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|---|---|---|
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（十）**
**一、选择题**（本题有8小题，每小题4分，共32分）
{width="5.3in" height="1.2138888888888888in"}1．函数y＝图象的大致形状是 （ ）
{width="0.8958333333333334in" height="0.7604166666666666in"}A B C D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）
> A、 B、 C、 D、
3．满足不等式的最大整数n等于 （ ）
{width="1.5104166666666667in" height="1.0520833333333333in"}（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇
后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么，
甲车速是乙车速的 （
{width="1.4583333333333333in" height="1.375in"}（A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍
5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，
3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
6．如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=，则△CDE与△ABE的面积比为 （ ）
（A）cos （B）sin （C）cos^2^ （D）sin^2^
7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ）
（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关
8．设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能
**二、填空题**（本题有6小题，每小题5分，共30分）
{width="1.46875in" height="1.4583333333333333in"}9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□
10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边
> 形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 [\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
11．计算：= [\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 [\_\_]{.underline} 场，E队比赛了 [\_\_\_]{.underline} 场.
13．已知∠AOB=30°,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.7979166666666666in" height="1.2444444444444445in"}14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若
> AD=AC，CE=BC，则∠1 [\_\_]{.underline} ∠2
>
> （填"\>"、"\<"或"="）
**三．解答题**（共38分）
15\. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
１６．（１２分）如图，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
１７．（１４分）如图，在等腰梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*=*DC*=50，*AD*=75，*BC*=135．点*P*从点*B*出发沿折线段*BA*-*AD*-*DC*以每秒5个单位长的速度向点*C*匀速运动；点*Q*从点*C*出发沿线段*CB*方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点*Q*向上作射线*QK*⊥*BC*，交折线段*CD*-*DA*-*AB*于点*E*．点*P*、*Q*同时开始运动，当点*P*与点*C*重合时停止运动，点*Q也*随之停止．设点*P*、*Q*运动的时间是*t*秒（*t*＞0）．
（1）当点*P*到达终点*C*时，求*t*的值，并指出此时*BQ*的长；
> （2）当点*P*运动到*AD*上时，*t*为何值能使*PQ*∥*DC *？
>
> （3）设射线*QK*扫过梯形*ABCD*的面积为*S*，分别求出点*E*运动到*CD*、*DA*上时，*S*与*t*的函数关系式；（不必写出*t*的取值范围）
（4）△*PQE*能否成为直角三角形？若能，写出*t*的取值范围；若不能，请说明理由．
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（十）参考答案**
**选择题 **DCDCCCCB
9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋2
10． 11． 12． 6场，2场
13． 14．＝
1５．（１）**解**：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：
，解这个不等式组，得：，
是整数，可取，可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个 种园艺造型个
②种园艺造型个 种园艺造型个
③种园艺造型个 种园艺造型个．
（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为元
１６．证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
> １７．解：（1）*t *=（50＋75＋50）÷5=35（*秒）*时，点*P*到达终点*C*．
>
> 此时，*QC*=35×3=105，∴*BQ*的长为135－105=30．
>
> （2）如图8，若*PQ*∥*DC*，又*AD*∥*BC*，则四边形*PQCD*
>
> 为平行四边形，从而*PD*=*QC*，由*QC*=3*t*，*BA*+*AP*=5*t*
>
> 得50＋75－5*t*=3*t*，解得*t*=．
>
> 经检验，当*t*=时，有*PQ*∥*DC*．
>
> （3）①当点*E*在*CD*上运动时，如图9．分别过点*A*、*D*
>
> 作*AF*⊥*BC*于点*F*，*DH*⊥*BC*于点*H*，则四边形
>
> *ADHF*为矩形，且*△ABF*≌△*DCH*，从而
>
> *FH*= *AD*=75，于是*BF*=*CH*=30．∴*DH*=*AF*=40．
>
> 又*QC*=3*t*，从而*QE*=*QC*·tan*C*=3*t*·=4*t*．
>
> （注：用相似三角形求解亦可）
>
> ∴*S*=*S*~⊿*QCE *~=*QE*·*QC*=6*t*^2^；
>
> ②当点*E*在*DA*上运动时，如图8．过点*D*作*DH*⊥*BC*于点*H*，由①知*DH*=40，*CH*=30，又*QC*=3*t*，从而*ED*=*QH*=*QC*－*CH*=3*t*－30．
>
> ∴*S*= *S*~梯形*QCDE *~=(*ED*＋*QC*)*DH* =120 *t*－600．
（4）△*PQE*能成为直角三角形．
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**2014年江苏省高考数学试卷**
**一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）**
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=[ ]{.underline}．
2．（5分）已知复数z=（5+2i）^2^（i为虚数单位），则z的实部为[ ]{.underline}．
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是[ ]{.underline}．
4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是[ ]{.underline}．
5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是[ ]{.underline}．
6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间\[80，130\]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有[ ]{.underline}株树木的底部周长小于100cm．
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~2~=1，a~8~=a~6~+2a~4~，则a~6~的值是[ ]{.underline}．
8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S~1~，S~2~，体积分别为V~1~，V~2~，若它们的侧面积相等，且=，则的值是[ ]{.underline}．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知函数f（x）=x^2^+mx﹣1，若对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是[ ]{.underline}．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax^2^+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是[ ]{.underline}．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是[ ]{.underline}．
**二、解答题（本大题共6小题，共计90分）**
15．（14分）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F~1~，F~2~分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF~2~并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F~1~C．
（1）若点C的坐标为（，），且BF~2~=，求椭圆的方程；
（2）若F~1~C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
19．（16分）已知函数f（x）=e^x^+e^﹣x^，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立，试比较e^a﹣1^与a^e﹣1^的大小，并证明你的结论．
20．（16分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S~n~=a~m~，则称{a~n~}是"H数列"．
（1）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=2^n^（n∈N^\*^），证明：{a~n~}是"H数列"；
（2）设{a~n~}是等差数列，其首项a~1~=1，公差d＜0，若{a~n~}是"H数列"，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a~n~}，总存在两个"H数列"{b~n~}和{c~n~}，使得a~n~=b~n~+c~n~（n∈N^\*^）成立．
**三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】**
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
**【选修4-2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．
**【选修4-3：极坐标及参数方程】**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y^2^=4x相交于AB两点，则线段AB的长为[ ]{.underline}．
**【选修4-4：不等式选讲】**
24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy．
**(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）**
25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x~1~，x~2~，x~3~，随机变量X表示x~1~，x~2~，x~3~中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
26．（10分）已知函数f~0~（x）=（x＞0），设f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^．
（1）求2f~1~（）+f~2~（）的值；
（2）证明：对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（）+f~n~（）\|=都成立．
**2014年江苏省高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）**
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=[ {﹣1，3} ]{.underline}．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）已知复数z=（5+2i）^2^（i为虚数单位），则z的实部为[ 21 ]{.underline}．
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．
【解答】解：z=（5+2i）^2^=25+20i+4i^2^=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是[ 5 ]{.underline}．
【分析】算法的功能是求满足2^n^＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2^n^＞20的最小的正整数n的值，
∵2^4^=16＜20，2^5^=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先列举并求出"从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数"的基本事件的个数再从中找到满足"所取2个数的乘积为6"的事件的个数，利用概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．
5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，
∴=．
∵0≤φ＜π，∴，
∴+φ=，
解得φ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．
6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间\[80，130\]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有[ 24 ]{.underline}株树木的底部周长小于100cm．
【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．
【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~2~=1，a~8~=a~6~+2a~4~，则a~6~的值是[ 4 ]{.underline}．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q＞0，a~1~＞0．
∵a~8~=a~6~+2a~4~，
∴，
化为q^4^﹣q^2^﹣2=0，解得q^2^=2．
∴a~6~===1×2^2^=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S~1~，S~2~，体积分别为V~1~，V~2~，若它们的侧面积相等，且=，则的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．
【解答】解：圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为2=2=
故答案为：．
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）=x^2^+mx﹣1，若对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是[ （﹣]{.underline}[，0） ]{.underline}．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．
【解答】解：∵二次函数f（x）=x^2^+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，∴，
即 ，解得﹣＜m＜0，
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax^2^+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是[ ﹣3 ]{.underline}．
【分析】由曲线y=ax^2^+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y\|~x=2~=﹣5，且y′\|~x=2~=，解方程可得答案．
【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，
曲线y=ax^2^+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣，
∴，
解得：，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y\|~x=2~=﹣5，且y′\|~x=2~=，是解答的关键．
12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是[ 22 ]{.underline}．
【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．
【解答】解：∵=3，
∴=+，=﹣，
又∵AB=8，AD=5，
∴•=（+）•（﹣）=\|\|^2^﹣•﹣\|\|^2^=25﹣•﹣12=2，
故•=22，
故答案为：22．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是[ （0，]{.underline}[） ]{.underline}．
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．
**二、解答题（本大题共6小题，共计90分）**
15．（14分）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．
【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=
（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；
∴sin（+α）的值为：﹣．
（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin^2^α=，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．
cos（﹣2α）的值为：﹣．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE^2^+EF^2^=DF^2^，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F~1~，F~2~分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF~2~并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F~1~C．
（1）若点C的坐标为（，），且BF~2~=，求椭圆的方程；
（2）若F~1~C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐标，利用F~1~C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），
∴，即，
∵，
∴a^2^=（）^2^=2，即b^2^=1，
则椭圆的方程为+y^2^=1．
（2）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF~2~：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x^2^﹣=0，
解得x=0，或x=，
∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，
∴C（，），
则=﹣=，
∵F~1~C⊥AB，
∴×（）=﹣1，
由b^2^=a^2^﹣c^2^得，
即e=．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．
18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
【解答】解：（1）如图，
过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵，
∴CE=（m）．
∴（m）．
∴，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m；
（2）如图，
设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP=m，PM=m．
∴PC=m，PQ=m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ=m=m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．
【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．
19．（16分）已知函数f（x）=e^x^+e^﹣x^，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立，试比较e^a﹣1^与a^e﹣1^的大小，并证明你的结论．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；
（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=e^x^+e^﹣x^，
∴f（﹣x）=e^﹣x^+e^x^=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x^+e^﹣x^﹣1）≤e^﹣x^﹣1，
∵x＞0，
∴e^x^+e^﹣x^﹣1＞0，
即m≤在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x^，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，
∴m．
（3）令g（x）=e^x^+e^﹣x^﹣a（﹣x^3^+3x），
则g′（x）=e^x^﹣e^﹣x^+3a（x^2^﹣1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在\[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，
由于存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立，
故e+﹣2a＜0，
即a＞（e+），
令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，
则h′（x）=1﹣，
由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，
当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e^a﹣1^＜a^e﹣1^，
②当a=e时，a^e﹣1^=e^a﹣1^，
③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e^a﹣1^＞a^e﹣1^．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
20．（16分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S~n~=a~m~，则称{a~n~}是"H数列"．
（1）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=2^n^（n∈N^\*^），证明：{a~n~}是"H数列"；
（2）设{a~n~}是等差数列，其首项a~1~=1，公差d＜0，若{a~n~}是"H数列"，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a~n~}，总存在两个"H数列"{b~n~}和{c~n~}，使得a~n~=b~n~+c~n~（n∈N^\*^）成立．
【分析】（1）利用"当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，当n=1时，a~1~=S~1~"即可得到a~n~，再利用"H"数列的意义即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和即可得出S~n~，对∀n∈N^\*^，∃m∈N^\*^使S~n~=a~m~，取n=2和根据d＜0即可得出；
（3）设{a~n~}的公差为d，构造数列：b~n~=a~1~﹣（n﹣1）a~1~=（2﹣n）a~1~，c~n~=（n﹣1）（a~1~+d），可证明{b~n~}和{c~n~}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、"H"的意义即可得出．
【解答】解：（1）当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=2^n^﹣2^n﹣1^=2^n﹣1^，
当n=1时，a~1~=S~1~=2．
当n=1时，S~1~=a~1~．
当n≥2时，S~n~=a~n+1~．
∴数列{a~n~}是"H"数列．
（2）S~n~==，
对∀n∈N^\*^，∃m∈N^\*^使S~n~=a~m~，即，
取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N^\*^，∴m=1，∴d=﹣1．
（3）设{a~n~}的公差为d，令b~n~=a~1~﹣（n﹣1）a~1~=（2﹣n）a~1~，
对∀n∈N^\*^，b~n+1~﹣b~n~=﹣a~1~，
c~n~=（n﹣1）（a~1~+d），
对∀n∈N^\*^，c~n+1~﹣c~n~=a~1~+d，
则b~n~+c~n~=a~1~+（n﹣1）d=a~n~，且数列{b~n~}和{c~n~}是等差数列．
数列{b~n~}的前n项和T~n~=，
令T~n~=（2﹣m）a~1~，则．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N^\*^．
因此对∀n∈N^\*^，都可找到m∈N^\*^，使T~n~=b~m~成立，即{b~n~}为H数列．
数列{c~n~}的前n项和R~n~=，
令c~m~=（m﹣1）（a~1~+d）=R~n~，则m=．
∵对∀n∈N^\*^，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N^\*^．
因此对∀n∈N^\*^，都可找到m∈N^\*^，使R~n~=c~m~成立，即{c~n~}为H数列．
因此命题得证．
【点评】本题考查了利用"当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，当n=1时，a~1~=S~1~"求a~n~、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义"H"的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．
**三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】**
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
【解答】证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
**【选修4-2：矩阵与变换】**
22．（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．
【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．
【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，
∴，
∴x=﹣，y=4，
∴x+y=
【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．
**【选修4-3：极坐标及参数方程】**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y^2^=4x相交于AB两点，则线段AB的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y^2^=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y^2^=4x联立，可得x^2^﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴\|AB\|==8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
**【选修4-4：不等式选讲】**
24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy．
【分析】由均值不等式可得1+x+y^2^≥3，1+x^2^+y≥，两式相乘可得结论．
【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y^2^≥3，1+x^2^+y≥
分别当且仅当x=y^2^=1，x^2^=y=1时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy．
【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．
**(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）**
25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x~1~，x~2~，x~3~，随机变量X表示x~1~，x~2~，x~3~中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
X的概率分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 2 3 4
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
故X数学期望E（X）=．
【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．
26．（10分）已知函数f~0~（x）=（x＞0），设f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^．
（1）求2f~1~（）+f~2~（）的值；
（2）证明：对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（）+f~n~（）\|=都成立．
【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf~0~（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；
（2）由（1）得，f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx和2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．
【解答】解：（1）∵f~0~（x）=，∴xf~0~（x）=sinx，
则两边求导，\[xf~0~（x）\]′=（sinx）′，
∵f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^，
∴f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx，
将x=代入上式得，2f~1~（）+f~2~（）=﹣1，
（2）由（1）得，f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx=sin（x+），
恒成立两边再同时求导得，2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx=sin（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f~2~（x）+xf~3~（x）=﹣cosx=sin（x+），
同理可得，两边再同时求导得，4f~3~（x）+xf~4~（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nf~n﹣1~（x）+xf~n~（x）=sin（x+）对任意n∈N^\*^恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时，成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k∈N^\*^）时等式成立，即，
∵\[kf~k﹣1~（x）+xf~k~（x）\]′=kf~k﹣1~′（x）+f~k~（x）+xf~k~′（x）
=（k+1）f~k~（x）+xf~k+1~（x）
又
===，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N^\*^）时．等式也成立，
由①②得，nf~n﹣1~（x）+xf~n~（x）=sin（x+）对任意n∈N^\*^恒成立，
令x=代入上式得，nf~n﹣1~（）+f~n~（）=sin（+）=±cos=±，
所以，对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（）+f~n~（）\|=都成立．
【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------长方体的体积》同步检测2（附答案）**
1．计算下面长方体和正方体的体积。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．一个长方体的体积是630dm，这个长方体的宽是多少？
4．一种砖长25cm，宽12cm，厚5cm，现在把1000块这样的砖垒在一起，它能占多大的空间？
5．一个花坛，我们把它看作一个长方体，底面是边长为1.5米的正方形，四周用木条围成，高是0.8米。
(1)这个花坛占地面积是多少？
(2)做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米的木条？(木条间缝隙忽略不计)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(3)用泥土装满这个花坛，大约需要多少泥土？(木条厚度忽略不计)
6．下图是由一些小正方体积木堆成的。在这个基础上(原来的积木不动)要把它堆成一个正方体，至少还需要多少块小正方体积木？(不考虑完全被遮住的小正方体)
**参考答案**
1．1.96m 120dm 512cm m 2．9dm
3．60㎡ 240m 1.2d㎡ 0.6dm 3cm 36c㎡ 略 略
150 m 4.86㎡ 0.729m 37.5d㎡ 15.625d m
13.5c㎡ 3.375cm 3dm 27dm
4．1.5m
5．(1)1.5×1.5＝2.25(米) (2)1.5×4×0.8＝4.8(米)来源：www.bcjy123.com/tiku/
(3)1.5×1.5×0.8＝1.8(米)
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**2016届年九年级（下）月考数学试卷（3月份）**
**一、选择题**
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与 B．（﹣1）^2^与1 C．﹣1与（﹣1）^2^ D．2与\|﹣2\|
2．的结果是（ ）
A． B． C． D．2
3．已知地球距月球约384200千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）
A．3.84×10^4^千米 B．3.84×10^5^千米 C．3.84×10^6^千米 D．3.84×10^7^千米
4．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（3）班外出的学生共有42人
B．九（3）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为82
D．如果该校九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
5．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
**二、填空题**
7．函数的自变量x的取值范围是[ ]{.underline}．
8．计算﹣（﹣4）=[ ]{.underline}．
9．正多边形的中心角是36°，则这个正多边形的边数是[ ]{.underline}．
10．二次函数y=3x^2^的图象向下平移3个单位，得到的新的图象的解析式是[ ]{.underline}．
11．在一个不不透明的口袋中装有5个白球，若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，经过多次实验发现摸到白球的频率稳定在0.2附近，则黑球大约有[ ]{.underline}个．
12．不等式3﹣2x＞1的解集为[ ]{.underline}．
13．学校在周一举行升国旗仪式，一位同学站在离旗杆20米处（如图），随着国歌响起，五星红旗冉冉升起．当这位同学目视国旗的仰角为37°时（假设该同学的眼睛距离地面的高度为1.6米），国旗距地面约[ ]{.underline}米（结果精确到0.1米）．
（下列数据供选用：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cot37°≈）．
14．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x^2^﹣20x+21=0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是[ ]{.underline}．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G为重心，AB=12，那么CG=[ ]{.underline}．
16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：
红：54、44、37、36、35、34； 黄：48、35、38、36、43、40；
已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？[ ]{.underline}．（填"红"或"黄"）
17．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是[ ]{.underline}．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D是斜边AB的中点，△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，那么AA′的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
19．计算﹣（﹣2）^0^﹣\|﹣\|+2^﹣1^．
20．解方程：．
21．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．
22．货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
----------------- ----- ----- ---- ---- ----
行驶时间x（时） 0 1 2 3 4
余油量y（升） 150 120 90 60 30
----------------- ----- ----- ---- ---- ----
（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）
23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G．
（1）求证：EG•GF=CG•GD；
（2）连接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
24．如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x^2^+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
**2016届九年级（下）月考数学试卷（3月份）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题**
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与 B．（﹣1）^2^与1 C．﹣1与（﹣1）^2^ D．2与\|﹣2\|
【考点】有理数的乘方；相反数；绝对值．
【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．
【解答】解：A、2+=；
B、（﹣1）^2^+1=2；
C、﹣1+（﹣1）^2^=0；
D、2+\|﹣2\|=4．
故选C．
2．的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】二次根式的加减法．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式=2=．故选C．
3．已知地球距月球约384200千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）
A．3.84×10^4^千米 B．3.84×10^5^千米 C．3.84×10^6^千米 D．3.84×10^7^千米
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384200有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：384200=3.842×10^5^≈3.84×10^5^．
故选B．
4．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（3）班外出的学生共有42人
B．九（3）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为82
D．如果该校九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【分析】A、由乘车的人数除以占的百分比求出该班的学生数即可；
B、由该班的总人数减去乘车和骑车人数可得步行的学生数即可判断；
C、根据步行占的百分比，乘以360即可得到结果；
D、由骑车的占总人数比例乘以500即可得到结果．
【解答】解：A、由题意知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（3）班有20÷50%=40人，故此选项错误；
B、步行人数为：40﹣12﹣20=8人，故此选项正确；
C、步行学生所占的圆心角度数为×360°=72°，故此选项错误；
D、如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约为500×=150人，故此选项错误；
故选：B．
5．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】等腰梯形的性质．
【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积．
【解答】解：过D，C分别作高DE，CF，垂足分别为E，F
∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6
∴DC=EF=6，AE=BF=2
∴DE=2
∴梯形ABCD的面积=（6+10）×2÷2=16
故选：A．
6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．
【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC，
∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，
∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，
∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME，
∴∠EMF=90°．
故选B．
**二、填空题**
7．函数的自变量x的取值范围是[ x＞2 ]{.underline}．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
8．计算﹣（﹣4）=[ ]{.underline}[+2]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】\*平面向量．
【分析】直接利用平面向量的运算法则去括号合并求出答案．
【解答】解：﹣（﹣4）=﹣+2=+2．
故答案为： +2．
9．正多边形的中心角是36°，则这个正多边形的边数是[ 10 ]{.underline}．
【考点】正多边形和圆．
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：由题意可得：
边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
故答案为10．
10．二次函数y=3x^2^的图象向下平移3个单位，得到的新的图象的解析式是[ y=3x^2^﹣3 ]{.underline}．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次函数的系数可得新二次函数解析式．
【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），二次函数y=2x^2^的图象向下平移3个单位，
∴新抛物线的解析式为（0，﹣3），
∴二次函数y=3x^2^的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是 y=3x^2^﹣3．
故答案为：y=3x^2^﹣3．
11．在一个不不透明的口袋中装有5个白球，若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，经过多次实验发现摸到白球的频率稳定在0.2附近，则黑球大约有[ 20 ]{.underline}个．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】由摸到白球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．
【解答】解：设黑球个数为：x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到白色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
故黑球的个数为20个．
故答案为：20．
12．不等式3﹣2x＞1的解集为[ x＜1 ]{.underline}．
【考点】不等式的解集．
【分析】本题是关于x的不等式，移项合并，解得x的解集．
【解答】解：∵不等式3﹣2x＞1，
∴x＜1．
13．学校在周一举行升国旗仪式，一位同学站在离旗杆20米处（如图），随着国歌响起，五星红旗冉冉升起．当这位同学目视国旗的仰角为37°时（假设该同学的眼睛距离地面的高度为1.6米），国旗距地面约[ 16.6 ]{.underline}米（结果精确到0.1米）．
（下列数据供选用：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，cot37°≈）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】根据题意可得，国旗距地面的距离为眼睛距离地面的高度加上国旗距眼睛的垂直距离．根据37°角的正切函数解答．
【解答】解：国旗距地面约为20×tan37°+1.6≈16.6（米）．
14．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x^2^﹣20x+21=0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是[ 内含 ]{.underline}．
【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】由两圆的半径分别是方程4x^2^﹣20x+21=0的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为1.5，即可求得这两个圆的位置关系．
【解答】解：∵4x^2^﹣20x+21=0，
∴（2x﹣3）（2x﹣7）=0，
解得：x~1~=1.5，x~2~=3.5，
∴两圆的半径分别是1.5，3.5，
∵两圆的圆心距等于1.5，
∴这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为内含．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G为重心，AB=12，那么CG=[ 4 ]{.underline}．
【考点】三角形的重心．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，点G为重心，AB=12，则AB边上的中线是6，根据重心的性质即可求出CG．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AB=12，
∴AB边上的中线是6，
∵点G为重心，
∴CG=6×=4．
故填空答案：4．
16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：
红：54、44、37、36、35、34； 黄：48、35、38、36、43、40；
已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？[ 黄 ]{.underline}．（填"红"或"黄"）
【考点】方差．
【分析】先根据方差公式S^2^= \[（x~1~﹣）^2^+（x~2~﹣）^2^+...+（x~n~﹣）^2^\]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：红颜色的郁金香的方差是： \[（54﹣40）^2^+（44﹣40）^2^+（37﹣40）^2^+（36﹣40）^2^+（35﹣40）^2^+（34﹣40）^2^\]≈49.67，
黄颜色的郁金香的方差是： \[（48﹣40）^2^+（35﹣40）^2^+（38﹣40）^2^+（36﹣40）^2^+（43﹣40）^2^+（40﹣40）^2^\]≈29.67，
∵S^2^~红~＞S^2^~黄~，
∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；
故答案为：黄．
17．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P、Q两点，P点在Q点的下方．若点P的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是[ （0，2.5） ]{.underline}．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】先连接MP，过P作PA⊥y轴于A，再设M点的坐标是（0，b），且b＞0，由于PA⊥y轴，利用勾股定理易得AP^2^+AM^2^=MP^2^，即2^2^+（b﹣1）^2^=b^2^，解即可．
【解答】解：连接MP，过P作PA⊥y轴于A，
设M点的坐标是（0，b），且b＞0，
∵PA⊥y轴，
∴∠PAM=90°，
∴AP^2^+AM^2^=MP^2^，
∴2^2^+（b﹣1）^2^=b^2^，
解得b=2.5，
故答案是（0，2.5）．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D是斜边AB的中点，△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，那么AA′的长是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据勾股定理计算出BC=6，由点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB，则∠DCB=∠B，再根据旋转的性质得∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，则∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面积法可计算出CE=，AE=AC﹣CE=，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理计算出A′E=，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可计算出AA′．
【解答】解：设AC与A′B′的交点为E，如图，
∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
CE•A′B′=A′C•CB′，
∴CE=，
∴AE=AC﹣CE=8﹣=，
在Rt△A′CE中，A′E==，
在Rt△AA′E中，AA′===；
故答案为： ．
**三、解答题**
19．计算﹣（﹣2）^0^﹣\|﹣\|+2^﹣1^．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】先分母有理化，再根据零指数幂和负整数整数幂的意义计算．
【解答】解：原式=+1﹣1﹣2+
=﹣．
20．解方程：．
【考点】高次方程．
【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．
【解答】解：，
由②得，x﹣y=0，x﹣2y=0，
把这两个方程与①组成方程组得，
，，
解得，．
故方程组的解为：，．
21．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据正弦函数求得AE，根据等腰直角三角形的性质求得BE，根据正切函数求得EC，进而即可求得BC；
（2）连接AD，先根据已知求得三角形ADC是等腰三角形，进而根据垂径定理的推论求得AE经过圆心，连接OC，根据勾股定理即可求得圆的半径．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴AE=AB•sin45°=16×=16，
∴BE=AE=16，
∵tan∠C=2，
∴=2，
∴EC==8，
∴BC=BE+EC=16+8=24；
（2）连接AD，
∵点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC，
∴AE垂直平分DC，
∴AE经过圆心，
设圆O的半径为r，
∴OE=16﹣r，
在RT△OEC中，OE^2^+EC^2^=OC^2^，
即（16﹣r）^2^+8^2^=r^2^，
解得r=10，
∴圆O的半径为10．
22．货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：
----------------- ----- ----- ---- ---- ----
行驶时间x（时） 0 1 2 3 4
余油量y（升） 150 120 90 60 30
----------------- ----- ----- ---- ---- ----
（1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升）
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y=kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k和b值；
（2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量．
【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系，
设y=kx+b，（k≠0）
则，
解得：，
∴y=﹣30x+150．
（2）设在D处至少加W升油，根据题意得：
150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10
即：150﹣120﹣6+W≥118
解得W≥94，
答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．
23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G．
（1）求证：EG•GF=CG•GD；
（2）连接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定；菱形的性质．
【分析】（1）连接ED，首先证明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此条件再证明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．
（2）利用第一题的结论，可证明△DGE∽△FGC，再利用三角形内角外角关系即可得到∠ADC与∠FDC的关系．
【解答】（1）证明：连接ED，
∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，
∴∠ECB=∠ECD，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE；
∴∠EDC=∠EBC，
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；
∴∠EDC=∠EFC；
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；
∴=，∴EG•GF=CG•GD；
（2）解：∠ADC=2∠FDC．
证明如下：∵=，∠DGF=∠EGC，
∴△CGE∽△FGD；
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°﹣∠FDC，
∴∠ADC=180°﹣2∠DAC=180°﹣2（90°﹣∠FDC）=2∠FDC．
24．如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x^2^+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，构建等腰△AOC．则∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=；
（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=﹣x+5于Q．设点P（m，m^2^﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ=﹣m+5﹣（m^2^﹣6m+5）=﹣m^2^+5m．由S~△ABP~=S~△PQB~+S~△PQA~得到：，则易求m的值．注意点P位于第四象限．
【解答】解：（1）由直线y=﹣x+5得点B（0，5），A（5，0），
将A、B两点的坐标代入y=x^2^+bx+c，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x^2^﹣6x+5；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H．
由（1）知，抛物线的解析式为：y=x^2^﹣6x+5，则配方 得y=（x﹣3）^2^﹣4，
∴点C（3，﹣4），
∴CH=4，AH=2，AC=，
∴OC=5．
∵OA=5，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴sin∠OCA=；
（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=﹣x+5于Q．
设点P（m，m^2^﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ=﹣m+5﹣（m^2^﹣6m+5）=﹣m^2^+5m．
∵S~△ABP~=S~△PQB~+S~△PQA~=PQ•OA，
∴，
∴m~1~=1，m~2~=4，
∴P（1，0）（舍去），P（4，﹣3）．
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【分析】（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），易证△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定理可得BG=DG=BD=，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求出⊙O的半径长；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），运用三角函数、勾股定理及面积法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AD．然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG（用x的代数式表示），进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依次求出BD、DF、DE的长；②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依次求出BD、DF、DE的长．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），
根据垂径定理可得BG=DG．
∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF．
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD．
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC．
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=DC，
∴BD=DC=BC=5，
∴BG=DG=BD=．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG==，
∴OG=BG=×=，
∴OB===，
∴⊙O的半径长为；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），
在Rt△BAC中，
tan∠ABC==，
设AC=3k，则AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH===，
∴BH===，
∴HC=BC﹣BH=10﹣=．
∵AB⊥DE，
∴根据垂径定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG==，
∴OG=BG，
∴OB===BG=x，
∴BG=x，
∴BD=2BG=，
∴DH=BH﹣BD=﹣x，
∴y=AE=AD=
=
=（0＜x≤）；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH=，
∴BD=BH﹣DH=﹣=．
在Rt△BFD中，
tan∠FBD==，
∴BF=DF，
∴BD=
=
=DF=，
∴DF=，
∴DE=2DF=；
②若点D在H的右边，
则点D与点C重合，
∴BD=BC=10，
∴DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12．
综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为或12．
**2016年8月8日**
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**理念·素质·能力**\
\-\-\--评2008高考理综山东卷之特色
2008年高考理科综合能力测试试题（山东卷），依据《2008年普通高等学校招生全国统一考试（课程标准实验版）山东卷考试说明》（以下简称《考试说明》），不拘泥于教材，在继承中发展，在发展中创新。试题以能力测试为主导，密切联系考生生活实践和社会实际，综合考查各学科基础知识、基本能力和重要方法的同时，注重了对考生基本科学素养的考查。试题难度适中，区分度合理，无偏题、怪题和超纲题。试题符合素质教育的要求，体现普通高中新课程改革的理念。具有很好的选拔功能和积极的导向作用。具体特点如下：\
**物 理**\
1.立足基础，凸显选择的公平性\
今年的物理试题，在内容上精选考生终身学习必备的基础知识与技能。例如，第16题以考生熟知的经典静力学模型为背景，考查考生对受力分析、力的合成与分解、共点力平衡等基础知识和基本方法的掌握情况。第17、20题立足于考查考生对匀变速直线运动、加速度、平均速度、功、交流电、直流电、有效值等基本概念的理解能力。特别是36、37、38三个选考模块试题的命制更加体现了基础性和选择的公平性。首先，从题目所涉及的考点来看，三个题目都基本覆盖本模块的主要知识点，考查中学生应必备的热、光、原等基础知识；从设问的角度来看，试题均立足于对各模块基础知识和基本研究方法的考查；从题目设计的得分点来看，三道试题基本相同。这样就大大减少了因三个模块知识绝对难度不同而带来的不公平问题，同时，也给当前中学物理选考模块的教学指明了方向。\
2.贴近生活、贴近社会，利于提高考生的综合素养\
试题情境设计注重加强物理与生活、现代社会的联系，考查考生运用所学物理知识解决生活和社会中问题的能力。许多试题情境和设问角度，新颖独到，构思巧妙，不落俗套。如第24题，以设计"2008"奥运年轨道为情境，考查考生综合运用圆周和平抛运动等知识处理实际问题的能力，试题基础典型而又鲜活生动，与奥运主题相呼应，具有鲜明的时代特色。再如选考物理3－3模块的36题，以考生熟悉的喷雾器原理作为背景进行设计，考查考生对分子动理论的基本观点、理想气体、温度、内能、气体实验定律、热力学第一定律等基本概念和规律的理解力。试题贴近生活、贴近实际，体现了新课改的理念。试卷的第19题以抗震救灾中直升机空投救灾物资为背景材料进行命题，考查牛顿运动定律的应用。设问起点低、入手易，又不失灵活性与区分度，引导考生关注社会、关爱他人，提高社会责任感，使考生的情感、态度与价值观得到升华。可以说，通读理综卷物理试题，给人一种拾阶而上、清新鲜活之感。这样，既有利于纠正当前备考过程中的"题海战术"的倾向，也从一个侧面贯彻了我省素质教育大会中提出的"减轻学生过重学业负担，提高学生综合素养"的要求。\
3．关注当代科学技术发展的重要成果和新的科学思想\
关注与物理学有关的新鲜事物是培养学生分析综合能力、推理能力的好机会，也是新课程"来源于生活、服务于社会"理念的体现，更是终身学习的要求。试卷的第18题以我国2008年４月25日在西昌成功发射的数据中继卫星"天链一号01星"为背景，取材新颖，体现了时代性，对这个物理问题进行探究将有利于提高学生的民族自豪感。试卷的第23题以2007年诺贝尔物理学奖"巨磁电阻"的发现为背景引出磁阻效应，旨在引导考生关注当今世界科技最新成果，关注物理学的技术应用所产生的社会效益。这些题目的背景来源于物理学的发展前沿，要求考生关注发生在身边的事，关注科技的发展，关注物理学的发展对社会的影响，体现了新课程的理念。\
4．注重实验探究、创新和迁移能力的考查\
随着我省素质教育的推进和物理课程改革的深入，实验在中学物理教学中得到了更多的重视和加强，学生的探究能力、操作技能有了显著的提高。试卷的第23题全面考查考生的实验探究能力及创新和迁移能力。从表象上看，对考生来说是一个"生题"，不属于"知识内容表"中所列的11个必考实验，但仔细分析后会发现，此题与"测定金属的电阻率"、"描绘小电珠的伏安特性曲线"、"传感器的简单使用"这三个必考实验相关，涉及安培表的内接和外接、滑动变阻器的分压和限流接法、电路设计和仪器仪表的选择、利用图象进行数据处理等重要内容，是在原来实验基础上的重组与创新，旨在考查考生是否熟悉这些常规实验器材，是否真正动手做过这些实验。在此基础上，进一步考查考生是否能灵活的运用学过的理论、实验方法、仪器去处理、分析、研究某些未做过的实验，包括设计某些比较简单的实验等。\
试题选取实验设计、数据分析、得出结论三个环节设问，考生要经历提出问题、猜想假设、设计实验、分析与论证、评估等实验探究环节，考查考生的分析综合能力、实验与探究能力和应用数学处理物理问题的能力。试题第（3）步设问的设置注重开放性、探究性，体现对考生创新能力的考查，有利于激发考生创新意识，培养科学精神和科学态度。第(4)步设问则合理运用上述情境另辟蹊径，合理延伸，从图1变化到具有对称性的图3，要求考生开放作答，从知识与技能、过程与方法上深入考查考生的自主探究能力，进一步体现了新课程的要求。\
总之，试题以能力立意为主导，注重对考生五种基本能力的考查。命题者通过试卷中的三个减少、三个提高即：①适当减少文字量和设问个数，提高对思维层次和品质的要求；②适当减少繁杂运算量，提高对数理结合思想、物理模型构建能力的要求；③适当减少考生熟知信息、题型的给予，提高对运用所学知识处理新情境、新问题的要求，真正把"考能力"落到了实处。试题从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对考生进行了全面考查，进一步体现了新课程的理念。试题做到了稳中有变，变中有新，内容贴近时代，贴近生活，贴近考生实际，梯度合理，难度适中。既有利于高校选拔人才又有利于中学实施素质教育。\
**化学**\
1.试题以能力测试为主导，全面考查考生的化学基础知识、基本技能、重要的学科思想和方法的同时，着重考查考生的实验探究能力以及分析问题、解决问题的探究能力。\
试题中的第11、12、13题侧重于考查考生的化学基础知识，试题所考查的内容均为主干知识中的核心知识，考查重点突出。第14、15、28、29题以考生必须具有的基础知识为载体，着重考查了考生对核心知识的理解情况以及利用这些知识分析问题、解决问题的能力。第28题的第（4）小题以及第30题均为实验题，试题不仅考查了物质的提纯、溶液的配制、酸碱中和滴定以及常见气体的制备等实验基础知识，还通过仪器装置的选择考查了考生分析和解决实验问题的能力，通过实验设计等方式考查考生的实验探究能力。08年山东卷理综化学试题的这些特点，与《考试说明》中确定的命题指导思想是完全吻合的。这对于引导中学化学教学跳出"题海"，重视对主干知识的理解和应用具有积极的作用。整个化学试卷做到了对基础知识、基本技能和化学学科能力的综合考查。\
2.试题突出了化学知识与生产、生活和社会的联系，题目贴近考生实际，很好的体现了素质教育的要求和新课程改革的理念。\
试题力求以与生产、生活和社会有关的内容为情景，而且这些情景都真实、具体，为考生创设了一个学以致用的氛围，有效地考查了考生应用化学知识的能力，充分体现了化学学科知识的综合性和应用性。每一个小题的设计也都充分考虑了化学与生产、生活及社会的联系，做到了题目贴近生产、贴近生活、贴近考生实际。如28、29、30、31、32、33等题都以简洁的语言创设了问题赖以展开的情景，这些情景涉及生活实际、工业生产、科学事实、社会热点等方面，这些情景的创设极大地丰富了试题的内涵，赋予试题以积极的教育意义。\
试题还关注了考生的科学素养，特别是情感、态度、价值观的考查，如试题中的第9、10题。这些内容的出现是今年山东卷高考化学试题改革的有益尝试，体现了高考试题命制与素质教育和新课程改革在理念上的统一。\
3.试题注重在继承的基础上求发展，稳中有变，变中有新，导向作用明显。\
试题在继承了07年高考山东卷化学试题的结构和题型，试题所涉及的重要考点也具有明显的继承性，如电解、原电池、盖斯定律、平衡常数、阿伏加德罗常数、水解电离、化学实验等，但试题在命题形式和考查方式上实现了发展和创新，比如，盖斯定律与有机反应相结合，火炬燃料与原电池相结合，通过电离平衡、沉淀溶解平衡考查平衡常数的应用，水解问题的考查实现了从"知其然"到"知其所以然"的发展，化学实验能力考查继续得到加强的同时，增大了化学实验基础知识的覆盖面等等。这些发展与创新对今后中学化学教学起到了积极、正确的导向作用。在处理不同版本教材的问题上，继承了07年的做法，并进一步向"以'纲'（考试大纲和考试说明）为纲，不以本（教材）为本"的方向发展，逐步构建起化学学科所应有的、合理的知识体系与能力结构。另外，试题在科学性、规范性等方面也得了发展，试题语言更加简明、易懂、科学、规范，试题表述准确，无歧义。试题难度也根据08年考生的特点和基础教育教学的实际作了合理的调整，更有利于高校选拔新生和中学推进素质教育及新课程改革。\
4.选做题注重考查基础，反映选考模块的知识体系与学科特点，难度适宜，试题内容的考查层次相对等值，做到了对选考不同模块考生的公平。\
《化学与技术》体现了化学在技术中的应用；《物质结构与性质》突出了原子结构、分子结构和晶体结构等知识体系的考查，体现了物质结构与物质性质之间的关系；《有机化学基础》则侧重于对有机化合物从官能团、性质、反应类型到有机物间的转化等知识体系的考查。三个模块的题目虽源于基础，但也不乏有分析问题、解决问题能力的考查。三道选做题从做答时间和难度控制等方面综合考虑实现了等值。
**生物**\
1.立意鲜明，凸显能力考查\
2008年山东理综生物试题坚持能力立意，立意鲜明，试卷全面考查了《考试说明》规定的三项基本能力：获取与处理信息的能力、理解与综合运用能力、实验与探究能力。整卷以能力考查为着眼点，关注考生的自主学习，努力创设科学探究的情境，实现了能力考查与题型功能的有机统一。\
理解与综合运用能力是科学素养最根本的核心要素，这种能力的考查在试卷中有突出体现，特别是体现在创新型题目中。例如选择题的第2、4、6、8题，这些试题均以科技新发现为背景，以简单的解说给考生展示"新材料、新概念、新规律"等，要求考生从试题的简单展示中透彻理解其含义，进一步使用这些"新"知识来解决给定的新问题。这些试题既考查了考生的理解能力，也考查了考生获取与处理信息的能力。试卷中的第27题，则以世界人口日为切入点，以人口问题为背景材料，以种群数量变动为主干知识，以文字和图示方式给予考生一定的信息，考查了考生分析和解决问题的能力以及理论联系实际、综合运用知识的能力。\
实验与探究能力是生物科学素养中另一核心要素。2008年的生物试题进一步加强了实验性、探究性、以考查能力为主题型的设计。例如，第1题是课本实验的变相考查，所涉及的实验问题情境在教材中都能找到其原型，但又不是教材中所列实验的简单重复，问题设计灵活新颖，注重考查考生对所学知识的迁移能力。第6题以细胞融合实验为呈现形式，并提供必要的信息材料，以考查考生的分析和探究能力。第8题以及第26题的第（4）问都是从实验出发设置情景或设问，试题内容的描述也是紧扣实验操作和实验现象，既体现了生物学科的特点，又营造了研究性氛围，使考生从具体实验操作的情境出发，探究和解答遇到的生物学问题，将探究能力的考查贯穿其中。\
2.突出主干，彰显素质教育\
2008年的生物试题注重考查生物学科的基础知识和基本技能。必做题仅10个题，但却涉及了细胞分子组成、细胞的结构、细胞的代谢、细胞的增殖、细胞的分化衰老和凋亡、遗传的细胞基础、遗传的分子基础、遗传的基本规律、生物的变异、生物的进化、植物的激素调节、人体的内环境与稳态、种群和群落、生态系统、生态环境的保护等内容，基本涵盖了《考试说明》中的主干知识。特别是选择题，所设置的选项有较为广泛的情境，一个题目中涉及到不同知识内容或同一知识点的不同角度，有效地检查了考生对主干知识与核心内容的掌握程度以及思维的敏捷性。在选考的《现代生物科技专题》模块中，着重考查了基因工程和克隆技术。在《生物技术实践》模块中，着重考查了微生物的利用、蛋白质的提取和分离等基础知识。\
整套试题的必做部分覆盖了《考试说明》划分的17个知识内容中的15个知识内容，并且各部分内容所占比例合理，重点突出，全卷无偏题、怪题和超纲题，难度与区分度的梯度层次平稳，对进一步推进中学素质教育和课程改革起到了积极的导向作用。\
3.观念创新，紧扣课改目标\
2008年生物试题恰当地渗透了"倡导探究性学习、提高生物科学素养、注重与现实生活的联系"等新课程理念，体现了新课程的"知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观"的三维目标。引导考生在现实生活的背景中学习生物学知识，倡导在解决实际问题的过程中深入理解生物学概念，并能运用生物学的原理和方法解决自然界和社会生活中相关问题，理解国家有关政策的理论依据。\
例如，第3题以"我国南极科考队于2008年1月12日成功登上南极冰盖之巅"为情境材料，旨在考查人体体温调节机制和培养考生的爱国主义情感；第27题关于目前人口剧增、环境污染以及世界性粮食紧张状况的情境设置，要求考生思考人口、环境与资源问题，从而考查了考生的社会责任心，体现了新课程"情感态度与价值观"这一课程目标。\
再如，第26题第4问，以植物的两对相对性状及其控制基因为背景材料，以基因与蕃茄株高的关系为主题，要求考生深入探究，选取实验设计、预期结果、实验结论三个环节设问，考查了考生的创新性思维、创造性解决问题的能力及从个别生物学现象归纳总结出普遍性生物学规律的能力。本题不仅较好地体现了能力立意和能力考查的宗旨，而且较好地体现了新课程"知识与技能、过程与方法"的课程目标。第27题以生态学理论为基础，始终贯穿人口问题这一时代热点，反映出试题的基础性、时代性、原创性特点，既考查了种群的数量变化，生态系统中能量流动的基本规律等生态学基础知识，又考查了人口增长对环境的影响等有关应用生态学的内容。第3问"若将动物性与植物性食物的比例由1: 1调整为1: 4，地球可供养的人口数量是原来的?? 倍"，这一设问实际上也体现出实用性和创新性思维特征，有利于激发考生创新意识和创造情感，培养科学精神和科学态度，是对新课程三维目标的崭新的考查方式。\
4.情景新颖，设计巧妙有序\
2008年山东省高考生物试题可谓取材考究，情境新颖，立意独到。试题的情境和立意大多从生物学最新发展现状出发，体现了学科的时代性。素材来源广泛，表达形式多种多样，设问角度新颖，充分体现了高起点低落点的特点。例如，选择题中的第4题结合"科学家将小鼠和人已分化的体细胞成功地转变成了类胚胎干细胞"这一最新科技成果，考查了分化的体细胞和类胚胎干细胞的特征。第26题最后一问实际上是让考生探究基因的功能，反映出我们目前正处在功能基因组研究时代。第27题结合当前世界人口和我国人口的增长现状，考查了有关生态学问题。选做题第34和35题结合当前的抗菌蛋白和耐盐转基因研究分别考查了蛋白分离、细菌培养、基因工程等生物学问题。这些题目的设置都具有较强的时代感，使考生深切体会到知识与技能的掌握要与学科发展紧密结合。\
问题设计有明确的主线，设问层次分明，巧妙有序，层层递进，这也是2008年生物试题的一大特色。例如：\
第5题的设问是以生物进化为主线，从基因突变（生物进化的原材料）、基因频率改变的原因、适应环境的可遗传变异的积累到群体遗传学的机理，逐层深化。\
第26题是以植物的两对相对性状及其控制基因为背景材料，从个体－细胞－染色体---基因---基因的功能等几个层面全面考查考生的遗传学基本知识与基本能力，整个试题沿着遗传学发展的纵轴线，形成了一个有机的整体和知识网络结构，认知层次也是由表及里、从个体到细胞再到分子逐渐深入，试题难度也相应地按梯度设置，层层递进。第一问作为入门题，考查考生对孟德尔遗传规律的掌握，重在考查对基本知识的理解和掌握，相对简单。第二问及后面问题的设置，难度依次增大，主要考查考生在具体情境下分析问题和解决问题的能力。最后一问设置了探究性题目，考查考生实验与探究能力。总的来看，第26题的设计首先让考生直接用孟德尔遗传规律解决基本的生物学问题，然后让考生将知识迁移并灵活应用来分析、解决一些深层次问题，最后让考生设计实验，通过探究对生物学假设进行验证，并对得出的结论上升到理论水平的高度。整个题目的难度梯级增加，整体的能力要求可以看作是"学习-应用-创造"三步曲，是对考生在遗传学乃至整个生物学方面的能力要求的高度浓缩。\
第27题的设计思路是以种群的数量变化和生态系统中能量流动的基本规律为知识主干，考查内容涉及到了人口增长的方式，人口过快增长对环境的影响，如何缓解人口压力，如何有效控制人口过快增长，国家人口政策的理论依据等，按照由基础到应用，由易到难，逐步设问，逐步加深的方式设计。该设计既符合人们的认知规律，又体现了学以致用的思想，还使不同程度的考生各有所得。\
总之，作为新课程实施以来的第二次高考，2008年理科综合能力测试试题（山东卷）凸显了稳定、新颖、基础、能力和创新等特点，实现了在平稳过渡中的新突破，科学、公正地检验了新课改的成果，将对我省今后的中学教学和进一步推进素质教育起到良好的导向作用。
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 分草莓**
> 1．用竖式计算下面各题。
>
> 37÷5＝ 44÷9＝ 14÷8＝
>
> 53÷7＝ 30÷4＝ 22÷6＝
>
> 2．列式计算。
>
> （1）61除以7，商几余几？
>
> （2）被除数是50，除数是9，商是几，余数是几？\[来源:Zxxk.Com\]
>
> （3）除数是3，商是8，余数是2，被除数是多少？
>
> 3．填空题。
>
> （1）（ ）÷（ ）＝（ ）......6 除数最小是（ ）。
>
> （2）（ ）÷5＝（ ）......（ ） 余数可能是（ ）。
>
> （3）有30本课外书，至少要拿出（ ）本，剩下的正好平均分给4个班。
>
> （4）（ ）÷4＝9......2
>
> （5）27÷（ ）＝3......3
>
> 4．选择题。
>
> （1）在18、16、36、20、32、24、54中，被4除有余数的是（ ）；被6除有余数的是（ ）。
>
> （2）有45条金鱼，要放到鱼缸里，每个鱼缸最多只能放8条，至少需要（ ）个鱼缸。
>
> A、5个 B、6个 C、5（个）......5（条）\[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> （3）每套学生装用布3米，有10米布，可以做（ ）套这样的学生装。
>
> A、3套 B、4套
>
> 5．应用问题。
>
> （1）有一些跳绳，平均分给6个班或平均分给7个班，都剩下3根，这些跳绳至少有多少根？
>
> （2）一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、紫，红、黄、蓝、绿、紫......的顺序依次装配，第47个灯泡是什么颜色？\[来源:学科网\]
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
**参考答案**
> 1．用竖式计算下面各题．
>
> 37÷5＝7......2 44÷9＝4......8
>
> 14÷8＝1......6 53÷7＝7......4
>
> 30÷4＝7......2 22÷6＝3......4
>
> 2．列式计算。
>
> （1）61÷7＝8......5
>
> （2）50÷9＝5......5
>
> （3）8×3＋2＝26
>
> 3．填空题。
>
> （1）除数最小是（7）。
>
> （2）余数可能是（1至4各数）。
>
> （3）至少要拿出（2）本。\[来源:Z。xx。k.Com\]
>
> （4）被除数是38（商乘除数的积加上余数就等于被除数）。
>
> （5）除数是8（用被除数减去余数的差除以商3就等于除数）。
>
> 4．选择题。
>
> （1）被4除有余数的是（18、54）
>
> 被6除有余数的是（16、20、32）
>
> （2）B
>
> （3）A
>
> 5．应用问题。
>
> （1）这些跳绳至少有45根。
>
> 分析：由题意可知，这些跳绳平均分给6个班或平均分给7个班，都剩3根，说明这些跳绳的根数既是6的倍数加3，又是7的倍数加3，也就是6和7的公倍数加3．题目中问至少有多少根，就应该用6和7的最小公倍数加3，即6×7＋3＝45。
>
> （2）第47个灯泡是黄色。
>
> 分析：由题意可知，把5个不同颜色的灯泡看成一组，先求前47个灯泡包含有几个这样的一组，如果没有余数，则第47个灯泡是紫色，如果有余数，则按红、黄、蓝、绿、紫的顺序排列。即：
>
> 47÷5＝9......2 （红、黄）
>
> 答：第47个灯泡是黄色。
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**2017---2018学年度第一学期高三十模考试**
**数学试卷（理科）**
**一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）**
1\. 设集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】A={x\|y=log~2~（2﹣x）}={x\|x＜2}，
B={x\|x^2^﹣3x+2＜0}={x\|1＜x＜2}，
则∁~A~B={x\|x≤1}，
故选：B．
2\. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】设z=x+yi，
，
∴
∴在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D．
3\. 已知中，，，则的值是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】∵，\
∴化为．可得：B为锐角，C为钝角．\
∴=- = = ≤=
，当且仅当tanB=时取等号．\
∴tanA的最大值是
故选A
点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.
4\. 设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意，s=，
∴m==e，则A={（x，y）\|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）\|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）\|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，
任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，
如图所示：
计算阴影部分的面积为
S~阴影~==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．
所求的概率为P=，
故选：C．
5\. 函数的图象大致是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】函数y=是偶函数，排除B．
当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，
当x＞0时，y=x^3^lgx，y′=3x^2^lgx+x^2^lge，可知x=是函数的一个极值点，排除C．
故选：D．
6\. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为，，所以 ，故选D．
7\. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题易知：，∴
故选：A
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其"桥梁"作用，来比较大小．学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...学\*科\*网\...
8\. 执行如下程序框图，则输出结果为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意得：
则输出的S=
 .
故选：C
9\. 如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，
则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且，
即=可得e==．
故答案为：．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
10\. 设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
11\. 已知函数，其中为函数的导数，求 （ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意易得：
∴函数的图象关于点中心对称，
∴
由可得
∴为奇函数，
∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，
∴
∴ 
故选：A
12\. 已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的"绝对曲线".下面给出的四条曲线方程：
①；②；③；④.
其中直线的"绝对曲线"的条数为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．
对于①，y=﹣2\|x﹣1\|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2\|x﹣1\|有两个交点，不是直线l的"绝对曲线"；
对于②，（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1是以A为圆心，半径为1的圆，
所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于\|a\|．
所以圆（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1是直线l的"绝对曲线"；
对于③，将y=ax+1﹣a代入x^2^+3y^2^=4，
得（3a^2^+1）x^2^+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）^2^﹣4=0．
x~1~+x~2~=, x~1~x~2~=．
若直线l被椭圆截得的线段长度是\|a\|，
则
化简得．
令f（a）=．
f（1），f（3）．
所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程有根．
而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．
故曲线x^2^+3y^2^=4是直线的"绝对曲线"．
对于④将y=ax+1﹣a代入.
把直线y=ax+1-a代入y^2^=4x得a^2^x^2^+（2a-2a^2^-4）x+（1-a）^2^=0，\
∴x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=．\
若直线l被椭圆截得的弦长是\|a\|，
则a^2^=（1+a^2^）\[（x~1~+x~2~）^2^-4x~1~x~2~\]=（1+a^2^）
化为a^6^-16a^2^+16a-16=0，\
令f（a）=a^6^-16a^2^+16a-16，而f（1）=-15\<0，f（2）=16\>0．\
∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是"绝对曲线"．\
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．\
故选：C．
点睛：本题以新定义"绝对曲线"为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.
**二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）**
13\. 已知实数，满足，且，则实数的取值范围\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】如图，作出可行域：
，
表示可行域上的动点与定点连线的斜率，
显然最大值为，最小值为
∴
故答案为：
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14\. 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】可设\|PF~1~\|=m，\|PF~2~\|=n，\|F~1~F~2~\|=2c，
由I为△PF~1~F~2~的内心，可得
=2，
则\|QF~1~\|=m，
若\|F~1~Q\|=\|PF~2~\|=m，
又PQ为∠F~1~PF~2~的角平分线，
可得，
则n=4c﹣m，
又m﹣n=2a，n=m，
解得m=4a，n=2a，
=2，即c=a，
则e==．
故答案为：．
15\. 若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由可得：
∴
在方向上投影为
故最大值为：
16\. 观察下列各式：
；
；
；
；
> ......
>
> 若按上述规律展开后，发现等式右边含有""这个数，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
>
> 【答案】
>
> 【解析】由题意可得第n个式子的左边是n^3^，右边是n个连续奇数的和，
设第n个式子的第一个数为a~n~，则有a~2~﹣a~1~=3﹣1=2，
a~3~﹣a~2~=7﹣3=4，...a~n~﹣a~n﹣1~=2（n﹣1），
以上（n﹣1）个式子相加可得a~n~﹣a~1~=，
故a~n~=n^2^﹣n+1，可得a~45~=1981，a~46~=2071，
故可知2017在第45个式子，
故答案为：45
**三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）**
17\. 已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)  (2) 
【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.
试题解析：
（1）由题意可得即
又因为，所以所以.
（2）因为，所以
 .
因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.
又（当且仅当时取等号）.
所以，即实数的取值范围是.
18\. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.
（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.
（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）
【答案】(1)240人(2)见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；
（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；
（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．
试题解析：
（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.
∴可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.
（2）学习时间不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，，，，.
由题意可得 ；
 ；
 ；
 ；
 .
所以随机变量的分布列为
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
     
     
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
∴均值  .
（3）由折线图可得.
19\. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.
（1）试判定点的位置，并加以证明；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1) 为的中点，见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）由平面得到，结合为的中点，即可得到答案；
（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．
试题解析：
（1）为的中点，证明如下：
连接，因为平面，平面平面，平面，所以，又为的中点，所以为的中点.
（2）连接，因为四边形为矩形，所以.因为，所以.同理，得，所以平面，以为原点，为轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
易知，，，，，，
则，.
显然，是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，
则，即，取，
则，
所以  ，
所以二面角的余弦值为.
点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设*m*，*n*分别为平面*α*，*β*的法向量，则二面角*θ*与\<*m*，*n*\>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
20\. 在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.
①求四边形的面积的最小值；
②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）①的最小值的，②直线恒过定点.
【解析】试题分析：（1）由可得为的重心，设，则，再由，可得为的外心，在轴上，再由∥，可得，结合即可求得顶点的轨迹的方程；（2）恰为的右焦点．当直线，的斜率存在且不为0时，设直线的方程为．联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的纵坐标得到和与积．①根据焦半径公式得、，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形面积的最小值；②根据中点坐标公式得的坐标，得到直线的方程，化简整理令解得值，可得直线恒过定点；当直线，有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线即为轴，过点（.
试题解析：（1）∵
∴由①知
∴为的重心
设，则，由②知是的外心
∴在轴上由③知，由，得，化简整理得：．
（2）解：恰为的右焦点，
①当直线的斜率存且不为0时，设直线的方程为，
由，
设则，
①根据焦半径公式得，
又，
所以，同理，
则，
当，即时取等号．
②根据中点坐标公式得，同理可求得，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为，
整理化简得，
令，解得
∴直线恒过定点，
②当直线有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线即为轴，过点，
综上，的最小值的，直线恒过定点．
点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.
21\. 已知函数.
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知，，均为正实数，且，求证 .
【答案】(1)  (2)  (3)见解析
【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，构造=（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；
（3）由（2）知，当a=﹣1时，在（0，1）上单调递增，证明 ，即 从而可得结论．
试题解析：
（1）当时，则，
则，
∴函数的图象在时的切线方程为.
（2）∵函数在上单调递增，∴在上无解，
当时，在上无解满足，
当时，只需，∴①
，
∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，
即在上恒成立.
设  ，
∵，∴，则在上单调递增，
∴在上的值域为.
∴在上恒成立，则②
综合①②得实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
于是当时， ，
当时， ，
∴ ，即 ，
同理有 ， ，
三式相加得  .
**请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. \[选修4-4：坐标系与参数方程\]
在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.
【答案】(1)   (2) 
【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C~1~，C~2~的直角坐标方程即可；（2）求出C~3~的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．
试题解析：
（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.
曲线：，∴，故的普通方程为.
（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为   .
当时，有最小值，所以的最小值为.
23\. \[选修4-5：不等式选讲\]
已知.
（1）当时，解不等式.
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)  (2) 
【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；
（2）不等式对恒成立，即求的最小值，结合函数的单调性即可.
试题解析：
（1）当时，等式，即，
等价于或或，
解得或，
所以原不等式的解集为；
（2）设 ，则，
则在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取最小值且最小值为，
∴，解得，∴实数的取值范围为.
点睛：\|*x*－*a*\|＋\|*x*－*b*\|≥*c*(或≤*c*)(*c*＞0)，\|*x*－*a*\|－\|*x*－*b*\|≤*c*(或≤*c*)(*c*＞0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
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**高考数学选择题专项训练（五）**
1、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2、函数y=的值域是（ ）。
（A）{－2, 4} （B）{－2, 0, 4}
（C）{－2, 0, 2, 4} （D）{－4, －2, 0, 4}
3、若正棱锥的底面边长与侧棱相等，则该棱锥一定不是（ ）。
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥
4、四边形ABCD是边长为1的正方形，E、F为BC、CD的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，这个四面体的体积为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
5、一束光线从点A(－1, 1)出发经x轴反射，到达圆C：
(x－2)^2^＋(y－3)^2^=1上一点的最短路程是（ ）。
（A）4 （B）5 （C）3－1 （D）2
6、函数f (x)=\|x\|－\|x－3\|在定义域内（ ）。
（A）最大值为3，最小值为－3 （B）最大值为4，最小值为0
（C）最大值为1，最小值为1 （D）最大值为3，最小值为－1
7、如果sinαsinβ=1，那么cos(α＋β)等于（ ）。
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）±1
8、若双曲线x^2^－y^2^=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离为，
则a＋b的值是（ ）。
（A）－ （B） （C）－或 （D）2或－2
9、若全集I＝R，A＝{x\| ≤0}，B＝{x\| lg(x^2^－2)\>lgx}，则
A∩＝（ ）。
（A）{2} （B）{－1} （C）{x\| x≤－1} （D）
10、已知函数f (x)=ax－(b＋2) (a\>0, a≠1)的图象不在二、四象限，
则实数a, b的取值范围是（ ）。
A. a\>1, b=－1 （B）0\<a\<1, b=－1
> （C）a\>1, b=－2 （D）0\<a\<1, b=－2
11、设函数f (x)=(x∈R, x≠－，)则f -1(2)=（ ）。
（A） － （B） （C） （D）－
12、函数y=sinxcosx＋cos2x－的最小正周期等于（ ）。
（A）π （B）2π （C） （D）
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **D** **B** **D** **B** **A** **A** **A** **B** **B** **A** **A** **A**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------- -------- --------
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**小学数学总复习专题训练（二）**
1、李叔叔于2000年1月1日在银行存了活期储蓄1000元，如果每月的利率是0.165％，存款三个月时，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元?
2、叔叔今年存入银行10万元，定期二年，年利率4.50% ，二年后到期，扣除利息税5% ，得到的利息能买一台6000元的电脑吗？
3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在400-600元的，每月党费应缴纳工资总额的0.5%，在600-800元的应缴纳1%，在800-1000元的，应缴纳1.5%，在1000以上的应缴纳2%，小华妈妈的工资为2400元，她这一年应缴纳党费多少元？
4、填空：
八折=（ ）% 九五折=（ ）%
40% =（ ）折 75% = （ ）折
5、只列式不计算。
①买一件T恤衫，原价80元，如果打八折出售是多少元？
②有一种型号的手机，原价1000元，现价900元，打几折出售？
> ③老师在商店里花了56元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤原价多少元？
6、算出折数。
> ⑴在日常生活中打"折"现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分别打几折吗？每人可任选一种计算一下。
①食品原价4元，现价3元。
②食品原价5元，现价4元。
③食品原价10元，现价7元。
7、常熟新开了一家永乐生活电器，"十·一"节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的MP3，原价280元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？
①现价多少元？
②现价比原价便宜了多少元？
改编：（1）有一种款式的MP3，打三折出售是84元，原价多少元？
（2）有一种款式的MP3，打三折出售比原价便宜了196元，原价多少元？
> 8、一种矿泉水，零售每瓶卖2元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展"买四赠一"大酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。)
>
> 9、**一辆自行车200元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车花了多少钱？**
**10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了12元，小红买这两本书便宜了多少钱。**
**参考答案：**
1、李叔叔于2000年1月1日在银行存了活期储蓄1000元，如果每月的利率是0.165％，存款三个月时，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元?
税后利息：1000 × 0.165％ × 3 ×（1 - 5％）= 4.7025（元）≈ 4.70（元）
本金和利息：1000 + 4.70 = 1004.70（元）
2、叔叔今年存入银行10万元，定期二年，年利率4.50% ，二年后到期，扣除利息税5% ，得到的利息能买一台6000元的电脑吗？
税后利息：100000 × 4.50％ × 2 ×（1 - 5％）= 8550（元）
8550 \> 6000
答：得到的利息能买一台6000元的电脑。
3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员，按党章规定，工资收入在400-600元的，每月党费应缴纳工资总额的0.5%，在600-800元的应缴纳1%，在800-1000元的，应缴纳1.5%，在1000以上的应缴纳2%，小华妈妈的工资为2400元，她这一年应缴纳党费多少元？
2400 × 2％ × 12 = 576（元）
4、填空：
八折=（ 80 ）% 九五折=（ 95 ）%
40% =（ 四 ）折 75% = （ 七五 ）折
5、只列式不计算。
①买一件T恤衫，原价80元，如果打八折出售是多少元？ 80 × 80％
②有一种型号的手机，原价1000元，现价900元，打几折出售？ 900 ÷ 1000
> ③老师在商店里花了56元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤原价多少元？ 56 ÷ 70％
6、算出折数。
> ⑴在日常生活中打"折"现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销，你能算出这些美食分别打几折吗？每人可任选一种计算一下。
①食品原价4元，现价3元。3 ÷ 4 = 0.75 = 75％ = 七五折
②食品原价5元，现价4元。4 ÷ 5 = 0.8 = 80％ = 八折
③食品原价10元，现价7元。7 ÷ 10 = 0.7 = 70％ = 七折
7、常熟新开了一家永乐生活电器，"十•一"节日期间，那里的商品降价幅度很大。有一种款式的MP3，原价280元，现在打三折出售。根据这个信息，你想计算什么？
①现价多少元？ 三折 = 30％ 280 × 30％ = 84（元）
②现价比原价便宜了多少元？ 280 -- 84 = 196（元）
改编：（1）有一种款式的MP3，打三折出售是84元，原价多少元？
84 ÷ 30％ = 280（元）
（2）有一种款式的MP3，打三折出售比原价便宜了196元，原价多少元？
196 ÷ （1 - 30％）= 280（元）
8、一种矿泉水，零售每瓶卖2元，生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱，特开展"买四赠一"大酬宾活动，生产厂家的做法优惠了百分之几？ (注意解题策略的多样性。)
4 ÷ （4 + 1） = 0.8 = 80％ 1 - 80％ = 20％
9、一辆自行车200元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车花了多少钱？
200 × 80％ × 90％ = 144（元）
10、小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了12元，小红买这两本书便宜了多少钱。
12 ÷ 2 ÷ 80％ = 7.5（元） 7.5 × 2 -- 12 = 3（元）
或 12 ÷ 80％ -- 12 = 3（元）
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试1（附答案）**
一、填空题。（共23分）
1、在下面的图形中，按分数涂上颜色。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、用分数表示下面每个图里的涂色部分。
3、把这块月饼平均分成四块，每块是它的（ ）分之一，写作（ ）。
4、一块菜地的种了白菜，其余的种萝卜，萝卜占这块地的。
> 5、一张正方形的纸对折一次，每份是这纸的，对折3次每份是这张纸的。
>
> 6、"一箱苹果吃去了"，这是把一箱苹果平均分成了（ ）份，吃去的苹果有这样的（ ）份，由此可以推出剩下这箱苹果的。
二、判断题。（对的在括号打"√"，错的打"×"。）（共4分）
1、用一张正方形纸折出，只有一种折法。 （ ）
2、6枝铅笔的和4枝铅笔的相等。
3、一张纸对折的次数越多，一份就越小。
4、分母相同表示平均分的份数相同。
三、看图列算式。（共8分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、比一比。（在○里填上""""或"="。）（共9分）
1
五、计算下列各题。（共8分）
－ = ＋ = － = ＋ =
＋ = － = 1－ = － =
六、脱式计算。（共8分）
36×30＋129 78＋14×6
864－12×24 540÷9÷6
七、填上合适的单位名称。（共10分）
1、数学课本的封面的面积约6 [ ]{.underline} 。
2、教室地面的面积约60 [ ]{.underline} 。
3、火柴盒的上面面积约18 [ ]{.underline} 。
4、一块农田约2 [ ]{.underline} 。
八、解决问题。（共30分）
1、一块巧克力，小东吃了，小红吃了，一共吃了几分之几？还剩几分之几？
2、一片果园中，苹果树占，桃树占，其余的是山楂树，山楂树占几分之几？
3、你知道小强的爸爸、妈妈的体重各是多少千克吗？
4、
一枝铅笔多少元？
> 5、三（1）班50名同学去公园划船，小船每条15元，限坐5人，大船每条30元，限坐12人。
（1）你能设计出几种方案？
（2）哪种方案最合理？为什么？
**第六单元综合提优训练的部分答案：**
一、2、
3、四
4、
5、
6、4 3
二、1、× \[提示\] 用一张正方形的纸折出，有无数种折法，只要折它的折痕通过中心即可。
> 2、× \[提示\] 6枝铅笔的是3枝，4枝铅笔的是2枝，可以6枝铅笔的与4枝铅笔的不相等。
>
> 3、√ 4、√
三、＋ = ＋ = ＋ = 1－ =
四、﹤ ﹥ ﹥，﹤ ﹤ =，﹤ = ﹤
五、
六、1209 162 576 10
七、1、平方分米
2、平方米
3、平方厘米
4、公顷
八、1、＋ = 1－ =
2、1－－ =
3、爸爸：90千克 妈妈：52千克
4、10－9.8 = 0.2（元）
5、答案不惟一，只要合理即可。
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第一单元《生活中的数------数豆子》同步检测1（附答案）**
1. 填一填。
> 
>
> （ ）个十和（ ）个一是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 
>
> （ ）个十是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、谁和谁正在通话？（连线）
三、我会填。
1、个位上是3，十位上是6，这个数是（ ）。
2、69里面有（ ）个十和（ ）个一。
3、78中的7在（ ）位上，表示7个（ ）；8在（ ）位上，表示8个（ ）。
4、100里面有（ ）个十，9个十是（ ）。
四、看图写数。
五、看数画珠子。
六、按要求写数。
1、写出4个十位比个位大2的两位数。
[ ]{.underline}
2、写出4个个位上是0，十位上是双数的两位数。
[ ]{.underline}
七、把能组成的两位数都写出来。来源：www.bcjy123.com/tiku/
八、右图是顺序叠在一起的，分别写着1至99各数的卡片。
1、正中间的一张是第（ ）张。
2、如果把正中间的一张抽出来放到最后，正中间的一张上的数是（ ）。
| 1 | |
**小升初知识点复习专项练习-数的运算10乘与除的互逆关系**
**一．选择题（共10小题）**
1．被除数+除数×商=258，则被除数是（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
A． 129 B． 200 C． 250
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
3．如果△是○的32倍，下面算式对的是（ ）
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
A． △+32=○ B． ○+32=△ C． ○×32=△
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
4．□×2=606，□里应填（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
A． 330 B． 303 C． 300
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
5．把除数45错写成54，结果得到的商是30，正确的结果应该是（ ）
---- ----- ---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
A． 36 B． 25 C． 63 D． 39
---- ----- ---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
6．如果△×□=○，那么下面的算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． ○×□=△ B． △×○=□ C． ○÷□=△
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
7．除数和商都是12，被除数是（ ）
---- ----- ----- ----- --- ----- ----
A． 144 B． 1 C． 12
---- ----- ----- ----- --- ----- ----
8．如果□是○的15倍，下面哪个算式是对的？（ ）
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
A． ○÷15=□ B． ○×15=□ C． □×15=○
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
9．如果○÷△=□，那么下列算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． ○×□=△ B． ○×△=□ C． ○÷□=△
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
10．已知○÷△=□，下列算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． △÷○=□ B． △×□=○ C． ○×△=□
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
**二．填空题（共10小题）**
11．（•成都）在下面式子中的横线里填上合适的运算符号，使等式成立．
14.7[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}\[（1.6+1.9）×1.4\]=3．
12．=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×3=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×4=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}×6．
14．若被除数、除数与商的和是251，商是5，则被除数是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，除数是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
15．4÷[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=0.8．
16．两数相除的商是6，而且没有余数．如果把被除数、除数和商加起来，和为55，那么被除数是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
17．如果a÷b=c，那么=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，a﹣bc=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
18．被除数÷除数÷商=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
19．一道计算题的最后一步应除以10，但一个粗心的学生在最后一步却错误地乘以10了，他得出的答案是500，原题正确答案应是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
20．小芳在算一道题时误把"除以3"看成"乘以3"，结果算出答案为，这道题的正确答案应是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
**三．解答题（共10小题）**
21．计算两位数乘法时，把第二个乘数37看成73，结果比原来多了864，请求这道题的正确结果．
22．如果6+\[0.5+（2﹣△）×9\]÷4=22，求△表示的数．
24．a、b、c是不为0的数，且a×1.4=b×=c÷，则a、b、c中最小的数是b．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
25．小马虎做加法，把个位上的6看成9，把十位上的8看成3，算出的结果是214，正确的结果是多少？
26．填一填．（括号里填除0以外的整数）
（1）28×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=
（2）2656÷[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=
（3）45×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=
（4）870﹣[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=
（5）275+[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=
27．从表格右边选择合适的数填入左边的横线上．
+--------------------------------------------------+-----------+
| [ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}÷（2×21）=15 | 36 14 18 |
| | |
| | 10 63 630 |
+--------------------------------------------------+-----------+
| 160+60×[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}=1000 | |
+--------------------------------------------------+-----------+
28．75÷5=15
15×5=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}
49÷4=12...1
12×4+1=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
29．求□中的数
□+267=384
1800÷□=72
□×23=1058．
30．
------------- ---------- ---------
1275﹣□=459 □÷35=108 425÷□=5
------------- ---------- ---------
**小升初知识点复习专项练习-数的运算10乘与除的互逆关系**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．被除数+除数×商=258，则被除数是（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
A． 129 B． 200 C． 250
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据被除数+除数×商=258，因除数×商=被除数，可知：被除数=258×，计算出得数即可选择． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为被除数+除数×商=258，除数×商=被除数， |
| | |
| | 所以被除数是：258×=129； |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查除法各部分之间的关系：除数×商=被除数． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------+
3．如果△是○的32倍，下面算式对的是（ ）
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
A． △+32=○ B． ○+32=△ C． ○×32=△
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 依据题意△是○的32倍，把△看作被除数，○看作除数，32看作商，依据被除数、除数、商之间关系解答． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为△是○的32倍， |
| | |
| | 所有△÷○=32， |
| | |
| | △=32×○， |
| | |
| | ○=△÷32， |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解决本题时只要把△看作被除数，○看作除数，32看作商，依据被除数、除数、商之间关系解答即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+
4．□×2=606，□里应填（ ）
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
A． 330 B． 303 C． 300
---- ----- ----- ----- ----- ----- -----
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据除法的意义进行解答，已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数用除法进行计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为□×2=606， |
| | |
| | 所以□=606÷2=303； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题运用整数除法的意义进行解答即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
5．把除数45错写成54，结果得到的商是30，正确的结果应该是（ ）
---- ----- ---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
A． 36 B． 25 C． 63 D． 39
---- ----- ---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 先用错误的除数54乘错误的商30求出被除数；再用被除数除以正确的除数45就可得到正确的商． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：54×30=1620； |
| | |
| | 1620÷45=36； |
| | |
| | 正确的结果应是36． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题先根据被除数=除数×商求出被除数，再用被除数除以正确的除数求解． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------+
6．如果△×□=○，那么下面的算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． ○×□=△ B． △×○=□ C． ○÷□=△
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 因为△×□=〇，所以两个因数分别是△和□，积是〇，根据乘法交换律可知：□×△=○；乘与除的互逆关系可知：〇÷△=□或〇÷□=△；据此进行判断． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为△×□=〇， |
| | |
| | 所以□×△=○或〇÷△=□或〇÷□=△． |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查乘与除的互逆关系，用到的关系式为：一个因数=积÷另一个因数． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
7．除数和商都是12，被除数是（ ）
---- ----- ----- ----- --- ----- ----
A． 144 B． 1 C． 12
---- ----- ----- ----- --- ----- ----
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 文字题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据公式被除数÷除数=商，可知商×除数=被除数，所以用12乘12进行计算即可得到答案． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：12×12=144 |
| | |
| | 答：除数和商都是12，被除数是144． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查的是公式商×除数=被除数的灵活应用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
8．如果□是○的15倍，下面哪个算式是对的？（ ）
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
A． ○÷15=□ B． ○×15=□ C． □×15=○
---- ----- -------- ----- -------- ----- --------
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，进行选择即可； |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：□是○的15倍，即：○×15=□； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的是乘和除的互逆关系，做题时应结合题意，根据求一个数的几倍用乘法解答即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------+
9．如果○÷△=□，那么下列算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． ○×□=△ B． ○×△=□ C． ○÷□=△
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据"被除数÷除数=商"可得：被除数÷商=除数，商×除数=被除数，除数×商=被除数；据此选择即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：如果○÷△=□，则：○÷□=△； |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题应根据被除数、除数和商三者之间的关系进行解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
10．已知○÷△=□，下列算式正确的是（ ）
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
A． △÷○=□ B． △×□=○ C． ○×△=□
---- ----- ------- ----- ------- ----- -------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据被除数=除数×商，除数=被除数÷商，商=被除数÷除数解答即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据分析， |
| | |
| | 因为○÷△=□， |
| | |
| | 所以△×□=○， |
| | |
| | ○÷□=△． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查了被除数、除数和商的关系：被除数=除数×商，除数=被除数÷商，商=被除数÷除数，要熟练的掌握并能应用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**二．填空题（共10小题）**
11．（•成都）在下面式子中的横线里填上合适的运算符号，使等式成立．
14.7[ ÷ ]{.underline}\[（1.6+1.9）×1.4\]=3．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；加法和减法的关系． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 先把中括号里面的算式计算得：\[（1.6+1.9）×1.4\]=4.9，因为14.7÷4.9=3，据此即可填空； |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：\[（1.6+1.9）×1.4\]=4.9， |
| | |
| | 因为14.7÷4.9=3， |
| | |
| | 所以14.7÷\[（1.6+1.9）×1.4\]=3 |
| | |
| | 故答案为：÷． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 先求出中括号里的得数，然后根据三个数的大小，确定它们之间的关系即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
12．=[ ]{.underline}[ ]{.underline}×3=[ ]{.underline}[ ]{.underline}×4=[ ]{.underline}[ ]{.underline}×6．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；分数除法． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据因数=积÷另一个因数，分别用除以3、4、6，求出另一个因数是多少即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为，，， |
| | |
| | 所以 =×3=×4=×6． |
| | |
| | 故答案为：． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查了因数、因数和积的关系：因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，要熟练的掌握． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
14．若被除数、除数与商的和是251，商是5，则被除数是[ 205 ]{.underline}，除数是[ 41 ]{.underline}．
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由"被除数除以除数，商是5"，可知被除数=除数×5，把被除数=除数×5代入被除数+除数+商=251中，即可求出除数的数值，进而求出被除数的数值． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为被除数÷除数=5，所以被除数=除数×5 |
| | |
| | 当被除数=除数×5，商=5时 |
| | |
| | 被除数+除数+商=除数×5+除数+5=251 |
| | |
| | 除数×6=246 |
| | |
| | 除数=41 |
| | |
| | 当除数=41时，被除数=41×5=205； |
| | |
| | 答：被除数是205，除数是41； |
| | |
| | 故答案为：205，41． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要依据被除数、除数和商之间的关系解决问题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
15．4÷[ 5 ]{.underline}=0.8．
+--------+--------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+--------------------------------+
| 分析： | 根据"被除数÷商=除数"解答即可． |
+--------+--------------------------------+
| 解答： | 解：4÷0.8=5 |
| | |
| | 所以：4÷5=0.8． |
| | |
| | 故答案为：5． |
+--------+--------------------------------+
| 点评： | 此题考查了乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------+
16．两数相除的商是6，而且没有余数．如果把被除数、除数和商加起来，和为55，那么被除数是[ 42 ]{.underline}．
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合填空题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由题意得：被除数和除数的和是55﹣6=49，又因为被除数是除数的6倍，所以49是除数的（6+1）倍，所以除数是49÷（6+1）=7，被除数=6×7=42，据此解答即可． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：被除数和除数的和是：55﹣6=49， |
| | |
| | 除数是：49÷（6+1）=7， |
| | |
| | 被除数是：6×7=42． |
| | |
| | 故答案为：42． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解决本题的关键是油被除数和除数的和以及被除数和除数的关系进行解答． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
17．如果a÷b=c，那么=[ 1 ]{.underline}，a﹣bc=[ 0 ]{.underline}．
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据a÷b=c，可推出bc=a，再进一步求出和a﹣bc的数值． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为a÷b=c，所以bc=a， |
| | |
| | 所以：==1， |
| | |
| | a﹣bc=a﹣a=0． |
| | |
| | 故答案为：1，0． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查除法各部分之间的关系，解决此题关键是根据题意先求出bc的值，再进一步求出和a﹣bc的值． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
18．被除数÷除数÷商=[ 1 ]{.underline}．
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由于被除数÷除数=商，所以商×除数=被除数，由此可得被除数÷除数÷商=被除数÷（商×除数）=1． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为商×除数=被除数， |
| | |
| | 所以被除数÷除数÷商=被除数÷（商×除数）=1． |
| | |
| | 故填：1． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题是根据乘法与除法的互逆关系进行解答的． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------+
19．一道计算题的最后一步应除以10，但一个粗心的学生在最后一步却错误地乘以10了，他得出的答案是500，原题正确答案应是[ 5 ]{.underline}．
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 文字叙述题． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 设最后一步之前运算的结果是a，由题意可知：a×10=500，由此求出a的值，然后再用a除以10就是正确的结果． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：设最后一步之前运算的结果是a， |
| | |
| | a×10=500， |
| | |
| | 那么：a=500÷10=50； |
| | |
| | 正确的计算结果是：a÷10=50÷10=5； |
| | |
| | 故答案为：5． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题先根据错误的结果找出被除数，再用被除数除以10就是正确的结果． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
20．小芳在算一道题时误把"除以3"看成"乘以3"，结果算出答案为，这道题的正确答案应是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 文字叙述题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 用算出的结果除以3算出被除数；然后再用被除数除以除数3，就是正确的商． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：÷3÷3， |
| | |
| | =×， |
| | |
| | =； |
| | |
| | 故答案为：． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 先根据乘法算式中各部分的关系：一个因数=积÷另一个因数，求出被除数；再写出正确的算式求解． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------+
**三．解答题（共10小题）**
21．计算两位数乘法时，把第二个乘数37看成73，结果比原来多了864，请求这道题的正确结果．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 文字叙述题． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 设另一个因数是x，则根据"错误的结果比正确答案多864"，列出方程，解方程求出另一个因数，由此求出正确的答案． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：设另一个因数是x， |
| | |
| | 73x﹣37x=846 |
| | |
| | 36x=864 |
| | |
| | x=24 |
| | |
| | 37×24=888 |
| | |
| | 答：这道乘法题目正确的答案应该是888． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题的关键是，根据题意设出未知数，再根据数量关系，选择合适的方法解答． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
22．如果6+\[0.5+（2﹣△）×9\]÷4=22，求△表示的数．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；加法和减法的关系． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 6+\[0.5+（2﹣△）×9\]÷4这个算式先从小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，然后算中括号里面的加法，接着算括号外的除法，最后算括号外的加法，得到的和是22；要求△的值，运用逆推法，从运算的结果出发，逆着运算的顺序，根据加减乘除四则运算算式中各部分的关系逐步求解． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：6+\[0.5+（2﹣△）×9\]÷4=22， |
| | |
| | 那么\[0.5+（2﹣△）×9\]÷4=22﹣6=16； |
| | |
| | \[0.5+（2﹣△）×9\]÷4=16， |
| | |
| | 那么\[0.5+（2﹣△）×9\]=16×4=64； |
| | |
| | 0.5+（2﹣△）×9=64， |
| | |
| | 那么（2﹣△）×9=64﹣0.5=63.5， |
| | |
| | （2﹣△）×9=63.5， |
| | |
| | 那么2﹣△=63.5÷9=， |
| | |
| | 2﹣△=， |
| | |
| | 那么△=2﹣=﹣； |
| | |
| | △表示的数是﹣． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题较复杂，计算时要从结果出发，根据运算的顺序逆推出运算结果即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
24．a、b、c是不为0的数，且a×1.4=b×=c÷，则a、b、c中最小的数是b．[ 错误 ]{.underline}．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合填空题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 先把该算式都改写成两个数相乘的形式，即：a×1.4=b×=c×，然后根据两个因数积相等，一个因数大，另一个因数就小；进行判断即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：a×1.4=b×=c×， |
| | |
| | 因为：＞1.4＞， |
| | |
| | 根据两个因数积相等，一个因数大，另一个因数就小， |
| | |
| | 所以：c＜a＜b，所以b最大； |
| | |
| | 故答案为：错误． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 解答此题的关键是：明确两个因数积相等，一个因数大，另一个因数就小． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
25．小马虎做加法，把个位上的6看成9，把十位上的8看成3，算出的结果是214，正确的结果是多少？
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 文字叙述题． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 把个位上的6看作9，相当于把正确的和多算了3，求正确的和应把3减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和应把50加上．这样正确的答案214﹣3+50=261． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：9﹣6=3， |
| | |
| | 80﹣30=50， |
| | |
| | 214﹣3+50=261． |
| | |
| | 答：正确的结果是261 |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查了逆推的方法，以及计算的能力． |
+--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
26．填一填．（括号里填除0以外的整数）
（1）28×[ 12 ]{.underline}=
（2）2656÷[ 8 ]{.underline}=
（3）45×[ 8 ]{.underline}=
（4）870﹣[ 500 ]{.underline}=
（5）275+[ 100 ]{.underline}=
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；加法和减法的关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 因为得数在320～400之间，结合四则运算的估算方法进行解答即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）28×12=336 |
| | |
| | （2）2656÷8=332 |
| | |
| | （3）45×8=360 |
| | |
| | （4）870﹣500=370 |
| | |
| | （5）275+100=375 |
| | |
| | 故答案为：12，336，8，332，8，360，500，100． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题根据乘与除的互逆关系以及加法和减法的关系结合四则运算的估算法则进行解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------+
27．从表格右边选择合适的数填入左边的横线上．
+-----------------------------------+-----------+
| [ 630 ]{.underline}÷（2×21）=15 | 36 14 18 |
| | |
| | 10 63 630 |
+-----------------------------------+-----------+
| 160+60×[ 14 ]{.underline}=1000 | |
+-----------------------------------+-----------+
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 综合填空题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）求被除数，根据"商×除数=被除数"解答即可； |
| | |
| | （2）先求出1000与160的差，为840，再根据一个因数=积÷另一个因数解答即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）15×（2×21）， |
| | |
| | =15×42， |
| | |
| | =630； |
| | |
| | （2）（1000﹣160）÷60， |
| | |
| | =840÷60， |
| | |
| | =14； |
| | |
| | 故答案为：630，14． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查了乘与除的互逆关系，应明确：（1）被除数、除数和商三者之间的关系；（2）因数、因数和积三者之间的关系． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
28．75÷5=15
15×5=[ 75 ]{.underline}
49÷4=12...1
12×4+1=[ 49 ]{.underline}．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；有余数的除法． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 在整除算式里，商乘除数等于被除数；在有余数的除法里，商乘除数加余数等于被除数；据此进行计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为75÷5=15 |
| | |
| | 所以15×5=75； |
| | |
| | 因为49÷4=12...1， |
| | |
| | 所以12×4+1=49． |
| | |
| | 故答案为：75，49． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查乘法与除法的互逆关系． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------+
29．求□中的数
□+267=384
1800÷□=72
□×23=1058．
+--------+------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系；加法和减法的关系． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）和﹣一个加数=另一个加数，据此代入数据即可求解； |
| | |
| | （2）被除数÷商=除数，据此代入数据即可求解； |
| | |
| | （3）积÷一个因数=另一个因数，据此代入数据即可求解． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）384﹣267=117； |
| | |
| | （2）1800÷72=25； |
| | |
| | （3）1058÷23=46． |
| | |
| | 故答案为：117、25、46． |
+--------+------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查加法、除法和乘法算式中各部分之间的关系． |
+--------+------------------------------------------------------+
30．
------------- ---------- ---------
1275﹣□=459 □÷35=108 425÷□=5
------------- ---------- ---------
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 乘与除的互逆关系． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据减数=被减数﹣差，被除数=除数×商，除数=被除数÷商解答即可． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为1275﹣459=816， |
| | |
| | 所以1275﹣816=459； |
| | |
| | 因为35×108=3780， |
| | |
| | 所以3780÷35=108； |
| | |
| | 因为425÷5=85， |
| | |
| | 所以425÷85=5． |
| | |
| | 故答案为：816、3780、85． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查了乘除的互逆关系，被除数=除数×商，除数=被除数÷商，商=被除数÷除数，要熟练的掌握并能应用． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 1 | |
**人教版九下5月月考数学试卷**
一、选择题：
1、在实数-3，2，0，-1中，最大的实数是（ ）
A、-3 B、2 C、0 D、-1
2、式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A、x≥-2 B、x≤-2 C、x＜-2 D、x＞-2
3、把-x分解因式正确的是（）
A、x （） B、x C、x（x+1）（x-1） D、（x+1）（x-1）
4、学校为了丰富学生课余活动开展了一次朗读比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：那么这18明同学绝赛成绩的中位数和众位数分别是（ ）
> A、9.70，9.60 B、9.60，9.60 C、9.60，9.70 D、9.65，9.60
5、下列计算正确的是（ ）
A、3a-2a=a B、 C、12=6 D、a-（1+a）= -1
6、如图，正方形BODC的顶点C的坐标是(3,3)，以原点O为位似中心，将正方形BODC缩小后得到正方形，点C的对应点的坐标为(-1，-1)，那么点D的对应点的坐标为（ ）
A、（-1，0） B、（0，-1） C、（1，0） D、（0，1）
7、由六个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
8、下图是某公司今年1到4月份的总产值相对上个月的增长率统计图，下列说法：① 2月份总产值与去年12月份总产值相同；②3月份与2月份的总产值相同；③4月份的总产值比2月份增长7%；④在1到4月份中，4月份的总产值最高；其中正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
9、如图，正六边形ABCDEF,点P在直线AB上移动，若点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等，则直线AB上满足条件的点P共有（ ）
A、6个 B、5个 C、4个 D、3个
10\. 如图，等边△ABC的边长为4，D、E是边AB、BC上的动点（与A、B不重合），AD=2CE，以CE的长为半径作⊙C，DF与⊙C相切于F，下列关于DF的长说法正确的是（ ）
> A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值\
> C．有最大值，也有最小值 D．为定值
二、填空题
11．计算：5-（1-9）=\_\_\_\_\_\_\_\_\_
12\. 据报道，某小区改进用水设备，十年内小区的居民累计节水305000吨，将305000用科学计数法表示，应为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
13\. 甲、乙、丙三人并排照相，那么甲、乙不相邻的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
14\. 设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_米/秒．
15\. 如图，直线y=x+4交x轴于点B，交y轴于点A，双曲线y=交直线于C、D，若CD=2AC，则k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
16、如图，△ABC中，∠A=60º，C∠=20º，D是BC的中点，E是AC上一点，CD=CE，若+2=2，则AC=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
三、解答题
17\. 已知一次函数y=kx-2的图像经过点（-3,4）
（1）求这个一次函数的解析式
（2）求关于x的不等式kx-k≤6的解集
18\. 已知△ACE中，AC=CE，F、D是AE上的点，CF=CD，AB∥CE交CD的延长线于B。
\(1\) 求证：△ACF≌△ECD
\(2\) 求证：
19\. 为了解本校九年级学生期末数学考试情况，胡老师随机抽取了九年级一个班部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，其中表示A等级的扇形的圆心角为90º，请你根据统计图解答以下问题：\
（1）这次随机抽取的学生共有\_\_\_\_\_\_人; 成绩为A等级的有\_\_\_\_\_\_\_人；成绩为B等级的有\_\_\_\_\_\_\_人；成绩为D等级的有\_\_\_\_\_\_\_人；
（2）已知A等级学生中只有3名女生，D等级中只有一名女生，学校准备在成绩为A等级和D等级的学生中随机各选取1名学生组成两人互助小组，请用列表法或树状图的方法求选出的两人恰好是性别相同的概率。
20\. 在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：\
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A~1~B~1~C~1~ ，点A~1~坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）平移△ABC，使点A移到点A~2~（0，2），画出平移后的△A~2~B~2~C~2~ ，点B~2~的坐标是\_\_\_\_\_\_，点C~2~的坐标是\_\_\_\_\_\_．
（3）△A~2~B~2~C~2~与\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_关于点\_\_\_\_\_\_\_中心对称。
21\. 如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当BC=BG时，求圆C的半径长．
22\. 某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
\
（1）试确定y与x之间的函数关系式；\
（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？\
（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．
23\. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，D、E是AB、AC上的点，DE∥BC，BD=5，DE=6，P是线段DE上一点，PE=2DP，N是线段BD上一点，MN∥CP交BC于点M。
（1）求AB和cosB
(2)设BN=x，CM=y，试用含x的式子表示y
(3)连PM，若△PMC为直角三角形，则x=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
24.已知抛物线y=-（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
\(2\) 抛物线于x轴交于点A、B，直线y=（k+1）x+（k+1）与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x~1~、x~2~、x~3~，，当-=0时，求k的值
（3）抛物线于x轴交于点A、B，直线y=（k+1）x+（k+1）与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x~1~、x~2~、x~3~，求x~1~•x~2~•x~3~的最大值；\
（4）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．
参考答案
一、选择题：
1、B 2、A 3、C 4、B 5、D 6、A 7、C 8、D 9、B 10. B
二、填空题
11． 13 12. 3.05×10 13. 14. 20 15. -6 16、4
三、解答题
17\. 解：（1）y=-2x-2
(2)x≥-2
18\. 解（1）∵AC=CE，∴∠CAF=∠CED，
∵CF=CD，∴∠CFD=∠CDF，∴∠CFA=∠CDE，
由∠CAF=∠CED，∠CFA=∠CDE，CF=CD，
∴△ACF≌△ECD（AAS）
（2）∵AB∥CE，∴
∵AC=CE，∴
19\. 解：（1）20 、5 、 8 、 3 。
（2） A: 男 男 女 女 女
D： 男男女 男男女 男男女 男男女 男男女
∴概率为：
20\. 解：（1）点B的坐标是（-2，0）；
（2）如图所示：B~2~ (0，-2) ，C~2~（-2，-1）；
（3）如图所示：△A~1~B~1~C~1~ ；（1，-1），
21\. 解：（1）如图，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，
> 过点A作AH⊥BC于H，
>
> ∴BH=AB?cosB=4，
>
> ∴AH=3，CH=4，
>
> ∴AC=5
>
> ∴此时CP=r=5；
>
> 
（2）如图，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
> 连接AC、EP，
>
> 则AC⊥EP，
>
> ∴AM=CM=，由（1）知，
>
> AB=AC，则∠ACB=∠B，
>
> ∴CP=CE==，
>
> ∴EF=2=；
（3）如图：过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，\
∵=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵∠AGE=∠AEG， ∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴AE:CB=AG:BG，
即AE:8=AE:(AE+5)，
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=
22\. 解：（1）设y=kx+b，根据题意得：解得：k=-1，b=120．所求一次函数的表达式为y=-x+120．\
（2）利润Q与销售单价x之间的函数关系式为：Q=（x-50）（-x+120）=-x^2^+170x-6000；\
Q=-x^2^+170x-6000=-（x-85）^2^+1225；\
∵成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．\
∴50≤x≤70， ∴当试销单价定为70元时，该商店可获最大利润是1000元．\
（3）依题意得：-x^2^+170x-6000≥600，解得：60≤x≤110，∵获利不得高于40%，\
∴最高价格为50（1+40%）=70，故60≤x≤70的整数．
23\. 解：(1) AB=10, cosB=
\(2\) 5 : (5-x)=10 : (y-3)
∴y= -2x+12
\(3\) x=5-x ∴x=
：(12\--7)=（5-x）：x
解得： x=
24.解：（1）证明：∵△=（k+2）^2^-4×1×=k^2^-k+2=（k-）^2^+，\
∵（k-）^2^≥0，
> ∴△＞0，故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
\(2\) y=（k+1）x+（k+1）=（k+1）（x+k+1）=-k-1
-（-k-1）=0 k=
（3）∵抛物线于x轴交于点A、B，
直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x~1~、x~2~、x~3~，
∴x~1~•x~2~=，令0=（k+1）x+（k+1）^2^，
> 得：x=-（k+1），即x~3~=-（k+1），\
> ∴x~1~•x~2~•x~3~=-（k+1）•=-（k+）^2^+，
>
> ∴x~1~•x~2~•x~3~的最大值为：；
（4）∵CA•GE=CG•AB，∴CA:CB=CG:CE，
> ∵∠ACG=∠BCE，∴△CAG∽△CBE，\
> ∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
> ∴△OAD∽△OBE，∴OA:OB=OD:OE，\
> ∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，
>
> 直线与x轴的交点C在原点的左边，
>
> 又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
>
> ∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）^2^，
∴OA•OB=OD，由OA:OB=OD:OE
OA:OB=（OA•OB）：OE
> ∴OB^2^=OE，∴OB=k+1，\
> ∴点B（k+1，0），
>
> 将点B代入抛物线y=x^2^-（k+2）x+得：
（k+1）^2^-（k+2）（k+1）-=0，
解得：k=2，∴抛物线的解析式为：y=x^2^-4x+3．
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**陈江镇2017-2018学年小学数学五年级**
**综合题竞赛**
考试时间：60分钟 满分：100分
> 亲爱的同学们，智慧竞赛之旅就要开始了！只要你一路仔细、认真地分析每一道题，你一定能获得一次难忘的旅途记忆。准备好了吗？我们出发喽！
**一、填空题。（每空2分，共26分）**
> 1.把米的铁丝平均分成3段，每段的长是全长的( )，每段长( )米。
2.长方体的棱长之和是96cm，长是9cm，宽是8cm，高是（ ）。
3.小时=（ ）分
2.8立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米
4\. 45是（ ）的，吨是（ ）吨的。
5.一个正方形的边长是分米，它的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。
6.至少需要（ ）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是6厘米，那么大正方体的表面积是（ ）平方厘米。
> 7\. 将、0.29、、0.7、按从大到小的顺序排列（ ）
**二、选择题.（每空3分，共12分）**
1、用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体与这两个小正方体相比( )。
①体积变大，表面积变小 ②体积变小，表面积变大
③体积不变，表面积变大 ④体积不变，表面积变
2、用两根同样长的线段，第一根用去了，第二根用去了米，余下部分（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、不确定
3、如果a×=b×=c×那么a、b、c这三个数中最大的数是 ( ),最小的数是( )
A.a B.b C.c
**三、计算题。（共24分）**
1、能简算用简算。（每题4分，共12分）
1\-\-\-\-\-\--
2. 解方程。（每道4分，共12分）
\- X= x=
**四、解决问题。**（共38分）
1.修路队修路，上午修了，下午修的是上午的，还有几分之几没有修？（7分）
2.王大妈家长方体箱子长4分米，宽2分米，高17分米，为了防灰尘，王大妈准备用布做一只长方体套子把这个箱子罩起来，请你帮她算一下，做这只套子至少需要多少平方分米的布（接头处共需用布20平方分米）？（7分）
3.把一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成长8厘米， 宽4厘米的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（8分）
4.一根木料长6米，截去后又截去米，这根木料还剩多少米？（8分）
5\. 一个长方体水箱长是4分米，宽和高都是2.5分米，水箱里有一部分水，水的高度为21厘米。现在往水箱里垂直放入一个底面边长为10厘米小长方体，水正好把它完全侵没，这时水箱里的水的高度为23厘米。求放入水箱里的小长方体的高是多少厘米？（8分）
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------有体积单位的换算》同步检测1（附答案）**
一、4米 =（ ）分米 =（ ）厘米
7米 =（ ）分米 =（ ）厘米来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、体积为1分米的正方体，它的棱长为（ ）分米；也可以看成是棱长为（ ）厘米的正方体，它的体积是10×10×10 =（ ）厘米。
三、8米 =（ ）分米 0.4分米 =（ ）厘米
4580毫升 =（ ）升 3.5升 =（ ）毫升
7800厘米 =（ ）分米 3.2米 =（ ）厘米来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、一种正方体石料，棱长为6分米，200块这样的石料有多少立方米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、学校挖了一个长方体形状的沙坑，长为4米，宽为2米，深为40厘米，需要多少立方米的黄沙才能填满？
六、学校建造一个长为30米，宽为22米，深为2米的游泳池。问：
1、游泳池的占地面积有多大？
2、这个游泳池的最大蓄水量是多少？
3、如果1米水重1吨，那么这个游泳池最多能容水多少吨？
七、45000分米 =（ ）米 9升 =（ ）分米 =（ ）厘米
7米50分米 =（ ）米 2250毫升 =（ ）升（ ）毫升
八、一个长方体油箱，长为8分米，宽为2分米，高为5分米。如果每升机油重0.72千克，那么可装机油多少千克？
九、一个长方体，长是6分米，宽和高都是长的一半，这个长方体的体积是多少立方分米？
十、一个装满水的正方体水箱，棱长为4分米。如果把水倒入另一个长为0.8米，宽为25厘米的长方体水箱中，那么水深多少？
**部分答案：**
一、40 400 700 70000
二、1 10 1000
三、8000 400 4.58 3500 7.8 3200000
四、43.2米
五、3.2米
六、1、660米
2、1320米
3、1320吨
七、45 9 9000 7.05 2 250
八、57.6千克
九、54分米
十、3.2分米
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**2020-2021学年山东省潍坊市高新区六年级（上）期末数学试卷**
**一、仔细推敲，判断正误。**
1．如果*A*：*B*＝5：4，那么*A*比*B*多。[ ]{.underline}（判断对错）
2．假分数的倒数都比1小，真分数的倒数都比1大[ ]{.underline}．（判断对错）
3．等底等高的平行四边形和三角形的面积比是1：2．[ ]{.underline}．（判断正误）
4．如果*A*、*B*互为倒数，那么。[ ]{.underline}（判断对错）
5．两个真分数相除，商一定大于被除数．[ ]{.underline}．（判断对错）
6．周长相等的圆，它们的面积也一定相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
**二、反复比较，合理选择。**
7．如图图形有（ ）条对称轴。
> 
A．2条 B．4条 C．8条 D．无数条
8．两根同样长的铁丝，一根用去了，另一根用去了米，剩下的铁丝相比，（ ）
A．第一根长 B．第二根长
C．同样长 D．无法比较哪根长
9．高新区某学校有学生560人，其中男生人数是女生人数的。女生有（ ）人。
A．210 B．336 C．350 D．300人
10．用一根长10.28分米的绳子围成一个半圆形，这个半圆形的面积是（ ）平方分米。
A．12.56 B．6.28 C．4.71 D．25.12
11．下列说法中正确的是（ ）
A．0的倒数是它本身
B．同一个圆内所有半径都相等
C．将9：3化成最简整数比是3
D．百分率不可能大于1
12．学校有篮球、排球，足球共180个，三种球个数的比不可能是（ ）
A．1：3：3 B．1：1：4 C．2：3：4 D．1：2：6
13．5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率（ ）
A．小于5% B．大于5% C．等于5% D．无法确定
14．如图，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中涂色部分的面积是（ ）
> 
A．π平方厘米 B．9π平方厘米
C．4.5π平方厘米 D．3π平方厘米
**三、认真思考，谨慎填空。**
15．[ ]{.underline}：40＝＝[ ]{.underline}%＝＝[ ]{.underline}（填小数）
16．将400千克：1吨化成最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
17．千克＝[ ]{.underline}克；*m*^2^＝[ ]{.underline}*dm*^2^；小时＝[ ]{.underline}分钟。
18．在□里填上"＞"，"＜"，"＝"。
----------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------
□3.6 □ □
----------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------
19．一个长方体长与宽的比是5：2，宽与高的比是3：2，那么该长方体的长：宽：高＝[ ]{.underline}。
20．星期天，李玲到京广书城买书，小时走了千米。照这样计算，她1小时能走[ ]{.underline}千米，走1千米需要[ ]{.underline}小时。
21．动车被称为中国新的"四大发明"之一，运行快速且平稳，令世界惊叹。一列动车时速达到250千米，一列普通列车时速是100千米。这列动车与这列普通列车的速度比是[ ]{.underline}，动车的速度相当于普通列车速度的[ ]{.underline}%。
22．在长5厘米、宽4厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米来，这张纸的利用率是[ ]{.underline}%。
23．把骰子的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，要求任意掷一次，出现黄面朝上的可能性最大，[ ]{.underline}个面应涂成黄色．
24．明明帮妈妈去超市买透明皂，现有3块装和4块装两种不同的包装，明明要买20块，共有[ ]{.underline}买法。
25．已知图中阴影部分的面积是50平方厘米，则圆环的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
**四、看准数字，准确计算。**
26．直接写得数。
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
＝ ＝ ＝ ＝
＝ 1÷0.125＝ ＝ 1﹣36.5%＝
＝ ＝ ＝ ＝
--------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
27．脱式计算（能简便计算的要简便计算）。
----------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------
① ②
③（） ④
----------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------
28．化简比。
------------------------------------- ------------ ------------------------------------- -------------
 0.36：0.82  5米：25分米
------------------------------------- ------------ ------------------------------------- -------------
29．解方程。
------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
  
------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
**五、按照要求，动手操作。**
30．画一个周长是12.56厘米的圆，标注圆心、半径和直径，并画出一条对称轴。
31．已知正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积．
> 
**六、活学活用，解决问题。**
32．阳光小学有1500名学生，五年级人数占全校人数的，五年级一班的人数占五年级人数的，五年级一班有多少人？
33．小李开车从潍坊回老家，前3小时行驶了全程的，再经过4小时又行驶了全程的，这时刚刚过全程中点54千米。全程有多少千米？
34．果园里有桃树300棵，梨树比桃树多，苹果树与梨树颗数的比是5：4。梨树和苹果树各有多少棵？
35．一种混凝土所用水泥、黄沙、石子的比是2：3：5．
> （1）要配制120吨这样的混凝土，三种材料各需多少吨？
>
> （2）如果这三种材料都有18吨，当黄沙全部用完时，水泥还剩下多少吨？石子要增加多少吨？
36．校园圆形花池的直径是18米，在花池的周围修一条1米宽的环形水泥路。
> （1）求水泥路的面积是多少平方米？
>
> （2）沿环形水泥路的外沿每隔0.4米装一盏地灯，共需安装多少盏灯？
**2020-2021学年山东省潍坊市高新区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、仔细推敲，判断正误。**
1．； 2．[×]{.underline}； 3．[×]{.underline}； 4．； 5．[√]{.underline}； 6．[√]{.underline}；
**二、反复比较，合理选择。**
7．A； 8．D； 9．A； 10．A； 11．A； 12．A； 13．A； 14．A；
**三、认真思考，谨慎填空。**
15．[35]{.underline}；[87.5]{.underline}；[0.875]{.underline}； 16．；； 17．；；； 18．[ ]{.underline}； 19．； 20．；； 21．；； 22．；； 23．[3]{.underline}； 24．； 25．；
**四、看准数字，准确计算。**
26．[ ]{.underline}； 27．[ ]{.underline}； 28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}；
**五、按照要求，动手操作。**
30．[ ]{.underline}； 31．[ ]{.underline}；
**六、活学活用，解决问题。**
32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}； 34．[ ]{.underline}； 35．[ ]{.underline}； 36．[ ]{.underline}；
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
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**2015年上海市高考数学试卷（文科）**
**一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）**
1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin^2^x的最小正周期为[ ]{.underline}．
2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}，则A∩B=[ ]{.underline}．
3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=[ ]{.underline}．
4．（4分）设f^﹣1^（x）为f（x）=的反函数，则f^﹣1^（2）=[ ]{.underline}．
5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c~1~﹣c~2~=[ ]{.underline}．
6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=[ ]{.underline}．
7．（4分）抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=[ ]{.underline}．
8．（4分）方程log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2的解为[ ]{.underline}．
9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为[ ]{.underline}．
10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
11．（4分）在（2x+）^6^的二项式中，常数项等于[ ]{.underline}（结果用数值表示）．
12．（4分）已知双曲线C~1~、C~2~的顶点重合，C~1~的方程为﹣y^2^=1，若C~2~的一条渐近线的斜率是C~1~的一条渐近线的斜率的2倍，则C~2~的方程为[ ]{.underline}．
13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且\|\|，\|\|，\|\|}={1，2，3}，则\|++\|的最大值是[ ]{.underline}．
14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.**
15．（5分）设z~1~、z~2~∈C，则"z~1~、z~2~均为实数"是"z~1~﹣z~2~是实数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）
A．（x+8）（x^2^+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x^2^+2x+3）
C．＜ D．＞
17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．（5分）设 P~n~（x~n~，y~n~）是直线2x﹣y=（n∈N^\*^）与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点，则极限=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.**
19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．
20．（14分）已知函数f（x）=ax^2^+，其中a为常数
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在\[1，2\]上的单调性，并说明理由．
21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t~1~时乙到达P地，t=t~2~时乙到达Q地．
（1）求t~1~与f（t~1~）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t~1~≤t≤t~2~时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t~1~，t~2~\]上的最大值是否超过3？说明理由．
22．（16分）已知椭圆x^2^+2y^2^=1，过原点的两条直线l~1~和l~2~分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．
（1）设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），用A、C的坐标表示点C到直线l~1~的距离，并证明S=\|；
（2）设l~1~：y=kx，，S=，求k的值；
（3）设l~1~与l~2~的斜率之积为m，求m的值，使得无论l~1~和l~2~如何变动，面积S保持不变．
23．（18分）已知数列{a~n~}与{b~n~}满足a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），n∈N^\*^．
（1）若b~n~=3n+5，且a~1~=1，求{a~n~}的通项公式；
（2）设{a~n~}的第n~0~项是最大项，即a~n0~≥a~n~（n∈N\*），求证：{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）设a~1~=3λ＜0，b~n~=λ^n^（n∈N^\*^），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N^\*^，a~n~≠0，且．
**2015年上海市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）**
1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin^2^x的最小正周期为[ π ]{.underline}．
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．
【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin^2^x=1﹣3=﹣+cos2x，
∴函数的最小正周期为=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．
2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}，则A∩B=[ {2，3} ]{.underline}．
【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}，
∴A∩B={2，3}，
故答案为：{2，3}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+=1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=，b=．
∴z=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
4．（4分）设f^﹣1^（x）为f（x）=的反函数，则f^﹣1^（2）=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f^﹣1^（2）可求．
【解答】解：由y=f（x）=，得，
x，y互换可得，，即f^﹣1^（x）=．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．
5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c~1~﹣c~2~=[ 16 ]{.underline}．
【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知，是方程组的解，
即，
则c~1~﹣c~2~=21﹣5=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=[ 4 ]{.underline}．
【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．
【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，
∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
7．（4分）抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y^2^=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以=1，
所以p=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
8．（4分）方程log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2的解为[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
【解答】解：∵log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~（3^x﹣1^﹣2）+2，∴log~2~（9^x﹣1^﹣5）=log~2~\[4×（3^x﹣1^﹣2）\]，
∴9^x﹣1^﹣5=4（3^x﹣1^﹣2），
化为（3^x^）^2^﹣12•3^x^+27=0，
因式分解为：（3^x^﹣3）（3^x^﹣9）=0，
∴3^x^=3，3^x^=9，
解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即B（1，1），
代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为[ 120 ]{.underline}（结果用数值表示）．
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C~9~^5^=126种；
其中只有女教师的有C~6~^5^=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
11．（4分）在（2x+）^6^的二项式中，常数项等于[ 240 ]{.underline}（结果用数值表示）．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．
【解答】解：由（2x+）^6^，得
=．
由6﹣3r=0，得r=2．
∴常数项等于．
故答案为：240．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4分）已知双曲线C~1~、C~2~的顶点重合，C~1~的方程为﹣y^2^=1，若C~2~的一条渐近线的斜率是C~1~的一条渐近线的斜率的2倍，则C~2~的方程为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出C~1~的一条渐近线的斜率，可得C~2~的一条渐近线的斜率，利用双曲线C~1~、C~2~的顶点重合，可得C~2~的方程．
【解答】解：C~1~的方程为﹣y^2^=1，一条渐近线的方程为y=，
因为C~2~的一条渐近线的斜率是C~1~的一条渐近线的斜率的2倍，
所以C~2~的一条渐近线的方程为y=x，
因为双曲线C~1~、C~2~的顶点重合，
所以C~2~的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且\|\|，\|\|，\|\|}={1，2，3}，则\|++\|的最大值是[ 3+]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{\|\|，\|\|}={1，2}，\|\|=3，设，则x^2^+y^2^=9，则++=（1+x，2+y），有\|\|=的最大值，其几何意义是圆x^2^+y^2^=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．
【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，
①当{\|\|，\|\|}={1，2}，\|\|=3，则，
设，则x^2^+y^2^=9，
∴++=（1+x，2+y），
∴\|\|=的最大值，其几何意义是圆x^2^+y^2^=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；
②且{\|\|，\|\|}={1，3}，\|\|=2，则，x^2^+y^2^=4，
∴++=（1+x，3+y）
∴\|\|=的最大值，其几何意义是圆x^2^+y^2^=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，
③{\|\|，\|\|}={2，3}，\|\|=1，则，
设，则x^2^+y^2^=1
∴++=（2+x，3+y）
∴\|\|=的最大值，其几何意义是在圆x^2^+y^2^=1
上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+
∵，
故\|++\|的最大值为3+．
故答案为：3+
【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．
14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：∵y=sinx对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，
要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，
考虑0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2是解答该题的关键，是难题．
**二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.**
15．（5分）设z~1~、z~2~∈C，则"z~1~、z~2~均为实数"是"z~1~﹣z~2~是实数"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
【解答】解：若z~1~、z~2~均为实数，则z~1~﹣z~2~是实数，即充分性成立，
当z~1~=i，z~2~=i，满足z~1~﹣z~2~=0是实数，但z~1~、z~2~均为实数不成立，即必要性不成立，
故"z~1~、z~2~均为实数"是"z~1~﹣z~2~是实数"的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．
16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）
A．（x+8）（x^2^+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x^2^+2x+3）
C．＜ D．＞
【分析】根据x^2^+2x+3=（x+1）^2^+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x^2^+2x+3），从而得出结论．
【解答】解：由于x^2^+2x+3=（x+1）^2^+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x^2^+2x+3），
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，
将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，
则OB的倾斜角为θ+，则\|OB\|=\|OA\|=，
则点B的纵坐标为y=\|OB\|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
18．（5分）设 P~n~（x~n~，y~n~）是直线2x﹣y=（n∈N^\*^）与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点，则极限=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2
【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x^2^+y^2^=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 P~n~（x~n~，y~n~）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x^2^+y^2^=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．
∴=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.**
19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．
【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S~△AOC~又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．
【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；
∴；
E为劣弧的中点；
∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；
∴OE∥AC；
∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；
在△ACP中，AC=，；
如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；
∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；
∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．
【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．
20．（14分）已知函数f（x）=ax^2^+，其中a为常数
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在\[1，2\]上的单调性，并说明理由．
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；
（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，
当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，
所以此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax^2^+，
∴f′（x）=2ax﹣=，
∵a∈（1，3），x∈\[1，2\]，
∴ax＞1，
∴ax^3^＞1，
∴2ax^3^﹣1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在\[1，2\]上的单调递增．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t~1~时乙到达P地，t=t~2~时乙到达Q地．
（1）求t~1~与f（t~1~）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t~1~≤t≤t~2~时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t~1~，t~2~\]上的最大值是否超过3？说明理由．
【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t~1~=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t~1~）；
（2）求出t~2~=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．
【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；
∴在△OAP中由余弦定理得，f（t~1~）=AP==（千米）；
（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：
则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；
∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；
即f（t）=，；
设g（t）=25t^2^﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；
且；
即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；
即f（t）在\[t~1~，t~2~\]上的最大值不超过3．
【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．
22．（16分）已知椭圆x^2^+2y^2^=1，过原点的两条直线l~1~和l~2~分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．
（1）设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），用A、C的坐标表示点C到直线l~1~的距离，并证明S=\|；
（2）设l~1~：y=kx，，S=，求k的值；
（3）设l~1~与l~2~的斜率之积为m，求m的值，使得无论l~1~和l~2~如何变动，面积S保持不变．
【分析】（1）依题意，直线l~1~的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l~1~的距离d=，再利用\|AB\|=2\|AO\|=2，可证得S=\|AB\|d=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；
（2）由（1）得：S=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=×\|x~1~﹣y~1~\|=，进而得到答案；
（3）方法一：设直线l~1~的斜率为k，则直线l~1~的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x~1~、x~2~、y~1~、y~2~，利用S=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=•，设=c（常数），整理得：k^4^﹣2mk^2^+m^2^=c^2^\[2k^4^+（1+4m^2^）k^2^+2m^2^\]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；
方法二：设直线l~1~、l~2~的斜率分别为、，则=m，则mx~1~x~2~=﹣y~1~y~2~，变形整理，利用A（x~1~，y~1~）、C（x~2~，y~2~）在椭圆x^2^+2y^2^=1上，可求得面积S的值．
【解答】解：（1）依题意，直线l~1~的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l~1~的距离d==，
因为\|AB\|=2\|AO\|=2，所以S=\|AB\|d=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|；
（2）由（1）A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），
S=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=×\|x~1~﹣y~1~\|=．
所以\|x~1~﹣y~1~\|=，由x~1~^2^+2y~1~^2^=1，
解得A（，﹣）或（，﹣）
或（﹣，）或（﹣，），
由k=，得k=﹣1或﹣；
（3）方法一：设直线l~1~的斜率为k，则直线l~2~的斜率为，直线l~1~的方程为y=kx，
联立方程组，消去y解得x=±，
根据对称性，设x~1~=，则y~1~=，
同理可得x~2~=，y~2~=，
所以S=\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|=•，设=c（常数），
所以（m﹣k^2^）^2^=c^2^（1+2k^2^）（k^2^+2m^2^），
整理得：k^4^﹣2mk^2^+m^2^=c^2^\[2k^4^+（1+4m^2^）k^2^+2m^2^\]，
由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，
综上所述，m=﹣，S=．
方法二：设直线l~1~、l~2~的斜率分别为、，则=m，
所以mx~1~x~2~=y~1~y~2~，
∴m^2^==mx~1~x~2~y~1~y~2~，
∵A（x~1~，y~1~）、C（x~2~，y~2~）在椭圆x^2^+2y^2^=1上，
∴（）（）=+4+2（+）=1，
即（+4m）x~1~x~2~y~1~y~2~+2（+）=1，
所以+﹣2x~1~x~2~y~1~y~2~=（x~1~y~2~﹣x~2~y~1~）^2^=\[1﹣（4m+）x~1~x~2~y~1~y~2~\]﹣2x~1~x~2~y~1~y~2~
=﹣（2m++2）x~1~x~2~y~1~y~2~，是常数，所以\|x~1~y~2~﹣x~2~y~1~\|是常数，
所以令2m++2=0即可，
所以，m=﹣，S=．
综上所述，m=﹣，S=．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
23．（18分）已知数列{a~n~}与{b~n~}满足a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），n∈N^\*^．
（1）若b~n~=3n+5，且a~1~=1，求{a~n~}的通项公式；
（2）设{a~n~}的第n~0~项是最大项，即a~n0~≥a~n~（n∈N\*），求证：{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）设a~1~=3λ＜0，b~n~=λ^n^（n∈N^\*^），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N^\*^，a~n~≠0，且．
【分析】（1）把b~n~=3n+5代入已知递推式可得a~n+1~﹣a~n~=6，由此得到{a~n~}是等差数列，则a~n~可求；
（2）由a~n~=（a~n~﹣a~n﹣1~）+（a~n﹣1~﹣a~n﹣2~）+...+（a~2~﹣a~1~）+a~1~，结合递推式累加得到a~n~=2b~n~+a~1~﹣2b~1~，求得，进一步得到
得答案；
（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a~n~的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．
【解答】（1）解：∵a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~），b~n~=3n+5，
∴a~n+1~﹣a~n~=2（b~n+1~﹣b~n~）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{a~n~}是等差数列，首项为a~1~=1，公差为6，
则a~n~=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；
（2）∵a~n~=（a~n~﹣a~n﹣1~）+（a~n﹣1~﹣a~n﹣2~）+...+（a~2~﹣a~1~）+a~1~
=2（b~n~﹣b~n﹣1~）+2（b~n﹣1~﹣b~n﹣2~）+...+2（b~2~﹣b~1~）+a~1~
=2b~n~+a~1~﹣2b~1~，
∴，
∴．
∴数列{b~n~}的第n~0~项是最大项；
（3）由（2）可得，
①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；
单调递增，有最小值m=a~1~=3λ＜0，
∴的最小值为，最大值为，
则，解得．
∴λ∈（）．
②当λ=﹣1时，a~2n~=1，a~2n﹣1~=﹣3，
∴M=3，m=﹣1，不满足条件．
③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a~2n~→+∞，无最大值；
当n→+∞时，a~2n﹣1~→﹣∞，无最小值．
综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）**
**数 学（供文科考生使用）**
**参考答案**
**一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。**
1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B
7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。**
13．1
14．72
15．4*n*
16．2
**三、解答题**
17．（本小题满分12分）
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：
------ -------------- --------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ------------
分组 \[500，900］ \[900，1100） \[1100，1300） \[1300，1500） \[1500，1700） \[1700，1900） \[1900，）
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
------ -------------- --------------- ---------------- ---------------- ---------------- ---------------- ------------
......4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.......8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率*P*=0.6.根据在*n*次独立重复试验中事件恰好发生*k*次的概率公式可得
。
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.......12分
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：连结*CD*，
∵三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~是直三棱柱。
∴*CC*~1~⊥平面*ABC*，
∴*CD*为*C*~1~*D*在平面*ABC*内的射影，
∵△*ABC*中，*AC*=*BC*，*D*为*AB*中点。
∴*AB*⊥*CD*，
∴*AB*⊥*C*~1~*D*，
∵*A*~1~*B*~1~∥*AB*，
∴*A*~1~*B*~1~⊥*C*~1~*D*。
（Ⅱ）**解法一：**过点*A*作*CE*的平行线，交*ED*的延长线于*F*，连结*MF*.
∵*D*、*E*分别为*AB*、*BC*的中点。
∴*DE*∥*AC*。
又∵*AF*∥*CE*，*CE*⊥*AC*，
∴*AF*⊥*DE*。
∵*MA*⊥平面*ABC*，
∴*AF*为*MF*在平面*ABC*内的射影。
∴*MF*⊥*DE*，
∴∠*MFA*为二面角*M*-*DE*-*A*的平面角，∠*MFA*＝30°。
在Rt△*MAF*中，AF＝,
∴*AM*=
作*AC*⊥*MF*，垂足为*G*。
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴*DE*⊥平面*AMF*,
∴平面*MDE*⊥平面*AMF*.
∴*AG*⊥平面*MDE*
在Rt△*GAF*中，∠*GFA*＝30°，AF=,
∴*AG*=,即*A*到平面*MDE*的距离为。
∵*CA*∥*DE*,∴*CA*∥平面*MDE*,
∴*C*到平面*MDE*的距离与*A*到平面*MDE*的距离相等，为。
**解法二：**过点*A*作*CE*的平行线，交*ED*的延长线于*F*，连结*MF*，
∵*D*、*E*分别为*AB*、*CB*的中点，
*DE*∥*AC*,
又∵*AF*∥*CE*,*CE*⊥*AC*,
∴*AF*⊥*DE*,
∵*MA*⊥平面*ABC*,
∴*AF*为*MF*在平面*ABC*内的射影，
∴*MF*⊥*DE*,
∴∠*MFA*为二面角*M*-*DE*-*A*的平面角，∠*MFA*＝30°。
在Rt△*MAF*中，AF=BC=,
∴AM=.......8分
设*C*到平面*MDE*的距离为*h*。
∵,
∴,
,
,
，
∴h=，即*C*到平面*MDE*的距离为。......12分
19．（本小题满分12分）
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：
由-1≤≤1，得-3≤≤1。
可知函数的值域为［-3,1］
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由*w*＞0，得，即得*w*=2。
于是有，再由，解得
。
所以的单调增区间为［］
20．（本小题满分12分）
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（Ⅰ）解：由题设得，即
易知{Cn}是首项为a~1~+b~1~=3，公差为2的等差数列，通项公式为
Cn=2n+1
（Ⅱ）解：由题设得，令，则
。
易知{*d*}是首项，公比为的等比数列，通项公式为
*d*＝......8分
由于解得
*a*＝。......10分
求和得
。......12分
21．（本小题满分14分）
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。
（Ⅰ）**解法一：**设*A*、*B*两点坐标分别为（），（），由题设知
，
解得，
所以*A*（6，2），*B*（6，-2）或*A*（6，-2），*B*（6，2）。
设圆心*C*的坐标为（*r*,0），则，所以圆*C*的方程为
**解法二：**设*A*、*B*两点坐标分别为（*x*~1~，*y*~1~），（*x*~2~，*y*~2~），由题设知
又因为，可得，即
。
由，可知*x*~1~＝0，故*A*、*B*两点关于*x*轴对称，所以圆心*C*在*x*轴上，
设*C*点的坐标为（*r*,0），则A点的坐标为（），于是有，解得*r*=4，所以圆*C*的方程为
。......4分
（Ⅱ）解：设∠*ECF*＝2*a*，则
......8分
在Rt△*PCE*中，，由圆的几何性质得
所以由此可得
故的最大值为，最小值为---8。
22．（本小题满分12分）
本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。
解（I）由题设得
得：
即有：
由上式得，即又，故得：
（II）解：由题设知，对任意的m∈\[-26，6\]恒有
则有
解得：
| 1 | |
**2008年普通高校招生统一考试全国Ⅱ卷理综卷**
**（物理部分）**
**二、选择题**（本题共8小题。在每个小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
14.对一定量的气体, 下列说法正确的是
A、气体的体积是所有气体分子的体积之和
B、气体分子的热运动越剧烈, 气体温度就越高
C、气体对器壁的压强是由大量气体分子对器壁不断碰撞而产生的
D、当气体膨胀时气体分子之间的势能减小，因而气体的内能减少
15．一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离在下列情况下：出射光线侧移距离最大的是
A、红光以30^0^的入射角入射
B、红光以45^0^的入射角入射
C、紫光以30^0^的入射角入射
D、紫光以45^0^的入射角入射
16\. 如图, 一固定斜面上两个质量相同的小物块A和B紧挨着匀速下滑, A与B的接触面光滑. 已知A与斜面之间的动摩擦因数是B与斜面之间动摩擦因数的2倍, 斜面倾角为α. B与斜面之间的动摩擦因数是
A、
B、
C、
D、
17\. 一列简谐横波沿x轴正方向传播, 振幅为A. t=0时, 平衡位置在x=0处的质元位于y=0处, 且向y轴负方向运动; 此时, 平衡位置在x=0.15m处的质元位于y=A处. 该波的波长可能等于
A、0.60m
B、0.20m
C、0.12m
D、0.086m
18\. 如图, 一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮, 绳两端各系一小球a和b. a球质量为m, 静置于地面; b球质量为3m, 用手托住, 高度为h, 此时轻绳刚好拉紧. 从静止开始释放b后, a可能达到的最大高度为
A、 h
B、1.5h
C、 2h
D、2.5h
19 一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率 *v* 匀速下降；若两极板间的电压为U ，经一段时间后：油滴以速率 *v* 匀速上升．若两极板间电压为-U，油滴做匀速运动时速度的大小方向将是
A、2*v*、向下 B、2*v*、向上
C . 3*v*、向下 D、3*v*、向上
20．中子和质子结合成氘核时，质量亏损为 △*m*，相应的能量△E=△*mc^2^*=2.2MeV下列说法正确的是
A、用能量小于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核不能分解为一个质子和一个中子
B、用能量等于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
C、用能量大于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
D、用能量大于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核不能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和不为零
21\. 如图, 一个边长为*l*的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场; 一个边长也为*l*的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直; 虚线框对角线*ab*与导线框的一条边垂直, *ba*的延长线平分导线框. 在*t=0*时, 使导线框从图示位置开始以恒定速度沿*ab*方向移动, 直到整个导线框离开磁场区域. 以*i*表示导线框中感应电流的强度, 取逆时针方向为正. 下列表示*i-t*关系的图示中, 可能正确的是
 
