．
C．
D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**注意事项：**
1．用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。**
13．设O是坐标原点，F是抛物线y^2^=2px（p\>0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为 [ ]{.underline} 。
14．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 [ ]{.underline} 。
15．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 [ ]{.underline} 。
16．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为 [ ]{.underline} 。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（本小题满分12分）
设数列满足
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设 =，求数列的前n项和。
18．（本小题满分12分）
设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）。
（Ⅰ）求方程有实根的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，
已知：AB//DC
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：//平面；
（Ⅱ）求二面角余弦值。
20．（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。当甲船位于A~1~处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B~1~处，此时两船相距20海里。当甲船航行20分钟到达A~2~处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B~2~处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
22．（本小题满分14分）
设函数,其中b≠0。
（Ⅰ）当b\>时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式都成立。
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**北师大版小学一年级下册数学第三单元《加与减一------青蛙吃害虫》同步检测1（附答案）**
一、乘车。
二、我会算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
30＋29 = 64－60 = 41－20 = 55－5 =
55－30 = 40＋24 = 72＋20 = 5＋20 =
三、上台阶。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、跳绳。
1、小明比小红多跳了多少下？
= （下）
2、你还能提出哪些数学问题？请提出并解答。
五、算一算。
六、
七、想一想，填一填。
50＋22 = 40＋ = ＋
八、若从甲车取出20袋给乙车，两车的大米袋数就一样多。
甲车上原来有 乙车上原来有
86袋大米。 （ ）袋大米。
**部分答案：**
一、45－30 = 15（个）
二、59 4 21 50 25 64 92 25
三、从下往上，依次是：23 91 39 76 71 93
四、1、57－50 = 7（下）
2、提示：能提出很多问题。例如：小华比小明少跳了多少下？57－40 = 17（下）
五、38－20 = 18
六、45－30－1 = 14（人）
七、32 10
八、46 提示：甲车取出20袋给乙车，两车的大米袋数就一样多，说明甲车比乙车少40袋。由此可以求出乙车的袋数是86－40 = 46（袋）
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**湖南省衡阳市2020年中考数学试题**
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1.－3相反数是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义可得答案．
【详解】解：的相反数是
故选A．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可
【详解】A．和不是同类项，不能合并，此选项错误；
B．和不是同类项，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键．
3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】1.2亿=120000000=1.2×10^8^．\
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A 选项错误；
B. ，故B 选项错误；
C ，故B 选项错误；
D. ，故D 选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．
5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件即可解答．
【详解】根据题意可知，，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．
7.如图,在四边形*ABCD*中,*AC*与*BD*相交于点*O*,下列条件不能判定四边形*ABCD*为平行四边形的是（ ）
A. *AB*∥*DC*,*AB*=*DC* B. *AB*=*DC*,*AD*=*BC*
C. *AB*∥*DC*,*AD*=*BC* D. *OA=OC*,*OB*=*OD*
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.
【详解】A. ∵ *AB*∥*DC*,*AB*=*DC*，∴四边形*ABCD*是平行四边形；
B. ∵ *AB*=*DC*,*AD*=*BC*，∴四边形*ABCD*平行四边形；
C.等腰梯形ABCD满足 *AB*∥*DC*,*AD*=*BC*，但四边形*ABCD*是平行四边形；
D. *OA=OC*,*OB*=*OD*，∴四边形*ABCD*是平行四边形；
故选C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
8.下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【详解】解：*A*、*B*、*D*中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．*C*围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故*C*不能围成三棱柱．
故选*C*．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
9.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．
【详解】解：，
解①得：x≤1，
解②得：x＞-2，
则不等式组的解集是：−2＜x≤1．
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了"找出解集．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．
10.反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】
将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
12.如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）**
13.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】a(a+1)
【解析】
【分析】
提取a即可因式分解.
【详解】 a(a+1)
故填：a(a+1).
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.
14.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．
15.已知一个边形的每一个外角都为30°，则等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．
【详解】解：360°÷30°=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形外角和为360°是解答本题的关键．
16.一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有\_\_\_\_\_\_\_\_\_名．
【答案】23
【解析】
【分析】
关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【详解】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组
．
解得，
所以，男生有29人，女生有23人，\
故答案为：23．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．
18.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，......，（为正整数），则点的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（0，-2^2019^）
【解析】
【分析】
根据题意得出OP~1~=1，OP~2~=2，OP~3~=4，如此下去，得到线段OP~3~=4=2^2^，OP~4~=8=2^3^...，OP~n~=2^n-1^，再利用旋转角度得出点P~2020~的坐标与点P~4~的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【详解】解：∵点P~1~的坐标为，将线段OP~1~绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP~1~的2倍，得到线段OP~1~；
∴OP~1~=1，OP~2~=2，
∴OP~3~=4，如此下去，得到线段OP~4~=2^3^，OP~5~=2^4^...，
∴OP~n~=2^n-1^，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252...4，
∴点P~2020~的坐标与点P~4~的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P~2020~的坐标是（0，-2^2019^）．
故答案为：（0，-2^2019^）．
【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P~2014~的坐标与点P~6~的坐标在同一直线上是解题关键．
**三、解答题（本大题共8个小题，19\~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
19.化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．
20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式列方程求解即可；
（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；
（2）根据题意画出树状图如下：
所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．
21.如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）=80°
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，
∴，
∴．
（2）∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，
故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战"疫"中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：，，，，，．）
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．
据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有"90后"也有"00后"，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关"90后"医务人员的数据：
市派出的1614名医护人员中有404人是"90后"；
市派出的338名医护人员中有103人是"90后"；
市某医院派出的148名医护人员中有83人是"90后"．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，"90后"大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
【答案】（1）补图见解析；（2）；（3）1.2万人．
【解析】
【分析】
（1）根据总数等于各组频数之和即可求出""组得频数，进而补全频数分布直方图；
（2）由频数直方图可得""的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；
（3）根据样本估计总体，可得到90后"大约有1.2万人．
【详解】解：（1）""组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，
补全频数分布直方图如图．
（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在""之间的有3个，
所占百分比为：，
故其所占圆心角度数=．
（3）支援湖北省的全体医务人员"90后"大约有（万人），
故：支援湖北省的全体医务人员"90后"大约有1.万人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．
23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．
（1）求的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持120°，求点到的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）12cm；（2）点到的距离为（12+12）cm．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；
（2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
即OC的长度为12cm．
（2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点到的距离，
∵OM∥AC，B′E⊥AC，
∴B′E⊥OD，
∵MN∥AC，
∴∠NOA=∠OAC=30°，
∵∠AOB=120°，
∴∠NOB=90°，
∵∠NOB′=120°，
∴∠BOB′=120°-90°=30°，
∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，
∴BC∥B′E，四边形OCED矩形，
∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，
在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，
∴
B′D= ，
B′E=B′D+DE= ，
答：点到的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，交于点，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求长．
【答案】（1）与相切．证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的定义证明结合等腰三角形的性质证明从而证明结合可得答案；
（2）连接，先利用勾股定理求解的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．
【详解】解：（1）与相切．
理由如下：
如图，连接，
平分，
在上，
是的切线．
（2）连接
为的直径，
，，
解得：
所以：的长为：
【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25.在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出\>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
【详解】解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)^2^-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m\>3
∴m\<1
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
26.如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．
（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,
所以重叠面积S==4\--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；
（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
| 1 | |
**奇偶性（一）**
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫**偶数**，例如
0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，...
（2）不能被2整除的自然数叫**奇数**，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，...
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
**每一个整数不是奇数就是偶数，**这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：
** （1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。**
** （2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。**
** （3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。**
** （4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。**
** （5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。**
** （6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。**
因为（2n）^2^=4^n^2=4×n^2^，所以（2n）^2^能被4整除；
因为（2n+1）^2^=4n^2^+4n+1=4×（n^2^+n）+1，所以（2n+1）^2^除以4余1。
** （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。**
** （8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。**
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
** 例1**下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+...+1997+1998。
** 分析与解**：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。
** 例2** 能否在下式的□中填上"+"或"-"，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
** 分析与解**：等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为"奇数+偶数=奇数"，所以题目的要求做不到。
** 例3** 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
** 分析与解**：假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：
其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。
另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。
** 例4** 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。
** 分析与解**：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为"奇数个奇数之和是奇数"，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
** 例5** 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
** 分析与解**：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。
**练习7**
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。这位同学的计算有没有错？
3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？
5.A市举办五年级小学生"春晖杯"数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？
6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。
7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
**奇偶性（二）**
** 例1**用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
** 分析与解**：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足"和最大"是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。
要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
** 例2** 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
** 分析与解**：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
** 例3** 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
** 分析与解**：当m是奇数时，（m-1）是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从m= 4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用\*号标记。翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，...，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。
** 例4** 一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，...，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
** 分析与解**：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。
** 例5** 有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？
** 分析与解**：大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。
（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。
综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
** 例6** 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...
到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
** 分析与解**：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2，2+3=5，3+5=8， 5+8=13，...
这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，......
容易看出，这串数是按"奇，奇，偶"每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333......1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
**练习8**
1.在11，111，1111，11111，...这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？
2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，...，17页。这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，...问：最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他："今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？"小明说："除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。"今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？
7.将888件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？
**奇偶性（三）**
利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。
** 例1** 在7×7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？
** 分析与解**：题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴，所以对于MN左下方的任意一格A，总有MN右上方的一格A＇，A与A＇关于MN对称，所以A与A＇要么都放有棋子，要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。
** 例2** 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？
** 分析与解**：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+...+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表。
** 例3** 左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
** 分析与解**：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。
** 例4** 左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
** 分析与解**：将这14个小方格黑白相间染色（见右上图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
** 例5** 在右图的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？
** 分析与解**：假定图中5与1之间的○中的数是奇数，按顺时针加上或减去标出的数字，依次得到各个○中的数的奇偶性如下：
因为上图两端是同一个○中的数，不可能既是奇数又是偶数，所以5与1之间的○中的数不是奇数。
同理，假定5与1之间的○中的数是偶数，也将推出矛盾。
所以，题目的要求办不到。
** 例6** 下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。众所周知，马是走"日"字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
** 分析与解**：马走"日"字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？
为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走"日"字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。
讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃"回到出发点"的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。
**练习9**
1.教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？
2.房间里有5盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使5盏灯全部是亮的？
3.左下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
4.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？
5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生17人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打5场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前5名。这种比赛方式是否可行？
6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。问：a是多少时，可以走到7的位置？
**练习7**
1.五个奇数的和不可能等于22。
2.与例3类似，这位同学计算有错误。
3.甲胜。
提示：七个整数中，奇、偶数的个数肯定不等，如果奇（偶）数多，那么至少有一列的两个数都是奇（偶）数，这列的差是偶数，七个差中有一个偶数，七个差之积必是偶数，所以甲胜。
4.偶数。
提示：因为这次活动是有来有往，所以总的通信数是偶数。又因为写了偶数封信的人写信的总数是偶数，所以写了奇数封信的人写信的总数也是偶数。因为只有偶数个奇数之和是偶数，所以写奇数封信的人数是偶数。
5.奇数。提示：每个同学的得分都是奇数。
6.不可能。
提示：假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条直线上的红圈数计算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数。这就出现了矛盾。所以假设在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的。
7.提示：如果每个座位上、下午坐的都是同一个学校的学生，那么每个学校来看电影的学生数应当是偶数，与每所学校有1999名学生来看电影矛盾。这个矛盾说明必有上、下午坐的是不同学校的学生的座位。
**练习8**
1.对。提示：因为平方数能被4整除或除以4余1，而形如111...11的数除以4的余数与11除以4的余数相同，余3，所以不是平方数。
2.5个。提示：与例4类似分析可知，先排9个奇数页的故事，其中有5个从奇数页开始，再排8个偶数页的故事，都是从偶数页码开始。
3.3次。提示：见下表。
4.偶数。
提示：这行数的前面若干个数是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，...
这些数的奇偶状况是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，......
从前到后按一偶二奇的顺序循环出现。70÷3=23......1，第70个数是第24组数的第一个数，是偶数。
5.偶数。
提示：号码总和等于100加上小明号码的2倍。
6.不能。
提示：如果原来写的是1，3，5，那么从第一次改变后，三个数永远是两个奇数一个偶数。
7.偶数。
提示：如果是奇数，那么分到奇数件礼品的小朋友得到的礼品总数是奇数，而分到偶数件礼品的小朋友得到的礼品总数是偶数，于是得出所有礼品总数是奇数，与888件礼品矛盾。
**练习9**
1.不能。
提示:如右图所示，25个座位分为12白13黑。相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上。
2.不可能。
提示：一开始亮着的灯（0盏）是偶数，每次有两盏灯亮暗发生变化，不改变亮着的灯数的奇偶性，所以亮着的灯数总是偶数，不可能5盏灯都亮着。
3.不能。提示：与例4类似。
4.不可以。
提示：如右图所示，△表示小木屋。守园人只能黑白相间地走，走过的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走过第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋。
5.不可行。
提示：17人每人打5场（次），共打17×5=85（场），即共有85人次参赛。因为每场球是2人打的，每个人都算一次，所以每赛一场球2人次，不论赛多少场球，总计的人次数应是偶数，与共有85人次参赛矛盾。说明设计的比赛方式行不通。
6.不存在。
提示：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置。由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置。
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试2（附答案）**
1. 口算。（10分）
2. 仔细想，认真填。（17分）
1.把一张彩纸平均裁成5份，每份是它的（ ）分之一，写作。
2.里面有（ ）个；3个是。[来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
3\.
4.7个是，再加上（ ）个就是8个，也就是=（ ）。
5\.
占全部球的；占全部球的；占全部球的且比少。[来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
三、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)（8分)
1．把一张纸连续对折3次，再打开，每一份是这张纸的( )。
A. B. C.
2.下面图形中阴影部分不能用分数表示的是（ ）。
A. B. C.
3.中的1可以看成（ ）。
A. 1个 B. 8个 C.7个
4.下面分数中最小的是（ ）。
A. B. C.
四、用分数表示图中的阴影部分。（12分）
1. 2. 3. 4.
（ ） （ ） （ ） （ ）
五、连一连。（12分）
六、看图写算式。（6分）
1.
[ 来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
2.
[ ]{.underline}
七、在○里填上"＞"，"＜"或"＝"。（8分）
○ ○
○ ○
八、解决问遍。(27分)
1．为迎接上海世博会的到来，王爷爷的根雕作品已完成了，剩下的工作量比已完成的多几分之几？(13分)
2．小丽随夏令营参观了水立方、鸟巢和国家体育馆，并拍了很多照片留作纪念。在每处所照的照片数量与照片总数的关系如下：(14分)
在水立方拍的照片比在鸟巢拍的多几分之几？
在国家体育馆拍的照片比在鸟巢拍的少几分之几？
附加题。(19分)
小强从家里去上学，走了全程的时，发现忘记戴红领巾了，又返回家中取，最后又跑到学校？他多走的部分是这次所走路程的。
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参考答案
一、1 0 1 1
二、1. 五
2\. 5 6
3\. 10 3 5
4\. 8 7 1 1
5\.
三、1. C 2.A 3.B 4.B
四、1. 2. 3. 4.
五、
六、1.
2\.
七、＞ ＜ ＝ ＜
八、1.
2\.
附加题：
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**2017年浙江省高考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）**
1．（4分）已知集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
2．（4分）椭圆+=1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．\[0，6\] B．\[0，4\] C．\[6，+∞） D．\[4，+∞）
5．（4分）若函数f（x）=x^2^+ax+b在区间\[0，1\]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
6．（4分）已知等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，则"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）已知随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2．若0＜p~1~＜p~2~＜，则（ ）
A．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） B．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~）
C．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） D．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~）
9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I~1~=•，I~2~=•，I~3~=•，则（ ）
A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~1~＜I~3~＜I~2~ C．I~3~＜I~1~＜I~2~ D．I~2~＜I~1~＜I~3~
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分**
11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S~6~，S~6~=[ ]{.underline}．
12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），则a^2^+b^2^=[ ]{.underline}，ab=[ ]{.underline}．
13．（6分）已知多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~，则a~4~=[ ]{.underline}，a~5~=[ ]{.underline}．
14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是[ ]{.underline}，cos∠BDC=[ ]{.underline}．
15．（6分）已知向量、满足\|\|=1，\|\|=2，则\|+\|+\|﹣\|的最小值是[ ]{.underline}，最大值是[ ]{.underline}．
16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有[ ]{.underline}种不同的选法．（用数字作答）
17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=\|x+﹣a\|+a在区间\[1，4\]上的最大值是5，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共5小题，满分74分）**
18．（14分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e^﹣x^（x≥）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间\[，+∞）上的取值范围．
21．（15分）如图，已知抛物线x^2^=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求\|PA\|•\|PQ\|的最大值．
22．（15分）已知数列{x~n~}满足：x~1~=1，x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）（n∈N^\*^），证明：当n∈N^\*^时，
（Ⅰ）0＜x~n+1~＜x~n~；
（Ⅱ）2x~n+1~﹣x~n~≤；
（Ⅲ）≤x~n~≤．
**2017年浙江省高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）**
1．（4分）已知集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，那么P∪Q=（ ）
A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x\|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
2．（4分）椭圆+=1的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，
所以椭圆的离心率为：=．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（ ）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为××π×1^2^×3+××××3=+1，
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．
4．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．\[0，6\] B．\[0，4\] C．\[6，+∞） D．\[4，+∞）
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是\[4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（4分）若函数f（x）=x^2^+ax+b在区间\[0，1\]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．
【解答】解：函数f（x）=x^2^+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，
①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，
函数f（x）在区间\[0，1\]上单调，
此时M﹣m=\|f（1）﹣f（0）\|=\|a+1\|，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，
函数f（x）在区间\[0，﹣\]上递减，在\[﹣，1\]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，
函数f（x）在区间\[0，﹣\]上递减，在\[﹣，1\]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，
故M﹣m的值与a有关，与b无关
综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
6．（4分）已知等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，则"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的求和公式和S~4~+S~6~＞2S~5~，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．
【解答】解：∵S~4~+S~6~＞2S~5~，
∴4a~1~+6d+6a~1~+15d＞2（5a~1~+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"充分必要条件，
故选：C．
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题
7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能
【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．
8．（4分）已知随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2．若0＜p~1~＜p~2~＜，则（ ）
A．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） B．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~）
C．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） D．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~）
【分析】由已知得0＜p~1~＜p~2~＜，＜1﹣p~2~＜1﹣p~1~＜1，求出E（ξ~1~）=p~1~，E（ξ~2~）=p~2~，从而求出D（ξ~1~），D（ξ~2~），由此能求出结果．
【解答】解：∵随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2，...，
0＜p~1~＜p~2~＜，
∴＜1﹣p~2~＜1﹣p~1~＜1，
E（ξ~1~）=1×p~1~+0×（1﹣p~1~）=p~1~，
E（ξ~2~）=1×p~2~+0×（1﹣p~2~）=p~2~，
D（ξ~1~）=（1﹣p~1~）^2^p~1~+（0﹣p~1~）^2^（1﹣p~1~）=，
D（ξ~2~）=（1﹣p~2~）^2^p~2~+（0﹣p~2~）^2^（1﹣p~2~）=，
D（ξ~1~）﹣D（ξ~2~）=p~1~﹣p~1~^2^﹣（）=（p~2~﹣p~1~）（p~1~+p~2~﹣1）＜0，
∴E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~）．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（ ）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．
【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3，﹣3，0）．Q，R，
=，=（0，3，6），=（，6，0），=，
=．
设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，
可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．
则cos==，取α=arccos．
同理可得：β=arccos．γ=arccos．
∵＞＞．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．
设OD=h．
则tanα=．
同理可得：tanβ=，tanγ=．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I~1~=•，I~2~=•，I~3~=•，则（ ）
A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~1~＜I~3~＜I~2~ C．I~3~＜I~1~＜I~2~ D．I~2~＜I~1~＜I~3~
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞•＞•，•＞0，
即I~3~＜I~1~＜I~2~，
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分**
11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S~6~，S~6~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S~6~=6××1×1×sin60°=．
故答案为：．
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），则a^2^+b^2^=[ 5 ]{.underline}，ab=[ 2 ]{.underline}．
【分析】a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a^2^﹣b^2^+2abi，可得3=a^2^﹣b^2^，2ab=4，解出即可得出．
【解答】解：a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），
∴3+4i=a^2^﹣b^2^+2abi，
∴3=a^2^﹣b^2^，2ab=4，
解得ab=2，，．
则a^2^+b^2^=5，
故答案为：5，2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（6分）已知多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~，则a~4~=[ 16 ]{.underline}，a~5~=[ 4 ]{.underline}．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a~5~就是常数的乘积．
【解答】解：多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~，
（x+1）^3^中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）^2^中x的系数是4，常数是4，
a~4~=3×4+1×4=16；
a~5~=1×4=4．
故答案为：16；4．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，cos∠BDC=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S~△ABC~，再根据S~△BDC~=S~△ABC~即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解：如图，取BC得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE=BC=1，AE⊥BC，
∴AE==，
∴S~△ABC~=BC•AE=×2×=，
∵BD=2，
∴S~△BDC~=S~△ABC~=，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE==，
∴cos∠ABE=2cos^2^∠BDC﹣1=，
∴cos∠BDC=，
故答案为：，
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题
15．（6分）已知向量、满足\|\|=1，\|\|=2，则\|+\|+\|﹣\|的最小值是[ 4 ]{.underline}，最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知\|+\|=、\|﹣\|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
\|+\|=，
\|﹣\|=，
令x=，y=，
则x^2^+y^2^=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z~min~=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知z~max~即为原点到切线的距离的倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，
所以z~max~=×=．
综上所述，\|+\|+\|﹣\|的最小值是4，最大值是．
故答案为：4、．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有[ 660 ]{.underline}种不同的选法．（用数字作答）
【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可
【解答】解：第一类，先选1女3男，有C~6~^3^C~2~^1^=40种，这4人选2人作为队长和副队有A~4~^2^=12种，故有40×12=480种，
第二类，先选2女2男，有C~6~^2^C~2~^2^=15种，这4人选2人作为队长和副队有A~4~^2^=12种，故有15×12=180种，
根据分类计数原理共有480+180=660种，
故答案为：660
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题
17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=\|x+﹣a\|+a在区间\[1，4\]上的最大值是5，则a的取值范围是[ （﹣∞，]{.underline}[\] ]{.underline}．
【分析】通过转化可知\|x+﹣a\|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．
【解答】解：由题可知\|x+﹣a\|+a≤5，即\|x+﹣a\|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为\|x+﹣a\|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤，
故答案为：（﹣∞，\]．
【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
**三、解答题（共5小题，满分74分）**
18．（14分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
【解答】解：∵函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）
（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+∈\[﹣+2kπ，+2kπ\]，k∈Z得：
x∈\[﹣+kπ，﹣+kπ\]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为\[﹣+kπ，﹣+kπ\]或写成\[kπ+，kπ+\]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．
19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．
（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．
【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，
∵E为PD的中点，∴EF∥PA，
在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，
∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，
∵EC⊂平面EFC，
∴EC∥平面PAB．
解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，
∵PA=PD，∴PF⊥AD，
推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，
∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，
∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，
设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，
∴PB===，
BF=PF=1，∴MF=，
又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，
∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，
∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，
E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，
∴E到平面PBC的距离为，
在，
由余弦定理得CE=，
设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e^﹣x^（x≥）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间\[，+∞）上的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e^﹣x^（x≥），
导数f′（x）=（1﹣••2）e^﹣x^﹣（x﹣）e^﹣x^
=（1﹣x+）e^﹣x^=（1﹣x）（1﹣）e^﹣x^；
（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e^﹣x^，
可得f′（x）=0时，x=1或，
当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥⇔x^2^≥2x﹣1⇔（x﹣1）^2^≥0，
则f（x）≥0．
由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，
即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间\[，+∞）上的取值范围是\[0，e\]．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．
21．（15分）如图，已知抛物线x^2^=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求\|PA\|•\|PQ\|的最大值．
【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x^2^），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x^2^）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知\|PA\|•\|PQ\|=（1+k）^3^（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）^3^（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x^2^），﹣＜x＜，
所以k~AP~==x﹣∈（﹣1，1），
故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x^2^），﹣＜x＜，
所以=（﹣﹣x，﹣x^2^），
设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x++，
联立直线AP、BQ方程可知Q（，），
故=（，），
又因为=（﹣1﹣k，﹣k^2^﹣k），
故﹣\|PA\|•\|PQ\|=•=+=（1+k）^3^（k﹣1），
所以\|PA\|•\|PQ\|=（1+k）^3^（1﹣k），
令f（x）=（1+x）^3^（1﹣x），﹣1＜x＜1，
则f′（x）=（1+x）^2^（2﹣4x）=﹣2（1+x）^2^（2x﹣1），
由于当﹣1＜x＜时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，
故f（x）~max~=f（）=，即\|PA\|•\|PQ\|的最大值为．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．（15分）已知数列{x~n~}满足：x~1~=1，x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）（n∈N^\*^），证明：当n∈N^\*^时，
（Ⅰ）0＜x~n+1~＜x~n~；
（Ⅱ）2x~n+1~﹣x~n~≤；
（Ⅲ）≤x~n~≤．
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由≥2x~n+1~﹣x~n~得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x~n~＞0，
当n=1时，x~1~=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则x~k~＞0，
那么n=k+1时，若x~k+1~＜0，则0＜x~k~=x~k+1~+ln（1+x~k+1~）＜0，矛盾，
故x~n+1~＞0，
因此x~n~＞0，（n∈N\*）
∴x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）＞x~n+1~，
因此0＜x~n+1~＜x~n~（n∈N^\*^），
（Ⅱ）由x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）得x~n~x~n+1~﹣4x~n+1~+2x~n~=x~n+1~^2^﹣2x~n+1~+（x~n+1~+2）ln（1+x~n+1~），
记函数f（x）=x^2^﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此x~n+1~^2^﹣2x~n+1~+（x~n+1~+2）ln（1+x~n+1~）≥0，
故2x~n+1~﹣x~n~≤；
（Ⅲ）∵x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）≤x~n+1~+x~n+1~=2x~n+1~，
∴x~n~≥，
由≥2x~n+1~﹣x~n~得﹣≥2（﹣）＞0，
∴﹣≥2（﹣）≥...≥2^n﹣1^（﹣）=2^n﹣2^，
∴x~n~≤，
综上所述≤x~n~≤．
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第三节：青蛙吃虫子**
一、直接写得数
43+50=  20+80= 3+70= 21+40= 70+22=
50+32= 7+50= 0+50= 26+40= 41+30=
90-60= 89-70= 88-10= 59-30= 58-20=
74-40= 99-50= 81-60= 99-40= 42-30=
二、列式解答
1、
**列式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_****\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。\[来源:Zxxk.Com\]**
2、
**列式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
三、解决问题
1、小红家里有56个苹果，有30个梨，有20个桃。\[来源:Z§xx§k.Com\]
（1）苹果比梨多多少个？
（2）桃比苹果少多少个？
2、冰箱有20台，洗衣机有32台。冰箱比洗衣机少多少台？
3、鸡有45只，鸭有20只，鹅有30只。
（1）鸡和鸭共有多少只？
（2）鹅比鸭多多少只？
（3）鸭比鸡少多少只？
4、一个皮球8元，一个毽子3元，毽子比皮球便宜多少元？
**答案**
一、直接写得数\[来源:Zxxk.Com\]
43+50=83 20+80=100 733+70= 21+40=61 70+22=92
50+32=82 7+50=57 0+50=50 26+40=66 41+30=71
90-60=30 89-70=19 88-10=78 59-30=29 58-20=38
74-40=34 99-50=49 81-60=21 99-40=59 42-30=12
二、列式解答
1、**列式：\_\_\_[\_35-20=15元 答：还差15元。]{.underline}**
2、**列式： [30+46=76元 76＜80 答：\_带80元可以买两个玩具。]{.underline}**
三、解决问题
1、（1）56-30=26个 答：苹果比梨多26个。
（2）56-20=36个 答：桃比苹果少36个。
2、32-20=12台 答：冰箱比洗衣机少12台。
3、（1）45+20=65只 答：鸡和鸭共有65只。\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
（2）30-20=10只 答：鹅比鸭多10只。
（3）45-20=25只 答：鸭比鸡少25只。
4、8-3=5元 答：毽子比皮球便宜5元。\[来源:Z&xx&k.Com\]
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**江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷**
**一、选择题**
1.－3的倒数是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倒数的定义求解．
【详解】-3的倒数为．\
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键．
2.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别利用合并同类项法则以同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：A、，不能合并，故此选项错误；\
B、，无法计算，故此选项错误；\
C、，故此选项错误；\
D、，故此选项正确；\
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法运算以及合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，*n*为整数，确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值\>1时，*n*是正数；当原数的绝对值\<1时，*n*是负数．
【详解】解：将数字50175亿用科学记数法表示为
故本题选*A*．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，*n*为整数，表示时关键要正确确定*a*与*n*的值．
4.如图，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
【详解】，
，故选项A正确；
，
，
又，
，故选项B正确；
，
，
，
，故选项D正确；
，
，
而
，故选项C错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
5.如图所示，正方体的展开图为（ ）
A.  B. 
C  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图的性质判断即可；
【详解】A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
6.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】解：当y=0时，，解得x~1~=-1，x~2~=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=4^2^-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
**二、填空题**
7.计算：\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
运用完全平方公式展开，即可完成解答.
【详解】解：
【点睛】本题考查了平方差公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
8.若关于一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-2
【解析】
【分析】
由题目已知*x*=1是方程的根，代入方程后求出*k*的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将*x*=1代入一元二次方程有：，*k*=-1，
方程
即方程的另一个根为*x*=-2
故本题的答案为-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】25
【解析】
【分析】
根据所给图形可以看出左边是2个尖头，表示2个10，右边5个钉头表示5个1，由两位数表示法可得结论．
【详解】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5，
因此这个两位数是2×10+5×1=25，
故答案为：25．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的数字的表示法是解本题的关键．
10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：
------ --- --- ---- ---- ---- --- --- --- ---- ----
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
------ --- --- ---- ---- ---- --- --- --- ---- ----
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9
【解析】
【分析】
众数：众数数样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，即在一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．
【详解】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多；
故本题答案为9．
【点睛】本题主要考查众数的定义，即一组数据中，出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．
11.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，延长与交于点
平分，，
是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
12.矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_厘米．
【答案】或
【解析】
【分析】
分∠ABE=30°和∠AEB=30°两种情况求解即可．
【详解】当∠ABE=30°时，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan30°=厘米；
当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan60°=厘米；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
**三、解答题**
13.（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）1≤x＜3．
【解析】
【分析】
（1）先根据零次幂、绝对值和负整数次幂化简，然后计算即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再求不等式组的解集．
【详解】解：（1）
=
=3；
（2）
由①得：x≥1
由②得：x＜3
所以该不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点睛】本题考查了实数的运算和不等式组的解法，掌握实数的运算法则和解不等式的方法是解答本题的关键．
14.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可；
【详解】原式=，
=，
=
=，
把代入上式得，
原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键．
15.某校合唱团为了开展线上"百人合唱一首歌"的"云演出"活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 [ ]{.underline} ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
16.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得；
（2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可．
【详解】（1）如图1所示；
（2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5，再作图，如图2所示．
【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
【答案】（1）5元，3元；\
（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．
【解析】
【分析】
（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；
（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【详解】（1）设单独购买一支笔芯的价格为*x*元，一本笔记本的价格为*y*元，
有，解得；
故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）两人共有金额19+26+2=47元，
若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，
故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；
故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【点睛】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；
（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．
18.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；
（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．
【详解】（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．
19.为积极响应教育部"停课不停学"的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）
复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：
------ --- --- --- --- ---- -- ---
成绩
人数 1 3 3 8 15 6
------ --- --- --- --- ---- -- ---
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1） [ ]{.underline} ；
（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；
（3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 [ ]{.underline} 人，至多有 [ ]{.underline} 人；
（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．
【答案】（1）14；（2）折线图见详解，通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70以下，复学后线下学习的成绩大部分在70以上，说明线下上课的情况比线上好；（3）20，34；（4）320人
【解析】
【分析】
（1）根据图1求出本次测评的总人数，用总人数减去第二次测评各成绩段的人数可得出m的值；
（2）根据第一次和第二次测试的各分数段人数，可在图2中画出折线图，根据折线图可得出线上教学与线下教学的效果对比；
（3）由第二次测试的成绩统计表可判断出分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；
（4）样本估计总体，样本中数学成绩优秀的人数占测试人数的 ，因此估计总体800名的是成绩优秀的人数．
【详解】解：（1）由图1可知总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50人，
所以m=50－1－3－3－8－15－6=14人；
（2）
通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好；
（3）由统计表可知，至少14+6=20人，至多15+14+6－1=34人；
（4）800×（人）
答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人．
【点睛】本题考察了条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．（参考数据：，，，，）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）过点A作，，，根据已知条件分别求出AP和PM，再相加即可；
（2）根据已知条件可得，根据三角函数的定义进行判断求解即可得到结论；
【详解】（1）如图所示，过点A作，，，
则,
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴,
∴，
又∵,，
∴mm，
∴．
∴点到直线的距离是．
（2）如图所示，
根据题意可得，，，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴旋转的角度=．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确的构造直角三角形，利用三角函数的定义求解是解题的关键．
21.已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．
（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．
【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；
（2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA =PB=CA =CB，即可得到四边形APBC为菱形；
（3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2 r，再根据勾股定理可得AP=r、PD=r，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可．
【详解】解：（1）如图1，连接OA、OB
∵PA，PB为⊙O的切线
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴∠AOB+∠MPN=180°
∵∠MPN=80°
∴∠AOB=180°-∠MPN=100°
∴∠AOB=100°=∠ACB=50°；
（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由如下：
如图2：连接OA、OB
由（1）可知∠AOB+∠APB=180°
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=60°=∠APB
∵点C运动到PC距离最大
∴PC经过圆心
∵PA、PB为⊙O的切线
∴四边形APBC为轴对称图形
∵PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB
∴∠APB=∠ACB=60°
∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°
∴PA =PB=CA =CB
∴四边形APBC为菱形；
（3）∵⊙O的半径为r
∴OA=r，OP=2 r
∴AP=r，PD=r
∵∠AOP=60°
∴
∴C~阴影~．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
22.已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
-- ----- ---- ---- ---- --- ---- -----
... -2 -1 0 1 2 ...
... 0 -3 -3 ...
-- ----- ---- ---- ---- --- ---- -----
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 [ ]{.underline} ，对称轴为 [ ]{.underline} ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，，，之间的数量关系 [ ]{.underline} ．
【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）．
【解析】
【分析】
（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；
（2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值；
（3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；
（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．
【详解】（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上；
由表可知：；，可知抛物线的对称轴为：
故答案为：上，
（2）由表可知：代入点得
，解得
∴抛物线的表达式为：
当时，
当时，
（3）作图如下：
OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线
（4）如图所示：可得
【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键．
23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的"由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题"进行了以下探究：
类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 [ ]{.underline} ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形面积．
【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题目已知△*ABD*、△*ACE*、△*BCF*、△*ABC*均为直角三角形，又因为，则有∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；
（2）在△*ABD*、△*ACE*、△*BCF*中，，，可以得到∽∽，利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系；
（3）将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过点*A*作*AHBP*于点*H*，连接*PD*，*BD*，由此可知，，即可计算出，根据△*ABP*∽△*EDP*∽△*CBD*，从而有，由（2）结论有，最后即可计算出四边形*ABCD*的面积．
【详解】（1）∵△*ABC*是直角三角形，
∴，
∵△*ABD*、△*ACE*、△*BCF*均为直角三角形，且，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（2）成立，理由如下：
∵△*ABC*是直角三角形，
∴，
∵在△*ABD*、△*ACE*、△*BCF*中，，，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（3）过点*A*作*AHBP*于点*H*，连接*PD*，*BD*，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴*PH*=*AH*=，
∴，，
∴，
∵，ED=2，
∴，，
∴，
∵，
∴△*ABP*∽△*EDP*，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴△*ABP*∽△*EDP*∽△*CBD*
∴
故最后答案为．
【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键．
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**往年自主招生试题分类汇编及答案10：创新与综合题**
**一、选择题。**
1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是
----- ----- ----- -----
A.1 B.2 C.3 D.4
----- ----- ----- -----
【答案】B
【解析】{width="4.979166666666667in" height="0.3958333333333333in"}
{width="2.3645833333333335in" height="0.46875in"}
2．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为{width="0.13541666666666666in" height="0.4375in"}{width="0.13541666666666666in" height="0.4375in"}的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σ^k^表示连续做k次σ的变换,则στσ^2^τσ^3^τσ^4^是
-------- -------- --------- ---------
A.σ^4^ B.σ^5^ C.σ^2^τ D.τσ^2^
-------- -------- --------- ---------
【答案】D
【解析】{width="4.947916666666667in" height="0.2604166666666667in"}
{width="5.427083333333333in" height="0.9479166666666666in"}
**二、解答题。**
3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤\[tan A\]+\[tan B\]+\[tan C\]的非直角三角形.
【解析】{width="3.125in" height="0.23958333333333334in"}
{width="4.0in" height="1.4791666666666667in"}
若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,
a+b+c=abc化为{width="0.125in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.125in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=1,
而1={width="0.125in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.125in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.11458333333333333in" height="0.2708333333333333in"}≤{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}{width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}={width="6.25e-2in" height="0.2708333333333333in"}{width="6.25e-2in" height="0.2708333333333333in"},显然不成立.
∴三角形三内角的正切值分别为1,2,3.
即满足三内角的正切值分别为1,2,3的三角形,即为所求
4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?
{width="1.6041666666666667in" height="0.90625in"}
【解析】1.首先设六个村庄到达公路的距离之和为S~0~,车站P到六个村庄的距离之和为S,下面我们根据车站所建的位置来讨论它到六个村庄的距离之和.
(1)建在A、B之间(包括端点A),则
S=AP+2PB+PC+PD+PE+S~0~=AE+BC+BD+S~0~+4PB.
(2)建在B、C之间(包括两端点B、C),则
S=PA+2PB+PC+PD+PE+S~0~=AE+BC+BD+S~0~.
(3)建在C、D之间(包括端点D),则
S=PA+2PB+PC+PD+PE+S~0~=AE+BC+BD+S~0~+2PC.
(4)建在D、E之间(包括端点E),则
S=PA+2PB+PC+PD+PE+S~0~=AE+BC+BD+S~0~+2PC+2PD.
(5)建在A的左侧或E的右侧,则S均比情况(2)中的大.
综合以上各种情况,我们可以发现:当车站建在B、C之间(包括端点B、C)时最合适.
{width="5.385416666666667in" height="1.28125in"}
5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?
【解析】
{width="5.239583333333333in" height="0.2916666666666667in"}
{width="5.427083333333333in" height="2.6979166666666665in"}
币.于是由结论①可知A可获胜.
③对于4个位点线段的情况,A只要选择8枚硬币,不妨设点P为P~1~,P~2~,P~3~三点中的一点,并设点P~4~处有硬币S枚,则点P~4~处的硬币尽可能移到点P~3~处后,点P~1~,P~2~与P~3~处共有:8−S+\[{width="6.25e-2in" height="0.2708333333333333in"}{width="6.25e-2in" height="0.2708333333333333in"}\]≥4
{width="5.34375in" height="1.0208333333333333in"}
{width="5.354166666666667in" height="2.6979166666666665in"}
{width="5.385416666666667in" height="0.23958333333333334in"}
{width="3.9270833333333335in" height="0.5520833333333334in"}
②左半环内有7枚硬币.
a.若这7枚硬币全在点P~7~处,则看右半环内的4枚硬币,若点P~1~处有2枚,则将其移动到点P~7~处后,点P~7~处就有8枚硬币,就能保证通过左半环的通路移动硬币,最终让点P处有硬币;若点P~1~处仅有1枚或没有硬币,则可将点P~7~处的硬币移动3枚到点P~1~处,再将点P~1~处的硬币移动到点P~2~处后,点P~2~与点P~3~处的硬币就不少于4枚.这样,通过右半环的通路,最终可将至少1枚硬币移动到点P~4~处.
b.若这7枚硬币不全在点P~7~处,则将点P~7~处的硬币移到点P~6~处后,在点P~5~与点P~6~两处的硬币就不少于4枚.于是通过左半环的通路,最终也可保证有硬币移动到点P~4~处.
③左半环有6枚硬币,则右半环就有5枚硬币.
a.左半环内的6枚硬币全在点P~7~处,将它们移动到点P~1~处后,右半环内就有了8枚硬币,则通过右半环的通路,可最终保证至少移动1枚硬币到点P~4~处.
b.左半环内的6枚硬币,点P~7~处有5枚,则再看点P~1~处,若点P~1~处的硬币数不足2枚,则在点P~2~与点P~3~处就有4枚硬币,则从右半环的通路,就能移动硬币到点P~4~;若点P~1~处的硬币数有2枚或2枚以上,则至少可从点P~1~处移动1枚硬币到点P~7~处.这样,点P~7~处就有6枚硬币,于是可移3枚到点P~6~处.这样点P~5~与点P~6~处就有4枚硬币,通过左半环可移动硬币到点P~4~处.
c.左半环内的6枚硬币,点P~7~处有4枚或不足4枚,则在点P~6~与点P~5~处就有2枚或2枚以上,则将点P~7~处的硬币移动到点P~6~处以后,在点P~6~与点P~5~处的硬币数就不少于4枚,于是通过左半环可移动硬币到点P~4~处.
④若左半环内的硬币数不足6枚,则右半环内的硬币就在6枚或6枚以上,则对右半环内硬币的分布情况进行相同的讨论,亦可发现必可将硬币移动到点P~4~处.
{width="4.166666666666667in" height="0.23958333333333334in"}
6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?
【解析】{width="5.09375in" height="0.2708333333333333in"}
{width="5.208333333333333in" height="1.2395833333333333in"}
{width="5.15625in" height="0.25in"}
{width="5.177083333333333in" height="2.34375in"}
各自的前4名,共8匹马进行一场比赛.这8匹马中的前4名,就是A组与B组32匹马中的前4名;接下来,又在A组与B组中分别扣除32匹马中的前4名后,再分别按照A组与B组中的排名,再各取4匹马,这8匹马进行一场比赛,它们中的前4名,就是A组与B组32匹马中的第5名到第8名;重复上述过程,又可分别确定第9名到第12名;......;最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就能确定第25名到第32名的排名.这样进行了7场比赛,就将A组与B组中的32匹马进行了排名.
同理进行7场比赛,又可将C组与D组中的32匹马进行排名.这样第三步共进行14场比赛.
第四步:要来完成AB组的32匹马与CD组的32匹马(它们各自内部的排名已经完成)共计64匹马的排名.
采用第三步中的方法,每次分别选择AB组与CD组中留下的前4名进行一场比赛,都能确定其中4匹马在总体中的排名,这样14场比赛后,就确定了前56匹马的排名,最后留下的8匹马,只需进行一场比赛,就确定了第57名到第64名的排名.
因此,只需15场比赛就能完成这两大组64匹马的排名.
综观以上四个步骤,一共进行:8+12+14+15=49(场).所以,可以在50场比赛内完成排名.
7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?
【解析】由题意知共有200件货物.设a~1~≤a~2~≤...≤a~99~≤a~100~,b~1~≥b~2~≥...≥b~99~≥b~100~,令a~i~+b~i~=1,a~i~≥b~i~,则将它们按如下顺序排列:a~1~,a~2~,b~1~,a~3~,b~2~,a~4~,b~3~,...,a~99~,b~98~,a~100~,b~99~,b~100~,则a~1~+a~2~\>1,a~2~+b~1~\>1,b~1~+a~3~\>1,...,a~100~+b~99~\>1,{width="0.20833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.20833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}+{width="0.2708333333333333in" height="0.21875in"}{width="0.2708333333333333in" height="0.21875in"}\<1,a~1~到a~100~,b~1~到b~98~各在一个箱中,b~99~,b~100~在一个箱子中,则在最坏情况下需要199个箱子.换个角度考虑,无论200件货物如何排列,体积最小的货物总能与它前面的或后面的货物合装进一个集装箱的,故有199个集装箱就一定能将200件货物全部装下.
8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}+{width="0.1875in" height="0.21875in"}{width="0.1875in" height="0.21875in"}是其一根.
【解析】设x={width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}+{width="0.1875in" height="0.1875in"}{width="0.1875in" height="0.1875in"},则(x{width="0.28125in" height="0.1875in"}{width="0.28125in" height="0.1875in"})^3^=3,即x^3^−3x^2^·{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}+3x·2−2{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.1875in"}=3,
∴x^3^+6x−3=(3x^2^+2)·{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"},∴(x^3^+6x−3)^2^=2·(3x^2^+2)^2^,整理得:x^6^−6x^4^−6x^3^+12x^2^−36x+1=0,则f(x)=x^6^−6x^4^−6x^3^+12x^2^−36x+1即为所求的一个整系数多项式.
9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?
【解析】首先,由题意可知:当我们锯了若干次之后,产生若干根棒,它们中有长度相等与仅差一个单位的棒(例如:7,8,9;6,6,7;5,5,6,6等),这些棒除了2k−2,2k−1,2k与2k−1,2k−1,2k这两种情况,其他无论锯开哪一根,均不能符合最长的一根严格小于最短一根的2倍,有了这样的认识,我们就可以用枚举法来解本题了.
(1)30=11+19=11+7+12=11+7+6+6=5+6+7+6+6,
{width="4.354166666666667in" height="5.28125in"}
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**2020年河南省普通高中招生考试试卷**
**数 学**
**考生须知：**
**1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．**
**2．答题前，考生先将自己的"姓名"、"考号"、"考场"、"座位号"在答题卡上填写清楚，将"条形码"准确粘贴在条形码区域内．**
**3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效．**
**4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．**
**5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．**
**一、选择题(每小题3分 ，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．**
1\. 2的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】2的相反数是-2，\
故选D．
2.如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断．
【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意；
C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意；
D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键．
3.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是（ ）
A. 中央电视台《开学第\--课》 的收视率
B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数
C. 即将发射的气象卫星的零部件质量
D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程
【答案】C
【解析】
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【详解】A、中央电视台《开学第\--课》 的收视率适合采用抽样调查方式，故不符合题意；
B、某城市居民6月份人均网上购物的次数适合采用抽样调查方式，故不符合题意；
C、即将发射的气象卫星的零部件质量适合采用全面调查方式，故符合题意；
D、某品牌新能源汽车的最大续航里程适合采用抽样调查方式，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.如图，，若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，∵，
∴∠1+∠3=180º，
∵∠1=70º，
∴∴∠3=180º-70º=110º，
∵，
∴∠2=∠3=110º，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
5.电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意及幂的运算法则即可求解．
【详解】依题意得=
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
6.若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，\
∴，，，
∵，
∴，\
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
7.定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
8.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元
即2019年我国快递业务收入为亿元，
∴可列方程：，
故选C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．
9.如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】解：由题意知：
四边形为正方形，
如图，当落在上时，
由
故选
【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
10.如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．
【详解】连接BD交AC于O，
由作图过程知，AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DAC=60º，
∵AB=BC,AD=CD，
∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，
在Rt△AOB中，
∴BO=AB·sin30º=，
AO=AB·cos30º=，AC=2AO=3，
在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60º，
∴DO=AD·sin60º=，
∴=，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．
**二、填空题：（每题3分，共15分）**
11.请写出一个大于1且小于2的无理数： [ ]{.underline} ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】
由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【详解】大于1且小于2的无理数可以是等，
故答案为：（答案不唯一）．
考点：1.开放型；2.估算无理数的大小．
12.已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x＞a．
【解析】
【分析】
先根据数轴确定a，b大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．
【详解】∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【点睛】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据"大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）"得出不等式组的解集是解答此题的关键．
13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次颜色相同的有4种情况，
∴两个数字都是正数的概率是,
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14.如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别P，R，R，与相交于I，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴四边形AEPD是矩形，
∴，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴，
，，
∵点G是EC的中点，
是的中位线，
，
同理可求：，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP=FC，HI=HR=PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴，
∴
是等腰直角三角形，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
15.如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
**三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)**
16.先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
【详解】原式==，
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
17.为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋，与之相差大于为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
\[收集数据\]从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取袋，测得实际质量(单位：)
如下：
甲：
乙：
\[整理数据\]整理以上数据，得到每袋质量的频数分布表．
\[分析数据\]根据以上数据，得到以下统计量．
根据以上信息，回答下列问题：
表格中的 [ ]{.underline} [ ]{.underline}
综合上表中统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．
【答案】（1），．（2）选择乙分装机，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）把乙的数据从小到大进行排序，选出10、11两项，求出他们的平均数即为乙组数据的中位数；由题可得合格产品的范围是，根据这个范围，选出不合格的产品，除以样本总量就可得到结果；
（2）根据方差的意义判断即可；
【详解】（1）把乙组数据从下到大排序为：
，可得中位数=；
根据已知条件可得出产品合格的范围是，甲生产的产品有3袋不合格，故不合格率为．
故，．
（2）选择乙分装机；根据平均数相同，中位数乙跟接近标准适质量，方差的意义可知：方差越小，数据越稳定，由于，并且乙的不合格率要低于甲，综上则应选取乙分装机．
【点睛】本题主要考查了根据图标数据进行中位数的求解，准确理解表中各项数据是解题的关键．
18.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，
求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据： )；
"景点简介"显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值
【解析】
【分析】
（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；
（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，
设AD的长为xm，
∵AE⊥ME，BC∥MN，
∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，
∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，
由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，
∴四边形CNED为矩形，
∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，
解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，
答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，
减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19.暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为(元) ，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
【答案】（1）k~1~=15，b=30；k~1~=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）打折前的每次健身费用为25元，k~2~=20；
（3）方案一所需费用更少，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
【详解】解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k~1~=15，b=30，
k~1~=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k~2~表示每次健身按八折优惠的费用，故k~2~=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵150\<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键．
20.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而"利用尺规作图三等分一个任意角"曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具\-\-\-\-\-\-\--三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直点 足够长．
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，并写出"证明"过程．
已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， [ ]{.underline}
求证： [ ]{.underline}
【答案】[在上，过点，]{.underline} [为半圆的切线，切点为；EB，EO为∠MEN的三等分线．]{.underline}证明见解析．
【解析】
【分析】
如图，连接OF．则∠OFE=90°，只要证明，，即可解决问题；
【详解】已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点， [ ]{.underline} [在上，过点，为半圆的切线，切点为．]{.underline}
求证： [EB，EO为∠MEN的三等分线．]{.underline}
．
证明：如图，连接OF．则∠OFE=90°，
∵EB⊥AC，EB与半圆相切于点B，
∴∠ABE=∠OBE=90°，
∵BA=BO．EB=EB，
∴∠AEB=∠BEO，
∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，
∴，
∴∠OEB=∠OEF，
∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，
∴EB，EO为∠MEN的三等分线．
故答案为：[在上，过点，为半圆的切线，切点为．]{.underline}
[EB，EO为∠MEN]{.underline}[三等分线．]{.underline}
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21.如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.
