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|---|---|---|
**-北师大版五年级（下）期中数学模拟试卷（3）**
**一、填空題：（每空1分，共20分）**
1．一个正方体的棱长为A，棱长之和是[ ]{.underline}，当A=5厘米时，这个正方体的棱长总和是[ ]{.underline}厘米．
2．一个长方体的棱长总和是48cm，宽是2cm，长是宽的2倍，它的表面积是[ ]{.underline}．
3．一个长方体方木，长2m，宽和厚都是30cm，把它的长截成2段，表面积增加[ ]{.underline}．
4．长方体最多有[ ]{.underline}条棱长度相等，最少要有[ ]{.underline}条棱长度相等．
5．两个完全相同的长方体，长10cm，宽7cm，高4cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积是[ ]{.underline}，比原来减少了[ ]{.underline}；如果拼成一个表面积最小的长方体，表面积是[ ]{.underline}，比原来减少了[ ]{.underline}．
6．一个正方体的棱长总和48厘米，它的棱长是[ ]{.underline}，表面积是[ ]{.underline}，体积是[ ]{.underline}．
7．把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了[ ]{.underline}平方厘米．
8．用铁丝焊接成一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝[ ]{.underline}厘米．
9．一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有[ ]{.underline}条，面积是20平方分米的面有[ ]{.underline}个．
10．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长[ ]{.underline}厘米的正方形，它的表面积是[ ]{.underline}平方厘米，体积是[ ]{.underline}．
11．至少需要[ ]{.underline}厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架．
12．一个正方体的棱长是2米，它的占地面积是[ ]{.underline}平方米．它的表面积是[ ]{.underline}平方米．
**二.选择．（每题2分，共10分）**
13．如图是一个长方体，它的下底面的面积是（ ）
A．12cm^2^ B．20cm^2^ C．15cm^2^ D．94cm^2^
14．在下列算式中，得数大于的是（ ）
A．÷ B．× C．×
15．如果一个正方体，把它的棱长都缩小4倍，它的表面积将缩小（ ）倍．
A．2 B．4 C．8 D．16
16．一个棱长是1分米的正方体木块，横截成三个体积相等的小长方体后，表面积增加了（ ）
A．2平方分米 B．4平方分米 C．6平方分米
17．大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍．
A．3 B．6 C．9
**三、判断题：（每题2分，共10分）**
18．两个真分数相除，商一定大于被除数．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．任何真分数的倒数都是假分数．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．长方体的每个面都是长方形．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．长方体中，底面积越大，体积也越大．[ ]{.underline}．（判断对错）
22．将一个正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是正方体表面积的一半．[ ]{.underline}．（判断对错）
**四、面积计算：（每题4分，共8分）**
23．求图的表面积
24．求图的表面积．
棱长总和为60分米．
**五、分数知识计算：**
25．口算
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
×9= ×0= 0÷= ÷= 12×=
×= ÷= ÷= ×3= ×=
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
26．解方程：
x=24； x=； 5x=2.25； x÷=．
**五、应用题．（每小题5分，共30分）**
28．用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？
29．一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？
30．有一房间，长5米，宽4米，高3.5米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除去门窗的面积是18平方米，要粉刷的面积是多少平方米？
31．一件衣服打八折是160元，现价比原价便宜多少元？
32．把一根长20厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料沿横截面锯成2段，表面积增加多少？
33．一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积．
**-北师大版五年级（下）期中数学模拟试卷（3）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空題：（每空1分，共20分）**
1．一个正方体的棱长为A，棱长之和是[ 12A ]{.underline}，当A=5厘米时，这个正方体的棱长总和是[ 60 ]{.underline}厘米．
【考点】正方体的特征．
【分析】正方体的棱长总和=棱长×12，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：一个正方体的棱长为A，棱长之和是12A，
当A=5厘米时，这个正方体的棱长总和是：
5×12=60（厘米）．
故答案为：12A，60厘米．
2．一个长方体的棱长总和是48cm，宽是2cm，长是宽的2倍，它的表面积是[ 88平方厘米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体的特征．
【分析】因为"长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4"，所以先用"48÷4"求出长方体一条长、宽和高的和，进而求出长方体的高，然后根据"长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2"进行解答即可．
【解答】解：长：2×2=4（厘米），
高：48÷4﹣4﹣2=6（厘米）
（4×2+4×6+2×6）×2，
=（8+24+12）×2，
=44×2，
=88（平方厘米）；
答：这个长方体的表面积是88平方厘米．
故答案为：88平方厘米．
3．一个长方体方木，长2m，宽和厚都是30cm，把它的长截成2段，表面积增加[ 1800平方厘米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】把一个长2米，宽和高都是30厘米的长方体木料截成两段，增加两个面，每个面的面积是30×30平方厘米，进而解答即可．
【解答】解：30×30×2=1800（平方厘米）；
答：表面积增加1800平方厘米．
故答案为：1800平方厘米．
4．长方体最多有[ 8 ]{.underline}条棱长度相等，最少要有[ 4 ]{.underline}条棱长度相等．
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等；6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答．
【解答】解：一般情况，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等；在长方体里，如果有两个相对的面是正方形，那么最多有8条棱的长度相等．
故答案为：8，4．
5．两个完全相同的长方体，长10cm，宽7cm，高4cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积是[ 496平方厘米 ]{.underline}，比原来减少了[ 56平方厘米 ]{.underline}；如果拼成一个表面积最小的长方体，表面积是[ 412平方厘米 ]{.underline}，比原来减少了[ 140平方厘米 ]{.underline}．
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．
【分析】①要使拼成的长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个7×4面的面积；由此利用长方体表面积公式即可求得其表面积；
②要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面对着合起来，则拼组后的长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和，减少了2个10×7面的面积；由此利用长方体表面积公式即可求得其表面积．
【解答】解：①比原来减少：7×4×2=56（平方厘米）；
（10×7+10×4+7×4）×2×2﹣56，
=552﹣56，
=496（平方厘米）；
②比原来减少：10×7×2=140（平方厘米）；
（10×7+10×4+7×4）×2×2﹣140，
=552﹣140，
=412（平方厘米）；
答：拼成一个表面积最大的长方体后，表面积是496平方厘米，比原来减少了56平方厘米；如果拼成一个表面积最小的长方体，表面积是412平方厘米，比原来减少了140平方厘米．
故答案为：496平方厘米，56平方厘米，412平方厘米，140平方厘米．
6．一个正方体的棱长总和48厘米，它的棱长是[ 4厘米 ]{.underline}，表面积是[ 96平方厘米 ]{.underline}，体积是[ 64立方厘米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】正方体有12个棱长，有一个正方体的棱长总和是48厘米，可以求得棱长，根据正方体的表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长可以解决问题．
【解答】解：48÷12=4厘米，
4×4×6=96平方厘米，
4×4×4=64立方厘米；
故答案为：4厘米；96平方厘米；64立方厘米．
7．把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了[ 30 ]{.underline}平方厘米．
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．
【分析】由题意可知：把该长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了2个长为5厘米、宽为3厘米的长方形的面积，由此解答即可．
【解答】解：5×3×2=30（平方厘米）；
答：表面积比原来增加了30平方厘米．
故答案为：30．
8．用铁丝焊接成一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝[ 108 ]{.underline}厘米．
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等．求做这个长方体框架需要铁丝多少厘米，也就是求它的棱长总和，长方体的棱长总和=（长×宽+高）×4，把数据代入公式计算．
【解答】解：（12+10+5）×4，
=27×4，
=108（厘米）；
答：至少需要铁丝108厘米．
故答案为：108．
9．一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有[ 8 ]{.underline}条，面积是20平方分米的面有[ 4 ]{.underline}个．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体的特征．
【分析】由题意可知：这个长方体有两个面是正方形，其它4个面完全相同，据此解答．
【解答】解：因为底和高都是4厘米，所以长度为4分米的棱有8条；
5×4=20（平方分米），面积是20平方分米的有4个．
故答案为：8，4．
10．一个正方体的棱长总和是72厘米，它的一个面是边长[ 6 ]{.underline}厘米的正方形，它的表面积是[ 216 ]{.underline}平方厘米，体积是[ 216立方厘米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】由正方体的特征可知：正方体有12 条棱长，且每条棱长都相等，于是可以求出正方体的棱长的长度，进而可以求出这个正方体的表面积和体积．
【解答】解：正方体的棱长：72÷12=6（厘米）；
正方体的表面积：6×6×6，
=36×6，
=216（平方厘米）；
正方体的体积：6×6×6=216（立方厘米）；
答：这个正方体的表面积是216平方厘米；体积是216立方厘米．
故答案为：6，216、216立方厘米．
11．至少需要[ 48 ]{.underline}厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架．
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：18×2+3×4，
=36+12，
=48（厘米）．
故答案为：48．
12．一个正方体的棱长是2米，它的占地面积是[ 4 ]{.underline}平方米．它的表面积是[ 24 ]{.underline}平方米．
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】因为正方体的每个面都是正方形，先根据"正方形的面积=边长×边长"计算出一个面的面积，进而根据"正方体的表面积=一个面的面积×6"进行解答即可．
【解答】解：2×2=4（平方米）；
4×6=24（平方米）；
故答案为：4，24．
**二.选择．（每题2分，共10分）**
13．如图是一个长方体，它的下底面的面积是（ ）
A．12cm^2^ B．20cm^2^ C．15cm^2^ D．94cm^2^
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据图形可知，下底面的长是5厘米，宽是4厘米，根据长方形的面积公式：s=ab，把数据代入公式解答．
【解答】解：5×4=20（平方厘米），
答：它的下底面的面积是20平方厘米．
故选：B．
14．在下列算式中，得数大于的是（ ）
A．÷ B．× C．×
【考点】分数大小的比较．
【分析】此题根据："一个数（0除外）除以小于1的数，商就大于这个数；除以大于1的数，商就小于这个数；除以等于1的数，商就等于这个数"，以及"一个数（0除外）乘小于1的数，积就小于这个数；一个数乘大于1的数，积就大于这个数；一个数乘等于1的数，积就等于这个数"来解答．
【解答】解：由以上分析可知：
÷＞，
×＜，
×＜；
故选：A．
15．如果一个正方体，把它的棱长都缩小4倍，它的表面积将缩小（ ）倍．
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据正方体的表面积=棱长^2^×6进行推导即可．
【解答】解：设原来正方体的棱长是a，则原来正方体的表面积是6a^2^；
后来：棱长缩小4倍，即为a，则后来的正方体的表面积是（a）^2^×6=×6a^2^，
则表面积缩小：6a^2^÷（×6a^2^）=16倍；
答：它的表面积就缩小16倍．
故选：D．
16．一个棱长是1分米的正方体木块，横截成三个体积相等的小长方体后，表面积增加了（ ）
A．2平方分米 B．4平方分米 C．6平方分米
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据正方体的特征，它的6个面都是正方形，6个面的面积都相等；把一个棱长是1dm的正方体木块分成体积相等的三个长方体，表面积可能增加4个截面的面积；根据正方形的面积公式解答．
【解答】解：1×1×4=4（平方分米），
答：表面积增加4平方分米．
故选：B．
17．大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍．
A．3 B．6 C．9
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】设小正方体的棱长为a，则大正方体的棱长为3a，依据正方体的表面积公式，S=6a^2^，代入数据即可求解．
【解答】解：设小正方体的棱长为a，则大正方体的棱长为3a，
则6×（3a）^2^÷6a^2^=9倍；
答：大正方体的表面积是小正方体表面积的9倍．
故选：C．
**三、判断题：（每题2分，共10分）**
18．两个真分数相除，商一定大于被除数．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数除法．
【分析】由于真分数小于1，所以在分数除法中，如果除数是真分数，那么商一定大于被除数．
【解答】解：被除数是真分数，说明被除数不是0；
除数是真分数，说明除数小于1，且不等于0；
被除数不是0，而且除数小于1，那么商一定大于被除数．
故答案为：正确．
19．任何真分数的倒数都是假分数．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】倒数的认识．
【分析】真分数是指分子小于分母的分数，但它们的倒数都是分子大于分母的分数即假分数．如：真分数的倒数是是假分数，真分数的倒数是假分数...．
【解答】解：任何真分数的倒数都是分子大于分母的分数即假分数．
故答案为：正确．
20．长方体的每个面都是长方形．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方体的特征．
【分析】根据长方体的特征，一般情况下长方体的6个面都是长方形，（在特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等．由此解答．
【解答】解：长方体的每个面都是长方形，这种说法是错误的．
故答案为：×．
21．长方体中，底面积越大，体积也越大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】长方体的体积=底面积×高，由此可以看出，影响其体积大小的因素有两个，即底面积和高．
【解答】解：由长方体的体积公式可以看出，影响其体积大小的因素有两个，即底面积和高．
所以说"长方体中，底面积越大，体积也越大"的说法是错误的．
故答案为：错误．
22．将一个正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是正方体表面积的一半．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．
【分析】正方体切成两个完全相同的长方体后，表面积比原来增加了两个正方体的面的面积，由此即可进行判断．
【解答】解：正方体切成两个完全相同的长方体后，表面积比原来增加了两个正方体的面的面积，
所以每个长方体的表面积是原来的正方体的表面积的一半加上一个正方体的面的面积，
所以原题说法错误．
故答案为：错误．
**四、面积计算：（每题4分，共8分）**
23．求图的表面积
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：（20×6+20×2+6×2）×2，
=×2，
=172×2，
=344（平方厘米）；
答：长方体的表面积是344平方厘米．
24．求图的表面积．
棱长总和为60分米．
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】用棱长总和除以12，求出一条棱的长度，再根据正方体的表面积公式进行计算．
【解答】解：60÷12=5（分米），
5×5×6=150（平方分米）．
答：表面积是150平方分米．
**五、分数知识计算：**
25．口算
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
×9= ×0= 0÷= ÷= 12×=
×= ÷= ÷= ×3= ×=
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
【考点】分数乘法；分数除法．
【分析】根据分数乘整数和一个数乘分数的计算法则，依次进行解答即可．
【解答】解：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
×9=6 ×0=0 0÷=0 ÷= 12×=10
×= ÷= ÷= ×3=2 ×=
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
26．解方程：
x=24； x=； 5x=2.25； x÷=．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同时乘上4求解；
（2）根据等式的性质，两边同时乘上求解；
（3）根据等式的性质，两边同时除以5求解；
（4）根据等式的性质，两边同时乘上求解．
【解答】解：（1）x=24
x×4=24×4
x=96；
（2）x=
x×=×
x=；
（3）5x=2.25
5x÷5=2.25÷5
x=0.45；
（4）x÷=
x÷×=×
x=．
**五、应用题．（每小题5分，共30分）**
28．用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？
【考点】长方体的特征；正方体的特征．
【分析】由题意可知长方体的棱长总和与正方体的棱长总和相等，正方体的棱长总和=棱长×12，由此求出这根铁丝的长度；再根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，那么高=棱长总和÷4﹣长与宽的和；由此列式解答．
【解答】解：8×12÷4﹣（10+7），
=96÷4﹣17，
=24﹣17，
=7（厘米）；
答：它的高应该是7厘米．
29．一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】由题意可知：增加的表面积就是高5厘米的长方体的侧面积，根据长方体的侧面积=底面周长×高，解答即可．
【解答】解：20×4×5
=80×5
=400（平方厘米）；
答：它的表面积会增加400平方厘米．
30．有一房间，长5米，宽4米，高3.5米，要粉刷房子的顶面和四周墙壁，除去门窗的面积是18平方米，要粉刷的面积是多少平方米？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个房间（长方体）的表面由五个长方形组成，缺少下面，最后计算这五个面的面积和减去门窗的面积即可解决问题．
【解答】解：5×4+5×3.5×2+4×3.5×2﹣18，
=20+35+28﹣18，
=83﹣18，
=65（平方米），
答：要粉刷的面积是65平方米．
31．一件衣服打八折是160元，现价比原价便宜多少元？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】打八折是指现价是原价的80%．打八折是160元，也就是160元相当于原价的80%，那么原价为160÷80%=200（元），进而解决问题．
【解答】解：八折=80%
160÷80%﹣160
=200﹣160
=40（元）
答：现价比原价便宜40元．
32．把一根长20厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料沿横截面锯成2段，表面积增加多少？
【考点】长方体和正方体的表面积；简单的立方体切拼问题．
【分析】由题意可知，锯成2段后，表面积增加了2个5×3的面的面积，据此计算即可解答．
【解答】解：5×3×2=30（平方厘米），
答：表面积增加30平方厘米．
33．一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积．
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】根据侧面积=底面周长×高，先求出长方体的底面周长，再根据长是宽的1.5倍，求出宽，进而求出长，然后利用长方体的表面积公式解答．
【解答】解：底面周长：360÷9=40（厘米），
宽：40÷2÷（1+1.5），
=20÷2.5，
=8（厘米），
长：8×1.5=12（厘米），
表面积：（12×8+12×9+8×9）×2，
=（96+108+72）×2，
=276×2，
=552（平方厘米）；
答：长方体的表面积是552平方厘米．
**2016年8月20日**
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> **北师大版一年级下册数学期中试卷**
>
> **班级------------ 姓名------------ 成绩------------**
 **孩子们：一学期的学习结束了，相信同学们都乐趣多多，收获多多，让我们一起进入智慧大闯关吧！**
**一、填空小能手。**
**1、10个一是（ ），（ ）个十是100。**
**2、89是由（ ）个十和（ ）个一组成的。**
**3、一捆铅笔有10枝，5捆在加上9枝是（ ）枝。**
**4、66这个数，左边的6在（ ）位上，表示（ ）个（ ），右边的6在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。**
**5、一个一个的数，56在（ ）和（ ）的中间。**
**6、最小的三位数是（ ），最大的两位数是（ ），他们相差（ ）。**
**7、一个数，个位上是8，十位上的数比个位上的少6，十位上是（ ），这个数是（ ）。**
**8、要知道物体的长度，可以用（ ）工具来测量。量较短物体的长度用（ ）作单位，量较长物体的长度用（ ）作单位。**
**二、计算小能手。**
**1、直接写得数。**
**46+23= 89-43= 55+32= 13+66= 98-47=**
**6+41= 58-24= 81+18= 64-32= 15+48=**
**2、比大小**
**59○96 53+41○69+17 88-50○21+7 36+5○49-7**
**7cm○9cm 45厘米○7米 100厘米○1米 1m○98cm**
**三、单位小精灵。（米、厘米）**
**1、课桌高约70（ ）。**
**2、在操场跑一圈约200（ ）。**
**3、你睡觉的床长约2（ ）。**
> **4、小红的身高约110（ ）。**
**5、一栋楼房高约18（ ）。**
**四、公正小法官。**
**1、小名的爷爷70岁，小名的年龄比爷爷小一些。（ ）**
**2、8个十和80个一同样多。（ ）**
**3、有四条边的就是正方形。（ ）**
**4、"55"这个数中的两个"5"表示的意思是相同的。（ ）**
**5、40厘米\>4米 ( )**
**五、细心小专家。**
**1、 （ ）形 2、 （ ）形**
**（ ）厘米 （ ）厘米**
**（ ）厘米 （ ）厘米**
**六、生活小管家。**
**1、****花店原来有57束花，**
**由于母亲节快到了，已经卖出去一些，现在还剩24束，卖出去了多少束？**
**2、** 
**想一想熊猫大约有多少只？在下面画" ○"**
**3、小花家买了一些水果，请你帮他算算一共有多少个？**
**西瓜买了23个，梨和苹果同样多，算算吧！**
**4、**
1. **乒乓球队和足球队一共有多少人？**
2. **足球队比篮球队多多少人？**
3. **你还能提出什么数学问题？**
**★☆★夺冠平台（任选一题）**
**1、28根小棒最多可以摆出（ ）个小正方形。**
**2、 请把0、10、20、30、40、50分别填在○里，使每条线上的数加起来都相等。**
**试卷说明：**
1、在教育理念更新，教学手段多元化的今天，改变学习方式和检测方式是重中之中。
本套试题面向全体学生，以注重基础知识和基本技能为主，以提升学生的综合分析能力和思维能力为辅，注重了题目的开放性、探究性与发展性，贴近学生生活，贴近社会，贴近时代发展。做到问题儿童化，试题多样化，题型趣味化，考查灵活化。让每一位学生爱学，乐学，把检测作为一次游戏，从中巩固知识，提高技能，有较好的品德，只有这样才真正适合新一轮的课改精神。
2、试题说明：首先，本套试题在每一题都以小能手、小专家等来称呼学生，学生就会有足够的成就感，利于后面答题。再如如第六大题"生活小管家"中，第1小题在考查知识的同时，渗透尊敬长辈，感恩母亲的美德；第2小题用拟人的手法，使小动物们说出贴近儿童的话，会使学生感到亲切，熟悉，为更好的解答这道题作出了铺垫。
**评分标准：**
一：共21分。每空一分。
二：共18分。1、1分。2、1分。
三：共10分。每题2分。
四：共10分。每题2分。
五：共12分。每空2分。
六：共24分。1、2、4分；3、5分；4、（12分）每小题3分。
夺冠平台：（6分）答对一题即可
**参考答案：**
一：1、（10）（10）；2、（8）（9）；3、（59）4、（十）（6）（十（个）（6）（一）5、（55）（57）6、（100）（99）（1）7、（2）（28）8、（尺子）（厘米）（米）
二：1、69、46、87、79、51、57、34、99、32、58
2、\<、\>、=、\<、\<、\<、=、\>
三：厘米、米、米、厘米、米
四：×、√、×、×、×
五：1、长方形；2、平行四边形。（测量处以实际测量为准）
六：1、57-24=33（束）；2、66只；3、23+23+23=69（个）
4、（1）32+41=73（个）；（2）46-24=22（个）；（3）符合题意即可。
夺冠平台：1、9个。
2、每条线三个数字相加都为90。
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**2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．设集合A={x\|x＜2}，B={y\|y=2^x^﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，3） B．\[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）
2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于"松竹并生"的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~n~=1+2a~n~（n≥2），且a~1~=2，则S~20~（ ）
A．2^19^﹣1 B．2^21^﹣2 C．2^19^+1 D．2^21^+2
6．已知圆C：x^2^+y^2^=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（ ）
A． B． C．（2，0） D．（9，0）
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，，若不论x~2~取何值，f（x~1~）＞g（x~2~）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B~3~C~3~上有10个不同的点P~1~，P~2~，...P~10~，记m~i~=（i=1，2，...，10），则m~1~+m~2~+...+m~10~的值为（ ）
A．180 B． C．45 D．
10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x^2^+2x+2）+f（y^2^+8y+3）=0，则x+y的最大值为（ ）
A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5
11．数列{a~n~}满足a~1~=，a~n+1~﹣1=a~n~（a~n~﹣1）（n∈N^\*^）且S~n~=++...+，则S~n~的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）
A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}
12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y^2^=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多[ ]{.underline}人．
14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=[ ]{.underline}．
15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为[ ]{.underline}．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈\[﹣4，4\]上有5个零点，则实数m的取值范围为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．已知向量，，设函数+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈\[0，3\]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．
19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ~1~（万元）的概率分布列如表所示：
------ ------- ------- -------
ξ~1~ 110 120 170
P m 0.4 n
------ ------- ------- -------
且ξ~1~的期望E（ξ~1~）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ~2~（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ~2~的关系如表所示：
----------- -------- --------- ---------
X（次） 0 1 2
ξ~2~ 41.2 117.6 204.0
----------- -------- --------- ---------
（1）求m，n的值；
（2）求ξ~2~的分布列；
（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）
20．如图，曲线Γ由曲线C~1~：和曲线C~2~：组成，其中点F~1~，F~2~为曲线C~1~所在圆锥曲线的焦点，点F~3~，F~4~为曲线C~2~所在圆锥曲线的焦点，
（1）若F~2~（2，0），F~3~（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C~2~的渐近线，交曲线C~1~于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C~2~的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l~1~过点F~4~交曲线C~1~于点C、D，求△CDF~1~面积的最大值．
21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈\[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N^\*^）．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（φ为参数），曲线C~2~的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C~1~，C~2~各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C~1~，C~2~是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C~1~，C~2~的交点分别为A~1~，B~1~，当α=﹣时，l与C~1~，C~2~的交点分别为A~2~，B~2~，求直线A~1~ A~2~、B~1~B~2~的极坐标方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设函数f（x）=\|x﹣a\|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
**2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．设集合A={x\|x＜2}，B={y\|y=2^x^﹣1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，3） B．\[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．
【解答】解：集合A={x\|x＜2}=（﹣∞，2），B={y\|y=2^x^﹣1，x∈A}，
由x＜2，可得y=2^x^﹣1∈（﹣1，3），
即B={y\|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），
则A∩B=（﹣1，2）．
故选：D．
2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把z代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z=1﹣i，∴=，
∴的共轭复数为1﹣3i．
故选：A．
3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．
【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，
所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．
故选B．
4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于"松竹并生"的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
5．已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~n~=1+2a~n~（n≥2），且a~1~=2，则S~20~（ ）
A．2^19^﹣1 B．2^21^﹣2 C．2^19^+1 D．2^21^+2
【考点】数列的求和．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．
【解答】解：∵S~n~=1+2a~n~（n≥2），且a~1~=2，∴n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=1+2a~n~﹣（1+2a~n﹣1~），化为：a~n~=2a~n﹣1~，
∴数列{a~n~}是等比数列，公比与首项都为2．
∴S~20~==2^21^﹣2．
故选：B．
6．已知圆C：x^2^+y^2^=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（ ）
A． B． C．（2，0） D．（9，0）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意设P的坐标为P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．
【解答】解：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m），
因为圆x^2^+y^2^=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（，），且半径的平方是r^2^=，
所以圆C的方程是（x﹣）^2^+（y﹣）^2^=，①
又x^2^+y^2^=4，②，
②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，
即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，
由得x=，y=，
所以直线AB恒过定点（，），
故选A．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得：
该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，
棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，
故组合体的体积V=Sh+Sh=4，
故选：A
8．设函数，，若不论x~2~取何值，f（x~1~）＞g（x~2~）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得f（x~1~）~min~＞g（x~2~）~max~=2，即当≤x≤时，0＜ax^2^+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，即可求得a的取值范围．
【解答】解：∵函数， =
===2sin（x+）≤2，即g（x）~max~=2，
因为不论x~2~取何值，f（x~1~）＞g（x~2~）对任意总是恒成立，
所以f（x~1~）~min~＞g（x~2~）~max~，
即对任意，＞2恒成立，
即当≤x≤时，0＜ax^2^+2x﹣1＜恒成立，
1°由ax^2^+2x﹣1＜得：ax^2^＜﹣2x，即a＜﹣=（﹣）^2^﹣，
令h（x）=（﹣）^2^﹣，
因为≤≤，
所以，当=时，\[h（x）\]~min~=﹣，故a＜﹣；
2°由0＜ax^2^+2x﹣1得：a＞﹣，
令t（x）=﹣=（﹣1）^2^﹣1，
因为≤≤，
所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）^2^﹣1=﹣；
当x=，即=时，t（）=（﹣1）^2^﹣1=﹣，显然，﹣＞﹣，
即\[t（x）\]~max~=﹣，故a＞﹣；
综合1°2°知，﹣＜a＜﹣，
故选：D．
9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B~3~C~3~上有10个不同的点P~1~，P~2~，...P~10~，记m~i~=（i=1，2，...，10），则m~1~+m~2~+...+m~10~的值为（ ）
A．180 B． C．45 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得，然后把m~i~=转化为求得答案．
【解答】解：由图可知，∠B~2~AC~3~=30°，又∠AC~3~B~3~=60°，
∴，即．
则，
∴m~1~+m~2~+...+m~10~=18×10=180．
故选：A．
10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x^2^+2x+2）+f（y^2^+8y+3）=0，则x+y的最大值为（ ）
A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x^2^+2x+2）+f（y^2^+8y+3）=0化为f（x^2^+y^2^+2x+8y+5）=0=f（0），可得x^2^+y^2^+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y~=0~，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
动点P（x，y）满足等式f（x^2^+2x+2）+f（y^2^+8y+3）=0，
即有f（x^2^+y^2^+2x+8y+5）=0=f（0），
由函数f（x）是定义在R上的单调函数，
可得x^2^+y^2^+2x+8y+5=0，
化为（x+1）^2^+（y+4）^2^=12，
可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），
则x+y=2（cosα+sinα）﹣5
=2cos（α﹣）﹣5，
当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，
故选：A．
11．数列{a~n~}满足a~1~=，a~n+1~﹣1=a~n~（a~n~﹣1）（n∈N^\*^）且S~n~=++...+，则S~n~的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）
A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}
【考点】数列递推式．
【分析】数列{a~n~}满足a~1~=，a~n+1~﹣1=a~n~（a~n~﹣1）（n∈N^\*^）．可得：a~n+1~﹣a~n~=＞0，可得：数列{a~n~}单调递增．可得a~2~=，a~3~=，a~4~=.=＞1， =＜1．另一方面： =﹣，可得S~n~=++...+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．
【解答】解：∵数列{a~n~}满足a~1~=，a~n+1~﹣1=a~n~（a~n~﹣1）（n∈N^\*^）．
可得：a~n+1~﹣a~n~=＞0，∴a~n+1~＞a~n~，因此数列{a~n~}单调递增．
则a~2~﹣1=，可得a~2~=，同理可得：a~3~=，a~4~=．
=＞1， =＜1，
另一方面： =﹣，
∴S~n~=++...+=++...+=﹣=3﹣，
当n=1时，S~1~==，其整数部分为0；
当n=2时，S~2~=+=1+，其整数部分为1；
当n=3时，S~3~=++=2+，其整数部分为2；
当n≥4时，S~n~=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：S~n~的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故选：A．
12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y^2^=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），利用OA=OB可求得x~1~=x~2~，进而可求得AB=4p，从而可得S~△OAB~．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y^2^=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则\|MF\|=\|MA\|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．
【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则y~1~^2^=2px~1~，y~2~^2^=2px~2~．
由OA=OB得：x~1~^2^+y~1~^2^=x~2~^2^+y~2~^2^，
∴x~1~^2^﹣x~2~^2^+2px~1~﹣2px~2~=0，即（x~1~﹣x~2~）（x~1~+x~2~+2p）=0，
∵x~1~＞0，x~2~＞0，2p＞0，
∴x~1~=x~2~，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，
与抛物线联立，解得或，
故AB=4p，
∴S~△OAB~=×2p×4p=4p^2^．
∵△AOB的面积为16，∴p=2；
焦点F（1，0），设M（m，n），则n^2^=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，
则==．
令 m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当 t=3时，等号成立）．
故的最大值为，
故选C．
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多[ 10 ]{.underline}人．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：设z=x+y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，
直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．但此时z最大值取不到，
由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，
代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．
即目标函数z=x+y的最大值为10．
故答案为：10．
14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】定积分；函数零点的判定定理．
【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．
【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），
∴m=﹣1，n=1，
∴===．
故答案为．
15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，
cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，
∴△ABC外接圆的直径为2r==，
设球O的半径为R，∴R==
∴球O的表面积为，
故答案为．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈\[﹣4，4\]上有5个零点，则实数m的取值范围为[ \[﹣3e^﹣4^，1）∪{﹣e^﹣2^} ]{.underline}．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xe^x^+e^x^﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xe^x^+e^x^﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．
【解答】\[﹣3e^﹣4^，1）∪{﹣e^﹣2^}
解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，
而y=f（x）在x∈\[﹣4，4\]上恰有5个零点，
故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，
x∈（﹣4，0）时f（x）=log~2~（xe^x^+e^x^﹣m+1），
故xe^x^+e^x^﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，
令g（x）=xe^x^+e^x^﹣m，
g′（x）=e^x^+xe^x^+e^x^=e^x^（x+2），
故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；
而g（﹣4）=﹣4e^﹣4^+e^﹣4^﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e^﹣2^+e^﹣2^﹣m，
而g（﹣4）＜g（0），
故﹣2e^﹣2^+e^﹣2^﹣m﹣1＜0＜﹣4e^﹣4^+e^﹣4^﹣m﹣1，
故﹣3e^﹣4^≤m＜1或m=﹣e^﹣2^
故答案为：\[﹣3e^﹣4^，1）∪{﹣e^﹣2^}
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．已知向量，，设函数+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈\[0，3\]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈\[0，3\]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．
【解答】解：向量，，函数+b．
则==．
（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，
∴（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈\[0，3\]，
∴ω=1，
∴，
由，
解得：（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，即时，函数f（x）单调递增；
，即时，函数f（x）单调递减．
又，
∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．
即sin≤﹣b﹣＜sin或，
所以满足条件的．
18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．
（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，
∵E是边SB的中点，
∴EF∥AB，且EF=AB，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，
∴CE∥面SAD．
解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，
又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），
则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），
设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，1），
同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），
cos＜＞==，
由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，
∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．
19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ~1~（万元）的概率分布列如表所示：
------ ------- ------- -------
ξ~1~ 110 120 170
P m 0.4 n
------ ------- ------- -------
且ξ~1~的期望E（ξ~1~）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ~2~（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ~2~的关系如表所示：
----------- -------- --------- ---------
X（次） 0 1 2
ξ~2~ 41.2 117.6 204.0
----------- -------- --------- ---------
（1）求m，n的值；
（2）求ξ~2~的分布列；
（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．
（2）ξ~2~的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ~2~的分布列；
（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
得：m=0.5，n=0.1．
（2）ξ~2~的可能取值为41.2，117.6，204.0，P（ξ~2~=41.2）=（1﹣p）\[1﹣（1﹣p）\]=p（1﹣p）
P（ξ~2~=204.0）=p（1﹣p）
所以ξ~2~的分布列为
------ ----------- ------------------ -----------
ξ~2~ 41.2 117.6 204.0
P p（1﹣p） p^2^+（1﹣p）^2^ p（1﹣p）
------ ----------- ------------------ -----------
（3）由（2）可得： =﹣10p^2^+10p+117.6
根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），
即120＜﹣10p^2^+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．
因为，
所以当时，E（ξ~2~）取到最大值为120.1，
所以预测投资回报率的最大值为12.01%．
20．如图，曲线Γ由曲线C~1~：和曲线C~2~：组成，其中点F~1~，F~2~为曲线C~1~所在圆锥曲线的焦点，点F~3~，F~4~为曲线C~2~所在圆锥曲线的焦点，
（1）若F~2~（2，0），F~3~（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C~2~的渐近线，交曲线C~1~于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C~2~的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l~1~过点F~4~交曲线C~1~于点C、D，求△CDF~1~面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由F~2~（2，0），F~3~（﹣6，0），可得，解出即可；
（2）曲线C~2~的渐近线为，如图，设点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x^2^﹣2mx+（m^2^﹣a^2^）=0，
利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．
（3）由（1）知，曲线C~1~：，点F~4~（6，0）．设直线l~1~的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n^2^）y^2^+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【解答】（1）解：∵F~2~（2，0），F~3~（﹣6，0），
∴，
解得，
则曲线Γ的方程为和．
（2）证明：曲线C~2~的渐近线为，
如图，设直线l：y=，
则，化为2x^2^﹣2mx+（m^2^﹣a^2^）=0，
△=4m^2^﹣8（m^2^﹣a^2^）＞0，
解得．
又由数形结合知．
设点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~），
则x~1~+x~2~=m，x~1~x~2~=，
∴=，．
∴，即点M在直线y=﹣上．
（3）由（1）知，曲线C~1~：，点F~4~（6，0）．
设直线l~1~的方程为x=ny+6（n＞0）．
，化为（5+4n^2^）y^2^+48ny+64=0，
△=（48n）^2^﹣4×64×（5+4n^2^）＞0，化为n^2^＞1．
设C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~），
∴，．
∴\|y~3~﹣y~4~\|==，
===，
令t=＞0，∴n^2^=t^2^+1，
∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．
∴n=时， =．
21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈\[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N^\*^）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f\'（1）=1列式求得a值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到，构造函数，即∀x∈\[1，+∞），g（x）≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．令，然后分别取i=1，2，...，n，利用累加法即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由题设f\'（1）=1，∴，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解：，∀x∈\[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即，
设，即∀x∈\[1，+∞），g（x）≤0．
，g\'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①若m≤0，g\'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m∈（0，1），当，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾；
③若m≥1，当x∈（1，+∞），g\'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；
综上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
不妨令，
∴，
即，，，...，．
累加可得：ln（4n+1）≤16（n∈N^\*^）．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（φ为参数），曲线C~2~的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C~1~，C~2~各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C~1~，C~2~是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C~1~，C~2~的交点分别为A~1~，B~1~，当α=﹣时，l与C~1~，C~2~的交点分别为A~2~，B~2~，求直线A~1~ A~2~、B~1~B~2~的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ） 曲线C~1~的直角坐标方程为x^2^+y^2^=1，C~1~是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C~2~的直角坐标方程为=1，C~2~是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ） C~1~，C~2~的普通方程分别为x^2^+y^2^=1和，当时，射线l与C~1~的交点A~1~的横坐标为，与C~2~的交点B~1~的横坐标为，当时，射线l与C~1~，C~2~的交点A~2~，分别与A~1~，B~1~关于x轴对称，由此能求出直线A~1~ A~2~ 和B~1~B~2~的极坐标方程．
【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4 坐标系统与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C~1~的参数方程为（φ为参数），
∴曲线C~1~的直角坐标方程为x^2^+y^2^=1，∴C~1~是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C~2~的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），
∴曲线C~2~的直角坐标方程为=1，∴C~2~是焦点在x轴上的椭圆．
当α=0时，射线l与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
∵这两点间的距离为2，∴a=3...