 
22\. （18分）
（1）（5分）某同学用螺旋测微器测量一铜丝的直径, 测微器的示数如图所示, 该铜丝的直径为
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_mm.
（2）（13分）右图为一电学实验的实物连线图. 该实验可用来测量待测电阻R~x~的阻值(约500Ω). 图中两具电压表量程相同, 内阻都很大. 实验步骤如下:
调节电阻箱, 使它的阻值R~0~与待测电阻的阻值接近; 将滑动变阻器的滑动头调到最右端.
合上开关S.
将滑动变阻器的滑动头向左端滑动, 使两个电压表指针都有明显偏转.
记下两个电压表和的读数U~1~和U~2~
多次改变滑动变阻器滑动头的位置, 记下和的多组读数U~1~和U~2~
求R~x~的平均值.
回答下面问题:
（Ⅰ）根据实物连线图在虚线框内画出实验的电路原理图，其中电阻箱的符号为， 滑动变阻器的符号为，其余器材用通用的符号表示。
（Ⅱ）不计电压表内阻的影响，用U~1~、U~2~和R~0~表示R~x~的公式为R~x~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（Ⅲ）考虑电压表内阻的影响, 用U~1~、U~2~、R~0~、的内阻r~1~、的内阻r~2~表示R~x~的公式为R~x~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
23．(15分)如图, 一质量为M的物块静止在桌面边缘, 桌面离水平面的高度为h. 一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后, 以水平速度v0/2射出. 重力加速度为g. 求
（1）此过程中系统损失的机械能；
（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。
24．（19分）如图，一直导体棒质量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度I保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
25．（20分）我国发射的"嫦娥一号"探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R~1~，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r~1~，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R~1~、r、r~1~和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
参考答案：
| 1 | |
**《搭一搭（一）》同步练习**
一、选择
1.18根火柴最多可以拼成几个正方形？( )
A．3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.43÷7的余数是几？ ( )
A．1 B.2 C.3 D.4
3．一支笔要2元，15元最多能买几支笔？( )
A．5支 B.6支 C.7支 D.8支
二、填空题：
1.除法算式13÷2＝6... ...1中13是（ ），2是（ ），6是（ ），1是（ ）。
2.在计算有余数的除法时，（ ）要比（ ）小。
3.在有余数的除法中，被除数＝（ ）。
4.19根小棒可以摆（ ）个正方形，还剩（ ）根。
5. (1)11除以5，商是（ ），余数是（ ）。
(2)（ ）÷3=4......2
(3)在除法运算中，余数必须比除数（ ）。
(4)17÷（ ）=5......2
48÷（ ）=6
(5)在有余数的出发运算中，被除数等于除数与商的积，再加上（ ）。
三、判断：（对的在括号里面画"○"，错的画"●"）
1、在有余数的除法中，余数不能比除数大。（ ）
2、49除以8，商5余9。（ ）
3、48÷7和60÷9的商相同，余数也相同。（ ）
4、妈妈将一些糖果平均分给8个小朋友，每人分到9块，还剩9块。 （ ） \[来源:学科网\]
5、一只35元的玩具熊可以换7辆8元的小汽车。 （ ）\
四. 解决数学问题：
1.有29片扇叶，每台电扇装3片这些扇叶够装几台电扇？
2\. 野营 有9名队员打算去"恐龙乐园"进行野营。让我们一起为他们打理野营装备吧。 （1）香肠20包，平均每人分得（ ）包，还剩（ ）包。
（2）苹果30个，平均每人分得（ ）个，还剩（ ）个。
（3）矿泉水40瓶，平均每人分得（ ）瓶，还剩（ ）瓶。
（4）每3人共用1个平底锅，必须准备（ ）个平底锅。
（5）每2人共用1顶帐篷，必须准备（ ）顶帐篷。
（6）每顶帐篷需用8颗地钉，必须准备（ ）颗地钉。
五、直接写答案：
21÷6＝＿......＿ 19÷4＝＿......＿
67÷9＝＿......＿ 38÷5＝＿......＿ \[来源:Z\_xx\_k.Com\]
52÷7＝＿......＿ 71÷8＝＿......＿
17÷2＝＿......＿ 43÷9＝＿......＿
25÷3＝＿......＿
六、计算下列各题：
27÷9＝ 60÷7＝
58÷8＝ 70÷9＝
29÷5＝ 34÷6＝
七、列式计算：
1、被除数是57，除数是7，商几余几？
2、39里面有几个6，还余几？ 3、除数是9，被除数是62，商是几？余数是几？
参考答案：
一、选择
1\. D 2. A 3．C
二、填空题：
1.（ 被除数 ） （除数） （商） （余数）。
2\. （余数） （除数） \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
3\. （除数×商+余数）
4\. （ 6 ） （ 2 ）\[来源:学。科。网\]
5\. (1) （ 2 ） （ 1 ）。
(2)（ 14 ）
\(3\) （ 小 ）
\(4\) （ 3 ） （ 8 ）
\(5\) （ 余数 ）
三、判断：（对的在括号里面画"○"，错的画"●"）\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
1、（ ○ ）
2、（ ● ）
3、（ ○ ）
4、（ ● ）
5、（ ● ）\
四. 解决数学问题：
1\. 3
2\. 野营 有9名队员打算去"恐龙乐园"进行野营。让我们一起为他们打理野营装备吧。 （1）香肠20包，平均每人分得（ 2 ）包，还剩（ 2 ）包。
（2）苹果30个，平均每人分得（ 3 ）个，还剩（ 3 ）个。
（3）矿泉水40瓶，平均每人分得（ 4 ）瓶，还剩（ 4 ）瓶。
（4）每3人共用1个平底锅，必须准备（ 3 ）个平底锅。
（5）每2人共用1顶帐篷，必须准备（ 5 ）顶帐篷。
（6）每顶帐篷需用8颗地钉，必须准备（ 40 ）颗地钉。
五、直接写答案：
21÷6＝3＿......3＿ 19÷4＝4＿......3＿
67÷9＝7＿......4＿ 38÷5＝7＿......3＿
52÷7＝7＿......3＿ 71÷8＝8＿......7＿
17÷2＝8＿......1＿ 43÷9＝4＿......7＿
25÷3＝8＿......1＿
六、计算下列各题：
27÷9＝3 60÷7＝8......4
58÷8＝7......2 70÷9＝7......7
29÷5＝5......4 34÷6＝5......4
七、列式计算：
1、被除数是57，除数是7，商8余1
2、39里面有6个6，还余3
3、除数是9，被除数是62，商是6余数是8
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**2017年江苏省高考数学试卷**
**一.填空题**
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为[ ]{.underline}．
2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是[ ]{.underline}．
3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取[ ]{.underline}件．
4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是[ ]{.underline}．
5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=[ ]{.underline}．
6．（5分）如图，在圆柱O~1~O~2~内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O~1~O~2~的体积为V~1~，球O的体积为V~2~，则的值是[ ]{.underline}．
7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率是[ ]{.underline}．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y^2^=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F~1~，F~2~，则四边形F~1~PF~2~Q的面积是[ ]{.underline}．
9．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为实数，其前n项和为S~n~，已知S~3~=，S~6~=，则a~8~=[ ]{.underline}．
10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是[ ]{.underline}．
11．（5分）已知函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0．则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=[ ]{.underline}．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x^2^+y^2^=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x\|x=，n∈N^\*^}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是[ ]{.underline}．
**二.解答题**
15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈\[0，π\]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F~1~作直线PF~1~的垂线l~1~，过点F~2~作直线PF~2~的垂线l~2~．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l~1~，l~2~的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E~1~G~1~的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC~1~上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG~1~上，求l没入水中部分的长度．
19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a~n~}满足：a~n﹣k~+a~n﹣k+1~+...+a~n﹣1~+a~n+1~+...+a~n+k﹣1~+a~n+k~=2ka~n~对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a~n~}是"P（k）数列"．
（1）证明：等差数列{a~n~}是"P（3）数列"；
（2）若数列{a~n~}既是"P（2）数列"，又是"P（3）数列"，证明：{a~n~}是等差数列．
20．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b^2^＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．
**二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）**
21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC^2^ =AP•AB．
**\[选修4-2：矩阵与变换\]**
22．已知矩阵A=，B=．
（1）求AB；
（2）若曲线C~1~：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C~2~，求C~2~的方程．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
**［选修4-5：不等式选讲］**
24．已知a，b，c，d为实数，且a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，证明ac+bd≤8．
**【必做题】**
25．如图，在平行六面体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA~1~=，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值．
26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^\*^，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，...，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，...，m+n）．
--- --- --- ----- -----
1 2 3 ... m+n
--- --- --- ----- -----
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．
**2017年江苏省高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一.填空题**
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为[ 1 ]{.underline}．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．A∩B={1}，
∴a=1或a^2^+3=1，
当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；
a^2^+3=1无解．
综上，a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．
2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴\|z\|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取[ 18 ]{.underline}件．
【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，
则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，
故答案为：18
【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．
4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】直接模拟程序即得结论．
【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，
所以y=2+log~2~=2﹣=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
【解答】解：∵tan（α﹣）===
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα=，
故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题
6．（5分）如图，在圆柱O~1~O~2~内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O~1~O~2~的体积为V~1~，球O的体积为V~2~，则的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R^3^，
圆柱的体积为：πR^2^•2R=2πR^3^．
则==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由6+x﹣x^2^≥0得x^2^﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=\[﹣2，3\]，
则在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y^2^=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F~1~，F~2~，则四边形F~1~PF~2~Q的面积是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
【解答】解：双曲线﹣y^2^=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，
所以P（，），Q（，﹣），F~1~（﹣2，0）．F~2~（2，0）．
则四边形F~1~PF~2~Q的面积是：=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
9．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为实数，其前n项和为S~n~，已知S~3~=，S~6~=，则a~8~=[ 32 ]{.underline}．
【分析】设等比数列{a~n~}的公比为q≠1，S~3~=，S~6~=，可得=，=，联立解出即可得出．
【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q≠1，
∵S~3~=，S~6~=，∴=，=，
解得a~1~=，q=2．
则a~8~==32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是[ 30 ]{.underline}．
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．
当且仅当x=30时取等号．
故答案为：30．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0．则实数a的取值范围是[ \[﹣1，]{.underline}[\] ]{.underline}．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a^2^≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣的导数为：
f′（x）=3x^2^﹣2+e^x^+≥﹣2+2=0，
可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）^3^+2x+e^﹣x^﹣e^x^+x^3^﹣2x+e^x^﹣=0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0，
即有f（2a^2^）≤﹣f（a﹣1）
由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），
f（2a^2^）≤f（1﹣a），
即有2a^2^≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤，
故答案为：\[﹣1，\]．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=[ 3 ]{.underline}．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45^°^）=．sin（α+45^°^）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由与的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα=，sinα=．
∴C．
cos（α+45^°^）=（cosα﹣sinα）=．
sin（α+45^°^）=（sinα+cosα）=．
∴B．
∵=m+n（m，n∈R），
∴=m﹣n，=0+n，
解得n=，m=．
则m+n=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x^2^+y^2^=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ \[﹣5]{.underline}[，1\] ]{.underline}．
【分析】根据题意，设P（x~0~，y~0~），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x~0~+y~0~+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设P（x~0~，y~0~），则有x~0~^2^+y~0~^2^=50，
=（﹣12﹣x~0~，﹣y~0~）•（﹣x~0~，6﹣y~0~）=（12+x~0~）x~0~﹣y~0~（6﹣y~0~）=12x~0~+6y+x~0~^2^+y~0~^2^≤20，
化为：12x~0~﹣6y~0~+30≤0，
即2x~0~﹣y~0~+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，
联立，解可得x~0~=﹣5或x~0~=1，
结合图形分析可得：点P的横坐标x~0~的取值范围是\[﹣5，1\]，
故答案为：\[﹣5，1\]．
【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x~0~、y~0~的关系式．
14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x\|x=，n∈N^\*^}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是[ 8 ]{.underline}．
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x\|x=，n∈N^\*^}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．
【解答】解：∵在区间\[0，1）上，f（x）=，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间\[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
同理：
区间\[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间\[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间\[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．
**二.解答题**
15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；
（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，FG∥BC，
所以FG⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈\[0，π\]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，
∴﹣cosx=3sinx，
∴tanx=﹣，
∵x∈\[0，π\]，
∴x=，
（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），
∵x∈\[0，π\]，
∴x+∈\[，\]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F~1~作直线PF~1~的垂线l~1~，过点F~2~作直线PF~2~的垂线l~2~．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l~1~，l~2~的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b^2^=a^2^﹣c^2^=3，即可求得椭圆方程；
（2）设P点坐标，分别求得直线PF~2~的斜率及直线PF~1~的斜率，则即可求得l~2~及l~1~的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y~0~^2^=x~0~^2^﹣1，联立即可求得P点坐标；
方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l~1~及l~1~的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n^2^，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b^2^=a^2^﹣c^2^=3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）方法一：设P（x~0~，y~0~），则直线PF~2~的斜率=，
则直线l~2~的斜率k~2~=﹣，直线l~2~的方程y=﹣（x﹣1），
直线PF~1~的斜率=，
则直线l~2~的斜率k~1~=﹣，直线l~1~的方程y=﹣（x+1），
联立，解得：，则Q（﹣x~0~，），
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y~0~=，
∴y~0~^2^=x~0~^2^﹣1，
则，解得：，则，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1时，不存在，解得：Q与F~1~重合，不满足题意，
当m≠1时，=，=，
由l~1~⊥PF~1~，l~2~⊥PF~2~，则=﹣，=﹣，
直线l~1~的方程y=﹣（x+1），①直线l~2~的方程y=﹣（x﹣1），②
联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），
由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n^2^，
即m^2^﹣n^2^=1，或m^2^+n^2^=1，
由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．
18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E~1~G~1~的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC~1~上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG~1~上，求l没入水中部分的长度．
【分析】（1）设玻璃棒在CC~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC~1~⊥平面ABCD，CC~1~⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．
（2）设玻璃棒在GG~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E~1~G~1~，交E~1~G~1~于点Q，推导出EE~1~G~1~G为等腰梯形，求出E~1~Q=24cm，E~1~E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
【解答】解：（1）设玻璃棒在CC~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~为正四棱柱，∴CC~1~⊥平面ABCD，
又∵AC⊂平面ABCD，∴CC~1~⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM^2^=AC^2^+MC^2^，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴=，，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
（2）设玻璃棒在GG~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E~1~EGG~1~中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E~1~G~1~，交E~1~G~1~于点Q，
∵EFGH﹣E~1~F~1~G~1~H~1~为正四棱台，∴EE~1~=GG~1~，EG∥E~1~G~1~，
EG≠E~1~G~1~，
∴EE~1~G~1~G为等腰梯形，画出平面E~1~EGG~1~的平面图，
∵E~1~G~1~=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E~1~Q=24cm，
由勾股定理得：E~1~E=40cm，
∴sin∠EE~1~G~1~=，sin∠EGM=sin∠EE~1~G~1~=，cos∠EGM=﹣，
根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，
∴EN===20cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a~n~}满足：a~n﹣k~+a~n﹣k+1~+...+a~n﹣1~+a~n+1~+...+a~n+k﹣1~+a~n+k~=2ka~n~对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a~n~}是"P（k）数列"．
（1）证明：等差数列{a~n~}是"P（3）数列"；
（2）若数列{a~n~}既是"P（2）数列"，又是"P（3）数列"，证明：{a~n~}是等差数列．
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~=（a~n﹣3~+a~n+3~）+（a~n﹣2~+a~n+2~）+（a~n﹣1~+a~n+1~）═2×3a~n~，根据"P（k）数列"的定义，可得数列{a~n~}是"P（3）数列"；
（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a~n~}从第3项起为等差数列，再通过判断a~2~与a~3~的关系和a~1~与a~2~的关系，可知{a~n~}为等差数列．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{a~n~}首项为a~1~，公差为d，则a~n~=a~1~+（n﹣1）d，
则a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~，
=（a~n﹣3~+a~n+3~）+（a~n﹣2~+a~n+2~）+（a~n﹣1~+a~n+1~），
=2a~n~+2a~n~+2a~n~，
=2×3a~n~，
∴等差数列{a~n~}是"P（3）数列"；
（2）证明：当n≥4时，因为数列{a~n~}是P（3）数列，则a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~=6a~n~，①
因为数列{a~n~}是"P（2）数列"，所以a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~=4a~n~，②
则a~n﹣1~+a~n~+a~n+2~+a~n+3~=4a~n+1~，③，
②+③﹣①，得2a~n~=4a~n﹣1~+4a~n+1~﹣6a~n~，即2a~n~=a~n﹣1~+a~n+1~，（n≥4），
因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a~2~+a~3~+a~5~+a~6~=4a~4~，
所以a~2~=4a~4~﹣a~3~﹣a~5~﹣a~6~=4（a~3~+d）﹣a~3~﹣（a~3~+2d）﹣（a~3~+3d）=a~3~﹣d，
因为a~1~+a~2~+a~4~+a~5~=4a~3~，所以a~1~=4a~3~﹣a~2~﹣a~4~﹣a~5~=4（a~2~+d）﹣a~2~﹣（a~2~+2d）﹣（a~2~+3d）=a~2~﹣d，
也即前3项满足等差数列的通项公式，
所以{a~n~}为等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．
20．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．
（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b^2^＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x^2^+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b^2^﹣3a=﹣+=（4a^3^﹣27）（a^3^﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x^2^+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣．
由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，
所以b=+（a＞0）．
因为f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x^2^+2ax+b=0的实根，
所以4a^2^﹣12b≥0，即a^2^﹣+≥0，解得a≥3，
所以b=+（a＞3）．
（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b^2^﹣3a=﹣+=（4a^3^﹣27）（a^3^﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b^2^＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，
设x~1~，x~2~是y=f（x）的两个极值点，则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
所以f（x~1~）+f（x~2~）=++a（+）+b（x~1~+x~2~）+2
=（x~1~+x~2~）\[（x~1~+x~2~）^2^﹣3x~1~x~2~\]+a\[（x~1~+x~2~）^2^﹣2x~1~x~2~\]+b（x~1~+x~2~）+2
=﹣+2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，
所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，
因为a＞3，所以2a^3^﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a^2^﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a^2^+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a^2^+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6\]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
**二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）**
21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC^2^ =AP•AB．
【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
∴=．
∴AC^2^ =AP•AB．
【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**\[选修4-2：矩阵与变换\]**
22．已知矩阵A=，B=．
（1）求AB；
（2）若曲线C~1~：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C~2~，求C~2~的方程．
【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C~1~的方程化简即可．
【解答】解：（1）AB==，
（2）设点P（x，y）为曲线C~1~的任意一点，
点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x~0~，y~0~），
则=，即x~0~=2y，y~0~=x，
∴x=y~0~，y=，
∴，即x~0~^2^+y~0~^2^=8，
∴曲线C~2~的方程为x^2^+y^2^=8．
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．
【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P到直线l的距离d==，
∴当s=时，d取得最小值=．
【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
**［选修4-5：不等式选讲］**
24．已知a，b，c，d为实数，且a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，证明ac+bd≤8．
【分析】a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）^2^≤（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^），即可得出．
【解答】证明：∵a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）^2^≤（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^）=4×16=64，当且仅当时取等号．
∴﹣8≤ac+bd≤8．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**【必做题】**
25．如图，在平行六面体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA~1~=，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值．
【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA~1~⊥平面ABCD，可得AA~1~⊥Ax，AA~1~⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA~1~所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A~1~，C~1~ 的坐标，进一步求出，，，的坐标．
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值；
（2）求出平面BA~1~D与平面A~1~AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A~1~D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，
∵AA~1~⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，
∴AA~1~⊥Ax，AA~1~⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA~1~所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA~1~=，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），
D（0，2，0），
A~1~（0，0，），C~1~（）．
=（），=（），，．
（1）∵cos＜＞==．
∴异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值为；
（2）设平面BA~1~D的一个法向量为，
由，得，取x=，得；
取平面A~1~AD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣A~1~D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值为．
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．
26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^\*^，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，...，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，...，m+n）．
--- --- --- ----- -----
1 2 3 ... m+n
--- --- --- ----- -----
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．
【分析】（1）法一：设事件A~i~表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A~2~）=P（A~2~\|A~1~）P（A~1~）+P（A~2~\|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（2）X的所有可能取值为，...，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，...，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．
【解答】解：（1）解法一：设事件A~i~表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A~2~）=P（A~2~\|A~1~）P（A~1~）+P（A~2~\|）P（）
=
==．
解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，
故总排法有种，
除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，
∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．
证明：（2）∵X的所有可能取值为，...，，
P（x=）=，k=n，n+1，n+2，...，n+m，
∴E（X）=（）=
=＜=
=•（）
==，
∴E（X）＜．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
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**2020－2021学年度上期期末考试**
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座号
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**五年级数学试题**
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题号 一 二 三 四 五 卷面分 总分
得分
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**温馨提示：**
**1.本试卷共4页，五大题，满分100分，其中卷面分10分。**
**2．请同学们认真审题，规范作答；字体工整、卷面整洁，书写最美试卷，争取不失卷面分。**
**3.请阅卷老师严格把关，审美评卷、根据卷面、字体、书写格式，打好卷面分。**
**一.填空（每空1分，共20分）**
> **1、如果-40元表示支出40元，那么+100元表示( )。零上3℃通常记作( )，低于海平面110米通常记作( )。**
>
> **2、由4个一和5个百分之一组成的数是( )，10.60里面有 1个十和( )个十分之一。**
>
> **3、2015年，我国粮食总产量达到621435000吨，把它改写成用"万"作单位的数是( )万吨，精确到亿位约是( )亿吨。**
4. **一瓶食用油的外包装上标有：净含量（500±10）克，这瓶食用油的净含量最多是( )克，最少是( )。**
5. **在一个底是16厘米，高是5厘米的平行四边形内画一个三角形，这个三角形的面积最大是( )平方厘米。**
6. **在( )里填上合适的数**
> **500平方米=( )公顷 0.1平方千米=( )平方米**
>
> **3.5公顷=( )平方米 4吨300千克=( )吨**
7. **甲、乙两数的和是16.5，乙数的小数点向右移动一位正好等于甲数。甲、乙两数的差是( )。**
8. **一块长方形菜地，长20米，宽16米。如果长增加****米，宽不变，那么面积增加( )平方米，周长增加( )米。**
9. **有甲、乙两袋大米，从甲袋中拿出5.4千克大米放入乙袋，乙袋大米的质量还比甲袋少0.3千克，原来甲袋大米的质量比乙袋多( )千克。**
10. **用24个1平方厘米的小正方形拼成一个大长方形，有( )种不同的拼法，其中周长最长是( )厘米。**
```{=html}
<!-- -->
```
2. **判断（每题2分，共10分）**
> **1、在8.46÷2.5中，如果同时去掉被除数和除数的小数点，那么商就扩大10倍。 ( )**
>
> **2、要把一个数扩大10倍，只要在这个数的末尾添上一个"0"。 ( )**
>
> **3、一个因数是两位小数，另一个因数是三位小数，它们的积最多是五位小数。 ( )**
>
> **4、两个小数的和一定小于这两个小数的积。 ( )**
>
> **5、甲、乙两个三角形可以拼成一个平行四边形，那么这两个三角形一定完全相同。 ( )**
**三、选择（每题2分，共10分）**
**1、20.7÷2.5的商是8时，余数是( )**
> **A.0.7 B. 7 C. 0.07**
**2、甲数是****，它比乙数的4倍多5，则乙数是( )**
A. **（*a*+5）÷4 B. （*a*-5 ）÷4 C. （*a*+5）×4**
**3、下面最接近0的选项是( )**
A. **-1 B. 2 C. -0.01**
**4、甲、乙两数都不为0，如果甲÷0.86=乙，那么甲一定( )乙。**
A. **大于 B. 小于 C. 等于**
**5、3.2046精确到百分位是( )**
A. **3.2 B. 3.205 C. 3.20**
**四、计算**
1. **直接写得数（1×6=6分）**
**6+0.1= 0.3×0.2= 0.48÷6=**
**1-0.2= 0.2÷0.01= 0.8×100=**
2. **用竖式计算（2×4=8分）**
**7.5-3.26= 8.34+2.8=**
**20.4×0.35= 3.9÷0.13=**
3. **计算下面各题，能简算的要简算（3×4=12分）**
**62.3×1.7-2.3×1.7 7.2÷\[0.24×（18.8+31.2）\]**
**1.25×3.2×2.5 5.72+0.86+0.14**
**五、解决问题（每题6分，共24分）**
1. **一块三角形的水稻田，底是360米，高是250米，平均每公顷收水稻7.2吨，这块稻田一共可收水稻多少吨？**
2. **一个书架有上、下两层，下层书架放的书的本数是上层的1.45倍，如果从下层取出90本放到上层，那么两层书架上书的本数相等。上层原来有多少本书？**
3. **小红房间要重新铺地砖，原来用60块面积为0.3平方米的长方形瓷砖，如果改用直角边长是2分米的等腰直角三角形瓷砖铺地，那么至少需要多少块这样的瓷砖？**
4. **用48米长的篱笆，在靠墙的地方围一块菜地（如图），这块菜地的面积是多少平方米？如果按一年每平方米的菜收入15元计算，这块菜地一年能收入多少元？**
**五年级数学答案**
**一、填空**
1. **收入100元 +3℃ -110米 *2*. 4.05 6 *3.* 62143.5 6**
```{=html}
<!-- -->
```
4. **510 490 *5.* 40 *6.* 0.05 100 000 35000 4.3 *7.* 13.5**
```{=html}
<!-- -->
```
8. **16** **2** ***9.* 11.1 *10.* 4 50**
```{=html}
<!-- -->
```
2. **判断**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **√ 2. × 3. √ 4. × 5. √**
```{=html}
<!-- -->
```
3. **选择**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **A 2. B 3. C 4. B 5. C**
```{=html}
<!-- -->
```
4. **计算**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **6.1 0.06 0.08 0.8 20 80**
2. **4.24 11.14 7.14 30**
3. **102 0.6 10 6.72**
```{=html}
<!-- -->
```
5. **解答**
```{=html}
<!-- -->
```
1. **360×250÷2=45000（平方米） 45000平方米=4.5公顷**
**7.2×4.5=32.4（吨） 答：这块稻田一共可收水稻32.4吨。**
2. **（90+90）÷（1.45-1）=400（本）**
3. **2×2÷2=2（平方分米） 2平方分米=0.02平方米**
**0.3×60÷0.02=900（块）**
4. **（48-24）×24÷2=288（平方米）**
**288×15=4320（元）**
| 1 | |
**2019年浙江省金华市中考数学试卷**
**一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.**
1．（3分）（2019•金华）实数4的相反数是
A． B． C． D．4
2．（3分）（2019•金华）计算，正确的结果是
A．2 B． C． D．
3．（3分）（2019•金华）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．8
4．（3分）（2019•金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是
---------- ---- ---- ---- ----
星期 一 二 三 四
最高气温
最低气温
---------- ---- ---- ---- ----
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
5．（3分）（2019•金华）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•金华）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标的位置表述正确的是
A．在南偏东方向处 B．在处
C．在南偏东方向处 D．在南偏东方向处
7．（3分）（2019•金华）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•金华）如图，矩形的对角线交于点．已知，，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为
A．2 B． C． D．
10．（3分）（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是
A． B． C． D．
**二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）**
11．（4分）（2019•金华）不等式的解是[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•金华）数据3，4，10，7，6的中位数是[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•金华）当，时，代数式的值是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•金华）如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载："今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．"如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是[ ]{.underline}．
16．（4分）（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，、、是门轴的滑动轨道，，两门、的门轴、、、都在滑动轨道上，两门关闭时（图，、分别在、处，门缝忽略不计（即、重合）；两门同时开启，、分别沿，的方向匀速滑动，带动、滑动：到达时，恰好到达，此时两门完全开启，已知，．
（1）如图3，当时，[ ]{.underline}．
（2）在（1）的基础上，当向方向继续滑动时，四边形的面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）**
17．（6分）（2019•金华）计算：．
18．（6分）（2019•金华）解方程组
19．（6分）（2019•金华）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求，的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢"数学史话"的学生人数．
20．（8分）（2019•金华）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段，均为格点），各画出一条即可．
21．（8分）（2019•金华）如图，在中，以为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点．
（1）求的度数．
（2）如图，点在上，连结与交于点，若，求的度数．
22．（10分）（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）点是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与交于点，求点的横坐标；
（3）平移正六边形，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
23．（10分）（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边，分别在轴，轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点为抛物线的顶点．
（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围．
24．（12分）（2019•金华）如图，在等腰中，，，点，分别在边，上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到．
（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．
（2）已知点为的中点．
①如图2，若，，求的长．
②若，是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
**2019年浙江省金华市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.**
1．（3分）实数4的相反数是
A． B． C． D．4
【考点】14：相反数；28：实数的性质
【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，的相反数是；
故选：．
2．（3分）计算，正确的结果是
A．2 B． C． D．
【考点】48：同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂除法法则可解．
【解答】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，．
故选：．
3．（3分）若长度分别为，3，5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．8
【考点】：三角形三边关系
【分析】根据三角形三边关系定理得出，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：，
即，
即符合的只有3，
故选：．
4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是
---------- ---- ---- ---- ----
星期 一 二 三 四
最高气温
最低气温
---------- ---- ---- ---- ----
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【考点】：有理数的减法
【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；
【解答】解：星期一温差；
星期二温差；
星期三温差；
星期四温差；
故选：．
5．（3分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为
A． B． C． D．
【考点】：概率公式
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
故选：．
6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标的位置表述正确的是
A．在南偏东方向处 B．在处
C．在南偏东方向处 D．在南偏东方向处
【考点】：方向角
【分析】根据方向角的定义即可得到结论．
【解答】解：由图可得，目标在南偏东方向处，
故选：．
7．（3分）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【考点】：解一元二次方程配方法
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程时，配方结果为，
故选：．
8．（3分）如图，矩形的对角线交于点．已知，，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【考点】：矩形的性质；：解直角三角形
【分析】根据矩形的性质得出，，，，，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：、四边形是矩形，
，，，，
，
，
由三角形内角和定理得：，故本选项不符合题意；
、在中，，
即，故本选项不符合题意；
、在中，，即，故本选项符合题意；
、四边形是矩形，
，
，
在中，，故本选项不符合题意；
故选：．
9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，，，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为
A．2 B． C． D．
【考点】：圆锥的计算
【分析】先证明为等腰直角三角形得到，，再证明为等边三角形得到，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
而，
为等边三角形，
，
上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，
下面圆锥的侧面积．
故选：．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是
A． B． C． D．
【考点】：正方形的性质；：剪纸问题
【分析】连接，设直线与边的交点为，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用分别表示出线段和线段的长即可求解．
【解答】解：连接，设直线与边的交点为，如图：
由折叠可知点、、、四点共线，且，
设正方形的边长为，
则正方形的面积为，
若正方形与五边形的面积相等
由折叠可知正方形的面积正方形的面积，
正方形的边长
故选：．
**二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）**
11．（4分）不等式的解是[ ]{.underline}．
【考点】：解一元一次不等式
【分析】根据移项、合并同类项、化系数为1解答即可．
【解答】解：，
，
故答案为：
12．（4分）数据3，4，10，7，6的中位数是[ 6 ]{.underline}．
【考点】：中位数
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为3、4、6、7、10，
这组数据的中位数为6，
故答案为：6．
13．（4分）当，时，代数式的值是[ ]{.underline}．
【考点】59：因式分解的应用
【分析】首先把化为，然后把，代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：当，时，
故答案为：．
14．（4分）如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是[ ]{.underline}．
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质可求，再根据仰角的定义即可求解．
【解答】解：过点作于，
，
．
故此时观察楼顶的仰角度数是．
故答案为：．
15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载："今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．"如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是[ ]{.underline}．
【考点】：一次函数的应用
【分析】根据题意可以得到关于的方程，从而可以求得点的坐标，本题得以解决．
【解答】解：令，
解得，，
则，
点的坐标为，
故答案为：．
16．（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，、、是门轴的滑动轨道，，两门、的门轴、、、都在滑动轨道上，两门关闭时（图，、分别在、处，门缝忽略不计（即、重合）；两门同时开启，、分别沿，的方向匀速滑动，带动、滑动：到达时，恰好到达，此时两门完全开启，已知，．
（1）如图3，当时，[ ]{.underline}．
（2）在（1）的基础上，当向方向继续滑动时，四边形的面积为[ ]{.underline}．
【考点】：解直角三角形的应用
【分析】（1）先由已知可得、两点的路程之比为，再结合运动的路程即可求出运动的路程，相加即可求出的长；
（2）当向方向继续滑动时，，由勾股定理和题目条件得出△、△和梯形边长，即可利用割补法求出四边形四边形的面积．
【解答】解：、分别在、处，门缝忽略不计（即、重合）且，．
到达时，恰好到达，此时两门完全开启，
、两点的路程之比为
（1）当时，在中，，
运动的路程为
、两点的路程之比为
此时点运动的路程为
故答案为：；
（2）当向方向继续滑动时，设此时点运动到了点处，点、、分别运动到了点、、处，连接，如图：
则此时
由勾股定理得：，
运动的路程为
运动的路程为
由勾股定理得：，
四边形的面积梯形的面积△的面积△的面积．
四边形的面积为．
故答案为：2556．
**三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）**
17．（6分）计算：．
【考点】：特殊角的三角函数值；：负整数指数幂；：实数的运算
【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式．
18．（6分）解方程组
【考点】98：解二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；
【解答】解：，
将①化简得：③，
②③，得，
将代入②，得，
；
19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）求，的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢"数学史话"的学生人数．
【考点】：条形统计图；：用样本估计总体；：扇形统计图
【分析】（1）先用选的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比其所对应的人数总人数分别求出、的值；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢"数学史话"的学生人数．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选的有12人，占，
故总人数有人，
；
（2）选的有人，
故条形统计图补充为：
（3）全校最喜欢"数学史话"的学生人数为：人．
20．（8分）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段，均为格点），各画出一条即可．
【考点】：作图应用与设计作图
【分析】从图中可得到边的中点在格点上设为，过作的平行线即可在格点上找到；，，，借助勾股定理确定点；
【解答】解：如图：
从图中可得到边的中点在格点上设为，过作的平行线即可在格点上找到，则平分；
，，，借助勾股定理确定点，则；
借助圆规作的垂直平分线即可；
21．（8分）如图，在中，以为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点．
（1）求的度数．
（2）如图，点在上，连结与交于点，若，求的度数．
【考点】：切线的性质；：平行四边形的性质
【分析】（1）连接，证明是等腰直角三角形，即可求解；
（2）是等腰直角三角形，则，，即可求解．
【解答】解：（1）连接，
是圆的切线，，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰直角三角形，
，
的度数为；
（2）连接，过点作于点，设，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
则，
，
．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）点是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与交于点，求点的横坐标；
（3）平移正六边形，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征；：中心对称；：正多边形和圆；：坐标与图形变化平移
【分析】过点作轴垂线，连接，可得，是的中点，所以；
（2）易求，，待定系数法求出的解析式为，联立反比例函数与一次函数即可求点；
（3），，，将正六边形向左平移两个单位后，，，，则点与都在反比例函数图象上；
【解答】解：（1）过点作轴垂线，连接，
是正六边形的对称中心，，
，是的中点，
，
，
在反比例函数上，
，
，
由正六边形的性质，，，
点在反比例函数图象上；
（2），，
设的解析式为，
，
，
，
联立方程解得，
点横坐标为；
（3），，，
将正六边形向左平移两个单位后，，，，
则点与都在反比例函数图象上；
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，边，分别在轴，轴的正半轴上，把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点为抛物线的顶点．
（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）如图1中，当时，二次函数的表达式，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
（2）如图2中，当时，二次函数解析式为，如图2，结合图象即可解决问题．
（3）如图3中，抛物线的顶点，推出抛物线的顶点在直线上，由点在正方形内部，则，如图3中，，，观察图象可知，当点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点除外），求出抛物线经过点或点时的值，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，当时，二次函数的表达式，函数图象如图1所示．
当时，，当时，，
抛物线经过点和，
观察图象可知：好点有：，，，，，共5个．
（2）如图2中，当时，二次函数解析式为．如图2．
当时，，当时，，当时，，
抛物线经过，，，
共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为，，．
（3）如图3中，抛物线的顶点，
抛物线的顶点在直线上，
点在正方形内部，则，
如图3中，，，观察图象可知，当点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段有交点（点除外），
当抛物线经过点时，，
解得或（舍弃），
当抛物线经过点时，，
解得或4（舍弃），
当时，顶点在正方形内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
24．（12分）如图，在等腰中，，，点，分别在边，上，将线段绕点按逆时针方向旋转得到．
（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．
（2）已知点为的中点．
①如图2，若，，求的长．
②若，是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
【考点】：几何变换综合题
【分析】（1）如图1中，首先证明，再证明四边形是平行四边形即可解决问题．
（2）①作于点，于．证明是的中位线，想办法求出即可解决问题．
②分两种情形：如图中，当时，，，，共线，作于点，于．设．构建方程解决问题即可．如图中，当时，取的中点，连接．作于．构建方程解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
，，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）①解：如图2中，作于点，于．
由题意：，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图中，当时，，，，共线，作于点，于．设．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得．
如图中，当时，取的中点，连接．作于．
设，由2①可知，，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍弃），
综上所述，满足条件的的值为或．
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 2020年高考数学考点题型全归纳（理） {#年高考数学考点题型全归纳理 .}
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第一章 集合与常用逻辑用语 11
第一节 集 合 11
考点一 集合的基本概念 12
考点二 集合间的基本关系 13
考点三 集合的基本运算 15
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 20
考点一 四种命题及其真假判断 21
考点二 充分、必要条件的判断 22
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围 23
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 28
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假 29
考点二 全称命题与特称命题 30
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 31
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 37
第一节 函数及其表示 37
考点一 函数的定义域 37
考点二 求函数的解析式 39
考点三 分段函数 41
第二节 函数的单调性与最值 49
考点一 确定函数的单调性区间 50
考点二 求函数的值域最值 52
考点三 函数单调性的应用 54
第三节 函数的奇偶性与周期性 61
62
64
65
第四节 函数性质的综合问题 72
72
73
考点三 函数性质的综合应用 74
第五节 函数的图象 82
83
85
87
第六节 二次函数 94
95
97
第七节 幂函数 105
105
107
第八节 指数式、对数式的运算 111
112
114
第九节 指数函数 118
119
120
第十节 对数函数 127
128
129
第十一节 函数与方程 135
136
138
第十二节 函数模型及其应用 143
143
145
第三章 导数及其应用 151
第一节 导数的概念及运算、定积分 151
考点一 导数的运算 153
考点二 导数的几何意义及其应用 154
考点三 定积分的运算及应用 157
第二节 导数的简单应用 165
第一课时 导数与函数的单调性 166
166
167
第二课时 导数与函数的极值、最值 178
178
180
182
第三节 导数的综合应用 191
第一课时 利用导数解不等式 191
考点一 *f*(*x*)与*f*′(*x*)共存的不等式问题 191
考点二 不等式恒成立问题 194
考点三 可化为不等式恒成立问题 196
第二课时 利用导数证明不等式 202
考点一 单变量不等式的证明 202
考点二 双变量不等式的证明 205
考点三 证明与数列有关的不等式 206
第三课时 导数与函数的零点问题 211
考点一 判断函数零点的个数 211
考点二 由函数零点个数求参数 213
第四节 导数压轴专项突破 219
第一课时 分类讨论的"界点"确定 219
考点一 根据二次项系数确定分类"界点" 219
考点二 根据判别式确定分类"界点" 220
考点三 根据导函数零点的大小确定分类"界点" 220
考点四 根据导函数零点与定义域的关系确定分类"界点" 221
第二课时 有关*x*与e*^x^*，ln *x*的组合函数问题 223
考点一 *x*与*ln x*的组合函数问题 223
*考点二 x*与e*^x^*的组合函数问题 224
*考点三 x*与e*^x^*，ln *x*的组合函数问题 226
考点四 借助e*^x^*≥*x*＋1和ln *x*≤*x*－1进行放缩 228
第三课时 极值点偏移问题 230
考点一 对称变换 230
考点二 消参减元 231
考点三 比(差)值换元 233
第四课时 导数零点不可求 235
考点一 猜出方程*f*′(*x*)＝0的根 235
考点二 隐零点代换 235
考点三 证------证明方程*f*′(*x*)＝0无根 236
第五课时 构造函数 238
考点一 "比较法"构造函数证明不等式 238
考点二 "拆分法"构造函数证明不等式 239
考点三 "换元法"构造函数证明不等式 240
考点四 "转化法"构造函数 241
第六课时 "任意"与"存在"问题 242
考点一 单一任意与存在问题 242
考点二 双任意与存在相等问题 243
考点三 双任意与双存在不等问题 244
考点四 存在与任意嵌套不等问题 246
第四章 三角函数、解三角形 252
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 252
253
255
256
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 262
263
考点二 同角三角函数的基本关系及应用 264
第三节 三角函数的图象与性质 272
第一课时 三角函数的单调性 273
273
276
考点三 根据三角函数单调性确定参数 277
第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 284
285
286
288
第四节 函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的图象及应用 297
考点一 求函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的解析式 298
考点二 函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的图象与变换 300
302
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 311
311
考点二 三角函数公式的逆用与变形用 313
315
第六节 简单的三角恒等变换 323
323
324
327
第七节 正弦定理和余弦定理 335
第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 336
考点一 利用正、余弦定理解三角形 336
338
第二课时 正弦定理和余弦定理(二) 344
344
346
考点三 三角形中的最值、范围问题 349
考点四 解三角形与三角函数的综合应用 351
第八节 解三角形的实际应用 359
359
361
362
第五章 平面向量 366
第一节 平面向量的概念及线性运算 366
368
370
371
第二节 平面向量基本定理及坐标表示 378
考点一 平面向量基本定理及其应用 379
380
381
第三节 平面向量的数量积 386
388
391
第四节 平面向量的综合应用 398
398
399
400
第六章 数列 408
第一节 数列的概念与简单表示 408
考点一 由*a~n~*与*S~n~*的关系求通项*a~n~* 409
考点二 由递推关系式求数列的通项公式 410
412
第二节 等差数列及其前*n*项和 419
420
421
422
第三节 等比数列及其前*n*项和 429
430
431
433
第四节 数列求和 439
考点一 分组转化法求和 440
考点二 裂项相消法求和 441
考点三 错位相减法 443
第五节 数列的综合应用 450
考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用 450
考点二 等差数列与等比数列的综合计算 452
第七章 不等式 461
第一节 不等式的性质 461
462
463
第二节 一元二次不等式及其解法 468
469
471
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 478
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 478
481
483
第四节 基本不等式 491
491
494
第八章 立体几何 500
第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图 500
502
502
504
第二节 空间几何体的表面积与体积 511
512
513
516
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 524
525
526
第四节 直线、平面平行的判定与性质 532
考点一 直线与平面平行的判定与性质 533
考点二 平面与平面平行的判定与性质 535
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 543
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 544
546
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 553
553
555
第七节 空间角 562
562
563
565
第八节 空间向量的运算及应用 571
考点一 空间向量的线性运算 573
考点二 共线、共面向量定理的应用 574
考点三 空间向量数量积及应用 575
考点四 利用向量证明平行与垂直问题 577
第九节 利用空间向量求空间角 585
586
588
590
第十节 突破立体几何中的3大经典问题 603
603
607
611
第九章 平面解析几何 623
第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 623
624
625
627
第二节 两直线的位置关系 632
633
634
636
第三节 圆的方程 642
642
645
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 652
652
655
第五节 直线与圆的综合问题 662
662
664
第六节 椭 圆 672
第一课时 椭圆及其性质 673
673
675
676
第二课时 直线与椭圆的综合问题 686
686
687
689
第七节 双曲线 698
699
701
703
第八节 抛物线 712
713
714
716
第九节 曲线与方程 724
考点一 直接法求轨迹方程 725
考点二 定义法求轨迹方程 725
考点三 代入法(相关点)求轨迹方程 726
第十节 解析几何常见突破口 736
考点一 利用向量转化几何条件 736
考点二 角平分线条件的转化 737
考点三 弦长条件的转化 739
考点四 面积条件的转化 741
第十一节 解析几何计算处理技巧 747
考点一 回归定义，以逸待劳 748
考点二 设而不求，金蝉脱壳 749
考点三 巧设参数，变换主元 751
考点四 数形结合，偷梁换柱 753
考点五 妙借向量，无中生有 754
考点六 巧用"根与系数的关系" 756
第十二节 解析几何综合3大考点 763
考点一 定点、定值问题 763
考点二 最值、范围问题 767
考点三 证明、探索性问题 772
第十章 统计与统计案例 781
第一节 随机抽样 781
782
783
784
第二节 用样本估计总体 790
791
792
794
第三节 变量间的相关关系与统计案例 804
考点一 回归分析 805
809
第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 819
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 819
考点一 分类加法计数原理 819
考点二 分步乘法计数原理 820
第二节 排列与组合 827
考点一 排列问题 827
考点二 组合问题 829
考点三 分组、分配问题 831
考点四 排列、组合的综合问题 832
第三节 二项式定理 838
838
841
843
第四节 随机事件的概率 848
考点一 随机事件的关系 850
考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用 852
第五节 古典概型与几何概型 860
861
862
第六节 离散型随机变量及其分布列 871
考点一 离散型随机变量的分布列的性质 872
考点二 超几何分布 874
考点三 求离散型随机变量的分布列 875
第七节 *n*次独立重复试验及二项分布 882
883
884
886
第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 896
897
899
901
903
第十二章复数、算法、推理与证明 914
第一节 数系的扩充与复数的引入 914
915
916
918
第二节 算法与程序框图 924
925
927
931
第三节 合情推理与演绎推理 941
942
944
945
946
第四节 直接证明与间接证明 952
953
954
选修4－4 坐标系与参数方程 961
第一节 坐标系 961
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 962
963
965
第二节 参数方程 971
972
973
975
选修4－5 不等式选讲 982
第一节 绝对值不等式 982
983
985
985
第二节 不等式的证明 992
992
993
994
第一章 集合与常用逻辑用语
=========================
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N^\*^或N~＋~表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合*A*，*B*，如果集合*A*中任意一个元素都是集合*B*中的元素，则称*A*是*B*的子集，记作*A*⊆*B*(或*B*⊇*A*)．
(2)真子集：如果集合*A*是集合*B*的子集，但集合*B*中至少有一个元素不属于*A*，则称*A*是*B*的真子集，记作*AB*或*BA*.
*AB*⇔既要说明*A*中任何一个元素都属于*B*，也要说明*B*中存在一个元素不属于*A*.
(3)集合相等：如果*A*⊆*B*，并且*B*⊆*A*，则*A*＝*B*.
两集合相等：*A*＝*B*⇔*A*中任意一个元素都符合*B*中元素的特性，*B*中任意一个元素也符合*A*中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合*A*的子集，是任何非空集合*B*的真子集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合*A*且属于集合*B*的所有元素组成的集合，称为*A*与*B*的交集，记作*A*∩*B*，即*A*∩*B*＝{*x*\|*x*∈*A*，且*x*∈*B*}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合*A*或属于集合*B*的元素组成的集合，称为*A*与*B*的并集，记作*A*∪*B*，即*A*∪*B*＝{*x*\|*x*∈*A*，或*x*∈*B*}．
(3)补集：对于一个集合*A*，由全集*U*中不属于集合*A*的所有元素组成的集合称为集合*A*相对于全集*U*的补集，简称为集合*A*的补集，记作∁*~U~A*，即∁*~U~A*＝{*x*\|*x*∈*U*，且*x*∉*A*}．
求集合*A*的补集的前提是"*A*是全集*U*的子集"，集合*A*其实是给定的条件.从全集*U*中取出集合*A*的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁*~U~A*.
二、常用结论
(1)子集的性质：*A*⊆*A*，∅⊆*A*，*A*∩*B*⊆*A*，*A*∩*B*⊆*B*.
(2)交集的性质：*A*∩*A*＝*A*，*A*∩∅＝∅，*A*∩*B*＝*B*∩*A*.
(3)并集的性质：*A*∪*B*＝*B*∪*A*，*A*∪*B*⊇*A*，*A*∪*B*⊇*B*，*A*∪*A*＝*A*，*A*∪∅＝∅∪*A*＝*A*.
(4)补集的性质：*A*∪∁*~U~A*＝*U*，*A*∩∁*~U~A*＝∅，∁*~U~*(∁*~U~A*)＝*A*，∁*~A~A*＝∅，∁*~A~*∅＝*A*.
(5)含有*n*个元素的集合共有2*^n^*个子集，其中有2*^n^*－1个真子集，2*^n^*－1个非空子集．
(6)等价关系：*A*∩*B*＝*A*⇔*A*⊆*B*；*A*∪*B*＝*A*⇔*A*⊇*B*.
考点一 集合的基本概念
\[典例\] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合*A*＝{(*x*，*y*)\|*x*^2^＋*y*^2^＝1}，*B*＝{(*x*，*y*)\|*y*＝*x*}，则*A*∩*B*中元素的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知*a*，*b*∈R，若＝{*a*^2^，*a*＋*b,*0}，则*a*^2\ 019^＋*b*^2\ 019^的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．±1
\[解析\] (1)因为*A*表示圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上的点的集合，*B*表示直线*y*＝*x*上的点的集合，直线*y*＝*x*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1有两个交点，所以*A*∩*B*中元素的个数为2.
(2)由已知得*a*≠0，则＝0，所以*b*＝0，于是*a*^2^＝1，即*a*＝1或*a*＝－1.又根据集合中元素的互异性可知*a*＝1应舍去，因此*a*＝－1，故*a*^2\ 019^＋*b*^2\ 019^＝(－1)^2\ 019^＋0^2\ 019^＝－1.
\[答案\] (1)B (2)C
\[提醒\] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
\[题组训练\]
1．设集合*A*＝{0,1,2,3}，*B*＝{*x*\|－*x*∈*A,*1－*x*∉*A*}，则集合*B*中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 若*x*∈*B*，则－*x*∈*A*，故*x*只可能是0，－1，－2，－3，当0∈*B*时，1－0＝1∈*A*；当－1∈*B*时，1－(－1)＝2∈*A*；当－2∈*B*时，1－(－2)＝3∈*A*；当－3∈*B*时，1－(－3)＝4∉*A*，所以*B*＝{－3}，故集合*B*中元素的个数为1.
2．若集合*A*＝{*x*∈R\|*ax*^2^－3*x*＋2＝0}中只有一个元素，则*a*等于( )
A. B.
C．0 D．0或
解析：选D 若集合*A*中只有一个元素，则方程*ax*^2^－3*x*＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当*a*＝0时，*x*＝，符合题意．
当*a*≠0时，由*Δ*＝(－3)^2^－8*a*＝0，得*a*＝，
所以*a*的值为0或.
3.（2018·厦门模拟）已知*P*={*x*\|2\<*x*\<*k*,*x*∈N},若集合*P*中恰有3个元素，则*k*的取值范围为 .
解析：因为*P*中恰有3个元素，所以*P*=｛3，4，5｝，故*k*的取值范围为5\<*k*≤6.
答案：（5，6］
考点二 集合间的基本关系
\[典例\] (1)已知集合*A*＝{*x*\|*x*^2^－3*x*＋2＝0，*x*∈R}，*B*＝{*x*\|0\<*x*\<5，*x*∈N}，则( )
A．*B*⊆*A* B．*A*＝*B*
C．*AB* D．*BA*
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合*A*＝{*x*∈N^\*^\|*x*^2^－3*x*\<0}，则满足条件*B*⊆*A*的集合*B*的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(3)已知集合*A*＝{*x*\|－1\<*x*\<3}，*B*＝{*x*\|－*m*\<*x*\<*m*}，若*B*⊆*A*，则*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)由*x*^2^－3*x*＋2＝0得*x*＝1或*x*＝2，∴*A*＝{1,2}．由题意知*B*＝{1,2,3,4}，比较*A*，*B*中的元素可知*AB*，故选C.
(2)∵*A*＝{*x*∈N^\*^\|*x*^2^－3*x*\<0}＝{*x*∈N^\*^\|0\<*x*\<3}＝{1,2}，又*B*⊆*A*，∴满足条件*B*⊆*A*的集合*B*的个数为2^2^＝4，故选C.
(3)当*m*≤0时，*B*＝∅，显然*B*⊆*A*.
当*m*\>0时，因为*A*＝{*x*\|－1\<*x*\<3}．
若*B*⊆*A*，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0\<*m*≤1.
综上所述，*m*的取值范围为(－∞，1\]．
\[答案\] (1)C (2)C (3)(－∞，1\]
\[变透练清\]
1.若本例(2)中*A*不变，*C*＝{*x*\|0\<*x*\<5，*x*∈N}，则满足条件*A*⊆*B*⊆*C*的集合*B*的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为*A*＝{1,2}，由题意知*C*＝{1,2,3,4}，所以满足条件的*B*可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.若本例(3)中，把条件"*B*⊆*A*"变为"*A*⊆*B*"，其他条件不变，则*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：若*A*⊆*B*，由得*m*≥3，
∴*m*的取值范围为\[3，＋∞)．
答案：\[3，＋∞)
3．已知集合*A*＝{1,2}，*B*＝{*x*\|*x*^2^＋*mx*＋1＝0，*x*∈R}，若*B*⊆*A*，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：①若*B*＝∅，则*Δ*＝*m*^2^－4\<0，解得－2\<*m*\<2；
②若1∈*B*，则1^2^＋*m*＋1＝0，
解得*m*＝－2，此时*B*＝{1}，符合题意；
③若2∈*B*，则2^2^＋2*m*＋1＝0，
解得*m*＝－，此时*B*＝，不合题意．
综上所述，实数*m*的取值范围为\[－2,2)．
答案：\[－2,2)
考点三 集合的基本运算
考法(一) 集合的运算
\[典例\] (1)(2018·天津高考)设集合*A*＝{1,2,3,4}，*B*＝{－1,0,2,3}，*C*＝{*x*∈R\|－1≤*x*＜2}，则(*A*∪*B*)∩*C*＝( )
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{2,3,4}
(2)已知全集*U*＝R，集合*A*＝{*x*\|*x*^2^－3*x*－4\>0}，*B*＝{*x*\|－2≤*x*≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{*x*\|－2≤*x*\<4}
B．{*x*\|*x*≤2或*x*≥4}
C．{*x*\|－2≤*x*≤－1}
D．{*x*\|－1≤*x*≤2}
\[解析\] (1)∵*A*＝{1,2,3,4}，*B*＝{－1,0,2,3}，
∴*A*∪*B*＝{－1,0,1,2,3,4}．
又*C*＝{*x*∈R\|－1≤*x*＜2}，
∴(*A*∪*B*)∩*C*＝{－1,0,1}．
(2)依题意得*A*＝{*x*\|*x*\<－1或*x*\>4}，
因此∁~R~*A*＝{*x*\|－1≤*x*≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁~R~*A*)∩*B*＝{*x*\|－1≤*x*≤2}．
\[答案\] (1)C (2)D
考法(二) 根据集合运算结果求参数
\[典例\] (1)已知集合*A*＝{*x*\|*x*^2^－*x*－12\>0}，*B*＝{*x*\|*x*≥*m*}．若*A*∩*B*＝{*x*\|*x*\>4}，则实数*m*的取值范围是( )
A．(－4,3) B．\[－3,4\]
C．(－3,4) D．(－∞，4\]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知*A*＝{1,2,3,4}，*B*＝{*a*＋1,2*a*}，若*A*∩*B*＝{4}，则*a*＝( )
A．3 B．2
C．2或3 D．3或1
\[解析\] (1)集合*A*＝{*x*\|*x*\<－3或*x*\>4}，∵*A*∩*B*＝{*x*\|*x*\>4}，∴－3≤*m*≤4，故选B.
(2)∵*A*∩*B*＝{4}，∴*a*＋1＝4或2*a*＝4.若*a*＋1＝4，则*a*＝3，此时*B*＝{4,6}，符合题意；若2*a*＝4，则*a*＝2，此时*B*＝{3,4}，不符合题意．综上，*a*＝3，故选A.
\[答案\] (1)B (2)A
\[题组训练\]
1．已知集合*A*＝{1,2,3}，*B*＝{*x*\|(*x*＋1)(*x*－2)\<0，*x*∈Z}，则*A*∪*B*＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为集合*B*＝{*x*\|－1\<*x*\<2，*x*∈Z}＝{0,1}，而*A*＝{1,2,3}，所以*A*∪*B*＝{0,1,2,3}．
2．(2019·重庆六校联考)已知集合*A*＝{*x*\|2*x*^2^＋*x*－1≤0}，*B*＝{*x*\|lg *x*\<2}，则(∁~R~*A*)∩*B*＝( )
A. B.
C. D．∅
解析：选A 由题意得*A*＝，*B*＝(0,100)，则∁~R~*A*＝(－∞，－1)∪，所以(∁~R~*A*)∩*B*＝.
3．(2019·合肥质量检测)已知集合*A*＝\[1，＋∞)，*B*＝，若*A*∩*B*≠∅，则实数*a*的取值范围是( )
A．\[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析：选A 因为*A*∩*B*≠∅，
所以解得*a*≥1.
1．(2019·福州质量检测)已知集合*A*＝{*x*\|*x*＝2*k*＋1，*k*∈Z}，*B*＝{*x*\|－1\<*x*≤4}，则集合*A*∩*B*中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 依题意，集合*A*是由所有的奇数组成的集合，故*A*∩*B*＝{1,3}，所以集合*A*∩*B*中元素的个数为2.
2．设集合*U*＝{1,2,3,4,5,6}，*A*＝{1,3,5}，*B*＝{3,4,5}，则∁*~U~*(*A*∪*B*)＝( )
A．{2,6} B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
解析：选A 因为*A*＝{1,3,5}，*B*＝{3,4,5}，所以*A*∪*B*＝{1,3,4,5}．又*U*＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁*~U~*(*A*∪*B*)＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)设全集为R，集合*A*＝{*x*\|0＜*x*＜2}，*B*＝{*x*\|*x*≥1}，则*A*∩(∁~R~*B*)＝( )
A．{*x*\|0＜*x*≤1} B．{*x*\|0＜*x*＜1}
C．{*x*\|1≤*x*＜2} D．{*x*\|0＜*x*＜2}
解析：选B ∵全集为R，*B*＝{*x*\|*x*≥1}，
∴∁~R~*B*＝{*x*\|*x*＜1}．
∵集合*A*＝{*x*\|0＜*x*＜2}，
∴*A*∩(∁~R~*B*)＝{*x*\|0＜*x*＜1}．
4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合*M*＝{*x*\|*x*\<4}，集合*N*＝{*x*\|*x*^2^－2*x*\<0}，则下列关系中正确的是( )
A．*M*∩*N*＝*M* B．*M*∪(∁~R~*N*)＝*M*
C．*N*∪(∁~R~*M*)＝R D．*M*∪*N*＝*M*
解析：选D 由题意可得，*N*＝(0,2)，*M*＝(－∞，4)，所以*M*∪*N*＝*M*.
5．设集合*A*＝，*B*＝{*x*\|ln *x*≤0}，则*A*∩*B*为( )
A. B．\[－1,0)
C. D．\[－1,1\]
解析：选A ∵≤2*^x^*\<，即2^－1^≤2*^x^*\<2，∴－1≤*x*\<，∴*A*＝.∵ln *x*≤0，即ln *x*≤ln 1，∴0\<*x*≤1，∴*B*＝{*x*\|0\<*x*≤1}，∴*A*∩*B*＝.
6．(2019·郑州质量测试)设集合*A*＝{*x*\|1\<*x*\<2}，*B*＝{*x*\|*x*\<*a*}，若*A*∩*B*＝*A*，则*a*的取值范围是( )
A．(－∞，2\] B．(－∞，1\]
C．\[1，＋∞) D．\[2，＋∞)
解析：选D 由*A*∩*B*＝*A*，可得*A*⊆*B*，又因为*A*＝{*x*\|1\<*x*\<2}，*B*＝{*x*\|*x*\<*a*}，所以*a*≥2.
7．已知全集*U*＝*A*∪*B*中有*m*个元素，∪中有*n*个元素．若*A*∩*B*非空，则*A*∩*B*的元素个数为( )
A．*mn* B．*m*＋*n*
C．*n*－*m* D．*m*－*n*
解析：选D 因为∪中有*n*个元素，如图中阴影部分所示，又*U*＝*A*∪*B*中有*m*个元素，故*A*∩*B*中有*m*－*n*个元素．
8．定义集合的商集运算为＝，已知集合*A*＝{2,4,6}，*B*＝，则集合∪*B*中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 由题意知，*B*＝{0,1,2}，＝，则∪*B*＝，共有7个元素．
9．设集合*A*＝{*x*\|*x*^2^－*x*－2≤0}，*B*＝{*x*\|*x*\<1，且*x*∈Z}，则*A*∩*B*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意得*A*＝{*x*\|(*x*＋1)(*x*－2)≤0}＝{*x*\|－1≤*x*≤2}，因此*A*∩*B*＝{*x*\|－1≤*x*\<1，*x*∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合*U*＝R，集合*A*＝\[－5,2\]，*B*＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为
\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*A*＝\[－5,2\]，*B*＝(1,4)，∴∁*~U~B*＝{*x*\|*x*≤1或*x*≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁*~U~B*)∩*A*＝{*x*\|－5≤*x*≤1}．
答案：{*x*\|－5≤*x*≤1}
11．若集合*A*＝{(*x*，*y*)\|*y*＝3*x*^2^－3*x*＋1}，*B*＝{(*x*，*y*)\|*y*＝*x*}，则集合*A*∩*B*中的元素个数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：法一：由集合的意义可知，*A*∩*B*表示曲线*y*＝3*x*^2^－3*x*＋1与直线*y*＝*x*的交点构成的集合．
联立得方程组解得或
故*A*∩*B*＝()，所以*A*∩*B*中含有2个元素．
法二：由集合的意义可知，*A*∩*B*表示曲线*y*＝3*x*^2^－3*x*＋1与直线*y*＝*x*的交点构成的集合．因为3*x*^2^－3*x*＋1＝*x*即3*x*^2^－4*x*＋1＝0的判别式*Δ*\>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以*A*∩*B*中含有2个元素．
答案：2
12．已知集合*A*＝{*x*\|log~2~*x*≤2}，*B*＝{*x*\|*x*＜*a*}，若*A*⊆*B*，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由log~2~*x*≤2，得0＜*x*≤4，
即*A*＝{*x*\|0＜*x*≤4}，而*B*＝{*x*\|*x*＜*a*}，
由于*A*⊆*B*，在数轴上标出集合*A*，*B*，如图所示，则*a*＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集*U*＝R，*A*＝{*x*\|1≤*x*≤3}，*B*＝{*x*\|2\<*x*\<4}，*C*＝{*x*\|*a*≤*x*≤*a*＋1}．
(1)分别求*A*∩*B*，*A*∪(∁*~U~B*)；
(2)若*B*∪*C*＝*B*，求实数*a*的取值范围．
解：(1)由题意知，*A*∩*B*＝{*x*\|1≤*x*≤3}∩{*x*\|2\<*x*\<4}＝{*x*\|2\<*x*≤3}．易知∁*~U~B*＝{*x*\|*x*≤2或*x*≥4}，所以*A*∪(∁*~U~B*)＝{*x*\|1≤*x*≤3}∪{*x*\|*x*≤2或*x*≥4}＝{*x*\|*x*≤3或*x*≥4}．
(2)由*B*∪*C*＝*B*，可知*C*⊆*B*，画出数轴(图略)，
易知2\<*a*\<*a*＋1\<4，解得2\<*a*\<3.
故实数*a*的取值范围是(2,3)．
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果*p*⇒q，则*p*是q的充分条件；
①*A*是*B*的充分不必要条件是指：*A*⇒*B*且*B**A*；
②*A*的充分不必要条件是*B*是指：*B*⇒*A*且*A**B*，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q⇒*p*，则*p*是q的必要条件；
(3)如果既有*p*⇒q，又有q⇒*p*，记作*p*⇔q，则*p*是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设*A*＝{*x*\|*p*(*x*)}，*B*＝{*x*\|q(*x*)}，
①若*A*⊆*B*，则*p*是q的充分条件，q是*p*的必要条件．
②若*AB*，则*p*是q的充分不必要条件，q是*p*的必要不充分条件．
③若*A*＝*B*，则*p*是q的充要条件．
二、常用结论
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
*p*是q的充分不必要条件，等价于非q是非*p*的充分不必要条件．其他情况以此类推．
考点一 四种命题及其真假判断
\[典例\] (2019·菏泽模拟)有以下命题：
①"若*xy*＝1，则*x*，*y*互为倒数"的逆命题；
②"面积相等的两个三角形全等"的否命题；
③"若*m*≤1，则*x*^2^－2*x*＋*m*＝0有实数解"的逆否命题；
④"若*A*∩*B*＝*B*，则*A*⊆*B*"的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
\[解析\] ①原命题的逆命题为"若*x*，*y*互为倒数，则*xy*＝1"，是真命题；②原命题的否命题为"面积不相等的两个三角形不全等"，是真命题；③若*m*≤1，*Δ*＝4－4*m*≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由*A*∩*B*＝*B*，得*B*⊆*A*，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
\[答案\] D
\[题组训练\]
1．(2019·长春质监)命题"若*x*^2^\<1，则－1\<*x*\<1"的逆否命题是( )
A．若*x*^2^≥1，则*x*≥1或*x*≤－1
B．若－1\<*x*\<1，则*x*^2^\<1
C．若*x*\>1或*x*\<－1，则*x*^2^\>1
D．若*x*≥1或*x*≤－1，则*x*^2^≥1
解析：选D 命题的形式是"若*p*，则q"，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是"若非q，则非*p*"的形式，所以"若*x*^2^\<1，则－1\<*x*\<1"的逆否命题是"若*x*≥1或*x*≤－1，则*x*^2^≥1"．
2．已知集合*P*＝，Q＝，记原命题："*x*∈*P*，则*x*∈Q"，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C 因为*P*＝＝，Q＝，
所以*P*Q，所以原命题"*x*∈*P*，则*x*∈Q"为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题．
原命题的逆命题"*x*∈Q，则*x*∈*P*"为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
考点二 充分、必要条件的判断
\[典例\] (1)(2019·湖北八校联考)若*a*，*b*，*c*，*d*∈R，则"*a*＋*d*＝*b*＋*c*"是"*a*，*b*，*c*，*d*依次成等差数列"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·天津高考)设*x*∈R，则"＜"是"*x*^3^＜1"的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知*p*：*x*＋*y*≠－2，q：*x*，*y*不都是－1，则*p*是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
\[解析\] (1)定义法
当*a*＝－1，*b*＝0，*c*＝3，*d*＝4时，*a*＋*d*＝*b*＋*c*，但此时*a*，*b*，*c*，*d*不成等差数列；而当*a*，*b*，*c*，*d*依次成等差数列时，由等差数列的性质知*a*＋*d*＝*b*＋*c*.所以"*a*＋*d*＝*b*＋*c*"是"*a*，*b*，*c*，*d*依次成等差数列"的必要不充分条件，故选B.
(2)集合法
由＜，得0＜*x*＜1，则0＜*x*^3^＜1，即"＜"⇒"*x*^3^＜1"；
由*x*^3^＜1，得*x*＜1，
当*x*≤0时，≥，
即"*x*^3^＜1" "＜"．
所以"＜"是"*x*^3^＜1"的充分而不必要条件．
(3)等价转化法
因为*p*：*x*＋*y*≠－2，q：*x*≠－1或*y*≠－1，
所以非*p*：*x*＋*y*＝－2，非q：*x*＝－1且*y*＝－1，
因为非q⇒非*p*但非*p*非q，所以非q是非*p*的充分不必要条件，即*p*是q的充分不必要条件．
\[答案\] (1)B (2)A (3)A
\[提醒\] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意"*A*是*B*的充分不必要条件"与"*A*的充分不必要条件是*B*"的区别，要正确理解"*p*的一个充分不必要条件是q"的含义．
\[题组训练\]
1.已知*x*∈R，则"*x*\<1"是"*x*^2^\<1"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若*x*^2^\<1，则－1\<*x*\<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴"*x*\<1"是"*x*^2^\<1"的必要不充分条件．
2.(2018·南昌调研)已知*m*，*n*为两个非零向量，则"*m·n*\<0"是"*m*与*n*的夹角为钝角"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 设*m*，*n*的夹角为*θ*，若*m*，*n*的夹角为钝角，则\<*θ*\<π，则cos *θ*\<0，则*m·n*\<0成立；当*θ*＝π时，*m·n*＝－\|*m*\|·\|*n*\|\<0成立，但*m*，*n*的夹角不为钝角．故"*m·n*\<0"是"*m*与*n*的夹角为钝角"的必要不充分条件．
3."*xy*≠1"是"*x*≠1或*y*≠1"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设*p*：*xy*≠1，q：*x*≠1或*y*≠1，
则非*p*：*xy*＝1，非q：*x*＝1且*y*＝1.
可知非q⇒非*p*，非*p*非q，即非q是非*p*的充分不必要条件．
故*p*是q的充分不必要条件，
即"*xy*≠1"是"*x*≠1或*y*≠1"的充分不必要条件．
考点三 根据充分、必要条件求参数的范围
\[典例\] 已知*P*＝{*x*\|*x*^2^－8*x*－20≤0}，非空集合*S*＝{*x*\|1－*m*≤*x*≤1＋*m*}．若*x*∈*P*是*x*∈*S*的必要条件，则*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 由*x*^2^－8*x*－20≤0，得－2≤*x*≤10，
所以*P*＝{*x*\|－2≤*x*≤10}，
由*x*∈*P*是*x*∈*S*的必要条件，知*S*⊆*P*.
则所以0≤*m*≤3.
所以当0≤*m*≤3时，*x*∈*P*是*x*∈*S*的必要条件，即所求*m*的取值范围是\[0,3\]．
\[答案\] \[0,3\]
\[变透练清\]
1.若本例条件不变，问是否存在实数*m*，使*x*∈*P*是*x*∈*S*的充要条件．
解：若*x*∈*P*是*x*∈*S*的充要条件，则*P*＝*S*，
所以解得
即不存在实数*m*，使*x*∈*P*是*x*∈*S*的充要条件．
2.若本例将条件"若*x*∈*P*是*x*∈*S*的必要条件"变为"若非*P*是非*S*的必要不充分条件"，其他条件不变，求实数*m*的取值范围．
解：由例题知*P*＝{*x*\|－2≤*x*≤10}，
∵非*P*是非*S*的必要不充分条件，
∴*S*是*P*的必要不充分条件，∴*P*⇒*S*且*S**P*.
∴\[－2,10\]\[1－*m,*1＋*m*\]．
∴或
∴*m*≥9，即*m*的取值范围是\[9，＋∞)．
1．已知命题*p*："正数*a*的平方不等于0"，命题q："若*a*不是正数，则它的平方等于0"，则q是*p*的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B 命题*p*："正数*a*的平方不等于0"可写成"若*a*是正数，则它的平方不等于0"，从而q是*p*的否命题．
2．命题"若*x*^2^＋3*x*－4＝0，则*x*＝4"的逆否命题及其真假性为( )
A．"若*x*＝4，则*x*^2^＋3*x*－4＝0"为真命题
B．"若*x*≠4，则*x*^2^＋3*x*－4≠0"为真命题
C．"若*x*≠4，则*x*^2^＋3*x*－4≠0"为假命题
D．"若*x*＝4，则*x*^2^＋3*x*－4＝0"为假命题
解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为*x*^2^＋3*x*－4＝0，所以*x*＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
3．原命题为"若*z*~1~，*z*~2~互为共轭复数，则\|*z*~1~\|＝\|*z*~2~\|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B 当*z*~1~，*z*~2~互为共轭复数时，设*z*~1~＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)，则*z*~2~＝*a*－*b*i，则\|*z*~1~\|＝\|*z*~2~\|＝，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取*z*~1~＝1，*z*~2~＝i，满足\|*z*~1~\|＝\|*z*~2~\|，但是*z*~1~，*z*~2~不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．
4．(2018·北京高考)设*a*，*b*，*c*，*d*是非零实数，则"*ad*＝*bc*"是"*a*，*b*，*c*，*d*成等比数列"的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B *a*，*b*，*c*，*d*是非零实数，若*a*\<0，*d*\<0，*b*\>0，*c*\>0，且*ad*＝*bc*，则*a*，*b*，*c*，*d*不成等比数列(可以假设*a*＝－2，*d*＝－3，*b*＝2，*c*＝3)．若*a*，*b*，*c*，*d*成等比数列，则由等比数列的性质可知*ad*＝*bc*.所以"*ad*＝*bc*"是"*a*，*b*，*c*，*d*成等比数列"的必要而不充分条件．
5．已知命题*α*：如果*x*\<3，那么*x*\<5；命题*β*：如果*x*≥3，那么*x*≥5；命题*γ*：如果*x*≥5，那么*x*≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题*α*是命题*β*的否命题，且命题*γ*是命题*β*的逆命题；
②命题*α*是命题*β*的逆命题，且命题*γ*是命题*β*的否命题；
③命题*β*是命题*α*的否命题，且命题*γ*是命题*α*的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
6．(2018·北京高考)设*a*，*b*均为单位向量，则"\|*a*－3*b*\|＝\|3*a*＋*b*\|"是"*a*⊥*b*"的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由\|*a*－3*b*\|＝\|3*a*＋*b*\|，得(*a*－3*b*)^2^＝(3*a*＋*b*)^2^，
即*a*^2^＋9*b*^2^－6*a*·*b*＝9*a*^2^＋*b*^2^＋6*a*·*b*.
因为*a*，*b*均为单位向量，所以*a*^2^＝*b*^2^＝1，
所以*a*·*b*＝0，能推出*a*⊥*b*.
由*a*⊥*b*得\|*a*－3*b*\|＝，\|3*a*＋*b*\|＝，
能推出\|*a*－3*b*\|＝\|3*a*＋*b*\|，
所以"\|*a*－3*b*\|＝\|3*a*＋*b*\|"是"*a*⊥*b*"的充分必要条件．
7．如果*x*，*y*是实数，那么"*x*≠*y*"是"cos *x*≠cos *y*"的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设集合*A*＝{(*x*，*y*)\|*x*≠*y*}，*B*＝{(*x*，*y*)\|cos *x*≠cos *y*}，则*A*的补集*C*＝{(*x*，*y*)\|*x*＝*y*}，*B*的补集*D*＝{(*x*，*y*)\|cos *x*＝cos *y*}，显然*CD*，所以*BA*.于是"*x*≠*y*"是"cos *x*≠cos *y*"的必要不充分条件．
8．(2019·湘东五校联考)"不等式*x*^2^－*x*＋*m*\>0在R上恒成立"的一个必要不充分条件是( )
A．*m*\> B．0\<*m*\<1
C．*m*\>0 D．*m*\>1
解析：选C 若不等式*x*^2^－*x*＋*m*\>0在R上恒成立，则*Δ*＝(－1)^2^－4*m*\<0，解得*m*\>，因此当不等式*x*^2^－*x*＋*m*\>0在R上恒成立时，必有*m*\>0，但当*m*\>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是*m*\>0.
9．在△*ABC*中，"*A*＝*B*"是"tan *A*＝tan *B*"的\_\_\_\_\_\_\_\_条件．
解析：由*A*＝*B*，得tan *A*＝tan *B*，反之，若tan *A*＝tan *B*，则*A*＝*B*＋*k*π，*k*∈Z.∵0＜*A*＜π，0\<*B*\<π，∴*A*＝*B*，故"*A*＝*B*"是"tan *A*＝tan *B*"的充要条件．
答案：充要
10．在命题"若*m*＞－*n*，则*m*^2^＞*n*^2^"的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：若*m*＝2，*n*＝3，则2\>－3，但2^2^\<3^2^，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若*m*＝－3，*n*＝－2，则(－3)^2^\>(－2)^2^，但－3\<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
11．已知*p*(*x*)：*x*^2^＋2*x*－*m*\>0，若*p*(1)是假命题，*p*(2)是真命题，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*p*(1)是假命题，所以1＋2－*m*≤0，解得*m*≥3.
又*p*(2)是真命题，所以4＋4－*m*\>0，解得*m*\<8.
故实数*m*的取值范围为\[3,8)．
答案：\[3,8)
12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①"若*x*＋*y*＝，则sin *x*＝cos *y*"的逆命题是假命题；
②"在△*ABC*中，sin *B*\>sin *C*是*B*\>*C*的充要条件"是真命题；
③"*a*＝1"是"直线*x*－*ay*＝0与直线*x*＋*ay*＝0互相垂直"的充要条件；
④命题"若*x*\<－1，则*x*^2^－2*x*－3\>0"的否命题为"若*x*≥－1，则*x*^2^－2*x*－3≤0"．
以上说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_(填序号)．
解析：对于①，"若*x*＋*y*＝，则sin *x*＝cos *y*"的逆命题是"若sin *x*＝cos *y*，则*x*＋*y*＝"，当*x*＝0，*y*＝时，有sin *x*＝cos *y*成立，但*x*＋*y*＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△*ABC*中，由正弦定理得sin *B*\>sin *C*⇔*b*\>*c*⇔*B*\>*C*，②正确；对于③，"*a*＝±1"是"直线*x*－*ay*＝0与直线*x*＋*ay*＝0互相垂直"的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
13．写出命题"已知*a*，*b*∈R，若关于*x*的不等式*x*^2^＋*ax*＋*b*≤0有非空解集，则*a*^2^≥4*b*"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知*a*，*b*∈R，若*a*^2^≥4*b*，则关于*x*的不等式*x*^2^＋*ax*＋*b*≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知*a*，*b*∈R，若关于*x*的不等式*x*^2^＋*ax*＋*b*≤0没有非空解集，则*a*^2^\<4*b*，为真命题．
(3)逆否命题：已知*a*，*b*∈R，若*a*^2^\<4*b*，则关于*x*的不等式*x*^2^＋*ax*＋*b*≤0没有非空解集，为真命题．
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础知识
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的"且""或""非"^❶^叫做逻辑联结词．
①用联结词"且"把命题*p*和命题q联结起来，得到复合命题"*p*且q"，记作*p*∧q；
②用联结词"或"把命题*p*和命题q联结起来，得到复合命题"*p*或q"，记作*p*∨q；
③对命题*p*的结论进行否定，得到复合命题"非*p*"，记作非*p*.^❷^
❶"且"的数学含义是几个条件同时满足，"且"在集合中的解释为"交集"；"或"的数学含义是至少满足一个条件，"或"在集合中的解释为"并集"；"非"的含义是否定，"非*p*"只否定*p*的结论，"非"在集合中的解释为"补集".
❷"命题的否定"与"否命题"的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
(2)命题真值表：
----- ---- ------- ------- -------
*p* q *p*∧q *p*∨q 非*p*
真 真 真
假 真 真
真 假 真
假 假 假
----- ---- ------- ------- -------
命题真假的判断口诀
*p*∨*q*→见真即真，*p*∧*q*→见假即假，*p*与非*p*→真假相反.
2．全称量词与存在量词
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量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
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3.全称命题与特称命题
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命题名称 命题结构 命题简记
全称命题 对*M*中任意一个*x*，有*p*(*x*)成立 ∀*x*∈*M*，*p*(*x*)
特称命题 存在*M*中的一个*x*~0~，使*p*(*x*~0~)成立 ∃*x*~0~∈*M*，*p*(*x*~0~)
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4．全称命题与特称命题的否定
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命题 命题的否定
∀*x*∈*M*，*p*(*x*) ∃*x*~0~∈*M*，非*p*(*x*~0~)
∃*x*~0~∈*M*，*p*(*x*~0~) ∀*x*∈*M*，非*p*(*x*)
-------------------------- ----------------------------
二、常用结论
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)*p*∨q真⇔*p*，q至少一个真⇔(非*p*)∧(非q)假．
(2)*p*∨q假⇔*p*，q均假⇔(非*p*)∧(非q)真．
(3)*p*∧q真⇔*p*，q均真⇔(非*p*)∨(非q)假．
(4)*p*∧q假⇔*p*，q至少一个假⇔(非*p*)∨(非q)真．
考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假
\[典例\] (1)(2017·山东高考)已知命题*p*：∀*x*\>0，ln(*x*＋1)\>0；命题*q*：若*a*\>*b*，则*a*^2^\>*b*^2^.下列命题为真命题的是( )
A．*p*∧*q* B．*p*∧非*q*
C．非*p*∧*q* D．非*p*∧非*q*
(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题*p*：∃*x*~0~∈(0，＋∞)，*x*~0~＋\>3；命题*q*：∀*x*∈(2，＋∞)，*x*^2^\>2*^x^*，则下列命题为真的是( )
A．*p*∧(非*q*) B．(非*p*)∧*q*
C．*p*∧*q* D．(非*p*)∨*q*
\[解析\] (1)当*x*\>0时，*x*＋1\>1，因此ln(*x*＋1)\>0，即*p*为真命题；取*a*＝1，*b*＝－2，这时满足*a*\>*b*，显然*a*^2^\>*b*^2^不成立，因此*q*为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
(2)对于命题*p*，当*x*~0~＝4时，*x*~0~＋＝\>3，故命题*p*为真命题；对于命题*q*，当*x*＝4时，2^4^＝4^2^＝16，即∃*x*~0~∈(2，＋∞)，使得2*x*~0~＝*x*成立，故命题*q*为假命题，所以*p*∧ (非*q*)为真命题，故选A.
\[答案\] (1)B (2)A
\[题组训练\]
1．(2019·惠州调研)已知命题*p*，q，则"非*p*为假命题"是"*p*∧q是真命题"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 充分性：若非*p*为假命题，则*p*为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出*p*∧q是真命题．必要性：*p*∧q是真命题，则*p*，q均为真命题，则非*p*为假命题．所以"非*p*为假命题"是"*p*∧q是真命题"的必要不充分条件．
2．已知命题*p*："若*x*^2^－*x*\>0，则*x*\>1"；命题q："若*x*，*y*∈R，*x*^2^＋*y*^2^＝0，则*xy*＝0"．下列命题是真命题的是( )
A．*p*∨(非q) B．*p*∨q
C．*p*∧q D．(非*p*)∧(非q)
解析：选B 若*x*^2^－*x*\>0，则*x*\>1或*x*\<0，故*p*是假命题；若*x*，*y*∈R，*x*^2^＋*y*^2^＝0，则*x*＝0，*y*＝0，*xy*＝0，故q是真命题．则*p*∨q是真命题．
考点二 全称命题与特称命题
\[典例\] (1)命题∀*x*∈R，e*^x^*－*x*－1≥0的否定是( )
A．∀*x*∈R，e*^x^*－*x*－1≤0
B．∀*x*∈R，e*^x^*－*x*－1≥0
C．∃*x*~0~∈R，e*^x^*0－*x*~0~－1≤0
D．∃*x*~0~∈R，e*^x^*0－*x*~0~－1\<0
(2)对命题∃*x*~0~\>0，*x*\>2*^x^*0，下列说法正确的是( )
A．真命题，其否定是∃*x*~0~≤0，*x*≤2*^x^*0
B．假命题，其否定是∀*x*\>0，*x*^2^≤2*^x^*
C．真命题，其否定是∀*x*\>0，*x*^2^≤2*^x^*
D．真命题，其否定是∀*x*≤0，*x*^2^≤2*^x^*
\[解析\] (1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.
(2)已知命题是真命题，如3^2^＝9\>8＝2^3^，其否定是∀*x*\>0，*x*^2^≤2*^x^*.故选C.
\[答案\] (1)D (2)C
\[题组训练\]
1．命题"∀*x*∈R，∃*n*∈N^\*^，使得*n*≤*x*^2^"的否定形式是( )
A．∀*x*∈R，∃*n*∈N^\*^，使得*n*\>*x*^2^
B．∀*x*∈R，∀*n*∈N^\*^，使得*n*\>*x*^2^
C．∃*x*~0~∈R，∃*n*∈N^\*^，使得*n*\>*x*
D．∃*x*~0~∈R，∀*n*∈N^\*^，使得*n*\>*x*
解析：选D ∀改写为∃，∃改写为∀，*n*≤*x*^2^的否定是*n*\>*x*^2^，则该命题的否定形式为"∃*x*~0~∈R，∀*n*∈N^\*^，使得*n*\>*x*"．
2．已知命题*p*：∃*n*∈R，使得*f*(*x*)＝*nxn*^2^＋2*n*是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q："∃*x*~0~∈R，*x*＋2\>3*x*~0~"的否定是"∀*x*∈R，*x*^2^＋2\<3*x*"．则下列命题为真命题的是( )
A．*p*∧q B．(非*p*)∧q
C．*p*∧(非q) D．(非*p*)∧(非q)
解析：选C 当*n*＝1时，*f*(*x*)＝*x*^3^为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故*p*是真命题，则非*p*是假命题；"∃*x*~0~∈R，*x*＋2\>3*x*~0~"的否定是"∀*x*∈R，*x*^2^＋2≤3*x*"，故q是假命题，非q是真命题．所以*p*∧q，(非*p*)∧q，(非*p*)∧(非q)均为假命题，*p*∧(非q)为真命题，选C.
考点三 根据命题的真假求参数的取值范围
\[典例\] 已知*p*：存在*x*~0~∈R，*mx*＋1≤0，q：任意*x*∈R，*x*^2^＋*mx*＋1\>0.若*p*或q为假命题，求实数*m*的取值范围．
\[解\] 依题意知*p*，q均为假命题，
当*p*是假命题时，则*mx*^2^＋1\>0恒成立，则有*m*≥0；
当q是真命题时，则*Δ*＝*m*^2^－4\<0，－2\<*m*\<2.
因此由*p*，q均为假命题得即*m*≥2.
所以实数*m*的取值范围为\[2，＋∞)．
\[变透练清\]
1.若本例将条件"*p*或q为假命题"变为"*p*且q为真命题"，其他条件不变，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意，当*p*是真命题时，有*m*\<0；
当q是真命题时，有－2\<*m*\<2，
由可得－2\<*m*\<0.
所以*m*的取值范围为(－2,0)．
答案：(－2,0)
2.若本例将条件"*p*或q为假命题"变为"*p*且q为假，*p*或q为真"，其他条件不变，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：若*p*且q为假，*p*或q为真，则*p*，q一真一假．
当*p*真q假时所以*m*≤－2；
当*p*假q真时所以0≤*m*\<2.
所以*m*的取值范围为(－∞，－2\]∪\[0,2)．
答案：(－∞，－2\]∪\[0,2)
3.若本例将条件q变为：存在*x*~0~∈R，*x*＋*mx*~0~＋1\<0，其他条件不变，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意，当q是真命题时，*Δ*＝*m*^2^－4\>0，
所以*m*\>2或*m*\<－2.由得0≤*m*≤2，
所以*m*的取值范围为\[0,2\]．
答案：\[0,2\]
1．(2019·西安摸底)命题"∀*x*\>0，\>0"的否定是( )
A．∃*x*~0~≥0，≤0 B．∃*x*~0~\>0,0≤*x*~0~≤1
C．∀*x*\>0，≤0 D．∀*x*\<0,0≤*x*≤1
解析：选B ∵\>0，∴*x*\<0或*x*\>1，∴\>0的否定是0≤*x*≤1，
∴命题的否定是"∃*x*~0~\>0,0≤*x*~0~≤1"．
2．下列命题中，假命题的是( )
A．∀*x*∈R,2^1－*x*^\>0
B．∃*a*~0~∈R，*y*＝*xa*~0~的图象关于*y*轴对称
C．函数*y*＝*x^a^*的图象经过第四象限
D．直线*x*＋*y*＋1＝0与圆*x*^2^＋*y*^2^＝相切
解析：选C 对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当*a*＝2时，其图象关于*y*轴对称；对于C，当*x*\>0时，*y*\>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线*x*＋*y*＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，命题成立．
3．(2019·陕西质检)已知命题*p*：对任意的*x*∈R，总有2*^x^*\>0；q："*x*\>1"是"*x*\>2"的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．*p*∧q B．(非*p*)∧(非q)
C．(非*p*)∧q D．*p*∧(非q)
解析：选D 由指数函数的性质知命题*p*为真命题．易知*x*\>1是*x*\>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知*p*∧(非q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A．"*a*\>1，*b*\>1"是"*ab*\>1"成立的充分条件
B．命题*p*：∀*x*∈R,2*^x^*\>0，则非*p*：∃*x*~0~∈R,2*^x^*0\<0
C．命题"若*a*\>*b*\>0，则\<"的逆命题是真命题
D．"*a*\>*b*"是"*a*^2^\>*b*^2^"成立的充分不必要条件
解析：选A 对于选项A，由*a*\>1，*b*\>1，易得*ab*\>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题*p*：∀*x*∈R,2*^x^*\>0的否定是非*p*：∃*x*~0~∈R,2*^x^*0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若\<，则*a*\>*b*\>0，可举反例，如*a*＝－1，*b*＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由"*a*\>*b*"并不能推出"*a*^2^\>*b*^2^"，如*a*＝1，*b*＝－1，故D错误．故选A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题*p*："*a*\>*b*"是"2*^a^*\>2*^b^*"的充要条件；命题q：∃*x*~0~∈R，\|*x*~0~＋1\|≤*x*~0~，则( )
A．(非*p*)∨q为真命题 B．*p*∧(非q)为假命题
C．*p*∧q为真命题 D．*p*∨q为真命题
解析：选D 由题意可知命题*p*为真命题．因为\|*x*＋1\|≤*x*的解集为空集，所以命题q为假命题，所以*p*∨q为真命题．
6．下列说法错误的是( )
A．命题"若*x*^2^－5*x*＋6＝0，则*x*＝2"的逆否命题是"若*x*≠2，则*x*^2^－5*x*＋6≠0"
B．若命题*p*：存在*x*~0~∈R，*x*＋*x*~0~＋1\<0，则非*p*：对任意*x*∈R，*x*^2^＋*x*＋1≥0
C．若*x*，*y*∈R，则"*x*＝*y*"是"*xy*≥^2^"的充要条件
D．已知命题*p*和q，若"*p*或q"为假命题，则命题*p*与q中必一真一假
解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由*xy*≥^2^⇔4*xy*≥(*x*＋*y*)^2^⇔4*xy*≥*x*^2^＋*y*^2^＋2*xy*⇔(*x*－*y*)^2^≤0⇔*x*＝*y*，知C正确；对于D，命题"*p*或q"为假命题，则命题*p*与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题"∀*x*∈R，*ax*^2^＋4*x*＋1\>0"是假命题，则实数*a*的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4\]
C．(－∞，4\] D．\[0,4)
解析：选C 当原命题为真命题时，*a*\>0且*Δ*\<0，所以*a*\>4，故当原命题为假命题时，*a*≤4.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在*x*\>*y*\>0，使得ln *x*＋ln *y*\<0
B．"*φ*＝"是"函数*y*＝sin(2*x*＋*φ*)为偶函数"的充分不必要条件
C．∃*x*~0~∈(－∞，0)，使3*x*~0~\<4*x*~0~成立
D．已知两个平面*α*，*β*，若两条异面直线*m*，*n*满足*m*⊂*α*，*n*⊂*β*且*m*∥*β*，*n*∥*α*，则*α*∥*β*
解析：选C 对于A选项，令*x*＝1，*y*＝，则ln *x*＋ln *y*＝－1\<0成立，故排除A.对于B选项，"*φ*＝"是"函数*y*＝sin(2*x*＋*φ*)为偶函数"的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数*y*＝*x^α^*，当*α*\<0时，函数单调递减，故不存在*x*~0~∈(－∞，0)，使3*x*~0~\<4*x*~0~成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面*α*，*β*，若两条异面直线*m*，*n*满足*m*⊂*α*，*n*⊂*β*且*m*∥*β*，*n*∥*α*，可过*n*作一个平面与平面*α*相交于直线*n*′.由线面平行的性质定理可得*n*′∥*n*，再由线面平行的判定定理可得*n*′∥*β*，接下来由面面平行的判定定理可得*α*∥*β*，故排除D，选C.
9．若命题*p*的否定是"∀*x*∈(0，＋∞)，＞*x*＋1"，则命题*p*可写为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*p*是非*p*的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃*x*~0~∈(0，＋∞)，≤*x*~0~＋1
10．已知命题*p*：*x*^2^＋4*x*＋3≥0，q：*x*∈Z，且"*p*∧q"与"非q"同时为假命题，则 *x*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：若*p*为真，则*x*≥－1或*x*≤－3，
因为"非q"为假，则q为真，即*x*∈Z，
又因为"*p*∧q"为假，所以*p*为假，故－3＜*x*＜－1，
由题意，得*x*＝－2.
答案：－2
11．已知*p*：*a*\<0，q：*a*^2^\>*a*，则非*p*是非q的\_\_\_\_\_\_\_\_条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得非*p*：*a*≥0，非q：*a*^2^≤*a*，即0≤*a*≤1.因为{*a*\|0≤*a*≤1}{*a*\|*a*≥0}，所以非*p*是非q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题*p*：*a*^2^≥0(*a*∈R)，命题q：函数*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*在区间\[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①*p*∨q；②*p*∧q；③(非*p*)∧(非q)；④(非*p*)∨q.
其中为假命题的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：显然命题*p*为真命题，非*p*为假命题．
∵*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*＝^2^－，
∴函数*f*(*x*)在区间上单调递增．
∴命题q为假命题，非q为真命题．
∴*p*∨q为真命题，*p*∧q为假命题，(非*p*)∧(非q)为假命题，(非*p*)∨q为假命题．
答案：②③④
13．设*t*∈R，已知命题*p*：函数*f*(*x*)＝*x*^2^－2*tx*＋1有零点；命题q：∀*x*∈\[1，＋∞)， －*x*≤4*t*^2^－1.
(1)当*t*＝1时，判断命题q的真假；
(2)若*p*∨q为假命题，求*t*的取值范围．
解：(1)当*t*＝1时，~max~＝0，－*x*≤3在\[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若*p*∨q为假命题，则*p*，q都是假命题．
当*p*为假命题时，*Δ*＝(－2*t*)^2^－4\<0，解得－1\<*t*\<1；
当q为真命题时，~max~≤4*t*^2^－1，即4*t*^2^－1≥0，
解得*t*≤－或*t*≥，
∴当q为假命题时，－\<*t*\<，
∴*t*的取值范围是.
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
================================
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数*y*＝*f*(*x*)，*x*∈*A*中，*x*叫做自变量，*x*的取值范围*A*叫做函数的定义域；与*x*的值相对应的*y*值叫做函数值，函数值的集合{*f*(*x*)\|*x*∈*A*}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数*y*＝*f*(*x*)是用表格给出，则表格中*x*的集合即为定义域．
(3)如果函数*y*＝*f*(*x*)是用图象给出，则图象在*x*轴上的投影所覆盖的*x*的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一 函数的定义域
\[典例\] (1)(2019·长春质检)函数*y*＝()＋的定义域是( )
A．\[－1,0)∪(0,1) B．\[－1,0)∪(0,1\]
C．(－1,0)∪(0,1\] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数*f*(*x*)的定义域为(－1,0)，则函数*f*(2*x*＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
\[解析\] (1)由题意得解得－1\<*x*\<0或0\<*x*\<1.
所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)令*u*＝2*x*＋1，由*f*(*x*)的定义域为(－1,0)，可知－1\<*u*\<0，即－1\<2*x*＋1\<0，
得－1\<*x*\<－.
\[答案\] (1)D (2)B
\[解题技法\]
1．使函数解析式有意义的一般准则
(1)分式中的分母不为0；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)*y*＝*x*^0^要求*x*≠0；
(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)正切函数*y*＝tan *x*，*x*≠*k*π＋(*k*∈Z)；
(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
2．抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数*f*(*x*)的定义域为\[*a*，*b*\]，其复合函数*f*(*g*(*x*))的定义域由不等式*a*≤*g*(*x*)≤*b*求出；
(2)若已知函数*f*(*g*(*x*))的定义域为\[*a*，*b*\]，则*f*(*x*)的定义域为*g*(*x*)在*x*∈\[*a*，*b*\]上的值域．
\[题组训练\]
1.函数*f*(*x*)＝()＋的定义域为( )
A．\[－2,0)∪(0,2\] B．(－1,0)∪(0,2\]
C．\[－2,2\] D．(－1,2\]
解析：选B 由()得－1\<*x*≤2，且*x*≠0.
2.若函数*y*＝*f*(*x*)的定义域是\[1,2 019\]，则函数*g*(*x*)＝()的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*y*＝*f*(*x*)的定义域是\[1,2 019\]，
所以若*g*(*x*)有意义，应满足
所以0≤*x*≤2 018，且*x*≠1.
因此*g*(*x*)的定义域是{*x*\|0≤*x*≤2 018，且*x*≠1}．
答案：{*x*\|0≤*x*≤2 018，且*x*≠1}
考点二 求函数的解析式
\[典例\] (1)已知二次函数*f*(2*x*＋1)＝4*x*^2^－6*x*＋5，求*f*(*x*)；
(2)已知函数*f*(*x*)满足*f*(－*x*)＋2*f*(*x*)＝2*^x^*，求*f*(*x*)．
\[解\] (1)法一：待定系数法
因为*f*(*x*)是二次函数，所以设*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)，则*f*(2*x*＋1)＝*a*(2*x*＋1)^2^＋*b*(2*x*＋1)＋*c*＝4*ax*^2^＋(4*a*＋2*b*)*x*＋*a*＋*b*＋*c*.
因为*f*(2*x*＋1)＝4*x*^2^－6*x*＋5，
所以解得
所以*f*(*x*)＝*x*^2^－5*x*＋9(*x*∈R)．
法二：换元法
令2*x*＋1＝*t*(*t*∈R)，则*x*＝，
所以*f*(*t*)＝4^2^－6·＋5＝*t*^2^－5*t*＋9(*t*∈R)，
所以*f*(*x*)＝*x*^2^－5*x*＋9(*x*∈R)．
法三：配凑法
因为*f*(2*x*＋1)＝4*x*^2^－6*x*＋5＝(2*x*＋1)^2^－10*x*＋4＝(2*x*＋1)^2^－5(2*x*＋1)＋9，
所以*f*(*x*)＝*x*^2^－5*x*＋9(*x*∈R)．
(2)解方程组法
由*f*(－*x*)＋2*f*(*x*)＝2*^x^*， ①
得*f*(*x*)＋2*f*(－*x*)＝2^－*x*^，②
①×2－②，得3*f*(*x*)＝2^*x*＋1^－2^－*x*^.
即*f*(*x*)＝.
故*f*(*x*)的解析式是*f*(*x*)＝(*x*∈R)．
\[解题技法\] 求函数解析式的4种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如*y*＝*f*(*g*(*x*))的函数解析式，令*t*＝*g*(*x*)，从中求出*x*＝*φ*(*t*)，然后代入表达式求出*f*(*t*)，再将*t*换成*x*，得到*f*(*x*)的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件*f*(*g*(*x*))＝*F*(*x*)，可将*F*(*x*)改写成关于*g*(*x*)的表达式，然后以*x*替代*g*(*x*)，便得*f*(*x*)的解析式．
(4)解方程组法
已知关于*f*(*x*)与*f*或*f*(－*x*)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出*f*(*x*)．
\[提醒\] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．
\[题组训练\]
1.已知*f*(*x*)是二次函数，且*f*(0)＝0，*f*(*x*＋1)＝*f*(*x*)＋*x*＋1，则*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)，
由*f*(0)＝0，知*c*＝0，*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*.
又由*f*(*x*＋1)＝*f*(*x*)＋*x*＋1，
得*a*(*x*＋1)^2^＋*b*(*x*＋1)＝*ax*^2^＋*bx*＋*x*＋1，
即*ax*^2^＋(2*a*＋*b*)*x*＋*a*＋*b*＝*ax*^2^＋(*b*＋1)*x*＋1，
所以解得*a*＝*b*＝.
所以*f*(*x*)＝*x*^2^＋*x*(*x*∈R)．
答案：*x*^2^＋*x*(*x*∈R)
2.已知*f*＝lg *x*，则*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：令＋1＝*t*，得*x*＝，则*f*(*t*)＝lg，又*x*\>0，所以*t*\>1，故*f*(*x*)的解析式是*f*(*x*)＝lg(*x*\>1)．
答案：lg(*x*\>1)
3.已知*f*(*x*)满足2*f*(*x*)＋*f*＝3*x*，则*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵2*f*(*x*)＋*f*＝3*x*，①
把①中的*x*换成，得2*f*＋*f*(*x*)＝.②
联立①②可得()()
解此方程组可得*f*(*x*)＝2*x*－(*x*≠0)．
答案：2*x*－(*x*≠0)
考点三 分段函数
考法(一) 求函数值
\[典例\] (2019·石家庄模拟)已知*f*(*x*)＝(0\<*a*\<1)，且*f*(－2)＝5，*f*(－1)＝3，则*f*(*f*(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
\[解析\] 由题意得，*f*(－2)＝*a*^－2^＋*b*＝5，①
*f*(－1)＝*a*^－1^＋*b*＝3，②
联立①②，结合0\<*a*\<1，得*a*＝，*b*＝1，
所以*f*(*x*)＝
则*f*(－3)＝^－3^＋1＝9，*f*(*f*(－3))＝*f*(9)＝log~3~9＝2.
\[答案\] B
\[解题技法\] 求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；
(2)当出现*f*(*f*(*a*))的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)
\[典例\] (2018·全国卷Ⅰ)设函数*f*(*x*)＝则满足*f*(*x*＋1)\<*f*(2*x*)的*x*的取值范围是( )
A．(－∞，－1\] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
\[解析\] 法一：分类讨论法
①当即*x*≤－1时，
*f*(*x*＋1)\<*f*(2*x*)，即为2^－(*x*＋1)^\<2^－2*x*^，
即－(*x*＋1)\<－2*x*，解得*x*\<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1\]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1\<*x*≤0时，
*f*(*x*＋1)\<*f*(2*x*)，即为1\<2^－2*x*^，解得*x*\<0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即*x*\>0时，*f*(*x*＋1)＝1，*f*(2*x*)＝1，不合题意．
综上，不等式*f*(*x*＋1)\<*f*(2*x*)的解集为(－∞，0)．
法二：数形结合法
∵*f*(*x*)＝
∴函数*f*(*x*)的图象如图所示．
结合图象知，要使*f*(*x*＋1)\<*f*(2*x*)，
则需或
∴*x*\<0，故选D.
\[答案\] D
\[解题技法\]
已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法
(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
\[题组训练\]
1．设*f*(*x*)＝()若*f*(*a*)＝*f*(*a*＋1)，则*f*＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜*a*＜1时，*a*＋1＞1，*f*(*a*)＝，*f*(*a*＋1)＝2(*a*＋1－1)＝2*a*，
∵*f*(*a*)＝*f*(*a*＋1)，∴＝2*a*，
解得*a*＝或*a*＝0(舍去)．
∴*f*＝*f*(4)＝2×(4－1)＝6.
当*a*≥1时，*a*＋1≥2，*f*(*a*)＝2(*a*－1)，*f*(*a*＋1)＝2(*a*＋1－1)＝2*a*，
∵*f*(*a*)＝*f*(*a*＋1)，∴2(*a*－1)＝2*a*，无解．
综上，*f*＝6.
2．已知函数*f*(*x*)＝()则*f*(*f*(3))＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意，得*f*(3)＝*f*(2)＝*f*(1)＝2^1^＝2，
∴*f*(*f*(3))＝*f*(2)＝2.
答案：2
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数*f*(*x*)＝则满足*f*(*x*)＋*f*\>1的*x*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知，可对不等式分*x*≤0,0\<*x*≤，*x*\>讨论．
①当*x*≤0时，原不等式为*x*＋1＋*x*＋\>1，解得*x*\>－，
故－\<*x*≤0.
②当0\<*x*≤时，原不等式为2*^x^*＋*x*＋\>1，显然成立．
③当*x*\>时，原不等式为2*^x^*＋2*x*－\>1，显然成立．
综上可知，所求*x*的取值范围是.
答案：
4．设函数*f*(*x*)＝若*f*(*a*)\<1，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：若*a*\<0，则*f*(*a*)\<1⇔*^a^*－7\<1⇔*^a^*\<8，解得*a*\>－3，故－3\<*a*\<0；
若*a*≥0，则*f*(*a*)\<1⇔\<1，解得*a*\<1，故0≤*a*\<1.
综上可得－3\<*a*\<1.
答案：(－3,1)
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①中当*x*＞0时，每一个*x*的值对应两个不同的*y*值，因此不是函数图象；②中当*x*＝*x*~0~时，*y*的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个*x*的值对应唯一的*y*值，因此是函数图象．故选B.
2．函数*f*(*x*)＝＋的定义域为( )
A．\[0,2) B．(2，＋∞)
C．\[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意得解得*x*≥0，且*x*≠2.
3．已知*f*＝2*x*－5，且*f*(*a*)＝6，则*a*等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 令*t*＝*x*－1，则*x*＝2*t*＋2，*f*(*t*)＝2(2*t*＋2)－5＝4*t*－1，
则4*a*－1＝6，解得*a*＝.
4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．*y*＝ B．*y*＝ln *x*
C．*y*＝ D．*y*＝
解析：选D 对于A，定义域为\[1，＋∞)，值域为\[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，*y*＝＝1＋，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．(2018·福建期末)已知函数*f*(*x*)＝若*f*(*a*)＝3，则*f*(*a*－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A 当*a*\>0时，若*f*(*a*)＝3，则log~2~*a*＋*a*＝3，解得*a*＝2(满足*a*\>0)；当*a*≤0时，若*f*(*a*)＝3，则4^*a*－2^－1＝3，解得*a*＝3，不满足*a*≤0，所以舍去．于是，可得*a*＝2.故*f*(*a*－2)＝*f*(0)＝4^－2^－1＝－.
6．已知函数*y*＝*f*(2*x*－1)的定义域是\[0,1\]，则函数()()的定义域是( )
A．\[1,2\] B．(－1,1\]
C. D．(－1,0)
解析：选D 由*f*(2*x*－1)的定义域是\[0,1\]，
得0≤*x*≤1，故－1≤2*x*－1≤1，
∴*f*(*x*)的定义域是\[－1,1\]，
∴要使函数()()有意义，
需满足解得－1\<*x*\<0.
7．下列函数中，不满足*f*(2 018*x*)＝2 018*f*(*x*)的是( )
A．*f*(*x*)＝\|*x*\| B．*f*(*x*)＝*x*－\|*x*\|
C．*f*(*x*)＝*x*＋2 D．*f*(*x*)＝－2*x*
解析：选C 若*f*(*x*)＝\|*x*\|，则*f*(2 018*x*)＝\|2 018*x*\|＝2 018\|*x*\|＝2 018*f*(*x*)；若*f*(*x*)＝*x*－\|*x*\|，则*f*(2 018*x*)＝2 018*x*－\|2 018*x*\|＝2 018(*x*－\|*x*\|)＝2 018*f*(*x*)；若*f*(*x*)＝*x*＋2，则*f*(2 018*x*)＝2 018*x*＋2，而2 018*f*(*x*)＝2 018*x*＋2 018×2，故*f*(*x*)＝*x*＋2不满足*f*(2 018*x*)＝2 018*f*(*x*)；若*f*(*x*)＝－2*x*，则*f*(2 018*x*)＝－2×2 018*x*＝2 018×(－2*x*)＝2 018*f*(*x*)．故选C.
8．已知具有性质：*f*＝－*f*(*x*)的函数，我们称为满足"倒负"变换的函数，下列函数：
①*f*(*x*)＝*x*－；②*f*(*x*)＝*x*＋；③*f*(*x*)＝
其中满足"倒负"变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B 对于①，*f*(*x*)＝*x*－，*f*＝－*x*＝－*f*(*x*)，满足题意；对于②，*f*＝＋*x*＝*f*(*x*)，不满足题意；对于③，*f*＝即*f*＝故*f*＝－*f*(*x*)，满足题意．
综上可知，满足"倒负"变换的函数是①③.
9．(2019·青岛模拟)函数*y*＝ln＋的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由⇒⇒0\<*x*≤1.
所以该函数的定义域为(0,1\]．
答案：(0,1\]
10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数*f*(*x*)＝()则*f*(*f*(－9))＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵函数*f*(*x*)＝()∴*f*(－9)＝lg 10＝1，∴*f*(*f*(－9))＝*f*(1)＝－2.
答案：－2
11．(2018·张掖一诊)已知函数*f*(*x*)＝若*f*(*a*)＋*f*(1)＝0，则实数*a*的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*f*(1)＝2，且*f*(1)＋*f*(*a*)＝0，∴*f*(*a*)＝－2＜0，故*a*≤0.
依题知*a*＋1＝－2，解得*a*＝－3.
答案：－3
12．已知*f*(*x*)＝()使*f*(*x*)≥－1成立的*x*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知或()
解得－4≤*x*≤0或0＜*x*≤2，
故所求*x*的取值范围是\[－4,2\]．
答案：\[－4,2\]
13．设函数*f*(*x*)＝且*f*(－2)＝3，*f*(－1)＝*f*(1)．
(1)求函数*f*(*x*)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出*f*(*x*)的图象．
解：(1)由*f*(－2)＝3，*f*(－1)＝*f*(1)，得
解得所以*f*(*x*)＝
(2)函数*f*(*x*)的图象如图所示．
第二节 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数*f*(*x*)的定义域为*I*：
(1)增函数：如果对于定义域*I*内某个区间*D*上的任意两个自变量的值*x*~1~，*x*~2~，当*x*~1~\<*x*~2~时，都有*f*(*x*~1~)\<*f*(*x*~2~)，那么就说函数*f*(*x*)在区间*D*上是增函数．
(2)减函数：如果对于定义域*I*内某个区间*D*上的任意两个自变量的值*x*~1~，*x*~2~，当*x*~1~\<*x*~2~时，都有*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~)，那么就说函数*f*(*x*)在区间*D*上是减函数．
增(减)函数定义中的*x*~1~，*x*~2~的三个特征
一是任意性；二是有大小，即*x*~1~\<*x*~2~(*x*~1~\>*x*~2~)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数*y*＝*f*(*x*)在区间*D*上是增函数或减函数，则称函数*y*＝*f*(*x*)在这一区间具有(严格的)单调性，区间*D*叫做函数*y*＝*f*(*x*)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号"∪"连接，也不能用"或"连接，只能用"逗号"或"和"连接．
3．函数的最值
设函数*y*＝*f*(*x*)的定义域为*I*，如果存在实数*M*满足：
(1)对于任意的*x*∈*I*，都有*f*(*x*)≤*M*或*f*(*x*)≥*M*.
(2)存在*x*~0~∈*I*，使得*f*(*x*~0~)＝*M*.
那么，我们称*M*是函数*y*＝*f*(*x*)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的"单峰"函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数*f*(*x*)单调递增，*g*(*x*)单调递增，则*f*(*x*)＋*g*(*x*)是增函数；
(2)函数*f*(*x*)单调递减，*g*(*x*)单调递减，则*f*(*x*)＋*g*(*x*)是减函数；
(3)函数*f*(*x*)单调递增，*g*(*x*)单调递减，则*f*(*x*)－*g*(*x*)是增函数；
(4)函数*f*(*x*)单调递减，*g*(*x*)单调递增，则*f*(*x*)－*g*(*x*)是减函数；
(5)若*k*\>0，则*kf*(*x*)与*f*(*x*)单调性相同；若*k*\<0，则*kf*(*x*)与*f*(*x*)单调性相反；
(6)函数*y*＝*f*(*x*)(*f*(*x*)\>0)在公共定义域内与*y*＝－*f*(*x*)，*y*＝()的单调性相反；
(7)复合函数*y*＝*f*\[*g*(*x*)\]的单调性与*y*＝*f*(*u*)和*u*＝*g*(*x*)的单调性有关．简记："同增异减"．
考点一 确定函数的单调性(区间))
\[典例\] (1)求函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋2\|*x*\|＋1的单调区间．
(2)试讨论函数*f*(*x*)＝(*a*≠0)在(－1,1)上的单调性．
\[解\] (1)易知*f*(*x*)＝
＝()()
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1\]和\[0,1\]，单调递减区间为\[－1,0\]和\[1，＋∞)．
(2)法一：定义法
设－1\<*x*~1~\<*x*~2~\<1，
*f*(*x*)＝*a*＝*a*，
则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝*a*－*a*
＝()()().
由于－1\<*x*~1~\<*x*~2~\<1，
所以*x*~2~－*x*~1~\>0，*x*~1~－1\<0，*x*~2~－1\<0，
故当*a*\>0时，*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\>0，即*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~)，
函数*f*(*x*)在(－1,1)上单调递减；
当*a*\<0时，*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\<0，即*f*(*x*~1~)\<*f*(*x*~2~)，
函数*f*(*x*)在(－1,1)上单调递增．
法二：导数法
*f*′(*x*)＝()()()()
＝()()＝－().
当*a*\>0时，*f*′(*x*)\<0，函数*f*(*x*)在(－1,1)上单调递减；
当*a*\<0时，*f*′(*x*)\>0，函数*f*(*x*)在(－1,1)上单调递增．
\[解题技法\] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果*f*(*x*)是以图象形式给出的，或者*f*(*x*)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
\[题组训练\]
1．下列函数中，满足"∀*x*~1~，*x*~2~∈(0，＋∞)且*x*~1~≠*x*~2~，(*x*~1~－*x*~2~)·\[*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\]\<0"的是( )
A．*f*(*x*)＝2*^x^* B．*f*(*x*)＝\|*x*－1\|
C．*f*(*x*)＝－*x* D．*f*(*x*)＝ln(*x*＋1)
解析：选C 由(*x*~1~－*x*~2~)·\[*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\]\<0可知，*f*(*x*)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，*f*(*x*)为增函数；B中，*f*(*x*)＝\|*x*－1\|在(0，＋∞)上不单调；对于*f*(*x*)＝－*x*，因为*y*＝与*y*＝－*x*在(0，＋∞)上单调递减，因此*f*(*x*)在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数*f*(*x*)＝log(*x*^2^－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D 令*t*＝*x*^2^－4，则*y*＝log*t*.因为*y*＝log*t*在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数*t*＝*x*^2^－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
3．判断函数*f*(*x*)＝*x*＋(*a*\>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设*x*~1~，*x*~2~是任意两个正数，且*x*~1~\<*x*~2~，
则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝－＝(*x*~1~*x*~2~－*a*)．
当0\<*x*~1~\<*x*~2~≤时，0\<*x*~1~*x*~2~\<*a*，*x*~1~－*x*~2~\<0，
所以*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\>0，即*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~)，
所以函数*f*(*x*)在(0， \]上是减函数；
当≤*x*~1~\<*x*~2~时，*x*~1~*x*~2~\>*a*，*x*~1~－*x*~2~\<0，
所以*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\<0，即*f*(*x*~1~)\<*f*(*x*~2~)，
所以函数*f*(*x*)在\[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数*f*(*x*)＝*x*＋(*a*\>0)在(0， \]上是减函数，在\[，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域(最值))
\[典例\] (1)(2019•深圳调研)函数*y*＝\|*x*＋1\|＋\|*x*－2\|的值域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)若函数*f*(*x*)＝－＋*b*(*a*\>0)在上的值域为，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_，*b*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
(3)函数*f*(*x*)＝的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)图象法
函数*y*＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数*y*＝\|*x*＋1\|＋\|*x*－2\|的值域为\[3，＋∞)．
(2)单调性法
∵*f*(*x*)＝－＋*b*(*a*\>0)在上是增函数，
∴*f*(*x*)~min~＝*f*＝，*f*(*x*)~max~＝*f*(2)＝2.
即解得*a*＝1，*b*＝.
(3)当*x*≤0时，*f*(*x*)＝－*x*^2^－4*x*＝－(*x*＋2)^2^＋4，而－2∈(－∞，0\]，此时*f*(*x*)在*x*＝－2处取得最大值，且*f*(－2)＝4；当*x*\>0时，*f*(*x*)＝sin *x*，此时*f*(*x*)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数*f*(*x*)的最大值为4.
\[答案\] (1)\[3，＋∞) (2)1 (3)4
\[提醒\] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
\[题组训练\]
1．函数*f*(*x*)＝的值域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*x*\>0时，*f*(*x*)＝*x*＋≥4，
当且仅当*x*＝2时取等号；
当*x*\<0时，－*x*＋≥4，
即*f*(*x*)＝*x*＋≤－4，
当且仅当*x*＝－2取等号，
所以函数*f*(*x*)的值域为(－∞，－4\]∪\[4，＋∞)．
答案：(－∞，－4\]∪\[4，＋∞)
2．若*x*∈，则函数*y*＝4sin^2^*x*－12sin *x*－1的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_，最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*t*＝sin *x*，因为*x*∈，
所以*t*∈，*y*＝*f*(*t*)＝4*t*^2^－12*t*－1，
因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为*t*＝，所以当*t*∈时，函数*f*(*t*)单调递减，
所以当*t*＝－时，*y*~max~＝6；
当*t*＝1时，*y*~min~＝－9.
答案：6 －9
3．已知*f*(*x*)＝，*x*∈\[1，＋∞)，且*a*≤1.若对任意*x*∈\[1，＋∞)，*f*(*x*)\>0恒成立，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：对任意*x*∈\[1，＋∞)，*f*(*x*)\>0恒成立等价于*x*^2^＋2*x*＋*a*\>0在*x*∈\[1，＋∞)上恒成立，即*a*\>－*x*^2^－2*x*在*x*∈\[1，＋∞)上恒成立．
又函数*y*＝－*x*^2^－2*x*在\[1，＋∞)上单调递减，
∴(－*x*^2^－2*x*)~max~＝－3，故*a*\>－3，
又∵*a*≤1，∴－3\<*a*≤1.
答案：(－3,1\]
考点三 函数单调性的应用
考法(一) 比较函数值的大小
\[典例\] 设偶函数*f*(*x*)的定义域为R，当*x*∈\[0，＋∞)时，*f*(*x*)是增函数，则*f*(－2)，*f*(π)，*f*(－3)的大小关系是( )
A．*f*(π)\>*f*(－3)\>*f*(－2)
B．*f*(π)\>*f*(－2)\>*f*(－3)
C．*f*(π)\<*f*(－3)\<*f*(－2)
D．*f*(π)\<*f*(－2)\<*f*(－3)
\[解析\] 因为*f*(*x*)是偶函数，所以*f*(－3)＝*f*(3)，*f*(－2)＝*f*(2)．
又因为函数*f*(*x*)在\[0，＋∞)上是增函数．
所以*f*(π)\>*f*(3)\>*f*(2)，即*f*(π)\>*f*(－3)\>*f*(－2)．
\[答案\] A
\[解题技法\] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二) 解函数不等式
\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝若*f*(*a*＋1)≥*f*(2*a*－1)，则实数*a*的取值范围是( )
A．(－∞，1\] B．(－∞，2\]
C．\[2,6\] D．\[2，＋∞)
\[解析\] 易知函数*f*(*x*)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵*f*(*a*＋1)≥*f*(2*a*－1)，
∴*a*＋1≥2*a*－1，解得*a*≤2.故实数*a*的取值范围是(－∞，2\]．
\[答案\] B
\[解题技法\] 求解含"*f*"的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为*f*(*g*(*x*))\>*f*(*h*(*x*))的形式，再根据函数的单调性去掉"*f*"，得到一般的不等式*g*(*x*)\>*h*(*x*)(或*g*(*x*)\<*h*(*x*))．
考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)
\[典例\] (2019•南京调研)已知函数*f*(*x*)＝*x*－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 设1\<*x*~1~\<*x*~2~，∴*x*~1~*x*~2~\>1.
∵函数*f*(*x*)在(1，＋∞)上是增函数，
∴*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝*x*~1~－＋－
＝(*x*~1~－*x*~2~)\<0.
∵*x*~1~－*x*~2~\<0，∴1＋\>0，即*a*\>－*x*~1~*x*~2~.
∵1\<*x*~1~\<*x*~2~，*x*~1~*x*~2~\>1，∴－*x*~1~*x*~2~\<－1，∴*a*≥－1.
∴*a*的取值范围是\[－1，＋∞)．
\[答案\] \[－1，＋∞)
\[解题技法\]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间\[*a*，*b*\]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
\[题组训练\]
1．已知函数*f*(*x*)的图象向左平移1个单位后关于*y*轴对称，当*x*~2~\>*x*~1~\>1时，\[*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)\]·(*x*~2~－*x*~1~)\<0恒成立，设*a*＝*f*，*b*＝*f*(2)，*c*＝*f*(3)，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )
A．*c*\>*a*\>*b* B．*c*\>*b*\>*a*
C．*a*\>*c*\>*b* D．*b*\>*a*\>*c*
解析：选D 由于函数*f*(*x*)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于*y*轴对称，故函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝1对称，所以*a*＝*f*＝*f*.当*x*~2~\>*x*~1~\>1时，\[*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)\](*x*~2~－*x*~1~)\<0恒成立，等价于函数*f*(*x*)在(1，＋∞)上单调递减，所以*b*\>*a*\>*c*.
2．已知函数*f*(*x*)＝是R上的单调函数，则实数*a*的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由对数函数的定义可得*a*\>0，且*a*≠1.
又函数*f*(*x*)在R上单调，而二次函数*y*＝*ax*^2^－*x*－的图象开口向上，
所以函数*f*(*x*)在R上单调递减，
故有即
所以*a*∈.
A级
1．下列四个函数中，在*x*∈(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．*f*(*x*)＝3－*x* B．*f*(*x*)＝*x*^2^－3*x*
C．*f*(*x*)＝－ D．*f*(*x*)＝－\|*x*\|
解析：选C 当*x*\>0时，*f*(*x*)＝3－*x*为减函数；当*x*∈时，*f*(*x*)＝*x*^2^－3*x*为减函数，当*x*∈时，*f*(*x*)＝*x*^2^－3*x*为增函数；当*x*∈(0，＋∞)时，*f*(*x*)＝－为增函数；当*x*∈(0，＋∞)时，*f*(*x*)＝－\|*x*\|为减函数．
2．若函数*f*(*x*)＝*ax*＋1在R上单调递减，则函数*g*(*x*)＝*a*(*x*^2^－4*x*＋3)的单调递增区间是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选B 因为*f*(*x*)＝*ax*＋1在R上单调递减，所以*a*\<0.
而*g*(*x*)＝*a*(*x*^2^－4*x*＋3)＝*a*(*x*－2)^2^－*a*.
因为*a*\<0，所以*g*(*x*)在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数*f*(*x*)是定义在区间\[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足*f*(2*x*－1)＜*f*的*x*的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数*f*(*x*)是定义在区间\[0，＋∞)上的增函数，满足*f*(2*x*－1)＜*f*.
所以0≤2*x*－1＜，解得≤*x*＜.
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当*a*≥*b*时，*a*⊕*b*＝*a*；当*a*\<*b*时，*a*⊕*b*＝*b*^2^，则函数*f*(*x*)＝(1⊕*x*)*x*－(2⊕*x*)，*x*∈\[－2，2\]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C 由题意知当－2≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝*x*－2，当1\<*x*≤2时，*f*(*x*)＝*x*^3^－2，又*f*(*x*)＝*x*－2，*f*(*x*)＝*x*^3^－2在相应的定义域内都为增函数，且*f*(1)＝－1，*f*(2)＝6，∴*f*(*x*)的最大值为6.
5．已知函数*f*(*x*)是R上的增函数，*A*(0，－3)，*B*(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜*f*(*x*＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )
A．(－1,2) B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪\[4，＋∞) D．(－∞，－1\]∪\[2，＋∞)
解析：选D 由函数*f*(*x*)是R上的增函数，*A*(0，－3)，*B*(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜*f*(*x*＋1)＜1即为*f*(0)＜*f*(*x*＋1)＜*f*(3)，所以0＜*x*＋1＜3，所以－1＜*x*＜2，故不等式－3＜*f*(*x*＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1\]∪\[2，＋∞)．
6．已知函数*f*(*x*)＝是R上的增函数，则实数*a*的取值范围是( )
A．\[－3,0) B．(－∞，－2\]
C．\[－3，－2\] D．(－∞，0)
解析：选C 若*f*(*x*)是R上的增函数，则应满足解得－3≤*a*≤－2.
7．已知函数*f*(*x*)＝，则该函数的单调递增区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*t*＝*x*^2^－2*x*－3，由*t*≥0，即*x*^2^－2*x*－3≥0，解得*x*≤－1或*x*≥3，所以函数*f*(*x*)的定义域为(－∞，－1\]∪\[3，＋∞)．因为函数*t*＝*x*^2^－2*x*－3的图象的对称轴为*x*＝1，所以函数*t*＝*x*^2^－2*x*－3在(－∞，－1\]上单调递减，在\[3，＋∞)上单调递增，所以函数*f*(*x*)的单调递增区间为\[3，＋∞)．
答案：\[3，＋∞)
8．函数*f*(*x*)＝的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*x*≥1时，函数*f*(*x*)＝为减函数，所以*f*(*x*)在*x*＝1处取得最大值，为*f*(1)＝1；当*x*\<1时，易知函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋2在*x*＝0处取得最大值，为*f*(0)＝2.故函数*f*(*x*)的最大值为2.
答案：2
9．若函数*f*(*x*)＝在区间\[2，*a*\]上的最大值与最小值的和为，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由*f*(*x*)＝的图象知，*f*(*x*)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵\[2，*a*\]⊆(0，＋∞)，
∴*f*(*x*)＝在\[2，*a*\]上也是减函数，
∴*f*(*x*)~max~＝*f*(2)＝，*f*(*x*)~min~＝*f*(*a*)＝，
∴＋＝，∴*a*＝4.
答案：4
10．(2019·甘肃会宁联考)若*f*(*x*)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*f*(*x*)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使*a*－3\<0，解得*a*\<3.
答案：(－∞，3)
11．已知函数*f*(*x*)＝－(*a*＞0，*x*＞0)．
(1)求证：*f*(*x*)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若*f*(*x*)在上的值域是，求*a*的值．
解：(1)证明：任取*x*~1~＞*x*~2~＞0，
则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝－－＋＝，
∵*x*~1~＞*x*~2~＞0，
∴*x*~1~－*x*~2~＞0，*x*~1~*x*~2~＞0，
∴*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＞0，
即*f*(*x*~1~)＞*f*(*x*~2~)，
∴*f*(*x*)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，*f*(*x*)在上是增函数，
∴*f*＝－2＝，*f*(2)＝－＝2，
解得*a*＝.
12．已知*f*(*x*)＝(*x*≠*a*)．
(1)若*a*＝－2，试证*f*(*x*)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若*a*＞0且*f*(*x*)在(1，＋∞)内单调递减，求*a*的取值范围．
解：(1)证明：当*a*＝－2时，*f*(*x*)＝.
任取*x*~1~，*x*~2~∈(－∞，－2)，且*x*~1~＜*x*~2~，
则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝－＝()()().
因为(*x*~1~＋2)(*x*~2~＋2)＞0，*x*~1~－*x*~2~＜0，
所以*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＜0，即*f*(*x*~1~)＜*f*(*x*~2~)，
所以*f*(*x*)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)任取*x*~1~，*x*~2~∈(1，＋∞)，且*x*~1~＜*x*~2~，
则*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＝－＝()()().
因为*a*＞0，*x*~2~－*x*~1~＞0，又由题意知*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＞0，
所以(*x*~1~－*a*)(*x*~2~－*a*)＞0恒成立，所以*a*≤1.
所以0＜*a*≤1.
所以*a*的取值范围为(0,1\]．
B级
1．若*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*mx*与*g*(*x*)＝在区间\[2,4\]上都是减函数，则*m*的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(0,1\] B．(－1,0)∪(0,1\]
C．(0，＋∞) D．(0,1\]
解析：选D 函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*mx*的图象开口向下，且以直线*x*＝2*m*为对称轴，若在区间\[2,4\]上是减函数，则2*m*≤2，解得*m*≤1；*g*(*x*)＝的图象由*y*＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间\[2,4\]上是减函数，则2*m*\>0，解得*m*\>0.综上可得，*m*的取值范围是(0,1\]．
2．已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*，若*f*(*a*^2^－*a*)\>*f*(*a*＋3)，则正数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*在(0，＋∞)上是增函数，
所以解得－3\<*a*\<－1或*a*\>3.
又*a*\>0，所以*a*\>3.
答案：(3，＋∞)
3．已知定义在R上的函数*f*(*x*)满足：
①*f*(*x*＋*y*)＝*f*(*x*)＋*f*(*y*)＋1，②当*x*\>0时，*f*(*x*)\>－1.
(1)求*f*(0)的值，并证明*f*(*x*)在R上是单调增函数;
(2)若*f*(1)＝1，解关于*x*的不等式*f*(*x*^2^＋2*x*)＋*f*(1－*x*)\>4.
解：(1)令*x*＝*y*＝0，得*f*(0)＝－1.
在R上任取*x*~1~\>*x*~2~，则*x*~1~－*x*~2~\>0，*f*(*x*~1~－*x*~2~)\>－1.
又*f*(*x*~1~)＝*f*\[(*x*~1~－*x*~2~)＋*x*~2~\]＝*f*(*x*~1~－*x*~2~)＋*f*(*x*~2~)＋1\>*f*(*x*~2~)，
所以函数*f*(*x*)在R上是单调增函数．
(2)由*f*(1)＝1，得*f*(2)＝3，*f*(3)＝5.
由*f*(*x*^2^＋2*x*)＋*f*(1－*x*)\>4得*f*(*x*^2^＋*x*＋1)\>*f*(3)，
又函数*f*(*x*)在R上是增函数，故*x*^2^＋*x*＋1\>3，
解得*x*\<－2或*x*\>1，
故原不等式的解集为{*x*\|*x*\<－2或*x*\>1}．
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
---------- ------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数*f*(*x*)的定义域内任意一个*x*
都有*f*(－*x*)＝*f*(*x*)^❷^，那么函数*f*(*x*)是偶函数 都有*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)^❷^，那么函数*f*(*x*)是奇函数
图象特征 关于*y*轴对称 关于原点对称
---------- ------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若*f*(*x*)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)*f*(－*x*)＝*f*(*x*)⇔*f*(－*x*)－*f*(*x*)＝0⇔()()＝1⇔*f*(*x*)为偶函数；
(2)*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)⇔*f*(－*x*)＋*f*(*x*)＝0⇔()()＝－1⇔*f*(*x*)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数*f*(*x*)，如果存在一个非零常数*T*，使得当*x*取定义域内的任何值时，都有*f*(*x*＋*T*)＝*f*(*x*)，那么就称函数*f*(*x*)为周期函数，称*T*为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数*T*，使*f*(*x*＋*T*)＝*f*(*x*)为恒等式，即自变量*x*每增加一个*T*后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数*f*(*x*)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做*f*(*x*)的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数*f*(*x*)是奇函数且在*x*＝0处有定义，则一定有*f*(0)＝0；如果函数*f*(*x*)是偶函数，那么*f*(*x*)＝*f*(\|*x*\|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对*f*(*x*)定义域内任一自变量*x*：
(1)若*f*(*x*＋*a*)＝－*f*(*x*)，则*T*＝2*a*(*a*\>0)．
(2)若*f*(*x*＋*a*)＝()，则*T*＝2*a*(*a*\>0)．
(3)若*f*(*x*＋*a*)＝－()，则*T*＝2*a*(*a*\>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数*y*＝*f*(*x*＋*a*)是偶函数，即*f*(*a*－*x*)＝*f*(*a*＋*x*)，则函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝*a*对称．
(2)若对于R上的任意*x*都有*f*(2*a*－*x*)＝*f*(*x*)或*f*(－*x*)＝*f*(2*a*＋*x*)，则*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝*a*对称．
(3)若函数*y*＝*f*(*x*＋*b*)是奇函数，即*f*(－*x*＋*b*)＋*f*(*x*＋*b*)＝0，则函数*y*＝*f*(*x*)关于点(*b,*0)中心对称．
\[典例\] 判断下列函数的奇偶性：
(1)*f*(*x*)＝；
(2)*f*(*x*)＝＋；
(3)*f*(*x*)＝()；
(4)*f*(*x*)＝
\[解\] (1)由*f*(*x*)＝，可知⇒故函数*f*(*x*)的定义域为(－6,0)∪(0,6\]，定义域不关于原点对称，故*f*(*x*)为非奇非偶函数．
(2)由⇒*x*^2^＝1⇒*x*＝±1，故函数*f*(*x*)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且*f*(*x*)＝0，所以*f*(－*x*)＝*f*(*x*)＝－*f*(*x*)，所以函数*f*(*x*)既是奇函数又是偶函数．
(3)由⇒－1\<*x*\<0或0\<*x*\<1，
定义域关于原点对称．
此时*f*(*x*)＝()＝()＝－()，
故有*f*(－*x*)＝－()＝()＝－*f*(*x*)，
所以函数*f*(*x*)为奇函数．
(4)法一：图象法
画出函数*f*(*x*)＝的图象如图所示，图象关于*y*轴对称，故*f*(*x*)为偶函数．
法二：定义法
易知函数*f*(*x*)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当*x*\>0时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*，则当*x*\<0时，－*x*\>0，故*f*(－*x*)＝*x*^2^＋*x*＝*f*(*x*)；当*x*\<0时，*f*(*x*)＝*x*^2^＋*x*，则当*x*\>0时，－*x*\<0，故*f*(－*x*)＝*x*^2^－*x*＝*f*(*x*)，故原函数是偶函数．
法三：*f*(*x*)还可以写成*f*(*x*)＝*x*^2^－\|*x*\|(*x*≠0)，故*f*(*x*)为偶函数．
\[题组训练\]
1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( )
A．*y*＝tan B．*y*＝*x*^2^＋e^\|*x*\|^
C．*y*＝*x*cos *x* D．*y*＝ln\|*x*\|－sin *x*
解析：选B 对于选项A，易知*y*＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设*f*(*x*)＝*x*^2^＋e^\|*x*\|^，则*f*(－*x*)＝(－*x*)^2^＋e^\|－*x*\|^＝*x*^2^＋e^\|*x*\|^＝*f*(*x*)，所以*y*＝*x*^2^＋e^\|*x*\|^为偶函数；对于选项C，设*f*(*x*)＝*x*cos *x*，则*f*(－*x*)＝－*x*cos(－*x*)＝－*x*cos *x*＝－*f*(*x*)，所以*y*＝*x*cos *x*为奇函数；对于选项D，设*f*(*x*)＝ln\|*x*\|－sin *x*，则*f*(2)＝ln 2－sin 2，*f*(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠*f*(2)，所以*y*＝ln\|*x*\|－sin *x*为非奇非偶函数，故选B.
2．设函数*f*(*x*)＝，则下列结论错误的是( )
A．\|*f*(*x*)\|是偶函数
B．－*f*(*x*)是奇函数
C．*f*(*x*)\|*f*(*x*)\|是奇函数
D．*f*(\|*x*\|)*f*(*x*)是偶函数
解析：选D ∵*f*(*x*)＝，
则*f*(－*x*)＝＝－*f*(*x*)．
∴*f*(*x*)是奇函数．
∵*f*(\|－*x*\|)＝*f*(\|*x*\|)，
∴*f*(\|*x*\|)是偶函数，∴*f*(\|*x*\|)*f*(*x*)是奇函数．
\[典例\] (1)(2019·福建三明模拟)函数*y*＝*f*(*x*)是R上的奇函数，当*x*\<0时，*f*(*x*)＝2*^x^*，则当*x*\>0时，*f*(*x*)＝( )
A．－2*^x^* B．2^－*x*^
C．－2^－*x*^ D．2*^x^*
(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数*f*(*x*)＝*a*－(*a*∈R)是奇函数，则函数*f*(*x*)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
\[解析\] (1)当*x*\>0时，－*x*\<0，∵*x*\<0时，*f*(*x*)＝2*^x^*，∴当*x*\>0时，*f*(－*x*)＝2^－*x*^.∵*f*(*x*)是R上的奇函数，∴当*x*\>0时，*f*(*x*)＝－*f*(－*x*)＝－2^－*x*^.
(2)法一：由*f*(*x*)是奇函数知*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)，所以*a*－＝－*a*＋，得2*a*＝＋，所以*a*＝＋＝1，所以*f*(*x*)＝1－.因为e*^x^*＋1\>1，所以0\<\<1，－1\<1－\<1，所以函数*f*(*x*)的值域为(－1,1)．
法二：函数*f*(*x*)的定义域为R，且函数*f*(*x*)是奇函数，所以*f*(0)＝*a*－1＝0，即*a*＝1，所以*f*(*x*)＝1－.因为e*^x^*＋1\>1，所以0\<\<1，－1\<1－\<1，所以函数*f*(*x*)的值域为(－1,1)．
\[答案\] (1)C (2)A
\[解题技法\]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于*f*(*x*)的方程(组)，从而得到*f*(*x*)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据*f*(*x*)±*f*(－*x*)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
\[题组训练\]
1．(2019·贵阳检测)若函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，当*x*≥0时，*f*(*x*)＝log~2~(*x*＋2)－1，则*f*(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C 根据题意得*f*(－6)＝－*f*(6)＝1－log~2~(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函数*f*(*x*)为奇函数，当*x*\>0时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*，则当*x*\<0时，函数*f*(*x*)的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：法一：当*x*\<0时，－*x*\>0，所以*f*(－*x*)＝*x*^2^＋*x*.又因为函数*f*(*x*)为奇函数，所以*f*(*x*)＝－*f*(－*x*)＝－*x*^2^－*x*＝－^2^＋，所以当*x*\<0时，函数*f*(*x*)的最大值为.
法二：当*x*\>0时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*＝^2^－，最小值为－，因为函数*f*(*x*)为奇函数，所以当*x*\<0时，函数*f*(*x*)的最大值为.
答案：
3．(2018·合肥八中模拟)若函数*f*(*x*)＝*x*ln(*x*＋)为偶函数，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*f*(*x*)＝*x*ln(*x*＋)为偶函数，
∴*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，即－*x*ln(－*x*)＝*x*ln(*x*＋)，从而ln\[()^2^－*x*^2^\]＝0，即ln *a*＝0，故*a*＝1.
答案：1
\[典例\] (1)(2018·开封期末)已知定义在R上的函数*f*(*x*)满足*f*(*x*)＝－*f*(*x*＋2)，当*x*∈(0,2\]时，*f*(*x*)＝2*^x^*＋log~2~*x*，则*f*(2 019)＝( )
A．5 B.
C．2 D．－2
(2)(2018·江苏高考)函数*f*(*x*)满足*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)(*x*∈R)，且在区间(－2,2\]上，*f*(*x*)＝则*f*(*f*(15))的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)由*f*(*x*)＝－*f*(*x*＋2)，得*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)，所以函数*f*(*x*)是周期为4的周期函数，所以*f*(2 019)＝*f*(504×4＋3)＝*f*(3)＝*f*(1＋2)＝－*f*(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数*f*(*x*)满足*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)(*x*∈R)，
可知函数*f*(*x*)的周期是4，
所以*f*(15)＝*f*(－1)＝＝，
所以*f*(*f*(15))＝*f*＝cos＝.
\[答案\] (1)D (2)
\[题组训练\]
1．(2019·山西八校联考)已知*f*(*x*)是定义在R上的函数，且满足*f*(*x*＋2)＝－()，当2≤*x*≤3时，*f*(*x*)＝*x*，则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*f*(*x*＋2)＝－()，∴*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)，
∴*f*＝*f*，又2≤*x*≤3时，*f*(*x*)＝*x*，
∴*f*＝，∴*f*＝.
答案：
2．(2019·哈尔滨六中期中)设*f*(*x*)是定义在R上的周期为3的函数，当*x*∈\[－2,1)时，*f*(*x*)＝则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意可得*f*＝*f*＝*f*＝4×^2^－2＝，*f*＝.
答案：
A级
1．下列函数为奇函数的是( )
A．*f*(*x*)＝*x*^3^＋1 B．*f*(*x*)＝ln
C．*f*(*x*)＝e*^x^* D．*f*(*x*)＝*x*sin *x*
解析：选B 对于A，*f*(－*x*)＝－*x*^3^＋1≠－*f*(*x*)，所以其不是奇函数；对于B，*f*(－*x*)＝ln＝－ln＝－*f*(*x*)，所以其是奇函数；对于C，*f*(－*x*)＝e^－*x*^≠－*f*(*x*)，所以其不是奇函数；对于D，*f*(－*x*)＝－*x*sin(－*x*)＝*x*sin *x*＝*f*(*x*)，所以其不是奇函数．故选B.
2．(2019·南昌联考)函数*f*(*x*)＝的图象( )
A．关于*x*轴对称 B．关于*y*轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线*y*＝*x*对称
解析：选B 因为*f*(*x*)＝＝3*^x^*＋3^－*x*^，易知*f*(*x*)为偶函数，所以函数*f*(*x*)的图象关于*y*轴对称．
3．设函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，且*f*(*x*)＝()()则*f*(－7)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选B 因为函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，
且*f*(*x*)＝()()
所以*f*(－7)＝－*f*(7)＝－log~2~(7＋1)＝－3.
4．若定义在R上的偶函数*f*(*x*)和奇函数*g*(*x*)满足*f*(*x*)＋*g*(*x*)＝e*^x^*，则*g*(*x*)＝( )
A．e*^x^*－e^－*x*^ B.(e*^x^*＋e^－*x*^)
C.(e^－*x*^－e*^x^*) D.(e*^x^*－e^－*x*^)
解析：选D 因为*f*(*x*)＋*g*(*x*)＝e*^x^*，所以*f*(－*x*)＋*g*(－*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)＝e^－*x*^，
所以*g*(*x*)＝(e*^x^*－e^－*x*^)．
5．设*f*(*x*)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*，则*f*＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C 因为*f*(*x*)是定义在R上周期为2的奇函数，所以*f*＝－*f*＝－*f*.又当0≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*，所以*f*＝^2^－＝－，则*f*＝.
6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数*f*(*x*)，满足*f*(*x*＋5)＝*f*(*x*)，当*x*∈(－3,0\]时，*f*(*x*)＝－*x*－1，当*x*∈(0,2\]时，*f*(*x*)＝log~2~*x*，则*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋...＋*f*(2 019)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
解析：选B 定义在R上的函数*f*(*x*)，满足*f*(*x*＋5)＝*f*(*x*)，即函数*f*(*x*)的周期为5.又当*x*∈(0,2\]时，*f*(*x*)＝log~2~*x*，所以*f*(1)＝log~2~1＝0，*f*(2)＝log~2~2＝1.当*x*∈(－3,0\]时，*f*(*x*)＝－*x*－1，所以*f*(3)＝*f*(－2)＝1，*f*(4)＝*f*(－1)＝0，*f*(5)＝*f*(0)＝－1.故*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋...＋*f*(2 019)＝403×\[*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋*f*(4)＋*f*(5)\]＋*f*(2 016)＋*f*(2 017)＋*f*(2 018)＋*f*(2 019)＝403×1＋*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋*f*(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7．已知函数*f*(*x*)是偶函数，当*x*＞0时，*f*(*x*)＝ln *x*，则*f*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由已知可得*f*＝ln＝－2，
所以*f*＝*f*(－2)．
又因为*f*(*x*)是偶函数，
所以*f*＝*f*(－2)＝*f*(2)＝ln 2.
答案：ln 2
8．(2019·惠州调研)已知函数*f*(*x*)＝*x*＋－1，*f*(*a*)＝2，则*f*(－*a*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：因为*f*(*x*)＋1＝*x*＋，
设*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋1＝*x*＋，
易判断*g*(*x*)＝*x*＋为奇函数，
故*g*(*x*)＋*g*(－*x*)＝*x*＋－*x*－＝0，
即*f*(*x*)＋1＋*f*(－*x*)＋1＝0，故*f*(*x*)＋*f*(－*x*)＝－2.
所以*f*(*a*)＋*f*(－*a*)＝－2，故*f*(－*a*)＝－4.
法二：由已知得*f*(*a*)＝*a*＋－1＝2，
即*a*＋＝3，所以*f*(－*a*)＝－*a*－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
9．(2019·陕西一测)若函数*f*(*x*)＝*ax*＋*b*，*x*∈\[*a*－4，*a*\]的图象关于原点对称，则函数*g*(*x*)＝*bx*＋，*x*∈\[－4，－1\]的值域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由函数*f*(*x*)的图象关于原点对称，可得*a*－4＋*a*＝0，即*a*＝2，则函数*f*(*x*)＝2*x*＋*b*，其定义域为\[－2,2\]，所以*f*(0)＝0，所以*b*＝0，所以*g*(*x*)＝，易知*g*(*x*)在\[－4，－1\]上单调递减，故值域为\[*g*(－1)，*g*(－4)\]，即.
答案：
10．设函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，若当*x*∈(0，＋∞)时，*f*(*x*)＝lg *x*，则满足*f*(*x*)\>0的*x*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*x*\>0时，lg *x*\>0，所以*x*\>1，
当*x*\<0时，由奇函数的对称性得－1\<*x*\<0，
故填(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．*f*(*x*)为R上的奇函数，当*x*\>0时，*f*(*x*)＝－2*x*^2^＋3*x*＋1，求*f*(*x*)的解析式．
解：当*x*\<0时，－*x*\>0，则*f*(－*x*)＝－2(－*x*)^2^＋3(－*x*)＋1＝－2*x*^2^－3*x*＋1.
由于*f*(*x*)是奇函数，故*f*(*x*)＝－*f*(－*x*)，
所以当*x*\<0时，*f*(*x*)＝2*x*^2^＋3*x*－1.
因为*f*(*x*)为R上的奇函数，故*f*(0)＝0.
综上可得*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝
12．设函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，对任意实数*x*有*f*＝－*f*成立．
(1)证明*y*＝*f*(*x*)是周期函数，并指出其周期；
(2)若*f*(1)＝2，求*f*(2)＋*f*(3)的值．
解：(1)证明：由*f*＝－*f*，
且*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)，知*f*(3＋*x*)＝*f*＝－*f*＝－*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，
所以*y*＝*f*(*x*)是周期函数，且*T*＝3是其一个周期．
(2)因为*f*(*x*)为定义在R上的奇函数，所以*f*(0)＝0，
且*f*(－1)＝－*f*(1)＝－2，又*T*＝3是*y*＝*f*(*x*)的一个周期，所以*f*(2)＋*f*(3)＝*f*(－1)＋*f*(0)＝－2＋0＝－2.
B级
1．已知*f*(*x*)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤*x*\<2时，*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*，则函数*y*＝*f*(*x*)的图象在区间\[0,6\]上与*x*轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 因为*f*(*x*)是最小正周期为2的周期函数，且0≤*x*\<2时，*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*＝*x*(*x*－1)(*x*＋1)，
所以当0≤*x*\<2时，*f*(*x*)＝0有两个根，即*x*~1~＝0，*x*~2~＝1.
由周期函数的性质知，当2≤*x*\<4时，*f*(*x*)＝0有两个根，即*x*~3~＝2，*x*~4~＝3；当4≤*x*≤6时，*f*(*x*)＝0有三个根，即*x*~5~＝4，*x*~6~＝5，*x*~7~＝6，故*f*(*x*)的图象在区间\[0,6\]上与*x*轴的交点个数为7.
2．(2019·洛阳统考)若函数*f*(*x*)＝ln(e*^x^*＋1)＋*ax*为偶函数，则实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：(定义法)∵函数*f*(*x*)＝ln(e*^x^*＋1)＋*ax*为偶函数，∴*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，
即ln(e^－*x*^＋1)－*ax*＝ln(e*^x^*＋1)＋*ax*，
∴2*ax*＝ln(e^－*x*^＋1)－ln(e*^x^*＋1)＝ln＝ln＝－*x*，
∴2*a*＝－1，解得*a*＝－.
法二：(特殊值法)由题意知函数*f*(*x*)的定义域为R，由*f*(*x*)为偶函数得*f*(－1)＝*f*(1)，
∴ln(e^－1^＋1)－*a*＝ln(e^1^＋1)＋*a*，∴2*a*＝ln(e^－1^＋1)－ln(e^1^＋1)＝ln＝ln＝－1，
∴*a*＝－.
答案：－
3．已知函数*f*(*x*)＝是奇函数．
(1)求实数*m*的值；
(2)若函数*f*(*x*)在区间\[－1，*a*－2\]上单调递增，求实数*a*的取值范围．
解：(1)设*x*\<0，则－*x*\>0，
所以*f*(－*x*)＝－(－*x*)^2^＋2(－*x*)＝－*x*^2^－2*x*.
又*f*(*x*)为奇函数，所以*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)，
于是*x*\<0时，*f*(*x*)＝*x*^2^＋2*x*＝*x*^2^＋*mx*，所以*m*＝2.
(2)要使*f*(*x*)在\[－1，*a*－2\]上单调递增，
结合*f*(*x*)的图象(如图所示)知所以1＜*a*≤3，
故实数*a*的取值范围是(1,3\]．
第四节 函数性质的综合问题
\[典例\] (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数*f*(*x*)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若*f*(1)＝－1，则满足－1≤*f*(*x*－2)≤1的*x*的取值范围是( )
A．\[－2,2\] B．\[－1,1\]
C．\[0,4\] D．\[1,3\]
(2)函数*y*＝*f*(*x*)在\[0,2\]上单调递增，且函数*f*(*x*＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．*f*(1)\<*f*\<*f* B．*f*\<*f*(1)\<*f*
C．*f*\<*f*\<*f*(1) D．*f*\<*f*(1)\<*f*
\[解析\] (1)∵*f*(*x*)为奇函数，
∴*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)．
∵*f*(1)＝－1，∴*f*(－1)＝－*f*(1)＝1.
故由－1≤*f*(*x*－2)≤1，得*f*(1)≤*f*(*x*－2)≤*f*(－1)．
又*f*(*x*)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤*x*－2≤1，∴1≤*x*≤3.
(2)∵函数*y*＝*f*(*x*)在\[0,2\]上单调递增，且函数*f*(*x*＋2)是偶函数，
∴函数*y*＝*f*(*x*)在\[2,4\]上单调递减，且在\[0,4\]上函数*y*＝*f*(*x*)满足*f*(2－*x*)＝*f*(2＋*x*)，
∴*f*(1)＝*f*(3)，*f*\<*f*(3)\<*f*，
即*f*\<*f*(1)\<*f*.
\[答案\] (1)D (2)B
\[解题技法\]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成*f*(*x*~1~)\>*f*(*x*~2~)或*f*(*x*~1~)\<*f*(*x*~2~)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
\[题组训练\]
1．已知函数*f*(*x*)满足以下两个条件：①任意*x*~1~，*x*~2~∈(0，＋∞)且*x*~1~≠*x*~2~，(*x*~1~－*x*~2~)·\[*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\]\<0；②对定义域内任意*x*有*f*(*x*)＋*f*(－*x*)＝0，则符合条件的函数是( )
A．*f*(*x*)＝2*x* B．*f*(*x*)＝1－\|*x*\|
C．*f*(*x*)＝－*x*^3^ D．*f*(*x*)＝ln(*x*^2^＋3)
解析：选C 由条件①可知，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A、D选项，由条件②可知，*f*(*x*)为奇函数，则可排除B选项，故选C.
2．(2018·石家庄一模)设*f*(*x*)是定义在\[－2*b,*3＋*b*\]上的偶函数，且在\[－2*b,*0\]上为增函数，则*f*(*x*－1)≥*f*(3)的解集为( )
A．\[－3,3\] B．\[－2,4\]
C．\[－1,5\] D．\[0,6\]
解析：选B 因为*f*(*x*)是定义在\[－2*b,*3＋*b*\]上的偶函数，
所以有－2*b*＋3＋*b*＝0，解得*b*＝3，
由函数*f*(*x*)在\[－6,0\]上为增函数，得*f*(*x*)在(0,6\]上为减函数，故*f*(*x*－1)≥*f*(3)⇒*f*(\|*x*－1\|)≥*f*(3)⇒\|*x*－1\|≤3，故－2≤*x*≤4.
\[典例\] (2017·山东高考)已知*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，且*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*－2)．若当*x*∈\[－3,0\]时，*f*(*x*)＝6^－*x*^，则*f*(919)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] ∵*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*－2)，
∴*f*(*x*＋6)＝*f*(*x*)，∴*f*(*x*)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴*f*(919)＝*f*(1)．
又*f*(*x*)为偶函数，∴*f*(919)＝*f*(1)＝*f*(－1)＝6.
\[答案\] 6
\[解题技法\]
已知*f*(*x*)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
\[题组训练\]
1．已知定义在R上的奇函数*f*(*x*)满足*f*(*x*)＝－*f*，且*f*(1)＝2，则*f*(2 018)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*f*(*x*)＝－*f*，所以*f*(*x*＋3)＝*f*＝－*f*＝*f*(*x*)．
所以*f*(*x*)是以3为周期的周期函数．
则*f*(2 018)＝*f*(672×3＋2)＝*f*(2)＝*f*(－1)＝－*f*(1)＝－2.
答案：－2
2．已知*f*(*x*)是定义在R上以3为周期的偶函数，若*f*(1)\<1，*f*(5)＝2*a*－3，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*f*(*x*)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴*f*(5)＝*f*(5－6)＝*f*(－1)＝*f*(1)，∵*f*(1)\<1，*f*(5)＝2*a*－3\<1，即*a*\<2.
答案：(－∞，2)
考点三 函数性质的综合应用
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知*f*(*x*)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足*f*(1－*x*)＝*f*(1＋*x*)．若*f*(1)＝2，则*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋...＋*f*(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
(2)定义在R上的奇函数*f*(*x*)满足*f*＝*f*(*x*)，当*x*∈时，*f*(*x*)＝log (1－*x*)，则*f*(*x*)在区间内是( )
A．减函数且*f*(*x*)\>0 B．减函数且*f*(*x*)\<0
C．增函数且*f*(*x*)\>0 D．增函数且*f*(*x*)\<0
\[解析\] (1)法一：∵*f*(*x*)是奇函数，
∴*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)，
∴*f*(1－*x*)＝－*f*(*x*－1)．
由*f*(1－*x*)＝*f*(1＋*x*)，得－*f*(*x*－1)＝*f*(*x*＋1)，
∴*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，
∴*f*(*x*＋4)＝－*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，
∴函数*f*(*x*)是周期为4的周期函数．
由*f*(*x*)为奇函数得*f*(0)＝0.
又∵*f*(1－*x*)＝*f*(1＋*x*)，
∴*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝1对称，
∴*f*(2)＝*f*(0)＝0，∴*f*(－2)＝0.
又*f*(1)＝2，∴*f*(－1)＝－2，
∴*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋*f*(4)＝*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(－1)＋*f*(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋*f*(4)＋...＋*f*(49)＋*f*(50)
＝0×12＋*f*(49)＋*f*(50)
＝*f*(1)＋*f*(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设*f*(*x*)＝2sin，作出*f*(*x*)的部分图象如图所示．由图可知，*f*(*x*)的一个周期为4，所以*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋...＋*f*(50)＝12\[*f*(1)＋*f*(2)＋*f*(3)＋*f*(4)\]＋*f*(49)＋*f*(50)＝12×0＋*f*(1)＋*f*(2)＝2.
(2)当*x*∈时，由*f*(*x*)＝log (1－*x*)可知，*f*(*x*)单调递增且*f*(*x*)\>0，又函数*f*(*x*)为奇函数，所以*f*(*x*)在区间上也单调递增，且*f*(*x*)\<0.由*f*＝*f*(*x*)知，函数的周期为，所以在区间上，函数*f*(*x*)单调递增且*f*(*x*)\<0.
\[答案\] (1)C (2)D
\[解题技法\]
(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意"奇函数若在*x*＝0处有定义，则一定有*f*(0)＝0；偶函数一定有*f*(\|*x*\|)＝*f*(*x*)"在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
\[题组训练\]
1．定义在R上的奇函数*f*(*x*)满足*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，且在\[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．0\<*f*(1)\<*f*(3) B．*f*(3)\<0\<*f*(1)
C．*f*(1)\<0\<*f*(3) D．*f*(3)\<*f*(1)\<0
解析：选C 由函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，得*f*(0)＝0.
由*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，
得*f*(*x*＋4)＝－*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，
故函数*f*(*x*)是以4为周期的周期函数，
所以*f*(3)＝*f*(－1)．
又*f*(*x*)在\[0,2)上单调递减，
所以函数*f*(*x*)在(－2,2)上单调递减，
所以*f*(－1)\>*f*(0)\>*f*(1)，
即*f*(1)\<0\<*f*(3)．
2．已知函数*y*＝*f*(*x*)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的*x*~1~，*x*~2~∈\[4,8\]，当*x*~1~\<*x*~2~时，都有()()\>0恒成立；②*f*(*x*＋4)＝－*f*(*x*)；③*y*＝*f*(*x*＋4)是偶函数．若*a*＝*f*(6)，*b*＝*f*(11)，*c*＝*f*(17)，则*a*，*b*，*c*的大小关系正确的是( )
A．*a*\<*b*\<*c* B．*b*\<*a*\<*c*
C．*a*\<*c*\<*b* D．*c*\<*b*\<*a*
解析：选B 由①知函数*f*(*x*)在区间\[4,8\]上单调递增．由②知*f*(*x*＋8)＝－*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)，所以函数*f*(*x*)的周期为8，所以*b*＝*f*(11)＝*f*(3)，*c*＝*f*(17)＝*f*(2×8＋1)＝*f*(1)．由③可知*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝4对称，所以*b*＝*f*(11)＝*f*(3)＝*f*(5)，*c*＝*f*(1)＝*f*(7)．因为函数*f*(*x*)在区间\[4,8\]上单调递增，所以*f*(5)\<*f*(6)\<*f*(7)，即*b*\<*a*\<*c*.
A级
1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．*y*＝e*^x^*＋e^－*x*^ B．*y*＝ln(\|*x*\|＋1)
C．*y*＝ D．*y*＝*x*－
解析：选D 选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，*y*＝*x*－是奇函数，且*y*＝*x*和*y*＝－在(0， ＋∞)上均为增函数，故*y*＝*x*－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
2．下列函数中，与函数*y*＝－2*^x^*的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( )
A．*y*＝cos *x* B．*y*＝*x*
C．*y*＝ D．*y*＝
解析：选D 函数*y*＝－2*^x^*为奇函数，且在R上单调递减．函数*y*＝cos *x*是偶函数，且在R上不单调．函数*y*＝*x*是奇函数，但在R上单调递增．函数*y*＝的定义域是{*x*\|*x*≠0}，不是R.画出函数*y*＝的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.
3．已知定义在R上的奇函数*f*(*x*)有*f*＋*f*(*x*)＝0，当－≤*x*≤0时，*f*(*x*)＝2*^x^*＋*a*，则*f*(16)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由*f*＋*f*(*x*)＝0，得*f*(*x*)＝－*f*＝*f*(*x*＋5)，
∴*f*(*x*)是以5为周期的周期函数，
∴*f*(16)＝*f*(1＋3×5)＝*f*(1)．
∵*f*(*x*)是R上的奇函数，
∴*f*(0)＝1＋*a*＝0，∴*a*＝－1.
∴当－≤*x*≤0时，*f*(*x*)＝2*^x^*－1，
∴*f*(－1)＝2^－1^－1＝－，
∴*f*(1)＝，∴*f*(16)＝.
4．已知函数*f*(*x*)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间\[*a*，*b*\](*a*\<*b*\<0)上的值域为\[－3,4\]，则在区间\[－*b*，－*a*\]上( )
A．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
解析：选B 法一：根据题意作出*y*＝*f*(*x*)的简图，由图知，选B.
法二：当*x*∈\[－*b*，－*a*\]时，－*x*∈\[*a*，*b*\]，
由题意得*f*(*b*)≤*f*(－*x*)≤*f*(*a*)，即－3≤－*f*(*x*)≤4，
∴－4≤*f*(*x*)≤3，即在区间\[－*b*，－*a*\]上，*f*(*x*)~min~＝－4，*f*(*x*)~max~＝3，故选B.
5．(2018·惠州一调)已知定义域为R的偶函数*f*(*x*)在(－∞，0\]上是减函数，且*f*(1)＝2，则不等式*f*(log~2~*x*)\>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选B 因为*f*(*x*)是R上的偶函数，且在(－∞，0\]上是减函数，
所以*f*(*x*)在\[0，＋∞)上是增函数，
所以*f*(log~2~*x*)\>2＝*f*(1)⇔*f*(\|log~2~*x*\|)\>*f*(1)⇔\|log~2~*x*\|\>1⇔log~2~*x*\>1或log~2~*x*\<－1⇔*x*\>2或0\<*x*\<.
6．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数*f*(*x*)满足*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，且在\[0,1\]上是减函数，则有( )
A．*f*\<*f*\<*f*
B．*f*\<*f*\<*f*
C．*f*\<*f*\<*f*
D．*f*\<*f*\<*f*
解析：选C 因为*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，所以*f*(*x*＋4)＝－*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，所以函数的周期为4，作出*f*(*x*)的草图，如图，由图可知*f*\<*f*\<*f*.
7．设*f*(*x*)是周期为2的奇函数，当0≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝2*x*(1－*x*)，则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：*f*＝*f*＝*f*＝－*f*＝－.
答案：－
8．(2018·合肥二模)设*f*(*x*)是定义在R上以2为周期的偶函数，当*x*∈\[0,1\]时，*f*(*x*)＝log~2~(*x*＋1)，则函数*f*(*x*)在\[1,2\]上的解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*x*∈\[－1,0\]，则－*x*∈\[0,1\]，结合题意可得*f*(*x*)＝*f*(－*x*)＝log~2~(－*x*＋1)，
令*x*∈\[1,2\]，则*x*－2∈\[－1,0\]，故*f*(*x*)＝log~2~\[－(*x*－2)＋1\]＝log~2~(3－*x*)．
故函数*f*(*x*)在\[1,2\]上的解析式是*f*(*x*)＝log~2~(3－*x*)．
答案：*f*(*x*)＝log~2~(3－*x*)
9．已知定义在R上的奇函数*y*＝*f*(*x*)在(0，＋∞)内单调递增，且*f*＝0，则*f*(*x*)\>0的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由奇函数*y*＝*f*(*x*)在(0，＋∞)内单调递增，且*f*＝0，可知函数*y*＝*f*(*x*)在(－∞，0)内单调递增，且*f*＝0.由*f*(*x*)\>0，可得*x*\>或－\<*x*\<0.
答案：
10．已知函数*f*(*x*)为偶函数，且函数*f*(*x*)与*g*(*x*)的图象关于直线*y*＝*x*对称，若*g*(3)＝2，则*f*(－2)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为函数*f*(*x*)与*g*(*x*)的图象关于直线*y*＝*x*对称，且*g*(3)＝2，所以*f*(2)＝3.因为函数*f*(*x*)为偶函数，所以*f*(－2)＝*f*(2)＝3.
答案：3
11．设*f*(*x*)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且*f*(1＋*x*)＝*f*(1－*x*)，当－1≤*x*≤0时，*f*(*x*)＝－*x*.
(1)判断*f*(*x*)的奇偶性；
(2)试求出函数*f*(*x*)在区间\[－1,2\]上的表达式．
解：(1)∵*f*(1＋*x*)＝*f*(1－*x*)，∴*f*(－*x*)＝*f*(2＋*x*)．
又*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，∴*f*(－*x*)＝*f*(*x*)．
又*f*(*x*)的定义域为R，∴*f*(*x*)是偶函数．
(2)当*x*∈\[0,1\]时，－*x*∈\[－1,0\]，则*f*(*x*)＝*f*(－*x*)＝*x*；
从而当1≤*x*≤2时，－1≤*x*－2≤0，
*f*(*x*)＝*f*(*x*－2)＝－(*x*－2)＝－*x*＋2.
故*f*(*x*)＝()
12．设函数*f*(*x*)是(－∞，＋∞)上的奇函数，*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，当0≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝*x*.
(1)求*f*(π)的值；
(2)当－4≤*x*≤4时，求函数*f*(*x*)的图象与*x*轴所围成图形的面积．
解：(1)由*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)得，*f*(*x*＋4)＝*f*\[(*x*＋2)＋2\]＝－*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，
所以*f*(*x*)是以4为周期的周期函数，
所以*f*(π)＝*f*(－1×4＋π)＝*f*(π－4)＝－*f*(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由*f*(*x*)是奇函数且*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，
得*f*\[(*x*－1)＋2\]＝－*f*(*x*－1)＝*f*\[－(*x*－1)\]，即*f*(1＋*x*)＝*f*(1－*x*)．
故函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝1对称．
又当0≤*x*≤1时，*f*(*x*)＝*x*，且*f*(*x*)的图象关于原点成中心对称，则*f*(*x*)的图象如图所示．
当－4≤*x*≤4时，设*f*(*x*)的图象与*x*轴围成的图形面积为*S*，
则*S*＝4*S*~△*OAB*~＝4×＝4.
B级
1．已知*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，且*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．*f*(0)\>*f*(log~3~2)\>*f*(－log~2~3)
B．*f*(log~3~2)\>*f*(0)\>*f*(－log~2~3)
C．*f*(－log~2~3)\>*f*(log~3~2)\>*f*(0)
D．*f*(－log~2~3)\>*f*(0)\>*f*(log~3~2)
解析：选C ∵log~2~3\>log~2~2＝1＝log~3~3\>log~3~2\>0，且函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，
∴*f*(log~2~3)\>*f*(log~3~2)\>*f*(0)，又函数*f*(*x*)为偶函数，∴*f*(log~2~3)＝*f*(－log~2~3)，
∴*f*(－log~2~3)\>*f*(log~3~2)\>*f*(0)．
2．定义在实数集R上的函数*f*(*x*)满足*f*(*x*)＋*f*(*x*＋2)＝0，且*f*(4－*x*)＝*f*(*x*)．现有以下三种叙述：
①8是函数*f*(*x*)的一个周期；
②*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝2对称；
③*f*(*x*)是偶函数．
其中正确的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*f*(*x*)＋*f*(*x*＋2)＝0，得*f*(*x*＋2)＝－*f*(*x*)，
则*f*(*x*＋4)＝－*f*(*x*＋2)＝*f*(*x*)，
即4是*f*(*x*)的一个周期，8也是*f*(*x*)的一个周期，故①正确；
由*f*(4－*x*)＝*f*(*x*)，得*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝2对称，故②正确；
由*f*(4－*x*)＝*f*(*x*)与*f*(*x*＋4)＝*f*(*x*)，
得*f*(4－*x*)＝*f*(－*x*)，*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，
即函数*f*(*x*)为偶函数，故③正确．
答案：①②③
3．设*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线*x*＝1对称，对任意*x*~1~，*x*~2~∈，都有*f*(*x*~1~＋*x*~2~)＝*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~)．
(1)设*f*(1)＝2，求*f*，*f*；
(2)证明：*f*(*x*)是周期函数．
解：(1)由*f*(*x*~1~＋*x*~2~)＝*f*(*x*~1~)·*f*(*x*~2~)，*x*~1~，*x*~2~∈，知*f*(*x*)＝*f*·*f*≥0，*x*∈\[0,1\]．
∵*f*(1)＝*f*＝*f*·*f*＝^2^，*f*(1)＝2，
∴*f*＝2.
∵*f*＝*f*＝*f*·*f*＝^2^，*f*＝2，
∴*f*＝2.
(2)证明：依题设，*y*＝*f*(*x*)关于直线*x*＝1对称，
∴*f*(*x*)＝*f*(2－*x*)．
又∵*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，∴*f*(－*x*)＝*f*(2－*x*)，∴*f*(*x*)＝*f*(2＋*x*)，
∴*f*(*x*)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．
第五节 函数的图象
一、基础知识
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
①*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*f*(*x*－*a*)的图象；
②*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*f*(*x*)＋*b*的图象．
"左加右减，上加下减"，左加右减只针对*x*本身，与*x*的系数,无关，上加下减指的是在*f*(*x*)整体上加减.
(2)对称变换
①*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝－*f*(*x*)的图象；
②*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*f*(－*x*)的图象；
③*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝－*f*(－*x*)的图象；
④*y*＝*a^x^*(*a*\>0且*a*≠1)的图象*y*＝log*~a~x*(*a*\>0且*a*≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*f*(*ax*)的图象．
②*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*af*(*x*)的图象．
(4)翻折变换
①*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝\|*f*(*x*)\|的图象；
②*y*＝*f*(*x*)的图象*y*＝*f*(\|*x*\|)的图象．
二、常用结论
1．函数图象自身的轴对称
(1)*f*(－*x*)＝*f*(*x*)⇔函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于*y*轴对称；
(2)函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于*x*＝*a*对称⇔*f*(*a*＋*x*)＝*f*(*a*－*x*)⇔*f*(*x*)＝*f*(2*a*－*x*)⇔*f*(－*x*)＝*f*(2*a*＋*x*)；
(3)若函数*y*＝*f*(*x*)的定义域为R，且有*f*(*a*＋*x*)＝*f*(*b*－*x*)，则函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)⇔函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于原点对称；
(2)函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于(*a,*0)对称⇔*f*(*a*＋*x*)＝－*f*(*a*－*x*)⇔*f*(*x*)＝－*f*(2*a*－*x*)⇔*f*(－*x*)＝－*f*(2*a*＋*x*)；
(3)函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于点(*a*，*b*)成中心对称⇔*f*(*a*＋*x*)＝2*b*－*f*(*a*－*x*)⇔*f*(*x*)＝2*b*－*f*(2*a*－*x*)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数*y*＝*f*(*a*＋*x*)与*y*＝*f*(*b*－*x*)的图象关于直线*x*＝对称(由*a*＋*x*＝*b*－*x*得对称轴方程)；
(2)函数*y*＝*f*(*x*)与*y*＝*f*(2*a*－*x*)的图象关于直线*x*＝*a*对称；
(3)函数*y*＝*f*(*x*)与*y*＝2*b*－*f*(－*x*)的图象关于点(0，*b*)对称；
(4)函数*y*＝*f*(*x*)与*y*＝2*b*－*f*(2*a*－*x*)的图象关于点(*a*，*b*)对称．
\[典例\] 作出下列函数的图象．
(1)*y*＝
(2)*y*＝2^*x*＋2^；
(3)*y*＝*x*^2^－2\|*x*\|－1.
\[解\] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．
(2)*y*＝2^*x*＋2^的图象是由*y*＝2*^x^*的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．
(3)*y*＝其图象如图③所示．
\[变透练清\]
1.若本例(2)变为*y*＝^*x*－2^，试作出其图象．
解：*y*＝^*x*－2^的图象是由*y*＝*^x^*的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．
2.若本例(3)变为*y*＝\|*x*^2^－2*x*－1\|，试作出其图象．
解：*y*＝其图象如图所示．
\[例1\] (2018·全国卷Ⅱ)函数*f*(*x*)＝的图象大致为( )
\[解析\] ∵*y*＝e*^x^*－e^－*x*^是奇函数，*y*＝*x*^2^是偶函数，
∴*f*(*x*)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；
当*x*＝1时，*f*(1)＝e－\>0，排除D选项；
又e\>2，∴\<，∴e－\>1，排除C选项．故选B.
\[答案\] B
\[例2\] 已知定义在区间\[0,4\]上的函数*y*＝*f*(*x*)的图象如图所示，则*y*＝－*f*(2－*x*)的图象为( )
\[解析\] 法一：先作出函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于*y*轴的对称图象，得到*y*＝*f*(－*x*)的图象；
然后将*y*＝*f*(－*x*)的图象向右平移2个单位，得到*y*＝*f*(2－*x*)的图象；
再作*y*＝*f*(2－*x*)的图象关于*x*轴的对称图象，得到*y*＝－*f*(2－*x*)的图象．故选D.
法二：先作出函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于原点的对称图象，得到*y*＝－*f*(－*x*)的图象；然后将*y*＝－*f*(－*x*)的图象向右平移2个单位，得到*y*＝－*f*(2－*x*)的图象．故选D.
\[答案\] D
\[解题技法\]
1．函数图象与解析式之间的4种对应关系
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于*y*轴对称，在对称的区间上单调性相反；
(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．
2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点
(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；
(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．
3．借助动点探究函数图象
解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用"以静观动"，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
\[题组训练\]
1．(2019•郑州调研)已知函数*f*(*x*)＝，*g*(*x*)＝－*f*(－*x*)，则函数*g*(*x*)的图象是( )
解析：选D 法一：由题设得函数*g*(*x*)＝－*f*(－*x*)＝据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D.
法二：先画出函数*f*(*x*)的图象，如图1所示，再根据函数*f*(*x*)与－*f*(－*x*)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－*f*(－*x*)，即*g*(*x*)的图象，如图2所示．故选D.
2.如图，不规则四边形*ABCD*中，*AB*和*CD*是线段，*AD*和*BC*是圆弧，直线*l*⊥*AB*交*AB*于*E*，当*l*从左至右移动(与线段*AB*有公共点)时，把四边形*ABCD*分成两部分，设*AE*＝*x*，左侧部分的面积为*y*，则*y*关于*x*的图象大致是( )
解析：选C 当*l*从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了*D*点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了*C*点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
考法(一) 研究函数的性质
\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*x*\|*x*\|－2*x*，则下列结论正确的是( )
A．*f*(*x*)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．*f*(*x*)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．*f*(*x*)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．*f*(*x*)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
\[解析\] 将函数*f*(*x*)＝*x*\|*x*\|－2*x*去掉绝对值得*f*(*x*)＝画出函数*f*(*x*)的图象，如图，观察图象可知，函数*f*(*x*)的图象关于原点对称，故函数*f*(*x*)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
\[答案\] C
\[解题技法\] 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
考法(二) 在不等式中的应用
\[典例\] 若不等式(*x*－1)^2^\<log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)在*x*∈(1,2)内恒成立，则实数*a*的取值范围为( )
A．(1,2\] B.
C．(1，) D．(，2)
\[解析\] 要使当*x*∈(1,2)时，不等式(*x*－1)^2^\<log*~a~x*恒成立，只需函数*y*＝(*x*－1)^2^在(1,2)上的图象在*y*＝log*~a~x*的图象的下方即可．
当0\<*a*\<1时，显然不成立；当*a*\>1时，如图，要使*x*∈(1,2)时，*y*＝(*x*－1)^2^的图象在*y*＝log*~a~x*的图象的下方，只需(2－1)^2^≤log*~a~*2，即log*~a~*2≥1，解得1\<*a*≤2，故实数*a*的取值范围是(1,2\]．
\[答案\] A
\[解题技法\]
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．
\[题组训练\]
1．设奇函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上为增函数，且*f*(1)＝0，则不等式()()\<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 因为*f*(*x*)为奇函数，
所以不等式()()\<0可化为()\<0，
即*xf*(*x*)\<0，*f*(*x*)的大致图象如图所示．
所以*xf*(*x*)\<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
2．对*a*，*b*∈R，记max{*a*，*b*}＝函数*f*(*x*)＝max{\|*x*＋1\|，\|*x*－2\|}(*x*∈R)的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：函数*f*(*x*)＝max{\|*x*＋1\|，\|*x*－2\|}(*x*∈R)的图象如图所示，
由图象可得，其最小值为.
答案：
3．已知函数*f*(*x*)＝若*f*(*x*)在区间\[*m,*4\]上的值域为\[－1,2\]，则实数*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：作出函数*f*(*x*)的图象，当*x*≤－1时，函数*f*(*x*)＝log~2~单调递减，且最小值为*f*(－1)＝－1，则令log~2~＝2，解得*x*＝－8；当*x*\>－1时，函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋*x*＋在(－1,2)上单调递增，在\[2，＋∞)上单调递减，则最大值为*f*(2)＝2，又*f*(4)＝\<2，*f*(－1)＝－1，故所求实数*m*的取值范围为\[－8，－1\]．
答案：\[－8，－1\]
A级
1．为了得到函数*y*＝2*x*－2的图象，可以把函数*y*＝2*x*的图象上所有的点( )
A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
解析：选B 因为*y*＝2*x*－2＝2(*x*－1)，所以只需将函数*y*＝2*x*的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到*y*＝2(*x*－1)＝2*x*－2的图象．
2．若函数*y*＝*f*(*x*)的图象如图所示，则函数*y*＝－*f*(*x*＋1)的图象大致为( )
解析：选C 要想由*y*＝*f*(*x*)的图象得到*y*＝－*f*(*x*＋1)的图象，需要先将*y*＝*f*(*x*)的图象关于*x*轴对称得到*y*＝－*f*(*x*)的图象，然后向左平移1个单位长度得到*y*＝－*f*(*x*＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
3．(2018·浙江高考)函数*y*＝2^\|*x*\|^sin 2*x*的图象可能是( )
解析：选D 由*y*＝2^\|*x*\|^sin 2*x*知函数的定义域为R，
令*f*(*x*)＝2^\|*x*\|^sin 2*x*，
则*f*(－*x*)＝2^\|－*x*\|^sin(－2*x*)＝－2^\|*x*\|^sin 2*x*.
∵*f*(*x*)＝－*f*(－*x*)，∴*f*(*x*)为奇函数．
∴*f*(*x*)的图象关于原点对称，故排除A、B.
令*f*(*x*)＝2^\|*x*\|^sin 2*x*＝0，解得*x*＝(*k*∈Z)，
∴当*k*＝1时，*x*＝，故排除C，选D.
4．下列函数*y*＝*f*(*x*)图象中，满足*f*＞*f*(3)＞*f*(2)的只可能是( )
解析：选D 因为*f*＞*f*(3)＞*f*(2)，所以函数*f*(*x*)有增有减，排除A、B.在C中，*f*＜*f*(0)＝1，*f*(3)＞*f*(0)，即*f*＜*f*(3)，排除C，选D.
5.已知函数*f*(*x*)的图象如图所示，则*f*(*x*)的解析式可以是( )
A．*f*(*x*)＝ B．*f*(*x*)＝
C．*f*(*x*)＝－1 D．*f*(*x*)＝*x*－
解析：选A 由函数图象可知，函数*f*(*x*)为奇函数，应排除B、C.若函数为*f*(*x*)＝*x*－，则*x*→＋∞时，*f*(*x*)→＋∞，排除D.
6．已知函数*y*＝*f*(*x*＋1)的图象过点(3,2)，则函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于*x*轴的对称图形一定过点\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为函数*y*＝*f*(*x*＋1)的图象过点(3,2)，所以函数*y*＝*f*(*x*)的图象一定过点(4,2)，所以函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于*x*轴的对称图形一定过点(4，－2)．
答案：(4，－2)
7.如图，定义在\[－1，＋∞)上的函数*f*(*x*)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则*f*(*x*)的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当－1≤*x*≤0时，设解析式为*f*(*x*)＝*kx*＋*b*(*k*≠0)，
则得
∴当－1≤*x*≤0时，*f*(*x*)＝*x*＋1.
当*x*＞0时，设解析式为*f*(*x*)＝*a*(*x*－2)^2^－1(*a*≠0)，
∵图象过点(4,0)，
∴0＝*a*(4－2)^2^－1，∴*a*＝.
故函数*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝()
答案：*f*(*x*)＝()
8．如图，函数*f*(*x*)的图象为折线*ACB*，则不等式*f*(*x*)≥log~2~(*x*＋1)的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*y*＝log~2~(*x*＋1)，作出函数*y*＝log~2~(*x*＋1)图象如图所示．
由()得
∴结合图象知不等式*f*(*x*)≥log~2~(*x*＋1)的解集为{*x*\|－1\<*x*≤1}．
答案：{*x*\|－1\<*x*≤1}
9．画出下列函数的图象．
(1)*y*＝e^ln\ *x*^；
(2)*y*＝\|*x*－2\|·(*x*＋1)．
解：(1)因为函数的定义域为{*x*\|*x*\>0}且*y*＝e^ln\ *x*^＝*x*(*x*\>0)，
所以其图象如图所示．
(2)当*x*≥2，即*x*－2≥0时，
*y*＝(*x*－2)(*x*＋1)＝*x*^2^－*x*－2＝^2^－；
当*x*\<2，即*x*－2\<0时，
*y*＝－(*x*－2)(*x*＋1)＝－*x*^2^＋*x*＋2＝－^2^＋.
所以*y*＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．
10．已知函数*f*(*x*)＝(
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出*f*(*x*)的图象；
(2)写出*f*(*x*)的单调递增区间；
(3)由图象指出当*x*取什么值时*f*(*x*)有最值．
解：(1)函数*f*(*x*)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数*f*(*x*)的单调递增区间为\[－1,0\]，\[2,5\]．
(3)由图象知当*x*＝2时，*f*(*x*)~min~＝*f*(2)＝－1，
当*x*＝0时，*f*(*x*)~max~＝*f*(0)＝3.
B级
1．若函数*f*(*x*)是周期为4的偶函数，当*x*∈\[0,2\]时，*f*(*x*)＝*x*－1，则不等式*xf*(*x*)\>0在 (－1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C 作出函数*f*(*x*)的图象如图所示．
当*x*∈(－1,0)时，由*xf*(*x*)\>0得*x*∈(－1,0)；
当*x*∈(0,1)时，由*xf*(*x*)\>0得*x*∈∅；
当*x*∈(1,3)时，由*xf*(*x*)\>0得*x*∈(1,3)．
故*x*∈(－1,0)∪(1,3)．
2．(2019·山西四校联考)已知函数*f*(*x*)＝\|*x*^2^－1\|，若0\<*a*\<*b*且*f*(*a*)＝*f*(*b*)，则*b*的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C 作出函数*f*(*x*)＝\|*x*^2^－1\|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线*y*＝1，交*f*(*x*)的图象于点*B*，由*x*^2^－1＝1可得*x~B~*＝，结合函数图象可得*b*的取值范围是(1，)．
3．已知函数*f*(*x*)的图象与函数*h*(*x*)＝*x*＋＋2的图象关于点*A*(0,1)对称．
(1)求*f*(*x*)的解析式；
(2)若*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋，且*g*(*x*)在区间(0,2\]上为减函数，求实数*a*的取值范围．
解：(1)设*f*(*x*)图象上任一点*P*(*x*，*y*)，则点*P*关于(0,1)点的对称点*P*′(－*x,*2－*y*)在*h*(*x*)的图象上，
即2－*y*＝－*x*－＋2，∴*y*＝*f*(*x*)＝*x*＋(*x*≠0)．
(2)*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋＝*x*＋，∴*g*′(*x*)＝1－.
∵*g*(*x*)在(0,2\]上为减函数，∴1－≤0在(0,2\]上恒成立，即*a*＋1≥*x*^2^在(0,2\]上恒成立，
∴*a*＋1≥4，即*a*≥3，故实数*a*的取值范围是\[3，＋∞)．
4．若关于*x*的不等式4*a^x^*^－1^\<3*x*－4(*a*\>0，且*a*≠1)对于任意的*x*\>2恒成立，求*a*的取值范围．
解：不等式4*a^x^*^－1^\<3*x*－4等价于*a^x^*^－1^\<*x*－1.
令*f*(*x*)＝*a^x^*^－1^，*g*(*x*)＝*x*－1，
当*a*\>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当0\<*a*\<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，
当*x*≥2时，*f*(2)≤*g*(2)，
即*a*^2－1^≤×2－1，
解得*a*≤，所以*a*的取值范围是.
第六节 二次函数
一、基础知识
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)；
顶点式：*f*(*x*)＝*a*(*x*－*h*)^2^＋*k*(*a*≠0)；
两根式：*f*(*x*)＝*a*(*x*－*x*~1~)(*x*－*x*~2~)(*a*≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征
(1)二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)中，系数*a*的正负决定图象的开口方向及开口大小；
(2)－的值决定图象对称轴的位置；
(3)*c*的取值决定图象与*y*轴的交点；
(4)*b*^2^－4*ac*的正负决定图象与*x*轴的交点个数．
-------- --------------------------------------------- ------------------------------------------
解析式 *f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*\>0) *f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*\<0)
图象  
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递增；在上单调递减 在上单调递增；在上单调递减
奇偶性 当*b*＝0时为偶函数，当*b*≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线*x*＝－成轴对称图形
-------- --------------------------------------------- ------------------------------------------
二、常用结论
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)"*ax*^2^＋*bx*＋*c*\>0(*a*≠0)恒成立"的充要条件是"*a*\>0，且*Δ*\<0"．
(2)"*ax*^2^＋*bx*＋*c*\<0(*a*≠0)恒成立"的充要条件是"*a*\<0，且*Δ*\<0"．
2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*\>0)，闭区间为\[*m*，*n*\]．
(1)当－≤*m*时，最小值为*f*(*m*)，最大值为*f*(*n*)；
(2)当*m*\<－≤时，最小值为*f*，最大值为*f*(*n*)；
(3)当\<－≤*n*时，最小值为*f*，最大值为*f*(*m*)；
(4)当－\>*n*时，最小值为*f*(*n*)，最大值为*f*(*m*)．
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.
\[典例\] 已知二次函数*f*(*x*)满足*f*(2)＝－1，*f*(－1)＝－1，且*f*(*x*)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
\[解\] 法一：利用二次函数的一般式
设*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数为*f*(*x*)＝－4*x*^2^＋4*x*＋7.
法二：利用二次函数的顶点式
设*f*(*x*)＝*a*(*x*－*m*)^2^＋*n*.
∵*f*(2)＝*f*(－1)，∴抛物线对称轴为*x*＝()＝.
∴*m*＝，又根据题意函数有最大值8，∴*n*＝8，
∴*y*＝*f*(*x*)＝*a*^2^＋8.
∵*f*(2)＝－1，∴*a*^2^＋8＝－1，解得*a*＝－4，
∴*f*(*x*)＝－4^2^＋8＝－4*x*^2^＋4*x*＋7.
法三：利用零点式
由已知*f*(*x*)＋1＝0的两根为*x*~1~＝2，*x*~2~＝－1，
故可设*f*(*x*)＋1＝*a*(*x*－2)(*x*＋1)，
即*f*(*x*)＝*ax*^2^－*ax*－2*a*－1.
又函数有最大值*y*~max~＝8，即()＝8.
解得*a*＝－4或*a*＝0(舍去)，
故所求函数解析式为*f*(*x*)＝－4*x*^2^＋4*x*＋7.
\[题组训练\]
1．已知二次函数*f*(*x*)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：设所求解析式为*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式为*f*(*x*)＝*x*^2^＋*x*－.
法二：设所求解析式为*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*≠0)．
依题意得解得
所以所求解析式为*f*(*x*)＝*x*^2^＋*x*－.
法三：设所求解析式为*f*(*x*)＝*a*(*x*－*h*)^2^＋*k*.
由已知得*f*(*x*)＝*a*(*x*＋2)^2^－1，
将点(1,0)代入，得*a*＝，
所以*f*(*x*)＝(*x*＋2)^2^－1，
即*f*(*x*)＝*x*^2^＋*x*－.
答案：*x*^2^＋*x*－
2．已知二次函数*f*(*x*)的图象经过点(4,3)，它在*x*轴上截得的线段长为2，并且对任意*x*∈R，都有*f*(2－*x*)＝*f*(2＋*x*)，则函数的解析式*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*f*(2－*x*)＝*f*(2＋*x*)对*x*∈R恒成立，
∴*f*(*x*)的对称轴为*x*＝2.
又∵*f*(*x*)的图象被*x*轴截得的线段长为2，
∴*f*(*x*)＝0的两根为1和3.
设*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝*a*(*x*－1)(*x*－3)(*a*≠0)．
又∵*f*(*x*)的图象经过点(4,3)，
∴3*a*＝3，*a*＝1.
∴所求*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝(*x*－1)(*x*－3)，
即*f*(*x*)＝*x*^2^－4*x*＋3.
答案：*x*^2^－4*x*＋3
考法(一) 二次函数图象的识别
\[典例\] 若一次函数*y*＝*ax*＋*b*的图象经过第二、三、四象限，则二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*的图象只可能是( )
\[解析\] 因为一次函数*y*＝*ax*＋*b*的图象经过第二、三、四象限，所以*a*\<0，*b*\<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程*x*＝－\<0，只有选项C适合．
\[答案\] C
考法(二) 二次函数的单调性与最值问题
\[典例\] (1)已知函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋2*ax*＋1－*a*在*x*∈\[0,1\]时，有最大值2，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)设二次函数*f*(*x*)＝*ax*^2^－2*ax*＋*c*在区间\[0,1\]上单调递减，且*f*(*m*)≤*f*(0)，则实数*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋2*ax*＋1－*a*＝－(*x*－*a*)^2^＋*a*^2^－*a*＋1，对称轴方程为*x*＝*a*.
当*a*\<0时，*f*(*x*)~max~＝*f*(0)＝1－*a*，
所以1－*a*＝2，所以*a*＝－1.
当0≤*a*≤1时，*f*(*x*)~max~＝*a*^2^－*a*＋1，
所以*a*^2^－*a*＋1＝2，所以*a*^2^－*a*－1＝0，
所以*a*＝(舍去)．
当*a*\>1时，*f*(*x*)~max~＝*f*(1)＝*a*，所以*a*＝2.
综上可知，*a*＝－1或*a*＝2.
(2)依题意*a*≠0，二次函数*f*(*x*)＝*ax*^2^－2*ax*＋*c*图象的对称轴是直线*x*＝1，因为函数*f*(*x*)在区间\[0,1\]上单调递减，所以*a*\>0，即函数图象的开口向上，所以*f*(0)＝*f*(2)，则当*f*(*m*)≤*f*(0)时，有0≤*m*≤2.
\[答案\] (1)－1或2 (2)\[0,2\]
\[解题技法\]
1．二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住"三点一轴"数形结合，"三点"是指区间两个端点和中点，"一轴"指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
2．二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题
\[典例\] (1)已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋*mx*－1，若对于任意*x*∈\[*m*，*m*＋1\]，都有*f*(*x*)\<0成立，则实数*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋2*x*＋1，*f*(*x*)\>*x*＋*k*在区间\[－3，－1\]上恒成立，则*k*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)作出二次函数*f*(*x*)的草图如图所示，对于任意*x*∈\[*m*，*m*＋1\]，都有*f*(*x*)\<0，
则有()()
即()()
解得－\<*m*\<0.
(2)由题意得*x*^2^＋*x*＋1\>*k*在区间\[－3，－1\]上恒成立．
设*g*(*x*)＝*x*^2^＋*x*＋1，*x*∈\[－3，－1\]，
则*g*(*x*)在\[－3，－1\]上递减．
∴*g*(*x*)~min~＝*g*(－1)＝1.
∴*k*\<1.故*k*的取值范围为(－∞，1)．
\[答案\] (1) (2)(－∞，1)
\[解题技法\]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：*a*≥*f*(*x*)恒成立⇔*a*≥*f*(*x*)~max~，*a*≤*f*(*x*)恒成立⇔*a*≤*f*(*x*)~min~.
\[题组训练\]
1．(2019·杭州模拟)已知*f*(*x*)＝－4*x*^2^＋4*ax*－4*a*－*a*^2^在\[0,1\]内的最大值为－5，则*a*的值为( )
A. B．1或
C．－1或 D．－5或
解析：选D *f*(*x*)＝－4^2^－4*a*，对称轴为直线*x*＝.
①当≥1，即*a*≥2时，*f*(*x*)在\[0,1\]上单调递增，
∴*f*(*x*)~max~＝*f*(1)＝－4－*a*^2^.
令－4－*a*^2^＝－5，得*a*＝±1(舍去)．
②当0\<\<1，即0\<*a*\<2时，*f*(*x*)~max~＝*f*＝－4*a*.
令－4*a*＝－5，得*a*＝.
③当≤0，即*a*≤0时，*f*(*x*)在\[0,1\]上单调递减，
∴*f*(*x*)~max~＝*f*(0)＝－4*a*－*a*^2^.
令－4*a*－*a*^2^＝－5，得*a*＝－5或*a*＝1(舍去)．
综上所述，*a*＝或－5.
2．若函数*y*＝*x*^2^－3*x*＋4的定义域为\[0，*m*\]，值域为，则*m*的取值范围为( )
A．(0,4\] B.
C. D.
解析：选C *y*＝*x*^2^－3*x*＋4＝^2^＋的定义域为\[0，*m*\]，显然，在*x*＝0时，*y*＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤*m*≤3，故选C.
3．已知函数*f*(*x*)＝*a*^2*x*^＋3*a^x^*－2(*a*\>1)，若在区间\[－1,1\]上*f*(*x*)≤8恒成立，则*a*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*a^x^*＝*t*，因为*a*\>1，*x*∈\[－1,1\]，所以≤*t*≤*a*，原函数化为*g*(*t*)＝*t*^2^＋3*t*－2，显然*g*(*t*)在上单调递增，所以*f*(*x*)≤8恒成立，即*g*(*t*)~max~＝*g*(*a*)≤8恒成立，所以有*a*^2^＋3*a*－2≤8，解得－5≤*a*≤2，又*a*\>1，所以*a*的最大值为2.
答案：2
A级
1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋1的图象的对称轴方程是*x*＝1，并且过点*P*(－1,7)，则*a*，*b*的值分别是( )
A．2,4 B．－2,4
C．2，－4 D．－2，－4
解析：选C ∵*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋1的图象的对称轴是*x*＝1，∴－＝1. ①
又图象过点*P*(－1,7)，∴*a*－*b*＋1＝7，即*a*－*b*＝6. ②
由①②可得*a*＝2，*b*＝－4.
2．已知函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*x*＋*a*，*x*∈\[0,1\]，若*f*(*x*)有最小值－2，则*a*的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D 函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*x*＋*a*的对称轴为直线*x*＝2，开口向下，*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*x*＋*a*在\[0,1\]上单调递增，则当*x*＝0时，*f*(*x*)的最小值为*f*(0)＝*a*＝－2.
3．一次函数*y*＝*ax*＋*b*与二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若*a*\>0，则一次函数*y*＝*ax*＋*b*为增函数，二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的图象开口向上，故可排除A；若*a*\<0，一次函数*y*＝*ax*＋*b*为减函数，二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知*a*\>0，*b*\>0，从而－\<0，而二次函数的对称轴在*y*轴的右侧，故可排除B.故选C.
4．已知*a*，*b*，*c*∈R，函数*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*，若*f*(0)＝*f*(4)\>*f*(1)，则( )
A．*a*\>0,4*a*＋*b*＝0 B．*a*\<0,4*a*＋*b*＝0
C．*a*\>0,2*a*＋*b*＝0 D．*a*\<0,2*a*＋*b*＝0
解析：选A 由*f*(0)＝*f*(4)，得*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*图象的对称轴为*x*＝－＝2，∴4*a*＋*b*＝0，又*f*(0)\>*f*(1)，*f*(4)\>*f*(1)，∴*f*(*x*)先减后增，于是*a*\>0，故选A.
5．若关于*x*的不等式*x*^2^－4*x*－2－*a*\>0在区间(1,4)内有解，则实数*a*的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选A 不等式*x*^2^－4*x*－2－*a*\>0在区间(1,4)内有解等价于*a*\<(*x*^2^－4*x*－2)~max~，
令*f*(*x*)＝*x*^2^－4*x*－2，*x*∈(1,4)，
所以*f*(*x*)\<*f*(4)＝－2，所以*a*\<－2.
6．已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋2*ax*＋3，若*y*＝*f*(*x*)在区间\[－4,6\]上是单调函数，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由于函数*f*(*x*)的图象开口向上，对称轴是*x*＝－*a*，
所以要使*f*(*x*)在\[－4,6\]上是单调函数，
应有－*a*≤－4或－*a*≥6，即*a*≤－6或*a*≥4.
答案：(－∞，－6\]∪\[4，＋∞)
7．已知二次函数*y*＝*f*(*x*)的顶点坐标为，且方程*f*(*x*)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*f*(*x*)＝*a*^2^＋49(*a*≠0)，
方程*a*^2^＋49＝0的两个实根分别为*x*~1~，*x*~2~，
则\|*x*~1~－*x*~2~\|＝2 ＝7，
所以*a*＝－4，所以*f*(*x*)＝－4*x*^2^－12*x*＋40.
答案：*f*(*x*)＝－4*x*^2^－12*x*＋40
8．(2018·浙江名校协作体考试)*y*＝的值域为\[0，＋∞)，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*a*＝0时，*y*＝，值域为\[0，＋∞)，满足条件；当*a*≠0时，要使*y*＝的值域为\[0，＋∞)，只需()解得0\<*a*≤2.综上，0≤*a*≤2.
答案：\[0,2\]
9．求函数*f*(*x*)＝－*x*(*x*－*a*)在*x*∈\[－1,1\]上的最大值．
解：函数*f*(*x*)＝－^2^＋的图象的对称轴为*x*＝，应分\<－1，－1≤≤1，\>1，即*a*\<－2，－2≤*a*≤2和*a*\>2三种情形讨论．
(1)当*a*\<－2时，由图①可知*f*(*x*)在\[－1,1\]上的最大值为*f*(－1)＝－1－*a*＝－(*a*＋1)．
(2)当－2≤*a*≤2时，由图②可知*f*(*x*)在\[－1,1\]上的最大值为*f*＝.
(3)当*a*\>2时，由图③可知*f*(*x*)在\[－1,1\]上的最大值为*f*(1)＝*a*－1.
综上可知，*f*(*x*)~max~＝()
10．已知二次函数*f*(*x*)满足*f*(*x*＋1)－*f*(*x*)＝2*x*，且*f*(0)＝1.
(1)求*f*(*x*)的解析式；
(2)当*x*∈\[－1,1\]时，函数*y*＝*f*(*x*)的图象恒在函数*y*＝2*x*＋*m*的图象的上方，求实数*m*的取值范围．
解：(1)设*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋1(*a*≠0)，
由*f*(*x*＋1)－*f*(*x*)＝2*x*，得2*ax*＋*a*＋*b*＝2*x*.
所以，2*a*＝2且*a*＋*b*＝0，解得*a*＝1，*b*＝－1，
因此*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*＋1.
(2)因为当*x*∈\[－1,1\]时，*y*＝*f*(*x*)的图象恒在*y*＝2*x*＋*m*的图象上方，
所以在\[－1,1\]上，*x*^2^－*x*＋1\>2*x*＋*m*恒成立；
即*x*^2^－3*x*＋1\>*m*在区间\[－1,1\]上恒成立．
所以令*g*(*x*)＝*x*^2^－3*x*＋1＝^2^－，
因为*g*(*x*)在\[－1,1\]上的最小值为*g*(1)＝－1，
所以*m*\<－1.故实数*m*的取值范围为(－∞，－1)．
B级
1.如图是二次函数*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*图象的一部分，图象过点*A*(－3,0)，对称轴为*x*＝－1.给出下面四个结论：
①*b*^2^\>4*ac*；②2*a*－*b*＝1；③*a*－*b*＋*c*＝0；④5*a*\<*b*.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B 因为图象与*x*轴交于两点，所以*b*^2^－4*ac*\>0，即*b*^2^\>4*ac*，①正确；
对称轴为*x*＝－1，即－＝－1,2*a*－*b*＝0，②错误；
结合图象，当*x*＝－1时，*y*\>0，即*a*－*b*＋*c*\>0，③错误；
由对称轴为*x*＝－1知，*b*＝2*a*.
又函数图象开口向下，所以*a*\<0，所以5*a*\<2*a*，即5*a*\<*b*，④正确．
2．已知*y*＝*f*(*x*)是偶函数，当*x*\>0时，*f*(*x*)＝(*x*－1)^2^，若当*x*∈时，*n*≤*f*(*x*)≤*m*恒成立，则*m*－*n*的最小值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选D 当*x*\<0时，－*x*\>0，*f*(*x*)＝*f*(－*x*)＝(*x*＋1)^2^，因为*x*∈，所以*f*(*x*)~min~＝*f*(－1)＝0，*f*(*x*)~max~＝*f*(－2)＝1，所以*m*≥1，*n*≤0，*m*－*n*≥1.所以*m*－*n*的最小值是1.
3．已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋(2*a*－1)*x*－3.
(1)当*a*＝2，*x*∈\[－2,3\]时，求函数*f*(*x*)的值域；
(2)若函数*f*(*x*)在\[－1,3\]上的最大值为1，求实数*a*的值．
解：(1)当*a*＝2时，*f*(*x*)＝*x*^2^＋3*x*－3，*x*∈\[－2,3\]，
对称轴为*x*＝－∈\[－2,3\]，
∴*f*(*x*)~min~＝*f*＝－－3＝－，
*f*(*x*)~max~＝*f*(3)＝15，
∴函数*f*(*x*)的值域为.
(2)∵函数*f*(*x*)的对称轴为*x*＝－.
①当－≤1，即*a*≥－时，
*f*(*x*)~max~＝*f*(3)＝6*a*＋3，
∴6*a*＋3＝1，即*a*＝－，满足题意；
②当－＞1，即*a*＜－时，
*f*(*x*)~max~＝*f*(－1)＝－2*a*－1，
∴－2*a*－1＝1，即*a*＝－1，满足题意．
综上可知，*a*＝－或－1.
4．求函数*y*＝*x*^2^－2*x*－1在区间\[*t*，*t*＋1\](*t*∈R)上的最大值．
解：函数*y*＝*x*^2^－2*x*－1＝(*x*－1)^2^－2的图象的对称轴是直线*x*＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对*t*进行讨论如下：
(1)当对称轴在闭区间右边，即当*t*＋1\<1，即*t*\<0时，函数在区间\[*t*，*t*＋1\]上单调递减，*f*(*x*)~max~＝*f*(*t*)＝*t*^2^－2*t*－1.
(2)当对称轴在闭区间内时，0≤*t*≤1，有两种情况：
①当*t*＋1－1≤1－*t*，即0≤*t*≤时，
*f*(*x*)~max~＝*f*(*t*)＝*t*^2^－2*t*－1；
②当*t*＋1－1\>1－*t*，即\<*t*≤1时，
*f*(*x*)~max~＝*f*(*t*＋1)＝(*t*＋1)^2^－2(*t*＋1)－1＝*t*^2^－2.
(3)当对称轴在闭区间左侧，即当*t*\>1时，函数在区间\[*t*，*t*＋1\]上单调递增，
*f*(*x*)~max~＝*f*(*t*＋1)＝(*t*＋1)^2^－2(*t*＋1)－1＝*t*^2^－2.
综上所述，*t*≤时，所求最大值为*t*^2^－2*t*－1；*t*\>时，所求最大值为*t*^2^－2.
第七节 幂函数
一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如*y*＝*x^α^*(*α*∈R)的函数称为幂函数，其中底数*x*是自变量，*α*为常数．
幂函数的特征
(1)自变量*x*处在幂底数的位置，幂指数*α*为常数；
(2)*x^α^*的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 函数特征性质 | *y*＝*x* | *y*＝*x*^2^ | *y*＝*x*^3^ | *y*＝*x* | *y*＝*x*^－1^ |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 图象 |  |  |  |  |  |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 定义域 | R | | R | {*x*\|*x*≥0} | {*x*\|*x*≠0} |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 值域 | R | {*y*\|*y*≥0} | R | {*y*\|*y*≥0} | {*y*\|*y*≠0} |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 奇偶性 | 奇 | | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 单调性 | 增 | (－∞，0)减， | 增 | 增 | (－∞，0)和 |
| | | | | | |
| | | (0，＋∞)增 | | | (0，＋∞)减 |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 公共点 | (1,1) | | | | |
+--------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
二、常用结论
对于形如*f*(*x*)＝*x*(其中*m*∈N^\*^，*n*∈Z，*m*与*n*互质)的幂函数：
(1)当*n*为偶数时，*f*(*x*)为偶函数，图象关于*y*轴对称；
(2)当*m*，*n*都为奇数时，*f*(*x*)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当*m*为偶数时，*x*\>0(或*x*≥0)，*f*(*x*)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
\[典例\] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数*y*＝*f*(*x*)的图象经过点(3，)，则*f*(*x*)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
(2)已知幂函数*f*(*x*)＝(*n*^2^＋2*n*－2)*x*(*n*∈Z)的图象关于*y*轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则*n*的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
\[解析\] (1)设*f*(*x*)＝*x^α^*，将点(3，)代入*f*(*x*)＝*x^α^*，解得*α*＝，所以*f*(*x*)＝*x*，可知函数*f*(*x*)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
(2)∵幂函数*f*(*x*)＝(*n*^2^＋2*n*－2)*x*在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴*n*＝1，
又*n*＝1时，*f*(*x*)＝*x*^－2^的图象关于*y*轴对称，故*n*＝1.
\[答案\] (1)C (2)B
\[解题技法\] 幂函数*y*＝*x^α^*的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当*α*\>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当*α*\<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当*α*为奇数时，幂函数为奇函数；当*α*为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
\[题组训练\]
1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( )
A．*y*＝*x*^－4^ B．*y*＝*x*^－1^
C．*y*＝*x*^2^ D．*y*＝*x*
解析：选A 函数*y*＝*x*^－4^为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数*y*＝*x*^－1^为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数*y*＝*x*^2^为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数*y*＝*x*为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.已知当*x*∈(0,1)时，函数*y*＝*x^p^*的图象在直线*y*＝*x*的上方，则*p*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*p*\>0时，根据题意知*p*\<1，所以0\<*p*\<1；当*p*＝0时，函数为*y*＝1(*x*≠0)，符合题意；当*p*\<0时，函数*y*＝*x^p^*的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，*p*的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
\[典例\] 若*a*＝，*b*＝，*c*＝，则*a*，*b*，*c*的大小关系是( )
A．*a*\<*b*\<*c* B．*c*\<*a*\<*b*
C．*b*\<*c*\<*a* D．*b*\<*a*\<*c*
\[解析\] 因为*y*＝*x*在第一象限内是增函数，所以*a*＝\>*b*＝，因为*y*＝*^x^*是减函数，所以*a*＝\<*c*＝，所以*b*\<*a*\<*c*.
\[答案\] D
\[题组训练\]
1．若*a*＝，*b*＝，*c*＝，则*a*，*b*，*c*的大小关系是( )
A．*a*\>*b*\>*c* B．*a*\>*c*\>*b*
C．*c*\>*a*\>*b* D．*b*\>*c*\>*a*
解析：选B 因为*y*＝*x*在第一象限内为增函数，所以*a*＝\>*c*＝，因为*y*＝*^x^*是减函数，所以*c*＝\>*b*＝，所以*a*\>*c*\>*b*.
2．若(*a*＋1)\<(3－2*a*)，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：易知函数*y*＝*x*的定义域为\[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤*a*\<.
答案：
1．若幂函数*y*＝*f*(*x*)的图象过点(4,2)，则*f*(8)的值为( )
A．4 B.
C．2 D．1
解析：选C 设*f*(*x*)＝*x^n^*，由条件知*f*(4)＝2，所以2＝4*^n^*，*n*＝，
所以*f*(*x*)＝*x*，*f*(8)＝8＝2.
2．若幂函数*f*(*x*)＝*x^k^*在(0，＋∞)上是减函数，则*k*可能是( )
A．1 B．2
C. D．－1
解析：选D 由幂函数的性质得*k*\<0，故选D.
3．已知幂函数*f*(*x*)＝(*m*^2^－3*m*＋3)*x^m^*^＋1^为偶函数，则*m*＝( )
A．1 B．2
C．1或2 D．3
解析：选A ∵函数*f*(*x*)为幂函数，∴*m*^2^－3*m*＋3＝1，即*m*^2^－3*m*＋2＝0，解得*m*＝1或*m*＝2.当*m*＝1时，幂函数*f*(*x*)＝*x*^2^为偶函数，满足条件；当*m*＝2时，幂函数*f*(*x*)＝*x*^3^为奇函数，不满足条件．故选A.
4．(2018·邢台期末)已知幂函数*f*(*x*)的图象过点，则函数*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选A 设幂函数*f*(*x*)＝*x^α^*.
∵*f*(*x*)的图象过点，∴2*^α^*＝，解得*α*＝－2.
∴函数*f*(*x*)＝*x*^－2^，其中*x*≠0.
∴函数*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋＝*x*^－2^＋
＝＋≥2＝1，
当且仅当*x*＝±时，*g*(*x*)取得最小值1.
5．(2019·安徽名校联考)幂函数*y*＝*x*^\|*m*－1\|^与*y*＝*x*(*m*∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数*m*的值为( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
解析：选C 由题意可得解得*m*＝2.
6．已知*a*＝3，*b*＝4，*c*＝12，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )
A．*b*\<*a*\<*c* B．*a*\<*b*\<*c*
C．*c*\<*b*\<*a* D．*c*\<*a*\<*b*
解析：选C 因为*a*＝81，*b*＝16，*c*＝12，由幂函数*y*＝*x*在(0，＋∞)上为增函数，知*a*\>*b*\>*c*，故选C.
7．设*x*＝0.2^0.3^，*y*＝0.3^0.2^，*z*＝0.3^0.3^，则*x*，*y*，*z*的大小关系为( )
A．*x*\<*z*\<*y* B．*y*\<*x*\<*z*
C．*y*\<*z*\<*x* D．*z*\<*y*\<*x*
解析：选A 由函数*y*＝0.3*^x^*在R上单调递减，可得*y*\>*z*.由函数*y*＝*x*^0.3^在(0，＋∞)上单调递增，可得*x*\<*z*.所以*x*\<*z*\<*y*.
8．已知幂函数*f*(*x*)＝(*m*－1)^2^*x*在(0，＋∞)上单调递增，函数*g*(*x*)＝2*^x^*－*k*，当*x*∈\[1,2)时，记*f*(*x*)，*g*(*x*)的值域分别为集合*A*，*B*，若*A*∪*B*＝*A*，则实数*k*的取值范围是( )
A．(0,1) B．\[0,1)
C．(0,1\] D．\[0,1\]
解析：选D ∵*f*(*x*)是幂函数，∴(*m*－1)^2^＝1，解得*m*＝2或*m*＝0.若*m*＝2，则*f*(*x*)＝*x*^－2^在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若*m*＝0，则*f*(*x*)＝*x*^2^在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即*f*(*x*)＝*x*^2^.当*x*∈\[1,2)时，*f*(*x*)∈\[1,4)，即*A*＝\[1,4)；当*x*∈\[1,2)时，*g*(*x*)∈\[2－*k,*4－*k*)，即*B*＝\[2－*k,*4－*k*)．∵*A*∪*B*＝*A*，∴*B*⊆*A*，∴2－*k*≥1且4－*k*≤4，解得0≤*k*≤1.
9．若*f*(*x*)是幂函数，且满足()()＝2，则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设*f*(*x*)＝*x^α^*，∵()()＝＝3*^α^*＝2，∴*f*＝*^α^*＝^2*α*^＝＝＝.
答案：
10．已知函数*f*(*x*)＝(*m*^2^－*m*－5)*x^m^*是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数*m*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*f*(*x*)＝(*m*^2^－*m*－5)*x^m^*是幂函数⇒*m*^2^－*m*－5＝1⇒*m*＝－2或*m*＝3.又*f*(*x*)在(0，＋∞)上是增函数，所以*m*＝3.
答案：3
11．当0＜*x*＜1时，*f*(*x*)＝*x*^2^，*g*(*x*)＝*x*，*h*(*x*)＝*x*^－2^，则*f*(*x*)，*g*(*x*)，*h*(*x*)的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：分别作出*y*＝*f*(*x*)，*y*＝*g*(*x*)，*y*＝*h*(*x*)的图象如图所示，可知*h*(*x*)＞*g*(*x*)＞*f*(*x*)．
答案：*h*(*x*)＞*g*(*x*)＞*f*(*x*)
12．(2019·银川模拟)已知幂函数*f*(*x*)＝*x*，若*f*(*a*＋1)\<*f*(10－2*a*)，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意得，幂函数*f*(*x*)＝*x*－的定义域为(0，＋∞)，且函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，由*f*(*a*＋1)\<*f*(10－2*a*)，得解得3\<*a*\<5.
答案：(3,5)
13．已知幂函数*f*(*x*)＝*x*(*m*∈N^\*^)的图象经过点(2，)．
(1)试确定*m*的值；
(2)求满足条件*f*(2－*a*)\>*f*(*a*－1)的实数*a*的取值范围．
解：(1)∵幂函数*f*(*x*)的图象经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴*m*^2^＋*m*＝2，解得*m*＝1或*m*＝－2.
又∵*m*∈N^\*^，∴*m*＝1.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝*x*，
则函数的定义域为\[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由*f*(2－*a*)\>*f*(*a*－1)，得解得1≤*a*\<.
∴*a*的取值范围为.
第八节 指数式、对数式的运算
一、基础知识
(1)根式的性质
①()*^n^*＝*a*(*a*使有意义)．
②当*n*是奇数时，＝；
当*n*是偶数时，＝\|*a*\|＝
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
①*a*＝(*a*\>0，*m*，*n*∈N^\*^，且*n*\>1)．
②*a*＝＝(*a*\>0，*m*，*n*∈N^\*^，且*n*\>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①*a^r^*·*a^s^*＝*a^r^*^＋*s*^(*a*\>0，*r*，*s*∈Q)；
②＝*a^r^*^－*s*^(*a*\>0，*r*，*s*∈Q)；
③(*a^r^*)*^s^*＝*a^rs^*(*a*\>0，*r*，*s*∈Q)；
④(*ab*)*^r^*＝*a^r^b^r^*(*a*\>0，*b*\>0，*r*∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．对数的概念及运算性质
一般地，如果*a*(*a*\>0，且*a*≠1)的*b*次幂等于*N*，就是*a^b^*＝*N*，那么，数*b*就叫做以*a*
为底*N*的对数，记作：log*~a~N*＝*b*.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质
①负数和零没有对数；
②1的对数是；
③底数的对数等于.
(2)对数的运算性质
如果*a*\>0，且*a*≠1，*M* \>0，*N*\>0，那么
①log*~a~*(*MN*)＝log*~a~M*＋log*~a~N*；
②log*~a~*＝log*~a~M*－log*~a~N*；
③log*~a~*(*N^n^*)＝*n*log*~a~N*(*n*∈R)．
二、常用结论
1．换底公式的变形
(1)log*~a~b*·log*~b~a*＝1，即log*~a~b*＝(*a*，*b*均大于0且不等于1)；
(2)log*~am~b^n^*＝log*~a~b*(*a*，*b*均大于0且不等于1，*m*≠0，*n*∈R)；
(3)log*~N~M*＝＝(*a*，*b*，*N*均大于0且不等于1，*M* \>0)．
2．换底公式的推广
log*~a~b*·log*~b~c*·log*~c~d*＝log*~a~d*(*a*，*b*，*c*均大于0且不等于1，*d*\>0)．
3．对数恒等式
*a*＝*N*(*a*\>0且*a*≠1，*N*\>0)．
\[典例\] 化简下列各式：
(1)^0^＋2^－2^·－(0.01)^0.5^；
(2)*a*·*b*^－2^·÷(4*a*·*b*^－3^).
\[解\] (1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－*ab*^－3^÷(4*a*·*b*^－3^)＝－*ab*^－3^÷(*ab*)＝－*a*·*b*＝－·＝ －.
\[解题技法\] 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
\[题组训练\]
1．若实数*a*\>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)^－2^＝4 B．2*a*^－3^＝
C．(－2)^0^＝－1 D．(*a*)^4^＝
解析：选D 对于A，(－2)^－2^＝，故A错误；对于B，2*a*^－3^＝，故B错误；对于C，(－2)^0^＝1，故C错误；对于D，(*a*)^4^＝，故D正确．
2．化简4*a*·*b*÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6*ab*
解析：选C 原式＝－6*ab*＝－6*ab*^－1^＝－.
3．计算：－^－2^＋＋(0.002)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝－^2^＋＋
＝－＋＋10＝10.
答案：10
\[典例\] 计算下列各式：
(1)；(2)log~2~3·log~3~8＋()log~3~4.
\[解\] (1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝·＋3＝3＋3＝3＋2＝5.
\[题组训练\]
1．(log~2~9)·(log~3~4)＝( )
A． B．
C．2 D．4
解析：选D 法一：原式＝·＝＝4.
法二：原式＝2log~2~3·＝2×2＝4.
2．计算：÷100＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝lg×100＝lg 10^－2^×10＝－2×10＝－20.
答案：－20
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数*f*(*x*)＝log~2~(*x*^2^＋*a*)．若*f*(3)＝1，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*f*(*x*)＝log~2~(*x*^2^＋*a*)且*f*(3)＝1，
∴1＝log~2~(9＋*a*)，
∴9＋*a*＝2，∴*a*＝－7.
答案：－7
4．计算：log~5~\[4－(3)－7\]＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝log~5~\[2－(3)－2\]＝log~5~(10－3－2)＝log~5~5＝1.
答案：1
1．设＝log~2~3，则3*^x^*－3^－*x*^的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由＝log~2~3，得3*^x^*＝2，∴3*^x^*－3^－*x*^＝2－＝.
2．化简(－6*ab*)÷的结果为( )
A．－4*a* B．4*a*
C．11*a* D．4*ab*
解析：选B 原式＝\[2×(－6)÷(－3)\]*ab*＝4*ab*^0^＝4*a*.
3．(log~2~9)(log~3~2)＋log*~a~*＋log*~a~*(*a*\>0，且*a*≠1)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 原式＝(2log~2~3)(log~3~2)＋log*~a~*＝2×1＋log*~a~a*＝3.
4．设*a*\>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．*a* B．*a*
C．*a* D．*a*
解析：选C ＝＝＝＝*a*＝*a*.
5．如果2log*~a~*(*P*－2Q)＝log*~a~P*＋log*~a~*Q(*a*\>0，且*a*≠1)，那么的值为( )
A. B．4
C．1 D．4或1
解析：选B 由2log*~a~*(*P*－2Q)＝log*~a~P*＋log*~a~*Q，得log*~a~*(*P*－2Q)^2^＝log*~a~*(*P*Q)．由对数运算性质得(*P*－2Q)^2^＝*P*Q，即*P*^2^－5*P*Q＋4Q^2^＝0，所以*P*＝Q(舍去)或*P*＝4Q，解得＝4.
6．若lg 2，lg(2*^x^*＋1)，lg(2*^x^*＋5)成等差数列，则*x*的值等于( )
A．1 B．0或
C. D．log~2~3
解析：选D 由题意知lg2＋lg(2*^x^*＋5)＝2lg(2*^x^*＋1)，由对数的运算性质得2(2*^x^*＋5)＝(2*^x^*＋1)^2^，即(2*^x^*)^2^－9＝0,2*^x^*＝3，*x*＝log~2~3.
7．已知函数*f*(*x*)＝则*f*(*f*(1))＋*f*的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D ∵log~3~ \<0，由题意得*f*(*f*(1))＋*f*＝*f*(log~2~1)＋3＋1＝*f*(0)＋3＋1＝3^0^＋1＋2＋1＝5.
8．设2*^a^*＝5*^b^*＝*m*，且＋＝2，则*m*等于( )
A. B．10
C．20 D．100
解析：选A 由2*^a^*＝5*^b^*＝*m*得*a*＝log~2~*m*，*b*＝log~5~*m*，
所以＋＝log*~m~*2＋log*~m~*5＝log*~m~*10.
因为＋＝2，所以log*~m~*10＝2.
所以*m*^2^＝10，所以*m*＝.
9．已知4*^a^*＝2，lg *x*＝*a*，则*x*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由4*^a^*＝2，得*a*＝，又因为lg *x*＝*a*＝，
所以*x*＝10＝.
答案：
10．计算：9＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：9＝9×9＝3×＝.
答案：
11．化简：()＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝＝*a*·*b*＝.
答案：
12．已知指数函数*y*＝*f*(*x*)，对数函数*y*＝*g*(*x*)和幂函数*y*＝*h*(*x*)的图象都过点*P*，如果*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)＝*h*(*x*~3~)＝4，那么*x*~1~＋*x*~2~＋*x*~3~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：令*f*(*x*)＝*a^x^*(*a*\>0,且*a*≠1)，*g*(*x*)＝log*~b~x(b\>0,*且*b≠1)*，*h*(*x*)＝*x^c^*，则*f*＝*a*＝2，*g*＝log*~b~*＝－log*~b~*2＝2，*h*＝*^c^*＝2，∴*a*＝4，*b*＝，*c*＝－1，∴*f*(*x*~1~)＝4*x*~1~＝4⇒*x*~1~＝1，同理，*x*~2~＝，*x*~3~＝.∴*x*~1~＋*x*~2~＋*x*~3~＝.
答案：
13．化简下列各式：
(1)^0.5^＋0.1^－2^＋－3π^0^＋；
\(2\) ÷ ；
(3).
解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝*a*÷*a*＝*a*＝*a*.
(3)法一：原式＝＝()＝.
法二：原式＝()＝＝.
第九节 指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念
函数*y*＝*a^x^*(*a*\>0，且*a*≠1)叫做指数函数，其中指数*x*是自变量，函数的定义域是R，*a*是底数．
形如*y*＝*ka^x^*，*y*＝*a^x^*^＋*k*^(*k*∈R且*k*≠0，*a*\>0且*a*≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
2．指数函数*y*＝*a^x^*(*a*\>0，且*a*≠1)的图象与性质
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 底数 | *a*\>1 | 0\<*a*\<1 |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 图象 |  |  |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 性 | 定义域为R，值域为(0，＋∞) | |
| | | |
| 质 | | |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 图象过定点(0,1) | |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 当*x*\>0时，恒有*y*\>1； | 当*x*\>0时，恒有0\<*y*\<1； |
| | | |
| | 当*x*\<0时，恒有0\<*y*\<1 | 当*x*\<0时，恒有*y*\>1 |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 在定义域R上为增函数 | 在定义域R上为减函数 |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 注意 | 指数函数*y*=*a^x^*(*a*\>0,且*a*≠1）的图象和性质与*a*的取值有关，应分*a*\>1与0\<*a*\<1来研究. | |
+------+----------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
二、常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，*a*)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数*y*＝*a^x^*与*y*＝*^x^*(*a*\>0，且*a*≠1)的图象关于*y*轴对称．
(3)底数*a*与1的大小关系决定了指数函数图象的"升降"：当*a*\>1时，指数函数的图象"上升"；当0\<*a*\<1时，指数函数的图象"下降"．
\[典例\] (1)函数*f*(*x*)＝2^1－*x*^的大致图象为( )
(2)若函数*y*＝\|3*^x^*－1\|在(－∞，*k*\]上单调递减，则*k*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)函数*f*(*x*)＝2^1－*x*^＝2×*^x^*，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．
(2)函数*y*＝\|3*^x^*－1\|的图象是由函数*y*＝3*^x^*的图象向下平移一个单位后，再把位于*x*轴下方的图象沿*x*轴翻折到*x*轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0\]上单调递减，
所以*k*的取值范围为(－∞，0\]．
\[答案\] (1)A (2)(－∞，0\]
\[变透练清\]
1.本例(1)中的函数*f*(*x*)变为：*f*(*x*)＝2^\|*x*－1\|^，则*f*(*x*)的大致图象为( )
解析：选B *f*(*x*)＝2^\|*x*－1\|^的图象是由*y*＝2^\|*x*\|^的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确．
2.本例(2)变为：若函数*f*(*x*)＝\|3*^x^*－1\|－*k*有一个零点，则*k*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：函数*f*(*x*)有一个零点，即*y*＝\|3*^x^*－1\|与*y*＝*k*有一个交点，由典例(2)得*y*＝\|3*^x^*－1\|的图象如图所示，
故当*k*＝0或*k*≥1时，直线*y*＝*k*与函数*y*＝\|3*^x^*－1\|的图象有唯一的交点，所以函数*f*(*x*)有一个零点．
答案：{0}∪\[1，＋∞)
3．若函数*y*＝2^1－*x*^＋*m*的图象不经过第一象限，求*m*的取值范围．
解：*y*＝2^1－*x*^＋*m*＝^*x*－1^＋*m*，函数*y*＝^*x*－1^的图象如图所示，
则要使其图象不经过第一象限，
则*m*≤－2.
故*m*的取值范围为(－∞，－2\]．
考法(一) 比较指数式的大小
\[典例\] (2016·全国卷Ⅲ)已知*a*＝2，*b*＝4，*c*＝25，则( )
A．*b*\<*a*\<*c* B．*a*\<*b*\<*c*
C．*b*\<*c*\<*a* D．*c*\<*a*\<*b*
\[解析\] 因为*a*＝2，*b*＝4＝2，由函数*y*＝2*^x^*在R上为增函数知，*b*\<*a*；
又因为*a*＝2＝4，*c*＝25＝5，由函数*y*＝*x*在(0，＋∞)上为增函数知，*a*\<*c*.
综上得*b*\<*a*\<*c*.故选A.
\[答案\] A
考法(二) 解简单的指数方程或不等式
\[典例\] (2019·西安质检)若偶函数*f*(*x*)满足*f*(*x*)＝2*^x^*－4(*x*≥0)，则不等式*f*(*x*－2)\>0的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] ∵*f*(*x*)为偶函数，
当*x*＜0时，－*x*\>0，则*f*(*x*)＝*f*(－*x*)＝2^－*x*^－4.
∴*f*(*x*)＝
当*f*(*x*－2)＞0时，有或
解得*x*＞4或*x*＜0.
∴不等式的解集为{*x*\|*x*\>4或*x*\<0}．
\[答案\] {*x*\|*x*\>4或*x*\<0}
\[解题技法\]
简单的指数方程或不等式问题的求解策略
(1)*a^f^*^(*x*)^＝*a^g^*^(*x*)^⇔*f*(*x*)＝*g*(*x*)．
(2)*a^f^*^(*x*)^\>*a^g^*^(*x*)^，当*a*\>1时，等价于*f*(*x*)\>*g*(*x*)；当0\<*a*\<1时，等价于*f*(*x*)\<*g*(*x*)．
(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数*a*的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
考法(三) 指数型函数性质的综合问题
\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝.
(1)若*a*＝－1，求*f*(*x*)的单调区间；
(2)若*f*(*x*)有最大值3，求*a*的值．
\[解\] (1)当*a*＝－1时，*f*(*x*)＝，
令*g*(*x*)＝－*x*^2^－4*x*＋3，由于*g*(*x*)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而*y*＝*^t^*在R上单调递减，所以*f*(*x*)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数*f*(*x*)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令*g*(*x*)＝*ax*^2^－4*x*＋3，则*f*(*x*)＝^*g*(*x*)^，
由于*f*(*x*)有最大值3，所以*g*(*x*)应有最小值－1，
因此必有
解得*a*＝1，即当*f*(*x*)有最大值3时，*a*的值等于1.
\[解题技法\] 与指数函数有关的复合函数的单调性
形如函数*y*＝*a^f^*^(*x*)^的单调性，它的单调区间与*f*(*x*)的单调区间有关：
(1)若*a*\>1，函数*f*(*x*)的单调增(减)区间即函数*y*＝*a^f^*^(*x*)^的单调增(减)区间；
(2)若0\<*a*\<1，函数*f*(*x*)的单调增(减)区间即函数*y*＝*a^f^*^(*x*)^的单调减(增)区间．即"同增异减"．
\[题组训练\]
1．函数*y*＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4\] D．\[4，＋∞)
解析：选C 设*t*＝*x*^2^＋2*x*－1，则*y*＝*^t^*.
因为0\<\<1，
所以*y*＝*^t^*为关于*t*的减函数．
因为*t*＝^2^－2≥－2，
所以0\<*y*＝*^t^*≤^－2^＝4，
故所求函数的值域为(0,4\]．
2．设*a*＝0.6^0.6^，*b*＝0.6^1.5^，*c*＝1.5^0.6^，则*a*，*b*，*c*的大小关系是( )
A．*a*\<*b*\<*c* B．*a*\<*c*\<*b*
C．*b*\<*a*\<*c* D．*b*\<*c*\<*a*
解析：选C 因为函数*y*＝0.6*^x^*在R上单调递减，所以*b*＝0.6^1.5^\<*a*＝0.6^0.6^\<1.又*c*＝1.5^0.6^\>1，所以*b*\<*a*\<*c*.
3．(2018·河南八市第一次测评)设函数*f*(*x*)＝*x*^2－*a*^与*g*(*x*)＝*a^x^*(*a*\>1且*a*≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则*M*＝(*a*－1)^0.2^与*N*＝^0.1^的大小关系是( )
A．*M*＝*N* B．*M*≤*N*
C．*M*\<*N* D．*M*\>*N*
解析：选D 因为*f*(*x*)＝*x*^2－*a*^与*g*(*x*)＝*a^x^*(*a*\>1且*a*≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以*a*\>2，所以*M*＝(*a*－1)^0.2^\>1，*N*＝^0.1^\<1，所以*M* \>*N*.
4．已知实数*a*≠1，函数*f*(*x*)＝若*f*(1－*a*)＝*f*(*a*－1)，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*a*\<1时，4^1－*a*^＝2^1^，所以*a*＝；当*a*\>1时，代入可知不成立．所以*a*的值为.
答案：
A级
1．函数*f*(*x*)＝1－e^\|*x*\|^的图象大致是( )
解析：选A 因为函数*f*(*x*)＝1－e^\|*x*\|^是偶函数，且值域是(－∞，0\]，只有A满足上述两个性质．
2．(2019·贵阳监测)已知函数*f*(*x*)＝4＋2*a^x^*^－1^的图象恒过定点*P*，则点*P*的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
解析：选A 由于函数*y*＝*a^x^*的图象过定点(0,1)，当*x*＝1时，*f*(*x*)＝4＋2＝6，故函数*f*(*x*)＝4＋2*a^x^*^－1^的图象恒过定点*P*(1,6)．
3．已知*a*＝2^0.2^，*b*＝0.4^0.2^，*c*＝0.4^0.6^，则*a*，*b*，*c*的大小关系是( )
A．*a*＞*b*＞*c* B．*a*＞*c*＞*b*
C．*c*＞*a*＞*b* D．*b*＞*c*＞*a*
解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.4^0.2^＞0.4^0.6^，即*b*＞*c*；因为*a*＝2^0.2^＞1，*b*＝0.4^0.2^＜1，所以*a*＞*b*.综上，*a*＞*b*＞*c*.
4．(2019·南宁调研)函数*f*(*x*)＝的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 令*x*－*x*^2^≥0，得0≤*x*≤1，所以函数*f*(*x*)的定义域为\[0,1\]，因为*y*＝*^t^*是减函数，所以函数*f*(*x*)的增区间就是函数*y*＝－*x*^2^＋*x*在\[0,1\]上的减区间，故选D.
5.函数*f*(*x*)＝*a^x^*^－*b*^的图象如图所示，其中*a*，*b*为常数，则下列结论正确的是( )
A．*a*\>1，*b*\<0 B．*a*\>1，*b*\>0
C．0\<*a*\<1，*b*\>0 D．0\<*a*\<1，*b*\<0
解析：选D 由*f*(*x*)＝*a^x^*^－*b*^的图象可以观察出函数*f*(*x*)＝*a^x^*^－*b*^在定义域上单调递减，所以0\<*a*\<1，函数*f*(*x*)＝*a^x^*^－*b*^的图象是在*y*＝*a^x^*的图象的基础上向左平移得到的，所以*b*\<0.
6．已知函数*f*(*x*)＝则函数*f*(*x*)是( )
A．偶函数，在\[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在\[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
解析：选C 易知*f*(0)＝0，当*x*\>0时，*f*(*x*)＝1－2^－*x*^，－*f*(*x*)＝2^－*x*^－1，此时－*x*\<0，则*f*(－*x*)＝2^－*x*^－1＝－*f*(*x*)；当*x*\<0时，*f*(*x*)＝2*^x^*－1，－*f*(*x*)＝1－2*^x^*，此时－*x*\>0，则*f*(－*x*)＝1－2^－(－*x*)^＝1－2*^x^*＝－*f*(*x*)．即函数*f*(*x*)是奇函数，且单调递增，故选C.
7．(2018·深圳摸底)已知*a*＝^3.3^，*b*＝^3.9^，则*a*\_\_\_\_\_\_\_\_*b*．(填"\<"或"\>")
解析：因为函数*y*＝*^x^*为减函数，所以^3.3^\>^3.9^，即*a*\>*b*.
答案：\>
8．函数*y*＝*^x^*－*^x^*＋1在\[－3,2\]上的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*t*＝*^x^*，由*x*∈\[－3,2\]，得*t*∈.
则*y*＝*t*^2^－*t*＋1＝^2^＋.
当*t*＝时，*y*~min~＝；当*t*＝8时，*y*~max~＝57.
故所求函数的值域是.
答案：
9．已知函数*f*(*x*)＝*a^x^*＋*b*(*a*\>0，且*a*≠1)的定义域和值域都是\[－1,0\]，则*a*＋*b*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：当*a*\>1时，函数*f*(*x*)＝*a^x^*＋*b*在上为增函数，由题意得无解．当0\<*a*\<1时，函数*f*(*x*)＝*a^x^*＋*b*在\[－1,0\]上为减函数，由题意得解得所以*a*＋*b*＝－.
答案：－
10．已知函数*f*(*x*)＝*a*^\|*x*＋1\|^(*a*＞0，且*a*≠1)的值域为\[1，＋∞)，则*f*(－4)与*f*(1)的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为\|*x*＋1\|≥0，函数*f*(*x*)＝*a*^\|*x*＋1\|^(*a*＞0，且*a*≠1)的值域为\[1，＋∞)，所以*a*＞1.由于函数*f*(*x*)＝*a*^\|*x*＋1\|^在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线*x*＝－1对称，则函数*f*(*x*)在(－∞，－1)上是减函数，故*f*(1)＝*f*(－3)，*f*(－4)＞*f*(1)．
答案：*f*(－4)＞*f*(1)
11．已知函数*f*(*x*)＝*^ax^*，*a*为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求*a*的值；
(2)若*g*(*x*)＝4^－*x*^－2，且*g*(*x*)＝*f*(*x*)，求满足条件的*x*的值．
解：(1)由已知得^－*a*^＝2，解得*a*＝1.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝*^x^*，
又*g*(*x*)＝*f*(*x*)，则4^－*x*^－2＝*^x^*，
∴*^x^*－*^x^*－2＝0，
令*^x^*＝*t*，则*t*\>0，*t*^2^－*t*－2＝0，
即(*t*－2)(*t*＋1)＝0，
又*t*\>0，故*t*＝2，即*^x^*＝2，解得*x*＝－1，
故满足条件的*x*的值为－1.
12．已知函数*f*(*x*)＝^\|*x*\|－*a*^.
(1)求*f*(*x*)的单调区间；
(2)若*f*(*x*)的最大值是，求*a*的值．
解：(1)令*t*＝\|*x*\|－*a*，则*f*(*x*)＝*^t^*，不论*a*取何值，*t*在(－∞，0\]上单调递减，在\[0，＋∞)上单调递增，
又*y*＝*^t^*在R上单调递减，
所以*f*(*x*)的单调递增区间是(－∞，0\]，
单调递减区间是\[0，＋∞)．
(2)由于*f*(*x*)的最大值是，且＝^－2^，
所以*g*(*x*)＝\|*x*\|－*a*应该有最小值－2，
从而*a*＝2.
B级
1．(2019·郴州质检)已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*－，其中e是自然对数的底数，则关于*x*的不等式*f*(2*x*－1)＋*f*(－*x*－1)\>0的解集为( )
A.∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
解析：选B 函数*f*(*x*)＝e*^x^*－的定义域为R，
∵*f*(－*x*)＝e^－*x*^－＝－e*^x^*＝－*f*(*x*)，∴*f*(*x*)是奇函数，那么不等式*f*(2*x*－1)＋*f*(－*x*－1)\>0等价于*f*(2*x*－1)\>－*f*(－*x*－1)＝*f*(1＋*x*)，易证*f*(*x*)是R上的单调递增函数，∴2*x*－1\>*x*＋1，解得*x*\>2，∴不等式*f*(2*x*－1)＋*f*(－*x*－1)\>0的解集为(2，＋∞)．
2．已知*a*\>0，且*a*≠1，若函数*y*＝\|*a^x^*－2\|与*y*＝3*a*的图象有两个交点，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：①当0\<*a*\<1时，作出函数*y*＝\|*a^x^*－2\|的图象如图(1)．若直线*y*＝3*a*与函数*y*＝\|*a^x^*－2\|(0\<*a*\<1)的图象有两个交点，则由图象可知0\<3*a*\<2，所以0\<*a*\<.
②当*a*\>1时，作出函数*y*＝\|*a^x^*－2\|的图象如图(2)，若直线*y*＝3*a*与函数*y*＝\|*a^x^*－2\|(*a*\>1)的图象有两个交点，则由图象可知0\<3*a*\<2，此时无解．
所以实数*a*的取值范围是.
答案：
3．已知函数*f*(*x*)＝*x*^3^(*a*＞0，且*a*≠1)．
(1)讨论*f*(*x*)的奇偶性；
(2)求*a*的取值范围，使*f*(*x*)＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于*a^x^*－1≠0，则*a^x^*≠1，得*x*≠0，
所以函数*f*(*x*)的定义域为{*x*\|*x*≠0}．
对于定义域内任意*x*，有
*f*(－*x*)＝(－*x*)^3^＝(－*x*)^3^＝(－*x*)^3^
＝*x*^3^＝*f*(*x*)，
∴函数*f*(*x*)为偶函数．
(2)由(1)知*f*(*x*)为偶函数，
∴只需讨论*x*＞0时的情况．当*x*＞0时，要使*f*(*x*)＞0，
则*x*^3^＞0，
即＋＞0，即()＞0，则*a^x^*＞1.
又∵*x*＞0，∴*a*＞1.
∴当*a*∈(1，＋∞)时，*f*(*x*)＞0.
第十节 对数函数
一、基础知识
1．对数函数的概念
函数*y*＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)叫做对数函数，其中*x*是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞).
*y*＝log*~a~x*的3个特征
(1)底数*a*\>0，且*a*≠1；
(2)自变量*x*\>0；
(3)函数值域为R.
2．对数函数*y*＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)的图象与性质
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 底数 | *a*\>1 | 0\<*a*\<1 |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 图象 |  |  |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 性质 | 定义域：(0，＋∞) | |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 值域：R | |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 图象过定点(1,0)，即恒有log*~a~*1＝0 | |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 当*x*\>1时，恒有*y*\>0； | 当*x*\>1时，恒有*y*\<0； |
| | | |
| | 当0\<*x*\<1时，恒有*y*\<0 | 当0\<*x*\<1时，恒有*y*\>0 |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| | 在(0，＋∞)上是增函数 | 在(0，＋∞)上是减函数 |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
| 注意 | 当对数函数的底数*a*的大小不确定时，需分*a*\>1和0\<*a*,\<1两种情况进行讨论. | |
+------+----------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+
3．反函数
指数函数*y*＝*a^x^*(*a*\>0，且*a*≠1)与对数函数*y*＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)互为反函数，它们的图象关于直线*y*＝*x*对称．
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(*a,*1)，，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．
(2)函数*y*＝log*~a~x*与*y*＝log*x*(*a*\>0，且*a*≠1)的图象关于*x*轴对称．
(3)当*a*\>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0\<*a*\<1时，对数函数的图象呈下降趋势．
\[典例\] (1)函数*y*＝lg\|*x*－1\|的图象是( )
(2)已知当0\<*x*≤时，有\<log*~a~x*，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)因为*y*＝lg\|*x*－1\|＝()()
当*x*＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当*x*＝2或0时，*y*＝0，所以A项符合题意．
(2)若\<log*~a~x*在*x*∈时成立，则0\<*a*\<1，且*y*＝的图象在*y*＝log*~a~x*图象的下方，作出图象如图所示．
由图象知 \<log*~a~*，
所以解得\<*a*\<1.
即实数*a*的取值范围是.
\[答案\] (1)A (2)
\[变透练清\]
1.若本例(1)函数变为*f*(*x*)＝2log~4~(1－*x*)，则函数*f*(*x*)的大致图象是( )
解析：选C 函数*f*(*x*)＝2log~4~(1－*x*)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；函数*f*(*x*)＝2log~4~(1－*x*)在定义域上单调递减，排除D.故选C.
2．已知函数*f*(*x*)＝关于*x*的方程*f*(*x*)＋*x*－*a*＝0有且只有一个实根，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：问题等价于函数*y*＝*f*(*x*)与*y*＝－*x*＋*a*的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知*a*＞1.
答案：(1，＋∞)
3.若本例(2)变为不等式*x*^2^\<log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)对*x*∈恒成立，求实数*a*的取值范围．
解：设*f*~1~(*x*)＝*x*^2^，*f*~2~(*x*)＝log*~a~x*，要使*x*∈时，不等式*x*^2^\<log*~a~x*恒成立，只需*f*~1~(*x*)
＝*x*^2^在上的图象在*f*~2~(*x*)＝log*~a~x*图象的下方即可．当*a*\>1时，显然不成立；
当0\<*a*\<1时，如图所示，
要使*x*^2^\<log*~a~x*在*x*∈上恒成立，需*f*~1~≤*f*~2~，
所以有^2^≤log*~a~*，解得*a*≥，所以≤*a*\<1.
即实数*a*的取值范围是.
考法(一) 比较对数值的大小
\[典例\] (2018·天津高考)已知*a*＝log~2~e，*b*＝ln 2，*c*＝log，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )
A．*a*＞*b*＞*c* B．*b*＞*a*＞*c*
C．*c*＞*b*＞*a* D．*c*＞*a*＞*b*
\[解析\] 因为*c*＝log＝log~2~3\>log~2~e＝*a*，
所以*c*＞*a*.
因为*b*＝ln 2＝＜1＜log~2~e＝*a*，所以*a*＞*b*.
所以*c*＞*a*＞*b*.
\[答案\] D
考法(二) 解简单对数不等式
\[典例\] 已知不等式log*~x~*(2*x*^2^＋1)\<log*~x~*(3*x*)\<0成立，则实数*x*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 原不等式⇔①或②，解不等式组①得\<*x*\<，不等式组②无解，所以实数*x*的取值范围是.
\[答案\]
考法(三) 对数型函数性质的综合问题
\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝log~4~(*ax*^2^＋2*x*＋3)，若*f*(1)＝1，求*f*(*x*)的单调区间．
\[解\] 因为*f*(1)＝1，所以log~4~(*a*＋5)＝1，
因此*a*＋5＝4，*a*＝－1，
这时*f*(*x*)＝log~4~(－*x*^2^＋2*x*＋3)．
由－*x*^2^＋2*x*＋3\>0，得－1\<*x*\<3，
函数*f*(*x*)的定义域为(－1,3)．
令*g*(*x*)＝－*x*^2^＋2*x*＋3，
则*g*(*x*)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又*y*＝log~4~*x*在(0，＋∞)上单调递增，
所以*f*(*x*)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
\[题组训练\]
1．已知*a*＝2，*b*＝log~2~，*c*＝log，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )
A．*a*\>*b*\>*c* B．*a*\>*c*\>*b*
C．*c*\>*a*\>*b* D．*c*\>*b*\>*a*
解析：选C 0\<*a*＝2\<2^0^＝1，*b*＝log~2~\<log~2~1＝0，*c*＝log＝log~2~3\>1，∴*c*\>*a*\>*b*.
2．若定义在区间(－1,0)内的函数*f*(*x*)＝log~2*a*~(*x*＋1)满足*f*(*x*)\>0，则实数*a*的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0，＋∞)
解析：选A ∵－1\<*x*\<0，∴0\<*x*＋1\<1.又∵*f*(*x*)\>0，∴0\<2*a*\<1，∴0\<*a*\<.
3．已知*a*\>0，若函数*f*(*x*)＝log~3~(*ax*^2^－*x*)在\[3,4\]上是增函数，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：要使*f*(*x*)＝log~3~(*ax*^2^－*x*)在\[3,4\]上单调递增，则*y*＝*ax*^2^－*x*在\[3,4\]上单调递增，且*y*＝*ax*^2^－*x*\>0恒成立，即解得*a*\>.
答案：
A级
1．函数*y*＝()的定义域是( )
A．\[1,2\] B．\[1,2)
C. D.
解析：选C 由()
即()解得*x*≥.
2．若函数*y*＝*f*(*x*)是函数*y*＝*a^x^*(*a*\>0，且*a*≠1)的反函数，且*f*(2)＝1，则*f*(*x*)＝( )
A．log2*x* B.
C．log*x* D．2^*x*－2^
解析：选A 由题意知*f*(*x*)＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)．
∵*f*(2)＝1，∴log*~a~*2＝1.∴*a*＝2.∴*f*(*x*)＝log~2~*x*.
3．如果log*x*\<log*y*\<0，那么( )
A．*y*\<*x*\<1 B．*x*\<*y*\<1
C．1\<*x*\<*y* D．1\<*y*\<*x*
解析：选D ∵log*x*\<log*y*\<log1，∴*x*\>*y*\>1.
4．(2019·海南三市联考)函数*f*(*x*)＝\|log*~a~*(*x*＋1)\|(*a*\>0，且*a*≠1)的大致图象是( )
解析：选C 函数*f*(*x*)＝\|log*~a~*(*x*＋1)\|的定义域为{*x*\|*x*\>－1}，且对任意的*x*，均有*f*(*x*)≥0，结合对数函数的图象可知选C.
5．(2018·惠州调研)若*a*＝2^0.5^，*b*＝log~π~3，*c*＝log~2~sin，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )
A．*b*\>*c*\>*a* B．*b*\>*a*\>*c*
C．*c*\>*a*\>*b* D．*a*\>*b*\>*c*
解析：选D 依题意，得*a*\>1,0\<*b*＝log~π~3\<log~π~π＝1，而由0\<sin\<1,2\>1，得*c*\<0，故*a*\>*b*\>*c*.
6．设函数*f*(*x*)＝log*~a~*\|*x*\|(*a*\>0，且*a*≠1)在(－∞，0)上单调递增，则*f*(*a*＋1)与*f*(2)的大小关系是( )
A．*f*(*a*＋1)\>*f*(2) B．*f*(*a*＋1)\<*f*(2)
C．*f*(*a*＋1)＝*f*(2) D．不能确定
解析：选A 由已知得0\<*a*\<1，所以1\<*a*＋1\<2，又易知函数*f*(*x*)为偶函数，故可以判断*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，所以*f*(*a*＋1)\>*f*(2)．
7．已知*a*\>0，且*a*≠1，函数*y*＝log*~a~*(2*x*－3)＋的图象恒过点*P*.若点*P*也在幂函数*f*(*x*)的图象上，则*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设幂函数为*f*(*x*)＝*x^α^*，因为函数*y*＝log*~a~*(2*x*－3)＋的图象恒过点*P*(2，)，则2*^α^*＝，所以*α*＝，故幂函数为*f*(*x*)＝*x*.
答案：*x*
8．已知函数*f*(*x*)＝log*~a~*(*x*＋*b*)(*a*＞0，且*a*≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log*~b~a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：*f*(*x*)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则*f*(－1)＝log*~a~*(－1＋*b*)＝0，
且*f*(0)＝log*~a~*(0＋*b*)＝1，
所以即所以log*~b~a*＝1.
答案：1
9．(2019·武汉调研)函数*f*(*x*)＝log*~a~*(*x*^2^－4*x*－5)(*a*\>1)的单调递增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由函数*f*(*x*)＝log*~a~*(*x*^2^－4*x*－5)，得*x*^2^－4*x*－5\>0，得*x*\<－1或*x*\>5.令*m*(*x*)＝*x*^2^－4*x*－5，则*m*(*x*)＝(*x*－2)^2^－9，*m*(*x*)在\[2，＋∞)上单调递增，又由*a*\>1及复合函数的单调性可知函数*f*(*x*)的单调递增区间为(5，＋∞)．
答案：(5，＋∞)
10．设函数*f*(*x*)＝()若*f*(*a*)＞*f*(－*a*)，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*f*(*a*)＞*f*(－*a*)得或()()
即或()()
解得*a*＞1或－1＜*a*＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．求函数*f*(*x*)＝log~2~·log(2*x*)的最小值．
解：显然*x*\>0，∴*f*(*x*)＝log~2~·log(2*x*)＝log~2~*x*·log~2~(4*x*^2^)＝log~2~*x*·(log~2~4＋2log~2~*x*)＝log~2~*x*＋(log~2~*x*)^2^＝^2^－≥－，当且仅当*x*＝时，有*f*(*x*)~min~＝－.
12．设*f*(*x*)＝log*~a~*(1＋*x*)＋log*~a~*(3－*x*)(*a*＞0，且*a*≠1)，且*f*(1)＝2.
(1)求*a*的值及*f*(*x*)的定义域；
(2)求*f*(*x*)在区间上的最大值．
解：(1)∵*f*(1)＝2，∴log*~a~*4＝2(*a*＞0，且*a*≠1)，∴*a*＝2.
由得－1＜*x*＜3，
∴函数*f*(*x*)的定义域为(－1,3)．
(2)*f*(*x*)＝log~2~(1＋*x*)＋log~2~(3－*x*)
＝log~2~\[(1＋*x*)(3－*x*)\]＝log~2~\[－(*x*－1)^2^＋4\]，
∴当*x*∈(－1,1\]时，*f*(*x*)是增函数；
当*x*∈(1,3)时，*f*(*x*)是减函数，
故函数*f*(*x*)在上的最大值是*f*(1)＝log~2~4＝2.
B级
1．已知函数*f*(*x*)＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)满足*f*\>*f*，则*f*\>0的解集为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 因为函数*f*(*x*)＝log*~a~x*(*a*\>0，且*a*≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而\<且*f*\>*f*，所以*f*(*x*)＝log*~a~x*在(0，＋∞)上单调递减，即0\<*a*\<1，结合对数函数的图象与性质可由*f*\>0，得0\<1－\<1，所以*x*\>1，故选C.
2．若函数*f*(*x*)＝log*~a~*(*a*\>0，且*a*≠1)在区间内恒有*f*(*x*)\>0，则*f*(*x*)的单调递增区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令*M*＝*x*^2^＋*x*，当*x*∈时，*M*∈(1，＋∞)，*f*(*x*)\>0，所以*a*\>1，所以函数*y*＝log*~a~M*为增函数，
又*M*＝^2^－，
因此*M*的单调递增区间为.
又*x*^2^＋*x*\>0，所以*x*\>0或*x*\<－，
所以函数*f*(*x*)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
3．已知函数*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，且*f*(0)＝0，当*x*\>0时，*f*(*x*)＝log*x*.
(1)求函数*f*(*x*)的解析式；
(2)解不等式*f*(*x*^2^－1)\>－2.
解：(1)当*x*\<0时，－*x*\>0，则*f*(－*x*)＝log(－*x*)．
因为函数*f*(*x*)是偶函数，
所以*f*(*x*)＝*f*(－*x*)＝log(－*x*)，
所以函数*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝()
(2)因为*f*(4)＝log4＝－2，*f*(*x*)是偶函数，
所以不等式*f*(*x*^2^－1)\>－2转化为*f*(\|*x*^2^－1\|)\>*f*(4)．
又因为函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上是减函数，
所以\|*x*^2^－1\|\<4，解得－\<*x*\<，
即不等式的解集为(－，)．
第十一节 函数与方程
一、基础知识
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数*y*＝*f*(*x*)，我们把使*f*(*x*)＝0的实数*x*叫做函数*y*＝*f*(*x*)的零点．
(2)零点的几个等价关系：方程*f*(*x*)＝0有实数根⇔函数*y*＝*f*(*x*)的图象与*x*轴有交点⇔函数*y*＝*f*(*x*)有零点．
函数的零点不是函数*y*＝*f*(*x*)与*x*轴的交点，而是*y*＝*f*(*x*)与*x*轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
2．函数的零点存在性定理
如果函数*y*＝*f*(*x*)在区间\[*a*，*b*\]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有*f*(*a*)*f*(*b*)\<0，那么，函数*y*＝*f*(*x*)在区间(*a*，*b*)内有零点，即存在*c*∈(*a*，*b*)，使得*f*(*c*)＝0，这个*c*也就是方程*f*(*x*)＝0的根．
函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3．二分法的定义
对于在区间\[*a*，*b*\]上连续不断且*f*(*a*)*f*(*b*)\<0的函数*y*＝*f*(*x*)，通过不断地把函数*f*(*x*)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二、常用结论
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数*f*(*x*)在定义域上是单调函数，则*f*(*x*)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
\[典例\] (1)(2018·福建期末)已知函数*f*(*x*)＝则函数*y*＝*f*(*x*)＋3*x*的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设函数*f*(*x*)＝*x*－ln *x*，则函数*y*＝*f*(*x*)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
\[解析\] (1)解方程法
令*f*(*x*)＋3*x*＝0，
则或
解得*x*＝0或*x*＝－1，
所以函数*y*＝*f*(*x*)＋3*x*的零点个数是2.
(2)法一：图象法
令*f*(*x*)＝0得*x*＝ln *x*．作出函数*y*＝*x*和*y*＝ln *x*的图象，如图，
显然*y*＝*f*(*x*)在内无零点，在(1，e)内有零点．
法二：定理法
当*x*∈时，函数图象是连续的，且*f*′(*x*)＝－＝\<0，所以函数*f*(*x*)在上单调递减．
又*f*＝＋1\>0，*f*(1)＝\>0，*f*(e)＝e－1\<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．
\[答案\] (1)C (2)D
\[解题技法\] 掌握判断函数零点个数的3种方法
(1)解方程法
若对应方程*f*(*x*)＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．
(2)定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法
合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
\[题组训练\]
1.函数*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*^2^－1的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选C 函数*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*^2^－1是连续函数．因为*f*(1)＝1－1－1＝－1\<0，*f*(2)＝8－4－1＝3\>0，所以*f*(1)*f*(2)\<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．
2.函数*f*(*x*)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选B 法一：(解方程法)
由*f*(*x*)＝0得或
解得*x*＝－2或*x*＝e.
因此函数*f*(*x*)共有2个零点．
法二：(图象法)
作出函数*f*(*x*)的图象如图所示，
由图象知函数*f*(*x*)共有2个零点．
3.设*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*－2，则函数*f*(*x*)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 函数*f*(*x*)的零点所在的区间可转化为函数*g*(*x*)＝ln *x*，*h*(*x*)＝－*x*＋2图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知*f*(*x*)的零点所在的区间为(1,2)．
考法(一) 已知函数零点个数求参数范围
\[典例\] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数*f*(*x*)＝*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋*x*＋*a*.若*g*(*x*)存在2个零点，则*a*的取值范围是( )
A．\[－1,0) B．\[0，＋∞)
C．\[－1，＋∞) D．\[1，＋∞)
\[解析\] 令*h*(*x*)＝－*x*－*a*，
则*g*(*x*)＝*f*(*x*)－*h*(*x*)．
在同一坐标系中画出*y*＝*f*(*x*)，*y*＝*h*(*x*)的示意图，如图所示．
若*g*(*x*)存在2个零点，则*y*＝*f*(*x*)的图象与*y*＝*h*(*x*)的图象有2个交点，平移*y*＝*h*(*x*)的图象，可知当直线*y*＝－*x*－*a*过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－*a*，*a*＝－1.
当*y*＝－*x*－*a*在*y*＝－*x*＋1上方，即*a*\<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当*y*＝－*x*－*a*在*y*＝－*x*＋1下方，即*a*\>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，*a*的取值范围为\[－1，＋∞)．
\[答案\] C
考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围
\[典例\] (2019·安庆摸底)若函数*f*(*x*)＝4*^x^*－2*^x^*－*a*，*x*∈\[－1,1\]有零点，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] ∵函数*f*(*x*)＝4*^x^*－2*^x^*－*a*，*x*∈\[－1,1\]有零点，
∴方程4*^x^*－2*^x^*－*a*＝0在\[－1,1\]上有解，
即方程*a*＝4*^x^*－2*^x^*在\[－1,1\]上有解．
方程*a*＝4*^x^*－2*^x^*可变形为*a*＝^2^－，
∵*x*∈\[－1,1\]，∴2*^x^*∈，
∴^2^－∈.
∴实数*a*的取值范围是.
\[答案\]
\[题组训练\]
1．(2019·北京西城区模拟)若函数*f*(*x*)＝2*^x^*－－*a*的一个零点在区间(1,2)内，则实数*a*的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选C 因为函数*f*(*x*)＝2*^x^*－－*a*在区间(1,2)上单调递增，又函数*f*(*x*)＝2*^x^*－－*a*的一个零点在区间(1,2)内，则有*f*(1)·*f*(2)\<0，所以(－*a*)(4－1－*a*)\<0，
即*a*(*a*－3)\<0，解得0\<*a*\<3.
2．已知函数*f*(*x*)＝若方程*f*(*x*)＝*a*有两个不相等的实数根，则实数*a*的取值范围是( )
A.∪\[－2，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C.∪(－2，＋∞)
D.∪(－2，＋∞)
解析：选C 方程*f*(*x*)＝*a*有两个不相等的实数根等价于函数*y*＝*f*(*x*)的图象与直线*y*＝*a*有两个不同的交点，作出函数*f*(*x*)的图象如图所示，
由图可知，*a*∈∪(－2，＋∞)．
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．*y*＝log*x* B．*y*＝2*^x^*－1
C．*y*＝*x*^2^－ D．*y*＝－*x*^3^
解析：选B 函数*y*＝log*x*在定义域上单调递减，*y*＝*x*^2^－在(－1,1)上不是单调函数，*y*＝－*x*^3^在定义域上单调递减，均不符合要求．对于*y*＝2*^x^*－1，当*x*＝0∈(－1,1)时，*y*＝0且*y*＝2*^x^*－1在R上单调递增．故选B.
2．(2018·重庆一中期中)函数*f*(*x*)＝e*^x^*＋*x*－3在区间(0,1)上的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 由题知函数*f*(*x*)是增函数．根据函数的零点存在性定理及*f*(0)＝－2，*f*(1)＝e－2\>0，可知函数*f*(*x*)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.
3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数*f*(*x*)＝ln *x*－的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B 易知*f*(*x*)＝ln *x*－的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．
∵*f*(1)＝－2\<0，*f*(2)＝ln 2－\>0，
∴*f*(1)·*f*(2)\<0，∴根据零点存在性定理知*f*(*x*)＝ln *x*－的零点所在的区间为(1,2)．
4．若函数*f*(*x*)＝*ax*＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数*a*的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选C 由题意知，*f*(－1)·*f*(1)＜0，
即(1－*a*)(1＋*a*)＜0，解得*a*＜－1或*a*＞1.
5．已知实数*a*＞1,0＜*b*＜1，则函数*f*(*x*)＝*a^x^*＋*x*－*b*的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选B 因为*a*＞1,0＜*b*＜1，所以*f*(*x*)＝*a^x^*＋*x*－*b*在R上是单调增函数，所以 *f*(－1)＝－1－*b*＜0，*f*(0)＝1－*b*＞0，由零点存在性定理可知，*f*(*x*)在区间(－1,0)上存在零点．
6．若*a*\<*b*\<*c*，则函数*f*(*x*)＝(*x*－*a*)(*x*－*b*)＋(*x*－*b*)(*x*－*c*)＋(*x*－*c*)(*x*－*a*)的两个零点分别位于区间( )
A．(*a*，*b*)和(*b*，*c*)内 B．(－∞，*a*)和(*a*，*b*)内
C．(*b*，*c*)和(*c*，＋∞)内 D．(－∞，*a*)和(*c*，＋∞)内
解析：选A 由题意知*f*(*a*)＝(*a*－*b*)(*a*－*c*)\>0，*f*(*b*)＝(*b*－*c*)(*b*－*a*)\<0，*f*(*c*)＝(*c*－*a*)(*c*－*b*)\>0，由函数零点的存在性定理可知函数*f*(*x*)的两个零点分别位于区间(*a*，*b*)和(*b*，*c*)内．
7．函数*f*(*x*)＝\|*x*－2\|－ln *x*在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由题意可知*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数*y*＝\|*x*－2\|(*x*\>0)，*y*＝ln *x*(*x*\>0)的图象如图所示．
由图可知函数*f*(*x*)在定义域内的零点个数为2.
8．(2019·郑州质量测试)已知函数*f*(*x*)＝(*a*∈R)，若函数*f*(*x*)在R上有两个零点，则实数*a*的取值范围是( )
A．(0,1\] B．\[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1\]
解析：选A 画出函数*f*(*x*)的大致图象如图所示．因为函数*f*(*x*)在R上有两个零点，所以*f*(*x*)在(－∞，0\]和(0，＋∞)上各有一个零点．当*x*≤0时，*f*(*x*)有一个零点，需0\<*a*≤1；当*x*\>0时，*f*(*x*)有一个零点，需－*a*\<0，即*a*\>0.综上，0\<*a*≤1.
9．已知函数*f*(*x*)＝＋*a*的零点为1，则实数*a*的值为\_\_\_\_\_\_．
解析：由已知得*f*(1)＝0，即＋*a*＝0，解得*a*＝－.
答案：－
10．已知函数*f*(*x*)＝则*f*(*x*)的零点为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*x*＞0时，由*f*(*x*)＝0，即*x*ln *x*＝0得ln *x*＝0，解得*x*＝1；当*x*≤0时，由*f*(*x*)＝0，即*x*^2^－*x*－2＝0，解得*x*＝－1或*x*＝2.因为*x*≤0，所以*x*＝－1.
综上，函数*f*(*x*)的零点为1，－1.
答案：1，－1
11．(2019·太原模拟)若函数*f*(*x*)＝(*m*－2)*x*^2^＋*mx*＋(2*m*＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意并结合函数*f*(*x*)的图象可知，()()()()
即()()()()()
解得\<*m*\<.
答案：
12．已知方程2*^x^*＋3*x*＝*k*的解在\[1,2)内，则*k*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：令函数*f*(*x*)＝2*^x^*＋3*x*－*k*，
则*f*(*x*)在R上是增函数．
当方程2*^x^*＋3*x*＝*k*的解在(1,2)内时，*f*(1)·*f*(2)\<0，
即(5－*k*)(10－*k*)\<0，解得5\<*k*\<10.
当*f*(1)＝0时，*k*＝5.
综上，*k*的取值范围为\[5,10)．
答案：\[5,10)
13．已知*y*＝*f*(*x*)是定义域为R的奇函数，当*x*∈\[0，＋∞)时，*f*(*x*)＝*x*^2^－2*x*.
(1)写出函数*y*＝*f*(*x*)的解析式；
(2)若方程*f*(*x*)＝*a*恰有3个不同的解，求实数*a*的取值范围．
解：(1)设*x*＜0，则－*x*＞0，
所以*f*(－*x*)＝*x*^2^＋2*x*.又因为*f*(*x*)是奇函数，
所以*f*(*x*)＝－*f*(－*x*)＝－*x*^2^－2*x*.
所以*f*(*x*)＝
(2)方程*f*(*x*)＝*a*恰有3个不同的解，
即*y*＝*f*(*x*)与*y*＝*a*的图象有3个不同的交点．
作出*y*＝*f*(*x*)与*y*＝*a*的图象如图所示，故若方程*f*(*x*)＝*a*恰有3个不同的解，只需－1＜*a*＜1，
故实数*a*的取值范围为(－1,1)．
第十二节 函数模型及其应用
一、基础知识
1．常见的8种函数模型
(1)正比例函数模型：*f*(*x*)＝*kx*(*k*为常数，*k*≠0)；
(2)反比例函数模型：*f*(*x*)＝(*k*为常数，*k*≠0)；
(3)一次函数模型：*f*(*x*)＝*kx*＋*b*(*k*，*b*为常数，*k*≠0)；
(4)二次函数模型：*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*，*c*为常数，*a*≠0)；
(5)指数函数模型：*f*(*x*)＝*ab^x^*＋*c*(*a*，*b*，*c*为常数，*a*≠0，*b*\>0，*b*≠1)；
(6)对数函数模型：*f*(*x*)＝*m*log*~a~x*＋*n*(*m*，*n*，*a*为常数，*m*≠0，*a*\>0，*a*≠1)；
(7)幂函数模型：*f*(*x*)＝*ax^n^*＋*b*(*a*，*b*，*n*为常数，*a*≠0，*n*≠1)；
(8)"对勾"函数模型：*y*＝*x*＋(*a*\>0)．
(1)形如*f*(*x*)＝*x*＋(*a*\>0)的函数模型称为"对勾"函数模型，"对勾"函数的性质：
①该函数在(－∞，－\]和\[，＋∞)上单调递增，在\[－，0)和(0，\]上单调递减．
②当*x*\>0时，*x*＝时取最小值2，当*x*\<0时，*x*＝－时取最大值－2.
(2)函数*f*(*x*)＝＋(*a*\>0，*b*\>0，*x*\>0)在区间(0，\]内单调递减，在区间\[，＋∞)内单调递增．
2．三种函数模型的性质
---------------------- -------------------------------------------------------------- ------------------------------------ -----------------------
函数性质 *y*＝*a^x^*(*a*\>1) *y*＝log*~a~x*(*a*\>1) *y*＝*x^n^*(*n*\>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随*x*的增大，逐渐表现为与*y*轴平行 随*x*的增大，逐渐表现为与*x*轴平行 随*n*值变化而各有不同
值的比较 存在一个*x*~0~，当*x*\>*x*~0~时，有log*~a~x*\<*x^n^*\<*a^x^*
---------------------- -------------------------------------------------------------- ------------------------------------ -----------------------
幂函数模型*y*＝*x^n^*(*n*\>0)可以描述增长幅度不同的变化，当*n*,值较小(*n*≤1)时，增长较慢；当*n*值较大(*n*\>1)时，增长较快.
\[典例\] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
\[解\] (1)设每团人数为*x*，由题意得0\<*x*≤75(*x*∈N^\*^)，飞机票价格为*y*元，
则*y*＝()
即*y*＝
(2)设旅行社获利*S*元，
则*S*＝
即*S*＝()
因为*S*＝900*x*－15 000在区间(0,30\]上为增函数，故当*x*＝30时，*S*取最大值12 000.
又*S*＝－10(*x*－60)^2^＋21 000，*x*∈(30,75\]，所以当*x*＝60时，*S*取得最大值21 000.
故当*x*＝60时，旅行社可获得最大利润．
\[解题技法\]
二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．
\[题组训练\]
1．某市家庭煤气的使用量*x*(m^3^)和煤气费*f*(*x*)(元)满足关系*f*(*x*)＝()已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：
-------- --------- --------
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m^3^ 4元
二月份 25 m^3^ 14元
三月份 35 m^3^ 19元
-------- --------- --------
若四月份该家庭使用了20 m^3^的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
解析：选A 根据题意可知*f*(4)＝*C*＝4，*f*(25)＝*C*＋*B*(25－*A*)＝14，*f*(35)＝*C*＋*B*(35－*A*)＝19，解得*A*＝5，*B*＝，*C*＝4，所以*f*(*x*)＝()所以*f*(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
2．*A*，*B*两城相距100 km，在两城之间距*A*城*x*(km)处建一核电站给*A*，*B*两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若*A*城供电量为每月20亿度，*B*城供电量为每月10亿度．
(1)求*x*的取值范围；
(2)把月供电总费用*y*表示成*x*的函数；
(3)核电站建在距*A*城多远，才能使月供电总费用*y*最少？
解：(1)由题意知*x*的取值范围为\[10,90\]．
(2)*y*＝5*x*^2^＋(100－*x*)^2^(10≤*x*≤90)．
(3)因为*y*＝5*x*^2^＋(100－*x*)^2^
＝*x*^2^－500*x*＋25 000
＝^2^＋，
所以当*x*＝时，*y*~min~＝.
故核电站建在距*A*城 km处，能使月供电总费用*y*最少．
\[典例\] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量*y*(微克)与时间*t*(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后*y*与*t*之间的函数关系式*y*＝*f*(*t*)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．
\[解\] (1)由题图，设*y*＝
当*t*＝1时，由*y*＝4，得*k*＝4，
由^1－*a*^＝4，得*a*＝3.所以*y*＝
(2)由*y*≥0.25得或
解得≤*t*≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．
\[解题技法\]
1．掌握2种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
2．建立函数模型解应用问题的4步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．
\[题组训练\]
1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了*n*次涨停(每次上涨10%)，又经历了*n*次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为*a*元，则经历*n*次涨停后的价格为*a*(1＋10%)*^n^*＝*a*×1.1*^n^*元，经历*n*次跌停后的价格为*a*×1.1*^n^*×(1－10%)*^n^*＝*a*×1.1*^n^*×0.9*^n^*＝*a*×(1.1×0.9)*^n^*＝0.99*^n^*·*a*\<*a*，故该股民这支股票略有亏损．
2．声强级*Y*(单位：分贝)由公式*Y*＝10lg给出，其中*I*为声强(单位：W/m^2^)．
(1)平常人交谈时的声强约为10^－6^ W/m^2^，求其声强级．
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
解：(1)当声强为10^－6^ W/m^2^时，
由公式*Y*＝10lg，
得*Y*＝10lg＝10lg 10^6^＝60(分贝)．
(2)当*Y*＝0时，由公式*Y*＝10lg，
得10lg＝0.
∴＝1，即*I*＝10^－12^ W/m^2^，
则最低声强为10^－12^ W/m^2^.
1．(2018·福州期末)某商场销售*A*型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
--------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160
--------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为*x*元/件时，日均销售利润为*y*元，则*y*＝(*x*－3)·\[400－(*x*－4)·40\]＝－40^2^＋1 210，故当*x*＝＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.
2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5
元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．15立方米 D．16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为*x*立方米时，水费为*y*元，由题意得*y*＝()即*y*＝易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5*x*－20＝55，解得*x*＝15.
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本*y*(万元)与年产量*x*(吨)之间的关系可近似地表示为*y*＝－30*x*＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
解析：选B 依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2 －30＝10，
当且仅当＝，即*x*＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量*P*(单位：毫克/升)与过滤时间*t*(单位：时)之间的函数关系为*P*＝*P*~0~e^－*kt*^(*k*，*P*~0~均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )
A.小时 B.小时
C．5小时 D．10小时
解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．
∵*P*＝*P*~0~e^－*kt*^，
∴(1－90%)*P*~0~＝*P*~0~e^－5*k*^，
∴0.1＝e^－5*k*^，即－5*k*＝ln 0.1，
∴*k*＝－ln 0.1.
由1%*P*~0~＝*P*~0~e^－*kt*^，即0.01＝e^－*kt*^，得－*kt*＝ln 0.01，
∴*t*＝ln 0.01，∴*t*＝10.
∴排放前至少还需要过滤的时间为*t*－5＝5(时)．
5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量*y*(单位：只)与时间*x*(单位：年)的关系式为*y*＝*a*log~2~(*x*＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到\_\_\_\_\_\_\_\_只．
解析：由题意，得100＝*a*log~2~(1＋1)，解得*a*＝100，所以*y*＝100log~2~(*x*＋1)，当*x*＝7时，*y*＝100log~2~(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
答案：300
6.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量*y*(千克)随时间*x*(天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿\_\_\_\_\_\_\_\_千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为*y*＝*kx*＋*b*，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得*k*＝，*b*＝，所以*y*＝*x*＋，则当*x*＝6时，*y*＝.
答案：
7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度*v*(单位：m/s)与其耗氧量*Q*之间的关系为：*v*＝*a*＋*b*log~3~(其中*a*，*b*是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出*a*，*b*的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，
故有*a*＋*b*log~3~＝0，即*a*＋*b*＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故*a*＋*b*log~3~＝1，整理得*a*＋2*b*＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，*v*＝*a*＋*b*log~3~＝－1＋log~3~.
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有*v*≥2，
所以－1＋log~3~≥2，
即log~3~≥3，解得≥27，即*Q*≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
8.据气象中心观察和预测：发生于沿海*M*地的台风一直向正南方向移动，其移动速度*v*(单位：km/h)与时间*t*(单位：h)的函数图象如图所示，过线段*OC*上一点*T*(*t,*0)作横轴的垂线*l*，梯形*OABC*在直线*l*左侧部分的面积为时间*t*内台风所经过的路程*s*(单位：km)．
(1)当*t*＝4时，求*s*的值；
(2)将*s*随*t*变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若*N*城位于*M*地正南方向，且距*M*地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到*N*城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到*N*城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线*OA*的方程是*v*＝3*t*(0≤*t*≤10)，直线*BC*的方程是*v*＝－2*t*＋70(20\<*t*≤35)．
当*t*＝4时，*v*＝12，所以*s*＝×4×12＝24.
(2)当0≤*t*≤10时，*s*＝×*t*×3*t*＝*t*^2^；
当10\<*t*≤20时，*s*＝×10×30＋(*t*－10)×30＝30*t*－150；
当20\<*t*≤35时，*s*＝150＋300＋×(*t*－20)×(－2*t*＋70＋30)＝－*t*^2^＋70*t*－550.
综上可知，*s*随*t*变化的规律是*s*＝((
(3)当*t*∈\[0,10\]时，*s*~max~＝×10^2^＝150\<650，
当*t*∈(10,20\]时，*s*~max~＝30×20－150＝450\<650，
当*t*∈(20,35\]时，令－*t*^2^＋70*t*－550＝650，
解得*t*＝30或*t*＝40(舍去)，
即在台风发生30小时后将侵袭到*N*城．
第三章 导数及其应用
===================
第一节 导数的概念及运算、定积分
**1．导数的概念**
**(1)函数*y*＝*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~处的导数：函数*y*＝*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~处的瞬时变化率li** **＝li** **()()^❶^为函数*y*＝*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~处的导数，记作*f*′(*x*~0~)或*y*′*x*＝*x*~0~，即*f*′(*x*~0~)＝li** **＝li** **()().**
**函数*y*＝*f*(*x*)的导数*f*′(*x*)反映了函数*f*(*x*)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小\|*f*′(*x*)\|反映了变化的快慢，\|*f*′(*x*)\|越大，曲线在这点处的切线越"陡"．**
**(2)导数的几何意义：函数*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~处的导数*f*′(*x*~0~)的几何意义是在曲线*y*＝*f*(*x*)上点*P*(*x*~0~，*y*~0~)^❷^处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数*s*(*t*)对时间*t*的导数)．相应地，切线方程为*y*－*y*~0~＝*f*′(*x*~0~)(*x*－*x*~0~)．**
**❷曲线*y*＝*f*(*x*)在点*P*(*x*~0~，*y*~0~)处的切线是指*P*为切点，斜率为*k*＝*f*′(*x*~0~)的切线，是唯一的一条切线.**
**(3)函数*f*(*x*)的导函数：称函数*f*′(*x*)＝li** **()()为*f*(*x*)的导函数．**
**(4)*f*′(*x*)是一个函数，*f*′(*x*~0~)是函数*f*′(*x*)在*x*~0~处的函数值(常数)，\[*f*′(*x*~0~)\]′＝0.**
**2．基本初等函数的导数公式**
------------------------------------------ --------------------------------
**原函数** **导函数**
***f*(*x*)＝*x^n^*(*n*∈Q^\*^)** ***f*′(*x*)＝*n*·*x^n^*^－1^**
***f*(*x*)＝sin *x*** ***f*′(*x*)＝cos *x***
***f*(*x*)＝cos *x*** ***f*′(*x*)＝－sin *x***
***f*(*x*)＝*a^x^*(*a*＞0，且*a*≠1)** ***f*′(*x*)＝*a^x^*ln *a***
***f*(*x*)＝e*^x^*** ***f*′(*x*)＝e*^x^***
***f*(*x*)＝log*~a~x*(*a*＞0，且*a*≠1)** ***f*′(*x*)＝**
***f*(*x*)＝ln *x*** ***f*′(*x*)＝**
------------------------------------------ --------------------------------
**3.导数的运算法则**
**(1)\[*f*(*x*)±*g*(*x*)\]′＝*f*′(*x*)±*g*′(*x*)；**
**(2)\[*f*(*x*)·*g*(*x*)\]′＝*f*′(*x*)*g*(*x*)＋*f*(*x*)*g*′(*x*)；**
**(3)()()＝()()()()()(*g*(*x*)≠0)．**
**4．复合函数的导数**
**复合函数*y*＝*f*(*g*(*x*))的导数和函数*y*＝*f*(*u*)，*u*＝*g*(*x*)的导数间的关系为*y~x~*′＝*y~u~*′·*u~x~*′，即*y*对*x*的导数等于*y*对*u*的导数与*u*对*x*的导数的乘积．**
**5．定积分的概念**
**在*f*(*x*)d*x*中，*a*，*b*分别叫做积分下限与积分上限，区间\[*a*，*b*\]叫做积分区间，*f*(*x*)叫做被积函数，*x*叫做积分变量，*f*(*x*)d*x*叫做被积式．**
**6．定积分的性质**
**(1)*kf*(*x*)d*x*＝*kf*(*x*)d*x*(*k*为常数)；**
**(2)\[*f*~1~(*x*)±*f*~2~(*x*)\]d*x*＝*f*~1~(*x*)d*x*±*f*~2~(*x*)d*x*；**
**(3)*f*(*x*)d*x*＝*f*(*x*)d*x*＋*f*(*x*)d*x*(其中*a*＜*c*＜*b*)．**
**求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.**
**7．微积分基本定理**
**一般地，如果*f*(*x*)是区间\[*a*，*b*\]上的连续函数，并且*F*′(*x*)＝*f*(*x*)，那么*f*(*x*)d*x*＝*F*(*b*)－*F*(*a*)，常把*F*(*b*)－*F*(*a*)记作*F*(*x*)，即*f*(*x*)d*x*＝*F*(*x*)＝*F*(*b*)－*F*(*a*)．**
**8．定积分的几何意义**
**定积分*f*(*x*)d*x*的几何意义是介于*x*轴、曲线*y*＝*f*(*x*)及直线*x*＝*a*，*x*＝*b*之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为*S*.**
**①*S*＝*f*(*x*)d*x*；②*S*＝－*f*(*x*)d*x*；③*S*＝*f*(*x*)d*x*－*f*(*x*)d*x*；**
**④*S*＝*f*(*x*)d*x*－*g*(*x*)d*x*＝\[*f*(*x*)－*g*(*x*)\]d*x*.**
**(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.**
**(2)当曲边梯形位于*x*轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于*x*轴下方时，定积分的值为负；当位于*x*轴上方的曲边梯形与位于*x*轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.**
二、常用结论
**1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．**
**2．熟记以下结论：(1)′＝－；(2)(ln\|*x*\|)′＝；**
**(3)()′＝－()()(*f*(*x*)≠0)；**
**(4)\[*af*(*x*)±*bg*(*x*)\]′＝*af*′(*x*)±*bg*′(*x*)．**
**3．常见被积函数的原函数 **
**(1)*c*d*x*＝*cx*；(2)*x^n^*d*x*＝(*n*≠－1)；**
**(3)sin *x*d*x*＝－cos *x*；(4)cos *x*d*x*＝sin *x*；**
**(5)d*x*＝ln\|*x*\|；(6)e*^x^*d*x*＝e*^x^*.**
考点一 导数的运算
**1．*f*(*x*)＝*x*(2 018＋ln *x*)，若*f*′(*x*~0~)＝2 019，则*x*~0~等于( )**
**A．e^2^ B．1**
**C．ln 2 D．e**
**解析：选B *f*′(*x*)＝2 018＋ln *x*＋*x*×＝2 019＋ln *x*，故由*f*′(*x*~0~)＝2 019，得2 019＋ln *x*~0~＝2 019，则ln *x*~0~＝0，解得*x*~0~＝1.**
**2．(2019·宜昌联考)已知*f*′(*x*)是函数*f*(*x*)的导数，*f*(*x*)＝*f*′(1)·2*^x^*＋*x*^2^，则*f*′(2)＝( )**
**A. B.**
**C. D．－2**
**解析：选C 因为*f*′(*x*)＝*f*′(1)·2*^x^*ln 2＋2*x*，所以*f*′(1)＝*f*′(1)·2ln 2＋2，解得*f*′(1)＝，所以*f*′(*x*)＝·2*^x^*ln 2＋2*x*，所以*f*′(2)＝×2^2^ln 2＋2×2＝.**
**3．若函数*f*(*x*)＝*ax*^4^＋*bx*^2^＋*c*满足*f*′(1)＝2，则*f*′(－1)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析：*f*′(*x*)＝4*ax*^3^＋2*bx*，**
**∵*f*′(*x*)为奇函数且*f*′(1)＝2，**
**∴*f*′(－1)＝－2.**
**答案：－2**
**4．求下列函数的导数．**
**(1)*y*＝*x*^2^sin *x*；**
**(2)*y*＝ln *x*＋；**
**(3)*y*＝；**
**(4)*y*＝*x*sincos.**
**解：(1)*y*′＝(*x*^2^)′sin *x*＋*x*^2^(sin *x*)′**
**＝2*x*sin *x*＋*x*^2^cos *x*.**
**(2)*y*′＝′＝(ln *x*)′＋′＝－.**
**(3)*y*′＝′＝()()()＝－.(4)∵*y*＝*x*sincos**
**＝*x*sin(4*x*＋π)**
**＝－*x*sin 4*x*，**
**∴*y*′＝－sin 4*x*－*x*·4cos 4*x***
**＝－sin 4*x*－2*x*cos 4*x*.**
考点二 导数的几何意义及其应用
**考法(一) 求切线方程**
**\[例1\] (2018·全国卷Ⅰ)设函数*f*(*x*)＝*x*^3^＋(*a*－1)·*x*^2^＋*ax*，若*f*(*x*)为奇函数，则曲线*y*＝*f*(*x*)在点(0,0)处的切线方程为( )**
**A．*y*＝－2*x* B．*y*＝－*x***
**C．*y*＝2*x* D．*y*＝*x***
**\[解析\] 法一：∵*f*(*x*)＝*x*^3^＋(*a*－1)*x*^2^＋*ax*，**
**∴*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋2(*a*－1)*x*＋*a*.**
**又*f*(*x*)为奇函数，∴*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)恒成立，**
**即－*x*^3^＋(*a*－1)*x*^2^－*ax*＝－*x*^3^－(*a*－1)*x*^2^－*ax*恒成立，**
**∴*a*＝1，∴*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋1，∴*f*′(0)＝1，**
**∴曲线*y*＝*f*(*x*)在点(0,0)处的切线方程为*y*＝*x*.**
**法二：∵*f*(*x*)＝*x*^3^＋(*a*－1)*x*^2^＋*ax*为奇函数，**
**∴*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋2(*a*－1)*x*＋*a*为偶函数，**
**∴*a*＝1，即*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋1，∴*f*′(0)＝1，**
**∴曲线*y*＝*f*(*x*)在点(0,0)处的切线方程为*y*＝*x*.**
**\[答案\] D**
**考法(二) 求切点坐标**
**\[例2\] 已知函数*f*(*x*)＝*x*ln *x*在点*P*(*x*~0~，*f*(*x*~0~))处的切线与直线*x*＋*y*＝0垂直，则切点*P*(*x*~0~，*f*(*x*~0~))的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**\[解析\] ∵*f*(*x*)＝*x*ln *x*，∴*f*′(*x*)＝ln *x*＋1，由题意得*f*′(*x*~0~)·(－1)＝－1，即*f*′(*x*~0~)＝1，∴ln *x*~0~＋1＝1，ln *x*~0~＝0，∴*x*~0~＝1，∴*f*(*x*~0~)＝0，即*P*(1,0)．**
**\[答案\] (1,0)**
**考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)**
**\[例3\] (1)(2018·商丘二模)设曲线*f*(*x*)＝－e*^x^*－*x*(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为*l*~1~，总存在曲线*g*(*x*)＝3*ax*＋2cos *x*上某点处的切线*l*~2~，使得*l*~1~⊥*l*~2~，则实数*a*的取值范围是( )**
**A．\[－1,2\] B．(3，＋∞)**
**C. D.**
**(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线*y*＝(*ax*＋1)e*^x^*在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**\[解析\] (1)由*f*(*x*)＝－e*^x^*－*x*，得*f*′(*x*)＝－e*^x^*－1，**
**∵e*^x^*＋1\>1，∴∈(0,1)．由*g*(*x*)＝3*ax*＋2cos *x*，得*g*′(*x*)＝3*a*－2sin *x*，又－2sin *x*∈\[－2,2\]，∴3*a*－2sin *x*∈\[－2＋3*a*，2＋3*a*\]．要使过曲线*f*(*x*)＝－e*^x^*－*x*上任意一点的切线*l*~1~，总存在过曲线*g*(*x*)＝3*ax*＋2cos *x*上某点处的切线*l*~2~，使得*l*~1~⊥*l*~2~，则**
**解得－≤*a*≤.**
**(2)∵*y*′＝(*ax*＋*a*＋1)e*^x^*，**
**∴当*x*＝0时，*y*′＝*a*＋1，**
**∴*a*＋1＝－2，解得*a*＝－3.**
**\[答案\] (1)D (2)－3**
**考法(四) 两曲线的公切线问题**
**\[例4\] 已知曲线*f*(*x*)＝*x*^3^＋*ax*＋在*x*＝0处的切线与曲线*g*(*x*)＝－ln *x*相切，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**\[解析\] 由*f*(*x*)＝*x*^3^＋*ax*＋，得*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋*a*.**
**∵*f*′(0)＝*a*，*f*(0)＝，**
**∴曲线*y*＝*f*(*x*)在*x*＝0处的切线方程为*y*－＝*ax*.**
**设直线*y*－＝*ax*与曲线*g*(*x*)＝－ln *x*相切于点(*x*~0~，－ln *x*~0~)，*g*′(*x*)＝－，**
**∴**
**将②代入①得ln *x*~0~＝，**
**∴*x*~0~＝e，∴*a*＝－＝－e－.**
**\[答案\] －e－**
**\[题组训练\]**
**1．曲线*y*＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )**
**A. B. C. D．1**
**解析：选B 因为*y*′＝()，所以*y*′~*x*＝0~＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为*y*＋1＝2*x*，即*y*＝2*x*－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，所以与两坐标轴围成的三角形的面积*S*＝×\|－1\|×＝.**
**2．已知直线2*x*－*y*＋1＝0与曲线*y*＝*a*e*^x^*＋*x*相切(其中e为自然对数的底数)，则实数*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由题意知*y*′＝*a*e*^x^*＋1＝2，则*a*\>0，*x*＝－ln *a*，代入曲线方程得*y*＝1－ln *a*，所以切线方程为*y*－(1－ln *a*)＝2(*x*＋ln *a*)，即*y*＝2*x*＋ln *a*＋1＝2*x*＋1⇒*a*＝1.**
**答案：1**
**3．若一直线与曲线*y*＝和曲线*x*^2^＝*ay*(*a*\>0)相切于同一点*P*，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：设切点*P*(*x*~0~，*y*~0~)，则由*y*＝ln *x*，得*y*′＝，**
**由*x*^2^＝*ay*，得*y*′＝*x*，则有解得*a*＝2e.**
**答案：2e**
考点三 定积分的运算及应用
**\[题组训练\]**
**1.** **(sin *x*－cos *x*)d*x*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析： (sin *x*－cos *x*)d*x***
**＝sin *x*d*x*－cos *x*d*x*＝－cos *x*－sin *x***
**＝2.**
**答案：2**
**2.** **d*x*＋d*x*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析：d*x*＝ln *x*＝1－0＝1，因为d*x*表示的是圆*x*^2^＋*y*^2^＝4在*x*轴及其上方的面积，故d*x*＝π×2^2^＝2π，故答案为2π＋1.**
**答案：2π＋1**
**3．由曲线*y*＝，*y*＝2－*x*，*y*＝－*x*所围成图形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：法一：画出草图，如图所示．**
**解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，**
**所以所求图形的面积**
***S*＝d*x*＋()d*x***
**＝d*x*＋d*x***
**＝＋**
**＝＋6－×9－2＋＝.**
**法二：如图所求阴影的面积就是三角形*OAB*的面积减去由*y*轴，*y*＝，*y*＝2－*x*围成的曲边三角形的面积，即**
***S*＝×2×3－ (2－*x*－)d*x***
**＝3－**
**＝3－＝.**
**答案：**
**4．一物体在力*F*(*x*) ＝(单位：N)的作用下沿与力*F*相同的方向，从*x*＝0处运动到*x*＝4(单位：m)处，则力*F*(*x*)做的功为\_\_\_\_\_\_\_\_J.**
**解析：由题意知，力*F*(*x*)所做的功为*W*＝*F*(*x*)d*x*＝5d*x*＋(3*x*＋4)d*x*＝5×2＋＝10＋＝36(J)．**
**答案：36**
**1．正确选用求定积分的4个常用方法**
**定理法 性质法 几何法 奇偶性法**
**2．定积分在物理中的2个应用**
**(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为*v*＝*v*(*t*)，那么从时刻*t*＝*a*到*t*＝*b*所经过的路程*s*＝*v*(*t*)d*t*.**
**(2)变力做功，一物体在变力*F*(*x*)的作用下，沿着与*F*(*x*)相同的方向从*x*＝*a*移动到*x*＝*b*时，力*F*(*x*)所做的功是*W*＝*F*(*x*)d*x*.**
\[课时跟踪检测\]
**A级**
**1．曲线*y*＝e*x*－ln *x*在点(1，e)处的切线方程为( )**
**A．(1－e)*x*－*y*＋1＝0 B．(1－e)*x*－*y*－1＝0**
**C．(e－1)*x*－*y*＋1＝0 D．(e－1)*x*－*y*－1＝0**
**解析：选C 由于*y*′＝e－，所以*y*′\|~*x*＝1~＝e－1，故曲线*y*＝e*x*－ln *x*在点(1，e)处的切线方程为*y*－e＝(e－1)(*x*－1)，即(e－1)*x*－*y*＋1＝0.**
**2．曲线*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*＋3在点*P*处的切线平行于直线*y*＝2*x*－1，则*P*点的坐标为( )**
**A．(1,3) B．(－1,3)**
**C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)**
**解析：选C *f*′(*x*)＝3*x*^2^－1，令*f*′(*x*)＝2，则3*x*^2^－1＝2，解得*x*＝1或*x*＝－1，∴*P*(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线*y*＝2*x*－1上，故选C.**
**3．已知函数*f*(*x*)的导函数为*f*′(*x*)，且满足关系式*f*(*x*)＝*x*^2^＋3*xf*′(2)＋ln *x*，则*f*′(2)的值等于( )**
**A．－2 B．2**
**C．－ D.**
**解析：选C 因为*f*(*x*)＝*x*^2^＋3*xf*′(2)＋ln *x*，所以*f*′(*x*)＝2*x*＋3*f*′(2)＋，所以*f*′(2)＝2×2＋3*f*′(2)＋，解得*f*′(2)＝－.**
**4.(2019·四川名校联考)已知函数*f*(*x*)的图象如图所示，*f*′(*x*)是*f*(*x*)的导函数，则下列数值排序正确的是( )**
**A．0\<*f*′(2)\<*f*′(3)\<*f*(3)－*f*(2)**
**B．0\<*f*′(3)\<*f*′(2)\<*f*(3)－*f*(2)**
**C．0\<*f*′(3)\<*f*(3)－*f*(2)\<*f*′(2)**
**D．0\<*f*(3)－*f*(2)\<*f*′(2)\<*f*′(3)**
**解析：选C 设*f*′(3)，*f*(3)－*f*(2)，*f*′(2)分别表示直线*n*，*m*，*l*的斜率，数形结合知0\<*f*′(3)\<*f*(3)－*f*(2)\<*f*′(2)，故选C.**
**5.(2019·玉林模拟)由曲线*y*＝*x*^2^和曲线*y*＝围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )**
**A. B.**
**C. D.**
**解析：选A 由解得或所以阴影部分的面积为 (－*x*^2^)d*x*＝＝.**
**6．(2018·安庆模拟)设曲线*y*＝e*^ax^*－ln(*x*＋1)在*x*＝0处的切线方程为2*x*－*y*＋1＝0，则*a*＝( )**
**A．0 B．1**
**C．2 D．3**
**解析：选D ∵*y*＝e*^ax^*－ln(*x*＋1)，∴*y*′＝*a*e*^ax^*－，∴当*x*＝0时，*y*′＝*a*－1.∵曲线*y*＝e*^ax^*－ln(*x*＋1)在*x*＝0处的切线方程为2*x*－*y*＋1＝0，∴*a*－1＝2，即*a*＝3.**
**7．(2018·延边期中)设点*P*是曲线*y*＝*x*^3^－*x*＋上的任意一点，则曲线在点*P*处切线的倾斜角*α*的取值范围为( )**
**A.∪ B.**
**C.∪ D.**
**解析：选C 因为*y*′＝3*x*^2^－≥－，故切线的斜率*k*≥－，所以切线的倾斜角*α*的取值范围为∪.**
**8．若曲线*f*(*x*)＝*x*sin *x*＋1在*x*＝处的切线与直线*ax*＋2*y*＋1＝0 相互垂直，则实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析：因为*f*′(*x*)＝sin *x*＋*x*cos *x*，所以*f*′＝sin＋cos＝1.又直线*ax*＋2*y*＋1＝0的斜率为－，所以1×＝－1，解得*a*＝2.**
**答案：2**
**9．(2019·重庆质检)若曲线*y*＝ln(*x*＋*a*)的一条切线为*y*＝e*x*＋*b*，其中*a*，*b*为正实数，则*a*＋的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由*y*＝ln(*x*＋*a*)，得*y*′＝.设切点为(*x*~0~，*y*~0~)，则有()⇒*b*＝*a*e－2.∵*b*\>0，∴*a*\>，**
**∴*a*＋＝*a*＋≥2，当且仅当*a*＝1时等号成立．**
**答案：\[2，＋∞)**
**10．(2018·烟台期中)设函数*F*(*x*)＝ln *x*＋(0\<*x*≤3)的图象上任意一点*P*(*x*~0~，*y*~0~)处切线的斜率*k*≤恒成立，则实数*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由*F*(*x*)＝ln *x*＋(0\<*x*≤3)，得*F*′(*x*)＝(0\<*x*≤3 )，则有*k*＝*F*′(*x*~0~)＝≤在(0,3\]上恒成立，所以*a*≥~max~.当*x*~0~＝1时，－*x*＋*x*~0~在(0,3\]上取得最大值，所以*a*≥.**
**答案：**
**B级**
**1．若*f*(*x*)＝*x*^2^＋2*f*(*x*)d*x*，则*f*(*x*)d*x*＝( )**
**A．－1 B．－**
**C. D．1**
**解析：选B ∵*f*(*x*)＝*x*^2^＋2*f*(*x*)d*x*，∴*f*(*x*)d*x*＝()＝＋2*f*(*x*)d*x*，∴*f*(*x*)d*x*＝－.**
**2．设*f*(*x*)＝(则*f*(*x*)d*x*的值为( )**
**A.＋ B.＋3**
**C.＋ D.＋3**
**解析：选A *f*(*x*)d*x*＝d*x*＋ (*x*^2^－1)d*x*＝π×1^2^＋＝＋.**
**3．等比数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝2，*a*~8~＝4，函数*f*(*x*)＝*x*(*x*－*a*~1~)·(*x*－*a*~2~)·...·(*x*－*a*~8~)，则*f*′(0)＝( )**
**A．2^6^ B．2^9^**
**C．2^12^ D．2^15^**
**解析：选C 因为*f*′(*x*)＝*x*′·\[(*x*－*a*~1~)(*x*－*a*~2~)·...·(*x*－*a*~8~)\]＋\[(*x*－*a*~1~)(*x*－*a*~2~)·...·(*x*－*a*~8~)\]′·*x*＝(*x*－*a*~1~)(*x*－*a*~2~)·...·(*x*－*a*~8~)＋\[(*x*－*a*~1~)(*x*－*a*~2~)·...·(*x*－*a*~8~)\]′·*x*，所以*f*′(0)＝(0－*a*~1~)(0－*a*~2~)·...·(0－*a*~8~)＋0＝*a*~1~*a*~2~·...·*a*~8~.**
**因为数列{*a~n~*}为等比数列，**
**所以*a*~2~*a*~7~＝*a*~3~*a*~6~＝*a*~4~*a*~5~＝*a*~1~*a*~8~＝8，**
**所以*f*′(0)＝8^4^＝2^12^.**
**4．若存在过点(1,0)的直线与曲线*y*＝*x*^3^和*y*＝*ax*^2^＋*x*－9都相切，则*a*等于( )**
**A．－1或－ B．－1或**
**C．－或－ D．－或7**
**解析：选A 因为*y*＝*x*^3^，所以*y*′＝3*x*^2^，**
**设过点(1,0)的直线与*y*＝*x*^3^相切于点(*x*~0~，*x*)，**
**则在该点处的切线斜率为*k*＝3*x*，**
**所以切线方程为*y*－*x*＝3*x*(*x*－*x*~0~)，即*y*＝3*xx*－2*x*.**
**又点(1,0)在切线上，所以*x*~0~＝0或*x*~0~＝.**
**当*x*~0~＝0时，切线方程为*y*＝0.由*y*＝0与*y*＝*ax*^2^＋*x*－9相切可得*a*＝－；**
**当*x*~0~＝时，切线方程为*y*＝*x*－，由*y*＝*x*－与*y*＝*ax*^2^＋*x*－9相切，可得*a*＝－1.**
**综上，*a*的值为－1或－.**
**5．已知*f*~1~(*x*)＝sin *x*＋cos *x*，*f~n~*~＋1~(*x*)是*f~n~*(*x*)的导函数，即*f*~2~(*x*)＝*f*~1~′(*x*)，*f*~3~(*x*)＝*f*~2~′(*x*)，...，*f~n~*~＋1~(*x*)＝*f~n~*′(*x*)，*n*∈N^\*^，则*f*~2\ 019~(*x*)＝( )**
**A．－sin *x*－cos *x* B．sin *x*－cos *x***
**C．－sin *x*＋cos *x* D．sin *x*＋cos *x***
**解析：选A ∵*f*~1~(*x*)＝sin *x*＋cos *x*，∴*f*~2~(*x*)＝*f*~1~′(*x*)＝cos *x*－sin *x*，*f*~3~(*x*)＝*f*~2~′(*x*)＝－sin *x*－cos *x*，*f*~4~(*x*)＝*f*~3~′(*x*)＝－cos *x*＋sin *x*，*f*~5~(*x*)＝*f*~4~′(*x*)＝sin *x*＋cos *x*，...，∴*f~n~*(*x*)的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴*f*~2\ 019~(*x*)＝*f*~3~(*x*)＝－sin *x*－cos *x*.**
**6．曲线*y*＝ln(2*x*－1)上的点到直线2*x*－*y*＋8＝0的最短距离是( )**
**A．2 B．2**
**C．2 D.**
**解析：选A 设*M*(*x*~0~，ln(2*x*~0~－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点*M*处的切线与直线2*x*－*y*＋8＝0平行时，点*M*到直线的距离即为曲线*y*＝ln(2*x*－1)上的点到直线2*x*－*y*＋8＝0的最短距离．**
**∵*y*′＝，∴＝2，解得*x*~0~＝1，∴*M*(1,0)．记点*M*到直线2*x*－*y*＋8＝0的距离为*d*，则*d*＝＝2.**
**7．如图，*y*＝*f*(*x*)是可导函数，直线*l*：*y*＝*kx*＋2是曲线*y*＝*f*(*x*)在*x*＝3处的切线，令*g*(*x*)＝*xf*(*x*)，则曲线*g*(*x*)在*x*＝3处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由题图可知曲线*y*＝*f*(*x*)在*x*＝3处的切线斜率等于－，即*f*′(3)＝－.又*g*(*x*)＝*xf*(*x*)，所以*g*′(*x*)＝*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)，*g*′(3)＝*f*(3)＋3*f*′(3)，由题图可知*f*(3)＝1，所以*g*(3)＝3*f*(3)＝3，*g*′(3)＝1＋3×＝0，则曲线*g*(*x*)在*x*＝3处的切线方程为*y*－3＝0.**
**答案：*y*－3＝0**
**8．设函数*f*(*x*)＝*ax*－，曲线*y*＝*f*(*x*)在点(2，*f*(2))处的切线方程为7*x*－4*y*－12＝0.**
**(1)求*f*(*x*)的解析式；**
**(2)曲线*y*＝*f*(*x*)上任一点处的切线与直线*x*＝0和直线*y*＝*x*所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．**
**解：(1)方程7*x*－4*y*－12＝0可化为*y*＝*x*－3，**
**当*x*＝2时，*y*＝.**
**又*f*′(*x*)＝*a*＋，所以解得**
**故*f*(*x*)＝*x*－.**
**(2)是定值，理由如下：**
**设*P*(*x*~0~，*y*~0~)为曲线*y*＝*f*(*x*)上任一点，**
**由*f*′(*x*)＝1＋知曲线在点*P*(*x*~0~，*y*~0~)处的切线方程为*y*－*y*~0~＝(*x*－*x*~0~)，**
**即*y*－＝(*x*－*x*~0~)．**
**令*x*＝0，得*y*＝－，得切线与直线*x*＝0的交点坐标为.**
**令*y*＝*x*，得*y*＝*x*＝2*x*~0~，得切线与直线*y*＝*x*的交点坐标为(2*x*~0,~2*x*~0~)．**
**所以曲线*y*＝*f*(*x*)在点*P*(*x*~0~，*y*~0~)处的切线与直线*x*＝0，*y*＝*x*所围成的三角形的面积*S*＝·\|2*x*~0~\|＝6.**
**故曲线*y*＝*f*(*x*)上任一点处的切线与直线*x*＝0和直线*y*＝*x*所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.**
**9．已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－()，曲线*y*＝*f*(*x*)在点处的切线平行于直线*y*＝10*x*＋1.**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)设直线*l*为函数*g*(*x*)＝ln *x*图象上任意一点*A*(*x*~0~，*y*~0~)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在*x*~0~，使得直线*l*与曲线*h*(*x*)＝e*^x^*也相切？若存在，满足条件的 *x*~0~有几个？**
**解：(1)∵函数*f*(*x*)＝ln *x*－()(*x*＞0且*x*≠1)，**
**∴*f*′(*x*)＝＋()，**
**∵曲线*y*＝*f*(*x*)在点处的切线平行于直线*y*＝10*x*＋1，**
**∴*f*′＝2＋8*a*＝10，∴*a*＝1，∴*f*′(*x*)＝().**
**∵*x*＞0且*x*≠1，∴*f*′(*x*)＞0，**
**∴函数*f*(*x*)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间．**
**(2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的*x*~0~.**
**∵*g*(*x*)＝ln *x*，∴*g*′(*x*)＝，**
**∴切线*l*的方程为*y*－ln *x*~0~＝(*x*－*x*~0~)，**
**即*y*＝*x*＋ln *x*~0~－1.①**
**设直线*l*与曲线*h*(*x*)＝e*^x^*相切于点(*x*~1~，e*x*~1~)，**
**∵*h*′(*x*)＝e*^x^*，∴e*x*~1~＝，∴*x*~1~＝－ln *x*~0~，**
**∴直线*l*的方程也可以写成*y*－＝(*x*＋ln *x*~0~)，**
**即*y*＝*x*＋＋.②**
**由①②得ln *x*~0~－1＝＋，∴ln *x*~0~＝.**
**下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的*x*~0~.**
**由(1)可知，*f*(*x*)＝ln *x*－在区间(1，＋∞)上单调递增，**
**又∵*f*(e)＝－＜0，*f*(e^2^)＝＞0，**
**∴结合零点存在性定理，知方程*f*(*x*)＝0在区间(e，e^2^)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的*x*~0~.**
第二节 导数的简单应用
一、基础知识
**1．函数的单调性与导数的关系**
**在(*a*，*b*)内可导函数*f*(*x*)，*f*′(*x*)在(*a*，*b*)任意子区间内都不恒等于0.*f*′(*x*)≥0⇔*f*(*x*)在(*a*，*b*)上为增函数．*f*′(*x*)≤0⇔()**
**(*a*，*b*)上为减函数．**
**2．函数的极值**
**(1)函数的极小值：**
**函数*y*＝*f*(*x*)在点*x*＝*a*的函数值*f*(*a*)比它在点*x*＝*a*附近其他点的函数值都小，()；而且在点*x*＝*a*附近的左侧*f*′(*x*)＜0，右侧*f*′(*x*)＞0，则点()，*f*(*a*)叫做函数*y*＝*f*(*x*)的极小值．**
**(2)函数的极大值：**
**函数*y*＝*f*(*x*)在点*x*＝*b*的函数值*f*(*b*)比它在点*x*＝*b*附近的其他点的函数值都大，*f*′(*b*)＝0；而且在点*x*＝*b*附近的左侧*f*′(*x*)＞0，右侧*f*′(*x*)＜0，则点*b*叫做函数*y*＝*f*(*x*)的极大值点，*f*(*b*)叫做函数*y*＝*f*(*x*)的极大值．**
**极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．**
**3．函数的最值**
**(1)在闭区间\[*a*，*b*\]上连续的函数*f*(*x*)在\[*a*，*b*\]上必有最大值与最小值．**
**(2)若函数*f*(*x*)在\[*a*，*b*\]上单调递增，则*f*(*a*)为函数的最小值，*f*(*b*)为函数的最大值；若函数*f*(*x*)在\[*a*，*b*\]上单调递减，则*f*(*a*)为函数的最大值，*f*(*b*)为函数的最小值．**
**(3)开区间上的单调连续函数无最值．*,***
 **(1)*f*′(*x*)＞0(＜0)是*f*(*x*)在区间(*a*，*b*)内单调递增(减)的充分不必要条件．**
**(2)*f*′(*x*)≥0(≤0)是*f*(*x*)在区间(*a*，*b*)内单调递增(减)的必要不充分条件．**
**(3)由*f*(*x*)在区间(*a*，*b*)内单调递增(减)可得*f*′(*x*)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是*f*′(*x*)＞0(＜0)恒成立，"＝"不能少，必要时还需对"＝"进行检验.**
***f*′(*x*~0~)＝0是*x*~0~为*f*(*x*)的极值点的必要不充分条件．例如，*f*(*x*)＝*x*^3^，*f*′(0)＝0，但*x*＝0不是极值点．**
**(1)极值点不是点，若函数*f*(*x*)在*x*~1~处取得极大值，则*x*~1~为极大值点，极大值为*f*(*x*~1~)；在*x*~2~处取得极小值，则*x*~2~为极小值点，极小值为*f*(*x*~2~)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．**
**(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.**
二、常用结论
**(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集"∪"及"或"连接，只能用"，""和"字隔开．**
**(2)若函数*f*(*x*)在开区间(*a*，*b*)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．**
**(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．**
第一课时 导数与函数的单调性
**1．已知函数*f*(*x*)＝*x*ln *x*，则*f*(*x*)( )**
**A．在(0，＋∞)上单调递增**
**B．在(0，＋∞)上单调递减**
**C．在上单调递增**
**D．在上单调递减**
**解析：选D 因为函数*f*(*x*)＝*x*ln *x*的定义域为(0，＋∞)，**
**所以*f*′(*x*)＝ln *x*＋1(*x*＞0)，**
**当*f*′(*x*)＞0时，解得*x*＞，**
**即函数*f*(*x*)的单调递增区间为；**
**当*f*′(*x*)＜0时，解得0＜*x*＜，**
**即函数*f*(*x*)的单调递减区间为，故选D.**
**2．若幂函数*f*(*x*)的图象过点，则函数*g*(*x*)＝e*^x^f*(*x*)的单调递减区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：设幂函数*f*(*x*)＝*x^a^*，因为图象过点，**
**所以＝*^a^*，*a*＝2，**
**所以*f*(*x*)＝*x*^2^，故*g*(*x*)＝e*^x^x*^2^，**
**则*g*′(*x*)＝e*^x^x*^2^＋2e*^x^x*＝e*^x^*(*x*^2^＋2*x*)，**
**令*g*′(*x*)＜0，得－2＜*x*＜0，**
**故函数*g*(*x*)的单调递减区间为(－2,0)．**
**答案：(－2,0)**
**3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数*f*(*x*)＝*x*sin *x*＋cos *x*，则*f*(*x*)的单调递增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：*f*′(*x*)＝sin *x*＋*x*cos *x*－sin *x*＝*x*cos *x*.**
**令*f*′(*x*)＝*x*cos *x*＞0(*x*∈(－π，π))，**
**解得－π＜*x*＜－或0＜*x*＜，**
**即函数*f*(*x*)的单调递增区间是和.**
**答案：和**
**(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数*f*(*x*)＝－*x*＋*a*ln *x*，讨论*f*(*x*)的单调性．**
**\[解\] *f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，**
***f*′(*x*)＝－－1＋＝－.**
**①当*a*≤2时，则*f*′(*x*)≤0，**
**当且仅当*a*＝2，*x*＝1时，*f*′(*x*)＝0，**
**所以*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减．**
**②当*a*＞2时，令*f*′(*x*)＝0，**
**得*x*＝或*x*＝.**
**当*x*∈∪时，**
***f*′(*x*)＜0；**
**当*x*∈时，*f*′(*x*)＞0.**
**所以*f*(*x*)在，上单调递减，在上单调递增．**
**综合①②可知，当*a*≤2时，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减；当*a*＞2时，*f*(*x*)在，上单调递减，在上单调递增．**
**\[题组训练\]**
**已知函数*g*(*x*)＝ln *x*＋*ax*^2^＋*bx*，其中*g*(*x*)的函数图象在点(1，*g*(1))处的切线平行于*x*轴．**
**(1)确定*a*与*b*的关系；**
**(2)若*a*≥0，试讨论函数*g*(*x*)的单调性．**
**解：(1)*g*′(*x*)＝＋2*ax*＋*b*(*x*＞0)．**
**由函数*g*(*x*)的图象在点(1，*g*(1))处的切线平行于*x*轴，**
**得*g*′(1)＝1＋2*a*＋*b*＝0，所以*b*＝－2*a*－1.**
**(2)由(1)得**
***g*′(*x*)＝()＝()().**
**因为函数*g*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，**
**所以当*a*＝0时，*g*′(*x*)＝－.**
**由*g*′(*x*)＞0，得0＜*x*＜1，由*g*′(*x*)＜0，得*x*＞1，**
**即函数*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．**
**当*a*＞0时，令*g*′(*x*)＝0，得*x*＝1或*x*＝，**
**若＜1，即*a*＞，由*g*′(*x*)＞0，得*x*＞1或0＜*x*＜，由*g*′(*x*)＜0，得＜*x*＜1，**
**即函数*g*(*x*)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；**
**若＞1，即0＜*a*＜，由*g*′(*x*)＞0，得*x*＞或0＜*x*＜1，**
**由*g*′(*x*)＜0，得1＜*x*＜，**
**即函数*g*(*x*)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；**
**若＝1，即*a*＝，在(0，＋∞)上恒有*g*′(*x*)≥0，**
**即函数*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增．**
**综上可得，当*a*＝0时，函数*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；**
**当0＜*a*＜时，函数*g*(*x*)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；**
**当*a*＝时，函数*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**当*a*＞时，函数*g*(*x*)在，(1，＋∞)上单调递增，**
**在上单调递减．**
**\[典例精析\]**
**(1)若函数*f*(*x*)＝*x*－sin 2*x*＋*a*sin *x*在(－∞，＋∞)单调递增，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**(2)若函数*h*(*x*)＝ln *x*－*ax*^2^－2*x*(*a*≠0)在\[1,4\]上单调递减，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**\[解析\] (1)函数*f*(*x*)＝*x*－sin 2*x*＋*a*sin *x*在(－∞，＋∞)单调递增，等价于*f*′(*x*)＝1－cos 2*x*＋*a*cos *x*＝－cos^2^*x*＋*a*cos *x*＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos *x*＝*t*，则*g*(*t*)＝－*t*^2^＋*at*＋≥0在\[－1,1\]恒成立，所以()()解得－≤*a*≤.**
**(2)因为*h*(*x*)在\[1,4\]上单调递减，**
**所以当*x*∈\[1,4\]时，*h*′(*x*)＝－*ax*－2≤0恒成立，**
**即*a*≥－恒成立．**
**由(1)知*G*(*x*)＝－，**
**所以*a*≥*G*(*x*)~max~，而*G*(*x*)＝^2^－1，**
**因为*x*∈\[1,4\]，所以∈，**
**所以*G*(*x*)~max~＝－(此时*x*＝4)，**
**所以*a*≥－，又因为*a*≠0，**
**所以*a*的取值范围是∪(0，＋∞)．**
**答案：(1) (2)∪(0，＋∞)**
** **
**1．(变条件)若本例(2)条件变为"函数*h*(*x*)在\[1,4\]上单调递增"，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：因为*h*(*x*)在\[1,4\]上单调递增，所以当*x*∈\[1,4\]时，*h*′(*x*)≥0恒成立，即*a*≤－恒成立，**
**又因为当 *x*∈\[1,4\]时，~min~＝－1(此时*x*＝1)，**
**所以*a*≤－1，即*a*的取值范围是(－∞，－1\]．**
**答案：(－∞，－1\]**
**2．(变条件)若本例(2)条件变为"函数*h*(*x*)在\[1,4\]上存在单调递减区间"，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：因为*h*(*x*)在\[1,4\]上存在单调递减区间，**
**所以*h*′(*x*)＜0在\[1,4\]上有解，**
**所以当*x*∈\[1,4\]时，*a*＞－有解，**
**而当*x*∈\[1,4\]时，~min~＝－1(此时*x*＝1)，**
**所以*a*＞－1，又因为*a*≠0，**
**所以*a*的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．**
**答案：(－1,0)∪(0，＋∞)**
**3．(变条件)若本例(2)条件变为"函数*h*(*x*)在\[1,4\]上不单调"，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：因为*h*(*x*)在\[1,4\]上不单调，**
**所以*h*′(*x*)＝0在(1,4)上有解，即*a*＝－＝^2^－1在(1,4)上有解，**
**令*m*(*x*)＝－，*x*∈(1,4)，则－1＜*m*(*x*)＜－.**
**所以实数*a*的取值范围是.**
**答案：**
**\[题组训练\]**
**1．(2019·渭南质检)已知函数*f*(*x*)＝*ax*^3^＋*bx*^2^的图象经过点*M*(1,4)，曲线在点*M*处的切线恰好与直线*x*＋9*y*＝0垂直．若函数*f*(*x*)在区间\[*m*，*m*＋1\]上单调递增，则*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：∵*f*(*x*)＝*ax*^3^＋*bx*^2^的图象经过点*M*(1,4)，**
**∴*a*＋*b*＝4，①**
***f*′(*x*)＝3*ax*^2^＋2*bx*，则*f*′(1)＝3*a*＋2*b*.**
**由题意可得*f*′(1)·＝－1，即3*a*＋2*b*＝9.②**
**联立①②两式解得*a*＝1，*b*＝3，**
**∴*f*(*x*)＝*x*^3^＋3*x*^2^，*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋6*x*.**
**令*f*′(*x*)＝3*x*^2^＋6*x*≥0，得*x*≥0或*x*≤－2.**
**∵函数*f*(*x*)在区间\[*m*，*m*＋1\]上单调递增，**
**∴\[*m*，*m*＋1\]⊆(－∞，－2\]∪\[0，＋∞)，**
**∴*m*≥0或*m*＋1≤－2，即*m*≥0或*m*≤－3.**
**答案：(－∞，－3\]∪\[0，＋∞)**
**2．已知函数*f*(*x*)＝－2*x*^2^＋ln *x*(*a*＞0)，若函数*f*(*x*)在\[1,2\]上为单调函数，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：*f*′(*x*)＝－4*x*＋，**
**若函数*f*(*x*)在\[1,2\]上为单调函数，**
**即*f*′(*x*)＝－4*x*＋≥0或*f*′(*x*)＝－4*x*＋≤0在\[1,2\]上恒成立，**
**即≥4*x*－或≤4*x*－在\[1,2\]上恒成立．**
**令*h*(*x*)＝4*x*－，**
**则*h*(*x*)在\[1,2\]上单调递增，**
**所以≥*h*(2)或≤*h*(1)，**
**即≥或≤3，又*a*＞0，**
**所以0＜*a*≤或*a*≥1.**
**答案：∪\[1，＋∞)**
**A级**
**1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )**
**A．*f*(*x*)＝sin 2*x* B．*f*(*x*)＝*x*e*^x^***
**C．*f*(*x*)＝*x*^3^－*x* D．*f*(*x*)＝－*x*＋ln *x***
**解析：选B 对于A，*f*(*x*)＝sin 2*x*的单调递增区间是(*k*∈Z)；对于B，*f*′(*x*)＝e*^x^*(*x*＋1)，当*x*∈(0，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，∴函数*f*(*x*)＝*x*e*^x^*在(0，＋∞)上为增函数；对于C，*f*′(*x*)＝3*x*^2^－1，令*f*′(*x*)＞0，得*x*＞或*x*＜－，∴函数*f*(*x*)＝*x*^3^－*x*在和上单调递增；对于D，*f*′(*x*)＝－1＋＝－，令*f*′(*x*)＞0，得0＜*x*＜1，∴函数*f*(*x*)＝－*x*＋ln *x*在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.**
**2．已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋2cos *x*，若*f*′(*x*)是*f*(*x*)的导函数，则函数*f*′(*x*)的大致图象是( )**
**解析：选A 设*g*(*x*)＝*f*′(*x*)＝2*x*－2sin *x*，则*g*′(*x*)2－2cos *x*≥0，所以函数*f*′(*x*)在R上单调递增，结合选项知选A.**
**3．若函数*f*(*x*)＝(*x*^2^－*cx*＋5)e*^x^*在区间上单调递增，则实数*c*的取值范围是( )**
**A．(－∞，2\] B．(－∞，4\]**
**C．(－∞，8\] D．\[－2,4\]**
**解析：选B *f*′(*x*)＝\[*x*^2^＋(2－*c*)*x*－*c*＋5\]e*^x^*，∵函数*f*(*x*)在区间上单调递增，∴*x*^2^＋(2－*c*)*x*－*c*＋5≥0对任意*x*∈恒成立，即(*x*＋1)*c*≤*x*^2^＋2*x*＋5对任意*x*∈恒成立，∴*c*≤对任意*x*∈恒成立，∵*x*∈，∴＝*x*＋1＋≥4，当且仅当*x*＝1时等号成立，∴*c*≤4.**
**4．(2019·咸宁联考)设函数*f*(*x*)＝*x*^2^－9ln *x*在区间\[*a*－1，*a*＋1\]上单调递减，则实数*a*的取值范围是( )**
**A．(1,2\] B．(4，＋∞)**
**C．(－∞，2) D．(0,3\]**
**解析：选A ∵*f*(*x*)＝*x*^2^－9ln *x*，∴*f*′(*x*)＝*x*－(*x*＞0)，由*x*－≤0，得0＜*x*≤3，∴*f*(*x*)在(0,3\]上是减函数，则\[*a*－1，*a*＋1\]⊆(0,3\]，∴*a*－1＞0且*a*＋1≤3，解得1＜*a*≤2.**
**5．(2019·南昌联考)已知函数*f*(*x*＋1)是偶函数，当*x*∈(1，＋∞)时，函数*f*(*x*)＝sin *x*－*x*，设*a*＝*f*，*b*＝*f*(3)，*c*＝*f*(0)，则*a*，*b*，*c*的大小关系为( )**
**A．*b*＜*a*＜*c* B．*c*＜*a*＜*b***
**C．*b*＜*c*＜*a* D．*a*＜*b*＜*c***
**解析：选A ∵函数*f*(*x*＋1)是偶函数，∴函数*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝1对称，∴*a*＝*f*＝*f*，*b*＝*f*(3)，*c*＝*f*(0)＝*f*(2)．又∵当*x*∈(1，＋∞)时，函数*f*(*x*)＝sin *x*－*x*，∴当*x*∈(1，＋∞)时，*f*′(*x*)＝cos *x*－1≤0，即*f*(*x*)＝sin *x*－*x*在(1，＋∞)上为减函数，∴*b*＜*a*＜*c*.**
**6．已知函数*y*＝*f*(*x*)(*x*∈R)的图象如图所示，则不等式*xf*′(*x*)≥0的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由*f*(*x*)图象特征可得，在和\[2，＋∞)上*f*′(*x*)≥0, 在** **上*f*′(*x*)＜0，所以*xf*′(*x*)≥0⇔()或()⇔0≤*x*≤或*x*≥2，所以*xf*′(*x*)≥0的解集为∪\[2，＋∞)．**
**答案：∪\[2，＋∞)**
**7．(2019·岳阳模拟)若函数*f*(*x*)＝*x*^2^－e*^x^*－*ax*在R上存在单调递增区间，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：∵函数*f*(*x*)＝*x*^2^－e*^x^*－*ax*在R上存在单调递增区间，**
**∴*f*′(*x*)＝2*x*－e*^x^*－*a*＞0，即*a*＜2*x*－e*^x^*有解．**
**设*g*(*x*)＝2*x*－e*^x^*，则*g*′(*x*)＝2－e*^x^*，**
**令*g*′(*x*)＝0，得*x*＝ln 2，**
**则当*x*＜ln 2时，*g*′(*x*)＞0，*g*(*x*)单调递增，**
**当*x*＞ln 2时，*g*′(*x*)＜0，*g*(*x*)单调递减，**
**∴当*x*＝ln 2时，*g*(*x*)取得最大值，且*g*(*x*)~max~＝*g*(ln 2)＝2ln 2－2，∴*a*＜2ln 2－2.**
**答案：(－∞，2ln 2－2)**
**8．设*f*(*x*)＝*a*(*x*－5)^2^＋6ln *x*，其中*a*∈R，曲线*y*＝*f*(*x*)在点(1，*f*(1))处的切线与*y*轴相交于点(0,6)．**
**(1)确定*a*的值；**
**(2)求函数*f*(*x*)的单调区间．**
**解：(1)因为*f*(*x*)＝*a*(*x*－5)^2^＋6ln *x*，**
**所以*f*′(*x*)＝2*a*(*x*－5)＋.**
**令*x*＝1，得*f*(1)＝16*a*，*f*′(1)＝6－8*a*，**
**所以曲线*y*＝*f*(*x*)在点(1，*f*(1))处的切线方程为*y*－16*a*＝(6－8*a*)(*x*－1)，**
**由点(0,6)在切线上，可得6－16*a*＝8*a*－6，解得*a*＝.**
**(2)由(1)知，*f*(*x*)＝(*x*－5)^2^＋6ln *x*(*x*＞0)，**
***f*′(*x*)＝*x*－5＋＝()().**
**令*f*′(*x*)＝0，解得*x*＝2或*x*＝3.**
**当0＜*x*＜2或*x*＞3时，*f*′(*x*)＞0；**
**当2＜*x*＜3时，*f*′(*x*)＜0，**
**故函数*f*(*x*)的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．**
**9．已知e是自然对数的底数，实数*a*是常数，函数*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*－1的定义域为(0，＋∞)．**
**(1)设*a*＝e，求函数*f*(*x*)的图象在点(1，*f*(1))处的切线方程；**
**(2)判断函数*f*(*x*)的单调性．**
**解：(1)∵*a*＝e，∴*f*(*x*)＝e*^x^*－e*x*－1，**
**∴*f*′(*x*)＝e*^x^*－e，*f*(1)＝－1，*f*′(1)＝0.**
**∴当*a*＝e时，函数*f*(*x*)的图象在点(1，*f*(1))处的切线方程为*y*＝－1.**
**(2)∵*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*－1，∴*f*′(*x*)＝e*^x^*－*a*.**
**易知*f*′(*x*)＝e*^x^*－*a*在(0，＋∞)上单调递增．**
**∴当*a*≤1时，*f*′(*x*)＞0，故*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**当*a*＞1时，由*f*′(*x*)＝e*^x^*－*a*＝0，得*x*＝ln *a*，**
**∴当0＜*x*＜ln *a*时，*f*′(*x*)＜0，当*x*＞ln *a*时，*f*′(*x*)＞0，**
**∴*f*(*x*)在(0，ln *a*)上单调递减，在(ln *a*，＋∞)上单调递增．**
**综上，当*a*≤1时，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**当*a*＞1时，*f*(*x*)在(0，ln *a*)上单调递减，在(ln *a*，＋∞)上单调递增．**
**B级**
**1．(2019·南昌模拟)已知函数*f*(*x*)＝*x*sin *x*，*x*~1~，*x*~2~∈，且*f*(*x*~1~)＜*f*(*x*~2~)，那么( )**
**A．*x*~1~－*x*~2~＞0 B．*x*~1~＋*x*~2~＞0**
**C．*x*－*x*＞0 D．*x*－*x*＜0**
**解析：选D 由*f*(*x*)＝*x*sin *x*，得*f*′(*x*)＝sin *x*＋*x*cos *x*＝cos *x*(tan *x*＋*x*)，当*x*∈时，*f*′(*x*)＞0，即*f*(*x*)在上为增函数，又∵*f*(－*x*)＝－*x*sin(－*x*)＝*x*sin *x*＝*f*(*x*)，∴*f*(*x*)为偶函数，∴当*f*(*x*~1~)＜*f*(*x*~2~)时，有*f*(\|*x*~1~\|)＜*f*(\|*x*~2~\|)，∴\|*x*~1~\|＜\|*x*~2~\|，*x*－*x*＜0，故选D.**
**2．函数*f*(*x*)＝*x*^2^－ln *x*的单调递减区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由题意知，函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，由*f*(*x*)＝*x*－＜0，得0＜*x*＜1，所以函数*f*(*x*)的单调递减区间为(0,1)．**
**答案：(0,1)**
**3．(2019·郴州模拟)已知函数*f*(*x*)＝－*x*^2^＋4*x*－3ln *x*在区间\[*t*，*t*＋1\]上不单调，则实数*t*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由题意知*f*′(*x*)＝－*x*＋4－＝－()()，由*f*′(*x*)＝0得函数*f*(*x*)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(*t*，*t*＋1)内，函数*f*(*x*)在区间\[*t*，*t*＋1\]上就不单调，**
**∴1∈(*t*，*t*＋1)或3∈(*t*，*t*＋1)⇔或⇔0＜*t*＜1或2＜*t*＜3.**
**答案：(0,1)∪(2,3)**
**4.已知函数*y*＝*xf*′(*x*)的图象如图所示(其中*f*′(*x*)是函数*f*(*x*)的导函数)，下面四个图象中，*y*＝*f*(*x*)的图象大致是( )**
**解析：选C 当0＜*x*＜1时，*xf*′(*x*)＜0，∴*f*′(*x*)＜0，故*y*＝*f*(*x*)在(0,1)上为减函数；当*x*＞1时，*xf*′(*x*)＞0，∴*f*′(*x*)＞0，故*y*＝*f*(*x*)在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A、B、D，故选C.**
**5．已知函数*f*(*x*)＝*x*^3^－2*x*＋e*^x^*－，其中e是自然对数的底数．若*f*(*a*－1)＋*f*(2*a*^2^)≤0，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由*f*(*x*)＝*x*^3^－2*x*＋e*^x^*－，**
**得*f*(－*x*)＝－*x*^3^＋2*x*＋－e*^x^*＝－*f*(*x*)，**
**所以*f*(*x*)是R上的奇函数．**
**又*f*′(*x*)＝3*x*^2^－2＋e*^x^*＋≥3*x*^2^－2＋2＝3*x*^2^≥0，当且仅当*x*＝0时取等号，**
**所以*f*(*x*)在其定义域内单调递增．**
**因为*f*(*a*－1)＋*f*(2*a*^2^)≤0，**
**所以*f*(*a*－1)≤－*f*(2*a*^2^)＝*f*(－2*a*^2^)，**
**所以*a*－1≤－2*a*^2^，解得－1≤*a*≤，**
**故实数*a*的取值范围是.**
**答案：**
**6．已知*f*(*x*)＝*ax*－，*g*(*x*)＝ln *x*，*x*＞0，*a*∈R是常数．**
**(1)求函数*y*＝*g*(*x*)的图象在点*P*(1，*g*(1))处的切线方程；**
**(2)设*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)，讨论函数*F*(*x*)的单调性．**
**解：(1)因为*g*(*x*)＝ln *x*(*x*＞0)，**
**所以*g*(1)＝0，*g*′(*x*)＝，*g*′(1)＝1，**
**故函数*g*(*x*)的图象在*P*(1，*g*(1))处的切线方程是*y*＝*x*－1.**
**(2)因为*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)＝*ax*－－ln *x*(*x*＞0)，**
**所以*F*′(*x*)＝*a*＋－＝*a*＋^2^－.**
**①当*a*≥时，*F*′(*x*)≥0，*F*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**②当*a*＝0时，*F*′(*x*)＝，*F*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；**
**③当0＜*a*＜时，由*F*′(*x*)＝0，得**
***x*~1~＝＞0，*x*~2~＝＞0，且*x*~2~＞*x*~1~，**
**故*F*(*x*)在，上单调递增，在上单调递减；**
**④当*a*＜0时，由*F*′(*x*)＝0，得**
***x*~1~＝＞0，*x*~2~＝＜0，**
***F*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**7．已知函数*f*(*x*)＝*ax*－ln *x*，*g*(*x*)＝e*^ax^*＋2*x*，其中*a*∈R.**
**(1)当*a*＝2时，求函数*f*(*x*)的极值；**
**(2)若存在区间*D*⊆(0，＋∞)，使得*f*(*x*)与*g*(*x*)在区间*D*上具有相同的单调性，求实数*a*的取值范围．**
**解：(1)当*a*＝2时，*f*(*x*)＝2*x*－ln *x*，定义域为(0，＋∞)，则*f*′(*x*)＝2－，**
**故当*x*∈时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；当*x*∈ 时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增．**
**所以*f*(*x*)在*x*＝处取得极小值，且*f*＝1＋ln 2，无极大值．**
**(2)由题意知，*f*′(*x*)＝*a*－，*g*′(*x*)＝*a*e*^ax^*＋2，**
**①当*a*＞0时，*g*′(*x*)＞0，即*g*(*x*)在R上单调递增，而*f*(*x*)在上单调递增，故必存在区间*D*⊆(0，＋∞)，使得*f*(*x*)与*g*(*x*)在区间*D*上单调递增；**
**②当*a*＝0时，*f*′(*x*)＝－＜0，故*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，而*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间*D*；**
**③当*a*＜0时，*f*′(*x*)＝*a*－＜0，即*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，而*g*(*x*)在上单调递减，在上单调递增，若存在区间*D*⊆(0，＋∞)，使得*f*(*x*)与*g*(*x*)在区间*D*上有相同的单调性，则有ln＞0，解得*a*＜－2.**
**综上可知，实数*a*的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．**
第二课时 导数与函数的极值、最值
**考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值**
**\[例1\] 已知函数*f*(*x*)＝*x*－1＋(*a*∈R，e为自然对数的底数)，求函数*f*(*x*)的极值．**
**\[解\] 由*f*(*x*)＝*x*－1＋，得*f*′(*x*)＝1－.**
**①当*a*≤0时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数*f*(*x*)无极值．**
**②当*a*＞0时，令*f*′(*x*)＝0，**
**得e*^x^*＝*a*，即*x*＝ln *a*，**
**当*x*∈(－∞，ln *a*)时，*f*′(*x*)＜0；**
**当*x*∈(ln *a*，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，**
**所以函数*f*(*x*)在(－∞，ln *a*)上单调递减，在(ln *a*，＋∞)上单调递增，故函数*f*(*x*)在*x*＝ln *a*处取得极小值且极小值为*f*(ln *a*)＝ln *a*，无极大值．**
**综上，当*a*≤0时，函数*f*(*x*)无极值；**
**当*a*＞0时，函数*f*(*x*)在*x*＝ln *a*处取得极小值ln *a*，无极大值．**
**\[例2\] 设函数*f*(*x*)＝ln(*x*＋1)＋*a*(*x*^2^－*x*)，其中*a*∈R.讨论函数*f*(*x*)极值点的个数，并说明理由．**
**\[解\] *f*′(*x*)＝＋*a*(2*x*－1)＝(*x*＞－1)．**
**令*g*(*x*)＝2*ax*^2^＋*ax*－*a*＋1，*x*∈(－1，＋∞)．**
**①当*a*＝0时，*g*(*x*)＝1，*f*′(*x*)＞0，函数*f*(*x*)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．**
**②当 *a*＞0时，*Δ*＝*a*^2^－8*a*(1－*a*)＝*a*(9*a*－8)．**
**当0＜*a*≤时，*Δ*≤0，*g*(*x*)≥0，*f*′(*x*)≥0，**
**函数*f*(*x*)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．**
**当*a*＞时，*Δ*＞0，**
**设方程2*ax*^2^＋*ax*－*a*＋1＝0的两根为*x*~1~，*x*~2~(*x*~1~＜*x*~2~)，**
**因为*x*~1~＋*x*~2~＝－，**
**所以*x*~1~＜－，*x*~2~＞－.**
**由*g*(－1)＝1＞0，可得－1＜*x*~1~＜－.**
**所以当*x*∈(－1，*x*~1~)时，*g*(*x*)＞0，*f*′(*x*)＞0，函数*f*(*x*)单调递增；**
**当*x*∈(*x*~1~，*x*~2~)时，*g*(*x*)＜0，*f*′(*x*)＜0，函数*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈(*x*~2~，＋∞)时，*g*(*x*)＞0，*f*′(*x*)＞0, 函数*f*(*x*)单调递增．**
**因此函数*f*(*x*)有两个极值点．**
**③当*a*＜0时，*Δ*＞0，由*g*(－1)＝1＞0，**
**可得*x*~1~＜－1＜*x*~2~.**
**当*x*∈(－1，*x*~2~)时，*g*(*x*)＞0，*f*′(*x*)＞0，函数*f*(*x*)单调递增；**
**当*x*∈(*x*~2~，＋∞)时，*g*(*x*)＜0，*f*′(*x*)＜0，函数*f*(*x*)单调递减．**
**所以函数*f*(*x*)有一个极值点．**
**综上所述，当*a*＜0时，函数*f*(*x*)有一个极值点；**
**当0≤*a*≤时，函数*f*(*x*)无极值点；**
**当*a*＞时，函数*f*(*x*)有两个极值点．**
**考法(二) 已知函数的极值点的个数求参数**
**\[例3\] 已知函数*g*(*x*)＝ln *x*－*mx*＋存在两个极值点*x*~1~，*x*~2~，求*m*的取值范围．**
**\[解\] 因为*g*(*x*)＝ln *x*－*mx*＋，**
**所以*g*′(*x*)＝－*m*－＝－(*x*＞0)，**
**令*h*(*x*)＝*mx*^2^－*x*＋*m*，要使*g*(*x*)存在两个极值点*x*~1~，*x*~2~，则方程*mx*^2^－*x*＋*m*＝0有两个不相等的正数根*x*~1~，*x*~2~.**
**故只需满足()解得0＜*m*＜.**
**所以*m*的取值范围为.**
**考法(三) 已知函数的极值求参数**
**\[例4\] (2018·北京高考)设函数*f*(*x*)＝\[*ax*^2^－(4*a*＋1)*x*＋4*a*＋3\]e*^x^*.**
**(1)若曲线*y*＝*f*(*x*)在点(1，*f*(1))处的切线与*x*轴平行，求*a*；**
**(2)若*f*(*x*)在*x*＝2处取得极小值，求*a*的取值范围．**
**\[解\] (1)因为*f*(*x*)＝\[*ax*^2^－(4*a*＋1)*x*＋4*a*＋3\]e*^x^*，**
**所以*f*′(*x*)＝\[*ax*^2^－(2*a*＋1)*x*＋2\]e*^x^*.**
**所以*f*′(1)＝(1－*a*)e.**
**由题设知*f*′(1)＝0，即(1－*a*)e＝0，解得*a*＝1.**
**此时*f*(1)＝3e≠0.**
**所以*a*的值为1.**
**(2)由(1)得*f*′(*x*)＝\[*ax*^2^－(2*a*＋1)*x*＋2\]e*^x^***
**＝(*ax*－1)(*x*－2)e*^x^*.**
**若*a*＞，则当*x*∈时，*f*′(*x*)＜0;**
**当*x*∈(2，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0.**
**所以*f*(*x*)在*x*＝2处取得极小值．**
**若*a*≤，则当*x*∈(0,2)时，*x*－2＜0，*ax*－1≤*x*－1＜0，**
**所以*f*′(*x*)＞0.**
**所以2不是*f*(*x*)的极小值点．**
**综上可知，*a*的取值范围是.**
**\[典例精析\]已知函数*f*(*x*)＝－1.**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)设*m*＞0，求函数*f*(*x*)在区间\[*m,*2*m*\]上的最大值．**
**\[解\] (1)因为函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，且*f*′(*x*)＝， 由()得 0＜*x*＜e；由()得*x*＞e.**
**所以函数*f*(*x*)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．**
**(2)①当即0＜*m*≤时，函数*f*(*x*)在区间\[*m,*2*m*\]上单调递增，**
**所以*f*(*x*)~max~＝*f*(2*m*)＝()－1；**
**②当*m*＜e＜2*m*，即＜*m*＜e时，函数*f*(*x*)在区间(*m*，e)上单调递增，在(e,2*m*)上单调递减，**
**所以*f*(*x*)~max~＝*f*(e)＝－1＝－1；**
**③当*m*≥e时，函数*f*(*x*)在区间\[*m,*2*m*\]上单调递减，**
**所以*f*(*x*)~max~＝*f*(*m*)＝－1.**
**综上所述，当0＜*m*≤时，*f*(*x*)~max~＝()－1；**
**当＜*m*＜e时，*f*(*x*)~max~＝－1；**
**当*m*≥e时，*f*(*x*)~max~＝－1.**
**\[题组训练\]**
**1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数*f*(*x*)＝2sin *x*＋sin 2*x*，则*f*(*x*)的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：*f*′(*x*)＝2cos *x*＋2cos 2*x*＝2cos *x*＋2(2cos^2^*x*－1)**
**＝2(2cos^2^*x*＋cos *x*－1)＝2(2cos *x*－1)(cos *x*＋1)．**
**∵cos *x*＋1≥0，**
**∴当cos *x*＜时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；**
**当cos *x*＞时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增．**
**∴当cos *x*＝，*f*(*x*)有最小值．**
**又*f*(*x*)＝2sin *x*＋sin 2*x*＝2sin *x*(1＋cos *x*)，**
**∴当sin *x*＝－时，*f*(*x*)有最小值，**
**即*f*(*x*)~min~＝2××＝－.**
**答案：－**
**2．已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋*ax*^2^＋*bx*(其中*a*，*b*为常数且*a*≠0)在*x*＝1处取得极值．**
**(1)当*a*＝1时，求*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)若*f*(*x*)在(0，e\]上的最大值为1，求*a*的值．**
**解：(1)因为*f*(*x*)＝ln *x*＋*ax*^2^＋*bx*，所以*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，*f*′(*x*)＝＋2*ax*＋*b*，**
**因为函数*f*(*x*)＝ln *x*＋*ax*^2^＋*bx*在*x*＝1处取得极值，**
**所以*f*′(1)＝1＋2*a*＋*b*＝0，**
**又*a*＝1，所以*b*＝－3，则*f*′(*x*)＝，**
**令*f*′(*x*)＝0，得*x*~1~＝，*x*~2~＝1.**
**当*x*变化时，*f*′(*x*)，*f*(*x*)随*x*的变化情况如下表：**
--------------- -------- ------------ -------- ------------ --------------
***x*** **1** **(1，＋∞)**
***f*′(*x*)** **＋** **0** **－** **0** **＋**
***f*(*x*)** **** **极大值** **** **极小值** ****
--------------- -------- ------------ -------- ------------ --------------
**所以*f*(*x*)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.**
**(2)由(1)知*f*′(*x*)＝()**
**＝()()(*x*＞0)，**
**令*f*′(*x*)＝0，得*x*~1~＝1，*x*~2~＝，**
**因为*f*(*x*)在*x*＝1处取得极值，所以*x*~2~＝≠*x*~1~＝1.**
**①当*a*＜0，即＜0时，*f*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，e\]上单调递减，**
**所以*f*(*x*)在区间(0，e\]上的最大值为*f*(1)，令*f*(1)＝1，解得*a*＝－2.**
**②当*a*＞0，即*x*~2~＝＞0时，**
**若＜1，*f*(*x*)在，\[1，e\]上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在*x*＝或*x*＝e处取得，而*f*＝ln＋*a*^2^－(2*a*＋1)·＝ln－－1＜0，**
**令*f*(e)＝ln e＋*a*e^2^－(2*a*＋1)e＝1，解得*a*＝.**
**若1＜＜e，*f*(*x*)在区间(0,1)，上单调递增，在上单调递减，**
**所以最大值可能在*x*＝1或*x*＝e处取得，**
**而*f*(1)＝ln 1＋*a*－(2*a*＋1)＜0，**
**令*f*(e)＝ln e＋*a*e^2^－(2*a*＋1)e＝1，**
**解得*a*＝，与1＜*x*~2~＝＜e矛盾．**
**若*x*~2~＝≥e，*f*(*x*)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e\]上单调递减，所以最大值可能在*x*＝1处取得，而*f*(1)＝ln 1＋*a*－(2*a*＋1)＜0，矛盾．**
**综上所述，*a*＝或*a*＝－2.**
**\[典例精析\](2019·贵阳模拟)已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*^2^－*ax*＋*a*(*a*∈R)．**
**(1)若函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数*a*的取值范围；**
**(2)若函数*f*(*x*)在*x*＝*x*~1~和*x*＝*x*~2~处取得极值，且*x*~2~≥** ***x*~1~(e为自然对数的底数)，求*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)的最大值．**
**\[解\] (1)∵*f*′(*x*)＝＋*x*－*a*(*x*＞0)，**
**又*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有*f*′(*x*)≥0，**
**即＋*x*－*a*≥0恒成立，∴*a*≤~min~，**
**而*x*＋≥2** **＝2，当且仅当*x*＝1时取"＝"，∴*a*≤2.**
**即函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，*a*的取值范围是(－∞，2\]．**
**(2)∵*f*(*x*)在*x*＝*x*~1~和*x*＝*x*~2~处取得极值，**
**且*f*′(*x*)＝＋*x*－*a*＝(*x*＞0)，**
**∴*x*~1~，*x*~2~是方程*x*^2^－*ax*＋1＝0的两个实根，**
**由根与系数的关系得*x*~1~＋*x*~2~＝*a*，*x*~1~*x*~2~＝1，**
**∴*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)＝ln＋(*x*－*x*)－*a*(*x*~2~－*x*~1~)＝ln－(*x*－*x*)＝ln－(*x*－*x*)＝ln－，**
**设*t*＝(*t*≥** **)，令*h*(*t*)＝ln *t*－(*t*≥** **)，**
**则*h*′(*t*)＝－＝－()＜0，**
**∴*h*(*t*)在\[，＋∞)上是减函数，**
**∴*h*(*t*)≤*h*()＝，**
**故*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~) 的最大值为.**
**\[题组训练\]**
**已知函数*f*(*x*)＝(*a*＞0)的导函数*f*′(*x*)的两个零点为－3和0.**
**(1)求*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)若*f*(*x*)的极小值为－e^3^，求*f*(*x*)在区间\[－5，＋∞)上的最大值．**
**解：(1)*f*′(*x*)＝()()()**
**＝().**
**令*g*(*x*)＝－*ax*^2^＋(2*a*－*b*)*x*＋*b*－*c*，**
**因为e*^x^*＞0，所以*f*′(*x*)的零点就是*g*(*x*)＝－*ax*^2^＋(2*a*－*b*)*x*＋*b*－*c*的零点，且*f*′(*x*)与*g*(*x*)符号相同．**
**又因为*a*＞0，所以当－3＜*x*＜0时，*g*(*x*)＞0，即*f*′(*x*)＞0，**
**当*x*＜－3或*x*＞0时，*g*(*x*)＜0，即*f*′(*x*)＜0，**
**所以*f*(*x*)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．**
**(2)由(1)知，*x*＝－3是*f*(*x*)的极小值点，所以有()()()()**
**解得*a*＝1，*b*＝5，*c*＝5，所以*f*(*x*)＝.**
**由(1)可知当*x*＝0时*f*(*x*)取得极大值*f*(0)＝5，**
**故*f*(*x*)在区间\[－5，＋∞)上的最大值取*f*(－5)和*f*(0)中的最大者．**
**而*f*(－5)＝＝5e^5^＞5＝*f*(0)，**
**所以函数*f*(*x*)在区间\[－5，＋∞)上的最大值是5e^5^.**
**A级**
**1．函数*f*(*x*)＝*x*e^－*x*^，*x*∈\[0,4\]的最小值为( )**
**A．0 B.**
**C. D.**
**解析：选A *f*′(*x*)＝，**
**当*x*∈\[0,1)时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增，**
**当*x*∈(1,4\]时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减，**
**因为*f*(0)＝0，*f*(4)＝＞0，所以当*x*＝0时，*f*(*x*)有最小值，且最小值为0.**
**2．若函数*f*(*x*)＝*a*e*^x^*－sin *x*在*x*＝0处有极值，则*a*的值为( )**
**A．－1 B．0**
**C．1 D．e**
**解析：选C *f*′(*x*)＝*a*e*^x^*－cos *x*，若函数*f*(*x*)＝*a*e*^x^*－sin *x*在*x*＝0处有极值，则*f*′(0)＝*a*－1＝0，解得*a*＝1，经检验*a*＝1符合题意，故选C.**
**3．已知*x*＝2是函数*f*(*x*)＝*x*^3^－3*ax*＋2的极小值点，那么函数*f*(*x*)的极大值为( )**
**A．15 B．16**
**C．17 D．18**
**解析：选D 因为*x*＝2是函数*f*(*x*)＝*x*^3^－3*ax*＋2的极小值点，所以*f*′(2)＝12－3*a*＝0，解得*a*＝4，所以函数*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝*x*^3^－12*x*＋2，*f*′(*x*)＝3*x*^2^－12，由*f*′(*x*)＝0，得*x*＝±2，故函数*f*(*x*)在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当*x*＝－2时，函数*f*(*x*)取得极大值*f*(－2)＝18.**
**4.(2019·合肥模拟)已知函数*f*(*x*)＝*x*^3^＋*bx*^2^＋*cx*的大致图象如图所示，则*x*＋*x*等于( )**
**A. B.**
**C. D.**
**解析：选C 由图象可知*f*(*x*)的图象过点(1,0)与(2,0)，*x*~1~，*x*~2~是函数*f*(*x*)的极值点，因此1＋*b*＋*c*＝0,8＋4*b*＋2*c*＝0，解得*b*＝－3，*c*＝2，所以*f*(*x*)＝*x*^3^－3*x*^2^＋2*x*，所以*f*′(*x*)＝3*x*^2^－6*x*＋2，则*x*~1~，*x*~2~是方程*f*′(*x*)＝3*x*^2^－6*x*＋2＝0的两个不同的实数根，因此*x*~1~＋*x*~2~＝2，*x*~1~*x*~2~＝，所以*x*＋*x*＝(*x*~1~＋*x*~2~)^2^－2*x*~1~*x*~2~＝4－＝.**
**5．(2019·泉州质检)已知直线*y*＝*a*分别与函数*y*＝e^*x*＋1^和*y*＝交于*A*，*B*两点，则*A*，*B*之间的最短距离是( )**
**A. B.**
**C. D.**
**解析：选D 由*y*＝e^*x*＋1^得*x*＝ln *y*－1，由*y*＝得*x*＝*y*^2^＋1，所以设*h*(*y*)＝\|*AB*\|＝*y*^2^＋1－(ln *y*－1)＝*y*^2^－ln *y*＋2，*h*′(*y*)＝2*y*－＝(*y*＞0)，当0＜*y*＜时，*h*′(*y*)＜0；当*y*＞时，*h*′(*y*)＞0，即函数*h*(*y*)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以*h*(*y*)~min~＝*h*＝^2^－ln＋2＝.**
**6．若函数*f*(*x*)＝*x*^3^－3*a*^2^*x*＋*a*(*a*＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：*f*′(*x*)＝3*x*^2^－3*a*^2^＝3(*x*＋*a*)(*x*－*a*)，**
**由*f*′(*x*)＝0得*x*＝±*a*，**
**当－*a*＜*x*＜*a*时，*f*′(*x*)＜0，函数*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*＞*a*或*x*＜－*a*时，*f*′(*x*)＞0，函数*f*(*x*)单调递增，**
**∴*f*(*x*)的极大值为*f*(－*a*)，极小值为*f*(*a*)．**
**∴*f*(－*a*)＝－*a*^3^＋3*a*^3^＋*a*＞0且*f*(*a*)＝*a*^3^－3*a*^3^＋*a*＜0，**
**解得*a*＞.**
**∴*a*的取值范围是.**
**答案：**
**7．(2019·长沙调研)已知*y*＝*f*(*x*)是奇函数，当*x*∈(0,2)时，*f*(*x*)＝ln *x*－*ax*，当*x*∈(－2,0)时，*f*(*x*)的最小值为1，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析：由题意知，当*x*∈(0,2)时，*f*(*x*)的最大值为－1.**
**令*f*′(*x*)＝－*a*＝0，得*x*＝，**
**当0＜*x*＜时，*f*′(*x*)＞0；**
**当*x*＞时，*f*′(*x*)＜0.**
**∴*f*(*x*)~max~＝*f*＝－ln *a*－1＝－1，解得*a*＝1.**
**答案：1**
**8．(2018·内江一模)已知函数*f*(*x*)＝*a*sin *x*＋*b*cos *x*(*a*，*b*∈R)，曲线*y*＝*f*(*x*)在点处的切线方程为*y*＝*x*－.**
**(1)求*a*，*b*的值；**
**(2)求函数*g*(*x*)＝在上的最小值．**
**解：(1)由切线方程知，当*x*＝时，*y*＝0，**
**∴*f*＝*a*＋*b*＝0.**
**∵*f*′(*x*)＝*a*cos *x*－*b*sin *x*，**
**∴由切线方程知，*f*′＝*a*－*b*＝1，**
**∴*a*＝，*b*＝－.**
**(2) 由(1)知，*f*(*x*)＝sin *x*－cos *x*＝sin，**
**∴函数*g*(*x*)＝，*g*′(*x*)＝.设*u*(*x*)＝*x*cos *x*－sin *x*，则*u*′(*x*)＝－*x*sin *x*＜0，故*u*(*x*)在上单调递减．∴*u*(*x*)＜*u*(0)＝0，∴*g*(*x*)在上单调递减．∴函数*g*(*x*)在** **上的最小值为*g*＝.**
**9．已知函数*f*(*x*)＝*a*ln *x*＋(*a*＞0)．**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间和极值；**
**(2)是否存在实数*a*，使得函数*f*(*x*)在\[1，e\]上的最小值为0？若存在，求出*a*的值；若不存在，请说明理由．**
**解：由题意，知函数的定义域为{*x*\|*x*＞0}，*f*′(*x*)＝－＝(*a*＞0)．**
**(1)由*f*′(*x*)＞0，解得*x*＞，**
**所以函数*f*(*x*)的单调递增区间是；**
**由*f*′(*x*)＜0，解得0＜*x*＜，**
**所以函数*f*(*x*)的单调递减区间是.**
**所以当*x*＝时，函数*f*(*x*)有极小值*f*＝*a*ln＋*a*＝*a*－*a*ln *a*，无极大值．**
**(2)不存在，理由如下：**
**由(1)可知，当*x*∈时，函数*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈时，函数*f*(*x*)单调递增．**
**①若0＜≤1，即*a*≥1时，函数*f*(*x*)在\[1，e\]上为增函数，**
**故函数*f*(*x*)的最小值为*f*(1)＝*a*ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．**
**②若1＜≤e，即≤*a*＜1时，函数*f*(*x*)在上为减函数，在上为增函数，**
**故函数*f*(*x*)的最小值为*f*(*x*)的极小值*f*＝*a*ln＋*a*＝*a*－*a*ln *a*＝0，即ln *a*＝1，解得*a*＝e，而≤*a*＜1，故不满足条件．**
**③若＞e，即0＜*a*＜时，函数*f*(*x*)在\[1，e\]上为减函数，故函数*f*(*x*)的最小值为*f*(e)＝*a*ln e＋＝*a*＋＝0，即*a*＝－，而0＜*a*＜，故不满足条件．**
**综上所述，不存在这样的实数*a*，使得函数*f*(*x*)在\[1，e\]上的最小值为0.**
**B级**
**1．(2019·郑州质检)若函数*f*(*x*)＝*x*^3^－*ax*^2^－*bx*＋*a*^2^在*x*＝1时有极值10，则*a*，*b*的值为( )**
**A．*a*＝3，*b*＝－3或*a*＝－4，*b*＝11**
**B．*a*＝－4，*b*＝－3或*a*＝－4，*b*＝11**
**C．*a*＝－4，*b*＝11**
**D．以上都不对**
**解析：选C 由题意，*f*′(*x*)＝3*x*^2^－2*ax*－*b*，**
**则*f*′(1)＝0，即2*a*＋*b*＝3.①**
***f*(1)＝1－*a*－*b*＋*a*^2^＝10，即*a*^2^－*a*－*b*＝9.②**
**联立①②，解得或**
**经检验不符合题意，舍去．故选C.**
**2．(2019·唐山联考)若函数*f*(*x*)＝*x*^2^－ln *x*＋1在其定义域内的一个子区间(*a*－1，*a*＋1)内存在极值，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由题意，得函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，*f*′(*x*)＝2*x*－＝，令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝，**
**则由已知得解得1≤*a*＜.**
**答案：**
**3．(2019·德州质检)已知函数*f*(*x*)＝－*x*^3^＋*x*在(*a,*10－*a*^2^)上有最大值，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：由*f*′(*x*)＝－*x*^2^＋1，知*f*(*x*)在(－∞，－1)上单调递减，在\[－1,1\]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数*f*(*x*)在(*a,*10－*a*^2^)上存在最大值的条件为()()其中*f*(1)≥*f*(*a*)，即为－＋1≥－*a*^3^＋*a*，**
**整理得*a*^3^－3*a*＋2≥0，即*a*^3^－1－3*a*＋3≥0，**
**即(*a*－1)(*a*^2^＋*a*＋1)－3(*a*－1)≥0，**
**即(*a*－1)(*a*^2^＋*a*－2)≥0，即(*a*－1)^2^(*a*＋2)≥0，**
**即()()解得－2≤*a*＜1.**
**答案：\[－2,1)**
**4.已知函数*f*(*x*)是R上的可导函数，*f*(*x*)的导函数*f*′(*x*)的图象如图，则下列结论正确的是( )**
**A．*a*，*c*分别是极大值点和极小值点**
**B．*b*，*c*分别是极大值点和极小值点**
**C．*f*(*x*)在区间(*a*，*c*)上是增函数**
**D．*f*(*x*)在区间(*b*，*c*)上是减函数**
**解析：选C 由极值点的定义可知，*a*是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数*f*(*x*)在区间(*a*，＋∞)上是增函数，故选C.**
**5.如图，在半径为10的半圆形(*O*为圆心)铁皮上截取一块矩形材料*ABCD*，其中*A*，*B*在直径上，*C*，*D*在圆周上，将所截得的矩形铁皮*ABCD*卷成一个以*AD*为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为*V*，设*AD*＝*x*，则*V*~max~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**解析：设圆柱形罐子的底面半径为*r*，**
**由题意得*AB*＝2()＝2π*r*，**
**所以*r*＝，**
**所以*V*＝π*r*^2^*x*＝π^2^*x*＝(－*x*^3^＋300*x*)(0＜*x*＜10)，故*V*′＝－(*x*^2^－100)＝－(*x*＋10)(*x*－10)(0＜*x*＜10)．**
**令*V*′＝0，得*x*＝10(负值舍去)，**
**则*V*′，*V*随*x*的变化情况如下表：**
---------- ------------ ------------ -------------
***x*** **(0,10)** **10** **(10,10)**
***V*′** **＋** **0** **－**
***V*** **** **极大值** ****
---------- ------------ ------------ -------------
**所以当*x*＝10时，*V*取得极大值，也是最大值，**
**所以*V*~max~＝.**
**答案：**
**6．已知函数*f*(*x*)＝ln(*x*＋1)－()，其中*a*为常数．**
**(1)当1＜*a*≤2时，讨论*f*(*x*)的单调性；**
**(2)当*x*＞0时，求*g*(*x*)＝*x*ln＋ln(1＋*x*)的最大值．**
**解：(1)函数*f*(*x*)的定义域为(－1，＋∞)，*f*′(*x*)＝()()，**
**①当－1＜2*a*－3＜0，即1＜*a*＜时，**
**当－1＜*x*＜2*a*－3或*x*＞0时，*f*′(*x*)＞0，则*f*(*x*)在(－1，2*a*－3)，(0，＋∞)上单调递增，**
**当2*a*－3＜*x*＜0时，*f*′(*x*)＜0，则*f*(*x*)在(2*a*－3,0)上单调递减．**
**②当2*a*－3＝0，即*a*＝时，*f*′(*x*)≥0，则*f*(*x*)在(－1，＋∞)上单调递增．**
**③当2*a*－3＞0，即*a*＞时，**
**当－1＜*x*＜0或*x*＞2*a*－3时，*f*′(*x*)＞0，**
**则*f*(*x*)在(－1,0)，(2*a*－3，＋∞)上单调递增，**
**当0＜*x*＜2*a*－3时，*f*′(*x*)＜0，则*f*(*x*)在(0,2*a*－3)上单调递减．**
**综上，当1＜*a*＜时，*f*(*x*)在(－1,2*a*－3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2*a*－3,0)上单调递减；当*a*＝时，*f*(*x*)在(－1，＋∞)上单调递增；当＜*a*≤2时，*f*(*x*)在(－1,0)，(2*a*－3，＋∞)上单调递增，在(0,2*a*－3)上单调递减．**
**(2)∵*g*(*x*)＝ln(1＋*x*)－*x*ln *x*＝*g*，**
**∴*g*(*x*)在(0，＋∞)上的最大值等价于*g*(*x*)在(0,1\]上的最大值．**
**令*h*(*x*)＝*g*′(*x*)＝ln(1＋*x*)＋·－(ln *x*＋1)＝ln(1＋*x*)－ln *x*＋－，**
**则*h*′(*x*)＝()().**
**由(1)可知当*a*＝2时，*f*(*x*)在(0,1\]上单调递减，**
**∴*f*(*x*)＜*f*(0)＝0，**
**∴*h*′(*x*)＜0，从而*h*(*x*)在(0,1\]上单调递减，**
**∴*h*(*x*)≥*h*(1)＝0，∴*g*(*x*)在(0,1\]上单调递增，**
**∴*g*(*x*)≤*g*(1)＝2ln 2，**
**∴*g*(*x*)的最大值为2ln 2.**
第三节 导数的综合应用
第一课时 利用导数解不等式
考点一 *f*(*x*)与*f*′(*x*)共存的不等式问题
**\[典例\] (1)定义在R上的函数*f*(*x*)，满足*f*(1)＝1，且对任意*x*∈R都有*f*′(*x*)＜，则不等式*f*(lg *x*)＞的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**(2)设*f*(*x*)，*g*(*x*)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当*x*＜0时，*f*′(*x*)*g*(*x*)＋*f*(*x*)*g*′(*x*)＞0，且*g*(－3)＝0，则不等式*f*(*x*)*g*(*x*)＜0的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**\[解析\] (1)由题意构造函数*g*(*x*)＝*f*(*x*)－*x*，**
**则*g*′(*x*)＝*f*′(*x*)－＜0，**
**所以*g*(*x*)在定义域内是减函数．**
**因为*f*(1)＝1，所以*g*(1)＝*f*(1)－＝，**
**由*f*(lg *x*)＞，得*f*(lg *x*)－lg *x*＞.**
**即*g*(lg *x*)＝*f*(lg *x*)－lg *x*＞＝*g*(1)，**
**所以lg *x*＜1，解得0＜*x*＜10.**
**所以原不等式的解集为(0,10)．**
**(2)借助导数的运算法则，*f*′(*x*)*g*(*x*)＋*f*(*x*)*g*′(*x*)＞0⇔\[*f*(*x*)*g*(*x*)\]′＞0，所以函数*y*＝*f*(*x*)*g*(*x*)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数*y*＝*f*(*x*)*g*(*x*)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式*f*(*x*)*g*(*x*)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．**
**\[答案\] (1)(0,10) (2)(－∞，－3)∪(0,3)**
**(1)对于不等式*f*′(*x*)＋*g*′(*x*)＞0(或＜0) ，构造函数*F*(*x*)＝*f*(*x*)＋*g*(*x*)．**
**(2)对于不等式*f*′(*x*)－*g*′(*x*)＞0(或＜0) ，构造函数*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)．**
**特别地，对于不等式*f*′(*x*)＞*k*(或＜*k*)(*k*≠0)，构造函数*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*kx*.**
**(3)对于不等式*f*′(*x*)*g*(*x*)＋*f*(*x*)*g*′(*x*)＞0(或＜0)，构造函数*F*(*x*)＝*f*(*x*)*g*(*x*)．**
**(4)对于不等式*f*′(*x*)*g*(*x*)－*f*(*x*)*g*′(*x*)＞0(或＜0)，构造函数*F*(*x*)＝()()(*g*(*x*)≠0)． **
**\[典例\] (1)设*f*′(*x*)是奇函数*f*(*x*)(*x*∈R)的导函数，*f*(－1)＝0, 当*x*＞0时，*xf*′(*x*)－*f*(*x*)＜0，则使得*f*(*x*)＞0成立的*x*的取值范围是( )**
**A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)**
**C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)**
**(2)设函数*f*(*x*)在R上的导函数为*f*′(*x*)，且2*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)＞*x*^2^，则下列不等式在R上恒成立的是( )**
**A．*f*(*x*)＞0 B．*f*(*x*)＜0**
**C．*f*(*x*)＞*x* D．*f*(*x*)＜*x***
**\[解析\] (1)令*g*(*x*)＝()，则*g*′(*x*)＝()().**
**由题意知，当*x*＞0时，*g*′(*x*)＜0，**
**∴*g*(*x*)在(0，＋∞)上是减函数．**
**∵*f*(*x*)是奇函数，*f*(－1)＝0，**
**∴*f*(1)＝－*f*(－1)＝0，**
**∴*g*(1)＝*f*(1)＝0，**
**∴当*x*∈(0,1)时，*g*(*x*)＞0，从而*f*(*x*)＞0；**
**当*x*∈(1，＋∞)时，*g*(*x*)＜0，从而*f*(*x*)＜0.**
**又∵*f*(*x*)是奇函数，**
**∴当*x*∈(－∞，－1)时，*f*(*x*)＞0；**
**当*x*∈(－1,0)时，*f*(*x*)＜0.**
**综上，所求*x*的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．**
**(2)令*g*(*x*)＝*x*^2^*f*(*x*)－*x*^4^，则*g*′(*x*)＝2*xf*(*x*)＋*x*^2^*f*′(*x*)－*x*^3^＝*x*\[2*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)－*x*^2^\]．**
**当*x*＞0时，*g*′(*x*)＞0，∴*g*(*x*)＞*g*(0)，**
**即*x*^2^*f*(*x*)－*x*^4^＞0，从而*f*(*x*)＞*x*^2^＞0；**
**当*x*＜0时，*g*′(*x*)＜0，∴*g*(*x*)＞*g*(0)，**
**即*x*^2^*f*(*x*)－*x*^4^＞0，从而*f*(*x*)＞*x*^2^＞0；**
**当*x*＝0时，由题意可得2*f*(0)＞0，∴*f*(0)＞0.**
**综上可知，*f*(*x*)＞0.**
**\[答案\] (1)A (2)A**
**(1)对于*xf*′(*x*)＋*nf*(*x*)＞0型，构造*F*(*x*)＝*x^n^f*(*x*)，则*F*′(*x*)＝*x^n^*^－1^\[*xf*′(*x*)＋*nf*(*x*)\](注意对*x^n^*^－1^的符号进行讨论)，特别地，当*n*＝1时，*xf*′(*x*)＋*f*(*x*)＞0，构造*F*(*x*)＝*xf*(*x*)，则*F*′(*x*)＝*xf*′(*x*)＋*f*(*x*)＞0.**
**(2)对于*xf*′(*x*)－*nf*(*x*)＞0(*x*≠0)型，构造*F*(*x*)＝()，则*F*′(*x*)＝()()(注意对*x^n^*^＋1^的符号进行讨论)，特别地，当*n*＝1时，*xf*′(*x*)－*f*(*x*)＞0，构造*F*(*x*)＝()，则*F*′(*x*)＝()()＞0. **
**\[典例\] (1)已知*f*(*x*)为R上的可导函数，且∀*x*∈R，均有*f*(*x*)＞*f*′(*x*)，则有( )**
**A．e^2\ 019^*f*(－2 019)＜*f*(0)，*f*(2 019)＞e^2\ 019^*f*(0)**
**B．e^2\ 019^*f*(－2 019)＜*f*(0)，*f*(2 019)＜e^2\ 019^*f*(0)**
**C．e^2\ 019^*f*(－2 019)＞*f*(0)，*f*(2 019)＞e^2\ 019^*f*(0)**
**D．e^2\ 019^*f*(－2 019)＞*f*(0)，*f*(2 019)＜e^2\ 019^*f*(0)**
**(2)已知定义在R上的函数*f*(*x*)满足*f*(*x*)＋2*f*′(*x*)＞0恒成立，且*f*(2)＝(e为自然对数的底数)，则不等式e*^x^f*(*x*)－e＞0的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**\[解析\] (1)构造函数*h*(*x*)＝()，则*h*′(*x*)＝()()＜0，即*h*(*x*)在R上单调递减，故*h*(－2 019)＞*h*(0)，即()＞()⇒e^2\ 019^*f*(－2 019)＞*f*(0)；同理，*h*(2 019)＜*h*(0)，即*f*(2 019)＜e^2\ 019^*f*(0)，故选D.**
**(2)由*f*(*x*)＋2*f*′(*x*)＞0得2()()＞0，可构造函数*h*(*x*)＝e*f*(*x*)，则*h*′(*x*)＝e \[*f*(*x*)＋2*f*′(*x*)\]＞0，所以函数*h*(*x*)＝e*f*(*x*)在R上单调递增，且*h*(2)＝e*f*(2)＝1.不等式e*^x^f*(*x*)－e＞0等价于e*f*(*x*)＞1，即*h*(*x*)＞*h*(2)⇒*x*＞2，所以不等式e*^x^f*(*x*)－e＞0的解集为(2，＋∞)．**
**\[答案\] (1)D (2)(2，＋∞)**
**(1)对于不等式*f*′(*x*)＋*f*(*x*)＞0(或＜0)，构造函数*F*(*x*)＝e*^x^f*(*x*)．**
**(2)对于不等式*f*′(*x*)－*f*(*x*)＞0(或＜0)，构造函数*F*(*x*)＝().**
考点二 不等式恒成立问题
**()()()()()()()()()()()()()()()()()()**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*ax*＋ln *x*＋1，若对任意的*x*＞0，*f*(*x*)≤*x*e^2*x*^恒成立，求实数*a*的取值范围．**
**\[解\] 法一：构造函数法**
**设*g*(*x*)＝*x*e^2*x*^－*ax*－ln *x*－1(*x*＞0)，对任意的*x*＞0，*f*(*x*)≤*x*e^2*x*^恒成立，等价于*g*(*x*)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则只需*g*(*x*)~min~≥0即可．**
**因为*g*′(*x*)＝(2*x*＋1)e^2*x*^－*a*－，**
**令*h*(*x*)＝(2*x*＋1)e^2*x*^－*a*－(*x*＞0)，**
**则*h*′(*x*)＝4(*x*＋1)e^2*x*^＋＞0，**
**所以*h*(*x*)＝*g*′(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，**
**因为当*x*―→0时，*h*(*x*)―→－∞，当*x*―→＋∞时，*h*(*x*)―→＋∞，**
**所以*h*(*x*)＝*g*′(*x*)在(0，＋∞)上存在唯一的零点*x*~0~，**
**满足(2*x*~0~＋1)e2*x*~0~－*a*－＝0，**
**所以*a*＝(2*x*~0~＋1)e2*x*~0~－，且*g*(*x*)在(0，*x*~0~)上单调递减，在(*x*~0~，＋∞)上单调递增，**
**所以*g*(*x*)~min~＝*g*(*x*~0~)＝*x*~0~e2*x*~0~－*ax*~0~－ln *x*~0~－1＝－2*x*e2*x*~0~－ln *x*~0~，**
**则由*g*(*x*)~min~≥0，得2*x*e2*x*~0~＋ln *x*~0~≤0，**
**此时0＜*x*~0~＜1，e2*x*~0~≤－，**
**所以2*x*~0~＋ln(2*x*~0~)≤ln(－ln *x*~0~)＋(－ln *x*~0~)，**
**设*S*(*x*)＝*x*＋ln *x*(*x*＞0)，则*S*′(*x*)＝1＋＞0，**
**所以函数*S*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，**
**因为*S*(2*x*~0~)≤*S*(－ln *x*~0~)，**
**所以2*x*~0~≤－ln *x*~0~即e2*x*~0~≤，**
**所以*a*＝(2*x*~0~＋1)e2*x*~0~－≤(2*x*~0~＋1)·－＝2，**
**所以实数*a*的取值范围为(－∞，2\]．**
**法二：分离参数法**
**因为*f*(*x*)＝*ax*＋ln *x*＋1，所以对任意的*x*＞0，*f*(*x*)≤*x*e^2*x*^恒成立，等价于*a*≤e^2*x*^－在(0，＋∞)上恒成立．**
**令*m*(*x*)＝e^2*x*^－(*x*＞0)，则只需*a*≤*m*(*x*)~min~即可，则*m*′(*x*)＝，**
**再令*g*(*x*)＝2*x*^2^e^2*x*^＋ln *x*(*x*＞0)，则*g*′(*x*)＝4(*x*^2^＋*x*)e^2*x*^＋＞0，所以*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，**
**因为*g*＝－2ln 2＜0，*g*(1)＝2e^2^＞0，**
**所以*g*(*x*)有唯一的零点*x*~0~，且＜*x*~0~＜1，**
**所以当0＜*x*＜*x*~0~时，*m*′(*x*)＜0，当*x*＞*x*~0~时，*m*′(*x*)＞0，**
**所以*m*(*x*)在(0，*x*~0~)上单调递减，在(*x*~0~，＋∞)上单调递增，**
**因为2*x*e2*x*~0~＋ln *x*~0~＝0，**
**所以ln 2＋2ln *x*~0~＋2*x*~0~＝ln(－ln *x*~0~)，**
**即ln(2*x*~0~)＋2*x*~0~＝ln(－ln *x*~0~)＋(－ln *x*~0~)，**
**设*s*(*x*)＝ln *x*＋*x*(*x*＞0)，则*s*′(*x*)＝＋1＞0，**
**所以函数*s*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，**
**因为*s*(2*x*~0~)＝*s*(－ln *x*~0~)，**
**所以2*x*~0~＝－ln *x*~0~，即e2*x*~0~＝，**
**所以*m*(*x*)≥*m*(*x*~0~)＝e2*x*~0~－＝－－＝2，则有*a*≤2，**
**所以实数*a*的取值范围为(－∞，2\]．**
**求解不等式恒成立问题的方法**
**(1)构造函数分类讨论：遇到*f*(*x*)≥*g*(*x*)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造"左减右"的函数*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*) 或"右减左"的函数*u*(*x*)＝*g*(*x*)－*f*(*x*)，进而只需满足*h*(*x*)~min~≥0或*u*(*x*)~max~≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．**
**(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数*a*，另一端是变量表达式*v*(*x*)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线*y*＝*a*与函数*y*＝*v*(*x*)图象的交点个数问题来解决． **
**\[题组训练\]**
**(2019·陕西教学质量检测)设函数*f*(*x*)＝ln *x*＋，*k*∈R.**
**(1)若曲线*y*＝*f*(*x*)在点(e，*f*(e))处的切线与直线*x*－2＝0垂直，求*f*(*x*)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；**
**(2)若对任意的*x*~1~＞*x*~2~＞0，*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)＜*x*~1~－*x*~2~恒成立，求*k*的取值范围．**
**解：(1)由条件得*f*′(*x*)＝－(*x*＞0)，**
**∵曲线*y*＝*f*(*x*)在点(e，*f*(e))处的切线与直线*x*－2＝0垂直，**
**∴*f*′(e)＝0，即－＝0，得*k*＝e，**
**∴*f*′(*x*)＝－＝(*x*＞0)，**
**由*f*′(*x*)＜0得0＜*x*＜e，由*f*′(*x*)＞0得*x*＞e，**
**∴*f*(*x*)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．**
**当*x*＝e时，*f*(*x*)取得极小值，且*f*(e)＝ln e＋＝2.**
**∴*f*(*x*)的极小值为2.**
**(2)由题意知，对任意的*x*~1~＞*x*~2~＞0，*f*(*x*~1~)－*x*~1~＜*f*(*x*~2~)－*x*~2~恒成立，**
**设*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*x*＝ln *x*＋－*x*(*x*＞0)，**
**则*h*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，**
**∴*h*′(*x*)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，**
**即当*x*＞0时，*k*≥－*x*^2^＋*x*＝－^2^＋恒成立，**
**∴*k*≥.故*k*的取值范围是.**
考点三 可化为不等式恒成立问题
**()()()()()()()()()()()()()()()()**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*x*^3^＋*x*^2^＋*ax*.**
**(1)若函数*f*(*x*)在区间\[1，＋∞)上单调递增，求实数*a*的最小值；**
**(2)若函数*g*(*x*)＝，对∀*x*~1~∈，∃*x*~2~∈，使*f*′(*x*~1~)≤*g*(*x*~2~)成立，求实数*a*的取值范围．**
**\[解\] (1)由题设知*f*′(*x*)＝*x*^2^＋2*x*＋*a*≥0在\[1，＋∞)上恒成立，即*a*≥－(*x*＋1)^2^＋1在\[1，＋∞)上恒成立，**
**而函数*y*＝－(*x*＋1)^2^＋1在\[1，＋∞)单调递减，则*y*~max~＝－3，∴*a*≥－3，∴*a*的最小值为－3.**
**(2)"对∀*x*~1~∈，∃*x*~2~∈，使*f*′(*x*~1~)≤*g*(*x*~2~)成立"等价于"当*x*∈时，*f*′(*x*)~max~≤*g*(*x*)~max~"．**
**∵*f*′(*x*)＝*x*^2^＋2*x*＋*a*＝(*x*＋1)^2^＋*a*－1在上单调递增，**
**∴*f*′(*x*)~max~＝*f*′(2)＝8＋*a*.**
**而*g*′(*x*)＝，由*g*′(*x*)＞0，得*x*＜1，**
**由*g*′(*x*)＜0，得*x*＞1，**
**∴*g*(*x*)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．**
**∴当*x*∈时，*g*(*x*)~max~＝*g*(1)＝.**
**由8＋*a*≤，得*a*≤－8，**
**∴实数*a*的取值范围为.**
**(1)∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)，等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的最小值大于*g*(*x*)在*D*~2~上的最小值即*f*(*x*)~min~＞*g*(*x*)~min~(这里假设*f*(*x*)~min~，*g*(*x*)~min~存在)．其等价转化的基本思想是：函数*y*＝*f*(*x*)的任意一个函数值大于函数*y*＝*g*(*x*)的某一个函数值，但并不要求大于函数*y*＝*g*(*x*)的所有函数值．**
**(2)∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，*f*(*x*~1~)＜*g*(*x*~2~)，等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的最大值小于函数*g*(*x*)在*D*~2~上的最大值(这里假设*f*(*x*)~max~，*g*(*x*)~max~存在)．其等价转化的基本思想是：函数*y*＝*f*(*x*)的任意一个函数值小于函数*y*＝*g*(*x*)的某一个函数值，但并不要求小于函数*y*＝*g*(*x*)的所有函数值． **
**\[题组训练\]**
**已知函数*f*(*x*)＝，*g*(*x*)＝－*x*^3^＋(*a*＋1)*x*^2^－3*ax*－1，其中*a*为常数．**
**(1)当*a*＝1时，求曲线*g*(*x*)在*x*＝0处的切线方程；**
**(2)若*a*＜0，对于任意的*x*~1~∈\[1,2\]，总存在*x*~2~∈\[1,2\]，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)，求实数*a*的取值范围．**
**解：(1)当*a*＝1时，*g*(*x*)＝－*x*^3^＋3*x*^2^－3*x*－1，**
**所以*g*′(*x*)＝－3*x*^2^＋6*x*－3，*g*′(0)＝－3，又因为*g*(0)＝－1，**
**所以曲线*g*(*x*)在*x*＝0处的切线方程为*y*＋1＝－3*x*，即3*x*＋*y*＋1＝0.**
**(2)*f*(*x*)＝＝()＝3－，**
**当*x*∈\[1,2\]时，∈，**
**所以－∈\[－3，－2\]，**
**所以3－∈\[0,1\]，故*f*(*x*)在\[1,2\]上的值域为\[0,1\]．**
**由*g*(*x*)＝－*x*^3^＋(*a*＋1)*x*^2^－3*ax*－1，可得**
***g*′(*x*)＝－3*x*^2^＋3(*a*＋1)*x*－3*a*＝－3(*x*－1)(*x*－*a*)．**
**因为*a*＜0，所以当*x*∈\[1,2\]时，*g*′(*x*)＜0，**
**所以*g*(*x*)在\[1,2\]上单调递减，**
**故当*x*∈\[1,2\]时，**
***g*(*x*)~max~＝*g*(1)＝－1＋(*a*＋1)－3*a*－1＝－*a*－，**
***g*(*x*)~min~＝*g*(2)＝－8＋6(*a*＋1)－6*a*－1＝－3，**
**即*g*(*x*)在\[1,2\]上的值域为.**
**因为对于任意的*x*~1~∈\[1,2\] ，总存在*x*~2~∈\[1,2\]，**
**使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)，**
**所以\[0,1\]⊆，**
**所以－*a*－≥1，解得*a*≤－1，**
**故*a*的取值范围为(－∞，－1\]．**
**1．(2019·南昌调研)已知函数*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，设函数*f*(*x*)的导函数为*f*′(*x*)，若对任意的*x*＞0都有2*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)＞0成立，则( )**
**A．4*f*(－2)＜9*f*(3) B．4*f*(－2)＞9*f*(3)**
**C．2*f*(3)＞3*f*(－2) D．3*f*(－3)＜2*f*(－2)**
**解析：选A 根据题意，令*g*(*x*)＝*x*^2^*f*(*x*)，其导函数*g*′(*x*)＝2*xf*(*x*)＋*x*^2^*f*′(*x*)，又对任意的*x*＞0都有2*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)＞0成立，则当*x*＞0时，有*g*′(*x*)＝*x*\[2*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)\]＞0恒成立，即函数*g*(*x*)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数*f*(*x*)是定义在R上的偶函数，则*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，则有*g*(－*x*)＝(－*x*)^2^*f*(－*x*)＝*x*^2^*f*(*x*)＝*g*(*x*)，即函数*g*(*x*)也为偶函数，则有*g*(－2)＝*g*(2)，且*g*(2)＜*g*(3)，则有*g*(－2)＜*g*(3)，即有4*f*(－2)＜9*f*(3)．**
**2．*f*(*x*)在(0，＋∞)上的导函数为*f*′(*x*)，*xf*′(*x*)＞2*f*(*x*)，则下列不等式成立的是( )**
**A．2 018^2^*f*(2 019)＞2 019^2^*f*(2 018)**
**B．2 018^2^*f*(2 019)＜2 019^2^*f*(2 018)**
**C．2 018*f*(2 019)＞2 019*f*(2 018)**
**D．2 018*f*(2 019)＜2 019*f*(2 018)**
**解析：选A 令*g*(*x*)＝()，*x*∈(0，＋∞)，则*g*′(*x*)＝()()＝()()＞0，**
**则*g*(*x*)在(0，＋∞)上为增函数，**
**即()＞()，**
**∴2 018^2^*f*(2 019)＞2 019^2^*f*(2 018)．**
**3．(2019·郑州质检)若对于任意的正实数*x*，*y*都有ln≤成立，则实数*m*的取值范围为( )**
**A. B.**
**C. D.**
**解析：选D 由ln≤，**
**可得ln≤.**
**设＝*t*，令*f*(*t*)＝(2e－*t*)·ln *t*，*t*＞0，**
**则*f*′(*t*)＝－ln *t*＋－1，令*g*(*t*)＝－ln *t*＋－1，*t*＞0，则*g*′(*t*)＝－－＜0，**
**∴*g*(*t*)在(0，＋∞)上单调递减，即*f*′(*t*)在(0，＋∞)上单调递减．**
**∵*f*′(e)＝0，∴*f*(*t*)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，**
**∴*f*(*t*)~max~＝*f*(e)＝e，∴e≤，**
**∴实数*m*的取值范围为.**
**4．设函数*f*(*x*)＝e*^x^*－(e为自然对数的底数)，若不等式*f*(*x*)≤0有正实数解，则实数*a*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：原问题等价于存在*x*∈(0，＋∞)，使得*a*≥e*^x^*(*x*^2^－3*x*＋3)，令*g*(*x*)＝e*^x^*(*x*^2^－3*x*＋3)，*x*∈(0，＋∞)，则*a*≥*g*(*x*)~min~.而*g*′(*x*)＝e*^x^*(*x*^2^－*x*)，由*g*′(*x*)＞0可得 *x*∈(1，＋∞)，由*g*′(*x*)＜0可得*x*∈(0,1)，∴函数*g*(*x*)在区间(0，＋∞)上的最小值为*g*(1)＝e.综上可得，实数*a*的最小值为e.**
**答案：e**
**5．(2018·武汉质检)已知*f*(*x*)＝*x*ln *x*，*g*(*x*)＝*x*^3^＋*ax*^2^－*x*＋2.**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)若对任意*x*∈(0，＋∞)，2*f*(*x*)≤*g*′(*x*)＋2恒成立，求实数*a*的取值范围．**
**解：(1)∵函数*f*(*x*)＝*x*ln *x*的定义域是(0，＋∞)，**
**∴*f*′(*x*)＝ln *x*＋1.**
**令*f*′(*x*)＜0，得ln *x*＋1＜0，解得0＜*x*＜，**
**∴*f*(*x*)的单调递减区间是.**
**令*f*′(*x*)＞0，得ln *x*＋1＞0，解得*x*＞，**
**∴*f*(*x*)的单调递增区间是.**
**综上，*f*(*x*)的单调递减区间是，单调递增区间是.**
**(2)∵*g*′(*x*)＝3*x*^2^＋2*ax*－1,2*f*(*x*)≤*g*′(*x*)＋2恒成立，∴2*x*ln *x*≤3*x*^2^＋2*ax*＋1恒成立．∵*x*＞0，∴*a*≥ln *x*－*x*－在*x*∈(0，＋∞)上恒成立．设*h*(*x*)＝ln *x*－*x*－(*x*＞0)，则*h*′(*x*)＝－＋＝－()().令*h*′(*x*)＝0，得*x*~1~＝1，*x*~2~＝－(舍去)．**
**当*x*变化时，*h*′(*x*)，*h*(*x*)的变化情况如下表：**
--------------- ----------- ------------ --------------
***x*** **(0,1)** **1** **(1，＋∞)**
***h*′(*x*)** **＋** **0** **－**
***h*(*x*)** **** **极大值** ****
--------------- ----------- ------------ --------------
**∴当*x*＝1时，*h*(*x*)取得极大值，也是最大值，且*h*(*x*)~max~＝*h*(1)＝－2，∴若*a*≥*h*(*x*)在*x*∈(0，＋∞)上恒成立，则*a*≥*h*(*x*)~max~＝－2，故实数*a*的取值范围是\[－2，＋∞)．**
**6．(2019·郑州质检)已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*a*(*x*＋1)，*a*∈R，在点(1，*f*(1))处的切线与*x*轴平行．**
**(1)求*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)若存在*x*~0~＞1，当*x*∈(1，*x*~0~)时，恒有*f*(*x*)－＋2*x*＋＞*k*(*x*－1)成立，求*k*的取值范围．**
**解：(1)由已知可得*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)．**
**∵*f*′(*x*)＝－*a*，∴*f*′(1)＝1－*a*＝0，∴*a*＝1，**
**∴*f*′(*x*)＝－1＝，**
**令*f*′(*x*)＞0，得0＜*x*＜1，令*f*′(*x*)＜0，得*x*＞1，**
**∴*f*(*x*)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．**
**(2)不等式*f*(*x*)－＋2*x*＋＞*k*(*x*－1)可化为ln *x*－＋*x*－＞*k*(*x*－1)．**
**令*g*(*x*)＝ln *x*－＋*x*－－*k*(*x*－1)(*x*＞1)，**
**则*g*′(*x*)＝－*x*＋1－*k*＝()，**
**令*h*(*x*)＝－*x*^2^＋(1－*k*)*x*＋1(*x*＞1)，则*h*(*x*)的对称轴为*x*＝.**
**①当≤1，即*k*≥－1时，易知*h*(*x*)在(1，*x*~0~)上单调递减，**
**∴*h*(*x*)＜*h*(1)＝1－*k*.**
**若*k*≥1，则*h*(*x*)＜0，∴*g*′(*x*)＜0，**
**∴*g*(*x*)在(1，*x*~0~)上单调递减，∴*g*(*x*)＜*g*(1)＝0，不合题意；**
**若－1≤*k*＜1，则*h*(1)＞0，∴必存在*x*~0~使得*x*∈(1，*x*~0~)时*g*′(*x*)＞0，∴*g*(*x*)在(1，*x*~0~)上单调递增，∴*g*(*x*)＞*g*(1)＝0恒成立，符合题意．**
**②当＞1，即*k*＜－1时，易知必存在*x*，使得*h*(*x*)在(1，*x*~0~)上单调递增．∴*h*(*x*)＞*h*(1)＝1－*k*＞0，∴*g*′(*x*)＞0，∴*g*(*x*)在(1，*x*~0~)上单调递增．∴*g*(*x*)＞*g*(1)＝0恒成立，符合题意．**
**综上，*k*的取值范围为(－∞，1)．**
**7．已知函数*f*(*x*)＝*x*e*^x^*＋(e为自然对数的底数)．**
**(1)求证：函数*f*(*x*)有唯一零点；**
**(2)若对任意*x*∈(0，＋∞)，*x*e*^x^*－ln *x*≥1＋*kx*恒成立，求实数*k*的取值范围．**
**解：(1)证明：*f*′(*x*)＝(*x*＋1)e*^x^*＋，*x*∈(0，＋∞)，**
**易知当0＜*x*＜1时，*f*′(*x*)＞0,**
**所以*f*(*x*)在区间(0,1)上为增函数，**
**又因为*f*＝＜0，*f*(1)＝e＞0，**
**所以*ff*(1)＜0，即*f*(*x*)在区间(0,1)上恰有一个零点，**
**由题可知*f*(*x*)＞0在(1，＋∞)上恒成立，即在(1，＋∞)上无零点，**
**所以*f*(*x*)在(0，＋∞)上有唯一零点．**
**(2)设*f*(*x*)的零点为*x*~0~，即*x*~0~e*x*~0~＋＝0.**
**原不等式可化为≥*k*，**
**令*g*(*x*)＝，则*g*′(*x*)＝，**
**由(1)可知*g*(*x*)在(0，*x*~0~) 上单调递减，在(*x*~0~，＋∞)上单调递增，**
**故*g*(*x*~0~) 为*g*(*x*)的最小值．**
**下面分析*x*~0~e*x*~0~＋＝0，**
**设*x*~0~e*x*~0~＝*t*，则＝－*t*，**
**可得即*x*~0~(1－*t*)＝ln *t*，**
**若*t*＞1，等式左负右正不相等；若*t*＜1，等式左正右负不相等，只能*t*＝1.**
**因此*g*(*x*~0~)＝＝－＝1，所以*k*≤1.**
**即实数*k*的取值范围为(－∞，1\]．**
第二课时 利用导数证明不等式
考点一 单变量不等式的证明
方法一 移项作差构造法证明不等式
**\[例1\] 已知函数*f*(*x*)＝1－，*g*(*x*)＝＋－*bx*(e为自然对数的底数)，若曲线*y*＝*f*(*x*)与曲线*y*＝*g*(*x*)的一个公共点是*A*(1,1)，且在点*A*处的切线互相垂直．**
**(1)求*a*，*b*的值；**
**(2)求证：当*x*≥1时，*f*(*x*)＋*g*(*x*)≥.**
**\[解\] (1)因为*f*(*x*)＝1－，**
**所以*f*′(*x*)＝，*f*′(1)＝－1.**
**因为*g*(*x*)＝＋－*bx*，所以*g*′(*x*)＝－－－*b*.**
**因为曲线*y*＝*f*(*x*)与曲线*y*＝*g*(*x*)的一个公共点是*A*(1,1)，且在点*A*处的切线互相垂直，**
**所以*g*(1)＝1，且*f*′(1)·*g*′(1)＝－1，**
**即*g*(1)＝*a*＋1－*b*＝1，*g*′(1)＝－*a*－1－*b*＝1，**
**解得*a*＝－1，*b*＝－1.**
**(2)证明：由(1)知，*g*(*x*)＝－＋＋*x*，**
**则*f*(*x*)＋*g*(*x*)≥⇔1－－－＋*x*≥0.**
**令*h*(*x*)＝1－－－＋*x*(*x*≥1)，**
**则*h*′(*x*)＝－＋＋＋1＝＋＋1.**
**因为*x*≥1，所以*h*′(*x*)＝＋＋1＞0，**
**所以*h*(*x*)在\[1，＋∞)上单调递增，所以*h*(*x*)≥*h*(1)＝0，**
**即1－－－＋*x*≥0，**
**所以当*x*≥1时，*f*(*x*)＋*g*(*x*)≥.**
**待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造"左减右"的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． **
方法二 隔离审查分析法证明不等式
**\[例2\] (2019·长沙模拟)已知函数*f*(*x*)＝e*x*^2^－*x*ln *x*．求证：当*x*＞0时，*f*(*x*)＜*x*e*^x^*＋.**
**\[证明\] 要证*f*(*x*)＜*x*e*^x^*＋，只需证e*x*－ln *x*＜e*^x^*＋，即e*x*－e*^x^*＜ln *x*＋.**
**令*h*(*x*)＝ln *x*＋(*x*＞0)，则*h*′(*x*)＝，**
**易知*h*(*x*)在上单调递减，在上单调递增，则*h*(*x*)~min~＝*h*＝0，所以ln *x*＋≥0.**
**再令*φ*(*x*)＝e*x*－e*^x^*，则*φ*′(*x*)＝e－e*^x^*，**
**易知*φ*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则*φ*(*x*)~max~＝*φ*(1)＝0，所以e*x*－e*^x^*≤0.**
**因为*h*(*x*)与*φ*(*x*)不同时为0，所以e*x*－e*^x^*＜ln *x*＋，故原不等式成立．**
**若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标． **
方法三、放缩法证明不等式
**\[例3\] 已知函数*f*(*x*)＝*ax*－ln *x*－1.**
**(1)若*f*(*x*)≥0恒成立，求*a*的最小值；**
**(2)求证：＋*x*＋ln *x*－1≥0；**
**(3)已知*k*(e^－*x*^＋*x*^2^)≥*x*－*x*ln *x*恒成立，求*k*的取值范围．**
**\[解\] (1)*f*(*x*)≥0等价于*a*≥.**
**令*g*(*x*)＝(*x*＞0)，则*g*′(*x*)＝－，**
**所以当*x*∈(0,1)时，*g*′(*x*)＞0，当*x*∈(1，＋∞)时，*g*′(*x*)＜0，**
**则*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以*g*(*x*)~max~＝*g*(1)＝1，则*a*≥1，**
**所以*a*的最小值为1.**
**(2)证明：当*a*＝1时，由(1)得*x*≥ln *x*＋1，**
**即*t*≥ln *t*＋1(*t*＞0)．**
**令＝*t*，则－*x*－ln *x*＝ln *t*，**
**所以≥－*x*－ln *x*＋1，**
**即＋*x*＋ln *x*－1≥0.**
**(3)因为*k*(e^－*x*^＋*x*^2^)≥*x*－*x*ln *x*恒成立，即*k*≥1－ln *x*恒成立，**
**所以*k*≥＝－＋1，**
**由(2)知＋*x*＋ln *x*－1≥0恒成立，**
**所以－＋1≤1，所以*k*≥1.**
**故*k*的取值范围为\[1，＋∞)．**
**导数的综合应用题中，最常见就是e*^x^*和ln *x*与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对e*^x^*和ln *x*进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：**
**(1)e*^x^*≥1＋*x*，当且仅当*x*＝0时取等号；**
**(2)e*^x^*≥e*x*，当且仅当*x*＝1时取等号；**
**(3)当*x*≥0时，e*^x^*≥1＋*x*＋*x*^2,^ 当且仅当*x*＝0时取等号；**
**(4)当*x*≥0时，e*^x^*≥*x*^2^＋1, 当且仅当*x*＝0时取等号；**
**(5)≤ln *x*≤*x*－1≤*x*^2^－*x*，当且仅当*x*＝1时取等号；**
**(6)当*x*≥1时，()≤ln *x*≤，当且仅当*x*＝1时取等号． **
考点二 双变量不等式的证明
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*ax*^2^＋*x*，*a*∈R.**
**(1)当*a*＝0时，求函数*f*(*x*)的图象在(1，*f*(1))处的切线方程；**
**(2)若*a*＝－2，正实数*x*~1~，*x*~2~满足*f*(*x*~1~)＋*f*(*x*~2~)＋*x*~1~*x*~2~＝0，求证：*x*~1~＋*x*~2~≥.**
**\[解\] (1)当*a*＝0时，*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*，则*f*(1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为*f* ′(*x*)＝＋1，所以切线斜率*k*＝*f*′(1) ＝2，**
**故切线方程为*y*－1＝2(*x*－1)，即2*x*－*y*－1＝0.**
**(2)证明：当*a*＝－2时，*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*^2^＋*x*(*x*＞0)．**
**由*f*(*x*~1~)＋*f*(*x*~2~)＋*x*~1~*x*~2~＝0，**
**即ln *x*~1~＋*x*＋*x*~1~＋ln *x*~2~＋*x*＋*x*~2~＋*x*~1~*x*~2~＝0，**
**从而(*x*~1~＋*x*~2~)^2^＋(*x*~1~＋*x*~2~)＝*x*~1~*x*~2~－ln(*x*~1~*x*~2~)，**
**令*t*＝*x*~1~*x*~2~，设*φ*(*t*)＝*t*－ln *t*(*t*＞0)，**
**则*φ*′(*t*)＝1－＝，**
**易知*φ*(*t*)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以*φ*(*t*)≥*φ*(1)＝1，**
**所以(*x*~1~＋*x*~2~)^2^＋(*x*~1~＋*x*~2~)≥1，**
**因为*x*~1~＞0，*x*~2~＞0，所以*x*~1~＋*x*~2~≥成立．**
**破解含双参不等式的证明的关键**
**一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；**
**二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；**
**三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． **
**\[题组训练\]**
** 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋.**
**(1)求*f*(*x*)的最小值；**
**(2)若方程*f*(*x*)＝*a*有两个根*x*~1~，*x*~2~(*x*~1~＜*x*~2~)，求证：*x*~1~＋*x*~2~＞2*a*.**
**解：(1)因为*f*′(*x*)＝－＝(*x*＞0)，**
**所以当*a*≤0时，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，函数无最小值．**
**当*a*＞0时，*f*(*x*)在(0，*a*)上单调递减，在(*a*，＋∞)上单调递增．**
**函数*f*(*x*)在*x*＝*a*处取最小值*f*(*a*)＝ln *a*＋1.**
**(2)证明：若函数*y*＝*f*(*x*)的两个零点为*x*~1~，*x*~2~(*x*~1~＜*x*~2~)，**
**由(1)可得0＜*x*~1~＜*a*＜*x*~2~.**
**令*g*(*x*)＝*f*(*x*)－*f*(2*a*－*x*)(0＜*x*＜*a*)，**
**则*g*′(*x*)＝(*x*－*a*)()＝－()()＜0，**
**所以*g*(*x*)在(0，*a*)上单调递减，*g*(*x*)＞*g*(*a*)＝0，**
**即*f*(*x*)＞*f*(2*a*－*x*)．**
**令*x*＝*x*~1~＜*a*，则*f*(*x*~1~)＞*f*(2*a*－*x*~1~)，所以*f*(*x*~2~)＝*f*(*x*~1~)＞*f*(2*a*－*x*~1~)，**
**由(1)可得*f*(*x*)在(*a*，＋∞)上单调递增，所以*x*~2~＞2*a*－*x*~1~，**
**故*x*~1~＋*x*~2~＞2*a*.**
考点三 证明与数列有关的不等式
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln(*x*＋1)＋.**
**(1)若*x*＞0时，*f*(*x*)＞1恒成立，求*a*的取值范围；**
**(2)求证：ln(*n*＋1)＞＋＋＋...＋(*n*∈N^\*^)．**
**\[解\] (1)由ln(*x*＋1)＋＞1，得**
***a*＞(*x*＋2)－(*x*＋2)ln(*x*＋1)．**
**令*g*(*x*)＝(*x*＋2)\[1－ln(*x*＋1)\]，**
**则*g*′(*x*)＝1－ln(*x*＋1)－＝－ln(*x*＋1)－.**
**当*x*＞0时，*g*′(*x*)＜0，所以*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减．**
**所以*g*(*x*)＜*g*(0)＝2，故*a*的取值范围为\[2，＋∞)．**
**(2)证明：由(1)知ln(*x*＋1)＋＞1(*x*＞0)，**
**所以ln(*x*＋1)＞.**
**令*x*＝(*k*＞0)，得ln＞，**
**即ln＞.**
**所以ln＋ln＋ln** **＋...＋ln＞＋＋＋...＋，**
**即ln(*n*＋1)＞＋＋＋...＋(*n*∈N^\*^)．**
**证明与数列有关的不等式的策略**
**(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数*n*的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．**
**(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如e*^x^*＞*x*＋1可化为ln(*x*＋1)＜*x*等． **
**\[题组训练\]**
** (2019·长春质检)已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*，*g*(*x*)＝ ln(*x*＋*a*)＋*b*.**
**(1)若函数*f*(*x*)与*g*(*x*)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求*a*，*b*的值；**
**(2)当*b*＝0时，*f*(*x*)－*g*(*x*)＞0恒成立，求整数*a*的最大值；**
**(3)求证：ln 2＋(ln 3－ln 2)^2^＋(ln 4－ln 3)^3^＋...＋\[ln(*n*＋1)－ln *n*\]*^n^*＜(*n*∈N^\*^)．**
**解：(1)因为函数*f*(*x*)和*g*(*x*)的图象在点(0,1)处有相同的切线，所以*f*(0)＝*g*(0)且*f*′(0)＝*g*′(0)，**
**又因为*f*′(*x*)＝e*^x^*，*g*′(*x*)＝，所以1＝ln *a*＋*b,*1＝，**
**解得*a*＝1，*b*＝1.**
**(2)现证明e*^x^*≥*x*＋1，设*F*(*x*)＝e*^x^*－*x*－1，则*F*′(*x*)＝e*^x^*－1，当*x*∈(0，＋∞)时，*F*′(*x*)＞0，当*x*∈(－∞，0)时，*F*′(*x*)＜0，所以*F*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以*F*(*x*)~min~＝*F*(0)＝0，即*F*(*x*)≥0恒成立，**
**即e*^x^*≥*x*＋1.**
**同理可得ln(*x*＋2)≤*x*＋1，即e*^x^*＞ln(*x*＋2)，**
**当*a*≤2时，ln(*x*＋*a*)≤ln(*x*＋2)＜e*^x^*，**
**所以当*a*≤2时，*f*(*x*)－*g*(*x*)＞0恒成立．**
**当*a*≥3时，e^0^＜ln *a*，即e*^x^*－ln(*x*＋*a*)＞0不恒成立．**
**故整数*a*的最大值为2.**
**(3)证明：由(2)知e*^x^*＞ln(*x*＋2)，令*x*＝，**
**则e＞ln，**
**即e^－*n*＋1^＞*^n^*＝\[ln(*n*＋1)－ln *n*\]*^n^*，**
**所以e^0^＋e^－1^＋e^－2^＋...＋e^－*n*＋1^＞ln 2＋(ln 3－ln 2)^2^＋(ln 4－ln 3)^3^＋...＋\[ln(*n*＋1)－ln *n*\]*^n^*，**
**又因为e^0^＋e^－1^＋e^－2^＋...＋e^－*n*＋1^＝＜＝，**
**所以ln 2＋(ln 3－ln 2)^2^＋(ln 4－ln 3)^3^＋...＋\[ln(*n*＋1)－ln *n*\]*^n^*＜.**
**1．(2019·唐山模拟)已知*f*(*x*)＝*x*^2^－*a*^2^ln *x*，*a*＞0.**
**(1)求函数*f*(*x*)的最小值；**
**(2)当*x*＞2*a*时，证明：()()＞*a*.**
**解：(1)函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，**
***f*′(*x*)＝*x*－＝()().**
**当*x*∈(0，*a*)时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈(*a*，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增．**
**所以当*x*＝*a*时，*f*(*x*)取得极小值，也是最小值，且*f*(*a*)＝*a*^2^－*a*^2^ln *a*.**
**(2)证明：由(1)知，*f*(*x*)在(2*a*，＋∞)上单调递增，**
**则所证不等式等价于*f*(*x*)－*f*(2*a*)－*a*(*x*－2*a*)＞0.**
**设*g*(*x*)＝*f*(*x*)－*f*(2*a*)－*a*(*x*－2*a*)，**
**则当*x*＞2*a*时，**
***g*′(*x*)＝*f*′(*x*)－*a*＝*x*－－*a***
**＝()()＞0，**
**所以*g*(*x*)在(2*a*，＋∞)上单调递增，**
**当*x*＞2*a*时，*g*(*x*)＞*g*(2*a*)＝0，**
**即*f*(*x*)－*f*(2*a*)－*a*(*x*－2*a*)＞0，**
**故()()＞*a*.**
**2．(2018·黄冈模拟)已知函数*f*(*x*)＝*λ*ln *x*－e^－*x*^(*λ*∈R)．**
**(1)若函数*f*(*x*)是单调函数，求*λ*的取值范围；**
**(2)求证：当0＜*x*~1~＜*x*~2~时，e1－*x*~2~－e1－*x*~1~＞1－.**
**解：(1)函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，**
**∵*f*(*x*)＝*λ*ln *x*－e^－*x*^，**
**∴*f*′(*x*)＝＋e^－*x*^＝，**
**∵函数*f*(*x*)是单调函数，∴*f*′(*x*)≤0或*f*′(*x*)≥0在(0，＋∞)上恒成立，**
**①当函数*f*(*x*)是单调递减函数时，*f*′(*x*)≤0，∴≤0，即*λ*＋*x*e^－*x*^≤0，*λ*≤－*x*e^－*x*^＝－.**
**令*φ*(*x*)＝－，则*φ*′(*x*)＝，**
**当0＜*x*＜1时，*φ*′(*x*)＜0；当*x*＞1时，*φ*′(*x*)＞0，**
**则*φ*(*x*)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当*x*＞0时，*φ*(*x*)~min~＝*φ*(1)＝－，∴*λ*≤－.**
**②当函数*f*(*x*)是单调递增函数时，*f*′(*x*)≥0，∴≥0，即*λ*＋*x*e^－*x*^≥0，*λ*≥－*x*e^－*x*^＝－，**
**由①得*φ*(*x*)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又∵*φ*(0)＝0，当*x*―→＋∞时，*φ*(*x*)＜0，∴*λ*≥0.**
**综上，*λ*的取值范围为∪\[0，＋∞)．**
**(2)证明：由(1)可知，当*λ*＝－时，*f*(*x*)＝－ln *x*－e^－*x*^在(0，＋∞)上单调递减，**
**∵0＜*x*~1~＜*x*~2~，**
**∴*f*(*x*~1~)＞*f*(*x*~2~)，即－ln *x*~1~－e－*x*~1~＞－ln *x*~2~－e－*x*~2~，**
**∴e1－*x*~2~－e1－*x*~1~＞ln *x*~1~－ln *x*~2~.**
**要证e1－*x*~2~－e1－*x*~1~＞1－，只需证ln *x*~1~－ln *x*~2~＞1－，即证ln** **＞1－，**
**令*t*＝，*t*∈(0,1)，则只需证ln *t*＞1－，**
**令*h*(*t*)＝ln *t*＋－1，则当0＜*t*＜1时，*h*′(*t*)＝＜0，**
**∴*h*(*t*)在(0,1)上单调递减，又∵*h*(1)＝0，∴*h*(*t*)＞0，即ln *t*＞1－，故原不等式得证．**
**3．(2019·贵阳模拟)已知函数*f*(*x*)＝*kx*－ln *x*－1(*k*＞0)．**
**(1)若函数*f*(*x*)有且只有一个零点，求实数*k*的值；**
**(2)求证：当*n*∈N^\*^时，1＋＋＋...＋＞ln(*n*＋1)．**
**解：(1)∵*f*(*x*)＝*kx*－ln *x*－1，∴*f*′(*x*)＝*k*－＝(*x*＞0，*k*＞0)；当0＜*x*＜时，*f*′(*x*)＜0；当*x*＞时，*f*′(*x*)＞0.**
**∴*f*(*x*)在上单调递减，在上单调递增，**
**∴*f*(*x*)~min~＝*f*＝ln *k*，**
**∵*f*(*x*)有且只有一个零点，**
**∴ln *k*＝0，∴*k*＝1.**
**(2)证明：由(1)知*x*－ln *x*－1≥0，即*x*－1≥ln *x*，当且仅当*x*＝1时取等号，**
**∵*n*∈N^\*^，令*x*＝，得＞ln** **，**
**∴1＋＋＋...＋＞ln＋ln＋...＋ln＝ln(*n*＋1)，**
**故1＋＋＋...＋＞ln(*n*＋1)．**
第三课时 导数与函数的零点问题
考点一 判断函数零点的个数
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝ln *x*＋，*m*∈R.讨论函数*g*(*x*)＝*f*′(*x*)－零点的个数．**
**\[解\] 由题设，*g*(*x*)＝*f*′(*x*)－＝－－(*x*＞0)，**
**令*g*(*x*)＝0，得*m*＝－*x*^3^＋*x*(*x*＞0)．**
**设*φ*(*x*)＝－*x*^3^＋*x*(*x*＞0)，**
**则*φ*′(*x*)＝－*x*^2^＋1＝－(*x*－1)(*x*＋1)，**
**当*x*∈(0,1)时，*φ*′(*x*)＞0，*φ*(*x*)在(0,1)上单调递增；**
**当*x*∈(1，＋∞)时，*φ*′(*x*)＜0，*φ*(*x*)在(1，＋∞)上单调递减．**
**所以*x*＝1是*φ*(*x*)的极大值点，也是*φ*(*x*)的最大值点．**
**所以*φ*(*x*)的最大值为*φ*(1)＝.**
**由*φ*(0)＝0，结合*y*＝*φ*(*x*)的图象(如图)，**
**可知①当*m*＞时，函数*g*(*x*)无零点；**
**②当*m*＝时，函数*g*(*x*)有且只有一个零点；**
**③当0＜*m*＜时，函数*g*(*x*)有两个零点；**
**④当*m*≤0时，函数*g*(*x*)有且只有一个零点．**
**综上所述，当*m*＞时，函数*g*(*x*)无零点；**
**当*m*＝或*m*≤0时，函数*g*(*x*)有且只有一个零点；**
**当0＜*m*＜时，函数*g*(*x*)有两个零点．**
** **
**\[题组训练\]**
**1．已知函数*f*(*x*)＝3ln *x*－*x*^2^＋2*x*－3ln 3－，求方程*f*(*x*)＝0的解的个数．**
**解：因为*f*(*x*)＝3ln *x*－*x*^2^＋2*x*－3ln 3－(*x*＞0)，**
**所以*f*′(*x*)＝－*x*＋2＝＝()()，**
**当*x*∈(0,3)时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增；**
**当*x*∈(3，＋∞)时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减，**
**所以*f*(*x*)~max~＝*f*(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0，**
**因为当*x*→0时，*f*(*x*)→－∞；当*x*→＋∞时，*f*(*x*)→－∞，**
**所以方程*f*(*x*)＝0只有一个解．**
**2．设*f*(*x*)＝*x*－－2ln *x*.**
**(1)求证：当*x*≥1时，*f*(*x*)≥0恒成立；**
**(2)讨论关于*x*的方程*x*－－*f*(*x*)＝*x*^3^－2e*x*^2^＋*tx*根的个数．**
**解：(1)证明：*f*(*x*)＝*x*－－2ln *x*的定义域为(0，＋∞)．**
**∵*f*′(*x*)＝1＋－＝＝()≥0，**
**∴*f*(*x*)在\[1，＋∞)上是单调增函数，**
**∴*f*(*x*)≥*f*(1)＝1－1－2ln 1＝0对于*x*∈\[1，＋∞)恒成立．**
**故当*x*≥1时，*f*(*x*)≥0恒成立得证．**
**(2)化简方程得2ln *x*＝*x*^3^－2e*x*^2^＋*tx*.**
**注意到*x*＞0，则方程可变为＝*x*^2^－2e*x*＋*t*.**
**令*L*(*x*)＝，*H*(*x*)＝*x*^2^－2e*x*＋*t*，**
**则*L*′(*x*)＝().**
**当*x*∈(0，e)时，*L*′(*x*)＞0，∴*L*(*x*)在(0，e)上为增函数；**
**当*x*∈(e，＋∞)时，*L*′(*x*)＜0，∴*L*(*x*)在(e，＋∞)上为减函数．**
**∴当*x*＝e时，*L*(*x*)~max~＝*L*(e)＝.**
**函数*L*(*x*)＝，*H*(*x*)＝(*x*－e)^2^＋*t*－e^2^在同一坐标系内的大致图象如图所示．**
**由图象可知，①当*t*－e^2^＞，即*t*＞e^2^＋时，方程无实数根；**
**②当*t*－e^2^＝，即*t*＝e^2^＋时，方程有一个实数根；**
**③当*t*－e^2^＜，即*t*＜e^2^＋时，方程有两个实数根．**
考点二 由函数零点个数求参数
**\[典例\] (2018·全国卷Ⅱ)已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*^2^.**
**(1)若*a*＝1，证明：当*x*≥0时，*f*(*x*)≥1；**
**(2)若*f*(*x*)在(0，＋∞)只有一个零点，求*a*.**
**\[解\] (1)证明：当*a*＝1时，*f*(*x*)≥1等价于(*x*^2^＋1)e^－*x*^－1≤0.**
**设函数*g*(*x*)＝(*x*^2^＋1)e^－*x*^－1，**
**则*g*′(*x*)＝－(*x*^2^－2*x*＋1)e^－*x*^＝－(*x*－1)^2^e^－*x*^.**
**当*x*≠1时，*g*′(*x*)＜0，**
**所以*g*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减．**
**而*g*(0)＝0，故当*x*≥0时，*g*(*x*)≤0，即*f*(*x*)≥1.**
**(2)设函数*h*(*x*)＝1－*ax*^2^e^－*x*^.**
***f*(*x*)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于*h*(*x*)在(0，＋∞)上只有一个零点．**
**(ⅰ)当*a*≤0时，*h*(*x*)＞0，*h*(*x*)没有零点；**
**(ⅱ)当*a*＞0时，*h*′(*x*)＝*ax*(*x*－2)e^－*x*^.**
**当*x*∈(0,2)时，*h*′(*x*)＜0；当*x*∈(2，＋∞)时，*h*′(*x*)＞0.**
**所以*h*(*x*)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．**
**故*h*(2)＝1－是*h*(*x*)在(0，＋∞)上的最小值．**
**①当*h*(2)＞0，即*a*＜时，*h*(*x*)在(0，＋∞)上没有零点．**
**②当*h*(2)＝0，即*a*＝时，*h*(*x*)在(0，＋∞)上只有一个零点．**
**③当*h*(2)＜0，即*a*＞时，因为*h*(0)＝1，所以*h*(*x*)在(0,2)上有一个零点．**
**由(1)知，当*x*＞0时，e*^x^*＞*x*^2^，所以*h*(4*a*)＝1－＝1－()＞1－()＝1－＞0，故*h*(*x*)在(2,4*a*)上有一个零点．因此*h*(*x*)在(0，＋∞)上有两个零点．**
**综上，当*f*(*x*)在(0，＋∞)上只有一个零点时，*a*＝.**
**根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是"数形结合"，即通过函数图象与*x*轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是"先形后数"． **
**\[题组训练\]**
**1．(2019·安阳一模)已知函数*f*(*x*)＝＋与*g*(*x*)＝6*x*＋*a*的图象有3个不同的交点，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：原问题等价于函数*h*(*x*)＝＋－6*x*与函数*y*＝*a*的图象有3个不同的交点，**
**由*h*′(*x*)＝*x*^2^＋*x*－6＝(*x*－2)(*x*＋3)，得*x*＝2或*x*＝－3，**
**当*x*∈(－∞，－3)时，*h*′(*x*)＞0，*h*(*x*)单调递增；**
**当*x*∈(－3,2)时，*h*′(*x*)＜0，*h*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈(2，＋∞)时，*h*′(*x*)＞0，*h*(*x*)单调递增．**
**且*h*(－3)＝，*h*(2)＝－，**
**数形结合可得*a*的取值范围是.**
**答案：**
**2．(2019·赣州模拟)若函数*f*(*x*)＝*a*e*^x^*－*x*－2*a*有两个零点，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**解析：∵*f*(*x*)＝*a*e*^x^*－*x*－2*a*，∴*f*′(*x*)＝*a*e*^x^*－1.**
**当*a*≤0时，*f*′(*x*)≤0恒成立，函数*f*(*x*)在R上单调递减，不可能有两个零点；**
**当*a*＞0时，令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝ln，函数*f*(*x*)在 上单调递减，在上单调递增，**
**∴*f*(*x*)的最小值为*f*＝1－ln－2*a*＝1＋ln *a*－2*a*.**
**令*g*(*a*)＝1＋ln *a*－2*a*(*a*＞0)，则*g*′(*a*)＝－2.**
**当*a*∈时，*g*(*a*)单调递增；当*a*∈时，*g*(*a*)单调递减，**
**∴*g*(*a*)~max~＝*g*＝－ln 2＜0，**
**∴*f*(*x*)的最小值为*f*＜0，函数*f*(*x*)＝*a*e*^x^*－*x*－2*a*有两个零点．**
**综上所述，实数*a*的取值范围是(0，＋∞)．**
**答案：(0，＋∞)**
**1．设*a*为实数，函数*f*(*x*)＝－*x*^3^＋3*x*＋*a*.**
**(1)求*f*(*x*)的极值；**
**(2)是否存在实数*a*，使得方程*f*(*x*)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数*a*的值；若不存在，请说明理由．**
**解：(1)*f*′(*x*)＝－3*x*^2^＋3，令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝－1或*x*＝1.**
**∵当*x*∈(－∞，－1)时，*f*′(*x*)＜0；当*x*∈(－1,1)时，*f*′(*x*)＞0；当*x*∈(1，＋∞)时，*f*′(*x*)＜0，**
**∴*f*(*x*)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．**
**∴*f*(*x*)的极小值为*f*(－1)＝*a*－2，极大值为*f*(1)＝*a*＋2.**
**(2)方程*f*(*x*)＝0恰好有两个实数根，等价于直线*y*＝*a*与函数*y*＝*x*^3^－3*x*的图象有两个交点．∵*y*＝*x*^3^－3*x*，∴*y*′＝3*x*^2^－3.令*y*′＞0，解得*x*＞1或*x*＜－1；令*y*′＜0，解得－1＜*x*＜1.**
**∴*y*＝*x*^3^－3*x*在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当*x*＝－1时，*y*~极大值~＝2；当*x*＝1时，*y*~极小值~＝－2.∴*y*＝*x*^3^－3*x*的大致图象如图所示．**
***y*＝*a*表示平行于*x*轴的一条直线，由图象知，当*a*＝2或*a*＝－2时，*y*＝*a*与*y*＝*x*^3^－3*x*有两个交点．**
**故当*a*＝2或*a*＝－2时，方程*f*(*x*)＝0恰好有两个实数根．**
**2．(2019·锦州联考)已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*＋*ax*－*a*(*a*∈R且*a*≠0)．**
**(1)若函数*f*(*x*)在*x*＝0处取得极值，求实数*a*的值，并求此时*f*(*x*)在\[－2,1\]上的最大值；**
**(2)若函数*f*(*x*)不存在零点，求实数*a*的取值范围．**
**解：(1)由*f*(*x*)＝e*^x^*＋*ax*－*a*，得*f*′(*x*)＝e*^x^*＋*a*.∵函数*f*(*x*)在*x*＝0处取得极值，∴*f*′(0)＝e^0^＋*a*＝0，∴*a*＝－1.∴*f*(*x*)＝e*^x^*－*x*＋1，*f*′(*x*)＝e*^x^*－1.∴当*x*∈(－∞，0)时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；当*x*∈(0，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增．易知*f*(*x*)在\[－2,0)上单调递减，在(0,1\]上单调递增，且*f*(－2)＝＋3，*f*(1)＝e，*f*(－2)＞*f*(1)，**
**∴*f*(*x*)在\[－2,1\]上的最大值是＋3.**
**(2)*f*′(*x*)＝e*^x^*＋*a*.**
**①当*a*＞0时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)在R上单调递增，且当*x*＞1时，*f*(*x*)＝e*^x^*＋*a*(*x*－1)＞0；**
**当*x*＜0时，取*x*＝－，则*f*＜1＋*a*＝－*a*＜0，∴函数*f*(*x*)存在零点，不满足题意．**
**②当*a*＜0时，令*f*′(*x*)＝e*^x^*＋*a*＝0，则*x*＝ln(－*a*)．**
**当*x*∈(－∞，ln(－*a*))时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈(ln(－*a*)，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0 ，*f*(*x*)单调递增，**
**∴当*x*＝ln(－*a*)时，*f*(*x*)取得极小值，也是最小值．**
**函数*f*(*x*)不存在零点，等价于*f*(ln(－*a*))＝e^ln(－*a*)^＋*a*ln(－*a*)－*a*＝－2*a*＋*a*ln(－*a*)＞0，解得－e^2^＜*a*＜0.**
**综上所述，所求实数*a*的取值范围是(－e^2,^0)．**
**3．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋－(*a*∈R且*a*≠0)．**
**(1)讨论函数*f*(*x*)的单调性；**
**(2)当*x*∈时，试判断函数*g*(*x*)＝(ln *x*－1)e*^x^*＋*x*－*m*的零点个数．**
**解：(1)*f*′(*x*)＝(*x*＞0)，**
**当*a*＜0时，*f*′(*x*)＞0恒成立，函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**当*a*＞0时，由*f*′(*x*)＝＞0，得*x*＞，**
**由*f*′(*x*)＝＜0，得0＜*x*＜，**
**函数*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**综上所述，当*a*＜0时，函数*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**当*a*＞0时，函数*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**(2)当*x*∈时，函数*g*(*x*)＝(ln *x*－1)e*^x^*＋*x*－*m*的零点个数，等价于方程(ln *x*－1)e*^x^*＋*x*＝*m*的根的个数．**
**令*h*(*x*)＝(ln *x*－1)e*^x^*＋*x*，**
**则*h*′(*x*)＝e*^x^*＋1.**
**由(1)知当*a*＝1时，*f*(*x*)＝ln *x*＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，**
**∴当*x*∈时，*f*(*x*)≥*f*(1)＝0.**
**∴＋ln *x*－1≥0在*x*∈上恒成立．**
**∴*h*′(*x*)＝e*^x^*＋1≥0＋1＞0，**
**∴*h*(*x*)＝(ln *x*－1)e*^x^*＋*x*在*x*∈上单调递增，**
**∴*h*(*x*)~min~＝*h*＝－2e＋，*h*(*x*)~max~＝*h*(e)＝e.**
**∴当*m*＜－2e＋或 *m*＞e时，函数*g*(*x*)在上没有零点；**
**当－2e＋≤*m*≤e时，函数*g*(*x*)在上有一个零点．**
**4．(2019·益阳、湘潭调研)已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*ax*^2^＋*x*，*a*∈R.**
**(1)当*a*＝0时，求曲线*y*＝*f*(*x*)在点(e，*f*(e))处的切线方程；**
**(2)讨论*f*(*x*)的单调性；**
**(3)若*f*(*x*)有两个零点，求*a*的取值范围．**
**解：(1)当*a*＝0时，*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*，*f*(e)＝e＋1，*f*′(*x*)＝＋1，*f*′(e)＝1＋，∴曲线*y*＝*f*(*x*)在点(e，*f*(e))处的切线方程为*y*－(e＋1)＝(*x*－e)，即*y*＝*x*.**
**(2)*f*′(*x*)＝(*x*＞0)，**
**①当*a*≤0时，显然*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**②当*a*＞0时，令*f*′(*x*)＝＝0，则－2*ax*^2^＋*x*＋1＝0，易知*Δ*＞0恒成立．**
**设方程的两根分别为*x*~1~，*x*~2~(*x*~1~＜*x*~2~)，则*x*~1~*x*~2~＝－＜0，∴*x*~1~＜0＜*x*~2~，**
**∴*f*′(*x*)＝＝()()(*x*＞0)．**
**由*f*′(*x*)＞0得*x*∈(0，*x*~2~)，由*f*′(*x*)＜0得*x*∈(*x*~2~，＋∞)，其中*x*~2~＝，**
**∴函数*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**(3)函数*f*(*x*)有两个零点，等价于方程*a*＝有两解．**
**令*g*(*x*)＝(*x*＞0)，则*g*′(*x*)＝.**
**由*g*′(*x*)＝＞0，得2ln *x*＋*x*＜1，解得0＜*x*＜1，**
**∴*g*(*x*)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，**
**又∵当*x*≥1时，*g*(*x*)＞0，当*x*→0时，*g*(*x*)→－∞，当*x*→＋∞时，*g*(*x*)→0，**
**∴作出函数*g*(*x*)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当*a*∈(0,1)时符合题意．**
**下面给出证明：**
**当*a*≥1时，*a*≥*g*(*x*)~max~，方程至多一解，不符合题意；**
**当*a*≤0时，方程至多一解，不符合题意；**
**当*a*∈(0,1)时，*g*＜0，∴*g*－*a*＜0，**
***g*＝＜＝*a*，**
**∴*g*－*a*＜0.**
**∴方程在与上各有一个根，**
**∴若*f*(*x*)有两个零点，*a*的取值范围为(0,1)．**
第四节 导数压轴专项突破
第一课时 分类讨论的"界点"确定
考点一 根据二次项系数确定分类"界点"
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋*x*＋1，*g*(*x*)＝*x*^2^＋2*x*.**
**(1)求函数*φ*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)的极值；**
**(2)若*m*为整数，对任意的*x*＞0都有*f*(*x*)－*mg*(*x*)≤0成立，求实数*m*的最小值．**
**\[解题观摩\] (1)由*φ*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)＝ln *x*＋*x*＋1－*x*^2^－2*x*＝ln *x*－*x*^2^－*x*＋1(*x*＞0)，**
**得*φ*′(*x*)＝－2*x*－1＝(*x*＞0)，**
**令*φ*′(*x*)＞0，解得0＜*x*＜，令*φ*′(*x*)＜0，解得*x*＞，**
**所以函数*φ*(*x*)的单调递增区间是，单调递减区间是，故函数*φ*(*x*)的极大值是*φ*＝ln－－＋1＝－ln 2，函数*φ*(*x*)无极小值．**
**(2)设*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*mg*(*x*)＝ln *x*－*mx*^2^＋(1－2*m*)*x*＋1，则*h*′(*x*)＝－2*mx*＋1－2*m*＝()＝()()(*x*＞0)．**
**当*m*≤0时，**
**因为*x*＞0，所以2*mx*－1＜0，*x*＋1＞0，**
**所以*h*′(*x*)＞0，故*h*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增，**
**又因为*h*(1)＝ln 1－*m*×1^2^＋(1－2*m*)＋1＝－3*m*＋2＞0，不满足题意，所以舍去．**
**当*m*＞0时，令*h*′(*x*)＞0，得0＜*x* ＜，**
**令*h*′(*x*)＜0，得*x*＞，**
**故*h*(*x*)在上单调递增，在上单调递减，**
**所以*h*(*x*)~max~＝*h*＝ln－*m*·^2^＋(1－2*m*)·＋1＝－ln(2*m*)．**
**令*t*(*m*)＝－ln(2*m*)(*m*＞0)，显然*t*(*m*)在(0，＋∞)上单调递减，且*t*＝＞0，*t*(1)＝－ln 2＝(1－ln 16)＜0，故当*m*≥1时，*t*(*m*)＜0，满足题意，故整数*m*的最小值为1.**
**导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论：**
**(1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数；**
**(2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点．**
考点二 根据判别式确定分类"界点"
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝(1＋*ax*^2^)e*^x^*－1，当*a*≥0时，讨论函数*f*(*x*)的单调性．**
**\[解题观摩\] 由题易得*f*′(*x*)＝(*ax*^2^＋2*ax*＋1)e*^x^*，**
**当*a*＝0时，*f*′(*x*)＝e*^x^*＞0，此时*f*(*x*)在R上单调递增．**
**当*a*＞0时，方程*ax*^2^＋2*ax*＋1＝0的判别式*Δ*＝4*a*^2^－4*a*.**
**①当0＜*a*≤1时，*Δ*≤0，*ax*^2^＋2*ax*＋1≥0恒成立，所以*f*′(*x*)≥0，此时*f*(*x*)在R上单调递增；**
**②当*a*＞1时，令*f*′(*x*)＝0，解得*x*~1~＝－1－** **，*x*~2~＝－1＋** **.**
**当*x*变化时，*f*′(*x*)，*f*(*x*)的变化情况如下表：**
--------------- ------------------- ------------ ---------------------- ------------ -------------------
***x*** **(－∞，*x*~1~)** ***x*~1~** **(*x*~1~，*x*~2~)** ***x*~2~** **(*x*~2~，＋∞)**
***f*′(*x*)** **＋** **0** **－** **0** **＋**
***f*(*x*)** **** **极大值** **** **极小值** ****
--------------- ------------------- ------------ ---------------------- ------------ -------------------
**所以*f*(*x*)在和上单调递增，在上单调递减．**
**综上，当0≤*a*≤1时，*f*(*x*)在R上单调递增；当*a*＞1时，*f*(*x*)在和上单调递增，在上单调递减．**
**求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数是二次函数或与二次函数有关，此时涉及二次方程问题，*Δ*与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论． **
**考点三** 根据导函数零点的大小确定分类"界点"
**\[典例\] 已知*f*(*x*)＝(*x*^2^－*ax*)ln *x*－*x*^2^＋2*ax*，求*f*(*x*)的单调递减区间．**
**\[解题观摩\] 易得*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，**
***f*′(*x*)＝(2*x*－*a*)ln *x*＋*x*－*a*－3*x*＋2*a*＝(2*x*－*a*)ln *x*－(2*x*－*a*)＝(2*x*－*a*)(ln *x*－1)，**
**令*f*′(*x*)＝0得*x*＝或*x*＝e.**
**当*a*≤0时，因为*x*＞0，所以2*x*－*a*＞0，**
**令*f*′(*x*)＜0得*x*＜e，所以*f*(*x*)的单调递减区间为(0，e)．**
**当*a*＞0时，**
**①若＜e，即0＜*a*＜2e，当*x*∈时，*f*′(*x*)＞0，**
**当*x*∈时，*f*′(*x*)＜0，当*x*∈(e，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，所以*f*(*x*)的单调递减区间为；**
**②若＝e，即*a*＝2e，当*x*∈(0，＋∞)时，*f*′(*x*)≥0恒成立，*f*(*x*)没有单调递减区间；**
**③若＞e，即*a*＞2e，当*x*∈(0，e)时，*f*′(*x*)＞0，当*x*∈时，*f*′(*x*)＜0，当*x*∈时，*f*′(*x*)＞0，所以*f*(*x*)的单调递减区间为.**
**综上所述，当*a*≤0时，*f*(*x*)的单调递减区间为(0，e)；当0＜*a*＜2e时，*f*(*x*)的单调递减区间为；当*a*＝2e时，*f*(*x*)无单调递减区间；当*a*＞2e时，*f*(*x*)的单调递减区间为.**
**(1)根据导函数的"零点"划分定义域时，既要考虑导函数"零点"是否在定义域内，还要考虑多个"零点"的大小问题，如果多个"零点"的大小关系不确定，也需要分类讨论．**
**(2)导函数"零点"可求，可根据"零点"之间及"零点"与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点，e之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性． **
考点四 根据导函数零点与定义域的关系确定分类"界点"
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝－*a*ln *x*－＋*ax*，*a*∈R.**
**(1)当*a*＜0时，讨论*f*(*x*)的单调性；**
**(2)设*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)，若关于*x*的不等式*g*(*x*)≤－e*^x^*＋＋(*a*－1)*x*在\[1,2\]上有解，求*a*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)由题意知，*f*′(*x*)＝－－＋*a*＝()()(*x*＞0)，**
**当*a*＜0时，*ax*－e*^x^*＜0恒成立，**
**所以当*x*＞1时，*f*′(*x*)＜0；当0＜*x*＜1时，*f*′(*x*)＞0，**
**故函数*f*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．**
**(2)因为*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋*xf*′(*x*)，**
**所以*g*(*x*)＝－*a*ln *x*－e*^x^*＋2*ax*－*a*，**
**由题意知，存在*x*~0~∈\[1,2\]，使得*g*(*x*~0~)≤－e*x*~0~＋＋(*a*－1)*x*~0~成立．**
**即存在*x*~0~∈\[1,2\]，使得－*a*ln *x*~0~＋(*a*＋1)*x*~0~－－*a*≤0成立，**
**令*h*(*x*)＝－*a*ln *x*＋(*a*＋1)*x*－－*a*，*x*∈\[1,2\]，**
**则*h*′(*x*)＝＋*a*＋1－*x*＝－()()，*x*∈\[1,2\]．**
**①当*a*≤1时，*h*′(*x*)≤0，所以函数*h*(*x*)在\[1,2\]上单调递减，**
**所以*h*(*x*)~min~＝*h*(2)＝－*a*ln 2＋*a*≤0成立，解得*a*≤0，所以*a*≤0.**
**②当1＜*a*＜2时，令*h*′(*x*)＞0，解得1＜*x*＜*a*；令*h*′(*x*)＜0，解得*a*＜*x*＜2.**
**所以函数*h*(*x*) 在\[1，*a*\]上单调递增，在\[*a,*2\]上单调递减，**
**又因为*h*(1)＝，所以*h*(2)＝－*a*ln 2＋*a*≤0，解得*a*≤0，与1＜*a*＜2矛盾，舍去．**
**③当*a*≥2时，*h*′(*x*)≥0，所以函数*h*(*x*)在\[1,2\]上单调递增，**
**所以*h*(*x*)~min~＝*h*(1)＝＞0，不符合题意，舍去．**
**综上所述，*a*的取值范围为(－∞，0\]．**
**导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要分类讨论．本题根据函数*h*′(*x*)的零点*a*是否在定义域\[1,2\]内进行讨论，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可得最值，判断所求最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围． **
第二课时 有关*x*与e*^x^*，ln *x*的组合函数问题
考点一 *x*与*ln x*的组合函数问题
**(1)熟悉函数*f*(*x*)＝*h*(*x*)ln *x*(*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象"有形可寻"．**
**(2)熟悉函数*f*(*x*)＝()(*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不能同时为0)，*h*(*x*)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象"有形可寻"．**
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝*x*ln *x*－＋*a*－*x*(*a*∈R)．**
**(1)若函数*f*(*x*)有两个不同的极值点，求实数*a*的取值范围；**
**(2)若*a*＝2，*k*∈N，*g*(*x*)＝2－2*x*－*x*^2^，且当*x*＞2时不等式*k*(*x*－2)＋*g*(*x*)＜*f*(*x*)恒成立，试求*k*的最大值．**
**\[解题观摩\] (1)由题意知，函数*f*(*x*)的定义域为(0，＋∞)，*f*′(*x*)＝ln *x*＋1－*ax*－1＝ln *x*－*ax*，**
**令*f*′(*x*)＝0，可得*a*＝，**
**令*h*(*x*)＝(*x*＞0)，则由题可知直线*y*＝*a*与函数*h*(*x*)的图象有两个不同的交点，**
***h*′(*x*)＝，令*h*′(*x*)＝0，得*x*＝e，可知*h*(*x*)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，*h*(*x*)~max~＝*h*(e)＝，当*x*―→0时，*h*(*x*)―→－∞，当*x*―→＋∞时，*h*(*x*)―→0，故实数*a*的取值范围为.**
**(2)当*a*＝2时，*f*(*x*)＝*x*ln *x*－*x*^2^＋2－*x*，*k*(*x*－2)＋*g*(*x*)＜*f*(*x*)，即*k*(*x*－2)＋2－2*x*－*x*^2^＜*x*ln *x*－*x*^2^＋2－*x*，整理得*k*(*x*－2)＜*x*ln *x*＋*x*，**
**因为*x*＞2，所以*k*＜.**
**设*F*(*x*)＝(*x*＞2)，则*F*′(*x*)＝().**
**令*m*(*x*)＝*x*－4－2ln *x*(*x*＞2)，则*m*′(*x*)＝1－＞0，所以*m*(*x*)在(2，＋∞)上单调递增，*m*(8)＝4－2ln 8＜4－2ln e^2^＝4－4＝0，*m*(10)＝6－2ln 10＞6－2ln e^3^＝6－6＝0，所以函数*m*(*x*)在(8,10)上有唯一的零点*x*~0~，**
**即*x*~0~－4－2ln *x*~0~＝0，故当2＜*x*＜*x*~0~时，*m*(*x*)＜0，即*F*′(*x*)＜0，当*x*＞*x*~0~时，*F*′(*x*)＞0，所以*F*(*x*)~min~＝*F*(*x*~0~)＝＝＝，所以*k*＜，**
**因为*x*~0~∈(8,10)，所以∈(4,5)，故*k*的最大值为4.**
**对于有关*x*与ln *x*的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．**
*考点二 x*与e*^x^*的组合函数问题
** **
**(1)熟悉函数*f*(*x*)＝*h*(*x*)e^*g*(*x*)^(*g*(*x*)为一次函数，*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象"有形可寻"．**
**(2)熟悉函数*f*(*x*)＝()(*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不能同时为0)，*h*(*x*)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象"有形可寻"．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*a*(*x*－1)，*g*(*x*)＝(*ax*－1)·e*^x^*，*a*∈R.**
**(1)求证：存在唯一实数*a*，使得直线*y*＝*f*(*x*)和曲线*y*＝*g*(*x*)相切；**
**(2)若不等式*f*(*x*)＞*g*(*x*)有且只有两个整数解，求*a*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)证明：*f*′(*x*)＝*a*，*g*′(*x*)＝(*ax*＋*a*－1)e*^x^*.**
**设直线*y*＝*f*(*x*)和曲线*y*＝*g*(*x*)的切点的坐标为(*x*~0~，*y*~0~)，则*y*~0~＝*a*(*x*~0~－1)＝(*ax*~0~－1)e*x*~0~，**
**得*a*(*x*~0~e*x*~0~－*x*~0~＋1)＝e*x*~0~，①**
**又因为直线*y*＝*f*(*x*)和曲线*y*＝*g*(*x*)相切，所以*a*＝*g*′(*x*~0~)＝(*ax*~0~＋*a*－1)e*x*~0~，整理得*a*(*x*~0~e*x*~0~＋e*x*~0~－1)＝e*x*~0~，②**
**结合①②得*x*~0~e*x*~0~－*x*~0~＋1＝*x*~0~e*x*~0~＋e*x*~0~－1，即e*x*~0~＋*x*~0~－2＝0，令*h*(*x*)＝e*^x^*＋*x*－2，则*h*′(*x*)＝e*^x^*＋1＞0，所以*h*(*x*)在R上单调递增．**
**又因为*h*(0)＝－1＜0，*h*(1)＝e－1＞0，所以存在唯一实数*x*~0~，使得e*x*~0~＋*x*~0~－2＝0，且*x*~0~∈(0,1)，**
**所以存在唯一实数*a*，使①②两式成立，故存在唯一实数*a*，使得直线*y*＝*f*(*x*)与曲线*y*＝*g*(*x*)相切．**
**(2)令*f*(*x*)＞*g*(*x*)，即*a*(*x*－1)＞(*ax*－1)e*^x^*，**
**所以*ax*e*^x^*－*ax*＋*a*＜e*^x^*，所以*a*＜1，**
**令*m*(*x*)＝*x*－，则*m*′(*x*)＝，**
**由(1)可得*m*(*x*)在(－∞，*x*~0~)上单调递减，在(*x*~0~，＋∞)上单调递增，且*x*~0~∈(0,1)，故当*x*≤0时，*m*(*x*)≥*m*(0)＝1，当*x*≥1时，*m*(*x*)≥*m*(1)＝1，所以当*x*∈Z时，*m*(*x*)≥1恒成立．**
**①当*a*≤0时，*am*(*x*)＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；**
**②当0＜*a*＜1时，*m*(*x*)＜，因为＞1，*m*(0)＝*m*(1)＝1，所以两个整数解分别为0,1，即()()解得*a*≥，即*a*∈；**
**③当*a*≥1时，*m*(*x*)＜，**
**因为≤1，*m*(*x*)在*x*∈Z时大于或等于1，**
**所以*m*(*x*)＜无整数解，舍去．**
**综上所述，*a*的取值范围为.**
**在求解有关*x*与e*^x^*的组合函数综合题时要把握三点：**
**(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；**
**(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；**
**(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值． **
*考点三 x*与e*^x^*，ln *x*的组合函数问题
**(1)熟悉函数*f*(*x*)＝*h*(*x*)ln *x*±e*^x^*(*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象"有形可寻"．**
**(2)熟悉函数*f*(*x*)＝()±ln *x*(其中*h*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*，*b*不同时为0))的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象"有形可寻"．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*＋，*g*(*x*)＝(e＝2.718 28......为自然对数的底数)，是否存在整数*m*，使得对任意的*x*∈，都有*y*＝*f*(*x*)的图象在*y*＝*g*(*x*)的图象下方？若存在，请求出整数*m*的最大值；若不存在，请说明理由．**
**\[解题观摩\] 假设存在整数*m*满足题意，则不等式ln *x*＋＜，对任意的*x*∈恒成立，**
**即*m*＜e*^x^*－*x*ln *x*对任意的*x*∈恒成立．**
**令*v*(*x*)＝e*^x^*－*x*ln *x*，则*v*′(*x*)＝e*^x^*－ln *x*－1，**
**令*φ*(*x*)＝e*^x^*－ln *x*－1，则*φ*′(*x*)＝e*^x^*－，**
**易知*φ*′(*x*)在上单调递增，因为*φ*′＝e－2＜0，*φ*′(1)＝e－1＞0且*φ*′(*x*)的图象在上连续，**
**所以存在唯一的*x*~0~∈，使得*φ*′(*x*~0~)＝0，即e*x*~0~－＝0，则*x*~0~＝－ln *x*~0~.**
**当*x*∈时，*φ*(*x*)单调递减；当*x*∈(*x*~0~，＋∞)时，*φ*(*x*)单调递增．**
**则*φ*(*x*)在*x*＝*x*~0~处取得最小值，且最小值为*φ*(*x*~0~)＝e*x*~0~－ln *x*~0~－1＝＋*x*~0~－1＞2** **－1＝1＞0，**
**所以*v*′(*x*)＞0，即*v*(*x*)在上单调递增，**
**所以*m*≤e－ln** **＝e＋ln 2≈1.995 29，**
**故存在整数*m*满足题意，且*m*的最大值为1.**
**若分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时可以采用设而不求的方法．在本题中， 通过虚设零点*x*~0~，得到*x*~0~＝－ln *x*~0~，将e*x*~0~－ln *x*~0~－1转化为普通代数式＋*x*~0~－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉*x*~0~，即借助*φ*′(*x*~0~)＝0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的． **
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝，求证：当*x*＞1时，不等式()＞()().**
**\[解题观摩\] 将不等式()＞()()变形为·()()＞，分别构造函数*g*(*x*)＝()()和函数*h*(*x*)＝.**
**对于*g*′(*x*)＝，令*φ*(*x*)＝*x*－ln *x*，则*φ*′(*x*)＝1－＝.**
**因为*x*＞1，所以*φ*′(*x*)＞0，所以*φ*(*x*)在(1，＋∞)上是增函数，所以*φ*(*x*)＞*φ*(1)＝1＞0，所以*g*′(*x*)＞0，所以*g*(*x*)在(1，＋∞)上是增函数，所以当*x*＞1时，*g*(*x*)＞*g*(1)＝2，故()＞.**
**对于*h*′(*x*)＝()()，因为*x*＞1，所以1－e*^x^*＜0，所以*h*′(*x*)＜0，所以*h*(*x*)在(1，＋∞)上是减函数，所以当*x*＞1时，*h*(*x*)＜*h*(1)＝.**
**综上所述，当*x*＞1时，()＞*h*(*x*)，即()＞()().**
**若不分离e*^x^*与ln *x*，则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理拆分与变形．高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的容易用导数工具求解的函数模型． **
考点四 借助e*^x^*≥*x*＋1和ln *x*≤*x*－1进行放缩
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*mx*^2^＋*nx*－*x*ln *x*(*m*＞0)，且*f*(*x*)≥0.**
**(1)求** **的最小值；**
**(2)当取得最小值时，若方程e^*x*－1^＋(1－2*a*)*x*－*af*(*x*)＝0无实根，求实数*a*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)令*g*(*x*)＝()＝*mx*＋*n*－ln *x*，则*f*(*x*)≥0⇔*g*(*x*)≥0(*x*＞0)，又因为*g*′(*x*)＝，由*g*′(*x*)＞0，得*x*＞；由*g*′(*x*)＜0，得0＜*x*＜，所以*g*(*x*)在上单调递减，在上单调递增．此时*g*(*x*)~min~＝*g*＝1＋*n*－ln≥0⇒＋－ln≥0，即≥ln－.**
**令*h*(*t*)＝*t*ln *t*－*t*(*t*＞0)，则*h*′(*t*)＝ln *t*，由*h*′(*t*)＞0，得*t*＞1；由*h*′(*t*)＜0，得0＜*t*＜1，所以*h*(*t*)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故*h*(*t*)~min~＝*h*(1)＝－1，则≥－1，即~min~＝－1.**
**(2) 由(1)知，当取得最小值－1时，*t*＝ ＝1，*m*＝1，*n*＝－1.**
**则e^*x*－1^＋(1－2*a*)*x*－*af*(*x*)＝0⇒*a*＝()，**
**记*H*(*x*)＝()(*x*＞0)，**
**则*H*′(*x*)＝()()()，由(1)知 *x*－1－ln *x*≥0⇒ln *x*≤*x*－1，即e^*x*－1^≥*x*，则(*x*－ln *x*)e^*x*－1^－*x*≥e^*x*－1^－*x*≥0(当且仅当*x*＝1时取等号)，所以当*x*∈(0,1)时，*H*′(*x*)＜0，所以*H*(*x*)在(0,1)上为减函数；当*x*∈(1，＋∞)时，*H*′(*x*)＞0，所以*H*(*x*)在(1，＋∞) 上为增函数．所以*x*＝1时，*H*(*x*)取得最小值，为*H*(1)＝1.**
**由ln *x*≤*x*－1，自变量取可得－ln *x*≤－1⇒2≤*x*＋1－ln *x*≤*x*＋，**
**即*x*(*x*＋1－ln *x*)≤*x*^2^＋1⇒()≥，**
**由*x*－1≥ln *x*，自变量取e可得e－1＞(*x*＞0)，从而e*^x^*＞^3^，则可得e^*x*－1^＞().当*x*＞1时，*H*(*x*)＝()＞()()＞()()＝，即*H*(*x*)无最大值，**
**所以*H*(*x*)∈\[1，＋∞)．故*a*＜1时原方程无实根，即实数*a*的取值范围为(－∞，1)．**
**借助放缩，巧妙求出*H*(*x*)的最小值，同时利用放缩说明*H*(*x*)没有最大值，从而求出实数*a*的取值范围． **
第三课时 极值点偏移问题
**图说极值点偏移**
**1.已知函数*f*(*x*)的图象的顶点的横坐标就是极值点*x*~0~，若*f*(*x*)＝*c*的两根的中点刚好满足＝*x*~0~，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．**
**2．若≠*x*~0~，则极值点偏移，此时函数*f*(*x*)在*x*＝*x*~0~两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．**
考点一 对称变换
**对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：**
**(1)定函数(极值点为*x*~0~)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点*x*~0~.**
**(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*f*(2*x*~0~－*x*)，若证*x*~1~*x*~2~＞*x*，则令*F*(*x*)＝*f*(*x*)－*f*.**
**(3)判断单调性，即利用导数讨论*F*(*x*)的单调性．**
**(4)比较大小，即判断函数*F*(*x*)在某段区间上的正负，并得出*f*(*x*)与*f*(2*x*~0~－*x*)的大小关系．**
**(5)转化，即利用函数*f*(*x*)的单调性，将*f*(*x*)与*f*(2*x*~0~－*x*)的大小关系转化为*x*与2*x*~0~－*x*之间的关系，进而得到所证或所求．**
**\[提醒\] 若要证明*f*′的符号问题，还需进一步讨论与*x*~0~的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．**
**\[典例\] 已知函数*h*(*x*)与函数*f*(*x*)＝*x*e*^x^*(*x*∈R)的图象关于原点对称，如果*x*~1~≠*x*~2~，且*h*(*x*~1~)＝*h*(*x*~2~)，求证：*x*~1~＋*x*~2~＞2.**
**\[解题观摩\] 由题意知，*h*(*x*)＝－*f*(－*x*)＝*x*e^－*x*^，*h*′(*x*)＝e^－*x*^(1－*x*)，令*h*′(*x*)＝0，解得*x*＝1.**
**当*x*变化时，*h*′(*x*)，*h*(*x*)的变化情况如下表：**
--------------- -------------- ------- --------------
***x*** **(－∞，1)** **1** **(1，＋∞)**
***h*′(*x*)** **＋** **0** **－**
***h*(*x*)** **** ****
--------------- -------------- ------- --------------
**由*x*~1~≠*x*~2~，不妨设*x*~1~＞*x*~2~，根据*h*(*x*~1~)＝*h*(*x*~2~)，结合图象可知*x*~1~＞1，*x*~2~＜1，**
**令*F*(*x*)＝*h*(*x*)－*h*(2－*x*)，*x*∈(1，＋∞)，**
**则*F*′(*x*)＝(*x*－1)(e^2*x*－2^－1)e^－*x*^ ，**
**因为*x*＞1,2*x*－2＞0，所以e^2*x*－2^－1＞0，则*F*′(*x*)＞0，**
**所以*F*(*x*)在(1，＋∞)上单调递增，**
**所以当*x*＞1时，*F*(*x*)＞0，**
**即当*x*＞1时，*h*(*x*)＞*h*(2－*x*)，则*h*(*x*~1~)＞*h*(2－*x*~1~)，**
**又因为*h*(*x*~1~)＝*h*(*x*~2~)，所以*h*(*x*~2~)＞*h*(2－*x*~1~)，**
**因为*x*~1~＞1，所以2－*x*~1~＜1，**
**所以*x*~2,~2－*x*~1~∈(－∞，1)，**
**因为*h*(*x*)在(－∞，1)上是增函数，**
**所以*x*~2~＞2－*x*~1~，所以*x*~1~＋*x*~2~＞2.**
**本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系"减元"，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如本题中利用*x*~2,~2－*x*~1~，其取值范围都为(－∞，1)，若将所证不等式化为*x*~1~＞2－*x*~2~，则*x*~1,~2－*x*~2~的取值范围都为(1，＋∞)，此时就必须利用函数*h*(*x*)在(1，＋∞)上的单调性来求解．**
考点二 消参减元
**消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：**
-------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**建方程** **求函数的导函数，令*f*′(*x*)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)**
**定关系** **根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积**
**消参减元** **根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元**
**构造函数** **根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数**
**求解问题** **利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题**
-------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*ax*(*a*∈R)．**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)当*a*＝1时，方程*f*(*x*)＝*m*(*m*＜－2)有两个相异实根*x*~1~，*x*~2~，且*x*~1~＜*x*~2~，求证：*x*~1~·*x*＜2.**
**\[解题观摩\] (1)由题意得，*f*′(*x*)＝－*a*＝(*x*＞0)．**
**当*a*≤0时，由*x*＞0，得1－*ax*＞0，即*f*′(*x*)＞0，**
**所以*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增．**
**当*a*＞0时，由*f*′(*x*)＞0，得0＜*x*＜，**
**由*f*′(*x*)＜0，得*x*＞，**
**所以*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**综上，当*a*≤0时，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；当*a*＞0时，*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**(2)证明：由题意及(1)可知，方程*f*(*x*)＝*m*(*m*＜－2)的两个相异实根*x*~1~，*x*~2~满足ln *x*－*x*－*m*＝0，且0＜*x*~1~＜1＜*x*~2~，即ln *x*~1~－*x*~1~－*m*＝ln *x*~2~－*x*~2~－*m*＝0.**
**由题意，可知ln *x*~1~－*x*~1~＝*m*＜－2＜ln 2－2，**
**又由(1)可知，*f*(*x*)＝ln *x*－*x*在(1，＋∞)上单调递减，故*x*~2~＞2.**
**令*g*(*x*)＝ln *x*－*x*－*m*，**
**则*g*(*x*)－*g*＝－*x*＋＋3ln *x*－ln 2.**
**令*h*(*t*)＝－*t*＋＋3ln *t*－ln 2(*t*＞2)，**
**则*h*′(*t*)＝－()().**
**当*t*＞2时，*h*′(*t*)＜0，*h*(*t*)单调递减，所以*h*(*t*)＜*h*(2)＝2ln 2－＜0，所以*g*(*x*)＜*g*.**
**因为*x*~2~＞2且*g*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)，所以*h*(*x*~2~)＝*g*(*x*~2~)－*g*＝*g*(*x*~1~)－*g*＜0，即*g*(*x*~1~)＜*g*.**
**因为*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，**
**所以*x*~1~＜，故*x*~1~·*x*＜2.**
**本题第(2)问要证明的方程根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，将两个根分布在不等式两侧，然后利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系即可．显然构造函数的关键仍然是消掉参数，另外根据函数性质确定"*x*~2~＞2"是解题的一个关键点，确定其范围之后才能将*x*~1~与化归到函数的同一个单调区间上，这也是此类问题的一个难点------精确定位． **
考点三 比(差)值换元
**比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用*t*表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于*t*的函数问题求解．**
**\[典例\] 已知*f*(*x*)＝*x*ln *x*－*mx*^2^－*x*，*m*∈R.若*f*(*x*)有两个极值点*x*~1~，*x*~2~，且*x*~1~＜*x*~2~，求证：*x*~1~*x*~2~＞e^2^(e为自然对数的底数)．**
**\[解题观摩\] 欲证*x*~1~*x*~2~＞e^2^，只需证ln *x*~1~＋ln *x*~2~＞2.**
**由函数*f*(*x*)有两个极值点*x*~1~，*x*~2~，可得函数*f*′(*x*) 有两个零点，又*f*′(*x*)＝ln *x*－*mx*，所以*x*~1~，*x*~2~是方程*f*′(*x*)＝0的两个不同实根．**
**于是有**
**①＋②可得ln *x*~1~＋ln *x*~2~＝*m*(*x*~1~＋*x*~2~)，**
**即*m*＝，**
**②－①可得ln *x*~2~－ln *x*~1~＝*m*(*x*~2~－*x*~1~)，**
**即*m*＝，**
**从而可得＝，**
**于是ln *x*~1~＋ln *x*~2~＝.**
**由0＜*x*~1~＜*x*~2~，设*t*＝，则*t*＞1.**
**因此ln *x*~1~＋ln *x*~2~＝()，*t*＞1.**
**要证ln *x*~1~＋ln *x*~2~＞2，即证()＞2(*t*＞1)，即证当*t*＞1时，有ln *t*＞().**
**令*h*(*t*)＝ln *t*－()(*t*＞1)，**
**则*h*′(*t*)＝－()()()＝()()＞0，**
**所以*h*(*t*)为(1，＋∞)上的增函数．**
**因此*h*(*t*)＞ln 1－()＝0.**
**于是当*t*＞1时，有ln *t*＞().**
**所以有ln *x*~1~＋ln *x*~2~＞2成立，即*x*~1~*x*~2~＞e^2^.**
**求解本题的关键点有两个．一个是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，这是解决问题的基础，若只用一个极值点表示参数，如得到*m*＝之后，代入第二个方程，则无法建立两个极值点的关系，本题中利用两个方程相加(减)之后再消参，巧妙地把两个极值点与参数之间的关系建立起来；二是消"变"，即减少变量的个数，只有把方程转化为一个"变量"的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题求解．本题利用参数*m*的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程转化为关于的方程，通过建立函数模型求解该问题，这体现了对数学建模等核心素养的考查． **
第四课时 导数零点不可求
**导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数*f*(*x*)的单调性，往往需要解方程*f*′(*x*)＝0. 若该方程不易求解时，如何继续解题呢？**
考点一 猜出方程*f*′(*x*)＝0的根
**\[典例\] 设*f*(*x*)＝.**
**(1)若函数*f*(*x*)在(*a*，*a*＋1)上有极值，求实数*a*的取值范围；**
**(2)若关于*x*的方程*f*(*x*)＝*x*^2^－2*x*＋*k*有实数解，求实数*k*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)因为*f*′(*x*)＝－，当0＜*x*＜1时，*f*′(*x*)＞0；当*x*＞1时，*f*′(*x*)＜0，所以函数*f*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数*f*(*x*)的极大值点为*x*＝1，所以即0＜*a*＜1，故所求实数*a*的取值范围是(0,1)．**
**(2)方程*f*(*x*)＝*x*^2^－2*x*＋*k*有实数解，**
**即*f*(*x*)－*x*^2^＋2*x*＝*k*有实数解．**
**设*g*(*x*)＝*f*(*x*)－*x*^2^＋2*x*，**
**则*g*′(*x*)＝2(1－*x*)－.**
**接下来，需求函数*g*(*x*)的单调区间，所以需解不等式*g*′(*x*)≥0及*g*′(*x*)≤0，因而需解方程*g*′(*x*)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．**
**因为*g*′(1)＝0，且当0＜*x*＜1时，*g*′(*x*)＞0，当*x*＞1时，*g*′(*x*)＜0，所以函数*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．**
**所以*g*(*x*)~max~＝*g*(1)＝2.当*x*→0时，*g*(*x*)→－∞；当*x*→＋∞时，*g*(*x*)→－∞，所以函数*g*(*x*)的值域是(－∞，2\]，所以所求实数*k*的取值范围是(－∞，2\]．**
**当所求的导函数解析式中出现ln *x*时，常猜*x*＝1；当函数解析式中出现e*^x^*时，常猜*x*＝0. **
考点二 隐零点代换
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝e^2*x*^－*a*ln *x*.**
**(1)讨论*f*(*x*)的导函数*f*′(*x*)零点的个数；**
**(2)求证：当*a*＞0时，*f*(*x*)≥2*a*＋*a*ln.**
**\[解题观摩\] (1)法一：*f*′(*x*)＝2e^2*x*^－(*x*＞0)．**
**当*a*≤0时，*f*′(*x*)＞0，*f*′(*x*)没有零点．**
**当*a*＞0时，设*u*(*x*)＝e^2*x*^，*v*(*x*)＝－，**
**因为*u*(*x*)＝e^2*x*^在(0，＋∞)上单调递增，*v*(*x*)＝－在(0，＋∞)上单调递增，**
**所以*f*′(*x*)在(0，＋∞)上单调递增．**
**又因为*f*′(*a*)＞0，当*b*满足0＜*b*＜且*b*＜时，*f*′(*b*)＜0，**
**所以当*a*＞0时，*f*′(*x*)存在唯一零点．**
**法二：*f*′(*x*)＝2e^2*x*^－(*x*＞0)．**
**令方程*f*′(*x*)＝0，得*a*＝2*x*e^2*x*^(*x*＞0)．**
**因为函数*g*(*x*)＝2*x*(*x*＞0)，*h*(*x*)＝e^2*x*^(*x*＞0)均是函数值为正值的增函数，**
**所以由增函数的定义可证得函数*u*(*x*)＝2*x*e^2*x*^(*x*＞0)也是增函数，其值域是(0，＋∞)．**
**由此可得，当*a*≤0时，*f*′(*x*)无零点；当*a*＞0时，*f*′(*x*)有唯一零点．**
**(2)证明：由(1)可设*f*′(*x*)在(0，＋∞)上的唯一零点为*x*~0~.**
**当*x*∈(0，*x*~0~)时，*f*′(*x*)＜0；**
**当*x*∈(*x*~0~，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0.**
**所以*f*(*x*)在(0，*x*~0~)上单调递减，在(*x*~0~，＋∞)上单调递增，当且仅当*x*＝*x*~0~时，*f*(*x*)取得最小值，最小值为*f*(*x*~0~)．**
**因为2e2*x*~0~－＝0，所以*f*(*x*~0~)＝＋2*ax*~0~＋*a*ln≥2*a*＋*a*ln(当且仅当*x*~0~＝时等号成立)．**
**所以当*a*＞0时，*f*(*x*)≥2*a*＋*a*ln.**
**本题第(2)问的解题思路是求函数*f*(*x*)的最小值，因此需要求*f*′(*x*)＝0的根，但是*f*′(*x*)＝2e^2*x*^－＝0的根无法求解．故设出*f*′(*x*)＝0的根为*x*~0~，通过证明*f*(*x*)在(0，*x*~0~)和(*x*~0~，＋∞)上的单调性知*f*(*x*)~min~＝*f*(*x*~0~)＝＋2*ax*~0~＋*a*ln，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求． **
考点三 证------证明方程*f*′(*x*)＝0无根
**\[典例\] 已知*m*∈R，函数*f*(*x*)＝*mx*－－2ln *x*，*g*(*x*)＝，若∃*x*~0~∈\[1，e\]，使得*f*(*x*~0~)＞*g*(*x*~0~)成立，求实数*m*的取值范围．**
**\[解题观摩\] 因为当*x*＝1时，*f*(*x*)＝0，*g*(*x*)＝2e，不存在*f*(*x*~0~)＞*g*(*x*~0~)，所以关于*x*的不等式*f*(*x*)＞*g*(*x*)在\[1，e\]上有解，即关于*x*的不等式＜*m*(1＜*x*≤e)有解．**
**设*u*(*x*)＝(1＜*x*≤e)，**
**则*u*′(*x*)＝()()(1＜*x*≤e)，但不易求解方程*u*′(*x*)＝0.**
**可大胆猜测方程*u*′(*x*)＝0无解，证明如下：**
**由1＜*x*≤e，可得－(2*x*^2^＋2)ln *x*＜0，**
**2*x*^2^－4e*x*－2＝2(*x*－e)^2^－2e^2^－2＜0，**
**所以*u*′(*x*)＜0，*u*(*x*)在(1，e\]上是减函数，**
**所以函数*u*(*x*)的值域是，**
**故所求实数*m*的取值范围是.**
**当利用导函数求函数*f*(*x*)在区间\[*a*，*b*\]，\[*a*，*b*)或(*a*，*b*\]上的最值时，可首先考虑函数*f*(*x*)在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则*f*(*x*)在区间的端点处取得最值(此时若求*f*′(*x*)＝0的根，则此方程是无解的)． **
第五课时 构造函数
**利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键．**
考点一 "比较法"构造函数证明不等式
**当试题中给出简单的基本初等函数，例如*f*(*x*)＝*x*^3^，*g*(*x*)＝ln *x*，进而证明在某个取值范围内不等式*f*(*x*)≥*g*(*x*)成立时，可以类比作差法，构造函数*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)或*φ*(*x*)＝*g*(*x*)－*f*(*x*)，进而证明*h*(*x*)~min~≥0或*φ*(*x*)~max~≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明*g*(*x*)＞0(*f*(*x*)＞0)的前提下，也可以类比作商法，构造函数*h*(*x*)＝()()()()()，进而证明*h*(*x*)~min~≥1(*φ*(*x*)~max~≤1)．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*(e为自然对数的底数，*a*为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.**
**(1)求*a*的值及函数*f*(*x*)的极值；**
**(2)求证：当*x*＞0时，*x*^2^＜e*^x^*.**
**\[解题观摩\] (1)由*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*，得*f*′(*x*)＝e*^x^*－*a*.**
**因为*f*′(0)＝1－*a*＝－1，所以*a*＝2，**
**所以*f*(*x*)＝e*^x^*－2*x*，*f*′(*x*)＝e*^x^*－2，**
**令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝ln 2，**
**当*x*＜ln 2时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；**
**当*x*＞ln 2时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增．**
**所以当*x*＝ln 2时，*f*(*x*)取得极小值，且极小值为*f*(ln 2)＝e^ln\ 2^－2ln 2＝2－2ln 2，*f*(*x*)无极大值．**
**(2)证明：令*g*(*x*)＝e*^x^*－*x*^2^，则*g*′(*x*)＝e*^x^*－2*x*.**
**由(1)得*g*′(*x*)＝*f*(*x*)≥*f*(ln 2)＞0，**
**故*g*(*x*)在R上单调递增．**
**所以当*x*＞0时，*g*(*x*)＞*g*(0)＝1＞0，即*x*^2^＜e*^x^*.**
**在本题第(2)问中，发现"*x*^2^，e*^x^*"具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的"*x*^2^＜e*^x^*"构造函数，得到"*g*(*x*)＝e*^x^*－*x*^2^"，并利用(1)的结论求解． **
考点二 "拆分法"构造函数证明不等式
**当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种"扑朔迷离""不知所措"的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为*f*(*x*)≤*g*(*x*)的形式，进而证明*f*(*x*)~max~≤*g*(*x*)~min~即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝eln *x*－*ax*(*a*∈R)．**
**(1)讨论*f*(*x*)的单调性；**
**(2)当*a*＝e时，证明：*xf*(*x*)－e*^x^*＋2e*x*≤0.**
**\[解题观摩\] (1)*f*′(*x*)＝－*a*(*x*＞0)，**
**①若*a*≤0，则*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)在(0，＋∞)上单调递增；**
**②若*a*＞0，则当0＜*x*＜时，*f*′(*x*)＞0，当*x*＞时，*f*′(*x*)＜0，**
**故*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．**
**(2)证明：法一：因为*x*＞0，所以只需证*f*(*x*)≤－2e，**
**当*a*＝e时，由(1)知，*f*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以*f*(*x*)~max~＝*f*(1)＝－e.**
**记*g*(*x*)＝－2e(*x*＞0)，**
**则*g*′(*x*)＝()，**
**所以当0＜*x*＜1时，*g*′(*x*)＜0，*g*(*x*)单调递减；**
**当*x*＞1时，*g*′(*x*)＞0，*g*(*x*)单调递增，**
**所以*g*(*x*)~min~＝*g*(1)＝－e.**
**综上，当*x*＞0时，*f*(*x*)≤*g*(*x*)，即*f*(*x*)≤－2e，**
**即*xf*(*x*)－e*^x^*＋2e*x*≤0.**
**法二：要证*xf*(*x*)－e*^x^*＋2e*x*≤0，**
**即证e*x*ln *x*－e*x*^2^－e*^x^*＋2e*x*≤0，**
**从而等价于ln *x*－*x*＋2≤.**
**设函数*g*(*x*)＝ln *x*－*x*＋2，**
**则*g*′(*x*)＝－1.**
**所以当*x*∈(0,1)时，*g*′(*x*)＞0；**
**当*x*∈(1，＋∞)时，*g*′(*x*)＜0，**
**故*g*(*x*)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，**
**从而*g*(*x*)在(0，＋∞)上的最大值为*g*(1)＝1.**
**设函数*h*(*x*)＝，则*h*′(*x*)＝().**
**所以当*x*∈(0,1)时，*h*′(*x*)＜0，当*x*∈(1，＋∞)时，**
***h*′(*x*)＞0，**
**故*h*(*x*)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，**
**从而*h*(*x*)在(0，＋∞)上的最小值为*h*(1)＝1.**
**综上，当*x*＞0时，*g*(*x*)≤*h*(*x*)，**
**即*xf*(*x*)－e*^x^*＋2e*x*≤0.**
**对于第(2)问*xf*(*x*)－e*^x^*＋2e*x*≤0的证明直接构造函数*h*(*x*)＝*x*eln *x*－*ax*^2^－e*^x^*＋2e*x*，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为*f*(*x*)≤－2e或ln *x*－*x*＋2≤，再分别对不等式两边构造函数证明不等式． **
考点三 "换元法"构造函数证明不等式
**若两个变元*x*~1~，*x*~2~之间联系"亲密"，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于*m*(*x*~1~，*x*~2~)的表达式(其中*m*(*x*~1~，*x*~2~)为*x*~1~，*x*~2~组合成的表达式)，进而使用换元令*m*(*x*~1~，*x*~2~)＝*t*，使所要证明的不等式转化为关于*t*的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝－*k*有两个不同的零点*x*~1~，*x*~2~，求证：*x*~1~*x*~2~＞e^2^.**
**\[解题观摩\] *f*(*x*)＝－*k*，设*x*~1~＞*x*~2~＞0，**
**由*f*(*x*~1~)＝*f*(*x*~2~)＝0，**
**可得ln *x*~1~－*kx*~1~＝0，ln *x*~2~－*kx*~2~＝0，两式相加减，**
**得ln *x*~1~＋ln *x*~2~＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~)，ln *x*~1~－ln *x*~2~＝*k*(*x*~1~－*x*~2~)．**
**要证*x*~1~*x*~2~＞e^2^，即证ln *x*~1~*x*~2~＞2，只需证ln *x*~1~＋ln *x*~2~＞2，也就是证*k*(*x*~1~＋*x*~2~)＞2，即证*k*＞.**
**因为*k*＝，所以只需证＞，即证ln＞().**
**令＝*t*(*t*＞1)，则只需证ln *t*＞()(*t*＞1)．**
**令*h*(*t*)＝ln *t*－()(*t*＞1)，**
**则*h*′(*t*)＝－()＝()()＞0，**
**故函数*h*(*t*)在(1，＋∞)上单调递增，**
**所以*h*(*t*)＞*h*(1)＝0，即ln *t*＞().**
**所以*x*~1~*x*~2~＞e^2^.**
**不妨设*x*~1~＞*x*~2~＞0，由*f*(*x*~1~)＝*f*(*x*~2~)＝0，可得ln *x*~1~－*kx*~1~＝0，ln *x*~2~－*kx*~2~＝0，两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为＞，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立． **
考点四 "转化法"构造函数
**在关于*x*~1~，*x*~2~的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为关于*m*(*x*~1~，*x*~2~)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．**
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝ln *x*＋，*m*∈R，若对任意*b*＞*a*＞0，()()＜1恒成立，求*m*的取值范围．**
**\[解题观摩\] 对任意的*b*＞*a*＞0，()()＜1等价于*f*(*b*)－*b*＜*f*(*a*)－*a*恒成立．(\*)**
**设*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*x*＝ln *x*＋－*x*(*x*＞0)，**
**故(\*)等价于*h*(*x*)在(0，＋∞)上单调递减．**
**由*h*′(*x*)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得*m*≥－*x*^2^＋*x*＝－^2^＋(*x*＞0)恒成立，故*m*≥，当且仅当*x*＝时等号成立，所以*m*的取值范围为.**
第六课时 "任意"与"存在"问题
考点一 单一任意与存在问题
**(1)∀*x*，使得*f*(*x*)＞*g*(*x*)，只需*h*(*x*)~min~＝\[*f*(*x*)－*g*(*x*)\]~min~＞0.如图①.**
**(2)∃*x*，使得*f*(*x*)＞*g*(*x*)，只需*h*(*x*)~max~＝\[*f*(*x*)－*g*(*x*)\]~max~＞0.如图②.**
**\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝ln(1＋*x*)，*g*(*x*)＝*af*′(*x*)，其中*f*′(*x*)是*f*(*x*)的导函数．**
**(1)若对于任意*x*≥0，总有*f*(*x*)≥*g*(*x*)，求实数*a*的取值范围；**
**(2)若存在*x*≥0，使得*f*(*x*)≥*g*(*x*)，求实数*a*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)设*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)＝ln(1＋*x*)－(*x*≥0)，**
**则*h*′(*x*)＝＋()＝().**
**当*a*≥－1时，*h*′(*x*)≥0，*h*(*x*)在\[0，＋∞)上单调递增，**
**∴*h*(*x*)≥*h*(0)＝－*a*，则－*a*≥0，*a*≤0，∴*a*∈\[－1,0\]．**
**当*a*＜－1时，ln(1＋*x*)≥0，－＞0，**
**所以*h*(*x*)≥0恒成立．**
**综上可知，实数*a*的取值范围为\[－∞，0\]．**
**(2)由(1)可知，当*a*≥－1时，存在*x*≥0，使得*f*(*x*)≥*g*(*x*)，**
**当*a*＜－1时，*f*(*x*)≥*g*(*x*)恒成立．**
**综上可知，实数*a*的取值范围为(－∞，＋∞)．**
**(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当*x*~0~≥0时，总有*f*(*x*~0~)≥*g*(*x*~0~)，即*f*(*x*~0~)－*g*(*x*~0~)≥0(注意不是*f*(*x*)~min~≥*g*(*x*)~max~)，可以转化为当*x*≥0时，*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)≥0恒成立问题．**
**(2)存在*x*≥0，使得*f*(*x*)≥*g*(*x*)，即至少有一个*x*~0~≥0，满足*f*(*x*~0~)－*g*(*x*~0~)不是负数，可以转化为当*x*≥0时，*h*(*x*)＝*f*(*x*)－*g*(*x*)的函数值至少有一个是非负数．**
考点二 双任意与存在相等问题
-------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 **"若∃*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)"与"∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)"的辨析**
-------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**(1)∃*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的值域*A*与*g*(*x*)在*D*~2~上的值域*B*的交集不是空集，即*A*∩*B*≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．**
**(2)∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的值域*A*是*g*(*x*)在*D*~2~上的值域*B*的子集，即*A*⊆*B*，如图④.其等价转化的目标是函数*y*＝*f*(*x*)的值域都在函数*y*＝*g*(*x*)的值域之中．**
**说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在*y*轴上的投影．**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*x*^2^－*ax*^3^，*a*＞0，*x*∈R，*g*(*x*)＝().**
**(1)若∃*x*~1~∈(－∞，－1\]，∃*x*~2~∈，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)，求实数*a*的取值范围；**
**(2)当*a*＝时，求证：对任意的*x*~1~∈(2，＋∞)，都存在*x*~2~∈(1，＋∞)，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)．**
**\[解题观摩\] (1)∵*f*(*x*)＝*x*^2^－*ax*^3^，**
**∴*f*′(*x*)＝2*x*－2*ax*^2^＝2*x*(1－*ax*)．**
**令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝0或*x*＝.**
**∵*a*＞0，∴＞0，∴当*x*∈(－∞，0)时，*f*′(*x*)＜0，∴*f*(*x*)在(－∞，－1\]上单调递减，*f*(*x*)≥*f*(－1)＝1＋，**
**故*f*(*x*)在(－∞，－1\]上的值域为.**
**∵*g*(*x*)＝()，∴*g*′(*x*)＝()＝().**
**当*x*＜－时，*g*′(*x*)＞0，∴*g*(*x*)在上单调递增，*g*(*x*)＜*g*＝，**
**故*g*(*x*)在上的值域为.**
**若∃*x*~1~∈(－∞，－1\]，∃*x*~2~∈，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)，则1＋＜，解得0＜*a*＜，**
**故实数*a*的取值范围是.**
**(2)证明：当*a*＝时，*f*(*x*)＝*x*^2^－*x*^3^，**
**∴*f*′(*x*)＝2*x*－3*x*^2^＝3*x*.**
**当*x*＞2时，*f*′(*x*)＜0，∴*f*(*x*)在(2，＋∞)上单调递减，且*f*(2)＝－4，**
**∴*f*(*x*)在(2，＋∞)上的值域为(－∞，－4)．**
**则*g*(*x*)＝()＝()在(1，＋∞)上单调递增，**
**∴*g*(*x*)＝()在(1，＋∞)上的值域为(－∞，0)．**
**∵(－∞，－4)(－∞，0)，**
**∴对于任意的*x*~1~∈(2，＋∞)，都存在*x*~2~∈(1，＋∞)，使得*f*(*x*~1~)＝*g*(*x*~2~)．**
**本题第(1)问等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分；第(2)问等价转化的基本思想是：函数*f*(*x*)的任意一个函数值都与函数*g*(*x*)的某一函数值相等，即*f*(*x*)的值域都在*g*(*x*)的值域中． **
考点三 双任意与双存在不等问题
-------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 ***f*(*x*)，*g*(*x*)是闭区间*D*上的连续函数，"∀*x*~1~，*x*~2~∈*D*，使得*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)"与"∃*x*~1~，*x*~2~∈*D*，使得*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)"的辨析**
-------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**(1)*f*(*x*)，*g*(*x*)是在闭区间*D*上的连续函数且∀*x*~1~，*x*~2~∈*D*，使得*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)，等价于*f*(*x*)~min~＞*g*(*x*)~max~.其等价转化的目标是函数*y*＝*f*(*x*)的任意一个函数值均大于函数*y*＝*g*(*x*)的任意一个函数值．如图⑤.**
**(2)存在*x*~1~，*x*~2~∈*D*，使得*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)，等价于*f*(*x*)~max~＞*g*(*x*)~min~.其等价转化的目标是函数*y*＝*f*(*x*)的某一个函数值大于函数*y*＝*g*(*x*)的某些函数值．如图⑥.**
**\[典例\] 已知*f*(*x*)＝*x*＋(*a*＞0)，*g*(*x*)＝*x*＋ln *x*.**
**(1)若对任意的*x*~1~，*x*~2~∈\[1，e\]，都有*f*(*x*~1~)≥*g*(*x*~2~)成立，求实数*a*的取值范围；**
**(2)若存在*x*~1~，*x*~2~∈\[1，e\]，使得*f*(*x*~1~)＜*g*(*x*~2~)，求实数*a*的取值范围．**
**\[解题观摩\] (1)对任意的*x*~1~，*x*~2~∈\[1，e\]，都有*f*(*x*~1~)≥*g*(*x*~2~)成立，等价于*x*∈\[1，e\]时，*f*(*x*)~min~≥*g*(*x*)~max~.**
**当*x*∈\[1，e\]时，*g*′(*x*)＝1＋＞0，所以*g*(*x*)在\[1，e\]上单调递增，所以*g*(*x*)~max~＝*g*(e)＝e＋1.**
**只需证*f*(*x*)≥e＋1，即*x*＋≥e＋1⇔*a*^2^≥(e＋1)*x*－*x*^2^在\[1，e\]上恒成立即可．**
**令*h*(*x*)＝(e＋1)*x*－*x*^2^，**
**当*x*∈\[1，e\]时，*h*(*x*)＝(e＋1)*x*－*x*^2^＝－^2^＋^2^的最大值为*h*＝^2^.所以*a*^2^≥^2^，即*a*≥(舍去负值)．**
**故实数*a*的取值范围是.**
**(2)存在*x*~1~，*x*~2~∈\[1，e\]，使得*f*(*x*~1~)＜*g*(*x*~2~)，等价于*x*∈\[1，e\]时，*f*(*x*)~min~＜*g*(*x*)~max~.**
**当*x*∈\[1，e\]时，*g*′(*x*)＝1＋＞0，所以*g*(*x*)在\[1，e\]上单调递增，所以*g*(*x*)~max~＝*g*(e)＝e＋1.**
**又*f*′(*x*)＝1－，令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝*a*，**
**故*f*(*x*)＝*x*＋(*a*＞0)在(0，*a*)上单调递减，在(*a*，＋∞)上单调递增．**
**当0＜*a*＜1时，*f*(*x*)在\[1，e\]上单调递增，*f*(*x*)~min~＝*f*(1)＝1＋*a*^2^＜e＋1，符合题意；**
**当1≤*a*≤e时，*f*(*x*)在\[1，*a*\]上单调递减，在\[*a*，e\]上单调递增，*f*(*x*)~min~＝*f*(*a*)＝2*a*，**
**此时，2*a*＜e＋1，解得1≤*a*＜；**
**当*a*＞e时，*f*(*x*)在\[1，e\]上单调递减，*f*(*x*)~min~＝*f*(e)＝e＋，此时，e＋＜e＋1，即*a*＜，与*a*＞e矛盾，不符合题意．**
**综上可知，实数*a*的取值范围是.**
**(1)本题第(1)问从数的角度看，问题的本质就是*f*(*x*)~min~≥*g*(*x*)~max~.从形的角度看，问题的本质就是函数*f*(*x*)图象的最低点不低于*g*(*x*)图象的最高点．**
**(2)本题第(2)问从数的角度看，问题的本质就是*f*(*x*)~min~＜*g*(*x*)~max~.从形的角度看，问题的本质就是函数*f*(*x*)图象的最低点低于*g*(*x*)图象的最高点． **
考点四 存在与任意嵌套不等问题
**(1)∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使*f*(*x*~1~)＞*g*(*x*~2~)，等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的最小值大于*g*(*x*)在*D*~2~上的最小值，即*f*(*x*)~min~＞*g*(*x*)~min~(这里假设*f*(*x*)~min~，*g*(*x*)~min~存在)．其等价转化的目标是函数*y*＝*f*(*x*)的任意一个函数值大于函数*y*＝*g*(*x*)的某一个函数值．如图⑦.**
**(2)∀*x*~1~∈*D*~1~，∃*x*~2~∈*D*~2~，使*f*(*x*~1~)＜*g*(*x*~2~)，等价于函数*f*(*x*)在*D*~1~上的最大值小于*g*(*x*)在*D*~2~上的最大值，即*f*(*x*)~max~＜*g*(*x*)~max~.其等价转化的目标是函数*y*＝*f*(*x*)的任意一个函数值小于函数*y*＝*g*(*x*)的某一个函数值．如图⑧.**
**\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*x*＋－1，*g*(*x*)＝*x*^2^－2*bx*＋4，若对任意的*x*~1~∈(0,2)，总存在*x*~2~∈\[1,2\]，使*f*(*x*~1~)≥*g*(*x*~2~)，求实数*b*的取值范围．**
**\[解题观摩\] 依题意知*f*(*x*)在(0,2)上的最小值不小于*g*(*x*)在\[1,2\]上的最小值，即*f*(*x*)~min~≥*g*(*x*)~min~.**
**因为*f*′(*x*)＝－－＝－()()，**
**则当0＜*x*＜1时，*f*′(*x*)＜0，*f*(*x*)单调递减；**
**当1＜*x*＜2时，*f*′(*x*)＞0，*f*(*x*)单调递增，**
**所以当*x*∈(0,2)时，*f*(*x*)~min~＝*f*(1)＝－.**
**又*g*(*x*)＝*x*^2^－2*bx*＋4，**
**①当*b*＜1时，可求得*g*(*x*)~min~＝*g*(1)＝5－2*b*.**
**由5－2*b*≤－，解得*b*≥，这与*b*＜1矛盾，不符合题意；**
**②当1≤*b*≤2时，可求得*g*(*x*)~min~＝*g*(*b*)＝4－*b*^2^.**
**由4－*b*^2^≤－，得*b*^2^≥，这与1≤*b*≤2矛盾，不符合题意；**
**③当*b*＞2时，可求得*g*(*x*)~min~＝*g*(2)＝8－4*b*.**
**由8－4*b*≤－，得*b*≥.**
**综合①②③得，实数*b*的取值范围是.**
**"对任意*x*~1~∈(0,2)，总存在*x*~2~∈\[1,2\]，使*f*(*x*~1~)≥*g*(*x*~2~)"等价于"*f*(*x*)在(0,2)上的最小值大于或等于*g*(*x*)在\[1,2\]上的最小值"． **
**1．(2019·福建三校联考)已知函数*f*(*x*)＝e^－*x*^－*ax*，*g*(*x*)＝ln(*x*＋*m*)＋*ax*＋1.**
**(1)当*a*＝－1时，求函数*f*(*x*)的最小值；**
**(2)若对任意的*x*∈(－*m*，＋∞)，恒有*f*(－*x*)≥*g*(*x*)成立，求实数*m*的取值范围．**
**解：(1)当*a*＝－1时，*f*(*x*)＝e^－*x*^＋*x*，则*f*′(*x*)＝－＋1.**
**令*f*′(*x*)＝0，得*x*＝0.**
**当*x*＜0时，*f*′(*x*)＜0，当*x*＞0时，*f*′(*x*)＞0，**
**∴函数*f*(*x*)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．**
**∴当*x*＝0时，函数*f*(*x*)取得最小值，最小值为*f*(0)＝1.**
**(2)由(1)得e*^x^*≥*x*＋1恒成立．**
***f*(－*x*)≥*g*(*x*)⇔e*^x^*＋*ax*≥ln(*x*＋*m*)＋*ax*＋1⇔e*^x^*≥ln(*x*＋*m*)＋1.**
**故*x*＋1≥ln(*x*＋*m*)＋1，即*m*≤e*^x^*－*x*在(－*m*，＋∞)上恒成立．**
**当*m*＞0时，在(－*m*，＋∞)上，e*^x^*－*x*≥1，得0＜*m*≤1；**
**当*m*≤0时，在 (－*m*，＋∞)上，e*^x^*－*x*＞1，*m*≤e*^x^*－*x*恒成立．**
**于是*m*≤1.**
**∴实数*m*的取值范围为(－∞，1\]．**
**2．设函数*f*(*x*)＝e*^x^*－*ax*－2.**
**(1)求*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)若*a*＝1，*k*为整数，且当*x*＞0时，(*x*－*k*)*f*′(*x*)＋*x*＋1＞0，求*k*的最大值．**
**解：(1)*f*(*x*)的定义域为(－∞，＋∞)，*f*′(*x*)＝e*^x^*－*a*.**
**若*a*≤0，则*f*′(*x*)＞0，所以*f*(*x*)在(－∞，＋∞)上单调递增．**
**若*a*＞0，则当*x*∈(－∞，ln *a*)时，*f*′(*x*)＜0；**
**当*x*∈(ln *a*，＋∞)时，*f*′(*x*)＞0，**
**所以*f*(*x*)在(－∞，ln *a*)上单调递减，在(ln *a*，＋∞)上单调递增．**
**(2)由于*a*＝1，**
**所以(*x*－*k*)*f*′(*x*)＋*x*＋1＝(*x*－*k*)(e*^x^*－1)＋*x*＋1.**
**故当*x*＞0时，(*x*－*k*)*f*′(*x*)＋*x*＋1＞0等价于**
***k*＜＋*x*(*x*＞0)．①**
**令*g*(*x*)＝＋*x*，则*g*′(*x*)＝()().**
**由(1)知，函数*h*(*x*)＝e*^x^*－*x*－2在(0，＋∞)上单调递增．而*h*(1)＜0，*h*(2)＞0，所以*h*(*x*)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故*g*′(*x*)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．**
**设此零点为*α*，则*α*∈(1,2)．**
**当*x*∈(0，*α*)时，*g*′(*x*)＜0；当*x*∈(*α*，＋∞)时，*g*′(*x*)＞0.**
**所以*g*(*x*)在(0，＋∞)上的最小值为*g*(*α*)．**
**又由*g*′(*α*)＝0，可得e*^α^*＝*α*＋2，所以*g*(*α*)＝*α*＋1∈(2,3)．**
**由于①式等价于*k*＜*g*(*α*)，故整数*k*的最大值为2.**
**3．(2019·石家庄质检)已知函数*f*(*x*)＝*x*(ln *x*－*ax*)(*a*∈R)．**
**(1)若*a*＝1，求函数*f*(*x*)的图象在点(1，*f*(1))处的切线方程；**
**(2)若函数*f*(*x*)有两个极值点*x*~1~，*x*~2~，且*x*~1~＜*x*~2~，求证：*f*(*x*~2~)＞－.**
**解：(1)由已知得，*f*(*x*)＝*x*(ln *x*－*x*)，当*x*＝1时，*f*(*x*)＝－1，**
***f*′(*x*)＝ln *x*＋1－2*x*，当*x*＝1时，*f*′(*x*)＝－1，所以所求切线方程为*y*＋1＝－(*x*－1)，即*x*＋*y*＝0.**
**(2)证明：由已知条件可得*f*′(*x*)＝ln *x*＋1－2*ax*有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反．**
**令*f*′(*x*)＝*h*(*x*)，则*h*′(*x*)＝－2*a*(*x*＞0)，**
**①若*a*≤0，则*h*′(*x*)＞0，*h*(*x*)单调递增，*f*′(*x*)不可能有两个零点；**
**②若*a*＞0，令*h*′(*x*)＝0得*x*＝，可知*h*(*x*)在上单调递增，在上单调递减，**
**令*f*′＞0，解得0＜*a*＜，**
**此时＜，*f*′＝－＜0，**
**＞，*f*′＝－2ln *a*＋1－＜0，**
**所以当0＜*a*＜时，函数*f*(*x*)有两个极值点*x*~1~，*x*~2~，**
**当*x*变化时，*f*′(*x*)，*f*(*x*)的变化情况如下表：**
--------------- ----------------- ----------------- ---------------------- ----------------- -------------------
***x*** **(0，*x*~1~)** ***x*~1~** **(*x*~1~，*x*~2~)** ***x*~2~** **(*x*~2~，＋∞)**
***f*′(*x*)** **－** **0** **＋** **0** **－**
***f*(*x*)** **** ***f*(*x*~1~)** **** ***f*(*x*~2~)** ****
--------------- ----------------- ----------------- ---------------------- ----------------- -------------------
**因为*f*′(1)＝1－2*a*＞0，所以0＜*x*~1~＜1＜*x*~2~，*f*(*x*)在\[1，*x*~2~\]上单调递增，**
**所以*f*(*x*~2~)＞*f*(1)＝－*a*＞－.**
**4．(2019·成都模拟)已知函数*f*(*x*)＝，*a*∈R.**
**(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；**
**(2)设函数*g*(*x*)＝(*x*－*k*)e*^x^*＋*k*，*k*∈Z，e＝2.718 28...为自然对数的底数．当*a*＝1时，若∃*x*~1~∈(0，＋∞)，∀*x*~2~∈(0，＋∞)，不等式5*f*(*x*~1~)＋*g*(*x*~2~)＞0成立，求*k*的最大值．**
**解：(1)*f*′(*x*)＝(*x*＞0)．**
**由*f*′(*x*)＝0，得*x*＝e^1－*a*^.**
**易知*f*′(*x*)在(0，＋∞)上单调递减，**
**∴当0＜*x*＜e^1－*a*^时，*f*′(*x*)＞0，此时函数*f*(*x*)单调递增；**
**当*x*＞e^1－*a*^时，*f*′(*x*)＜0，此时函数*f*(*x*)单调递减．**
**∴函数*f*(*x*)的单调递增区间是(0，e^1－*a*^)，单调递减区间是(e^1－*a*^，＋∞)．**
**(2)当*a*＝1时，由(1)可知*f*(*x*)≤*f*(e^1－*a*^)＝1，**
**∴∃*x*~1~∈(0，＋∞)，∀*x*~2~∈(0，＋∞)，5*f*(*x*~1~)＋*g*(*x*~2~)＞0成立，等价于5＋(*x*－*k*)e*^x^*＋*k*＞0对*x*∈(0，＋∞)恒成立，**
**∵当*x*∈(0，＋∞)时，e*^x^*－1＞0，**
**∴*x*＋＞*k*对*x*∈(0，＋∞)恒成立，**
**设*h*(*x*)＝*x*＋，则*h*′(*x*)＝()().**
**令*F*(*x*)＝e*^x^*－*x*－6，则*F*′(*x*)＝e*^x^*－1.**
**当*x*∈(0，＋∞)时，*F*′(*x*)＞0，**
**∴函数*F*(*x*)＝e*^x^*－*x*－6在(0，＋∞)上单调递增．**
**而*F*(2)＝e^2^－8＜0，*F*(3)＝e^3^－9＞0.**
**∴*F*(2)·*F*(3)＜0.**
**∴存在唯一的*x*~0~∈(2,3)，使得*F*(*x*~0~)＝0，即e*x*~0~＝*x*~0~＋6.**
**∴当*x*∈(0，*x*~0~)时，*F*(*x*)＜0，*h*′(*x*)＜0，此时函数*h*(*x*)单调递减；**
**当*x*∈(*x*~0~，＋∞)时，*F*(*x*)＞0，*h*′(*x*)＞0，此时函数*h*(*x*)单调递增．**
**∴当*x*＝*x*~0~时，函数*h*(*x*)有极小值(即最小值)*h*(*x*~0~)．**
**∵*h*(*x*~0~)＝*x*~0~＋＝*x*~0~＋1∈(3,4)．**
**又*k*＜*h*(*x*~0~)，*k*∈Z，∴*k*的最大值是3.**
**5．(2018·广安一模)已知函数*f*(*x*)＝ln *x*－*x*^2^＋(*a*－1)*x*(*a*∈R)．**
**(1)当*a*≥0时，求函数*f*(*x*)的极值；**
**(2)若函数*f*(*x*)有两个相异零点*x*~1~，*x*~2~，求*a*的取值范围，并证明*x*~1~＋*x*~2~＞2.**
**解：(1)由*f*(*x*)＝ln *x*－*x*^2^＋(*a*－1)*x*(*x*＞0)，得*f*′(*x*)＝－*ax*＋*a*－1＝－()().当*a*≥0时，*ax*＋1＞0，当0＜*x*＜1时，*f*′(*x*)＞0；当*x*＞1时，*f*′(*x*)＜0，故当*a*≥0时，函数*f*(*x*)在*x*＝1处取得极大值，且*f*(1)＝－1，无极小值．**
**(2)证明：当*a*≥0时，由(1)知*f*(*x*)在*x*＝1处取得极大值，且*f*(1)＝－1，当*x*→0时，*f*(*x*)→－∞，又*f*(2)＝ln 2－2＜0，*f*(*x*)有两个相异零点，则*f*(1)＝－1＞0，解得*a*＞2.**
**当－1＜*a*＜0时，若0＜*x*＜1，则*f*′(*x*)＞0；若1＜*x*＜－，**
**则*f*′(*x*)＜0；若*x*＞－，则*f*′(*x*)＞0，则*f*(*x*)在*x*＝1处取得极大值，在*x*＝－处取得极小值，由于*f*(1)＝－1＜0，则*f*(*x*)仅有一个零点．**
**当*a*＝－1时，*f*′(*x*)＝()≥0，则*f*(*x*)仅有一个零点．**
**当*a*＜－1时，若0＜*x*＜－，则*f*′(*x*)＞0；若－＜*x*＜1，**
**则*f*′(*x*)＜0；若*x*＞1，则*f*′(*x*)＞0，则*f*(*x*)在*x*＝1处取得极小值，在*x*＝－处取得极大值，由于*f*＝－ln (－*a*)＋－1＜0，则*f*(*x*)仅有一个零点．**
**综上，*f*(*x*)有两个相异零点时，*a*的取值范围是(2，＋∞)．**
**两零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，不妨设0＜*x*~1~＜1＜*x*~2~＜2.欲证*x*~1~＋*x*~2~＞2，只需证明*x*~2~＞2－*x*~1~，又由(1)知*f*(*x*)在(1，＋∞)上单调递减，故只需证明*f*(2－*x*~1~)＞*f*(*x*~2~)＝0即可．**
***f*(2－*x*~1~)＝ln(2－*x*~1~)－(2－*x*~1~)^2^＋(*a*－1)(2－*x*~1~)**
**＝ln(2－*x*~1~)－*x*＋(*a*＋1)*x*~1~－2.**
**又因为*f*(*x*~1~)＝ln *x*~1~－*x*＋(*a*－1)*x*~1~＝0，**
**所以*f*(2－*x*~1~)＝ln(2－*x*~1~)－ln *x*~1~＋2*x*~1~－2，**
**令*h*(*x*)＝ln(2－*x*)－ln *x*＋2*x*－2(0＜*x*＜1)，**
**则*h*′(*x*)＝－＋2＝()()＜0，**
**则*h*(*x*)在(0,1)上单调递减，**
**所以*h*(*x*)＞*h*(1)＝0，即*f*(2－*x*~1~)＞0，所以*x*~1~＋*x*~2~＞2.**
第四章 三角函数、解三角形
=========================
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、基础知识
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角*α*终边相同的角，连同角*α*在内，可构成一个集合*S*＝{*β*\|*β*＝*α*＋2*k*π，*k*∈Z}．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
------------------- --------------------------
角*α*的弧度数公式 \|*α*\|＝(*l*表示弧长)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝^°^
弧长公式 *l*＝\|*α*\|*r*
扇形面积公式 *S*＝*lr*＝\|*α*\|*r*^2^
------------------- --------------------------
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
(1)定义：设*α*是一个任意角，它的终边与单位圆交于点*P*(*x*，*y*)，那么sin *α*＝，cos *α*＝，tan *α*＝(*x*≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在*x*轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段*MP*，*OM*，*AT*分别叫做角*α*的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总------规律多一点
(1)一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2)三角函数定义的推广
设点*P*(*x*，*y*)是角*α*终边上任意一点且不与原点重合，*r*＝\|*OP*\|，则sin *α*＝，cos *α*＝，tan *α*＝(*x*≠0)．
(3)象限角
(4)轴线角
\[典例\] (1)若角*α*是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
(2)终边在直线*y*＝*x*上，且在\[－2π，2π)内的角*α*的集合为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)∵*α*是第二象限角，
∴＋2*k*π\<*α*\<π＋2*k*π，*k*∈Z，
∴＋*k*π\<\<＋*k*π，*k*∈Z.
当*k*为偶数时，是第一象限角；
当*k*为奇数时，是第三象限角．故选C.
(2)如图，在坐标系中画出直线*y*＝*x*，可以发现它与*x*轴的夹角是，在\[0,2π)内，终边在直线*y*＝*x*上的角有两个：，；在\[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角*α*构成的集合为.
\[答案\] (1)C (2)
\[题组训练\]
1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选B 当*k*＝2*n*(*n*∈Z)时，2*n*π≤*α*≤2*n*π＋(*n*∈Z)，此时*α*的终边和0≤*α*≤的终边一样，当*k*＝2*n*＋1(*n*∈Z)时，2*n*π＋π≤*α*≤2*n*π＋π＋(*n*∈Z)，此时*α*的终边和π≤*α*≤π
＋的终边一样．
2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：所有与45°终边相同的角可表示为：
*β*＝45°＋*k*×360°(*k*∈Z)，
则令－720°≤45°＋*k*×360°\<0°(*k*∈Z)，
得－765°≤*k*×360°\<－45°(*k*∈Z)，
解得－≤*k*\<－(*k*∈Z)，
从而*k*＝－2或*k*＝－1，
代入得*β*＝－675°或*β*＝－315°.
答案：－675°或－315°
\[典例\] 已知角*α*的终边经过点*P*(－*x*，－6)，且cos *α*＝－，则＋＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] ∵角*α*的终边经过点*P*(－*x*，－6)，且cos *α*＝－，
∴cos *α*＝＝－，
解得*x*＝或*x*＝－(舍去)，
∴*P*，∴sin *α*＝－，
∴tan *α*＝＝，则＋＝－＋＝－.
\[答案\] －
\[解题技法\]
用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法
(1)已知角*α*终边上一点*P*的坐标，则可先求出点*P*到原点的距离*r*，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角*α*的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．
\[题组训练\]
1．已知角*α*的终边经过点(3，－4)，则sin *α*＋＝( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D ∵角*α*的终边经过点(3，－4)，∴sin *α*＝－，cos *α*＝，∴sin *α*＋＝－＋＝.
2．已知角*θ*的顶点与原点重合，始边与*x*轴的正半轴重合，终边在直线*y*＝2*x*上，则cos 2*θ*＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选B 设*P*(*t,*2*t*)(*t*≠0)为角*θ*终边上任意一点，则cos *θ*＝.当*t*\>0时，cos *θ*＝；当*t*\<0时，cos *θ*＝－.因此cos 2*θ*＝2cos^2^*θ*－1＝－1＝－.
\[典例\] 若sin *α*tan *α*\<0，且\<0，则角*α*是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
\[解析\] 由sin *α*tan *α*\<0可知sin *α*，tan *α*异号，
则*α*为第二象限角或第三象限角．
由\<0可知cos *α*，tan *α*异号，
则*α*为第三象限角或第四象限角．
综上可知，*α*为第三象限角．
\[答案\] C
\[解题技法\] 三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin *θ*在一、二象限为正，cos *θ*在一、四象限为正，tan *θ*在一、三象限为正.
学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin *θ*在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin＝1\>0，cos π＝－1\<0.
\[题组训练\]
1．下列各选项中正确的是( )
A．sin 300°\>0 B．cos(－305°)\<0
C．tan\>0 D．sin 10\<0
解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°\<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)\>0；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan\<0；3π\<10\<，则10是第三象限角，故sin 10\<0，故选D.
2．已知点*P*(cos *α*，tan *α*)在第三象限，则角*α*的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由题意得⇒所以角*α*的终边在第二象限．
A级
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 设扇形的半径为*r*(*r*\>0)，弧长为*l*，则由扇形面积公式可得2＝*lr*＝\|*α*\|*r*^2^＝×4×*r*^2^，解得*r*＝1，*l*＝\|*α*\|*r*＝4，所以所求扇形的周长为2*r*＋*l*＝6.
2．(2019·石家庄模拟)已知角*α*(0°≤*α*\<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则*α*＝( )
A．150° B．135°
C．300° D．60°
解析：选C 由sin 150°＝\>0，cos 150°＝－\<0，可知角*α*终边上一点的坐标为，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin *α*＝－，因为0°≤*α*\<360°，所以角*α*为300°.
3．(2018·长春检测)若角*α*的顶点为坐标原点，始边在*x*轴的非负半轴上，终边在直线*y*＝－*x*上，则角*α*的取值集合是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 当*α*的终边在射线*y*＝－*x*(*x*≤0)上时，对应的角为＋2*k*π，*k*∈Z，当*α*的终边在射线*y*＝－*x*(*x*≥0)上时，对应的角为－＋2*k*π，*k*∈Z，所以角*α*的取值集合是.
4．已知角*α*的终边经过点(3*a*－9，*a*＋2)，且cos *α*≤0，sin *α*＞0，则实数*a*的取值范围是( )
A．(－2,3\] B．(－2,3)
C．\[－2,3) D．\[－2,3\]
解析：选A 由cos *α*≤0，sin *α*＞0可知，角*α*的终边落在第二象限或*y*轴的正半轴上，所以有
解得－2＜*a*≤3.
5．在平面直角坐标系*xOy*中，*α*为第二象限角，*P*(－，*y*)为其终边上一点，且sin *α*＝，则*y*的值为( )
A. B．－
C. D.或
解析：选C 由题意知\|*OP*\|＝，则sin *α*＝＝，解得*y*＝0(舍去)或*y*＝±，因为*α*为第二象限角，所以*y*\>0，则*y*＝.
6．已知角*α*＝2*k*π－(*k*∈Z)，若角*θ*与角*α*的终边相同，则*y*＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B 由*α*＝2*k*π－(*k*∈Z)及终边相同的概念知，角*α*的终边在第四象限，因为角*θ*与角*α*的终边相同，所以角*θ*是第四象限角，所以sin *θ*＜0，cos *θ*＞0，tan *θ*＜0.
所以*y*＝－1＋1－1＝－1.
7．已知一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设此扇形的半径为*r*(*r*\>0)，由＝××*r*^2^，得*r*＝2.
答案：2
8．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系*xOy*中，60°角终边上一点*P*的坐标为(1，*m*)，则实数*m*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵60°角终边上一点*P*的坐标为(1，*m*)，∴tan 60°＝，∵tan 60°＝，∴*m*＝.
答案：
9．若*α*＝1 560°，角*θ*与*α*终边相同，且－360°＜*θ*＜360°，则*θ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*α*＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与*α*终边相同的角为360°×*k*＋120°，*k*∈Z，
令*k*＝－1或*k*＝0，可得*θ*＝－240°或*θ*＝120°.
答案：120°或－240°
10．在直角坐标系*xOy*中，*O*为坐标原点，*A*(，1)，将点*A*绕*O*逆时针旋转90°到*B*点，则*B*点坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意知*OA*＝*OB*＝2，∠*AOx*＝30°，∠*BOx*＝120°，
设点*B*坐标为(*x*，*y*)，
则*x*＝2cos 120°＝－1，*y*＝2sin 120°＝，即*B*(－1，)．
答案：(－1，)
11．已知＝－，且lg(cos *α*)有意义．
(1)试判断角*α*所在的象限；
(2)若角*α*的终边上一点*M*，且\|*OM*\|＝1(*O*为坐标原点)，求*m*的值及sin *α*的值．
解：(1)由＝－，得sin *α*\<0，
由lg(cos *α*)有意义，可知cos *α*\>0，
所以*α*是第四象限角．
(2)因为\|*OM*\|＝1，所以^2^＋*m*^2^＝1，解得*m*＝±.
又因为*α*是第四象限角，所以*m*\<0，
从而*m*＝－，
sin *α*＝＝＝＝－.
12．已知*α*为第三象限角．
(1)求角终边所在的象限；
(2)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由2*k*π＋π＜*α*＜2*k*π＋，*k*∈Z，
得*k*π＋＜＜*k*π＋，*k*∈Z，
当*k*为偶数时，角终边在第二象限；
当*k*为奇数时，角终边在第四象限．
故角终边在第二或第四象限．
(2)当角在第二象限时，
tan ＜0，sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当角在第四象限时，
tan＜0，sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此tansin cos 取正号．
B级
1．若－\<*α*\<－，从单位圆中的三角函数线观察sin *α*，cos *α*，tan *α*的大小是( )
A．sin *α*\<tan *α*\<cos *α* B．cos *α*\<sin *α*\<tan *α*
C．sin *α*\<cos *α*\<tan *α* D．tan *α*\<sin *α*\<cos *α*
解析：选C 如图所示，作出角*α*的正弦线*MP*，余弦线*OM*，正切线*AT*，因为－\<*α*\<－，所以*α*终边位置在图中的阴影部分，观察可得*AT*\>*OM*\>*MP*，故有sin *α*\<cos *α*\<tan *α*.
2．已知点*P*(sin *α*－cos *α*，tan *α*)在第一象限，且*α*∈\[0,2π\]，则角*α*的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析：选B 因为点*P*在第一象限，所以即
由tan *α*\>0可知角*α*为第一或第三象限角，画出单位圆如图．
又sin *α*\>cos *α*，用正弦线、余弦线得满足条件的角*α*的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角*α*的取值范围是∪.
3．已知角*θ*的终边过点*P*(－4*a,*3*a*)(*a*≠0)．
(1)求sin *θ*＋cos *θ*的值；
(2)试判断cos(sin *θ*)·sin(cos *θ*)的符号．
解：(1)因为角*θ*的终边过点*P*(－4*a,*3*a*)(*a*≠0)，
所以*x*＝－4*a*，*y*＝3*a*，*r*＝5\|*a*\|，
当*a*＞0时，*r*＝5*a*，sin *θ*＋cos *θ*＝－＝－；
当*a*＜0时，*r*＝－5*a*，sin *θ*＋cos *θ*＝－＋＝.
(2)当*a*＞0时，sin *θ*＝∈，
cos *θ*＝－∈，
则cos(sin *θ*)·sin(cos *θ*)＝cos ·sin＜0；
当*a*＜0时，sin *θ*＝－∈，
cos *θ*＝∈，
则cos(sin *θ*)·sin(cos *θ*)＝cos·sin ＞0.
综上，当*a*＞0时，cos(sin *θ*)·sin(cos *θ*)的符号为负；
当*a*＜0时，cos(sin *θ*)·sin(cos *θ*)的符号为正．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、基础知识
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin^2^*α*＋cos^2^*α*＝1；
(2)商数关系：tan *α*＝.
平方关系对任意角都成立，而商数关系中*α*≠*k*π＋(*k*∈Z)．
2．诱导公式
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
| 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
| 2*k*π＋ | π＋*α* | －*α* | π－*α* | －*α* | ＋*α* |
| | | | | | |
| *α*(*k*∈Z) | | | | | |
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
| sin *α* | －sin *α* | －sin *α* | sin *α* | cos *α* | cos\_*α* |
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
| cos *α* | －cos *α* | cos *α* | －cos\_*α* | sin *α* | －sin *α* |
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
| tan *α* | tan *α* | －tan *α* | －tan\_*α* | | |
+------------+-----------+-----------+------------+---------+-----------+
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限."奇""偶"指的是"*k*·＋*α*(*k*∈Z)"中的*k*是奇数还是偶数."变"与"不变"是指函数的名称的变化，若*k*是奇数，则正、余弦互变；若*k*为偶数，则函数名称不变."符号看象限"指的是在"*k*·＋*α*(*k*∈Z)"中，将*α*看成锐角时，"*k*·＋*α*(*k*∈Z)"的终边所在的象限.
二、常用结论
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin^2^*α*＝1－cos^2^*α*＝(1＋cos *α*)(1－cos *α*)；
cos^2^*α*＝1－sin^2^*α*＝(1＋sin *α*)(1－sin *α*)；
(sin *α*±cos *α*)^2^＝1±2sin *α*cos *α*.
(2)sin *α*＝tan *α*cos *α*.
\[典例\] (1)已知*f*(*α*)＝()()，则*f*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)已知cos＝，则sin＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)因为*f*(*α*)＝()()
＝()()＝cos *α*，
所以*f*＝cos＝cos＝.
(2)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.
\[答案\] (1) (2)－
\[题组训练\]
1.已知tan *α*＝，且*α*∈，则cos＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：cos＝sin *α*，由*α*∈知*α*为第三象限角，
联立解得5sin^2^*α*＝1，故sin *α*＝－.
法二：cos＝sin *α*，由*α*∈知*α*为第三象限角，由tan *α*＝，可知点(－2，－1)为*α*终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin *α*＝－.
答案：－
2\. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
> 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.
答案：2
3.已知tan＝，则tan＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
答案：－
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
\[典例\] (1)若tan *α*＝2，则＋cos^2^*α*＝( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知sin *α*cos *α*＝，且\<*α*\<，则cos *α*－sin *α*的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
\[解析\] (1)＋cos^2^*α*
＝＋
＝＋，
将tan *α*＝2代入上式，则原式＝.
(2)因为sin *α*cos *α*＝，所以(cos *α*－sin *α*)^2^＝cos^2^*α*－2sin *α*cos *α*＋sin^2^*α*＝1－2sin *α*cos *α*＝1－2×＝，因为\<*α*\<，所以cos *α*\<sin *α*，即cos *α*－sin *α*\<0，
所以cos *α*－sin *α*＝－.
\[答案\] (1)A (2)D
\[题组训练\]
1．(2018·甘肃诊断)已知tan *φ*＝，且角*φ*的终边落在第三象限，则cos *φ*＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为角*φ*的终边落在第三象限，所以cos *φ*\<0，因为tan *φ*＝，
所以解得cos *φ*＝－.
2．已知tan *θ*＝3，则sin^2^*θ*＋sin *θ*cos *θ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：sin^2^*θ*＋sin *θ*cos *θ*＝＝＝＝.
答案：
3．已知＝5，则sin^2^*α*－sin *α*cos *α*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由已知可得sin *α*＋3cos *α*＝5(3cos *α*－sin *α*)，
即sin *α*＝2cos *α*，所以tan *α*＝＝2，
从而sin^2^*α*－sin *α*cos *α*＝＝＝＝.
答案：
4．已知－π\<*α*\<0，sin(π＋*α*)－cos *α*＝－，则cos *α*－sin *α*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由已知，得sin *α*＋cos *α*＝，
sin^2^*α*＋2sin *α*cos *α*＋cos^2^*α*＝，
整理得2sin *α*cos *α*＝－.
因为(cos *α*－sin *α*)^2^＝1－2sin *α*cos *α*＝，
且－π\<*α*\<0，所以sin *α*\<0，cos *α*\>0，
所以cos *α*－sin *α*\>0，故cos *α*－sin *α*＝.
答案：
A级
1．已知*x*∈，cos *x*＝，则tan *x*的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 因为*x*∈，所以sin *x*＝－＝－，所以tan *x*＝＝－.
2．(2019·淮南十校联考)已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A ∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
3．计算：sin ＋cos 的值为( )
A．－1 B．1
C．0 D.－
解析：选A 原式＝sin＋cos
＝－sin－cos＝－－＝－1.
4．若()()()＝，则tan *θ*的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选D 因为()()()＝＝，
所以2(sin *θ*＋cos *θ*)＝sin *θ*－cos *θ*，
所以sin *θ*＝－3cos *θ*，所以tan *θ*＝－3.
5．(2018·大庆四地六校调研)若*α*是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tan *α*的值为( )
A．－ B．－
C．－或－ D．不存在
解析：选A 由sin＋cos＝，
得cos *α*＋sin *α*＝，∴2sin *α*cos *α*＝－\<0.
∵*α*∈(0，π)，∴sin *α*\>0，cos *α*\<0，
∴sin *α*－cos *α*＝＝，
∴sin *α*＝，cos *α*＝－，
∴tan *α*＝－.
6．在△*ABC*中，sin＝3sin(π－*A*)，且cos *A*＝－cos(π－*B*)，则△*ABC*为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选B 将sin＝3sin(π－*A*)化为cos *A*＝3sin *A*，则tan *A*＝，则*A*＝，将cos *A*＝－cos(π－*B*)化为 cos＝cos *B*，则cos *B*＝，则*B*＝，故△*ABC*为直角三角形．
7．化简：＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：＝＝sin 2*θ*.
答案：sin 2*θ*
8．化简：·sin(*α*－π)·cos(2π－*α*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝·(－sin *α*)·cos *α*
＝·(－sin *α*)·cos *α*
＝·(－sin *α*)·cos *α*＝－sin^2^*α*.
答案：－sin^2^*α*
9．sin·cos·tan的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
10．(2019·武昌调研)若tan *α*＝cos *α*，则＋cos^4^*α*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：tan *α*＝cos *α*⇒＝cos *α*⇒sin *α*＝cos^2^*α*，故＋cos^4^*α*＝＋cos^4^*α*＝sin *α*＋＋cos^4^*α*＝sin *α*＋＋sin^2^*α*＝sin^2^*α*＋sin *α*＋1＝sin^2^*α*＋cos^2^*α*＋1＝1＋1＝2.
答案：2
11．已知*α*为第三象限角，
*f*(*α*)＝()()().
(1)化简*f*(*α*)；
(2)若cos＝，求*f*(*α*)的值．
解：(1)*f*(*α*)＝()()()
＝()()()＝－cos *α*.
(2)∵cos＝，
∴－sin *α*＝，从而sin *α*＝－.
又∵*α*为第三象限角，
∴cos *α*＝－＝－，
∴*f*(*α*)＝－cos *α*＝.
12．已知sin *α*＝，求tan(*α*＋π)＋的值．
解：因为sin *α*＝\>0，
所以*α*为第一或第二象限角．
tan(*α*＋π)＋
＝tan *α*＋＝＋
＝.
①当*α*为第一象限角时，cos *α*＝＝，
原式＝＝.
②当*α*为第二象限角时，cos *α*＝－＝－，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝或－.
B级
1．已知sin *α*＋cos *α*＝，*α*∈(0，π)，则＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A 因为sin *α*＋cos *α*＝，
所以(sin *α*＋cos *α*)^2^＝1＋2sin *α*cos *α*＝，
所以sin *α*cos *α*＝－，又因为*α*∈(0，π)，
所以sin *α*\>0，cos *α*\<0，所以cos *α*－sin *α*\<0，
因为(cos *α*－sin *α*)^2^＝1－2sin *α*cos *α*＝1－2×＝，
所以cos *α*－sin *α*＝－，
所以＝＝＝＝－.
2．已知*θ*是第一象限角，若sin *θ*－2cos *θ*＝－，则sin *θ*＋cos *θ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵sin *θ*－2cos *θ*＝－，
∴sin *θ*＝2cos *θ*－，
∴^2^＋cos^2^*θ*＝1，
∴5cos^2^*θ*－cos *θ*－＝0，
即＝0.
又∵*θ*为第一象限角，∴cos *θ*＝，
∴sin *θ*＝，∴sin *θ*＋cos *θ*＝.
答案：
3．已知关于*x*的方程2*x*^2^－(＋1)*x*＋*m*＝0的两根分别是sin *θ*和cos *θ*，*θ*∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)*m*的值；
(3)方程的两根及此时*θ*的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin *θ*＋cos *θ*.
由条件知sin *θ*＋cos *θ*＝，
故＋＝.
(2)由已知，得sin *θ*＋cos *θ*＝，sin *θ*cos *θ*＝，
因为1＋2sin *θ*cos *θ*＝(sin *θ*＋cos *θ*)^2^，
所以1＋2×＝^2^，解得*m*＝.
(3)由
得或
又*θ*∈(0,2π)，故*θ*＝或*θ*＝.
故当sin *θ*＝，cos *θ*＝时，*θ*＝；
当sin *θ*＝，cos *θ*＝时，*θ*＝.
第三节 三角函数的图象与性质
一、基础知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)"五点法"作图原理：
在正弦函数*y*＝sin *x*，*x*∈\[0,2π\]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数*y*＝cos *x*，*x*∈\[0,2π\]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
函数*y*＝sin *x*，*x*∈\[0，2π\]，*y*＝cos *x*，*x*∈\[0，2π\]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 函数 | *y*＝sin *x* | *y*＝cos *x* | *y*＝tan *x* |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 图象 |  |  |  |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 定义域 | R | R | |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 值域 | \[－1,1\] | \[－1,1\] | R |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 奇偶 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| | | | |
| 性 | | | |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 单 | 在(*k*∈Z)上是递增函数，在(*k*∈Z)上是递减函数 | 在\[2*k*π－π，2*k*π\](*k*∈Z)上是递增函数，在\[2*k*π，2*k*π＋π\](*k*∈Z)上是递减函数 | 在(*k*∈Z)上是递增函数 |
| | | | |
| 调 | | | |
| | | | |
| 性 | | | |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 周 | 周期是2*k*π(*k*∈Z且*k*≠0)，最小正周期是2π | 周期是2*k*π(*k*∈Z且*k*≠0)，最小正周期是2π | 周期是*k*π(*k*∈Z且*k*≠0)，最小正周期是 |
| | | | |
| 期 | | | |
| | | | |
| 性 | | | |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| 对 | 对称轴是*x*＝＋*k*π(*k*∈Z)，对称中心是(*k*π，0)(*k*∈Z) | 对称轴是*x*＝*k*π(*k*∈Z)，对称中心是(*k*∈Z) | 对称中心是 |
| | | | |
| 称 | | | (*k*∈Z) |
| | | | |
| 性 | | | |
+--------+--------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
三角函数性质的注意点
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；*y*＝tan *x*无单调递减区间；*y*＝tan *x*在整个定义域内不单调．
(2)要注意求函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的单调区间时*A*和*ω*的符号，尽量化成*ω*\>0的形式，避免出现增减区间的混淆.
二、常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)为偶函数，则有*φ*＝*k*π＋(*k*∈Z)；若为奇函数，则有*φ*＝*k*π (*k*∈Z)．
(2)若*y*＝*A*cos(*ωx*＋*φ*)为偶函数，则有*φ*＝*k*π(*k*∈Z)；若为奇函数，则有*φ*＝*k*π＋ (*k*∈Z)．
(3)若*y*＝*A*tan(*ωx*＋*φ*)为奇函数，则有*φ*＝*k*π(*k*∈Z)．
第一课时 三角函数的单调性
\[典例\] (2017·浙江高考)已知函数*f*(*x*)＝sin^2^*x*－cos^2^*x*－2sin *x*cos *x*(*x*∈R)．
(1)求*f*的值；
(2)求*f*(*x*)的最小正周期及单调递增区间．
\[解\] (1)由题意，*f*(*x*)＝－cos 2*x*－sin 2*x*＝－2＝－2sin，
故*f*＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝－2sin.
则*f*(*x*)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令＋2*k*π≤2*x*＋≤＋2*k*π(*k*∈Z)，
解得＋*k*π≤*x*≤＋*k*π(*k*∈Z)，
所以*f*(*x*)的单调递增区间是(*k*∈Z)．
\[题组训练\]
1．函数*y*＝\|tan *x*\|在上的单调递减区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：
作出*y*＝\|tan *x*\|的示意图如图，观察图象可知，*y*＝\|tan *x*\|在上的单调递减区间为和.
答案：，
2．函数*g*(*x*)＝－cos的单调递增区间为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*g*(*x*)＝－cos＝－cos，
欲求函数*g*(*x*)的单调递增区间，
只需求函数*y*＝cos的单调递减区间．
由2*k*π≤2*x*－≤2*k*π＋π(*k*∈Z)，
得*k*π＋≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)．
故函数*g*(*x*)的单调递增区间为(*k*∈Z)．
因为*x*∈，
所以函数*g*(*x*)的单调递增区间为，.
答案：，
3．(2019·金华适应性考试)已知函数*f*(*x*)＝cos 2*x*－2sin^2^(*x*－*α*)，其中0\<*α*\<，且*f*＝－－1.
(1)求*α*的值；
(2)求*f*(*x*)的最小正周期和单调递减区间．
解：(1)由已知得*f*＝－－2sin^2^＝－－2cos^2^*α*＝－－1，整理得cos^2^*α*＝.
因为0\<*α*\<，所以cos *α*＝，*α*＝.
(2)由(1)知，*f*(*x*)＝cos 2*x*－2sin^2^
＝cos 2*x*－1＋cos
＝cos 2*x*＋sin 2*x*－1
＝2sin－1.
易知函数*f*(*x*)的最小正周期*T*＝π.
令*t*＝2*x*＋，
则函数*f*(*x*)可转化为*y*＝2sin *t*－1.
显然函数*y*＝2sin *t*－1与*y*＝sin *t*的单调性相同，
当函数*y*＝sin *t*单调递减时，
2*k*π＋≤*t*≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
即2*k*π＋≤2*x*＋≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
解得*k*π＋≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)．
所以函数*f*(*x*)的单调递减区间为(*k*∈Z)．
()
\[典例\] (1)函数*f*(*x*)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋cos *x*－的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)当*x*∈时，
2*x*－∈，sin∈，
故3sin∈，
所以函数*f*(*x*)的值域为.
(2)依题意，*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋cos *x*－＝－cos^2^*x*＋cos *x*＋＝－^2^＋1，
因为*x*∈，所以cos *x*∈\[0,1\]，
因此当cos *x*＝时，*f*(*x*)~max~＝1.
\[答案\] (1)B (2)1
\[变透练清\]
1.()若本例(1)中函数*f*(*x*)的解析式变为：*f*(*x*)＝3cos，则*f*(*x*)在区间上的值域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当*x*∈时，2*x*－∈，
cos∈，
故*f*(*x*)＝3cos∈.
答案：
2.()若本例(2)中函数*f*(*x*)的解析式变为：函数*f*(*x*)＝sin *x*＋cos *x*＋sin *x*cos *x*，则*f*(*x*)的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*t*＝sin *x*＋cos *x*(－≤*t*≤)，
则sin *x*cos *x*＝，
*y*＝*t*＋*t*^2^－＝(*t*＋1)^2^－1，
当*t*＝时，*y*＝*t*＋*t*^2^－取最大值为＋.
故*f*(*x*)的最大值为.
答案：
3．已知函数*f*(*x*)＝sin，其中*x*∈，若*f*(*x*)的值域是，则实数*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*x*∈，知*x*＋∈.
∵*x*＋∈时，*f*(*x*)的值域是，
∴由函数的图象知≤*a*＋≤，
∴≤*a*≤π.
答案：
考点三 根据三角函数单调性确定参数
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若*f*(*x*)＝cos *x*－sin *x*在\[－*a*，*a*\]是减函数，则*a*的最大值是( )
A. B.
C. D．π
(2)若*f*(*x*)＝2sin *ωx*(*ω*\>0)在区间上是增函数，则*ω*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)*f*(*x*)＝cos *x*－sin *x*＝－sin，
当*x*∈，即*x*－∈时，
*y*＝sin单调递增，
则*f*(*x*)＝－sin单调递减．
∵函数*f*(*x*)在\[－*a*，*a*\]是减函数，
∴\[－*a*，*a*\]⊆，∴0\<*a*≤，
∴*a*的最大值是.
(2)法一：因为*x*∈(*ω*\>0)，
所以*ωx*∈，
因为*f*(*x*)＝2sin *ωx*在上是增函数，
所以故0\<*ω*≤.
法二：画出函数*f*(*x*)＝2sin *ωx*(*ω*\>0)的图象如图所示．
要使*f*(*x*)在上是增函数，
需即0\<*ω*≤.
\[答案\] (1)A (2)
\[解题技法\]
已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．
\[题组训练\]
1．若函数*f*(*x*)＝sin(*ωx*＋*φ*)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意知＝－＝，故*T*＝π，
所以*ω*＝＝2，
又因为*f*＝1，所以sin＝1.
因为\|*φ*\|\<，所以*φ*＝，
即*f*(*x*)＝sin.
故*f*＝sin＝cos＝.
答案：
2．（2019·贵阳检测）已知函数*f*(*x*)＝sin(*ω*\>0)在上单调递减，则*ω*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由\<*x*\<π，得*ω*＋\<*ωx*＋\<π*ω*＋，
由题意知⊆，
所以
解得≤*ω*≤.
答案：
A级
1．函数*f*(*x*)＝tan的单调递增区间是( )
A.(*k*∈Z)
B.(*k*∈Z)
C.(*k*∈Z)
D.(*k*∈Z)
解析：选B 由*k*π－＜2*x*－＜*k*π＋(*k*∈Z)，得－＜*x*＜＋(*k*∈Z)，所以函数*f*(*x*)＝tan的单调递增区间是(*k*∈Z)．
2．*y*＝\|cos *x*\|的一个单调递增区间是( )
A. B．\[0，π\]
C. D.
解析：选D 将*y*＝cos *x*的图象位于*x*轴下方的部分关于*x*轴对称向上翻折，*x*轴上方(或*x*轴上)的部分不变，即得*y*＝\|cos *x*\|的图象(如图)．故选D.
3．已知函数*y*＝2cos *x*的定义域为，值域为\[*a*，*b*\]，则*b*－*a*的值是( )
A．2 B．3
C.＋2 D．2－
解析：选B 因为*x*∈，所以cos *x*∈，故*y*＝2cos *x*的值域为\[－2,1\]，所以*b*－*a*＝3.
4．(2019·西安八校联考)已知函数*f*(*x*)＝cos(*x*＋*θ*)(0\<*θ*\<π)在*x*＝时取得最小值，则*f*(*x*)在\[0，π\]上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为0\<*θ*\<π，所以\<＋*θ*\<，又因为*f*(*x*)＝cos(*x*＋*θ*)在*x*＝时取得最小值，所以＋*θ*＝π，*θ*＝，所以*f*(*x*)＝cos.由0≤*x*≤π，得≤*x*＋≤.由π≤*x*＋≤，得≤*x*≤π，所以*f*(*x*)在\[0，π\]上的单调递增区间是.
5．(2018·北京东城质检)函数*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋sin *x*cos *x*在区间上的最小值为( )
A．1 B.
C. D．1－
解析：选A 函数*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋sin *x*cos *x*＝－cos 2*x*＋sin 2*x*＝sin＋.
∵*x*∈，∴2*x*－∈.
当2*x*－＝时，函数*f*(*x*)取得最小值为1.
6．(2019·广西五市联考)若函数*f*(*x*)＝2sin *ωx*(0\<*ω*\<1)在区间上的最大值为1，则*ω*＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为0\<*ω*\<1,0≤*x*≤，所以0≤*ωx*\<，所以*f*(*x*)在区间上单调递增，则*f*(*x*)~max~＝*f*＝2sin＝1，即sin＝.又因为0≤*ωx*\<，所以＝，解得*ω*＝.
7．函数*y*＝的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：要使函数有意义，需sin *x*－cos *x*≥0，即sin *x*≥cos *x*，
由函数的图象得2*k*π＋≤*x*≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
故原函数的定义域为(*k*∈Z)．
答案：(*k*∈Z)
8．函数*f*(*x*)＝cos 2*x*＋6cos的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*f*(*x*)＝cos 2*x*＋6cos＝1－2sin^2^*x*＋6sin *x*＝－2^2^＋，而sin *x*∈\[－1,1\]，所以当sin *x*＝1时，*f*(*x*)取最大值5.
答案：5
9．函数*f*(*x*)＝2sin(0≤*x*≤9)的最大值与最小值之和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为0≤*x*≤9，所以0≤*x*≤，
即－≤*x*－≤，
所以－≤sin≤1，
故*f*(*x*)的最大值为2，最小值为－，它们之和为2－.
答案：2－
10．若函数*f*(*x*)＝sin *ωx*(*ω*\>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则*ω*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：由于函数*f*(*x*)＝sin *ωx*(*ω*\>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数
的图象可知，为函数*f*(*x*)的周期，故＝，解得*ω*＝.
法二：由题意，得*f*(*x*)~max~＝*f*＝sin*ω*＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，*ω*＝，解得*ω*＝.
答案：
11．已知函数*f*(*x*)＝sin.
(1)求函数*f*(*x*)的单调递增区间；
(2)当*x*∈时，求函数*f*(*x*)的最大值和最小值．
解：(1)令2*k*π－≤2*x*＋≤2*k*π＋，*k*∈Z，
则*k*π－≤*x*≤*k*π＋，*k*∈Z.
故函数*f*(*x*)的单调递增区间为，*k*∈Z.
(2)因为当*x*∈时，≤2*x*＋≤，
所以－1≤sin≤，所以－≤*f*(*x*)≤1，
所以当*x*∈时，函数*f*(*x*)的最大值为1，最小值为－.
12．已知函数*f*(*x*)＝sin 2*x*－cos 2*x*－.
(1)求函数*f*(*x*)的最小正周期和最大值；
(2)讨论函数*f*(*x*)在上的单调性．
解：(1)因为函数*f*(*x*)＝sin 2*x*－cos 2*x*－＝sin－，
所以函数*f*(*x*)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当*x*∈时，0≤2*x*－≤π，
从而当0≤2*x*－≤，即≤*x*≤时，*f*(*x*)单调递增；
当≤2*x*－≤π，即≤*x*≤时，*f*(*x*)单调递减．
综上可知，*f*(*x*)在上单调递增，在上单调递减．
B级
1．已知函数*f*(*x*)＝2sin，设*a*＝*f*，*b*＝*f*，*c*＝*f*，则*a*，*b*，*c*的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_(用"\<"表示)．
解析：函数*f*(*x*)＝2sin＝2sin，
*a*＝*f*＝2sin ，
*b*＝*f*＝2sin ，
*c*＝*f*＝2sin ＝2sin ，
因为*y*＝sin *x*在上单调递增，且\<\<，
所以sin \<sin \<sin ，
即*c*\<*a*\<*b*.
答案：*c*\<*a*\<*b*
2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数*f*(*x*)＝sin(*ω*\>0)，*f*＝*f*，且*f*(*x*)在上单调递减，则*ω*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由*f*＝*f*，可知函数*f*(*x*) 的图象关于直线*x*＝对称，
∴*ω*＋＝＋*k*π，*k*∈Z，
∴*ω*＝1＋4*k*，*k*∈Z，
又∵*f*(*x*)在上单调递减，
∴≥π－＝，*T*≥π，
∴≥π，∴*ω*≤2，
又∵*ω*＝1＋4*k*，*k*∈Z，∴当*k*＝0时，*ω*＝1.
答案：1
3．已知函数*f*(*x*)＝*a*sin＋*a*＋*b*.
(1)若*a*＝－1，求函数*f*(*x*)的单调递增区间；
(2)若*x*∈\[0，π\]，函数*f*(*x*)的值域是\[5,8\]，求*a*，*b*的值．
解：(1)当*a*＝－1时，*f*(*x*)＝－sin＋*b*－1，
由2*k*π＋≤*x*＋≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
得2*k*π＋≤*x*≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
所以*f*(*x*)的单调递增区间为(*k*∈Z)．
(2)因为0≤*x*≤π，所以≤*x*＋≤，
所以－≤sin≤1，依题意知*a*≠0.
①当*a*\>0时，有
所以*a*＝3－3，*b*＝5.
②当*a*\<0时，有
所以*a*＝3－3，*b*＝8.
综上所述，*a*＝3－3，*b*＝5或*a*＝3－3，*b*＝8.
第二课时 三角函数的周期性、奇偶性及对称性
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数*f*(*x*)＝的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
(2)若函数*f*(*x*)＝2tan的最小正周期*T*满足1\<*T*\<2，则正整数*k*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)由已知得*f*(*x*)＝＝＝＝sin *x*cos *x*＝sin 2*x*，所以*f*(*x*)的最小正周期为*T*＝＝π.
(2)由题意知1\<\<2，即\<*k*\<π.
又因为*k*∈N^\*^，所以*k*＝2或*k*＝3.
\[答案\] (1)C (2)2或3
\[解题技法\]
1．三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法；
(2)公式法：函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*y*＝*A*cos(*ωx*＋*φ*))的最小正周期*T*＝，函数*y*＝*A*tan(*ωx*＋*φ*)的最小正周期*T*＝；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
2．有关周期的2个结论
(1)函数*y*＝\|*A*sin(*ωx*＋*φ*)\|，*y*＝\|*A*cos(*ωx*＋*φ*)\|，*y*＝\|*A*tan(*ωx*＋*φ*)\|的周期均为*T*＝.
(2)函数*y*＝\|*A*sin(*ωx*＋*φ*)＋*b*\|(*b*≠0)，*y*＝\|*A*cos(*ωx*＋*φ*)＋*b*\|(*b*≠0)的周期均为*T*＝.
\[题组训练\]
1．在函数①*y*＝cos\|2*x*\|，②*y*＝\|cos *x*\|，③*y*＝cos，④*y*＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选A 因为*y*＝cos\|2*x*\|＝cos 2*x*，
所以该函数的周期为＝π；
由函数*y*＝\|cos *x*\|的图象易知其周期为π；
函数*y*＝cos的周期为＝π；
函数*y*＝tan的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③.
2．若*x*＝是函数*f*(*x*)＝sin，*x*∈R的一个零点，且0\<*ω*\<10，则函数*f*(*x*)的最小正周期为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意知，*f*＝sin＝0，
即－＝*k*π，*k*∈Z，整理得*ω*＝8*k*＋2，*k*∈Z.
又因为0\<*ω*\<10，
所以0\<8*k*＋2\<10，得－\<*k*\<1，
而*k*∈Z，所以*k*＝0，*ω*＝2，
所以*f*(*x*)＝sin，*f*(*x*)的最小正周期为π.
答案：π
\[典例\] 函数*f*(*x*)＝3sin，*φ*∈(0，π)满足*f*(\|*x*\|)＝*f*(*x*)，则*φ*的值为( )
A. B.
C. D.
\[解析\] 因为*f*(\|*x*\|)＝*f*(*x*)，
所以函数*f*(*x*)＝3sin是偶函数，
所以－＋*φ*＝*k*π＋，*k*∈Z，
所以*φ*＝*k*π＋，*k*∈Z，
又因为*φ*∈(0，π)，所以*φ*＝.
\[答案\] C
\[解题技法\] 判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为*y*＝*A*sin *ωx*或*y*＝*A*tan *ωx*的形式，而偶函数一般可化为*y*＝*A*cos *ωx*＋*b*的形式．
\[题组训练\]
1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是( )
A．*y*＝sin B．*y*＝cos
C．*y*＝cos D．*y*＝sin
解析：选C *y*＝sin＝－cos 2*x*为偶函数，排除A；*y*＝cos＝sin 2*x*在上为减函数，排除B；*y*＝cos＝－sin 2*x*为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；*y*＝sin＝cos *x*为偶函数，排除D.故选C.
2．若函数*f*(*x*)＝cos(3*x*－*θ*)－sin(3*x*－*θ*)是奇函数，则tan *θ*等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*f*(*x*)＝cos(3*x*－*θ*)－sin(3*x*－*θ*)
＝2sin
＝－2sin，
因为函数*f*(*x*)为奇函数，
所以－－*θ*＝*k*π，*k*∈Z，
即*θ*＝－*k*π－，*k*∈Z，
故tan *θ*＝tan＝－.
答案：－
\[典例\] (1)已知函数*f*(*x*)＝2sin(*ω*\>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线*x*＝对称 D．关于直线*x*＝对称
(2)(2018·江苏高考)已知函数*y*＝sin(2*x*＋*φ*)的图象关于直线*x*＝对称，则*φ*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)因为函数*f*(*x*)＝2sin(*ω*\>0)的最小正周期是4π，而*T*＝＝4π，所以*ω*＝，
即*f*(*x*)＝2sin.
令＋＝＋*k*π(*k*∈Z)，解得*x*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
故*f*(*x*)的对称轴为*x*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
令＋＝*k*π(*k*∈Z)，解得*x*＝－＋2*k*π(*k*∈Z)．
故*f*(*x*)的对称中心为(*k*∈Z)，对比选项可知B正确．
(2)由题意得*f*＝sin＝±1，
∴＋*φ*＝*k*π＋(*k*∈Z)，∴*φ*＝*k*π－(*k*∈Z)．
∵*φ*∈，∴*φ*＝－.
\[答案\] (1)B (2)－
\[解题技法\]
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)或*y*＝*A*cos(*ωx*＋*φ*)的形式，再把(*ωx*＋*φ*)整体看成一个变量，若求*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*ω*≠0)图象的对称轴，则只需令*ωx*＋*φ*＝＋*k*π(*k*∈Z)，求*x*；若求*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*ω*≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令*ωx*＋*φ*＝*k*π(*k*∈Z)，求*x*.
\[题组训练\]
1．若函数*y*＝3cos(2*x*＋*φ*)的图象关于点对称，则\|*φ*\|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋*φ*＝*k*π＋，*k*∈Z，∴*φ*＝*k*π－，*k*∈Z.
取*k*＝0，得\|*φ*\|的最小值为.
2．(2018·长春质检)函数*f*(*x*)＝2sin(2*x*＋*φ*)，且*f*(0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A．*f*(*φ*)＝2
B.是*f*(*x*)图象的一个对称中心
C．*φ*＝
D．*x*＝－是*f*(*x*)图象的一条对称轴
解析：选A 由*f*(0)＝1且0\<*φ*\<，可得*φ*＝，故选项C错误；可得*f*(*x*)＝2sin，把*x*＝代入*f*(*x*)＝2sin，得*f*(*φ*)＝2，选项A正确；*f*＝2，*f*(*x*)取得最大值，选项B错误；而*f*＝－1，非最值，选项D错误，故选A.
3．已知函数*f*(*x*)＝2sin(*ωx*＋*φ*)，对于任意*x*都有*f*＝*f*，则*f*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*f*＝*f*，∴*x*＝是函数*f*(*x*)＝2sin(*ωx*＋*φ*)的一条对称轴，∴*f*＝±2.
答案：2或－2
A级
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．*y*＝sincos B．*y*＝sin^2^*x*
C．*y*＝tan 2*x* D．*y*＝sin 2*x*＋cos 2*x*
解析：选A *y*＝sin^2^*x*为偶函数；*y*＝tan 2*x*的周期为；*y*＝sin 2*x*＋cos 2*x*为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
2．已知函数*f*(*x*)＝sin－1，则*f*(*x*)的图象的一条对称轴方程是( )
A．*x*＝ B．*x*＝
C．*x*＝ D．*x*＝
解析：选A 令3*x*＋＝*k*π＋，*k*∈Z，
解得*x*＝＋，*k*∈Z，当*k*＝0时，*x*＝.
因此函数*f*(*x*)的图象的一条对称轴方程是*x*＝.
3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质："①最小正周期是π；②图象关于直线*x*＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为"的一个函数是( )
A．*y*＝sin B．*y*＝sin
C．*y*＝sin D．*y*＝sin
解析：选C 因为最小正周期是π，所以*ω*＝2，排除A选项；当*x*＝时，对于B，*y*＝sin＝0，对于D，*y*＝sin＝，因为图象关于直线*x*＝对称，所以排除B、D选项，对于C，sin＝1，sin＝0，且在上是增函数，故C满足条件．
4．函数*f*(*x*)＝cos(*ω*\>0)的最小正周期为π，则*f*(*x*)满足( )
A．在上单调递增 B．图象关于直线*x*＝对称
C．*f*＝ D．当*x*＝时有最小值－1
解析：选D 由函数*f*(*x*)＝cos(*ω*\>0)的最小正周期为π，得*ω*＝2，则*f*(*x*)＝cos.当*x*∈时，2*x*＋∈，显然此时*f*(*x*)不单调递增，故A错误；当*x*＝时，*f*＝cos＝0，故B错误；*f*＝cos＝－，故C错误；当*x*＝时，*f*＝cos＝cos π＝－1，故D正确．
5．设函数*f*(*x*)＝sin(*ωx*＋*φ*)＋cos(*ωx*＋*φ*)的最小正周期为π，且*f*(－*x*)＝*f*(*x*)，则( )
A．*f*(*x*)在内单调递减
B．*f*(*x*)在内单调递减
C．*f*(*x*)在内单调递增
D．*f*(*x*)在内单调递增
解析：选A 由题意知*f*(*x*)＝sin.
∵*f*(*x*)的最小正周期为π，∴*ω*＝2，
∴*f*(*x*)＝sin.
由*f*(*x*)＝*f*(－*x*)知*f*(*x*)是偶函数，
因此*φ*＋＝*k*π＋(*k*∈Z)．
又∵\|*φ*\|\<，∴*φ*＝，
∴*f*(*x*)＝cos 2*x*.
当0\<2*x*\<π，即0\<*x*\<时，*f*(*x*)单调递减．故选A.
6．(2018·昆明调研)已知函数*f*(*x*)＝sin *ωx*的图象关于点对称，且*f*(*x*)在上为增函数，则*ω*＝( )
A. B．3
C. D．6
解析：选A 因为函数*f*(*x*)＝sin *ωx*的图象关于点对称，所以π＝*k*π(*k*∈Z)，即*ω*＝*k*(*k*∈Z)，①
又因为函数*f*(*x*)＝sin *ωx*在区间上为增函数，
所以≤且*ω*\>0，所以0\<*ω*≤2，②
由①②得*ω*＝.
7．若函数*f*(*x*)＝cos(*ω*∈N^\*^)的一个对称中心是，则*ω*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*f*＝0，所以cos＝0，
即＋＝＋*k*π(*k*∈Z)，故*ω*＝2＋6*k*(*k*∈Z)，
又因为*ω*∈N^\*^，故*ω*的最小值为2.
答案：2
8．若函数*y*＝2sin(3*x*＋*φ*)图象的一条对称轴为*x*＝，则*φ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*y*＝sin *x*图象的对称轴为*x*＝*k*π＋(*k*∈Z)，
所以3×＋*φ*＝*k*π＋(*k*∈Z)，
得*φ*＝*k*π＋(*k*∈Z)．
又因为\|*φ*\|\<，
所以*k*＝0，故*φ*＝.
答案：
9．若函数*f*(*x*)＝(*ω*\>0)的最小正周期为π，则*f*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题设及周期公式得*T*＝＝π，所以*ω*＝1，即*f*(*x*)＝，所以*f*＝＝.
答案：
10．设函数*f*(*x*)＝3sin，若存在这样的实数*x*~1~，*x*~2~，对任意的*x*∈R，都有*f*(*x*~1~)≤*f*(*x*)≤*f*(*x*~2~)成立，则\|*x*~1~－*x*~2~\|的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*f*(*x*)＝3sin的周期*T*＝2π×＝4，
*f*(*x*~1~)，*f*(*x*~2~)应分别为函数*f*(*x*)的最小值和最大值，
故\|*x*~1~－*x*~2~\|的最小值为＝2.
答案：2
11．已知函数*f*(*x*)＝2sin.
(1)求函数的最大值及相应的*x*值集合；
(2)求函数*f*(*x*)的图象的对称轴与对称中心．
解：(1)当sin＝1时，2*x*－＝2*k*π＋，*k*∈Z，
即*x*＝*k*π＋，*k*∈Z，此时函数取得最大值为2.
故*f*(*x*)的最大值为2，使函数取得最大值的*x*的集合为.
(2)由2*x*－＝＋*k*π，*k*∈Z，得*x*＝＋*k*π，*k*∈Z，
即函数*f*(*x*)的图象的对称轴为*x*＝＋*k*π，*k*∈Z.
由2*x*－＝*k*π，*k*∈Z，得*x*＝＋*k*π，*k*∈Z，
即对称中心为，*k*∈Z.
12．已知函数*f*(*x*)＝sin(*ωx*＋*φ*)的最小正周期为π.
(1)求当*f*(*x*)为偶函数时*φ*的值；
(2)若*f*(*x*)的图象过点，求*f*(*x*)的单调递增区间．
解：由*f*(*x*)的最小正周期为π，得*T*＝＝π，
所以*ω*＝2，所以*f*(*x*)＝sin(2*x*＋*φ*)．
(1)当*f*(*x*)为偶函数时，有*φ*＝＋*k*π(*k*∈Z)．
因为0\<*φ*\<，所以*φ*＝.
(2)因为*f*＝，
所以sin＝，
即＋*φ*＝＋2*k*π或＋*φ*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
故*φ*＝2*k*π或*φ*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
又因为0\<*φ*\<，所以*φ*＝，
即*f*(*x*)＝sin.
由－＋2*k*π≤2*x*＋≤＋2*k*π(*k*∈Z)，
得*k*π－≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)，
故*f*(*x*)的单调递增区间为(*k*∈Z)．
B级
1．若函数*f*(*x*)＝cos(2*x*＋*φ*)的图象关于点成中心对称，且－\<*φ*\<，则函数*y*＝*f*为( )
A．奇函数且在内单调递增
B．偶函数且在内单调递增
C．偶函数且在内单调递减
D．奇函数且在内单调递减
解析：选D 因为函数*f*(*x*)＝cos(2*x*＋*φ*)的图象关于点成中心对称，
所以＋*φ*＝*k*π＋，*k*∈Z，
即*φ*＝*k*π－，*k*∈Z.
又因为－\<*φ*\<，所以*φ*＝－，
则*y*＝*f*＝cos＝cos＝－sin 2*x*，
所以该函数为奇函数且在内单调递减，故选D.
2．已知函数*f*(*x*)＝sin(*ω*\>0，*x*∈R)．若函数*f*(*x*)在区间(－*ω*，*ω*)内单调递增，且函数*y*＝*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝*ω*对称，则*ω*的值为( )
A. B．2
C. D.
解析：选D 因为*f*(*x*)在区间(－*ω*，*ω*)内单调递增，且函数图象关于直线*x*＝*ω*对称，所以*f*(*ω*)必为一个周期上的最大值，
所以有*ω*·*ω*＋＝2*k*π＋，*k*∈Z，
所以*ω*^2^＝＋2*k*π，*k*∈Z.
又*ω*－(－*ω*)≤·，
即*ω*^2^≤，即*ω*^2^＝，所以*ω*＝.
3．已知函数*f*(*x*)＝2sin^2^－cos 2*x*－1，*x*∈R.
(1)求*f*(*x*)的最小正周期；
(2)若*h*(*x*)＝*f*(*x*＋*t*)的图象关于点对称，且*t*∈(0，π)，求*t*的值；
(3)当*x*∈时，不等式\|*f*(*x*)－*m*\|\<3恒成立，求实数*m*的取值范围．
解：(1)因为*f*(*x*)＝－cos－cos 2*x*
＝sin 2*x*－cos 2*x*
＝2
＝2sin，
故*f*(*x*)的最小正周期为*T*＝＝π.
(2)由(1)知*h*(*x*)＝2sin.
令2×＋2*t*－＝*k*π(*k*∈Z)，
得*t*＝＋(*k*∈Z)，
又*t*∈(0，π)，故*t*＝或.
(3)当*x*∈时，2*x*－∈，
所以*f*(*x*)∈\[1,2\]．
又\|*f*(*x*)－*m*\|\<3，
即*f*(*x*)－3\<*m*\<*f*(*x*)＋3，
所以2－3\<*m*\<1＋3，
即－1\<*m*\<4.
故实数*m*的取值范围是(－1,4)．
第四节 函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的图象及应用
一、基础知识
1．函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的有关概念
+------------------------+------+-------+---------+-----------+------+
| *y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*) | 振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
| | | | | | |
| (*A*\>0，*ω*\>0) | | | | | |
+------------------------+------+-------+---------+-----------+------+
| | *A* | *T*＝ | *f*＝＝ | *ωx*＋*φ* | |
+------------------------+------+-------+---------+-----------+------+
2．用五点法画*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0)一个周期内的简图
用五点法画*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
------------------------ ---- ---- --- ------- ----
*ωx*＋*φ* 0 π 2π
*x* － － －
*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*) 0 0 －*A* 0
------------------------ ---- ---- --- ------- ----
3．由函数*y*＝sin *x*的图象通过变换得到*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0)的图象的两种方法
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是\|*φ*\|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(*ω*\>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量*x*而言的，即图象变换要看"自变量*x*"发生多大变化，而不是看角"*ωx*＋*φ*"的变化．
考点一 求函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的解析式
\[典例\] (1)已知函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0，0\<*φ*\<π)，其部分图象如图所示，则函数*f*(*x*)的解析式为( )
A．*f*(*x*)＝2sin
B．*f*(*x*)＝2sin
C．*f*(*x*)＝2sin
D．*f*(*x*)＝2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数*f*(*x*)＝sin(*ωx*＋*φ*)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)由题图可知*A*＝2，*T*＝2×＝4π，故＝4π，解得*ω*＝.
所以*f*(*x*)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，所以*φ*－＝2*k*π＋(*k*∈Z)，
解得*φ*＝2*k*π＋(*k*∈Z)．
又0\<*φ*\<π，所以*φ*＝.
所以*f*(*x*)＝2sin.
(2)依题意得 ＝2，则＝2，即*ω*＝，所以*f*(*x*)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋*φ*)＝－，即sin *φ*＝，而－≤*φ*≤，故*φ*＝，所以*f*(*x*)＝sin.
\[答案\] (1)B (2)sin
\[解题技法\]
确定*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)＋*B*(*A*\>0，*ω*\>0)的解析式的步骤
(1)求*A*，*B*，确定函数的最大值*M*和最小值*m*，则*A*＝，*B*＝.
(2)求*ω*，确定函数的周期*T*，则*ω*＝.
(3)求*φ*，常用方法有以下2种
\[题组训练\]
1.函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的部分图象如图所示，则*f*的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
解析：选D 由图象可得*A*＝，最小正周期*T*＝4×＝π，则*ω*＝＝2.由*f*＝sin＝－，\|*φ*\|\<，得*φ*＝，则*f*(*x*)＝sin，所以*f*＝sin＝sin＝－1.
2.(2018·咸阳三模)已知函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0，\|*φ*\|\<π)的部分图象如图所示，则*f*(*x*)的解析式为( )
A．*f*(*x*)＝2sin
B．*f*(*x*)＝2sin
C．*f*(*x*)＝2sin
D．*f*(*x*)＝2sin
解析：选D 由图象可得，*A*＝2，*T*＝2×\[6－(－2)\]＝16，
所以*ω*＝＝＝.
所以*f*(*x*)＝2sin.
由函数的对称性得*f*(2)＝－2，
即*f*(2)＝2sin＝－2，
即sin＝－1，
所以＋*φ*＝2*k*π－(*k*∈Z)，
解得*φ*＝2*k*π－(*k*∈Z)．
因为\|*φ*\|\<π，所以*k*＝0，*φ*＝－.
故函数的解析式为*f*(*x*)＝2sin.
考点二 函数*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的图象与变换
\[典例\] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线*C*~1~：*y*＝cos *x*，*C*~2~：*y*＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把*C*~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
B．把*C*~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
C．把*C*~1~上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
D．把*C*~1~上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线*C*~2~
\[解析\] 易知*C*~1~：*y*＝cos *x*＝sin，把曲线*C*~1~上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数*y*＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数*y*＝sin＝sin的图象，即曲线*C*~2~.
\[答案\] D
\[解题技法\] 三角函数图象变换中的3个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数*y*＝*A*sin *x*到*y*＝*A*sin(*x*＋*φ*)的变换
量是\|*φ*\|个单位，而函数*y*＝*A*sin *ωx*到*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)时，变换量是个单位．
\[题组训练\]
1．将函数*y*＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．*y*＝sin B．*y*＝sin
C．*y*＝sin D．*y*＝sin
解析：选B 将函数*y*＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数*y*＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数*y*＝sin的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为*y*＝sin.
2．(2019·潍坊统一考试)函数*y*＝sin 2*x*－cos 2*x*的图象向右平移*φ*个单位长度后，得到函数*g*(*x*)的图象，若函数*g*(*x*)为偶函数，则*φ*的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知*y*＝sin 2*x*－cos 2*x*＝2sin，其图象向右平移*φ*个单位长度后，得到函数*g*(*x*)＝2sin的图象，因为*g*(*x*)为偶函数，所以2*φ*＋＝＋*k*π，*k*∈Z，所以*φ*＝＋，*k*∈Z，又因为*φ*∈，所以*φ*＝.
\[典例\] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)＋*B*的模型波动(*x*为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为\_\_\_\_\_\_\_\_元．
\[解析\] 作出函数*f*(*x*)的简图如图所示，
三角函数模型为：*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)＋*B*，
由题意知：*A*＝2 000，*B*＝7 000，*T*＝2×(9－3)＝12，
∴*ω*＝＝.
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋*φ*＝，∴*φ*＝0，
故*f*(*x*)＝2 000sin*x*＋7 000(1≤*x*≤12，*x*∈N^\*^)．
∴*f*(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元．
\[答案\] 6 000
\[解题技法\]
三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
\[题组训练\]
1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数*y*＝3sin＋*k*，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选C 设水深的最大值为*M*，由题意并结合函数图象可得解得*M*＝8.
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数*y*＝*a*＋*A*cos()(*x*＝1,2,3，...，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为\_\_\_\_\_\_\_\_℃.
解析：由题意得即所以*y*＝23＋5cos()，令*x*＝10，得*y*＝20.5.
答案：20.5
A级
1．函数*y*＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 令*x*＝0，得*y*＝sin＝－，排除B、D.由*f*＝0，*f*＝0，排除C，故选A.
2．函数*f*(*x*)＝tan *ωx*(*ω*\>0)的图象的相邻两支截直线*y*＝2所得线段长为，则*f*的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，*ω*＝2，*f*(*x*)＝tan 2*x*.
∴*f*＝tan ＝.
3．(2018·天津高考)将函数*y*＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
解析：选A 将函数*y*＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为*y*＝sin＝sin 2*x*，则函数*y*＝sin 2*x*的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．
4.(2019·贵阳检测)已知函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的部分图象如图所示，则*φ*的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 由题意，得＝－＝，所以*T*＝π，由*T*＝，得*ω*＝2，由图可知*A*＝1，所以*f*(*x*)＝sin(2*x*＋*φ*)．又因为*f*＝sin＝0，－\<*φ*\<，所以*φ*＝.
5.(2019·武汉调研)函数*f*(*x*)＝*A*cos(*ωx*＋*φ*)(*ω*\>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①*f*(*x*)的最小正周期为2；
②*f*(*x*)图象的一条对称轴为直线*x*＝－；
③*f*(*x*)在，*k*∈Z上是减函数；
④*f*(*x*)的最大值为*A*.
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由题图可知，函数*f*(*x*)的最小正周期*T*＝2×＝2，故①正确；因为函数*f*(*x*)的图象过点和，所以函数*f*(*x*)图象的对称轴为直线*x*＝＋＝＋*k*(*k*∈Z)，故直线*x*＝－不是函数*f*(*x*)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋*kT*≤*x*≤＋＋*kT*(*k*∈Z)，即2*k*－≤*x*≤2*k*＋(*k*∈Z)时，*f*(*x*)是减函数，故③正确；若*A*\>0，则最大值是*A*，若*A*\<0，则最大值是－*A*，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.
6．(2018·山西大同质量检测)将函数*f*(*x*)＝tan(0\<*ω*\<10)的图象向右平移个单位长度后与函数*f*(*x*)的图象重合，则*ω*＝( )
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选B 函数*f*(*x*)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为*y*＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数*f*(*x*)的图象重合，∴－＋＝＋*k*π，*k*∈Z，解得*ω*＝－6*k*，*k*∈Z.又∵0\<*ω*\<10，∴*ω*＝6.
7．已知函数*f*(*x*)＝2sin 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，最小正周期*T*为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，频率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，初相*φ*为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：振幅*A*＝2，最小正周期*T*＝＝6，频率*f*＝.
因为图象过点(0,1)，
所以2sin *φ*＝1，所以sin *φ*＝，
又因为\|*φ*\|＜，所以*φ*＝.
答案：2 6
8.函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)(*A*\>0，*ω*\>0,0\<*φ*\<π)的部分图象如图所示，则*f*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由图象可知*A*＝2，*T*＝－＝，∴*T*＝π，∴*ω*＝2，
∵当*x*＝时，函数*f*(*x*)取得最大值，
∴2×＋*φ*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
∴*φ*＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
∵0\<*φ*\<π，∴*φ*＝，∴*f*(*x*)＝2sin.
答案：2sin
9．已知函数*f*(*x*)＝sin(*ω*\>0)向左平移半个周期得*g*(*x*)的图象，若*g*(*x*)在\[0，π\]上的值域为，则*ω*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，得*g*(*x*)＝sin
＝sin＝sin，
由*x*∈\[0，π\]，得*ωx*－∈.
因为*g*(*x*)在\[0，π\]上的值域为，
所以≤*ω*π－≤，解得≤*ω*≤.
故*ω*的取值范围是.
答案：
10．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
-------------------- --- --- --- ---
月份*x* 1 2 3 4
收购价格*y*(元/斤) 6 7 6 5
-------------------- --- --- --- ---
选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)＋*B*(*A*\>0，*ω*\>0)，
由题意得*A*＝1，*B*＝6，*T*＝4，
因为*T*＝，所以*ω*＝，所以*y*＝sin＋6.
因为当*x*＝1时，*y*＝6，所以sin＝0，
故＋*φ*＝2*k*π，*k*∈Z，可取*φ*＝－，
所以*y*＝sin＋6＝－cos*x*＋6.
答案：*y*＝－cos*x*＋6
11．设函数*f*(*x*)＝cos(*ωx*＋*φ*)的最小正周期为π，且*f*＝.
(1)求*ω*和*φ*的值；
(2)在给定坐标系中作出函数*f*(*x*)在\[0，π\]上的图象．
解：(1)因为*T*＝＝π，所以*ω*＝2，
又因为*f*＝cos＝cos＝－sin *φ*＝且－\<*φ*\<0，所以*φ*＝－.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝cos.
列表：
---------- ---- --- --- ----- --- ---
2*x*－ － 0 π
*x* 0 π
*f*(*x*) 1 0 －1 0
---------- ---- --- --- ----- --- ---
描点，连线，可得函数*f*(*x*)在\[0，π\]上的图象如图所示．
12．(2019·湖北八校联考)函数*f*(*x*)＝sin(*ωx*＋*φ*)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将*y*＝*f*(*x*)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为*g*(*x*)．
(1)求*g*(*x*)的解析式；
(2)求*g*(*x*)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵＝－＝，∴*T*＝π，*ω*＝＝2，
又∵sin＝1，\|*φ*\|\<，
∴*φ*＝－，*f*(*x*)＝sin，
将函数*f*(*x*)的图象向左平移个单位长度得
*y*＝sin＝sin，
再将*y*＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得*g*(*x*)＝sin.
∴*g*(*x*)＝sin.
(2)∵*x*∈，∴4*x*＋∈，
当4*x*＋＝时，*x*＝，
∴*g*(*x*)在上为增函数，在上为减函数，
所以*g*(*x*)~max~＝*g*＝1，
又因为*g*(0)＝，*g*＝－，所以*g*(*x*)~min~＝－，
故函数*g*(*x*)在区间上的最大值和最小值分别为1和－.
B级
1．(2019·惠州调研)函数*f*(*x*)＝*A*sin(2*x*＋*θ*)的部分图象如图所示，且*f*(*a*)＝*f*(*b*)＝0，对不同的*x*~1~，*x*~2~∈\[*a*，*b*\]，若*f*(*x*~1~)＝*f*(*x*~2~)，有*f*(*x*~1~＋*x*~2~)＝，则( )
A．*f*(*x*)在上是减函数
B．*f*(*x*)在上是增函数
C．*f*(*x*)在上是减函数
D．*f*(*x*)在上是增函数
解析：选B 由题图知*A*＝2，设*m*∈\[*a*，*b*\]，且*f*(0)＝*f*(*m*)，则*f*(0＋*m*)＝*f*(*m*)＝*f*(0)＝，∴2sin *θ*＝，sin *θ*＝，又∵\|*θ*\|≤，∴*θ*＝，∴*f*(*x*)＝2sin，令－＋2*k*π≤2*x*＋≤＋2*k*π，*k*∈Z，解得－＋*k*π≤*x*≤＋*k*π，*k*∈Z，此时*f*(*x*)单调递增．所以选项B正确．
2．(2019·福州四校联考)函数*f*(*x*)＝sin *ωx*(*ω*\>0)的图象向右平移个单位长度得到函数*y*＝*g*(*x*)的图象，并且函数*g*(*x*)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数*ω*的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 因为将函数*f*(*x*)＝sin *ωx*(*ω*\>0)的图象向右平移个单位长度得到函数*y*＝*g*(*x*)的图象，所以*g*(*x*)＝sin，又因为函数*g*(*x*)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以*g*＝sin＝1且≥，所以()所以*ω*＝2.
3.(2018·南昌模拟)函数*f*(*x*)＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)的部分图象如图所示．
(1)求函数*f*(*x*)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程*f*(*x*)＋2cos＝*a*有实数解，求*a*的取值范围．
解：(1)由图可得*A*＝2，＝－＝，
所以*T*＝π，所以*ω*＝2.
当*x*＝时，*f*(*x*)＝2，可得2sin＝2，
因为\|*φ*\|\<，所以*φ*＝.
所以函数*f*(*x*)的解析式为*f*(*x*)＝2sin.
令2*x*＋＝*k*π(*k*∈Z)，得*x*＝－(*k*∈Z)，
所以函数*f*(*x*)图象的对称中心为(*k*∈Z)．
(2)设*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋2cos，
则*g*(*x*)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2，
令*t*＝sin，*t*∈\[－1,1\]，
记*h*(*t*)＝－4*t*^2^＋2*t*＋2＝－4^2^＋，
因为*t*∈\[－1,1\]，
所以*h*(*t*)∈，
即*g*(*x*)∈，故*a*∈.
故*a*的取值范围为.
\
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S~(*α*±*β*)~：sin(*α*±*β*)＝sin *α*cos *β*±cos *α*sin *β*.
C~(*α*±*β*)~：cos(*α*±*β*)＝cos *α*cos *β*∓sin *α*sin *β*.
T~(*α*±*β*)~：tan(*α*±*β*)＝.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C~(*α*±*β*)~同名相乘，符号反；S~(*α*±*β*)~异名相乘，符号同；T~(*α*±*β*)~分子同，分母反.
2．二倍角公式
S~2*α*~：sin 2*α*＝2sin *α*cos *α*.
C~2*α*~：cos 2*α*＝cos^2^*α*－sin^2^*α*＝2cos^2^*α*－1＝1－2sin^2^*α*.
T~2*α*~：tan 2*α*＝.
二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3*α*是的二倍角．
二、常用结论
(1)降幂公式：cos^2^*α*＝，sin^2^*α*＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2*α*＝2cos^2^*α*，1－cos 2*α*＝2sin^2^*α*.
(3)公式变形：tan *α*±tan *β*＝tan(*α*±*β*)(1∓tan *α*tan *β*)．
(4)辅助角公式：*a*sin *x*＋*b*cos *x*＝sin(*x*＋*φ*).
\[典例\] (1)已知sin *α*＝，*α*∈，tan *β*＝－，则tan(*α*－*β*)的值为( )
A．－ B.
C. D．－
(2)(2019·呼和浩特调研)若sin＝，且≤*α*≤π，则sin 2*α*的值为( )
A．－ B．－
C. D.
\[解析\] (1)因为sin *α*＝，*α*∈，
所以cos *α*＝－＝－，
所以tan *α*＝＝－.
所以tan(*α*－*β*)＝＝－.
(2)因为sin(π－*α*)＝sin *α*＝，≤*α*≤π，
所以cos *α*＝－＝－，
所以sin 2*α*＝2sin *α*cos *α*＝2××＝－.
\[答案\] (1)A (2)B
\[解题技法\] 应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为："同名相乘，符号反"．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
\[题组训练\]
1．已知sin *α*＝＋cos *α*，且*α*∈，则的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为sin *α*＝＋cos *α*，所以sin *α*－cos *α*＝，
所以＝
＝()()()＝＝－.
2．已知sin *α*＝，且*α*∈，则sin的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为sin *α*＝，且*α*∈，所以*α*∈，
所以cos *α*＝－＝－ ＝－.
因为sin 2*α*＝2sin *α*cos *α*＝－，cos 2*α*＝2cos^2^*α*－1＝－.
所以sin＝sin 2*α*cos＋cos 2*α*sin＝－.
答案：－
考点二 三角函数公式的逆用与变形用
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin *α*＋cos *β*＝1，cos *α*＋sin *β*＝0，则sin(*α*＋*β*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)∵sin *α*＋cos *β*＝1，①
cos *α*＋sin *β*＝0，②
∴①^2^＋②^2^得1＋2(sin *α*cos *β*＋cos *α*sin *β*)＋1＝1，
∴sin *α*cos *β*＋cos *α*sin *β*＝－，
∴sin(*α*＋*β*)＝－.
(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°·tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝.
\[答案\] (1)－ (2)
\[解题技法\]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)公式的一些常用变形：
sin *α*sin *β*＋cos(*α*＋*β*)＝cos *α*cos *β*；
cos *α*sin *β*＋sin(*α*－*β*)＝sin *α*cos *β*；
1±sin *α*＝^2^；
sin 2*α*＝＝；
cos 2*α*＝＝.
\[提醒\]
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)tan *α*tan *β*，tan *α*＋tan *β*(或tan *α*－tan *β*)，tan(*α*＋*β*)(或tan(*α*－*β*))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，， 等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把"值变角"构造适合公式的形式．
\[题组训练\]
1.设*a*＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，*b*＝(sin 56°－cos 56°)，*c*＝，则*a*，*b*，*c*的大小关系是( )
A．*a*\>*b*\>*c* B．*b*\>*a*\>*c*
C．*c*\>*a*\>*b* D．*a*\>*c*\>*b*
解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得*a*＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，*b*＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，*c*＝＝＝cos^2^39°－sin^2^39°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数*y*＝sin *x*，*x*∈为增函数，所以sin 13°\>sin 12°\>sin 11°，所以*a*\>*c*\>*b*.
2.已知cos＋sin *α*＝，则sin＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由cos＋sin *α*＝，
可得cos *α*＋sin *α*＋sin *α*＝，
即sin *α*＋cos *α*＝，
∴sin＝，即sin＝.
答案：
3.化简sin^2^＋sin^2^－sin^2^*α*的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：原式＝＋－sin^2^*α*
＝1－－sin^2^*α*
＝1－cos 2*α*·cos －sin^2^*α*
＝1－－
＝.
答案：
考法(一) 三角公式中角的变换
\[典例\] (2018·浙江高考改编)已知角*α*的顶点与原点*O*重合，始边与*x*轴的非负半轴重合，它的终边过点*P*.若角*β*满足sin(*α*＋*β*)＝，则cos *β*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 由角*α*的终边过点*P*，
得sin *α*＝－，cos *α*＝－.
由sin(*α*＋*β*)＝，得cos(*α*＋*β*)＝±.
由*β*＝(*α*＋*β*)－*α*，得cos *β*＝cos(*α*＋*β*)cos *α*＋sin(*α*＋*β*)sin *α*，
所以cos *β*＝－或cos *β*＝.
\[答案\] －或
\[解题技法\]
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当"已知角"有两个时，"所求角"一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当"已知角"有一个时，此时应着眼于"所求角"与"已知角"的和或差的关系，再应用诱导公式把"所求角"变成"已知角"．
2．常见的配角技巧
2*α*＝(*α*＋*β*)＋(*α*－*β*)，*α*＝(*α*＋*β*)－*β*，*β*＝－，*α*＝＋，＝－等．
考法(二) 三角公式中名的变换
\[典例\] (2018·江苏高考)已知*α*，*β*为锐角，tan *α*＝，cos(*α*＋*β*)＝－.
(1)求cos 2*α*的值；
(2)求tan(*α*－*β*)的值．
\[解\] (1)因为tan *α*＝，tan *α*＝，
所以sin *α*＝cos *α* .
因为sin^2^*α*＋cos^2^*α*＝1，
所以cos^2^*α*＝，
所以cos 2*α*＝2cos^2^*α*－1＝－.
(2)因为*α*，*β* 为锐角，所以*α*＋*β*∈(0，π)．
又因为cos(*α*＋*β*)＝－，所以*α*＋*β*∈.
所以sin(*α*＋*β*)＝()＝，
所以tan(*α*＋*β*)＝－2.
因为tan *α*＝，
所以 tan 2*α*＝＝－.
所以tan(*α*－*β*)＝tan\[2*α*－(*α*＋*β*)\]
＝()()＝－.
\[解题技法\] 三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
\[题组训练\]
1．已知tan *θ*＋＝4，则cos^2^＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由tan *θ*＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin *θ*cos *θ*＝，∴cos^2^＝＝＝＝＝.
2．(2018·济南一模)若sin＝，*A*∈，则sin *A*的值为( )
A. B.
C.或 D.
解析：选B ∵*A*∈，∴*A*＋∈，
∴cos＝－ ＝－，
∴sin *A*＝sin
＝sincos－cossin＝.
3．已知sin *α*＝－，*α*∈，若()＝2，则tan(*α*＋*β*)＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵sin *α*＝－，*α*∈，
∴cos *α*＝.
又∵()＝2，
∴sin(*α*＋*β*)＝2cos\[(*α*＋*β*)－*α*\]．
展开并整理，得cos(*α*＋*β*)＝sin(*α*＋*β*)，
∴tan(*α*＋*β*)＝.
A级
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A．1 B.
C. D．－
解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．若2sin *x*＋cos＝1，则cos 2*x*＝( )
A．－ B．－
C. D．－
解析：选C 因为2sin *x*＋cos＝1，所以3sin *x*＝1，所以sin *x*＝，所以cos 2*x*＝1－2sin^2^*x*＝.
3．(2018·山西名校联考)若cos＝－，则cos＋cos *α*＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C cos＋cos *α*＝cos *α*＋sin *α*＋cos *α*＝cos *α*＋sin *α*＝cos＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，
∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝.
5．若*α*∈，且3cos 2*α*＝sin，则sin 2*α*的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 由3cos 2*α*＝sin，可得3(cos^2^*α*－sin^2^*α*)＝(cos *α*－sin *α*)，又由*α*∈，可知cos *α*－sin *α*≠0，于是3(cos *α*＋sin *α*)＝，所以1＋2sin *α*cos *α*＝，故sin 2*α*＝－.
6．已知sin 2*α*＝，则cos^2^＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D cos^2^＝＝＋sin 2*α*＝＋×＝.
7．已知sin＝，*α*∈，则cos的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由已知得cos *α*＝，sin *α*＝－，
所以cos＝cos *α*＋sin *α*＝－.
答案：－
8．(2019·湘东五校联考)已知sin(*α*＋*β*)＝，sin(*α*－*β*)＝，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为sin(*α*＋*β*)＝，sin(*α*－*β*)＝，所以sin *α*cos *β*＋cos *α*sin *β*＝，sin *α*cos *β*－cos *α*sin *β*＝，所以sin *α*cos *β*＝，cos *α*sin *β*＝，所以＝＝5.
答案：5
9．(2017·江苏高考)若tan＝，则tan *α*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：tan *α*＝tan
＝＝＝.
答案：
10．化简：＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：＝＝＝－1.
答案：－1
11．已知tan *α*＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
\(2\)
＝()
＝
＝＝＝1.
12．已知*α*，*β*均为锐角，且sin *α*＝，tan(*α*－*β*)＝－.
(1)求sin(*α*－*β*)的值；
(2)求cos *β*的值．
解：(1)∵*α*，*β*∈，∴－\<*α*－*β*\<.
又∵tan(*α*－*β*)＝－\<0，∴－\<*α*－*β*\<0.
∴sin(*α*－*β*)＝－.
(2)由(1)可得，cos(*α*－*β*)＝.
∵*α*为锐角，且sin *α*＝，∴cos *α*＝.
∴cos *β*＝cos\[*α*－(*α*－*β*)\]＝cos *α*cos(*α*－*β*)＋sin *α*sin(*α*－*β*)
＝×＋×＝.
B级
1．(2019·广东五校联考)若tan＝4cos(2π－*θ*)，\|*θ*\|\<，则tan 2*θ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵tan＝4cos(2π－*θ*)，∴＝4cos *θ*，
又∵\|*θ*\|\<，∴sin *θ*＝，
∴0\<*θ*\<，cos *θ*＝，tan *θ*＝＝，
从而tan 2*θ*＝＝.
答案：
2．(2018·江西新建二中期中)已知*A*，*B*均为锐角，cos(*A*＋*B*)＝－，sin＝，则cos＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*A*，*B*均为锐角，cos(*A*＋*B*)＝－，sin＝，
所以\<*A*＋*B*\<π，\<*B*＋\<π，
所以sin(*A*＋*B*)＝()＝，cos＝－ ＝－，
可得cos＝cos()＝－×＋×＝.
答案：
3．(2019·石家庄质检)已知函数*f*(*x*)＝sin，*x*∈R.
(1)求*f*的值；
(2)若cos *θ* ＝，*θ*∈，求*f*的值．
解：(1)*f*＝sin＝sin＝－.
(2)*f*＝sin＝sin＝(sin 2*θ*－cos 2*θ*)．
因为cos *θ*＝，*θ*∈，所以sin *θ*＝，
所以sin 2*θ*＝2sin *θ*cos *θ*＝，cos 2*θ*＝cos^2^*θ*－sin^2^*θ*＝，
所以*f*＝(sin 2*θ*－cos 2*θ*)＝×＝.
第六节 简单的三角恒等变换
\[典例\] (1)()·()等于( )
A．－sin *α* B．－cos *α*
C．sin *α* D．cos *α*
(2)化简：()－2cos(*α*＋*β*)．
\[解\] (1)选D 原式＝()＝()＝cos *α*.
(2)原式＝()()
＝()()
＝()()()
＝()()
＝()＝.
\[解题技法\]
\[题组训练\]
1．化简：＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝()＝2cos *α*.
答案：2cos *α*
2．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝1.
考法(一) 给角求值
\[典例\] ()的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 原式＝＝()＝＝2.
\[答案\] 2
\[解题技法\] 三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
考法(二) 给值求值
\[典例\] 已知sin＝，*α*∈.
求：(1)cos *α*的值；
(2)sin的值．
\[解\] (1)由sin＝，
得sin *α*cos＋cos *α*sin＝，
化简得sin *α*＋cos *α*＝，①
又sin^2^*α*＋cos^2^*α*＝1，且*α*∈②
由①②解得cos *α*＝－.
(2)∵*α*∈，cos *α*＝－，∴sin *α*＝，
∴cos 2*α*＝1－2sin^2^*α*＝－，sin 2*α*＝2sin *α*cos *α*＝－，
∴sin＝sin 2*α*cos－cos 2*α*sin＝－.
\[解题技法\] 三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考法(三) 给值求角
\[典例\] 若sin 2*α*＝，sin(*β*－*α*)＝，且*α*∈，*β*∈，则*α*＋*β*的值是( )
A. B.
C.或 D.或
\[解析\] ∵*α*∈，∴2*α*∈，
∵sin 2*α*＝，∴2*α*∈.
∴*α*∈且cos 2*α*＝－.
又∵sin(*β*－*α*)＝，*β*∈，
∴*β*－*α*∈，cos(*β*－*α*)＝－，
∴cos(*α*＋*β*)＝cos\[(*β*－*α*)＋2*α*\]
＝cos(*β*－*α*)cos 2*α*－sin(*β*－*α*)sin 2*α*
＝×－×＝，
又∵*α*＋*β*∈，∴*α*＋*β*＝.
\[答案\] A
\[解题技法\] 三角函数给值求角问题的解题策略
(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是，选正弦函数较好．
(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．
\[题组训练\]
1．求值：＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选C 原式＝
＝()＝
＝
＝()＝＝.
2．已知*α*为第二象限角，sin *α*＋cos *α*＝，则cos 2*α*＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 法一：因为sin *α*＋cos *α*＝，所以(sin *α*＋cos *α*)^2^＝，即2sin *α*cos *α*＝－，即sin 2*α*＝－.
又因为*α*为第二象限角且sin *α*＋cos *α*＝\>0，
所以sin *α*\>0，cos *α*\<0，cos *α*－sin *α*\<0，cos 2*α*＝cos^2^*α*－sin^2^*α*＝(cos *α*＋sin *α*)(cos *α*－ sin *α*)\<0.
所以cos 2*α*＝－＝－＝－.
法二：由cos 2*α*＝cos^2^*α*－sin^2^*α*＝(cos *α*＋sin *α*)(cos *α*－sin *α*)，且*α*为第二象限角，得cos *α*－sin *α*\<0，
因为sin *α*＋cos *α*＝，
所以(sin *α*＋cos *α*)^2^＝＝1＋2sin *α*cos *α*，
得2sin *α*cos *α*＝－，从而(cos *α*－sin *α*)^2^＝1－2sin *α*cos *α*＝，则cos *α*－sin *α*＝－，所以cos 2*α*＝×＝－.
3．已知锐角*α*，*β*满足sin *α*＝，cos *β*＝，则*α*＋*β*等于( )
A. B.或
C. D．2*k*π＋(*k*∈Z)
解析：选C 由sin *α*＝，cos *β*＝，且*α*，*β*为锐角，
可知cos *α*＝，sin *β*＝，
故cos(*α*＋*β*)＝cos *α*cos *β*－sin *α*sin *β*＝×－×＝，
又0\<*α*＋*β*\<π，故*α*＋*β*＝.
\[典例\] (2018·北京高考)已知函数*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋sin *x*cos *x*.
(1)求*f*(*x*)的最小正周期；
(2)若*f*(*x*)在区间上的最大值为，求*m*的最小值．
\[解\] (1)因为*f*(*x*)＝sin^2^*x*＋sin *x*cos *x*
＝－cos 2*x*＋sin 2*x*
＝sin＋，
所以*f*(*x*)的最小正周期为*T*＝＝π.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝sin＋.
由题意知－≤*x*≤*m*，
所以－≤2*x*－≤2*m*－.
要使*f*(*x*)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2*m*－≥，即*m*≥.
所以*m*的最小值为.
\[解题技法\]
三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将*f*(*x*)化为*a*sin *x*＋*b*cos *x*的形式；
(2)构造*f*(*x*)＝；
(3)和角公式逆用，得*f*(*x*)＝sin(*x*＋*φ*)(其中*φ*为辅助角)；
(4)利用*f*(*x*)＝sin(*x*＋*φ*)研究三角函数的性质；
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
\[题组训练\]
1．已知*ω*\>0，函数*f*(*x*)＝sin *ωx*cos *ωx*＋cos^2^*ωx*－的最小正周期为π，则下列结论正确的是( )
A．函数*f*(*x*)的图象关于直线*x*＝对称
B．函数*f*(*x*)在区间上单调递增
C．将函数*f*(*x*)的图象向右平移个单位长度可得函数*g*(*x*)＝cos 2*x*的图象
D．当*x*∈时，函数*f*(*x*)的最大值为1，最小值为－
解析：选D 因为*f*(*x*)＝sin *ωx*cos *ωx*＋cos^2^*ωx*－＝sin 2*ωx*＋cos 2*ωx*＝sin，所以*T*＝＝π，所以*ω*＝1，所以*f*(*x*)＝sin.对于A，因为*f*＝0，所以不正确；对于B，当*x*∈时，2*x*＋∈，所以函数*f*(*x*)在区间上单调递减，故不正确；对于C，将函数*f*(*x*)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数*y*＝*f*＝sin＝sin 2*x*，所以不正确；对于D，当*x*∈时，2*x*＋∈，所以*f*(*x*)∈，故正确．故选D.
2．已知函数*f*(*x*)＝4sin *x*cos－.
(1)求函数*f*(*x*)的单调区间；
(2)求函数*f*(*x*)图象的对称轴和对称中心．
解：(1)*f*(*x*)＝4sin *x*cos－
＝4sin *x*－
＝2sin *x*cos *x*＋2sin^2^*x*－
＝sin 2*x*＋(1－cos 2*x*)－
＝sin 2*x*－cos 2*x*
＝2sin.
令2*k*π－≤2*x*－≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
得*k*π－≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)，
所以函数*f*(*x*)的单调递增区间为(*k*∈Z)．
令2*k*π＋≤2*x*－≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
得*k*π＋≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)，
所以函数*f*(*x*)的单调递减区间为(*k*∈Z)．
(2)令2*x*－＝*k*π＋(*k*∈Z)，得*x*＝＋(*k*∈Z)，
所以函数*f*(*x*)的对称轴方程为*x*＝＋(*k*∈Z)．
令2*x*－＝*k*π(*k*∈Z)，得*x*＝＋(*k*∈Z)，
所以函数*f*(*x*)的对称中心为(*k*∈Z)．
A级
1．已知sin＝cos，则tan *α*＝( )
A．1 B．－1
C. D．0
解析：选B ∵sin＝cos，
∴cos *α*－sin *α*＝cos *α*－sin *α*，
即sin *α*＝cos *α*，
∴tan *α*＝＝－1.
2．化简：＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选C 原式＝()＝＝＝ .
3．(2018·唐山五校联考)已知*α*是第三象限的角，且tan *α*＝2，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 因为*α*是第三象限的角，tan *α*＝2，
所以所以cos *α*＝－，sin *α*＝－，
则sin＝sin *α*cos＋cos *α*sin＝－×－×＝－.
4．(2019·咸宁模拟)已知tan(*α*＋*β*)＝2，tan *β*＝3，则sin 2*α*＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 由题意知tan *α*＝tan\[(*α*＋*β*)－*β*\]＝()()＝－，
所以sin 2*α*＝＝＝－.
5．已知cos＝－，则sin的值为( )
A. B．±
C．－ D.
解析：选B ∵cos＝－，
∴cos＝－cos
＝－cos＝－＝－，
解得sin^2^＝，∴sin＝±.
6．若sin(*α*－*β*)sin *β*－cos(*α*－*β*)cos *β*＝，且*α*为第二象限角，则tan＝( )
A．7 B.
C．－7 D．－
解析：选B ∵sin(*α*－*β*)sin *β*－cos(*α*－*β*)cos *β*＝，即－cos(*α*－*β*＋*β*)＝－cos *α*＝，
∴cos *α*＝－.又∵*α*为第二象限角，∴tan *α*＝－，∴tan＝＝.
7．化简：()＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：()＝()
＝()＝4sin *α*.
答案：4sin *α*
8．(2018·洛阳第一次统考)已知sin *α*＋cos *α*＝，则cos 4*α*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由sin *α*＋cos *α*＝，得sin^2^*α*＋cos^2^*α*＋2sin *α*cos *α*＝1＋sin 2*α*＝，所以sin 2*α*＝，从而cos 4*α*＝1－2sin^2^2*α*＝1－2×^2^＝.
答案：
9．若锐角*α*，*β*满足tan *α*＋tan *β*＝－tan *α*tan *β*，则*α*＋*β*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由已知可得＝，
即tan(*α*＋*β*)＝.
又因为*α*＋*β*∈(0，π)，所以*α*＋*β*＝.
答案：
10．函数*y*＝sin *x*cos的最小正周期是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*y*＝sin *x*cos＝sin *x*cos *x*－sin^2^*x*＝sin 2*x*－·＝sin－，故函数*f*(*x*)的最小正周期*T*＝＝π.
答案：π
11．化简：(1)()；
(2).
解：(1)原式＝()
＝
＝()
＝()＝－4.
(2)法一：原式＝＝
＝＝
＝sincoscos *α*＝sin *α*cos *α*＝sin 2*α*.
法二：原式＝＝cos^2^*α*·
＝cos^2^*α*·tan *α*＝cos *α*sin α＝sin 2*α*.
12．已知函数*f*(*x*)＝2sin *x*sin.
(1)求函数*f*(*x*)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当*x*∈时，求函数*f*(*x*)的值域．
解：(1)因为*f*(*x*)＝2sin *x*＝×＋sin 2*x*＝sin＋，
所以函数*f*(*x*)的最小正周期为*T*＝π.
由－＋2*k*π≤2*x*－≤＋2*k*π，*k*∈Z，
解得－＋*k*π≤*x*≤＋*k*π，*k*∈Z，
所以函数*f*(*x*)的单调递增区间是，*k*∈Z.
(2)当*x*∈时，2*x*－∈，
sin∈，*f*(*x*)∈.
故*f*(*x*)的值域为.
B级
1．(2018·大庆中学期末)已知tan *α*，是关于*x*的方程*x*^2^－*kx*＋*k*^2^－3＝0的两个实根，且3π\<*α*\<，则cos *α*＋sin *α*＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C ∵tan *α*，是关于*x*的方程*x*^2^－*kx*＋*k*^2^－3＝0的两个实根，∴tan *α*＋＝*k*，tan *α*·＝*k*^2^－3.
∵3π\<*α*\<，∴*k*\>0，∴*k*＝2，
∴tan *α*＝1，∴*α*＝3π＋，
则cos *α*＝－，sin *α*＝－，∴cos *α*＋sin *α*＝－.
2．在△*ABC*中，sin(*C*－*A*)＝1，sin *B*＝，则sin *A*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵sin(*C*－*A*)＝1，
∴*C*－*A*＝90°，即*C*＝90°＋*A*，
∵sin *B*＝，
∴sin *B*＝sin(*A*＋*C*)＝sin(90°＋2*A*)＝cos 2*A*＝，
即1－2sin^2^*A*＝，∴sin *A*＝.
答案：
3．已知角*α*的顶点在坐标原点，始边与*x*轴的正半轴重合，终边经过点*P*(－3，)．
(1)求sin 2*α*－tan *α*的值；
(2)若函数*f*(*x*)＝cos(*x*－*α*)cos *α*－sin(*x*－*α*)sin *α*，求函数*g*(*x*)＝*f*－2*f* ^2^(*x*)在区间上的值域．
解：(1)∵角*α*的终边经过点*P*(－3，)，
∴sin *α*＝，cos *α*＝－，tan *α*＝－.
∴sin 2*α*－tan *α*＝2sin *α*cos *α*－tan *α*＝－＋＝－.
(2)∵*f*(*x*)＝cos(*x*－*α*)cos *α*－sin(*x*－*α*)sin *α*＝cos *x*，
∴*g*(*x*)＝cos－2cos^2^*x*＝sin 2*x*－1－cos 2*x*＝2sin－1.
∵0≤*x*≤，
∴－≤2*x*－≤.
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数*g*(*x*)＝*f*－2*f*^2^(*x*)在区间上的值域是\[－2,1\]．
第七节 正弦定理和余弦定理
一、基础知识
1．正弦定理
＝＝＝2*R*(*R*为△*ABC*外接圆的半径)．
+--------------------+-----------------------------------------------------------+
| 正弦定理的常见变形 | (1)*a*＝2*R*sin *A*，*b*＝2*R*sin *B*，*c*＝2*R*sin *C*； |
| | |
| | (2)sin *A*＝，sin *B*＝，sin *C*＝； |
| | |
| | (3)*a*∶*b*∶*c*＝sin *A*∶sin *B*∶sin *C*； |
| | |
| | (4)＝. |
+--------------------+-----------------------------------------------------------+
2．余弦定理
*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*；
*b*^2^＝*c*^2^＋*a*^2^－2*ca*cos *B*；
*c*^2^＝*a*^2^＋*b*^2^－2*ab*cos *C*.
3．三角形的面积公式
(1)*S*~△*ABC*~＝*ah~a~*(*h~a~*为边*a*上的高)；
(2)*S*~△*ABC*~＝*ab*sin *C*＝*bc*sin *A*＝*ac*sin *B*；
(3)*S*＝*r*(*a*＋*b*＋*c*)(*r*为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总------规律多一点
1．三角形内角和定理
在△*ABC*中，*A*＋*B*＋*C*＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(*A*＋*B*)＝sin *C*；(2)cos(*A*＋*B*)＝－cos *C*；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△*ABC*中，*a*＝*b*cos *C*＋*c*cos *B*；*b*＝*a*cos *C*＋*c*cos *A*；*c*＝*b*cos *A*＋*a*cos *B*.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别为角*A*，*B*，*C*的对边，当*b*^2^＋*c*^2^－*a*^2^\>0时，可知*A*为锐角；当*b*^2^＋*c*^2^－*a*^2^＝0时，可知*A*为直角；当*b*^2^＋*c*^2^－*a*^2^\<0时，可知*A*为钝角．
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
\[典例\] (1)(2019·江西重点中学联考)在△*ABC*中，*a*＝3，*b*＝2，*A*＝30°，则cos *B*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
(2)设△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.若*a*＝，sin *B*＝，*C*＝，则*b*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)由正弦定理可得sin *B*＝＝＝，∵*a*＝3\>*b*＝2，∴*B*\<*A*，即*B*为锐角，∴cos *B*＝＝.
(2)∵sin *B*＝且*B*∈(0，π)，∴*B*＝或*B*＝，
又∵*C*＝，∴*B*＝，*A*＝π－*B*－*C*＝.
又*a*＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得*b*＝1.
\[答案\] (1) (2)1
考法(二) 余弦定理解三角形
\[典例\] (1)(2019·山西五校联考)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若*b*cos *A*＋*a*cos *B*＝*c*^2^，*a*＝*b*＝2，则△*ABC*的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
(2)(2018·泰安二模)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且＝，则角*B*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)∵*b*cos *A*＋*a*cos *B*＝*c*^2^，∴由余弦定理可得*b*·＋*a*·＝*c*^2^，整理可得2*c*^2^＝2*c*^3^，解得*c*＝1，则△*ABC*的周长为*a*＋*b*＋*c*＝2＋2＋1＝5.
(2)由正弦定理可得＝＝，
∴*c*^2^－*b*^2^＝*ac*－*a*^2^，∴*c*^2^＋*a*^2^－*b*^2^＝*ac*，
∴cos *B*＝＝，∵0\<*B*\<π，∴*B*＝.
\[答案\] (1)D (2)
\[题组训练\]
1.△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若*b*^2^＝*ac*，*c*＝2*a*，则cos *C*＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由题意得，*b*^2^＝*ac*＝2*a*^2^，
即*b*＝*a*，∴cos *C*＝＝＝－.
2.△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知sin *B*＋sin *A*(sin *C*－cos *C*)＝0，*a*＝2，*c*＝，则*C*＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为sin *B*＋sin *A*(sin *C*－cos *C*)＝0，
所以sin(*A*＋*C*)＋sin *A*sin *C*－sin *A*cos *C*＝0，
所以sin *A*cos *C*＋cos *A*sin *C*＋sin *A*sin *C*－sin *A*cos *C*＝0，整理得sin *C*(sin *A*＋cos *A*)＝0.因为sin *C*≠0，
所以sin *A*＋cos *A*＝0，所以t*a*n *A*＝－1，
因为*A*∈(0，π)，所以*A*＝，
由正弦定理得sin *C*＝＝＝，
又0＜*C*＜，所以*C*＝.
3.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，已知sin^2^*B*＋sin^2^*C*＝sin^2^*A*＋sin *B*sin *C*.
(1)求角*A*的大小；
(2)若cos *B*＝，*a*＝3，求*c*的值．
解：(1)由正弦定理可得*b*^2^＋*c*^2^＝*a*^2^＋*bc*，
由余弦定理得cos *A*＝＝，
因为*A*∈(0，π)，所以*A*＝.
(2)由(1)可知sin *A*＝，
因为cos *B*＝，*B*为△*ABC*的内角，所以sin *B*＝，
故sin *C*＝sin(*A*＋*B*)＝sin *A*cos *B*＋cos *A*sin *B*
＝×＋×＝.
由正弦定理＝得
*c*＝＝()＝1＋.
\[典例\] (1)设△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若*b*cos *C*＋*c*cos *B*＝*a*sin *A*，则△*ABC*的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若＝，(*b*＋*c*＋*a*)(*b*＋*c*－*a*)＝3*bc*，则△*ABC*的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
\[解析\] (1)法一：因为*b*cos *C*＋*c*cos *B*＝*a*sin *A*，
由正弦定理知sin *B*cos *C*＋sin *C*cos *B*＝sin *A*sin *A*，
得sin(*B*＋*C*)＝sin *A*sin *A*.
又sin(*B*＋*C*)＝sin *A*，得sin *A*＝1，
即*A*＝，因此△*ABC*是直角三角形．
法二：因为*b*cos *C*＋*c*cos *B*＝*b*·＋*c*·＝＝*a*，所以*a*sin *A*＝*a*，即sin *A*＝1，故*A*＝，因此△*ABC*是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以*b*＝*c*.
又(*b*＋*c*＋*a*)(*b*＋*c*－*a*)＝3*bc*，所以*b*^2^＋*c*^2^－*a*^2^＝*bc*，
所以cos *A*＝＝＝.
因为*A*∈(0，π)，所以*A*＝，所以△*ABC*是等边三角形．
\[答案\] (1)B (2)C
\[变透练清\]
1.()若本例(1)条件改为"*a*sin *A*＋*b*sin *B*\<*c*sin *C*"，那么△*ABC*的形状为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：根据正弦定理可得*a*^2^＋*b*^2^\<*c*^2^，
由余弦定理得cos *C*＝\<0，故*C*是钝角，
所以△*ABC*是钝角三角形．
答案：钝角三角形
2.()若本例(1)条件改为"*c*－*a*cos *B*＝(2*a*－*b*)cos *A*"，那么△*ABC*的形状为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*c*－*a*cos *B*＝(2*a*－*b*)cos *A*，
*C*＝π－(*A*＋*B*)，
所以由正弦定理得sin *C*－sin *A*cos *B*＝2sin *A*cos *A*－sin *B*·cos *A*，
所以sin *A*cos *B*＋cos *A*sin *B*－sin *A*cos *B*＝2sin *A*cos *A*－sin *B*cos *A*，
所以cos *A*(sin *B*－sin *A*)＝0，
所以cos *A*＝0或sin *B*＝sin *A*，
所以*A*＝或*B*＝*A*或*B*＝π－*A*(舍去)，
所以△*ABC*为等腰或直角三角形．
答案：等腰或直角三角形
3.()若本例(2)条件改为"＝＝"，那么△*ABC*的形状为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2*A*＝sin 2*B*.由＝，可知*a*≠*b*，所以*A*≠*B*.又因为*A*，*B*∈(0，π)，所以2*A*＝π－2*B*，即*A*＋*B*＝，所以*C*＝，于是△*ABC*是直角三角形．
答案：直角三角形
A级
1．在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.若＝，则*B*的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知，＝，
∴sin *B*＝cos *B*，∴*B*＝45°.
2．在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*b*＝40，*c*＝20，*C*＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin *B*＝＝＝\>1.
∴角*B*不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·重庆六校联考)在△*ABC*中，cos *B*＝(*a*，*b*，*c*分别为角*A*，*B*，*C*的对边)，则△*ABC*的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选A 因为cos *B*＝，由余弦定理得＝，整理得*b*^2^＋*a*^2^＝*c*^2^，即*C*为直角，则△*ABC*为直角三角形．
4．在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别是内角*A*，*B*，*C*的对边．若*b*sin *A*＝3*c*sin *B*，*a*＝3， cos *B*＝，则*b*＝( )
A．14 B．6
C. D.
解析：选D ∵*b*sin *A*＝3*c*sin *B*⇒*ab*＝3*bc*⇒*a*＝3*c*⇒*c*＝1，∴*b*^2^＝*a*^2^＋*c*^2^－2*ac*cos *B*＝9＋1－2×3×1×＝6，∴*b*＝.
5．(2019·莆田调研)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若*a*sin *B*cos *C*＋*c*sin *B*cos *A*＝*b*，且*a*\>*b*，则*B*＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵*a*sin *B*cos *C*＋*c*sin *B*cos *A*＝*b*，∴根据正弦定理可得sin *A*sin *B*cos *C*＋sin *C*sin *B*cos *A*＝sin *B*，即sin *B*(sin *A*cos *C*＋sin *C*cos *A*)＝sin *B*．∵sin *B*≠0，∴sin(*A*＋*C*)＝，即sin *B*＝.∵*a*\>*b*，∴*A*\>*B*，即*B*为锐角，∴*B*＝.
6．(2019·山西大同联考)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若2(*b*cos *A*＋*a*cos *B*)＝*c*^2^，*b*＝3,3cos *A*＝1，则*a*＝( )
A. B．3
C. D．4
解析：选B 由正弦定理可得2(sin *B*cos *A*＋sin *A*cos *B*)＝*c*sin *C*，
∵2(sin *B*cos *A*＋sin *A*cos *B*)＝2sin(*A*＋*B*)＝2sin *C*，
∴2sin *C*＝*c*sin *C*，∵sin *C*\>0，∴*c*＝2，由余弦定理得*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*＝3^2^＋2^2^－2×3×2×＝9，∴*a*＝3.
7．在△*ABC*中，*AB*＝，*A*＝75°，*B*＝45°，则*AC*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：*C*＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得*AC*＝2.
答案：2
8．设△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且*a*＝2，cos *C*＝－，3sin *A*＝2sin *B*，则*c*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵3sin *A*＝2sin *B*，∴3*a*＝2*b*.
又∵*a*＝2，∴*b*＝3.
由余弦定理可知*c*^2^＝*a*^2^＋*b*^2^－2*ab*cos *C*，
∴*c*^2^＝2^2^＋3^2^－2×2×3×＝16，∴*c*＝4.
答案：4
9．(2018·浙江高考)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*.若*a*＝，*b*＝2，*A*＝60°，则sin *B*＝\_\_\_\_\_\_\_\_，*c*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由正弦定理＝，
得sin *B*＝·sin *A*＝×＝.
由余弦定理*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*，
得7＝4＋*c*^2^－4*c*×cos 60°，
即*c*^2^－2*c*－3＝0，解得*c*＝3或*c*＝－1(舍去)．
答案： 3
10．在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别为角*A*，*B*，*C*所对的边，sin *A*，sin *B*，sin *C*成等差数列，且*a*＝2*c*，则cos *A*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为sin *A*，sin *B*，sin *C*成等差数列，所以2sin *B*＝sin *A*＋sin *C*．由正弦定理得*a*＋*c*＝2*b*，又因为*a*＝2*c*，可得*b*＝*c*，所以cos *A*＝＝＝－.
答案：－
11．在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且*A*＝2*B*.
(1)求证：*a*＝2*b*cos *B*；
(2)若*b*＝2，*c*＝4，求*B*的值．
解：(1)证明：因为*A*＝2*B*，所以由正弦定理＝，得＝，
所以*a*＝2*b*cos *B*.
(2)由余弦定理，*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*，
因为*b*＝2，*c*＝4，*A*＝2*B*，
所以16*c*os^2^*B*＝4＋16－16cos 2*B*，所以*c*os^2^*B*＝，
因为*A*＋*B*＝2*B*＋*B*\<π，
所以*B*\<，所以cos *B*＝，所以*B*＝.
12．(2019·绵阳模拟)在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别为内角*A*，*B*，*C*的对边，且2*a*sin *A*＝(2*b*＋*c*)sin *B*＋(2*c*＋*b*)sin *C*.
(1)求*A*的大小；
(2)若sin *B*＋sin *C*＝1，试判断△*ABC*的形状．
解：(1)由已知，结合正弦定理，
得2*a*^2^＝(2*b*＋*c*)*b*＋(2*c*＋*b*)*c*，即*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^＋*bc*.
又由余弦定理，得*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*，
所以*bc*＝－2*bc*cos *A*，即cos *A*＝－.
由于*A*为△*ABC*的内角，所以*A*＝.
(2)由已知2*a*sin *A*＝(2*b*＋*c*)sin *B*＋(2*c*＋*b*)sin *C*，
结合正弦定理，得2sin^2^*A*＝(2sin *B*＋sin *C*)sin *B*＋(2sin *C*＋sin *B*)sin *C*，
即sin^2^*A*＝sin^2^*B*＋sin^2^*C*＋sin *B*sin *C*＝sin^2^＝.
又由sin *B*＋sin *C*＝1，
得sin^2^*B*＋sin^2^*C*＋2sin *B*sin *C*＝1，
所以sin *B*sin *C*＝，结合sin *B*＋sin *C*＝1，
解得sin *B*＝sin *C*＝.
因为*B*＋*C*＝π－*A*＝，所以*B*＝*C*＝，
所以△*ABC*是等腰三角形．
B级
1．(2019·郑州质量预测)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.若2*c*os^2^－cos 2*C*＝1,4sin *B*＝3sin *A*，*a*－*b*＝1，则*c*的值为( )
A. B.
C. D．6
解析：选A 由2*c*os^2^－cos 2*C*＝1，得1＋*c*os(*A*＋*B*)－(2*c*os^2^*C*－1)＝2－2*c*os^2^*C*－cos *C*＝1，即2*c*os^2^*C*＋cos *C*－1＝0，解得cos *C*＝或cos *C*＝－1(舍去)．由4sin *B*＝3sin *A*及正弦定理，得4*b*＝3*a*，结合*a*－*b*＝1，得*a*＝4，*b*＝3.由余弦定理，知*c*^2^＝*a*^2^＋*b*^2^－2*ab*cos *C*＝4^2^＋3^2^－2×4×3×＝13，所以*c*＝.
2．(2019·长春模拟)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，且*c*＝，＝，若sin(*A*－*B*)＋sin *C*＝2sin 2*B*，则*a*＋*b*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵＝＝，且由正弦定理可得*a*＝2*R*sin *A*，*c*＝2*R*sin *C*(*R*为△*ABC*的外接圆的半径)，∴cos *C*＝.∵*C*∈(0，π)，∴*C*＝.∵sin(*A*－*B*)＋sin *C*＝2sin 2*B*，sin *C*＝sin(*A*＋*B*)，∴2sin *A*cos *B*＝4sin *B*cos *B*．当cos *B*＝0时，*B*＝，则*A*＝，∵*c*＝， ∴*a*＝1，*b*＝2，则*a*＋*b*＝3.当cos *B*≠0时，sin *A*＝2sin *B*，即*a*＝2*b*.∵cos *C*＝＝，∴*b*^2^＝1，即*b*＝1，∴*a*＝2，则*a*＋*b*＝3.综上，*a*＋*b*＝3.
答案：3
3．在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，且2*a*cos *C*－*c*＝2*b*.
(1)求角*A*的大小；
(2)若*c*＝，角*B*的平分线*BD*＝，求*a*.
解：(1)2*a*cos *C*－*c*＝2*b*⇒2sin *A*cos *C*－sin *C*＝2sin *B*⇒2sin *A*cos *C*－sin *C*＝2sin(*A*＋*C*)＝2sin *A*cos *C*＋2cos *A*sin *C*，
∴－sin *C*＝2cos *A*sin *C*，
∵sin *C*≠0，∴cos *A*＝－，
又*A*∈(0，π)，∴*A*＝.
(2)在△*ABD*中，由正弦定理得，＝，
∴sin∠*ADB*＝＝.
又∠*ADB*∈(0，π)，*A*＝，
∴∠*ADB*＝，∴∠*ABC*＝，∠*ACB*＝，*b*＝*c*＝，
由余弦定理，得*a*^2^＝*c*^2^＋*b*^2^－2*c*·*b*·cos *A*＝()^2^＋()^2^－2××*c*os＝6，∴*a*＝.
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
\[典例\] (1)(2019·广州调研)△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，已知*b*＝，*c*＝4，cos *B*＝，则△*ABC*的面积等于( )
A．3 B.
C．9 D.
(2)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*.若△*ABC*的面积为(*a*^2^＋*c*^2^－*b*^2^)，则*B*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)法一：由余弦定理*b*^2^＝*a*^2^＋*c*^2^－2*ac*cos *B*，代入数据，得*a*＝3，又cos *B*＝，*B*∈(0，π)，所以sin *B*＝，所以*S*~△*ABC*~＝*ac*sin *B*＝.
法二：由cos *B*＝，*B*∈(0，π)，得sin *B*＝，由正弦定理＝及*b*＝，*c*＝4，可得sin *C*＝1，所以*C*＝，所以sin *A*＝cos *B*＝，所以*S*~△*ABC*~＝*bc*sin *A*＝.
(2)由余弦定理得cos *B*＝，
∴*a*^2^＋*c*^2^－*b*^2^＝2*ac*cos *B*.
又∵*S*＝(*a*^2^＋*c*^2^－*b*^2^)，∴*ac*sin *B*＝×2*ac*cos *B*，
∴t*a*n *B*＝，∵*B*∈，∴*B*＝.
\[答案\] (1)B (2)
\[变透练清\]
1.()本例(1)的条件变为：若*c*＝4，sin *C*＝2sin *A*，sin *B*＝，则*S*~△*ABC*~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为sin *C*＝2sin *A*，所以*c*＝2*a*，所以*a*＝2，所以*S*~△*ABC*~＝*ac*sin *B*＝×2×4×＝.
答案：
2.()本例(2)的条件不变，则*C*为钝角时，的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*B*＝且*C*为钝角，∴*C*＝－*A*\>，∴0\<*A*\<.由正弦定理得＝＝＝＋·.
∵0\<t*a*n *A*\<，∴\>，
∴\>＋×＝2，即\>2.
答案：(2，＋∞)
3．在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，(2*b*－*a*)cos *C*＝*c*cos *A*.
(1)求角*C*的大小；
(2)若*c*＝3，△*ABC*的面积*S*＝，求△*ABC*的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin *B*－sin *A*)cos *C*＝sin *C*cos *A*，
即2sin *B*cos *C*＝sin *A*cos *C*＋sin *C*cos *A*＝sin(*A*＋*C*)＝sin *B*，
∵*B*∈(0，π)，∴sin *B*\>0，∴cos *C*＝，
∵*C*∈(0，π)，∴*C*＝.
(2)由(1)知，*C*＝，故*S*＝*ab*sin *C*＝*ab*sin＝，
解得*ab*＝.
由余弦定理可得*c*^2^＝*a*^2^＋*b*^2^－2*ab*cos *C*＝*a*^2^＋*b*^2^－*ab*＝(*a*＋*b*)^2^－3*ab*，
又*c*＝3，∴(*a*＋*b*)^2^＝*c*^2^＋3*ab*＝3^2^＋3×＝25，得*a*＋*b*＝5.
∴△*ABC*的周长为*a*＋*b*＋*c*＝5＋3＝8.
\[解题技法\]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
\[典例\] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形*ABCD*中，∠*ABC*＝，*AB*⊥*AD*，*AB*＝1.
(1)若*AC*＝，求△*ABC*的面积；
(2)若∠*ADC*＝，*CD*＝4，求sin∠*CAD*.
\[解\] (1)在△*ABC*中，由余弦定理得，*AC*^2^＝*AB*^2^＋*BC*^2^－2*AB*·*BC*·*c*os∠*ABC*，
即5＝1＋*BC*^2^＋*BC*，解得*BC*＝，
所以△*ABC*的面积*S*~△*ABC*~＝*AB*·*BC*·sin∠*ABC*＝×1××＝.
(2)设∠*CAD*＝*θ*，在△*ACD*中，由正弦定理得＝，
即＝， ①
在△*ABC*中，∠*BAC*＝－*θ*，∠*BCA*＝π－－＝*θ*－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin *θ*，
整理得sin *θ*＝2cos *θ*.
又因为sin^2^*θ*＋*c*os^2^*θ*＝1，
所以sin *θ*＝，即sin∠*CAD*＝.
\[解题技法\]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
\[提醒\] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
\[题组训练\]
1.如图，在△*ABC*中，*D*是边*AC*上的点，且*AB*＝*AD,*2*AB*＝*BD*，*BC*＝2*BD*，则sin *C*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*AB*＝*a*，∵*AB*＝*AD,*2*AB*＝*BD*，*BC*＝2*BD*，
∴*AD*＝*a*，*BD*＝，*BC*＝.
在△*ABD*中，*c*os∠*ADB*＝＝，
∴sin∠*ADB*＝，∴sin∠*BDC*＝.
在△*BDC*中，＝，
∴sin *C*＝＝.
答案：
2.如图，在平面四边形*ABCD*中，*DA*⊥*AB*，*DE*＝1，*EC*＝，*EA*＝2，∠*ADC*＝，且∠*CBE*，∠*BEC*，∠*BCE*成等差数列．
(1)求sin∠*CED*；
(2)求*BE*的长．
解：设∠*CED*＝*α*.
因为∠*CBE*，∠*BEC*，∠*BCE*成等差数列，
所以2∠*BEC*＝∠*CBE*＋∠*BCE*，
又∠*CBE*＋∠*BEC*＋∠*BCE*＝π，所以∠*BEC*＝.
(1)在△*CDE*中，由余弦定理得*EC*^2^＝*CD*^2^＋*DE*^2^－2*CD*·*DE*·*c*os∠*EDC*，
即7＝*CD*^2^＋1＋*CD*，即*CD*^2^＋*CD*－6＝0，
解得*CD*＝2(*CD*＝－3舍去)．
在△*CDE*中，由正弦定理得＝，
于是sin *α*＝＝＝，即sin∠*CED*＝.
(2)由题设知0\<*α*\<，由(1)知cos *α*＝＝＝，又∠*AEB*＝π－∠*BEC*－*α*＝－*α*，
所以*c*os∠*AEB*＝*c*os＝*c*oscos *α*＋sinsin *α*＝－×＋×＝.
在Rt△*EAB*中，*c*os∠*AEB*＝＝＝，所以*BE*＝4.
考点三 三角形中的最值、范围问题
\[典例\] (1)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*对应的边分别为*a*，*b*，*c*，*A*≠，sin *C*＋sin(*B*－*A*)＝sin 2*A*，则角*A*的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)已知△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且cos 2*A*＋cos 2*B*＝2cos 2*C*，则cos *C*的最小值为( )
A. B.
C. D．－
\[解析\] (1)在△*ABC*中，*C*＝π－(*A*＋*B*)，所以sin(*A*＋*B*)＋sin(*B*－*A*)＝sin 2*A*，即2sin *B*cos *A*＝2sin *A*cos *A*，因为*A*≠，所以cos *A*≠0，所以sin *B*＝sin *A*，由正弦定理得，*b*＝*a*，所以*A*为锐角．又因为sin *B*＝sin *A*∈(0,1\]，所以sin *A*∈，所以*A*∈.
(2)因为cos 2*A*＋cos 2*B*＝2cos 2*C*，所以1－2sin^2^*A*＋1－2sin^2^*B*＝2－4sin^2^*C*，得*a*^2^＋*b*^2^＝2*c*^2^，cos *C*＝＝≥＝，当且仅当*a*＝*b*时等号成立，故选C.
\[答案\] (1)B (2)C
\[解题技法\]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如*A*＋*B*＋*C*＝π，0\<*A*\<π，*b*－*c*\<*a*\<*b*＋*c*，三角形中大边对大角等．
\[题组训练\]
1．在钝角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，*B*为钝角，若*a*cos *A*＝ *b*sin *A*，则sin *A*＋sin *C*的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵*a*cos *A*＝*b*sin *A*，由正弦定理可得，sin *A*cos *A*＝sin *B*sin *A*，∵sin *A*≠0，∴cos *A*＝sin *B*，又*B*为钝角，∴*B*＝*A*＋，sin *A*＋sin *C*＝sin *A*＋sin(*A*＋*B*)＝sin *A*＋cos 2*A*＝sin *A*＋1－2sin^2^*A*＝－2^2^＋，∴sin *A*＋sin *C*的最大值为.
2．(2018·哈尔滨三中二模)在△*ABC*中，已知*c*＝2，若sin^2^*A*＋sin^2^*B*－sin *A*sin *B*＝sin^2^*C*，则*a*＋*b*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵sin^2^*A*＋sin^2^*B*－sin *A*sin *B*＝sin^2^*C*，∴*a*^2^＋*b*^2^－*ab*＝*c*^2^，∴cos *C*＝＝，又∵*C*∈(0，π)，∴*C*＝.由正弦定理可得＝＝＝，∴*a*＝sin *A*，*b*＝sin *B*．又∵*B*＝－*A*，∴*a*＋*b*＝sin *A*＋sin *B*＝sin *A*＋sin＝4sin.又∵*A*∈，∴*A*＋∈，∴sin∈，∴*a*＋*b*∈(2,4\]．
答案：(2,4\]
3．已知在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且＋＝.
(1)求*b*的值；
(2)若cos *B*＋sin *B*＝2，求△*ABC*面积的最大值．
解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，整理得＝，所以*b*＝.
(2)由题意得cos *B*＋sin *B*＝2sin＝2，
所以sin＝1，
因为*B*∈(0，π)，所以*B*＋＝，所以*B*＝.
由余弦定理得*b*^2^＝*a*^2^＋*c*^2^－2*ac*cos *B*，
所以3＝*a*^2^＋*c*^2^－*ac*≥2*ac*－*ac*＝*ac*，
即*ac*≤3，当且仅当*a*＝*c*＝时等号成立．
所以△*ABC*的面积*S*~△*ABC*~＝*ac*sin *B*＝*ac*≤，
当且仅当*a*＝*c*＝时等号成立．
故△*ABC*面积的最大值为.
考点四 解三角形与三角函数的综合应用
考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换
\[典例\] (2018·天津高考)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*.已知 *b*sin *A*＝*ac*os.
(1)求角*B*的大小；
(2)设*a*＝2，*c*＝3，求*b*和sin(2*A*－*B*)的值．
\[解\] (1)在△*ABC*中，
由正弦定理＝，可得*b*sin *A*＝*a*sin *B*.
又因为*b*sin *A*＝*ac*os，
所以*a*sin *B*＝*ac*os，
即sin *B*＝cos *B*＋sin *B*，
所以t*a*n *B*＝.
因为*B*∈(0，π)，所以*B*＝.
(2)在△*ABC*中，由余弦定理及*a*＝2，*c*＝3，*B*＝，
得*b*^2^＝*a*^2^＋*c*^2^－2*ac*cos *B*＝7，故*b*＝.
由*b*sin *A*＝*ac*os，可得sin *A*＝.
因为*a*＜*c*，所以cos *A*＝.
所以sin 2*A*＝2sin *A*cos *A*＝，cos 2*A*＝2*c*os^2^*A*－1＝.
所以sin(2*A*－*B*)＝sin 2*A*cos *B*－cos 2*A*sin *B*
＝×－×＝.
考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质
\[典例\] (2018·辽宁五校联考)已知函数*f*(*x*)＝*c*os^2^*x*＋sin(π－*x*)*c*os(π＋*x*)－.
(1)求函数*f*(*x*)在\[0，π\]上的单调递减区间；
(2)在锐角△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知*f*(*A*)＝－1，*a*＝2，*b*sin *C*＝*a*sin *A*，求△*ABC*的面积．
\[解\] (1)*f*(*x*)＝*c*os^2^*x*－sin *x*cos *x*－＝－sin 2*x*－＝－sin，
令2*k*π－≤2*x*－≤2*k*π＋，*k*∈Z，
得*k*π－≤*x*≤*k*π＋，*k*∈Z，又∵*x*∈\[0，π\]，
∴函数*f*(*x*)在\[0，π\]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知*f*(*x*)＝－sin，
∴*f*(*A*)＝－sin＝－1，
∵△*ABC*为锐角三角形，∴0\<*A*\<，
∴－\<2*A*－\<，∴2*A*－＝，即*A*＝.
又∵*b*sin *C*＝*a*sin *A*，∴*bc*＝*a*^2^＝4，
∴*S*~△*ABC*~＝*bc*sin *A*＝.
\[对点训练\]
在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别是角*A*，*B*，*C*的对边，(2*a*－*c*)cos *B*－*b*cos *C*＝0.
(1)求角*B*的大小；
(2)设函数*f*(*x*)＝2sin *x*cos *x*cos *B*－cos 2*x*，求函数*f*(*x*)的最大值及当*f*(*x*)取得最大值时*x*的值．
解：(1)因为(2*a*－*c*)cos *B*－*b*cos *C*＝0，
所以2*a*cos *B*－*c*cos *B*－*b*cos *C*＝0，
由正弦定理得
2sin *A*cos *B*－sin *C*cos *B*－cos *C*sin *B*＝0，
即2sin *A*cos *B*－sin(*C*＋*B*)＝0，
又因为*C*＋*B*＝π－*A*，所以sin(*C*＋*B*)＝sin *A*.
所以sin *A*(2cos *B*－1)＝0.
在△*ABC*中，sin *A*≠0，所以cos *B*＝，
又因为*B*∈(0，π)，所以*B*＝.
(2)因为*B*＝，
所以*f*(*x*)＝sin 2*x*－cos 2*x*＝sin，
令2*x*－＝2*k*π＋(*k*∈Z)，得*x*＝*k*π＋(*k*∈Z)，
即当*x*＝*k*π＋(*k*∈Z)时，*f*(*x*)取得最大值1.
A级
1．在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，cos 2*A*＝sin *A*，*bc*＝2，则 △*ABC*的面积为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 由cos 2*A*＝sin *A*，得1－2sin^2^*A*＝sin *A*，解得sin *A*＝(负值舍去)，由*bc*＝2，可得△*ABC*的面积*S*＝*bc*sin *A*＝×2×＝.
2．在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别是角*A*，*B*，*C*所对的边，若(2*a*＋*c*)cos *B*＋*b*cos *C*＝0，则角*B*的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin *A*＋sin *C*)cos *B*＋sin *B*cos *C*＝0.化简，得2sin *A*cos *B*＋sin *A*＝0.因为角*A*为三角形的内角，所以sin *A*≠0，所以cos *B*＝－，所以*B*＝.
3．在锐角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若sin *A*＝，*a*＝3， *S*~△*ABC*~＝2，则*b*的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D 因为*S*~△*ABC*~＝*bc*sin *A*＝2，所以*bc*＝6，
又因为sin *A*＝，*A*∈，
所以cos *A*＝，因为*a*＝3，
所以由余弦定理得9＝*b*^2^＋*c*^2^－2*bc*cos *A*＝*b*^2^＋*c*^2^－4，*b*^2^＋*c*^2^＝13，可得*b*＝2或*b*＝3.
4．(2018·昆明检测)在△*ABC*中，已知*AB*＝，*AC*＝，t*a*n∠*BAC*＝－3，则*BC*边上的高等于( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 法一：因为t*a*n∠*BAC*＝－3，所以sin∠*BAC*＝，*c*os∠*BAC*＝－.由余弦定理，得*BC*^2^＝*AC*^2^＋*AB*^2^－2*AC*·*ABc*os∠*BAC*＝5＋2－2×××＝9，所以*BC*＝3，所以*S*~△*ABC*~＝*AB*·*AC*sin∠*BAC*＝×××＝，所以*BC*边上的高*h*＝＝＝1.
法二：在△*ABC*中，因为t*a*n∠*BAC*＝－3\<0，所以∠*BAC*为钝角，因此*BC*边上的高小于，结合选项可知选A.
5．(2018·重庆九校联考)已知*a*，*b*，*c*分别是△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边，且*a*sin *B*＝*b*cos *A*，当*b*＋*c*＝4时，△*ABC*面积的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 由*a*sin *B*＝*b*cos *A*，得sin *A*sin *B*＝sin *B*cos *A*，∴t*a*n *A*＝，∵0\<*A*\<π，∴*A*＝，故*S*~△*ABC*~＝*bc*sin *A*＝*bc*≤^2^＝(当且仅当*b*＝*c*＝2时取等号)，故选C.
6．(2019·安徽名校联盟联考)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，若*bc*＝1，*b*＋2*c*cos *A*＝0，则当角*B*取得最大值时，△*ABC*的周长为( )
A．2＋ B．2＋
C．3 D．3＋
解析：选A 由*b*＋2*c*cos *A*＝0，得*b*＋2*c*·＝0，整理得2*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^.由余弦定理，得cos *B*＝＝≥＝，当且仅当*a*＝*c*时等号成立，此时角*B*取得最大值，将*a*＝*c*代入2*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^可得*b*＝*c*.又因为*bc*＝1，所以*b*＝*c*＝1，*a*＝，故△*ABC*的周长为2＋.
7．在△*ABC*中，*B*＝120°，*AC*＝7，*AB*＝5，则△*ABC*的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由余弦定理知7^2^＝5^2^＋*BC*^2^－2×5×*BC*×cos 120°，
即49＝25＋*BC*^2^＋5*BC*，解得*BC*＝3(负值舍去)．
故*S*~△*ABC*~＝*AB*·*BC*sin *B*＝×5×3×＝.
答案：
8．(2019·长春质量检测)在△*ABC*中，三个内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若 *b*cos *A*＝sin *B*，且*a*＝2，*b*＋*c*＝6，则△*ABC*的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意可知＝＝，因为*a*＝2，所以t*a*n *A*＝，因为0\<*A*\<π，所以*A*＝，由余弦定理得12＝*b*^2^＋*c*^2^－*bc*＝(*b*＋*c*)^2^－3*bc*，又因为*b*＋*c*＝6，所以*bc*＝8，从而△*ABC*的面积为*bc*sin *A*＝×8×sin＝2.
答案：2
9．已知在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，∠*BAC*＝，点*D*在边*BC*上，*AD*＝1，且*BD*＝2*DC*，∠*BAD*＝2∠*DAC*，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由∠*BAC*＝及∠*BAD*＝2∠*DAC*，可得∠*BAD*＝，∠*DAC*＝.由*BD*＝2*DC*，令*DC*＝*x*，则*BD*＝2*x*.因为*AD*＝1，在△*ADC*中，由正弦定理得＝，所以sin *C*＝，在△*ABD*中，sin *B*＝＝，所以＝＝.
答案：
10．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△*ABC*中，*C*＝，*BC*＝4，点*D*在边*AC*上，*AD*＝*DB*，*DE*⊥*AB*，*E*为垂足，若*DE*＝2，则cos *A*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*AD*＝*DB*，∴∠*A*＝∠*ABD*，∠*BDC*＝2∠*A*.设*AD*＝*DB*＝*x*，
∴在△*BCD*中，＝，可得＝. ①
在△*AED*中，＝，可得＝. ②
联立①②可得＝，解得cos *A*＝.
答案：
11．(2019·南宁摸底联考)在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知 *c*(1＋cos *B*)＝*b*(2－cos *C*)．
(1)求证：2*b*＝*a*＋*c*；
(2)若*B*＝，△*ABC*的面积为4，求*b*.
解：(1)证明：∵*c*(1＋cos *B*)＝*b*(2－cos *C*)，
∴由正弦定理可得sin *C*＋sin *C*cos *B*＝2sin *B*－sin *B*cos *C*，
即sin *C*cos *B*＋sin *B*cos *C*＋sin *C*＝sin(*B*＋*C*)＋sin *C*＝2sin *B*，
∴sin *A*＋sin *C*＝2sin *B*，∴*a*＋*c*＝2*b*.
(2)∵*B*＝，∴△*ABC*的面积*S*＝*ac*sin *B*＝*ac*＝4，∴*ac*＝16.
由余弦定理可得*b*^2^＝*a*^2^＋*c*^2^－2*ac*cos *B*＝*a*^2^＋*c*^2^－*ac*＝(*a*＋*c*)^2^－3*ac*.
∵*a*＋*c*＝2*b*，∴*b*^2^＝4*b*^2^－3×16，解得*b*＝4.
12．在△*ABC*中，*AC*＝6，cos *B*＝，*C*＝.
(1)求*AB*的长；
(2)求*c*os的值．
解：(1)因为cos *B*＝，0\<*B*\<π，所以sin *B*＝.
由正弦定理得＝，所以*AB*＝＝＝5.
(2)在△*ABC*中，因为*A*＋*B*＋*C*＝π，所以*A*＝π－(*B*＋*C*)，
又因为cos *B*＝，sin *B*＝，
所以cos *A*＝－*c*os(*B*＋*C*)＝－*c*os＝－cos *Bc*os＋sin *B*sin＝－×＋×＝－.
因为0\<*A*\<π，所以sin *A*＝＝.
因此，*c*os＝cos *Ac*os＋sin *A*sin＝－×＋×＝.
B级
1．在锐角三角形*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若*B*＝2*A*，则的取值范围是( )
A．(，2) B．(2，)
C．(，) D．(，4)
解析：选B ∵*B*＝2*A*，∴sin *B*＝sin 2*A*＝2sin *A*cos *A*，∴＝2cos *A*．又*C*＝π－3*A*，*C*为锐角，∴0\<π－3*A*\<⇒\<*A*\<，又*B*＝2*A*，*B*为锐角，∴0\<2*A*\<⇒0\<*A*\<，∴\<*A*\<，\<cos *A*\<，∴\<\<，∴2\<\<.
2．△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，*a*sin *A*sin *B*＋*bc*os^2^*A*＝2*a*，则角*A*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由已知及正弦定理得sin^2^*A*sin *B*＋sin *Bc*os^2^*A*＝2sin *A*，即sin *B*(sin^2^*A*＋*c*os^2^*A*)＝2sin *A*，∴sin *B*＝2sin *A*，∴*b*＝2*a*，由余弦定理得cos *A*＝＝＝≥＝，当且仅当*c*＝*a*时取等号．∵*A*为三角形的内角，且*y*＝cos *x*在(0，π)上是减函数，∴0\<*A*≤，则角*A*的取值范围是.
答案：
3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形*ABCD*中，*AB*⊥*BC*，*AB*＝2，*BD*＝，∠*BCD*＝2∠*ABD*，△*ABD*的面积为2.
(1)求*AD*的长；
(2)求△*CBD*的面积．
解：(1)由已知*S*~△*ABD*~＝*AB*·*BD*·sin∠*ABD*＝×2××sin∠*ABD*＝2，可得sin∠*ABD*＝，又∠*BCD*＝2∠*ABD*，所以∠*ABD*∈，所以*c*os∠*ABD*＝.
在△*ABD*中，由余弦定理*AD*^2^＝*AB*^2^＋*BD*^2^－2·*AB*·*BD*·*c*os∠*ABD*，可得*AD*^2^＝5，所以*AD*＝.
(2)由*AB*⊥*BC*，得∠*ABD*＋∠*CBD*＝，
所以sin∠*CBD*＝*c*os∠*ABD*＝.
又∠*BCD*＝2∠*ABD*，
所以sin∠*BCD*＝2sin∠*ABD*·*c*os∠*ABD*＝，
∠*BDC*＝π－∠*CBD*－∠*BCD*＝π－－2∠*ABD*＝－∠*ABD*＝∠*CBD*，
所以△*CBD*为等腰三角形，即*CB*＝*CD*.
在△*CBD*中，由正弦定理＝，
得*CD*＝＝＝，
所以*S*~△*CBD*~＝*CB*·*CD*·sin∠*BCD*＝×××＝.
第八节 解三角形的实际应用
一、基础知识
测量中的有关几个术语
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
| 术语名称 | 术语意义 | 图形表示 |
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
| 仰角与俯角 | 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 |  |
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
| 方位角 | 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角*θ*的范围是0°≤*θ*\<360° |  |
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
| 方向角▲ | 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)*α* | 例：(1)北偏东*α*：(2)南偏西*α*： |
| | | |
| | |  |
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
| 坡角与坡度 | 坡面与水平面的夹角叫做坡角(*α*)；坡面的垂直高度(*h*)与水平宽度(*l*)的比(*i*)叫做坡度 |  |
+------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------+
▲相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东*α*，即由指北方向顺时针旋转*α*到达目标方向；
(2)北偏西*α*，即由指北方向逆时针旋转*α*到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
\[典例\] 如图，为了测量河对岸电视塔*CD*的高度，小王在点*A*处测得塔顶*D*的仰角为30°，塔底*C*与*A*的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达*M*处，测得塔底*C*与*M*的连线同河岸成60°角，则电视塔*CD*的高度为\_\_\_\_\_\_\_\_m.
\[解析\] 在△*ACM*中，∠*MCA*＝60°－15°＝45°，∠*AMC*＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得*AC*＝600(m)．
在△*ACD*中，∵tan∠*DAC*＝＝，
∴*CD*＝600×＝600(m)．
\[答案\] 600
\[解题技法\] 测量高度问题的3个注意点
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
\[题组训练\]
1.如图，为测一树的高度，在地面上选取*A*，*B*两点，在*A*，*B*两点分别测得树顶*P*处的仰角为30°，45°，且*A*，*B*两点之间的距离为10 m，则树的高度*h*为( )
A．(5＋5)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋3)m
解析：选A 在△*PAB*中，由正弦定理，得()＝，因为sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，所以*PB*＝5(＋)(m)，所以该树的高度*h*＝*PB*sin 45°＝(5＋5) m.
2.如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶*C*处的仰角为15°，山脚*A*处的俯角为45°，已知∠*BAC*＝60°，则山的高度*BC*为( )
A．700 m B．640 m
C．600 m D．560 m
解析：选C 根据题意，可得在Rt△*AMD*中，
∠*MAD*＝45°，*MD*＝400(m)，
所以*AM*＝＝400(m)．
因为在△*MAC*中，∠*AMC*＝45°＋15°＝60°，
∠*MAC*＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠*MCA*＝180°－∠*AMC*－∠*MAC*＝45°，
由正弦定理，得*AC*＝＝＝400(m)，
在Rt△*ABC*中，*BC*＝*AC*sin∠*BAC*＝400×＝600(m)．
\[典例\] (2018·保定模拟)如图，某游轮在*A*处看灯塔*B*在*A*的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔*C*在*A*的北偏西30°方向上，距离为8 海里，游轮由*A*处向正北方向航行到*D*处时，再看灯塔*B*，*B*在南偏东60°方向上，则*C*与*D*的距离为( )
A．20海里 B．8 海里
C．23 海里 D．24海里
\[解析\] 在△*ABD*中，因为灯塔*B*在*A*的北偏东75°方向上，距离为12 海里，游轮由*A*处向正北方向航行到*D*处时，再看灯塔*B*，*B*在南偏东60°方向上，所以*B*＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，
可得*AD*＝＝＝24(海里)．
在△*ACD*中，*AD*＝24(海里)，*AC*＝8(海里)，∠*CAD*＝30°，
由余弦定理得*CD*^2^＝*AD*^2^＋*AC*^2^－2*AD*·*AC*cos 30°＝24^2^＋(8)^2^－2×24×8×＝192.
所以*CD*＝8(海里)．
\[答案\] B
\[解题技法\] 测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
\[题组训练\]
1．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在*A*处看到一个灯塔*M*在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达*B*处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．15 km B．30 km
C．45 km D．60 km
解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有*AB*＝15×4＝60(km)，∠*DAC*＝60°，∠*CBM*＝15°，
∴∠*MAB*＝30°，∠*AMB*＝45°.
在△*AMB*中，由正弦定理，得＝，解得*BM*＝30(km)．
2.如图，为了测量两座山峰上*P*，*Q*两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和*P*，*Q*两点在同一平面内的路段*AB*的两个端点作为观测点，现测得∠*PAB*＝90°，∠*PAQ*＝∠*PBA*＝∠*PBQ*＝60°，则*P*，*Q*两点间的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_ m.
解析：由已知，得∠*QAB*＝∠*PAB*－∠*PAQ*＝30°.
∵∠*PBA*＝∠*PBQ*＝60°，∴∠*AQB*＝30°，∴*AB*＝*BQ*.
又∵*PB*为公共边，∴△*PAB*≌△*PQB*，∴*PQ*＝*PA*.
在Rt△*PAB*中，*PA*＝*AB*·tan 60°＝900(m)，
故*PQ*＝900(m)，
∴*P*，*Q*两点间的距离为900(m)．
答案：900
\[典例\] 游客从某旅游景区的景点*A*处至景点*C*处有两条线路．线路1是从*A*沿直线步行到*C*，线路2是先从*A*沿直线步行到景点*B*处，然后从*B*沿直线步行到*C*.现有甲、乙两位游客从*A*处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达*C*处．经测量，*AB*＝1 040 m，*BC*＝500 m，则sin∠*BAC*等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 依题意，设乙的速度为*x* m/s，
则甲的速度为*x* m/s，
因为*AB*＝1 040 m，*BC*＝500 m，
所以＝，解得*AC*＝1 260 m.
在△*ABC*中，由余弦定理得，
cos∠*BAC*＝＝＝，
所以sin∠*BAC*＝＝ ＝.
\[答案\]
\[解题技法\] 测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
\[题组训练\]
1.甲船在*A*处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的*B*处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东*θ*方向前进，则*θ*＝( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：选B 设两船在*C*处相遇，则由题意得∠*ABC*＝180°－60°＝120°，且＝，
由正弦定理得＝＝，
所以sin∠*BAC*＝.
又因为0°\<∠*BAC*\<60°，所以∠*BAC*＝30°.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进．
2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于*A*处时，在其正东方向相距40海里的*B*处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距20海里的*C*处的乙船，乙船立即朝北偏东*θ*＋30°的方向沿直线前往*B*处营救，则sin *θ*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：连接*BC*(图略)，根据余弦定理，得*BC*^2^＝*AB*^2^＋*AC*^2^－2*AB*·*AC*·cos∠*CAB*＝1 600＋400－2×40×20cos(90°＋30°)＝2 800.由题可知，∠*ACB*即为角*θ*，又∵＝，∴＝，∴sin^2^*θ*＝1 600××＝，∴sin *θ*＝.
答案：
1．在相距2 km的*A*，*B*两点处测量目标点*C*，若∠*CAB*＝75°，∠*CBA*＝60°，则*A*，*C*两点之间的距离为( )
A. km B. km
C. km D．2 km
解析：选A 如图，在△*ABC*中，
由已知可得∠*ACB*＝45°，
∴＝，
∴*AC*＝2×＝(km)．
2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )
A．8.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
解析：选B 因为*AB*＝1 000×＝(km)，
所以*BC*＝·sin 30°＝(km)．
所以航线离山顶的高度*h*＝*BC*·sin 75°＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．
所以山高为18－11.4＝6.6(km)．
3.如图，在塔底*D*的正西方*A*处测得塔顶的仰角为45°，在塔底*D*的南偏东60°的*B*处测得塔顶的仰角为30°，*A*，*B*的距离是84 m，则塔高*CD*为( )
A．24 m B．12 m
C．12 m D．36 m
解析：选C 设塔高*CD*＝*x* m，
则*AD*＝*x* m，*DB*＝*x* m.
又由题意得∠*ADB*＝90°＋60°＝150°，
在△*ABD*中，由余弦定理，
得84^2^＝*x*^2^＋(*x*)^2^－2·*x*^2^cos 150°，
解得*x*＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形*AOB*，*C*是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于*AO*的小路*CD*.已知某人从*O*沿*OD*走到*D*用了2 min，从*D*沿着*DC*走到*C*用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 m B．50 m
C．50 m D．50 m
解析：选B 设该扇形的半径为*r*，连接*CO*，如图所示．
由题意，得*CD*＝150(m)，*OD*＝100(m)，∠*CDO*＝60°，
在△*CDO*中，由余弦定理得，*CD*^2^＋*OD*^2^－2*CD*·*OD*·cos 60°＝*OC*^2^，
即150^2^＋100^2^－2×150×100×＝*r*^2^，
解得*r*＝50(m)．
5.如图所示，一艘海轮从*A*处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的*B*处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达*C*处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为\_\_\_\_\_\_\_\_n mile/min.
解析：由已知得∠*ACB*＝45°，∠*B*＝60°，
由正弦定理得＝，
所以*AC*＝＝＝10(n mile)，
所以海轮航行的速度为＝(n mile/min)．
答案：
6.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点*A*处测得电视塔*S*在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点*B*处，测得电视塔*S*在电动车的北偏东75°方向上，则点*B*与电视塔的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_km.
解析：如题图，由题意知*AB*＝24×＝6(km)，在△*ABS*中，∠*BAS*＝30°，∠*ABS*＝180°－75°＝105°，∴∠*ASB*＝45°，由正弦定理知＝，
∴*BS*＝＝3(km)．
答案：3
7.一艘海轮从*A*出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile 到达海岛*B*，然后从*B*出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛 *C*.
(1)求*AC*的长；
(2)如果下次航行直接从*A*出发到达*C*，求∠*CAB*的大小．
解：(1)由题意，在△*ABC*中，
∠*ABC*＝180°－75°＋15°＝120°，*AB*＝(2－2)n mile，*BC*＝4 n mile，
根据余弦定理得，
*AC*^2^＝*AB*^2^＋*BC*^2^－2*AB*×*BC*×cos∠*ABC*
＝(2－2)^2^＋4^2^＋(2－2)×4＝24，
所以*AC*＝2.
故*AC*的长为2 n mile.
(2)由正弦定理得，sin∠*CAB*＝＝＝，所以∠*CAB*＝45°.
8.已知在东西方向上有*M*，*N*两座小山，山顶各有一座发射塔*A*，*B*，塔顶*A*，*B*的海拔高度分别为*AM*＝100 m和*BN*＝200 m，一测量车在小山*M*的正南方向的点*P*处测得发射塔顶*A*的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点*Q*，在点*Q*处测得发射塔顶*B*处的仰角为*θ*，且∠*BQA*＝*θ*，经测量tan *θ*＝2，求两发射塔顶*A*，*B*之间的距离．
解：在Rt△*AMP*中，∠*APM*＝30°，*AM*＝100，
∴*PM*＝100.连接*QM*，在△*PQM*中，∠*QPM*＝60°，*PQ*＝100，
∴△*PQM*为等边三角形，∴*QM*＝100.
在Rt△*AMQ*中，
由*AQ*^2^＝*AM*^2^＋*QM*^2^，得*AQ*＝200.
在Rt△*BNQ*中，tan *θ*＝2，*BN*＝200，
∴*BQ*＝100，cos *θ*＝.
在△*BQA*中，*BA*^2^＝*BQ*^2^＋*AQ*^2^－2*BQ*·*AQ*cos *θ*＝(100)^2^，
∴*BA*＝100.
即两发射塔顶*A*，*B*之间的距离是100 m.
第五章 平面向量
===============
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以*A*为起点、*B*为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，...来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为\|\|.
2．几种特殊向量
---------- ---------------------------------------- --------------------------------------------------
名称 定义 备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a~0~，a~0~＝
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
---------- ---------------------------------------- --------------------------------------------------
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
3．向量的线性运算
+----------+-------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------+
| 向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
+----------+-------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------+
| 加法 | 求两个向量和的运算 |   | (1)交换律：a＋b＝b＋a； |
| | | | |
| | | 三角形法则 平行四边形法则 | (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) |
| | | | |
| | | ❷ | |
+----------+-------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------+
| 减法 | 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 |  | a－b＝a＋(－b) |
| | | | |
| | | 三角形法则 | |
+----------+-------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------+
| 数乘 | 求实数*λ*与向量a的积的运算 | \|*λ*a\|＝\|*λ*\|\|a\|；当*λ*＞0时，*λ*a的方向与a的方向相同；当*λ*＜0时，*λ*a的方向与a的方向相反；当*λ*＝0时，*λ*a＝0 | *λ*(*μ*a)＝(*λμ*)a；(*λ*＋*μ*)a＝*λ*a＋*μ*a；*λ*(a＋b)＝*λ*a＋*λ*b |
+----------+-------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------+
❷向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a*≠*0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数*λ*，使得b＝*λ*a.
只有a≠0才保证实数*λ*的存在性和唯一性.
二、常用结论
(1)若*P*为线段*AB*的中点，*O*为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)＝*λ*＋*μ* (*λ*，*μ*为实数)，若点*A*，*B*，*C*三点共线，则*λ*＋*μ*＝1.
\[典例\] 给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若*A*，*B*，*C*，*D*是不共线的四点，则＝是四边形*ABCD*为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是\|a\|＝\|b\|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] ①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
②正确．∵＝，∴\|\|＝\|\|且∥，
又*A*，*B*，*C*，*D*是不共线的四点，
∴四边形*ABCD*为平行四边形；
反之，若四边形*ABCD*为平行四边形，
则∥且\|\|＝\|\|，因此，＝.
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使\|a\|＝\|b\|，也不能得到a＝b，故\|a\|＝\|b\|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
\[答案\] ①②
\[解题技法\] 向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
\[题组训练\]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②*λ*a＝0(*λ*为实数)，则*λ*必为零；
③*λ*，*μ*为实数，若*λ*a＝*μ*b，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论*λ*为何值，*λ*a＝0.③错误，当*λ*＝*μ*＝0时，*λ*a＝*μ*b＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
2．设a~0~为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝\|a\|·a~0~；②若a与a~0~平行，则a＝\|a\|a~0~；③若a与a~0~平行且\|a\|＝1，则a＝a~0~，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与\|a\|a~0~的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a~0~平行，则a与a~0~的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－\|a\|a~0~，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△*ABC*中，*AD*为*BC*边上的中线，*E*为*AD*的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
(2)如图，在直角梯形*ABCD*中，＝，＝2， 且＝*r*＋*s*，则2*r*＋3*s*＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
\[解析\] (1)作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝ ×(＋)＋(－)＝－.故选A.
(2)根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.
因为＝*r*＋*s*，所以*r*＝，*s*＝，则2*r*＋3*s*＝1＋2＝3.
\[答案\] (1)A (2)C
\[解题技法\] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
\[题组训练\]
1．设*D*为△*ABC*所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
2．(2019·太原模拟)在正方形*ABCD*中，*M*，*N*分别是*BC*，*CD*的中点，若＝*λ*＋*μ*，则实数*λ*＋*μ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，∵＝＋＝＋＝＋，①
＝＋＝＋，②
由①②得＝－，＝－，
∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋，
∵＝*λ*＋*μ*，∴*λ*＝，*μ*＝，*λ*＋*μ*＝.
答案：
\[典例\] 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
求证：*A*，*B*，*D*三点共线；
(2)试确定实数*k*，使*k*a＋b和a＋*k*b同向．
\[解\] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴，共线．
又∵它们有公共点*B*，
∴*A*，*B*，*D*三点共线．
(2)∵*k*a＋b与a＋*k*b同向，
∴存在实数*λ*(*λ*\>0)，使*k*a＋b＝*λ*(a＋*k*b)，
即*k*a＋b＝*λ*a＋*λk*b.
∴(*k*－*λ*)a＝(*λk*－1)b.
∵a，b是不共线的非零向量，
∴解得或
又∵*λ*\>0，∴*k*＝1.
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
\[题组训练\]
1．在四边形*ABCD*中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形*ABCD*的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C 由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形*ABCD*是梯形．
2．已知向量e~1~≠0，*λ*∈R，a＝e~1~＋*λ*e~2~，b＝2e~1~，若向量a与向量b共线，则( )
A．*λ*＝0 B．e~2~＝0
C．e~1~∥e~2~ D．e~1~∥e~2~或*λ*＝0
解析：选D 因为向量e~1~≠0，*λ*∈R，a＝e~1~＋*λ*e~2~，b＝2e~1~，又因为向量a和b共线，存在实数*k*，使得a＝*k*b，所以e~1~＋*λ*e~2~＝2*k*e~1~，所以*λe*~2~＝(2*k*－1)e~1~，所以e~1~∥e~2~或*λ*＝0.
3．已知*O*为△*ABC*内一点，且＝(＋)，＝*t*，若*B*，*O*，*D*三点共线，则*t*＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设*E*是*BC*边的中点，则(＋)＝，由题意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因为*B*，*O*，*D*三点共线，所以＋＝1，解得*t*＝，故选B.
4．已知*O*，*A*，*B*三点不共线，*P*为该平面内一点，且＝＋，则( )
A．点*P*在线段*AB*上
B．点*P*在线段*AB*的延长线上
C．点*P*在线段*AB*的反向延长线上
D．点*P*在射线*AB*上
解析：选D 由＝＋，得－＝，∴＝·，∴点*P*在射线*AB*上，故选D.
1．设*D*，*E*，*F*分别为△*ABC*的三边*BC*，*CA*，*AB*的中点，则＋＝( )
A． B.
C. D．
解析：选A 由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.
2．已知向量a，b不共线，且c＝*λ*a＋b，d＝a＋(2*λ*－1)b，若c与d共线反向，则实数*λ*的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B 由于c与*d*共线反向，则存在实数*k*使c＝*kd*(*k*＜0)，
于是*λ*a＋b＝*k*().
整理得*λ*a＋b＝*k*a＋(2*λk*－*k*)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2*λ*^2^－*λ*－1＝0，解得*λ*＝1或*λ*＝－.
又因为*k*＜0，所以*λ*＜0，故*λ*＝－.
3．设向量a，b不共线，＝2a＋*p*b，＝a＋b，＝a－2b，若*A*，*B*，*D*三点共线，则实数*p*的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为*A*，*B*，*D*三点共线，所以，共线．设＝*λ*，所以2a＋*p*b＝*λ*(2a－b)，所以2＝2*λ*，*p*＝－*λ*，即*λ*＝1，*p*＝－1.
4．(2019·甘肃诊断)设*D*为△*ABC*所在平面内一点，＝－4，则＝( )
A.－ B.＋
C.－ D.＋
解析：选B 法一：设＝*x*＋*y*，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4*x*－4*y*，则解得即＝＋，故选B.
法二：在△*ABC*中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B.
5．在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点，*A*，*B*，*C*三点满足＝＋，则等于( )
A．1 B．2
C．3 D.
解析：选C 因为＝－＝＋－＝，＝－＝＋－＝，所以＝3.故选C.
6．已知△*ABC*的边*BC*的中点为*D*，点*G*满足＋＋＝0，且＝*λ*，则*λ*的值是( )
A. B．2
C．－2 D．－
解析：选C 由＋＋＝0，得*G*为以*AB*，*AC*为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则*λ*＝－2.故选C.
7．下列四个结论：
①＋＋＝0；②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；④＋＋－＝0，
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错误；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
8.如图，在平行四边形*ABCD*中，*M*，*N*分别为*AB*，*AD*上的点，且＝，＝，*AC*，*MN*交于点*P*.若＝*λ*，则*λ*的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵＝，＝，∴＝*λ*＝*λ*(＋)＝*λ*＝*λ*＋*λ*.∵点*M*，*N*，*P*三点共线，∴*λ*＋*λ*＝1，则*λ*＝.故选D.
9．设向量a，b不平行，向量*λ*a＋b与a＋2b平行，则实数*λ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为向量*λ*a＋b与a＋2b平行，
所以可设*λ*a＋b＝*k*(a＋2b)，则所以*λ*＝.
答案：
10．若＝，＝(*λ*＋1)，则*λ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，由＝，可知点*P*是线段*AB*上靠近点*A*的三等分点，
则＝－，结合题意可得*λ*＋1＝－，所以*λ*＝－.
答案：－
11．已知平行四边形*ABCD*的对角线*AC*和*BD*相交于*O*，且＝a，＝b，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_，＝\_\_\_\_\_\_\_\_.(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a －a－b
12．(2019·长沙模拟)在平行四边形*ABCD*中，*M*为*BC*的中点．若＝*λ*＋*μ*，则*λ*－*μ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，在平行四边形*ABCD*中，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以*λ*＝，*μ*＝，所以*λ*－*μ*＝.
答案：
13．设e~1~，e~2~是两个不共线的向量，已知＝2e~1~－8e~2~，＝e~1~＋3e~2~，＝2e~1~－e~2~.
(1)求证：*A*，*B*，*D*三点共线；
(2)若＝3e~1~－*k*e~2~，且*B*，*D*，*F*三点共线，求*k*的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2*e*~1~－*e*~2~)－(*e*~1~＋3*e*~2~)＝*e*~1~－4*e*~2~，
∵＝2*e*~1~－8*e*~2~，
∴＝2.
又∵与有公共点*B*，
∴*A*，*B*，*D*三点共线．
(2)由(1)可知＝*e*~1~－4*e*~2~，
∵＝3*e*~1~－*ke*~2~，且*B*，*D*，*F*三点共线，
∴存在实数*λ*，使＝*λ*，
即3*e*~1~－*ke*~2~＝*λe*~1~－4*λe*~2~，
得
解得*k*＝12.
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e~1~，e~2~是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数*λ*~1~，*λ*~2~，使a＝*λ*~1~e~1~＋*λ*~2~e~2~.
(2)基底：不共线的向量e~1~e~2~叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(1)基底e~1~，e~2~必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)如果对于一组基底e~1~，e~2~，有a＝*λ*~1~e~1~＋*λ*~2~e~2~＝*μ*~1~e~1~＋*μ*~2~e~2~，则可以得到
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(*x*~1~，*y*~1~)，b＝(*x*~2~，*y*~2~)，
则a＋b＝(*x*~1~＋*x*~2~，*y*~1~＋*y*~2~)，
a－b＝(*x*~1~－*x*~2~，*y*~1~－*y*~2~)，
*λ*a＝(*λx*~1~，*λy*~1~)，\|a\|＝.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则＝(*x*~2~－*x*~1~，*y*~2~－*y*~1~)，
\|\|＝()().
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(*x*~1~，*y*~1~)，b＝(*x*~2~，*y*~2~)，其中b≠0，则a∥b⇔*x*~1~*y*~2~－*x*~2~*y*~1~＝0.
当且仅当*x*~2~*y*~2~≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
考点一 平面向量基本定理及其应用
\[典例\] 如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形*OADB*，＝，＝，用a，b表示，，.
\[解\] ∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b.
∵＝a＋b，
∴＝＋
＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
\[解题技法\]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
\[题组训练\]
1．在△*ABC*中，*P*，*Q*分别是*AB*，*BC*的三等分点，且*AP*＝*AB*，*BQ*＝*BC*，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．已知在△*ABC*中，点*O*满足＋＋＝0，点*P*是*OC*上异于端点的任意一点，且＝*m*＋*n*，则*m*＋*n*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意，设＝*λ* (0\<*λ*\<1)，
由＋＋＝0，知＝－(＋)，
所以＝－*λ*－*λ*，由平面向量基本定理可知，
*m*＋*n*＝－2*λ*，所以*m*＋*n*∈(－2,0)．
答案：(－2,0)
\[典例\] 已知*A*(－2,4)，*B*(3，－1)，*C*(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求*M*，*N*的坐标及向量的坐标．
\[解\] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)设*O*为坐标原点，∵＝－＝*3*c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴*M*(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴*N*(9,2)，∴＝(9，－18)．
\[变透练清\]
1.()本例条件不变，若a＝*m*b＋*n*c，则*m*＝\_\_\_\_\_\_\_\_，*n*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*m*b＋*n*c＝(－6*m*＋*n*，－3*m*＋8*n*)，a＝(5，－5)，
∴
解得
答案：－1 －1
2．已知*O*为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则\|\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设*P*(*x*，*y*)，由题意可得*A*，*B*两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由＝3，可得
解得故\|\|＝.
答案：
\[解题技法\]
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用"向量相等，则其坐标相同"这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．
\[典例\] 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当*k*为何值时，*k*a－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋*m*b，且*A*，*B*，*C*三点共线，求*m*的值．
\[解\] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴*k*a－b＝*k*(1,0)－(2,1)＝(*k*－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵*k*a－b与a＋2b共线，
∴2(*k*－2)－(－1)×5＝0，∴*k*＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋*m*(2,1)＝(2*m*＋1，*m*)．
∵*A*，*B*，*C*三点共线，∴∥，
∴8*m*－3(2*m*＋1)＝0，∴*m*＝.
\[解题技法\]
1．平面向量共线的充要条件的2种形式
(1)若a＝(*x*~1~，*y*~1~)，b＝(*x*~2~，*y*~2~)，则a*∥*b的充要条件是*x*~1~*y*~2~－*x*~2~*y*~1~＝0.
(2)若a*∥*b(b≠0)，则a＝*λ*b.
2．两个向量共线的充要条件的作用
判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．
\[题组训练\]
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(*k*a＋b)∥(a－3b)，则实数*k*的取值为( )
A．－ B.
C．－3 D．3
解析：选A *k*a＋b＝*k*(1,2)＋(－3,2)＝(*k*－3,2*k*＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
则由(*k*a＋b)∥(a－3b)得
(*k*－3)×(－4)－10×(2*k*＋2)＝0，所以*k*＝－.
2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系*xOy*中，*P*~1~(3,1)，*P*~2~(－1,3)，*P*~1~，*P*~2~，*P*~3~三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝*λ*＋(1－*λ*)，则*λ*＝( )
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：选D 设＝(*x*，*y*)，则由∥a知*x*＋*y*＝0，于是＝(*x*，－*x*)．若＝*λ*＋(1－*λ*)，则有(*x*，－*x*)＝*λ*(3,1)＋(1－*λ*)(－1,3)＝(4*λ*－1,3－2*λ*)，即所以4*λ*－1＋3－2*λ*＝0，解得*λ*＝－1，故选D.
3．在梯形*ABCD*中，*AB*∥*CD*，且*DC*＝2*AB*，三个顶点*A*(1,2)，*B*(2,1)，*C*(4,2)，则点*D*的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵在梯形*ABCD*中，*DC*＝2*AB*，*AB*∥*CD*，
∴＝2.
设点*D*的坐标为(*x*，*y*)，则＝(4－*x,*2－*y*)，＝(1，－1)，
∴(4－*x,*2－*y*)＝2(1，－1)，即(4－*x,*2－*y*)＝(2，－2)，
∴解得故点*D*的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
1．(2019·昆明调研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则\|2a－b\|＝( )
A. B．2
C. D．10
解析：选C 由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以\|2a－b\|＝()＝.故选C.
2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(*x*，*y*)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(*x*，*y*)＝(23＋*x,*12＋*y*)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
3．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，*m*)，b＝(*m,*1)，则"*m*＝1"是"a∥b"成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若a∥b，则*m*^2^＝1，即*m*＝±1，故"*m*＝1"是"a∥b"的充分不必要条件，选A.
4．已知点*M*是△*ABC*的边*BC*的中点，点*E*在边*AC*上，且＝2，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选C 如图，因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
5．已知点*A*(8，－1)，*B*(1，－3)，若点*C*(2*m*－1，*m*＋2)在直线*AB*上，则实数*m*＝( )
A．－12 B．13
C．－13 D．12
解析：选C 因为点*C*在直线*AB*上，所以与同向．又＝(－7，－2)，＝(2*m*－9，*m*＋3)，故＝，所以*m*＝－13.故选C.
6．在平面直角坐标系*xOy*中，已知*A*(1,0)，*B*(0,1)，*C*为坐标平面内第一象限的点，且∠*AOC*＝，\|*OC*\|＝2，若＝*λ*＋*μ*，则*λ*＋*μ*＝( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选A 因为\|*OC*\|＝2，∠*AOC*＝，所以*C*(，)，又因为＝*λ*＋*μ*，所以(，)＝*λ*(1,0)＋*μ*(0,1)＝(*λ*，*μ*)，所以*λ*＝*μ*＝，*λ*＋*μ*＝2.
7．已知\|\|＝1，\|\|＝，⊥， 点*C*在线段*AB*上，∠*AOC*＝30°.设＝*m*＋*n* (*m*，*n*∈R)，则等于( )
A. B．3
C. D.
解析：选B 如图，由已知\|\|＝1，\|\|＝，⊥，可得*AB*＝2，∠*A*＝60°，因为点*C*在线段*AB*上，∠*AOC*＝30°，所以*OC*⊥*AB*，过点*C*作*CD*⊥*OA*，垂足为点*D*，则*OD*＝，*CD*＝，所以＝，＝ ，即＝＋，所以＝3.
8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形*ABCD*中，*M*是*BC*的中点，若＝*λ*＋*μ*，则*λ*＋*μ*＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 以点*A*为坐标原点，分别以，的方向为*x*轴，*y*轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则*A*(0,0)，*C*(2,2)，*M*(2,1)，*B*(2,0)，*D*(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以*λ*＋*μ*＝(2*λ*－2*μ*，*λ*＋2*μ*)，因为＝*λ*＋*μ*，所以解得所以*λ*＋*μ*＝.
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若*m*a＋*n*b＝(9，－8)(*m*，*n*∈R)，则*m*－*n*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*m*a＋*n*b＝(2*m*＋*n*，*m*－2*n*)＝(9，－8)，
∴∴
∴*m*－*n*＝2－5＝－3.
答案：－3
10．已知向量a＝(1，*m*)，b＝(4，*m*)，若有(2\|a\|－\|b\|)(a＋b)＝0，则实数*m*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为a＋b＝(5,2*m*)≠0，
所以由(2\|a\|－\|b\|)(a＋b)＝0得2\|a\|－\|b\|＝0，
所以\|b\|＝2\|a\|，
所以＝2，解得*m*＝±2.
答案：±2
11．(2019·南昌模拟)已知向量a＝(*m*，*n*)，b＝(1，－2)，若\|a\|＝2，a＝*λ*b(*λ*\<0)，则*m*－*n*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵a＝(*m*，*n*)，b＝(1，－2)，
∴由\|a\|＝2，得*m*^2^＋*n*^2^＝20， ①
由a＝*λ*b(*λ*\<0)，得 ②
由①②，解得*m*＝－2，*n*＝4.
∴*m*－*n*＝－6.
答案：－6
12．已知向量a＝(1,2)，b＝(*x,*1)，u＝a＋2b，*v*＝2a－b，且u∥v，则实数*x*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为a＝(1,2)，b＝(*x,*1)，*u*＝a＋2b，*v*＝2a－b，
所以*u*＝(1,2)＋2(*x,*1)＝(2*x*＋1,4)，
*v*＝2(1,2)－(*x,*1)＝(2－*x,*3)．
又因为*u*∥*v*，所以3(2*x*＋1)－4(2－*x*)＝0，
即10*x*＝5，解得*x*＝.
答案：
13．在平面直角坐标系*xOy*中，已知点*A*(1,1)，*B*(2,3)，*C*(3,2)，点*P*(*x*，*y*)在△*ABC*三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求\|\|；
(2)设＝*m*＋*n* (*m*，*n*∈R)，用*x*，*y*表示*m*－*n*.
解：(1)∵＋＋＝0，＋＋＝(1－*x,*1－*y*)＋(2－*x,*3－*y*)＋(3－*x,*2－*y*)＝(6－3*x,*6－3*y*)，
∴解得*x*＝2，*y*＝2，
即＝(2,2)，故\|\|＝2.
(2)∵＝*m*＋*n*，＝(1,2)，＝(2,1)．
∴(*x*，*y*)＝(*m*＋2*n,*2*m*＋*n*)，
即两式相减，得*m*－*n*＝*y*－*x*.
第三节 平面向量的数量积
一、基础知识
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠*AOB*＝*θ*(0°≤*θ*≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
(2)范围：夹角*θ*的范围是\[0，π\]．
当*θ*＝0时，两向量a，b共线且同向；
当*θ*＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当*θ*＝π时，两向量a，b共线但反向．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量\|a\|\|b\| cos *θ*叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝\|a\|\|b\|cos *θ*，其中*θ*是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设*θ*是a，b的夹角，则\|b\|cos *θ*叫做向量b在向量a的方向上的投影，\|a\|cos *θ*叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度\|a\|与b在a的方向上的投影\|b\|cos *θ*的乘积．
4．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(*λ*a)·b＝*λ*(a·b)＝a·(*λ*b)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5．平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，*θ*是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝\|a\|cos *θ*.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝\|a\|\|b\|；当a与b反向时，a·b＝－\|a\|\|b\|.
特别地，a·a＝\|a\|^2^或\|a\|＝.
(4)cos *θ*＝.
(5)\|a·b\|≤\|a\|\|b\|.
6．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(*x*~1~，*y*~1~)，b＝(*x*~2~，*y*~2~)，*θ*为a与b的夹角，则
(1)\|a\|＝； (3)a*⊥*b⇔*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝0；
(2)a·b＝*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2;\_~ (4)cos *θ*＝.
二、常用结论汇总
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a^2^－b^2^；
(2)(a±b)^2^＝a^2^±2a·b＋b^2^.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b\>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b\<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
\[典例\] (1)(2018·新乡二模)若向量m＝(2*k*－1，*k*)与向量n＝(4,1)共线，则m·n＝( )
A．0 B．4
C．－ D．－
(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知*OM*＝1，*ON*＝2，∠*MON*＝120°，＝2，＝2，则·的值为( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
\[解析\] (1)∵向量*m*＝(2*k*－1，*k*)与向量*n*＝(4,1)共线，∴2*k*－1－4*k*＝0，解得*k*＝－，
∴*m*＝，
∴*m*·*n*＝－2×4＋×1＝－.
(2)法一：如图，连接*MN*.
∵＝2，＝2，
∴＝＝.
∴*MN*∥*BC*，且＝.
∴＝3＝3(－)．
∴·＝3(·－^2^)
＝3(2×1×cos 120°－1^2^)＝－6.
法二：在△*ABC*中，不妨设∠*A*＝90°，取特殊情况*ON*⊥*AC*，以*A*为坐标原点，*AB*，*AC*所在直线分别为*x*轴，*y*轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠*MON*＝120°，*ON*＝2，*OM*＝1，所以*O*，*C*，*M*，*B*.
故·＝·＝－－＝－6.
\[答案\] (1)D (2)C
\[解题技法\] 求非零向量a，b的数量积的策略
(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．
\[题组训练\]
1．(2019·济南模拟)已知矩形*ABCD*中，*AB*＝，*BC*＝1，则·＝( )
A．1 B．－1
C. D．2
解析：选B 设＝a，＝b，则a·b＝0，
∵\|a\|＝，\|b\|＝1，
∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b^2^＝－1.
2．(2019·南昌调研)已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选D 由a＝(1,2)，可得\|a\|＝，
由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a^2^＝2，
∴a·b＝－3，
∴向量b在a方向上的投影为＝－.
3．(2018·石家庄质检)在△*ABC*中，已知与的夹角为90°，\|\|＝2，\|\|＝1，*M*为*BC*上的一点，且＝*λ*＋*μ* (*λ*，*μ*∈R)，且·＝0，则 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：法一：∵＝－，·＝0，
∴(*λ*＋*μ*)·(－)＝0，
∵与的夹角为90°，\|\|＝2，\|\|＝1，
∴－*λ*\|\|^2^＋*μ*\|\|^2^＝0，即－4*λ*＋*μ*＝0，∴＝.
法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则*A*(0,0)，*B*(0,2)，*C*(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设*M*(*x*，*y*)，则＝(*x*，*y*)，所以·＝(*x*，*y*)·(1，－2)＝*x*－2*y*＝0，所以*x*＝2*y*，又＝*λ*＋*μ*，即(*x*，*y*)＝*λ*(0,2)＋*μ*(1,0)＝(*μ*，2*λ*)，所以*x*＝*μ*，*y*＝2*λ*，所以＝＝.
答案：
考法(一) 平面向量的模
\[典例\] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，\|a\|＝3，且a与a＋b的夹角为，则\|b\|＝( )
A．6 B．3
C．2 D．3
(2)(2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则\|a＋c\|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
\[解析\] (1)∵a*·*b＝0，\|a\|＝3，∴a·(a＋b)＝a^2^＋a·b＝\|a\|\|a＋b\|cos，∴\|a＋b\|＝3，将\|a＋b\|＝3两边平方可得，a^2^＋2a·b＋b^2^＝18，解得\|b\|＝3，故选D.
(2)∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝*t*(a＋b)(*t*∈R)，
∴a＋c＝(*t*＋1)a＋*t*b，∴(a＋c)^2^＝(*t*＋1)^2^a^2^＋2*t*(*t*＋1)·a·b＋*t*^2^b^2^，
∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，
∴(a＋c)^2^＝(*t*＋1)^2^－*t*(*t*＋1)＋*t*^2^＝*t*^2^＋*t*＋1≥，
∴\|a＋c\|≥，∴\|a＋c\|的最小值为，故选D.
\[答案\] (1)D (2)D
考法(二) 平面向量的夹角
\[典例\] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且\|a\|＝1，\|b\|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，)，b＝(3，*m*)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)因为\|a＋2b\|^2^＝\|a\|^2^＋4\|b\|^2^＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，
所以\|a＋2b\|＝.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2\|b\|^2^＝1××cos＋2×＝＋＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝()＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.
(2)因为b在a方向上的投影为－3，所以\|b\|cos〈a，b〉＝－3，又\|a\|＝()＝2，所以a·b＝\|a\|\|b\|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝3＋*m*，所以3＋*m*＝－6，解得*m*＝－3，
则b＝(3，－3)，所以\|b\|＝()＝6，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
\[答案\] (1)A (2)
考法(三) 平面向量的垂直
\[典例\] (1)若非零向量a，b满足\|a\|＝\|b\|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．π
(2)已知向量与的夹角为120°，且\|\|＝3，\|\|＝2.若＝*λ*＋，且⊥，则实数*λ*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)设a与b的夹角为*θ*，因为\|a\|＝\|b\|，(a－b)⊥(3a＋2b)，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3\|a\|^2^－2\|b\|^2^－a·b＝\|b\|^2^－2\|b\|^2^－\|b\|^2^cos *θ*＝0，
解得cos *θ*＝，因为*θ*∈\[0，π\]，所以*θ*＝.
(2)由⊥，知·＝0，即·＝(*λ*＋)·(－)＝(*λ*－1)·－*λ*^2^＋^2^＝(*λ*－1)×3×2×－*λ*×9＋4＝0，解得*λ*＝.
\[答案\] (1)A (2)
\[解题技法\]
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
\[题组训练\]
1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m＝(*λ*＋1,1)，n＝(*λ*＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则*λ*＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：选B ∵(*m*＋*n*)⊥(*m*－*n*)，∴(*m*＋*n*)·(*m*－*n*)＝*m*^2^－*n*^2^＝(*λ*＋1)^2^＋1－(*λ*＋2)^2^－4＝0，解得*λ*＝－3.故选B.
2．(2018·永州二模)已知非零向量a，b的夹角为60°，且\|b\|＝1，\|2a－b\|＝1，则\|a\|＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选A ∵非零向量a，b的夹角为60°，且\|b\|＝1，∴a·b＝\|a\|×1×＝，∵\|2a－b\|＝1，∴\|2a－b\|^2^＝4a^2^－4a·b＋b^2^＝4\|a\|^2^－2\|a\|＋1＝1，∴4\|a\|^2^－2\|a\|＝0，∴\|a\|＝，故选A.
3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a，b满足\|a\|＝1，\|b\|＝2，a＋b＝(1，)，记向量a，b的夹角为*θ*，则tan *θ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵\|a\|＝1，\|b\|＝2，a＋b＝(1，)，∴(a＋b)^2^＝\|a\|^2^＋\|b\|^2^＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cos *θ*＝＝－，∴sin *θ*＝ ＝，∴tan *θ*＝＝－.
答案：－
1．已知向量a，b满足\|a\|＝1，\|b\|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：选D ∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b^2^＝－18.
2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量*λ*a＋b与b垂直，则实数*λ*的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴*λ*a＋b＝(－2*λ*＋1,3*λ*＋2)．∵*λ*a＋b与b垂直，∴(*λ*a＋b)·b＝0，∴(－2*λ*＋1,3*λ*＋2)·(1,2)＝0，即－2*λ*＋1＋6*λ*＋4＝0，解得*λ*＝－.
3．已知向量a，b满足\|a\|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则\|a－b\|＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 因为\|a\|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以\|a－b\|^2^＝a^2^＋b^2^－2a·b＝1＋5－0＝6，所以\|a－b\|＝.故选A.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(*m*，*n*)，
则a＋c＝(1＋*m,*2＋*n*)，a＋b＝(3，－1)，
因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋*m*)＝2(2＋*n*)，
即3*m*＋2*n*＝－7，又c⊥(a＋b)，则有3*m*－*n*＝0，
联立解得
所以c＝.
5．(2018·襄阳调研)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋*λ*j，且a与b的夹角为锐角，则实数*λ*的取值范围是( )
A.∪ B.
C．(－∞，－2)∪ D.
解析：选C 不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)，b＝(1，*λ*)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b＝1－2*λ*\>0且a，b不共线，所以*λ*\<且*λ*≠－2，故选C.
6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a，b满足\|a＋b\|＝\|a－b\|＝2\|b\|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵\|a＋b\|＝\|a－b\|，∴\|a＋b\|^2^＝\|a－b\|^2^，∴a·b＝0.又\|a＋b\|＝2*\|*b*\|*，∴\|a＋b\|^2^＝4\|b\|^2^，\|a\|^2^＝3\|b\|^2^，∴\|a\|＝\|b\|，cos〈a＋b，a〉＝()＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.
7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形*ABC*中，角*C*为直角，且*AC*＝*BC*＝1，点*P*是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝( )
A．0 B．1
C. D．－
解析：选B 以点*C*为坐标原点，分别以，的方向为*x*轴，*y*轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则*C*(0,0)，*A*(1，0)，*B*(0,1)，不妨设*P*，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故选B.
8．(2019·武汉调研)已知平面向量a，b，e满足\|e\|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，\|a＋b\|＝2，则a·b的最大值为( )
A．－1 B．－2
C．－ D．－
解析：选D 不妨设*e*＝(1,0)，则a＝(1，*m*)，b＝(－2，*n*)(*m*，*n*∈R)，则a＋b＝(－1，*m*＋*n*)，所以\|a＋b\|＝()＝2，所以(*m*＋*n*)^2^＝3，即3＝*m*^2^＋*n*^2^＋2*mn*≥2*mn*＋2*mn*＝4*mn*，当且仅当*m*＝*n*时等号成立，所以*mn*≤，所以a·b＝－2＋*mn*≤－，综上可得a·b的最大值为－.
9．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且\|a\|＝2，\|b\|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵a·(a＋b)＝a^2^＋a*·*b＝2^2^＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈\[0，π\]，
∴sin〈a，b〉＝＝.
答案：
10．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a，b的夹角为，且\|a\|＝1，\|b\|＝2，若(*λ*a＋b)⊥(a－2b)，则*λ*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵\|a\|＝1，\|b\|＝2，且a，b的夹角为，∴a*·*b＝1×2×＝－1，又∵(*λ*a＋b)⊥(a－2b)，∴(*λ*a＋b)·(a－2b)＝0，即(*λ*a＋b)·(a－2b)＝*λ*a^2^－2b^2^＋(1－2*λ*)a·b＝*λ*－8－(1－2*λ*)＝0，解得*λ*＝3.
答案：3
11．(2018·合肥一检)已知平面向量a，b满足\|a\|＝1，\|b\|＝2，\|a＋b\|＝，则a在b方向上的投影等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵\|a\|＝1，\|b\|＝2，\|a＋b\|＝，
∴(a＋b)^2^＝\|a\|^2^＋\|b\|^2^＋2a·b＝5＋2a·b＝3，
∴a·b＝－1，
∴a在b方向上的投影为＝－.
答案：－
12.如图所示，在等腰直角三角形*AOB*中，*OA*＝*OB*＝1，＝4，则·(－)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由已知得\|\|＝，\|\|＝，
> 则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝ －.
答案：－
13．(2019·南昌质检)设向量a，b满足\|a\|＝\|b\|＝1，且\|2a－b\|＝.
(1)求\|2a－3b\|的值；
(2)求向量3a－b与a－2b的夹角*θ*.
解：(1)∵\|2a－b\|^2^＝4a^2^－4a·b＋b^2^＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，
∴\|2a－3b\|＝＝＝.
(2)cos *θ*＝()()＝＝＝，
∵*θ*∈\[0，π\]，∴*θ*＝.
第四节 平面向量的综合应用
\[典例\] (2019·石家庄模拟)在平行四边形*ABCD*中，\|\|＝12，\|\|＝8.若点*M*，*N*满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．36 D．6
\[解析\] 法一：由＝3，＝2知，点*M*是*BC*的一个四等分点，且*BM*＝*BC*，点*N*是*DC*的一个三等分点，且*DN*＝*DC*，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－ ，所以·＝·＝·＝ ＝＝36，故选C.
法二：不妨设∠*DAB*为直角，以*AB*所在直线为*x*轴，*AD*所在直线为*y*轴建立如图所示的平面直角坐标系．则*M*(12,6)，*N*(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
\[答案\] C
\[题组训练\]
1．若*O*为△*ABC*所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△*ABC*的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A 由(－)·(＋－2)＝0，
得·(＋)＝0，∵－＝，
∴(－)·(＋)＝0，即\|\|＝\|\|，
∴△*ABC*是等腰三角形．
2．(2018·西安质检)已知*P*为△*ABC*所在平面内一点，＋＋＝0，\|\|＝\|\|＝\|\|＝2，则△*ABC*的面积等于( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：选B 由\|\|＝\|\|得，△*PBC*是等腰三角形，取*BC*的中点*D*，连接*PD*(图略)，则*PD*⊥*BC*，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以*PD*＝*AB*＝1，且*PD*∥*AB*，故*AB*⊥*BC*，即△*ABC*是直角三角形，由\|\|＝2，\|\|＝1可得\|\|＝，则\|\|＝2，所以△*ABC*的面积为×2×2＝2.
3.如图，在扇形*OAB*中，*OA*＝2，∠*AOB*＝90°，*M*是*OA*的中点，点*P*在弧*AB*上，则·的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，以*O*为坐标原点，为*x*轴的正半轴，为*y*轴的正半轴建立平面直角坐标系，则*M*(1,0)，*B*(0,2)，设*P*(2cos *θ*，2sin *θ*)，*θ*∈，所以·＝(1－2cos *θ*，－2sin *θ*)·(－2cos *θ*，2－2sin *θ*)＝4－2cos *θ*－ 4sin *θ*＝4－2(cos *θ*＋2sin *θ*)＝4－2sin(*θ*＋*φ*)，所以·的最小值为4－2.
答案：4－2
\[典例\] (2017·江苏高考)已知向量a＝(cos *x*，sin *x*)，b＝(3，－)，*x*∈\[0，π\]．
(1)若a∥b，求*x*的值；
(2)记*f*(*x*)＝a·b，求*f*(*x*)的最大值和最小值以及对应的*x*的值．
\[解\] (1)因为a＝(cos *x*，sin *x*)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos *x*＝3sin *x*．则tan *x*＝－.
又*x*∈\[0，π\]，所以*x*＝.
(2)*f*(*x*)＝a·b＝(cos *x*，sin *x*)·(3，－)＝3cos *x*－sin *x*＝2cos.
因为*x*∈\[0，π\]，所以*x*＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当*x*＋＝，即*x*＝0时，*f*(*x*)取到最大值3；
当*x*＋＝π，即*x*＝时，*f*(*x*)取到最小值－2.
\[题组训练\]
1．已知向量＝(*k,*12)，＝(4,5)，＝(10，*k*)，且*A*，*B*，*C*三点共线，当*k*\<0时，若*k*为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵＝－＝(4－*k*，－7)，＝－＝(6，*k*－5)，且∥，∴(4－*k*)(*k*－5)＋6×7＝0，解得*k*＝－2或*k*＝11.由*k*\<0，可知*k*＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为*y*＋1＝－2(*x*－2)，即2*x*＋*y*－3＝0.
答案：2*x*＋*y*－3＝0
2．若点*O*和点*F*分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点*P*为椭圆上的任意一点，则·的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，得*F*(－1,0)，设*P*(*x*~0~，*y*~0~)，则有＋＝1，解得*y*＝3，因为＝(*x*~0~＋1，*y*~0~)，＝(*x*~0~，*y*~0~)，所以·＝*x*~0~(*x*~0~＋1)＋*y*＝*x*＋*x*~0~＋3＝＋*x*~0~＋3，对应的抛物线的对称轴方程为*x*~0~＝－2，因为－2≤*x*~0~≤2，故当*x*~0~＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
答案：6
\[典例\] 已知点*A*，*B*，*C*在圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上运动，且*AB*⊥*BC*.若点*P*的坐标为(2,0)，则\|＋＋\|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
\[解析\] 由*A*，*B*，*C*在圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上，且*AB*⊥*BC*，
知线段*AC*为圆的直径，设圆心为*O*，
故＋＝2＝(－4,0)，
设*B*(a，b)，则a^2^＋b^2^＝1且a∈\[－1,1\]，＝(a－2，b)，
所以＋＋＝(a－6，b)．
故\|＋＋\|＝，
所以当a＝－1时，\|＋＋\|取得最大值＝7.
\[答案\] B
\[解题技法\]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
\[题组训练\]
1．(2019·南昌模拟)已知a＝(cos *α*，sin *α*)，b＝(cos(－*α*)，sin(－*α*))，那么a·b＝0是*α*＝*k*π＋(*k*∈Z)的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵a·b＝cos *α*·cos(－*α*)＋sin *α*·sin(－*α*)＝cos^2^*α*－sin^2^*α*＝cos 2*α*，若a·b＝0，则cos 2*α*＝0，∴2*α*＝2*k*π±(*k*∈Z)，解得*α*＝*k*π±(*k*∈Z)．∴a·b＝0是*α*＝*k*π＋(*k*∈Z)的必要不充分条件．故选B.
2．已知a，b，c为△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*的对边，向量m＝(，－1)，n＝ (cos *A*，sin *A*)．若m⊥n，且acos *B*＋bcos *A*＝csin *C*，则角*A*，*B*的大小分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选C 由*m*⊥*n*，得*m*·*n*＝0，即cos *A*－sin *A*＝0，由题意得cos *A*≠0，∴tan *A*＝，又*A*∈(0，π)，∴*A*＝.又acos *B*＋bcos *A*＝2*R*sin *A*cos *B*＋2*R*sin *B*cos *A*＝2*R*sin(*A*＋*B*)＝2*R*sin *C*＝c(*R*为△*ABC*外接圆半径)，且acos *B*＋bcos *A*＝csin *C*，所以c＝csin *C*，所以sin *C*＝1，又*C*∈(0，π)，所以*C*＝，所以*B*＝π－－＝.
A级
1．已知向量a＝，b＝，则\|a－b\|＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 因为a－b＝＝(，0)，所以\|a－b\|＝，故选C.
2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F~1~，F~2~，则\|F~1~＋F~2~\|为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 由于*F*~1~＋*F*~2~＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
所以\|*F*~1~＋*F*~2~\|＝()()＝.
3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆*O*是△*ABC*的外接圆，其半径为1，且＋＝2，*AB*＝1，则·＝( )
A. B．3
C. D．2
解析：选B 因为＋＝2，所以点*O*是*BC*的中点，即*BC*是圆*O*的直径，又*AB*＝1，圆的半径为1，所以∠*ACB*＝30°，且*AC*＝，则·＝\|\|·\|\|cos∠*ACB*＝3.
4．已知向量m＝与向量n＝(3，sin *A*＋cos *A*)共线，其中*A*是△*ABC*的内角，则角*A*的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为*m*∥*n*，所以sin *A*(sin *A*＋cos *A*)－＝0，
所以2sin^2^*A*＋2sin *A*cos *A*＝3.可化为1－cos 2*A*＋sin 2*A*＝3，
所以sin＝1，因为*A*∈(0，π)，所以2*A*－∈.
因此2*A*－＝，解得*A*＝.
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△*ABC*是边长为2的等边三角形，*P*为平面*ABC*内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：选B 如图，以等边三角形*ABC*的底边*BC*所在直线为*x*轴，以*BC*的垂直平分线为*y*轴建立平面直角坐标系，则*A*(0，)，*B*(－1,0)，*C*(1,0)，设*P*(*x*，*y*)，则＝(－*x,* －*y*)，＝(－1－*x*，－*y*)，＝(1－*x*，－*y*)，所以·(＋)＝(－*x*，－*y*)·(－2*x*，－2*y*)＝2*x*^2^＋2^2^－，当*x*＝0，*y*＝时，·(＋)取得最小值，为－.
6．已知向量a＝(4,0)，b＝(2,2)，非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，\|c\|的最大值与最小值分别为*m*，*n*，则*m*－*n*的值为( )
A．1 B．3
C．2 D．4
解析：选D 设c＝(*x*，*y*)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－*x*，－*y*)·(2－*x,*2－*y*)＝*x*^2^＋*y*^2^－6*x*－2*y*＋8＝0，所以(*x*－3)^2^＋(*y*－)^2^＝4，所以满足条件的向量c的终点落在以(3，)为圆心，2为半径的圆上，所以\|c\|的最大值与最小值分别为*m*＝2＋2，*n*＝2－2，所以*m*－*n*＝4.
7．已知△*ABC*中，*D*为边*BC*上的点，且*BD*＝2*DC*，＝*x*＋*y*，则*x*－*y*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
> 解析：由向量的加法法则知＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以*x*＝，*y*＝，所以*x*－*y*＝－.
答案：－
8．设e~1~，e~2~，e~3~为单位向量，且e~3~＝e~1~＋*k*e~2~(*k*\>0)，若以向量e~1~，e~2~为邻边的三角形的面积为，则*k*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设*e*~1~，*e*~2~的夹角为*θ*，则由以向量*e*~1~，*e*~2~为邻边的三角形的面积为，得×1×1× sin *θ*＝，得sin *θ*＝1，所以*θ*＝90°，所以*e*~1~·*e*~2~＝0，从而对*e*~3~＝*e*~1~＋*ke*~2~两边同时平方得 1＝＋*k*^2^，解得*k*＝或－(舍去)，所以*k*＝.
答案：
9.如图，在△*ABC*中，*O*为*BC*的中点，若*AB*＝1，*AC*＝3，与的夹角为60°，则\|\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：·＝\|\|·\|\|cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以^2^＝(＋)^2^＝(^2^＋2·＋^2^)，即^2^＝(1＋3＋9)＝，所以\|\|＝.
答案：
10．在平面直角坐标系中，*A*(－2,0)，*B*(1,3)，*O*为坐标原点，且＝*α*＋*β* (*α*＋*β*＝1)，*N*(1,0)，则\|\|的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵＝*α*＋*β* (*α*＋*β*＝1)，∴*A*，*B*，*M*三点共线，∵*A*(－2,0)，*B*(1,3)，∴直线*AB*的方程为*x*－*y*＋2＝0，∵*N*(1,0)，设点*N*到直线*AB*的距离为*d*，∴*d*＝＝，∴\|\|的最小值为*N*到直线*AB*的距离.
答案：
11．在平面直角坐标系*xOy*中，已知向量m＝，n＝(sin *x*，cos *x*)，*x*∈.
(1)若m⊥n，求tan *x*的值；
(2)若m与n的夹角为，求*x*的值．
解：(1)∵m＝，n＝(sin *x*，cos *x*)，*m*⊥*n*，
∴m·n＝sin *x*－cos *x*＝0，即sin *x*＝cos *x*，
∴tan *x*＝＝1.
(2)由题意知，\|m\|＝＝1，
\|n\|＝＝1，
m·n＝sin *x*－cos *x*＝sin.
而m·n＝\|m\|·\|n\|·cos〈m，n〉＝cos＝，
∴sin＝.
又∵*x*∈，*x*－∈，
∴*x*－＝，∴*x*＝.
12．(2019·河南中原名校质检)在△*ABC*中，⊥，*M*是*BC*的中点．
(1)若\|\|＝\|\|，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；
(2)若*O*是线段*AM*上任意一点，且\|\|＝\|\|＝，求·＋·的最小值．
解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为*θ*，则cos *θ*＝()()，令\|\|＝\|\|＝a，则cos *θ*＝＝.
(2)∵\|\|＝\|\|＝，∴\|\|＝1，
设\|\|＝*x*(0≤*x*≤1)，则\|\|＝1－*x*.
而＋＝2，
∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2\|\|·\|\|cos π＝2*x*^2^－2*x*＝2^2^－.
∴当*x*＝时，·＋·取得最小值，最小值是－.
B
1．(2019·武汉调研)设*A*，*B*，*C*是半径为1的圆*O*上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是( )
A．1＋ B．1－
C.－1 D．1
解析：选A 如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝^2^－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点*C*在*OD*的反向延长线与圆*O*的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.
2．在△*ABC*中，*BC*＝5，*G*，*O*分别为△*ABC*的重心和外心，且·＝5，则△*ABC*的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
解析：选B 如图，在△*ABC*中，*G*，*O*分别为△*ABC*的重心和外心，取*BC*的中点*D*，连接*AD*，*OD*，*OG*，则*OD*⊥*BC*，*GD*＝*AD*，结合＝＋，＝(＋)，·＝5，得(＋)·＝·＝－(＋)·＝5，即－(＋)·(－)＝5，∴^2^－^2^＝－30.又*BC*＝5，则\|\|^2^＝\|\|^2^＋\|\|^2^\>\|\|^2^＋\|\|^2^，结合余弦定理有cos *C*\<0，∴\<*C*\<π，△*ABC*是钝角三角形．故选B.
3．已知向量a＝(cos *x*，－1)，b＝，函数*f*(*x*)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数*f*(*x*)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为a，b，c，已知函数*f*(*x*)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
解：(1)∵*f*(*x*)＝(a＋b)·a－2＝\|a\|^2^＋a·b－2＝cos^2^*x*＋1＋sin *x*cos *x*＋－2＝(cos 2*x*＋1)＋1＋sin 2*x*－＝cos 2*x*＋sin 2*x*＝sin，
∴*f*(*x*)的最小正周期*T*＝＝π.
由2*k*π－≤2*x*＋≤2*k*π＋(*k*∈Z)，
得*k*π－≤*x*≤*k*π＋(*k*∈Z)，
∴*f*(*x*)的单调递增区间为(*k*∈Z)．
(2)由*f*(*A*)＝sin＝，
得2*A*＋＝＋2*k*π或2*A*＋＝＋2*k*π(*k*∈Z)，
又0\<*A*\<π，∴*A*＝.
∵b，a，c成等差数列，∴2a＝b＋c.
∵·＝bccos *A*＝bc＝9，∴bc＝18.
由余弦定理，得cos *A*＝()－1＝－1＝－1＝，∴a＝3(负值舍去)．
第六章 数列
===========
第一节 数列的概念与简单表示
一、基础知识
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N^\*^(或它的有限子集{1,2，...，*n*})为定义域的函数*a~n~*＝*f*(*n*)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
2．数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：
(2)按单调性来分：()
3．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{*a~n~*}的第*n*项与序号*n*之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
()()
(2)递推公式：如果已知数列{*a~n~*}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
---------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------
通项公式和递推公式的异同点
不同点 相同点
通项公式 可根据某项的序号*n*的值，直接代入求出*a~n~* 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的*a~n~*
---------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------
二、常用结论
(1)若数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，通项公式为*a~n~*，则*a~n~*＝
(2)在数列{*a~n~*}中，若*a~n~*最大，则若*a~n~*最小，则
考点一 由*a~n~*与*S~n~*的关系求通项*a~n~*
\[典例\] (1)(2018·广州二模)已知*S~n~*为数列{*a~n~*}的前*n*项和，且log~2~(*S~n~*＋1)＝*n*＋1，则数列{*a~n~*}的通项公式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记*S~n~*为数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*S~n~*＝2*a~n~*＋1，则*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)由log~2~(*S~n~*＋1)＝*n*＋1，得*S~n~*＋1＝2^*n*＋1^，
当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝3；当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*^n^*，
所以数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝
(2)∵*S~n~*＝2*a~n~*＋1，当*n*≥2时，*S~n~*~－1~＝2*a~n~*~－1~＋1，
∴*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*a~n~*－2*a~n~*~－1~，即*a~n~*＝2*a~n~*~－1~.
当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝2*a*~1~＋1，得*a*~1~＝－1.
∴数列{*a~n~*}是首项*a*~1~为－1，公比*q*为2的等比数列，
∴*a~n~*＝－1×2^*n*－1^＝－2^*n*－1^.
\[答案\] (1)*a~n~*＝ (2)－2^*n*－1^
\[解题技法\]
1．已知*S~n~*求*a~n~*的3个步骤
(1)先利用*a*~1~＝*S*~1~求出*a*~1~；
(2)用*n*－1替换*S~n~*中的*n*得到一个新的关系，利用*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~(*n*≥2)便可求出当*n*≥2时*a~n~*的表达式；
(3)注意检验*n*＝1时的表达式是否可以与*n*≥2的表达式合并．
2．*S~n~*与*a~n~*关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~(*n*≥2)转化为只含*S~n~*，*S~n~*~－1~的关系式，再求解．
(2)利用*S~n~*－*S~n~*~－1~＝*a~n~*(*n*≥2)转化为只含*a~n~*，*a~n~*~－1~的关系式，再求解．
\[题组训练\]
1.设数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*S~n~*＝2(*a~n~*－1)(*n*∈N^\*^)，则*a~n~*＝( )
A．2*n* B．2*n*－1
C．2*^n^* D．2*^n^*－1
解析：选C 当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝2(*a*~1~－1)，可得*a*~1~＝2，
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*a~n~*－2*a~n~*~－1~，
∴*a~n~*＝2*a~n~*~－1~，
∴数列{*a~n~*}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴*a~n~*＝2*^n^*.
2.设数列{*a~n~*}满足*a*~1~＋3*a*~2~＋...＋(2*n*－1)*a~n~*＝2*n*，则*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*a*~1~＋3*a*~2~＋...＋(2*n*－1)*a~n~*＝2*n*，
故当*n*≥2时，*a*~1~＋3*a*~2~＋...＋(2*n*－3)*a~n~*~－1~＝2(*n*－1)．
两式相减得(2*n*－1)*a~n~*＝2，
所以*a~n~*＝(*n*≥2)．
又由题设可得*a*~1~＝2，满足上式，
从而{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝.
答案：
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
\[典例\] (1)设数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，且*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋*n*＋1(*n*∈N^\*^)，则数列{*a~n~*}的通项公式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)在数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝1，*a~n~*＝*a~n~*~－1~(*n*≥2)，则数列{*a~n~*}的通项公式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(3)已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*＋2，则数列{*a~n~*}的通项公式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)累加法
由题意得*a*~2~＝*a*~1~＋2，*a*~3~＝*a*~2~＋3，...，*a~n~*＝*a~n~*~－1~＋*n*(*n*≥2)，
以上各式相加，得*a~n~*＝*a*~1~＋2＋3＋...＋*n*.
又∵*a*~1~＝1，∴*a~n~*＝1＋2＋3＋...＋*n*＝(*n*≥2)．
∵当*n*＝1时也满足上式，∴*a~n~*＝(*n*∈N^\*^)．
(2)累乘法
∵*a~n~*＝*a~n~*~－1~(*n*≥2)，
∴*a~n~*~－1~＝*a~n~*~－2~，*a~n~*~－2~＝*a~n~*~－3~，...，*a*~2~＝*a*~1~.
以上(*n*－1)个式子相乘得
*a~n~*＝*a*~1~···...·＝＝.
当*n*＝1时，*a*~1~＝1，上式也成立．
∴*a~n~*＝(*n*∈N^\*^)．
(3)构造法
∵*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*＋2，∴*a~n~*~＋1~＋1＝3(*a~n~*＋1)，
∴＝3，
∴数列{*a~n~*＋1}为等比数列，公比*q*＝3，又*a*~1~＋1＝2，
∴*a~n~*＋1＝2·3^*n*－1^，
∴*a~n~*＝2·3^*n*－1^－1(*n*∈N^\*^)．
\[答案\] (1)*a~n~*＝(*n*∈N^\*^) (2)*a~n~*＝(*n*∈N^\*^) (3)*a~n~*＝2·3^*n*－1^－1(*n*∈N^\*^)
\[解题技法\]
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋*f*(*n*)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝*f*(*n*)的数列，并且容易求数列{*f*(*n*)}前*n*项的积时，采用累乘法求数列{*a~n~*}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如*a~n~*~＋1~＝*pa~n~*＋*q*(*p*≠0,1，*q*≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉*a*~1~而导致错误；二是根据连乘求出*a~n~*之后，不注意检验*a*~1~是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
\[题组训练\]
1.()设数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝3，*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋()，则通项公式*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原递推公式可化为*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋－，
则*a*~2~＝*a*~1~＋－，*a*~3~＝*a*~2~＋－，*a*~4~＝*a*~3~＋－，...，*a~n~*~－1~＝*a~n~*~－2~＋－，*a~n~*＝*a~n~*~－1~＋－，以上(*n*－1)个式子的等号两端分别相加得，*a~n~*＝*a*~1~＋1－，故*a~n~*＝4－.
答案：4－
2.()设数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝2*^n^a~n~*，则通项公式*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由*a~n~*~＋1~＝2*^n^a~n~*，得＝2^*n*－1^(*n*≥2)，
所以*a~n~*＝··...··*a*~1~＝2^*n*－1^·2^*n*－2^·...·2·1＝2^1＋2＋3＋...＋(*n*－1)^＝2^()^.
又*a*~1~＝1适合上式，故*a~n~*＝2^()^.
答案：2^()^
3.()在数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝3，且点*P~n~*(*a~n~*，*a~n~*~＋1~)(*n*∈N^\*^)在直线4*x*－*y*＋1＝0上，则数列{*a~n~*}的通项公式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为点*P~n~*(*a~n~*，*a~n~*~＋1~)(*n*∈N^\*^)在直线4*x*－*y*＋1＝0上，所以4*a~n~*－*a~n~*~＋1~＋1＝0，即*a~n~*~＋1~＝4*a~n~*＋1，得*a~n~*~＋1~＋＝4，所以是首项为*a*~1~＋＝，公比为4的等比数列，所以*a~n~*＋＝·4^*n*－1^，故*a~n~*＝·4^*n*－1^－.
答案：*a~n~*＝·4^*n*－1^－
考法(一) 数列的周期性
\[典例\] 数列{*a~n~*}满足*a~n~*~＋1~＝*a*~1~＝，则数列的第2 019项为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 因为*a*~1~＝，故*a*~2~＝2*a*~1~－1＝，*a*~3~＝2*a*~2~＝，*a*~4~＝2*a*~3~＝，*a*~5~＝2*a*~4~－1＝，*a*~6~＝2*a*~5~－1＝，*a*~7~＝2*a*~6~＝，...，
故数列{*a~n~*}是周期数列且周期为4，故*a*~2\ 019~＝*a*~504×4＋3~＝*a*~3~＝.
\[答案\]
考法(二) 数列的单调性(最值)
\[典例\] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{*a~n~*}满足2*S~n~*＝4*a~n~*－1，当*n*∈N^\*^时，{(log~2~*a~n~*)^2^＋*λ*log~2~*a~n~*}是递增数列，则实数*λ*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)已知数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝(*n*＋2)·*^n^*，则当*a~n~*取得最大值时，*n*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)∵2*S~n~*＝4*a~n~*－1,2*S~n~*~－1~＝4*a~n~*~－1~－1(*n*≥2)，
两式相减可得2*a~n~*＝4*a~n~*－4*a~n~*~－1~(*n*≥2)，
∴*a~n~*＝2*a~n~*~－1~(*n*≥2)．
又2*a*~1~＝4*a*~1~－1，∴*a*~1~＝，
∴数列{*a~n~*}是公比为2的等比数列，∴*a~n~*＝2^*n*－2^，
设*b~n~*＝(log~2~*a~n~*)^2^＋*λ*log~2~*a~n~*＝(*n*－2)^2^＋*λ*(*n*－2)，
∵{(log~2~*a~n~*)^2^＋*λ*log~2~*a~n~*}是递增数列，
∴*b~n~*~＋1~－*b~n~*＝2*n*－3＋*λ*\>0恒成立，∴*λ*\>3－2*n*恒成立，
∵(3－2*n*)~max~＝1，∴*λ*\>1，
故实数*λ*的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当*a~n~*取得最大值时，有
∴()()()()解得
∴当*a~n~*取得最大值时，*n*＝5或6.
\[答案\] (1)(1，＋∞) (2)5或6
\[解题技法\]
1．解决数列的单调性问题的3种方法
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
\[题组训练\]
1．设数列{*a~n~*}，*a~n~*＝，其中*a*，*b*，*c*均为正数，则此数列( )
A．递增 B．递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选A 因为*a~n~*＝＝，而函数*f*(*x*)＝(*a*\>0，*b*\>0，*c*\>0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{*a~n~*}是递增数列．
2．已知数列{*a~n~*}满足*a~n~*~＋1~＝，若*a*~1~＝，则*a*~2\ 019~＝( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：选A 由*a*~1~＝，*a~n~*~＋1~＝，得*a*~2~＝＝2，
*a*~3~＝＝－1，*a*~4~＝＝，*a*~5~＝＝2，...，
于是可知数列{*a~n~*}是以3为周期的周期数列，因此*a*~2\ 019~＝*a*~3×673~＝*a*~3~＝－1.
A级
1．(2019·郑州模拟)已知数列1，，，，...，，若3是这个数列的第*n*项，则*n*＝( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选D 由＝3＝，得2*n*－1＝45，即2*n*＝46，解得*n*＝23，故选D.
2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为( )
A.() B.()
C.() D.()
解析：选A 由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第*n*项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为().故选A.
3．(2019·莆田诊断)已知数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝1，*a*~2~＝2，*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋*a~n~*~＋2~(*n*∈N^\*^)，则*a*~5~的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 由题意可得，*a~n~*~＋2~＝*a~n~*~＋1~－*a~n~*，则*a*~3~＝*a*~2~－*a*~1~＝2－1＝1，*a*~4~＝*a*~3~－*a*~2~＝1－2＝－1，*a*~5~＝*a*~4~－*a*~3~＝－1－1＝－2.故选A.
4．数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝2*n*^2^－3*n*(*n*∈N^\*^)，若*p*－*q*＝5，则*a~p~*－*a~q~*＝( )
A．10 B．15
C．－5 D．20
解析：选D 当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*n*^2^－3*n*－\[2(*n*－1)^2^－3(*n*－1)\]＝4*n*－5，当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝－1，符合上式，所以*a~n~*＝4*n*－5，所以*a~p~*－*a~q~*＝4(*p*－*q*)＝20.
5．设数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝*n*^2^－*bn*，若数列{*a~n~*}是单调递增数列，则实数*b*的取值范围为( )
A．(－∞，－1\] B．(－∞，2\]
C．(－∞，3) D.
解析：选C 因为数列{*a~n~*}是单调递增数列，
所以*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝2*n*＋1－*b*\>0(*n*∈N^\*^)，
所以*b*\<2*n*＋1(*n*∈N^\*^)，
所以*b*\<(2*n*＋1)~min~＝3，即*b*\<3.
6．若数列{*a~n~*}满足≤≤2(*n*∈N^\*^)，则称{*a~n~*}是"紧密数列"．若{*a~n~*}(*n*＝1,2,3,4)是"紧密数列"，且*a*~1~＝1，*a*~2~＝，*a*~3~＝*x*，*a*~4~＝4，则*x*的取值范围为( )
A．\[1,3) B．\[1,3\]
C．\[2,3\] D．\[2,3)
解析：选C 依题意可得解得2≤*x*≤3，故*x*的取值范围为\[2,3\]．
7．已知数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝*n*^2^＋2*n*＋1(*n*∈N^\*^)，则*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*n*＋1，
当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝4≠2×1＋1，
因此*a~n~*＝
答案：
8．已知数列，，，，，...，根据前3项给出的规律，实数对(*m*，*n*)为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由数列的前3项的规律可知解得故实数对(*m*，*n*)为.
答案：
9．数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*S~n~*＋*S~n~*~－1~＝2*n*－1(*n*≥2，*n*∈N^\*^)，且*S*~2~＝3，则*a*~1~＋*a*~3~的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵*S~n~*＋*S~n~*~－1~＝2*n*－1(*n*≥2)，令*n*＝2，
得*S*~2~＋*S*~1~＝3，由*S*~2~＝3得*a*~1~＝*S*~1~＝0，
令*n*＝3，得*S*~3~＋*S*~2~＝5，所以*S*~3~＝2，
则*a*~3~＝*S*~3~－*S*~2~＝－1，
所以*a*~1~＋*a*~3~＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
10．已知数列{*a~n~*}满足*a~n~*＝(*n*－*λ*)2*^n^*(*n*∈N^\*^)，若{*a~n~*}是递增数列，则实数*λ*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*a~n~*＝(*n*－*λ*)2*^n^*(*n*∈N^\*^)且数列{*a~n~*}是递增数列，所以*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝2*^n^*(*n*＋2－*λ*)\>0，所以*n*＋2－*λ*\>0，则*λ*\<*n*＋2.又*n*∈N^\*^，所以*λ*\<3，因此实数*λ*的取值范围为(－∞，3)．
答案：(－∞，3)
11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝3，*a~n~*~＋1~＝4*a~n~*＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)*a*~1~＝3，*a*~2~＝15，*a*~3~＝63，*a*~4~＝255.
因为*a*~1~＝4^1^－1，*a*~2~＝4^2^－1，*a*~3~＝4^3^－1，*a*~4~＝4^4^－1，...，
所以归纳得*a~n~*＝4*^n^*－1.
(2)证明：因为*a~n~*~＋1~＝4*a~n~*＋3，所以＝＝()＝4.
12．已知数列{*a~n~*}的通项公式是*a~n~*＝*n*^2^＋*kn*＋4.
(1)若*k*＝－5，则数列中有多少项是负数？*n*为何值时，*a~n~*有最小值？并求出最小值；
(2)对于*n*∈N^\*^，都有*a~n~*~＋1~\>*a~n~*，求实数*k*的取值范围．
解：(1)由*n*^2^－5*n*＋4\<0，解得1\<*n*\<4.
因为*n*∈N^\*^，所以*n*＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为*a*~2~，*a*~3~.
因为*a~n~*＝*n*^2^－5*n*＋4＝^2^－，
由二次函数性质，得当*n*＝2或*n*＝3时，*a~n~*有最小值，其最小值为*a*~2~＝*a*~3~＝－2.
(2)由*a~n~*~＋1~\>*a~n~*，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式*a~n~*＝*n*^2^＋*kn*＋4，可以看作是关于*n*的二次函数，考虑到*n*∈N^\*^，所以－\<，解得*k*\>－3.
所以实数*k*的取值范围为(－3，＋∞)．
B级
1.已知数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝(－1)*^n^*·2*n*＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
*a*~1~
*a*~2~ *a*~3~
*a*~4~ *a*~5~ *a*~6~
......
解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{*a~n~*}的第1＋2＋3＋...＋9＋3＝＋3＝48项，而*a*~48~＝(－1)^48^×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.
答案：97
2．在一个数列中，如果∀*n*∈N^\*^，都有*a~n~a~n~*~＋1~*a~n~*~＋2~＝*k*(*k*为常数)，那么这个数列叫做等积数列，*k*叫做这个数列的公积．已知数列{*a~n~*}是等积数列，且*a*~1~＝1，*a*~2~＝2，公积为8，则*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~12~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意得数列{*a~n~*}是周期为3的数列，且*a*~1~＝1，*a*~2~＝2，*a*~3~＝4，因此*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~12~＝4(*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
3．在数列{*a~n~*}中，*a~n~*＝(*n*＋1)*^n^*(*n*∈N^\*^)．
(1)讨论数列{*a~n~*}的增减性；
(2)求数列{*a~n~*}的最大项．
解：(1)由题意，知*a~n~*\>0，
令\>1(*n*≥2)，即()\>1(*n*≥2)，
解得2≤*n*\<10，即*a*~9~\>*a*~8~\>...\>*a*~1~.
令\>1，即()()\>1，
整理得\>，解得*n*\>9，即*a*~10~\>*a*~11~\>....
又＝1，所以数列{*a~n~*}从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减．
(2)由(1)知*a*~9~＝*a*~10~＝为数列的最大项．
第二节 等差数列及其前*n*项和
一、基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝*d*(*n*∈N^\*^，*d*为常数)．
(2)等差中项：数列*a*，*A*，*b*成等差数列的充要条件是*A*＝，其中*A*叫做*a*，*b*的等差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*.
(2)前*n*项和公式：*S~n~*＝*na*~1~＋()*d*＝().
3．等差数列的通项公式及前*n*项和公式与函数的关系
(1)*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*可化为*a~n~*＝*dn*＋*a*~1~－*d*的形式．当*d*≠0时，*a~n~*是关于*n*的一次函数；当*d*\>0时，数列为递增数列；当*d*\<0时，数列为递减数列．
(2)数列{*a~n~*}是等差数列，且公差不为0⇔*S~n~*＝*An*^2^＋*Bn*(*A*，*B*为常数)．
二、常用结论
已知{*a~n~*}为等差数列，*d*为公差，*S~n~*为该数列的前*n*项和．
(1)通项公式的推广：*a~n~*＝*a~m~*＋(*n*－*m*)*d*(*n*，*m*∈N^\*^)．
(2)在等差数列{*a~n~*}中，当*m*＋*n*＝*p*＋*q*时，*a~m~*＋*a~n~*＝*a~p~*＋*a~q~*(*m*，*n*，*p*，*q*∈N^\*^)．特别地，若*m*＋*n*＝2*p*，则2*a~p~*＝*a~m~*＋*a~n~*(*m*，*n*，*p*∈N^\*^)．
(3)*a~k~*，*a~k~*~＋*m*~，*a~k~*~＋2*m*~，...仍是等差数列，公差为*md*(*k*，*m*∈N^\*^)．
(4)*S~n~*，*S*~2*n*~－*S~n~*，*S*~3*n*~－*S*~2*n*~，...也成等差数列，公差为*n*^2^*d*.
(5)若{*a~n~*}，{*b~n~*}是等差数列，则{*pa~n~*＋*qb~n~*}也是等差数列．
(6)若{*a~n~*}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{*a~n~*}首项相同，公差是{*a~n~*}公差的.
(7)若项数为偶数2*n*，则*S*~2*n*~＝*n*(*a*~1~＋*a*~2*n*~)＝*n*(*a~n~*＋*a~n~*~＋1~)；*S*~偶~－*S*~奇~＝*nd*；＝.
(8)若项数为奇数2*n*－1，则*S*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*a~n~*；*S*~奇~－*S*~偶~＝*a~n~*；＝.
(9)在等差数列{*a~n~*}中，若*a*~1~\>0，*d*\<0，则满足的项数*m*使得*S~n~*取得最大值*S~m~*；若*a*~1~\<0，*d*\>0，则满足的项数*m*使得*S~n~*取得最小值*S~m~*.
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，若3*S*~3~＝*S*~2~＋*S*~4~，*a*~1~＝2，则*a*~5~＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
(2)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*a*~2~＝4，*S*~4~＝22，*a~n~*＝28，则*n*＝( )
A．3 B．7
C．9 D．10
\[解析\] (1)设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，由3*S*~3~＝*S*~2~＋*S*~4~，得3(3*a*~1~＋3*d*)＝2*a*~1~＋*d*＋4*a*~1~＋6*d*，即3*a*~1~＋2*d*＝0.将*a*~1~＝2代入上式，解得*d*＝－3，故*a*~5~＝*a*~1~＋(5－1)*d*＝2＋4×(－3)＝ －10.
(2)因为*S*~4~＝*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋*a*~4~＝4*a*~2~＋2*d*＝22，*d*＝()＝3，*a*~1~＝*a*~2~－*d*＝4－3＝1，*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*＝1＋3(*n*－1)＝3*n*－2，由3*n*－2＝28，解得*n*＝10.
\[答案\] (1)B (2)D
\[解题技法\] 等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前*n*项和公式共涉及五个量*a*~1~，*a~n~*，*d*，*n*，*S~n~*，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前*n*项和公式在解题中起到变量代换的作用，而*a*~1~和*d*是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
\[提醒\] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
\[题组训练\]
1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a*~1~＋*a*~5~＝10，*S*~4~＝16，则数列{*a~n~*}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，则由题意，得解得故选B.
2．已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a*~3~·*a*~5~＝12，*a*~2~＝0.若*a*~1~\>0，则*S*~20~＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选D 设数列{*a~n~*}的公差为*d*，则*a*~3~＝*a*~2~＋*d*＝*d*，*a*~5~＝*a*~2~＋3*d*＝3*d*，由*a*~3~·*a*~5~＝12得*d*＝±2，由*a*~1~\>0，*a*~2~＝0，可知*d*\<0，所以*d*＝－2，所以*a*~1~＝2，故*S*~20~＝20×2＋× (－2)＝－340，选D.
3．在等差数列{*a~n~*}中，已知*a*~5~＋*a*~10~＝12，则3*a*~7~＋*a*~9~＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选C 设等差数列{*a~n~*}的首项为*a*~1~，公差为*d*，
因为*a*~5~＋*a*~10~＝12，
所以2*a*~1~＋13*d*＝12，
所以3*a*~7~＋*a*~9~＝3(*a*~1~＋6*d*)＋*a*~1~＋8*d*＝4*a*~1~＋26*d*＝2(2*a*~1~＋13*d*)＝2×12＝24.
\[典例\] 已知数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*且满足*a~n~*＋2*S~n~*·*S~n~*~－1~＝0(*n*≥2)，*a*~1~＝.
(1)求证：是等差数列．
(2)求*a~n~*的表达式．
\[解\] (1)证明：因为*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~(*n*≥2)，
又*a~n~*＝－2*S~n~*·*S~n~*~－1~，所以*S~n~*~－1~－*S~n~*＝2*S~n~*·*S~n~*~－1~，*S~n~*≠0.
因此－＝2(*n*≥2)．
故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(*n*－1)*d*＝2＋(*n*－1)×2＝2*n*，
即*S~n~*＝.
由于当*n*≥2时，有*a~n~*＝－2*S~n~*·*S~n~*~－1~＝－()，
又因为*a*~1~＝，不适合上式．
所以*a~n~*＝()
\[题组训练\]
1．(2019·陕西质检)已知数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝*an*^2^＋*bn*(*a*，*b*∈R)且*a*~2~＝3，*a*~6~＝11，则*S*~7~等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选B 由*S~n~*＝*an*^2^＋*bn*(*a*，*b*∈R)可知数列{*a~n~*}是等差数列，所以*S*~7~＝()＝()＝49.
2．已知数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝2，*a~n~*＝2－(*n*≥2，*n*∈N^\*^)，设*b~n~*＝(*n*∈N^\*^)．求证：数列{*b~n~*}是等差数列．
证明：∵*a~n~*＝2－(*n*≥2)，∴*a~n~*~＋1~＝2－.
∴*b~n~*~＋1~－*b~n~*＝－＝－＝＝1，
∴{*b~n~*}是首项为*b*~1~＝＝1，公差为1的等差数列．
考法(一) 等差数列项的性质
\[典例\] (1)已知在等差数列{*a~n~*}中，*a*~5~＋*a*~6~＝4，则log~2~(2*a*~1~·2*a*~2~·...·2*a*~10~)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log~2~5
(2)(2019·福建模拟)设*S~n~*，*T~n~*分别是等差数列{*a~n~*}，{*b~n~*}的前*n*项和，若*a*~5~＝2*b*~5~，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
\[解析\] (1)因为2*a*~1~·2*a*~2~·...·2*a*~10~＝2*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~10~＝25(*a*~5~＋*a*~6~)＝2^5×4^，
所以log~2~(2*a*~1~·2*a*~2~·...·2*a*~10~)＝log~2~2^5×4^＝20.选B.
(2)由*a*~5~＝2*b*~5~，得＝2，所以＝()()＝＝2，故选A.
\[答案\] (1)B (2)A
考法(二) 等差数列前*n*项和的性质
\[典例\] 设等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*S*~3~＝9，*S*~6~＝36，则*a*~7~＋*a*~8~＋*a*~9~等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
\[解析\] 由{*a~n~*}是等差数列，
得*S*~3~，*S*~6~－*S*~3~，*S*~9~－*S*~6~为等差数列，
即2(*S*~6~－*S*~3~)＝*S*~3~＋(*S*~9~－*S*~6~)，
得到*S*~9~－*S*~6~＝2*S*~6~－3*S*~3~＝45，故选B.
\[答案\] B
考法(三) 等差数列前*n*项和的最值
\[典例\] 在等差数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝29，*S*~10~＝*S*~20~，则数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*的最大值为( )
A．*S*~15~ B．*S*~16~
C．*S*~15~或*S*~16~ D．*S*~17~
\[解析\] ∵*a*~1~＝29，*S*~10~＝*S*~20~，
∴10*a*~1~＋*d*＝20*a*~1~＋*d*，解得*d*＝－2，
∴*S~n~*＝29*n*＋()×(－2)＝－*n*^2^＋30*n*＝－(*n*－15)^2^＋225.
∴当*n*＝15时，*S~n~*取得最大值．
\[答案\] A
\[解题技法\]
1．应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{*a~n~*}为等差数列，*m*＋*n*＝*p*＋*q*，则*a~m~*＋*a~n~*＝*a~p~*＋*a~q~*(*m*，*n*，*p*，*q*∈N^\*^)．因此，若出现*a~m~*~－*n*~，*a~m~*，*a~m~*~＋*n*~等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与*a~m~*(或其他项)有关的条件；若求*a~m~*项，可由*a~m~*＝(*a~m~*~－*n*~＋*a~m~*~＋*n*~)转化为求*a~m~*~－*n*~，*a~m~*~＋*n*~或*a~m~*~＋*n*~＋*a~m~*~－*n*~的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前*n*项和公式的灵活应用，如*a~n~*＝*a~m~*＋(*n*－*m*)*d*，*d*＝，*S*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*a~n~*，*S~n~*＝()＝()(*n*，*m*∈N^\*^)等．
2．求等差数列前*n*项和*S~n~*最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前*n*项和的函数表达式*S~n~*＝*an*^2^＋*bn*，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当*a*~1~\>0，*d*\<0时，满足的项数*m*使得*S~n~*取得最大值为*S~m~*；
②当*a*~1~\<0，*d*\>0时，满足的项数*m*使得*S~n~*取得最小值为*S~m~*.
\[题组训练\]
1．在等差数列{*a~n~*}中，若*a*~3~＝－5，*a*~5~＝－9，则*a*~7~＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
解析：选B 法一：设公差为*d*，则2*d*＝*a*~5~－*a*~3~＝－9＋5＝－4，则*d*＝－2，故*a*~7~＝*a*~3~＋4*d*＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.
法二：由等差数列的性质得*a*~7~＝2*a*~5~－*a*~3~＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.
2．设等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a*~1~\>0，*a*~3~＋*a*~10~\>0，*a*~6~*a*~7~\<0，则满足*S~n~*\>0的最大自然数*n*的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C 因为*a*~1~\>0，*a*~6~*a*~7~\<0，所以*a*~6~\>0，*a*~7~\<0，等差数列的公差小于零，又*a*~3~＋*a*~10~＝*a*~1~＋*a*~12~\>0，*a*~1~＋*a*~13~＝2*a*~7~\<0，所以*S*~12~\>0，*S*~13~\<0，所以满足*S~n~*\>0的最大自然数*n*的值为12.
3．设等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，已知前6项和为36，最后6项的和为180，*S~n~*＝324(*n*＞6)，则数列{*a~n~*}的项数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~6~＝36，①
*a~n~*＋*a~n~*~－1~＋*a~n~*~－2~＋...＋*a~n~*~－5~＝180，②
①＋②得(*a*~1~＋*a~n~*)＋(*a*~2~＋*a~n~*~－1~)＋...＋(*a*~6~＋*a~n~*~－5~)＝6(*a*~1~＋*a~n~*)＝216，
∴*a*~1~＋*a~n~*＝36，又*S~n~*＝()＝324，
∴18*n*＝324，∴*n*＝18.
答案：18
A级
1．在数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝2，*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋2，*S~n~*为{*a~n~*}的前*n*项和，则*S*~10~等于( )
A．90 B．100
C．110 D．130
解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，*S*~10~＝10×2＋×2＝110.故选C.
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，*a*~3~＝3，*a*~5~＝5，则*S*~7~的值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
解析：选C 由题意，设等差数列的公差为*d*，则*d*＝＝1，故*a*~4~＝*a*~3~＋*d*＝4，所以*S*~7~＝()＝＝7×4＝28.故选C.
3．(2019·山西五校联考)在数列{*a~n~*}中，*a~n~*＝28－5*n*，*S~n~*为数列{*a~n~*}的前*n*项和，当*S~n~*最大时，*n*＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C ∵*a~n~*＝28－5*n*，∴数列{*a~n~*}为递减数列．
令*a~n~*＝28－5*n*≥0，则*n*≤，又*n*∈N^\*^，∴*n*≤5.
∵*S~n~*为数列{*a~n~*}的前*n*项和，∴当*n*＝5时，*S~n~*最大．故选C.
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a~n~*＝－2*n*＋1，则数列的前11项和为( )
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选D ∵*a~n~*＝－2*n*＋1，∴数列{*a~n~*}是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴*S~n~*＝()＝－*n*^2^，∴＝＝－*n*，∴数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列的前11项和为11×(－1)＋×(－1)＝－66，故选D.
5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*S*~5~＝50，*S*~10~＝200，则*a*~10~＋*a*~11~的值为( )
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选D 设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，
由已知得
即解得
∴*a*~10~＋*a*~11~＝2*a*~1~＋19*d*＝80.故选D.
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{*a~n~*}的各项均不为零，其前*n*项和为*S~n~*.若*a*＝*a~n~*~＋2~＋*a~n~*，则*S*~2*n*＋1~＝( )
A．4*n*＋2 B．4*n*
C．2*n*＋1 D．2*n*
解析：选A 因为{*a~n~*}为等差数列，所以*a~n~*~＋2~＋*a~n~*＝2*a~n~*~＋1~，又*a*＝*a~n~*~＋2~＋*a~n~*，所以*a*＝2*a~n~*~＋1~.因为数列{*a~n~*}的各项均不为零，所以*a~n~*~＋1~＝2，所以*S*~2*n*＋1~＝()()＝()＝4*n*＋2.故选A.
7．已知等差数列5,4，3，...，则前*n*项和*S~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题知公差*d*＝－，所以*S~n~*＝*na*~1~＋()*d*＝(15*n*－*n*^2^)．
答案：(15*n*－*n*^2^)
8．已知{*a~n~*}为等差数列，*S~n~*为其前*n*项和．若*a*~1~＝6，*a*~3~＋*a*~5~＝0，则*S*~6~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*a*~3~＋*a*~5~＝2*a*~4~，∴*a*~4~＝0.
∵*a*~1~＝6，*a*~4~＝*a*~1~＋3*d*，∴*d*＝－2.
∴*S*~6~＝6*a*~1~＋()*d*＝6×6－30＝6.
答案：6
9．等差数列{*a~n~*}中，已知*a*~5~\>0，*a*~4~＋*a*~7~\<0，则{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵∴
∴*S~n~*的最大值为*S*~5~.
答案：*S*~5~
10．在等差数列{*a~n~*}中，公差*d*＝，前100项的和*S*~100~＝45，则*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＋...＋*a*~99~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*S*~100~＝(*a*~1~＋*a*~100~)＝45，所以*a*~1~＋*a*~100~＝，
*a*~1~＋*a*~99~＝*a*~1~＋*a*~100~－*d*＝，
则*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＋...＋*a*~99~＝(*a*~1~＋*a*~99~)＝×＝10.
答案：10
11．(2018·全国卷Ⅱ)记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，已知*a*~1~＝－7，*S*~3~＝－15.
(1)求{*a~n~*}的通项公式；
(2)求*S~n~*，并求*S~n~*的最小值．
解：(1)设{*a~n~*}的公差为*d*，
由题意得3*a*~1~＋3*d*＝－15.
又*a*~1~＝－7，所以*d*＝2.
所以{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝2*n*－9.
(2)由(1)得*S~n~*＝()＝*n*^2^－8*n*＝(*n*－4)^2^－16，
所以当*n*＝4时，*S~n~*取得最小值，最小值为－16.
12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{*a~n~*}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)求数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*.
解：(1)设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，*d*\>0，
∵等差数列{*a~n~*}的前3项的和为－3，前3项的积为8，
∴()()
∴或
∵*d*\>0，∴*a*~1~＝－4，*d*＝3，∴*a~n~*＝3*n*－7.
(2)∵*a~n~*＝3*n*－7，∴*a*~1~＝3－7＝－4，
∴*S~n~*＝()＝().
B级
1．设*a~n~*＝(*n*＋1)^2^，*b~n~*＝*n*^2^－*n*(*n*∈N^\*^)，则下列命题中不正确的是( )
A．{*a~n~*~＋1~－*a~n~*}是等差数列 B．{*b~n~*~＋1~－*b~n~*}是等差数列
C．{*a~n~*－*b~n~*}是等差数列 D．{*a~n~*＋*b~n~*}是等差数列
解析：选D 对于A，因为*a~n~*＝(*n*＋1)^2^，
所以*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝(*n*＋2)^2^－(*n*＋1)^2^＝2*n*＋3，
设*c~n~*＝2*n*＋3，
所以*c~n~*~＋1~－*c~n~*＝2.
所以{*a~n~*~＋1~－*a~n~*}是等差数列，故A正确；
对于B，因为*b~n~*＝*n*^2^－*n*(*n*∈N^\*^)，所以*b~n~*~＋1~－*b~n~*＝2*n*，
设*c~n~*＝2*n*，所以*c~n~*~＋1~－*c~n~*＝2，
所以{*b~n~*~＋1~－*b~n~*}是等差数列，故B正确；
对于C，因为*a~n~*＝(*n*＋1)^2^，*b~n~*＝*n*^2^－*n*(*n*∈N^\*^)，
所以*a~n~*－*b~n~*＝(*n*＋1)^2^－(*n*^2^－*n*)＝3*n*＋1，
设*c~n~*＝3*n*＋1，所以*c~n~*~＋1~－*c~n~*＝3，
所以{*a~n~*－*b~n~*}是等差数列，故C正确；
对于D，*a~n~*＋*b~n~*＝2*n*^2^＋*n*＋1，设*c~n~*＝*a~n~*＋*b~n~*，*c~n~*~＋1~－*c~n~*不是常数，故D错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{*a~n~*}满足*a*~3~＋*a*~7~＝36，*a*~4~*a*~6~＝275，且*a~n~a~n~*~＋1~有最小值，则这个最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，∵*a*~3~＋*a*~7~＝36，
∴*a*~4~＋*a*~6~＝36，又*a*~4~*a*~6~＝275，
联立，解得或
当时，可得此时*a~n~*＝7*n*－17，*a*~2~＝－3，*a*~3~＝4，易知当*n*≤2时，*a~n~*\<0，当*n*≥3时，*a~n~*\>0，
∴*a*~2~*a*~3~＝－12为*a~n~a~n~*~＋1~的最小值；
当时，可得此时*a~n~*＝－7*n*＋53，*a*~7~＝4，*a*~8~＝－3，易知当*n*≤7时，*a~n~*\>0，当*n*≥8时，*a~n~*\<0，
∴*a*~7~*a*~8~＝－12为*a~n~a~n~*~＋1~的最小值．
综上，*a~n~a~n~*~＋1~的最小值为－12.
答案：－12
3．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{*a~n~*}是等差数列，且*a*~1~，*a*~2~(*a*~1~\<*a*~2~)分别为方程*x*^2^－6*x*＋5＝0的两个实根．
(1)求数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*；
(2)在(1)中，设*b~n~*＝，求证：当*c*＝－时，数列{*b~n~*}是等差数列．
解：(1)∵*a*~1~，*a*~2~(*a*~1~\<*a*~2~)分别为方程*x*^2^－6*x*＋5＝0的两个实根，
∴*a*~1~＝1，*a*~2~＝5，
∴等差数列{*a~n~*}的公差为4，
∴*S~n~*＝*n*×1＋()×4＝2*n*^2^－*n*.
(2)证明：当*c*＝－时，*b~n~*＝＝＝2*n*，
∴*b~n~*~＋1~－*b~n~*＝2(*n*＋1)－2*n*＝2，*b*~1~＝2.
∴数列{*b~n~*}是以2为首项，2为公差的等差数列．
第三节 等比数列及其前*n*项和
一、基础知识
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母*q*表示，定义的表达式为＝*q*.
(2)等比中项：如果*a*，*G*，*b*成等比数列，那么*G*叫做*a*与*b*的等比中项．即*G*是*a*与*b*的等比中项⇔*a*，*G*，*b*成等比数列⇒*G*^2^＝*ab*.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：*a~n~*＝*a*~1~*q^n^*^－1^.
(2)前*n*项和公式：*S~n~*＝()
3．等比数列与指数型函数的关系
当*q*\>0且*q*≠1时，*a~n~*＝·*q^n^*可以看成函数*y*＝*cq^x^*，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{*a~n~*}各项所对应的点都在函数*y*＝*cq^x^*的图象上；
对于非常数列的等比数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝()＝－*q^n^*＋，若设*a*＝，则*S~n~*＝－*aq^n^*＋*a*(*a*≠0，*q*≠0，*q*≠1)．由此可知，数列{*S~n~*}的图象是函数*y*＝－*aq^x^*＋*a*图象上一系列孤立的点．
对于常数列的等比数列，即*q*＝1时，因为*a*~1~≠0，所以*S~n~*＝*na*~1~.由此可知，数列{*S~n~*}的图象是函数*y*＝*a*~1~*x*图象上一系列孤立的点．
二、常用结论汇总------规律多一点
设数列{*a~n~*}是等比数列，*S~n~*是其前*n*项和．
(1)通项公式的推广：*a~n~*＝*a~m~*·*q^n^*^－*m*^(*n*，*m*∈N^\*^)．
(2)若*m*＋*n*＝*p*＋*q*，则*a~m~a~n~*＝*a~p~a~q~*；若2*s*＝*p*＋*r*，则*a~p~a~r~*＝*a*，其中*m*，*n*，*p*，*q*，*s*，*r*∈N^\*^.
(3)*a~k~*，*a~k~*~＋*m*~，*a~k~*~＋2*m*~，...仍是等比数列，公比为*q^m^*(*k*，*m*∈N^\*^)．
(4)若数列{*a~n~*}，{*b~n~*}是两个项数相同的等比数列，则数列{*ba~n~*}，{*pa~n~*·*qb~n~*}和也是等比数列．
(5)若数列{*a~n~*}的项数为2*n*，则＝*q*；若项数为2*n*＋1，则＝*q*.
\[典例\] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝1，*a*~5~＝4*a*~3~.
(1)求{*a~n~*}的通项公式；
(2)记*S~n~*为{*a~n~*}的前*n*项和．若*S~m~*＝63，求*m*.
\[解\] (1)设{*a~n~*}的公比为*q*，由题设得*a~n~*＝*q^n^*^－1^.
由已知得*q*^4^＝4*q*^2^，解得*q*＝0(舍去)或*q*＝－2或*q*＝2.
故*a~n~*＝(－2)^*n*－1^或*a~n~*＝2^*n*－1^.
(2)若*a~n~*＝(－2)^*n*－1^，则*S~n~*＝().
由*S~m~*＝63，得(－2)*^m^*＝－188，此方程没有正整数解．
若*a~n~*＝2^*n*－1^，则*S~n~*＝＝2*^n^*－1.
由*S~m~*＝63，得2*^m^*＝64，解得*m*＝6.
综上，*m*＝6.
\[题组训练\]
1．已知等比数列{*a~n~*}单调递减，若*a*~3~＝1，*a*~2~＋*a*~4~＝，则*a*~1~＝( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选B 由题意，设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，*q*\>0，则*a*＝*a*~2~*a*~4~＝1，又*a*~2~＋*a*~4~＝，且{*a~n~*}单调递减，所以*a*~2~＝2，*a*~4~＝，则*q*^2^＝，*q*＝，所以*a*~1~＝＝4.
2．(2019·长春质检)已知等比数列{*a~n~*}的各项均为正数，其前*n*项和为*S~n~*，若*a*~2~＝2，*S*~6~－*S*~4~＝6*a*~4~，则*a*~5~＝( )
A．4 B．10
C．16 D．32
解析：选C 设公比为*q*(*q*\>0)，*S*~6~－*S*~4~＝*a*~5~＋*a*~6~＝6*a*~4~，因为*a*~2~＝2，所以2*q*^3^＋2*q*^4^＝12*q*^2^，即*q*^2^＋*q*－6＝0，所以*q*＝2，则*a*~5~＝2×2^3^＝16.
3．(2017·江苏高考)等比数列{*a~n~*}的各项均为实数，其前*n*项和为*S~n~*.已知*S*~3~＝，*S*~6~＝，则*a*~8~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，则由*S*~6~≠2*S*~3~，得*q*≠1，
则()()解得
则*a*~8~＝*a*~1~*q*^7^＝×2^7^＝32.
答案：32
\[典例\] 已知数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，*a*~1~＝1，*S~n~*~＋1~＝4*a~n~*＋2(*n*∈N^\*^)，若*b~n~*＝*a~n~*~＋1~－2*a~n~*，求证：{*b~n~*}是等比数列．
\[证明\] 因为*a~n~*~＋2~＝*S~n~*~＋2~－*S~n~*~＋1~＝4*a~n~*~＋1~＋2－4*a~n~*－2＝4*a~n~*~＋1~－4*a~n~*，
所以＝＝＝＝2.
因为*S*~2~＝*a*~1~＋*a*~2~＝4*a*~1~＋2，所以*a*~2~＝5.
所以*b*~1~＝*a*~2~－2*a*~1~＝3.
所以数列{*b~n~*}是首项为3，公比为2的等比数列．
\[解题技法\]
1．掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法
中项公式法
通项公式法
前n项和公式法
2．等比数列判定与证明的2点注意
(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前*n*项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．
(2)证明一个数列{*a~n~*}不是等比数列，只需要说明前三项满足*a*≠*a*~1~·*a*~3~，或者是存在一个正整数*m*，使得*a*≠*a~m~*·*a~m~*~＋2~即可．
\[题组训练\]
1．数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*＝2*a~n~*－2*^n^*，证明：{*a~n~*~＋1~－2*a~n~*}是等比数列．
证明：因为*a*~1~＝*S*~1,~2*a*~1~＝*S*~1~＋2，
所以*a*~1~＝2，由*a*~1~＋*a*~2~＝2*a*~2~－4得*a*~2~＝6.
由于*S~n~*＝2*a~n~*－2*^n^*，故*S~n~*~＋1~＝2*a~n~*~＋1~－2^*n*＋1^，后式减去前式得*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*~＋1~－2*a~n~*－2*^n^*，即*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*＋2*^n^*，
所以*a~n~*~＋2~－2*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*~＋1~＋2^*n*＋1^－2(2*a~n~*＋2*^n^*)＝2(*a~n~*~＋1~－2*a~n~*)，
又*a*~2~－2*a*~1~＝6－2×2＝2，
所以数列{*a~n~*~＋1~－2*a~n~*}是首项为2、公比为2的等比数列．
2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝2，点*A~n~*(，)在双曲线*y*^2^－*x*^2^＝1上．在数列{*b~n~*}中，点(*b~n~*，*T~n~*)在直线*y*＝－*x*＋1上，其中*T~n~*是数列{*b~n~*}的前*n*项和．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)求证：数列{*b~n~*}是等比数列．
解：(1)由已知点*A~n~*在*y*^2^－*x*^2^＝1上知，*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝1.
∴数列{*a~n~*}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．
∴*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*＝2＋*n*－1＝*n*＋1.
(2)证明：∵点(*b~n~*，*T~n~*)在直线*y*＝－*x*＋1上，
∴*T~n~*＝－*b~n~*＋1.①
∴*T~n~*~－1~＝－*b~n~*~－1~＋1(*n*≥2)．②
①②两式相减，得
*b~n~*＝－*b~n~*＋*b~n~*~－1~(*n*≥2)．
∴*b~n~*＝*b~n~*~－1~，∴*b~n~*＝*b~n~*~－1~.
由①，令*n*＝1，得*b*~1~＝－*b*~1~＋1，∴*b*~1~＝.
∴数列{*b~n~*}是以为首项，为公比的等比数列．
考法(一) 等比数列项的性质
\[典例\] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{*a~n~*}中，*a*~3~，*a*~15~是方程*x*^2^＋6*x*＋2＝0的根，则的值为( )
A．－ B．－
C. D．－ 或
(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{*a~n~*}中，*a~n~*\>0，*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~8~＝4，*a*~1~*a*~2~...*a*~8~＝16，则＋＋...＋的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
\[解析\] (1)设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，因为*a*~3~，*a*~15~是方程*x*^2^＋6*x*＋2＝0的根，所以*a*~3~·*a*~15~＝*a*＝2，*a*~3~＋*a*~15~＝－6，所以*a*~3~\<0，*a*~15~\<0，则*a*~9~＝－，所以＝＝*a*~9~＝－，故选B.
(2)由分数的性质得到＋＋...＋＝＋＋...＋.因为*a*~8~*a*~1~＝*a*~7~*a*~2~＝*a*~3~*a*~6~＝*a*~4~*a*~5~，所以原式＝＝，又*a*~1~*a*~2~...*a*~8~＝16＝(*a*~4~*a*~5~)^4^，*a~n~*\>0，∴*a*~4~*a*~5~＝2，∴＋＋...＋＝2.故选A.
\[答案\] (1)B (2)A
考法(二) 等比数列前*n*项和的性质
\[典例\] 各项均为正数的等比数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*S~n~*＝2，*S*~3*n*~＝14，则*S*~4*n*~等于( )
A．80 B．30
C．26 D．16
\[解析\] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知*S~n~*，*S*~2*n*~－*S~n~*，*S*~3*n*~－*S*~2*n*~，*S*~4*n*~－*S*~3*n*~，...仍为等比数列．
设*S*~2*n*~＝*x*，则2，*x*－2,14－*x*成等比数列．
由(*x*－2)^2^＝2×(14－*x*)，
解得*x*＝6或*x*＝－4(舍去)．
∴*S~n~*，*S*~2*n*~－*S~n~*，*S*~3*n*~－*S*~2*n*~，*S*~4*n*~－*S*~3*n*~，...是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵*S*~3*n*~＝14，∴*S*~4*n*~＝14＋2×2^3^＝30.
\[答案\] B
\[解题技法\]
应用等比数列性质解题时的2个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质"若*m*＋*n*＝*p*＋*q*，则*a~m~*·*a~n~*＝*a~p~*·*a~q~*"，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
\[题组训练\]
1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{*a~n~*}中，*a*~2~*a*~5~*a*~8~＝－8，*S*~3~＝*a*~2~＋3*a*~1~，则*a*~1~＝( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选B 设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*(*q*≠1)，因为*S*~3~＝*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＝*a*~2~＋3*a*~1~，所以＝*q*^2^＝2.因为*a*~2~*a*~5~*a*~8~＝*a*＝－8，所以*a*~5~＝－2，即*a*~1~*q*^4^＝－2，所以4*a*~1~＝－2，所以*a*~1~＝－，故选B.
2．已知等比数列{*a~n~*}共有2*n*项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比*q*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意，得解得所以*q*＝＝＝2.
答案：2
A级
1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{*a~n~*}满足*a*~1~*a*~5~＝16，*a*~2~＝2，则公比*q*＝( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，得解得或(舍去)，故选C.
2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{*a~n~*}中，*a*~4~与*a*~14~的等比中项为2，则log~2~*a*~7~＋log~2~*a*~11~的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由题意得*a*~4~*a*~14~＝(2)^2^＝8，由等比数列的性质，得*a*~4~*a*~14~＝*a*~7~*a*~11~＝8，∴log~2~*a*~7~＋log~2~*a*~11~＝log~2~(*a*~7~*a*~11~)＝log~2~8＝3，故选C.
3．在等比数列{*a~n~*}中，*a*~2~*a*~3~*a*~4~＝8，*a*~7~＝8，则*a*~1~＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选A 因为数列{*a~n~*}是等比数列，所以*a*~2~*a*~3~*a*~4~＝*a*＝8，所以*a*~3~＝2，所以*a*~7~＝*a*~3~*q*^4^＝2*q*^4^＝8，所以*q*^2^＝2，则*a*~1~＝＝1，故选A.
4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a*~1~＝，*a*~2~*a*~6~＝8(*a*~4~－2)，则*S*~2\ 019~＝( )
A．2^2\ 018^－ B．1－^2\ 018^
C．2^2\ 019^－ D．1－^2\ 019^
解析：选A 由等比数列的性质及*a*~2~*a*~6~＝8(*a*~4~－2)，得*a*＝8*a*~4~－16，解得*a*~4~＝4.
又*a*~4~＝*q*^3^，故*q*＝2，所以*S*~2\ 019~＝()＝2^2\ 018^－，故选A.
5．在等比数列{*a~n~*}中，*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＝21，*a*~2~＋*a*~4~＋*a*~6~＝42，则*S*~9~＝( )
A．255 B．256
C．511 D．512
解析：选C 设等比数列的公比为*q*，由等比数列的定义可得*a*~2~＋*a*~4~＋*a*~6~＝*a*~1~*q*＋*a*~3~*q*＋*a*~5~*q*＝*q*(*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~)＝*q*×21＝42，解得*q*＝2.又*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＝*a*~1~(1＋*q*^2^＋*q*^4^)＝*a*~1~×21＝21，解得*a*~1~＝1.所以*S*~9~＝()＝()＝511.故选C.
6．已知递增的等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，其前*n*项和*S~n~*\<0，则( )
A．*a*~1~\<0,0\<*q*\<1 B．*a*~1~\<0，*q*\>1
C．*a*~1~\>0,0\<*q*\<1 D．*a*~1~\>0，*q*\>1
解析：选A ∵*S~n~*\<0，∴*a*~1~\<0，又数列{*a~n~*}为递增等比数列，∴*a~n~*~＋1~\>*a~n~*，且\|*a~n~*\|\>\|*a~n~*~＋1~\|，
则－*a~n~*\>－*a~n~*~＋1~\>0，则*q*＝∈(0,1)，
∴*a*~1~\<0,0\<*q*\<1.故选A.
7．设{*a~n~*}是公比为正数的等比数列，若*a*~1~＝1，*a*~5~＝16，则数列{*a~n~*}的前7项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*(*q*\>0)，
由*a*~5~＝*a*~1~*q*^4^＝16，*a*~1~＝1，得16＝*q*^4^，解得*q*＝2，
所以*S*~7~＝()＝()＝127.
答案：127
8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设该数列的公比为*q*，由题意知，
192＝3×*q*^3^，*q*^3^＝64，所以*q*＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
答案：12,48
9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{*a~n~*}满足*a*~2~*a*~4~＝*a*~5~，*a*~4~＝8，则数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，∵*a*~2~*a*~4~＝*a*~5~，*a*~4~＝8，
∴解得
∴*S~n~*＝()＝2*^n^*－1.
答案：2*^n^*－1
10．已知等比数列{*a~n~*}为递减数列，且*a*＝*a*~10,~2(*a~n~*＋*a~n~*~＋2~)＝5*a~n~*~＋1~，则数列{*a~n~*}的通项公式*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设公比为*q*，由*a*＝*a*~10~，
得(*a*~1~*q*^4^)^2^＝*a*~1~·*q*^9^，即*a*~1~＝*q*.
又由2(*a~n~*＋*a~n~*~＋2~)＝5*a~n~*~＋1~，
得2*q*^2^－5*q*＋2＝0，
解得*q*＝，
所以*a~n~*＝*a*~1~·*q^n^*^－1^＝.
答案：
11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*na~n~*~＋1~＝2(*n*＋1)*a~n~*.设*b~n~*＝.
(1)求*b*~1~，*b*~2~，*b*~3~；
(2)判断数列{*b~n~*}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{*a~n~*}的通项公式．
解：(1)由条件可得*a~n~*~＋1~＝()*a~n~*.
将*n*＝1代入得，*a*~2~＝4*a*~1~，
而*a*~1~＝1，所以*a*~2~＝4.
将*n*＝2代入得，*a*~3~＝3*a*~2~，所以*a*~3~＝12.
从而*b*~1~＝1，*b*~2~＝2，*b*~3~＝4.
(2)数列{*b~n~*}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即*b~n~*~＋1~＝2*b~n~*，
又*b*~1~＝1，
所以数列{*b~n~*}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2^*n*－1^，所以*a~n~*＝*n*·2^*n*－1^.
12．(2019·甘肃诊断)设数列{*a~n~*＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知*a*~3~＝7，*a*~7~＝127.
(1)求*a*~5~的值；
(2)求数列{*a~n~*}的前*n*项和．
解：(1)由题可知*a*~3~＋1＝8，*a*~7~＋1＝128，
则有(*a*~5~＋1)^2^＝(*a*~3~＋1)(*a*~7~＋1)＝8×128＝1 024，
可得*a*~5~＋1＝32，即*a*~5~＝31.
(2)设数列{*a~n~*＋1}的公比为*q*，
由(1)知()()得
所以数列{*a~n~*＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以*a~n~*＋1＝2×2^*n*－1^＝2*^n^*，所以*a~n~*＝2*^n^*－1，
利用分组求和可得，数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝()－*n*＝2^*n*＋1^－2－*n*.
B级
1．在各项都为正数的数列{*a~n~*}中，首项*a*~1~＝2，且点(*a*，*a*)在直线*x*－9*y*＝0上，则数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*等于( )
A．3*^n^*－1 B.()
C. D.
解析：选A 由点(*a*，*a*)在直线*x*－9*y*＝0上，得*a*－9*a*＝0，即(*a~n~*＋3*a~n~*~－1~)(*a~n~*－3*a~n~*~－1~)＝0，又数列{*a~n~*}各项均为正数，且*a*~1~＝2，∴*a~n~*＋3*a~n~*~－1~\>0，∴*a~n~*－3*a~n~*~－1~＝0，即＝3，∴数列{*a~n~*}是首项*a*~1~＝2，公比*q*＝3的等比数列，其前*n*项和*S~n~*＝()＝3*^n^*－1.
2．(2019·郑州一测)已知数列{*a~n~*}满足log~2~*a~n~*~＋1~＝1＋log~2~*a~n~*(*n*∈N^\*^)，且*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~10~＝1，则log~2~(*a*~101~＋*a*~102~＋...＋*a*~110~)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为log~2~*a~n~*~＋1~＝1＋log~2~*a~n~*，可得log~2~*a~n~*~＋1~＝log~2~2*a~n~*，所以*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*，所以数列{*a~n~*}是以*a*~1~为首项，2为公比的等比数列，又*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~10~＝1，所以*a*~101~＋*a*~102~＋...＋*a*~110~＝(*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~10~)×2^100^＝2^100^，所以log~2~(*a*~101~＋*a*~102~＋...＋*a*~110~)＝log~2~2^100^＝100.
答案：100
3．已知数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝1，*a~n~*·*a~n~*~＋1~＝*^n^*，记*T*~2*n*~为{*a~n~*}的前2*n*项的和，*b~n~*＝*a*~2*n*~＋*a*~2*n*－1~，*n*∈N^\*^.
(1)判断数列{*b~n~*}是否为等比数列，并求出*b~n~*；
(2)求*T*~2*n*~.
解：(1)∵*a~n~*·*a~n~*~＋1~＝*^n^*，
∴*a~n~*~＋1~·*a~n~*~＋2~＝^*n*＋1^，
∴＝，即*a~n~*~＋2~＝*a~n~*.
∵*b~n~*＝*a*~2*n*~＋*a*~2*n*－1~，
∴＝＝＝，
∵*a*~1~＝1，*a*~1~·*a*~2~＝，
∴*a*~2~＝，∴*b*~1~＝*a*~1~＋*a*~2~＝.
∴{*b~n~*}是首项为，公比为的等比数列．
∴*b~n~*＝×^*n*－1^＝.
(2)由(1)可知，*a~n~*~＋2~＝*a~n~*，
∴*a*~1~，*a*~3~，*a*~5~，...是以*a*~1~＝1为首项，以为公比的等比数列；*a*~2~，*a*~4~，*a*~6~，...是以*a*~2~＝为首项，以为公比的等比数列，
∴*T*~2*n*~＝(*a*~1~＋*a*~3~＋...＋*a*~2*n*－1~)＋(*a*~2~＋*a*~4~＋...＋*a*~2*n*~)＝＋＝3－.
第四节 数列求和
一、基础知识
1．公式法
(1)等差数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝()＝*na*~1~＋().
推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝()
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前*n*项和：
①1＋2＋3＋...＋*n*＝()；
②2＋4＋6＋...＋2*n*＝*n*(*n*＋1)；
③1＋3＋5＋...＋2*n*－1＝*n*^2^.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前*n*项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前*n*项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{*a~n~*}与首末两端等"距离"的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前*n*项和即可用倒序相加法求解．
考点一 分组转化法求和
\[典例\] 已知数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝，*n*∈N^\*^.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)设*b~n~*＝2*a~n~*＋(－1)*^n^a~n~*，求数列{*b~n~*}的前2*n*项和．
\[解\] (1)当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝1；
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝－()()＝*n*.
又*a*~1~＝1也满足*a~n~*＝*n*，故数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝*n*.
(2)由(1)知*a~n~*＝*n*，故*b~n~*＝2*^n^*＋(－1)*^n^n*.
记数列{*b~n~*}的前2*n*项和为*T*~2*n*~，
则*T*~2*n*~＝(2^1^＋2^2^＋...＋2^2*n*^)＋(－1＋2－3＋4－...＋2*n*)．
记*A*＝2^1^＋2^2^＋...＋2^2*n*^，*B*＝－1＋2－3＋4－...＋2*n*，
则*A*＝()＝2^2*n*＋1^－2，
*B*＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋...＋\[－(2*n*－1)＋2*n*\]＝*n*.
故数列{*b~n~*}的前2*n*项和*T*~2*n*~＝*A*＋*B*＝2^2*n*＋1^＋*n*－2.
\[解题技法\]
1．分组转化求和的通法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前*n*项和的数列求和．
2．分组转化法求和的常见类型
\[题组训练\]
1．已知数列{*a~n~*}的通项公式是*a~n~*＝2*n*－*^n^*，则其前20项和为( )
A．379＋ B．399＋
C．419＋ D．439＋
解析：选C 令数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，则*S*~20~＝*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~20~＝2(1＋2＋3＋...＋20)－＝420－＝419＋.
2．(2019·资阳诊断)已知数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝*a*~2~＝1，*a~n~*~＋2~＝则数列{*a~n~*}的前20项和为( )
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
解析：选C 由题意可知，数列{*a*~2*n*~}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{*a*~2*n*－1~}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{*a~n~*}的前20项和为()＋10×1＋×2＝1 123.选C.
考点二 裂项相消法求和
考法(一) 形如*a~n~*＝()型
\[典例\] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{*a~n~*}满足*a*~3~＝7，*a*~5~＋*a*~7~＝26.
(1)求等差数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)设*c~n~*＝，*n*∈N^\*^，求数列{*c~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
\[解\] (1)设等差数列的公差为*d*，
则由题意可得解得
所以*a~n~*＝3＋2(*n*－1)＝2*n*＋1.
(2)因为*c~n~*＝＝()()，
所以*c~n~*＝，
所以*T~n~*＝＝＝.
考法(二) 形如*a~n~*＝型
\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝*x^α^*的图象过点(4,2)，令*a~n~*＝()()，*n*∈N^\*^.记数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，则*S*~2\ 019~＝( )
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
\[解析\] 由*f*(4)＝2可得4*^α^*＝2，解得*α*＝，
则*f*(*x*)＝*x*.
∴*a~n~*＝()()＝＝－，
*S*~2\ 019~＝*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~2\ 019~＝(－)＋(－)＋(－)＋...＋(－)＋(－)＝－1.
\[答案\] C
\[解题技法\]
1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律
2．常见的拆项公式
(1)()＝－；
(2)()()＝；
(3)＝－；
(4)()()＝－.
\[题组训练\]
1.在等差数列{*a~n~*}中，*a*~3~＋*a*~5~＋*a*~7~＝6，*a*~11~＝8，则数列的前*n*项和为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为*a*~3~＋*a*~5~＋*a*~7~＝6，
所以3*a*~5~＝6，*a*~5~＝2，又*a*~11~＝8，
所以等差数列{*a~n~*}的公差*d*＝＝1，
所以*a~n~*＝*a*~5~＋(*n*－5)*d*＝*n*－3，
所以＝()＝－，
因此数列的前*n*项和为1－＋－＋...＋－＝1－＝，故选C.
2.各项均为正数的等比数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝8，且2*a*~1~，*a*~3,~3*a*~2~成等差数列．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)若数列{*b~n~*}满足*b~n~*＝，求{*b~n~*}的前*n*项和*S~n~*.
解：(1)设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*(*q*\>0)．
∵2*a*~1~，*a*~3,~3*a*~2~成等差数列，
∴2*a*~3~＝2*a*~1~＋3*a*~2~，即2*a*~1~*q*^2^＝2*a*~1~＋3*a*~1~*q*，
∴2*q*^2^－3*q*－2＝0，解得*q*＝2或*q*＝－(舍去)，
∴*a~n~*＝8×2^*n*－1^＝2^*n*＋2^.
(2)由(1)可得*b~n~*＝＝()＝，
∴*S~n~*＝*b*~1~＋*b*~2~＋*b*~3~＋...＋*b~n~*
＝
＝
＝－
＝－()().
考点三 错位相减法
\[典例\] (2017·山东高考)已知{*a~n~*}是各项均为正数的等比数列，且*a*~1~＋*a*~2~＝6，*a*~1~*a*~2~＝*a*~3~.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2){*b~n~*}为各项非零的等差数列，其前*n*项和为*S~n~*.已知*S*~2*n*＋1~＝*b~n~b~n~*~＋1~，求数列的前*n*项和*T~n~*.
\[解\] (1)设{*a~n~*}的公比为*q*，
由题意知：*a*~1~(1＋*q*)＝6，*aq*＝*a*~1~*q*^2^.
又*a~n~*＞0，解得*a*~1~＝2，*q*＝2，
所以*a~n~*＝2*^n^*.
(2)由题意知，
*S*~2*n*＋1~＝()()＝(2*n*＋1)*b~n~*~＋1~，
又*S*~2*n*＋1~＝*b~n~b~n~*~＋1~，*b~n~*~＋1~≠0，
所以*b~n~*＝2*n*＋1.
令*c~n~*＝，则*c~n~*＝，
因此*T~n~*＝*c*~1~＋*c*~2~＋...＋*c~n~*＝＋＋＋...＋＋，
又*T~n~*＝＋＋＋...＋＋，
两式相减得
*T~n~*＝＋－＝＋1－^*n*－1^－＝－，
所以*T~n~*＝5－.
\[变透练清\]
1.()若本例中*a~n~*，*b~n~*不变，求数列{*a~n~b~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
解：由本例解析知*a~n~*＝2*^n^*，*b~n~*＝2*n*＋1，
故*T~n~*＝3×2^1^＋5×2^2^＋7×2^3^＋...＋(2*n*＋1)×2*^n^*，
2*T~n~*＝3×2^2^＋5×2^3^＋7×2^4^＋...＋(2*n*＋1)×2^*n*＋1^，
上述两式相减，得，－*T~n~*＝3×2＋2×2^2^＋2×2^3^＋...＋2×2*^n^*－(2*n*＋1)2^*n*＋1^
＝6＋()－(2*n*＋1)2^*n*＋1^
＝(1－2*n*)2^*n*＋1^－2
得*T~n~*＝(2*n*－1)×2^*n*＋1^＋2.
2．已知{*a~n~*}为等差数列，前*n*项和为*S~n~*(*n*∈N^\*^)，{*b~n~*}是首项为2的等比数列，且公比大于0，*b*~2~＋*b*~3~＝12，*b*~3~＝*a*~4~－2*a*~1~，*S*~11~＝11*b*~4~.
(1)求{*a~n~*}和{*b~n~*}的通项公式；
(2)求数列{*a*~2*n*~*b~n~*}的前*n*项和(*n*∈N^\*^)．
解：(1)设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，等比数列{*b~n~*}的公比为*q*.
由已知*b*~2~＋*b*~3~＝12，得*b*~1~(*q*＋*q*^2^)＝12，
而*b*~1~＝2，所以*q*^2^＋*q*－6＝0.
因为*q*\>0，解得*q*＝2，所以*b~n~*＝2*^n^*.
由*b*~3~＝*a*~4~－2*a*~1~，可得3*d*－*a*~1~＝8. ①
由*S*~11~＝11*b*~4~，可得*a*~1~＋5*d*＝16. ②
联立①②，解得*a*~1~＝1，*d*＝3，
由此可得*a~n~*＝3*n*－2.
所以{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝3*n*－2，{*b~n~*}的通项公式为*b~n~*＝2*^n^*.
(2)设数列{*a*~2*n*~*b~n~*}的前*n*项和为*T~n~*，由*a*~2*n*~＝6*n*－2，有
*T~n~*＝4×2＋10×2^2^＋16×2^3^＋...＋(6*n*－2)×2*^n^*，
2*T~n~*＝4×2^2^＋10×2^3^＋16×2^4^＋...＋(6*n*－8)×2*^n^*＋(6*n*－2)×2^*n*＋1^，
上述两式相减，得
－*T~n~*＝4×2＋6×2^2^＋6×2^3^＋...＋6×2*^n^*－(6*n*－2)×2^*n*＋1^
＝()－4－(6*n*－2)×2^*n*＋1^
＝－(3*n*－4)2^*n*＋2^－16，
得*T~n~*＝(3*n*－4)2^*n*＋2^＋16.
所以数列{*a*~2*n*~*b~n~*}的前*n*项和为(3*n*－4)2^*n*＋2^＋16.
\[易误提醒\]
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的*n*－1项和当作*n*项和．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比*q*＝1和*q*≠1两种情况求解．
A级
1．数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝，若该数列的前*k*项之和等于9，则*k*＝( )
A．80 B．81
C．79 D．82
解析：选B *a~n~*＝＝－，故*S~n~*＝，令*S~k~*＝＝9，解得*k*＝81，故选B.
2．若数列{*a~n~*}的通项公式是*a~n~*＝(－1)*^n^*(3*n*－2)，则*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~10~＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：选A *a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋*a*~4~＋*a*~5~＋*a*~6~＋*a*~7~＋*a*~8~＋*a*~9~＋*a*~10~＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.
3．已知{*a~n~*}是首项为1的等比数列，*S~n~*是{*a~n~*}的前*n*项和，且9*S*~3~＝*S*~6~，则数列的前5项和为( )
A.或5 B.或5
C. D.
解析：选C 设{*a~n~*}的公比为*q*，显然*q*≠1，由题意得()＝，所以1＋*q*^3^＝9，得*q*＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝.
4．在等差数列{*a~n~*}中，*a*~4~＝5，*a*~7~＝11.设*b~n~*＝(－1)*^n^*·*a~n~*，则数列{*b~n~*}的前100项之和*S*~100~＝( )
A．－200 B．－100
C．200 D．100
解析：选D 设数列{*a~n~*}的公差为*d*，由题意可得⇒⇒*a~n~*＝2*n*－3⇒*b~n~*＝(－1)*^n^*(2*n*－3)⇒*S*~100~＝(－*a*~1~＋*a*~2~)＋(－*a*~3~＋*a*~4~)＋...＋(－*a*~99~＋*a*~100~)＝50×2＝100，故选D.
5．已知*T~n~*为数列的前*n*项和，若*m*\>*T*~10~＋1 013恒成立，则整数*m*的最小值为( )
A．1 026 B．1 025
C．1 024 D．1 023
解析：选C ∵＝1＋*^n^*，
∴*T~n~*＝*n*＋1－，
∴*T*~10~＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，
又*m*\>*T*~10~＋1 013，
∴整数*m*的最小值为1 024.
6．已知数列：1，2，3，...，，...，则其前*n*项和关于*n*的表达式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设所求的前*n*项和为*S~n~*，则
*S~n~*＝(1＋2＋3＋...＋*n*)＋＝()＋＝()－＋1.
答案：()－＋1
7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，*a*~3~＝3，*S*~4~＝10，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设等差数列{*a~n~*}的首项为*a*~1~，公差为*d*，
依题意有解得
所以*S~n~*＝()，＝()＝2，
因此＝2＝.
答案：
8．已知数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~·*a~n~*＝2*^n^*(*n*∈N^\*^)，则*S*~2\ 018~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~·*a~n~*＝2*^n^*，①
∴*n*＝1时，*a*~2~＝2，*n*≥2时，*a~n~*·*a~n~*~－1~＝2^*n*－1^，②
由①÷②得＝2，
∴数列{*a~n~*}的奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴*S*~2\ 018~＝＋()＝3·2^1\ 009^－3.
答案：3·2^1\ 009^－3
9．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，*a*~2~＝3，*S*~4~＝16，*n*∈N^\*^.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)设*b~n~*＝，求数列{*b~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
解：(1)设数列{*a~n~*}的公差为*d*，
∵*a*~2~＝3，*S*~4~＝16，
∴*a*~1~＋*d*＝3,4*a*~1~＋6*d*＝16，
解得*a*~1~＝1，*d*＝2.
∴*a~n~*＝2*n*－1.
(2)由题意知，*b~n~*＝()()＝，
∴*T~n~*＝*b*~1~＋*b*~2~＋...＋*b~n~*
＝
＝
＝.
10．(2018·南昌摸底调研)已知数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝2^*n*＋1^－2，记*b~n~*＝*a~n~S~n~*(*n*∈N^\*^)．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)求数列{*b~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
解：(1)∵*S~n~*＝2^*n*＋1^－2，
∴当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝2^1＋1^－2＝2；
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2^*n*＋1^－2*^n^*＝2*^n^*.
又*a*~1~＝2＝2^1^，∴*a~n~*＝2*^n^*.
(2)由(1)知，*b~n~*＝*a~n~S~n~*＝2·4*^n^*－2^*n*＋1^，
∴*T~n~*＝*b*~1~＋*b*~2~＋*b*~3~＋...＋*b~n~*＝2(4^1^＋4^2^＋4^3^＋...＋4*^n^*)－(2^2^＋2^3^＋...＋2^*n*＋1^)＝2×()－()＝·4^*n*＋1^－2^*n*＋2^＋.
B级
1．(2019·潍坊统一考试)若数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*满足*S~n~*＝2*a~n~*－*λ*(*λ*\>0，*n*∈N^\*^)．
(1)证明数列{*a~n~*}为等比数列，并求*a~n~*；
(2)若*λ*＝4，*b~n~*＝(*n*∈N^\*^)，求数列{*b~n~*}的前2*n*项和*T*~2*n*~.
解：(1)∵*S~n~*＝2*a~n~*－*λ*，当*n*＝1时，得*a*~1~＝*λ*，
当*n*≥2时，*S~n~*~－1~＝2*a~n~*~－1~－*λ*，
∴*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*a~n~*－2*a~n~*~－1~，
即*a~n~*＝2*a~n~*－2*a~n~*~－1~，∴*a~n~*＝2*a~n~*~－1~，
∴数列{*a~n~*}是以*λ*为首项，2为公比的等比数列，
∴*a~n~*＝*λ*·2^*n*－1^.
(2)∵*λ*＝4，∴*a~n~*＝4·2^*n*－1^＝2^*n*＋1^，
∴*b~n~*＝
∴*T*~2*n*~＝2^2^＋3＋2^4^＋5＋2^6^＋7＋...＋2^2*n*^＋2*n*＋1
＝(2^2^＋2^4^＋...＋2^2*n*^)＋(3＋5＋...＋2*n*＋1)
＝＋()
＝＋*n*(*n*＋2)，
∴*T*~2*n*~＝＋*n*^2^＋2*n*－.
2．已知首项为2的数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*S~n~*~＋1~＝3*S~n~*－2*S~n~*~－1~(*n*≥2，*n*∈N^\*^)．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)设*b~n~*＝，求数列{*b~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
解：(1)因为*S~n~*~＋1~＝3*S~n~*－2*S~n~*~－1~(*n*≥2)，
所以*S~n~*~＋1~－*S~n~*＝2*S~n~*－2*S~n~*~－1~(*n*≥2)，
即*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*(*n*≥2)，所以*a~n~*~＋1~＝2^*n*＋1^，则*a~n~*＝2*^n^*，当*n*＝1时，也满足，故数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝2*^n^*.
(2)因为*b~n~*＝＝(*n*＋1)*^n^*，
所以*T~n~*＝2×＋3×^2^＋4×^3^＋...＋(*n*＋1)×*^n^*，①
*T~n~*＝2×^2^＋3×^3^＋4×^4^＋...＋*n*×*^n^*＋(*n*＋1)×^*n*＋1^，②
①－②得*T~n~*＝2×＋^2^＋^3^＋...＋*^n^*－(*n*＋1)^*n*＋1^
＝＋^1^＋^2^＋^3^＋...＋*^n^*－(*n*＋1)^*n*＋1^
＝＋－(*n*＋1)^*n*＋1^
＝＋1－*^n^*－(*n*＋1)^*n*＋1^
＝－.
故数列{*b~n~*}的前*n*项和为*T~n~*＝3－.
第五节 数列的综合应用
考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用
\[典例\] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题："南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸^①^，头圈一尺三^②^.逐节多三分^③^，逐圈少分三^④^.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？"(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )
A．72.705尺 B．61.395尺
C．61.905尺 D．73.995尺
(2)(2018·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入*a*元的一年期定期储蓄，若年利率为*p*，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款*a*元后，他的账户中一共有\_\_\_\_\_\_\_\_元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回\_\_\_\_\_\_\_\_元．
\[解析\] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为*a*~1~，*a*~2~，*a*~3~，...，*a*~30~，所以数列{*a~n~*}是以*a*~1~＝0.5为首项，以*d*~1~＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为*b*~1~，*b*~2~，*b*~3~，...，*b*~30~，则数列{*b~n~*}是以*b*~1~＝1.3为首项，以*d*＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为*S*~30~＝＋()＝61.395.故选B.
(2)依题意，2019年1月1日存款*a*元后，账户中一共有*a*(1＋*p*)＋*a*＝(*ap*＋2*a*)(元)．
2022年1月1日可取出钱的总数为
*a*(1＋*p*)^4^＋*a*(1＋*p*)^3^＋*a*(1＋*p*)^2^＋*a*(1＋*p*)
＝*a*·()()()
＝\[(1＋*p*)^5^－(1＋*p*)\]
＝\[(1＋*p*)^5^－1－*p*\]．
\[答案\] (1)B (2)*ap*＋2*a* \[(1＋*p*)^5^－1－*p*\]
\[解题技法\]
\[题组训练\]
1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题："今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．"其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？("钱"是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )
A.钱 B.钱
C.钱 D．1钱
解析：选D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为*a*－2*d*，*a*－*d*，*a*，*a*＋*d*，*a*＋2*d*，则*a*－2*d*＋*a*－*d*＋*a*＋*a*＋*d*＋*a*＋2*d*＝5，解得*a*＝1，即丙所得为1钱，故选D.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰："我羊食半马．"马主曰："我马食半牛．"今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说："我的羊所吃的禾苗只有马的一半．"马主人说："我的马所吃的禾苗只有牛的一半．"打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟*a*升，*b*升，*c*升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
A．*a*，*b*，*c*成公比为2的等比数列，且*a*＝
B．*a*，*b*，*c*成公比为2的等比数列，且*c*＝
C．*a*，*b*，*c*成公比为的等比数列，且*a*＝
D．*a*，*b*，*c*成公比为的等比数列，且*c*＝
解析：选D 由题意可得，*a*，*b*，*c*成公比为的等比数列，*b*＝*a*，*c*＝*b*，故4*c*＋2*c*＋*c*＝50，解得*c*＝.故选D.
3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的*t*倍．下列选项中，与*t*值最接近的是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
解析：选B 设鱼原来的质量为*a*，饲养*n*年后鱼的质量为*a~n~*，*q*＝200%＝2，则*a*~1~＝*a*(1＋*q*)，*a*~2~＝*a*~1~＝*a*(1＋*q*)，...，*a*~5~＝*a*(1＋2)×(1＋1)×××＝*a*≈12.7*a*，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.
考点二 等差数列与等比数列的综合计算
\[典例\] (2018·北京高考)设{*a~n~*}是等差数列，且*a*~1~＝ln 2，*a*~2~＋*a*~3~＝5ln 2.
(1)求{*a~n~*}的通项公式；
(2)求e^*a*1^＋e^*a*2^＋...＋e*^an^*.
\[解\] (1)设{*a~n~*}的公差为*d*.
因为*a*~2~＋*a*~3~＝5ln 2，所以2*a*~1~＋3*d*＝5ln 2.
又*a*~1~＝ln 2 ，所以*d*＝ln 2.所以*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*＝*n*ln 2.
(2)因为e^*a*1^＝e^ln\ 2^＝2，＝e^*an*－*an*－1^＝e^ln\ 2^＝2，
所以数列{e*^an^*}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以e^*a*1^＋e^*a*2^＋...＋e*^an^*＝()＝2^*n*＋1^－2.
\[解题技法\] 等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前*n*项和公式求解．求解时，应"瞄准目标"，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{*a~n~*}为等差数列⇒{*aa~n~*}(*a*\>0且*a*≠1)为等比数列；{*a~n~*}为正项等比数列⇒{log*~a~a~n~*}(*a*\>0且*a*≠1)为等差数列．
\[题组训练\]
1．已知等差数列{*a~n~*}的公差为5，前*n*项和为*S~n~*，且*a*~1~，*a*~2~，*a*~5~成等比数列，则*S*~6~＝( )
A．95 B．90
C．85 D．80
解析：选B 由*a*~1~，*a*~2~，*a*~5~成等比数列，得*a*＝*a*~1~·*a*~5~.又等差数列{*a~n~*}的公差为5，所以(*a*~1~＋5)^2^＝*a*~1~(*a*~1~＋4×5)，解得*a*~1~＝.所以*S*~6~＝6×＋×5＝90.故选B.
2．已知数列{*a~n~*}是公差为整数的等差数列，前*n*项和为*S~n~*，且*a*~1~＋*a*~5~＋2＝0,2*S*~1,~3*S*~2,~8*S*~3~成等比数列，则数列的前10项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，
因为*a*~1~＋*a*~5~＋2＝0，所以2*a*~1~＋4*d*＋2＝0，*a*~1~＝－1－2*d*.
因为2*S*~1,~3*S*~2,~8*S*~3~成等比数列，所以16*S*~1~*S*~3~＝9*S*，
即16(－1－2*d*)(－3－3*d*)＝9(－2－3*d*)^2^.
因为*d*为整数，所以解得*d*＝－2，则*a*~1~＝3，
所以*a~n~*＝3－2(*n*－1)＝5－2*n*.
则＝()()＝，
所以数列的前10项和为×＋×＋...＋×＝ ×＝－.
答案：－
3．(2019·武汉调研)已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，等比数列{*b~n~*}的前*n*项和为*T~n~*，*a*~1~＝－1，*b*~1~＝1，*a*~2~＋*b*~2~＝3.
(1)若*a*~3~＋*b*~3~＝7，求{*b~n~*}的通项公式；
(2)若*T*~3~＝13，求*S~n~*.
解：(1)设{*a~n~*}的公差为*d*，{*b~n~*}的公比为*q*，
则*a~n~*＝－1＋(*n*－1)*d*，*b~n~*＝*q^n^*^－1^.
由*a*~2~＋*b*~2~＝3，得*d*＋*q*＝4，①
由*a*~3~＋*b*~3~＝7，得2*d*＋*q*^2^＝8，②
联立①②，解得*q*＝2或*q*＝0(舍去)，
因此{*b~n~*}的通项公式为*b~n~*＝2^*n*－1^.
(2)∵*T*~3~＝*b*~1~(1＋*q*＋*q*^2^)，
∴1＋*q*＋*q*^2^＝13，解得*q*＝3或*q*＝－4，
由*a*~2~＋*b*~2~＝3得*d*＝4－*q*，∴*d*＝1或*d*＝8.
由*S~n~*＝*na*~1~＋*n*(*n*－1)*d*，
得*S~n~*＝*n*^2^－*n*或*S~n~*＝4*n*^2^－5*n*.
考点三 数列与函数、不等式的综合问题
\[典例\] 设函数*f*(*x*)＝＋，正项数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝1，*a~n~*＝*f*，*n*∈N^\*^，且*n*≥2.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)求证：＋＋＋...＋\<2.
\[解\] (1)因为*a~n~*＝*f*，
所以*a~n~*＝＋*a~n~*~－1~，*n*∈N^\*^，且*n*≥2，
所以数列{*a~n~*}是以1为首项，为公差的等差数列，
所以*a~n~*＝*a*~1~＋(*n*－1)*d*＝1＋(*n*－1)＝.
(2)证明：由(1)可知＝()()＝4，
所以＋＋＋...＋＝4＝4＝2－\<2.
\[解题技法\]
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前*n*项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
\[题组训练\]
1．已知数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，点(*n*，*S~n~*＋3)(*n*∈N^\*^)在函数*y*＝3×2*^x^*的图象上，等比数列{*b~n~*}满足*b~n~*＋*b~n~*~＋1~＝*a~n~*(*n*∈N^\*^)，其前*n*项和为*T~n~*，则下列结论正确的是( )
A．*S~n~*＝2*T~n~* B．*T~n~*＝2*b~n~*＋1
C．*T~n~*\>*a~n~* D．*T~n~*\<*b~n~*~＋1~
解析：选D 因为点(*n*，*S~n~*＋3)在函数*y*＝3×2*^x^*的图象上，
所以*S~n~*＋3＝3×2*^n^*，即*S~n~*＝3×2*^n^*－3.
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝3×2*^n^*－3－(3×2^*n*－1^－3)＝3×2^*n*－1^，
又当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝3，
所以*a~n~*＝3×2^*n*－1^.
设*b~n~*＝*b*~1~*q^n^*^－1^，则*b*~1~*q^n^*^－1^＋*b*~1~*q^n^*＝3×2^*n*－1^，
可得*b*~1~＝1，*q*＝2，
所以数列{*b~n~*}的通项公式为*b~n~*＝2^*n*－1^.
由等比数列前*n*项和公式可得*T~n~*＝2*^n^*－1.
结合选项可知，只有D正确．
2．(2019·昆明适应性检测)已知数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，且*a~n~*＝4*n*，若不等式*S~n~*＋8≥*λn*对任意的*n*∈N^\*^都成立，则实数*λ*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*a~n~*＝4*n*，所以*S~n~*＝2*n*^2^＋2*n*，不等式*S~n~*＋8≥*λn*对任意的*n*∈N^\*^恒成立，即*λ*≤，又＝2*n*＋＋2≥10(当且仅当*n*＝2时取等号)，所以实数*λ*的取值范围为(－∞，10\]．
答案：(－∞，10\]
A级
1．(2019·昆明高三摸底调研测试)已知等差数列{*a~n~*}的公差为2，且*a*~4~是*a*~2~与*a*~8~的等比中项，则*a~n~*＝( )
A．－2*n* B．2*n*
C．2*n*－1 D．2*n*＋1
解析：选B 由题意得等差数列{*a~n~*}的公差*d*＝2，所以*a~n~*＝*a*~1~＋2(*n*－1)，因为*a*~4~是*a*~2~与*a*~8~的等比中项，所以*a*＝*a*~2~*a*~8~，即(*a*~1~＋6)^2^＝(*a*~1~＋2)(*a*~1~＋14)，解得*a*~1~＝2，所以*a~n~*＝2*n*，故选B.
2．设*y*＝*f*(*x*)是一次函数，若*f*(0)＝1，且*f*(1)，*f*(4)，*f*(13)成等比数列，则*f*(2)＋*f*(4)＋...＋*f*(2*n*)等于( )
A．*n*(2*n*＋3) B．*n*(*n*＋4)
C．2*n*(2*n*＋3) D．2*n*(*n*＋4)
解析：选A 由题意可设*f*(*x*)＝*kx*＋1(*k*≠0)，则(4*k*＋1)^2^＝(*k*＋1)(13*k*＋1)，解得*k*＝2，*f*(2)＋*f*(4)＋...＋*f*(2*n*)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋...＋(2×2*n*＋1)＝*n*(2*n*＋3)．
3．已知公差不为0的等差数列{*a~n~*}满足*a*~1~，*a*~3~，*a*~4~成等比数列，*S~n~*为{*a~n~*}的前*n*项和，则的值为( )
A．2 B．3
C. D．4
解析：选A 设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*(*d*≠0)．∵*a*~1~，*a*~3~，*a*~4~成等比数列，∴*a*~1~*a*~4~＝*a*，即*a*~1~(*a*~1~＋3*d*)＝(*a*~1~＋2*d*)^2^，解得*a*~1~＝－4*d*.∴＝＝＝2.故选A.
4．(2018·郑州一中入学测试)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题："三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．"其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．96里 B．48里
C．192里 D．24里
解析：选A 依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为的等比数列，记为{*a~n~*}，其前6项和等于378，于是有＝378，解得*a*~1~＝192，因此*a*~2~＝*a*~1~＝96，即该人第二天走了96里，选A.
5．定义：(*n*∈N^\*^)为*n*个正数*P*~1~，*P*~2~，...，*P~n~*的"均倒数"．若数列{*a~n~*}的前*n*项的"均倒数"为，则数列{*a~n~*}的通项公式为( )
A．*a~n~*＝2*n*－1 B．*a~n~*＝4*n*－1
C．*a~n~*＝4*n*－3 D．*a~n~*＝4*n*－5
解析：选C ∵＝，∴＝2*n*－1，∴*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a~n~*＝(2*n*－1)*n*，*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a~n~*~－1~＝(2*n*－3)(*n*－1)(*n*≥2)，∴当*n*≥2时，*a~n~*＝(2*n*－1)*n*－(2*n*－3)(*n*－1)＝4*n*－3，又*a*~1~＝1，∴*a~n~*＝4*n*－3.
6．(2019·河南六市联考)若正项递增等比数列{*a~n~*}满足1＋*a*~2~－*a*~4~＋*λ*(*a*~3~－*a*~5~)＝0(*λ*∈R)，则*a*~6~＋*λa*~7~的最小值为( )
A．－2 B．－4
C．2 D．4
解析：选D 设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，*q*≠0，因为数列{*a~n~*}为正项递增等比数列，所以*a*~4~－*a*~2~\>0且*q*\>1.
因为1＋*a*~2~－*a*~4~＋*λ*(*a*~3~－*a*~5~)＝0，所以1＋*λq*＝，
所以*a*~6~＋*λa*~7~＝*a*~6~(1＋*λq*)＝＝＝＝*q*^2^＋1＋＝*q*^2^－1＋＋2≥2()＋2＝4，即*a*~6~＋*λa*~7~的最小值为4，故选D.
7．某公司去年产值为*a*，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：每年的产值构成以*a*(1＋10%)＝1.1*a*为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的总产值*S*~5~＝()＝11(1.1^5^－1)*a*.
答案：11(1.1^5^－1)*a*
8．已知*S~n~*是等比数列{*a~n~*}的前*n*项和，*S*~3~，*S*~9~，*S*~6~成等差数列，*a*~2~＋*a*~5~＝4，则*a*~8~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为*S*~3~，*S*~9~，*S*~6~成等差数列，所以公比*q*≠1，()＝＋，整理得2*q*^6^＝1＋*q*^3^，所以*q*^3^＝－，故*a*~2~·＝4，解得*a*~2~＝8，故*a*~8~＝8×＝2.
答案：2
9．已知等差数列{*a~n~*}满足*a~n~*~－1~＋*a~n~*＋*a~n~*~＋1~＝3*n*(*n*≥2)，函数*f*(*x*)＝2*^x^*，*b~n~*＝log~4~*f*(*a~n~*)，则数列{*b~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵等差数列{*a~n~*}满足*a~n~*~－1~＋*a~n~*＋*a~n~*~＋1~＝3*n*(*n*≥2)，∴3*a~n~*＝3*n*，即*a~n~*＝*n*.又∵函数*f*(*x*)＝2*^x^*，∴*f*(*a~n~*)＝2*^n^*，∴*b*~1~＋*b*~2~＋...＋*b~n~*＝log~4~\[*f*(*a*~1~)·*f*(*a*~2~)·...·*f*(*a~n~*)\]＝log~4~(2×2^2^×...×2*^n^*)＝log~4~2^1＋2＋...＋*n*^＝×(1＋2＋...＋*n*)＝().
答案：()
10．(2018·沈阳质检)在数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝1，*a*~2~＝2，*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*－2*a~n~*~－1~(*n*≥2)，则*a~n~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：因为*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*－2*a~n~*~－1~(*n*≥2)，所以＝2(*n*≥2)，所以*a~n~*~＋1~－*a~n~*＝(*a*~2~－*a*~1~)2^*n*－1^＝2^*n*－1^(*n*≥2)，又*a*~2~－*a*~1~＝1，所以*a~n~*－*a~n~*~－1~＝2^*n*－2^，*a~n~*~－1~－*a~n~*~－2~＝2^*n*－3^，...，*a*~2~－*a*~1~＝1，累加，得*a~n~*＝2^*n*－1^(*n*∈N^\*^)．
法二：因为*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*－2*a~n~*~－1~(*n*≥2)，所以*a~n~*~＋1~－2*a~n~*＝*a~n~*－2*a~n~*~－1~，得*a~n~*~＋1~－2*a~n~*＝*a~n~*－2*a~n~*~－1~＝*a~n~*~－1~－2*a~n~*~－2~＝...＝*a*~2~－2*a*~1~＝0，即*a~n~*＝2*a~n~*~－1~(*n*≥2)，所以数列{*a~n~*}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以*a~n~*＝2^*n*－1^(*n*∈N^\*^)．
答案：2^*n*－1^
11．已知等比数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，公比为.
(1)若*S*~4~＝，求*a*~1~.
(2)若*a*~1~＝2，*c~n~*＝*a~n~*＋*nb*，且*c*~2~，*c*~4~，*c*~5~成等差数列，求*b*.
解：(1)∵公比*q*＝，*S*~4~＝，
∴＝，
∴*a*~1~＝－，解得*a*~1~＝.
(2)∵*a*~1~＝2，公比为，∴*a*~2~＝3，*a*~4~＝，*a*~5~＝.
又∵*c~n~*＝*a~n~*＋*nb*，
∴*c*~2~＝*a*~2~＋2*b*＝＋2*b*，*c*~4~＝*a*~4~＋4*b*＝＋4*b*，*c*~5~＝*a*~5~＋5*b*＝＋5*b*.
∵*c*~2~，*c*~4~，*c*~5~成等差数列，
∴2＝＋2*b*＋＋5*b*，解得*b*＝－.
12．设数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，点，*n*∈N^\*^均在函数*y*＝*x*的图象上．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)记数列的前*n*项和为*T~n~*，若对任意的*n*∈N^\*^，不等式4*T~n~*\<*a*^2^－*a*恒成立，求实数*a*的取值范围．
解：(1)依题意得＝*n*，即*S~n~*＝*n*^2^.
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*n*－1，
当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝1＝2×1－1＝1，
∴*a~n~*＝2*n*－1.
(2)∵＝()()＝，
∴*T~n~*＝＝\<，
又4*T~n~*\<*a*^2^－*a*，
∴2≤*a*^2^－*a*，解得*a*≤－1或*a*≥2，
即实数*a*的取值范围为(－∞，－1\]∪\[2，＋∞)．
B级
1．若定义在R上的函数*y*＝*f*(*x*)是奇函数且满足*f*＝*f*(*x*)，*f*(－2)＝－3，数列{*a~n~*}满足*a*~1~＝－1，且＝2×＋1(其中*S~n~*为{*a~n~*}的前*n*项和)，则*f*(*a*~5~)＋*f*(*a*~6~)＝( )
A．－3 B．－2
C．3 D．2
解析：选C 由*f*＝*f*(*x*)可知函数*f*(*x*)的图象的对称轴为直线*x*＝.又函数*y*＝*f*(*x*)是奇函数，所以有*f*＝*f*(*x*)＝－*f*，所以*f*＝－*f*(*x*)，即*f*(*x*－3)＝*f*(*x*)，所以函数*y*＝*f*(*x*)的周期为3.由＝2×＋1得*S~n~*＝2*a~n~*＋*n*.当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝2*a~n~*＋*n*－(2*a~n~*~－1~＋*n*－1)＝2*a~n~*－2*a~n~*~－1~＋1，即*a~n~*＝2*a~n~*~－1~－1，所以*a*~2~＝－3，*a*~3~＝－7，*a*~4~＝－15，*a*~5~＝－31，*a*~6~＝－63，则*f*(*a*~5~)＋*f*(*a*~6~)＝*f*(－31)＋*f*(－63)＝*f*(－1)＋*f*(0)＝－*f*(1)＋*f*(0)．由函数*y*＝*f*(*x*)是奇函数可得*f*(0)＝0，由*f*(－2)＝－3可得*f*(－2)＝*f*(1)＝－3，所以*f*(*a*~5~)＋*f*(*a*~6~)＝3.故选C.
2．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入*a*辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则*a*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为*a*的等差数列，则5年后的数量和为＋300×5＋*a*，所以＋300×5＋*a*≥5 000，即10*a*≥1 812，解得*a*≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以*a*的最小值为182.
答案：182
3．(2018·广州高中综合测试)已知数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)设数列{*b~n~*}满足＋＋...＋＝5－(4*n*＋5)*^n^*，求数列{*b~n~*}的前*n*项和*T~n~*.
解：(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以＝1＋2(*n*－1)＝2*n*－1，
所以*S~n~*＝2*n*^2^－*n*.
当*n*＝1时，*a*~1~＝*S*~1~＝1；
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝(2*n*^2^－*n*)－\[2(*n*－1)^2^－(*n*－1)\]＝4*n*－3.
当*n*＝1时，*a*~1~＝1也符合上式，
所以数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝4*n*－3.
(2)当*n*＝1时，＝，所以*b*~1~＝2*a*~1~＝2.
当*n*≥2时，由＋＋...＋＝5－(4*n*＋5)*^n^*，①
得＋＋...＋＝5－(4*n*＋1)^*n*－1^.②
①－②，得＝(4*n*－3)*^n^*.
因为*a~n~*＝4*n*－3，所以*b~n~*＝()＝2*^n^*(当*n*＝1时也符合)，
所以＝＝2，所以数列{*b~n~*}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以*T~n~*＝()＝2^*n*＋1^－2.
第七章 ：不等式略
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第八章 立体几何
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第一节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图
一、基础知识
()
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名称 棱柱 棱锥 棱台
图形   
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
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①特殊的四棱柱
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．
②多面体的关系：
(2)旋转体的结构特征
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
名称 圆柱 圆锥 圆台 球^▲^
图形    
母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
▲球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆面；
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；
(3)球心到截面的距离*d*与球的半径*R*及截面的半径*r*的关系为*r*＝.
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中*x*轴、*y*轴、*z*轴两两垂直，直观图中，*x*′轴、*y*′轴的夹角为45°(或135°)，*z*′轴与*x*′轴和*y*′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于*x*轴和*z*轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于*y*轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线.
二、常用结论
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形．
(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．
(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．
2．斜二测画法中的"三变"与"三不变"
"三变"
"三不变"
\[典例\] 下列结论正确的是( )
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
\[解析\] 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．
\[答案\] B
\[题组训练\]
1．下列结论中错误的是( )
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：选A 由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以A选项错误．B、C、D说法均正确．
2．下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
解析：选C 如图所示，可排除A、B选项．只要有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．
\[典例\] 已知等腰梯形*ABCD*，*CD*＝1，*AD*＝*CB*＝，*AB*＝3，以*AB*所在直线为*x*轴，则由斜二测画法画出的直观图*A*′*B*′*C*′*D*′的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 法一：如图，取*AB*的中点*O*为坐标原点，建立平面直角坐标系，*y*轴交*DC*于点*E*，*O*，*E*在斜二测画法中的对应点为*O*′，*E*′，过*E*′作*E*′*F*′⊥*x*′轴，垂足为*F*′，
因为*OE*＝()＝1，
所以*O*′*E*′＝，*E*′*F*′＝.
所以直观图*A*′*B*′*C*′*D*′的面积为
*S*′＝×(1＋3)×＝.
法二：由题中数据得等腰梯形*ABCD*的面积*S*＝×(1＋3)×1＝2.
由*S*~直观图~＝*S*~原图形~的关系，得*S*~直观图~＝×2＝.
\[答案\]
\[题组训练\]
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于*y*轴上的对角线长为2.故选A.
2．已知正三角形*ABC*的边长为2，那么△*ABC*的直观图△*A*′*B*′*C*′的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，图①、图②分别表示△*ABC*的实际图形和直观图．
从图②可知，*A*′*B*′＝*AB*＝2，
*O*′*C*′＝*OC*＝，*C*′*D*′＝*O*′*C*′sin 45°＝×＝.
所以*S*~△*A*′*B*′*C*′~＝*A*′*B*′·*C*′*D*′＝×2×＝.
答案：
考法(一) 由几何体识别三视图
\[典例\] (2019·长沙模拟)如图是一个正方体，*A*，*B*，*C*为三个顶点，*D*是棱的中点，则三棱锥*A**BCD*的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )
\[解析\] 正视图和俯视图中棱*AD*和*BD*均看不见，故为虚线，易知选A.
\[答案\] A
考法(二) 由三视图判断几何体特征
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点*M*在正视图上的对应点为*A*，圆柱表面上的点*N*在左视图上的对应点为*B*，则在此圆柱侧面上，从*M*到*N*的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
(2)(2019·武汉调研)已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点*M*，*N*的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及*M*，*N*的位置(*N*为*OP*的四等分点)如图②所示，连接*MN*，则图中*MN*即为*M*到*N*的最短路径．*ON*＝×16＝4，*OM*＝2，
∴*MN*＝＝ ＝2.
(2)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱*AA*~1~*D*~1~*BB*~1~*C*~1~和一个三棱锥*C**BC*~1~*D*后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥*D**ABC*~1~*D*~1~，其中侧面*ADD*~1~的面积最小，其值为.
\[答案\] (1)B (2)
考法(三) 由三视图中的部分视图确定剩余视图
\[典例\] (2018·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )
\[解析\] 由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.
\[答案\] A
\[题组训练\]
1．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中*DD*~1~＝1，*AB*＝*BC*＝*AA*~1~＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )
解析：选C 根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.故选C.
2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为()×2＝12，故选B.
1．对于用"斜二测画法"画平面图形的直观图，下列说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B．梯形的直观图可能不是梯形
C．正方形的直观图为平行四边形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：选C 根据"斜二测画法"的定义可得正方形的直观图为平行四边形．
2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
解析：选D 球、正方体的三视图的形状都相同，大小都相等，首先排除选项A和C.对于三棱锥，考虑特殊情况，如三棱锥*C**OAB*，当三条棱*OA*，*OB*，*OC*两两垂直，且*OA*＝*OB*＝*OC*时，正视图方向为*AO*方向，其三视图的形状都相同，大小都相等，故排除选项B.选项D，不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不可能完全相同．
3．(2019·福州模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )
A．2 B．2
C．4 D．8
解析：选D 由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2，在斜二测画法画出的直观图中，∠*B*′*O*′*A*′＝45°且*O*′*B*′＝2，那么在原图形中，∠*BOA*＝90°且*OB*＝4.因此，原平面图形的面积为2×4＝8，故选D.
4．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选D 由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.
6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C 画出直观图可知，共需要6块．
7．(2018·南宁二中、柳州高中联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
解析：选C 若俯视图为选项C中的图形，则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥*P**ABCD*，如图所示，该四棱锥的体积*V*＝×(2×2)×2＝，符合题意．若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在，故选C.
8.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~(底面*ABCD*是正方形，侧棱*AA*~1~⊥底面*ABCD*)中，点*P*是正方形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~内一点，则三棱锥*P**BCD*的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )
A. B．1
C．2 D.
解析：选A 由题图易知，三棱锥*P**BCD*的正视图面积为×1×2＝1.当顶点*P*的投影在△*BCD*内部或其边上时，俯视图的面积最小，为*S*~△*BCD*~＝×1×1＝.所以三棱锥*P**BCD*的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋＝.故选A.
9．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．
答案：①④
10．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为\_\_\_\_\_\_\_\_cm.
解析：如图，过点*A*作*AC*⊥*OB*，交*OB*于点*C*.
在Rt△*ABC*中，*AC*＝12(cm)，*BC*＝8－3＝5 (cm)．
∴*AB*＝＝13(cm)．
答案：13
11．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示的四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~，当选择的4个点是*B*~1~，*B*，*C*，*C*~1~时，可知①正确；当选择的4个点是*B*，*A*，*B*~1~，*C*时，可知②正确；易知③不正确．
答案：①②
12.如图，三棱锥*A**BCD*中，*AB*⊥平面*BCD*，*BC*⊥*CD*，若*AB*＝*BC*＝*CD*＝2，则该三棱锥的侧视图(投影线平行于*BD*)的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*AB*⊥平面*BCD*，投影线平行于*BD*，
所以三棱锥*A**BCD*的侧视图是一个以△*BCD*的*BD*边上的高为底，棱锥的高为高的三角形，
因为*BC*⊥*CD*，*AB*＝*BC*＝*CD*＝2，
所以△*BCD*中*BD*边上的高为，
故该三棱锥的侧视图的面积*S*＝××2＝.
答案：
第二节 空间几何体的表面积与体积
一、基础知识
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图   