【解析】
【分析】
（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c^2^+2c+c=0，
解得c~1~=0（舍去），c~2~=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）^2^+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
【点睛】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．
22.小亮在学习中遇到这样一个问题：
+----------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． |
| |
|  |
+----------------------------------------------------------------------------------------------------+
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
操作中发现：
①\"当点为弧的中点时， \"．则上中的值是 [ ]{.underline}
②\"线段的长度无需测量即可得到\"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．
【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；
【解析】
【分析】
（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
【详解】解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：
（3）由（1）知，
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．
23.将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 [ ]{.underline} ，连接，可求出的值为 [ ；]{.underline}
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
（2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴为等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
【点睛】本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键．
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**2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．（5分）复数=（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（5分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~5~=5，S~5~=15，则数列的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
10．（5分）已知函数y=x^3^﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}．
15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为[ ]{.underline}．
16．（5分）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA~1~=∠CAA~1~=60°，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为[ ]{.underline}．
**三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈\[0，π\]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
22．（12分）函数f（x）=x^2^﹣2x﹣3，定义数列{ x~n~}如下：x~1~=2，x~n+1~是过两点P（4，5），Q~n~（ x~n~，f（ x~n~））的直线PQ~n~与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x~n~＜x~n+1~＜3；
（Ⅱ）求数列{ x~n~}的通项公式．
**2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．（5分）复数=（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．
【解答】解：=
=
=1+2i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．
【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，
∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，
验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，
故选：B．
【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．
3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．
【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且
∴c=2，a^2^=8
∴b^2^=a^2^﹣c^2^=4
∴椭圆的方程为
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．
4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=2，CC~1~=2，E为CC~1~的中点，则直线AC~1~与平面BED的距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C~1~A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可
【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC~1~A中，易证OE∥C~1~A，从而C~1~A∥平面BDE，
∴直线AC~1~与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
在三棱锥E﹣ABD中，V~E﹣ABD~=S~△ABD~×EC=××2×2×=
在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S~△EBD~=×2×=2
∴V~A﹣BDE~=×S~△EBD~×h=×2×h=
∴h=1
故选：D．
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题
5．（5分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~5~=5，S~5~=15，则数列的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a~1~，d，进而可求a~n~，代入可得==，裂项可求和
【解答】解：设等差数列的公差为d
由题意可得，
解方程可得，d=1，a~1~=1
由等差数列的通项公式可得，a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n
∴==
=1﹣=
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】9Y：平面向量的综合题．菁优网版权所有
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC^2^=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求
【解答】解：∵•=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵\|\|=1，\|\|=2
∴AB=
由射影定理可得，AC^2^=AD•AB
∴
∴
∴==
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．
7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α
【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，①
∴（sinα﹣cosα）^2^=1﹣sin2α=，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=，②
∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）
=（﹣）×
=﹣．
故选：A．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．
8．（5分）已知F~1~、F~2~为双曲线C：x^2^﹣y^2^=2的左、右焦点，点P在C上，\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，则cos∠F~1~PF~2~=（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据双曲线的定义，结合\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|，利用余弦定理，即可求cos∠F~1~PF~2~的值．
【解答】解：将双曲线方程x^2^﹣y^2^=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，
设\|PF~1~\|=2\|PF~2~\|=2m，则根据双曲线的定义，\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=2a可得m=2，
∴\|PF~1~\|=4，\|PF~2~\|=2，
∵\|F~1~F~2~\|=2c=4，
∴cos∠F~1~PF~2~====．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
9．（5分）已知x=lnπ，y=log~5~2，，则（ ）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log~5~2＜，1＞z=＞，即可得到答案．
【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，
0＜log~5~2＜log~5~=，即y∈（0，）；
1=e^0^＞=＞=，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．
10．（5分）已知函数y=x^3^﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x^3^﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．
【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），
令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；
∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，
∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．
∵函数y=x^3^﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值等于0或极小值等于0．
∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，
∴c=﹣2或2．
故选：A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．
11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．
【解答】解：由题意，可按分步原理计数，
首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，
再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，
当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；
所以排列方法共有：×2×1×1=12种，
故选：A．
【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；16：压轴题．
【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．
【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，
可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为[ ﹣1 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小
结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小
由可得C（0，1），此时z=﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题
14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．
∵0≤x＜2π，
∴﹣≤x﹣＜，
∴y~max~=2，此时x﹣=，
∴x=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．
15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为[ 56 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数
【解答】解：由题意可得，
∴n=8
展开式的通项=
令8﹣2r=﹣2可得r=5
此时系数为=56
故答案为：56
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．
16．（5分）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA~1~=∠CAA~1~=60°，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值即可
【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，
则=，=，=
∵，
∴=（）•（）=﹣++﹣+
=﹣++=﹣1++1=1
\|\|===
\|\|===
∴cos＜，＞===
∴异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为
【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量
**三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C
【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）
∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1
∴sinAsinC=①
由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②
①②联立可得，
∵0＜C＜π
∴sinC=
a=2c即a＞c
【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，
设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）
∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）
∴•=﹣=0，•=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
取=（b，，0）
设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则
取=（1，﹣，）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=
∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）
∴cos＜，＞==
设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈\[0，\]，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°
【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题
19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（Ⅰ）记A~i~表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A~0~A+A~1~，根据P（A）=0.4，P（A~0~）=0.16，P（A~1~）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；
（Ⅱ）P（A~2~）=0.6^2^=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．
【解答】解：（Ⅰ）记A~i~表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；
B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A~0~A+A~1~
∵P（A）=0.4，P（A~0~）=0.16，P（A~1~）=2×0.6×0.4=0.48
∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；
（Ⅱ）P（A~2~）=0.6^2^=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3
P（ξ=0）=P（A~2~A）=0.36×0.4=0.144
P（ξ=2）=P（B）=0.352
P（ξ=3）=P（A~0~）=0.16×0.6=0.096
P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408
∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．
【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．
20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈\[0，π\]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f\'（x）=a﹣sinx，x∈\[0．π\]，sinx∈\[0，1\]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f\'（x）=a﹣sinx，x∈\[0，π\]，sinx∈\[0，1\]；
当a≤0时，f\'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f\'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当0＜a＜1时，由f\'（x）=0得x~1~=arcsina，x~2~=π﹣arcsina
当x∈\[0，x~1~\]时，sinx＜a，f\'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈\[x~1~，x~2~\]时，sinx＞a，f\'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈\[x~2~，π\]时，sinx＜a，f\'（x）＞0，f（x）单调递增；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．
令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣
当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0
∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），
当a≤时，有
①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②当时，=1+≤1+sinx
综上，a≤．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．
21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）^2^与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）设A（x~0~，（x~0~+1）^2^），根据y=（x+1）^2^，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；
（Ⅱ）设（t，（t+1）^2^）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）^2^=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t^2^+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x~0~，（x~0~+1）^2^），
∵y=（x+1）^2^，y′=2（x+1）
∴l的斜率为k=2（x~0~+1）
当x~0~=1时，不合题意，所以x~0~≠1
圆心M（1，），MA的斜率．
∵l⊥MA，∴2（x~0~+1）×=﹣1
∴x~0~=0，∴A（0，1），
∴r=\|MA\|=；
（Ⅱ）设（t，（t+1）^2^）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）^2^=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t^2^+1
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为
∴
∴t^2^（t^2^﹣4t﹣6）=0
∴t~0~=0，或t~1~=2+，t~2~=2﹣
抛物线C在点（t~i~，（t~i~+1）^2^）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y=2x+1①，y=2（t~1~+1）x﹣②，y=2（t~2~+1）x﹣③
②﹣③：x=
代入②可得：y=﹣1
∴D（2，﹣1），
∴D到l的距离为
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．
22．（12分）函数f（x）=x^2^﹣2x﹣3，定义数列{ x~n~}如下：x~1~=2，x~n+1~是过两点P（4，5），Q~n~（ x~n~，f（ x~n~））的直线PQ~n~与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x~n~＜x~n+1~＜3；
（Ⅱ）求数列{ x~n~}的通项公式．
【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x~1~=2，直线PQ~1~的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x~k~＜x~k+1~＜3，直线PQ~k+1~的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x~k~＜x~k+1~＜3，可以证明2≤x~k+1~＜x~k+2~＜3，从而结论成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b~n~=x~n~﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x~n~}的通项公式．
【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x~1~=2，直线PQ~1~的方程为
当y=0时，∴，∴2≤x~1~＜x~2~＜3；
②假设n=k时，结论成立，即2≤x~k~＜x~k+1~＜3，直线PQ~k+1~的方程为
当y=0时，∴
∵2≤x~k~＜x~k+1~＜3，∴
∴x~k+1~＜x~k+2~
∴2≤x~k+1~＜x~k+2~＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤x~n~＜x~n+1~＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
设b~n~=x~n~﹣3，∴
∴
∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列
∴
∴
∴．
【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．
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**2019年河北省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•河北）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•河北）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+
3．（3分）（2019•河北）如图，从点*C*观测点*D*的仰角是（ ）
> 
A．∠*DAB* B．∠*DCE* C．∠*DCA* D．∠*ADC*
4．（3分）（2019•河北）语句"*x*的与*x*的和不超过5"可以表示为（ ）
A．+*x*≤5 B．+*x*≥5 C．≤5 D．+*x*＝5
5．（3分）（2019•河北）如图，菱形*ABCD*中，∠*D*＝150°，则∠1＝（ ）
> 
A．30° B．25° C．20° D．15°
6．（3分）（2019•河北）小明总结了以下结论：
> ①*a*（*b*+*c*）＝*ab*+*ac*；
>
> ②*a*（*b*﹣*c*）＝*ab*﹣*ac*；
>
> ③（*b*﹣*c*）÷*a*＝*b*÷*a*﹣*c*÷*a*（*a*≠0）；
>
> ④*a*÷（*b*+*c*）＝*a*÷*b*+*a*÷*c*（*a*≠0）
>
> 其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）（2019•河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
> 
>
> 则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠*FEC* B．\@代表同位角
C．▲代表∠*EFC* D．※代表*AB*
8．（3分）（2019•河北）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（ ）
A．5×10^﹣4^ B．5×10^﹣5^ C．2×10^﹣4^ D．2×10^﹣5^
9．（3分）（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑*n*个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则*n*的最小值为（ ）
> 
A．10 B．6 C．3 D．2
10．（3分）（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2分）（2019•河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
> ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
>
> ②去图书馆收集学生借阅图书的记录
>
> ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
>
> ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
>
> 正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③ D．②→④→③→①
12．（2分）（2019•河北）如图，函数*y*＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
> 
A．点*M* B．点*N* C．点*P* D．点*Q*
13．（2分）（2019•河北）如图，若*x*为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
> 
A．段① B．段② C．段③ D．段④
14．（2分）（2019•河北）图2是图1中长方体的三视图，若用*S*表示面积，*S*~主~＝*x*^2^+2*x*，*S*~左~＝*x*^2^+*x*，则*S*~俯~＝（ ）
> 
A．*x*^2^+3*x*+2 B．*x*^2^+2 C．*x*^2^+2*x*+1 D．2*x*^2^+3*x*
15．（2分）（2019•河北）小刚在解关于*x*的方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0（*a*≠0）时，只抄对了*a*＝1，*b*＝4，解出其中一个根是*x*＝﹣1．他核对时发现所抄的*c*比原方程的*c*值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是*x*＝﹣1 D．有两个相等的实数根
16．（2分）（2019•河北）对于题目："如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数*n*．"甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长*x*，再取最小整数*n*．
> 甲：如图2，思路是当*x*为矩形对角线长时就可移转过去；结果取*n*＝13．
>
> 乙：如图3，思路是当*x*为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取*n*＝14．
>
> 丙：如图4，思路是当*x*为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取*n*＝13．
>
> 下列正确的是（ ）
>
> 
A．甲的思路错，他的*n*值对
B．乙的思路和他的*n*值都对
C．甲和丙的*n*值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
**二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）**
17．（3分）（2019•河北）若7^﹣2^×7^﹣1^×7^0^＝7*^p^*，则*p*的值为[ ]{.underline}．
18．（4分）（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
> 示例：即4+3＝7
>
> 则（1）用含*x*的式子表示*m*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）当*y*＝﹣2时，*n*的值为[ ]{.underline}．
>
> 
19．（4分）（2019•河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了*A*，*B*，*C*三地的坐标，数据如图（单位：*km*）．笔直铁路经过*A*，*B*两地．
> （1）*A*，*B*间的距离为[ ]{.underline}*km*；
>
> （2）计划修一条从*C*到铁路*AB*的最短公路*l*，并在*l*上建一个维修站*D*，使*D*到*A*，*C*的距离相等，则*C*，*D*间的距离为[ ]{.underline}*km*．
>
> 
**三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
20．（8分）（2019•河北）有个填写运算符号的游戏：在"1□2□6□9"中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
> （1）计算：1+2﹣6﹣9；
>
> （2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
>
> （3）在"1□2□6﹣9"的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
21．（9分）（2019•河北）已知：整式*A*＝（*n*^2^﹣1）^2^+（2*n*）^2^，整式*B*＞0．
> 尝试 化简整式*A*．
>
> 发现 *A*＝*B*^2^，求整式*B*．
>
> 联想 由上可知，*B*^2^＝（*n*^2^﹣1）^2^+（2*n*）^2^，当*n*＞1时，*n*^2^﹣1，2*n*，*B*为直角三角形的三边长，如图．填写下表中*B*的值：
---------------- ----------- ------ ---------------------
直角三角形三边 *n*^2^﹣1 2*n* *B*
勾股数组Ⅰ / 8 [ ]{.underline}
勾股数组Ⅱ 35 / [ ]{.underline}
---------------- ----------- ------ ---------------------
> 
22．（9分）（2019•河北）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知*P*（一次拿到8元球）＝．
> （1）求这4个球价格的众数；
>
> （2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
>
> ①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
>
> ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．
+------+---+---+---+
| 又拿 | | | |
| | | | |
| 先拿 | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
> 
23．（9分）（2019•河北）如图，△*ABC*和△*ADE*中，*AB*＝*AD*＝6，*BC*＝*DE*，∠*B*＝∠*D*＝30°，边*AD*与边*BC*交于点*P*（不与点*B*，*C*重合），点*B*，*E*在*AD*异侧，*I*为△*APC*的内心．
> （1）求证：∠*BAD*＝∠*CAE*；
>
> （2）设*AP*＝*x*，请用含*x*的式子表示*PD*，并求*PD*的最大值；
>
> （3）当*AB*⊥*AC*时，∠*AIC*的取值范围为*m*°＜∠*AIC*＜*n*°，分别直接写出*m*，*n*的值．
24．（10分）（2019•河北）长为300*m*的春游队伍，以*v*（*m*/*s*）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置*O*时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2*v*（*m*/*s*），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置*O*开始行进的时间为*t*（*s*），排头与*O*的距离为*S*~头~（*m*）．
> 
>
> （1）当*v*＝2时，解答：
>
> ①求*S*~头~与*t*的函数关系式（不写*t*的取值范围）；
>
> ②当甲赶到排头位置时，求*S*~头~的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置*O*的距离为*S*~甲~（*m*），求*S*~甲~与*t*的函数关系式（不写*t*的取值范围）
>
> （2）设甲这次往返队伍的总时间为*T*（*s*），求*T*与*v*的函数关系式（不写*v*的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
25．（10分）（2019•河北）如图1和2，▱*ABCD*中，*AB*＝3，*BC*＝15，tan∠*DAB*＝．点*P*为*AB*延长线上一点，过点*A*作⊙*O*切*CP*于点*P*，设*BP*＝*x*．
> （1）如图1，*x*为何值时，圆心*O*落在*AP*上？若此时⊙*O*交*AD*于点*E*，直接指出*PE*与*BC*的位置关系；
>
> （2）当*x*＝4时，如图2，⊙*O*与*AC*交于点*Q*，求∠*CAP*的度数，并通过计算比较弦*AP*与劣弧长度的大小；
>
> （3）当⊙*O*与线段*AD*只有一个公共点时，直接写出*x*的取值范围．
>
> 
26．（12分）（2019•河北）如图，若*b*是正数，直线*l*：*y*＝*b*与*y*轴交于点*A*；直线*a*：*y*＝*x*﹣*b*与*y*轴交于点*B*；抛物线*L*：*y*＝﹣*x*^2^+*bx*的顶点为*C*，且*L*与*x*轴右交点为*D*．
> （1）若*AB*＝8，求*b*的值，并求此时*L*的对称轴与*a*的交点坐标；
>
> （2）当点*C*在*l*下方时，求点*C*与*l*距离的最大值；
>
> （3）设*x*~0~≠0，点（*x*~0~，*y*~1~），（*x*~0~，*y*~2~），（*x*~0~，*y*~3~）分别在*l*，*a*和*L*上，且*y*~3~是*y*~1~，*y*~2~的平均数，求点（*x*~0~，0）与点*D*间的距离；
>
> （4）在*L*和*a*所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为"美点"，分别直接写出*b*＝2019和*b*＝2019.5时"美点"的个数．
>
> 
**2019年河北省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•河北）下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】多边形．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
>
> 【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
>
> 故选：*D*．
2．（3分）（2019•河北）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A．+3 B．﹣3 C．﹣ D．+
> 【考点】正数和负数．菁优网版权所有
>
> 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．"正"和"负"相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
>
> 【解答】解："正"和"负"相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•河北）如图，从点*C*观测点*D*的仰角是（ ）
> 
A．∠*DAB* B．∠*DCE* C．∠*DCA* D．∠*ADC*
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据仰角的定义进行解答便可．
>
> 【解答】解：∵从点*C*观测点*D*的视线是*CD*，水平线是*CE*，
>
> ∴从点*C*观测点*D*的仰角是∠*DCE*，
>
> 故选：*B*．
4．（3分）（2019•河北）语句"*x*的与*x*的和不超过5"可以表示为（ ）
A．+*x*≤5 B．+*x*≥5 C．≤5 D．+*x*＝5
> 【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．菁优网版权所有
>
> 【分析】*x*的即*x*，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．
>
> 【解答】解："*x*的与*x*的和不超过5"用不等式表示为*x*+*x*≤5．
>
> 故选：*A*．
5．（3分）（2019•河北）如图，菱形*ABCD*中，∠*D*＝150°，则∠1＝（ ）
> 
A．30° B．25° C．20° D．15°
> 【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由菱形的性质得出*AB*∥*CD*，∠*BAD*＝2∠1，求出∠*BAD*＝30°，即可得出∠1＝15°．
>
> 【解答】解：∵四边形*ABCD*是菱形，∠*D*＝150°，
>
> ∴*AB*∥*CD*，∠*BAD*＝2∠1，
>
> ∴∠*BAD*+∠*D*＝180°，
>
> ∴∠*BAD*＝180°﹣150°＝30°，
>
> ∴∠1＝15°；
>
> 故选：*D*．
6．（3分）（2019•河北）小明总结了以下结论：
> ①*a*（*b*+*c*）＝*ab*+*ac*；
>
> ②*a*（*b*﹣*c*）＝*ab*﹣*ac*；
>
> ③（*b*﹣*c*）÷*a*＝*b*÷*a*﹣*c*÷*a*（*a*≠0）；
>
> ④*a*÷（*b*+*c*）＝*a*÷*b*+*a*÷*c*（*a*≠0）
>
> 其中一定成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
> 【考点】单项式乘多项式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
>
> 【解答】解：①*a*（*b*+*c*）＝*ab*+*ac*，正确；
>
> ②*a*（*b*﹣*c*）＝*ab*﹣*ac*，正确；
>
> ③（*b*﹣*c*）÷*a*＝*b*÷*a*﹣*c*÷*a*（*a*≠0），正确；
>
> ④*a*÷（*b*+*c*）＝*a*÷*b*+*a*÷*c*（*a*≠0），错误，无法分解计算．
>
> 故选：*C*．
7．（3分）（2019•河北）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
> 
>
> 则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠*FEC* B．\@代表同位角
C．▲代表∠*EFC* D．※代表*AB*
> 【考点】平行线的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据图形可知※代表*CD*，即可判断*D*；根据三角形外角的性质可得◎代表∠*EFC*，即可判断*A*；利用等量代换得出▲代表∠*EFC*，即可判断*C*；根据图形已经内错角定义可知\@代表内错角．
>
> 【解答】证明：延长*BE*交*CD*于点*F*，
>
> 则∠*BEC*＝∠*EFC*+∠*C*（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
>
> 又∠*BEC*＝∠*B*+∠*C*，得∠*B*＝∠*EFC*．
>
> 故*AB*∥*CD*（内错角相等，两直线平行）．
>
> 故选：*C*．
8．（3分）（2019•河北）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（ ）
A．5×10^﹣4^ B．5×10^﹣5^ C．2×10^﹣4^ D．2×10^﹣5^
> 【考点】科学记数法---表示较小的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为*a*×10^﹣*n*^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
>
> 【解答】解：＝0.00002＝2×10^﹣5^．
>
> 故选：*D*．
9．（3分）（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑*n*个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则*n*的最小值为（ ）
> 
A．10 B．6 C．3 D．2
> 【考点】利用轴对称设计图案．菁优网版权所有
>
> 【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．
>
> 【解答】解：如图所示，*n*的最小值为3，
>
> 
>
> 故选：*C*．
10．（3分）（2019•河北）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】三角形的外接圆与外心；作图---基本作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
>
> 【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到*C*选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
>
> 故选：*C*．
11．（2分）（2019•河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
> ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
>
> ②去图书馆收集学生借阅图书的记录
>
> ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
>
> ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
>
> 正确统计步骤的顺序是（ ）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②一④→③ D．②→④→③→①
> 【考点】调查收集数据的过程与方法；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
>
> 【解答】解：由题意可得，
>
> 正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
>
> 故选：*D*．
12．（2分）（2019•河北）如图，函数*y*＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
> 
A．点*M* B．点*N* C．点*P* D．点*Q*
> 【考点】反比例函数的图象．菁优网版权所有
>
> 【分析】由函数解析式可知函数关于*y*轴对称，即可求解；
>
> 【解答】解：由已知可知函数*y*＝关于*y*轴对称，
>
> 所以点*M*是原点；
>
> 故选：*A*．
13．（2分）（2019•河北）如图，若*x*为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
> 
A．段① B．段② C．段③ D．段④
> 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
>
> 【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据*x*为正整数，从所给图中可得正确答案．
>
> 【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
>
> 又∵*x*为正整数，
>
> ∴≤*x*＜1
>
> 故表示﹣的值的点落在②
>
> 故选：*B*．
14．（2分）（2019•河北）图2是图1中长方体的三视图，若用*S*表示面积，*S*~主~＝*x*^2^+2*x*，*S*~左~＝*x*^2^+*x*，则*S*~俯~＝（ ）
> 
A．*x*^2^+3*x*+2 B．*x*^2^+2 C．*x*^2^+2*x*+1 D．2*x*^2^+3*x*
> 【考点】几何体的表面积；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
>
> 【分析】由主视图和左视图的宽为*x*，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
>
> 【解答】解：∵*S*~主~＝*x*^2^+2*x*＝*x*（*x*+2），*S*~左~＝*x*^2^+*x*＝*x*（*x*+1），
>
> ∴俯视图的长为*x*+2，宽为*x*+1，
>
> 则俯视图的面积*S*~俯~＝（*x*+2）（*x*+1）＝*x*^2^+3*x*+2，
>
> 故选：*A*．
15．（2分）（2019•河北）小刚在解关于*x*的方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0（*a*≠0）时，只抄对了*a*＝1，*b*＝4，解出其中一个根是*x*＝﹣1．他核对时发现所抄的*c*比原方程的*c*值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是*x*＝﹣1 D．有两个相等的实数根
> 【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接把已知数据代入进而得出*c*的值，再解方程求出答案．
>
> 【解答】解：∵小刚在解关于*x*的方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0（*a*≠0）时，只抄对了*a*＝1，*b*＝4，解出其中一个根是*x*＝﹣1，
>
> ∴（﹣1）^2^﹣4+*c*＝0，
>
> 解得：*c*＝3，
>
> 故原方程中*c*＝5，
>
> 则*b*^2^﹣4*ac*＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
>
> 则原方程的根的情况是不存在实数根．
>
> 故选：*A*．
16．（2分）（2019•河北）对于题目："如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数*n*．"甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长*x*，再取最小整数*n*．
> 甲：如图2，思路是当*x*为矩形对角线长时就可移转过去；结果取*n*＝13．
>
> 乙：如图3，思路是当*x*为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取*n*＝14．
>
> 丙：如图4，思路是当*x*为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取*n*＝13．
>
> 下列正确的是（ ）
>
> 
A．甲的思路错，他的*n*值对
B．乙的思路和他的*n*值都对
C．甲和丙的*n*值都对
D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
> 【考点】矩形的性质；正方形的性质；平移的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
>
> 【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为*n*＝14；
>
> 乙的思路与计算都正确；
>
> 丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；
>
> 故选：*B*．
**二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）**
17．（3分）（2019•河北）若7^﹣2^×7^﹣1^×7^0^＝7*^p^*，则*p*的值为[ ﹣3 ]{.underline}．
> 【考点】零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
>
> 【解答】解：∵7^﹣2^×7^﹣1^×7^0^＝7*^p^*，
>
> ∴﹣2﹣1+0＝*p*，
>
> 解得：*p*＝﹣3．
>
> 故答案为：﹣3．
18．（4分）（2019•河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
> 示例：即4+3＝7
>
> 则（1）用含*x*的式子表示*m*＝[ 3*x* ]{.underline}；
>
> （2）当*y*＝﹣2时，*n*的值为[ 1 ]{.underline}．
>
> 
>
> 【考点】列代数式；代数式求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据约定的方法即可求出*m*；
>
> （2）根据约定的方法即可求出*n*．
>
> 【解答】解：（1）根据约定的方法可得：
>
> *m*＝*x*+2*x*＝3*x*；
>
> 故答案为：3*x*；
>
> （2）根据约定的方法即可求出*n*
>
> *x*+2*x*+2*x*+3＝*m*+*n*＝*y*．
>
> 当*y*＝﹣2时，5*x*+3＝﹣2．
>
> 解得*x*＝﹣1．
>
> ∴*n*＝2*x*+3＝﹣2+3＝1．
>
> 故答案为：1．
19．（4分）（2019•河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了*A*，*B*，*C*三地的坐标，数据如图（单位：*km*）．笔直铁路经过*A*，*B*两地．
> （1）*A*，*B*间的距离为[ 20 ]{.underline}*km*；
>
> （2）计划修一条从*C*到铁路*AB*的最短公路*l*，并在*l*上建一个维修站*D*，使*D*到*A*，*C*的距离相等，则*C*，*D*间的距离为[ 13 ]{.underline}*km*．
>
> 
>
> 【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出*AB*的长度；
>
> （2）根据*A*、*B*、*C*三点的坐标可求出*CE*与*AE*的长度，设*CD*＝*x*，根据勾股定理即可求出*x*的值．
>
> 【解答】解：（1）由*A*、*B*两点的纵坐标相同可知：*AB*∥*x*轴，
>
> ∴*AB*＝12﹣（﹣8）＝20；
>
> （2）过点*C*作*l*⊥*AB*于点*E*，连接*AC*，作*AC*的垂直平分线交直线*l*于点*D*，
>
> 由（1）可知：*CE*＝1﹣（﹣17）＝18，
>
> *AE*＝12，
>
> 设*CD*＝*x*，
>
> ∴*AD*＝*CD*＝*x*，
>
> 由勾股定理可知：*x*^2^＝（18﹣*x*）^2^+12^2^，
>
> ∴解得：*x*＝13，
>
> ∴*CD*＝13，
>
> 故答案为：（1）20；（2）13；
>
> 
**三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
20．（8分）（2019•河北）有个填写运算符号的游戏：在"1□2□6□9"中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
> （1）计算：1+2﹣6﹣9；
>
> （2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
>
> （3）在"1□2□6﹣9"的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
>
> 【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
>
> （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
>
> （3）先写出结果，然后说明理由即可．
>
> 【解答】解：（1）1+2﹣6﹣9
>
> ＝3﹣6﹣9
>
> ＝﹣3﹣9
>
> ＝﹣12；
>
> （2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
>
> ∴1××6□9＝﹣6，
>
> ∴3□9＝﹣6，
>
> ∴□内的符号是"﹣"；
>
> （3）这个最小数是﹣20，
>
> 理由：∵在"1□2□6﹣9"的□内填入符号后，使计算所得数最小，
>
> ∴1□2□6的结果是负数即可，
>
> ∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
>
> ∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
>
> ∴这个最小数是﹣20．
21．（9分）（2019•河北）已知：整式*A*＝（*n*^2^﹣1）^2^+（2*n*）^2^，整式*B*＞0．
> 尝试 化简整式*A*．
>
> 发现 *A*＝*B*^2^，求整式*B*．
>
> 联想 由上可知，*B*^2^＝（*n*^2^﹣1）^2^+（2*n*）^2^，当*n*＞1时，*n*^2^﹣1，2*n*，*B*为直角三角形的三边长，如图．填写下表中*B*的值：
---------------- ----------- ------ ----------------------
直角三角形三边 *n*^2^﹣1 2*n* *B*
勾股数组Ⅰ / 8 [ 17 ]{.underline}
勾股数组Ⅱ 35 / [ 37 ]{.underline}
---------------- ----------- ------ ----------------------
> 
>
> 【考点】幂的乘方与积的乘方；勾股数．菁优网版权所有
>
> 【分析】先根据整式的混合运算法则求出*A*，进而求出*B*，再把*n*的值代入即可解答．
>
> 【解答】解：*A*＝（*n*^2^﹣1）^2^+（2*n*）^2^＝*n*^4^﹣2*n*^2^+1+4*n*^2^＝*n*^4^+2*n*^2^+1＝（*n*^2^+1）^2^，
>
> ∵*A*＝*B*^2^，*B*＞0，
>
> ∴*B*＝*n*^2^+1，
>
> 当2*n*＝8时，*n*＝4，∴*n*^2^+1＝4^2^+1＝17；
>
> 当*n*^2^﹣1＝35时，*n*^2^+1＝37．
>
> 故答案为：17；37
22．（9分）（2019•河北）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知*P*（一次拿到8元球）＝．
> （1）求这4个球价格的众数；
>
> （2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
>
> ①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
>
> ②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．
+------+---+---+---+
| 又拿 | | | |
| | | | |
| 先拿 | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
| | | | |
+------+---+---+---+
> 
>
> 【考点】分式方程的应用；中位数；众数；概率公式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案；
>
> （2）①由中位数的定义即可得出答案；
>
> ②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案．
>
> 【解答】解：（1）∵*P*（一次拿到8元球）＝，
>
> ∴8元球的个数为4×＝2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，
>
> ∴这4个球价格的众数为8元；
>
> （2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；理由如下：
>
> 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，
>
> ∴原来4个球价格的中位数为＝8（元），
>
> 所剩的3个球价格为8，8，9，
>
> ∴所剩的3个球价格的中位数为8元，
>
> ∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同；
>
> ②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，
>
> ∴乙组两次都拿到8元球的概率为．
>
> 
23．（9分）（2019•河北）如图，△*ABC*和△*ADE*中，*AB*＝*AD*＝6，*BC*＝*DE*，∠*B*＝∠*D*＝30°，边*AD*与边*BC*交于点*P*（不与点*B*，*C*重合），点*B*，*E*在*AD*异侧，*I*为△*APC*的内心．
> （1）求证：∠*BAD*＝∠*CAE*；
>
> （2）设*AP*＝*x*，请用含*x*的式子表示*PD*，并求*PD*的最大值；
>
> （3）当*AB*⊥*AC*时，∠*AIC*的取值范围为*m*°＜∠*AIC*＜*n*°，分别直接写出*m*，*n*的值．
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由条件易证△*ABC*≌△*ADE*，得∠*BAC*＝∠*DAE*，∴∠*BAD*＝∠*CAE*．
>
> （2）*PD*＝*AD*﹣*AP*＝6﹣*x*，∵点*P*在线段*BC*上且不与*B*、*C*重合，∴*AP*的最小值即*AP*⊥*BC*时*AP*的长度，此时*PD*可得最大值．
>
> （3）*I*为△*APC*的内心，即*I*为△*APC*角平分线的交点，应用"三角形内角和等于180°"及角平分线定义即可表示出∠*AIC*，从而得到*m*，*n*的值．
>
> 【解答】解：（1）在△*ABC*和△*ADE*中，（如图1）
>
> 
>
> ∴△*ABC*≌△*ADE*（*SAS*）
>
> ∴∠*BAC*＝∠*DAE*
>
> 即∠*BAD*+∠*DAC*＝∠*DAC*+∠*CAE*
>
> ∴∠*BAD*＝∠*CAE*．
>
> （2）∵*AD*＝6，*AP*＝*x*，
>
> ∴*PD*＝6﹣*x*
>
> 当*AD*⊥*BC*时，*AP*＝*AB*＝3最小，即*PD*＝6﹣3＝3为*PD*的最大值．
>
> （3）如图2，设∠*BAP*＝α，则∠*APC*＝α+30°，
>
> ∵*AB*⊥*AC*
>
> ∴∠*BAC*＝90°，∠*PCA*＝60°，∠*PAC*＝90°﹣α，
>
> ∵*I*为△*APC*的内心
>
> ∴*AI*、*CI*分别平分∠*PAC*，∠*PCA*，
>
> ∴∠*IAC*＝∠*PAC*，∠*ICA*＝∠*PCA*
>
> ∴∠*AIC*＝180°﹣（∠*IAC*+∠*ICA*）
>
> ＝180°﹣（∠*PAC*+∠*PCA*）
>
> ＝180°﹣（90°﹣α+60°）
>
> ＝α+105°
>
> ∵0＜α＜90°，
>
> ∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠*AIC*＜150°，
>
> ∴*m*＝105，*n*＝150．
>
> 
24．（10分）（2019•河北）长为300*m*的春游队伍，以*v*（*m*/*s*）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置*O*时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2*v*（*m*/*s*），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置*O*开始行进的时间为*t*（*s*），排头与*O*的距离为*S*~头~（*m*）．
> 
>
> （1）当*v*＝2时，解答：
>
> ①求*S*~头~与*t*的函数关系式（不写*t*的取值范围）；
>
> ②当甲赶到排头位置时，求*S*~头~的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置*O*的距离为*S*~甲~（*m*），求*S*~甲~与*t*的函数关系式（不写*t*的取值范围）
>
> （2）设甲这次往返队伍的总时间为*T*（*s*），求*T*与*v*的函数关系式（不写*v*的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
>
> 【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）①排头与*O*的距离为*S*~头~（*m*）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是*t*（*s*），速度是2*m*/*s*，可以求出*S*~头~与*t*的函数关系式；
>
> ②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求*S*即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置*O*的距离为*S*~甲~（*m*）是在*S*的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间*t*减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求*S*~甲~与*t*的函数关系式；
>
> （2）甲这次往返队伍的总时间为*T*（*s*），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．
>
> 【解答】解：（1）①排尾从位置*O*开始行进的时间为*t*（*s*），则排头也离开原排头*t*（*s*），
>
> ∴*S*~头~＝2*t*+300
>
> ②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2*v*﹣*v*）＝300÷*v*＝300÷2＝150 *s*，此时*S*~头~＝2*t*+300＝600 *m*
>
> 甲返回时间为：（*t*﹣150）*s*
>
> ∴*S*~甲~＝*S*~头~﹣*S*~甲回~＝2×150+300﹣4（*t*﹣150）＝﹣4*t*+1200；
>
> 因此，*S*~头~与*t*的函数关系式为*S*~头~＝2*t*+300，当甲赶到排头位置时，求*S*的值为600*m*，在甲从排头返回到排尾过程中，*S*~甲~与*t*的函数关系式为*S*~甲~＝﹣4*t*+1200．
>
> （2）*T*＝*t*~追及~+*t*~返回~＝+＝，
>
> 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：*v*×﹣＝400；
>
> 因此*T*与*v*的函数关系式为：*T*＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400*m*．
>
> 
25．（10分）（2019•河北）如图1和2，▱*ABCD*中，*AB*＝3，*BC*＝15，tan∠*DAB*＝．点*P*为*AB*延长线上一点，过点*A*作⊙*O*切*CP*于点*P*，设*BP*＝*x*．
> （1）如图1，*x*为何值时，圆心*O*落在*AP*上？若此时⊙*O*交*AD*于点*E*，直接指出*PE*与*BC*的位置关系；
>
> （2）当*x*＝4时，如图2，⊙*O*与*AC*交于点*Q*，求∠*CAP*的度数，并通过计算比较弦*AP*与劣弧长度的大小；
>
> （3）当⊙*O*与线段*AD*只有一个公共点时，直接写出*x*的取值范围．
>
> 
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由三角函数定义知：Rt△*PBC*中，＝tan∠*PBC*＝tan∠*DAB*＝，设*CP*＝4*k*，*BP*＝3*k*，由勾股定理可求得*BP*，根据"直径所对的圆周角是直角"可得*PE*⊥*AD*，由此可得*PE*⊥*BC*；
>
> （2）作*CG*⊥*AB*，运用勾股定理和三角函数可求*CG*和*AG*，再应用三角函数求∠*CAP*，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与*AP*长度的大小；
>
> （3）当⊙*O*与线段*AD*只有一个公共点时，⊙*O*与*AD*相切于点*A*，或⊙*O*与线段*DA*的延长线相交于另一点，此时，*BP*只有最小值，即*x*≥18．
>
> 【解答】解：（1）如图1，*AP*经过圆心*O*，∵*CP*与⊙*O*相切于*P*，
>
> ∴∠*APC*＝90°，
>
> ∵▱*ABCD*，
>
> ∴*AD*∥*BC*，
>
> ∴∠*PBC*＝∠*DAB*
>
> ∴＝tan∠*PBC*＝tan∠*DAB*＝，设*CP*＝4*k*，*BP*＝3*k*，由*CP*^2^+*BP*^2^＝*BC*^2^，
>
> 得（4*k*）^2^+（3*k*）^2^＝15^2^，解得*k*~1~＝﹣3（舍去），*k*~2~＝3，
>
> ∴*x*＝*BP*＝3×3＝9，
>
> 故当*x*＝9时，圆心*O*落在*AP*上；
>
> ∵*AP*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*AEP*＝90°，
>
> ∴*PE*⊥*AD*，
>
> ∵▱*ABCD*，
>
> ∴*BC*∥*AD*
>
> ∴*PE*⊥*BC*
>
> （2）如图2，过点*C*作*CG*⊥*AP*于*G*，
>
> ∵▱*ABCD*，
>
> ∴*BC*∥*AD*，
>
> ∴∠*CBG*＝∠*DAB*
>
> ∴＝tan∠*CBG*＝tan∠*DAB*＝，
>
> 设*CG*＝4*m*，*BG*＝3*m*，由勾股定理得：（4*m*）^2^+（3*m*）^2^＝15^2^，解得*m*＝3，
>
> ∴*CG*＝4×3＝12，*BG*＝3×3＝9，*PG*＝*BG*﹣*BP*＝9﹣4＝5，*AP*＝*AB*+*BP*＝3+4＝7，
>
> ∴*AG*＝*AB*+*BG*＝3+9＝12
>
> ∴tan∠*CAP*＝＝＝1，
>
> ∴∠*CAP*＝45°；
>
> 连接*OP*，*OQ*，过点*O*作*OH*⊥*AP*于*H*，则∠*POQ*＝2∠*CAP*＝2×45°＝90°，*PH*＝*AP*＝，
>
> 在Rt△*CPG*中，＝＝13，
>
> ∵*CP*是⊙*O*的切线，
>
> ∴∠*OPC*＝∠*OHP*＝90°，∠*OPH*+∠*CPG*＝90°，∠*PCG*+∠*CPG*＝90°
>
> ∴∠*OPH*＝∠*PCG*
>
> ∴△*OPH*∽△*PCG*
>
> ∴，即*PH*×*CP*＝*CG*×*OP*，×13＝12*OP*，
>
> ∴*OP*＝
>
> ∴劣弧长度＝＝，
>
> ∵＜2π＜7
>
> ∴弦*AP*的长度＞劣弧长度．
>
> （3）如图3，⊙*O*与线段*AD*只有一个公共点，即圆心*O*位于直线*AB*下方，且∠*OAD*≥90°，
>
> 当∠*OAD*＝90°，∠*CPM*＝∠*DAB*时，此时*BP*取得最小值，过点*C*作*CM*⊥*AB*于*M*，
>
> ∵∠*DAB*＝∠*CBP*，
>
> ∴∠*CPM*＝∠*CBP*
>
> ∴*CB*＝*CP*，
>
> ∵*CM*⊥*AB*
>
> ∴*BP*＝2*BM*＝2×9＝18，
>
> ∴*x*≥18
>
> 
>
> 
>
> 
26．（12分）（2019•河北）如图，若*b*是正数，直线*l*：*y*＝*b*与*y*轴交于点*A*；直线*a*：*y*＝*x*﹣*b*与*y*轴交于点*B*；抛物线*L*：*y*＝﹣*x*^2^+*bx*的顶点为*C*，且*L*与*x*轴右交点为*D*．
> （1）若*AB*＝8，求*b*的值，并求此时*L*的对称轴与*a*的交点坐标；
>
> （2）当点*C*在*l*下方时，求点*C*与*l*距离的最大值；
>
> （3）设*x*~0~≠0，点（*x*~0~，*y*~1~），（*x*~0~，*y*~2~），（*x*~0~，*y*~3~）分别在*l*，*a*和*L*上，且*y*~3~是*y*~1~，*y*~2~的平均数，求点（*x*~0~，0）与点*D*间的距离；
>
> （4）在*L*和*a*所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为"美点"，分别直接写出*b*＝2019和*b*＝2019.5时"美点"的个数．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）当*x*＝0吋，*y*＝*x*﹣*b*＝﹣*b*，所以*B* （0，﹣*b*），而*AB*＝8，而*A*（0，*b*），则*b*﹣（﹣*b*）＝8，*b*＝4．所以*L*：*y*＝﹣*x*^2^+4*x*，对称轴*x*＝2，当*x*＝2吋，*y*＝*x*﹣4＝﹣2，于是*L*的对称轴与*a*的交点为（2，﹣2 ）；
>
> （2）*y*＝﹣（*x*﹣）^2^+，顶点*C*（）因为点*C*在*l*下方，则*C*与*l*的距离*b*﹣＝﹣（*b*﹣2）^2^+1≤1，所以点*C*与1距离的最大值为1；
>
> （3）由題意得，即*y*~1~+*y*~2~＝2*y*~3~，得*b*+*x*~0~﹣*b*＝2（﹣*x*~0~^2^+*bx*~0~）解得*x*~0~＝0或*x*~0~＝*b*﹣．但*x*~0~\#0，取*x*~0~＝*b*﹣，对于*L*，当*y*＝0吋，0＝﹣*x*^2^+*bx*，即0＝﹣*x*（*x*﹣*b*），解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝*b*，右交点*D*（*b*，0）．因此点（*x*~0~，0）与点*D*间的距离*b*﹣（*b*﹣）＝
>
> （4）①当*b*＝2019时，抛物线解析式*L*：*y*＝﹣*x*^2^+2019*x*直线解析式*a*：*y*＝*x*﹣2019，美点"总计4040个点，
>
> ②当*b*＝2019.5时，抛物线解析式*L*：*y*＝﹣*x*^2^+2019.5*x*，直线解析式*a*：*y*＝*x*﹣2019.5，"美点"共有1010个．
>
> 【解答】解：（1）当*x*＝0吋，*y*＝*x*﹣*b*＝﹣*b*，
>
> ∴*B* （0，﹣*b*），
>
> ∵*AB*＝8，而*A*（0，*b*），
>
> ∴*b*﹣（﹣*b*）＝8，
>
> ∴*b*＝4．
>
> ∴*L*：*y*＝﹣*x*^2^+4*x*，
>
> ∴*L*的对称轴*x*＝2，
>
> 当*x*＝2吋，*y*＝*x*﹣4＝﹣2，
>
> ∴*L*的对称轴与*a*的交点为（2，﹣2 ）；
>
> （2）*y*＝﹣（*x*﹣）^2^+，
>
> ∴*L*的顶点*C*（）
>
> ∵点*C*在*l*下方，
>
> ∴*C*与*l*的距离*b*﹣＝﹣（*b*﹣2）^2^+1≤1，
>
> ∴点*C*与1距离的最大值为1；
>
> （3）由題意得，即*y*~1~+*y*~2~＝2*y*~3~，
>
> 得*b*+*x*~0~﹣*b*＝2（﹣*x*~0~^2^+*bx*~0~）
>
> 解得*x*~0~＝0或*x*~0~＝*b*﹣．但*x*~0~\#0，取*x*~0~＝*b*﹣，
>
> 对于*L*，当*y*＝0吋，0＝﹣*x*^2^+*bx*，即0＝﹣*x*（*x*﹣*b*），
>
> 解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝*b*，
>
> ∵*b*＞0，
>
> ∴右交点*D*（*b*，0）．
>
> ∴点（*x*~0~，0）与点*D*间的距离*b*﹣（*b*﹣）＝
>
> （4）①当*b*＝2019时，抛物线解析式*L*：*y*＝﹣*x*^2^+2019*x*
>
> 直线解析式*a*：*y*＝*x*﹣2019
>
> 联立上述两个解析式可得：*x*~1~＝﹣1，*x*~2~＝2019，
>
> ∴可知每一个整数*x*的值 都对应的一个整数*y*值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
>
> ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
>
> ∴线段和抛物线上各有2021个整数点
>
> ∴总计4042个点，
>
> ∵这两段图象交点有2个点重复，
>
> ∴美点"的个数：4042﹣2＝4040（个）；
>
> ②当*b*＝2019.5时，
>
> 抛物线解析式*L*：*y*＝﹣*x*^2^+2019.5*x*，
>
> 直线解析式*a*：*y*＝*x*﹣2019.5，
>
> 联立上述两个解析式可得：*x*~1~＝﹣1，*x*~2~＝2019.5，
>
> ∴当*x*取整数时，在一次函数*y*＝*x*﹣2019.5上，*y*取不到整数值，因此在该图象上"美点"为0，
>
> 在二次函数*y*＝*x*^2^+2019.5*x*图象上，当*x*为偶数时，函数值*y*可取整数，
>
> 可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合
>
> 条件，因此"美点"共有1010个．
>
> 故*b*＝2019时"美点"的个数为4040个，*b*＝2019.5时"美点"的个数为1010个．
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**小学数学五年级下学期专题试****卷 长方体和正方****体的认识6973 10 (22)**
**一、长方体和正方体的认识6994**
1.看图填空
上图是\_\_\_\_\_\_\_\_体，它的棱长是\_\_\_\_\_\_\_\_厘米，棱长的和是\_\_\_\_\_\_\_\_厘米；它有\_\_\_\_\_\_\_\_个面，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方厘米．
2.看图填空
（1）上图是\_\_\_\_\_\_\_\_体，它有\_\_\_\_\_\_\_\_个面，\_\_\_\_\_\_\_\_条棱，\_\_\_\_\_\_\_\_个顶点．
（2）正方体的6个面是完全相同的\_\_\_\_\_\_\_\_形，12条棱的\_\_\_\_\_\_\_\_都相等．
3.看图填空
（1）它的上面和下面都是\_\_\_\_\_\_\_\_形，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方米；
（2）它的前、后、左、右面都是\_\_\_\_\_\_\_\_形，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方米．
4.看图填空
上图是\_\_\_\_\_\_\_\_体，它的棱长和是\_\_\_\_\_\_\_\_．
5.这个长方体棱长的和是\_\_\_\_\_\_\_\_．
6.这个长方体的上面、\_\_\_\_\_\_\_\_面、左面和\_\_\_\_\_\_\_\_面是完全相同的长方形，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_．
7.这个长方体的前面和后面是完全相同的\_\_\_\_\_\_\_\_形，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_．
8.这个长方体的前面与\_\_\_\_\_\_\_\_面是完全相同的长方形，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方分米；
右面与\_\_\_\_\_\_\_\_面完全相同，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方分米；
还有\_\_\_\_\_\_\_\_面与\_\_\_\_\_\_\_\_面完全相同，每个面的面积都是\_\_\_\_\_\_\_\_平方分米．
9.这个长方体的长是\_\_\_\_\_\_\_\_分米，宽是\_\_\_\_\_\_\_\_分米，高是\_\_\_\_\_\_\_\_分米，棱长的和是\_\_\_\_\_\_\_\_分米.
10.看图填空
（1）这个长方体的前面是\_\_\_\_\_\_\_\_形，长和宽分别是\_\_\_\_\_\_\_\_厘米和\_\_\_\_\_\_\_\_厘米；
（2）这个长方体的左面是\_\_\_\_\_\_\_\_形，长和宽分别是\_\_\_\_\_\_\_\_厘米和\_\_\_\_\_\_\_\_厘米；
（3）这个长方体的上面是\_\_\_\_\_\_\_\_形，长和宽分别是\_\_\_\_\_\_\_\_厘米和\_\_\_\_\_\_\_\_厘米．
**答案解析部分**
一、长方体和正方体的认识6994
1.【答案】 正方；4；48；6；16
【考点】正方体的特征，正方体的表面积
【解析】【分析】正方体的特征是：正方体有6个面，6个面是完全相同的正方形，每个面的面积=棱长×棱长，有8个顶点，有12条棱，每条棱长度相等，正方体的棱长总和=棱长×12，据此解答.
2.【答案】 （1）正方；6；12；8\
（2）正方；长度
【考点】正方体的特征
【解析】【分析】正方体的特征是：正方体有6个面，6个面是完全相同的正方形，有8个顶点，有12条棱，每条棱长度相等，据此解答.
3.【答案】 （1）正方；36\
（2）长方；12
【考点】长方体的特征
【解析】【分析】（1）观察图可知，这个长方体的上面和下面都是正方形，每个面的面积都是长×宽，据此列式解答；
（2）观察图可知，这个长方体的前、后、左、右面都是长方形，前、后面的面积=长×高，左、右面的面积=宽×高，据此解答.
4.【答案】 长方；56米
【考点】长方体的特征
【解析】【分析】观察图可知，这是一个长方体，长是6米，宽是6米，高是2米，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此列式解答.
5.【答案】 80厘米
【考点】长方体的特征
【解析】【解答】（4+4+12）×4\
=（8+12）×4\
=20×4\
=80（厘米）\
故答案为：80厘米.
【分析】已知长方体的长、宽、高，要求长方体的棱长总和，用公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此列式解答.
6.【答案】 下；右；48平方厘米
【考点】长方体的特征，长方体的表面积
【解析】【解答】 ， 这个长方体的上面、下面、左面和右面是完全相同的长方形，每个面的面积都是12×4=48平方厘米．\
故答案为：下；右；48平方厘米.
【分析】观察图可知，这个长方体的长是12厘米，宽是4厘米，高是4厘米，这个长方体的上面、下面、左面和右面是完全相同的长方形，每个面的面积都是12×4，据此解答.\[来源:学科网\]
7.【答案】 正方；16平方厘米
【考点】长方体的特征，长方体的表面积
【解析】【解答】 ， 这个长方体的前面和后面是完全相同的正方形，每个面的面积都是4×4=16平方厘米．\
故答案为：正方；16平方厘米.
【分析】观察可知，这个长方体的长是12厘米，宽是4厘米，高是4厘米，这个长方体的前面和后面是完全相同的正方形，每个面的面积都是宽×高，据此解答.
8.【答案】 后；18；左；24；上；下；12
【考点】长方体的特征，长方体的表面积
【解析】【分析】长方体的6个面都是长方形，相对的两个面的面积相等，上面或下面的面积=长×宽，前面或后面的面积=长×高，左面或右面的面积=宽×高，据此列式解答.
9.【答案】 3；4；6；52
【考点】长方体的特征
【解析】【分析】观察图可知，这个长方体的长是3分米，宽是4分米，高是6分米，要求棱长总和，用公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此列式解答.
10.【答案】 （1）长方；4；2\
（2）长方；3；2\
（3）长方；4；3
【考点】长方体的特征
【解析】【分析】长方体的6个面都是长方形，相对的两个面的面积相等，上面或下面的面积=长×宽，前面或后面的面积=长×高，左面或右面的面积=宽×高，据此解答.
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第11课《填横式1》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第十三讲 填横式（一）习题解答
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绝密★启用前【考试时间：2016年9月7日7:50\~9:50】
{width="0.5833333333333334in" height="0.6041666666666666in"}{width="0.5833333333333334in" height="0.6041666666666666in"}**河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）**
**理数试题\[来源:学科网ZXXK\]**
命{width="0.1625in" height="1.8055555555555554e-2in"}题人：褚艳春、姜宗帅、赵鸿伟
**注意事项：**
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
2.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。所有试题都要答在答题卡上。
**第l卷（选择题 共60分）**
1. **选择题**（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
```{=html}
<!-- -->
```
1. 若集合，且，则集合可能是
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限\[来源:Zxxk.Com\]
3. {width="1.5104166666666667in" height="2.2916666666666665in"}已知平面向量满足，且，，则向量与夹角的余弦值为
A. B. C. D.
4. 执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的{width="0.2in" height="2.2222222222222223e-2in"}值为
A.1 {width="0.14444444444444443in" height="1.6666666666666666e-2in"} B.2
C.3 D.4
5. 已知数列中，，，为其前项和，则的值为
A.57 B.61
C.62 D.63
6. {width="1.4291666666666667in" height="1.7173611111111111in"}某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
7. 为了得到，只需要将作如下变换
A.向右平移个单位{width="0.25972222222222224in" height="2.361111111111111e-2in"} B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
8. 若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，东直线扫过A中的那部分区域的面积为
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9. 焦点在轴上的椭圆方程为,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
10. 在四面体S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是
A. B. C. D.
11.已知函数,则关于*x*的方程实根个数不可能为
A.2 B.3 C.4 D.5
12. {width="1.2097222222222221in" height="1.45in"}函数{width="0.175in" height="1.9444444444444445e-2in"}部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则
A.在上是减函数
B.在上是增函数
C.在上是减函数
D.在上是增函数
### **第II卷(非选择题 共90分)**
2. **填空题**（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
```{=html}
<!-- -->
```
13. 的展开式中项的系数为\_\_\_\_\_\_\_.
14. {width="1.7229166666666667in" height="1.21875in"}已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=\_\_\_\_\_\_\_.
15. 如图，为测量出山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=\_\_\_\_\_\_\_m.
16. 设函数，，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
```{=html}
<!-- -->
```
3. **解答题**（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
```{=html}
<!-- -->
```
17. （本小题满分12分）
中国人口已{width="0.14166666666666666in" height="1.6666666666666666e-2in"}经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第n年的人口总数a~n~的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99^10^=(1-0.01)^10^≈0.9）
18.（本小题满分12分）
{width="1.1743055555555555in" height="1.0881944444444445in"} 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角D-PE-A的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，...，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1 5{width="0.18333333333333332in" height="1.6666666666666666e-2in"} 6 7 8
---- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --- -----
P 0.4 a b 0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
**注**：①产品的"性价比"=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②"性价比"大的产品更具可购买性．
20. （本小题满分12分）已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线*l*1，*l*2分别交椭圆C于*M，N*两点，且*l*~1~⊥*l*~2~，求证：直线*MN*过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).
（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；\[来源:Zxxk.Com\]
（2）若函数存在两个极值点，证明：且.
**请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
{width="1.8333333333333333in" height="1.2in"} 如图 A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若,,求的值；
（Ⅱ）若，证明：*EF*∥*CD*．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线*l*
的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：*ρ*=4cos*θ*．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程和直线*l*的普通方程；
（Ⅱ）设直线*l*与曲线C相交于*P*、*Q*两点，求\|*PQ*\|值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数,.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
河北衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
**数**{width="0.22847222222222222in" height="2.638888888888889e-2in"}**学学科（理科）**
评分细则、切题方案
第一部分：评分细则.
1. **选择题：**每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意**.**
**ADCBA DCDCB DB**
2. **填空题：每题5分，共20分.**
**13.** 2 14. 15. **150 16.**
**三、解答题**
**17.本题满分12分\[来源:学科网\]**
**解：**（1）当{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是首项为{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，公差为{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的等差数列，
{width="2.4270833333333335in" height="0.23958333333333334in"} 3分
当{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}是以公比为{width="0.3333333333333333in" height="0.17708333333333334in"}的等比数列，又{width="0.5729166666666666in" height="0.23958333333333334in"}
{width="1.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"} {width="0.2361111111111111in" height="2.361111111111111e-2in"} 6分
因此，新政策实施后第{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}年的人口总数{width="0.17708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}（单位：万）的表达式为
{width="2.28125in" height="0.5104166666666666in"} 7分
（2）设{width="0.17708333333333334in" height="0.3020833333333333in"}为数列{width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的前{width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}项和，则从2016年到2035年共{width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
{width="2.0416666666666665in" height="0.23958333333333334in"} {width="2.3958333333333335in" height="0.23958333333333334in"}万 10分
（说明：{width="1.6458333333333333in" height="0.23958333333333334in"}）
{width="0.14583333333333334in" height="0.125in"}新政策实施到2035年年人口均值为 {width="0.43680555555555556in" height="0.4166666666666667in"}48.63万
由{width="0.5729166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，故到2035年不需要调整政策． 12分
**18．本题满分12分**
解：（1）连接，交于点，连接，则平面 1分
证明：为中点，为中点
为的中位线， 2分
又平面平面
平面{width="0.5097222222222222in" height="0.19791666666666666in"}{width="0.16805555555555557in" height="0.20694444444444443in"}平面{width="0.4888888888888889in" height="0.17708333333333334in"}={width="0.28194444444444444in" height="0.17708333333333334in"},{width="0.2465277777777778in" height="2.638888888888889e-2in"}平面{width="0.5097222222222222in" height="0.19791666666666666in"},
平面{width="0.4888888888888889in" height="0.17708333333333334in"}
， 4分
又，
平面
所以平面 6分
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
平面PEA
平面PEA的法向量 8分
另外，，
，,设平面DPE的法向量，则
，令，得 10分
又为锐二面角,所以二面角的余弦值为 12分
注意：其它答案可参考给分
19．本题满分12分
**解：（I）因为**{width="3.888888888888889in" height="0.25in"}
> **又由X~1~的概率分布列得**{width="2.2222222222222223in" height="0.2361111111111111in"}
>
> **由**{width="1.9861111111111112in" height="0.5in"} **4分**
**（II）由已知得，样本的频率分布表如下：**
{width="0.2361111111111111in" height="0.25in"} **3** **4** **5** **6** **7** **8**
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------- ---------- ---------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------- ----------
{width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"} **0．3** **0．2** **0．2** **0．**{width="0.13194444444444445in" height="1.3888888888888888e-2in"}**1** **0．1** **0．1**
**用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X~2~的概率分布列如下：**
{width="0.2361111111111111in" height="0.25in"} **3** **4** **5** **6** **7** **8**
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------
**P** **0．3** **0．2** **0．2** **0．1** **0．1** **0．1**
**所以**
> {width="5.540972222222222in" height="0.25in"}
>
> {width="3.361111111111111in" height="0.44375in"}
>
> **即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. 8分**
**（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：**
> **因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为**{width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
>
> **因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为**{width="0.6805555555555556in" height="0.4305555555555556in"}
>
> **据此，乙厂的产品更具可购买性。 12分**
**20．本题满分12分**
解：（1）由题意 即 .................. 4分
（2）设，
由得
同理 6分
i\) 时， 过定点
ii\) 时过点过定点
（3）由（2）知
8分
令时取等号时去等号， 12分
21．本题满分12分
**解：依题意，**{width="3.720138888888889in" height="0.24930555555555556in"}
**令**{width="1.2722222222222221in" height="0.24930555555555556in"}**，则**{width="1.238888888888889in" height="0.24930555555555556in"}**. 1分**
**（1）①当**{width="0.3840277777777778in" height="0.19791666666666666in"}**时，**{width="0.6152777777777778in" height="0.22777777777777777in"}**，**{width="0.3840277777777778in" height="0.19791666666666666in"}**，故**{width="1.1159722222222221in" height="0.22777777777777777in"}**，所以**{width="0.4048611111111111in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.6777777777777778in" height="0.24027777777777778in"}**不存在零点，则函数**{width="0.375in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.6777777777777778in" height="0.24027777777777778in"}**不存在极值点； 2分**
**②当**{width="0.3840277777777778in" height="0.19791666666666666in"}**时，由**{width="1.5208333333333333in" height="0.24930555555555556in"}**，故**{width="0.3541666666666667in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.6777777777777778in" height="0.24027777777777778in"}**单调递增. 又**{width="1.011111111111111in" height="0.24930555555555556in"}{width="0.1388888888888889in" height="1.3888888888888888e-2in"}**，**{width="2.2916666666666665in" height="0.24930555555555556in"}**，**
**所以**{width="0.8756944444444444in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.6777777777777778in" height="0.24027777777777778in"}**有且只有一个零点. 3分**
**又注意到在**{width="0.4048611111111111in" height="0.22777777777777777in"}**的零点左侧，**{width="0.6451388888888889in" height="0.22777777777777777in"}**，在**{width="0.4048611111111111in" height="0.22777777777777777in"}**的零点右侧，**{width="0.6451388888888889in" height="0.22777777777777777in"}**，**
**所以函数**{width="0.375in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.5097222222222222in" height="0.22777777777777777in"}**有且只有一个极值点.**
**综上所述，当**{width="0.3840277777777778in" height="0.19791666666666666in"}**时，函数**{width="0.375in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.6451388888888889in" height="0.22777777777777777in"}**内有且只有一个极值点. 4分**
**（2）因为函数**{width="0.375in" height="0.22777777777777777in"}**存在两个极值点**{width="0.16805555555555557in" height="0.24930555555555556in"}**,**{width="0.19791666666666666in" height="0.24930555555555556in"}**（不妨设**{width="0.46805555555555556in" height="0.24930555555555556in"}**），**
**所以**{width="0.16805555555555557in" height="0.24930555555555556in"}**,**{width="0.19791666666666666in" height="0.24930555555555556in"}**是**{width="0.8756944444444444in" height="0.22777777777777777in"}**的两个零点，且由（1）知，必有**{width="0.3840277777777778in" height="0.19791666666666666in"}**.**
**令**{width="1.5208333333333333in" height="0.24930555555555556in"}**得**{width="0.46805555555555556in" height="0.19791666666666666in"}**；**
**令**{width="1.5208333333333333in" height="0.24930555555555556in"}**得**{width="0.46805555555555556in" height="0.19791666666666666in"}**；**
**令**{width="1.5090277777777779in" height="0.24930555555555556in"}**得**{width="0.46805555555555556in" height="0.19791666666666666in"}**.**
**所以**{width="0.8756944444444444in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.59375in" height="0.22777777777777777in"}**单调递增，在**{width="0.59375in" height="0.22777777777777777in"}**单调递减， 6分**
**又因为**{width="1.5416666666666667in" height="0.24930555555555556in"}**，**
**所以必有**{width="1.0527777777777778in" height="0.24930555555555556in"}**.**
**令**{width="1.4791666666666667in" height="0.24930555555555556in"}**，解得**{width="0.5520833333333334in" height="0.22777777777777777in"}**，** {width="0.2638888888888889in" height="2.638888888888889e-2in"} **8分**
**此时**{width="4.802777777777778in" height="0.24930555555555556in"}**.**
**因为**{width="0.375in" height="0.24930555555555556in"}**是**{width="0.8756944444444444in" height="0.22777777777777777in"}**的两个零点，**
**所以**{width="1.9048611111111111in" height="0.2701388888888889in"}**，**{width="1.9680555555555554in" height="0.2701388888888889in"}**.**
**将代数式**{width="1.1159722222222221in" height="0.24930555555555556in"}**视为以**{width="9.305555555555556e-2in" height="0.16805555555555557in"}**为自变量的函数**{width="1.5631944444444446in" height="0.24930555555555556in"}**，**
**则**{width="1.6979166666666667in" height="0.24930555555555556in"}**.**
**当**{width="0.42569444444444443in" height="0.19791666666666666in"}**时，因为**{width="1.7402777777777778in" height="0.24930555555555556in"}**，所以**{width="0.6152777777777778in" height="0.22777777777777777in"}**，**
**则**{width="0.32430555555555557in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.59375in" height="0.22777777777777777in"}**单调递增.**
**因为**{width="0.5097222222222222in" height="0.24930555555555556in"}**，所以**{width="1.8243055555555556in" height="0.42569444444444443in"}**，**
**又因为**{width="1.7909722222222222in" height="0.2701388888888889in"}**，所以**{width="0.9993055555555556in" height="0.42569444444444443in"}**.**
**当**{width="0.6777777777777778in" height="0.19791666666666666in"}**时，因为**{width="1.7402777777777778in" height="0.24930555555555556in"}**，所以**{width="0.6152777777777778in" height="0.22777777777777777in"}**，**
**则**{width="0.32430555555555557in" height="0.22777777777777777in"}**在**{width="0.46805555555555556in" height="0.22777777777777777in"}**单调递减，**
**因为**{width="0.7708333333333334in" height="0.24930555555555556in"}**，所以**{width="2.5409722222222224in" height="0.42569444444444443in"}**.**
综上知，{width="0.9993055555555556in" height="0.42569444444444443in"}且{width="1.011111111111111in" height="0.42569444444444443in"}． 12分
22.本题满分10分
（1）解：因为A、B、C、D四点共圆；
{width="5.666666666666667in" height="1.6555555555555554in"}
**23．本题满分10分**
解：(1)∵*ρ*＝4cos*θ*.
∴*ρ*^2^＝4*ρ*cos*θ*，
由*ρ*^2^＝*x*^2^＋*y*^2^，*ρ*cos*θ*＝*x*，得*x*^2^＋*y*^2^＝4*x*， 3分
所以曲线*C*的直角坐标方程为(*x*－{width="0.12222222222222222in" height="1.5277777777777777e-2in"}2)^2^＋*y*^2^＝4，
消去*t*解得：.所以直线*l*的普通方程为. 5分\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
(2)把代入*x*^2^＋*y*^2^＝4*x*.
整理得*t*^2^－3*t*＋{width="2.013888888888889e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}5＝0.
设其两根分别为*t*~1~，*t*~2~，则*t*~1~＋*t*~2~＝3，*t*~1~*t*~2~＝5.
所以\|*PQ*\|{width="0.18888888888888888in" height="2.2222222222222223e-2in"}＝\|*t*~1~－*t*~2~\|＝＝. 10分
**24、本题满分10分**
**解析：**
**（1）由**{width="0.9180555555555555in" height="0.30277777777777776in"}**得**{width="1.1972222222222222in" height="0.28194444444444444in"}**，**{width="0.7590277777777777in" height="0.28194444444444444in"} **，解得**{width="0.7201388888888889in" height="0.19791666666666666in"} **．**
**所以原不等式的解集为**{width="1.0319444444444446in" height="0.30277777777777776in"} **5分**
**（2）因为对任意**{width="0.45902777777777776in" height="0.24027777777777778in"}**，都有**{width="0.4798611111111111in" height="0.24027777777777778in"}**，使得**{width="0.4048611111111111in" height="0.24027777777777778in"}**=**{width="0.4048611111111111in" height="0.24027777777777778in"}**成立**
**所以**{width="2.0430555555555556in" height="0.28194444444444444in"}**，**
**有，**
{width="1.3743055555555554in" height="0.28194444444444444in"}**所以从而 或 10分**
**切题方案：填空题和 解答题，每道题切一块.**
| 1 | |
**例1：**
甲、乙二人进行短跑训练，如果甲让乙先跑40米，则甲需要跑20秒追上乙；如果甲让乙先跑6秒，则甲仅用9秒就能追上乙。求:甲、乙二人的速度各是多少?
解答：甲、乙两人的速度差:40÷20=2(米/秒)(
乙速:2×9÷6=3(米/秒)
甲速:3+2=5(米/秒)。
答:甲、乙二人的速度分别为5米/秒和3米/秒。
解析：如果甲让乙先跑40米，然后甲出发追乙，这40米就是二人间的路程差，甲用20秒追上乙是追及时间，根据速度差=路程差÷追及时间，可求甲、乙二人的速度差，即40÷20=2(米/秒)。如果甲让乙先跑6秒，则甲需要9秒追上乙，这一过程中追及时间是9秒，由上一过程的结论可求路程差: 2X9=18(米)，这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以可求出乙的速度是18÷6=3(米/秒)，那么甲速可求。
**例2：**
把一块棱长12分米的正方体钢坯，熔铸成截面是9平方分米的长方体钢材，铸成的钢材长度是多少？
解答：12×12×12÷9=1728÷9=192（分米）
答；铸成的钢材长度是192分米。
解析：钢材从正方体变成长方体，体积保持不变。正方体的体积是1728立方分米，那么长方体的体积也是1728立方分米。又知道长方体的截面积，则可求出长度。
**例3：**
3头牛和4只羊一天共吃草77千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。每头牛、每只羊每天各吃草多少千克?
解答：（77×2-130)÷(4×2-5)=24÷3=8(千克)
(77-8×4)÷3=45÷3=15(千克)
答：每头牛每天吃草15千克，每只羊每天吃草8千克
解析：本题中，牛的头数和羊的只数都不相同，这样比较时不能直接消去一个量。我们观察比较发现，后面条件中的6头牛是前面条件中3头牛的两倍。把前面的牛的头数和羊的只数各扩大2倍得6头牛和8只羊，吃的草也扩大2倍是154千克。这样再与后面比较就可以消去牛吃的草。
**例4：**
某小贩出售一筐苹果，第一天卖掉了全部的一半多2千克，第二天卖掉了余下的一半少2千克，这时筐内还剩下20千克苹果。问：这筐苹果原有多少千克？
解答：〔（20-2）×2+2〕×2=38×2=76（千克）
答：这筐苹果原有76千克.