当时，射线l与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
∵这两点重合，∴b=1...
（Ⅱ） C~1~，C~2~的普通方程分别为x^2^+y^2^=1和...
当时，解方程组，得A~1~（，），即射线l与C~1~的交点A~1~的横坐标为，
解方程组，得B~1~（，），与C~2~的交点B~1~的横坐标为
当时，射线l与C~1~，C~2~的交点A~2~，分别与A~1~，B~1~关于x轴对称
因此，直线A~1~ A~2~、B~1~B~2~垂直于极轴，
故直线A~1~ A~2~ 和B~1~B~2~的极坐标方程分别为，...
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设函数f（x）=\|x﹣a\|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；
（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））~min~即可．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=\|x﹣a\|，a＜0，
则f（x）+f（﹣）=\|x﹣a\|+\|﹣﹣a\|
=\|x﹣a\|+\|+a\|≥\|（x﹣a）+（+a）\|
=\|x+\|=\|x\|+≥2=2．
（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=\|x﹣a\|+\|2x﹣a\|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为\[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．
**2017年4月27日**
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**2018年凉山州初中毕业、高中阶段招生统一考试**
**数学试卷**
**A卷（共100分）**
**第Ⅰ卷（选择题 共30分）**
**一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置.**
1.比1小2的数是（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．1
2.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
4.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望小学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
5.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后"建"字对面是（ ）
A．和 B．谐 C．凉 D．山
6.一组数据3、2、1、2、2的众数，中位数，方差分别是（ ）
A．2，1，0.4 B．2，2，0.4
C．3，1，2 D．2，1，0.2
7.若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
   
A． B． C． D．
8.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
   
A． B． C． D．
9.如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10.如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
**2018年凉山州初中毕业、高中阶段招生统一考试**
**数学试卷**
**第Ⅱ卷（非选择题 共70分）**
**二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）**
11.分解因式\_\_\_\_\_\_\_\_， [ ]{.underline} ．
12.已知且，则 [ ]{.underline} ．
13.有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是 [ ]{.underline} ．
14.已知一个正数的平方根是和，则这个数是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题（共4小题，每小题7分，共28分）**
15.计算：.
16.先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：.
17.观察下列多面体，并把下表补充完整.
-------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形    
顶点数 6 10 12
棱数 9 12
面数 5 8
-------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.
18.如图，在方格纸中.
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出点坐标；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；
（3）计算的面积.
**四、解答题（共2小题，每小题7分，共14分）**
19.我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的作费用.张先生以每股5元的价格买入"西昌电力"股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）
20.已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球.
（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
（2）若往口袋中再放入个白球和个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求与之间的函数关系式.
**五、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）**
21.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走600米到达处，测得在点的北偏西方向上.
（1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参数数据：）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？
22.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于，两点，过作直线与轴负方向相交成的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点.
（1）求直线的解析式；
（2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间.
**B卷（共20分）**
**六、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）**
23.若不等式组的解集为，则\_\_\_\_\_\_\_\_.
24.将绕点逆时针旋转到使、、在同一直线上，若，，，则图中阴影部分面积为\_\_\_\_\_\_\_\_.
**七、解答题（共2小题，25题4分，26题10分，共14分）**
25.我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
26.如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.
**2018年凉山州初中毕业、高中阶段招生统一考试**
**数学参考答案**
**A卷（共100分）**
**一、选择题**
1-5: ACDBD 6-10: BBDCA
**二、填空题**
11\. 12. 13. 小林 14.
**三、解答题**
15.计算：原式
.
16.解：
.
取时，原式.
17\.
-------- -------- -------- -------- --------
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
顶点数 8
棱数 15 18
面数 6 7
-------- -------- -------- -------- --------
.
18.（1）画出原点，轴、轴.
.
（2）画出图形.
（3）.
**四、解答题**
19.解：设至少涨到每股元时才能卖出.
根据题意得，
解这个不等式得，即.
答：至少涨到每股6.06元时才能卖出.
20.解：（1）取出一个黑球的概率.
（2）∵取出一个白球的概率，
∴，
∴，
∴与的函数关系式为：.
**五、解答题**
21.（1）理由如下：
如图，过作于，设，
由已知有，，
则，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴解得（米）（米）.
∴不会穿过森林保护区.
（2）解：设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天.
根据题意得：，
解得：，
经检验知：是原方程的根，
答：原计划完成这项工程需要25天.
22.（1）解：由题意得，
∴点坐标为.
∵在中，，
，
∴点的坐标为.
设直线的解析式为，
由过、两点，
得，
解得，
∴直线的解析式为：.
（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，
与轴相切于点，连接，.
则，
∵轴，∴，
在中，.
∵，
∴，
∴（秒），
∴平移的时间为5秒.
**B卷（共20分）**
**六、填空题**
23\. -1 24.
**七、解答题**
25.解：
.
26.解: （1）已知抛物线经过,,
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为.\
（2）∵,，∴，，
可得旋转后点的坐标为.
当时，由得，
可知抛物线过点.
∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点.
∴平移后的抛物线解析式为：.
（3）∵点在上，可设点坐标为，
将配方得，∴其对称轴为.
①当时，如图①，
∵，
∴，
∵，
此时，
∴点的坐标为.
②当时，如图②，
同理可得，
∴，
此时，
∴点的坐标为.
综上，点的坐标为或.
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**2017年新疆生产建设兵团中考数学试卷**
**参考答案**
**一、选择题（本大题共9题，每题5分，共45分）**
1．A．
2．D．
3．C．
4．B
5．D．
6．C．
7．A．
8．B．
9．A．
**二、填空题（本大题共6题，每题5分，共30分）**
10．[ （x+1）（x﹣1） ]{.underline}．
11．[ m＞5 ]{.underline}．
12．[ 17 ]{.underline}元．
13．[ 1000 ]{.underline}元．
14．[ 18 ]{.underline}cm^2^．
15．[ ①④ ]{.underline}
**三、解答题（一）（本大题共4题，共30分）**
16．【解答】解：原式=2﹣+2+1=3+．
17．【解答】解：解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1．
18．【解答】（1）证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）证明：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
19．【解答】解：
如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵=tan∠DBC，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴乙建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，
∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．
**四、解答题（二）（本大题共4题，共45分）**
20．【解答】解：（1）∵抽取的学生数为6÷0.15=40人，
∴a=0.3×40=12人，b=8÷40=0.2，
频数分布直方图如下：
故答案为：12，0.2，1≤t≤1.5；
（2）该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足0.5小时的学生大约有：0.15×2000=300人；
（3）树状图如图所示：
总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，
∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率==．
21．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），
∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．
（22﹣20）÷5=0.4（小时）．
故答案为：22；2；0.4．
（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．
（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），
∵0.8＜1，
∴所用小宇12：00前能到家．
22．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，BC=3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=，
∴AC=2AB=2，AO=，
∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO^2^﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．
23．【解答】解：（1）当y=0时，0=﹣x^2^+x+2，
解得：x~1~=﹣1，x~2~=4，
则A（﹣1，0），B（4，0），
当x=0时，y=2，
故C（0，2）；
（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
∴D（3，﹣2）；
②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴AC=BD，AD=BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵AC==，BC==2，
AB=5，
∴AC^2^+BC^2^=AB^2^，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（3）由题意可得：BD=，AD=2，
则=，
当△BMP∽△ADB时，
==，
可得：BM=2.5，
则PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
当△BMP~1~∽△ABD时，
P~1~（1.5，﹣1.25），
当△BMP~2~∽△BDA时，
可得：P~2~（1.5，5），
当△BMP~3~∽△BDA时，
可得：P~3~（1.5，﹣5），
综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科综合 思想政治部分
文科综合共300分，考试用时150分钟。
思想政治试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页，共100分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
2.本卷共11题，每题4分，共4分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.习近平指出，嫦娥四号任务实现了人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上中国足迹，这是探索建立新型举国体制的又一生动实践。美国《时代》周刊网站认为，这项伟大工程得以实现在于中国所拥有的完整把握经济社会各个方面的制度。德国《明镜》周刊网站也发表了类似看法。这表明中国特色社会主义制度（ ）
A.得到世界各国的普遍认可
B.是人民当家作主的政治制度
C.既符合我国的国情，又可以广泛推广
D.是当代中国发展进步的根本制度保障
2.2019年3月，天津市人大常委会积极落实中央和市委相关指示精神，回应广大市民和人大代表呼吁，制定了《天津市文明行为促进条例》。《条例》起草过程中，有50余万人通过信函或网络发表意见，提供了有价值建议260余条。上述材料表明（ ）
①立法工作必须坚持党的领导
②人大代表行使了提案权和决定权
③人民代表大会常务委员会是最高立法机关
④公民通过社情民意反映制度参与民主决策
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
3.党的十八大以来，中国不断刷新的减贫成绩单令世界惊叹，截至2018年底，农村贫困人口减少了八千多万。中国与广大发展中国家分享减贫经验和资源，为实现联合国2030年可持续发展目标中的减贫目标作出贡献。由此可见（ ）
A.中国支持联合国所进行的各项工作
B.中国是促进世界稳定和发展的重要力量
C.要和平、促发展已成为世界各国的共同愿望
D.中国推动建设相互尊重、公平正义的新型国际关系
4.税收是国家财政收入的最主要来源。2019年我国政府推出多项减税和降费措施，全年有望减轻企业税收和社保缴费负担近2万亿元，这意味着国家财政收入会大幅下降。为弥补财政缺口，政府可采取的措施有（ ）
A.减少国债发行量
B.增加企业上缴利润
C.压减公务招待等"三公"经费支出
D.规范金融市场秩序，扩大股票发行规模
5.粮票是我国在特定历史时期发放的一种购粮凭证，人们需要凭粮票购买粮食。改革开放后，曾经严格的票证制度越来越松动，1993年粮票被正式宣告停止使用。下图描述了粮票退出历史舞台的主要原因，其中正确的是（ ）
   
6.年初，小高将M元存为2年定期储蓄，年利率为2.25%；将N元以每股5元的价格购买某股票，该股票在当年年底跌到每股4元，第二年年底涨到每股6元时，小高把它卖了出去。若忽略其它费用，小高两年投资总收益的计算方式为（ ）
A.M×2.25%+N÷5×（5-4） B.M×2.25%×2+N÷5×（6-5）
C.M×2.25%+N÷5×（6-5） D.M×2.25%×2+N÷5×（6-4）
7.一个国家、一个民族不能没有灵魂。作为精神事业，文化文艺、哲学社会科学当然就是一个灵魂的创作。古人讲："文章合为时而著，歌诗合为事而作。"今天我们提到老子、孔子、孟子，想到的是《道德经》、《论语》、《孟子》；提起陶渊明、李白、杜甫，想到的是他们的千古名篇。这启示文化文艺与哲学社会科学工作者要（ ）
①立足当代现实，反映时代呼声 ②继承优秀传统、奉献文化精品
③传承经典文化，摒弃流行文化 ④弘扬革命文化，发展先进文化
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
8.美国伊利诺伊州北奈尔斯高中自2008年起开设中文课程，目前选修人数已拓展至11个班。2019年3月，国家主席习近平复信该校学生，勉励他们为增进中美人民友谊作出贡献。此前，该校学生用中文写信给习近平，表示他们喜爱中国的语言文字、音乐和美食，希望有机会来中国参观访问。这说明（ ）
A.中华文化面向世界博采众长
B.中华文化具有凝聚力和引领力
C.中国在国际事务中的话语权不断增强
D.教育在文化交流中发挥着重要的作用
9.改革开放之所以极大解放和发展了社会生产力，让中国特色社会主义展现出强大生命力，一个重要原因就是我们始终坚持辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观和方法论，正确把握了我国的国情与实际。这表明马克思主义哲学（ ）
A.是世界观和方法论的统一
B.是对一定社会政治经济的反映
C.实现了唯物辩证的自然观和历史观的统一
D.正确地揭示了物质世界的本质和基本规律
10.下列选项与漫画《心病》的哲学寓意最贴切的是（ ）
A.杯弓蛇影 B.对症下药 C.患得患失 D.白日做梦
11.古希腊哲学家芝诺的学生曾问：老师，您知识如此渊博，怎么还觉得自己很无知呢？芝诺顺手画了一大一小两个圆说，小圆是你们的知识，大圆是我的知识，这两个圆的外面就是无知的部分，所以我接触无知的范围就比你们广。芝诺的说法蕴含的哲理是（ ）
A.无知是达到有知的根本动力
B.无知是相对的，有知是绝对的
C.无知和有知相互依赖、相互贯通
D.无知和有知是整体和部分的关系。
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共4题，共56分。
12.（21分）阅读材料，回答问题。
材料一
（1）提取材料一中的经济信息。（4分）
材料二 江苏省睢宁县沙集镇曾经是一个贫困的农业镇，2006年前主要从事废旧塑料回收和加工，生态环境不堪重负。从2007年第一个开家具淘宝店的农户尝到甜头起，年轻人纷纷加入了"淘宝大军"，开启电商创业大幕。随着市场的变化，该镇电商经营模式经历了从赚取购销差价到产销结合、自产自销，再到重视创意和知识产权三个阶段。为使电商企业健康发展，雅宁县政府开展了产品质量提升和环保达标活动，对信用良好的电商给予专项财政支持。2008至2017年，全镇工业总产值以年均16.7%的速度持续增长，物流、商贸等相关服务业得到快速发展，沙集正成为一个富裕美丽的新沙集。
（2）运用《经济生活》知识，说明该地是如何建设富裕美丽新沙集的。（9分）
（3）运用商品二因素知识，说明电商企业为什么要重视商品质量。（8分）
13.（19分）阅读材料，回答问题。
材料一 大运河是中国古代创造的一项伟大工程，展现出我国劳动人民的伟大智慧和勇气。长期以来，大运河面临着遗产保护压力巨大、传承利用质量不高、资源环境形势严峻等突出问题。习近平总书记指出，要统筹保护好、传承好、利用好大运河这一宝贵遗产。2019年2月，国家出台了《大运河文化保护传承利用规划纲要》（简称《规划纲要》），提出坚持以人民为中心，共抓大保护，不搞大开发。这对于大运河文化保护传承有重要作用。
（1）结合材料，运用社会历史观的知识，分析国家出台《规划纲要》的哲学依据。（10分）
材料二 2018年8月，京津冀等运河沿线八省市共同举办了"千年韵·万象河"大运河文化之旅主题活动。活动期间，人们通过活动官方账号了解大运河文化，看直播、刷视频，参与"我的运河故事"征集评选和大运河知识竞赛。主办方通过全媒体、多形式、多渠道深入挖掘作为世界文化遗产的大运河所蕴含的历文之化内涵，倾力打造大运河文化品牌，推动大运河文化带向纵深发展。
（2）简要回答"千年韵·万象河"主题活动的文化价值。（9分）
14.（10分）阅读材料，回答问题
2018年以来，我国政法领域改革不断向纵深推进。最高人民法院国际商事法庭、上海金融法院等相继挂牌成立，进一步完善了法院组织体系和相关审判工作机制。公安部打造全面覆盖、闭环管理的执法全流程记录链条，将全流程记录延伸至执法办案各环节。政法部门不断提供更优质、高效、贴心的法律服务，全国县（市、区）公共法律服务中心覆盖率达99%，拉近了与群众的距离。
运用《政治生活》知识，分析我国政法领域上述改革措施的意义。（10分）
15.（6分）阅读材料，回答问题。
今年是五四运动100周年，我们致敬那段激情燃烧的岁月。五四运动以来，中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行。作为新时代青年，你如何不辜负这个伟大时代？请写出两点想法，要求体现知行统一，每点不超过20字。（6分）
文科综合思想政治部分参考答案
I卷共11题，每题4分，共44分。
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D
10.A 11.C
Ⅱ卷共4题，共56分。
12.（21分）
（1）（4分）
①2013\~2017年我国社会消费品零售总额和网上零售额逐年增加，网上零售额占社会消费品零售总额比重较小。
②2013\~2017年我国社会消费品零售总额增速略有下降，网上零售额增速波动较大，网上零售额增速高于社会消费品零售总额增遍。
（2）（9分）
①该地电商企业适应市场需求，调整生产经营活动。
②该地政府发挥调控作用，运用经济手段引导企业诚信经营。
③该地坚持创新发展、绿色发展，追求高质量发展。
（3）（8分）
①使用价值和价值是商品的二因素，任何商品都是使用价值和价值的统一体。
②电商企业要顺利地卖出商品，实现商品价值，就必须重视商品的使用价值，提高商品质量，更好地满足消费者需求。
13.（19分）（1）（10分）
①社会存在决定社会意识。针对大运河保护传承存在突出问题，国家出台《规划纲要》。
②社会意识具有相对独立性，先进的社会意识对社会发展具有积极作用。《规划纲要》的出台对大运河文化保护传承具有重要作用。
③人民群众是历史的创造者。《规划纲要》强调坚持以人民为中心，以维护人民群众的利益。
（2）（9分）
①有利于保护传承中华优秀传统文化，推动中华优秀传统文化创造性转化、创新性发展。
②有利于用优秀文化丰富人的精神世界。
③有利于保护历史文化遗产，增强文化自信。
14.（10分）
①有利于完善中国特色社会主义法治体系。②有利于政府依法行政，防止行政权力滥用。
③有利于维护公民的合法权益，满足人民对法治、公平、正义的需求。
④有利于推进依法治国。
15.（6分）答案示例：
①树立远大理想，勇于砥砺奋斗。
②树立和践行社会主义核心价值观。
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科综合 历史部分
文科综合共300分，考试用时150分钟。
历史试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共100分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共11题，每题4分，共44分在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.中国很多地区出土了大量青铜器，它们包含着丰富的历史文化内容。图片中的两件青铜器出土于同一地点，该地点位于地图中（ ）
 
A.① B.② C.③ D.④
2.明朝嘉靖年间，山西武城县县令鉴于该县"集日寡而旷多"，每逢集日，便组织"歌舞剧戏之徒，各呈其技于要街"，结果"众且观且市，远近毕至，喧声沸腾......粟米丝麻布帛，禽而鸡鹜，兽而牛羊，食而鱼肉果菰，与夫南北水陆之产，可以供民生所需者，错然填街溢巷"。从史料可知，当时武城县（ ）
A.农村集市贸易从无到有 B.文化与商业结合活跃经济
C.居民日常文化活动丰富 D.乡村城镇化发展比较迅速
3.公元58年，驻守耶路撒冷的罗马军队指挥官下令对一名犹太人执行鞭刑，犹太人对指挥官说："你难道可以合法地鞭打一位没有犯罪的罗马公民吗？"指挥官有些诧异："我花了许多银子才获得了罗马公民身份。"对方说："我生来就是。"这表明此时罗马公民（ ）
A.身份的获得有不同途径 B.必须具有较强的经济实力
C.来自共和国内各个地区 D.拥有免受法律处罚的权利
4.文艺复兴时期，很多画家以希腊神话中的情节为素材进行创作。在描绘天神宙斯用一阵"黄金雨"吸引人们时，意大利威尼斯画派的代表人物提香直接用从天而降的一枚枚金币来表现。提香的这一表现方式（ ）
A.带有画家生活环境的烙印
B.突出了文艺复兴的精神实质
C.附和了教会宣扬的道德观
D.体现了神韵写意的绘画风格
5."光荣革命"后直到1832年议会改革前，在英国的一些选区，地方权贵通过人为操作确定议员，议会席位可以买卖，贿选行为屡见不鲜。这说明英国（ ）
A.最高权力归属仍未解决 B.普选权的推行弊端众多
C.专制独裁有了新的土壤 D.民主制度建设尚需完善
6.据革命老人吴玉章回忆，1903年他在日本曾读过宣传社会主义的书籍，"感到这种学说很新鲜，不过那时候一面在学校紧张地学习，一面着重从事革命的实际活动，对这种学说也没有进行深入的研究，就放过去了"。这反映了（ ）
A.社会主义理论尚未成熟 B.社会主义制度己成为青年追求目标
C.中国革命理论已经形成 D.先进理论付诸实践要适应时代要求
7.《纽约时报》驻汉口记者报导，湖北革命军发布公告宣称：任何对外国人或商业经营进行干扰的士兵都将被立即处死；这是一支人民的军队，将推翻残暴的满洲王朝，恢复真正的中国人的权利。从报导中可以看出这场革命（ ）
A.拥有广泛的群众基础 B.具有鲜明的革命目标
C.获得国际舆论的支持 D.体现反帝反封建性质
8.1918年初，德军逼近彼得格勒。苏俄被迫接受德国提出的割地赔款条件，签订"布列斯特和约"，退出大战，赢得了巩固苏维埃政权的时间。有历史学家借"布列斯特和约"的寓意，把新经济政策称为"农民的布列斯特"。这说明苏维埃政权（ ）
A.已把农民视为当前最危险的敌人
B.确定武装对抗是处理内政的方针
C.通过妥协让步维护革命根本利益
D.开辟了苏联社会主义建设新道路
9.中国共产党发表宣言，"对于日寇对我国的领土侵略和内政干涉，表示激烈的反抗"，号召大家团结起来，抵抗日寇侵略和蒋介石政府的压迫，"勇敢地与苏维埃政府和东北各地抗日政府一起，组织全中国统一的国防政府"。这反映了（ ）
A.日本全面侵华导致了民族危机加深
B.国共两党有合作抗日的意愿
C.抗日民族统一战线的基础初步奠定
D.中共主张建立民主联合政府
10.毛泽东在一次会议上说："古代有封建的土地所有制，现在被我们废除了，或者即将被废除......在今后一个相当长的时期内，我们的农业和手工业，就其基本形态说来，还是和还将是分散的和个体的，即是说，同古代近似的。"这次会议是（ ）
A.中共七大 B.中共七届二中全会
C.第一届全国人民代表大会 D.中共八大
11.第二次世界大战之后的观十年中，美国大力开展军备竞赛，一些大公司与美国政府签订了以"成本千固定利润"为条件的防务合同，很多小型企业从大公司获得的分包合同也是如此。这反映美国（ ）
A.冷战政策与公司发展相互影响
B.已经把军备竞赛作为根本国策
C.军工订单解决了严重失业问题
D.国民经济军事化加剧战争危险
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共3题，共56分。
12.（19分）阅读材料，回答问题。
材料一
孔子称赞管仲辅佐齐桓公"霸诸候，一医天下"。孔子企望周之复兴，"如有用我者，吾其为东周乎"。
孟子提出"定于一"，尊新王。"当今之时，万乘之国行政，民之悦之，犹解倒悬也"他希望改朝易姓之后，重现孔子所说"礼乐征伐自天子出"的盛世。
\-\--据《论语》《孟子》
（1）依据材料一，指出孔子与孟子主张的异同，并结合所学知识分析其出现异同的原因。（8分）
材料二
"万乘之主，有能服术行法......其聚天下不难矣。"
"故治民无常......法与时转则治，治与世宜则有功。"
"是故诸侯之博大，实好之害也......万物莫如身之至贵也，位之至尊也，主威之重，主势之隆也。"
\-\--《韩非子》
（2）依据材料二，概括韩非子"兼天下"思想的特点。结合所学知识，简述秦在实践法家思想上的成败。（7分）
材料三
董仲舒说："今汉继秦之后，如朽木粪墙矣，虽欲善治之，亡可奈何......为政而不行，甚者必变而更化之，乃可理也......当更化而不更化，虽有大贤不能善治也。故汉得天下以来，常欲善治而至今不可善治者，失之于当更化而不更化也。""《春秋》大一统者，天地之常经，古今之通谊也。"
\-\--《汉书》
（3）材料三中，董仲舒看到"至今不可善治"的一些问题，提出了"春秋大一统"。依据材料一、二、三，结合所学知识，概述董仲舒"大一统"理论的历史意义。（4分）
13.（19分）阅读材料，回答问题。
材料一
目前，我国实行经济开放政策，争取利用国际上的资金和先进技术，来帮助我们发展经济。这一政策已开始有些效果。但是，从发达国家取得资金和先进技术不是容易的事情......必须在自力更生的基础上争取外援，主要依靠自己的艰苦奋斗。
\-\--邓小平《我国经济建设的历史经验》（1982年）
（1）依据材料一，概括邓小平的对外开放思想。结合中国社会主义经济建设的历程，指出邓小平主张对外开放的原因。（6分）
材料二
1992年后，天津滨海新区"三资"企业发展迅速。2003年，己有几十家世界五百强企业在此投资，"三资"企业工业总产值完成1037亿元。1993年到2003年，滨海新区外贸出口由5.03亿美元增长到89.38亿美元，电子信息、生物医药、新材料、新能源、环保等高新技术产业群已初具规模。2006年，滨海新区正式纳入国家整体发展战略。2009年，根据国务院的批复，天津滨海新区行政区成心，
\-\--据国家发改委《天津滨海新区重点产业选择和布局研究》
（2）依据材料二，结合所学知识，简述20世纪80年代以来天津对外开放的历史机遇和90年代以来滨海新区经济发展的新变化。（7分）
材料三
我们要坚定不移发展开放型世界经济，在开放中分享机会和利益、实现互利共赢......我们要下大气力发展全球互联互通，让世界各国实现联动增长，走向共同繁荣。我们要坚定不移发展全球自由贸易和投资，在开放中推动贸易和投资自由化便利化，旗帜鲜明反对保护主义。
\-\--习近平《共担时代责任，共促全球发展》（2017年）
（3）中国对外开放经历了探索与发展的历程，结合材料一、二、三及所学知识，简述对这一历程的认识。（要求：史论结合，逻辑清晰，结论正确。）（6分）
文科综合历史部分参考答案
I卷共11题，每题4分，共44分。
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C
10.B 11.A
Ⅱ卷共3题，共56分。
12.（19分）
（1）实现国家统一，恢复礼乐制度。
孔子主张复兴周王朝；孟子主张由推行仁政的诸侯建立新的王朝。
春秋战国时期，礼崩乐坏，天下战乱，民心思定。
春秋时期，周王室仍有影响力，孔子对周天子抱有期望：战国时期，诸侯纷纷称王，孟子对周王室不再抱有幻想，
（2）强调法、术、势的作用：主张以法治国、法随时变；宣扬君权至上。
秦奉行法家思想，富国强兵，进行统一战争结束割据局面，建立了专制主义中央集权制度，开创了统一多民族国家；秦朝推行严刑峻法，实施暴政，迅速灭亡。
（3）适应时代需要，发展了大一统理论，加强了中央集权，维护了统一的多民族国家，对后世产生深远影响。
13.（19分）
（1）在自力更生的基础上引进资金和先进技术，发展经济。
基本建立社会义经济体系：在探索中取得一定成绩，但也出现较大失误；中国经济落后于世界发达国家，现代化经济建设已经启动，急需资金和技术。
（2）1984年天津成为第一批沿海对外开放城市，后又成为环渤海经济开放区的重要组成部分：党的十四大提出建立社会主义市场经济体制；2006年天津滨海新区正式纳入国家整体发展战略。
大力吸收外资，"三资"企业发展迅速：外商投资及外贸出口迅速增长；引进高新技术，高新技术产业群初具规模。
（3）答案示例一：中国对外开放不断扩大，逐渐深入
党的十一届三中全会提出改革开放，实现伟大历史转折，20世纪80年代，设立经济特区、沿海经济开放区等，引进外资和技术，对外开放不断扩大。1992年后，随着社会主义市场经济体制建立，逐步形成全方位、多层次、宽领域的对外开放格局。当前，随着"一带一路"建设，推进与世界互利共赢。中国对外开放不断扩大，逐渐深入。
答案示例二：中国对外开放具有历史必然性
党的十一届三中全会提出对外开放，发展经济.符合现代化建设需要。20世纪80年代，为适应改革开放的进一步开展，大力引进外资和技术；90年代，建立和发展社会主义市场经济，为天津等地对外开放提供了历史机遇。当前，推进"一带一路"建设，与世界分享机会和利益，互利共赢。中国对外开放具有历史必然性。
14.（18分）
（1）特定人群的需要：出现专门的从业人员：欧洲大城市成为新闻汇集和传播中心。资本主义萌芽；文艺复兴；宗教改革：新航路开辟。
（2）报纸成为交战双方的宣传工具；独立战争推动美国报业的自主发展。
（3）1848年革命爆发，《新莱菌报》成为革命的机关报，适应德国人民革命的需要：组织领导群众斗争，建立通讯员网，发表大量读者来信。
（4）适应了时代发展、社会需要：发挥了传递信息、传播思想的作用：成为人民的喉舌，推动了历史进步。
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科综合 地理部分
文科综合共300分，考试用时150分钟。
地理试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页，第Ⅱ卷6至8页，共100分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共11题，每题4分，共44分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
天津滨海新区发挥临海优费，采取多种举措，促进区域可持续发展。读图文材料，回答1\~2题。
1.集中分布在滨海新区北部的四处景观（见图1），共同反映了当地着力发展的产业是（ ）
A.船舶制造与维修 B.海洋文化旅游
C.水产养殖与捕捞 D.远洋货物运输
2.政府有关部门在沿海滩涂上放置人工礁石，引种盐生植物（见图2），其目的主要是（ ）
A.保护海岸，净化海水 B.恢复生态，美化环境
C.增加湿地，吸引鸟类 D.开发滩涂，海水养殖
读图3和图4，回答3-4题。
3.在形成图3所示降水分布状况的当天，最有可能出现的气压场分布形势是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.图4中所示的气压场分布形势，最可能出现在我国冬季的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二十世纪六、七十年代，河南省林县（今林州市）为解决农业用水问题，在太行山的陡坡上修建了坡度很小、蜿蜒曲折的跨流城调水工程\-\--红旗渠（图5）。读图文材料，回答第5题。
5.将红旗渠干渠的坡度设计得很小，是为了（ ）
A.减轻渠水对渠堤的侵蚀
B.增加输水渠的输水流量
C.减少输水渠中的泥沙沉积
D.降低输水工程的建设成本
太湖流城Z镇植桑养蚕、丝绸纺织的历史悠久。近年来，Z镇积极发展桑蚕及相关产业，形成了特色小镇。读图文材料，回答6-7题。
6.据图6中信息判断，对该镇特色产业发展方式最准确的概括是（ ）
A.扩大丝绸服装制造业，形成规模优势
B.新增蚕丝被制造业，培育新的产业链
C.基于植桑养蚕，逐步形成多元化产业
D.传播桑蚕文化，发展丝绸专题旅游业
7.该特色小镇实现了社会与经济协调发展，其最主要的原因是
A.特色产业发展与城镇建设互动并进
B.利用地域文化吸引外来人口
C.通过延长桑蚕产业链提高经济效益
D.在城镇化过程中保护了环境
读W市主城区2004年与2016年工业和居住用地情况图（图7），回答8-9题。
8.2016年与2004年的土地利用情况相比，该市主城区发生的变化是（ ）
A.在乙河以西的他区中，甲河以南的工业功能明显减弱
B.在乙河以西的地区中，甲河以北的居住功能明显增强
C.在乙河以东的地区中，新建工厂主要集中在该区中部
D.在乙河以东的地区中，新增住宅主要集中在乙河沿岸
9.由于该市工业用地和居住用地的变化，可能产生的问题及有效的对策是（ ）
A.工业污染扩散 加强河流水质监测
B.就业岗位减少 提高第三产业比重
C.居住区较偏远 增加中心城区住宅用地
D.交通压力增大 完善城市交通网络布局
假期里，小明同学外出旅游。某日早晨小明拍摄了日出的照片，随即发到微信朋友圈。在天津（117°E，39°N）的爸爸和在国外甲城市出差的妈妈马上做出了回复（图8）。结合图文材料，回答10-11题。
10.小明拍摄日出照片时所在的城市最可能是（ ）
A.呼和浩特（112°E，40°N） B.兰州（104°E，36°N）
C.杭州（120°E，30°N） D.南宁（108°E，23°N）
11.据图文信息，可以推测出甲城市的（ ）
A.纬度位置 B.经度位置
C.当天日落的方向 D.当日正午太阳高度
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共3题，共56分。
12.（18分）读图文材料，回答问题。
 
在图9所示贺兰山东麓，部分沟谷两侧的岩壁上有历代先民凿刻的岩画（图10中甲所示）。长期以未，沟谷两侧岩石的破损对岩画构成了威胁。
（1）当地哪些自然条件导致了岩石破损严重？（6分）
图10为图9中甲、乙、丙、丁四处景点的照片。
（2）据图10概括这四处景点吸引游客的共同原因。（6分）
宁夏中南部一些地区气候干旱，资源贫乏，生态环境恶劣。为了使当地居民摆脱贫困，政府采取了"生态移民"的举措，将部分贫困人口迁至本自治区北部。
（3）安置"生态移民"的迁入地应具备哪些条件？（6分）
13.（20分）读图文材料，回答问题。
吉林省珲春市（图11）是我国离海最近的内陆城市，辖区内的聚落多沿河谷分布。
（1）该市其他地区聚落很少的自然原因有哪些？（6分）
国家已批准设立"中国图们江区域（珲春）国际合作示范区"。
（2）据图文信息，对该市发展进出口贸易的条件予以评价。（8分）
图们江流域的森林曾被大量砍伐。近年来由于保护措施得当，使流域内的森林植被得以恢复。
（3）森林植被的恢复，会使图们江在俄、朝两国交界处河段的水文特征发生哪些变化？（6分）
14.（18分）读图文材料，回答问题。
波兰中部的罗兹市曾是欧洲最主要的纺织工业中心，但20世纪90年代以来经济发展停滞。中欧班列的开通，使该市成为中国货物在欧洲中部的重要集散地。
（1）罗兹市为了充分发挥货物集散地的作用。应重点发展的产业部门是\_\_\_\_\_\_\_。（2分）
（2）中欧班列的运行。为我国相关港口来了更好的经济效益，为什么？（6分）
橄榄油是我国通过中欧班列从西班牙等国进口的商品之一。油橄榄树适宜生长在亚热带地区偏碱性土壤中，喜光、耐旱、忌涝。
（3）结合材料，说明我国亚热带很多地区不适宜种植油橄榄树的自然条件。（6分）
欧洲国家对义乌生产的小商品需求量很大，当地却很少生产。近年来，这类小商品利用中欧班列大量运往欧洲国家。
（4）说明欧洲国家发展这类小商品制造业的不利区位条件。（4分）
文科综合地理部分参考答案
I卷共11题，每题4分，共44分。
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D
10.D 11.C
Ⅱ卷共3题，共56分。
12.（18分）
（1）昼夜温差大；多风沙天气；降水集中；岩壁陡峭；多地震。（答出三点即可）
（2）历史文化价值高；地域特色突出（民族特色鲜明）
（3）水资源和土地资源较丰富，人口密度较小；就业机会较多（经济发展水平较高）；风俗习惯相近。
13.（20分）
（1）地表坡度大；地势高，气温较低；水源相对不足；森林茂密；土层较薄。（答出三点即可）
（2）有利于进出口贸易的条件：有贸易口岸；有政策支持；有铁路、公路通往邻国。
不利于进出口贸易的条件：缺少我国自己的海港（不能与其他国家直接通航；交通运输方式单一）；距商品的主要供应地和消费地较远（服务范围较小）。
要求：评价必须涉及有利、不利两方面，答出4点即可。
（3）流量（水位）季节变化减小；含沙量减少。
14.（18分）
（1）物流（仓储）
（2）扩大了服务范围；增加了吞吐量；提高了港口运营效率。（答出两点即可）
（3）土壤偏酸性；降水量较大，雨季较长，地势低洼处易涝；云量较多，光照不足。
（4）原材料（零部件）不足；劳动力、土地等成本高。
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第三单元《加与减一------回收废品》同步检测1（附答案）**
一、哪把钥匙开哪把锁？（用线连一连）
二、算一算。
1. 闹钟的价钱是多少元钱？
= （元）来源：www.bcjy123.com/tiku/
2. 书包的价钱是多少元钱？
> = （元）
三、立定跳远。（单位：cm）
张全跳了（ ）cm，李勇跳了（ ）cm。
四、一年级运动会。
1、（ ）跳得最多，跳得多少下？来源：www.bcjy123.com/tiku/
= （下）
2、对照下表，评价一下谁的成绩是优，谁的成绩是良，谁的成绩合格。
五、四个小朋友比高矮。
小清说："我比小红高6厘米。"
小玲说："小强比小红矮6厘米。"
小强说："小玲比我还矮6厘米。"
你能写出他们的名字吗？
**部分答案**：
一、37＋32 ------ 23＋46 65－5 ------ 95－35
32＋12 ------ 49－5
二、1、55－20 = 35（元）
2、55＋13 = 68（元）
三、61 88
四、1、王丽 34＋40 = 74（下）
2、合格 优 良
五、小清 小强 小红 小玲
| 1 | |
**孙子问题与逐步约束法**
在古书《孙子算经》中有一道题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是：有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。
我们称这类问题为**孙子问题**。
** 例1** 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。
** 分析与解**：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。
满足"除以3余2"的数，有2，5，8，11，14，17，...
在上面的数中再找满足"除以5余3"的数，可以找到8，8是同时满足"除以3余2"、"除以5余3"两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有
8，23，38，53，68，...
在上面的数中再找满足"除以7余2"的数，可以找到23，23是同时满足"除以3余2"、"除以5余3"、"除以7余2"三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，\[3，5，7\]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中，若找到的数大于\[3，5，7\]，则应当用找到的数减去\[3，5，7\]的倍数，使得差小于\[3，5，7\]，这个差即为所求的最小自然数。
** 例2** 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
** 分析与解**：与例1类似，先求出满足"除以5余1"的数，有6，11，16，21，26，31，36，...
在上面的数中，再找满足"除以7余3"的数，可以找到31。同时满足"除以5余1"、"除以7余3"的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有
31，66，101，136，171，206，...
在上面的数中，再找满足"除以8余5"的数，可以找到101。因为101＜\[5，7，8\]=280，所以所求的最小自然数是101。
在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。
** 例3** 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
** 解：**满足"除以3余2"的数有5，8，11，14，17，20，23，...
再满足"除以7余3"的数有17，38，59，80，101，...
再满足"除以11余4"的数有59。
因为阳\[3，7，11\]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43......8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。
** 例4** 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
** 分析与解**：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是
\[6，8，9\]-3=72-3=69。
例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？
** 分析与解**：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。
这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。
当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。
因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。
所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。
就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为**不定方程**。
根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如：
x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；
3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；
3x+2y=1没有解。
** 例6** 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。
** 解：**容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。
因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：
由例5、例6看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖"拼凑"。
**练习15**
1.一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。
2.有一堆苹果，3个3个数余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？
3.在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？
4.在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然数有多少个？
5.有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。
6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？
7.五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？
**练习15**
1.299。
解：满足除以5余4的数有4，9，14，19，24，...
再满足除以8余3的数有19，59，99，139，179，219，259，299，339，...
再满足除以11余2的最小自然数是299。
2.82个。