侧面积公式 *S*~圆柱侧~＝2π*rl* *S*~圆锥侧~＝π*rl* *S*~圆台侧~＝π(*r*＋*r*′)*l*
------------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：
2．空间几何体的表面积与体积公式
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
| 名称 | 表面积 | 体积 |
| | | |
| 几何体 | | |
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
| 柱体(棱柱和圆柱) | *S*~表面积~＝*S*~侧~＋2*S*~底~ | *V*＝*Sh* |
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
| 锥体(棱锥和圆锥) | *S*~表面积~＝*S*~侧~＋*S*~底~ | *V*＝*Sh* |
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
| 台体(棱台和圆台) | *S*~表面积~＝*S*~侧~＋*S*~上~＋*S*~下~ | *V*＝(*S*~上~＋*S*~下~＋)*h* |
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
| 球 | *S*＝4π*R*^2^ | *V*＝π*R*^3^ |
+------------------+----------------------------------------+------------------------------+
二、常用结论
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为*a*，球的半径为*R*，
①若球为正方体的外接球，则2*R*＝*a*；
②若球为正方体的内切球，则2*R*＝*a*；
③若球与正方体的各棱相切，则2*R*＝*a*.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为*a*，*b*，*c*，外接球的半径为*R*，则2*R*＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为*O*~1~，*O*~2~，过直线*O*~1~*O*~2~的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A．4＋4 B．4＋2
C．8＋4 D.
\[解析\] (1)设圆柱的轴截面的边长为*x*，
则*x*^2^＝8，得*x*＝2，
∴*S*~圆柱表~＝2*S*~底~＋*S*~侧~＝2×π×()^2^＋2π××2
＝12π.故选B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥*P**ABCD*，如图所示，其中*PA*⊥底面*ABCD*，四边形*ABCD*是正方形，且*PA*＝2，*AB*＝2，*PB*＝2，所以该四棱锥的侧面积*S*是四个直角三角形的面积和，即*S*＝2×＝4＋4，故选A.
\[答案\] (1)B (2)A
\[题组训练\]
1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
A．28 B．24＋2
C．20＋4 D．20＋2
解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱*ABIE**DCMH*，则该几何体的表面积*S*＝(2×2)×5＋×2＋2×1＋2×＝24＋2.故选B.
2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A．20＋π B．24＋(－1)π
C．24＋(2－)π D．20＋(＋1)π
解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积*S*＝6×2^2^－π×1^2^＋π×1×＝24＋(－1)π，故选B.
\[典例\] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A．4π B．2π
C. D．π
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为1，则四棱锥*A*~1~*BB*~1~*D*~1~*D*的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\]
(1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为*α*，由tan *α*＝＝，得*α*＝，故底面面积为××2^2^＝，则该几何体的体积为×3＝2π.
(2)法一：直接法
连接*A*~1~*C*~1~交*B*~1~*D*~1~于点*E*，则*A*~1~*E*⊥*B*~1~*D*~1~，*A*~1~*E*⊥*BB*~1~，则*A*~1~*E*⊥平面*BB*~1~*D*~1~*D*，
所以*A*~1~*E*为四棱锥*A*~1~*BB*~1~*D*~1~*D*的高，且*A*~1~*E*＝，
矩形*BB*~1~*D*~1~*D*的长和宽分别为，1，
故*V~A~*~1*BB*1*D*1*D*~＝×(1×)×＝.
法二：割补法
连接*BD*~1~，则四棱锥*A*~1~*BB*~1~*D*~1~*D*分成两个三棱锥*B**A*~1~*DD*~1~与*B**A*~1~*B*~1~*D*~1~，所以*V~A~*~1*BB*1*D*1*D*~＝*V~B~*~*A*1*DD*1~＋*V~B~*~*A*1*B*1*D*1~＝××1×1×1＋××1×1×1＝.
\[答案\] (1)B (2)
\[题组训练\]
1.()如图所示，已知三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~的所有棱长均为1，且*AA*~1~⊥底面*ABC*，则三棱锥*B*~1~*ABC*~1~的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 三棱锥*B*~1~*ABC*~1~的体积等于三棱锥*A**B*~1~*BC*~1~的体积，三棱锥*A**B*~1~*BC*~1~的高为，底面积为，故其体积为××＝.
2.()某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中*ABCD**A*′*B*′*C*′*D*′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积*V*＝4×2×3－2××3××2＝15，故选C.
3.()一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×1^2^×1＋××^3^＝＋π.
考法(一) 球与柱体的切、接问题
\[典例\] (2017·江苏高考)如图，在圆柱*O*~1~*O*~2~内有一个球*O*，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱*O*~1~*O*~2~的体积为*V*~1~，球*O*的体积为*V*~2~，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 设球*O*的半径为*R*，因为球*O*与圆柱*O*~1~*O*~2~的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为*R*、高为2*R*，所以＝＝.
\[答案\]
考法(二) 球与锥体的切、接问题
\[典例\] (2018·全国卷Ⅲ)设*A*，*B*，*C*，*D*是同一个半径为4的球的球面上四点，△*ABC*为等边三角形且其面积为9，则三棱锥*D**ABC*体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
\[解析\] 由等边△*ABC*的面积为9，可得*AB*^2^＝9，所以*AB*＝6，所以等边△*ABC*的外接圆的半径为*r*＝*AB*＝2.设球的半径为*R*，球心到等边△*ABC*的外接圆圆心的距离为*d*，则*d*＝＝＝2.所以三棱锥*D**ABC*高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥*D**ABC*体积的最大值为×9×6＝18.
\[答案\] B
\[题组训练\]
1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
A．4π B.π
C.π D．16π
解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心*O*为这个球的球心，
于是，球的半径*r*＝*OB*＝＝ ()＝2.
故这个球的表面积*S*＝4π*r*^2^＝16π.故选D.
2．三棱锥*P**ABC*中，*AB*＝*BC*＝，*AC*＝6，*PC*⊥平面*ABC*，*PC*＝2，则该三棱锥的外接球表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题可知，△*ABC*中*AC*边上的高为＝，球心*O*在底面*ABC*的投影即为△*ABC*的外心*D*，设*DA*＝*DB*＝*DC*＝*x*，所以*x*^2^＝3^2^＋(－*x*)^2^，解得*x*＝，所以*R*^2^＝*x*^2^＋^2^＝＋1＝(其中*R*为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积*S*＝4π*R*^2^＝π.
答案：π
1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为*r*，则2^2^＝1^2^＋*r*^2^，所以*r*^2^＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为＝，故选A.
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A．4 B．8
C．16 D．20
解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为*V*＝××6×2×4＝8.故选B.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：选B 设米堆的底面半径为*r*尺，则*r*＝8，所以*r*＝，所以米堆的体积为*V*＝×π×*r*^2^×5＝×^2^×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．
4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．35 cm^3^ B．40 cm^3^
C．70 cm^3^ D．75 cm^3^
解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体，棱长为1 cm的正方体，故该组合体的体积*V*＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm^3^)．故选A.
5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥*S* *ABCD*，如图，*SD*⊥平面*ABCD*，且*SD*＝1，四边形*ABCD*是平行四边形，且*AB*＝*DC*＝1，连接*BD*，由题意知*BD*⊥*DC*，*BD*⊥*AB*，且*BD*＝1，所以*S*~四边形*ABCD*~＝1，所以*V~S~*~*ABCD*~＝*S*~四边形*ABCD*~·*SD*＝，故选C.
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以*V*＝*Sh*，其中*S*指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知*S*＝1，*h*指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知*h*＝1，所以*V*＝*Sh*＝，故选C.
6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为＝2，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以该组合体的体积*V*＝×π×2^2^×2＋××4×2×2＝＋，故选B.
7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )
A．16＋12π B．32＋12π
C．24＋12π D．32＋20π
解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积*S*＝×4π×2^2^＋π×2^2^＋2××4＝12π＋16，故选A.
8．(2019·福州质检)已知正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~外接球的表面积为( )
A．4π B．8π
C．16π D．32π
解析：选C 如图所示，设底面边长为*a*，则底面面积为*a*^2^＝，所以*a*＝.又一个侧面的周长为6，所以*AA*~1~＝2.设*E*，*D*分别为上、下底面的中心，连接*DE*，设*DE*的中点为*O*，则点*O*即为正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~的外接球的球心，连接*OA*~1~，*A*~1~*E*，则*OE*＝，*A*~1~*E*＝××＝1.在直角三角形*OEA*~1~中，*OA*~1~＝()＝2，即外接球的半径*R*＝2，所以外接球的表面积*S*＝4π*R*^2^＝16π，故选C.
9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.
设该正方体外接球的半径为*R*，则2*R*＝3，*R*＝，
所以这个球的体积为π*R*^3^＝×＝.
答案：
10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为*V*＝()×1＝.
答案：
11．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设圆锥底面半径是*r*，母线长为*l*，所以π*r*^2^＋π*rl*＝π，即*r*^2^＋*rl*＝1，根据圆心角公式＝，即*l*＝3*r*，所以解得*r*＝，*l*＝，那么高*h*＝＝.
答案：
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥*S* *ABC*的所有顶点都在球*O*的球面上，*SC*是球*O*的直径．若平面*SCA*⊥平面*SCB*，*SA*＝*AC*，*SB*＝*BC*，三棱锥*S* *ABC*的体积为9，则球*O*的表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，连接*AO*，*OB*，
∵*SC*为球*O*的直径，
∴点*O*为*SC*的中点，
∵*SA*＝*AC*，*SB*＝*BC*，
∴*AO*⊥*SC*，*BO*⊥*SC*，
∵平面*SCA*⊥平面*SCB*，平面*SCA*∩平面*SCB*＝*SC*，
∴*AO*⊥平面*SCB*，
设球*O*的半径为*R*，
则*OA*＝*OB*＝*R*，*SC*＝2*R*.
∴*V~S~* ~*ABC*~＝*V~A~*~*SBC*~＝×*S*~△*SBC*~×*AO*
＝××*AO*，
即9＝××*R*，解得 *R*＝3，
∴球*O*的表面积*S*＝4π*R*^2^＝4π×3^2^＝36π.
答案：36π
13.如图是一个以*A*~1~*B*~1~*C*~1~为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为*ABC*，已知*A*~1~*B*~1~＝*B*~1~*C*~1~＝2，∠*A*~1~*B*~1~*C*~1~＝90°，*AA*~1~＝4，*BB*~1~＝3，*CC*~1~＝2，求：
(1)该几何体的体积；
(2)截面*ABC*的面积．
解：(1)过*C*作平行于*A*~1~*B*~1~*C*~1~的截面*A*~2~*B*~2~*C*，交*AA*~1~，*BB*~1~分别于点*A*~2~，*B*~2~.
由直三棱柱性质及∠*A*~1~*B*~1~*C*~1~＝90°可知*B*~2~*C*⊥平面*ABB*~2~*A*~2~，则该几何体的体积*V*＝*VA*~1~*B*~1~*C*~1~*A*~2~*B*~2~*C*＋*VC**ABB*~2~*A*~2~
＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
(2)在△*ABC*中，*AB*＝()＝，
*BC*＝()＝，
*AC*＝()()＝2.
则*S*~△*ABC*~＝×2×()()＝.
14.如图，四边形*ABCD*为菱形，*G*为*AC*与*BD*的交点，*BE*⊥平面*ABCD*.
(1)证明：平面*AEC*⊥平面*BED*；
(2)若∠*ABC*＝120°，*AE*⊥*EC*，三棱锥*E**ACD*的体积，求该三棱锥*E**ACD*的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形*ABCD*为菱形，所以*AC*⊥*BD*.
因为*BE*⊥平面*ABCD*，*AC*⊂平面*ABCD*，
所以*BE*⊥*AC*.
因为*BD*∩*BE*＝*B*，*BD* ⊂平面*BED*，*BE* ⊂平面*BED*，
所以*AC*⊥平面*BED*.
又*AC*⊂平面*AEC*，
所以平面*AEC*⊥平面*BED*.
(2)设*AB*＝*x*，在菱形*ABCD*中，由∠*ABC*＝120°，可得*AG*＝*GC*＝*x*，*GB*＝*GD*＝.
因为*AE*⊥*EC*，
所以在Rt△*AEC*中，可得*EG*＝*x*.
由*BE*⊥平面*ABCD*，知△*EBG*为直角三角形，
可得*BE*＝*x*.
由已知得，三棱锥*E**ACD*的体积
*V*~三棱锥*E**ACD*~＝·*AC*·*GD*·*BE*＝*x*^3^＝，
故*x*＝2.
从而可得*AE*＝*EC*＝*ED*＝.
所以△*EAC*的面积为3，△*EAD*的面积与△*ECD*的面积均为.
故三棱锥*E**ACD*的侧面积为3＋2.
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、基础知识
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义：设*a*，*b*是两条异面直线，
经过空间任一点*O*作直线
*a*′∥*a*，*b*′∥*b*，把*a*′与*b*′所成的
锐角(或直角)叫做异面直线*a*与*b*所成
的角(或夹角)．
②范围：.
(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
----------------------------------------------------------------------------------
直线*l*和平面*α*相交、直线*l*和平面*α*平行统称为直线*l*在平面*α*外，记作*l*⊄*α*.
----------------------------------------------------------------------------------
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
二、常用结论
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
3．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
\[典例\] 如图所示，在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*E*，*F*分别是*AB*和*AA*~1~的中点．求证：
(1)*E*，*C*，*D*~1~，*F*四点共面；
(2)*CE*，*D*~1~*F*，*DA*三线共点．
\[证明\] (1)如图，连接*EF*，*CD*~1~，*A*~1~*B*.
∵*E*，*F*分别是*AB*，*AA*~1~的中点，
∴*EF*∥*A*~1~*B*.
又*A*~1~*B*∥*D*~1~*C*，
∴*EF*∥*CD*~1~，
∴*E*，*C*，*D*~1~，*F*四点共面．
(2)∵*EF*∥*CD*~1~，*EF*＜*CD*~1~，
∴*CE*与*D*~1~*F*必相交，
设交点为*P*，如图所示．
则由*P*∈*CE*，*CE*⊂平面*ABCD*，得*P*∈平面*ABCD*.
同理*P*∈平面*ADD*~1~*A*~1~.
又平面*ABCD*∩平面*ADD*~1~*A*~1~＝*DA*，
∴*P*∈*DA*，
∴*CE*，*D*~1~*F*，*DA*三线共点．
\[变透练清\]
1．如图是正方体或四面体，*P*，Q，*R*，*S*分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )
解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．
2.()若本例中平面*BB*~1~*D*~1~*D*与*A*~1~*C*交于点*M*，求证：*B*，*M*，*D*~1~共线．
证明：连接*BD*~1~(图略)，因为*BD*~1~与*A*~1~*C*均为正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的对角线，故*BD*~1~与*A*~1~*C*相交，
则令*BD*~1~与*A*~1~*C*的交点为*O*，则*B*，*O*，*D*~1~共线，因为*BD*~1~⊂平面*BB*~1~*D*~1~*D*，
故*A*~1~*C*与平面*BB*~1~*D*~1~*D*的交点为*O*，与*M*重合，故*B*，*M*，*D*~1~共线．
\[典例\] (1)(2019·郑州模拟)已知直线*a*和平面*α*，*β*，*α*∩*β*＝*l*，*a*⊄*α*，*a*⊄*β*，且*a*在*α*，*β*内的射影分别为直线*b*和*c*，则直线*b*和*c*的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
(2)*G*，*N*，*M*，*H*分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线*GH*，*MN*是异面直线的图形的是\_\_\_\_\_\_\_\_．(填序号)
\[解析\] (1)如图，取平面*ABCD*为*α*，平面*ABFE*为*β*.若直线*CH*为*a*，则*a*在*α*，*β*内的射影分别为*CD*，*BE*，此时*CD*，*BE*异面，即*b*，*c*异面，排除A；若直线*GH*为*a*，则*a*在*α*，*β*内的射影分别为*CD*，*EF*，此时*CD*，*EF*平行，即*b*，*c*平行，排除B；若直线*BH*为*a*，则*a*在*α*，*β*内的射影分别为*BD*，*BE*，此时*BD*，*BE*相交，即*b*，*c*相交，排除C.综上所述选D.
(2)图①中，直线*GH*∥*MN*；图②中，*G*，*H*，*N*三点共面，但*M*∉平面*GHN*，因此直线*GH*与*MN*异面；图③中，连接*MG*，*GM*∥*HN*，因此*GH*与*MN*共面；图④中，*G*，*M*，*N*共面，但*H*∉平面*GMN*，因此*GH*与*MN*异面．所以在图②④中，*GH*与*MN*异面．
\[答案\] (1)D (2)②④
\[题组训练\]
1．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；
③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；
④空间四条直线*a*，*b*，*c*，*d*，如果*a*∥*b*，*c*∥*d*，且*a*∥*d*，那么*b*∥*c*.
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选B ①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.
2.如图，在正方体*ABCD* *A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*M*，*N*分别为棱*C*~1~*D*~1~，*C*~1~*C*的中点，有以下四个结论：
①直线*AM*与*CC*~1~是相交直线；
②直线*AM*与*BN*是平行直线；
③直线*BN*与*MB*~1~是异面直线；
④直线*AM*与*DD*~1~是异面直线．
其中正确结论的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：直线*AM*与*CC*~1~是异面直线，直线*AM*与*BN*也是异面直线，所以①②错误．点*B*，*B*~1~，*N*在平面*BB*~1~*C*~1~*C*中，点*M*在此平面外，所以*BN*，*MB*~1~是异面直线．同理*AM*，*DD*~1~也是异面直线．
答案：③④
1．(2019·衡阳模拟)若直线*l*与平面*α*相交，则( )
A．平面*α*内存在直线与*l*异面
B．平面*α*内存在唯一一条直线与*l*平行
C．平面*α*内存在唯一一条直线与*l*垂直
D．平面*α*内的直线与*l*都相交
解析：选A 当直线*l*与平面*α*相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线*l*平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线*l*垂直，所以C错误，平面*α*内的直线与*l*可能异面，故D错误，故选A.
2．在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*E*，*F*分别是线段*BC*，*CD*~1~的中点，则直线*A*~1~*B*与直线*EF*的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 由*BC*綊*AD*，*AD*綊*A*~1~*D*~1~，知*BC*綊*A*~1~*D*~1~，
从而四边形*A*~1~*BCD*~1~是平行四边形，
所以*A*~1~*B*∥*CD*~1~，
又*EF*⊂平面*A*~1~*BCD*~1~，*EF*∩*D*~1~*C*＝*F*，
故*A*~1~*B*与*EF*相交．
3．已知直线*a*，*b*分别在两个不同的平面*α*，*β*内，则"直线*a*和直线*b*相交"是"平面*α*和平面*β*相交"的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线*a*，*b*分别在两个不同的平面*α*，*β*内，则由"直线*a*和直线*b*相交"可得"平面*α*和平面*β*相交"，反之不成立．所以"直线*a*和直线*b*相交"是"平面*α*和平面*β*相交"的充分不必要条件．故选B.
4.设四棱锥*P**ABCD*的底面不是平行四边形，用平面*α*去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面*α*( )
A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个
解析：选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为*m*，*n*，直线*m*，*n*确定了一个平面*β*.作与*β*平行的平面*α*，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面*α*有无数多个．
5．在空间四边形*ABCD*各边*AB*，*BC*，*CD*，*DA*上分别取*E*，*F*，*G*，*H*四点，如果*EF*，*GH*相交于点*P*，那么( )
A．点*P*必在直线*AC*上 B．点*P*必在直线*BD*上
C．点*P*必在平面*DBC*内 D．点*P*必在平面*ABC*外
解析：选A 如图，因为*EF*⊂平面*ABC*，而*GH*⊂平面*ADC*，且*EF*和*GH*相交于点*P*，所以点*P*在两平面的交线上，因为*AC*是两平面的交线，所以点*P*必在直线*AC*上．
6.如图，在平行六面体*ABCD* *A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，既与*AB*共面又与*CC*~1~共面的棱有\_\_\_\_\_\_\_\_条．
解析：依题意，与*AB*和*CC*~1~都相交的棱有*BC*；与*AB*相交且与*CC*~1~平行有棱*AA*~1~，*BB*~1~；与*AB*平行且与*CC*~1~相交的棱有*CD*，*C*~1~*D*~1~.故符合条件的有5条．
答案：5
7．在四棱锥*P**ABCD*中，底面*ABCD*为平行四边形，*E*，*F*分别为侧棱*PC*，*PB*的中点，则*EF*与平面*PAD*的位置关系为\_\_\_\_\_\_\_\_，平面*AEF*与平面*ABCD*的交线是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题易知*EF*∥*BC*，*BC*∥*AD*，所以*EF*∥*AD*，故*EF*∥平面*PAD*，因为*EF*∥*AD*，所以*E*，*F*，*A*，*D*四点共面，所以*AD*为平面*AEF*与平面*ABCD*的交线．
答案：平行 *AD*
8.如图所示，在空间四边形*ABCD*中，点*E*，*H*分别是边*AB*，*AD*的中点，点*F*，*G*分别是边*BC*，*CD*上的点，且＝＝，有以下四个结论．
①*EF*与*GH*平行；
②*EF*与*GH*异面；
③*EF*与*GH*的交点*M*可能在直线*AC*上，也可能不在直线*AC*上；
④*EF*与*GH*的交点*M*一定在直线*AC*上．
其中正确结论的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图所示．连接*EH*，*FG*，
依题意，可得*EH*∥*BD*，*FG*∥*BD*，
故*EH*∥*FG*，所以*E*，*F*，*G*，*H*共面．
因为*EH*＝*BD*，*FG*＝*BD*，故*EH*≠*FG*，
所以*EFGH*是梯形，*EF*与*GH*必相交，设交点为*M*.因为点*M*在*EF*上，
故点*M*在平面*ACB*上．同理，点*M*在平面*ACD*上，
所以点*M*是平面*ACB*与平面*ACD*的交点，
又*AC*是这两个平面的交线，
所以点*M*一定在直线*AC*上．
答案：④
9.如图所示，正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*M*，*N*分别是*A*~1~*B*~1~，*B*~1~*C*~1~的中点．
(1)*AM*和*CN*是否共面？说明理由；
(2)*D*~1~*B*和*CC*~1~是否是异面直线？说明理由．
解：(1)*AM*和*CN*共面，理由如下：
连接*MN*，*A*~1~*C*~1~，*AC*.
∵*M*，*N*分别是*A*~1~*B*~1~，*B*~1~*C*~1~的中点，
∴*MN∥A*~1~*C*~1~.
又∵*A*~1~*A*綊*C*~1~*C*，
∴四边形*A*~1~*ACC*~1~为平行四边形，
∴*A*~1~*C*~1~∥*AC*，∴*MN*∥*AC*，
∴*AM*和*CN*在同一平面内．
(2)*D*~1~*B*和*CC*~1~是异面直线．
理由如下：
假设*D*~1~*B*与*CC*~1~不是异面直线，
则存在平面*α*，使*D*~1~*B*⊂平面*α*，*CC*~1~⊂平面*α*，
∴*D*~1~，*B*，*C*，*C*~1~∈*α*，与*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~是正方体矛盾，
∴假设不成立，∴*D*~1~*B*与*CC*~1~是异面直线．
10.如图所示，四边形*ABEF*和四边形*ABCD*都是梯形，*BC*綊*AD*，*BE*綊*FA*，*G*，*H*分别为*FA*，*FD*的中点．
(1)证明：四边形*BCHG*是平行四边形；
(2)*C*，*D*，*F*，*E*四点是否共面？说明理由．
解：(1)证明：因为*FG*＝*GA*，*FH*＝*HD*，所以*GH*綊*AD*，
又因为*BC*綊*AD*，所以*GH*綊*BC*，
所以四边形*BCHG*是平行四边形．
(2)*C*，*D*，*F*，*E*四点共面，理由如下：
法一：由*BE*綊*AF*，*G*为*FA*中点知*BE*綊*GF*，
所以四边形*BEFG*为平行四边形，所以*EF*∥*BG*.
由(1)知*BG*∥*CH*，所以*EF*∥*CH*，
所以*EF*与*CH*共面．
又*D*∈*FH*，所以*C*，*D*，*F*，*E*四点共面．
法二：延长*FE*，*DC*分别与*AB*交于点*M*，*M*′(图略)．
因为*BE*綊*AF*，所以*B*为*MA*的中点．
因为*BC*綊*AD*，所以*B*为*M*′*A*的中点．
所以*M*与*M*′重合，即*FE*与*DC*交于点*M*(*M*′)，
所以*C*，*D*，*F*，*E*四点共面．
第四节 直线、平面平行的判定与性质
一、基础知识
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
+-----------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+-------------------------------------------+
| | 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
+-----------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+-------------------------------------------+
| 判定定理❶ | 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) |  | ∵*l*∥*a*，*a*⊂*α*， |
| | | | |
| | | | *l*⊄*α*，∴*l*∥*α* |
+-----------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+-------------------------------------------+
| 性质定理 | 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为"线面平行⇒线线平行") |  | ∵*l*∥*α*，*l*⊂*β*，*α*∩*β*＝*b*，∴*l*∥*b* |
+-----------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+-------------------------------------------+
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
+-----------+---------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+------------------------------------------------+
| | 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
+-----------+---------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+------------------------------------------------+
| 判定定理❷ | 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为"线面平行⇒面面平行") |  | ∵*a*∥*β*， |
| | | | |
| | | | *b*∥*β*， |
| | | | |
| | | | *a*∩*b*＝*P*，*a*⊂*α*， |
| | | | |
| | | | *b*⊂*α*， |
| | | | |
| | | | ∴*α*∥*β* |
+-----------+---------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+------------------------------------------------+
| 性质定理 | 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 |  | ∵*α*∥*β*，*α*∩*γ*＝*a*，*β*∩*γ*＝*b*，∴*a*∥*b* |
+-----------+---------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------+------------------------------------------------+
二、常用结论
平面与平面平行的三个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
考点一 直线与平面平行的判定与性质
考法(一) 直线与平面平行的判定
\[典例\] 如图，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，点*M*，*N*分别为线段*A*~1~*B*，*AC*~1~的中点．求证：*MN*∥平面*BB*~1~*C*~1~*C*.
\[证明\] 如图，连接*A*~1~*C*.在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，侧面*AA*~1~*C*~1~*C*为平行四边形．
又因为*N*为线段*AC*~1~的中点，所以*A*~1~*C*与*AC*~1~相交于点*N*，即*A*~1~*C*经过点*N*，且*N*为线段*A*~1~*C*的中点．
因为*M*为线段*A*~1~*B*的中点，所以*MN*∥*BC*.
又因为*MN*⊄平面*BB*~1~*C*~1~*C*，*BC*⊂平面*BB*~1~*C*~1~*C*，
所以*MN*∥平面*BB*~1~*C*~1~*C*.
考法(二) 线面平行性质定理的应用
\[典例\] (2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*E*为线段*AD*上的任意一点(不包括*A*，*D*两点)，平面*CEC*~1~与平面*BB*~1~*D*交于*FG*.
求证：*FG*∥平面*AA*~1~*B*~1~*B*.
\[证明\] 在四棱柱*ABCD* *A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*BB*~1~∥*CC*~1~，*BB*~1~⊂平面*BB*~1~*D*，*CC*~1~⊄平面*BB*~1~*D*，
所以*CC*~1~∥平面*BB*~1~*D*.
又*CC*~1~⊂平面*CEC*~1~，平面*CEC*~1~与平面*BB*~1~*D*交于*FG*，
所以*CC*~1~∥*FG*.
因为*BB*~1~∥*CC*~1~，所以*BB*~1~∥*FG*.
因为*BB*~1~⊂平面*AA*~1~*B*~1~*B*，*FG*⊄平面*AA*~1~*B*~1~*B*，
所以*FG*∥平面*AA*~1~*B*~1~*B*.
\[题组训练\]
1．(2018·浙江高考)已知平面*α*，直线*m*，*n*满足*m*⊄*α*，*n*⊂*α*，则"*m*∥*n*"是"*m*∥*α*"的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵若*m*⊄*α*，*n*⊂*α*，且*m*∥*n*，由线面平行的判定定理知*m*∥*α*，但若*m*⊄*α*，*n*⊂*α*，且*m*∥*α*，则*m*与*n*有可能异面，∴"*m*∥*n*"是"*m*∥*α*"的充分不必要条件．
2．如图，在四棱锥*P**ABCD*中，*AB*∥*CD*，*AB*＝2，*CD*＝3，*M*为*PC*上一点，且*PM*＝2*MC*.
求证：*BM*∥平面*PAD*.
证明：法一：如图，过点*M*作*MN*∥*CD*交*PD*于点*N*，连接*AN*.
∵*PM*＝2*MC*，∴*MN*＝*CD*.
又*AB*＝*CD*，且*AB*∥*CD*，
∴*AB*綊*MN*，
∴四边形*ABMN*为平行四边形，
∴*BM*∥*AN*.
又*BM*⊄平面*PAD*，*AN*⊂平面*PAD*，
∴*BM*∥平面*PAD*.
法二：如图，过点*M*作*MN*∥*PD*交*CD*于点*N*，连接*BN*.
∵*PM*＝2*MC*，∴*DN*＝2*NC*，
又*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，
∴*AB*綊*DN*，
∴四边形*ABND*为平行四边形，
∴*BN*∥*AD*.
∵*BN*⊂平面*MBN*，*MN*⊂平面*MBN*，*BN*∩*MN*＝*N*，
*AD*⊂平面*PAD*，*PD*⊂平面*PAD*，*AD*∩*PD*＝*D*，
∴平面*MBN*∥平面*PAD*.
∵*BM*⊂平面*MBN*，∴*BM*∥平面*PAD*.
3.如图所示，四边形*ABCD*是平行四边形，点*P*是平面*ABCD*外一点，*M*是*PC*的中点，在*DM*上取一点*G*，过*G*和*PA*作平面*PAHG*交平面*BMD*于*GH*.
求证：*PA*∥*GH*.
证明：如图所示，连接*AC*交*BD*于点*O*，连接*MO*，
∵四边形*ABCD*是平行四边形，
∴*O*是*AC*的中点，
又*M*是*PC*的中点，∴*PA*∥*MO*.
又*MO* ⊂平面*BMD*，*PA*⊄平面*BMD*，
∴*PA*∥平面*BMD*.
∵平面*PAHG*∩平面*BMD*＝*GH*，
*PA*⊂平面*PAHG*，
∴*PA*∥*GH*.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
\[典例\] 如图，在三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*E*，*F*，*G*，*H*分别是*AB*，*AC*，*A*~1~*B*~1~，*A*~1~*C*~1~的中点，求证：
(1)*B*，*C*，*H*，*G*四点共面；
(2)平面*EFA*~1~∥平面*BCHG*.
\[证明\] (1)∵*GH*是△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中位线，
∴*GH*∥*B*~1~*C*~1~.
又∵*B*~1~*C*~1~∥*BC*，∴*GH*∥*BC*，
∴*B*，*C*，*H*，*G*四点共面．
(2)∵*E*，*F*分别为*AB*，*AC*的中点，
∴*EF*∥*BC*，
∵*EF*⊄平面*BCHG*，*BC*⊂平面*BCHG*，
∴*EF*∥平面*BCHG*.
∵*A*~1~*G*綊*EB*，
∴四边形*A*~1~*EBG*是平行四边形，
∴*A*~1~*E*∥*GB*.
∵*A*~1~*E*⊄平面*BCHG*，*GB*⊂平面*BCHG*，
∴*A*~1~*E*∥平面*BCHG*.
∵*A*~1~*E*∩*EF*＝*E*，
∴平面*EFA*~1~∥平面*BCHG*.
\[变透练清\]
1.()在本例条件下，若*D*~1~，*D*分别为*B*~1~*C*~1~，*BC*的中点，求证：平面*A*~1~*BD*~1~∥平面*AC*~1~*D*.
证明：如图所示，连接*A*~1~*C*，*AC*~1~，
设交点为*M*，
∵四边形*A*~1~*ACC*~1~是平行四边形，
∴*M*是*A*~1~*C*的中点，连接*MD*，
∵*D*为*BC*的中点，∴*A*~1~*B*∥*DM*.
∵*DM*⊄平面*A*~1~*BD*~1~，*A*~1~*B*⊂平面*A*~1~*BD*~1~，
∴*DM*∥平面*A*~1~*BD*~1~.
又由三棱柱的性质知*D*~1~*C*~1~綊*BD*，
∴四边形*BDC*~1~*D*~1~为平行四边形，
∴*DC*~1~∥*BD*~1~.
又*DC*~1~⊄平面*A*~1~*BD*~1~，*BD*~1~⊂平面*A*~1~*BD*~1~，
∴*DC*~1~∥平面*A*~1~*BD*~1~，
又∵*DC*~1~∩*DM*＝*D*，*DC*~1~⊂平面*AC*~1~*D*，*DM*⊂平面*AC*~1~*D*，
∴平面*A*~1~*BD*~1~∥平面*AC*~1~*D*.
2．如图，四边形*ABCD*与四边形*ADEF*为平行四边形，*M*，*N*，*G*分别是*AB*，*AD*，*EF*的中点，求证：
(1)*BE*∥平面*DMF*；
(2)平面*BDE*∥平面*MNG*.
证明：(1)如图，连接*AE*，设*DF*与*GN*的交点为*O*，
则*AE*必过*DF*与*GN*的交点*O*.
连接*MO*，则*MO*为△*ABE*的中位线，
所以*BE*∥*MO*.
又*BE*⊄平面*DMF*，*MO*⊂平面*DMF*，
所以*BE*∥平面*DMF*.
(2)因为*N*，*G*分别为平行四边形*ADEF*的边*AD*，*EF*的中点，
所以*DE*∥*GN*.
又*DE*⊄平面*MNG*，*GN*⊂平面*MNG*，
所以*DE*∥平面*MNG*.
又*M*为*AB*中点，
所以*MN*为△*ABD*的中位线，
所以*BD*∥*MN*.
又*BD*⊄平面*MNG*，*MN*⊂平面*MNG*，
所以*BD*∥平面*MNG*.
又*DE*⊂平面*BDE*，*BD*⊂平面*BDE*，*DE*∩*BD*＝*D*，
所以平面*BDE*∥平面*MNG*.
A级
1．已知直线*a*与直线*b*平行，直线*a*与平面*α*平行，则直线*b*与*α*的关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线*b*在平面*α*内 D．平行或直线*b*在平面*α*内
解析：选D 依题意，直线*a*必与平面*α*内的某直线平行，又*a*∥*b*，因此直线*b*与平面*α*的位置关系是平行或直线*b*在平面*α*内．
2．若平面*α*∥平面*β*，直线*a*∥平面*α*，点*B*∈*β*，则在平面*β*内且过*B*点的所有直线中
( )
A．不一定存在与*a*平行的直线
B．只有两条与*a*平行的直线
C．存在无数条与*a*平行的直线
D．存在唯一与*a*平行的直线
解析：选A 当直线*a*在平面*β*内且过*B*点时，不存在与*a*平行的直线，故选A.
3．在空间四边形*ABCD*中，*E*，*F*分别是*AB*和*BC*上的点，若*AE*∶*EB*＝*CF*∶*FB*＝1∶2，则对角线*AC*和平面*DEF*的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析：选A 如图，由＝得*AC*∥*EF*.
又因为*EF*⊂平面*DEF*，*AC*⊄平面*DEF*，
所以*AC*∥平面*DEF*.
4．(2019·重庆六校联考)设*a*，*b*是两条不同的直线，*α*，*β*是两个不同的平面，则*α*∥*β*的一个充分条件是( )
A．存在一条直线*a*，*a*∥*α*，*a*∥*β*
B．存在一条直线*a*，*a*⊂*α*，*a*∥*β*
C．存在两条平行直线*a*，*b*，*a*⊂*α*，*b*⊂*β*，*a*∥*β*，*b*∥*α*
D．存在两条异面直线*a*，*b*，*a*⊂*α*，*b*⊂*β*，*a*∥*β*，*b*∥*α*
解析：选D 对于选项A，若存在一条直线*a*，*a*∥*α*，*a*∥*β*，则*α*∥*β*或*α*与*β*相交，若*α*∥*β*，则存在一条直线*a*，使得*a*∥*α*，*a*∥*β*，所以选项A的内容是*α*∥*β*的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是*α*∥*β*的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有*α*∥*β*，所以选项D的内容是*α*∥*β*的一个充分条件．故选D.
5.如图，透明塑料制成的长方体容器*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~内灌进一些水，固定容器底面一边*BC*于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面*EFGH*所在四边形的面积为定值；
③棱*A*~1~*D*~1~始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，*BE*·*BF*是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵*A*~1~*D*~1~∥*BC*，*BC*∥*FG*，
∴*A*~1~*D*~1~∥*FG*且*A*~1~*D*~1~⊄平面*EFGH*，*FG*⊂平面*EFGH*，
∴*A*~1~*D*~1~∥平面*EFGH*(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积*V*)，
∴*S*~△*BEF*~·*BC*＝*V*，即*BE*·*BF*·*BC*＝*V*.
∴*BE*·*BF*＝(定值)，即④是正确的，故选C.
6.如图，平面*α*∥平面*β*，△*PAB*所在的平面与*α*，*β*分别交于*CD*，*AB*，若*PC*＝2，*CA*＝3，*CD*＝1，则*AB*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵平面*α*∥平面*β*，∴*CD*∥*AB*，
则＝，∴*AB*＝＝＝.
答案：
7．设*α*，*β*，*γ*是三个平面，*a*，*b*是两条不同直线，有下列三个条件：
①*a*∥*γ*，*b*⊂*β*；②*a*∥*γ*，*b*∥*β*；③*b*∥*β*，*a*⊂*γ*.
如果命题"*α*∩*β*＝*a*，*b*⊂*γ*，且\_\_\_\_\_\_\_\_，则*a*∥*b*"为真命题，则可以在横线处填入的条件是\_\_\_\_\_\_\_\_(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当*b*∥*β*，*a*⊂*γ*时，*a*和*b*在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案：①或③
8．在三棱锥*P**ABC*中，*PB*＝6，*AC*＝3，*G*为△*PAC*的重心，过点*G*作三棱锥的一个截面，使截面平行于*PB*和*AC*，则截面的周长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，过点*G*作*EF*∥*AC*，分别交*PA*，*PC*于点*E*，*F*，过点*E*作*EN*∥*PB*交*AB*于点*N*，过点*F*作*FM*∥*PB*交*BC*于点*M*，连接*MN*，则四边形*EFMN*是平行四边形(平面*EFMN*为所求截面)，且*EF*＝*MN*＝*AC*＝2，*FM*＝*EN*＝*PB*＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
9.如图，*E*，*F*，*G*，*H*分别是正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱*BC*，*CC*~1~，*C*~1~*D*~1~，*AA*~1~的中点．求证：
(1)*EG*∥平面*BB*~1~*D*~1~*D*；
(2)平面*BDF*∥平面*B*~1~*D*~1~*H*.
证明：(1)如图，取*B*~1~*D*~1~的中点*O*，连接*GO*，*OB*，
因为*OG*綊*B*~1~*C*~1~，*BE*綊*B*~1~*C*~1~，
所以*BE*綊*OG*，
所以四边形*BEGO*为平行四边形，
故*OB*∥*EG*，
因为*OB*⊂平面*BB*~1~*D*~1~*D*，
*EG*⊄平面*BB*~1~*D*~1~*D*，
所以*EG*∥平面*BB*~1~*D*~1~*D*.
(2)由题意可知*BD*∥*B*~1~*D*~1~.
连接*HB*，*D*~1~*F*，因为*BH*綊*D*~1~*F*，
所以四边形*HBFD*~1~是平行四边形，
故*HD*~1~∥*BF*.
又*B*~1~*D*~1~∩*HD*~1~＝*D*~1~，*BD*∩*BF*＝*B*，
所以平面*BDF*∥平面*B*~1~*D*~1~*H*.
10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥*P**ABCD*中，∠*ABC*＝ ∠*ACD*＝90°，∠*BAC*＝∠*CAD*＝60°，*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*＝2，*AB*＝1.设*M*，*N*分别为*PD*，*AD*的中点．
(1)求证：平面*CMN*∥平面*PAB*；
(2)求三棱锥*P**ABM*的体积．
解：(1)证明：∵*M*，*N*分别为*PD*，*AD*的中点，
∴*MN*∥*PA*，
又*MN*⊄平面*PAB*，*PA*⊂平面*PAB*，
∴*MN*∥平面*PAB*.
在Rt△*ACD*中，∠*CAD*＝60°，*CN*＝*AN*，
∴∠*ACN*＝60°.
又∠*BAC*＝60°，∴*CN*∥*AB*.
∵*CN*⊄平面*PAB*，*AB*⊂平面*PAB*，
∴*CN*∥平面*PAB*.
又*CN*∩*MN*＝*N*，
∴平面*CMN*∥平面*PAB*.
(2)由(1)知，平面*CMN*∥平面*PAB*，
∴点*M*到平面*PAB*的距离等于点*C*到平面*PAB*的距离．
∵*AB*＝1，∠*ABC*＝90°，∠*BAC*＝60°，∴*BC*＝，
∴三棱锥*P**ABM*的体积*V*＝*V~M~*~*PAB*~＝*V~C~*~*PAB*~＝*V~P~*~*ABC*~＝××1××2＝.
B级
1.如图，四棱锥*P**ABCD*中，*PA*⊥底面*ABCD*，*AD*∥*BC*，*AB*＝*AD*＝*AC*＝3，*PA*＝*BC*＝4，*M*为线段*AD*上一点，*AM*＝2*MD*，*N*为*PC*的中点．
(1)求证：*MN*∥平面*PAB*；
(2)求四面体*N**BCM*的体积．
解：(1)证明：由已知得*AM*＝*AD*＝2.
取*BP*的中点*T*，连接*AT*，*TN*，
由*N*为*PC*的中点知*TN*∥*BC*，
*TN*＝*BC*＝2.
又*AD*∥*BC*，故*TN*綊*AM*，四边形*AMNT*为平行四边形，于是*MN*∥*AT*.
因为*AT*⊂平面*PAB*，*MN*⊄平面*PAB*，
所以*MN*∥平面*PAB*.
(2)因为*PA*⊥平面*ABCD*，*N*为*PC*的中点，所以*N*到平面*ABCD*的距离为*PA*.
取*BC*的中点*E*，连接*AE*.
由*AB*＝*AC*＝3，得*AE*⊥*BC*，*AE*＝＝.
由*AM*∥*BC*得*M*到*BC*的距离为，
故*S*~△*BCM*~＝×4×＝2.
所以四面体*N**BCM*的体积*V~N~*~*BCM*~＝×*S*~△*BCM*~×＝.
2.如图所示，几何体*E**ABCD*是四棱锥，△*ABD*为正三角形，*CB*＝*CD*，*EC*⊥*BD*.
(1)求证：*BE*＝*DE*；
(2)若∠*BCD*＝120°，*M*为线段*AE*的中点，求证：*DM*∥平面*BEC*.
证明：(1)如图所示，取*BD*的中点*O*，连接*OC*，*OE*.
∵*CB*＝*CD*，∴*CO*⊥*BD*.
又∵*EC*⊥*BD*，*EC*∩*CO*＝*C*，
∴*BD*⊥平面*OEC*，∴*BD*⊥*EO*.
又∵*O*为*BD*中点．
∴*OE*为*BD*的中垂线，∴*BE*＝*DE*.
(2)取*BA*的中点*N*，连接*DN*，*MN*.
∵*M*为*AE*的中点，∴*MN*∥*BE*.
∵△*ABD*为等边三角形，*N*为*AB*的中点，
∴*DN*⊥*AB*.
∵∠*DCB*＝120°，*DC*＝*BC*，
∴∠*OBC*＝30°，∴∠*CBN*＝90°，即*BC*⊥*AB*，
∴*DN*∥*BC*.
∵*DN*∩*MN*＝*N*，*BC*∩*BE*＝*B*，
∴平面*MND*∥平面*BEC*.
又∵*DM*⊂平面*MND*，
∴*DM*∥平面*BEC*.
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
一、基础知识
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线*l*与平面*α*内的任意一条直线都垂直，
就说直线*l*与平面*α*互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
---------- ------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直^❶^，则该直线与此平面垂直  ⇒*l*⊥*α*
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行  ⇒*a*∥*b*
---------- ------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
---------- ------------------------------------------------------------ -------------------------------------- ----------
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线^❷^，则这两个平面垂直  ⇒*α*⊥*β*
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直  ⇒*l*⊥*α*
---------- ------------------------------------------------------------ -------------------------------------- ----------
\[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．\]
二、常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
\[典例\] 如图，在四棱锥*P**ABCD*中，*PA*⊥底面*ABCD*，*AB*⊥*AD*，*AC*⊥*CD*，∠*ABC*＝60°，*PA*＝*AB*＝*BC*，*E*是*PC*的中点．求证：
(1)*CD*⊥*AE*；
(2)*PD*⊥平面*ABE*.
\[证明\] (1)在四棱锥*P**ABCD*中，
∵*PA*⊥底面*ABCD*，*CD*⊂底面*ABCD*，
∴*PA*⊥*CD*，
又∵*AC*⊥*CD*，且*PA*∩*AC*＝*A*，
∴*CD*⊥平面*PAC*.∵*AE*⊂平面*PAC*，
∴*CD*⊥*AE*.
(2)由*PA*＝*AB*＝*BC*，∠*ABC*＝60°，可得*AC*＝*PA*.
∵*E*是*PC*的中点，∴*AE*⊥*PC*.
由(1)知*AE*⊥*CD*，且*PC*∩*CD*＝*C*，
∴*AE*⊥平面*PCD*.
∵*PD*⊂平面*PCD*，∴*AE*⊥*PD*.
∵*PA*⊥底面*ABCD*，*AB*⊂底面*ABCD*，∴*PA*⊥*AB*.
又∵*AB*⊥*AD*，且*PA*∩*AD*＝*A*，
∴*AB*⊥平面*PAD*，
∵*PD*⊂平面*PAD*，
∴*AB*⊥*PD*.
又∵*AB*∩*AE*＝*A*，∴*PD*⊥平面*ABE*.
\[解题技法\] 证明线面垂直的4种方法
(1)线面垂直的判定定理：*l*⊥*a*，*l*⊥*b*，*a*⊂*α*，*b*⊂*α*，*a*∩*b*＝*P*⇒*l*⊥*α*.
(2)面面垂直的性质定理：*α*⊥*β*，*α*∩*β*＝*l*，*a*⊂*α*，*a*⊥*l*⇒*a*⊥*β*.
(3)性质：①*a*∥*b*，*b*⊥*α*⇒*a*⊥*α*，②*α*∥*β*，*a*⊥*β*⇒*a*⊥*α*.
(4)*α*⊥*γ*，*β*⊥*γ*，*α*∩*β*＝*l*⇒*l*⊥*γ*.(客观题可用)
\[口诀归纳\]
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清.
平面之内两直线，两线相交于一点，
面外还有一直线，垂直两线是条件.
\[题组训练\]
1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*＝*BC*＝*BB*~1~，*AB*~1~∩*A*~1~*B*＝*E*，*D*为*AC*上的点，*B*~1~*C*∥平面*A*~1~*BD*.
(1)求证：*BD*⊥平面*A*~1~*ACC*~1~；
(2)若*AB*＝1，且*AC*·*AD*＝1，求三棱锥*A**BCB*~1~的体积．
解： (1)证明：如图，连接*ED*，
∵平面*AB*~1~*C*∩平面*A*~1~*BD*＝*ED*，*B*~1~*C*∥平面*A*~1~*BD*，
∴*B*~1~*C*∥*ED*，
∵*E*为*AB*~1~的中点，
∴*D*为*AC*的中点，
∵*AB*＝*BC*，∴*BD*⊥*AC*.
∵*A*~1~*A*⊥平面*ABC*，*BD*⊂平面*ABC*，∴*A*~1~*A*⊥*BD*.
又∵*A*~1~*A*，*AC*是平面*A*~1~*ACC*~1~内的两条相交直线，
∴*BD*⊥平面*A*~1~*ACC*~1~.
(2)由*AB*＝1，得*BC*＝*BB*~1~＝1，
由(1)知*AD*＝*AC*，又*AC*·*AD*＝1，∴*AC*^2^＝2，
∴*AC*^2^＝2＝*AB*^2^＋*BC*^2^，∴*AB*⊥*BC*，
∴*S*~△*ABC*~＝*AB*·*BC*＝，
∴*V~A~*~*BCB*1~＝*VB*~1~*ABC*＝*S*~△*ABC*~·*BB*~1~＝××1＝.
2.如图，*S*是Rt△*ABC*所在平面外一点，且*SA*＝*SB*＝*SC*，*D*为斜边*AC*的中点．
(1)求证：*SD*⊥平面*ABC*；
(2)若*AB*＝*BC*，求证：*BD*⊥平面*SAC*.
证明：(1)如图所示，取*AB*的中点*E*，连接*SE*，*DE*，
在Rt△*ABC*中，*D*，*E*分别为*AC*，*AB*的中点．
∴*DE*∥*BC*，∴*DE*⊥*AB*，
∵*SA*＝*SB*，∴*SE*⊥*AB*.
又*SE*∩*DE*＝*E*，∴*AB*⊥平面*SDE*.
又*SD*⊂平面*SDE*，∴*AB*⊥*SD*.
在△*SAC*中，∵*SA*＝*SC*，*D*为*AC*的中点，∴*SD*⊥*AC*.
又*AC*∩*AB*＝*A*，∴*SD*⊥平面*ABC*.
(2)∵*AB*＝*BC*，∴*BD*⊥*AC*，
由(1)可知，*SD*⊥平面*ABC*，又*BD*⊂平面*ABC*，
∴*SD*⊥*BD*，
又*SD*∩*AC*＝*D*，∴*BD*⊥平面*SAC*.
\[典例\] (2018·江苏高考)在平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AA*~1~＝*AB*，*AB*~1~⊥*B*~1~*C*~1~.
求证：(1)*AB*∥平面*A*~1~*B*~1~*C*；
(2)平面*ABB*~1~*A*~1~⊥平面*A*~1~*BC*.
\[证明\] (1)在平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，
*AB*∥*A*~1~*B*~1~.
因为*AB*⊄平面*A*~1~*B*~1~*C*，*A*~1~*B*~1~⊂平面*A*~1~*B*~1~*C*，
所以*AB*∥平面*A*~1~*B*~1~*C*.
(2)在平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，
四边形*ABB*~1~*A*~1~为平行四边形．
又因为*AA*~1~＝*AB*，所以四边形*ABB*~1~*A*~1~为菱形，
因此*AB*~1~⊥*A*~1~*B*.
因为*AB*~1~⊥*B*~1~*C*~1~，*BC*∥*B*~1~*C*~1~，
所以*AB*~1~⊥*BC*.
因为*A*~1~*B*∩*BC*＝*B*，*A*~1~*B*⊂平面*A*~1~*BC*，*BC*⊂平面*A*~1~*BC*，
所以*AB*~1~⊥平面*A*~1~*BC*.
因为*AB*~1~⊂平面*ABB*~1~*A*~1~，
所以平面*ABB*~1~*A*~1~⊥平面*A*~1~*BC*.
\[解题技法\] 证明面面垂直的2种方法
-------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题
定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决
-------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[题组训练\]
1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥*P**ABC*中，底面*ABC*是边长为2的正三角形，*PA*⊥*PC*，*PB*＝2.
求证：平面*PAC*⊥平面*ABC*.
证明：取*AC*的中点*O*，连接*BO*，*PO*.
因为△*ABC*是边长为2的正三角形，
所以*BO*⊥*AC*，*BO*＝.
因为*PA*⊥*PC*，所以*PO*＝*AC*＝1.
因为*PB*＝2，所以*OP*^2^＋*OB*^2^＝*PB*^2^，所以*PO*⊥*OB*.
因为*AC*∩*OP*＝*O*，
所以*BO*⊥平面*PAC*.
又*OB*⊂平面*ABC*，
所以平面*PAC*⊥平面*ABC*.
2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥*P**ABCD*的底面是矩形，*PA*⊥平面*ABCD*，*E*，*F*分别是*AB*，*PD*的中点，且*PA*＝*AD*.
求证：(1)*AF*∥平面*PEC*；
(2)平面*PEC*⊥平面*PCD*.
证明：(1)取*PC*的中点*G*，连接*FG*，*EG*，
∵*F*为*PD*的中点，*G*为*PC*的中点，
∴*FG*为△*CDP*的中位线，
∴*FG*∥*CD*，*FG*＝*CD*.
∵四边形*ABCD*为矩形，*E*为*AB*的中点，
∴*AE*∥*CD*，*AE*＝*CD*.
∴*FG*＝*AE*，*FG*∥*AE*，
∴四边形*AEGF*是平行四边形，
∴*AF*∥*EG*，又*EG*⊂平面*PEC*，*AF*⊄平面*PEC*，
∴*AF*∥平面*PEC*.
(2)∵*PA*＝*AD*，*F*为*PD*中点，∴*AF*⊥*PD*，
∵*PA*⊥平面*ABCD*，*CD*⊂平面*ABCD*，
∴*PA*⊥*CD*，
又∵*CD*⊥*AD*，*AD*∩*PA*＝*A*，
∴*CD*⊥平面*PAD*，
∵*AF*⊂平面*PAD*，
∴*CD*⊥*AF*.
又*PD*∩*CD*＝*D*，
∴*AF*⊥平面*PCD*.
由(1)知*EG*∥*AF*，
∴*EG*⊥平面*PCD*，
又*EG*⊂平面*PEC*，
∴平面*PEC*⊥平面*PCD*.
A级
1．设*a*，*b*是两条不同的直线，*α*，*β*是两个不同的平面，则能得出*a*⊥*b*的是( )
A．*a*⊥*α*，*b*∥*β*，*α*⊥*β* B．*a*⊥*α*，*b*⊥*β*，*α*∥*β*
C．*a*⊂*α*，*b*⊥*β*，*α*∥*β* D．*a*⊂*α*，*b*∥*β*，*α*⊥*β*
解析：选C 对于C项，由*α*∥*β*，*a*⊂*α*可得*a*∥*β*，又*b*⊥*β*，得*a*⊥*b*，故选C.
2．(2019·湘东五校联考)已知直线*m*，*l*，平面*α*，*β*，且*m*⊥*α*，*l*⊂*β*，给出下列命题：
①若*α*∥*β*，则*m*⊥*l*；②若*α*⊥*β*，则*m*∥*l*；
③若*m*⊥*l*，则*α*⊥*β*；④若*m*∥*l*，则*α*⊥*β*.
其中正确的命题是( )
A．①④ B．③④
C．①② D．①③
解析：选A 对于①，若*α*∥*β*，*m*⊥*α*，*l*⊂*β*，则*m*⊥*l*，故①正确，排除B.对于④，若*m*∥*l*，*m*⊥*α*，则*l*⊥*α*，又*l*⊂*β*，所以*α*⊥*β*.故④正确．故选A.
3．已知*PA*垂直于以*AB*为直径的圆所在的平面，*C*为圆上异于*A*，*B*两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．*PA*⊥*BC* B．*BC*⊥平面*PAC*
C．*AC*⊥*PB* D．*PC*⊥*BC*
解析：选C 由*PA*⊥平面*ACB*⇒*PA*⊥*BC*，故A不符合题意；由*BC*⊥*PA*，*BC*⊥*AC*，*PA*∩*AC*＝*A*，可得*BC*⊥平面*PAC*，所以*BC*⊥*PC*，故B、D不符合题意；*AC*⊥*PB*显然不成立，故C符合题意．
4.如图，在四面体*ABCD*中，已知*AB*⊥*AC*，*BD*⊥*AC*，那么点*D*在平面*ABC*内的射影*H*必在( )
A．直线*AB*上 B．直线*BC*上
C．直线*AC*上 D．△*ABC*内部
解析：选A 因为*AB*⊥*AC*，*BD*⊥*AC*，*AB*∩*BD*＝*B*，所以*AC*⊥平央*ABD*，又*AC*⊂平面*ABC*，所以平面*ABC*⊥平面*ABD*，所以点*D*在平面*ABC*内的射影*H*必在直线*AB*上．
5.如图，在正四面体*P**ABC*中，*D*，*E*，*F*分别是*AB*，*BC*，*CA*的中点，则下面四个结论不成立的是( )
A．*BC*∥平面*PDF*
B．*DF*⊥平面*PAE*
C．平面*PDF*⊥平面*PAE*
D．平面*PDE*⊥平面*ABC*
解析：选D 因为*BC*∥*DF*，*DF*⊂平面*PDF*，*BC*⊄平面*PDF*，所以*BC*∥平面*PDF*，故选项A正确．
在正四面体中，*AE*⊥*BC*，*PE*⊥*BC*，*AE*∩*PE*＝*E*，
所以*BC*⊥平面*PAE*，又*DF*∥*BC*，则*DF*⊥平面*PAE*，从而平面*PDF*⊥平面*PAE*.因此选项B、C均正确．
6.如图，已知∠*BAC*＝90°，*PC*⊥平面*ABC*，则在△*ABC*，△*PAC*的边所在的直线中，与*PC*垂直的直线有\_\_\_\_\_\_\_\_个；与*AP*垂直的直线有\_\_\_\_\_\_\_\_个．
解析：∵*PC*⊥平面*ABC*，
∴*PC*垂直于直线*AB*，*BC*，*AC*.
∵*AB*⊥*AC*，*AB*⊥*PC*，*AC*∩*PC*＝*C*，
∴*AB*⊥平面*PAC*，
又∵*AP*⊂平面*PAC*，
∴*AB*⊥*AP*，与*AP*垂直的直线是*AB*.
答案：3 1
7．设*α*和*β*为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若*α*内的两条相交直线分别平行于*β*内的两条直线，则*α*∥*β*；
②若*α*外的一条直线*l*与*α*内的一条直线平行，则*l*∥*α*；
③设*α*∩*β*＝*l*，若*α*内有一条直线垂直于*l*，则*α*⊥*β*；
④直线*l*⊥*α*的充要条件是*l*与*α*内的两条直线垂直．
其中所有的真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：①正确；②正确；满足③的*α*与 *β*不一定垂直，所以③错误；直线*l*⊥*α*的充要条件是*l*与*α*内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.
答案：①②
8．在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，平面*α*与棱*AB*，*AC*，*A*~1~*C*~1~，*A*~1~*B*~1~分别交于点*E*，*F*，*G*，*H*，且直线*AA*~1~∥平面*α*.有下列三个命题：①四边形*EFGH*是平行四边形；②平面*α*∥平面*BCC*~1~*B*~1~；③平面*α*⊥平面*BCFE*.其中正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图所示，因为*AA*~1~∥平面*α*，平面*α*∩平面*AA*~1~*B*~1~*B*＝*EH*，所以*AA*~1~∥*EH*.同理*AA*~1~∥*GF*，所以*EH*∥*GF*，又*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~是直三棱柱，易知*EH*＝*GF*＝*AA*~1~，所以四边形*EFGH*是平行四边形，故①正确；若平面*α*∥平面*BB*~1~*C*~1~*C*，由平面*α*∩平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~＝*GH*，平面*BCC*~1~*B*~1~∩平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~＝*B*~1~*C*~1~，知*GH*∥*B*~1~*C*~1~，而*GH*∥*B*~1~*C*~1~不一定成立，故②错误；由*AA*~1~⊥平面*BCFE*，结合*AA*~1~∥*EH*知*EH*⊥平面*BCFE*，又*EH*⊂平面*α*，所以平面*α*⊥平面*BCFE*，故③正确．
答案：①③
9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥*P**ABCD*中，底面*ABCD*是菱形，∠*BAD*＝60°，*PA*＝*PD*＝*AD*＝2，点*M*在线段*PC*上，且*PM*＝2*MC*，*N*为*AD*的中点．
(1)求证：*AD*⊥平面*PNB*；
(2)若平面*PAD*⊥平面*ABCD*，求三棱锥*P**NBM*的体积．
解： (1)证明：连接*BD*.
∵*PA*＝*PD*，*N*为*AD*的中点，
∴*PN*⊥*AD*.
又底面*ABCD*是菱形，∠*BAD*＝60°，
∴△*ABD*为等边三角形，
∴*BN*⊥*AD*，
又*PN*∩*BN*＝*N*，∴*AD*⊥平面*PNB*.
(2)∵*PA*＝*PD*＝*AD*＝2，∴*PN*＝*NB*＝.
又平面*PAD*⊥平面*ABCD*，平面*PAD*∩平面*ABCD*＝*AD*，*PN*⊥*AD*，∴*PN*⊥平面*ABCD*，
∴*PN*⊥*NB*，∴*S*~△*PNB*~＝××＝.
∵*AD*⊥平面*PNB*，*AD*∥*BC*，
∴*BC*⊥平面*PNB*.又*PM*＝2*MC*，
∴*V~P~*~*NBM*~＝*V~M~*~*PNB*~＝*V~C~*~*PNB*~＝×××2＝.
10.如图，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*D*，*E*分别为*AB*，*BC*的中点，点*F*在侧棱*B*~1~*B*上，且*B*~1~*D*⊥*A*~1~*F*，*A*~1~*C*~1~⊥*A*~1~*B*~1~.
求证：(1)直线*DE*∥平面*A*~1~*C*~1~*F*；
(2)平面*B*~1~*DE*⊥平面*A*~1~*C*~1~*F*.
证明：(1)在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AC*∥*A*~1~*C*~1~，
在△*ABC*中，因为*D*，*E*分别为*AB*，*BC*的中点．
所以*DE*∥*AC*，于是*DE*∥*A*~1~*C*~1~，
又因为*DE*⊄平面*A*~1~*C*~1~*F*，*A*~1~*C*~1~⊂平面*A*~1~*C*~1~*F*，
所以直线*DE*∥平面*A*~1~*C*~1~*F*.
(2)在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AA*~1~⊥平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~，
因为*A*~1~*C*~1~⊂平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~，所以*AA*~1~⊥*A*~1~*C*~1~，
又因为*A*~1~*C*~1~⊥*A*~1~*B*~1~，*A*~1~*B*~1~∩*AA*~1~＝*A*~1~，*AA*~1~⊂平面*ABB*~1~*A*~1~，*A*~1~*B*~1~⊂平面*ABB*~1~*A*~1~，
所以*A*~1~*C*~1~⊥平面*ABB*~1~*A*~1~，
因为*B*~1~*D*⊂平面*ABB*~1~*A*~1~，
所以*A*~1~*C*~1~⊥*B*~1~*D*，
又因为*B*~1~*D*⊥*A*~1~*F*，*A*~1~*C*~1~∩*A*~1~*F*＝*A*~1~，*A*~1~*C*~1~⊂平面*A*~1~*C*~1~*F*，*A*~1~*F*⊂平面*A*~1~*C*~1~*F*，
所以*B*~1~*D*⊥平面*A*~1~*C*~1~*F*，
因为直线*B*~1~*D*⊂平面*B*~1~*DE*，
所以平面*B*~1~*DE*⊥平面*A*~1~*C*~1~*F*.
B级
1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥*P**ABC*中，*AB*＝*BC*＝2，*PA*＝*PB*＝*PC*＝*AC*＝4，*O*为*AC*的中点．
(1)证明：*PO*⊥平面*ABC*；
(2)若点*M*在棱*BC*上，且*MC*＝2*MB*，求点*C*到平面*POM*的距离．
解：(1)证明：因为*PA*＝*PC*＝*AC*＝4，*O*为*AC*的中点，
所以*PO*⊥*AC*，且*PO*＝2.
连接*OB*，
因为*AB*＝*BC*＝*AC*，
所以△*ABC*为等腰直角三角形，且*OB*⊥*AC*，*OB*＝*AC*＝2.
所以*PO*^2^＋*OB*^2^＝*PB*^2^，所以*PO*⊥*OB*.
又因为*AC*∩*OB*＝*O*，所以*PO*⊥平面*ABC*.
(2)作*CH*⊥*OM*，垂足为*H*，
又由(1)可得*OP*⊥*CH*，
所以*CH*⊥平面*POM*.
故*CH*的长为点*C*到平面*POM*的距离．
由题设可知*OC*＝*AC*＝2，*CM*＝*BC*＝，∠*ACB*＝45°，
所以*OM*＝，*CH*＝＝.
所以点*C*到平面*POM*的距离为.
2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥*P**ABCD*中，*AB*∥*CD*，*AB*⊥*AD*，*CD*＝2*AB*，平面*PAD*⊥底面*ABCD*，*PA*⊥*AD*，*E*，*F*分别是*CD*，*PC*的中点．
求证：(1)*BE*∥平面*PAD*；
(2)平面*BEF*⊥平面*PCD*.
证明：(1)∵*AB*∥*CD*，*CD*＝2*AB*，*E*是*CD*的中点，
∴*AB*∥*DE*且*AB*＝*DE*，
∴四边形*ABED*为平行四边形，
∴*AD*∥*BE*，又*BE*⊄平面*PAD*，*AD*⊂平面*PAD*，
∴*BE*∥平面*PAD*.
(2)∵*AB*⊥*AD*，∴四边形*ABED*为矩形，
∴*BE*⊥*CD*，*AD*⊥*CD*，
∵平面*PAD*⊥底面*ABCD*，平面*PAD*∩底面*ABCD*＝*AD*，*PA*⊥*AD*，
∴*PA*⊥底面*ABCD*，
∴*PA*⊥*CD*，又*PA*∩*AD*＝*A*，
∴*CD*⊥平面*PAD*，∴*CD*⊥*PD*，
∵*E*，*F*分别是*CD*，*PC*的中点，
∴*PD*∥*EF*，∴*CD*⊥*EF*，又*EF*∩*BE*＝*E*，
∴*CD*⊥平面*BEF*，
∵*CD*⊂平面*PCD*，∴平面*BEF*⊥平面*PCD*.
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题
\[典例\] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形*ABCD*所在平面与半圆弧所在平面垂直，*M*是上异于*C*，*D*的点．
(1)证明：平面*AMD*⊥平面*BMC*.
(2)在线段*AM*上是否存在点*P*，使得*MC*∥平面*PBD*？说明理由．
\[解\] (1)证明：由题设知，平面*CMD*⊥平面*ABCD*，交线为*CD*.因为*BC*⊥*CD*，*BC*⊂平面*ABCD*，
所以*BC*⊥平面*CMD*，所以*BC*⊥*DM*.
因为*M*为上异于*C*，*D*的点，且*DC*为直径，
所以*DM*⊥*CM*.
又*BC*∩*CM*＝*C*，所以*DM*⊥平面*BMC*.
因为*DM*⊂平面*AMD*，所以平面*AMD*⊥平面*BMC*.
(2)当*P*为*AM*的中点时，*MC*∥平面*PBD*.
证明如下：
连接*AC*交*BD*于*O*.
因为四边形*ABCD*为矩形，
所以*O*为*AC*的中点．
连接*OP*，因为*P*为*AM*的中点，
所以*MC*∥*OP*.
又*MC*⊄平面*PBD*，*OP*⊂平面*PBD*，
所以*MC*∥平面*PBD*.
\[题组训练\]
1.如图，三棱锥*P**ABC*中，*PA*⊥平面*ABC*，*PA*＝1，*AB*＝1，*AC*＝2，∠*BAC*＝60°.
(1)求三棱锥*P**ABC*的体积；
(2)在线段*PC*上是否存在点*M*，使得*AC*⊥*BM*，若存在，请说明理由，并求的值．
解：(1)由题设*AB*＝1，*AC*＝2，∠*BAC*＝60°，
可得*S*~△*ABC*~＝·*AB*·*AC*·sin 60°＝.
由*PA*⊥平面*ABC*，可知*PA*是三棱锥*P**ABC*的高，
又*PA*＝1，
所以三棱锥*P**ABC*的体积*V*＝·*S*~△*ABC*~·*PA*＝.
(2)在线段*PC*上存在点*M*，使得*AC*⊥*BM*，证明如下：
如图，在平面*ABC*内，过点*B*作*BN*⊥*AC*，垂足为*N*.在平面*PAC*内，过点*N*作*MN*∥*PA*交*PC*于点*M*，连接*BM*.
由*PA*⊥平面*ABC*，知*PA*⊥*AC*，
所以*MN*⊥*AC*.
因为*BN*∩*MN*＝*N*，所以*AC*⊥平面*MBN*，
又*BM*⊂平面*MBN*，
所以*AC*⊥*BM*.
在Rt△*BAN*中，*AN*＝*AB*·cos∠*BAC*＝，
从而*NC*＝*AC*－*AN*＝，
由*MN*∥*PA*，得＝＝.
2.如图，在四棱锥*P**ABCD*中，*PD*⊥平面*ABCD*，底面*ABCD*为正方形，*BC*＝*PD*＝2，*E*为*PC*的中点，*CB*＝3*CG*.
(1)求证：*PC*⊥*BC*；
(2)*AD*边上是否存在一点*M*，使得*PA*∥平面*MEG*？若存在，求出*AM*的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为*PD*⊥平面*ABCD*，*BC*⊂平面*ABCD*，
所以*PD*⊥*BC*.
因为四边形*ABCD*是正方形，所以*BC*⊥*CD*.
又*PD*∩*CD*＝*D*，*PD*⊂平面*PCD*，*CD*⊂平面*PCD*，
所以*BC*⊥平面*PCD*.
因为*PC*⊂平面*PCD*，所以*PC*⊥*BC*.
(2)连接*AC*，*BD*交于点*O*，连接*EO*，*GO*，
延长*GO*交*AD*于点*M*，连接*EM*，则*PA*∥平面*MEG*.
证明如下：因为*E*为*PC*的中点，*O*是*AC*的中点，
所以*EO*∥*PA*.
因为*EO*⊂平面*MEG*，*PA*⊄平面*MEG*，所以*PA*∥平面*MEG*.
因为△*OCG*≌△*OAM*，所以*AM*＝*CG*＝，
所以*AM*的长为.
\[典例\] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形*ABCM*中，*AB*＝*AC*＝3，∠*ACM*＝90°.以*AC*为折痕将△*ACM*折起，使点*M*到达点*D*的位置，且*AB*⊥*DA*.
(1)证明：平面*ACD*⊥平面*ABC*；
(2)Q为线段*AD*上一点，*P*为线段*BC*上一点，且*BP*＝*D*Q＝*DA*，求三棱锥Q*ABP*的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠*BAC*＝90°，即*BA*⊥*AC*.
又因为*BA*⊥*AD*，*AC*∩*AD*＝*A*，
所以*AB*⊥平面*ACD*.
因为*AB*⊂平面*ABC*，
所以平面*ACD*⊥平面*ABC*.
(2)由已知可得，*DC*＝*CM*＝*AB*＝3，*DA*＝3.
又*BP*＝*D*Q＝*DA*，所以*BP*＝2.
如图，过点Q作Q*E*⊥*AC*，垂足为*E*，则Q*E*綊*DC*.
由已知及(1)可得，*DC*⊥平面*ABC*，
所以Q*E*⊥平面*ABC*，Q*E*＝1.
因此，三棱锥Q*ABP*的体积为*V*~Q*ABP*~＝×*S*~△*ABP*~×Q*E*＝××3×2sin 45°×1＝1.
\[题组训练\]
1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形*ABCD*中，∠*ADC*＝90°，*AB*∥*CD*，*AD*＝*CD*＝*AB*＝2，*E*为*AC*的中点，将△*ACD*沿*AC*折起，使折起后的平面*ACD*与平面*ABC*垂直，得到如图2所示的几何体*D**ABC*.
(1)求证：*BC*⊥平面*ACD*；
(2)点*F*在棱*CD*上，且满足*AD*∥平面*BEF*，求几何体*F**BCE*的体积．
解：(1)证明：∵*AC*＝＝2，
∠*BAC*＝∠*ACD*＝45°，*AB*＝4，
∴在△*ABC*中，*BC*^2^＝*AC*^2^＋*AB*^2^－2*AC*×*AB*×cos 45°＝8，
∴*AB*^2^＝*AC*^2^＋*BC*^2^＝16，∴*AC*⊥*BC*.
∵平面*ACD*⊥平面*ABC*，平面*ACD*∩平面*ABC*＝*AC*，
∴*BC*⊥平面*ACD*.
(2)∵*AD*∥平面*BEF*，*AD*⊂平面*ACD*，平面*ACD*∩平面*BEF*＝*EF*，∴*AD*∥*EF*，
∵*E*为*AC*的中点，∴*EF*为△*ACD*的中位线，
由(1)知，几何体*F**BCE*的体积*V~F~*~*BCE*~＝*V~B~*~*CEF*~＝×*S*~△*CEF*~×*BC*，
*S*~△*CEF*~＝*S*~△*ACD*~＝××2×2＝，
∴*V~F~*~*BCE*~＝××2＝.
2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形*ABCDE*中，*AB*∥*CE*，且*AE*＝2，∠*AEC*＝60°，*CD*＝*ED*＝，cos∠*EDC*＝.将△*CDE*沿*CE*折起，使点*D*到*P*的位置，且*AP*＝，得到如图2所示的四棱锥*P**ABCE*.
(1)求证：*AP*⊥平面*ABCE*；
(2)记平面*PAB*与平面*PCE*相交于直线*l*，求证：*AB*∥*l*.
证明：(1)在△*CDE*中，∵*CD*＝*ED*＝，cos∠*EDC*＝，
由余弦定理得*CE*＝ ()()＝2.
连接*AC*，
∵*AE*＝2，∠*AEC*＝60°，
∴*AC*＝2.
又*AP*＝，
∴在△*PAE*中，*AP*^2^＋*AE*^2^＝*PE*^2^，
即*AP*⊥*AE*.
同理，*AP*⊥*AC*.
∵*AC*∩*AE*＝*A*，*AC*⊂平面*ABCE*，*AE*⊂平面*ABCE*，
∴*AP*⊥平面*ABCE*.
(2)∵*AB*∥*CE*，且*CE*⊂平面*PCE*，*AB*⊄平面*PCE*，
∴*AB*∥平面*PCE*.
又平面*PAB*∩平面*PCE*＝*l*，∴*AB*∥*l*.
1.如图，四棱锥*P**ABCD*的底面*ABCD*是圆内接四边形(记此圆为*W*)，且*PA*⊥平面*ABCD*.
(1)当*BD*是圆*W*的直径时，*PA*＝*BD*＝2，*AD*＝*CD*＝，求四棱锥*P**ABCD*的体积．
(2)在(1)的条件下，判断在棱*PA*上是否存在一点Q，使得*B*Q∥平面*PCD*？若存在，求出*A*Q的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为*BD*是圆*W*的直径，所以*BA*⊥*AD*，
因为*BD*＝2，*AD*＝，所以*AB*＝1.
同理*BC*＝1，所以*S*~四边形*ABCD*~＝*AB*·*AD*＝.
因为*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*＝2，
所以四棱锥*P**ABCD*的体积*V*＝*S*~四边形*ABCD*~·*PA*＝.
(2)存在，*A*Q＝.理由如下．
延长*AB*，*DC*交于点*E*，连接*PE*，则平面*PAB*与平面*PCD*的交线是*PE*.
假设在棱*PA*上存在一点Q，使得*B*Q∥平面*PCD*，
则*B*Q∥*PE*，所以＝.
经计算可得*BE*＝2，所以*AE*＝*AB*＋*BE*＝3，所以*A*Q＝.
故存在这样的点Q，使*B*Q∥平面*PCD*，且*A*Q＝.
2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面是梯形，*AB*∥*CD*，*AB*⊥*AD*，*AA*~1~＝4，*DC*＝2*AB*，*AB*＝*AD*＝3，点*M*在棱*A*~1~*B*~1~上，且*A*~1~*M*＝*A*~1~*B*~1~.已知点*E*是直线*CD*上的一点，*AM*∥平面*BC*~1~*E*.
(1)试确定点*E*的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥*M**BC*~1~*E*的体积．
解：(1)点*E*在线段*CD*上且*EC*＝1，理由如下：
在棱*C*~1~*D*~1~上取点*N*，使得*D*~1~*N*＝*A*~1~*M*＝1，连接*MN*，*DN*，
因为*D*~1~*N*∥*A*~1~*M*，所以四边形*D*~1~*NMA*~1~为平行四边形，
所以*MN*綊*A*~1~*D*~1~綊*AD*.
所以四边形*AMND*为平行四边形，所以*AM*∥*DN*.
因为*CE*＝1，所以易知*DN*∥*EC*~1~，所以*AM*∥*EC*~1~，
又*AM*⊄平面*BC*~1~*E*，*EC*~1~⊂平面*BC*~1~*E*，
所以*AM*∥平面*BC*~1~*E*.
故点*E*在线段*CD*上且*EC*＝1.
(2)由(1)知，*AM*∥平面*BC*~1~*E*，
所以*V~M~*~*BC*1*E*~＝*V~A~*~*BC*1*E*~＝*V~C~*~1*ABE*~＝××4＝6.
3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形*ABCD*中，*AB*＝4，*AD*＝2，*E*是*CD*的中点，将△*ADE*沿*AE*折起，得到如图2所示的四棱锥*D*~1~*ABCE*，其中平面*D*~1~*AE*⊥平面*ABCE*.
(1)证明：*BE*⊥平面*D*~1~*AE*；
(2)设*F*为*CD*~1~的中点，在线段*AB*上是否存在一点*M*，使得*MF*∥平面*D*~1~*AE*，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形*ABCD*为矩形且*AD*＝*DE*＝*EC*＝*BC*＝2，
∴∠*AEB*＝90°，即*BE*⊥*AE*，
又平面*D*~1~*AE*⊥平面*ABCE*，平面*D*~1~*AE*∩平面*ABCE*＝*AE*，
∴*BE*⊥平面*D*~1~*AE*.
(2)当＝时，*MF*∥平面*D*~1~*AE*，理由如下：
取*D*~1~*E*的中点*L*，连接*FL*，*AL*，
∴*FL*∥*EC*，又*EC*∥*AB*，
∴*FL*∥*AB*，且*FL*＝*AB*，
∴*M*，*F*，*L*，*A*四点共面，
又*MF*∥平面*AD*~1~*E*，∴*MF*∥*AL*.
∴四边形*AMFL*为平行四边形，
∴*AM*＝*FL*＝*AB*，＝.
4．如图1所示，在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，*D*为*AC*的中点，*AE*⊥*BD*于点*E*(不同于点*D*)，延长*AE*交*BC*于点*F*，将△*ABD*沿*BD*折起，得到三棱锥*A*~1~*BCD*，如图2所示．
(1)若*M*是*FC*的中点，求证：直线*DM*∥平面*A*~1~*EF*.
(2)求证：*BD*⊥*A*~1~*F*.
(3)若平面*A*~1~*BD*⊥平面*BCD*，试判断直线*A*~1~*B*与直线*CD*能否垂直？请说明理由．
解：(1)证明：∵*D*，*M*分别为*AC*，*FC*的中点，
∴*DM*∥*EF*，
又∵*EF*⊂平面*A*~1~*EF*，*DM*⊄平面*A*~1~*EF*，
∴*DM*∥平面*A*~1~*EF*.
(2)证明：∵*EF*⊥*BD*，*A*~1~*E*⊥*BD*，*A*~1~*E*∩*EF*＝*E*，
*A*~1~*E*⊂平面*A*~1~*EF*，*EF*⊂平面*A*~1~*EF*，
∴*BD*⊥平面*A*~1~*EF*，
又*A*~1~*F*⊂平面*A*~1~*EF*，∴*BD*⊥*A*~1~*F*.
(3)直线*A*~1~*B*与直线*CD*不能垂直．理由如下：
∵平面*BCD*⊥平面*A*~1~*BD*，平面*BCD*∩平面*A*~1~*BD*＝*BD*，*EF*⊥*BD*，*EF*⊂平面*BCD*，
∴*EF*⊥平面*A*~1~*BD*，
又∵*A*~1~*B*⊂平面*A*~1~*BD*，∴*A*~1~*B*⊥*EF*，
又∵*DM*∥*EF*，∴*A*~1~*B*⊥*DM*.
假设*A*~1~*B*⊥*CD*，∵*DM*∩*CD*＝*D*，
∴*A*~1~*B*⊥平面*BCD*，
∴*A*~1~*B*⊥*BD*，与∠*A*~1~*BD*为锐角矛盾，
∴直线*A*~1~*B*与直线*CD*不能垂直．
5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体*ABCDEF*中，四边形*ABCD*是梯形，*AB*∥*CD*，*AD*＝*DC*＝*CB*＝*a*，∠*ABC*＝60°，四边形*ACFE*是矩形，且平面*ACFE*⊥平面*ABCD*，点*M*在线段*EF*上．
(1)求证：*BC*⊥平面*ACFE*；
(2)当*EM*为何值时，*AM*∥平面*BDF*？证明你的结论．
解：(1)证明：在梯形*ABCD*中，因为*AB*∥*CD*，*AD*＝*DC*＝*CB*＝*a*，∠*ABC*＝60°，
所以四边形*ABCD*是等腰梯形，且∠*DCA*＝∠*DAC*＝30°，∠*DCB*＝120°，
所以∠*ACB*＝∠*DCB*－∠*DCA*＝90°，所以*AC*⊥*BC*.
又平面*ACFE*⊥平面*ABCD*，平面*ACFE*∩平面*ABCD*＝*AC*，*BC*⊂平面*ABCD*，
所以*BC*⊥平面*ACFE*.
(2)当*EM*＝*a*时，*AM*∥平面*BDF*，理由如下：
如图，在梯形*ABCD*中，设*AC*∩*BD*＝*N*，连接*FN*.
由(1)知四边形*ABCD*为等腰梯形，且∠*ABC*＝60°，所以*AB*＝2*DC*，则*CN*∶*NA*＝1∶2.
易知*EF*＝*AC*＝*a*，所以*AN*＝*a*.
因为*EM*＝*a*，
所以*MF*＝*EF*＝*a*，
所以*MF*綊*AN*，
所以四边形*ANFM*是平行四边形，
所以*AM*∥*NF*，
又*NF*⊂平面*BDF*，*AM*⊄平面*BDF*，
所以*AM*∥平面*BDF*.
6.如图所示的五面体*ABEDFC*中，四边形*ACFD*是等腰梯形，*AD*∥*FC*，∠*DAC*＝60°，*BC*⊥平面*ACFD*，*CA*＝*CB*＝*CF*＝1，*AD*＝2*CF*，点*G*为*AC*的中点．
(1)在*AD*上是否存在一点*H*，使*GH*∥平面*BCD*？若存在，指出点*H*的位置并给出证明；若不存在，说明理由；
(2)求三棱锥*G**ECD*的体积．
解：(1)存在点*H*使*GH*∥平面*BCD*，此时*H*为*AD*的中点．证明如下．
取点*H*为*AD*的中点，连接*GH*，
因为点*G*为*AC*的中点，
所以在△*ACD*中，由三角形中位线定理可知*GH*∥*CD*，
又*GH*⊄平面*BCD*，*CD*⊂平面*BCD*，
所以*GH*∥平面*BCD*.
(2)因为*AD*∥*CF*，*AD*⊂平面*ADEB*，*CF*⊄平面*ADEB*，
所以*CF*∥平面*ADEB*，
因为*CF*⊂平面*CFEB*，平面*CFEB*∩平面*ADEB*＝*BE*，
所以*CF*∥*BE*，
又*CF*⊂平面*ACFD*，*BE*⊄平面*ACFD*，
所以*BE*∥平面*ACFD*，
所以*V~G~*~*ECD*~＝*V~E~*~*GCD*~＝*V~B~*~*GCD*~.
因为四边形*ACFD*是等腰梯形，∠*DAC*＝60°，*AD*＝2*CF*＝2*AC*，所以∠*ACD*＝90°，
又*CA*＝*CB*＝*CF*＝1，所以*CD*＝，*CG*＝，
又*BC*⊥平面*ACFD*，
所以*V~B~*~*GCD*~＝×*CG*×*CD*×*BC*＝××××1＝.
所以三棱锥*G**ECD*的体积为.
第七节 空间角
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*E*为棱*CC*~1~的中点，则异面直线*AE*与*CD*所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑*ABCD*中，*AB*⊥平面*BCD*，且*AB*＝*BC*＝*CD*，则异面直线*AC*与*BD*所成角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
\[解析\] (1)如图，连接*BE*，因为*AB*∥*CD*，所以*AE*与*CD*所成的角为∠*EAB*.在Rt△*ABE*中，设*AB*＝2，则*BE*＝，则tan ∠*EAB*＝＝，所以异面直线*AE*与*CD*所成角的正切值为.
(2)如图，分别取*AB*，*AD*，*BC*，*BD*的中点*E*，*F*，*G*，*O*，连接*EF*，*EG*，*OG*，*FO*，*FG*，则*EF*∥*BD*，*EG*∥*AC*，所以∠*FEG*为异面直线*AC*与*BD*所成的角．易知*FO*∥*AB*，因为*AB*⊥平面*BCD*，所以*FO*⊥平面*BCD*，所以*FO*⊥*OG*，设*AB*＝2*a*，则*EG*＝*EF*＝*a*，*FG*＝＝*a*，所以∠*FEG*＝60°，所以异面直线*AC*与*BD*所成角的余弦值为，故选A.
\[答案\] (1)C (2)A
\[题组训练\]
1．在正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*＝*BB*~1~，则*AB*~1~与*BC*~1~所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．75° D．90°
解析：选D 将正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~补为四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~，连接*C*~1~*D*，*BD*，则*C*~1~*D*∥*B*~1~*A*，∠*BC*~1~*D*为所求角或其补角．设*BB*~1~＝，则*BC*＝*CD*＝2，∠*BCD*＝120°，*BD*＝2，又因为*BC*~1~＝*C*~1~*D*＝，所以∠*BC*~1~*D*＝90°.
2.如图所示，在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，
(1)求*AC*与*A*~1~*D*所成角的大小；
(2)若*E*，*F*分别为*AB*，*AD*的中点，求*A*~1~*C*~1~与*EF*所成角的大小．
解：(1)如图所示，连接*B*~1~*C*，*AB*~1~，由*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~是正方体，易知*A*~1~*D*∥*B*~1~*C*，从而*B*~1~*C*与*AC*所成的角就是*AC*与*A*~1~*D*所成的角．
∵*AB*~1~＝*AC*＝*B*~1~*C*，
∴∠*B*~1~*CA*＝60°.
即*A*~1~*D*与*AC*所成的角为60°.
(2)连接*BD*，在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，
*AC*⊥*BD*，*AC*∥*A*~1~*C*~1~，
∵*E*，*F*分别为*AB*，*AD*的中点，
∴*EF*∥*BD*，∴*EF*⊥*AC*.∴*EF*⊥*A*~1~*C*~1~.
即*A*~1~*C*~1~与*EF*所成的角为90°.
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AB*＝*BC*＝2，*AC*~1~与平面*BB*~1~*C*~1~*C*所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A．8 B．6
C．8 D．8
(2)已知三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若*P*为底面*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，则*PA*与平面*ABC*所成角的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)如图，连接*AC*~1~，*BC*~1~，*AC*.
∵*AB*⊥平面*BB*~1~*C*~1~*C*，
∴∠*AC*~1~*B*为直线*AC*~1~与平面*BB*~1~*C*~1~*C*所成的角，∴∠*AC*~1~*B*＝30°.又*AB*＝*BC*＝2，在Rt△*ABC*~1~中，*AC*~1~＝＝4.在Rt△*ACC*~1~中，*CC*~1~＝＝()＝2，
∴*V*~长方体~＝*AB*×*BC*×*CC*~1~＝2×2×2＝8.
(2)如图所示，设*O*为△*ABC*的中心，连接*PO*，*AO*，易知*PO*⊥平面*ABC*，则∠*PAO*为*PA*与平面*ABC*所成的角．*S*~△*ABC*~＝××× sin 60°＝，
∴*V~ABC~*~*A*1*B*1*C*1~＝*S*~△*ABC*~·*OP*＝×*OP*＝，∴*OP*＝.
又*OA*＝××＝1，∴tan∠*OAP*＝＝，∴∠*OAP*＝60°.
故*PA*与平面*ABC*所成角为60°.
\[答案\] (1)C (2)60°
\[题组训练\]
1．在正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*＝1，点*D*在棱*BB*~1~上，且*BD*＝1，则*AD*与平面*AA*~1~*C*~1~*C*所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图，取*AC*，*A*~1~*C*~1~的中点分别为*M*，*M*~1~，连接*MM*~1~，*BM*，过点*D*作*DN*∥*BM*交*MM*~1~于点*N*，则易证*DN*⊥平面*AA*~1~*C*~1~*C*，连接*AN*，则∠*DAN*为*AD*与平面*AA*~1~*C*~1~*C*所成的角．在Rt△*DNA*中，sin∠*DAN*＝＝＝.
2．(2019·青海模拟)如图，正四棱锥*P**ABCD*的体积为2，底面积为6，*E*为侧棱*PC*的中点，则直线*BE*与平面*PAC*所成的角为( )
A．60° B．30°
C．45° D．90°
解析：选A 如图，在正四棱锥*P**ABCD*中， 根据底面积为6可得，*BC*＝.连接*BD*交*AC*于点*O*，连接*PO*，则*PO*为正四棱锥*P**ABCD*的高，根据体积公式可得，*PO*＝1.因为*PO*⊥底面*ABCD*，所以*PO*⊥*BD*，又*BD*⊥*AC*，*PO*∩*AC*＝*O*，所以*BD*⊥平面*PAC*，连接*EO*，则∠*BEO*为直线*BE*与平面*PAC*所成的角．在Rt△*POA*中，因为*PO*＝1，*OA*＝，所以*PA*＝2，*OE*＝*PA*＝1，在Rt△*BOE*中，因为*BO*＝，所以tan∠*BEO*＝＝，即∠*BEO*＝60°.
故直线*BE*与平面*PAC*所成角为60°.
\[典例\] (1)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的平面角为\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)已知△*ABC*中，∠*C*＝90°，tan *A*＝，*M*为*AB*的中点，现将△*ACM*沿*CM*折起，得到三棱锥*P**CBM*，如图所示．则当二面角*P**CM**B*的大小为60°时，＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)如图，*O*为正方形*ABCD*的中心，*M*为*BC*的中点，连接*PO*，*PM*，*OM*，∠*PMO*即为侧面与底面所成二面角的平面角．设底面边长为*a*，则2*a*^2^＝(2)^2^，∴*a*＝2，∴*OM*＝.
又四棱锥的体积*V*＝×(2)^2^×*PO*＝12，∴*PO*＝3，
∴tan∠*PMO*＝＝，∴∠*PMO*＝60°.故所求二面角为60°.
(2)如图，取*BC*的中点*E*，连接*AE*，*EM*，*PE*，
设*AE*∩*CM*＝*O*，连接*PO*，
再设*AC*＝2，由∠*C*＝90°，tan *A*＝，可得*BC*＝2.
在Rt△*MEC*中，可得tan∠*CME*＝，
在Rt△*ECA*中，可得tan∠*AEC*＝，
∴∠*CME*＋∠*AEM*＝90°，∴*AE*⊥*CM*，
∴*PO*⊥*CM*，*EO*⊥*CM*，∠*POE*即为二面角*P**CM**B*的平面角，∴∠*POE*＝60°.
∵*AE*＝()＝，*OE*＝1×sin∠*CME*＝，∴*PO*＝*AO*＝.
在△*POE*中，由余弦定理可得，
*PE*＝ ＝，
∴*PE*^2^＋*CE*^2^＝*PC*^2^，即*PE*⊥*BC*.
又∵*E*为*BC*的中点，∴*PB*＝*PC*＝2.
在Rt△*ACB*中，易得*AB*＝2，∴＝.
\[答案\] (1)60° (2)
\[题组训练\]
1．已知二面角的棱上有*A*，*B*两点，直线*AC*，*BD*分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于*AB*，已知*AB*＝4，*AC*＝6，*BD*＝8，*CD*＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45°
C．120° D．60°
解析：选D 如图，*AC*⊥*AB*，*BD*⊥*AB*，过*A*在平面*ABD*内作*AE*∥*BD*，过*D*作*DE*∥*AB*，连接*CE*，所以*DE*＝*AB*且*DE*⊥平面*AEC*，∠*CAE*即二面角的平面角．在Rt△*DEC*中，*CD*＝2，*DE*＝4，则*CE*＝2，在△*ACE*中，由余弦定理可得cos∠*CAE*＝＝，所以∠*CAE*＝60°，即所求二面角的大小为60°.
2.如图，*AB*是⊙*O*的直径，*PA*垂直于⊙*O*所在平面，*C*是圆周上不同于*A*，*B*两点的任意一点，且*AB*＝2，*PA*＝*BC*＝，则二面角*A**BC**P*的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*AB*为⊙*O*的直径，所以*AC*⊥*BC*，又因为*PA*⊥平面*ABC*，所以*PA*⊥*BC*，因为*AC*∩*PA*＝*A*，所以*BC*⊥平面*PAC*，所以*BC*⊥*PC*，所以∠*PCA*为二面角*A**BC**P*的平面角．因为∠*ACB*＝90°，*AB*＝2，*PA*＝*BC*＝，所以*AC*＝1，所以在Rt△*PAC*中，tan∠*PCA*＝＝.所以∠*PCA*＝60°.即所求二面角的大小为60°.
答案：60°
1．在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*E*，*F*分别为*AB*，*C*~1~*D*~1~的中点，则*A*~1~*B*~1~与平面*A*~1~*EF*所成角的正切值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选B *A*~1~*B*~1~与平面*A*~1~*EF*所成的角就是∠*B*~1~*A*~1~*C*，tan∠*B*~1~*A*~1~*C*＝＝.
2．在矩形*ABCD*中，*AB*＝3，*AD*＝4，*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*＝，那么二面角*A**BD**P*的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选A 作*AO*⊥*BD*交*BD*于点*O*，∵*PA*⊥平面*ABCD*，∴*PA*⊥*BD*.
∵*PA*∩*AO*＝*A*，∴*BD*⊥平面*PAO*，
∴*PO*⊥*BD*，∴∠*AOP*即为所求二面角*A**BD**P*的大小．
∵*AO*＝＝，
∴tan∠*AOP*＝＝，故二面角*A**BD**P*的大小为30°.
3.如图，空间四边形*ABCD*的对角线*AC*＝8，*BD*＝6，*M*，*N*分别为*AB*，*CD*的中点，且异面直线*AC*与*BD*所成的角为90°，则*MN*的长度为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选A 如图，取*AD*的中点*P*，连接*PM*，*PN*，
则*PM*∥*BD*，*PN*∥*AC*，*PN*＝*AC*＝4，*PM*＝*BD*＝3，
∴∠*MPN*即为异面直线*AC*与*BD*所成的角，
∴∠*MPN*＝90°，∴*MN*＝5.故选A.
4．已知*AB*∥平面*α*，*AC*⊥平面*α*于点*C*，*BD*是平面*α*的斜线，*D*是斜足，若*AC*＝9，*BD*＝6，则*BD*与平面*α*所成的角的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，过*B*作*BE*⊥平面*α*，垂足为*E*，则*BE*＝9.连接*DE*，则∠*BDE*为*BD*与平面*α*所成的角．在Rt△*BED*中，sin∠*BDE*＝＝，所以∠*BDE*＝60°.
答案：60°
5．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为*S*，母线*SA*，*SB*所成角的余弦值为，*SA*与圆锥底面所成角为45°，若△*SAB*的面积为5，则该圆锥的侧面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，∵*SA*与圆锥底面所成角为45°，
∴△*SAO*为等腰直角三角形．
设*OA*＝*r*，
则*SO*＝*r*，*SA*＝*SB*＝*r*.
在△*SAB*中，cos ∠*ASB*＝，
∴sin ∠*ASB*＝，
∴*S*~△*SAB*~＝*SA*·*SB*·sin ∠*ASB*
＝×(*r*)^2^×＝5，
解得*r*＝2，
∴*SA*＝*r*＝4，即母线长*l*＝4，
∴*S*~圆锥侧~＝π*rl*＝π×2×4＝40π.
答案：40π
6．已知边长为2的正方形*ABCD*的四个顶点在球*O*的球面上，球*O*的体积*V*~球~＝，则*OA*与平面*ABCD*所成的角的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，过点*O*作*OM*⊥平面*ABCD*，垂足为点*M*，则点*M*为正方形*ABCD*的中心．∵正方形*ABCD*的边长为2， ∴*AC*＝2，∴*AM*＝.∵*V*~球~＝π*r*^3^＝，∴球*O*的半径*OA*＝*r*＝2，∴*OA*与平面*ABCD*所成的角的余弦值为 cos∠*OAM*＝＝＝.
答案：
7.(2018·天津高考)如图，在四面体*ABCD*中，△*ABC*是等边三角形，平面*ABC*⊥平面*ABD*，点*M*为棱*AB*的中点，*AB*＝2，*AD*＝2，∠*BAD*＝90°.
(1)求证：*AD*⊥*BC*；
(2)求异面直线*BC*与*MD*所成角的余弦值；
(3)求直线*CD*与平面*ABD*所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为平面*ABC*⊥平面*ABD*，平面*ABC*∩平面*ABD*＝*AB*，*AD*⊥*AB*，*AD*⊂平面*ABD*，
所以*AD*⊥平面*ABC*.
因为*BC*⊂平面*ABC*，
所以*AD*⊥*BC*.
(2)取棱*AC*的中点*N*，连接*MN*，*ND*.
又因为*M*为棱*AB*的中点，
所以*MN*∥*BC*.
所以∠*DMN*(或其补角)为异面直线*BC*与*MD*所成的角．
在Rt△*DAM*中，*AD*＝2，*AM*＝1，
所以*DM*＝＝.
因为*AD*⊥平面*ABC*，所以*AD*⊥*AC*.
在Rt△*DAN*中，*AN*＝1，
所以*DN*＝＝.
在等腰三角形*DMN*中，*MN*＝1，
可得cos∠*DMN*＝＝.
所以异面直线*BC*与*MD*所成角的余弦值为.
(3)连接*CM*.
因为△*ABC*为等边三角形，*M*为边*AB*的中点，
所以*CM*⊥*AB*，*CM*＝.
因为平面*ABC*⊥平面*ABD*，平面*ABC*∩平面*ABD*＝*AB*，*CM*⊂平面*ABC*，
所以*CM*⊥平面*ABD*，
所以∠*CDM*为直线*CD*与平面*ABD*所成的角．
在Rt△*CAD*中，*CD*＝＝4.
在Rt△*CMD*中，sin∠*CDM*＝＝.
所以直线*CD*与平面*ABD*所成角的正弦值为.
8．(2019·湖北八校联考)如图，在Rt△*ABC*中，*AB*＝*BC*＝3，点*E*，*F*分别在线段*AB*，*AC*上，且*EF*∥*BC*，将△*AEF*沿*EF*折起到△*PEF*的位置，使得二面角*P**EF**B*的大小为60°.
(1)求证：*EF*⊥*PB*；
(2)当点*E*为线段*AB*的靠近*B*点的三等分点时，求四棱锥*P**EBCF*的侧面积．
解：(1)证明：在Rt△*ABC*中，∵*AB*＝*BC*＝3，∴*BC*⊥*AB*.
∵*EF*∥*BC*，∴*EF*⊥*AB*，翻折后垂直关系没变，仍有*EF*⊥*PE*，*EF*⊥*BE*，
又*PE*∩*BE*＝*E*，
∴*EF*⊥平面*PBE*，∴*EF*⊥*PB*.
(2)∵*EF*⊥*PE*，*EF*⊥*BE*，
∴∠*PEB*是二面角*P**EF**B*的平面角，
∴∠*PEB*＝60°，
又*PE*＝2，*BE*＝1，由余弦定理得*PB*＝，
∴*PB*^2^＋*BE*^2^＝*PE*^2^，∴*PB*⊥*BE*，∴*PB*，*BC*，*BE*两两垂直，
∴△*PBE*，△*PBC*，△*PEF*均为直角三角形．
由△*AEF*∽△*ABC*可得，*EF*＝*BC*＝2，
*S*~△*PBC*~＝*BC*·*PB*＝，*S*~△*PBE*~＝*PB*·*BE*＝，*S*~△*PEF*~＝*EF*·*PE*＝2.
在四边形*BCFE*中，过点*F*作*BC*的垂线，垂足为*H*，
则*FC*^2^＝*FH*^2^＋*HC*^2^＝*BE*^2^＋(*BC*－*EF*)^2^＝2，∴*FC*＝.
在△*PFC*中，*FC*＝，*PC*＝＝2，*PF*＝＝2，
由余弦定理可得cos∠*PFC*＝＝－，
则sin∠*PFC*＝，*S*~△*PFC*~＝*PF*·*FC*sin∠*PFC*＝.
∴四棱锥*P**EBCF*的侧面积为*S*~△*PBC*~＋*S*~△*PBE*~＋*S*~△*PEF*~＋*S*~△*PFC*~＝2＋2＋.
第八节 空间向量的运算及应用
一、基础知识
1．空间向量及其有关概念
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概念 语言描述
共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量 平行于同一个平面的向量
共线向量定理 对空间任意两个向量*a*，*b*(*b≠0*)，*a∥b*⇔存在*λ*∈R，使*a*＝*λb*
共面向量定理 若两个向量*a*，*b*不共线，则向量*p*与向量*a*，*b*共面⇔存在唯一的有序实数对(*x*，*y*)，使*p*＝*xa*＋*yb*
空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量*a*，*b*，*c*不共面，那么对空间任一向量*p*，存在唯一的有序实数组{*x*，*y*，*z*}使得*p*＝*xa*＋*yb*＋*zc*.
推论：设*O*，*A*，*B*，*C*是不共面的四点，则对平面*ABC*内任一点*P*都存在唯一的三个有序实数*x*，*y*，*z*，使＝*x*＋*y*＋*z*且*x*＋*y*＋*z*＝1
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2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①*a·b*＝*\|a\|\|b\|*cos〈*a*，*b*〉；②*a⊥b*⇔*a·b*＝0(*a*，*b*为非零向量)；③设*a*＝(*x*，*y*，*z*)，则\|*a*\|^2^＝*a^2^*，\|*a*\|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
---------- -------------------------------------------------------------------------
*a*＝(*a*~1~，*a*~2~，*a*~3~)，*b*＝(*b*~1~，*b*~2~，*b*~3~)
向量和 *a*＋*b*＝(*a*~1~＋*b*~1~，*a*~2~＋*b*~2~，*a*~3~＋*b*~3~)
向量差 *a*－*b*＝(*a*~1~－*b*~1~，*a*~2~－*b*~2~，*a*~3~－*b*~3~)
数量积 *a*·*b*＝*a*~1~*b*~1~＋*a*~2~*b*~2~＋*a*~3~*b*~3~
共线 *a*∥*b*⇒*a*~1~＝*λb*~1~，*a*~2~＝*λb*~2~，*a*~3~＝*λb*~3~(*λ*∈R，*b*≠0)
垂直 *a*⊥*b*⇔*a*~1~*b*~1~＋*a*~2~*b*~2~＋*a*~3~*b*~3~＝0
夹角公式 cos〈*a*，*b*〉＝
---------- -------------------------------------------------------------------------
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量*a*的有向线段所在直线与直线*l*平行或或共线，则称此向量*a*为直线*l*的方向向量．
(2)平面的法向量：直线*l*⊥*α*，取直线*l*的方向向量*a*，则向量*a*叫做平面*α*的法向量．
4．空间位置关系的向量表示
-------------------------------------------------- --------------- --------------------------------------
位置关系 向量表示
直线*l*~1~，*l*~2~的方向向量分别为*n*~1~，*n*~2~ *l*~1~∥*l*~2~ *n*~1~∥*n*~2~⇔*n*~1~＝*kn*~2~(*k*∈R)
*l*~1~⊥*l*~2~ *n*~1~⊥*n*~2~⇔*n*~1~·*n*~2~＝0
直线*l*的方向向量为*n*，平面*α*的法向量为*m* *l*∥*α* *n*⊥*m*⇔*n*·*m*＝0
*l*⊥*α* *n*∥*m*⇔*n*＝*km*(*k*∈R)
平面*α*，*β*的法向量分别为*n*，*m* *α*∥*β* *n*∥*m*⇔*n*＝*km*(*k*∈R)
*α*⊥*β* *n*⊥*m*⇔*n*·*m*＝0
-------------------------------------------------- --------------- --------------------------------------
1．空间向量基本定理的3点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
2．有关向量的数量积的2点提醒
(1)若*a*，*b*，*c*(*b*≠0)为实数，则*ab*＝*bc*⇒*a*＝*c*；但对于向量就不正确，即*a*·*b*＝*b*·*c**a*＝*c*.
(2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(*a*·*b*)*c*不一定等于*a*(*b*·*c*)．这是由于(*a*·*b*)*c*表示一个与*c*共线的向量，而*a*(*b*·*c*)表示一个与*a*共线的向量，而*c*与*a*不一定共线．
3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一
二、常用结论
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点*P*，*A*，*B*可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝*λ* (*λ*∈R);
(2)对空间任一点*O*，＝＋*t* (*t*∈R)；
(3)对空间任一点*O*，＝*x*＋*y* (*x*＋*y*＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
对空间四点*P*，*M*，*A*，*B*除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
\(1\) ＝*x*＋*y*；
(2)对空间任一点*O*，＝＋*x*＋*y*；
\(3\) ∥ (或∥或∥ )．
3．确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．
(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量*a*，*b*，设平面的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，由解方程组求得．
考点一 空间向量的线性运算
\[
1.如图所示，在平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*M*为*A*~1~*C*~1~与*B*~1~*D*~1~的交点．若＝*a*，＝*b*，*AA*~1~＝*c*，则下列向量中与相等的是( )
A．－*a*＋*b*＋*c* B.*a*＋*b*＋*c*
C．－*a*－*b*＋*c* D.*a*－*b*＋*c*
解析：选A ＝＋＝*AA*~1~＋(－)＝*c*＋(*b*－*a*)＝－*a*＋*b*＋*c*.
2.如图所示，在平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，设＝*a*，＝*b*，＝*c*，*M*，*N*，*P*分别是*AA*~1~，*BC*，*C*~1~*D*~1~的中点，试用*a*，*b*，*c*表示以下各向量：
\(1\) ；
\(2\) ；
(3)＋.
解：(1)∵*P*是*C*~1~*D*~1~的中点，
∴＝＋＋＝*a*＋＋＝*a*＋*c*＋＝*a*＋*b*＋*c*.
(2)∵*N*是*BC*的中点，
∴＝＋＋＝－*a*＋*b*＋
＝－*a*＋*b*＋＝－*a*＋*b*＋*c*.
(3)∵*M*是*AA*~1~的中点，
∴＝＋＝＋＝－*a*＋＝*a*＋*b*＋*c*，
又＝＋＝＋＝＋＝*a*＋*c*，
∴＋＝＋＝*a*＋*b*＋*c*.
考点二 共线、共面向量定理的应用
1．若*A*(－1,2,3)，*B*(2,1,4)，*C*(*m*，*n,*1)三点共线，则*m*＋*n*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵＝(3，－1,1)，＝(*m*＋1，*n*－2，－2)，
且*A*，*B*，*C*三点共线，∴存在实数*λ*，使得＝*λ*.
即(*m*＋1，*n*－2，－2)＝*λ*(3，－1,1)＝(3*λ*，－*λ*，*λ*)，
∴解得*λ*＝－2，*m*＝－7，*n*＝4.
∴*m*＋*n*＝－3.
答案：－3
2．已知*A*，*B*，*C*三点不共线，对平面*ABC*外的任一点*O*，若点*M*满足＝(＋＋)．
(1)判断，， 三个向量是否共面；
(2)判断点*M*是否在平面*ABC*内．
解：(1)由已知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
(2)由(1)知，，共面且过同一点*M*.
所以*M*，*A*，*B*，*C*四点共面，从而点*M*在平面*ABC*内．
3.如图所示，已知斜三棱柱*ABC* *A*~1~*B*~1~*C*~1~，点*M*，*N*分别在*AC*~1~和*BC*上，且满足＝*k*，＝*k*(0≤*k*≤1)．判断向量是否与向量，共面．
解：∵＝*k*，＝*k*，
∴＝＋＋＝*k*＋＋*k*＝*k*(＋)＋＝*k*(＋)＋＝*kB*~1~*A*―→＋＝－*k*＝－*k*(＋)＝(1－*k*)－*k*，
∴由共面向量定理知向量与向量，共面．
考点三 空间向量数量积及应用
\[典例精析\]如图所示，已知空间四边形*ABCD*的每条边和对角线长都等于1，点*E*，*F*，*G*分别是*AB*，*AD*，*CD*的中点，计算：
\(1\) ·；(2) ·.
\[解\] 设＝*a*，＝*b*，＝*c*，
则\|*a*\|＝\|*b*\|＝\|*c*\|＝1，〈*a*，*b*〉＝〈*b*，*c*〉＝〈*c*，*a*〉＝60°.
(1)因为＝＝(*AD*－*AB*)＝*c*－*a*，＝－*a*，
所以·＝·(－*a*)＝*a*^2^－*a*·*c*＝.
(2)·＝(＋)·(－)
＝·(－)
＝·(*c*－*a*)
＝－＋＋－＋－＝.
\[题组训练\]
 如图，已知平行六面体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，底面*ABCD*是边长为1的正方形，*AA*~1~＝2，∠*A*~1~*AB*＝∠*A*~1~*AD*＝120°.
(1)求线段*AC*~1~的长；
(2)求异面直线*AC*~1~与*A*~1~*D*所成角的余弦值；
(3)求证：*AA*~1~⊥*BD*.
解：(1)设＝*a*，＝*b*，＝*c*，
则\|*a*\|＝\|*b*\|＝1，\|*c*\|＝2，*a*·*b*＝0，*c*·*a*＝*c*·*b*＝2×1×*c*os 120°＝－1.
∵＝＋＝＋＋＝*a*＋*b*＋*c*，
∴\|\|＝\|*a*＋*b*＋*c*\|＝()
＝()
＝()＝.
∴线段*AC*~1~的长为.
(2)设异面直线*AC*~1~与*A*~1~*D*所成的角为*θ*，
则*c*os *θ*＝\|*c*os〈， 〉\|＝.
∵＝*a*＋*b*＋*c*，＝*b*－*c*，
∴·＝(*a*＋*b*＋*c*)·(*b*－*c*)
＝*a*·*b*－*a*·*c*＋*b*^2^－*c*^2^＝0＋1＋1^2^－2^2^＝－2，
\|\|＝()＝
＝()＝.
∴*c*os *θ*＝＝＝.
故异面直线*AC*~1~与*A*~1~*D*所成角的余弦值为.
(3)证明：∵＝*c*，＝*b*－*a*，
∴·＝*c*·(*b*－*a*)＝*c*·*b*－*c*·*a*＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即*AA*~1~⊥*BD*.
考点四 利用向量证明平行与垂直问题
\[典例精析\]
如图所示，在四棱锥*P**ABCD*中，底面*ABCD*是正方形，侧棱*PD*⊥底面*ABCD*，*PD*＝*DC*，*E*是*PC*的中点，过点*E*作*EF*⊥*PB*于点*F*.求证：
(1)*PA*∥平面*EDB*；
(2)*PB*⊥平面*EFD*.
\[证明\] 以*D*为坐标原点，射线*DA*，*DC*，*DP*分别为*x*轴、*y*轴、*z*轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*.
设*DC*＝*a*.
(1)连接*AC*交*BD*于点*G*，连接*EG*.
依题意得*A*(*a,*0,0)，*P*(0,0，*a*)，*C*(0，*a,*0)，*E*.
因为底面*ABCD*是正方形，
所以*G*为*AC*的中点
故点*G*的坐标为，
所以＝(*a,*0，－*a*)，＝，
则＝2，故*PA*∥*EG*.
而*EG*⊂平面*EDB*，*PA*⊄平面*EDB*，
所以*PA*∥平面*EDB*.
(2)依题意得*B*(*a*，*a,*0)，所以＝(*a*，*a*，－*a*)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，所以*PB*⊥*DE*，
所以*PB*⊥*DE*.
由题可知*EF*⊥*PB*，且*EF*∩*DE*＝*E*，
所以*PB*⊥平面*EFD*.
\[解题技法\]
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．
\[提醒\] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
\[题组训练\]
如图，在三棱锥*P**ABC*中，*AB*＝*AC*，*D*为*BC*的中点，*PO*⊥平面*ABC*，垂足*O*落在线段*AD*上．已知*BC*＝8，*PO*＝4，*AO*＝3，*OD*＝2.
(1)证明：*AP*⊥*BC*；
(2)若点*M*是线段*AP*上一点，且*AM*＝3.试证明平面*AMC*⊥平面*BMC*.
证明：(1)以*O*为坐标原点，以射线*OD*为*y*轴正半轴，射线*OP*为*z*轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系*O**xyz*.
则*O*(0,0,0)，*A*(0，－3,0)，*B*(4,2,0)，*C*(－4,2,0)，*P*(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即*AP*⊥*BC*.
(2)由(1)知*AP*＝5，又*AM*＝3，且点*M*在线段*AP*上，
所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即*AP*⊥*BM*，
又根据(1)的结论知*AP*⊥*BC*，且*BC*∩*BM*＝*B*，
所以*AP*⊥平面*BMC*，于是*AM*⊥平面*BMC*.
又*AM*⊂平面*AMC*，故平面*AMC*⊥平面*BMC*.
A级
1．已知*a*＝(2,1，－3)，*b*＝(－1,2,3)，*c*＝(7,6，*λ*)，若*a*，*b*，*c*三向量共面，则*λ*＝( )
A．9 B．－9
C．－3 D．3
解析：选B 由题意知*c*＝*xa*＋*yb*，即(7,6，*λ*)＝*x*(2,1，－3)＋*y*(－1,2,3)，∴解得*λ*＝－9.
2．若平面*α*，*β*的法向量分别为*n*~1~＝(2，－3,5)，*n*~2~＝(－3,1，－4)，则( )
A．*α*∥*β* B.*α*⊥*β*
C．*α*，*β*相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：选C ∵*n*~1~·*n*~2~＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴*n*~1~与*n*~2~不垂直，又*n*~1~，*n*~2~不共线，∴*α*与*β*相交但不垂直．
3．在空间四边形*ABCD*中，·＋·＋·＝( )
A．－1 B.0
C．1 D．不确定
解析：选B 如图，令＝*a*，＝*b*，＝*c*，
则·＋·＋·
＝*a*·(*c*－*b*)＋*b*·(*a*－*c*)＋*c*·(*b*－*a*)
＝*a·c*－*a·b*＋*b·a*－*b·c*＋*c·b*－*c·a*
＝0.
4.如图，已知空间四边形*OABC*，其对角线为*OB*，*AC*，*M*，*N*分别是对边*OA*，*BC*的中点，点*G*在线段*MN*上，且分*MN*所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝*x*＋*y*＋*z*，则*x*，*y*，*z*的值分别是( )
A．*x*＝，*y*＝，*z*＝ B.*x*＝，*y*＝，*z*＝
C．*x*＝，*y*＝，*z*＝ D．*x*＝，*y*＝，*z*＝
解析：选D 设＝*a*，＝*b*，＝*c*，∵点*G*分*MN*所成的比为2，∴＝，∴＝＋＝＋(－)＝*a*＋＝*a*＋*b*＋*c*－*a*＝*a*＋*b*＋*c*，即*x*＝，*y*＝，*z*＝.
5.如图，在大小为45°的二面角*A**EF**D*中，四边形*ABFE*，四边形*CDEF*都是边长为1的正方形，则*B*，*D*两点间的距离是( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D ∵＝＋＋，∴\|\|^2^＝\|\|^2^＋\|\|^2^＋\|\|^2^＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，∴\|\|＝.
6.如图所示，在长方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*O*为*AC*的中点．用，，表示，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
7.已知*PA*垂直于正方形*ABCD*所在的平面，*M*，*N*分别是*CD*，*PC*的中点，并且*PA*＝*AD*＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，*MN*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：连接*PD*(图略)，∵*M*，*N*分别为*CD*，*PC*的中点，∴*MN*＝*PD*，又*P*(0,0,1)，*D*(0,1,0)，
∴*PD*＝()＝，∴*MN*＝.
答案：
8．在正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，侧棱长为2，底面边长为1，*M*为*BC*的中点， ＝*λ*，且*AB*~1~⊥*MN*，则*λ*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图所示，取*B*~1~*C*~1~的中点*P*，连接*MP*，以*M*为坐标原点，，，的方向分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴正方向建立空间直角坐标系．
因为底面边长为1，侧棱长为2，
所以*A*，*B*~1~，
*C*，*C*~1~，
*M*(0,0,0)，设*N*，
因为＝*λ*，所以*N*，
所以＝，＝.
又因为*AB*~1~⊥*MN*，所以·＝0.
所以－＋＝0，所以*λ*＝15.
答案：15
9．如图所示，在平行四边形*ABCD*中，*AB*＝*AC*＝1，∠*ACD*＝90°，将它沿对角线*AC*折起，使*AB*与*CD*成60°角，求*B*、*D*间的距离．
解：∵∠*ACD*＝90°，∴·＝0.同理·＝0.
∵*AB*与*CD*成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，∴\|\|^2^＝\|\|^2^＋\|\|^2^＋\|\|^2^＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
当〈，〉＝60°时，^2^＝4；
当〈，〉＝120°时，^2^＝2.
∴\|\|＝2或，即*B*，*D*间的距离为2或.
10.如图，在四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，底面*ABCD*是平行四边形，*E*，*F*，*G*分别是*A*~1~*D*~1~，*D*~1~*D*，*D*~1~*C*~1~的中点．
(1)试用向量，，表示；
(2)用向量方法证明平面*EFG*∥平面*AB*~1~*C*.
解：(1)设＝*a*，＝*b*，＝*c*，
则＝＋＋＝*c*＋*b*＋＝*a*＋*b*＋*c*＝＋＋.
故*AG*＝*AB*＋*AD*＋*AA*~1~.
(2)证明：＝＋＝*a*＋*b*，
＝＋＝*b*＋*a*＝，
∵*EG*与*AC*无公共点，
∴*EG*∥*AC*，
∵*EG*⊄平面*AB*~1~*C*，*AC*⊂平面*AB*~1~*C*，
∴*EG*∥平面*AB*~1~*C*.
又∵＝＋＝*a*＋*c*，
＝＋＝*c*＋*a*＝，
∵*FG*与*AB*~1~无公共点，
∴*FG*∥*AB*~1~，
∵*FG*⊄平面*AB*~1~*C*，*AB*~1~⊂平面*AB*~1~*C*，
∴*FG*∥平面*AB*~1~*C*.
又∵*FG*∩*EG*＝*G*，*FG*⊂平面*EFG*，*EG*⊂平面*EFG*，
∴平面*EFG*∥平面*AB*~1~*C*.
B级
1．已知空间任意一点*O*和不共线的三点*A*，*B*，*C*，若＝*x*＋*y*＋*z* (*x*，*y*，*z*∈R)，则"*x*＝2，*y*＝－3，*z*＝2"是"*P*，*A*，*B*，*C*四点共面"的( )
A．必要不充分条件 B.充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当*x*＝2，*y*＝－3，*z*＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，*P*，*A*，*B*，*C*四点共面；反之，当*P*，*A*，*B*，*C*四点共面时，根据共面向量定理，设＝*m*＋*n* (*m*，*n*∈R)，即－＝*m*(－)＋*n*(－)，即＝(1－*m*－*n*)＋*m*＋*n*，即*x*＝1－*m*－*n*，*y*＝*m*，*z*＝*n*，这组数显然不止2，－3,2.故"*x*＝2，*y*＝－3，*z*＝2"是"*P*，*A*，*B*，*C*四点共面"的充分不必要条件．
2．空间四点*A*(2,3,6)，*B*(4,3,2)，*C*(0,0,1)，*D*(2,0,2)的位置关系为( )
A．共线 B.共面
C．不共面 D．无法确定
解析：选C ＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数*λ*，使＝*λ*成立知，*A*，*B*，*C*不共线，故*A*，*B*，*C*，*D*不共线；假设*A*，*B*，*C*，*D*共面，则可设＝*x*＋*y* (*x*，*y*为实数)，即由于该方程组无解，故*A*，*B*，*C*，*D*不共面，故选C.
3．已知*O*(0,0,0)，*A*(1,2,3)，*B*(2,1,2)，*P* (1,1,2)，点*Q*在直线*OP*上运动，当·取最小值时，点*Q*的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，设＝*λ*，则*OQ*＝(*λ*，*λ*，2*λ*)，即*Q*(*λ*，*λ*，2*λ*)，则＝(1－*λ*，2－*λ*，3－2*λ*)， ＝(2－*λ*，1－*λ*，2－2*λ*)，∴·＝(1－*λ*)(2－*λ*)＋(2－*λ*)(1－*λ*)＋(3－2*λ*)(2－2*λ*)＝6*λ*^2^－16*λ*＋10＝6^2^－，当*λ*＝时取最小值，此时*Q*点坐标是.
答案：
4．已知四面体*P**ABC*中，∠*PAB*＝∠*BAC*＝∠*PAC*＝60°，\|\|＝1，\|\|＝2，\|\|＝3，则\|＋＋\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵在四面体*P**ABC*中，∠*PAB*＝∠*BAC*＝∠*PAC*＝60°，\|\|＝1，\|\|＝2，\|\|＝3，∴·＝1×2×cos 60°＝1，·＝2×3×cos 60°＝3，·＝1×3×cos 60°＝，∴\|＋＋\|＝
＝＝5.
答案：5
5．如图，在四面体*A**BCD*中，*AD*⊥平面*BCD*，*BC*⊥*CD*，*AD*＝2，*BD*＝2，*M*是*AD*的中点，*P*是*BM*的中点，点*Q*在线段*AC*上，且*AQ*＝3*QC*.
求证：*PQ*∥平面*BCD*.
证明：如图，取*BD*的中点*O*，以*O*为坐标原点，*OD*，*OP*所在直线分别为*y*轴，*z*轴，建立空间直角坐标系*O**xyz*.
由题意知，*A*(0，，2)，*B*(0，－，0)，*D*(0，，0)．
设点*C*的坐标为(*x*~0~，*y*~0,~0)．
因为＝3，
所以*Q*.
因为*M*为*AD*的中点，故*M*(0，，1)．
又*P*为*BM*的中点，故*P*，
所以＝.
又平面*BCD*的一个法向量为*a*＝(0,0,1)，
故·*a*＝0.
又*PQ*⊄平面*BCD*，所以*PQ*∥平面*BCD*.
6.如图所示，已知四棱锥*P**ABCD*的底面是直角梯形，∠*ABC*＝∠*BCD*＝90°，*AB*＝*BC*＝*PB*＝*PC*＝2*CD*，平面*PBC*⊥底面*ABCD*.求证：
(1)*PA*⊥*BD*；
(2)平面*PAD*⊥平面*PAB*.
证明：(1)取*BC*的中点*O*，连接*PO*，
∵△*PBC*为等边三角形，∴*PO*⊥*BC*.
∵平面*PBC*⊥底面*ABCD*，平面*PBC*∩底面*ABCD*＝*BC*，*PO*⊂平面*PBC*，
∴*PO*⊥底面*ABCD*.
以*BC*的中点*O*为坐标原点，以*BC*所在直线为*x*轴，过点*O*与*AB*平行的直线为*y*轴，*OP*所在直线为*z*轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设*CD*＝1，则*AB*＝*BC*＝2，*PO*＝，
∴*A*(1，－2,0)，*B*(1,0,0)，*D*(－1，－1,0)，*P*(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴*PA*⊥*BD*.
(2)取*PA*的中点*M*，连接*DM*，则*M*.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即*DM*⊥*PB*.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即*DM*⊥*PA*.
又∵*PA*∩*PB*＝*P*，*PA*⊂平面*PAB*，*PB*⊂平面*PAB*，
∴*DM*⊥平面*PAB*.
∵*DM*⊂平面*PAD*，∴平面*PAD*⊥平面*PAB*.
第九节 利用空间向量求空间角
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线*a*，*b*所成的角为*θ*，则cos *θ*＝^❶^， 其中*a*，*b*分别是直线*a*，*b*的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设*l*为平面*α*的斜线，*l*∩*α*＝*A*，*a*为*l*的方向向量，*n*为平面*α*的法向量，*φ*为*l*与*α*所成的角，则sin *φ*＝\|cos〈*a*，*n*〉\|＝^❷^.
3．二面角
(1)若*AB*，*CD*分别是二面角*α**l**β*的两个平面内与棱*l*垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．
(2)平面*α*与*β*相交于直线*l*，平面*α*的法向量为*n*~1~，平面*β*的法向量为*n*~2~，〈*n*~1~，*n*~2~〉＝*θ*，则二面角*α* *l* *β*为*θ*或π－*θ*.设二面角大小为*φ*，则\|cos *φ*\|＝\|cos *θ*\|＝^❸^，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为\[0，π\]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈*n*~1~，*n*~2~〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos *θ*＝cos *θ*~1~cos *θ*~2~.
如图，若*OA*为平面*α*的一条斜线，*O*为斜足，*OB*为*OA*在平面*α*内的射影，*OC*为平面*α*内的一条直线，其中*θ*为*OA*与*OC*所成的角，*θ*~1~为*OA*与*OB*所成的角，即线面角，*θ*~2~为*OB*与*OC*所成的角，那么cos *θ*＝cos *θ*~1~cos *θ*~2~.
\[典例精析\]
如图，在三棱锥*P**ABC*中，*PA*⊥底面*ABC*，∠*BAC*＝90°.点*D*，*E*，*N*分别为棱*PA*，*PC*，*BC*的中点，*M*是线段*AD*的中点，*PA*＝*AC*＝4，*AB*＝2.
(1)求证：*MN*∥平面*BDE*；
(2)已知点*H*在棱*PA*上，且直线*NH*与直线*BE*所成角的余弦值为，求线段*AH*的长．
\[解\] 由题意知，*AB*，*AC*，*AP*两两垂直，故以*A*为原点，分别以，，方向为*x*轴、*y*轴、*z*轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得*A*(0，0,0)，*B*(2，0,0)，*C*(0,4,0)，*P*(0，0,4)，*D*(0,0,2)，*E*(0,2,2)，*M*(0，0,1)，*N*(1,2,0)．
(1)证明：＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．
设*n*＝(*x*，*y*，*z*)为平面*BDE*的法向量，
则即
不妨取*z*＝1，可得*n*＝(1,0,1)．
又＝(1,2，－1)，可得·*n*＝0.
因为*MN*⊄平面*BDE*，所以*MN*∥平面*BDE*.
(2)依题意，设*AH*＝*h*(0≤*h*≤4)，则*H*(0,0，*h*)，
进而可得＝(－1，－2，*h*)， ＝(－2,2,2)．
由已知，得\|cos〈，〉\|＝
＝＝，
整理得10*h*^2^－21*h*＋8＝0，解得*h*＝或*h*＝.
所以线段*AH*的长为或.
\[解题技法\]
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
\[提醒\] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
\[题组训练\]
1.如图所示，在三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AA*~1~⊥底面*ABC*，*AB*＝*BC*＝*AA*~1~，∠*ABC*＝90°，点*E*，*F*分别是棱*AB*，*BB*~1~的中点，则直线*EF*和*BC*~1~所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 以*B*为坐标原点，以*BC*为*x*轴，*BA*为*y*轴，*BB*~1~为*z*轴，建立空间直角坐标系如图所示．设*AB*＝*BC*＝*AA*~1~＝2，则*C*~1~(2,0,2)，*E*(0,1,0)，*F*(0,0,1)，∴＝(0，－1，1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，则*EF*和*BC*~1~所成的角是60°，故选C.
2.如图，在四棱锥*P**ABCD*中，*PA*⊥平面*ABCD*，底面*ABCD*是菱形，*AB*＝2，∠*BAD*＝60°.
(1)求证：*BD*⊥平面*PAC*；
(2)若*PA*＝*AB*，求*PB*与*AC*所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形*ABCD*是菱形，
所以*AC*⊥*BD*.
因为*PA*⊥平面*ABCD*，*BD*⊂平面*ABCD*，
所以*PA*⊥*BD*.
又因为*AC*∩*PA*＝*A*，所以*BD*⊥平面*PAC*.
(2)设*AC*∩*BD*＝*O*.
因为∠*BAD*＝60°，*PA*＝*AB*＝2，
所以*BO*＝1，*AO*＝*CO*＝.
如图，以*O*为坐标原点，射线*OB*，*OC*分别为*x*轴，*y*轴的正半轴建立空间直角坐标系*O**xyz*，
则*P*(0，－，2)，*A*(0，－，0)，*B*(1,0,0)，*C*(0，，0)，
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
设*PB*与*AC*所成角为*θ*，
则cos *θ*＝＝＝.
即*PB*与*AC*所成角的余弦值为.
\[典例精析\]
(2019·合肥一检)如图，在多面体*ABCDEF*中，
四边形*ABCD*是正方形，*BF*⊥平面*ABCD*，*DE*⊥平面*ABCD*，*BF*＝*DE*，*M*为棱*AE*的中点．
(1)求证：平面*BDM*∥平面*EFC*；
(2)若*DE*＝2*AB*，求直线*AE*与平面*BDM*所成角的正弦值．
\[解\] (1)证明：连接*AC*交*BD*于点*N*，连接*MN*，
则*N*为*AC*的中点，
又*M*为*AE*的中点，∴*MN*∥*EC*.
∵*MN*⊄平面*EFC*，*EC*⊂平面*EFC*，
∴*MN*∥平面*EFC*.
∵*BF*，*DE*都与平面*ABCD*垂直，∴*BF*∥*DE*.
∵*BF*＝*DE*，
∴四边形*BDEF*为平行四边形，∴*BD*∥*EF*.
∵*BD*⊄平面*EFC*，*EF*⊂平面*EFC*，
∴*BD*∥平面*EFC*.
又*MN*∩*BD*＝*N*，∴平面*BDM*∥平面*EFC*.
(2)∵*DE*⊥平面*ABCD*，四边形*ABCD*是正方形，
∴*DA*，*DC*，*DE*两两垂直，如图，建立空间直角坐标系*D**xyz*.
设*AB*＝2，则*DE*＝4，从而*D*(0,0,0)，*B*(2,2,0)，*M*(1,0,2)，*A*(2,0,0)，*E*(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，
设平面*BDM*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则得
令*x*＝2，则*y*＝－2，*z*＝－1，
从而*n*＝(2，－2，－1)为平面*BDM*的一个法向量．
∵＝(－2,0,4)，设直线*AE*与平面*BDM*所成的角为*θ*，
则sin *θ*＝\|cos *n*，\|＝＝，
∴直线*AE*与平面*BDM*所成角的正弦值为.
\[解题技法\]
利用向量求线面角的2种方法
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
\[题组训练\]
1．在长方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AB*＝2，*BC*＝*AA*~1~＝1，则*D*~1~*C*~1~与平面*A*~1~*BC*~1~所成角的正弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*，由于*AB*＝2，*BC*＝*AA*~1~＝1，所以*A*~1~(1,0,1)，*B*(1,2,0)，*C*~1~(0,2,1)，*D*~1~(0,0,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)．设平面*A*~1~*BC*~1~的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，则有即令*x*＝2，得*y*＝1，*z*＝2，则*n*＝(2,1,2)．设*D*~1~*C*~1~与平面*A*~1~*BC*~1~所成角为*θ*，则sin *θ*＝\|cos〈，*n*〉\|＝＝＝，即*D*~1~*C*~1~与平面*A*~1~*BC*~1~所成角的正弦值为.
答案：
2.如图，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*BA*＝*BC*＝5，*AC*＝8，*D*为线段*AC*的中点．
(1)求证：*BD*⊥*A*~1~*D*；
(2)若直线*A*~1~*D*与平面*BC*~1~*D*所成角的正弦值为，求*AA*~1~的长．
解：(1)证明：∵三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~是直三棱柱，
∴*AA*~1~⊥平面*ABC*，
又*BD*⊂平面*ABC*，∴*BD*⊥*AA*~1~，
∵*BA*＝*BC*，*D*为*AC*的中点，∴*BD*⊥*AC*，
又*AC*∩*AA*~1~＝*A*，*AC*⊂平面*ACC*~1~*A*~1~，*AA*~1~⊂平面*ACC*~1~*A*~1~，
∴*BD*⊥平面*ACC*~1~*A*~1~，
又*A*~1~*D*⊂平面*ACC*~1~*A*~1~，∴*BD*⊥*A*~1~*D*.
(2)由(1)知*BD*⊥*AC*，*AA*~1~⊥平面*ABC*，
以*D*为坐标原点，*DB*，*DC*所在直线分别为*x*轴，*y*轴，过点*D*且平行于*AA*~1~的直线为*z*轴建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*.
设*AA*~1~＝*λ*(*λ*＞0)，则*A*~1~(0，－4，*λ*)，*B*(3,0,0)，*C*~1~(0,4，*λ*)，*D*(0,0,0)，
∴＝(0，－4，*λ*)，＝(0,4，*λ*)，＝(3,0,0)，
设平面*BC*~1~*D*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
则*x*＝0，令*z*＝4，可得*y*＝－*λ*，
故*n*＝(0，－*λ*，4)为平面*BC*~1~*D*的一个法向量．
设直线*A*~1~*D*与平面*BC*~1~*D*所成角为*θ*，
则sin *θ*＝\|cos*n*，\|＝
＝＝，解得*λ*＝2或*λ*＝8，
即*AA*~1~＝2或*AA*~1~＝8.
\[典例精析\]
如图，菱形*ABCD*的对角线*AC*与*BD*交于点*O*，*AB*＝5，*AC*＝6，点*E*，*F*分别在*AD*，*CD*上，*AE*＝*CF*＝，*EF*交*BD*于点*H*.将△*DEF*沿*EF*折到△*D*′*EF*位置，*OD*′＝.
(1)证明：*D*′*H*⊥平面*ABCD*；
(2)求二面角*B**D*′*A**C*的余弦值．
\[解\] (1)证明：由四边形*ABCD*为菱形，得*AC*⊥*BD*.
由*AE*＝*CF*＝，得＝，所以*EF*∥*AC*.
因此*EF*⊥*DH*，从而*EF*⊥*D*′*H*.
由*AB*＝5，*AC*＝6，得*DO*＝*BO*＝＝4.
由*EF*∥*AC*得＝＝，
所以*OH*＝1，*D*′*H*＝*DH*＝3，
则*OD*′^2^＝*OH*^2^＋*D*′*H*^2^，所以*D*′*H*⊥*OH*.
又*OH*∩*EF*＝*H*，所以*D*′*H*⊥平面*ABCD*.
(2)以*H*为坐标原点，*HB*，*HF*，*HD*′分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系*H**xyz*，如图所示．
则*B*(5,0,0)，*C*(1,3,0)，*D*′(0,0,3)，*A*(1，－3,0)，
(由口诀"起点同"，我们先求出起点相同的3个向量．)
所以＝(4,3,0)， ＝(－1,3,3)，＝(0,6,0)．
(由口诀"棱排前"，我们用行列式求出两个平面的法向量．)
由()()
可得平面*ABD*′的法向量*n*~1~＝(－3,4，－5)，
由()()
可得平面*AD*′*C*的法向量*n*~2~＝(－3,0，－1)．
于是cos〈*n~1~*，*n~2~*〉＝＝.
所以二面角*B**D*′*A**C*的余弦值为.
\[解题技法\]
(1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补．所以，两个法向量的夹角的余弦值与二面角的余弦值可能存在正负号的差异．
(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀"起点同，棱排前"，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等．
\[题组训练\]
 如图所示，四棱锥*P**ABCD*中，*PA*⊥平面*ABCD*，△*DAB*≌△*DCB*，*E*为线段*BD*上的一点，且*EB*＝*ED*＝*EC*＝*BC*，连接*CE*并延长交*AD*于*F*.
(1)若*G*为*PD*的中点，求证：平面*PAD*⊥平面*CGF*；
(2)若*BC*＝2，*PA*＝3，求二面角*B**CP**D*的余弦值．
解：(1)证明：在△*BCD*中，*EB*＝*ED*＝*EC*＝*BC*，
故∠*BCD*＝90°，∠*CBE*＝∠*BEC*＝60°.
∵△*DAB*≌△*DCB*，∴∠*BAD*＝∠*BCD*＝90°，∠*ABE*＝∠*CBE*＝60°，∴∠*FED*＝∠*BEC*＝∠*ABE*＝60°.
∴*AB*∥*EF*，∴∠*EFD*＝∠*BAD*＝90°，
∴*EF*⊥*AD*，*AF*＝*FD*.
又*PG*＝*GD*，∴*GF*∥*PA*.
又*PA*⊥平面*ABCD*，∴*GF*⊥平面*ABCD*，
∵*AD*⊂平面*ABCD*，∴*GF*⊥*AD*.
又*GF*∩*EF*＝*F*，∴*AD*⊥平面*CGF*.
又*AD*⊂平面*PAD*，∴平面*PAD*⊥平面*CGF*.
(2)以*A*为坐标原点，射线*AB*，*AD*，*AP*分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则*A*(0,0,0)，*B*(2,0,0)，*C*(3，，0)，*D*(0,2，0)，*P*(0,0,3)，
故＝(－1，－，0)， ＝(－3，－，3)，＝(－3，，0)．
设平面*BCP*的一个法向量为*n~1~*＝(1，*y*~1~，*z*~1~)，
则即解得
即*n*~1~＝.
设平面*DCP*的一个法向量为*n*~2~＝(1，*y*~2~，*z*~2~)，
则即解得
即*n*~2~＝(1，，2)．
所以cos〈*n*~1~，*n*~2~〉＝＝＝，
由图知二面角*B**CP**D*为钝角，
所以二面角*B**CP**D*的余弦值为－.
A级
1.如图所示，在正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，已知*M*，*N*分别是*BD*和*AD*的中点，则*B*~1~*M*与*D*~1~*N*所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则*B*~1~(2,2,2)，*M*(1,1,0)，*D*~1~(0，0,2)，*N*(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)， ＝(1,0，－2)，
∴*B*~1~*M*与*D*~1~*N*所成角的余弦值为＝＝.
2．如图，已知长方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AD*＝*AA*~1~＝1，*AB*＝3，*E*为线段*AB*上一点，且*AE*＝*AB*，则*DC*~1~与平面*D*~1~*EC*所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 如图，以*D*为坐标原点，*DA*，*DC*，*DD*~1~所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系，则*C*~1~(0,3,1)，*D*~1~(0,0,1)，*E*(1,1,0)，*C*(0,3,0)，
∴＝(0,3,1)， ＝(1,1，－1)， ＝(0,3，－1)．
设平面*D*~1~*EC*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即取*y*＝1，得*n*＝(2,1,3)．
∴cos，*n*＝＝，
∴*DC*~1~与平面*D*~1~*EC*所成的角的正弦值为.
3．在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AA*~1~＝2，二面角*B**AA*~1~*C*~1~的大小为60°，点*B*到平面*ACC*~1~*A*~1~的距离为，点*C*到平面*ABB*~1~*A*~1~的距离为2，则直线*BC*~1~与直线*AB*~1~所成角的正切值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选A 由题意可知，∠*BAC*＝60°，点*B*到平面*ACC*~1~*A*~1~的距离为，点*C*到平面*ABB*~1~*A*~1~的距离为2，所以在三角形*ABC*中，*AB*＝2，*AC*＝4，*BC*＝2，∠*ABC*＝90°，
则·＝(－)·(＋)＝4，
\|\|＝2，\|\|＝4，
cos，＝＝，
故tan，＝.
4.如图，正三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~的所有棱长都相等，*E*，*F*，*G*分别为*AB*，*AA*~1~，*A*~1~*C*~1~的中点，则*B*~1~*F*与平面*GEF*所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取*AC*的中点*D*，连接*DG*，*DB*，分别以*DA*，*DB*，*DG*所在的直线为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则*B*~1~，*F*(1,0,1)，
*E*，*G*(0,0,2)，
＝，＝， ＝(1,0，－1)．
设平面*GEF*的法向量*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
取*x*＝1，则*z*＝1，*y*＝，
故*n*＝为平面*GEF*的一个法向量，
所以cos〈*n*，〉＝＝－，
所以*B*~1~*F*与平面*GEF*所成角的正弦值为.
5．在正方体*ABCD* *A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，点*E*为*BB*~1~的中点，则平面*A*~1~*ED*与平面*ABCD*所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 以*A*为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系*A**xyz*，设棱长为1，
则*A*~1~(0,0,1)，*E*，*D*(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，
＝，
设平面*A*~1~*ED*的一个法向量为*n*~1~＝(1，*y*，*z*)，
则即
∴∴*n*~1~＝(1,2,2)．
又平面*ABCD*的一个法向量为*n*~2~＝(0,0,1)，
∴cos〈*n*~1~，*n*~2~〉＝＝.
即平面*A*~1~*ED*与平面*ABCD*所成的锐二面角的余弦值为.
6．如图，菱形*ABCD*中，∠*ABC*＝60°，*AC*与*BD*相交于点*O*，*AE*⊥平面*ABCD*，*CF*∥*AE*，*AB*＝2，*CF*＝3.若直线*OF*与平面*BED*所成的角为45°，则*AE*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，以*O*为坐标原点，以*OA*，*OB*所在直线分别为*x*轴，*y*轴，以过点*O*且平行于*CF*的直线为*z*轴建立空间直角坐标系．
设*AE*＝*a*，则*B*(0，，0)，*D*(0，－，0)，*F*(－1,0,3)，*E*(1,0，*a*)，∴＝(－1,0,3)，＝(0,2，0)， ＝(－1，，－*a*)．设平面*BED*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
则*y*＝0，令*z*＝1，得*x*＝－*a*，
∴*n*＝(－*a,*0,1)，
∴cos〈*n*，〉＝＝.
∵直线*OF*与平面*BED*所成角的大小为45°，
∴＝，
解得*a*＝2或*a*＝－(舍去)，∴*AE*＝2.
答案：2
7.如图，已知四棱锥*P* *ABCD*的底面*ABCD*是等腰梯形，*AB*∥*CD*，且*AC*⊥*BD*，*AC*与*BD*交于*O*，*PO*⊥底面*ABCD*，*PO*＝2，*AB*＝2，*E*，*F*分别是*AB*，*AP*的中点，则二面角*F* *OE* *A*的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：以*O*为坐标原点，*OB*，*OC*，*OP*所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立如图所示
的空间直角坐标系*O**xyz*，
由题知，*OA*＝*OB*＝2，
则*A*(0，－2,0)，*B*(2,0,0)，*P*(0,0,2)，*E*(1，－1,0)，*F*(0，－1,1)， ＝(1，－1,0)，＝(0，－1,1)，
设平面*OEF*的法向量为*m*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
令*x*＝1，可得*m*＝(1,1,1)．
易知平面*OAE*的一个法向量为*n*＝(0,0,1)，
则cos〈*m*，*n*〉＝＝.
由图知二面角*F**OE**A*为锐角，
所以二面角*F**OE**A*的余弦值为.
答案：
8．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形*ABCD*所在的平面与半圆弧*C*所在平面垂直，*M*是*C*上异于*C*，*D*的点．
(1)证明：平面*AMD*⊥平面*BMC*；
(2)当三棱锥*M**ABC*体积最大时，求平面*MAB*与平面*MCD*所成二面角的正弦值．
解：(1)证明：由题设知，平面*CMD*⊥平面*ABCD*，交线为*CD*.因为*BC*⊥*CD*，*BC*⊂平面*ABCD*，
所以*BC*⊥平面*CMD*，
又*DM*⊂平面*CMD*，所以*BC*⊥*DM*.
因为*M*为上异于*C*，*D*的点，且*DC*为直径，
所以*DM*⊥*CM*.
又*BC*∩*CM*＝*C*，
所以*DM*⊥平面*BMC*.
因为*DM*⊂平面*AMD*，
所以平面*AMD*⊥平面*BMC*.
(2)以*D*为坐标原点， 的方向为*x*轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*.当三棱锥*M**ABC*的体积最大时，*M*为的中点．由题设得*D*(0,0,0)，*A*(2,0,0)，*B*(2,2,0)，*C*(0,2,0)，*M*(0,1,1)，＝(－2，1,1)，＝(0,2,0)，＝(2,0,0)．
设*n*＝(*x*，*y*，*z*)是平面*MAB*的法向量，
则即可取*n*＝(1,0,2)，
又是平面*MCD*的一个法向量，
所以cos〈*n*，〉＝＝，sin〈*n*，〉＝.
所以平面*MAB*与平面*MCD*所成二面角的正弦值是.
9．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥*P**ABC*中，*AB*＝*BC*＝2，*PA*＝*PB*＝*PC*＝*AC*＝4，*O*为*AC*的中点．
(1)证明：*PO*⊥平面*ABC*；
(2)若点*M*在棱*BC*上，且二面角*M**PA**C*为30°，求*PC*与平面*PAM*所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为*PA*＝*PC*＝*AC*＝4，*O*为*AC*的中点，
所以*PO*⊥*AC*，且*PO*＝2.连接*OB*，因为*AB*＝*BC*＝*AC*，
所以△*ABC*为等腰直角三角形，且*OB*⊥*AC*，*OB*＝*AC*＝2.
所以*PO*＋*OB*^2^＝*PB*^2^，所以*PO*⊥*OB*.
又因为*OB*∩*AC*＝*O*，
所以*PO*⊥平面*ABC*.
(2)以*O*为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系*O**xyz*.由已知得*O*(0,0,0)，*B*(2,0,0)，*A*(0，－2,0)，*C*(0,2,0)，*P*(0,0,2)，
＝(0,2,2)．
取平面*PAC*的一个法向量＝(2,0,0)．
设*M*(*a,*2－*a,*0)(0＜*a*≤2)，则＝(*a,*4－*a,*0)．
设平面*PAM*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
由得()
令*y*＝*a*，得*z*＝－*a*，*x*＝(*a*－4)，所以平面*PAM*的一个法向量为*n*＝((*a*－4)，*a*，－*a*)，
所以cos〈，*n*〉＝()().
由已知可得\|cos〈，*n*〉\|＝cos 30°＝，
所以()＝，
解得*a*＝或*a*＝－4(舍去)．
所以*n*＝.
又＝(0,2，－2)，
所以cos〈，*n*〉＝＝.
所以*PC*与平面*PAM*所成角的正弦值为.
B级
1．如图，四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面*ABCD*是菱形，*AC*∩*BD*＝*O*，*A*~1~*O*⊥底面*ABCD*，*AB*＝2，*AA*~1~＝3.
(1)证明：平面*A*~1~*CO*⊥平面*BB*~1~*D*~1~*D*；
(2)若∠*BAD*＝60°，求二面角*B**OB*~1~*C*的余弦值．
解：(1)证明：∵*A*~1~*O*⊥平面*ABCD*，*BD*⊂平面*ABCD*，
∴*A*~1~*O*⊥*BD*.
∵四边形*ABCD*是菱形，∴*CO*⊥*BD*.
∵*A*~1~*O*∩*CO*＝*O*，∴*BD*⊥平面*A*~1~*CO*.
∵*BD*⊂平面*BB*~1~*D*~1~*D*，
∴平面*A*~1~*CO*⊥平面*BB*~1~*D*~1~*D*.
(2)∵*A*~1~*O*⊥平面*ABCD*，*CO*⊥*BD*，∴*OB*，*OC*，*OA*~1~两两垂直，以*O*为坐标原点，，， 的方向分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
∵*AB*＝2，*AA*~1~＝3，∠*BAD*＝60°，
∴*OB*＝*OD*＝1，*OA*＝*OC*＝，
*OA*~1~＝＝.
则*O*(0,0,0)，*B*(1,0,0)，*C*(0，，0)，*A*(0，－，0)，*A*~1~(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，＝＝(0，，)， ＝＋＝(1，，)．
设平面*OBB*~1~的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
令*y*＝，得*z*＝－1，∴*n*＝(0，，－1)是平面*OBB*~1~的一个法向量．
同理可求得平面*OCB*~1~的一个法向量*m*＝(，0，－1)，
∴cos*n*，*m*＝＝＝，
由图可知二面角*B**OB*~1~*C*是锐二面角，
∴二面角*B**OB*~1~*C*的余弦值为.
2．如图，在四棱锥*P**ABCD*中，底面*ABCD*是直角梯形，∠*ADC*＝90°，*AB*∥*CD*，*AB*＝2*CD*.
平面*PAD*⊥平面*ABCD*，*PA*＝*PD*，点*E*在*PC*上，*DE*⊥平面*PAC*.
(1)求证：*PA*⊥平面*PCD*；
(2)设*AD*＝2，若平面*PBC*与平面*PAD*所成的二面角为45°，求*DE*的长．
解：(1)证明：由*DE*⊥平面*PAC*，得*DE*⊥*PA*，
又平面*PAD*⊥平面*ABCD*，平面*PAD*∩平面*ABCD*＝*AD*，*CD*⊥*AD*，
所以*CD*⊥平面*PAD*，所以*CD*⊥*PA*，
又*CD*∩*DE*＝*D*，所以*PA*⊥平面*PCD*.
(2)取*AD*的中点*O*，连接*PO*，
因为*PA*＝*PD*，所以*PO*⊥*AD*，
又平面*PAD*⊥平面*ABCD*，平面*PAD*∩平面*ABCD*＝*AD*，
所以*PO*⊥平面*ABCD*，
以*O*为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系*O**xyz*，由(1)得*PA*⊥*PD*，由*AD*＝2得*PA*＝*PD*＝，*PO*＝1，
设*CD*＝*a*，则*P*(0,0,1)，*D*(0,1,0)，*C*(*a,*1,0)，*B*(2*a*，－1,0)，
则＝(－*a,*2,0)，＝(*a,*1，－1)．
设*m*＝(*x*，*y*，*z*)为平面*PBC*的法向量，
由得令*x*＝2，则*y*＝*a*，*z*＝3*a*，故*m*＝(2，*a,*3*a*)为平面*PBC*的一个法向量，
由(1)知*n*＝＝(*a,*0,0)为平面*PAD*的一个法向量．
由\|cos*m*，*n*\|＝＝＝，解得*a*＝，即*CD*＝，所以在Rt△*PCD*中，*PC*＝，
由等面积法可得*DE*＝＝.
3．如图，在三棱锥*P**ABC*中，平面*PAB*⊥平面*ABC*，*AB*＝6，
*BC*＝2，*AC*＝2，*D*，*E*分别为线段*AB*，*BC*上的点，且*AD*＝2*DB*，*CE*＝2*EB*，*PD*⊥*AC*.
(1)求证：*PD*⊥平面*ABC*；
(2)若直线*PA*与平面*ABC*所成的角为45°，求平面*PAC*与平面*PDE*所成的锐二面角大小．
解：(1)证明：∵*AC*＝2，*BC*＝2，*AB*＝6，
∴*AC*^2^＋*BC*^2^＝*AB*^2^，∴∠*ACB*＝90°，
∴cos∠*ABC*＝＝.
又易知*BD*＝2，
∴*CD*^2^＝2^2^＋(2)^2^－2×2×2cos∠*ABC*＝8，
∴*CD*＝2，又*AD*＝4，
∴*CD*^2^＋*AD*^2^＝*AC*^2^，∴*CD*⊥*AB*.
∵平面*PAB*⊥平面*ABC*，平面*PAB*∩平面*ABC*＝*AB*，*CD*⊂平面*ABC*，
∴*CD*⊥平面*PAB*，
又*PD*⊂平面*PAB*，∴*CD*⊥*PD*，
∵*PD*⊥*AC*，*AC*∩*CD*＝*C*，
∴*PD*⊥平面*ABC*.
(2)由(1)知*PD*，*CD*，*AB*两两互相垂直，∴可建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*，
∵直线*PA*与平面*ABC*所成的角为45°，即∠*PAD*＝45°，∴*PD*＝*AD*＝4，
则*A*(0，－4,0)，*C*(2，0,0)，*B*(0,2,0)，*P*(0,0,4)，
∴＝(－2，2,0)，＝(2，4,0)，＝(0，－4，－4)．
∵*AD*＝2*DB*，*CE*＝2*EB*，∴*DE*∥*AC*，
由(1)知*AC*⊥*BC*，∴*DE*⊥*BC*，
又*PD*⊥平面*ABC*，*BC*⊂平面*ABC*，∴*PD*⊥*BC*，
∵*PD*∩*DE*＝*D*，∴*CB*⊥平面*PDE*，
∴＝(－2，2,0)为平面*PDE*的一个法向量．
设平面*PAC*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
令*z*＝1，得*x*＝，*y*＝－1，
∴*n*＝(，－1,1)为平面*PAC*的一个法向量．
∴cos*n*，＝＝－，
∴平面*PAC*与平面*PDE*所成的锐二面角的余弦值为，
故平面*PAC*与平面*PDE*所成的锐二面角为30°.
第十节 突破立体几何中的3大经典问题
\[例1\] 在如图所示的几何体中，四边形*CDEF*为正方形，四边形*ABCD*为等腰梯形，*AB*∥*CD*，*AB*＝2*BC*，∠*ABC*＝60°，*AC*⊥*FB*.
(1)求证：*AC*⊥平面*FBC*；
(2)求*BC*与平面*EAC*所成角的正弦值；
(3)线段*ED*上是否存在点*Q*，使平面*EAC*⊥平面*QBC*？证明你的结论．
\[解\] (1)证明：因为*AB*＝2*BC*，∠*ABC*＝60°，
在△*ABC*中，由余弦定理可得*AC*＝*BC*，
因为*AB*^2^＝*AC*^2^＋*BC*^2^，所以*AC*⊥*BC*.
又因为*AC*⊥*FB*，*FB*∩*BC*＝*B*，所以*AC*⊥平面*FBC*.
(2)因为*AC*⊥平面*FBC*，*FC*⊂平面*FBC*，所以*AC*⊥*FC*.因为*CD*⊥*FC*，所以*FC*⊥平面*ABCD*，所以*CA*，*CF*，*CB*所在直线两两互相垂直，以*C*为坐标原点，*CA*，*CB*，*CF*所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立如图所示的空间直角坐标系*C**xyz*.在等腰梯形*ABCD*中，可得*CB*＝*CD*.
设*BC*＝1，则*C*(0,0,0)，*A*(，0,0)，*B*(0,1,0)，
*D*，*E*.
所以＝， ＝(，0,0)，＝(0,1,0)．
设平面*EAC*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
取*z*＝1，则*n*＝(0,2,1)．
设*BC*与平面*EAC*所成的角为*θ*，
则sin *θ*＝\|cos，*n*\|＝＝，
所以*BC*与平面*EAC*所成角的正弦值为.
(3)假设线段*ED*上存在点*Q*，使平面*EAC*⊥平面*QBC*.
设*Q*(0≤*t*≤1)，所以＝.
设平面*QBC*的法向量为*m*＝(*a*，*b*，*c*)，
则即
取*c*＝1，得*m*＝.
要使平面*EAC*⊥平面*QBC*，只需*m·n*＝0，即－*t*×0＋0×2＋1×1＝0，此方程无解．
所以线段*ED*上不存在点*Q*，使平面*EAC*⊥平面*QBC*.
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设．
\[题组训练\]1．如图所示，四棱锥*S**ABCD*的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，*P*为侧棱*SD*上的点．
(1)求证：*AC*⊥*SD*；
(2)若*SD*⊥平面*PAC*，则侧棱*SC*上是否存在一点*E*，使得*BE*∥平面*PAC*？若存在，求*SE*∶*EC*的值；若不存在，试说明理由．
解：(1)证明：如图所示，连接*BD*，
设*AC*交*BD*于点*O*，则*AC*⊥*BD*.
连接*SO*，则由题意知*SO*⊥平面*ABCD*.
以*O*为坐标原点，，， 分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴正方向，建立空间直角坐标系*O**xyz*.
设底面边长为*a*，则高*SO*＝*a*.于是*O*(0,0,0)，*S*，*D*，*B*，
*C*，
所以＝，＝，
则·＝0.
故*OC*⊥*SD*，从而*AC*⊥*SD*.
(2)假设棱*SC*上存在一点*E*，使*BE*∥平面*PAC*.
由已知条件得是平面*PAC*的一个法向量，
且＝， ＝，
＝.
设＝*t* (0＜*t*≤1)，则＝＋＝＋*t*
＝().
由·＝0，解得*t*＝.
即当*SE*∶*EC*＝2∶1时，⊥.
而*BE*⊄平面*PAC*，故*BE*∥平面*PAC*.
\[例2\] 如图，底面*ABCD*是边长为3的正方形，平面*ADEF*⊥平面*ABCD*，*AF*∥*DE*，*AD*⊥*DE*，*AF*＝2，*DE*＝3.
(1)求证：平面*ACE*⊥平面*BED*；
(2)求直线*CA*与平面*BEF*所成角的正弦值；
(3)在线段*AF*上是否存在点*M*，使得二面角*M**BE**D*的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
\[解\] (1)证明：因为平面*ADEF*⊥平面*ABCD*，平面*ADEF*∩平面*ABCD*＝*AD*，*DE*⊥*AD*，*DE*⊂平面*ADEF*，
所以*DE*⊥平面*ABCD*.
因为*AC*⊂平面*ABCD*，所以*DE*⊥*AC*.
又因为四边形*ABCD*是正方形，所以*AC*⊥*BD*.
因为*DE*∩*BD*＝*D*，*DE*⊂平面*BED*，*BD*⊂平面*BED*，
所以*AC*⊥平面*BED*.
又因为*AC*⊂平面*ACE*，
所以平面*ACE*⊥平面*BED*.
(2)因为*DA*，*DC*，*DE*两两垂直，所以以*D*为坐标原点，射线*DA*，*DC*，*DE*分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴的正半轴，建立空间直角坐标系*D**xyz*，如图所示．则*A*(3,0,0)，*F*(3，0,2)，*E*(0,0，3)，*B*(3,3,0)，*C*(0,3,0)，＝(3，－3,0)，＝(－3，－3，3)，＝(3,0，－)．
设平面*BEF*的法向量为*n*＝(*x*~1~，*y*~1~，*z*~1~)，
则即
取*x*~1~＝，得*n*＝(，2，3)．
所以cos，*n*＝＝＝－.
所以直线*CA*与平面*BEF*所成角的正弦值为.
(3)假设存在点*M*在线段*AF*上满足条件，
设*M*(3,0，*t*)，0≤*t*≤2，
则＝(0，－3，*t*)，＝(－3，－3,3)．
设平面*MBE*的法向量为*m*＝(*x*~2~，*y*~2~，*z*~2~)，
则即
令*y*~2~＝*t*，得*m*＝(3－*t*，*t,*3)．
易知*CA*＝(3，－3,0)是平面*BED*的一个法向量，
所以\|cos*m*，\|＝
＝()＝，
整理得2*t*^2^－6*t*＋15＝0，解得*t*＝或*t*＝(舍去)，
故在线段*AF*上存在点*M*，使得二面角*M**BE**D*的大小为60°，此时＝.
存在性问题的解题策略
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．
\[题组训练\]
2．如图所示，在长方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~中，*AD*＝*AA*~1~＝1，*AB*＝2.
(1)求证：当点*E*在棱*AB*上移动时，*D*~1~*E*⊥*A*~1~*D*；
(2)在棱*AB*上是否存在点*E*，使二面角*D*~1~*EC**D*的平面角为30°？若存在，求出*AE*的长；若不存在，请说明理由．
解：以*D*为坐标原点，*DA*，*DC*，*DD*~1~所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则*D*(0,0,0)，*C*(0,2,0)，*A*~1~(1，0,1)，*D*~1~(0,0,1)．
设*E*(1，*y*~0,~0)(0≤*y*~0~≤2)．
(1)证明：因为＝(1，*y*~0~，－1)，＝(－1,0，－1)，
则·＝(1，*y*~0~，－1)·(－1,0，－1)＝0，
所以⊥，即*D*~1~*E*⊥*A*~1~*D*.
(2)假设在棱*AB*上存在点*E*，使二面角*D*~1~*EC**D*的平面角为30°.
因为＝(－1,2－*y*~0,~0)，＝(0,2，－1)，
设平面*D*~1~*EC*的一个法向量为*n*~1~＝(*x*，*y*，*z*)，
则即()
取*y*＝1，则*n*~1~＝(2－*y*~0,~1,2)是平面*D*~1~*EC*的一个法向量．
易知平面*ECD*的一个法向量为*n*~2~＝＝(0,0,1)，要使二面角*D*~1~*EC**D*的平面角为30°，
则cos 30°＝\|cos*n~1~*，*n~2~*\|＝
＝()＝，
解得*y*~0~＝2－或*y*~0~＝2＋(不合题意，舍去)．
所以当*AE*＝2－时，二面角*D*~1~*EC**D*的平面角为30°.
\[例1\] (2019·洛阳第一次联考)如图1，在直角梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*⊥*BC*，*BD*⊥*DC*，点*E*是*BC*边的中点，将△*ABD*沿*BD*折起，使平面*ABD*⊥平面*BCD*，连接*AE*，*AC*，*DE*，得到如图2所示的几何体．
(1)求证：*AB*⊥平面*ADC*；
(2)若*AD*＝1，二面角*C**AB**D*的平面角的正切值为，求二面角*B**AD**E*的余弦值．
\[解\] (1)证明：因为平面*ABD*⊥平面*BCD*，平面*ABD*∩平面*BCD*＝*BD*，*BD*⊥*DC*，*DC*⊂平面*BCD*，
所以*DC*⊥平面*ABD*.
因为*AB*⊂平面*ABD*，所以*DC*⊥*AB*.
又因为折叠前后均有*AD*⊥*AB*，*DC*∩*AD*＝*D*，
所以*AB*⊥平面*ADC*.
(2)由(1)知*AB*⊥平面*ADC*，
所以二面角*C**AB**D*的平面角为∠*CAD*.
又*DC*⊥平面*ABD*，*AD*⊂平面*ABD*，所以*DC*⊥*AD*.
依题意tan∠*CAD*＝＝.
因为*AD*＝1，所以*CD*＝.
设*AB*＝*x*(*x*＞0)，则*BD*＝.
依题意△*ABD*∽△*DCB*，所以＝，
即＝，解得*x*＝，
故*AB*＝，*BD*＝，*BC*＝＝3.
以*D*为坐标原点，射线*DB*，*DC*分别为*x*轴，*y*轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系*D**xyz*，
则*D*(0,0,0)，*B*(，0,0)，*C*(0，，0)，*E*，*A*，
所以＝，＝.
由(1)知平面*BAD*的一个法向量*n*＝(0,1,0)．
设平面*ADE*的法向量为*m*＝(*x*，*y*，*z*)，
由得
令*x*＝，得*y*＝－，*z*＝－，
所以*m*＝(，－，－)为平面*ADE*的一个法向量．
所以cos*n*，*m*＝＝－.
由图可知二面角*B**AD**E*的平面角为锐角，
所以二面角*B**AD**E*的余弦值为.
\[解题技法\] 翻折问题的2个解题策略
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确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于"折痕"同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于"折痕"两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
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\[题组训练\]
1．(2019·泉州模拟)如图1，在四边形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，∠*BAD*＝90°，*AB*＝2，*BC*＝4，*AD*＝6，*E*是*AD*上的点，*AE*＝*AD*，*P* 为*BE*的中点，将△*ABE*沿*BE*折起到△*A*~1~*BE*的位置，使得*A*~1~*C*＝4，如图2.
(1)求证：平面*A*~1~*CP*⊥平面*A*~1~*BE*；
(2)求二面角*B**A*~1~*P**D*的余弦值．
解：(1)证明：如图3，连接*AP*，*PC*.∵在四边形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，∠*BAD*＝90°，*AB*＝2，*BC*＝4，*AD*＝6，*E*是*AD*上的点，*AE*＝*AD*，*P*为*BE*的中点，
∴*BE*＝4，∠*ABE*＝30°，∠*EBC*＝60°，*BP*＝2，∴*PC*＝2，∴*BP*^2^＋*PC*^2^＝*BC*^2^，∴*BP*⊥*PC*.
∵*A*~1~*P*＝*AP*＝2，*A*~1~*C*＝4，∴*A*~1~*P*^2^＋*PC*^2^＝*A*~1~*C*^2^，∴*PC*⊥*A*~1~*P*.
∵*BP*∩*A*~1~*P*＝*P*，∴*PC*⊥平面*A*~1~*BE*.
∵*PC*⊂平面*A*~1~*CP*，∴平面*A*~1~*CP*⊥平面*A*~1~*BE*.
(2)如图4，以*P*为坐标原点，*PB*所在直线为*x*轴，*PC*所在直线为*y*轴，过*P*作平面*BCDE*的垂线为*z*轴，建立空间直角坐标系，
则*A*~1~(－1,0，)，*P*(0,0,0)，*D*(－4,2，0)，
∴＝(－1,0，)， ＝(－4,2，0)，
设平面*A*~1~*PD*的法向量为*m*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
取*x*＝，得*m*＝(，2,1)．
易知平面*A*~1~*PB*的一个法向量*n*＝(0,1,0)，
则cos 〈*m*，*n*〉＝＝.
由图可知二面角*B**A*~1~*P**D*是钝角，
∴二面角*B**A*~1~*P**D*的余弦值为－.
\[例2\] 在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，底面为直角三角形，∠*ACB*＝90°，*AC*＝6，*BC*＝*CC*~1~＝，*P*是*BC*~1~上一动点，如图所示，则*CP*＋*PA*~1~的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] *PA*~1~在平面*A*~1~*BC*~1~内，*PC*在平面*BCC*~1~内，
将其铺平后转化为平面上的问题．铺平平面*A*~1~*BC*~1~，平面*BCC*~1~，如图所示，计算得*A*~1~*B*＝*AB*~1~＝2，*BC*~1~＝2.
又*A*~1~*C*~1~＝6，故△*A*~1~*BC*~1~是∠*A*~1~*C*~1~*B*＝90°的直角三角形．
设*P*是*BC*~1~上任一点，*CP*＋*PA*~1~≥*A*~1~*C*，
即当*A*~1~，*P*，*C*三点共线时，*CP*＋*PA*~1~有最小值．
在△*A*~1~*C*~1~*C*中，由余弦定理得
*A*~1~*C*＝()＝5，
故(*CP*＋*PA*~1~)~min~＝5.
\[答案\] 5
"展开问题"是"折叠问题"的逆向思维、逆过程，"展开问题"是指将立体图形的表面(或部分表面)按一定的要求铺成平面图形，再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型．解决展开问题的关键是：确定需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论)，以及利用什么平面定理来解决对应的立体图形问题．
\[提醒\] 求立体图形中两条(或多条)线段长度和的最小值，只需将这些线段统一到一个平面上．要注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改变，哪些不会变．
\[题组训练\]
2.如图所示，在棱长为1的正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的面对角线*A*~1~*B*上存在一点*P*，使得*AP*＋*D*~1~*P*取得最小值，则此最小值为( )
A．2 B.
C．2＋ D.
解析：选D 将△*A*~1~*AB*与△*A*~1~*BD*~1~放在同一平面内，如图所示．连接*AD*~1~，则*AD*~1~为*AP*＋*D*~1~*P*的最小值．因为*AA*~1~＝*A*~1~*D*~1~＝1，∠*AA*~1~*D*~1~＝90°＋45°＝135°，所以由余弦定理得*AD*~1~＝＝.
\[典例\] (1)已知三棱锥*O**ABC*的顶点*A*，*B*，*C*都在半径为2的球面上，*O*是球心，∠*AOB*＝120°，当△*AOC*与△*BOC*的面积之和最大时，三棱锥*O**ABC*的体积为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为*O*，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形*ABC*的中心为*O*.*D*，*E*，*F*为圆*O*上的点，△*DBC*，△*ECA*，△*FAB*分别是以*BC*，*CA*，*AB*为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以*BC*，*CA*，*AB*为折痕折起△*DBC*，△*ECA*，△*FAB*，使得*D*，*E*，*F*重合，得到三棱锥．当△*ABC*的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm^3^)的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)设球*O*的半径为*R*，
因为*S*~△*AOC*~＋*S*~△*BOC*~＝*R*^2^(sin∠*AOC*＋sin∠*BOC*)，
所以当∠*AOC*＝∠*BOC*＝90°时，
*S*~△*AOC*~＋*S*~△*BOC*~取得最大值，
此时*OA*⊥*OC*，*OB*⊥*OC*，
又*OB*∩*OA*＝*O*，*OA*⊂平面*AOB*，*OB*⊂平面*AOB*，
所以*OC*⊥平面*AOB*，
由题意知*R*＝2，所以*V*~三棱锥*O**ABC*~＝*V*~三棱锥*C**OAB*~
＝*OC*·*OA*·*OB*sin∠*AOB*
＝*R*^3^sin∠*AOB*＝.
(2)如图，连接*OD*交*BC*于点*G*，
由题意知，*OD*⊥*BC*.易得*OG*＝*BC*，
设*OG*＝*x*，则*BC*＝2*x*，*DG*＝5－*x*，
*S*~△*ABC*~＝×2*x*×3*x*＝3*x*^2^，
故所得三棱锥的体积*V*＝×3*x*^2^×()＝*x*^2^×＝×.
令*f*(*x*)＝25*x*^4^－10*x*^5^，*x*∈，
则*f*′(*x*)＝100*x*^3^－50*x*^4^，
令*f*′(*x*)＞0，即*x*^4^－2*x*^3^＜0，得0＜*x*＜2；
令*f*′(*x*)＜0，得2＜*x*＜，
则当*x*∈时，*f*(*x*)≤*f*(2)＝80，
∴*V*≤×＝4.
∴所求三棱锥的体积的最大值为4.
\[答案\] (1)B (2)4
\[解题技法\] 与体积、面积有关的最值问题的解题策略
空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变化，进而就有了面积与体积的最值问题.
---------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
定性分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值
定量分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择
---------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\[题组训练\]
1．(2018·全国卷Ⅲ)设*A*，*B*，*C*，*D*是同一个半径为4的球的球面上四点，△*ABC*为等边三角形且其面积为9，则三棱锥*D**ABC*体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
解析：选B 由等边△*ABC*的面积为9，可得*AB*^2^＝9，所以*AB*＝6，所以等边△*ABC*的外接圆的半径为*r*＝*AB*＝2.设球的半径为*R*，球心到等边△*ABC*的外接圆圆心的距离为*d*，则*d*＝＝＝2.所以三棱锥*D**ABC*高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥*D**ABC*体积的最大值为×9×6＝18.
2．已知正四面体*S**ABC*的棱长为1，如果一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，易知正四面体*S**ABC*的内切球的球心*O*必在高线*SH*上，延长*AH*交*BC*于点*D*，则*D*为*BC*的中点，连接*SD*，设内切球切*SD*于点*E*，连接*AO*.因为*H*是正三角形*ABC*的中心，所以*AH*∶*DH*＝2∶1.易得Rt△*OAH*∽Rt△*DSH*，所以＝＝3，可得*OA*＝3*OH*＝*SO*，因此*SH*＝4*OH*，可得内切球的半径*R*＝*OH*＝*SH*.因为正四面体*S**ABC*的棱长为1，所以在Rt△*DSH*中，*DS*＝＝()＝，解得*R*^2^＝.要满足一个高为的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的体对角线长不超过正四面体内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为*x*，*y*，其长和宽形成的长方形的面积为*S*，则4*R*^2^≥^2^＋*x*^2^＋*y*^2^，所以*x*^2^＋*y*^2^≤，所以*S*＝*xy*≤≤，当且仅当*x*＝*y*＝时等号成立，即该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为.
答案：
1.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形*ABCD*为正方形，*E*，*F*分别是*PA*，*PD*的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①*BE*与*CF*异面；
②*BE*与*AF*异面；
③*EF*∥平面*PBC*；
④平面*BCE*⊥平面*PAD*.
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 画出该几何体，如图．因为*E*，*F*分别是*PA*，*PD*的中点，所以*EF*∥*AD*，所以*EF*∥*BC*，*BE*与*CF*是共面直线，故①不正确；*BE*与*AF*满足异面直线的定义，故②正确；由*E*，*F*分别是*PA*，*PD*的中点，可知*EF*∥*AD*，所以*EF*∥*BC*，因为*EF*⊄平面*PBC*，*BC*⊂平面*PBC*，所以*EF*∥平面*PBC*，故③正确；因为*BE*与*PA*的关系不能确定，所以不能判定平面*BCE*⊥平面*PAD*，故④不正确．故选B.
2．如图，在正方形*ABCD*中，*E*，*F*分别是*BC*，*CD*的中点，*G*是*EF*的中点，现在沿*AE*，*AF*及*EF*把这个正方形折成一个空间图形，使*B*，*C*，*D*三点重合，重合后的点记为*H*，那么，在这个空间图形中必有( )
A．*AG*⊥平面*EFH* B.*AH*⊥平面*EFH*
C．*HF*⊥平面*AEF* D．*HG*⊥平面*AEF*
解析：选B 根据折叠前、后*AH*⊥*HE*，*AH*⊥*HF*不变，且*HE*∩*HF*＝*H*，∴*AH*⊥平面*EFH*，B正确；∵过*A*只有一条直线与平面*EFH*垂直，∴A不正确；∵*AG*⊥*EF*，*EF*⊥*GH*，*AG*∩*GH*＝*G*，∴*EF*⊥平面*HAG*，又*EF*⊂平面*AEF*，∴平面*HAG*⊥平面*AEF*，过点*H*作直线垂直于平面*AEF*，垂线一定在平面*HAG*内，∴C不正确；由条件证不出*HG*⊥平面*AEF*，∴D不正确．故选B.
3.如图所示，在正三棱锥*S**ABC*中，∠*BSC*＝40°，*SB*＝2，则一动点从点*B*出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点*B*的最短路线的长为( )
A．2 B.3
C．2 D．3
解析：选C 沿*SB*，*AB*，*BC*将棱锥侧面剪开并展开成一个平面图形*SBACB*~1~，如图所示，则动点的最短路线为线段*BB*~1~.在△*SBB*~1~中，*SB*＝*SB*~1~＝2，∠*BSB*~1~＝120°，所以*BB*~1~＝2.故选C.
4.如图，正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为4，点*P*，*Q*分别在底面*ABCD*、棱*AA*~1~上运动，且*PQ*＝4，点*M*为线段*PQ*的中点，则线段*C*~1~*M*的长度的最小值为( )
A．2 B.4－2
C．6 D．4
解析：选B 连接*AP*，*AC*~1~，*AM*.由正方体的结构特征可得，*QA*⊥平面*ABCD*，所以*QA*⊥*AP*.
因为*PQ*＝4，点*M*为线段*PQ*的中点，
所以*AM*＝*PQ*＝2，
故点*M*在以*A*为球心，半径*R*＝2的球面上，
易知*AC*~1~＝4，
所以*C*~1~*M*的最小值为*AC*~1~－*R*＝4－2.
5.一只蚂蚁从正方体*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的顶点*A*出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点*C*~1~的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )
A．①② B.①③
C．③④ D．②④
解析：选D 由点*A*经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点*C*~1~的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)．若把平面*ABB*~1~*A*~1~和平面*BCC*~1~*B*~1~展到同一个平面内，连接*AC*~1~，则*AC*~1~是最短路线，且*AC*~1~会经过*BB*~1~的中点，此时对应的正视图为②；若把平面*ABCD*和平面*CDD*~1~*C*~1~展到同一个平面内，连接*AC*~1~，则*AC*~1~是最短路线，且*AC*~1~会经过*CD*的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现，故选D.
6．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为*r*，高为*h*，则*h*＝，所以圆锥的体积*V*＝π*r*^2^*h*＝π*r*^2^＝π.设*f*(*r*)＝9*r*^4^－*r*^6^(*r*＞0)，
则*f*′(*r*)＝36*r*^3^－6*r*^5^，令*f*′(*r*)＝36*r*^3^－6*r*^5^＝6*r*^3^(6－*r*^2^)＝0，得*r*＝，所以当0＜*r*＜时，*f*′(*r*)＞0，*f*(*r*)单调递增；当*r*＞时，*f*′(*r*)＜0，*f*(*r*)单调递减，所以*f*(*r*)~max~＝*f*()＝108，所以*V*~max~＝π×＝2π.
答案：2π
7．如图所示，在四边形*ABCD*中，*AB*＝*AD*＝*CD*＝1，*BD*＝，*BD*⊥*CD*，将四边形*ABCD*沿对角线*BD*折成四面体*A*′*BCD*，使平面*A*′*BD*⊥平面*BCD*，则下列结论正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填序号)．
①*A*′*C*⊥*BD*；②∠*BA*′*C*＝90°；③四面体*A*′*BCD*的体积为.
解析：∵*BD*⊥*CD*，平面*A*′*BD*⊥平面*BCD*，平面*A*′*BD*∩平面*BCD*＝*BD*，*CD*⊂平面*BCD*，
∴*CD*⊥平面*A*′*BD*，又*A*′*D*⊂平面*A*′*BD*，∴*CD*⊥*A*′*D*.
∵*AB*＝*AD*＝*CD*＝1，*BD*＝，
∴*A*′*C*＝，*BC*＝，∴*A*′*B*^2^＋*A*′*C*^2^＝*BC*^2^，
∴*A*′*B*⊥*A*′*C*，即∠*BA*′*C*＝90°，故②正确；
四面体*A*′*BCD*的体积*V*＝××1^2^×1＝，故③正确．
答案：②③
8．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则*xy*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由三视图知三棱锥如图所示，
底面*ABC*是直角三角形，*AB*⊥*BC*，
*PA*⊥平面*ABC*，*BC*＝2，
*PA*^2^＋*y*^2^＝10^2^，(2)^2^＋*PA*^2^＝*x*^2^，
因此*xy*＝*x*
＝*x*≤()＝64，当且仅当*x*^2^＝128－*x*^2^，即*x*＝8时取等号，因此*xy*的最大值是64.
答案：64
9．已知*A*，*B*，*C*是球*O*的球面上三点，且*AB*＝*AC*＝3，*BC*＝3，*D*为该球面上的动点，球心*O*到平面*ABC*的距离为球半径的一半，则三棱锥*D* *ABC*体积的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，在△*ABC*中，
∵*AB*＝*AC*＝3，*BC*＝3，
∴由余弦定理可得
cos *A*＝()＝－，
∴sin *A*＝.
设△*ABC*外接圆*O*′的半径为*r*，则＝2*r*，得*r*＝3.
设球的半径为*R*，连接*OO*′，*BO*′，*OB*，
则*R*^2^＝^2^＋3^2^，解得*R*＝2.
由图可知，当点*D*到平面*ABC*的距离为*R*时，三棱锥*D* *ABC*的体积最大，
∵*S*~△*ABC*~＝×3×3×＝，
∴三棱锥*D* *ABC*体积的最大值为××3＝.
答案：
10.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥*P**A*~1~*B*~1~*CD*~1~，下部的形状是正四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~(如图所示)，并要求正四棱柱的高*O*~1~*O*是正四棱锥的高*PO*~1~的4倍．
(1)若*AB*＝6 m，*PO*~1~＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当*PO*~1~为多少时，仓库的容积最大？
解：(1)由*PO*~1~＝2知*O*~1~*O*＝4*PO*~1~＝8.
因为*A*~1~*B*~1~＝*AB*＝6，
所以正四棱锥*P**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的体积
*V*~锥~＝·*A*~1~*B*·*PO*~1~＝×6^2^×2＝24(m^3^)；
正四棱柱*ABCD**A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的体积
*V*~柱~＝*AB*^2^·*O*~1~*O*＝6^2^×8＝288(m^3^)．
所以仓库的容积*V*＝*V*~锥~＋*V*~柱~＝24＋288＝312(m^3^)．
(2)设*A*~1~*B*~1~＝*a* m，*PO*~1~＝*h* m，
则0＜*h*＜6，*O*~1~*O*＝4*h*.如图，连接*O*~1~*B*~1~.
因为在Rt△*PO*~1~*B*~1~中，
*O*~1~*B*＋*PO*＝*PB*，
所以^2^＋*h*^2^＝36，
即*a*^2^＝2(36－*h*^2^)．
于是仓库的容积*V*＝*V*~柱~＋*V*~锥~＝*a*^2^·4*h*＋*a*^2^·*h*＝*a*^2^*h*＝(36*h*－*h*^3^)，0＜*h*＜6，
从而*V*′＝(36－3*h*^2^)＝26(12－*h*^2^)．
令*V*′＝0，得*h*＝2或*h*＝－2(舍)．
当0＜*h*＜2时，*V*′＞0，*V*是单调增函数；
当2＜*h*＜6时，*V*′＜0，*V*是单调减函数．
故当*h*＝2时，*V*取得极大值，也是最大值．
因此，当*PO*~1~＝2 m时，仓库的容积最大．
11.(2019·凉山模拟)如图，在四棱锥*P**ABCD*中，侧面*PAD*⊥底面*ABCD*，底面*ABCD*是平行四边形，∠*ABC*＝45°，*AD*＝*AP*＝2，*AB*＝*DP*＝2，*E*为*CD*的中点，点*F*在线段*PB*上．
(1)求证：*AD*⊥*PC*；
(2)试确定点*F*的位置，使得直线*EF*与平面*PDC*所成的角和直线*EF*与平面*ABCD*所成的角相等．
解：(1)证明：在平行四边形*ABCD*中，连接*AC*，
∵*AB*＝2，*BC*＝2，∠*ABC*＝45°，
由余弦定理得*AC*^2^＝8＋4－2×2×2×cos 45°＝4，
∴*AC*＝2，
∴*AC*^2^＋*BC*^2^＝*AB*^2^，∴*BC*⊥*AC*.
又*AD*∥*BC*，∴*AD*⊥*AC*.
∵*AD*＝*AP*＝2，*DP*＝2，
∴*AD*^2^＋*AP*^2^＝*DP*^2^，∴*AP*⊥*AD*.
又*AP*∩*AC*＝*A*，*AP*⊂平面*PAC*，*AC*⊂平面*PAC*，
∴*AD*⊥平面*PAC*.
∵*PC*⊂平面*PAC*，∴*AD*⊥*PC*.
(2)∵侧面*PAD*⊥底面*ABCD*，侧面*PAD*∩底面*ABCD*＝*AD*，*PA*⊥*AD*，*PA*⊂平面*PAD*，
∴*PA*⊥底面*ABCD*.
以*A*为坐标原点，以*DA*，*AC*，*AP*所在直线为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立如图所示的空间直角坐标系*A**xyz*，则*A*(0,0,0)，*D*(－2,0,0)，*C*(0,2,0)，*B*(2,2,0)，*E*(－1,1,0)，*P*(0,0,2)，∴＝(0,2，－2)，＝(－2,0，－2)，＝(2,2，－2)．设＝*λ*(*λ*∈\[0,1\])，则＝(2*λ*，2*λ*，－2*λ*)，*F*(2*λ*，2*λ*，－2*λ*＋2)，
∴＝(2*λ*＋1,2*λ*－1，－2*λ*＋2)，平面*ABCD*的一个法向量为*m*＝(0,0,1)．
设平面*PDC*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则∴
令*x*＝1，得*n*＝(1，－1，－1)．
∵直线*EF*与平面*PDC*所成的角和此直线与平面*ABCD*所成的角相等，∴\|cos，*m*\|＝\|cos，*n*\|，即＝，∴2－2*λ*＝，解得*λ*＝，
∴当＝时，直线*EF*与平面*PDC*所成的角和直线*EF*与平面*ABCD*所成的角相等．
12．(2018·肇庆二模)如图1，在高为2的梯形*ABCD*中，*AB*∥*CD*，*AB*＝2，*CD*＝5，过*A*，*B*分别作*AE*⊥*CD*，*BF*⊥*CD*，垂足分别为*E*，*F*.已知*DE*＝1，将梯形*ABCD*沿*AE*，*BF*同侧折起，得空间几何体*ADE**BCF*，如图2.
(1)若*AF*⊥*BD*，证明：*DE*⊥*BE*；
(2)若*DE*∥*CF*，*CD*＝，在线段*AB*上是否存在点*P*，使得*CP*与平面*ACD*所成角的正弦值为？并说明理由．
解：(1)证明：由已知得四边形*ABFE*是正方形，且边长为2，
∴*AF*⊥*BE*.∵*AF*⊥*BD*，*BE*∩*BD*＝*B*，∴*AF*⊥平面*BDE*.
又*DE*⊂平面*BDE*，∴*AF*⊥*DE*.
∵*AE*⊥*DE*，*AE*∩*AF*＝*A*，
∴*DE*⊥平面*ABFE*.
又*BE*⊂平面*ABFE*，∴*DE*⊥*BE*.
(2)当*P*为*AB*的中点时满足条件．理由如下：
∵*AE*⊥*DE*，*AE*⊥*EF*，*DE*∩*EF*＝*E*，∴*AE*⊥平面*DEFC*.
如图，过*E*作*EG*⊥*EF*交*DC*于点*G*，
可知*GE*，*EA*，*EF*两两垂直，以*E*为坐标原点，以，，分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴的正方向建立空间直角坐标系，则*A*(2,0,0)，*B*(2,2,0)，*C*(0,1，)，*D*，＝(－2,1，)，＝.
设平面*ACD*的法向量为*n*＝(*x*，*y*，*z*)，
则即
令*x*＝1，得*n*＝(1，－1，)．
设＝*λ*，则*P*，*λ*∈(0，＋∞)，
可得＝.
设*CP*与平面*ACD*所成的角为*θ*，
则sin *θ*＝\|cos*CP*，*n*\|＝＝，
解得*λ*＝1或*λ*＝－(舍去)，
∴*P*为*AB*的中点时，满足条件．
13.(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，∠*BAC*＝90°，*AB*＝*AC*＝2，点*M*为*A*~1~*C*~1~的中点，点*N*为*AB*~1~上一动点．
(1)是否存在一点*N*，使得线段*MN*∥平面*BB*~1~*C*~1~*C*？若存在，指出点*N*的位置；若不存在，请说明理由；
(2)若点*N*为*AB*~1~的中点且*CM*⊥*MN*，求二面角*M**CN**A*的正弦值．
解：(1)存在点*N*，且*N*为*AB*~1~的中点时满足条件．
理由如下：如图1，连接*A*~1~*B*，*BC*~1~.
因为点*M*，*N*分别为*A*~1~*C*~1~，*A*~1~*B*的中点，
所以*MN*为△*A*~1~*BC*~1~的中位线，从而*MN*∥*BC*~1~.
又*MN*⊄平面*BB*~1~*C*~1~*C*，*BC*~1~⊂平面*BB*~1~*C*~1~*C*，
所以*MN*∥平面*BB*~1~*C*~1~*C*.
(2)设*AA*~1~＝*a*，
则*CM*^2^＝*a*^2^＋1，*MN*^2^＝^2^＝，*CN*^2^＝＋5＝.
由*CM*⊥*MN*，得*CM*^2^＋*MN*^2^＝*CN*^2^，解得*a*＝.
以点*A*为坐标原点，
*AB*所在直线为*x*轴，*AC*所在直线为*y*轴，*AA*~1~所在直线为*z*轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则*A*(0,0,0)，*C*(0,2,0)，*N*，*M*(0,1，)，
故＝，＝(0,2,0)， ＝，
＝(0，－1，)．
设*m*＝(*x*，*y*，*z*)为平面*ANC*的法向量，
则即
令*x*＝－1，得平面*ANC*的一个法向量为*m*＝(－1,0，)，
同理可得平面*MNC*的一个法向量为*n*＝(3,2，)．
则cos*m*，*n*＝＝－.
故二面角*M**CN**A*的正弦值为 ＝.
第九章 平面解析几何
===================
第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
一、基础知识
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线*l*与*x*轴相交时，取*x*轴作为基准，
*x*轴正向与直线*l*向上方向之间所成的角叫做直线
*l*的倾斜角.
(2)规定：当直线*l*与*x*轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线*l*倾斜角的取值范围是\[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线*l*的倾斜角为*α*，则斜率*k*＝tan *α*.
(2)坐标式：*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)，*P*~2~(*x*~2~，*y*~2~)在直线*l*上，
且*x*~1~≠*x*~2~，则*l*的斜率 *k*＝.
3．直线方程的五种形式
-------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------
名称 方程 适用范围
点斜式 *y*－*y*~0~＝*k*(*x*－*x*~0~) 不含垂直于*x*轴的直线
斜截式 *y*＝*kx*＋*b* 不含垂直于*x*轴的直线
两点式 ＝ 不含直线*x*＝*x*~1~(*x*~1~≠*x*~2~)和直线*y*＝*y*~1~(*y*~1~≠*y*~2~)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 *Ax*＋*By*＋*C*＝0，*A*^2^＋*B*^2^≠0 平面内所有直线都适用
-------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------
二、常用结论
特殊直线的方程
(1)直线过点*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)，垂直于*x*轴的方程为*x*＝*x*~1~；
(2)直线过点*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)，垂直于*y*轴的方程为*y*＝*y*~1~；
(3)*y*轴的方程为*x*＝0；
(4)*x*轴的方程为*y*＝0.
\[典例\] (1)直线2*x*cos *α*－*y*－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)直线*l*过点*P*(1,0)，且与以*A*(2,1)，*B*(0，)为端点的线段有公共点，则直线*l*斜率的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)直线2*x*cos *α*－*y*－3＝0的斜率*k*＝2cos *α*，
因为*α*∈，所以≤cos *α*≤，
因此*k*＝2·cos *α*∈\[1， \]．
设直线的倾斜角为*θ*，则有tan *θ*∈\[1， \]．
又*θ*∈\[0，π)，所以*θ*∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2) 设*PA*与*PB*的倾斜角分别为*α*，*β*，直线*PA*的斜率是*k~AP~*＝1，直线*PB*的斜率是*k~BP~*＝－，当直线*l*由*PA*变化到与*y*轴平行的位置*PC*时，它的倾斜角由*α*增至90°，斜率的取值范围为\[1，＋∞)．
当直线*l*由*PC*变化到*PB*的位置时，它的倾斜角由90°增至*β*，斜率的变化范围是(－∞，－ \]．
故直线*l*斜率的取值范围是(－∞，－ \]∪\[1，＋∞)．
\[答案\] (1)B (2)(－∞，－ \]∪\[1，＋∞)
\[变透练清\]
1.()若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点*A*(cos *θ*，sin^2^ *θ*)，*B*(0,1)，则直线*AB*的倾斜角*α*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知cos *θ*≠0，则斜率*k*＝tan *α*＝＝－cos *θ*∈\[－1,0)∪(0,1\]，所以直线*AB*的倾斜角的取值范围是∪.
答案：∪
2.()若将本例(2)中*P*(1,0)改为*P*(－1,0)，其他条件不变，则直线*l*斜率的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设直线*l*的斜率为*k*，则直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*＋1)，即*kx*－*y*＋*k*＝0.
∵*A*，*B*两点在直线*l*的两侧或其中一点在直线*l*上，
∴(2*k*－1＋*k*)(－＋*k*)≤0，
即(3*k*－1)(*k*－)≤0，解得≤*k*≤.
即直线*l*的斜率的取值范围是.
答案：
3．若点*A*(4,3)，*B*(5，*a*)，*C*(6,5)三点共线，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*k~AC~*＝＝1，*k~AB~*＝＝*a*－3.由于*A*，*B*，*C*三点共线，所以*a*－3＝1，即*a*＝4.
答案：4
\[典例\] (1)若直线经过点*A*(－5,2)，且在*x*轴上的截距等于在*y*轴上的截距的2倍，则该直线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(2)若直线经过点*A*(－，3)，且倾斜角为直线*x*＋*y*＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(3)在△*ABC*中，已知*A*(5，－2)，*B*(7,3)，且*AC*的中点*M*在*y*轴上，*BC*的中点*N*在*x*轴上，则直线*MN*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为*y*＝*kx*，将(－5,2)代入*y*＝*kx*中，得*k*＝－，此时，直线方程为*y*＝－*x*，即2*x*＋5*y*＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5,2)代入所设方程，解得*a*＝－，此时，直线方程为*x*＋2*y*＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为*x*＋2*y*＋1＝0或2*x*＋5*y*＝0.
(2)由*x*＋*y*＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点*A*(－，3)，所以所求直线方程为*y*－3＝(*x*＋)，即*x*－*y*＋6＝0.
(3)设*C*(*x*~0~，*y*~0~)，则*M*，*N*.
因为点*M*在*y*轴上，所以＝0，所以*x*~0~＝－5.
因为点*N*在*x*轴上，所以＝0，
所以*y*~0~＝－3，即*C*(－5，－3)，
所以*M*，*N*(1,0)，
所以直线*MN*的方程为＋＝1，
即5*x*－2*y*－5＝0.
\[答案\] (1)*x*＋2*y*＋1＝0或2*x*＋5*y*＝0
(2)*x*－*y*＋6＝0 (3)5*x*－2*y*－5＝0
\[题组训练\]
1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为*y*－2＝*x*－1或*y*－2＝－(*x*－1)，即*x*－*y*＋1＝0或*x*＋*y*－3＝0.
答案：*x*－*y*＋1＝0或*x*＋*y*－3＝0
2．过点*P*(6，－2)，且在*x*轴上的截距比在*y*轴上的截距大1的直线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得*a*＝2或*a*＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2*x*＋3*y*－6＝0或*x*＋2*y*－2＝0.
答案：2*x*＋3*y*－6＝0或*x*＋2*y*－2＝0
\[典例\] 已知直线*l*过点*M*(2,1)，且与*x*轴、*y*轴的正半轴分别相交于*A*，*B*两点，*O*为坐标原点，求当\|\|·\|\|取得最小值时直线*l*的方程．
\[解\] 设*A*(*a,*0)，*B*(0，*b*)，则*a*＞0，*b*＞0，直线*l*的方程为＋＝1，
所以＋＝1.
\|\|·\| \|＝－·＝－(*a*－2，－1)·(－2，*b*－1)
＝2(*a*－2)＋*b*－1＝2*a*＋*b*－5
＝(2*a*＋*b*)－5
＝＋≥4，
当且仅当*a*＝*b*＝3时取等号，此时直线*l*的方程为*x*＋*y*－3＝0.
\[解题技法\]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
\[题组训练\]
1．若直线*ax*＋*by*＝*ab*(*a*\>0，*b*\>0)过点(1,1)，则该直线在*x*轴，*y*轴上的截距之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C ∵直线*ax*＋*by*＝*ab*(*a*\>0，*b*\>0)过点(1,1)，
∴*a*＋*b*＝*ab*，即＋＝1，
∴*a*＋*b*＝(*a*＋*b*)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当*a*＝*b*＝2时上式等号成立．
∴直线在*x*轴，*y*轴上的截距之和的最小值为4.
2．已知直线*l*：*x*－*my*＋*m*＝0上存在点*M*满足与*A*(－1,0)，*B*(1,0)两点连线的斜率*k~MA~*与*k~MB~*之积为3，则实数*m*的取值范围是( )
A．\[－， \]
B.∪
C.∪
D.
解析：选C 设*M*(*x*，*y*)，由*k~MA~*·*k~MB~*＝3，得·＝3，即*y*^2^＝3*x*^2^－3.
联立得*x*^2^＋*x*＋6＝0(*m*≠0)，
则*Δ*＝^2^－24≥0，即*m*^2^≥，解得*m*≤－或*m*≥.
∴实数*m*的取值范围是∪.
1．(2019·合肥模拟)直线*l*：*x*sin 30°＋*y*cos 150°＋1＝0的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A 设直线*l*的斜率为*k*，则*k*＝－＝.
2．倾斜角为120°，在*x*轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.*x*－*y*＋1＝0 B.*x*－*y*－＝0
C.*x*＋*y*－＝0 D.*x*＋*y*＋＝0
解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率*k*＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为*y*＝－(*x*＋1)，即*x*＋*y*＋＝0.
3．已知△*ABC*的三个顶点坐标为*A*(1,2)，*B*(3,6)，*C*(5,2)，*M*为*AB*的中点，*N*为*AC*的中点，则中位线*MN*所在直线的方程为( )
A．2*x*＋*y*－12＝0 B．2*x*－*y*－12＝0
C．2*x*＋*y*－8＝0 D．2*x*－*y*＋8＝0
解析：选C 由题知*M*(2,4)，*N*(3,2)，则中位线*MN*所在直线的方程为＝，整理得2*x*＋*y*－8＝0.
4．方程*y*＝*ax*－表示的直线可能是( )
解析：选C 当*a*＞0时，直线的斜率*k*＝*a*＞0，在*y*轴上的截距*b*＝－＜0，各选项都不符合此条件；当*a*＜0时，直线的斜率*k*＝*a*＜0，在*y*轴上的截距*b*＝－＞0，只有选项C符合此条件．故选C.
5．在等腰三角形*MON*中，*MO*＝*MN*，点*O*(0,0)，*M*(－1,3)，点*N*在*x*轴的负半轴上，则直线*MN*的方程为( )
A．3*x*－*y*－6＝0 B．3*x*＋*y*＋6＝0
C．3*x*－*y*＋6＝0 D．3*x*＋*y*－6＝0
解析：选C 因为*MO*＝*MN*，所以直线*MN*的斜率与直线*MO*的斜率互为相反数，所以*k~MN~*＝－*k~MO~*＝3，所以直线*MN*的方程为*y*－3＝3(*x*＋1)，即3*x*－*y*＋6＝0，选C.
6．若直线*mx*＋*ny*＋3＝0在*y*轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线*x*－*y*＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．*m*＝－，*n*＝1 B．*m*＝－，*n*＝－3
C．*m*＝，*n*＝－3 D．*m*＝，*n*＝1
解析：选D 对于直线*mx*＋*ny*＋3＝0，令*x*＝0得*y*＝－，即－＝－3，*n*＝1.
因为*x*－*y*＝3的斜率为60°，直线*mx*＋*ny*＋3＝0的倾斜角是直线*x*－*y*＝3的2倍，所以直线*mx*＋*ny*＋3＝0的倾斜角为120°，即－＝－，*m*＝.
7．当0\<*k*\<时，直线*l*~1~：*kx*－*y*＝*k*－1与直线*l*~2~：*ky*－*x*＝2*k*的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由得
又∵0\<*k*\<，∴*x*＝\<0，*y*＝\>0，
故直线*l*~1~：*kx*－*y*＝*k*－1与直线*l*~2~：*ky*－*x*＝2*k*的交点在第二象限．
8．若直线*l*：*kx*－*y*＋2＋4*k*＝0(*k*∈R)交*x*轴负半轴于*A*，交*y*轴正半轴于*B*，则当△*AOB*的面积取最小值时直线*l*的方程为( )
A．*x*－2*y*＋4＝0 B．*x*－2*y*＋8＝0
C．2*x*－*y*＋4＝0 D．2*x*－*y*＋8＝0
解析：选B 由*l*的方程，得*A*，*B*(0,2＋4*k*)．依题意得解得*k*＞0.因为*S*＝\|*OA*\|·\|*OB*\|＝·\|2＋4*k*\|＝·()＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16*k*＝，即*k*＝时等号成立．此时*l*的方程为*x*－2*y*＋8＝0.
9．以*A*(1,1)，*B*(3,2)，*C*(5,4)为顶点的△*ABC*，其边*AB*上的高所在的直线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*A*，*B*两点得*k~AB~*＝，则边*AB*上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是*y*－4＝－2(*x*－5)，即2*x*＋*y*－14＝0.
答案：2*x*＋*y*－14＝0
10．已知直线*l*过点(1,0)，且倾斜角为直线*l*~0~：*x*－2*y*－2＝0的倾斜角的2倍，则直线*l*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意可设直线*l*~0~，*l*的倾斜角分别为*α*，2*α*，
因为直线*l*~0~：*x*－2*y*－2＝0的斜率为，则tan *α*＝，
所以直线*l*的斜率*k*＝tan 2*α*＝＝＝，
所以由点斜式可得直线*l*的方程为*y*－0＝(*x*－1)，
即4*x*－3*y*－4＝0.
答案：4*x*－3*y*－4＝0
11．直线*l*经过点*A*(1,2)，在*x*轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知直线*l*的斜率存在，设直线*l*的方程为*y*－2＝*k*(*x*－1)，直线*l*在*x*轴上的截距为1－，令－3\<1－\<3，解不等式得*k*\>或*k*\<－1.
答案：(－∞，－1)∪
12．设点*A*(－1,0)，*B*(1,0)，直线2*x*＋*y*－*b*＝0与线段*AB*相交，则*b*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*b*为直线*y*＝－2*x*＋*b*在*y*轴上的截距，如图，当直线*y*＝－2*x*＋*b*过点*A*(－1,0)和点*B*(1,0)时，*b*分别取得最小值和最大值．∴*b*的取值范围是\[－2,2\]．
答案：\[－2,2\]
13．已知直线*l*与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线*l*的方程：
(1)过定点*A*(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*＋3)＋4，它在*x*轴，*y*轴上的截距分别是－－3,3*k*＋4，
由已知，得(3*k*＋4)＝±6，
解得*k*~1~＝－或*k*~2~＝－.
故直线*l*的方程为2*x*＋3*y*－6＝0或8*x*＋3*y*＋12＝0.
(2)设直线*l*在*y*轴上的截距为*b*，
则直线*l*的方程为*y*＝*x*＋*b*，它在*x*轴上的截距是－6*b*，
由已知，得\|－6*b*·*b*\|＝6，∴*b*＝±1.
∴直线*l*的方程为*x*－6*y*＋6＝0或*x*－6*y*－6＝0.
第二节 两直线的位置关系
一、基础知识
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线*l*~1~，*l*~2~，若其斜率分别为*k*~1~，*k*~2~，则有*l*~1~∥*l*~2~⇔*k*~1~＝*k*~2~.
②当直线*l*~1~，*l*~2~不重合且斜率都不存在时，*l*~1~∥*l*~2~.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线*l*~1~，*l*~2~的斜率存在，
设为*k*~1~，*k*~2~，则有*l*~1~⊥*l*~2~⇔*k*~1~·*k*~2~＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，*l*~1~⊥*l*~2~.
2．两条直线的交点的求法
直线*l*~1~：*A*~1~*x*＋*B*~1~*y*＋*C*~1~＝0，*l*~2~：*A*~2~*x*＋*B*~2~*y*＋*C*~2~＝0，则*l*~1~与*l*~2~的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)，*P*~2~(*x*~2~，*y*~2~)间的距离公式为\|*P*~1~*P*~2~\|＝()().
(2)点到直线的距离公式
点*P*~0~(*x*~0~，*y*~0~)到直线*l*：*Ax*＋*By*＋*C*＝0的距离*d*＝.
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线*Ax*＋*By*＋*C*~1~＝0与*Ax*＋*By*＋*C*~2~＝0
间的距离*d*＝ .
二、常用结论
(1)与直线*Ax*＋*By*＋*C*＝0(*A*^2^＋*B*^2^≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
①垂直：*Bx*－*Ay*＋*m*＝0；
②平行：*Ax*＋*By*＋*n*＝0.
(2)与对称问题相关的四个结论：
①点(*x*，*y*)关于点(*a*，*b*)的对称点为(2*a*－*x,*2*b*－*y*)．
②点(*x*，*y*)关于直线*x*＝*a*的对称点为(2*a*－*x*，*y*)，关于直线*y*＝*b*的对称点为(*x,*2*b*－*y*)．
③点(*x*，*y*)关于直线*y*＝*x*的对称点为(*y*，*x*)，关于直线*y*＝－*x*的对称点为(－*y*，－*x*)．
④点(*x*，*y*)关于直线*x*＋*y*＝*k*的对称点为(*k*－*y*，*k*－*x*)，关于直线*x*－*y*＝*k*的对称点为(*k*＋*y*，*x*－*k*)．
\[典例\] 已知两直线*l*~1~：*mx*＋8*y*＋*n*＝0和*l*~2~：2*x*＋*my*－1＝0，试确定*m*，*n*的值，使
(1)*l*~1~与*l*~2~相交于点*P*(*m*，－1)；
(2)*l*~1~∥*l*~2~；
(3)*l*~1~⊥*l*~2~，且*l*~1~在*y*轴上的截距为－1.
\[解\] (1)由题意得
解得
即*m*＝1，*n*＝7时，*l*~1~与*l*~2~相交于点*P*(*m*，－1)．
(2)∵*l*~1~∥*l*~2~，∴
解得或
即*m*＝4，*n*≠－2或*m*＝－4，*n*≠2时，*l*~1~∥*l*~2~.
(3)当且仅当2*m*＋8*m*＝0，
即*m*＝0时，*l*~1~⊥*l*~2~.
又－＝－1，∴*n*＝8.
即*m*＝0，*n*＝8时，*l*~1~⊥*l*~2~，且*l*~1~在*y*轴上的截距为－1.
\[解题技法\]
1．．由一般式确定两直线位置关系的方法
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
| 直线方程 | *l*~1~：*A*~1~*x*＋*B*~1~*y*＋*C*~1~＝0(*A*＋*B*≠0) |
| | |
| | *l*~2~：*A*~2~*x*＋*B*~2~*y*＋*C*~2~＝0(*A*＋*B*≠0) |
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
| *l*~1~与*l*~2~垂直的充要条件 | *A*~1~*A*~2~＋*B*~1~*B*~2~＝0 |
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
| *l*~1~与*l*~2~平行的充分条件 | ＝≠(*A*~2~*B*~2~*C*~2~≠0) |
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
| *l*~1~与*l*~2~相交的充分条件 | ≠(*A*~2~*B*~2~≠0) |
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
| *l*~1~与*l*~2~重合的充分条件 | ＝＝(*A*~2~*B*~2~*C*~2~≠0) |
+------------------------------+-----------------------------------------------------+
\[题组训练\]
1．已知直线4*x*＋*my*－6＝0与直线5*x*－2*y*＋*n*＝0垂直，垂足为(*t,*1)，则*n*的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
解析：选A 由直线4*x*＋*my*－6＝0与直线5*x*－2*y*＋*n*＝0垂直得，20－2*m*＝0，*m*＝10.直线4*x*＋10*y*－6＝0过点(*t,*1)，所以4*t*＋10－6＝0，*t*＝－1.点(－1,1)又在直线5*x*－2*y*＋*n*＝0上，所以－5－2＋*n*＝0，*n*＝7.
2．(2019·保定五校联考)直线*l*~1~：*mx*－2*y*＋1＝0，*l*~2~：*x*－(*m*－1)*y*－1＝0，则"*m*＝2"是"*l*~1~∥*l*~2~"的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由*l*~1~∥*l*~2~得－*m*(*m*－1)＝1×(－2)，得*m*＝2或*m*＝－1，经验证，当*m*＝－1时，直线*l*~1~与*l*~2~重合，舍去，所以"*m*＝2"是"*l*~1~∥*l*~2~"的充要条件，故选C.
\[典例\] (1)过点*P*(2,1)且与原点*O*距离最远的直线方程为( )
A．2*x*＋*y*－5＝0 B．2*x*－*y*－3＝0
C．*x*＋2*y*－4＝0 D．*x*－2*y*＝0
(2)若两平行直线*l*~1~：*x*－2*y*＋*m*＝0(*m*＞0)与*l*~2~：2*x*＋*ny*－6＝0之间的距离是 ，则*m*＋*n*＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－1
\[解析\] (1)过点*P*(2,1)且与原点*O*距离最远的直线为过点*P*(2,1)且与*OP*垂直的直线，因为直线*OP*的斜率为＝，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2*x*＋*y*－5＝0.
(2)因为*l*~1~，*l*~2~平行，所以1×*n*＝2×(－2)，1×(－6)≠2×*m*，解得*n*＝－4，*m*≠－3，所以直线*l*~2~：*x*－2*y*－3＝0.又*l*~1~，*l*~2~之间的距离是 ，所以＝，解得*m*＝2或*m*＝－8(舍去)，所以*m*＋*n*＝－2，故选C.
\[答案\] (1)A (2)C
\[解题技法\]
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用"转化法"将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
\[题组训练\]
1．已知点*P*(2，*m*)到直线2*x*－*y*＋3＝0的距离不小于2，则实数*m*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意得，点*P*到直线的距离为≥2，即\|*m*－7\|≥10，解得*m*≥17或*m*≤－3，所以实数*m*的取值范围是(－∞，－3\]∪\[17，＋∞)．
答案：(－∞，－3\]∪\[17，＋∞)
2．如果直线*l*~1~：*ax*＋(1－*b*)*y*＋5＝0和直线*l*~2~：(1＋*a*)*x*－*y*－*b*＝0都平行于直线*l*~3~：*x*－2*y*＋3＝0，则*l*~1~，*l*~2~之间的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*l*~1~∥*l*~3~，所以－2*a*－(1－*b*)＝0，同理－2(1＋*a*)＋1＝0，解得*a*＝－，*b*＝0，因此*l*~1~：*x*－2*y*－10＝0，*l*~2~：*x*－2*y*＝0，*d*＝()＝2.
答案：2
\[典例\] 已知直线*l*：2*x*－3*y*＋1＝0，点*A*(－1，－2)．
(1)求点*A*关于直线*l*的对称点*A*′的坐标；
(2)求直线*m*：3*x*－2*y*－6＝0关于直线*l*的对称直线*m*′的方程．
\[解\] (1)设*A*′(*x*，*y*)，再由已知得
解得
所以*A*′.
(2)在直线*m*上取一点，如*M*(2,0)，则*M*(2,0)关于直线*l*的对称点*M*′必在*m*′上．设对称点为*M*′(*a*，*b*)，则解得*M*′.设*m*与*l*的交点为*N*，则由得*N*(4,3)．又因为*m*′经过点*N*(4,3)，所以由两点式得直线*m*′方程为9*x*－46*y*＋102＝0.
\[变透练清\]
1.()在本例条件下，则直线*l*关于点*A*(－1，－2)对称的直线*l*′的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：法一：在*l*：2*x*－3*y*＋1＝0上任取两点，
如*M*(1,1)，*N*(4,3)，
则*M*，*N*关于点*A*的对称点*M*′，*N*′均在直线*l*′上．
易知*M*′(－3，－5)，*N*′(－6，－7)，
由两点式可得 *l*′的方程为2*x*－3*y*－9＝0.
法二：设*P*(*x*，*y*)为*l*′上任意一点，
则*P*(*x*，*y*)关于点*A*(－1，－2)的对称点为
*P*′(－2－*x*，－4－*y*)，
∵*P*′在直线*l*上，∴2(－2－*x*)－3(－4－*y*)＋1＝0，
即2*x*－3*y*－9＝0.
答案：2*x*－3*y*－9＝0
2．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点*M*(－3,4)，被直线*l*：*x*－*y*＋3＝0反射，反射光线经过点*N*(2,6)，则反射光线所在直线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设点*M*(－3,4)关于直线*l*：*x*－*y*＋3＝0的对称点为*M*′(*a*，*b*)，则反射光线所在直线过点*M*′，所以()解得*a*＝1，*b*＝0.又反射光线经过点*N*(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6*x*－*y*－6＝0.
答案：6*x*－*y*－6＝0
\[解题技法\]
1．中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
若点*M*(*x*~1~，*y*~1~)及*N*(*x*，*y*)关于*P*(*a*，*b*)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；
③轨迹法，设对称直线上任一点*M*(*x*，*y*)，其关于已知点的对称点在已知直线上．
2．轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)与*P*~2~(*x*~2~，*y*~2~)关于直线*l*：*Ax*＋*By*＋*C*＝0对称，
由方程组可得到点*P*~1~关于*l*对称的点*P*~2~的坐标(*x*~2~，*y*~2~)(其中*B*≠0，*x*~1~≠*x*~2~)．
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
1．过点(1,0)且与直线*x*－2*y*－2＝0垂直的直线方程是( )
A．*x*－2*y*－1＝0 B．*x*－2*y*＋1＝0
C．2*x*＋*y*－2＝0 D．*x*＋2*y*－1＝0
解析：选C 因为直线*x*－2*y*－2＝0的斜率为，
所以所求直线的斜率*k*＝－2.
所以所求直线的方程为*y*－0＝－2(*x*－1)，
即2*x*＋*y*－2＝0.
2．已知直线*l*~1~：2*ax*＋(*a*＋1)*y*＋1＝0和*l*~2~：(*a*＋1)*x*＋(*a*－1)*y*＝0，若*l*~1~⊥*l*~2~，则*a*＝( )
A．2或 B.或－1
C. D．－1
解析：选B 因为直线*l*~1~⊥*l*~2~，所以2*a*(*a*＋1)＋(*a*＋1)(*a*－1)＝0，解得*a*＝或－1.
3．若点*P*在直线3*x*＋*y*－5＝0上，且*P*到直线*x*－*y*－1＝0的距离为，则点*P*的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设*P*(*x,*5－3*x*)，则*d*＝()＝，化简得\|4*x*－6\|＝2，即4*x*－6＝±2，解得*x*＝1或*x*＝2，故*P*(1，2)或(2，－1)．
4．(2018·揭阳一模)若直线*l*~1~：*x*－3*y*＋2＝0与直线*l*~2~：*mx*－*y*＋*b*＝0关于*x*轴对称，则*m*＋*b*＝( )
A. B．－1
C．－ D．1
解析：选B 直线*l*~1~：*x*－3*y*＋2＝0关于*x*轴对称的直线为*x*＋3*y*＋2＝0.由题意知*m*≠0.
因为*mx*－*y*＋*b*＝0，即*x*－＋＝0，且直线*l*~1~与*l*~2~关于*x*轴对称，
所以有解得
则*m*＋*b*＝－＋＝－1.
5．点*A*(1,3)关于直线*y*＝*kx*＋*b*对称的点是*B*(－2,1)，则直线*y*＝*kx*＋*b*在*x*轴上的截距是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D 由题意，知解得
∴直线方程为*y*＝－*x*＋，它在*x*轴上的截距为－×＝.故选D.
6．(2019·成都五校联考)已知*A*，*B*是*x*轴上的两点，点*P*的横坐标为2，且\|*PA*\|＝\|*PB*\|，若直线*PA*的方程为*x*－*y*＋1＝0，则直线*PB*的方程是( )
A．2*x*＋*y*－7＝0 B．*x*＋*y*－5＝0
C．2*y*－*x*－4＝0 D．2*x*－*y*－1＝0
解析：选B 由\|*PA*\|＝\|*PB*\|得点*P*一定在线段*AB*的垂直平分线上，根据直线*PA*的方程为*x*－*y*＋1＝0，可得*A*(－1,0)，将*x*＝2代入直线*x*－*y*＋1＝0，得*y*＝3，所以*P*(2，3)，所以*B*(5,0)，所以直线*PB*的方程是*x*＋*y*－5＝0，选B.
7．若动点*A*，*B*分别在直线*l*~1~：*x*＋*y*－7＝0和*l*~2~：*x*＋*y*－5＝0上移动，则*AB*的中点*M*到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：选A 依题意知*AB*的中点*M*的集合为与直线*l*~1~：*x*＋*y*－7＝0和*l*~2~：*x*＋*y*－5＝0距离都相等的直线，则*M*到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点*M*所在直线的方程为*l*：*x*＋*y*＋*m*＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒\|*m*＋7\|＝\|*m*＋5\|⇒*m*＝－6，即*l*：*x*＋*y*－6＝0.根据点到直线的距离公式，得*M*到原点的距离的最小值为＝3.
8．已知点*A*(1,3)，*B*(5，－2)，在*x*轴上有一点*P*，若\|*AP*\|－\|*BP*\|最大，则*P*点坐标为( )
A．(3.4,0) B．(13,0)
C．(5,0) D．(－13,0)
解析：选B 作出*A*点关于*x*轴的对称点*A*′(1，－3)，则*A*′*B*所在直线方程为*x*－4*y*－13＝0.令*y*＝0得*x*＝13，所以点*P*的坐标为(13,0)．
9．经过两直线*l*~1~：*x*－2*y*＋4＝0和*l*~2~：*x*＋*y*－2＝0的交点*P*，且与直线*l*~3~：3*x*－4*y*＋5＝0垂直的直线*l*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由方程组得*x*＝0，*y*＝2，即*P*(0,2)．因为*l*⊥*l*~3~，所以直线*l*的斜率*k*＝－，所以直线*l*的方程为*y*－2＝－*x*，即4*x*＋3*y*－6＝0.
答案：4*x*＋3*y*－6＝0
10．已知点*P*~1~(2,3)，*P*~2~(－4,5)和*A*(－1,2)，则过点*A*且与点*P*~1~，*P*~2~距离相等的直线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当直线与点*P*~1~，*P*~2~的连线所在的直线平行时，由直线*P*~1~*P*~2~的斜率*k*＝＝－，得所求直线的方程为*y*－2＝－(*x*＋1)，即*x*＋3*y*－5＝0.当直线过线段*P*~1~*P*~2~的中点时，因为线段*P*~1~*P*~2~的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为*x*＝－1.综上所述，所求直线方程为*x*＋3*y*－5＝0或*x*＝－1.
答案：*x*＋3*y*－5＝0或*x*＝－1
11．直线*x*－2*y*＋1＝0关于直线*x*＝1对称的直线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意得直线*x*－2*y*＋1＝0与直线*x*＝1的交点坐标为(1,1)．又直线*x*－2*y*＋1＝0上的点(－1,0)关于直线*x*＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即*x*＋2*y*－3＝0.
答案：*x*＋2*y*－3＝0
12．过点*P*(0,1)作直线*l*使它被直线*l*~1~：2*x*＋*y*－8＝0和*l*~2~：*x*－3*y*＋10＝0截得的线段被点*P*平分，则直线*l*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*l*~1~与*l*的交点为*A*(*a,*8－2*a*)，
则由题意知，点*A*关于点*P*的对称点*B*(－*a,*2*a*－6)在*l*~2~上，把*B*点坐标代入*l*~2~的方程得－*a*－3(2*a*－6)＋10＝0，
解得*a*＝4，即点*A*(4,0)在直线*l*上，
所以由两点式得直线*l*的方程为*x*＋4*y*－4＝0.
答案：*x*＋4*y*－4＝0
13．已知△*ABC*的三个顶点是*A*(1,1)，*B*(－1,3)，*C*(3,4)．
(1)求*BC*边的高所在直线*l*~1~的方程；
(2)若直线*l*~2~过*C*点，且*A*，*B*到直线*l*~2~的距离相等，求直线*l*~2~的方程．
解：(1)因为*k~BC~*＝＝，又直线*l*~1~与*BC*垂直，所以直线*l*~1~的斜率*k*＝－＝－4，所以直线*l*~1~的方程是*y*＝－4(*x*－1)＋1，即4*x*＋*y*－5＝0.
(2)因为直线*l*~2~过*C*点且*A*，*B*到直线*l*~2~的距离相等，
所以直线*l*~2~与*AB*平行或过*AB*的中点*M*，
因为*k~AB~*＝＝－1，所以直线*l*~2~的方程是*y*＝－(*x*－3)＋4，即*x*＋*y*－7＝0.
因为*AB*的中点*M*的坐标为(0,2)，
所以*k~CM~*＝＝，所以直线*l*~2~的方程是
*y*＝(*x*－3)＋4，即2*x*－3*y*＋6＝0.
综上，直线*l*~2~的方程是*x*＋*y*－7＝0或2*x*－3*y*＋6＝0.
第三节 圆的方程
一、基础知识
1．圆的定义及方程
+----------+----------------------------------------------+------------------------------+
| 定义 | 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) | |
+----------+----------------------------------------------+------------------------------+
| 标准方程 | (*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^＝*r*^2^(*r*＞0) | 圆心：(*a*，*b*)，半径： *r* |
| | | |
| | ❶ | |
+----------+----------------------------------------------+------------------------------+
| 一般方程 | *x*^2^＋*y*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0， | 圆心：， |
| | | |
| | (*D*^2^＋*E*^2^－4*F*＞0) | 半径： |
| | | |
| | ❷ | |
+----------+----------------------------------------------+------------------------------+
❶标准方程强调圆心坐标为(*a*，*b*)，半径为*r*.
❷(1)当*D*^2^＋*E*^2^－4*F*＝0时，方程表示一个点；
(2)当*D*^2^＋*E*^2^－4*F*＜0时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点*M*(*x*~0~，*y*~0~)与圆(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^＝*r*^2^的位置关系：
(1)若*M*(*x*~0~，*y*~0~)在圆外，则(*x*~0~－*a*)^2^＋(*y*~0~－*b*)^2^*r*^2^.
(2)若*M*(*x*~0~，*y*~0~)在圆上，则(*x*~0~－*a*)^2^＋(*y*~0~－*b*)^2^*r*^2^.
(3)若*M*(*x*~0~，*y*~0~)在圆内，则(*x*~0~－*a*)^2^＋(*y*~0~－*b*)^2^*r*^2^.
二、常用结论
(1)二元二次方程*Ax*^2^＋*Bxy*＋*Cy*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0表示圆的充要条件是
(2)以*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)为直径端点的圆的方程为(*x*－*x*~1~)(*x*－*x*~2~)＋(*y*－*y*~1~)(*y*－*y*~2~)＝0.
\[典例\] (1)圆心在*y*轴上，半径长为1，且过点*A*(1,2)的圆的方程是( )
A．*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝1
B．*x*^2^＋(*y*＋2)^2^＝1
C．(*x*－1)^2^＋(*y*－3)^2^＝1
D．*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝4
(2)圆心在直线*x*－2*y*－3＝0上，且过点*A*(2，－3)，*B*(－2，－5)的圆的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)根据题意可设圆的方程为*x*^2^＋(*y*－*b*)^2^＝1，因为圆过点*A*(1,2)，所以1^2^＋(2－*b*)^2^＝1，解得*b*＝2，所以所求圆的方程为*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝1.
(2)法一：几何法
设点*C*为圆心，因为点*C*在直线*x*－2*y*－3＝0上，所以可设点*C*的坐标为(2*a*＋3，*a*)．
又该圆经过*A*，*B*两点，所以\|*CA*\|＝\|*CB*\|，
即()()
＝()()，解得*a*＝－2，
所以圆心*C*的坐标为(－1，－2)，半径*r*＝，
故所求圆的方程为(*x*＋1)^2^＋(*y*＋2)^2^＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^＝*r*^2^，
由题意得()()()()
解得*a*＝－1，*b*＝－2，*r*^2^＝10，
故所求圆的方程为(*x*＋1)^2^＋(*y*＋2)^2^＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为*x*^2^＋*y*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0，
则圆心坐标为，
由题意得
解得*D*＝2，*E*＝4，*F*＝－5.
故所求圆的方程为*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*＋4*y*－5＝0.
\[答案\] (1)A (2)*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*＋4*y*－5＝0
\[题组训练\]
1．已知圆*E*经过三点*A*(0,1)，*B*(2,0)，*C*(0，－1)，且圆心在*x*轴的正半轴上，则圆*E*的标准方程为( )
A.^2^＋*y*^2^＝ B.^2^＋*y*^2^＝
C.^2^＋*y*^2^＝ D.^2^＋*y*^2^＝
解析：选C 法一：根据题意，设圆*E*的圆心坐标为(*a,*0)(*a*＞0)，半径为*r*，则圆*E*的标准方程为(*x*－*a*)^2^＋*y*^2^＝*r*^2^(*a*＞0)．
由题意得()()解得
所以圆*E*的标准方程为^2^＋*y*^2^＝.
法二：设圆*E*的一般方程为*x*^2^＋*y*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0(*D*^2^＋*E*^2^－4*F*＞0)，
则由题意得解得
所以圆*E*的一般方程为*x*^2^＋*y*^2^－*x*－1＝0，即^2^＋*y*^2^＝.
法三：因为圆*E*经过点*A*(0,1)，*B*(2,0)，
所以圆*E*的圆心在线段*AB*的垂直平分线*y*－＝2(*x*－1)上．
又圆*E*的圆心在*x*轴的正半轴上，
所以圆*E*的圆心坐标为.
则圆*E*的半径为\|*EB*\|＝ ()＝，
所以圆*E*的标准方程为^2^＋*y*^2^＝.
2．已知圆心在直线*y*＝－4*x*上，且圆与直线*l*：*x*＋*y*－1＝0相切于点*P*(3，－2)，则该圆的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：过切点且与*x*＋*y*－1＝0垂直的直线方程为*x*－*y*－5＝0，与*y*＝－4*x*联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径*r*＝()()＝2，
故所求圆的方程为(*x*－1)^2^＋(*y*＋4)^2^＝8.
答案：(*x*－1)^2^＋(*y*＋4)^2^＝8
3．已知圆*C*经过*P*(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在*x*轴上截得的弦长等于6，则圆*C*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设圆的方程为*x*^2^＋*y*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0(*D*^2^＋*E*^2^－4*F*＞0)，
将*P*，Q两点的坐标分别代入得
又令*y*＝0，得*x*^2^＋*Dx*＋*F*＝0.③
设*x*~1~，*x*~2~是方程③的两根，
由\|*x*~1~－*x*~2~\|＝6，得*D*^2^－4*F*＝36，④
联立①②④，解得*D*＝－2，*E*＝－4，*F*＝－8，或*D*＝－6，*E*＝－8，*F*＝0.
故所求圆的方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－4*y*－8＝0或*x*^2^＋*y*^2^－6*x*－8*y*＝0.
答案：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－4*y*－8＝0或*x*^2^＋*y*^2^－6*x*－8*y*＝0
\[典例\] (1)点*P*(4，－2)与圆*x*^2^＋*y*^2^＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(*x*－2)^2^＋(*y*＋1)^2^＝1
B．(*x*－2)^2^＋(*y*＋1)^2^＝4
C．(*x*＋4)^2^＋(*y*－2)^2^＝4
D．(*x*＋2)^2^＋(*y*－1)^2^＝1
(2)已知圆*C*：(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝9，过点*A*(2,3)作圆*C*的任意弦，则这些弦的中点*P*的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)设圆上任意一点为(*x*~1~，*y*~1~)，中点为(*x*，*y*)，则即代入*x*^2^＋*y*^2^＝4，得(2*x*－4)^2^＋(2*y*＋2)^2^＝4，化简得(*x*－2)^2^＋(*y*＋1)^2^＝1.
(2)设*P*(*x*，*y*)，圆心*C*(1,1)．
因为*P*点是过点*A*的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(2－*x,*3－*y*)，＝(1－*x,*1－*y*)．
所以(2－*x*)·(1－*x*)＋(3－*y*)·(1－*y*)＝0.
所以点*P*的轨迹方程为^2^＋(*y*－2)^2^＝.
\[答案\] (1)A (2)^2^＋(*y*－2)^2^＝
\[变透练清\]
1.()若将本例(2)中点*A*(2,3)换成圆上的点*B*(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点*P*的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*P*(*x*，*y*)，圆心*C*(1,1)．当点*P*与点*B*不重合时，因为*P*点是过点*B*的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(1－*x,*4－*y*)，＝(1－*x,*1－*y*)．
所以(1－*x*)·(1－*x*)＋(4－*y*)·(1－*y*)＝0.
所以点*P*的轨迹方程为(*x*－1)^2^＋^2^＝；
当点*P*与点*B*重合时，点*P*满足上述方程．
综上所述，点*P*的轨迹方程为(*x*－1)^2^＋^2^＝.
答案：(*x*－1)^2^＋^2^＝
2．已知圆*x*^2^＋*y*^2^＝4上一定点*A*(2,0)，*B*(1,1)为圆内一点，*P*，Q为圆上的动点．
(1)求线段*AP*中点的轨迹方程；
(2)若∠*PB*Q＝90°，求线段*P*Q中点的轨迹方程．
解：(1)设*AP*的中点为*M*(*x*，*y*)，由中点坐标公式可知，*P*点坐标为(2*x*－2,2*y*)．
因为*P*点在圆*x*^2^＋*y*^2^＝4上，
所以(2*x*－2)^2^＋(2*y*)^2^＝4.
故线段*AP*中点的轨迹方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝1.
(2)设*P*Q的中点为*N*(*x*，*y*)．
在Rt△*PB*Q中，\|*PN*\|＝\|*BN*\|，
设*O*为坐标原点，连接*ON*，则*ON*⊥*P*Q，
所以\|*OP*\|^2^＝\|*ON*\|^2^＋\|*PN*\|^2^＝\|*ON*\|^2^＋\|*BN*\|^2^，
所以*x*^2^＋*y*^2^＋(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝4.
故线段*P*Q中点的轨迹方程为*x*^2^＋*y*^2^－*x*－*y*－1＝0.
A级
1．以线段*AB*：*x*＋*y*－2＝0(0≤*x*≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(*x*＋1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝2 B．(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝2
C．(*x*＋1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝8 D．(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝8
解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝2.
2．若圆*x*^2^＋*y*^2^＋2*ax*－*b*^2^＝0的半径为2，则点(*a*，*b*)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C. D．4
解析：选B 由半径*r*＝＝＝2，得＝2.
∴点(*a*，*b*)到原点的距离*d*＝＝2，故选B.
3．以(*a,*1)为圆心，且与两条直线2*x*－*y*＋4＝0与2*x*－*y*－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A．(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝5
B．(*x*＋1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝5
C．(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝5
D．*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝5
解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2*x*－*y*＋4＝0的距离*d*＝＝，解得*a*＝1，*d*＝，∵直线与圆相切，∴*r*＝*d*＝， ∴圆的标准方程为(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝5.
4．(2019·银川模拟)方程\|*y*\|－1＝()表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选D 由题意知\|*y*\|－1≥0，则*y*≥1或*y*≤－1，当*y*≥1时，原方程可化为(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1(*y*≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线*y*＝1上方的半圆；当*y*≤－1时，原方程可化为(*x*－1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝1(*y*≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线*y*＝－1下方的半圆．所以方程\|*y*\|－1＝()表示的曲线是两个半圆，选D.
5．已知*a*∈R，若方程*a*^2^*x*^2^＋(*a*＋2)*y*^2^＋4*x*＋8*y*＋5*a*＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )
A．(－2，－4) B.
C．(－2，－4)或 D．不确定
解析：选A ∵方程*a*^2^*x*^2^＋(*a*＋2)*y*^2^＋4*x*＋8*y*＋5*a*＝0表示圆，∴*a*^2^＝*a*＋2≠0，解得*a*＝－1或*a*＝2.当*a*＝－1时，方程化为*x*^2^＋*y*^2^＋4*x*＋8*y*－5＝0.配方，得(*x*＋2)^2^＋(*y*＋4)^2^＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当*a*＝2时，方程化为*x*^2^＋*y*^2^＋*x*＋2*y*＋＝0，此时方程不表示圆．故选A.
6．已知圆*C*的圆心是直线*x*－*y*＋1＝0与*x*轴的交点，且圆*C*与直线*x*＋*y*＋3＝0相切，则圆*C*的方程为( )
A．(*x*＋1)^2^＋*y*^2^＝2 B．(*x*＋1)^2^＋*y*^2^＝8
C．(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2 D．(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝8
解析：选A 直线*x*－*y*＋1＝0与*x*轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆*C*的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线*x*＋*y*＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，
即*r*＝*d*＝＝，
则圆的方程为(*x*＋1)^2^＋*y*^2^＝2.
7．圆*C*的直径的两个端点分别是*A*(－1,2)，*B*(1,4)，则圆*C*的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设圆心*C*的坐标为(*a*，*b*)，
则*a*＝＝0，*b*＝＝3，故圆心*C*(0,3)．
半径*r*＝\|*AB*\|＝()()＝.
∴圆*C*的标准方程为*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝2.
答案：*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝2
8．已知圆*C*的圆心在*x*轴上，并且经过点*A*(－1,1)，*B*(1,3)，若*M*(*m*，)在圆*C*内，则*m*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设圆心为*C*(*a,*0)，由\|*CA*\|＝\|*CB*\|，
得(*a*＋1)^2^＋1^2^＝(*a*－1)^2^＋3^2^，解得*a*＝2.
半径*r*＝\|*CA*\|＝()＝.
故圆*C*的方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝10.
由题意知(*m*－2)^2^＋()^2^＜10，
解得0＜*m*＜4.
答案：(0,4)
9．若一个圆的圆心是抛物线*x*^2^＝4*y*的焦点，且该圆与直线*y*＝*x*＋3相切，则该圆的标准方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：抛物线*x*^2^＝4*y*的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝*r*^2^(*r*\>0)，因为该圆与直线*y*＝*x*＋3相切，所以*r*＝*d*＝＝，故该圆的标准方程是*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝2.
答案：*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝2
10．(2019·德州模拟)已知圆*C*的圆心在*x*轴的正半轴上，点*M*(0，)在圆*C*上，且圆心到直线2*x*－*y*＝0的距离为，则圆*C*的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为圆*C*的圆心在*x*轴的正半轴上，设*C*(*a,*0)，且*a*＞0，所以圆心到直线2*x*－*y*＝0的距离*d*＝＝，解得*a*＝2，所以圆*C*的半径*r*＝\|*CM*\|＝＝3，所以圆*C*的标准方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝9.
答案：(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝9
11．已知以点*P*为圆心的圆经过点*A*(－1,0)和*B*(3,4)，线段*AB*的垂直平分线交圆*P*于点*C*和*D*，且\|*CD*\|＝4.
(1)求直线*CD*的方程；
(2)求圆*P*的方程．
解：(1)直线*AB*的斜率*k*＝1，*AB*的中点坐标为(1,2)．
所以直线*CD*的方程为*y*－2＝－(*x*－1)，
即*x*＋*y*－3＝0.
(2)设圆心*P*(*a*，*b*)，则由*P*在*CD*上得*a*＋*b*－3＝0.①
又直径\|*CD*\|＝4，
所以\|*PA*\|＝2.
所以(*a*＋1)^2^＋*b*^2^＝40.②
由①②解得或
所以圆心*P*(－3,6)或*P*(5，－2)，
所以圆*P*的方程为(*x*＋3)^2^＋(*y*－6)^2^＝40或(*x*－5)^2^＋(*y*＋2)^2^＝40.
12．已知Rt△*ABC*的斜边为*AB*，且*A*(－1,0)，*B*(3,0)．求：
(1)直角顶点*C*的轨迹方程；
(2)直角边*BC*的中点*M*的轨迹方程．
解：(1)法一：设*C*(*x*，*y*)，因为*A*，*B*，*C*三点不共线，
所以*y*≠0.
因为*AC*⊥*BC*，所以*k~AC~*·*k~BC~*＝－1，
又*k~AC~*＝，*k~BC~*＝，
所以·＝－1，
化简得*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－3＝0.
因此，直角顶点*C*的轨迹方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－3＝0(*y*≠0)．
法二：设*AB*的中点为*D*，由中点坐标公式得*D*(1,0)，由直角三角形的性质知\|*CD*\|＝\|*AB*\|＝2.由圆的定义知，动点*C*的轨迹是以*D*(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于*A*，*B*，*C*三点不共线，所以应除去与*x*轴的交点)．
所以直角顶点*C*的轨迹方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝4(*y*≠0)．
(2)设*M*(*x*，*y*)，*C*(*x*~0~，*y*~0~)，因为*B*(3,0)，*M*是线段*BC*的中点，由中点坐标公式得*x*＝，*y*＝，所以*x*~0~＝2*x*－3，*y*~0~＝2*y*.
由(1)知，点*C*的轨迹方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝4(*y*≠0)，将*x*~0~＝2*x*－3，*y*~0~＝2*y*代入得(2*x*－4)^2^＋(2*y*)^2^＝4，即(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝1.
因此动点*M*的轨迹方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝1(*y*≠0)．
B级
1．(2019·伊春三校联考)已知圆*C*~1~：(*x*＋1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1，圆*C*~2~与圆*C*~1~关于直线*x*－*y*－1＝0对称，则圆*C*~2~的方程为( )
A．(*x*＋2)^2^＋(*y*－1)^2^＝1 B．(*x*－2)^2^＋(*y*＋2)^2^＝1
C．(*x*＋2)^2^＋(*y*＋2)^2^＝1 D．(*x*－2)^2^＋(*y*－2)^2^＝1
解析：选B 圆*C*~1~：(*x*＋1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1，圆心*C*~1~为(－1,1)，半径为1.易知点*C*~1~(－1,1)关于直线*x*－*y*－1＝0对称的点为*C*~2~，设*C*~2~(*a*，*b*)，则解得所以*C*~2~(2，－2)，所以圆*C*~2~的圆心为*C*~2~(2，－2)，半径为1，所以圆*C*~2~的方程为(*x*－2)^2^＋(*y*＋2)^2^＝1.故选B.
2．在平面直角坐标系*xOy*中，以点(1,0)为圆心且与直线*mx*－*y*－2*m*－1＝0(*m*∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为直线*mx*－*y*－2*m*－1＝0(*m*∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径*r*＝，故所求圆的标准方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2.
答案：(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2
3．已知过原点的动直线*l*与圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^－6*x*＋5＝0相交于不同的两点*A*，*B*.
(1)求圆*C*~1~的圆心坐标；
(2)求线段*AB*的中点*M*的轨迹*C*的方程．
解：(1)把圆*C*~1~的方程化为标准方程得(*x*－3)^2^＋*y*^2^＝4，
∴圆*C*~1~的圆心坐标为*C*~1~(3,0)．
(2)设*M*(*x*，*y*)，∵*A*，*B*为过原点的直线*l*与圆*C*~1~的交点，且*M*为*AB*的中点，
∴由圆的性质知：*MC*~1~⊥*MO*，∴·＝0.
又∵＝(3－*x*，－*y*)，＝(－*x*，－*y*)，
∴*x*^2^－3*x*＋*y*^2^＝0.
易知直线*l*的斜率存在，故设直线*l*的方程为*y*＝*mx*，
当直线*l*与圆*C*~1~相切时，
圆心到直线*l*的距离*d*＝＝2，
解得*m*＝±.
把相切时直线*l*的方程代入圆*C*~1~的方程化简得
9*x*^2^－30*x*＋25＝0，解得*x*＝.
当直线*l*经过圆*C*~1~的圆心时，*M*的坐标为(3,0)．
又∵直线*l*与圆*C*~1~交于*A*，*B*两点，*M*为*AB*的中点，
∴\<*x*≤3.
∴点*M*的轨迹*C*的方程为*x*^2^－3*x*＋*y*^2^＝0，其中\<*x*≤3，其轨迹为一段圆弧．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、基础知识
1．直线与圆的位置关系(半径为*r*，圆心到直线的距离为*d*)
------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ----------
相离 相切 相交
图形   
量化 方程观点 *Δ*＜0 *Δ*＝0 *Δ*＞0
几何观点 *d*＞*r* *d*＝*r* *d*＜*r*
------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ----------
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为*r*~1~，*r*~2~，*d*＝\|*O*~1~*O*~2~\|)
---------- -------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
相离 外切 相交 内切 内含
图形     
量的关系 *d*＞*r*~1~＋*r*~2~ *d*＝*r*~1~＋*r*~2~ \|*r*~1~－*r*~2~\|＜*d*＜*r*~1~＋*r*~2~ *d*＝\|*r*~1~－*r*~2~\| *d*＜\|*r*~1~－*r*~2~\|
---------- -------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
二、常用结论
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆*x*^2^＋*y*^2^＝*r*^2^上一点*P*(*x*~0~，*y*~0~)的圆的切线方程为*x*~0~*x*＋*y*~0~*y*＝*r*^2^.
②过圆(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^＝*r*^2^上一点*P*(*x*~0~，*y*~0~)的圆的切线方程为(*x*~0~－*a*)(*x*－*a*)＋(*y*~0~－*b*)(*y*－*b*)＝*r*^2^.
③过圆*x*^2^＋*y*^2^＝*r*^2^外一点*M*(*x*~0~，*y*~0~)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为*x*~0~*x*＋*y*~0~*y*＝*r*^2^.
(2)直线被圆截得的弦长
弦心距*d*、弦长*l*的一半*l*及圆的半径*r*构成一直角三角形，且有*r*^2^＝*d*^2^＋^2^.
考法(一) 直线与圆的位置关系的判断
\[典例\] 直线*l*：*mx*－*y*＋1－*m*＝0与圆*C*：*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
\[解析\] 法一：由()
消去*y*，整理得(1＋*m*^2^)*x*^2^－2*m*^2^*x*＋*m*^2^－5＝0，
因为*Δ*＝16*m*^2^＋20\>0，
所以直线*l*与圆相交．
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线*l*的距离*d*＝\<1\<，故直线*l*与圆相交．
法三：直线*l*：*mx*－*y*＋1－*m*＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝5的内部，所以直线*l*与圆相交．
\[答案\] A
\[解题技法\] 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用*d*与*r*的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用*Δ*判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
\[提醒\] 上述方法中最常用的是几何法．
考法(二) 直线与圆相切的问题
\[典例\] (1)过点*P*(2,4)作圆(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1的切线，则切线方程为( )
A．3*x*＋4*y*－4＝0
B．4*x*－3*y*＋4＝0
C．*x*＝2或4*x*－3*y*＋4＝0
D．*y*＝4或3*x*＋4*y*－4＝0
(2)(2019·成都摸底)已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－4*y*＋1＝0上存在两点关于直线*l*：*x*＋*my*＋1＝0对称，经过点*M*(*m*，*m*)作圆*C*的切线，切点为*P*，则\|*MP*\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)当斜率不存在时，*x*＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为*y*－4＝*k*(*x*－2)，即*kx*－*y*＋4－2*k*＝0，则＝1，解得*k*＝，则切线方程为4*x*－3*y*＋4＝0，故切线方程为*x*＝2或4*x*－3*y*＋4＝0.
(2)圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－4*y*＋1＝0的圆心为*C*(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线*l*：*x*＋*my*＋1＝0对称，所以直线*l*：*x*＋*my*＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2*m*＋1＝0，解得*m*＝－1，所以\|*MC*\|^2^＝13，\|*MP*\|＝＝3.
\[答案\] (1)C (2)3
考法(三) 弦长问题
\[典例\] (1)若*a*^2^＋*b*^2^＝2*c*^2^(*c*≠0)，则直线*ax*＋*by*＋*c*＝0被圆*x*^2^＋*y*^2^＝1所截得的弦长为
( )
A. B．1
C. D.
(2)(2019·海口一中模拟)设直线*y*＝*x*＋2*a*与圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*ay*－2＝0相交于*A*，*B*两点，若\|*AB*\|＝2，则圆*C*的面积为( )
A．4π B．2π
C．9π D．22π
\[解析\] (1)因为圆心(0,0)到直线*ax*＋*by*＋*c*＝0的距离*d*＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为.
(2)易知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*ay*－2＝0的圆心为(0，*a*)，半径为.圆心(0，*a*)到直线*y*＝*x*＋2*a*的距离*d*＝，由直线*y*＝*x*＋2*a*与圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*ay*－2＝0相交于*A*，*B*两点，\|*AB*\|＝2，可得＋3＝*a*^2^＋2，解得*a*^2^＝2，故圆*C*的半径为2，所以圆*C*的面积为4π，故选A.
\[答案\] (1)D (2)A
\[题组训练\]
1．已知圆的方程是*x*^2^＋*y*^2^＝1，则经过圆上一点*M*的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*M*是圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为*x*＋*y*＋*a*＝0，所以＋＋*a*＝0，得*a*＝－，故切线方程为*x*＋*y*－＝0.
答案：*x*＋*y*－＝0
2．若直线*kx*－*y*＋2＝0与圆*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－3＝0没有公共点，则实数*k*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题知，圆*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－3＝0可写成(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝4，圆心(1,0)到直线*kx*－*y*＋2＝0的距离*d*＞2，即＞2，解得0＜*k*＜.
答案：
3．设直线*y*＝*kx*＋1与圆*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－*my*＝0相交于*A*，*B*两点，若点*A*，*B*关于直线*l*：*x*＋*y*＝0对称，则\|*AB*\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为点*A*，*B*关于直线*l*：*x*＋*y*＝0对称，所以直线*y*＝*kx*＋1的斜率*k*＝1，即*y*＝*x*＋1.又圆心在直线*l*：*x*＋*y*＝0上，所以*m*＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径*r*＝，所以圆心到直线*y*＝*x*＋1的距离*d*＝，所以\|*AB*\|＝2＝.
答案：
\[典例\] (2016·山东高考)已知圆*M*：*x*^2^＋*y*^2^－2*ay*＝0(*a*＞0)截直线*x*＋*y*＝0所得线段的长度是2，则圆*M*与圆*N*：(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
\[解析\] 法一：由
得两交点为(0,0)，(－*a*，*a*)．
∵圆*M*截直线所得线段长度为2，
∴()＝2.
又*a*\>0，∴*a*＝2.∴圆*M*的方程为*x*^2^＋*y*^2^－4*y*＝0，
即*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝4，圆心*M*(0,2)，半径*r*~1~＝2.
又圆*N*：(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝1，圆心*N*(1,1)，半径*r*~2~＝1，
∴\|*MN*\|＝()()＝.
∵*r*~1~－*r*~2~＝1，*r*~1~＋*r*~2~＝3,1\<\|*MN*\|\<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆*M*：*x*^2^＋(*y*－*a*)^2^＝*a*^2^(*a*＞0)，圆心(0，*a*)到直线*x*＋*y*＝0的距离*d*＝，所以2＝2，解得*a*＝2.圆*M*，圆*N*的圆心距\|*MN*\|＝，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．
\[答案\] B
\[变透练清\]
1．(2019·太原模拟)若圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^＝1与圆*C*~2~：*x*^2^＋*y*^2^－6*x*－8*y*＋*m*＝0外切，则*m*＝
( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C 圆*C*~1~的圆心为*C*~1~(0,0)，半径*r*~1~＝1，因为圆*C*~2~的方程可化为(*x*－3)^2^＋(*y*－4)^2^＝25－*m*，所以圆*C*~2~的圆心为*C*~2~(3,4)，半径*r*~2~＝(*m*＜25)．从而\|*C*~1~*C*~2~\|＝＝5.由两圆外切得\|*C*~1~*C*~2~\|＝*r*~1~＋*r*~2~，即1＋＝5，解得*m*＝9，故选C.
2.()若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：联立两圆方程()()两式相减得，2*x*－2*y*－1＝0，因为*N*(1,1)，*r*＝1，则点*N*到直线2*x*－2*y*－1＝0的距离*d*＝＝，故公共弦长为2＝.
答案：
\[解题技法\]
几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距*d*，求*r*~1~＋*r*~2~，\|*r*~1~－*r*~2~\|；
(3)比较*d*，*r*~1~＋*r*~2~，\|*r*~1~－*r*~2~\|的大小，写出结论．
A级
1．若直线2*x*＋*y*＋*a*＝0与圆*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－4*y*＝0相切，则*a*的值为( )
A．± B．±5
C．3 D．±3
解析：选B 圆的方程可化为(*x*＋1)^2^＋(*y*－2)^2^＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即*a*＝±5.故选B.
2．与圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^－6*x*＋4*y*＋12＝0，*C*~2~：*x*^2^＋*y*^2^－14*x*－2*y*＋14＝0都相切的直线有
( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选A 两圆分别化为标准形式为*C*~1~：(*x*－3)^2^＋(*y*＋2)^2^＝1，*C*~2~：(*x*－7)^2^＋(*y*－1)^2^＝36，则两圆圆心距\|*C*~1~*C*~2~\|＝()()＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.
3．(2019·南宁、梧州联考)直线*y*＝*kx*＋3被圆(*x*－2)^2^＋(*y*－3)^2^＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为( )
A.或 B．－或
C．－或 D.
解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为*d*＝()＝1.即*d*＝＝1，所以*k*＝±，由*k*＝tan *α*，得*α*＝或.故选A.
4．过点(3,1)作圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝*r*^2^的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2*x*＋*y*－5＝0 B．2*x*＋*y*－7＝0
C．*x*－2*y*－5＝0 D．*x*－2*y*－7＝0
解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得*r*^2^＝5，圆的方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝5，则过点(3,1)的切线方程为(*x*－1)·(3－1)＋*y*(1－0)＝5，即2*x*＋*y*－7＝0.故选B.
5．(2019·重庆一中模拟)若圆*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－6*y*＋6＝0上有且仅有三个点到直线*x*＋*ay*＋1＝0的距离为1，则实数*a*的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线*x*＋*ay*＋1＝0的距离为1，即＝1，解得*a*＝±.
6．(2018·嘉定二模)过点*P*(1，－2)作圆*C*：(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝1的两条切线，切点分别为*A*，*B*，则*AB*所在直线的方程为( )
A．*y*＝－ B．*y*＝－
C．*y*＝－ D．*y*＝－
解析：选B 圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝1的圆心为*C*(1,0)，半径为1，以\|*PC*\|＝()()＝2为直径的圆的方程为(*x*－1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝1，将两圆的方程相减得*AB*所在直线的方程为2*y*＋1＝0，即*y*＝－.故选B.
7．在平面直角坐标系*xOy*中，直线*x*＋2*y*－3＝0被圆(*x*－2)^2^＋(*y*＋1)^2^＝4截得的弦长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：易知圆心(2，－1)，半径*r*＝2，故圆心到直线的距离*d*＝()＝，弦长为2＝.
答案：
8．若*P*(2,1)为圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝25的弦*AB*的中点，则直线*AB*的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝25的圆心为(1,0)，所以直线*AB*的斜率等于＝－1，由点斜式得直线*AB*的方程为*y*－1＝－(*x*－2)，即*x*＋*y*－3＝0.
答案：*x*＋*y*－3＝0
9．过点*P*(－3,1)，Q(*a,*0)的光线经*x*轴反射后与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1相切，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*P*(－3,1)关于*x*轴的对称点的坐标为*P*′(－3，－1)，
所以直线*P*′Q的方程为*y*＝(*x*－*a*)，即*x*－(3＋*a*)*y*－*a*＝0，
圆心(0,0)到直线的距离*d*＝()＝1，
所以*a*＝－.
答案：－
10．点*P*在圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^－8*x*－4*y*＋11＝0上，点Q在圆*C*~2~：*x*^2^＋*y*^2^＋4*x*＋2*y*＋1＝0上，则\|*P*Q\|的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：把圆*C*~1~、圆*C*~2~的方程都化成标准形式，得(*x*－4)^2^＋(*y*－2)^2^＝9，(*x*＋2)^2^＋(*y*＋1)^2^＝4.
圆*C*~1~的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；
圆*C*~2~的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距*d*＝()()＝3＞5.故圆*C*~1~与圆*C*~2~相离，
所以\|*P*Q\|的最小值是3－5.
答案：3－5
11．已知圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－6*y*－1＝0和圆*C*~2~：*x*^2^＋*y*^2^－10*x*－12*y*＋45＝0.
(1)求证：圆*C*~1~和圆*C*~2~相交；
(2)求圆*C*~1~和圆*C*~2~的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解：(1)证明：圆*C*~1~的圆心*C*~1~(1,3)，半径*r*~1~＝，
圆*C*~2~的圆心*C*~2~(5,6)，半径*r*~2~＝4，
两圆圆心距*d*＝\|*C*~1~*C*~2~\|＝5，*r*~1~＋*r*~2~＝＋4，
\|*r*~1~－*r*~2~\|＝4－，
∴\|*r*~1~－*r*~2~\|\<*d*\<*r*~1~＋*r*~2~，∴圆*C*~1~和圆*C*~2~相交．
(2)圆*C*~1~和圆*C*~2~的方程相减，得4*x*＋3*y*－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4*x*＋3*y*－23＝0.
圆心*C*~2~(5,6)到直线4*x*＋3*y*－23＝0的距离*d*＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
12．已知圆*C*经过点*A*(2，－1)，和直线*x*＋*y*＝1相切，且圆心在直线*y*＝－2*x*上．
(1)求圆*C*的方程；
(2)已知直线*l*经过原点，并且被圆*C*截得的弦长为2，求直线*l*的方程．
解：(1)设圆心的坐标为*C*(*a*，－2*a*)，
则()()＝.
化简，得*a*^2^－2*a*＋1＝0，解得*a*＝1.
∴*C*(1，－2)，半径*r*＝\|*AC*\|＝()()＝.
∴圆*C*的方程为(*x*－1)^2^＋(*y*＋2)^2^＝2.
(2)①当直线*l*的斜率不存在时，直线*l*的方程为*x*＝0，此时直线*l*被圆*C*截得的弦长为2，满足条件．
②当直线*l*的斜率存在时，设直线*l*的方程为*y*＝*kx*，
由题意得＝1，解得*k*＝－，
∴直线*l*的方程为*y*＝－*x*，即3*x*＋4*y*＝0.
综上所述，直线*l*的方程为*x*＝0或3*x*＋4*y*＝0.
B级
1．过圆*x*^2^＋*y*^2^＝1上一点作圆的切线，与*x*轴、*y*轴的正半轴相交于*A*，*B*两点，则\|*AB*\|的最小值为( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选C 设圆上的点为(*x*~0~，*y*~0~)，其中*x*~0~＞0，*y*~0~＞0，则有*x*＋*y*＝1，且切线方程为*x*~0~*x*＋*y*~0~*y*＝1.分别令*y*＝0，*x*＝0得*A*，*B*，则\|*AB*\|＝＝≥＝2，当且仅当*x*~0~＝*y*~0~时，等号成立．
2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系*xOy*中，*A*为直线*l*：*y*＝2*x*上在第一象限内的点，*B*(5,0)，以*AB*为直径的圆*C*与直线*l*交于另一点*D*.若·＝0，则点*A*的横坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为·＝0，所以*AB*⊥*CD*，又点*C*为*AB*的中点，所以∠*BAD*＝，设直线*l*的倾斜角为*θ*，直线*AB*的斜率为*k*，则tan *θ*＝2，*k*＝tan＝－3.又*B*(5,0)，所以
直线*AB*的方程为*y*＝－3(*x*－5)，又*A*为直线*l*：*y*＝2*x*上在第一象限内的点，联立直线*AB*与直线*l*的方程，得()解得所以点*A*的横坐标为3.
答案：3
3．(2018·安顺摸底)已知圆*C*：*x*^2^＋(*y*－*a*)^2^＝4，点*A*(1,0)．
(1)当过点*A*的圆*C*的切线存在时，求实数*a*的取值范围；
(2)设*AM*，*AN*为圆*C*的两条切线，*M*，*N*为切点，当\|*MN*\|＝时，求*MN*所在直线的方程．
解：(1)过点*A*的切线存在，即点*A*在圆外或圆上，
∴1＋*a*^2^≥4，∴*a*≥或*a*≤－.
(2)设*MN*与*AC*交于点*D*，*O*为坐标原点．
∵\|*MN*\|＝，∴\|*DM*\|＝.
又\|*MC*\|＝2，∴\|*CD*\|＝ ＝，
∴cos∠*MCA*＝＝，\|*AC*\|＝＝＝，
∴\|*OC*\|＝2，\|*AM*\|＝1，
∴*MN*是以点*A*为圆心，1为半径的圆*A*与圆*C*的公共弦，圆*A*的方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝1，
圆*C*的方程为*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝4或*x*^2^＋(*y*＋2)^2^＝4，
∴*MN*所在直线的方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^－1－*x*^2^－(*y*－2)^2^＋4＝0，即*x*－2*y*＝0或(*x*－1)^2^＋*y*^2^－1－*x*^2^－(*y*＋2)^2^＋4＝0，即*x*＋2*y*＝0，
因此*MN*所在直线的方程为*x*－2*y*＝0或*x*＋2*y*＝0.
第五节 直线与圆的综合问题
考法(一) 斜率型最值问题
\[典例\] 已知实数*x*，*y*满足方程*x*^2^＋*y*^2^－4*x*＋1＝0，求的最大值和最小值．
\[解\] 原方程可化为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝*k*，即*y*＝*kx*.
当直线*y*＝*kx*与圆相切时(如图)，斜率*k*取得最大值或最小值，
此时＝，
解得*k*＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
\[解题技法\]
形如*μ*＝型的最值问题，可转化过定点(*a*，*b*)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标原点的直线的斜率．
考法(二) 截距型最值问题
\[典例\] 已知实数*x*，*y*满足方程*x*^2^＋*y*^2^－4*x*＋1＝0，求*y*－*x*的最大值和最小值．
\[解\] *y*－*x*可看作是直线*y*＝*x*＋*b*在*y*轴上的截距，如图所示，当直线*y*＝*x*＋*b*与圆相切时，纵截距*b*取得最大值或最小值，此时＝，解得*b*＝－2±.所以*y*－*x*的最大值为－2＋，最小值为－2－.
\[解题技法\]
形如*μ*＝*ax*＋*by*型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令*b*＝*y*－*x*，即*y*＝*x*＋*b*，从而将*y*－*x*的最值转化为求直线*y*＝*x*＋*b*的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝3，故可令即从而*y*－*x*＝sin *θ*－cos *θ*－2＝sin－2，进而求出*y*－*x*的最大值和最小值．
考法(三) 距离型最值问题
\[典例\] 已知实数*x*，*y*满足方程*x*^2^＋*y*^2^－4*x*＋1＝0，求*x*^2^＋*y*^2^的最大值和最小值．
\[解\] 如图所示，*x*^2^＋*y*^2^表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
()()＝2，
所以*x*^2^＋*y*^2^的最大值是(2＋)^2^＝7＋4，
*x*^2^＋*y*^2^的最小值是(2－)^2^＝7－4.
\[解题技法\]
形如*μ*＝(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^型的最值问题，可转化为动点(*x*，*y*)与定点(*a*，*b*)的距离的平方求最值．如本题中*x*^2^＋*y*^2^＝(*x*－0)^2^＋(*y*－0)^2^，从而转化为动点(*x*，*y*)与坐标原点的距离的平方．
\[题组训练\]
1．已知圆*C*：(*x*＋2)^2^＋*y*^2^＝1，*P*(*x*，*y*)为圆上任意一点，则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设＝*k*，即*kx*－*y*－*k*＋2＝0，
圆心*C*(－2,0)，*r*＝1.
当直线与圆相切时，*k*有最值，
∴＝1，解得*k*＝.
∴的最大值为.
答案：
2．设点*P*(*x*，*y*)是圆：*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝1上的动点，定点*A*(2,0)，*B*(－2,0)，则·的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，知＝(2－*x*，－*y*)，＝(－2－*x*，－*y*)，所以·＝*x*^2^＋*y*^2^－4，由于点*P*(*x*，*y*)是圆上的点，故其坐标满足方程*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝1，故*x*^2^＝－(*y*－3)^2^＋1，所以·＝－(*y*－3)^2^＋1＋*y*^2^－4＝6*y*－12.易知2≤*y*≤4，所以，当*y*＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
答案：12
\[典例\] 已知直线*l*：4*x*＋*ay*－5＝0与直线*l*′：*x*－2*y*＝0相互垂直，圆*C*的圆心与点(2,1)关于直线*l*对称，且圆*C*过点*M*(－1，－1)．
(1)求直线*l*与圆*C*的方程．
(2)过点*M*作两条直线分别与圆*C*交于*P*，Q两点，若直线*MP*，*M*Q的斜率满足*k~MP~*＋*k~M~*~Q~＝0，求证：直线*P*~Q~的斜率为1.
\[解\] (1)∵直线*l*：4*x*＋*ay*－5＝0与直线*l*′：*x*－2*y*＝0相互垂直，
∴4×1－2*a*＝0，解得*a*＝2.
∴直线*l*的方程为4*x*＋2*y*－5＝0.
设圆*C*的圆心*C*的坐标为(*m*，*n*)．
∵圆心*C*(*m*，*n*)与点(2,1)关于直线*l*对称，
∴()解得∴*C*(0,0)．
∴圆*C*的半径*r*＝\|*CM*\|＝.
∴圆*C*的方程为*x*^2^＋*y*^2^＝2.
(2)证明：设过点*M*的直线*MP*的斜率为*k*，则过点*M*的直线*M*Q的斜率为－*k*，直线*MP*的方程为*y*＋1＝*k*(*x*＋1)．
∵直线*MP*与圆*C*相交，
∴联立得方程组()
消去*y*并整理，得(1＋*k*^2^)*x*^2^＋2*k*(*k*－1)*x*＋*k*^2^－2*k*－1＝0.
∵圆*C*过点*M*(－1，－1)，
∴*x~P~*·(－1)＝，∴*x~P~*＝.
同理，将*k*替换成－*k*，可得*x*~Q~＝.
∴*k~P~*~Q~＝＝()()＝()＝1.
\[解题技法\] 直线与圆的综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
\[题组训练\]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线*x*＋*y*＋2＝0分别与*x*轴，*y*轴交于*A*，*B*两点，点*P*在圆(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝2上，则△*ABP*面积的取值范围是( )
A．\[2,6\] B．\[4,8\]
C．\[，3\] D．\[2，3\]
解析：选A 设圆(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝2的圆心为*C*，半径为*r*，点*P*到直线*x*＋*y*＋2＝0的距离为*d*，
则圆心*C*(2,0)，*r*＝，
所以圆心*C*到直线*x*＋*y*＋2＝0的距离为＝2，
可得*d*~max~＝2＋*r*＝3，*d*~min~＝2－*r*＝.
由已知条件可得\|*AB*\|＝2，
所以△*ABP*面积的最大值为\|*AB*\|·*d*~max~＝6，
△*ABP*面积的最小值为\|*AB*\|·*d*~min~＝2.
综上，△*ABP*面积的取值范围是\[2,6\]．
2. (2019·湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－4*x*＝0及点*A*(－1,0)，*B*(1,2)．
(1)若直线*l*平行于*AB*，与圆*C*相交于*M*，*N*两点，\|*MN*\|＝\|*AB*\|，求直线*l*的方程；
(2)在圆*C*上是否存在点*P*，使得\|*PA*^2^\|＋\|*PB*^2^\|＝12？若存在，求出点*P*的个数；若不存在，说明理由．
解：(1)因为圆*C*的标准方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4，
所以圆心*C*(2,0)，半径为2.
因为*l*∥*AB*，*A*(－1,0)，*B*(1,2)，
所以直线*l*的斜率为()＝1，
设直线*l*的方程为*x*－*y*＋*m*＝0，
则圆心*C*到直线*l*的距离*d*＝＝.
因为\|*MN*\|＝\|*AB*\|＝＝2，
\|*CM*^2^\|＝*d*^2^＋^2^，所以4＝()＋2，
解得*m*＝0或*m*＝－4，
故直线*l*的方程为*x*－*y*＝0或*x*－*y*－4＝0.
(2)假设圆*C*上存在点*P*，设*P*(*x*，*y*)，则(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4，\|*PA*\|^2^＋\|*PB*\|^2^＝(*x*＋1)^2^＋(*y*－0)^2^＋(*x*－1)^2^＋(*y*－2)^2^＝12，即*x*^2^＋*y*^2^－2*y*－3＝0，即*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝4，
因为\|2－2\|＜()()＜2＋2，
所以圆(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4与圆*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝4相交，
所以存在点*P*，使得\|*PA*\|^2^＋\|*PB*\|^2^＝12，点*P*的个数为2.
A级
1．已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－2*my*＋*m*^2^－3＝0关于直线*l*：*x*－*y*＋1＝0对称，则直线*x*＝－1与圆*C*的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不能确定
解析：选A 由已知得*C*：(*x*－1)^2^＋(*y*－*m*)^2^＝4，即圆心*C*(1，*m*)，半径*r*＝2，因为圆*C*关于直线*l*：*x*－*y*＋1＝0对称，所以圆心(1，*m*)在直线*l*：*x*－*y*＋1＝0上，所以*m*＝2.由圆心*C*(1,2)到直线*x*＝－1的距离*d*＝1＋1＝2＝*r*知，直线*x*＝－1与圆*C*相切．故选A.
2．直线*ax*＋*y*＋2＝0与圆*x*^2^＋*y*^2^＝*r*^2^相切，则圆的半径最大时，*a*的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．*a*可为任意非零实数
解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线*ax*＋*y*＋2＝0的距离等于半径*r*，即＝*r*.由基本不等式，得*r*≤＝，当且仅当*a*^4^＝1，即*a*＝±1时取等号．故选C.
3．与圆*x*^2^＋*y*^2^＋2*y*＋1＝0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 圆的标准方程为*x*^2^＋(*y*＋)^2^＝1，设切线方程为*y*＝*kx*＋*m*，则＝1，整理得(＋*m*)^2^＝*k*^2^＋1，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以*m*＝－，联立方程得()解得或所以切线方程为*y*＝±*x*或*y*＝－*x*－2，切线共有3条．
4．已知点*P*(*x*，*y*)是直线*kx*＋*y*＋4＝0(*k*\>0)上一动点，*PA*，*PB*是圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*y*＝0的两条切线，*A*，*B*是切点，若四边形*PACB*的最小面积是2，则*k*的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D 圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*y*＝0的圆心为(0,1)，半径*r*＝1.由圆的性质，知*S*~四边形*PACB*~＝2*S*~△*PBC*~.∵四边形*PACB*的最小面积是2，∴*S*~△*PBC*~的最小值为1，则*rd*~min~＝1(*d*是切线长)，∴*d*~min~＝2.∵圆心到直线*kx*＋*y*＋4＝0的距离就是*PC*的最小值，∴\|*PC*\|~min~＝＝＝.∵*k*\>0，∴*k*＝2.故选D.
5．(2019·赣州七校联考)已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*ax*－2*by*＋*a*^2^＋*b*^2^－1＝0(*a*＜0)的圆心在直线*x*－*y*＋＝0上，且圆*C*上的点到直线 *x*＋*y*＝0的距离的最大值为1＋，则*a*^2^＋*b*^2^的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 易知圆的标准方程为(*x*－*a*)^2^＋(*y*－*b*)^2^＝1，所以圆心为(*a*，*b*)，由圆心在直线*x*－*y*＋＝0上，可得*a*－*b*＋＝0，即*b*＝(*a*＋1) ①.圆*C*上的点到直线 *x*＋*y*＝0的距离的最大值*d*~max~＝1＋＝＋1，得\|*a*＋*b*\|＝2 ②.由①②得 \|2*a*＋1\|＝2，又*a*＜0，所以*a*＝－，*a*^2^＋*b*^2^＝*a*^2^＋3(*a*＋1)^2^＝3.
6．已知实数*x*，*y*满足(*x*＋5)^2^＋(*y*－12)^2^＝25，那么的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意得＝()()表示点*P*(*x*，*y*)到原点的距离，所以的最小值表示圆(*x*＋5)^2^＋(*y*－12)^2^＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距离为()＝13，所以的最小值为13－5＝8.
答案：8
7．已知*P*(*x*，*y*)为圆(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝1上的动点，则\|3*x*＋4*y*－3\|的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*t*＝3*x*＋4*y*－3，即3*x*＋4*y*－3－*t*＝0.由圆心(2,0)到直线3*x*＋4*y*－3－*t*＝0的距离*d*＝≤1，
解得－2≤*t*≤8.所以\|3*x*＋4*y*－3\|~max~＝8.
答案：8
8．(2018·贵阳适应性考试)已知直线*l*：*ax*－3*y*＋12＝0与圆*M*：*x*^2^＋*y*^2^－4*y*＝0相交于*A*，*B*两点，且∠*AMB*＝，则实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：直线*l*的方程可变形为*y*＝*ax*＋4，所以直线*l*过定点(0,4)，且该点在圆*M*上．圆的方程可变形为*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝4，所以圆心为*M*(0,2)，半径为2.如图，因为∠*AMB*＝，所以△*AMB*是等边三角形，且边长为2，高为，即圆心*M*到直线*l*的距离为，所以＝，解得*a*＝±.
答案：±
9．已知曲线*C*上任一点*M*(*x*，*y*)到点*E*和直线*a*：*y*＝－的距离相等，圆*D*：(*x*－1)^2^＋^2^＝*r*^2^(*r*＞0)．
(1)求曲线*C*的方程；
(2)过点*A*(－2,1)作曲线*C*的切线*b*，并与圆*D*相切，求半径*r*.
解：(1)由题意得 ()＝.
两边平方并整理，得*y*＝(*x*＋1)^2^.
∴曲线*C*的方程为*y*＝(*x*＋1)^2^.
(2)由*y*＝(*x*＋1)^2^，得*y*′＝2(*x*＋1)．
∵点*A*(－2,1)在抛物线*C*上，
∴切线*b*的斜率为*y*′\|~*x*=－2~＝－2.
∴切线*b*的方程为*y*－1＝－2(*x*＋2)，即2*x*＋*y*＋3＝0.
又直线*b*与圆*D*相切，
∴圆心*D*到直线*b*的距离等于半径，
即*r*＝＝.
10．已知过点*A*(1,0)且斜率为*k*的直线*l*与圆*C*：(*x*－2)^2^＋(*y*－3)^2^＝1交于*M*，*N*两点．
(1)求*k*的取值范围；
(2)·＝12，其中*O*为坐标原点，求\|*MN*\|.
解：(1)设过点*A*(1,0)的直线与圆*C*相切，显然当直线的斜率不存在时，直线*x*＝1与圆*C*相切．
当直线的斜率存在时，设切线方程为*y*＝*k*~0~(*x*－1)，即*k*~0~*x*－*y*－*k*~0~＝0.
∵圆*C*的半径*r*＝1，
∴圆心*C*(2,3)到切线的距离为＝1，解得*k*~0~＝.
∵过点*A*且斜率为*k*的直线*l*与圆*C*有两个交点，
∴*k*＞，即*k*的取值范围为.
(2)将直线*l*的方程*y*＝*k*(*x*－1)代入圆*C*的方程，得(1＋*k*^2^)*x*^2^－(2*k*^2^＋6*k*＋4)*x*＋*k*^2^＋6*k*＋12＝0.
设*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，则
*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.
∴*y*~1~*y*~2~＝*k*^2^(*x*~1~－1)(*x*~2~－1)＝*k*^2^(*x*~1~*x*~2~－*x*~1~－*x*~2~＋1)＝.
∴·＝*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝＝12，解得*k*＝3或*k*＝0(舍去)．
∴直线*l*的方程为3*x*－*y*－3＝0.
故圆心(2,3)在直线*l*上，∴\|*MN*\|＝2*r*＝2.
B级
1．已知圆*M*：(*x*－2)^2^＋(*y*－2)^2^＝2，圆*N*：*x*^2^＋(*y*－8)^2^＝40，经过原点的两直线*l*~1~，*l*~2~满足*l*~1~⊥*l*~2~，且*l*~1~交圆*M*于不同两点*A*，*B*，*l*~2~交圆*N*于不同两点*C*，*D*，记*l*~1~的斜率为*k*.
(1)求*k*的取值范围；
(2)若四边形*ABCD*为梯形，求*k*的值．
解：(1)显然*k*≠0，所以可设*l*~1~的方程为*y*＝*kx*，则*l*~2~的方程为*y*＝－*x*.
依题意得点*M*到直线*l*~1~的距离*d*~1~＝＜.
整理，得*k*^2^－4*k*＋1＜0，
解得2－＜*k*＜2＋.①
同理，点*N*到直线*l*~2~的距离*d*~2~＝＜2，
解得－＜*k*＜.②
由①②可得2－＜*k*＜，
所以*k*的取值范围为.
(2)设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，*C*(*x*~3~，*y*~3~)，*D*(*x*~4~，*y*~4~)，
将直线*l*~1~的方程代入圆*M*的方程，得(1＋*k*^2^)*x*^2^－4(1＋*k*)*x*＋6＝0，
所以*x*~1~＋*x*~2~＝()，*x*~1~*x*~2~＝.
将直线*l*~2~的方程代入圆*N*的方程，得(1＋*k*^2^)*x*^2^＋16*kx*＋24*k*^2^＝0，
所以*x*~3~＋*x*~4~＝－，*x*~3~*x*~4~＝.
由四边形*ABCD*为梯形可得＝，
所以＋＋2＝＋＋2，所以()＝()，
所以(1＋*k*)^2^＝4，解得*k*＝1或*k*＝－3(舍去)．
故*k*的值为1.
2．(2019·成都双流中学模拟)已知曲线*C*上任意一点到点*A*(1，－2)的距离与到点*B*(2，－4)的距离之比均为.
(1)求曲线*C*的方程；
(2)设点*P*(1，－3)，过点*P*作两条相异的直线分别与曲线*C*相交于*E*，*F*两点，且直线*PE*和直线*PF*的倾斜角互补，求线段*EF*的最大值．
解：(1)设曲线*C*上的任意一点为Q(*x*，*y*)，由题意得()()()()＝，整理得*x*^2^＋*y*^2^＝10，故曲线*C*的方程为*x*^2^＋*y*^2^＝10.
(2)由题意知，直线*PE*和直线*PF*的斜率存在，且互为相反数，因为*P*(1，－3)，故可设直线*PE*的方程为*y*＋3＝*k*(*x*－1)，联立方程得()消去*y*得(1＋*k*^2^)*x*^2^－2*k*(*k*＋3)*x*＋*k*^2^＋6*k*－1＝0，因为*P*(1，－3)在圆上，所以*x*＝1一定是该方程的解，故可得*x~E~*＝，同理可得*x~F~*＝，所以*k~EF~*＝＝()()＝()＝－，故直线*EF*的斜率为定值－，设直线*EF*的方程为*y*＝－*x*＋*b*，则圆*C*的圆心(0,0)到直线*EF*的距离*d*＝，所以\|*EF*\|＝2＝2 ，
所以当*b*＝0时，线段*EF*取得最大值，最大值为2.
第六节 椭 圆
一、基础知识
1．椭圆的定义
平面内与两个定点*F*~1~，*F*~2~的距离的和等于常数
2*a*(2*a*＞\|*F*~1~*F*~2~\|)的动点*P*的轨迹叫做椭圆，这两个
定点*F*~1~，*F*~2~叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在*x*轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在*y*轴上的椭圆
的标准方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)．
3．椭圆的几何性质
--------------------- ---------------------------------------------- ----------------------------------------------
标准方程 ＋＝1(*a*＞*b*＞0) ＋＝1(*a*＞*b*＞0)
范围 \|*x*\|≤*a*，\|*y*\|≤*b* \|*x*\|≤*b*，\|*y*\|≤*a*
对称性 关于*x*轴、*y*轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标 (*a,*0)，(－*a,*0)， (0，*b*)，(0，－*b*) (*b,*0)，(－*b,*0)， (0，*a*)，(0，－*a*)
焦点坐标 (*c,*0)，(－*c,*0) (0，*c*)，(0，－*c*)
半轴长 长半轴长为*a*，短半轴长为*b*，*a*＞*b*^❶^
离心率 *e*＝^❷^
*a*，*b*，*c*的关系 *a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^
--------------------- ---------------------------------------------- ----------------------------------------------
❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
❷离心率表示椭圆的扁平程度．当*e*越接近于1时，*c*越接
近于*a*，从而*b*＝越小，因此椭圆越扁．
二、常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2*a*，最短弦为短轴长2*b*.
(3)与椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(*λ*＞－*b*^2^)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点*P*(*x*~0~，*y*~0~)与两焦点*F*~1~，*F*~2~构成的△*PF*~1~*F*~2~叫做焦点三角形．若*r*~1~＝\|*PF*~1~\|，*r*~2~＝\|*PF*~2~\|，∠*F*~1~*PF*~2~＝*θ*，△*PF*~1~*F*~2~的面积为*S*，则在椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)中：
①当*r*~1~＝*r*~2~，即点*P*为短轴端点时，*θ*最大；
②*S*＝\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|sin *θ*＝*c*\|*y*~0~\|，当\|*y*~0~\|＝*b*，即点*P*为短轴端点时，*S*取得最大值，最大值为*bc*；
③△*PF*~1~*F*~2~的周长为2(*a*＋*c*)．
第一课时 椭圆及其性质
\[典例\] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在*x*轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点*A*(－3,0)，且离心率*e*＝，则椭圆的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为4，可得*a*＋*b*＝10,2*c*＝4，∴*c*＝2.又*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，∴*a*^2^＝36，*b*^2^＝16.∵焦点在*x*轴上，∴所求椭圆方程为＋＝1.故选C.
(2)若焦点在*x*轴上，由题知*a*＝3，因为椭圆的离心率*e*＝，所以*c*＝，*b*＝2，所以椭圆方程是＋＝1.若焦点在*y*轴上，则*b*＝3，*a*^2^－*c*^2^＝9，又离心率*e*＝＝，解得*a*^2^＝，所以椭圆方程是＋＝1.
\[答案\] (1)C (2)＋＝1或＋＝1
\[题组训练\]
1．(2018·济南一模)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B 椭圆长轴长为6，即2*a*＝6，得*a*＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2*c*＝·2*a*＝2，得*c*＝1，
∴*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝9－1＝8，
∴此椭圆的标准方程为＋＝1.故选B.
2．椭圆*C*的中心在原点，焦点在*x*轴上，若椭圆*C*的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线*x*^2^＝8*y*的焦点，则椭圆*C*的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意设椭圆的方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中*b*＝2.
因为*e*＝＝，所以*a*＝2*c*，
又*a*^2^－*b*^2^＝*c*^2^，联立解得*c*＝2，*a*＝4，
所以椭圆*C*的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．已知椭圆中心在原点，且经过*A*(，－2)和*B*(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设所求椭圆方程为*mx*^2^＋*ny*^2^＝1(*m*＞0，*n*＞0，*m*≠*n*)．
依题意有解得
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
\[典例\] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为，过*F*~2~的直线*l*交*C*于*A*，*B*两点，若△*AF*~1~*B*的周长为12，则椭圆*C*的标准方程为( )
A.＋*y*^2^＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知点*P*(*x*，*y*)在椭圆＋＝1上，*F*~1~，*F*~2~是椭圆的两个焦点，若△*PF*~1~*F*~2~的面积为18，则∠*F*~1~*PF*~2~的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)由椭圆的定义，知\|*AF*~1~\|＋\|*AF*~2~\|＝2*a*，\|*BF*~1~\|＋\|*BF*~2~\|＝2*a*，所以△*AF*~1~*B*的周长为\|*AF*~1~\|＋\|*AF*~2~\|＋\|*BF*~1~\|＋\|*BF*~2~\|＝4*a*＝12，所以*a*＝3.因为椭圆的离心率*e*＝＝，所以*c*＝2，所以*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝5，所以椭圆*C*的方程为＋＝1，故选D.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为*F*~1~(0，－8)，*F*~2~(0,8)，
由椭圆的定义知\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝20，
两边平方得\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^＋2\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|＝20^2^，
由余弦定理得\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^－2\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|·cos∠*F*~1~*PF*~2~＝16^2^，
两式相减得2\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|(1＋cos∠*F*~1~*PF*~2~)＝144.
又*S*△*PF*~1~*F*~2~＝\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|sin∠*F*~1~*PF*~2~＝18，
所以1＋cos∠*F*~1~*PF*~2~＝2sin∠*F*~1~*PF*~2~，
解得cos∠*F*~1~*PF*~2~＝.
\[答案\] (1)D (2)
\[变透练清\]
1．已知椭圆＋＝1上一点*P*到椭圆一个焦点*F*~1~的距离为3，则*P*到另一个焦点*F*~2~的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选D 因为*a*^2^＝25，所以2*a*＝10，由定义知，\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝10，所以\|*PF*~2~\|＝10－\|*PF*~1~\|＝7.
2.()若本例(2)条件不变，则△*PF*~1~*F*~2~的内切圆的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由椭圆的定义可知△*PF*~1~*F*~2~的周长的一半为*a*＋*c*＝18，所以由三角形的面积公式*S*＝*pr*(其中*p*，*r*分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得*r*＝1，所以△*PF*~1~*F*~2~的内切圆的面积为π.
答案：π
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
\[典例\] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知*F*~1~，*F*~2~是椭圆*C*的两个焦点，*P*是*C*上的一点．若*PF*~1~⊥*PF*~2~，且∠*PF*~2~*F*~1~＝60°，则*C*的离心率为( )
A．1－ B．2－
C. D.－1
(2)已知椭圆*E*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点为*F*，短轴的一个端点为*M*，直线*l*：3*x*－4*y*＝0交椭圆*E*于*A*，*B*两点．若\|*AF*\|＋\|*BF*\|＝4，点*M*到直线*l*的距离不小于，则椭圆*E*的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
\[解析\] (1)在Rt△*PF*~1~*F*~2~中，∠*PF*~2~*F*~1~＝60°，
不妨设椭圆焦点在*x*轴上，且焦距\|*F*~1~*F*~2~\|＝2，
则\|*PF*~2~\|＝1，\|*PF*~1~\|＝，
由椭圆的定义可知，在方程＋＝1中，
2*a*＝1＋，2*c*＝2，得*a*＝，*c*＝1，
所以离心率*e*＝＝＝－1.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得*A*，*B*两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4*a*＝2(\|*AF*\|＋\|*BF*\|)＝8，所以*a*＝2.又*d*＝()≥，所以1≤*b*＜2，所以*e*＝＝ ＝ .因为1≤*b*＜2，所以0＜*e*≤.
\[答案\] (1)D (2)A
\[解题技法\] 求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出*a*，*c*，直接利用公式*e*＝求解．
(2)方程法：根据条件得到关于*a*，*b*，*c*的齐次等式(不等式)，结合*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^转化为关于*a*，*c*的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以*a*或*a*^2^转化为关于*e*或*e*^2^的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得*e*(*e*的取值范围)．
考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题
\[典例\] 已知点*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点*M*是该椭圆上的一个动点，那么\|＋\|的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
\[解析\] 设*M*(*x*~0~，*y*~0~)，*F*~1~(－3,0)，*F*~2~(3,0)．
则＝(－3－*x*~0~，－*y*~0~)，＝(3－*x*~0~，－*y*~0~)，
所以＋＝(－2*x*~0~，－2*y*~0~)，
\|＋\|＝＝＝ ，
因为点*M*在椭圆上，所以0≤*y*≤16，
所以当*y*＝16时，\|＋\|取最小值为8.
\[答案\] C
\[解题技法\] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－*a*≤*x*≤*a*，－*b*≤*y*≤*b,*0＜*e*＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．
\[题组训练\]
1．(2018·贵阳摸底)*P*是椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)上的一点，*A*为左顶点，*F*为右焦点，*PF*⊥*x*轴，若tan∠*PAF*＝，则椭圆的离心率*e*为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 不妨设点*P*在第一象限，因为*PF*⊥*x*轴，所以*x~P~*＝*c*，将*x~P~*＝*c*代入椭圆方程得*y~P~*＝，即\|*PF*\|＝，则tan∠*PAF*＝＝＝，结合*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^，整理得2*c*^2^＋*ac*－*a*^2^＝0，两边同时除以*a*^2^得2*e*^2^＋*e*－1＝0，解得*e*＝或*e*＝－1(舍去)．故选D.
2．已知*P*在椭圆＋*y*^2^＝1上，*A*(0,4)，则\|*PA*\|的最大值为( )
A. B.
C．5 D．2
解析：选C 设*P*(*x*~0~，*y*~0~)，则由题意得＋*y*＝1，
故*x*＝4(1－*y*)，
所以\|*PA*\|^2^＝*x*＋(*y*~0~－4)^2^
＝4(1－*y*)＋*y*－8*y*~0~＋16
＝－3*y*－8*y*~0~＋20
＝－3^2^＋，
又－1≤*y*~0~≤1，
所以当*y*~0~＝－1时，\|*PA*\|^2^取得最大值25，
即\|*PA*\|最大值为5.故选C.
3．已知*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆*C*：＋＝1(*a*\>*b*\>0)的左、右焦点，若椭圆*C*上存在点*P*，使得线段*PF*~1~的中垂线恰好经过焦点*F*~2~，则椭圆*C*的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，
∵线段*PF*~1~的中垂线经过*F*~2~，
∴\|*PF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|＝2*c*，
即椭圆上存在一点*P*，
使得\|*PF*~2~\|＝2*c*.
∴*a*－*c*≤2*c*＜*a*＋*c*.
∴*e*＝∈.
A级
1．椭圆以*x*轴和*y*轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.＋*y*^2^＝1
B.＋＝1
C.＋*y*^2^＝1或＋＝1
D.＋*y*^2^＝1或＋*x*^2^＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即*a*＝2*b*.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在*x*轴上，则*a*＝2，*b*＝1，椭圆的标准方程为＋*y*^2^＝1；若焦点在*y*轴上，则*a*＝4，*b*＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．已知方程＋＝1表示焦点在*y*轴上的椭圆，则*m*的取值范围为( )
A. B．(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪
解析：选D 依题意得不等式组
解得*m*＜－1或1＜*m*＜，故选D.
3．已知椭圆的方程为2*x*^2^＋3*y*^2^＝*m*(*m*＞0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，
所以*a*^2^＝，*b*^2^＝，
所以*c*^2^＝*a*^2^－*b*^2^＝，*e*^2^＝＝，*e*＝.
4．已知椭圆*C*：＋＝1的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，椭圆*C*上的点*A*满足*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，若点*P*是椭圆*C*上的动点，则·的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由椭圆方程知*c*＝1，
所以*F*~1~(－1,0)，*F*~2~(1,0)．
因为椭圆*C*上的点*A*满足*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，则可设*A*(1，*y*~0~)，
代入椭圆方程可得*y*＝，所以*y*~0~＝±.
设*P*(*x*~1~，*y*~1~)，则＝(*x*~1~＋1，*y*~1~)，＝(0，*y*~0~)，
所以·＝*y*~1~*y*~0~.
因为点*P*是椭圆*C*上的动点，所以－≤*y*~1~≤，
故·的最大值为.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选D 设*a*，*b*，*c*分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为*b*时面积最大，所以×2*cb*＝1，*bc*＝1，而2*a*＝2≥2＝2(当且仅当*b*＝*c*＝1时取等号)，故选D.
6．(2019·惠州调研)设*F*~1~，*F*~2~为椭圆＋＝1的两个焦点，点*P*在椭圆上，若线段*PF*~1~的中点在*y*轴上，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，设线段*PF*~1~的中点为*M*，因为*O*是*F*~1~*F*~2~的中点，所以*OM*∥*PF*~2~，可得*PF*~2~⊥*x*轴，\|*PF*~2~\|＝＝，\|*PF*~1~\|＝2*a*－\|*PF*~2~\|＝，故＝，故选D.
7．已知椭圆＋＝1(*a*\>*b*\>0)的一个焦点是圆*x*^2^＋*y*^2^－6*x*＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵圆的标准方程为(*x*－3)^2^＋*y*^2^＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴*c*＝3.又*b*＝4，∴*a*＝＝5.
∵椭圆的焦点在*x*轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
8．过点*A*(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：法一：设所求椭圆方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，则*a*^2^－*b*^2^＝*c*^2^＝5，且＋＝1，解方程组得*a*^2^＝15，*b*^2^＝10，故所求椭圆方程为＋＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，设所求椭圆方程为＋＝1(*λ*＞0)，代入点*A*(3，－2)得＋＝1(*λ*＞0)，解得*λ*＝10或*λ*＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知△*ABC*的顶点*A*(－3,0)和顶点*B*(3,0)，顶点*C*在椭圆＋＝1上，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由椭圆＋＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点*A*，*B*为椭圆的两个焦点．在△*ABC*中，设△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，则*c*＝\|*AB*\|＝6，*a*＋*b*＝\|*BC*\|＋\|*AC*\|＝10，由正弦定理可得＝＝＝3.
答案：3
10．点*P*是椭圆上任意一点，*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆的左、右焦点，∠*F*~1~*PF*~2~的最大值是60°，则椭圆的离心率*e*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图所示，当点*P*与点*B*重合时，∠*F*~1~*PF*~2~取得最大值60°，此时\|*OF*~1~\|＝*c*，\|*PF*~1~\|＝\|*PF*~2~\|＝2*c*.由椭圆的定义，得\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝4*c*＝2*a*，所以椭圆的离心率*e*＝＝.
答案：
11．已知椭圆的长轴长为10，两焦点*F*~1~，*F*~2~的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若*P*为短轴的一个端点，求△*F*~1~*PF*~2~的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，
依题意得因此*a*＝5，*b*＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知\|*y~P~*\|＝4，又*c*＝3，
所以*S*△*F*~1~*PF*~2~＝\|*y~P~*\|×2*c*＝×4×6＝12.
12．已知焦点在*x*轴上的椭圆＋＝1的离心率*e*＝，*F*，*A*分别是椭圆的左焦点和右顶点，*P*是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解：设*P*点坐标为(*x*~0~，*y*~0~)．
由题意知*a*＝2，
∵*e*＝＝，∴*c*＝1，
∴*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤*x*~0~≤2.
又*F*(－1,0)，*A*(2,0)，＝(－1－*x*~0~，－*y*~0~)，＝(2－*x*~0~，－*y*~0~)，
∴·＝*x*－*x*~0~－2＋*y*
＝*x*－*x*~0~＋1＝(*x*~0~－2)^2^.
当*x*~0~＝2时，·取得最小值0，
当*x*~0~＝－2时，·取得最大值4.
B级
1．若椭圆*b*^2^*x*^2^＋*a*^2^*y*^2^＝*a*^2^*b*^2^(*a*＞*b*＞0)和圆*x*^2^＋*y*^2^＝^2^有四个交点，其中*c*为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率*e*的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则整理得()()解得＜*e*＜.
2．(2018·南昌摸底考试)*P*为椭圆＋＝1上一点，*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆的左、右焦点，过*P*点作*PH*⊥*F*~1~*F*~2~于点*H*，若*PF*~1~⊥*PF*~2~，则\|*PH*\|＝( )
A. B.
C．8 D.
解析：选D 由椭圆＋＝1得*a*^2^＝25，*b*^2^＝9，
则*c*＝＝＝4，
∴\|*F*~1~*F*~2~\|＝2*c*＝8.
由椭圆的定义可得\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝2*a*＝10，
∵*PF*~1~⊥*PF*~2~，∴\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^＝64.
∴2\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|＝(\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|)^2^－(\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^)＝100－64＝36，
∴\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|＝18.
又*S*△*PF*~1~*F*~2~＝\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|·\|*PH*\|，
∴\|*PH*\|＝＝.故选D.
3．已知椭圆*C*的两个顶点分别为*A*(－2,0)，*B*(2,0)，焦点在*x*轴上，离心率为.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)点*D*为*x*轴上一点，过*D*作*x*轴的垂线交椭圆*C*于不同的两点*M*，*N*，过*D*作*AM*的垂线交*BN*于点*E*.求证：△*BDE*与△*BDN*的面积之比为4∶5.
解：(1)设椭圆*C*的方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)．
由题意得解得*c*＝.所以*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝1.
所以椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)证明：设*M*(*m*，*n*)，则*D*(*m,*0)，*N*(*m*，－*n*)．
由题设知*m*≠±2，且*n*≠0.
直线*AM*的斜率*k~AM~*＝，
故直线*DE*的斜率*k~DE~*＝－.
所以直线*DE*的方程为*y*＝－(*x*－*m*)．
直线*BN*的方程为*y*＝(*x*－2)．
联立()()
解得点*E*的纵坐标*y~E~*＝－().
由点*M*在椭圆*C*上，得4－*m*^2^＝4*n*^2^，
所以*y~E~*＝－*n*.
又*S*~△*BDE*~＝\|*BD*\|·\|*y~E~*\|＝\|*BD*\|·\|*n*\|，
*S*~△*BDN*~＝\|*BD*\|·\|*n*\|.
所以△*BDE*与△*BDN*的面积之比为4∶5.
第二课时 直线与椭圆的综合问题
\[典例\] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的一条弦所在的直线方程是*x*－*y*＋5＝0，弦的中点坐标是*M*(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
\[解析\] 设直线*x*－*y*＋5＝0与椭圆＋＝1相交于*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)两点，因为*AB*的中点*M*(－4,1)，所以*x*~1~＋*x*~2~＝－8，*y*~1~＋*y*~2~＝2.易知直线*AB*的斜率*k*＝＝1.由两式相减得，()()＋()()＝0，所以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率*e*＝＝ ＝，故选C.
\[答案\] C
\[解题技法\]
1．用"点差法"求解弦中点问题的步骤
2．解有关弦中点问题的注意点
对于弦中点问题，常用"根与系数的关系"或"点差法"求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件*Δ*＞0；在用"点差法"时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
\[题组训练\]
1．已知椭圆：＋*y*^2^＝1，过点*P*的直线与椭圆相交于*A*，*B*两点，且弦*AB*被点*P*平分，则直线*AB*的方程为( )
A．9*x*＋*y*－5＝0 B．9*x*－*y*－4＝0
C．*x*＋9*y*－5＝0 D．*x*－9*y*＋4＝0
解析：选C 设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则有两式作差得()()＋(*y*~2~－*y*~1~)(*y*~2~＋*y*~1~)＝0，因为*x*~2~＋*x*~1~＝1，*y*~2~＋*y*~1~＝1，＝*k~AB~*，代入后求得*k~AB~*＝－，所以弦所在的直线方程为*y*－＝－，即*x*＋9*y*－5＝0.
2．焦点为*F*(0,5)，并截直线*y*＝2*x*－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)．
由题意，可得弦*AB*的中点坐标为，且＝，＝－.
将*A*，*B*两点坐标代入椭圆方程中，得
两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以*a*^2^＝3*b*^2^，又*c*^2^＝*a*^2^－*b*^2^＝50，所以*a*^2^＝75，*b*^2^＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
\[典例\] (2018·北京高考节选)已知椭圆*M*：＋＝1(*a*\>*b*\>0)的离心率为，焦距为2.斜率为*k*的直线*l*与椭圆*M*有两个不同的交点*A*，*B*.
(1)求椭圆*M*的方程；
(2)若*k*＝1，求\|*AB*\|的最大值．
\[解\] (1)由题意得解得*a*＝，*b*＝1.
所以椭圆*M*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)设直线*l*的方程为*y*＝*x*＋*m*，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)．
由得4*x*^2^＋6*mx*＋3*m*^2^－3＝0，
所以*x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝.
所以\|*AB*\|＝()()＝()＝()＝ .
当*m*＝0，即直线*l*过原点时，\|*AB*\|最大，最大值为.
\[解题技法\] 弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则\|*AB*\|＝()()＝ ()(*k*为直线斜率)．
\[提醒\] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
\[题组训练\]
1．已知椭圆＋*y*^2^＝1与直线*y*＝*x*＋*m*交于*A*，*B*两点，且\|*AB*\|＝，则实数*m*的值为
( )
A．±1 B．±
C. D．±
解析：选A 由消去*y*并整理，
得3*x*^2^＋4*mx*＋2*m*^2^－2＝0.
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝.
由题意，得\|*AB*\|＝()＝＝，
解得*m*＝±1.
2．椭圆*E*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左焦点为*F*~1~，右焦点为*F*~2~，离心率*e*＝，过*F*~1~的直线交椭圆于*A*，*B*两点，且△*ABF*~2~的周长为8.
(1)求椭圆*E*的方程；
(2)若直线*AB*的斜率为，求△*ABF*~2~的面积．
解：(1)由题意知，4*a*＝8，所以*a*＝2，
又*e*＝，所以＝，*c*＝1，
所以*b*^2^＝2^2^－1＝3，
所以椭圆*E*的方程为＋＝1.
(2)设直线*AB*的方程为*y*＝(*x*＋1)，
由()得5*x*^2^＋8*x*＝0，
解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝－，
所以*y*~1~＝，*y*~2~＝－.
所以*S*△*ABF*~2~＝*c*·\|*y*~1~－*y*~2~\|＝1×＝.
\[典例\] (2019·长春质检)已知椭圆*C*的两个焦点为*F*~1~(－1,0)，*F*~2~(1,0)，且经过点*E*.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)过*F*~1~的直线*l*与椭圆*C*交于*A*，*B*两点(点*A*位于*x*轴上方)，若＝2，求直线*l*的斜率*k*的值．
\[解\] (1)设椭圆*C*的方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，
由解得
所以椭圆*C*的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*＋1)(*k*＞0)，
联立()整理得*y*^2^－*y*－9＝0，
则*Δ*＝＋144＞0，
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*y*~1~＋*y*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝，
又＝2，所以*y*~1~＝－2*y*~2~，
所以*y*~1~*y*~2~＝－2(*y*~1~＋*y*~2~)^2^，
则3＋4*k*^2^＝8，解得*k*＝±，
又*k*＞0，所以*k*＝.
\[解题技法\] 解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
\[题组训练\]
1．已知*F*~1~，*F*~2~为椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的两个焦点，*B*为椭圆短轴的一个端点，·≥^2^，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 根据题意不妨设*B*(0，*b*)，*F*~1~(－*c,*0)，*F*~2~(*c,*0)，因为·≥^2^，＝(－*c*，－*b*)，＝(*c*，－*b*)，\|*F*~1~*F*~2~\|^2^＝4*c*^2^，所以*b*^2^≥2*c*^2^，又因为*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^，所以*a*^2^≥3*c*^2^，所以0＜≤.
2．已知椭圆*D*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点为*F*，*A*为短轴的一个端点，且\|*OA*\|＝\|*OF*\|，△*AOF*的面积为1(其中*O*为坐标原点)．
(1)求椭圆*D*的标准方程；
(2)过椭圆*D*长轴左端点*C*作直线*l*与直线*x*＝*a*交于点*M*，直线*l*与椭圆*D*的另一交点为*P*，求·的值．
解：(1)因为\|*OA*\|＝\|*OF*\|，所以*b*＝*c*，
又△*AOF*的面积为1，所以*bc*＝1，解得*b*＝*c*＝，
所以*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^＝4，
所以椭圆*D*的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线*MC*的斜率存在，设其方程为*y*＝*k*(*x*＋2)，
代入＋＝1，得(1＋2*k*^2^)*x*^2^＋8*k*^2^*x*＋8*k*^2^－4＝0，
所以*P*.又*M*(2,4*k*)，
所以·＝(2,4*k*)·＝4.
A级
1．(2019·长春二检)椭圆4*x*^2^＋9*y*^2^＝144内有一点*P*(3,2)，则以*P*为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A 设以*P*为中点的弦所在的直线与椭圆交于点*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，斜率为*k*，则4*x*＋9*y*＝144,4*x*＋9*y*＝144，两式相减得4(*x*~1~＋*x*~2~)(*x*~1~－*x*~2~)＋9(*y*~1~＋*y*~2~)(*y*~1~－*y*~2~)＝0，又*x*~1~＋*x*~2~＝6，*y*~1~＋*y*~2~＝4，＝*k*，代入解得*k*＝－.
2．已知直线*y*＝－*x*＋1与椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)相交于*A*，*B*两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段*AB*的长是( )
A. B.
C. D．2
解析：选B 由条件知*c*＝1，*e*＝＝，所以*a*＝，*b*＝1，椭圆方程为＋*y*^2^＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，，所以\|*AB*\|＝.
3．斜率为1的直线*l*与椭圆＋*y*^2^＝1相交于*A*，*B*两点，则\|*AB*\|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
解析：选C 设*A*，*B*两点的坐标分别为(*x*~1~，*y*~1~)，(*x*~2~，*y*~2~)，直线*l*的方程为*y*＝*x*＋*t*，
由消去*y*，得5*x*^2^＋8*tx*＋4(*t*^2^－1)＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－*t*，*x*~1~*x*~2~＝().
∴\|*AB*\|＝\|*x*~1~－*x*~2~\|
＝·()
＝·()
＝·，
当*t*＝0时，\|*AB*\|~max~＝.
4．(2019·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点*F*，与椭圆交于*A*，*B*两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题可知，直线的方程为*y*＝*x*－*c*，与椭圆方程联立得(*b*^2^＋*a*^2^)*y*^2^＋2*b*^2^*cy*－*b*^4^＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则*Δ*＞0.设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则又＝2，∴(*c*－*x*~1~，－*y*~1~)＝2(*x*~2~－*c*，*y*~2~)， ∴－*y*~1~＝2*y*~2~，可得∴＝，∴*e*＝，故选B.
5．已知点*P*是椭圆＋＝1上的动点，*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆的左、右焦点，*O*是坐标原点，若*M*是∠*F*~1~*PF*~2~的平分线上一点，且·＝0，则\|\|的取值范围是( )
A．\[0,3) B．(0,2)
C．\[2，3) D．(0,4\]
解析：选B 如图，延长*F*~1~*M*交*PF*~2~的延长线于点*G*.
∵·＝0，∴⊥.
又*MP*为∠*F*~1~*PF*~2~的平分线，
∴\|*PF*~1~\|＝\|*PG*\|，且*M*为*F*~1~*G*的中点．
∵*O*为*F*~1~*F*~2~中点，∴*OM*綊*F*~2~*G*.
∵\|*F*~2~*G*\|＝\|\|*PF*~2~\|－\|*PG*\|\|＝\|\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|\|，
∴\|\|＝\|2*a*－2\|*PF*~2~\|\|＝\|4－\|*PF*~2~\|\|.
∵4－2\<\|*PF*~2~\|\<4或4\<\|*PF*~2~\|\<4＋2，
∴\|\|∈(0,2)．
6．已知*F*~1~(－1,0)，*F*~2~(1,0)是椭圆*C*的两个焦点，过*F*~2~且垂直于*x*轴的直线交椭圆*C*于*A*，*B*两点，且\|*AB*\|＝3，则椭圆*C*的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知椭圆*C*的焦点在*x*轴上，且*c*＝1，可设椭圆*C*的方程为＋＝1(*a*＞1)，由\|*AB*\|＝3，知点在椭圆上，代入椭圆方程得4*a*^4^－17*a*^2^＋4＝0，所以*a*^2^＝4或*a*^2^＝(舍去)．故椭圆*C*的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知焦点在*x*轴上的椭圆*C*：＋*y*^2^＝1(*a*＞0)，过右焦点作垂直于*x*轴的直线交椭圆于*A*，*B*两点，且\|*AB*\|＝1，则该椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为椭圆＋*y*^2^＝1(*a*＞0)的焦点在*x*轴上，所以*c*＝，又过右焦点且垂直于*x*轴的直线为*x*＝*c*，将其代入椭圆方程中，得＋*y*^2^＝1，则*y*＝± ，又\|*AB*\|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率*e*＝＝.
答案：
8．已知*P*(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过*P*引一条弦，使此弦被*P*点平分，则此弦所在的直线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为*k*，
弦的端点坐标为(*x*~1~，*y*~1~)，(*x*~2~，*y*~2~)，
则＋＝1 ①，＋＝1 ②，
①－②得()()＋()()＝0，
∵*x*~1~＋*x*~2~＝2，*y*~1~＋*y*~2~＝2，
∴＋*y*~1~－*y*~2~＝0，
∴*k*＝＝－.
∴此弦所在的直线方程为*y*－1＝－(*x*－1)，
即*x*＋2*y*－3＝0.
答案：*x*＋2*y*－3＝0
9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆*C*：＋*y*^2^＝1(*a*＞1，*a*∈R)上，过*O*的直线交椭圆*C*于*A*，*B*两点，*F*为椭圆*C*的左焦点．
(1)若△*FAB*的面积的最大值为1，求*a*的值；
(2)若直线*MA*，*MB*的斜率乘积等于－，求椭圆*C*的离心率．
解：(1)因为*S*~△*FAB*~＝\|*OF*\|·\|*y~A~*－*y~B~*\|≤\|*OF*\|＝＝1，所以*a*＝.
(2)由题意可设*A*(*x*~0~，*y*~0~)，*B*(－*x*~0~，－*y*~0~)，*M*(*x*，*y*)，
则＋*y*^2^＝1，＋*y*＝1，
*k~MA~*·*k~MB~*＝·＝＝＝()＝－＝－，
所以*a*^2^＝3，所以*a*＝，所以*c*＝＝，
所以椭圆*C*的离心率*e*＝＝＝.
10．(2019·成都一诊)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点为*F*(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)设经过点*A*(1,0)的直线*l*与椭圆*C*相交于不同的两点*M*，*N*.若点*B*(0,1)在以线段*MN*为直径的圆上，求直线*l*的方程．
解：(1)由题可知*c*＝，＝2，*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，
∴*a*＝2，*b*＝1.
∴椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)易知当直线*l*的斜率为0或直线*l*的斜率不存在时，不合题意．
当直线*l*的斜率存在且不为0时，设直线*l*的方程为*x*＝*my*＋1，*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)．
联立消去*x*，可得(4＋*m*^2^)*y*^2^＋2*my*－3＝0.
*Δ*＝16*m*^2^＋48＞0，*y*~1~＋*y*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝.
∵点*B*在以*MN*为直径的圆上，
∴·＝0.
∵·＝(*my*~1~＋1，*y*~1~－1)·(*my*~2~＋1，*y*~2~－1)＝(*m*^2^＋1)*y*~1~*y*~2~＋(*m*－1)(*y*~1~＋*y*~2~)＋2＝0，
∴(*m*^2^＋1)·＋(*m*－1)·＋2＝0，
整理，得3*m*^2^－2*m*－5＝0，解得*m*＝－1或*m*＝.
∴直线*l*的方程为*x*＋*y*－1＝0或3*x*－5*y*－3＝0.
B级
1．已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，离心率为，点*A*在椭圆*C*上，\|*AF*~1~\|＝2，∠*F*~1~*AF*~2~＝60°，过*F*~2~与坐标轴不垂直的直线*l*与椭圆*C*交于*P*，Q两点，*N*为线段*P*Q的中点．
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)已知点*M*，且*MN*⊥*P*Q，求线段*MN*所在的直线方程．
解：(1)由*e*＝，得*a*＝2*c*，
易知\|*AF*~1~\|＝2，\|*AF*~2~\|＝2*a*－2，
由余弦定理，得\|*AF*~1~\|^2^＋\|*AF*~2~\|^2^－2\|*AF*~1~\|·\|*AF*~2~\|cos *A*＝\|*F*~1~*F*~2~\|^2^，
即4＋(2*a*－2)^2^－2×2×(2*a*－2)×＝*a*^2^，
解得*a*＝2，则*c*＝1，
∴*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝3，
∴椭圆*C*的方程为＋＝1.
(2)设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)，*P*(*x*~1~，*y*~1~)，Q(*x*~2~，*y*~2~)，
联立()整理得(3＋4*k*^2^)*x*^2^－8*k*^2^*x*＋4*k*^2^－12＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝，*y*~1~＋*y*~2~＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~)－2*k*＝，
∴*N*.又*M*，则*k~MN~*＝＝－.
∵*MN*⊥*P*Q，∴*k~MN~*＝－，得*k*＝或，
则*k~MN~*＝－2或*k~MN~*＝－，故直线*MN*的方程为16*x*＋8*y*－1＝0或16*x*＋24*y*－3＝0.
2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系*xOy*中，长为＋1的线段的两端点*C*，*D*分别在*x*轴，*y*轴上滑动，＝ .记点*P*的轨迹为曲线*E*.
(1)求曲线*E*的方程；
(2)经过点(0,1)作直线*l*与曲线*E*相交于*A*，*B*两点，＝＋，当点*M*在曲线*E*上时，求直线*l*的方程．
解：(1)设*C*(*m,*0)，*D*(0，*n*)，*P*(*x*，*y*)．
由＝ ，得(*x*－*m*，*y*)＝(－*x*，*n*－*y*)，
所以()得()
由\|\|＝＋1，得*m*^2^＋*n*^2^＝(＋1)^2^，
所以(＋1)^2^*x*^2^＋()*y*^2^＝(＋1)^2^，
整理，得曲线*E*的方程为*x*^2^＋＝1.
(2)设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，由＝＋，知点*M*的坐标为(*x*~1~＋*x*~2~，*y*~1~＋*y*~2~)．
易知直线*l*的斜率存在，设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋1，代入曲线*E*的方程，得(*k*^2^＋2)*x*^2^＋2*kx*－1＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，
所以*y*~1~＋*y*~2~＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~)＋2＝.
由点*M*在曲线*E*上，知(*x*~1~＋*x*~2~)^2^＋()＝1，
即()＋()＝1，解得*k*^2^＝2，即*k*＝±，
此时直线*l*的方程为*y*＝±*x*＋1.
第七节 双曲线
一、基础知识
1．双曲线的定义
平面内到两个定点*F*~1~，*F*~2~的距离的差的绝对值等于常数2*a*^❶^(2*a*＜\|*F*~1~*F*~2~\|)的点*P*的轨迹叫做双曲线^❷^.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
^❶^当\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝2*a*(2*a*＜\|*F*~1~*F*~2~\|)时，点*P*的轨迹为靠近*F*~2~的双曲线的一支.
当\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝－2*a*(2*a*＜\|*F*~1~*F*~2~\|)时，点*P*的轨迹为靠近*F*~1~的双曲线的一支.
^❷^若2*a*＝2*c*，则轨迹是以*F*~1~，*F*~2~为端点的两条射线；若2*a*＞2*c*，则轨迹不存在；若2*a*＝0，则轨迹是线段*F*~1~*F*~2~的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在*x*轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(*a*＞0，*b*＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在*y*轴上的双曲线的
标准方程为－＝1(*a*＞0，*b*＞0)．
3．双曲线的几何性质
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 标准方程 | －＝1(*a*＞0，*b*＞0) | －＝1(*a*＞0，*b*＞0) |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 范围 | \|*x*\|≥*a*，*y*∈R | \|*y*\|≥*a*，*x*∈R |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 对称性 | 对称轴：*x*轴，*y*轴；对称中心：原点 | |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 焦点 | *F*~1~(－*c,*0)，*F*~2~(*c,*0) | *F*~1~(0，－*c*)，*F*~2~(0，*c*) |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 顶点 | *A*~1~(－*a,*0)，*A*~2~(*a,*0) | *A*~1~(0，－*a*)，*A*~2~(0，*a*) |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 轴 | 线段*A*~1~*A*~2~，*B*~1~*B*~2~分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2*a*，虚轴长为2*b* | |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 焦距 | \|*F*~1~*F*~2~\|＝2*c* | |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 离心率 | *e*＝＝ ∈(1，＋∞) *e*是表示双曲线开口大小的 | |
| | | |
| | 一个量，*e*越大开口越大. | |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| 渐近线 | *y*＝±*x* | *y*＝±*x* |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
| *a*，*b*，*c*的关系 | *a*^2^＝*c*^2^－*b*^2^ | |
+---------------------+------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------+
二、常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝*t*(*t*≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为*b*.
(4)若*P*是双曲线右支上一点，*F*~1~，*F*~2~分别为双曲线的左、右焦点，则\|*PF*~1~\|~min~＝*a*＋*c*，\|*PF*~2~\|~min~＝*c*－*a*.
\[典例\] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为*y*＝±*x*，则该双曲线的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．*x*^2^－＝1 D.－＝1
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于*x*轴的直线与双曲线交于*A*，*B*两点．设*A*，*B*到双曲线的同一条渐近线的距离分别为*d*~1~和*d*~2~，且*d*~1~＋*d*~2~＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
\[解析\] (1)法一：当双曲线的焦点在*x*轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为*x*^2^－＝1；当双曲线的焦点在*y*轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为*x*^2^－＝1，选C.
法二：当其中的一条渐近线方程*y*＝*x*中的*x*＝2时，*y*＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在*x*轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为*x*^2^－＝1，故选C.
法三：因为双曲线的渐近线方程为*y*＝±*x*，即＝±*x*，所以可设双曲线的方程是*x*^2^－＝*λ*(*λ*≠0)，将点(2,3)代入，得*λ*＝1，所以该双曲线的标准方程为*x*^2^－＝1，故选C.
(2)法一：如图，不妨设*A*在*B*的上方，则*A*，*B*.
又双曲线的一条渐近线为*bx*－*ay*＝0，
则*d*~1~＋*d*~2~＝＝＝2*b*
＝6，所以*b*＝3.
又由*e*＝＝2，知*a*^2^＋*b*^2^＝4*a*^2^，所以*a*＝.
所以双曲线的方程为－＝1.
法二：由*d*~1~＋*d*~2~＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以*b*＝3.因为双曲线 －＝1(*a*\>0，*b*\>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得*a*^2^＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
\[答案\] (1)C (2)C
\[题组训练\]
1．已知双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*P*在双曲线的右支上，若\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝4*b*，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.－*y*^2^＝1 B.－＝1
C．*x*^2^－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意可得
解得则该双曲线的标准方程为－*y*^2^＝1.
2．已知双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B．*x*^2^－＝1
C.－＝1 D．*x*^2^－＝1
解析：选A 因为双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的实轴长为4，所以*a*＝2，由离心率为，可得＝，*c*＝2，所以*b*＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.
3．经过点*P*(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设双曲线方程为*mx*^2^＋*ny*^2^＝1(*mn*＜0)，
因为所求双曲线经过点*P*(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程
\[典例\] 已知动圆*M*与圆*C*~1~：(*x*＋4)^2^＋*y*^2^＝2外切，与圆*C*~2~：(*x*－4)^2^＋*y*^2^＝2内切，则动圆圆心*M*的轨迹方程为( )
A.－＝1(*x*≥ ) B.－＝1(*x*≤－)
C.＋＝1(*x*≥ ) D.＋＝1(*x*≤－)
\[解析\] 设动圆的半径为*r*，由题意可得\|*MC*~1~\|＝*r*＋，\|*MC*~2~\|＝*r*－，所以\|*MC*~1~\|－\|*MC*~2~\|＝2＝2*a*，故由双曲线的定义可知动点*M*在以*C*~1~(－4,0)，*C*~2~(4,0)为焦点，实轴长为2*a*＝2的双曲线的右支上，即*a*＝，*c*＝4⇒*b*^2^＝16－2＝14，故动圆圆心*M*的轨迹方程为－＝1(*x*≥ )．
\[答案\] A
\[解题技法\]
利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
考法(二) 焦点三角形问题
\[典例\] 已知*F*~1~，*F*~2~为双曲线*C*：*x*^2^－*y*^2^＝1的左、右焦点，点*P*在*C*上，∠*F*~1~*PF*~2~＝60°，则\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
\[解析\] 由双曲线的方程得*a*＝1，*c*＝，
由双曲线的定义得\|\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|\|＝2.
在△*PF*~1~*F*~2~中，由余弦定理得
\|*F*~1~*F*~2~\|^2^＝\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^－2\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|cos 60°，
即(2)^2^＝\|*PF*~1~\|^2^＋\|*PF*~2~\|^2^－\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|
＝(\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|)^2^＋\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|
＝2^2^＋\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|，
解得\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|＝4.
\[答案\] B
\[解题技法\]
在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及\|*PF*~1~\|，\|*PF*~2~\|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角*θ*已知，则用*S*~△*PF*1*F*2~＝\|*PF*~1~\|\|*PF*~2~\|sin *θ*，＝2*a*及余弦定理等知识；若顶角*θ*未知，则用*S*~△*PF*1*F*2~＝·2*c*·\|*y*~0~\|来解决．
\[题组训练\]
1．已知点*F*~1~(－3,0)和*F*~2~(3,0)，动点*P*到*F*~1~，*F*~2~的距离之差为4，则点*P*的轨迹方程为
( )
A.－＝1(*y*\>0) B.－＝1(*x*\>0)
C.－＝1(*y*\>0) D.－＝1(*x*\>0)
解析：选B 由题设知点*P*的轨迹方程是焦点在*x*轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(*x*\>0，*a*\>0，*b*\>0)，由题设知*c*＝3，*a*＝2，*b*^2^＝9－4＝5，所以点*P*的轨迹方程为－＝1(*x*\>0)．
2．已知双曲线*x*^2^－＝1的两个焦点为*F*~1~，*F*~2~，*P*为双曲线右支上一点．若\|*PF*~1~\|＝\|*PF*~2~\|，则△*F*~1~*PF*~2~的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B 由双曲线的定义可得
\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝\|*PF*~2~\|＝2*a*＝2，
解得\|*PF*~2~\|＝6，故\|*PF*~1~\|＝8，又\|*F*~1~*F*~2~\|＝10，
由勾股定理可知三角形*PF*~1~*F*~2~为直角三角形，
因此*S*~△*F*1*PF*2~＝\|*PF*~1~\|·\|*PF*~2~\|＝24.
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
\[典例\] (2018·长春二测)已知双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*P*在双曲线的右支上，且\|*PF*~1~\|＝4\|*PF*~2~\|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2\] D.
\[解析\] 由双曲线的定义可知\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝2*a*，又\|*PF*~1~\|＝4\|*PF*~2~\|，所以\|*PF*~2~\|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为*c*－*a*，可得≥*c*－*a*，解得≤， 即*e*≤，又双曲线的离心率*e*＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.
\[答案\] B
\[解题技法\]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求*a*，*b*，*c*的值，由＝＝1＋直接求*e*.
(2)列出含有*a*，*b*，*c*的齐次方程(或不等式)，借助于*b*^2^＝*c*^2^－*a*^2^消去*b*，然后转化成关于*e*的方程(或不等式)求解．
2．求离心率的口诀归纳
离心率，不用愁，寻找等式消*b*求；
几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
考法(二) 求双曲线的渐近线方程
\[典例\] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线*C*：－＝1(*m*＞0，*n*＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线*C*的渐近线方程为( )
A．4*x*±3*y*＝0
B．3*x*±4*y*＝0
C．4*x*±3*y*＝0或3*x*±4*y*＝0
D．4*x*±5*y*＝0或5*x*±4*y*＝0
\[解析\] 由题意知，椭圆中*a*＝5，*b*＝4，∴椭圆的离心率*e*＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为*y*＝±*x*＝±*x*，即4*x*±3*y*＝0.故选A.
\[答案\] A
\[解题技法\] 求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)或－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得*y*＝±*x*；或令－＝0，得*y*＝±*x*.反之，已知渐近线方程为*y*＝±*x*，可设双曲线方程为－＝*λ*(*a*＞0，*b*＞0，*λ*≠0)．
\[题组训练\]
1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选C 由题意知双曲线的焦点(*c,*0)到渐近线*bx*－*ay*＝0的距离为＝*b*＝，即*c*^2^－*a*^2^＝3，又*e*＝＝2，所以*a*＝1，该双曲线的实轴的长为2*a*＝2.
2．已知直线*l*是双曲线*C*：－＝1的一条渐近线，*P*是直线*l*上一点，*F*~1~，*F*~2~是双曲线*C*的左、右焦点，若·＝0，则点*P*到*x*轴的距离为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为*F*~1~(－，0)，*F*~2~(，0)，不妨设直线*l*的方程为*y*＝*x*，设*P*(*x*~0~，*x*~0~)．由·＝(－－*x*~0~，－*x*~0~)·(－*x*~0~，－*x*~0~)＝3*x*－6＝0，得*x*~0~＝±，故点*P*到*x*轴的距离为\|*x*~0~\|＝2，故选C.
3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线*E*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，长方形*ABCD*的顶点*A*，*B*分别为双曲线*E*的左、右焦点，且点*C*，*D*在双曲线*E*上，若\|*AB*\|＝6，\|*BC*\|＝，则双曲线*E*的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据\|*AB*\|＝6可知*c*＝3，又\|*BC*\|＝，所以＝，*b*^2^＝*a*，所以*c*^2^＝*a*^2^＋*a*＝9，解得*a*＝2(舍负)，所以*e*＝＝.
4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(*m*＞0)的一个焦点在直线*x*＋*y*＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．*y*＝±*x* B．*y*＝±*x*
C．*y*＝±*x* D．*y*＝±*x*
解析：选B 由双曲线－＝1(*m*＞0)的焦点在*y*轴上，且在直线*x*＋*y*＝5上，直线*x*＋*y*＝5与*y*轴的交点为(0,5)，
有*c*＝5，则*m*＋9＝25，得*m*＝16，
所以双曲线的方程为－＝1，
故双曲线的渐近线方程为*y*＝±*x*.故选B.
A级
1．(2019·襄阳联考)直线*l*：4*x*－5*y*＝20经过双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线*C*的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知直线*l*与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而*c*＝5，*b*＝4，∴*a*＝3，双曲线*C*的离心率*e*＝＝.
2．设*F*~1~，*F*~2~分别是双曲线*x*^2^－＝1的左、右焦点，若点*P*在双曲线上，且\|*PF*~1~\|＝6，则\|*PF*~2~\|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4或8
解析：选D 由双曲线的标准方程可得*a*＝1，则\|\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|\|＝2*a*＝2，即\|6－\|*PF*~2~\|\|＝2，解得\|*PF*~2~\|＝4或8.
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线*C*：－＝1(*a*\>0，*b*\>0)的离心率为，则点(4,0)到*C*的渐近线的距离为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D ∵*e*＝＝＝，∴＝1.
∴双曲线的渐近线方程为*x*±*y*＝0.
∴点(4,0)到*C*的渐近线的距离*d*＝＝2.
4．若实数*k*满足0＜*k*＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由0\<*k*\<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在*x*轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．
5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系*xOy*中，已知双曲线*C*~1~：2*x*^2^－*y*^2^＝1，过*C*~1~的左顶点引*C*~1~的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及*x*轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设双曲线*C*~1~的左顶点为*A*，则*A*，双曲线的渐近线方程为*y*＝±*x*，不妨设题中过点*A*的直线与渐近线*y*＝*x*平行，则该直线的方程为*y*＝，即*y*＝*x*＋1.联立解得所以该直线与另一条渐近线及*x*轴所围成的三角形的面积*S*＝·\|*OA*\|·＝××＝，故选C.
6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系*xOy*中，已知双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的离心率为，从双曲线*C*的右焦点*F*引渐近线的垂线，垂足为*A*，若△*AFO*的面积为1，则双曲线*C*的方程为( )
A.－＝1 B.－*y*^2^＝1
C.－＝1 D．*x*^2^－＝1
解析：选D 因为双曲线*C*的右焦点*F*到渐近线的距离\|*FA*\|＝*b*，\|*OA*\|＝*a*，所以*ab*＝2，又双曲线*C*的离心率为，所以 ＝，即*b*^2^＝4*a*^2^，解得*a*^2^＝1，*b*^2^＝4，所以双曲线*C*的方程为*x*^2^－＝1，故选D.
7．(2018·北京高考)若双曲线－＝1(*a*\>0)的离心率为，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由*e*＝＝ ，得＝，
∴*a*^2^＝16.
∵*a*\>0，∴*a*＝4.
答案：4
8．过双曲线*x*^2^－＝1的右焦点且与*x*轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于*A*，*B*两点，则\|*AB*\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：双曲线的右焦点为*F*(2,0)，过*F*与*x*轴垂直的直线为*x*＝2，渐近线方程为*x*^2^－＝0，将*x*＝2代入*x*^2^－＝0，得*y*^2^＝12，*y*＝±2，故\|*AB*\|＝4.
答案：4
9．(2018·海淀期末)双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的渐近线为正方形*OABC*的边*OA*，*OC*所在的直线，点*B*为该双曲线的焦点．若正方形*OABC*的边长为2，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为*y*＝±*x*，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形*OABC*的边长为2，所以*c*＝2，所以*a*^2^＋*b*^2^＝*c*^2^＝(2)^2^，解得*a*＝2.
答案：2
10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的右焦点为*F*，过点*F*作圆(*x*－*a*)^2^＋*y*^2^＝的切线，若该切线恰好与*C*的一条渐近线垂直，则双曲线*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为*y*＝*x*，由题意可知该切线方程为*y*＝－(*x*－*c*)，即*ax*＋*by*－*ac*＝0.圆(*x*－*a*)^2^＋*y*^2^＝的圆心为(*a,*0)，半径为，则圆心到切线的距离*d*＝＝＝，又*e*＝，则*e*^2^－4*e*＋4＝0，解得*e*＝2，所以双曲线*C*的离心率*e*＝2.
答案：2
11．已知双曲线的中心在原点，焦点*F*~1~，*F*~2~在坐标轴上，离心率为，且过点(4， －)，点*M*(3，*m*)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△*F*~1~*MF*~2~的面积．
解：(1)∵*e*＝，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为*x*^2^－*y*^2^＝*λ*.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝*λ*，即*λ*＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设*F*~1~，*F*~2~分别为双曲线的左、右焦点，
则＝(－2－3，－*m*)，＝(2－3，－*m*)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋*m*^2^＝－3＋*m*^2^，
∵*M*点在双曲线上，
∴9－*m*^2^＝6，即*m*^2^－3＝0，
∴·＝0.
(3)△*F*~1~*MF*~2~的底边长\|*F*~1~*F*~2~\|＝4.
由(2)知*m*＝±.
∴△*F*~1~*MF*~2~的高*h*＝\|*m*\|＝，
∴*S*△*F*~1~*MF*~2~＝×4×＝6.
12．中心在原点，焦点在*x*轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点*F*~1~，*F*~2~，且\|*F*~1~*F*~2~\|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若*P*为这两曲线的一个交点，求cos∠*F*~1~*PF*~2~的值．
解：(1)由题知*c*＝，设椭圆方程为＋＝1(*a*\>*b*\>0)，双曲线方程为－＝1(*m*\>0，*n*\>0)，
则
解得*a*＝7，*m*＝3.则*b*＝6，*n*＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设*F*~1~，*F*~2~分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，*P*是第一象限的交点，
则\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝14，\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝6，
所以\|*PF*~1~\|＝10，\|*PF*~2~\|＝4.
又\|*F*~1~*F*~2~\|＝2，
所以cos∠*F*~1~*PF*~2~＝＝()＝.
B级
1．已知圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝的一条切线*y*＝*kx*与双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)有两个交点，则双曲线*C*的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1,2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线*kx*－*y*＝0的距离*d*＝＝，∴*k*＝±，
由题意知＞，∴1＋＞4，即＝＞4，∴*e*＞2.
2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，直线*l*过点*F*~1~且与双曲线*C*的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于*M*，*N*两点，若\|*NF*~1~\|＝2\|*MF*~1~\|，则双曲线*C*的渐近线方程为( )
A．*y*＝±*x* B．*y*＝±*x*
C．*y*＝±*x* D．*y*＝±*x*
解析：选B ∵\|*NF*~1~\|＝2\|*MF*~1~\|，∴*M*为*NF*~1~的中点，
又*OM*⊥*F*~1~*N*，∴∠*F*~1~*OM*＝∠*NOM*，
又∠*F*~1~*OM*＝∠*F*~2~*ON*，∴∠*F*~2~*ON*＝60°，
∴双曲线*C*的渐近线的斜率*k*＝±tan 60°＝±，
即双曲线*C*的渐近线方程为*y*＝±*x*.故选B.
3．设*A*，*B*分别为双曲线－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线*y*＝*x*－2与双曲线的右支交于*M*，*N*两点，且在双曲线的右支上存在点*D*，使＋＝*t*，求*t*的值及点*D*的坐标．
解：(1)由题意知*a*＝2，
∵一条渐近线为*y* ＝*x*，∴*bx*－*ay*＝0.
由焦点到渐近线的距离为，得＝.
又∵*c*^2^＝*a*^2^＋*b*^2^，∴*b*^2^＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，*D*(*x*~0~，*y*~0~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝*tx*~0~，*y*~1~＋*y*~2~＝*ty*~0~.
将直线方程*y*＝*x*－2代入双曲线方程－＝1得
*x*^2^－16*x*＋84＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝16，*y*~1~＋*y*~2~＝(*x*~1~＋*x*~2~)－4＝12.
∴解得
∴*t*＝4，点*D*的坐标为(4，3)．
第八节 抛物线
一、基础知识
1．抛物线的定义
平面内与一个定点*F*和一条定直线*l*(点*F*不在直线*l*上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点*F*叫做抛物
线的焦点，定直线*l*叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 标准 | *y*^2^＝2*px*(*p*＞0) | *y*^2^＝－2*px*(*p*＞0) | *x*^2^＝2*py*(*p*\>0) | *x*^2^＝－2*py*(*p*\>0) |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 方程 | *p*的几何意义：焦点*F*到准线*l*的距离 | | | |
| | | | | |
| 图形 | | | | |
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| |  |  |  |  |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 顶点 | *O*(0,0) | | | |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 对称轴 | *x*轴 | *y*轴 | | |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 焦点 | *F* | *F* | *F* | *F* |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 离心率 | *e*＝1 | | | |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 准线方程 | *x*＝－ | *x*＝ | *y*＝－ | *y*＝ |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 范围 | *x*≥0，*y*∈R | *x*≤0，*y*∈R | *y*≥0，*x*∈R | *y*≤0，*x*∈R |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 开口方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
| 焦半径(其中*P*(*x*~0~，*y*~0~)) | \|*PF*\|＝*x*~0~＋ | \|*PF*\|＝－*x*~0~＋ | \|*PF*\|＝*y*~0~＋ | \|*PF*\|＝－*y*~0~＋ |
+---------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+--------------------------------------+
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设*AB*是过抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)焦点*F*的弦，若*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，*α*为弦*AB*的倾斜角．则
(1)*x*~1~*x*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝－*p*^2^.
(2)\|*AF*\|＝，\|*BF*\|＝.
(3)弦长\|*AB*\|＝*x*~1~＋*x*~2~＋*p*＝.
(4)＋＝.
(5)以弦*AB*为直径的圆与准线相切．
\[典例\] (1)若抛物线*y*^2^＝4*x*上一点*P*到其焦点*F*的距离为2，*O*为坐标原点，则△*OFP*的面积为( )
A. B．1
C. D．2
(2)设*P*是抛物线*y*^2^＝4*x*上的一个动点，若*B*(3,2)，则\|*PB*\|＋\|*PF*\|的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)设*P*(*x~P~*，*y~P~*)，由题可得抛物线焦点为*F*(1,0)，准线方程为*x*＝－1.
又点*P*到焦点*F*的距离为2，
∴由定义知点*P*到准线的距离为2.
∴*x~P~*＋1＝2，∴*x~P~*＝1.
代入抛物线方程得\|*y~P~*\|＝2，
∴△*OFP*的面积为*S*＝·\|*OF*\|·\|*y~P~*\|＝×1×2＝1.
(2)如图，过点*B*作*B*Q垂直准线于点Q，交抛物线于点*P*~1~，则\|*P*~1~Q\|＝\|*P*~1~*F*\|.则有\|*PB*\|＋\|*PF*\|≥\|*P*~1~*B*\|＋\|*P*~1~Q\|＝\|*B*Q\|＝4，即\|*PB*\|＋\|*PF*\|的最小值为4.
\[答案\] (1)B (2)4
\[变透练清\]
1．若抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)上的点*A*(*x*~0~，)到其焦点的距离是*A*到*y*轴距离的3倍，则*p*等于( )
A. B．1
C. D．2
解析：选D 由抛物线*y*^2^＝2*px*知其准线方程为*x*＝－.又点*A*到准线的距离等于点*A*到焦点的距离，∴3*x*~0~＝*x*~0~＋，∴*x*~0~＝，∴*A*.∵点*A*在抛物线*y*^2^＝2*px*上，∴＝2.∵*p*＞0，∴*p*＝2.故选D.
2.()若将本例(2)中的*B*点坐标改为(3,4)，则\|*PB*\|＋\|*PF*\|的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
因为\|*PB*\|＋\|*PF*\|的最小值即为*B*，*F*两点间的距离，
所以\|*PB*\|＋\|*PF*\|≥\|*BF*\|＝＝＝2，
即\|*PB*\|＋\|*PF*\|的最小值为2.
答案：2
3．已知抛物线方程为*y*^2^＝4*x*，直线*l*的方程为*x*－*y*＋5＝0，在抛物线上有一动点*P*到*y*轴的距离为*d*~1~，到直线*l*的距离为*d*~2~，则*d*~1~＋*d*~2~的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知，抛物线的焦点为*F*(1,0)．
点*P*到*y*轴的距离*d*~1~＝\|*PF*\|－1，
所以*d*~1~＋*d*~2~＝*d*~2~＋\|*PF*\|－1.
易知*d*~2~＋\|*PF*\|的最小值为点*F*到直线*l*的距离，
故*d*~2~＋\|*PF*\|的最小值为()＝3，
所以*d*~1~＋*d*~2~的最小值为3－1.
答案：3－1
\[解题技法\] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出"两点之间线段最短"，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用"与直线上所有点的连线中，垂线段最短"解决．
\[典例\] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点*P*(－4，－2)的抛物线的标准方程是
( )
A．*y*^2^＝－*x* B．*x*^2^＝－8*y*
C．*y*^2^＝－8*x*或*x*^2^＝－*y* D．*y*^2^＝－*x*或*x*^2^＝－8*y*
(2)(2018·北京高考)已知直线*l*过点(1,0)且垂直于*x*轴，若*l*被抛物线*y*^2^＝4*ax*截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)(待定系数法)设抛物线为*y*^2^＝*mx*，代入点*P*(－4，－2)，解得*m*＝－1，则抛物线方程为*y*^2^＝－*x*；设抛物线为*x*^2^＝*ny*，代入点*P*(－4，－2)，解得*n*＝－8，则抛物线方程为*x*^2^＝－8*y*.
(2)由题知直线*l*的方程为*x*＝1，
则直线与抛物线的交点为(1，±2)(*a*\>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4＝4，即*a*＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
\[答案\] (1)D (2)(1,0)
\[解题技法\]
1．求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数*p*)，那么只需求出*p*即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在*x*轴上的抛物线的标准方程可统一设为*y*^2^＝*ax*(*a*≠0)，*a*的正负由题设来定；焦点在*y*轴上的抛物线的标准方程可设为*x*^2^＝*ay*(*a*≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
(2)注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数*p*的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
\[题组训练\]
1．(2019·哈尔滨模拟)过点*F*(40,3)且和直线*y*＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．*y*^2^＝12*x* B．*y*^2^＝－12*x*
C．*x*^2^＝－12*y* D．*x*^2^＝12*y*
解析：选D 由抛物线的定义知，过点*F*(0,3)且和直线*y*＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点*F*(0,3)为焦点，直线*y*＝－3为准线的抛物线，故其方程为*x*^2^＝12*y*.
2．若双曲线*C*：2*x*^2^－*y*^2^＝*m*(*m*＞0)与抛物线*y*^2^＝16*x*的准线交于*A*，*B*两点，且\|*AB*\|＝4，则*m*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*y*^2^＝16*x*的准线*l*：*x*＝－4，
因为*C*与抛物线*y*^2^＝16*x*的准线*l*：*x*＝－4交于*A*，*B*两点，\|*AB*\|＝4，
设*A*在*x*轴上方，
所以*A*(－4,2)，*B*(－4，－2)，
将*A*点坐标代入双曲线方程得2×(－4)^2^－(2)^2^＝*m*，
所以*m*＝20.
答案：20
3．已知抛物线*x*^2^＝2*py*(*p*＞0)的焦点为*F*，点*P*为抛物线上的动点，点*M*为其准线上的动点，若△*FPM*为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由△*FPM*为等边三角形，得\|*PM*\|＝\|*PF*\|，由抛物线的定义得*PM*垂直于抛物线的准线，设*P*，则点*M*，因为焦点*F*，△*FPM*是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为*x*^2^＝4*y*.
答案：*x*^2^＝4*y*
考法(一) 直线与抛物线的交点问题
\[典例\] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线*C*：*x*^2^＝2*py*(*p*＞0)和定点*M*(0,1)，设过点*M*的动直线交抛物线*C*于*A*，*B*两点，抛物线*C*在*A*，*B*处的切线的交点为*N*.若*N*在以*AB*为直径的圆上，则*p*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] 设直线*AB*：*y*＝*kx*＋1，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
将直线*AB*的方程代入抛物线*C*的方程得*x*^2^－2*pkx*－2*p*＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝2*pk*，*x*~1~*x*~2~＝－2*p*.
由*x*^2^＝2*py*得*y*′＝，
则*A*，*B*处的切线斜率的乘积为＝－，
∵点*N*在以*AB*为直径的圆上，∴*AN*⊥*BN*，
∴－＝－1，∴*p*＝2.
\[答案\] 2
\[解题技法\] 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
考法(二) 抛物线的焦点弦问题
\[典例\] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线*C*：*y*^2^＝4*x*的焦点为*F*，过*F*且斜率为*k*(*k*\>0)的直线*l*与*C*交于*A*，*B*两点，\|*AB*\|＝8.
(1)求*l*的方程；
(2)求过点*A*，*B*且与*C*的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得*F*(1,0)，*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)(*k*\>0)．
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
由()得*k*^2^*x*^2^－(2*k*^2^＋4)*x*＋*k*^2^＝0.
*Δ*＝16*k*^2^＋16\>0，故*x*~1~＋*x*~2~＝.
所以\|*AB*\|＝\|*AF*\|＋\|*BF*\|＝(*x*~1~＋1)＋(*x*~2~＋1)＝.
由题设知＝8，解得*k*＝1或*k*＝－1(舍去)．
因此*l*的方程为*y*＝*x*－1.
(2)由(1)得*AB*的中点坐标为(3,2)，
所以*AB*的垂直平分线方程为*y*－2＝－(*x*－3)，
即*y*＝－*x*＋5.
设所求圆的圆心坐标为(*x*~0~，*y*~0~)，
则()()
解得或
因此所求圆的方程为(*x*－3)^2^＋(*y*－2)^2^＝16或(*x*－11)^2^＋(*y*＋6)^2^＝144.
\[解题技法\]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式\|*AB*\|＝*x*~1~＋*x*~2~＋*p*，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用"设而不求"、"整体代入"等解法．
\[提醒\] 涉及弦的中点、斜率时一般用"点差法"求解．
\[题组训练\]
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线*C*：*y*^2^＝4*x*的焦点为*F*，过点(－2,0)且斜率为的直线与*C*交于*M*，*N*两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 由题意知直线*MN*的方程为*y*＝(*x*＋2)，
联立()解得或
不妨设*M*(1,2)，*N*(4,4)．
又∵抛物线焦点为*F*(1,0)，
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
2．已知抛物线*y*^2^＝16*x*的焦点为*F*，过*F*作一条直线交抛物线于*A*，*B*两点，若\|*AF*\|＝6，则\|*BF*\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：不妨设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)(*A*在*B*上方)，根据焦半径公式\|*AF*\|＝*x*~1~＋＝*x*~1~＋4＝6，所以*x*~1~＝2，*y*~1~＝4，所以直线*AB*的斜率为*k*＝＝－2，所以直线方程为*y*＝－2(*x*－4)，与抛物线方程联立得*x*^2^－10*x*＋16＝0，即(*x*－2)(*x*－8)＝0，所以*x*~2~＝8，故\|*BF*\|＝8＋4＝12.
答案：12
A级
1．(2018·永州三模)已知抛物线*y*＝*px*^2^(其中*p*为常数)过点*A*(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由抛物线*y*＝*px*^2^(其中*p*为常数)过点*A*(1,3)，可得*p*＝3，则抛物线的标准方程为*x*^2^＝*y*，则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.
2．过点*P*(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．*y*^2^＝－*x*或*x*^2^＝*y*
B．*y*^2^＝*x*或*x*^2^＝*y*
C．*y*^2^＝*x*或*x*^2^＝－*y*
D．*y*^2^＝－*x*或*x*^2^＝－*y*
解析：选A 设抛物线的标准方程为*y*^2^＝*kx*或*x*^2^＝*my*，代入点*P*(－2,3)，解得*k*＝－，*m*＝，所以*y*^2^＝－*x*或*x*^2^＝*y*.
3．(2019·龙岩质检)若直线*AB*与抛物线*y*^2^＝4*x*交于*A*，*B*两点，且*AB*⊥*x*轴，\|*AB*\|＝4，则抛物线的焦点到直线*AB*的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 由\|*AB*\|＝4及*AB*⊥*x*轴，不妨设点*A*的纵坐标为2，代入*y*^2^＝4*x*得点*A*的横坐标为2，从而直线*AB*的方程为*x*＝2.又*y*^2^＝4*x*的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线*AB*的距离为2－1＝1，故选A.
4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线*C*：*y*＝的焦点为*F*，*A*(*x*~0~，*y*~0~)是*C*上一点，且\|*AF*\|＝2*y*~0~，则*x*~0~＝( )
A．2 B．±2
C．4 D．±4
解析：选D 由*y*＝，得抛物线的准线为*y*＝－2，由抛物线的几何意义可知，\|*AF*\|＝2*y*~0~＝2＋*y*~0~，得*y*~0~＝2，所以*x*~0~＝±4，故选D.
5．(2019·湖北五校联考)直线*l*过抛物线*y*^2^＝－2*px*(*p*＞0)的焦点，且与该抛物线交于*A*，*B*两点，若线段*AB*的长是8，*AB*的中点到*y*轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．*y*^2^＝－12*x* B．*y*^2^＝－8*x*
C．*y*^2^＝－6*x* D．*y*^2^＝－4*x*
解析：选B 设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，根据抛物线的定义可知\|*AB*\|＝－(*x*~1~＋*x*~2~)＋*p*＝8.又*AB*的中点到*y*轴的距离为2，∴－＝2，∴*x*~1~＋*x*~2~＝－4，∴*p*＝4，∴所求抛物线的方程为*y*^2^＝－8*x*.故选B.
6．已知点*A*(0,2)，抛物线*C*~1~：*y*^2^＝*ax*(*a*＞0)的焦点为*F*，射线*FA*与抛物线*C*相交于点*M*，与其准线相交于点*N*.若\|*FM*\|∶\|*MN*\|＝1∶，则*a*的值为( )
A. B.
C．1 D．4
解析：选D 依题意，点*F*的坐标为，设点*M*在准线上的射影为*K*，由抛物线的定义知\|*MF*\|＝\|*MK*\|，\|*KM*\|∶\|*MN*\|＝1∶，则\|*KN*\|∶\|*KM*\|＝2∶1.∵*k~FN~*＝＝－，*k~FN~*＝－＝－2，∴＝2，解得*a*＝4.
7．抛物线*x*^2^＝－10*y*的焦点在直线2*mx*＋*my*＋1＝0上，则*m*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：抛物线的焦点为，代入直线方程2*mx*＋*my*＋1＝0，可得*m*＝.
答案：
8．(2019·沈阳质检)已知正三角形*AOB*(*O*为坐标原点)的顶点*A*，*B*在抛物线*y*^2^＝3*x*上，则△*AOB*的边长是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：如图，设△*AOB*的边长为*a*，则*A*，∵点*A*在抛物线*y*^2^＝3*x*上，∴*a*^2^＝3×*a*，∴*a*＝6.
答案：6
9．(2018·广州一模)已知抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点*F*与双曲线－*y*^2^＝1的右焦点重合，若*A*为抛物线在第一象限上的一点，且\|*AF*\|＝3，则直线*AF*的斜率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：∵双曲线－*y*^2^＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为*y*^2^＝8*x*，∵\|*AF*\|＝3，∴*x~A~*＋2＝3，得*x~A~*＝1，代入抛物线方程可得*y~A~*＝±2.∵点*A*在第一象限，∴*A*(1,2)，
∴直线*AF*的斜率为＝－2.
答案：－2
10．已知抛物线*y*^2^＝4*x*，过焦点*F*的直线与抛物线交于*A*，*B*两点，过*A*，*B*分别作*y*轴的垂线，垂足分别为*C*，*D*，则\|*AC*\|＋\|*BD*\|的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知*F*(1,0)，\|*AC*\|＋\|*BD*\|＝\|*AF*\|＋\|*FB*\|－2＝\|*AB*\|－2，即\|*AC*\|＋\|*BD*\|取得最小值时当且仅当\|*AB*\|取得最小值．依抛物线定义知当\|*AB*\|为通径，即\|*AB*\|＝2*p*＝4时为最小值，所以\|*AC*\|＋\|*BD*\|的最小值为2.
答案：2
11．已知抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*\>0)的焦点为*F*，*A*是抛物线上横坐标为4，且位于*x*轴上方的点，*A*到抛物线准线的距离等于5，过*A*作*AB*垂直于*y*轴，垂足为*B*，*OB*的中点为*M*.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过*M*作*MN*⊥*FA*，垂足为*N*，求点*N*的坐标．
解：(1)抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的准线为*x*＝－，
于是4＋＝5，∴*p*＝2.
∴抛物线方程为*y*^2^＝4*x*.
(2)∵点*A*的坐标是(4,4)，
由题意得*B*(0,4)，*M*(0,2)．
又∵*F*(1,0)，∴*k~FA~*＝，
∵*MN*⊥*FA*，∴*k~MN~*＝－.
∴*FA*的方程为*y*＝(*x*－1)，①
*MN*的方程为*y*－2＝－*x*，②
联立①②，解得*x*＝，*y*＝，
∴点*N*的坐标为.
12．已知抛物线*C*：*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点为*F*，抛物线*C*与直线*l*~1~：*y*＝－*x*的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线*C*的方程；
(2)不过原点的直线*l*~2~与*l*~1~垂直，且与抛物线交于不同的两点*A*，*B*，若线段*AB*的中点为*P*，且\|*OP*\|＝\|*PB*\|，求△*FAB*的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)^2^＝2*p*×8，∴2*p*＝8，
∴抛物线*C*的方程为*y*^2^＝8*x*.
(2)直线*l*~2~与*l*~1~垂直，故可设直线*l*~2~：*x*＝*y*＋*m*，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，且直线*l*~2~与*x*轴的交点为*M*.
由得*y*^2^－8*y*－8*m*＝0，
*Δ*＝64＋32*m*＞0，∴*m*＞－2.
*y*~1~＋*y*~2~＝8，*y*~1~*y*~2~＝－8*m*，
∴*x*~1~*x*~2~＝＝*m*^2^.
由题意可知*OA*⊥*OB*，即*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝*m*^2^－8*m*＝0，
∴*m*＝8或*m*＝0(舍去)，∴直线*l*~2~：*x*＝*y*＋8，*M*(8,0)．
故*S*~△*FAB*~＝*S*~△*FMB*~＋*S*~△*FMA*~＝·\|*FM*\|·\|*y*~1~－*y*~2~\|＝3()＝24.
B级
1．设抛物线*C*：*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点为*F*，准线为*l*，*M*∈*C*，以*M*为圆心的圆*M*与准线*l*相切于点Q，Q点的纵坐标为*p*，*E*(5,0)是圆*M*与*x*轴不同于*F*的另一个交点，则*p*＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 如图，抛物线*C*：*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点*F*，由Q点的纵坐标为*p*知*M*点的纵坐标为*p*，则*M*点的横坐标*x*＝，即*M*.由题意知点*M*是线段*EF*的垂直平分线上的点，＝＋，解得*p*＝2.故选B.
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点*M*(－1,1)和抛物线*C*：*y*^2^＝4*x*，过*C*的焦点且斜率为*k*的直线与*C*交于*A*，*B*两点．若∠*AMB*＝90°，则*k*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：设点*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则∴*y*－*y*＝4(*x*~1~－*x*~2~)，
∴*k*＝＝.
设*AB*中点*M*′(*x*~0~，*y*~0~)，抛物线的焦点为*F*，分别过点*A*，*B*作准线*x*＝－1的垂线，垂足为*A*′，*B*′，
则\|*MM*′\|＝\|*AB*\|＝(\|*AF*\|＋\|*BF*\|)
＝(\|*AA*′\|＋\|*BB*′\|)．
∵*M*′(*x*~0~，*y*~0~)为*AB*的中点，
∴*M*为*A*′*B*′的中点，∴*MM*′平行于*x*轴，
∴*y*~1~＋*y*~2~＝2，∴*k*＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为*F*(1,0)，
设直线方程为*y*＝*k*(*x*－1)，
直线方程与*y*^2^＝4*x*联立，消去*y*，
得*k*^2^*x*^2^－(2*k*^2^＋4)*x*＋*k*^2^＝0.
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~*x*~2~＝1，*x*~1~＋*x*~2~＝.
由*M*(－1,1)，得＝(－1－*x*~1,~1－*y*~1~)，
＝(－1－*x*~2,~1－*y*~2~)．
由∠*AMB*＝90°，得·＝0，
∴(*x*~1~＋1)(*x*~2~＋1)＋(*y*~1~－1)(*y*~2~－1)＝0，
∴*x*~1~*x*~2~＋(*x*~1~＋*x*~2~)＋1＋*y*~1~*y*~2~－(*y*~1~＋*y*~2~)＋1＝0.
又*y*~1~*y*~2~＝*k*(*x*~1~－1)·*k*(*x*~2~－1)＝*k*^2^\[*x*~1~*x*~2~－(*x*~1~＋*x*~2~)＋1\]，*y*~1~＋*y*~2~＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~－2)，
∴1＋＋1＋*k*^2^－*k*＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得*k*＝2.
答案：2
3．(2019·洛阳模拟)已知抛物线*C*：*x*^2^＝2*py*(*p*＞0)，过焦点*F*的直线交*C*于*A*，*B*两点，*D*是抛物线的准线*l*与*y*轴的交点．
(1)若*AB*∥*l*，且△*ABD*的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设*M*为*AB*的中点，过*M*作*l*的垂线，垂足为*N*.证明：直线*AN*与抛物线相切．
解：(1)∵*AB*∥*l*，∴\|*FD*\|＝*p*，\|*AB*\|＝2*p*.
∴*S*~△*ABD*~＝*p*^2^，∴*p*＝1，
故抛物线*C*的方程为*x*^2^＝2*y*.
(2)设直线*AB*的方程为*y*＝*kx*＋，
由得*x*^2^－2*kpx*－*p*^2^＝0.
∴*x*~1~＋*x*~2~＝2*kp*，*x*~1~*x*~2~＝－*p*^2^.
其中*A*，*B*.
∴*M*，*N*.
∴*k~AN~*＝＝＝＝＝.
又*x*^2^＝2*py*，∴*y*′＝.
∴抛物线*x*^2^＝2*py*在点*A*处的切线斜率*k*＝.
∴直线*AN*与抛物线相切．
第九节 曲线与方程
一、基础知识
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线*C*上的点与一个二元方程*f*(*x*，*y*)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线^❶^.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系^❷^，用有序实数对(*x*，*y*)表示曲线上任意一点*M*的坐标；
(2)写出适合条件*p*的点*M*的集合*P*＝{*M*\|*p*(*M*)}^❸^；
(3)用坐标表示条件*p*(*M*)，列出方程*f*(*x*，*y*)＝0；
(4)化方程*f*(*x*，*y*)＝0为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
 (1)如果曲线*C*的方程是*f*(*x*，*y*)＝0, 那么点*P*~0~(*x*~0~，*y*~0~)在曲线*C*上的充要条件是*f*(*x*~0~，*y*~0~)＝0.
(2)"曲线*C*是方程*f*(*x*，*y*)＝0的曲线"是"曲线*C*上的点的坐标都是方程*f*(*x*，*y*)＝0的解"的充分不必要条件.
坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
考点一 直接法求轨迹方程
1．已知点*F*(0,1)，直线*l*：*y*＝－1，*P*为平面上的动点，过点*P*作直线*l*的垂线，垂足为*Q*，且·＝·，则动点*P*的轨迹*C*的方程为( )
A．*x*^2^＝4*y* B．*y*^2^＝3*x*
C．*x*^2^＝2*y* D．*y*^2^＝4*x*
解析：选A 设点*P*(*x*，*y*)，则*Q*(*x*，－1)．
∵·＝·，
∴(0，*y*＋1)·(－*x,*2)＝(*x*，*y*－1)·(*x*，－2)，
即2(*y*＋1)＝*x*^2^－2(*y*－1)，整理得*x*^2^＝4*y*，
∴动点*P*的轨迹*C*的方程为*x*^2^＝4*y*.
2．在平面直角坐标系*xOy*中，点*B*与点*A*(－1,1)关于原点*O*对称，*P*是动点，且直线*AP*与*BP*的斜率之积等于－.则动点*P*的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为点*B*与点*A*(－1,1)关于原点*O*对称，
所以点*B*的坐标为(1，－1)．
设点*P*的坐标为(*x*，*y*)，由题意得·＝－，
化简得*x*^2^＋3*y*^2^＝4(*x*≠±1)．
故动点*P*的轨迹方程为*x*^2^＋3*y*^2^＝4(*x*≠±1)．
答案：*x*^2^＋3*y*^2^＝4(*x*≠±1)
3．已知△*ABC*的顶点*B*(0,0)，*C*(5,0)，*AB*边上的中线长\|*CD*\|＝3，则顶点*A*的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*A*(*x*，*y*)，由题意可知*D*.
∵\|*CD*\|＝3，∴^2^＋^2^＝9，
即(*x*－10)^2^＋*y*^2^＝36，
由于*A*，*B*，*C*三点不共线，
∴点*A*不能落在*x*轴上，即*y*≠0，
∴点*A*的轨迹方程为(*x*－10)^2^＋*y*^2^＝36(*y*≠0)．
答案：(*x*－10)^2^＋*y*^2^＝36(*y*≠0)
考点二 定义法求轨迹方程
\[典例精析\]
已知圆*M*：(*x*＋1)^2^＋*y*^2^＝1，圆*N*：(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝9，动圆*P*与圆*M*外切并且与圆*N*内切，圆心*P*的轨迹为曲线*C*.求*C*的方程．
\[解\] 由已知得圆*M*的圆心为*M*(－1,0)，半径*r*~1~＝1；圆*N*的圆心为*N*(1,0)，半径*r*~2~＝3.设圆*P*的圆心为*P*(*x*，*y*)，半径为*R*.
因为圆*P*与圆*M*外切并且与圆*N*内切，
所以\|*PM*\|＋\|*PN*\|＝(*R*＋*r*~1~)＋(*r*~2~－*R*)＝*r*~1~＋*r*~2~＝4＞\|*MN*\|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线*C*是以*M*，*N*为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(*x*≠－2)．
\[解题技法\]
定义法求曲线方程的2种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．
\[题组训练\]
如图，已知△*ABC*的两顶点坐标*A*(－1，0)，*B*(1,0)，圆*E*是△*ABC*的内切圆，在边*AC*，*BC*，*AB*上的切点分别为*P*，*Q*，*R*，\|*CP*\|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点*C*的轨迹为曲线*M*，求曲线*M*的方程．
解：由题知\|*CA*\|＋\|*CB*\|＝\|*CP*\|＋\|*CQ*\|＋\|*AP*\|＋\|*BQ*\|＝2\|*CP*\|＋\|*AB*\|＝4＞\|*AB*\|，
所以曲线*M*是以*A*，*B*为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与*x*轴的交点)．
设曲线*M*：＋＝1(*a*＞*b*＞0，*y*≠0)，
则*a*^2^＝4，*b*^2^＝*a*^2^－^2^＝3，
所以曲线*M*的方程为＋＝1(*y*≠0).
考点三 代入法(相关点)求轨迹方程
\[典例精析\]
如图所示，抛物线*E*：*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)与圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝8相交于*A*，*B*两点，且点*A*的横坐标为2.过劣弧*AB*上动点*P*(*x*~0~，*y*~0~)作圆*O*的切线交抛物线*E*于*C*，*D*两点，分别以*C*，*D*为切点作抛物线*E*的切线*l*~1~，*l*~2~，*l*~1~与*l*~2~相交于点*M*.
(1)求*p*的值；
(2)求动点*M*的轨迹方程．
\[解\] (1)由点*A*的横坐标为2，可得点*A*的坐标为(2,2)，代入*y*^2^＝2*px*，解得*p*＝1.
(2)由(1)知抛物线*E*：*y*^2^＝2*x*，
设*C*，*D*，*y*~1~≠0，*y*~2~≠0.切线*l*~1~的斜率为*k*，则切线*l*~1~：*y*－*y*~1~＝*k*，
代入*y*^2^＝2*x*，得*ky*^2^－2*y*＋2*y*~1~－*ky*＝0，
由*Δ*＝0，解得*k*＝，∴*l*~1~的方程为*y*＝*x*＋，
同理*l*~2~的方程为*y*＝*x*＋.
联立解得
易知*CD*的方程为*x*~0~*x*＋*y*~0~*y*＝8，
其中*x*~0~，*y*~0~满足*x*＋*y*＝8，*x*~0~∈\[2,2 \]，
由得*x*~0~*y*^2^＋2*y*~0~*y*－16＝0，
则代入
可得*M*(*x*，*y*)满足可得
代入*x*＋*y*＝8，并化简，得－*y*^2^＝1.
考虑到*x*~0~∈\[2,2\]，知*x*∈\[－4，－2\]，
∴动点*M*的轨迹方程为－*y*^2^＝1，*x*∈\[－4，－2\]．
\[解题技法\]
"相关点法"求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(*x*，*y*)，主动点坐标为(*x*~1~，*y*~1~)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式()()
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
\[题组训练\]
已知曲线*E*：*ax*^2^＋*by*^2^＝1(*a*＞0，*b*＞0)，经过点*M*的直线*l*与曲线*E*交于点*A*，*B*，且＝－2.若点*B*的坐标为(0,2)，求曲线*E*的方程．
解：设*A*(*x*~0~，*y*~0~)，∵*B*(0,2)，*M*，
故＝，＝.
由于＝－2，∴＝－2.
∴*x*~0~＝，*y*~0~＝－1，即*A*.
∵*A*，*B*都在曲线*E*上，
∴()解得
∴曲线*E*的方程为*x*^2^＋＝1.
A级
1．平面直角坐标系中，已知两点*A*(3,1)，*B*(－1，3)，若点*C*满足＝*λ*~1~＋*λ*~2~ (*O*为原点)，其中*λ*~1~，*λ*~2~∈R，且*λ*~1~＋*λ*~2~＝1，则点*C*的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：选A 设*C*(*x*，*y*)，因为＝*λ*~1~＋*λ*~2~，
所以(*x*，*y*)＝*λ*~1~(3,1)＋*λ*~2~(－1,3)，
即解得
又*λ*~1~＋*λ*~2~＝1，所以＋＝1，即*x*＋2*y*＝5，所以点*C*的轨迹是直线，故选A.
2.如图所示，在平面直角坐标系*xOy*中，*A*(1,0)，*B*(1,1)，*C*(0,1)，映射*f*将*xOy*平面上的点*P*(*x*，*y*)对应到另一个平面直角坐标系*uO*′*v*上的点*P*′(2*xy*，*x*^2^－*y*^2^)，则当点*P*沿着折线*A**B**C*运动时，在映射*f*的作用下，动点*P*′的轨迹是( )
解析：选D 当*P*沿*AB*运动时，*x*＝1，设*P*′(*x*′，*y*′)，则(0≤*y*≤1)，故*y*′＝1－(0≤*x*′≤2,0≤*y*′≤1)．当*P*沿*BC*运动时，*y*＝1，则(0≤*x*≤1)，所以*y*′＝－1(0≤*x*′≤2，－1≤*y*′≤0)，由此可知*P*′的轨迹如D所示，故选D.
3．设点*A*为圆(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝1上的动点，*PA*是圆的切线，且\|*PA*\|＝1，则*P*点的轨迹方程为( )
A．*y*^2^＝2*x* B.(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝4
C．*y*^2^＝－2*x* D．(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2
解析：选D 如图，设*P*(*x*，*y*)，
圆心为*M*(1,0)．连接*MA*，*PM*，
则*MA*⊥*PA*，且\|*MA*\|＝1，
又因为\|*PA*\|＝1，
所以\|*PM*\|＝＝，
即\|*PM*\|^2^＝2，所以(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2.
4．设过点*P*(*x*，*y*)的直线分别与*x*轴的正半轴和*y*轴的正半轴交于*A*，*B*两点，点*Q*与点*P*关于*y*轴对称，*O*为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点*P*的轨迹方程是( )
A.*x*^2^＋3*y*^2^＝1(*x*＞0，*y*＞0)
B.*x*^2^－3*y*^2^＝1(*x*＞0，*y*＞0)
C．3*x*^2^－*y*^2^＝1(*x*＞0，*y*＞0)
D．3*x*^2^＋*y*^2^＝1(*x*＞0，*y*＞0)
解析：选A 设*A*(*a,*0)，*B*(0，*b*)，*a*＞0，*b*＞0.由＝2，得(*x*，*y*－*b*)＝2(*a*－*x*，－*y*)，即*a*＝*x*＞0，*b*＝3*y*＞0.点*Q*(－*x*，*y*)，故由·＝1，得(－*x*，*y*)·(－*a*，*b*)＝1，即*ax*＋*by*＝1.将*a*＝*x*，*b*＝3*y*代入*ax*＋*by*＝1，得所求的轨迹方程为*x*^2^＋3*y*^2^＝1(*x*＞0，*y*＞0)．
5.如图所示，已知*F*~1~，*F*~2~是椭圆*Γ*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左，右焦点，*P*是椭圆*Γ*上任意一点，过*F*~2~作∠*F*~1~*PF*~2~的外角的角平分线的垂线，垂足为*Q*，则点*Q*的轨迹为( )
A．直线 B.圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 延长*F*~2~*Q*，与*F*~1~*P*的延长线交于点*M*，连接*OQ*.因为*PQ*是∠*F*~1~*PF*~2~的外角的角平分线，且*PQ*⊥*F*~2~*M*，所以在△*PF*~2~*M*中，\|*PF*~2~\|＝\|*PM*\|，且*Q*为线段*F*~2~*M*的中点．又*O*为线段*F*~1~*F*~2~的中点，由三角形的中位线定理，得\|*OQ*\|＝\|*F*~1~*M*\|＝(\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|)．根据椭圆的定义，得\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝2*a*，所以\|*OQ*\|＝*a*，所以点*Q*的轨迹为以原点为圆心，半径为*a*的圆，故选B.
6．在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点，*A*(1,0)，*B*(2,2)，若点*C*满足＝＋*t*(－)，其中*t*∈R，则点*C*的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*C*(*x*，*y*)，则＝(*x*，*y*)，＋*t*(－)＝(1＋*t,*2*t*)，所以消去参数*t*得点*C*的轨迹方程为*y*＝2*x*－2.
答案：*y*＝2*x*－2
7．设*F*~1~，*F*~2~为椭圆＋＝1的左、右焦点，*A*为椭圆上任意一点，过焦点*F*~1~向∠*F*~1~*AF*~2~的外角平分线作垂线，垂足为*D*，则点*D*的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，延长*F*~1~*D*，*F*~2~*A*并交于点*B*，易证Rt△*ABD*≌Rt△*AF*~1~*D*，则\|*F*~1~*D*\|＝\|*BD*\|，\|*F*~1~*A*\|＝\|*AB*\|，又*O*为*F*~1~*F*~2~的中点，连接*OD*，则*OD*∥*F*~2~*B*，从而可知\|*DO*\|＝\|*F*~2~*B*\|＝(\|*AF*~1~\|＋\|*AF*~2~\|)＝2，设点*D*的坐标为(*x*，*y*)，则*x*^2^＋*y*^2^＝4.
答案：*x*^2^＋*y*^2^＝4
8．(2019·福州质检)已知*A*(－2,0)，*B*(2,0)，斜率为*k*的直线*l*上存在不同的两点*M*，*N*满足\|*MA*\|－\|*MB*\|＝2，\|*NA*\|－\|*NB*\|＝2，且线段*MN*的中点为(6,1)，则*k*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为\|*MA*\|－\|*MB*\|＝2，\|*NA*\|－\|*NB*\|＝2，
由双曲线的定义知，点*M*，*N*在以*A*，*B*为焦点的双曲线的右支上，且*c*＝2，*a*＝，所以*b*＝1，所以该双曲线的方程为－*y*^2^＝1.
设*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，则*x*~1~＋*x*~2~＝12，*y*~1~＋*y*~2~＝2.设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋*m*，代入双曲线的方程，消去*y*，得(1－3*k*^2^)*x*^2^－6*mkx*－3*m*^2^－3＝0，
所以*x*~1~＋*x*~2~＝＝12，①
*y*~1~＋*y*~2~＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~)＋2*m*＝12*k*＋2*m*＝2，②
由①②解得*k*＝2.
答案：2
9.如图，动圆*C*~1~：*x*^2^＋*y*^2^＝*t*^2^(1＜*t*＜3)与椭圆*C*~2~：＋*y*^2^＝1相交于*A*，*B*，*C*，*D*四点．点*A*~1~，*A*~2~分别为*C*~2~的左、右顶点，求直线*AA*~1~与直线*A*~2~*B*交点*M*的轨迹方程．
解：由椭圆*C*~2~：＋*y*^2^＝1，知*A*~1~(－3,0)，*A*~2~(3,0)．
设点*A*的坐标为(*x*~0~，*y*~0~)，
由曲线的对称性，得*B*(*x*~0~，－*y*~0~)，
设点*M*的坐标为(*x*，*y*)，
直线*AA*~1~的方程为*y*＝(*x*＋3)．①
直线*A*~2~*B*的方程为*y*＝(*x*－3)．②
由①②相乘得*y*^2^＝(*x*^2^－9)．③
又点*A*(*x*~0~，*y*~0~)在椭圆*C*~2~上，故*y*＝1－.④
将④代入③得－*y*^2^＝1(*x*＜－3，*y*＜0)．
因此点*M*的轨迹方程为－*y*^2^＝1(*x*＜－3，*y*＜0)．
10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系*xOy*中取两个定点*A*~1~(－，0)，*A*~2~(，0)，再取两个动点*N*~1~(0，*m*)，*N*~2~(0，*n*)，且*mn*＝2.
(1)求直线*A*~1~*N*~1~与*A*~2~*N*~2~的交点*M*的轨迹*C*的方程；
(2)过*R*(3,0)的直线与轨迹*C*交于*P*，*Q*两点，过点*P*作*PN*⊥*x*轴且与轨迹*C*交于另一点*N*，*F*为轨迹*C*的右焦点，若＝*λ* (*λ*＞1)，求证：＝*λ*.
解：(1)依题意知，直线*A*~1~*N*~1~的方程为*y*＝(*x*＋)，①
直线*A*~2~*N*~2~的方程为*y*＝－(*x*－)，②
设*M*(*x*，*y*)是直线*A*~1~*N*~1~与*A*~2~*N*~2~的交点，
①×②得*y*^2^＝－(*x*^2^－6)，
又*mn*＝2，整理得＋＝1.故点*M*的轨迹*C*的方程为＋＝1.
(2)证明：设过点*R*的直线*l*：*x*＝*ty*＋3，*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)，则*N*(*x*~1~，－*y*~1~)，
由消去*x*，得(*t*^2^＋3)*y*^2^＋6*ty*＋3＝0，(\*)
所以*y*~1~＋*y*~2~＝－，*y*~1~*y*~2~＝.
由＝*λ*，得(*x*~1~－3，*y*~1~)＝*λ*(*x*~2~－3，*y*~2~)，故*x*~1~－3＝*λ*(*x*~2~－3)，*y*~1~＝*λy*~2~，
由(1)得*F*(2,0)，要证＝*λ*，
即证(2－*x*~1~，*y*~1~)＝*λ*(*x*~2~－2，*y*~2~)，
只需证2－*x*~1~＝*λ*(*x*~2~－2)，只需＝－，
即证2*x*~1~*x*~2~－5(*x*~1~＋*x*~2~)＋12＝0，
又*x*~1~*x*~2~＝(*ty*~1~＋3)(*ty*~2~＋3)＝*t*^2^*y*~1~*y*~2~＋3*t*(*y*~1~＋*y*~2~)＋9，*x*~1~＋*x*~2~＝*ty*~1~＋3＋*ty*~2~＋3＝*t*(*y*~1~＋*y*~2~)＋6，所以2*t*^2^*y*~1~*y*~2~＋6*t*(*y*~1~＋*y*~2~)＋18－5*t*(*y*~1~＋*y*~2~)－30＋12＝0，即2*t*^2^*y*~1~*y*~2~＋*t*(*y*~1~＋*y*~2~)＝0，
而2*t*^2^*y*~1~*y*~2~＋*t*(*y*~1~＋*y*~2~)＝2*t*^2^·－*t*·＝0成立，即＝*λ*成立．
B级
1．方程(2*x*＋3*y*－1)(－1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线 B.两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解析：选D 原方程可化为或－1＝0，即2*x*＋3*y*－1＝0(*x*≥3)或*x*＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．
2．动点*P*为椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)上异于椭圆顶点*A*(*a,*0)，*B*(－*a,*0)的一点，*F*~1~，*F*~2~为椭圆的两个焦点，动圆*M*与线段*F*~1~*P*，*F*~1~*F*~2~的延长线及线段*PF*~2~相切，则圆心*M*的轨迹为除去坐标轴上的点的( )
A．抛物线 B.椭圆
C．双曲线的右支 D．一条直线
解析：选D 如图，设切点分别为*E*，*D*，*G*，由切线长相等可得\|*F*~1~*E*\|＝\|*F*~1~*G*\|，\|*F*~2~*D*\|＝\|*F*~2~*G*\|，\|*PD*\|＝\|*PE*\|.由椭圆的定义可得\|*F*~1~*P*\|＋\|*PF*~2~\|＝\|*F*~1~*P*\|＋\|*PD*\|＋\|*DF*~2~\|＝\|*F*~1~*E*\|＋\|*DF*~2~\|＝2*a*，即\|*F*~1~*E*\|＋\|*GF*~2~\|＝2*a*，也即\|*F*~1~*G*\|＋\|*GF*~2~\|＝2*a*，故点*G*与点*A*重合，所以点*M*的横坐标是*x*＝*a*，即点*M*的轨迹是一条直线(除去*A*点)，故选D.
3．已知圆的方程为*x*^2^＋*y*^2^＝4，若抛物线过点*A*(－1,0)，*B*(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设抛物线焦点为*F*，过*A*，*B*，*O*作准线的垂线*AA*~1~，*BB*~1~，*OO*~1~，则\|*AA*~1~\|＋\|*BB*~1~\|＝2\|*OO*~1~\|＝4，由抛物线定义得\|*AA*~1~\|＋\|*BB*~1~\|＝\|*FA*\|＋\|*FB*\|，所以\|*FA*\|＋\|*FB*\|＝4，故*F*点的轨迹是以*A*，*B*为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(*y*≠0)．
答案：＋＝1(*y*≠0)
4.如图，*P*是圆*x*^2^＋*y*^2^＝4上的动点，*P*点在*x*轴上的射影是*D*，点*M*满足＝.
(1)求动点*M*的轨迹*C*的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点*N*(3,0)的直线*l*与动点*M*的轨迹*C*交于不同的两点*A*，*B*，求以*OA*，*OB*为邻边的平行四边形*OAEB*的顶点*E*的轨迹方程．
解：(1)设*M*(*x*，*y*)，则*D*(*x,*0)，
由＝，知*P*(*x,*2*y*)，
∵点*P*在圆*x*^2^＋*y*^2^＝4上，
∴*x*^2^＋4*y*^2^＝4，故动点*M*的轨迹*C*的方程为＋*y*^2^＝1，且轨迹*C*是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．
(2)设*E*(*x*，*y*)，由题意知*l*的斜率存在，
设*l*：*y*＝*k*(*x*－3)，代入＋*y*^2^＝1，
得(1＋4*k*^2^)*x*^2^－24*k*^2^*x*＋36*k*^2^－4＝0，
*Δ*＝(－24*k*^2^)^2^－4(1＋4*k*^2^)(36*k*^2^－4)＞0，得*k*^2^＜，
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则*x*~1~＋*x*~2~＝，
∴*y*~1~＋*y*~2~＝*k*(*x*~1~－3)＋*k*(*x*~2~－3)＝*k*(*x*~1~＋*x*~2~)－6*k*＝－6*k*＝.
∵四边形*OAEB*为平行四边形，
∴＝＋＝(*x*~1~＋*x*~2~，*y*~1~＋*y*~2~)＝，
又＝(*x*，*y*)，
∴
消去*k*得，*x*^2^＋4*y*^2^－6*x*＝0，
∵*k*^2^＜，∴0＜*x*＜.
∴顶点*E*的轨迹方程为*x*^2^＋4*y*^2^－6*x*＝0.
5.如图，斜线段*AB*与平面*α*所成的角为60°，*B*为斜足，平面*α*上的动点*P*满足∠*PAB*＝30°，则点*P*的轨迹是( )
A．直线 B.抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面*α*去截，使直线*AB*与平面*α*的夹角为60°，则截口为*P*的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，*P*的轨迹为椭圆．故选C.
6．若曲线*C*上存在点*M*，使*M*到平面内两点*A*(－5,0)，*B*(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线*C*为"好曲线"．以下曲线不是"好曲线"的是( )
A．*x*＋*y*＝5 B.*x*^2^＋*y*^2^＝9
C.＋＝1 D．*x*^2^＝16*y*
解析：选B ∵*M*到平面内两点*A*(－5,0)，*B*(5,0)距离之差的绝对值为8，
∴*M*的轨迹是以*A*(－5,0)，*B*(5,0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线*x*＋*y*＝5过点(5,0)，故直线与*M*的轨迹有交点，满足题意；
B项，*x*^2^＋*y*^2^＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与*M*的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，＋＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋＝1与*M*的轨迹有交点，满足题意；
D项，把*x*^2^＝16*y*代入－＝1，可得*y*－＝1，
即*y*^2^－9*y*＋9＝0，∴*Δ*＞0，满足题意．
7．已知△*ABC*中，*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且顶点*A*，*B*的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，*C*为动点，且满足sin *B*＋sin *A*＝sin *C*，则*C*点的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由sin *B*＋sin *A*＝sin *C*可知*b*＋*a*＝*c*＝10，
则\|*AC*\|＋\|*BC*\|＝10＞8＝\|*AB*\|，∴满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，则*a*′＝5，*c*′＝4，*b*′＝3，
则轨迹方程为＋＝1(*x*≠±5)．
答案：＋＝1(*x*≠±5)
第十节 解析几何常见突破口
解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的"双管齐下"，突破思维难点．
考点一 利用向量转化几何条件
\[典例\] 如图所示，已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^－2*x*＋4*y*－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线*l*，使*l*与圆*C*交于*A*，*B*两点，且以*AB*为直径的圆过原点？若存在，写出直线*l*的方程；若不存在，请说明理由．
\[解题观摩\] 假设存在斜率为1的直线*l*，使*l*与圆*C*交于*A*，*B*两点，且以*AB*为直径的圆过原点．
设直线*l*的方程为*y*＝*x*＋*b*，
点*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)．
联立
消去*y*并整理得2*x*^2^＋2(*b*＋1)*x*＋*b*^2^＋4*b*－4＝0，
所以*x*~1~＋*x*~2~＝－(*b*＋1)，*x*~1~*x*~2~＝.①
因为以*AB*为直径的圆过原点，所以*OA*⊥*OB*，
即*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝0.
又*y*~1~＝*x*~1~＋*b*，*y*~2~＝*x*~2~＋*b*，
则*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝*x*~1~*x*~2~＋(*x*~1~＋*b*)(*x*~2~＋*b*)＝2*x*~1~*x*~2~＋*b*(*x*~1~＋*x*~2~)＋*b*^2^＝0.
由①知，*b*^2^＋4*b*－4－*b*(*b*＋1)＋*b*^2^＝0，
即*b*^2^＋3*b*－4＝0，解得*b*＝－4或*b*＝1.
当*b*＝－4或*b*＝1时，
均有*Δ*＝4(*b*＋1)^2^－8(*b*^2^＋4*b*－4)＝－4*b*^2^－24*b*＋36＞0，
即直线*l*与圆*C*有两个交点．
所以存在直线*l*，其方程为*x*－*y*＋1＝0或*x*－*y*－4＝0.
以*AB*为直径的圆过原点等价于*OA*⊥*OB*，而*OA*⊥*OB*又可以"直译"为*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为"直译"，然后对个别难以"直译"的条件先进行"转化"，将"困难、难翻译"的条件通过平面几何知识"转化"为"简单、易翻译"的条件后再进行"直译"，最后联立"直译"的结果解决问题．
考点二 角平分线条件的转化
\[典例\] 已知动圆过定点*A*(4,0)，且在*y*轴上截得的弦*MN*的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹*C*的方程；
(2)已知点*B*(－1,0)，设不垂直于*x*轴的直线*l*与轨迹*C*交于不同的两点*P*，*Q*，若*x*轴是∠*PBQ*的角平分线，求证：直线*l*过定点．
\[解题观摩\] (1)设动圆圆心为点*P*(*x*，*y*)，则由勾股定理得*x*^2^＋4^2^＝(*x*－4)^2^＋*y*^2^，化简即得圆心的轨迹*C*的方程为*y*^2^＝8*x*.
(2)证明：法一：由题意可设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋*b*(*k*≠0)．
联立得*k*^2^*x*^2^＋2(*kb*－4)*x*＋*b*^2^＝0.
由*Δ*＝4(*kb*－4)^2^－4*k*^2^*b*^2^＞0，得*kb*＜2.
设点*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－()，*x*~1~*x*~2~＝.
因为*x*轴是∠*PBQ*的角平分线，所以*k~PB~*＋*k~QB~*＝0，
即*k~PB~*＋*k~QB~*＝＋＝()()()()＝()()()＝0，
所以*k*＋*b*＝0，即*b*＝－*k*，所以*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)．
故直线*l*恒过定点(1,0)．
法二：设直线*PB*的方程为*x*＝*my*－1，它与抛物线*C*的另一个交点为*Q*′，设点*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*′(*x*~2~，*y*~2~)，由条件可得，*Q*与*Q*′关于*x*轴对称，故*Q*(*x*~2~，－*y*~2~)．
联立消去*x*得*y*^2^－8*my*＋8＝0，
其中*Δ*＝64*m*^2^－32＞0，*y*~1~＋*y*~2~＝8*m*，*y*~1~*y*~2~＝8.
所以*k~PQ~*＝＝，
因而直线*PQ*的方程为*y*－*y*~1~＝(*x*－*x*~1~)．
又*y*~1~*y*~2~＝8，*y*＝8*x*~1~，
将*PQ*的方程化简得(*y*~1~－*y*~2~)*y*＝8(*x*－1)，
故直线*l*过定点(1,0)．
法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，
则它一定在*x*轴上，
所以设定点坐标为(*a,*0)，直线*PQ*的方程为*x*＝*my*＋*a*.
联立消去*x*，
整理得*y*^2^－8*my*－8*a*＝0，*Δ*＞0.
设点*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)，则
由条件可知*k~PB~*＋*k~QB~*＝0，
即*k~PB~*＋*k~QB~*＝＋
＝()()()()
＝()()()()＝0，
所以－8*ma*＋8*m*＝0.
由*m*的任意性可知*a*＝1，所以直线*l*恒过定点(1,0)．
法四：设*P*，*Q*，
因为*x*轴是∠*PBQ*的角平分线，
所以*k~PB~*＋*k~QB~*＝＋＝0，
整理得(*y*~1~＋*y*~2~)＝0.
因为直线*l*不垂直于*x*轴，
所以*y*~1~＋*y*~2~≠0，可得*y*~1~*y*~2~＝－8.
因为*k~PQ~*＝＝，
所以直线*PQ*的方程为*y*－*y*~1~＝，
即*y*＝(*x*－1)．
故直线*l*恒过定点(1,0)．
本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数*y*~1~，*y*~2~，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．
考点三 弦长条件的转化
\[典例\] 如图所示，已知椭圆*G*：＋*y*^2^＝1，与*x*轴不重合的直线*l*经过左焦点*F*~1~，且与椭圆*G*相交于*A*，*B*两点，弦*AB*的中点为*M*，直线*OM*与椭圆*G*相交于*C*，*D*两点．
(1)若直线*l*的斜率为1，求直线*OM*的斜率．
(2)是否存在直线*l*，使得\|*AM*\|^2^＝\|*CM*\|\|*DM*\|成立？若存在，求出直线*l*的方程；若不存在，请说明理由．
\[解题观摩\] (1)由题意可知点*F*~1~(－1,0)，
又直线*l*的斜率为1，
故直线*l*的方程为*y*＝*x*＋1.
设点*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
由消去*y*并整理得3*x*^2^＋4*x*＝0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，*y*~1~＋*y*~2~＝，
因此中点*M*的坐标为.
故直线*OM*的斜率为＝－.
(2)假设存在直线*l*，使得\|*AM*\|^2^＝\|*CM*\|\|*DM*\|成立．
由题意，直线*l*不与*x*轴重合，
设直线*l*的方程为*x*＝*my*－1.
由消去*x*并整理得(*m*^2^＋2)*y*^2^－2*my*－1＝0.
设点*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则
可得\|*AB*\|＝\|*y*~1~－*y*~2~\|
＝ ＝()，
*x*~1~＋*x*~2~＝*m*(*y*~1~＋*y*~2~)－2＝－2＝，
所以弦*AB*的中点*M*的坐标为，
故直线*CD*的方程为*y*＝－*x*.
联立消去*y*并整理得2*x*^2^＋*m*^2^*x*^2^－4＝0，
解得*x*^2^＝.
由对称性，设*C*(*x*~0~，*y*~0~)，*D*(－*x*~0~，－*y*~0~)，则*x*＝，
可得\|*CD*\|＝·\|2*x*~0~\|＝()＝2 .
因为\|*AM*\|^2^＝\|*CM*\|\|*DM*\|＝(\|*OC*\|－\|*OM*\|)(\|*OD*\|＋\|*OM*\|)，且\|*OC*\|＝\|*OD*\|，
所以\|*AM*\|^2^＝\|*OC*\|^2^－\|*OM*\|^2^，
故＝－\|*OM*\|^2^，
即\|*AB*\|^2^＝\|*CD*\|^2^－4\|*OM*\|^2^，
则()()＝()－4()()，
解得*m*^2^＝2，故*m*＝±.
所以直线*l*的方程为*x*－*y*＋1＝0或*x*＋*y*＋1＝0.
本题(2)的核心在于转化\|*AM*\|^2^＝\|*CM*\|·\|*DM*\|中弦长的关系．由\|*CM*\|＝\|*OC*\|－\|*OM*\|，\|*DM*\|＝\|*OD*\|＋\|*OM*\|，又\|*OC*\|＝\|*OD*\|，得\|*AM*\|^2^＝\|*OC*\|^2^－\|*OM*\|^2^.又\|*AM*\|＝\|*AB*\|，\|*OC*\|＝\|*CD*\|，因此\|*AB*\|^2^＝\|*CD*\|^2^－4\|*OM*\|^2^，转化为弦长\|*AB*\|，\|*CD*\|和\|*OM*\|三者之间的数量关系，易计算．
考点四 面积条件的转化
\[典例\] 设椭圆的中心在坐标原点，*A*(2,0)，*B*(0,1)是它的两个顶点，直线*y*＝*kx*(*k*＞0)与椭圆交于*E*，*F*两点，求四边形*AEBF*的面积的最大值．
\[解题观摩\] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为＋*y*^2^＝1，
直线*AB*，*EF*的方程分别为*x*＋2*y*＝2，*y*＝*kx*(*k*＞0)．
设点*E*(*x*~1~，*kx*~1~)，*F*(*x*~2~，*kx*~2~)，其中*x*~1~＜*x*~2~，
且*x*~1~，*x*~2~满足方程(1＋4*k*^2^)*x*^2^＝4，
故*x*~2~＝－*x*~1~＝ .①
根据点到直线的距离公式和①，得点*E*，*F*到直线*AB*的距离分别为
*h*~1~＝＝()()，
*h*~2~＝＝()().
又\|*AB*\|＝＝，
所以四边形*AEBF*的面积为
*S*＝\|*AB*\|·(*h*~1~＋*h*~2~)＝··()()＝()＝2＝2＝2≤2，当且仅当＝4*k*，即*k*＝时取等号．
因此四边形*AEBF*的面积的最大值为2.
法二：依题意得椭圆的方程为＋*y*^2^＝1.
直线*EF*的方程为*y*＝*kx*(*k*＞0)．
设点*E*(*x*~1~，*kx*~1~)，*F*(*x*~2~，*kx*~2~)，其中*x*~1~＜*x*~2~.
联立消去*y*，得(1＋4*k*^2^)*x*^2^＝4.
故*x*~1~＝，*x*~2~＝，
\|*EF*\|＝·\|*x*~1~－*x*~2~\|＝.
根据点到直线的距离公式，得点*A*，*B*到直线*EF*的距离分别为*d*~1~＝＝，*d*~2~＝.
因此四边形*AEBF*的面积为
*S*＝\|*EF*\|·(*d*~1~＋*d*~2~)＝··＝()＝2＝2＝2≤2，当且仅当＝4*k*，即*k*＝时取等号．
因此四边形*AEBF*的面积的最大值为2.
如果利用常规方法理解为*S*~四边形*AEBF*~＝*S*~△*AEF*~＋*S*~△*BEF*~＝\|*EF*\|·(*d*~1~＋*d*~2~)(其中*d*~1~，*d*~2~分别表示点*A*，*B*到直线*EF*的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出*EF*的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形*AEBF*的面积拆成两个小三角形------△*ABE*和△*ABF*的面积之和，则更为简单．因为直线*AB*的方程及其长度易求出，故只需表示出点*E*与点*F*到直线*AB*的距离即可．
\[总结规律·快速转化\]
做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是"用代数方法研究几何问题"，核心思想是"数形结合"，牢固树立"转化"意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考
1．平行四边形条件的转化
------------------- ----------------------------
几何性质 代数实现
(1)对边平行 斜率相等，或向量平行
(2)对边相等 长度相等，横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相平分 中点重合
------------------- ----------------------------
2．直角三角形条件的转化
----------------------------------- --------------------------------
几何性质 代数实现
(1)两边垂直 斜率乘积为－1，或向量数量积为0
(2)勾股定理 两点的距离公式
(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半) 两点的距离公式
----------------------------------- --------------------------------
3．等腰三角形条件的转化
+-------------------------+--------------------------------+
| 几何性质 | 代数实现 |
+-------------------------+--------------------------------+
| (1)两边相等 | 两点的距离公式 |
+-------------------------+--------------------------------+
| (2)两角相等 | 底边水平或竖直时，两腰斜率相反 |
+-------------------------+--------------------------------+
| (3)三线合一(垂直且平分) | 垂直：斜率或向量 |
| | |
| | 平分：中点坐标公式 |
+-------------------------+--------------------------------+
4．菱形条件的转化
+-----------------------+------------------------------+
| 几何性质 | 代数实现 |
+-----------------------+------------------------------+
| (1)对边平行 | 斜率相等，或向量平行 |
+-----------------------+------------------------------+
| (2)对边相等 | 长度相等，横(纵)坐标差相等 |
+-----------------------+------------------------------+
| (3)对角线互相垂直平分 | 垂直：斜率或向量 |
| | |
| | 平分：中点坐标公式、中点重合 |
+-----------------------+------------------------------+
5．圆条件的转化
------------- ------------------------------
几何性质 代数实现
(1)点在圆上 点与直径端点向量数量积为零
(2)点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数
(3)点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数
------------- ------------------------------
6．角条件的转化
----------------------- ------------------------------------
几何性质 代数实现
(1)锐角，直角，钝角 角的余弦(向量数量积)的符号
(2)倍角，半角，平分角 角平分线性质，定理(夹角、到角公式)
(3)等角(相等或相似) 比例线段或斜率
----------------------- ------------------------------------
1．已知椭圆*C*经过点，且与椭圆*E*：＋*y*^2^＝1有相同的焦点．
(1)求椭圆*C*的标准方程；
(2)若动直线*l*：*y*＝*kx*＋*m*与椭圆*C*有且只有一个公共点*P*，且与直线*x*＝4交于点*Q*，问：以线段*PQ*为直径的圆是否经过一定点*M*？若存在，求出定点*M*的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)椭圆*E*的焦点为(±1,0)，
设椭圆*C*的标准方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，
则解得
所以椭圆*C*的标准方程为＋＝1.
(2)联立消去*y*，
得(3＋4*k*^2^)*x*^2^＋8*kmx*＋4*m*^2^－12＝0，
所以*Δ*＝64*k*^2^*m*^2^－4(3＋4*k*^2^)(4*m*^2^－12)＝0，
即*m*^2^＝3＋4*k*^2^.
设*P*(*x~P~*，*y~P~*)，
则*x~P~*＝＝－，*y~P~*＝*kx~P~*＋*m*＝－＋*m*＝，
即*P*.假设存在定点*M*(*s*，*t*)满足题意，
因为*Q*(4,4*k*＋*m*)，
则*MP*＝，*MQ*＝(4－*s,*4*k*＋*m*－*t*)，
所以*MP*·*MQ*＝(4－*s*)＋(4*k*＋*m*－*t*)＝－(1－*s*)－*t*＋(*s*^2^－4*s*＋3＋*t*^2^)＝0恒成立，
故解得
所以存在点*M*(1,0)符合题意．
2．已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的短轴长为2，离心率为，点*A*(3,0)，*P*是*C*上的动点，*F*为*C*的左焦点．
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)若点*P*在*y*轴的右侧，以*AP*为底边的等腰△*ABP*的顶点*B*在*y*轴上，求四边形*FPAB*面积的最小值．
解：(1)依题意得解得
∴椭圆*C*的方程是＋＝1.
(2)设*P*(*x*~0~，*y*~0~)(－＜*y*~0~＜，*y*~0~≠0，*x*~0~＞0)，
线段*AP*的中点为*M*，
则*AP*的中点*M*，直线*AP*的斜率为，
由△*ABP*是以*AP*为底边的等腰三角形，可得*BM*⊥*AP*，
∴直线*AP*的垂直平分线方程为
*y*－＝－，
令*x*＝0得*B*，
∵＋＝1，∴*B*，
∵*F*(－2,0)，
∴四边形*FPAB*的面积*S*＝
＝≥5，
当且仅当2\|*y*~0~\|＝，即*y*~0~＝±时等号成立，
四边形*FPAB*面积的最小值为5.
3．椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别是*F*~1~，*F*~2~，离心率为，过点*F*~1~且垂直于*x*轴的直线被椭圆*C*截得的线段长为1.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)点*P*是椭圆*C*上除长轴端点外的任一点，连接*PF*~1~，*PF*~2~，设∠*F*~1~*PF*~2~的角平分线*PM*交*C*的长轴于点*M*(*m,*0)，求*m*的取值范围．
解：(1)将*x*＝－*c*代入椭圆的方程＋＝1，得*y*＝±.
由题意知＝1，故*a*＝2*b*^2^.又*e*＝＝，则＝，即*a*＝2*b*，所以*a*＝2，*b*＝1，
故椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)由*PM*是∠*F*~1~*PF*~2~的角平分线，
可得＝，即＝.
设点*P*(*x*~0~，*y*~0~)(－2＜*x*~0~＜2)，
又点*F*~1~(－，0)，*F*~2~(，0)，*M*(*m,*0)，
则\|*PF*~1~\|＝ ()＝2＋*x*~0~，
\|*PF*~2~\|＝ ()＝2－*x*~0~.
又\|*F*~1~*M*\|＝\|*m*＋\|，\|*F*~2~*M*\|＝\|*m*－\|，且－＜*m*＜，
所以\|*F*~1~*M*\|＝*m*＋，\|*F*~2~*M*\|＝－*m*.
所以＝，化简得*m*＝*x*~0~，
而－2＜*x*~0~＜2，因此－＜*m*＜.
故实数*m*的取值范围为.
4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左，右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，且\|*F*~1~*F*~2~\|＝6，直线*y*＝*kx*与椭圆交于*A*，*B*两点．
(1)若△*AF*~1~*F*~2~的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若*k*＝，且*A*，*B*，*F*~1~，*F*~2~四点共圆，求椭圆离心率*e*的值；
(3)在(2)的条件下，设*P*(*x*~0~，*y*~0~)为椭圆上一点，且直线*PA*的斜率*k*~1~∈(－2，－1)，试求直线*PB*的斜率*k*~2~的取值范围．
解：(1)由题意得*c*＝3，根据2*a*＋2*c*＝16，得*a*＝5.结合*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，解得*a*^2^＝25，*b*^2^＝16.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由得*x*^2^－*a*^2^*b*^2^＝0.
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)．
所以*x*~1~＋*x*~2~＝0，*x*~1~*x*~2~＝，
由*AB*，*F*~1~*F*~2~互相平分且共圆，易知，*AF*~2~⊥*BF*~2~，
因为＝(*x*~1~－3，*y*~1~)，＝(*x*~2~－3，*y*~2~)，
所以·＝(*x*~1~－3)(*x*~2~－3)＋*y*~1~*y*~2~
＝*x*~1~*x*~2~＋9＝0.
即*x*~1~*x*~2~＝－8，所以有＝－8，
结合*b*^2^＋9＝*a*^2^，解得*a*^2^＝12，
所以离心率*e*＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可知*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(－*x*~1~，－*y*~1~)，*k*~1~＝，*k*~2~＝，
所以*k*~1~*k*~2~＝，
又＝＝－，
即*k*~2~＝－，
由－2＜*k*~1~＜－1可知，＜*k*~2~＜.
即直线*PB*的斜率*k*~2~∈.
第十一节 解析几何计算处理技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到"望题兴叹"的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
考点一 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
\[典例\] 如图，*F*~1~，*F*~2~是椭圆*C*~1~：＋*y*^2^＝1与双曲线*C*~2~的公共焦点，*A*，*B*分别是*C*~1~，*C*~2~在第二、四象限的公共点．若四边形*AF*~1~*BF*~2~为矩形，则*C*~2~的离心率是( )
A. B.
C. D.
\[解题观摩\] 由已知，得*F*~1~(－，0)，*F*~2~(，0)，
设双曲线*C*~2~的实半轴长为*a*，
由椭圆及双曲线的定义和已知，
可得解得*a*^2^＝2，
故*a*＝.所以双曲线*C*~2~的离心率*e*＝＝.
\[答案\] D
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立\|*AF*~1~\|，\|*AF*~2~\|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长*a*的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
\[对点训练\]
1.如图，设抛物线*y*^2^＝4*x*的焦点为*F*，不经过焦点的直线上有三个不同的点*A*，*B*，*C*，其中点*A*，*B*在抛物线上，点*C*在*y*轴上，则△*BCF*与△*ACF*的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得＝＝＝＝.
2．抛物线*y*^2^＝4*mx*(*m*＞0)的焦点为*F*，点*P*为该抛物线上的动点，若点*A*(－*m,*0)，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设点*P*的坐标为(*x~P~*，*y~P~*)，由抛物线的定义，知\|*PF*\|＝*x~P~*＋*m*，又\|*PA*\|^2^＝(*x~P~*＋*m*)^2^＋*y*＝(*x~P~*＋*m*)^2^＋4*mx~P~*，则^2^＝()()＝()≥()＝(当且仅当*x~P~*＝*m*时取等号)，所以≥，所以的最小值为.
答案：
考点二 设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．
\[典例\] 已知椭圆*E*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点为*F*(3，0)，过点*F*的直线交*E*于*A*，*B*两点．若*AB*的中点坐标为(1，－1)，则*E*的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
\[解题观摩\] 设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝2，*y*~1~＋*y*~2~＝－2，
①－②得()()＋()()＝0，
所以*k~AB~*＝＝－()()＝.
又*k~AB~*＝＝，所以＝.
又9＝*c*^2^＝*a*^2^－*b*^2^，
解得*b*^2^＝9，*a*^2^＝18，
所以椭圆*E*的方程为＋＝1.
\[答案\] D
(1)本题设出*A*，*B*两点的坐标，却不求出*A*，*B*两点的坐标，巧妙地表达出直线*AB*的斜率，通过将直线*AB*的斜率"算两次"建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施"设而不求"；②"设而不求"不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
\[对点训练\]
1．已知*O*为坐标原点，*F*是椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左焦点，*A*，*B*分别为*C*的左、右顶点．*P*为*C*上一点，且*PF*⊥*x*轴．过点*A*的直线*l*与线段*PF*交于点*M*，与*y*轴交于点*E*，若直线*BM*经过*OE*的中点，则*C*的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设*OE*的中点为*G*，由题意设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*＋*a*)，
分别令*x*＝－*c*与*x*＝0得\|*FM*\|＝*k*(*a*－*c*)，\|*OE*\|＝*ka*，
由△*OBG*∽△*FBM*，得＝，
即()＝，
整理得＝，所以椭圆*C*的离心率*e*＝.
2．过点*M*(1,1)作斜率为－的直线与椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)相交于*A*，*B*两点，若*M*是线段*AB*的中点，则椭圆*C*的离心率等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则
∴()()＋()()＝0，
∴＝－·.
∵＝－，*x*~1~＋*x*~2~＝2，*y*~1~＋*y*~2~＝2，
∴－＝－，∴*a*^2^＝2*b*^2^.
又∵*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^，
∴*a*^2^＝2(*a*^2^－*c*^2^)，∴*a*^2^＝2*c*^2^，∴＝.
即椭圆*C*的离心率*e*＝.
答案：
考点三 巧设参数，变换主元
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
\[典例\] 设椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右顶点分别为*A*，*B*，点*P*在椭圆上且异于*A*，*B*两点，*O*为坐标原点．若\|*AP*\|＝\|*OA*\|，证明直线*OP*的斜率*k*满足\|*k*\|＞.
\[解题观摩\] 法一：依题意，直线*OP*的方程为*y*＝*kx*，设点*P*的坐标为(*x*~0~，*y*~0~)．
由条件得
消去*y*~0~并整理，得*x*＝.①
由\|*AP*\|＝\|*OA*\|，*A*(－*a,*0)及*y*~0~＝*kx*~0~，
得(*x*~0~＋*a*)^2^＋*k*^2^*x*＝*a*^2^，
整理得(1＋*k*^2^)*x*＋2*ax*~0~＝0.
而*x*~0~≠0，于是*x*~0~＝，
代入①，整理得(1＋*k*^2^)^2^＝4*k*^22^＋4.
又*a*＞*b*＞0，故(1＋*k*^2^)^2^＞4*k*^2^＋4，
即*k*^2^＋1＞4，因此*k*^2^＞3，所以\|*k*\|＞.
法二：依题意，直线*OP*的方程为*y*＝*kx*，
可设点*P*的坐标为(*x*~0~，*kx*~0~)．
由点*P*在椭圆上，得＋＝1.
因为*a*＞*b*＞0，*kx*~0~≠0，所以＋＜1，
即(1＋*k*^2^)*x*＜*a*^2^.②
由\|*AP*\|＝\|*OA*\|及*A*(－*a,*0)，得(*x*~0~＋*a*)^2^＋*k*^2^*x*＝*a*^2^，
整理得(1＋*k*^2^)*x*＋2*ax*~0~＝0，于是*x*~0~＝，
代入②，得(1＋*k*^2^)·()＜*a*^2^，
解得*k*^2^＞3，所以\|*k*\|＞.
法三：设*P*(*a*cos *θ*，*b*sin *θ*)(0≤*θ*＜2π)，
则线段*OP*的中点*Q*的坐标为.
\|*AP*\|＝\|*OA*\|⇔*AQ*⊥*OP*⇔*k~AQ~*×*k*＝－1.
又*A*(－*a,*0)，所以*k~AQ~*＝，
即*b*sin *θ*－*ak~AQ~*cos *θ*＝2*ak~AQ~*.
从而可得\|2*ak~AQ~*\|≤ ＜*a*，
解得\|*k~AQ~*\|＜，故\|*k*\|＝＞.
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．
\[对点训练\]
设直线*l*与抛物线*y*^2^＝4*x*相交于*A*，*B*两点，与圆*C*：(*x*－5)^2^＋*y*^2^＝*r*^2^(*r*＞0)相切于点*M*，且*M*为线段*AB*的中点，若这样的直线*l*恰有4条，求*r*的取值范围．
解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线*l*的方程为*x*＝*ty*＋*m*，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
代入抛物线*y*^2^＝4*x*并整理得*y*^2^－4*ty*－4*m*＝0，
则有*Δ*＝16*t*^2^＋16*m*＞0，*y*~1~＋*y*~2~＝4*t*，*y*~1~*y*~2~＝－4*m*，
那么*x*~1~＋*x*~2~＝(*ty*~1~＋*m*)＋(*ty*~2~＋*m*)＝4*t*^2^＋2*m*，
可得线段*AB*的中点*M*(2*t*^2^＋*m,*2*t*)，
而由题意可得直线*AB*与直线*MC*垂直，
即*k~MC~*·*k~AB~*＝－1，
可得·＝－1，整理得*m*＝3－2*t*^2^(当*t*≠0时)，
把*m*＝3－2*t*^2^代入*Δ*＝16*t*^2^＋16*m*＞0，
可得3－*t*^2^＞0，即0＜*t*^2^＜3，
又由于圆心到直线的距离等于半径，
即*d*＝＝＝2＝*r*，
而由0＜*t*^2^＜3可得2＜*r*＜4.
故*r*的取值范围为(2,4)．
考点四 数形结合，偷梁换柱
著名数学家华罗庚说过："数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．"在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．
\[典例\] 已知*F*是双曲线*C*：*x*^2^－＝1的右焦点，*P*是*C*的左支上一点，*A*(0,6)．当△*APF*周长最小时，该三角形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解题观摩\] 设双曲线的左焦点为*F*~1~，根据双曲线的定义可知\|*PF*\|＝2*a*＋\|*PF*~1~\|，
则△*APF*的周长为\|*PA*\|＋\|*PF*\|＋\|*AF*\|＝\|*PA*\|＋2*a*＋\|*PF*~1~\|＋\|*AF*\|＝\|*PA*\|＋\|*PF*~1~\|＋\|*AF*\|＋2*a*，
由于\|*AF*\|＋2*a*是定值，要使△*APF*的周长最小，
则\|*PA*\|＋\|*PF*~1~\|最小，即*P*，*A*，*F*~1~共线，
由于*A*(0,6)，*F*~1~(－3,0)，
则直线*AF*~1~的方程为＋＝1，即*x*＝－3，
代入双曲线方程整理可得
*y*^2^＋6*y*－96＝0，
解得*y*＝2或*y*＝－8(舍去)，
所以点*P*的纵坐标为2，
所以＝×6×6－×6×2＝12.
\[答案\] 12
要求△*APF*的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点*P*的位置，通过求解点*P*的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．
\[对点训练\]
1．椭圆＋＝1的左焦点为*F*，直线*x*＝*m*与椭圆相交于点*M*，*N*，当△*FMN*的周长最大时，△*FMN*的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为*F*′，连接*MF*′，*NF*′.
因为\|*MF*\|＋\|*NF*\|＋\|*MF*′\|＋\|*NF*′\|≥\|*MF*\|＋\|*NF*\|＋\|*MN*\|，所以当直线*x*＝*m*过椭圆的右焦点时，△*FMN*的周长最大．
此时\|*MN*\|＝＝，又*c*＝＝＝1，
所以此时△*FMN*的面积*S*＝×2×＝.故选C.
2．设*P*为双曲线*x*^2^－＝1右支上一点，*M*，*N*分别是圆*C*~1~：(*x*＋4)^2^＋*y*^2^＝4和圆*C*~2~：(*x*－4)^2^＋*y*^2^＝1上的点，设\|*PM*\|－\|*PN*\|的最大值和最小值分别为*m*，*n*，则\|*m*－*n*\|＝( )
A．4 B.5
C．6 D．7
解析：选C 由题意得，圆*C*~1~：(*x*＋4)^2^＋*y*^2^＝4的圆心为(－4,0)，半径为*r*~1~＝2；圆*C*~2~：(*x*－4)^2^＋*y*^2^＝1的圆心为(4,0)，半径为*r*~2~＝1.
设双曲线*x*^2^－＝1的左、右焦点分别为*F*~1~(－4,0)，*F*~2~(4,0)．如图所示，连接*PF*~1~，*PF*~2~，*F*~1~*M*，*F*~2~*N*，则\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝2.又\|*PM*\|~max~＝\|*PF*~1~\|＋*r*~1~，\|*PN*\|~min~＝\|*PF*~2~\|－*r*~2~，所以\|*PM*\|－\|*PN*\|的最大值*m*＝\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＋*r*~1~＋*r*~2~＝5.又\|*PM*\|~min~＝\|*PF*~1~\|－*r*~1~，\|*PN*\|~max~＝\|*PF*~2~\|＋*r*~2~，所以\|*PM*\|－\|*PN*\|的最小值*n*＝\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|－*r*~1~－*r*~2~＝－1，所以\|*m*－*n*\|＝6.故选C.
考点五 妙借向量，无中生有
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通"数"与"形"，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
\[典例\] 如图，在平面直角坐标系*xOy*中，*F*是椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点，直线*y*＝与椭圆交于*B*，*C*两点，且∠*BFC*＝90°，则该椭圆的离心率是\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解题观摩\] 把*y*＝代入椭圆＋＝1，
可得*x*＝±*a*，则*B*，*C*，
而*F*(*c,*0)，
则*FB*＝，*FC*＝，
又∠*BFC*＝90°，
故有*FB*·*FC*＝·＝*c*^2^－*a*^2^＋*b*^2^＝*c*^2^－*a*^2^＋(*a*^2^－*c*^2^)＝*c*^2^－*a*^2^＝0，
则有3*c*^2^＝2*a*^2^，所以该椭圆的离心率*e*＝＝.
\[答案\]
本题通过相关向量坐标的确定，结合∠*BFC*＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．
\[对点训练\]
设直线*l*是圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝2上动点*P*(*x*~0~，*y*~0~)(*x*~0~*y*~0~≠0)处的切线，*l*与双曲线*x*^2^－＝1交于不同的两点*A*，*B*，则∠*AOB*为( )
A．90° B.60°
C．45° D．30°
解析：选A ∵点*P*(*x*~0~，*y*~0~)(*x*~0~*y*~0~≠0)在圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝2上，∴*x*＋*y*＝2，圆在点*P*(*x*~0~，*y*~0~)处的切线方程为*x*~0~*x*＋*y*~0~*y*＝2.由及*x*＋*y*＝2得(3*x*－4)*x*^2^－4*x*~0~*x*＋8－2*x*＝0.∵切线*l*与双曲线交于不同的两点*A*，*B*，且0＜*x*＜2，∴3*x*－4≠0，且*Δ*＝16*x*－4(3*x*－4)·(8－2*x*)＞0，设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，则*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.∵*OA*·*OB*＝*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝*x*~1~*x*~2~＋(2－*x*~0~*x*~1~)(2－*x*~0~*x*~2~)＝*x*~1~*x*~2~＋\[4－2*x*~0~(*x*~1~＋*x*~2~)＋*xx*~1~*x*~2~\]＝＋()＝0，∴∠*AOB*＝90°.
考点六 巧用"根与系数的关系"
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．
\[典例\] 已知椭圆＋*y*^2^＝1的左顶点为*A*，过*A*作两条互相垂直的弦*AM*，*AN*交椭圆于*M*，*N*两点．
(1)当直线*AM*的斜率为1时，求点*M*的坐标；
(2)当直线*AM*的斜率变化时，直线*MN*是否过*x*轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
\[解题观摩\] (1)直线*AM*的斜率为1时，直线*AM*的方程为*y*＝*x*＋2，代入椭圆方程并化简得5*x*^2^＋16*x*＋12＝0.
解得*x*~1~＝－2，*x*~2~＝－，所以*M*.
(2)设直线*AM*的斜率为*k*，直线*AM*的方程为*y*＝*k*(*x*＋2)，
联立方程()
化简得(1＋4*k*^2^)*x*^2^＋16*k*^2^*x*＋16*k*^2^－4＝0.
则*x~A~*＋*x~M~*＝，
*x~M~*＝－*x~A~*－＝2－＝.
同理，可得*x~N~*＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为*P*.
证明如下：
因为*k~MP~*＝＝＝，
同理可得*k~PN~*＝.
所以直线*MN*过*x*轴上的一定点*P*.
本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出*x~M~*＝，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．
\[对点训练\]
已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的离心率为，且经过点*P*，左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)过*F*~1~的直线*l*与椭圆*C*相交于*A*，*B*两点，若△*AF*~2~*B*的内切圆半径为，求以*F*~2~为圆心且与直线*l*相切的圆的方程．
解：(1)由＝，得*a*＝2*c*，所以*a*^2^＝4*c*^2^，*b*^2^＝3*c*^2^，
将点*P*的坐标代入椭圆方程得*c*^2^＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)可知*F*~1~(－1,0)，设直线*l*的方程为*x*＝*ty*－1，
代入椭圆方程，整理得(4＋3*t*^2^)*y*^2^－6*ty*－9＝0，
显然判别式大于0恒成立，
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，△*AF*~2~*B*的内切圆半径为*r*~0~，
则有*y*~1~＋*y*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝，*r*~0~＝，
＝*r*~0~(\|*AF*~1~\|＋\|*BF*~1~\|＋\|*BF*~2~\|＋\|*AF*~2~\|)
＝*r*~0~·4*a*＝×8×＝，
所以＝，解得*t*^2^＝1，
因为所求圆与直线*l*相切，所以半径*r*＝＝，
所以所求圆的方程为(*x*－1)^2^＋*y*^2^＝2.
1．在平面直角坐标系*xOy*中，设直线*y*＝－*x*＋2与圆*x*^2^＋*y*^2^＝*r*^2^(*r*＞0)交于*A*，*B*两点，*O*为坐标原点，若圆上一点*C*满足＝＋，则*r*＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知＝＋，
两边平方化简得·＝－*r*^2^，
所以cos∠*AOB*＝－，所以cos＝，
又圆心*O*(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得*r*＝.
2．设*O*为坐标原点，*P*是以*F*为焦点的抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)上任意一点，*M*是线段*PF*上的点，且\|*PM*\|＝2\|*MF*\|，则直线*OM*的斜率的最大值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选C 如图所示，设*P*(*x*~0~，*y*~0~)(*y*~0~＞0)，
则*y*＝2*px*~0~，即*x*~0~＝.设*M*(*x*′，*y*′)，由＝2，
得()
化简可得∴直线*OM*的斜率*k*＝＝＝≤＝(当且仅当*y*~0~＝*p*时取等号)．故直线*OM*的斜率的最大值为.
3．(2019·惠州调研)设*m*，*n*∈R，若直线*l*：*mx*＋*ny*－1＝0与*x*轴相交于点*A*，与*y*轴相交于点*B*，且直线*l*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝4相交所得的弦长为2，*O*为坐标原点，则△*AOB*面积的最小值为( )
A．5 B.4
C．3 D．2
解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离*d*＝＝，所以*m*^2^＋*n*^2^＝≥2\|*mn*\|，当且仅当*m*＝*n*时等号成立．所以\|*mn*\|≤，又*A*，*B*，所以△*AOB*的面积*S*＝≥3，故△*AOB*面积的最小值为3.
4．(2019·兰州模拟)已知双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*P*为双曲线右支上一点，若\|*PF*~1~\|^2^＝8*a*\|*PF*~2~\|，则双曲线*C*的离心率的取值范围为( )
A．(1,3\] B.\[3，＋∞)
C．(0,3) D．(0,3\]
解析：选A 根据双曲线的定义及点*P*在双曲线的右支上，得\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|＝2*a*，设\|*PF*~1~\|＝*m*，\|*PF*~2~\|＝*n*，则*m*－*n*＝2*a*，*m*^2^＝8*an*，∴*m*^2^－4*mn*＋4*n*^2^＝0，∴*m*＝2*n*，则*n*＝2*a*，*m*＝4*a*，依题得\|*F*~1~*F*~2~\|≤\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|，∴2*c*≤4*a*＋2*a*，∴*e*＝≤3，又*e*＞1，∴1＜*e*≤3，即双曲线*C*的离心率的取值范围为(1,3\]．
5．过抛物线*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点*F*，斜率为的直线交抛物线于*A*，*B*两点，若＝*λ* (*λ*＞1)，则*λ*的值为( )
A．5 B.4
C. D.
解析：选B 根据题意设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
由＝*λ*，得＝*λ*，
故－*y*~1~＝*λy*~2~，即*λ*＝－.
设直线*AB*的方程为*y*＝，
联立直线与抛物线方程，消去*x*，得*y*^2^－*py*－*p*^2^＝0.
故*y*~1~＋*y*~2~＝*p*，*y*~1~*y*~2~＝－*p*^2^，
则()＝＋＋2＝－，
即－*λ*－＋2＝－.
又*λ*＞1，解得*λ*＝4.
6.已知椭圆*C*：＋*y*^2^＝1，过椭圆上一点*A*(0,1)作直线*l*交椭圆于另一点*B*，*P*为线段*AB*的中点，若直线*AB*，*OP*的斜率存在且不为零，则*k~AB~k~OP~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：(特殊值法)取*B*，则*P*，
则*k~AB~*＝，*k~OP~*＝，
故*k~AB~*·*k~OP~*＝×＝－.
法二：由题意，设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋1，
联立方程
消去*y*得，(1＋4*k*^2^)*x*^2^＋8*kx*＝0，
得*x~B~*＝，即*B*.
则*P*，
∴*k~AB~*＝*k*，*k~OP~*＝－，
∴*k~AB~*·*k~OP~*＝－.
法三：(点差法)设*A*(*x~A~*，*y~A~*)，*B*(*x~B~*，*y~B~*)，*P*(*x*~0~，*y*~0~)，
则两式相减得＋*y*－*y*＝0，
化简得·＝－，
即·＝－，
∴*k~AB~*·*k~OP~*＝－.
答案：－
7．已知*AB*为圆*x*^2^＋*y*^2^＝1的一条直径，点*P*为直线*x*－*y*＋2＝0上任意一点，则·的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意，设*A*(cos *θ*，sin *θ*)，*P*(*x*，*x*＋2)，
则*B*(－cos *θ*，－sin *θ*)，
∴＝(cos *θ*－*x*，sin *θ*－*x*－2)，
＝(－cos *θ*－*x*，－sin *θ*－*x*－2)，
∴·＝(cos *θ*－*x*)(－cos *θ*－*x*)＋(sin *θ*－*x*－2)·(－sin *θ*－*x*－2)＝*x*^2^＋(*x*＋2)^2^－cos^2^*θ*－sin^2^*θ*＝2*x*^2^＋4*x*＋3＝2(*x*＋1)^2^＋1，
当且仅当*x*＝－1，即*P*(－1，1)时，·取最小值1.
答案：1
8．(2019·武汉调研)已知*A*，*B*分别为椭圆＋＝1(0＜*b*＜3)的左、右顶点，*P*，*Q*是椭圆上关于*x*轴对称的不同两点，设直线*AP*，*BQ*的斜率分别为*m*，*n*，若点*A*到直线*y*＝ *x*的距离为1，则该椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜*b*＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在*x*轴上，*A*(－3,0)，*B*(3,0)，设*P*(*x*~0~，*y*~0~)，*Q*(*x*~0~，－*y*~0~)，则＋＝1，*k~AP~*＝*m*＝，*k~BQ~*＝*n*＝，∴*mn*＝＝，∴＝，∴直线*y*＝ *x*＝*x*，即*x*－3*y*＝0.又点*A*到直线*y*＝ *x*的距离为1，∴＝＝1，解得*b*^2^＝，∴*c*^2^＝*a*^2^－*b*^2^＝，∴*e*＝＝＝.
答案：
9．已知椭圆*C*：＋*y*^2^＝1的右顶点为*A*，上顶点为*B*.设*P*为第三象限内一点且在椭圆*C*上，直线*PA*与*y*轴交于点*M*，直线*PB*与*x*轴交于点*N*，求证：四边形*ABNM*的面积为定值．
解：由题意知，*A*(2,0)，*B*(0,1)，
设*P*(*x*~0~，*y*~0~)(*x*~0~＜0，*y*~0~＜0)，则*x*＋4*y*＝4，
所以直线*PA*的方程为*y*＝(*x*－2)，
令*x*＝0，得*y~M~*＝－，
从而\|*BM*\|＝1－*y~M~*＝1＋，
直线*PB*的方程为*y*＝*x*＋1，
令*y*＝0，得*x~N~*＝－，
从而\|*AN*\|＝2－*x~N~*＝2＋，
所以四边形*ABNM*的面积
*S*＝\|*AN*\|\|*BM*\|＝
＝()
＝
＝2，
从而四边形*ABNM*的面积为定值．
10．已知离心率为的椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的一个焦点为*F*，过*F*且与*x*轴垂直的直线与椭圆交于*A*，*B*两点，\|*AB*\|＝.
(1)求此椭圆的方程；
(2)已知直线*y*＝*kx*＋2与椭圆交于*C*，*D*两点，若以线段*CD*为直径的圆过点*E*(－1,0)，求*k*的值．
解：(1)设焦距为2*c*，∵*e*＝＝，*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，
∴＝.由题意可知＝，∴*b*＝1，*a*＝，
∴椭圆的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)将*y*＝*kx*＋2代入椭圆方程，得(1＋3*k*^2^)*x*^2^＋12*kx*＋9＝0，
又直线与椭圆有两个交点，
所以*Δ*＝(12*k*)^2^－36(1＋3*k*^2^)＞0，解得*k*^2^＞1.
设*C*(*x*~1~，*y*~1~)，*D*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝.
若以*CD*为直径的圆过*E*点，
则·＝0，
即(*x*~1~＋1)(*x*~2~＋1)＋*y*~1~*y*~2~＝0，
而*y*~1~*y*~2~＝(*kx*~1~＋2)(*kx*~2~＋2)＝*k*^2^*x*~1~*x*~2~＋2*k*(*x*~1~＋*x*~2~)＋4，
所以(*x*~1~＋1)(*x*~2~＋1)＋*y*~1~*y*~2~
＝(*k*^2^＋1)*x*~1~*x*~2~＋(2*k*＋1)(*x*~1~＋*x*~2~)＋5
＝()－()＋5＝0，
解得*k*＝，满足*k*^2^＞1，所以*k*＝.
第十二节 解析几何综合3大考点
考点一 定点、定值问题
\[例1\] 已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右焦点*F*(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆*C*的标准方程；
(2)设不经过点*B*(0,1)的直线*l*与椭圆*C*相交于不同的两点*M*，*N*，若点*B*在以线段*MN*为直径的圆上，证明直线*l*过定点，并求出该定点的坐标．
\[解\] (1)由题意得，*c*＝，＝2，*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，
∴*a*＝2，*b*＝1，
∴椭圆*C*的标准方程为＋*y*^2^＝1.
(2)证明：当直线*l*的斜率存在时，设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋*m*(*m*≠1)，*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)．
由消去*y*可得(4*k*^2^＋1)*x*^2^＋8*kmx*＋4*m*^2^－4＝0.
∴*Δ*＝16(4*k*^2^＋1－*m*^2^)＞0，*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.
∵点*B*在以线段*MN*为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(*x*~1~，*kx*~1~＋*m*－1)·(*x*~2~，*kx*~2~＋*m*－1)＝(*k*^2^＋1)*x*~1~*x*~2~＋*k*(*m*－1)(*x*~1~＋*x*~2~)＋(*m*－1)^2^＝0，
∴(*k*^2^＋1)＋*k*(*m*－1)＋(*m*－1)^2^＝0，
整理，得5*m*^2^－2*m*－3＝0，
解得*m*＝－或*m*＝1(舍去)．
∴直线*l*的方程为*y*＝*kx*－.
易知当直线*l*的斜率不存在时，不符合题意．
故直线*l*过定点，且该定点的坐标为.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
\[题组训练\]
1.如图，已知直线*l*：*y*＝*kx*＋1(*k*＞0)关于直线*y*＝*x*＋1对称的直线为*l*~1~，直线*l*，*l*~1~与椭圆*E*：＋*y*^2^＝1分别交于点*A*，*M*和*A*，*N*，记直线*l*~1~的斜率为*k*~1~.
(1)求*k*·*k*~1~的值；
(2)当*k*变化时，试问直线*MN*是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：(1)设直线*l*上任意一点*P*(*x*，*y*)关于直线*y*＝*x*＋1对称的点为*P*~0~(*x*~0~，*y*~0~)，
直线*l*与直线*l*~1~的交点为(0,1)，
∴*l*：*y*＝*kx*＋1，*l*~1~：*y*＝*k*~1~*x*＋1，
*k*＝，*k*~1~＝，由＝＋1，
得*y*＋*y*~0~＝*x*＋*x*~0~＋2，①
由＝－1，得*y*－*y*~0~＝*x*~0~－*x*，②
由①②得
∴*k*·*k*~1~＝()
＝()()()＝1.
(2)由得(4*k*^2^＋1)*x*^2^＋8*kx*＝0，
设*M*(*x~M~*，*y~M~*)，*N*(*x~N~*，*y~N~*)，
∴*x~M~*＝，*y~M~*＝.
同理可得*x~N~*＝＝，*y~N~*＝＝.
*k~MN~*＝＝＝()＝－，
直线*MN*：*y*－*y~M~*＝*k~MN~*(*x*－*x~M~*)，
即*y*－＝－，
即*y*＝－*x*－()()＋＝－*x*－.
∴当*k*变化时，直线*MN*过定点.
\[例2\] (2019·沈阳模拟)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的焦点为*F*~1~，*F*~2~，离心率为，点*P*为其上一动点，且三角形*PF*~1~*F*~2~的面积最大值为，*O*为坐标原点．
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)若点*M*，*N*为*C*上的两个动点，求常数*m*，使·＝*m*时，点*O*到直线*MN*的距离为定值，求这个定值．
\[解\] (1)当点*P*位于短轴的端点时，△*PF*~1~*F*~2~的面积最大，即×2*c*×*b*＝，
则有解得
所以椭圆*C*的方程为＋＝1.
(2)设*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，则*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~＝*m*，
当直线*MN*的斜率存在时，设其方程为*y*＝*kx*＋*n*，则点*O*到直线*MN*的距离*d*＝ ＝ ，
联立消去*y*，得(4*k*^2^＋3)*x*^2^＋8*knx*＋4*n*^2^－12＝0, 由*Δ*＞0得4*k*^2^－*n*^2^＋3＞0，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝，
所以*x*~1~*x*~2~＋(*kx*~1~＋*n*)(*kx*~2~＋*n*)＝(*k*^2^＋1)*x*~1~*x*~2~＋*kn*(*x*~1~＋*x*~2~)＋*n*^2^＝*m*，整理得＝12＋().
因为*d*＝ 为常数，则*m*＝0，*d*＝ ＝，
此时＝12满足*Δ*＞0.
当*MN*⊥*x*轴时，由*m*＝0得*k~OM~*＝±1，
联立消去*y*，得*x*^2^＝，
点*O*到直线*MN*的距离*d*＝\|*x*\|＝亦成立．
综上可知，当*m*＝0时，点*O*到直线*MN*的距离为定值，这个定值是.
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
\[题组训练\]
2．(2019·昆明调研)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的焦距为4，*P*是椭圆*C*上的点．
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)*O*为坐标原点，*A*，*B*是椭圆*C*上不关于坐标轴对称的两点，设＝＋，证明：直线*AB*的斜率与*OD*的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知2*c*＝4，即*c*＝2，
则椭圆*C*的方程为＋＝1，
因为点*P*在椭圆*C*上，
所以＋()＝1，解得*a*^2^＝5或*a*^2^＝(舍去)，
所以椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)证明：设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，*x*~1~≠*x*~2~且*x*~1~＋*x*~2~≠0，
由＋＝，得*D*(*x*~1~＋*x*~2~，*y*~1~＋*y*~2~)，
所以直线*AB*的斜率*k~AB~*＝，
直线*OD*的斜率*k~OD~*＝，
由得(*x*~1~＋*x*~2~)(*x*~1~－*x*~2~)＋(*y*~1~＋*y*~2~)(*y*~1~－*y*~2~)＝0，即·＝－，
所以*k~AB~*·*k~OD~*＝－.
故直线*AB*的斜率与*OD*的斜率的乘积为定值－.
考点二 最值、范围问题
\[例1\] (2018·南昌模拟)已知抛物线*C*：*y*^2^＝2*px*(*p*＞0)的焦点为*F*，准线为*l*，过焦点*F*的直线交*C*于*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)两点，*y*~1~*y*~2~＝－4.
(1)求抛物线*C*的方程；
(2)如图，点*B*在准线*l*上的正投影为*E*，*D*是*C*上一点，且*AD*⊥*EF*，求△*ABD*面积的最小值及此时直线*AD*的方程．
\[解\] (1)依题意知*F*，
当直线*AB*的斜率不存在时，*y*~1~*y*~2~＝－*p*^2^＝－4，
解得*p*＝2.
当直线*AB*的斜率存在时，设*l~AB~*：*y*＝*k*(*k*≠0)，
由消去*x*并整理，得*y*^2^－*y*－*p*^2^＝0，
则*y*~1~*y*~2~＝－*p*^2^，
由*y*~1~*y*~2~＝－4，得*p*^2^＝4，解得*p*＝2.
综上所述，抛物线*C*的方程为*y*^2^＝4*x*.
(2)设*D*(*x*~0~，*y*~0~)，*B*，
则*E*(－1，*t*)，又由*y*~1~*y*~2~＝－4，可得*A*.
因为*k~EF~*＝－，*AD*⊥*EF*，所以*k~AD~*＝，
则直线*l~AD~*的方程为*y*＋＝，
化简得2*x*－*ty*－4－＝0.
由消去*x*并整理，得*y*^2^－2*ty*－8－＝0，*Δ*＝(－2*t*)^2^－4＝4*t*^2^＋＋32＞0恒成立，
所以*y*~1~＋*y*~0~＝2*t*，*y*~1~*y*~0~＝－8－.
于是\|*AD*\|＝\|*y*~1~－*y*~0~\|＝()＝ ，
设点*B*到直线*AD*的距离为*d*，则*d*＝＝.
所以*S*~△*ABD*~＝\|*AD*\|·*d*＝≥16，
当且仅当*t*^4^＝16，即*t*＝±2时取等号，即△*ABD*面积的最小值为16.
当*t*＝2时，直线*AD*的方程为*x*－*y*－3＝0；当*t*＝－2时，直线*AD*的方程为*x*＋*y*－3＝0.
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
\[题组训练\]
1．(2018·安康质检)已知椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~和*F*~2~，由*M*(－*a*，*b*)，*N*(*a*，*b*)，*F*~2~和*F*~1~这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点*F*~1~的直线和椭圆交于*A*，*B*两点，求△*F*~2~*AB*面积的最大值．
解：(1)由已知条件，得*b*＝，且×＝3，
∴*a*＋*c*＝3.又*a*^2^－*c*^2^＝3，∴*a*＝2，*c*＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)显然，直线的斜率不能为0，
设直线的方程为*x*＝*my*－1，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)．
联立方程，得消去*x*得，
(3*m*^2^＋4)*y*^2^－6*my*－9＝0.
∵直线过椭圆内的点，
∴无论*m*为何值，直线和椭圆总相交．
∴*y*~1~＋*y*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝－.
∴＝\|*F*~1~*F*~2~\|\|*y*~1~－*y*~2~\|＝\|*y*~1~－*y*~2~\|
＝()＝12 ()
＝4＝4()，
令*t*＝*m*^2^＋1≥1，设*f*(*t*)＝*t*＋，易知*t*∈时，函数*f*(*t*)单调递减，*t*∈时，函数*f*(*t*)单调递增，
∴当*t*＝*m*^2^＋1＝1，即*m*＝0时，*f*(*t*)取得最小值，*f*(*t*)~min~＝，此时，取得最大值3.
\[例2\] (2019·合肥模拟)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线*x*sin *θ*＋*y*cos *θ*－1＝0相切(*θ*为常数)．
(1)求椭圆*C*的标准方程；
(2)若椭圆*C*的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，过*F*~2~作直线*l*与椭圆交于*M*，*N*两点，求·的取值范围．
\[解\] (1)由题意，得解得
故椭圆*C*的标准方程为＋*y*^2^＝1.
(2)由(1)得*F*~1~(－1,0)，*F*~2~(1,0)．
①若直线*l*的斜率不存在，则直线*l*⊥*x*轴，直线*l*的方程为*x*＝1，不妨记*M*，*N*，
∴＝，＝，
故·＝.
②若直线*l*的斜率存在，设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)，
由()消去*y*得，
(1＋2*k*^2^)*x*^2^－4*k*^2^*x*＋2*k*^2^－2＝0，
设*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.①
＝(*x*~1~＋1，*y*~1~)，＝(*x*~2~＋1，*y*~2~)，
则·＝(*x*~1~＋1)(*x*~2~＋1)＋*y*~1~*y*~2~＝(*x*~1~＋1)(*x*~2~＋1)＋*k*(*x*~1~－1)·*k*(*x*~2~－1)＝(1＋*k*^2^)*x*~1~*x*~2~＋(1－*k*^2^)(*x*~1~＋*x*~2~)＋1＋*k*^2^，
结合①可得·＝()＋＋1＋*k*^2^＝＝－，
由*k*^2^≥0可得·∈.
综上可知，·的取值范围是.
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
\[题组训练\]
2．(2019·惠州调研)如图，椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的右顶点为*A*(2,0)，左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，过点*A*且斜率为的直线与*y*轴交于点*P*，与椭圆交于另一个点*B*，且点*B*在*x*轴上的射影恰好为点*F*~1~.
(1)求椭圆*C*的标准方程；
(2)过点*P*且斜率大于的直线与椭圆交于*M*，*N*两点(\|*PM*\|＞\|*PN*\|)，若*S*~△*PAM*~∶*S*~△*PBN*~＝*λ*，求实数*λ*的取值范围．
解：(1)因为*BF*~1~⊥*x*轴，所以点*B*，
所以()解得
所以椭圆*C*的标准方程是＋＝1.
(2)因为＝＝＝*λ*⇒＝(*λ*＞2)，
所以＝－.
由(1)可知*P*(0，－1)，
设直线*MN*的方程为*y*＝*kx*－1，
*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，
联立方程，得
化简得，(4*k*^2^＋3)*x*^2^－8*kx*－8＝0.
得(\*)
又＝(*x*~1~，*y*~1~＋1)，＝(*x*~2~，*y*~2~＋1)，有*x*~1~＝－*x*~2~，
将*x*~1~＝－*x*~2~代入(\*)可得，()＝.
因为*k*＞，所以＝∈(1,4)，
则1＜()＜4且*λ*＞2，解得4＜*λ*＜4＋2.
综上所述，实数*λ*的取值范围为(4,4＋2)．
考点三 证明、探索性问题
\[例1\] (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆*C*：＋*y*^2^＝1的右焦点为*F*，过*F*的直线*l*与*C*交于*A*，*B*两点，点*M*的坐标为(2,0)．
(1)当*l*与*x*轴垂直时，求直线*AM*的方程；
(2)设*O*为坐标原点，证明：∠*OMA*＝∠*OMB*.
\[解\] (1)由已知得*F*(1,0)，直线*l*的方程为*x*＝1.
则点*A*的坐标为或.
又*M*(2,0)，
所以直线*AM*的方程为*y*＝－*x*＋或*y*＝*x*－，
即*x*＋*y*－2＝0或*x*－*y*－2＝0.
(2)证明：当*l*与*x*轴重合时，∠*OMA*＝∠*OMB*＝0°.
当*l*与*x*轴垂直时，*OM*为*AB*的垂直平分线，
所以∠*OMA*＝∠*OMB*.
当*l*与*x*轴不重合也不垂直时，设*l*的方程为
*y*＝*k*(*x*－1)(*k*≠0)，*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＜，*x*~2~＜，直线*MA*，*MB*的斜率之和为
*k~MA~*＋*k~MB~*＝＋.
由*y*~1~＝*kx*~1~－*k*，*y*~2~＝*kx*~2~－*k*，
得*k~MA~*＋*k~MB~*＝()()().
将*y*＝*k*(*x*－1)代入＋*y*^2^＝1，
得(2*k*^2^＋1)*x*^2^－4*k*^2^*x*＋2*k*^2^－2＝0，
所以*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.
则2*kx*~1~*x*~2~－3*k*(*x*~1~＋*x*~2~)＋4*k*
＝＝0.
从而*k~MA~*＋*k~MB~*＝0，故*MA*，*MB*的倾斜角互补．
所以∠*OMA*＝∠*OMB*.综上，∠*OMA*＝∠*OMB*成立．
圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
\[题组训练\]
1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为*k*的直线*l*与椭圆*C*：＋＝1交于*A*，*B*两点，线段*AB*的中点为*M*(1，*m*)(*m*＞0)．
(1)证明：*k*＜－；
(2)设*F*为*C*的右焦点，*P*为*C*上一点，且＋＋＝0.证明：\|\|，\|\|，\|\|成等差数列，并求该数列的公差．
证明：(1)设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝*k*得＋·*k*＝0.
由题设知＝1，＝*m*，于是*k*＝－.①
由题设得0＜*m*＜，故*k*＜－.
(2)由题意得*F*(1,0)．设*P*(*x*~3~，*y*~3~)，
则(*x*~3~－1，*y*~3~)＋(*x*~1~－1，*y*~1~)＋(*x*~2~－1，*y*~2~)＝(0,0)．
由(1)及题设得*x*~3~＝3－(*x*~1~＋*x*~2~)＝1，
*y*~3~＝－(*y*~1~＋*y*~2~)＝－2*m*＜0.
又点*P*在*C*上，所以*m*＝，
从而*P*，\|\|＝，
于是\|\|＝()＝()＝2－.
同理\|\|＝2－.
所以\|\|＋\|\|＝4－(*x*~1~＋*x*~2~)＝3.
故2\|\|＝\|\|＋\|\|，
即\|\|，\|\|，\|\|成等差数列．
设该数列的公差为*d*，
则2\|*d*\|＝\|\|\|－\|\|\|＝\|*x*~1~－*x*~2~\|
＝ ().②
将*m*＝代入①得*k*＝－1，
所以*l*的方程为*y*＝－*x*＋，
代入*C*的方程，并整理得7*x*^2^－14*x*＋＝0.
故*x*~1~＋*x*~2~＝2，*x*~1~*x*~2~＝，代入②解得\|*d*\|＝.
所以该数列的公差为或－.
\[例2\] (2019·合肥质检)
如图，在平面直角坐标系中，点*F*(－1，0)，过直线*l*：*x*＝－2右侧的动点*P*作*PA*⊥*l*于点*A*，∠*APF*的平分线交*x*轴于点*B*，\|*PA*\|＝\|*BF*\|.
(1)求动点*P*的轨迹*C*的方程；
(2)过点*F*的直线*q*交曲线*C*于*M*，*N*，试问：*x*轴正半轴上是否存在点*E*，直线*EM*，*EN*分别交直线*l*于*R*，*S*两点，使∠*RFS*为直角？若存在，求出点*E*的坐标，若不存在，请说明理由．
\[解\] (1)设*P*(*x*，*y*)，由平面几何知识得＝，
即()＝，化简得＋*y*^2^＝1，
所以动点*P*的轨迹*C*的方程为＋*y*^2^＝1(*x*≠)．
(2)假设满足条件的点*E*(*n,*0)(*n*＞0)存在，设直线*q*的方程为*x*＝*my*－1，*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，*R*(－2，*y*~3~)，*S*(－2，*y*~4~)．联立消去*x*，得(*m*^2^＋2)*y*^2^－2*my*－1＝0，*y*~1~＋*y*~2~＝，*y*~1~*y*~2~＝－，
*x*~1~*x*~2~＝(*my*~1~－1)(*my*~2~－1)＝*m*^2^*y*~1~*y*~2~－*m*(*y*~1~＋*y*~2~)＋1＝－－＋1＝，
*x*~1~＋*x*~2~＝*m*(*y*~1~＋*y*~2~)－2＝－2＝－，
由条件知＝，*y*~3~＝－()，
同理*y*~4~＝－()，
*k~RF~*＝＝－*y*~3~，*k~SF~*＝－*y*~4~.
因为∠*RFS*为直角，所以*y*~3~*y*~4~＝－1，
所以(2＋*n*)^2^*y*~1~*y*~2~＝－\[*x*~1~*x*~2~－*n*(*x*~1~＋*x*~2~)＋*n*^2^\]，
(2＋*n*)^2^＝＋＋*n*^2^，
所以(*n*^2^－2)(*m*^2^＋1)＝0，*n*＝，
故满足条件的点*E*存在，其坐标为(，0)．
存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用"肯定顺推法"，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
\[题组训练\]
2．(2019·福州四校联考)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的两个焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，短轴的一个端点为*P*，△*PF*~1~*F*~2~内切圆的半径为，设过点*F*~2~的直线*l*被椭圆*C*截得的线段为*RS*，当*l*⊥*x*轴时，\|*RS*\|＝3.
(1)求椭圆*C*的标准方程；
(2)在*x*轴上是否存在一点*T*，使得当*l*变化时，总有*TS*与*TR*所在直线关于*x*轴对称？若存在，请求出点*T*的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由内切圆的性质，
得×2*c*×*b*＝×(2*a*＋2*c*)×，得＝.
将*x*＝*c*代入＋＝1，得*y*＝±，所以＝3.
又*a*^2^＝*b*^2^＋*c*^2^，所以*a*＝2，*b*＝，
故椭圆*C*的标准方程为＋＝1.
(2)当直线*l*垂直于*x*轴时，显然*x*轴上任意一点*T*都满足*TS*与*TR*所在直线关于*x*轴对称．
当直线*l*不垂直于*x*轴时，假设存在*T*(*t,*0)满足条件，设*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－1)，*R*(*x*~1~，*y*~1~)，*S*(*x*~2~，*y*~2~)．
联立()
得(3＋4*k*^2^)*x*^2^－8*k*^2^*x*＋4*k*^2^－12＝0，
由根与系数的关系得①
其中*Δ*＞0恒成立，
由*TS*与*TR*所在直线关于*x*轴对称，得*k~TS~*＋*k~TR~*＝0(显然*TS*，*TR*的斜率存在)，
即＋＝0.②
因为*R*，*S*两点在直线*y*＝*k*(*x*－1)上，
所以*y*~1~＝*k*(*x*~1~－1)，*y*~2~＝*k*(*x*~2~－1)，代入②得
()()()()()()
＝()()()()＝0，
即2*x*~1~*x*~2~－(*t*＋1)(*x*~1~＋*x*~2~)＋2*t*＝0，③
将①代入③得
()()＝＝0，④
则*t*＝4，综上所述，存在*T*(4,0)，使得当*l*变化时，总有*TS*与*TR*所在直线关于*x*轴对称．
1.(2018·郑州一检)已知椭圆*C*：＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，以*F*~1~*F*~2~为直径的圆与直线*ax*＋2*by*－*ab*＝0相切．
(1)求椭圆*C*的离心率；
(2)如图，过*F*~1~作直线*l*与椭圆分别交于*P*，*Q*两点，若△*PQF*~2~的周长为4，求·的最大值．
解：(1)由题意知＝*c*，即3*a*^2^*b*^2^＝*c*^2^(*a*^2^＋4*b*^2^)＝(*a*^2^－*b*^2^)(*a*^2^＋4*b*^2^)．化简得*a*^2^＝2*b*^2^，所以*e*＝＝.
(2)因为△*PQF*~2~的周长为4，所以4*a*＝4，得*a*＝，
由(1)知*b*^2^＝1，所以椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1，且焦点*F*~1~(－1,0)，*F*~2~(1,0)，
①若直线*l*的斜率不存在，则直线*l*⊥*x*轴，直线方程为
*x*＝－1，*P*，*Q*，＝，＝，故·＝.
②若直线*l*的斜率存在，设直线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*＋1)，
由()消去*y*并整理得
(2*k*^2^＋1)*x*^2^＋4*k*^2^*x*＋2*k*^2^－2＝0，
设*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)，
则*x*~1~＋*x*~2~＝－，*x*~1~*x*~2~＝，
·＝(*x*~1~－1，*y*~1~)·(*x*~2~－1，*y*~2~)
＝(*x*~1~－1)(*x*~2~－1)＋*y*~1~*y*~2~
＝(*k*^2^＋1)*x*~1~*x*~2~＋(*k*^2^－1)(*x*~1~＋*x*~2~)＋*k*^2^＋1
＝(*k*^2^＋1)＋(*k*^2^－1)＋*k*^2^＋1
＝＝－()，
由*k*^2^＞0可得·∈.
综上所述，·∈，
所以·的最大值是.
2．(2019·沈阳教学质量监测)设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆＋＝1上，过*M*作*x*轴的垂线，垂足为*N*，点*P*满足＝.
(1)求点*P*的轨迹*E*的方程；
(2)过*F*(1,0)的直线*l*~1~与点*P*的轨迹交于*A*，*B*两点，过*F*(1,0)作与*l*~1~垂直的直线*l*~2~与点*P*的轨迹交于*C*，*D*两点，求证：＋为定值．
解：(1)设*P*(*x*，*y*)，易知*N*(*x,*0)，＝(0，*y*)，
又＝＝，∴*M*，
又点*M*在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.
∴点*P*的轨迹*E*的方程为＋＝1.
(2)证明：当直线*l*~1~与*x*轴重合时，\|*AB*\|＝6，\|*CD*\|＝，
∴＋＝.
当直线*l*~1~与*x*轴垂直时，\|*AB*\|＝，\|*CD*\|＝6，
∴＋＝.
当直线*l*~1~与*x*轴不垂直也不重合时，可设直线*l*~1~的方程为*y*＝*k*(*x*－1)(*k*≠0)，则直线*l*~2~的方程为*y*＝－(*x*－1)，
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，*C*(*x*~3~，*y*~3~)，*D*(*x*~4~，*y*~4~)，
联立直线*l*~1~与曲线*E*的方程，得()
得(8＋9*k*^2^)*x*^2^－18*k*^2^*x*＋9*k*^2^－72＝0，
可得()()()
∴\|*AB*\|＝·()＝()，
同理可得*x*~3~＋*x*~4~＝，*x*~1~*x*~2~＝.
则\|*CD*\|＝ ·()＝().
∴＋＝()＋()＝.
综上可得＋为定值．
3．(2019·惠州调研)已知点*C*为圆(*x*＋1)^2^＋*y*＝8的圆心，*P*是圆上的动点，点*Q*在圆的半径*CP*上，且有点*A*(1,0)和*AP*上的点*M*，满足·＝0，＝2.
(1)当点*P*在圆上运动时，求点*Q*的轨迹方程；
(2)若斜率为*k*的直线*l*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1相切，与(1)中所求点*Q*的轨迹交于不同的两点*F*，*H*，*O*是坐标原点，且≤·≤时，求*k*的取值范围．
解：(1)由题意知*MQ*是线段*AP*的垂直平分线，所以\|*CP*\|＝\|*QC*\|＋\|*QP*\|＝\|*QC*\|＋\|*QA*\|＝2＞\|*CA*\|＝2，
所以点*Q*的轨迹是以点*C*，*A*为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以*a*＝，*c*＝1，*b*＝＝1，
故点*Q*的轨迹方程是＋*y*^2^＝1.
(2)设直线*l*：*y*＝*kx*＋*t*，*F*(*x*~1~，*y*~1~)，*H*(*x*~2~，*y*~2~)，
直线*l*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1相切⇒＝1⇒*t*^2^＝*k*^2^＋1.
联立⇒(1＋2*k*^2^)*x*^2^＋4*ktx*＋2*t*^2^－2＝0，
*Δ*＝16*k*^2^*t*^2^－4(1＋2*k*^2^)(2*t*^2^－2)＝8(2*k*^2^－*t*^2^＋1)＝8*k*^2^＞0⇒*k*≠0，
*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝，
所以·＝*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~
＝(1＋*k*^2^)*x*~1~*x*~2~＋*kt*(*x*~1~＋*x*~2~)＋*t*^2^
＝()()＋*kt*＋*t*^2^
＝()－()＋*k*^2^＋1
＝，
所以≤≤⇒≤*k*^2^≤⇒≤\|*k*\|≤，
所以－≤*k*≤－或≤*k*≤.
故*k*的取值范围是∪.
第十章 统计与统计案例
=====================
第一节 随机抽样
一、基础知识
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有*N*个个体，从中逐个不放回地抽取*n*个个体作为样本(*n*≤*N*)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．分层抽样
(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为*N*的总体中抽取容量为*n*的样本．
①先将总体的*N*个个体编号；
②确定分段间隔*k*，对编号进行分段．当(*n*是样本容量)是整数时，取*k*＝；
当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号*l*(*l*≤*k*)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将*l*加上间隔*k*得到第2个个体编号*l*＋*k*，再加*k*得到第3个个体编号*l*＋2*k*，依次进行下去，直到获取整个样本．
二、常用结论
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
(2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔*k*的整数倍．
(3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
(4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围
+--------------+-------------------------------------------+----------------------------------------------------+----------------------------------------+----------------------------+
| 类别 | 共同点 | 各自特点 | 联系 | 适用范围 |
+--------------+-------------------------------------------+----------------------------------------------------+----------------------------------------+----------------------------+
| 简单随机抽样 | ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； | 从总体中逐个抽取 | | 总体个数较少 |
| | | | | |
| | ②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 | | | |
+--------------+-------------------------------------------+----------------------------------------------------+----------------------------------------+----------------------------+
| 系统 | | 将总体均分成几部分，按预先定出的规则在各部分中抽取 | 在起始部分取样时，采用简单随机抽样 | 总体个数较多 |
| | | | | |
| 抽样 | | | | |
+--------------+-------------------------------------------+----------------------------------------------------+----------------------------------------+----------------------------+
| 分层 | | 将总体分成几层，分层进行抽取 | 各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样 | 总体由差异明显的几部分组成 |
| | | | | |
| 抽样 | | | | |
+--------------+-------------------------------------------+----------------------------------------------------+----------------------------------------+----------------------------+
\[典例\] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
\[解析\] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．
\[答案\] B
\[解题技法\] 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
\[题组训练\]
1．总体由编号为01,02，...，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
------------------------------------------------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------------------------------------------------
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
2．利用简单随机抽样，从*n*个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 根据题意，＝，
解得*n*＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝.
\[典例\] (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )
A．16 B．17
C．18 D．19
(2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除\_\_\_\_\_\_\_\_个个体，抽样间隔为\_\_\_\_\_\_\_\_．
\[解析\] (1)因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为＝25，
设第一组随机抽取的号码为*x*，
则抽取的第18组编号为*x*＋17×25＝443，所以*x*＝18.
(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，...，500，并均匀分成50段，每段含＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.
\[答案\] (1)C (2)2 10
\[变透练清\]
1.()若本例(1)的条件不变，则编号落入区间\[501,750\]的人数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组＝25个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人．
答案：10
2．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，...，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，...，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题知分组间隔为＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.
答案：45
\[解题技法\] 系统抽样中所抽取编号的特点
系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
\[提醒\] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
\[典例\] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
-------- ------- ------- --------
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4 800 7 200 6 400 1 600
-------- ------- ------- --------
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )
A．25,25,25,25 B．48,72,64,16
C．20,40,30,10 D．24,36,32,8
\[解析\] 法一：因为抽样比为＝，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800×＝24,7 200×＝36，6 400×＝32,1 600×＝8.
法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，
所以每类人中应抽取的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8.
\[答案\] D
\[解题技法\] 分层抽样问题的类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中"抽样比＝＝"．
\[题组训练\]
1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三*n*人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则*n*＝( )
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
解析：选D 由已知条件知抽样比为＝，从而＝，解得*n*＝ 1 040，故选D.
2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为*x*，依题意可得＝，解得*x*＝85.
答案：85
1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
解析：选C 从*N*个个体中抽取*M*个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，故每名学生入选的概率都相等，且为.
2．福利彩票"双色球"中红球的号码可以从01,02,03，...，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )
----------------------------------------------------------------------
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
----------------------------------------------------------------------
A.12 B．33
C．06 D．16
解析：选C 被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为06.
3．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )
A．23 B．27
C．31 D．33
解析：选C 分段间隔为＝13，故样本中还有一个同学的座号为18＋13＝31.
4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为*a*，*b*，*c*，且*a*，*b*，*c*构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800双 B．1 000双
C．1 200双 D．1 500双
解析：选C 因为*a*，*b*，*c*成等差数列，所以2*b*＝*a*＋*c*，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．
5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，...，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，...，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为*m*，那么在第*k*组中抽取的号码个位数字与*m*＋*k*的个位数字相同．若*m*＝6，则在第7组中抽取的号码是( )
A．63 B．64
C．65 D．66
解析：选A 若*m*＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62,63，...，69，故在第7组中抽取的号码是63.
7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，...，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间\[1,450\]的人做问卷*A*，编号落入区间(450,750\]的人做问卷*B*，其余的人做问卷*C*.则抽到的人中，做问卷*B*的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
解析：选C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项，以30为公差的等差数列，其通项公式为*a~n~*＝9＋30(*n*－1)＝30*n*－21.由450＜30*n*－21≤750，解得15.7＜*n*≤25.7.又*n*为正整数，所以16≤*n*≤25，故做问卷*B*的人数为25－16＋1＝10.故选C.
8．某企业三月中旬生产*A*，*B*，*C*三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
-------------- ----- ------- -----
产品类别 *A* *B* *C*
产品数量(件) 1 300
样本容量(件) 130
-------------- ----- ------- -----
由于不小心，表格中*A*，*C*产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得*A*产品的样本容量比*C*产品的样本容量多10，根据以上信息，可得*C*的产品数量是\_\_\_\_\_\_\_\_件．
解析：设样本容量为*x*，则×1 300＝130，∴*x*＝300.
∴*A*产品和*C*产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设*C*产品的样本容量为*y*，则*y*＋*y*＋10＝170，∴*y*＝80.
∴*C*产品的数量为×80＝800(件)．
答案：800
9．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为\_\_\_\_\_\_\_\_；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为\_\_\_\_\_\_\_\_小时．
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.
答案：50 1 015
10．将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001,002，...，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第*k*(*k*∈N^\*^)组抽中的号码是4＋12(*k*－1)．令302≤4＋12(*k*－1)≤496，得25≤*k*≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为42－25＝17(人)．
答案：17
11．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
------ ---------- ---------- ----------
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 *x* *y*
男生 377 370 *z*
------ ---------- ---------- ----------
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求*x*的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
解：(1)∵＝0.19，∴*x*＝380.
(2)初三年级人数为*y*＋*z*＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名)．
第二节 用样本估计总体
一、基础知识
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示，即小长方形的高＝；
(2)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1 .
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁
边生长出来的数．
4．中位数、众数、平均数的定义
(1)中位数
将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(2)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(3)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，*n*个数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的平均数＝(*x*~1~＋*x*~2~＋...＋*x~n~*)．
5．样本的数字特征
如果有*n*个数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*，那么这*n*个数的
(1)平均数＝(*x*~1~＋*x*~2~＋...＋*x~n~*)．
(2)标准差*s*＝ ()()().
(3)方差*s*^2^＝\[(*x*~1~－)^2^＋(*x*~2~－)^2^＋...＋(*x~n~*－)^2^\]．
二、常用结论
1．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的平均数为，则*mx*~1~＋*a*，*mx*~2~＋*a*，*mx*~3~＋*a*，...，*mx~n~*＋*a*的平均数是*m*＋*a*.
(2)若数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的方差为*s*^2^，则数据*ax*~1~＋*b*，*ax*~2~＋*b*，...，*ax~n~*＋*b*的方差为*a*^2^*s*^2^.
\[典例\] (2017·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则*x*和*y*的值分别为( )
A．3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
\[解析\] 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋*y*，解得*y*＝5，又它们的平均值相等，
所以×\[56＋62＋65＋74＋(70＋*x*)\]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，解得*x*＝3.
\[答案\] A
\[解题技法\] 茎叶图的应用
(1)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，"重心"下移者平均数较大，数据集中者方差较小．
\[题组训练\]
1.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由图可知该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的中位数为61－28＝33，易得被污染的数字为2.
2.甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为~甲~，~乙~，则下列结论正确的是( )
A.~甲~＜~乙~；乙比甲得分稳定
B.~甲~＞~乙~；甲比乙得分稳定
C.~甲~＞~乙~；乙比甲得分稳定
D.~甲~＜~乙~；甲比乙得分稳定
解析：选A 因为~甲~＝＝11，~乙~＝＝16.8，所以~甲~＜~乙~且乙比甲成绩稳定．
\[典例\] 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以\[160,180)，\[180,200)，\[200,220)，\[220,240)，\[240,260)，\[260,280)，\[280,300\]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中*x*的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
\[解\] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋*x*＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得*x*＝0.007 5.
即直方图中*x*的值为0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5，
∴月平均用电量的中位数在\[220,240)内．
设中位数为*a*，则0.45＋0.012 5×(*a*－220)＝0.5，解得*a*＝224，即中位数为224.
\[变透练清\]
1．某校随机抽取20个班，调查各班有出国意向的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以5为组距将数据分组为\[0,5)，\[5,10)，...，\[30,35)，\[35,40\]，所作的频率分布直方图是( )
解析：选A 以5为组距将数据分组为\[0,5)，\[5,10)，...，\[30,35)，\[35,40\]，各组的频数依次为1,1,4,2,4,3,3,2，可知画出的频率分布直方图为选项A中的图．
2.()在本例条件下，在月平均电量为\[220,240)，\[240,260)，\[260,280)，\[280,300\]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在\[220,240)的用户中应抽取\_\_\_\_\_\_\_\_户．
解析：月平均用电量在\[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在\[240,260)的用户有15户，月平均用电量在\[260,280\]的用户有10户，月平均用电量在\[280,300\]的用户有5户，故抽取比例为＝.
所以月平均用电量在\[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．
答案：5
3．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照\[0，0.5)，\[0.5,1)，...，\[4,4.5\]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中*a*的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在\[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在\[0.5,1)，\[1.5,2)，\[2,2.5)，\[3,3.5)，\[3.5,4)，\[4,4.5\]6组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×*a*＋0.5×*a*，
解得*a*＝0.30.
(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：
由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝ 36 000＝3.6(万)．
考法(一) 样本的数字特征与频率分布直方图交汇
\[典例\] (2019·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80
D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8
\[解析\] 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋*x*，则*x*×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴*x*＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.
\[答案\] C
\[解题技法\]
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的"重心"，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
考法(二) 样本的数字特征与茎叶图交汇
\[典例\] 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以*x*表示，则7个剩余分数的方差为\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] 由茎叶图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋*x*＝91×7，解得*x*＝4.故*s*^2^＝\[(87－91)^2^＋(90－91)^2^×2＋(91－91)^2^×2＋(94－91)^2^×2\]＝.
\[答案\]
\[解题技法\]
样本的数字特征与茎叶图综合问题的注意点
(1)在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
(2)茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．
考法(三) 样本的数字特征与优化决策问题交汇
\[典例\] (2018·周口调研)甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示．
(1)请填写下表(写出计算过程)：
---- -------- ------ ------------------------
平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
---- -------- ------ ------------------------
(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
\[解\] 由题图，知
甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
将它们由小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)~甲~＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，
~乙~＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，
*s*＝×\[(5－7)^2^＋(6－7)^2^×2＋(7－7)^2^×4＋(8－7)^2^×2＋(9－7)^2^\]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，
*s*＝×\[(2－7)^2^＋(4－7)^2^＋(6－7)^2^＋(7－7)^2^×2＋(8－7)^2^×2＋(9－7)^2^×2＋(10－7)^2^\]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.
填表如下：
---- -------- ------ ------------------------
平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 1
乙 7 5.4 3
---- -------- ------ ------------------------
(2)①∵平均数相同，*s*＜*s*，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，
∴乙成绩比甲好些．
③∵甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，∴乙更有潜力．
\[解题技法\]
利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
\[题组训练\]
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
解析：选A 样本共30个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.
2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
------------ ----- ----- ----- -----
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差*s*^2^ 3.5 3.6 2.2 5.4
------------ ----- ----- ----- -----
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选C 由表格中数据可知，乙、丙平均环数最高，但丙方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个进行检测，如图是根据抽样检测得到的零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据按照\[80,82)，\[82,84)，\[84,86)，\[86,88)，\[88,90)，\[90,92)，\[92,94)，\[94,96\]分成8组，将其按从左到右的顺序分别记为第一组，第二组，......，第八组．则样本数据的中位数在第\_\_\_\_\_\_\_\_组．
解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55，则其频数为40×0.55＝22，且第四组的频数为40×0.100 0×2＝8，故中位数在第四组．
答案：四
A级
1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在\[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在\[40,60)内的数据个数为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：选B 由题意，样本中数据在\[20,60)上的频数为30×0.8＝24，
所以估计样本在\[40,60)内的数据个数为24－4－5＝15.
2．(2019·长春质检)如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩*y*关于测试序号*x*的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ①由图可知一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确． ②由图可知二班平均成绩的图象高低变化明显，可知成绩不稳定，波动程度较大，故②正确．③由图可知三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.
3．(2018·贵阳检测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )
A．15 B．18
C．20 D．25
解析：选A 根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.
4.2017年4月，泉州有四处湿地被列入福建省首批重要湿地名录，某同学决定从其中A，B两地选择一处进行实地考察．因此，他通过网站了解上周去过这两个地方的人对它们的综合评分，并将评分数据记录为右图的茎叶图，记A，B两地综合评分数据的均值分别为~A~，~B~，方差分别为*s*，*s*.若以备受好评为依据，则下述判断较合理的是( )
A．因为~A~＞~B~，*s*＞*s*，所以应该去A地
B．因为~A~＞~B~，*s*＜*s*，所以应该去A地
C．因为~A~＜~B~，*s*＞*s*，所以应该去B地
D．因为~A~＜~B~，*s*＜*s*，所以应该去B地
解析：选B 因为~A~＝×(72＋86＋87＋89＋92＋94)≈86.67，~B~＝×(74＋73＋88＋86＋95＋94)＝85，
*s*≈\[(72－86.67)^2^＋(86－86.67)^2^＋(87－86.67)^2^＋(89－86.67)^2^＋(92－86.67)^2^＋(94－86.67)^2^\]≈50.56，
*s*＝\[(74－85)^2^＋(73－85)^2^＋(88－85)^2^＋(86－85)^2^＋(95－85)^2^＋(94－85)^2^\]＝76，
所以~A~＞~B~，*s*＜*s*(A数据集中，B数据分散)，
所以A地好评分高，且评价稳定．故选B.
5．(2018·青岛三中期中)已知数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的平均数＝5，方差*s*^2^＝4，则数据3*x*~1~＋7,3*x*~2~＋7，...，3*x~n~*＋7的平均数和标准差分别为( )
A．15,36 B．22,6
C．15,6 D．22,36
解析：选B ∵*x*~1~，*x*~2~，*x*~3~，...，*x~n~*的平均数为5，
∴＝5，∴＋7＝()＋7＝3×5＋7＝22.
∵*x*~1~，*x*~2~，*x*~3~，...，*x~n~*的方差为4，∴3*x*~1~＋7,3*x*~2~＋7,3*x*~3~＋7，...，3*x~n~*＋7的方差是3^2^×4＝36，故数据3*x*~1~＋7,3*x*~2~＋7，...，3*x~n~*＋7的平均数和标准差分别为22,6，故选B.
6．(2018·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为＝90.
答案：90
7．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设被抽查的美术生的人数为*n*，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋ 0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以*n*＝＝60.
答案：60
8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为*x*，*y,*10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则\|*x*－*y*\|的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意知这组数据的平均数为10，方差为2，
可得*x*＋*y*＝20，(*x*－10)^2^＋(*y*－10)^2^＝8，
设*x*＝10＋*t*，*y*＝10－*t*，由(*x*－10)^2^＋(*y*－10)^2^＝8得*t*^2^＝4，
所以\|*x*－*y*\|＝2\|*t*\|＝4.
答案：4
9．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是\[50,60)，\[60,70)，\[70,80)，\[80,90)，\[90,100\]．
(1)求图中*a*的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(*x*)与数学成绩相应分数段的人数(*y*)之比如表所示，求数学成绩在\[50,90)之外的人数.
--------- ---------- ---------- ---------- ----------
分数段 \[50,60) \[60,70) \[70,80) \[80,90)
*x*∶*y* 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
--------- ---------- ---------- ---------- ----------
解：(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2*a*)×10＝1，因此*a*＝0.005.
(2)因为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
(3)分别求出语文成绩在分数段\[50,60)，\[60,70)，\[70,80)，\[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.
所以数学成绩分数段在\[50,60)，\[60,70)，\[70,80)，\[80,90)的人数依次为5,20,40,25.
所以数学成绩在\[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10.
B级
1．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.
(1)求出*m*，*n*的值；
(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差*s*和*s*，并由此分析两组技工的加工水平．
解：(1)根据题意可知：~甲~＝(7＋8＋10＋12＋10＋*m*)＝10，~乙~＝(9＋*n*＋10＋11＋12)＝10，
所以*m*＝3，*n*＝8.
(2)*s*＝\[(7－10)^2^＋(8－10)^2^＋(10－10)^2^＋(12－10)^2^＋(13－10)^2^\]＝5.2，
*s*＝\[(8－10)^2^＋(9－10)^2^＋(10－10)^2^＋(11－10)^2^＋(12－10)^2^\]＝2，
因为~甲~＝~乙~，*s*＞*s*，
所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．
2．某大学艺术专业的400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据按\[20,30)，\[30,40)，...，\[80,90\]分成7组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计总体的众数；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女学生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
解：(1)由频率分布直方图可估计总体的众数为＝75.
(2)由频率分布直方图可知，样本中分数在区间\[50,90\]内的人数为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10×100＝90.
因为样本中分数小于40的学生有5人，
所以样本中分数在区间\[40,50)内的人数为100－90－5＝5.
设总体中分数在区间\[40,50)内的人数为*x*，则＝，解得*x*＝20，
故估计总体中分数在区间\[40,50)内的人数为20.
(3)由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的人数为(0.04＋0.02)×10×100＝60.
因为样本中分数不小于70的男女学生人数相等，
所以样本中分数不小于70的男生人数为30.
因为样本中有一半男生的分数不小于70，
所以样本中男生的人数为60，女生的人数为40.
由样本估计总体，得总体中男生和女生人数的比例约为3∶2.
第三节 变量间的相关关系与统计案例
一、基础知识
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为＝*x*＋，其中
(3)通过求()的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当*r*＞0时，表明两个变量正相关；
当*r*＜0时，表明两个变量负相关．
*r*的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．*r*的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常\|*r*\|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表
设*X*，*Y*为两个变量，它们的取值分别为{*x*~1~，*x*~2~}和{*y*~1~，*y*~2~}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
-------- ---------- ---------- --------------------
*y*~1~ *y*~2~ 总计
*x*~1~ *a* *b* *a*＋*b*
*x*~2~ *c* *d* *c*＋*d*
总计 *a*＋*c* *b*＋*d* *a*＋*b*＋*c*＋*d*
-------- ---------- ---------- --------------------
(2)独立性检验
利用随机变量*K*^2^(也可表示为*χ*^2^)的观测值*k*＝()()()()()(其中*n*＝*a*＋*b*＋*c*＋*d*为样本容量)来判断"两个变量有关系"的方法称为独立性检验．
二、常用结论
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点 (，)．
(2)根据*K*^2^的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若*K*^2^越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
考点一 回归分析
考法(一) 求线性回归方程
\[典例\] (2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量*x*，*y*的几组数据如下表所示：
----- --- --- --- ---- ----
*x* 2 4 6 8 10
*y* 3 6 7 10 12
----- --- --- --- ---- ----
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出*y*关于*x*的线性回归方程＝*x*＋，并估计当*x*＝20时*y*的值．
参考公式：＝，＝－.
\[解\] (1)散点图如图所示：
(2)依题意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，*~i~y~i~*＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
∴＝＝＝＝1.1，
∴＝7.6－1.1×6＝1，
∴线性回归方程为＝1.1*x*＋1，故当*x*＝20时，*y*＝23.
考法(二) 相关系数及应用
\[典例\] 如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合*y*与*t*的关系，请用相关系数加以说明．
参考数据：*~i~*＝9.32，*~i~y~i~*＝40.17, ()＝0.55, ≈2.646.
参考公式：相关系数*r*＝()()()().
\[解\] 由折线图中数据和参考数据及公式得＝4，
(*t~i~*－)^2^＝28, ()＝0.55，
(*t~i~*－)(*y~i~*－)＝*~i~y~i~*－*~i~*＝40.17－4×9.32＝2.89，*r*≈≈0.99.
因为*y*与*t*的相关系数近似为0.99，说明*y*与*t*的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合*y*与*t*的关系．
\[解题技法\]
1．线性回归分析问题的类型及解题方法
(1)求线性回归方程：
①利用公式，求出回归系数，.
②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．
(2)利用回归方程进行预测：
把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数.
2．模型拟合效果的判断
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)相关指数*R*^2^越大，模型的拟合效果越好．
(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当\|*r*\|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
\[题组训练\]
1．(2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量*y*(件)与月平均气温*x*(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
----------------- ---- ---- ---- ----
月平均气温*x*/℃ 17 13 8 2
月销售量*y*/件 24 33 40 55
----------------- ---- ---- ---- ----
由表中数据算出线性回归方程＝*x*＋中的＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )
A．46件 B．40件
C．38件 D．58件
解析：选A 由题中数据，得＝10，＝38，回归直线＝*x*＋过点(，)，且＝－2，代入得＝58，则回归方程＝－2*x*＋58，所以当*x*＝6时，*y*＝46，故选A.
2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用*x*表示活动推出的天数，*y*表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：
----- ---- ----- ----- ----- ----- ------- -------
*x* 1 2 3 4 5 6 7
*y* 60 110 210 340 660 1 010 1 960
----- ---- ----- ----- ----- ----- ------- -------
根据以上数据，绘制了散点图．
参考数据：
----- ------ ----------- ----------- ----------
*~i~y~i~* *~i~v~i~* 10^0.54^
621 2.54 25 350 78.12 3.47
----- ------ ----------- ----------- ----------
其中*v~i~*＝lg *y~i~*，＝*~i~*.
(1)根据散点图判断，在推广期内，*y*＝*a*＋*bx*与*y*＝*c*·*d^x^*(*c*，*d*均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次*y*关于活动推出天数*x*的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立*y*关于*x*的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．
参考公式：
对于一组数据(*u*~1~，*v*~1~)，(*u*~2~，*v*~2~)，...，(*u~n~*，*v~n~*)，其回归直线＝＋*μ*的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为*β*＝，＝－ .
解：(1)根据散点图可以判断，*y*＝*c*·*d^x^*适宜作为扫码支付的人次*y*关于活动推出天数*x*的回归方程类型．
(2)*y*＝*c*·*d^x^*两边同时取常用对数，得lg *y*＝lg(*c*·*d^x^*)＝lg *c*＋*x*lg *d*，
设lg *y*＝*v*，则*v*＝lg *c*＋*x*lg *d*.
∵＝4，＝2.54，＝140，
∴lg *d*＝≈＝0.25，
把(4,2.54)代入*v*＝lg *c*＋*x*lg *d*，得lg *c*＝1.54，
∴＝1.54＋0.25*x*，∴＝10^1.54＋0.25*x*^＝10^1.54^·(10^0.25^)*^x^*.
把*x*＝8代入上式，得＝10^1.54＋0.25×8^＝10^3.54^＝10^3^×10^0.54^＝3 470，
∴*y*关于*x*的回归方程为＝10^1.54^·(10^0.25^)*^x^*，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
\[典例\] (2018·全国卷Ⅲ节选)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数*m*，并将完成生产任务所需时间超过*m*和不超过*m*的工人数填入下面的列联表：
---------------- --------- -----------
超过*m* 不超过*m*
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- --------- -----------
(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：*K*^2^＝()()()()()，
\[解\] (1)由茎叶图知*m*＝＝80.
列联表如下：
---------------- --------- -----------
超过*m* 不超过*m*
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
---------------- --------- -----------
(2)因为*K*^2^＝()＝10\>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
\[解题技法\]
+---------+-------------------------------------------------+
| 2个明确 | (1)明确两类主体； |
| | |
| | (2)明确研究的两个问题 |
+---------+-------------------------------------------------+
| 2个关键 | (1)准确画出2×2列联表； |
| | |
| | (2)准确求解*K*^2^ |
+---------+-------------------------------------------------+
| 3个步骤 | (1)根据样本数据制成2×2列联表； |
| | |
| | (2)根据公式*K*^2^＝()()()()()，计算*K*^2^的值； |
| | |
| | (3)查表比较*K*^2^与临界值的大小关系，作统计判断 |
+---------+-------------------------------------------------+
\[题组训练\]
1．(2019·沧州模拟)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：
------ -------------- ---------------- ------
认为作业量大 认为作业量不大 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
------ -------------- ---------------- ------
已知*P*(*K*^2^≥3.841)≈0.05，*P*(*K*^2^≥5.024)≈0.025，*P*(*K*^2^≥6.635)≈0.010.
则\_\_\_\_\_\_\_\_(填"有"或"没有")97.5%的把握认为"学生的性别与认为作业量大 有关"．
解析：因为*K*^2^＝()≈5.059＞5.024，
所以有97.5%的把握认为"学生的性别与认为作业量大有关"．
答案：有
2．为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：
------------ -------- ------ ------
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20 *x* *A*
注射疫苗 30 *y* *B*
总计 50 50 100
------------ -------- ------ ------
现从所有试验动物中任取一只，取到"注射疫苗"动物的概率为.
(1)求2×2列联表中的数据*x*，*y*，*A*，*B*的值．
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？
(3)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效？
附：*K*^2^＝()()()()()，*n*＝*a*＋*b*＋*c*＋*d*.
临界值表：
-------------------- ------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*~0~) 0.05 0.01 0.005 0.001
*k*~0~ 3.841 6.635 7.879 10.828
-------------------- ------- ------- ------- --------
解：(1)设"从所有试验动物中任取一只，取到'注射疫苗'动物"为事件*M*，
由已知得*P*(*M*)＝＝，
所以*y*＝10，则*B*＝40，*x*＝40，*A*＝60.
(2)未注射疫苗发病率为＝≈0.67，
注射疫苗发病率为＝＝0.25.
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．
(3)因为*K*^2^＝()≈16.67＞10.828.
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．
A级
1．对变量*x*，*y*有观测数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*＝1,2，...，10)，得散点图如图①，对变量*u*，*v*有观测数据(*u~i~*，*v~i~*)(*i*＝1,2，...，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量*x*与*y*正相关，*u*与*v*正相关
B．变量*x*与*y*正相关，*u*与*v*负相关
C．变量*x*与*y*负相关，*u*与*v*正相关
D．变量*x*与*y*负相关，*u*与*v*负相关
解析：选C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量*x*与*y*负相关，*u*与*v*正相关．
2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：
------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------
购买食品的年支出费用*x*/万元 2.09 2.15 2.50 2.84 2.92
购买水果和牛奶的年支出费用*y*/万元 1.25 1.30 1.50 1.70 1.75
------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------
根据上表可得回归方程＝*x*＋，其中＝0.59，＝－ ，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为( )
A．1.795万元 B．2.555万元
C．1.915万元 D．1.945万元
解析：选A ＝×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，＝×(1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中＝0.59，则＝－ ＝0.025，＝0.59*x*＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为＝0.59×3.00＋0.025＝1.795(万元)．
3．下面四个命题中，错误的是( )
A．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样
B．对分类变量*X*与*Y*的随机变量*K*^2^的观测值*k*来说，*k*越大，"*X*与*Y*有关系"的把握程度越大
C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
D．在回归直线方程＝0.4*x*＋12中，当解释变量*x*每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位
解析：选C 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C错误．
4．春节期间，"厉行节约，反对浪费"之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到"光盘"行动，得到如下的列联表：
---- -------------- --------------
做不到"光盘" 能做到"光盘"
男 45 10
女 30 15
---- -------------- --------------
则下面的正确结论是( )
附表及公式：
-------------------- ------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*~0~) 0.100 0.050 0.010 0.001
*k*~0~ 2.706 3.841 6.635 10.828
-------------------- ------- ------- ------- --------
*K*^2^＝()()()()()，*n*＝*a*＋*b*＋*c*＋*d*.
A．有90%以上的把握认为"该市居民能否做到'光盘'与性别有关"
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为"该市居民能否做到'光盘'与性别无关"
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为"该市居民能否做到'光盘'与性别有关"
D．有90%以上的把握认为"该市居民能否做到'光盘'与性别无关"
解析：选A 由列联表得到*a*＝45，*b*＝10，*c*＝30，*d*＝15，则*a*＋*b*＝55，*c*＋*d*＝45，*a*
＋*c*＝75，*b*＋*d*＝25，*ad*＝675，*bc*＝300，*n*＝100，计算得*K*^2^的观测值*k*＝
()()()()()＝()≈3.030.因为2.706\<3.030\<3.841，
所以有90%以上的把握认为"该市居民能否做到'光盘'与性别有关"．
5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，列出的2×2列联表如下：
------------ ---------- ------------ ------
生产能手 非生产能手 总计
25周岁以上 25 35 60
25周岁以下 10 30 40
总计 35 65 100
------------ ---------- ------------ ------
有\_\_\_\_\_\_\_\_以上的把握认为"工人是否为'生产能手'与工人的年龄有关"．
解析：由2×2列联表可知，*K*^2^＝()≈2.93，因为2.93\>2.706，所以有90%以上的把握认为"工人是否为'生产能手'与工人的年龄有关"．
答案：90%
6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
+-------------+------+------+------+------+------+
| 年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
+-------------+------+------+------+------+------+
| 时间代号*t* | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
+-------------+------+------+------+------+------+
| 储蓄存款*y* | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
| | | | | | |
| (千亿元) | | | | | |
+-------------+------+------+------+------+------+
则*y*关于*t*的回归方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由表中数据得*n*＝5，＝*~i~*＝＝3，＝*~i~*＝＝7.2.
又－*n* ^2^＝55－5×3^2^＝10，
*~i~y~i~*－*n* ＝120－5×3×7.2＝12.
从而＝＝＝1.2，
＝－ ＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为＝1.2*t*＋3.6.
答案：＝1.2*t*＋3.6
7．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出*x*(万元)和销售量*y*(万台)的数据如下：
--------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
广告费支出*x* 1 2 4 6 11 13 19
销售量*y* 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
--------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
(1)若用线性回归模型拟合*y*与*x*的关系，求出*y*关于*x*的线性回归方程；
(2)若用*y*＝*c*＋*d*模型拟合*y*与*x*的关系，可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的*R*^2^分别约为0.75和0.88，请用*R*^2^说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润*z*与*x*，*y*的关系为*z*＝200*y*－*x*.根据(2)的结果，求当广告费*x*＝20时，销售量及利润的预报值．
参考公式：回归直线＝＋*x*的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝＝()()()，＝－ .
参考数据：≈2.24.
解：(1)∵＝8，＝4.2，*~i~y~i~*＝279.4，＝708，
∴＝＝＝0.17，＝－ ＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴*y*关于*x*的线性回归方程为＝0.17*x*＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且*R*^2^越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用＝1.63＋0.99更好．
(3)由(2)知，当*x*＝20时，销售量的预报值＝1.63＋0.99≈6.07(万台)，利润的预报值*z*＝200×(1.63＋0.99)－20≈1 193.04(万元)．
B级
1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用"传统教学"和"导学案"两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为"成绩优良".
(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；
(2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为"成绩优良与教学方式有关"．
附：*K*^2^＝()()()()()，其中*n*＝*a*＋*b*＋*c*＋*d*.
临界值表：
-------------------- ------- ------- ------- -------
*P*(*K*^2^≥*k*~0~) 0.10 0.05 0.025 0.010
*k*~0~ 2.706 3.841 5.024 6.635
-------------------- ------- ------- ------- -------
解：(1)"导学案"教学方式教学效果更佳．
理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多．
理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05.
理由3：甲班样本数学成绩的中位数为＝70，乙班样本数学成绩的中位数为＝77.5.
(2)2×2列联表如下：
------------ ------ ------ ------
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总计 20 20 40
------------ ------ ------ ------
由上表数据可得*K*^2^＝()≈3.956＞3.841，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为"成绩优良与教学方式有关"．
2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量*X*(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量*y*(千克)与使用某种液体肥料的质量*x*(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．
(1)依据折线图计算相关系数*r*(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合*y*与*x*的关系；(若\|*r*\|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量*X*限制，并有如下关系：
-------------------- ------------- ----------- ---------
周光照量*X*/小时 30＜*X*＜50 50≤*X*≤70 *X*＞70
光照控制仪运行台数 3 2 1
-------------------- ------------- ----------- ---------
对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．
相关系数公式：*r*＝()()()()，
参考数据：≈0.55，≈0.95.
解：(1)由已知数据可得＝＝5，
＝＝4.
因为(*x~i~*－)(*y~i~*－)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
()＝()()＝2，
()＝()＝，
所以相关系数*r*＝()()()()＝＝≈0.95.
因为\|*r*\|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合*y*与*x*的关系．
(2)由条件可得在过去50周里，
当*X*＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．
当50≤*X*≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．
当30＜*X*＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．
所以过去50周的周总利润的平均值为
＝4 600(元)，
所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元．
第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布
=========================================
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
两个计数原理
+------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------+
| | 完成一件事的策略 | 完成这件事共有的方法 |
+------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------+
| 分类加法 | 有两类不同方案^❶^，在第1类方案中有*m*种不同的方法，在第2类方案中有*n*种不同的方法 | *N*＝*m*＋*n*种不同的方法 |
| | | |
| 计数原理 | | |
+------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------+
| 分步乘法 | 需要两个步骤^❷^，做第1步有*m*种不同的方法，做第2步有*n*种不同的方法 | *N*＝*m*×*n*种不同的方法 |
| | | |
| 计数原理 | | |
+------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------+
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.
二、常用结论
1.完成一件事可以有*n*类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有*m*~1~种不同的方法，在第2类方案中有*m*~2~种不同的方法......在第*n*类方案中有*m~n~*种不同的方法.那么，完成这件事共有*N*＝*m*~1~＋*m*~2~＋...＋*m~n~*种不同的方法.
2.完成一件事需要经过*n*个步骤，缺一不可，做第1步有*m*~1~种不同的方法，做第2步有*m*~2~种不同的方法......做第*n*步有*m~n~*种不同的方法.那么，完成这件事共有*N*＝*m*~1~×*m*~2~×...×*m~n~*种不同的方法.
考点一 分类加法计数原理
1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.
答案：36
2.如图，从*A*到*O*有\_\_\_\_\_\_\_\_种不同的走法(不重复过一点).
解析：分3类：第一类，直接由*A*到*O*，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有*A*→*B*→*O*和*A*→*C*→*O* 2种不同的走法；
第三类，中间过两个点，有*A*→*B*→*C*→*O*和*A*→*C*→*B*→*O* 2种不同的走法.
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.
答案：5
3.若椭圆＋＝1的焦点在*y*轴上，且*m*∈{1,2,3,4,5}，*n*∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：当*m*＝1时，*n*＝2,3,4,5,6,7，共6个；
当*m*＝2时，*n*＝3,4,5,6,7，共5个；
当*m*＝3时，*n*＝4,5,6,7，共4个；
当*m*＝4时，*n*＝5,6,7，共3个；
当*m*＝5时，*n*＝6,7，共2个.
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.
答案：20
4.如果一个三位正整数如"*a*~1~*a*~2~*a*~3~"满足*a*~1~＜*a*~2~且*a*~2~＞*a*~3~，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：若*a*~2~＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，"凸数"为120与121，共2个.若*a*~2~＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则"凸数"有2×3＝6(个).若*a*~2~＝4，满足条件的"凸数"有3×4＝12(个)，...，若*a*~2~＝9，满足条件的"凸数"有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
答案：240
考点二 分步乘法计数原理
\[典例精析\]
(1)已知集合*M*＝{－3，－2，－1,0,1,2}，*P*(*a*，*b*)(*a*，*b*∈*M*)表示平面上的点，则*P*可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )
A.6 B.12
C.24 D.36
(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有\_\_\_\_\_\_\_\_种不同的报名方法.
\[解析\] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步确定*a*，由于*a*＜0，所以有3种方法；
第二步确定*b*，由于*b*＞0，所以有2种方法.
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.
(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).
\[答案\] (1)A (2)120
\[解题技法\]
利用分步乘法计数原理解决问题的策略
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
\[题组训练\]
1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有\_\_\_\_\_\_\_\_种.
解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有2^6^－1＝63种可能情况.
答案：63
2.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的系数，则可组成\_\_\_\_\_\_\_\_个不同的二次函数，其中偶函数有\_\_\_\_\_\_\_\_个(用数字作答).
解析：一个二次函数对应着*a*，*b*，*c*(*a*≠0)的一组取值，*a*的取法有3种，*b*的取法有3种，*c*的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则*b*＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.
答案：18 6
考点三 两个计数原理的综合应用
\[典例精析\]
(1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A.24 B.48
C.72 D.96
(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个"正交线面对".在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是( )
A.48 B.18
C.24 D.36
(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个"平行线面组".在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"平行线面组"的个数是( )
A.60 B.48
C.36 D.24
\[解析\] (1)分两种情况：
①*A*，*C*不同色，先涂*A*有4种，*C*有3种，*E*有2种，*B*，*D*各有1种，有4×3×2＝24种涂法.
②*A*，*C*同色，先涂*A*有4种，*E*有3种，*C*有1种，*B*，*D*各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.
故共有24＋48＝72种涂色方法.
(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成"正交线面对"，这样的"正交线面对"有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成"正交线面对"，这样的"正交线面对"有12个.所以正方体中"正交线面对"共有24＋12＝36(个).
(3)长方体的6个表面构成的"平行线面组"的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的"平行线面组"的个数为6×2＝12，故符合条件的"平行线面组"的个数是36＋12＝48.
\[答案\] (1)C (2)D (3)B
\[解题技法\]
1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.
(3)弄清分步、分类的标准是什么.
(4)利用两个计数原理求解.
2.涂色、种植问题的解题关注点和关键
(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.
(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.
\[题组训练\]
1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形*A*，*B*，*C*，*D*中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有\_\_\_\_\_\_\_\_种.
解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时*A*有4种涂法，*B*有3种涂法，*C*有2种涂法，*D*有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时*A*，*B*，*C*的涂法有4×3×2＝24(种)，*D*只要不与*C*同色即可，故*D*有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).
答案：72
2.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有\_\_\_\_\_\_\_\_个(用数字作答).
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).
答案：40
A级
1.集合*P*＝{*x,*1}，*Q*＝{*y,*1,2}，其中*x*，*y*∈{1,2,3，...，9}，且*P*⊆*Q*.把满足上述条件的一对有序整数对(*x*，*y*)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A.9 B.14
C.15 D.21
解析：选B 当*x*＝2时，*x*≠*y*，点的个数为1×7＝7.当*x*≠2时，∵*P*⊆*Q*，∴*x*＝*y*.∴*x*可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).
2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.504 B.210
C.336 D.120
解析：选A 分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.
3.已知两条异面直线*a*，*b*上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16
C.13 D.10
解析：选C 分两类情况讨论：
第1类，直线*a*分别与直线*b*上的8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线*b*分别与直线*a*上的5个点可以确定5个不同的平面.
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.
4.从集合{1,2,3,4，...，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A.32个 B.34个
C.36个 D.38个
解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.
5.从集合{1,2,3，...，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为，，时，也有4个.故共有8个等比数列.
--- --- --
3 4
--- --- --
6.将1,2,3，...，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )
A.6种 B.12种
C.18种 D.24种
----- ----- -----
1 2 *D*
3 4 *A*
*C* *B* 9
----- ----- -----
解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在*A*或*B*处，若8放在*B*处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在*C*处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在*A*处，也有3种方法，所以共有6种方法.
7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A.4 320种 B.2 880种
C.1 440种 D.720种
解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.
8.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为"六合数"(如2 013是"六合数")，则"六合数"中首位为2的"六合数"共有( )
A.18个 B.15个
C.12个 D.9个
解析：选B 由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).
9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有\_\_\_\_\_\_\_\_种.
解析：分两步安排这8名运动员.
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).
故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).
答案：2 880
10.有*A*，*B*，*C*型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作*C*型电脑，而丁只会操作*A*型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有\_\_\_\_\_\_\_\_种(用数字作答).
解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成"从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑"这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：
第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作*C*型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；
第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作*A*型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；
第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；
第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.
答案：8
B级
1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( )
A.24种 B.4种
C.4^3^种 D.3^4^种
解析：选C 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有4^3^种投法.
2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个
C.96个 D.72个
解析：选B 由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).
3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有( )
A.24种 B.72种
C.84种 D.120种
解析：选C 如图，设四个直角三角形顺次为*A*，*B*，*C*，*D*，按*A*―→*B*―→ *C*―→*D*顺序涂色，
下面分两种情况：
(1)*A*，*C*不同色(注意：*B*，*D*可同色、也可不同色，*D*只要不与*A*，*C*同色，所以*D*可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.
(2)*A*，*C*同色(注意：*B*，*D*可同色、也可不同色，*D*只要不与*A*，*C*同色，所以*D*可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.
故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.
4.(2018·湖南十二校联考)若*m*，*n*均为非负整数，在做*m*＋*n*的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(*m*，*n*)为"简单的"有序对，而*m*＋*n*称为有序对(*m*，*n*)的值，那么值为1 942的"简单的"有序对的个数是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，...，9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.
根据分步乘法计数原理，值为1 942的"简单的"有序对的个数是2×10×5×3＝300.
答案：300
5.已知集合*M*＝，若*a*，*b*，*c*∈*M*，则：
(1)*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*可以表示多少个不同的二次函数；
(2)*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*可以表示多少个图象开口向上的二次函数.
解：(1)*a*的取值有5种情况，*b*的取值有6种情况，*c*的取值有6种情况，因此*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.
(2)*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的图象开口向上时，*a*的取值有2种情况，*b*，*c*的取值均有6种情况，因此*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.
第二节 排列与组合
1.排列、组合的定义
+--------+-----------------------------------------+----------------------------------------------------------------------+
| 排列的 | 从*n*个不同元素中取出*m*(*m*≤*n*)个元素 | 按照一定的顺序排成一列，叫做从*n*个不同元素中取出*m*个元素的一个排列 |
| | | |
| 定义 | | |
+--------+-----------------------------------------+----------------------------------------------------------------------+
| 组合的 | | 合成一组，叫做从*n*个不同元素中取出*m*个元素的一个组合 |
| | | |
| 定义 | | |
+--------+-----------------------------------------+----------------------------------------------------------------------+
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
+----+-----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+
| | 排列数 | 组合数 |
+----+-----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+
| 定 | 从*n*个不同元素中取出*m*(*m*≤*n*，*m*，*n*∈N^\*^)个元素的所有不同排列的个数 | 从*n*个不同元素中取出*m*(*m*≤*n*，*m*，*n*∈N^\*^)个元素的所有不同组合的个数 |
| | | |
| 义 | | |
+----+-----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+
| 公 | A＝*n*(*n*－1)(*n*－2)...(*n*－*m*＋1)＝() | C＝ |
| | | |
| 式 | | ＝()()() |
+----+-----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+
| 性 | A＝*n*！，0！＝1 | C＝1，C＝C，C＋C＝C |
| | | |
| 质 | | |
+----+-----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+
正确理解组合数的性质
(1)C＝C：从*n*个不同元素中取出*m*个元素的方法数等于取出剩余*n*－*m*个元素的方法数.
(2)C＋C＝C：从*n*＋1个不同元素中取出*m*个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素*A*有C种方法；②含特殊元素*A*有C种方法.
考点一 排列问题
\[典例精析\]
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
\[解\] (1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种).
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
\[解题技法\]
求解排列应用问题的6种主要方法
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 直接法 | 把符合条件的排列数直接列式计算 |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 优先法 | 优先安排特殊元素或特殊位置 |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 捆绑法 | 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 插空法 | 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 定序问题 | 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 |
| | |
| 除法处理 | |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
| 间接法 | 正难则反、等价转化的方法 |
+----------+------------------------------------------------------------------------------------+
\[题组训练\]
1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A.1 800 B.3 600
C.4 320 D.5 040
解析：选B 先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A种，所以共有AA＝3 600(种).
2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A.250个 B.249个
C.48个 D.24个
解析：选C ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( )
A.1 108种 B.1 008种
C.960种 D.504种
解析：选B 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(种).
考点二 组合问题
\[典例精析\]
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
\[解\] (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C种或者C－C＝C＝5 984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法.
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
法二：(直接法)
共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
\[解题技法\]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)"含有"或"不含有"某些元素的组合题型："含"，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；"不含"，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)"至少"或"至多"含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视"至少"与"至多"这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
\[题组训练\]
1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，...，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A.72 B.70
C.66 D.64
解析：选D 从{1,2,3，...，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.
2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位"萌娃"布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有( )
A.10种 B.40种
C.70种 D.80种
解析：选B 若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.
3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有\_\_\_\_\_\_\_\_种.(用数字填写答案)
解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种).
答案：16
考点三 分组、分配问题
考法(一) 整体均分问题
\[例1\] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有\_\_\_\_\_\_\_\_种不同的分派方法.
\[解析\] 先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法.
\[答案\] 90
考法(二) 部分均分问题
\[例2\] 有4名优秀学生*A*，*B*，*C*，*D*全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有\_\_\_\_\_\_\_\_种.
\[解析\] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.
\[答案\] 36
考法(三) 不等分问题
\[例3\] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有\_\_\_\_\_\_\_\_种不同的分法.
\[解析\] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法.
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法.
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法.
\[答案\] 360
\[题组训练\]
1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).
2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有\_\_\_\_\_\_种.
解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).
答案：150
考点四 排列、组合的综合问题
\[典例精析\]
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A.300 B.216
C.180 D.162
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有\_\_\_\_\_\_\_\_个.(用数字作答)
\[解析\] (1)分两类：
第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·A＝72(个)符合要求的四位数；
第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(个)符合要求的四位数.
根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).
(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).
\[答案\] (1)C (2)324
\[解题技法\]
解决排列、组合综合问题的方法
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.
\[题组训练\]
1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A.36种 B.24种
C.22种 D.20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.
2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为\_\_\_\_\_\_\_\_.(用数字作答)
解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C·C·A＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C·A·A＝1 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.
答案：5 040
A级
1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A.16 B.18
C.24 D.32
解析：选C 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.
2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A.24 B.18
C.16 D.10
解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.
3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A.6 B.12
C.18 D.19
解析：选D 从六科中选考三科的选法有C种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种.
4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A.4种 B.8种
C.12种 D.24种
解析：选B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法.
5.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况.
6.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A.120种 B.156种
C.188种 D.240种
解析：选A 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种.所以编排方案共有48＋36＋36＝120种.
7.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A.48 B.72
C.90 D.96
解析：选D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.
①当甲参加另外3场竞赛时，共有CA＝72种选择方案；
②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24种选择方案.
综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种).
8.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是( )
A.16 B.24
C.8 D.12
解析：选A 根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.
9.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有\_\_\_\_\_\_\_\_种.(用数字作答)
解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有CC＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有CC＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法.
答案：36
10.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有\_\_\_\_\_\_\_\_种.(用数字作答)
解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有CC种情形，后考虑乙、丙两地，有A种情形，共有CCA＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C种情形，乙、丙两地有A种情形，共有CA＝6种情形.由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形.
答案：42
----- -----
*A* *B*
*C* *D*
----- -----
11.(2018·南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入*A*方格的数字大于*B*方格的数字，则不同的填法共有\_\_\_\_\_\_种.(用数字作答)
解析：根据题意，对于*A*，*B*两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进*A*方格，小的放进*B*方格，有C＝6种情况，对于*C*，*D*两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96种.
答案：96
B级
1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种
C.9种 D.8种
解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).
2.(2019·马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5 400 B.3 000
C.150 D.1 500
解析：选D 分两步：
第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A.40 B.60
C.80 D.100
解析：选A 根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C＝20种选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放入5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放入剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.
4.(2019·赣州联考)将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A.12种 B.16种
C.18种 D.36种
解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有·A＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种).
5.将*A*，*B*，*C*，*D*，*E*排成一列，要求*A*，*B*，*C*在排列中顺序为"*A*，*B*，*C*"或"*C*，*B*，*A*"(可以不相邻)，这样的排列数有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种.
解析：五个元素没有限制全排列数为A，由于要求*A*，*B*，*C*的次序一定(按*A*，*B*，*C*或*C*，*B*，*A*)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有×2＝40(种).
答案：40
6.如图，∠*MON*的边*OM*上有四点*A*~1~，*A*~2~，*A*~3~，*A*~4~，*ON*上有三点*B*~1~，*B*~2~，*B*~3~，则以*O*，*A*~1~，*A*~2~，*A*~3~，*A*~4~，*B*~1~，*B*~2~，*B*~3~为顶点的三角形个数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C个，再减去三点共线的情形即可.共有C－C－C＝42(个).
答案：42
7.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个"隔板"将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式.
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的"隔板"进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种不同的放入方式.
第三节 二项式定理
一、基础知识
1.二项式定理
(1)二项式定理：(*a*＋*b*)*^n^*＝C*a^n^*＋C*a^n^*^－1^*b*＋...＋C*a^n^*^－*k*^*b^k^*＋...＋C*b^n^*(*n*∈N^\*^)^❶^；
(2)通项公式：*T~k~*~＋1~＝C*a^n^*^－*k*^*b^k^*，它表示第*k*＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，...，C^❷^.
2.二项式系数的性质
(1)项数为*n*＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数*n*，即*a*与*b*的指数的和为*n*.
(3)字母*a*按降幂排列，从第一项开始，次数由*n*逐项减1直到零；字母*b*按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到*n*.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，...，C，它只与各项的项数有关，而与*a*，*b*的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与*a*，*b*的值有关.如(*a*＋*bx*)*^n^*的二项展开式中，第*k*＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是C*a^n^*^－*k*^*b^k^*.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
考法(一) 求解形如(*a*＋*b*)*^n^*(*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量
\[例1\] (1)(2018·全国卷Ⅲ)^5^的展开式中*x*^4^的系数为( )
A.10 B.20
C.40 D.80
(2)(2019·合肥调研)若(2*x*－*a*)^5^的二项展开式中*x*^3^的系数为720，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
(3)(2019·甘肃检测)已知^5^的展开式中*x*^5^的系数为*A*，*x*^2^的系数为*B*，若*A*＋*B*＝11，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)^5^的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C·(*x*^2^)^5－*r*^·*^r^*＝C·2*^r^*·*x*^10－3*r*^，令10－3*r*＝4，得*r*＝2.故展开式中*x*^4^的系数为C·2^2^＝40.
(2)(2*x*－*a*)^5^的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝(－1)*^r^*·C·(2*x*)^5－*r*^·*a^r^*＝(－1)*^r^*·C·2^5－*r*^·*a^r^*·*x*^5－*r*^，令5－*r*＝3，解得*r*＝2，由(－1)^2^·C·2^5－2^·*a*^2^＝720，解得*a*＝±3.
(3)^5^的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C*x*^5－*r*^·*^r^*＝C(－*a*)*^r^x*5－*r*.由5－*r*＝5，得*r*＝0，由5－*r*＝2，得*r*＝2，所以*A*＝C×(－*a*)^0^＝1，*B*＝C×(－*a*)^2^＝10*a*^2^，则由1＋10*a*^2^＝11，解得*a*＝±1.
\[答案\] (1)C (2)±3 (3)±1
求形如(*a*＋*b*)*^n^*(*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式*T~r~*~＋1~＝C*a^n^*^－*r*^*b^r^*，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出*r*；
第三步，把*r*代入通项公式中，即可求出*T~r~*~＋1~，有时还需要先求*n*，再求*r*，才能求出*T~r~*~＋1~或者其他量.
考法(二) 求解形如(*a*＋*b*)*^m^*(*c*＋*d*)*^n^*(*m*，*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量
\[例2\] (1)(1－)^6^(1＋)^4^的展开式中*x*的系数是( )
A.－4 B.－3
C.3 D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(*x*－1)(*ax*＋1)^6^的展开式中含*x*^2^项的系数为0，则正实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)法一：(1－)^6^的展开式的通项为C·(－)*^m^*＝C(－1)*^m^x*，(1＋)^4^的展开式的通项为C·()*^n^*＝C*x*，其中*m*＝0,1,2，...，6，*n*＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得*m*＋*n*＝2，
于是(1－)^6^(1＋)^4^的展开式中*x*的系数等于C·(－1)^0^·C＋C·(－1)^1^·C＋C·(－1)^2^·C＝－3.
法二：(1－)^6^(1＋)^4^＝\[(1－)(1＋)\]^4^(1－)^2^＝(1－*x*)^4^(1－2＋*x*).于是(1－)^6^(1＋)^4^的展开式中*x*的系数为C·1＋C·(－1)^1^·1＝－3.
(2)(*ax*＋1)^6^的展开式中含*x*^2^项的系数为C*a*^2^，含*x*项的系数为C*a*，由(*x*－1)(*ax*＋1)^6^的展开式中含*x*^2^项的系数为0，可得－C*a*^2^＋C*a*＝0，因为*a*为正实数，所以15*a*＝6，所以*a*＝.
\[答案\] (1)B (2)
求形如(*a*＋*b*)*^m^*(*c*＋*d*)*^n^*(*m*，*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(*a*＋*b*)*^m^*与(*c*＋*d*)*^n^*分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(*a*＋*b*)*^m^*与(*c*＋*d*)*^n^*的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
考法(三) 求形如(*a*＋*b*＋*c*)*^n^*(*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量
\[例3\] (1)(*x*^2^＋*x*＋*y*)^5^的展开式中*x*^5^*y*^2^的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
(2)将^3^展开后，常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)(*x*^2^＋*x*＋*y*)^5^的展开式的通项为*T~r~*~＋1~＝C(*x*^2^＋*x*)^5－*r*^·*y^r^*，令*r*＝2，则*T*~3~＝C(*x*^2^＋*x*)^3^*y*^2^，又(*x*^2^＋*x*)^3^的展开式的通项为*T~k~*~＋1~＝C(*x*^2^)^3－*k*^·*x^k^*＝C*x*^6－*k*^，令6－*k*＝5，则*k*＝1，所以(*x*^2^＋*x*＋*y*)^5^的展开式中，*x*^5^*y*^2^的系数为CC＝30.
(2)^3^＝^6^展开式的通项是C()^6－*k*^·*^k^*＝(－2)*^k^*·C*x*^3－*k*^.
令3－*k*＝0，得*k*＝3.
所以常数项是C(－2)^3^＝－160.
\[解析\] (1)C (2)－160
求形如(*a*＋*b*＋*c*)*^n^*(*n*∈N^\*^)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，把三项的和*a*＋*b*＋*c*看成是(*a*＋*b*)与*c*两项的和；
第二步，根据二项式定理写出\[(*a*＋*b*)＋*c*\]*^n^*的展开式的通项；
第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(*a*＋*b*)^*n*－*r*^的展开式中的哪些项和*c^r^*相乘得到的；
第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
\[题组训练\]
1.(2018·洛阳第一次统考)若*a*＝ sin *x*d*x*，则二项式^6^的展开式中的常数项为( )
A.－15 B.15
C.－240 D.240
解析：选D 由*a*＝ sin *x*d*x*＝(－cos *x*)＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得^6^的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C(2)^6－*rr*^＝(－1)*^r^*C·2^6－*r*^·*x*3－*r*，令3－*r*＝0，得*r*＝2，故常数项为C·2^4^＝240.
2.(2019·福州四校联考)在(1－*x*^3^)(2＋*x*)^6^的展开式中，*x*^5^的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_.(用数字作答)
解析：二项展开式中，含*x*^5^的项是C2*x*^5^－*x*^3^C2^4^*x*^2^＝－228*x*^5^，所以*x*^5^的系数是－228.
答案：－228
3.^5^(*x*＞0)的展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：^5^(*x*＞0)可化为^10^，因而*T~r~*~＋1~＝C^10－*r*^()^10－2*r*^，令10－2*r*＝0，得*r*＝5，故展开式中的常数项为C·^5^＝.
答案：
\[典例精析\]
(1)若*^n^*的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A.6 B.
C.4*x* D.或4*x*
(2)若*^n^*的展开式中含*x*的项为第6项，设(1－3*x*)*^n^*＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a~n~x^n^*，则*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a~n~*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
(3)若(*a*＋*x*)(1＋*x*)^4^的展开式中*x*的奇数次幂项的系数之和为32，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)令*x*＝1，可得*^n^*的展开式中各项系数之和为2*^n^*，即8＜2*^n^*＜32，解得*n*＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()^22^＝6.
(2)*^n^*的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C(*x*^2^)^*n*－*r*^·*^r^*＝C(－1)*^r^x*^2*n*－3*r*^，
因为含*x*的项为第6项，所以*r*＝5,2*n*－3*r*＝1，解得*n*＝8，
在(1－3*x*)*^n^*中，令*x*＝1，得*a*~0~＋*a*~1~＋...＋*a*~8~＝(1－3)^8^＝2^8^，
又*a*~0~＝1，所以*a*~1~＋...＋*a*~8~＝2^8^－1＝255.
(3)设(*a*＋*x*)(1＋*x*)^4^＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋*a*~3~*x*^3^＋*a*~4~*x*^4^＋*a*~5~*x*^5^，
令*x*＝1，得16(*a*＋1)＝*a*~0~＋*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋*a*~4~＋*a*~5~，①
令*x*＝－1，得0＝*a*~0~－*a*~1~＋*a*~2~－*a*~3~＋*a*~4~－*a*~5~，②
①－②，得16(*a*＋1)＝2(*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~)，
即展开式中*x*的奇数次幂项的系数之和为*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＝8(*a*＋1)，所以8(*a*＋1)＝32，解得*a*＝3.
\[答案\] (1)A (2)255 (3)3
\[解题技法\]
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于*x*，*y*的一切值都成立.因此，可将*x*，*y*设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令*x*，*y*等于多少，应视具体情况而定，一般取"1，－1或0"，有时也取其他值.如：
(1)形如(*ax*＋*b*)*^n^*，(*ax*^2^＋*bx*＋*c*)*^m^*(*a*，*b*，*c*∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令*x*＝1即可.
(2)形如(*ax*＋*by*)*^n^*(*a*，*b*∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令*x*＝*y*＝1即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若*f*(*x*)＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a~n~x^n^*，则*f*(*x*)的展开式中
(1)各项系数之和为*f*(1).
(2)奇数项系数之和为*a*~0~＋*a*~2~＋*a*~4~＋...＝()().
(3)偶数项系数之和为*a*~1~＋*a*~3~＋*a*~5~＋...＝()().
\[题组训练\]
1.(2019·包头模拟)已知(2*x*－1)^5^＝*a*~5~*x*^5^＋*a*~4~*x*^4^＋*a*~3~*x*^3^＋*a*~2~*x*^2^＋*a*~1~*x*＋*a*~0~，则\|*a*~0~\|＋\|*a*~1~\|＋...＋\|*a*~5~\|＝( )
A.1 B.243
C.121 D.122
解析：选B 令*x*＝1，得*a*~5~＋*a*~4~＋*a*~3~＋*a*~2~＋*a*~1~＋*a*~0~＝1，①
令*x*＝－1，得－*a*~5~＋*a*~4~－*a*~3~＋*a*~2~－*a*~1~＋*a*~0~＝－243，②
①＋②，得2(*a*~4~＋*a*~2~＋*a*~0~)＝－242，
即*a*~4~＋*a*~2~＋*a*~0~＝－121.
①－②，得2(*a*~5~＋*a*~3~＋*a*~1~)＝244，
即*a*~5~＋*a*~3~＋*a*~1~＝122.
所以\|*a*~0~\|＋\|*a*~1~\|＋...＋\|*a*~5~\|＝122＋121＝243.
2.若(*x*＋2＋*m*)^9^＝*a*~0~＋*a*~1~(*x*＋1)＋*a*~2~(*x*＋1)^2^＋...＋*a*~9~(*x*＋1)^9^，且(*a*~0~＋*a*~2~＋...＋*a*~8~)^2^－(*a*~1~＋*a*~3~＋...＋*a*~9~)^2^＝3^9^，则实数*m*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：令*x*＝0，则(2＋*m*)^9^＝*a*~0~＋*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~9~，
令*x*＝－2，则*m*^9^＝*a*~0~－*a*~1~＋*a*~2~－*a*~3~＋...－*a*~9~，
又(*a*~0~＋*a*~2~＋...＋*a*~8~)^2^－(*a*~1~＋*a*~3~＋...＋*a*~9~)^2^
＝(*a*~0~＋*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~9~)(*a*~0~－*a*~1~＋*a*~2~－*a*~3~＋...＋*a*~8~－*a*~9~)＝3^9^，
∴(2＋*m*)^9^·*m*^9^＝3^9^，∴*m*(2＋*m*)＝3，
∴*m*＝－3或*m*＝1.
答案：－3或1
3.已知(1＋3*x*)*^n^*的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由已知得C＋C＋C＝121，则*n*·(*n*－1)＋*n*＋1＝121，即*n*^2^＋*n*－240＝0，解得*n*＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为*T*~8~＝C(3*x*)^7^和*T*~9~＝C(3*x*)^8^.
答案：C(3*x*)^7^和C(3*x*)^8^
\[典例精析\]
设*a*∈Z，且0≤*a*＜13，若51^2\ 018^＋*a*能被13整除，则*a*＝( )
A.0 B.1
C.11 D.12
\[解析\] 由于51＝52－1，
51^2\ 018^＝(52－1)^2\ 018^＝C52^2\ 018^－C52^2\ 017^＋...－C52^1^＋1，
又13整除52，
所以只需13整除1＋*a*，
又0≤*a*＜13，*a*∈Z，
所以*a*＝12.
\[答案\] D
\[解题技法\]
利用二项式定理解决整除问题的思路
(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：
①余数的范围，*a*＝*cr*＋*b*，其中余数*b*∈\[0，*r*)，*r*是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；
②二项式定理的逆用.
\[题组训练\]
1.使得多项式81*x*^4^＋108*x*^3^＋54*x*^2^＋12*x*＋1能被5整除的最小自然数*x*为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选C ∵81*x*^4^＋108*x*^3^＋54*x*^2^＋12*x*＋1＝(3*x*＋1)^4^，∴上式能被5整除的最小自然数为3.
2.1－90C＋90^2^C－90^3^C＋...＋(－1)*^k^*90*^k^*C＋...＋90^10^C除以88的余数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵1－90C＋90^2^C＋...＋(－1)*^k^*90*^k^*C＋...＋90^10^C＝(1－90)^10^＝89^10^，
∴89^10^＝(88＋1)^10^＝88^10^＋C88^9^＋...＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数为1.
答案：1
A级
1.(2019·河北"五个一名校联盟"模拟)^3^的展开式中的常数项为( )
A.－3 B.3
C.6 D.－6
解析：选D 通项*T~r~*~＋1~＝C^3－*r*^·(－*x*^4^)*^r^*＝C()^3－*r*^·(－1)*^r^x*^－6＋6*r*^，当－6＋6*r*＝0，即*r*＝1时为常数项，*T*~2~＝－6，故选D.
2.设(2－*x*)^5^＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a*~5~*x*^5^，则的值为( )
A.－ B.－
C.－ D.－
解析：选C 由二项式定理，得*a*~1~＝－C2^4^＝－80，*a*~2~＝C2^3^＝80，*a*~3~＝－C2^2^＝－40，*a*~4~＝C2＝10，所以＝－.
3.若二项式^7^的展开式的各项系数之和为－1，则含*x*^2^项的系数为( )
A.560 B.－560
C.280 D.－280
解析：选A 取*x*＝1，得二项式^7^的展开式的各项系数之和为(1＋*a*)^7^，即(1＋*a*)^7^＝－1,1＋*a*＝－1，*a*＝－2.二项式^7^的展开式的通项*T~r~*~＋1~＝C·(*x*^2^)^7－*r*^·*^r^*＝C·(－2)*^r^*·*x*^14－3*r*^.令14－3*r*＝2，得*r*＝4.因此，二项式^7^的展开式中含*x*^2^项的系数为C·(－2)^4^＝560.
4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋*x*)*^n^*的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A.2^9^ B.2^10^
C.2^11^ D.2^12^
解析：选A 由题意得C＝C，由组合数性质得*n*＝10，则奇数项的二项式系数和为2^*n*－1^＝2^9^.
5.二项式^9^的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )
A.－671 B.671
C.672 D.673
解析：选B 令*x*＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C^9－*r*^·(－2*x*^2^)*^r^*＝C(－2)*^r^*·*x*^3*r*－9^，令3*r*－9＝0，得*r*＝3，所以该二项展开式中的常数项为C(－2)^3^＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.
6.(2018·石家庄二模)在(1－*x*)^5^(2*x*＋1)的展开式中，含*x*^4^项的系数为( )
A.－5 B.－15
C.－25 D.25
解析：选B 由题意含*x*^4^项的系数为－2C＋C＝－15.
7.(2018·枣庄二模)若(*x*^2^－*a*)^10^的展开式中*x*^6^的系数为30，则*a*等于( )
A. B.
C.1 D.2
解析：选D ^10^的展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C·*x*^10－*r*^·*^r^*＝C·*x*^10－2*r*^，令10－2*r*＝4，解得*r*＝3，所以*x*^4^项的系数为C.令10－2*r*＝6，解得*r*＝2，所以*x*^6^项的系数为C.所以(*x*^2^－*a*)^10^的展开式中*x*^6^的系数为C－*a*C＝30，解得*a*＝2.
8.若(1＋*mx*)^6^＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a*~6~*x*^6^，且*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~6~＝63，则实数*m*的值为( )
A.1或3 B.－3
C.1 D.1或－3
解析：选D 令*x*＝0，得*a*~0~＝(1＋0)^6^＝1.令*x*＝1，得(1＋*m*)^6^＝*a*~0~＋*a*~1~＋*a*~2~＋...＋*a*~6~.∵*a*~1~＋*a*~2~＋*a*~3~＋...＋*a*~6~＝63，∴(1＋*m*)^6^＝64＝2^6^，∴*m*＝1或*m*＝－3.
9.(2019·唐山模拟)(2*x*－1)^6^的展开式中，二项式系数最大的项的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_.(用数字作答)
解析：(2*x*－1)^6^的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C2^3^(－1)^3^＝－160.
答案：－160
10.(2019·贵阳模拟)^9^的展开式中*x*^3^的系数为－84，则展开式的各项系数之和为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：二项展开式的通项*T~r~*~＋1~＝C*x*^9－*rr*^＝*a^r^*C*x*^9－2*r*^，令9－2*r*＝3，得*r*＝3，所以*a*^3^C＝－84，解得*a*＝－1，所以二项式为^9^，令*x*＝1，则(1－1)^9^＝0，所以展开式的各项系数之和为0.
答案：0
11.^5^展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：^5^展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C·^5－*r*^.令*r*＝5，得常数项为C＝1，令*r*＝3，得常数项为C·2＝20，令*r*＝1，得常数项为C·C＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.
答案：51
12.已知*^n^*的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求*n*；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得*n*＝8(*n*＝1舍去).
(2)^8^的展开式的通项*T~r~*~＋1~＝C()^8－*r*^·*^r^*＝2^－*r*^C*x*4－(*r*＝0,1，...，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即*r*＝0,4,8，共3项，这3项分别是*T*~1~＝*x*^4^，*T*~5~＝*x*，*T*~9~＝.
(3)设第*r*＋1项的系数*a~r~*~＋1~最大，则*a~r~*~＋1~＝2^－*r*^C，
则＝^()^＝≥1，
＝^()^＝()≥1，
解得2≤*r*≤3.
当*r*＝2时，*a*~3~＝2^－2^C＝7，当*r*＝3时，*a*~4~＝2^－3^C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
B级
1.在二项式*^n^*的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有*x*^2^项的系数是( )
A.35 B.－35
C.－56 D.56
解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以*n*＝8.所以二项式^8^展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C*x*^8－*r*^(－*x*^－1^)*^r^*＝(－1)*^r^*C*x*^8－2*r*^，令8－2*r*＝2，得*r*＝3，故展开式中含有*x*^2^项的系数是(－1)^3^C＝－56.
2.已知C－4C＋4^2^C－4^3^C＋...＋(－1)*^n^*4*^n^*C＝729，则C＋C＋...＋C的值等于( )
A.64 B.32
C.63 D.31
解析：选C 因为C－4C＋4^2^C－4^3^C＋...＋(－1)*^n^*4*^n^*C＝729，所以(1－4)*^n^*＝3^6^，所以*n*＝6，因此C＋C＋...＋C＝2*^n^*－1＝2^6^－1＝63.
3.(2019·济南模拟)^5^的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含*x*^4^项的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：令*x*＝1，可得^5^的展开式中各项系数的和为1－*a*＝2，得*a*＝－1，则^5^展开式中含*x*^4^项的系数即是^5^展开式中的含*x*^3^项与含*x*^5^项系数的和.又^5^展开式的通项为*T~r~*~＋1~＝C(－1)*^r^*·2^5－*r*^·*x*^5－2*r*^，令5－2*r*＝3，得*r*＝1，令5－2*r*＝5，得*r*＝0，将*r*＝1与*r*＝0分别代入通项，可得含*x*^3^项与含*x*^5^项的系数分别为－80与32，故原展开式中含*x*^4^项的系数为－80＋32＝－48.
答案：－48
4.设复数*x*＝(i是虚数单位)，则C*x*＋C*x*^2^＋C*x*^3^＋...＋C*x*^2\ 019^＝( )
A.i B.－i
C.－1＋i D.－i－1
解析：选D 因为*x*＝＝()()()＝－1＋i，所以C*x*＋C*x*^2^＋C*x*^3^＋...＋C*x*^2\ 019^＝(1＋*x*)^2\ 019^－1＝(1－1＋i)^2\ 019^－1＝i^2\ 019^－1＝－i－1.
5.已知(*x*＋2)^9^＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a*~9~*x*^9^，则(*a*~1~＋3*a*~3~＋5*a*~5~＋7*a*~7~＋9*a*~9~)^2^－(2*a*~2~＋4*a*~4~＋6*a*~6~＋8*a*~8~)^2^的值为( )
A.3^9^ B.3^10^
C.3^11^ D.3^12^
解析：选D 对(*x*＋2)^9^＝*a*~0~＋*a*~1~*x*＋*a*~2~*x*^2^＋...＋*a*~9~*x*^9^两边同时求导，得9(*x*＋2)^8^＝*a*~1~＋2*a*~2~*x*＋3*a*~3~*x*^2^＋...＋8*a*~8~*x*^7^＋9*a*~9~*x*^8^，令*x*＝1，得*a*~1~＋2*a*~2~＋3*a*~3~＋...＋8*a*~8~＋9*a*~9~＝3^10^，令*x*＝－1，得*a*~1~－2*a*~2~＋3*a*~3~－...－8*a*~8~＋9*a*~9~＝3^2^.所以(*a*~1~＋3*a*~3~＋5*a*~5~＋7*a*~7~＋9*a*~9~)^2^－(2*a*~2~＋4*a*~4~＋6*a*~6~＋8*a*~8~)^2^＝(*a*~1~＋2*a*~2~＋3*a*~3~＋...＋8*a*~8~＋9*a*~9~)(*a*~1~－2*a*~2~＋3*a*~3~－...－8*a*~8~＋9*a*~9~)＝3^12^.
6.设*a*＝2*x*d*x*，则二项式^6^展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：*a*＝ 2*x*d*x*＝*x*^2^＝1，则二项式^6^＝^6^，其展开式的通项公式为*T~r~*~＋1~＝C(*x*^2^)^6－*r*^·*^r^*＝(－1)*^r^*C*x*^12－3*r*^，令12－3*r*＝0，解得*r*＝4.所以常数项为(－1)^4^C＝15.
答案：15
第四节 随机事件的概率
一、基础知识
1.频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件*S*下重复*n*次试验，观察某一事件*A*是否出现，称*n*次试验中事件*A*出现的次数*n~A~*为事件*A*出现的频数^❶^，称事件*A*出现的比例*f~n~*(*A*)＝为事件*A*出现的频率^❷^.
(2)概率：对于给定的随机事件*A*，如果随着试验次数的增加，事件*A*发生的频率*f~n~*(*A*)稳定在某个常数上，把这个常数记作*P*(*A*)，称为事件*A*的概率.
2.事件的关系与运算
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 名称 | 条件 | 结论 | 符号表示 |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 包含关系 | *A*发生⇒*B*发生 | 事件*B*包含事件*A*(事件*A*包含于事件*B*) | *B*⊇*A*(或*A*⊆*B*) |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 相等关系 | 若*B*⊇*A*且*A*⊇*B* | 事件*A*与事件*B*相等 | *A*＝*B* |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 并(和) | *A*发生或*B*发生 | 事件*A*与事件*B*的并事件(或和事件)^❸^ | *A*∪*B*(或*A*＋*B*) |
| | | | |
| 事件 | | | |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 交(积) | *A*发生且*B*发生 | 事件*A*与事件*B*的交事件(或积事件) | *A*∩*B*(或*AB*) |
| | | | |
| 事件 | | | |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 互斥事件 | *A*∩*B*为不可能事件 | 事件*A*与事件*B*互斥^❹^ | *A*∩*B*＝∅ |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
| 对立事件 | *A*∩*B*为不可能事件，*A*∪*B*为必然事件 | 事件*A*与事件*B*互为对立事件^❺^ | *A*∩*B*＝∅， |
| | | | |
| | | | *P*(*A*∪*B*)＝1 |
+----------+----------------------------------------+------------------------------------------+---------------------+
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤*P*(*A*)≤1.
(2)必然事件的概率：*P*(*E*)＝1.
(3)不可能事件的概率：*P*(*F*)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件*A*与事件*B*互斥，则*P*(*A*∪*B*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*).
(5)对立事件的概率：若事件*A*与事件*B*互为对立事件，则*A*∪*B*为必然事件，*P*(*A*∪*B*)＝1，*P*(*A*)＝1－*P*(*B*).
频数是一个整数，其取值范围为0≤*n~A~*≤*n*，*n~A~*∈N，因此随机事件*A*发生的频率*f~n~*(*A*)＝的可能取值介于0与1之间，即0≤*f~n~*(*A*)≤1.
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是，频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同.
并(和)事件包含三种情况：①事件*A*发生，事件*B*不发生；②事件*A*不发生，事件*B*发生；③事件*A*，*B*都发生.即事件*A*，*B*至少有一个发生.
互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件*A*发生且事件*B*不发生；②事件*A*不发生且事件*B*发生；③事件*A*与事件*B*都不发生.
"事件*A*与事件*B*是对立事件"是"其概率满足*P*(*A*)＋*P*(*B*)＝1"的充分不必要条件，这里一定不要认为是充要条件.事实上，若事件*A*与事件*B*是对立事件，则*A*∪*B*为必然事件，再由概率的加法公式得*P*(*A*)＋*P*(*B*)＝1；反之不一定成立.
二、常用结论
探究概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即*P*(*A*~1~∪*A*~2~∪...∪*A~n~*)＝*P*(*A*~1~)＋*P*(*A*~2~)＋...＋*P*(*A~n~*).
(2)*P*()＝1－*P*(*A*~1~∪*A*~2~∪...∪*A~n~*)＝1－*P*(*A*~1~)－*P*(*A*~2~)－...－*P*(*A~n~*).注意涉及的各事件要彼此互斥.
考点一 随机事件的关系
1.一个人打靶时连续射击两次，事件"至少有一次中靶"的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
解析：选D 事件"至少有一次中靶"包括"中靶一次"和"中靶两次"两种情况.由互斥事件的定义，可知"两次都不中靶"与之互斥.
2.从1,2,3，...，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
解析：选C "至少有一个是奇数"即"两个都是奇数或一奇一偶"，而从1,2,3，...，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况："两个都是奇数""一奇一偶""两个都是偶数"，故"至少有一个是奇数"与"两个都是偶数"是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.
3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件"2张全是移动卡"的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
解析：选A 至多有一张移动卡包含"一张移动卡，一张联通卡""两张全是联通卡"两个事件，它是"2张全是移动卡"的对立事件，故选A.
4.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设*A*＝{两次都击中飞机}，*B*＝{两次都没击中飞机}，*C*＝{恰有一次击中飞机}，*D*＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，互为对立事件的是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设*I*为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为*A*∩*B*＝∅，*A*∩*C*＝∅，*B*∩*C*＝∅，*B*∩*D*＝∅，故*A*与*B*，*A*与*C*，*B*与*C*，*B*与*D*为互斥事件.而*B*∩*D*＝∅，*B*∪*D*＝*I*，故*B*与*D*互为对立事件.
答案：*A*与*B*，*A*与*C*，*B*与*C*，*B*与*D* *B*与*D*
考点二 随机事件的频率与概率
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------
最高气温 \[10,15) \[15,20) \[20,25) \[25,30) \[30,35) \[35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ----------
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为*Y*(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出*Y*的所有可能值，并估计*Y*大于零的概率.
\[解\] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则*Y*＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间\[20,25)，则*Y*＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则*Y*＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，
所以，*Y*的所有可能值为900,300，－100.
*Y*大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此*Y*大于零的概率的估计值为0.8.
\[题组训练\]
某险种的基本保费为*a*(单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- --------- ----- --------- -------- --------- ------
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85*a* *a* 1.25*a* 1.5*a* 1.75*a* 2*a*
---------------- --------- ----- --------- -------- --------- ------
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
(1)记*A*为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费".求*P*(*A*)的估计值；
(2)记*B*为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%".求*P*(*B*)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解：(1)事件*A*发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故*P*(*A*)的估计值为0.55.
(2)事件*B*发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.30，故*P*(*B*)的估计值为0.30.
(3)由所给数据得如下关系：
------ --------- ------ --------- -------- --------- ------
保费 0.85*a* *a* 1.25*a* 1.5*a* 1.75*a* 2*a*
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
------ --------- ------ --------- -------- --------- ------
调查的200名续保人的平均保费为
0.85*a*×0.30＋*a*×0.25＋1.25*a*×0.15＋1.5*a*×0.15＋1.75*a*×0.10＋2*a*×0.05＝1.192 5*a*.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5*a*.
考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用
\[典例精析\]
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为*A*，*B*，*C*，求：
(1)*P*(*A*)，*P*(*B*)，*P*(*C*)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
\[解\] (1)易知*P*(*A*)＝，*P*(*B*)＝，*P*(*C*)＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设"1张奖券中奖"这个事件为*M*，则*M*＝*A*∪*B*∪*C*.
因为*A*，*B*，*C*两两互斥，
所以*P*(*M*)＝*P*(*A*∪*B*∪*C*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*)＋*P*(*C*)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设"1张奖券不中特等奖且不中一等奖"为事件*N*，则事件*N*与"1张奖券中特等奖或中一等奖"为对立事件，
所以*P*(*N*)＝1－*P*(*A*∪*B*)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
\[题组训练\]
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
+------------+--------+--------+---------+----------+------------+
| 一次购物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件及以上 |
+------------+--------+--------+---------+----------+------------+
| 顾客数(人) | *x* | 30 | 25 | *y* | 10 |
+------------+--------+--------+---------+----------+------------+
| 结算时间 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| | | | | | |
| (分钟/人) | | | | | |
+------------+--------+--------+---------+----------+------------+
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定*x*，*y*的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋*y*＋10＝55，*x*＋30＝45，所以*x*＝15，*y*＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟).
(2)记*A*为事件"一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟"，*A*~1~，*A*~2~分别表示事件"该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟"，"该顾客一次购物的结算时间为3分钟"，将频率视为概率得*P*(*A*~1~)＝＝，*P*(*A*~2~)＝＝.则*P*(*A*)＝1－*P*(*A*~1~)－*P*(*A*~2~)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
A级
1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A."至少有一个黑球"与"都是黑球"
B."至少有一个黑球"与"都是红球"
C."至少有一个黑球"与"至少有一个红球"
D."恰有一个黑球"与"恰有两个黑球"
解析：选D A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含"一个黑球一个红球"的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系.
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )
A. B.
C. D.1
解析：选C 设"从中取出2粒都是黑子"为事件*A*，"从中取出2粒都是白子"为事件*B*，"任意取出2粒恰好是同一色"为事件*C*，则*C*＝*A*∪*B*，且事件*A*与*B*互斥.所以*P*(*C*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为.
3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95 B.0.97
C.0.92 D.0.08
解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件*A*，是乙级品为事件*B*，是丙级品为事件*C*，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为*P*(*A*)＝1－*P*(*B*)－*P*(*C*)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件*A*表示"小于5的偶数点出现"，事件*B*表示"小于5的点数出现"，则一次试验中，事件*A*＋发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意*P*(*A*)＝＝，*P*(*B*)＝＝，
所以*P*()＝1－*P*(*B*)＝1－＝，
因为表示"出现5点或6点"的事件，所以事件*A*与互斥，从而*P*(*A*＋)＝*P*(*A*)＋*P*()＝＋＝.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件*A*为掷出向上为偶数点，事件*B*为掷出向上为3点，则*P*(*A*∪*B*)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 事件*A*为掷出向上为偶数点，所以*P*(*A*)＝.
事件*B*为掷出向上为3点，所以*P*(*B*)＝.
又事件*A*，*B*是互斥事件，
所以*P*(*A*∪*B*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*)＝.
6.若随机事件*A*，*B*互斥，*A*，*B*发生的概率均不等于0，且*P*(*A*)＝2－*a*，*P*(*B*)＝4*a*－5，则实数*a*的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题意可得()()()()
即解得＜*a*≤.
7.若*A*，*B*为互斥事件，*P*(*A*)＝0.4，*P*(*A*∪*B*)＝0.7，则*P*(*B*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*A*，*B*为互斥事件，
∴*P*(*A*∪*B*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*)，
∴*P*(*B*)＝*P*(*A*∪*B*)－*P*(*A*)＝0.7－0.4＝0.3.
答案：0.3
8.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：断头不超过两次的概率*P*~1~＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率*P*~2~＝1－*P*~1~＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
9."键盘侠"一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对"键盘侠"的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对"键盘侠"持反对态度的有\_\_\_\_\_\_\_\_人.
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，则可估计该地区对"键盘侠"持反对态度的有9 600×＝6 912(人).
答案：6 912
10.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同色玻璃球的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_；至少取得一个红玻璃球的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由于"取得两个红玻璃球"与"取得两个绿玻璃球"是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为*P*＝＋＝.
由于事件*A*"至少取得一个红玻璃球"与事件*B*"取得两个绿玻璃球"是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为*P*(*A*)＝1－*P*(*B*)＝1－＝.
答案：
11.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间\[0.3,0.9\]内，样本分组为：\[0.3，0.4)，\[0.4,0.5)，\[0.5,0.6)，\[0.6,0.7)，\[0.7,0.8)，\[0.8,0.9\]，购物金额的频率分布直方图如下：
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
购物金额分组 \[0.3,0.5) \[0.5,0.6) \[0.6,0.8) \[0.8,0.9\]
发放金额 50 100 150 200
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
解：(1)购物者的购物金额*x*与获得优惠券金额*y*的频率分布如下表：
------ -------------- -------------- -------------- -------------
*x* 0.3≤*x*＜0.5 0.5≤*x*＜0.6 0.6≤*x*＜0.8 0.8≤*x*≤0.9
*y* 50 100 150 200
频率 0.4 0.3 0.28 0.02
------ -------------- -------------- -------------- -------------
这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为
(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.
(2)由获得优惠券金额*y*与购物金额*x*的对应关系及(1)知
*P*(*y*＝150)＝*P*(0.6≤*x*＜0.8)＝0.28，
*P*(*y*＝200)＝*P*(0.8≤*x*≤0.9)＝0.02，
从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为*P*(*y*≥150)＝*P*(*y*＝150)＋*P*(*y*＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.
12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
-------------- ----- ------- ------- ------- -------
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
-------------- ----- ------- ------- ------- -------
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
解：(1)设*A*表示事件"赔付金额为3 000元"，*B*表示事件"赔付金额为4 000元"，以频率估计概率得
*P*(*A*)＝＝0.15，*P*(*B*)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为*P*(*A*)＋*P*(*B*)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设*C*表示事件"投保车辆中新司机获赔4 000元"，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得*P*(*C*)＝0.24.
B级
1.我国古代数学名著《数书九章》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
解析：选B 这批米内夹谷约为×1 534≈169石，故选B .
2.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得*a~n~*＝(－3)^*n*－1^，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率*P*＝＝.
3.\[与不等式交汇\]若*A*，*B*互为对立事件，其概率分别为*P*(*A*)＝，*P*(*B*)＝，则*x*＋*y*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意，*x*＞0，*y*＞0，＋＝1.则*x*＋*y*＝(*x*＋*y*)·＝5＋≥5＋2 ＝9，当且仅当*x*＝2*y*时等号成立，故*x*＋*y*的最小值为9.
答案：9
4.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买.
+---------------+----+----+----+----+
| 商品 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| | | | | |
| 顾客人数 | | | | |
+---------------+----+----+----+----+
| 100 | √ | × | √ | √ |
+---------------+----+----+----+----+
| 217 | × | √ | × | √ |
+---------------+----+----+----+----+
| 200 | √ | √ | √ | × |
+---------------+----+----+----+----+
| 300 | √ | × | √ | × |
+---------------+----+----+----+----+
| 85 | √ | × | × | × |
+---------------+----+----+----+----+
| 98 | × | √ | × | × |
+---------------+----+----+----+----+
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
5.如图，*A*地到火车站共有两条路径*L*~1~和*L*~2~，现随机抽取100位从*A*地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
------------------ -------- -------- -------- -------- --------
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择*L*~1~的人数 6 12 18 12 12
选择*L*~2~的人数 0 4 16 16 4
------------------ -------- -------- -------- -------- --------
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径*L*~1~和*L*~2~所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为0.44.
(2)选择*L*~1~的有60人，选择*L*~2~的有40人，
故由调查结果得频率分布如下表：
---------------- -------- -------- -------- -------- --------
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
*L*~1~的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
*L*~2~的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
---------------- -------- -------- -------- -------- --------
(3)记事件*A*~1~，*A*~2~分别表示甲选择*L*~1~和*L*~2~时，在40分钟内赶到火车站；
记事件*B*~1~，*B*~2~分别表示乙选择*L*~1~和*L*~2~时，在50分钟内赶到火车站.
用频率估计概率及
由(2)知*P*(*A*~1~)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
*P*(*A*~2~)＝0.1＋0.4＝0.5，
*P*(*A*~1~)＞*P*(*A*~2~)，故甲应选择*L*~1~；
*P*(*B*~1~)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
*P*(*B*~2~)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
*P*(*B*~2~)＞*P*(*B*~1~)，故乙应选择*L*~2~.
第五节 古典概型与几何概型
一、基础知识
1.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征------有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为*A*；
②分别计算基本事件的总数*n*和所求的事件*A*所包含的基本事件个数*m*；
③利用古典概型的概率公式*P*(*A*)＝，求出事件*A*的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
+--------------+------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------+
| 名称 | 不同点 | 相同点 |
+--------------+------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------+
| 频率计 | 频率计算中的*m*，*n*均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 | 都计算了一个比值 |
| | | |
| 算公式 | | |
+--------------+------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------+
| 古典概型的 | 是一个定值，对同一个随机事件而言，*m*，*n*都不会变化 | |
| | | |
| 概率计算公式 | | |
+--------------+------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------+
2.几何概型
(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
(2)几何概型的基本特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
(3)计算公式：
*P*(*A*)＝()().
几何概型应用中的关注点
(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.
(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.
\[典例精析\](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为*a*和*b*，则方程*ax*^2^＋*bx*＋1＝0有实数解的概率是( )
A. B.
C. D.
\[解析\] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率*P*＝＝.
(2)投掷骰子两次，所得的点数*a*和*b*满足的关系为所以*a*和*b*的组合有36种.
若方程*ax*^2^＋*bx*＋1＝0有实数解，
则*Δ*＝*b*^2^－4*a*≥0，所以*b*^2^≥4*a*.
当*b*＝1时，没有*a*符合条件；当*b*＝2时，*a*可取1；当*b*＝3时，*a*可取1,2；当*b*＝4时，*a*可取1,2,3,4；当*b*＝5时，*a*可取1,2,3,4,5,6；当*b*＝6时，*a*可取1,2,3,4,5,6.
满足条件的组合有19种，则方程*ax*^2^＋*bx*＋1＝0有实数解的概率*P*＝.
\[答案\] (1)C (2)C
\[题组训练\]
1.(2019·益阳、湘潭调研)已知*a*∈{－2,0,1,2,3}，*b*∈{3,5}，则函数*f*(*x*)＝(*a*^2^－2)e*^x^*＋*b*为减函数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 若函数*f*(*x*)＝(*a*^2^－2)e*^x^*＋*b*为减函数，则*a*^2^－2＜0，又*a*∈{－2,0,1,2,3}，故只有*a*＝0，*a*＝1满足题意，又*b*∈{3,5}，所以函数*f*(*x*)＝(*a*^2^－2)e*^x^*＋*b*为减函数的概率是＝.
2.从分别标有1,2，...，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意得，所求概率*P*＝＝.
3.将*A*，*B*，*C*，*D*这4名同学从左至右随机地排成一排，则"*A*与*B*相邻且*A*与*C*之间恰好有1名同学"的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B *A*，*B*，*C*，*D* 4名同学排成一排有A＝24种排法.当*A*，*C*之间是*B*时，有2×2＝4种排法，当*A*，*C*之间是*D*时，有2种排法，所以所求概率*P*＝＝.
类型(一) 与长度有关的几何概型
\[例1\] (2019·濮阳模拟)在\[－6,9\]内任取一个实数*m*，设*f*(*x*)＝－*x*^2^＋*mx*＋*m*，则函数*f*(*x*)的图象与*x*轴有公共点的概率等于( )
A. B.
C. D.
\[解析\] ∵*f*(*x*)＝－*x*^2^＋*mx*＋*m*的图象与*x*轴有公共点，∴*Δ*＝*m*^2^＋4*m*≥0，∴*m*≤－4或*m*≥0，∴在\[－6,9\]内取一个实数*m*，函数*f*(*x*)的图象与*x*轴有公共点的概率*P*＝()()()＝，故选D.
\[答案\] D
类型(二) 与面积有关的几何概型
\[例2\] (1)(2018·潍坊模拟)如图，六边形*ABCDEF*是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·洛阳联考)如图，圆*O*：*x*^2^＋*y*^2^＝π^2^内的正弦曲线*y*＝sin *x*与*x*轴围成的区域记为*M*(图中阴影部分)，随机往圆*O*内投一个点*A*，则点*A*落在区域*M*内的概率是( )
A. B.
C. D.
\[解析\] (1)设正六边形的中心为点*O*，*BD*与*AC*交于点*G*，*BC*＝1，则*BG*＝*CG*，∠*BGC*＝120°，在△*BCG*中，由余弦定理得1＝*BG*^2^＋*BG*^2^－2*BG*^2^cos 120°，得*BG*＝，所以*S*~△*BCG*~＝×*BG*×*BG*×sin 120°＝×××＝，因为*S*~六边形*ABCDEF*~＝*S*~△*BOC*~×6＝×1×1×sin 60°×6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率*P*＝1－＝.
(2)由题意知圆*O*的面积为π^3^，正弦曲线*y*＝sin *x*，*x*∈\[－π，π\]与*x*轴围成的区域记为*M*，根据图形的对称性得区域*M*的面积*S*＝2 sin *x*d*x*＝－2cos *x* ＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆*O*内投一个点*A*，则点*A*落在区域*M*内的概率*P*＝.
\[答案\] (1)C (2)B
类型(三) 与体积有关的几何概型
\[例3\] 已知在四棱锥*P**ABCD*中，*PA*⊥底面*ABCD*，底面*ABCD*是正方形，*PA*＝*AB*＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点*O*，则四棱锥*O* *ABCD*的体积不小于的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] 当四棱锥*O* *ABCD*的体积为时，设*O*到平面*ABCD*的距离为*h*，则×2^2^×*h*＝，解得*h*＝.
如图所示，在四棱锥*P**ABCD*内作平面*EFGH*平行于底面*ABCD*，且平面*EFGH*与底面*ABCD*的距离为.
因为*PA*⊥底面*ABCD*，且*PA*＝2，所以＝，
又四棱锥*P**ABCD*与四棱锥*P**EFGH*相似，
所以四棱锥*O* *ABCD*的体积不小于的概率*P*＝＝^3^＝^3^＝.
\[答案\]
类型(四) 与角度有关的几何概型
\[例4\] 如图，四边形*ABCD*为矩形，*AB*＝，*BC*＝1，以*A*为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠*DAB*内任作射线*AP*，则射线*AP*与线段*BC*有公共点的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] 连接*AC*，如图，
因为tan∠*CAB*＝＝，
所以∠*CAB*＝，满足条件的事件是直线*AP*在∠*CAB*内，且*AP*与*AC*相交时，即直线*AP*与线段*BC*有公共点，所以射线*AP*与线段*BC*有公共点的概率*P*＝＝＝.
\[答案\]
\[题组训练\]
1.(2019·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点*M*是*AB*的中点，一只蝴蝶在几何体*ADF**BCE*内自由飞翔，则它飞入几何体*F**AMCD*内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题图可知*V~F~*~*AMCD*~＝×*S*~四边形*AMCD*~×*DF*＝*a*^3^，*V~ADF~*~*BCE*~＝*a*^3^，
所以它飞入几何体*F**AMCD*内的概率*P*＝＝.
2.在区间\[0，π\]上随机取一个数*x*，则事件"sin *x*＋cos *x*≥"发生的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意可得
即解得0≤*x*≤，
故所求的概率为＝.
答案：
3.(2018·唐山模拟)向圆(*x*－2)^2^＋(*y*－)^2^＝4内随机投掷一点，则该点落在*x*轴下方的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，连接*CA*，*CB*，依题意，圆心*C*到*x*轴的距离为，所以弦*AB*的长为2.又圆的半径为2，所以弓形*ADB*的面积为×π×2－×2×＝π－，所以向圆(*x*－2)^2^＋(*y*－)^2^＝4内随机投掷一点，则该点落在*x*轴下方的概率*P*＝－.
答案：－
A级
1.(2019·衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )
A. mm^2^ B. mm^2^
C. mm^2^ D. mm^2^
解析：选A 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是*S*＝×π×11^2^＝(mm^2^).
2.(2019·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加"《论语》知识大赛"，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说"虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名"；对乙说"你当然不会是最差的"，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是.
3.(2019·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有CCA＝36(种)取法，所以*P*＝＝.
4.(2019·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A. B.
C.1－ D.1－
解析：选C 正方形的面积为8^2^，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×4^2^－π×2^2^－4×π×1^2^＝8π，所以黑色区域的面积为8^2^－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为*P*＝＝1－.
5.(2019·郑州模拟)已知圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^＝1，直线*l*：*y*＝*k*(*x*＋2)，在\[－1,1\]上随机选取一个数*k*，则事件"直线*l*与圆*C*相离"发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 圆*C*：*x*^2^＋*y*^2^＝1的圆心*C*(0,0)，半径*r*＝1，圆心到直线*l*：*y*＝*k*(*x*＋2)的距离*d*＝()＝，直线*l*与圆*C*相离时*d*＞*r*，即＞1，解得*k*＜－或*k*＞，故所求的概率*P*＝()＝.
6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率*P*＝＝.
答案：
7.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为*a*，*b*，*c*，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为"好数"(如213,134)，若*a*，*b*，*c*∈{1,2,3,4}，且*a*，*b*，*c*互不相同，则这个三位数为"好数"的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A＝24个三位数，而"好数"的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4，所以共组成2A＝12个"好数"，故所求概率*P*＝＝.
答案：
8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆*O*被函数*y*＝3sin*x*的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：根据题意，大圆的直径为函数*y*＝3sin*x*的最小正周期*T*，又*T*＝＝12，所以大圆的面积*S*＝π·^2^＝36π，一个小圆的面积*S*′＝π·1^2^＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率*P*＝＝＝.
答案：
9.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*，*G*表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设*M*为事件"抽取的2名同学来自同一年级"，求事件*M*发生的概率.
解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{*A*，*B*}，{*A*，*C*}，{*A*，*D*}，{*A*，*E*}，{*A*，*F*}，{*A*，*G*}，{*B*，*C*}，{*B*，*D*}，{*B*，*E*}，{*B*，*F*}，{*B*，*G*}，{*C*，*D*}，{*C*，*E*}，{*C*，*F*}，{*C*，*G*}，{*D*，*E*}，{*D*，*F*}，{*D*，*G*}，{*E*，*F*}，{*E*，*G*}，{*F*，*G*}，共21种.
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是*A*，*B*，*C*，来自乙年级的是*D*，*E*，来自丙年级的是*F*，*G*，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{*A*，*B*}，{*A*，*C*}，{*B*，*C*}，{*D*，*E*}，{*F*，*G*}，共5种.
所以事件*M*发生的概率*P*(*M*)＝.
10.在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到*A*，*B*，*C*，*D*四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加*A*岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加*A*岗位服务的概率.
解：(1)记"甲、乙两人同时参加*A*岗位服务"为事件*E~A~*，那么*P*(*E~A~*)＝＝，
即甲、乙两人同时参加*A*岗位服务的概率是.
(2)记"甲、乙两人同时参加同一岗位服务"为事件*E*，那么*P*(*E*)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是*P*()＝1－*P*(*E*)＝.
(3)因为有两人同时参加*A*岗位服务的概率*P*~2~＝＝，所以仅有一人参加*A*岗位服务的概率*P*~1~＝1－*P*~2~＝.
B级
1.(2019·太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 建立平面直角坐标系如图，*x*，*y*分别表示甲、乙二人到达的时刻，则坐标系中每个点(*x*，*y*)可对应甲、乙二人到达时刻的可能性，则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是其构成的区域为如图阴影部分，则所求的概率*P*＝＝.
2.(2019·开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从*A*处沿脚手架攀登至*B*处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有A＝5 040(种).∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA＝1 440(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率*P*＝＝.故选B.
3.已知等腰直角△*ABC*中，∠*C*＝90°，在∠*CAB*内作射线*AM*，则使∠*CAM*＜30°的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：如图，在∠*CAB*内作射线*AM*~0~，使∠*CAM*~0~＝30°，于是有*P*(∠*CAM*＜30°)＝＝＝.
答案：
4.已知*P*是△*ABC*所在平面内一点，且＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△*ABC*内，则黄豆落在△*PBC*内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 以*PB*，*PC*为邻边作平行四边形*PBDC*，连接*PD*交*BC*于点*O*，则＋＝.
∵＋＋2＝0，
∴＋＝－2，即＝－2，
由此可得，*P*是*BC*边上的中线*AO*的中点，点*P*到*BC*的距离等于点*A*到*BC*的距离的，∴*S*~△*PBC*~＝*S*~△*ABC*~，∴将一粒黄豆随机撒在△*ABC*内，黄豆落在△*PBC*内的概率*P*＝＝.
5.点集*Ω*＝{(*x*，*y*)\|0≤*x*≤e，0≤*y*≤e}，*A*＝{(*x*，*y*)\|*y*≥e*^x^*，(*x*，*y*)∈*Ω*}，在点集*Ω*中任取一个元素*a*，则*a*∈*A*的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图，根据题意可知*Ω*表示的平面区域为正方形*BCDO*，面积为e^2^，*A*表示的区域为图中阴影部分，面积为 (e－e*^x^*)d*x*＝(e*x*－e*^x^*)＝(e－e)－(－1)＝1，根据几何概型可知*a*∈*A*的概率*P*＝.故选B.
6.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形*ABC*的斜边*BC*，直角边*AB*，*AC*.△*ABC*的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为*p*~1~，*p*~2~，*p*~3~，则( )
A.*p*~1~＝*p*~2~ B.*p*~1~＝*p*~3~
C.*p*~2~＝*p*~3~ D.*p*~1~＝*p*~2~＋*p*~3~
解析：选A 不妨设△*ABC*为等腰直角三角形，
*AB*＝*AC*＝2，则*BC*＝2，
所以区域Ⅰ的面积即△*ABC*的面积，
为*S*~1~＝×2×2＝2，
区域Ⅱ的面积*S*~2~＝π×1^2^－()＝2，
区域Ⅲ的面积*S*~3~＝()－2＝π－2.
根据几何概型的概率计算公式，
得*p*~1~＝*p*~2~＝，*p*~3~＝，
所以*p*~1~≠*p*~3~，*p*~2~≠*p*~3~，*p*~1~≠*p*~2~＋*p*~3~，故选A.
7.双曲线*C*：－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，其中*a*∈{1,2,3,4}，*b*∈{1,2,3,4}，且*a*，*b*取到其中每个数都是等可能的，则直线*l*：*y*＝*x*与双曲线*C*的左、右支各有一个交点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 直线*l*：*y*＝*x*与双曲线*C*的左、右支各有一个交点，则＞1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(*a*，*b*)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为.
8.在区间\[0,1\]上随机取两个数*a*，*b*，则函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋*ax*＋*b*有零点的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋*ax*＋*b*有零点，则*Δ*＝*a*^2^－*b* ≥0，∴*b*≤*a*^2^，∴函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋*ax*＋*b*有零点的概率*P*＝＝.
答案：
第六节 离散型随机变量及其分布列
一、基础知识
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母*X*，*Y*，*ξ*，*η*，...表示^❶^.
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量*X*可能取的不同值为*x*~1~，*x*~2~，...，*x~i~*，...，*x~n~*，*X*取每一个值*x~i~*(*i*＝1,2，...，*n*)的概率*P*(*X*＝*x~i~*)＝*p~i~*，以表格的形式表示如下：
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
*X* *x*~1~ *x*~2~ ... *x~i~* ... *x~n~*
*P* *p*~1~ *p*~2~ ... *p~i~* ... *p~n~*
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
^❷^此表称为离散型随机变量*X*的概率分布列，简称为*X*的分布列.有时也用等式*P*(*X*＝*x~i~*)＝*p~i~*，*i*＝1，2，...，*n*表示*X*的分布列.
(2)分布列的性质
①*p~i~*≥0，*i*＝1,2,3，...，*n*；②*~i~*＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
----- -------- -----
*X* 0 1
*P* 1－*p* *p*
----- -------- -----
()
(2)超几何分布列^❹^
在含有*M*件次品的*N*件产品中，任取*n*件，其中恰有*X*件次品，则*P*(*X*＝*k*)＝，*k*＝0,1,2，...，*m*，其中*m*＝min{*M*，*n*}，且*n*≤*N*，*M*≤*N*，*n*，*M*，*N*∈N^\*❺^.
----- --- --- ----- -----
*X* 0 1 ... *m*
*P* ...
----- --- --- ----- -----
若*X*是随机变量，则*Y*＝*aX*＋*b*(*a*，*b*为常数)也是随机变量．
表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．
两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
 (1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数*X*的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
*m*＝min{*M*，*n*}的理解
*m*为*k*的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即*n*≤*M*时，*k*(抽取的样本中次品的件数)的最大值为*m*＝*n*；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即*n*＞*M*时，*k*的最大值为*m*＝*M*.
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设*X*是一个离散型随机变量，其分布列为
----- ----- --------- --------
*X* －1 0 1
*P* 2－3*q* *q*^2^
----- ----- --------- --------
则*q*的值为( )
A.1 B.±
C.－ D.＋
解析：选C 由分布列的性质知
解得*q*＝－.
2.离散型随机变量*X*的概率分布规律为*P*(*X*＝*n*)＝()(*n*＝1,2,3,4)，其中*a*是常数，则*P*的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由×*a*＝1，知*a*＝1，得*a*＝.
故*P*＝*P*(*X*＝1)＋*P*(*X*＝2)＝×＋×＝.
3.设离散型随机变量*X*的分布列为
----- ----- ----- ----- ----- -----
*X* 0 1 2 3 4
*P* 0.2 0.1 0.1 0.3 *m*
----- ----- ----- ----- ----- -----
(1)求随机变量*Y*＝2*X*＋1的分布列；
(2)求随机变量*η*＝\|*X*－1\|的分布列；
(3)求随机变量*ξ*＝*X*^2^的分布列.
解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋*m*＝1，得*m*＝0.3.
首先列表为：
--------- --- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3 4
2*X*＋1 1 3 5 7 9
--------- --- --- --- --- ---
从而*Y*＝2*X*＋1的分布列为
----- ----- ----- ----- ----- -----
*Y* 1 3 5 7 9
*P* 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
----- ----- ----- ----- ----- -----
(2)列表为
------------ --- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3 4
\|*X*－1\| 1 0 1 2 3
------------ --- --- --- --- ---
∴*P*(*η*＝0)＝*P*(*X*＝1)＝0.1，
*P*(*η*＝1)＝*P*(*X*＝0)＋*P*(*X*＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
*P*(*η*＝2)＝*P*(*X*＝3)＝0.3，
*P*(*η*＝3)＝*P*(*X*＝4)＝0.3.
故*η*＝\|*X*－1\|的分布列为
----- ----- ----- ----- -----
*η* 0 1 2 3
*P* 0.1 0.3 0.3 0.3
----- ----- ----- ----- -----
(3)首先列表为
-------- --- --- --- --- ----
*X* 0 1 2 3 4
*X*^2^ 0 1 4 9 16
-------- --- --- --- --- ----
从而*ξ*＝*X*^2^的分布列为
----- ----- ----- ----- ----- -----
*ξ* 0 1 4 9 16
*P* 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
----- ----- ----- ----- ----- -----
考点二 超几何分布
\[典例精析\]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者*A*~1~，*A*~2~，*A*~3~，*A*~4~，*A*~5~，*A*~6~和4名女志愿者*B*~1~，*B*~2~，*B*~3~，*B*~4~，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含*A*~1~但不包含*B*~1~的概率；
(2)用*X*表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求*X*的分布列.
\[解\] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含*A*~1~但不包含*B*~1~的事件为*M*，则*P*(*M*)＝＝.
(2)由题意知*X*可取的值为0,1,2,3,4，则
*P*(*X*＝0)＝＝，*P*(*X*＝1)＝＝，
*P*(*X*＝2)＝＝，*P*(*X*＝3)＝＝，
*P*(*X*＝4)＝＝.
因此*X*的分布列为
----- --- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- --- ---
\[题组训练\]
某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为*X*，求*X*的分布列.
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以*X*的分布列服从参数*N*＝8，*M*＝3，*n*＝3的超几何分布.
*X*的所有可能取值为0,1,2,3，其中*P*(*X*＝*i*)＝(*i*＝0,1,2,3)，则*P*(*X*＝0)＝＝，*P*(*X*＝1)＝＝，*P*(*X*＝2)＝＝，*P*(*X*＝3)＝＝.
所以*X*的分布列为
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
考点三 求离散型随机变量的分布列
\[典例精析\]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设*X*表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求*X*的分布列.
\[解\] (1)记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件*A*，则*P*(*A*)＝＝.
(2)*X*的可能取值为200,300,400，
则*P*(*X*＝200)＝＝，*P*(*X*＝300)＝＝，
*P*(*X*＝400)＝1－*P*(*X*＝200)－*P*(*X*＝300)＝1－－＝.
故*X*的分布列为
----- ----- ----- -----
*X* 200 300 400
*P*
----- ----- ----- -----
\[题组训练\]
有编号为1,2,3，...，*n*的*n*个学生，入座编号为1,2,3，...，*n*的*n*个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为*X*，已知*X*＝2时，共有6种坐法.
(1)求*n*的值；
(2)求随机变量*X*的分布列.
解：(1)因为当*X*＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即()＝6，
*n*^2^－*n*－12＝0，解得*n*＝4或*n*＝－3(舍去)，所以*n*＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为*X*，
由题意知*X*的可能取值是0,2,3,4，
所以*P*(*X*＝0)＝＝，
*P*(*X*＝2)＝＝＝，
*P*(*X*＝3)＝＝＝，
*P*(*X*＝4)＝＝，
所以随机变量*X*的分布列为
----- --- --- --- ---
*X* 0 2 3 4
*P*
----- --- --- --- ---
A级
1.若随机变量*X*的分布列为
----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
*X* －2 －1 0 1 2 3
*P* 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
则当*P*(*X*＜*a*)＝0.8时，实数*a*的取值范围是( )
A.(－∞，2\] B.\[1,2\]
C.(1,2\] D.(1,2)
解析：选C 由随机变量*X*的分布列知：*P*(*X*＜－1)＝0.1，*P*(*X*＜0)＝0.3，*P*(*X*＜1)＝0.5，*P*(*X*＜2)＝0.8，
则当*P*(*X*＜*a*)＝0.8时，实数*a*的取值范围是(1,2\].
2.设随机变量*X*的分布列为*P*(*X*＝*k*)＝*a^k^*(其中*k*＝1,2,3)，则*a*的值为( )
A.1 B.
C. D.
解析：选D 因为随机变量*X*的分布列为
*P*(*X*＝*k*)＝*a^k^*(*k*＝1,2,3)，
所以根据分布列的性质有*a*×＋*a*^2^＋*a*^3^＝1，
所以*a*＝*a*×＝1，
所以*a*＝.
3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以*ξ*表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量*ξ*的分布列为( )
A.  B. 
C.  D. 
解析：选C 随机变量*ξ*的可能取值为1,2,3，*P*(*ξ*＝1)＝＝，*P*(*ξ*＝2)＝＝，*P*(*ξ*＝3)＝＝，故选C.
4.一只袋内装有*m*个白球，*n*－*m*个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了*X*个白球，下列概率等于()的是( )
A.*P*(*X*＝3) B.*P*(*X*≥2)
C.*P*(*X*≤3) D.*P*(*X*＝2)
解析：选D 依题意知，()是取了3次，所以取出白球应为2个.
5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为*ξ*，已知*P*(*ξ*＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A.10% B.20%
C.30% D.40%
解析：选B 设10件产品中有*x*件次品，则*P*(*ξ*＝1)＝＝()＝，∴*x*＝2或8.
∵次品率不超过40%，∴*x*＝2，∴次品率为＝20%.
6.某射击选手射击环数的分布列为
----- ----- ----- ----- -----
*X* 7 8 9 10
*P* 0.3 0.3 *a* *b*
----- ----- ----- ----- -----
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由分布列的性质得*a*＋*b*＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
答案：40%
7.已知随机变量*X*的概率分别为*p*~1~，*p*~2~，*p*~3~，且依次成等差数列，则公差*d*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得*p*~1~＋*p*~2~＋*p*~3~＝3*p*~2~＝1，*p*~2~＝，
又即得－≤*d*≤.
答案：
8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设所选女生人数为*X*，则*X*服从超几何分布，
其中*N*＝6，*M*＝2，*n*＝3，
则*P*(*X*≤1)＝*P*(*X*＝0)＋*P*(*X*＝1)＝＋＝.
答案：
9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设*A*为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件*A*发生的概率；
(2)设*X*为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量*X*的分布列.
解：(1)由已知，得*P*(*A*)＝＝.
所以事件*A*发生的概率为.
(2)随机变量*X*的所有可能取值为1,2,3,4，
其中*P*(*X*＝*k*)＝(*k*＝1,2,3,4).
故*P*(*X*＝1)＝＝，
*P*(*X*＝2)＝＝，
*P*(*X*＝3)＝＝，
*P*(*X*＝4)＝＝，
所以随机变量*X*的分布列为
----- --- --- --- ---
*X* 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- ---
10.(2019·长春质检)长春市的"名师云课"活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
-------- ------------- ---------------- --------------
点击量 \[0,1 000\] (1 000,3 000\] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
-------- ------------- ---------------- --------------
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间\[0,1 000\]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000\]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间*X*的分布列.
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间\[0,1 000\]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000\]内的有3节，故*X*的可能取值为0,20,40,60.
*P*(*X*＝0)＝＝，*P*(*X*＝20)＝＝＝，
*P*(*X*＝40)＝＝＝，
*P*(*X*＝60)＝＝＝，
则*X*的分布列为
----- --- ---- ---- ----
*X* 0 20 40 60
*P*
----- --- ---- ---- ----
11.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是122，求*x*；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为*ξ*~1~，*ξ*~2~，令*η*＝*ξ*~1~＋*ξ*~2~，求*η*的分布列.
解：(1)由题意知\[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋*x*)＋132＋134＋141\]＝122，
解得*x*＝8.
(2)由题得*ξ*~1~的所有可能取值为0,1,2，*ξ*~2~的所有可能取值为0,1,2，因为*η*＝*ξ*~1~＋*ξ*~2~，所以随机变量*η*的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
所以*P*(*η*＝0)＝＝，
*P*(*η*＝1)＝＝，
*P*(*η*＝2)＝＝，
*P*(*η*＝3)＝＝，
*P*(*η*＝4)＝＝.
所以*η*的分布列为
----- --- --- --- --- ---
*η* 0 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- --- ---
B级
1.若*P*(*ξ*≤*x*~2~)＝1－*β*，*P*(*ξ*≥*x*~1~)＝1－*α*，其中*x*~1~＜*x*~2~，则*P*(*x*~1~≤*ξ*≤*x*~2~)等于( )
A.(1－*α*)(1－*β*) B.1－(*α*＋*β*)
C.1－*α*(1－*β*) D.1－*β*(1－*α*)
解析：选B 显然*P*(*ξ*＞*x*~2~)＝*β*，*P*(*ξ*＜*x*~1~)＝*α*.由概率分布列的性质可知*P*(*x*~1~≤*ξ*≤*x*~2~)＝1－*P*(*ξ*＞*x*~2~)－*P*(*ξ*＜*x*~1~)＝1－*α*－*β*.
2.一个人有*n*把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数*X*为随机变量，则*P*(*X*＝*k*)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B {*X*＝*k*}表示"第*k*次恰好打开，前*k*－1次没有打开"，∴*P*(*X*＝*k*)＝××...×()()×()＝.
3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数*X*是一个随机变量，则*P*(*X*＝4)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：事件"*X*＝4"表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故*P*(*X*＝4)＝＝.
答案：.
4.某班级50名学生的考试分数*x*分布在区间\[50,100)内，设考试分数*x*的分布频率是*f*(*x*)且*f*(*x*)＝()()考试成绩采用"5分制"，规定：考试分数在\[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在\[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在\[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在\[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在\[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为*ξ*(将频率视为概率).
(1)求*b*的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求*P*(*ξ*＝7)；
(3)求*ξ*的分布列.
解：(1)因为*f*(*x*)＝()()
所以＋＋＋＋＝1，所以*b*＝1.9.
估计该班的考试平均分数为
×55＋×65＋×75＋×85＋×95＝76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以*P*(*ξ*＝7)＝＝.
(3)因为*ξ*的可能取值为5,6,7,8,9，
所以*P*(*ξ*＝5)＝＝，*P*(*ξ*＝6)＝＝，*P*(*ξ*＝7)＝，*P*(*ξ*＝8)＝＝，*P*(*ξ*＝9)＝＝.
故*ξ*的分布列为
----- --- --- --- --- ---
*ξ* 5 6 7 8 9
*P*
----- --- --- --- --- ---
第七节 *n*次独立重复试验及二项分布
一 基础知识
1.条件概率及其性质
(1)条件概率的定义：对于任何两个事件*A*和*B*，在已知事件*A*发生的条件下，事件*B*发生的概率叫做条件概率，用符号*P*(*B*\|*A*)来表示，其公式为*P*(*B*\|*A*)＝()()(*P*(*A*)＞0).
(2)条件概率的性质
①非负性：0≤*P*(*B*\|*A*)≤1；
②可加性：如果*B*和*C*是两个互斥事件，
则*P*(*B*∪*C*\|*A*)＝*P*(*B*\|*A*)＋*P*(*C*\|*A*).
2.相互独立事件
(1)对于事件*A*，*B*，若事件*A*的发生与事件*B*的发生互不影响，则称事件*A*，*B*是相互独立事件.
(2)若*P*(*AB*)＝*P*(*A*)*P*(*B*)，则*A*与*B*相互独立.
(3)若*A*与*B*相互独立，则*A*与，与*B*，与也都相互独立.
(4)若*A*与*B*相互独立，则*P*(*B*\|*A*)＝*P*(*B*)，
*P*(*AB*)＝*P*(*B*\|*A*)*P*(*A*)＝*P*(*A*)*P*(*B*).
(5)一般地，如果事件*A*~1~，*A*~2~，...，*A~n~*(*n*＞2，*n*∈N^\*^)相互独立，那么这*n*个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即*P*(*A*~1~*A*~2~...*A~n~*)＝*P*(*A*~1~)*P*(*A*~2~)·...·*P*(*A~n~*).
互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点
(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；
(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即*P*(*AB*)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的*n*次试验称为*n*次独立重复试验.
独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
(2)二项分布：一般地，在*n*次独立重复试验中，设事件*A*发生的次数为*X*，在每次试验中事件*A*发生的概率为*p*，则事件*A*恰好发生*k*次的概率为*P*(*X*＝*k*)＝C*p^k^*(1－*p*)^*n*－*k*^，*k*＝0,1,2，...，*n*，则称随机变量*X*服从二项分布，记作*X*～*B*(*n*，*p*)，并称*p*为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为*n*次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这*n*次独立重复试验中发生的次数.
\[典例精析\](1)(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件*A*为"三个点数都不同"，*B*为"至少出现一个6点"，则条件概率*P*(*A*\|*B*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，*P*(*B*\|*A*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件*A*＝"取到的2个数之和为偶数"，事件*B*＝"取到的2个数均为偶数"，则*P*(*B*\|*A*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)*P*(*A*\|*B*)的含义是在事件*B*发生的条件下，事件*A*发生的概率，即在"至少出现一个6点"的条件下，"三个点数都不相同"的概率，因为"至少出现一个6点"有6×6×6－5×5×5＝91种情况，"至少出现一个6点，且三个点数都不相同"共有C×5×4＝60种情况，所以*P*(*A*\|*B*)＝.*P*(*B*\|*A*)的含义是在事件*A*发生的条件下，事件*B*发生的概率，即在"三个点数都不相同"的条件下，"至少出现一个6点"的概率，因为"三个点数都不同"有6×5×4＝120种情况，所以*P*(*B*\|*A*)＝.
(2)*P*(*A*)＝＝＝，*P*(*AB*)＝＝，由条件概率公式，得*P*(*B*\|*A*)＝()()＝＝.
\[答案\] (1) (2)
\[题组训练\]
1.(2019·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：设"开关第一次闭合后出现红灯"为事件*A*，"开关第二次闭合后出现红灯"为事件*B*，则"开关两次闭合后都出现红灯"为事件*AB*，"开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯"为事件*B*\|*A*，由题意得*P*(*B*\|*A*)＝()()＝.
答案：
2.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：设第1次抽到理科题为事件*A*，第2次抽到理科题为事件*B*，则*P*(*B*\|*A*)＝()()＝＝.
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.
答案：
\[典例精析\](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] (1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件*A*，*B*，*C*，*D*，则*P*(*A*)＝0.6，*P*(*B*)＝*P*(*C*)＝0.5，*P*(*D*)＝0.4，恰好3人使用设备的概率*P*~1~＝*P*(*BCD*＋*ACD*＋*ABD*＋*ABC*)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率*P*~2~＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率*P*＝0.25＋0.06＝0.31.
(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率*P*＝1×0.2×0.8^2^＝0.128.
\[答案\] (1)0.31 (2)0.128
1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率*P*＝0.2^3^×0.8^2^＋2×0.2×0.8×0.2×0.8^2^＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.
答案：0.046 08
2.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意，设答对的事件为*A*，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有*AA*或*A*两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率*P*＝0.2^3^＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.
答案：0.104
\[题组训练\]
1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为，乙同学选做《不等式选讲》的概率为，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：记高三的某次模拟考试中"甲同学不选做《不等式选讲》"为事件*A*，"乙同学不选做《不等式选讲》"为事件*B*，且*A*，*B*相互独立.
依题意，*P*(*A*)＝1－＝，*P*(*B*)＝1－＝，
所以*P*(*AB*)＝*P*(*A*)·*P*(*B*)＝×＝.
又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－*P*(*AB*)＝1－＝.
答案：
2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)设*X*表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量*X*的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解：(1)随机变量*X*的所有可能取值为0,1,2,3，
则*P*(*X*＝0)＝××＝，
*P*(*X*＝1)＝××＋××＋××＝，
*P*(*X*＝2)＝××＋××＋××＝，
*P*(*X*＝3)＝××＝.
所以随机变量*X*的分布列为
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
(2)设*Y*表示第一辆车遇到红灯的个数，*Z*表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
*P*(*Y*＋*Z*＝1)＝*P*(*Y*＝0，*Z*＝1)＋*P*(*Y*＝1，*Z*＝0)
＝*P*(*Y*＝0)*P*(*Z*＝1)＋*P*(*Y*＝1)*P*(*Z*＝0)
＝×＋×
＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
\[典例精析\]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
-------- --------- ---------- ---------- ---------- -----------
质量/g \[5,15) \[15,25) \[25,35) \[35,45) \[45,55\]
数量 4 12 11 8 5
-------- --------- ---------- ---------- ---------- -----------
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在\[5,25)间的九节虾的数量为*X*，求*X*的分布列.
\[解\] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为
×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，
所以这批九节虾的数量约为1 186只.
(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在\[5,25)间的概率p＝＝，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
则*P*(*X*＝0)＝^4^＝，
*P*(*X*＝1)＝C××^3^＝，
*P*(*X*＝2)＝C×^2^×^2^＝，
*P*(*X*＝3)＝C×^3^×＝，
*P*(*X*＝4)＝^4^＝.
所以*X*的分布列为
----- --- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- --- ---
\[题组训练\]
1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
A.0.32 B.0.18
C.0.50 D.0.057 6
解析：选D 甲命中一次的概率为C×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为*P*＝0.32×0.18＝0.057 6.
2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为*X*，求*X*的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
解：(1)*X*可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
*P*(*X*＝10)＝C×^1^×^2^＝，
*P*(*X*＝20)＝C×^2^×^1^＝，
*P*(*X*＝100)＝^3^＝，
*P*(*X*＝－200)＝^3^＝.
所以*X*的分布列为
----- ---- ---- ----- -------
*X* 10 20 100 －200
*P*
----- ---- ---- ----- -------
(2)设"第*i*盘游戏没有出现音乐"为事件*A~i~*(*i*＝1,2,3)，则*P*(*A*~1~)＝*P*(*A*~2~)＝*P*(*A*~3~)＝*P*(*X*＝－200)＝.
所以"三盘游戏中至少有一盘出现音乐"的概率为
1－*P*(*A*~1~*A*~2~*A*~3~)＝1－^3^＝1－＝.
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.
A级
1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设女孩个数为*X*，女孩多于男孩的概率为*P*(*X*≥2)＝*P*(*X*＝2)＋*P*(*X*＝3)＝C×^2^×＋C×^3^＝3×＋＝.
2.(2018·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：
------------- -------- -------- -------- -------- --------
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
------------- -------- -------- -------- -------- --------
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为＝，则所求概率为C^2^×＋^3^＝.
3.(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件*A*为"4个人去的景点不相同"，事件*B*为"小赵独自去一个景点"，则*P*(*A*\|*B*)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即*n*(*B*)＝108,4个人去的景点不同的情况有A＝4×3×2×1＝24种，即*n*(*AB*)＝24，∴*P*(*A*\|*B*)＝()()＝＝.
4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).
甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
现从这20名学生中随机抽取一人，将"抽出的学生为甲组学生"记为事件*A*；"抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分"记为事件*B*，则*P*(*AB*)，*P*(*A*\|*B*)的值分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A 由题意知，*P*(*AB*)＝×＝，根据条件概率的计算公式得*P*(*A*\|*B*)＝()()＝＝.
5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面------只需两次均出现1向上，故两次数字乘积为偶数的概率为1－^2^＝；若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，概率为××2＋×＝.故所求条件概率为＝.
6.设由0,1组成的三位编号中，若用*A*表示"第二位数字为0的事件"，用*B*表示"第一位数字为0的事件"，则*P*(*A*\|*B*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率*P*(*B*)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件*A*，*B*同时发生的概率*P*(*AB*)＝×＝，所以*P*(*A*\|*B*)＝()()＝＝.
答案：
7.事件*A*，*B*，*C*相互独立，如果*P*(*AB*)＝，*P*(*C*)＝，*P*(*AB*)＝，则*P*(*B*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_，*P*(*B*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意得()()()()()()()
由③÷①得*P*()＝，所以*P*(*C*)＝1－*P*()＝1－＝.将*P*(*C*)＝代入②得*P*()＝，所以*P*(*B*)＝1－*P*()＝，由①可得*P*(*A*)＝，所以*P*(*B*)＝*P*()·*P*(*B*)＝×＝.
答案：
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为，用*ξ*表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则*P*(*ξ*＝4)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故*ξ*～*B*，即有*P*(*ξ*＝*k*)＝C*^k^*×^5－*k*^，*k*＝0,1,2,3,4,5.故*P*(*ξ*＝4)＝C^4^×^1^＝.
答案：
9.挑选空军飞行员可以说是"万里挑一"，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；
(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数*X*的分布列.
解：(1)设*A*，*B*，*C*分别表示事件"甲、乙、丙通过复检"，则所求概率*P*＝*P*(*A* )＋*P*(*B*)＋*P*( *C*)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.
(2)甲被录取的概率为*P*~甲~＝0.5×0.6＝0.3，
同理*P*~乙~＝0.6×0.5＝0.3，*P*~丙~＝0.75×0.4＝0.3.
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即*X*～*B*(3,0.3)，*X*的可能取值为0,1,2,3，其中*P*(*X*＝*k*)＝C(0.3)*^k^*·(1－0.3)^3－*k*^，*k*＝0,1,2,3.
故*P*(*X*＝0)＝C×0.3^0^×(1－0.3)^3^＝0.343，
*P*(*X*＝1)＝C×0.3×(1－0.3)^2^＝0.441，
*P*(*X*＝2)＝C×0.3^2^×(1－0.3)＝0.189，
*P*(*X*＝3)＝C×0.3^3^＝0.027，
故*X*的分布列为
----- ------- ------- ------- -------
*X* 0 1 2 3
*P* 0.343 0.441 0.189 0.027
----- ------- ------- ------- -------
10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击.问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？
解：(1)记"甲连续射击4次，至少有1次未击中目标"为事件*A*~1~，则事件*A*~1~的对立事件~1~为"甲连续射击4次，全部击中目标".由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验.
故*P*(~1~)＝C^4^＝.
所以*P*(*A*~1~)＝1－*P*(~1~)＝1－＝.
所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.
(2)记"甲射击4次，恰好有2次击中目标"为事件*A*~2~，"乙射击4次，恰好有3次击中目标"为事件*B*~2~，
则*P*(*A*~2~)＝C×^2^×^2^＝，
*P*(*B*~2~)＝C^3^×^1^＝.
由于甲、乙射击相互独立，
故*P*(*A*~2~*B*~2~)＝*P*(*A*~2~)*P*(*B*~2~)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
(3)记"乙恰好射击5次后，被终止射击"为事件*A*~3~，"乙第*i*次射击未击中"为事件*D~i~*(*i*＝1,2,3,4,5)，
则*A*~3~＝*D*~5~*D*~43~(~21~∪~2~*D*~1~∪*D*~21~)，
且*P*(*D~i~*)＝.
由于各事件相互独立，故
*P*(*A*~3~)＝*P*(*D*~5~)*P*(*D*~4~)*P*(~3~)*P*(~21~＋~2~*D*~1~＋*D*~21~)
＝×××＝.
所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为.
B级
1.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.^3^×
C.× D.C×^3^×
解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为^3^×.
2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件*A*为"第1次抽到的是螺口灯泡"，事件*B*为"第2次抽到的是卡口灯泡"，则*P*(*A*)＝，*P*(*AB*)＝×＝.则所求概率为*P*(*B*\|*A*)＝()()＝＝.
3.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利*X*元，则*P*(*X*≥－80)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由题意得该产品能销售的概率为＝.易知*X*的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设*ξ*表示一箱产品中可以销售的件数，则*ξ*～*B*，所以*P*(*ξ*＝*k*)＝C^*k*4－*k*^，
所以*P*(*X*＝－80)＝*P*(*ξ*＝2)＝C^22^＝，
*P*(*X*＝40)＝*P*(*ξ*＝3)＝C^31^＝，
*P*(*X*＝160)＝*P*(*ξ*＝4)＝C^40^＝，
故*P*(*X*≥－80)＝*P*(*X*＝－80)＋*P*(*X*＝40)＋*P*(*X*＝160)＝.
答案：
4.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；
(2)假设该市高一学生的体重*X*服从正态分布*N*(57，*σ*^2^).
①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率；
②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg之间的人数为*Y*，利用(1)的结论，求*Y*的分布列.
解：(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.
(2)①∵*X*～*N*(57，*σ*^2^)，
由(1)知*P*(*X*＞60)＝，
∴*P*(*X*＜54)＝，
∴*P*(54＜*X*＜60)＝1－2×＝，
∴*P*(54＜*X*＜57)＝×＝，
即高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率为.
②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验，
其中体重介于54～57 kg之间的人数*Y*～*B*，
其中*P*(*Y*＝*i*)＝C^*i*3－*i*^，*i*＝0,1,2,3.
∴*Y*的分布列为
----- --- --- --- ---
*Y* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
5.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度.
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：
<table><tbody><tr class="odd"><td><p>用户</p><p>编号</p></td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr class="even"><td>年用电量(度)</td><td>1 000</td><td>1 260</td><td>1 400</td><td>1 824</td><td>2 180</td><td>2 423</td><td>2 815</td><td>3 325</td><td>4 411</td><td>4 600</td></tr></tbody></table>
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到*k*户用电量为第一阶梯的可能性最大，求*k*的值.
解：(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).
(2)由题表可知，10户中位于第二阶梯电量的有4户，设取到第二阶梯电量的用户数为*ξ*，则*ξ*可取0,1,2,3,4.
*P*(*ξ*＝0)＝＝，*P*(*ξ*＝1)＝＝，*P*(*ξ*＝2)＝＝，*P*(*ξ*＝3)＝＝，*P*(*ξ*＝4)＝＝，
故*ξ*的分布列为
----- --- --- --- --- ---
*ξ* 0 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- --- ---
(3)由题意可知从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数满足*X*～*B*，可知*P*(*X*＝*k*)＝C*^k^*·^10－*k*^(*k*＝0,1,2,3，...，10).
由
解得≤*k*≤.又*k*∈N^\*^，所以当*k*＝4时概率最大，故*k*＝4.
第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、基础知识
1.均值
一般地，若离散型随机变量*X*的分布列为：
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
*X* *x*~1~ *x*~2~ ... *x~i~* ... *x~n~*
*P* *p*~1~ *p*~2~ ... *p~i~* ... *p~n~*
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
则称*E*(*X*)＝*x*~1~*p*~1~＋*x*~2~*p*~2~＋...＋*x~i~p~i~*＋...＋*x~n~p~n~*为随机变量*X*的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)*E*(*X*)是一个实数，由*X*的分布列唯一确定，即作为随机变量，*X*是可变的，可取不同值，而*E*(*X*)是不变的，它描述*X*取值的平均状态.,(3)*E*(*X*)＝*x*~1~*p*~1~＋*x*~2~*p*~2~＋...＋*x~n~p~n~*直接给出了*E*(*X*)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.
2.方差
设离散型随机变量*X*的分布列为：
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
*X* *x*~1~ *x*~2~ ... *x~i~* ... *x~n~*
*P* *p*~1~ *p*~2~ ... *p~i~* ... *p~n~*
----- -------- -------- ----- -------- ----- --------
则(*x~i~*－*E*(*X*))^2^描述了*x~i~*(*i*＝1,2，...，*n*)相对于均值*E*(*X*)的偏离程度.而*D*(*X*)＝(*x~i~*－*E*(*X*))^2^*p~i~*为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量*X*与其均值*E*(*X*)的平均偏离程度.称*D*(*X*)为随机变量*X*的方差，并称其算术平方根()为随机变量*X*的标准差.
(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.*D*(*X*)越大，表明平均偏离程度越大，*X*的取值越分散.反之，*D*(*X*)越小，*X*的取值越集中在*E*(*X*)附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.
3.两个特殊分布的期望与方差
---------- ---------------- ------------------------
分布 期望 方差
两点分布 *E*(*X*)＝*p* *D*(*X*)＝*p*(1－*p*)
二项分布 *E*(*X*)＝*np* *D*(*X*)＝*np*(1－*p*)
---------- ---------------- ------------------------
4.正态分布
(1)正态曲线的特点
①曲线位于*x*轴上方，与*x*轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线*x*＝*μ*对称；
③曲线在*x*＝*μ*处达到峰值；
④曲线与*x*轴之间的面积为1；
⑤当*σ*一定时，曲线的位置由*μ*确定，曲线随着*μ*的变化而沿*x*轴平移；
⑥当*μ*一定时，曲线的形状由*σ*确定，*σ*越小，曲线越"瘦高"，表示总体的分布越集中；*σ*越大，曲线越"矮胖"，表示总体的分布越分散.
(2)正态分布的三个常用数据
①*P*(*μ*－*σ*＜*X*≤*μ*＋*σ*)≈0.682 6；
②*P*(*μ*－2*σ*＜*X*≤*μ*＋2*σ*)≈0.954 4；
③*P*(*μ*－3*σ*＜*X*≤*μ*＋3*σ*)≈0.997 4.
二、常用结论
若*Y*＝*aX*＋*b*，其中*a*，*b*是常数，*X*是随机变量，则
(1)*E*(*k*)＝*k*，*D*(*k*)＝0，其中*k*为常数；
(2)*E*(*aX*＋*b*)＝*aE*(*X*)＋*b*，*D*(*aX*＋*b*)＝*a*^2^*D*(*X*)；
(3)*E*(*X*~1~＋*X*~2~)＝*E*(*X*~1~)＋*E*(*X*~2~)；
(4)*D*(*X*)＝*E*(*X*^2^)－(*E*(*X*))^2^；
(5)若*X*~1~，*X*~2~相互独立，则*E*(*X*~1~·*X*~2~)＝*E*(*X*~1~)·*E*(*X*~2~).
(6)若*X*～*N*(*μ*，*σ*^2^)，则*X*的均值与方差分别为：*E*(*X*)＝*μ*，*D*(*X*)＝*σ*^2^.
\[典例精析\]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量*ξ*(单位：元)，求*ξ*的分布列与数学期望*E*(*ξ*)，方差*D*(*ξ*).
\[解\] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
两人都付0元的概率为*P*~1~＝×＝，
两人都付40元的概率为*P*~2~＝×＝，
两人都付80元的概率为
*P*~3~＝×＝×＝，
故两人所付费用相同的概率为*P*＝*P*~1~＋*P*~2~＋*P*~3~＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为*ξ*，*ξ*可能取值为0,40,80,120,160，则：
*P*(*ξ*＝0)＝×＝，
*P*(*ξ*＝40)＝×＋×＝，
*P*(*ξ*＝80)＝×＋×＋×＝，
*P*(*ξ*＝120)＝×＋×＝，
*P*(*ξ*＝160)＝×＝.
*ξ*的分布列为：
----- --- ---- ---- ----- -----
*ξ* 0 40 80 120 160
*P*
----- --- ---- ---- ----- -----
*E*(*ξ*)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
*D*(*ξ*)＝(0－80)^2^×＋(40－80)^2^×＋(80－80)^2^×＋(120－80)^2^×＋(160－80)^2^×＝.
\[题组训练\]
1.随机变量*X*的可能取值为0,1,2，若*P*(*X*＝0)＝，*E*(*X*)＝1，则*D*(*X*)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设*P*(*X*＝1)＝*p*，*P*(*X*＝2)＝*q*，
由题意得解得*p*＝，*q*＝，
∴*D*(*X*)＝(0－1)^2^＋(1－1)^2^＋(2－1)^2^＝.
2.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.
(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设*X*表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求*X*的分布列和数学期望.
解：(1)设"随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店"为事件*A*，则表示事件"随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购"，
则*P*(*A*)＝1－*P*()＝1－＝.
(2)*X*所有可能的取值为0,1,2,3，
且*P*(*X*＝*k*)＝，
则*P*(*X*＝0)＝，*P*(*X*＝1)＝，*P*(*X*＝2)＝，
*P*(*X*＝3)＝.
所以*X*的分布列为：
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
*E*(*X*)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
\[典例精析\](2019·成都检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量*X*为未来这3天中用水量超标的天数，求*X*的分布列、数学期望和方差.
\[解\] (1)记"从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标"为事件*A*，
则*P*(*A*)＝＋＝＝.
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为.
*X*的所有可能取值为0,1,2,3，
易知*X*～*B*，*P*(*X*＝*k*)＝C^*k*3－*k*^，*k*＝0,1,2,3，
则*P*(*X*＝0)＝，*P*(*X*＝1)＝，*P*(*X*＝2)＝，*P*(*X*＝3)＝.
∴随机变量*X*的分布列为：
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
数学期望*E*(*X*)＝3×＝1，
方差*D*(*X*)＝3××＝.
\[解题技法\]
二项分布的期望与方差
(1)如果*ξ* ～*B*(*n*，*p*)，则用公式*E*(*ξ*)＝*np*，*D*(*ξ*)＝*np*(1－*p*)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用*E*(*aξ*＋*b*)＝*aE*(*ξ*)＋*b*以及*E*(*ξ*)＝*np*求出*E*(*aξ*＋*b*)，同样还可求出*D*(*aξ*＋*b*).
\[题组训练\]
1.设*X*为随机变量，且*X*～*B*(*n*，*p*)，若随机变量*X*的数学期望*E*(*X*)＝4，*D*(*X*)＝，则*P*(*X*＝2)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.(结果用分数表示)
解析：∵*X*为随机变量，且*X*～*B*(*n*，*p*)，∴*E*(*X*)＝*np*＝4，*D*(*X*)＝*np*(1－*p*)＝，解得*n*＝6，*p*＝，∴*P*(*X*＝2)＝C×^2^×^4^＝.
答案：
2.(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为\[5,15\]，(15,25\]，(25,35\]，(35,45\]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).
(1)求*a*的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在\[5,15\]内的小球个数为*X*，求*X*的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).
解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋*a*＋0.018)×10＝1，
解得*a*＝0.03.
由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，
而50个样本中小球重量的平均值＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克).
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24.6克.
(2)该盒子中小球重量在\[5,15\]内的概率为，
则*X*～*B*.*X*的可能取值为0,1,2,3，
则*P*(*X*＝0)＝C^0^×^3^＝，
*P*(*X*＝1)＝C×^2^＝，
*P*(*X*＝2)＝C^2^×＝，
*P*(*X*＝3)＝C^3^×^0^＝.
∴*X*的分布列为：
----- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
∴*E*(*X*)＝0×＋1×＋2×＋3×＝
()
\[典例精析\](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为*p*(0＜*p*＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为*f*(*p*)，求*f*(*p*)的最大值点*p*~0~.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的*p*~0~作为*p*的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为*X*，求*EX*；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
\[解\] (1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为
*f*(*p*)＝C*p*^2^·(1－*p*)^18^，
所以*f*′(*p*)＝C\[2*p*(1－*p*)^18^－18*p*^2^(1－*p*)^17^\]
＝2C*p*(1－*p*)^17^(1－10*p*).
令*f*′(*p*)＝0，得*p*＝0.1.
当*p*∈(0,0.1)时，*f*′(*p*)＞0；
当*p*∈(0.1,1)时，*f*′(*p*)＜0.
所以*f*(*p*)的最大值点为*p*~0~＝0.1.
(2)由(1)知，*p*＝0.1.
①令*Y*表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知*Y*～*B*(180,0.1)，*X*＝20×2＋25*Y*，即*X*＝40＋25*Y*.所以*EX*＝*E*(40＋25*Y*)＝40＋25*EY*＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于*EX*＞400，故应该对余下的产品作检验.
\[解题技法\]
离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略
(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.
(3)在实际问题中，若两个随机变量*ξ*~1~，*ξ*~2~，有*E*(*ξ*~1~)＝*E*(*ξ*~2~)或*E*(*ξ*~1~)与*E*(*ξ*~2~)较为接近时，就需要用*D*(*ξ*~1~)与*D*(*ξ*~2~)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
\[题组训练\]
某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到"低碳"项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解：若按"项目一"投资，设获利为*X*~1~万元，则*X*~1~的分布列为：
-------- ----- -------
*X*~1~ 300 －150
*P*
-------- ----- -------
∴*E*(*X*~1~)＝300×＋(－150)×＝200，
*D*(*X*~1~)＝(300－200)^2^×＋(－150－200)^2^×＝35 000.
若按"项目二"投资，设获利为*X*~2~万元，则*X*~2~的分布列为：
-------- ----- --- -------
*X*~2~ 500 0 －300
*P*
-------- ----- --- -------
∴*E*(*X*~2~)＝500×＋0×＋(－300)×＝200，
*D*(*X*~2~)＝(500－200)^2^×＋(－300－200)^2^×＋(0－200)^2^×＝140 000.
∴*E*(*X*~1~)＝*E*(*X*~2~)，*D*(*X*~1~)＜*D*(*X*~2~)，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
\[典例精析\](1)设*X*～*N*(*μ*~1~，*σ*)，*Y*～*N*(*μ*~2~，*σ*)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.*P*(*Y*≥*μ*~2~)≥*P*(*Y*≥*μ*~1~)
B.*P*(*X*≤*σ*~2~)≤*P*(*X*≤*σ*~1~)
C.对任意正数*t*，*P*(*X*≤*t*)≥*P*(*Y*≤*t*)
D.对任意正数*t*，*P*(*X*≥*t*)≥*P*(*Y*≥*t*)
(2)(2019·太原模拟)已知随机变量*X*服从正态分布*N*(3,1)，且*P*(*X*≥4)＝0.158 7，则*P*(2＜*X*＜4)＝( )
A.0.682 6 B.0.341 3
C.0.460 3 D.0.920 7
(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布*X*～*N*(90，*a*^2^)(*a*＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有\_\_\_\_\_\_\_\_人.
\[解析\] (1)由正态曲线的性质及题图知，*μ*~1~＜*μ*~2,~0＜*σ*~1~＜*σ*~2~.故对任意正数*t*，*P*(*X*≤*t*)≥*P*(*Y*≤*t*)正确.
(2)因为随机变量*X*服从正态分布*N*(3,1)，且*P*(*X*≥4)＝0.158 7，所以*P*(*X*≤2)＝0.158 7，所以*P*(2＜*X*＜4)＝1－*P*(*X*≤2)－*P*(*X*≥4)＝0.682 6，故选A.
(3)因为数学成绩服从正态分布*X*～*N*(90，*a*^2^)，
所以其正态分布曲线关于直线*x*＝90对称，
又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×900＝180(人).
\[答案\] (1)C (2)A (3)180
\[解题技法\]
正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线*x*＝*μ*对称，曲线与*x*轴之间的面积为1.
(2)利用3*σ*原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的*μ*，*σ*进行对比联系，确定它们属于(*μ*－*σ*，*μ*＋*σ*)，(*μ*－2*σ*，*μ*＋2*σ*)，(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)中的哪一个.
\[题组训练\]
1.(2019·武汉模拟)已知随机变量*ξ*服从正态分布*N*(*μ*，*σ*^2^)，若*P*(*ξ*＜2)＝*P*(*ξ*＞6)＝0.15，则*P*(2≤*ξ*＜4)等于( )
A.0.3 B.0.35
C.0.5 D.0.7
解析：选B ∵*P*(*ξ*＜2)＝*P*(*ξ*＞6)＝0.15，∴*μ*＝＝4.又*P*(2≤*ξ*≤6)＝1－*P*(*ξ*＜2)－*P*(*ξ*＞6)＝0.7，∴*P*(2≤*ξ*＜4)＝()＝0.35，故选B.
2.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布*N*(*μ*，*σ*^2^).
(1)假设生产状态正常，记*X*表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之外的零件数，求*P*(*X*≥1)及*X*的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝*~i~*＝9.97，*s*＝()＝≈0.212，其中*x~i~*为抽取的第*i*个零件的尺寸，*i*＝1,2，...，16.
用样本平均数作为*μ*的估计值，用样本标准差*s*作为*σ*的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计*μ*和*σ*(精确到0.01).
附：若随机变量*Z*服从正态分布*N*(*μ*，*σ*^2^)，则*P*(*μ*－3*σ*＜*Z*＜*μ*＋3*σ*)＝0.997 4.0.997 4^16^
≈0.959 2，≈0.09.
解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之外的概率为0.002 6，故*X*～*B*(16,0.002 6).
因此*P*(*X*≥1)＝1－*P*(*X*＝0)＝1－0.997 4^16^≈0.040 8.
*X*的数学期望为*E*(*X*)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(*μ*－3*σ*，*μ*＋3*σ*)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②由＝9.97，*s*≈0.212，得*μ*的估计值为＝9.97，*σ*的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02，
因此*μ*的估计值为10.02.
＝16×0.212^2^＋16×9.97^2^≈1 591.134，
剔除(－3，＋3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1 591.134－9.22^2^－15×10.02^2^)≈0.008，
因此*σ*的估计值为≈0.09.
A级
1.(2019·乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号*X*的期望为( )
A. B.
C.2 D.
解析：选D 因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号*X*的可能取值为2,3，所以*P*(*X*＝2)＝＝，*P*(*X*＝3)＝＝，所以*E*(*X*)＝2×＋3×＝.
2.已知随机变量*X*服从正态分布*N*(*a,*4)，且*P*(*X*＞1)＝0.5，*P*(*X*＞2)＝0.3，则*P*(*X*＜0)＝( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
解析：选B 因为随机变量*X*服从正态分布*N*(*a,*4)，所以曲线关于*x*＝*a*对称，且*P*(*X*＞*a*)＝0.5.由*P*(*X*＞1)＝0.5，可知*a*＝1，所以*P*(*X*＜0)＝*P*(*X*＞2)＝0.3，故选B.
3.(2019·合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量*X*(单位：克)服从正态分布*N*(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在\[98,104\]内的产品估计有( )
(附：若*X*服从*N*(*μ*，*σ*^2^)，则*P*(*μ*－*σ*＜*X*＜*μ*＋*σ*)＝0.682 7，*P*(*μ*－2*σ*＜*X*＜*μ*＋2*σ*)＝0.954 5)
A.4 093件 B.4 772件
C.6 827件 D.8 186件
解析：选D 由题意可得，该正态分布的对称轴为*x*＝100，且*σ*＝2，
则质量在\[96,104\]内的产品的概率为*P*(*μ*－2*σ*＜*X*＜*μ*＋2*σ*)＝0.954 5，而质量在\[98,102\]内的产品的概率为*P*(*μ*－*σ*＜*X*＜*μ*＋*σ*)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在\[98,104\]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在\[98,104\]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件).
4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数*X*的期望是( )
A.3 B.
C.2 D.
解析：选B 在一轮投篮中，甲通过的概率为*P*＝2××＋×＝，未通过的概率为.*X*服从二项分布*X*～*B*，由二项分布的期望公式，得*E*(*X*)＝3×＝.
5.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设*ξ*为回答正确的题数，则随机变量*ξ*的数学期望*E*(*ξ*)＝( )
A.1 B.
C. D.2
解析：选B 由已知得*ξ*的可能取值为0,1,2,3.
*P*(*ξ*＝0)＝××＝，*P*(*ξ*＝1)＝××＋××＋××＝，*P*(*ξ*＝2)＝××＋××＋××＝，*P*(*ξ*＝3)＝××＝.∴*E*(*ξ*)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
6.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，*X*表示抽到的二等品件数，则*D*(*X*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意，*X*～*B*(100,0.02)，
所以*D*(*X*)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
答案：1.96
7.若随机变量*ξ*的分布列如表所示，*E*(*ξ*)＝1.6，则*a*－*b*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
----- ----- ----- ----- -----
*ξ* 0 1 2 3
*P* 0.1 *a* *b* 0.1
----- ----- ----- ----- -----
解析：易知*a*，*b*∈\[0,1\]，由0.1＋*a*＋*b*＋0.1＝1，得*a*＋*b*＝0.8，又由*E*(*ξ*)＝0×0.1＋1×*a*＋2×*b*＋3×0.1＝1.6，得*a*＋2*b*＝1.3，解得*a*＝0.3，*b*＝0.5，则*a*－*b*＝－0.2.
答案：－0.2
8.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为*ξ*，则*ξ*的期望值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数*ξ*可取的值有0,1,2,4.其中，*P*(*ξ*＝0)＝＝，*P*(*ξ*＝1)＝＝，*P*(*ξ*＝2)＝＝，*P*(*ξ*＝4)＝＝，
所以*E*(*ξ*)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
答案：1
9.(2019·长春质检)某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：
---------- ------- -------- -------- -------- --------
贷款期限 6个月 12个月 18个月 24个月 36个月
频数 20 40 20 10 10
---------- ------- -------- -------- -------- --------
以上表中选择的各种贷款期限的频数作为2019年自主创业人员选择的各种贷款期限的概率.
(1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；
(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为*X*元，写出*X*的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.
解：(1)由题意知，每人选择的贷款期限为12个月的概率为，
所以3人中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率*P*＝C×^2^×＝.
(2)由题意知，享受的补贴为200元的概率*p*~1~＝，享受的补贴为300元的概率*p*~2~＝，享受的补贴为400元的概率*p*~3~＝，所以随机变量*X*的分布列为：
----- ----- ----- -----
*X* 200 300 400
*P*
----- ----- ----- -----
所以*E*(*X*)＝＋＋＝300(元)，所以2019年该市政府共要补贴*w*＝600×300＝180 000(元).
故2019年该市政府需要补贴18万元.
10.(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.
(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.
解：(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件*A*，则事件*A*的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为*X*，则*X*～*B*，
∴*P*(*X*＝0)＝C×^4^＝，
*P*(*X*＝1)＝C××^3^＝，
*P*(*X*＝2)＝C×^2^×^2^＝，
*P*(*X*＝3)＝C×^3^×＝，
*P*(*X*＝4)＝C×^4^＝.
∴*X*的分布列为：
----- --- --- --- --- ---
*X* 0 1 2 3 4
*P*
----- --- --- --- --- ---
设该厂有*n*名工人，则"每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修"为*X*≤*n*，即*X*＝0，*X*＝1，*X*＝2，...，*X*＝*n*，这*n*＋1个互斥事件的和事件，则：
-------------- --- --- --- --- ---
*n* 0 1 2 3 4
*P*(*X*≤*n*) 1
-------------- --- --- --- --- ---
∵＜90%＜，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.
(2)设该厂每月可获利*Y*万元，则*Y*的所有可能取值为18,13,8，
*P*(*Y*＝18)＝*P*(*X*＝0)＋*P*(*X*＝1)＋*P*(*X*＝2)＝，
*P*(*Y*＝13)＝*P*(*X*＝3)＝，
*P*(*Y*＝8)＝*P*(*X*＝4)＝，
∴*Y*的分布列为：
----- ---- ---- ---
*Y* 18 13 8
*P*
----- ---- ---- ---
则*E*(*Y*)＝18×＋13×＋8×＝(万元).
故该厂每月获利的均值为万元.
B级
1.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为*p*，各成员的支付方式相互独立.设*X*为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，*DX*＝2.4，*P*(*X*＝4)＜*P*(*X*＝6)，则*p*＝( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
解析：选B 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数*X*服从二项分布，即*X*～*B*(10，*p*)，
所以*DX*＝10*p*(1－*p*)＝2.4，所以*p*＝0.4或0.6.
又因为*P*(*X*＝4)＜*P*(*X*＝6)，
所以C*p*^4^(1－*p*)^6^＜C*p*^6^(1－*p*)^4^，
所以*p*＞0.5，所以*p*＝0.6.
2.设随机变量*ξ*服从正态分布*N*(*μ*，*σ*^2^)，函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋4*x*＋*ξ* 没有零点的概率是，则*μ*等于( )
A.1 B.2
C.4 D.不能确定
解析：选C 当函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋4*x*＋*ξ*没有零点时，
*Δ*＝16－4*ξ*＜0，即*ξ*＞4，根据正态曲线的对称性，当函数*f*(*x*)＝*x*^2^＋4*x*＋*ξ*没有零点的概率是时，*μ*＝4.
3.已知离散型随机变量*X*的分布列如表所示，若*E*(*X*)＝0，*D*(*X*)＝1，则*P*(*X*＜1)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
----- ----- ----- ----- ---
*X* －1 0 1 2
*P* *a* *b* *c*
----- ----- ----- ----- ---
解析：∵*E*(*X*)＝0，*D*(*X*)＝1，
∴()
且*a*，*b*，*c*∈\[0,1\]，解得*a*＝，*b*＝，*c*＝，*P*(*X*＜1)＝*P*(*X*＝－1)＋*P*(*X*＝0)＝＋＝.
答案：
4.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
---------- ---- ---- ---- ---- ----
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
---------- ---- ---- ---- ---- ----
乙公司送餐员送餐单数频数表
---------- ---- ---- ---- ---- ----
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
---------- ---- ---- ---- ---- ----
(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.
(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司送餐员日工资为*X*(单位：元)，求*X*的分布列和数学期望*E*(*X*)；
②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件*M*，
则*P*(*M*)＝＝.
(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为*a*，
当*a*＝38时，*X*＝38×6＝228，
当*a*＝39时，*X*＝39×6＝234，
当*a*＝40时，*X*＝40×6＝240，
当*a*＝41时，*X*＝40×6＋1×7＝247，
当*a*＝42时，*X*＝40×6＋2×7＝254.
所以*X*的所有可能取值为228,234,240,247,254.
故*X*的分布列为：
----- ----- ----- ----- ----- -----
*X* 228 234 240 247 254
*P*
----- ----- ----- ----- ----- -----
所以*E*(*X*)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8.
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元.
由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元.
因为238.8＜241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.
5.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量*X*(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量*X*限制，并有如下关系：
+-------------+-------------+------------+----------+
| 年入流量*X* | 40＜*X*＜80 | 80≤*X*≤120 | *X*＞120 |
+-------------+-------------+------------+----------+
| 发电机最多 | 1 | 2 | 3 |
| | | | |
| 可运行台数 | | | |
+-------------+-------------+------------+----------+
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解：(1)依题意，得*p*~1~＝*P*(40＜*X*＜80)＝＝0.2，
*p*~2~＝*P*(80≤*X*≤120)＝＝0.7，
*p*~3~＝*P*(*X*＞120)＝＝0.1.
由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
*P*＝C(1－*p*~3~)^4^＋C(1－*p*~3~)^3^*p*~3~
＝(0.9)^4^＋4×(0.9)^3^×0.1＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为*Y*(单位：万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润*Y*＝5 000，*E*(*Y*)＝5 000×1＝5 000(万元).
②安装2台发电机的情形.
依题意，当40＜*X*＜80时，一台发电机运行，此时*Y*＝5 000－800＝4 200，因此*P*(*Y*＝4 200)＝*P*(40＜*X*＜80)＝*p*~1~＝0.2；当*X*≥80时，两台发电机运行，此时*Y*＝5 000×2＝10 000，因此*P*(*Y*＝10 000)＝*P*(*X*≥80)＝*p*~2~＋*p*~3~＝0.8.由此得*Y*的分布列如下：
----- ------- --------
*Y* 4 200 10 000
*P* 0.2 0.8
----- ------- --------
所以*E*(*Y*)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840(万元).
③安装3台发电机的情形.
依题意，当40＜*X*＜80时，一台发电机运行，此时*Y*＝5 000－1 600＝3 400，因此*P*(*Y*＝3 400)＝*P*(40＜*X*＜80)＝*p*~1~＝0.2；当80≤*X*≤120时，两台发电机运行，此时*Y*＝5 000×2－800＝9 200，因此*P*(*Y*＝9 200)＝*P*(80≤*X*≤120)＝*p*~2~＝0.7；当*X*＞120时，三台发电机运行，此时*Y*＝5 000×3＝15 000，因此*P*(*Y*＝15 000)＝*P*(*X*＞120)＝*p*~3~＝0.1，由此得*Y*的分布列如下：
----- ------- ------- --------
*Y* 3 400 9 200 15 000
*P* 0.2 0.7 0.1
----- ------- ------- --------
所以*E*(*Y*)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620(万元).
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
第十二章复数、算法、推理与证明
==============================
第一节 数系的扩充与复数的引入
一、基础知识
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)的数叫复数，其中*a*，*b*分别是它的实部和虚部．若*b*＝0，则*a*＋*b*i为实数；若*b*≠0，则*a*＋*b*i为虚数；若*a*＝0且*b*≠0，则*a*＋*b*i为纯虚数．
---------------------------------------------------------
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.
---------------------------------------------------------
(2)复数相等：*a*＋*b*i＝*c*＋*d*i⇔*a*＝*c*且*b*＝*d*(*a*，*b*，*c*，*d*∈R)．
(3)共轭复数：*a*＋*b*i与*c*＋*d*i共轭⇔*a*＝*c*，*b*＝－*d*(*a*，*b*，*c*，*d*∈R)．
(4)复数的模：
向量的模*r*叫做复数*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)的模，记作\|*z*\|或\|*a*＋*b*i\|，即\|*z*\|＝\|*a*＋*b*i\|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数*z*＝*a*＋*b*i 复平面内的点*Z*(*a*，*b*)(*a*，*b*∈R)．
------------------------------------------------------------------------------
复数*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)的对应点的坐标为(*a*，*b*)，而不是(*a*，*b*i).
------------------------------------------------------------------------------
(2)复数*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R) 平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设*z*~1~＝*a*＋*b*i，*z*~2~＝*c*＋*d*i(*a*，*b*，*c*，*d*∈R)，则
①加法：*z*~1~＋*z*~2~＝(*a*＋*b*i)＋(*c*＋*d*i)＝(*a*＋*c*)＋(*b*＋*d*)i；
②减法：*z*~1~－*z*~2~＝(*a*＋*b*i)－(*c*＋*d*i)＝(*a*－*c*)＋(*b*－*d*)i；
③乘法：*z*~1~·*z*~2~＝(*a*＋*b*i)·(*c*＋*d*i)＝(*ac*－*bd*)＋(*ad*＋*bc*)i；
④除法：＝＝()()()()＝＋i(*c*＋*d*i≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设*z*~1~，*z*~2~，*z*~3~∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：*z*~1~＋*z*~2~＝*z*~2~＋*z*~1~；
②结合律：(*z*~1~＋*z*~2~)＋*z*~3~＝*z*~1~＋(*z*~2~＋*z*~3~)．
二、常用结论
(1)(1±i)^2^＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－*b*＋*a*i＝i(*a*＋*b*i)．
(3)i^4*n*^＝1，i^4*n*＋1^＝i，i^4*n*＋2^＝－1，i^4*n*＋3^＝－i(*n*∈N^\*^)；i^4*n*^＋i^4*n*＋1^＋i^4*n*＋2^＋i^4*n*＋3^＝0(*n*∈N^\*^)．
(4)*z*·＝\|*z*\|^2^＝\|\|^2^，\|*z*~1~·*z*~2~\|＝\|*z*~1~\|·\|*z*~2~\|，＝，\|*z^n^*\|＝\|*z*\|*^n^*.
\[典例\] (1)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数*z*满足*z*i＝1＋i，则*z*^2^＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：()()＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
\[解析\] (1)∵*z*i＝1＋i，
∴*z*＝＝＋1＝1－i.
∴*z*^2^＝(1－i)^2^＝1＋i^2^－2i＝－2i.
(2)()()＝()＝＝2，故选A.
\[答案\] (1)A (2)A
\[解题技法\] 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
\[题组训练\]
1．(2019·合肥质检)已知i为虚数单位，则()()＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A 法一：()()＝＝5，故选A.
法二：()()＝()()()()＝()()＝5，故选A.
2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知()＝1＋i(i为虚数单位)，则复数*z*等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D 由题意，得*z*＝()＝＝－1－i，故选D.
3．已知复数*z*＝，则复数*z*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：因为i^4*n*＋1^＋i^4*n*＋2^＋i^4*n*＋3^＋i^4*n*＋4^＝i＋i^2^＋i^3^＋i^4^＝0，
而2 018＝4×504＋2，
所以*z*＝＝＝＝()()()()＝＝i.
答案：i
\[典例\] (1)(2019·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数*z*＝＋i(*a*∈R)的实部与虚部互为相反数，则*a*＝( )
A．－5 B．－1
C．－ D．－
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设*z*＝＋2i，则\|*z*\|＝( )
A．0 B.
C．1 D.
\[解析\] (1)*z*＝＋i＝()()()＋i＝＋i，∵复数*z*＝＋i(*a*∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－＝，解得*a*＝－.故选D.
(2)∵*z*＝＋2i＝()()()＋2i＝ ＋2i＝i，
∴\|*z*\|＝1.故选C.
\[答案\] (1)D (2)C
\[解题技法\] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)，则该复数的实部为*a*，虚部为*b*.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数*z*~1~＝*a*＋*b*i与*z*~2~＝*c*＋*d*i共轭⇔*a*＝*c*，*b*＝－*d*(*a*，*b*，*c*，*d*∈R)．
\[题组训练\]
1．(2019·山西八校第一次联考)已知*a*，*b*∈R，i为虚数单位，若3－4i^3^＝，则*a*＋*b*等于( )
A．－9 B．5
C．13 D．9
解析：选A 由3－4i^3^＝，得3＋4i＝，即(*a*＋i)(3＋4i)＝2－*b*i，(3*a*－4)＋(4*a*＋3)i＝2－*b*i，则解得故*a*＋*b*＝－9.故选A.
2．(2019·贵阳适应性考试)设是复数*z*的共轭复数，满足＝，则\|*z*\|＝( )
A．2 B．2
C. D.
解析：选B 法一：由＝＝()()()＝2＋2i，
得\|*z*\|＝\|\|＝＝2，故选B.
法二：由模的性质，得\|*z*\|＝\|\|＝＝＝＝2.故选B.
3．若复数*z*＝*a*^2^－*a*－2＋(*a*＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数*a*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由于*z*＝*a*^2^－*a*－2＋(*a*＋1)i为纯虚数，因此*a*^2^－*a*－2＝0且*a*＋1≠0，解得*a*＝2.
答案：2
 \[典例\] (1)如图，在复平面内，复数*z*~1~，*z*~2~对应的向量分别是，，若*zz*~2~＝*z*~1~，则*z*的共轭复数＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
(2)复数*z*＝4i^2\ 018^－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
\[解析\] (1)由题意知*z*~1~＝1＋2i，*z*~2~＝－1＋i，故*z*(－1＋i)＝1＋2i，
即*z*＝＝()()()()＝＝－i，＝＋i，故选A.
(2)*z*＝4i^2\ 018^－＝4×i^2\ 016^·i^2^－()()()＝－4－()＝－6－i，
故*z*在复平面内对应的点在第三象限．
\[答案\] (1)A (2)C
\[解题技法\] 对复数几何意义的再理解
(1)复数*z*、复平面上的点*Z*及向量相互联系，即*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)⇔*Z*(*a*，*b*)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
\[题组训练\]
1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数*z*满足(2－i)*z*＝i＋i^2^，则*z*在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B *z*＝＝＝()()()()＝＝－＋i，则复数*z*在复平面内对应的点为，该点位于第二象限．故选B.
2．若复数*z*满足\|*z*－i\|≤(i为虚数单位)，则*z*在复平面内所对应的图形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：设*z*＝*x*＋*y*i(*x*，*y*∈R)，由\|*z*－i\|≤得\|*x*＋(*y*－1)i\|≤，所以()≤ ，
所以*x*^2^＋(*y*－1)^2^≤2，所以*z*在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.
答案：2π
3．已知复数*z*＝，其中*a*为整数，且*z*在复平面内对应的点在第四象限，则*a*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为*z*＝＝()()()()＝()，
所以*z*在复平面内对应的点为，
所以解得－1＜*a*＜4，
又*a*为整数，所以*a*的最大值为3.
答案：3
1．(2019·广州五校联考)()＝( )
A．－1－i B．1＋i
C．－1＋i D．1－i
解析：选C ()＝＝()＝＝－1＋i，选C.
2．(2018·洛阳第一次统考)已知*a*∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则*a*的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C ∵＝()()()()＝－i为纯虚数，∴＝0且≠0，解得*a*＝1，故选C.
3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量，所对应的复数分别为*z*~1~，*z*~2~，则*z*~1~·*z*~2~＝( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析：选A 由图可知，*z*~1~＝1＋i，*z*~2~＝3－i，则*z*~1~·*z*~2~＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.
4．若复数*z*~1~＝4＋29i，*z*~2~＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(*z*~1~－*z*~2~)i的实部为( )
A．－20 B．－2
C．4 D．6
解析：选A 因为(*z*~1~－*z*~2~)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(*z*~1~－*z*~2~)i的实部为－20.
5．(2019·太原模拟)若复数*z*＝在复平面内对应的点在第四象限，则实数*m*的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A 法一：因为*z*＝＝()()()()＝＋i在复平面内对应的点为，且在第四象限，所以解得－1\<*m*\<1，故选A.
法二：当*m*＝0时，*z*＝＝()()＝－i，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B、C、D，故选A.
6．(2018·昆明高三摸底)设复数*z*满足(1＋i)*z*＝i，则*z*的共轭复数 ＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析：选B 法一：∵(1＋i)*z*＝i，∴*z*＝＝()()()＝＝＋i，
∴复数*z*的共轭复数＝－i，故选B.
法二：∵(1＋i)*z*＝i，∴*z*＝＝()＝()()＝＝＋i，
∴复数*z*的共轭复数＝－i，故选B.
法三：设*z*＝*a*＋*b*i(*a*，*b*∈R)，∵(1＋i)*z*＝i，∴(1＋i)(*a*＋*b*i)＝i，∴(*a*－*b*)＋(*a*＋*b*)i＝i，由复数相等的条件得解得*a*＝*b*＝，∴*z*＝＋i，∴复数*z*的共轭复数＝－i，故选B.
7．设复数*z*满足i(*z*＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数*z*对应的点位于复平面内( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 由i(*z*＋1)＝－3＋2i，得*z*＝－1＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．
8．已知复数*z*＝，*z*·＝1，则正数*m*的值为( )
A. B．2
C. D.
解析：选A 法一：*z*＝＝()()()＝＋i，＝－i，*z*·＝＝1，则正数*m*＝，故选A.
法二：由题意知\|*z*\|＝＝，由*z*·＝\|*z*\|^2^，得＝1，则正数*m*＝，故选A.
9．已知*a*，*b*∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－*b*i)＝*a*，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：因为(1＋i)(1－*b*i)＝1＋*b*＋(1－*b*)i＝*a*，
所以解得所以＝2.
答案：2
10．复数\|1＋i\|＋^2^＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：原式＝()＋()()＝＋＝＋i－＝i.
答案：i
11．(2019·重庆调研)已知i为虚数单位，复数*z*＝，复数\|*z*\|＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：法一：因为*z*＝＝()()()()＝＝1＋i，所以\|*z*\|＝＝.
法二：\|*z*\|＝＝＝＝.
答案：
12．已知复数*z*＝()，是*z*的共轭复数，则*z*·＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵*z*＝()＝
＝()＝()()()()
＝＝－＋i，
∴*z*·＝\|*z*\|^2^＝＋＝.
答案：
13．计算：(1)()()；
(2)()()；
(3)()＋()；
(4)().
解：(1)()()＝＝－1－3i.
(2)()()＝＝＝()＝＋i.
(3)()＋()＝＋＝＋＝－1.
(4)()＝()()()＝＝()()＝－－i.
第二节 算法与程序框图
一、基础知识
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
---------- --------------------------------------
定义 由若干个依次执行的步骤组成
程序框图 
---------- --------------------------------------
(2)条件结构
---------- ------------------------------------------------------------------------
定义 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
程序框图 
---------- ------------------------------------------------------------------------
(3)循环结构
+----------+--------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+
| 定义 | 从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体 | |
+----------+--------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+
| 程序框图 | 直到型循环结构 | 当型循环结构 |
| | | |
| | ------------------------------------- | ------------------------------------- |
| | 先循环，后判断，条件满足时终止循环. | 先判断，后循环，条件满足时执行循环. |
| | ------------------------------------- | ------------------------------------- |
+----------+--------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+
| |  |  |
+----------+--------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+
三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．
\[例1\] (2019·沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数*x*的值为( )
A．－3 B．－3或9
C．3或－9 D．－3或－9
\[解析\] 当*x*≤0时，*y*＝*^x^*－8＝0，*x*＝－3；当*x*\>0时，*y*＝2－log~3~*x*＝0，*x*＝9.故*x*＝－3或*x*＝9，选B.
\[答案\] B
\[例2\] 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )
A．*f*(*x*)＝
B．*f*(*x*)＝
C．*f*(*x*)＝
D．*f*(*x*)＝*x*^2^ln(*x*^2^＋1)
\[解析\] 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项A、C中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A、C.选项D中的函数是偶函数，故排除D.选B.
\[答案\] B
\[解题技法\] 顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据"是"的分支成立的条件进行判断．
(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
\[题组训练\]
1．半径为*r*的圆的面积公式为*S*＝π*r*^2^，当*r*＝5时，计算面积的流程图为( )
解析：选D 因为输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D.
2．运行如图所示的程序框图，可输出*B*＝\_\_\_\_\_\_，*C*＝\_\_\_\_\_\_.
解析：若直线*x*＋*By*＋*C*＝0与直线*x*＋*y*－2＝0平行，则*B*＝，且*C*≠－2，
若直线*x*＋*y*＋*C*＝0与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1相切，则()＝1，解得*C*＝±2，
又*C*≠－2，所以*C*＝2.
答案： 2
考法(一) 由程序框图求输出(输入)结果
\[例1\] (2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入*N*的值为20，则输出*T*的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
\[解析\] 输入*N*的值为20，
第一次执行条件语句，*N*＝20，
*i*＝2，＝10是整数，
∴*T*＝0＋1＝1，*i*＝3＜5；
第二次执行条件语句，*N*＝20，*i*＝3，＝不是整数，
∴*i*＝4＜5；
第三次执行条件语句，*N*＝20，*i*＝4，＝5是整数，
∴*T*＝1＋1＝2，*i*＝5，此时*i*≥5成立，∴输出*T*＝2.
\[答案\] B
\[例2\] (2019·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的*n*＝2，那么输入的 *a*的值可以为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
\[解析\] 执行程序框图，输入*a*，*P*＝0，Q＝1，*n*＝0，此时*P*≤Q成立，*P*＝1，Q＝3，*n*＝1，此时*P*≤Q成立，*P*＝1＋*a*，Q＝7，*n*＝2.因为输出的*n*的值为2，所以应该退出循环，即*P*\>Q，所以1＋*a*\>7，结合选项，可知*a*的值可以为7，故选D.
\[答案\] D
\[解题技法\] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二) 完善程序框图
\[例1\] (2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的*a*依次为2,2,5时，输出的*s*为17，那么在判断框中可以填入( )
A．*k*\<*n?* B．*k*\>*n?*
C．*k*≥*n?* D．*k*≤*n?*
\[解析\] 执行程序框图，输入的*a*＝2，*s*＝0×2＋2＝2，*k*＝1；输入的*a*＝2，*s*＝2×2＋2＝6，*k*＝2；输入的*a*＝5，*s*＝2×6＋5＝17，*k*＝3，此时结束循环，又*n*＝2，所以判断框中可以填"*k*\>*n*？"，故选B.
\[答案\] B
\[例2\] (2018·全国卷Ⅱ)为计算*S*＝1－＋－＋...＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
A．*i*＝*i*＋1 B．*i*＝*i*＋2
C．*i*＝*i*＋3 D．*i*＝*i*＋4
\[解析\] 由题意可将*S*变形为*S*＝－，则由*S*＝*N*－*T*，得*N*＝1＋＋...＋，*T*＝＋＋...＋.据此，结合*N*＝*N*＋，*T*＝*T*＋易知在空白框中应填入*i*＝*i*＋2.故选B.
\[答案\] B
\[解题技法\] 程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
\[题组训练\]
1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为*A*，从集合*A*中任取一个元素*a*，则函数*y*＝*x^a^*，*x*∈\[0，＋∞)是增函数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 执行程序框图，*x*＝－3，*y*＝3；*x*＝－2，*y*＝0；*x*＝－1，*y*＝－1；*x*＝0，*y*＝0；*x*＝1，*y*＝3；*x*＝2，*y*＝8；*x*＝3，*y*＝15；*x*＝4，退出循环．则集合*A*中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数*y*＝*x^a^*，*x*∈\[0，＋∞)为增函数，则*a*\>0，所以所求的概率为.
2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的*n*的值为4，则*p*的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A *S*＝0，*n*＝1；*S*＝，*n*＝2；*S*＝＋＝，*n*＝3；满足条件，所以*p*\>，继续执行循环体；*S*＝＋＝，*n*＝4；不满足条件，所以*p*≤.输出的*n*的值为4，所以\<*p*≤，故选A.
3．(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数*a*的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选A 先不管*a*的取值，直接运行程序．首先给变量*S*，*k*赋值，*S*＝1，*k*＝1，执行*S*＝*S*＋()，得*S*＝1＋，*k*＝2；执行*S*＝1＋＋，*k*＝3；......继续执行，得*S*＝1＋＋＋...＋()＝1＋＋＋...＋＝2－，由2－＝得*k*＝6，所以整数*a*＝6，故选A.
\[典例\] 执行如图程序语句，输入*a*＝2cos，*b*＝2tan，则输出*y*的值是( )
+----------------+
| INPUT a，b |
| |
| IF a\<b THEN |
| |
| y＝a(a＋b) |
| |
| ELSE |
| |
| y＝a^2^－b |
| |
| END IF |
| |
| PRINT y |
| |
| END |
+----------------+
A．3 B．4
C．6 D．－1
\[解析\] 根据条件语句可知程序运行后是计算*y*＝()
且*a*＝2cos＝2cos π＝－2，
*b*＝2tan＝2tan ＝－2.
因为*a*≥*b*，所以*y*＝*a*^2^－*b*＝(－2)^2^－(－2)＝6，
即输出*y*的值是6.
\[答案\] C
\[变透练清\]
1\. 执行如图所示的程序，输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：程序反映出的算法过程为
*i*＝11⇒*S*＝11×1，*i*＝10；
*i*＝10⇒*S*＝11×10，*i*＝9；
*i*＝9⇒*S*＝11×10×9，*i*＝8；
*i*＝8\<9退出循环，执行"PRINT S"．
故*S*＝990.
答案：990
2．阅读如图所示的程序．
+----------------+
| INPUT a |
| |
| IF a\>2 THEN |
| |
| a＝2＋a |
| |
| ELSE |
| |
| a＝a\*a |
| |
| END IF |
| |
| PRINT a |
| |
| END |
+----------------+
若输出的结果是9，则输入的*a*的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
*a*＝的值，
当*a*\>2时，由2＋*a*＝9得*a*＝7；
当*a*≤2时，由*a*^2^＝9得*a*＝－3，
综上知，*a*＝7或*a*＝－3.
答案：－3或7
1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数*a*，*b*，定义*a*\**b*的运算原理如图所示，则(log 2)\*－＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 因为log 2＝3，－＝4,3\<4，所以输出＝1，故选A.
2．执行如图所示的程序框图，则输出的*x*，*y*分别为( )
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
解析：选C 第一次执行循环体，*y*＝90，*s*＝＋15，不满足退出循环的条件，故*x*＝90；第二次执行循环体，*y*＝86，*s*＝＋，不满足退出循环的条件，故*x*＝94；第三次执行循环体，*y*＝82，*s*＝＋，不满足退出循环的条件，故*x*＝98；第四次执行循环体，*y*＝78，*s*＝27，满足退出循环的条件，故*x*＝98，*y*＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的*k*的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
A．*s*\>？ B．*s*\>？
C．*s*\>？ D．*s*\>？
解析：选B *s*＝1，*k*＝9，满足条件；*s*＝，*k*＝8，满足条件；*s*＝，*k*＝7，满足条件；*s*＝，*k*＝6，不满足条件．输出的*k*＝6，所以判断框内可填入的条件是"*s*\>？"．故选B.
4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的*k*的值为3，则输入的*a*的值可以是( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选A 根据程序框图可知，若输出的*k*＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，*S*＝2×0＋3＝3，执行第2次时，*S*＝2×3＋3＝9，执行第3次时，*S*＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数*a*的取值范围是9≤*a*\<21，故选A.
5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的*x*＝0，*y*＝－1，*n*＝1，则输出*x*，*y*的值满足( )
A．*y*＝－2*x* B．*y*＝－3*x*
C．*y*＝－4*x* D．*y*＝－8*x*
解析：选C 初始值*x*＝0，*y*＝－1，*n*＝1，*x*＝0，*y*＝－1，*x*^2^＋*y*^2^\<36，*n*＝2，*x*＝，*y*＝－2，*x*^2^＋*y*^2^\<36，*n*＝3，*x*＝，*y*＝－6，*x*^2^＋*y*^2^\>36，退出循环，输出*x*＝，*y*＝－6，此时*x*，*y*满足*y*＝－4*x*，故选C.
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果*s*＝132，则判断框中可以填( )
A．*i*≥10? B．*i*≥11?
C．*i*≤11? D．*i*≥12?
解析：选B 执行程序框图，*i*＝12，*s*＝1；*s*＝12×1＝12，*i*＝11；*s*＝12×11＝132，*i*＝10.此时输出的*s*＝132，则判断框中可以填"*i*≥11？"．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的*y*的值为1，则输入的*x*的值为
( )
A．0 B．1
C．0或1 D．－1,0或1
解析：选C 当*x*≥1时，由*x*^2^＝1得*x*＝1或*x*＝－1(舍去)；当*x*\<1时，由－*x*^2^＋1＝1得*x*＝0.∴输入的*x*的值为0或1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的*n*＝4，则输出的*s*＝( )
A．10 B．16
C．20 D．35
解析：选C 执行程序框图，第一次循环，得*s*＝4，*i*＝2；
第二次循环，得*s*＝10，*i*＝3；
第三次循环，得*s*＝16，*i*＝4；
第四次循环，得*s*＝20，*i*＝5.
不满足*i*≤*n*，退出循环，输出的*s*＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )
A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和
B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和
C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和
D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和
解析：选D 由程序框图得，输出的*S*＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋(2×5－1)＋...＋(2×2 019－1)，可看作数列{2*n*－1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和．故选D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内*m*的取值范围是( )
A．(30,42\] B．(30,42)
C．(42,56\] D．(42,56)
解析：选A *k*＝1，*S*＝2，*k*＝2；*S*＝2＋4＝6，*k*＝3；*S*＝6＋6＝12，*k*＝4；*S*＝12＋8＝20，*k*＝5；*S*＝20＋10＝30，*k*＝6；*S*＝30＋12＝42，*k*＝7，此时不满足*S*＝42\<*m*，退出循环，所以30\<*m*≤42，故选A.
11．(2019·石家庄调研)20世纪70年代，流行一种游戏------角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数*n*，按照以下的规律进行变换，如果*n*是奇数，则下一步变成3*n*＋1；如果*n*是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的*i*值为6，则输入的*n*值为( )
A．5或16 B．16
C．5或32 D．4或5或32
解析：选C 若*n*＝5，执行程序框图，*n*＝16，*i*＝2；*n*＝8，*i*＝3；*n*＝4，*i*＝4；*n*＝2，*i*＝5；*n*＝1，*i*＝6，结束循环，输出的*i*＝6.若*n*＝32，执行程序框图，*n*＝16，*i*＝2；*n*＝8，*i*＝3；*n*＝4，*i*＝4；*n*＝2，*i*＝5；*n*＝1，*i*＝6，结束循环，输出的*i*＝6.当*n*＝4或16时，检验可知不正确，故输入的*n*＝5或32，故选C.
12．(2018·贵阳第一学期检测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目："一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？"如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的*n*的值为( )
A．20 B．25
C．30 D．35
解析：选B 法一：执行程序框图，*n*＝20，*m*＝80，*S*＝60＋＝86≠100；
*n*＝21，*m*＝79，*S*＝63＋＝89≠100；
*n*＝22，*m*＝78，*S*＝66＋＝92≠100；
*n*＝23，*m*＝77，*S*＝69＋＝94≠100；
*n*＝24，*m*＝76，*S*＝72＋＝97≠100；
*n*＝25，*m*＝75，*S*＝75＋＝100，退出循环．所以输出的*n*＝25.
法二：设大和尚有*x*个，小和尚有*y*个，
则解得
根据程序框图可知，*n*的值即大和尚的人数，所以*n*＝25.
13．已知函数*y*＝lg\|*x*－3\|，如图所示程序框图表示的是给定*x*值，求其相应函数值*y*的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填\_\_\_\_\_\_\_\_，②处应填\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：由*y*＝lg\|*x*－3\|＝()()及程序框图知，①处应填*x*\<3？，②处应填*y*＝lg(*x*－3)．
答案：*x*\<3？ *y*＝lg(*x*－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的*N*＝20，则输出的*S*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的*N*＝20时，输出*S*的值是数列{2*k*－1}的前19项和，即()＝361.
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的*λ*是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：依题意，若*λa*＋*b*与*b*垂直，则有(*λa*＋*b*)·*b*＝4(*λ*＋4)－2(－3*λ*－2)＝0，解得*λ*＝－2；若*λa*＋*b*与*b*平行，则有－2(*λ*＋4)＝4(－3*λ*－2)，解得*λ*＝0.结合题中的程序框图可知，输出的*λ*是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的*x*，*y*∈R，那么输出的*S*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：当条件*x*≥0，*y*≥0，*x*＋*y*≤1不成立时，输出*S*的值为1，当条件*x*≥0，*y*≥0，*x*＋*y*≤1成立时，输出*S*＝2*x*＋*y*，下面用线性规划的方法求此时*S*的最大值．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线*S*＝2*x*＋*y*经过点*M*(1,0)时*S*最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出*S*的最大值为2.
答案：2
第三节 合情推理与演绎推理
一、基础知识
1．合情推理
(1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
②特点：由特殊到特殊的推理．
类比推理的注意点
在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
(3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
合情推理的关注点
(1)合情推理是合乎情理的推理．
(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．
2．演绎推理
(1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． ↓
演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.
(2)"三段论"是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提------已知的一般原理；
②小前提------所研究的特殊情况；
③结论------根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
二、常用结论
(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
考法(一) 与数字有关的推理
\[典例\] 《聊斋志异》中有这样一首诗："挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．"在这里，我们称形如以下形式的等式具有"穿墙术"：2＝，3 ＝ ，4 ＝ ，5 ＝ ，...，则按照以上规律，若9＝ 具有"穿墙术"，则*n*＝( )
A．25 B．48
C．63 D．80
\[解析\] 由2＝，3＝，4＝，5＝ ，...，
可得若9＝ 具有"穿墙术"，则*n*＝9^2^－1＝80.
\[答案\] D
考法(二) 与式子有关的推理
\[典例\] 已知*f*(*x*)＝，*f*~1~(*x*)＝*f*′(*x*)，*f*~2~(*x*)＝\[*f*~1~(*x*)\]′，...，*f~n~*~＋1~(*x*)＝\[*f~n~*(*x*)\]′，*n*∈N^\*^，经计算：*f*~1~(*x*)＝，*f*~2~(*x*)＝，*f*~3~(*x*)＝，...，照此规律，则*f~n~*(*x*)＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] 因为导数分母都是e*^x^*，分子为(－1)*^n^*(*x*－*n*)，所以*f~n~*(*x*)＝()().
\[答案\] ()()
考法(三) 与图形有关的推理
\[典例\] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第*n*行黑圈的个数为*a~n~*，则*a*~2\ 019~＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
\[解析\] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的"坐标"为(14,13)，同理可得第5行的"坐标"为(41,40)，第6行的"坐标"为(122,121)，....各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，...，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，...，所以可以归纳出第*n*行的黑圈数*a~n~*＝(*n*∈N^\*^)，所以*a*~2\ 019~＝.
\[答案\]
\[题组训练\]
1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，...，由以上可推测出一个一般性结论：对于*n*∈N^\*^，则1＋2＋...＋*n*＋...＋2＋1＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：由1＝1^2,^1＋2＋1＝4＝2^2,^1＋2＋3＋2＋1＝9＝3^2,^1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4^2^，...，归纳猜想可得1＋2＋...＋*n*＋...＋2＋1＝*n*^2^.
答案：*n*^2^
2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，...，依此规律得到*n*级分形图．
则*n*级分形图中共有\_\_\_\_\_\_\_\_条线段．
解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，
由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，
二级分形图有9＝3×2^2^－3条线段，
三级分形图中有21＝3×2^3^－3条线段，
按此规律*n*级分形图中的线段条数*a~n~*＝3×2*^n^*－3.
答案：3×2*^n^*－3
\[典例\] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若*a*，*b*，*c*为直角三角形的三边，其中*c*为斜边，则*a*^2^＋*b*^2^＝*c*^2^，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体*O**ABC*中，∠*AOB*＝∠*BOC*＝∠*COA*＝90°，*S*为顶点*O*所对面△*ABC*的面积，*S*~1~，*S*~2~，*S*~3~分别为侧面△*OAB*，△*OAC*，△*OBC*的面积，则下列选项中对于*S*，*S*~1~，*S*~2~，*S*~3~满足的关系描述正确的为( )
A．*S*^2^＝*S*＋*S*＋*S* B．*S*^2^＝＋＋
C．*S*＝*S*~1~＋*S*~2~＋*S*~3~ D．*S*＝＋＋
\[解析\] 如图，作*OD*⊥*BC*于点*D*，连接*AD*，则*AD*⊥*BC*，从而*S*^2^＝^2^＝*BC*^2^·*AD*^2^＝*BC*^2^·(*OA*^2^＋*OD*^2^)＝(*OB*^2^＋*OC*^2^)·*OA*^2^＋ *BC*^2^·*OD*^2^＝^2^＋^2^＋^2^＝*S*＋*S*＋*S*.
\[答案\] A
\[题组训练\]
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①"若*a*，*b*∈R，则*a*－*b*＝0⇒*a*＝*b*"类比推出"*a*，*c*∈C，则*a*－*c*＝0⇒*a*＝*c*"；
②"若*a*，*b*，*c*，*d*∈R，则复数*a*＋*b*i＝*c*＋*d*i⇒*a*＝*c*，*b*＝*d*"类比推出"*a*，*b*，*c*，*d*∈Q，则*a*＋*b*＝*c*＋*d*⇒*a*＝*c*，*b*＝*d* "；
③"*a*，*b*∈R，则*a*－*b*＞0⇒*a*＞*b*"类比推出"若*a*，*b*∈C，则*a*－*b*＞0⇒*a*＞*b*"；
④"若*x*∈R，则\|*x*\|＜1⇒－1＜*x*＜1"类比推出"若*z*∈C，则\|*z*\|＜1⇒－1＜*z*＜1"．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.
2．设等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，则*S*~3~，*S*~6~－*S*~3~，*S*~9~－*S*~6~，*S*~12~－*S*~9~成等差数列．类比以上结论：设等比数列{*b~n~*}的前*n*项积为*T~n~*，则*T*~3~，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_，成等比数列．
解析：等比数列{*b~n~*}的前*n*项积为*T~n~*，
则*T*~3~＝*b*~1~*b*~2~*b*~3~，*T*~6~＝*b*~1~*b*~2~...*b*~6~，*T*~9~＝*b*~1~*b*~2~...*b*~9~，
*T*~12~＝*b*~1~*b*~2~...*b*~12~，
所以＝*b*~4~*b*~5~*b*~6~，＝*b*~7~*b*~8~*b*~9~，＝*b*~10~*b*~11~*b*~12~，
所以*T*~3~，，，的公比为*q*^9^，
因此*T*~3~，，，成等比数列．
答案：
\[典例\] 数列{*a~n~*}的前*n*项和记为*S~n~*，已知*a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝*S~n~*(*n*∈N^\*^)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)*S~n~*~＋1~＝4*a~n~*.
\[证明\] (1)∵*a~n~*~＋1~＝*S~n~*~＋1~－*S~n~*，*a~n~*~＋1~＝*S~n~*，
∴(*n*＋2)*S~n~*＝*n*(*S~n~*~＋1~－*S~n~*)，即*nS~n~*~＋1~＝2(*n*＋1)*S~n~*.
故＝2·，(小前提)
∴是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义)
(2)由(1)可知＝4·(*n*≥2)，∴*S~n~*~＋1~＝4(*n*＋1)·＝4··*S~n~*~－1~＝4*a~n~*(*n*≥2)．(小前提)
又∵*a*~2~＝3*S*~1~＝3，*S*~2~＝*a*~1~＋*a*~2~＝1＋3＝4＝4*a*~1~，(小前提)
∴对于任意正整数*n*，都有*S~n~*~＋1~＝4*a~n~*.(结论)
\[解题技法\] 演绎推理问题求解策略
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
\[题组训练\]
1．正弦函数是奇函数，*f*(*x*)＝sin(*x*^2^＋1)是正弦函数，因此*f*(*x*)＝sin(*x*^2^＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C 因为*f*(*x*)＝sin(*x*^2^＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
2．已知函数*y*＝*f*(*x*)满足：对任意*a*，*b*∈R，*a*≠*b*，都有*af*(*a*)＋*bf*(*b*)\>*af*(*b*)＋*bf*(*a*)，试证明：*f*(*x*)为R上的单调增函数．
证明：设*x*~1~，*x*~2~∈R，取*x*~1~\<*x*~2~，
则由题意得*x*~1~*f*(*x*~1~)＋*x*~2~*f*(*x*~2~)\>*x*~1~*f*(*x*~2~)＋*x*~2~*f*(*x*~1~)，
∴*x*~1~\[*f*(*x*~1~)－*f*(*x*~2~)\]＋*x*~2~\[*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)\]\>0，
(*x*~2~－*x*~1~)\[*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)\]\>0，
∵*x*~1~\<*x*~2~，∴*f*(*x*~2~)－*f*(*x*~1~)\>0，*f*(*x*~2~)\>*f*(*x*~1~)．
∴*y*＝*f*(*x*)为R上的单调增函数．
\[典例\] (2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从*A*，*B*，*C*，*D*，*E*五个镇选择参观地点：①若去*A*镇，也必须去*B*镇；②*D*，*E*两镇至少去一镇；③*B*，*C*两镇只去一镇；④*C*，*D*两镇都去或者都不去；⑤若去*E*镇，则*A*，*D*两镇也必须去．则该参观团至多去了( )
A．*B*，*D*两镇 B．*A*，*B*两镇
C．*C*，*D*两镇 D．*A*，*C*两镇
\[解析\] 假设去*A*镇，则也必须去*B*镇，但去*B*镇则不能去*C*镇，不去*C*镇则也不能去*D*镇，不去*D*镇则也不能去*E*镇，*D*，*E*镇都不去则不符合条件．故若去*A*镇则无法按要求完成参观．
同理，假设不去*A*镇去*B*镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去*B*镇，而不去*B*镇的前提是不去*A*镇．
故*A*，*B*两镇都不能去，则一定不能去*E*镇，所以能去的地方只有*C*，*D*两镇．故选C.
\[答案\] C
\[解题技法\] 逻辑推理问题求解的2种途径
求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：
(1)根据条件直接进行推理判断；
(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．
\[题组训练\]
1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲："我不会证明．"乙："丙会证明．"丙："丁会证明．"丁："我不会证明．"根据以上条件，可以判断会证明此题的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.
2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是( )
A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对
B．甲与丁相邻
C．戊与己相邻
D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻
解析：选D 由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.
图(1) 图(2) 图(3)
1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )
①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：选C 根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.
2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*.由*a~n~*＝2*n*－1，求出*S*~1~＝1^2^，*S*~2~＝2^2^，*S*~3~＝3^2^，...，推断：*S~n~*＝*n*^2^
B．由*f*(*x*)＝*x*cos *x*满足*f*(－*x*)＝－*f*(*x*)对∀*x*∈R都成立，推断：*f*(*x*)＝*x*cos *x*为奇函数
C．由圆*x*^2^＋*y*^2^＝*r*^2^的面积*S*＝π*r*^2^，推断：椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的面积*S*＝π*ab*
D．由(1＋1)^2^＞2^1^，(2＋1)^2^＞2^2^，(3＋1)^2^＞2^3^，...，推断：对一切*n*∈N^\*^，(*n*＋1)^2^＞2*^n^*
解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{*a~n~*}是等差数列，其前*n*项和等于*S~n~*＝()＝*n*^2^，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，...，则式子3⊗5是第
( )
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.
4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C 由"甲的年龄和农民不同"和"农民的年龄比乙小"可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由"丙的年龄比知识分子大"，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
5．若等差数列{*a~n~*}的前*n*项之和为*S~n~*，则一定有*S*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*a~n~*成立．若等比数列{*b~n~*}的前*n*项之积为*T~n~*，类比等差数列的性质，则有( )
A．*T*~2*n*－1~＝(2*n*－1)＋*b~n~* B．*T*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*b~n~*
C．*T*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*b~n~* D．*T*~2*n*－1~＝*b*
解析：选D 在等差数列{*a~n~*}中，*a*~1~＋*a*~2*n*－1~＝2*a~n~*，
*a*~2~＋*a*~2*n*－2~＝2*a~n,\ ~*...，故有*S*~2*n*－1~＝(2*n*－1)*a~n~*，
在等比数列{*b~n~*}中，*b*~1~*b*~2*n*－1~＝*b*，*b*~2~·*b*~2*n*－2~＝*b*，...，
故有*T*~2*n*－1~＝*b*~1~*b*~2~...*b*~2*n*－1~＝*b*.
6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第*n*个图形包含*f*(*n*)个小正方形，则*f*(*n*)的表达式为( )
A．*f*(*n*)＝2*n*－1 B．*f*(*n*)＝2*n*^2^
C．*f*(*n*)＝2*n*^2^－2*n* D．*f*(*n*)＝2*n*^2^－2*n*＋1
解析：选D 因为*f*(2)－*f*(1)＝4，*f*(3)－*f*(2)＝8，*f*(4)－*f*(3)＝12，...，结合图形不难得到*f*(*n*)－*f*(*n*－1)＝4(*n*－1)，累加得*f*(*n*)－*f*(1)＝2*n*(*n*－1)＝2*n*^2^－2*n*，故*f*(*n*)＝2*n*^2^－2*n*＋1.
7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，...，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，...，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，...，根据等差数列的前*n*项和公式，可知前*n*组共有()个数．由于2 016＝()＜2 019＜()＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，...，所以第*n*组最后一个数是*n*^2^，因此第63组最后一个数为63^2^＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.
8．观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
......
照此规律，第*n*个等式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，...，则第*n*行最左侧的数为*n*；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，...，则第*n*个等式左侧的数的个数为2*n*－1，而第*n*个等式右侧为(2*n*－1)^2^，所以第*n*个等式为*n*＋(*n*＋1)＋(*n*＋2)＋...＋(3*n*－2)＝(2*n*－1)^2^.
答案：*n*＋(*n*＋1)＋(*n*＋2)＋...＋(3*n*－2)＝(2*n*－1)^2^
9．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)*l*＝2π*r*，二维测度(面积)*S*＝π*r*^2^；三维空间中，球的二维测度(表面积)*S*＝4π*r*^2^，三维测度(体积)*V*＝π*r*^3^.应用合情推理，若四维空间中，"特级球"的三维测度*V*＝12π*r*^3^，则其四维测度*W*＝\_\_\_\_\_\_\_\_.
解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)*l*＝2π*r*，二维测度(面积)*S*＝π*r*^2^，观察发现*S*′＝*l*，三维空间中球的二维测度(表面积)*S*＝4π*r*^2^，三维测度(体积)*V*＝π*r*^3^，观察发现*V*′＝*S*，∴四维空间中"特级球"的三维测度*V*＝12π*r*^3^，猜想其四维测度*W*满足*W*′＝*V*＝12π*r*^3^，∴*W*＝3π*r*^4^.
答案：3π*r*^4^
10．在数列{*a~n~*}中，*a*~1~＝2，*a~n~*~＋1~＝*λa~n~*＋*λ^n^*^＋1^＋(2－*λ*)2*^n^*(*n*∈N^\*^)，其中*λ*\>0，{*a~n~*}的通项公式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：*a*~1~＝2，*a*~2~＝2*λ*＋*λ*^2^＋(2－*λ*)·2＝*λ*^2^＋2^2^，
*a*~3~＝*λ*(*λ*^2^＋2^2^)＋*λ*^3^＋(2－*λ*)·2^2^＝2*λ*^3^＋2^3^，
*a*~4~＝*λ*(2*λ*^3^＋2^3^)＋*λ*^4^＋(2－*λ*)·2^3^＝3*λ*^4^＋2^4^.
由此猜想出数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝(*n*－1)*λ^n^*＋2*^n^*.
答案：*a~n~*＝(*n*－1)*λ^n^*＋2*^n^*
11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，*F*为左焦点，当*FB*⊥*AB*时，其离心率为，此类椭圆被称为"黄金椭圆"．类比"黄金椭圆"可推出"黄金双曲线"的离心率*e*等于\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：类比"黄金椭圆"，设双曲线方程为－＝1(*a*＞0，*b*＞0)，
则*F*(－*c,*0)，*B*(0，*b*)，*A*(*a,*0)，
所以＝(*c*，*b*)，＝(－*a*，*b*)．
易知⊥，所以·＝*b*^2^－*ac*＝0，
所以*c*^2^－*a*^2^－*ac*＝0，即*e*^2^－*e*－1＝0，
又*e*＞1，所以*e*＝.
答案：
12．已知*O*是△*ABC*内任意一点，连接*AO*，*BO*，*CO*并延长，分别交对边于*A*′，*B*′，*C*′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用"面积法"：
＋＋＝＋＋＝＝1.
请运用类比思想，对于空间中的四面体*ABCD*，存在什么类似的结论，并用"体积法"证明．
解：在四面体*ABCD*中，任取一点*O*，连接*AO*，*DO*，*BO*，*CO*并延长，分别交四个面于*E*，*F*，*G*，*H*点．
则＋＋＋＝1.
证明：在四面体*OBCD*与*ABCD*中，
＝＝＝.
同理有＝，＝，＝.
∴＋＋＋
＝＝＝1.
第四节 直接证明与间接证明
一、基础知识
1．直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| > 综合法证明题的一般规律 |
| > |
| > (1)综合法是"由因导果"的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
②框图表示：―→―→―→...―→
(其中*P*表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
②框图表示：―→―→―→...―→(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
2．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
\[典例\] 设*a*，*b*，*c*均为正数，且*a*＋*b*＋*c*＝1，证明：
(1)*ab*＋*bc*＋*ca*≤；
(2)＋＋≥1.
\[证明\] (1)由*a*^2^＋*b*^2^≥2*ab*，*b*^2^＋*c*^2^≥2*bc*，*c*^2^＋*a*^2^≥2*ca*得
*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^≥*ab*＋*bc*＋*ca*.
由题设得(*a*＋*b*＋*c*)^2^＝1，
即*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^＋2*ab*＋2*bc*＋2*ca*＝1，
所以3(*ab*＋*bc*＋*ca*)≤1，即*ab*＋*bc*＋*ca*≤.
当且仅当"*a*＝*b*＝*c*"时等号成立；
(2)因为＋*b*≥2*a*，＋*c*≥2*b*，＋*a*≥2*c*，
当且仅当"*a*^2^＝*b*^2^＝*c*^2^"时等号成立，
故＋＋＋(*a*＋*b*＋*c*)≥2(*a*＋*b*＋*c*)，
即＋＋≥*a*＋*b*＋*c*.
所以＋＋≥1.
\[变透练清\]
1.()若本例条件不变，证明*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^≥.
证明：因为*a*＋*b*＋*c*＝1，
所以1＝(*a*＋*b*＋*c*)^2^＝*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^＋2*ab*＋2*bc*＋2*ac*，
因为2*ab*≤*a*^2^＋*b*^2,^2*bc*≤*b*^2^＋*c*^2,^2*ac*≤*a*^2^＋*c*^2^，
所以2*ab*＋2*bc*＋2*ac*≤2(*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^)，
所以1≤*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^＋2(*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^)，
即*a*^2^＋*b*^2^＋*c*^2^≥.
2．在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知sin *A*sin *B*＋sin *B*sin *C*＋ cos 2*B*＝1.
(1)求证：*a*，*b*，*c*成等差数列；
(2)若*C*＝，求证：5*a*＝3*b*.
证明：(1)由已知得sin *A*sin *B*＋sin *B*sin *C*＝2sin^2^*B*，
因为sin *B*≠0，所以sin *A*＋sin *C*＝2sin *B*，
由正弦定理，有*a*＋*c*＝2*b*，即*a*，*b*，*c*成等差数列．
(2)由*C*＝，*c*＝2*b*－*a*及余弦定理得
(2*b*－*a*)^2^＝*a*^2^＋*b*^2^＋*ab*，即有5*ab*－3*b*^2^＝0，
所以5*a*＝3*b*.
\[典例\] 已知△*ABC*的三个内角*A*，*B*，*C*成等差数列，*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.
求证：＋＝.
\[证明\] 要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证*c*(*b*＋*c*)＋*a*(*a*＋*b*)＝(*a*＋*b*)(*b*＋*c*)，
需证*c*^2^＋*a*^2^＝*ac*＋*b*^2^，
又△*ABC*三内角*A*，*B*，*C*成等差数列，故*B*＝60°，
由余弦定理，得*b*^2^＝*c*^2^＋*a*^2^－2*ac*cos 60°，
即*b*^2^＝*c*^2^＋*a*^2^－*ac*，故*c*^2^＋*a*^2^＝*ac*＋*b*^2^成立．
于是原等式成立．
\[解题技法\] 利用分析法证明问题的思路及格式
(1)分析法的证明思路
先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
(2)分析法的格式
通常采用"要证(欲证)......""只需证......""即证......"的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
\[对点训练\]
已知*m*＞0，*a*，*b*∈R，求证：^2^≤.
证明：因为*m*＞0，所以1＋*m*＞0.
所以要证^2^≤，
只需证*m*(*a*^2^－2*ab*＋*b*^2^)≥0，
即证(*a*－*b*)^2^≥0，
而(*a*－*b*)^2^≥0显然成立，
故^2^≤.
\[典例\] 已知二次函数*f*(*x*)＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*(*a*＞0)的图象与*x*轴有两个不同的交点，若*f*(*c*)＝0，且0＜*x*＜*c*时，*f*(*x*)＞0.
(1)证明：是函数*f*(*x*)的一个零点；
(2)试用反证法证明＞*c*.
\[证明\] (1)因为*f*(*x*)的图象与*x*轴有两个不同的交点，
所以*f*(*x*)＝0有两个不等实根*x*~1~，*x*~2~，
因为*f*(*c*)＝0，
所以*x*~1~＝*c*是*f*(*x*)＝0的根，
又*x*~1~*x*~2~＝，
所以*x*~2~＝，
所以是函数*f*(*x*)的一个零点．
(2)因为函数有两个不同零点，所以≠*c*.
假设＜*c*，又＞0，
由0＜*x*＜*c*时，*f*(*x*)＞0，
知*f*＞0，与*f*＝0矛盾，
所以＜*c*不成立，
又因为≠*c*，所以\>*c*.
\[对点训练\]
设*a*＞0，*b*＞0，且*a*＋*b*＝＋.
证明：(1)*a*＋*b*≥2；
(2)*a*^2^＋*a*＜2与*b*^2^＋*b*＜2不可能同时成立．
证明：由*a*＋*b*＝＋＝，*a*＞0，*b*＞0，得*ab*＝1.
(1)由基本不等式及*ab*＝1，
有*a*＋*b*≥2＝2，即*a*＋*b*≥2.
(2)假设*a*^2^＋*a*＜2与*b*^2^＋*b*＜2同时成立，
则由*a*^2^＋*a*＜2及*a*＞0得0＜*a*＜1；
同理，0＜*b*＜1，从而*ab*＜1，
这与*ab*＝1矛盾．
故*a*^2^＋*a*＜2与*b*^2^＋*b*＜2不可能同时成立．
A级
1．用反证法证明命题"设*a*，*b*为实数，则方程*x*^3^＋*ax*＋*b*＝0至少有一个实数根"时，假设为( )
A．方程*x*^3^＋*ax*＋*b*＝0没有实数根
B．方程*x*^3^＋*ax*＋*b*＝0至多有一个实数根
C．方程*x*^3^＋*ax*＋*b*＝0至多有两个实数根
D．方程*x*^3^＋*ax*＋*b*＝0恰好有两个实数根
解析：选A "至少有一个实数根"的否定是"一个实数根也没有"，即"没有实数根"．
2．在△*ABC*中，sin *A*sin *C*\<cos *A*cos *C*，则△*ABC*一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C 由sin *A*sin *C*\<cos *A*cos *C*，得cos *A*cos *C*－sin *A*sin *C*\>0，
即cos(*A*＋*C*)\>0，所以*A*＋*C*是锐角，
从而*B*\>，故△*ABC*必是钝角三角形．
3．分析法又称执果索因法，已知*x*\>0，用分析法证明\<1＋时，索的因是( )
A．*x*^2^\>2 B．*x*^2^\>4
C．*x*^2^\>0 D．*x*^2^\>1
解析：选C 因为*x*\>0，
所以要证\<1＋，
只需证()^2^\<^2^，即证0\<，
即证*x*^2^\>0，
因为*x*\>0，所以*x*^2^\>0成立，故原不等式成立．
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明："设*a*＞*b*＞*c*，且*a*＋*b*＋*c*＝0，求证＜*a*"索的因应是( )
A．*a*－*b*＞0 B．*a*－*c*＞0
C．(*a*－*b*)(*a*－*c*)＞0 D．(*a*－*b*)(*a*－*c*)＜0
解析：选C 由题意知＜*a*⇐*b*^2^－*ac*＜3*a*^2^⇐(*a*＋*c*)^2^－*ac*＜3*a*^2^⇐*a*^2^＋2*ac*＋*c*^2^－*ac*－3*a*^2^＜0
⇐－2*a*^2^＋*ac*＋*c*^2^＜0⇐2*a*^2^－*ac*－*c*^2^＞0
⇐(*a*－*c*)(2*a*＋*c*)＞0⇐(*a*－*c*)(*a*－*b*)＞0.选C.
5．设*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，且当*x*≥0时，*f*(*x*)单调递减，若*x*~1~＋*x*~2~\>0，则*f*(*x*~1~)＋*f*(*x*~2~)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，且当*x*≥0时，*f*(*x*)单调递减，可知*f*(*x*)是R上的单调递减函数，
由*x*~1~＋*x*~2~\>0，可知*x*~1~\>－*x*~2~，*f*(*x*~1~)\<*f*(－*x*~2~)＝－*f*(*x*~2~)，
则*f*(*x*~1~)＋*f*(*x*~2~)\<0.
6．(2019·太原模拟)用反证法证明"若*x*^2^－1＝0，则*x*＝－1或*x*＝1"时，应假设\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析："*x*＝－1或*x*＝1"的否定是"*x*≠－1且*x*≠1"．
答案：*x*≠－1且*x*≠1
7．设*a*＞*b*＞0，*m*＝－，*n*＝，则*m*，*n*的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：(分析法)－＜⇐＜＋⇐*a*＜*b*＋2·＋*a*－*b*⇐2·＞0，显然成立．
答案：*m*＜*n*
8．若二次函数*f*(*x*)＝4*x*^2^－2(*p*－2)*x*－2*p*^2^－*p*＋1在区间\[－1,1\]内至少存在一点*c*，使*f*(*c*)＞0，则实数*p*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
解析：(补集法)
令()()解得*p*≤－3或*p*≥，
故满足条件的*p*的取值范围为.
答案：
9．已知*x*，*y*，*z*是互不相等的正数，且*x*＋*y*＋*z*＝1，求证：\>8.
证明：因为*x*，*y*，*z*是互不相等的正数，且*x*＋*y*＋*z*＝1，
所以－1＝＝\>， ①
－1＝＝\>， ②
－1＝＝\>， ③
又*x*，*y*，*z*为正数，由①×②×③，
得\>8.
10．已知数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*＝，*n*∈N^\*^.
(1)求数列{*a~n~*}的通项公式；
(2)证明：对任意的*n*\>1，都存在*m*∈N^\*^，使得*a*~1~，*a~n~*，*a~m~*成等比数列．
解：(1)由*S~n~*＝，得*a*~1~＝*S*~1~＝1，
当*n*≥2时，*a~n~*＝*S~n~*－*S~n~*~－1~＝3*n*－2，当*n*＝1时也适合．
所以数列{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*＝3*n*－2.
(2)证明：要使得*a*~1~，*a~n~*，*a~m~*成等比数列，
只需要*a*＝*a*~1~·*a~m~*，
即(3*n*－2)^2^＝1·(3*m*－2)，
即*m*＝3*n*^2^－4*n*＋2，而此时*m*∈N^\*^，且*m*\>*n*.
所以对任意的*n*\>1，都存在*m*∈N^\*^，使得*a*~1~，*a~n~*，*a~m~*成等比数列．
B级
1.如图所示，在直三棱柱*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*A*~1~*B*~1~＝*A*~1~*C*~1~，*D*，*E*分别是棱*BC*，*CC*~1~上的点(点*D*不同于点*C*)，且*AD*⊥*DE*，*F*为*B*~1~*C*~1~的中点．求证：
(1)平面*ADE*⊥平面*BCC*~1~*B*~1~；
(2)直线*A*~1~*F*∥平面*ADE*.
证明：(1)因为*ABC**A*~1~*B*~1~*C*~1~是直三棱柱，所以*CC*~1~⊥平面*ABC*，
又*AD*⊂平面*ABC*，所以*CC*~1~⊥*AD*.
因为*AD*⊥*DE*，*CC*~1~∩*DE*＝*E*，*CC*~1~⊂平面*BCC*~1~*B*~1~，
*DE*⊂平面*BCC*~1~*B*~1~，
所以*AD*⊥平面*BCC*~1~*B*~1~.
又*AD*⊂平面*ADE*，
所以平面*ADE*⊥平面*BCC*~1~*B*~1~.
(2)因为*A*~1~*B*~1~＝*A*~1~*C*~1~，*F*为*B*~1~*C*~1~的中点，所以*A*~1~*F*⊥*B*~1~*C*~1~.
因为*CC*~1~⊥平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~，*A*~1~*F*⊂平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~，
所以*CC*~1~⊥*A*~1~*F*.
又因为*CC*~1~∩*B*~1~*C*~1~＝*C*~1~，*CC*~1~⊂平面*BCC*~1~*B*~1~，*B*~1~*C*~1~⊂平面*BCC*~1~*B*~1~，
所以*A*~1~*F*⊥平面*BCC*~1~*B*~1~.
由(1)知*AD*⊥平面*BCC*~1~*B*~1~，所以*A*~1~*F*∥*AD*.
又*AD*⊂平面*ADE*，*A*~1~*F*⊄平面*ADE*，
所以*A*~1~*F*∥平面*ADE*.
2．设函数*f*(*x*)定义在(0，＋∞)上，*f*(1)＝0，导函数*f*′(*x*)＝，*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋*f*′(*x*)．
(1)求*g*(*x*)的单调区间和最小值；
(2)讨论*g*(*x*)与*g*的大小关系；
(3)是否存在*x*~0~＞0，使得\|*g*(*x*)－*g*(*x*~0~)\|＜对任意*x*＞0成立？若存在，求出*x*~0~的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题设易知*f*(*x*)＝ln *x*，*g*(*x*)＝ln *x*＋，
∴*g*′(*x*)＝，令*g*′(*x*)＝0得*x*＝1，
当*x*∈(0,1)时，*g*′(*x*)＜0，故(0,1)是*g*(*x*)的单调递减区间，
当*x*∈(1，＋∞)时，*g*′(*x*)＞0，故(1，＋∞)是*g*(*x*)的单调递增区间，
因此，*x*＝1是*g*(*x*)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为*g*(1)＝1.
(2)*g*＝－ln *x*＋*x*，
设*h*(*x*)＝*g*(*x*)－*g*＝2ln *x*－*x*＋，
则*h*′(*x*)＝－()，
当*x*＝1时，*h*(1)＝0，即*g*(*x*)＝*g*，
当*x*∈(0,1)∪(1，＋∞)时，*h*′(*x*)＜0，*h*′(1)＝0，
因此，*h*(*x*)在(0，＋∞)内单调递减，
当0＜*x*＜1时，*h*(*x*)＞*h*(1)＝0，
即*g*(*x*)＞*g*；
当*x*＞1时，*h*(*x*)＜*h*(1)＝0，
即*g*(*x*)＜*g*.
(3)满足条件的*x*~0~不存在．证明如下：
法一：假设存在*x*~0~＞0，使\|*g*(*x*)－*g*(*x*~0~)\|＜对任意*x*＞0成立，即对任意*x*＞0，有ln *x*＜*g*(*x*~0~)＜ln *x*＋，\*
但对上述*x*~0~，取*x*~1~＝e*g*(*x*~0~)时，有ln *x*~1~＝*g*(*x*~0~)，这与\*左边不等式矛盾，
因此，不存在*x*~0~＞0，使\|*g*(*x*)－*g*(*x*~0~)\|\<对任意*x*＞0成立．
法二：假设存在*x*~0~＞0，使\|*g*(*x*)－*g*(*x*~0~)\|＜对任意*x*＞0成立．
由(1)知，*g*(*x*)的最小值为*g*(1)＝1，
又*g*(*x*)＝ln *x*＋＞ln *x*，而*x*＞1时，ln *x*的值域为(0，＋∞)，
∴*x*≥1时，*g*(*x*)的值域为\[1，＋∞)，
从而可取一个*x*~1~＞1，使*g*(*x*~1~)≥*g*(*x*~0~)＋1，
即*g*(*x*~1~)－*g*(*x*~0~)≥1，
故\|*g*(*x*~1~)－*g*(*x*~0~)\|≥1＞，与假设矛盾．
∴不存在*x*~0~＞0，使\|*g*(*x*)－*g*(*x*~0~)\|＜对任意*x*＞0成立．
选修4－4 坐标系与参数方程
=========================
第一节 坐标系
一、基础知识
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点*P*(*x*，*y*)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换*φ*：()()的作用下，点*P*(*x*，*y*)对应到点*P*′(*x*′，*y*′)，称*φ*为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点*O*，叫做极点；自极点*O*引一条射线*Ox*，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设*M*是平面内一点，极点*O*与点*M*的距离\|*OM*\|叫做点*M*的极径，记为*ρ*.
②极角：以极轴*Ox*为始边，射线*OM*为终边的角*xOM*叫做点*M*的极角，记为*θ*.
()()
3．极坐标与直角坐标的互化
设*M*是平面内任意一点，它的直角坐标是(*x*，*y*)，
极坐标是(*ρ*，*θ*)，则它们之间的关系为：
()
4．简单曲线的极坐标方程
------------------------------- -------------------------------------
曲线 极坐标方程
圆心为极点，半径为*r*的圆 *ρ*＝*r*(0≤*θ*\<2π)
圆心为(*r,*0)，半径为*r*的圆 *ρ*＝2*r*cos *θ*
圆心为，半径为*r*的圆 *ρ*＝2*r*sin *θ*(0≤*θ*\<π)
过极点，倾斜角为*α*的直线 *θ*＝*α*(*ρ*∈R)或*θ*＝π＋*α*(*ρ*∈R)
过点(*a,*0)，与极轴垂直的直线 *ρ*cos *θ*＝*a*
过点，与极轴平行的直线 *ρ*sin *θ*＝*a*(0\<*θ*\<π)
------------------------------- -------------------------------------
考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
\[典例\] 求双曲线*C*：*x*^2^－＝1经过*φ*：变换后所得曲线*C*′的焦点坐标．
\[解\] 设曲线*C*′上任意一点*P*(*x*′，*y*′)，
由上述可知，将代入*x*^2^－＝1，
得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线*C*′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．
\[解题技法\] 伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线*y*＝*f*(*x*)在变换*φ*：()()的作用下的变换方程的求法是将
代入*y*＝*f*(*x*)，得＝*f*，整理之后得到*y*′＝*h*(*x*′)，即为所求变换之后的方程．
\[提醒\] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(*x*，*y*)与变换后的坐标(*x*′，*y*′)．
\[题组训练\]
1．若函数*y*＝*f*(*x*)的图象在伸缩变换*φ*：的作用下得到曲线的方程为*y*′＝3sin，求函数*y*＝*f*(*x*)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线*y*′＝3sin得
3*y*＝3sin，整理得*y*＝sin，
故*f*(*x*)＝sin.
所以函数*f*(*x*)的最小正周期为π.
2．将圆*x*^2^＋*y*^2^＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式*φ*：(*λ*，*μ*\>0)，求*λ*，*μ*的值．
解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，
把伸缩变换公式*φ*：(*λ*，*μ*\>0)代入上式得：
＋＝1即^2^*x*^2^＋^2^*y*^2^＝1，与*x*^2^＋*y*^2^＝1，
比较系数得所以
\[典例\] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线*l*的方程为*ρ*sin＝2，曲线*C*的方程为*ρ*＝4cos *θ*，求直线*l*被曲线*C*截得的弦长．
\[解\] 因为曲线*C*的极坐标方程为*ρ*＝4cos *θ*，化成直角坐标方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4，
所以曲线*C*是圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线*l*的极坐标方程为*ρ*sin＝2，
化成直角坐标方程为*y*＝(*x*－4)，
则直线*l*过*A*(4,0)，倾斜角为，
所以*A*为直线*l*与圆*C*的一个交点．
设另一个交点为*B*，则∠*OAB*＝.
如图，连接*OB*.
因为*OA*为直径，从而∠*OBA*＝，
所以*AB*＝4cos＝2.
所以直线*l*被曲线*C*截得的弦长为2.
\[解题技法\]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式*x*＝*ρ*cos *θ*及*y*＝*ρ*sin *θ*直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如*ρ*cos *θ*，*ρ*sin *θ*，*ρ*^2^的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)*ρ*及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定
由tan *θ*确定角*θ*时，应根据点*P*所在象限取最小正角．
(1)当*x*≠0时，*θ*角才能由tan *θ*＝按上述方法确定．
(2)当*x*＝0时，tan *θ*没有意义，这时可分三种情况处理：
当*x*＝0，*y*＝0时，*θ*可取任何值；当*x*＝0，*y*\>0时，可取*θ*＝；当*x*＝0，*y*\<0时，可取*θ*＝.
\[题组训练\]
1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆*O*：*ρ*＝cos *θ*＋sin *θ*和直线*l*：*ρ*sin＝(*ρ*≥0,0≤*θ*＜2π)．
(1)求圆*O*和直线*l*的直角坐标方程；
(2)当*θ*∈(0，π)时，求直线*l*与圆*O*的公共点的极坐标．
解：(1)圆*O*：*ρ*＝cos *θ*＋sin *θ*，即*ρ*^2^＝*ρ*cos *θ*＋*ρ*sin *θ*，
故圆*O*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－*x*－*y*＝0，
直线*l*：*ρ*sin＝，即*ρ*sin *θ*－*ρ*cos *θ*＝1，
则直线*l*的直角坐标方程为*x*－*y*＋1＝0.
(2)将两直角坐标方程联立得解得
即圆*O*与直线*l*在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为即为所求．
2．已知圆*O*~1~和圆*O*~2~的极坐标方程分别为*ρ*＝2，*ρ*^2^－2*ρ*·cos＝2.
(1)求圆*O*~1~和圆*O*~2~的直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由*ρ*＝2知*ρ*^2^＝4，
所以圆*O*~1~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^＝4.
因为*ρ*^2^－2*ρ*cos＝2，
所以*ρ*^2^－2*ρ*＝2，
所以圆*O*~2~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－2*y*－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为*x*＋*y*＝1.
化为极坐标方程为*ρ*cos *θ*＋*ρ*sin *θ*＝1，
即*ρ*sin＝.
\[典例\] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系*xOy*中，以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*~1~的极坐标方程为*ρ*cos *θ*＝4.
(1)*M*为曲线*C*~1~上的动点，点*P*在线段*OM*上，且满足\|*OM*\|·\|*OP*\|＝16，求点*P*的轨迹*C*~2~的直角坐标方程；
(2)设点*A*的极坐标为，点*B*在曲线*C*~2~上，求△*OAB*面积的最大值．
\[解\] (1)设*P*的极坐标为(*ρ*，*θ*)(*ρ*＞0)，*M*的极坐标为(*ρ*~1~，*θ*)(*ρ*~1~＞0)．
由题设知\|*OP*\|＝*ρ*，\|*OM*\|＝*ρ*~1~＝.
由\|*OM*\|·\|*OP*\|＝16，得*C*~2~的极坐标方程*ρ*＝4cos *θ*(*ρ*＞0)．
因此*C*~2~的直角坐标方程为(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝4(*x*≠0)．
(2)设点*B*的极坐标为(*ρ~B~*，*α*)(*ρ~B~*＞0)，
由题设知\|*OA*\|＝2，*ρ~B~*＝4cos *α*，于是△*OAB*的面积
*S*＝\|*OA*\|·*ρ~B~*·sin∠*AOB*＝4cos *α*·＝2.
即当*α*＝－时，*S*取得最大值2＋.
所以△*OAB*面积的最大值为2＋.
\[解题技法\]
1．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点*M*(*ρ*，*θ*)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解\|*OM*\|与*θ*的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
2．利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．
\[提醒\] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
\[题组训练\]
1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系*xOy*中，圆*C*的参数方程为(其中*φ*为参数)．以*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆*C*的极坐标方程；
(2)设直线*l*的极坐标方程是*ρ*sin＝2，射线*OM*：*θ*＝与圆*C*的交点为*P*，与直线*l*的交点为Q，求线段*P*Q的长．
解：(1)圆*C*的普通方程为*x*^2^＋(*y*－1)^2^＝1，又*x*＝*ρ*cos *θ*，*y*＝*ρ*sin *θ*，
所以圆*C*的极坐标方程为*ρ*＝2sin *θ*.
(2)把*θ*＝代入圆的极坐标方程可得*ρ~P~*＝1，
把*θ*＝代入直线*l*的极坐标方程可得*ρ*~Q~＝2，
所以\|*P*Q\|＝\|*ρ~P~*－*ρ*~Q~\|＝1.
2．(2018·湖北八校联考)已知曲线*C*的极坐标方程为*ρ*^2^＝，以极点为平面直角坐标系的原点*O*，极轴为*x*轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线*C*的直角坐标方程；
(2)*A*，*B*为曲线*C*上两点，若*OA*⊥*OB*，求＋的值．
解：(1)由*ρ*^2^＝得*ρ*^2^cos^2^*θ*＋9*ρ*^2^sin^2^*θ*＝9，
将*x*＝*ρ*cos *θ*，*y*＝*ρ*sin *θ*代入得到曲线*C*的直角坐标方程是＋*y*^2^＝1.
(2)因为*ρ*^2^＝，所以＝＋sin^2^*θ*，
由*OA*⊥*OB*，设*A*(*ρ*~1~，*α*)，则点*B*的坐标可设为，
所以＋＝＋＝＋sin^2^*α*＋＋cos^2^*α*＝＋1＝.
1．在极坐标系中，求直线*ρ*cos＝1与圆*ρ*＝4sin *θ*的交点的极坐标．
解：*ρ*cos＝1化为直角坐标方程为*x*－*y*＝2，
即*y*＝*x*－2.
*ρ*＝4sin *θ*可化为*x*^2^＋*y*^2^＝4*y*，
把*y*＝*x*－2代入*x*^2^＋*y*^2^＝4*y*，
得4*x*^2^－8*x*＋12＝0，
即(*x*－)^2^＝0，
所以*x*＝，*y*＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.
2．在极坐标系中，已知圆*C*经过点*P*，圆心为直线*ρ*sin＝－与极轴的交点，求圆*C*的极坐标方程．
解：在*ρ*sin＝－中，令*θ*＝0，得*ρ*＝1，
所以圆*C*的圆心坐标为(1,0)．
因为圆*C*经过点*P*，
所以圆*C*的半径\|*PC*\|＝ ()＝1，于是圆*C*过极点，
所以圆*C*的极坐标方程为*ρ*＝2cos *θ*.
3．在直角坐标系*xOy*中，圆*C*的方程为(*x*－)^2^＋(*y*＋1)^2^＝9，以*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆*C*的极坐标方程；
(2)直线*OP*：*θ*＝(*ρ*∈R)与圆*C*交于点*M*，*N*，求线段*MN*的长．
解：(1)(*x*－)^2^＋(*y*＋1)^2^＝9可化为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*＋2*y*－5＝0，
故其极坐标方程为*ρ*^2^－2*ρ*cos *θ*＋2*ρ*sin *θ*－5＝0.
(2)将*θ*＝代入*ρ*^2^－2*ρ*cos *θ*＋2*ρ*sin *θ*－5＝0，
得*ρ*^2^－2*ρ*－5＝0，
所以*ρ*~1~＋*ρ*~2~＝2，*ρ*~1~*ρ*~2~＝－5，
所以\|*MN*\|＝\|*ρ*~1~－*ρ*~2~\|＝＝2.
4．在直角坐标系*xOy*中，以*O*为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线*C*的极坐标方程为*ρ*cos＝1，*M*，*N*分别为*C*与*x*轴，*y*轴的交点．
(1)求*C*的直角坐标方程，并求*M*，*N*的极坐标；
(2)设*MN*的中点为*P*，求直线*OP*的极坐标方程．
解：(1)由*ρ*cos＝1得*ρ*＝1.
从而*C*的直角坐标方程为*x*＋*y*＝1，即*x*＋*y*＝2.
当*θ*＝0时，*ρ*＝2，所以*M*(2,0)．
当*θ*＝时，*ρ*＝，所以*N*.
(2)由(1)知*M*点的直角坐标为(2,0)，*N*点的直角坐标为.
所以点*P*的直角坐标为，则点*P*的极坐标为，
所以直线*OP*的极坐标方程为*θ*＝(*ρ*∈R)．
5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的方程为(*x*－)^2^＋(*y*－2)^2^＝4，直线*C*~2~的方程为*y*＝*x*，以*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线*C*~1~和直线*C*~2~的极坐标方程；
(2)若直线*C*~2~与曲线*C*~1~交于*P*，Q两点，求\|*OP*\|·\|*O*Q\|的值．
解：(1)∵曲线*C*~1~的普通方程为(*x*－)^2^＋(*y*－2)^2^＝4，
即*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－4*y*＋3＝0，
∴曲线*C*~1~的极坐标方程为*ρ*^2^－2*ρ*cos *θ*－4*ρ*sin *θ*＋3＝0.
∵直线*C*~2~的方程为*y*＝*x*，
∴直线*C*~2~的极坐标方程为*θ*＝(*ρ*∈R)．
(2)设*P*(*ρ*~1~，*θ*~1~)，Q(*ρ*~2~，*θ*~2~)，
将*θ*＝(*ρ*∈R)代入*ρ*^2^－2*ρ*cos *θ*－4*ρ*sin *θ*＋3＝0，
得*ρ*^2^－5*ρ*＋3＝0，∴*ρ*~1~*ρ*~2~＝3，∴\|*OP*\|·\|*O*Q\|＝*ρ*~1~*ρ*~2~＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的方程为(*x*－3)^2^＋(*y*－4)^2^＝25.以坐标原点*O*为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线*C*的极坐标方程；
(2)设*l*~1~：*θ*＝，*l*~2~：*θ*＝，若*l*~1~，*l*~2~与曲线*C*分别交于异于原点的*A*，*B*两点，求△*AOB*的面积．
解：(1)∵曲线*C*的普通方程为(*x*－3)^2^＋(*y*－4)^2^＝25，
即*x*^2^＋*y*^2^－6*x*－8*y*＝0.
∴曲线*C*的极坐标方程为*ρ*＝6cos *θ*＋8sin *θ*.
(2)设*A*，*B*.
把*θ*＝代入*ρ*＝6cos *θ*＋8sin *θ*，得*ρ*~1~＝4＋3，
∴*A*.
把*θ*＝代入*ρ*＝6cos *θ*＋8sin *θ*，得*ρ*~2~＝3＋4，
∴*B*.
∴*S*~△*AOB*~＝*ρ*~1~*ρ*~2~sin∠*AOB*
＝(4＋3)(3＋4)sin
＝12＋.
7．在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~：(*t*为参数，*t*≠0)，其中0≤*α*＜π.在以*O*为极点，*x*轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线*C*~2~：*ρ*＝2sin *θ*，*C*~3~：*ρ*＝2cos *θ*.
(1)求*C*~2~与*C*~3~交点的直角坐标；
(2)若*C*~1~与*C*~2~相交于点*A*，*C*~1~与*C*~3~相交于点*B*，求\|*AB*\|的最大值．
解：(1)曲线*C*~2~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*y*＝0，
曲线*C*~3~的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*＝0.
联立
解得或
所以*C*~2~与*C*~3~交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线*C*~1~的极坐标方程为*θ*＝*α*(*ρ*∈R，*ρ*≠0)，其中0≤*α*＜π.
因此*A*的极坐标为(2sin *α*，*α*)，*B*的极坐标为(2cos *α*，*α*)．
所以\|*AB*\|＝\|2sin *α*－2cos *α*\|＝4.
当*α*＝时，\|*AB*\|取得最大值，最大值为4.
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线*C*~1~的普通方程为*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－4＝0，曲线*C*~2~的方程为*y*^2^＝*x*，以坐标原点*O*为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线*C*~1~，*C*~2~的极坐标方程；
(2)求曲线*C*~1~与*C*~2~交点的极坐标，其中*ρ*≥0,0≤*θ*\<2π.
解：(1)依题意，将代入*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－4＝0可得*ρ*^2^＋2*ρ*cos *θ*－4＝0.
将代入*y*^2^＝*x*，得*ρ*sin^2^*θ*＝cos *θ*.
故曲线*C*~1~的极坐标方程为*ρ*^2^＋2*ρ*cos *θ*－4＝0，曲线*C*~2~的极坐标方程为*ρ*sin^2^*θ*＝cos *θ*.
(2)将*y*^2^＝*x*代入*x*^2^＋*y*^2^＋2*x*－4＝0，得*x*^2^＋3*x*－4＝0，解得*x*＝1，*x*＝－4(舍去)，
当*x*＝1时，*y*＝±1，所以曲线*C*~1~与*C*~2~交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记*A*(1,1)，*B*(1，－1)，
所以*ρ~A~*＝＝，*ρ~B~*＝＝，tan *θ~A~*＝1，tan *θ~B~*＝－1，
因为*ρ*≥0,0≤*θ*\<2π，点*A*在第一象限，点*B*在第四象限，
所以*θ~A~*＝，*θ~B~*＝，故曲线*C*~1~与*C*~2~交点的极坐标分别为，.
第二节 参数方程
一、基础知识
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标*x*，*y*都是某个变数*t*的函数()()并且对于*t*的每一个允许值，由这个方程组所确定的点*M*(*x*，*y*)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数*x*，*y*的变数*t*叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程*F*(*x*，*y*)＝0叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果*x*＝*f*(*t*)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系*y*＝*g*(*t*)，则得曲线的参数方程()()
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点*M*(*x*~0~，*y*~0~)，倾斜角为*α*的直线*l*的参数方程为(*t*为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点*M*~0~(*x*~0~，*y*~0~)，倾斜角为*α*的直线*l*的参数方程是若*M*~1~，*M*~2~是*l*上的两点，其对应参数分别为*t*~1~，*t*~2~，则
①\|*M*~1~*M*~2~\|＝\|*t*~1~－*t*~2~\|.
②若线段*M*~1~*M*~2~的中点*M*所对应的参数为*t*，则*t*＝，中点*M*到定点*M*~0~的距离\|*MM*~0~\|＝\|*t*\|＝.
③若*M*~0~为线段*M*~1~*M*~2~的中点，则*t*~1~＋*t*~2~＝0.
④\|*M*~0~*M*~1~\|\|*M*~0~*M*~2~\|＝\|*t*~1~*t*~2~\|.
(2)圆心在点*M*~0~(*x*~0~，*y*~0~)，半径为*r*的圆的参数方程为(*θ*为参数)．
(3)椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的参数方程为 (*φ*为参数)．
\[典例\] 已知直线*l*的参数方程为(*t*为参数)，圆*C*的参数方程为
(*θ*为参数)．
(1)求直线*l*和圆*C*的普通方程；
(2)若直线*l*与圆*C*有公共点，求实数*a*的取值范围．
\[解\] (1)直线*l*的普通方程为2*x*－*y*－2*a*＝0，
圆*C*的普通方程为*x*^2^＋*y*^2^＝16.
(2)因为直线*l*与圆*C*有公共点，
故圆*C*的圆心到直线*l*的距离*d*＝≤4，
解得－2≤*a*≤2.
即实数*a*的取值范围为\[－2，2 \]．
\[解题技法\] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin^2^*θ*＋cos^2^*θ*＝1等)．
\[提醒\] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．
\[题组训练\]
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)()()(*t*为参数)．
(2)(*θ*为参数)．
解：(1)由参数方程得e*^t^*＝*x*＋*y*，e^－*t*^＝*x*－*y*，
所以(*x*＋*y*)(*x*－*y*)＝1，即*x*^2^－*y*^2^＝1.
(2)因为曲线的参数方程为(*θ*为参数)，
由*y*＝2tan *θ*，得tan *θ*＝，代入①得*y*^2^＝2*x*.
2.如图，以过原点的直线的倾斜角*θ*为参数，求圆*x*^2^＋*y*^2^－*x*＝0的参数方程．
解：圆的半径为，
记圆心为*C*，连接*CP*，
则∠*PCx*＝2*θ*，
故*x~P~*＝＋cos 2*θ*＝cos^2^*θ*，
*y~P~*＝sin 2*θ*＝sin *θ*cos *θ*.
所以圆的参数方程为(*θ*为参数)．
\[典例\] (2019·广州高中综合测试)已知过点*P*(*m,*0)的直线*l*的参数方程是(*t*为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线*C*的极坐标方程为*ρ*＝2cos *θ*.
(1)求直线*l*的普通方程和曲线*C*的直角坐标方程；
(2)若直线*l*和曲线*C*交于*A*，*B*两点，且\|*PA*\|·\|*PB*\|＝2，求实数*m*的值．
\[解\] (1)消去参数*t*，可得直线*l*的普通方程为*x*＝*y*＋*m*，即*x*－*y*－*m*＝0.
因为*ρ*＝2cos *θ*，所以*ρ*^2^＝2*ρ*cos *θ*.
可得曲线*C*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^＝2*x*，即*x*^2^－2*x*＋*y*^2^＝0.
(2)把代入*x*^2^－2*x*＋*y*^2^＝0，
得*t*^2^＋(*m*－)*t*＋*m*^2^－2*m*＝0.
由*Δ*\>0，得－1\<*m*\<3.
设点*A*，*B*对应的参数分别为*t*~1~，*t*~2~，则*t*~1~·*t*~2~＝*m*^2^－2*m*.
因为\|*PA*\|·\|*PB*\|＝\|*t*~1~·*t*~2~\|＝2，所以*m*^2^－2*m*＝±2，
解得*m*＝1±.
因为－1\<*m*\<3，所以*m*＝1±.
\[解题技法\]
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．
\[题组训练\]
1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为(*α*为参数)，以原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*~2~的极坐标方程为*ρ*sin＝.
(1)求曲线*C*~1~的普通方程与曲线*C*~2~的直角坐标方程；
(2)设*P*为曲线*C*~1~上的动点，求点*P*到*C*~2~的距离的最大值，并求此时点*P*的坐标．
解：(1)曲线*C*~1~的普通方程为＋*y*^2^＝1，
由*ρ*sin＝，得*ρ*sin *θ*＋*ρ*cos *θ*＝2，得曲线*C*~2~的直角坐标方程为*x*＋*y*－2＝0.
(2)设点*P*的坐标为(cos *α*，sin *α*)，
则点*P*到*C*~2~的距离为＝，
当sin＝－1，即*α*＋＝－＋2*k*π(*k*∈Z)，*α*＝－＋2*k*π(*k*∈Z)时，所求距离最大，最大值为2，
此时点*P*的坐标为.
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为(*θ*为参数)，直线*l*的参数方程为(*t*为参数)．
(1)求*C*和*l*的直角坐标方程；
(2)若曲线*C*截直线*l*所得线段的中点坐标为(1,2)，求*l*的斜率．
解：(1)曲线*C*的直角坐标方程为＋＝1.
当cos *α*≠0时，直线*l*的直角坐标方程为*y*＝tan *α*·*x*＋2－tan *α*，
当cos *α*＝0时，直线*l*的直角坐标方程为*x*＝1.
(2)将直线*l*的参数方程代入*C*的直角坐标方程，整理得关于*t*的方程(1＋3cos^2^*α*)*t*^2^＋4(2cos *α*＋sin *α*)*t*－8＝0.①
因为曲线*C*截直线*l*所得线段的中点(1,2)在*C*内，
所以①有两个解，设为*t*~1~，*t*~2~，则*t*~1~＋*t*~2~＝0.
又由①得*t*~1~＋*t*~2~＝－()，
故2cos *α*＋sin *α*＝0，
于是直线*l*的斜率*k*＝tan *α*＝－2.
\[典例\] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系*xOy*中，圆*C*的参数方程为(*t*为参数)，在以原点*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线*l*的极坐标方程为*ρ*cos＝－1.
(1)求圆*C*的普通方程和直线*l*的直角坐标方程；
(2)设直线*l*与*x*轴，*y*轴分别交于*A*，*B*两点，点*P*是圆*C*上任一点，求*A*，*B*两点的极坐标和△*PAB*面积的最小值．
\[解\] (1)由消去参数*t*，得(*x*＋5)^2^＋(*y*－3)^2^＝2，所以圆*C*的普通方程为(*x*＋5)^2^＋(*y*－3)^2^＝2.
由*ρ*cos＝－1，得*ρ*cos *θ*－*ρ*sin *θ*＝－2，
所以直线*l*的直角坐标方程为*x*－*y*＋2＝0.
(2)直线*l*与*x*轴，*y*轴的交点分别为*A*(－2,0)，*B*(0,2)，
则点*A*，*B*的极坐标分别为(2，π＋2*k*π)(*k*∈Z)，(*k*∈Z)．
设点*P*的坐标为(－5＋cos *α*，3＋sin *α*)，
则点*P*到直线*l*的距离*d*＝＝，
当cos＝1，即*α*＋＝2*k*π(*k*∈Z)，*α*＝－＋2*k*π(*k*∈Z)时，点*P*到直线*l*的距离取得最小值，所以*d*~min~＝＝2，又\|*AB*\|＝2，
所以△*PAB*面积的最小值*S*＝×*d*~min~×\|*AB*\|＝×2×2＝4.
\[解题技法\] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
\[题组训练\]
1．在直角坐标系*xOy*中，以坐标原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线*C*~1~：*ρ*^2^－4*ρ*cos *θ*＋3＝0，*θ*∈\[0,2π\]，曲线*C*~2~：*ρ*＝，*θ*∈\[0,2π\]．
(1)求曲线*C*~1~的一个参数方程；
(2)若曲线*C*~1~和曲线*C*~2~相交于*A*，*B*两点，求\|*AB*\|的值．
解：(1)由*ρ*^2^－4*ρ*cos *θ*＋3＝0，得*x*^2^＋*y*^2^－4*x*＋3＝0，
所以(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝1.
令*x*－2＝cos *α*，*y*＝sin *α*，
所以*C*~1~的一个参数方程为(*α*为参数)．
(2)因为*C*~2~：4*ρ*＝3，
所以4＝3，即2*x*－2*y*－3＝0，
因为直线2*x*－2*y*－3＝0与圆(*x*－2)^2^＋*y*^2^＝1相交于*A*，*B*两点，
所以圆心到直线的距离为*d*＝()＝，
所以\|*AB*\|＝2 ＝2×＝.
2．在平面直角坐标系*xOy*中，直线*l*的参数方程为，以坐标原点*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆*C*的圆心*C*的极坐标为，半径为2，直线*l*与圆*C*交于*M*，*N*两点．
(1)求圆*C*的极坐标方程；
(2)当*φ*变化时，求弦长\|*MN*\|的取值范围．
解：(1)由已知，得圆心*C*的直角坐标为(1，)，圆的半径为2，
∴圆*C*的直角坐标方程为(*x*－1)^2^＋(*y*－)^2^＝4，
即*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－2*y*＝0，
∵*x*＝*ρ*cos *θ*，*y*＝*ρ*sin *θ*，∴*ρ*^2^－2*ρ*cos *θ*－2*ρ*sin *θ*＝0，
故圆*C*的极坐标方程为*ρ*＝4cos.
(2)由(1)知，圆*C*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^－2*x*－2*y*＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
(2＋*t*cos *φ*)^2^＋(＋*t*sin *φ*)^2^－2(2＋*t*cos *φ*)－2(＋*t*sin *φ*)＝0，
整理得，*t*^2^＋2*t*cos *φ*－3＝0，
设*M*，*N*两点对应的参数分别为*t*~1~，*t*~2~，
则*t*~1~＋*t*~2~＝－2cos *φ*，*t*~1~·*t*~2~＝－3，
∴\|*MN*\|＝\|*t*~1~－*t*~2~\|＝()＝.
∵*φ*∈，∴cos *φ*∈，∴\|*MN*\|∈\[，4\]．
故弦长\|*MN*\|的取值范围为\[，4\]．
1．若直线(*t*为参数)与圆(*θ*为参数)相切，求直线的倾斜角*α*.
解：直线(*t*为参数)的普通方程为*y*＝*x*tan *α*.
圆(*θ*为参数)的普通方程为(*x*－4)^2^＋*y*^2^＝4.
由于直线与圆相切，则＝2，
即tan^2^*α*＝，解得tan *α*＝±，
由于*α*∈\[0，π)，故*α*＝或.
2．在平面直角坐标系*xOy*中，已知直线*l*的参数方程为(*t*为参数)，曲线*C*的参数方程为(*s*为参数)，设*P*为曲线*C*上的动点，求点*P*到直线*l*的距离的最小值．
解：直线*l*的普通方程为*x*－2*y*＋8＝0.
因为点*P*在曲线*C*上，设*P*(2*s*^2,^2*s*)，
从而点*P*到直线*l*的距离*d*＝()＝()，
当*s*＝时，*d*~min~＝.
因此当点*P*的坐标为(4,4)时，曲线*C*上的点*P*到直线*l*的距离取到最小值.
3．已知*P*为半圆*C*：(*θ*为参数，0≤*θ*≤π)上的点，点*A*的坐标为(1,0)，*O*为坐标原点，点*M*在射线*OP*上，线段*OM*与*C*的弧*AP*的长度均为.
(1)以*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点*M*的极坐标；
(2)求直线*AM*的参数方程．
解：(1)由已知，点*M*的极角为，
且点*M*的极径等于，
故点*M*的极坐标为.
(2)由(1)知点*M*的直角坐标为，*A*(1,0)．
故直线*AM*的参数方程为(*t*为参数)．
4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点*P*的直角坐标为(1,2)，点*C*的极坐标为，若直线*l*过点*P*，且倾斜角为，圆*C*以点*C*为圆心，3为半径．
(1)求直线*l*的参数方程和圆*C*的极坐标方程；
(2)设直线*l*与圆*C*相交于*A*，*B*两点，求\|*PA*\|·\|*PB*\|.
解：(1)由题意得直线*l*的参数方程为(*t*为参数)，圆*C*的极坐标方程为*ρ*＝6sin *θ*.
(2)由(1)易知圆*C*的直角坐标方程为*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝9，
把代入*x*^2^＋(*y*－3)^2^＝9，得*t*^2^＋(－1)*t*－7＝0，
设点*A*，*B*对应的参数分别为*t*~1~，*t*~2~，∴*t*~1~*t*~2~＝－7，
又\|*PA*\|＝\|*t*~1~\|，\|*PB*\|＝\|*t*~2~\|，∴\|*PA*\|·\|*PB*\|＝7.
5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为(*t*为参数)，以坐标原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线*C*的极坐标方程；
(2)若直线*l*~1~，*l*~2~的极坐标方程分别为*θ*~1~＝(*ρ*~1~∈R)，*θ*~2~＝(*ρ*~2~∈R)，设直线*l*~1~，*l*~2~与曲线*C*的交点分别为*O*，*M*和*O*，*N*，求△*OMN*的面积．
解：(1)由参数方程得普通方程为*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝4，
把代入*x*^2^＋(*y*－2)^2^＝4，得*ρ*^2^－4*ρ*sin *θ*＝0.
所以曲线*C*的极坐标方程为*ρ*＝4sin *θ*.
(2)由直线*l*~1~：*θ*~1~＝(*ρ*~1~∈R)与曲线*C*的交点为*O*，*M*，得\|*OM*\|＝4sin ＝2.
由直线*l*~2~：*θ*~2~＝(*ρ*~2~∈R)与曲线*C*的交点为*O*，*N*，得\|*ON*\|＝4sin ＝2.
易知∠*MON*＝，所以*S*~△*OMN*~＝\|*OM*\|×\|*ON*\|＝×2×2＝2.
6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系*xOy*中，⊙*O*的参数方程为(*θ*为参数)，过点(0，－)且倾斜角为*α*的直线*l*与⊙*O*交于*A*，*B*两点．
(1)求*α*的取值范围；
(2)求*AB*中点*P*的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙*O*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^＝1.
当*α*＝时，*l*与⊙*O*交于两点．
当*α*≠时，记tan *α*＝*k*，则*l*的方程为*y*＝*kx*－.
*l*与⊙*O*交于两点需满足\<1，
解得*k*\<－1或*k*\>1，
即*α*∈或*α*∈.
综上，*α*的取值范围是.
(2)*l*的参数方程为.
设*A*，*B*，*P*对应的参数分别为*t~A~*，*t~B~*，*t~P~*，
则*t~P~*＝，且*t~A~*，*t~B~*满足*t*^2^－2*t*sin *α*＋1＝0.
于是*t~A~*＋*t~B~*＝2sin *α*，*t~P~*＝sin *α*.
又点*P*的坐标(*x*，*y*)满足
所以点*P*的轨迹的参数方程是.
7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为(*t*为参数，*m*∈R)，以原点*O*为极点，*x*轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*~2~的极坐标方程为*ρ*^2^＝(0≤*θ*≤π)．
(1)写出曲线*C*~1~的普通方程和曲线*C*~2~的直角坐标方程；
(2)已知点*P*是曲线*C*~2~上一点，若点*P*到曲线*C*~1~的最小距离为2，求*m*的值．
解：(1)由曲线*C*~1~的参数方程消去参数*t*，可得*C*~1~的普通方程为*x*－*y*＋*m*＝0.
由曲线*C*~2~的极坐标方程得3*ρ*^2^－2*ρ*^2^cos^2^*θ*＝3，*θ*∈\[0，π\]，
∴曲线*C*~2~的直角坐标方程为＋*y*^2^＝1(0≤*y*≤1)．
(2)设曲线*C*~2~上任意一点*P*的坐标为(cos *α*，sin *α*)，*α*∈\[0，π\]，
则点*P*到曲线*C*~1~的距离*d*＝＝.
∵*α*∈\[0，π\]，∴cos∈，2cos∈\[－2， \]，
当*m*＋＜0时，*m*＋＝－4，即*m*＝－4－.
当*m*－2＞0时，*m*－2＝4，即*m*＝6.
当*m*＋≥0，*m*－2≤0，即－≤*m*≤2时，*d*~min~＝0，不合题意，舍去．
综上，*m*＝－4－或*m*＝6.
8．已知直线*l*的参数方程为(*t*为参数)，曲线*C*的参数方程为(*α*为参数)，且直线*l*交曲线*C*于*A*，*B*两点．
(1)将曲线*C*的参数方程化为普通方程，并求*θ*＝时，\|*AB*\|的值；
(2)已知点*P*(1,0)，求当直线*l*的倾斜角*θ*变化时，\|*PA*\|·\|*PB*\|的取值范围．
解：(1)曲线*C*的普通方程为＋*y*^2^＝1.
当*θ*＝时，直线*l*的参数方程为(*t*为参数)，
将*l*的参数方程代入＋*y*^2^＝1，得5*t*^2^＋2*t*－4＝0，
设*A*，*B*对应的参数分别为*t*~1~，*t*~2~，
则*t*~1~＋*t*~2~＝－，*t*~1~*t*~2~＝－，
所以\|*AB*\|＝\|*t*~1~－*t*~2~\|＝()＝.
(2)将直线*l*的参数方程代入＋*y*^2^＝1，
得(1＋2sin^2^*θ*)*t*^2^＋2*t*cos *θ*－2＝0，
设*A*，*B*对应的参数分别为*t*~3~，*t*~4~，则*t*~3~*t*~4~＝，
则\|*PA*\|·\|*PB*\|＝－*t*~3~*t*~4~＝.
又0≤sin^2^*θ*≤1，所以≤\|*PA*\|·\|*PB*\|≤2，
所以\|*PA*\|·\|*PB*\|的取值范围是.
选修4－5 不等式选讲
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第一节 绝对值不等式
一、基础知识
1．绝对值三角不等式
定理1：如果*a*，*b*是实数，则\|*a*＋*b*\|≤\|*a*\|＋\|*b*\|，当且仅当*ab*≥0时，等号成立．
定理2：如果*a*，*b*，*c*是实数，那么\|*a*－*c*\|≤\|*a*－*b*\|＋\|*b*－*c*\|，当且仅当(*a*－*b*)(*b*－*c*)≥0时，等号成立． ↓
\|*a*\|－\|*b*\|≤\|*a*－*b*\|≤\|*a*\|＋\|*b*\|，当且仅当\|*a*\|≥\|*b*\|且*ab*≥0时，左边等号成立，当且仅当*ab*≤0时，右边等号成立.
2．绝对值不等式的解法
(1)\|*x*\|\<*a*与\|*x*\|\>*a*型不等式的解法
-------------- ----------------------------- --------------------- --------
不等式 *a*\>0 *a*＝0 *a*\<0
\|*x*\|\<*a* ∅ ∅
\|*x*\|\>*a* {*x*\|*x*\>*a*或*x*\<－*a*} {*x*\|*x*∈R且*x*≠0} R
-------------- ----------------------------- --------------------- --------
(2)\|*ax*＋*b*\|≤*c*(*c*＞0)和\|*ax*＋*b*\|≥*c*(*c*\>0)型不等式的解法：
①\|*ax*＋*b*\|≤*c*⇔－*c*≤*ax*＋*b*≤*c*；
②\|*ax*＋*b*\|≥*c*⇔*ax*＋*b*≥*c*或*ax*＋*b*≤－*c*.
\|*x*－*a*\|＋\|*x*－*b*\|≥*c*和\|*x*－*a*\|＋\|*x*－*b*\|≤*c*型不等式的解法及体现数学思想
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用"零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
\[典例\] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数*f*(*x*)＝\|*x*＋1\|－\|2*x*－3\|.
(1)画出*y*＝*f*(*x*)的图象；
(2)求不等式\|*f*(*x*)\|\>1的解集．
\[解\] (1)由题意得*f*(*x*)＝
故*y*＝*f*(*x*)的图象如图所示．
(2)由*f*(*x*)的函数表达式及图象可知，
当*f*(*x*)＝1时，可得*x*＝1或*x*＝3；
当*f*(*x*)＝－1时，可得*x*＝或*x*＝5.
故*f*(*x*)\>1的解集为{*x*\|1\<*x*\<3}，
*f*(*x*)\<－1的解集为.
所以\|*f*(*x*)\|\>1的解集为.
\[题组训练\]
1．解不等式\|*x*＋1\|＋\|*x*－1\|≤2.
解：当*x*\<－1时，
原不等式可化为－*x*－1＋1－*x*≤2，
解得*x*≥－1，又因为*x*\<－1，故无解；
当－1≤*x*≤1时，
原不等式可化为*x*＋1＋1－*x*＝2≤2，恒成立；
当*x*\>1时，
原不等式可化为*x*＋1＋*x*－1≤2，
解得*x*≤1，又因为*x*\>1，故无解；
综上，不等式\|*x*＋1\|＋\|*x*－1\|≤2的解集为\[－1,1\]．
2．(2019·沈阳质检)已知函数*f*(*x*)＝\|*x*－*a*\|＋3*x*，其中*a*∈R.
(1)当*a*＝1时，求不等式*f*(*x*)≥3*x*＋\|2*x*＋1\|的解集；
(2)若不等式*f*(*x*)≤0的解集为{*x*\|*x*≤－1}，求*a*的值．
解：(1)当*a*＝1时，*f*(*x*)＝\|*x*－1\|＋3*x*.
法一：由*f*(*x*)≥3*x*＋\|2*x*＋1\|，得\|*x*－1\|－\|2*x*＋1\|≥0，
当*x*\>1时，*x*－1－(2*x*＋1)≥0，得*x*≤－2，无解；
当－≤*x*≤1时，1－*x*－(2*x*＋1)≥0，得－≤*x*≤0；
当*x*\<－时，1－*x*－(－2*x*－1)≥0，得－2≤*x*\<－.
∴不等式的解集为{*x*\|－2≤*x*≤0}．
法二：由*f*(*x*)≥3*x*＋\|2*x*＋1\|，得\|*x*－1\|≥\|2*x*＋1\|，
两边平方，化简整理得*x*^2^＋2*x*≤0，
解得－2≤*x*≤0，
∴不等式的解集为{*x*\|－2≤*x*≤0}．
(2)由\|*x*－*a*\|＋3*x*≤0，可得或
即或
当*a*\>0时，不等式的解集为.
由－＝－1，得*a*＝2.
当*a*＝0时，不等式的解集为{*x*\|*x*≤0}，不合题意．
当*a*\<0时，不等式的解集为.
由＝－1，得*a*＝－4.
综上，*a*＝2或*a*＝－4.
\[典例\] (2019·湖北五校联考)已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－1\|，*x*∈R.
(1)解不等式*f*(*x*)\<\|*x*\|＋1；
(2)若对*x*，*y*∈R，有\|*x*－*y*－1\|≤，\|2*y*＋1\|≤，求证：*f*(*x*)\<1.
\[解\] (1)∵*f*(*x*)\<\|*x*\|＋1，∴\|2*x*－1\|\<\|*x*\|＋1，
即或或
得≤*x*\<2或0\<*x*\<或无解．
故不等式*f*(*x*)\<\|*x*\|＋1的解集为{*x*\|0\<*x*\<2}．
(2)证明：*f*(*x*)＝\|2*x*－1\|＝\|2(*x*－*y*－1)＋(2*y*＋1)\|≤\|2(*x*－*y*－1)\|＋\|2*y*＋1\|＝2\|*x*－*y*－1\|＋\|2*y*＋1\|≤2×＋＝\<1.
故不等式*f*(*x*)＜1得证．
\[解题技法\] 绝对值不等式性质的应用
利用不等式\|*a*＋*b*\|≤\|*a*\|＋\|*b*\|(*a*，*b*∈R)和\|*a*－*b*\|≤\|*a*－*c*\|＋\|*c*－*b*\|(*a*，*b*∈R)，通过确定适当的*a*，*b*，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．
\[题组训练\]
1．求函数*f*(*x*)＝\|*x*＋2 019\|－\|*x*－2 018\|的最大值．
解：因为*f*(*x*)＝\|*x*＋2 019\|－\|*x*－2 018\|≤\|*x*＋2 019－*x*＋2 018\|＝4 037，
所以函数*f*(*x*)＝\|*x*＋2 019\|－\|*x*－2 018\|的最大值为4 037.
2．若*x*∈\[－1,1\]，\|*y*\|≤，\|*z*\|≤，求证：\|*x*＋2*y*－3*z*\|≤.
证明：因为*x*∈\[－1,1\]，\|*y*\|≤，\|*z*\|≤，
所以\|*x*＋2*y*－3*z*\|≤\|*x*\|＋2\|*y*\|＋3\|*z*\|≤1＋2×＋3×＝，
所以\|*x*＋2*y*－3*z*\|≤成立．
\[典例\] (2018·合肥质检)已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－1\|.
(1)解关于*x*的不等式*f*(*x*)－*f*(*x*＋1)≤1；
(2)若关于*x*的不等式*f*(*x*)\<*m*－*f*(*x*＋1)的解集不是空集，求*m*的取值范围．
\[解\] (1)*f*(*x*)－*f*(*x*＋1)≤1⇔\|2*x*－1\|－\|2*x*＋1\|≤1，
则或或
解得*x*≥或－≤*x*\<，即*x*≥－，
所以原不等式的解集为.
(2)由条件知，不等式\|2*x*－1\|＋\|2*x*＋1\|\<*m*有解，
则*m*\>(\|2*x*－1\|＋\|2*x*＋1\|)~min~即可．
由于\|2*x*－1\|＋\|2*x*＋1\|＝\|1－2*x*\|＋\|2*x*＋1\|≥\|1－2*x*＋(2*x*＋1)\|＝2，当且仅当(1－2*x*)(2*x*＋1)≥0，即*x*∈时等号成立，故*m*\>2.所以*m*的取值范围是(2，＋∞)．
\[解题技法\] 两招解不等式问题中的含参问题
(1)转化
①把存在性问题转化为求最值问题；
②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即*f*(*x*)＜*a*恒成立⇔*a*＞*f*(*x*)~max~，*f*(*x*)＞*a*恒成立⇔*a*＜*f*(*x*)~min~.
(2)求最值
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
①利用绝对值的几何意义；
②利用绝对值三角不等式，即\|*a*\|＋\|*b*\|≥\|*a*±*b*\|≥\|\|*a*\|－\|*b*\|\|；
③利用零点分区间法．
\[题组训练\]
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数*f*(*x*)＝5－\|*x*＋*a*\|－\|*x*－2\|.
(1)当*a*＝1时，求不等式*f*(*x*)≥0的解集；
(2)若*f*(*x*)≤1，求*a*的取值范围．
解：(1)当*a*＝1时，*f*(*x*)＝
当*x*\<－1时，由2*x*＋4≥0，解得－2≤*x*\<－1，
当－1≤*x*≤2时，显然满足题意，
当*x*\>2时，由－2*x*＋6≥0，解得2\<*x*≤3，
故*f*(*x*)≥0的解集为{*x*\|－2≤*x*≤3}．
(2)*f*(*x*)≤1等价于\|*x*＋*a*\|＋\|*x*－2\|≥4.
而\|*x*＋*a*\|＋\|*x*－2\|≥\|*a*＋2\|，且当*x*＝2时等号成立．
故*f*(*x*)≤1等价于\|*a*＋2\|≥4.
由\|*a*＋2\|≥4可得*a*≤－6或*a*≥2.
所以*a*的取值范围是(－∞，－6\]∪\[2，＋∞)．
2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数*f*(*x*)＝\|*x*＋*m*\|＋\|2*x*－1\|(*m*∈R)，若关于*x*的不等式*f*(*x*)≤\|2*x*＋1\|的解集为*A*，且⊆*A*，求实数*m*的取值范围．
解：∵⊆*A*，
∴当*x*∈时，不等式*f*(*x*)≤\|2*x*＋1\|恒成立，
即\|*x*＋*m*\|＋\|2*x*－1\|≤\|2*x*＋1\|在*x*∈上恒成立，
∴\|*x*＋*m*\|＋2*x*－1≤2*x*＋1，
即\|*x*＋*m*\|≤2在*x*∈上恒成立，
∴－2≤*x*＋*m*≤2，
∴－*x*－2≤*m*≤－*x*＋2在*x*∈上恒成立，
∴(－*x*－2)~max~≤*m*≤(－*x*＋2)~min~，
∴－≤*m*≤0，故实数*m*的取值范围是.
1．求不等式\|2*x*－1\|＋\|2*x*＋1\|≤6的解集．
解：原不等式可化为或
或
解得－≤*x*≤，
即原不等式的解集为.
2．已知函数*f*(*x*)＝\|*x*－4\|＋\|*x*－*a*\|(*a*∈R)的最小值为*a*.
(1)求实数*a*的值；
(2)解不等式*f*(*x*)≤5.
解：(1)*f*(*x*)＝\|*x*－4\|＋\|*x*－*a*\|≥\|*a*－4\|＝*a*，
从而解得*a*＝2.
(2)由(1)知，*f*(*x*)＝\|*x*－4\|＋\|*x*－2\|＝
故当*x*≤2时，由－2*x*＋6≤5，得≤*x*≤2；
当2\<*x*≤4时，显然不等式成立；
当*x*\>4时，由2*x*－6≤5，得4\<*x*≤，
故不等式*f*(*x*)≤5的解集为.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知*f*(*x*)＝\|*x*＋1\|－\|*ax*－1\|.
(1)当*a*＝1时，求不等式*f*(*x*)\>1的解集；
(2)若*x*∈(0,1)时不等式*f*(*x*)\>*x*成立，求*a*的取值范围．
解：(1)当*a*＝1时，*f*(*x*)＝\|*x*＋1\|－\|*x*－1\|，
即*f*(*x*)＝
故不等式*f*(*x*)\>1的解集为.
(2)当*x*∈(0,1)时\|*x*＋1\|－\|*ax*－1\|\>*x*成立等价于当*x*∈(0,1)时\|*ax*－1\|\<1成立．
若*a*≤0，则当*x*∈(0,1)时，\|*ax*－1\|≥1；
若*a*\>0，则\|*ax*－1\|\<1的解集为，
所以≥1，故0\<*a*≤2.
综上，*a*的取值范围为(0,2\]．
4．设函数*f*(*x*)＝\|3*x*－1\|＋*ax*＋3.
(1)若*a*＝1，解不等式*f*(*x*)≤4；
(2)若*f*(*x*)有最小值，求实数*a*的取值范围．
解：(1)当*a*＝1时，*f*(*x*)＝\|3*x*－1\|＋*x*＋3≤4，
即\|3*x*－1\|≤1－*x*，
*x*－1≤3*x*－1≤1－*x*，解得0≤*x*≤，
所以*f*(*x*)≤4的解集为.
(2)因为*f*(*x*)＝()()
所以*f*(*x*)有最小值的充要条件为解得－3≤*a*≤3，
即实数*a*的取值范围是\[－3,3\]．
5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数*f*(*x*)＝\|*x*－2\|－\|*x*＋1\|.
(1)解不等式*f*(*x*)\>－*x*；
(2)若关于*x*的不等式*f*(*x*)≤*a*^2^－2*a*的解集为R，求实数*a*的取值范围．
解：(1)原不等式等价于*f*(*x*)＋*x*＞0，不等式*f*(*x*)＋*x*\>0可化为\|*x*－2\|＋*x*\>\|*x*＋1\|，
当*x*\<－1时，－(*x*－2)＋*x*\>－(*x*＋1)，解得*x*\>－3，即－3\<*x*\<－1；
当－1≤*x*≤2时，－(*x*－2)＋*x*\>*x*＋1，解得*x*\<1，即－1≤*x*\<1；
当*x*\>2时，*x*－2＋*x*\>*x*＋1，解得*x*\>3，即*x*\>3，
综上所述，不等式*f*(*x*)＋*x*\>0的解集为{*x*\|－3\<*x*\<1或*x*\>3}．
(2)由不等式*f*(*x*)≤*a*^2^－2*a*可得\|*x*－2\|－\|*x*＋1\|≤*a*^2^－2*a*，
∵\|*x*－2\|－\|*x*＋1\|≤\|*x*－2－*x*－1\|＝3，当且仅当*x*∈(－∞，－1\]时等号成立，
∴*a*^2^－2*a*≥3，即*a*^2^－2*a*－3≥0，解得*a*≤－1或*a*≥3.
∴实数*a*的取值范围为(－∞，－1\]∪\[3，＋∞)．
6．已知函数*f*(*x*)＝\|*x*－*a*\|＋\|*x*＋1\|.
(1)若*a*＝2，求不等式*f*(*x*)＞*x*＋2的解集；
(2)如果关于*x*的不等式*f*(*x*)＜2的解集不是空集，求实数*a*的取值范围．
解：(1)当*a*＝2时，*f*(*x*)＝
不等式*f*(*x*)＞*x*＋2等价于或或，
解得*x*＜1或*x*＞3，
故原不等式的解集为{*x*\|*x*＜1或*x*＞3}．
(2)∵*f*(*x*)＝\|*x*－*a*\|＋\|*x*＋1\|≥\|(*x*－*a*)－(*x*＋1)\|＝\|*a*＋1\|，当(*x*－*a*)(*x*＋1)≤0时取等号．
∴若关于*x*的不等式*f*(*x*)＜2的解集不是空集，只需\|*a*＋1\|＜2，
解得－3＜*a*＜1，即实数*a*的取值范围是(－3,1)．
7．已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－*a*\|＋*a*.
(1)当*a*＝2时，求不等式*f*(*x*)≤6的解集；
(2)设函数*g*(*x*)＝\|2*x*－1\|.当*x*∈R时，*f*(*x*)＋*g*(*x*)≥3，求*a*的取值范围．
解：(1)当*a*＝2时，*f*(*x*)＝\|2*x*－2\|＋2.
解不等式\|2*x*－2\|＋2≤6，得－1≤*x*≤3.
因此*f*(*x*)≤6的解集为{*x*\|－1≤*x*≤3}．
(2)当*x*∈R时，*f*(*x*)＋*g*(*x*)＝\|2*x*－*a*\|＋*a*＋\|1－2*x*\|≥3，
即＋≥.
又~min~＝，
所以≥，解得*a*≥2.
所以*a*的取值范围是\[2，＋∞)．
8．(2018·福州质检)设函数*f*(*x*)＝\|*x*－1\|，*x*∈R.
(1)求不等式*f*(*x*)≤3－*f*(*x*－1)的解集；
(2)已知关于*x*的不等式*f*(*x*)≤*f*(*x*＋1)－\|*x*－*a*\|的解集为*M*，若⊆*M*，求实数*a*的取值范围．
解：(1)因为*f*(*x*)≤3－*f*(*x*－1)，
所以\|*x*－1\|≤3－\|*x*－2\|⇔\|*x*－1\|＋\|*x*－2\|≤3⇔或或
解得0≤*x*\<1或1≤*x*≤2或2\<*x*≤3，
所以0≤*x*≤3，
故不等式*f*(*x*)≤3－*f*(*x*－1)的解集为\[0,3\]．
(2)因为⊆*M*，
所以当*x*∈时，*f*(*x*)≤*f*(*x*＋1)－\|*x*－*a*\|恒成立，
而*f*(*x*)≤*f*(*x*＋1)－\|*x*－*a*\|⇔\|*x*－1\|－\|*x*\|＋\|*x*－*a*\|≤0⇔\|*x*－*a*\|≤\|*x*\|－\|*x*－1\|，
因为*x*∈，所以\|*x*－*a*\|≤1，即*x*－1≤*a*≤*x*＋1，
由题意，知*x*－1≤*a*≤*x*＋1对于任意的*x*∈恒成立，
所以≤*a*≤2，故实数*a*的取值范围为.
第二节 不等式的证明
一、基础知识
1．基本不等式
(1)定理1：如果*a*，*b*∈R，那么*a*^2^＋*b*^2^≥2*ab*，当且仅当*a*＝*b*时，等号成立．
(2)定理2：如果*a*，*b*＞0，那么≥，当且仅当*a*＝*b*时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
(3)定理3：如果*a*，*b*，*c*∈R~＋~，那么≥，当且仅当*a*＝*b*＝*c*时，等号成立．
2．比较法
(1)作差法的依据是：*a*－*b*＞0⇔*a*＞*b*.
(2)作商法：若*B*＞0，欲证*A*≥*B*，只需证≥1.
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
\[典例\] 已知函数*f*(*x*)＝＋，*M*为不等式*f*(*x*)＜2的解集．
(1)求*M*；
(2)证明：当*a*，*b*∈*M*时，\|*a*＋*b*\|＜\|1＋*ab*\|.
\[解\] (1)*f*(*x*)＝
当*x*≤－时，由*f*(*x*)＜2，
得－2*x*＜2，解得*x*＞－1；
当－＜*x*＜时，*f*(*x*)＜2恒成立；
当*x*≥时，由*f*(*x*)＜2，得2*x*＜2，解得*x*＜1.
所以*f*(*x*)＜2的解集*M*＝{*x*\|－1＜*x*＜1}．
(2)证明：由(1)知，当*a*，*b*∈*M*时，－1＜*a*＜1，－1＜*b*＜1，
从而(*a*＋*b*)^2^－(1＋*ab*)^2^
＝*a*^2^＋*b*^2^－*a*^2^*b*^2^－1
＝(*a*^2^－1)(1－*b*^2^)＜0.
因此\|*a*＋*b*\|＜\|1＋*ab*\|.
\[题组训练\]
1．当*p*，*q*都是正数且*p*＋*q*＝1时，求证：(*px*＋*qy*)^2^≤*px*^2^＋*qy*^2^.
解：(*px*＋*qy*)^2^－(*px*^2^＋*qy*^2^)
＝*p*^2^*x*^2^＋*q*^2^*y*^2^＋2*pqxy*－(*px*^2^＋*qy*^2^)
＝*p*(*p*－1)*x*^2^＋*q*(*q*－1)*y*^2^＋2*pqxy*.
因为*p*＋*q*＝1，所以*p*－1＝－*q*，*q*－1＝－*p*.
所以(*px*＋*qy*)^2^－(*px*^2^＋*qy*^2^)
＝－*pq*(*x*^2^＋*y*^2^－2*xy*)＝－*pq*(*x*－*y*)^2^.
因为*p*，*q*为正数，所以－*pq*(*x*－*y*)^2^≤0，
所以(*px*＋*qy*)^2^≤*px*^2^＋*qy*^2^.当且仅当*x*＝*y*时，不等式中等号成立．
2．求证：当*a*\>0，*b*\>0时，*a^a^b^b^*≥(*ab*).
证明：∵()＝，
∴当*a*＝*b*时，＝1，
当*a*\>*b*\>0时，\>1，\>0，∴\>1，
当*b*\>*a*\>0时，0\<\<1，\<0，∴\>1，
∴*a^a^b^b^*≥(*ab*) .
\[典例\] (2017·全国卷Ⅱ)已知*a*\>0，*b*\>0，*a*^3^＋*b*^3^＝2.证明：
(1)(*a*＋*b*)(*a*^5^＋*b*^5^)≥4；
(2)*a*＋*b*≤2.
\[证明\] (1)(*a*＋*b*)(*a*^5^＋*b*^5^)＝*a*^6^＋*ab*^5^＋*a*^5^*b*＋*b*^6^
＝(*a*^3^＋*b*^3^)^2^－2*a*^3^*b*^3^＋*ab*(*a*^4^＋*b*^4^)
＝4＋*ab*(*a*^2^－*b*^2^)^2^≥4.
(2)∵(*a*＋*b*)^3^＝*a*^3^＋3*a*^2^*b*＋3*ab*^2^＋*b*^3^
＝2＋3*ab*(*a*＋*b*)≤2＋()(*a*＋*b*)
＝2＋()，
∴(*a*＋*b*)^3^≤8，因此*a*＋*b*≤2.
\[解题技法\] 综合法证明不等式的方法
(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．
\[题组训练\]
1．设*a*，*b*，*c*，*d*均为正数，若*a*＋*b*＝*c*＋*d*，且*ab*\>*cd*，求证：＋\>＋.
证明：因为(＋)^2^＝*a*＋*b*＋2，(＋)^2^＝*c*＋*d*＋2.
由题设*a*＋*b*＝*c*＋*d*，*ab*\>*cd*得(＋)^2^\>(＋)^2^.
因此 ＋\>＋.
2．(2018·湖北八校联考)已知不等式\|*x*\|＋\|*x*－3\|\<*x*＋6的解集为(*m*，*n*)．
(1)求*m*，*n*的值；
(2)若*x*\>0，*y*\>0，*nx*＋*y*＋*m*＝0，求证：*x*＋*y*≥16*xy*.
解：(1)由\|*x*\|＋\|*x*－3\|\<*x*＋6，
得或或
解得－1\<*x*\<9，∴*m*＝－1，*n*＝9.
(2)证明：由(1)知9*x*＋*y*＝1，又*x*\>0，*y*\>0，
∴(9*x*＋*y*)＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝，即*x*＝，*y*＝时取等号，
∴＋≥16，即*x*＋*y*≥16*xy*.
\[典例\] (2019·长春质检)设不等式\|\|*x*＋1\|－\|*x*－1\|\|\<2的解集为*A*.
(1)求集合*A*；
(2)若*a*，*b*，*c*∈*A*，求证：\>1.
\[解\] (1)由已知，令*f*(*x*)＝\|*x*＋1\|－\|*x*－1\|＝
由\|*f*(*x*)\|\<2，得－1\<*x*\<1，即*A*＝{*x*\|－1\<*x*\<1}．
(2)证明：要证\>1，只需证\|1－*abc*\|\>\|*ab*－*c*\|，
即证1＋*a*^2^*b*^2^*c*^2^\>*a*^2^*b*^2^＋*c*^2^，即证1－*a*^2^*b*^2^\>*c*^2^(1－*a*^2^*b*^2^)，
即证(1－*a*^2^*b*^2^)(1－*c*^2^)\>0，
由*a*，*b*，*c*∈*A*，得－1\<*ab*\<1，*c*^2^\<1，所以(1－*a*^2^*b*^2^)(1－*c*^2^)\>0恒成立．
综上，\>1.
\[解题技法\] 分析法证明不等式应注意的问题
(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
(3)注意恰当地用好反推符号"⇐"或"要证明""只需证明""即证明"等词语．
\[题组训练\]
1．已知*a*\>*b*\>*c*，且*a*＋*b*＋*c*＝0，求证：\<*a*.
证明：由*a*\>*b*\>*c*且*a*＋*b*＋*c*＝0，
知*a*\>0，*c*\<0.
要证\<*a*，
只需证*b*^2^－*ac*\<3*a*^2^.
∵*a*＋*b*＋*c*＝0，∴只需证*b*^2^＋*a*(*a*＋*b*)\<3*a*^2^，
即证2*a*^2^－*ab*－*b*^2^\>0，
即证(*a*－*b*)(2*a*＋*b*)\>0，
即证(*a*－*b*)(*a*－*c*)\>0.
∵*a*\>*b*\>*c*，∴*a*－*b*\>0，*a*－*c*\>0，
∴(*a*－*b*)(*a*－*c*)\>0显然成立，
故原不等式成立．
2．已知函数*f*(*x*)＝\|*x*＋1\|.
(1)求不等式*f*(*x*)＜\|2*x*＋1\|－1的解集*M*；
(2)设*a*，*b*∈*M*，求证：*f*(*ab*)＞*f*(*a*)－*f*(－*b*)．
解：(1)由题意，\|*x*＋1\|\<\|2*x*＋1\|－1，
①当*x*≤－1时，
不等式可化为－*x*－1＜－2*x*－2，
解得*x*＜－1；
②当－1＜*x*＜－时，
不等式可化为*x*＋1＜－2*x*－2，
此时不等式无解；
③当*x*≥－时，
不等式可化为*x*＋1＜2*x*，解得*x*＞1.
综上，*M*＝{*x*\|*x*＜－1或*x*＞1}．
(2)证明：因为*f*(*a*)－*f*(－*b*)＝\|*a*＋1\|－\|－*b*＋1\|≤\|*a*＋1－(－*b*＋1)\|＝\|*a*＋*b*\|，
所以要证*f*(*ab*)＞*f*(*a*)－*f*(－*b*)，
只需证\|*ab*＋1\|＞\|*a*＋*b*\|，
即证\|*ab*＋1\|^2^＞\|*a*＋*b*\|^2^，
即证*a*^2^*b*^2^＋2*ab*＋1＞*a*^2^＋2*ab*＋*b*^2^，
即证*a*^2^*b*^2^－*a*^2^－*b*^2^＋1＞0，
即证(*a*^2^－1)(*b*^2^－1)＞0.
因为*a*，*b*∈*M*，所以*a*^2^＞1，*b*^2^＞1，
所以(*a*^2^－1)(*b*^2^－1)＞0成立，所以原不等式成立．
1．已知△*ABC*的三边*a*，*b*，*c*的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠*B*为锐角．
证明：要证∠*B*为锐角，只需证cos *B*\>0，
所以只需证*a*^2^＋*c*^2^－*b*^2^\>0，
即*a*^2^＋*c*^2^\>*b*^2^，因为*a*^2^＋*c*^2^≥2*ac*，
所以只需证2*ac*\>*b*^2^，
由已知得2*ac*＝*b*(*a*＋*c*)．
所以只需证*b*(*a*＋*c*)\>*b*^2^，即*a*＋*c*\>*b*，显然成立．
所以∠*B*为锐角．
2．若*a*\>0，*b*\>0，且＋＝.
(1)求*a*^3^＋*b*^3^的最小值；
(2)是否存在*a*，*b*，使得2*a*＋3*b*＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，
得*ab*≥2，仅当*a*＝*b*＝时等号成立．
故*a*^3^＋*b*^3^≥2≥4，仅当*a*＝*b*＝时等号成立．
所以*a*^3^＋*b*^3^的最小值为4.
(2)由(1)知，2*a*＋3*b*≥2≥4.
由于4\>6，从而不存在*a*，*b*，使得2*a*＋3*b*＝6.
3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式\|*x*＋1\|＋\|*x*＋3\|\<4；
(2)若*a*，*b*满足(1)中不等式，求证：2\|*a*－*b*\|\<\|*ab*＋2*a*＋2*b*\|.
解：(1)当*x*\<－3时，\|*x*＋1\|＋\|*x*＋3\|＝－*x*－1－*x*－3＝－2*x*－4\<4，解得*x*\>－4，所以 －4\<*x*\<－3；
当－3≤*x*\<－1时，\|*x*＋1\|＋\|*x*＋3\|＝－*x*－1＋*x*＋3＝2\<4恒成立，
所以－3≤*x*\<－1；
当*x*≥－1时，\|*x*＋1\|＋\|*x*＋3\|＝*x*＋1＋*x*＋3＝2*x*＋4\<4，解得*x*\<0，所以－1≤*x*\<0.
综上，不等式\|*x*＋1\|＋\|*x*＋3\|\<4的解集为{*x*\|－4\<*x*\<0}．
(2)证明：因为4(*a*－*b*)^2^－(*ab*＋2*a*＋2*b*)^2^
＝－(*a*^2^*b*^2^＋4*a*^2^*b*＋4*ab*^2^＋16*ab*)
＝－*ab*(*b*＋4)(*a*＋4)\<0，
所以4(*a*－*b*)^2^\<(*ab*＋2*a*＋2*b*)^2^，
所以2\|*a*－*b*\|\<\|*ab*＋2*a*＋2*b*\|.
4．(2018·武昌调研)设函数*f*(*x*)＝\|*x*－2\|＋2*x*－3，记*f*(*x*)≤－1的解集为*M*.
(1)求*M*；
(2)当*x*∈*M*时，求证：*x*\[*f*(*x*)\]^2^－*x*^2^*f*(*x*)≤0.
解：(1)由已知，得*f*(*x*)＝
当*x*≤2时，由*f*(*x*)＝*x*－1≤－1，
解得*x*≤0，此时*x*≤0；
当*x*\>2时，由*f*(*x*)＝3*x*－5≤－1，
解得*x*≤，显然不成立．
故*f*(*x*)≤－1的解集为*M*＝{*x*\|*x*≤0}．
(2)证明：当*x*∈*M*时，*f*(*x*)＝*x*－1，
于是*x*\[*f*(*x*)\]^2^－*x*^2^*f*(*x*)＝*x*(*x*－1)^2^－*x*^2^(*x*－1)＝－*x*^2^＋*x*＝－^2^＋.
令*g*(*x*)＝－^2^＋，
则函数*g*(*x*)在(－∞，0\]上是增函数，
∴*g*(*x*)≤*g*(0)＝0.
故*x*\[*f*(*x*)\]^2^－*x*^2^*f*(*x*)≤0.
5．(2019·西安质检)已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－1\|＋\|*x*＋1\|.
(1)解不等式*f*(*x*)≤3；
(2)记函数*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋\|*x*＋1\|的值域为*M*，若*t*∈*M*，求证：*t*^2^＋1≥＋3*t*.
解：(1)依题意，得*f*(*x*)＝
∴*f*(*x*)≤3⇔或或
解得－1≤*x*≤1，
即不等式*f*(*x*)≤3的解集为{*x*\|－1≤*x*≤1}．
(2)证明：*g*(*x*)＝*f*(*x*)＋\|*x*＋1\|＝\|2*x*－1\|＋\|2*x*＋2\|≥\|2*x*－1－2*x*－2\|＝3，
当且仅当(2*x*－1)(2*x*＋2)≤0，即－1≤*x*≤时取等号，
∴*M*＝\[3，＋∞)．
*t*^2^＋1－3*t*－＝＝()()，
∵*t*∈*M*，∴*t*－3≥0，*t*^2^＋1\>0，
∴()()≥0，
∴*t*^2^＋1≥＋3*t*.
6．(2019·长春质检)已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－3\|＋\|3*x*－6\|.
(1)求*f*(*x*)\<2的解集；
(2)若*f*(*x*)的最小值为*T*，正数*a*，*b*满足*a*＋*b*＝，求证：＋≤*T*.
解：(1)*f*(*x*)＝\|2*x*－3\|＋\|3*x*－6\|＝
作出函数*f*(*x*)的图象如图所示．
由图象可知，*f*(*x*)\<2的解集为.
(2)证明：由图象可知*f*(*x*)的最小值为1，
由基本不等式可知≤ ＝ ＝，
当且仅当*a*＝*b*时，"＝"成立，即＋≤1＝*T*.
7．已知函数*f*(*x*)＝\|2*x*－1\|－.
(1)求不等式*f*(*x*)\<0的解集*M*；
(2)当*a*，*b*∈*M*时，求证：3\|*a*＋*b*\|\<\|*ab*＋9\|.
解：(1)*f*(*x*)＝
当*x*\<－时，*f*(*x*)\<0，即－*x*\<0，无解；
当－≤*x*≤时，*f*(*x*)\<0，即－3*x*－\<0，得－\<*x*≤；
当*x*\>时，*f*(*x*)\<0，即*x*－\<0，得\<*x*\<.
综上，*M*＝.
(2)证明：要证3\|*a*＋*b*\|\<\|*ab*＋9\|，
只需证9(*a*^2^＋*b*^2^＋2*ab*)\<*a*^2^*b*^2^＋18*ab*＋81，
即证*a*^2^*b*^2^－9*a*^2^－9*b*^2^＋81＞0，
即证(*a*^2^－9)(*b*^2^－9)＞0.
因为*a*，*b*∈*M*，所以－\<*a*\<，－\<*b*\<，
所以*a*^2^－9\<0，*b*^2^－9\<0，
所以(*a*^2^－9)(*b*^2^－9)\>0，
所以3\|*a*＋*b*\|\<\|*ab*＋9\|.
8．已知函数*f*(*x*)＝*m*－\|*x*＋4\|(*m*\>0)，且*f*(*x*－2)≥0的解集为\[－3，－1\]．
(1)求*m*的值；
(2)若*a*，*b*，*c*都是正实数，且＋＋＝*m*，求证：*a*＋2*b*＋3*c*≥9.
解：(1)法一：依题意知*f*(*x*－2)＝*m*－\|*x*＋2\|≥0，
即\|*x*＋2\|≤*m*⇔－*m*－2≤*x*≤－2＋*m*.
由题意知不等式的解集为\[－3，－1\]，所以
解得*m*＝1.
法二：因为不等式*f*(*x*－2)≥0的解集为\[－3，－1\]，
所以－3，－1为方程*f*(*x*－2)＝0的两根，即－3，－1为方程*m*－\|*x*＋2\|＝0的两根，
所以解得*m*＝1.
(2)证明：由(1)可知＋＋＝1(*a*，*b*，*c*\>0)，
所以*a*＋2*b*＋3*c*＝(*a*＋2*b*＋3*c*)＝3＋＋＋≥9，当且仅当*a*＝2*b*＝3*c*，即*a*＝3，*b*＝，*c*＝1时取等号．
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**2019年江苏省徐州市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）**
1．（3分）（2019•徐州）的倒数是
A． B． C．2 D．
2．（3分）（2019•徐州）下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
4．（3分）（2019•徐州）抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为
A．500 B．800 C．1000 D．1200
5．（3分）（2019•徐州）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
6．（3分）（2019•徐州）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•徐州）若，、，都在函数的图象上，且，则
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•徐州）如图，数轴上有、、三点，为原点，、分别表示仙女座星系、黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是
A． B． C． D．
**二、填空題（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）**
9．（3分）（2019•徐州）8的立方根是[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•徐州）若使有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•徐州）方程的解是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•徐州）若，则代数式的值为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•徐州）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•徐州）如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•徐州）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为[ ]{.underline}．
（参考数据：，，
17．（3分）（2019•徐州）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•徐州）函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在轴上．若为等腰三角形，则满足条件的点共有[ ]{.underline}个．
**三、解答题（本大题共有10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（10分）（2019•徐州）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）（2019•徐州）（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．（7分）（2019•徐州）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
+----+--------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 乙 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| | | | | |
| 积 | | | | |
| | | | | |
| 甲 | | | | |
+----+--------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 1 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+--------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 2 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+--------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 3 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+--------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
（2）积为9的概率为[ ]{.underline}；积为偶数的概率为[ ]{.underline}；
（3）从这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为[ ]{.underline}．
22．（7分）（2019•徐州）某户居民2018年的电费支出情况（每2个月缴费1次）如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中"月"对应扇形的圆心角度数；
（2）补全条形统计图．
23．（8分）（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．
24．（8分）（2019•徐州）如图，为的直径，为上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与有怎样的位置关系？请说明理由．
25．（8分）（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
26．（8分）（2019•徐州）【阅读理解】
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
-------------------- --- --- --- -------------------- -------------------- --------------------
图案的长度
所有不同图案的个数 1 2 3 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
-------------------- --- --- --- -------------------- -------------------- --------------------
27．（9分）（2019•徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点．甲从中山路上点出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发时，甲、乙两人与点的距离分别为、．已知、与之间的函数关系如图②所示．
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
28．（11分）（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）求的面积；
（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
**2019年江苏省徐州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）**
1．（3分）的倒数是
A． B． C．2 D．
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：，
> 的倒数是．
故选：．
2．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方以及同底数幂的乘法化简即可判断．
【解答】解：、，故选项不合题意；
．，故选项不合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不合题意．
故选：．
3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．
【解答】解：，，2，4不能组成三角形，故选项错误，
，，6，12不能组成三角形，故选项错误，
，，7，2不能组成三角形，故选项错误，
，，8，10能组成三角形，故选项正确，
故选：．
4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为
A．500 B．800 C．1000 D．1200
【分析】由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为0.5求解可得．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，
故选：．
5．（3分）某小组7名学生的中考体育分数如下：37，40，39，37，40，38，40，该组数据的众数、中位数分别为
A．40，37 B．40，39 C．39，40 D．40，38
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为37，37，38，39，40，40，40，
所以这组数据的众数为40，中位数为39，
故选：．
6．（3分）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解可得．
【解答】解：
不是轴对称图形，
故选：．
7．（3分）若，、，都在函数的图象上，且，则
A． B． C． D．
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解答】解：函数，
该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，
，、，都在函数的图象上，且，
，
故选：．
8．（3分）如图，数轴上有、、三点，为原点，、分别表示仙女座星系、黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是
A． B． C． D．
【分析】先化简，再从选项中分析即可；
【解答】解：，
，
从数轴看比较接近；
故选：．
**二、填空題（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）**
9．（3分）8的立方根是[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
10．（3分）若使有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围即可．
【解答】解：有意义，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
11．（3分）方程的解是[ ]{.underline}．
【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：，
移项得：，
两边直接开平方得：，
故答案为：．
12．（3分）若，则代数式的值为[ 4 ]{.underline}．
【分析】由，可得，代入所求代数式即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：4
13．（3分）如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为[ 16 ]{.underline}．
【分析】根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题．
【解答】解：、分别为、的中点，
．
四边形是矩形，
．
故答案为16．
14．（3分）如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则[ ]{.underline}．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
．
故答案为：
15．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为[ 6 ]{.underline}．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，则：，
解得．
故答案为：6．
16．（3分）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为[ 262 ]{.underline}．
（参考数据：，，
【分析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为，
故答案为：262．
17．（3分）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为[ ]{.underline}．
【分析】设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【解答】解：设原来的抛物线解析式为：．
把代入，得，
解得．
故原来的抛物线解析式是：．
设平移后的抛物线解析式为：．
把代入，得．
解得（舍去）或．
所以平移后抛物线的解析式是：．
故答案是：．
18．（3分）函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在轴上．若为等腰三角形，则满足条件的点共有[ 3 ]{.underline}个．
【分析】三角形的找法如下：①以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；②以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；③作的中垂线与轴的交点即为；
【解答】解：以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；
以点为圆心，为半径作圆，与轴交点即为；
作的中垂线与轴的交点即为；
故答案为3；
**三、解答题（本大题共有10小题，共86分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂和绝对值，再计算加减可得；
（2）先化简各分式，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
．
20．（10分）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【分析】（1）两边同时乘以，整理后可得；
（2）不等式组的每个不等式解集为；
【解答】解：（1），
两边同时乘以，得
，
；
经检验是原方程的根；
（2）由可得，
不等式的解为；
21．（7分）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
+----+---------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 乙 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| | | | | |
| 积 | | | | |
| | | | | |
| 甲 | | | | |
+----+---------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 1 | [ 1 ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+---------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 2 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+---------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
| 3 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} |
+----+---------------------+--------------------+--------------------+--------------------+
（2）积为9的概率为[ ]{.underline}；积为偶数的概率为[ ]{.underline}；
（3）从这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为[ ]{.underline}．
【分析】（1）计算所取两数的乘积即可得；
（2）找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
（3）利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）补全表格如下：
--- --- --- --- ----
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
--- --- --- --- ----
（2）由表知，共有12种等可能结果，其中积为9的有1种，积为偶数的有8种结果，
所以积为9的概率为；积为偶数的概率为，
故答案为：，．
（3）从这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的有5和7这2种，
此事件的概率为，
故答案为：．
22．（7分）某户居民2018年的电费支出情况（每2个月缴费1次）如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中"月"对应扇形的圆心角度数；
（2）补全条形统计图．
【分析】（1）从条形统计图中可得月份电费240元，从扇形统计图中可知月份电费占全年的，可求全年的电费，进而求出月份电费所占的百分比，然后就能求出月份对应扇形的圆心角的度数；
（2）全年的总电费减去其它月份的电费可求出月份的电费金额，确定直条画多高，再进行补全统计图．
【解答】解：（1）全年的总电费为：元
月份所占比：，
扇形统计图中"月"对应扇形的圆心角度数为：
答：扇形统计图中"月"对应扇形的圆心角度数是
（2）月份的电费为：元，
补全的统计图如图：
23．（8分）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到；
（2）依据平行四边形的性质，即可得出，，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
由折叠可得，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
由折叠可得，，，
，，
又，
．
24．（8分）如图，为的直径，为上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与有怎样的位置关系？请说明理由．
【分析】（1）连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
为的中点，
，
，
，
；
（2）解：与相切，
理由：，
，
，
，
与相切．
25．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
【分析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为．
26．（8分）【阅读理解】
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：
【尝试操作】
如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．
【归纳发现】
观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
-------------------- --- --- --- --------------------- -------------------- --------------------
图案的长度
所有不同图案的个数 1 2 3 [ 4 ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
-------------------- --- --- --- --------------------- -------------------- --------------------
【分析】根据已知条件作图可知时，所有图案个数4个；猜想得到结论；
【解答】解：如图：
根据作图可知时，所有图案个数4个；
时，所有图案个数5个；
时，所有图案个数6个；
故答案为4，5，6；
27．（9分）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点．甲从中山路上点出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发时，甲、乙两人与点的距离分别为、．已知、与之间的函数关系如图②所示．
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；
（2）设甲、乙之间距离为，由勾股定理可得，根据二次函数最值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为，，则：
由图②知：或7.5时，，，解得：
答：甲的速度为，乙的速度为．
（2）设甲、乙之间距离为，
则
，
当时，的最小值为144000，即的最小值为；
答：当时，甲、乙两人之间的距离最短．
28．（11分）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接．
（1）求的度数及点的坐标；
（2）求的面积；
（3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图，作，于，于．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）设，，则，，利用勾股定理求出，之间的关系，求出，即可解决问题．
（3）设，，则，，可得，推出，可得，利用基本不等式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，作，于，于．
，
，，
，
，，
同理可证：，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
可以假设，
在上，
，
，
，
．
（2）设，，则，，
，
，
，
可得，
，
，
，
，
，同法可得，
．
（3）设，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的最大值为．
| 1 | |
**2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷**
**一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）**
1．（2分）（2019•沈阳）的相反数是
A．5 B． C． D．
2．（2分）（2019•沈阳）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税以上，将数据6500用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（2分）（2019•沈阳）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A． B．
C． D．
4．（2分）（2019•沈阳）下列说法正确的是
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
5．（2分）（2019•沈阳）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
6．（2分）（2019•沈阳）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
---------- ---- ---- ---- ---- ----
年龄（岁 12 13 14 15 16
人数 3 1 2 5 1
---------- ---- ---- ---- ---- ----
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁 C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
7．（2分）（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A． B． C． D．
8．（2分）（2019•沈阳）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围
是
A． B． C． D．
9．（2分）（2019•沈阳）如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连接，，，，若的半径是13，，则的值是
A． B． C． D．
10．（2分）（2019•沈阳）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
**二、填空题（每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•沈阳）因式分解：[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•沈阳）二元一次方程组的解是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•沈阳）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有[ ]{.underline}个白球．
14．（3分）（2019•沈阳）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若，则四边形的周长是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•沈阳）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，，则的面积是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•沈阳）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是[ ]{.underline}．
**三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）**
17．（6分）（2019•沈阳）计算：．
18．（8分）（2019•沈阳）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是[ ]{.underline}．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．
19．（8分）（2019•沈阳）如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，则的面积是[ ]{.underline}．
**四、（每小题8分，共16分）**
20．（8分）（2019•沈阳）"勤劳"是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了[ ]{.underline}名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的值是[ ]{.underline}，类别所对应的扇形圆心角的度数是[ ]{.underline}度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
**五、（本题10分）**
22．（10分）（2019•沈阳）如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的半径是[ ]{.underline}．
**六、（本题10分）**
23．（10分）（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）的值是[ ]{.underline}；
（2）点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
①如图，点为线段的中点，且四边形是平行四边形时，求的周长；
②当平行于轴，平行于轴时，连接，若的面积为，请直接写出点的坐标．
**七、（本题12分）**
24．（12分）（2019•沈阳）思维启迪：
（1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是[ ]{.underline}米．
思维探索：
（2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是[ ]{.underline}；
②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当时，若，，请直接写出的值．
**八、（本题12分）**
25．（12分）（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上取点，连接，，当四边形的面积是7时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出此时点的坐标．
**2019年辽宁省沈阳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）**
1．（2分）的相反数是
A．5 B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：的相反数是5，
故选：．
2．（2分）2019年1月1日起我国开始贯彻《国务院关于印发个人所得税专项附加扣除暂行办法的通知》的要求，此次减税范围广，其中有6500万人减税以上，将数据6500用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：，
故选：．
3．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．
故选：．
4．（2分）下列说法正确的是
A．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．了解全国中学生的节水意识应选用普查方式
D．早上的太阳从西方升起是必然事件
【分析】根据方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：、，，，乙组数据较稳定，故本选项正确；
、明天降雨的概率是表示降雨的可能性，故此选项错误；
、了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故本选项错误；
、早上的太阳从西方升起是不可能事件，故本选项错误；
故选：．
5．（2分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．
【解答】解：，不是同类项，不能合并，故错误；
．，正确；
．，故错误；
．，故错误．
故选：．
6．（2分）某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：
---------- ---- ---- ---- ---- ----
年龄（岁 12 13 14 15 16
人数 3 1 2 5 1
---------- ---- ---- ---- ---- ----
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是
A．15岁和14岁 B．15岁和15岁 C．15岁和14.5岁 D．14岁和15岁
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是145
12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数，因而中位数是14.5．
故选：．
7．（2分）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A． B． C． D．
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【解答】解：△，和是它们的对应中线，，，
与△的周长比．
故选：．
8．（2分）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的增减性确定有关的不等式，求解即可．
【解答】解：观察图象知：随的增大而减小，
，
解得：，
故选：．
9．（2分）如图，是的直径，点和点是上位于直径两侧的点，连接，，，，若的半径是13，，则的值是
A． B． C． D．
【分析】首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得边的长，然后求得的正弦即可求得答案．
【解答】解：是直径，
，
的半径是13，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选：．
10．（2分）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【分析】由图可知，与轴的交点，对称轴，函数与轴有两个不同的交点，当时，；
【解答】解：由图可知，与轴的交点，对称轴，
；
，错误；
由图象可知，函数与轴有两个不同的交点，△，错误；
当时，，
，错误；
，正确；
故选：．
**二、填空题（每小题3分，共18分）**
11．（3分）因式分解：[ ]{.underline}．
【分析】先提取公因式，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．
【解答】解：，
，
．
12．（3分）二元一次方程组的解是[ ]{.underline}．
【分析】通过观察可以看出的系数互为相反数，故①②可以消去，解得的值，再把的值代入①或②，都可以求出的值．
【解答】解：，
①②得：，
解得，
把代入②中得：，
解得，
所以原方程组的解为．
故答案为．
13．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有[ 3 ]{.underline}个白球．
【分析】从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
【解答】解：由题意可得，红球的概率为．则白球的概率为，
这个口袋中白球的个数：（个，
故答案为3．
14．（3分）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若，则四边形的周长是[ ]{.underline}．
【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形的各边长，从而求得周长．
【解答】证明：、是和的中点，
，
同理，
．
四边形的周长是：．
故答案为：．
15．（3分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，，则的面积是[ ]{.underline}．
【分析】把点，代入和可求出、的值，即可正比例函数和求出反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【解答】解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，
，，
，，
正比例函数为，反比例函数为：，
点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
，
，
，
．
，
故答案为．
16．（3分）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是[ ]{.underline}．
【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再证明，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作于．
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
**三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）**
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率是[ ]{.underline}．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的概率；
（2）列表如下：
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数为6种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的概率为．
19．（8分）如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，则的面积是[ 24 ]{.underline}．
【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到是等腰直角三角形，求得，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
即，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：24．
**四、（每小题8分，共16分）**
20．（8分）"勤劳"是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为小时，将做家务的总时间分为五个类别：，，，，．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了[ 50 ]{.underline}名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中的值是[ ]{.underline}，类别所对应的扇形圆心角的度数是[ ]{.underline}度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【分析】（1）本次共调查了（人；
（2）类人数：（人，类人数：（人，根据此信息补全条形统计图即可；
（3），即，类别所对应的扇形圆心角的度数；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．（名．
【解答】解：（1）本次共调查了（人，
故答案为50；
（2）类人数：（人，
类人数：（人，
（3），即，
类别所对应的扇形圆心角的度数，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
（名，
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
21．（8分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗棵，根据题意得：
，
解得：，
是正整数，
最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
**五、（本题10分）**
22．（10分）如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的半径是[ 5 ]{.underline}．
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可证得结论；
（2）连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
．；
（2）解：连接，
在中，，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
，
的半径是5，
故答案为5．
**六、（本题10分）**
23．（10分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．
（1）的值是[ ]{.underline}；
（2）点是直线上的一个动点，点和点分别在轴和轴上．
①如图，点为线段的中点，且四边形是平行四边形时，求的周长；
②当平行于轴，平行于轴时，连接，若的面积为，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，由平行四边形的性质结合点为的中点可得出是的中位线，结合点的坐标可得出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出的周长；
②设点的坐标为，则，，利用三角形的面积公式结合的面积为可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将代入，得：，
解得：．
故答案为：．
（2）①由（1）可知直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
．
点为的中点，
．
点的坐标为，
．
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，．
在中，，，，
，
．
②设点的坐标为，则，，
，
或．
方程无解；
解方程，得：，，
点的坐标为或．
**七、（本题12分）**
24．（12分）思维启迪：
（1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得米，那么，间的距离是[ 200 ]{.underline}米．
思维探索：
（2）在和中，，，且，，将绕点顺时针方向旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．
①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是[ ]{.underline}；
②如图3，当时，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当时，若，，请直接写出的值．
【分析】（1）由由，可得，根据即可证明，即可得，即可解题．
（2）①延长交于，易证可得是等腰直角三角形，即可证明，．
②作，交延长线于点，连接、，易证，结合已知得，再证明，可得是等腰直角三角形，即可证明，．
③作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于点，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为，得，同②可证可得，，再由已知解三角形得，即可求出．
【解答】（1）解：，，
在和中，
，
，
．
米．
米，
故答案为：200．
（2）①与的数量关系和位置关系分别是，．
理由如下：如解图1，延长交于，
同（1）理，可知，
，，
又，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，．
②与的数量关系和位置关系分别是，．
理由如下：如解图2，作，交延长线于点，连接、，
同①理，可知，
，，
，
，
当时，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，．
③如解图2，作，交延长线于点，连接、，过点作交延长线于点，
当时，由旋转旋转可知，，与所成夹角的锐角为，
同②可得，
同②是等腰直角三角形，，，
在中，，，
，，
又，
，
．
**八、（本题12分）**
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线经过点和点，点是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）在轴上取点，连接，，当四边形的面积是7时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，直线上存在两点，（点在点的上方），且，动点从点出发，沿的路线运动到终点，当点的运动路程最短时，请直接写出此时点的坐标．
【分析】（1）将点、的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）过点作，过作点直线的对称点，连接交直线于点，此时，点运动的路径最短，即可求解．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：①；
（2）如图1，连接，过点作轴交于点，
将点代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
设点，则点，
，
解得：或，
故点或，；
（3）当点在抛物线对称轴的右侧时，点，
过点作，过作点直线的对称点，连接交直线于点，此时，点运动的路径最短，
，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点，
，则直线过点，则其表达式为：②，
联立①②得，则中点坐标为，
由中点坐标公式得：点，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③并解得：，即点，，
点沿向下平移个单位得：，．
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**二○二○年绥化市初中毕业学业考试数学试题**
**一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用28铅笔将你的选项所对应的大写字母涂**黑
1.化简的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
2.两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．
【详解】解：由图可得，几何体的主视图是：
.
故选：C.
【点睛】此题考查了三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的的除法法则计算即可．
详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的的除法法则，熟练掌握幂的运算法则是解决本题的关键．
4.下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个选项判断即可解答．
【详解】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键．
5.下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. =，本选项不成立；
D. ，本选项成立.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
6.学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.
【详解】解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆，
根据题意得 ：
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
7.如图，四边形是菱形，*E*、*F*分别是、两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
【详解】∵四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，，，
如果，
∴，即，
∵，
∴(*ASA*)，故A正确；
如果EC=FC，
∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，
∵，
∴(*SAS*)，故B正确；
如果AE=AF，
∵AB=DA，，
是SSA，则不能判定和全等，故C错误；
如果，
则，
∴(*SAS*)，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形判定方法，一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8.在一个不透明的袋子中装有黑球*m*个、白球*n*个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据概率的公式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵袋子中装有黑球*m*个、白球*n*个、红球3个，
∴摸出一个球是红球的概率是；
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
按照"左加右减，上加下减"的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握"左加右减，上加下减"的法则是解题关键．
10.如图，在中，为斜边的中线，过点*D*作于点*E*，延长至点*F*，使，连接，点*G*在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质知DA=DB=DC，根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断①②；利用邻补角的性质结合已知可证得∠CFE =∠FGE，即可判断③；由③的结论可证得△FEG△FCD，推出，即可判断④．
【详解】∵在中，为斜边的中线，
∴DA=DB=DC，
∵于点*E*，且，
∴AE=EC，
∴四边形ADCF为菱形，
∴FC∥BD，FC=AD=BD，
∴四边形DBCF为平行四边形，故②正确；
∴DF=BC，
∴DE=BC，故①正确；
∵四边形ADCE为菱形，
∴CF=CD，
∴∠CFE=∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC=180，而∠FGE+∠EGC=180，
∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，
∴EF=EG，故③正确；
∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，
∴△FEG△FCD，
∴，即，
∴，
∴BC =DF，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．
**二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内**
11.新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000数字8500000用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，*n*为整数，确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数的绝对值\>1时，*n*是正数；当原数的绝对值\<1时，*n*是负数．
【详解】解：将数字8500000用科学记数法表示为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，*n*为整数，表示时关键要正确确定*a*与*n*的值．
12.甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为，甲、乙两位同学成绩较稳定的是\_\_\_\_\_\_\_\_同学．
【答案】甲
【解析】
【分析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵甲的方差是，乙的方差是，0.73＞0.70，\
∴甲比乙的成绩稳定.
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学.\
故答案是：甲．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
【详解】解：观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.
故答案是：65.
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并且得到关键的信息．
14.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式．
15.已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】100
【解析】
【分析】
设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，\
根据题意得2π•2.5=，解得n=100，\
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．\
故答案为：100．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16.在中，，若，则的长是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】17
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，\
∴AC^2^+BC^2^=AB^2^，\
即（AB-2）^2^+8^2^=AB^2^，\
解得AB=17．\
故答案为：17．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
17.在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点*O*的位似图形，若点*A*的坐标为，则其对应点的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（4，8）或（﹣4，﹣8）
【解析】
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为*k*，那么位似图形对应点的坐标的比等于*k*或﹣*k*，即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，
∵*ABC*与是以原点*O*为位似中心的位似图形，其中相似比等于，*A*坐标为（2，4），
∴则点坐标为：（4，8），
不在同一象限内，
∵*ABC*与是以原点*O*为位似中心的位似图形，其中相似比等于，*A*坐标为（2，4），
∴则点*A*′的坐标为：（﹣4，﹣8），
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为*k*，那么位似图形对应点的坐标的比等于*k*或﹣*k*．
18.在函数中，自变量*x*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
19.如图，正五边形内接于，点*P*为上一点（点*P*与点*D*，点*E*不重合），连接、，，垂足为*G*，等于\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】54
【解析】
【分析】
连接OC，OD，利用正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】连接OC，OD，
∵*ABCDE*是正五边形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠*COD*=36º，
∵，
∴∠DGP=90º
∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54º，
故答案为：54º．
【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆心角与圆周角之间的关系是解答的关键．
20.某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件*x*个，可列方程\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.
故答案是：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
21.下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，......，按此规律，第10个图中黑点的个数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】119
【解析】
【分析】
根据题意，找出图形的规律，得到第n个图形的黑点数为，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
第1个图有2个黑点；
第2个图有7个黑点；
第3个图有14个黑点；
......
第n个图有个黑点；
∴当n=10时，有（个）；
故答案为：119．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形的摆放规律，得出数字之间的运算方法，利用计算规律解决问题．
**三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内**
22.（1）如图，已知线段和点*O*，利用直尺和圆规作，使点*O*是的内心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在所画的中，若，则的内切圆半径是\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1）作法：如图所示，见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）内心是角平分线交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可；
（2）连接OC，设内切圆的半径为r，利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】解：（1）作法：如图所示：
①作射线、；
②以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段，射线于点D，E；
③以点E为圆心，长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F，同理作出点M；
④作射线，相交于点C，即所求．
（2）如图，连接OC，
∵，
由勾股定理，得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的内切圆半径是2；
故答案为：2；
【点睛】本题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径．
23.如图，热气球位于观测塔*P*的北偏西50°方向，距离观测塔的*A*处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔*P*的南偏西37°方向的*B*处，这时，*B*处距离观测塔*P*有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，，，．）
【答案】．
【解析】
【分析】
先在中求出*PC*，进而在中即可求出*PB*．
【详解】解：由已知，得．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
答： *B*处距离观测塔约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用\--方向角问题，结合航行中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
24.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点*A*，点*B*，点*O*均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点*A*关于点*O*的对称点；
（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点*B*对应点，画出旋转后的线段；
（3）连接，求出四边形的面积．
【答案】作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．
【解析】
【分析】
（1）连接*AO*并延长一倍即可得到；
（2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段；
（3）连接，由求出四边形面积．
【详解】如图所示
（1）作出点A关于点O的对称点；
（2）连接，画出线段；
（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；
．
∴四边形的面积是24．
【点睛】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．
25.为了解本校九年级学生体育测试项目"400米跑"的训练情况，体育教师在2019年1-5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：*A*，*B*，*C*，*D*四个等级，并绘制如下两幅统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）\_\_\_\_\_\_月份测试的学生人数最少，\_\_\_\_\_\_月份测试的学生中男生、女生人数相等；
（2）求扇形统计图中*D*等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是*A*等级的学生人数．
【答案】（1）1，4；（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是15%；（3）该校5月份测试成绩是A等级的学生人数约为150名．
【解析】
【分析】
（1）直接由折线统计图获取答案即可；
（2）先根据C等级人数的圆心角是72°，求出C等级人数占5月份测试人数的百分比，即可求出D等级人数占5月份测试人数的百分比；
（3）用成绩A等级的学生人数所占的百分比乘以600即可．
【详解】（1）由折线统计图可得1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等，
故答案为：1，4；
（2），
，
答：D等级人数占5月份测试人数的百分比是15%；
（3）由样本可知，成绩A等级的学生人数所占的百分比为25%，
可估计：（名），
答：该校5月份测试成绩是A等级的学生人数约为150名．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，扇形统计图，由图表获取准确信息是解题关键．
26.如图，内接于，是直径，，与相交于点*E*，过点*E*作，垂足为*F*，过点*O*作，垂足为*H*，连接、．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）的值是．
【解析】
【分析】
（1）连接OB，根据CD是直径得到，再根据圆周角以及已知条件得到，进而得到即可证明；
（2）先证明，再利用相似比以及已知条件即可解答．
【详解】（1）连接．
∵是圆O的直径，
∴，
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵是圆O半径，
∴直线与圆O相切．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的值是．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
27.如图，在矩形中，，点*D*是边的中点，反比例函数的图象经过点*D*，交边于点*E*，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在*y*轴上找一点*P*，使周长最小，求出此时点*P*的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【解析】
【分析】
（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【详解】解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．
（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．
（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
28.如图，在正方形中，，点*G*在边上，连接，作于点*E*，于点*F*，连接、，设，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点*G*从点*B*沿边运动至点*C*停止，求点*E*，*F*所经过的路径与边围成的图形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点*E*，*F*所经过的路径与边AB所围成图形的面积为4．
【解析】
【分析】
（1）证明，根据全等三角形的性质可得出结论；
（2）证明，根据正方形的性质、相似三角形的性质证明；
（3）根据所围成的图形是△AOB，求出它的面积即可.
【详解】（1）证明：在正方形中，，
．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）在和中，．
∴．
由①可知，
∴．
∴．
由①可知，，
∴．∴．
∵，，
∴．
∴．
∴.
（3）∵．
∴
∴当点G从点B沿边运动至点C停止时，点E经过的路径是以为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O．（如图所示）
∵
∴所围成图形的面积
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29.如图1，抛物线与抛物线相交*y*轴于点*C*，抛物线与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*B*在点*A*的右侧），直线交*x*轴负半轴于点*N*，交*y*轴于点*M*，且．
 