解析：解决这类一半多几，一半少几的还原法应用题，我们往往借助线段图来帮助我们解题。根据题意此题可以画图如下：
**例5：**
五年级394个同学排成两路纵队郊游，每两个同学相隔0.5米，队伍以每分钟61米的速度通过一座长207米的大桥，一共需要多少时间？
解答：394÷2-1=196（个）
207+0.5×196=305（米）
305÷61=5（分）
答：一共需要5分钟。
解析：394人排成两路纵队，每路纵队394÷2-1=196人，间隔数是197-1=196个，队伍长=196个间隔全长=间隔长×间隔数=0.5×196=98米，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，应行路程=桥长+队伍全长，再根据时间=路程÷速度即可求出。
**例6：**
王春、陈刚、殷华当中有一个人做了好事，李老师在了解情况的时候，他们三个人分别说了下面几句话：
陈刚："我没做这件事，殷华也没做这件事。"
王春：我没做这件事，陈刚也没做这件事"
殷华:"我没做这件事，也不知道谁做了这件事。"
当老师一再追问时，得知他们都讲了一句真话，那么做好事的人是谁?
解答：陈刚做了这件好事。
解析：如果王春做了这件好事，则陈刚的两句话都是真话，不合题意；如果殷华做了这件好事，则王春的两句话都是真话，不合题意；如果陈刚做了这件好事，符合题意。
**例7：**
东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?
解答：(16+15-25)÷2=3(幅)
答:其他年级的画共有3幅。
解析：将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅。而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅。
**例8：**
有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人?
解答：10+13+15-25-1×2=11（人）
答：只有两次达到优秀的有11人。
解析："每人至少有一次达到优秀"说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。
**例9：**
有19个同学参加了三个课外活动小组，它们分别是数学组、美术组、电脑组，每人可参加一个组、两个组或三个组活动。问:这些同学中至少有几个同学参加了相同的组?
解答：19÷(3+2+1)=3(个)......1(个)
答:这些同学中至少有4个同学参加了相同的组。
解析：这道题就是要把19个同学放到若干个小组里去。已知物体(元素)是19，接下来是要确定抽屉。因为每个人可以参加三个课外小组的一个、两个或三个，这样就不是3个抽屉，而是(3+2+1)个抽屉了，然后可根据抽屉原理2去解答，至少有4个同学参加了相同的小组。
**例10：**
甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲?
解答：路程差: 4×4=16(千米);
速度差:12-4=8(千米)
追及时间:16÷8=2(时)。
答:乙2小时可以追上甲。
解析：甲先走4小时，每小时行4千米，追及路程为4X4=16(千米)，根据甲，乙的速度，可以求出速度差，进而可以求出追及时间。
| 1 | |
**第六单元测试卷**
一、填一填。
1.测量铅笔的长度用( )作单位比较合适;测量床的长度用( )作单位比较合适。
2\.
 油画棒长( )厘米;
3.2米=( )厘米 300厘米=( )米
30厘米-6厘米=( )厘米 45厘米+20厘米=( )厘米
4.甜甜身高90厘米,再长( )厘米,她的身高就是1米。
二、在括号里填上合适的长度单位。
三、在里填上"\>""\<"或"="。
1米90厘米 2米200厘米 100厘米1米
20厘米1米-80厘米 50厘米5米 1米80厘米2米
四、做一做。
1.量出下面线的长度。
2.画一条4厘米长的线。
五、谁说的对?在括号里画"√。
六、解决问题。
1.你知道蚯蚓的身体有多长吗?(6分)
2.有一根绳子,剪去30厘米后,还剩70厘米。这根绳子原来长多少米?(7分)
3.选一选,填一填。
-------- ----------- ----------- -----
95厘米 1米25厘米 1米30厘米 3米
-------- ----------- ----------- -----
(1)妞妞的身高是( ),小军的身高是( ),丫丫的身高是( ),小树的高度是( )。
(2)把丫丫、妞妞和小军的身高按从矮到高的顺序排一排。[ ]{.underline}
4.小动物赛跑。
(1)蜗牛离终点还有多少厘米?
(2)蚂蚁比小虫子多爬多少厘米?
第六单元测试卷答案
一、 1. 厘米 米 2. 6 3
3\. 200 3 24 65 4. 10
二、 厘米 米 厘米 厘米 厘米 米 米 米
三、 \> = = = \< \<
四、 1. 3 2. 略
五、 ( ) (√) (√)
六、 1. 15+4=19(厘米)
2\. 30+70=100(厘米) 100厘米=1米
3\. (1)95厘米 1米25厘米 1米30厘米
3米
(2)95厘米\<1米25厘米\<1米30厘米
4\. (1)1米=100厘米 100-80=20(厘米)
(2)90-70=20(厘米)
| 1 | |
**2020年舟山市中考数学试卷**
**一、选择题**
1.2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000*m*．数36000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.36×10^8^ B. 36×10^7^ C. 3.6×10^8^ D. 3.6×10^7^
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：36 000 000＝3.6×10^7^，
故答案选：*D*．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，关键是确定*a*的值和*n*的值．
2.如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左上有1个正方形．
故选：*A*．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）
A. 平均数是4 B. 众数是3 C. 中位数是5 D. 方差是3.2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．
【详解】解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是*S*^2^＝\[（2﹣4）^2^+（3﹣4）^2^+（5﹣4）^2^+（3﹣4）^2^+（7﹣4）^2^\]＝3.2．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了对中位数、平均数、众数、方差的知识点应用．
4.一次函数y=2x﹣1的图象大致是( )
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，判断出*k*和*b*的符号即可解答．
【详解】由题意知，*k*=2＞0，*b*=﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数*y*=*kx*+*b*图象所过象限与*k*，*b*的关系，当*k*＞0，*b*＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
5.如图，在直角坐标系中，△*OAB*的顶点为*O*（0，0），*A*（4，3），*B*（3，0）．以点*O*为位似中心，在第三象限内作与△*OAB*的位似比为的位似图形△*OCD*，则点*C*坐标（ ）
A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把*A*点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点*O*为位似中心，位似比为，
而*A* （4，3），
∴*A*点的对应点*C*的坐标为（，﹣1）．
故选：*B*．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6.不等式3（1﹣*x*）＞2﹣4*x*的解在数轴上表示正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：3﹣3*x*＞2﹣4*x*，
移项，得：﹣3*x*+4*x*＞2﹣3，
合并，得：*x*＞﹣1，
故选：*A*．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意"＞"向右，"＜"向左，带等号用实心，不带等号用空心．
7.如图，正三角形*ABC*的边长为3，将△*ABC*绕它的外心*O*逆时针旋转60°得到△*A*\'*B*\'*C*\'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据重合部分是正六边形，连接*O*和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
8.用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据各选项分别计算，即可解答．
【详解】方程组利用加减消元法变形即可．
解：*A*、①×2﹣②可以消元*x*，不符合题意；
*B*、②×（﹣3）﹣①可以消元*y*，不符合题意；
*C*、①×（﹣2）+②可以消元*x*，不符合题意；
*D*、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：*D*．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
9.如图，在等腰△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝2，*BC*＝8，按下列步骤作图：
①以点*A*为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交*AB*，*AC*于点*E*，*F*，再分别以点*E*，*F*为圆心，大于*EF*的长为半径作弧相交于点*H*，作射线*AH*；
②分别以点*A*，*B*为圆心，大于*AB*的长为半径作弧相交于点*M*，*N*，作直线*MN*，交射线*AH*于点*O*；
③以点*O*为圆心，线段*OA*长为半径作圆．
则⊙*O*的半径为（ ）
A. 2 B. 10 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，设*OA*交*BC*于*T*．解直角三角形求出*AT*，再在Rt△*OCT*中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设OA交BC于T．
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r^2^＝（r﹣2）^2^+4^2^，
解得r＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查作图------复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.已知二次函数*y*＝*x*^2^，当*a*≤*x*≤*b*时*m*≤*y*≤*n*，则下列说法正确的是（ ）
A. 当*n*﹣*m*＝1时，*b*﹣*a*有最小值
B. 当*n*﹣*m*＝1时，*b*﹣*a*有最大值
C. 当*b*﹣*a*＝1时，*n*﹣*m*无最小值
D. 当*b*﹣*a*＝1时，*n*﹣*m*有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
①当*b*﹣*a*＝1时，先判断出四边形*BCDE*是矩形，得出*BC*＝*DE*＝*b*﹣*a*＝1，*CD*＝*BE*＝*m*，进而得出*AC*＝*n*﹣*m*，即tan＝*n*﹣*m*，再判断出0°≤∠*ABC*＜90°，即可得出*n*﹣*m*的范围；
②当*n*﹣*m*＝1时，同①的方法得出*NH*＝*PQ*＝*b*﹣*a*，*HQ*＝*PN*＝*m*，进而得出*MH*＝*n*﹣*m*＝1，而tan∠*MHN*＝，再判断出45°≤∠*MNH*＜90°，即可得出结论．
【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x^2^上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝，
∵点M，N在抛物线y＝x^2^上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．
**二、填空题**
11.分解因式：*x*^2^﹣9＝\_\_\_\_\_．
【答案】（*x*+3）（*x*﹣3）
【解析】
【分析】
利用平方差公式进一步因式分解即可.
【详解】x^2^﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点睛】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，熟练掌握相关公式解题关键.
12.如图所示，平行四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：[ ]{.underline}，使得平行四边形ABCD为菱形．
【答案】AD=DC（答案不唯一）
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，
添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形；
添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形．
答案不唯一．
13.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】解：蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为\_\_\_\_\_；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). π (2).
【解析】
【分析】
由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．
【详解】解：连接*BC*，
由∠*BAC*＝90°得*BC*为⊙*O*的直径，
∴*BC*＝2，
在Rt△*ABC*中，由勾股定理可得：*AB*＝*AC*＝2，
∴*S*~扇形*ABC*~＝＝π；
∴扇形的弧长为：＝π，
设底面半径为*r*，则2π*r*＝π，
解得：*r*＝，
故答案为：π，．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为*x*人，则可列方程\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据"第二次每人所得与第一次相同，"列分式方程即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
16.如图，有一张矩形纸条*ABCD*，*AB*＝5*cm*，*BC*＝2*cm*，点*M*，*N*分别在边*AB*，*CD*上，*CN*＝1*cm*．现将四边形*BCNM*沿*MN*折叠，使点*B*，*C*分别落在点*B*\'，*C*\'上．当点*B*\'恰好落在边*CD*上时，线段*BM*的长为\_\_\_\_\_*cm*；在点*M*从点*A*运动到点*B*的过程中，若边*MB*\'与边*CD*交于点*E*，则点*E*相应运动的路径长为\_\_\_\_\_*cm*．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
第一个问题证明*BM*＝*MB*′＝*NB*′，求出*NB*即可解决问题．第二个问题，探究点*E*的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】如图1中，
∵四边形*ABCD*是矩形，
∴*AB*∥*CD*，
∴∠1＝∠3，
由翻折的性质可知：∠1＝∠2，*BM*＝*MB*′，
∴∠2＝∠3，
∴*MB*′＝*NB*′，
∵*NB*′＝＝＝（*cm*），
∴*BM*＝*NB*′＝（*cm*）．
如图2中，当点*M*与*A*重合时，*AE*＝*EN*，设*AE*＝*EN*＝*xcm*，
在Rt△*ADE*中，则有*x*^2^＝2^2^+（4﹣*x*）^2^，解得*x*＝，
∴*DE*＝4﹣＝（*cm*），
如图3中，当点*M*运动到*MB*′⊥*AB*时，*DE*′的值最大，*DE*′＝5﹣1﹣2＝2（*cm*），
如图4中，当点*M*运动到点*B*′落在*CD*时，*DB*′（即*DE*″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（*cm*），
∴点*E*的运动轨迹*E*→*E*′→*E*″，运动路径＝*EE*′+*E*′*B*′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（）（*cm*）．
故答案为，（）．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
**三、解答题**
17.（1）计算：（2020）^0^﹣+\|﹣3\|；
（2）化简：（*a*+2）（*a*﹣2）﹣*a*（*a*+1）．
【答案】（1）2；（2）﹣4﹣*a*
【解析】
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
【详解】解：（1）（2020）^0^﹣+\|﹣3\|
＝1﹣2+3
＝2；
（2）（*a*+2）（*a*﹣2）﹣*a*（*a*+1）
＝*a*^2^﹣4﹣*a*^2^﹣*a*
＝﹣4﹣*a*．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确运用零指数幂、二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
18.比较*x*^2^+1与2*x*大小．
（1）尝试（用"＜"，"＝"或"＞"填空）：
①当*x*＝1时，*x*^2^+1[ ]{.underline}2*x*；
②当*x*＝0时，*x*^2^+1[ ]{.underline}2*x*；
③当*x*＝﹣2时，*x*^2^+1[ ]{.underline}2*x*．
（2）归纳：若*x*取任意实数，*x*^2^+1与2*x*有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】（1）①=；②\>；③\>；（2）*x*^2^+1≥2*x*，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【详解】解：（1）①当*x*＝1时，*x*^2^+1＝2*x*；
②当*x*＝0时，*x*^2^+1＞2*x*；
③当*x*＝﹣2时，*x*^2^+1＞2*x*．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）*x*^2^+1≥2*x*．
证明：∵*x*^2^+1﹣2*x*＝（*x*﹣1）^2^≥0，
∴*x*^2^+1≥2*x*．
【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据"A-B"的符号比较"A、B"的大小．
19.已知：如图，在△*OAB*中，*OA*＝*OB*，⊙*O*与*AB*相切于点*C*．求证：*AC*＝*BC*．小明同学的证明过程如下框：
+------------------+
| 证明：连结*OC*， |
| |
| ∵*OA*＝*OB*， |
| |
| ∴∠*A*＝∠*B*， |
| |
| 又∵*OC*＝*OC*， |
| |
| ∴△*OAC*≌△*OBC*， |
| |
| ∴*AC*＝*BC*． |
+------------------+
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打"√"；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】错误，证明见解析
【解析】
【分析】
连结*OC*，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证法错误；
证明：连结*OC*，
∵⊙*O*与*AB*相切于点*C*，
∴*OC*⊥*AB*，
∵*OA*＝*OB*，
∴*AC*＝*BC*．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
20.经过实验获得两个变量*x*（*x*＞0），*y*（*y*＞0）的一组对应值如下表．
----- --- ----- --- ----- ----- ---
*x* 1 2 3 4 5 6
*y* 6 2.9 2 1.5 1.2 1
----- --- ----- --- ----- ----- ---
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~）在此函数图象上．若*x*~1~＜*x*~2~，则*y*~1~，*y*~2~有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）*y*~1~＞*y*~2~，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把*x*＝1，*y*＝6代入，得*k*＝6，
∴函数表达式为()；
（2）∵*k*＝6＞0，
∴在第一象限，*y*随*x*的增大而减小，
∴0＜*x*~1~＜*x*~2~时，则*y*~1~＞*y*~2~．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
21.小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区*A*、*B*、*C*三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）2014～2019年三种品牌电视机销售总量最多的是[ ]{.underline}品牌，月平均销售量最稳定的是[ ]{.underline}品牌．
（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
【答案】（1）*B*， *C*；（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是115.2万台；（3）建议购买*C*品牌（建议购买B品牌），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；
（2）求出总销售量，"其它"的所占的百分比；
（3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．
【详解】解：（1）由条形统计图可得，2014～2019年三种品牌电视机销售总量最多的是*B*品牌，是1746万台；
由条形统计图可得，2014～2019年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是*C*品牌，比较稳定，极差最小；
故答案为：*B*，*C*；
（2）∵20×12÷25%＝960（万台），1﹣25%﹣29%﹣34%＝12%，
∴960×12%＝115.2（万台）；
答：2019年其他品牌的电视机年销售总量是115.2万台；
（3）建议购买*C*品牌，因为*C*品牌2019年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；
建议购买*B*品牌，因为*B*品牌的销售总量最多，受到广大顾客的青睐．
【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图，扇形统计图，认真审题，搞清三个统计图分别反映不同意义是解题关键．
22.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点*A*处测得河北岸的树*H*恰好在*A*的正北方向．测量方案与数据如下表：
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 课题 | 测量河流宽度 | | |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 测量工具 | 测量角度的仪器，皮尺等 | | |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 测量小组 | 第一小组 | 第二小组 | 第三小组 |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 测量方案示意图 |  |  |  |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 说明 | 点*B*，*C*在点*A*的正东方向 | 点*B*，*D*在点*A*的正东方向 | 点*B*在点*A*的正东方向，点*C*在点*A*的正西方向． |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
| 测量数据 | *BC*＝60*m*， | *BD*＝20*m*， | *BC*＝101*m*， |
| | | | |
| | ∠*ABH*＝70°， | ∠*ABH*＝70°， | ∠*ABH*＝70°， |
| | | | |
| | ∠*ACH*＝35°． | ∠*BCD*＝35°． | ∠*ACH*＝35°． |
+----------------+-------------------------------------+-------------------------------------+--------------------------------------------------+
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1*m*）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4*m*
【解析】
【分析】
（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；
（2）第一个小组：证明*BC*＝*BH*＝60*m*，解直角三角形求出*AH*即可．
第三个小组：设*AH*＝*xm*，则*CA*＝，*AB*＝，根据*CA*+*AB*＝*CB*，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；
（2）第一个小组的解法：
∵∠*ABH*＝∠*ACH*+∠*BHC*，∠*ABH*＝70°，∠*ACH*＝35°，
∴∠*BHC*＝∠*BCH*＝35°，
∴*BC*＝*BH*＝60*m*，
∴*AH*＝*BH*•sin70°＝60×0.94≈56.4（*m*）．
第三个小组的解法：
设*AH*＝*xm*，则*CA*＝，*AB*＝，
∵*CA*+*AB*＝*CB*，
∴＝101，
解得*x*≈56.4．
答：河宽为56.4*m*．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键．
23.在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片*ABC*和*DEF*拼在一起，使点*A*与点*F*重合，点*C*与点*D*重合（如图1），其中∠*ACB*＝∠*DFE*＝90°，*BC*＝*EF*＝3*cm*，*AC*＝*DF*＝4*cm*，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片*DEF*沿*AC*方向平移，连结*AE*，*BD*（如图2），当点*F*与点*C*重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形*ABDE*是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片*DEF*平移到某一位置时，小兵发现四边形*ABDE*为矩形（如图3）．求*AF*的长．
活动二：在图3中，取*AD*的中点*O*，再将纸片*DEF*绕点*O*顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结*OB*，*OE*（如图4）．
【探究】当*EF*平分∠*AEO*时，探究*OF*与*BD*的数量关系，并说明理由．
【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】*BD*＝2*OF*，理由见解析；
【解析】
【分析】
【思考】由全等三角形的性质得出*AB*＝*DE*，∠*BAC*＝∠*EDF*，则*AB*∥*DE*，可得出结论；
【发现】连接*BE*交*AD*于点*O*，设*AF*＝*x*（*cm*），则*OA*＝*OE*＝（*x*+4），得出*OF*＝*OA*﹣*AF*＝2﹣*x*，由勾股定理可得，解方程求出*x*，则*AF*可求出；
【探究】如图2，延长*OF*交*AE*于点*H*，证明△*EFO*≌△*EFH*（*ASA*），得出*EO*＝*EH*，*FO*＝*FH*，则∠*EHO*＝∠*EOH*＝∠*OBD*＝∠*ODB*，可证得△*EOH*≌△*OBD*（*AAS*），得出*BD*＝*OH*，则结论得证．
【详解】解：【思考】四边形*ABDE*是平行四边形．
证明：如图，∵△*ABC*≌△*DEF*，
∴*AB*＝*DE*，∠*BAC*＝∠*EDF*，
∴*AB*∥*DE*，
∴四边形*ABDE*是平行四边形；
【发现】
如图1，连接*BE*交*AD*于点*O*，
∵四边形*ABDE*为矩形，
∴*OA*＝*OD*＝*OB*＝*OE*，
设*AF*＝*x*（*cm*），则*OA*＝*OE*＝（*x*+4），
∴*OF*＝*OA*﹣*AF*＝2﹣*x*，
在Rt△*OFE*中，∵*OF*^2^+*EF*^2^＝*OE*^2^，
∴，
解得：*x*＝，
∴*AF*＝*cm*．
【探究】*BD*＝2*OF*，
证明：如图2，延长*OF*交*AE*于点*H*，
∵四边形*ABDE*为矩形，
∴∠*OAB*＝∠*OBA*＝∠*ODE*＝∠*OED*，*OA*＝*OB*＝*OE*＝*OD*，
∴∠*OBD*＝∠*ODB*，∠*OAE*＝∠*OEA*，
∴∠*ABD*+∠*BDE*+∠*DEA*+∠*EAB*＝360°，
∴∠*ABD*+∠*BAE*＝180°，
∴*AE*∥*BD*，
∴∠*OHE*＝∠*ODB*，
∵*EF*平分∠*OEH*，
∴∠*OEF*＝∠*HEF*，
∵∠*EFO*＝∠*EFH*＝90°，*EF*＝*EF*，
∴△*EFO*≌△*EFH*（*ASA*），
∴*EO*＝*EH*，*FO*＝*FH*，
∴∠*EHO*＝∠*EOH*＝∠*OBD*＝∠*ODB*，
∴△*EOH*≌△*OBD*（*AAS*），
∴*BD*＝*OH*＝2*OF*．
【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
24.在篮球比赛中，东东投出的球在点*A*处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点*B*．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点*C*时被东东抢到，*CD*⊥*x*轴于点*D*，*CD*＝2.6*m*．
①求*OD*的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点*D*处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点*E*（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度*h*~1~（*m*）（传球前）与东东起跳后时间*t*（*s*）满足函数关系式*h*~1~＝﹣2（*t*﹣0.5）^2^+2.7（0≤*t*≤1）；小戴在点*F*（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3*s*垂直起跳，其拦截高度*h*~2~（*m*）与东东起跳后时间*t*（*s*）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点*E*？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
【答案】（1）*y*＝﹣2（*x*﹣0.4）^2^+3.32；（2）①1*m*；②能，
【解析】
【分析】
（1）设*y*＝*a*（*x*﹣0.4）^2^+3.32（*a*≠0），将*A*（0，3）代入求解即可得出答案；
（2）①把*y*＝2.6代入*y*＝﹣2（*x*﹣0.4）^2^+3.32，解方程求出*x*，即可得出*OD*＝1*m*；
②东东在点*D*跳起传球与小戴在点*F*处拦截的示意图如图2，设*MD*＝*h*~1~，*NF*＝*h*~2~，当点*M*，*N*，*E*三点共线时，过点*E*作*EG*⊥*MD*于点*G*，交*NF*于点*H*，过点*N*作*NP*⊥*MD*于点*P*，证明△*MPN*∽△*NEH*，得出，则*NH*＝5*MP*．分不同情况：（Ⅰ）当0≤*t*≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜*t*≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜*t*≤1时，分别求出*t*的范围可得出答案．
【详解】解：（1）设*y*＝*a*（*x*﹣0.4）^2^+3.32（*a*≠0），
把*x*＝0，*y*＝3代入，解得*a*＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为*y*＝﹣2（*x*﹣0.4）^2^+3.32．
（2）①把*y*＝2.6代入*y*＝﹣2（*x*﹣0.4）^2^+3.32，
化简得（*x*﹣0.4）^2^＝0.36，
解得*x*~1~＝﹣02（舍去），*x*~2~＝1，
∴*OD*＝1*m*．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点*E*．
由图1可得，当0≤*t*≤0.3时，*h*~2~＝2.2．
当0.3＜*t*≤1.3时，*h*~2~＝﹣2（*t*﹣0.8）^2^+2.7．
当*h*~1~﹣*h*~2~＝0时，*t*＝0.65，
东东在点*D*跳起传球与小戴在点*F*处拦截的示意图如图2，
设*MD*＝*h*~1~，*NF*＝*h*~2~，
当点*M*，*N*，*E*三点共线时，过点*E*作*EG*⊥*MD*于点*G*，交*NF*于点*H*，过点*N*作*NP*⊥*MD*于点*P*，
∴*MD*∥*NF*，*PN*∥*EG*，
∴∠*M*＝∠*HEN*，∠*MNP*＝∠*NEH*，
∴△*MPN*∽△*NEH*，
∴，
∵*PN*＝0.5，*HE*＝2.5，
∴*NH*＝5*MP*．
（Ⅰ）当0≤*t*≤0.3时，
*MP*＝﹣2（*t*﹣0.5）^2^+2.7﹣2.2＝﹣2（*t*﹣0.5）^2^+0.5，
*NH*＝2.2﹣1.3＝0.9．
∴5\[﹣2（*t*﹣0.5）^2^+0.5\]＝0.9，
整理得（*t*﹣0.5）^2^＝0.16，
解得（舍去），，
当0≤*t*≤0.3时，*MP*随*t*的增大而增大，
∴．
（Ⅱ）当0.3＜*t*≤0.65时，*MP*＝*MD*﹣*NF*＝﹣2（*t*﹣0.5）^2^+2.7﹣\[﹣2（*t*﹣0.8）^2^+2.7\]＝﹣1.2*t*+0.78，
*NH*＝*NF*﹣*HF*＝﹣2（*t*﹣0.8）^2^+2.7﹣1.3＝﹣2（*t*﹣0.8）^2^+1.4，
∴﹣2（*t*﹣0.8）^2^+1.4＝5×（﹣1.2*t*+0.78），
整理得*t*^2^﹣4.6*t*+1.89＝0，
解得，（舍去），，
当0.3＜*t*≤0.65时，*MP*随*t*的增大而减小，
∴．
（Ⅲ）当0.65＜*t*≤1时，*h*~1~＜*h*~2~，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及能将实际问题转化为二次函数问题求解．
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**高考数学选择题专项训练（二）**
1、函数*y*=cos^4^*x*-sin^4^*x*图象的一条对称轴方程是（ ）。
（*A*）*x*=- （*B*）*x*=- （*C*）*x*= （*D*）*x*=
2、已知*l*、*m*、*n*为两两垂直且异面的三条直线，过*l*作平面α与*m*垂直，则直线*n*与平面α的关系是（ ）。
（*A*）*n*//α （*B*）*n*//α或*n*α
（*C*）*n*α或*n*不平行于α （*D*）*n*α
3、已知*a*、*b*、*c*成等比数列，*a*、*x*、*b*和*b*、*y*、*c*都成等差数列，且*xy*≠0，那么的值为（ ）。
（*A*）1 （*B*）2 （*C*）3 （*D*）4
4、如果在区间\[1, 3\]上，函数*f* (*x*)=*x*^2^+*px*+*q*与*g*(*x*)=*x*+在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对的是（ ）。
（*A*）*f* (*x*)≥3 (*x*∈\[1, 2\]) （*B*）*f* (*x*)≤4 (*x*∈\[1, 2\])
（*C*）*f* (*x*)在*x*∈\[1, 2\]上单调递增 （*D*）*f* (*x*)在*x*∈\[1, 2\]上是减函数
5、在(2+)^100^展开式中，有理数的项共有（ ）。
（*A*）4项 （*B*）6项 （*C*）25项 （*D*）26项
6、等比数列{*a~n~*}的公比*q*\<0，前*n*项和为*S~n~*, *T~n~*=，则有（ ）。
（*A*）*T*~1~\<*T*~9~ （*B*）*T*~1~=*T*~9~ （*C*）*T*~1~\>*T*~9~ （*D*）大小不定
**7**、设集合*A*＝，集合*B*＝{0}，则下列关系中正确的是（ ）
（*A*）*A*＝*B* （*B*）*AB* （*C*）*AB* （*D*）*AB*
**8**、已知直线*l*过点*M*（－1，0），并且斜率为1，则直线*l*的方程是（ ）
A. *x*＋*y*＋1＝0 （*B*）*x*－*y*＋1＝0
> （*C*）*x*＋*y*－1＝0 （*D*）*x*―*y*―1＝0
**9**、已知集合*A*＝{整数}，*B*＝{非负整数}，*f*是从集合*A*到集合*B*的映射，且*f*：*x* *y*＝*x*^2^（*x*∈*A*，*y*∈*B*），那么在*f*的作用下象是4的原象是（ ）
（*A*）16 （*B*）±16 （*C*）2 （*D*）±2
**10**、已知函数*y*＝,那么（ ）
（*A*）当*x*∈（－∞，1）或*x*∈（1，＋∞）时，函数单调递减
（*B*）当*x*∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增
（*C*）当*x*∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减
（*D*）当*x*∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增
**11**、在(2－)^8^的展开式中，第七项是（ ）
（*A*）112*x*^3^ （*B*）－112*x*^3^ （*C*）16*x*^3^ （*D*）－16*x*^3^
**12**、设*A*＝{*x*\| *x*^2^＋*px*＋*q*＝0},*B*＝{*x*\| *x*^2^＋(*p*－1)*x*＋2*q*＝0},
若*A*∩*B*＝{1}，则（ ）。
A. *AB* （*B*）*AB*
> （*C*）*A*∪*B* ＝{1, 1, 2} （*D*）*A*∪*B*＝(1,－2)
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**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **A** **A** **B** **C** **D** **A** **C** **B** **D** **A** **A** **A**
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=（ ）
A. {*x*\|2\<*x*≤3} B. {*x*\|2≤*x*≤3}
C. {*x*\|1≤*x*\<4} D. {*x*\|1\<*x*\<4}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.（ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..
由于，所以，
由于，
所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】
记"该中学学生喜欢足球"为事件，"该中学学生喜欢游泳"为事件，则"该中学学生喜欢足球或游泳"为事件，"该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳"为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】记"该中学学生喜欢足球"为事件，"该中学学生喜欢游泳"为事件，则"该中学学生喜欢足球或游泳"为事件，"该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳"为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
6.基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
7.已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
8.若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
**二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知曲线.（ ）
A. 若*m*\>*n*\>0，则*C*是椭圆，其焦点在*y*轴上
B. 若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
C. 若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
D. 若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
10.下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)的部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= （ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知*f*(*x*)＝*Asin*(*ωx*＋*φ*)(*A*＞0，*ω*＞0)的部分图象求其解析式时，*A*比较容易看图得出，困难的是求待定系数*ω*和*φ*，常用如下两种方法：
(1)由*ω*＝即可求出*ω*；确定*φ*时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的"零点"横坐标*x*~0~，则令*ωx*~0~＋*φ*＝0(或*ωx*~0~＋*φ*＝*π*)，即可求出*φ*.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或"零点")坐标代入解析式，再结合图形解出*ω*和*φ*，若对*A*，*ω*的符号或对*φ*的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
11.已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.（ ）
A 若*n*=1，则*H*(*X*)=0
B. 若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
C. 若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
D. 若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.
.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义"信息熵"的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13.斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去*y*并整理得到关于*x*的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线*AB*过焦点*F*且斜率为，∴直线*AB*的方程为：
代入抛物线方程消去*y*并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
14.将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
16.已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到*a*,*b*的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】**解法一：**
由可得：，
不妨设，
则：，即.
**选择条件①的解析：**
据此可得：，，此时.
**选择条件②的解析：**
据此可得：，
则：，此时：，则：.
**选择条件③的解析：**
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前*n*项和公式求解其前*n*项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为*q*(*q*\>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
-- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- ------- ------- --------
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得列联表；
（3）计算出，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；
（2）由所给数据，可得列联表为：
------ ---- ---- ------
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
------ ---- ---- ------
（3）根据列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.
20.如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因为
所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为，则有，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
21.已知椭圆*C*：过点*M*（2，3）,点*A*为其左顶点，且*AM*的斜率为 ，
（1）求*C*的方程；
（2）点*N*为椭圆上任意一点，求△*AMN*的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得*a*,*b*的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点*N*的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点*N*到直线*AM*的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线*AM*的方程为：，即.
当*y*=0时，解得，所以*a*=4，
椭圆过点*M*(2，3)，可得，
解得*b*^2^=12.
所以*C*的方程：.
(2)设与直线*AM*平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与*AM*距离比较远的直线与椭圆的切点为*N*，此时△*AMN*的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即*m*^2^=64，解得*m*=±8，
与*AM*距离比较远的直线方程：，
直线*AM*方程为：，
点*N*到直线*AM*的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△*AMN*的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22.已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a\>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得*a*的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将,
令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于*a*的对数不等式，解得*a*的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+*e*),
∴函数f(x)在点(1,*f*(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
，且
设,则
∴g(*x*)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,*∴*成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
\>1,
*∴∴*恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数*a*的取值范围是\[1,+∞).
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上*h'(x)\>0,h(x)*单调递增；在(1,+∞)上*h'(x)\<0,h(x)*单调递减，
∴,
*，*∴*a*的取值范围是\[1,+∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.
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文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中*S*为底面面积，*h*为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中*S*为底面面积，*h*为高 其中*R*为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知命题 **R，**，则
（A）**R**, （B）**R**,
（C）**R**, （D）**R**,
（3）函数在区间的简图是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知平面向量则向量=
（A） （B）
（C） （D）
（5）如果执行右面的程序框图，
那么输出的
（A）2 450
（B）2 500
（C）2 550
（D）2 652
（6）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则*ad*等于
（A）3 （B）2 （C）1 （D）
> （7）已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有
（A） （B）
（C） （D）
> （8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
> （11）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为*r*的球面上，球心*O*在*AB*上，，. 则球的体积与三棱锥体积之比是
（A） （B） （C） （D）
（12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
---------- --- ---------- --- ---------- -- ------ --- --- --- ---- -- ------ --- --- --- ----
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4
---------- --- ---------- --- ---------- -- ------ --- --- --- ---- -- ------ --- --- --- ----
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 [ ]{.underline} .
（14）设函数为偶函数，则 [ ]{.underline} .
（15）是虚数单位， [ ]{.underline} . (用的形式表示，)
（16）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 [ ]{.underline} .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
**（17）**（本小题满分12分）
> 如图，测量河对岸的塔高*AB*时，可以选与塔底*B*在同一水平面内的两个测点*C*与*D*. 现测得，，，并在点*C*测得塔顶*A*的仰角为，求塔高.
（18）（本小题满分12分）
如图，*A*，*B*，*C*，*D*为空间四点. 在△*ABC*中，*AB*=2，*AC*=*BC*=. 等边三角形*ADB*以*AB*为轴转动.
（Ⅰ）当平面*ADB*⊥平面*ABC*时，求*CD*；
（Ⅱ）当△*ADB*转动时，是否总有*AB*⊥*CD*？证明你的结论.
（19）（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值.
（20）（本小题满分12分）
**设有关于的一元二次方程.**
> **（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，*b*是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.**
>
> **（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，*b*是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.**
（21）（本小题满分12分）
> 在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆的圆心为*Q*，过点且斜率为*k*的直线与圆*Q*相交于不同的两点*A*、*B*.
（Ⅰ）求*k*的取值范围；
> （Ⅱ）是否存在常数*k*，使得**向量**与共线？如果存在，求*k*值；如果不存在，请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知*AP*是⊙*O*的切线，*P*为切点，*AC*是⊙*O*的割线，与⊙*O*交于*B*、*C*两点，圆心*O*在的内部，点*M*是*BC*的中点.
（Ⅰ）证明*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆；
（Ⅱ）求∠*OAM*＋∠*APM*的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙*O*~1~和⊙*O*~2~的极坐标方程分别为.
（Ⅰ）把⊙*O*~1~和⊙*O*~2~的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙*O*~1~，⊙*O*~2~交点的直线的直角坐标方程.
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2007年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
评分说明:
1\. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2\. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3\. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4\. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
> （1）**A** （2）C （3）**A** （4）D （5）C （6）**B**
>
> （7）C （8）B （9）C （10）D （11）**D** （12）B
二．填空题
（13）3 （14） （15） （16）
三．解答题
（17）解：
在△*BCD*中，
> . ......2分
由正弦定理得
> ......5分
所以
> ......8分
在Rt△*ABC*中，
> ......12分
（18）解：
（Ⅰ）取*AB*的中点*E*，连结*DE*，*CE*，因为*ADB*是等边三角形，所以*DE*⊥*AB*. 当平面*ADB*⊥平面*ABC*时，因为平面，所以*DE*⊥平面*ABC*，可知*DE*⊥*CE*. ......2分
由已知可得*DE*=，*EC*=1.
在Rt△*DEC*中，
......6分
（Ⅱ）当△*ADB*以*AB*为轴转动时，总有*AB*⊥*CD*.
> ......8分
证明：
（ⅰ）当*D*在平面*ABC*内时，因为*AC*=*BC*，*AD*=*BD*，所以*C*，*D*都在线段*AB*的垂直平分线上，即*AB*⊥*CD*. ......9分
（ⅱ）当*D*不在平面*ABC*内时，由（Ⅰ）知*AB*⊥*DE*. 又因*AC*=*BC*，所以*AB*⊥*CE*.
又*DE*，*CE*为相交直线，所以*AB*⊥平面*CDE*，由平面*CDE*，得*AB*⊥*CD.*
综上所述，总有*AB*⊥*CD*. ......12分
（19）解：
的定义域为.
（Ⅰ）. ......3分
当时，；当时，；当时，.从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少.
> ......7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为. ......9分
又
所以在区间的最大值为. ......12分
（20）解：
设事件*A*为"方程有实根".
当，时，方程有实根的充要条件为**.**
**（Ⅰ）基本事件共有12个：**
**(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2) .**
**其中第一个数表示*a*的取值，第二个数表示*b*的取值.**
**事件*A*中包含9个基本事件，事件*A*发生的概率为**
. ......6分
**（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为**
.
构成事件*A*的区域为
.
所以所求的概率为
. ......12分
（21）解：
（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为. 过且斜率为*k*的直线方程为
，
代入圆方程得
，
整理得 . ① ......3分
直线与圆交于两个不同的点*A*、*B*等价于
解得，即*k*的取值范围为. ......6分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
. ②
又 . ③ ......8分
而.
所以与共线等价于
，
将②③代入上式，解得. ......11分
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数*k*. ......12分
（22）
（Ⅰ）证明：连结*OP*，*OM*.
因为*AP*与⊙*O*相切于点*P*，所以
*OP*⊥*AP*.
因为*M*是⊙*O*的弦*BC*的中点，所以
*OM*⊥*BC*.
于是∠*OPA*＋∠*OMA*=180°，由圆心*O*在的内部，可知四边形*APOM*的对角互补，所以*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆. ......6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆，所以
∠*OAM*=∠*OPM.*
由（Ⅰ）得*OP*⊥*AP*.
由圆心*O*在的内部，可知∠*OPM*＋∠*APM*=90°.
所以∠*OAM*＋∠*APM*=90°. ......10分
（23）解：
以极点为原点，极轴为*x*轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
（Ⅰ），由得
，
所以.
即为⊙*O*~1~的直角坐标方程.
同理为⊙*O*~2~的直角坐标方程. ......6分
（Ⅱ）由
解得
即⊙*O*~1~，⊙*O*~2~交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.
......10分
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**1962年试题**
**试卷上不必抄题,但须写明题号,例如1,5(1)等**
**1.**某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21％.问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1％)
**\[Key\] 1.解**(1)设每年平均增长x％,则
∴ x=10.
答:每年平均增长10％.
答:第一年产量是第三年的83％.
**2.**求(1-2i)5的实部.
**\[Key\]** 
∴(1-2i)5的实部是
1+10(2i)2+5(2i)4=1-40+80=41.
**3.**解方程:log(x-5)+log(x+3)-2log2=log(2x-9).
\[Key\] **3.解**原方程可以写成
或者 (x-5)(x+3)=4(2x-9).
化简,得 x2-10x+21=0,
或 (x-3)(x-7)=0.
∴ x1=3,x2=7.
当x=3时,x-5\<0,而log(x-5)无意义,所以3不是原方程的解,经检验,x=7是原方程的解.
**\[Key\]**
**5.**求证:(1)圆内接平行四边形是矩形;
(2)圆外切平行四边形是菱形.
**\[Key\] 5.证明**(1)设ABCD为圆内接平行四边形,因为平行四边形的对角相等,
所以
∠A=∠C.
又因圆内接四边形的对角互补,得
∠A+∠C=180°,
∴ ∠A=∠C=90°,
∴ ABCD是矩形.
(2)设平行四边形ABCD切圆于E、F、G、H(如图),则因从圆外一点所作的两条切线等长,得
四式相加,得
AB+CD=AD+BC.
又因平行四边形的对边相等,得
AB=CD, AD=BC.
∴ AB=BC
∴ ABCD是菱形.
**6.**解方程组:
并讨论:a取哪些实数值时,这个方程组
\(1\) 有不同的两组实数解;
\(2\) 有相同的两组实数解;
\(3\) 没有实数解.
**\[Key\] 6.解:**
由(2), x=y-a, (3)
代入(1),得
y2-4(y-a)-2y+1=0,
即
y2-6y+4a+1=0.
代入(3),得
方程组的解为:
讨论:
(1)当a\<2时,方程组有不同的两组实数解;
(2)当a=2时,方程组有相同的两组实数解;
(3)当a\>2时,方程组没有实数解.
**7.**如图,ABCD和ABCD都是正方形,而A、B、C、D顺次分AB、BC、CD、DA成m:n,并设AB=1.
\(1\) 求正方形ABCD的面积;
**\[Key\] 7.解:**(1)由于AB=1,AA:AB=m:n,得知
又知BAB为直角三角形,
故正方形ABCD的面积为
**8.**D是△ABC内的一点,已知
AB=AC=1, ∠CAB=63°,
∠DAB=33°, ∠DBA=27°,
求CD.(sin27°=0.4540.最后结果计算到小数点后两位.)
**\[Key\] 8.解:**在△ABD内,
故根据正弦定理,
又 ∠DAC=63°-33°=30°,
故根据余弦定理,在△ADC内,
CD2=1+AD2-2ADcos30°
=1+0.9080×(0.3027-1)
=1-0.9080×0.6973
=1-0.6331
=0.3669.
∴ CD=0.60.
**9.**由正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作这个正方体的对角线A1C的垂线,垂足为E.证明:
A1E:EC=1:2.
(要求画图)
**\[Key\] 9.证明;**
作AC,则A1A⊥AC.
故△A1AC为直角三角形.
设正方体的棱长为1,则
在直角三角形A1AC中,AE⊥A1C,
∴A1A2=A1E·A1C, 即1=AE·A1C.
同理,AC2=EC·A1C, 即2=EC·A1C.
由此得 A1E:EC=1:2.
**10.**求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内.
**\[Key\] 10.证明:**在这四条直线中,任取两条直线a、b,设其交点为P.因为四条直线不通过同一点,所以在另外两条直线中,至少有一条直线c不通过P,直线c必与a、b分别交于不同的两点.因此,c必在a、b所决定的平面内.
第四条直线d与a、b、c至少交于两个不同的点,所以d也在a、b所决定的平面内.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**理科综合**
**参考答案**
**第Ⅰ卷（必做 共88分）**
1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A
9．A 10．C 11．B 12．D 13．A 14．D 15．B 16．C
17．B、D18．D 19．A、C20．A 21．B 22．B、C
**第Ⅱ卷（必做120分＋选做32分，共152分）**
23．（11分）
（1）A1 V2
（2）
**方案一：**
需要的器材：游标卡尺、毫米刻度尺
主要操作步骤：
①数出变阻器线圈缠绕匝数n
②用毫米刻度尺（也可以用游标卡尺）测量所有线圈的排列长度L，可得电阻丝的直径为d=L/n
③用游标卡尺测量变阻器线圈部分的外径D，可得电阻丝总长度l=nπ（D-）也可以用游标卡尺测量变阻器瓷管部分的外径D，得电阻丝总长度l=n（D-）。
④重复测量三次，求出电阻丝直径和总长度的平均值
**方案二：**
需要的器材：游标卡尺
主要的操作步走骤：
①数出变阻器线圈缠绕匝数n
②用游标卡尺测量变阻器线圈部分的外径D~1~ 和瓷管部分的外经D~2~，可得电阻丝的直径为d=
电阻丝总长度l=π（D~1~+D~2~）
③重复测量三次，求出电阻丝直径和总长度的平均值
24．（16分）
（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：μmg=mω^2^R
代入数据解得：ω==5rad/s
（2）滑块在A点时的速度：U~A~=ωR=1m/s
从A到B的运动过程由动能定理：mgh-μmgcos53°·h/sin53°=1/2mv~B~^2^-1/2mv~A~^2^
在B点时的机械能E~B~=1/2mv~B~^2^-mgh=-4J
（3）滑块在B点时的速度：v~B~=4m/s
滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a~3~=g（sin37°+ucos37°）=10m/s^2^
返回时的速度大小：a~2~=g（sin37°-ucos37°）=2m/s^2^
BC间的距离：s~BC~=v~B~^2^/2a~1~-1/2a~2~（t-u~R~/a~1~）^2^=0.76m
25．（18分）
（1）由动能定理：neU~1~=1/2mv^2^
n价正离子在a、b间的加速度a~1~=neU~1~/md
在a、b间运动的时间t~1~=v/a~1~=d
在MN间运动的时间：t~2~=L/v
离子到达探测器的时间：
t=t~1~+t~2~=
（2）假定n价正离子在磁场中向N板偏转，洛仑兹力充当向心力，设轨迹半径为R，由牛顿第二定律nevB=mv^2^/R
离子刚好从N板右侧边缘穿出时，由几何关系：
R^2^=L^2^+（R-L/2）^2^
由以上各式得：U~1~=25neL^2^B^2^/32m
当n=1时U~1~取最小值U~min~=25eL^2^B^2^/32m
26．（17分）
（1）自交 2/3
（2）II
（3）C 基因突变频率低且不定向
（4）秋水仙素（或低温）诱导染色体加倍 100%
（5）将矮秆小麦与高秆小麦杂交；如果子一代为高秆，子二代高秆：矮秆=3：1（或出现性状分离），则矮秆性状是基因突变造成的；否则，矮秆性状是环境引起的。或将矮小麦与高秆小麦种在相同环境条件下；如果两者未出现明显差异，则矮秆性状由环境引起；否则，矮秆性状是基因突变的结果。
27．（16分）
（1）a 扩（分）散转移
（2）抗原 效应T细胞
（3）记录并比较A、B两组的增殖代数（分裂次数）。
结果预测及分析分：A组比B组增殖代数减少，说明端粒酶与细胞癌变（边疆分裂）有关；A组仍然无限增殖，说明端粒酶与细胞癌变（连续分裂）无关。
（4）抑制癌细胞中端粒酶的活性（或抑制细胞分裂）或免疫治疗（输入淋巴因子、DNA疫苗）
28．（11分）
（1）①800Ｌ·mol^－1^ ②＝
（2）1.60Ｎ~Ａ~ ，173.4
（3）MFe~2~O~x~＋SO~2~→MFe~2~O~4~＋Ｓ
29．（15分）
（1）2Fe^3+^＋Cu＝2Fe^2+^＋Cu^2+^
（2）装置图
正极反应：Ｆｅ^3＋^＋ｅ^－^＝Ｆｅ^2＋^（或2Ｆｅ^3＋^＋2ｅ^－^＝2Ｆｅ^2＋^）
负极反应：Ｃｕ＝Ｃｕ^2＋^＋2ｅ^－^（或Ｃｕ－2ｅ^－^＝Ｃｕ^2＋^）
（3）①通入足量氯气将Ｆｅ^2＋^氧化成Ｆｅ^3＋^；②加入ＣｕＯ调节溶液的ｐＨ至3.2～4.7；③过滤\[除去Fe（OH）~3~\]
（4）ＣｕＯ＋Ｈ~2~ＳＯ~4~＝ＣｕＳＯ~4~＋Ｈ~2~Ｏ
ＣｕＳＯ~4~＋Ｆｅ＝ＦｅＳＯ~4~＋Ｃｕ，不锈钢表面有紫红色物质生成。
30．（16分）
（1）ACBECF；AB之间的C装置中溶液保持澄清，EF之间的C装置中溶液变混浊。
（2）关闭；打开；ｋ；ｍ；2CH~3~CH~2~OH+O~2~ 2CH~3~CHO+2H~2~O
（3）氢氧化钠溶于水放出大量热，温度升高，使氨的溶解度减小而放出；氢氧化钠吸水，促使氨放出；氢氧化钠电离出的ＯＨ^－^增大了氨水中ＯＨ^－^浓度，促使氨水电离平衡左移，导致氨气放出。 还原。
31．（8分）
（1）阳离子（或Ｎａ^＋^）；钛（或石墨）
（2）否。如果先沉淀Mg（OH）~2~，则沉淀中会夹杂有CaSO~4~沉淀，产品不纯。
（3）四氯化碳萃取法工艺复杂、设备投资大；经济效益低、环境污染严重。
32．（8分）
（1）5
（2）1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^10^4s^2^4p^1^（或\[Ar\]3d^10^4s^2^4p^1^），4，正四面体，原子。
（3）ＨＣｌＯ；ＮＨ~3~·Ｈ~2~Ｏ。
33．（8分）
（1）醛基 （酚）羟基 醚键
（2）（a）取代反应
（b）
（3）
34．（8分）
（1）纤维素（酶）
（2）B、E
（3）选择培养基 纤维素
（4）酶的活力（活性） 固定化酶（固定化细胞）
（5）酵母菌 无氧（密闭、密封）
35．（8分）
（1）显微注射
（2）受精卵（或早期胚胎） 受精卵（或早期胚胎细胞）具有全能性，可使外源基因在相应组织细胞表达
（3）DNA分子杂交（核酸探针）
（4）膀胱上皮
（5）细胞核 去核的卵 核移植（或克隆）
36．（8分）
（1）设锅内气体分子数为n
n=V/V~0~·N~A~
（2）根据热力学第一定律
ΔE=W+Q=-3J
锅内气体内能减少，减少了3J
（3）由P=P~0~（1-αH）（其中α＞0）知，随着海拔高度的增加，大气压强减小；
由P~1~=P+mg/S知，随着海拔高度的增加，阀门被顶起时锅内气体压强减小；
根据查理定律P~1~/T~1~=P~2~/T~2~
可知阀门被顶起时锅内气体温度随着海拔高度的增加而降低。
37．（8分）
（1）v=Δx~1~/Δt=2m/s
Δt=5/4·T T=1.6s
λ=vT=3.2m
（2）可行，振动图象如图。
38．（8分）
（1）卢瑟福提出了原子的核式结构模型（或其他成就玻尔把量子理论引入原子模型，并成功解释了氢光谱（或其他成就）查德威克发现了中子（或其他成就）。
（2）设中子质量为M~n~靶核质量为M，由动量守恒定律
M~n~v~0~=M~n~v~1~+Mv~2~
解得：v~1~=M~n~-M/M~n~+M·v~0~
在重力中靶核质量：M~H~=2M~n~
V~1H~=M~n~-M~c~/M~n~+M~c~·v~0~=-1/3v~0~
在石墨中靶核质量：M~c~=12M
V~1c~= M~n~-M/M~n~+M·v~0~=11/13v~0~
与重力靶核碰后中子速度较小，故重水减速效果更好。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 51 Fe 56**
**一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.国家卫健委公布的新型冠状病毒肺炎诊疗方案指出，乙醚、75%乙醇、含氯消毒剂、过氧乙酸(CH~3~COOOH)、氯仿等均可有效灭活病毒。对于上述化学药品，下列说法错误的是
A. CH~3~CH~2~OH能与水互溶
B. NaClO通过氧化灭活病毒
C. 过氧乙酸相对分子质量为76
D. 氯仿的化学名称是四氯化碳
2.紫花前胡醇可从中药材当归和白芷中提取得到，能提高人体免疫力。有关该化合物，下列叙述错误的是
A. 分子式C~14~H~14~O~4~
B. 不能使酸性重铬酸钾溶液变色
C. 能够发生水解反应
D. 能够发生消去反应生成双键
3.下列气体去除杂质的方法中，不能实现目的的是
--- -------------- ----------------------
气体(杂质) 方法
A SO~2~(H~2~S) 通过酸性高锰酸钾溶液
B Cl~2~(HCl) 通过饱和的食盐水
C N~2~(O~2~) 通过灼热的铜丝网
D NO(NO~2~) 通过氢氧化钠溶液
--- -------------- ----------------------
A. A B. B C. C D. D
4.铑的配合物离子\[Rh(CO)~2~I~2~\]^－^可催化甲醇羰基化，反应过程如图所示。
下列叙述错误的是
A. CH~3~COI是反应中间体
B. 甲醇羰基化反应为CH~3~OH+CO=CH~3~CO~2~H
C. 反应过程中Rh的成键数目保持不变
D. 存在反应CH~3~OH+HI=CH~3~I+H~2~O
5.1934年约里奥--居里夫妇在核反应中用α粒子(即氦核)轰击金属原子，得到核素，开创了人造放射性核素的先河：+→+。其中元素X、Y的最外层电子数之和为8。下列叙述正确的是
A. 的相对原子质量为26
B. X、Y均可形成三氯化物
C. X的原子半径小于Y的
D. Y仅有一种含氧酸
6.科学家近年发明了一种新型Zn−CO~2~水介质电池。电池示意图如图，电极为金属锌和选择性催化材料，放电时，温室气体CO~2~被转化为储氢物质甲酸等，为解决环境和能源问题提供了一种新途径。
下列说法错误的是
A. 放电时，负极反应为
B. 放电时，1 mol CO~2~转化为HCOOH，转移的电子数为2 mol
C. 充电时，电池总反应为
D. 充电时，正极溶液中OH^−^浓度升高
7.以酚酞为指示剂，用0.1000 mol·L^−1^的NaOH溶液滴定20.00 mL未知浓度的二元酸H~2~A溶液。溶液中，pH、分布系数随滴加NaOH溶液体积V~NaOH~的变化关系如图所示。\[比如A^2−^的分布系数：\]
下列叙述正确的是
A. 曲线①代表，曲线②代表
B. H~2~A溶液的浓度为0.2000 mol·L^−1^
C. HA^−^电离常数*K*~a~=1.0×10^−2^
D. 滴定终点时，溶液中
**三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共129分。**
8.钒具有广泛用途。黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~。采用以下工艺流程可由黏土钒矿制备NH~4~VO~3~。
该工艺条件下，溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
------------ -------- -------- -------- --------
金属离子 Fe^3+^ Fe^2+^ Al^3+^ Mn^2+^
开始沉淀pH 1.9 7.0 3.0 8.1
完全沉淀pH 3.2 9.0 4.7 10.1
------------ -------- -------- -------- --------
回答下列问题：
(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"酸浸氧化"中，VO^+^和VO^2+^被氧化成，同时还有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_离子被氧化。写出VO^+^转化为反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，以及部分\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"沉淀转溶"中，转化为钒酸盐溶解。滤渣③的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"调pH"中有沉淀生产，生成沉淀反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9.为验证不同化合价铁的氧化还原能力，利用下列电池装置进行实验。
回答下列问题：
(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10 mol·L^−1^ FeSO~4~溶液，需要仪器有药匙、玻璃棒、\_\_\_\_\_\_\_\_\_(从下列图中选择，写出名称)。
(2)电池装置中，盐桥连接两电极电解质溶液。盐桥中阴、阳离子不与溶液中的物质发生化学反应，并且电迁移率(u^∞^)应尽可能地相近。根据下表数据，盐桥中应选择\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_作为电解质。
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
阳离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^) 阴离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^)
Li^+^ 4.07 4.61
Na^+^ 5.19 7.40
Ca^2+^ 6.59 Cl^−^ 7.91
K^+^ 7.62 8.27
-------- ------------------------------- -------- -------------------------------
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极。可知，盐桥中的阳离子进入\_\_\_\_\_\_\_\_电极溶液中。
(4)电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*(Fe^2+^)增加了0.02 mol·L^−1^。石墨电极上未见Fe析出。可知，石墨电极溶液中*c*(Fe^2+^)=\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_，铁电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。因此，验证了Fe^2+^氧化性小于\_\_\_\_\_\_\_\_，还原性小于\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)实验前需要对铁电极表面活化。在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化。检验活化反应完成的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
10.硫酸是一种重要的基本化工产品，接触法制硫酸生产中的关键工序是SO~2~的催化氧化：SO~2~(g)+O~2~(g)SO~3~(g) ΔH=−98 kJ·mol^−1^。回答下列问题：
(1)钒催化剂参与反应的能量变化如图所示，V~2~O~5~(s)与SO~2~(g)反应生成VOSO~4~(s)和V~2~O~4~(s)的热化学方程式为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)当SO~2~(g)、O~2~(g)和N~2~(g)起始的物质的量分数分别为7.5%、10.5%和82%时，在0.5MPa、2.5MPa和5.0MPa压强下，SO~2~平衡转化率α 随温度的变化如图所示。反应在5.0MPa、550℃时的α=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。影响α的因素有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)将组成(物质的量分数)为2m% SO~2~(g)、m% O~2~(g)和q% N~2~(g)的气体通入反应器，在温度t、压强p条件下进行反应。平衡时，若SO~2~转化率为α，则SO~3~压强为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，平衡常数K~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)研究表明，SO~2~催化氧化的反应速率方程为：v=k(−1)^0.8^(1−nα\')。式中：k为反应速率常数，随温度t升高而增大；α为SO~2~平衡转化率，α\'为某时刻SO~2~转化率，n为常数。在α\'=0.90时，将一系列温度下的k、α值代入上述速率方程，得到v\~t曲线，如图所示。
曲线上v最大值所对应温度称为该α\'下反应的最适宜温度t~m~。t\<t~m~时，v逐渐提高；t\>t~m~后，v逐渐下降。原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**(二)选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
11.Goodenough等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。回答下列问题：
(1)基态Fe^2+^与Fe^3+^离子中未成对的电子数之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Li及其周期表中相邻元素的第一电离能(I~1~)如表所示。I~1~(Li)\> I~1~(Na)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。I~1~(Be)\> I~1~(B)\> I~1~(Li)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)磷酸根离子的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_，其中P的价层电子对数为\_\_\_\_\_\_\_、杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)LiFePO~4~的晶胞结构示意图如(a)所示。其中O围绕Fe和P分别形成正八面体和正四面体，它们通过共顶点、共棱形成空间链结构。每个晶胞中含有LiFePO~4~的单元数有\_\_\_\_个。
电池充电时，LiFeO~4~脱出部分Li^+^，形成Li~1−x~FePO~4~，结构示意图如(b)所示，则x=\_\_\_\_\_\_\_，n(Fe^2+^ )∶n(Fe^3+^)=\_\_\_\_\_\_\_。
12.有机碱，例如二甲基胺()、苯胺()，吡啶()等，在有机合成中应用很普遍，目前"有机超强碱"的研究越来越受到关注，以下为有机超强碱F的合成路线：
已知如下信息：
①H~2~C=CH~2~
②+RNH~2~
③苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)由B生成C的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C中所含官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由C生成D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)D的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)E的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，且核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有\_\_\_\_\_\_\_\_种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
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> **河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试**
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> **数学（理）试题**
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> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，或，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3\. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 （ ）
A.  B.  C.  D. 
5\. 《九章算术》中有如下问题："今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ "其大意："已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？"现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
10\. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（ ）
A.  B. 
C.  D. 学\*科\*网\...
11\. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 在中，分别为角的对边，，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.
18\. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.
（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.
19\. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.
20\. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.
21\. 设函数）.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程学\*科\*网\...
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数，且恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
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**定义新运算**
1、对任意整数x,y，规定如下：
x\*y=（x+1）×（y+1）-1
那么下面结论错误的是？
（1）x\*y=y\*x
（2）x\*（y\*z）=x\*y+x\*z
（3）x\*0=x
（4）（x-1）\*（x+1）=x\*x-1
2、设"\*"的运算法则如下：对任何整数a、b，若a+b≥12，则a\*b=a+b-1；若a+b＜12，则a\*b=2a-b
求：（1\*2）+（2\*3）+（3\*4）+（4\*5）+（5\*6）+（6\*7）+（7\*8）+（8\*9）+（9\*10）。
3、对任意整数a、b，规定：a&b=a+2b-1；问：是否存在整数m，使得（3&4）&m=3&（4&m）？如果存在，求出这样的m，若果不存在，说明理由。
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**泰安市二O一七年初中学生学业考试**
**数学试题**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
**一、选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）**
1.下列四个数：-3，，，-1，其中最小的数是（ ）
A． B．-3 C．-1 D．
2.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列图案：
   
其中，中心对称图形是（ ）
A．①② B．②③ C. ②④ D．③④
4."2014年至2016年，中国同'一带一路'沿线国家贸易总额超过3万亿美元"．将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ）
A．美元 B．美元 C. 美元 D．美元
5.化简的结果为（ ）
A． B． C. D．
6.下面四个几何体：
其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
7.一元二次方程配方后化为（ ）
A． B． C. D．
8.袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，主其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C. D．
9.不等式组，的解集为．则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
10.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进件衬衫，则所列方程为（ ）
A． B．
C. D．
11.为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A、B、C、D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图．根据统计图中提供的信息，结论错误的是（ ）
A．本次抽样测试的学生人数是40
B．在图1中，的度数是
C.该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80
D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.2
12.如图，内接于，若，则等于（ ）
A． B． C. D．
13.已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C. D．
14.如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A．18 B． C. D．
15.已知二次函数的与的部分对应值如下表：
-- ---- --- --- ---
-1 0 1 3
-3 1 3 1
-- ---- --- --- ---
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
16.某班学生积极参加爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
--------- --- ---- ---- ---- -----
金额/元 5 10 20 50 100
人数 4 16 15 9 6
--------- --- ---- ---- ---- -----
则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ）
A．10，20.6 B．20，20.6 C.10，30.6 D．20，30.6
17.如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于（ ）
A． B． C. D．
18.如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与对应，则角的大小为（ ）
A． B． C. D．
19.如图，四边形是平行四边形，点是边上的一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：
①平分；②平分；③；④．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C.3 D．4
20.如图，在中， ， ，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动(点运动到点停止)，在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（非选择题 共60分）**
**二、填空题（本大题共4小题，满分12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）**
21.分式与的和为4，则的值为 [ ]{.underline} ．
22.关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
23.工人师傅用一张半径为，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 [ ]{.underline} ．
24.如图， ，为上一点， ，点是上的一动点， ，垂足为点，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共5小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）**
25.如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴的正半轴上，，且，，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若与关于直线对称，一次函数的图象过点，求一次函数的表达式．
26.某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元.大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元.