3.907。
提示：满足除以4余3，除以5余2，除以7余4的最小自然数是67。［4，5，7］=140，67+140×6=907。
4.48个。
提示：满足除以3余1，除以5余2，除以7余3的最小自然数是52。［3，5，7］=105，（5000-52）÷105=47......13。
5.43。
提示：除以2与除以3都余1，相当于除以6余1；除以4与除以5都余3，相当于除以20余3。
6.5种。
提示：容易看出，各买10个是一种买法。7个3元的商品可以换3个7元的商品，可得下面的5种买法：
7.4条大船，3条小船。
| 1 | |
**2019年山东省济宁市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求**
1．（3分）（2019•济宁）下列四个实数中，最小的是
A． B． C．1 D．4
2．（3分）（2019•济宁）如图，直线，被直线，所截，若，，则的度数是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•济宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•济宁）以下调查中，适宜全面调查的是
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
5．（3分）（2019•济宁）下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•济宁）世界文化遗产"三孔"景区已经完成基站布设，"孔夫子家"自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•济宁）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是
A．9 B．12 C．15 D．18
10．（3分）（2019•济宁）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是
A． B．7.5 C．5.5 D．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。**
11．（3分）（2019•济宁）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•济宁）已知点位于第四象限，并且，为整数），写出一个符合上述条件的点的坐标[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•济宁）如图，为直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点，已知，．则图中阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•济宁）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共7小题，共55分，**
16．（6分）（2019•济宁）计算：
17．（7分）（2019•济宁）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
------------------ ------ ------------------
阅读时间（小时） 人数 占女生人数百分比
4
5
6
2
------------------ ------ ------------------
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）此次抽样调查中，共抽取了[ ]{.underline}名学生，学生阅读时间的中位数在[ ]{.underline}时间段；
（3）从阅读时间在小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
18．（7分）（2019•济宁）如图，点和点在内部．
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
19．（8分）（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
20．（8分）（2019•济宁）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
21．（8分）（2019•济宁）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是减函数．
证明：设，
．
，
，．
．即．
．
函数是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数，
，
（1）计算：[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）猜想：函数是[ ]{.underline}函数（填"增"或"减" ；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
22．（11分）（2019•济宁）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．
①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；
②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
**2019年山东省济宁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求**
1．（3分）下列四个实数中，最小的是
A． B． C．1 D．4
【考点】：实数大小比较；22：算术平方根
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
，
所以四个实数中，最小的数是．
故选：．
2．（3分）如图，直线，被直线，所截，若，，则的度数是
A． B． C． D．
【考点】：平行线的判定与性质
【分析】首先证明，推出，求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】：轴对称图形；：中心对称图形
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
【考点】：全面调查与抽样调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项错误；
、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故选项正确；
、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项错误；
、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故选项错误．
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】24：立方根；22：算术平方根
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
6．（3分）世界文化遗产"三孔"景区已经完成基站布设，"孔夫子家"自此有了网络．网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，网络比网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是
A． B．
C． D．
【考点】：由实际问题抽象出分式方程
【分析】直接利用网络比网络快45秒得出等式进而得出答案．
【解答】解：设网络的峰值速率为每秒传输兆数据，依题意，可列方程是：
．
故选：．
7．（3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是
A． B．
C． D．
【考点】：几何体的展开图
【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
【解答】解：选项和带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项能折叠成原几何体的形式；
选项折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：．
8．（3分）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
所以平移后得到的抛物线解析式为．
故选：．
9．（3分）如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的值是
A．9 B．12 C．15 D．18
【考点】：坐标与图形变化旋转；：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】作轴于．证明，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点坐标即可解决问题．
【解答】解：作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
10．（3分）已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数依此类推，那么的值是
A． B．7.5 C．5.5 D．
【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【解答】解：，
，，，
这个数列以，，依次循环，且，
，
，
故选：．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。**
11．（3分）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是[ ]{.underline}．
【考点】：一元二次方程的解；：解一元二次方程因式分解法
【分析】根据根与系数的关系得出，即可得出另一根的值．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
则方程的另一个根是：，
故答案为．
12．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是[ ]{.underline}．
【考点】：多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为：．
13．（3分）已知点位于第四象限，并且，为整数），写出一个符合上述条件的点的坐标[ （答案不唯一） ]{.underline}．
【考点】：点的坐标
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出，的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：点位于第四象限，并且，为整数），
，，
当时，，
解得：，
可以为：，
故写一个符合上述条件的点的坐标可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
14．（3分）如图，为直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点，已知，．则图中阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
【考点】：扇形面积的计算；：切线的性质；：勾股定理
【分析】首先利用勾股定理求出的长，再证明，进而由可求出的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出的度数，则圆心角的度数可求出，在直角三角形中求出的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：在中，，．
，
，
是圆的切线，
与斜边相切于点，
，
；
在中，，
，
与斜边相切于点，
，
，
，
，
，
．
故答案是：．
15．（3分）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是[ 或 ]{.underline}．
【考点】：二次函数与不等式（组
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
**三、解答题：本大题共7小题，共55分，**
16．（6分）计算：
【考点】：特殊角的三角函数值；：实数的运算；：零指数幂
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式，
．
17．（7分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
------------------ ------ ------------------
阅读时间（小时） 人数 占女生人数百分比
4
5
6
2
------------------ ------ ------------------
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，[ 3 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）此次抽样调查中，共抽取了[ ]{.underline}名学生，学生阅读时间的中位数在[ ]{.underline}时间段；
（3）从阅读时间在小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
【考点】：中位数；：频数（率分布表；：全面调查与抽样调查；：列表法与树状图法；：扇形统计图
【分析】（1）由时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为（人，
，，
故答案为：3，；
（2）学生总人数为（人，
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在范围内，
学生阅读时间的中位数在时间段，
故答案为：50，；
（3）学习时间在小时的有女生2人，男生3人．
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是．
18．（7分）如图，点和点在内部．
（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
【考点】：线段垂直平分线的性质；：作图复杂作图；：角平分线的性质
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：（1）如图，点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
19．（8分）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【考点】：一次函数的应用
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
小王的速度为：，
小李的速度为：，
答：小王和小李的速度分别是、；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，
点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数解析式为，
，得，
即线段所表示的与之间的函数解析式是．
20．（8分）如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
【考点】：解直角三角形；：切线的判定与性质；：圆周角定理；：垂径定理
【分析】（1）根据垂径定理得到，求得，求得，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，求得，设，，根据勾股定理得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
，
，
设，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
直径的长为20．
21．（8分）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是减函数．
证明：设，
．
，
，．
．即．
．
函数是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数，
，
（1）计算：[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）猜想：函数是[ ]{.underline}函数（填"增"或"减" ；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【考点】：函数自变量的取值范围；：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）由（1）结论可得；
（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立．
【解答】解：（1），
，
故答案为：，
（2），
函数是增函数
故答案为：增
（3）设，
，
，，
函数是增函数
22．（11分）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．
①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；
②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点】：四边形综合题
【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）①证明，可得，由此即可解决问题．
②存在．有两种情形：如图中，当时．如图中，当时，作于．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
．
（2）①如图2中，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
当时，有最小值，最小值．
②存在．有两种情形：如图中，当时，
，，
，
，
，
，
．
如图中，当时，作于．
，
，
，
，
，
，
，
由，可得，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
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**绝密★本科目考试启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）**
**数学**
**本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第一部分（选择题 共40分）**
**一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1.已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A B.
C D.
7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
9.已知，则"存在使得"是""的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
**第二部分（非选择题 共110分）**
**二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.**
11.函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
12.已知双曲线，则*C*的右焦点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；*C*的焦点到其渐近线的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
13.已知正方形的边长为2，点*P*满足，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量*W*与时间*t*的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.**
16.如图，在正方体中，*E*为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）*a*的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
-------- ------- -------- ------- --------
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
-------- ------- -------- ------- --------
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
19.已知函数．
（Ⅰ）求曲线斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
20.已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程：
（Ⅱ）过点的直线*l*交椭圆*C*于点,直线分别交直线于点．求的值．
21.已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
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**2016年四川省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为（ ）
A．﹣15x^4^ B．15x^4^ C．﹣20ix^4^ D．20ix^4^
3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．9 B．18 C．20 D．35
7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y^2^=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且\|PM\|=2\|MF\|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则\|\|^2^的最大值是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）﹣=[ ]{.underline}．
12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是[ ]{.underline}．
13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣）+f（2）=[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（，）；当P是原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面曲线C上所有点的"伴随点"所构成的曲线C′定义为曲线C的"伴随曲线"．现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A；
②单位圆的"伴随曲线"是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线"C′关于y轴对称；
④一条直线的"伴随曲线"是一条直线．
其中的真命题是[ ]{.underline}（写出所有真命题的序列）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，求tanB．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，求a~n~的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，且e~2~=，证明：e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，并求λ的值．
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e^1﹣x^在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718...为自然对数的底数）．
**2016年四川省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．
【解答】解：∵A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，
∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩Z中元素的个数是5，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为（ ）
A．﹣15x^4^ B．15x^4^ C．﹣20ix^4^ D．20ix^4^
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．
【解答】解：（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为x^4^•i^2^=﹣15x^4^，
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．
3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．
【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，
然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．
由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．
5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．9 B．18 C．20 D．35
【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．
【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：
v=1
i=2 v=1×2+2=4
i=1 v=4×2+1=9
i=0 v=9×2+0=18
i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；
满足的可行域如图有阴影部分所示，
故p是q的必要不充分条件，
故选：A．
【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．
8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y^2^=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且\|PM\|=2\|MF\|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由题意可得F（，0），设P（，y~0~），要求k~OM~的最大值，设y~0~＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．
【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y~0~），
显然当y~0~＜0，k~OM~＜0；当y~0~＞0，k~OM~＞0．
要求k~OM~的最大值，设y~0~＞0，
则=+=+=+（﹣）
=+=（+，），
可得k~OM~==≤=，
当且仅当y~0~^2^=2p^2^，取得等号．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
9．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】设出点P~1~，P~2~的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l~1~与l~2~的斜率，由两直线垂直求得P~1~，P~2~的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到\|AB\|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．
【解答】解：设P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）（0＜x~1~＜1＜x~2~），
当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，
∴l~1~的斜率，l~2~的斜率，
∵l~1~与l~2~垂直，且x~2~＞x~1~＞0，
∴，即x~1~x~2~=1．
直线l~1~：，l~2~：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx~1~），B（0，﹣1+lnx~2~），
\|AB\|=\|1﹣lnx~1~﹣（﹣1+lnx~2~）\|=\|2﹣（lnx~1~+lnx~2~）\|=\|2﹣lnx~1~x~2~\|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴\|AB\|•\|x~P~\|==．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x~1~＜1，
∴，则，
∴．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则\|\|^2^的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．
【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，
又•=•=•，可得
•（﹣）=0，•（﹣）=0，
即•=•=0，
即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，
则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．
由•=﹣2，即有\|\|•\|\|cos120°=﹣2，
解得\|\|=2，△ABC的边长为4cos30°=2，
以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，
可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），
由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
由=，可得M为PC的中点，即有M（，），
则\|\|^2^=（3﹣）^2^+（+）^2^
=+=
=，
当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．
故选：B．
【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．**
11．（5分）﹣=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．
【解答】解：cos^2^﹣sin^2^
=cos（2×）=cos=．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．
【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，
∴这次试验成功的概率p=1﹣（）^2^=，
∴在2次试验中成功次数X～B（2，），
∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．
【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，
结合给定的三棱锥的正视图，
可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，
棱锥的高为1，
故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣）+f（2）=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，
则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（，）；当P是原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面曲线C上所有点的"伴随点"所构成的曲线C′定义为曲线C的"伴随曲线"．现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A；
②单位圆的"伴随曲线"是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线"C′关于y轴对称；
④一条直线的"伴随曲线"是一条直线．
其中的真命题是[ ②③ ]{.underline}（写出所有真命题的序列）．
【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若点A（x，y）的"伴随点"是点A′（，），则点A′（，）的"伴随点"是点（﹣x，﹣y），故不正确；
②由①可知，单位圆的"伴随曲线"是它自身，故正确；
③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），"伴随点"是点A′（﹣，），则其"伴随曲线"C′关于y轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的"伴随点"是点A′（m，n），则
∵点A（x，y）的"伴随点"是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=
∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．
故答案为：②③．
【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解"伴随点"的定义是解题的关键．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．
【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，
∴a=0.3；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；
月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；
则x=2.5+0.5×=2.9吨
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．
（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，
∵BC=CD=AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，
∵M∈AB，AB⊂平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．
（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD．
∴CD⊥PD，PA⊥AD．
因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．
∴PA=AD．
不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），
设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．
令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．
设直线PA与平面PCE所成角为θ，
则sinθ====．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^\*^．
（Ⅰ）若2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，求a~n~的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，且e~2~=，证明：e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞．
【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a~n~}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列求得公比q的值，可得{a~n~}的通项公式．
（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e~n~=，根据e~2~==，求得q的值，可得{a~n~}的解析式，再利用放缩法可得∴e~n~=＞，从而证得不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）∵S~n+1~=qS~n~+1 ①，∴当n≥2时，S~n~=qS~n﹣1~+1 ②，两式相减可得a~n+1~=q•a~n~，
即从第二项开始，数列{a~n~}为等比数列，公比为q．
当n=1时，∵数列{a~n~}的首项为1，∴a~1~+a~2~=S~2~=q•a~1~+1，∴a~2~ =a~1~•q，
∴数列{a~n~}为等比数列，公比为q．
∵2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，∴2a~3~ =2a~2~+a~2~+2，∴2q^2^=2q+q+2，求得q=2，或 q=﹣．
根据q＞0，故取q=2，∴a~n~=2^n﹣1^，n∈N^\*^．
（Ⅱ）证明：设双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，
∴e~n~==．
由于数列{a~n~}为首项等于1、公比为q的等比数列，
∴e~2~===，q=，
∴a~n~=，∴e~n~==＞=．
∴e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞1+++...+==，原不等式得证．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，并求λ的值．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F~1~、F~2~构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，
利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，
从而证明命题成立．
【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，
再根据参数的几何意义求出\|PT\|^2^、\|PA\|和\|PB\|，由\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|求出λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F~1~（﹣c，0），
F~2~（c，0），其中c＞0，则c^2^+b^2^=a^2^；
由题意，△F~1~F~2~C为直角三角形，
∴=+，解得b=c=a，
∴椭圆E的方程为+=1；
代入直线l：y=﹣x+3，可得3x^2^﹣12x+18﹣2b^2^=0，
又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=12^2^﹣4×3（18﹣2b^2^）=0，解得b^2^=3，
∴椭圆E的方程为+=1；
由b^2^=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，
则椭圆E变为圆E′：x′^2^+y′^2^=6，
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，
如图所示；
则==，
==，
两式相比，得：=，
由圆幂定理得，\|P′T′\|^2^=\|P′A′\|•\|P′B′\|，
所以=，即λ=，原命题成立．
【解法二】设P（x~0~，3﹣x~0~）在l上，由k~OT~=，l′平行OT，
得l′的参数方程为，
代入椭圆E中，得+2=6，
整理得2t^2^+4t+﹣4x~0~+4=0；
设两根为t~A~，t~B~，则有t~A~•t~B~=；
而\|PT\|^2^==2，
\|PA\|==\|t~A~\|，
\|PB\|==\|t~B~\|，
且\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，
∴λ===，
即存在满足题意的λ值．
【另解】，判断出c=b，e=，经仿射变换=×
E→⊙O′：x′^2^+y′^2^=a^2^；
l~PT~→l~P′T′~：x+y﹣3=0；
∴=a=，b=a=，
∴E：+=1；
设T（x~0~，y~0~），PT为切线也是极线方程．
：+=1⇔x~0~x+2y~0~y﹣6=0⇔2x+2y﹣6=0，
∴T（2，1）；
证明：由图知，根据圆幂定理：
\|P′T′\|^2^=\|P′A′\|•\|P′B′\|，K~OT~=，K~O′T′~=，
K~PT~=﹣1，K~P′T′~=﹣，
∴\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，
∴==，
又==，
∴对比λ=，原命题成立．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e^1﹣x^在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718...为自然对数的底数）．
【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e^1﹣x^=ax^2^﹣lnx﹣+e^1﹣x^﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，
又，当a时，F′（x）=2a+≥+e^1﹣x^，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，
①当a≤0时，2ax^2^﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e^1﹣x^＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，
一方面，令g（x）=f（x）﹣+e^1﹣x^=ax^2^﹣lnx﹣+e^1﹣x^﹣a，
只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，
又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．
令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e^1﹣x^，g′（1）≥0，可得a．
另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e^1﹣x^，
∵x∈（1，+∞），故x^3^+x﹣2＞0，又e^1﹣x^＞0，故F′（x）在a时恒大于0．
∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．
∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
综上，a．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
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**2021年浙江省高考数学试题**
**一､选择题**
1\. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得：.
故选：D.
2\. 已知，，(*i*为虚数单位)，则（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
3\. 已知非零向量，则""是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，""是""的必要不充分条件
故选：B.
4\. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.
【详解】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，
该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，
故，
故选：A.
5\. 若实数*x*，*y*满足约束条件，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，
取得最小值为.
故选：B
6\. 如图已知正方体，*M*，*N*分别是，的中点，则（ ）
A. 直线与直线垂直，直线平面
B. 直线与直线平行，直线平面
C. 直线与直线相交，直线平面
D. 直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
*M*是的中点，所以为中点，
又*N*是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
7\. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
8\. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
9\. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，
其中为双曲线，为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
10\. 已知数列满足.记数列的前*n*项和为，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
**二､填空题**
11\. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】25
【解析】
【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.
【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
12\. 已知，函数若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
13\. 已知多项式，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). ; (2). .
【解析】
【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
14\. 在中，，*M*是的中点，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*.*
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
15\. 袋中有4个红球*m*个黄球，*n*个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
【详解】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
16\. 已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点*P*，且轴，则该直线的斜率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，椭圆的离心率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
17\. 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为*x*，*y*，在方向上的投影为*z*，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为*x*，*y*，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
**三､解答题**
18\. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
19\. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，*M*，*N*分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；
（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则,
又为中点，所以.
由（1）得平面，所以平面的一个法向量
从而直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，
题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．
20\. 已知数列的前*n*项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前*n*项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
21\. 如图，已知*F*是抛物线的焦点，*M*是抛物线的准线与*x*轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点*F*的直线交抛物线与*A*､*B*两点，斜率为2的直线*l*与直线，*x*轴依次交于点*P*，*Q*，*R*，*N*，且，求直线*l*在*x*轴上截距的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.