（1）求抛物线的解析式与*k*的值；
（2）抛物线的对称轴交*x*轴于点*D*，连接，在*x*轴上方的对称轴上找一点*E*，使以点*A*，*D*，*E*为顶点的三角形与相似，求出的长；
（3）如图2，过抛物线上的动点*G*作轴于点*H*，交直线于点*Q*，若点是点*Q*关于直线的对称点，是否存在点*G*（不与点*C*重合），使点落在*y*轴上？若存在，请直接写出点*G*的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），k的值为；（2）的长为或10；（3）存在，点G的横坐标为或或或．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线可求得点C的坐标，代入即可求得t的值，由，求得点N的坐标，进而求得k的值；
（2）因为∠AOC=∠EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；
（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ\'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ\'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标．
【详解】（1）当时，，
∴点C的坐标为 (0，4)，
∵点C (0，4)在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵C (0，4)，，
∴，
∴点N的坐标为 (，0)，
∵直线过N (，0)，
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为，k的值为；
（2）连接，
令，则,
解得，
∴点A的坐标为 (，0)，点B的坐标为 (4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线．
∴点A的坐标为 (，0)，
∵C (0，4)，
∴，，，
①当时，
，
∴，
∴；
②当时，
，
∴，
∴，
综上，的长为或10；
（3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时，
由轴对称性质可知，，，，
∵轴，∴轴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
作轴于点P，
设，
则，
∴，
，
∵，
∴，
令，则，令，则，
∴直线与坐标轴的交点分别为M (0，3)，N(，0)，
∴OM=3，ON=4，
在中，，
∴，
∴，
解得，，，，
经检验，，，都是所列方程的解，
综上，点G的横坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质及三角函数等，解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题．
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第4课《等差数列及其应用》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第四讲 等差数列及其应用习题解答
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题四（附答案）**
一、小小探索家。(填一填)
1．含有( )的等式叫方程。
2．比x多15的数是( )。
3．ɑ的5倍与b的差是( )。
4．长方形的宽是x米，长是宽的2倍，这个长方形的周长是( )米，面积是( )平方米。
5．某商品的价格是ɑ元，打八折后的价钱是( )元。
二、慧眼识真伪。(对的打"√"，错的打"×") 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．一件衬衫m元，买5件衬衫需(m+5)元。( )
2．ɑ+(b-c)= ɑ-b+c( )
3．等式就是方程。( )
4．3ɑ=ɑ3( )
5．8m-3m+2m=7m( )
三、连一连。
把ɑ平均分成5份 5ɑ来源：www.bcjy123.com/tiku/
ɑ的 ɑ+5
5与ɑ相乘 ɑ-5
5与ɑ的和 ɑ÷5
比ɑ小5的数 ɑ
四、有问题，我来答。
1．有五个连续奇数，中间的一个数是m，请写出另外的四个奇数是多少？
2．上海世博会期间，某商店生意非常好，原来有750千克桃子，又运来20箱，每箱重ɑ千克。
(1)用式子表示出这个商店运来桃子的千克数。
(2)根据这个式子求ɑ=30时，商店一共有多少千克桃子？
五、数学游戏。
小红今年ɑ岁，弟弟比她小b岁，10年后弟弟比她小几岁？10年后弟弟几岁？
**参考答案**
一、1．未知数 2．x+15 3．5ɑ-b 4．6x 2x2 5．80％ɑ
二、1．× 2．× 3．× 4．× 5．√
三、· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
四、1．m-4 m-2 m+2 m+4 2．(1)20ɑ (2)1350千克
五、 b ɑ-b+10
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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**一、选择题**
1\. 化学与人体健康及环境保护息息相关。下列叙述正确的是
A. 食品加工时不可添加任何防腐剂
B. 掩埋废旧电池不会造成环境污染
C. 天然气不完全燃烧会产生有毒气体
D. 使用含磷洗涤剂不会造成水体污染
2\. 为阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是
A. 重水()中含有的质子数为
B. 的与完全反应时转移的电子数为
C. 环状()分子中含有的键数为
D. 的溶液中离子数为
3\. 实验室制备下列气体的方法可行的是
--- ---------- ------------------------------
气体 方法
A 氨气 加热氯化铵固体
B 二氧化氮 将铝片加到冷浓硝酸中
C 硫化氢 向硫化钠固体滴加浓硫酸
D 氧气 加热氯酸钾和二氧化锰的混合物
--- ---------- ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
4\. 下列叙述正确的是
A. 甲醇既可发生取代反应也可发生加成反应
B. 用饱和碳酸氢纳溶液可以鉴别乙酸和乙醇
C. 烷烃的沸点高低仅取决于碳原子数的多少
D. 戊二烯与环戊烷互为同分异构体
5\. W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z的最外层电子数是W和X的最外层电子数之和，也是Y的最外层电子数的2倍。W和X的单质常温下均为气体。下列叙述正确的是
A. 原子半径：
B. W与X只能形成一种化合物
C. Y氧化物为碱性氧化物，不与强碱反应
D. W、X和Z可形成既含有离子键又含有共价键的化合物
6\. 已知相同温度下，。某温度下，饱和溶液中、、与的关系如图所示。
下列说法正确是
A. 曲线①代表的沉淀溶解曲线
B. 该温度下的值为
C. 加适量固体可使溶液由a点变到b点
D. 时两溶液中
7\. 乙醛酸是一种重要化工中间体，可果用如下图所示的电化学装置合成。图中的双极膜中间层中的解离为和，并在直流电场作用下分别问两极迁移。下列说法正确的是
A. 在上述电化学合成过程中只起电解质的作用
B. 阳极上的反应式为：+2H^+^+2e^-^=+H~2~O
C. 制得乙醛酸，理论上外电路中迁移了电子
D. 双极膜中间层中的在外电场作用下向铅电极方向迁移
**二、非选择题**
8\. 碘(紫黑色固体，微溶于水)及其化合物广泛用于医药、染料等方面。回答下列问题：
(1)的一种制备方法如下图所示：
①加入粉进行转化反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_，生成的沉淀与硝酸反应，生成\_\_\_\_\_\_\_后可循环使用。
②通入的过程中，若氧化产物只有一种，反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_；若反应物用量比时，氧化产物为\_\_\_\_\_\_\_；当，单质碘的收率会降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)以为原料制备的方法是：先向溶液中加入计量的，生成碘化物；再向混合溶液中加入溶液，反应得到，上述制备的总反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)溶液和溶液混合可生成沉淀和，若生成，消耗的至少为\_\_\_\_\_\_\_。在溶液中可发生反应。实验室中使用过量的与溶液反应后，过滤，滤液经水蒸气蒸馏可制得高纯碘。反应中加入过量的原因是\_\_\_\_\_\_\_。
9\. 胆矾()易溶于水，难溶于乙醇。某小组用工业废铜焙烧得到(杂质为氧化铁及泥沙)为原料与稀硫酸反应制备胆矾，并测定其结晶水的含量。回答下列问题：
(1)制备胆矾时，用到的实验仪器除量筒、酒精灯、玻璃棒、漏斗外，还必须使用的仪器有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.烧杯 B.容量瓶 C.蒸发皿 D.移液管
(2)将加入到适量的稀硫酸中，加热，其主要反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_，与直接用废铜和浓硫酸反应相比，该方法的优点是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)待完全反应后停止加热，边搅拌边加入适量，冷却后用调为3.5～4，再煮沸，冷却后过滤。滤液经如下实验操作：加热蒸发、冷却结晶、\_\_\_\_\_\_\_、乙醇洗涤、\_\_\_\_\_\_\_，得到胆矾。其中，控制溶液为3.5～4目的是\_\_\_\_\_\_\_，煮沸的作用是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)结晶水测定：称量干燥坩埚的质量为，加入胆矾后总质量为，将坩埚加热至胆矾全部变为白色，置于干燥器中冷至室温后称量，重复上述操作，最终总质量恒定为。根据实验数据，胆矾分子中结晶水的个数为\_\_\_\_\_\_\_(写表达式)。
(5)下列操作中，会导致结晶水数目测定值偏高的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
①胆矾未充分干燥 ②坩埚未置于干燥器中冷却 ③加热时有少胆矾迸溅出来
10\. 二氧化碳催化加氢制甲醇，有利于减少温室气体二氧化碳。回答下列问题：
(1)二氧化碳加氢制甲醇的总反应可表示为：
该反应一般认为通过如下步骤来实现：
①
②
总反应的\_\_\_\_\_\_\_；若反应①为慢反应，下列示意图中能体现上述反应能量变化的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_。
A. B. C. D.
(2)合成总反应在起始物时，在不同条件下达到平衡，设体系中甲醇的物质的量分数为，在℃下的、在下的如图所示。
①用各物质的平衡分压表示总反应的平衡常数，表达式\_\_\_\_\_\_\_；
②图中对应等压过程的曲线是\_\_\_\_\_\_\_，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_；
③当时，的平衡转化率\_\_\_\_，反应条件可能为\_\_\_或\_\_\_。
**【化学---选修3：物质结构与性质】**
11\. 我国科学家研发的全球首套千吨级太阳能燃料合成项目被形象地称为"液态阳光"计划。该项目通过太阳能发电电解水制氢，再采用高选择性催化剂将二氧化碳加氢合成甲醇。回答下列问题：
（1）太阳能电池板主要材料为单晶硅或多晶硅。Si的价电子层的电子排式为\_\_\_\_\_\_\_\_；单晶硅的晶体类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~是生产高纯硅的前驱体，其中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~可发生水解反应，机理如下：
含s、p、d轨道的杂化类型有：①dsp^2^、②sp^3^d、③sp^3^d^2^，中间体SiCl~4~(H~2~O)中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_\_（填标号）。
（2）CO~2~分子中存在\_\_\_\_\_\_\_个键和\_\_\_\_\_\_个键。
（3）甲醇的沸点（64.7℃）介于水（100℃）和甲硫醇（CH~3~SH，7.6℃）之间，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）我国科学家发明了高选择性的二氧化碳加氢合成甲醇的催化剂，其组成为ZnO/ZrO~2~固溶体。四方ZrO~2~晶胞如图所示。Zr^4+^离子在晶胞中的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_，晶胞参数为a pm、a pm、c pm，该晶体密度为\_\_\_\_\_\_g·cm^-3^（写出表达式）。在ZrO~2~中掺杂少量ZrO后形成的催化剂，化学式可表示为Zn~x~Zr~1-x~O~y~，则y=\_\_\_\_\_\_\_\_（用x表达）。
**【化学---选修5：有机化学基础】**
12\. 近年来，以大豆素(化合物C)为主要成分的大豆异黄酮及其衍生物，因其具有优良的生理活性而备受关注。大豆素的合成及其衍生化的一种工艺路线如下：
\
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)反应生成E至少需要\_\_\_\_\_\_\_氢气。
(3)写出E中任意两种含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由E生成F的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)由G生成H分两步进行：反应1)是在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，则反应2)的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物B的同分异构体中能同时满足下列条件的有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
a.含苯环的醛、酮
b.不含过氧键()
c.核磁共振氢谱显示四组峰，且峰面积比为3∶2∶2∶1
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(7)根据上述路线中的相关知识，以丙烯为主要原料用不超过三步的反应设计合成下图有机物，写出合成路线\_\_\_\_\_\_\_。
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**2006年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
**注意事项：**
**1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。**
**2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。**
**3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。**
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^
一、选择题：[^1]
（1）设集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,则
（A） （B）
（C） （D）
（3）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则
（A） （B） （C） （D）
（4）如果复数是实数，则实数（ ）
A．1 B．-1 C． D．
（5）函数的单调增区间为 （ ）
A． B．
C． D．
（6）的内角的对边分别为 若成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
（8）抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（9）设平面向量的和，如果平面向量满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
（10）设是公差为正数的等差数列，若 ，则（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
（11）用长度分别为（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
（12）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
**2006年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
第Ⅱ卷
二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为 [ ]{.underline}
14设,式中x,y满足下列条件
则z的最大值为 [ ]{.underline}
15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法数共有- [ ]{.underline}
16．设函数，若是奇函数，则= [ ]{.underline}
三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17三角形ABC的三个内角A、B、C，求当A满足何值时取得最大值，并求出这个最大值
**18)(本题满分12分)**
**A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.**
**（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；**
**（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。**
**(19)(本题满分12分)**
**如图，、是互相垂直的异面直线，*MN*是它们的公垂线段。点*A、B*在上，C在上，*AM=MB=MN。***
**（Ⅰ）证明*ACNB***
**（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.**
20（12分）
在平面直角坐标系xoy中，有一个点和为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求
1. 点M的轨迹方程；
2. 的最小值
（21）（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
设数列的前项和
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设 证明：
[^1]: 数学理科试题第1页（共4页）
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 分苹果**
**一、用竖式计算下面各题。\
** 37÷5＝ 44÷9＝ 14÷8＝\
53÷7＝ 30÷4＝ 22÷6＝\[来源:学科网\]
\[来源:Z§xx§k.Com\]
\[来源:Z.xx.k.Com\]
** 二、列式计算**。\
（1）61除以7，商几余几？
（2）被除数是50，除数是9，商是几，余数是几？
（3）除数是3，商是8，余数是2，被除数是多少？
**三、填空题。\
** （1）（ ）÷（ ）＝（ ）......6 除数最小是（ ）。\
（2）（ ）÷5＝（ ）......（ ） 余数可能是（ ）。\
（3）有30本课外书，至少要拿出（ ）本，剩下的正好平均分给4个班。\
（4）（ ）÷4＝9......2 \
（5）27÷（ ）＝3......3\
四、选择题。\
（1）在18、16、36、20、32、24、54中，被4除有余数的是（ ）；\
被6除有余数的是（ ）。\
（2）有45条金鱼，要放到鱼缸里，每个鱼缸最多只能放8条，至少需要（ ）个鱼缸。\
A、5个 B、6个 C、5（个）......5（条）\
（3）每套学生装用布3米，有10米布，可以做（ ）套这样的学生装。\
A、3套 B、4套\
**五、应用问题。**\
（1）有一些跳绳，平均分给6个班或平均分给7个班，都剩下3根，这些跳绳至少有多少根？
\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
（2）一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、紫，红、黄、蓝、绿、紫......的顺序依次装配，第47个灯泡是什么颜色？
\[来源:Z。xx。k.Com\]
参考答案\
1．用竖式计算下面各题。\
37÷5＝7......244÷9＝4......8 14÷8＝1......6\
53÷7＝7......430÷4＝7......2 22÷6＝3......4\
2．列式计算。\
（1）61÷7＝8......5\
（2）50÷9＝5......5 \
（3）8×3＋2＝26\
3．填空题。\
（1）除数最小是（7）。\
（2）余数可能是（1至4各数）。\
（3）至少要拿出（2）本。\
（4）被除数是38（商乘除数的积加上余数就等于被除数）。\
（5）除数是8（用被除数减去余数的差除以商3就等于除数）。\
4．选择题。\
（1）被4除有余数的是（18、54）\
被6除有余数的是（16、20、32）\
（2）B （3）A\
5．应用问题。\
（1）这些跳绳至少有45根。\
分析：由题意可知，这些跳绳平均分给6个班或平均分给7个班，都剩3根，说明这些跳绳的根数既是6的倍数加3，又是7的倍数加3，也就是6和7的公倍数加3。题目中问至少有多少根，就应该用6和7的最小公倍数加3，即6×7＋3＝45。\
（2）第47个灯泡是黄色。\
分析：由题意可知，把5个不同颜色的灯泡看成一组，先求前47个灯泡包含有几个这样的一组，如果没有余数，则第47个灯泡是紫色，如果有余数，则按红、黄、蓝、绿、紫的顺序排列。即：\
47÷5＝9......2\
（红、黄）\
答：第47个灯泡是黄色。
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1. 有一些鸡、鸭、兔一共30只，总共有72条腿．其中鸡和鸭的数量相等，那么鸡有多少只？
2. 有独眼龙、四眼怪和六眼鱼三种动物共30只．独眼龙有1只眼睛和4条腿，四眼怪有4只眼睛和4条腿，六眼鱼有6只眼睛和1条腿，三种动物一共有106只眼睛、96条腿．那么独眼龙有多少只？
3\. 小明购买的4分，8分，1角的邮票共15张，共花费了1.12元，其中4分和1角的数量相同，请问8分邮票多少张？
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**《小蝌蚪的成长》同步练习**
1、填空。
（1）、三位数连续退位减法要注意：( )数位要对齐，从（ ）算起。 \[来源:Z\|xx\|k.Com\]
（2）、哪一位不够减，从（ ）退（ ）当（ ），加上本位的数再减。
2、选择
（1）674－86＝（ ）。
A．612 B．598 C．588 D．698 \[来源:学科网\]
（2）343-211=（ ）
A．123 B．132 C．213 D．231
（3）142+143=（ ）
A．274 B．275 C．284 D．285
3、你能笔算下列各题吗？
645－286= 625－379＝
458-224 = 469-132=
587-567= 564-465=
968-222= 457-343=
4、算一算，填一填。
（1）科技园上午有游客852人，中午有265人离去，下午又来了403位游客，这时园内有多少游客？
（2）副食店运来410千克鸡蛋，上午卖出152千克，下午卖出174千克，还剩多少千克？
\[来源:学+科+网\]
参考答案：
填空。
（1） ( 个 ) （ 低位向高位 ）
（2） （ 高位 ） （ 1 ） （ 10 ）
（1）C
（2）B
（3）D\[来源:学科网\]
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
3、你能笔算下列各题吗？
645－286=359 625－379＝246
458-224 =234 469-132=337
587-567= 20 564-465=99
968-222=746 457-343=114
4、算一算，填一填。
（1） 852-265=587
587+403=990
（2）410-152=258
258-174=84
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4.中三边上的高依次为，则为（ ）\[来源:学科网\]
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
5.函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
式的解集为（ ）
A． B．\[来源:学科网ZXXK\]
C． D．
6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7.已知等式，定义映射
，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，
俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）
A．1 B． C． D．
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成
绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的
学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A． B． C． D．
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量的值的计算公式：
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．67
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
如：，依次类推可得：
，其中.设
，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知，直线与函数的图像在处相切，设
，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的
程序框图，输出的值是 [ ]{.underline} .
14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则
[ ]{.underline} .
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标
平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则
在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的
方程为 [ ]{.underline} .
16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，
，则的最小值为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} .
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，，
又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促
销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草
莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，
由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择
一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，
并计算其数学期望和方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线
的准线上.\[来源:学科网ZXXK\]
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以
为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）设为实数，函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）设函数当有两个极值点时，总有
，求实数的值（为的导函数）.
**请考生在第22、23****、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线
分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为
参数）距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式.
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------反比例》同步检测2（附答案）**
一、认真思考地，仔细填写。
1、路程（ ），时间和（ ）成反比例。
2、总价（ ），数量和（ ）成反比例。
3、长方形的面积一定，（ ）和（ ）成反比例。
4、总册数一定，每包书的册数和（ ）成反比例。
5、学校的总人数一定，每班人数和（ ）成反比例。
二、判断下面每题中的两种量是否成反比例，并说明理由。
1、路程一定，速度和时间。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、长方形的面积一定，长和宽。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、小刚从家到学校行走的路程和剩下的路程。
4、圆锥的体积一定，底面积和高。
三、小红、小明、小兰、小强每人买了一本《神话故事》，他们看书的情况如下表：
1、每天看的页数和需要的天数之间有什么关系？
2、已经看了4天，他们分别看了多少页？把下表填完整。看了的页数和剩下的页数成反比例吗？为什么？
四、看图像，回答问题。
1、速度和时间是否成比例？如果成比例，成什么比例？
2、你能用生活中的具体事例说明上述"速度"和"时间"的变化吗？
3、当速度变化到90km/h时，所用时间是多少？
五、做一做（如右下图所示），将一根绳子的两端固定在A、B两点上，然后用铅笔拨动绳子C点所在的位置。量一量C点在不同位置时的高度，你有什么发现？
**部分答案：**
一、1、一定 速度
2、一定 单价
3、长 宽
4、包数
5、班级数
二、1、2、4成反比例
四、1、成反比例
3、1小时
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**初中考高中理科实验班专用实战训练题（一）**
**一、选择题**（本题有8小题，每小题4分，共32分）
{width="5.3in" height="1.2138888888888888in"}1．函数y＝图象的大致形状是 （ ）
{width="0.8958333333333334in" height="0.7604166666666666in"}A B C D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）
> A、 B、 C、 D、
3．满足不等式的最大整数n等于 （ ）
{width="1.5104166666666667in" height="1.0520833333333333in"}（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇
后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时到达A站. 那么，
甲车速是乙车速的 （
{width="1.4583333333333333in" height="1.375in"}（A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍
5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，
3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
6．如图，AB，CD分别是⊙O的直径和弦，AD，BC相交于点E，∠AEC=，则△CDE与△ABE的面积比为 （ ）
（A）cos （B）sin （C）cos^2^ （D）sin^2^
7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ）
（A） （B） （C） （D）与勺子大小有关
8．设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能
**二、填空题**（本题有6小题，每小题5分，共30分）
{width="1.46875in" height="1.4583333333333333in"}9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：
1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□
10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边
> 形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 [\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
11．计算：= [\_\_\_\_\_\_\_\_]{.underline} .
12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 [\_\_]{.underline} 场，E队比赛了 [\_\_\_]{.underline} 场.
13．已知∠AOB=30°,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
{width="1.7979166666666666in" height="1.2444444444444445in"}14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若
> AD=AC，CE=BC，则∠1 [\_\_]{.underline} ∠2
>
> （填"\>"、"\<"或"="）
**三．解答题**（共38分）
15\. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
１６．（１２分）如图，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
１７．（１４分）如图，在等腰梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*=*DC*=50，*AD*=75，*BC*=135．点*P*从点*B*出发沿折线段*BA*-*AD*-*DC*以每秒5个单位长的速度向点*C*匀速运动；点*Q*从点*C*出发沿线段*CB*方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点*Q*向上作射线*QK*⊥*BC*，交折线段*CD*-*DA*-*AB*于点*E*．点*P*、*Q*同时开始运动，当点*P*与点*C*重合时停止运动，点*Q也*随之停止．设点*P*、*Q*运动的时间是*t*秒（*t*＞0）．
（1）当点*P*到达终点*C*时，求*t*的值，并指出此时*BQ*的长；
> （2）当点*P*运动到*AD*上时，*t*为何值能使*PQ*∥*DC *？
>
> （3）设射线*QK*扫过梯形*ABCD*的面积为*S*，分别求出点*E*运动到*CD*、*DA*上时，*S*与*t*的函数关系式；（不必写出*t*的取值范围）
（4）△*PQE*能否成为直角三角形？若能，写出*t*的取值范围；若不能，请说明理由．
**\
**
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（一）参考答案**
**选择题 **DCDCCCCB
9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋2
10． 11． 12． 6场，2场
13． 14．＝
1５．（１）**解**：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得：
，解这个不等式组，得：，
是整数，可取，可设计三种搭配方案：
①种园艺造型个 种园艺造型个
②种园艺造型个 种园艺造型个
③种园艺造型个 种园艺造型个．
（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为元
１６．证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
> １７．解：（1）*t *=（50＋75＋50）÷5=35（*秒）*时，点*P*到达终点*C*．
>
> 此时，*QC*=35×3=105，∴*BQ*的长为135－105=30．
>
> （2）如图8，若*PQ*∥*DC*，又*AD*∥*BC*，则四边形*PQCD*
>
> 为平行四边形，从而*PD*=*QC*，由*QC*=3*t*，*BA*+*AP*=5*t*
>
> 得50＋75－5*t*=3*t*，解得*t*=．
>
> 经检验，当*t*=时，有*PQ*∥*DC*．
>
> （3）①当点*E*在*CD*上运动时，如图9．分别过点*A*、*D*
>
> 作*AF*⊥*BC*于点*F*，*DH*⊥*BC*于点*H*，则四边形
>
> *ADHF*为矩形，且*△ABF*≌△*DCH*，从而
>
> *FH*= *AD*=75，于是*BF*=*CH*=30．∴*DH*=*AF*=40．
>
> 又*QC*=3*t*，从而*QE*=*QC*·tan*C*=3*t*·=4*t*．
>
> （注：用相似三角形求解亦可）
>
> ∴*S*=*S*~⊿*QCE *~=*QE*·*QC*=6*t*^2^；
>
> ②当点*E*在*DA*上运动时，如图8．过点*D*作*DH*⊥*BC*于点*H*，由①知*DH*=40，*CH*=30，又*QC*=3*t*，从而*ED*=*QH*=*QC*－*CH*=3*t*－30．
>
> ∴*S*= *S*~梯形*QCDE *~=(*ED*＋*QC*)*DH* =120 *t*－600．
（4）△*PQE*能成为直角三角形．
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**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试·生物部分**
**一、选择题**
1\. 已知①酶、②抗体、③激素、④糖原、⑤脂肪、⑥核酸都是人体内有重要作用的物质。下列说法正确的是（ ）
A. ①②③都是由氨基酸通过肽键连接而成的
B. ③④⑤都是生物大分子，都以碳链为骨架
C. ①②⑥都是由含氮的单体连接成的多聚体
D. ④⑤⑥都是人体细胞内的主要能源物质
【答案】C
【解析】
【分析】1、酶是活细胞合成的具有催化作用的有机物，大多数酶是蛋白质，少数酶是RNA。
2、核酸是一切生物的遗传物质。有细胞结构的生物含有DNA和RNA两种核酸，但其细胞核遗传物质和细胞质遗传物质都是DNA。
3、动物体内激素的化学成分不完全相同，有的属于蛋白质类，有的属于脂质，有的属于氨基酸衍生物。
【详解】A、酶的化学本质是蛋白质或RNA，抗体的化学本质是蛋白质，激素的化学本质是有机物，如蛋白质、氨基酸的衍生物、脂质等，只有蛋白质才是由氨基酸通过肽键连接而成的，A错误；
B、糖原是生物大分子，脂肪不是生物大分子，且激素不一定是大分子物质，如甲状腺激素是含碘的氨基酸，B错误；
C、酶的化学本质是蛋白质或RNA，抗体的化学成分是蛋白质，蛋白质是由氨基酸连接而成的多聚体，核酸是由核苷酸连接而成的多聚体，氨基酸和核苷酸都含有氮元素，C正确；
D、人体主要的能源物质是糖类，核酸是生物的遗传物质，脂肪是机体主要的储能物质，D错误。
故选C。
2\. 某同学将酵母菌接种在马铃薯培养液中进行实验，不可能得到的结果是（ ）
A. 该菌在有氧条件下能够繁殖
B. 该菌在无氧呼吸的过程中无丙酮酸产生
C. 该菌在无氧条件下能够产生乙醇
D. 该菌在有氧和无氧条件下都能产生CO~2~
【答案】B
【解析】
【分析】酵母菌是兼性厌氧生物，有氧呼吸的产物是二氧化碳和水，无氧呼吸产物是酒精和二氧化碳。
【详解】A、酵母菌有细胞核，是真菌生物，其代谢类型是异氧兼性厌氧型，与无氧条件相比，在有氧条件下，产生的能量多，酵母菌的增殖速度快，A不符合题意；
BC、酵母菌无氧呼吸在细胞质基质中进行，无氧呼吸第一阶段产生丙酮酸、还原性的氢，并释放少量的能量，第二阶段丙酮酸被还原性氢还原成乙醇，并生成二氧化碳，B符合题意，C不符合题意；
D、酵母菌有氧呼吸和无氧呼吸都在第二阶段生成CO~2~，D不符合题意。
故选B。
3\. 生长素具有促进植物生长等多种生理功能。下列与生长素有关的叙述，错误的是（ ）
A. 植物生长{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}"顶端优势"现象可以通过去除顶芽而解除
B. 顶芽产生的生长素可以运到侧芽附近从而抑制侧芽生长
C. 生长素可以调节植物体内某些基因的表达从而影响植物生长
D. 在促进根、茎两种器官生长时，茎是对生长素更敏感的器官
【答案】D
【解析】
【分析】生长素的化学本质是吲哚乙酸；生长素的运输主要是极性运输，也有非极性运输和横向运输；生长素对植物生长具有双重作用，即低浓度促进生长，高浓度抑制生长。
【详解】AB、顶端优势产生的原因是顶芽产生的生长素向下运输，枝条上部的侧芽部位生长素浓度较高，侧芽对生长素浓度比较敏感，因而使侧芽的发育受到抑制，可以通过摘除顶芽的方式解除植株顶端优势，AB正确；
C、生物的性状是由基因控制的，生长素能引起生物性状的改变，是通过调控某些基因的表达来影响植物生长的，C正确；
D、根、茎两种器官对生长素的反应敏感程度有明显差异，其中根对生长素最敏感，D错误。
故选D。
4\. 人体下丘脑具有内分泌功能，也是一些调节中枢的所在部位。下列有关下丘脑的叙述，错误的是（ ）
A. 下丘脑能感受细胞外液渗透压的变化
B. 下丘脑能分泌抗利尿激素和促甲状腺激素
C. 下丘脑参与水盐平衡的调节：下丘脑有水平衡调节中枢
D. 下丘脑能感受体温的变化；下丘脑有体温调节中枢
【答案】B
【解析】
【分析】下丘脑的功能：
①感受：渗透压感受器感受渗透压升降，维持水盐代谢平衡。
②传导：可将渗透压感受器产生的兴奋传导至大脑皮层，使之产生渴觉。
③分泌：分泌促激素释放激素，作用于垂体，使之分泌相应的激素或促激素。在外界环境温度低时分泌促甲状腺激素释放激素，在细胞外液渗透压升高时促使垂体分泌抗利尿激素。
④调节：体温调节中枢、血糖调节中枢、渗透压调节中枢。
⑤下丘脑视交叉上核的神经元具有日周期节律活动，这个核团是体内日周期节律活动的控制中心。
【详解】AC、下丘脑是水盐平衡调节中枢，同时也具有渗透压感受器，来感知细胞外液渗透压的变化，AC正确；
B、下丘脑能分泌促甲状腺激素释放激素、抗利尿激素等，具有内分泌功能，促甲状腺激素是由垂体分泌，B错误；
D、下丘脑内有是维持体温相对恒定的体温调节中枢，能感受体温变化，能调节产热和散热，D正确。
故选B。
5\. 果蝇的翅型、眼色和体色3个性状由3对独立遗传的基因控制，且控制眼色的基因位于X染色体上。让一群基因型相同的果蝇（果蝇M）与另一群基因型相同的果蝇（果蝇N）作为亲本进行杂交，分别统计子代果蝇不同性状的个体数量，结果如图所示。已知果蝇N表现为显性性状灰体红眼。下列推断错误的是（ ）
{width="3.040277777777778in" height="2.188888888888889in"}
A. 果蝇M为红眼杂合体雌蝇
B. 果蝇M体色表现{width="0.17569444444444443in" height="0.20277777777777778in"}黑檀体
C. 果蝇N{width="0.17569444444444443in" height="0.20277777777777778in"}灰体红眼杂合体
D. 亲本果蝇均为长翅杂合体
【答案】A
【解析】
【分析】分析柱形图：果蝇M与果蝇N作为亲本进行杂交杂交，子代中长翅：残翅=3：1，说明长翅为显性性状，残翅为隐性性状，亲本关于翅型的基因型均为Aa（假设控制翅型的基因为A/a）；子代灰身：黑檀体=1：1，同时灰体为显性性状，亲本关于体色的基因型为Bb×bb（假设控制体色的基因为B/b）；子代红眼：白眼=1：1，红眼为显性性状，且控制眼色的基因位于X染色体上，假设控制眼色的基因为W/w），故亲本关于眼色的基因型为X^W^X^w^×X^w^Y或X^w^X^w^×X^W^Y。3个性状由3对独立遗传的基因控制，遵循基因的自由组合定律，因为N表现为显性性状灰体红眼，故N基因型为AaBbX^W^X^w^或AaBbX^W^Y，则M的基因型对应为Aa bb X^w^Y或AabbX^w^X^w^ 。
【详解】AB、根据分析可知，M的基因型为Aa bb X^w^Y或AabbX^w^X^w^，表现为长翅黑檀体白眼雄蝇或长翅黑檀体白眼雌蝇，A错误，B正确；
C、N基因型为AaBbX^W^X^w^或AaBbX^W^Y，灰体红眼表现为长翅灰体红眼雌蝇，三对基因均为杂合，C正确；
D、亲本果蝇长翅的基因型均为Aa，为杂合子，D正确。
故选A。
6\. 群落是一个不断发展变化的动态系统。下列关于发生在裸岩和弃耕农田上的群落演替的说法，错误的是（ ）
A. 人为因素或自然因素的干扰可以改变植物群落演替的方向
B. 发生在裸岩和弃耕农田上的演替分别为初生演替和次生演替
C. 发生在裸岩和弃耕农田上的演替都要经历苔藓阶段、草本阶段
D. 在演替过程中，群落通常是向结构复杂、稳定性强的方向发展
【答案】C
【解析】
【分析】1、群落演替：随着时间的推移，一个群落被另一个群落代替的过程。
2、群落演替的原因：生物群落的演替是群落内部因素（包括种内关系、种间关系等）与外界环境因素综合作用的结果。
3、初生演替：是指一个从来没有被植物覆盖的地面，或者是原来存在过植被，但是被彻底消灭了的地方发生的演替；次生演替：原来有的植被虽然已经不存在，但是原来有的土壤基本保留，甚至还保留有植物的种子和其他繁殖体的地方发生的演替。
【详解】A、人类活动可以影响群落演替的方向和速度，退湖还田、封山育林、改造沙漠、生态农业等相关措施都能促进群落良性发展，A正确；
BC、发生在裸岩上的演替是初生演替，依次经过：地衣阶段→苔藓阶段→草本阶段→灌木阶段→森林阶段，弃耕农田的演替为次生演替，自然演替方向为草本阶段→灌木阶段→乔木阶段，B正确，C错误；
D、一般情况下，演替过程中生物生存的环境逐渐改善，群落的营养结构越来越复杂，抵抗力稳定性越来越高，恢复力稳定性越来越低，D正确。
故选C。
7\. 植物的根细胞可以通过不同方式吸收外界溶液中的K^+^。回答下列问题：
（1）细胞外的K^+^可以跨膜进入植物的根细胞。细胞膜和核膜等共同构成了细胞的生物膜系统，生物膜的结构特点是\_\_\_\_\_\_\_。
（2）细胞外的K^+^能够通过离子通道进入植物的根细胞。离子通道是由\_\_\_\_\_\_\_复合物构成的，其运输的特点是\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（3）细胞外的K^+^可以通过载体蛋白逆浓度梯度进入植物的根细胞。在有呼吸抑制剂的条件下，根细胞对K^+^的吸收速率降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 具有一定的流动性 (2). 蛋白质 (3). 顺浓度或选择性 (4). 细胞逆浓度梯度吸收K^+^是主动运输过程，需要能量，呼吸抑制剂会影响细胞呼吸供能，故使细胞主动运输速率降低
【解析】
【分析】植物根细胞的从外界吸收各种离子为主动运输，一般从低到高主动地吸收或排出物质，以满足生命活动的需要，需要耗能、需要载体协助。
【详解】（1）生物膜的结构特点是具有一定的流动性。
（2）离子通道是由蛋白质复合物构成的，一种通道只能先让某种离子通过，而另一些离子则不容易通过，即离子通道具有选择性。
（3）细胞外的K^+^可以通过载体蛋白逆浓度梯度进入植物的根细胞。可知是主动运输过程，主动运输需要消耗能量，而细胞中的能量由细胞呼吸提供，因此呼吸抑制剂会影响细胞对K^+^的吸收速率。
【点睛】本题考查植物细胞对离子的运输方式，主动运输的特点等，要求考生识记基本知识点，理解描述基本生物学事实。
8\. 用一段由放射性同位素标记的DNA片段可以确定基因在染色体上的位置。某研究人员使用放射性同位素^32^P标记的脱氧腺苷三磷酸(dATP，dA-P~α~\~P~β~\~P~γ~)等材料制备了DNA片段甲（单链），对W基因在染色体上的位置进行了研究，实验流程的示意图如下。
{width="3.7569444444444446in" height="1.2569444444444444in"}
回答下列问题：
（1）该研究人员在制备^32^p标记的DNA片段甲时，所用dATP的α位磷酸基团中的磷必须是^32^P，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
（2）该研究人员以细胞为材料制备了染色体样品，在混合操作之前去除了样品中的RNA分子，去除RNA分子的目的是\_\_\_\_\_\_\_。
（3）为了使片段甲能够通过碱基互补配对与染色体样品中的W基因结合，需要通过某种处理使样品中的染色体DNA\_\_\_\_\_\_\_。
（4）该研究人员在完成上述实验的基础上，又对动物细胞内某基因的mRNA进行了检测，在实验过程中用某种酶去除了样品中的DNA，这种酶是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). dATP脱去β、γ位上的两个磷酸基团后，则为腺嘌呤脱氧核苷酸，是合成DNA的原料之一 (2). 防止RNA分子与染色体DNA的W基因片段发生杂交 (3). 解旋 (4). DNA酶
【解析】
【分析】根据题意，通过带^32^p标记的DNA分子与被测样本中的W基因进行碱基互补配对，形成杂交带，可以推测出W基因在染色体上的位置。
【详解】（1）dA-P~α~\~P~β~\~P~γ~脱去β、γ位上的两个磷酸基团后，则为腺嘌呤脱氧核苷酸，是合成DNA的原料之一。因此研究人员在制备^32^p标记的DNA片段甲时，所用dATP的α位磷酸基团中的磷必须是^32^p。
（2）RNA分子也可以与染色体DNA进行碱基互补配对，产生杂交带，从而干扰^32^p标记的DNA片段甲与染色体DNA的杂交，故去除RNA分子，可以防止RNA分子与染色体DNA的W基因片段发生杂交。
（3）DNA分子解旋后的单链片段才能与^32^p标记的DNA片段甲进行碱基互补配对，故需要使样品中的染色体DNA解旋。
（4）DNA酶可以水解DNA分子从而去除了样品中的DNA。
【点睛】本题考查知识点中对DNA探针法的应用，考生需要掌握DNA探针的原理，操作的基本过程才能解题。
9\. 捕食是一种生物以另一种生物为食的现象，能量在生态系统中是沿食物链流动的。回答下列问题：
（1）在自然界中，捕食者一般不会将所有的猎物都吃掉，这一现象对捕食者的意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（2）青草→羊→狼是一条食物链。根据林德曼对能量流动研究的成果分析，这条食物链上能量流动的特点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）森林、草原、湖泊、海洋等生态系统是常见的生态系统，林德曼关于生态系统能量流动特点的研究成果是以\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_生态系统为研究对象得出的。
【答案】 (1). 避免自己没有食物，无法生存下去 (2). 单向流动，逐级递减 (3). （赛达伯格湖）湖泊
【解析】
【分析】1、种间关系包括竞争、捕食、互利共生和寄生等：
捕食：一种生物以另一种生物作为食物；
竞争：两种或两种以上生物相互争夺资源和空间，竞争的结果常表现为相互抑制，有时表现为一方占优势，另一方处于劣势甚至灭亡；
寄生：一种生物（寄生者）寄居于另一种生物（寄主）的体内或体表，摄取寄主的养分以维持生活；
互利共生：两种生物共同生活在一起，相互依存，彼此有利。
2、生态系统中能量的输入、传递、转化和散失的过程，称为生态系统的能量流动。
【详解】（1）在自然界中，捕食者一般不会将所有的猎物都吃掉，捕食者所吃掉的大多是被捕食者中年老、病弱或年幼的个体，客观上起到了促进种群发展的作用，对捕食者而言，不会导致没有猎物可以捕食而饿死，无法生存下去；
（2）能量在生态系统中是沿食物链流动的，能量流动是单向的，不可逆转，也不能循环流动，在流动过程中逐级递减，能量传递效率一般在10%-20%；
（3）林德曼关于生态系统能量流动特点的研究成果是对一个结构相对简单的天然湖泊------赛达伯格湖的能量流动进行了定量分析，最终得出能量流动特点。
【点睛】本题考查生物的种间关系捕食、能量流动的特点，难度较小，需要记住教材中的基础知识就能顺利解题，需要注意的本题考查了一个细节：林德曼研究的是湖泊生态系统，容易忘记该知识点。
10\. 植物的性状有的由1对基因控制，有的由多对基因控制。一种二倍体甜瓜的叶形有缺刻叶和全缘叶，果皮有齿皮和网皮。为了研究叶形和果皮这两个性状的遗传特点，某小组用基因型不同的甲乙丙丁4种甜瓜种子进行实验，其中甲和丙种植后均表现为缺刻叶网皮。杂交实验及结果见下表（实验②中F~1~自交得F~2~）。
+------+-------+------------------------------+--------------------------------+
| 实验 | 亲本 | F~1~ | F~2~ |
+------+-------+------------------------------+--------------------------------+
| ① | 甲×乙 | 1/4缺刻叶齿皮，1/4缺刻叶网皮 | / |
| | | | |
| | | 1/4全缘叶齿皮，1/4全缘叶网皮 | |
+------+-------+------------------------------+--------------------------------+
| ② | 丙×丁 | 缺刻叶齿皮 | 9/16缺刻叶齿皮，3/16缺刻叶网皮 |
| | | | |
| | | | 3/16全缘叶齿皮，1/16全缘叶网皮 |
+------+-------+------------------------------+--------------------------------+
回答下列问题：
（1）根据实验①可判断这2对相对性状的遗传均符合分离定律，判断的依据是\_\_\_\_\_。根据实验②，可判断这2对相对性状中的显性性状是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）甲乙丙丁中属于杂合体{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）实验②的F~2~中纯合体所占的比例为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）假如实验②的F~2~中缺刻叶齿皮∶缺刻叶网皮∶全缘叶齿皮∶全缘叶网皮不是9∶3∶3∶1，而是45∶15∶3∶1，则叶形和果皮这两个性状中由1对等位基因控制的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 基因型不同的两个亲本杂交，F~1~分别统计，缺刻叶∶全缘叶=1∶1，齿皮∶网皮=1∶1，每对相对性状结果都符合测交的结果，说明这2对相对性状的遗传均符合分离定律 (2). 缺刻叶和齿皮 (3). 甲和乙 (4). 1/4 (5). 果皮 (6). F~2~中齿皮∶网皮=48∶16=3∶1，说明受一对等位基因控制
【解析】
【分析】分析题表，实验②中F~1~自交得F~2~，F~1~全为缺刻叶齿皮，F~2~出现全缘叶和网皮，可以推测缺刻叶对全缘叶为显性（相关基因用A和a表示），齿皮对网皮为显性（相关基因用B和b表示），且F~2~出现9∶3∶3∶1。
【详解】（1）实验①中F~1~表现为1/4缺刻叶齿皮，1/4缺刻叶网皮，1/4全缘叶齿皮，1/4全缘叶网皮，分别统计两对相对性状，缺刻叶∶全缘叶=1∶1，齿皮∶网皮=1∶1，每对相对性状结果都符合测交的结果，说明这2对相对性状的遗传均符合分离定律；根据实验②，F~1~全为缺刻叶齿皮，F~2~出现全缘叶和网皮，可以推测缺刻叶对全缘叶为显性，齿皮对网皮为显性；
（2）根据已知条件，甲乙丙丁的基因型不同，其中甲和丙种植后均表现为缺刻叶网皮，实验①杂交的F~1~结果类似于测交，实验②的F~2~出现9∶3∶3∶1，则F~1~的基因型为AaBb，综合推知，甲的基因型为Aabb，乙的基因型为aaBb，丙的基因型为AAbb，丁的基因型为aaBB，甲乙丙丁中属于杂合体的是甲和乙；
（3）实验②的F~2~中纯合体基因型为1/16AABB，1/16AAbb，1/16aaBB，1/16aabb，所有纯合体占的比例为1/4；
（4）假如实验②的F~2~中缺刻叶齿皮∶缺刻叶网皮∶全缘叶齿皮∶全缘叶网皮=45∶15∶3∶1，分别统计两对相对性状，缺刻叶∶全缘叶=60∶4=15∶1，可推知叶形受两对等位基因控制，齿皮∶网皮=48∶16=3∶1，可推知果皮受一对等位基因控制。
【点睛】本题考查基因的分离定律和自由组合定律，难度一般，需要根据子代结果分析亲代基因型，并根据杂交结果判断是否符合分离定律和自由组合定律，查考遗传实验中分析与计算能力。
**【生物------选修1：生物技术实践】**
11\. 加酶洗衣粉是指含有酶制剂的洗衣粉。某同学通过实验比较了几种洗衣粉的去渍效果（"+"越多表示去渍效果越好），实验结果见下表。
------ ------------- ------------- ------------- ------------------
加酶洗衣粉A 加酶洗衣粉B 加酶洗衣粉C 无酶洗衣粉(对照)
血渍 +++ \+ +++ \+
油渍 \+ +++ +++ \+
------ ------------- ------------- ------------- ------------------
根据实验结果回答下列问题：
（1）加酶洗衣粉A中添加的酶是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；加酶洗衣粉B中添加的酶是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；加酶洗衣粉C中添加的酶是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）表中不宜用于洗涤蚕丝织物的洗衣粉有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）相对于无酶洗衣粉，加酶洗衣粉去渍效果好{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）关于酶的应用，除上面提到的加酶洗衣粉外，固定化酶也在生产实践中得到应用，如固定化葡萄糖异构酶已经用于高果糖浆生产。固定化酶技术是指\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。固定化酶在生产实践中应用的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
【答案】 (1). 蛋白酶 (2). 脂肪酶 (3). 蛋白酶和脂肪酶 (4). 加酶洗衣粉A和加酶洗衣粉C (5). 蚕丝织物的主要成分是蛋白质，会被蛋白酶催化水解 (6). 酶可以将大分子有机物分解为小分子有机物，小分子有机物易溶于水，从而将污渍与洗涤物分开 (7). 利用物理或化学方法将酶固定在一定空间内的技术 (8). 固定在载体上的酶可以被反复利用，可降低生产成本（或产物容易分离，可提高产品的产量和质量，或固定化酶稳定性好，可持续发挥作用）
【解析】
【分析】加酶洗衣粉是指含有酶制剂的洗衣粉，目前常用的酶制剂有四类：蛋白酶、脂肪酶、淀粉酶和纤维素酶。其中，应用最广泛、效果最明显的是碱性蛋白酶和碱性脂肪酶。碱性蛋白酶能将血渍、奶渍等含有大分子蛋白质水解成可溶性的氨基酸或小分子的肽，使污迹容易从衣物上脱落。
【详解】（1）从表格中信息可知，加酶洗衣粉A对血渍的洗涤效果比对照组的无酶洗衣粉效果好，而血渍含有大分子蛋白质，因此，加酶洗衣粉A中添加的酶是蛋白酶，同理，加酶洗衣粉B中添加的酶是脂肪酶；加酶洗衣粉C对血渍和油渍的洗涤效果比无酶洗衣粉好，油渍中有脂肪，因此，加酶洗衣粉C中添加的酶是蛋白酶和脂肪酶。
（2）蚕丝织物中有蛋白质，因此，表中不宜用于洗涤蚕丝织物的洗衣粉有加酶洗衣粉A、加酶洗衣粉C ，原因是蚕丝织物主要成分是蛋白质，会被蛋白酶催化水解。
（3）据分析可知，相对于无酶洗衣粉，加酶洗衣粉去渍效果好的原因是：酶可以将大分子有机物分解为小分子有机物，小分子有机物易溶于水，从而将污渍与洗涤物分开。
（4）固定化酶技术是指利用物理或化学方法将酶固定在一定空间内的技术，酶既能与反应物接触，又能与产物分离，所以固定在载体上的酶还可以被反复利用。所以固定化酶在生产实践中应用的优点是：降低生产成本（或产物容易分离，可提高产品的产量和质量，或固定化酶稳定性好，可持续发挥作用）。
【点睛】本题考查加酶洗衣粉、酶的固定化相关知识点，难度较小，解答本题的关键是明确加酶洗衣粉与普通洗衣粉去污原理的异同，以及固定化酶技术的应用实例和优点。
**【生物------选修3：现代生物科技专题】**
12\. PCR技术可用于临床的病原菌检测。为检测病人是否感染了某种病原菌，医生进行了相关操作：①分析PCR扩增结果；②从病人组织样本中提取DNA；③利用PCR扩增DNA片段；④采集病人组织样本。回答下列问题：
（1）若要得到正确的检测结果，正确的操作顺序应该是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字序号表示）。
（2）操作③中使用的酶是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。PCR 反应中的每次循环可分为变性、复性、\_\_\_\_\_\_\_\_三步，其中复性的结果是\_\_\_\_\_\_\_ 。
（3）为了做出正确的诊断，PCR反应所用的引物应该能与\_\_\_\_\_\_\_ 特异性结合。
（4）PCR（多聚酶链式反应）技术是指\_\_\_\_\_\_\_。该技术目前被广泛地应用于疾病诊断等方面。
【答案】 (1). ④②③① (2). Taq酶（热稳定DNA聚合酶） (3). 延伸 (4). Taq酶从引物起始进行互补链的合成 (5). 两条单链DNA (6). 一项在生物体外复制特定DNA片段的核酸合成技术
【解析】
【分析】PCR是一项在生物体外复制特定DNA片段的核酸合成技术。通过这一技术，可以在短时间内大量扩增目的基因。利用PCR技术扩增目的基因的前提，是要有一段已知目的基因的核苷酸序列，以便根据这一序列合成引物。
【详解】（1）PCR技术可用于临床的病原菌检测，若要得到正确的检测结果，正确的操作顺序应该是④采集病人组织样本→②从病人组织样本中提取DNA→③利用PCR扩增DNA片段→①分析PCR扩增结果。
（2）在用PCR技术扩增DNA时，DNA的复制过程与细胞内DNA的复制类似，操作③中使用的酶是Taq酶（热稳定DNA聚合酶），PCR 反应中的每次循环可分为变性、复性、延伸三步，其中复性的结果是Taq酶从引物起始进行互补链的合成。
（3）DNA复制需要引物，为了做出正确的诊断，PCR反应所用的引物应该能与两条单链DNA特异性结合。
（4）据分析可知，PCR（多聚酶链式反应）技术是指一项在生物体外复制特定DNA片段的核酸合成技术。该技术目前被广泛地应用于疾病诊断等方面。
【点睛】本题考查PCR技术及应用，难度较小，解答本题的关键是明确PCR技术的原理，具体反应过程，以及在临床病原菌检测中的应用。
**2021年普通高等学校招生全国统一考试 (全国甲卷）**
**理综物理部分**
一、单选题
14.如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板处，上部架在横杆上。横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角可变。将小物块由平板与竖直杆交点处静止释放，物块沿平板从点滑至点所用的时间与夹角的大小有关。若由逐渐增大至，物块的下滑时间将（ ）
{width="1.6125in" height="1.5902777777777777in"}
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
【答案】D
【解析】长木块光滑，物块在重力分力的作用下匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：，解得：，设点到竖直杆的距离为，则物块从点滑至点运动的位移，根据匀变速直线运动位移时间公式得：，代入数据解得：，由增大至，由数学知识可知，先减小后增大，故D正确，ABC项错误。
15."旋转纽扣"是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达，此时纽扣上距离中心处的点向心加速度大小约为（ ）
{width="2.025in" height="0.7166666666666667in"}
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可知，此时纽扣的角速度，向心加速度大小，其中，解得，故C项正确，ABD项错误。
16.两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，与在一条直线上，与在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流时，所产生的磁场在距离导线处的磁感应强度大小为，则图中与导线距离均为的两点处的磁感应强度大小分别为（ ）
{width="1.5416666666666667in" height="1.4916666666666667in"}
A.、
B.、
C.、
D.、
【答案】B
【解析】对点磁感应强度分析，由安培定则可知：在点磁感应强度大小为，垂直纸面向里，在点磁感应强度大小为，垂直纸面向外，根据矢量叠加可知点磁感应强度为0；对点，在点磁感应强度大小为，垂直纸面向里，在点磁感应强度大小为，垂直纸面向里，则电磁感应强度为。故B项正确，ACD项错误。
17.如图，一个原子核经图中所示的一系列衰变后，生成稳定的原子核，在此过程中放射出电子的总个数为（ ）
{width="1.4784722222222222in" height="1.707638888888889in"}
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】原子核发生一次衰变，核电荷数减2，质量数减4,；原子核发生一次衰变，放出1个电子，质量数不变，由图可知，衰变后质子数为82变化率为10，中子数为124变化量为22，假设发生了次衰变，次衰变，则：，，求得：,，故放出了6个电子，故A选项正确，BCD选项错误。
18.年月，执行我国火星探测任务的"天问一号"探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为。已知火星半径约为，火星表面处自由落体的加速度大小约为，则"天问一号"的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】探测器在火星表面飞行时万有引力提供向心力；①，火星表面的物体有②，①②联立解得探测器飞行轨道半长轴，根据数学几何知识可得椭圆轨道与火星表面的最远距离，故C项正确，ABD项错误。
二、多选题
19.某电场的等势面如图所示，图中为电场中的个点，则（ ）
{width="1.4368055555555554in" height="1.395138888888889in"}
A.一正电荷从点运动到点，电场力做正功
B.一电子从点运动到点，电场力做功为
C.点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D.四个点中，点的电场强度大小最大
【答案】BD
【解析】A项，由于点和点在同一等势面，所以电荷从点运动到点电场力不做功，故A项错误；B项，电子带负电，从低等势面运动到高等势面，电场力做正功，做功大小为，故B项正确；C项，电场线与等势面垂直，所以点电场强度垂直于该点所在等势面，电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面，所以点场强方向向左，故C项错误；D项，、、、四个点中，点附近的等差等势面最密集，所以点电场强度大小最大，故D项正确。综上所述，本题正确答案为BD。
20.一质量为的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的
动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零,此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为。则（ ）
A.物体向上滑动的距离为
B.物体向下滑动时的加速度大小为
C.物体与斜面间的动摩擦因数等于
D.物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【解析】对全过程有：，其中为向上滑行的路程；
对上滑段有：
同理下滑段有：
结合上式可得可求出：，，下滑对加速度为，
由于上滑受到的合力大于下滑时受到的合力大小，因此下滑时间更长，故BC正确，AD项错误，选BC。
21.由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
{width="1.2284722222222222in" height="1.051388888888889in"}
A.甲和乙都加速运动
B.甲和乙都减速运动
C.甲加速运动，乙减速运动
D.甲减速运动，乙加速运动
【答案】AB
【解析】设线框质量为，磁感应强度大小为，线框匝数为，刚到达磁场上方时速度为，根据牛顿第二定律有：，则，由于质量相等，则甲框长度为乙框的两倍，那么电阻为倍，易得，两线框在磁场中加速度相等，故选AB，CD错误。
三、实验题
22.为测量小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数，一同学将贴有标尺的瓷砖的一端放在水平桌面上，形成一倾角为的斜面（已知，），小铜块可在斜面上加速下滑，如图所示。该同学用手机拍摄小铜块的下滑过程，然后解析视频记录的图像，获得个连续相等时间间隔（每个时间间隔）内小铜块沿斜面下滑的距离（），如下表所示。
{width="1.8194444444444444in" height="1.0277777777777777in"}
{width="4.966666666666667in" height="0.4027777777777778in"}
由表中数据可得，小铜块沿斜面下滑的加速度大小为\_\_\_\_\_\_\_，小铜块与瓷砖表面间的动摩擦因数为\_\_\_\_\_\_\_\_。（结果均保留位有效数字，重力加速度大小取）
【答案】见解析
【解析】根据逐差法可知，小铜块沿斜面下滑的加速度大小，
代入数据解得：；对小铜块应用牛顿第二定律得：
，代入数据解得：。
23\. 某同学用图（）所示电路探究小灯泡的伏安特性，所用器材有：小灯泡（额定电压，额定电流）、电压表（量程，内阻）、电流表（量程，内阻）定值电阻、滑动变阻器（阻值）、电阻箱（最大阻值）、电源（电动势，内阻不计）、开关、导线若干。完成下列填空：
{width="1.020138888888889in" height="1.0409722222222222in"}
（1）有个阻值分别为的定值电阻可供选择，为了描绘小灯泡电流在的曲线，应选取阻值为\_\_\_\_\_\_的定值电阻；
（2）闭合开关前，滑动变阻器的滑片应置于变阻器的\_\_\_\_\_\_\_\_（填""或""）端；
（3）在流过电流表的电流较小时，将电阻箱的阻值置零，改变滑动变阻器滑片的位置，读取电压表和电流表的示数，结果如图（）所示。当流过电流表的电流为时，小灯泡的电阻为\_\_\_\_\_\_\_\_\_（保留位有效数字）；
{width="2.051388888888889in" height="1.488888888888889in"}
（4）为使得电压表满量程时对应于小灯泡两端的电压为，该同学经计算知，应将的阻值调整为\_\_\_\_\_\_\_\_。然后调节滑动变阻器，测得数据如下表所示：
{width="5.470138888888889in" height="0.44375in"}
（5）由图（）和上表可知，随流过小灯泡电流的增加，其灯丝的电阻\_\_\_\_\_\_\_（填"增大""减小"或"不变"）；
（6）该同学观测到小灯泡刚开始发光时流过电流表的电流为，可得此时小灯泡电功率\_\_\_\_\_\_\_\_（保留2位有效数字）；当流过电流表的电流为时，小灯泡的电功率为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（保留至整数）。
【答案】见解析
【解析】（1）根据，要使电流达到，可得，其中，可得，故选定值电阻。
（2）滑动变阻器做分压使用时，应使分压从开始。故选端。
（3）当流过电流为时，由图像知，灯泡两端电压为，故。
（4）灯泡两端电压为时，与{width="0.2125in" height="0.19930555555555557in"}电压之后也为，电压表满量程电压为，故两端电压为，{width="0.6611111111111111in" height="0.46597222222222223in"}，可得。
（5）根据图像易得阻值增大。
（6）由表中数据，伏特表示数为，则小灯泡两端电压为，，同理，则。
四、解答题
24.如图，一倾角为的光滑斜面上有个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为，减速带的宽度远小于；一质量为的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为。
（1）求小车通过第个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机
则应满足什么条件？
{width="2.1347222222222224in" height="1.332638888888889in"}
【答案】见解析
【解析】（1）小车通过第30个减速带后，在经过每个减速带后的速度是不变的，说明小车在经过每一个减速带时损失的机械能即为经过上一个间隔时增加的动能，根据功能关系得：。
（2）由（1）分析可知，小车通过第50个减速带后速度大小为，由动能定理得：。对小车从静止释放时到经过第30个减速带后的过程，由功能关系得：，联立以上式子解得：。小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能：。
（3）由题意可知：，解得：。
25\. 如图，长度均为的两块挡板竖直相对放置，间距也为，两挡板上边缘和处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为，电荷量为的粒子自电场中某处以大小为的速度水平向右发射，恰好从点处射入磁场，从两挡板下边缘和之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，不计重力
{width="1.3430555555555554in" height="1.0409722222222222in"}
（1）求粒子发射位置到点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板的最近距离。
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知：，得：。，联立解得。
（2）当粒子从点射出时，圆半径设为，磁感应强度设为，
，联立解得。
当粒子从点射出时，圆半径设为，磁感应强度设为，
，联立解得。
所以的取值范围：。
3. 粒子的运动轨迹如图。由几何关系有：，
{width="3.0625in" height="2.2604166666666665in"}，；
，
。
（二）选考题：
33.\[物理------选修3-3\]
（1）如图，一定量的理想气体经历的两个不同过程，分别由体积-温度图上的两条直线Ⅰ和Ⅱ表示，和分别为两直线与纵轴交点的纵坐标；。为它们的延长线与横轴交点的横坐标，是它们的延长线与横轴交点的横坐标，；为直线Ⅰ上的一点。由图可知，气体在状态和的压强之比\_\_\_\_\_\_\_\_；气体在状态和的压强之比\_\_\_\_\_\_\_\_。
{width="2.066666666666667in" height="1.7in"}
（2）如图，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为两部分；初始时，的体积均为，压强均等于大气压。隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始
终保持不变。向右缓慢推动活塞，使的体积减小为。
{width="1.1659722222222222in" height="1.0305555555555554in"}
（i）求的体积和的压强；
（ⅱ）再使活塞向左缓慢回到初始位置，求此时的体积和的压强。
【答案】见解析
【解析】（1）根据,可得。、位于同一条倾斜直线上，因此为常数，则两点压强相同，即。和温度相同，则有。所以。由几何知识可知，所以。
（2）（i）对、内气体分析，为等温变化，则
: ，
：，
，
联立解得：，。
（ii）再使活塞缓慢回到初始位置，对、内气体分析，
有，
联立解得。
34.\[物理------选修3-4\]
（1）如图，单色光从折射率、厚度的玻璃板上表面射入。已知真空中的光速为，则该单色光在玻璃板内传播的速度为\_\_\_\_\_\_\_\_；对于所有可能的入射角，该单色光通过玻璃板所用时间的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（不考虑反射）。
{width="1.3263888888888888in" height="0.7965277777777777in"}
（2）均匀介质中质点的平衡位置位于轴上，坐标分别为和。某简谐横波沿轴正方向传播，波速为，波长大于，振幅为，且传播时无衰减。时刻偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同。已知在时刻，质点位于波峰。求
（i）从时刻开始，质点最少要经过多长时间位于波峰；
（ⅱ）时刻质点偏离平衡位置的位移。
【答案】见解析
【解析】（1）由公式知：，
当，则，；故。
当光从玻璃砖穿出时：设入射角为，出射角为，因此有：，。因为，所以：。
2. （i）由题意：，可得：。因此有：，
当、，。
（ii）由前面可得：。
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试·化学部分**
**一、选择题**
1\. 化学与人体健康及环境保护息息相关。下列叙述正确的是
A. 食品加工时不可添加任何防腐剂
B. 掩埋废旧电池不会造成环境污染
C. 天然气不完全燃烧会产生有毒气体
D. 使用含磷洗涤剂不会造成水体污染
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．食品加工时，可适当添加食品添加剂和防腐剂等，如苯甲酸钠，故A错误；
B．废旧电池中含有重金属等金属离子，会造成土壤污染，水体污染等，故B错误；
C．天然气主要成分为甲烷，不完全燃烧会产生一氧化碳等有毒气体，故C正确；
D．含磷洗涤剂的排放，使水中磷过多，造成水中藻类疯长，消耗水中溶解的氧，水体变浑浊，故D错误；
故选C。
2\. 为阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是
A. 重水()中含有的质子数为
B. 的与完全反应时转移的电子数为
C. 环状({width="0.7701388888888889in" height="0.47291666666666665in"})分子中含有的键数为
D. 的溶液中离子数为
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．的质子数为10，18g的物质的量为 0.9mol， 则重水()中所含质子数为，A错误；
B．与反应的化学方程式为：3NO~2~+H~2~O=2HNO~3~+NO，该反应消耗3个NO~2~分子转移的电子数为2个，则有3mol的NO~2~参与反应时，转移的电子数为，B错误；
C．一个({width="0.7701388888888889in" height="0.47291666666666665in"})分子中含有的键数为8个，32gS~8~的物质的量为mol，则含有的键数为，C正确；
D．酸性溶液中存在：，含Cr元素微粒有和，则的溶液中离子数应小于，D错误；
故选C。
3\. 实验室制备下列气体的方法可行的是
--- ---------- ------------------------------
气体 方法
A 氨气 加热氯化铵固体
B 二氧化氮 将铝片加到冷浓硝酸中
C 硫化氢 向硫化钠固体滴加浓硫酸
D 氧气 加热氯酸钾和二氧化锰的混合物
--- ---------- ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．氯化铵不稳定，加热易分解生成氨气和氯化氢，但两者遇冷又会化合生成氯化铵固体，所以不能用于制备氨气，A不可行；
B．将铝片加到冷浓硝酸中会发生钝化现象，不能用于制备二氧化氮，B不可行；
C．硫化氢为还原性气体，浓硫酸具有强氧化性，不能用浓硫酸与硫化钠固体反应制备该硫化氢气体，因为该气体会与浓硫酸发生氧化还原反应，C不可行；
D．实验室加热氯酸钾和二氧化锰的混合物，生成氯化钾和氧气，二氧化锰作催化剂，可用此方法制备氧气，D可行；
故选D。
4\. 下列叙述正确的是
A. 甲醇既可发生取代反应也可发生加成反应
B. 用饱和碳酸氢纳溶液可以鉴别乙酸和乙醇
C. 烷烃的沸点高低仅取决于碳原子数的多少
D. 戊二烯与环戊烷互为同分异构体
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．甲醇为一元饱和醇，不能发生加成反应，A错误；
B．乙酸可与饱和碳酸氢钠反应，产生气泡，乙醇不能发生反应，与饱和碳酸钠互溶，两者现象不同，可用饱和碳酸氢纳溶液可以鉴别两者，B正确；
C．含相同碳原子数的烷烃，其支链越多，沸点越低，所以烷烃的沸点高低不仅仅取决于碳原子数的多少，C错误；
D．戊二烯分子结构中含2个不饱和度，其分子式为C~5~H~8~，环戊烷分子结构中含1个不饱和度，其分子式为C~5~H~10~，两者分子式不同，不能互为同分异构体，D错误。
故选B。
5\. W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z的最外层电子数是W和X的最外层电子数之和，也是Y的最外层电子数的2倍。W和X的单质常温下均为气体。下列叙述正确的是
A. 原子半径：
B. W与X只能形成一种化合物
C. Y的氧化物为碱性氧化物，不与强碱反应
D. W、X和Z可形成既含有离子键又含有共价键{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}化合物
【答案】D
【解析】
【分析】W．X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Z的最外层电子数是W和X的最外层电子数之和，也是Y的最外层电子数的2倍，则分析知，Z的最外层电子数为偶数，W和X的单质常温下均为气体，则推知W和X为非金属元素，所以可判断W为H元素，X为N元素，Z的最外层电子数为1+5=6，Y的最外层电子数为=3，则Y为Al元素，Z为S元素，据此结合元素及其化合物的结构与性质分析解答。
【详解】根据上述分析可知，W{width="0.17569444444444443in" height="0.20277777777777778in"}H元素，X为N元素，Y为Al元素，Z为S元素，则
A．电子层数越多的元素原子半径越大，同周期元素原子半径依次减弱，则原子半径：Y(Al)＞Z(S)＞X(N)＞W(H)，A错误；
B．W为H元素，X为N元素，两者可形成NH~3~和N~2~H~4~，B错误；
C．Y为Al元素，其氧化物为两性氧化物，可与强酸、强碱反应，C错误；
D．W、X和Z可形成(NH~4~)~2~S、NH~4~HS，两者既含有离子键又含有共价键，D正确。
故选D。
6\. 已知相同温度下，。某温度下，饱和溶液中、、与的关系如图所示。
{width="4.594444444444444in" height="2.8916666666666666in"}
下列说法正确的是
A. 曲线①代表的沉淀溶解曲线
B. 该温度下的值为
C. 加适量固体可使溶液由a点变到b点
D. 时两溶液中
【答案】B
【解析】
【分析】BaCO~3~、BaSO~4~均为难溶物，饱和溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＋{－lg\[*c*()\]}＝－lg\[*c*(Ba^2＋^)×*c*()\]＝－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]，同理可知溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＋{－lg\[*c*()\]}＝－lg\[*K*~sp~(BaCO~3~)\]，因*K*~sp~(BaSO~4~)＜ *K*~sp~(BaCO~3~)，则－lg\[*K*~sp~(BaCO~3~)\]＜－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]，由此可知曲线①为－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系，曲线②为－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系。
【详解】A．由题可知，曲线上的点均为饱和溶液中微粒浓度关系，由上述分析可知，曲线①为BaSO~4~的沉淀溶解曲线，选项A错误；
B．曲线①为BaSO~4~溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]与－lg\[*c*()\]的关系，由图可知，当溶液中－lg\[*c*(Ba^2＋^)\]＝3时，－lg\[*c*()＝7，则－lg\[*K*~sp~(BaSO~4~)\]＝7＋3＝10，因此*K*~sp~(BaSO~4~)＝1.0×10^－10^，选项B正确；
C．向饱和BaSO~4~溶液中加入适量BaCl~2~固体后，溶液中*c*(Ba^2＋^)增大，根据温度不变则*K*~sp~(BaSO~4~)不变可知，溶液中*c*()将减小，因此a点将沿曲线①向左上方移动，选项C错误；
D．由图可知，当溶液中*c*(Ba^2＋^)＝10^－5.1^时，两溶液中＝＝，选项D错误；
答案选B。
7\. 乙醛酸是一种重要的化工中间体，可果用如下图所示的电化学装置合成。图中的双极膜中间层中的解离为和，并在直流电场作用下分别问两极迁移。下列说法正确的是
{width="4.770138888888889in" height="2.7840277777777778in"}
A. 在上述电化学合成过程中只起电解质的作用
B. 阳极上的反应式为：{width="1.2430555555555556in" height="0.48680555555555555in"}+2H^+^+2e^-^={width="1.2972222222222223in" height="0.5673611111111111in"}+H~2~O
C. 制得乙醛酸，理论上外电路中迁移了电子
D. 双极膜中间层中的在外电场作用下向铅电极方向迁移
【答案】D
【解析】
【分析】该装置通电时，乙二酸被还原为乙醛酸，因此铅电极为电解池阴极，石墨电极为电解池阳极，阳极上Br^-^被氧化为Br~2~，Br~2~将乙二醛氧化为乙醛酸，双极膜中间层的H^+^在直流电场作用下移向阴极，OH^-^移向阳极。
【详解】A．KBr在上述电化学合成过程中除作电解质外，同时还是电解过程中阳极的反应物，生成的Br~2~为乙二醛制备乙醛酸的中间产物，故A错误；
B．阳极上为Br^-^失去电子生成Br~2~，Br~2~将乙二醛氧化为乙醛酸，故B错误；
C．电解过程中阴阳极均生成乙醛酸，1mol乙二酸生成1mol乙醛酸转移电子为2mol，1mol乙二醛生成1mol乙醛酸转移电子为2mol，根据转移电子守恒可知每生成1mol乙醛酸转移电子为1mol，因此制得2mol乙醛酸时，理论上外电路中迁移了2mol电子，故C错误；
D．由上述分析可知，双极膜中间层的H^+^在外电场作用下移向阴极，即H^+^移向铅电极，故D正确；
综上所述，说法正确的是D项，故答案为D。
**二、非选择题**
8\. 碘(紫黑色固体，微溶于水)及其化合物广泛用于医药、染料等方面。回答下列问题：
(1)的一种制备方法如下图所示：
{width="6.270138888888889in" height="1.08125in"}
①加入粉进行转化反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_，生成的沉淀与硝酸反应，生成\_\_\_\_\_\_\_后可循环使用。
②通入的过程中，若氧化产物只有一种，反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_；若反应物用量比时，氧化产物为\_\_\_\_\_\_\_；当，单质碘的收率会降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)以为原料制备的方法是：先向溶液中加入计量的，生成碘化物；再向混合溶液中加入溶液，反应得到，上述制备的总反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)溶液和溶液混合可生成沉淀和，若生成，消耗的至少为\_\_\_\_\_\_\_。在溶液中可发生反应。实验室中使用过量的与溶液反应后，过滤，滤液经水蒸气蒸馏可制得高纯碘。反应中加入过量的原因是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^ (2). AgNO~3~ (3). FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~ (4). I~2~、FeCl~3~ (5). I~2~被过量的进一步氧化 (6). (7). 4 (8). 防止单质碘析出
【解析】
【分析】
【详解】(1) ①由流程图可知悬浊液中含AgI ，AgI可与Fe反应生成FeI~2~和Ag，FeI~2~易溶于水，在离子方程式中能拆，故加入粉进行转化反应的离子方程式为2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^，生成的银能与硝酸反应生成硝酸银参与循环中，故答案为：2AgI+Fe=2Ag+ Fe^2+^+2I^-^；AgNO~3~；
②通入{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}过程中，因I^-^还原性强于Fe^2+^，先氧化还原性强的I^-^，若氧化产物只有一种，则该氧化产物只能是I~2~，故反应的化学方程式为FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~，若反应物用量比时即过量，先氧化完全部I^-^再氧化Fe^2+^，恰好将全部I^-^和Fe^2+^氧化，故氧化产物为I~2~、FeCl~3~，当即过量特别多，多余的氯气会与生成的单质碘以及水继续发生氧化还原反应，单质碘的收率会降低，故答案为：FeI~2~+Cl~2~= I~2~+FeCl~2~；I~2~、FeCl~3~；I~2~被过量的进一步氧化；
(2)先向溶液中加入计量的，生成碘化物即含I^-^的物质；再向混合溶液中（含I^-^）加入溶液，反应得到，上述制备的两个反应中I^-^为中间产物，总反应为与发生氧化还原反应，生成和，根据得失电子守恒、电荷守恒\]及元素守恒配平离子方程式即可得：，故答案为：；
\(3\) 溶液和溶液混合可生成沉淀和，化学方程式为4KI+2CuSO~4~=2CuI +I~2~+2K~2~SO~4~，若生成，则消耗的至少为4mol；反应中加入过量，I^-^浓度增大，可逆反应平衡右移，增大溶解度，防止升华，有利于蒸馏时防止单质碘析出，故答案为：4；防止单质碘析出。
9\. 胆矾()易溶于水，难溶于乙醇。某小组用工业废铜焙烧得到的(杂质为氧化铁及泥沙)为原料与稀硫酸反应制备胆矾，并测定其结晶水的含量。回答下列问题：
(1)制备胆矾时，用到的实验仪器除量筒、酒精灯、玻璃棒、漏斗外，还必须使用的仪器有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.烧杯 B.容量瓶 C.蒸发皿 D.移液管
(2)将加入到适量的稀硫酸中，加热，其主要反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_，与直接用废铜和浓硫酸反应相比，该方法的优点是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)待完全反应后停止加热，边搅拌边加入适量，冷却后用调为3.5～4，再煮沸，冷却后过滤。滤液经如下实验操作：加热蒸发、冷却结晶、\_\_\_\_\_\_\_、乙醇洗涤、\_\_\_\_\_\_\_，得到胆矾。其中，控制溶液为3.5～4的目的是\_\_\_\_\_\_\_，煮沸的作用是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)结晶水测定：称量干燥坩埚的质量为，加入胆矾后总质量为，将坩埚加热至胆矾全部变为白色，置于干燥器中冷至室温后称量，重复上述操作，最终总质量恒定为。根据实验数据，胆矾分子中结晶水的个数为\_\_\_\_\_\_\_(写表达式)。
(5)下列操作中，会导致结晶水数目测定值偏高的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
①胆矾未充分干燥 ②坩埚未置于干燥器中冷却 ③加热时有少胆矾迸溅出来
【答案】 (1). A、C (2). CuO+H~2~SO~4~CuSO~4~+H~2~O (3). 不会产生二氧化硫且产生等量胆矾消耗硫酸少（硫酸利用率高） (4). 过滤 (5). 干燥 (6). 除尽铁，抑制硫酸铜水解 (7). 破坏氢氧化铁胶体，易于过滤 (8). (9). ①③
【解析】
【分析】
【详解】(1)制备胆矾时，根据题干信息可知，需进行溶解、过滤、结晶操作，用到的实验仪器除量筒、酒精灯、玻璃棒、漏斗外，还必须使用的仪器有烧杯和蒸发皿，A、C符合题意，故答案为：A、C；
(2)将加入到适量的稀硫酸中，加热，其主要反应的化学方程式为CuO+H~2~SO~4~CuSO~4~+H~2~O；直接用废铜和浓硫酸反应生成硫酸铜与二氧化硫和水，与这种方法相比，将加入到适量的稀硫酸中，加热制备胆矾的实验方案具有的优点是：不会产生二氧化硫且产生等量胆矾消耗硫酸少（硫酸利用率高）；
\(3\) 硫酸铜溶液制硫酸铜晶体，操作步骤有加热蒸发、冷却结晶、过滤、乙醇洗涤、干燥；中含氧化铁杂质，溶于硫酸后会形成铁离子，为使铁元素以氢氧化铁形成沉淀完全，需控制溶液为3.5～4，酸性环境同时还可抑制铜离子发生水解；操作过程中可能会生成氢氧化铁胶体，所以煮沸，目的是破坏氢氧化铁胶体，使其沉淀，易于过滤，故答案为：过滤；干燥；除尽铁，抑制硫酸铜水解；破坏氢氧化铁胶体，易于过滤；
\(4\) 称量干燥坩埚的质量为，加入胆矾后总质量为，将坩埚加热至胆矾全部变为白色，置于干燥器中冷至室温后称量，重复上述操作，最终总质量恒定为。则水的质量是(－)g，所以胆矾（CuSO~4~•nH~2~O）中n值的表达式为=n:1，解得n＝；
\(5\) ①胆矾未充分干燥，捯饬所测m~2~偏大，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏高，符合题意；
②坩埚未置于干燥器中冷却，部分白色硫酸铜会与空气中水蒸气结合重新生成胆矾，导致所测m~3~偏大，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏低，不符合题意；
③加热胆矾晶体时有晶体从坩埚中溅出，会使m~3~数值偏小，根据n=可知，最终会导致结晶水数目定值偏高，符合题意；综上所述，①③符合题意，故答案为：①③。
10\. 二氧化碳催化加氢制甲醇，有利于减少温室气体二氧化碳。回答下列问题：
(1)二氧化碳加氢制甲醇的总反应可表示为：
该反应一般认为通过如下步骤来实现：
①
②
总反应的\_\_\_\_\_\_\_；若反应①为慢反应，下列示意图中能体现上述反应能量变化的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_。
A.{width="1.351388888888889in" height="1.0in"}B.{width="1.3111111111111111in" height="0.9326388888888889in"}C.{width="1.2569444444444444in" height="0.9326388888888889in"}D.{width="1.3375in" height="0.8375in"}
(2)合成总反应在起始物时，在不同条件下达到平衡，设体系中甲醇的物质的量分数为，在℃下的、在下的如图所示。
{width="3.432638888888889in" height="3.1486111111111112in"}
①用各物质的平衡分压表示总反应的平衡常数，表达式\_\_\_\_\_\_\_；
②图中对应等压过程的曲线是\_\_\_\_\_\_\_，判断的理由是\_\_\_\_\_\_\_；
③当时，的平衡转化率\_\_\_\_，反应条件可能为\_\_\_或\_\_\_。
【答案】 (1). -49 (2). A (3). Δ*H*~1~为正值，Δ*H*~2~为和Δ*H*为负值，反应①的活化能大于反应②的 (4). (5). b (6). 总反应Δ*H*\<0，升高温度时平衡向逆反应方向移动，甲醇的物质的量分数变小 (7). 33.3% (8). 5×10^5^Pa，210℃ (9). 9×10^5^Pa，250℃
【解析】
【分析】
【详解】(1)二氧化碳加氢制甲醇的总反应可表示为：，该反应一般认为通过如下步骤来实现：①，②，根据盖斯定律可知，①+②可得二氧化碳加氢制甲醇的总反应为： ；该反应总反应为放热反应，因此生成物总能量低于反应物总能量，反应①为慢反应，因此反应①的活化能高于反应②，同时反应①的反应物总能量低于生成物总能量，反应②的反应物总能量高于生成物总能量，因此示意图中能体现反应能量变化的是A项，故答案为：-49；A；Δ*H*~1~为正值，Δ*H*~2~为和Δ*H*为负值，反应①的活化能大于反应②的。
(2)①二氧化碳加氢制甲醇的总反应为，因此利用各物质的平衡分压表示总反应的平衡常数，表达式*K*~p~=，故答案为：。
②该反应正向为放热反应，升高温度时平衡逆向移动，体系中将减小，因此图中对应等压过程{width="0.1486111111111111in" height="0.18888888888888888in"}曲线是b，故答案为：b；总反应Δ*H*\<0，升高温度时平衡向逆反应方向移动，甲醇的物质的量分数变小。
③设起始*n*(CO~2~)=1mol，*n*(H~2~)=3mol，则，当平衡时时，=0.1，解得x=mol，平衡时CO~2~的转化率α==33.3%；由图可知，满足平衡时的条件有：5×10^5^Pa，210℃或9×10^5^Pa，250℃，故答案为：33.3%；5×10^5^Pa，210℃；9×10^5^Pa，250℃。
**【化学---选修3：物质结构与性质】**
11\. 我国科学家研发的全球首套千吨级太阳能燃料合成项目被形象地称为"液态阳光"计划。该项目通过太阳能发电电解水制氢，再采用高选择性催化剂将二氧化碳加氢合成甲醇。回答下列问题：
（1）太阳能电池板主要材料为单晶硅或多晶硅。Si的价电子层的电子排式为\_\_\_\_\_\_\_\_；单晶硅的晶体类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~是生产高纯硅的前驱体，其中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_。SiCl~4~可发生水解反应，机理如下：
{width="6.391666666666667in" height="2.7569444444444446in"}
含s、p、d轨道的杂化类型有：①dsp^2^、②sp^3^d、③sp^3^d^2^，中间体SiCl~4~(H~2~O)中Si采取的杂化类型为\_\_\_\_\_\_\_\_（填标号）。
（2）CO~2~分子中存在\_\_\_\_\_\_\_个键和\_\_\_\_\_\_个键。
（3）甲醇的沸点（64.7℃）介于水（100℃）和甲硫醇（CH~3~SH，7.6℃）之间，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）我国科学家发明了高选择性的二氧化碳加氢合成甲醇的催化剂，其组成为ZnO/ZrO~2~固溶体。四方ZrO~2~晶胞如图所示。Zr^4+^离子在晶胞中的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_，晶胞参数为a pm、a pm、c pm，该晶体密度为\_\_\_\_\_\_g·cm^-3^（写出表达式）。在ZrO~2~中掺杂少量ZrO后形成的催化剂，化学式可表示为Zn~x~Zr~1-x~O~y~，则y=\_\_\_\_\_\_\_\_（用x表达）。
{width="2.932638888888889in" height="2.9458333333333333in"}
【答案】 (1). 3s^2^3p^2^ (2). 原子晶体(共价晶体) (3). sp^3^ (4). ② (5). 2 (6). 2 (7). 甲硫醇不能形成分子间氢键，而水和甲醇均能，且水比甲醇的氢键多 (8). 8 (9). (10). 2-x
【解析】
【分析】
【详解】(1)基态Si原子的核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^2^，因此Si的价电子层的电子排式为3s^2^3p^2^；晶体硅中Si原子与Si原子之间通过共价键相互结合，整块晶体是一个三维的共价键网状结构，因此晶体硅为原子晶体；SiCl~4~中Si原子价层电子对数为4+=4，因此Si原子采取sp^3^杂化；由图可知，SiCl~4~(H~2~O)中Si原子的δ键数为5，说明Si原子的杂化轨道数为5，由此可知Si原子的杂化类型为sp^3^d，故答案为：3s^2^3p^2^；原子晶体(共价晶体)；sp^3^；②；
(2)CO~2~的结构式为O=C=O，1个双键中含有1个δ键和1个π键，因此1个CO~2~分子中含有2个δ键和2个π键，故答案为：2；2；
(3)甲醇分子之间和水分子之间都存在氢键，因此沸点高于不含分子间氢键的甲硫醇，甲醇分子之间氢键的总强度低于水分子之间氢键的总强度，因此甲醇的沸点介于水和甲硫醇之间，故答案为：甲硫醇不能形成分子间氢键，而水和甲醇均能，且水比甲醇的氢键多；
(4)以晶胞中右侧面心的Zr^4+^为例，同一晶胞中与Zr^4+^连接最近且等距的O^2-^数为4，同理可知右侧晶胞中有4个O^2-^与Zr^4+^相连，因此Zr^4+^离子在晶胞中的配位数是4+4=8；1个晶胞中含有4个ZrO~2~微粒，1个晶胞的质量*m*=，1个晶胞的体积为(a×10^-10^cm)×(a×10^-10^cm)×(c×10^-10^cm)=a^2^c×10^-30^cm^3^，因此该晶体密度===g·cm^-3^；在ZrO~2~中掺杂少量ZrO后形成的催化剂，化学式可表示为Zn~x~Zr~1-x~O~y~，其中Zn元素为+2价，Zr为+4价，O元素为-2价，根据化合物化合价为0可知2x+4×(1-x)=2y，解得y=2-x，故答案为：；2-x。
**【化学---选修5：有机化学基础】**
12\. 近年来，以大豆素(化合物C)为主要成分的大豆异黄酮及其衍生物，因其具有优良的生理活性而备受关注。大豆素的合成及其衍生化的一种工艺路线如下：
{width="6.527083333333334in" height="2.6354166666666665in"}\
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_。
(2)反应生成E至少需要\_\_\_\_\_\_\_氢气。
(3)写出E中任意两种含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由E生成F的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)由G生成H分两步进行：反应1)是在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，则反应2)的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物B的同分异构体中能同时满足下列条件的有\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
a.含苯环的醛、酮
b.不含过氧键()
c.核磁共振氢谱显示四组峰，且峰面积比为3∶2∶2∶1
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(7)根据上述路线中的相关知识，以丙烯为主要原料用不超过三步的反应设计合成下图有机物，写出合成路线\_\_\_\_\_\_\_。
{width="1.6083333333333334in" height="0.7972222222222223in"}
【答案】 (1). 间苯二酚（或1,3-苯二酚） (2). 2 (3). 酯基，醚键，酮基（任写两种） (4). {width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"} {width="3.8645833333333335in" height="1.4326388888888888in"}+H~2~O (5). 取代反应 (6). C (7). {width="0.6486111111111111in" height="0.2972222222222222in"} {width="0.6625in" height="0.4326388888888889in"} {width="1.0270833333333333in" height="0.6888888888888889in"} {width="1.6083333333333334in" height="0.7972222222222223in"}
【解析】
【分析】由合成路线图，可知，A（间苯二酚）和B（{width="1.8111111111111111in" height="0.7840277777777778in"}）反应生成C（{width="3.2569444444444446in" height="1.5in"}），{width="3.2569444444444446in" height="1.5in"}与碳酸二甲酯发生酯化反应，生成{width="3.8375in" height="1.4868055555555555in"}，{width="3.8375in" height="1.4868055555555555in"}与氢气发生加成反应生成{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"}，{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"}发生消去反应，生成F，F先氧化成环氧化合物G，G在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，然后发生酯的水解生成H，据此分析解答。
【详解】(1)A{width="0.17569444444444443in" height="0.20277777777777778in"}{width="1.3916666666666666in" height="0.7298611111111111in"}，化学名称为间苯二酚（或1,3-苯二酚），故答案为：间苯二酚（或1,3-苯二酚）；
(2)D为 {width="3.8375in" height="1.4868055555555555in"}，与氢气发生加成反应生成{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"}，碳碳双键及酮基都发生了加成反应，所以反应生成E至少需要2氢气，故答案为：2；
(3)E为{width="3.8375in" height="1.4868055555555555in"}，含有的含氧官能团的名称为酯基，醚键，酮基（任写两种），故答案为：酯基，醚键，酮基（任写两种）；
(4)E为{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"}，发生消去反应，生成{width="3.8645833333333335in" height="1.4326388888888888in"}，化学方程式为{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"} {width="3.8645833333333335in" height="1.4326388888888888in"}+H~2~O，故答案为：{width="3.972916666666667in" height="1.3916666666666666in"} {width="3.8645833333333335in" height="1.4326388888888888in"}+H~2~O；
(5)由G生成H分两步进行：反应1)是在酸催化下水与环氧化合物的加成反应，则反应2)是将酯基水解生成羟基，反应类型为取代反应，故答案为：取代反应；
(6)化合物B为{width="2.6215277777777777in" height="1.1354166666666667in"}，同分异构体中能同时满足下列条件：.含苯环的醛、酮；b.不含过氧键()；c.核磁共振氢谱显示四组峰，且峰面积比为3∶2∶2∶1，说明为醛或酮，而且含有甲基，根据要求可以写出：{width="2.6083333333333334in" height="1.7430555555555556in"}，{width="2.3916666666666666in" height="1.770138888888889in"}，{width="2.7430555555555554in" height="1.7840277777777778in"}，{width="2.702777777777778in" height="1.7569444444444444in"}，故有4种，答案为：C；
(7)以丙烯为主要原料用不超过三步的反应设计合成下图有机物，可以将丙烯在m-CPBA的作用下生成环氧化合物，环氧化合物在酸催化下水发生加成反应，然后再与碳酸二甲酯发生酯化反应即可，故合成路线为：{width="0.6486111111111111in" height="0.2972222222222222in"} {width="0.6625in" height="0.4326388888888889in"} {width="1.0270833333333333in" height="0.6888888888888889in"} {width="1.6083333333333334in" height="0.7972222222222223in"}。
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**2020年岳阳市初中学业水平考试试卷数学**
**温馨提示：**
**1．本试卷共三大题，24小题，考试时量90分钟；**
**2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；**
**3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场．**
**一、选择题（本大题共8小题，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）**
1.-2020的相反数是（ ）
A. 2020 B. -2020 C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数直接得出即可.
【详解】-2020的相反数是2020，
故选A.
【点睛】本题是对相反数的考查，熟练掌握相反数知识是解决本题的关键.
2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法
则
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
3.如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可．
【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示：
故选A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置．
4.下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法及合并同类项的计算法则分别计算即可得解．
【详解】解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、故错误；
故选：C
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法及合并同类项，是基础题，关键是掌握整式的运算法则．
5.如图，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的判定和性质，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 36.3，36.5 B. 36.5，36.5 C. 36.5，36.3 D. 36.3，36.7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可判断．
【详解】解：将这7名学生的体温按从小到大的顺序排列如下：
36.3，36.3，36.5，36.5， 36.5，36.7，36.8
则中位数就是第4个数：36.5；
出现次数最多的数是36.5，则众数为：36.5；
故选：B
【点睛】本题考查的是众数、中位数，掌握它们的概念和计算方法是解题的关键．
7.下列命题是真命题的是（ ）
A. 一个角的补角一定大于这个角 B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 等边三角形是中心对称图形 D. 旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】
【分析】
由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
8.对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【详解】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴\<0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=3时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
**二、填空题（本大题共8个小题）**
9.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_\_
【答案】
【解析】
【分析】
a^2^-9可以写成a^2^-3^2^，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a^2^-9=（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
10.函数中，自变量的取值范围是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
11.不等式组的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
则不等式组的解集为
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
12.如图：在中，是斜边上的中线，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边中线的性质得出，则有，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】∵在中，是斜边上的中线，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
13.在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解．
【详解】解：当a大于0时，二次函数图象开口向上，
，，1，2，3中大于0的数有3个，
所以该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题．
14.已知，则代数式的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【详解】
将代入得：原式
故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
15.《九章算术》中有这样一个题："今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？"其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为*x*斗，行酒为*y*斗，则可列二元一次方程组为\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
设买美酒*x*斗，买普通酒*y*斗，根据"美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱"列出方程组．
【详解】设买美酒*x*斗，买普通酒*y*斗，
依题意得：，
故答案是：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
16.如图，为半⊙O的直径，，是半圆上的三等分点，，与半⊙O相切于点，点为上一动点（不与点，重合），直线交于点，于点，延长交于点，则下列结论正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（写出所有正确结论的序号）
①；②的长为；③；④；⑤为定值．
【答案】②⑤
【解析】
【分析】
①先根据圆的切线的性质可得，再根据半圆上的三等分点可得，然后根据圆周角定理可得，最后假设，根据角的和差、三角形的外角性质可得，这与点为上一动点相矛盾，由此即可得；
②根据弧长公式即可得；
③先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差即可得；
④先根据三角形的外角性质可得，从而可得对应角与不可能相等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】如图，连接OP
与半⊙O相切于点
是半圆上的三等分点
是等边三角形
由圆周角定理得：
假设，则
又点为上一动点
不是一个定值，与相矛盾
即PB与PD不一定相等，结论①错误
则的长为，结论②正确
是等边三角形，
，则结论③错误
，即对应角与不可能相等
与不相似，则结论④错误
在和中，
，即
又是等边三角形，
即为定值，结论⑤正确
综上，结论正确的是②⑤
故答案为：②⑤．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键．
**三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.计算：
【答案】．
【解析】
【分析】
先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
18.如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而得到BE=FD即可证明．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵，，
∴BE=FD，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，并熟悉平行四边形的判定定理．
19.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
【答案】（1）；（2）b的值为1或9．
【解析】
【分析】
（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【详解】（1）由题意，将点代入一次函数得：
将点代入得：，解得
则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立
整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式
解得
则b的值为1或9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
20.我市某学校落实立德树人根本任务，构建"五育并举"教育体系，开设了"厨艺、园艺、电工、木工、编织"五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 [ ]{.underline} 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择"厨艺"劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在"园艺、电工、木工、编织"四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中"园艺、编织"这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）50；（2）见详解；（3）288人；（4）．
【解析】
【分析】
（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：50；
（2）选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择"厨艺"劳动课程人数为：
（人）；
（4）根据题意，"园艺、电工、木工、编织"可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到"园艺、编织"类的有2种结果，\
∴恰好抽到"园艺、编织"类的概率为：；
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
【答案】A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．
【解析】
【分析】
设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据"型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等"建立方程，然后求解即可．
【详解】设A型号机器人每小时搬运原料，则B型号机器人每小时搬运原料
由题意得：
解得
经检验，是所列分式方程的解
则
答：A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的是，求出分式方程的解后，一定要进行检验．
22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，）
【答案】新建管道的总长度约为．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据方位角的定义求出，设，则，再在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在中，解直角三角形可得x的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作于点D
由题意得：，
设，则
是等腰直角三角形
在中，，即
解得
经检验，是所列分式方程的解
，
在中，，即
解得
则
答：新建管道的总长度约为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
23.如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．
（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；
（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先根据运动速度和时间求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图（见解析），连接FQ，先根据（1）三角形全等的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，然后根据勾股定理、等量代换即可得证；
（3）先根据角平分线的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一得出，又分别在和中，利用余弦三角函数可求出t的值，从而可得CP、AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】（1）由题意得：
四边形ABCD是矩形
，
在和中，
；
（2），证明如下：
如图，连接FQ
由（1）已证：
PQ是线段EF的垂直平分线
在中，由勾股定理得：
则；
（3）如图，设FQ与AC的交点为点O
由题意得：，，
平分，
（角平分线的性质）
是等腰三角形
在和中，
，即是的角平分线
（等腰三角形的三线合一）
在中，
在中，，即
解得
，即
故的值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定理等知识点，较难的是题（3），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键．
24.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，．
①求点的坐标；
②判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①点的坐标；②是等腰直角三角形，理由见解析；（3）或．
【解析】
分析】
（1）将点代入即可得；
（2）①先根据二次函数的平移规律得出抛物线的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；
②先根据抛物线的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；
（3）设点P的坐标为，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当时，先根据等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；②当时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再根据点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；③当时，先根据等腰直角三角形的性质得出点P在在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和可求出点P的坐标，最后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的表达式得：
解得
则抛物线的表达式为
故抛物线的表达式为；
（2）①由二次函数的平移规律得：抛物线的表达式为
即
联立，解得
则点的坐标为；
②对于
当时，，解得或
则点B的坐标为
当时，，则点C的坐标为
由两点之间的距离公式得：
则，
故是等腰直角三角形；
（3）抛物线的表达式为
设点P的坐标为
由题意，分以下三种情况：
①当时，为等腰直角三角形
是等腰直角三角形，，
点D是CP的中点
则，解得
即点P的坐标为
对于抛物线表达式
当时，
即点在抛物线上，符合题意
②当时，为等腰直角三角形
，
，
四边形BCDP是平行四边形
点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同
点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度
即点P坐标为
对于抛物线的表达式
当时，
即点在抛物线上，符合题意
③当时，为等腰直角三角形
则点P在线段BD的垂直平分线上
设直线BD的解析式
将点代入得：，解得
则直线BD的解析式
设BD的垂线平分线所在直线的解析式为
点的中点的坐标为，即
将点代入得：，解得
则BD的垂线平分线所在直线的解析式为
因此有，即点P的坐标为
由两点之间的距离公式得：
又，为等腰直角三角形
则
解得或
当时，，即点P坐标为
当时，，即点P的坐标为
对于抛物线的表达式
当时，
即点不在抛物线上，不符合题意，舍去
当时，
即点不在抛物线上，不符合题意，舍去
综上，符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，点坐标的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况，结合等腰直角三角形的性质是解题关键．
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**\--+**
**小学二年级下册数学奥数知识点讲解第3课《速算与巧算》试题附答案**
**答案**
二年级奥数下册：第三讲 速算与巧算习题解答
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**2013年山东省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题**
1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A~1~B~1~C~1~的中心，则PA与平面A~1~B~1~C~1~所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A． B． C．0 D．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）^2^+y^2^=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
10．（5分）用0，1，2，...，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
11．（5分）抛物线C~1~：的焦点与双曲线C~2~：的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M．若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设正实数x，y，z满足x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
**二、填空题**
13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为[ ]{.underline}．
14．（4分）在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为[ ]{.underline}．
15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且\|\|=3，\|\|=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为[ ]{.underline}．
16．（4分）定义"正对数"：ln^+^x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln^+^（a^b^）=bln^+^a；
②若a＞0，b＞0，则ln^+^（ab）=ln^+^a+ln^+^b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
其中的真命题有[ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）
**三、解答题**
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
20．（12分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设数列{b~n~}的前n项和为T~n~且（λ为常数）．令c~n~=b~2n~（n∈N^\*^）求数列{c~n~}的前n项和R~n~．
21．（13分）设函数．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程\|lnx\|=f（x）根的个数．
22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F~1~，F~2~，离心率为，过F~1~且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF~1~，PF~2~，设∠F~1~PF~2~的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF~1~，PF~2~的斜率分别为k~1~，k~2~，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
**2013年山东省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题**
1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i
【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．
【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3==2+i
∴z=5+i，
∴=5﹣i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．
2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y\|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．
3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x^2^+，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．
4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A~1~B~1~C~1~的中心，则PA与平面A~1~B~1~C~1~所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA~1~为PA与平面A~1~B~1~C~1~所成角，即为∠APA~1~为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA~1~，再利用正三角形的性质可得A~1~P，在Rt△AA~1~P中，利用tan∠APA~1~=即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵AA~1~⊥底面A~1~B~1~C~1~，∴∠APA~1~为PA与平面A~1~B~1~C~1~所成角，
∵平面ABC∥平面A~1~B~1~C~1~，∴∠APA~1~为PA与平面ABC所成角．
∵==．
∴V~三棱柱ABC﹣A1B1C1~==，解得．
又P为底面正三角形A~1~B~1~C~1~的中心，∴==1，
在Rt△AA~1~P中，，
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．
5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），
则f（x+）=sin\[2（x+）+φ\]=sin（2x++φ），
∵f（x+）为偶函数，
∴+φ=kπ+，
∴φ=kπ+，k∈Z，
∴当k=0时，φ=．
故φ的一个可能的值为．
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．
【解答】解：不等式组表示的区域如图，
当M取得点A（3，﹣1）时，
z直线OM斜率取得最小，最小值为
k==﹣．
故选：C．
【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．
【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．
8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，
由当x=时，，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．
由此可排除选项A和选项C．
故正确的选项为D．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．
9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）^2^+y^2^=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0
【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）^2^+y^2^=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．
10．（5分）用0，1，2，...，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252 C．261 D．279
【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
【解答】解：用0，1，2，...，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
11．（5分）抛物线C~1~：的焦点与双曲线C~2~：的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M．若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：由，得x^2^=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（）．
由，得，．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C~1~在点M处的切线的斜率为．
由题意可知，得，代入M点得M（）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．
12．（5分）设正实数x，y，z满足x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．
【解答】解：∵x^2^﹣3xy+4y^2^﹣z=0，
∴z=x^2^﹣3xy+4y^2^，又x，y，z均为正实数，
∴==≤=1（当且仅当x=2y时取"="），
∴=1，此时，x=2y．
∴z=x^2^﹣3xy+4y^2^=（2y）^2^﹣3×2y×y+4y^2^=2y^2^，
∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得"="，满足题意．
∴的最大值为1．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
**二、填空题**
13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．
【解答】解：循环前，F~0~=1，F~1~=2，n=1，
第一次循环，F~0~=1，F~1~=3，n=2，
第二次循环，F~0~=2，F~1~=4，n=3，
此时，满足条件，退出循环，输出n=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．
14．（4分）在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间\[﹣3，3\]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
由不等式\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1 可得 ①，或②，
③．
解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2．
故原不等式的解集为{x\|x≥1}，
∴\|在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为P==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且\|\|=3，\|\|=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．
【解答】解：由题意可知：，
因为，
所以，
所以
=
=
=﹣12λ+7=0
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．
16．（4分）定义"正对数"：ln^+^x=，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln^+^（a^b^）=bln^+^a；
②若a＞0，b＞0，则ln^+^（ab）=ln^+^a+ln^+^b；
③若a＞0，b＞0，则；
④若a＞0，b＞0，则ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
其中的真命题有[ ①③④ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）
【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．
【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a^b^≥1，故ln^+^（a^b^）=ln（a^b^）=blna，又bln^+^a=blna，故有ln^+^（a^b^）=bln^+^a；当a＜1时，a^b^＜1，故ln^+^（a^b^）=0，又a＜1时bln^+^a=0，所以此时亦有ln^+^（a^b^）=bln^+^a，故①正确；
（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln^+^（ab）=0，ln^+^a+ln^+^b=ln2，所以ln^+^（ab）≠ln^+^a+ln^+^b，故②错误；
（3）对于③，
i．≥1时，此时≥0，
当a≥b≥1时，ln^+^a﹣ln^+^b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；
当a＞1＞b＞0时，ln^+^a﹣ln^+^b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；
当1＞a≥b＞0时，ln^+^a﹣ln^+^b=0，成立；
ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；
（4）对于④，
当a≥1，b≥1时，ln^+^（a+b）=ln（a+b），ln^+^a+ln^+^b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，
∴a+b≤2ab，
∴ln（a+b）＜ln（2ab），
∴ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当a＞1，0＜b＜1时，ln^+^（a+b）=ln（a+b），ln^+^a+ln^+^b+ln2=lna+ln2=ln（2a），
∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，
∴a+b≤2a，
∴ln（a+b）＜ln（2a），
∴ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln^+^（a+b）≤ln^+^a+ln^+^b+ln2．
故④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．
**三、解答题**
17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，
∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB=（a+c）^2^﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵cosB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴cosA==，
则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）求证：AB∥GH；
（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
【解答】（1）证明：如图，
∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．
则，
，．
设平面GCD的一个法向量为
由，得，取z~1~=1，得y~1~=2．
所以．
设平面EFG的一个法向量为
由，得，取z~2~=2，得y~2~=1．
所以．
所以=．
则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．
【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．
19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；
（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜
①3：0，概率为P~1~=（）^3^=；
②3：1，概率为P~2~=C（）^2^×（1﹣）×=；
③3：2，概率为P~3~=C（）^2^×（1﹣）^2^×=
∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．
（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P~1~+P~2~=；
P（X=1）=P~3~=；
P（X=2）=C（1﹣）^2^×（）^2^×=；
P（X=3）=（1﹣）^3^+C（1﹣）^2^×（）×=；
则X的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 3 2 1 0
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
E（X）=3×+2×+1×+0×=．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．（12分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~4~=4S~2~，a~2n~=2a~n~+1．
（1）求数列{a~n~}的通项公式；
（2）设数列{b~n~}的前n项和为T~n~且（λ为常数）．令c~n~=b~2n~（n∈N^\*^）求数列{c~n~}的前n项和R~n~．
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a~n~}的通项公式；
（2）把{a~n~}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c~n~=b~2n~得数列{c~n~}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．
【解答】解：（1）设等差数列{a~n~}的首项为a~1~，公差为d，由a~2n~=2a~n~+1，取n=1，得a~2~=2a~1~+1，即a~1~﹣d+1=0①
再由S~4~=4S~2~，得，即d=2a~1~②
联立①、②得a~1~=1，d=2．
所以a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）把a~n~=2n﹣1代入，得，则．
所以b~1~=T~1~=λ﹣1，
当n≥2时，=．
所以，．
R~n~=c~1~+c~2~+...+c~n~=③
④
③﹣④得：=
所以；
所以数列{c~n~}的前n项和．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．
21．（13分）设函数．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程\|lnx\|=f（x）根的个数．
【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；
（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．
∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．
故f（x）在x=取得最大值，且．
（2）函数y=\|lnx\|，当x＞0时的值域为\[0，+∞）．如图所示：
①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，
c==g（x），
则=．
令h（x）=e^2x^+x﹣2x^2^，则h′（x）=2e^2x^+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1\]单调递增，
∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e^2^﹣1．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1\]单调递减．
∴c．
②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），
则=＞0，
故m（x）在\[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．
综上①②可知：当时，方程\|lnx\|=f（x）无实数根；
当时，方程\|lnx\|=f（x）有一个实数根；
当时，方程\|lnx\|=f（x）有两个实数根．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．
22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F~1~，F~2~，离心率为，过F~1~且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF~1~，PF~2~，设∠F~1~PF~2~的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF~1~，PF~2~的斜率分别为k~1~，k~2~，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F~1~且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a^2^=b^2^+c^2^即可得出；
（2）设\|PF~1~\|=t，\|PF~2~\|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；
（3）设P（x~0~，y~0~），不妨设y~0~＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k~1~，k~2~，代入即可证明结论．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，
∵过F~1~且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．
又，联立得解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）如图所示，设\|PF~1~\|=t，\|PF~2~\|=n，
由角平分线的性质可得，
又t+n=2a=4，消去t得到，化为，
∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范围；．
（3）证明：设P（x~0~，y~0~），
不妨设y~0~＞0，由椭圆方程，
取，则=，
∴k==．
∵，，
∴=，
∴==﹣8为定值．
【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
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**《租船》同步练习**
> 1、薯片 牛奶 饼干
>
> 每包5元 每盒3元 每包6元
1. 小红买了4包牛奶一共用去多少元？
2. 小明买了一包薯片两袋饼干，共需要多钱？
```{=html}
<!-- -->
```
2. 小明有20元钱买一种东西正好用完，他可以买什么，买几包？
3. 你能提出什么问题？
> 2、妈妈买来12只苹果和15只梨，如果要把它们全部装在袋子里，每只袋子只能装4只水果，至少需要几只袋子？
>
> 3、妈妈买来26米花布，每3米做一件连衣裙，最多做几件连衣裙？\[来源:学科网ZXXK\]
>
> 4、妈妈买了21米花布，每4米做一个窗帘，可做几个窗帘？余几米布？\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
>
> 5、王老师买来一条绳子，长20米，剪下5米修理球网，剩下多少米？剩下的每2米做一根跳绳，可以做几根跳绳？还剩多少米？
>
> 6、用竖式计算
>
> 20÷6 = 34÷4 = 30÷7 = 26÷3=
>
> \[来源:学。科。网\]
>
> 42÷8 = 50÷7 = 43÷6= 88÷9=
\[来源:Zxxk.Com\]
**参考答案：\[来源:Z\_xx\_k.Com\]** 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
> 1、薯片 牛奶 饼干
>
> 每包5元 每盒3元 每包6元
3. 12
4. 17
> （2）略
4. 略
> 2、7
>
> 3、8
>
> 4、5 1
>
> 5、 15 7 1
>
> 6、用竖式计算
>
> 20÷6 =3······2 34÷4 =8······2
>
> 30÷7 =4······2 26÷3=8······2
>
> 42÷8 =5······2 50÷7 =7······1
>
> 43÷6=7······1 88÷9=9······7
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**2017年北京市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题.（每小题5分）**
1．（5分）若集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣2＜x＜3} C．{x\|﹣1＜x＜1} D．{x\|1＜x＜3}
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（）^x^，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
6．（5分）设，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是"•＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^
**二、填空题（每小题5分）**
9．（5分）若双曲线x^2^﹣=1的离心率为，则实数m=[ ]{.underline}．
10．（5分）若等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=﹣1，a~4~=b~4~=8，则=[ ]{.underline}．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ^2^﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则\|AP\|的最小值为[ ]{.underline}．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=[ ]{.underline}．
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[ ]{.underline}．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A~i~的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B~i~的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
（1）记Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q~1~，Q~2~，Q~3~中最大的是[ ]{.underline}．
（2）记p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p~1~，p~2~，p~3~中最大的是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中"\*"表示服药者，"+"表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
18．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
19．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
20．（13分）设{a~n~}和{b~n~}是两个等差数列，记c~n~=max{b~1~﹣a~1~n，b~2~﹣a~2~n，...，b~n~﹣a~n~n}（n=1，2，3，...），其中max{x~1~，x~2~，...，x~s~}表示x~1~，x~2~，...，x~s~这s个数中最大的数．
（1）若a~n~=n，b~n~=2n﹣1，求c~1~，c~2~，c~3~的值，并证明{c~n~}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c~m~，c~m+1~，c~m+2~，...是等差数列．
**2017年北京市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题.（每小题5分）**
1．（5分）若集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣2＜x＜3} C．{x\|﹣1＜x＜1} D．{x\|1＜x＜3}
【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}，
∴A∩B={x\|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y满足的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（）^x^，则f（x）（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3^x^为增函数，y=（）^x^为减函数，结合"增"﹣"减"="增"可得答案．
【解答】解：f（x）=3^x^﹣（）^x^=3^x^﹣3^﹣x^，
∴f（﹣x）=3^﹣x^﹣3^x^=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3^x^为增函数，y=（）^x^为减函数，
故函数f（x）=3^x^﹣（）^x^为增函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
6．（5分）设，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是"•＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．
∴，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是•＜0"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA==
=2，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^
【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10^lg3^≈10^0.48^，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
【解答】解：由题意：M≈3^361^，N≈10^80^，
根据对数性质有：3=10^lg3^≈10^0.48^，
∴M≈3^361^≈（10^0.48^）^361^≈10^173^，
∴≈=10^93^，
故选：D．
【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．
**二、填空题（每小题5分）**
9．（5分）若双曲线x^2^﹣=1的离心率为，则实数m=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x^2^﹣=1（m＞0）的离心率为，
可得：，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
10．（5分）若等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=﹣1，a~4~=b~4~=8，则=[ 1 ]{.underline}．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
【解答】解：等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=﹣1，a~4~=b~4~=8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a~2~=2；
8=﹣q^3^，解得q=﹣2，∴b~2~=2．
可得=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ^2^﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则\|AP\|的最小值为[ 1 ]{.underline}．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．
【解答】解：设圆ρ^2^﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x^2^+y^2^﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1；
如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，\|AP\|最小为：
\|AP\|~min~=\|CP\|﹣r~C~=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出
【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos^2^α+sin^2^α=2sin^2^α﹣1=﹣1=﹣
方法二：∵sinα=，
当α在第一象限时，cosα=，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣
：∵sinα=，
当α在第二象限时，cosα=﹣，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[ ﹣1，﹣2，﹣3 ]{.underline}．
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，举例即可，本题答案不唯一
【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．
14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A~i~的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B~i~的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．
（1）记Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q~1~，Q~2~，Q~3~中最大的是[ Q~1~ ]{.underline}．
（2）记p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p~1~，p~2~，p~3~中最大的是[ p~2~ ]{.underline}．
【分析】（1）若Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q~i~=A~i~的综坐标+B~i~的纵坐标；进而得到答案．
（2）若p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p~i~为A~i~B~i~中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
【解答】解：（1）若Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q~1~=A~1~的纵坐标+B~1~的纵坐标；
Q~2~=A~2~的纵坐标+B~2~的纵坐标，
Q~3~=A~3~的纵坐标+B~3~的纵坐标，
由已知中图象可得：Q~1~，Q~2~，Q~3~中最大的是Q~1~，
（2）若p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则p~i~为A~i~B~i~中点与原点连线的斜率，
故p~1~，p~2~，p~3~中最大的是p~2~
故答案为：Q~1~，p~2~
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q~i~和p~i~的几何意义，是解答的关键．
**三、解答题**
15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，
（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，
由正弦定理可得sinC=sinA=×=，
（2）a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC=，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
∴S~△ABC~=acsinB=×7×3×=6．
【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），
，．
设平面PBD的一个法向量为，
则由，得，取z=，得．
取平面PAD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解：，平面BDP的一个法向量为．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\|cos＜＞\|=\|\|=\|\|=．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．
17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中"\*"表示服药者，"+"表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．
（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，
则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
p==．
（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
∴ξ的分布列如下：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ 0 1 2
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
E（ξ）==1．
（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
18．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．
【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；
（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），根据韦达定理得到x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，根据中点的定义即可证明．
【解答】解：（1）∵y^2^=2px过点P（1，1），
∴1=2p，
解得p=，
∴y^2^=x，
∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，
（2）证明：设过点（0，）的直线方程为
y=kx+，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），
∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，
由题意知A（x~1~，x~1~），B（x~1~，），
由，可得k^2^x^2^+（k﹣1）x+=0，
∴x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=
∴y~1~+=kx~1~++=2kx~1~+=2kx~1~+=2kx~1~+（1﹣k）•2x~1~=2x~1~，
∴A为线段BM的中点．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．
19．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间\[0，\]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e^0^（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e^0^cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=e^x^（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e^x^•sinx，
当x∈\[0，\]，可得g′（x）=﹣2e^x^•sinx≤0，
即有g（x）在\[0，\]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在\[0，\]递减，
即有函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值为f（0）=e^0^cos0﹣0=1；
最小值为f（）=ecos﹣=﹣．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．
20．（13分）设{a~n~}和{b~n~}是两个等差数列，记c~n~=max{b~1~﹣a~1~n，b~2~﹣a~2~n，...，b~n~﹣a~n~n}（n=1，2，3，...），其中max{x~1~，x~2~，...，x~s~}表示x~1~，x~2~，...，x~s~这s个数中最大的数．
（1）若a~n~=n，b~n~=2n﹣1，求c~1~，c~2~，c~3~的值，并证明{c~n~}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c~m~，c~m+1~，c~m+2~，...是等差数列．
【分析】（1）分别求得a~1~=1，a~2~=2，a~3~=3，b~1~=1，b~2~=3，b~3~=5，代入即可求得c~1~，c~2~，c~3~；由（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~）≤0，则b~1~﹣na~1~≥b~k~﹣na~k~，则c~n~=b~1~﹣na~1~=1﹣n，c~n+1~﹣c~n~=﹣1对∀n∈N\*均成立；
（2）由b~i~﹣a~i~n=\[b~1~+（i﹣1）d~1~\]﹣\[a~1~+（i﹣1）d~2~\]×n=（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）（d~2~﹣d~1~×n），分类讨论d~1~=0，d~1~＞0，d~1~＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c~m~，c~m+1~，c~m+2~，...是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．
【解答】解：（1）a~1~=1，a~2~=2，a~3~=3，b~1~=1，b~2~=3，b~3~=5，
当n=1时，c~1~=max{b~1~﹣a~1~}=max{0}=0，
当n=2时，c~2~=max{b~1~﹣2a~1~，b~2~﹣2a~2~}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
当n=3时，c~3~=max{b~1~﹣3a~1~，b~2~﹣3a~2~，b~3~﹣3a~3~}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
下面证明：对∀n∈N\*，且n≥2，都有c~n~=b~1~﹣na~1~，
当n∈N\*，且2≤k≤n时，
则（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~），
=\[（2k﹣1）﹣nk\]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~）≤0，则b~1~﹣na~1~≥b~k~﹣na~k~，
因此，对∀n∈N\*，且n≥2，c~n~=b~1~﹣na~1~=1﹣n，
c~n+1~﹣c~n~=﹣1，
∴c~2~﹣c~1~=﹣1，
∴c~n+1~﹣c~n~=﹣1对∀n∈N\*均成立，
∴数列{c~n~}是等差数列；
（2）证明：设数列{a~n~}和{b~n~}的公差分别为d~1~，d~2~，下面考虑的c~n~取值，
由b~1~﹣a~1~n，b~2~﹣a~2~n，...，b~n~﹣a~n~n，
考虑其中任意b~i~﹣a~i~n，（i∈N\*，且1≤i≤n），
则b~i~﹣a~i~n=\[b~1~+（i﹣1）d~1~\]﹣\[a~1~+（i﹣1）d~2~\]×n，
=（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）（d~2~﹣d~1~×n），
下面分d~1~=0，d~1~＞0，d~1~＜0三种情况进行讨论，
①若d~1~=0，则b~i~﹣a~i~n═（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）d~2~，
当若d~2~≤0，则（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~1~﹣a~1~n）=（i﹣1）d~2~≤0，
则对于给定的正整数n而言，c~n~=b~1~﹣a~1~n，此时c~n+1~﹣c~n~=﹣a~1~，
∴数列{c~n~}是等差数列；
当d~2~＞0，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~n~﹣a~n~n）=（i﹣n）d~2~＞0，
则对于给定的正整数n而言，c~n~=b~n~﹣a~n~n=b~n~﹣a~1~n，
此时c~n+1~﹣c~n~=d~2~﹣a~1~，
∴数列{c~n~}是等差数列；
此时取m=1，则c~1~，c~2~，...，是等差数列，命题成立；
②若d~1~＞0，则此时﹣d~1~n+d~2~为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在m∈N\*，使得n≥m时，﹣d~1~n+d~2~＜0，
则当n≥m时，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~1~﹣a~1~n）=（i﹣1）（﹣d~1~n+d~2~）≤0，（i∈N\*，1≤i≤n），
因此当n≥m时，c~n~=b~1~﹣a~1~n，
此时c~n+1~﹣c~n~=﹣a~1~，故数列{c~n~}从第m项开始为等差数列，命题成立；
③若d~1~＜0，此时﹣d~1~n+d~2~为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在s∈N\*，使得n≥s时，﹣d~1~n+d~2~＞0，
则当n≥s时，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~n~﹣a~n~n）=（i﹣1）（﹣d~1~n+d~2~）≤0，（i∈N\*，1≤i≤n），
因此，当n≥s时，c~n~=b~n~﹣a~n~n，
此时==﹣a~n~+，
=﹣d~2~n+（d~1~﹣a~1~+d~2~）+，
令﹣d~1~=A＞0，d~1~﹣a~1~+d~2~=B，b~1~﹣d~2~=C，
下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，
若C≥0，取m=\[+1\]，\[x\]表示不大于x的最大整数，
当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A\[+1\]+B＞A•+B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=\[\]+1，
当n≥m时，
≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查"放缩法"的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．
| 1 | |
**2020－2021学年上期三年级数学期末测试卷**
1\. 口算
86＋16＝ 61－25＝ 36＋37＝ 33＋24－15＝
250＋170＝ 17×3＝ 5×16＝ 280－150＋30＝
123×0＝ 101×5＝
**二、用心思考，准确填写。**
2\. 用分数表示涂色部分，并在横线上填写"＞""＝"或"＜"。
[ ]{.underline} （ ）
3\. 一团彩带长5米，捆扎一个礼盒需要86厘米，捆扎这样的4个礼盒需要（ ）厘米长的彩带，还剩（ ）厘米长的彩带。
4\. 学校报告厅共有18排座位，每排有22个座位，能容纳多少名学生同时就座？三年级有学生193人，四年级有学生176人，估一估，三、四年级的学生同时就座，坐得下吗？你是怎么估的？
5\. 要使牛的头数是大象的2倍，就要增加（ ）头大象，或减少（ ）头牛。
6\. 在括号里填写合适的单位名称。
（1）乐乐跑50米约用时12（ ）；
（2）三年级上册数学课本厚约6（ ）；
（3）9岁儿童的脚长约是2（ ）；
（4）嫦娥五号探测器总重约8（ ）；
（5）珠穆朗玛峰的高度约为8849（ ）；
（6）磁悬浮列车的时速超过350（ ）。
7\. 
小亮是这样想的：因为。所以他的糖和小美一样多。
小亮的想法对吗？（画√或×）（ ）
说说理由：（ ）
8\. 用20张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长（ ）分米、宽（ ）分米。
9\. 括号里填合适的数。
300秒＝（ ）分 5吨－500千克＝（ ）千克
7分米6厘米＝（ ）厘米 4000米＋2千米＝（ ）千米
10\. 同学们为班级图书角设计了一套"图书编码"，每本书都有各自的"身份证"，编码释义如下：
---------- ------
区域编号
A 思品
B 科普
C 历史
D 卡通
E 文学
---------- ------
诚诚准备把一本编号为B2506的图书还回图书角，这本书应该放到科普区域（ ）号书柜的第（ ）层。
**三、仔细推敲，合理选择。（把正确答案的序号填在括号里）**
11\. 纸片盖住了一部分圆形，露出的圆形数量占总数的，纸片下盖住了（ ）个圆形。
A. 2 B. 3 C. 7
12\. 欣欣在口算35＋34＝时，用这样的思路图表示自己的口算思路。她的想法是：（ ）。
A. 先算30＋30，再算5＋4＝9，最后算60＋9＝69
B. 先算35＋30＝65，再算65＋4＝69
C. 先算35＋4＝39，再算39＋30＝69
13\. 纸上印有一个四边形，但被撕掉了一部分。这个四边形可能是图形（ ）。
A \
B. \
C. 
14\. 下列几个长度中，最长的是（ ）。
A. 3000厘米 B. 350分米 C. 40米
15\. 亮亮用5根小棒先后摆出了两个图形甲和乙，如图。比一比，它们的周长关系是（ ）。
A 甲＞乙 B. 甲＝乙 C. 甲＜乙
16\. 关于图中蛋糕和披萨的数量关系，（ ）描述的是错的。
A. 是的2倍 B. 比多4个 C. 是的4倍
17\. 在计算15×12时，乐乐使用的方法是15×4×3，下面的点子图中，（ ）能表示这种思路。
A  B.  C. 
18\. 三（1）班有20人参加了书法兴趣小组。18人参加了"小主播"兴趣小组，两个小组都参加的有5人。三（1）班一共有（ ）人参加了兴趣小组。
A. 38 B. 33 C. 23
**四、严谨认真。准确计算。**
19\. 竖式计算，带☆的要验算。
☆507－118＝ 450×8＝
20\. 下面计算对吗。请在括号里画"√"或"×"，如果有错，在方框中重新计算。
（ ）
21\. 正确、明白、简洁的算。
**五、动手操作，实践探索。**
22\. 涂一涂，填一填。
（1）用两种颜色填涂色条卡，使两种色条的长度成倍数关系。
（2）（ ）色条的长度是（ ）色条的（ ）倍。
（3）你是怎么想的？（ ）。
23\. 下图是乐乐一天早上的时间安排，计算经过时间并在钟面上画出他最晚起床的时间。
24\. 估测。
主题，从你家到学校大约有多远？
我的估测方法：
**六、走进生活，解决问题。**
25\. 诚诚制作了一份对折的"新年贺卡"对折后的贺卡正好是一个周长为68厘米的正方形。这张贺卡打开后的周长是多少？
26\. 过新年有新方式。为了降低疫情防控的风险，诚诚一家今年打算"就地过年"。他们准备购买8份"新年礼包"寄给家乡的亲人。
问题：①8份礼包应付多少钱？
②准备650元够吗？
（1）解决问题（ ）选用估算的方法更合理、简便。
解答：
（2）解决问题（ ）选用精算的方法更合理、准确。
解答：
27\. 郑州地铁三号线正式开通运营了。这条线路以"史记经脉，商都记忆"为主题，将"商都"郑州的传统文化元素融入其中，一站一景，是一条被称为穿越"时光隧道"的地铁线路。
如果从人民公园站上车到郑州文庙站，乘坐4站，大约需要12分钟；如果从人民公园站上车到东十里铺站下车，大约需要多长时间？
28\. "迎新春"活动中，学校交响乐团为师生呈现了一场视听盛宴。该乐团由弦乐、管乐和打击乐三部分组成，共有45位小乐手。其中管乐手占乐团的，打击乐手占乐团的。弦乐手占乐团的几分之几？三部分各有多少人？
29\. 诚诚和妈妈手工制作了一些新年糖果共有26颗。小糖袋每袋装4颗，大糖袋每袋装6颗。怎么包装可以正好装完？
列表法可以帮助我们不重复、不遗漏的分析问题：
------ ---------------------- ---------------------- ----------------
方案 小糖袋数量（4颗/袋） 大糖袋数量（6颗/袋） 包装糖果总颗数
------ ---------------------- ---------------------- ----------------
诚诚的方案是：
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**文科基础**
本试卷共12页，75题，满分150分。考试用时120分钟。
> 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答案卡一并交回。本试卷共75题，全部是单项选择题，每题2分。在每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选均不得分。
1．货币在商品流通中起着重要作用。下列对于货币的正确认识是
A．货币只有流通手段的职能
B．货币就是金银、金银就是货币
C．有商品交换、就有货币
D．货币能表现一切商品的价值
2．气候、时间、地域、宗教信仰、习俗等因素的变化，都会引起商品价格的变动。它们对商品价格的影响，是因为改变了
A．该商品的供求关系
B．该商品的价值量
C．该商品的个别劳动生产率
D．该商品的社会劳动生产率
3．在同一时空条件下，生产同样的商品，不同的生产者有的赚钱有的赔钱，其根本原因在于
A．生产技术条件不同
B．所耗费的个别劳动时间不同
C．出售产品的价格不同
D．所耗费的社会必要劳动时间不同
4．下表是"2002-2006年我国城乡居民家庭恩格尔系统情况"。根据材料，针对这段时期，下列说法正确的是
------------------------------ -------- -------- -------- -------- --------
2002年 2003年 2004年 2005年 2006年
城镇居民家庭恩格尔系数（％） 37.7 37.1 37.7 36.7 35.8
农村居民家庭恩格尔系数（％） 46.2 45.6 47.7 45.5 43.0
------------------------------ -------- -------- -------- -------- --------
A．城乡居民生活水平总体呈下降趋势
B．城乡居民生活水平总体呈上升趋势
C．城镇居民生活水平不断提高，农村居民生活水平不断下降
D．农村居民生活水平不断提高，城镇居民生活水平不断下降
5．某位国有独资企业技术骨干的年收入，由工资、奖金、股票投资收入等构成。下列说法正确的是
A．工资、奖金、股票投资收入都属于按生产要素分配
B．工资、奖金、股票投资收入都属于按劳分配
C．工资、奖金属于按劳分配，投票投资收入属于按生产要素分配
D．工资属于按劳分配，奖金、股票投资收入属于按生产要素分配
6．十届全国人大五次会议审议通过了十一届全国人大代表名额和选举问题的决定。根据这一决定，我国将首次在农民工队伍中产生全国我大代表。这反映了我国人民民主具有
①绝对性
②真实性
③全民生
④广泛性
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
7．据文献记载，十三届四中全会以来，各民主党派中央先后就国计民生等问题，向党中央、国务院提出重大建议200多项，各民主党派地方组织提出各项建议9万多项，其中有许多意见和建议被采纳，产生了显著的经济效益和社会效益。这反映了
A．中国共产党与各民主党派联合执政
B．各民主党派参与国家事务的协商
C．各民主党派决定国家的大政方针
D．各民主党派直接行使国家权力
8．胡锦涛总书记指出："加强党的先进性建设，必须把最广大人民的根本利益作为党全部工作的出发点和落脚点，保证党始终与人民群众共命运。"胡锦涛总书记的上述讲话进一步强调了
①全心全意为人民服务是中国共产党的宗旨
②立党为公、执政为民是中国共产党的执政理念
③党执政的权力来自人民，要代表人民行使权力
④依法执政是中国共产党执政的基本方式
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
9．2006年5月9日，第六届联合国大会以不记名投票方式，选举产生了联合国人权理事会首届47个成员国，中国以146票高票当选，任期3年。这说明
A．保护和促进人权，必须从加强国际人权合作入手
B．选举权和被选举权是根本的人权
C．中国在尊重和保障人权方面取得的成就，获得世界的认可
D．实现人权的根本途径是在国际活动中获得他国的好评
10．我国前外交部长李肇星指出："我们在谋求自身发展的同时，也向其他国家提供力所能及的援助。提供援助的时候都不附加政治条件，援助是务实的。"这反映了
A．我国积极发展同世界各国和地区的贸易往来
B．我国与世界各国的利益完全一致
C．我国提供的援助与其它国家的援助是完全相同的
D．维护世界和平、促进共同发展是我国外交政策的宗旨
11．下列关于文化与经济、政治的联系、表述正确的是
A．一定的文化是一定的经济、政治的反映
B．一定的经济、政治是由一定的文化决定的
C．任何文化都促进经济、政治的发展
D．政治是文化的基础，经济是文化的集中表现
12．在处理与外来文化关系时，我们应当求同存异、兼收并蓄，这样做有利于
①在和睦的关系中交流
②增强对自身文化的认同
③增强对外来文化的理解
④吸收外来文化的所有成分
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
13．《国家"十一五"时期文化发展规划纲要》明确指出，要把文化创新作为"十一五"时期文化发展的重点。国家之所以重视文化创新，是因为
①文化创新可以推动社会实践的发展
②文化创新可以取代传统文化
③文化创新能够促进文化的繁荣
④文化创新是民族文化永葆生命力的重要保证
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
14．人的文化素养是多方面的，其中具有方向性作用、处于核心地位的是
A．社会科学素养
B．自然科学素养
C．社会公德、职业道德、家庭美德
D．世界观、人生观、价值观
15．黑格尔认为，世界的发展是"绝对精神"的自我运动。总体上看，黑格尔哲学体系属于
A．主观唯心主义
B．客观唯心主义
C．形而上学
D．古代朴素唯物主义
16．王夫之说："静者静动，非不动也。静者含动，动不舍静"。下列观点与之相符的是
A．运动和静止都是绝对的
B．运动和静止都是相对的
C．静止是绝对的，运动是相对的
D．运动是绝对的，静止是相对的
17．真理都有自己适用的范围，这说明了
A．真理是普遍的
B．真理是主观的
C．真理是有条件的
D．真理是绝对的
18．谚语：当一扇门对你关闭时，另一扇窗也为你开启。这一谚语符合
A．二元论
B．两点论
C．实践论
D．重点论
19．"一夫不耕，或受之饥；一女不织，或受之寒。"这句话反映了
A．手工业经济的生产方式
B．小农经济的生产方式
C．古代妇女的地位较高
D．商品经济的发达
20．朱熹说："本朝鉴五代藩镇之弊，遂尽夺藩镇之权，兵也收了，财也收了，赏罚刑政一切收了。"这段话说明宋朝
A．中央集权得到进一步加强
B．地方政府进一步收回财权
C．政治和理学思想紧密结合
D．藩镇割据成为严重的社会问题
21．我国古代科学技术的主要特点是
A．政府是科学研究的主要组织者
B．实用技术发达
C．普遍重视科学实验
D．形成了完整的理论体系
22．有人曾对中国近代史上的一场战争发生这样的感慨："从前我国还只是被西方大国打败过，现在竟被东方的小国打败了，而且失败得那样惨，条约又订得那样苛刻，这是多么大的耻辱啊！"这场战争是
A．第一次鸦片战争
B．八国联军侵华战争
C．甲午战争
D．第二次鸦片战争
23．清朝末年，民族资本家为了逃避政府苛税和官吏的勒索，或将企业设在租界里，或"假托洋商之名"，或"船头悬着英国国旗，船尾悬着中国龙旗"。这反映了
A．中国民族资本主义春天的到来
B．中国民族资本主义的全面萎缩
C．西方列强支持中国民族资本主义的发展
D．封建主义是中国民族资本主义发展的阻力
24．"农村包围城市"的革命道路理论，形成于
A．国民革命时期（1924-1927年）
B．土地革命时期（1927-1937年）
C．抗日战争时期（1937-1945年）
D．解放战争时期（1946-1949年）
25．下列关于新中国经济建设的说法，正确的是
A．三大改造的完成标志着新民主主义制度的建立
B．"大跃进"期间国民经济协调发展
C．1956-1966年经济建设在曲折中前进
D．经济体制改革首先从城市取得突破
26．新中国建立后，在外交上取得了一系列重要成就。下列说法正确的是
A．中美建交后中国恢复了在联合国的合法席位
B．1954年日内瓦会议后中国与许多欧洲国家建交
C．改革开放后中日两国正式建交
D．"另起炉灶"的外交方针维持了中国的独立与主权
27．中国共产党十一届三中全会是新中国历史上的一个伟大转折，这次会议标志着
A．社会主义市场经济体制在中国确立
B．社会主义制度在中国确立
C．党和国家的工作重心发生转移
D．政治体制改革全面启动
28．下列有关古代雅典民主政治的说法，正确的是
A．开创了政党政治的先河
B．自由民和奴隶都享有公民权
C．城邦公民享有民主权利
D．公民通过代议制方式行使权利
29．伏尔泰说："本身自由，周围的人与自己平等――这才是真正的生活，人们的自然生活。"这句话是
A．禁欲主义思想的反映
B．人文主义思想的反映
C．蒙昧主义思想的反映
D．空想社会主义思想的反映
30．英国的煤炭消费量从1800年的1000万吨，猛增到1856年的6000万吨。导致这一变化的主要原因是
A．蒸汽机的推广
B．相对论的提出
C．内燃机的出现
D．发电机的发明
31．1689年《权利法案》和1871年《德意志帝国宪法》的共同之处在于
A．确立责任内阁制
B．为君主立宪制的确立奠定基础
C．规定首相对议会负责
D．确立君主至高无上的地位
32．第二次工业革命对世界经济发展的影响是
A．亚非拉地区的工业飞速发展
B．促成欧洲经济一体化的形成
C．资本主义世界市场进一步扩大
D．世界贸易中心开始转移到大西洋沿岸
33．无产阶级建立政权的第一次伟大尝试是
A．英国宪章运动
B．十月革命
C．法国里昂工人起义
D．巴黎公社
34．第二次世界大战后，资本主义的新变化体现在
A．西方国家加强对经济的干预
B．西方国家废除了垄断组织
C．经济危机在西方国家已经消失
D．西方国家实行自由放任的经济政策
35．不结盟运动的兴起，反映了
A．发展中国家放弃了彼此间的合作
B．发达国家和发展中国家平起平坐
C．西方国家放弃了对第三世界国家的控制
D．第三世界国家的政治影响力扩大
36．欧盟和亚太经合组织的建立，反映了
A．各国间的经济竞争基本消失
B．经济全球化趋势加强
C．美国被排斥在区域集团化之外
D．全球贫富差距明显缩小
37．从盛行风向考虑，南极某考察基地（69.5°S，76.3°E）建筑物门窗应避开的风向是
A．东北
B．东南
C．西南
D．西北
38．热岛温度为城区与郊区气温之差，其值高低反映了热岛强度的大小。从图1中可得到的正确信息是，某市热岛强度
A．夏季大于冬季
B．午后大于夜晚
C．冬、夏季的差异在日出前后最小
D．冬、夏季的差异在午后最小
39．图2是公园（林草地）、操场（裸地）、足球场（草坪）三个典型地点的地面温度变化曲线图。①、②、③三条曲线分别对应的地点是
图2
A．公园、操场、足球场
B．足球场、操场、公园
C．操场、足球场、公园
D．公园、足球场、操场
40．绿洲的面积大小关键取决于
A．经济发展水平
B．土地开垦的规模
C．水资源的多少
D．防护林带的规模
41．图3反映了我国人口学历与平均预期寿命的关系。从中可知
A．相同学历段女性比男性的平均预期寿命短
B．高学历段男女平均预期寿命的差距大于低学历段
C．各学历段男女平均预期寿命的差异没有变化
D．受教育程度越高，平均预期寿命越长
图3
42．从影响工业布局的主导因素考虑，大型客机研制基地区位选择正确的是
A．能源充足、重工业发达的地区
B．高科技研究开发能力强、协作条件好的地区
C．原材料丰富、劳动力密集的地区
D．交通方便、轻工业基础好的地区
43．图4反映了1985年和2003年我国部分省（区、市）制造业综合竞争力在全国位次的变化。从中可知新疆、江苏、福建、湖北四省（区）的制造业综合竞争力位次变化是
图4
A．新疆在全国位次明显上升
B．江苏在全国位次明显下降
C．湖北在全国位次稳定不变
D．福建在全国位次明显上升
44．从城市功能区合理布局的角度考虑，若在图5中分别布局中心商务区、住宅区、城郊农业区、港口码头四个功能区，则①、②、③、④对应的功能区是
A．港口码头、城郊农业区、中心商务区、住宅区
B．住宅区、港口码头、城郊农业区、中心商务区
C．港口码头、城郊农业区、住宅区、中心商务区
D．中心商务区、住宅区、港口码头、城郊农业区
图5
45．下列选项中，与地下水作用关系不大的地质灾害类型是
A．地面塌陷沉降
B．泥石流
C．土壤盐碱化
D．土地沼泽化
46．如果从地面热力作用的影响考虑，一天中空气最新鲜的时段出现在
A．清晨
B．傍晚
C．中午
D．夜晚
3月21日6时整，甲地（40°N，45°E）正好日出。据此回答47---48题。
47．此时一艘轮船航行于太平洋上。经过10分钟后，该轮船越过了日界线，这时轮船所在地的区时可能是
A．3月21日14时50分
B．3月22日14时50分
C．3月22日15时10分
D．3月21日15时10分
48．此日甲地的正午太阳高度角约为
A．40°
B．50°
C．73°26′
D．16°34′
49．有人提出赴西藏旅游宜采用"渐进-阶梯式"模式，其目的是为了
A．抵御恶劣的气候环境
B．躲避山洪暴发等灾害
C．适应当地的交通条件
D．适应海拔高度的变化
50．图6为北京、南京、哈尔滨和海口四城市气温年变化曲线图。根据图中信息判断，北京、南京、哈尔滨和海口四城市对应的气温年变化曲线分别是
图6
A．甲、丁、丙、乙
B．甲、乙、丙、丁
C．丙、乙、丁、甲
D．丙、丁、甲、乙
51．我国民间竞技体育存在着明显的地域差异，下列对应关系正确的是
A．赛龙舟------水量大、水流急的河流上游
B．赛马、飞马拾银――藏北高原
C．赛骆驼――黄土高原
D．赛耗牛――东北平原
52．当遇到下列情况时，不正确的做法是
A．在野外遇到泥石流时，往旁边的山坡上跑
B．遇到地震时，若在高楼内，俯身躲在坚固的家具旁或狭小空间，等待救援
C．陷入沼泽地时，用一根长竹竿插入泥潭，用力往上爬
D．在野外遇到龙卷风时，就近寻找低洼地伏于地面
53．图7是某时刻地面气压（百帕）分布图。从中可以得到的正确信息是
图7
A．甲地气流下沉
B．丁地出现暴风雪
C．丙地气压梯度力最大
D．乙地是高气压中心
54．"水滴石穿"描述的是哪种外力作用
A．风化作用
B．侵蚀作用
C．沉积作用
D．搬运作用
55．下列物理量为标量的是
A．速度
B．加速度
C．功
D．位移
56．图8是描述质点a、b、c、d做直线运动的速度图象和位移图象。根据图象，下列判断正确的是
A．a匀加速运动，b静止不动，c匀加速运动，d静止不动
B．a静止不动，b匀速运动，c匀速运动，d匀加速运动
C．a静止不动，b匀速运动，c静止不动，d匀加速运动
D．a匀速运动，b匀加速运动，c静止不动，d匀速运动
 