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元?销售完后，该水果商共赚了多少元钱?
(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
27.如图，四边形中， ，平分，点是延长线上一点，且．
（1）证明：；
（2）若与相交于点，，，求的长.
28.如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与轴的一个交点为，另一交点为，与轴交点为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，点是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由．
29.如图，四边形是平行四边形，，，是的中点，是延长线上一点．
（1）若，求证：；
（2）在（1）的条件下，若的延长线与交于点，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；
（3）若，与垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）**
**数 学（文科）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。ZXXK.COM
**第Ⅰ卷**
考生注意：ZXXK.COM
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。XK.COM
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。M
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．ZXXK.COM
**参考公式：ZXXK.COM**
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式Z
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） S＝4πR^2^Z
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径Z
P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR^3^ZXXK.COM
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径.
P~n~（k）＝CP （1一P）ZX
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。XXK.COM**
1．若集合M＝{0，1}，I＝{0，1，2，3，4，5}，则~1~M为ZXXK.COM
A．{0，1}
B．{2，3，4，5} ZXXK.COM
C．{0，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}ZXXK.COM
2．函数y＝5tan（2x＋1）的最小正周期为ZXXK.COM
A．
B．
C．π
D．2πZXXK.COM
3．函数的定义域为ZXXK.COM
A．（1，4）
B．\[1，4） ZXXK.COM
C．（－∞，1）∪（4，＋∞）
D．（－∞，1\]∪（4，＋∞）ZXXK.COM
4．若tanα＝3，tanβ＝，则tan（α－β）等于ZXXK.COM
A．－3
B．－
C．3
D．ZXXK.COM
5．设（x^2^＋1）（2x＋1）^9^＝a~0~＋a~1~（x＋2）＋a~2~（x＋2）^2^＋...＋a~11~（x＋2）^11^，则a~0~＋a~1~＋a~2~＋...＋a~11~的值为ZXXK.COM
A．－2
B．－1
C．1
D．2ZXXK.COM
6．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为
A．
B．
C．
D．
7．连接抛物线x^2^＝4y的焦点F与点M（1，0）所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为
A．－1＋
B．－
C．1＋
D．＋
8．若0＜x＜，则下列命题中正确的是ZXXK.COM
A．sin x＜
B．sin x＞
C．sin x＜
D．sin x＞ZX
9．四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝，在外接球面上两点A、B间的球面距离是
A．
B．
C．
D．
10．设p：f（x）＝x^3^＋2x^2^＋mx＋l在（－∞，＋∞）内单调递增，q：m≥，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h~1~，h~2~，h~3~，h~4~，则它们的大小关系正确的是
A．h~2~＞h~1~＞h~4~
B．h~1~＞h~2~＞h~3~
C．h~3~＞h~2~＞h~4~
D．h~2~＞h~4~＞h~1~
12．设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F（c，0），方程ax^2^＋bx－c＝0的两个实根分别为x~1~和x~2~，则点P（x~1~，x~2~）
A．必在圆x^2^＋y^2^＝2上
B．必在圆x^2^＋y^2^＝2外
C．必在圆x^2^＋y^2^＝2内
D．以上三种情形都有可能
**第Ⅱ卷**
注意事项：
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上。**
13．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O（0，0），
B（1，1），则·＝ [ ]{.underline} 。
14．已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~12~＝21，则a~2~+a~5~＋a~8~＋a~11~＝ [ ]{.underline} 。
15．已知函数y＝f（x）存在反函数y＝f^－1^（x），若函数y＝f（x＋1）的图象经过点（3，1），则函数y＝f^－1^（x）的图象必经过点 [ ]{.underline} 。
16．如图，正方体AC~1~的棱长为1，过点A作平面A~1~BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△A~1~BD的垂心
B．AH垂直平面CB~1~D~1~
C．二面角C---B~1~D~1~---C~1~的正切值为
D．点H到平面A~1~B~1~C~1~D~1~的距离为
其中真命题的代号是 [ ]{.underline} （写出所有真命题的代号）
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
已知函数 满足。
（1）求常数c的值；
（2）解不等式
18．（本小题满分12分）
如图，函数y＝2cos（ωx＋θ） （x∈R，0≤θ≤）的图象与y轴交于点（0，），且该函数的最小正周期为π。
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x~0~，y~0~）是PA的中点，当y~0~＝，x∈\[，π\]时，求x~0~的值。
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6，0.5， 移栽后成活的概率为0.7，0.9。
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
20．（本小题满分12分）
图是一个直三棱柱（以A~1~B~1~C~1~为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC。已知A~1~B~1~＝B~1~C~1~＝l，∠A~l~B~l~C~1~＝90°，AA~l~＝4，BB~l~＝2，CC~l~＝3。
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A~1~B~1~C~1~；
（2）求AB与平面AA~1~CC~1~所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积。
21．（本小题满分12分）
设{a~n~}为等比数列，a~1~＝1，a~2~＝3。
（1）求最小的自然数n，使a~n~≥2007；
（2）求和：T~2n~＝。
22．（本小题满分14分）
设动点P到两定点F~1~（－l，0）和F~2~（1，0）的距离分别为d~1~和d~2~，∠F~1~PF~2~＝2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d~1~d~2~ sin^2^θ＝λ。
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图，过点F~2~的直线与双曲线C的右支交于A、B两点。问：是否存在λ，使△F~1~AB是以点B为直角定点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。
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**1963年试题**
\[Key\] **1963年试题答案**
以cosθ除分式的分子和分母,得
把OA绕着O点按反时针方向旋转150°,设A点到达的位置为B,写出B点所表示的复数的代数式.
**\[Key\] 2.解:**
∴辐角是k·360°+60°.
(其中k为任何整数)
(2)B点所表示的复数的模数是2,而辐角的主值是60°+150°=210°,
∴B点所表示的复数是:
2(cos210°+isin210°)
**3.**如图,AB为半圆的直径,CD⊥AB.已知AB=1,AC:CB=4:1,求CD
.
**\[Key\] 3.解:**∵AB=1,AC:CB=4:1,
**4.**从二面角内任意一点向二面角的两个面作垂线,求证这两条垂线所决定的平面垂直于二面角的棱.(要求画图)
**\[Key\] 4.证法一:**
已知:二面角M-AB-N,P是M-AB-N内任意一点,PC垂直平面M于C,PD垂直平面N于D.
求证:平面PCD⊥AB.
**证明:**∵PC⊥平面M,
∴PC和AB垂直,
∵PD⊥平面N,
∴PD和AB垂直.
∴平面PCD⊥AB.
**证法二:**
已知:同证法一.
求证:同证法一.
**证明:**∵PC⊥平面M,
∴过PC的平面PCD⊥平面M.
∵PD⊥平面N,
∴过PD的平面PCD⊥平面N.
∴平面PCD垂直平面M和N的交线.
而AB即是平面M和N的交线,
∴平面PCD⊥AB.
**5.**利用下列常用对数表,计算23.28-1.1
**\[Key\] 5.解:**lg23.28-1.1=-1.1×lg23.28
=-1.1×1.3670
=-1.5037
∴23.28-1.1=0.03135.
**6.**解方程:sin3x-sinx+cos2x=0.
**\[Key\] 6.解法一:**
sin3x-sinx+cos2x=0,
2cos2xsinx+cos2x=0,
cos2x(2sinx+1)=0
(n是整数)
(n是整数)
**解法二:**
sin3x-sinx+cos2x=0,
(3sinx-4sin3x)-sinx+(1-2sin2x)=0,
整理,得 4sin3x+2sin2x-2sinx-1=0.
分解,得 (2sinx+1)(2sin2x-1)=0.
(n是整数)
**7.**用1,2,3,4,7,9组成没有重复数字的五位数,问;
(1)这样的五位数一共有多少个?
(2)在这些五位数中,有多少个是偶数?
(3)在这些五位数中,有多少个是3的倍数?
\[Key\] **7.解:**
(1)从这六个数字中,取出五个数字,共能排成
个五位数.
(2)在所求的偶数中,末位必须取2、4这两个数字中的一个,这有两种方法,取定末位后,再从其余五个数字中任取四个,排成其他四位,这有
种方法.因此,共有
个五位数是偶数.
(3)一个整数是不是3的倍数,要看它的各位数字之和是不是3的倍数,这六个数字1,2,3,4,7,9之和是26,因此只有除去2,余下的五个数字之和才是3的倍数.由此可知,所取的五个数字必须是1,3,4,7,9.因此,共有
P5=5!=120
个五位数是3的倍数.
(限定在实数范围内)
**\[Key\] 8.解法一:**
(2)的两边平方,得
xy+3=x2,
即 x2-xy=3. (3)
将(1)的两边乘以3,得
3x2-6xy-3y2=3. (4)
从(4)的两边分别减去(3)的两边,得
2x2-5xy-3y2=0.
分解,得
(2x+y)(x-3y)=0,
2x+y=0,x-3y=0.
检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解;x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
∴方程组的解是:
**解法二:**
(2)的两边平方,得
代入(1),得
整理,得
2x4-11x2+9=0.
分解,得
(x2-1)(2x2-9)=0.
x2-1=0,∴x1=1,x2=-1;
将x的值代入(3),得
检验后,x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解
;x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
∴方程组的解是:
**9.**如图,线段CD与⊙O相交于A、B两点,且AC=BD,
又CE、DF分别与⊙O相切于E、F.
求证:△OEC≌△OFD.
**\[Key\] 9.证法一:**
连结OA,OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA;
∴∠OAC=∠OBD.
又AC=BD,∴△OAC≌△OBD,∴OC=OD.
∵CE、DF分别切⊙O于E、F,∴∠OEC、OFD都是直角.
在△OEC与△OFD中:
∵∠OEC=∠OFD=90°,OE=OF,OC=OD,
∴△OEC≌△OFD.
**证法二:**
∵CE、CB分别是⊙O的切线与割线,
∴CE2=CA·CB=CA(CA+AB).
同理,DF2=DB·DA=DB(DB+AB).
∵CA=DB,∴CE2=DF2,∴CE=DF
∵CE、DF分别切⊙O于E、F,∴∠OEC、∠OFD都是直角.
在△OEC与△OFD中:
∵∠OEC=∠OFD=90°,OE=OF,CE=DF,
∴△OEC≌△OFD.
**10.**如图,半径为1的球,内切于圆锥(即直圆锥),已知圆锥的母线与底面的夹角是2θ.
(3)当θ是什么值的时候,圆锥的全面积最小?(θ用反三角函数表示)
(图中V是圆锥的顶点,VB是母线,O是球心,A是球和圆锥底面的切点.)
**\[Key\] 10.解:**(1)设C为母线VB与球相切的切点.
连OA、OB、OC,则OA=OC=1,OB=OB,
∠OAB=∠OCB=90°,
故 △OAB≌△OCB.
由此可知,
∠OBA=∠OBC=θ.
设 圆锥的底面半径为r,母线为*l*,则
于是
(2)设圆锥的全面积为T,则
(3)欲使T最小,只要使tg2θ(1-tg2θ)最大即可.
由于
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识图形》单元测试4（附答案）**
1. 选择题。（共30分）
> 1、下面图形中，（ ）是平行四边形。来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 
>
> 2、下列物体的形状具有稳定性的是（ ）。
>
> 
>
> 3、用一张长方形的纸，只剪一刀，不可能剪出（ ）个梯形。
>
> A、0 B、1 C、2 D、3
>
> 4、钝角三角形的内角和（ ）锐角三角形的内角和
>
> A、大于 B、等于 C、小于来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 5、在一个直角三角形中，最长的一条边（ ）于两条直角边的和。
>
> A、大于 B、等于 C、小于
>
> 6、等边三角形有（ ）条对称轴。
>
> A、1 B、2 C、3
>
> 7、三角形按角分类，可以分（ ）类。
>
> A、3 B、2 C、很多
>
> 8、任意一个三角形，可以画出（ ）条高。
>
> A、1 B、2 C、3
>
> 9、在等腰三角形中一个角是20°，另两个角不可能是（ ）
>
> A、20°和140° B、20°和70° C、80°和80°
>
> 10、平行四边形有（ ）条高。
>
> A、2 B、4 C、无数
11、下列图形中，对称轴最多的是（ ）。
A、○ B、□ C、△
> 12、将一张平行四边形的纸，只一刀剪开，拼成一个最大的长方形，可以有（ ）种剪法。
A、4 B、2 C、1
13、一个三角板中最小的角三角板中最小的角是30°，最大的角是（ ）。
A、60° B、90° C、75° D、120°
> 14、用七巧板中的某几板，拼成一个大一些的三角形，可以有（ ）种不同的拼法。
A、3 B、2 C、多
15、对等腰三角形与等腰梯形相同的说法错误的是（ ）。
A、两腰相等 B、两底角相等 C、底边上的高相等
2. 填空题。（共16分）
> 1、等边三角形有（ ）条边相等，等腰三角形中有（ ）个角相等。
>
> 2、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（ ）。
>
> 3、三角形按角分类，可以分为（ ）。
>
> 4、等边三角形中，三个角都是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 5、任意一个三角形的内角和是（ ）。
>
> 6、我们学过的轴对称图形有很多，请列举3个：（ ）、（ ）、（ ）。
>
> 7、用一根10m长的钢管做一个三角形的支架，如果其中一边长2m，另外两条边分别长（ ）m和（ ）m。（长度取整米数。）
>
> 8、至少需要（ ）根同样的小棒可以摆成一个正方形。
3. 解决问题。（共54分）
> 1、计算下列图形中∠A的度数。
>
> 
>
> 2、某农场有一片果园，现从C处开始安装自来水管横穿果园对果树进行灌溉，请你设计：怎样安装最节省材料？说出你的理由。
>
> 
>
> 3、在一个三角形中，笑笑量得其中的两条边分别是5厘米和7厘米，请想一想第三条边最短应该是多少？最长呢？（取整厘米数。）
**第二单元综合提优训练的部分答案：**
一、1、D 2、A 3、D 4、B 5、C 6、C 7、A 8、C 9、B
10、C 11、A 12、B 13、B 14、A 15、C
二、1、三 两来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、15°
3、锐角三角形、直角三角形、锐角三角形
4、60°
5、180°
6、长方形 正方形 圆
7、4 4
8、4
三、1、（1）∠A = 50° （2）∠A = 22° （3）∠A = 45°
2、从C点向对边AD引一条高。理由：点到直线的所有线段中，垂线段最短。
3、最短应该是3厘米，最长是11厘米。
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率：
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在等差数列中，若且，的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（4）若是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直
（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无数条直线与平面平行
（5）的展开式中的系数为
（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160
（6）设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过
（A） （B） （C） （D）
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A）2 （B）3 （C）5 （D）13
（8）已知三点，其中为常数。若，则与的夹角为
（A） （B）或
（C） （D）或
（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040
（10）若，,，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
（11）设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则"成等差数列"是""的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
（12）若且，则的最小值是
（A） （B）3 （C）2 （D）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）已知，，则 [ ]{.underline} 。
（14）在数列中，若，，则该数列的通项 [ ]{.underline} 。
（15）设，函数有最小值，则不等式的解集为 [ ]{.underline} 。
（16）已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 [ ]{.underline} 。
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
（18）（本小题满分13分）
设函数（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；
（19）（本小题满分12分）
设函数的图像与直线相切于点。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
（20）（本小题满分12分）
如图，在增四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：
（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；
（Ⅱ）二面角的正切值；
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。
（Ⅰ）试证：；
（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第3课《认识简单数列》试题附答案**
**答案**
二年级奥数上册：第四讲 认识简单数列习题
二年级奥数上册：第四讲 认识简单数列习题解答
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《**圆柱和圆锥**------圆柱的体积》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个近似的( )体。这个长方体的底面积等于圆柱体的( )，高就是圆柱的( )。
(2)圆柱体积的计算公式是( )，用字母表示是( )。
(3)一个圆柱形油桶的底面积是0．8平方米，高1．5米，体积是( )立方米。
(4)一个圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，这个圆柱的体积是( )立方厘米。
2．精挑细选。(把正确答案填在括号里)
(1)一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的( )倍。
A．2 B．4 C．8
(2)将一个棱长为4厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，则圆柱的体积是( )立方厘米。
A．50.24 B．6.28 C．28.26
(3)一个圆柱体的体积是251.2立方分米，底面直径是8分米，则圆柱的高是( )分米。
A．2.5 B．5 C．10
3.计算下面各圆柱的体积。
4.把下面圆柱形水桶装满水，倒人长方体水箱里，长方体水箱能装下吗?(单位：dm)
5.一段圆柱形钢材，它的底面周长是25.12厘米，高是28厘米，已知每立方厘米的钢重0．0078克，这段钢材约重多少克?(得数保留整克数)
6．两个高相等的圆柱，一个底面积是24平方厘米，体积是120立方厘米。另一个底面积是40平方厘米，它的体积是多少立方厘米?
7．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长1 5米，横截面是一个半径2米的半圆。
(1)覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米?
(2)挖成这个蓄水池，共需挖土多少立方米?
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8．用一张长25.12米，宽4米的铁皮围成一个容积最大的圆柱形粮囤(接头处损耗不计)，这个粮囤的容积是多少?
9．一个圆柱形蓄水池，底面直径l8米，深1.8米。
(1)这个水池占地面积是多少?
(2)大棚内的空间大约有多大?
> (3)在池内的侧面和底而贴瓷砖，如果每平方米瓷砖的造价是38元，则贴完整个蓄水池共需少元钱的瓷砖?(得数保留整数)
10．把一些苹果放在一个底面半径是1 5厘米的圆柱形容器里清洗，这时容器里的水深40厘米；拿出苹果后，水面下降5厘米。这些苹果的体积是多少立方厘米?
11．一个圆柱的高是8厘米，如果高缩短2厘米，它的表面积就减少12.56平方厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米?
12．下面是一根钢管，求它的体积。(单位：cm)
**参考答案**
4．3.14×4^2^×6=301．44(dm^3^) 8×8×6=384(dm^3^) 384\>301.44，能装下。
5．(25.12÷3.14÷2)^2^× 3.14×28×0.0078≈11(克)
6．1 20÷24×40=200(cm^3^)
8．(25.12÷3.14÷2)^2^×3.14×4=200.96(m^3^)
9．(1)3.14×(18÷2)2=254.34(m^2^)
(2)3.14×(18÷2)^2^ ×1.8=457.812(m^3^)
(3)(3.14×18×1.8+254.34) × 38≈13531(元)
10．3.14×15^2^×5=3532.5(cm^2^)
11．(12.56÷2÷3.14÷2)^2^×3.14×8=25.12(cm^3^)
12．3.14×\[(10÷2)^2^-(8÷2)^2^\]×50=1413(cm^3^)
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周日测答案
**附加题**
（1）（2）（3）
试题解析：(Ⅰ)由 ()，可得 ()，
∴在点处的切线方程是，即，所求切线方程为．
(Ⅱ)∵又可得，且在处取得极值．
∴可得解得， ．
所求（）．
(Ⅲ)∵， ()．
依题存在使，∴即存在使，
不等式等价于 (\*)
令（），∵．
∴在上递减，在上递增，故，
∵存在，不等式(\*)成立，∴．所求
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**2019年浙江省嘉兴市中考数学试卷**
**一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）**
1．（3分）（2019•舟山）的相反数是
A． B． C．2019 D．
2．（3分）（2019•舟山）2019年1月3日10时26分，"嫦娥四号"探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•舟山）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了
5．（3分）（2019•舟山）如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是
A． B． C．0 D．
6．（3分）（2019•舟山）已知四个实数，，，，若，，则
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•舟山）如图，已知上三点，，，半径，，切线交延长线于点，则的长为
A．2 B． C． D．
8．（3分）（2019•舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题："马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？"设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•舟山）小飞研究二次函数为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点，与点，在函数图象上，若，，则；
④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
**二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）**
11．（4分）（2019•舟山）分解因式：[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•舟山）从甲、乙、丙三人中任选两人参加"青年志愿者"活动，甲被选中的概率为[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•舟山）数轴上有两个实数，，且，，，则四个数，，，的大小关系为[ ]{.underline}（用""号连接）．
14．（4分）（2019•嘉兴）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•舟山）在[ ]{.underline}的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根．
16．（4分）（2019•舟山）如图，一副含和角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，．当点从点出发沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点从点滑动到点时，点运动的路径长为[ ]{.underline}；连接，则的面积最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．**
17．（6分）（2019•舟山）小明解答"先化简，再求值：，其中．"的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
18．（6分）（2019•舟山）如图，在矩形中，点，在对角线．请添加一个条件，使得结论""成立，并加以证明．
19．（6分）（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）把向右平移个单位长度，对应得到△当这个函数图象经过△一边的中点时，求的值．
20．（8分）（2019•舟山）在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）．
21．（8分）（2019•嘉兴）在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中、两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
75 75 79 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
【信息三】、两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）
------ -------- -------------------- ------ -------- ------
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
75.1 [ ]{.underline} 79 277
75.1 77 76 211
------ -------- -------------------- ------ -------- ------
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求小区50名居民成绩的中位数．
（2）请估计小区500名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析，两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
22．（10分）（2019•舟山）某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，斗杆顶点与铲斗顶点所在直线垂直地面于点，测得（示意图．工作时如图3，动臂会绕点转动，当点，，在同一直线时，斗杆顶点升至最高点（示意图．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数．
（2）问斗杆顶点的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？
（参考数据：，，，，
23．（10分）（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为"波利亚线"．
（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决"温故"、"推理"、"拓展"中的问题．
24．（12分）（2019•嘉兴）某农作物的生长率与温度有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．
（1）求的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数（天与生长率满足函数关系：
-------------------- ----- ------ ----- ------
生长率 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数（天 0 5 10 15
-------------------- ----- ------ ----- ------
①请运用已学的知识，求关于的函数表达式；
②请用含的代数式表示．
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本（元与大棚温度之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
**2019年浙江省嘉兴市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）**
1．（3分）的相反数是
A． B． C．2019 D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．
【解答】解：因为的相反数是，
所以的相反数是2019．
故选：．
2．（3分）2019年1月3日10时26分，"嫦娥四号"探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：
故选：．
3．（3分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为
A． B． C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：
故选：．
4．（3分）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是
A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了
【考点】：折线统计图
【分析】两条折线图一一判断即可．
【解答】解：、错误．签约金额2017，2018年是下降的．
、错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
、正确．
、错误．下降了：．
故选：．
5．（3分）如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是
A． B． C．0 D．
【考点】：零指数幂；：实数的运算；：特殊角的三角函数值
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
则，
解得：，
故可以是．
故选：．
6．（3分）已知四个实数，，，，若，，则
A． B． C． D．
【考点】：不等式的性质
【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．
【解答】解：，，
．
故选：．
7．（3分）如图，已知上三点，，，半径，，切线交延长线于点，则的长为
A．2 B． C． D．
【考点】：切线的性质；：圆周角定理
【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出即可．
【解答】解：连接，
，
，
过点作的切线交的延长线于点，
，
，
，
故选：．
8．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题："马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？"设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用"马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两"，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故选：．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
【考点】：菱形的判定与性质；：作图轴对称变换；：作图旋转变换
【分析】根据题意可以写出点的坐标，然后根据与轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点的坐标，本题得以解决．
【解答】解：点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标的坐标为，
故选：．
10．（3分）小飞研究二次函数为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线上；
②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点，与点，在函数图象上，若，，则；
④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
其中错误结论的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点；：二次函数图象与系数的关系；：等腰直角三角形
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【解答】解：二次函数为常数）
①顶点坐标为且当时，
这个函数图象的顶点始终在直线上
故结论①正确；
②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
令，得，其中
解得：，
顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
解得：或1
存在或1，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；
③
二次函数为常数）的对称轴为直线
点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离
，且
故结论③错误；
④当时，随的增大而增大，且
的取值范围为．
故结论④正确．
故选：．
**二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）**
11．（4分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】53：因式分解提公因式法
【分析】直接提取公因式分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（4分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加"青年志愿者"活动，甲被选中的概率为[ ]{.underline}．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：树状图如图所示：
共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，
甲被选中的概率为；
故答案为：．
13．（4分）数轴上有两个实数，，且，，，则四个数，，，的大小关系为[ ]{.underline}（用""号连接）．
【考点】：实数大小比较；29：实数与数轴
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．
【解答】解：，，，
，
，，
四个数，，，的大小关系为．
故答案为：
14．（4分）如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为[ ]{.underline}．
【考点】：垂径定理；：勾股定理
【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，根据勾股定理求出，代入求出即可．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时，
的最大值为，
故答案为：．
15．（4分）在[ ]{.underline}的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【考点】：根的判别式
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
【解答】解：
要使方程有两个相等的实数根，则△
得
故一次项为
故答案为
16．（4分）如图，一副含和角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，．当点从点出发沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点从点滑动到点时，点运动的路径长为[ ]{.underline}；连接，则的面积最大值为[ ]{.underline}．
【考点】：轨迹；：三角形的面积
【分析】过点作于点，作于点，由直角三角形的性质可得，，，由""可证△△，可得，即点在射线上移动，且当时，值最大，则可求点运动的路径长，由三角形面积公式可求，则时，有最大值．
【解答】解：，，
，，
如图，当点沿方向下滑时，得△，过点作于点，作于点
，且
，且，
△△
，且，
平分
即点沿方向下滑时，点在射线上移动，
当时，值最大，最大值
当点从点滑动到点时，点运动的路径长
如图，连接，，
当时，有最大值，
最大值．
故答案为：，
**三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．**
17．（6分）小明解答"先化简，再求值：，其中．"的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】：分式的化简求值
【分析】1
【解答】解：
1
18．（6分）如图，在矩形中，点，在对角线．请添加一个条件，使得结论""成立，并加以证明．
【考点】：矩形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】根据即可证明可得．
【解答】解：添加的条件是（答案不唯一）．
证明：四边形是矩形，
，，
，
又（添加），
，
．
19．（6分）如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）把向右平移个单位长度，对应得到△当这个函数图象经过△一边的中点时，求的值．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求反比例函数解析式；：等边三角形的性质；：坐标与图形变化平移
【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质得出点坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过的中点；②反比例函数图象过的中点．分别过中点作轴的垂线，再根据角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出的值即可．
【解答】解：（1）过点作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，．
把点，代入，得．
反比例函数的解析式为；
（2）分两种情况讨论：
①点是的中点，过点作轴于点．
由题意得，，
在中，，，．
，
把代入，得，
，
；
②如图3，点是的中点，过点作轴于点．
由题意得，，
在△中，，．
把代入，得，
，
，
综上所述，的值为1或3．
20．（8分）在的方格纸中，点，，都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）．
【考点】：平行线分线段成比例；：平行四边形的判定与性质；：作图应用与设计作图
【分析】（1）由勾股定理得：，，；画出图形即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得：
，，
；
画出图形如图1所示；
（2）如图2所示．
21．（8分）在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中、两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
【信息一】小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
75 75 79 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
【信息三】、两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）
------ -------- ---------------------- ------ -------- ------
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
75.1 [ 75 ]{.underline} 79 277
75.1 77 76 211
------ -------- ---------------------- ------ -------- ------
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求小区50名居民成绩的中位数．
（2）请估计小区500名居民成绩能超过平均数的人数．
（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析，两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．
【考点】：用样本估计总体；：频数（率分布直方图；：统计量的选择
【分析】（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75；
（2）小区500名居民成绩能超过平均数的人数：（人；
（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比小区稳定；从中位数看，小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
【解答】解：（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75，
故答案为75；
（2）（人，
答：小区500名居民成绩能超过平均数的人数240人；
（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
从方差看，小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比小区稳定；
从中位数看，小区至少有一半的居民成绩高于平均数．
22．（10分）某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，斗杆顶点与铲斗顶点所在直线垂直地面于点，测得（示意图．工作时如图3，动臂会绕点转动，当点，，在同一直线时，斗杆顶点升至最高点（示意图．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数．
（2）问斗杆顶点的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？
（参考数据：，，，，
【考点】：解直角三角形的应用
【分析】（1）过点作于点，证明，再根据平行线的性质求得结果；
（2）过点作于点，过点作于点，交于点，如图2，通过解直角三角形求得，
过点作于点，过点作于点，如图3，通过解直角三角形求得求得，最后便可求得结果．
【解答】解：（1）过点作于点，如图1，
，，
，
，
，
；
（2）过点作于点，过点作于点，交于点，如图2，
在中，（米，
在中，（米，
所以，（米，
如图3，过点作于点，过点作于点，
在中，（米，
所以，（米，
所以，（米，
所以，斗杆顶点的最高点比初始位置高了0.8米．
23．（10分）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为"波利亚线"．
（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．
（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决"温故"、"推理"、"拓展"中的问题．
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）理由相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（2）根据题意画出图形即可．
（3）首先证明四边形是矩形，再证明即可．
（4）证明，推出，由，可得，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
，
，
，即，
解得．
（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形即为所求．
（3）证明：如图2中，
由画图可知：，
四边形是矩形，，
△，
，
同理可得：，
，
，
，
四边形是正方形．
（4）解：如图3中，结论：．
理由：由，可以假设，，则，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）某农作物的生长率与温度有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．
（1）求的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数（天与生长率满足函数关系：
-------------------- ----- ------ ----- ------
生长率 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数（天 0 5 10 15
-------------------- ----- ------ ----- ------
①请运用已学的知识，求关于的函数表达式；
②请用含的代数式表示．
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本（元与大棚温度之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
【考点】：二次函数的应用
【分析】（1）把代入，解方程即可得到结论；
（2）①由表格可知，是的一次函数，于是得到；
②当时，，求得；当时，根据题意即可得到；
（3）（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）把代入得，，
解得：或，
，
；
（2）①由表格可知，是的一次函数，
；
②当时，，
；
当时，，
；
（3）（Ⅰ）当时，
由，，得，
增加利润为，
当时，增加的利润的最大值为6000元；
（Ⅱ）当时，，
增加的利润为；
当时，增加的利润最大值为15000元，
综上所述，当时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．
| 1 | |
**2006年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
**注意事项：**
**1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。**
**2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。**
**3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。**
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^
一、选择题：[^1]
（1）设集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,则
（A） （B）
（C） （D）
（3）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则
（A） （B） （C） （D）
（4）如果复数是实数，则实数（ ）
A．1 B．-1 C． D．
（5）函数的单调增区间为 （ ）
A． B．
C． D．
（6）的内角的对边分别为 若成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
（8）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（9）设平面向量的和，如果平面向量满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
（10）设是公差为正数的等差数列，若 ，则（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
（11）用长度分别为（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
（12）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
**2006年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
第Ⅱ卷
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为 [ ]{.underline}
14设,式中x,y满足下列条件
则z的最大值为 [ ]{.underline}
15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法数共有- [ ]{.underline}
16．设函数，若是奇函数，则= [ ]{.underline}
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17三角形ABC的三个内角A、B、C，求当A满足何值时取得最大值，并求出这个最大值
**18)(本题满分12分)**
**A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.**
**（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；**
**（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。**
**(19)(本题满分12分)**
**如图，、是互相垂直的异面直线，*MN*是它们的公垂线段。点*A、B*在上，C在上，*AM=MB=MN。***
**（Ⅰ）证明*ACNB***
**（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.**
20（12分）
在平面直角坐标系xoy中，有一个点和为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求
1. 点M的轨迹方程；
2. 的最小值
（21）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
设数列的前项和
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设 证明：
[^1]: 数学理科试题第1页（共4页）
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**2015年重庆市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）
A．A=B B．A∩B=∅ C．AB D．BA
2．（5分）在等差数列{a~n~}中，若a~2~=4，a~4~=2，则a~6~=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
3．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
4．（5分）"x＞1"是"（x+2）＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若非零向量，满足\|\|=\|\|，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．π
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）
A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤
8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x^2^+y^2^﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则\|AB\|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
9．（5分）若tanα=2tan，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
**二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.**
11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=[ ]{.underline}．
12．（5分）的展开式中x^8^的系数是[ ]{.underline}（用数字作答）．
13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=[ ]{.underline}．
**三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．**
14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为[ ]{.underline}．
16．若函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|的最小值为5，则实数a=[ ]{.underline}．
**四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos^2^x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在\[，\]上的单调性．
19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在\[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，过F~2~的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF~1~
（Ⅰ）若\|PF~1~\|=2+\|=2﹣，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若\|PF~1~\|=\|PQ\|，求椭圆的离心率e．
22．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=3，a~n+1~a~n~+λa~n+1~+μa~n~^2^=0（n∈N~+~）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=（k~0~∈N~+~，k~0~≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．
**2015年重庆市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）
A．A=B B．A∩B=∅ C．AB D．BA
【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，
可得A≠B，A∩B={2，3}，BA，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．
2．（5分）在等差数列{a~n~}中，若a~2~=4，a~4~=2，则a~6~=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{a~n~}中，若a~2~=4，a~4~=2，则a~4~=（a~2~+a~6~）==2，
解得a~6~=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
3．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：B．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
4．（5分）"x＞1"是"（x+2）＜0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解"（x+2）＜0"，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．
【解答】解：由"（x+2）＜0"
得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，
故"x＞1"是"（x+2）＜0"的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，
所求几何体的体积为：=．
故选：A．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
6．（5分）若非零向量，满足\|\|=\|\|，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．π
【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），
∴（﹣）•（3+2）=0，
即3^2^﹣2^2^﹣•=0，
即•=3^2^﹣2^2^=^2^，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）
A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．
【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
因此S=（此时k=6），
因此可填：S．
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．
8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x^2^+y^2^﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则\|AB\|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得\|AB\|的值．
【解答】解：∵圆C：x^2^+y^2^﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^ =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长\|AB\|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
9．（5分）若tanα=2tan，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．
【解答】解：tanα=2tan，则==
===========3．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．
10．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣，0）∪（0，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．
【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=\|\|＜a+，
∴＜c^2^﹣a^2^=b^2^，
∴0＜＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．
**二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.**
11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=[ 3 ]{.underline}．
【分析】将所求利用平方差公式展开得到a^2^+b^2^，恰好为已知复数的模的平方．
【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，
所以a^2^+b^2^==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a^2^+b^2^=3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．
12．（5分）的展开式中x^8^的系数是[ ]{.underline}[ ]{.underline}（用数字作答）．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x^8^的系数．
【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T~r+1~=••，
令15﹣=8，求得r=2，故开式中x^8^的系数是 •=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．
【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，
A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，
AC=2=．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
**三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．**
14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．
【解答】解：设CE=2x，ED=x，则
∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，
∴由切割线定理可得PA^2^=PC•PD，即36=3×（3+3x），
∵x=3，
由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，
∴BE=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为[ （2，π） ]{.underline}．
【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．
【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；
曲线C的极坐标方程为，
可得它的直角坐标方程为：x^2^﹣y^2^=4，x＜0．
由，可得x=﹣2，y=0，
交点坐标为（﹣2，0），
它的极坐标为（2，π）．
故答案为：（2，π）．
【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．
16．若函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|的最小值为5，则实数a=[ ﹣6或4 ]{.underline}．
【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|，故当a＜﹣1时，f（x）=，
根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．
当a=﹣1时，f（x）=3\|x+1\|，它的最小值为0，不满足条件．
当a≥﹣1时，f（x）=，
根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．
综上可得，a=﹣6 或a=4，
故答案为：﹣6或4．
【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
**四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件"三种粽子各取到1个"，
则由古典概型的概率公式有P（A）==．
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos^2^x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在\[，\]上的单调性．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）根据2x﹣∈\[0，π\]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）
=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，
故函数的周期为=π，最大值为1﹣．
（Ⅱ）当x∈ 时，2x﹣∈\[0，π\]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈\[，\]时，f（x）为增函数；
当≤2x﹣≤π时，即x∈\[，\]时，f（x）为减函数．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，
过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，
以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），
设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，
故可取=（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），
∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．
20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在\[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x^2^+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x~1~=，x~2~=．对x分类讨论：当x＜x~1~时；当x~1~＜x＜x~2~时；当x＞x~2~时．由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可知：x~2~=≤3，解得即可．
解法二："分离参数法"：由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在\[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．
【解答】解：（I）f′（x）==，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．
当a=0时，f（x）=，f′（x）=，
∴f（1）=，f′（1）=，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x^2^+（6﹣a）x+a，
由g（x）=0，解得x~1~=，x~2~=．
当x＜x~1~时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x~1~＜x＜x~2~时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x~2~时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可知：x~2~=≤3，解得a≥﹣．
因此a的取值范围为：．
解法二：由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥，在\[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=，u′（x）=＜0，
∴u（x）在\[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=﹣．
因此a的取值范围为：．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、"分离参数法"、推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，过F~2~的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF~1~
（Ⅰ）若\|PF~1~\|=2+\|=2﹣，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若\|PF~1~\|=\|PQ\|，求椭圆的离心率e．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|，求出a，再根据2c=\|F~1~F~2~\|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得\|QF~1~\|=\|PF~1~\|=4a﹣2\|PF~1~\|，解得\|PF~1~\|=2（2﹣）a，从而\|PF~2~\|=2a﹣\|PF~1~\|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=2++2﹣=4，故a=2，
设椭圆的半焦距为c，由已知PF~2~⊥PF~1~，因此2c=\|F~1~F~2~\|==2，即c=，从而b==1，
故所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）连接F~1~Q，由椭圆的定义，\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=2a，\|QF~1~\|+\|QF~2~\|=2a，
从而由\|PF~1~\|=\|PQ\|=\|PF~2~\|+\|QF~2~\|，
有\|QF~1~\|=4a﹣2\|PF~1~\|，
又由PQ⊥PF~1~，\|PF~1~\|=\|PQ\|，知\|QF~1~\|=\|PF~1~\|=4a﹣2\|PF~1~\|，解得\|PF~1~\|=2（2﹣）a，从而\|PF~2~\|=2a﹣\|PF~1~\|=2（﹣1）a，
由PF~2~⊥PF~1~，知2c=\|F~1~F~2~\|=，因此e=====．
【点评】本题考查了椭圆的定义2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．
22．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=3，a~n+1~a~n~+λa~n+1~+μa~n~^2^=0（n∈N~+~）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=（k~0~∈N~+~，k~0~≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．
【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（ n∈N~+~），分析a~n~≠0后可得a~n+1~=2a~n~（n∈N~+~），即{a~n~}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；
（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，...，k~0~求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．
【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有 （ n∈N~+~）．
若存在某个n~0~∈N~+~，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a~1~=0，此与a~1~=3矛盾，
∴对任意n∈N~+~，a~n~≠0．
从而a~n+1~=2a~n~（n∈N~+~），即{a~n~}是一个公比q=2的等比数列．
故．
（Ⅱ）证明：由，数列{a~n~}的递推关系式变为
，变形为：（n∈N）．
由上式及a~1~=3＞0，归纳可得
3=a~1~＞a~2~＞...＞a~n~＞a~n+1~＞...＞0．
∵=，
∴对n=1，2，...，k~0~求和得：
=
＞．
另一方面，由上已证的不等式知，，
得=2+．
综上，2+＜＜2+．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．
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**山东省2020年普通高中学业水平等级考试**
**化学**
**可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 Cl35.5 Fe56**
**一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题只有一个选项符合题目要求。**
1.实验室中下列做法错误的是
A. 用冷水贮存白磷 B. 用浓硫酸干燥二氧化硫
C. 用酒精灯直接加热蒸发皿 D. 用二氧化碳灭火器扑灭金属钾的燃烧
2.下列叙述不涉及氧化还原反应的是
A. 谷物发酵酿造食醋 B. 小苏打用作食品膨松剂
C. 含氯消毒剂用于环境消毒 D. 大气中NO~2~参与酸雨形成
3.短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，基态X原子的电子总数是其最高能级电子数的2倍，Z可与X形成淡黄色化合物Z~2~X~2~，Y、W最外层电子数相同。下列说法正确的是
A. 第一电离能：W\>X\>Y\>Z B. 简单离子的还原性：Y\>X\>W
C. 简单离子的半径：W\>X\>Y\>Z D. 氢化物水溶液的酸性：Y\>W
4.下列关于C、Si及其化合物结构与性质的论述错误的是
A. 键能 、 ，因此C~2~H~6~稳定性大于Si~2~H~6~
B. 立方型SiC是与金刚石成键、结构均相似的共价晶体，因此具有很高的硬度
C. SiH~4~中Si的化合价为+4，CH~4~中C的化合价为-4，因此SiH~4~还原性小于CH~4~
D. Si原子间难形成双键而C原子间可以，是因为Si的原子半径大于C，难形成 键
5.利用下列装置(夹持装置略)进行实验，能达到实验目的的是
A. 用甲装置制备并收集CO~2~
B. 用乙装置制备溴苯并验证有HBr产生
C. 用丙装置制备无水MgCl~2~
D. 用丁装置在铁上镀铜
6.从中草药中提取的 calebin A(结构简式如下)可用于治疗阿尔茨海默症。下列关于 calebin A的说法错误的是
A. 可与FeCl~3~溶液发生显色反应
B. 其酸性水解的产物均可与Na~2~CO~3~溶液反应
C. 苯环上氢原子发生氯代时，一氯代物有6种
D. 1mol该分子最多与8molH~2~发生加成反应
7.B~3~N~3~H~6~(无机苯)的结构与苯类似，也有大π键。下列关于B~3~N~3~H~6~的说法错误的是
A. 其熔点主要取决于所含化学键的键能
B. 形成大π键的电子全部由N提供
C. 分子中B和N的杂化方式相同
D. 分子中所有原子共平面
8.实验室分离Fe^3+^和Al^3+^的流程如下：
知Fe^3+^在浓盐酸中生成黄色配离子【FeCl~4~】，该配离子在乙醚(Et~2~O，沸点34.6℃)中生成缔合物 。下列说法错误的是
A. 萃取振荡时，分液漏斗下口应倾斜向下
B. 分液时，应先将下层液体由分液漏斗下口放出
C. 分液后水相为无色，说明已达到分离目的
D. 蒸馏时选用直形冷凝管
9.以菱镁矿(主要成分为MgCO~3~，含少量SiO~2~，Fe~2~O~3~和A1~2~O~3~)为原料制备高纯镁砂的工艺流程如下：
已知浸出时产生的废渣中有SO~2~，Fe(OH)~3~和Al(OH)~3~。下列说法错误的是
A. 浸出镁反应为
B. 浸出和沉镁操作均应在较高温度下进行
C. 流程中可循环使用的物质有NH~3~、NH~4~Cl
D. 分离Mg^2+^与Al^3+^、Fe^3+^是利用了它们氢氧化物K~sp~的不同
10.微生物脱盐电池是一种高效、经济的能源装置，利用微生物处理有机废水获得电能，同时可实现海水淡化。现以NaCl溶液模拟海水，采用惰性电极，用下图装置处理有机废水(以含 CH~3~COO^-^的溶液为例)。下列说法错误的是
A. 负极反应为
B. 隔膜1为阳离子交换膜，隔膜2为阴离子交换膜
C. 当电路中转移1mol电子时，模拟海水理论上除盐58.5g
D. 电池工作一段时间后，正、负极产生气体的物质的量之比为2:1
**二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。每小题有一个或两个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。**
11.下列操作不能达到实验目的的是
--- ----------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------
目的 操作
A 除去苯中少量苯酚 加入适量NaOH溶液，振荡、静置、分液
B 证明酸性：碳酸\>苯酚 将盐酸与NaHCO~3~混合产生的气体直接通入苯酚钠溶液
C 除去碱式滴定管胶管内的气泡 将尖嘴垂直向下，挤压胶管内玻璃球将气泡排出
D 配制用于检验醛基的氢氧化铜悬浊液 向试管中加入2mL10%NaOH溶液，再滴加数滴2%CuSO~4~溶液，振荡
--- ----------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
12.α-氰基丙烯酸异丁酯可用作医用胶，其结构简式如下。下列关于α-氰基丙烯酸异丁酯的说法错误的是
A. 其分子式为 C~8~H~11~NO~2~
B. 分子中的碳原子有3种杂化方式
C. 分子中可能共平面的碳原子最多为6个
D. 其任一含苯环的同分异构体中至少有4种不同化学环境的氢原子
13.采用惰性电极，以去离子水和氧气为原料通过电解法制备双氧水的装置如下图所示。忽略温度变化的影响，下列说法错误的是
A. 阳极反应为
B. 电解一段时间后，阳极室的pH未变
C. 电解过程中，H^+^由a极区向b极区迁移
D. 电解一段时间后，a极生成的O~2~与b极反应的O~2~等量
14.1，3-丁二烯与HBr发生加成反应分两步：第一步H^+^进攻1，3-丁二烯生成碳正离子()；第二步Br ^-^进攻碳正离子完成1，2-加成或1，4-加成。反应进程中的能量变化如下图所示。已知在0℃和40℃时，1，2-加成产物与1，4-加成产物的比例分别为70:30和15:85。下列说法正确的是
A. 1，4-加成产物比1，2-加成产物稳定
B. 与0℃相比，40℃时1，3-丁二烯的转化率增大
C. 从0℃升至40℃，1，2-加成正反应速率增大，1，4-加成正反应速率减小
D. 从0℃升至40℃，1，2-加成正反应速率的增大程度小于其逆反应速率的增大程度
15.25℃时，某混合溶液中，1gc( CH~3~COOH)、1gc(CH~3~COO^-^)、lgc(H^+^)和1gc(OH^-^)随pH变化的关系如下图所示。K~a~为CH~3~COOH的电离常数，下列说法正确的是
A. O点时，
B. N点时，
C. 该体系中，
D. pH由7到14的变化过程中， CH~3~COO^-^的水解程度始终增大
**三、非选择题：本题共5小题，共60分**
16.用软锰矿(主要成分为MnO~2~，含少量Fe~3~O~4~、Al~2~O~3~)和BaS制备高纯MnCO~3~的工艺流程如下：
已知：MnO~2~是一种两性氧化物；25℃时相关物质的K~sp~见下表。
------- ----------- ----------- ----------- -----------
物质 Fe(OH)~2~ Fe(OH)~3~ Al(OH)~3~ Mn(OH)~2~
K~sp~
------- ----------- ----------- ----------- -----------
回答下列问题
(1)软锰矿预先粉碎的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，MnO~2~与BaS溶液反应转化为MnO的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)保持BaS投料量不变，随MnO~2~与BaS投料比增大，S量达到最大值后无明显变化，而Ba(OH)~2~的量达到最大值后会减小，减小的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)滤液I可循环使用，应当将其导入到\_\_\_\_\_\_\_\_操作中(填操作单元的名称)。
(4)净化时需先加入的试剂X为\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。再使用氨水调溶液的pH，则pH的理论最小值为\_\_\_\_\_\_\_(当溶液中某离子浓度时，可认为该离子沉淀完全)。
(5)碳化过程中发生反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
17.CdSnAs~2~是一种高迁移率的新型热电材料，回答下列问题：
(1)Sn为ⅣA族元素，单质Sn与干燥Cl~2~反应生成SnCl~4~。常温常压下SnCl~4~为无色液体，SnCl~4~空间构型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，其固体的晶体类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)NH~3~、PH~3~、AsH~3~的沸点由高到低的顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式，下同)，还原性由强到弱的顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，键角由大到小的顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)含有多个配位原子的配体与同一中心离子(或原子)通过螯合配位成环而形成的配合物为螯合物。一种Cd^2+^配合物的结构如图所示，1mol该配合物中通过螯合作用形成的配位键有\_\_\_\_\_\_\_\_\_mol，该螯合物中N的杂化方式有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种。
(4)以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子的分数坐标。四方晶系CdSnAs~2~的晶胞结构如图所示，晶胞棱边夹角均为90°，晶胞中部分原子的分数坐标如下表所示。
+------+------+------+-------+
| 坐标 | x | y | z |
| | | | |
| 原子 | | | |
+------+------+------+-------+
| Cd | 0 | 0 | 0 |
+------+------+------+-------+
| Sn | 0 | 0 | 0.5 |
+------+------+------+-------+
| As | 0.25 | 0.25 | 0.125 |
+------+------+------+-------+
一个晶胞中有\_\_\_\_\_\_\_\_\_个Sn，找出距离Cd(0，0，0)最近的Sn\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用分数坐标表示)。CdSnAs~2~
晶体中与单个Sn键合的As有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个。
18.探究CH~3~OH合成反应化学平衡的影响因素，有利于提高CH~3~OH的产率。以CO~2~、H~2~为原料合成CH~3~OH涉及的主要反应如下：
Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅲ.
回答下列问题：
(1)\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)一定条件下，向体积为VL的恒容密闭容器中通入1 mol CO~2~和3 mol H~2~发生上述反应，达到平衡时，容器中CH~3~OH(g)为ɑ mol，CO为b mol，此时H~2~O(g)的浓度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_mol﹒L^-1^(用含a、b、V的代数式表示，下同)，反应Ⅲ的平衡常数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)不同压强下，按照n(CO~2~)：n(H~2~)=1：3投料，实验测定CO~2~的平衡转化率和CH~3~OH的平衡产率随温度的变化关系如下图所示。
已知：CO~2~的平衡转化率=
CH~3~OH的平衡产率=
其中纵坐标表示CO~2~平衡转化率的是图\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"甲"或"乙")；压强p~1~、p~2~、p~3~由大到小的顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；图乙中T~1~温度时，三条曲线几乎交于一点的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)为同时提高CO~2~的平衡转化率和CH~3~OH的平衡产率，应选择的反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.低温、高压 B.高温、低压 C.低温、低压 D.高温、高压
19.化合物F是合成吲哚-2-酮类药物的一种中间体，其合成路线如下：
()
知：Ⅰ.
Ⅱ.  
Ⅲ. 
Ar芳基；X=Cl，Br；Z或Z′=COR， CONHR，COOR等。
回答下列问题：
(1)实验室制备A的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，提高A产率的方法是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；A的某同分异构体只有一种化学环境的碳原子，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)C→D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中含氧官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，F的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)Br~2~和的反应与Br~2~和苯酚的反应类似，以和为原料合成，写出能获得更多目标产物的较优合成路线(其它试剂任选)\_\_\_\_\_\_\_\_。
20.某同学利用Cl~2~氧化K~2~MnO~4~制备KMnO~4~的装置如下图所示(夹持装置略)：
已知：锰酸钾(K~2~MnO~4~)在浓强碱溶液中可稳定存在，碱性减弱时易发生反应：
回答下列问题：
(1)装置A中a的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；装置C中的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；装置A中制备Cl~2~的化学方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)上述装置存在一处缺陷，会导致KMnO~4~产率降低，改进的方法是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)KMnO~4~常作氧化还原滴定的氧化剂，滴定时应将KMnO~4~溶液加入\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"酸式"或"碱式")滴定管中；在规格为50.00mL的滴定管中，若KMnO~4~溶液起始读数为15.00mL，此时滴定管中KMnO~4~溶液的实际体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.15.00 mL B.35.00mL C.大于35.00mL D.小于15.00m1
(4)某FeC~2~O~4~﹒2H~2~O样品中可能含有的杂质为Fe~2~(C~2~O~4~)~3~、H~2~C~2~O~4~﹒2H~2~O，采用KMnO~4~滴定法测定该样品的组成，实验步骤如下:
Ⅰ.取mg样品于锥形瓶中，加入稀H~2~SO~4~溶解，水浴加热至75℃。用 c mol﹒L^-1^的KMnO~4~溶液趁热滴定至溶液出现粉红色且30s内不褪色，消耗KMnO~4~溶液V~1~mL。
Ⅱ.向上述溶液中加入适量还原剂将Fe^3+^完全还原为Fe^2+^，加入稀H~2~SO~4~酸化后，在75℃继续用KMnO~4~溶液滴定至溶液出现粉红色且30s内不褪色，又消耗KMnO~4~溶液V~2~mL。
样品中所含的质量分数表达式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
下列关于样品组成分析的说法，正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.时，样品中一定不含杂质
B.越大，样品中含量一定越高
C.若步骤I中滴入KMnO~4~溶液不足，则测得样品中Fe元素含量偏低
D.若所用KMnO~4~溶液实际浓度偏低，则测得样品中Fe元素含量偏高
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**文综试卷**
**参考答案**
1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．B 10．C
11．B 12．A 13．C 14．C 15．B 16．D 17．D 18．A 19．C 20．D
21．B 22．C 23．B 24．A 25．B 26．C 27．B 28．A 29．B 30．D
31．D 32．C 33．C 34．A 35．D
36．（共36分）答案要点：
（1）330 14 逐渐变短到逐渐变长，再逐渐变短。
（2）英吉利海峡（多佛尔海峡） 扼北海航线要冲；位于莱茵河入海口；地处亚欧大陆桥西端。
（3）甲区以畜牧业、园艺业为主，乙区以种植业为主。甲区为温带海洋性气候，温和多雨（温凉湿润），适宜多汁牧草生长；乙区为亚热带季风气候，雨热同期（同季），适宜谷物生长。
（4）以加工、组装工业为主：劳动力资源丰富（有较多熟练劳动力和技术人才）；区内市场狭小；对外经济联系方便（临海）。
油气开采和化工：临近北海油田；邻近世界重要煤产地。
机械设备：近钢铁产地（鲁尔工业区）；科技力量雄厚。
食品工业：乳畜业发达；消费市场广阔。
该区工业主要集中在西部：西部城市密集（有城市群）；海运条件便利；政治、经济、文化中心所在地。
37．（共32 分）答案要点：
（1）地区：中亚、西亚、南亚、东南亚；
意义：打破世界相对隔绝的状态．开始了整体发展的进程。
（2）趋向：交流时间缩短；交流范围扩大；交流信息量更大；交流方式更便捷。
影响：使世界各国经济交往与合作更加紧密；为经济全球化提供了物质条件。
（3）侧重点：儒家思想、政治制度、伦理道德；
主张：批判专制王权，主张开明政治。
（4）变化：从重视西方科学技术，到重视政治制度、社会科学与人文科学；
事件：戊戌变法、辛亥革命、新文化运动；
思想：戊戌变法 主张通过改良的方式，摆脱封建思想束缚，实行君主立宪制。
辛亥革命 主张用革命的方式，推翻封建专制统治，建立资产阶级民主共和国。
新文化运动 主张民主与科学；提仍新道德，反对旧道德。
（5）有具体事件或事物的表述；有创新性。
38．（共32 分）答案要点：
（1）① 物质决定意识，主观必须符合客观。改革开放以来，我国国家、集体尤其是私人财产都有显著增长，客观上需要法律保护，《物权法》的制定是这一客观需要的必然结果。
② 意识对物质有反作用。正确的意识对事物发展起推动作用。《物权法》保护国家、集体和私人的合法财产，有利于巩固我国社会主义基本经济制度，激发人们创造财富的积极性。
（2）① 中国共产党高度重视立法工作，《物权法》的制定体现了党的政治领导。
② 人民行使国家权力的最高机关是全国人民代表大会。《物权法》由全国人民代表大会制定，体现了人民当家作主。
③ 《物权法》按照立法程序制定，体现了依法治国的基本方略。
可见，《物权法》的制定体现了党的领导、人民当家作主和依法治因三者的统一。
（3）① 市场经济具有平等性、竞争性、法制性等一般特征。
②《物权法》 的实施有利于保障市场主体的平等地位；有利于维护市场主体的公平竞争；有利于协调和处理市场竞争中出现的各种矛盾；从而有利于维护社会主义市场经济秩序。
39．（共60分）答案要点：
（1）1012.5 西北风（偏北风） 气压升高、气温降低、天气转晴 西风带
（2）由A至B，降水主要受西风气流影响，西端的山口有利于西风气流深入，在山地迎风坡形成降水（地形雨），水汽含量由西向东逐渐减少；由C至B，主要受东南季风（夏季风）影响，由于海陆位置的差异（距海远近不同），来自太平洋的水汽由沿海向内陆（由东向西）逐步减少
（3）③ 选择观赏位置（距离或角度或观赏点）
（4）体现：帮助创建中国共产党；促进第一次国共合作的实现。
作用：有助于冲破帝国主义外交孤立政策；有助于改变我国工业落后的面貌；有助于新中国培养人才。
（5）特点：重工业发展迅速，轻工业发展相对缓慢，农业生产发展滞后。
问题：经济结构不合理（或片面强调重工业，导致农、轻、重比例严重失调）；以忽视农业为代价发展工业。
原因：新中国缺乏管理全国经济的经验；受苏联经济发展模式影响。
（6）经济现象：
① 中俄、中韩贸易额都有增长，但增幅差异较大；
② 中俄、中韩贸易产品结构不同，但都存在互补性；
③ 中俄、中韩都是对方重要的贸易伙伴。
发展原因：
① 经济全球化的推动；
② 有利于互通有无，调剂余缺，优化资源配置；
③ 有利于取得较好的经济效益，节约社会劳动；
④ 有利于吸收和引进先进的科学技术成果。
（7）政治学依据：
① 和平与发展是当今时代的主题；
② 我国奉行独立自主的和平外交政策。
正确性：
① 以具体事例说明，走和平发展道路有利于维护我国的独立与主权，有利于促进我国的社会主义现代化建设．符合中国人民的共同愿望和根本利益；
② 以具体事例说明，走和平发展道路有利于促进世界的和平与发展．符合世界人民的共同愿望和根本利益。
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**《平行四边形》同步练习**
一、判断：
（1）由四条边围成的图形是平行四边形。 （ ）
（2）平行四边形的对边相等。 （ ）
（3）长方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。( )
二、选择：
（1）当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都相等时，这个四边形是（ ）
①平行四边形
②正方形
③菱形
④长方形\[来源:学+科+网\]
（2）木头椅子摇晃了，常常在椅子下边斜着钉木条，这是运用了（ ）
①三角形的稳定性能
②平行四边形容易变形的特性
（3）下面的四边形中，（ ）不是平行四边形。
三、把序号填在括号里。
（1）
长方形：（ ）
正方形：（ ）
平行四边形：（ ）\
（2） 
（ ）是长方形，（ ）是正方形，（ ）是平行四边形。
四、.数一数。
（ )个长方形
（ )个正方形
（ )个平行四边形
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
参考答案：\[来源:学科网\]
判断：
（1） （× ）
（2） （√ ）
（3） (√ )
三、选择：
（1）①
（2）①
（3）③
四、把序号填在括号里。\[来源:学科网ZXXK\]
（1）
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
\[来源:学科网ZXXK\]
长方形：（ 1，6 ）
正方形：（ 10 ）
平行四边形：（ 1，2，6，7，10 ）
（2）
（ 2，3，5）是长方形，（2 ）是正方形，（ 1，2，3，4，5，6）是平行四边形。
五、.数一数。
（ 22 )个长方形
（ 14 )个正方形
（ 45 )个平行四边形
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第4课《植树与方阵问题》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第四讲 植树与方阵问题 习题解答
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**中学学科网2008年高考（安微）卷数学（文科）解析**
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1、答题前，务必在试题卷答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号、并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名和座位号后两位与本人姓名、座位号是否一致，务必在答卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2、答第I卷时，每小题试出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3、答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色笔迹签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超也答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4、考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参与公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 S=4πR^2^