22\. 设*a*，*b*为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求*a*的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第四节：拔萝卜**
1、口算。
25+30= 77-7= 43+20=  51+8= 61+7=
84-50= 36+13= 84-8=  80-9= 62-50=
2、**在**○**里****填上"\>"、"\<****"或"="。**
73-13○73+13  84-0○64+2 88○94-2
11-2○12 2+80○100 27○72
3、列式计算\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
\
4、一年级同学去旅游。第一辆车能坐40人，第二辆车能坐55人。一共可以坐多少人？
5、一年级有56人参加游园比赛。在第一轮比赛中，有28人输了，还有多少人没有输掉比赛？（3分）
6、一双球鞋的价格是72元，一双布鞋的价格比一双球鞋的价格便宜了48元。一双布鞋的价格是多少元？（2分）\
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
\[来源:学+科+网\]
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
答案
1、
25+30=55 77-7=70 43+20=63 51+8=59 61+7=68
84-50=34 36+13=49 84-8=76 80-9=71 62-50=12
2、
73-13**\<**73+13 84-0**\>**64+2 88**\<**94-2
11-2**\<**12 2+80**\<**100 27**\<**72
3、
（1）买地球仪和文具盒，20+7=27元 答：需要27元。
（2）50-20=30元
4、40+55=95人 答：一个95人。\
5、56-28=28人 答：还有28人没有输掉比赛。\
6、72-48=24元 答：一双布鞋的价格是24元。
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**北师大版小学二年级下册数学第七单元《认识图形》单元测试1（附答案）**
一、 。(16分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．正方形的( )都相等，四个角都是( )。
2．角的开口越大，角就( )。
3．黑板的面有( )个角，这些角都是( )角。
4．平行四边形具有( )的特性。
5．两个完全相同的正方形能拼成一个( )。
6.你能标出下面图形各部分的名称吗？
（ ） （ ）
（ ） （ ） （ ）
7．长方形对边( )，四个角都是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
8．平行四边形对边( )，对角( )。
二、 。( )(18分)
我买带长方形的灯笼：有： [ ]{.underline} 。
我买带正方形的灯笼：有： [ ]{.underline} 。
我买带平行四边形的灯笼，有： [ ]{.underline} 。来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、 。( )(10分)
1．下图中( )是平行四边形。
A.B.C.
2．比直角小的角叫做( )。
A．钝角 B．直角 C．锐角
3．两个完全一样的平行四边形，能拼成一个( )。
A．长方形 B．正方形 C．平行四边形
4．对边相等且四个角都是直角的图形是( )。
A．长方形 B．正方形 C．平行四边形
5.图中有( )个正方形。
A．4 B．5 C．6
四、 。( "√"。 "×")(10分)
1．对边相等的图形只有长方形。 ( )
2．伸缩式大门是根据平行四边形容易变形的特点制成的。 ( )
3．角是由顶点和一条直角边组成的。 ( )
4．用100倍放大镜看一个角，这个角就扩大100倍。 ( )
5．一个图形的四条边相等，这个图形一定是正方形。 ( )
五、 ， ， 。(30分)
1．(1)现在是9时，分针和时针成什么角？
(2)如果是12时10分，此时时针和分针成什么角？
2.被纸板挡住的图形，可能是什么图形？
3\.  
（ ）个长方形 （ ）个平行四边形
六、 。(8分)
1．在下面的方格中画一个正方形和一个长方形。
2．老师让小虎在格点图上画一个平行四边形，可小虎却画成三角形，你能帮他改成平
行四边形吗？
七、 。(8分)
2010年南非世界杯圆满结束，世界杯足球场地长105米，宽68米，请你算一算世界杯足球场地四条边一共长多少米？
。（10分）
数一数带A的正方形一共有（ ）个。
--- -- -- --
A
--- -- -- --
**参考答案**
一、1．四条边 直角
2．越大
3．四 直
4．容易变形
5.长方形
6\. 边
宽
顶点 边 长
7．相等 直角
8．相等 相等
二、带长方形：②③ 带正方形：⑤⑦ 带平行四边形：④⑧
三、1．C 2．C 3．C 4．A 5．B
四、1．× 2．√ 3．×4．× 5．×
五、1．(1)直角 (2)锐角
2．正方形或长方形
3．18 5
六、1.
2\.
七、105＋105=210(米) 68＋68=136(米)
210＋136=346(米)
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则*A*∩*B*中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.若，则*z*=（ ）
A. 1--*i* B. 1+*i* C. --*i* D. *i*
3.设一组样本数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的方差为0.01，则数据10*x*~1~，10*x*~2~，...，10*x~n~*的方差为（ ）
*A.* 0.01 *B.* 0.1 *C.* 1 *D.* 10
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.在平面内，*A*，*B*是两个定点，*C*是动点，若，则点*C*的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
7.设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：*y*^2^=2*px*(*p*\>0)交于*D*，*E*两点，若*OD*⊥*OE*，则*C*的焦点坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）
8.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
10.设*a*=log~3~2，*b*=log~5~3，*c*=，则（ ）
A. *a*\<*c*\<*b* B. *a*\<*b*\<*c* C. *b*\<*c*\<*a* D. *c*\<*a*\<*b*
11.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则tan*B*=（ ）
*A.* *B.* 2 *C.* 4 *D.* 8
12.已知函数*f*(*x*)=sin*x*+，则（ ）
A. *f*(*x*)的最小值为2 B. *f*(*x*)的图像关于*y*轴对称
C. *f*(*x*)的图像关于直线对称 D. *f*(*x*)的图像关于直线对称
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.设双曲线*C*： (*a*\>0，*b*\>0)的一条渐近线为*y*=*x*，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.设函数．若，则*a*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设等比数列{*a~n~*}满足，．
（1）求{*a~n~*}的通项公式；
（2）记为数列{log~3~*a~n~*}前*n*项和．若，求*m*．
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----------------- ------- ------- --------
19.如图，长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
20.已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
21.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为(*t*为参数且*t*≠1)，*C*与坐标轴交于*A*，*B*两点.
（1）求\|\|：
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程.
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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**第三单元测试卷**
一、数一数,说一说,写算式。
1*.*
(* *)个5[http:///](http://www.xkb1.com/)
加法算式是*[ ]{.underline}*。
2*.*
5个(* *)
加法算式是*[ ]{.underline}*。
3*.*
(* *)个(* *),加法算式是*[ ]{.underline}*。
二、填一填。
1*.*在加法算式8*+*8*+*8*+*8*+*8*+*8中,相同的加数是(* *),相同的加数的个数是(* *),写成乘法算式是(* *)或(* *)。
2*.*在算式3*×*4*=*12中,3和4是(* *),12是(* *)。
3*.*3*×*5读作(* *),表示(* *)个(* *)相加或(* *)个(* *)相加。
4*.*用乘法算式表示5个9相加是(* *)*×*(* *)或(* *)*×*(* *)。
三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)
1*.*2*×*3○2*+*3,○里应填(* *)。
*①\> ②\< ③=*
2*.*3个6相加的和是多少?错误的算式是(* *)。
*①*3*×*6* * *②*3*+*6* * *③*6*+*6*+*6
3*.*与4*×*5结果不相同的算式是(* *)
*①*4*×*4*+*4* * *②*4*+*5* * *③*5*×*5*-*5
4*.*3*+*1*+*4*+*1*+*3,可写成算式(* *)。
*①*3*×*5* * *②*4*×*5* * *③*4*×*3
四、判断题。(对的画"√",错的画"✕")
1*.*加法算式都可以改写成乘法算式。 (* *)
2*.*3*+*2可以写成3*×*2。 (* *)
3*.*5*×*3表示5个3相乘。 (* *)
4*.*10*+*10*+*10*+*10*=*10*×*4*=*4*×*10 (* *)
5*.*求几个相同加数的和用加法计算比较简便。 (* *)
五、改写算式。[http:///](http://www.xkb1.com/)
2*+*2*=× *6*+*6*+*6*=×*
6*+*6*+*6*+*6*+*6*=×* 7*+*7*+*7*+*7*+*7*=×*
3*+*3*+*3*+*3*=×* 5*+*5*+*5*+*5*=×*
六、看图列式计算。
 *×= *
 *×=*
 *×=*
 * ×=*
七、解决问题。
1*.*8盘有多少个? [http:///](http://www.xkb1.com/)
*×=*(* *)
3*.*买这3只玩具狗一共要用多少元?
*×=*(* *)
2*.*一共有多少只蝴蝶?
*×=*(* *)
4*.*一共有多少条鱼?
*×=*(* *)
第三单元测试卷答案
一、 1. 3 5+5+5=15 2. 3 3+3+3+3+3=15 3. 5 4 4+4+4+4+4=20
二、 1. 8 6 8×6 6×8 2. 乘数 积
3\. 3乘5 5 3 3 5 4. 5 9 9 5
三、 1.① 2.② 3.② 4.③
四、 1. ✕ 2. ✕ 3. ✕ 4. √ 5. ✕
五、 2×2 6×3 6×5 7×5 3×4 5×4
六、 2×3=6或3×2=6 3×2=6或2×3=6
3×4=12或4×3=12 3×4=12或4×3=12
七、 1. 5×8=40(个)或8×5=40(个)
2\. 4×3=12(只)或3×4=12(只)
3\. 5×3=15(元)或3×5=15(元)
4\. 3×4=12(条)或4×3=12(条)
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**2014年安徽省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
2．（5分）"x＜0"是"ln（x+1）＜0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
5．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或﹣1 D．2或1
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（ ）
A． B． C．0 D．﹣
7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+ C．21 D．18
8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，\|\|=\|\|=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P\|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P\|0＜r≤\|\|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．**
11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是[ ]{.underline}．
12．（5分）数列{a~n~}是等差数列，若a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列，则q=[ ]{.underline}．
13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）^n^的展开式为a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~n~x^n^．若点A~i~（i，a~i~）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A、B两点，若\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，AF~2~⊥x轴，则椭圆E的方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S~min~表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若⊥，则S~min~与\|\|无关；
③若∥，则S~min~与\|\|无关；
④若\|\|＞4\|\|，则S~min~＞0；
⑤若\|\|=2\|\|，S~min~=8\|\|^2^，则与的夹角为．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．**
16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+）的值．
17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
19．（13分）如图，已知两条抛物线E~1~：y^2^=2p~1~x（p~1~＞0）和E~2~：y^2^=2p~2~x（p~2~＞0），过原点O的两条直线l~1~和l~2~，l~1~与E~1~，E~2~分别交于A~1~、A~2~两点，l~2~与E~1~、E~2~分别交于B~1~、B~2~两点．
（Ⅰ）证明：A~1~B~1~∥A~2~B~2~；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l~1~，l~2~）与E~1~、E~2~分别交于C~1~、C~2~两点．记△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的面积分别为S~1~与S~2~，求的值．
20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，A~1~A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A~1~、C、D三点的平面记为α，BB~1~与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB~1~的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA~1~=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）^p^＞1+px；
（Ⅱ）数列{a~n~}满足a~1~＞，a~n+1~=a~n~+a~n~^1﹣p^．证明：a~n~＞a~n+1~＞．
**2014年安徽省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
【分析】把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】解：∵z=1+i，
∴，
∴+i•=
=．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．（5分）"x＜0"是"ln（x+1）＜0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴"x＜0"是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选：B．
【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．
4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ^2^=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x^2^+y^2^=4x，
即 （x﹣2）^2^+y^2^=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，
故选：D．
【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
5．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或﹣1 D．2或1
【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．
【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，
将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，
由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，
故a=2或﹣1；
故选：C．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（ ）
A． B． C．0 D．﹣
【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）
=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=sin+sin+sin
=
=．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+ C．21 D．18
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S~正方体~﹣2S~棱锥侧~+2S~棱锥底~==21+．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．
8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
【分析】分类讨论，利用f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；
﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；
≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；
x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，
∴2﹣a=3或﹣+1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，\|\|=\|\|=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P\|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P\|0＜r≤\|\|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P\|（0＜r≤\|\|≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，\|\|=\|\|=1，•=0，
不妨令=（1，0），=（0，1），
则=（+）=（，），
=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P\|（0＜r≤\|\|≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故\|OQ\|﹣1＜r＜R＜\|OQ\|+1，
∵\|OQ\|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P\|（0＜r≤\|\|≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．**
11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin\[2（x﹣φ）+\]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则 ﹣2φ=kπ+，k∈z，即 φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
12．（5分）数列{a~n~}是等差数列，若a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列，则q=[ 1 ]{.underline}．
【分析】设出等差数列的公差，由a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．
【解答】解：设等差数列{a~n~}的公差为d，
由a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成等比数列，
得：，
整理得：，
即+5a~1~+a~1~+4d．
化简得：（d+1）^2^=0，即d=﹣1．
∴q==．
故答案为：1．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）^n^的展开式为a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~n~x^n^．若点A~i~（i，a~i~）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=[ 3 ]{.underline}．
【分析】求出（1+）^n^的展开式的通项为，由图知，a~0~=1，a~1~=3，a~2~=4，列出方程组，求出a的值．
【解答】解：（1+）^n^的展开式的通项为，
由图知，a~0~=1，a~1~=3，a~2~=4，
∴，，
，，
a^2^﹣3a=0，
解得a=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．
14．（5分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A、B两点，若\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，AF~2~⊥x轴，则椭圆E的方程为[ x^2^+]{.underline}[=1 ]{.underline}．
【分析】求出B（﹣c，﹣b^2^），代入椭圆方程，结合1=b^2^+c^2^，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：由题意，F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），AF~2~⊥x轴，∴\|AF~2~\|=b^2^，
∴A点坐标为（c，b^2^），
设B（x，y），则
∵\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，
∴（﹣c﹣c，﹣b^2^）=3（x+c，y）
∴B（﹣c，﹣b^2^），
代入椭圆方程可得，
∵1=b^2^+c^2^，
∴b^2^=，c^2^=，
∴x^2^+=1．
故答案为：x^2^+=1．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S~min~表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是[ ②④ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若⊥，则S~min~与\|\|无关；
③若∥，则S~min~与\|\|无关；
④若\|\|＞4\|\|，则S~min~＞0；
⑤若\|\|=2\|\|，S~min~=8\|\|^2^，则与的夹角为．
【分析】依题意，可求得S有3种结果：S~1~=++++，S~2~=+•+•++，S~3~=•+•+•+•+，可判断①错误；
进一步分析有S~1~﹣S~2~=S~2~﹣S~3~=+﹣2•≥+﹣2\|\|•\|\|=≥0，即S中最小为S~3~；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．
【解答】解：∵x~i~，y~i~（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S=x~i~y~i~可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．
S有3种结果：S~1~=++++，
S~2~=+•+•++，
S~3~=•+•+•+•+，故①错误；
∵S~1~﹣S~2~=S~2~﹣S~3~=+﹣2•≥+﹣2\|\|•\|\|=≥0，
∴S中最小为S~3~；
若⊥，则S~min~=S~3~=，与\|\|无关，故②正确；
③若∥，则S~min~=S~3~=4•+，与\|\|有关，故③错误；
④若\|\|＞4\|\|，则S~min~=S~3~=4\|\|•\|\|cosθ+＞﹣4\|\|•\|\|+＞﹣+=0，故④正确；
⑤若\|\|=2\|\|，S~min~=S~3~=8\|\|^2^cosθ+4=8，
∴2cosθ=1，∴θ=，
即与的夹角为．
综上所述，命题正确的是②④，
故答案为：②④．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．**
16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+）的值．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；
（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，
∴a=6cosB，
∴a=6，
∴a=2；
（Ⅱ）∵a=6cosB，
∴cosB=，
∴sinB=，
∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1=﹣，
∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．
【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A~k~表示第k局甲获胜，B~k~表示第k局乙获胜，
则P（A~k~）=，P（B~k~）=，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A~1~A~2~）+P（B~1~A~2~A~3~）+P（A~1~B~2~A~3~A~4~）=（）^2^+×（）^2^+××（）^2^=．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A~1~A~2~）+P（B~1~B~2~）=，
P（X=3）=P（B~1~A~2~A~3~）+P（A~1~B~2~B~3~）=，
P（X=4）=P（A~1~B~2~A~3~A~4~）+P（B~1~A~2~B~3~B~4~）=，
P（X=5）=P（A~1~B~2~A~3~B~4~A~5~）+P（B~1~A~2~B~3~A~4~B~5~）+P（B~1~A~2~B~3~A~4~A~5~）+P（A~1~B~2~A~3~B~4~B~5~）==，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
故分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 2 3 4 5
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
E（X）=2×+3×+4×+5×=．
【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在\[0，1\]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x^2^，
由f′（x）=0，得x~1~=，x~2~=，x~1~＜x~2~，
∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；
由f′（x）＞0得＜x＜；
故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，
在（，）上单调递增；
（Ⅱ）∵a＞0，∴x~1~＜0，x~2~＞0，∵x∈\[0，1\]，当时，即a≥4
①当a≥4时，x~2~≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，1\]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x~2~＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，x~2~\]单调递增，在\[x~2~，1\]上单调递减，
因此f（x）在x=x~2~=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．
19．（13分）如图，已知两条抛物线E~1~：y^2^=2p~1~x（p~1~＞0）和E~2~：y^2^=2p~2~x（p~2~＞0），过原点O的两条直线l~1~和l~2~，l~1~与E~1~，E~2~分别交于A~1~、A~2~两点，l~2~与E~1~、E~2~分别交于B~1~、B~2~两点．
（Ⅰ）证明：A~1~B~1~∥A~2~B~2~；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l~1~，l~2~）与E~1~、E~2~分别交于C~1~、C~2~两点．记△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的面积分别为S~1~与S~2~，求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l~1~和l~2~的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l~1~和l~2~的斜率存在且不为0，
设l~1~：y=k~1~x，l~2~：y=k~2~x．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
∴，
．
，
∴A~1~B~1~∥A~2~B~2~；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A~1~B~1~∥A~2~B~2~，
同（Ⅰ）可证B~1~C~1~∥B~2~C~2~，A~1~C~1~∥A~2~C~2~．
∴△A~1~B~1~C~1~∽△A~2~B~2~C~2~，
因此，
又，
∴．
故．
【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．
20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，A~1~A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A~1~、C、D三点的平面记为α，BB~1~与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB~1~的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA~1~=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A~1~D~1~DA，可得△QBC∽△A~1~AD，即可证明Q为BB~1~的中点；
（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V~Q﹣ABCD~==ahd，利用V~棱柱~=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；
（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A~1~E，则DE⊥平面AEA~1~，DE⊥A~1~E，可得∠AEA~1~为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S~△ADC~=4，AE=4，可得tan∠AEA~1~==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A~1~D~1~DA，
∴平面A~1~CD与面QBC、平面A~1~D~1~DA的交线平行，∴QC∥A~1~D
∴△QBC∽△A~1~AD，
∴=，
∴Q为BB~1~的中点；
（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA~1~=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V~1~，V~2~，
设BC=a，则AD=2a，∴==，V~Q﹣ABCD~==ahd，
∴V~2~=，
∵V~棱柱~=ahd，
∴V~1~=ahd，
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；
（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A~1~E，则DE⊥平面AEA~1~，∴DE⊥A~1~E，
∴∠AEA~1~为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S~△ADC~=2S~△ABC~，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S~△ADC~=4，AE=4，
∴tan∠AEA~1~==1，
∴∠AEA~1~=，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为．
【点评】本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）^p^＞1+px；
（Ⅱ）数列{a~n~}满足a~1~＞，a~n+1~=a~n~+a~n~^1﹣p^．证明：a~n~＞a~n+1~＞．
【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）^p^﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（Ⅱ）问，从a~n+1~着手，由a~n+1~=a~n~+a~n~^1﹣p^，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a~n~＞a~n+1~进行转换，设法利用已证结论证明．
【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）^p^﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）^p﹣1^﹣p=p\[（1+x）^p﹣1^﹣1\]．
①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）^p﹣1^＜（1+x）^0^=1，
∴（1+x）^p﹣1^﹣1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0\]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p^﹣（1+p×0）=0，即（1+x）^p^﹣（1+px）＞0，
∴（1+x）^p^＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）^p﹣1^＞（1+x）^0^=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在\[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p^＞1+px．
综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）^p^＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证a~n+1~＞．
∵a~n+1~=a~n~+a~n~^1﹣p^，∴只需证a~n~+a~n~^1﹣p^＞，
将写成p﹣1个相加，上式左边=，
当且仅当，即时，上式取"="号，
当n=1时，由题设知，∴上式"="号不成立，
∴a~n~+a~n~^1﹣p^＞，即a~n+1~＞．
再证a~n~＞a~n+1~．
只需证a~n~＞a~n~+a~n~^1﹣p^，化简、整理得a~n~^p^＞c，只需证a~n~＞c．
由前知a~n+1~＞成立，即从数列{a~n~}的第2项开始成立，
又n=1时，由题设知成立，
∴对n∈N^\*^成立，∴a~n~＞a~n+1~．
综上知，a~n~＞a~n+1~＞，原不等式得证．
【点评】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．
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河北省衡水中学2016届高三二调
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、正项等比数列中，存在两项、，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3、设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）
A． B．
C．  D．
5、在中，三个内角，，所对的边为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6、设是所在平面上的一点，且，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7、已知锐角是的一个内角，，，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9、已知是数列的前项和，，，，数列是公差为的等差数列，则（ ）
A． B．   C． D．
10、函数与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B． C．  D．
11、已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、定义在上的单调函数，，，则方程的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、若，，则的值为 ．
14、已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为 ．
15、已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；②；③；④数列中的最大项为；⑥．
其中正确命题的个数是 ．
16、已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分10分）设数列满足，．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
\[来源:学+科+网\]
18、（本小题满分12分）已知角，，是的三个内角，，，是各角的对边，若向量，，且．
求的值；
求的最大值．
19、（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．
求函数在区间上的最大值和最小值；
在中，，，分别为角，，所对的边，且，，求角的大小；
在的条件下，若，求的值．
20、（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数底数．\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
设，若函数对任意都成立，求的最大值．
21、（本小题满分12分）设函数，．
当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；
是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
\[来源:Zxxk.Com\]
22、（本小题满分12分）已知函数（）．
当时，求函数的单调区间；
若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．
\[来源:Z§xx§k.Com\]
河北省衡水中学2016届高三二调
数学（理）试题参考答案
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**北师大版小学四年级下册数学第七单元《认识方程》单元测试4（附答案）**
一、选择题。（请把正确答案的序号填在括号里。）（共30分）
1、下面的说法中，正确的是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、解方程就是求*x* B、3＋5 = 8是方程
C、方程也是等式 D、等式就是方程
2、右图的面积间的关系正确的是（ ）。
A、S＋S = S B、S = S
C、S = S＋S D、不能判断
3、下面的式子是方程的是（ ）。
A、*x*﹤0.1 B、6*x*＋7
C、6*a*＋3×6 = 48 D、*a*＋*b*﹥*c*
4、一个数比5的3倍多0.3，求这个数。列式或方程错误的是（ ）。
A、*x*－5×3 = 0.3 B、5×3＋0.3
C、5×3－0.3 D、*x*－0.3 = 5×3
5、比一个数的4倍少1的数是27，列式正确的应是（ ）。
A、27×4－1 B、4*x*－1 = 27
C、（27－1）÷4 D、（27÷4）－1
6、用字母表示正方形的面积公式，下面正确的是（ ）
A、*a*×*a* B、C = *a* C、S = *a* D、S = 2 *a*
> 7、张老师用78元钱买了a本数学书，每本数学书7.92元，还买了b本作文书，每本作文书的单价是（ ）。
A、（78－7.92 *a*）÷*b* B、7927.92 *a*＋78÷*b*
C、（78－7.92）÷（*a*＋*b*） D、（78－7.92）÷*b*
8、*x*的6倍加上6个3等于48，列方程是（ ）。
A、*x*＋3×6 = 48 B、6 *x*＋3×6 = 48
C、6 *x*×6＋有= 48 D、（48－6×3）÷6 = *x*
9、结余等于（ ）。
A、收入 －支出 B、收入＋支出 C、支出＋收入 D、收入＋支出
10、当*x* = 50时，2 *x*＋16（ ）68。
A、大于 B、等于 C、小于 D、不能判断
11、下面结果相同的一组式子是（ ）。
A、32和3×2 B、*x*·*x*和*x* C、2×3和2＋3 D、12和1×2
12、方程与等式之间的关系是（ ）。
> 13、农场有白兔54只，比黑兔只数的6倍少6只，黑兔有多少只？设黑兔有*x*只，下列方程正确的是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、54－6 *x* = 6 B、6 *x*＋6 = 54
C、6 *x*－6 = 54 D、6 *x* = 54－6
> 14、四、五年级学生一共植树39棵，四年级植15棵，五年级植3行树，每行多少棵？设每行植*x*棵，下面列式或方程错误的（ ）。
A、39－15 = 3 *x* B、3 *x*＋15 = 39来源：www.bcjy123.com/tiku/
C、39－15×3 D、（39－15）÷3
> 15、一头大象重3000千克，它比10只老虎还重200千克，每只老虎重多少千克？设每支老虎重为*x*千克，下列方程正确的是（ ）。
A、3000 = 10 *x*－200 B、10 *x*＋200 = 3000
C、3000＋10 *x* = 200 D、（3000＋200）÷10 = *x*
二、填空题。（共12分）
1、食堂原计划每月烧煤*a*吨，实际节约b吨，实际每月烧煤（ ）吨。
2、比*a*的4倍少5的数是（ ）。
3、用字母表示乘法分配律是（*a*＋*b*）·*c* =（ ）。
4、在○里填上"﹥""﹤"或"="。
1.5 1.5×1.5 6.3×2 6.3＋6.3
> 5、美术小组有*a*人，合唱组的人数比美术组的2倍还多12人，合唱组有（ ）
人。
6、如图是一个等腰三角形，它是用一根1米长的铁丝围成的。
*x* =（ ）厘米。
*x* *x*
三、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（共12分）
1、方程一定含有未知数。 （ ）
2、*x*×4省略乘号可以写作*x*4。 （ ）
3、85－2 *x*是方程。 （ ）
4、一辆自行车*a*元，三辆自行车就是*a*＋3元。 （ ）
5、1.6＋0.4 = 2是等式，不是方程。 （ ）
6、*a*＋4 = 4 *a*。 （ ）
四、解答题。（共46分）
1、解下列方程。
（1）4 *x*＋2 *x*＋9 = 17.4 （2）7 *y*÷3 = 8.19
（3）54÷2＋3 *a* = 72 （4）5.5 *m－*1.3 *m* = 12.6
（5）9×3－1.7 *x* = 13.4 （6）8 *x*－2.6 *x* = 37.8
2、列方程表示下列数量关系，不计算。
（1）*x*的42倍加上*x*的18倍等于130，求*x*。
（2）一个数的4.6倍减去这个数自己，差是36.36，求这个数。
（3）一个数乘上0.32的积比3的5倍少12.44，求这个数。
（4）6.5减去某数的5倍得3.5，求某数。
3、解决问题。
（1）妈妈比小亮大27岁，当妈妈的年龄是小亮的2.5倍时，小亮几岁？
> （2）甲、乙两个车间共有工人312人，甲车间的人数是乙车间的1.4倍，两车间各有多少人？
>
> （3）停车场上，小汽车的数量是大货车的2.5倍，小汽车开越45辆后，剩下的两种车辆的数量相等，原来各有多少辆车？
>
> （4）商店运来12筐梨和20筐苹果，一共重1500千克，每筐梨重50千克，每筐苹果重多少千克？（用两种方法解答。）
**答案：**
一、1、C 2、C 3、C 4、C 5、B 6、C 7、A 8、B 9、A
10、A 11、B 12、A 13、C 14、C 15、B
二、1、*a*－*b* 2、4 *a*－5 3、*ac*＋*bc* 4、= = 5、2 *a*＋12 6、31
三、√ × × × √ ×
四、1、（1）*x* =1.4 （2）*y* = 3.51 （3）*a* = 15 （4）*m* = 3 （5）*x* = 8
（6）*x* = 7
2、（1）42 *x*＋18 *x* = 130
（2）设这个数是*x*。4.6 *x*－*x* = 36.36
（3）设这个数是*x*。3×5－0.32 *x* = 12.44
（4）设某数是*x*。6.5－5 *x* = 3.5
3、（1）27÷（2.5－1）= 18（岁）
或设小亮*x*岁。2.5 *x*－*x* = 27 *x* = 18岁
（2）乙：312÷（1.4＋1）= 130（人）
甲：130×1.4 = 182（人）
或设乙车间*x*人，则1.4 *x*＋*x* = 312，*x* = 130（人），
甲车间有1.4 *x* = 130×1.4 = 182（人）。
（3）大货车：45÷（2.5－1）= 30（辆）
小汽车：30×2.5 = 75（辆）
（4）方法一：设每筐苹果重*x*千克。
20 *x*＋50×12 = 1500 *x* = 45
方法二：（1500－50×12）÷20 = 45（千克）
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**浙江省丽水市2017年中考数学试卷（解析版）**
**一、选择题**
1、（2017·丽水）在数1,0，-1，-2中，最大的数是（ ）
> A、-2\
> B、-1\
> C、0\
> D、1
2、（2017·丽水）计算a^2^·a^3^的正确结果是（ ）
> A、a^5^\
> B、a^6^\
> C、a^8^\
> D、a^9^
3、（2017·丽水）如图是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是（ ）\
> A、俯视图与主视图相同\
> B、左视图与主视图相同\
> C、左视图与俯视图相同\
> D、三个视图都相同
4、（2017·丽水）根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在1\~35（微克/立方米）的空气质量等级为优.将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表.这组PM2.5数据的中位数是（ ）
------- ---- ---- ---- ---- ----
天数 3 1 1 1 1
PM2.5 18 20 21 29 30
------- ---- ---- ---- ---- ----
> A、21微克/立方米\
> B、20微克/立方米\
> C、19微克/立方米\
> D、18微克/立方米
5、（2017·丽水）化简 的结果是（ ）
> A、x+1\
> B、x-1\
> C、x^2^-1\
> D、
6、（2017·丽水）若关于x的一元一次方程x-m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（ ）
> A、m≥2\
> B、m\>2\
> C、m\<2\
> D、m≤2
7、（2017·丽水）如图，在*□*ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）\
> A、\
> B、2\
> C、2 \
> D、4
8、（2017·丽水）将函数y=x^2^的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（ ）
> A、向左平移1个单位\
> B、向右平移3个单位\
> C、向上平移3个单位\
> D、向下平移1个单位
9、（2017·丽水）如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）\
> A、\
> B、\
> C、\
> D、
10、（2017·丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x(小时)的函数关系的图象.下列说法错误的是（ ）\
> A、乙先出发的时间为0.5小时\
> B、甲的速度是80千米/小时\
> C、甲出发0.5小时后两车相遇\
> D、甲到B地比乙到A地早 小时
**二、填空题**
11、（2017·丽水）分解因式：m^2^+2m=\_\_\_\_\_\_\_\_.
12、（2017·丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的°数是\_\_\_\_\_\_\_\_.
13、（2017·丽水）已知a^2^+a=1，则代数式3-a-a^2^的值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
14、（2017·丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形图形是轴对称图形的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_.\
15、（2017·丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"，后人称其为"赵爽弦图"，如图1所示.在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ//AB，则正方形EFGH的边长为\_\_\_\_\_\_\_\_.\
16、（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.\
(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题**
17、（2017·丽水）计算：（-2017）^0^- + .
18、（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
19、（2017·丽水）如图是某小区的一个健向器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34,tan70°≈2.75）\
20、（2017·丽水）在全体丽水人民的努力下，我市剿灭劣V类水"河道清淤"工程取得了阶段性成果，下面的右表是全市十个县（市、区）指标任务数的统计表；左图是截止2017年3月31日和截止5月4日，全市十个县（市、区）指标任务累计完成数的统计图.\
(1)截止3月31日，完成进度（完成进度=累计完成数÷任务数×100%）最快、电慢的县（市、区）分别是哪一个？
(2)求截止5月4日全市的完成进度；
(3)请结合图形信息和数据分析，对I且完成指标任务的行动过程和成果进行评价.
21、（2017·丽水）丽水苛公司将"丽水山耕"农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v,t的一组对应值如下表：
-------------- ------ ------ ------ ------ ------
v(千米/小时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
-------------- ------ ------ ------ ------ ------
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
(2)汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市？请说明理由：
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围.
22、（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.\
(1)求证：∠A=∠ADE；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长.