图8
57．如图9，水平桌面上的物体A和B通过轻绳相连，在水平外力F的作用下做匀速直线运动。已知绳中拉力为T，桌面对两物体的摩擦力分别为f~A~和f~B~，则有
图9
A．F=f~A~+f~B~+T
B．F=f~A~+f~B~-T
C．F=f~B~
D．T=f~A~
58．下列运动过程满足机械能守恒的是
A．电梯匀速下降过程
B．起重机吊起重物过程
C．物体做自由落体运动过程
D．考虑阻力条件下滑雪者沿斜面下滑过程
59．当人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，下列说法正确的是
A．在同一轨道上，卫星质量越大，运动速度越大
B．同质量的卫星，轨道半径越大，向心力越大
C．轨道半径越大，运动周期越大
D．轨道半径越大，运动速度越大
60．阴极射线电脑显示器的玻璃荧光屏容易布满灰尘，这主要是因为
A．灰尘的自然堆积
B．玻璃有极强的吸附灰尘的能力
C．电脑工作时，荧光屏表面有静电而吸附灰尘
D．电脑工作时，荧光屏表面温度较高而吸附灰尘
61．一个带电粒子在匀强磁场B中所受的洛仑兹力F的方向如图10所示，则该粒子所带电性和运动方向可能是
图10
A．粒子带负电，向下运动
B．粒子带正电，向左运动
C．粒子带负电，向上运动
D．粒子带正电，向右运动
62．下列说法正确的是
A．需要加热的化学反应都是吸热反应
B．中和反应都是放热反应
C．原电池是将电能转化为化学能的一种装置
D．水力发电是将化学能转化为电能的过程
63．下列污水处理方法只涉及物理变化的是
A．过滤法
B．氧化还原法
C．中和法
D．化学沉淀法
64．煤、石油、天然气是重要的能源和化工原料，下列说法正确的是
A．石油裂解得到的汽油是纯净物
B．石油产品都可用于聚合反应
C．水煤气是通过煤的液化得到的气体燃料
D．天然气是清洁燃料
65．下列说法正确的是
A．我国流通的硬币材质是金属单质
B．所有的不锈钢都只含有金属元素
C．镁合金的硬陂和强度均高于纯镁
D．广东正在打捞的明代沉船上存在大量铝制餐具
66．下列溶液能使红色花瓣快速褪色的是
A．稀盐酸
B．新制氯水
C．氯化钙稀溶液
D．生理盐水
67．下列说法正确的是
A．发酵粉中主要含有氢氧化钠，能使焙制出的糕点疏松多孔
B．碘盐中的碘可以直接用淀粉检验
C．碳酸氢钠可用于治疗胃酸过多
D．硫酸氢钠属于盐类，其水溶液显中性
68．下列实验可行的是
A．用澄清石灰水检验CO中含有的CO~2~
B．用BaCl~2~除去NaOH溶液中混有的少量Na~2~SO~4~
C．用KSCN溶液检验溶液中含有的Fe^2+^
D．用溶解、过滤的方法分离CaCl~2~和NaCl固体混合物
69．下列有关生物体化学成分的叙述正确的是
A．精瘦肉中含量最多的是蛋白质
B．组成细胞壁主要成分的单体是氨基酸
C．T~2~噬菌体的遗传物质含硫元素
D．与精子形成相关的雄激素属于脂质
70．影响植物进行光合作用的因素有很多。下列选项中，对光合作用影响最小的是
A．叶绿体色素的含量
B．五碳化合物的含量
C．氮气的含量
D．二氧化碳的含量
71．下列有关红绿色盲症的叙述正确的是
A．红绿色盲症遗传不遵循基因的分离规律
B．红绿色盲症是一种常染色体隐性遗传病
C．红绿色盲症是基因重组的结果
D．近亲结婚导致红绿色盲症的发病率升高
72．下列有关"叶绿体色素的提取和分离"实验的叙述正确的是
A．加入碳酸钙防止滤液挥发
B．用NaCl溶液提取叶片中的色素
C．用无水酒精或丙酮分离滤液中的色素
D．加入二氧化硅(石英砂)有利于充分研磨
73．信息传递是生态系统的重要功能之一。下列现象中，与物理信息传递相关的是
A．花香引蝶
B．豪猪遇敌竖起体刺
C．候鸟南飞
D．警犬嗅寻毒品
74．人体内环境相对稳定是健康的保障。由于人体内环境成分发生明显变化而引起的病 症是
①小腿抽搐
②镰刀型细胞贫血症
③尿毒症
④组织水肿
A．①②③
D．①③④
C．①②④
D．②③④
75．下列三种生物学现象：
①给小白鼠注射一定量的胰岛素后，小白鼠休克
②当细菌进入人体后，机体产生特异性的抗体与之结合，从而抑制细菌繁殖
③小猪听到主人"噜噜"叫声就奔向主人产生的机理依次属于
A．体液调节、体液免疫、反射
B．反射、细胞免疫、激素调节
C．体液调节、过敏反应、反射
D．反射、自身免疫、体液凋节
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2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理科数学(一)
注意事项：
1．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部是
\(A\) (B) (C) (D)2
(2)若集合，则
\(A\) (B) (C) (D
(3)已知定义域为的奇函数，则的值为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
(4)已知函数的图象恒过定点A，设抛物线上任意一点M到准线*l*的距离为d，则的最小值为
(A)5 (B) (C) (D)
(5)执行如图所示的程序框图，其中输入的*x*~i~值依次为14，8，42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的值依次为
(A)78，96，74，49，50
(B)78，96，74，39，50
(C)78，96，74，50
(D)78，96，74
(6)下列说法正确的是
(A)"，方程有正实根"的否定为"，方程有负实根"
(B)命题"，若，则"的逆否命题是"，若，且*b*≠0，则"
(C)命题p：若回归方程为，则y与*x*负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p∨q为真命题
(D)若X～N(1，4)，则成立的一个充分不必要条件是*t*=1
(7)等差数列中的两项恰好是关于*x*的函数的两个零点，且，则使的前*n*项和取得最小值的行为
(A)1009 (B)1010 (C)1009，1010 D.2016
(8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A、B两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有
(A)40种 (B)48种
(C)60种 (D)72种
(9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是
\(A\)  (B) (C) (D)
(10)已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与*x*轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点是的图象的最高点在*x*轴上的射影，则的值是
(A) (B)
(C)2 (D)以上答案均不正确
(11)已知点是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线C的离心率的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
(12)已知定义在R内的函数满足，当时，则当时，方程的不等实数根的个数是
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
第Ⅱ卷\[来源:\]
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题。考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)已知向量，若\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(14)已知函数的图象与直线以及*x*轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用数字作答)．
(15)已知变量满足约束条件则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
(16)若数列满足，则称数列为"差递减"数列．若数列是"差递减"数列，且其通项与其前*n*项和满足，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三．解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且满足．
(I)求角C的大小；
(Ⅱ)若的面积为，试求向量方向上的投影．
(18)(本小题满分l 2分)
已知五边形ABCDE由直角梯形ABCD与直角△ADE构成，如图1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，将梯形ABCD沿着AD折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD⊥平面ADE．
(I)在线段CE上存在点M，且，证明BM∥平面ADE；
(Ⅱ)求二面角B---CE---D的平面角的余弦值．
(19)(本小题满分12分)\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对"过年收取手机红包"的情况，抽取了600人进行了随机调查，调查结果如下：
\[来源:\]
将频率视为概率，试解决下列问题：
(I)从该市市民中任意选取1人，求其收到的手机红包金额超过100元的概率；
(Ⅱ)从该市市民中任意选取4人，求至多有1人收到的手机红包金额超过10阿啊阿啊阿啊0元的概率；
(III)若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X．
(i)求所抽取的12人中，收到的手机红包金额超过100元的人数；
(ii)求X的分布列及数学期望．
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率，其左、右顶点分别为点A、B，且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x-2上，点M在椭圆E上，且不与点A、B重合．
(I)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)已知点N在圆上，MN⊥y轴，若直线MA、MB与y轴的交点分别为C、D，求证：为定值．\[来源:学\#科\#网\]
(21)(本小题满分12分)
已知函数．
(1)当*a*≥0时，试讨论的极值点个数，并说明理由；
(Ⅱ)求证：．
\[来源:学\_科\_网\]
请考生从第22、23、24题中任选一题做答。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答．按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
(22)(本小题满分10分)选修4---1：几何证明选讲
如图，AC是⊙O的直径，ABCD是圆内接四边形，DE与⊙O相切于点D，AC的延长线交DE于点E，BC的延长线交DE于点F，且AB／／DE．
(I)求证：CD平分∠ACF；
(11)若AB=3EF，⊙O的半径为1，求线段DE的长．
(23)(本小题满分10分)选修4---4：坐标系与参数方程
已知直线*l*的参数方程是(t是参数)．以坐标原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
(I)求直线*l*的普通方程与圆C的直角坐标方程；
(II)设圆C与直线*l*交于A、B两点，若P点的直角坐标为(1，0)，求的值．
(24)(本小题满分10分)选修4---5：不等式选讲
已知函数，且的最大值记为k．
(I)求不等式的解集；
(II)是否存在正数*a*、*b*，同时满足?请说明理由．
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《圆柱和圆锥》单元测试3（附答案）**
一、填空题。（每题2分，共20分）
1、105平方分米 =（ ）平方米 0.06立方分米 =（ ）毫升来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 2、圆柱的侧面展开可得到一个长方形，它的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ），所以圆柱的侧面积 =（ ）×（ ）。
3、圆柱的体积是75立方厘米，高是15厘米，底面积是（ ）平方厘米。
> 4、一个圆柱体的底面直径和高都是4厘米，它的体积是（ ）立方厘米，与它等底等高的圆锥体的体积是（ ）立方厘米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 5、把一个圆柱体木头削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是16立方分米，则这个圆锥的体积是（ ）立方分米。
>
> 6、一个圆柱的底面半径扩大3倍，高不变，则底面周长扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。
>
> 7、一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积是9立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。
>
> 8、一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等。已知圆锥的高是3.6分米，圆柱的高是（ ）分米。
>
> 9、用进一法把252.5平方米保留整平方米约是（ ）平方米，保留整百平方米约是（ ）平方米。
>
> 10、把一根3米长的木头截成4段，（每段仍是圆柱形），表面积比原来增加30.48平方分米，这根圆柱体木头的体积是（ ）立方分米。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×" ）（每题2分，共12分）
1、体积一般比表面积大。 （ ）
2、铁丝是圆柱体。 （ ）
3、底面积相等的两个圆柱体积相等。 （ ）
4、圆锥体的体积总是圆柱体体积的。 （ ）
5、求圆柱形容积，就是求这个圆柱形容器的体积。 （ ）
> 6、把一个圆柱平均切割成3个小圆柱，那么每个小圆柱的表面积一定是原来圆柱表面积的。 （ ）
三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里）（每题2分，共10分）
1、把一个大圆柱分成两个小圆柱后发生变化的是（ ）
A、圆柱的体积 B、圆柱的表面积 C、圆柱的侧面积
2、压路机的前轮转动一周能压多少路面是指（ ）
A、前轮的体积 B、前轮的表面积 C、前轮的侧面积
> 3、一个长方体和一个圆锥体的底面积和高分别相等，长方体的体积是圆锥体体积的（ ）
A、3倍 B、倍 C、无法确定
4、一个圆锥的体积是31.4立方分米，底面直径是2分米，高是（ ）分米
A、10 B、30 C、60
5、下面三个等底等高的形体中，体积最小的是（ ）
A、正方体 B、圆柱体 C、圆锥体
四、列式计算。（每题6分，共12分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、已知圆柱的底面直径是4分米，高是直径的5倍，求它的体积。
2、已知圆锥的底面周长是25.12厘米，高是30厘米，求它的体积。
五、解决问题。（第2题8分，其余每题7分，共36分）
> 1、王师傅做10节同样大小的圆柱形通风管，每节长8分米，底面半径是5厘米，一共要用多少平方米的铁皮？（得数保留一位小数）
>
> 2、一个圆柱形蓄水池底面内直径是2米，深2米，在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？蓄水池的容积是多少立方米？
3、一个圆锥形沙堆的体积是47.1立方米，高是5米，这个沙堆占地多少平方米？
> 4、绕一个等腰三角形（如下图）的一条直角边旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方分米？（得数保留两位小数）
5、一个圆柱，底面半径是0.2米，高是35分米，它的侧面积是多少平方分米？
六、操作题。（10分）
下面是一个圆柱的侧面展开图，请量出有关数据，并计算出该圆柱的体积。
（取近似值3）
**第一单元测试卷的部分答案：**
一、1、1.05 60
2、底面周长 高 底面周长 高
3、5 4、16 5、8 6、3 9 7、27 8、1.2
9、253 300 10、152.4
二、× √ × × × ×
三、1、B 2、C 3、A 4、B 5、C
四、1、3.14×（）×（4×5）= 251.2（立方分米）
2、×3.14×（25.12÷3.14÷2）×30 = 502.4（立方厘米）
五、1、2×3.14×（5÷100）×（8÷10）×10≈2.5（平方米）
2、3.14×2×2＋3.14×（） = 15.7（平方米）
3.14×（）×2 = 6.28（立方米）
3、47.1÷÷5 = 28.26（平方米）
4、×3.14×4×4≈66.99（立方分米）
5、2×3.14×0.2×10×35 = 439.6（平方分米）
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**河北省衡水中学2016届高三二调**
**数学（理）试题**
**一、选择题（****本大题共****12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1.设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.正项等比数列中，存在两项.，使得，且，则的最小值是（ ）\[来源:Z。xx。k.Com\]
A． B．  C． D．
3.设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5.在中，三个内角，，所对的边为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.设是所在平面上的一点，且，是的中点，则的值为（ ）\[来源:学\*科\*网\]
A． B． C． D．
7.已知锐角是的一个内角，，，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）\[来源:学科网ZXXK\]
A． B． C． D．
9.已知是数列的前项和，，，，数列是公差为的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
**10.函数****与****的图象所有交点的横坐标之和为**（ ）
A． B． C． D．
11.已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.定义在上的单调函数，，，则方程的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13.若，，则的值为 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
14.已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为 [ ]{.underline} ．
15.已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；②；③；④数列中的最大项为；⑥．\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
其中正确命题的个数是 [ ]{.underline} ．
16.已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有个零点，则的取值范围是 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
**三****、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．）**
17.（本小题满分10分）设数列满足，．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
18.（本小题满分12分）已知角，，是的三个内角，，，是各角的对边，若向量，，且．
求的值；
求的最大值．
19.（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．
求函数在区间上的最大值和最小值；
在中，，，分别为角，，所对的边，且，，求角的大小；
在的条件下，若，求的值．
20.（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数底数．
讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
设，若函数对任意都成立，求的最大值．
21.（本小题满分12分）设函数，．
当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；
是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分12分）已知函数（）．
当时，求函数的单调区间；
若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．
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**2021年河北省普通高中学业水平选择性考试**
**化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 B-11 C-12 O-16 Na-23 P-31 S-32 C1-35.5 K-39 Pb-207**
**一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. "灌钢法"是我国古代劳动人民对钢铁冶炼技术的重大贡献，陶弘景在其《本草经集注》中提到"钢铁是杂炼生鍒作刀镰者"。"灌钢法"主要是将生铁和熟铁(含碳量约0.1%)混合加热，生铁熔化灌入熟铁，再锻打成钢。下列说法错误的是
A. 钢是以铁为主的含碳合金
B. 钢的含碳量越高，硬度和脆性越大
C. 生铁由于含碳量高，熔点比熟铁高
D. 冶炼铁的原料之一赤铁矿的主要成分为Fe~2~O~3~
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．钢是含碳量低的铁合金，故A正确；
B．钢的硬度和脆性与含碳量有关，随着含碳量的增大而增大，故正确；
C．由题意可知，生铁熔化灌入熟铁，再锻打成钢，说明生铁的熔点低于熟铁，故C错误；
D．赤铁矿的主要成分是Fe~2~O~3~，可用于冶炼铁，故D正确；
故选C。
2\. 高分子材料在生产生活中应用广泛。下列说法错误的是
A. 芦苇可用于制造黏胶纤维，其主要成分为纤维素
B. 聚氯乙烯通过加聚反应制得，可用于制作不粘锅的耐热涂层
C. 淀粉是相对分子质量可达几十万的天然高分子物质
D. 大豆蛋白纤维是一种可降解材料
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．芦苇中含有天然纤维素，可用于制造黏胶纤维，故A正确；
B．聚氯乙烯在高温条件下会分解生成有毒气体，因此不能用于制作不粘锅的耐热涂层，故B错误；
C．淀粉为多糖，属于天然高分子物质，其相对分子质量可达几十万，故C正确；
D．大豆蛋白纤维的主要成分为蛋白质，能够被微生物分解，因此大豆蛋白纤维是一种可降解材料，故D正确；
综上所述，说法错误的是B项，故答案为B。
3\. 下列操作规范且能达到实验目的的是
A. 图甲测定醋酸浓度 B. 图乙测定中和热
C. 图丙稀释浓硫酸 D. 图丁萃取分离碘水中的碘
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．氢氧化钠溶液呈碱性，因此需装于碱式滴定管，氢氧化钠溶液与醋酸溶液恰好完全反应后生成的醋酸钠溶液呈碱性，因此滴定过程中选择酚酞作指示剂，当溶液由无色变为淡红色时，达到滴定终点，故A选；
B．测定中和热实验中温度计用于测定溶液温度，因此不能与烧杯内壁接触，并且大烧杯内空隙需用硬纸板填充，防止热量散失，故B不选；
C．容量瓶为定容仪器，不能用于稀释操作，故C不选；
D．分液过程中长颈漏斗下方放液端的长斜面需紧贴烧杯内壁，防止液体留下时飞溅，故D不选；
综上所述，操作规范且能达到实验目的的是A项，故答案为A。
4\. 硫和氮及其化合物对人类生存和社会发展意义重大，但硫氧化物和氮氧化物造成的环境问题也日益受到关注，下列说法正确的是
A. NO~2~和SO~2~均为红棕色且有刺激性气味的气体，是酸雨的主要成因
B. 汽车尾气中的主要大气污染物为NO、SO~2~和PM2.5
C. 植物直接吸收利用空气中的NO和NO~2~作为肥料，实现氮的固定
D. 工业废气中的SO~2~可采用石灰法进行脱除
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．是红棕色且有刺激性气味的气体，而是无色有刺激性气味的气体，A错误；
B．汽车尾气的主要大气污染物为C与N的氧化物，如NO~x~和CO等，B错误；
C．氮的固定是指将游离态的氮元素转化为化合态，且植物可吸收土壤中的铵根离子或硝酸根离子作为肥料，不能直接吸收空气中的氮氧化物，C错误；
D．工业废气中的可采用石灰法进行脱除，如加入石灰石或石灰乳均可进行脱硫处理，D正确；
故选D。
5\. 用中子轰击X原子产生α粒子(即氮核He)的核反应为：X+n→Y+He。已知元素Y在化合物中呈+1价。下列说法正确的是
A. H~3~XO~3~可用于中和溅在皮肤上的NaOH溶液
B. Y单质在空气中燃烧的产物是Y~2~O~2~
C. X和氢元素形成离子化合物
D. ^6^Y和^7^Y互为同素异形体
【答案】A
【解析】
【分析】根据核反应为：可知，X的质量数N为4+7-1=10，又因为Y在化合物中呈价，则推知Y位于IA族，质量数=质子数+中子数，Y的质量数为7，所以得出Y为Li，其质子数p=3，所以X的质子数Z=3+2-0=5，核电荷数=原子序数=核内质子数=5，则推知X属于B元素，据此分析解答。
【详解】A．为硼酸，氢氧化钠溶液具有腐蚀性，若不慎将溶液溅到皮肤上，则需用大量水冲洗，同时涂抹，以中和碱液，A正确；
B．Y为Li，在空气中燃烧的产物只有Li~2~O，B错误；
C．X为B，与氢元素会形成BH~3~或B~2~H~4~等硼氢化合物，B元素与H元素以共价键结合，属于共价化合物，C错误；
D．和两者的质子数均为3，中子数不同，所以两者互为同位素，D错误；
故选A。
6\. BiOCl是一种具有珠光泽的材料，利用金属Bi制备BiOCl的工艺流程如图：
下列说法错误的是
A. 酸浸工序中分次加入稀HNO~3~可降低反应剧烈程度
B. 转化工序中加入稀HCl可抑制生成BiONO~3~
C. 水解工序中加入少量CH~3~COONa(s)可提高Bi^3+^水解程度
D. 水解工序中加入少量NH~4~NO~3~(s)有利于BiOCl的生成
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．硝酸为强氧化剂，可与金属铋反应，酸浸工序中分次加入稀，反应物硝酸的用量减少，可降低反应剧烈程度，A正确；
B．金属铋与硝酸反应生成的硝酸铋会发生水解反应生成，水解的离子方程式为，转化工序中加入稀，使氢离子浓度增大，根据勒夏特列原理分析，硝酸铋水解平衡左移，可抑制生成，B正确；
C．氯化铋水解生成的离子方程式为，水解工序中加入少量，醋酸根会结合氢离子生成弱电解质醋酸，使氢离子浓度减小，根据勒夏特列原理分析，氯化铋水解平衡右移，促进水解，C正确；
D．氯化铋水解生成的离子方程式为，水解工序中加入少量，铵根离子水解生成氢离子，使氢离子浓度增大，根据勒夏特列原理分析，氯化铋水解平衡左移，不利于生成，且部分铋离子与硝酸根、水也会发生反应，也不利于生成，综上所述，D错误；
故选D。
7\. N~A~是阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是
A. 22.4L(标准状况)氟气所含的质子数为18N~A~
B. 1mol碘蒸气和1mol氢气在密闭容器中充分反应，生成的碘化氢分子数小于2N~A~
C. 电解饱和食盐水时，若阴阳两极产生气体的总质量为73g，则转移电子数为N~A~
D. 1L1mol•L^-1^溴化铵水溶液中NH与H^+^离子数之和大于N~A~
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．在标准状况下氟气的物质的量为1mol，其质子数为1mol=，A正确；
B．碘蒸气与氢气发生的反应为：，反应为可逆反应，有一定的限度，所以充分反应，生成的碘化氢分子数小于，B正确；
C．电解饱和食盐水时电极总反应为：2NaCl+2H~2~O2NaOH+H~2~↑+Cl~2~↑，若阴阳两极产生气体分别是氢气与氯气，且物质的量之比为1:1，若气体的总质量为，则说明反应生成的氢气与氯气的物质的量各自为1mol，根据关系式H~2~2e^-^可知，转移的电子数为，C错误；
D．溴化铵水溶液存在电荷守恒，即c()+c()=c(Br^-^)+c(OH^-^)，则物质的量也满足n()+n()=n(Br^-^)+n(OH^-^)，因为n(Br^-^)=，所以该溶液中与离子数之和大于，D正确；
故选C
8\. 苯并降冰片烯是一种重要的药物合成中间体，结构简式如图。关于该化合物，下列说法正确的是
A. 是苯的同系物
B. 分子中最多8个碳原子共平面
C. 一氯代物有6种(不考虑立体异构)
D. 分子中含有4个碳碳双键
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．苯的同系物必须是只含有1个苯环，侧链为烷烃基的同类芳香烃，由结构简式可知，苯并降冰片烯的侧链不是烷烃基，不属于苯的同系物，故A错误；
B．由结构简式可知，苯并降冰片烯分子中苯环上的6个碳原子和连在苯环上的2个碳原子共平面，共有8个碳原子，故B正确；
C．由结构简式可知，苯并降冰片烯分子的结构上下对称，分子中含有5类氢原子，则一氯代物有5种，故C错误；
D．苯环不是单双键交替的结构，由结构简式可知，苯并降冰片烯分子中只含有1个碳碳双键，故D错误；
故选B。
9\. K---O~2~电池结构如图，a和b为两个电极，其中之一为单质钾片。关于该电池，下列说法错误的是
A. 隔膜允许K^+^通过，不允许O~2~通过
B. 放电时，电流由b电极沿导线流向a电极；充电时，b电极为阳极
C. 产生1Ah电量时，生成KO~2~的质量与消耗O~2~的质量比值约为2.22
D. 用此电池为铅酸蓄电池充电，消耗3.9g钾时，铅酸蓄电池消耗0.9g水
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知，a电极为原电池的负极，单质钾片失去电子发生氧化反应生成钾离子，电极反应式为K---e^-^=K^+^，b电极为正极，在钾离子作用下，氧气在正极得到电子发生还原反应生成超氧化钾；据以上分析解答。
【详解】A．金属性强的金属钾易与氧气反应，为防止钾与氧气反应，电池所选择隔膜应允许通过，不允许通过，故A正确；
B．由分析可知，放电时，a为负极，b为正极，电流由b电极沿导线流向a电极，充电时，b电极应与直流电源的正极相连，做电解池的为阳极，故B正确；
C．由分析可知，生成1mol超氧化钾时，消耗1mol氧气，两者的质量比值为1mol×71g/mol：1mol×32g/mol≈2.22：1，故C正确；
D．铅酸蓄电池充电时的总反应方程式为2PbSO~4~+2H~2~O＝PbO~2~+Pb+2H~2~SO~4~，反应消耗2mol水，转移2mol电子，由得失电子数目守恒可知，耗钾时，铅酸蓄电池消耗水的质量为×18g/mol=1.8g，故D错误；
故选D
**二、不定项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有一项或两项符合题目要求。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得4分，但只要选错一个，该小题得0分。**
10\. 关于非金属含氧酸及其盐的性质，下列说法正确的是
A. 浓H~2~SO~4~具有强吸水性，能吸收糖类化合物中的水分并使其炭化
B. NaClO、KClO~3~等氯的含氧酸盐的氧化性会随溶液的pH减小而增强
C. 加热NaI与浓H~3~PO~4~混合物可制备HI，说明H~3~PO~4~比HI酸性强
D. 浓HNO~3~和稀HNO~3~与Cu反应的还原产物分别为NO~2~和NO，故稀HNO~3~氧化性更强
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．浓硫酸能使蔗糖炭化，体现的是其脱水性，而不是吸水性，A错误；
B．NaClO在水溶液中会发生水解，离子方程式为：，pH减小，则酸性增强，会促使平衡向正反应方向移动，生成氧化性更强的HClO，在酸性条件下可生成具有强氧化性的氯气、二氧化氯等气体，增强氧化能力，B正确；
C．HI的沸点低，易挥发加热与浓混合物发生反应生成利用的是高沸点酸制备低沸点酸的原理，C错误；
D．相同条件下根据铜与浓硝酸、稀硝酸反应的剧烈程度可知，浓硝酸的氧化性大于稀硝酸的氧化性，D错误；
故选B。
11\. 如图所示的两种化合物可应用于阻燃材料和生物材料的合成。其中W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，X和Z同主族，Y原子序数为W原子价电子数的3倍。下列说法正确的是
A. X和Z的最高化合价均为+7价
B. HX和HZ在水中均为强酸，电子式可表示为与
C. 四种元素中，Y原子半径最大，X原子半径最小
D. Z、W和氢三种元素可形成同时含有离子键和共价键的化合物
【答案】CD
【解析】
【分析】结合图中所示结构可知图中两种化合物均为共价化合物，已知X和Z同主族，可得X和Z同为第ⅦA族，Y为第ⅤA族元素，W为第ⅢA族或第ⅤA族元素，再结合W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素， Y原子序数为W原子价电子数的3倍推知W、X、Y、Z分别为N、F、P、Cl，据此答题。
【详解】A．X和Z分别是F、Cl，F无正价，A错误；
B．和分别是HF和HCl，HF在水中不是强酸，B错误；
C．四种元素W（N）、X（F）、Y（P）、Z（Cl）中，W（N）、X（F）有两个电子层，Y（P）、Z（Cl）有三个电子层，半径大于W（N）和X（F），Y（P）原子序数小于Z（Cl），故Y原子半径在这四种元素中最大；X（F）原子序数大于W（N），故X原子半径在这四种元素中最小，C正确；
D．Z（Cl）、W（N）和氢三种元素可形成氯化铵，属于同时含有离子键和共价键的化合物，D正确；
故选CD。
12\. 番木鳖酸具有一定的抗炎、抗菌活性，结构简式如图。下列说法错误的是
A. 1mol该物质与足量饱和NaHCO~3~溶液反应，可放出22.4L(标准状况)CO~2~
B. 一定量该物质分别与足量Na、NaOH反应，消耗二者物质的量之比为5：1
C. 1mol该物质最多可与2molH~2~发生加成反应
D. 该物质可被酸性KMnO~4~溶液氧化
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】A．根据分子的结构简式可知，1 mol该分子中含有1mol -COOH，可与溶液反应生成1mol，在标准状况下其体积为，A正确；
B．1mol分子中含5mol羟基和1mol羧基，其中羟基和羧基均能与Na发生置换反应产生氢气，而只有羧基可与氢氧化钠发生中和反应，所以一定量的该物质分别与足量反应，消耗二者物质的量之比为，B错误；
C．分子中含1mol碳碳双键，其他官能团不与氢气发生加成反应，所以1mol该物质最多可与发生加成反应，C错误；
D．分子中含碳碳双键和羟基，均能被酸性溶液氧化，D正确；
故选BC。
13\. 室温下，某溶液初始时仅溶有M和N且浓度相等，同时发生以下两个反应：①M+N=X+Y；②M+N=X+Z，反应①的速率可表示为v~1~=k~1~c^2^(M)，反应②的速率可表示为v~2~=k~2~c^2^(M) (k~1~、k~2~为速率常数)。反应体系中组分M、Z的浓度随时间变化情况如图，下列说法错误的是
A. 0～30min时间段内，Y的平均反应速率为6.67×10^-8^mol•L^-1^•min^-1^
B. 反应开始后，体系中Y和Z的浓度之比保持不变
C. 如果反应能进行到底，反应结束时62.5%的M转化为Z
D. 反应①的活化能比反应②的活化能大
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．由图中数据可知，时，M、Z浓度分别为0.300和0.125 ，则M的变化量为0.5-0.300 =0.200 ，其中转化为Y的变化量为0.200-0.125 =0.075 。因此，时间段内，Y的平均反应速率为 ，A说法不正确；
B．由题中信息可知，反应①和反应②的速率之比为，Y和Z分别为反应①和反应②的产物，且两者与M的化学计量数相同（化学计量数均为1），因此反应开始后，体系中Y和Z的浓度之比等于 ，由于k~1~、k~2~为速率常数，故该比值保持不变，B说法正确；
C．结合A、B的分析可知因此反应开始后，在相同的时间内体系中Y和Z的浓度之比等于=，因此，如果反应能进行到底，反应结束时有 的M转化为Z，即的M转化为Z，C说法正确；
D．由以上分析可知，在相同的时间内生成Z较多、生成Y较少，因此，反应①的化学反应速率较小，在同一体系中，活化能较小的化学反应速率较快，故反应①的活化能比反应②的活化能大，D说法正确。
综上所述，相关说法不正确的只有A，故本题选A。
**三、非选择题：共57分，第14\~16题为必考题，每个试题考生都必须作答。第17\~18题为选考题，考生根据要求作答。**
14\. 化工专家侯德榜发明的侯氏制碱法为我国纯碱工业和国民经济发展做出了重要贡献，某化学兴趣小组在实验室中模拟并改进侯氏制碱法制备NaHCO~3~，进一步处理得到产品Na~2~CO~3~和NH~4~Cl，实验流程如图：
回答下列问题：
(1)从A～E中选择合适的仪器制备NaHCO~3~，正确的连接顺序是\_\_\_(按气流方向，用小写字母表示)。为使A中分液漏斗内的稀盐酸顺利滴下，可将分液漏斗上部的玻璃塞打开或\_\_\_。
A.  B.  C.  D.  E.
(2)B中使用雾化装置的优点是\_\_。
(3)生成NaHCO~3~的总反应的化学方程式为\_\_\_。
(4)反应完成后，将B中U形管内的混合物处理得到固体NaHCO~3~和滤液：
①对固体NaHCO~3~充分加热，产生的气体先通过足量浓硫酸，再通过足量Na~2~O~2~，Na~2~O~2~增重0.14g，则固体NaHCO~3~的质量为\_\_\_g。
②向滤液中加入NaCl粉末，存在NaCl(s)+NH~4~Cl(aq)→NaCl(aq)+NH~4~Cl(s)过程。为使NH~4~Cl沉淀充分析出并分离，根据NaCl和NH~4~Cl溶解度曲线，需采用的操作为\_\_\_、\_\_\_、洗涤、干燥。
(5)无水NaHCO~3~可作为基准物质标定盐酸浓度.称量前，若无水NaHCO~3~保存不当，吸收了一定量水分，用其标定盐酸浓度时，会使结果\_\_\_(填标号)。
A.偏高 B.偏低 不变
【答案】 (1). aefbcgh (2). 将玻璃塞上的凹槽对准漏斗颈部的小孔 (3). 使氨盐水雾化，可增大与二氧化碳的接触面积，从而提高产率（或其他合理答案） (4). NH~3~H~2~O+NaCl+CO~2~=NH~4~Cl+NaHCO~3~↓ (5). 0.84 (6). 蒸发浓缩 (7). 冷却结晶 (8). A
【解析】
【分析】根据工艺流程知，浓氨水中加入氯化钠粉末形成饱和氨盐水后，再通入二氧化碳气体，发生反应：NH~3~H~2~O+NaCl+CO~2~=NH~4~Cl+NaHCO~3~↓，得到的碳酸氢钠晶体烘干后受热分解会生成碳酸钠、二氧化碳和水，从而制备得到纯碱；另一方面得到的母液主要溶质为NH~4~Cl，再从加入氯化钠粉末，存在反应，据此分析解答。
【详解】(1)根据分析可知，要制备，需先选用装置A制备二氧化碳，然后通入饱和碳酸氢钠溶液中除去二氧化碳中的HCl，后与饱和氨盐水充分接触来制备，其中过量的二氧化碳可被氢氧化钠溶液吸收，也能充分利用二氧化碳制备得到少量，所以按气流方向正确的连接顺序应为：aefbcgh；为使A中分液漏斗内的稀盐酸顺利滴下，可将分液漏斗上部的玻璃塞打开或将玻璃塞上的凹槽对准漏斗颈部的小孔，故答案为：aefbcgh；将玻璃塞上的凹槽对准漏斗颈部的小孔；
(2)B中使用雾化装置使氨盐水雾化，可增大与二氧化碳的接触面积，从而提高产率；
(3)根据上述分析可知，生成的总反应的化学方程式为NH~3~H~2~O+NaCl+CO~2~=NH~4~Cl+NaHCO~3~↓；
(4)①对固体充分加热，产生二氧化碳和水蒸气，反应的化学方程式为： 将气体先通过足量浓硫酸，吸收水蒸气，再通过足量，与二氧化碳反应生成碳酸钠和氧气，化学方程式为：，根据方程式可知，根据差量法可知，当增重（2CO的质量）时，消耗的二氧化碳的质量为=0.22g，其物质的量为，根据关系式可知，消耗的的物质的量为20.005mol=0.01mol，所以固体的质量为0.01mol84g/mol=0.84g；
②根据溶解度虽温度的变化曲线可以看出，氯化铵的溶解度随着温度的升高而不断增大，而氯化钠的溶解度随着温度的升高变化并不明显，所以要想使沉淀充分析出并分离，需采用蒸发浓缩、冷却结晶、洗涤、干燥的方法，故答案为：蒸发浓缩、冷却结晶；
(5)称量前，若无水保存不当，吸收了一定量水分，标准液被稀释，浓度减小，所以用其标定盐酸浓度时，消耗的碳酸氢钠的体积会增大，根据c(测)=可知，最终会使c(测)偏高，A项符合题意，故答案为：A。
15\. 绿色化学在推动社会可持续发展中发挥着重要作用。某科研团队设计了一种熔盐液相氧化法制备高价铬盐的新工艺，该工艺不消耗除铬铁矿、氢氧化钠和空气以外的其他原料，不产生废弃物，实现了Cr---Fe---Al---Mg的深度利用和Na^+^内循环。工艺流程如图：
回答下列问题：
(1)高温连续氧化工序中被氧化的元素是\_\_\_\_\_\_\_(填元素符号)。
(2)工序①的名称为\_\_。
(3)滤渣的主要成分是\_\_(填化学式)。
(4)工序③中发生反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)物质V可代替高温连续氧化工序中的NaOH，此时发生的主要反应的化学方程式为\_\_，可代替NaOH的化学试剂还有\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
(6)热解工序产生的混合气体最适宜返回工序\_\_\_\_\_\_\_(填"①"或"②"或"③"或"④")参与内循环。
(7)工序④溶液中的铝元素恰好完全转化为沉淀的pH为\_\_。(通常认为溶液中离子浓度小于10^-5^mol•L^-1^为沉淀完全；A1(OH)~3~+OH^-^⇌Al(OH)：K=10^0.63^，K~w~=10^-14^，K~sp~\[A1(OH)~3~\]=10^-33^)
【答案】 (1). Fe、Cr (2). 溶解浸出 (3). MgO、Fe~2~O~3~ (4). 2Na^+^+2+2CO~2~+H~2~O=+2NaHCO~3~↓ (5). 4Fe(CrO~2~)~2~+ 7O~2~+16NaHCO~3~8Na~2~CrO~4~+2 Fe~2~O~3~+ 16CO~2~+8H~2~O (6). Na~2~CO~3~ (7). ② (8). 8.37
【解析】
【分析】由题给流程可知，铬铁矿、氢氧化钠和空气在高温下连续氧化发生的反应为，在熔融氢氧化钠作用下，Fe(CrO~2~)~2~被氧气高温氧化生成铬酸钠和氧化铁，氧化铝与熔融氢氧化钠反应转化为偏铝酸钠，氧化镁不反应；将氧化后的固体加水溶解，过滤得到含有氧化镁、氧化铁的滤渣1和含有过量氢氧化钠、铬酸钠、偏铝酸钠的滤液；将滤液在介稳态条件下分离得到铬酸钠溶液、氢氧化钠溶液和偏铝酸钠溶液；向铬酸钠溶液中通入过量的二氧化碳得到重铬酸钠和碳酸氢钠沉淀；向偏铝酸钠溶液中通入过量的二氧化碳气体得到氢氧化铝沉淀和碳酸氢钠；向滤渣1中通入二氧化碳和水蒸气，氧化镁与二氧化碳和水蒸气反应转化为碳酸氢镁溶液；碳酸氢镁溶液受热分解得到碳酸镁固体和二氧化碳、水蒸气，二氧化碳、水蒸气可以在工序②循环使用；碳酸镁高温煅烧得到氧化镁。
【详解】(1)由分析可知，高温连续氧化工序中被氧化的元素是铁元素和铬元素，故答案为：Fe、Cr；
(2)由分析可知，工序①为将氧化后的固体加水溶解浸出可溶性物质，故答案为：溶解浸出；
(3)由分析可知，滤渣Ⅰ的主要成分是氧化铁和氧化镁，故答案为：MgO、Fe~2~O~3~；
(4)工序③中发生的反应为铬酸钠溶液与过量的二氧化碳反应生成重铬酸钠和碳酸氢钠沉淀，反应的离子方程式为2Na^+^+2+2CO~2~+H~2~O= +2NaHCO~3~↓，故答案为：2Na^+^+2+2CO~2~+H~2~O= +2NaHCO~3~↓；
(5)碳酸氢钠代替高温连续氧化工序中的氢氧化钠发生的主要反应为高温下，，Fe(CrO~2~)~2~与氧气和碳酸氢钠反应生成铬酸钠、氧化铁、二氧化碳和水，反应的化学方程式为4Fe(CrO~2~)~2~+ 7O~2~+16NaHCO~3~8Na~2~CrO~4~+2 Fe~2~O~3~+ 16CO~2~+8H~2~O；若将碳酸氢钠换为碳酸钠也能发生类似的反应，故答案为：4Fe(CrO~2~)~2~+ 7O~2~+16NaHCO~3~8Na~2~CrO~4~+2 Fe~2~O~3~+ 16CO~2~+8H~2~O；
(6)热解工序产生的混合气体为二氧化碳和水蒸气，将混合气体通入滤渣1中可以将氧化镁转化为碳酸氢镁溶液，则混合气体最适宜返回工序为工序②，故答案为：②；
(7)工序④溶液中的铝元素恰好完全转化为沉淀的反应为，反应的平衡常数为K~1~====10^13.37^，当为10^---5^mol/L时，溶液中氢离子浓度为=mol/L=10^---8.37^mol/L，则溶液的pH为8.37，故答案为：8.37。
16\. 当今，世界多国相继规划了碳达峰、碳中和的时间节点。因此，研发二氧化碳利用技术，降低空气中二氧化碳含量成为研究热点。
(1)大气中的二氧化碳主要来自于煤、石油及其他含碳化合物的燃烧。已知25℃时，相关物质的燃烧热数据如表：
------------------------ --------- ------------ -------------
物质 H~2~(g) C(石墨，s) C~6~H~6~(l)
燃烧热△*H*(kJ•mol^-1^) -285.8 -393.5 -3267.5
------------------------ --------- ------------ -------------
(1)则25℃时H~2~(g)和C(石墨，s)生成C~6~H~6~(l)的热化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)雨水中含有来自大气的CO~2~，溶于水中的CO~2~进一步和水反应，发生电离：
①CO~2~(g)=CO~2~(aq)
②CO~2~(aq)+H~2~O(l)=H^+^(aq)+HCO(aq)
25℃时，反应②的平衡常数为*K*~2~。
溶液中CO~2~的浓度与其在空气中的分压成正比(分压=总压×物质的量分数)，比例系数为ymol•L^-1^•kPa^-1^，当大气压强为pkPa，大气中CO~2~(g)的物质的量分数为x时，溶液中H^+^浓度为\_\_\_\_\_\_\_\_mol•L^-1^(写出表达式，考虑水的电离，忽略HCO的电离)
(3)105℃时，将足量的某碳酸氢盐(MHCO~3~)固体置于真空恒容容器中，存在如下平衡：2MHCO~3~(s)M~2~CO~3~(s)+H~2~O(g)+CO~2~(g)。上述反应达平衡时体系的总压为46kPa。
保持温度不变，开始时在体系中先通入一定量的CO~2~(g)，再加入足量MHCO~3~(s)，欲使平衡时体系中水蒸气的分压小于5kPa，CO~2~(g)的初始压强应大于\_\_\_\_\_\_\_\_kPa。
(4)我国科学家研究Li---CO~2~电池，取得了重大科研成果，回答下列问题：
①Li---CO~2~电池中，Li为单质锂片，则该电池中的CO~2~在\_\_\_(填"正"或"负")极发生电化学反应。研究表明，该电池反应产物为碳酸锂和单质碳，且CO~2~电还原后与锂离子结合形成碳酸锂按以下4个步骤进行，写出步骤Ⅲ的离子方程式。
Ⅰ.2CO~2~+2e^-^=C~2~O Ⅱ.C~2~O=CO~2~+CO
Ⅲ.\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ Ⅳ.CO+2Li^+^=Li~2~CO~3~
②研究表明，在电解质水溶液中，CO~2~气体可被电化学还原。
Ⅰ.CO~2~在碱性介质中电还原为正丙醇(CH~3~CH~2~CH~2~OH)的电极反应方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
Ⅱ.在电解质水溶液中，三种不同催化剂(a、b、c)上CO~2~电还原为CO的反应进程中(H^+^被还原为H~2~的反应可同时发生)，相对能量变化如图.由此判断，CO~2~电还原为CO从易到难的顺序为\_\_\_\_\_\_\_(用a、b、c字母排序)。
【答案】 (1). 6C(石墨，s)+3H~2~(g)= C~6~H~6~(l) *H*=49.1kJmol^-1^ (2). (3). 100.8 (4). 正极 (5). 2C+CO~2~=2C+C (6). 12CO~2~+18e^-^+4H~2~O=CH~3~CH~2~CH~2~OH+9C (7). c、b、a
【解析】
【分析】
【详解】(1)根据表格燃烧热数据可知，存在反应①C(石墨，s)+O~2~(g)=CO~2~(g) *H*~1~=-393.5kJmol^-1^，②H~2~(g)+O~2~(g)=H~2~O(l) *H*~2~=-285.8kJmol^-1^，③C~6~H~6~(l)+O~2~(g)=6CO~2~(g)+6H~2~O(l) *H*~3~=-3267.5kJmol^-1^，根据盖斯定律，\[①12+②6\] -③得反应：6C(石墨，s)+3H~2~(g)= C~6~H~6~(l)，*H*=\[(-393.5kJmol^-1^)+(-285.8kJmol^-1^)6\]-(-3267.5kJmol^-1^)=49.1kJmol^-1^，故答案为：6C(石墨，s)+3H~2~(g)= C~6~H~6~(l) *H*=49.1kJmol^-1^；
(2)由题可知，①CO~2~(s)CO~2~(aq)，②CO~2~(aq)+H~2~O(l)H^+^(aq)+HC(aq)，*K*~2~*=*，又因为p(CO~2~)=p(kPa)x，则c(CO~2~)=y(mol•L^-1^•kPa^-1^)p(CO~2~)=pxy mol/L，在忽略HC的电离时，c(H^+^)=c(HC)，所以可得c(H^+^)=，故答案为：；
(3)2MHCO~3~(s)M~2~CO~3~(s)+H~2~O(g)+ CO~2~(g)，等温等容条件下，压强之比等于物质的量之比，可用分压表示物质的量浓度，平衡常数*K*~p~===529kPa^2^。温度不变化学平衡常数*K*~p~不变，设平衡时，平衡体系中CO~2~的分压为x，则K== 529kPa^2^，=kPa=105.8kPa，CO~2~的初始压强等于平衡压强减去碳酸氢盐分解产生的CO~2~的分压，即CO~2~(g)的初始压强应大于105.8kPa-5kPa=100.8kPa，故答案为：100.8；
(4)①由题意知，Li-CO~2~电池的总反应式为：4Li+3CO~2~=2Li~2~CO~3~+C，CO~2~发生得电子的还原反应，则CO~2~作为电池的正极；CO~2~还原后与Li^+^结合成Li~2~CO~3~，按4个步骤进行，由步骤II可知生成了C，而步骤IV需要C参加反应，所以步骤III的离子方程式为：2C+CO~2~=2C+C，故答案为：正极；2C+CO~2~=2C+C；
②I.CO~2~在碱性条件下得电子生成CH~3~CH~2~CH~2~OH，根据电子守恒和电荷守恒写出电极反应式为：12CO~2~+18e^-^+4H~2~O=CH~3~CH~2~CH~2~OH+9C，故答案为：12CO~2~+18e^-^+4H~2~O=CH~3~CH~2~CH~2~OH+9C；
II.c催化剂条件下，CO~2~电还原的活化能小于H^+^电还原的活化能，更容易发生CO~2~的电还原；而催化剂a和b条件下，CO~2~电还原的活化能均大于H^+^电还原的活化能，相对来说，更易发生H^+^的电还原。其中a催化剂条件下，H^+^电还原的活化能比CO~2~电还原的活化能小的更多，发生H^+^电还原的可能性更大，因此反应从易到难的顺序为c、b、a，故答案为：c、b、a。
**(二)选考题：共15分。请考生从2道题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。**
17\. KH~2~PO~4~晶体具有优异的非线性光学性能。我国科学工作者制备的超大KH~2~PO~4~晶体已应用于大功率固体激光器，填补了国家战略空白。回答下列问题：
(1)在KH~2~PO~4~的四种组成元素各自所能形成的简单离子中，核外电子排布相同的是\_\_(填离子符号)。
(2)原子中运动电子有两种相反的自旋状态，若一种自旋状态用+表示，与之相反的用-表示，称为电子的自旋磁量子数.对于基态的磷原子，其价电子自旋磁量子数的代数和为\_\_\_。
(3)已知有关氨、磷的单键和三键的键能(kJ•mol^-1^)如表：
------- ----- ------- -----
N---N N≡N P---P P≡P
193 946 197 489
------- ----- ------- -----
从能量角度看，氮以N~2~、而白磷以P~4~(结构式可表示为)形式存在的原因是\_\_\_。
(4)已知KH~2~PO~4~是次磷酸的正盐，H~3~PO~2~的结构式为\_\_\_，其中P采取\_\_\_杂化方式。
(5)与PO电子总数相同的等电子体的分子式为\_\_。
(6)磷酸通过分子间脱水缩合形成多磷酸，如：
如果有n个磷酸分子间脱水形成环状的多磷酸，则相应的酸根可写为\_\_\_。
(7)分别用○、●表示H~2~PO和K^+^，KH~2~PO~4~晶体的四方晶胞如图(a)所示，图(b)、图(c)分别显示的是H~2~PO、K^+^在晶胞xz面、yz面上的位置：
①若晶胞底边的边长均为apm、高为cpm，阿伏加德罗常数的值为*N*~A~，晶体的密度\_\_g•cm^-3^(写出表达式)。
②晶胞在x轴方向的投影图为\_\_(填标号)。
【答案】 (1). 和 (2). 或 (3). 在原子数目相同的条件下，N~2~比N~4~具有更低的能量，而P~4~比P~2~具有更低的能量，能量越低越稳定 (4).  (5). sp^3^ (6). SiF~4~、SO~2~F~2~等 (7). (8). (9). B
【解析】
【分析】
【详解】(1)在的四种组成元素各自所能形成的简单离子分别为（或）、、和，其中核外电子排布相同的是和。
(2)对于基态的磷原子，其价电子排布式为，其中3s轨道的2个电子自旋状态相反，自旋磁量子数的代数和为0；根据洪特规则可知，其3p轨道的3个电子的自旋状态相同，因此，基态磷原子的价电子的自旋磁量子数的代数和为或。
(3)根据表中的相关共价键的键能可知，若6mol N形成类似白磷分子结构的N~4~分子，可以释放出的能量为193kJ×6=1158kJ；若6mol N形成N~2~分子，则可释放的能量为946kJ×2=1892kJ，显然，形成N~2~分子放出的能量更多，故在N数目相同的条件下，N~2~具有更低的能量，能量越低越稳定。同理，若6mol P形成分子，可以释放出的能量为197kJ×6=1182kJ；若6mol P形成P~2~分子，则可释放的能量为489kJ×2=978kJ，显然，形成P~4~分子放出的能量更多，故在P数目相同的条件下，P~4~具有更低的能量，能量越低越稳定。
(4)含氧酸分子中只有羟基上的H可以电离；由是次磷酸的正盐可知，为一元酸，其分子中只有一个羟基，另外2个H与P成键，还有一个O与P形成双键，故其结构式为，其中P共形成4个σ键、没有孤电子对，故其价层电子对数为4，其采取sp^3^杂化。
(5)等电子体之间的原子总数和价电子总数都相同，根据前加后减、前减后加、总数不变的原则，可以找到与电子总数相同的等电子体分子为SiF~4~、SO~2~F~2~等。
(6)由题中信息可知，n个磷酸分子间脱去（n-1）个水分子形成链状的多磷酸，因此，如果有n个磷酸分子间脱水形成环状的多磷酸，则可脱去n个水分子得到(HPO~3~)~n~，其失去后得到相应的酸根，故该酸根可写为。
(7)①由晶胞结构可知，位于晶胞的顶点、面上和体心，顶点上有8个、面上有4个，体心有1个，故晶胞中的数目为；位于面上和棱上，面上有6个，棱上4个，故晶胞中的数目为。因此，平均每个晶胞中占有的和的数目均为4，若晶胞底边的边长均为、高为，则晶胞的体积为10^-30^a^2^c cm^3^，阿伏加德罗常数的值为，晶体的密度为。
②由图（a）、（b）、（c）可知，晶胞在x轴方向的投影图为 ，选B。
18\. 丁苯酞(NBP)是我国拥有完全自主知识产权的化学药物，临床上用于治疗缺血性脑卒中等疾病。ZJM---289是一种NBP开环体(HPBA)衍生物，在体内外可经酶促或化学转变成NBP和其它活性成分，其合成路线如图：
已知信息：+R^2^CH~2~COOH (R^1^=芳基)
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_。
(2)D有多种同分异构体，其中能同时满足下列条件的芳香族化合物的结构简式为\_\_\_、\_\_\_。
①可发生银镜反应，也能与FeCl~3~溶液发生显色反应；
②核磁共振氢谱有四组峰，峰面积比为1∶2∶2∶3。
(3)E→F中(步骤1)的化学方程式为\_\_。
(4)G→H的反应类型为\_\_\_。若以NaNO~3~代替AgNO~3~，则该反应难以进行，AgNO~3~对该反应的促进作用主要是因为\_\_。
(5)HPBA的结构简式为\_\_。通常酯化反应需在酸催化、加热条件下进行，对比HPBA和NBP的结构，说明常温下HPBA不稳定、易转化为NBP的主要原因\_\_\_。
(6)W是合成某种抗疟疾药物的中间体类似物。设计由2，4---二氯甲苯()和对三氟甲基苯乙酸()制备W的合成路线\_\_。(无机试剂和四个碳以下的有机试剂任选)。
【答案】 (1). 邻二甲苯 (2).  (3).  (4).  (5). 取代反应 (6). AgNO~3~反应生成的AgBr难溶于水，使平衡正向移动促进反应进行 (7).  (8). HPBA中烃基的空间位阻较大，使得羟基较为活泼，常温下不稳定、易转化为NBP (9). 
【解析】
【分析】
【详解】(1)A的分子式为C~8~H~10~，不饱和度为4，说明取代基上不含不饱和键，A与O~2~在V~2~O~5~作催化剂并加热条件下生成，由此可知A的结构简式为，其名称为邻二甲苯，故答案为：邻二甲苯。
(2)的同分异构体满足：①可发生银镜反应，也能与FeCl~3~溶液发生显色反应，说明结构中含有醛基和酚羟基，根据不饱和度可知该结构中除醛基外不含其它不饱和键，②核磁共振氢谱有四组峰，峰面积比为1：2：2：3，说明该结构具有对称性，根据该结构中氧原子数可知该结构中含有1个醛基、2个酚羟基、1个甲基，满足该条件的同分异构体结构简式为和，故答案为：；。
(3)E→F中步骤1)为与NaOH的水溶液反应，中酯基、羧基能与NaOH反应，反应方程式为，故答案为：。
(4)观察流程可知，G→H的反应为中Br原子被AgNO~3~中-O-NO~2~取代生成和AgBr，反应类型为取代反应；若以NaNO~3~代替AgNO~3~，则该反应难以进行，其原因是NaNO~3~反应生成的NaNO~3~易溶于水，而AgNO~3~反应生成的AgBr难溶于水，使平衡正向移动促进反应进行，故答案为：取代反应；AgNO~3~反应生成的AgBr难溶于水，使平衡正向移动促进反应进行。
(5)NBP()中酯基在碱性条件下发生水解反应生成，经过酸化后生成HPBA()；中烃基体积较大，对羟基的空间位阻较大使得羟基较为活泼，容易与羧基发生酯化反应生成，故答案为：；HPBA中烃基的空间位阻较大，使得羟基较为活泼，常温下不稳定、易转化为NBP。
(6)由和制备可通过题干已知信息而得，因此需要先合成，可通过氯代后水解再催化氧化而得，因此合成路线为，故答案为：。
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**北师大 二年级数学下册期末试卷**
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
分数
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
**一、填空。（每空1分，共21分）**
1、在（ ）÷6=4......（ ）中，第二个括号最大能填（ ）。
2、四千 写作：（ ） 三千零七 写作：（ ）
3、按照从小到大排列下面各数：3050、5030、5003、350、3500、53
（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）
4、选择合适的单位填空（km、m 、dm、cm、mm）X k B 1 . c o m
数学书厚约5（ ） 二年级的淘气高128（ ）
深圳到广州大约120（ ） 一棵大树高9（ ）
5、选择合适的符号（"＜""＞""＝"）
1km ( )100m 999( )1000 20cm( )2dm 10m( )100dm 60cm( )8dm 70mm( )7cm
6、长方形有四个（ ）角，长方形（ ）边相等。
**二、判断题（5分）**
（ ）1、在有余数的除法里余数一定要比除数小。
（ ）2、锐角比直角大。[w W w .x K b 1.c o M](http://www.xkb1.com/)
（ ）3、五位数都比四位数大。
（ ）4、学校的操场跑道约200（ ）。括号里单位应该是mm。
（ ）5、一个角有一个顶点，两条边
**三、计算。（33分）**
1、你的口算进步了吗？（12分）
370－200= 28÷4= 43＋50= 6×7=
87－55= 51÷7= 37＋45= 71－26=
1600－700= 5900－2000= 74+32= 120＋50=
2、竖式计算下面的题，带\*的验算。（21分）
**\* 457+326= \* 4100－648=**
验算 验算
62÷8= 36÷4= 261+425=
356+902= 253+74=
[新 课 标 第 一 网](http://www.xkb1.com/)
**四、把序号填在相应的圆圈内。（6分**）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
**五、辨认方向我能行。**（6分）
小军家在图书馆的（ ）方向，医院在图书馆的（ ）方向，育才小学在图书馆的（ ）方向，光明中学在图书馆的（ ）方向，电影院在图书馆的（ ）方向，商场在图书馆的（ ）方向。
**六、我会数、我会画。（4+4+3分，共11分）**
1、数一数右图中锐角有( )个，
钝角有( )个，直角有( )个，
正方形有( )个。X\| k \| B \| 1 . c\|O \|m
2、（1）画一个锐角。
（2）画一个比直角大的角。 （3）画一条长3cm5mm线段。
3、在右面的方格里涂色
> 要求涂1个长方形、1个正方
>
> 形，再画一个平行四边形涂色。
**七、统计图表。（合计2分，其余各1分。共7分）**
> 二一班同学课间游戏活动统计表 [新\|课 \|标 \|第 \|一\| 网](http://www.xkb1.com/)
------- -------- -------- -------- -------- -------
项 目 拍皮球 跳皮筋 捉小鸡 纸赛车 合 计
人 数 12 12 5 16 （ ）
------- -------- -------- -------- -------- -------
> 
拍皮球 跳皮筋 捉小鸡 纸赛车
看了上面的统计图，你发现了什么？ [ ]{.underline}
**八、买东西：（3+4+4分，共11分）**X k B 1 . c o m
  