P（A+B）=P（A）+P（B） 其中R表示球的半径
如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式
**【标准答案】**B
**【试题解析】平面向量加法与减法的几何意义**
（3）已知，是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确
（A）若，则 （B）若 ，则
（C）若，则 （D）若，则
**【标准答案】**D
**【试题解析】从线面平行与线面垂直的判定定理出发逐一判定**
**【高考考点】线面平行与线面垂直的判定定理**
（4）是方程至少有一个负数根的
**【标准答案】**C
**【试题解析】**本题考查反函数的求法
（7）设 则 中奇数的个数为
（A） （B） （C） （D）
**【标准答案】**A
**【试题解析】**本题考查二项式定理的基础知识
（8）函数图象的对称轴方程可能是
（A） （B） （C） （D）
**【标准答案】**D
**【试题解析】**本题考查**三角**函数图象的性质
（9）设函数则
（A）有最大值（B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
**【标准答案】**A
**【试题解析】**考查均值定理的简单应用
**【高考考点】**均值定理
**【易错提醒】**均值定理的条件
**【学科网备考提示】**运用均值不等式要注意"一正，二定，三相等"的约束条件.
（10）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为
（A）（B） （C） （D）
（A） （B） （C） （D）
**【标准答案】**C
**【试题解析】**本题主要是转化为8选2后在排到4个人中的问题，这是一道立意较新的题.
**【高考考点】排列与组合**
**【易错提醒】**不相邻和相邻两种情况
**【学科网备考提示】重视排列与组合综合题的常见解法**
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
考生注意事项：
用0.5毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
（13）函数 的定义域为 [ ]{.underline}
**【标准答案】**
**【试题解析】**考察函数的定义域和不等式的解法
（14）已知双曲线**的离心率**为，则 [ ]{.underline}
**【标准答案】**4
**【试题解析】**离心率是圆锥曲线的一个重要特征量，
**【高考考点】**圆锥曲线的特征量
**【易错提醒】**双曲线标准方程
**【学科网备考提示】**圆锥曲线标准方程是高考"经久不衰"的重点和热点内容，必须高度重视.
（15）在数列中， ，其中为常数，则 的值为 [ ]{.underline}
**【标准答案】**
**【试题解析】等差**数列判定以及前项和的应用
**【高考考点】**数列
**【易错提醒】就是**前项和
**【学科网备考提示】等差**数列是高考必知识，必须高度重视
（16）已知点在同一个球面上，平面，，若=6，=2，=8，则两点间的球面距离是 [ ]{.underline}
**【标准答案】**
**【试题解析】**考察球面上的距离问题，余弦定理在解三角形时的运用
三、解答题：本大题共6小题，**共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**
**（17）（本小题满分12分）**
**已知函数**
**（I）求函数的最小正周期**
**（Ⅱ）求函数在区间上 的值域。**
**【标准答案】=**
**（I）**
**（Ⅱ）则故**
**【试题解析】**本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。 三角函数的化简通常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆运算。
**（18）（本小题满分12分）**
**在某次普通测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音"g".**
**（I）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张。测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行，求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音"g"的概率：**
**（Ⅱ）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音"g"的卡片不少于2张的概率**
**【标准答案】（I）记第一位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音"g"为事件，则。记第二位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音"g"为事件，则。记第三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音"g"为事件，则。又， ，**相互独立则**这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音"g"是所以**
**（Ⅱ）**
**【试题解析】**主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的求法.
**【高考考点】概率**
**【易错提醒】**相互独立事件、互斥事件、对立事件概念
**【学科网备考提示】**高考对概率知识的考查，主要是以实际应用题为主，这既是这类问题的热点，又符合高考的发展方向，对这部分的学习要以课本的基础知识为主，难度不会太大.
**（19）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形， ，底面，， 为中点，为的中点**
**（I）求异面直线与所成角的大小**
**（Ⅱ）求点到平面的距离**
**【标准答案】（I）取中点，过作//交于连结、，则 是的中点，所以//**
**所以 在**
**又**
**在**
**（Ⅱ）过A作，**
**又**
**（I）已知函数在取得极值，求的值**
**（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。**
**【标准答案】（I）在取得极值即**
**（Ⅱ）即 令即对任意都成立则即**
**【试题解析】**本题考查运用导数求三次函数的单调区间，从而求字母参数的取值范围，属于中等题
**【高考考点】**导数的三大应用
**【学科网备考提示】**要熟练掌握导数的三大应用：①求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；②有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为；③单调性的判断： ，单调递增；，单调递减，和一些常见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有，作差法，作商法，导数法；对于含参范围问题，解决方法有，当参数为一次时，可直接解出通过均值不等式求最值把其求出；当为二次时，可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考，以函数为背景、导数为工具，以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式，重点考查函数的基本性质，导数的应用，以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变，
**（21）（本小题满分12分）**
**设数列{}满足,,,其中，为实数。**
**（Ⅰ）求数列{}的通项公式**
**(Ⅱ)设，,， 求数列{}的前项和**
**(Ⅲ)设对任意成立,证明：**
**【标准答案】（Ⅰ） 即。则**
**(Ⅱ)**
**相减得**
**(Ⅲ)由（Ⅰ）知**
**【试题解析】**本题主要考查数列、等比数列以及不等式等基本知识，考查学生的探索、化归的数学思想与推理能力。本题属难题。
**【高考考点】**数列、等比数列
**【易错提醒】**转化成特殊数列
**【学科网备考提示】**两个小题都运用到了数列当中经常涉及到的"通性通法"。在数列有关问题中，化归思想非常重要，怎么想到转化和如何转化是解决有关问题的关键："怎么想到转化"，主要是头脑具备相关知识的前提下，有"注意观察结构特征"的观念就可以；"如何转化"，主要是经过恒等变形"补"结构差异或依据相关知识点为转化依据。
**（22）(本小题满分14分)**
**设椭圆其相应于焦点为的准线方程**
**（Ⅰ）求椭圆的方程；**
**（Ⅱ) 已知过点倾斜角为的直线与椭圆相交于两不同点时，求证：**。
**(Ⅲ) 过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和求的最小值**
**【标准答案】（Ⅰ）** **又 即椭圆方程为**
**（Ⅱ)当时，设 由得**
**【学科网备考提示】**在平时要注意锻炼自己的运算与思维能力. **计算一定要细致，解析几何题的运算过程中的失误是最常见的现象.**
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**2019年四川省凉山州中考数学试卷**
**一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置**
1．（4分）（2019•凉山州）的相反数是
A．2 B． C． D．
2．（4分）（2019•凉山州）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•凉山州）如图，，与交于点，，，则的度数为
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•凉山州）下列各式正确的是
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•凉山州）不等式的解集是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•凉山州）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
-------------- --- ---- ---- ----
人数（人 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
-------------- --- ---- ---- ----
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
7．（4分）（2019•凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）（2019•凉山州）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（4分）（2019•凉山州）如图，在中，，，则的值为
A． B． C． D．
10．（4分）（2019•凉山州）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•凉山州）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
A． B． C． D．
12．（4分）（2019•凉山州）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）**
13．（4分）（2019•凉山州）方程组的解是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•凉山州）方程的解是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•凉山州）如图所示，是的直径，弦于，，，则的半径是[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•凉山州）在中，是上一点，且点将分为的两部分，连接、相交于，则是[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•凉山州）将抛物线向左平移[ ]{.underline}个单位后经过点．
**三、解答题（共5小题，共32分）**
18．（5分）（2019•凉山州）计算：．
19．（5分）（2019•凉山州）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）（2019•凉山州）如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接．过点作，垂足为，与相交于点．求证：．
21．（8分）（2019•凉山州）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有[ ]{.underline}人；
（2）在扇形统计图中，"三等奖"所对应的扇形的圆心角的度数为[ ]{.underline}；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
22．（8分）（2019•凉山州）如图，点是以为直径的上一点，过点作的切线，交的延长线于点，是的中点，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
**四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）**
23．（5分）（2019•凉山州）当时，直线与抛物线有交点，则的取值范围是[ ]{.underline}．
24．（5分）（2019•凉山州）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为[ ]{.underline}．
**五、解答题（共4小题，共40分）**
25．（8分）（2019•凉山州）已知二次函数的图象与轴交于，、，两点，且，求的值．
26．（10分）（2019•凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若（或，则或；
②若（或，则或．
根据上述知识，求不等式的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，，
由（2）得，，
原不等式的解集为：或．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为[ ]{.underline}．
（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
27．（10分）（2019•凉山州）如图，，平分，过点作交于．连接交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
28．（12分）（2019•凉山州）如图，抛物线的图象过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年四川省凉山州中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置**
1．（4分）的相反数是
A．2 B． C． D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，的相反数是2．
故选：．
2．（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000，用科学记数法表示数153300000000是
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】利用科学记数法表示即可
【解答】解：
科学记数法表示：153 300 000
故选：．
3．（4分）如图，，与交于点，，，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】：平行线的性质
【分析】直接利用三角形的外角性质得出度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
4．（4分）下列各式正确的是
A． B． C． D．
【考点】35：合并同类项；73：二次根式的性质与化简；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及二次根式的性质解答即可．
【解答】解：、，故选项不合题意；
、，故选项符合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项不合题意．
故选：．
5．（4分）不等式的解集是
A． B． C． D．
【考点】：解一元一次不等式
【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．
【解答】解：，
．
故选：．
6．（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
-------------- --- ---- ---- ----
人数（人 3 17 13 7
时间（小时） 7 8 9 10
-------------- --- ---- ---- ----
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5
【考点】：中位数；：众数
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，
这组数据的中位数为；
故选：．
7．（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】：命题与定理
【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；
②两点之间线段最短；真命题；
③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；
④平分弦的直径垂直于弦；假命题；
真命题的个数是1个；
故选：．
8．（4分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由于点、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数的几何意义作答即可．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，
即．
所以的面积等于．
故选：．
9．（4分）如图，在中，，，则的值为
A． B． C． D．
【考点】：解直角三角形
【分析】过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【解答】解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，
；
在中，，，
，
．
故选：．
10．（4分）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则
A． B． C． D．
【考点】：平行线分线段成比例
【分析】过作的平行线交与，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，，，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．
【解答】解：如图，过作，交于，
是的中点，
是的中点．
又，
，
，，
设，，又，
，，
，
，，
，，
故选：．
11．（4分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
A． B． C． D．
【考点】：扇形面积的计算；：旋转的性质
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：，
阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积，
故选：．
12．（4分）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【分析】①对称轴为，得；
②函数图象与轴有两个不同的交点，得△；
③当时，，当时，，得；
④由对称性可知时对应的值与时对应的值相等，当时，；
【解答】解：由图象可知，，对称轴为，
，
，
①正确；
函数图象与轴有两个不同的交点，
△，
②正确；
当时，，
当时，，
，
，
③正确；
由对称性可知时对应的值与时对应的值相等，
当时，
，
，
，
④错误；
故选：．
**二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）**
13．（4分）方程组的解是[ ]{.underline}．
【考点】98：解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解：，
②①得：
，
把代入①得：
，
解得：，
方程组的解为：，
故答案为：．
14．（4分）方程的解是[ ]{.underline}．
【考点】：解分式方程
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可．
【解答】解：
去分母，得
去括号，得
移项并整理，得
所以
解得或
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
15．（4分）如图所示，是的直径，弦于，，，则的半径是[ 2 ]{.underline}．
【考点】：勾股定理；：垂径定理；：圆周角定理
【分析】连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出即可．
【解答】解：连接，如图所示：
是的直径，弦于，
，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半径是2；
故答案为：2．
16．（4分）在中，是上一点，且点将分为的两部分，连接、相交于，则是[ 或 ]{.underline}．
【考点】：平行四边形的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】分、两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：①当时，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
②当时，
同理可得，，
故答案为：或．
17．（4分）将抛物线向左平移[ 3 ]{.underline}个单位后经过点．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象与几何变换
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【解答】解：将抛物线向左平移后经过点，
设平移后解析式为：，
则，
解得：或（不合题意舍去），
故将抛物线向左平移3个单位后经过点．
故答案为：3．
**三、解答题（共5小题，共32分）**
18．（5分）计算：．
【考点】：实数的运算；：零指数幂；：负整数指数幂；：特殊角的三角函数值
【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次幂等于1，负整数指数幂以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果．
【解答】解：原式．
19．（5分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：整式的混合运算化简求值
【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．
【解答】解：
原式
将代入原式
20．（6分）如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接．过点作，垂足为，与相交于点．求证：．
【考点】：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到，根据，即可得出，从而证出，得到．
【解答】证明：四边形是正方形．
，．
又，
，
．
．
．
21．（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有[ 40 ]{.underline}人；
（2）在扇形统计图中，"三等奖"所对应的扇形的圆心角的度数为[ ]{.underline}；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若获得一等奖的同学中有来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级，学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．
【考点】：条形统计图；：扇形统计图；：列表法与树状图法
【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数；
（2）用乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；
（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图；
（4）画树状图（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有（人，
故答案为：40；
（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为，
故答案为：．
（3）获二等奖的人数，一等奖的人数为（人，
条形统计图为：
（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
22．（8分）如图，点是以为直径的上一点，过点作的切线，交的延长线于点，是的中点，连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【考点】：切线的判定与性质
【分析】（1）连接，由为的直径得，根据知、由知，根据是的切线得，即，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到，，求得，得到，根据三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接，，
为的直径，
，
在中，，
，
，
是的切线，
，
，
又，
，
为的切线；
（2），
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
**四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）**
23．（5分）当时，直线与抛物线有交点，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象上点的坐标特征
【分析】直线与抛物线有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．
【解答】解：
法一：与抛物线有交点
则有，整理得
△
解得，
，对称轴
法二：由题意可知，
抛物线的 顶点为，而
抛物线的取值为
，则直线与轴平行，
要使直线与抛物线有交点，
抛物线的取值为，即为的取值范围，
故答案为：
24．（5分）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为[ 4 ]{.underline}．
【考点】：正方形的性质；：相似三角形的判定与性质；：二次函数的最值
【分析】先证明，得到与有关的比例式，设，，则，代入解析式，得到与的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：，，
．
又，
．
．
设，，则．
，化简得，
整理得，
所以当时，有最大值为4．
故答案为4．
**五、解答题（共4小题，共40分）**
25．（8分）已知二次函数的图象与轴交于，、，两点，且，求的值．
【考点】：抛物线与轴的交点
【分析】有韦达定理得，，将式子化简代入即可；
【解答】解：的图象与轴交于，、，两点，
，，
，
或；
26．（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若（或，则或；
②若（或，则或．
根据上述知识，求不等式的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，，
由（2）得，，
原不等式的解集为：或．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为[ ]{.underline}．
（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
【考点】：解一元一次不等式；：解一元一次不等式组
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．
【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，
由②得，，
原不等式的解集为：，
故答案为：．
（2）由知①或②，
解不等式组①，得：；
解不等式组②，得：；
所以不等式的解集为或．
27．（10分）如图，，平分，过点作交于．连接交于．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【考点】：相似三角形的判定与性质
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证，即可证，由和勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求的长．
【解答】证明：（1）平分，
，且，
（2）
，且
，
，且，，
，
，且
28．（12分）如图，抛物线的图象过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．
（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．又因为在轴上方，故有．由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点、
可设交点式
把点代入得：
抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小．
如图1，连接、
点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称
当、、在同一直线上时，最小
、、
，
最小
设直线解析式为
把点代入得：，解得：
直线
点使的周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件的点，使得．
当以为底时，两三角形等高
点和点到直线距离相等
在轴上方
，，设直线解析式为
解得：
直线
直线解析式为：
解得：（即点，
点坐标为
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**2021年河北省普通高中学业水平选择性考试**
**化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 B-11 C-12 O-16 Na-23 P-31 S-32 C1-35.5 K-39 Pb-207**
**一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. "灌钢法"是我国古代劳动人民对钢铁冶炼技术的重大贡献，陶弘景在其《本草经集注》中提到"钢铁是杂炼生鍒作刀镰者"。"灌钢法"主要是将生铁和熟铁(含碳量约0.1%)混合加热，生铁熔化灌入熟铁，再锻打成钢。下列说法错误的是
A. 钢是以铁为主的含碳合金
B. 钢的含碳量越高，硬度和脆性越大
C. 生铁由于含碳量高，熔点比熟铁高
D. 冶炼铁的原料之一赤铁矿的主要成分为Fe~2~O~3~
2\. 高分子材料在生产生活中应用广泛。下列说法错误的是
A. 芦苇可用于制造黏胶纤维，其主要成分为纤维素
B. 聚氯乙烯通过加聚反应制得，可用于制作不粘锅的耐热涂层
C. 淀粉是相对分子质量可达几十万的天然高分子物质
D. 大豆蛋白纤维是一种可降解材料
3\. 下列操作规范且能达到实验目的是
A. 图甲测定醋酸浓度 B. 图乙测定中和热
C. 图丙稀释浓硫酸 D. 图丁萃取分离碘水中碘
4\. 硫和氮及其化合物对人类生存和社会发展意义重大，但硫氧化物和氮氧化物造成的环境问题也日益受到关注，下列说法正确的是
A. NO~2~和SO~2~均为红棕色且有刺激性气味的气体，是酸雨的主要成因
B. 汽车尾气中的主要大气污染物为NO、SO~2~和PM2.5
C. 植物直接吸收利用空气中的NO和NO~2~作为肥料，实现氮的固定
D. 工业废气中的SO~2~可采用石灰法进行脱除
5\. 用中子轰击X原子产生α粒子(即氮核He)的核反应为：X+n→Y+He。已知元素Y在化合物中呈+1价。下列说法正确的是
A. H~3~XO~3~可用于中和溅在皮肤上的NaOH溶液
B. Y单质在空气中燃烧的产物是Y~2~O~2~
C. X和氢元素形成离子化合物
D. ^6^Y和^7^Y互同素异形体
6\. BiOCl是一种具有珠光泽的材料，利用金属Bi制备BiOCl的工艺流程如图：
下列说法错误的是
A. 酸浸工序中分次加入稀HNO~3~可降低反应剧烈程度
B. 转化工序中加入稀HCl可抑制生成BiONO~3~
C. 水解工序中加入少量CH~3~COONa(s)可提高Bi^3+^水解程度
D. 水解工序中加入少量NH~4~NO~3~(s)有利于BiOCl的生成
7\. N~A~是阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是
A. 22.4L(标准状况)氟气所含的质子数为18N~A~
B. 1mol碘蒸气和1mol氢气在密闭容器中充分反应，生成的碘化氢分子数小于2N~A~
C. 电解饱和食盐水时，若阴阳两极产生气体的总质量为73g，则转移电子数为N~A~
D. 1L1mol•L^-1^溴化铵水溶液中NH与H^+^离子数之和大于N~A~
8\. 苯并降冰片烯是一种重要药物合成中间体，结构简式如图。关于该化合物，下列说法正确的是
A. 是苯的同系物
B. 分子中最多8个碳原子共平面
C. 一氯代物有6种(不考虑立体异构)
D. 分子中含有4个碳碳双键
9\. K---O~2~电池结构如图，a和b为两个电极，其中之一为单质钾片。关于该电池，下列说法错误的是
A. 隔膜允许K^+^通过，不允许O~2~通过
B. 放电时，电流由b电极沿导线流向a电极；充电时，b电极为阳极
C. 产生1Ah电量时，生成KO~2~的质量与消耗O~2~的质量比值约为2.22
D. 用此电池为铅酸蓄电池充电，消耗3.9g钾时，铅酸蓄电池消耗0.9g水
**二、不定项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有一项或两项符合题目要求。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得4分，但只要选错一个，该小题得0分。**
10\. 关于非金属含氧酸及其盐的性质，下列说法正确的是
A. 浓H~2~SO~4~具有强吸水性，能吸收糖类化合物中的水分并使其炭化
B. NaClO、KClO~3~等氯的含氧酸盐的氧化性会随溶液的pH减小而增强
C. 加热NaI与浓H~3~PO~4~混合物可制备HI，说明H~3~PO~4~比HI酸性强
D. 浓HNO~3~和稀HNO~3~与Cu反应的还原产物分别为NO~2~和NO，故稀HNO~3~氧化性更强
11\. 如图所示的两种化合物可应用于阻燃材料和生物材料的合成。其中W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，X和Z同主族，Y原子序数为W原子价电子数的3倍。下列说法正确的是
A. X和Z的最高化合价均为+7价
B. HX和HZ在水中均为强酸，电子式可表示为与
C. 四种元素中，Y原子半径最大，X原子半径最小
D. Z、W和氢三种元素可形成同时含有离子键和共价键的化合物
12\. 番木鳖酸具有一定的抗炎、抗菌活性，结构简式如图。下列说法错误的是
A. 1mol该物质与足量饱和NaHCO~3~溶液反应，可放出22.4L(标准状况)CO~2~
B. 一定量的该物质分别与足量Na、NaOH反应，消耗二者物质的量之比为5：1
C. 1mol该物质最多可与2molH~2~发生加成反应
D. 该物质可被酸性KMnO~4~溶液氧化
13\. 室温下，某溶液初始时仅溶有M和N且浓度相等，同时发生以下两个反应：①M+N=X+Y；②M+N=X+Z，反应①的速率可表示为v~1~=k~1~c^2^(M)，反应②的速率可表示为v~2~=k~2~c^2^(M) (k~1~、k~2~为速率常数)。反应体系中组分M、Z的浓度随时间变化情况如图，下列说法错误的是
A. 0～30min时间段内，Y的平均反应速率为6.67×10^-8^mol•L^-1^•min^-1^
B. 反应开始后，体系中Y和Z的浓度之比保持不变
C. 如果反应能进行到底，反应结束时62.5%的M转化为Z
D. 反应①的活化能比反应②的活化能大
**三、非选择题：共57分，第14\~16题为必考题，每个试题考生都必须作答。第17\~18题为选考题，考生根据要求作答。**
14\. 化工专家侯德榜发明的侯氏制碱法为我国纯碱工业和国民经济发展做出了重要贡献，某化学兴趣小组在实验室中模拟并改进侯氏制碱法制备NaHCO~3~，进一步处理得到产品Na~2~CO~3~和NH~4~Cl，实验流程如图：
回答下列问题：
(1)从A～E中选择合适的仪器制备NaHCO~3~，正确的连接顺序是\_\_\_(按气流方向，用小写字母表示)。为使A中分液漏斗内的稀盐酸顺利滴下，可将分液漏斗上部的玻璃塞打开或\_\_\_。
A.  B.  C.  D.  E.
(2)B中使用雾化装置的优点是\_\_。
(3)生成NaHCO~3~的总反应的化学方程式为\_\_\_。
(4)反应完成后，将B中U形管内的混合物处理得到固体NaHCO~3~和滤液：
①对固体NaHCO~3~充分加热，产生的气体先通过足量浓硫酸，再通过足量Na~2~O~2~，Na~2~O~2~增重0.14g，则固体NaHCO~3~的质量为\_\_\_g。
②向滤液中加入NaCl粉末，存在NaCl(s)+NH~4~Cl(aq)→NaCl(aq)+NH~4~Cl(s)过程。为使NH~4~Cl沉淀充分析出并分离，根据NaCl和NH~4~Cl溶解度曲线，需采用的操作为\_\_\_、\_\_\_、洗涤、干燥。
(5)无水NaHCO~3~可作为基准物质标定盐酸浓度.称量前，若无水NaHCO~3~保存不当，吸收了一定量水分，用其标定盐酸浓度时，会使结果\_\_\_(填标号)。
A.偏高 B.偏低 不变
15\. 绿色化学在推动社会可持续发展中发挥着重要作用。某科研团队设计了一种熔盐液相氧化法制备高价铬盐的新工艺，该工艺不消耗除铬铁矿、氢氧化钠和空气以外的其他原料，不产生废弃物，实现了Cr---Fe---Al---Mg的深度利用和Na^+^内循环。工艺流程如图：
回答下列问题：
(1)高温连续氧化工序中被氧化的元素是\_\_\_\_\_\_\_(填元素符号)。
(2)工序①的名称为\_\_。
(3)滤渣的主要成分是\_\_(填化学式)。
(4)工序③中发生反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)物质V可代替高温连续氧化工序中的NaOH，此时发生的主要反应的化学方程式为\_\_，可代替NaOH的化学试剂还有\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
(6)热解工序产生的混合气体最适宜返回工序\_\_\_\_\_\_\_(填"①"或"②"或"③"或"④")参与内循环。
(7)工序④溶液中的铝元素恰好完全转化为沉淀的pH为\_\_。(通常认为溶液中离子浓度小于10^-5^mol•L^-1^为沉淀完全；A1(OH)~3~+OH^-^⇌Al(OH)：K=10^0.63^，K~w~=10^-14^，K~sp~\[A1(OH)~3~\]=10^-33^)
16\. 当今，世界多国相继规划了碳达峰、碳中和时间节点。因此，研发二氧化碳利用技术，降低空气中二氧化碳含量成为研究热点。
(1)大气中的二氧化碳主要来自于煤、石油及其他含碳化合物的燃烧。已知25℃时，相关物质的燃烧热数据如表：
------------------------ --------- ------------ -------------
物质 H~2~(g) C(石墨，s) C~6~H~6~(l)
燃烧热△*H*(kJ•mol^-1^) -285.8 -393.5 -3267.5
------------------------ --------- ------------ -------------
(1)则25℃时H~2~(g)和C(石墨，s)生成C~6~H~6~(l)的热化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)雨水中含有来自大气的CO~2~，溶于水中的CO~2~进一步和水反应，发生电离：
①CO~2~(g)=CO~2~(aq)
②CO~2~(aq)+H~2~O(l)=H^+^(aq)+HCO(aq)
25℃时，反应②的平衡常数为*K*~2~。
溶液中CO~2~的浓度与其在空气中的分压成正比(分压=总压×物质的量分数)，比例系数为ymol•L^-1^•kPa^-1^，当大气压强为pkPa，大气中CO~2~(g)的物质的量分数为x时，溶液中H^+^浓度为\_\_\_\_\_\_\_\_mol•L^-1^(写出表达式，考虑水的电离，忽略HCO的电离)
(3)105℃时，将足量的某碳酸氢盐(MHCO~3~)固体置于真空恒容容器中，存在如下平衡：2MHCO~3~(s)M~2~CO~3~(s)+H~2~O(g)+CO~2~(g)。上述反应达平衡时体系的总压为46kPa。
保持温度不变，开始时在体系中先通入一定量的CO~2~(g)，再加入足量MHCO~3~(s)，欲使平衡时体系中水蒸气的分压小于5kPa，CO~2~(g)的初始压强应大于\_\_\_\_\_\_\_\_kPa。
(4)我国科学家研究Li---CO~2~电池，取得了重大科研成果，回答下列问题：
①Li---CO~2~电池中，Li为单质锂片，则该电池中的CO~2~在\_\_\_(填"正"或"负")极发生电化学反应。研究表明，该电池反应产物为碳酸锂和单质碳，且CO~2~电还原后与锂离子结合形成碳酸锂按以下4个步骤进行，写出步骤Ⅲ的离子方程式。
Ⅰ.2CO~2~+2e^-^=C~2~O Ⅱ.C~2~O=CO~2~+CO
Ⅲ.\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ Ⅳ.CO+2Li^+^=Li~2~CO~3~
②研究表明，在电解质水溶液中，CO~2~气体可被电化学还原。
Ⅰ.CO~2~在碱性介质中电还原为正丙醇(CH~3~CH~2~CH~2~OH)的电极反应方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
Ⅱ.在电解质水溶液中，三种不同催化剂(a、b、c)上CO~2~电还原为CO的反应进程中(H^+^被还原为H~2~的反应可同时发生)，相对能量变化如图.由此判断，CO~2~电还原为CO从易到难的顺序为\_\_\_\_\_\_\_(用a、b、c字母排序)。
**(二)选考题：共15分。请考生从2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。**
17\. KH~2~PO~4~晶体具有优异的非线性光学性能。我国科学工作者制备的超大KH~2~PO~4~晶体已应用于大功率固体激光器，填补了国家战略空白。回答下列问题：
(1)在KH~2~PO~4~的四种组成元素各自所能形成的简单离子中，核外电子排布相同的是\_\_(填离子符号)。
(2)原子中运动的电子有两种相反的自旋状态，若一种自旋状态用+表示，与之相反的用-表示，称为电子的自旋磁量子数.对于基态的磷原子，其价电子自旋磁量子数的代数和为\_\_\_。
(3)已知有关氨、磷的单键和三键的键能(kJ•mol^-1^)如表：
------- ----- ------- -----
N---N N≡N P---P P≡P
193 946 197 489
------- ----- ------- -----
从能量角度看，氮以N~2~、而白磷以P~4~(结构式可表示为)形式存在的原因是\_\_\_。
(4)已知KH~2~PO~4~是次磷酸的正盐，H~3~PO~2~的结构式为\_\_\_，其中P采取\_\_\_杂化方式。
(5)与PO电子总数相同的等电子体的分子式为\_\_。
(6)磷酸通过分子间脱水缩合形成多磷酸，如：
如果有n个磷酸分子间脱水形成环状的多磷酸，则相应的酸根可写为\_\_\_。
(7)分别用○、●表示H~2~PO和K^+^，KH~2~PO~4~晶体的四方晶胞如图(a)所示，图(b)、图(c)分别显示的是H~2~PO、K^+^在晶胞xz面、yz面上的位置：
①若晶胞底边的边长均为apm、高为cpm，阿伏加德罗常数的值为*N*~A~，晶体的密度\_\_g•cm^-3^(写出表达式)。
②晶胞在x轴方向的投影图为\_\_(填标号)。
18\. 丁苯酞(NBP)是我国拥有完全自主知识产权的化学药物，临床上用于治疗缺血性脑卒中等疾病。ZJM---289是一种NBP开环体(HPBA)衍生物，在体内外可经酶促或化学转变成NBP和其它活性成分，其合成路线如图：
已知信息：+R^2^CH~2~COOH (R^1^=芳基)
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_。
(2)D有多种同分异构体，其中能同时满足下列条件的芳香族化合物的结构简式为\_\_\_、\_\_\_。
①可发生银镜反应，也能与FeCl~3~溶液发生显色反应；
②核磁共振氢谱有四组峰，峰面积比为1∶2∶2∶3。
(3)E→F中(步骤1)的化学方程式为\_\_。
(4)G→H的反应类型为\_\_\_。若以NaNO~3~代替AgNO~3~，则该反应难以进行，AgNO~3~对该反应的促进作用主要是因为\_\_。
(5)HPBA的结构简式为\_\_。通常酯化反应需在酸催化、加热条件下进行，对比HPBA和NBP的结构，说明常温下HPBA不稳定、易转化为NBP的主要原因\_\_\_。
(6)W是合成某种抗疟疾药物的中间体类似物。设计由2，4---二氯甲苯()和对三氟甲基苯乙酸()制备W的合成路线\_\_。(无机试剂和四个碳以下的有机试剂任选)。
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**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设全集U={x∈N~+~\|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
2．（5分）不等式＜0的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜3} B．{x\|x＜﹣2}
C．{x\|x＜﹣2或x＞3} D．{x\|x＞3}
3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）函数的反函数是（ ）
A．y=e^2x﹣1^﹣1（x＞0） B．y=e^2x﹣1^+1（x＞0）
C．y=e^2x﹣1^﹣1（x∈R） D．y=e^2x﹣1^+1（x∈R）
5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）如果等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~+a~5~=12，那么a~1~+a~2~+...+a~7~=（ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
7．（5分）若曲线y=x^2^+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A．+ B．+ C．+ D．+
11．（5分）与正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的三条棱AB、CC~1~、A~1~D~1~所在直线的距离相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则cosα=[ ]{.underline}．
14．（5分）（x+）^9^展开式中x^3^的系数是[ ]{.underline}．（用数字作答）
15．（5分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．
18．（12分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列a~1~+a~2~=2（），a~3~+a~4~+a~5~=64++）
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=（a~n~+）^2^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AC=BC，AA~1~=AB，D为BB~1~的中点，E为AB~1~上的一点，AE=3EB~1~．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB~1~与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB~1~与CD的夹角为45°，求二面角A~1~﹣AC~1~﹣B~1~的大小．
20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T~1~，T~2~，T~3~，T~4~，电流能通过T~1~，T~2~，T~3~的概率都是P，电流能通过T~4~的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T~1~，T~2~，T~3~中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，\|DF\|•\|BF\|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
**2010年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设全集U={x∈N~+~\|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由全集U={x∈N~+~\|x＜6}，可得U={1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．
【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，
∴A∪B={1，3，5}，
∵U={x∈N~+~\|x＜6}={1，2，3，4，5}，
∴∁~U~（A∪B）={2，4}，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．
2．（5分）不等式＜0的解集为（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜3} B．{x\|x＜﹣2} C．{x\|x＜﹣2或x＞3} D．{x\|x＞3}
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．
【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0
即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；
或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，
所以不等式的解集为﹣2＜x＜3
故选：A．
【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．
3．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵sina=，
∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin^2^a）=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．
4．（5分）函数的反函数是（ ）
A．y=e^2x﹣1^﹣1（x＞0） B．y=e^2x﹣1^+1（x＞0）
C．y=e^2x﹣1^﹣1（x∈R） D．y=e^2x﹣1^+1（x∈R）
【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
【解答】解：由原函数解得
x=e ^2y﹣1^+1，
∴f^﹣1^（x）=e ^2x﹣1^+1，
又x＞1，∴x﹣1＞0；
∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，
故选：D．
【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．
【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，
可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，
∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z~max~=3．
故选：C．
【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
6．（5分）如果等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~+a~5~=12，那么a~1~+a~2~+...+a~7~=（ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】由等差数列的性质求解．
【解答】解：a~3~+a~4~+a~5~=3a~4~=12，a~4~=4，
∴a~1~+a~2~+...+a~7~==7a~4~=28
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质．
7．（5分）若曲线y=x^2^+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ）
A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由y=x^2^+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x^2^+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，求出a和b．
【解答】解：∵y=x^2^+ax+b，
∴y′=2x+a，
∵y′\|~x=1~=2+a，
∴曲线y=x^2^+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），
∵曲线y=x^2^+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，
∴a=﹣1，b=2．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．
【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，
∵正三角形ABC，
∴E为BC中点，
∵BC⊥AE，SA⊥BC，
∴BC⊥面SAE，
∴BC⊥AF，AF⊥SE，
∴AF⊥面SBC，
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，
∴AE=，AS=3，
∴SE=2，AF=，
∴sin∠ABF=．
故选：D．
【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．
9．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C~4~^2^，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．
10．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，\|\|=1，\|\|=2，则=（ ）
A．+ B．+ C．+ D．+
【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有
【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．
【解答】解：∵CD为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD
11．（5分）与正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的三条棱AB、CC~1~、A~1~D~1~所在直线的距离相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】由于点D、B~1~显然满足要求，猜想B~1~D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B~1~D，并在B~1~D上任取一点P，
因为=（1，1，1），
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A~1~D，垂足为E，再作EF⊥A~1~D~1~，垂足为F，
则PF是点P到直线A~1~D~1~的距离．
所以PF=；
同理点P到直线AB、CC~1~的距离也是．
所以B~1~D上任一点与正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的三条棱AB、CC~1~、A~1~D~1~所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的三条棱AB、CC~1~、A~1~D~1~所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．
12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），根据求得y~1~和y~2~关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y~1~+y~2~和y~1~y~2~，进而根据y~1~和y~2~关系求得k．
【解答】解：A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
∵，∴y~1~=﹣3y~2~，
∵，设，b=t，
∴x^2^+4y^2^﹣4t^2^=0①，
设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，
∴，，
解得，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则cosα=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【分析】根据，以及sin^2^α+cos^2^α=1可求出答案．
【解答】解：∵=，∴2sinα=﹣cosα
又∵sin^2^α+cos^2^α=1，α是第二象限的角
∴
故答案为：
【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．
14．（5分）（x+）^9^展开式中x^3^的系数是[ 84 ]{.underline}．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T~r+1~，因为题目要求展开式中x^3^的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．
【解答】解：写出（x+）^9^通项，
∵要求展开式中x^3^的系数
∴令9﹣2r=3得r=3，
∴C~9~^3^=84
故答案为：84．
【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．
15．（5分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=[ 2 ]{.underline}．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x^2^+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB：，代入y^2^=2px得3x^2^+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵，即M为A、B的中点，
∴x~B~+（﹣）=2，即x~B~=2+，
得p^2^+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=[ 3 ]{.underline}．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．
【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，
∴小圆N的半径为，
∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，
∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，
∵NE=，ON=3，
∴，
∴，
∴MN=3．
故填：3．
解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，
故小圆半径NB为
C为AB中点，故CB=2；所以NC=，
∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=
∴MN=2EN=2•CN•=2××=3
故填：3．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．
【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜，
又由知B＜∠ADC可得B＜，
由sinB=，可得cosB=，
又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．
从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．
由正弦定理得，
所以AD==．
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．
18．（12分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列a~1~+a~2~=2（），a~3~+a~4~+a~5~=64++）
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=（a~n~+）^2^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a~1~与公比q的方程，然后求解即可
（2）由b~n~的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
【解答】解：（1）设正等比数列{a~n~}首项为a~1~，公比为q，由题意得：∴a~n~=2^n﹣1^（6分）
（2）
∴b~n~的前n项和T~n~=（12分）
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AC=BC，AA~1~=AB，D为BB~1~的中点，E为AB~1~上的一点，AE=3EB~1~．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB~1~与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB~1~与CD的夹角为45°，求二面角A~1~﹣AC~1~﹣B~1~的大小．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）欲证DE为异面直线AB~1~与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB~1~与CD垂直相交即可；
（2）将AB~1~平移到DG，故∠CDG为异面直线AB~1~与CD的夹角，作HK⊥AC~1~，K为垂足，连接B~1~K，由三垂线定理，得B~1~K⊥AC~1~，因此∠B~1~KH为二面角A~1~﹣AC~1~﹣B~1~的平面角，在三角形B~1~KH中求出此角即可．
【解答】解：（1）连接A~1~B，记A~1~B与AB~1~的交点为F．
因为面AA~1~BB~1~为正方形，故A~1~B⊥AB~1~，且AF=FB~1~，
又AE=3EB~1~，所以FE=EB~1~，
又D为BB~1~的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB~1~．
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA~1~B~1~B．连接DG，则DG∥AB~1~，
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB~1~与CD的公垂线．
（2）因为DG∥AB~1~，故∠CDG为异面直线AB~1~与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB~1~=，DG=，CG=，AC=．
作B~1~H⊥A~1~C~1~，H为垂足，因为底面A~1~B~1~C~1~⊥面AA~1~CC~1~，故B~1~H⊥面AA~1~C~1~C．又作HK⊥AC~1~，K为垂足，连接B~1~K，由三垂线定理，得B~1~K⊥AC~1~，因此∠B~1~KH为二面角A~1~﹣AC~1~﹣B~1~的平面角．
B~1~H=，C~1~H=，AC~1~=，HK=
tan∠B~1~KH=，
∴二面角A~1~﹣AC~1~﹣B~1~的大小为arctan．
【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的"形"到"形"的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．
20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T~1~，T~2~，T~3~，T~4~，电流能通过T~1~，T~2~，T~3~的概率都是P，电流能通过T~4~的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T~1~，T~2~，T~3~中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A~4~+（1﹣A~4~）A~1~A~3~+（1﹣A~4~）（1﹣A~1~）A~2~A~3~，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T~i~为事件A~i~，i=1、2、3、4，
A表示事件：T~1~，T~2~，T~3~，中至少有一个能通过电流，
易得A~1~，A~2~，A~3~相互独立，且，
P（）=（1﹣p）^3^=1﹣0.999=0.001，
计算可得，p=0.9；
（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，
有B=A~4~+（1﹣A~4~）A~1~A~3~+（1﹣A~4~）（1﹣A~1~）A~2~A~3~，
则P（B）=P（A~4~+（1﹣A~4~）A~1~A~3~+（1﹣A~4~）（1﹣A~1~）A~2~A~3~）
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891．
【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x^2^+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0，
即：2x^2^﹣3x+1＜0
函数f（x）的单调递增区间是．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，
∵f（x）在上为减函数，
∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．
即a≤2x+恒成立．
设，则
∵x∈时，＞4，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在上递减，
∴g（x）＞g（）=3，
∴a≤3．
【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．
22．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，\|DF\|•\|BF\|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．
（Ⅱ）利用离心率将条件\|FA\|\|FB\|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，
得（b^2^﹣a^2^）x^2^﹣4a^2^x﹣a^2^b^2^﹣4a^2^=0，
设B（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），则，，①
由M（1，3）为BD的中点知．
故，即b^2^=3a^2^，②
故，
∴C的离心率．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x^2^﹣y^2^=3a^2^，A（a，0），F（2a，0），
．
故不妨设x~1~≤﹣a，x~2~≥a，
，，
\|BF\|•\|FD\|=（a﹣2x~1~）（2x~2~﹣a）=﹣4x~1~x~2~+2a（x~1~+x~2~）﹣a^2^=5a^2^+4a+8．
又\|BF\|•\|FD\|=17，故5a^2^+4a+8=17．
解得a=1，或（舍去），
故=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知\|MA\|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．
| 1 | |
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
**数学Ⅰ**
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| 注意事项 |
| |
| 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 |
| |
| 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 |
| |
| 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 |
| |
| 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 |
| |
| 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 |
| |
| 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
参考公式：
> 样本数据的方差，其中．
>
> 柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
>
> 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
1．已知集合，，则 [▲]{.underline} .
2．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数*a*的值是 [▲]{.underline} .
3．下图是一个算法流程图，则输出的*S*的值是 [▲]{.underline} .
4．函数的定义域是 [▲]{.underline} .
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 [▲]{.underline} .
6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 [▲]{.underline} .
7．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 [▲]{.underline} .
8．已知数列是等差数列，是其前*n*项和.若，则的值是 [▲]{.underline} .
9．如图，长方体的体积是120，*E*为的中点，则三棱锥*E*-*BCD*的体积是 [▲]{.underline} .
10．在平面直角坐标系中，*P*是曲线上的一个动点，则点*P*到直线*x*+*y*=0的距离的最小值是 [▲]{.underline} .
11．在平面直角坐标系中，点*A*在曲线*y*=ln*x*上，且该曲线在点*A*处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点*A*的坐标是 [▲]{.underline} .
12．如图，在中，*D*是*BC*的中点，*E*在边*AB*上，*BE*=2*EA*，*AD*与*CE*交于点.若，则的值是 [▲]{.underline} .
13．已知，则的值是 [▲]{.underline} .
14．设是定义在**R**上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中*k*\>0.若在区间(0，9\]上，关于*x*的方程有8个不同的实数根，则*k*的取值范围是 [▲]{.underline} .
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15．（本小题满分14分）
> 在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*．
>
> （1）若*a*=3*c*，*b*=，cos*B*=，求*c*的值；
>
> （2）若，求的值．
16．（本小题满分14分）
> 如图，在直三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*D*，*E*分别为*BC*，*AC*的中点，*AB*=*BC*．
>
> 求证：（1）*A*~1~*B*~1~∥平面*DEC*~1~；
>
> （2）*BE*⊥*C*~1~*E*．
17．（本小题满分14分）
> 如图，在平面直角坐标系*xOy*中，椭圆*C*:的焦点为*F*~1~（--1、0），
>
> *F*~2~（1，0）．过*F*~2~作*x*轴的垂线*l*，在*x*轴的上方，*l*与圆*F*~2~:交于点*A*，与椭圆*C*交于点*D*.连结*AF*~1~并延长交圆*F*~2~于点*B*，连结*BF*~2~交椭圆*C*于点*E*，连结*DF*~1~．
>
> 已知*DF*~1~=．
>
> （1）求椭圆*C*的标准方程；
>
> （2）求点*E*的坐标．
18．（本小题满分16分）
> 如图，一个湖的边界是圆心为*O*的圆，湖的一侧有一条直线型公路*l*，湖上有桥*AB*（*AB*是圆*O*的直径）．规划在公路*l*上选两个点*P*、*Q*，并修建两段直线型道路*PB*、*QA*．规划要求:线段*PB*、*QA*上的所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径．已知点*A*、*B*到直线*l*的距离分别为*AC*和*BD*（*C*、*D*为垂足），测得*AB*=10，*AC*=6，*BD*=12（单位:百米）．
>
> （1）若道路*PB*与桥*AB*垂直，求道路*PB*的长；
>
> （2）在规划要求下，*P*和*Q*中能否有一个点选在*D*处？并说明理由；
>
> （3）对规划要求下，若道路*PB*和*QA*的长度均为*d*（单位：百米）.求当*d*最小时，*P*、*Q*两点间的距离．
19．（本小题满分16分）
> 设函数、为*f*（*x*）的导函数．
>
> （1）若*a*=*b*=*c*，*f*（4）=8，求*a*的值；
>
> （2）若*a*≠*b*，*b*=*c*，且*f*（*x*）和的零点均在集合中，求*f*（*x*）的极小值；
>
> （3）若，且*f*（*x*）的极大值为*M*，求证:*M*≤．
20．（本小满分16分）
> 定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".
>
> （1）已知等比数列{*a~n~*}满足：，求证:数列{*a~n~*}为"M－数列"；
>
> （2）已知数列{*b~n~*}满足:，其中*S~n~*为数列{*b~n~*}的前*n*项和．
>
> ①求数列{*b~n~*}的通项公式；
>
> ②设*m*为正整数，若存在"M－数列"{*c~n~*}，对任意正整数*k*，当*k*≤*m*时，都有成立，求*m*的最大值．
>
> **数学Ⅱ(附加题)**
**21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
> A.\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分）
已知矩阵
（1）求***A***^2^；
（2）求矩阵***A***的特征值.
B.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知两点，直线*l*的方程为.
（1）求*A*，*B*两点间的距离；（2）求点*B*到直线*l*的距离.
C.\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分10分）
设，解不等式.
**【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
22.（本小题满分10分）设.已知.
（1）求*n*的值；（2）设，其中，求的值.
> 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系*xOy*中，设点集，
>
> 令.从集合*M~n~*中任取两个不同的点，用随机变量*X*表示它们之间的距离.
（1）当*n*=1时，求*X*的概率分布；
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
**数学Ⅰ答 案**
**一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.**
1\. 2.2 3.5 4. 5. 6. 7.
8.16 9.10 10.4 11. 12. 13. 14.
**二、解答题**
> **15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.**
>
> 解：（1）因为，
>
> 由余弦定理，得，即.
>
> 所以.
>
> （2）因为，
>
> 由正弦定理，得，所以.
>
> 从而，即，故.
>
> 因为，所以，从而.
>
> 因此.
**16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.**
> 证明：（1）因为*D*，*E*分别为*BC*，*AC*的中点，
>
> 所以*ED*∥*AB*.
>
> 在直三棱柱*ABC-A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*∥*A*~1~*B*~1~，
>
> 所以*A*~1~*B*~1~∥*ED*.
>
> 又因为*ED*⊂平面*DEC*~1~，*A*~1~*B*~1~平面*DEC*~1~，
>
> 所以*A*~1~*B*~1~∥平面*DEC*~1~.
>
> （2）因为*AB*=*BC*，*E*为*AC*的中点，所以*BE*⊥*AC*.
>
> 因为三棱柱*ABC-A*~1~*B*~1~*C*~1~是直棱柱，所以*CC*~1~⊥平面*ABC*.
>
> 又因为*BE*⊂平面*ABC*，所以*CC*~1~⊥*BE*.
>
> 因为*C*~1~*C*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，*AC*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，*C*~1~*C*∩*AC*=*C*，
>
> 所以*BE*⊥平面*A*~1~*ACC*~1~.
>
> 因为*C*~1~*E*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，所以*BE*⊥*C*~1~*E*.
**17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.**
> 解：（1）设椭圆*C*的焦距为2*c*.
>
> 因为*F*~1~(－1，0)，*F*~2~(1，0)，所以*F*~1~*F*~2~=2，*c*=1.
>
> 又因为*DF*~1~=，*AF*~2~⊥*x*轴，所以*DF*~2~=，
>
> 因此2*a*=*DF*~1~+*DF*~2~=4，从而*a*=2.
>
> 由*b*^2^=*a*^2^-*c*^2^，得*b*^2^=3.
>
> 因此，椭圆*C*的标准方程为.
>
> （2）解法一：
>
> 由（1）知，椭圆*C*：，*a*=2，
>
> 因为*AF*~2~⊥*x*轴，所以点*A*的横坐标为1.
>
> 将*x*=1代入圆*F*~2~的方程(*x*-1) ^2^+*y*^2^=16，解得*y*=±4.
>
> 因为点*A*在*x*轴上方，所以*A*(1，4).
>
> 又*F*~1~(-1，0)，所以直线*AF*~1~：*y*=2*x*+2.
>
> 由，得，
>
> 解得或.
>
> 将代入，得 ，
>
> 因此.又*F*~2~(1，0)，所以直线*BF*~2~：.
>
> 由，得，解得或.
>
> 又因为*E*是线段*BF*~2~与椭圆的交点，所以.
>
> 将代入，得.因此.
>
> 解法二：
>
> 由（1）知，椭圆*C*：.如图，连结*EF*~1~.
>
> 因为*BF*~2~=2*a*，*EF*~1~+*EF*~2~=2*a*，所以*EF*~1~=*EB*，
>
> 从而∠*BF*~1~*E*=∠*B*.
>
> 因为*F*~2~*A*=*F*~2~*B*，所以∠*A*=∠*B*，
>
> 所以∠*A*=∠*BF*~1~*E*，从而*EF*~1~∥*F*~2~*A*.
>
> 因为*AF*~2~⊥*x*轴，所以*EF*~1~⊥*x*轴.
>
> 因为*F*~1~(-1，0)，由，得.
>
> 又因为*E*是线段*BF*~2~与椭圆的交点，所以.
>
> 因此.
**18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.**
**解：解法一：**
（1）过*A*作，垂足为*E*.
由已知条件得，四边形*ACDE*为矩形，.\'
因为*PB*⊥*AB*，
所以.
所以.
因此道路*PB*的长为15（百米）.
> （2）①若*P*在*D*处，由（1）可得*E*在圆上，则线段*BE*上的点（除*B*，*E*）到点*O*的距离均小于圆*O*的半径，所以*P*选在*D*处不满足规划要求.
②若*Q*在*D*处，连结*AD*，由（1）知，
从而，所以∠*BAD*为锐角.
所以线段*AD*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径.
因此，*Q*选在*D*处也不满足规划要求.
综上，*P*和*Q*均不能选在*D*处.
（3）先讨论点*P*的位置.
当∠*OBP*\<90°时，线段*PB*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径，点*P*不符合规划要求；
> 当∠*OBP*≥90°时，对线段*PB*上任意一点*F*，*OF*≥*OB*，即线段*PB*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径，点*P*符合规划要求.
设为*l*上一点，且，由（1）知，*B*=15，
此时；
当∠*OBP*\>90°时，在中，.
由上可知，*d*≥15.
再讨论点*Q*的位置.
> 由（2）知，要使得*QA*≥15，点*Q*只有位于点*C*的右侧，才能符合规划要求.当*QA*=15时，.此时，线段*QA*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径.
>
> 综上，当*PB*⊥*AB*，点*Q*位于点*C*右侧，且*CQ*=时，*d*最小，此时*P*，*Q*两点间的距离*PQ*=*PD*+*CD*+*CQ*=17+.
因此，*d*最小时，*P*，*Q*两点间的距离为17+（百米）.
**解法二：**
（1）如图，过*O*作*OH*⊥*l*，垂足为*H.*
以*O*为坐标原点，直线*OH*为*y*轴，建立平面直角坐标系.
因为*BD*=12，*AC*=6，所以*OH*=9，直线*l*的方程为*y*=9，点*A*，*B*的纵坐标分别为3，−3.
因为*AB*为圆*O*的直径，*AB*=10，所以圆*O*的方程为*x*^2^+*y*^2^=25.
从而*A*（4，3），*B*（−4，−3），直线*AB*的斜率为.
因为*PB*⊥*AB*，所以直线*PB*的斜率为，
直线*PB*的方程为.
所以*P*（−13，9），.
因此道路*PB*的长为15（百米）.
> （2）①若*P*在*D*处，取线段*BD*上一点*E*（−4，0），则*EO*=4\<5，所以*P*选在*D*处不满足规划要求.
②若*Q*在*D*处，连结*AD*，由（1）知*D*（−4，9），又*A*（4，3），
所以线段*AD*：.
在线段*AD*上取点*M*（3，），因为，
所以线段*AD*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径.
因此*Q*选在*D*处也不满足规划要求.
综上，*P*和*Q*均不能选在*D*处.
（3）先讨论点*P*的位置.
当∠*OBP*\<90°时，线段*PB*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径，点*P*不符合规划要求；
> 当∠*OBP*≥90°时，对线段*PB*上任意一点*F*，*OF*≥*OB*，即线段*PB*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径，点*P*符合规划要求.
设为*l*上一点，且，由（1）知，*B*=15，此时（−13，9）；
当∠*OBP*\>90°时，在中，.
由上可知，*d*≥15.
再讨论点*Q*的位置.
> 由（2）知，要使得*QA≥*15，点*Q*只有位于点*C*的右侧，才能符合规划要求.当*QA*=15时，设*Q*（*a*，9），由，得*a*=，所以*Q*（，9），此时，线段*QA*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径.
综上，当*P*（−13，9），*Q*（，9）时，*d*最小，此时*P*，*Q*两点间的距离
.
因此，*d*最小时，*P*，*Q*两点间的距离为（百米）.
**19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．**
> 解：（1）因为，所以．
>
> 因为，所以，解得．
>
> （2）因为，
>
> 所以，
>
> 从而．令，得或．
>
> 因为，都在集合中，且，
>
> 所以．
>
> 此时，．
>
> 令，得或．列表如下：
-- ---- -------- ---- -------- ----
1
\+ 0 -- 0 \+
极大值 极小值
-- ---- -------- ---- -------- ----
> 所以的极小值为．
>
> （3）因为，所以，
>
> ．
>
> 因为，所以，
>
> 则有2个不同的零点，设为．
>
> 由，得．
>
> 列表如下：
-- ---- -------- ---- -------- ----
\+ 0 -- 0 \+
极大值 极小值
-- ---- -------- ---- -------- ----
> 所以的极大值．
>
> 解法一：
>
> ．因此．
>
> 解法二：
>
> 因为，所以．
>
> 当时，．
>
> 令，则．
>
> 令，得．列表如下：
-- ---- -------- ----
\+ 0 --
极大值
-- ---- -------- ----
> 所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
>
> 所以当时，，因此．
**20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．**
> 解：（1）设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，所以*a*~1~≠0，*q*≠0.
>
> 由，得，解得．
>
> 因此数列为"M---数列".
>
> （2）①因为，所以．
>
> 由得，则.
>
> 由，得，
>
> 当时，由，得，
>
> 整理得．
>
> 所以数列{*b~n~*}是首项和公差均为1的等差数列.
>
> 因此，数列{*b~n~*}的通项公式为*b~n~*=*n*.
>
> ②由①知，*b~k~*=*k*，.
>
> 因为数列{*c~n~*}为"M--数列"，设公比为*q*，所以*c*~1~=1，*q*\>0.
>
> 因为*c~k~*≤*b~k~*≤*c~k~*~+1~，所以，其中*k*=1，2，3，...，*m*.
>
> 当*k*=1时，有*q*≥1；
>
> 当*k*=2，3，...，*m*时，有．
>
> 设*f*（*x*）=，则．
>
> 令，得*x*=e.列表如下：
------------ -------------------------------------- -------- --------------------------------------
*x* e (e，+∞)
\+ 0 --
*f*（*x*）  极大值 
------------ -------------------------------------- -------- --------------------------------------
> 因为，所以．
>
> 取，当*k*=1，2，3，4，5时，，即，
>
> 经检验知也成立．
>
> 因此所求*m*的最大值不小于5．
>
> 若*m*≥6，分别取*k*=3，6，得3≤*q*^3^，且*q*^5^≤6，从而*q*^15^≥243，且*q*^15^≤216，
>
> 所以*q*不存在.因此所求*m*的最大值小于6.
>
> 综上，所求*m*的最大值为5．
**数学Ⅱ(附加题)参考答案**
**21．【选做题】**
> **A．\[选修4--2：矩阵与变换\]**
>
> **本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．**
>
> 解：（1）因为，
>
> 所以
>
> ==．
>
> （2）矩阵***A***的特征多项式为
>
> .
>
> 令，解得***A***的特征值.
>
> **B．\[选修4--4：坐标系与参数方程\]**
>
> **本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．**
>
> 解：（1）设极点为*O*.在△*OAB*中，*A*（3，），*B*（，），
>
> 由余弦定理，得*AB*=.
>
> （2）因为直线*l*的方程为，
>
> 则直线*l*过点，倾斜角为．
>
> 又，所以点*B*到直线*l*的距离为.
>
> **C．\[选修4--5：不等式选讲\]**
>
> **本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．**
>
> 解：当*x*\<0时，原不等式可化为，解得*x*\<--：
>
> 当0≤*x*≤时，原不等式可化为*x*+1--2*x*\>2，即*x*\<--1，无解；
>
> 当*x*\>时，原不等式可化为*x*+2*x*--1\>2，解得*x*\>1.
>
> 综上，原不等式的解集为.
>
> **22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．**
>
> 解：（1）因为，
>
> 所以，
>
> ．
>
> 因为，
>
> 所以，
>
> 解得．
>
> （2）由（1）知，．
>
> ．
>
> **解法一：**
>
> 因为，所以，
>
> 从而．
>
> **解法二：**
>
> ．
>
> 因为，所以．
>
> 因此．
>
> **23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．**
>
> 解：（1）当时，的所有可能取值是．
>
> 的概率分布为，
>
> ．
>
> （2）设和是从中取出的两个点．
>
> 因为，所以仅需考虑的情况．
>
> ①若，则，不存在的取法；
>
> ②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
>
> ③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
>
> ④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．
>
> 综上，当时，的所有可能取值是和，且
>
> ．
因此，．
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**2017---2018学年度第一学期高三十模考试**
**数学试卷（理科）**
**一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）**
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.函数的图象大致是（ ）
   
A． B． C． D．
6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数，其中为函数的导数，求（ ）
A． B． C． D．
12.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的"绝对曲线".下面给出的四条曲线方程：
①；②；③；④.
其中直线的"绝对曲线"的条数为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）**
13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围 [ ]{.underline} ．
14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 [ ]{.underline} ．
15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是 [ ]{.underline} ．
16.观察下列各式：
；
；
；
；
......
若按上述规律展开后，发现等式右边含有""这个数，则的值为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）**
17.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.
（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.
（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）
19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.
（1）试判定点的位置，并加以证明；
（2）求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.
21.已知函数.
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知，，均为正实数，且，求证.
**请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.
23.\[选修4-5：不等式选讲\]
已知.
（1）当时，解不等式.
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
**十模数学答案（理）**
**一、选择题**
1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）由题意可得，即.
又因为，所以.所以.
（2）因为，所以.
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，
即存在，使得成立.
又，（当且仅当时取等号），
所以.即实数的取值范围是.
18.解：（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.
（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.
由题意可得；
；
；
；
.
所以随机变量的分布列为
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
∴均值.
（3）由折线图可得.
19.解：（1）为的中点，证明如下：
连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点.
（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
易知，，，，，，
则，.
显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，
则，即，取，
则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
20.（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点.
试题解析：（1）∵，
∴由①知，
∴为的重心.
设，则，由②知是的外心，
∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：.
（2）解：恰为的右焦点，
①当直线，的斜率存且不为时，设直线的方程为，
由，
设，，则，，
①根据焦半径公式得，
又，
所以，同理，
则，
当，即时取等号.
②根据中点坐标公式得，同理可求得，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为，
整理化简得，
令，解得.
∴直线恒过定点.
②当直线，有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为，直线即为轴，过点.
综上，的最小值的，直线恒过定点.
21.（1）当时，则，
则，
∴函数的图象在时的切线方程为.
（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，
当时，在上无解满足，
当时，只需，∴①
，
∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，
即在上恒成立.
设，
∵，∴，则在上单调递增，
∴在上的值域为.
∴在上恒成立，则②
综合①②得实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
于是当时，，
当时，，
∴，即，
同理有，，
三式相加得.
22.解：（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.
曲线：，∴，故的普通方程为.
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.
当时，有最小值，所以的最小值为.
23.解：（1）当时，等式，即，
等价于或或，
解得或，
所以原不等式的解集为；
（2）设，则，
则在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取最小值且最小值为，
∴，解得，∴实数的取值范围为.