23、（2017·丽水）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A---C---B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm^2^)，y关于x的函数图象由C~1~ ， C~2~两段组成，如图2所示.\
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C~2~段的函数表达式；
(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.
24、（2017·丽水）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 =n.\
(1)求证：AE=GE；
(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示 的值；
(3)若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值.
**答案解析部分**
一、\<b \>选择题\</b\>
1、【答案】D\
【考点】有理数大小比较\
【解析】【解答】解：从小到大排列为：-2\<-1\<0\<1，\
则最大的数是1.\
故选D.\
【分析】四个数中有负数、正数、0，-1与-2比较时，\|-1\|\<\|-2\|，则-1\>-2，即负数比较时，绝对值大的反而小，而由负数小于0,0小于正数，则可得答案.
2、【答案】A\
【考点】同底数幂的乘法\
【解析】【解答】解：a^2^·a^3^=a^2+3^=a^5^故选A.\
【分析】由同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，则可得a^2^·a^3^=a^2+3^ ， 即可得答案.
3、【答案】B\
【考点】简单几何体的三视图\
【解析】【解答】解：∵该长方体的底面为正方形，\
∴可设长方体的长、宽、高分别为a,a,b，\
则主视图是长为b,宽为a的长方形；\
左视图是长为b，宽为a的长方形；\
俯视图是边长为a的正方形；\
故主视图与左视图相同.\
故选B.\
【分析】易得长方体的主视图、左视图、俯视图都是长方形，而题中已知"底面为正方形"，则可得俯视图是正方形，从而可得主视图和左视图的长方形的长和宽分别相等，即可解答.
4、【答案】B\
【考点】中位数、众数\
【解析】【解答】解：7个数据从小到排列的第4个数据是中位数，\
而3+1=4,故中位数是20微克/立方米.\
故选B.\
【分析】一共有7个数据，∴中位数是这组数据从小到大排列时，排在第4位的数.
5、【答案】A\
【考点】分式的混合运算\
【解析】【解答】解： = .\
故选A.\
【分析】分式相加减，可将分母化为一致，即把第二项的 ，即转化为同分母的分式减法，再将结果化成最简分式.
6、【答案】C\
【考点】一元一次方程的解\
【解析】【解答】解：解x-m+2=0得x=m-2，\
∵x\<0，\
∴m-2\<0，\
则m\<2.\
故选C.\
【分析】解出一元一次方程的解，由解是负数，解不等式即可.
7、【答案】C\
【考点】平行四边形的性质\
【解析】【解答】解：在*□*ABCD中，AD//BC，\
∴∠ACB=∠CAD=45°，\
∴∠ABC=∠ABC=45°，\
∴AC=AB=2，∠BAC=90°，\
由勾股定理得BC= AB=2 .\
故选C.\
【分析】由平行四边形ABCD的性质可得AD//BC，则可得内错角相等∠ACB=∠CAD=45°，由等角对等边可得AC=AB=2，∠BAC=90°，由勾股定理可解出BC.
8、【答案】D\
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用\
【解析】【解答】解：A. 向左平移1个单位后，得到y=(x+1)^2^ ， 当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；\
B. 向右平移3个单位，得到y=(x-3)^2^ ， 当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；\
C. 向上平移3个单位，得到y=x^2^+3，当x=1时，y=4，则平移后的图象经过A（1,4）；\
D. 向下平移1个单位，得到y=x^2^-1，当x=1时，y=0，则平移后的图象不经过A（1,4）；\
故选.\
【分析】遵循"对于水平平移时，x要左加右减""对于上下平移时，y要上加下减"的原则分别写出平移后的函数解析式，将x=1代入解析式，检验y是否等于4.
9、【答案】A\
【考点】扇形面积的计算\
【解析】【解答】解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，\
∴∠ABC=30°，∠BOC=120°，\
又∵AB为直径，\
∴∠ACB=90°，\
则AB=2AC=4，BC= ，\
则S~阴~=S~扇形BOC~-S~△BOC~= - = - .\
故选A.\
【分析】连接OC，S~阴~=S~扇形BOC~-S~△BOC~ ， 则需要求出半圆的半径，及圆心角∠BOC；由点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，可得∠ABC=30°，∠BOC=120°，从而可解答.
10、【答案】D\
【考点】函数的图象\
【解析】【解答】解：观察0.5左边和右边的线段可得它们的斜率不一样，则可得0.5小时是一个转折点，即乙先出发的时间为0.5小时，故A正确；\
乙的速度是 =60（千米/小时），则乙行完全程需要的时间是 （小时），\
则甲所用的时间是：1.75-0.5=1.25（小时），甲的速度是 （千米/小时），故B正确；\
相遇时间为 （小时），故C正确；\
乙到A地比甲到B地早 -1.25= 小时，故D错误.\
故选D.\
【分析】行驶相遇问题.主要观察图象得到有用的信息，在0.5左边和右边的线段可得它们的斜率不一样，可得0.5小时是一个转折点；求出乙的速度和行完全程所需要的时间，对比乙行完全程所需要的时间与1.75小时，如果比1.75小时大，说明甲先到达B地，如果比1.75小时小，说明乙先到达A地，则作出判断后即可求出甲行完全程所用的时间，以及速度，即可解答.
二、\<b \>填空题\</b\>
11、【答案】m(m+2)\
【考点】因式分解-提公因式法\
【解析】【解答】解：原式=m(m+2).\
故答案为m(m+2).\
【分析】先提取公因式.
12、【答案】100°\
【考点】等腰三角形的性质\
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个内角为100°，而底角不能为钝角，∴100°为等腰三角形的顶角.\
故答案为100°.\
【分析】这个为100°的内角是钝角只能是顶角，不能为底角.
13、【答案】2\
【考点】代数式求值\
【解析】【解答】解：∵a^2^+a=1，\
∴3-a-a^2^=3-（a+a^2^）=3-1=2.\
故答案为2.\
【分析】可由a^2^+a=1，解出a的值，再代入3-a-a^2^；或者整体代入3-（a+a^2^）即可答案.
14、【答案】\
【考点】概率的意义，概率公式\
【解析】【解答】解：任选5个小正方形，有6种选法，是轴对称图形的有下面2种，则概率为 .\
\
故答案为 .\
【分析】选5个小正方形，相当于去掉一个小正方形，有6种去法，故一共有6种选法，而去掉一个小正方形后，是轴对称图形的只有两个，则可解出答案.
15、【答案】10\
【考点】勾股定理\
【解析】【解答】解：易得正方形ABCD是由八个全等直角三角形和一个小方形组成的，\
可，EJ=x，则HJ=x+2，\
则S~正方形ABCD~=8× +2^2^=14^2^ ，\
化简得x^2^+2x-48=0,\
解得x~1~=6,x~2~=-8（舍去）.\
∴正方形EFGH的边长为 . 故答案为10.\
【分析】在原来勾股弦图基础上去理解新的弦图"，易得八个全等直角三角形和小正方形的面积和为正方形ABCD的面积，构造方程解出EJ的长，再由勾股定理求出正方形EFGH的边长.
16、【答案】（1）\
（2）12\
【考点】相似三角形的应用，一次函数的性质\
【解析】【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，\
当x=2时，y=-2+m=0，即m=2.\
∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2）\
∴OB=OA=2，AB=2 ，\
设点O到直线AB的距离是d，\
由S~△OAB~= ，\
则4=2 d，\
∴d= .\
2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，\
\
由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m),\
则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，\
当m\<0时，∠APO\>∠OBA=45°，∴此时∠CPA\>45°，故不符合，\
∴m\>0.\
∵∠CPA=∠ABO=45°，\
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，\
即∠OPC=∠BAP，\
则△PCD\~△APB，\
∴ ，\
即 ，\
解得m=12.\
故答案为 ；12.\
【分析】（1）点C与点A都在x轴上，当直线AB经过点C，则点C与点A重合，将C点坐标代入y=-x+m代入求出m的值，则可写出B的坐标和OB，求出AB，再由等积法可解出；（2）典型的"一线三等角"，构造相似三角形△PCD\~△APB，对m的分析进行讨论，在m\<0时，点A在x轴负半轴，而此时∠CPA\>∠ABO，故m\>0,∴由相似比求出边的相应关系.
三、\<b \>解答题\</b\>
17、【答案】解：原式=1-3+3=1.\
【考点】倒数，算术平方根\
【解析】【分析】一个非负数的0次方都为1，一个数的(-1)次方，是这个数的倒数， 是9的算术平方根.
18、【答案】解：（x-3）(x-1)=3\
x^2^-4x+3=3，\
x^2^-4x=0，\
x(x-4)=0,\
x~1~=0,x~2~=4.\
【考点】一元二次方程的解\
【解析】【分析】方程右边不是0，∴要将方程左边化简，最终可因式分解得x(x-4)=0,\
即可解出答案.
19、【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，\
∵OD⊥CD，∠BOD=70°，∴AE//OD，∴∠A=∠BOD=70°，\
在Rt△AFB中，AB=2.7，∴AF=2.7cos70°=2.7×0.34=0.918,\
∴AE=AF+BC=0.918+0.15=1.068≈1.1（m）.\
答：端点A到地面CD的距离约是1.1m.\
\
【考点】解直角三角形的应用\
【解析】【分析】求求端点A到地面CD的距离，则可过点A作AE⊥CD于点E，在构造直角三角形，可过点B作BF⊥AE于点F，即在Rt△AFB中，AB已知，且∠A=∠BOD=70°，即可求出AF的长，则AE=AF+EF即可求得答案.
20、【答案】（1）解：C县的完成进度= ；I县的完成进度= .\
∴截止3月31日，完成进度最快的是C县，完成进度最慢的是I县.\
（2）解：全市的完成进度=（20.5+20.3+27.8+9.6+8.8+17.1+9.6+21.4+11.5+25.2）÷200×100%=171.8÷200×100%=85.9%.\
（3）解：A类（识图能力）：能直接根据统计图的完成任务数对I县作出评价.\
如：截止5月4日，I县累计完成数为11.5万方\>任务数11万方，已知超额完成任务.\
B类（数据分析能力）：能结合统计图通过计算完成进度对I县作出评价.\
如：截止5月4日，I县的完成进度= ，超过全市完成进度.\
C类（综合运用能力）：能利用两个阶段的未完成进度、全市完成进度的排序等方面对I县作出评价.如：截止3月31日：I县的完成进度= ，完成进度全市最慢.\
截止5月4日：I县的完成进度= ，超过全市完成进度，104.5%-27.3%=77.2%，与其它县（市、区）对比进步幅度最大.\
【考点】统计表，条形统计图\
【解析】【分析】（1）可以将A\~I县（市、区）中3月31日的累计完成数写在指标任务统计表中A\~I相对应的指标任务旁边估算完成进度即可；（2）用总累计完成数÷200×100%，即可解答；（3）可成累计完成数、完成进度及增长率等分析.
21、【答案】（1）解：（1）根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象（如图所示），\
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试.设v与t的函数表达式为v= ,\
∵当v=75时，t=4，∴k=4×75=300.\
∴v= .\
将点（3.75,80），（3.53,85），（3.33,90），（3.16，95）的坐标代入v= 验证：\
， ， ， ，\
∴v与t的函数表达式为v= .\
\
（2）解：∵10-7.5=2.5，\
∴当t=2.5时，v= =120\>100.\
∴汽车上午7:30从丽水出发，不能在上午10:00之前到达杭州市场.\
（3）解：由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤ .\
答案：平均速度v的取值范围是75≤v≤ .\
【考点】反比例函数的性质\
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，尝试运用构造反比例函数模型v= ,取一组整数值\
代入求出k，再取几组值代入检验是否符合；（2）经过的时间t=10-7.5，代入v= ,求出v值，其值要不超过100，才成立；（3）根据反比例函数，k\>0，且t\>0，则v是随t的增大而减小的，故分别把t=3.5，t=4，求得v的最大值和最小值.
22、【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，\
∴∠ODE=90°，\
∴∠ADE+∠BDO=90°，\
∵∠ACB=90°，\
∴∠A+∠B=90°，\
又∵OD=OB，\
∴∠B=∠BDO，\
∴∠ADE=∠A.\
\
（2）解：连结CD，∵∠ADE=∠A，\
∴AE=DE，\
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.\
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，\
∴AE=EC.\
又∵DE=10，\
∴AC=2DE=20，\
在Rt△ADC中，DC= .\
设BD=x，\
在Rt△BDC中，BC^2^=x^2^+12^2^, 在Rt△ABC中，BC^2^=(x+16)^2^-20^2^,\
∴x^2^+12^2^=(x+16)^2^-20^2^,解得x=9，\
∴BC= .\
\
【考点】切线的性质\
【解析】【分析】（1）连结OD，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切线，由切线长定理易得DE=EC，则AC=2DE，由勾股定理求出CD；设BD=x，再可由勾股定理BC^2^= x^2^+12^2^=(x+16)^2^-20^2^,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC.
23、【答案】（1）解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x，\
∴PD=PA·sin30°=2x· =x，\
∴y= = .\
由图象得，当x=1时，y= ，则 = .\
∴a=1.\
\
（2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x.\
∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，\
∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.\
由图象得，当x=4时，y= ,\
∴ ×4×（10-8）·sinB= ，\
∴sinB= .\
∴y= x·（10-2x）· = .\
\
（3）解：由C~1~ ， C~2~的函数表达式，得 = ，\
解得x~1~=0（舍去），x~2~=2，\
由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= .\
将y=2代入函数y= ，得2= .\
解得x~1~=2，x~2~=3，\
∴由图象得，x的取值范围是2\<x\<3.\
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用\
【解析】【分析】（1）C~1~段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；（3）题中表示在某x的取值范围内C~1~\<C~2~ ， 即此时C~2~的y值大于C~1~的y值的最大值，由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= .将y=2代入函数y= ，求出x的值，根据函数y= ，的开口向下，则可得x的取值范围.
24、【答案】（1）证明：由对称得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，\
∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，\
∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF.\
∴AE=EG.\
（2）解：设AE=a，则AD=na，\
当点F落在AC上时（如图1），\
由对称得BE⊥AF，\
∴∠ABE+∠BAC=90°，\
∵∠DAC+∠BAC=90°，\
∴∠ABE=∠DAC，\
又∵∠BAE=∠D=90°，\
∴△ABE\~△DAC ,\
∴ \
∵AB=DC，∴AB^2^=AD·AE=na·a=na^2^,\
∵AB\>0，∴AB= .\
∴ .\
\
（3）解：设AE=a，则AD=na，由AD=4AB，则AB= .\
当点F落在线段BC上时（如图2），EF=AE=AB=a，\
此时 ，∴n=4.\
∴当点F落在矩形外部时，n\>4.\
∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，\
∴∠FCG\<∠BCD，∴∠FCG\<90°，\
若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得 ，∴n=16.\
若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，\
∵∠FAG+∠AGF=90°，\
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，\
∵∠BAE=∠D=90°，\
∴△ABE\~△DGC，\
∴ ，\
∴AB·DC=DG·AE，即（ ）^2^=（n-2）a·a.\
解得 或 （不合题意，舍去），\
∴当n=16或 时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形.\
\
\
【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用\
【解析】【分析】（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE\~△DAC , 则 ，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
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**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
**参考公式：**
+---------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------+
| 若事件*A*，*B*互斥，则 | 柱体的体积公式 |
| | |
| 若事件*A*，*B*相互独立，则 | 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 |
| | |
| 若事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，则*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率 | 锥体的体积公式 |
| | |
| 台体的体积公式 | 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 |
| | |
| 其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 | 球的表面积公式 |
| | |
| | 球的体积公式 |
| | |
| | 其中表示球的半径 |
+---------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------+
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
**1．已知全集，集合，，则=**
**A． B．**
**C． D．**
**2．渐近线方程为*x*±*y*=0的双曲线的离心率是**
**A． B．1**
**C． D．2**
3**．若实数*x***，***y*满足约束条件，则*z*=3*x*+2*y*的最大值是**
**A． B．1**
**C．10 D．12**
> 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的"幂势既同，则积不容易"称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式*V*~柱体~=*Sh*，其中*S*是柱体的底面积，*h*是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
**A．158 B．162**
**C．182 D．32**
5．若*a*＞0，*b*＞0，则"*a*+*b*≤4"是 "*ab*≤4"的
> **A．充分不**必要条件 **B．**必要不充分条件
>
> **C．**充分必要条件 **D．**既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数*y* =，*y*=log*~a~*(*x*+)，(*a*\>0且*a*≠0)的图像可能是
7．设0＜*a*＜1，则随机变量*X*的分布列是
则当*a*在（0*,*1）内增大时
**A．*D*（*X*）增大 B．*D*（*X*）减小**
**C．*D*（*X*）先增大后减小 D．*D*（*X*）先减小后增大**
> 8．设三棱锥*V*-*ABC*的底面是正三角形，侧棱长均相等，*P*是棱*VA*上的点（不含端点），记直线*PB*与直线*AC*所成角为*α*，直线*PB*与平面*ABC*所成角为*β*，二面角*P*-*AC*-*B*的平面角为*γ*，则
>
> **A．***β*\<*γ*，*α*\<*γ* **B．***β*\<*α*，*β*\<*γ*
>
> **C．***β*\<*α*，*γ*\<*α* **D．***α*\<*β*，*γ*\<*β*
>
> 9．已知，函数，若函数恰有三个零点，则
>
> **A．***a*\<-1，*b*\<0 **B．***a*\<-1，*b*\>0
>
> **C．***a*＞-1，*b*＞0 **D．***a*＞-1，*b*\<0
10．设*a*，*b*∈**R**，数列{*a~n~*}中*a~n~*=*a*，*a~n~*~+1~=*a~n~*^2^+*b*， ,则
> **A．**当*b*=，*a*~10~＞10 **B．**当*b*=，*a*~10~＞10
>
> **C．**当*b*=-2，*a*~10~＞10 **D．**当*b*=-4，*a*~10~＞10
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．复数（为虚数单位），则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
12．已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=\_\_\_\_\_， =\_\_\_\_\_\_.
13．在二项式的展开式中，常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_，系数为有理数的项的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
14．在中，，，，点在线段上，若，则\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_.
15．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是\_\_\_\_\_\_\_.
16．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是\_\_\_\_.
17．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_，最大值是\_\_\_\_\_\_\_.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分14分）设函数.
> （1）已知函数是偶函数，求的值；
>
> （2）求函数 的值域.
>
> 19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱，平面平面*,*，分别是*AC*，*A*~1~*B*~1~的中点.
>
> （1）证明：；
>
> （2）求直线*EF*与平面*A*~1~*BC*所成角的余弦值**.**
>
> 
>
> 20.（本小题满分15分）设等差数列的前*n*项和为，，，数列满足：对每个成等比数列.\
> （1）求数列的通项公式；\
> （2）记 证明：
>
> 21.（本小题满分15分）如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点*F*的直线交抛物线于*A*、*B*两点，点*C*在抛物线上，使得的重心*G*在*x*轴上，直线*AC*交*x*轴于点*Q*，且*Q*在点*F*右侧.记的面积为.
>
> （1）求*p*的值及抛物线的标准方程；
>
> （2）求的最小值及此时点*G*的坐标.
22.（本小题满分15分）
> 已知实数，设函数
>
> （1）当时，求函数的单调区间；
>
> （2）对任意均有 求的取值范围.
>
> 注：e=2.71828...为自然对数的底数.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学 参 考 答 案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。
1．A 2．C 3．C 4．B 5．A
6．D 7．D 8．B 9．C 10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（I）因为是偶函数，所以，对任意实数*x*都有，
即，
故，
所以．
又，因此或．
（Ⅱ）
．
因此，函数的值域是．
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
> 方法一：
（I）连接*A*~1~*E*，因为*A*~1~*A*=*A*~1~*C*，*E*是*AC*的中点，所以*A*~1~*E*⊥*A*C.
又平面*A*~1~*ACC*~1~⊥平面*ABC*，*A*~1~*E*平面*A*~1~*ACC*~1~，
平面*A*~1~*ACC*~1~∩平面*ABC*=*AC*，
所以，*A*~1~*E*⊥平面*ABC*，则*A*~1~*E*⊥*BC*.
又因为*A*~1~*F*∥*AB*，∠*ABC*=90°，故*BC*⊥*A*~1~*F*.
所以*BC*⊥平面*A*~1~*EF*.
因此*EF*⊥*B*C.
（Ⅱ）取*BC*中点*G*，连接*EG*，*GF*，则*EGFA*~1~是平行四边形．
由于*A*~1~*E*⊥平面*ABC*，故*AE*~1~⊥*EG*，所以平行四边形*EGFA*~1~为矩形．
由（I）得*BC*⊥平面*EGFA*~1~，则平面*A*~1~*BC*⊥平面*EGFA*~1~，
所以*EF*在平面*A*~1~*BC*上的射影在直线*A*~1~*G*上.
连接*A*~1~*G*交*EF*于*O*，则∠*EOG*是直线*EF*与平面*A*~1~*BC*所成的角（或其补角）.
不妨设*AC*=4，则在*Rt*△*A*~1~*EG*中，*A*~1~*E*=2，*EG*=.
由于*O*为*A*~1~*G*的中点，故，
所以．
因此，直线*EF*与平面*A*~1~*BC*所成角的余弦值是．
方法二：
连接*A*~1~*E*，因为*A*~1~*A*=*A*~1~*C*，*E*是*AC*的中点，所以*A*~1~*E*⊥*AC*.
又平面*A*~1~*ACC*~1~⊥平面*ABC*，*A*~1~*E*平面*A*~1~*ACC*~1~，
平面*A*~1~*ACC*~1~∩平面*ABC*=*AC*，所以，*A*~1~*E*⊥平面*ABC*.
如图，以点*E*为原点，分别以射线*EC*，*EA*~1~为*y*，*z*轴的正半轴，建立空间直角坐标系*E*--*xyz*.
不妨设*AC*=4，则
*A*~1~（0，0，2），*B*（，1，0），，，*C*(0，2，0).
因此，，．
由得．
20．本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。
> （Ⅰ）设数列的公差为*d*，由题意得
>
> ，
>
> 解得．
>
> 从而．
>
> 由成等比数列得
>
> ．
>
> 解得．
>
> 所以．
>
> （Ⅱ）．
>
> 我们用数学归纳法证明．
>
> （1）当*n*=1时，*c*~1~=0\<2，不等式成立；
>
> （2）假设时不等式成立，即．
>
> 那么，当时，
>
> ．
>
> 即当时不等式也成立．
>
> 根据（1）和（2），不等式对任意成立．
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。
（I）由题意得，即*p*=2.
所以，抛物线的准线方程为*x*=−1.
（Ⅱ）设，重心.令，则.
由于直线*AB*过*F*，故直线*AB*方程为，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心*G*在*x*轴上，故，得.
所以，直线*AC*方程为，得.
由于*Q*在焦点*F*的右侧，故.从而
.
令，则*m*\>0，
.
当时，取得最小值，此时*G*（2，0）.
22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。
> （Ⅰ）当时，．
>
> ，
>
> 所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
>
> （Ⅱ）由，得．
>
> 当时，等价于．
>
> 令，则．
>
> 设 ，则
>
> ．
>
> （i）当 时，，则
>
> ．
>
> 记，则
>
> .
>
> 故
+---+---+------------+----------+------------+
| | | | > 1 | |
+---+---+------------+----------+------------+
| | | | > 0 | > \+ |
+---+---+------------+----------+------------+
| | | > 单调递减 | > 极小值 | > 单调递增 |
+---+---+------------+----------+------------+
> 所以， ．
>
> 因此，．
>
> （ii）当时，．
>
> 令 ，则，
>
> 故在上单调递增，所以．
>
> 由（i）得．
>
> 所以，．
>
> 因此．
>
> 由（i）（ii）得对任意，，
>
> 即对任意，均有．
>
> 综上所述，所求*a*的取值范围是．
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**湖北恩施州数学\--2020年初中毕业升学学业水平考试题（图片版）**
**答案**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上．**
1.A． 2.B. 3.D． 4.B．5.B． 6.D. 7.C． 8.A. 9.A. 10.D． 11.B. 12.C．
**二、填空题：不要求写出解答过程，请把答案直接写在答题卷相应位置上．**
13.3．
14\.
15\.
16.(-1,8)
**三、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17.，
【详解】
；
当时，原式．
18.【详解】证明：∵，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又，即ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握其判定方法及性质是解决此类题的关键．
19.（1）50名；（2）条形图见解析；（3）；（4）150名．
【详解】（1）本次共调查的学生数为：名；
（2）C类学生人数为：50-15-20-5=10名，条形图如下：
（3）D类所对应扇形的圆心角为：；
（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：名．
20.【答案】此时船与小岛的距离约为44海里
【详解】如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，
由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30º=，
即，
解得：，
∴PB=2x=≈44（海里），
答：此时船与小岛的距离约为44海里．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
21.(1) (3，0)；(2) ，
【详解】解：(1)由题意得：令中，
即，解得，
∴点A的坐标为(3，0)，
故答案为(3,0) ．
\(2\) 过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：
显然，CMOA，∴∠BCM=∠BAO，且∠ABO=∠CBO，
∴△BCM∽△BAO，
∴，代入数据：
即：，∴=1，
又
即：，∴，
∴*C*点的坐标为(1，2)，
故反比例函数的，
再将点C(1,2)代入一次函数中，
即，解得，
故答案为：，．
22.（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【详解】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得
解得：x=100
经检验x=100是原方程的解
x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则
W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴
解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65
即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小
m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
23.【详解】（1）连接OD，
∵，
∴∠CAD=∠CDA，
∵OA=OD
∴∠OAD =∠ODA，
∵直线与相切于点，
∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°
∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°
∴CE是的切线；
（2）连接BD
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD，
∵CE是的切线，BF是的切线，
∴∠OBD=∠ODE=90°
∴∠EDB=∠EBD
∴ED=EB
∵AM⊥AB，BN⊥AB
∴AM∥BN
∴∠CAD=∠BFD
∵∠CAD=∠CDA=∠EDF
∴∠BFD=∠EDF
∴EF=ED
∴BE=EF
（3）过E点作EL⊥AM于L，则四边形ABEL是矩形，
设BE=x，则CL=4-x，CE=4+X
∴(4+x)^2^=(4-x)^2^+6^2^
解得：x=
∵∠BOE=2∠BHE
解得：tan∠BHE=或-3（-3不和题意舍去）
∴tan∠BHE=
24.（1）；（2）（，0）；（3）①见解析；②=或=
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴，
得到，
又∵对称轴，
∴，
解得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）当点M在点C的左侧时，如下图：
∵抛物线的解析式为，对称轴为，
∴点A（2，0），顶点B（2，4），
∴AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=45°；
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴FM=CM，∠2=∠1=45°，
设点M的坐标为（m，0），
∴点F（m，6-m），
又∵∠2=45°，
∴直线EF与x轴的夹角为45°，
∴设直线EF的解析式为y=x+b，
把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，
直线EF的解析式为y=x+6-2m，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
整理得：，
∴Δ=b^2^-4ac=0，解得m=，
点M的坐标为（，0）．
当点M在点C的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF与x轴夹角仍是45°，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．
综上，点M的坐标为（，0）．
（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵，由（2）知∠BCA=45°，
∴PG=GC=1，
∴点G（5，0），
设点M的坐标为（m，0），
∵将逆时针旋转得到△MEF，
∴EM=PM，
∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，
∴∠HEM=∠GMP，
在△EHM和△MGP中，
，
∴△EHM≌△MGP（AAS），
∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，
∴点H（m-1，0），
∴点E的坐标为（m-1，5-m）；
∴EA==，
又∵为线段的中点，B（2，4），C（6，0），
∴点D（4，2），
∴ED==，
∴EA= ED．
当点M在点C的右侧时，如下图：
同理，点E的坐标仍为（m-1，5-m），因此EA= ED．
②当点在（1）所求的抛物线上时，
把E（m-1，5-m）代入，整理得：m^2^-10m+13=0，
解得：m=或m=，
∴=或=．
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**绝密★本科目考试启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）**
**数学**
**本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第一部分（选择题 共40分）**
**一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1.已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】，
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得，.
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.在的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中*n*和*r*的隐含条件，即*n*，*r*均为非负整数，且*n*≥*r*，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，
则其表面积为：.
故选：D.
【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
6.已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】
【分析】
依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
9.已知，则"存在使得"是""的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，"存在使得"是""的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的"割圆术"相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
**第二部分（非选择题 共110分）**
**二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.**
11.函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
12.已知双曲线，则*C*的右焦点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；*C*的焦点到其渐近线的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.
13.已知正方形的边长为2，点*P*满足，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
14.若函数的最大值为2，则常数的一个取值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（均可）
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量*W*与时间*t*的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
**三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.**
16.如图，在正方体中，*E*为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系**，**
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题.
17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）*a*的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【解析】
【分析】
选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；
选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
-------- ------- -------- ------- --------
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
-------- ------- -------- ------- --------
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；
（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；
（Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.
【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，
该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;
（Ⅲ）
【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
19.已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即.
（Ⅱ）显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
20.已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程：
（Ⅱ）过点的直线*l*交椭圆*C*于点,直线分别交直线于点．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于*a*,*b*的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线*MA*,*NA*的方程确定点*P*,*Q*的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.
【详解】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线*MA*的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且：，注意到：
，
而：
，
故.
从而.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21.已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；
(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；
(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.
解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得成等比数列，之后证得成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.
【详解】(Ⅰ)不具有性质①；
(Ⅱ)具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然，假设数列中存在负项，设，
第一种情况：若，即，
由①可知：存在，满足，存在，满足，
由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，
另一方面，，由数列单调性可知：，
这与的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明：
利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列的前项成等比数列，不妨设，
其中，（情况类似）
由①可得：存在整数，满足，且 （\*）
由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，
由可得： （\*\*）
由（\*\*）和（\*）式可得：，
结合数列的单调性有：，
注意到均为整数，故，
代入（\*\*）式，从而.
总上可得，数列的通项公式为：.
即数列为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
即成等比数列，不妨设，
然后利用性质①：取，则，
即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，
否则，由数列的单调性可知，
在性质②中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，
同理可得：，从而数列为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.