足球48元 羽毛球拍120元 羽毛球4元
（1）买一副羽毛球拍和5个羽毛球共需多少钱？
（2）买一个足球和一副羽毛球拍，妈妈付200元，应找回多少钱？
( 3) 你还能提出哪些问题？并解答。w W w .X k b 1. c O m
**北师大版二年级数学下册期末试卷**
**一、填空**
1、5 2、4000 3007 3、53 350 3050 3500 5003 5030
4、m cm km m 5、＞ ＜ = = ＜ = 6、直 对
**二、判断题**X k B 1 . c o m
√ × √ × √
**三、计算**
1、口算
170、 7、 93、 42、 32、 7······2、 82、 45、 900、 3900、 106、 170
2、竖式计算并验算[w W w .x K b 1.c o M](http://www.xkb1.com/)
783 、 3452、 7······6、 9、 686、 1258、 327
**四、把序号填在相应括号里**
① ⑤ ② ③ ④ ⑥
**五、辨认方向我能行**
西北、 北、 东北 、东、 东南、 南。
**六、我会数、我会画。**
1）5、3、6、1 2）略 3) 略
**七、统计图表**
合计 45 略
**八、买东西**[新\|课 \|标 \|第 \|一\| 网](http://www.xkb1.com/)
1）4×5=20 120+20=140(元) 2)48+120=168(元) 200-168=32（元）
3)略
**小学数学二年级下册**命题双向细目表
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 题序 | 知识考点 | 水平 | 分值 | 题型 | 预设 |
| | | | | | |
| | | 要求 | | | 难度 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 1 | 四位数的组成，数的概念。 | 识记 | 2分 | 填空题 | 0.95 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 2 | 数的组成，数位的理解。 | 识记 | 3分 | | 0.95 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 3 | 有余数除法的计算。 | 掌握 | 2分 | | 0.95 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 4 | 长方形、正方形的认识。 | 理解、运用 | 1分 | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 5 | 长度单位换算。 | 掌握 | 3分 | | 0.95 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 6 | 长度单位的运用。 | 运用 | 4分 | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 7 | 数的比较。 | 掌握 | 5分 | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 8 | 角、长度单位、大数的知识。 | 掌握 | 5分 | 判断题 | 0.90 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 9 | 口算。 | 掌握 | 12分 | 计算题 | 0.95 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 10 | 笔算三位数加、减法及有余数除法。 | 掌握 | 21分 | | 0.90 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 11 | 验算。 | 掌握 | | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 12 | 认识方向、图形 | 掌握 | 23分 | 操作 | 0.90 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 13 | 角的认识。 | 运用 | | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 14 | 画条形统计图整理信息。 | 运用 | 7分 | 解决实际问题 | 0.90 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 15 | 了解整理的信息。 | 应用 | | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 16 | 解决两步计算实际问题。 | 应用 | 3分 | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 17 | 解决两步计算实际问题 | 掌握 | 4分 | | 0.90 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
| 18 | 结合实际综合运用知识解决实际问题。 | 运用 | 4分 | | 0.85 |
+------+------------------------------------+------------+------+--------------+------+
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2022届新高考开学数学摸底考试卷6
一、单选题（每小题5分，计40分）
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2，设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（ ）
A．{width="1.8229166666666667in" height="0.9298611111111111in"} B．{width="1.7708333333333333in" height="0.9340277777777778in"}
C．{width="1.6979166666666667in" height="0.9152777777777777in"} D．{width="1.7291666666666667in" height="0.9138888888888889in"}
8．已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）
9．若数列满足，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．下面命题正确的是（ ）
A．""是""的充分不必要条件
B．命题"对任意，"的否定是"存在，使得"
C．设，，则"且"是""的必要不充分条件
D．设，，则""是""的必要不充分条件
11．已知函数，则函数的图象不可能是（ ）
A．{width="1.3770833333333334in" height="1.2708333333333333in"} B．{width="1.33125in" height="1.2916666666666667in"}
C．{width="1.3854166666666667in" height="1.363888888888889in"} D．{width="1.3527777777777779in" height="1.28125in"}
12．设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递增，在单调递减
C．若，则当时，有
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题（每小题5分，计20分）
13．已知，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．设函数是定义在上的奇函数，且，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．已知实数满足，方程表示焦点在轴上的椭圆．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是\_\_\_\_\_\_\_\_．
四、解答题（共6小题，计70分）
17．【本题满分10分】
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，\_\_\_\_\_\_\_\_，，，求的面积．
18．【本题满分12分，】
已知函数，若函数在点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调区间．
19．【本题满12分，】
在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的"数学之美"的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
-------- ---- ---- ------
男 女 总计
喜爱 40 60 100
不喜爱 20 20 40
总计 60 80 140
-------- ---- ---- ------
（1）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；（精确到0.001）
（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．
附表：
-- ------- ------- ------- ------- -------
0.10 0.05 0.25 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
-- ------- ------- ------- ------- -------
，其中．
20．【本题满分12分，】
如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
{width="2.1395833333333334in" height="1.96875in"}
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．【本题满分12分，】
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
-- --- ---- ---- ---- ---- ----- -----
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
-- --- ---- ---- ---- ---- ----- -----
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．
{width="1.9458333333333333in" height="1.7395833333333333in"}
（1）根据散点图判断，哪一个函数模型适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程；
（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．
参考数据：，．
------- ------ ------ ------- ------
62.14 1.54 2535 50.12 3.47
------- ------ ------ ------- ------
参考公式：对于一组数据，，...，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
22．【本题满分12分，】
已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，
求证：对任意，，且，有．
2022届新高考开学数学摸底考试卷6
参考答案
1-8：BBCAC CCB 9-12：ABC ABD ACD ACD
13．； 14．； 15．；
16．
解：函数定义域，，
由题意可得，是唯一的根，故在上没有变号零点{width="0.2777777777777778in" height="0.2777777777777778in"}，
即在时没有变号零点，令，，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，取得最小值，故即．
17．解：若选择①，
则由余弦定理得，
因为，所以．
若选择②，
则，
因为，所以，
因为，所以．
若选择③，
则，所以，
因为，所以，
所以，所以．
由正弦定理，
得．
因为，，所以，
所以，
所以．
18．解：（1）由，
得，
所以，所以．
把代入，得切点为，
所以，得，
所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得或；
令，
解得．
所以）的增区间为，，减区间为．
19．解：（1）由题意得，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．
（2）抽样比为，样本中喜爱该演讲的观众有名，不喜爱该演讲的观众有名．记喜爱该测讲的4名男性观众为，，，，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故所求概率为．
20．解：（1）如图，取的中点，连接，．
{width="2.21875in" height="1.7534722222222223in"}
∵，分别为，的中点，∴，
又且，∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面．
（2）由题意知：，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
{width="1.8645833333333333in" height="1.8972222222222221in"}
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，∴．
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
21．解：（1）根据散点图判断，适宣作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型．
（2）由，两边同时取常用对数得．
设，∴，
∵，，，
∴．
把代入，得，
∴，∴，
∴，
即关于的回归方程为．
（3）设生产了千件该产品则生产总成本为．
又在其定义域内单调递增，且，故最多能生产12千件产品．
22．【详解】（Ⅰ）（i）当时，，．可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（ii）依题意，，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
-- ---------- -------- ----------
0
单调递减 极小值 单调递增
-- ---------- -------- ----------
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
（Ⅱ）证明：由，得．
对任意的，，且，令，则
．①
令，．
当时，，
由此可得在单调递增，所以当时，，即．
因为，，，
所以
．②
由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，
故③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，，且，有．
| 1 | |
**河北衡水中学2016-2017学年度**
**高三下学期数学第三次摸底考试（理科）**
**必考部分**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
2\. ，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ）
A． B．41 C． D．
4\. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C. D．2
5.在中，" "是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
7.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）
A． B． C. D．
8.20世纪30年代，德国数学家洛萨\-\--科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的""猜想.如图是验证""猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）
A．3 B． 4 C. 6 D．无法确定
9.的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C. 57 D．33
10\. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（ ）
A．1475 B．1425 C. 1325 D．1275
11.已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（ ）
A． B．2 C. D．
12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上**
13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
-------- ----- ---- ----- ---- ------
价格 8.5 9 9.5 10 10.5
销售量 12 11 9 7 6
-------- ----- ---- ----- ---- ------
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则 [ ]{.underline} ．
14.将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 [ ]{.underline} ．
15.已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为 [ ]{.underline} ．
16.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，
.
（1）求边的长；
（2）求的值.
18.如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
20.如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求．
21\. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据： ）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．
**选考部分**
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．
（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；
（2）求证：为定值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知实数满足．
（1）求的取值范围；
（2）若，求证：．
**试卷答案**
**一、选择题**
1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC
**二、填空题**
13\. 39.4 14. 15. 6 16.
**三、解答题**
17.解：（1）因为，所以，所以．
因为，
所以，
所以，又，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，因为，
所以，
所以
．
18.解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，
所以，
因为，所以，
连接，易知三点共线，，
所以，
所以，
解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，
所以易知，所以．
因为平面，所以，因为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则．
所以，
设平面的法向理为，
所以，令，则．
可取平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第 次划拳小华平"为；事件"第 次划拳小华输"为，所以．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．
（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，
，
，
，
所以的分布列为：
-- --- --- --- ---
2 3 4 5
-- --- --- --- ---
所以的数学期望为：
．
20.解：（1）依题知，
解得，所以椭圆的离心率；
（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，
所以原点到直线的距离为，
因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．
所以直线的方程为，即，
所以，解得或．
①当时，此时直线的方程为，
所以的值为点纵坐标的两倍，即；
②当时，直线的方程为，
将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，
设点坐标为，所以，解得，
所以．
21.解：（1）因为的定义域为实数，
所以．
①当时，是常数函数，没有单调性．
②当时，由，得；由，得．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
③当时，由得，； 由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，
所以，即．
令，则有，即．
设方程的根为，则，
所以是方程的根．
由（1）知在单调递增，在上单调递减．
且当时，，当时，，
如图，依据题意，不妨取，所以，
因为，
易知，要证，即证．
所以，又函数在上单调递增，
所以，所以．
22.解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，
当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，
当时，直线的斜率为，所以其方程为，
即一般方程为．
因为的极坐标方程为，所以，
因为，所以．
所以曲线的标准方程为．
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入曲线的标准方程为，
可得，即，
则，
所以，
同理，
所以为定值．
23.解：（1）因为，所以．
①当时，，解得，即；
②当时，，解得 ，即，
所以，则，
而，
所以，即；
（2）由（1）知，
因为
当且仅当时取等号，
所以
．
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**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）设z=+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣x﹣2＞0}，则∁~R~A=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜2} B．{x\|﹣1≤x≤2} C．{x\|x＜﹣1}∪{x\|x＞2} D．{x\|x≤﹣1}∪{x\|x≥2}
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和．若3S~3~=S~2~+S~4~，a~1~=2，则a~5~=（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
5．（5分）设函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
8．（5分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0） B．\[0，+∞） C．\[﹣1，+∞） D．\[1，+∞）
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p~1~，p~2~，p~3~，则（ ）
A．p~1~=p~2~ B．p~1~=p~3~ C．p~2~=p~3~ D．p~1~=p~2~+p~3~
11．（5分）已知双曲线C：﹣y^2^=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则\|MN\|=（ ）
A． B．3 C．2 D．4
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和．若S~n~=2a~n~+1，则S~6~=[ ]{.underline}．
15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有[ ]{.underline}种．（用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p~0~．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p~0~作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，证明：＜a﹣2．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C~2~的直角坐标方程；
（2）若C~1~与C~2~有且仅有三个公共点，求C~1~的方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）设z=+2i，则\|z\|=（ ）
A．0 B． C．1 D．
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，
则\|z\|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣x﹣2＞0}，则∁~R~A=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜2} B．{x\|﹣1≤x≤2} C．{x\|x＜﹣1}∪{x\|x＞2} D．{x\|x≤﹣1}∪{x\|x≥2}
【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式．
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A={x\|x^2^﹣x﹣2＞0}，
可得A={x\|x＜﹣1或x＞2}，
则：∁~R~A={x\|﹣1≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A项错误．
B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
4．（5分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和．若3S~3~=S~2~+S~4~，a~1~=2，则a~5~=（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a~5~的值．
【解答】解：∵S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，3S~3~=S~2~+S~4~，a~1~=2，
∴=a~1~+a~1~+d+4a~1~+d，
把a~1~=2，代入得d=﹣3
∴a~5~=2+4×（﹣3）=﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）设函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x^3^+（a﹣1）x^2^+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x^3^+x，可得f′（x）=3x^2^+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
=﹣=﹣
=﹣×（+）
=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
8．（5分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y^2^=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：y^2^=4x，消去x可得：y^2^﹣6y+8=0，
解得y~1~=2，y~2~=4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则•=（0，2）•（3，4）=8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣1，0） B．\[0，+∞） C．\[﹣1，+∞） D．\[1，+∞）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：
当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是\[﹣1，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p~1~，p~2~，p~3~，则（ ）
A．p~1~=p~2~ B．p~1~=p~3~ C．p~2~=p~3~ D．p~1~=p~2~+p~3~
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】如图：设BC=2r~1~，AB=2r~2~，AC=2r~3~，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．
【解答】解：如图：设BC=2r~1~，AB=2r~2~，AC=2r~3~，
∴r~1~^2^=r~2~^2^+r~3~^2^，
∴S~Ⅰ~=×4r~2~r~3~=2r~2~r~3~，S~Ⅲ~=×πr~1~^2^﹣2r~2~r~3~，
S~Ⅱ~=×πr~3~^2^+×πr~2~^2^﹣S~Ⅲ~=×πr~3~^2^+×πr~2~^2^﹣×πr~1~^2^+2r~2~r~3~=2r~2~r~3~，
∴S~Ⅰ~=S~Ⅱ~，
∴P~1~=P~2~，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．
11．（5分）已知双曲线C：﹣y^2^=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则\|MN\|=（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解\|MN\|．
【解答】解：双曲线C：﹣y^2^=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，
则：解得M（，），
解得：N（），
则\|MN\|==3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长，
α截此正方体所得截面最大值为：6×=．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为[ 6 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
14．（5分）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和．若S~n~=2a~n~+1，则S~6~=[ ﹣63 ]{.underline}．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】先根据数列的递推公式可得{a~n~}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．
【解答】解：S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n~=2a~n~+1，①
当n=1时，a~1~=2a~1~+1，解得a~1~=﹣1，
当n≥2时，S~n﹣1~=2a~n﹣1~+1，②，
由①﹣②可得a~n~=2a~n~﹣2a~n﹣1~，
∴a~n~=2a~n﹣1~，
∴{a~n~}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S~6~==﹣63，
故答案为：﹣63
【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．
15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有[ 16 ]{.underline}种．（用数字填写答案）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．
【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C~2~^1^C~4~^2^=12，2女1男，有C~2~^2^C~4~^1^=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：C~6~^3^﹣C~4~^3^=20﹣4=16种，
故答案为：16
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题
16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．
【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在\[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．
【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在\[0，2π）上的值域，
先来求该函数在\[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos^2^x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），
令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，
可得此时x=，π或 ；
∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或 和边界点x=0中取到，
计算可得f（ ）=，f（π）=0，f（ ）=﹣，f（0）=0，
∴函数的最小值为﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（1）由正弦定理得=，求出sin∠ADB=，由此能求出cos∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=，再由DC=2，利用余弦定理能求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：=，即=，
∴sin∠ADB==，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB==．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，
∵DC=2，
∴BC=
==5．
【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
则，，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，
故V~F﹣PDE~=，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a
在△PDE中，，
所以，
故V~F﹣PDE~=，
又因为，
所以PH==，
所以在△PHD中，sin∠PDH==，
即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）设椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程，
（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．
【解答】解：（1）c==1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣），
∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则x~1~＜，x~2~＜，
直线MA，MB的斜率之和为k~MA~，k~MB~之和为k~MA~+k~MB~=+，
由y~1~=kx~1~﹣k，y~2~=kx~2~﹣k得k~MA~+k~MB~=，
将y=k（x﹣1）代入+y^2^=1可得（2k^2^+1）x^2^﹣4k^2^x+2k^2^﹣2=0，
∴x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
∴2kx~1~x~2~﹣3k（x~1~+x~2~）+4k=（4k^3^﹣4k﹣12k^3^+8k^3^+4k）=0
从而k~MA~+k~MB~=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p~0~．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p~0~作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）求出f（p）=，则=，利用导数性质能求出f （p）的最大值点p~0~=0.1．
（2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），
则f（p）=，
∴=，
令f′（p）=0，得p=0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点p~0~=0.1．
（2）（i）由（1）知p=0.1，
令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，证明：＜a﹣2．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，
设g（x）=x^2^﹣ax+1，
当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0时，判别式△=a^2^﹣4，
①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------------
x （0，）  （，）  （，+∞）
f′（x） ﹣ 0 \+ 0 ﹣
f（x） 递减 递增 递减
--------- --------------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------------------------------------
综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，
则（，）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x~1~＜1＜x~2~，x~1~x~2~=1，
则f（x~1~）﹣f（x~2~）=（x~2~﹣x~1~）（1+）+a（lnx~1~﹣lnx~2~）=2（x~2~﹣x~1~）+a（lnx~1~﹣lnx~2~），
则=﹣2+，
则问题转为证明＜1即可，
即证明lnx~1~﹣lnx~2~＞x~1~﹣x~2~，
则lnx~1~﹣ln＞x~1~﹣，
即lnx~1~+lnx~1~＞x~1~﹣，
即证2lnx~1~＞x~1~﹣在（0，1）上恒成立，
设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，
求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，
故2lnx＞x﹣，
则＜a﹣2成立．
（2）另解：注意到f（）=x﹣﹣alnx=﹣f（x），
即f（x）+f（）=0，
由韦达定理得x~1~x~2~=1，x~1~+x~2~=a＞2，得0＜x~1~＜1＜x~2~，x~1~=，
可得f（x~2~）+f（）=0，即f（x~1~）+f（x~2~）=0，
要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，
即证2alnx~2~﹣ax~2~+＜0，（x~2~＞1），
构造函数h（x）=2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）=≤0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx~2~﹣ax~2~+＜0，（x~2~＞1）成立．
即＜a﹣2成立．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C~2~的直角坐标方程；
（2）若C~1~与C~2~有且仅有三个公共点，求C~1~的方程．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C~2~的极坐标方程为ρ^2^+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x^2^+y^2^+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）^2^+y^2^=4．
（2）由于曲线C~1~的方程为y=k\|x\|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该射线与曲线C~2~的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．
故：，或
解得：k=或0，（0舍去）或k=或0
经检验，直线与曲线C~2~没有公共点．
故C~1~的方程为：．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即\|ax﹣1\|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣1\|=，
由f（x）＞1，
∴或，
解得x＞，
故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0，
即x+1﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0，
即\|ax﹣1\|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜，
∴a＜
∵＞2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2\]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
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**2017年天津市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5分）设x∈R，则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log~2~4.1），c=f（2^0.8^），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣
C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=
8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣2，2\] B． C． D．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为[ ]{.underline}．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为[ ]{.underline}．
12．（5分）设抛物线y^2^=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a^2^﹣b^2^﹣c^2^）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
18．（13分）已知{a~n~}为等差数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），{b~n~}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b~2~+b~3~=12，b~3~=a~4~﹣2a~1~，S~11~=11b~4~．
（Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a~2n~b~n~}的前n项和（n∈N^\*^）．
19．（14分）设a，b∈R，\|a\|≤1．已知函数f（x）=x^3^﹣6x^2^﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e^x^f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e^x^的图象在公共点（x~0~，y~0~）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x~0~处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤e^x^在区间\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立，求b的取值范围．
20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，\|FQ\|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
**2017年天津市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．
2．（5分）设x∈R，则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由\|x﹣1\|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．
【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n==10，
取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，
∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．
故选：C．
【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，
第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，
第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，
输出N=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2，，即，，
解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log~2~4.1），c=f（2^0.8^），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．
【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，
∴a=﹣f（）=f（log~2~5），
b=f（log~2~4.1），
c=f（2^0.8^），
又1＜2^0.8^＜2＜log~2~4.1＜log~2~5，
∴f（2^0.8^）＜f（log~2~4.1）＜f（log~2~5），
即c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．
7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣
C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=
【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，
又f（）=2，f（）=0，得，
∴T=3π，则，即．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），
由f（）=，得sin（φ+）=1．
∴φ+=，k∈Z．
取k=0，得φ=＜π．
∴，φ=．
故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．\[﹣2，2\] B． C． D．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=\|+a\|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥\|+a\|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥\|a\|，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：
令g（x）=\|+a\|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥\|+a\|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在
g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥\|a\|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．
【解答】解：a∈R，i为虚数单位，
===﹣i
由为实数，
可得﹣=0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为[ 1 ]{.underline}．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．
【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a^2^=18，
则a^2^=3，即a=，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即a=2R，
即R=，
则球的体积V=π•（）^3^=；
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．
12．（5分）设抛物线y^2^=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为[ （x+1）^2^+]{.underline}[=1 ]{.underline}．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
【解答】解：设抛物线y^2^=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：
∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ，
故答案为：（x+1）^2^+=1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．
13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为[ 4 ]{.underline}．
【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，
∴≥
=
=4ab+≥2=4，
当且仅当，
即，
即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取"="；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b∈R，ab＞0，
∴=+++≥4=4，
当且仅当，
即，
即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取"="；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，
再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2，
∴=+
=+
=+（﹣）
=+，
又=λ﹣（λ∈R），
∴=（+）•（λ﹣）
=（λ﹣）•﹣+λ
=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×3^2^+λ×2^2^=﹣4，
∴λ=1，
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a^2^﹣b^2^﹣c^2^）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：，∴a=2b．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴．
于是，，
故．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）
甲 70 5 60
乙 60 5 25
---- ------------------------ ---------------------- ----------------
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．
为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得，
故．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得．
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．
18．（13分）已知{a~n~}为等差数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），{b~n~}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b~2~+b~3~=12，b~3~=a~4~﹣2a~1~，S~11~=11b~4~．
（Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a~2n~b~n~}的前n项和（n∈N^\*^）．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q．通过b~2~+b~3~=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a~n~=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a~2n~b~n~}的前n项和为T~n~，利用错位相减法，转化求解数列{a~2n~b~n~}的前n项和即可．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q．由已知b~2~+b~3~=12，得，而b~1~=2，所以q^2^+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．
由b~3~=a~4~﹣2a~1~，可得3d﹣a~1~=8．
由S~11~=11b~4~，可得a~1~+5d=16，联立①②，解得a~1~=1，d=3，
由此可得a~n~=3n﹣2．
所以，{a~n~}的通项公式为a~n~=3n﹣2，{b~n~}的通项公式为．
（Ⅱ）解：设数列{a~2n~b~n~}的前n项和为T~n~，由a~2n~=6n﹣2，有，，
上述两式相减，得=．
得．
所以，数列{a~2n~b~n~}的前n项和为（3n﹣4）2^n+2^+16．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
19．（14分）设a，b∈R，\|a\|≤1．已知函数f（x）=x^3^﹣6x^2^﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e^x^f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e^x^的图象在公共点（x~0~，y~0~）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x~0~处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤e^x^在区间\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立，求b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x~0~处的导数等于0；
（ii）由（I）知x~0~=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x~0~=a时，f（x）≤f（a）=1在\[a﹣1，a+1\]上恒成立，从而g（x）≤e^x^在\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立．由f（a）=a^3^﹣6a^2^﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a^3^﹣6a^2^+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x^3^﹣6x^2^+1，x∈\[﹣1，1\]，利用导数求其值域可得b的范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x^3^﹣6x^2^﹣3a（a﹣4）x+b，可得f\'（x）=3x^2^﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f\'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由\|a\|≤1，得a＜4﹣a．
当x变化时，f\'（x），f（x）的变化情况如下表：
---------- ------------ ------------- --------------
x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，+∞）
f\'（x） \+ ﹣ \+
f（x） ↗ ↘ ↗
---------- ------------ ------------- --------------
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g\'（x）=e^x^（f（x）+f\'（x）），由题意知，
∴，解得．
∴f（x）在x=x~0~处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤e^x^，x∈\[x~0~﹣1，x~0~+1\]，由e^x^＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x~0~）=1，f\'（x~0~）=0，
故x~0~为f（x）的极大值点，由（I）知x~0~=a．
另一方面，由于\|a\|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x~0~=a时，f（x）≤f（a）=1在\[a﹣1，a+1\]上恒成立，从而g（x）≤e^x^在\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立．
由f（a）=a^3^﹣6a^2^﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a^3^﹣6a^2^+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x^3^﹣6x^2^+1，x∈\[﹣1，1\]，
∴t\'（x）=6x^2^﹣12x，
令t\'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为\[﹣7，1\]．
∴b的取值范围是\[﹣7，1\]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．
20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，\|FQ\|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用\|FQ\|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b^2^=a^2^﹣c^2^，可得2c^2^+ac﹣a^2^=0，即2e^2^+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．
所以，椭圆的离心率为；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．
由已知\|FQ\|=，有，整理得3m^2^﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．
（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．
由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x^2^+6cx﹣13c^2^=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c^2^=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
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**2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣）
C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π B．π C．8π D．4π
5．（5分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx^的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2^x^ D．y=
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则x~i~=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为[ ]{.underline}．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=\[a~n~\]，求数列{b~n~}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[2.6\]=2．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积
（II）当2\|AM\|=\|AN\|时，证明：＜k＜2．
**请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
**\[选项4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
**2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}={x\|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．
【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，
∴z=3﹣2i，
∴=3+2i，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣）
C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，
则φ=﹣满足要求，
故y=2sin（2x﹣），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π B．π C．8π D．4π
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．
【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π．
故选：A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5．（5分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．
【解答】解：抛物线C：y^2^=4x的焦点F为（1，0），
曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，
代入C得：P点纵坐标为2，
故k=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
6．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：a=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×2^2^+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．
故选：B．
【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx^的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2^x^ D．y=
【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：函数y=10^lgx^的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2^x^的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；
函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin^2^x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t^2^+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）
=1﹣2sin^2^x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=﹣2t^2^+6t+1
=﹣2（t﹣）^2^+，
由∉\[﹣1，1\]，可得函数在\[﹣1，1\]递增，
即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则x~i~=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，
故x~i~=×2=m，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=[ ﹣6 ]{.underline}．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，
可得12=﹣2m，解得m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为[ ﹣5 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ 1和3 ]{.underline}．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，"我与乙的卡片上相同的数字不是2"；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=\[a~n~\]，求数列{b~n~}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[2.6\]=2．
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
（Ⅱ）根据b~n~=\[a~n~\]，列出数列{b~n~}的前10项，相加可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，
∵a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6．
∴，
解得：，
∴a~n~=；
（Ⅱ）∵b~n~=\[a~n~\]，
∴b~1~=b~2~=b~3~=1，
b~4~=b~5~=2，
b~6~=b~7~=b~8~=3，
b~9~=b~10~=4．
故数列{b~n~}的前10项和S~10~=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
---------- ---- ---- ---- ---- ---- ----
（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．
【分析】（I）求出A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【解答】解：（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：=；
（Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：=；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为==1.1925a．
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=，AD=AB=5，
∴DE=5﹣=，
∵EF∥AC，
∴====，
∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2，
∴满足HD′^2^=OD′^2^+OH^2^，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．
底面五边形的面积S=+=+=12+=，
则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=．
【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【考点】66：简单复合函数的导数．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．
【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，
则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1++lnx﹣a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x~0~∈（1，+∞），f′（x~0~）=0，函数f（x）在（1，x~0~）上单调递减，在（x~0~，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x~0~∈（1，+∞），f（x~0~）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，
即为a＜，
由y=的导数为y′=，
由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=＞0，
函数y在x＞1递增，可得＞0，
则函数y=在x＞1递增，
则==2，
可得＞2恒成立，
即有a≤2．
【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
21．（12分）已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积
（II）当2\|AM\|=\|AN\|时，证明：＜k＜2．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由\|AM\|=\|AN\|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）^2^+4a^2^=12，解得：a=，从而可求△AMN的面积；
（II）设直线l~AM~的方程为：y=k（x+2），直线l~AN~的方程为：y=﹣（x+2），联立消去y，得（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得\|AM\|=\|x~M~﹣（﹣2）\|=，\|AN\|==，
结合2\|AM\|=\|AN\|，可得=，整理后，构造函数f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．
【解答】解：（I）由椭圆E的方程：+=1知，其左顶点A（﹣2，0），
∵\|AM\|=\|AN\|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），
∵点M在E上，∴3（a﹣2）^2^+4a^2^=12，整理得：7a^2^﹣12a=0，∴a=或a=0（舍），
∴S~△AMN~=a×2a=a^2^=；
（II）设直线l~AM~的方程为：y=k（x+2），直线l~AN~的方程为：y=﹣（x+2），由消去y得：（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，∴x~M~﹣2=﹣，∴x~M~=2﹣=，
∴\|AM\|=\|x~M~﹣（﹣2）\|=•=
∵k＞0，
∴\|AN\|==，
又∵2\|AM\|=\|AN\|，∴=，
整理得：4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8=0，
设f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8，
则f′（k）=12k^2^﹣12k+3=3（2k﹣1）^2^≥0，
∴f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，
又f（）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，
∴＜k＜2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．
**请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S~四边形BCGF~=2S~△BCG~，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=DG，CD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S~四边形BCGF~=2S~△BCG~=2××1×=．
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
**\[选项4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25，
∴x^2^+y^2^+12x+11=0，
∵ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ^2^+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，\|AB\|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan^2^α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，
解得：x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，
即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，
即a^2^b^2^+1+2ab＞a^2^+b^2^+2ab，
即（ab+1）^2^＞（a+b）^2^，
即\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
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**2017年北京市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题**
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}，则∁~U~A=（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．\[﹣2，2\] D．（﹣∞，﹣2\]∪\[2，+∞）
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（）^x^，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
7．（5分）设，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是"•＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^
**二、填空题**
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=[ ]{.underline}．
10．（5分）若双曲线x^2^﹣=1的离心率为，则实数m=[ ]{.underline}．
11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x^2^+y^2^的取值范围是[ ]{.underline}．
12．（5分）已知点P在圆x^2^+y^2^=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为[ ]{.underline}．
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[ ]{.underline}．
14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为[ ]{.underline}．
②该小组人数的最小值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
15．（13分）已知等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=1，a~2~+a~4~=10，b~2~b~4~=a~5~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b~1~+b~3~+b~5~+...+b~2n﹣1~．
16．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈\[﹣，\]时，f（x）≥﹣．
17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：\[20，30），\[30，40），...\[80，90\]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
20．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
**2017年北京市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题**
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}，则∁~U~A=（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．\[﹣2，2\] D．（﹣∞，﹣2\]∪\[2，+∞）
【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，
∴∁~U~A=\[﹣2，2\]，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得a＜﹣1．
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，
当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y满足的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（）^x^，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3^x^为增函数，y=（）^x^为减函数，结合"增"﹣"减"="增"可得答案．
【解答】解：f（x）=3^x^﹣（）^x^=3^x^﹣3^﹣x^，
∴f（﹣x）=3^﹣x^﹣3^x^=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3^x^为增函数，y=（）^x^为减函数，
故函数f（x）=3^x^﹣（）^x^为增函数，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积==10．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）设，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是"•＜0"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．
∴，为非零向量，则"存在负数λ，使得=λ"是•＜0"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^
【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10^lg3^≈10^0.48^，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
【解答】解：由题意：M≈3^361^，N≈10^80^，
根据对数性质有：3=10^lg3^≈10^0.48^，
∴M≈3^361^≈（10^0.48^）^361^≈10^173^，
∴≈=10^93^，
故选：D．
【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．
**二、填空题**
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα=，
∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．
故答案为：．
【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．
10．（5分）若双曲线x^2^﹣=1的离心率为，则实数m=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x^2^﹣=1（m＞0）的离心率为，
可得：，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x^2^+y^2^的取值范围是[ \[]{.underline}[，1\] ]{.underline}．
【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．
【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x^2^+y^2^=x^2^+（1﹣x）^2^=2x^2^﹣2x+1，x∈\[0，1\]，
则令f（x）=2x^2^﹣2x+1，x∈\[0，1\]，函数的对称轴为：x=，开口向上，
所以函数的最小值为：f（）==．
最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．
则x^2^+y^2^的取值范围是：\[，1\]．
故答案为：\[，1\]．
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
12．（5分）已知点P在圆x^2^+y^2^=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为[ 6 ]{.underline}．
【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．
则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．
故答案为：6．
【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[ ﹣1，﹣2，﹣3 ]{.underline}．
【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，举例即可，本题答案不唯一
【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，
可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．
14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为[ 6 ]{.underline}．
②该小组人数的最小值为[ 12 ]{.underline}．
【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；
【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，
若教师人数为4，
则，即4＜y＜x＜8，
即x的最大值为7，y的最大值为6，
即女学生人数的最大值为6．
②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，
则，即z＜y＜x＜2z
即z最小为3才能满足条件，
此时x最小为5，y最小为4，
即该小组人数的最小值为12，
故答案为：6，12
【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．
**三、解答题**
15．（13分）已知等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=1，a~2~+a~4~=10，b~2~b~4~=a~5~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b~1~+b~3~+b~5~+...+b~2n﹣1~．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a~n~}，a~1~=1，a~2~+a~4~=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{a~n~}的通项公式：a~n~=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a~5~=a~1~+4d=9，
等比数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~b~4~=9．可得b~3~=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q^2^=3，
{b~2n﹣1~}是等比数列，公比为3，首项为1．
b~1~+b~3~+b~5~+...+b~2n﹣1~==．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．
16．（13分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈\[﹣，\]时，f（x）≥﹣．
【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，
=（co2x+sin2x）﹣sin2x，
=cos2x+sin2x，
=sin（2x+），
∴T==π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈\[﹣，\]，
∴2x+∈\[﹣，\]，
∴﹣≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）≥﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题
17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：\[20，30），\[30，40），...\[80，90\]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间\[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，
故样本中分数小于40的频率为：0.05，
则分数在区间\[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数为400×0.05=20人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．
故分数不小于70的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD⊂平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，
BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D为AC的中点，
可得E为PC的中点，且DE=PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S~△BDC~=S~△ABC~=××2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S~△BDC~=×1×1=．
【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b^2^=a^2^﹣c^2^=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得=，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），
则a=2，e==，则c=，
b^2^=a^2^﹣c^2^=1，
∴椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：设D（x~0~，0），（﹣2＜x~0~＜2），M（x~0~，y~0~），N（x~0~，﹣y~0~），y~0~＞0，
由M，N在椭圆上，则，则x~0~^2^=4﹣4y~0~^2^，
则直线AM的斜率k~AM~==，直线DE的斜率k~DE~=﹣，
直线DE的方程：y=﹣（x﹣x~0~），
直线BN的斜率k~BN~=，直线BN的方程y=（x﹣2），
，解得：，
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH丨=，
则=，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间\[0，\]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e^0^（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e^0^cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=e^x^（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e^x^•sinx，
当x∈\[0，\]，可得g′（x）=﹣2e^x^•sinx≤0，
即有g（x）在\[0，\]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在\[0，\]递减，
即有函数f（x）在区间\[0，\]上的最大值为f（0）=e^0^cos0﹣0=1；
最小值为f（）=ecos﹣=﹣．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．
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**2017年山东省日照市中考数学试卷**
**一、选择题：（本大题共12小题，其中1\~8题每小题3分，9\~12题每小题3分，满分40分）**
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．铁路部门消息：2017年"端午节"小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次.4640万用科学记数法表示为（ ）
A．4.64×10^5^ B．4.64×10^6^ C．4.64×10^7^ D．4.64×10^8^
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（ ）
A．120° B．30° C．40° D．60°
6．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
7．下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
8．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm^2^），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．观察下面"品"字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
12．已知抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
**二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）**
13．分解因式：2m^3^﹣8m=[ ]{.underline}．
14．为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门调查了某周一至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：
183 191 169 190 177
则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是[ ]{.underline}．
15．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是[ ]{.underline}．
16．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（1）计算：﹣（2﹣）﹣（π﹣3.14）^0^+（1﹣cos30°）×（）^﹣2^；
（2）先化简，再求值：﹣÷，其中a=．
18．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即[ ]{.underline}，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为"两位递增数"（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的"两位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
（1）写出所有个位数字是5的"两位递增数"；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的"两位递增数"的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
20．某市为创建全国文明城市，开展"美化绿化城市"活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
21．阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x~0~，y~0~）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P~0~（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P~0~（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P~1~（3，4）到直线y=﹣x+的距离为[ ]{.underline}；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S~△ABP~的最大值和最小值．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S~四边形OPMN~=8S~△QAB~，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2017年山东省日照市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：（本大题共12小题，其中1\~8题每小题3分，9\~12题每小题3分，满分40分）**
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
【考点】15：绝对值．
【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：B．
2．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
3．铁路部门消息：2017年"端午节"小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次.4640万用科学记数法表示为（ ）
A．4.64×10^5^ B．4.64×10^6^ C．4.64×10^7^ D．4.64×10^8^
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4640万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．
【解答】解：4640万=4.64×10^7^．
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，
∴sinA==，
故选：B．
5．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠1=60°，则∠2等于（ ）
A．120° B．30° C．40° D．60°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AEF=∠1=60°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEF=60°，
故选D．
6．式子有意义，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：式子有意义，
则a+1≥0，且a﹣2≠0，
解得：a≥﹣1且a≠2．
故选：C．
7．下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【考点】MM：正多边形和圆；AA：根的判别式；D1：点的坐标；R2：旋转的性质．
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．
【解答】解：如图∠AOB==60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；
故选：A．
8．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．
【分析】根据反比例函数图象可以确定kb的符号，易得k、b的符号，根据图象与系数的关系作出正确选择．
【解答】解：∵y=的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
A、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
B、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
C、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
D、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选：D．
9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
【考点】MC：切线的性质．
【分析】过点D作OD⊥AC于点D，由已知条件和圆的性质易求OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：
过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAD=30°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴OD=AO=2.5，
∴AD==，
∴AC=2AD=5，
故选A．
10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm^2^），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据角平分线的性质得到∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，根据直角三角形的性质得到r=t，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=30°，
设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，
∵AO=2t，
∴r=t，
∴S=πt^2^，
∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，
∵π＞0，
∴抛物线的开口向上，
故选D．
11．观察下面"品"字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．23 B．75 C．77 D．139
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为2^1^，2^2^，2^3^，...2^6^，由此可得a，b．
【解答】解：∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，
左边的数为2^1^，2^2^，2^3^，...，
∴b=2^6^=64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a=11+64=75，
故选B．
12．已知抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴﹣=2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax^2^+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
**二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）**
13．分解因式：2m^3^﹣8m=[ 2m（m+2）（m﹣2） ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m^3^﹣8m=2m（m^2^﹣4）
=2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
14．为了解某初级中学附近路口的汽车流量，交通管理部门调查了某周一至周五下午放学时间段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：
183 191 169 190 177
则在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是[ 182 ]{.underline}．
【考点】W1：算术平均数．
【分析】根据平均数的计算公式用所有数据的和除以数据的个数即可计算出这组数据的平均数，从而得出答案．
【解答】解：根据题意，得在该时间段中，通过这个路口的汽车数量的平均数是
÷5=182．
故答案为182．
15．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是[ 6π ]{.underline}．
【考点】MO：扇形面积的计算；L5：平行四边形的性质．
【分析】证明△ABE是等边三角形，∠B=60°，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=6，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴S~扇形BAE~==6π，
故答案为：6π．
16．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为[ 1+]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=，OM=AN=，求出B（+，﹣），得出方程（+）•（﹣）=k，解方程即可．
【解答】解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：
则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=，OM=AN=，
∴OD=+，OD=BD=﹣，
∴B（+，﹣），
∴双曲线y=（x＞0）同时经过点A和B，
∴（+）•（﹣）=k，
整理得：k^2^﹣2k﹣4=0，
解得：k=1±（负值舍去），
∴k=1+；
故答案为：1+．
**三、解答题**
17．（1）计算：﹣（2﹣）﹣（π﹣3.14）^0^+（1﹣cos30°）×（）^﹣2^；
（2）先化简，再求值：﹣÷，其中a=．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据去括号得法则、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1）﹣（2﹣）﹣（π﹣3.14）^0^+（1﹣cos30°）×（）^﹣2^
=﹣2﹣1+（1﹣）×4
=
=；
（2）﹣÷
=
=
=
=，
当a=时，原式=．
18．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即[ AD=BC（答案不唯一） ]{.underline}，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，
∴△DCA≌△EAC（SSS）；
（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
由（1）得：△DCA≌△EAC，
∴∠D=∠E=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为"两位递增数"（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的"两位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
（1）写出所有个位数字是5的"两位递增数"；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的"两位递增数"的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据"两位递增数"定义可得；
（2）画树状图列出所有"两位递增数"，找到个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意所有个位数字是5的"两位递增数"是15、25、35、45这4个；
（2）画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，
所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率==．
20．某市为创建全国文明城市，开展"美化绿化城市"活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据"实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务"列出方程；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由"完成新增绿化面积不超过2年"列出不等式．
【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
﹣=4
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×2+2（54+a）≥360
解得：a≥72．
答：则至少每年平均增加72万平方米．
21．阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x~0~，y~0~）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P~0~（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P~0~（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P~1~（3，4）到直线y=﹣x+的距离为[ 4 ]{.underline}；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S~△ABP~的最大值和最小值．
【考点】FI：一次函数综合题．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）点P~1~（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，
∴=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S~△ABP~的最大值=×2×4=4，S~△ABP~的最小值=×2×2=2．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S~四边形OPMN~=8S~△QAB~，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；
（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；
（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S~四边形OPMN~=8S~△QAB~可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB∽△OBN即可．
【解答】解：
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC=MN=，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，
∴PD=PC﹣CD=﹣=1，
∴P（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）^2^﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）^2^﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）^2^﹣1，即y=x^2^﹣4x+3；
（3）在y=x^2^﹣4x+3中，令y=0可得0=x^2^﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S~四边形OPMN~=S~△OMP~+S~△OMN~=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S~△QAB~，
∴S~△QAB~=1，
设Q点纵坐标为y，则×2×\|y\|=1，解得y=1或y=﹣1，
当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
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**2015年浙江省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）**
1．（5分）已知集合P={x\|x^2^﹣2x≥0}，Q={x\|1＜x≤2}，则（∁~R~P）∩Q=（ ）
A．\[0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．\[1，2\]
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm^3^ B．12cm^3^ C． D．
3．（5分）已知{a~n~}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S~n~，若a~3~，a~4~，a~8~成等比数列，则（ ）
A．a~1~d＞0，dS~4~＞0 B．a~1~d＜0，dS~4~＜0 C．a~1~d＞0，dS~4~＜0 D．a~1~d＜0，dS~4~＞0
4．（5分）命题"∀n∈N^\*^，f（n）∈N^\*^且f（n）≤n"的否定形式是（ ）
A．∀n∈N^\*^，f（n）∉N^\*^且f（n）＞n B．∀n∈N^\*^，f（n）∉N^\*^或f（n）＞n
C．∃n~0~∈N^\*^，f（n~0~）∉N^\*^且f（n~0~）＞n~0~ D．∃n~0~∈N^\*^，f（n~0~）∉N^\*^或f（n~0~）＞n~0~
5．（5分）如图，设抛物线y^2^=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：对任意有限集A，B，"A≠B"是"d（A，B）＞0"的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x^2^+x C．f（x^2^+1）=\|x+1\| D．f（x^2^+2x）=\|x+1\|
8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．**
9．（6分）双曲线﹣y^2^=1的焦距是[ ]{.underline}，渐近线方程是[ ]{.underline}．
10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=[ ]{.underline}，f（x）的最小值是[ ]{.underline}．
11．（6分）函数f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1的最小正周期是[ ]{.underline}，单调递减区间是[ ]{.underline}．
12．（4分）若a=log~4~3，则2^a^+2^﹣a^=[ ]{.underline}．
13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是[ ]{.underline}．
14．（4分）若实数x，y满足x^2^+y^2^≤1，则\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值是[ ]{.underline}．
15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x~0~，y~0~∈R），则x~0~=[ ]{.underline}，y~0~=[ ]{.underline}，\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b^2^﹣a^2^=c^2^．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A~1~A=4，A~1~在底面ABC的射影为BC的中点，D是B~1~C~1~的中点．
（1）证明：A~1~D⊥平面A~1~BC；
（2）求二面角A~1~﹣BD﹣B~1~的平面角的余弦值．
18．（15分）已知函数f（x）=x^2^+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值．
（1）证明：当\|a\|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求\|a\|+\|b\|的最大值．
19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
20．（15分）已知数列{a~n~}满足a~1~=且a~n+1~=a~n~﹣a~n~^2^（n∈N^\*^）
（1）证明：1≤≤2（n∈N^\*^）；
（2）设数列{a~n~^2^}的前n项和为S~n~，证明（n∈N^\*^）．
**2015年浙江省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）**
1．（5分）已知集合P={x\|x^2^﹣2x≥0}，Q={x\|1＜x≤2}，则（∁~R~P）∩Q=（ ）
A．\[0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．\[1，2\]
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．
【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，
解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0\]∪\[2，+∞），
∴∁~R~P=（0，2），
∵Q=（1，2\]，
∴（∁~R~P）∩Q=（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm^3^ B．12cm^3^ C． D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：2^3^+×2×2×2=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5分）已知{a~n~}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S~n~，若a~3~，a~4~，a~8~成等比数列，则（ ）
A．a~1~d＞0，dS~4~＞0 B．a~1~d＜0，dS~4~＜0 C．a~1~d＞0，dS~4~＜0 D．a~1~d＜0，dS~4~＞0
【分析】由a~3~，a~4~，a~8~成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a~1~d和dS~4~的符号．
【解答】解：设等差数列{a~n~}的首项为a~1~，则a~3~=a~1~+2d，a~4~=a~1~+3d，a~8~=a~1~+7d，
由a~3~，a~4~，a~8~成等比数列，得，整理得：．
∵d≠0，∴，
∴，
=＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
4．（5分）命题"∀n∈N^\*^，f（n）∈N^\*^且f（n）≤n"的否定形式是（ ）
A．∀n∈N^\*^，f（n）∉N^\*^且f（n）＞n B．∀n∈N^\*^，f（n）∉N^\*^或f（n）＞n
C．∃n~0~∈N^\*^，f（n~0~）∉N^\*^且f（n~0~）＞n~0~ D．∃n~0~∈N^\*^，f（n~0~）∉N^\*^或f（n~0~）＞n~0~
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n~0~∈N^\*^，f（n~0~）∉N^\*^或f（n~0~）＞n~0~，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5分）如图，设抛物线y^2^=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，
则\|BM\|=\|BD\|﹣1=\|BF\|﹣1，
\|AN\|=\|AE\|﹣1=\|AF\|﹣1，
则===，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ ）
命题①：对任意有限集A，B，"A≠B"是"d（A，B）＞0"的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若"A≠B"，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故"d（A，B）＞0"成立，
若d（A，B）＞0"，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=\[card（A∪B）+card（B∪C）\]﹣\[card（A∩B）+card（B∩C）\]
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：A．
【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．
7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ）
A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x^2^+x C．f（x^2^+1）=\|x+1\| D．f（x^2^+2x）=\|x+1\|
【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π^2^+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1=t，则f（x^2^+2x）=\|x+1\|，化为f（t^2^﹣1）=\|t\|；
令t^2^﹣1=x，则t=±；
∴；
即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x^2^+2x）=\|x+1\|；
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（ ）
A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α
【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．
【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；
②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，
α=∠A′OE，连结AA′，
易得∠ADA′＜∠AOA′，
∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
综上所述，∠A′DB≥α，
故选：B．
【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．**
9．（6分）双曲线﹣y^2^=1的焦距是[ 2]{.underline}[ ]{.underline}，渐近线方程是[ y=±]{.underline}[x ]{.underline}．
【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，
∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．
故答案为：2；y=±x．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=[ 0 ]{.underline}，f（x）的最小值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x^2^+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1时，f（x）=，即最小值，
当x＜1时，x^2^+1≥1，f（x）=lg（x^2^+1）≥0最小值0，
故f（x）的最小值是．
故答案为：0；．
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
11．（6分）函数f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1的最小正周期是[ π ]{.underline}，单调递减区间是[ \[kπ+]{.underline}[，kπ+]{.underline}[\]（k∈Z） ]{.underline}．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．
【解答】解：化简可得f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1
=（1﹣cos2x）+sin2x+1
=sin（2x﹣）+，
∴原函数的最小正周期为T==π，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
∴函数的单调递减区间为\[kπ+，kπ+\]（k∈Z）
故答案为：π；\[kπ+，kπ+\]（k∈Z）
【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
12．（4分）若a=log~4~3，则2^a^+2^﹣a^=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接把a代入2^a^+2^﹣a^，然后利用对数的运算性质得答案．
【解答】解：∵a=log~4~3，可知4^a^=3，
即2^a^=，
所以2^a^+2^﹣a^=+=．
故答案为：．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．
【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，
∵AN=2，
∴ME==EN，MC=2，
又∵EN⊥NC，∴EC==，
∴cos∠EMC===．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
14．（4分）若实数x，y满足x^2^+y^2^≤1，则\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值是[ 3 ]{.underline}．
【分析】根据所给x，y的范围，可得\|6﹣x﹣3y\|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x^2^+y^2^=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．
【解答】解：由x^2^+y^2^≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即\|6﹣x﹣3y\|=6﹣x﹣3y，
如图直线2x+y﹣2=0将圆x^2^+y^2^=1分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即\|2x+y﹣2\|=2x+y﹣2，
此时\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，
即\|2x+y﹣2\|=﹣（2x+y﹣2），
此时\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，
利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．
综上可得，当x=，y=时，\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．
15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x~0~，y~0~∈R），则x~0~=[ 1 ]{.underline}，y~0~=[ 2 ]{.underline}，\|=[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得\|﹣（\|^2^=（x+）^2^+（y﹣2）^2^+t^2^，由题意可得当x=x~0~=1，y=y~0~=2时，（x+）^2^+（y﹣2）^2^+t^2^取最小值1，由模长公式可得．
【解答】解：∵•=\|\|\|\|cos＜•＞=cos＜•＞=，
∴＜•＞=，
不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），
则由题意可知=m+n=2，
=m=，
解得m=，n=，
∴=（，，t），
∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），
∴\|﹣（）\|^2^=（﹣x﹣y）^2^+（）^2^+t^2^
=x^2^+xy+y^2^﹣4x﹣5y+t^2^+7=（x+）^2^+（y﹣2）^2^+t^2^，
由题意当x=x~0~=1，y=y~0~=2时，（x+）^2^+（y﹣2）^2^+t^2^取最小值1，
此时t^2^=1，故==2
故答案为：1；2；2
【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b^2^﹣a^2^=c^2^．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b^2^﹣a^2^=c^2^．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．
（2）由=×=3，可得c，即可得出b．
【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b^2^﹣a^2^=bc﹣c^2^，
又b^2^﹣a^2^=c^2^．∴bc﹣c^2^=c^2^．∴b=c．可得，
∴a^2^=b^2^﹣=，即a=．
∴cosC===．
∵C∈（0，π），
∴sinC==．
∴tanC==2．
或由A=，b^2^﹣a^2^=c^2^．
可得：sin^2^B﹣sin^2^A=sin^2^C，
∴sin^2^B﹣=sin^2^C，
∴﹣cos2B=sin^2^C，
∴﹣sin=sin^2^C，
∴﹣sin=sin^2^C，
∴sin2C=sin^2^C，
∴tanC=2．
（2）∵=×=3，
解得c=2．
∴=3．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A~1~A=4，A~1~在底面ABC的射影为BC的中点，D是B~1~C~1~的中点．
（1）证明：A~1~D⊥平面A~1~BC；
（2）求二面角A~1~﹣BD﹣B~1~的平面角的余弦值．
【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA~1~所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A~1~BD的法向量与平面B~1~BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA~1~所在直线分别为x、y、z轴建系．
则BC=AC=2，A~1~O==，
易知A~1~（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），
A（0，，0），D（0，﹣，），B~1~（，﹣，），
=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），
=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），
∵•=0，∴A~1~D⊥OA~1~，
又∵•=0，∴A~1~D⊥BC，
又∵OA~1~∩BC=O，∴A~1~D⊥平面A~1~BC；
（2）解：设平面A~1~BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（，0，1），
设平面B~1~BD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取z=1，得=（0，，1），
∴cos＜，＞===，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A~1~﹣BD﹣B~1~的平面角的余弦值为﹣．
【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（15分）已知函数f（x）=x^2^+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值．
（1）证明：当\|a\|≥2时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求\|a\|+\|b\|的最大值．
【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；
（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出\|a\|+\|b\|的求值．
【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，
因为\|a\|≥2，所以或≥1，
所以函数f（x）在\[﹣1，1\]上单调，
所以M（a，b）=max{\|f（1），\|f（﹣1）\|}=max{\|1+a+b\|，\|1﹣a+b\|}，
所以M（a，b）≥（\|1+a+b\|+\|1﹣a+b\|）≥\|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）\|≥\|2a\|=\|a\|≥2；
（2）当a=b=0时，\|a\|+\|b\|=0又\|a\|+\|b\|≥0，所以0为最小值，符合题意；
又对任意x∈\[﹣1，1\]．有﹣2≤x^2^+ax+b≤2，
得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，
易知（\|a\|+\|b\|）~max~=max{\|a﹣b\|，\|a+b\|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，
所以\|a\|+\|b\|的最大值为3．
【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．
19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m^2^+2）y^2^﹣2mny+n^2^﹣2=0，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x~0~，y~0~），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S~△OAB~=，再利用均值不等式即可得出．
【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m^2^+2）y^2^﹣2mny+n^2^﹣2=0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．由题意，△=4m^2^n^2^﹣4（m^2^+2）（n^2^﹣2）=8（m^2^﹣n^2^+2）＞0，
设线段AB的中点P（x~0~，y~0~），则．x~0~=﹣m×+n=，
由于点P在直线y=mx+上，∴=+，
∴，代入△＞0，可得3m^4^+4m^2^﹣4＞0，
解得m^2^，∴或m．
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，
∴S~△OAB~==\|n\|•=，
由均值不等式可得：n^2^（m^2^﹣n^2^+2）=，
∴S~△AOB~=，当且仅当n^2^=m^2^﹣n^2^+2，即2n^2^=m^2^+2，又∵，解得m=，
当且仅当m=时，S~△AOB~取得最大值为．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（15分）已知数列{a~n~}满足a~1~=且a~n+1~=a~n~﹣a~n~^2^（n∈N^\*^）
（1）证明：1≤≤2（n∈N^\*^）；
（2）设数列{a~n~^2^}的前n项和为S~n~，证明（n∈N^\*^）．
【分析】（1）通过题意易得0＜a~n~≤（n∈N^\*^），利用a~n~﹣a~n+1~=可得＞1，利用==≤2，即得结论；
（2）通过=a~n~﹣a~n+1~累加得S~n~=a~1~﹣a~n+1~，对a~n+1~=a~n~﹣a~n~^2^两边同除以a~n+1~a~n~采用累积法可求出a~n+1~的范围，从而得出结论．
【解答】证明：（1）由题意可知：a~n+1~﹣a~n~=﹣a~n~^2^≤0，即a~n+1~≤a~n~，
故a~n~≤，1≤．
由a~n~=（1﹣a~n﹣1~）a~n﹣1~得a~n~=（1﹣a~n﹣1~）（1﹣a~n﹣2~）...（1﹣a~1~）a~1~＞0．
所以0＜a~n~≤（n∈N^\*^），
又∵a~2~=a~1~﹣=，∴==2，
又∵a~n~﹣a~n+1~=，∴a~n~＞a~n+1~，∴＞1，
∴==≤2，
∴1≤≤2（n∈N^\*^），
综上所述，1＜≤2（n∈N^\*^）；
（2）由已知，=a~n~﹣a~n+1~，=a~n﹣1~﹣a~n~，...，=a~1~﹣a~2~，
累加，得S~n~=++...+=a~1~﹣a~n+1~，①
由a~n+1~=a~n~﹣a~n~^2^两边同除以a~n+1~a~n~得，和1≤≤2，
得1≤≤2，
累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+...+2，
所以n≤﹣≤2n，
因此≤a~n+1~≤（n∈N^\*^） ②，
由①②得≤（n∈N^\*^）．
【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
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**2014年福建省高考数学试卷（文科）**
**一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分**
1．（5分）若集合P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x\|3≤x＜4} B．{x\|3＜x＜4} C．{x\|2≤x＜3} D．{x\|2≤x≤3}
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x≥0
C．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0 D．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~≥0
6．（5分）已知直线l过圆x^2^+（y﹣3）^2^=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
8．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）要制作一个容积为4m^3^，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a^2^+b^2^的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）间的"L﹣距离"定义为\|P~1~P~2~\|=\|x~1~﹣x~2~\|+\|y~1~﹣y~2~\|．则平面内与x轴上两个不同的定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于定值（大于\|F~1~F~2~\|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分**
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为[ ]{.underline}．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于[ ]{.underline}．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是[ ]{.underline}．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于[ ]{.underline}．
**三．解答题：本大题共6小题，共74分.**
17．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~=3，a~5~=81．
（Ⅰ）求a~n~；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
-------- ---------------------- -------------------------
行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10000
-------- ---------------------- -------------------------
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
22．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^．
**2014年福建省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分**
1．（5分）若集合P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}，则P∩Q等于（ ）
A．{x\|3≤x＜4} B．{x\|3＜x＜4} C．{x\|2≤x＜3} D．{x\|2≤x≤3}
【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案
【解答】解：∵P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}，
∴P∩Q={x\|3≤x＜4}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键
2．（5分）复数（3+2i）i等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．
【解答】解：（3+2i）i=3i+2i^2^=﹣2+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．2π B．π C．2 D．1
【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2^n^＞n^2^，跳出循环，确定输出的n值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，2^1^＞1；
第二次循环n=2，2^2^=4．
不满足条件2^n^＞n^2^，跳出循环，输出n=2．
故选：B．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
5．（5分）命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"的否定是（ ）
A．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x≥0
C．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0 D．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~≥0
【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．
【解答】解：∵命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"是一个全称命题．
∴其否定命题为：∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0
故选：C．
【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．
6．（5分）已知直线l过圆x^2^+（y﹣3）^2^=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故选：D．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．
7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f（x）是奇函数
B．y=f（x）的周期为π
C．y=f（x）的图象关于直线x=对称
D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由
cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．
即f（x）=cosx．
∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；
∵cos=cos（﹣）=0，
∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．
8．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．
【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log~a~3=1，解得a=3，
对于A，由于y=a^﹣x^是一个减函数故图象与函数不对应，A错；
对于B，由于幂函数y=x^a^是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；
对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）^a^是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；
对于D，由于y=log~a~（﹣x）与y=log~a~x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．
9．（5分）要制作一个容积为4m^3^，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则
∵长方形容器的容器为4m^3^，高为1m，
∴底面面积S=ab=4，y=20S+10\[2（a+b）\]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
∴当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故选：C．
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．
10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．
【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．
11．（5分）已知圆C：（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a^2^+b^2^的最大值为（ ）
A．49 B．37 C．29 D．5
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
圆心为（a，b），半径为1
∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，
∴b=1，
则a^2^+b^2^=a^2^+1，
∴要使a^2^+b^2^的取得最大值，则只需a最大即可，
由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，
由，解得，即B（6，1），
∴当a=6，b=1时，a^2^+b^2^=36+1=37，即最大值为37，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）间的"L﹣距离"定义为\|P~1~P~2~\|=\|x~1~﹣x~2~\|+\|y~1~﹣y~2~\|．则平面内与x轴上两个不同的定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于定值（大于\|F~1~F~2~\|）的点的轨迹可以是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设出F~1~，F~2~的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．
【解答】解：设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），
再设动点M（x，y），动点到定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于m（m＞2c＞0），
由题意可得：\|x+c\|+\|y\|+\|x﹣c\|+\|y\|=m，
即\|x+c\|+\|x﹣c\|+2\|y\|=m．
当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；
当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；
当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；
当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；
当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；
当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．
结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．
**二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分**
13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为[ 0.18 ]{.underline}．
【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．
【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，
∴几何槪型的概率公式进行估计得，
即S=0.18，
故答案为：0.18．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．
14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于[ 1 ]{.underline}．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．
【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，即3=4+c^2^﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
15．（4分）函数f（x）=的零点个数是[ 2 ]{.underline}．
【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．
【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x^2^﹣2=0，解得x=或x=（舍去），
当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，
作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．
故函数f（x）的零点个数为2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．
16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于[ 201 ]{.underline}．
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．
【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案为：201．
【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．
**三．解答题：本大题共6小题，共74分.**
17．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~=3，a~5~=81．
（Ⅰ）求a~n~；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a~n~代入b~n~=log~3~a~n~，得到数列{b~n~}的通项公式，由此得到数列{b~n~}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a~n~}的公比为q，
由a~2~=3，a~5~=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，b~n~=log~3~a~n~，
∴．
则数列{b~n~}的首项为b~1~=0，
由b~n~﹣b~n﹣1~=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{b~n~}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．
18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为\[kπ﹣，kπ+\]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；
（Ⅱ）利用转换底面，V~A﹣MBC~=V~C﹣ABM~=S~△ABM~•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BD．
∵AB=BD=1，
∴S~△ABD~=，
∵M为AD中点，
∴S~△ABM~=S~△ABD~=，
∵CD⊥平面ABD，
∴V~A﹣MBC~=V~C﹣ABM~=S~△ABM~•CD=．
【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．
20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：
-------- ---------------------- -------------------------
行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）
A 25% 8000
B 30% 4000
C 15% 6000
D 10% 3000
E 20% 10000
-------- ---------------------- -------------------------
（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400
∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；
（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，
∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．
【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．
21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，
由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，
曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，
∴曲线Γ的方程为：x^2^=4y．
（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，
证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，
设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠0）则y~0~=，
由y得切线l的斜率k==
∴切线l的方程为：，即．
由得，
由得，
又N（0，3），
所以圆心C（），半径r==
∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．
22．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^．
【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x^﹣x^2^，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；
（3）利用（2）的结论，令x~0~=，则e^x^＞x^2^＞x，即x＜ce^x^．即得结论成立．
【解答】解：（1）由f（x）=e^x^﹣ax得f′（x）=e^x^﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，
∴f（x）=e^x^﹣2x，f′（x）=e^x^﹣2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4．
f（x）无极大值．
（2）令g（x）=e^x^﹣x^2^，则g′（x）=e^x^﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x^2^＜e^x^；
（3）对任意给定的正数c，总存在x~0~=＞0．当x∈（x~0~，+∞）时，
由（2）得e^x^＞x^2^＞x，即x＜ce^x^．
∴对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^．
【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．
| 1 | |
**三年级口算过关练习题(200道)**
班级： 姓名： 学号：
8×303＝
401×2＝
406×8＝
703×5＝
807×3＝
4×607＝
907×6＝
301×5＝
9×804＝
5×407＝
507×7＝
6×505＝
807×5＝
803×3＝
6×807＝
302×9＝
906×7＝
8×508＝
9×202＝
7×407＝
8×101＝
508×9＝
205×8＝
605×5＝
4×702＝
402×4＝
2×507＝
808×6＝
3×907＝
9×405＝
303×6＝
8×206＝
506×8＝
101×5＝
104×6＝
8×507＝
7×905＝
7×801＝
504×5＝
606×3＝
5×605＝
603×9＝
2×807＝
204×6＝
4×806＝
507×2＝
7×608＝
206×9＝
707×6＝
407×6＝
8×707＝
2×304＝
301×3＝
905×9＝
2×502＝
204×3＝
5×808＝
6×105＝
7×405＝
9×208＝
601×8＝
5×401＝
108×5＝
806×8＝
4×403＝
404×3＝
308×7＝
9×801＝
8×106＝
806×4＝
4×407＝
4×205＝
202×7＝
3×903＝
605×2＝
508×7＝
505×6＝
103×8＝
602×4＝
305×7＝
408×8＝
9×807＝
507×4＝
804×7＝
603×2＝
6×301＝
407×9＝
204×5＝
405×8＝
303×8＝
401×5＝
903×6＝
704×6＝
4×106＝
9×205＝
408×4＝
3×608＝
4×308＝
4×201＝
108×2＝
2×804＝
3×805＝
5×204＝
6×402＝
8×201＝
5×508＝
9×907＝
107×6＝
202×4＝
2×902＝
9×702＝
6×702＝
2×707＝
2×904＝
502×6＝
9×505＝
3×102＝
306×9＝
5×801＝
8×504＝
7×606＝
8×108＝
6×403＝
5×301＝
3×904＝
903×7＝
2×401＝
4×907＝
5×207＝
308×2＝
303×4＝
9×401＝
5×304＝
8×207＝
2×106＝
6×501＝
602×7＝
202×6＝
4×606＝
5×707＝
503×9＝
3×302＝
7×106＝
106×5＝
205×5＝
8×207＝
9×103＝
7×205＝
701×9＝
901×6＝
7×604＝
8×402＝
205×6＝
201×6＝
103×9＝
2×802＝
606×8＝
708×9＝
703×9＝
6×904＝
4×404＝
306×8＝
4×706＝
9×706＝
602×3＝
3×604＝
705×7＝
4×208＝
6×708＝
101×6＝
6×503＝
807×7＝
8×705＝
8×204＝
6×705＝
805×9＝
4×107＝
103×3＝
4×204＝
8×702＝
7×802＝
807×4＝
903×4＝
6×905＝
904×5＝
8×502＝
408×7＝
3×504＝
3×704＝
2×901＝
8×306＝
204×7＝
507×8＝
7×406＝
2×605＝
4×305＝
101×7＝
606×6＝
907×2＝
906×2＝
506×7＝
| 1 | |
**定义新运算（一）**
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
** 例1** 对于任意数a，b，定义运算"\*"： a\*b=a×b-a-b。
求12\*4的值。
** 分析与解**：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12\*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根据以上的规定，求10△6
的值。 
3，x\>=2，求x的值。
** 分析与解**：按照定义的运算，
\<1，2，3，x\>=2，
x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a\*b=a×b-a-b，新运算符号使用"\*"，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
** 分析与解**：按新运算的定义，符号"⊙"表示求两个数的平均数。
 