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.已知集合*A*={*x*\|\|*x*\|\<3，*x*∈*Z*}，*B*={*x*\|\|*x*\|\>1，*x*∈*Z*}，则*A*∩*B*=（ ）
A. B. {--3，--2，2，3）
C. {--2，0，2} D. {--2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
或，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1--i）^4^=（ ）
A. --4 B. 4
C. --4*i* D. 4*i*
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为*a*~1~，*a*~2~，...，*a*~12~.设1≤*i*\<*j*\<*k*≤12．若*k*--*j*=3且*j*--*i*=4，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位大三和弦；若*k*--*j*=4且*j*--*i*=3，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足
从开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
故需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量***a***，***b***的夹角为60°，则在下列向量中，与***b***垂直的是（ ）
A. ***a***+2***b*** B. 2***a***+***b*** C. ***a***--2***b*** D. 2***a***--***b***
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6.记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*a*~5~--*a*~3~=12，*a*~6~--*a*~4~=24，则=（ ）
A. 2*^n^*--1 B. 2--2^1--*n*^ C. 2--2^*n*--1^ D. 2^1--*n*^--1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.
7.执行右面的程序框图，若输入的*k*=0，*a*=0，则输出的*k*为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值
模拟程序的运行过程
第1次循环，，为否
第2次循环，，为否
第3次循环，，为否
第4次循环，，为是
退出循环
输出.
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10.设函数,则（ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
11.已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
14.记为等差数列的前*n*项和．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.若*x*，*y*满足约束条件则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，
此时点的坐标是方程组的解，解得：，
因此的最大值为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*.
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求*A*；
（2）若，证明：△*ABC*是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，=1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合．过*F*且与*x*轴重直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|．
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）若*C*~1~的四个顶点到*C*~2~的准线距离之和为12，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程．
【答案】（1）；（2）：，： .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.
不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，
所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；
又因为抛物线的方程为，所以当时，有，
所以的纵坐标分别为，，故，.
> 由得，即，解得（舍去），.
>
> 所以的离心率为.
>
> （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.
>
> 由已知得，即.
>
> 所以的标准方程为，的标准方程为.
>
> 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱*ABC*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点．过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*．
（1）证明：*AA*~1~//*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*=*AB*=6，*AO*//平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且∠*MPN*=，求四棱锥*B*--*EB*~1~*C*~1~*F*的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；
（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.
【详解】（1）分别为，的中点，
又
在等边中，为中点，则
又侧面为矩形，
由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面
又平面
平面
平面
平面平面
（2）过作垂线，交点为，
画出图形，如图
平面
平面，平面平面
又
为的中心.
故：，则，
平面平面，平面平面，
平面
平面
又在等边中
即
由（1）知，四边形为梯形
四边形的面积为：
，
为到的距离，
.
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21.已知函数*f*（*x*）=2ln*x*+1．
（1）若*f*（*x*）≤2*x*+*c*，求*c*的取值范围；
（2）设*a*\>0时，讨论函数*g*（*x*）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【解析】
【分析】
（1）不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】（1）函数的定义域为：
，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
（2）且
因此，设，
则有，
当时，，所以，单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，
所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.
**（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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天门、仙桃、潜江、江汉油田
2020年初中学业水平考试（中考）
数 学 试 卷
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**2017重庆中考数学试题（A卷）**
一、选择题
1、在实数-3，2，0，-4，最大的数是（ ）
A、-3 B、2 C、0 D、-4
2、下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A B C D
3、计算正确的解果是（ ）
A、3 B、 C、 D、
4、下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C、对某批次手机的防水功能的调查
D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
5、估计的值应在（ ）
A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间
6、若，则代数式的值为（ ）
A、-6  B、0 C、2 D、6
7、要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、若，相似比为3:2，则对应高的比为（ ）
A、3:2 B、3:5 C、9:4 D、4:9
9、如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有3个菱形，。。。。。，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A、73 B、81 C、91 D、109
11、如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（ ）（参考数据：）
A、5.1米 B、6.3米 C、7.1米 D、9.2米
12、若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A、10 B、12 C、14 D、16
二、填空题
13、"渝新欧"国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务"一带一路"的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为 [ ]{.underline} 。
14、计算： [ ]{.underline} 。
15、如图，BC是的直径，点A在圆上，连接A0，AC，，则= [ ]{.underline} 。
16、某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 [ ]{.underline} 小时。
17、A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行。甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是 [ ]{.underline} 米。
18、如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将沿EF翻折，得到，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则的周长是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} 。
三、解答题
19、
求的度数。
20、重庆某中学组织七、八、九年级学生参加"直辖20年，点赞新重庆"作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题。\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 [ ]{.underline} 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率。
21、计算：（1）（2）
22、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m0）的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BMx轴，垂足为M，BM=OM，OB=，点A的纵坐标为4.
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积。
22题图
23、某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产。
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值。
24、在中，垂足为，点C是BM延长线上一点，连接AC.
（1）如图1，若求的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：.
25、对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为"相异数"，将一个"相异数"任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）。例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666111=6，所以F（123）=6.
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是"相异数"，其中s=100x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y都是正整数），规定：，当时，求的最大值。
\[来源:学\*科\*网\]
26、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上。
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE。当的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M时CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为点F。在新抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。
26题图一 26题图二
\[来源:学科网ZXXK\]
**2017重庆中考数学A卷****答案解析**
一、选择题
1\~5、BCCDB
6\~10、BDABC
11\~12、AA
二、填空题\[来源:学科网ZXXK\]
13\.
14.4
15.32
16.11
17.180
18\.
三、解答题
19\.
20.⑴126，45；
⑵假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
列表法：
21.⑴，⑵
22.⑴，；⑵
23.⑴设该果农今年收获樱桃千克
根据题意得，解得
⑵
令，原方程可化为
整理可得：
解得：，
∴（舍去），
∴
24.⑴
⑵延长到点，使得，连接．
由，，，可证
故
又，因此
由，，，可证
故，
所以
因此
25.⑴
⑵∵*s*，*t*都是"相异数"
∴
∵
∴
∴
∵，，且，都是正整数
∴或或或或或
∵是"相异数"，∴，
∵是"相异数"，∴，
∴或或\[来源:学+科+网\]
∴或或
∴或或
∴的最大值为
26.⑴
⑵的最小值为3
⑶点Q的坐标为，，，
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**2022届新高考开学数学摸底考试卷18**
**一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**1．若集合，，满足：，则（ ）**
**A． B． C． D．**
**2．已知复数*z*对应的向量为(*O*为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数*z*的模为2，则复数*z*为（ ）**
**A． B．2 C． D．**
**3．是的（ ）**
**A．充要条件 B．必要不充分条件**
**C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件**
**4．已知函数，则（ ）**
**A． B． C． D．**
**5．已知向量与，，，，则已知向量与的夹角为（ ）**
**A． B． C． D．**
**6．若，则（ ）**
**A．20 B． C．15 D．**
**7．已知实数满足约束条件，则的取值范围为（ ）**
**A． B． C． D．**
**8．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，**
**是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．**
**9．设等差数列的前*n*项和是，已知，，则下列选项正确的有（ ）**
**A．， B．**
**C．与均为的最大值 D．**
**10．已知函数在上是单调函数，且**
**．则的可能取值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**11．已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）**
**A．离心率的取值范围为**
**B．当离心率为时，的最大值为**
**C．存在点使得**
**D．的最小值为1**
**12．已知函数，若时，有，是圆周率，**
**为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）**
**A．的图象与轴有两个交点**
**B．**
**C．若，则**
**D．若，，，，，，则最大**
**第Ⅱ卷**
**三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
**13．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．**
**根据该折线图，下列结论错误的是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**①月接待游客量逐月增加；**
**②年接待游客量逐年增加；**
**③各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；**
**④各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．**
**14．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为，抽到一等品或三等品的概率为，则抽到一等品的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**15．若分别为圆与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**16．已知，，，为的角平分线，**
**则（i）面积的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**（ii）的最小值为\_\_\_\_\_\_\_．**
**四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**17．（10分）已知的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为，．**
**（1）求的值；**
**（2）若，的面积为，求的周长．**
**18．（12分）已知数列的前项和为，且．**
**（1）求数列的通项公式；**
**（2）设，求数列的前项和．**
**19．（12分）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，中，，，，分别是，的中点．**
**（1）求证：平面；**
**（2）记平面与平面的交线为直线，点为直线上动点．求直线与平面所成的角的取值范围．**
**20．（12分）下棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用"中国数目法"，没有和棋．)即每人进行轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取局胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现．三种赛式)．**
-------------- -------- --------
**或**
**胜者积分** **分** **分**
**负者积分** **分** **分**
-------------- -------- --------
**轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分分，乙累计积分分．第轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．**
**（1）①在第轮比赛中，甲所得积分为，求的分布列；**
**②求第轮结束后，甲的累计积分的期望；**
**（2）已知第轮乙得分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛．("提前一轮"即比赛进行轮就结束，最后一轮即第轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．**
**21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．**
**（1）求椭圆*G*的方程；**
**（2）过点斜率为的直线*l*交椭圆*G*于*A*，*B*两点，在*y*轴上是否存在点*N*使得（点*N*与点*M*不重合），若存在，求出点*N*的坐标；若不存在，请说明理由．**
**22．（12分）已知函数．**
**（1）若函数，判断的单调性（用实数表示）；**
**（2）若恒成立，求实数的取值范围．**
2022届新高考开学数学摸底考试卷18
**第Ⅰ卷**
**一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**1．【答案】B**
**【解析】由集合，，满足：，，如图所示：**
**，，，故选B．**
**2．【答案】D**
**【解析】设复数*z*对应的点为，**
**则，，**
**∴复数*z*对应的点为，∴，故选D．**
**3．【答案】C**
**【解析】由不等式，即，**
**解得或，**
**即不等式的解集为或，**
**所以是的充分不必要条件，故选C．**
**4．【答案】A**
**【解析】当时，因为，所以，**
**所以是周期为的函数，所以，**
**又因为，所以，故选A．**
**5．【答案】B**
**【解析】设向量与的夹角为，∵，，**
**因为，所以，∴，**
**，∴．**
**6．【答案】B**
**【解析】因为，所以展开式的通项为，**
**令，则，所以，故选B．**
**7．【答案】B**
**【解析】如图画出可行域，由，**
**则，当直线过点时，取最大值；**
**当直线过点时，取最小值，**
**由题可得，，所以，，故选B．**
**8．【答案】A**
**【解析】延长至点，使，连接，，．**
**因为是母线的中点，所以，**
**所以为异面直线与所成的角（或补角）．**
**由题意知，，**
**又是的中点，所以，**
**所以在中，．**
**因为，所以，所以．**
**在中，，**
**则由余弦定理得，故选A．**
**二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．**
**9．【答案】ABD**
**【解析】因为，，**
**所以，即，**
**因为，所以，所以，**
**所以等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，**
**则，，为的最大值．**
**故选ABD．**
**10．【答案】AB**
**【解析】对于A，，若，**
**，**
**可取，**
**则，在上单减，故A正确；**
**对于B，，若，**
**，**
**此时可以取，使得函数在单减，故B正确；**
**对于C，，若，**
**即，**
**，故C错误；**
**对于D，，若，，**
**，故D错误，**
**故选AB．**
**11．【答案】BD**
**【解析】由题意可得，所以，**
**由点在椭圆内部可得，**
**可得，即，所以．**
**对A，，所以，故A错误；**
**对B，当时，，，**
**，故B正确；**
**对C，由A知，当时，当在短轴端点时，最大，**
**此时，此时，**
**由，故可得在椭圆在最扁时的最大值都小于，**
**所以不存在点使得，即C错误；**
**对D，，故D正确，**
**故选BD．**
**12．【答案】BCD**
**【解析】的定义域为，且，**
**当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，**
**所以的单调递增区间为，单调递减区间为，**
**由于时，，且当时，，故只有一个零点，所以A选项不正确；**
**由于的单调性，可得，，所以B选项正确；**
**由的单调区间，可画出函数的简图．**
**由，，可知，．**
**因为在上单调递减，可知，**
**故有．**
**因为在上单调递增，所以．**
**综上，有，所以C选项正确；**
**因为，由指数函数单调性可知，，，；**
**由幂函数单调性可知，，，即有，，**
**故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中．**
**由及的单调性，有，即．**
**由，可得，即，所以；**
**同理可得．**
**综上可得，6个数中最大数是，最小数是，所以D选项正确，**
**故选BCD．**
**第Ⅱ卷**
**三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．**
**13．【答案】①**
**【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，所以①错误；**
**根据接待游客的折线图，可得年接待游客量逐年增加，所以②正确；**
**各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月，所以③正确；**
**各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以④正确，**
**故答案为①．**
**14．【答案】**
**【解析】设抽到一等品､二等品､三等品的事件分别为，，，**
**则，解得，**
**则抽到一等品的概率为，故答案为．**
**15．【答案】9**
**【解析】由题意点半径为2，半径为1，**
**设点关于直线的对称点为，**
**如图：**
**则，解得，即，连接，**
**求的最小值可以转化为点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，**
**再由点、关于直线的对称，**
**所以，**
**又，故答案为9．**
**16．【答案】，9**
**【解析】（i）在中，由余弦定理可得，**
**即，解得，**
**当且仅当时等号成立．**
**所以，**
**所以面积的取值范围为．**
**（ii）为的角平分线，，**
**所以，，**
**所以，**
**即，所以，**
**所以**
**，**
**当且仅当，即时等号成立．**
**所以的最小值为9，**
**故答案为，9．**
**四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**17．【答案】（1）；（2）．**
**【解析】（1）由正弦定理，及，**
**得，即，**
**∴．**
**（2）由（1）知，故，**
**又因为，解得，．**
**由，得，**
**由余弦定理及，得，**
**∴，∴，**
**∴的周长为．**
**18．【答案】（1）；（2）．**
**【解析】（1）当时，得到数列的首项为1，**
**当时，根据得到，**
**上述两式相减得到，**
**则，经验证，当时也成立，**
**所以．**
**（2）由（1）得，**
**所以①**
**②**
**①②，可得**
**，**
**所以．**
**19．【答案】（1）证明见解析；（2）．**
**【解析】（1）证明：因为是以为直径的圆上异于，的点，**
**所以，**
**因为平面平面，平面平面，平面，**
**所以平面．**
**（2）由已知，，又平面，平面，∴平面，**
**又平面，平面平面，∴，**
**以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，**
**则，，，∴，，**
**∴，，**
**∵，∴可设，平面的一个法向量为，**
**则，取，得，**
**又，则，**
**∴直线与平面所成角的取值范围为．**
**20．【答案】（1）①分布列见解析；②；（2）．**
**【解析】（1）①由题意，随机变量的可能取值为，**
**则，，**
**，，**
**所以的分布列为**
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
**②随机变量的可能取值为，**
**则．**
**（2）若，则甲轮后的总积分为分，乙即便第轮和第轮都得分，**
**则轮过后的总积分是分，，**
**所以甲如果第轮积分，则可提前一轮结束比赛，其概率为．**
**21．【答案】（1）；（2），证明见解析．**
**【解析】（1）由条件可知，解得，，**
**所以椭圆的方程是．**
**（2）设直线，，，，**
**联立，得，**
**，，**
**，，**
**即，**
**即****，****，得****，**
**即存在定点****．**
**22．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）****．**
**【解析】（1）由题得****，则****．**
**①当****时，****，此时****是增函数；**
**②当****时，由****，得****，**
**所以当****时，****，此时****单调递增；**
**当****时，****，此时****单调递减，**
**综上，当****时，****在****上单调递增；**
**当****时，****在****上单调递增，在****上单调递减．**
**（2）若****恒成立，即****在****上恒成立，**
**则****在****上恒成立．**
**令****，则****．**
**令****，则****，**
**所以****在****上是增函数．**
**而****，****，**
**所以存在****，使得****，即****，**
**所以****．**
**令****，则****在****上恒成立，**
**所以****在****上是增函数，所以****．**
**当****时，****，则****，所以****在****上单调递减；**
**当****时，****，则****，故****在****上单调递增，**
**所以****，所以****，**
**即实数****的取值范围是****．**
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第15课《综合练习题》试题附答案**
三年级奥数上册：第十五讲 综合练习题 来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2015-2016学九年级（下）第一次月考数学试卷**
**一、选择题。**
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
2．关于x的一元二次方程x^2^﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
3．计算（﹣2a）^2^﹣3a^2^的结果是（ ）
A．﹣a^2^ B．a^2^ C．﹣5a^2^ D．5a^2^
4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．如图，正比例函数y~1~=k~1~x和反比例函数y~2~=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y~1~＜y~2~，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
7．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x^2^﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ）\[来源:学科网ZXXK\]
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
8．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P~1~，作点P~1~关于点B的对称点P~2~，作点P~2~关于点C的对称轴P~3~，作点P~3~关于点D的对称点P~4~，作点P~4~关于点A的对称点P~5~，作点P~5~关于点B的对称点P~6~，...，按此操作下去，则点P~2016~的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
**二、填空题。**
11．重庆地铁一号线起于朝天门，止于虎溪大学城，全长约36080米．将36080用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
12．若m^2^﹣n^2^=6，且m﹣n=2，则m+n=[ ]{.underline}．
13．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是[ ]{.underline}．
14．抛物线y=x^2^+2x+3的顶点坐标是[ ]{.underline}．
15．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为[ ]{.underline}．
16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为[ ]{.underline}cm．
**三、解答题：解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（2015•滨州模拟）计算：﹣（3.14﹣π）^0^+（1﹣cos30°）×（）^﹣2^．
18．（2015•滨州模拟）解分式方程：．
19．（2015•滨州模拟）已知：如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF、BD，求证：EF与BD互相平分．
20．（2010•湛江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早晨，小丽的妈妈用不透明的袋子装着一些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同），其中香肠馅粽子两个，还有一些绿豆馅粽子，现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为．
（1）求袋子中绿豆馅粽子的个数；
（2）小丽第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小丽两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率．
21．（2015秋•平阳县期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
22．（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）
23．（2012•锦州）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
24．（2011•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．\[来源:学+科+网\]
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
25．（2016春•莆田校级月考）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
**2015-2016学年九年级（下）第一次月考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题。**
1．﹣3的倒数为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【分析】据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣，
故选B．
2．关于x的一元二次方程x^2^﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值
【解答】解：∵x^2^﹣4x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4k=0，
解得：k=4．
故选C．
3．计算（﹣2a）^2^﹣3a^2^的结果是（ ）
A．﹣a^2^ B．a^2^ C．﹣5a^2^ D．5a^2^
【分析】首先利用积的乘方的性质求得（﹣2a）^2^=4a^2^，再合并同类项，即可求得答案．\[来源:Z&xx&k.Com\]
【解答】解：（﹣2a）^2^﹣3a^2^=4a^2^﹣3a^2^=a^2^．
故选B．
4．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】由题意知，四边形CEFD是正方形，利用正方形的性质可求得CE=EF=CD=10﹣6=4cm．
【解答】解：∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10，BE=6
∴CE=EF=CD=10﹣6=4cm．
故选A．
5．如图，正比例函数y~1~=k~1~x和反比例函数y~2~=的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y~1~＜y~2~，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．
【解答】解：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y~1~＜y~2~．
故选：D．
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32° B．58° C．68° D．60°
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
【解答】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠1=58°．
故选：B．
7．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x^2^﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
【分析】首先从方程x^2^﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【解答】解：由方程x^2^﹣6x+8=0，得：
解得x~1~=2或x~2~=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．
故选A．
8．对于反比例函数y=，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵1×（﹣1）=﹣1≠1，∴点（1，﹣1）不在反比例函数y=的图象上，故本选项错误；
B、∵k=1＞0，∴反比例函数y=的图象在一、三象限，故本选项错误；
C、∵函数y=是反比例函数，∴此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；
D、∵k=1＞0，∴此函数在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误．
故选：C．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先画出图形，再由锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：cosA==．
故选B．
10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为 A（1，1），B（1，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，1），y轴上有一点 P（0，2）．作点P关于点A的对称点P~1~，作点P~1~关于点B的对称点P~2~，作点P~2~关于点C的对称轴P~3~，作点P~3~关于点D的对称点P~4~，作点P~4~关于点A的对称点P~5~，作点P~5~关于点B的对称点P~6~，...，按此操作下去，则点P~2016~的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【分析】从特殊到一般寻找规律，发现从P~5~开始出现循环，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意P~1~（2，0），P~2~（0，﹣2），P~3~（﹣2，0），P~4~（0，2），P~5~（2，0），...P~5~与P~1~重合，从P~5~开始出现循环，
2016÷4=504，
∴P~2016~与P~4~重合，
∴P~2016~（0，2）．
故选A．
**二、填空题。**
11．重庆地铁一号线起于朝天门，止于虎溪大学城，全长约36080米．将36080用科学记数法表示为[ 3.608×10^4^ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将36080用科学记数法表示为3.608×10^4^．
故答案为：3.608×10^4^．
12．若m^2^﹣n^2^=6，且m﹣n=2，则m+n=[ 3 ]{.underline}．
【分析】将m^2^﹣n^2^按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【解答】解：m^2^﹣n^2^=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故m+n=3．
故答案为：3．
13．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是[ 16或17 ]{.underline}．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5；（2）当等腰三角形的腰为6；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．
②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．
故这个等腰三角形的周长是16或17．
故答案为：16或17．
14．抛物线y=x^2^+2x+3的顶点坐标是[ （﹣1，2） ]{.underline}．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y=x^2^+2x+3=x^2^+2x+1﹣1+3=（x+1）^2^+2，
∴抛物线y=x^2^+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
15．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为[ x=﹣1 ]{.underline}．
【分析】先根据一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，求出一次函数的解析式，再求出一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标，即可求出答案．
【解答】解∵一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，
∴，
解得：，
一次函数的解析式为：y=x+1，
∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于（﹣1，0）点，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为[ 2π ]{.underline}cm．
【分析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
又∵∠A=30°，
∴∠BOA=60°，
∵弦BC∥AO，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
即可得∠BOC=60°，
∴劣弧的长==2πcm．
故答案为：2π．
**三、解答题：解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（2015•滨州模拟）计算：﹣（3.14﹣π）^0^+（1﹣cos30°）×（）^﹣2^．
【分析】分别计算绝对值、零指数幂，特殊角的三角形函数值，及负整数指数幂，然后得出各部分的最简值，继而合并可得出答案．
【解答】解：原式=﹣1+（1﹣）×4
=﹣1+4﹣2
=；
18．（2015•滨州模拟）解分式方程：．
【分析】根据分式方程的解法，先去分母化成整式方程，再解这个整式方程，最后进行检验即可．
【解答】解： +=2，
﹣=2，
1﹣（1﹣x）=2（x﹣2），
1﹣1+x=2x﹣4，
x﹣2x=﹣4，
x=4，
经检验x=4是原方程的解，
则原方程的解是x=4．
19．（2015•滨州模拟）已知：如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF、BD，求证：EF与BD互相平分．
【分析】（1）首先由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD；∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，再由条件∠ABC的平分线交AD于E，∠CDA的平分线交BC于F可得∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA，进而得到∠ABE=∠CDF，再利用ASA定理可判定△ABE≌△CDF；
（2）首先根据△ABE≌△CDF可得AE=CF，再根据平行四边形的性质可得AD=CB，AD∥BC，进而得到DE=BF且DE∥BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边可证出四边形BFDE是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分可证出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠CDA．
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）证明：连接EF、DB，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴DE=BF且DE∥BF．
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴EF与BD互相平分．
20．（2010•湛江）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早晨，小丽的妈妈用不透明的袋子装着一些粽子（粽子除内部馅料不同外，其他一切均相同），其中香肠馅粽子两个，还有一些绿豆馅粽子，现小丽从中任意拿出一个是香肠馅粽子的概率为．
（1）求袋子中绿豆馅粽子的个数；
（2）小丽第一次任意拿出一个粽子（不放回），第二次再拿出一个粽子，请你用树形图或列表法，求小丽两次拿到的都是绿豆馅粽子的概率．
【分析】（1）香肠馅粽子数除以它的概率即为总粽子数，减去香肠馅粽子数即为绿豆馅粽子的个数；
（2）列举出所有情况，看两次拿到的都是绿豆馅粽子的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）2÷﹣2=2（个）；
（2）设绿豆馅的粽子分别为1，2；香肠馅的粽子分别为3，4．
共有12种情况，两次拿到的都是绿豆馅粽子的有2种，所以概率是．
21．（2015秋•平阳县期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
22．（2009•中山）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）
【分析】过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC=30°，∠BPC=45°，
AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，
∴PC=100，
∴PC=50（3﹣）≈50×（3﹣1.732）≈63.4km＞50km．
答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
23．（2012•锦州）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y=2520时代入y=﹣10x^2^+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=﹣10x^2^+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
y=（30+x﹣20）（230﹣10x）=﹣10x^2^+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y=2520时，得﹣10x^2^+130x+2300=2520，
解得x~1~=2，x~2~=11（不合题意，舍去）
当x=2时，30+x=32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y=﹣10x^2^+130x+2300
=﹣10（x﹣6.5）^2^+2722.5，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
24．（2011•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
【分析】（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：
3=3a，\[来源:Zxxk.Com\]
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x^2^﹣4x+3；
（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6
∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，
∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B点坐标为：（2，4），
一次函数解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
当点B在x轴下方，
∵抛物线的对称轴和x轴围成的面积为6，
∴B′C=4，
∴B′（2，﹣4），
∴，
∴
可得：y=﹣x﹣；
（3）过点P作FP⊥AB，设半径PC=PF=r，当点B在x轴上面时，
∵∠ABC=∠PBF，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，即=∴r=1.5，
∵B点坐标为：（2，4），
∴P点坐标为：（2，1.5），
如图2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，
即=，
∴r=6，
∴P点坐标为：（2，﹣6），
当点B在x轴的下面，同理可得出P点坐标为：（2，﹣1.5）和（2，6），
∴P点坐标有4种情况：（2，﹣1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，﹣6）．
25．（2016春•莆田校级月考）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）问题的本质就是求BP的长度．当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则GP=AQ=AD﹣DQ=1，BP=BG+GP=4，即t=4；
（2）分四种情况：0＜t≤3；3＜t≤4；4＜t≤7；7＜t≤8．对于每一种情况，画出标示意图，确定重叠部分的形状，再计算面积；
（3）分三种情况：EF=EP；FE=FP；PE=PF．同样，对于每一种情况，画出对应图形，列方程求解．
【解答】解：（1）如图2，作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H，则四边形AGHD是矩形．
∵梯形ABCD中，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=（BC﹣AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
GP=AQ=AD﹣DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴当t=4时，正方形PQMN的边MN恰好过点D．
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，
∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，NR=t，
∴，
如图3，当3＜t≤4时，
BP=t，GP=t，PQ=4，BN=t+4，NR=t+2，
∴；
图4，当4＜t≤7时，
BP=t，GP=t，PQ=4，PH=8﹣t，BN=t+4，HN=t+4﹣8=t﹣4；
∴CN=3﹣（t﹣4）=7﹣t，NR=，
∴S==；
如图5，当7＜t≤8时，
BP=t，GP=t，PQ=4，PH=8﹣t，
∴+=+22；
∴综上所述：
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，则EF=EQ=PQ﹣EP=4﹣t，
如图6，当EF=EP时，
，
∴t=4；
如图7，当FE=FP时，
作FR⊥EP于R，
∴ER=EP=EF，
∴，
∴，
如图8，当PE=PF时，
作PS⊥EF于S，
∴ES=EF=PE，
∴，
∴；
综上所述，当t=4，、时，△PEF是等腰三角形．
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**2015年广东省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．（5分）若集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}，N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y= B．y=x+ C．y=2^x^+ D．y=x+e^x^
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x^2^+y^2^=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F~2~（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
**二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）**
9．（5分）在（﹣1）^4^的展开式中，x的系数为[ ]{.underline}．
10．（5分）在等差数列{a~n~}中，若a~3~+a~4~+a~5~+a~6~+a~7~=25，则a~2~+a~8~=[ ]{.underline}．
11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=[ ]{.underline}．
12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了[ ]{.underline}条毕业留言．（用数字作答）
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=[ ]{.underline}．
14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为[ ]{.underline}．
15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 |
| | | | | | | | |
| 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 |
| | | | | | | | |
| 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 |
| | | | | | | | |
| 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 |
| | | | | | | | |
| 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 |
| | | | | | | | |
| 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 |
| | | | | | | | |
| 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 |
| | | | | | | | |
| 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 |
| | | | | | | | |
| 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s^2^；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x^2^）e^x^﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C~1~的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．（14分）数列{a~n~}满足：a~1~+2a~2~+...na~n~=4﹣，n∈N^+^．
（1）求a~3~的值；
（2）求数列{a~n~}的前 n项和T~n~；
（3）令b~1~=a~1~，b~n~=+（1+++...+）a~n~（n≥2），证明：数列{b~n~}的前n项和S~n~满足S~n~＜2+2lnn．
**2015年广东省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1．（5分）若集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}，N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ）
A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅
【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．
【解答】解：集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，
N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，
则M∩N=∅．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（ ）
A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y= B．y=x+ C．y=2^x^+ D．y=x+e^x^
【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；
对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；
对于C，y=2^x^+是偶函数，所以C不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；
∴基本事件总数为105；
设"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"为事件A；
则A包含的基本事件个数为=50；
∴P（A）=．
故选：B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x^2^+y^2^=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F~2~（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F~2~（5，0），
可得：，c=5，∴a=4，b==3，
所求双曲线方程为：﹣=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5
【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．
【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；
n大于4，也不成立；
在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，
但显然球的半径不等于棱长，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．
【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．
**二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）**
9．（5分）在（﹣1）^4^的展开式中，x的系数为[ 6 ]{.underline}．
【分析】根据题意二项式（﹣1）^4^的展开式的通项公式为T~r+1~=•（﹣1）^r^•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．
【解答】解：二项式（﹣1）^4^的展开式的通项公式为T~r+1~=•（﹣1）^r^•，
令2﹣=1，求得r=2，
∴二项式（﹣1）^4^的展开式中x的系数为=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题
10．（5分）在等差数列{a~n~}中，若a~3~+a~4~+a~5~+a~6~+a~7~=25，则a~2~+a~8~=[ 10 ]{.underline}．
【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a~5~的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a~5~的值代入即可求答案．
【解答】解：由a~3~+a~4~+a~5~+a~6~+a~7~=（a~3~+a~7~）+（a~4~+a~6~）+a~5~=5a~5~=25，
得到a~5~=5，
则a~2~+a~8~=2a~5~=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．
11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=[ 1 ]{.underline}．
【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b
【解答】解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键
12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了[ 1560 ]{.underline}条毕业留言．（用数字作答）
【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．
【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．
故答案为：1560．
【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．
14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，
点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为：=．
故答案为：．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=[ 8 ]{.underline}．
【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC^2^=OP•OD，即可得出结论．
【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
∵OP∥BC，
∴OP⊥AC，OP=BC=，
Rt△OCD中，由射影定理可得OC^2^=OP•OD，
∴4=OD，
∴OD=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．
**三、解答题**
16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；
（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．
【解答】解：（1）若⊥，
则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，
即sinx=cosx
sinx=cosx，即tanx=1；
（2）∵\|\|=，\|\|==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，
∴若与的夹角为，
则•=\|\|•\|\|cos=，
即sinx﹣cosx=，
则sin（x﹣）=，
∵x∈（0，）．
∴x﹣∈（﹣，）．
则x﹣=
即x=+=．
【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
| 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 |
| | | | | | | | |
| 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 |
| | | | | | | | |
| 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 |
| | | | | | | | |
| 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 |
| | | | | | | | |
| 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 |
| | | | | | | | |
| 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 |
| | | | | | | | |
| 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 |
| | | | | | | | |
| 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 |
| | | | | | | | |
| 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 |
+----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s^2^；
（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；
（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s^2^；
（3）求出样本和方差即可得到结论．
【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，
∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，...，9），
其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．
由方差公式得s^2^=\[（44﹣40）^2^+（40﹣40）^2^+...+（37﹣40）^2^\]=．
（3）∵s^2^=．∴s=∈（3，4），
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间\[37，43\]的人数，
即40，40，41，...，39，共23人．
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．
【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．
18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．
【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，
∴PE⊥CD，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，
∴PE⊥平面ABCD，
又∵FG⊂平面ABCD，
∴PE⊥FG；
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，
∴AD⊥平面PDC，
又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，
又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，
在Rt△PDE中，由勾股定理可得：
PE===，
∴tan∠PDC==；
（3）解：连结AC，则AC==3，
在Rt△ADP中，AP===5，
∵AF=2FB，CG=2GB，
∴FG∥AC，
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，
在△PAC中，由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=．
【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x^2^）e^x^﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．
【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．
（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．
（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．
【解答】解：（1）f′（x）=e^x^（x^2^+2x+1）=e^x^（x+1）^2^，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x^2^）e^x^﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．
（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，
∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，
∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，
∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，
且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．
（3）证明：f′（x）=e^x^（x+1）^2^，
设点P（x~0~，y~0~）则）f\'（x）=e^x0^（x~0~+1）^2^，
∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，
∴f′（x~0~）=0，即：e^x0^（x~0~+1）^2^=0，
∴x~0~=﹣1，
将x~0~=﹣1代入y=f（x）得y~0~=．
∴，
∴，
要证m≤﹣1，即证（m+1）^3^≤a﹣，
需要证（m+1）^3^≤e^m^（m+1）^2^，
即证m+1≤e^m^，
因此构造函数g（m）=e^m^﹣（m+1），
则g′（m）=e^m^﹣1，由g′（m）=0得m=0．
当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，
当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，
∴g（m）的最小值为g（0）=0，
∴g（m）=e^m^﹣（m+1）≥0，
∴e^m^≥m+1，
∴e^m^（m+1）^2^≥（m+1）^3^，
即：，
∴m≤．
【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．
20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C~1~的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）通过将圆C~1~的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C~1~的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C~1~的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．
【解答】解：（1）∵圆C~1~：x^2^+y^2^﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）^2^+y^2^=4，
∴圆C~1~的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），
联立方程组，
消去y可得：（1+k^2^）x^2^﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k^2^）×5＞0，可得k^2^＜
由韦达定理，可得x~1~+x~2~=，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）^2^+y^2^=，其中＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．
理由如下：
联立方程组，
消去y，可得：（1+k^2^）x^2^﹣（3+8k^2^）x+16k^2^=0，
令△=（3+8k^2^）^2^﹣4（1+k^2^）•16k^2^=0，解得k=±，
又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为\[﹣，\]∪{﹣，}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14分）数列{a~n~}满足：a~1~+2a~2~+...na~n~=4﹣，n∈N^+^．
（1）求a~3~的值；
（2）求数列{a~n~}的前 n项和T~n~；
（3）令b~1~=a~1~，b~n~=+（1+++...+）a~n~（n≥2），证明：数列{b~n~}的前n项和S~n~满足S~n~＜2+2lnn．
【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a~3~的值；
（2）利用作差法求出数列{a~n~}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a~n~}的前 n项和T~n~；
（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．
【解答】解：（1）∵a~1~+2a~2~+...na~n~=4﹣，n∈N^+^．
∴a~1~=4﹣3=1，1+2a~2~=4﹣=2，
解得a~2~=，
∵a~1~+2a~2~+...+na~n~=4﹣，n∈N^+^．
∴a~1~+2a~2~+...+（n﹣1）a~n﹣1~=4﹣，n∈N^+^．
两式相减得na~n~=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，
则a~n~=，n≥2，
当n=1时，a~1~=1也满足，
∴a~n~=，n≥1，
则a~3~=；
（2）∵a~n~=，n≥1，
∴数列{a~n~}是公比q=，
则数列{a~n~}的前 n项和T~n~==2﹣2^1﹣n^．
（3）b~n~=+（1+++...+）a~n~，
∴b~1~=a~1~，b~2~=+（1+）a~2~，b~3~=（1++）a~3~，
∴b~n~=+（1+++...+）a~n~，
∴S~n~=b~1~+b~2~+...+b~n~=（1+++...+）a~1~+（1+++...+）a~2~+...+（1+++...+）a~n~
=（1+++...+）（a~1~+a~2~+...+a~n~）=（1+++...+）T~n~
=（1+++...+）（2﹣2^1﹣n^）＜2×（1+++...+），
设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，
则f′（x）=﹣．
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N^•^时，，
∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，
∴ln，，...，
即=lnn，
∴2×（1+++...+）=2+2×（++...+）＜2+2lnn，
即S~n~＜2（1+lnn）=2+2lnn．
【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．
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**1999年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学试题（广东卷）参考答案**
**一、选择题（本题考查基本知识和基本运算）。**
> （1）C （2）A （3）A （4）C （5）B
（6）B （7）B （8）A （9）C （10）D
（11）B （12）C
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。**
（13） （14）12 （15）
（16）或
**三、解答题**
（17）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。
**解**：设，原方程化为
，
解得
因为 ，所以舍去。
由
得
所以
经检验，为原方程的解。
（18）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查
综合运用所学数学知识解决问题的能力。
**解**：由得
由得
故
∵
∴
当且仅当时，即时，上式取等号。
所以当时，函数取得最大值
（19）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、
空间想象能力及运算能力。
1. **解**：连结BD交AC于O，连结EO
> ∵ 底面ABCD是正方形，
>
> ∴ DO⊥AC
又 ∵ ED⊥底面AC，
∴ EO⊥AC
∴ ∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角。
∴
故
（II）**解**：由题设是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC，
又⊥
∴ 是异面直线与AC间的公垂线。
∵ ∥面EAC，且面与面EAC交线为EO，
∴ ∥EO
又O是DE的中点，
∴ E是的中点，=2EO=2
∴
异面直线与AC间的距离为
III．**解法一**：如图，连结
> ∵ =DB=
>
> ∴ 是正方形
>
> 连结交于P，交EO于Q
>
> ∵ ⊥，EO∥，
>
> ∴ ⊥EO
>
> 又 AC⊥EO，AC⊥ED
>
> ∴ AC⊥面，
>
> ∴ ⊥AC，
>
> ∴ ⊥面EAC
>
> ∴ 是三棱锥的高。
>
> 由DQ=PQ，得
>
> ∴
>
> 所以三棱锥的体积是
>
> **解法二**：连结，则
>
> ∵ AO⊥面，
>
> ∴ AO是三棱锥的高，AO
>
> 在正方形中，E、O分别是、DB的中点（如右图），则
∴
所以三棱锥的体积是
（20）本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知
识和方法解决实际问题的能力。
1. **解：**厚度为的带钢经过减薄率均为的对轧绲后厚度为为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
> 即
>
> 由于对比上式两端取对数，得
>
> 由于所以
因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。
（II）**解法一：**第对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两
疵点间带钢的体积为
宽度
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为宽度
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
即
由此得
填表如下
-------------------- ------ ------ ------ ------
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
-------------------- ------ ------ ------ ------
**解法二**：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
所以
同理
填表如下
-------------------- ------ ------ ------ ------
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
-------------------- ------ ------ ------ ------
（21）本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。
I. **解：**依题意，又由，当时，函数的图
象是斜率为的线段，故由
得
又由，当时，函数的图象是斜率为的线段，故由
，即 得
记由函数图象中第段线段的斜率为，故得
又 ，
∴
由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为
因得
即
II. **解：**由（I）知
当时，；
当时，也趋向于无穷大。
III. 由（I）知：
当时，即当时，；
当时，即时，由（I）可知，
由（II）知：
当时，的定义域为；
当时，的定义域为。
（22）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点
轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。
**解法一**：依题意，记则直线OA和OB的方程分别为和
设点，则有，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线的距离公式得
①
依题设，点C在直线AB上，故有
由，得 ②
将②式代入①式得
整理得
若，则；
若，则，点C的坐标为（0，0），满足上式。
综上得点C的轨迹方程为
因为，所以
由此知，当时，方程③表示椭圆弧段；
当时，方程③表示双曲线一支的弧段；
**解法二：**如图，设D是与轴的交点，过点C作CE⊥轴，E是垂足。
（）当\|BD\|≠0时，设点C（，），则
由CE∥BD得
∵ ∠COA=∠COB=∠COA -∠BOD=-∠COA-∠BOD，
∴ 2∠COA=-∠BOD
∴
整理得
（）当\|BD\|=0时，∠BOA=，则点C的坐标为（0，0），满足上式。
综合（），（），得点C的轨迹方程为
以下同解法一。
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**2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B=（ ）
A．{4，8} B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
2．（5分）若z=4+3i，则=（ ）
A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i
3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移[ ]{.underline}个单位长度得到．
15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则\|CD\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共5小题，满分60分）**
17．（12分）已知各项都为正数的数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0．
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：y~i~=9.32，t~i~y~i~=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r=，
回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=，=﹣．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
**2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B=（ ）
A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．
【分析】根据全集A求出B的补集即可．
【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B={0，2，6，10}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．（5分）若z=4+3i，则=（ ）
A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．
【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
【解答】解：，；
∴；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．
5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计．
【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：
（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．
其中只有一个是小敏的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．
【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanθ=，
∴cos2θ=2cos^2^θ﹣1=﹣1=﹣1=．
故选：D．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（5分）已知a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
【解答】解：∵a==，
b=，
c==，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．
9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，
∴AB=BC，
由余弦定理得：AC===BC，
故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，
∴sinA=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，
故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r==2，
又由AA~1~=3，
故直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为，
此时V的最大值=，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得k~BH~=k~BM~，
即为=，
化简可得=，即为a=3c，
可得e==．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得=，
由△BOH∽△BFM，
可得==，
即有=即a=3c，
可得e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为[ ﹣10 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．
化目标函数z=2x+3y﹣5为．
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移[ ]{.underline}[ ]{.underline}个单位长度得到．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
令f（x）=2sinx，
则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），
故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ+（k∈Z），
当k=0时，正数φ~min~=，
故答案为：．
【点评】本题考查函数*y*=sin*x*的图象变换得到*y*=*A*sin（*ωx*+*φ*）（*A*＞0，*ω*＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，属于中档题．
15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则\|CD\|=[ 4 ]{.underline}．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出\|AB\|，再利用三角函数求出\|CD\|即可．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，
∴\|AB\|=2=2，
∵直线l：x﹣y+6=0
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴\|CD\|==4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是[ y=2x ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用．
【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x，
设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）=f（﹣x）=e^x﹣1^+x，
则f′（x）=e^x﹣1^+1，
f′（1）=e^0^+1=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．
即y=2x．
故答案为：y=2x．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．
**三、解答题（共5小题，满分60分）**
17．（12分）已知各项都为正数的数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0．
（1）求a~2~，a~3~；
（2）求{a~n~}的通项公式．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a~1~^2^﹣（2a~2~﹣1）a~1~﹣2a~2~=0，将a~1~=1代入可得a~2~的值，进而令n=2可得a~2~^2^﹣（2a~3~﹣1）a~2~﹣2a~3~=0，将a~2~=代入计算可得a~3~的值，即可得答案；
（2）根据题意，将a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0变形可得（a~n~﹣2a~n+1~）（a~n~+a~n+1~）=0，进而分析可得a~n~=2a~n+1~或a~n~=﹣a~n+1~，结合数列各项为正可得a~n~=2a~n+1~，结合等比数列的性质可得{a~n~}是首项为a~1~=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0，
当n=1时，有a~1~^2^﹣（2a~2~﹣1）a~1~﹣2a~2~=0，
而a~1~=1，则有1﹣（2a~2~﹣1）﹣2a~2~=0，解可得a~2~=，
当n=2时，有a~2~^2^﹣（2a~3~﹣1）a~2~﹣2a~3~=0，
又由a~2~=，解可得a~3~=，
故a~2~=，a~3~=；
（2）根据题意，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0，
变形可得（a~n~﹣2a~n+1~）（a~n~+1）=0，
即有a~n~=2a~n+1~或a~n~=﹣1，
又由数列{a~n~}各项都为正数，
则有a~n~=2a~n+1~，
故数列{a~n~}是首项为a~1~=1，公比为的等比数列，
则a~n~=1×（）^n﹣1^=（）^n﹣1^，
故a~n~=（）^n﹣1^．
【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a~n~与a~n+1~的关系．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：y~i~=9.32，t~i~y~i~=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r=，
回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=，=﹣．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r==≈≈≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）==≈≈0.103，
=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF==2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=，
∴S~△BCM~===2，
∴四面体N﹣BCM的体积V~N﹣BCM~===．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
F（，0），准线为 x=﹣，
S~△PQF~=\|PQ\|=\|y~1~﹣y~2~\|，
设直线AB与x轴交点为N，
∴S~△ABF~=\|FN\|\|y~1~﹣y~2~\|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
∴2\|FN\|=1，∴x~N~=1，即N（1，0）．
设AB中点为M（x，y），由得=2（x~1~﹣x~2~），
又=，
∴=，即y^2^=x﹣1．
∴AB中点轨迹方程为y^2^=x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；
（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；
（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x^，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；
设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；
（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x^，
则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；
G′（x）=c﹣1﹣c^x^lnc，G′′（x）=﹣（lnc）^2^c^x^＜0，
∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，
由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，
∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；
即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；
又因为：G（0）=G（1）=0，
∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；
即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
可得G为圆心，即有GC=GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C~1~的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C~2~的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，\|PQ\|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得\|PQ\|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．
【解答】解：（1）曲线C~1~的参数方程为（α为参数），
移项后两边平方可得+y^2^=cos^2^α+sin^2^α=1，
即有椭圆C~1~：+y^2^=1；
曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C~2~的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
\|PQ\|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x^2^+6tx+3t^2^﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t^2^﹣16（3t^2^﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2时，\|PQ\|取得最小值，
即有\|PQ\|==，
此时4x^2^﹣12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，\|PQ\|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2时，由已知得\|2x﹣2\|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
（2）由f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，得\|x﹣\|+\|x﹣\|≥，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=\|2x﹣2\|+2，
∵f（x）≤6，∴\|2x﹣2\|+2≤6，
\|2x﹣2\|≤4，\|x﹣1\|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x\|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=\|2x﹣1\|，
∴f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，
2\|x﹣\|+2\|x﹣\|+a≥3，
\|x﹣\|+\|x﹣\|≥，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，\|x﹣\|+\|x﹣\|≥\|a﹣1\|≥＞0，
∴（a﹣1）^2^≥（3﹣a）^2^，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是\[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
| 1 | |
**解方程**
5x＋34=3x＋54
7x－27=13－3x
(x－9)÷(98－x－9)=4
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绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修1+选修Ⅰ)详细答案
考生注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的表面积公式
*P(A+B)=P(A)+P(B)* *S*=4*ΠR*^2^
如果事件*A*、*B*相互独立，那么 其中*R*表示球的半径
*P(A+B)=P(A)+P(B)* *S*=4*ΠR*^2^
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 V=*ΠR^3^*
*n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径*
*P~n~(k)=C^k^~n~P^k^(1-p)^n-k^(k=0,1,2,...,n)*
1. *选择题*
*(1)函数y=的定义域为*
（A）｛*x*\|*x*≤1｝ (B) ｛*x*\|*x*≥1｝
（C）｛*x*\|*x*≥1或*x*≤0｝ (D) ｛*x*\|0≤*x*≤1｝
(2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间*t*的函数，其图像可能是
(3)(1+)的展开式中*x*的系数
(A)10 (B)5 (C) (D)1
(4)曲线*y*=*x*－2*x*+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为
(A)30° (B)45° (C)60° (D)12°
(5)在△*ABC*中，＝*c*, =*b*.若点D满足=2,则＝
\(A\) (B) (C) (D)
(6)*y*=(sin*x*－cos*x*) －1是
(A)最小正周期为2π的偶像函数 (B)最小正周期为2π的奇函数
(C)最小正周期为π的偶函数 (D)最小正周期为π的奇函数
(7)已知等比数列｛*a*｝满足*a*＋*a*＝3，*a*+ *a*＝6,则*a*＝
(A)64 (B)81 (C)128 (D)243
(8)若函数*y*＝*f*(*x*)的图像与函数*y*=1n的图像关于直线*y*＝*x*对称，则*f*(*x*)＝
\(A\) (B) (C) (D)
(9)为得到函数*y*=cos(*x*+)的图像，只需将函数*y*=sin*x*的图像
(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移 个长度单位
(C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移个长度单位
(10)若直线＝1与图有公共点，则
\(A\) (B) (C) (D)
(11)已知三棱柱ABC－的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A与底面ABC所成角的正弦值等于
\(A\) (B) (C) (D)
(12)将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、第列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有
(A)6种 (B)12种 (C)24种 (D)48种
2008年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修1）
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
3.本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
（13）若*x,y*满足约束条件则*z*＝2*x*-*y*的最大值为[ ]{.underline}.
（14）已知抛物线*y*=*ax*^2^-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为[ ]{.underline}.
（15）在△*ABC*中，∠*A*＝90°，tan*B*＝.若以*A、B*为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率*e*＝[ ]{.underline}.
（16）已知菱形*ABCD*中，*AB*＝2，∠*A*＝120°，沿对角线*BD*将△*ABD*折起，使二面角A-BD-C为120°，则点*A*到△*BCD*所在平面的距离等于[ ]{.underline}.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设△*ABC*的内角*A、B、C*所对的边长分别为*a、b、c*，且*a*cos*B*＝3，*b*sin*A*＝4.
（Ⅰ）求边长a；
（Ⅱ）若△*ABC*的面积*S*＝10，求△*ABC*的周长*l*.
本题主要考查了射影定理及余弦定理。
（18）（本小题满分12分）
（**注意：在试题卷上作答无效）**
四棱锥*A*-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB=AC.
(1) 证明：AD⊥CE;
(2) 设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.
（19）（本小题满分12分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
在数列｛｝中，*=*1*,a~n+~*~1~=2*a~n~*+*2^n^*.
(Ⅰ)设*b~n~*=.证明：数列｛*b~n~*｝是等差数列；
(Ⅱ)求数列｛*a~n~*｝的前*n*项和*S~n~*.
（20）（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.
（21）（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数f*(x)=x^3^+a x^2^+x+1,a*R.
（Ⅰ）讨论函数*f(x)*的单调区间；
（Ⅱ）设函数*f(x)*在区间（－）内是减函数，求*α*的取值范围.
（22）（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点*O*，焦点在*x轴上，两条渐近线分别为l~1~,l~2~,经过右焦点F垂直于l~1~的直线分别交l~1~，l~2~于A，B两点.已知\|\|、\|\|、\|\|成等差数列，且与同向.*
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.
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**2019年重庆市中考数学试卷（B卷）**
**一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。**
1．（4分）（2019•重庆）5的绝对值是
A．5 B． C． D．
2．（4分）（2019•重庆）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（4分）（2019•重庆）下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
C．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
4．（4分）（2019•重庆）如图，是的直径，是的切线，为切点，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•重庆）抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．（4分）（2019•重庆）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
7．（4分）（2019•重庆）估计的值应在
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
8．（4分）（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是
A．5 B．10 C．19 D．21
9．（4分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，．若反比例函数经过点，则的值等于
A．10 B．24 C．48 D．50
10．（4分）（2019•重庆）如图，是垂直于水平面的建筑物．为测量的高度，小红从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了52米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．斜坡的坡度（或坡比），那么建筑物的高度约为
（参考数据，，
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
11．（4分）（2019•重庆）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是
A． B． C． D．1
12．（4分）（2019•重庆）如图，在中，，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．过点作交于点．则四边形的周长为
A．8 B． C． D．
**二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。**
13．（4分）（2019•重庆）计算：[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•重庆）2019年1月1日，"学习强国"平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员"学习强国" 注册人数约1180000，参学覆盖率达，稳居全国前列．将数据1180000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•重庆）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•重庆）如图，四边形是矩形，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
17．（4分）（2019•重庆）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程（米与小明从家出发到学校的步行时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为[ ]{.underline}米．
18．（4分）（2019•重庆）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的和．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是[ ]{.underline}．
**三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
19．（10分）（2019•重庆）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）（2019•重庆）如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点．求证：．
21．（10分）（2019•重庆）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动．活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力．两次相关数据记录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
------ ------
分组 频数
1
2
7
12
4
------ ------
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是[ ]{.underline}，活动后被测查学生视力样本数据的众数是[ ]{.underline}；
（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果．
22．（10分）（2019•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数 "纯数"．
定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为"纯数"．
例如：32是"纯数"，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是"纯数"，因为在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的"纯数"；
（2）求出不大于100的"纯数"的个数，并说明理由．
23．（10分）（2019•重庆）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
-- -- -- -- -- --- --- --- --- --
0 1 2 3
0
-- -- -- -- -- --- --- --- --- --
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点，的坐标和函数的对称轴．
（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点，和，在该函数图象上，且，比较，的大小．
24．（10分）（2019•重庆）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一："使用环保袋送礼物"，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有和参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二："使用环保袋抵扣管理费"，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，每个摊位的管理费将会减少．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求的值．
25．（10分）（2019•重庆）在中，平分交于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，分别交，于点，，且．求证：．
**四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
26．（8分）（2019•重庆）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）如图1，连接，．若点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作于点，过点作交轴于点．点，分别在对称轴和轴上运动，连接，．当的周长最大时，求的最小值及点的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线经过原点时停止平移，此时抛物线顶点记为，为直线上一点，连接点，，，△能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点的坐标；若不能，请说明理由．
**2019年重庆市中考数学试卷（B卷）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。**
1．（4分）5的绝对值是
A．5 B． C． D．
【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数； 即可得解．
【解答】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；
故选：．
2．（4分）如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有4个正方形，第二层有一个正方形，如图所示：
．
故选：．
3．（4分）下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
B．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为
C．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
D．如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为，是假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的周长比为，是真命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为，是假命题；
、如果两个三角形相似，相似比为，那么这两个三角形的面积比为，是假命题；
故选：．
4．（4分）如图，是的直径，是的切线，为切点，若，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求．
【解答】解：是的切线，
，且，
，
故选：．
5．（4分）抛物线的对称轴是
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选：．
6．（4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．
【解答】解：设要答对道．
，
，
，
解得：，
根据必须为整数，故取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选：．
7．（4分）估计的值应在
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【分析】化简原式等于，因为，所以，即可求解；
【解答】解：，
，
，
故选：．
8．（4分）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是7，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是
A．5 B．10 C．19 D．21
【分析】把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值．
【解答】解：当时，可得，
可得：，
当时，可得：，
故选：．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，．若反比例函数经过点，则的值等于
A．10 B．24 C．48 D．50
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点坐标代入解析式可求的值．
【解答】解：如图，过点作于点，
菱形的边在轴上，点，
，
．
，
点坐标
若反比例函数经过点，
故选：．
10．（4分）如图，是垂直于水平面的建筑物．为测量的高度，小红从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了52米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．斜坡的坡度（或坡比），那么建筑物的高度约为
（参考数据，，
A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米
【分析】过点作与点，根据斜坡的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点作与点，延长交于，
斜坡的坡度（或坡比），米，
设，则．
在中，
，即，解得，
米，米，
米，米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
故选：．
11．（4分）若数使关于的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和是
A． B． C． D．1
【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得的一个范围；再解关于的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数的值可求，从而得其和．
【解答】解：由关于的不等式组得
有且仅有三个整数解，
，，2，或3．
，
；
由关于的分式方程得，
，
解为正数，且为增根，
，且，
，且，
所有满足条件的整数的值为：，，0，其和为．
故选：．
12．（4分）如图，在中，，，于点，于点，．连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接．过点作交于点．则四边形的周长为
A．8 B． C． D．
【分析】先证，得出，再证与是等腰直角三角形，在直角中利用勾股定理求出的长，进一步求出的长，可通过解直角三角形分别求出，，，的长，即可求出四边形的周长．
【解答】解：，于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
沿直线翻折得，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
四边形的周长为：
，
故选：．
**二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。**
13．（4分）计算：[ 3 ]{.underline}．
【分析】，，即可求解；
【解答】解：；
故答案为3；
14．（4分）2019年1月1日，"学习强国"平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员"学习强国" 注册人数约1180000，参学覆盖率达，稳居全国前列．将数据1180000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：1180000用科学记数法表示为：，
故答案为：．
15．（4分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是[ ]{.underline}．
【分析】列举出所有情况，看第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：列表得：
由表知共有36种等可能结果，其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的有3种结果，
所以第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率为，
故答案为．
16．（4分）如图，四边形是矩形，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形与的面积之差的和，本题得以解决．
【解答】解：连接，
，，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
17．（4分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程（米与小明从家出发到学校的步行时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为[ 2080 ]{.underline}米．
【分析】设小明原速度为米分钟，则拿到书后的速度为米分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为米分钟，由题意及图形得：，解得：，．据此即可解答．
【解答】解：设小明原速度为（米分钟），则拿到书后的速度为（米分钟），则家校距离为．
设爸爸行进速度为（米分钟），由题意及图形得：．
解得：，．
小明家到学校的路程为：（米．
故答案为：2080
18．（4分）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的和．甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产．甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是[ ]{.underline}．
【分析】设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为个，每个车间原有成品个，甲组检验员人，乙组检验员人，每个检验员的检验速度为个天，根据题意列出三元一次方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为个，每个车间原有成品个，甲组检验员人，乙组检验员人，每个检验员的检验速度为个天，
则第五、六车间每天生产的产品数量分別是和，
由题意得，，
②③得，，
把分别代入①得，，
把分别代入②得，，
则，
甲、乙两组检验员的人数之比是，
故答案为：．
**三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式将原式展开，然后再合并同类项即可解答本题；
（2）先通分，再将分子相加可解答本题．
【解答】解：（1）；
，
；
（2）．
，
，
．
20．（10分）如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点．求证：．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
【解答】解：（1），于点，
，，
又，
；
（2），于点，
，
，
，
，
．
21．（10分）为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动．活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力．两次相关数据记录如下：
活动前被测查学生视力数据：
4.0 4.1 4.1 4.2 4.2 4.3 4.3 4.4 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6
4.7 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1
活动后被测查学生视力数据：
4.0 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.5 4.6 4.6 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.8
4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.8 4.9 4.9 4.9 4.9 4.9 5.0 5.0 5.1 5.1
活动后被测查学生视力频数分布表
------ ------
分组 频数
1
2
7
12
4
------ ------
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：[ 5 ]{.underline}，[ ]{.underline}，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是[ ]{.underline}，活动后被测查学生视力样本数据的众数是[ ]{.underline}；
（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？
（3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果．
【分析】（1）根据已知数据可得、的值，再根据中位数和众数的概念求解可得；
（2）用总人数乘以对应部分人数所占比例；
（3）可从4.8及以上人数的变化求解可得（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由已知数据知，，
活动前被测查学生视力样本数据的中位数是，
活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8，
故答案为：5，4，4.45，4.8；
（2）估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有（人；
（3）活动开展前视力在4.8及以上的有11人，活动开展后视力在4.8及以上的有16人，
视力达标人数有一定的提升（答案不唯一，合理即可）．
22．（10分）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数 "纯数"．
定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为"纯数"．
例如：32是"纯数"，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是"纯数"，因为在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的"纯数"；
（2）求出不大于100的"纯数"的个数，并说明理由．
【分析】（1）根据"纯数"的概念，从2000至2019之间找出"纯数"；
（2）根据"纯数"的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合"纯数"的定义解答．
【解答】解：（1）显然1949至1999都不是"纯数"，因为在通过列竖式进行的运算时要产生进位．
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合"纯数"的定义．
所以所求"纯数"为2000，2001，2002，2010，2011，2012；
（2）不大于100的"纯数"的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合"纯数"的定义，
所以不大于100的"纯数"有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
23．（10分）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．
-- -- -- -- -- --- --- --- --- --
0 1 2 3
0
-- -- -- -- -- --- --- --- --- --
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点，的坐标和函数的对称轴．
（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点，和，在该函数图象上，且，比较，的大小．
【分析】（1）根据图形即可得到结论；
（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；
（3）根据函数关系式可知将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．根据函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1），，函数的对称轴为；
（2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象；
将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象；
（3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象．
所画图象如图所示，当时，．
24．（10分）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一："使用环保袋送礼物"，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有和参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二："使用环保袋抵扣管理费"，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加，每个摊位的管理费将会减少．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，求的值．
【分析】（1）设该菜市场共有个4平方米的摊位，则有个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该菜市场共有个4平方米的摊位，则有个2.5平方米的摊位，
依题意，得：，
解得：．
答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．
（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为（个，5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为（个．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍去），．
答：的值为50．
25．（10分）在中，平分交于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，过点作，交的延长线于点，分别交，于点，，且．求证：．
【分析】（1）作于，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）作交的延长线于，垂足为，连接、，证明得出，再证明得出，即可得出结论．
【解答】（1）解：作于，如图1所示：
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
平分，
，
，
，
的面积；
（2）证明：作交的延长线于，垂足为，连接、，如图2所示：
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，，
，
，
．
**四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
26．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
（1）如图1，连接，．若点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，作于点，过点作交轴于点．点，分别在对称轴和轴上运动，连接，．当的周长最大时，求的最小值及点的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线经过原点时停止平移，此时抛物线顶点记为，为直线上一点，连接点，，，△能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）首先证明，推出当最大时，的周长最大，构建二次函数，求出最大时，点的坐标，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，作直线于，直线于，则，求出即可解决问题．
（2）首先利用待定系数法求出点坐标，设，，，，则，，，分三种情形分别构建方程求出的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
对于抛物线，令，得到，
令，得到，解得或4，
，，，，
抛物线顶点坐标，
，
，
，
，
，
当最大时，的周长最大，
，，，
直线的解析式为，设，则，
，
当时，有最大值，
，，
如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，
作直线于，直线于，则，
，，
，
，
，
，，共线，可得，
的最小值为10，此时．
（2），，，
直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
设，则平移后抛物线的解析式为，
将代入可得或（舍弃），
，
设，，，，
，，，
①当时，，
解得：
②当时，，
解得：
③当时，，
解得：，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
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**2013年湖北省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知全集为R，集合A={x\|（）^x^≤1}，B={x\|x^2^﹣6x+8≤0}，则A∩（∁~R~B）=（ ）
A．{x\|x≤0} B．{x\|2≤x≤4} C．{x\|0≤x＜2或x＞4} D．{x\|0＜x≤2或x≥4}
3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C~2~：﹣=1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
6．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V~1~，V~2~，V~3~，V~4~，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A．V~1~＜V~2~＜V~4~＜V~3~ B．V~1~＜V~3~＜V~2~＜V~4~ C．V~2~＜V~1~＜V~3~＜V~4~ D．V~2~＜V~3~＜V~1~＜V~4~
9．（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x~1~，x~2~（x~1~＜x~2~）（ ）
A． B．
C． D．
**二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）**
11．（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为[ ]{.underline}；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间\[100，250）内的户数为[ ]{.underline}．
12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=[ ]{.underline}．
13．（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=[ ]{.underline}．
14．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，...，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数，
正方形数N（n，4）=n^2^，
五边形数，
六边形数N（n，6）=2n^2^﹣n，
...