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**海东市2020---2021学年第一学期学业水平统一检测**
**（江苏教育）五年级数学试题参考答案**
一、仔细想，认真填（每空1分，共20分）
1．－4
2．10.96 11.0
3．200 0.1 6
4．＜ ＞ ＞
5．68.8 5
6．30000 3
7．80+*a*
8．25 18
9．4.386 0.087
10． 0.364
二、小法官，巧判断（对的打"√"，错的打"×"，每小题1分，共5分）
11．√ 12．× 13．× 14．× 15．√
三、反复比较，慎重选择（把正确答案的序号填入括号内，每小题1分，共5分）
16．C 17．C 18．A 19．A 20．B
四、认真审题，细心计算（共37分）
21．（每小题1分，共8分）
10 0.5 350 8 0.39 0.3 8 0.6
22．（每小题3分，共9分）
7.4－2.72=4.68 0.25×5.3=1.325 2.21÷0.25=8.84
23．（每小题3分，共12分）
1.56－0.45－0.55 3.9+0.56+6.1+0.44
=1.56－(0.45+0.55)（1分） =(3.9+6.1)+(0.56+0.44) （1分）
=1.56－1 （1分） =10+1 （1分）
=0.56 （1分） =11 （1分）
5.2×\[(1.3+2.1)÷0.2\] 42.6÷(4÷0.02－192)
=5.2×(3.4÷0.2) （1分） =42.6÷(200－192) （1分）
=5.2×17 （1分） =42.6÷8 （1分）
=88.4 （1分） =5.325 （1分）
24．（每小题4分，共8分）
（1）20×8+20×10÷2=260cm^2^
（2）(10+30)×(40÷2)÷2×2=800cm^2^
五、发散思维，动手操作（共8分）
25．（每图4分，共8分）合理即可
六、走进生活，解决问题（共25分）
26．8.43+8.38+8.62+8.57=34（秒） （4分） 答：略。（1分）
27．12.8÷4×2=6.4（元） （4分） 答：略。（1分）
28．297.6÷12－277.5÷15=6.3（元）（4分） 答：略。（1分）
29. (25－8)÷2.5+3=9.8（千米） （4分） 答：略。（1分）
30．76×30×25=57000（枝） （4分） 答：略。（1分）
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第6课《立体图形的计算》试题附答案**
**答案**
六年级奥数上册：第六讲 立体图形的计算 习题解答
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 分草莓**
> 一、加深练习
>
> （1）在有余数的除法算式中，（ ）必需比（ ）小。
>
> （2）27 ÷ 4中，商是（ ），余数是（ ）。
>
> 二、判断
>
> 1. 30除以7，商是2余数是4。 （ ）
>
> 2. 49除以7，没有余数。 （ ）
>
> \[来源:Z\*xx\*k.Com\]
>
> 3. 41除以5等于8，余数是1，这个算式是错误的。（ ）
>
> 三、用竖式计算
>
> 20÷6 = 34÷4 =
>
> 30÷7 = 26÷3=
>
> 42÷8 = 50÷7 =
>
> 43÷6= 88÷9=
>
> 四、
>
> 1、转化问题找方法。
>
> □△☆○□△☆○......请你观察图形的排列顺序，并按顺序接着往下画，第38个是什么图形？第96个是什么图形？
>
> 2．帮助小强找座位\[来源:Zxxk.Com\]
>
> 右图是旅车内的平面图。
>
> 
>
> 
>
> \[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
>
> 请问：28号在哪？
>
> 请问：35号在哪？
>
> 请问：56号在哪？
>
> **参考答案：**
>
> 一、加深练习\[来源:Zxxk.Com\]
1. （余数 ） （除数 ）
2. （6 ） （3 ）
> 二、判断
>
> 1. （× ）
>
> 2. （√ ）
>
> 3. （× ）
>
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
>
> 三、用竖式计算
>
> 20÷6 =3······2 34÷4 =8······2
>
> 30÷7 =4······2 26÷3 =8······2
>
> 42÷8 =5······2 50÷7 =7······1
>
> 43÷6 =7······1 88÷9 =9······7
>
> 四、
>
> 1、转化问题找方法。
>
> 第38个是什△ 第96个是○
2．帮助小强找座位
小强坐在\[左通道，第9行\]
请问：28号在哪？
> 28÷5＝5......3，\[左通道，第6行\]
请问：35号在哪？
> 35÷5＝7 \[右窗，第7行\]
>
> 请问：56号在哪？
>
> 56÷5＝11......1 \[左窗，第12行\]
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**河北衡水中学高考押题试卷**
**理数试卷（二）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合，，则集合=（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则=（ ）
A． B． C． D．
3.若，，则的值为（ ）
A. B． C. D．
4.已知直角坐标原点为椭圆的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件"以为离心率的椭圆与圆：没有交点"的概率为（ ）
A. B． C. D．
5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）
A. B．
C. D．
7.函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（ ）
A．4 B．8 C.12 D．16
9.执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（ ）
A.81 B． C. D．
10.已知数列，，且，，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）
A. 函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行
D．方程的两个不同的解分别为**，，则最小值为**
12.已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13.向量，，若向量，共线，且，则的值为 [ ]{.underline} ．
14.设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 [ ]{.underline} ．
15.设，满足约束条件则的取值范围为 [ ]{.underline} ．
16.在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为 [ ]{.underline} .
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17.已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记求的前项和.
18.如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为"考前心理稳定整体过关"，请问该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.
20\. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）
（1）求椭圆的方程.
（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
21\. 设函数.
**（1）试讨论函数**的单调性；
**（2）设，记，当**时，若方程有两个不相等的实根**，，证明.**
**请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当时，两曲线相交于，两点，求.
**23. 选修4-5：不等式选讲.**
**已知函数.**
**（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数**的图象，并由图象找出满足不等式的解集**；**
**（2）若函数**的最小值记为，设**，且有，试证明：.**
**参考答案及解析**
**理科数学（Ⅱ）**
**一、选择题**
1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD
**二、填空题**
13.-8 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）当时，由及，
得，即，解得.
又由，①
可知，②
②-①得，即.
且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故
（2）由（1）及，
可知，
所以，
故.
18.解：（1）因为底面为菱形，所以，
又平面底面，平面平面，
因此平面，从而.
又，所以平面，
由，，，
可知，，
，，
从而，故.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），
则，，，，，
所以，，.
由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.
设平面的法向量为，
则即即令，得，
所以.
从而.
故所求的二面角的余弦值为.
19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.
（2）这100名学生成绩的平均分为，
因为，所以该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.
则，，
，.
因此可得的分布列为：
则.
20.解：（1）由题意可知，所以，即，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，，
故所求的椭圆方程为.
（2）设，由，
可知.
联立方程组
消去化简整理得，
由，得，所以，，③
又由题知，
即，
整理为.
将③代入上式，得.
化简整理得，从而得到.
21\. 解：（1）由，可知.
因为函数的定义域为，所以，
①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
②若**时，当在内恒成立，函数**单调递增；
③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
（2）证明：由题可知，
所以.
所以当时，；当时，；当时，.
欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.
设**，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，**
**则**
**两式相减并整理得，**
**从而，**
**故只需证明，**
**即.**
**因为，**
**所以（\*）式可化为，**
**即.**
**因为，所以，**
**不妨令，所以得到，.**
**记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在**单调递增.
又，
因此，**，**
**故，得证，**
**从而得证.**
22.解：（1）曲线：消去参数可得普通方程为.
曲线：，两边同乘.可得普通方程为.
把代入曲线的普通方程得：，
而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.
（2）当时，曲线：，
两曲线交点，所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为，
所以.
23\. 解：（1）因为
所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.
（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而.
当且仅当时，等号成立，
即，时，有最小值，
所以得证.
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2020---2021学年度第一学期无锡市小学期末调研试卷参考答案及评分标准
（五年级数学 满分100分）
一、直接写出得数（8分）
20.21 0.042 0.31 8.4*a* 0.018 0.45 0.6 0.17*n*
【每题1分，全对全错。】
二、用竖式计算,带★的要验算（10分）
4.72 0.65 7.5
> 【第3题4分，验算1分，其余每题3分。全对全错，竖式正确，横式上答案漏写或写错扣0.5分。】
三、计算下面各题，能简算的要简算（12分）
1.23 6.07 570 1.6
【每题3分，全对全错。第3题没有用简便方法计算，答案对得2分。】
四、填空（22分）
**1．** 3.6 4 **2．**8000 0.06 **3．**40.03 0.067 **4．**5 *a* 5 *a*---65
**5．**15 35 **6．**12 6 **7．**1.5 15 **8．**66 7
**9．**8 7 **10．**9.98 8.98 **11．**3.5 5.5
> 【每空1分，全对全错。】
五、选择正确答案前的字母填在括号里（10分）
**1．**C **2．**D **3．**C **4．**B **5．A**
【每题2分，全对全错。】
六、计算下面图形的面积（单位：厘米）（6分）
49.25平方厘米 184平方厘米
> 【每小题3分，综合算式列对计算错或分步列式计算最后一步算错扣一半分，单位写错或不写，每题扣0.5分。】
七、实践操作（4分）
图略 【每个图形2分，全对全错。】
八、解决实际问题（28分）
**1．**18 **2．**36.96 231 **3．**8.6 **4．**10*x* 48
**5．**（1）优秀 20 （2）45 3 （3）122.7
> 【第1题5分；第2题6分，每个问题3分；第3题5分；第4题6分，第1小题4分，含有字母的式子没有化简扣1分，第2小题2分；第5题6分，每小题2分。综合算式列式对计算错或分步列式计算最后一步算错得一半分。单位写错或不写，每题扣0.5分。答句写错或不写，每题扣1分。】
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第六单元演练
一、填空题。
1\. 把一个蛋糕分成相等的5块,其中的3块可用分数表示为( ),读作( ),它的分子是( ),分母是( )。
2\. 图中阴影部分用分数可以表示为( ),空白部分用分数可以表示为( )。
3\. 把一张正方形纸片对折一次,1份是它的,再对折一次,1份是它的,第三次对折后,3份是它的。
4\. 把一张正方形纸分成相等的5份,每份是这张纸的,读作( )。
5\. 一杯牛奶,喝了它的五分之二, 还剩下( )。
6\. 妈妈烙了一张饼,切成了相等的5份, 剩下的爸爸吃了,爸爸吃了这张饼的。
二、判断题。(正确的画"√",错误的画"✕")
1\. 。 ( )
2. 分母相同的分数,分子大的分数比较小。 ( )
3. 把一条线段分成相等的7段,其中的4段是它的。 ( )
4\. 分子相同的分数,分母大的分数比较大。 ( )
5\. 同分母分数相加,分子相加、分母相加。 ( )
三、在里填上"\>""\<"或"="。\[来源:学科网\]
四、看图计算。
五、计算题。
六、解决问题。
1\. 两个组去收割一块麦田,第一组收了这块地的,两个组一共收了这块地的几分之几?
2\. 
3\. 骑一辆电动车从甲地到乙地,行了全程的,还要行全程的几分之几,就到达乙地了?
4\. 完这本书了吗?
5\. 建筑工人给楼前的路面铺砖,第一天铺了全路面两天共铺了几分之几?第二天比第一天少铺了几分之几?
6\. 有两根绳子,用一块布盖住了它们的一部分,露出部分的长度相等,第一根绳子你知道哪根绳子长吗?为什么?(6分)
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学科网ZXXK\]
第六单元演练答案
一、1.  五分之三 3 5 
二、1. ✕ 2. ✕ 3.√ 4. ✕ 5. ✕
三、\< \< \< \> \< \<
\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
\[来源:学科网ZXXK\]
6.两根绳子露出部分相等,都是1份,第一根绳子有这样的4份,第二根绳子有这样的3份,所以第一根绳子长。
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**2020-2021学年广东省佛山市禅城区五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题。（每空1分，共21分。）**
1．（3分）根据36×24＝864，直接写出下列各题的得数.
------------------------------- ------------------------------ --------------------------------
0.36×2.4＝[ ]{.underline} 3.6×240＝[ ]{.underline} 8.64÷0.24＝[ ]{.underline}
------------------------------- ------------------------------ --------------------------------
2．（3分）循环小数3.098098...用简便记法表示为[ ]{.underline}，它的循环节[ ]{.underline}，保留两位小数约是[ ]{.underline}。
3．（4分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
8.2×0.9〇8.2 7.24÷1.1〇7.24
------------------- ----------------
3.5×100〇3.5÷0.01 2.85÷3〇1
4．（2分）一个盒子中有12个大小、形状完全相同的球，其中红球5个，白球3个，绿球4个，从中任意摸出一个球，则摸出[ ]{.underline}球的可能性最大，摸到[ ]{.underline}球的可能性最小。
5．（2分）一本书有*a*页，小芳每天看10页，看了*b*天，还剩[ ]{.underline}页没看。如果*a*＝100，*b*＝5时，还剩[ ]{.underline}页没看。
6．（1分）一个梯形的上底是10*cm*，下底是14*cm*，高是6*cm*，它的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
7．（1分）音乐课，聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，用数对（4，2）表示，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，明明的位置用数对表示是[ ]{.underline}．
8．（1分）一个三角形的面积是12平方分米，底是6分米，高是[ ]{.underline}分米．
9．（2分）请你细心观察如图。
> 摆1个正方形用4根小棒，摆2个正方形用7根小棒，摆3个正方形用10根小棒，摆4个正方形用[ ]{.underline}根小棒，照这样摆下去，摆*n*个正方形需要[ ]{.underline}根小棒。
10．（2分）[ ]{.underline} 是12.5的8倍，0.8扩大[ ]{.underline}倍是80．
**二、判断题。（对的打"√"，错的打"×"，每题2分，共10分。）**
11．（2分）2.56×0.8的积有三位小数。[ ]{.underline}（判断对错）
12．（2分）两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形[ ]{.underline}．（判断对错）
13．（2分）0.6是方程8*x*﹣2*x*＝3.6的解．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．（2分）用四根木条钉成的长方形，拉成平行四边形后，周长保持不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．（2分）3.145145...、2.0和2.787878都是循环小数。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、选择题。把正确答案的序号填在括号里。（每题1分，共5分。）**
16．（1分）下面（ ）是方程。
A．*a*﹣1 B．*x*﹣14＞72 C．6（*y*+2）＝42
17．（1分）与120.4÷0.43得数相同的算式是（ ）
A．1204÷43 B．12.04÷43 C．12040÷43
18．（1分）刘大伯参加长跑比赛，全程1.5千米，用了9.7分钟跑完，刘大伯跑1千米平均约要（ ）分钟。
A．6.47 B．0.15 C．0.647
19．（1分）如图中甲三角形与乙三角形的面积相比较，是（ ）
A．*S*~甲~＞*S*~乙~ B．*S*~甲~＝*S*~乙~ C．*S*~甲~＜*S*~乙~
20．（1分）老师和小明一起掷两个骰子，如果和是5、6、7、8、9，算老师赢，否则算小明赢，那么（ ）赢的可能性大。
A．老师 B．小明
C．两人赢的可能性一样大
**四、计算题。（共32分）**
21．（8分）直接写出得数。
0.85﹣0.5＝ 1.5×0.6＝ 0.28×10＝ 0.6^2^＝
------------- ------------ ----------- ---------------
2.3÷0.01＝ 4.57+0.5＝ 0.3÷10＝ 7.8÷2.5÷0.4＝
22．（6分）竖式计算。（第（2）小题得数保留两位小数）
----------------- ----------------
（1）0.35×2.4＝ （2）4.25÷1.3≈
----------------- ----------------
23．（9分）脱式计算，能简算的要简算。
--------- ----------------- -----------
1.25×48 8.3×4.7+5.3×8.3 7.5+2.5÷5
--------- ----------------- -----------
24．（9分）解方程：
-------------- --------------- --------------
1.4÷*x*＝0.4 *x*+1.5*x*＝5 5*x*﹣40＝60
-------------- --------------- --------------
**五、操作题。**
25．（3分）画一个与平行四边形面积相等的三角形。
26．（4分）计算下面图形阴影部分的面积。（长度单位：分米）
**六、解决问题。（每题5分，共25分。）**
27．（5分）小汽车一次最多能运货4.5吨。现有30吨货，这辆汽车至少几次才能运完？
28．（5分）文具店里每支钢笔6.8元，李老师带了50元，买了6支这样的钢笔，剩下的钱够买一个8元的文具盒吗？
29．（5分）一块街头广告牌的形状是平行四边形，底是12.5米，高是2.4米。如果要涂饰这块广告牌，每平方米用油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？
30．（5分）某公司出租车的收费标准如表，某乘客要乘出租车去8.8*km*处的某地，应付车费多少元？
计费单位 收费标准
----------------------------------- -----------
4*km*及以内 10元
4*km*以上（不足1*km*按1*km*计算） 每千米2元
31．（5分）一条公路长360*m*，甲、乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油．甲队的施工速度是乙队的1.25倍，4天后这条公路全部铺完．甲、乙两队每天分别铺柏油多少米？（列方程解）
**※七、开放窗口。（20分。）**
32．（10分）一根木头长12米，要把它平均锯成4段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花[ ]{.underline}分钟．
33．（10分）如图，已知平行四边形*BCGF*与长方形*ABCD*同底等高，*BC*＝3厘米，*AB*＝6厘米，*CE*＝2*ED*。求梯形*ECGF*的面积。
**2020-2021学年广东省佛山市禅城区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题。（每空1分，共21分。）**
1．【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
> 36×24＝864转化为864÷24＝36，根据积不变的性质，被除数和除数同时除以100，商不变，仍是36。
>
> 据此解答即可。
>
> 【解答】解：
----------------- -------------- ---------------
0.36×2.4＝0.864 3.6×240＝864 8.64÷0.24＝36
----------------- -------------- ---------------
> 故答案为：0.864，864，36。
>
> 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
2．【分析】先找出循环小数的循环节，然后在循环节的第一个数字和最后一个数字上加点；保留两位小数就看第三位小数，根据四舍五入法进行近似即可。
> 【解答】解：循环小数3.098098...用简便记法表示为3.9，它的循环节是098，保留两位小数约是3.10。
>
> 故答案为：3.9，098，3.10。
>
> 【点评】本题主要考查了循环小数的改写与近似，属于基础知识，需要熟练掌握。
3．【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，8.2×0.9＜8.2；
> 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数，7.24÷1.1＜7.24；
>
> 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，3.5×100＝3.5÷0.01；
>
> 2.85÷3是被除数小于除数，则商小于1，2.85÷3＜1。
>
> 【解答】
8.2×0.9＜8.2 7.24÷1.1＜7.24
------------------- ----------------
3.5×100＝3.5÷0.01 2.85÷3＜1
> 故答案为：＜，＜，＝，＜。
>
> 【点评】此题主要考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。
4．【分析】根据三种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种颜色的球的数量越多，摸到的可能性就越大，据此判断即可。
> 【解答】解：因为5＞4＞3
>
> 所以盒子中红球最多，绿球其次，白球最少
>
> 所以从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性最大，摸出白球可能性最小。
>
> 故答案为：红，白。
>
> 【点评】解答此类问题的关键是分两种情况：（1）需要计算可能性的大小的准确值时，根据求可能性的方法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法列式解答即可；（2）不需要计算可能性的大小的准确值时，可以根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小。
5．【分析】每天看10页，看了*b*天，共看了10×*b*页；还剩*a*﹣10×*b*＝（*a*﹣10*b*）页；*a*＝100，*b*＝5时，代入计算即可。
> 【解答】解：*a*﹣10×*b*＝（*a*﹣10*b*）页
>
> *a*＝100，*b*＝5时，
>
> *a*﹣10*b*＝50
>
> 答：还剩（*a*﹣10*b*）页没看。如果*a*＝100，*b*＝5时，还剩50页没看。
>
> 故答案为：（*a*﹣10*b*），50。
>
> 【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的意义，再进一步解答。
6．【分析】根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：（10+14）×6÷2
>
> ＝24×6÷2
>
> ＝72（平方厘米）
>
> 答：它的面积是72平方厘米。
>
> 故答案为：72。
>
> 【点评】此题主要考查梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．【分析】聪聪坐在音乐教室的第4列第2行，明明坐在聪聪正后方的第一个位置上，则说明明明与聪聪在同一列，明明是在第2+1＝3行，由此利用数对表示位置的方法即可解答．
> 【解答】解：根据题干分析可得：明明明与聪聪在同一列，即第4列，明明是在第2+1＝3行，由此利用数对表示为：（4，3），
>
> 故答案为：（4，3）．
>
> 【点评】此题考查了数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答．
8．【分析】根据三角形的高＝三角形的面积×2÷底计算即可．
> 【解答】解：12×2÷6
>
> ＝24÷6
>
> ＝4（分米）．
>
> 答：高是4分米．
>
> 故答案为：4．
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用．
9．【分析】根据图示可知：摆1个正方形用4根小棒；摆2个正方形用4+3＝7（根）小棒；摆3个正方形用4+3+3＝10（根）小棒；摆4个正方形用4+3+3+3＝13（根）小棒；......；摆*n*个正方形需要小棒根数：4+3（*n*﹣1）＝(3*n*+1)根。据此解答。
> 【解答】解：摆1个正方形用4根小棒
>
> 摆2个正方形用4+3＝7（根）小棒
>
> 摆3个正方形用4+3+3＝10（根）小棒
>
> 摆4个正方形用4+3+3+3＝13（根）小棒
>
> ......
>
> 摆*n*个正方形需要小棒根数：
>
> 4+3（*n*﹣1）
>
> ＝(3*n*+1)根
>
> 答：摆4个正方形用13根小棒；摆*n*个正方形需要（3*n*+1）根小棒。
>
> 故答案为：13；（3*n*+1）。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
10．【分析】（1）求谁是12.5的8倍，就是求12.5的8倍是多少，用乘法计算即可；
> （2）0.8到80，是0.8的小数点向右移动了2位即扩大了100倍，据此解答．
>
> 【解答】解：（1）12.5×8＝100；
>
> 答：100是12.5的8倍．
>
> （2）把0.8扩大100倍是80；
>
> 故答案为：100，100．
>
> 【点评】此题考查了求一个数的几倍是多少，用乘法计算；小数点位置移动引起数的大小变化规律进行解答．
**二、判断题。（对的打"√"，错的打"&\#215;"，每题2分，共10分。）**
11．【分析】根据小数乘法的计算法则，先按照整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，也就是积的小数位等于两个因数的小数位数之和；据此判断。
> 【解答】解：2.56×0.8，2.56是两位小数，0.8是一位小数，1+2＝3，所以积是三位小数；
>
> 因此，2.56×0.8的积是三位小数，此说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题解答关键是明确：在小数乘法中，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和。
12．【分析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，据此解答．
> 【解答】解：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，如下图：
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题考查了学生平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的知识．重点是完全一样．
13．【分析】先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以6，求出方程的解即可解答．
> 【解答】解：8*x*﹣2*x*＝3.6，
>
> 6*x*＝3.6，
>
> 6*x*÷6＝3.6÷6，
>
> *x*＝0.6，
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解答本题的关键是求出方程8*x*﹣2*x*＝3.6的解．
14．【分析】当长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，所以面积就变小了．
> 【解答】解：因为长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，所以面积就变小了；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形易变形的特征及周长和面积公式的灵活应用．
15．【分析】根据循环小数的概念解答，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；循环小数是无限小数。
> 【解答】解：3.145145...和2.0都是循环小数；
>
> 2.787878是有限小数，有限小数不是循环小数。
>
> 故原题的说法是错误的，
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】解决此题的关键是依据循环小数的概念和循环小数的特征来解答。
**三、选择题。把正确答案的序号填在括号里。（每题1分，共5分。）**
16．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。
> 【解答】解：*a*﹣1，含有未知数，不是等式，不是方程；
>
> *x*﹣14＞72，含有未知数，不是等式，不是方程；
>
> 6（*y*+2）＝42，含有未知数，是等式，是方程。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
17．【分析】根据商不变的性质，在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。据此解答。
> 【解答】解：根据商不变的性质，120.4÷0.43＝12040÷43.
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握商不变的性质及应用。
18．【分析】求刘大伯跑1千米需要的时间，用跑步的总时间除以跑步的总路程即可求解。
> 【解答】解：9.7÷1.5≈6.47（分钟）
>
> 答：刘大伯跑1千米平均约要6.47分钟。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此类问题容易把被除数和除数弄反，可这样记忆；把谁归"一"就除以谁。
19．【分析】由图可知，甲乙两个三角形分别加上部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以甲乙两个三角形的面积是相等的。
> 【解答】解：甲乙两个三角形分别加上部的空白三角形后组成两个新的三角形，
>
> 这两个新三角形是等底等高，面积相等，空白部分是公共部分，所以甲乙两个三角形的面积相等。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此类题目可借助"等底等高的三角形面积相等"来解答。
20．【分析】为了便于观察，列出两个骰子同时掷的结果，由表即可看出游戏规则是否公平。
> 【解答】解：由图可知：
和 1 2 3 4 5 6
---- --- --- --- ---- ---- ----
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
> 共36种情况，掷出的点数和为5、6、7、8、9的共有24次；和为2、3、4、10、11、12的共有12次
>
> 24＞12
>
> 所以老师赢赢的可能性大。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平。
**四、计算题。（共32分）**
21．【分析】根据小数加减法的计算方法和乘除、乘方直接得出答案。
> 【解答】解：
0.85﹣0.5＝0.35 1.5×0.6＝0.9 0.28×10＝2.8 0.6^2^＝0.36
----------------- ---------------- -------------- ------------------
2.3÷0.01＝230 4.57+0.5＝5.07 0.3÷10＝0.03 7.8÷2.5÷0.4＝7.8
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
22．【分析】根据小数的乘除法的笔算方法即可解答，注意题目要求。
> 【解答】解：（1）0.35×2.4＝0.84
>
> （2）4.25÷1.3≈3.27
>
> 【点评】本题考查了小数乘除法竖式的计算能力和求近似值的方法。
23．【分析】（1）先把48分解成8×6，再根据乘法结合律简算；
> （2）根据乘法分配律简算；
>
> （3）先算除法，再算加法。
>
> 【解答】解：（1）1.25×48
>
> ＝1.25×（8×6）
>
> ＝（1.25×8）×6
>
> ＝10×6
>
> ＝60
>
> （2）8.3×4.7+5.3×8.3
>
> ＝8.3×（4.7+5.3）
>
> ＝8.3×10
>
> ＝83
>
> （3）7.5+2.5÷5
>
> ＝7.5+0.5
>
> ＝8
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
24．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘上*x*，再两边同时除以0.4求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以2.5求解；
>
> （3）根据等式的性质，方程两边同时加上40，再两边同时除以5求解。
>
> 【解答】解：（1）1.4÷*x*＝0.4
>
> 1.4÷*x*×*x*＝0.4×*x*
>
> 1.4＝0.4*x*
>
> 1.4÷0.4＝0.4*x*÷0.4
>
> *x*＝3.5
>
> （2）*x*+1.5*x*＝5
>
> 2.5*x*＝5
>
> 2.5*x*÷2.5＝5÷2.5
>
> *x*＝2
>
> （3）5*x*﹣40＝60
>
> 5*x*﹣40+40＝60+40
>
> 5*x*＝100
>
> 5*x*÷5＝100÷5
>
> *x*＝20
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、操作题。**
25．【分析】已知平行四边形的底是3，高是2，根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，求出这个平行四边形的面积，要使所画三角形的面积与这个平行四边形的面积相等，答案不唯一。
> 【解答】解：3×2＝6
>
> 3×4÷2＝6
>
> 画法不唯一。
>
> 作图如下：
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形、三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．【分析】阴影面积＝梯形面积﹣三角形面积。
> 【解答】解：（8+15）×10÷2
>
> ＝230÷2
>
> ＝115（平方分米）
>
> 8×4÷2＝16（平方分米）
>
> 115﹣16＝99（平方分米）
>
> 答：阴影部分的面积是99平方分米。
>
> 【点评】此类题目，一般利用规则图形的面积和或差求解。
**六、解决问题。（每题5分，共25分。）**
27．【分析】求这辆汽车至少几次才能运完，用除法解答即可，是30÷4.5。根据题意，此题应使用进一法保留整数。
> 【解答】解：30÷4.5≈7（次）
>
> 答：这辆汽车至少7次才能运完。
>
> 【点评】此题应用除法解答。应结合实际，看用"进一法"还是"去尾法"求近似值。
28．【分析】每支钢笔6.8元，买了6支这样的钢笔，根据总价＝单价×数量，总价是6.8×6＝40.8元，李老师带了50元，还剩50﹣40.8＝9.2元，与8元比较，据此解答即可。
> 【解答】解：6.8×6＝40.8（元）
>
> 50﹣40.8＝9.2（元）
>
> 9.2＞8，所以够。
>
> 答：剩下的钱够买一个8元的文具盒。
>
> 【点评】此题的关键是先求出钢笔的总价，然后再进一步解答。
29．【分析】先根据平行四边形的面积＝底×高，求出这个平行四边形的面积，再乘每平方米需要油漆的质量即可。
> 【解答】解：12.5×2.4×0.6
>
> ＝30×0.6
>
> ＝18（千克）
>
> 答：共需要18千克油漆。
>
> 【点评】解决本题先根据平行四边形的面积公式，求出需要涂漆的面积，再根据乘法的意义求解。
30．【分析】乘出租车去8.8*km*处的某地，车费包含4*km*及以内的10元，以及4*km*以上的8.8﹣4＝4.8千米（按5*km*计算），这部分车费是5×2＝10元，相加即可。
> 【解答】解：8.8﹣4≈5（千米）
>
> 10+5×2＝20（元）
>
> 答：应付车费20元。
>
> 【点评】此题考查了分段计费的计算方法，要熟练掌握。
31．【分析】设乙队每天铺柏油*x*米，则甲队每天铺柏油1.25*x*米，根据等量关系：甲队铺的柏油路+乙队铺的柏油路＝公路长360*m*，列方程解答即可得乙队每天铺柏油路的米数，再求甲队每天铺柏油路即可．
> 【解答】解：设乙队每天铺柏油*x*米，则甲队每天铺柏油1.25*x*米，
>
> 4*x*+4×1.25*x*＝360
>
> 4*x*+5*x*＝360
>
> 9*x*＝360
>
> *x*＝40
>
> 40×1.25＝50（米），
>
> 答：甲、乙两队每天分别铺柏油50米、40米．
>
> 【点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：甲队铺的柏油路+乙队铺的柏油路＝公路长360*m*，列方程．
**※七、开放窗口。（20分。）**
32．【分析】根据题意，要把木头锯成4段，需要锯的次数：4﹣1＝3（次），然后根据锯一次所用时间，求一共用的时间即可．
> 【解答】解：8×（4﹣1）
>
> ＝8×3
>
> ＝24（分钟）
>
> 答：锯完一共需要24分钟．
>
> 故答案为：24．
>
> 【点评】本题主要考查植树问题，关键找对锯的段数和次数之间的关系．
33．【分析】根据图示，已知平行四边形*BCGF*与长方形*ABCD*同底等高，所以平行四边形*BCGF*与长方形*ABCD*面积相等，所以梯形*ECGF*的面积等于*DEBA*的面积。根据*CE*＝2*ED*，先求*DE*的长，再利用梯形面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，计算即可。
> 【解答】解：6÷（2+1）×1
>
> ＝6÷3×1
>
> ＝2（厘米）
>
> （2+6）×3÷2
>
> ＝8×3÷2
>
> ＝12（平方厘米）
>
> 答：梯形*ECGF*的面积12平方厘米。
>
> 【点评】解答本题的关键是把求梯形*ECGF*的面积转化为求梯形*DEBA*的面积。
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日期：2021/4/27 11:01:35；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2020-2021学年甘肃省定西市岷县三年级（上）期末数学试卷**
**一、动动脑筋，我会镇。（每空1分，共25分）**
1．（3分）计算（99﹣78）÷3时，要先算[ ]{.underline}法，再算[ ]{.underline}法，结果是[ ]{.underline}。
2．（7分）计算84÷4时，可以这样想：
> 80÷4＝[ ]{.underline}，4÷4＝[ ]{.underline}，[ ]{.underline}+[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}．
3．（2分）8角6分＝[ ]{.underline}元
> 4天＝[ ]{.underline}时
4．（3分）一年有[ ]{.underline}个月，2020年是[ ]{.underline}年（填"平"或"闰"），全年有[ ]{.underline}天。
5．（4分）在下面的〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
--------------- ------------- --------------- ------------
0.6元〇0.54元 0.40元〇4角 1.3米〇1.03米 29×6〇26×9
--------------- ------------- --------------- ------------
6．（2分）一场乒乓球赛，从15时20分开始，进行了55分，比赛在[ ]{.underline}时[ ]{.underline}分结束。
7．（1分）一个长方形的宽是6*cm*，长是宽的3倍，这个长方形的周长是[ ]{.underline}*cm*。
8．（2分）零点九写作[ ]{.underline}
> 4.05读作[ ]{.underline}
9．（1分）要配成一套衣服，有[ ]{.underline}种不同的搭配方法．
**二、我是聪明的小法官。（对的打"√".的打"╳"，每小题1分，共6分）**
10．（1分）两个乘数中有一个是0，那么积一定是0．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．（1分）猪宝宝就在2019年2月的29日出生了。[ ]{.underline}（判断对错）
12．（1分）钟面上分针走一圈，时针走1大格．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．（1分）一年中有7个大月，4个小月．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．（1分）2.45读作二点四十五。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）最大的三位数与最小的四位数相差1．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、我会快乐选择。（将正确答案的编号填在括号里，每小题2分，共10分）**
16．（2分）594÷5商是118，余数（ ）
A．是5 B．大于5 C．小于5
17．（2分）下午1：00用24时计时法表示是（ ）
A．1：00 B．13：00 C．14：00
18．（2分）25×4的积末尾有（ ）0。
A．2个 B．1个 C．没有
19．（2分）下面的节日在小月的是（ ）
A．劳动节 B．六一节 C．国庆节
20．（2分）用一段长48厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是（ ）厘米。
A．6 B．8 C．12
**四.请你认真算一算。（共29分）**
21．（8分）口算。
50×8＝ 800﹣610＝ 40×6＝ 0×3＝
---------- ------------ --------- -------------