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
 按通常的规则从左至右进行运算。
** 分析与解**：从已知的三式来看，运算""表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数......按此规定，得
35=3+33+333+3333+33333=37035。
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
** 例6** 对于任意自然数，定义：n！=1×2×... ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+...+100！的个位数字是几？
** 分析与解**：1！=1，
2！=1×2=2，
3！=1×2×3=6，
4！=1×2×3×4=24，
5！=1×2×3×4×5=120，
6！=1×2×3×4×5×6=720，
......
由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，...，100！的末位数字都是0。
所以，要求1！+2！+3！+...+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
** 例7** 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
** 解：**3¤（4¤6）¤12
=3¤\[4×6-（4+6）÷2\]¤12
=3¤19¤12
=\[4×19-（3+19）÷2\]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2
=9.5。
**练习3**
1.对于任意的两个数a和b，规定a\*b=3×a-b÷3。求8\*9的值。
2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，
45=4×5×6×7×8，......
求（44）÷（33）的值。
**定义新运算（二）**
** 例1** 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
** 分析与解**：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算"※"化简，再求结果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
** 例2** 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，
即新运算"⊙"符合交换律？
** 分析与解**：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k，
所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，
5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，
3a+kb-3b-ka=0，
3×(a-b)-k(a-b)=0，
(3-k)(a-b)=0。
对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。
** 例3** 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=\[a，b\]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
** 分析与解**：（1）12☆21=\[12，21\]-（12，21）=84-3=81；
（2）因为定义的新运算"☆"没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。
因为6☆x=\[6，x\]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数\[6，x\]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=\[a，b\]×（a，b），
所以6×x=30×3，由此求得x=15。
** 例4** a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算"◎"表示"接着做"。求：a◎b；b◎c；c◎a。
** 分析与解**： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。
对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于"◎"的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
** 例5** 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
** 解：**（1） f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
（2）f（g（2））+g（f（2））
=f（2×2）+g（2×2+1）
=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，
由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。
**练习4**  2.定义两种运算"※"和"△"如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，
a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
计算：\[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)\]÷\[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)\]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，
并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：
a表示顺时针旋转240°，
b表示顺时针旋转120°，
c表示不旋转。
运算"∨"表示"接着做"。试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如73=1，529=4，420=0。
（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；
（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
**练习3**
1.2。2.4。
3.0。
 