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=[ ]{.underline}．
15．（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为[ ]{.underline}．
16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
18．（12分）已知等比数列{a~n~}满足：\|a~2~﹣a~3~\|=10，a~1~a~2~a~3~=125．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
20．（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50^2^）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p~0~．
（Ⅰ）求p~0~的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ^2^），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p~0~的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
21．（13分）如图，已知椭圆C~1~与C~2~的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C~1~，C~2~的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S~1~和S~2~．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S~1~=λS~2~，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~？并说明理由．
22．（14分）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1^﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设x∈R，记\[x\]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．
**2013年湖北省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．
【解答】解：∵z====1+i，
∴=1﹣i．
∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．
2．（5分）已知全集为R，集合A={x\|（）^x^≤1}，B={x\|x^2^﹣6x+8≤0}，则A∩（∁~R~B）=（ ）
A．{x\|x≤0} B．{x\|2≤x≤4} C．{x\|0≤x＜2或x＞4} D．{x\|0＜x≤2或x≥4}
【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C~R~B．
【解答】解：∵≤1=，
∴x≥0，
∴A={x\|x≥0}；
又x^2^﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，
∴2≤x≤4．
∴B={x\|2≤x≤4}，
∴∁~R~B={x\|x＜2或x＞4}，
∴A∩∁~R~B={x\|0≤x＜2或x＞4}，
故选：C．
【点评】本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．
3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（ ）
A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"即可得到表示．
【解答】解：命题p是"甲降落在指定范围"，则￢p是"甲没降落在指定范围"，
q是"乙降落在指定范围"，则￢q是"乙没降落在指定范围"，
命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"包括
"甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围"
或"甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围"
或"甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围"三种情况．
所以命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（￢p）V（￢q）．
故选：A．
【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．
4．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．
【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），
∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin\[（x+m）+\]=2sin（x+m+），
∵所得的图象关于y轴对称，
∴m+=kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选：B．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C~2~：﹣=1的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．
【解答】解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，
双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，
故它们的离心率相同．
故选：D．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．
6．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．
【解答】解：，，
则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．
7．（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）
A．1+25ln5 B．8+25ln C．4+25ln5 D．4+50ln2
【分析】令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．
【解答】解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t^2^﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4．
∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．
故选：C．
【点评】熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V~1~，V~2~，V~3~，V~4~，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A．V~1~＜V~2~＜V~4~＜V~3~ B．V~1~＜V~3~＜V~2~＜V~4~ C．V~2~＜V~1~＜V~3~＜V~4~ D．V~2~＜V~3~＜V~1~＜V~4~
【分析】利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．
【解答】解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，
体积分别记为V~1~==．
V~2~=1^2^×π×2=2π，
V~3~=2×2×2=8
V~4~==；
∵，
∴V~2~＜V~1~＜V~3~＜V~4~
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．
9．（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．
【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．
①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．
④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．
故X的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2 3
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
因此E（X）==．
故选：B．
【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．
10．（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x~1~，x~2~（x~1~＜x~2~）（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x~1~，x~2~⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．
【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x~1~，x~2~⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，
∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x~1~，x~2~，且x~1~＜＜x~2~，又g（1）=1﹣2a＞0，
∴x~1~＜1＜＜x~2~，从而可知函数f（x）在区间（0，x~1~）上递减，在区间（x~1~，x~2~）上递增，在区间（x~2~，+∞）上递减．
∴f（x~1~）＜f（1）=﹣a＜0，f（x~2~）＞f（1）=﹣a＞﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
**二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）**
11．（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）直方图中x的值为[ 0.0044 ]{.underline}；
（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间\[100，250）内的户数为[ 70 ]{.underline}．
【分析】（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．
（II）由已知中的频率分布直方图，利用\[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到\[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．
【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，
解得x=0.0044．
（II）样本数据落在\[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，
样本数据落在\[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．
样本数据落在\[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，
故在这些用户中，用电量落在区间\[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．
故答案为：0.0044；70．
【点评】根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对于"频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．
12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=[ 5 ]{.underline}．
【分析】框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值．
【解答】解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．
判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；
判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；
判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；
判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；
判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．
故答案是5．
【点评】本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．
13．（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）^2^≤14（x^2^+y^2^+z^2^）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．
【解答】解：根据柯西不等式，得
（x+2y+3z）^2^≤（1^2^+2^2^+3^2^）（x^2^+y^2^+z^2^）=14（x^2^+y^2^+z^2^）
当且仅当时，上式的等号成立
∵x^2^+y^2^+z^2^=1，∴（x+2y+3z）^2^≤14，
结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值
∴=，可得x=，y=，z=
因此，x+y+z=++=
故答案为：
【点评】本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．
14．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，...，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数，
正方形数N（n，4）=n^2^，
五边形数，
六边形数N（n，6）=2n^2^﹣n，
...
可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=[ 1000 ]{.underline}．
【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．
【解答】解：原已知式子可化为：，
，，
，
由归纳推理可得，
故=1100﹣100=1000
故答案为：1000
【点评】本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．
15．（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD^2^=OE•OC=x^2^，CD^2^=CE•OC=8x^2^，进而得到的值．
【解答】解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，
∵AB=3AD，
∴AD=2x，BD=4x，OD=x
又∵点C在直径AB上的射影为D，
在△ABC中，由射影定理得：CD^2^=AD•BD=8x^2^，
在△ODC中，由射影定理得：OD^2^=OE•OC=x^2^，CD^2^=CE•OC=8x^2^，
故==8
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围..."双垂直"．
16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b^2^=a^2^﹣c^2^，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．
【解答】解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，
它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故\|m\|=c，
又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，
从而c=b，又b^2^=a^2^﹣c^2^，
∴c^2^=2（a^2^﹣c^2^），
∴3c^2^=2a^2^，∴=．
则椭圆C的离心率为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；
（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos^2^A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．
因为0＜A＜π，所以．
（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．
又由正弦定理得．
【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．
18．（12分）已知等比数列{a~n~}满足：\|a~2~﹣a~3~\|=10，a~1~a~2~a~3~=125．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（I）设等比数列{a~n~}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a~1~，q，进而可求通项公式
（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a~n~}的公比为q，则由已知可得
解得
故．
（Ⅱ）若，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而．
若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，
从而故．
综上，对任何正整数m，总有．
故不存在正整数m，使得成立．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
【分析】（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．
（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．
已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；
向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
【解答】解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．
由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，
从而．
（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．
于是，
∴=，从而，
又取平面ABC的一个法向量为，可得，
设平面BEF的一个法向量为，
所以由可得取=（0，c，b），
于是，从而．
故，即sinθ=sinαsinβ．
【点评】本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．
20．（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50^2^）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p~0~．
（Ⅰ）求p~0~的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ^2^），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p~0~的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
【分析】（I）变量服从正态分布N（800，50^2^），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p~0~．
（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．
【解答】解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，50^2^），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正态分布的对称性，可得p~0~=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=
（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．
依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p~0~．
由（Ⅰ）知，p~0~=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p~0~等价于36x+60y≥900．
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆，B型车12辆．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
21．（13分）如图，已知椭圆C~1~与C~2~的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C~1~，C~2~的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S~1~和S~2~．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S~1~=λS~2~，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S~1~和S~2~，直接由面积比=λ列式求λ的值；
（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．
【解答】解：以题意可设椭圆C~1~和C~2~的方程分别为
，．其中a＞m＞n＞0，
＞1．
（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则
，
，
所以．
在C~1~和C~2~的方程中分别令x=0，可得y~A~=m，y~B~=n，y~D~=﹣m，
于是．
若，则，化简得λ^2^﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．
故当直线l与y轴重合时，若S~1~=λS~2~，则．
（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~，根据对称性，
不妨设直线l：y=kx（k＞0），
点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d~1~，d~2~，则
，所以d~1~=d~2~．
又，所以，即\|BD\|=λ\|AB\|．
由对称性可知\|AB\|=\|CD\|，所以\|BC\|=\|BD\|﹣\|AB\|=（λ﹣1）\|AB\|，
\|AD\|=\|BD\|+\|AB\|=（λ+1）\|AB\|，于是．
将l的方程分别与C~1~和C~2~的方程联立，可求得
根据对称性可知x~C~=﹣x~B~，x~D~=﹣x~A~，于是
②
从而由①和②可得
③
令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．
因为k≠0，所以k^2^＞0．于是③关于k有解，当且仅当，
等价于，由λ＞1，解得，
即，由λ＞1，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S~1~=λS~2~．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．
22．（14分）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）^r+1^﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设x∈R，记\[x\]为不小于x的最小整数，例如．令的值．
（参考数据：．
【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f\'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）^r+1^≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，...，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．
【解答】解；（Ⅰ）由题意得f\'（x）=（r+1）（1+x）^r^﹣（r+1）=（r+1）\[（1+x）^r^﹣1\]，
令f\'（x）=0，解得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f\'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；
当x＞0时，f\'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．
故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（﹣1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1^≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，
故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）^r+1^＞1+（r+1）x，①
在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．
上式两边同乘n^r+1^，得（n+1）^r+1^＞n^r+1^+n^r^（r+1），
即，②
当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），
类似可得，③
且当n=1时，③也成立．
综合②，③得，④
（Ⅲ）在④中，令，n分别取值81，82，83，...，125，
得，，，...，
将以上各式相加，并整理得．
代入数据计算，可得
由\[S\]的定义，得\[S\]=211．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．
| 1 | |
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）**
1、已知全集，，，则集合为（ ）
A．  B． C． D．
2、下列命题中正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B．"，"是""的充分必要条件
C．命题"若，则或"的逆否命题为"若或，则"
D．命题，使得，则，使得
3、函数（）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）
A． B． C． D．
6、设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7、已知，，，是函数（，）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8、已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线，所成的角为定值
**10、**已知三棱锥，，，两两垂直且长度均为，长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A．  B．或 C． D．或
11、设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．  C． D．
12、设函数满足，，则时（ ）
A．**有极大值，无极小值** B．**有极小值，无极大值**
C．**既有极大值又有极小值** D．既无极大值也无极小值
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13、已知数列对于任意，，有，若，则 [ ]{.underline} ．
14、利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为 [ ]{.underline} ．
15、若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为 [ ]{.underline} ．
16、定义函数，，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的"均值"为，已知，，则函数在上的"均值"为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17、（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边为，，，且满足
．
（1）求角的值；
（2）若且，求的取值范围．
18、（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面是菱形，，，，与交于点，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
\[来源:Zxxk.Com\]
19、（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．
20、（本题小满分12分）\[来源:学科网\]
如图，在直角梯形中，，，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
21、（本小题满分12分）
已知函数，．\[来源:学科网\]
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．**
22、（本小题满分10分）
如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23、（本小题满分10分）
已知函数，．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
**参考答案及****解析**
**月考卷**
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D
10．D 11．A 12．D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．解：（1）由已知，，
得，
化简得，故或． （5分）
（2）由，得．
由正弦定理，得，，
故
． （8分）
因为，所以，， （10分）
所以． （12分）
18．解：（1）连接，如图所示，
因为，所以．
在菱形中，．
又因为，所以平面．
又平面，所以．
在中，，，所以．
又，为的中点，所以．
又因为，所以平面． （4分）
（2）过点作，所以平面．
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．
可得，，，，，．
所以，，．
设是平面的一个法向量，则，即，
令，则．
设直线与平面所成的角为，可得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．  （12分）
19、解：（1）为等差数列，且，，即，
又公差，，．
，． （3分）
（2）由（1）知数列的前项为，，，，
等比数列的前项为，，，
，，
，①
，②
①②得
．
， ． （8分）
，
，且，
时，．
又，
时，，
存在，使得对任意，总有成立．
，，
实数的取值范围为． （12分）
20、解：（1）如图，作，，连接交于，连接，，
且，，即点在平面内．
由平面，知，
四边形为正方形，四边形为平行四边形， （2分）
为的中点，为的中点，
．
平面，平面，
平面． （4分）
（2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，
设，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，
． （10分）
又平面，为平面的一个法向量，
，解得，
在直线上存在点，且．  （12分）
法二：作，则，由等面积法，得，． （12分）
21、解：（1）由，得，
令，得或．
函数，在上的变化情况如下表：
-- -- ---------- -------- ---------- -------- ----------
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
-- -- ---------- -------- ---------- -------- ----------
，，．
即最大值为，． （3分）
（2）由，得．
，，且等号不能同时取得，，即．
恒成立，即．
令，，则，
当时，，，，从而．
在区间上为增函数，，． （7分）
（3）由条件．
假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴的两侧，不妨设（），则（）．
是以（是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，，
，是否存在，等价于该方程且是否有根．
当时，方程可化为，化简得，此时方程无解；
当时，方程为，即，
设（），则（），
显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即．
当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．\[来源:学科网\]
（12分）
23、解：（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于的解或无解，结合图形得． （5分）
（2）不等式对恒成立，即（）对恒成立．
①当时，（）显然成立，此时；
②当时，（）可变形为，
令，
因为当时，；当时，，
所以，故此时． （9分）
综合①②，得所求实数的取值范围是． （10分）
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**2020年山东省滨州市中考数学试卷**
**一、选择题**
**1．下列各式正确的是（ ）**
**A．﹣\|﹣5\|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．\|﹣5\|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5**
**2．如图，*AB*∥*CD*，点*P*为*CD*上一点，*PF*是∠*EPC*的平分线，若∠1＝55°，则∠*EPD*的大小为（ ）**
> 
**A．60° B．70° C．80° D．100°**
**3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10^﹣9^米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）**
**A．1.1×10^﹣9^米 B．1.1×10^﹣8^米 C．1.1×10^﹣7^米 D．1.1×10^﹣6^米**
**4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点*M*，到*x*轴的距离为4，到*y*轴的距离为5，则点*M*的坐标为（ ）**
**A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）**
**5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（ ）**
**A．1 B．2 C．3 D．4**
**6．如图，点*A*在双曲线*y*＝****上，点*B*在双曲线*y*＝****上，且*AB*∥*x*轴，点*C*、*D*在*x*轴上，若四边形*ABCD*为矩形，则它的面积为（ ）**
> 
**A．4 B．6 C．8 D．12**
**7．下列命题是假命题的是（ ）**
**A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形**
**B．对角线互相垂直的矩形是正方形**
**C．对角线相等的菱形是正方形**
**D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形**
**8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：**
> ①**平均数是5，**②**中位数是4，**③**众数是4，**④**方差是4.4，**
>
> **其中正确的个数为（ ）**
**A．1 B．2 C．3 D．4**
**9．在**⊙***O*中，直径*AB*＝15，弦*DE*⊥*AB*于点*C*，若*OC*：*OB*＝3：5，则*DE*的长为（ ）**
**A．6 B．9 C．12 D．15**
**10．对于任意实数*k*，关于*x*的方程*****x*^2^﹣（*k*+5）*x*+*k*^2^+2*k*+25＝0的根的情况为（ ）**
**A．有两个相等的实数根 B．没有实数根**
**C．有两个不相等的实数根 D．无法判定**
**11．对称轴为直线*x*＝1的抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*、*b*、*c*为常数，且*a*≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：**①***abc*＜0，**②***b*^2^＞4*ac*，**③**4*a*+2*b*+*c*＞0，**④**3*a*+*c*＞0，**⑤***a*+*b*≤*m*（*am*+*b*）（*m*为任意实数），**⑥**当*x*＜﹣1时，*y*随*x*的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）**
> 
**A．3 B．4 C．5 D．6**
**12．如图，对折矩形纸片*ABCD*，使*AD*与*BC*重合，得到折痕*EF*，把纸片展平后再次折叠，使点*A*落在*EF*上的点*A*′处，得到折痕*BM*，*BM*与*EF*相交于点*N*．若直线*BA*′交直线*CD*于点*O*，*BC*＝5，*EN*＝1，则*OD*的长为（ ）**
> 
**A．** **B．** **C．** **D．**
**二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．**
**13．若二次根式****在实数范围内有意义，则*x*的取值范围为[ ]{.underline}．**
**14．在等腰△*ABC*中，*AB*＝*AC*，∠*B*＝50°，则∠*A*的大小为[ ]{.underline}．**
**15．若正比例函数*y*＝2*x*的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为[ ]{.underline}．**
**16．如图，**⊙***O*是正方形*ABCD*的内切圆，切点分别为*E*、*F*、*G*、*H*，*ED*与**⊙***O*相交于点*M*，则sin∠*MFG*的值为[ ]{.underline}．**
> 
**17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为[ ]{.underline}．**
**18．若关于*x*的不等式组****无解，则*a*的取值范围为[ ]{.underline}．**
**19．观察下列各式：*a*~1~＝****，*a*~2~＝****，*a*~3~＝****，*a*~4~＝****，*a*~5~＝****，...，根据其中的规律可得*a~n~*＝[ ]{.underline}（用含*n*的式子表示）．**
**20．如图，点*P*是正方形*ABCD*内一点，且点*P*到点*A*、*B*、*C*的距离分别为2****、****、4，则正方形*ABCD*的面积为[ ]{.underline}．**
> 
**三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．**
**21．先化简，再求值：1﹣****÷****；其中*x*＝cos30°×****，*y*＝（**π**﹣3）^0^﹣（****）^﹣1^．**
**22．如图，在平面直角坐标系中，直线*y*＝﹣*****x*﹣1与直线*y*＝﹣2*x*+2相交于点*P*，并分别与*x*轴相交于点*A*、*B*．**
> **（1）求交点*P*的坐标；**
>
> **（2）求△*PAB*的面积；**
>
> **（3）请把图象中直线*y*＝﹣2*x*+2在直线*y*＝﹣*****x*﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量*x*的取值范围．**
>
> 
**23．如图，过**▱***ABCD*对角线*AC*与*BD*的交点*E*作两条互相垂直的直线，分别交边*AB*、*BC*、*CD*、*DA*于点*P*、*M*、*Q*、*N*．**
> **（1）求证：△*PBE*≌△*QDE*；**
>
> **（2）顺次连接点*P*、*M*、*Q*、*N*，求证：四边形*PMQN*是菱形．**
>
> 
**24．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．**
> **（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？**
>
> **（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？**
>
> **（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？**
**25．如图，*AB*是**⊙***O*的直径，*AM*和*BN*是它的两条切线，过**⊙***O*上一点*E*作直线*DC*，分别交*AM*、*BN*于点*D*、*C*，且*DA*＝*DE*．**
> **（1）求证：直线*CD*是**⊙***O*的切线；**
>
> **（2）求证：*OA*^2^＝*DE*•*CE*．**
>
> 
**26．如图，抛物线的顶点为*A*（*h*，﹣1），与*y*轴交于点*B*（0，﹣****），点*F*（2，1）为其对称轴上的一个定点．**
> **（1）求这条抛物线的函数解析式；**
>
> **（2）已知直线*l*是过点*C*（0，﹣3）且垂直于*y*轴的定直线，若抛物线上的任意一点*P*（*m*，*n*）到直线*l*的距离为*d*，求证：*PF*＝*d*；**
>
> **（3）已知坐标平面内的点*D*（4，3），请在抛物线上找一点*Q*，使△*DFQ*的周长最小，并求此时△*DFQ*周长的最小值及点*Q*的坐标．**
>
> 
**\
**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．**
**1．下列各式正确的是（ ）**
**A．﹣\|﹣5\|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．\|﹣5\|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5**
> **【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．**
>
> **解：*A*、∵﹣\|﹣5\|＝﹣5，**
>
> **∴选项*A*不符合题意；**
>
> ***B*、∵﹣（﹣5）＝5，**
>
> **∴选项*B*不符合题意；**
>
> ***C*、∵\|﹣5\|＝5，**
>
> **∴选项*C*不符合题意；**
>
> ***D*、∵﹣（﹣5）＝5，**
>
> **∴选项*D*符合题意．**
>
> **故选：*D*．**
**2．如图，*AB*∥*CD*，点*P*为*CD*上一点，*PF*是∠*EPC*的平分线，若∠1＝55°，则∠*EPD*的大小为（ ）**
> 
**A．60° B．70° C．80° D．100°**
> **【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．**
>
> **解：∵*AB*∥*CD*，**
>
> **∴∠1＝∠*CPF*＝55°，**
>
> **∵*PF*是∠*EPC*的平分线，**
>
> **∴∠*CPE*＝2∠*CPF*＝110°，**
>
> **∴∠*EPD*＝180°﹣110°＝70°，**
>
> **故选：*B*．**
**3．冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝1.0×10^﹣9^米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）**
**A．1.1×10^﹣9^米 B．1.1×10^﹣8^米 C．1.1×10^﹣7^米 D．1.1×10^﹣6^米**
> **【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为*a*×10^﹣*n*^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数*n*由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．**
>
> **解：110纳米＝110×10^﹣9^米＝1.1×10^﹣7^米．**
>
> **故选：*C*．**
**4．在平面直角坐标系的第四象限内有一点*M*，到*x*轴的距离为4，到*y*轴的距离为5，则点*M*的坐标为（ ）**
**A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）**
> **【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．**
>
> **解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点*M*，到*x*轴的距离为4，到*y*轴的距离为5，**
>
> **∴点*M*的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，**
>
> **即点*M*的坐标为：（5，﹣4）．**
>
> **故选：*D*．**
**5．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（ ）**
**A．1 B．2 C．3 D．4**
> **【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．**
>
> **解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；**
>
> **等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；**
>
> **平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；**
>
> **圆是轴对称图形，也是中心对称图形；**
>
> **则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．**
>
> **故选：*B*．**
**6．如图，点*A*在双曲线*y*＝****上，点*B*在双曲线*y*＝****上，且*AB*∥*x*轴，点*C*、*D*在*x*轴上，若四边形*ABCD*为矩形，则它的面积为（ ）**
> 
**A．4 B．6 C．8 D．12**
> **【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积*S*的关系*S*＝\|*k*\|即可判断．**
>
> **解：过*A*点作*AE*⊥*y*轴，垂足为*E*，**
>
> **∵点*A*在双曲线*y*＝****上，**
>
> **∴四边形*AEOD*的面积为4，**
>
> **∵点*B*在双曲线线*y*＝****上，且*AB*∥*x*轴，**
>
> **∴四边形*BEOC*的面积为12，**
>
> **∴矩形*ABCD*的面积为12﹣4＝8．**
>
> **故选：*C*．**
>
> 
**7．下列命题是假命题的是（ ）**
**A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形**
**B．对角线互相垂直的矩形是正方形**
**C．对角线相等的菱形是正方形**
**D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形**
> **【分析】利用正方形的判定依次判断，可求解．**
>
> **解：*A*、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项*A*不合题意；**
>
> ***B*、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项*B*不合题意；**
>
> ***C*、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项*C*不合题意；**
>
> ***D*、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项*D*符合题意；**
>
> **故选：*D*．**
**8．已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：**
> ①**平均数是5，**②**中位数是4，**③**众数是4，**④**方差是4.4，**
>
> **其中正确的个数为（ ）**
**A．1 B．2 C．3 D．4**
> **【分析】先把数据由小到大排列为3，4，4，5，9，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．**
>
> **解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，**
>
> **它的平均数为****＝5，**
>
> **数据的中位数为4，众数为4，**
>
> **数据的方差＝****\[（3﹣5）^2^+（4﹣5）^2^+（4﹣5）^2^+（5﹣5）^2^+（9﹣5）^2^\]＝4.4．**
>
> **所以*A*、*B*、*C*、*D*都正确．**
>
> **故选：*D*．**
**9．在**⊙***O*中，直径*AB*＝15，弦*DE*⊥*AB*于点*C*，若*OC*：*OB*＝3：5，则*DE*的长为（ ）**
**A．6 B．9 C．12 D．15**
> **【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．**
>
> **解：如图所示：∵直径*AB*＝15，**
>
> **∴*BO*＝7.5，**
>
> **∵*OC*：*OB*＝3：5，**
>
> **∴*CO*＝4.5，**
>
> **∴*DC*＝****＝6，**
>
> **∴*DE*＝2*DC*＝12．**
>
> **故选：*C*．**
>
> 
**10．对于任意实数*k*，关于*x*的方程*****x*^2^﹣（*k*+5）*x*+*k*^2^+2*k*+25＝0的根的情况为（ ）**
**A．有两个相等的实数根 B．没有实数根**
**C．有两个不相等的实数根 D．无法判定**
> **【分析】先根据根的判别式求出"△"的值，再根据根的判别式的内容判断即可．**
>
> **解：*****x*^2^﹣（*k*+5）*x*+*k*^2^+2*k*+25＝0，**
>
> **△＝\[﹣（*k*+5）\]^2^﹣4×****×（*k*^2^+2*k*+25）＝﹣*k*^2^+6*k*﹣25＝﹣（*k*﹣3）^2^﹣16，**
>
> **不论*k*为何值，﹣（*k*﹣3）^2^≤0，**
>
> **即△＝﹣（*k*﹣3）^2^﹣16＜0，**
>
> **所以方程没有实数根，**
>
> **故选：*B*．**
**11．对称轴为直线*x*＝1的抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*、*b*、*c*为常数，且*a*≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：**①***abc*＜0，**②***b*^2^＞4*ac*，**③**4*a*+2*b*+*c*＞0，**④**3*a*+*c*＞0，**⑤***a*+*b*≤*m*（*am*+*b*）（*m*为任意实数），**⑥**当*x*＜﹣1时，*y*随*x*的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）**
> 
**A．3 B．4 C．5 D．6**
> **【分析】由抛物线的开口方向判断*a*的符号，由抛物线与*y*轴的交点判断*c*的符号，然后根据对称轴及抛物线与*x*轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．**
>
> **解：**①**由图象可知：*a*＞0，*c*＜0，**
>
> **∵﹣****＝1，**
>
> **∴*b*＝﹣2*a*＜0，**
>
> **∴*abc*＜0，故**①**错误；**
>
> ②**∵抛物线与*x*轴有两个交点，**
>
> **∴*b*^2^﹣4*ac*＞0，**
>
> **∴*b*^2^＞4*ac*，故**②**正确；**
>
> ③**当*x*＝2时，*y*＝4*a*+2*b*+*c*＜0，故**③**错误；**
>
> ④**当*x*＝﹣1时，*y*＝*a*﹣*b*+*c*＞0，**
>
> **∴3*a*+*c*＞0，故**④**正确；**
>
> ⑤**当*x*＝1时，*y*的值最小，此时，*y*＝*a*+*b*+*c*，**
>
> **而当*x*＝*m*时，*y*＝*am*^2^+*bm*+*c*，**
>
> **所以*a*+*b*+*c*≤*am*^2^+*bm*+*c*，**
>
> **故*a*+*b*≤*am*^2^+*bm*，即*a*+*b*≤*m*（*am*+*b*），故**⑤**正确，**
>
> ⑥**当*x*＜﹣1时，*y*随*x*的增大而减小，故**⑥**错误，**
>
> **故选：*A*．**
**12．如图，对折矩形纸片*ABCD*，使*AD*与*BC*重合，得到折痕*EF*，把纸片展平后再次折叠，使点*A*落在*EF*上的点*A*′处，得到折痕*BM*，*BM*与*EF*相交于点*N*．若直线*BA*′交直线*CD*于点*O*，*BC*＝5，*EN*＝1，则*OD*的长为（ ）**
> 
**A．** **B．** **C．** **D．**
> **【分析】根据中位线定理可得*AM*＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得*A*′*M*＝*A*′*N*＝2，过*M*点作*MG*⊥*EF*于*G*，可求*A*′*G*，根据勾股定理可求*MG*，进一步得到*BE*，再根据平行线分线段成比例可求*OF*，从而得到*OD*．**
>
> **解：∵*EN*＝1，**
>
> **∴由中位线定理得*AM*＝2，**
>
> **由折叠的性质可得*A*′*M*＝2，**
>
> **∵*AD*∥*EF*，**
>
> **∴∠*AMB*＝∠*A*′*NM*，**
>
> **∵∠*AMB*＝∠*A*′*MB*，**
>
> **∴∠*A*′*NM*＝∠*A*′*MB*，**
>
> **∴*A*′*N*＝2，**
>
> **∴*A*′*E*＝3，*A*′*F*＝2**
>
> **过*M*点作*MG*⊥*EF*于*G*，**
>
> **∴*NG*＝*EN*＝1，**
>
> **∴*A*′*G*＝1，**
>
> **由勾股定理得*MG*＝****＝****，**
>
> **∴*BE*＝*OF*＝*MG*＝****，**
>
> **∴*OF*：*BE*＝2：3，**
>
> **解得*OF*＝****，**
>
> **∴*OD*＝****﹣****＝****．**
>
> **故选：*B*．**
>
> 
**二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．**
**13．若二次根式****在实数范围内有意义，则*x*的取值范围为[ *x*≥5 ]{.underline}．**
> **【分析】根据二次根式有意义的条件得出*x*﹣5≥0，求出即可．**
>
> **解：要使二次根式****在实数范围内有意义，必须*x*﹣5≥0，**
>
> **解得：*x*≥5，**
>
> **故答案为：*x*≥5．**
**14．在等腰△*ABC*中，*AB*＝*AC*，∠*B*＝50°，则∠*A*的大小为[ 80° ]{.underline}．**
> **【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠*C*，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．**
>
> **解：∵*AB*＝*AC*，∠*B*＝50°，**
>
> **∴∠*C*＝∠*B*＝50°，**
>
> **∴∠*A*＝180°﹣2×50°＝80°．**
>
> **故答案为：80°．**
**15．若正比例函数*y*＝2*x*的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为[ *y*＝]{.underline}****[ ]{.underline}．**
> **【分析】当*y*＝2时，即*y*＝2*x*＝2，解得：*x*＝1，故该点的坐标为（1，2），将（1，2）代入反比例函数表达式*y*＝****，即可求解．**
>
> **解：当*y*＝2时，即*y*＝2*x*＝2，解得：*x*＝1，**
>
> **故该点的坐标为（1，2），**
>
> **将（1，2）代入反比例函数表达式*y*＝****并解得：*k*＝2，**
>
> **故答案为：*y*＝****．**
**16．如图，**⊙***O*是正方形*ABCD*的内切圆，切点分别为*E*、*F*、*G*、*H*，*ED*与**⊙***O*相交于点*M*，则sin∠*MFG*的值为[ ]{.underline}****[ ]{.underline}．**
> 
>
> **【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．**
>
> **解：∵**⊙***O*是正方形*ABCD*的内切圆，**
>
> **∴*AE*＝*****AB*，*EG*＝*BC*；**
>
> **根据圆周角的性质可得：∠*MFG*＝∠*MEG*．**
>
> **∵sin∠*MFG*＝sin∠*MEG*＝****＝****，**
>
> **∴sin∠*MFG*＝****．**
>
> **故答案为：****．**
>
> 
**17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为[ ]{.underline}****[ ]{.underline}．**
> **【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．**
>
> **解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；**
>
> **共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率＝****＝****．**
>
> **故答案为****．**
**18．若关于*x*的不等式组****无解，则*a*的取值范围为[ *a*≥1 ]{.underline}．**
> **【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．**
>
> **解：解不等式*****x*﹣*a*＞0，得：*x*＞2*a*，**
>
> **解不等式4﹣2*x*≥0，得：*x*≤2，**
>
> **∵不等式组无解，**
>
> **∴2*a*≥2，**
>
> **解得*a*≥1，**
>
> **故答案为：*a*≥1．**
**19．观察下列各式：*a*~1~＝****，*a*~2~＝****，*a*~3~＝****，*a*~4~＝****，*a*~5~＝****，...，根据其中的规律可得*a~n~*＝[ ]{.underline}****[ ]{.underline}（用含*n*的式子表示）．**
> **【分析】观察分母的变化为3、5、7，...，2*n*+1次幂；分子的变化为：奇数项为*n*^2^+1；偶数项为*n*^2^﹣1；依此即可求解．**
>
> **解：由分析可得*a~n~*＝****．**
>
> **故答案为：****．**
**20．如图，点*P*是正方形*ABCD*内一点，且点*P*到点*A*、*B*、*C*的距离分别为2****、****、4，则正方形*ABCD*的面积为[ 14+4]{.underline}****[ ]{.underline}．**
> 
>
> **【分析】如图，将△*ABP*绕点*B*顺时针旋转90°得到△*CBM*，连接*PM*，过点*B*作*BH*⊥*PM*于*H*．首先证明∠*PMC*＝90°，推出∠*CMB*＝∠*APB*＝135°，推出*A*，*P*，*M*共线，利用勾股定理求出*AB*^2^即可．**
>
> **解：如图，将△*ABP*绕点*B*顺时针旋转90°得到△*CBM*，连接*PM*，过点*B*作*BH*⊥*PM*于*H*．**
>
> 
>
> **∵*BP*＝*BM*＝****，∠*PBM*＝90°，**
>
> **∴*PM*＝*****PB*＝2，**
>
> **∵*PC*＝4，*PA*＝*CM*＝2****，**
>
> **∴*PC*^2^＝*CM*^2^+*PM*^2^，**
>
> **∴∠*PMC*＝90°，**
>
> **∵∠*BPM*＝∠*BMP*＝45°，**
>
> **∴∠*CNB*＝∠*APB*＝135°，**
>
> **∴∠*APB*+∠*BPM*＝180°，**
>
> **∴*A*，*P*，*M*共线，**
>
> **∵*BH*⊥*PM*，**
>
> **∴*PH*＝*HM*，**
>
> **∴*BH*＝*PH*＝*HM*＝1，**
>
> **∴*AH*＝2****+1，**
>
> **∴*AB*^2^＝*AH*^2^+*BH*^2^＝（2****+1）^2^+1^2^＝14+4****，**
>
> **∴正方形*ABCD*的面积为14+4****．**
>
> **故答案为14+4****．**
**三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．**
**21．先化简，再求值：1﹣****÷****；其中*x*＝cos30°×****，*y*＝（**π**﹣3）^0^﹣（****）^﹣1^．**
> **【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算*x*，*y*的值，进而代入得出答案．**
>
> **解：原式＝1﹣****÷**
>
> **＝1+****•**
>
> **＝1+**
>
> **＝**
>
> **＝****，**
>
> **∵*x*＝cos30°×****＝****×2****＝3，*y*＝（**π**﹣3）^0^﹣（****）^﹣1^＝1﹣3＝﹣2，**
>
> **∴原式＝****＝0．**
**22．如图，在平面直角坐标系中，直线*y*＝﹣*****x*﹣1与直线*y*＝﹣2*x*+2相交于点*P*，并分别与*x*轴相交于点*A*、*B*．**
> **（1）求交点*P*的坐标；**
>
> **（2）求△*PAB*的面积；**
>
> **（3）请把图象中直线*y*＝﹣2*x*+2在直线*y*＝﹣*****x*﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量*x*的取值范围．**
>
> 
>
> **【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点*P*的坐标；**
>
> **（2）求得*A*、*B*的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；**
>
> **（3）根据图象求得即可．**
>
> **解：（1）由****解得****，**
>
> **∴*P*（2，﹣2）；**
>
> **（2）直线*y*＝﹣*****x*﹣1与直线*y*＝﹣2*x*+2中，令*y*＝0，则﹣*****x*﹣1＝0与﹣2*x*+2＝0，**
>
> **解得*x*＝﹣2与*x*＝1，**
>
> **∴*A*（﹣2，0），*B*（1，0），**
>
> **∴*AB*＝3，**
>
> **∴*S*~△*PAB*~＝****＝****＝3；**
>
> **（3）如图所示：**
>
> 
>
> **自变量*x*的取值范围是*x*＜2．**
**23．如图，过**▱***ABCD*对角线*AC*与*BD*的交点*E*作两条互相垂直的直线，分别交边*AB*、*BC*、*CD*、*DA*于点*P*、*M*、*Q*、*N*．**
> **（1）求证：△*PBE*≌△*QDE*；**
>
> **（2）顺次连接点*P*、*M*、*Q*、*N*，求证：四边形*PMQN*是菱形．**
>
> 
>
> **【分析】（1）由*ASA*证△*PBE*≌△*QDE*即可；**
>
> **（2）由全等三角形的性质得出*EP*＝*EQ*，同理△*BME*≌△*DNE*（*ASA*），得出*EM*＝*EN*，证出四边形*PMQN*是平行四边形，由对角线*PQ*⊥*MN*，即可得出结论．**
>
> **【解答】（1）证明：∵四边形*ABD*是平行四边形，**
>
> **∴*EB*＝*ED*，*AB*∥*CD*，**
>
> **∴∠*EBP*＝∠*EDQ*，**
>
> **在△*PBE*和△*QDE*中，****，**
>
> **∴△*PBE*≌△*QDE*（*ASA*）；**
>
> **（2）证明：如图所示：**
>
> **∵△*PBE*≌△*QDE*，**
>
> **∴*EP*＝*EQ*，**
>
> **同理：△*BME*≌△*DNE*（*ASA*），**
>
> **∴*EM*＝*EN*，**
>
> **∴四边形*PMQN*是平行四边形，**
>
> **∵*PQ*⊥*MN*，**
>
> **∴四边形*PMQN*是菱形．**
>
> 
**24．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．**
> **（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？**
>
> **（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？**
>
> **（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？**
>
> **【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；**
>
> **（2）设每千克水果售价为*x*元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；**
>
> **（3）设每千克水果售价为*m*元，获得的月利润为*y*元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得*y*与*x*的关系式，有二次函数的性质可求解．**
>
> **解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；**
>
> **（2）设每千克水果售价为*x*元，**
>
> **由题意可得：8750＝（*x*﹣40）\[500﹣10（*x*﹣50）\]，**
>
> **解得：*x*~1~＝65，*x*~2~＝75，**
>
> **答：每千克水果售价为65元或75元；**
>
> **（3）设每千克水果售价为*m*元，获得的月利润为*y*元，**
>
> **由题意可得：*y*＝（*m*﹣40）\[500﹣10（*m*﹣50）\]＝﹣10（*m*﹣70）^2^+9000，**
>
> **∴当*m*＝70时，*y*有最大值为9000元，**
>
> **答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．**
**25．如图，*AB*是**⊙***O*的直径，*AM*和*BN*是它的两条切线，过**⊙***O*上一点*E*作直线*DC*，分别交*AM*、*BN*于点*D*、*C*，且*DA*＝*DE*．**
> **（1）求证：直线*CD*是**⊙***O*的切线；**
>
> **（2）求证：*OA*^2^＝*DE*•*CE*．**
>
> 
>
> **【分析】（1）连接*OD*，*OE*，证明△*OAD*≌△*OED*，得∠*OAD*＝∠*OED*＝90°，进而得*CD*是切线；**
>
> **（2）过*D*作*DF*⊥*BC*于点*F*，得四边形*ABFD*为矩形，得*DF*＝20*A*，再证明*CF*＝*CE*﹣*DE*，进而根据勾股定理得结论．**
>
> **解：（1）连接*OD*，*OE*，如图1，**
>
> **在△*OAD*和△*OED*中，**
>
> **，**
>
> **∴△*OAD*≌△*OED*（*SSS*），**
>
> **∴∠*OAD*＝∠*OED*，**
>
> **∵*AM*是**⊙***O*的切线，**
>
> **∴∠*OAD*＝90°，**
>
> **∴∠*OED*＝90°，**
>
> **∴直线*CD*是**⊙***O*的切线；**
>
> 
>
> **（2）过*D*作*DF*⊥*BC*于点*F*，如图2，则∠*DFB*＝∠*RFC*＝90°，**
>
> **∵*AM*、*BN*都是**⊙***O*的切线，**
>
> **∴∠*ABF*＝∠*BAD*＝90°，**
>
> **∴四边形*ABFD*是矩形，**
>
> **∴*DF*＝*AB*＝2*OA*，*AD*＝*BF*，**
>
> **∵*CD*是**⊙***O*的切线，**
>
> **∴*DE*＝*DA*，*CE*＝*CB*，**
>
> **∴*CF*＝*CB*﹣*BF*＝*CE*﹣*DE*，**
>
> **∵*DE*^2^＝*CD*^2^﹣*CF*^2^，**
>
> **∴4*OA*^2^＝（*CE*+*DE*）^2^﹣（*CE*﹣*DE*）^2^，**
>
> **即4*OA*^2^＝4*DE*•*CE*，**
>
> **∴*OA*^2^＝*DE*•*CE*．**
>
> 
**26．如图，抛物线的顶点为*A*（*h*，﹣1），与*y*轴交于点*B*（0，﹣****），点*F*（2，1）为其对称轴上的一个定点．**
> **（1）求这条抛物线的函数解析式；**
>
> **（2）已知直线*l*是过点*C*（0，﹣3）且垂直于*y*轴的定直线，若抛物线上的任意一点*P*（*m*，*n*）到直线*l*的距离为*d*，求证：*PF*＝*d*；**
>
> **（3）已知坐标平面内的点*D*（4，3），请在抛物线上找一点*Q*，使△*DFQ*的周长最小，并求此时△*DFQ*周长的最小值及点*Q*的坐标．**
>
> 
>
> **【分析】（1）由题意抛物线的顶点*A*（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为*y*＝*a*（*x*﹣2）^2^﹣1，把点*B*坐标代入求出*a*即可．**
>
> **（2）由题意*P*（*m*，*****m*^2^﹣*****m*﹣****），求出*d*^2^，*PF*^2^（用*m*表示）即可解决问题．**
>
> **（3）如图，过点*Q*作*QH*⊥直线*l*于*H*，过点*D*作*DN*⊥直线*l*于*N*．因为△*DFQ*的周长＝*DF*+*DQ*+*FQ*，*DF*是定值＝****＝2****，推出*DQ*+*QF*的值最小时，△*DFQ*的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．**
>
> **【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点*A*（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为*y*＝*a*（*x*﹣2）^2^﹣1，**
>
> **∵抛物线经过*B*（0，﹣****），**
>
> **∴﹣****＝4*a*﹣1，**
>
> **∴*a*＝****，**
>
> **∴抛物线的解析式为*y*＝****（*x*﹣2）^2^﹣1．**
>
> **（2）证明：∵*P*（*m*，*n*），**
>
> **∴*n*＝****（*m*﹣2）^2^﹣1＝*****m*^2^﹣*****m*﹣****，**
>
> **∴*P*（*m*，*****m*^2^﹣*****m*﹣****），**
>
> **∴*d*＝*****m*^2^﹣*****m*﹣****﹣（﹣3）＝*****m*^2^﹣*****m*+****，**
>
> **∵*F*（2，1），**
>
> **∴*PF*＝****＝****，**
>
> **∵*d*^2^＝*****m*^4^﹣*****m*^3^+*****m*^2^﹣*****m*+****，*PF*^2^＝*****m*^4^﹣*****m*^3^+*****m*^2^﹣*****m*+****，**
>
> **∴*d*^2^＝*PF*^2^，**
>
> **∴*PF*＝*d*．**
>
> **（3）如图，过点*Q*作*QH*⊥直线*l*于*H*，过点*D*作*DN*⊥直线*l*于*N*．**
>
> **∵△*DFQ*的周长＝*DF*+*DQ*+*FQ*，*DF*是定值＝****＝2****，**
>
> **∴*DQ*+*QF*的值最小时，△*DFQ*的周长最小，**
>
> **∵*QF*＝*QH*，**
>
> **∴*DQ*+*DF*＝*DQ*+*QH*，**
>
> **根据垂线段最短可知，当*D*，*Q*，*H*共线时，*DQ*+*QH*的值最小，此时点*H*与*N*重合，点*Q*在线段*DN*上，**
>
> **∴*DQ*+*QH*的最小值为3，**
>
> **∴△*DFQ*的周长的最小值为2****+3，此时*Q*（4，﹣****）**
>
> 
| 1 | |
**2019年湖南省怀化市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）**
1．（4分）（2019•怀化）下列实数中，哪个数是负数
A．0 B．3 C． D．
2．（4分）（2019•怀化）单项式的系数是
A．5 B． C．2 D．
3．（4分）（2019•怀化）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）（2019•怀化）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是
A．152 B．160 C．165 D．170
5．（4分）（2019•怀化）与的角互为余角的角的度数是
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•怀化）一元一次方程的解是
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•怀化）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
8．（4分）（2019•怀化）已知为锐角，且，则
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•怀化）一元二次方程的解是
A．， B． C． D．，
10．（4分）（2019•怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只．
A．55 B．72 C．83 D．89
**二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）**
11．（4分）（2019•怀化）合并同类项：[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•怀化）因式分解：[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•怀化）计算：[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•怀化）当，时，代数式的值等于[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的"分数墙"，则整面"分数墙"的总面积是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共7小题，共86分）**
17．（8分）（2019•怀化）计算：
18．（8分）（2019•怀化）解二元一次方组：
19．（10分）（2019•怀化）已知：如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
20．（10分）（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度．
21．（12分）（2019•怀化）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
------ --- ---- --- --- --- --- --- --- ---- ----
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10
李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8
------ --- ---- --- --- --- --- --- --- ---- ----
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
王方10次射箭得分情况
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
环数 6 7 8 9 10
频数 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
频率 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
李明10次射箭得分情况
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
环数 6 7 8 9 10
频数 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
频率 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．
22．（12分）（2019•怀化）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．
（1）计算的度数；
（2）连接，证明：；
（3）求证：．
23．（14分）（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
**2019年湖南省怀化市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）**
1．（4分）下列实数中，哪个数是负数
A．0 B．3 C． D．
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．
【解答】解：、0既不是正数也不是负数，故错误；
、3是正实数，故错误；
、是正实数，故错误；
、是负实数，故正确；
故选：．
2．（4分）单项式的系数是
A．5 B． C．2 D．
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
【解答】解：单项式的系数是，
故选：．
3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将27600用科学记数法表示为：．
故选：．
4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是
A．152 B．160 C．165 D．170
【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．
【解答】解：数据160出现了4次为最多，
故众数是160，
故选：．
5．（4分）与的角互为余角的角的度数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
【解答】解：与的角互为余角的角的度数是：．
故选：．
6．（4分）一元一次方程的解是
A． B． C． D．
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】解：，
解得：．
故选：．
7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
8．（4分）已知为锐角，且，则
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：为锐角，且，
．
故选：．
9．（4分）一元二次方程的解是
A．， B． C． D．，
【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
【解答】解：，
，
则，
解得，
故选：．
10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共 只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【分析】设该村共有户，则母羊共有只，根据"每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只"列出关于的不等式组，解之求得整数的值，再进一步计算可得．
【解答】解：设该村共有户，则母羊共有只，
由题意知，
解得：，
为整数，
，
则这批种羊共有（只，
故选：．
**二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）**
11．（4分）合并同类项：[ ]{.underline}．
【分析】根据合并同类项法则计算可得．
【解答】解：原式，
故答案为：．
12．（4分）因式分解：[ ]{.underline}．
【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．
【解答】解：．
故答案为：．
13．（4分）计算：[ 1 ]{.underline}．
【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：1．
14．（4分）若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为[ ]{.underline}．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：等腰三角形的一个底角为，
等腰三角形的顶角，
故答案为：．
15．（4分）当，时，代数式的值等于[ ]{.underline}．
【分析】把、的值代入代数式，即可求出答案即可．
【解答】解：当，时，，
故答案为：．
16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的"分数墙"，则整面"分数墙"的总面积是[ ]{.underline}．
【分析】由题意"分数墙"的总面积．
【解答】解：由题意"分数墙"的总面积，
故答案为．
**三、解答题（本大题共7小题，共86分）**
17．（8分）计算：
【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式
．
18．（8分）解二元一次方组：
【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．
【解答】解：，
①②得：
，
解得：，
则，
解得：，
故方程组的解为：．
19．（10分）已知：如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，由已知得出，由证明即可；
（2）证出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在和中，，
；
（2）证明：，
，
，
四边形是矩形．
20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，试计算此段河面的宽度．
【分析】如图，作于于．由题意得到米，，，根据三角形的外角的性质得到，求得，得到米．在中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作于于．
由题意可知：米，，，
，
，
米．
在中，（米．
答：这条河的宽度为米．
21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
------ --- ---- --- --- --- --- --- --- ---- ----
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10
李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8
------ --- ---- --- --- --- --- --- --- ---- ----
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
王方10次射箭得分情况
------ --------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
环数 6 7 8 9 10
频数 [ 1 ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
频率 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------ --------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
李明10次射箭得分情况
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
环数 6 7 8 9 10
频数 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
频率 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------ -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------------------
（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．
【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；
（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；
（3）根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：（1）
------ ----- ----- ----- ----- -----
环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 1 3 3
频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3
------ ----- ----- ----- ----- -----
李明10次射箭得分情况
------ --- --- ----- ----- -----
环数 6 7 8 9 10
频数 0 0 6 3 1
频率 0 0 0.6 0.3 0.1
------ --- --- ----- ----- -----
（2）王方的平均数；李明的平均数；
（3）；
；
，
应选派李明参加比赛合适．
22．（12分）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．
（1）计算的度数；
（2）连接，证明：；
（3）求证：．
【分析】（1）由题意可得，由圆周角的定理可得；
（2）由圆周角的定理可得，可求，可得；
（3）通过证明，可得，可得，通过证明，即可得结论．
【解答】解：（1）、、、、是上的5等分点，
的度数
（2）连接
、、、、是上的5等分点，
，且
（3）连接
，且
，且
，
，且
23．（14分）如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【分析】（1）求出点、、的坐标分别为、、，即可求解；
（2）①，则，即可求解；②，即可求解；③取的中点，则点是外接圆圆心，即可求解．
【解答】解：（1），，则，，
即点、、的坐标分别为、、，
则二次函数表达式为：，
即：，解得：，
故函数表达式为：，
点；
（2）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：
，
设点、的坐标为，、，，
则，，
则：，
同理：，
①，当时，，即点，
，则，
，
解得：；
②点、的坐标为，、，、点，
则直线表达式中的值为：，直线表达式中的值为：，
为：，
故，
即：恒为直角三角形；
③取的中点，则点是外接圆圆心，
设点坐标为，
则，
，
整理得：，
即：该抛物线的表达式为：．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/8 18:30:53；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**永川区2020－2021学年度上期期末质量检测题**
**小学三年级数学**
**满分：100分，考试时间：60分钟**
**一、认真思考，谨慎填空。（34分，除9小题4分外，其余每空1分）**
1\. 用分数表示下面各图的涂色部分。
（ ） （ ） （ ） （ ）
【答案】 (1). (2). (3). (4).
【解析】
【分析】分数的意义：一个整体被平均分成几份，其中的1份占这个整体的几分之一。据此解答即可。
【详解】
（） （ ） （） （ ）
【点睛】此题考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
2\. 在（ ）里填上合适的单位名称。
张老师体重是58（ ） 脉搏跳10次大约用了8（ ）
一部手机的厚度约是7（ ） 标准运动场跑道一周长是400（ ）
一头犀牛约重6（ ） 永川到重庆的高铁每小时约行300（ ）
【答案】 (1). 千克 (2). 秒 (3). 毫米 (4). 米 (5). 吨 (6). 千米
【解析】
【分析】根据生活经验、对时间单位、长度单位、质量单位和数据大小的认识，可知计量张老师体重用"千克"作单位；计量脉搏跳10次大约需要的时间用"秒"作单位；计量一部手机的厚度用"毫米"作单位；计量标准运动场跑道一周长用"米"作单位；计量一头犀牛约重用"吨"作单位；计量永川到重庆的高铁每小时约行的路程用"千米"作单位。
【详解】张老师体重是58（千克） 脉搏跳10次大约用了8（秒）
一部手机的厚度约是7（毫米） 标准运动场跑道一周长是400（米）
一头犀牛约重6（吨） 永川到重庆的高铁每小时约行300（千米）
【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要看填关于哪方面的计量单位，然后再根据所给的数据填合适的计量单位即可。
3\. 5000米＝（ ）千米 70厘米＝（ ）分米
9吨＝（ ）千克 1分40秒＝（ ）秒
【答案】 (1). 5 (2). 7 (3). 9000 (4). 100
【解析】
【分析】1千米＝1000米，1分米＝10厘米，1吨＝1000千克，1分＝60秒，大单位换算小单位乘进率，小单位换算大单位除以进率，据此解答。
【详解】5000米＝（5）千米 70厘米＝（7）分米
9吨＝（9000）千克 1分40秒＝（100）秒
【点睛】本题考查单位的换算，掌握单位间的进率是解题的关键。
4\. 7个（ ），里面有（ ）个，5个减去2个是（ ）。
【答案】 (1). (2). 4 (3).