760+80＝ 800÷2＝ 270÷9＝ 1时﹣20分＝
22．（9分）列竖式计算。
--------- --------- ---------
123×3＝ 205×4＝ 490×3＝
--------- --------- ---------
23．（12分）脱式计算。
-------- --------- --------------- ------------------
15×6×8 32+17×3 950﹣362﹣190 400÷（230﹣222）
-------- --------- --------------- ------------------
**五、小小画笔手中拿。（供6分）**
24．（4分）在下面的方格纸上画一个长方形，你画出的长方形的长、宽分别是[ ]{.underline}、[ ]{.underline}，周长是[ ]{.underline}厘米。（方格纸中每个小正方形边长看作1厘米。）
25．（2分）连一连。
**六、走进生活，解决问题。（共24分）**
26．（4分）张老师在冬季运动会上准备给本班的运动员买矿泉水，超市每瓶矿泉水需要3元，每箱共有24瓶，张老师买两箱矿泉水需要多少元？
27．（5分）淘气和笑笑一起去超市买东西，淘气买了一辆小轿车花了15.40元，笑笑买了一个玩具小熊花了4.20元，两人一共花了多少元？
28．（5分）小明家离学校有306米，他每天往返学校两次，一共走多少米？
29．（5分）红光小学3名老师带40名学生去海洋馆参观，用400元买门票够吗？
30．（5分）下面是"北京﹣﹣西安"沿线各大站的火车里程表。
里程/千米
-------------- -----------
北京﹣保定 146
北京﹣石家庄 277
北京﹣郑州 689
北京﹣洛阳 813
北京﹣西安 1200
> （1）保定到石家庄有[ ]{.underline}千米，洛阳到西安有[ ]{.underline}千米。
>
> （2）813﹣689求的是[ ]{.underline}到[ ]{.underline}之间的里程。
>
> （3）保定到郑州有多少千米？
**2020-2021学年甘肃省定西市岷县三年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、动动脑筋，我会镇。（每空1分，共25分）**
1．【分析】根据整数四则混合运算的顺序，先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法，然后再计算出结果即可。
> 【解答】解：（99﹣78）÷3
>
> ＝21÷3
>
> ＝7
>
> 答：计算（99﹣78）÷3时，要先算减法，再算除法，结果是7。
>
> 故答案为：减，除，7。
>
> 【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
2．【分析】根据整数除法的口算方法，把84分成80+4，先算 80÷4＝20，再算 4÷4＝1，最后 20+1＝21即可．
> 【解答】解：计算84÷4时，可以这样想：先算80÷4＝20，再算4÷4＝1，最后 20+1＝21．
>
> 故答案为：20，1，20，1，21．
>
> 【点评】此题考查了整数除法的口算方法及能力．
3．【分析】（1）把8角除以进率10化成0.8元，6分除以进率100化成0.06元，再把二者相加；
> （2）1天＝24时，4天就是4个24时，即96时。
>
> 【解答】解：（1）8角6分＝0.86元
>
> （2）4天＝96时
>
> 故答案为：0.86，96。
>
> 【点评】本题是考查人民币的单位换算、时间的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。
4．【分析】一年有12个月；先判断出2020是平年还是闰年，平年的2月有28天，全年365天，闰年的2月有29天，全年366天；根据闰年是4的倍数（整百年份是400的倍数）推断出下一个闰年即可。
> 【解答】解：2020÷4＝505（年）
>
> 因为2020能被4整除，所以2020年是闰年，全年366天。
>
> 答：一年有12个月，2020年是闰年（填"平"或"闰"），全年有366天。
>
> 故答案为：12，闰，366。
>
> 【点评】此题考查了时间的推算及平年、闰年的判断方法：公历年份是4的倍数的，一般都是闰年。但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。
5．【分析】0.6元〇0.54元，1.3米〇1.03米，单位相同，直接根据小数大小比较的方法进行比较即可；
> 1元＝10角，所以0.40元＝4角；
>
> 29×6＝174，26×9＝234，174＜234，所以29×6＜26×9。
>
> 【解答】解：
--------------- ------------- --------------- ------------
0.6元＞0.54元 0.40元＝4角 1.3米＞1.03米 29×6＜26×9
--------------- ------------- --------------- ------------
> 【点评】本题主要考查了小数大小比较的方法，注意单位不同的要化成相同单位再进行比较即可。
6．【分析】用这场乒乓球赛开始时刻（15时20分）加比赛用的时间（55分）就是这场乒乓球比赛结束时刻。
> 【解答】解：15时20分+55分＝16时15分
>
> 答：比赛在16时15分结束。
>
> 故答案为：16，15。
>
> 【点评】此题是考查时间的推算。开始时刻+经过时间＝结束时刻。
7．【分析】已知长方形的宽是6厘米，长是宽的3倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法求出长，再根据长方形的周长＝（长+宽）×2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：（6×3+6）×2
>
> ＝（18+6）×2
>
> ＝24×2
>
> ＝48（厘米）
>
> 答：这个长方形的周长是48厘米。
>
> 故答案为：48。
>
> 【点评】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字即可。
> 小数的写法：整数部分按整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分依次写出每一个数位上的数字。
>
> 【解答】解：零点九写作：0.9
>
> 4.05读作：四点零五
>
> 故答案为：0.9，四点零五。
>
> 【点评】此题主要考查小数的读写方法，属于基础题，要注意小数点后的数的写法。
9．【分析】从3件上衣选中一件有3种选法；从2条下衣中选一件有2种选法；根据乘法原理，可得共有：2×3＝6（种）；据此解答．
> 【解答】解：根据分析可得，
>
> 2×3＝6（种）；
>
> 答：有6种不同的搭配方法．
>
> 故答案为：6．
>
> 【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成*n*个步骤，做第一步有*M*1种不同的方法，做第二步有*M*2种不同的方法，...，做第*n*步有*Mn*种不同的方法，那么完成这件事就有*M*1×*M*2×...×*Mn*种不同的方法．
**二、我是聪明的小法官。（对的打"√".的打"╳"，每小题1分，共6分）**
10．【分析】根据0在四则运算中的特性，0乘任何数都得0．据此解答．
> 【解答】解：根据分析知：在一道算式中，如果有一个乘数是0，那么它的积一定为0．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题主要考查了学生对0乘任何数都是0知识的掌握．
11．【分析】要想判断此题的对错，首先应判断2019年2月有多少天，因为2019年不是闰年，故2月有28天，由此判断。
> 【解答】解：2019÷4＝504......3
>
> 2019年是平年，2月份有28天，没有2月29日；
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】本题关键是判断2019年是闰年还是平年，可以根据"四年一闰，百年不闰，四百年再闰"来判断。
12．【分析】钟表上分针每转动一周，时针转动1小时，即时针转动一大格，即30°．
> 【解答】解：钟表上分针每转动一周，时针转动一大格．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题考查了钟面上的路程问题．分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6°；
>
> 时针：12小时转一圈，每小时转动的角度为：360°÷12＝30°，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°．
13．【分析】根据年月日的知识可知：一年有12个月，分为7个大月：1、3、5、7、8、10、12月，大月每月31天，4个小月：4、6、9、11月，小月每月30天，闰年的二月有29天，平年的二月有28天；据此判断．
> 【解答】解：一年有12个月，分为7个大月：1、3、5、7、8、10、12月，
>
> 4个小月：4、6、9、11月，2月既不是大月也不是小月；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】用下列方法记忆大小月：一三五七八十腊，三十一天永不差，四六九冬（11月）三十整，平年二月二十八，闰年二月把一加（29天）．
14．【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字，由此即可判断。
> 【解答】解：2.45读作：二点四五，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】此题主要考查小数的读法，属于基础题，要熟练掌握。
15．【分析】先找出最大的三位数是999，最小的四位数是1000，再求出它们的差即可．
> 【解答】解：最大的三位数是999，最小的四位数是1000，
>
> 1000﹣999＝1，
>
> 所以，最大的三位数与最小的四位数相差1是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解答此题的关键是找出最大的三位数是999，最小的四位数是1000．
**三、我会快乐选择。（将正确答案的编号填在括号里，每小题2分，共10分）**
16．【分析】根据在有余数的除法中，余数小于除数，所以除数是5，余数一定小于5，据此解答即可得到答案。
> 【解答】解：594÷5商是118，余数一定小于5。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查的是在有余数的除法中，余数小于除数。
17．【分析】把普通计时法转化成24时计时法时，上午（包括早晨）时刻不变，只要去掉"早晨、上午"等词语即可；下午（包括晚上）时数加12时，同时去掉"下午、晚上"等词语即可。
> 【解答】解：1+12＝13（时）
>
> 所以下午1：00，用24时计时法表示是13：00。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题是考查普通计时法与24计时法的互相转化，属于基础知识，要掌握。
18．【分析】根据整数乘法的计算方法，求出25×4的积，然后再进一步解答。
> 【解答】解：25×4＝100
>
> 100末尾有2个0。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】求两个数的积的末尾有几个0，可以先求出它们的乘积，然后再进一步解答。
19．【分析】在一年中，大月有：1、3、5、7、8、10、12月；小月有：4、6、9、11月；2月是特殊月；劳动节是5月1日，在大月；六一节是6月1日，在小月；国庆节是10月1日，在大月．
> 【解答】解：*A*、劳动节是5月1日，在大月，不符合题意；
>
> *B*、六一节是6月1日，在小月，符合题意；
>
> *C*、国庆节是10月1日，在大月，不符合题意．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】用下列方法记忆大小月：一、三、五、七、八、十、十二，31天永不差；四、六、九、十一，30天；唯有二月平年28天，闰年二月29天．
20．【分析】根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：48÷4＝12（厘米）
>
> 答：正方形的边长是12厘米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查正方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**四.请你认真算一算。（共29分）**
21．【分析】根据整数加法、减法、乘法、除法的计算法则，以及时间单位的换算方法，1时＝60分，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
50×8＝400 800﹣610＝190 40×6＝240 0×3＝0
------------- --------------- ----------- -----------------
760+80＝840 800÷2＝400 270÷9＝30 1时﹣20分＝40分
> 故答案为：400、190、240、0、840、400、30、40分。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握整数加、减、乘、除法的计算法则，并且能够正确熟练地进行口算，提高口算能力。
22．【分析】根据一位数乘三位数的计算方法进行计算即可。
> 【解答】解：123×3＝369
>
> 205×4＝820
>
> 490×3＝1470
>
> 【点评】本题主要考查了一位数乘三位数的笔算，计算时注意，对应数位要对齐。
23．【分析】（1）按照从左到右的顺序计算；
> （2）先算乘法，再算加法；
>
> （3）按照从左到右的顺序计算；
>
> （4）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法。
>
> 【解答】解：（1）15×6×8
>
> ＝90×8
>
> ＝720
>
> （2）32+17×3
>
> ＝32+51
>
> ＝83
>
> （3）950﹣362﹣190
>
> ＝588﹣190
>
> ＝398
>
> （4）400÷（230﹣222）
>
> ＝400÷8
>
> ＝50
>
> 【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
**五、小小画笔手中拿。（供6分）**
24．【分析】根据长方形的特征，画长方形即可；利用长方形的周长公式：长方形的周长＝（长+宽）×2，计算出其周长即可。
> 【解答】解：（4+3）×2
>
> ＝7×2
>
> ＝14（厘米）
>
> 长方形的长、宽分别是4、3，周长是14厘米，如图：
>
> （答案不唯一。）
>
> 故答案为：4，3，12。
>
> 【点评】解决本题先确定长方形的长和宽，再计算其周长。
25．【分析】根据12小时计时法与24小时计时法之间的关系可知，晚上7时﹣﹣19：00；下午5时﹣﹣17：00；中午12时﹣﹣12：00；上午7时﹣﹣7：00。据此答题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 晚上7时﹣﹣19：00；下午5时﹣﹣17：00；中午12时﹣﹣12：00；上午7时﹣﹣7：00。
>
> 故答案为
>
> 【点评】本题考查12小时计时法与24小时计时法之间的互换。
**六、走进生活，解决问题。（共24分）**
26．【分析】每瓶矿泉水需要3元，每箱24瓶需要24个3元，即3×24＝72元，买两箱矿泉水需要2个72元，即72×2。
> 【解答】解：3×24×2
>
> ＝72×2
>
> ＝144（元）
>
> 答：张老师买两箱矿泉水需要144元。
>
> 【点评】本题考查了整数乘法的意义的运用。
27．【分析】依据加法的意义，将两种商品的价格加在一起即可得解。
> 【解答】解：15.40+4.20＝19.6（元）
>
> 答：两人一共花了19.6元。
>
> 【点评】此题主要依据加法的意义解决实际问题。
28．【分析】根据题意，可知小明家和学校相距306米，他从家到学校往返两次，也就是每天走4个306米，求出4个306米是多少，问题即可得解．
> 【解答】解：306×4＝1224（米）
>
> 答：一共走1224米．
>
> 【点评】此题属于简单的行程问题的应用题，解决此题关键是理解"往返两次"的含义，进一步确定每天走得路就是求4个306米，用乘法计算．
29．【分析】根据题意，3名老师乘上成人票价12元，可以求出老师买门票的钱数，40名学生乘上儿童票价9元，可以求出学生买门票的钱数，把老师和学生买门票的钱数加起来，就是买门票的总钱数，如果不大于400元就够，否则不够．
> 【解答】解：根据题意可得：
>
> 3×12＝36（元）；
>
> 40×9＝360（元）；
>
> 36+360＝396（元）；
>
> 396＜400．
>
> 答：用400元买门票够．
>
> 【点评】本题的关键是先根据总价＝单价×数量，求出买门票花的钱数是多少，然后再根据题意进一步解答即可．
30．【分析】（1）保定到石家庄的里程等于北京到石家庄的里程减去北京到保定的里程，洛阳到西安的里程等于北京到西安的里程减去北京到洛阳的里程。
> （2）813﹣689求的是郑州到洛阳的之间的里程。
>
> （3）保定到郑州的里程等于北京到郑州的里程减去北京到保定的里程。
>
> 【解答】解：（1）277﹣146＝131（千米）
>
> 1200﹣813＝387（千米）
>
> 答：保定到石家庄有131千米，洛阳到西安有387千米。
>
> （2）813﹣689求的是郑州到洛阳的之间的里程。
>
> （3）689﹣146＝543（千米）
>
> 答：保定到郑州有543千米。
>
> 故答案为：131、387；郑州、洛阳。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握统计表的特点及作用，并且能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题。
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日期：2021/4/27 14:44:20；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2019年广东省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.**
1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（ ）
A．2.21×10^6^ B．2.21×10^5^ C．221×10^3^ D．0.221×10^6^
3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（ ）
A．*b*^6^+*b*^3^＝*b*^2^ B．*b*^3^•*b*^3^＝*b*^9^ C．*a*^2^+*a*^2^＝2*a*^2^ D．（*a*^3^）^3^＝*a*^6^
5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）（2019•广东）实数*a*、*b*在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
> 
A．*a*＞*b* B．\|*a*\|＜\|*b*\| C．*a*+*b*＞0 D．＜0
8．（3分）（2019•广东）化简的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
9．（3分）（2019•广东）已知*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣2*x*＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．*x*~1~≠*x*~2~ B．*x*~1~^2^﹣2*x*~1~＝0 C．*x*~1~+*x*~2~＝2 D．*x*~1~•*x*~2~＝2
10．（3分）（2019•广东）如图，正方形*ABCD*的边长为4，延长*CB*至*E*使*EB*＝2，以*EB*为边在上方作正方形*EFGB*，延长*FG*交*DC*于*M*，连接*AM*，*AF*，*H*为*AD*的中点，连接*FH*分别与*AB*，*AM*交于点*N*、*K*：则下列结论：①△*ANH*≌△*GNF*；②∠*AFN*＝∠*HFG*；③*FN*＝2*NK*；④*S*~△*AFN*~：*S*~△*ADM*~＝1：4．其中正确的结论有（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
**二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.**
11．（4分）（2019•广东）计算：2019^0^+（）^﹣1^＝[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•广东）如图，已知*a*∥*b*，∠1＝75°，则∠2＝[ ]{.underline}．
> 
13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•广东）已知*x*＝2*y*+3，则代数式4*x*﹣8*y*+9的值是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼*AC*与实验楼*BD*的水平间距*CD*＝15米，在实验楼顶部*B*点测得教学楼顶部*A*点的仰角是30°，底部*C*点的俯角是45°，则教学楼*AC*的高度是[ ]{.underline}米（结果保留根号）．
> 
16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是[ ]{.underline}（结果用含*a*，*b*代数式表示）．
> 
**三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）**
17．（6分）（2019•广东）解不等式组：
18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中*x*＝．
19．（6分）（2019•广东）如图，在△*ABC*中，点*D*是*AB*边上的一点．
> （1）请用尺规作图法，在△*ABC*内，求作∠*ADE*，使∠*ADE*＝∠*B*，*DE*交*AC*于*E*；（不要求写作法，保留作图痕迹）
>
> （2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．
>
> 
**四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)**
20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为*A*、*B*、*C*、*D*四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
> 成绩等级频数分布表
---------- ------
成绩等级 频数
*A* 24
*B* 10
*C* *x*
*D* 2
合计 *y*
---------- ------
> （1）*x*＝[ ]{.underline}，*y*＝[ ]{.underline}，扇形图中表示*C*的圆心角的度数为[ ]{.underline}度；
>
> （2）甲、乙、丙是*A*等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
>
> 
21．（7分）（2019•广东）某校为了开展"阳光体育运动"，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
> （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
>
> （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△*ABC*的三个顶点均在格点上，以点*A*为圆心的与*BC*相切于点*D*，分别交*AB*、*AC*于点*E*、*F*．
> （1）求△*ABC*三边的长；
>
> （2）求图中由线段*EB*、*BC*、*CF*及所围成的阴影部分的面积．
>
> 
**五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)**
23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象与反比例函数*y*＝的图象相交于*A*、*B*两点，其中点*A*的坐标为（﹣1，4），点*B*的坐标为（4，*n*）．
> （1）根据图象，直接写出满足*kx*+*b*＞的*x*的取值范围；
>
> （2）求这两个函数的表达式；
>
> （3）点*P*在线段*AB*上，且*S*~△*AOP*~：*S*~△*BOP*~＝1：2，求点*P*的坐标．
>
> 
24．（9分）（2019•广东）如图1，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，⊙*O*是△*ABC*的外接圆，过点*C*作∠*BCD*＝∠*ACB*交⊙*O*于点*D*，连接*AD*交*BC*于点*E*，延长*DC*至点*F*，使*CF*＝*AC*，连接*AF*．
> （1）求证：*ED*＝*EC*；
>
> （2）求证：*AF*是⊙*O*的切线；
>
> （3）如图2，若点*G*是△*ACD*的内心，*BC*•*BE*＝25，求*BG*的长．
>
> 
25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*x*^2^+*x*﹣与*x*轴交于点*A*、*B*（点*A*在点*B*右侧），点*D*为抛物线的顶点，点*C*在*y*轴的正半轴上，*CD*交*x*轴于点*F*，△*CAD*绕点*C*顺时针旋转得到△*CFE*，点*A*恰好旋转到点*F*，连接*BE*．
> （1）求点*A*、*B*、*D*的坐标；
>
> （2）求证：四边形*BFCE*是平行四边形；
>
> （3）如图2，过顶点*D*作*DD*~1~⊥*x*轴于点*D*~1~，点*P*是抛物线上一动点，过点*P*作*PM*⊥*x*轴，点*M*为垂足，使得△*PAM*与△*DD*~1~*A*相似（不含全等）．
>
> ①求出一个满足以上条件的点*P*的横坐标；
>
> ②直接回答这样的点*P*共有几个？
>
> 
**2019年广东省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.**
1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
>
> 【解答】解：\|﹣2\|＝2，故选：*A*．
2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（ ）
A．2.21×10^6^ B．2.21×10^5^ C．221×10^3^ D．0.221×10^6^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×10^5^．
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
>
> 【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
>
> 
>
> 故选：*A*．
4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（ ）
A．*b*^6^+*b*^3^＝*b*^2^ B．*b*^3^•*b*^3^＝*b*^9^ C．*a*^2^+*a*^2^＝2*a*^2^ D．（*a*^3^）^3^＝*a*^6^
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、*b*^6^+*b*^3^，无法计算，故此选项错误；
>
> *B*、*b*^3^•*b*^3^＝*b*^6^，故此选项错误；
>
> *C*、*a*^2^+*a*^2^＝2*a*^2^，正确；
>
> *D*、（*a*^3^）^3^＝*a*^9^，故此选项错误．
>
> 故选：*C*．
5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
>
> 【解答】解：*A*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *B*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
>
> *C*、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
>
> *D*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
>
> 故选：*C*．
6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
> 【考点】中位数．菁优网版权所有
>
> 【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
>
> 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，
>
> 故这组数据的中位数是，5．
>
> 故选：*C*．
7．（3分）（2019•广东）实数*a*、*b*在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
> 
A．*a*＞*b* B．\|*a*\|＜\|*b*\| C．*a*+*b*＞0 D．＜0
> 【考点】绝对值；实数与数轴．菁优网版权所有
>
> 【分析】先由数轴可得﹣2＜*a*＜﹣1，0＜*b*＜1，且\|*a*\|＞\|*b*\|，再判定即可．
>
> 【解答】解：由图可得：﹣2＜*a*＜﹣1，0＜*b*＜1，
>
> ∴*a*＜*b*，故*A*错误；
>
> \|*a*\|＞\|*b*\|，故*B*错误；
>
> *a*+*b*＜0，故*C*错误；
>
> ＜0，故*D*正确；
>
> 故选：*D*．
8．（3分）（2019•广东）化简的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
> 【考点】算术平方根．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．
>
> 【解答】解：＝＝4．
>
> 故选：*B*．
9．（3分）（2019•广东）已知*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣2*x*＝0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．*x*~1~≠*x*~2~ B．*x*~1~^2^﹣2*x*~1~＝0 C．*x*~1~+*x*~2~＝2 D．*x*~1~•*x*~2~＝2
> 【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出*x*~1~≠*x*~2~，选项*A*不符合题意；将*x*~1~代入一元二次方程*x*^2^﹣2*x*＝0中可得出*x*~1~^2^﹣2*x*~1~＝0，选项*B*不符合题意；利用根与系数的关系，可得出*x*~1~+*x*~2~＝2，*x*~1~•*x*~2~＝0，进而可得出选项*C*不符合题意，选项*D*符合题意．
>
> 【解答】解：∵△＝（﹣2）^2^﹣4×1×0＝4＞0，
>
> ∴*x*~1~≠*x*~2~，选项*A*不符合题意；
>
> ∵*x*~1~是一元二次方程*x*^2^﹣2*x*＝0的实数根，
>
> ∴*x*~1~^2^﹣2*x*~1~＝0，选项*B*不符合题意；
>
> ∵*x*~1~，*x*~2~是一元二次方程*x*^2^﹣2*x*＝0的两个实数根，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~＝2，*x*~1~•*x*~2~＝0，选项*C*不符合题意，选项*D*符合题意．
>
> 故选：*D*．
10．（3分）（2019•广东）如图，正方形*ABCD*的边长为4，延长*CB*至*E*使*EB*＝2，以*EB*为边在上方作正方形*EFGB*，延长*FG*交*DC*于*M*，连接*AM*，*AF*，*H*为*AD*的中点，连接*FH*分别与*AB*，*AM*交于点*N*、*K*：则下列结论：①△*ANH*≌△*GNF*；②∠*AFN*＝∠*HFG*；③*FN*＝2*NK*；④*S*~△*AFN*~：*S*~△*ADM*~＝1：4．其中正确的结论有（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
> 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由正方形的性质得到*FG*＝*BE*＝2，∠*FGB*＝90°，*AD*＝4，*AH*＝2，∠*BAD*＝90°，求得∠*HAN*＝∠*FGN*，*AH*＝*FG*，根据全等三角形的定理定理得到△*ANH*≌△*GNF*（*AAS*），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠*AHN*＝∠*HFG*，推出∠*AFH*≠∠*AHF*，得到∠*AFN*≠∠*HFG*，故②错误；根据全等三角形的性质得到*AN*＝*AG*＝1，根据相似三角形的性质得到∠*AHN*＝∠*AMG*，根据平行线的性质得到∠*HAK*＝∠*AMG*，根据直角三角形的性质得到*FN*＝2*NK*；故③正确；根据矩形的性质得到*DM*＝*AG*＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：∵四边形*EFGB*是正方形，*EB*＝2，
>
> ∴*FG*＝*BE*＝2，∠*FGB*＝90°，
>
> ∵四边形*ABCD*是正方形，*H*为*AD*的中点，
>
> ∴*AD*＝4，*AH*＝2，
>
> ∠*BAD*＝90°，
>
> ∴∠*HAN*＝∠*FGN*，*AH*＝*FG*，
>
> ∵∠*ANH*＝∠*GNF*，
>
> ∴△*ANH*≌△*GNF*（*AAS*），故①正确；
>
> ∴∠*AHN*＝∠*HFG*，
>
> ∵*AG*＝*FG*＝2＝*AH*，
>
> ∴*AF*＝*FG*＝*AH*，
>
> ∴∠*AFH*≠∠*AHF*，
>
> ∴∠*AFN*≠∠*HFG*，故②错误；
>
> ∵△*ANH*≌△*GNF*，
>
> ∴*AN*＝*AG*＝1，
>
> ∵*GM*＝*BC*＝4，
>
> ∴＝＝2，
>
> ∵∠*HAN*＝∠*AGM*＝90°，
>
> ∴△*AHN*∽△*GMA*，
>
> ∴∠*AHN*＝∠*AMG*，
>
> ∵*AD*∥*GM*，
>
> ∴∠*HAK*＝∠*AMG*，
>
> ∴∠*AHK*＝∠*HAK*，
>
> ∴*AK*＝*HK*，
>
> ∴*AK*＝*HK*＝*NK*，
>
> ∵*FN*＝*HN*，
>
> ∴*FN*＝2*NK*；故③正确；
>
> ∵延长*FG*交*DC*于*M*，
>
> ∴四边形*ADMG*是矩形，
>
> ∴*DM*＝*AG*＝2，
>
> ∵*S*~△*AFN*~＝*AN*•*FG*＝2×1＝1，*S*~△*ADM*~＝*AD*•*DM*＝×4×2＝4，
>
> ∴*S*~△*AFN*~：*S*~△*ADM*~＝1：4故④正确，
>
> 故选：*C*．
>
> 
**二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.**
11．（4分）（2019•广东）计算：2019^0^+（）^﹣1^＝[ 4 ]{.underline}．
> 【考点】有理数的加法；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
>
> 【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
>
> 【解答】解：原式＝1+3＝4．
>
> 故答案为：4．
12．（4分）（2019•广东）如图，已知*a*∥*b*，∠1＝75°，则∠2＝[ 105° ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
>
> 【解答】解：∵直线*L*直线*a*，*b*相交，且*a*∥*b*，∠1＝75°，
>
> 
>
> ∴∠3＝∠1＝75°，
>
> ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
>
> 故答案为：105°
13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是[ 8 ]{.underline}．
> 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据多边形内角和定理：（*n*﹣2）•180 （*n*≥3）可得方程180（*x*﹣2）＝1080，再解方程即可．
>
> 【解答】解：设多边形边数有*x*条，由题意得：
>
> 180（*x*﹣2）＝1080，
>
> 解得：*x*＝8，
>
> 故答案为：8．
14．（4分）（2019•广东）已知*x*＝2*y*+3，则代数式4*x*﹣8*y*+9的值是[ 21 ]{.underline}．
> 【考点】代数式求值；整式的加减．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案．
>
> 【解答】解：∵*x*＝2*y*+3，
>
> ∴*x*﹣2*y*＝3，
>
> 则代数式4*x*﹣8*y*+9＝4（*x*﹣2*y*）+9
>
> ＝4×3+9
>
> ＝21．
>
> 故答案为：21．
15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼*AC*与实验楼*BD*的水平间距*CD*＝15米，在实验楼顶部*B*点测得教学楼顶部*A*点的仰角是30°，底部*C*点的俯角是45°，则教学楼*AC*的高度是[ （15+15]{.underline}[） ]{.underline}米（结果保留根号）．
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△*BEC*、△*ABE*，进而可解即可求出答案．
>
> 【解答】解：过点*B*作*BE*⊥*AB*于点*E*，
>
> 
>
> 在Rt△*BEC*中，∠*CBE*＝45°，*BE*＝15；可得*CE*＝*BE*×tan45°＝15米．
>
> 在Rt△*ABE*中，∠*ABE*＝30°，*BE*＝15，可得*AE*＝*BE*×tan30°＝15米．
>
> 故教学楼*AC*的高度是*AC*＝15米．
>
> 答：教学楼*AC*的高度是（15）米．
16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是[ *a*+8*b* ]{.underline}（结果用含*a*，*b*代数式表示）．
> 
>
> 【考点】利用轴对称设计图案．菁优网版权所有
>
> 【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．
>
> 【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9*a*﹣8（*a*﹣*b*）＝*a*+8*b*．
>
> 故答案为：*a*+8*b*．
**三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）**
17．（6分）（2019•广东）解不等式组：
> 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
>
> 【解答】解：
>
> 解不等式组①，得*x*＞3
>
> 解不等式组②，得*x*＞1
>
> 则不等式组的解集为*x*＞3
18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（﹣）÷，其中*x*＝．
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】先化简分式，然后将*x* 的值代入计算即可．
>
> 【解答】解：原式＝
>
> ＝
>
> 当*x*＝时，
>
> 原式＝＝
19．（6分）（2019•广东）如图，在△*ABC*中，点*D*是*AB*边上的一点．
> （1）请用尺规作图法，在△*ABC*内，求作∠*ADE*，使∠*ADE*＝∠*B*，*DE*交*AC*于*E*；（不要求写作法，保留作图痕迹）
>
> （2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．
>
> 
>
> 【考点】作图---基本作图；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠*ADE*＝∠*B*；
>
> （2）先利用作法得到∠*ADE*＝∠*B*，则可判断*DE*∥*BC*，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
>
> 【解答】解：（1）如图，∠*ADE*为所作；
>
> 
>
> （2）∵∠*ADE*＝∠*B*
>
> ∴*DE*∥*BC*，
>
> ∴＝＝2．
**四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)**
20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为*A*、*B*、*C*、*D*四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
> 成绩等级频数分布表
---------- ------
成绩等级 频数
*A* 24
*B* 10
*C* *x*
*D* 2
合计 *y*
---------- ------
> （1）*x*＝[ 4 ]{.underline}，*y*＝[ 40 ]{.underline}，扇形图中表示*C*的圆心角的度数为[ 36 ]{.underline}度；
>
> （2）甲、乙、丙是*A*等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
>
> 
>
> 【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即*y*＝40；*C*等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即*x*＝4；扇形图中表示*C*的圆心角的度数360°×＝36°；
>
> （2）先画树状图，然后求得*P*（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
>
> 【解答】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即*y*＝40；
>
> *C*等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即*x*＝4；
>
> 扇形图中表示*C*的圆心角的度数360°×＝36°．
>
> 故答案为4，40，36；
>
> （2）画树状图如下：
>
> 
>
> *P*（同时抽到甲，乙两名学生）＝＝．
21．（7分）（2019•广东）某校为了开展"阳光体育运动"，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
> （1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
>
> （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
>
> 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）设购买篮球*x*个，购买足球*y*个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；
>
> （2）设购买了*a*个篮球，则购买（60﹣*a*）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出*x*的最大整数解即可．
>
> 【解答】解：（1）设购买篮球*x*个，购买足球*y*个，
>
> 依题意得：．
>
> 解得．
>
> 答：购买篮球20个，购买足球40个；
>
> （2）设购买了*a*个篮球，
>
> 依题意得：70*a*≤80（60﹣*a*）
>
> 解得*a*≤32．
>
> 答：最多可购买32个篮球．
22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△*ABC*的三个顶点均在格点上，以点*A*为圆心的与*BC*相切于点*D*，分别交*AB*、*AC*于点*E*、*F*．
> （1）求△*ABC*三边的长；
>
> （2）求图中由线段*EB*、*BC*、*CF*及所围成的阴影部分的面积．
>
> 
>
> 【考点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
>
> （2）根据勾股定理求得*AD*，由（1）得，*AB*^2^+*AC*^2^＝*BC*^2^，则∠*BAC*＝90°，根据*S*~阴~＝*S*~△*ABC*~﹣*S*~扇形*AEF*~即可求得．
>
> 【解答】解：（1）*AB*＝＝2，
>
> *AC*＝＝2，
>
> *BC*＝＝4；
>
> （2）由（1）得，*AB*^2^+*AC*^2^＝*BC*^2^，
>
> ∴∠*BAC*＝90°，
>
> 连接*AD*，*AD*＝＝2，
>
> ∴*S*~阴~＝*S*~△*ABC*~﹣*S*~扇形*AEF*~＝*AB*•*AC*﹣π•*AD*^2^＝20﹣5π．
**五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)**
23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象与反比例函数*y*＝的图象相交于*A*、*B*两点，其中点*A*的坐标为（﹣1，4），点*B*的坐标为（4，*n*）．
> （1）根据图象，直接写出满足*kx*+*b*＞的*x*的取值范围；
>
> （2）求这两个函数的表达式；
>
> （3）点*P*在线段*AB*上，且*S*~△*AOP*~：*S*~△*BOP*~＝1：2，求点*P*的坐标．
>
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求*x*的取值范围；
>
> （2）将点*A*，点*B*坐标代入两个解析式可求*k*~2~，*n*，*k*~1~，*b*的值，从而求得解析式；
>
> （3）根据三角形面积相等，可得答案．
>
> 【解答】解：（1）∵点*A*的坐标为（﹣1，4），点*B*的坐标为（4，*n*）．
>
> 由图象可得：*kx*+*b*＞的*x*的取值范围是*x*＜﹣1或0＜*x*＜4；
>
> （2）∵反比例函数*y*＝的图象过点*A*（﹣1，4），*B*（4，*n*）
>
> ∴*k*~2~＝﹣1×4＝﹣4，*k*~2~＝4*n*
>
> ∴*n*＝﹣1
>
> ∴*B*（4，﹣1）
>
> ∵一次函数*y*＝*kx*+*b*的图象过点*A*，点*B*
>
> ∴，
>
> 解得：*k*＝﹣1，*b*＝3
>
> ∴直线解析式*y*＝﹣*x*+3，反比例函数的解析式为*y*＝﹣；
>
> （3）设直线*AB*与*y*轴的交点为*C*，
>
> ∴*C*（0，3），
>
> ∵*S*~△*AOC*~＝×3×1＝，
>
> ∴*S*~△*AOB*~＝*S*~△*AOC*~+*S*~△*BOC*~＝×3×1+×4＝，
>
> ∵*S*~△*AOP*~：*S*~△*BOP*~＝1：2，
>
> ∴*S*~△*AOP*~＝×＝，
>
> ∴*S*~△*COP*~＝﹣＝1，
>
> ∴×3•*x~P~*＝1，
>
> ∴*x~P~*＝，
>
> ∵点*P*在线段*AB*上，