提示：（2）x◇（4◇1）= 7，
x◇（4×3-1×2）= 7，
x◇10=7，
3x-10×2=7，
x=9。
（2）相当于由1×2×3× ...×x=40320，求x。
40320÷2＝20160，
20160÷3= 6720，
6720÷4=1680，
1680÷5=336，
......
8÷8=1，
即1/40320=1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8。所以x=8。
7.4。
解：x☆（8☆5）= x☆（8×5÷4）= x☆10= x×10÷4，由x×10÷4=10，求得x=4。
8.0。
解： （4△3）△（2△6）
= (4×3-3×3)△(4×2-6/2)
= 3△5=3×5-3×5=0。
9.14。
提示：新运算""是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个数字。（44）÷（33）= （4×5×6×7）÷（3×4×5）=14。
**练习4** 
 
2.7。
解：原式=（0.5×3+0.8×2.5）÷(0.7×3-0.64×2.5)=7。
3.33。
提示：从已知的四式发现，第一个数的4倍加上第二个数等于结果，所
提示：由 2⊙3= （A×2-3）÷4=0.75，推知A=3。定义的运算是： m⊙n=（3m-n）÷4。
（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）
=\[（3×5-7）÷4\]×\[(3×2- 2)÷4\]÷\[（3×3-2）÷4\]
=2×1÷7/4=8/7。
5.
6.（1）2，3，1；（2）7或14。
提示：（1）（59）19= 419=3，5（195）= 54= 1。
（2）当x＜11时，x是7；当x＞11时，x是14。
7.（1）10；（2）4。
解：（1）f（g（6））- g（f（3））
= f(6÷2+1)- g（3×3-1）= f( 4)- g（8）
= （4×4-1）-（8÷2+1）= 10；。
（2）由f( g（x）)= 8=3×3-1，推知g（x）= 3；再由x÷2+1=3，得x=4。
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**湖南省2021年普通高中学业水平选择性考试**
**化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：**
**一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 下列有关湘江流域治理和生态修复的措施中，没有涉及到化学变化的是
A. 定期清淤，疏通河道
B. 化工企业"三废"处理后，达标排放
C. 利用微生物降解水域中的有毒有害物质
D. 河道中的垃圾回收分类后，进行无害化处理
2\. 下列说法正确的是
A. 糖类、蛋白质均属于天然有机高分子化合物
B. 粉末在空气中受热，迅速被氧化成
C. 可漂白纸浆，不可用于杀菌、消毒
D. 镀锌铁皮的镀层破损后，铁皮会加速腐蚀
3\. 下列实验设计不能达到实验目的的是
--- ---------------------- ----------------------------------------------
实验目的 实验设计
A 检验溶液中是否被氧化 取少量待测液，滴加溶液，观察溶液颜色变化
B 净化实验室制备的 气体依次通过盛有饱和溶液、浓的洗气瓶
C 测定溶液的pH 将待测液滴在湿润的pH试纸上，与标准比色卡对照
D 工业酒精制备无水乙醇 工业酒精中加生石灰，蒸馏
--- ---------------------- ----------------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
4\. 已二酸是一种重要的化工原料，科学家在现有工业路线基础上，提出了一条"绿色"合成路线：
下列说法正确的是
A. 苯与溴水混合，充分振荡后静置，下层溶液呈橙红色
B. 环己醇与乙醇互为同系物
C. 已二酸与溶液反应有生成
D. 环己烷分子中所有碳原子共平面
5\. 为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 含有的中子数为
B. 溶液中含有的数为
C. 与在密闭容器中充分反应后的分子数为
D. 和(均为标准状况)在光照下充分反应后的分子数为
6\. 一种工业制备无水氯化镁的工艺流程如下：
下列说法错误的是
A. 物质X常选用生石灰
B. 工业上常用电解熔融制备金属镁
C. "氯化"过程中发生的反应为
D. "煅烧"后的产物中加稀盐酸，将所得溶液加热蒸发也可得到无水
7\. W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Y的原子序数等于W与X的原子序数之和，Z的最外层电子数为K层的一半，W与X可形成原子个数比为2：1的分子。下列说法正确的是
A. 简单离子半径：
B. W与Y能形成含有非极性键的化合物
C. X和Y的最简单氢化物的沸点：
D. 由W、X、Y三种元素所组成化合物的水溶液均显酸性
8\. 常用作食盐中的补碘剂，可用"氯酸钾氧化法"制备，该方法的第一步反应为。下列说法错误的是
A. 产生22.4L(标准状况)时，反应中转移
B. 反应中氧化剂和还原剂的物质的量之比为11：6
C. 可用石灰乳吸收反应产生的制备漂白粉
D. 可用酸化的淀粉碘化钾溶液检验食盐中的存在
9\. 常温下，用的盐酸分别滴定20.00mL浓度均为三种一元弱酸的钠盐溶液，滴定曲线如图所示。下列判断错误的是
A. 该溶液中：
B. 三种一元弱酸的电离常数：
C. 当时，三种溶液中：
D. 分别滴加20.00mL盐酸后，再将三种溶液混合：
10\. 锌溴液流电池是一种先进的水溶液电解质电池，广泛应用于再生能源储能和智能电网的备用电源等。三单体串联锌溴液流电池工作原理如图所：
下列说法错误是
A. 放电时，N极为正极
B. 放电时，左侧贮液器中的浓度不断减小
C. 充电时，M极的电极反应式为
D. 隔膜允许阳离子通过，也允许阴离子通过
**二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有一个或两个选项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。**
11\. 已知：，向一恒温恒容的密闭容器中充入和发生反应，时达到平衡状态I，在时改变某一条件，时重新达到平衡状态Ⅱ，正反应速率随时间的变化如图所示。下列说法正确的是
A. 容器内压强不变，表明反应达到平衡
B. 时改变的条件：向容器中加入C
C. 平衡时A的体积分数：
D. 平衡常数K：
12\. 对下列粒子组在溶液中能否大量共存的判断和分析均正确的是
--- -------- ----------------------------
粒子组 判断和分析
A 、、、 不能大量共存，因发生反应：
B 、、、 不能大量共存，因发生反应：
C 、、、 能大量共存，粒子间不反应
D 、、、 能大量共存，粒子间不反应
--- -------- ----------------------------
A. A B. B C. C D. D
13\. 1-丁醇、溴化钠和70%的硫酸共热反应，经过回流、蒸馏、萃取分液制得1-溴丁烷粗产品，装置如图所示：
已知：
下列说法正确的是
A. 装置I中回流的目的是为了减少物质的挥发，提高产率
B. 装置Ⅱ中a为进水口，b为出水口
C. 用装置Ⅲ萃取分液时，将分层的液体依次从下放出
D. 经装置Ⅲ得到的粗产品干燥后，使用装置Ⅱ再次蒸馏，可得到更纯的产品
14\. 铁的配合物离子(用表示)催化某反应的一种反应机理和相对能量的变化情况如图所示：
下列说法错误的是
A. 该过程的总反应为
B. 浓度过大或者过小，均导致反应速率降低
C. 该催化循环中元素的化合价发生了变化
D. 该过程的总反应速率由Ⅱ→Ⅲ步骤决定
**二、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第15\~17题为必考题，每个试题考生都必须作答。第18、19题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：此题包括3小题，共39分。**
15\. 碳酸钠俗称纯碱，是一种重要的化工原料。以碳酸氢铵和氯化钠为原料制备碳酸钠，并测定产品中少量碳酸氢钠的含量，过程如下：
步骤I.的制备
步骤Ⅱ.产品中含量测定
①称取产品2.500g，用蒸馏水溶解，定容于250mL容量瓶中；
②移取25.00mL上述溶液于锥形瓶，加入2滴指示剂M，用盐酸标准溶液滴定，溶液由红色变至近无色(第一滴定终点)，消耗盐酸；
③在上述锥形瓶中再加入2滴指示剂N，继续用盐酸标准溶液滴定至终点(第二滴定终点)，又消耗盐酸；
④平行测定三次，平均值为22.45，平均值为23.51。
已知：(i)当温度超过35℃时，开始分解。
(ii)相关盐在不同温度下溶解度表
------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
温度/ 0 10 20 30 40 50 60
35.7 35.8 36.0 36.3 36.6 37.0 37.3
11.9 15.8 21.0 27.0
6.9 8.2 9.6 11.1 12.7 14.5 16.4
29.4 33.3 37.2 41.4 45.8 50.4 55.2
------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
回答下列问题：
(1)步骤I中晶体A的化学式为\_\_\_\_\_\_\_，晶体A能够析出的原因是\_\_\_\_\_\_\_；
(2)步骤I中"300℃加热"所选用的仪器是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)；
A. B. C. D.
(3)指示剂N为\_\_\_\_\_\_\_，描述第二滴定终点前后颜色变化\_\_\_\_\_\_\_；
(4)产品中的质量分数为\_\_\_\_\_\_\_(保留三位有效数字)；
(5)第一滴定终点时，某同学俯视读数，其他操作均正确，则质量分数的计算结果\_\_\_\_\_\_\_(填"偏大""偏小"或"无影响")。
16\. 氨气中氢含量高，是一种优良的小分子储氢载体，且安全、易储运，可通过下面两种方法由氨气得到氢气。
方法I：氨热分解法制氢气
相关化学键的键能数据
-------- ----- ------- -------
化学键
键能 946 436.0 390.8
-------- ----- ------- -------
一定温度下，利用催化剂将分解为和。回答下列问题：
(1)反应\_\_\_\_\_\_\_；
(2)已知该反应的，在下列哪些温度下反应能自发进行？\_\_\_\_\_\_\_(填标号)
A.25℃ B.125℃ C.225℃ D.325℃
(3)某兴趣小组对该反应进行了实验探究。在一定温度和催化剂的条件下，将通入3L的密闭容器中进行反应(此时容器内总压为200kPa)，各物质的分压随时间的变化曲线如图所示。
①若保持容器体积不变，时反应达到平衡，用的浓度变化表示时间内的反应速率\_\_\_\_\_\_\_(用含的代数式表示)
②时将容器体积迅速缩小至原来的一半并保持不变，图中能正确表示压缩后分压变化趋势的曲线是\_\_\_\_\_\_\_(用图中a、b、c、d表示)，理由是\_\_\_\_\_\_\_；
③在该温度下，反应的标准平衡常数\_\_\_\_\_\_\_。(已知：分压=总压×该组分物质的量分数，对于反应，，其中，、、、为各组分的平衡分压)。
方法Ⅱ：氨电解法制氢气
利用电解原理，将氮转化为高纯氢气，其装置如图所示。
(4)电解过程中的移动方向为\_\_\_\_\_\_\_(填"从左往右"或"从右往左")；
(5)阳极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。
KOH溶液KOH溶液
17\. 可用于催化剂载体及功能材料的制备。天然独居石中，铈(Ce)主要以形式存在，还含有、、、等物质。以独居石为原料制备的工艺流程如下：
回答下列问题：
(1)铈的某种核素含有58个质子和80个中子，该核素的符号为\_\_\_\_\_\_\_；
(2)为提高"水浸"效率，可采取的措施有\_\_\_\_\_\_\_(至少写两条)；
(3)滤渣Ⅲ的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；
(4)加入絮凝剂的目的是\_\_\_\_\_\_\_；
(5)"沉铈"过程中，生成的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_，常温下加入的溶液呈\_\_\_\_\_\_\_(填"酸性""碱性"或"中性")(已知：的，的，)；
(6)滤渣Ⅱ主要成分为，在高温条件下，、葡萄糖()和可制备电极材料，同时生成和，该反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_
**(二)选考题：共15分。请考生从给出的两道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修3：物质结构与性质\]**
18\. 硅、锗(Ge)及其化合物广泛应用于光电材料领域。回答下列问题：
(1)基态硅原子最外层的电子排布图为\_\_\_\_\_\_\_，晶体硅和碳化硅熔点较高的是\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；
(2)硅和卤素单质反应可以得到，熔沸点如下表：
-------- ------- ------- ------- -------
熔点/K 183.0 203.2 278.6 393.7
沸点/K 187.2 330.8 427.2 560.7
-------- ------- ------- ------- -------
①0℃时，、、、呈液态的是\_\_\_\_(填化学式)，沸点依次升高的原因是\_\_\_\_\_，气态分子的空间构型是\_\_\_\_\_\_\_；
②与N-甲基咪唑反应可以得到，其结构如图所示：
N-甲基咪唑分子中碳原子的杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_，H、C、N的电负性由大到小的顺序为\_\_\_\_\_\_\_，1个中含有\_\_\_\_\_\_\_个键；
(3)下图是、、三种元素形成的某化合物的晶胞示意图。
①己知化合物中和的原子个数比为1：4，图中Z表示\_\_\_\_\_\_\_原子(填元素符号)，该化合物的化学式为\_\_\_\_\_\_\_；
②已知该晶胞的晶胞参数分别为anm、bnm、cnm，，则该晶体的密度\_\_\_\_\_\_\_(设阿伏加德罗常数的值为，用含a、b、c、的代数式表示)。
**\[选修5：有机化学基础\]**
19\. 叶酸拮抗剂是一种多靶向性抗癌药物。以苯和丁二酸酐为原料合成该化合物的路线如下：
回答下列问题：
已知：①
②
(1)A的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_；
(2)，的反应类型分别是\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_；
(3)M中虚线框内官能团的名称为a\_\_\_\_\_\_\_，b\_\_\_\_\_\_\_；
(4)B有多种同分异构体，同时满足下列条件的同分异构体有\_\_\_\_\_\_\_种(不考虑立体异构)
①苯环上有2个取代基②能够发生银镜反应③与溶液发生显色发应
其中核磁共振氢谱有五组峰，且峰面积之比为6：2：2：1：1的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_；
(5)结合上述信息，写出丁二酸酐和乙二醇合成聚丁二酸乙二醇酯的反应方程式\_\_\_\_\_\_\_；
(6)参照上述合成路线，以乙烯和为原料，设计合成的路线\_\_\_\_\_\_\_(其他试剂任选)。
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**2006普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ｉ卷**
**注意事项**：
１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么 球的表面积公式
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么 其中表示球的半径
次独立重复试验中恰好发生次的概率是
**一．选择题**
(1)已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
（2）已知集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）函数的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
(4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是
（A） （B）6 （C） （D）12
（6）已知等差数列中，，则前10项的和＝
（A）100 (B)210 (C)380 (D)400
（7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
（8）已知函数，则的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（10）若则
（A） （B）
（C） （D）
（11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为
（A） （B） （C） （D）
（12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
**2006普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**第Ⅱ卷（非选择题，共90分）**
**注意事项：**
本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）
（14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。
（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分１２分）
在,求
（1）
(2)若点
（18）（本小题满分１２分）
设等比数列的前n项和为，
（19）（本小题满分１２分）
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
（20）（本小题１２分）
如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设求二面角的大小
(21）（本小题满分为１４分）
设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
（22）（本小题满分１２分）
已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 搭一搭（一）**
1. **竖式练习。**
> 18÷6= 36÷9= 25÷7= 25÷5=
>
> 42÷6= 40÷5= 10÷3= 13÷6=
**二、填空。**
1. （ ）÷4=（ ）......1
2、26÷（ ）=（ ） ......1
3、43÷7=6......1，读作：（ ），在这道算式里，被除数是 （ ）， 除数是（ ），商是（ ），余数是（ ） 。 \[来源:学\*科\*网\]
4、17除以（ ）有余数，余数最大是（ ），最小是（ ）。 \[来源:学+科+网\]
5、13根小棒可以搭（ ）个正方形，还剩（ ）根。
3. **看图列式。**
                 
正方形可以搭（ ）个。
（ ）÷（ ）=( ) 个 ......（ ）根
三角形可以搭（ ）个
（ ）÷（ ）=( ) 个
4. **应用题。**
> 1、31根  ，每5个摆成一个  ， 可以摆（ ）个，
>
> 还剩（ ）个。
>
> 算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(个)......（ ）(个)
2. 小明邀请同学来家玩，家有6个苹果，来了4个小朋友，每个小朋友可以吃（ ）个苹果， 还剩（ ）个。
算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(个)......（ ）(个) \[来源:Z§xx§k.Com\]
3、37支笔，平均分给6个小朋友，每个小朋友分（ ）支， 还剩（ ）支笔。 \[来源:Zxxk.Com\]
算式是： （ ）÷（ ）=（ ）(支)......（ ）(支)
4、有110块糖，一共有50个小朋友。
平均每个小朋友，可以分几块糖？
把糖放到3个袋子里一共可以装几块？ 还剩几块？
答案解析:
竖式练习 3， 4， 3......4， 5， 7， 8, 3......1， 2......1
填空1，9 2
2,5 5
3,43除以7等于6余1 43 7 6 1
4,4 3 2 2 1
5,3 1
看图列式
正方形可以搭（ 4 ）个。
（ 18 ）÷（ 4 ）=( 4 ) 个 ......（ 2 ）根
三角形可以搭（ 6 ）个\[来源:学科网ZXXK\]
（ 18 ）÷（ 3 ）=( 6 ) 个
应用题解析
> 1、可以摆（ 6 ）个， 还剩（ 1）个。
>
> 算式是： （ 31 ）÷（5 ）=（6）(个)......（ 1 ）(个)
2、每个小朋友可以吃（ 1 ）个苹果， 还剩（ 1 ）个。
算式是： （ 6 ）÷（ 5 ）=（ 1 ）(个)......（ 1 ）(个) 小明也是小朋友，要先4+1算出吃苹果的人数5个。
3、每个小朋友分（6）支， 还剩（ 1 ）支笔。
算式是： （37）÷（ 6）=（ 6）(支)......（ 1 ）(支)
4、（110）÷（ 50）=（ 2）(块)......（10）(块) 平均每个小朋友，可以分2块糖。
（110）÷（3）=（36）(块)......（2）(块)110-2=108块
一共可以装108块，还剩2块。
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**2019年湖南省株洲市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•资阳）的倒数是
A． B． C． D．3
2．（3分）（2019•株洲）
A． B．4 C． D．
3．（3分）（2019•株洲）下列各式中，与是同类项的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．（3分）（2019•株洲）关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
6．（3分）（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）（2019•株洲）若一组数据，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）（2019•株洲）下列各选项中因式分解正确的是
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•株洲）如图所示，在直角平面坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•株洲）从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作，构成一个数组，（其中，，且将，与，视为同一个数组），若满足：对于任意的，和，，，都有，则的最大值
A．10 B．6 C．5 D．4
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
11．（3分）（2019•株洲）若二次函数的图象开口向下，则[ ]{.underline}0（填""或""或"" ．
12．（3分）（2019•株洲）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•株洲）如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•株洲）若为有理数，且的值大于1，则的取值范围为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•株洲）如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则[ ]{.underline}度．
16．（3分）（2019•株洲）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则[ ]{.underline}度．
17．（3分）（2019•株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？"其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走[ ]{.underline}步才能追到速度慢的人．
18．（3分）（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，在直线处放置反光镜Ⅰ，在轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段，其中点，点在点上方，且，在直线处放置一个挡板Ⅲ，从点发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分）**
19．（6分）（2019•株洲）计算：．
20．（6分）（2019•株洲）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点处测得汽车前端的俯角为，且，若直线与地面相交于点，点到地面的垂线段的长度为1.6米，假设眼睛处的水平线与地面平行．
（1）求的长度；
（2）假如障碍物上的点正好位于线段的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段为此长方形前端的边），，若小强的爸爸将汽车沿直线后退0.6米，通过汽车的前端点恰好看见障碍物的顶部点（点为点的对应点，点为点的对应点），求障碍物的高度．
22．（8分）（2019•株洲）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
------------------ --------------------
最高气温（单位： 需求量（单位：杯）
200
250
400
------------------ --------------------
（1）求去年六月份最高气温不低于的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
23．（8分）（2019•株洲）如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
24．（8分）（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．
25．（11分）（2019•株洲）四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结、．点是线段上的一点，连结、，且，，的延长线与的延长线相交与点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，
①求证：为等腰直角三角形；
②求的长度．
26．（11分）（2019•株洲）已知二次函数
（1）若，，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数，满足方程的的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数有两个不同的"不动点"．
（2）设，如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于不同的两点，，，，其中，，与轴相交于点，连结，点在轴的正半轴上，且，又点的坐标为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，满足．的延长线与的延长线相交于点，若，求二次函数的表达式．
**2019年湖南省株洲市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）**
1．（3分）的倒数是
A． B． C． D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：，
的倒数是．
故选：．
2．（3分）
A． B．4 C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
3．（3分）下列各式中，与是同类项的是
A． B． C． D．
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解答】解：、与不是同类项，故本选项错误；
、与不是同类项，故本选项错误；
、与是同类项，故本选项正确；
、与是同类项，故本选项错误；
故选：．
4．（3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是
A．对角线垂直且相等
B．四边都互相垂直
C．四个角都相等
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．
【解答】解：、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；
、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；
、矩形的四个角都相等，正确；
、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
5．（3分）关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点坐标为，则它位于第四象限，
故选：．
7．（3分）若一组数据，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况，，，时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【解答】解：当时，中位数与平均数相等，则得到：，
解得（舍去）；
当时，中位数与平均数相等，则得到：，
解得；
当时，中位数与平均数相等，则得到：，
解得（舍去）；
当时，中位数与平均数相等，则得到：，
解得（舍去）．
所以的值为2．
故选：．
8．（3分）下列各选项中因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
9．（3分）如图所示，在直角平面坐标系中，点、、为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点作轴于点，过点、分别作，垂直轴于点、，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，，用排除法即可得到结论．
【解答】解：点、、为反比例函数上不同的三点，轴，，垂直轴于点、，
，，
，
，
，，
，，选项错误，
故选：．
10．（3分）从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作，构成一个数组，（其中，，且将，与，视为同一个数组），若满足：对于任意的，和，，，都有，则的最大值
A．10 B．6 C．5 D．4
【分析】找出的值，结合对于任意的，和，，，都有，即可得出的最大值．
【解答】解：，，，，，，
共有5个不同的值．
又对于任意的，和，，，都有，
的最大值为5．
故选：．
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
11．（3分）若二次函数的图象开口向下，则[ ]{.underline}0（填""或""或"" ．
【分析】由二次函数图象的开口向下，可得．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，
．
故答案是：．
12．（3分）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是[ ]{.underline}．
【分析】先求出总球的个数，再用白球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，
摸到白球的概率是；
故答案为：．
13．（3分）如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则[ 4 ]{.underline}．
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出．
【解答】解：、分别为、的中点，
，
，是斜边上的中线，
，
故答案为：4．
14．（3分）若为有理数，且的值大于1，则的取值范围为[ 且为有理数 ]{.underline}．
【分析】根据题意列出不等式，解之可得，
【解答】解：根据题意知，
解得，
故答案为：且为有理数．
15．（3分）如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则[ 66 ]{.underline}度．
【分析】首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【解答】解：五边形为正五边形，
度，
是的角平分线，
度，
，
．
故答案为：66．
16．（3分）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则[ 20 ]{.underline}度．
【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，得出，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20．
17．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？"其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走[ 250 ]{.underline}步才能追到速度慢的人．
【分析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为，根据二者的速度差时间路程，即可求出值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论．
【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
故答案是：250．
18．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，在直线处放置反光镜Ⅰ，在轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段，其中点，点在点上方，且，在直线处放置一个挡板Ⅲ，从点发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为[ 1.5 ]{.underline}．
【分析】当光线沿、、、传输时，由，即：，即：，解得：，求出，同理可得：，即可求解．
【解答】解：当光线沿、、、传输时，
过点作于点，过点作于点，
则，设，则，
则，即：，
即：，解得：，
则，
，，
当光线反射过点时，
同理可得：，
落在挡板Ⅲ上的光线的长度，
故答案为1.5．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分）**
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
21．（8分）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点处测得汽车前端的俯角为，且，若直线与地面相交于点，点到地面的垂线段的长度为1.6米，假设眼睛处的水平线与地面平行．
（1）求的长度；
（2）假如障碍物上的点正好位于线段的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段为此长方形前端的边），，若小强的爸爸将汽车沿直线后退0.6米，通过汽车的前端点恰好看见障碍物的顶部点（点为点的对应点，点为点的对应点），求障碍物的高度．
【分析】（1）由题意得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作于，于是得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据线段的中点的定义得到米，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，，
在中，，，
，
答：的长度为；
（2）过作于，
则四边形是矩形，
，
点是线段的中点，
米，
，
，
，
，
，
，
，
答：障碍物的高度为0.6米．
22．（8分）某甜品店计划订购一种鲜奶，根据以往的销售经验，当天的需求量与当天的最高气温有关，现将去年六月份（按30天计算）的有关情况统计如下：
（最高气温与需求量统计表）
------------------ --------------------
最高气温（单位： 需求量（单位：杯）
200
250
400
------------------ --------------------
（1）求去年六月份最高气温不低于的天数；
（2）若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率，求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率；
（3）若今年六月份每天的进货量均为350杯，每杯的进价为4元，售价为8元，未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁，假设今年与去年的情况大致一样，若今年六月份某天的最高气温满足（单位：，试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元？
【分析】（1）由条形图可得答案；
（2）用的天数除以总天数即可得；
（3）根据利润销售额成本计算可得．
【解答】解：（1）由条形统计图知，去年六月份最高气温不低于的天数为（天；
（2）去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为；
（3）（元，
答：估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元．
23．（8分）如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，正方形的边长为2，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
【分析】（1）由正方形与正方形，对角线、，可得，，即可证得，因，，则可利用"边角边"即可证两三角形全等
（2）过点作交于点，由于，由可得， 长，从而求得，即可求得，再通过，易证得，则有，求得即为正方形的边长．
【解答】解：
（1）正方形与正方形，对角线、
，
在和中
（2）如图，过点作交于点
，
，
在中，由勾股定理得
，
易证
，得
则正方形的边长为
24．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求该一次函数的表达式；
（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，
①用表示（不需要写出的取值范围）；
②当取最小值时，求的值．
【分析】（1）将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解；
（2）①，则，则点，，；②当时，取得最小值，而点，，即可求解．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，
解得：，
故一次函数表达式为：，
（2）①过点作，
则，
则，，
，则，则点，
设：，则，
在中，，
同理，
则，，
则点，，
，
②，有最小值，当时，
取得最小值，
而点，，
故：．
25．（11分）四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结、．点是线段上的一点，连结、，且，，的延长线与的延长线相交与点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，
①求证：为等腰直角三角形；
②求的长度．
【分析】（1）由圆周角的定理可得，可证，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证，由，可证为等腰直角三角形；
②通过证明，可得，可得，通过证明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性质可求的长度．
【解答】证明：（1），
，且
四边形是平行四边形
（2）①是直径
，且
，
，且
，且
为等腰直角三角形；
②四边形是的圆内接四边形，
，且
，且，
，，
，
，且为等腰直角三角形
26．（11分）已知二次函数
（1）若，，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数，满足方程的的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数有两个不同的"不动点"．
（2）设，如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于不同的两点，，，，其中，，与轴相交于点，连结，点在轴的正半轴上，且，又点的坐标为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，满足．的延长线与的延长线相交于点，若，求二次函数的表达式．
【分析】（1）①把、、的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标．
②根据定义，把代入二次函数，得，根据根的判别式可知满足此方程的有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的"不动点"．
（2）由条件与联想到证的对应边的比，即有．由轴且可得轴，由平行线分线段定理可证也为中点，其中，可用含的式子表示．可用含表示，通过韦达定理变形和代入可得用、表示的式子．又由和可证，对应边成比例可得式子，把含、、的式子代入再把韦达定理得到的，代入化简，可得．即能用表示、，代回到解方程即求得的值，进而求、的值，得到二次函数表达式．
【解答】解：（1）①，，
该二次函数图象的顶点坐标为
②证明：当时，
整理得：
△
方程有两个不相等的实数根
即二次函数有两个不同的"不动点"．
（2）把代入二次函数得：
二次函数与轴交于点，，，，
即、为方程的两个不相等实数根
，
当时，
，，
轴，
轴
，
，
，即
展开得：
，即
，，
，
解得：，（舍去）
，
二次函数的表达式为
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:27:09；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以，下列选项中只有选项A中的集合是集合的子集，故选A.
考点：集合的运算.
【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.
2\. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.
3\. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，所以，故选C.\[来源:Z&xx&k.Com\]
考点：向量的数量积.
4\. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：程序框图.
5\. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ）
A． B． C．  D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由条件可得，所以，故选A.
考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.
6\. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：三视图.
7\. 为了得到，只需将作如下变换（ ）
A． 向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选C.\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
考点：图象平移变换.
8\. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D.
考点：线性规划.
9\. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：椭圆的标准方程与几何性质.
10\. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.
11\. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为
（ ）
A． 个 B．个 C． 个 D． 个
【答案】D
【解析】
试题分析：在坐标系内作出函数的图象，由图象可知，方程的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.
考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.
12\. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）
A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上增减函数
【答案】B
故选B.
考点：三角函数的图象与性质.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定，再根据周期确定，由最高点的值或最低点的值确定，求出解析式后再研究函数相关性质.
**第Ⅱ卷（共90分）**
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13\. 的展开式中项的系数为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：的展开式中项的系数为,故填.
考点：二项式定理.
14. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 [ ]{.underline}  [ ]{.underline} ．
【答案】
考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.
15\. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 [ ]{.underline} ．
\[来源:\]
【答案】
考点：解三角形应用举例.
【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.
16\. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：对任意，不等式恒成立等价于，，当且仅当时取等号，所以，即，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，所以有，解之得.
考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.
【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17\. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.
【答案】（1）；（2）到年不需要调整政策.
（2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万
新政策实施到年年人口均值为
故到年不需要调整政策．
考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式.
【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
18\. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且.
（1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)存在点，为中点；(2).
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
平面PEA
平面PEA的法向量
另外，，
，,设平面DPE的法向量，则
，令，得
又为锐二面角,所以二面角的余弦值为
考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.\[来源:ZXXK\]
19\. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
-- ----------- -- -- --
\[来源:\]
-- ----------- -- -- --
且的数学期望,求的值;
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：① 产品的"性价比"；
②"性价比"大的产品更具可购买性.
【答案】(1);(2);(3) **乙厂的产品更具可购买性.**
**（2）由已知得，样本的频率分布表如下：**
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
**用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X~2~的概率分布列如下：**
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
**所以，**
**即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.**
**（3）乙厂的产品更具****可购买性，理由如下：**
**因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为**
**因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为**
**据此，乙厂的产品更具可购买性。**
考点：1.离散型随机变量的概率分布列与期望；2.用样本的数据特征估计总体.
20\. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标；
\(3\) 在(2) 的条件下求面积的最大值.
【答案】(1);(2)过定点，证明见解析；(3).
i\) 时， 过定点
ii\) 时过点过定点
（3）由（2）知
令时取等号时去等号，
考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系；4.基本不等式.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
21\. （本小题满分12分）已知函数(常数).
（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;
（2）若函数存在两个极值点,证明:.
【答案】(1)(2)均见解析.
（1）①当时，，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点；
②当时，由，故在 单调递增. 又，，
所以在有且只有一个零点. 3分
又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，
所以函数在有且只有一个极值点.
综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分
（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），
所以,是的两个零点，且由（1）知，必有.
令得 ；
令 得；
将代数式视为以为自变量的函数
则 .
当时，因为，所以，
则在单调递增.
因为，所以，
又因为，所以.
当时，因为，所以，
则在单调递减，
因为，所以.
综上知，且．． 12分
考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22\. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.
（1）若,求的值;
（2）若,证明:.
【答案】(1);(2)见解析.
考点：1.三角形相似；2.圆的性质与应用.
23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:
为参数), 曲线的极坐标方程为:.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.
【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为, l的普通方程为;(2).
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义.
24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式;
（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2).
考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数值域的求法.
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第14课《典型试题分析》试题附答案**
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**答案**
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> **《1分有多长》同步练习**
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> 一、填空题
>
> 1、钟面上走得最快的针是（ ）针，它走一小格的时间是（ ）。
>
> 2、时针走一大格的时间是（ ），走一圈的时间是（ ）小时。
>
> 3、分针走1小格是（ ）分，走一圈是（ ）分，也就是（ ）。
>
> 4、秒针从3到9走了（ ）大格，也就是（ ）秒。\[来源:学科网ZXXK\]
>
> 5、3分=（ ）秒 1时=（ ）分
>
> 2分=（ ）秒 2时30分=（ ）分
>
> 90秒=（ ）分（ ）秒
>
> 50分+10分=（ ）时
>
> 1分-35秒=（ ）秒
>
> 6、填上合适的时间单位。
>
> 小红大约每天睡10（ ），她做8道口算题约用1（ ）。
>
> 从家到学校约步行20（ ），跑50米约10（ ）。
>
> 二、看图填空
>
> 1、
>
> 
2. 给下面的钟面画上分针，再写上时间。
> 
>
> 三、解决问题。\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
>
> 下面是丽丽星期天上午的时间作息表：
+---------------------------------+
| > 8 : 00 ～ 9 : 50 英语口语训练 |
+---------------------------------+
| > 9 : 50 ～ 10 : 30 做作业 |
+---------------------------------+
| > 10 : 30 ～ 11 : 10 看电视 |
+---------------------------------+
| > 11 : 10 ～ 12 : 00 玩游戏 |
+---------------------------------+
| > 12 : 00 ～ 12 : 30 吃午饭 |
+---------------------------------+
> （1）丽丽做作业用了多长时间？
>
> （2）丽丽玩游戏用了多长时间？
>
> （3）丽丽看电视和玩游戏一共用了多长时间？
>
> （4）丽丽下午2：30去体育馆打羽毛球，吃完午饭后，离她去打羽毛球还有多长时间？
**参考答案：**
> 一、填空题
>
> 1、 （ 秒 ） （ 1秒 ）
>
> 2、 （ 1时 ） （ 12 ）
>
> 3、 （ 1 ） （ 60 ） （ 1时 ）
>
> 4、 （ 6 ） （ 30 ）
>
> 5、3分=（ 180 ）秒 1时=（ 60 ）分
>
> 2分=（ 120 ）秒 2时30分=（ 150 ）分
>
> 90秒=（ 1 ）分（ 30 ）秒\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
>
> 50分+10分=（ 1 ）时
>
> 1分-35秒=（ 25 ）秒
>
> 6、
>
> （ 时 ） （分 ）
>
> （ 分 ） （ 秒 ）
>
> 二、看图填空
>
> 1、
>
> （1）6：55 （40分） 7：30
>
> （2）3：00 （1） （30） 4：30\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
2、略
> 三 （1）40分
>
> （2）50分
>
> （3）1时30分
（4）2小时
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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**2013年重庆市高考数学试卷（文科）**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x^2^≥0"的否定为（ ）
A．存在x~0~∈R，使得x~0~^2^＜0 B．对任意x∈R，使得x^2^＜0
C．存在x~0~∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x^2^＜0
3．（5分）函数y=的定义域为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
4．（5分）设P是圆（x﹣3）^2^+（y+1）^2^=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则\|PQ\|的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间\[22，30）内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
7．（5分）关于x的不等式x^2^﹣2ax﹣8a^2^＜0（a＞0）的解集为（x~1~，x~2~），且：x~2~﹣x~1~=15，则a=（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．180 B．200 C．220 D．240
9．（5分）已知函数f（x）=ax^3^+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log~2~10））=5，则f（lg（lg2））=（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
10．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A~1~B~1~和A~2~B~2~，使\|A~1~B~1~\|=\|A~2~B~2~\|，其中A~1~、B~1~和A~2~、B~2~分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．**
11．（5分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|=[ ]{.underline}．
12．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=[ ]{.underline}．
13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为[ ]{.underline}．
14．（5分）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=[ ]{.underline}．
15．（5分）设0≤α≤π，不等式8x^2^﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[ ]{.underline}．
**三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（13分）设数列{a~n~}满足：a~1~=1，a~n+1~=3a~n~，n∈N~+~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式及前n项和S~n~；
（Ⅱ）已知{b~n~}是等差数列，T~n~为前n项和，且b~1~=a~2~，b~3~=a~1~+a~2~+a~3~，求T~20~．
17．（13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x~i~（单位：千元）与月储蓄y~i~（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a^2^=b^2^+c^2^+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．
20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F~1~作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP\'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
**2013年重庆市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁~U~（A∪B）=（ ）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁~U~（A∪B）={4}．
故选：D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x^2^≥0"的否定为（ ）
A．存在x~0~∈R，使得x~0~^2^＜0 B．对任意x∈R，使得x^2^＜0
C．存在x~0~∈R，都有 D．不存在x∈R，使得x^2^＜0
【分析】根据全称命题"∀x∈M，p（x）"的否定为特称命题："∃x~0~∈M，￢p（x）"即可得出．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：
命题"对任意x∈R，都有x^2^≥0"的否定为"∃x~0~∈R，使得"．
故选：A．
【点评】熟练掌握全称命题"∀x∈M，p（x）"的否定为特称命题"∃x~0~∈M，￢p（x）"是解题的关键．
3．（5分）函数y=的定义域为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞）
【分析】根据"让解析式有意义"的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则，
解得：2＜x＜3，或x＞3
所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据"让解析式有意义"的原则，属于基础题．
4．（5分）设P是圆（x﹣3）^2^+（y+1）^2^=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则\|PQ\|的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时\|PQ\|最小，由此能求出\|PQ\|的最小值．
【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，
与圆交于点P，此时\|PQ\|最小，
由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，
则\|PQ\|=\|AQ\|﹣r=6﹣2=4．
故选：B．
【点评】本题考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=0，a=3，q=
a=，k=1
不满足条件a＜，a=，k=2
不满足条件a＜，a=，k=3
不满足条件a＜，a=，k=4
满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间\[22，30）内的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间\[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间\[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间\[22，30）内的概率为=0.4．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．
7．（5分）关于x的不等式x^2^﹣2ax﹣8a^2^＜0（a＞0）的解集为（x~1~，x~2~），且：x~2~﹣x~1~=15，则a=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．
【解答】解：因为关于x的不等式x^2^﹣2ax﹣8a^2^＜0（a＞0）的解集为（x~1~，x~2~），
所以x~1~+x~2~=2a...①，
x~1~•x~2~=﹣8a^2^...②，
又x~2~﹣x~1~=15...③，
①^2^﹣4×②可得（x~2~﹣x~1~）^2^=36a^2^，代入③可得，15^2^=36a^2^，解得a==，
因为a＞0，所以a=．
故选：A．
【点评】本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．180 B．200 C．220 D．240
【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
∴S~表面积~=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
9．（5分）已知函数f（x）=ax^3^+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log~2~10））=5，则f（lg（lg2））=（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4
【分析】由题设条件可得出lg（log~2~10）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax^3^+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值
【解答】解：∵lg（log~2~10）+lg（lg2）=lg1=0，
∴lg（log~2~10）与lg（lg2）互为相反数
则设lg（log~2~10）=m，那么lg（lg2）=﹣m
令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax^3^+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m），
∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1
∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log~2~10）与lg（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要
10．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A~1~B~1~和A~2~B~2~，使\|A~1~B~1~\|=\|A~2~B~2~\|，其中A~1~、B~1~和A~2~、B~2~分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨令双曲线的方程为，由\|A~1~B~1~\|=\|A~2~B~2~\|及双曲线的对称性知A~1~，A~2~，B~1~，B~2~关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．
【解答】解：不妨令双曲线的方程为，
由\|A~1~B~1~\|=\|A~2~B~2~\|及双曲线的对称性知A~1~，A~2~，B~1~，B~2~关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A~1~，A~2~，B~1~，B~2~，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
则不可能存在\|A~1~B~1~\|=\|A~2~B~2~\|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，
双曲线与直线有一对交点A~1~，A~2~，B~1~，B~2~，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°，即，
∴，
∵b^2^=c^2^﹣a^2^，∴，∴，
∴，
∴双曲线的离心率的范围是．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
**二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．**
11．（5分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用复数的模的求法公式，求解即可．
【解答】解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|==．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
12．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．
【解答】解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，
又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，
同理可得2c=9+=，解得c=，
故c﹣a=﹣==
故答案为：
【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．
13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解
【解答】解：记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有=6，
则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有种，因此共有=4种站法
∴=
故答案为：
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．
14．（5分）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k=[ 4 ]{.underline}．
【分析】由题意可得OA⊥AB，故有 =0，即 ==0，解方程求得k的值．
【解答】解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，
即 ==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，
解得k=4，
故答案为 4．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题．
15．（5分）设0≤α≤π，不等式8x^2^﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为[ \[0，]{.underline}[\]∪\[]{.underline}[，π\] ]{.underline}．
【分析】由题意可得，△=64sin^2^α﹣32cos2α≤0即2sin^2^α﹣（1﹣2sin^2^α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围．
【解答】解：由题意可得，△=64sin^2^α﹣32cos2α≤0，
得2sin^2^α﹣（1﹣2sin^2^α）≤0
∴sin^2^α≤，
﹣≤sinα≤，
∵0≤α≤π
∴α∈\[0，\]∪\[，π\]．
故答案为：\[0，\]∪\[，π\]．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．
**三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（13分）设数列{a~n~}满足：a~1~=1，a~n+1~=3a~n~，n∈N~+~．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式及前n项和S~n~；
（Ⅱ）已知{b~n~}是等差数列，T~n~为前n项和，且b~1~=a~2~，b~3~=a~1~+a~2~+a~3~，求T~20~．
【分析】（Ⅰ）由题意可得数列{a~n~}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则其通项公式与前n项和可求；
（Ⅱ）由b~1~=a~2~=3，b~3~=a~1~+a~2~+a~3~=1+3+9=13，可得等差数列{b~n~}的公差，再由等差数列的前n项和求得T~20~．
【解答】解：（Ⅰ）由a~n+1~=3a~n~，得，
又a~1~=1，∴数列{a~n~}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
则，
；
（Ⅱ）∵b~1~=a~2~=3，b~3~=a~1~+a~2~+a~3~=1+3+9=13，
∴b~3~﹣b~1~=10=2d，则d=5．
故．
【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等差数列和等比数列前n项和的求法，是中档题．
17．（13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x~i~（单位：千元）与月储蓄y~i~（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．
【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；
（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，
故l~xx~==720﹣10×8^2^=80，l~xy~==184﹣10×8×2=24，
故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；
（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．
18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a^2^=b^2^+c^2^+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA===﹣，
∵A为三角形的内角，∴A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC及a=得：
S=bcsinA=••asinC=3sinBsinC，
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C），
则当B﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．求出△BCD的面积S~△BCD~，再根据三棱锥P﹣BDF的体积 V=V~P﹣BCD~﹣V~F﹣BCD~=﹣，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，
∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．
△BCD的面积S~△BCD~=BC•CD•sin∠BCD==．
∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=V~P﹣BCD~﹣V~F﹣BCD~=﹣=×
==．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．
20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．
【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元，
底面积成本为160πr^2^元，
∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr^2^元
即200•πrh+160πr^2^=12000π
∴h=（300﹣4r^2^）
∴V（r）=πr^2^h=πr^2^•（300﹣4r^2^）=（300r﹣4r^3^）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=（300r﹣4r^3^），（0＜r＜5）
可得V′（r）=（300﹣12r^2^），（0＜r＜5）
∵令V′（r）=（300﹣12r^2^）=0，则r=5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大
【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F~1~作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP\'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=，则，又②，a^2^=b^2^+c^2^③，联立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）^2^+y^2^=r^2^，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况；
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
左焦点F~1~（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=，
所以①，②，a^2^=b^2^+c^2^③，联立①②③解得a=4，，
所以椭圆方程为：；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q的方程为：（x﹣t）^2^+y^2^=r^2^，
由得x^2^﹣4tx+2t^2^+16﹣2r^2^=0，
由△=0，即16t^2^﹣4（2t^2^+16﹣2r^2^）=0，得t^2^+r^2^=8，①
把x=m代入，得，
所以点P坐标为（m，），代入（x﹣t）^2^+y^2^=r^2^，得，②
由①②消掉r^2^得4t^2^﹣4mt+m^2^=0，即m=2t，
=×（m﹣t）=×t=≤×=2，
当且仅当4﹣t^2^=t^2^即t=时取等号，
此时t+r=+＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外，
所以△PP\'Q的面积S的最大值为，圆Q的标准方程为：．
当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为，△PP\'Q的面积S的最大值仍为为．
【点评】本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．
| 1 | |
徒步旅行计划20天走完180千米，实际比计划每天多走1千米，旅行队实际走完全程用了多少天？
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相向而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从A、B两地出发，两地相距300千米，相向而行．公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，2小时后两车相距多少千米？
小红和小黑同时从相距2000米的两地出发，相向而行．小红每秒钟走2米，小黑每秒钟走4米，6分钟后两人相距多少米？
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**2006年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学（全国卷Ⅰ）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
**1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。**
**2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。**
**3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
参考公式：
> 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
>
> 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
>
> 球的体积公式
>
> 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
**一．选择题**
（1）已知向量**a、b**满足\|**a**\|=1，\|**b**\|=4，且**ab**=2，则**a**与**b**的夹角为
（A） （B） （C） （D）
（2）设集合M={x\|x^2^-x\<0},N={x\|\|x\|\<2},则
（A）M （B）M
（C） （D）
（3）已知函数y=e^x^的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则
（A）f(2x)=e^2x^(x （B）f(2x)=ln2lnx(x\>0 （C）f(2x)=2e^2x^(x （D）f(2x)= lnx+ln2(x\>0
（4）双曲线mx^2^+y^2^=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=
（A）- （B）-4 (C)4 （D）
（5）设S~n~是等差数列{a~n~}的前n项和,若S~7~=35,则a~4~=
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
（6）函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为
（A）(k-, k+),k （B）(k, (k+1)),k
\(C\) (k-, k+),k （D）(k-, k+),k
（7）从圆x^2^-2x+y^2^-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为
（A） （B） （C） （D）0
（8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=
（A） （B） （C） （D）
（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（A）16 （B）20 （C）24 （D）32
（10）在（x-）^10^的展开式中，x^4^的系数为
（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15
（11）抛物线y=-x^2^上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是
（A） （B） （C） （D）3
（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为
> （A）8cm^2^ （B）6cm^2^ （C）3cm^2^ （D）20cm^2^ **第Ⅱ卷**
注意事项：
> 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
>
> **2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。**
>
> **3．本卷共10小题，共90分。**
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题号 二 总分
17 18 19 20 21 22
分数
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得分 评卷人
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**二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。**
（13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a = [ ]{.underline} 。
（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于 [ ]{.underline} 。
（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件
则z的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
**(16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种(用数字作答)**
**三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
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得分 评卷人
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（17）（本大题满分12分）
已知{a~n~}为等差数列,a~3~=2,a~2~+a~4~=,求{a~n~}的通项公式.
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得分 评卷人
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（18）（本大题满分12分）
ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值
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得分 评卷人
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（19）（本大题满分12分）
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为，服用B有郊的概率为.
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;
（Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
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得分 评卷人
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（20）（本大题满分12分）
如图,l~1、~l~2~是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l~1~上，C在l~2~上，AM=MB=MN
（I）证明ACNB
（II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值
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得分 评卷人
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（21）（本大题满分12分）
设P为椭圆(a\>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求\|PQ\|的最大值
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得分 评卷人
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（22）（本大题满分14分）
设a为实数,函数f(x)=x^3^-ax^2^+(a^2^-1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a的最值范围
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A
7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．D
**二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。**
13．\[-5，7\] 14． 15．
16．答案不唯一，如"图形的全等"、"图形的相似"、"非零向量的共线"、"命题的充要条件"等等。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）∵C=π-（A+B）,
∴tanC=-tan（A+B）=-
又∵0\<C\<π,
∴C=。
（Ⅱ）∵C=,
∴AB边最大，即AB=.
又∵tanA\<tanB,
∴角A最小，BC边为最小边。
由且,
得
由得：
,
所以，最小边.
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。
**解法一：**
（Ⅰ）取BC中点O，连结AO
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A~1~BC~1~中，平面ABC⊥平面BCC~1~B~1~，
∴AO⊥平面BCC~1~B~1~
连结B1O，在正方形BB~1~C~1~C中，O、D分别为BC、CC~1~的中点，
∴B~1~O⊥BD,
∴AB~1~⊥BD．
在正方形ABB~1~A~1~中，AB~1~⊥A~1~B，
∴AB~1~⊥平面A~1~BD．
> （Ⅱ）设AB~1~与A~1~B交于点G~1~在平面A~1~BD中，作GF⊥A~1~D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB~1~⊥平面A~1~BD，
∴AF⊥A~1~D，
∴∠AFG为二面角A-A~1~D-B的平面角.
在△AA~1~D中，由等面积法可求得
又∵,
∴,
（Ⅲ）△A~1~BD中，.
S~△BCD~=1
在正三棱柱中，A~1~到平面BCC~1~B~1~的距离为.
设点C到平面A~1~BD的距离为D．
由得
∴.
∴点C到平面A~1~BD的距离为，
**解法二：**
（Ⅰ）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~中，平面ABC⊥平面BCC~1~B~1~，
∴AO⊥平面BCC~1~B~1~.
取B~1~C~1~中点O~1~，以O为原点，的方向为x、y、z轴的正方面建立空间直角坐标系，则B（1，0），D（-1，1，0），A~1~（0，2，），B~1~（1，2，0），
∴，，.
∵，，
∴
∴AB~1~⊥平面A~1~BD．
（Ⅱ）设平面A~1~BD的法向量为n=（x,y,z）.
，.
∵
∴
∴ ∴
令z=1得为平面A~1~AD的一个法向量.
由（Ⅰ）知AB~1~⊥平面A~1~BD,
∴为平面A~1~BD的法向量.
∴二面角A-A~1~D-B的大小为.
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面A~1~BD法向量.
∵,
∴点C到平面A~1~BD的距离.
19．（本小题满分12分）
本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
解：
（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L=（x-3-a）（12-x）^2^,x∈\[9,11\]
（Ⅱ）
=（12-x）（18+2a-3x）
令得或x=12（不合题意，舍去）.
∵3≤a≤5，∴
在两侧的值由正变负.
所以（1）当即时,
（2）即时
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值（万元）
20．（本小题满分12分）
本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
**解法一：**
（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得.
（Ⅱ）设直线的方程为：
.
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：
，，
**解法二：**
（Ⅰ）由得：，
，
，
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.
（Ⅱ）由已知，，得.
则：.............①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：.............②
由①②得：，即.
21．（本题满分12分）
本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力。满分12分
解：
（Ⅰ）由已知得，，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．（本小题满分14分）
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力，满分14分。
解：
（Ⅰ）由k=e得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
-- ---------- -------- ----------
单调递减 极小值 单调递增
-- ---------- -------- ----------
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故。
| 1 | |
**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市一年级（上）期末数学试卷**
**一、我会填（11小题4分，其余每空1分，共46分）**
1．（3分）看图写数。
2．（6分）先看图写数，再比较两个数的大小。
3．（1分）个位上是7，十位上是1，这个数是[ ]{.underline}．
4．（2分）10前面一个数是[ ]{.underline}，后面一个数是[ ]{.underline}。
5．（1分）一个加数是5，另一个加数是7，和是[ ]{.underline}。
6．（2分）16里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一．
7．（3分）从左边数，第[ ]{.underline}个是●珠子，第[ ]{.underline}个是■，圈出左边的10个珠子．
8．（6分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"．
10+5〇20 6+8〇15 14﹣4〇10
---------- ---------- -----------
12〇8+3 9﹣7〇16 13〇6+8
9．（6分）
> （1）一共有[ ]{.underline}只小动物。2020年是鼠年，老鼠排第1，小猪排第[ ]{.underline}。
>
> （2）老虎的前面有[ ]{.underline}只小动物，后面有[ ]{.underline}只小动物。
>
> （3）从小兔数到小狗一共有[ ]{.underline}只小动物，它们中间有[ ]{.underline}只小动物。
10．（4分）在□里填上合适的数。
11．（4分）在□里填上合适的数。
12．（1分）如图是由[ ]{.underline}个小正方体拼成的．
13．（4分）按顺序填数。
> [ ]{.underline}、[ ]{.underline}、9、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}
14．（1分）被减数是15，减数是4，差是[ ]{.underline}。
15．（2分）与19相邻的两个数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
**二、数一数，画一画，连一连（共12分）**
16．（6分）按要求画一画。
> （1）画〇：〇和🖤同样多．[ ]{.underline}
>
> （2）画△：△比🖤多1个．[ ]{.underline}
>
> （3）画☆：☆比🖤少3个．[ ]{.underline}
17．（6分）我会认，也会连。（连一连）
**三、我会算。（共22分）**
18．（16分）直接写得数。
5﹣3＝ 18﹣0＝ 0+7＝ 7+5＝
---------- --------- ----------- --------------------------------------------
16﹣16＝ 8+6＝ 3+8＝ 9﹣3﹣3＝
16+3＝ 7+6＝ 9﹣4﹣3＝ 16﹣10+8＝
6+3﹣5＝ 5+5+5＝ 18﹣8+0＝ [ ]{.underline}+[ ]{.underline}＝9
19．（6分）看图列式计算。
**五、解决问题（共20分）**
20．（4分）小红做了17朵花，送给小兰10朵后，还剩多少朵？
21．（4分）有两位同学在比赛拍皮球，他们一共拍了多少下？
22．（6分）填表。
一共
-------- ----- ----- -----------------------
第一组 5人 8人 [ ]{.underline}人
第二组 7人 6人 [ ]{.underline}人
23．（6分）圈里原来有几只？
**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、我会填（11小题4分，其余每空1分，共46分）**
1．【分析】根据20以内数的认识，观察图片分别写出各数。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握20以内数的认识及应用。
2．【分析】左图分别是6和4，6＞4；
> 右图分别是7和8，7＜8。
>
> 据此解答即可。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，解答本题关键是正确数出图形的数量。
3．【分析】根据数位顺序表解答．
> 【解答】解：十位上是1就在十位上写1，个位上是7就在个位上写7，所以这个数是17；
>
> 故答案为：17．
>
> 【点评】写数时注意按数位顺序表写出．
4．【分析】相邻两个自然数相差1，所以10前面一个数是9，后面一个数是11。据此解答即可。
> 【解答】解：10前面一个数是9，后面一个数是11。
>
> 故答案为：9，11。
>
> 【点评】此题的关键是明确相邻两个自然数相差1，然后再进一步解答。
5．【分析】根据题意，和＝加数+加数，代入数据解答即可．
> 【解答】解：5+7＝12
>
> 答：和是12。
>
> 故答案为：12。
>
> 【点评】本题主要考查整数加法的意义及运算，是基础题型。
6．【分析】首先搞清这个数字在什么数位上和这个数位的计数单位，它就表示有几个这样的计数单位．
> 【解答】解：16里面有一个十和六个一；
>
> 故答案为：一，六．
>
> 【点评】此题考查整数中的数字所表示的意义：有几个计数单位．
7．【分析】分清左右，从左边数●珠子排第14；第17个是■；然后圈出左边的10个珠子．
> 【解答】解：从左边数，第14个是●珠子，第17个是■，圈出左边的10个珠子，如图：
>
> ．
>
> 故答案为：14；17．
>
> 【点评】本题主要考查位置与方向，注意根据左右的方位辨别方向．
8．【分析】先根据整数加减法的运算法则计算各算式，然后利用整数比较大小的方法进行比较即可．
> 【解答】解：
10+5＜20 6+8＜15 14﹣4＝10
---------- ---------- -----------
12＞8+3 9﹣7＜16 13＜6+8
> 故答案为：＜；＜；＝；＞；＜；＜．
>
> 【点评】本题主要考查整数加减法的运算，利用整数加减法的运算法则计算．
9．【分析】结合图示，注意前后，数一数即可。（1）一共有12只小动物。2020年是鼠年，老鼠排第1，小猪排第12。（2）老虎的前面有2只小动物，后面有9只小动物。（3）从小兔数到小狗一共有8只小动物，它们中间有6只小动物。
> 【解答】解：。（1）一共有12只小动物。2020年是鼠年，老鼠排第1，小猪排第12。
>
> （2）老虎的前面有2只小动物，后面有9只小动物。
>
> （3）从小兔数到小狗一共有8只小动物，它们中间有6只小动物。
>
> 故答案为：（1）12；12；（2）2；9；（3）8；6。
>
> 【点评】考查前后和数一数的知识内容。
10．【分析】每个小格代表1，从3向下数三个数是0，向上数两个数时5，再数5个数是10，再数6个数是16，据此填空。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查了20以内数的认识，正确的数数是本题解题的关键。
11．【分析】根据10以内数的分成与合成，完成填空即可。
> 【解答】解：如图：
>
> （第三个答案不唯一。）
>
> 【点评】本题主要考查数分合，关键是根据10以内数的分合解题。
12．【分析】从上到下，每层分别有2、2、4个小正方体，然后把个数相加即可．
> 【解答】解：2+2+4＝8（个）
>
> 答：如图是由8个小正方体拼成的．
>
> 故答案为：8．
>
> 【点评】组合图形的计数实质上就是分类计数图形，要按顺序分类计数，防止遗漏．
13．【分析】因为按照顺序填数。可以按照有小到大的顺序和由大到小的顺序。所以可以是7，8，9，10，11或11，10，9，8，7。
> 【解答】解：因为按顺序填数。则按照有小到大：7，8，9，10，11；
>
> 按照由大到小：11，10，9，8，7。
>
> 故答案为：7，8，10，11或11，10，8，7。
>
> 【点评】本题考查数中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
14．【分析】用被减数﹣减数＝差列式解答即可。
> 【解答】解：15﹣4＝11
>
> 答：差是11。
>
> 故答案为：11。
>
> 【点评】本题根据减法算式中各部分的关系求解：被减数﹣减数＝差。
15．【分析】根据相邻的两个整数相差1，可知：与19相邻的两个数是19﹣1和19+1；据此解答即可．
> 【解答】解：19﹣1＝18，19+1＝20，
>
> 所以与19相邻的两个数是 18和 20；
>
> 故答案为：18，20．
>
> 【点评】解答此题应明确：相邻的两个整数相差1．
**二、数一数，画一画，连一连（共12分）**
16．【分析】🖤有6个。
> 〇和🖤同样多，需要画6个；
>
> △比🖤多1个，需要画6+1＝7个；
>
> ☆比🖤少3个，需要画6﹣3＝3个。
>
> 【解答】解：🖤有6个
>
> （1）画〇：〇和🖤同样多，〇〇〇〇〇〇；
>
> （2）画△：△比🖤多1个，△△△△△△△；
>
> （3）画☆：☆比🖤少3个，☆☆☆。
>
> 故答案为：〇〇〇〇〇〇；△△△△△△△；☆☆☆。
>
> 【点评】此题的关键是先数出🖤的个数，然后再进一步解答。
17．【分析】钟面1，时针指向4，分针刚过12，所显示时刻是刚过4时；钟面2，时针快指向4，分针快指向12，所显示时刻是快4时了；钟面3，时针指向4，分针指向12，所显示时刻是4时；据此连线即可。
> 【解答】解：钟面1所显示时刻是4时过一会；钟面2所显示时刻是快4时了；钟面3所显示时刻是4时。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】此题重点考查学生能正确读、写钟面时刻，初步建立时间观念。
**三、我会算。（共22分）**
18．【分析】根据整数加减法运算的计算法则，数的组成计算即可求解。
> 【解答】解：
5﹣3＝2 18﹣0＝18 0+7＝7 7+5＝12
----------- ----------- ------------- --------------
16﹣16＝0 8+6＝14 3+8＝11 9﹣3﹣3＝3
16+3＝19 7+6＝13 9﹣4﹣3＝2 16﹣10+8＝14
6+3﹣5＝4 5+5+5＝15 18﹣8+0＝10 1+8＝9
> 故答案为：1，8。
>
> 【点评】考查了10以内的加减混合，关键是熟练掌握数的组成。
19．【分析】用一共苹果的个数减去右边苹果的个数，列出算式计算可求篮子里还有几个苹果；
> 左边有12支，右边有5支，相加即可求解。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】考查了20以内不退位减法，20以内不进位加法，关键是读懂图意。
**五、解决问题（共20分）**
20．【分析】小红做了17朵花，送给小兰10朵，要求还剩几朵，用17减去10即可。
> 【解答】解：17﹣10＝7（朵）
>
> 答：还剩7朵。
>
> 【点评】本题主要考查了整数减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
21．【分析】由图文可知，冬冬拍了9下，小力拍的和冬冬同样多，即可知道小力拍了多少下；然后将它们相加，即可得到冬冬和小力一共拍了多少下。
> 【解答】解：冬冬拍了9下，小力拍的和冬冬同样多，即小力也是拍了9下；9+9＝18（下）；
>
> 答：他们一共拍了18下。
>
> 故答案为：18下。
>
> 【点评】本题是一道图文应用题，主要考查20以内加减法，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键。
22．【分析】把两个组的男生人数和女生人数分别相加即可求解。
> 【解答】解：5+8＝13（人）
>
> 7+6＝13（人）
一共
-------- ----- ----- ------
第一组 5人 8人 13人
第二组 7人 6人 13人
> 故答案为：13；13。
>
> 【点评】考查了8加几的进位加法，7，6加几的进位加法，注意个位相加满10向十位进1。
23．【分析】利用数一数的方法，跑出圈外的羊有5只，圈里还有6只，求圈里原来有几只，因为跑出圈外和圈里的羊都是原来的一部分，所以把这两部分合起来就是原来的只数，所以把5和6相加即可解答。
> 【解答】解：5+6＝11（只）
>
> 答：圈里原来有11只。
>
> 【点评】本题考查了用加法的意义和6的加法的计算方法解决实际问题的能力。
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**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）设复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称，z~1~=2+i，则z~1~z~2~=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
3．（5分）设向量，满足\|+\|=，\|﹣\|=，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，BC=CA=CC~1~，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x~0~满足x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题\~第24题为选考题，考生根据要求作答）**
13．（5分）（x+a）^10^的展开式中，x^7^的系数为15，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n+1~=3a~n~+1．
（Ⅰ）证明{a~n~+}是等比数列，并求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++...+＜．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣e^﹣x^﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB^2^．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，\]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
**六、解答题（共1小题，满分0分）**
24．设函数f（x）=\|x+\|+\|x﹣a\|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.**
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}={x\|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x\|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）设复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称，z~1~=2+i，则z~1~z~2~=（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义求出z~2~，即可得到结论．
【解答】解：z~1~=2+i对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z~2~=﹣2+i，
则z~1~z~2~=（2+i）（﹣2+i）=i^2^﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）设向量，满足\|+\|=，\|﹣\|=，则•=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵\|+\|=，\|﹣\|=，
∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，
两式相减得4•=10﹣6=4，
即•=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，即sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，
利用余弦定理得：AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，
当B为锐角时，cosB==，
利用余弦定理得：AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB^2^+AC^2^=BC^2^，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：3^2^π•2+2^2^π•4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：3^2^π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2不成立，输出S=7，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x~0~）表示曲线f（x）在x=x~0~处的切线斜率，再代入计算．
【解答】解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．
【解答】解：由y^2^=2px，得2p=3，p=，
则F（，0）．
∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），
即x=y+．
联立 ，得4y^2^﹣12y﹣9=0．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则y~1~+y~2~=3，y~1~y~2~=﹣．
∴S~△OAB~=S~△OAF~+S~△OFB~=×\|y~1~﹣y~2~\|==×=．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，BC=CA=CC~1~，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC~1~，
设BC=CA=CC~1~=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．
12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x~0~满足x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得，f（x~0~）=±，且 =kπ+，k∈Z，再由题意可得当m^2^最小时，\|x~0~\|最小，而\|x~0~\|最小为\|m\|，可得m^2^ ＞m^2^+3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x~0~）=±，即 =kπ+，k∈z，即 x~0~=m．
再由x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，即x~0~^2^+3＜m^2^，可得当m^2^最小时，\|x~0~\|最小，而\|x~0~\|最小为\|m\|，
∴m^2^ ＞m^2^+3，∴m^2^＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题\~第24题为选考题，考生根据要求作答）**
13．（5分）（x+a）^10^的展开式中，x^7^的系数为15，则a=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x^7^的系数，再根据x^7^的系数为15，求得a的值．
【解答】解：（x+a）^10^的展开式的通项公式为 T~r+1~=•x^10﹣r^•a^r^，
令10﹣r=7，求得r=3，可得x^7^的系数为a^3^•=120a^3^=15，
∴a=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为[ 1 ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin\[（x+φ）+φ\]﹣2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
=sin\[（x+φ）﹣φ\]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．
15．（5分）已知偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是[ （﹣1，3） ]{.underline}．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（\|x﹣1\|）＞f（2），即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（\|x﹣1\|）＞f（2），
∴\|x﹣1\|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（\|x﹣1\|）＞f（2）是解决本题的关键．
16．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是[ \[﹣1，1\] ]{.underline}．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x~0~，1），
要使圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x~0~的取值范围是\[﹣1，1\]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n+1~=3a~n~+1．
（Ⅰ）证明{a~n~+}是等比数列，并求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++...+＜．
【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【解答】证明（Ⅰ）==3，
∵≠0，
∴数列{a~n~+}是以首项为，公比为3的等比数列；
∴a~n~+==，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当n≥2时，∵3^n^﹣1＞3^n^﹣3^n﹣1^，∴＜=，
∴当n=1时，成立，
当n≥2时，++...+＜1+...+==＜．
∴对n∈N~+~时，++...+＜．
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∴CD⊥MD．
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM=，
CD==．
三棱锥E﹣ACD的体积为：==．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴===0.5，
=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及\|MN\|=5\|F~1~N\|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，
∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），
若直线MN的斜率为，
即tan∠MF~1~F~2~=，
即b^2^==a^2^﹣c^2^，
即c^2^+﹣a^2^=0，
则，
即2e^2^+3e﹣2=0
解得e=或e=﹣2（舍去），
即e=．
（Ⅱ）由题意，原点O是F~1~F~2~的中点，则直线MF~1~与y轴的交点D（0，2）是线段MF~1~的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则，即，解得y=，
∵OD是△MF~1~F~2~的中位线，
∴=4，即b^2^=4a，
由\|MN\|=5\|F~1~N\|，
则\|MF~1~\|=4\|F~1~N\|，
解得\|DF~1~\|=2\|F~1~N\|，
即
设N（x~1~，y~1~），由题意知y~1~＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x~1~+c，y~1~）．
即，即
代入椭圆方程得，
将b^2^=4a代入得，
解得a=7，b=．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣e^﹣x^﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在\[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为"判断g′（x）＞0是否成立"的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e^x^+e^﹣x^﹣2，
即f′（x）≥0，当且仅当e^x^=e^﹣x^即x=0时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e^2x^﹣e^﹣2x^﹣4b（e^x^﹣e^﹣x^）+（8b﹣4）x，
则g′（x）=2\[e^2x^+e^﹣2x^﹣2b（e^x^+e^﹣x^）+（4b﹣2）\]
=2\[（e^x^+e^﹣x^）^2^﹣2b（e^x^+e^﹣x^）+（4b﹣4）\]
=2（e^x^+e^﹣x^﹣2）（e^x^+e^﹣x^+2﹣2b）．
①∵e^x^+e^﹣x^＞2，e^x^+e^﹣x^+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜e^x^+e^﹣x^＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e^2x^﹣e^﹣2x^﹣4b（e^x^﹣e^﹣x^）+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，
得．
当b=2时，由g（x）＞0，得，
从而；
令，得＞2，当时，
由g（x）＜0，得，得．
所以ln2的近似值为0.693．
【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB^2^．
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB^2^．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA^2^=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB^2^．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，\]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos^2^t+sin^2^t=1进而得出参数方程．
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，\]，即ρ^2^=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）^2^+y^2^=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．
故D的直角坐标为，即（，）．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**六、解答题（共1小题，满分0分）**
24．设函数f（x）=\|x+\|+\|x﹣a\|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=\|x+\|+\|x﹣a\|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=\|3+\|+\|3﹣a\|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=\|x+\|+\|x﹣a\|≥\|（x+）﹣（x﹣a）\|=\|a+\|=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=\|3+\|+\|3﹣a\|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a^2^﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a^2^﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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**2017年浙江省衢州市中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+b=2ab B．（﹣a）^2^=a^2^ C．a^6^÷a^2^=a^3^ D．a^3^•a^2^=a^6^
4．据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ）
------------ ---- ---- ---- ---- ----
尺码（码） 34 35 36 37 38
人数 2 5 10 2 1
------------ ---- ---- ---- ---- ----
A．35码，35码 B．35码，36码 C．36码，35码 D．36码，36码
5．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
6．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．10π C．24+4π D．24+5π
**二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）**
11．二次根式中字母a的取值范围是[ ]{.underline}．
12．化简： =[ ]{.underline}．
13．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是[ ]{.underline}．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是[ ]{.underline}．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是[ ]{.underline}．
16．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A~1~B~1~O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是[ ]{.underline}，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题共有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）**
17．计算： +（π﹣1）^0^×\|﹣2\|﹣tan60°．
18．解下列一元一次不等式组：．
19．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD∽△CBE．
（2）求半圆O的半径r的长．
20．根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
21．"五•一"期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y~1~元，租用乙公司的车所需费用为y~2~元，分别求出y~1~，y~2~关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
22．定义：如图1，抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP^2^+BP^2^=AB^2^，则称点P为抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=﹣x^2^+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax^2^+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S~△ABQ~=S~△ABP~的Q点（异于点P）的坐标．
23．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
24．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
**2017年浙江省衢州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
2．如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】主视图是从正面看所得到的图形，从左往右分2列，正方形的个数分别是：2，1；依此即可求解．
【解答】解：如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+b=2ab B．（﹣a）^2^=a^2^ C．a^6^÷a^2^=a^3^ D．a^3^•a^2^=a^6^
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）2a与b不是同类项，故不能合并，故A不正确；
（C）原式=a^4^，故C不正确；
（D）原式=a^5^，故D不正确；
故选（B）
4．据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ）
------------ ---- ---- ---- ---- ----
尺码（码） 34 35 36 37 38
人数 2 5 10 2 1
------------ ---- ---- ---- ---- ----
A．35码，35码 B．35码，36码 C．36码，35码 D．36码，36码
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据，位置处于中间的数是：36，36，所以中位数是（36+36）÷2=36．
故选D．
5．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【考点】K8：三角形的外角性质；JA：平行线的性质．
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°．
故选：A．
6．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】98：解二元一次方程组．
【分析】用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：①﹣②得到y=2，把y=2代入①得到x=4，
∴，
故选B．
7．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】N2：作图---基本作图．
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
8．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】设A（a，），可求出B（2a，），由于对角线垂直，计算对角线长积的一半即可．
【解答】解：设A（a，），可求出B（2a，），
∵AC⊥BD，
∴S~四边形ABCD~=AC•BD=×2a×=4，
故选C．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x^2^=4^2^+（6﹣x）^2^，解方程求出x．
【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF=DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，
在Rt△CDF中，CF^2^=CD^2^+DF^2^，即x^2^=4^2^+（6﹣x）^2^，解得x=，
则FD=6﹣x=．
故选：B．
10．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．10π C．24+4π D．24+5π
【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．
【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S~扇形ODG~=S~扇形OEF~，然后根据三角形的面积公式证明S~△OCD~=S~△ACD~，S~△OEF~=S~△AEF~，则S~阴影~=S~扇形OCD~+S~扇形OEF~=S~扇形OCD~+S~扇形ODG~=S~半圆~，即可求解．
【解答】解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG===8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴=，
∴S~扇形ODG~=S~扇形OEF~，
∵AB∥CD∥EF，
∴S~△OCD~=S~△ACD~，S~△OEF~=S~△AEF~，
∴S~阴影~=S~扇形OCD~+S~扇形OEF~=S~扇形OCD~+S~扇形ODG~=S~半圆~=π×5^2^=π．
故选A．
**二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）**
11．二次根式中字母a的取值范围是[ a≥2 ]{.underline}．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
12．化简： =[ 1 ]{.underline}．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
【解答】解：原式==1．
13．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】X4：概率公式．
【分析】由一个不透明的箱子里共有1个白球，2个红球，共3个球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里有1个白球，2个红球，共有3个球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是；
故答案为：．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是[ a+6 ]{.underline}．
【考点】4G：平方差公式的几何背景．
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）^2^﹣3^2^，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ==2．
16．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A~1~B~1~O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是[ （5，]{.underline}[） ]{.underline}，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为[ （]{.underline}[+896）π ]{.underline}．
【考点】O4：轨迹；D2：规律型：点的坐标．
【分析】如图作B~3~E⊥x轴于E，易知OE=5，B~3~E=，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为++=（）π，由2017÷3=672...1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（）π+π=（+896）π．
【解答】解：如图作B~3~E⊥x轴于E，易知OE=5，B~3~E=，
∴B~3~（5，），
观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为++=（）π，
∵2017÷3=672...1，
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672•（）π+π=（+896）π．
故答案为（+896）π．
**三、解答题（本题共有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）**
17．计算： +（π﹣1）^0^×\|﹣2\|﹣tan60°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：tan60°=，（π﹣1）^0^=1．
【解答】解：原式=2+1×2﹣=2+．
18．解下列一元一次不等式组：．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x≤2，得：x≤4，
解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
19．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．
（1）求证：△COD∽△CBE．
（2）求半圆O的半径r的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质．
【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．
（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC==15，
∵△COD∽△CBE．
∴，即，
解得：r=．
20．根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
【考点】AD：一元二次方程的应用；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率．
【解答】解：（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
（2）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）^2^=1573，
∴1+x=±1.21，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
21．"五•一"期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y~1~元，租用乙公司的车所需费用为y~2~元，分别求出y~1~，y~2~关于x的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．
【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y~1~，y~2~关于x的函数表达式即可；
（2）当y~1~=y~2~时，15x+80=30x，当y~1~＞y~2~时，15x+80＞30x，当y~1~＜y~2~时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．
【解答】解：（1）设y~1~=k~1~x+80，
把点（1，95）代入，可得
95=k~1~+80，
解得k~1~=15，
∴y~1~=15x+80（x≥0）；
设y~2~=k~2~x，
把（1，30）代入，可得
30=k~2~，即k~2~=30，
∴y~2~=30x（x≥0）；
（2）当y~1~=y~2~时，15x+80=30x，
解得x=；
当y~1~＞y~2~时，15x+80＞30x，
解得x＜；
当y~1~＜y~2~时，15x+80＞30x，
解得x＞；
∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
22．定义：如图1，抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP^2^+BP^2^=AB^2^，则称点P为抛物线y=ax^2^+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=﹣x^2^+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax^2^+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S~△ABQ~=S~△ABP~的Q点（异于点P）的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得；
（2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tan∠PAB==知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得；
（3）由S~△ABQ~=S~△ABP~且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此求解可得．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣x^2^+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y=ax^2^+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，），
∴AG=1、PG=，PA===2，
∵tan∠PAB==，
∴∠PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB===4，
∴点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x^2^+x；
（3）①当点Q在x轴上方时，由S~△ABQ~=S~△ABP~知点Q的纵坐标为，
则有﹣x^2^+x=，
解得：x~1~=3，x~2~=1（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（3，）；
②当点Q在x轴下方时，由S~△ABQ~=S~△ABP~知点Q的纵坐标为﹣，
则有﹣x^2^+x=﹣，
解得：x~1~=2+，x~2~=2﹣，
∴点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
23．问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c^2^=（a+b）^2^+（b）^2^，
∴c^2^=a^2^+ab+b^2^．
24．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式， =，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出=，再由三角函数定义即可得出答案；
（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），求出AF=4+MF=﹣t+，得出G（， t），求出直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（， t）代入即可求出t的值；
②当点E越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），求出AF=4﹣MF=﹣t+，得出G（， t），代入直线AD的解析式y=﹣x+6求出t的值即可．
【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴， =，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴=，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF==；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（， t），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G（， t）代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（， t），
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或
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绝密★启用前
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数学Ⅰ**
**注意事项**
**考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求**
**1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.**
**2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.**
**3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.**
**4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.**
**5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.**
**参考公式：**
**柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．**
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
1.已知集合，则\_\_\_\_\_.
2.已知是虚数单位，则复数的实部是\_\_\_\_\_.
3.已知一组数据的平均数为4，则的值是\_\_\_\_\_.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是\_\_\_\_\_.
5.如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是\_\_\_\_\_.
6.在平面直角坐标系*xOy*中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=*x*，则该双曲线的离心率是\_\_\_\_.
7.已知*y*=*f*(*x*)是奇函数，当*x*≥0时， ，则*f*(-8)的值是\_\_\_\_.
8.已知 =，则的值是\_\_\_\_.
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是\_\_\_\_cm.
10.将函数*y*=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与*y*轴最近的对称轴的方程是\_\_\_\_.
11.设{*a~n~*}是公差为*d*的等差数列，{*b~n~*}是公比为*q*的等比数列．已知数列{*a~n~*+*b~n~*}的前*n*项和，则*d*+*q*的值是\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知，则最小值是\_\_\_\_\_\_\_．
13.在△*ABC*中，*D*在边*BC*上，延长*AD*到*P*，使得*AP*=9，若（*m*为常数），则*CD*的长度是\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.在平面直角坐标系*xOy*中，已知，*A*，*B*是圆*C*：上的两个动点，满足，则△*PAB*面积的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15.在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*⊥*AC*，*B*~1~*C*⊥平面*ABC*，*E*，*F*分别是*AC*，*B*~1~*C*中点．
（1）求证：*EF*∥平面*AB*~1~*C*~1~；
（2）求证：平面*AB*~1~*C*⊥平面*ABB*~1~．
16.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求的值；
（2）在边*BC*上取一点*D*，使得，求值．
17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底*O*在水平线*MN*上、桥*AB*与*MN*平行，为铅垂线(在*AB*上).经测量，左侧曲线*AO*上任一点*D*到*MN*的距离(米)与*D*到的距离*a*(米)之间满足关系式；右侧曲线*BO*上任一点*F*到*MN*的距离(米)与*F*到的距离*b*(米)之间满足关系式.已知点*B*到的距离为40米.
（1）求桥*AB*的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于桥墩*CD*和*EF*，且*CE*为80米，其中*C*，*E*在*AB*上(不包括端点).桥墩*EF*每米造价*k*(万元)、桥墩*CD*每米造价(万元)(*k*\>0).问为多少米时，桥墩*CD*与*EF*的总造价最低?
18.在平面直角坐标系*xOy*中，已知椭圆的左、右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，点*A*在椭圆*E*上且在第一象限内，*AF*~2~⊥*F*~1~*F*~2~，直线*AF*~1~与椭圆*E*相交于另一点*B*．
（1）求△*AF*~1~*F*~2~的周长；
（2）在*x*轴上任取一点*P*，直线*AP*与椭圆*E*的右准线相交于点*Q*，求的最小值；
（3）设点*M*在椭圆*E*上，记△*OAB*与△*MAB*面积分别为*S*~1~，*S*~2~，若*S*~2~=3*S*~1~，求点*M*的坐标．
19.已知关于*x*的函数与在区间*D*上恒有．
（1）若，求*h*(*x*)的表达式；
（2）若，求*k*的取值范围；
（3）若求证：．
20.已知数列的首项*a*~1~=1，前*n*项和为*S~n~*．设**λ**与*k*是常数，若对一切正整数*n*，均有成立，则称此数列为"**λ**--*k*"数列．
（1）若等差数列是"**λ**--1"数列，求**λ**的值；
（2）若数列是""数列，且*a~n~*＞0，求数列的通项公式；
（3）对于给定的**λ**，是否存在三个不同的数列为"**λ**--3"数列，且*a~n~*≥0?若存在，求**λ**的取值范围；若不存在，说明理由，
**数学Ⅱ(附加题)**
**【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**A．\[选修4-2：矩阵与变换\]**
21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点．
（1）求实数，的值；
（2）求矩阵的逆矩阵．
**B．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．
（1）求，的值
（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．
**C．\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设，解不等式．
**【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
24.在三棱锥*A*---*BCD*中，已知*CB*=*CD*=,*BD*=2，*O*为*BD*的中点，*AO*⊥平面*BCD*，*AO*=2，*E*为*AC*的中点．
（1）求直线*AB*与*DE*所成角的余弦值；
（2）若点*F*在*BC*上，满足*BF*=*BC*，设二面角*F*---*DE*---*C*的大小为*θ*，求sin*θ*的值．
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复*n*次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为*X~n~*，恰有2个黑球的概率为*p~n~*，恰有1个黑球的概率为*q~n~*．
（1）求*p*~1~·*q*~1~和*p*~2~·*q*~2~；
（2）求2*p~n~*+*q~n~*与2*p~n-~*~1~+*q~n-~*~1~的递推关系式和*X~n~*的数学期望*E*(*X~n~*)(用*n*表示) ．
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第6课《行程问题》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第六讲 行程问题（一）习题解答
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**宣州区2020/2021学年度第一学期二年级数学期末素质测试卷**
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题 号 一 二 三 四 五 六 合 计
得 分
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> 卷首语：亲爱的同学们，一学期已经过去了，你有了哪些收获呢？准备好了吗，开始耐心地解决这些问题吧!
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得分 评卷人
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> 一、填一填。(第11题2分，其余每空1分，
>
> 共25分)
>
> 1．一个星期有7天，4个星期有( )天。
>
> 2.讲台高80( )，学校跑道长200( )，明明身高1( )30( )。
>
> 3．( )个8相加是40，7个6相加是( )。
>
> 4．比45多26的数是( )，比78少16的数是( )。
>
> 5．每两人进行一场乒乓球比赛，3人一共要赛( )场。
>
> 6．减数和差都是35，被减数是( )。
>
> 7．时针从12走到8，走了( )时，分针从5走到8走了( )分。
8．你能用 0 、 3 、 5 这三张数字卡片组成（ ）个不同的两位数，其中最大的数是（ ），最小的数是（ ），它们相差（ ）。
9 . 在 里填上"＞""＜"或"＝"。
26○17+18 31﹣7○3×8 98米 ○100厘米
> 10\. 下面的括号里最大能填几？
>
> 5×( )\<28 9×( )\<80 45\>6×( )
11．一只猫吃一只老鼠，用5分钟吃完；5只猫同时吃5只同样大小的老鼠，要（ ）分钟吃完。
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得分 评卷人
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> 二、辨一辨。(对的画"√"，错的画"×")
>
> (每题2分，共10分)
>
> 1．立体图形的一个面是正方形，这个立体图形一定是正方体。 （ ）
>
> 2\. 8个7相加的和是56。 ( )
>
> 3．1时＝10分。 ( )
>
> 4．从1、4、7、9中任意取2个数求和，得数有6种可能。 ( )
>
> 5．红领巾有一个钝角，两个锐角。 ( )
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得分 评卷人
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> 三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)
>
> (每题2分，共10分)
>
> {width="0.8958333333333334in" height="0.8333333333333334in"}1．右边钟面表示的时间是( )。
>
> ① 3时55分 ② 2时50分 ③ 2时55分
>
> 2．两个乘数都是8，积是( )。
>
> ①10 ②16 ③64
3.爸爸今年37岁，小亮今年10岁，10年后爸爸比小亮大( )岁。
> ①27 ②17 ③47
>
> 4．角的大小和所画的两条边的长短( )。
>
> ①有关 ②无关 ③无法确定
5．明明有3件不同的衬衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（ ）种穿法。
①5 ②6 ③3
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得分 评卷人
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> 四、算一算。(共21分)
>
> 1．看谁算得又对又快。(每题1分，共12分)
>
> 23＋20＝ 18＋7＝ 74－30＝ 3×7－3＝
>
> 8×9＝ 23－6＝ 6×7＝ 4×8＋8＝
>
> 2×8＝ 8×7＝ 6＋58＝ 9－4×2＝
>
> 2．列竖式计算。(每题3分，共9分)
>
> 37＋29＝ 57－18＝ 75－18＋36＝
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得分 评卷人
------ --------
> 五、画一画。(每题3分，共9分)
1.画出比6厘米短2厘米的线段。
2.画一个直角，并标出角的各部分名称。
> 3.他们分别看到的是什么？连一连。
>
> {width="5.479166666666667in" height="1.8159722222222223in"}
------ --------
得分 评卷人
------ --------
> 六、解决问题。(每题5分，共25分)
>
> 1．二年级8个班的同学参加学校组织的植树活动，每个班植9棵树，二年级同学一共植树多少棵？
>
> 2．桌子上摆了两排杯子，一排摆7个，另一排摆5个，一共摆几个？
>
> 3．十周年店庆，商店搞促销，满80元减10元，妈妈买一个书包和一把雨伞要花多少元钱？
>
> {width="2.327777777777778in" height="1.1354166666666667in"}
4\. 博物馆最近运回了100个机器人模型，送给第二小学26个，第三小学37个。博物馆的机器人模型少了多少个？实验小学需要36个，剩下的够吗？
> 5.将一根木头锯成8段，每段5分钟，一共需要多少分钟？
温馨提示："祝贺你已经顺利完成试卷，再好好检查一下好吗？争取取得一个理想的成绩。祝你们寒假快乐！"
**宣州区2010/2021学年度第一学期二年级数学期末测试卷答案**
一、1. 28 2. 厘米 米 米 厘米 3. 5 42
4．71 62 5. 3 6. 70 7. 8 15
8\. 4 53 30 23 9. \< ＝ \>
10．5 8 7 11. 5
二、1.× 2．√ 3．× 4．√ 5.√
三、1.③ 2.③ 3. ① 4. ② 5.②
四、1.43 25 44 18 72 17 42 40 16 56 64 1
2．66 39 93
五、1.略 2. 略
3\.
{width="1.96875in" height="1.1694444444444445in"}
六、 1. 9×8=72 (棵) 2. 7+5=12(个)
3\. 47+35=82（元） 82-10＝72(元)
4\. 26+37=63（个） 100-63=37(个） 37 \>36 剩下的够
5\. 8-1=7（次） 5×7=35（分钟）
| 1 | |
2015〜2016学年度上学期高三年级七调考试
理数试卷
命题人:李桂省
> 本试卷分第[I]{.smallcaps}卷*[(]{.smallcaps}*选择题[)]{.smallcaps}和第Ⅱ卷[(]{.smallcaps}非选择题*[)]{.smallcaps}***两部分，共**[150]{.smallcaps}**分，考试时间**[120]{.smallcaps}**分钟。**
>
> 第[I]{.smallcaps}卷(选择题共60分*[)]{.smallcaps}*
>
> **一、选择题***[(]{.smallcaps}*本大题共[12]{.smallcaps}**小题，每小题**[5]{.smallcaps}**分，共**[60]{.smallcaps}分。在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
>
> *[1.已知全集]{.smallcaps}* U=R[*，*集*合*]{.smallcaps} A=[{x]{.smallcaps} y=log~2~ (-x^2^+2x)}[*，*B={ y]{.smallcaps} y=1+ }*[，那么]{.smallcaps}*A∩C~U~B = ( )
>
> A. [{x]{.smallcaps} 0＜ x ＜1}  B. [{x x]{.smallcaps}＜ [0 }]{.smallcaps}
>
> C. {x x＞ 2 } D. {x 1＜x＜2}
>
> 2.在复平面内，复数*[z]{.smallcaps}*满足[z（1 + i)= \|1]{.smallcaps}[+]{.smallcaps}[i\|]{.smallcaps}*，*则z的共轭数对应的点 ( )
>
> [A]{.smallcaps}*.*第一象限 [B]{.smallcaps}*.*第二象限 [C]{.smallcaps}*.*第三象限 [D]{.smallcaps}*.*第四象限
3.[在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若]{.smallcaps}a~m+1~ • a~m-1~ = 2a~m~(m(m≥2)[，数列{a~n~}的前n项积为T~n~，若]{.smallcaps}T~2m-1~---1=512,[则m的值为（]{.smallcaps} [）]{.smallcaps}
> A.4 B. 5 C. 6 D.7
[*4.*已知函数]{.smallcaps}f(x) = sinx+ *[3]{.smallcaps}*sin(x + )(＞0) 的最小正周期为，则f(x)在区间\[0, \]上的值域为 （ ）
A. \[0, \] B. \[-,\] C. \[-,1\] D. \[-,\]
[5.]{.smallcaps}执行如图的程序框图，那么输出*[S]{.smallcaps}*的值是
> A. 2
>
> B.
>
> C. -1
>
> D. 1
6.在二项式（ + ）^n^的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
> A. B. C. D.
7.*[在]{.smallcaps}*△ ABC[*中，*a，b, c分别是角]{.smallcaps}A[*，*B，]{.smallcaps}C[所对边的边长，若]{.smallcaps}cos A + sin A- =0,则的值是
> A. 1 B. 
>
> C.  D. 2
>
> 8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 *[(]{.smallcaps}*单位:cm)，则该几何体的体积为( )
>
> A. 120 cm^3^
>
> B. 80 cm^3^
>
> C. 100 cm^3^
D. 60 cm^3^
[9.]{.smallcaps}在△ [ABC]{.smallcaps}中，[BC=5]{.smallcaps}*，*[G]{.smallcaps}*，*[O]{.smallcaps}分别为[AABC]{.smallcaps}的重心和外心，且•=5，则△[ABC]{.smallcaps}的形状是
> [A]{.smallcaps}.锐角三角形 [B]{.smallcaps}.钝角三角形
>
> [C]{.smallcaps}.直角三角形 [D]{.smallcaps}.上述三种情况都有可能
>
> 10.[平行四边形]{.smallcaps}ABCD[中]{.smallcaps}，· = 0，[沿]{.smallcaps}BD[将四边形折起成直二面角A]{.smallcaps} [--- BD]{.smallcaps} *---* C[，且]{.smallcaps} 2 ^2^ +\| \|^2^=4[*，*则三棱锥]{.smallcaps}A---BCD[的外接球的表面积为]{.smallcaps} [（]{.smallcaps} [）]{.smallcaps}
>
> [A]{.smallcaps}*.* [B]{.smallcaps}*.*
>
> [C]{.smallcaps}*.*4 [D]{.smallcaps}*.*2
>
> [11*.*]{.smallcaps}已知双曲线[C]{.smallcaps}的方程为一 [*=* 1 *, *]{.smallcaps}**其左、右焦点分别是**[F~1~、F~2~ *,*已]{.smallcaps}**知点**[M]{.smallcaps}**坐标为（**[2]{.smallcaps}***，***[1)]{.smallcaps}**，双曲线**[C上点]{.smallcaps} P(x~0~,y~0~ ) (x~0~ ＞0*[，]{.smallcaps}*y~0~＞0*[)]{.smallcaps}* 满足 = ，则S△PMF~1~ - S△PMF~2~ = ( )
>
> A -1 B. 1 C. 2 D. 4\[来源:\]
>
> 12[*.*定义在]{.smallcaps} R [上的函数]{.smallcaps} f [(x)满足]{.smallcaps} f (x + 2) = f [(x]{.smallcaps}[)*，*当]{.smallcaps} x ∈ \[0,2)[时]{.smallcaps}，f (x)= , [函数g（]{.smallcaps}x)=x^2^+3x^2^+m[*,* 若]{.smallcaps}s ∈ \[ - 4*[，]{.smallcaps}*-2)*[，]{.smallcaps}*t∈ \[ - 4*[，]{.smallcaps}*-2[)*，*不等]{.smallcaps}式[f(s)---g(t)]{.smallcaps}≥[0]{.smallcaps}成立，则实数[m]{.smallcaps}的取值范围是 （ ）
>
> A. (，-12\] B. ( *[，]{.smallcaps}*-4\]
>
> C. ( *[，]{.smallcaps}*8\]  D*[.(]{.smallcaps}* *[，]{.smallcaps}*\]
>
> 第Ⅱ卷(非选择题共90分)
>
> **二、填空题***[(]{.smallcaps}*本大题共[4]{.smallcaps}**小题，每小题**[5]{.smallcaps}**分，共**[20]{.smallcaps}**分）**
>
> 13.[设]{.smallcaps}a = (sin x---1 + 2cos^2^)dx[*，*则]{.smallcaps}(a-)^6^• (x^2^ +2 [*)*的展开式中常数项是 ( )]{.smallcaps}
>
> 14.以下四个命题中：
>
> ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,
>
> ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,
>
> ③某项测量结果服从正态分布N (1，a^2^),P(≤5)=0.81，则P ≤ 3) =0.19,
>
> ④对于两个分类变量X与Y的随机变量K^2^的观测值k来说，k越小，判断"X与Y有关系" 的把握程度越大。\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
>
> 以上命题中其中真命题的个数为 [ ]{.underline} .
>
> 15.已知圆C：(x -3) ^2^ + (y ---4) ^2^ = 1和两点A( -m，0)，B(m，0) (m＞0)，若圆上存在点P，使得 ∠APB ---90°，则m的取值范围是  [ ]{.underline} .
>
> 16.f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f\'(x)，若f(x)---f\'(x) ＜1，f(0) = 2016,则不等式f(x) ＞2015 • e ^x^ + 1(其中e为自然对数的底数）的解集为 [ ]{.underline} .
>
> 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
>
> 17.(本小题满分12分)
>
> 已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~ ，向量a= (S ~n~ ，1)，b= (2^n^ --- 1, ),满足条件a∥b,
>
> (1)求数列{a~n~}的通项公式,
>
> (2)设函数f(x)= ()^x^，数列{b~n~}满足条件b~1~=1,f(b~n+1~) = .
>
> ①求数列{bn}的通项公式,
>
> ②设Cn =， 求数列{ Cn }的前n项和Tn.
>
> 18.(本小题满分12 分）
>
> 如图，在四棱锥S---ABCD[中，底面ABCD是直角梯形，侧棱]{.smallcaps}SA[丄底面]{.smallcaps}ABCD*[，]{.smallcaps}*AB[垂直于AD]{.smallcaps} [和]{.smallcaps} BC*[，]{.smallcaps}*SA=AB = BC=2，AD = 1.M [是棱]{.smallcaps} [SB]{.smallcaps} [的中点]{.smallcaps}*.*
>
> [(1)求证:AM]{.smallcaps}//[平面]{.smallcaps}SCD,
>
> [(2)]{.smallcaps}求平面[SCD]{.smallcaps}与平面[SAB]{.smallcaps}所成的二面角的余弦值*[,]{.smallcaps}*
[(3)]{.smallcaps}设点[N]{.smallcaps}是直线[CD]{.smallcaps}**上的动点**[*，*MN与]{.smallcaps}**平面**[SAB]{.smallcaps}**所成的角为**[0]{.smallcaps}，求sin的最大值*[.]{.smallcaps}*
> [\[来源:Z\|xx\|k.Com\]]{.smallcaps}
>
> [19.*(*]{.smallcaps}本小题满分[12]{.smallcaps}分）
+----------+-----------------------------+--------+------------------------------+
| | 几何题\[来源:Z\*xx\*k.Com\] | 代数题 | 总计\[来源:学+科+网Z+X+X+K\] |
+----------+-----------------------------+--------+------------------------------+
| > 男同学 | 22 | 8 | 30 |
+----------+-----------------------------+--------+------------------------------+
| > 女同学 | 8 | 12 | 20 |
+----------+-----------------------------+--------+------------------------------+
| 总计 | 30 | 20 | 50 |
+----------+-----------------------------+--------+------------------------------+
> [(1)]{.smallcaps}心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣 小组中按分层抽样的方法抽取[50]{.smallcaps}名同学（男[30]{.smallcaps}女[20]{.smallcaps}*)*，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答*[.]{.smallcaps}*选题情况如下表*[(]{.smallcaps}*单位[*•*人):\[来源:学+科+网\]]{.smallcaps}
>
> [(1)]{.smallcaps}能否据此判断有[97.5%]{.smallcaps} 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
>
> [(2)]{.smallcaps}经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在[5 --- 7]{.smallcaps}分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在[6 - 8]{.smallcaps}分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率*[,]{.smallcaps}*
>
> [(3)]{.smallcaps}现从选择做几何题的[8]{.smallcaps}名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为[X]{.smallcaps}，求[X]{.smallcaps}的分布列及数学期望[E(X).]{.smallcaps}
>
> 附表及公式
\[来源:Zxxk.Com\]
> [\[来源:学&科&网\]]{.smallcaps}
>
> [20.*(*]{.smallcaps}本小题满分[12]{.smallcaps}分）
[已知椭]{.smallcaps}[圆]{.smallcaps}C: + = 1(a ＞b ＞0) 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的[圆与直线]{.smallcaps}x-y + 12 = 0[相切.]{.smallcaps}
[(1)]{.smallcaps}求椭圆[C]{.smallcaps}的方程*[,]{.smallcaps}*
[(2)]{.smallcaps}设[A( -4,0)*，*]{.smallcaps}过点R（[3,0)]{.smallcaps}作与*[x]{.smallcaps}*轴不重合的直线[L]{.smallcaps}交椭圆[C]{.smallcaps}于[P，Q]{.smallcaps}两点*[，]{.smallcaps}*连接[AP]{.smallcaps}*，*[AQ]{.smallcaps}分别交直线*[x =]{.smallcaps}* 于[M，N]{.smallcaps}两点*[，]{.smallcaps}*若直线[MR、NR]{.smallcaps}的斜率分别为k~1~[*，*k]{.smallcaps}~2~ ,试问*[:]{.smallcaps}* k~1~ [k]{.smallcaps}~2~是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由*[.]{.smallcaps}*
> 21.(*[本小题满分]{.smallcaps}*10*[分]{.smallcaps}*)*[选修]{.smallcaps}*4*[一]{.smallcaps}*5 *[:]{.smallcaps}**[不等式选讲]{.smallcaps}*
>
> *[已知函数]{.smallcaps}* f(x)=ln(x+1)-x .
>
> (1)求f(x)的单调区间,
(2)若k∈Z，且f(x-1)+x＞k (1-3 )对任意x＞1恒成立，求k的最大值,
(3)对于在区间（0，1)上的任意一个常数a，是否存在正数x。，使得e^f(x0\ )^ ＜ 1 -x成立？ 请说明理由.
> \[来源:\]
*请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。*
*22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲*
*如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C**在圆上，*∠*ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于点**D.*
*(1)证明：DB = DC;*
*(2)设圆的半径为1，BC=,延长CE交AB于点F，求*△*BCF外接圆 的半径.*
> [23.(]{.smallcaps}本小题满分[10]{.smallcaps}分*[)]{.smallcaps}*选修[4]{.smallcaps}*一*4坐标系与参数方程
>
> 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线[C:]{.smallcaps} sin [=]{.smallcaps} 2acos (a＞0)[，过点]{.smallcaps}P( ---2*[，一]{.smallcaps}*4)[的直线L的参数方程为]{.smallcaps} ,[t*(*]{.smallcaps}**为参数），直线**[L]{.smallcaps}与曲线[C]{.smallcaps}分别交于[M*，*]{.smallcaps}两点*[.]{.smallcaps}*
>
> (1)写出曲线[C]{.smallcaps}的平面直角坐标方程和直线[L]{.smallcaps}的普通方程 ；
>
> ***[(2)若]{.smallcaps}*PM, MN ,PN*[成等比数列，求实数a的值]{.smallcaps}*.**
>
> [24.(本小]{.smallcaps}题满分10分)选修4一5 :不等式选讲
>
> 已知函数 f(x)=\| x + 1 \| + 2 \|x---1 \| .
>
> (1)解不等式,f(x) ＜4 ;
>
> (2)若不等式f(x) ≥ \| a + 1\|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案及解析
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
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**北师大版小学五年级上册数学第7单元《可能性------摸球游戏》同步检测1（附答案）**
**基础作业：**
1\. 选一选。（将正确答案的序号填在括号里）
（1）在一个不透明的盒子里放有7个球，有2个红球、1个黄球、4个白球，从中任意取出一个球，正好是红球的可能性是（ ）
A. B. C. D.
（2）国庆节，小明的妈妈带他去旅游。妈妈给他带了蓝、红2件毛衣和黑、白、灰3条裤子。现在他要任意拿出一件毛衣和一条裤子配成一套，正好是蓝毛衣和白裤子的可能性是（ ）
A. B. C. D.
2\. 玩扑克。
（1）有"黑桃"、"红桃"、"梅花"、"方块"4张"A"，小明任意摸一张，有几种可能性？每张的可能性是多少？
（2）有"红桃"牌13张，任意摸一张，有几种可能性？每张的可能性是多少？
（3）你能提出一个关于可能性的问题吗？并请你尝试解决。
3\. 掷骰子：下图中这个正方体木块的六个面上的数字分别是一个1、两个2、三个3。
（1）掷一次，得到1、2、3的可能性分别是多少？
（2）掷一次，得到单数的可能性是多少？
4\. 小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中。
从这个班中任选一个同学，他的体重在28\~30kg之间的可能性比大吗？
**培优作业：**
5\. 邮局于2004年2月25日公布了有奖明信片的号码。这一年的贺年片以每100万张为一个开奖组，每一开奖组设五个奖级，一等奖每组产生1名，中奖号码尾数为045179；二等奖每组产生30名，中奖号码尾数是19492，42765，10524；三等奖每组产生500名，中奖号码尾数为2047，8638，3396，6147，8046；四等奖每组产生2000名，中奖号码尾数为298和378；五等奖每组产生10万名，中奖号码尾数为5。你能说出各种奖级中奖的可能性吗？
**参考答案**
**基础作业：**
1\. （1）C （2）D
2\. （1）4种
（2）13种
（3）略
3\. （1）
（2）
4\. 可能性不比大
**培优作业：**
5\. 一等奖： 二等奖：
三等奖： 四等奖：
五等奖：
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**参照秘密级管理★启用前 试卷类型A**
**二〇二〇年全市初中学生学业水平考试**
**数学试题**
**亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：**
**1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页．选择题36分，非选择题84分，共120分．考试时间120分钟．**
**2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．**
**3试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的"注意事项"答题．**
**4．考试结束，答题卡和试题一并交回．**
**5．不允许使用计算器．**
**愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．**
**选择题（共36分）**
**一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）**
1.在实数，，0，中，最小的实数是（ ）．
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】∵，
∴在实数，，0，中，最小的实数是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义，找到从上面所看到的图形即可．
【详解】解：从上往下看，得到两个矩形组成的一个大矩形，且左边的矩形较大，全部为实线．
故选：C
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．注意看得到的线为实线，看不到的线为虚线．
3.如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得∠*B*=∠*C*，进而可根据三角形的内角和定理求出∠*A*的度数，然后根据平行线的性质可得∠*DEC*=∠*A*，进一步即可求出结果．
【详解】解：∵，，
∴∠*B*=∠*C*=65°，
∴∠*A*=180°－∠*B*－∠*C*=50°，
∵*DF*∥*AB*，
∴∠*DEC*=∠*A*=50°，
∴∠*FEC*=130°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
4.下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可．
【详解】A．，该项不符合题意；
B．，该项不符合题意；
C．，该项符合题意；
D．，该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式等内容，解题的关键是掌握运算法则．
5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
--------- ---- ---- ---- ---- -----
成绩/分 84 88 92 96 100
人数/人 2 4 9 10 5
--------- ---- ---- ---- ---- -----
A. 92分，96分 B. 94分，96分 C. 96分，96分 D. 96分，100分
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是92,96，
∴中位数是 ；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数96．
故选：B
【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．
6.计算的结果正确的是（ ）．
A. 1 B. C. 5 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点*A*作于点*D*，在中，利用勾股定理求得线段*AC*的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点*A*作于点*D*，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9.如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．
【详解】解：是的直径，弦，
，．
又
在和中，
，
故选：B
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．
10.如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面周长是*l*，则*l=*m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③...的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（ ）．
   ...
A. 150 B. 200 C. 355 D. 505
【答案】C
【解析】
【分析】
由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，...，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．
【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）
当n=50时，原式=7×50+5=355（块）
故选：C
【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
12.如图，在中，，，将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，在上取点，使，那么点到的距离等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得的长，进而可得的长，过点*D*作*DM*⊥*BC*于点*M*，过点作于点*E*，于点*F*，如图，则四边形是矩形，解Rt△可得的长，即为*FM*的长，根据三角形的内角和易得，然后解Rt△可求出*DF*的长，进一步即可求出结果．
【详解】解：在中，∵，，
∴*AC*=2*AB*=4，
∵将绕点旋转得到，使点的对应点落在上，
∴，
∴，
过点*D*作*DM*⊥*BC*于点*M*，过点作于点*E*，于点*F*，交*AC*于点*N*，如图，则四边形是矩形，
∴，
在Rt△中，，∴*FM*=1，
∵，
∴，
在Rt△中，，
∴，
即点到的距离等于．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
**非选择题（共84分）**
**二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）**
13.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
14.如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
分析】
连接OB，证明△OAB，△OBC都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出．
【详解】解：连接OB，
∵四边形为菱形，OA=OB，
∴OA=OB=OC=AB=BC,
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵，
∴ ．
故答案为：60°
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB，得到△OAB，△OBC都是等边三角形．
15.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的除法运算，即可解答本题.
【详解】解：
=
=
=
=−a
故答案是：-a
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.
16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的"科技"、"文学"、"艺术"三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解："科技"、"文学"、"艺术"三类书籍分别用A、B、C表示，则所有可能出现的结果如下图所示：
由上图可知：共有9种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有3种，
∴抽到同一类书籍的概率=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于基础题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
17.如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可．
【详解】解：∵，点的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∵点，是第一象限角平分线上的两点，
∴∠BAC=45°，
∵，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠C=90°，
∴BC∥y轴，
∴AC=BC=2，
作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，
∴此时四边形的周长最小，
作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，
在Rt△AGE中，
，
∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ．
【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为"将军饮马"问题，这是解题关键．
**三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）**
18.解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】该不等式组的解集是，它的所有整数解为0，1，2．
【解析】
【分析】
分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
所以该不等式组的解集是．
它所有整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共部分即可．
19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为："剪纸"、"沙画"、"葫芦雕刻"、"泥塑"、"插花"．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
 
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为\_\_\_\_\_\_\_\_；统计图中的\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数．
【答案】（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625
【解析】
【分析】
（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值，
（2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出抽样调查中喜爱"葫芦雕刻"的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数．
【详解】解：（1），，，
故答案为：120，12，36；
（2）类别的人数为：（人）
补全条形统计图如图所示：
（3）类别所占的百分比为：，
（人）
答：全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数约为625人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．
20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．
【解析】
【分析】
（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据"每捆种树苗比每捆种树苗多10棵"列方程即可求解；
（2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解．
【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，
根据题意，得，
解之，得．
经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．
答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．
（2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元，
设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则
．
∵是的一次函数，，随着的增大而减小，，
∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，．
答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗费用最低为111000元．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关"数量关系"，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．
21.如图，已知平行四边形*ABCD*中，*E*是*BC*的中点，连接*AE*并延长，交*DC*的延长线于点*F*，且*AF*＝*AD*，连接*BF*，求证：四边形*ABFC*是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC是平行四边形，又根据等量代换可得，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC是矩形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵E为BC的中点
∴
∴
∴
∵
∴四边形ABFC是平行四边形
∴平行四边形ABFC是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟练运用各判定与性质是解题关键．
22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在点处测得居民楼的顶端的仰角为，居民楼的顶端的仰角为，已知居民楼的高度为，小莹的观测点距地面．求居民楼的高度（精确到）．（参考数据：，，）
【答案】居民楼的高度约为．
【解析】
【分析】
过点作交于点，交于点，通过解得到线段*NF*的长度，进而得到线段*NE*的长度，再解得到*BE*的长度，即可解决．
【详解】解：过点作交于点，交于点．
则，，．
∵，．
则．
在中，∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23.如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
（1）求出直线的表达式；
（2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，．
【解析】
【分析】
（1）通过点*A*的坐标确定反比例函数的解析式，再求得*B*的坐标，利用待定系数法将*A*，*B*的坐标代入，即可得到一次函数的解析式；
（2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决．
【详解】解：（1）∵在的图象上，
∴，，
又点在的图象上，，即．
将点，的坐标代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
（2）设直线与轴的交点为，
当时，解得．即．
分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，．
．
又，即，∴．
当点在原点右侧时，，
当点在原点左侧时，．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
24.如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点．
（1）试证明是的切线；
（2）若的半径为5，，求此时的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线；
（2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长．
【详解】（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴又是边上的中线，
∴是的中位线，
∴，
又，
∴，
∴是的切线．
（2）由（1）知，是边上的中线，
得．
∵的半径为5，
∴．
在中，
∵，
∴．
在和中，∵，，
∴，
∴，
即，解得．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键．
25.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．
【解析】
【分析】
（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；
（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；
（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得
，，根据，即，解出t值，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意，将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的表达式，
当时，，得点，又点，
设线段所在直线的表达式，
∴，解得，
∴所在直线的表达式；
（2）∵轴，轴，
∴，
只要，此时四边形即为平行四边形，
由二次函数，
得点，
将代入，即，得点，
∴，
设点的横坐标为，则，，
由，得，
解之，得（不合题意舍去），，
当时，，
∴；
（3）由（2）知，，
∴，
又与有共同的顶点，且在的内部，
∴，
∴只有当时，，
由，，，
利用勾股定理，可得，，
由（2）以及勾股定理知，，
，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点的坐标是．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．
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**梧州市2020---2021学年度上学期期末测试**
**小学数学一年级上册参考答案及评分意见**
**一、直接写出得数。（30分）**
**每题1分， (答案略。)**
**二、想一想，填一填。（共31分）**
**第1题 （每空1分） 17 20 6**
**第2题 （每空1分） 4 1**
**第3题 （每空1分） 16**
**第4题 （每空1分) 9 1 2**
**第5题 （每空1分) 20 19**
**第6题 （每空1分） 7 8 9**
**第7题 （每空1分) (答案略)**
**第8题（ 每空1分） (答案略)**
**第9题（ 每组全对得1分）**
○○●○○●●○○●●●○○●●●●○○●●●●●
**第10题（ 每空0.5分，共6分） (答案略)**
3. **选择合适的答案，在□里画"√"。(共3分)**
**第1题 （每空1分 ） 17**
**第2题 （每空1分） 6+8 √**
**第3题 （每空1分） 10+4**
**四、画一画，填一填。（6分）**
**第1题 （1分）(答案略)**
**第2题 （1分）(答案略)**
**第3题 （每空1分，共4分）(答案略)**
**五、看图写算式。(每题2分，共8分)**
**1. 4 + 2 = 6 或 2 + 4 = 6**
**2. 13 - 3 = 10**
**3. 9 + 3 = 12**
**4. 4 + 4 + 3 = 11**
**六、解决实际问题。（1、2、3题列式正确3分，得数正确2分；4题（1）列式2分，得数1分；4题（2）列式3分，得数1分，共22分）**
**第1题（5分） 8 + 5 = 13 (棵）**
**第2题 (5分) 8 + 8= 16（下）**
**第3题 (5分) 18 - 8 = 10（本）**
**第4题（共7分） （1） 10 - 6 = 4(元） （3分）**
2. **10 + 9 = 19（元） （4分）**
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**2020－2021学年度第一学期期末调研考试**
**三年级数学试卷**
**注意事项：**
**1.本试卷满分为100分，考试时间为80分钟。**
**2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。**
**3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写，密封线内不得答题。**
**一、填一填。（每空1分，共24分）**
1\. 在括号里填上合适的单位名称。
做眼保健操约用5（ ）；
看书时眼睛距离书本大约30（ ）；
三年级李阳同学的身高是115（ ），体重约是25（ ）。
2\. 下图是星期天上午的部分小区停电通知，（ ）小区停电时间比较长；小明住在幸福小区，他10：30从外面回到家，发现家里停电，他还要等（ ）分钟才恢复供电。
+------------------------+
| 停电通知 |
| |
| 阳光小区10：05～10：50 |
| |
| 幸福小区10：15～10：55 |
+------------------------+
3\. 6000千克＝（ ）吨。想：1000千克是（ ）吨，6000千克里面有（ ）个（ ）千克。
4\. 一个笔袋的单价是36元，笔袋的单价是钢笔的4倍，钢笔的价钱是（ ）元．
5\. 16×5＝（ ）。
6\. 把1分米长的一条彩带平均分成10份，3份是它的（ ），是（ ）厘米。
7\. 有两个同样长方形，长是4厘米，宽是2厘米，把它们拼成一个正方形，周长是（ ）厘米；若拼成一个长方形，周长是（ ）厘米。
8\. 一部手机的价格是799元，买4部这样的手机大约要用（ ）元。
9\. 三（1）班有55个同学，一次期中考试后统计：语文成绩达到优秀有42人，数学成绩达到优秀的有41人，语文和数学成绩都达到优秀的有（ ）人。
10\. 按规律填数。
9×2＝18
99×2＝198
999×2＝1998
（ ）×2＝19998
99999×2＝（ ）
**二、对的打"√"，错的打"×"。（每题1分，共5分）**
11\. 学校的黑板长4分米。（ ）
12\. 正方形四条边都相等（ ）
13\. 任何数与0相乘都得0． （ ）
14\. 把一个圆分成6份，每份是它的。 （ ）
15\. 一个因数的中间有0，积的中间也一定有0。（ ）
**三、明察秋毫选一选。（将正确答案的序号填在括号中。每小题2分，共10分）**
16\. 估一估，下面的算式得数最大的是（ ）。
A. 398×7 B. 598×5 C. 812×4
17\. 一列火车本应10：35到站，因大雾晚点15分钟，这列火车（ ）到站。
A. 10：20 B. 10：50 C. 11：00
18\. 小红有7颗黄珠子，54颗红珠子，要使红珠子数量是黄珠子的8倍。如果黄珠子数量不变，红珠子需要（ ）。
A. 增加2颗 B. 减少2颗 C. 减少5颗
19\. 4个（ ）7个。
A. ＜ B. ＞ C. ＝
20\. 小乐收集了三个身份证号码，但他把其中的一个号码抄错了，错误的是（ ）。
A. 13xxxx198608261636 B. 13xxxx198713241625 C. 13xxxx201202021626
**四、仔细算一算。（共24****分）**
21\. 直接写得数。
190×5＝ 770＋140＝ 859×0＝
400－198＝ 150×9＝ 130＋480＝
22\. 竖式计算，带☆的要验算。
☆1000－599＝ ☆413＋587＝ 298＋445＝
321×4＝ 911×6＝ 499×3＝
**五、实践操作，我会画。（共11分）**
23\. 在下面的方格纸上按要求画图。（图中每个小方格为边长1厘米的正方形）
（1）用16个边长是1厘米的正方形拼成长方形和正方形，可以怎么拼，试着在上图中画出来。
（2）所画的长方形的周长是（ ），所画的正方形的周长是（ ）。
（3）我发现（ ）周长最短。
24\. 用分数表示下面各图中涂色的部分。
（ ）（ ）（ ）
**六、解决问题。（共26分）**
25\. 妈妈买了16袋果干，其中苹果干，是草莓干，草莓干有多少袋？（先在图中分一分，再列式计算）
26\. 明明读一本书，每天读6页，6天可以读完。如果每天读9页，几天可以读完？
27\. 这辆卡车装了7台质量为750千克的机器，它有没有超载？
28\. 购物：
---------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
产品名称 护眼灯 学习机 空气净化器
产品样式   
产品价格 166元 225元 558元
---------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
（1）张叔叔打算买一台学习机和一台空气净化器，一共需要多少钱？
（2）某单位打算买5台护眼灯，需要多少钱？
29\. 自全国开展垃圾分类活动以来，希望小学积极做好垃圾分类的宣传工作，制作了一版"垃圾分类"知识的宣传栏。如图，宣传栏的长是宽的2倍，宣传栏的周长是多少？
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**2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试**
**理数试卷**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知是虚数单位，则复数集合的实部和虚部分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（ ）
A． B． C． D．
4.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题"若，则"的否命题为"若，则"
B．命题"若，则，互为相反数"的逆命题是真命题
C．命题"，使得"的否定是"，都有"
D．命题"若，则"的逆否命题为真命题
5.已知满足，则（ ）
A． B． C. D．
6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
7.已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C. D．
8.我国古代著名《九章算术》用"更相减损术"求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法------"辗转相除法"实质一样.如图的程序框图即源于"辗转相除法"，当输入，，输出的（ ）
A． B． C. D．
9.已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C. D．
10.已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A． B． C. D．
11.设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C. D．
12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为 ．
14.二项式展开式中的常数项是 ．
15.已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 ．
16.已知在直三棱柱中，，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为（），设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是 ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
18\. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.
（1）已知平面平面，求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的"朋友"，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的"井喷式"增长，也充分反映了人们消费方式的变化.
全国方便面销量情况（单位"亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）
------------------- -- -- -- --
年份
时间代号
年销量（亿包/桶）
------------------- -- -- -- --
(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：回归方程：，其中，.
参考数据：.
20.如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.
（1）当取最小值时，求和的方程；
（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.
21.已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知，
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
**参考答案及解析**
**一、选择题**
1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，
∴
∴，，
∴，
（2）由（1）知
∴
∴
18.解：（1）∵，平面，平面
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴.
（2）∵底面是菱形，为的中点，，
∴，，，
∴，
∵平面，则以点为原点，直线、分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，
∴，，，，，
设平面的法向量为，
得.
设，则，，
则
解得，
∴，
设直线与平面所成角为，
则
∴直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1），，
，，，
所以
当时，
（2）依题意，人中认为方便面是健康食品的有人，的可能值为，，，，
所以；；；，
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
.
20.解：（1）因为，，
则，
所以取最小时值时，
此时抛物线：，此时，，
所以椭圆的方程为.
（2）因为，，则，，
设椭圆，，
由得，
所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，
于是，，，
又的边长恰好是三个连续的自然数，
所以，此时抛物线方程为，，，
则直线的方程为，
联立得或（舍去）
于是
所以，
设（）到直线的距离为，
则
当时，，
所以的面积最大值为，：.
21.解：（1）因为（），
由已知得，所以，
所以，
设，
则在上恒成立，
即在上单调递减，
由知，当时，，从而，当时，，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是，
（2）因为，要证原式成立即证成立.
当时，由（1）知成立；
当时，，且由（1）知，，所以.
设，，
则，
当时，
当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，
即当时，，①
综上所述，对任意，恒成立，
令（），则恒成立，所以在上单调递增，恒成立，即，
即.②
当时，有；
当时，由①②式，.
综上所述，当时，成立，故原不等式成立.
22.解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
又直线与曲线存在两个交点，因此.
联立直线与曲线：，
可得，
则，
联立直线与曲线：，可得.
则，即
23.解：（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第14课《火柴棍游戏2》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第十四讲 火柴棍游戏（二）习题解答
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**2020-2021学年广东省深圳市四年级（上）期末数学试卷（二）**
**一、选择题（每小题2分，共30分）**
1．2895436＞2□95436，□里最大能填（ ）
A．9 B．8 C．7
2．如图，以点*A*为一个端点的线段中，最短的是（ ）
A．线段*AB* B．线段*AC* C．线段*AD*
3．小明在用计算器计算时，不小心按错一个数，此时他应该按（ ）键清除。
A．*OFF* B．*CE* C．0*N*
4．下面几个算式运用了乘法分配律的有（ ）
> 117×3+117×7＝117×（3+7）
>
> 4×*A*+*A*×5＝（4+5）×*A*
>
> 25×（4×6）＝25×4×6
>
> 25×97﹣25×57＝25×（97﹣57）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．小明在教室的位置是（2，3），小芳在小明的左面，小芳的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（2，4） C．（1，3）
6．小杰家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是﹣2℃，则他家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）
A．3℃ B．﹣3℃ C．7℃ D．﹣7℃
7．两个完全一样的直角三角形，（ ）会拼成正方形。
A．一定 B．可能 C．不能
8．752÷□的商是三位数，□里最大填（ ）
A．5 B．6 C．7
9．一个数四舍五入到万位是25万，这个数最小是（ ）
A．250000 B．249999 C．245000
10．用一副三角尺可以画出的角是（ ）
A．150° B．140° C．85°
11．498×62的积最接近（ ）
A．35000 B．30000 C．24000
12．（32+25）×2＝（ ）
A．32+25×2 B．32×25×2 C．32×2+25×2
13．学校在小华家的北方，他放学回家时应往（ ）方走．
A．北 B．南 C．西 D．东
14．512÷□的商是三位数，□里最大能填（ ）
A．4 B．5 C．6
15．纸盒里有黑、白、黄三色棋子各一个，甲、乙、丙三个小朋友用盒子里的棋子做摸棋子游戏，每次摸一个，摸后放回摇匀，摸出黑色棋子甲赢，摸出黄色棋子乙赢，摸出白色棋子丙赢，这个游戏（ ）
A．公平 B．不公平 C．可能公平 D．无法判断
**二、填空题（每空1分，共10分）**
16．由3个十亿、5个千万、9个万、7个十组成的数是[ ]{.underline}，这个数读作[ ]{.underline}。
17．量一量。
> [ ]{.underline}度。
18．找规律，在横线上填出合适的数。
> 22×99＝2178
>
> 222×999＝221778
>
> 2222×9999＝22217778
>
> 22222×99999＝[ ]{.underline}
19．7×425+13×425＝（7+13）×425，这里运用了[ ]{.underline}律；如果□+△＝100，那么69×□+69×△＝[ ]{.underline}．
20．教室里，小明坐在第二组第4排，他的位置表示为（2，4），那么小军坐在第五组第3排，他的位置可表示为（[ ]{.underline}，[ ]{.underline}）．
21．□01÷56，要使商是一位数，方框里可以填的数是[ ]{.underline}．
22．昨天某地区最低气温是零下3℃，最高气温是零上4℃，它们相差[ ]{.underline}℃．
23．水加热[ ]{.underline}会沸腾。（填"可能"/"不可能"/"一定"）
**三、其他计算（共6分）**
24．改写成用"万"作单位的数。
------------------------------- ------------------------------- -------------------------------- ----------------------------
80700000＝[ ]{.underline} 20080000＝[ ]{.underline} 400000000＝[ ]{.underline} 90000＝[ ]{.underline}
------------------------------- ------------------------------- -------------------------------- ----------------------------
**四、竖式计算（共12分）**
25．竖式计算。
---------- ---------- ---------- ----------
265×80＝ 250×28＝ 408×35＝ 65×167＝
---------- ---------- ---------- ----------
26．列竖式计算。
> （1）270÷40
>
> （2）390÷80
**五、解答题（每小题6分，共30分）**
27．说一说线段、射线、直线有什么相同点和不同点？
28．家电商城预计在12月购进15个电饭锅和40台微波炉，共需要多少钱？
29．请你按下面的叙述设计一个游乐场．
> （1）海盗船在旋转木马的西边．
>
> （2）时空飞船在游乐场的西北角．水上世界在游乐场的东南角．
>
> （3）过山车在激流勇进的北面．碰碰车在激流勇进的西面．
>
> （4）迷宫在摩天轮的北面．
30．写一写。
> 你能用"一定"、"可能"、"不可能"说一句话吗？
>
> 一定：[ ]{.underline}。
>
> 可能：[ ]{.underline}。
>
> 不可能：[ ]{.underline}。
31．连线。
**六、作图题（每小题6分，共12分）**
32．过*O*点分别画出*AB*、*AC*的垂线．
33．标出路线图。
> 笑笑周末随爸爸外出游玩，他们活动的地点用数对表示如下：游乐园（6，1）；电影院（10，3）；玩具店（8，5）；美食城（9，8）；动物园（3，9）；科技馆（1，5）；笑笑家（0，0）。
>
> （1）请在图中标出各个地点的位置。
>
> （2）按顺序将以上位置所在的点用线连起来。
**2020-2021学年广东省深圳市四年级（上）期末数学试卷（二）**
**参考答案**
**一、选择题（每小题2分，共30分）**
1．C； 2．C； 3．A； 4．A； 5．A； 6．C； 7．A； 8．C； 9．C； 10．A； 11．A； 12．C； 13．B； 14．B； 15．A；
**二、填空题（每空1分，共10分）**
16．[3050090070]{.underline}； [三十亿五千零九万零七十]{.underline}； 17．； 18．； 19．[乘法分配]{.underline}； [6900]{.underline}； 20．[5]{.underline}； [3]{.underline}； 21．[1、2、3、4、5]{.underline}； 22．[7]{.underline}； 23．；
**三、其他计算（共6分）**
24．； ； ； ；
**四、竖式计算（共12分）**
25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}；
**五、解答题（每小题6分，共30分）**
27．[ ]{.underline}； 28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．； ； ； 31．[ ]{.underline}；
**六、作图题（每小题6分，共12分）**
32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}；
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日期：2021/4/27 14:49:24；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**数 学（理科）**
**参考答案**
**一、选择题**
1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C
7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B
**二、填空题**
13． 14． 15． 16．240
**三、解答题**
17．解：在中，
由正弦定理得
所以
在中，
18．证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故， 且，从而
所以为直角三角形，
又．
所以平面
（Ⅱ）
**解法一：**
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得
为二面角的平面角．
由得平面
所以，又，
故
所以二面角的余弦值为
**解法二：**
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则
的中点，
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为
19．解：
（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为
，
代入椭圆方程得
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于
，
解得或．即的取值范围为
（Ⅱ）设，则，
由方程①， ②
又 ③
而
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数
20．解：
每个点落入中的概率均为
依题意知
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意所求概率为，
=0.9570-0.0423
=0.9147
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故
从而
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少
（Ⅱ）的定义域为，
方程的判别式
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值
（ⅱ）若，则或
若，，
当时，，当时，，所以无极值
若，，，也无极值
> （ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
的极值之和为
22．
**A解：**
（Ⅰ）证明：连结
因为与⊙相切于点，所以
因为是⊙的弦的中点，所以
于是，由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得
由圆心在的内部，可知
所以
**B解：**
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。
（Ⅰ），，由得
所以
即为⊙的直角坐标方程。
同理为⊙的直角坐标方程。
（Ⅱ）由
解得
即⊙，⊙交于点和过交点的直线的直角坐标方程为
**C解：**
（Ⅰ）令，则
．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和
所以的解集为
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）**
**数学（理科）试卷**
**一、选择题**
（1）复数的值是
（A）0 （B）1 （C）-1 （D）1
（2）函数f（x）=1+log~2~x与g（x）=2^-x+1^在同一直角坐标系下的图象大致是
（3）
（A）0 （B）1 （C） （D）
（4）如图，*ABCD*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~为正方体，下面结论错误的是
（A）*BD*∥平面*CB*~1~*D*~1~
（B）*AC*~1~⊥*BD*
（C）*AC*~1~⊥平面*CB*~1~*D*~1~
（D）异面直线*AD*与*CB*~1~角为60°
（5）如果双曲线上一点*P*到双曲线右焦点的距离是2，那么点*P*到*y*轴的距离是
（A） （B） （C） （D）
（6）设球*O*的半径是1，*A*、*B*、*C*是球面上三点，已知*A*到*B*、*C*两点的球面距离都是，且三面角*B*-*OA*-*C*的大小为，则从*A*点沿球面经*B*、*C*两点再回到*A*点的最短距离是
（A） （B） （C） （D）
（7）设*A*（*a*，1），*B*（2，*b*），*C*（4，5），为坐标平面上三点，*O*为坐标原点，若上的投影相同，则*a*与*b*满足的关系式为
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点*A*、*B*，则\|*AB*\|等于
（A）3 （B）4 （C） （D）
（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为
（A）36万元 （B）31.2万元
（C）30.4万元 （D）24万元
（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
（A）288个 （B）240个
（C）144个 （D）126个
（11）如图，l~1~、*l*~2~、*l*~3~是同一平面内的三条平行直线，*l*~1~与*l*~2~间的距离是1， *l*~2~与*l*~3~间的距离是2，正三角形*ABC*的三顶点分别在*l*~1~、*l*~2~、*l*~3~上，则△*ABC*的边长是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知一组抛物线，其中*a*为2，4，6，8中任取的一个数，*b*为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线*x*=1交点处的切线相互平行的概率是
（A） （B） （C） （D）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。**
（13）若函数f（x）=e^-（m-u）2^ （e是自然对数的底数）的最大值是m，且f（x）是偶函数，则m+µ= [ ]{.underline} 。
（14）如图，在正三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC~1~与侧面ACC~1~A~1~所成的角是 [ ]{.underline} 。
（15）已知⊙O的方程是x^2^+y^2^-2=0， ⊙O'的方程是x^2^+y^2^-8x+10=0，由动点P向⊙O和⊙O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 [ ]{.underline} 。
（16）下面有五个命题：
①函数y=sin^4^x-cos^4^x的最小正周期是。
②终边在y轴上的角的集合是{a\|a=\|。
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点。
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
（17）（本小题满分12分）
已知\<\<\<，
（Ⅰ）求的值。
（Ⅱ）求。
（18）（本小题满分12分）
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验。求至少有1件是合格品的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收。求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率。
（19）（本小题满分12分）
如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°。
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
（20）（本小题满分12分）
设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
（21）暂缺
（22）（本小题满分14分）
设函数。
（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞
（Ⅲ）是否存在，使得an＜＜恒成立?若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由。
| 1 | |
2011年考研数学试题（数学一）
**一、选择题**
1. 曲线的拐点是（ ）
（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0）
【**答案**】【**考点分析**】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【**解析**】由可知分别是的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知，
，，，故（3，0）是一拐点。
2. 设数列单调减少，，无界，则幂级数的收敛域为（ ） （A） (-1，1\] （B） \[-1，1) （C） \[0，2) （D）(0，2\]
【**答案**】【**考点分析**】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【**解析**】无界，说明幂级数的收敛半径；
单调减少，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径。
因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为。又由于时幂级数收敛，时幂级数发散。可知收敛域为。
3. 设 函数具有二阶连续导数，且，，则函数
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A） (B)
\(C\) (D)
【**答案**】【**考点分析**】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【**解析**】由知，
，
所以，，
要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需
，
所以有
4、设，则的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
【**答案**】
【**考点分析**】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
【**解析**】时，，因此
，故选（B）
5\. 设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵.记,,则( )
（A） （B） （C） （D）
【**答案**】【**考点分析**】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。
【**解析**】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D）
6、设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则基础解系可为（ ）
\(A\) (B) (C) (D)
【**答案**】【**考点分析**】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
【**解析**】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又
，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（D）
7、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是( )
（A） （B）
（C） （D）
【**答案**】【**考点分析**】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。
【**解析**】检验概率密度的性质：；
。可知为概率密度，故选（）。
8、设随机变量与相互独立，且与存在，记,，则（ ）
\(A\) (B) (C) (D)
【**答案**】【**考点分析**】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量进行处理，有一定的灵活性。
【**解析**】由于
可知
故应选（B）
**二、填空题**
9、曲线的弧长= [ ]{.underline}
【**答案**】 【**考点分析**】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
【**解析**】
10、微分方程满足条件的解为 [ ]{.underline}
【**答案**】
【**考点分析**】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。
【**解析**】原方程的通解为
由，得，故所求解为
11、设函数，则 [ ]{.underline}
【**答案**】
【**考点分析**】本题考查偏导数的计算。
【**解析**】。故。
12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 [ ]{.underline}
【**答案**】
【**考点分析**】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。
【**解析**】曲线的参数方程为，其中从到。因此
13、若二次曲面的方程为，经正交变换化为，则 [ ]{.underline}
【**答案**】
【**考点分析**】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出。
【**解析**】本题等价于将二次型经正交变换后化为了。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为。
该二次型的矩阵为，可知，因此。
14、设二维随机变量服从，则 [ ]{.underline}
【**答案**】
**【考点分析】：**本题考查二维正态分布的性质。
**【解析】：**由于，由二维正态分布的性质可知随机变量独立。因此。
由于服从，可知，则
。
**三、解答题**
15、（本题满分10分）求极限
【**答案**】
**【考点分析】：**本题考查极限的计算，属于形式的极限。计算时先按未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
**【解析】：**
16、（本题满分9分）设，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，求
【**答案**】
**【考点分析】：**本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。
【**解析**】：
由于在处取得极值，可知。
故
17、（本题满分10分）求方程不同实根的个数，其中为参数
【**答案**】时，方程只有一个实根
时，方程有两个实根
**【考点分析】：**本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。
【**解析**】：令，则，，
1. 当时，，在单调递减，故此时的图像与轴与只有一个交点，也即方程只有一个实根
2. 时，在和上都有，所以在和是严格的单调递减，又，故的图像在和与轴均无交点
3. 时，时，，在上单调增加，又知，在上只有一个实根，又或都有，在或都单调减，又，，所以在与轴无交点，在上与轴有一个交点
综上所述：时，方程只有一个实根
时，方程有两个实根
18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数，都有
（2）设，证明数列收敛
**【考点分析】：**本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。
【**解析**】：（1）令，则原不等式可化为。
先证明：
令。由于，可知在上单调递增。又由于，因此当时，。也即。
再证明：
令。由于，可知在上单调递增。由于，因此当时，。也即。
因此，我们证明了。再令由于，即可得到所需证明的不等式。
（2），由不等式可知：数列单调递减。
又由不等式可知：
。
因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列收敛。
19、（本题满分11分）已知函数具有二阶连续偏导数，且，，其中，计算二重积分
【**答案**】：
**【考点分析】：**本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。
【**解析**】：将二重积分转化为累次积分可得
首先考虑，注意这是是把变量看做常数的，故有
由易知。
故。
对该积分交换积分次序可得：
再考虑积分，注意这里是把变量看做常数的，故有
因此
20、（本题满分11分）不能由
线性表出。①求；②将由线性表出。
【**答案**】：①；②
**【考点分析】：**本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。
【**解析**】：① 由于不能由表示
可知，解得
②本题等价于求三阶矩阵使得
可知
计算可得
因此
21、（本题满分11分）为三阶实矩阵，，且
（1）求的特征值与特征向量（2）求
【**答案**】：（1）的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为，，
（2）
**【考点分析】：**实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
【**解析**】：（1）
可知：1，-1均为的特征值，与分别为它们的特征向量
，可知0也是的特征值
而0的特征向量与，正交
设为0的特征向量
有 得
的特征值分别为1，-1，0
对应的特征向量分别为，，
（2）
其中，
故
22\. （本题满分11分）
--- ----- -----
X 0 1
P 1/3 2/3
--- ----- -----
--- ----- ----- -----
Y -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
--- ----- ----- -----
求：（1）的分布；
（2）的分布；
（3）.
【**答案**】：（1）
+----+-----+-----+
| X | 0 | 1 |
| | | |
| Y | | |
+----+-----+-----+
| -1 | 0 | 1/3 |
+----+-----+-----+
| 0 | 1/3 | 0 |
+----+-----+-----+
| 1 | 0 | 1/3 |
+----+-----+-----+
（2）
--- ----- ----- -----
-1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
--- ----- ----- -----
（3）
**【考点分析】：**本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。
**【解析】：**（1）由于，因此。
故，因此
再由可知
同样，由可知
这样，我们就可以写出的联合分布如下：
-- -- -- --
-- -- -- --
（2）可能的取值有，，
其中，，
则有。
因此，的分布律为
--- ----- ----- -----
-1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
--- ----- ----- -----
（3），，
故
23、（本题满分11分）设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，和分别表示样本均值和样本方差，
（1）求参数的最大似然估计
（2）计算和
【**答案**】：（1）（2）
**【考点分析】：**本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求的最大似然估计时，最重要的是要将看作一个整体。在求的数学期望和方差时，则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。
【**解析**】：
（1）似然函数
则
令可得的最大似然估计值，最大似然估计量
（2）由随机变量数字特征的计算公式可得
由于，由正态分布的性质可知。因此，由的性质可知，因此，故。
| 1 | |
**图示法解应用题**
1. 一排30个座位，其中有些座位已经有人，小明无论坐在哪一个座位上，旁边都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人已经就座？
2. 小初、小美、小英三个人分糖块。小美比小英多4块，小初比小美多3块。已知糖块总数是71块，那么每人各分到多少块？
3. 小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分；若买6本，就差1角。问小健有多少钱？
4、妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁。问小铃和妈妈各多少岁？
| 1 | |
**化学试题**
**可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 Al27 Cl35.5 K 39 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Br 80 Ag108 Il27**
**单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。每小题只有一个选项符合题意。**
1.打赢蓝天保卫战，提高空气质量。下列物质不属于空气污染物的是
A. PM2. 5
B. O~2~
C. SO~2~
D. NO
【答案】B
【解析】
【详解】A．PM2.5指环境空气中空气动力学当量直径小于等于2.5微米颗粒物，PM2.5粒径小，面积大，活性强，易附带有毒、有害物质，且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响大，其在空气中含量浓度越高，就代表空气污染越严重，PM2.5属于空气污染物，A不选；
B．O~2~是空气的主要成分之一，是人类维持生命不可缺少的物质，不属于空气污染物，B选；
C．SO~2~引起的典型环境问题是形成硫酸型酸雨，SO~2~属于空气污染物，C不选；
D．NO引起的典型环境问题有：硝酸型酸雨、光化学烟雾、破坏O~3~层等，NO属于空气污染物，D不选；
答案选B。
2.反应可用于氯气管道的检漏。下列表示相关微粒的化学用语正确的是
A. 中子数为9的氮原子：
B. N~2~分子的电子式：
C. Cl~2~分子的结构式：Cl---Cl
D. Cl^-^的结构示意图：
【答案】C
【解析】
【详解】A．N原子的质子数为7，中子数为9的氮原子的质量数为7+9=16，该氮原子表示为，A错误；
B．N~2~分子中两个N原子间形成3对共用电子对，N~2~分子的电子式为，B错误；
C．Cl~2~分子中两个Cl原子间形成1对共用电子对，Cl~2~分子的结构式为Cl---Cl，C正确；
D．Cl^-^的核电荷数为17，核外有18个电子，Cl^-^的结构示意图为，D错误；
答案选C。
3.下列有关物质的性质与用途具有对应关系的是
A. 铝的金属活泼性强，可用于制作铝金属制品
B. 氧化铝熔点高，可用作电解冶炼铝的原料
C. 氢氧化铝受热分解，可用于中和过多的胃酸
D. 明矾溶于水并水解形成胶体，可用于净水
【答案】D
【解析】
【详解】A．铝在空气中可以与氧气反应生成致密氧化铝，致密氧化铝包覆在铝表面阻止铝进一步反应，铝具有延展性，故铝可用于制作铝金属制品，A错误；
B．氧化铝为离子化合物，可用作电解冶炼铝的原料，B错误；
C．氢氧化铝为两性氢氧化物，可以用于中和过多的胃酸，C错误；
D．明矾溶于水后电离出的铝离子水解生成氢氧化铝胶体，氢氧化铝胶体能吸附水中的悬浮物，用于净水，D正确；
故选D。
4.常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是
A. 氨水溶液：Na^+^、K^+^、OH^-^、NO
B. 盐酸溶液：Na^+^、K^+^、SO、SiO
C. KMnO~4~溶液：NH、Na^+^、NO、I^-^
D. AgNO~3~溶液：NH、Mg^2+^、Cl^-^、SO
【答案】A
【解析】
【详解】A．在0.1mol/L氨水中，四种离子可以大量共存，A选；
B．在0.1mol/L盐酸中含有大量氢离子，四种离子中硅酸根可以与氢离子反应生成硅酸沉淀，故不能共存，B不选；
C．具有强氧化性，可以将碘离子氧化成碘单质，故不能共存，C不选；
D．在0.1mol/L硝酸银溶液中，银离子可以与氯离子、硫酸根离子反应生成氯化银、硫酸银沉淀，不能共存，D不选；
故选A。
5.实验室以CaCO~3~为原料，制备CO~2~并获得CaCl~2~﹒6H~2~O晶体。下列图示装置和原理不能达到实验目的的是
A. 制备CO~2~
B. 收集CO~2~
C. 滤去CaCO~3~
D. 制得CaCl~2~﹒6H~2~O
【答案】D
【解析】
【详解】A．碳酸钙盛放在锥形瓶中，盐酸盛放在分液漏斗中，打开分液漏斗活塞，盐酸与碳酸钙反应生成氯化钙、二氧化碳和水，故A正确；
B．二氧化碳密度比空气大，用向上排空气法收集二氧化碳气体，故B正确；
C．加入的盐酸与碳酸钙反应后，部分碳酸钙未反应完，碳酸钙是难溶物，因此用过滤的方法分离，故C正确；
D．CaCl~2~∙6H~2~O易失去结晶水，因此不能通过加热蒸发皿得到，可由氯化钙的热饱和溶液冷却结晶析出六水氯化钙结晶物，故D错误。
综上所述，答案为D。
6.下列有关化学反应叙述正确的是
A. 室温下，Na在空气中反应生成Na~2~O~2~
B. 室温下，Al与4.0 mol﹒L^-1^NaOH溶液反应生成NaAlO~2~
C. 室温下，Cu与浓HNO~3~反应放出NO气体
D. 室温下，Fe与浓H~2~SO~4~反应生成FeSO~4~
【答案】B
【解析】
【详解】A．室温下，钠与空气中氧气反应生成氧化钠，故A错误；
B．室温下，铝与NaOH溶液反应生成偏铝酸钠和氢气，故B正确；
C．室温下，铜与浓硝酸反应生成二氧化氮气体，故C错误；
D．室温下，铁在浓硫酸中发生钝化，故D错误。
综上所述，答案为B。
7.下列指定反应的离子方程式正确的是
A. Cl~2~通入水中制氯水：
B. NO~2~通入水中制硝酸：
C. NaAlO~2~溶液中通入过量CO~2~：
D. AgNO~3~溶液中加入过量浓氨水：
【答案】C
【解析】
【详解】A.次氯酸为弱酸，书写离子方程式时应以分子形式体现，正确的是Cl~2~＋H~2~OH^＋^＋Cl^－^＋HClO，故A错误；
B.NO~2~与H~2~O反应：3NO~2~＋H~2~O=2HNO~3~＋NO，离子方程式为3NO~2~＋H~2~O=2H^＋^＋2＋NO，故B错误；
C.碳酸的酸性强于偏铝酸，因此NaAlO~2~溶液通入过量的CO~2~，发生的离子方程式为＋CO~2~＋2H~2~O=Al(OH)~3~↓＋，故C正确；
D.AgOH能与过量的NH~3~·H~2~O反应生成\[Ag(NH~3~)~2~\]OH，故D错误；
答案为C。
【点睛】本题应注意"量"，像选项C中若不注意CO~2~是过量的，往往产物写成，还有选项D，AgOH能溶于氨水中，生成银氨溶液。
8.反应可用于纯硅的制备。下列有关该反应的说法正确的是
A. 该反应 、
B. 该反应的平衡常数
C. 高温下反应每生成1 mol Si需消耗
D 用E表示键能，该反应
【答案】B
【解析】
【详解】A．SiCl~4~、H~2~、HCl为气体，且反应前气体系数之和小于反应后气体系数之和，因此该反应为熵增，即△*S*\>0，故A错误；
B．根据化学平衡常数的定义，该反应的平衡常数K=,故B正确；
C.题中说的是高温，不是标准状况下，因此不能直接用22.4L·mol^－1^计算，故C错误；
D．△H=反应物键能总和－生成物键能总和，即△H=4E(Si－Cl)＋2E(H－H)－4E(H－Cl) －2E(Si－Si)，故D错误；
答案为B。
**阅读下列资料，完成9\~10题**
**海水晒盐后精制得到NaCl，氯碱工业电解饱和NaCl溶液得到Cl~2~和NaOH，以NaCl、NH~3~、CO~2~等为原料可得到 NaHCO~3~；向海水晒盐得到的卤水中通Cl~2~可制溴；从海水中还能提取镁。**
9.下列关于Na、Mg、Cl、Br元素及其化合物的说法正确的是
A. NaOH的碱性比Mg(OH)~2~的强
B. Cl~2~得到电子的能力比Br~2~的弱
C. 原子半径r:
D. 原子的最外层电子数n:
【答案】A
【解析】
【详解】A．同周期自左至右金属性减弱，所以金属性Na＞Mg，则碱性NaOH＞Mg(OH)~2~，故A正确；
B．同主族元素自上而下非金属性减弱，所以非金属性Cl＞Br，所以Cl~2~得电子的能力比Br~2~强，故B错误；
C．电子层数越多原子半径越大，电子层数相同，核电荷数越小原子半径越大，所以原子半径：*r*(Br)＞*r*(Na)＞*r*(Mg)＞*r*(Cl)，故C错误；
D．Cl和Br为同主族元素，最外层电子数相等，故D错误。
综上所述，答案为A。
10.下列选项所示的物质间转化均能实现的是
A. (aq)(g)漂白粉(s)
B. (aq)(s)(s)
C. (aq)(aq)(aq)
D. (s)(aq)(s)
【答案】C
【解析】
【详解】A．石灰水中Ca(OH)~2~浓度太小，一般用氯气和石灰乳反应制取漂白粉，故A错误；
B．碳酸的酸性弱于盐酸，所以二氧化碳与氯化钠溶液不反应，故B错误；
C．氧化性Cl~2~＞Br~2~＞I~2~，所以氯气可以氧化NaBr得到溴单质，溴单质可以氧化碘化钠得到碘单质，故C正确；
D．电解氯化镁溶液无法得到镁单质，阳极氯离子放电生成氯气，阴极水电离出的氢离子放电产生氢气，同时产生大量氢氧根，与镁离子产生沉淀，故D错误。
综上所述，答案为C。
**不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。每小题只有一个或两个选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时，该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得0分。**
11.将金属M连接在钢铁设施表面，可减缓水体中钢铁设施的腐蚀。在题图所示的情境中，下列有关说法正确的是
A. 阴极的电极反应式为
B. 金属M的活动性比Fe的活动性弱
C. 钢铁设施表面因积累大量电子而被保护
D. 钢铁设施在河水中的腐蚀速率比在海水中的快
【答案】C
【解析】
【分析】
该装置为原电池原理的金属防护措施，为牺牲阳极的阴极保护法，金属M作负极，钢铁设备作正极，据此分析解答。
【详解】A.阴极的钢铁设施实际作原电池的正极，正极金属被保护不失电子，故A错误；
B.阳极金属M实际为原电池装置的负极，电子流出，原电池中负极金属比正极活泼，因此M活动性比Fe的活动性强，故B错误；
C.金属M失电子，电子经导线流入钢铁设备，从而使钢铁设施表面积累大量电子，自身金属不再失电子从而被保护，故C正确；
D.海水中的离子浓度大于河水中的离子浓度，离子浓度越大，溶液的导电性越强，因此钢铁设施在海水中的腐蚀速率比在河水中快，故D错误；
故选：C。
12.化合物Z是合成某种抗结核候选药物的重要中间体，可由下列反应制得。
下列有关化合物X、Y和Z的说法正确的是
A. X分子中不含手性碳原子
B. Y分子中的碳原子一定处于同一平面
C. Z在浓硫酸催化下加热可发生消去反应
D. X、Z分别在过量NaOH溶液中加热，均能生成丙三醇
【答案】CD
【解析】
【详解】A .X中红色碳原子为手性碳原子，故A说法错误；
B.中与氧原子相连接的碳原子之间化学键为单键，可以旋转，因此左侧甲基上碳原子不一定与苯环以及右侧碳原子共平面，故B说法错误；
C.中与羟基相连接的碳原子邻位碳原子上有氢原子，在浓硫酸作催化并加热条件下，能够发生消去反应，故C说法正确；
D.中含有卤素原子，在过量氢氧化钠溶液并加热条件下能够发生取代反应生成丙三醇，在氢氧化钠溶液作用下先发生水解反应生成，然后在氢氧化钠溶液并加热条件下能够发生取代反应生成丙三醇，故D说法正确；
综上所述，说法正确的是：CD。
【点睛】醇类和卤代烃若发生消去反应，则醇分子中羟基(-OH)或卤代烃中卤原子相连的碳原子必须有相邻的碳原子，且此相邻的碳原子上还必须连有氢原子时，才可发生消去反应。
13.根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是
------ -------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------
选项 实验操作和现象 结论
A 向淀粉溶液中加适量20%H~2~SO~4~溶液，加热，冷却后加NaOH溶液至中性，再滴加少量碘水，溶液变蓝 淀粉未水解
B 室温下，向HCl溶液中加入少量镁粉，产生大量气泡，测得溶液温度上升 镁与盐酸反应放热
C 室温下，向浓度均为的BaCl~2~和CaCl~2~混合溶液中加入Na~2~CO~3~溶液，出现白色沉淀 白色沉淀是BaCO~3~
D 向H~2~O~2~溶液中滴加KMnO~4~溶液，溶液褪色 H~2~O~2~具有氧化性
------ -------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】
【详解】A .加入碘水后，溶液呈蓝色，只能说明溶液中含有淀粉，并不能说明淀粉是否发生了水解反应，故A错误；
B.加入盐酸后，产生大量气泡，说明镁与盐酸发生化学反应，此时溶液温度上升，可证明镁与盐酸反应放热，故B正确；
C.BaCl~2~、CaCl~2~均能与Na~2~CO~3~反应，反应产生了白色沉淀，沉淀可能为BaCO~3~或CaCO~3~或二者混合物，故C错误；
D.向H~2~O~2~溶液中加入高锰酸钾后，发生化学反应2KMnO~4~+3H~2~O~2~=2MnO~2~+2KOH+2H~2~O+3O~2~↑等(中性条件)，该反应中H~2~O~2~被氧化，体现出还原性，故D错误；
综上所述，故答案为：B。
【点睛】淀粉在稀硫酸作催化剂下的水解程度确定试验较为典型，一般分三种考法：①淀粉未发生水解：向充分反应后的溶液中加入碘单质，溶液变蓝，然后加入过量氢氧化钠溶液使溶液呈碱性，然后加入新制氢氧化铜溶液并加热，未生成砖红色沉淀；②淀粉部分发生水解：向充分反应后的溶液中加入碘单质，溶液变蓝，然后加入过量氢氧化钠溶液使溶液呈碱性，然后加入新制氢氧化铜溶液并加热，生成砖红色沉淀；③向充分反应后的溶液中加入碘单质，溶液不变蓝，然后加入过量氢氧化钠溶液使溶液呈碱性，然后加入新制氢氧化铜溶液并加热，生成砖红色沉淀。此实验中需要注意：①碘单质需在加入氢氧化钠溶液之前加入，否则氢氧化钠与碘单质反应，不能完成淀粉的检验；②酸性水解后的溶液需要加入氢氧化钠溶液碱化，否则无法完成葡萄糖的检验；③利用新制氢氧化铜溶液或银氨溶液检验葡萄糖试验中，均需要加热，银镜反应一般为水浴加热。
14.室温下，将两种浓度均为的溶液等体积混合，若溶液混合引起的体积变化可忽略，下列各混合溶液中微粒物质的量浓度关系正确的是
A. 混合溶液(pH=10.30)：
B. 氨水-NH~4~Cl混合溶液(pH=9.25)：
C. 混合溶液(pH=4.76):
D. 混合溶液(pH=1.68，H~2~C~2~O~4~为二元弱酸):
【答案】AD
【解析】
【详解】A. NaHCO~3~水溶液呈碱性，说明的水解程度大于其电离程度，等浓度的NaHCO~3~和Na~2~CO~3~水解关系为：，溶液中剩余微粒浓度关系为：，和水解程度微弱，生成的OH^-^浓度较低，由NaHCO~3~和Na~2~CO~3~化学式可知，该混合溶液中Na^+^浓度最大，则混合溶液中微粒浓度大小关系为：，故A正确；
B.该混合溶液中电荷守恒为：，物料守恒为：，两式联立消去*c*(Cl^-^)可得：，故B错误；
C.若不考虑溶液中相关微粒行为，则*c*(CH~3~COOH)=*c*(CH~3~COO^-^)=*c*(Na^+^)，该溶液呈酸性，说明CH~3~COOH电离程度大于CH~3~COONa水解程度，则溶液中微粒浓度关系为：*c*(CH~3~COO^-^)\>*c*(Na^+^)\>*c*(CH~3~COOH)\>*c*(H^+^)，故C错误；
D.该混合溶液中物料守恒为：，电荷守恒为：，两式相加可得：，故D正确；
综上所述，浓度关系正确的是：AD。
15.CH~4~与CO~2~重整生成H~2~和CO的过程中主要发生下列反应
在恒压、反应物起始物质的量比条件下，CH~4~和CO~2~的平衡转化率随温度变化的曲线如图所示。下列有关说法正确的是
A. 升高温度、增大压强均有利于提高CH~4~的平衡转化率
B. 曲线B表示CH~4~的平衡转化率随温度的变化
C. 相同条件下，改用高效催化剂能使曲线A和曲线B相重叠
D. 恒压、800K、n(CH~4~)：n(CO~2~)=1:1条件下，反应至CH~4~转化率达到X点的值，改变除温度外的特定条件继续反应，CH~4~转化率能达到Y点的值
【答案】BD
【解析】
【详解】A．甲烷和二氧化碳反应是吸热反应，升高温度，平衡向吸热反应即正向移动，甲烷转化率增大，甲烷和二氧化碳反应是体积增大的反应，增大压强，平衡逆向移动，甲烷转化率减小，故A错误；
B．根据两个反应得到总反应为CH~4~(g)＋2CO~2~(g)  H~2~(g)＋3CO(g) ＋H~2~O (g)，加入的CH~4~与CO~2~物质的量相等，CO~2~消耗量大于CH~4~，因此CO~2~的转化率大于CH~4~，因此曲线B表示CH~4~的平衡转化率随温度变化，故B正确；
C．使用高效催化剂，只能提高反应速率，但不能改变平衡转化率，故C错误；
D．800K时甲烷的转化率为X点，可以通过改变二氧化碳的量来提高甲烷的转化率达到Y点的值，故D正确。
综上所述，答案为BD。
16.吸收工厂烟气中的SO~2~，能有效减少SO~2~对空气的污染。氨水、ZnO水悬浊液吸收烟气中SO~2~后经O~2~催化氧化，可得到硫酸盐。
已知：室温下，ZnSO~3~微溶于水，Zn(HSO~3~)~2~易溶于水；溶液中H~2~SO~3~、HSO~3~^-^、SO~3~^2-^的物质的量分数随pH的分布如图-1所示。
(1)氨水吸收SO~2~。向氨水中通入少量SO~2~，主要反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；当通入SO~2~至溶液pH=6时，溶液中浓度最大的阴离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
(2)ZnO水悬浊液吸收SO~2~。向ZnO水悬浊液中匀速缓慢通入SO~2~，在开始吸收的40mim内，SO~2~吸收率、溶液pH均经历了从几乎不变到迅速降低的变化(见图-2)。溶液pH几乎不变阶段，主要产物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；SO~2~吸收率迅速降低阶段，主要反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)O~2~催化氧化。其他条件相同时，调节吸收SO~2~得到溶液的pH在4.5\~6.5范围内，pH越低SO生成速率越大，其主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；随着氧化的进行，溶液的pH将\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"增大"、"减小"或"不变")。
【答案】 (1). 或 (2). HSO (3). ZnSO~3~ (4). 或 (5). 随着pH降低，HSO浓度增大 (6). 减小
【解析】
【分析】
向氨水中通入少量的SO~2~，反应生成亚硫酸铵，结合图像分析pH=6时溶液中浓度最大的阴离子；通过分析ZnO吸收SO~2~后产物的溶解性判断吸收率变化的原因；通过分析与氧气反应的生成物，分析溶液pH的变化情况。
【详解】(1)向氨水中通入少量SO~2~时，SO~2~与氨水反应生成亚硫酸铵，反应的离子方程式为2NH~3~+H~2~O+SO~2~=2+（或2NH~3~·H~2~O +SO~2~=2++H~2~O）；根据图-1所示，pH=6时，溶液中不含有亚硫酸，仅含有和，根据微粒物质的量分数曲线可以看出溶液中阴离子浓度最大的是；
(2)反应开始时，悬浊液中的ZnO大量吸收SO~2~，生成微溶于水的ZnSO~3~，此时溶液pH几乎不变；一旦ZnO完全反应生成ZnSO~3~后，ZnSO~3~继续吸收SO~2~生成易溶于水的Zn(HSO~3~)~2~，此时溶液pH逐渐变小，SO~2~的吸收率逐渐降低，这一过程的离子方程式为ZnSO~3~+SO~2~+H~2~O=Zn^2+^+2（或ZnO+2SO~2~+H~2~O=Zn^2+^+2）
(3)可以经氧气氧化生成，这一过程中需要调节溶液pH在4.5\~6.5的范围内，pH越低，溶液中的的浓度越大，使得催化氧化过程中反应速率越快；随着反应的不断进行，大量的反应生成，反应的离子方程式为2+O~2~=2+2H^+^，随着反应的不断进行，有大量的氢离子生成，导致氢离子浓度增大，溶液pH减小。
17.化合物F是合成某种抗肿瘤药物的重要中间体，其合成路线如下：
(1)A中的含氧官能团名称为硝基、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C→D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)C的一种同分异构体同时满足下列条件，写出该同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_。
①能与FeCl~3~溶液发生显色反应
②能发生水解反应，水解产物之一是α-氨基酸，另一产物分子中不同化学环境的氢原子数目比为1:1且含苯环。
(5)写出以CH~3~CH~2~CHO和为原料制备的合成路线流程图(无机试剂和有机溶剂任用，合成路线流程图示例见本题题干)\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 醛基 (2). (酚)羟基 (3).  (4). 取代反应 (5).  (6). 
【解析】
【分析】
本题从官能团的性质进行分析，利用对比反应前后有机物不同判断反应类型；
【详解】(1)根据A的结构简式，A中含氧官能团有硝基、酚羟基、醛基；
(2)对比A和C的结构简式，可推出A→B：CH~3~I中的－CH~3~取代酚羟基上的H，即B的结构简式为；
(3)对比C和D的结构简式，Br原子取代－CH~2~OH中的羟基位置，该反应类型为取代反应；
(4)①能与FeCl~3~溶液发生显色反应，说明含有酚羟基；②能发生水解反应，说明含有酯基或肽键，水解产物之一是α－氨基酸，该有机物中含有""，另一产物分子中不同化学环境的氢原子数目之比为1：1，且含有苯环，说明是对称结构，综上所述，符合条件的是；
(5)生成,根据E生成F，应是与H~2~O~2~发生反应得到，按照D→E，应由CH~3~CH~2~CH~2~Br与反应得到，CH~3~CH~2~CHO与H~2~发生加成反应生成CH~3~CH~2~CH~2~OH，CH~3~CH~2~CH~2~OH在PBr~3~作用下生成CH~3~CH~2~CH~2~Br，合成路线是CH~3~CH~2~CHOCH~3~CH~2~CH~2~OHCH~3~CH~2~CH~2~Br。
【点睛】有机物的推断和合成中，利用官能团的性质以及反应条件下进行分析和推断，同时应注意利用对比的方法找出断键和生成键的部位，从而确定发生的反应类型。
18.次氯酸钠溶液和二氯异氰尿酸钠(C~3~N~3~O~3~Cl~2~Na)都是常用的杀菌消毒剂。 NaClO可用于制备二氯异氰尿酸钠.
(1)NaClO溶液可由低温下将Cl~2~缓慢通入NaOH溶液中而制得。制备 NaClO的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；用于环境杀菌消毒的NaClO溶液须稀释并及时使用，若在空气中暴露时间过长且见光，将会导致消毒作用减弱，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)二氯异氰尿酸钠优质品要求有效氯大于60%。通过下列实验检测二氯异氰尿酸钠样品是否达到优质品标准。实验检测原理为
准确称取1.1200g样品，用容量瓶配成250.0mL溶液；取25.00mL上述溶液于碘量瓶中，加入适量稀硫酸和过量KI溶液，密封在暗处静置5min；用Na~2~S~2~O~3~标准溶液滴定至溶液呈微黄色，加入淀粉指示剂继续滴定至终点，消耗Na~2~S~2~O~3~溶液20.00mL。
①通过计算判断该样品是否为优质品\_\_\_\_\_\_\_。(写出计算过程， )
②若在检测中加入稀硫酸的量过少，将导致样品的有效氯测定值\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"偏高"或"偏低")。
【答案】 (1). (2). NaClO溶液吸收空气中的CO~2~后产生HClO，HClO见光分解 (3).
根据物质转换和电子得失守恒关系：
得
氯元素的质量:
该样品的有效氯为：
该样品的有效氯大于60%，故该样品为优质品 (4). 偏低
【解析】
【详解】(1) 由题意可知，氯气通入氢氧化钠中产生次氯酸钠，同时产生氯化钠，反应的离子方程式为：；次氯酸钠溶液长期暴露在空气中会吸收空气中的二氧化碳气体，因次氯酸酸性比碳酸弱，因此次氯酸钠可以与二氧化碳在水中反应产生HClO，HClO具有不稳定性，在受热或见光条件下会发生分解反应，产生HCl和O~2~，从而是次氯酸钠失效，故答案为：；NaClO溶液吸收空气中的CO~2~后产生HClO，HClO见光分解；
\(2\) ①由题中反应可知，在酸性条件产生HClO，HClO氧化碘离子产生碘单质，碘单质再用硫代硫酸钠滴定，结合反应转化确定物质之间的关系为：， ，根据物质转换和电子得失守恒关系：得n(Cl)=0.5=，
氯元素的质量：m(Cl)= =0.03550g，该样品中的有效氯为： =63.39%，
该样品中的有效氯大于60%，故该样品为优质品
故答案为：n(S~2~O)=，根据物质转换和电子得失守恒关系：，得n(Cl)=0.5=，
氯元素的质量：m(Cl)= =0.03550g，该样品中的有效氯为： =63.39%，
该样品中的有效氯大于60%，故该样品为优质品
②如果硫酸的用量过少，则导致反应不能充分进行，产生的HClO的量偏低，最终导致实验测得的有效氯含量会偏低，
故答案为：偏低；
19.实验室由炼钢污泥(简称铁泥，主要成份为铁的氧化物)制备软磁性材料α-Fe~2~O~3~。
其主要实验流程如下：
(1)酸浸：用一定浓度的H~2~SO~4~溶液浸取铁泥中的铁元素。若其他条件不变，实验中采取下列措施能提高铁元素浸出率的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填序号)。
A．适当升高酸浸温度
B．适当加快搅拌速度
C．适当缩短酸浸时间
(2)还原：向"酸浸"后的滤液中加入过量铁粉，使Fe^3+^完全转化为Fe^2+^。"还原"过程中除生成Fe^2+^外，还会生成\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；检验Fe^3+^是否还原完全的实验操作是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)除杂：向"还原"后的滤液中加入NH~4~F溶液，使Ca^2+^转化为CaF~2~沉淀除去。若溶液的pH偏低、将会导致CaF~2~沉淀不完全，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\[，\]。
(4)沉铁：将提纯后的FeSO~4~溶液与氨水-NH~4~HCO~3~混合溶液反应，生成FeCO~3~沉淀。
①生成FeCO~3~沉淀的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②设计以FeSO~4~溶液、氨水- NH~4~HCO~3~混合溶液为原料，制备FeCO~3~实验方案：\_\_。
【FeCO~3~沉淀需"洗涤完全"，Fe(OH)~2~开始沉淀的pH=6.5】。
【答案】 (1). AB (2). H~2~ (3). 取少量清液，向其中滴加几滴KSCN溶液，观察溶液颜色是否呈血红色 (4). pH偏低形成HF，导致溶液中F^-^浓度减小，CaF~2~沉淀不完全 (5). 或 (6). 在搅拌下向FeSO~4~溶液中缓慢加入氨水-NH~4~HCO~3~混合溶液，控制溶液pH不大于6.5；静置后过滤，所得沉淀用蒸馏水洗涤2\~3次；取最后一次洗涤后的滤液，滴加盐酸酸化的BaCl~2~溶液，不出现白色沉淀
【解析】
【分析】
铁泥的主要成份为铁的氧化物，铁泥用H~2~SO~4~溶液"酸浸"得到相应硫酸盐溶液，向"酸浸"后的滤液中加入过量铁粉将Fe^3+^还原为Fe^2+^；向"还原"后的滤液中加入NH~4~F使Ca^2+^转化为CaF~2~沉淀而除去；然后进行"沉铁"生成FeCO~3~，将FeCO~3~沉淀经过系列操作制得α---Fe~2~O~3~；据此分析作答。
【详解】(1)A．适当升高酸浸温度，加快酸浸速率，能提高铁元素的浸出率，A选；
B．适当加快搅拌速率，增大铁泥与硫酸溶液的接触，加快酸浸速率，能提高铁元素的浸出率，B选；
C．适当缩短酸浸时间，铁元素的浸出率会降低，C不选；
答案选AB。
(2)为了提高铁元素的浸出率，"酸浸"过程中硫酸溶液要适当过量，故向"酸浸"后的滤液中加入过量的铁粉发生的反应有：Fe+2Fe^3+^=3Fe^2+^、Fe+2H^+^=Fe^2+^+H~2~↑，"还原"过程中除生成Fe^2+^外，还有H~2~生成；通常用KSCN溶液检验Fe^3+^，故检验Fe^3+^是否还原完全的实验操作是：取少量清液，向其中滴加几滴KSCN溶液，观察溶液颜色是否呈血红色，若不呈血红色，则Fe^3+^还原完全，若溶液呈血红色，则Fe^3+^没有还原完全，故答案为：H~2~，取少量清液，向其中滴加几滴KSCN溶液，观察溶液颜色是否呈血红色。
(3)向"还原"后的滤液中加入NH~4~F溶液，使Ca^2+^转化为CaF~2~沉淀，*K*~sp~(CaF~2~)=*c*(Ca^2+^)·*c*^2^(F^-^)，当Ca^2+^完全沉淀（某离子浓度小于1×10^-5^mol/L表明该离子沉淀完全）时，溶液中*c*(F^-^)至少为mol/L=×10^-2^mol/L；若溶液的pH偏低，即溶液中H^+^浓度较大，H^+^与F^-^形成弱酸HF，导致溶液中*c*(F^-^)减小，CaF~2~沉淀不完全，故答案为：pH偏低形成HF，导致溶液中F^-^浓度减小，CaF~2~沉淀不完全。
(4)①将提纯后的FeSO~4~溶液与氨水---NH~4~HCO~3~混合溶液反应生成FeCO~3~沉淀，生成FeCO~3~的化学方程式为FeSO~4~+NH~3~·H~2~O+NH~4~HCO~3~=FeCO~3~↓+(NH~4~)~2~SO~4~+H~2~O\[或FeSO~4~+NH~3~+NH~4~HCO~3~=FeCO~3~↓+(NH~4~)~2~SO~4~\]，离子方程式为Fe^2+^++NH~3~·H~2~O=FeCO~3~↓++H~2~O（或Fe^2+^++NH~3~=FeCO~3~↓+），答案为：Fe^2+^++NH~3~·H~2~O=FeCO~3~↓++H~2~O（或Fe^2+^++NH~3~=FeCO~3~↓+）。
②根据题意Fe(OH)~2~开始沉淀的pH=6.5，为防止产生Fe(OH)~2~沉淀，所以将FeSO~4~溶液与氨水---NH~4~HCO~3~混合溶液反应制备FeCO~3~沉淀的过程中要控制溶液的pH不大于6.5；FeCO~3~沉淀需"洗涤完全"，所以设计的实验方案中要用盐酸酸化的BaCl~2~溶液检验最后的洗涤液中不含 ；则设计的实验方案为：在搅拌下向FeSO~4~溶液中缓慢加入氨水---NH~4~HCO~3~混合溶液，控制溶液pH不大于6.5；静置后过滤，所得沉淀用蒸馏水洗涤2\~3次；取最后一次洗涤后的滤液，滴加盐酸酸化的BaCl~2~溶液，不出现白色沉淀，故答案为：在搅拌下向FeSO~4~溶液中缓慢加入氨水---NH~4~HCO~3~混合溶液，控制溶液pH不大于6.5；静置后过滤，所得沉淀用蒸馏水洗涤2\~3次；取最后一次洗涤后的滤液，滴加盐酸酸化的BaCl~2~溶液，不出现白色沉淀。
【点睛】本题的易错点是实验方案设计中的细节，需注意两点：(1)控制pH不形成Fe(OH)~2~沉淀；(2)沉淀洗涤完全的标志。
20.CO~2~/ HCOOH循环在氢能的贮存/释放、燃料电池等方面具有重要应用。
(1)CO~2~催化加氢。在密闭容器中，向含有催化剂的KHCO~3~溶液(CO~2~与KOH溶液反应制得)中通入H~2~生成HCOO^-^，其离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；其他条件不变，HCO~3~^-^转化为HCOO^-^的转化率随温度的变化如图-1所示。反应温度在40℃\~80℃范围内，HCO~3~^-^催化加氢的转化率迅速上升，其主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(2\) HCOOH燃料电池。研究 HCOOH燃料电池性能的装置如图-2所示，两电极区间用允许K^+^、H^+^通过的半透膜隔开。
①电池负极电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；放电过程中需补充的物质A为\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
②图-2所示的 HCOOH燃料电池放电的本质是通过 HCOOH与O~2~的反应，将化学能转化为电能，其反应的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(3\) HCOOH催化释氢。在催化剂作用下， HCOOH分解生成CO~2~和H~2~可能的反应机理如图-3所示。
①HCOOD催化释氢反应除生成CO~2~外，还生成\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
②研究发现：其他条件不变时，以 HCOOK溶液代替 HCOOH催化释氢的效果更佳，其具体优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). (2). 温度升高反应速率增大，温度升高催化剂的活性增强 (3). (4). H~2~SO~4~ (5). 或 (6). HD (7). 提高释放氢气的速率，提高释放出氢气的纯度
【解析】
【分析】
(1)根据元素守恒和电荷守恒书写离子方程式；从温度对反应速率的影响以及温度对催化剂的影响的角度分析。
(2)该装置为原电池装置，放电时HCOOˉ转化为被氧化，所以左侧为负极，Fe^3+^转化为Fe^2+^被还原，所以右侧为正极。
(3)HCOOH生成HCOOˉ和H^+^分别与催化剂结合，在催化剂表面HCOOˉ分解生成CO~2~和Hˉ，之后在催化剂表面Hˉ和第一步产生的H^+^反应生成H~2~。
【详解】(1)含有催化剂的KHCO~3~溶液中通入H~2~生成HCOOˉ，根据元素守恒和电荷守恒可得离子方程式为：+H~2~HCOOˉ+H~2~O；反应温度在40℃\~80℃范围内时，随温度升高，活化分子增多，反应速率加快，同时温度升高催化剂的活性增强，所以的催化加氢速率迅速上升；
(2)①左侧为负极，碱性环境中HCOOˉ失电子被氧化为，根据电荷守恒和元素守恒可得电极反应式为HCOOˉ+2OHˉ－2eˉ=== +H~2~O；电池放电过程中，钾离子移向正极，即右侧，根据图示可知右侧的阴离子为硫酸根，而随着硫酸钾不断被排除，硫酸根逐渐减少，铁离子和亚铁离子进行循环，所以需要补充硫酸根，为增强氧气的氧化性，溶液最好显酸性，则物质A为H~2~SO~4~；
②根据装置图可知电池放电的本质是HCOOH在碱性环境中被氧气氧化为，根据电子守恒和电荷守恒可得离子方程式为2HCOOH+O~2~+2OHˉ = 2+2H~2~O或2HCOOˉ+O~2~= 2；
(3)①根据分析可知HCOOD可以产生HCOOˉ和D^+^，所以最终产物为CO~2~和HD(Hˉ与D^+^结合生成)；
②HCOOK是强电解质，更容易产生HCOOˉ和K^+^，更快的产生KH，KH可以与水反应生成H~2~和KOH，生成的KOH可以吸收分解产生的CO~2~，从而使氢气更纯净，所以具体优点是：提高释放氢气的速率，提高释放出氢气的纯度。
【点睛】第3小题为本题难点，要注意理解图示的HCOOH催化分解的反应机理，首先HCOOH分解生成H^+^和HCOOˉ，然后HCOOˉ再分解成CO~2~和Hˉ，Hˉ和H^+^反应生成氢气。
21.以铁、硫酸、柠檬酸、双氧水、氨水等为原料可制备柠檬酸铁铵【(NH~4~)~3~Fe(C~6~H~5~O~7~)~2~】。
(1)Fe基态核外电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；中与Fe^2+^配位的原子是\_\_\_\_\_\_\_\_(填元素符号)。
(2)NH~3~分子中氮原子的轨道杂化类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；C、N、O元素的第一电离能由大到小的顺序为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)与NH互为等电子体的一种分子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)。
(4)柠檬酸的结构简式见图。1 mol柠檬酸分子中碳原子与氧原子形成的σ键的数目为\_\_\_\_\_\_\_\_\_mol。
【答案】 (1). 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^6^4s^2^或\[Ar\]3d^6^4s^2^ (2). O (3). sp^3^ (4). N＞O＞C (5). CH~4~或SiH~4~ (6). 7
【解析】
【分析】
(1)Fe核外有26个电子，H~2~O中O原子有孤对电子，提供孤对电子。
(2)先计算NH~3~分子中氮原子价层电子对数，同周期，从左到右，第一电离能呈增大的趋势，但第IIA族大于第IIIA族，第VA族大于第VIA族。
(3)根据价电子数Si＝C＝N^+^的关系得出互为等电子体的分子。
(4)羧基的结构是，一个羧基中有碳原子与氧原子分别形成两个σ键，一个羟基与碳原子相连形成一个σ键。
【详解】(1)Fe核外有26个电子，其基态核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^6^4s^2^或\[Ar\]3d^6^4s^2^；由于H~2~O中O原子有孤对电子，因此\[Fe(H~2~O)~6~\]^2+^中与Fe^2+^配位的原子是O；故答案为：1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^6^4s^2^或\[Ar\]3d^6^4s^2^；O。
(2)NH~3~分子中氮原子价层电子对数为，因此氮杂化类型为sp^3^，同周期，从左到右，第一电离能呈增大的趋势，但第IIA族大于第IIIA族，第VA族大于第VIA族，因此C、N、O元素的第一电离能由大到小的顺序为N＞O＞C；故答案为：sp^3^；N＞O＞C。
(3)根据价电子数Si＝C＝N^+^，得出互为等电子体的分子是CH~4~或SiH~4~；故答案为：CH~4~或SiH~4~。
(4)羧基的结构是，一个羧基中有碳原子与氧原子分别形成两个σ键，三个羧基有6个，还有一个羟基与碳原子相连形成一个σ键，因此1mol柠檬酸分子中碳原子与氧原子形成的σ键的数目为7mol；故答案为：7。
【点睛】物质结构是常考题型，主要考查电子排布式，电离能、电负性、共价键分类、杂化类型、空间构型等。
22.羟基乙酸钠易溶于热水，微溶于冷水，不溶于醇、醚等有机溶剂。制备少量羟基乙酸钠的反应为
实验步骤如下：
步骤1：如图所示装置的反应瓶中，加入40g氯乙酸、50mL水，搅拌。逐步加入40%NaOH溶液，在95℃继续搅拌反应2小时，反应过程中控制pH约为9。
步骤2：蒸出部分水至液面有薄膜，加少量热水，趁热过滤。滤液冷却至15℃，过滤得粗产品。
步骤3：粗产品溶解于适量热水中，加活性炭脱色，分离掉活性炭。
步骤4：将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中，冷却至15℃以下，结晶、过滤、干燥，得羟基乙酸钠。
(1)步骤1中，如图所示的装置中仪器A的名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；逐步加入NaOH溶液的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)步骤2中，蒸馏烧瓶中加入沸石或碎瓷片的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)步骤3中，粗产品溶解于过量水会导致产率\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"增大"或"减小")；去除活性炭的操作名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)步骤4中，将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). (回流)冷凝管 (2). 防止升温太快、控制反应体系pH (3). 防止暴沸 (4). 减小 (5). 趁热过滤 (6). 提高羟基乙酸钠的析出量(产率)
【解析】
【分析】
制备少量羟基乙酸钠的反应为，根据羟基乙酸钠易溶于热水，粗产品溶解于适量热水中，加活性炭脱色，分离掉活性炭，趁热过滤，根据羟基乙酸钠不溶于醇，将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中，冷却至15℃以下，结晶、过滤、干燥，得羟基乙酸钠。
【详解】(1)根据图中仪器得出仪器A的名称为冷凝管，根据题中信息可知制备羟基乙酸钠的反应为放热反应，逐步加入NaOH溶液的目的是防止升温太快，同时控制反应体系的pH；故答案为：(回流)冷凝管；防止升温太快，控制反应体系的pH。
(2步骤2中烧瓶中加入沸石或碎瓷片的目的是防止暴沸；故答案为：防止暴沸。
(3)粗产品溶于过量水，导致在水中溶解过多，得到的产物减少，因此导致产率减小；由于产品易溶于热水，微溶于冷水，因此去除活性炭的操作名称是趁热过滤；故答案为：减少；趁热过滤。
(4)根据信息，产品不溶于乙醇、乙醚等有机溶剂中，因此步骤4中，将去除活性炭后的溶液加到适量乙醇中的目的是降低产品的溶解度，提高羟基乙酸钠的析出量(产量)；故答案为：提高羟基乙酸钠的析出量(产量)。
【点睛】化学实验是常考题型，主要考查实验仪器、实验操作、对新的信息知识的理解。
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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**北师大版小学一年级下册数学第五单元《加与减二------图书馆》同步检测1（附答案）**
一、植树。
二、我会算。
45＋6 = 27＋9 =来源：www.bcjy123.com/tiku/
8＋55 = 78＋8 =
6＋54 = 4＋37 =
来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、小蚂蚁过桥。
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline}
四、用竖式计算。
38＋9 = 76＋8 =
五、我一天吃了多少只害虫？
1、
= （只）
2、
= （只）
六、
七、把82个苹果入在3个筐里，要使每个筐里的苹果个数都有一个数字"6"，应该怎样放呢？
**部分答案：**
一、44 57
二、51 36 63 86 60 41
三、12＋8 = 20 25＋8 = 33 35＋8 = 43 43＋8 = 51
77＋8 = 85
12＋7 = 19 25＋7 = 32 35＋7 = 42 43＋7 = 50
77＋7 = 84
四、47 84
五、1、86＋8 = 94（只） 2、70－9 = 61（只）
六、提示：本题答案不唯一。例如：能买1个书包、1个笔盒、1个足球。
七、6 16 60
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1999年普通高等学校招生全国统一考试
**数 学（广东卷）**
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
**第I卷**（选择题 60分）
> **参考公式：**
>
> 三角函数的积化和差公式
>
> 正棱台、圆台的侧面积公式
>
> 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长
>
> 台体的体积公式
>
> 其中、分别表示上、下底面积，表示高
1. **选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的**
**四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
> （A）（M∩P）∩S
>
> （B）（M∩P）∪S
>
> （C）（M∩P）∩
>
> （D）（M∩P）∪
2. 已知映射：，其中，集合集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的在B 中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是
> （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）若函数的反函数是，则等于
> （A） （B） （C） （D）
（4）函数在区间上是增函数，且 则函数在上
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值
（5）若是周期为的奇函数，则可以是
> （A） （B） （C） （D）
（6）在极坐标系中，曲线关于
> （A）直线轴对称 （B）直线轴对称
>
> （C）点中心对称 （D）极点中心对称
（7）若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面的高度为，
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
（A） （B） （C） （D）
（8）若则的值为
（A） （B）1 （C）0 （D）2
（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D）
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
（A） （B）5 （C）6
（D）
（11）若则
（A） （B） （C） （D）
（12）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元
的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，
则不同的选购方式共有
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
1999年普通高等学校招生全国统一考试
**数 学（广东卷）**
**第II卷**（非选择题 90分）
**二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。**
（13）设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂
直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的率心率是\_\_\_\_\_。
（14）在一块并排10龚的田地中，选择2龚分别种植A、B两种作物，每种
作物种植一龚，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于
6龚，则不同的选龚方法共有\_\_\_\_\_种（用数字作答）。
（15）若正数、满足则的取值范围是\_\_\_\_\_。
（16）、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，
给出四个论断：
①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一
个命题：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或**
**演算步骤。**
（17）（本小题满分10分）
解不等式
（18）（本小题满分12分）
设复数求函数的最大值以及对应的值。
（19）（本小题满分12分）
如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面∥，且面与底面所成的角为
I. 求截面的面积；
II. 求异面直线与AC之间的距离；
III. 求三棱锥的体积。
（20）（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
I. 输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率
不超过。问冷轧机至少需要安装多少对轧锟？
> （一对轧辊减薄率）
II. 已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟，所有轧辊周长均
为1600若第对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，庇点的间距为为了便于检修，请计算、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。
-------------------- --- --- --- ------
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 1600
-------------------- --- --- --- ------
（21）（本小题满分14分）
已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。
I. 求、和的表达式；
II. 计算；
III. 求的表达式，并写出其定义域；
（22）（本小题满分14分）
如图，给出定点和直线，B是直线上的动点，的角平分线交于点。求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第7课《填算式1》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第七讲 填算式（一）习题解答
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第三单元演练
一、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)
1\. 从6:15到6:30,钟表的分针旋转了 ( )。
A. 120° B. 180° C. 90° D. 360°
2\. 下面的现象属于旋转的是( )。
A. 踢毽子 B. 跳远
C. 荡秋千 D. 拍皮球
3\. 下面的现象中,不是旋转的是( )。
A. 工作中的电风扇叶片
B. 空中飞行的飞机
C. 行驶中的汽车的车轮
D. 汽车方向盘的运动
二、填空题。
1\. 收费{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}站栏杆打开和关闭的运动是( )。
2\. 从12{width="2.2222222222222223e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}:30到12:45,分针旋转了( )。
3\. 旋转作图三要素是( {width="2.361111111111111e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"} )、( )和旋转角度。
4\. 把一个图形绕某点顺时针旋转90°后,所得的图形与原来的图形形状大小( )。
三、看图填空。
{width="2.7631944444444443in" height="0.8729166666666667in"}
1\. 图形A可以看作是{width="1.875e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}由图形B绕点*O*( )旋转90°得到的。
2\. 图形C可以看作是由图形B绕{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}点*O*顺时针旋转( )得到的。
3\. 图形{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}B绕点*O*顺时{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}针旋转90{width="1.875e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}°到图形( )所在的位置。
4\. 图形B可以看作是由图形C绕点*O*逆时针旋转( )得到的。
{width="1.875e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}四、转一转,填一填。
{width="1.1861111111111111in" height="1.2097222222222221in"}\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
1.图形A绕点*O*顺时针旋转90°到图形( )所在的位置。
2.图形C绕点*O*逆时针旋转90°到图形( {width="2.2222222222222223e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} )所在的位置。
3.图形C绕点*O*顺时针旋转( )到图形B所在的位置。
4.图形B绕点*O*( {width="1.5277777777777777e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"})旋转90°到图形A所在的位置。
五、看图回答问题。
{width="1.5194444444444444in" height="1.5395833333333333in"}
1.图形B是由图形A绕点({width="2.2222222222222223e-2in" height="2.361111111111111e-2in"} )顺时针方向旋转( ),然后{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}向( )平移( {width="2.361111111111111e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"} )格得到的。
2.图形C怎样变换得到{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}图形B?
六、完成下列问题。
{width="2.3694444444444445in" height="0.9527777777777777in"}
图形A绕点*O*( )时针方向旋转( )得到图形B。
图形D绕点*O*( )时针方向旋转( )得到图形C。
七、操作题。(25分)
1\. 把三角形*AOB*向右平移2格,得到图形E,再把图形E绕点*O*平移后的对应点*O*\'顺时针旋转90°。(10分)
{width="2.35in" height="1.4131944444444444in"}
\[来源:学。科。网\]
2\. 按要求画一画。\[来源:Z§xx§k.Com\]
{width="2.129861111111111in" height="1.9in"}
(1)图形A绕点*O*顺时针旋转90°得到图形B。
(2)图形A绕点*O*逆时针旋转90°得到图形C。
(3)作图形A关于直线*l*的轴对称图形D。
八、在下面的格子图里涂上你喜欢的颜色,设计一个美丽的图案。
{width="2.4930555555555554in" height="0.8361111111111111in"}
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
第三单元演练答案
一、1. C 2. C 3. B
二、1. 旋转 2. 90°
3.旋转中心 旋转方向
4\. 相同
三、1. 逆时针 2. 90°
3\. C 4. 90°
四、1. D 2. D 3. 90° 4. 顺时针
五、1. *P* 90° 下 2或*O* 90° 右 2
2\. 答案不唯一,如:图形C可以绕点*Q*逆时针旋转90°,再向上平移2格到图形B所在的位置。
六、顺 90° 逆 90°\[来源:Z,xx,k.Com\]
七、1. 如下图所示:
{width="2.345833333333333in" height="1.4097222222222223in"}
2\. (1)、(2)、(3)如下图:
{width="2.126388888888889in" height="1.8958333333333333in"}
八、略
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）**
**数 学（供理科考生使用）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．设集合，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0
B．
C．
D．
4．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
5．若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一个坛子里有编号为1，2，...，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。**
13．已知函数在点处连续，则 [ ]{.underline} .
14．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= [ ]{.underline} 。
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 [ ]{.underline} 。
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）。
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间。
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的长，并求点到平面的距离。
19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
---------- ------ ------------------------
市场情形 概率 价格与产量的函数关系式
好 0.4
中 0.4
差 0.2
---------- ------ ------------------------
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润.
（Ⅰ）分别求利润与产量的函数关系式；
（Ⅱ）当产量确定时，求期望；
（Ⅲ）试问产量取何值时，取得最大值。
20．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值。
21．（本小题满分12分）
已知数列、与函数、，满足条件：
，
（Ⅰ）若，，，存在，求t的取值范围，并求（用t表示）；
（Ⅱ）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，
22．（本小题满分12分）
已知函数，。
（Ⅰ）证明：当时，在上是增函数；
（Ⅱ）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；
（III）证明：。
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**中学学科网2008年普通高等学校招生全国统一考试福建卷**
**数学试题（文科）全解全析**
解析作者：李辉
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若集合*A*={*x*\|*x*^2^-*x*＜0},B={*x*\|0＜*x*＜3},则*A*∩*B*等于
A.{*x*\|0＜*x*＜1} B.{*x*\|0＜*x*＜3}
C.{*x*\|1＜*x*＜3} D.￠
**【标准答案】A**\
**【试题解析】***A*={*x*\|0\<*x\<*1}*A*∩*B=*{*x*\|0＜*x*＜1}
**【高考考点】简单的集合的运算.**
**【易错提醒】概念不清会导致部分同学失分.**
**【学科网备考提示】**集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发。
（2）"a=1"是"直线*x+y*=0和直线*x-ay*=0互相垂直"的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
**【标准答案】C**\
**【试题解析】验证即可.**
**【高考考点】本题主要考查分式不等式及四种命题**
**【易错提醒】很容易混淆充分条件和必要条件的推导方向即那个为条件那个为结论.**
**【学科网备考提示】一定要劳记充分条件或者必要条件是由谁推谁?特别注意"A的充分不必要条件是（）"题型.**
（3）设是等差数列，若*a*~2~=3,*a*~7~=13,则数列{*a*~n~}前8项的和为
A.128 B.80 C.64 D.56
（4）函数*f*(*x*)=x^3^+sin*x*+1(*x*∈R)，若*f*(*a*)=2,则*f*(-*a*)的值为
A.3 B.0 C.-1 D.-2
**【标准答案】B**\
**【试题解析】注意到为奇函数，又故**即.
**【高考考点】函数奇偶性的应用.**
**【易错提醒】往往有的考生不注意观察函数在形式上的特征以至于找不到问题的切入点.**
**【学科网备考提示】在备考过程中要多引导学生自己发现并及时总结.**
(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是
A. B.
C. D.
**【标准答案】C\
【试题解析】由**
**【高考考点】独立重复实验的判断及计算**
**【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.**
**【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.**
(6)如图，在长方体*ABCD*-A~1~B~1~C~1~D~1~中，*AB=BC*=2，*AA~1~*=1，则*AC~1~*与平面*A~1~B~1~C~1~D~1~*所成角的正弦值为
A. B. C. D.
**【标准答案】D**\
**【试题解析】连 ,则为所成角,下面就是计算了.**
**【高考考点】线面角的做法**
**【易错提醒】有的考生可能会误认为线面角就是.**
**【学科网备考提示】主要是要一个线面垂直关系,所以只要做到了这点对于计算只要考生认真就一定没有问题.**
（7）函数*y*=cos*x*(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数*y=g(x*)的图象，则*g(x*)的解析式为
A.-sin*x* B.sin*x* C.-cos*x* D.cos*x*
**【标准答案】A**\
**【试题解析】**
**【高考考点】三角函数的平移变换.**
**【易错提醒】按向量平移要注意方向.**
**【学科网备考提示】劳记三角函数诱导公式及平移变换法则.对于三角这一部分考纲应该要求是在降低,所以一定要把握基础.**
(8)在△*ABC*中，角*A*、*B、C*的对边分别为*a、b、c*，若*a*^2^+*c*^2^-*b*^2^=*ac*,则角*B*的值为
A. B. C.或 D.或
**【标准答案】A**\
**【试题解析】由得即**
**,又在**△**中所以B为**.
**【高考考点】余弦定理的应用**
**【易错提醒】忽略三角形中的条件,所以就有可能出现两个答案.**
**【学科网备考提示】注意结果取舍问题,在平时的练习过程中一定要注意此点.**
(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A.14 B.24 C.28 D.48
**【标准答案】A**\
**【试题解析】由于只少一各女生所以考虑用间接法即,还可考虑直接法.**
**【高考考点】简单的排列组合**
**【易错提醒】有些同学用直接法,往往会分类不全.**
**【学科网备考提示】建议如果下面考虑太复杂的题目最好用间接法,以避免直接的分类不全情况出现.**
(10)若实数*x、y*满足则的取值范围是
A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.\[2，+∞)
**【标准答案】D**\
**【试题解析】可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.**
**【高考考点】简单的线性规划及目标函数的几何意义.**
**【易错提醒】对于可行域的确定.**
**【学科网备考提示】对于线性规划考纲中也明确说明只要掌握简单的线性目标函数即可,所以这部分不需要过多的提高.**
（11）如果函数*y=f*(*x*)的图象如右图，那么
导函数*y=f*(*x*)的图象可能是
**【标准答案】A**\
**【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案A满足.**
**【高考考点】导函数的意义**
**【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系.**
**【学科网备考提示】建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念.**
（12）双曲线（*a*＞0,*b*＞0）的两个焦点为*F~1~、F*~2~，若*P*为其上一点，且*\|PF~1~\|=2\|PE~2~\|*，则双曲线离心率的取值范围为
A.（1，3） B. C.（3，+∞） D. \[3，+∞\]
**【标准答案】B**\
**【试题解析】可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系**
**【高考考点】关于离心率范围的确定.**
**【易错提醒】有些同学想直接算出e,然后再通过确定其中参数的范围从而确定e, 这是不可能的,既然题目要范畴所以一定要想办法构造不等式才可以.**
**【学科网备考提示】可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.**
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
（13）（*x*+）^9^展开式中x^3^的系数是 [ ]{.underline} .（用数字作答）
**【标准答案】**84\
**【试题解析】,令,**
**【高考考点】二项展开式的特定项的求法.**
**【易错提醒】公式记不清楚导致计算错误.**
**【学科网备考提示】劳记公式.**
（14）若直线3*x+*4*y*+*m*=0与圆*x*^2^+*y*^2^-2*x*+4*y*+4=0没有公共点，则实数*m*的取值范围是 [ ]{.underline} .
**【标准答案】**\
**【试题解析】此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的.**
**【高考考点】直线与圆的位置关系的判断.**
**【易错提醒】本题出现最多的问题应该是计算上的问题,我班上有个平时相当不错的学生就跟我说他就算错了.哭死...**
**【学科网备考提示】平时要强化基本功的练习.因为使用新课标后他们小学的计算都是按计算器过来的,而高考又不能用,所以有的学生计算能力就相当差了.**
（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 [.]{.underline}
**【标准答案】**9 \
**【试题解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.**
**,**
**【高考考点】立几中的构造法及球的表面积计算.**
**【易错提醒】体红外线应该是外接球的直径,往往有的学生就当成半径来算导致错误.**
**【学科网备考提示】对于有关外接球的问题要注意归纳几种的典型的构造方法,再比如正四面体的外接球的构造法,还有对棱相等的构造方法等.**
（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意*a、b*∈*P*，都有*a+b*、*a-b*、*ab*、∈*P*（除数*b*≠0）则称*P*是一个数域，例如有理数集*Q*是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集*QM*,则数集*M*必为数域;
④数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是 [ ]{.underline} .（把你认为正确的命题的序号都填上）
**【标准答案】**①④\
**【试题解析】要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如**②**对除法如不满足，所以排除；对**③**当M中多一个元素则会出现所以它也不是一个数域**；①④**成立**.
**【高考考点】新定义概念的理解能力.**
**【易错提醒】很多学生考完后对我说**④**也不是**,**他的例子是殊不知**，**导致不应有的失分**.
**【学科网备考提示】**
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量,且
(Ⅰ)求tan*A*的值；
(Ⅱ)求函数**R**)的值域.
**【标准答案】**
解：（Ⅰ）由题意得
*m·n*=sin*A*-2cos*A*=0,
因为cos*A*≠0,所以tan*A*=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan*A*=2得
因为*x***R,**所以.
当时，*f*(*x*)有最大值，
当sin*x*=-1时，*f*(*x*)有最小值-3，
所以所求函数*f*(*x*)的值域是
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.属于简单题.**
**【易错提醒】不注意正弦函数的有界性.**
**【学科网备考提示】第二问属于二次函数在区间上的值域问题,要注意结合单调性在区间上取最值.**
（18）（本小题满分12分）
三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.
(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；
(Ⅱ)"密码被破译"与"密码未被破译"的概率哪个大？说明理由.
**【标准答案】**解：记"第*i*个人破译出密码"为事件*A*~1~(*i*=1,2,3)，依题意有
且*A*~1~，*A*~2~，*A*~3~相互独立.
（Ⅰ）设"恰好二人破译出密码"为事件*B*，则有
*B*＝*A*~1~·*A*~2~··*A*~1~··*A~3~+*·*A*~2~·*A*~3~且*A*~1~·*A~2~*·，*A~1~·*·*A*~3~，·*A~2~**·**A~3~*
彼此互斥
于是*P*(*B*)=*P*(*A~1~·A~2~·*)+*P*（*A~1~*··*A~3~*）+*P*（·*A~2~·A~3~*）
＝
＝.
答：恰好二人破译出密码的概率为.
（Ⅱ）设"密码被破译"为事件*C*，"密码未被破译"为事件*D*.
*D*＝··，且，，互相独立，则有
*P*（*D*）＝*P*（）·*P*（）·*P*（）＝＝.
而*P*（*C*）＝1-*P*（*D*）＝，故*P*（*C*）＞*P*（*D*）.
答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.**
**【易错提醒】对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.**
**【学科网备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.**
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥*P*---*ABCD*中，侧面*PAD*⊥底面*ABCD*，侧棱*PA*＝*PD*=,底面*ABCD*为直角梯形，其中*BC*∥*AD*,*AB*⊥*AD*,*AD*=2*AB*=2*BC=*2，*O*为*AD*中点.
(Ⅰ)求证:*PO*⊥平面*ABCD*；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
**【标准答案】**解法一：
（Ⅰ）证明：在△*PAD*卡中*PA*＝*PD*，*O*为*AD*中点，所以*PO*⊥*AD*.
又侧面*PAD*⊥底面*ABCD*，平面*PAD*∩平面*ABCD*＝*AD*，*PO*平面*PAD*，
所以*PO*⊥平面*ABCD.*
（Ⅱ）连结*BO*，在直角梯形*ABCD*中，*BC*∥*AD*,*AD*=2*AB*=2*BC*，
有*OD*∥*BC*且*OD*＝*BC*，所以四边形*OBCD*是平行四边形，
所以*OB*∥*DC.*
由（Ⅰ）知*PO*⊥*OB*，∠*PBO*为锐角，
所以∠*PBO*是异面直线*PB*与*CD*所成的角.
因为*AD*＝2*AB*＝2*BC*＝2，在Rt△*AOB*中，*AB*＝1，*AO*＝1，所以*OB*＝，
在Rt△*POA*中，因为*AP＝*，*AO*＝1，所以*OP*＝1，
在Rt△*PBO*中，*PB*＝,
cos∠*PBO*=,
所以异面直线*PB*与*CD*所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得*CD*＝*OB*＝，
在Rt△*POC*中，*PC*＝，
所以*PC*＝*CD*＝*DP*，*S*~△PCD~=·2=.
又*S*△=
设点*A*到平面*PCD*的距离*h*，
由*V~P-ACD~=V~A-PCD~，*
得*S*~△*ACD*~·*OP*＝*S*~△*PCD*~·*h*，
即×1×1＝××*h*，
解得*h*＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以*O*为坐标原点，的方向分别为*x*轴、*y*轴、*z*轴的正方向，建立空间直角坐标系*O*-*xyz*.
则*A*（0，-1，0），*B*（1，-1，0），*C*（1，0，0），
*D*（0，1，0），*P*（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（*t*，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以异面直线*PB*与*CD*所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面*PCD*的法向量为*n*＝（*x*~0~,*y*~0~,*x*~0~），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则 *n*·＝0，所以 -*x*~0~+ *x*~0~=0~,~
*n*·＝0， -*x*~0~+ *y*~0~=0，~ \
~即*x*~0~=*y*~0~=*x*~0~,~ ~
取*x*~0~=1，得平面的一个法向量为*n*=(1,1,1).
又=(1,1,0).
从而点*A*到平面*PCD*的距离*d*＝
**【试题解析】**
**【高考考点】**本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
**【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可**
**【学科网备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.**
（20）（本小题满分12分）
已知｛*a~n~*｝是正数组成的数列，*a*~1~=1，且点（）（*n***N**\*）在函数*y*=*x*^2^+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛*a~n~*｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛*b~n~*｝满足*b*~1~=1,*b~n~*~+1~=*b~n~*+，求证：*b~n~* ·*b~n~*~+2~＜*b*^2^~*n*+1~.
**【标准答案】**解法一：
（Ⅰ）由已知得*a~n~*~+1~=*a~n~*+1、即*a~n~*~+1~-*a~n~*=1，又*a*~1~=1,
所以数列｛*a~n~*｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故*a~n~*=1+(*a*-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：*a~n~*=*n*从而*b~n~*~+1~-*b~n~*=2*^n^*.
*b~n~*=(*b~n~*-*b~n~*~-1~)+(*b~n~*~-1~-*b~n~*~-2~)+···+（*b*~2~-*b*~1~）+*b*~1~
=2^*n*-1^+2^*n*-2^+···+2+1
**【试题解析】**
**【高考考点】**本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.
**【易错提醒】第二问中的比较大小直接做商的话还要说明***b~n~*的正负,而往往很多学生不注意.
**【学科网备考提示】对于递推数列要学生掌握常见求法,至少线性的要懂得处理.**
(21)（本小题满分12分）
已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于*y*轴对称.
(Ⅰ)求*m*、*n*的值及函数*y*=*f*(*x*)的单调区间；
(Ⅱ)若*a*＞0，求函数*y*=*f*(*x*)在区间（*a*-1,*a*+1）内的极值.
**【标准答案】**解：（1）由函数*f*(*x*)图象过点（－1，－6），得*m*-*n*=-3, ......①
由*f*(*x*)=*x*^3^+*mx*^2^+*nx*-2，得*f*′（*x*）=3*x*^2^+2*mx*+*n*,
则*g*(*x*)=*f*′(*x*)+6*x*=3*x*^2^+(2*m*+6)*x*+*n*;
而*g*(*x*)图象关于*y*轴对称，所以－＝0，所以*m*=-3,
代入①得*n*=0.
于是*f′*(*x*)＝3*x*^2^-6*x*=3*x*(*x*-2).
由*f′*(*x*)\>得*x\>*2或*x*\<0,
故*f*(*x*)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；
由*f′*(*x*)\<0得0\<*x*\<2,
故*f*(*x*)的单调递减区间是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得*f′*(*x*)＝3*x*(*x*-2),
令*f′*(*x*)＝0得*x*=0或*x=*2.
当*x*变化时，*f′*(*x*)、*f*(*x*)的变化情况如下表：
----------- -------- -------- ------- -------- ---------
*X* (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞)
*f′*(*x*) \+ 0 － 0 ＋
*f*(*x*) 极大值 极小值
----------- -------- -------- ------- -------- ---------
由此可得：
当0\<*a*\<1时，*f*(*x*)在（*a*-1,*a*+1）内有极大值*f*(*O*)=-2,无极小值；
当*a*=1时，*f*(*x*)在（*a*-1,*a*+1）内无极值；
当1\<*a*\<3时，*f*(*x*)在（*a*-1,*a*+1）内有极小值*f*(2)＝－6，无极大值；
当*a*≥3时，*f*(*x*)在（*a*-1,*a*+1）内无极值.
综上得：当0\<*a*\<1时，*f*(*x*)有极大值－2，无极小值，当1\<*a*\<3时，*f*(*x*)有极小值－6，无极大值；当*a=*1或*a*≥3时，*f*(*x*)无极值.
**【试题解析】**
**【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.**
**【易错提醒】对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.**
**【学科网备考提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面的训练.**
(22)（本小题满分14分）
如图，椭圆（*a*＞*b*＞0）的一个焦点为*F*(1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程；
（Ⅱ）若*AB*为垂直于*x*轴的动弦，直线*l*:*x*=4与*x*轴交于点*N*，
直线*AF*与*BN*交于点*M*.
(ⅰ)求证：点*M*恒在椭圆*C*上；
(ⅱ)求*△AMN*面积的最大值.
**【标准答案】**解法一：
（Ⅰ）由题设*a*=2,*c*=1,从而*b*^2^=*a*^2^-*c*^2^=3,
所以椭圆*C*前方程为.
(Ⅱ)(i)由题意得*F*(1,0),*N*(4,0).
设*A*(*m,n*),则*B*(*m*,-*n*)(*n≠*0),=1. ......①
*AF*与*BN*的方程分别为：*n*(*x*-1)-(*m*-1)*y*=0，
*n*(*x*-4)-(*m*-4)*y*=0.
设*M*(*x*~0~,*y*~0~),则有 *n*(*x*~0~-1)-(*m*-1)*y*~0~=0, ......②
*n*(*x*~0~-4)+(*m*-4)*y*~0~=0, ......③
由②，③得
*x*~0~=.
所以点*M*恒在椭圆*G*上.
(ⅱ)设*AM*的方程为*x*=*xy*+1,代入＝1得（3*t*^2^+4）*y*^2^+6*ty*-9=0.
由④代入①，得=1（*y≠*0）.
当x=时，由②，③得：
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.
（Ⅱ）同解法一.
**【试题解析】**
**【高考考点】**本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,
**【易错提醒】**
**【学科网备考提示】此题为压轴题,所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的题目,把多余的时间多花点在中低档题目上,可是80%的分数呀,多么可观,可是纵观历年的高考成绩来看又有多少人真正的做到了这120分?**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**数 学**
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。
4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
**参考公式：**
次独立重复试验恰有次发生的概率为：
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。**
1．下列函数中，周期为的是
A．
B．y=sin2x
C．
D．y=cos4x
2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x^2^=x｝，则A∩C~U~B为
A．｛-1，2｝
B．｛-1，0｝
C．｛0，1｝
D．｛1，2｝
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心率为
A．
B．
C．
D．2
4．已知两条直线，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①
②
③
④
其中正确命题的序号是
A．①、③
B．②、④
C．①、④
D．②、③
5．函数的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
6．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3^x^－1，则有
A．
B．
C．
D．
7．若对于任意实数x，有x^3^=a~0~+a~1~（x－2）+a~2~（x－2）^2^+a~3~（x－2）^3^，则a~2~的值为
A．3
B．6
C．9
D．12
8．设是奇函数，则使f（x）\<0的x的取值范围是
A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（-∞，0）
D．（-∞，0）∪（1，+∞）
9．已知二次函数f（x）=ax^2^+bx+c的导数为f′（x），f′（0）\>0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为
A． 3
B．
C．2
D．
10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝，则平面区域的面积为
A．2
B．1
C．
D．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。**
11．若，.则tana·tanβ=[ ▲ ]{.underline}.
12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有[ ▲ ]{.underline}种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数f（x）=x^3^－12x+8在区间\[-3，3\]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m=[ ▲ ]{.underline}.
14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是
[▲ ]{.underline}.
15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则[ ▲ ]{.underline}。
16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=[ ▲ ]{.underline}，其中t∈\[0，60\]。
**三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）
18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A~1~B~1~C~1~D~1~是棱长为3的正方体，点E在AA~1~上，点F在CC~1~上，且AE=FC~1~=1，
（1）求证：E，B，F，D~1~四点共面；（4分）
（2）若点G在BC上，，点M在BB~1~上，，垂足为H，求证：面BCC~1~B~1~；（4分）
（3）用表示截面EBFD~1~和面BCC~1~B~1~所成锐二面角大小，求。（4分）
19．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x^2^相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。
（1）若，求c的值；（5分）
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
20．（本小题满分16分）
已知｛a~n~｝是等差数列，｛b~n~｝是公比为q的等比数列，a~1~=b~1~，a~2~=b~2~≠a~1~，记S~n~为数列｛b~n~｝的前n项和。
（1）若b~k~=a~m~（m，k是大于2的正整数），求证：S~k-1~=（m－1）a~1~；（4分）
（2）若b~3~=a~i~（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛b~n~｝中每一项都是数列｛a~n~｝中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛b~n~｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
21．（本小题满分16分）
已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，
，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求的值；（3分）
（2）若a=0，求的取值范围；（6分）
（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）
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**江苏省连云港市2020年中考数学真题**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是，符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1.3的绝对值是（ ）．
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的概念进行解答即可．
【详解】解：3的绝对值是3．
故选：B
【点睛】本题考查绝对值的定义，题目简单，掌握绝对值概念是解题关键．
2.下图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）．
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据主视图定义，由此观察即可得出答案．
【详解】解：从物体正面观察可得，
左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体．
故答案为D
【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据合并同类项、多项式乘以多项式，同底数幂相乘，及完全平方公式进行运算判断即可．
【详解】解：A、2x与3y不是同类项不能合并运算，故错误；
B、多项式乘以多项式，运算正确；
C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故错误；
D、完全平方公式，，故错误
故选：B
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握运算法则和运算规律是解答本题的关键．
4."红色小讲解员"演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）．
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．
故选:A
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
5.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）．
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出各不等式的解集，再找到其解集，即可在数轴上表示．
【详解】解
解不等式①得x≤2，
解不等式②得x＞1
故不等式的解集为1＜x≤2
在数轴上表示如下：
故选C．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
6.如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到∠EBA'=33°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-=66°，
∵将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处，
∴∠EBA'=∠ABD =33°，
∴=90°-∠EBA'=，
故选C．
【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质．
7.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．\
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了； ②快车速度比慢车速度多；
③图中； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
**二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9.我市某天的最高气温是4℃，最低气温是，则这天的日温差是\_\_\_\_\_\_\_\_℃．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据最高气温减去最低气温列出算式，即可做出判断．
【详解】解：根据题意得：4−（−1）=5．
故答案为:5
【点睛】此题考查了有理数减法，根据题意列出算式熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10."我的连云港"是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数据"1600000"用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1600000用科学记数法表示应为：1.6×10^6^，\
故答案为：1.6×10^6^．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．
【详解】解：设正方形的边长为，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．
12.按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-26
【解析】
【分析】
首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【详解】解：当x=2时，，
故执行"否"，返回重新计算，
当x=6时，，
执行"是"，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
13.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为"可食用率"．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】3.75
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
14.用一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题．
【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，由题意，
，
解得（cm）．
故答案为：5
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，理解好在圆锥的侧面展开图中"圆锥底面周长=侧面展开图弧长"是解题关键．
15.如图，正六边形内部有一个正五形，且，直线经过、，则直线与的夹角\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知正六边形内部有一个正五形，可得出正多边形的内角度数，根据和四边形内角和定理即可得出的度数．
【详解】∵多边形是正六边形，多边形是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．
16.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意可知C点的运动轨迹是以F（1,0）为圆心、半径为1的圆，过F点作AH⊥DE，与F的交点即为C点，此时中DE边上的高为C'H=FH-1,根据直线DE的解析式及F点坐标可求出FH的解析式，联立DE的解析式即可求出H点坐标，故可求出FH，从而得解．
【详解】如图，∵点是上一动点，点为弦的中点，
∴C点的运动轨迹是以F（1,0）为圆心、半径为1的圆，
过F点作AH⊥DE，交F于点C'，
∵直线DE的解析式为，
令x=0，得y=-3，故E（0，-3），
令y=0,得x=4,故D（4,0），
∴OE=3,OD=4,DE=，
∴设FH的解析式为y=x+b，
把F（1,0）代入y=x+b得0=+b，
解得b=，
∴FH的解析式为y=x+，
联立，
解得，
故H（，），
∴FH=，
∴C'H=，
故此时面积==，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查圆得综合问题，解题的关键是根据题意得到点C的运动轨迹．
**三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.计算．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据乘方运算、负整数指数幂、开方运算进行化简，再计算加减即可．
【详解】原式．
【点睛】本题考查了乘方运算、负整数指数幂、开方运算，熟知各运算法则是解题关键．
18.解方程组．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意选择用代入法解答即可．
【详解】解：，
将②代入①中得
．
解得．
将代入②，
得．
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．
19.化简．
【答案】
【解析】
【分析】
首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
20.在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，按"优秀""良好""合格""不合格"四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
**测试成绩统计表**
-------- -------------- ------
等级 频数（人数） 频率
优秀 30
良好 0.45
合格 24 0.20
不合格 12 0.10
合计 1
-------- -------------- ------
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少人？
【答案】（1）0.25，54，120；（2）见解析；（3）1680人
【解析】
【分析】
（1）依据频率=，先用不合格的人数除以不合格的频率即可得到总频数（人数），再依次求出、；\
（2）根据（1）良好人数即可补全条形统计图；\
（3）全校2400名乘以"优秀"和"良好"两个等级的频率和即可得到结论．
【详解】解：（1）样本的总频数（人数）（人），
其中："优秀"等次的频率，
"良好"等次的频数（人）．
故答案为：0.25，54，120；
（2）如下图；
（3）试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生=（人）．
答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．
【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图，读懂统计图，掌握"频率="是解决问题的关键．
21.从2021年起，江苏省高考采用""模式："3"是指语文、数学、外语3科为必选科目，"1"是指在物理、历史2科中任选科，"2"是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在"1"中选择了历史，在"2"中已选择了地理，则她选择生物的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）若小明在"1"中选择了物理，用画树状图的方法求他在"2中选化学、生物的概率．
【答案】（1）；（2）图表见解析，
【解析】
【分析】
(1)小丽在"2"中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．
（2）小明在"1"中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物可能情况有2种，再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可．
【详解】（1）；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以，（选化学、生物）．
答：小明同学选化学、生物的概率是．
【点睛】本题考查了等可能概率事件，以及通过列表法或画树状图法判断可能情况概率，根据概率公式事件概率情况，解题关键在于要理解掌握等可能事件发生概率．
22.如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【解析】
【分析】
（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】（1）∵，∴．
∵是对角线的垂直平分线，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）∵四边形为菱形，，．
∴，，．
在中，．
∴菱形周长．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键．
23.甲、乙两公司全体员工踊跃参与"携手防疫，共渡难关"捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资
【解析】
【分析】
（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;
（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得
，解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
（1）\_\_\_\_\_\_\_\_，点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答
【详解】解：（1）把点代入反比例函数，得：，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：，
故答案为：6，；
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当*a*=1时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
25.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道："水能利物，轮乃曲成"．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
 
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）
【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒
【解析】
【分析】
（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定，最后再计算出所求时间即可；
（2）先根据时间和速度计算出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒距离水面的高度；
（3）先确定当在直线上时，此时是切点，再利用三角函数得到，
，从而计算出，最后再计算出时间即可．
【详解】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转．
连接，在中，，所以．
所以（秒）．
答：盛水筒首次到达最高点所需时间为27.4秒．
  
（2）如图2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时．
所以．
过点作，垂足为，在中，．
．
答：此时盛水筒距离水面的高度．
（3）如图3，因为点在上，且与相切，
所以当在直线上时，此时是切点．
连接，所以．
在中，，所以．
在中，，所以．
所以．
所以需要的时间为（秒）．
答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒恰好在直线上．
【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
26.在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为"共根抛物线"．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是"共根抛物线"，其顶点为．
 
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其"共根抛物线"的顶点的坐标．
【答案】（1）；（2）点；（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）由"共根抛物线"定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；
（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；
（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）当时，，解得，．
∴、、．
由题意得，设对应的函数表达式为，
又∵经过点，
∴，
∴．
∴对应的函数表达式为．
（2）∵、与轴交点均为、，
∴、的对称轴都是直线．
∴点在直线上．
∴．
如图1，当、、三点共线时，的值最大，
此时点为直线与直线的交点．
由、可求得，直线对应的函数表达式为．
∴点．
（3）由题意可得，，，，
因为在中，，故．
由，得顶点．
因为的顶点*P*在直线上，点*Q*在上，
∴不可能是直角．
第一种情况：当时，
①如图2，当时，则得．
设，则，
∴．
由得，解得．
∵时，点*Q*与点*P*重合，不符合题意，
∴舍去，此时．
②如图3，当时，则得．
设，则．
∴．
由得，解得（舍），此时．
第二种情况：当时，
①如图4，当时，则得．
过*Q*作交对称轴于点*M*，∴．
∴．由图2可知，
∴．
∴，又，代入得．
∵点，
∴点．
②如图5，当时，则．
过*Q*作交对称轴于点*M*，
∴，则．
由图3可知，，
∴，，
∴．
又，代入得．
∵点，
∴点，
综上所述，或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．
27.（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则\_\_\_\_\_\_\_\_；
 
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上）过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）；
 
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为．根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【答案】（1）12；（2）；（3）；（4）答案不唯一
【解析】
【分析】
（1）过P点作AB的平行线MN，根据S~矩形AEPM~+S~矩形DFPM~=S~矩形CFPN~+S~矩形DFPM~=S~矩形ABCD~-S~矩形BEPN~从而得到，S~矩形AEPM~ =S~矩形CFPN~进而得到与的关系，从而求出结果.
（2）连接、，设，，根据图形得到，求出， ，最终求出结果.
（3）易知，，导出，再由的关系，即可可求解.
（4）连接ABCD的得到正方形，根据（3）的方法，进行分割可找到面积之间的关系.
【详解】（1）过P点作AB∥MN，
∵S~矩形AEPM~+S~矩形DFPM~=S~矩形CFPN~+S~矩形DFPM~=S~矩形ABCD~-S~矩形BEPN，~
又∵
∴
∴
（2）如图，连接、，
在中，因为点*E*中点，
可设，
同理，，
所以，
．
所以，
所以，所以．
．
（3）易证四边形、四边形是平行四边形．
所以，．
所以，
．
（4）
   
答案不唯一，如：
如图1或图2，此时；
如图3或图4，此时．
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Subsets and Splits