【解析】
【分析】："7"是分子，表示把一个整体平均分成8份，表示其中的7份，所以7个是；
："4"是分子，表示把一个整体平均分成5份，表示其中的4份，所以里面有4个；
根据同分母分数减法的计算法则，同分母分数减法，分母不变，只把分子相减；5个减去2个，剩下3个，就是，所以－＝。
【详解】据分析得出：
7个是，里面有4个，5个减去2个是。
【点睛】此题考查了对分数的认识及分数减法的计算法则及应用，要灵活运用。
5\. 看钟面的变化，认时间填空。
【答案】见详解
【解析】
【分析】钟面上有12个数字，把钟面平均分成12个大格，每个大格又平均分为5个小格，共60个小格，时针走一大格是1小时，分钟走一大格是5分钟，秒针走1大格是5秒，根据钟面指针的位置确定时间，然后结束时间－开始时间＝经过时间，据此解答。
【详解】7：45－7：05＝00：40；8：20－7：45＝00：35
【点睛】本题考查钟面时间的认识和经过时间的计算，掌握钟面的知识和经过时间＝结束时间－开始时间，是解题的关键。
6\. 篮子里桃子有40个，苹果有8个，桃子的个数是苹果的（ ）倍。
【答案】5
【解析】
【分析】要求桃子的个数是苹果的几倍，就相当于求40是8的几倍，用除法计算。
【详解】40÷8＝5
【点睛】本题解答依据是：求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。
7\. 用一根铁丝围成一个边长是20分米的正方形，这根铁丝长（ ）分米。
【答案】80
【解析】
【分析】围成一个边长是20分米的正方形，求这根铁丝长多少分米，根据正方形的周长公式：C＝4a，代入数据解答即可。
【详解】20×4＝80（分米）
【点睛】熟练掌握正方形的周长公式是解题的关键。
8\. 一天24小时，人的正常睡眠时间大约占其中的，大约是（ ）小时。
【答案】8
【解析】
【分析】占其中的的意思是：把总小时数平均分成3份，人的正常睡眠时间是其中的1份，因此用一天的总小时数除以3求出每份的小时数，再乘1就是1份的小时数，也就是人的正常睡眠时间的小时数。
【详解】24÷3×1
＝8×1
＝8（小时）
【点睛】此题考查了分数的简单应用，到后面的学习，还可以直接根据分数乘法的意义解答。
9\. 想：先用（ ）乘个位上的（ ）得（ ）个一，个位上写（ ），向十位进（ ）；再用（ ）乘十位上的（ ）得（ ）个十，十位上写（ ），向百位进（ ）；最后结果是（ ）。
【答案】 (1). 6 (2). 7 (3). 42 (4). 2 (5). 4 (6). 6 (7). 4 (8). 28 (9). 8 (10). 2 (11). 282
【解析】
【分析】整数乘法的法则：
（1）从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；
（2）然后把几次乘得的数加起来。
【详解】想：先用（6）乘个位上的（7）得（42）个一，个位上写（2 ），向十位进（4）；再用（6）乘十位上的（4）得（28）个十，十位上写（8），向百位进（2）；最后结果是（282）。
【点睛】本题考查两位数乘一位数的竖式计算，掌握计算方法是解题的关键。
10\. 同学们去游乐场，喜欢玩过山车的有32人，喜欢玩旋转木马的有28人，两项都喜欢的有16人，喜欢玩过山车和旋转木马的一共有（ ）人。
【答案】44
【解析】
【分析】喜欢过山车的人加上喜欢旋转木马的人再减去两项重复的人就是实际人数，因为有重复统计，所以去掉。据此解答。
【详解】32＋28－16
＝60－16
＝44（人）
【点睛】本题考查集合问题，掌握从统计的重复人数和中去电重复人数就是实际人数。
11\. 小明9：30到电影院时，电影已经开始了半小时，电影是（ ）开始的。
【答案】9：00
【解析】
【分析】小明到电影院时电影已经开始了半小时，用现在的时刻减去已经播放的时间，就能算出开始的时刻，据此解答。
【详解】9：30－30分＝9：00
故电影是9：00开始的。
【点睛】本题主要考查时间计算灵活运用，结束时间－开始时间＝经过时间，那么结束时间减经过时间就能算出开始时间。同时这里表示时刻，所以结果最好写成时刻的形式。
12\. 在一个长8厘米、宽3厘米的长方形中剪去一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ）厘米，剩下的图形周长是（ ）厘米。
【答案】 (1). 3 (2). 16
【解析】
【分析】在长方形中剪下一个正方形，剪下的最大正方形的边长等于长方形的宽，剩下的是一个小的长方形，原长方形的宽变成小长方形的长，小长方形的宽为原长方形的长减去正方形的边长，把小长方形的长和宽带入长方形周长公式计算即可。
【详解】（1）长方形的宽是3厘米，故正方形的边长为3厘米；
（2）8－3＝5（厘米）；
（3＋5）×2
＝8×2
＝16（厘米）
【点睛】明确正方形的边长等于大长方形的宽是解答本题的关键。
13\. 两个相同的长方形，长都是8厘米，宽都是3厘米，如果把它们像如图一样叠放起来，这个叠放后图形的周长是（ ）厘米。
【答案】32
【解析】
【分析】把线段平移，变形为我们学过的正方形，然后利用正方形的周长＝边长×4，解答即可。
【详解】
8×4＝32（厘米）
【点睛】本题考查周长知识，掌握周长的定义利用平移线段和正方形的周长公式求解。
**二、仔细辨析，正确判断。（5分）**
14\. 把一条彩带分成10份，每份是这条彩带的。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】把一条彩带平均分成10份，根据分数的意义，即将这条彩带看作1平均分成10份，则每份是它的，但是此题缺少"平均"两个字，因此得解。
【详解】把一条彩带分成10份，每份是这条彩带的，此说法错误。
故答案为：×
【点睛】平均分成几份，每份是相等的，一份占全部的几分之一；否则，每份不相等。
15\. 50米赛跑，小明用了8秒，小林用了10秒，小林跑得快些。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】距离一定都是50米，谁用的时间少说明谁跑的快，据此解答。
【详解】8秒＜10秒，小明跑的快，原题错误，故答案为：×。
【点睛】本题考查时间快慢的知识，掌握距离一定的跑步比赛，谁用的时间少说明谁跑的快。
16\. 120×5的积末尾有两个0 。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】计算因数末尾有0的乘法，先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0。据此求出120×5的积，再判断积的末尾有几个0。
【详解】120×5＝600
则积的末尾有两个0。
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握因数末尾有0的乘法计算方法。
17\. 一个长方形的长是15厘米，宽比长少5厘米，周长是50厘米。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】根据题意可知，长方形的长是15厘米，宽比长少5厘米，先求出长方形的宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2即可解答。
【详解】15－5＝10（厘米）
（10＋15）×2
＝25×2
＝50（厘米）
故答案为：√。
【点睛】本题掌握长方形的周长计算公式，周长＝（长＋宽）×2，是解题关键。
18\. 两个周长相等的长方形一定可以拼成一个大长方形．（ ）
【答案】×
【解析】
【详解】略
**三、选择，将正确答案的序号填在括号里。（5****分）**
19\. 三位数乘一位数的积可能是（ ）。
A. 三位数 B. 四位数 C. 三位数或四位数
【答案】C
【解析】
【分析】
三位数乘以一位数的积的可能情况可以采用举例子的方法来解决。
【详解】100×1＝100；500×5＝2500。所以三位数乘一位数的结果有可能是三位数或者四位数。
故答案为：C
【点睛】三位数乘以一位数的结果应当熟记可能是三位数也可能是四位数，如果实在无法确定就用举例子的方法。
20\. 下图三个信封中分别装有一张四边形硬纸板，从（ ）号信封中抽出的硬纸板一定是长方形。
【答案】②
【解析】
【分析】长方形有4条边，对边平行且相等，4个直角，据此判断。
【详解】根据长方形的特种可得。②已经露出了3条边和3个直角，相邻两条边的夹角都是直角，那最后一个角也肯定是直角，据此解答从（ ②）号信封中抽出的硬纸板一定是长方形。
【点睛】本题考查长方形的特征，掌握长方形的特征是解题的关键。
21\. 1□8×7的积最接近1400，□里数字应该填（ ）。
A. 7 B. 8 C. 9
【答案】C
【解析】
【分析】因为一个因数是7，所以1400＝7×200，只要7乘的那个数更接近200，它们的积就最接近1400，所以1□8的方框里应填写9，由此解答。
【详解】据分析得出：
1□8×7的积最接近1400，□里数字应该填9。
故答案为：C
【点睛】本题考查了学生的数感及学生的计算能力和估算的能力。
22\. 熊大有8根玉米，熊二的根数比熊大的2倍还多4根，熊二有（ ）根玉米。
A. 20 B. 12 C. 8
【答案】A
【解析】
【分析】求一个数的几倍是多少用乘法计算，让8×2求解出2倍是多少然后再加上4即可解答。
【详解】8×2＋4
＝16＋4
＝20（根）
故答案选：A。
【点睛】本题考查倍的知识应用，掌握求一个数的几倍是多少用乘法计算。
23\. 甲队6天修路48千米，乙队4天修路24千米。甲队6天修的路乙队需要多少天？下面列式正确的是（ ）。
A. 24÷4×6 B. 48÷6×4 C. 48÷（24÷4）
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据：工作效率＝工作量÷工作时间，用乙队修路的长度除以用的时间，求出乙队每天修路多少千米；然后用甲队6天修路的长度除以乙队每天修路的长度，求出甲队6天修的路乙队需要多少天即可。
【详解】48÷（24÷4）
＝48÷6
＝8（天）
故答案为：C
【点睛】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。
**四、我会计算。（32分）**
24\. 直接写出得数。
32×3＝ 70－17＝ 220×4＝ 26＋55＝
78－29＝ 45＋38＝ 7200－7000＝ 4040－40＝
【答案】96；53；880；81；
49；83；200；4000；
； ；1；
【解析】
【分析】
【详解】略
25\. 我会估算。
【答案】320；250；700；300
26\. 我会笔算。（带\*号的要验算）
708×9＝ \*486＋357＝ 586×4＝
\*802－475＝ 325×8＝ 380×6＝
【答案】6372；843；2344
327；2600；2280
【解析】
【分析】笔算三位数乘一位数，要注意把相同数位对齐，从个位乘起，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。
笔算加减法：相同数位要对齐，从个位加起或减起；同一数位上的数相加满十，向前一位进1；如果哪一位上的数不够减，就从前一位退1，在这一位上加10再减。
验算加法时，可以运用交换两个加数的位置进行验算，也可以用一个加数＝和－另一个加数进行验算。
验算减法时，可以用被减数＝减数＋差，减数＝被减数－差进行验算。
【详解】708×9＝6372 \*486＋357＝843
验算：
586×4＝2344 \*802－475＝327
验算：
325×8＝2600 380×6＝2280
27\. 我会在方格中画图。
（1）画一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形。
（2）画一个周长是12厘米的正方形。
【答案】见详解
【解析】
【分析】（1）根据长方形的特征，对边相等，四个角都是直角，即可在网格图中画一个长3厘米，宽2厘米的长方形；
（2）周长是12厘米的正方形边长是12÷4＝3（厘米），根据正方形的特征，四条边长相等，四个角都是直角，即可在网格图中画一个周长12厘米的正方形。
【详解】如图所示：
【点睛】熟练掌握长方形、正方形的特征以及正方形周长公式是解答此题的关键。
**六、解决问题。（20分，每小题4分）**
28\. 一条绳子，第一次用了 ，第二次用了 ，两次一共用了几分之几？
【答案】
【解析】
【详解】
答：两次一共用了。
29\. 书架上，第一层放了360本书，第二层比第一层少放152本，两层一共放了多少本？
【答案】568本
【解析】
【分析】求比一个数少几的数是多少用减法计算，求一共有多少用加法计算，代入数据让360－152求解第二层的本书，然后一二层本数相加即可。
【详解】360－152＋360
＝208＋360
＝568（本）
答：两层一共放了568本。
【点睛】本题考查整数加减混合的应用，掌握加减法的意义是解题的关键。
30\. 一批电脑捐给实验小学。如果每班4台，正好可以分给16个班，如果每班8台，可以分给几个班？
【答案】8个
【解析】
【分析】每班4台，可以分给16个班，根据乘法的意义，求解16个4是多少，让16×4求解总台数，在根据除法的意义，看总台数里面有几个8，就是可以分给几个班，据此解答。
【详解】16×4÷8
＝64÷8
＝8（个）
答：可以分给8个班。
【点睛】本题考查乘除混合运算的应用，掌握乘除法的意义是解题的关键。
31\. 这一天来参观的学生一共有多少人？
【答案】996人
【解析】
【分析】根据题意，可用3乘142计算出下午3批学生的人数，然后再加570人即可得到全天来参观的学生的人数。
详解】3×142＋570
＝426＋570
＝996（人）
答：这一天来参观的学生一共有996人。
【点睛】本题的重点是求出下午来参观的人数，进而求出一天参观的总人数。
32\. 篱笆总长为48米，如果用它来围一面靠墙的长方形菜地（如下图），能围多少块这样独立的菜地？
【答案】6块
【解析】
【分析】长4米的一边靠墙，即围一块菜地所需篱笆长为：4＋2＋2＝8米，再求出48米里面有几个8米，即可围几块。
【详解】48÷（4＋2＋2）
＝48÷（6＋2）
＝48÷8
＝6（块）
答：能围6块这样独立的菜地。
【点睛】先求出围一块菜地所需要篱笆的长度是解答本题的关键。
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**2019年浙江省温州市中考数学试卷**
**一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）**
1．（4分）（2019•温州）计算：的结果是
A． B．15 C． D．2
2．（4分）（2019•温州）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•温州）某露天舞台如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
4．（4分）（2019•温州）在同一副扑克牌中抽取2张"方块"，3张"梅花"，1张"红桃"．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是"红桃"的概率为
A． B． C． D．
5．（4分）（2019•温州）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有
A．20人 B．40人 C．60人 D．80人
6．（4分）（2019•温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米的对应数据如下表，根据表中数据，可得关于的函数表达式为
-------------------- ------ ------ ------ ------ ------
近视眼镜的度数（度 200 250 400 500 1000
镜片焦距（米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
-------------------- ------ ------ ------ ------ ------
A． B． C． D．
7．（4分）（2019•温州）若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（4分）（2019•温州）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是
A．有最大值，有最小值 B．有最大值0，有最小值
C．有最大值7，有最小值 D．有最大值7，有最小值
10．（4分）（2019•温州）如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为
A． B． C． D．
**二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）**
11．（5分）（2019•温州）因式分解：[ ]{.underline}．
12．（5分）（2019•温州）不等式组的解为[ ]{.underline}．
13．（5分）（2019•温州）某校学生"汉字听写"大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为"优良" 分及以上）的学生有[ ]{.underline}人．
14．（5分）（2019•温州）如图，分别切的两边，于点，，点在优弧上，若，则等于[ ]{.underline}度．
15．（5分）（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知，菱形的较短对角线长为．若点落在的延长线上，则的周长为[ ]{.underline}．
16．（5分）（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．当时，点离地面的距离为[ ]{.underline}分米；当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则为[ ]{.underline}分米．
**三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）**
17．（10分）（2019•温州）计算：
（1）．
（2）．
18．（8分）（2019•温州）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
19．（8分）（2019•温州）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
-------------------- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
生产零件的个数（个 9 10 11 12 13 15 16 19 20
工人人数（人 1 1 6 4 2 2 2 1 1
-------------------- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．
（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行"每天定额生产，超产有奖"的措施．如果你是管理者，
从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个"定额"？
20．（8分）（2019•温州）如图，在的方格纸中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点，，，重合．
（1）在图1中画一个格点，使点，，分别落在边，，上，且．
（2）在图2中画一个格点四边形，使点，，，分别落在边，，，上，且．
21．（10分）（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点，（点在点的左侧）
（1）求点，的坐标，并根据该函数图象写出时的取值范围．
（2）把点向上平移个单位得点．若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合．已知，，求，的值．
22．（10分）（2019•温州）如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，时，求的直径长．
23．（12分）（2019•温州）某旅行团32人在景区游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区游玩．景区的门票价格为100元张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
24．（14分）（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连结．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点的坐标和的长
（2）设点为，当时，求点的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．
①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．
②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
**2019年浙江省温州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）**
1．（4分）计算：的结果是
A． B．15 C． D．2
【考点】：有理数的乘法
【分析】根据正数与负数相乘的法则得；
【解答】解：；
故选：．
2．（4分）太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可
【解答】解：
科学记数法表示：250 000 000 000 000
故选：．
3．（4分）某露天舞台如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：它的俯视图是：
故选：．
4．（4分）在同一副扑克牌中抽取2张"方块"，3张"梅花"，1张"红桃"．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是"红桃"的概率为
A． B． C． D．
【考点】：概率公式
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：从中任意抽取1张，是"红桃"的概率为，
故选：．
5．（4分）对温州某社区居民最爱吃的鱼类进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示统计图．已知选择鲳鱼的有40人，那么选择黄鱼的有
A．20人 B．40人 C．60人 D．80人
【考点】：扇形统计图
【分析】扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
【解答】解：鱼类总数：（人，
选择黄鱼的：（人，
故选：．
6．（4分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米的对应数据如下表，根据表中数据，可得关于的函数表达式为
-------------------- ------ ------ ------ ------ ------
近视眼镜的度数（度 200 250 400 500 1000
镜片焦距（米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
-------------------- ------ ------ ------ ------ ------
A． B． C． D．
【考点】：反比例函数的应用
【分析】直接利用已知数据可得，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：，
故关于的函数表达式为：．
故选：．
7．（4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为
A． B． C． D．
【考点】：弧长的计算
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：该扇形的弧长．
故选：．
8．（4分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆的长为
A．米 B．米 C．米 D．米
【考点】：解直角三角形的应用；：轴对称图形
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出的长．
【解答】解：作于点，
则，
，
，
解得，米，
故选：．
9．（4分）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是
A．有最大值，有最小值 B．有最大值0，有最小值
C．有最大值7，有最小值 D．有最大值7，有最小值
【考点】：二次函数的最值；：二次函数的性质
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：，
在的取值范围内，当时，有最小值，
当时，有最大值为．
故选：．
10．（4分）如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为．若点，，在同一直线上，则的值为
A． B． C． D．
【考点】：平方差公式；：正方形的性质；：矩形的性质；：扇形面积的计算；：线段垂直平分线的性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】如图，连接，．利用相似三角形的性质求出与的关系，再求出面积比即可．
【解答】解：如图，连接，．
由题意：，，
点，，在同一直线上，，
，
，
，
整理得，
，
故选：．
**二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）**
11．（5分）因式分解：[ ]{.underline}．
【考点】54：因式分解运用公式法
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
12．（5分）不等式组的解为[ ]{.underline}．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
故答案为：．
13．（5分）某校学生"汉字听写"大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为"优良" 分及以上）的学生有[ 90 ]{.underline}人．
【考点】：频数（率分布直方图
【分析】根据题意和直方图中的数据可以求得成绩为"优良" 分及以上）的学生人数，本题得以解决．
【解答】解：由直方图可得，
成绩为"优良" 分及以上）的学生有：（人，
故答案为：90．
14．（5分）如图，分别切的两边，于点，，点在优弧上，若，则等于[ 57 ]{.underline}度．
【考点】：切线的性质
【分析】连接，，由切线的性质可得，，由四边形内角和定理可求，即可求的度数．
【解答】解：连接，
分别切的两边，于点，
，
又
故答案为：
15．（5分）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知，菱形的较短对角线长为．若点落在的延长线上，则的周长为[ ]{.underline}．
【考点】：菱形的性质
【分析】连接，连接交于，则，，在同一直线上，，根据是等腰直角三角形，即可得到，即，设，则，，根据勾股定理即可得出，再根据，即可得出，进而得到的周长．
【解答】解：如图所示，连接，连接交于，则，，在同一直线上，，
三个菱形全等，
，，
又，
，
即是等腰直角三角形，
，
，即，
设，则，，
中，，
解得，
又，
，
，
，，
的周长，
故答案为：．
16．（5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．当时，点离地面的距离为[ ]{.underline}分米；当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则为[ ]{.underline}分米．
【考点】：等边三角形的性质；：解直角三角形的应用
【分析】如图，作于，于，于，于．解直角三角形求出，即可求出，再分别求出，即可．
【解答】解：如图，作于，于，于，于．
，
，
四边形是矩形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
（分米），
，
，
（分米），
．
，
在中，（分米），（分米），
在中，（分米）
（分米），
在中，（分米），（分米），
在中，，
，
．
故答案为，4．
**三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）**
17．（10分）计算：
（1）．
（2）．
【考点】：零指数幂；：实数的运算；：分式的加减法
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．（8分）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】（1）证明：，
，，
是边上的中线，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
．
19．（8分）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
-------------------- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
生产零件的个数（个 9 10 11 12 13 15 16 19 20
工人人数（人 1 1 6 4 2 2 2 1 1
-------------------- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．
（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行"每天定额生产，超产有奖"的措施．如果你是管理者，
从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个"定额"？
【考点】：中位数；：加权平均数；：众数
【分析】（1）根据加权平均数的定义求解可得；
（2）根据众数和中位数的定义求解，再分别从平均数、中位数和众数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论．
【解答】解：（1）（个；
答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；
（2）中位数为（个，众数为11个，
当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；
当定额为12个时，有12人达标，6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；
当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；
定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．
20．（8分）如图，在的方格纸中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点，，，重合．
（1）在图1中画一个格点，使点，，分别落在边，，上，且．
（2）在图2中画一个格点四边形，使点，，，分别落在边，，，上，且．
【考点】：作图应用与设计作图
【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．
（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造即可．
【解答】解：（1）满足条件的，如图1，2所示．
（2）满足条件的四边形如图所示．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点，（点在点的左侧）
（1）求点，的坐标，并根据该函数图象写出时的取值范围．
（2）把点向上平移个单位得点．若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合．已知，，求，的值．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象与几何变换；：抛物线与轴的交点
【分析】（1）把代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得、两点的坐标，再根据函数图象不在轴下方的的取值范围得时的取值范围；
（2）根据题意写出，的坐标，再由对称轴方程列出的方程，求得，进而求得的值．
【解答】解：（1）令，则，
解得，，，
，，
由函数图象得，当时，；
（2）由题意得，，，
函数图象的对称轴为直线，
点，在二次函数图象上且纵坐标相同，
，
，
，
，的值分别为，1．
22．（10分）如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，时，求的直径长．
【考点】：三角形的外接圆与外心；：垂径定理；：平行四边形的判定与性质；：圆周角定理
【分析】（1）连接，由，得到是的直径，根据圆周角定理得到，即，推出，推出，于是得到结论；
（2）设，，得到，于是得到，求得，求得，根据勾股定理得到，求得，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
，
是的直径，
，
，
是的直径，
，
即，
，
是的直径，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的直径长为．
23．（12分）某旅行团32人在景区游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．
（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区游玩．景区的门票价格为100元张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．
①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．
【考点】：一次函数的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；
（2）①根据题意可以求得由成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用；
②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题．
【解答】解：（1）设成人有人，少年人，
，
解得，，
答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人；
（2）①由题意可得，
由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：（元，
答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是1320元；
②设可以安排成人人，少年人带队，则，，
当时，
若，则费用为，得，
的最大值是2，此时，费用为1160元；
若，则费用为，得，
的最大值是1，此时，费用为1180元；
若，，即成人门票至少是1200元，不合题意，舍去；
当时，
若，则费用为，得，
的最大值是3，，费用为1200元；
若，则费用为，得，
的最大值是3，，不合题意，舍去；
同理，当时，，不合题意，舍去；
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连结．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点的坐标和的长
（2）设点为，当时，求点的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．
①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．
②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
【考点】：一次函数综合题
【分析】（1）令，可得的坐标，利用勾股定理可得的长；
（2）如图1，作辅助线，证明，得，计算的长，根据面积法可得的长，利用勾股定理得的长，由和，可得结论；
（3）①先设关于成一次函数关系，设，根据当点运动到中点时，点恰好与点重合，得时，，，，根据，，可得时，，利用待定系数法可得关于的函数表达式；
②分三种情况：
当时，如图2，根据，表示的长，根据，列方程可得的值；
当时，如图3，根据，列方程为，可得的值．
由图形可知不可能与平行．
【解答】解：（1）令，则，
，
，
，
，，
在中，；
（2）如图1，作于，则，
是的中点
是的中点
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
（3）①动点、同时作匀速直线运动，
关于成一次函数关系，设，
当点运动到中点时，点恰好与点重合，
时，，，
，
，，
时，，
将或代入得，解得：，
，
②当时，如图2，，
作轴于点，则，
中，，，
，
，
，
，
，
，；
当时，如图3，过点作于点，过点作于点，
由△得：，
，
，，
，
，
，
，
，，
由图形可知不可能与平行，
综上，当与的一边平行时，的长为或．
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**北师大版小学六年级上册数学期中测试卷四（附答案）**
1．填一填。
(1)用圆规画一个周长是37.68厘米的圆，圆规两脚之间的距离是( )厘米；画出的圆的面积是( )平方厘米。
(2)六年级有男生64人，女生48人。男生和女生的人数比是( )∶( )，女生与六年级总人数的比是( )∶( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(3)0.8∶1.28化成最简整数比是( )，比值是( )。
(4)45千克是60千克的( )％；28米比35米少( )％。
(5)80吨比( )吨多60％；( )吨比80吨少37.5％。
(6)甲、乙两杯中分别有水200克、250克。甲杯中放入25克糖，乙杯中放入40克糖，这时甲杯糖水的含糖率是( )，乙杯糖水与糖的比是( )∶( )。
(7)五(1)班第一小组5名同学的英语考试成绩如下：
--------------------------------- ------- ------ ------ ------ ------
学号 A B C D E
来源：www.bcjy123.com/tiku/成绩 100分 93分 85分 92分 90分
--------------------------------- ------- ------ ------ ------ ------
> 如果把5人平均分记为92，那么这5人的英语成绩分别与平均成绩相比是：A [ ]{.underline} 分；8 [ ]{.underline} 分；C [ ]{.underline} 分；D [ ]{.underline} 分；E [ ]{.underline} 分。
(8)一本书，甲要10天看完，乙要15天看完。
①甲、乙两人看书的时间比是( )∶( )，比值是( )。
②甲、乙两人看书的速度比是( )∶( )，化简比是( )∶( )。
③乙的速度比甲慢( )％。
(9)李老师把15000元钱存入银行，整存整取三年，年利率是3.60％。三年到期后，李老师可获得利息( )元。缴纳5％的利息税后，李老师可取回本金和利息共( )元。
(10)圆是轴对称图形。圆的( )都是它的对称轴。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．判断。(对的在括号里打"√"，错的打"×")
(1)所有圆的直径都相等。 ( )
(2)大圆的圆周率比小圆的圆周率大。 ( )
(3)大牛头数比小牛少，大牛和小牛的头数比是4∶5。 ( )
(4)一件商品提价20％，要恢复原价，应该降价20％。 ( )
(5)5个同学相互握手一次，一共要握手10次。 ( )
3．选一选。
(1)学校今年春季植树的成活率是95％，这批树成活的棵数与死亡棵数的比是( )。
①19∶20 ②20∶1 ③19∶1
(2)一件商品打八折出售，意思是( )。
①现价是原价的80％
②原价是现价的80％
③现价比原价少80％
(3)人远离窗子时，看到窗外的范围( )。
①变大 ②变小 ③不变
(4)一个半圆形铁片，半径是r，它的周长是( )。
①πr ②πr＋r ③πr＋2r
(5)一袋大米，吃了32千克，还剩18千克。吃了这袋大米的百分之几？列式是( )。 ①18÷32
②32÷(18＋32)
③18÷(32＋18)
4．算一算。
(1)求下面各比的比值。
①∶ ②0.8∶5
(2)化简下面各比。
①1∶ ②∶
(3)解方程。
①3x－x＝4.2 ②x－12.5％x＝5
③5x－＝ ④76％x－21％x＝110
5．列式计算。
(1)一个数的1.5倍是40的5％，这个数是多少？
(2)24的比它的40％多多少？
(3)一个数的与的和是，这个数是多少？
6．求下面各图形的周长和面积。
\(1\) (2)
 
7．分别指出从正面、上面、右面看到的立体图形的形状。
   
( )面 ( )面 ( )面
8．解决问题。
(1)北京天坛公园的祈年殿是个底部直径约32.7米的圆形大殿。它的占地面积大约是多少平方米？回音壁是一道圆形的水磨砖围墙，它内圆的半径是30.8米。回音壁内圆的周长大约是多少米？
(2)学校买回红墨水60瓶，比蓝墨水少20瓶。红墨水比蓝墨水少百分之几？
(3)两个修路队修一条公路，甲队已修了全长的28％，乙队修了24千米，两队共修了全长的48％。这条公路全长多少千米？
(4)王师傅生产一批零件，经检验，有6个零件不合格，合格率为97％。这批零件中，有多少个合格？
(5)一个直径为4米的半圆形花坛，里面种有玫瑰、百合两种花。已知这两种花占地面积的比是1∶3，求这两种花种植的面积各是多少平方米。
(6)仁爱商场2008年下半年羊毛衫和衬衣的销售情况如下面的统计图。
①( )月份羊毛衫的销售量最高。
②( )月份羊毛衫与衬衫的销售量相差最大。
③从上图中你发现了哪些信息？你想对商场经理说些什么？
**参考答案**
1．(1)6 113.04 (2)4∶3 3∶7 (3)5∶8 (4)75 20 (5)50 50
> (6)11.1％ 29∶4 (7)＋8 ＋1 －7 0 －2 (8)①2∶3
>
> ②∶ 3∶2 ③33.3 (9)1620 16539 (10)直径所在的直线
2．(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
3．(1)③ (2)① (3)② (4)③ (5)②
4．(1)①1 ②0.16 (2)①8∶5 ②9∶5 (3)①x＝2.1 ②x＝40 ③x＝
④x＝200
5．(1) (2)11.4 (3)
6．(1)C＝40.82dm S＝132.665dm (2)C＝38.56cm S＝97.12cm
7．正 上 右
8．(1)839.39265m 193.424米 (2)25％ (3)120千米 (4)194个 (5)玫瑰花：1.57m 百合花：4.71m (6)①11 ②7 ③略
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第8课《图形的剪拼1》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第九讲 图形的剪拼（一）习题解答
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**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A．\[﹣3，0\] B．\[﹣3，2\] C．\[0，2\] D．\[0，3\]
6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
10．（5分）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A~1~E⊥DC~1~ B．A~1~E⊥BD C．A~1~E⊥BC~1~ D．A~1~E⊥AC
11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
**二、填空题**
13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=[ ]{.underline}．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=[ ]{.underline}．
16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~+3a~2~+...+（2n﹣1）a~n~=2n．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax^2^+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为，（t为参数），直线l~2~的参数方程为，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B中元素的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．
【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴（sinα﹣cosα）^2^=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（ ）
A．\[﹣3，0\] B．\[﹣3，2\] C．\[0，2\] D．\[0，3\]
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，
由解得A（0，3），
由解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：\[﹣3，2\]．
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．
6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）
=sin（x+）．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，
当x→0^+^，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．
8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S的值小于91，应满足"t≤N"，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S的值小于91，应接着满足"t≤N"，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S的值小于91，应不满足"t≤N"，跳出循环体，
此时N的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．π B． C． D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r==，
∴该圆柱的体积：V=Sh==．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．（5分）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为棱CD的中点，则（ ）
A．A~1~E⊥DC~1~ B．A~1~E⊥BD C．A~1~E⊥BC~1~ D．A~1~E⊥AC
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】法一：连B~1~C，推导出BC~1~⊥B~1~C，A~1~B~1~⊥BC~1~，从而BC~1~⊥平面A~1~ECB~1~，由此得到A~1~E⊥BC~1~．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：法一：连B~1~C，由题意得BC~1~⊥B~1~C，
∵A~1~B~1~⊥平面B~1~BCC~1~，且BC~1~⊂平面B~1~BCC~1~，
∴A~1~B~1~⊥BC~1~，
∵A~1~B~1~∩B~1~C=B~1~，
∴BC~1~⊥平面A~1~ECB~1~，
∵A~1~E⊂平面A~1~ECB~1~，
∴A~1~E⊥BC~1~．
故选：C．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中棱长为2，
则A~1~（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C~1~（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），
∵•=﹣2，=2，=0，=6，
∴A~1~E⊥BC~1~．
故选：C．
【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离=a，化为：a^2^=3b^2^．
∴椭圆C的离心率e===．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（ ）
A．﹣ B． C． D．1
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）=﹣1+（x﹣1）^2^+a（e^x﹣1^+）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）^2^=a（e^x﹣1^+）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x^2^﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x﹣1^+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x﹣1^+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；
综上所述，a=，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
**二、填空题**
13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=[ 2 ]{.underline}．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，
∴=﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=[ 5 ]{.underline}．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，
可得，解得a=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=[ 75° ]{.underline}．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，
∴sinB==，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题
16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是[ （]{.underline}[，+∞） ]{.underline}．
【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，
则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，
此时＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2^x^＞1，x﹣＞﹣，
当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，
当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，
此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，
综上x＞，
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．
**三、解答题**
17．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~+3a~2~+...+（2n﹣1）a~n~=2n．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）==﹣．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）数列{a~n~}满足a~1~+3a~2~+...+（2n﹣1）a~n~=2n．
n≥2时，a~1~+3a~2~+...+（2n﹣3）a~n﹣1~=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）a~n~=2．∴a~n~=．
当n=1时，a~1~=2，上式也成立．
∴a~n~=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++...+=1﹣=．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间\[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在\[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间\[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==．
（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，
Y=450×2=900元，
当温度在\[20，25）°C时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，
当温度低于20°C时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y大于零的概率P=．
【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．
（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S~△DCE~=S~△BCE~，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，
∵AE⊥CE，AC=2，∴EC^2^+EA^2^=AC^2^，
∴EC=EA==CD，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，
由余弦定理得：
cos∠CBD==，
即，解得BE=1或BE=2，
∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵BE=ED，∴S~△DCE~=S~△BCE~，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO==，∴BO^2^+DO^2^=BD^2^，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），
∴=（1，），=（﹣1，），
∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ^2^+（1﹣λ）^2^=0，
由λ∈\[0，1\]，解得，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S~△DCE~=S~△BCE~，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆．
【分析】（1）设曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A（x~1~，0），B（x~2~，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0（D^2^+E^2^﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x~1~，0），B（x~2~，0），
由韦达定理可得x~1~x~2~=﹣2，
若AC⊥BC，则k~AC~•k~BC~=﹣1，
即有•=﹣1，
即为x~1~x~2~=﹣1这与x~1~x~2~=﹣2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0（D^2^+E^2^﹣4F＞0），
由题意可得y=0时，x^2^+Dx+F=0与x^2^+mx﹣2=0等价，
可得D=m，F=﹣2，
圆的方程即为x^2^+y^2^+mx+Ey﹣2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x^2^+y^2^+mx+y﹣2=0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得\|OA\|•\|OB\|=\|OC\|•\|OH\|，
即有2=\|OH\|，
再令x=0，可得y^2^+y﹣2=0，
解得y=1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax^2^+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）题干求导可知f′（x）=（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）~max~=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax^2^+（2a+1）x，
求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0），
①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．
因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）~max~=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）．
从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2．
令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．...（\*）
令g（t）=﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+，
令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（\*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为，（t为参数），直线l~2~的参数方程为，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l~1~与直线l~2~的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4；
（2）将l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l~3~与C的交点M的极径为ρ=．
【解答】解：（1）∵直线l~1~的参数方程为，（t为参数），
∴消掉参数t得：直线l~1~的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l~2~的参数方程为，（m为参数），
同理可得，直线l~2~的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k得：x^2^﹣y^2^=4，即C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4（x≠2且y≠0）；
（2）∵l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，
∴其普通方程为：x+y﹣=0，
联立得：，
∴ρ^2^=x^2^+y^2^=+=5．
∴l~3~与C的交点M的极径为ρ=．
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【分析】（1）由于f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；
（2）依题意可得m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）~max~=，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x\|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x^2^+x≥m成立，
即m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x．
由（1）知，g（x）=，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x^2^+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x^2^+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；
当x≥2时，g（x）=﹣x^2^+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x）~max~=，
∴m的取值范围为（﹣∞，\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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**小学数学小升初因数和倍数应用题闯关**
1．念珠每3颗一数，正好数尽；每5颗一数，最后余3颗；每7颗一数，也余3颗；总共有100多颗。念珠究竟有多少？
2．一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行驶速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车时间隔不变，那么多少分钟发一辆公共汽车？
3．王强家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面上铺方砖，商店里方砖有以下几种：
（1）边长45厘米；
（2）边长50厘米；
（3）边长60厘米。
为了使得方砖不切割且不浪费，请你帮他选择其中的一种，并算一算至少买多少块这样的方砖？
4．小轩和小晗商量暑假去少年宫学习围棋，小轩说："我每4天去一次。"小晗说："我每10天去一次。"
（1）如果两人7月25日同时去少年宫学习围棋，那么8月15日两人还会在少年宫相遇吗？
（2）小逸也在少年宫学围棋，但她每6天去一次，如果7月25日他们三人同时去少年宫学围棋，那么至少再过多少天，他们三人中有两人会在少年宫相遇呢？
（3）如果三人7月1日同时去少年宫的，几月几日他们三人又会同时去少年宫呢？
5．《算法统宗》中记载了这样一个有趣的数学问题：山上有一古寺叫"都来寺"，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤，一共用了364只碗，请问：都来寺里有多少个和尚？
6．有一种新型电子闹钟，每到正点和半点都响一次铃，每过9分亮一次灯。如果12点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时间？
7．小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？
8．一个班人数在30～50人内，分别按8人一组和12人一组，都正好分完，这个班有多少人？
9．一面长方形墙（如图）。按规定贴瓷砖。瓷砖的边长最长可以是多少分米？至少需要这样的瓷砖多少块？
{width="4.510416666666667in" height="1.5in"}
10．为了方便市民观赏湖光水色，市政公司在公{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.875e-2in"}园湖边修建{width="1.875e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}了一条2400米长的亲水栈道，在栈道的一旁每隔40米安装一盏太阳能观景灯。现在考虑到环保、节能，决定改为每60米装一盏。（终点和起点都装）
（1）{width="3.21875in" height="0.84375in"}
（2）{width="2.8333333333333335in" height="0.6458333333333334in"}
11．有多少个苹果呢？
{width="4.291666666666667in" height="2.1354166666666665in"}
12．星期五，小梅、小军和小芳三个同学在图书馆相会。从这天开始，他们就按这个规律去图书馆，那么三人下一次在图书馆相会时是星期几？
{width="4.010416666666667in" height="1.5104166666666667in"}
13．如图长方形由42个小正方形组成，如果将长方形沿线剪成各种边长的正方形，最少可剪成多少个﹖
{width="1.5833333333333333in" height="1.375in"}
14．甲乙丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转8圈；若乙轮转4圈时，丙轮转7圈。问：这三个齿轮的齿数最少有几个？
15．有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有28个齿，小齿轮有20个齿。大小两个齿轮的某两个齿从第一相遇到第二次相遇（转动的齿轮总数相同），大小两个齿轮各转了 多少圈？
16．若将下面的长方体木料（长13分米、宽7分米、高2分米）截成若干个小正方体（允许有剩余），截成的小正方体的体积最大是多少？能截多少个这样的小正方体？
{width="1.96875in" height="0.7083333333333334in"}
**参考答案**
1．108颗
【解析】此题可理解为：念珠枚3颗一数，余3颗；每5颗一数，最后余3颗；每7颗一数，也余3颗；求念珠究竟有多少颗，即求100左右的比3、5、7的倍数多3的数。
解：3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，
因为念珠是100多颗，所以是105+3=108（颗）
答：念珠有108颗。
考点：因数和倍数应用题。
2．5分钟
【解析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和人，公共车和自行车，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差为1÷6=；公共汽车与自行车人的速度差为：1÷10=。由此可求得人的速度为：（－）÷2=。
解：设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得：
公共汽车与步行人的速度之差为1÷6=；
公共汽车与自行车人的速度差为1÷10=；
因为自行车人的速度是步行人的3倍，所以步行人的速度为：（－）÷2=，则公共汽车的速度是＋=，1÷=1×5=5（分钟）
答：每隔5分钟发一辆公共汽车。
考点：因数和倍数应用题。
3．80块
【解析】王强家客厅长6米，宽4.8米，6米=600厘米，4.8米=480厘米，为了使得方砖不切割且不浪费，首先判断45、50、60是不是600、480的最大公约数，即可判断出用哪一种方砖，再用客厅的总面积除以每块方砖的面积就可得出至少买多少块这样的方砖。
解：6米=600厘米，4.8米=480厘米，45、50均不是600、480的公约数，所以为了使得方砖不切割且不浪费，应使用边长60厘米的方砖；
（600×480）÷（60×60）
=288000÷3600
=80（块）
答：至少买80块这样的方砖。
考点：因数和倍数应用题。
总结：1、理解题意，明确考察的是因数和倍数应用题。
2、结合具体问题分析考察的是因数还是倍数{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}。
4．
【解析】（1）小轩每4天去一次，小晗每10天去一次，则两人同时去的时间时4和10的公因数，20、40、60......看一下7月25日到8月15日有多少天，是否是20的整数倍；
（2）小轩每4天去一次，小晗每10天去一次，小逸每6天去一次，三人中小轩和小逸同时去的时间最短是4、6的最小公倍数。
（3）三人至少同时去的时间是4、10、6的最小公倍数，加上7月1日。
解：（1）4=2×2,10=2×5
所以4和10的公倍数有2×2×5=20，20×2=40，20×3=60......
7月31日，31-25+1+15=22（天）不是20的整数倍。
答：8月15日两人不会在少年宫相遇。
（2）4=2×2
6=2×3
所以4、6的最小公倍数是2×2×3=12。
答：那么至少再过12天，他们三人中有两人会在少年宫相遇。
（3）4、6和10的最小公倍数是2×2×3×5=60
7月1日+30日=7月31日，
60-30=30
所以60天后是8月30日。
答：8月30日他们三人又会同时去少年宫。
考点：公因数和公倍数应用题。
5．624个
【解析】根据"3个和尚合{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤"，能知道12个和尚要3个汤碗和4个饭碗，计7只碗，把他们12个和尚要7只碗作为一组，现在一共用了364只碗，可以分成52{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}组，每组12人，共来了624个和尚。
解：3和4的最小公倍数是12
12÷4=3（只） 12÷3=4（只）
3+4=7（只）
364÷7=52（组） 52×12=624（个）
答：都来寺里有624个和尚。
6．13点30分
【解析】根据题意，每30分钟响一次铃，每9分钟亮一次灯，所以求出30、9的最小公倍数，然后再算出下一次既响铃又亮灯是什么时间。
解：30=2×3×5,9=3×3，所以30和9的最小公倍数是2×3×3×5=90，即90分钟后，也就是13点30分既响铃又亮灯。
答：下一次既响铃又亮灯是13点30分。
考点：因数和倍数应用题。
7．3棵
【解析】根据"间隔米数×（棵树－1）=总米数"可求出植树的总米数，重植时，当树在3和4的公倍数米数的位置时就不必拔掉，另外第一棵不必拔掉，求出现在植树的总米数之内的3和4的公倍数，看有几个再加一，就是不必拔掉的树的棵树。
解：3×（9－1）
=3×8
=24（米），
3和4的公倍数有3×4=12，12×2=24...，
第一棵、12米距离上的那棵、24米距离上的那棵不必拔掉。
答：有3棵树不必拔掉。
考点：因数和倍数应用题。
8．48人
【解析】先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。
8=2×2×2，
12=2×2×3，
8和12的最小公{width="2.361111111111111e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}倍数是：2×2×2×3=24；
8和12的公倍数有：24，48，72...；
其中在30和50之间的是48，所以这个班有48人。
答：这个班有48人。
9．
【解析】把正方形瓷砖正好把墙贴满，说明这个瓷砖的边长是这个长方形长的因数，也是宽的因数，也就是长和宽的公因数，瓷砖的边长最长是多少，就是长和宽的最大公因数。要求有多少块，就有长的块数乘宽的块数。
解：20=2×2×5,55=5×11
20和55的最大公因数=5，所以瓷砖的边长最长可以是5分米。
（55÷5）×（20÷5）
=11×4
=44（块）
答：瓷砖的边长最长可以是5分米，至少需要这样的瓷砖44块。
考点：因数和倍数应用题。
10．120米；21盏
【解析】除起点不用移动的灯到起点的距离，就是40和60的公倍数，除起点外第一盏不用移动的灯就应是40和60的最小公倍数；
不用移动的灯一定是40和60的公倍数，用总长度除以最40和60的最小公倍数，再加1。就是不用移动的盏数。
解：（1）40=2×2×2×5，
60=2×2×3×5，
40和60的最小公倍数=2×2×2×3×5=120，
答：除起点外第一盏不用移动的灯离起点120米。
（2）2400÷120+1，
=20+1，
=21（盏）。
答：一共有21盏灯不用移动。
11．72个
【解析】因每盘装4个正好装完，每盘装6个也这好装完，所以这批苹果的总数，应是4和6的公倍数，且这个公倍数是70几的数。
解：4的公倍数：4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56，60，64，68，72，76...
6的公倍数：6，12，18，24，30，36，72，48，54，60，66，72，78...
4和6的公倍数中是70几的只有72，所以这批苹果有72个。
答：有72个苹果。
考点：因数和倍数应用题。
12．星期四
【解析】因为4是2的倍数，所以求3，4的最小公倍数。
因为3和4是互质数，所以3和4的最小公倍数是：3×4=12；也就是说他俩再过12日就能都到图书馆，上次他们在星期五在图书馆相遇，再过12日他俩就都到图书馆，即经过1周多5天，也就是下一次都到图书馆是星期三；因为管理员闭馆，次日再来，所以星期四来。
答：下次他们在图书馆相遇时在星期四。
13．5个
【解析】根据图形可知，每行是7个小正方形，一共有6行，要使剪成的正方形的个数最少，所剪正方形的边长最大是4，所剪正方形的边长最小是2，由此确定可以剪边长是4的正方形1个，边长是3的正方形2个，边长是2的正方形2个。
解：如图：
{width="1.5833333333333333in" height="1.3854166666666667in"}
1+2+2=5（个）
答：最少可剪成5个不同的正方形。
14．甲最少有56个齿，乙最少有35个齿，丙最少有20个齿。
【解析】由题意可知：若使甲轮转5圈，乙轮转8圈；乙轮转4圈时，丙轮转7圈，即乙轮转8圈，丙轮转14圈；假设三个齿轮转过的总齿数是相等的，即转过的总齿数是5、8、14的公倍数，要求最少，就是转过的总齿数是5、8、14的最小公倍数，然后用这三个数的最小公倍数分别除以它们的圈数就是各自的齿数。
解：8=2×2×2，14=2×7
所以5、8、14三个数的最小公倍数是它们的乘积：2×2×2×5×7=280，即三个齿轮转过的总齿数是280。
甲：280÷5=56（齿）
乙：280÷8=35（齿）
丙：280÷14=20（齿）
答：甲最少有56个齿，乙最少有35个齿，丙最少有20个齿。
15．大齿轮转了5圈，小齿轮转了7圈。
【解析】大小两个齿轮的某两个齿从第一相遇到第二次相遇（转动的齿轮总数相同），即找28与20的最小公倍数，28与20的最小公倍数是140，即齿轮转过140齿后，这一对齿轮再次相遇，大齿轮转过了140÷28=5（圈），小齿轮转过了140÷20=7（圈）。
解：28=2×2×7；20=2×2×5
28和20的最小公倍数是：2×2×7×5=140
大齿轮转过了：140÷28=5（圈）
小齿轮转过了：140÷20=7（圈）。
答：大齿轮转了5圈，小齿轮转了7圈。
考点：因数和倍数应用题。
16．8立方分米，18个
【解析】从一个长方体中截取一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的最短棱，根据长方体的体积公式：v=abh，正方体的体积公式：v=a^3^，把数据分别代入公式求出它们的体积；
解：（1）截成的小正方体的棱长最大是2分米。
截成的小正方体的体积最大：2×2×2=8（立方分米）。
（2）（13÷2）×（7÷2）×（2÷2）
≈6×3×1
=18（个）
答：截成的小正方体的体积最大是8立方分米，能截18个这样的小正方体。
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**2013年福建省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.**
1．（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则"a=3"是"A⊆B"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：\[40，50），\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100\]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax^2^+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列{2^n﹣1^}的前10项和 B．计算数列{2^n﹣1^}的前9项和
C．计算数列{2^n^﹣1}的前10项和 D．计算数列{2^n^﹣1}的前9项和
7．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x~0~） B．﹣x~0~是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x~0~是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点
9．（5分）已知等比数列{a~n~}的公比为q，记b~n~=a~m（n﹣1）+1~+a~m（n﹣1）+2~+...+a~m（n﹣1）+m~，c~n~=a~m（n﹣1）+1~•a~m（n﹣1）+2~•...•a~m（n﹣1）+m~，（m，n∈N^\*^），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{b~n~}为等差数列，公差为q^m^
B．数列{b~n~}为等比数列，公比为q^2m^
C．数列{c~n~}为等比数列，公比为
D．数列{c~n~}为等比数列，公比为
10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈S，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是（ ）
A．A=N^\*^，B=N
B．A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x\|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.**
11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为[ ]{.underline}．
12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是[ ]{.underline}．
13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为[ ]{.underline}．
14．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，则该椭圆的离心率等于[ ]{.underline}．
15．（4分）当x∈R，\|x\|＜1时，有如下表达式：1+x+x^2^+...+x^n^+...=
两边同时积分得：dx+xdx+x^2^dx+...+x^n^dx+...=dx
从而得到如下等式：1×+×（）^2^+×（）^3^+...+×（）^n+1^+...=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
×+×（）^2^+×（）^3^+...+×（）^n+1^=[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A~1~，A~2~，...，A~9~和B~1~，B~2~，...，B~9~，连接OB~i~，过A~i~作x轴的垂线与OB~i~，交于点．
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABCD，AB∥DC，AA~1~=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD~1~A~1~
（2）若直线AA~1~与平面AB~1~C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x~0~∈（），使得f（x~0~），g（x~0~），f（x~0~）g（x~0~）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x~0~的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
**本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.**
21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x~0~，y~0~）在直线l上，且，求点P的坐标．
22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．
23．设不等式\|x﹣2\|＜a（a∈N^\*^）的解集为A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|的最小值．
**2013年福建省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.**
1．（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．
【解答】解：因为复数z的共轭复数，
所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．
z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．
2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则"a=3"是"A⊆B"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断"A⊆B"成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．
【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；
反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3
故"a=3"是"A⊆B"的充分不必要条件
故选：A．
【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．
3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，
则顶点到渐近线的距离d=．
故选：C．
【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．
4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：\[40，50），\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100\]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A．588 B．480 C．450 D．120
【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．
【解答】解：根据频率分布直方图，
成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．
由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．
故选：B．
【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．
5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax^2^+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【分析】由于关于x的方程ax^2^+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．
【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；
此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．
（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，
∴△=4﹣4ab≥0，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，
关于x的方程ax^2^+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列{2^n﹣1^}的前10项和 B．计算数列{2^n﹣1^}的前9项和
C．计算数列{2^n^﹣1}的前10项和 D．计算数列{2^n^﹣1}的前9项和
【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．
【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，
S=0，i=1；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+2^2^，i=3+1=4；
...
判断i＞10不成立，执行S=1+2+2^2^+...+2^9^，i=10+1=11；
判断i＞10成立，输出S=1+2+2^2^+...+2^9^．
算法结束．
故则该算法的功能是计算数列{2^n﹣1^}的前10项和．
故选：A．
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
7．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，
，
该四边形的面积：==5．
故选：C．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）≤f（x~0~） B．﹣x~0~是f（﹣x）的极小值点
C．﹣x~0~是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点
【分析】A项，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；
B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x~0~是f（﹣x）的极大值点；
C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x~0~是﹣f（x）的极小值点；
D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点．
【解答】解：对于A项，x~0~（x~0~≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；
对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x~0~是f（﹣x）的极大值点，故B错误；
对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x~0~是﹣f（x）的极小值点，故C错误；
对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x~0~是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
9．（5分）已知等比数列{a~n~}的公比为q，记b~n~=a~m（n﹣1）+1~+a~m（n﹣1）+2~+...+a~m（n﹣1）+m~，c~n~=a~m（n﹣1）+1~•a~m（n﹣1）+2~•...•a~m（n﹣1）+m~，（m，n∈N^\*^），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列{b~n~}为等差数列，公差为q^m^
B．数列{b~n~}为等比数列，公比为q^2m^
C．数列{c~n~}为等比数列，公比为
D．数列{c~n~}为等比数列，公比为
【分析】①，当q=1时，b~n~=ma~m（n﹣1）~，b~n+1~=ma~m（n﹣1）+m~=ma~m（n﹣1）~=b~n~，此时是常数列，可判断A，B两个选项
②由于等比数列{a~n~}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项．
【解答】解：①，当q=1时，b~n~=ma~m（n﹣1）~，b~n+1~=ma~m（n﹣1）+m~=ma~m（n﹣1）~=b~n~，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；
当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，
又b~n+1~﹣b~n~=，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列{a~n~}的公比为q，∴，
∴=，
∴===，故C正确D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．
10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈S，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是（ ）
A．A=N^\*^，B=N
B．A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10}
C．A={x\|0＜x＜1}，B=R
D．A=Z，B=Q
【分析】利用题目给出的"保序同构"的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是"保序同构"的，即可得到要选择的答案．
【解答】解：对于A=N^\*^，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N^\*^，满足：（i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈A，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），所以选项A是"保序同构"；
对于A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：
（i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x~1~，x~2~∈A，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），所以选项B是"保序同构"；
对于A={x\|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）\|x∈A}；
（ii）对任意
x~1~，x~2~∈A，当x~1~＜x~2~时，恒有f（x~1~）＜f（x~2~），所以选项C是"保序同构"；
前三个选项中的集合对是"保序同构"，由排除法可知，不是"保序同构"的只有D．
故选：D．
【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.**
11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件"3a﹣1＞0"对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．
【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，
则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为P==．
故答案为：．
【点评】几何概型的概率估算公式中的"几何度量"，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个"几何度量"只与"大小"有关，而与形状和位置无关．
12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是[ 12π ]{.underline}．
【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．
【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，
球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，
所以球的表面积为：4πr^2^=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
在△ABD中，AB=3，AD=3，
根据余弦定理得：BD^2^=AB^2^+AD^2^﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，
则BD=．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
14．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，则该椭圆的离心率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，可得，进而．
设\|MF~2~\|=m，\|MF~1~\|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．
【解答】解：如图所示，
由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF~1~F~2~=2∠MF~2~F~1~，∴，∴．
设\|MF~2~\|=m，\|MF~1~\|=n，则，解得．
∴该椭圆的离心率e=．
故答案为．
【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
15．（4分）当x∈R，\|x\|＜1时，有如下表达式：1+x+x^2^+...+x^n^+...=
两边同时积分得：dx+xdx+x^2^dx+...+x^n^dx+...=dx
从而得到如下等式：1×+×（）^2^+×（）^3^+...+×（）^n+1^+...=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
×+×（）^2^+×（）^3^+...+×（）^n+1^=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据二项式定理得C~n~^0^+C~n~^1^x+C~n~^2^x^2^+...+C~n~^n^x^n^=（1+x）^n^，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．
【解答】解：二项式定理得C~n~^0^+C~n~^1^x+C~n~^2^x^2^+...+C~n~^n^x^n^=（1+x）^n^，
对C~n~^0^+C~n~^1^x+C~n~^2^x^2^+...+C~n~^n^x^n^=（1+x）^n^
两边同时积分得：
从而得到如下等式：=
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C~n~^0^+C~n~^1^x+C~n~^2^x^2^+...+C~n~^n^x^n^=（1+x）^n^，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．
**三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【分析】（1）记"他们的累计得分X≤3"的事事件为A，则事件A的对立事件是"X=5"，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X~1~，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X~2~，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X~1~），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X~2~）．根据题意知X~1~～B（2，），X~2~～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X~1~）＞E（3X~2~），从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，
记"他们的累计得分X≤3"的事件为A，则事件A的对立事件是"X=5"，
因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；
即他们的累计得分x≤3的概率为．
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X~1~，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X~2~，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X~1~）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X~2~）
由已知可得，X~1~～B（2，），X~2~～B（2，），
∴E（X~1~）=2×=，E（X~2~）=2×=，
从而E（2X~1~）=2E（X~1~）=，E（3X~2~）=3E（X~2~）=，
由于E（2X~1~）＞E（3X~2~），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．
17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．
18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A~1~，A~2~，...，A~9~和B~1~，B~2~，...，B~9~，连接OB~i~，过A~i~作x轴的垂线与OB~i~，交于点．
（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
【分析】（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为x=i，B~i~的坐标为（10，i），即可得到直线OB~i~的方程为．联立方程，即可得到P~i~满足的方程；
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S~△OCM~=S~△OCN~，可得\|x~1~\|=4\|x~2~\|．即x~1~=﹣4x~2~．联立即可得到k，进而得到直线方程．
【解答】（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，B~i~的坐标为（10，i），
∴直线OB~i~的方程为．
设P~i~（x，y），由，解得，即x^2^=10y．
∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x^2^=10y．
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，
联立消去y得到x^2^﹣10kx﹣100=0，
此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，
设为M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），则x~1~+x~2~=10k，x~1~x~2~=﹣100，
∵S~△OCM~=4S~△OCN~，∴\|x~1~\|=4\|x~2~\|．∴x~1~=﹣4x~2~．
联立，解得．
∴直线l的方程为．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力．
19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，侧棱AA~1~⊥底面ABCD，AB∥DC，AA~1~=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）
（1）求证：CD⊥平面ADD~1~A~1~
（2）若直线AA~1~与平面AB~1~C所成角的正弦值为，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）
【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA~1~⊥底面ABCD，可得AA~1~⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD~1~A~1~，BCC~1~B~1~，上或下面ABCD，A~1~B~1~C~1~D~1~拼接得到方案
新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE^2^+EC^2^=（4k）^2^+（3k）^2^=（5k）^2^=BC^2^，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA~1~⊥底面ABCD，∴AA~1~⊥CD，
∵AA~1~∩AD=A，∴CD⊥平面ADD~1~A~1~．
（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B~1~（4k，3k，1），A~1~（4k，0，1）．
∴，，．
设平面AB~1~C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．
设AA~1~与平面AB~1~C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．
（3）由题意可与左右平面ADD~1~A~1~，BCC~1~B~1~，上或下面ABCD，A~1~B~1~C~1~D~1~拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=
【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．
20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x~0~∈（），使得f（x~0~），g（x~0~），f（x~0~）g（x~0~）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x~0~的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；
（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω==2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），
故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），
∵x∈（，），
∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，
又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x~0~，即存在唯一零点x~0~∈（，）满足题意．
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况．
令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------- --------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------------
x （0，）  （，π） （π，）  （，2π）
h′（x） \+ 0 ﹣ ﹣ 0 \+
h（x） ↗ 1 ↘ ↘ ﹣1 ↗
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------- --------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------------
当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题．
**本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.**
21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x~0~，y~0~）在直线l上，且，求点P的坐标．
【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；
（II）由得，从而解得y~0~的值，又点P（x~0~，y~0~）在直线l上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），
经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有=，
可得，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得，解得
（II）由得，从而y~0~=0，
又点P（x~0~，y~0~）在直线l上，∴x~0~=1，
∴点P的坐标为（1，0）．
【点评】本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式．
22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
【解答】解：（Ⅰ）点A在直线l上，得，∴a=，
故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，
得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；
（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）^2^+y^2^=1
圆心C到直线l的距离d=＜1，
所以直线l和⊙C相交．
【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．
23．设不等式\|x﹣2\|＜a（a∈N^\*^）的解集为A，且
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．
（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以且，
解得，
因为a∈N^\*^，所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|≥\|（x+1）﹣（x﹣2）\|=3，
当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，
所以函数f（x）的最小值为3．
【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．
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**2014年广东省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.**
1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ）
A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1）
6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
8．（5分）设集合A={（x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~）\|x~i~∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
**二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9\~13题）**
9．（5分）不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5的解集为[ ]{.underline}．
10．（5分）曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为[ ]{.underline}．
11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为[ ]{.underline}．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=[ ]{.underline}．
13．（5分）若等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^，则lna~1~+lna~2~+...+lna~20~=[ ]{.underline}．
**（二）、选做题（14\~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C~1~和C~2~的方程分别为ρsin^2^θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~和C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
------------ ------ ------
分组 频数 频率
\[25，30\] 3 0.12
（30，35\] 5 0.20
（35，40\] 8 0.32
（40，45\] n~1~ f~1~
（45，50\] n~2~ f~2~
------------ ------ ------
（1）确定样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率．
18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
19．（14分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，且S~3~=15．
（1）求a~1~，a~2~，a~3~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．
**2014年广东省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.**
1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（ ）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=25，b^2^=9﹣k，c^2^=34﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=25﹣k，b^2^=9，c^2^=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．
5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ）
A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1）
【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．
B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．
C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．
D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键．
6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．
故选：A．
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．
7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l~1~与l~4~的位置关系不确定．
【解答】解：∵l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，∴l~1~与l~3~的位置关系不确定，
又l~4~⊥l~3~，∴l~1~与l~4~的位置关系不确定．
故A、B、C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．
8．（5分）设集合A={（x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~）\|x~i~∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"的元素个数为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．130
【分析】从条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"入手，讨论x~i~所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
【解答】解：由于\|x~i~\|只能取0或1，且"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①x~i~中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②x~i~中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③x~i~中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．
∴总共方法数是++=130．
即元素个数为130．
故选：D．
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．
**二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9\~13题）**
9．（5分）不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5的解集为[ （﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞） ]{.underline}．
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：由不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5，可得①，或 ②，或 ③．
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2．
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
10．（5分）曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为[ y=﹣5x+3． ]{.underline}．
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程．
【解答】解；y′=﹣5e^﹣5x^，∴k=﹣5，
∴曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3．
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题．
11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C~10~^7^种方法，
若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C~6~^3^种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础．
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=[ 2 ]{.underline}．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
13．（5分）若等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^，则lna~1~+lna~2~+...+lna~20~=[ 50 ]{.underline}．
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a~10~a~11~=e^5^，然后利用对数的运算性质化简后得答案．
【解答】解：∵数列{a~n~}为等比数列，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^，
∴a~10~a~11~+a~9~a~12~=2a~10~a~11~=2e^5^，
∴a~10~a~11~=e^5^，
∴lna~1~+lna~2~+...lna~20~=ln（a~1~a~2~...a~20~）=ln（a~10~a~11~）^10^
=ln（e^5^）^10^=lne^50^=50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．
**（二）、选做题（14\~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C~1~和C~2~的方程分别为ρsin^2^θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~和C~2~交点的直角坐标为[ （1，1） ]{.underline}．
【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．
【解答】解：曲线C~1~：ρsin^2^θ=cosθ，即为ρ^2^sin^2^θ=ρcosθ，
化为普通方程为：y^2^=x，
曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=[ 9 ]{.underline}．
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）^2^=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题．
**三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ） 的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
∴Asin（+）=Asin=A•=，
∴A=．
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sincosθ=cosθ=，
∴cosθ=，再由 θ∈（0，），可得sinθ=．
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
------------ ------ ------
分组 频数 频率
\[25，30\] 3 0.12
（30，35\] 5 0.20
（35，40\] 8 0.32
（40，45\] n~1~ f~1~
（45，50\] n~2~ f~2~
------------ ------ ------
（1）确定样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率．
【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值；
（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（3）利用对立事件可求概率．
【解答】解：（1）（40，45\]的频数n~1~=7，频率f~1~=0.28；（45，50\]的频数n~2~=2，频率f~2~=0.08；
（2）频率分布直方图：
（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35\]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35\]为事件，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35\]的概率为，
∴P（A）==，
∴P（）=1﹣P（A）=，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率为．
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题．
18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；
（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=，AF==，
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）
设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），
由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ=\|cos＜，＞\|===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．
19．（14分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，且S~3~=15．
（1）求a~1~，a~2~，a~3~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式．
【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S~3~变为S~2~+a~3~得另一关系式，联立可求a~3~，然后把递推式中n取1，再结合S~3~=15联立方程组求得a~1~，a~2~；
（2）由（1）中求得的a~1~，a~2~，a~3~的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）由S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，得：
S~2~=4a~3~﹣20 ①
又S~3~=S~2~+a~3~=15 ②
联立①②解得：a~3~=7．
再在S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n中取n=1，得：
a~1~=2a~2~﹣7 ③
又S~3~=a~1~+a~2~+7=15 ④
联立③④得：a~2~=5，a~1~=3．
∴a~1~，a~2~，a~3~的值分别为3，5，7；
（2）∵a~1~=3=2×1+1，a~2~=5=2×2+1，a~3~=7=2×3+1．
由此猜测a~n~=2n+1．
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a~1~=3=2×1+1成立．
2、假设n=k时结论成立，即a~k~=2k+1．
那么，当n=k+1时，
由S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，得，
，
两式作差得：．
∴
==2（k+1）+1．
综上，当n=k+1时结论成立．
∴a~n~=2n+1．
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k~1~•k~2~，进而取得x~0~和y~0~的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x~0~，y~0~）的切线为y=k（x﹣x~0~）+y~0~，
+=+=1，整理得（9k^2^+4）x^2^+18k（y~0~﹣kx~0~）x+9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0，
∴△=\[18k（y~0~﹣kx~0~）\]^2^﹣4（9k^2^+4）×9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0，
整理得（x~0~^2^﹣9）k^2^﹣2x~0~×y~0~×k+（y~0~^2^﹣4）=0，
∴﹣1=k~1~•k~2~==﹣1，
∴x~0~^2^+y~0~^2^=13．
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x^2^+y^2^=13．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．
21．（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．
【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．
【解答】解：（1）设t=x^2^+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，
要使函数有意义，则t^2^+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x^2^+2x+k＞1或x^2^+2x+k＜﹣3，
则（x+1）^2^＞2﹣k，①或（x+1）^2^＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，
由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，
综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．
（2）f′（x）==
=﹣，
由f\'（x）＞0，即2（x^2^+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0
解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．
（3）由f（x）=f（1）得（x^2^+2x+k）^2^+2（x^2^+2x+k）﹣3=（3+k）^2^+2（3+k）﹣3，
则\[（x^2^+2x+k）^2^﹣（3+k）^2^\]+2\[（x^2^+2x+k）﹣（3+k）\]=0，
∴（x^2^+2x+2k+5）（x^2^+2x﹣3）=0
即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），
且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：
（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
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Subsets and Splits