>
> ∴*y*＝﹣+3＝，
>
> ∴*P*（，）．
>
> 
24．（9分）（2019•广东）如图1，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，⊙*O*是△*ABC*的外接圆，过点*C*作∠*BCD*＝∠*ACB*交⊙*O*于点*D*，连接*AD*交*BC*于点*E*，延长*DC*至点*F*，使*CF*＝*AC*，连接*AF*．
> （1）求证：*ED*＝*EC*；
>
> （2）求证：*AF*是⊙*O*的切线；
>
> （3）如图2，若点*G*是△*ACD*的内心，*BC*•*BE*＝25，求*BG*的长．
>
> 
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由*AB*＝*AC*知∠*ABC*＝∠*ACB*，结合∠*ACB*＝∠*BCD*，∠*ABC*＝∠*ADC*得∠*BCD*＝∠*ADC*，从而得证；
>
> （2）连接*OA*，由∠*CAF*＝∠*CFA*知∠*ACD*＝∠*CAF*+∠*CFA*＝2∠*CAF*，结合∠*ACB*＝∠*BCD*得∠*ACD*＝2∠*ACB*，∠*CAF*＝∠*ACB*，据此可知*AF*∥*BC*，从而得*OA*⊥*AF*，从而得证；
>
> （3）证△*ABE*∽△*CBA*得*AB*^2^＝*BC*•*BE*，据此知*AB*＝5，连接*AG*，得∠*BAG*＝∠*BAD*+∠*DAG*，∠*BGA*＝∠*GAC*+∠*ACB*，由点*G*为内心知∠*DAG*＝∠*GAC*，结合∠*BAD*+∠*DAG*＝∠*GDC*+∠*ACB*得∠*BAG*＝∠*BGA*，从而得出*BG*＝*AB*＝5．
>
> 【解答】解：（1）∵*AB*＝*AC*，
>
> ∴∠*ABC*＝∠*ACB*，
>
> 又∵∠*ACB*＝∠*BCD*，∠*ABC*＝∠*ADC*，
>
> ∴∠*BCD*＝∠*ADC*，
>
> ∴*ED*＝*EC*；
>
> （2）如图1，连接*OA*，
>
> 
>
> ∵*AB*＝*AC*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*OA*⊥*BC*，
>
> ∵*CA*＝*CF*，
>
> ∴∠*CAF*＝∠*CFA*，
>
> ∴∠*ACD*＝∠*CAF*+∠*CFA*＝2∠*CAF*，
>
> ∵∠*ACB*＝∠*BCD*，
>
> ∴∠*ACD*＝2∠*ACB*，
>
> ∴∠*CAF*＝∠*ACB*，
>
> ∴*AF*∥*BC*，
>
> ∴*OA*⊥*AF*，
>
> ∴*AF*为⊙*O*的切线；
>
> （3）∵∠*ABE*＝∠*CBA*，∠*BAD*＝∠*BCD*＝∠*ACB*，
>
> ∴△*ABE*∽△*CBA*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*AB*^2^＝*BC*•*BE*，
>
> ∴*BC*•*BE*＝25，
>
> ∴*AB*＝5，
>
> 如图2，连接*AG*，
>
> 
>
> ∴∠*BAG*＝∠*BAD*+∠*DAG*，∠*BGA*＝∠*GAC*+∠*ACB*，
>
> ∵点*G*为内心，
>
> ∴∠*DAG*＝∠*GAC*，
>
> 又∵∠*BAD*+∠*DAG*＝∠*GDC*+∠*ACB*，
>
> ∴∠*BAG*＝∠*BGA*，
>
> ∴*BG*＝*AB*＝5．
25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*x*^2^+*x*﹣与*x*轴交于点*A*、*B*（点*A*在点*B*右侧），点*D*为抛物线的顶点，点*C*在*y*轴的正半轴上，*CD*交*x*轴于点*F*，△*CAD*绕点*C*顺时针旋转得到△*CFE*，点*A*恰好旋转到点*F*，连接*BE*．
> （1）求点*A*、*B*、*D*的坐标；
>
> （2）求证：四边形*BFCE*是平行四边形；
>
> （3）如图2，过顶点*D*作*DD*~1~⊥*x*轴于点*D*~1~，点*P*是抛物线上一动点，过点*P*作*PM*⊥*x*轴，点*M*为垂足，使得△*PAM*与△*DD*~1~*A*相似（不含全等）．
>
> ①求出一个满足以上条件的点*P*的横坐标；
>
> ②直接回答这样的点*P*共有几个？
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）利用抛物线解析式求得点*A*、*B*、*D*的坐标；
>
> （2）欲证明四边形*BFCE*是平行四边形，只需推知*EC*∥*BF*且*EC*＝*BF*即可；
>
> （3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点*P*的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；
>
> ②根据①的结果即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）令*x*^2^+*x*﹣＝0，
>
> 解得*x*~1~＝1，*x*~2~＝﹣7．
>
> ∴*A*（1，0），*B*（﹣7，0）．
>
> 由*y*＝*x*^2^+*x*﹣＝（*x*+3）^2^﹣2得，*D*（﹣3，﹣2）；
>
> （2）证明：∵*DD*~1~⊥*x*轴于点*D*~1~，
>
> ∴∠*COF*＝∠*DD*~1~*F*＝90°，
>
> ∵∠*D*~1~*FD*＝∠*CFO*，
>
> ∴△*DD*~1~*F*∽△*COF*，
>
> ∴＝，
>
> ∵*D*（﹣3，﹣2），
>
> ∴*D*~1~*D*＝2，*OD*＝3，
>
> ∴*D*~1~*F*＝2，
>
> ∴＝，
>
> ∴*OC*＝，
>
> ∴*CA*＝*CF*＝*FA*＝2，
>
> ∴△*ACF*是等边三角形，
>
> ∴∠*AFC*＝∠*ACF*，
>
> ∵△*CAD*绕点*C*顺时针旋转得到△*CFE*，
>
> ∴∠*ECF*＝∠*AFC*＝60°，
>
> ∴*EC*∥*BF*，
>
> ∵*EC*＝*DC*＝＝6，
>
> ∵*BF*＝6，
>
> ∴*EC*＝*BF*，
>
> ∴四边形*BFCE*是平行四边形；
>
> （3）∵点*P*是抛物线上一动点，
>
> ∴设*P*点（*x*，*x*^2^+*x*﹣），
>
> ①当点*P*在*B*点的左侧时，
>
> ∵△*PAM*与△*DD*~1~*A*相似，
>
> ∴或＝，
>
> ∴＝或＝，
>
> 解得：*x*~1~＝1（不合题意舍去），*x*~2~＝﹣11或*x*~1~＝1（不合题意舍去）*x*~2~＝﹣；
>
> 当点*P*在*A*点的右侧时，
>
> ∵△*PAM*与△*DD*~1~*A*相似，
>
> ∴＝或＝，
>
> ∴＝或＝，
>
> 解得：*x*~1~＝1（不合题意舍去），*x*~2~＝﹣3（不合题意舍去）或*x*~1~＝1（不合题意舍去），*x*~2~＝﹣（不合题意舍去）；
>
> 当点*P*在*AB*之间时，
>
> ∵△*PAM*与△*DD*~1~*A*相似，
>
> ∴＝或＝，
>
> ∴＝或＝，
>
> 解得：*x*~1~＝1（不合题意舍去），*x*~2~＝﹣3（不合题意舍去）或*x*~1~＝1（不合题意舍去），*x*~2~＝﹣；
>
> 综上所述，点*P*的横坐标为﹣11或﹣或﹣；
>
> ②由①得，这样的点*P*共有3个．
>
> 
| 1 | |
第一结论\
不动点通法 数列通项放缩问题\
国一各种数列压轴题 通杀\
不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)\
令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解\
那么a,b就为Xn不动点\
不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xn\<a\
高考里你只需要取大根就好，小根忽视\
比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用\
核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质\
题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an\
求使不等式an\<an+1\<3的c的取值范围\
解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c\^-4))/2\
显然就是证x\<3嘛 ，但是不能直接书写，看以下书写通法\
\
a(n+1)-x=c-1/an-x 化简 （注意化简技巧，目标是得到a(n+1)-1=k(an-1) ,注意化简的时候要用到cx-x\^2=1）\
an+1 - x = (can-1-xan)/an\
即an+1 - x = (can-cx+x\^2-xan)/an\
即an+1 - x = \[c(an-x)-x(an-x)\]/an=(c-x)/an\*(an-x)\
(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号\
a1-x=1-x\
\
因为an+1\>an a2=c-1/a1=c-1\
c-1\>1 所以c\>2\
\
所以a1-x=1-x\<0\
\
回头看这个：\
即an+1 - x = \[c(an-x)-x(an-x)\]/an=(c-x)/an\*(an-x)\
\
(c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号\
a1-x\<0所以a2-x\<0\....an+1-x\<0\
即an+1\<x\
即题目变成an\<an+1\<x\<3恒成立求x的范围\
解x\<3得到答案\
\
这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题......大学教授，都带有高数味儿得
小结论\
C:y\^2=2px\
过x轴上(a,0)点与C相交，存在\
x1x2=a\^2\
无数小题用此结论减免思维强度\
\
连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B\'(x2,-y2) 让你证AB\'过焦点\
你想想 x1x2只和a\^2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊......
极坐标：秒杀焦点弦\
\
我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题\
没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式\
\
椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2\
目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日\
日为过F的直线的倾斜角\
p为焦准距\
\
双曲线\
单支和椭圆一样\
交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正\
\
抛物线\
r=p/1 -+ cos日\
（抛物线e=1）\
\
以上三者的焦点弦R=r1+r2长为\
R=\|2ep/1-e\^2cos\^2日\|\
\
这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒\
另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀\
左加右减套绝对值，同边开负，异边开正\
举例解释\
比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=\|a-ex0\| （左加右减套绝对值）\
由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a
技巧\
09山东22题告诉我们......\
过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)\
------因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示
S(2n-1)=(2n-1)an\
这种强大的公式不懂你就亏了
四面体体积公式\
V=1/6(abhsin日)\
a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角\
这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀
有关立体几何中的开放式问题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）\
近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中\
\
用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图
还有这个\
在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角\
有\
cos\^2 a + cos\^ b + cos\^2 c =1\
这个有什么用呢？\
已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系
双曲线焦点到渐近线的距离=b\
过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形\
则 斜边为c 另一条直角边为b
我们来看看圆锥面\
\
是一个三角形旋转一周所得\
\
意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值\
所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】
立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关
遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理\
举个例子：\
P要满足A,B,C，求P的方法数\
画个韦恩图\
U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）\
\
看到图你知道该怎么算了吧\
\
P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C\
\
两个条件的我就懒得打字啦
有关离心率问题 很多命题点在这里\
椭圆离心率e\^2=1-(b/a)\^2\
双曲线：e\^2=1+(b/a)\^2\
看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关
双曲线渐近线方程可设为b\^2x\^2-a\^2y\^2=0\
看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西\
比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2
画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF2\
\
1.若PO=F1O=F2O 则\<F1PF2为90°\
2.PO\<OF1 则\<F1PF2为钝角\
3.PO\>OF1 则，，，，为锐角
导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内△\>0
【这是一个你死也要记住的不等式链】\
sqrt\[(a\^2+b\^2)/2\]\>=(a+b)/2\>=sqrt(ab)\>=2/(1/a+1/b)\
注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b\
这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途\
\
但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导
平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为\
设向量OA=(a,b)\
向量OB=(c,d)\
a b\
( )\
c d\
即 ad-bc\
证明可用S=1/2absin日 证
平行四边形ABCD 中\
1.若\|AB\|=\|AD\| \<=\> (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=0\
2.若AB⊥AD \<=\> \|向量AB+向量AD\|=\|向量AB-向量AD\|
用向量构筑不等关系\
若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑\
向量m=(a,c)\
向量n=(c,d)\
向量m\*向量n=ac+bd\<=\[sqrt(a\^2+c\^2)\]\[sqrt(b\^2+d\^2)\]
y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称\
y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称
切记\
等差数列Sn=(d/2)n\^2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的\
S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊......\
等比数列Sn=m+mq\^n 其中m=a1/1-q\
这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)\
a1+a2+a3+\...+an\<b1+b2+\....+bn（通过单项放缩）\<a1/1-q\<=题目要求值
cos75°=1/sqrt(6)+sqrt(2)\
sin75°=1/sqrt(6)-sqrt(2)\
\
自己推15°的啊。。。。这个我做数学和物理真题的时候遇到过...... 物理尤其光学题......
对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0\
可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质\
比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇\
\
注意这种构造法\
\|b2n-bn\|=\|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+\...\...\....+b(n+1)-bn\|\<=\|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)\|+\|b(2n-1)-b(2n-2)\|+\.....+\|b(n+1)-bn\|
圆锥曲线快速求直线和圆锥曲线交点的中点\
\
1.先点差\
kOM\*kAB=-b\^2/a\^2 =\> y0/x0 \* k = -b\^2/a\^2\
2.和l联立消去x,y （别弄走了k)\
\
抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算\
y\^2=2px的参数方程(2pt\^2,2pt)
比例性质------专业化简啊！\
\
分比性质\
a/b=c/d \<=\> (a-b)/b=(c-d)/d\
合分比性质\
(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)\
和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧\
\
这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了
已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c\
为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论
对存在性问题，可以从特殊条件出发，进而再证明这个值就是一般情况下的值\
\
平面上任意一点P(x,y)都可以表示为\
x=\|OP\|cosθ\
y=\|OP\|sinθ\
\
有什么用途呢？ 比如有OA OB 他们互相垂直\
你会发现神奇的事情\
详见2009年山东理22(2)
三次函数具有对城中心P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)\
(x1\<x2 他们都是极值点)
动态问题一般核心思想是：动中找静，双动则定一\
找出题中定死不变的量，有可能它是显性的有可能是隐形的\
\
比如2009全国2 16
两点间距离空间版\
PQ\^2=d1\^2+d2\^2+d\^2-2d1d2cosθ\
d1,d2为PQ到 二面角P-l-Q的l的距离\
d为PQ在l上投影\
θ为二面角大小\
\
这个结论很好证，主要是画图 勾股定理\
极值问题 一般都出在自变量为d或者为θ的时候
f(x)+k=0解的个数\
y=f(x)\
y=-k\
看图说话\
这个思想用于无数的导数压轴题和选填
过(a,0)点向y\^2=2px 作直线有交点\
存在\
x1x2=a\^2\
\
这可以用来解很多小题和部分大题（2010国卷21题（1））
在涉及最值问题时，不要急于思索搜寻所谓的类型和方法，【认真，准确的化简，整理表达式才是关键】我们总是根据【整理的结果选择适当方法】结果未出的种种设想都是无谓的干扰
见 切点 过圆心 出直角，这是一重要的平面几何知识\
\
可以转化为三角等问题
对f(x)=\|x-x1\|+\|x-x2\|+\....+\|x-xn\|\
设x1\<x2\<x3\....\<xn\
n为奇数时 x取中间点时f(x)有min值\
n为偶数时，x取中间两点任意一点可以取min值\
\
别以为这个没用，高考题有一些题是以这个为模型 的\
模拟题这个见得太多了......一大把
原文摘抄：\
面对有函数的试题，首先要毫不迟疑的确定其定义域，即使没有要求，也要这么做，即【定义与优先】\
此外，对给定函数 即便题目没有设问，也要从 单调性 奇偶性 周期性等角度对其全方位查体
在单调性中，增减性几何意义\
增:离y轴越近，函数值越小\
减:离y轴越近，函数值越大\
注意是距离，距离怎么表达的？ 想起来了？\
举个简单例子\
y=x\^2中函数值比4小的x的结集？\
f(x0)=4 x0=2\
\|x\|\<2
f(x2)-f(x1)\
\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-- \< 0\
x2 - x1\
的几何意义是，斜率值恒\<0 斜率是什么？ 导数\<0 说明f(x)恒递减\
他的变式是\
f(x2)+g(x2)-\[f(x1)+g(x1)\]\
\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--\
x2 - x1\
\
想什么呢？构造t(x)=f(x)+g(x)呀
f(a+x)+f(b-x)=2c f(x)有对城中心(a+b/2,c)\
\
y=f(a+wx)\
y=f(b-wx)\
这俩函数关于x=b-a/2w对称
三角平移问题速解（就是那种已知一个三角函数 又知另一个三角函数问平移情况或者参数变化情况）\
\
可以取特殊点------即原三角函数的第一个最值(不能取0点）\
再对比新三角函数的第一最值，你就知道怎么移动了、、
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**2019年黑龙江省大庆市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）**
1．（3分）（2019•大庆）有理数的立方根为
A． B．2 C． D．
2．（3分）（2019•大庆）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•大庆）小明同学在"百度"搜索引擎中输入"中国梦，我的梦"，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•大庆）实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•大庆）正比例函数的函数值随着增大而减小，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•大庆）下列说法中不正确的是
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
7．（3分）（2019•大庆）某企业月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是
A．月份利润的众数是130万元
B．月份利润的中位数是130万元
C．月份利润的平均数是130万元
D．月份利润的极差是40万元
8．（3分）（2019•大庆）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•大庆）一个"粮仓"的三视图如图所示（单位：，则它的体积是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•大庆）如图，在正方形中，边长，将正方形绕点按逆时针方向旋转至正方形，则线段扫过的面积为
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
11．（3分）（2019•大庆）[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•大庆）分解因式：[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•大庆）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•大庆）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•大庆）归纳""字形，用棋子摆成的""字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第个""字形需要的棋子个数为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•大庆）我国古代数学家赵爽的"勾股圆方图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•大庆）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•大庆）如图，抛物线，点，直线，已知抛物线上的点到点的距离与到直线的距离相等，过点的直线与抛物线交于，两点，，，垂足分别为、，连接，，，．若，、则△的面积[ ]{.underline}．（只用，表示）．
**三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（4分）（2019•大庆）计算：．
20．（4分）（2019•大庆）已知：，，求代数式的值．
21．（5分）（2019•大庆）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
22．（6分）（2019•大庆）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．
（1）求，两港之间的距离（结果保留到，参考数据：，；
（2）确定港在港的什么方向．
23．（7分）（2019•大庆）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
------ -------------- ------
组别 体重（千克） 人数
10
40
20
10
------ -------------- ------
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：①[ ]{.underline}，②[ ]{.underline}，③在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数等于[ ]{.underline}度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？
24．（7分）（2019•大庆）如图，反比例函数和一次函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求出点的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的的取值范围．
25．（7分）（2019•大庆）如图，在矩形中，，．、在对角线上，且，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）点是对角线上的点，，求的长．
26．（8分）（2019•大庆）如图，在中，．，，若动点从出发，沿线段运动到点为止（不考虑与，重合的情况），运动速度为，过点作交于点，连接，设动点运动的时间为，的长为．
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，的面积有最大值？最大值为多少？
27．（9分）（2019•大庆）如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是外一点，在直线上，连接，，，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）证明：；
（3）若，，求的长．
28．（9分）（2019•大庆）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象轴下方部分沿轴向上翻折，保留抛物线在轴上的点和轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为，，，．当以为直径的圆过点时，求的值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，请直接写出的取值范围．
**2019年黑龙江省大庆市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）**
1．（3分）有理数的立方根为
A． B．2 C． D．
【考点】立方根
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：有理数的立方根为．
故选：．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选：．
3．（3分）小明同学在"百度"搜索引擎中输入"中国梦，我的梦"，搜索到与之相关的结果条数为608000，这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：608000，这个数用科学记数法表示为．
故选：．
4．（3分）实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是
A． B． C． D．
【考点】绝对值；数轴
【分析】从数轴上可以看出、都是负数，且，由此逐项分析得出结论即可．
【解答】解：因为、都是负数，且，，
、是错误的；
、是错误的；
、是正确的；
、是错误的．
故选：．
5．（3分）正比例函数的函数值随着增大而减小，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【考点】正比例函数的性质；一次函数的图象
【分析】根据自正比例函数的性质得到，然后根据一次函数的性质得到一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴的负半轴相交．
【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
一次函数的一次项系数大于0，常数项小于0，
一次函数的图象经过第一、三象限，且与轴的负半轴相交．
故选：．
6．（3分）下列说法中不正确的是
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】由菱形的判定与性质即可得出、、正确，不正确．
【解答】解：．四边相等的四边形是菱形；正确；
．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
．菱形的邻边相等；正确；
故选：．
7．（3分）某企业月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是
A．月份利润的众数是130万元
B．月份利润的中位数是130万元
C．月份利润的平均数是130万元
D．月份利润的极差是40万元
【考点】众数；中位数；加权平均数；极差
【分析】先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．
【解答】解：、月份利润的众数是120万元；故本选项错误；
、月份利润的中位数是125万元，故本选项错误；
、月份利润的平均数是万元，故本选项错误；
、月份利润的极差是万元，故本选项正确．
故选：．
8．（3分）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，与相交于点，若，则是
A． B． C． D．
【考点】三角形的外角性质
【分析】根据角平分线的定义得到、，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：是的平分线，
，
是外角的平分线，
，
则，
故选：．
9．（3分）一个"粮仓"的三视图如图所示（单位：，则它的体积是
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体
【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可．
【解答】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，
其体积为：，
故选：．
10．（3分）如图，在正方形中，边长，将正方形绕点按逆时针方向旋转至正方形，则线段扫过的面积为
A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；旋转的性质；扇形面积的计算
【分析】根据中心对称的性质得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：将正方形绕点按逆时针方向旋转至正方形，
，
线段扫过的面积，
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
11．（3分）[ ]{.underline}．
【考点】同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则简单即可．
【解答】解：．
故答案为：
12．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】因式分解分组分解法；因式分解提公因式法
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：
故答案为：
13．（3分）一个不透明的口袋中共有8个白球、5个黄球、5个绿球、2个红球，这些球除颜色外都相同．从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】先求出袋子中球的总个数及确定白球的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：袋子中球的总数为，而白球有8个，
则从中任摸一球，恰为白球的概率为．
故答案为．
14．（3分）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则[ 3 ]{.underline}．
【考点】三角形的重心
【分析】先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长．
【解答】解：、分别是，的中点，
点为的重心，
，
．
故答案为3．
15．（3分）归纳""字形，用棋子摆成的""字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第个""字形需要的棋子个数为[ ]{.underline}．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第个""字形需要的棋子个数．
【解答】解：由图可得，
图①中棋子的个数为：，
图②中棋子的个数为：，
图③中棋子的个数为：，
则第个""字形需要的棋子个数为：，
故答案为：．
16．（3分）我国古代数学家赵爽的"勾股圆方图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是[ 1 ]{.underline}．
【考点】勾股定理的证明；数学常识
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即：，
则．
故答案为：1．
17．（3分）已知是不等式的解，不是不等式的解，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据是不等式的解，不是不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：是不等式的解，
，
解得：，
不是这个不等式的解，
，
解得：，
，
故答案为：．
18．（3分）如图，抛物线，点，直线，已知抛物线上的点到点的距离与到直线的距离相等，过点的直线与抛物线交于，两点，，，垂足分别为、，连接，，，．若，、则△的面积[ ]{.underline}．（只用，表示）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】利用，可得，证明，确定△是直角三角形，则可求△的面积△的面积；
【解答】解：，，
，，
，，
，
，
，
，
，
△的面积△的面积；
故答案为．
**三、解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（4分）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（4分）已知：，，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据，，可以求得的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：，，
，
．
21．（5分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450机器所需时间相同，求该工厂原来平均每天生产多少台机器？
【考点】分式方程的应用
【分析】设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该工厂原来平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器．
根据题意得：，
解得：．
经检验知，是原方程的根．
答：该工厂原来平均每天生产150台机器．
22．（6分）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．
（1）求，两港之间的距离（结果保留到，参考数据：，；
（2）确定港在港的什么方向．
【考点】方向角；勾股定理的应用
【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
（2）由，则点在点北偏东的方向上．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
，，
，
．
，
．
答：、两地之间的距离为．
（2）由（1）知，为等腰直角三角形，
，
，
港在港北偏东的方向上．
23．（7分）某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
------ -------------- ------
组别 体重（千克） 人数
10
40
20
10
------ -------------- ------
请根据图表信息回答下列问题：
（1）填空：①[ 100 ]{.underline}，②[ ]{.underline}，③在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数等于[ ]{.underline}度；
（2）若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替（例如：组数据中间值为40千克），则被调查学生的平均体重是多少千克？
（3）如果该校七年级有1000名学生，请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人？
【考点】用样本估计总体；加权平均数；频数（率分布表；扇形统计图
【分析】（1）①，②，③；
（2）被抽取同学的平均体重为：（千克）；
（3）七年级学生体重低于47.5千克的学生（人．
【解答】解：（1）①，
②，
③；
故答案为100，20，144
（2）被抽取同学的平均体重为：
（千克）．
答：被抽取同学的平均体重为50千克．
（3）（人．
答：七年级学生体重低于47.5千克的学生大约有300人．
24．（7分）如图，反比例函数和一次函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求出点的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把代入，求得的坐标为，然后代入一次函数中即可得出其解析式；
（2）联立方程求得交点的坐标，然后根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）在反比例函数图象上，
，
，
．
又在一次函数的图象上，
，即，
一次函数的表达式为：．
（2）由解得或，
，
由图象知满足不等式的的取值范围为或．
25．（7分）如图，在矩形中，，．、在对角线上，且，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）点是对角线上的点，，求的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据四边形的性质得到，求得．根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）连接，交于点．根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论．
【解答】（1）证明四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接，交于点．
在和中，
，
，
，，
为、中点．
，，
或，
的长为1或4．
26．（8分）如图，在中，．，，若动点从出发，沿线段运动到点为止（不考虑与，重合的情况），运动速度为，过点作交于点，连接，设动点运动的时间为，的长为．
（1）求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，的面积有最大值？最大值为多少？
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；函数自变量的取值范围
【分析】（1）由平行线得，根据相似形的性质得关系式；
（2）由；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
【解答】解：（1）动点运动秒后，．
又，．
，
，
，
关于的函数关系式为．
（2）解：．
当时，最大，最大值为．
27．（9分）如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是外一点，在直线上，连接，，，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）证明：；
（3）若，，求的长．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）先判断出，得出，再判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，得出，进而得出，即可得出结论；
（3）在中，设，得出．，，最后用勾股定理得出，即可得出结论．
【解答】（1）证明是弦中点，
，
是的中垂线，
，
．
是的直径，
，
．
又，
，
，即，
是的切线；
（2）证明：由（1）知，
，
，
．
又，
，即．
（3）解：在中，设，则．
，．
，即，解得，
．
28．（9分）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象轴下方部分沿轴向上翻折，保留抛物线在轴上的点和轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为，，，．当以为直径的圆过点时，求的值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，请直接写出的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：，，新图象与直线恒有四个交点，则，由解得：，即可求解；
（3）分、在函数对称轴左侧、、在对称轴两侧、、在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2），
则轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：，，其顶点为．
新图象与直线恒有四个交点，，
设，，，．
由解得：，
以为直径的圆过点，
，
即，解得，
又，
的值为；
（3）①当、在函数对称轴左侧时，
，
由题意得：时，，时，，
即：，
解得：；
②当、在对称轴两侧时，
时，的最小值为9，不合题意；
③当、在对称轴右侧时，
同理可得：；
故的取值范围是：或．
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日期：2019/7/12 8:58:55；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学 (重庆理)**
1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
（1）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B.4 C. 5 D. 6
**【答案】：**A
**【分析】**：由可得
（2）命题"若，则"的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
**【答案】：D**
**【分析】**：其逆否命题是：若或，则。
（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，
则这三个平面把空间分成（ ）
A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
**【答案】：**C
**【分析】**：可用三线表示三个平面，如图，将空间分成7个部分。
（4）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.120
**【答案】：**B
**【分析】**：
（5）在中，则BC =（ ）
A. B. C.2 D.
**【答案】：**A
**【分析】**：由正弦定理得：
（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，
则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】：**C
**【分析】**：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，
（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
**【答案】：**B
**【分析】**：a是1+2b与1-2b的等比中项，则
（8）设正数a,b满足, 则（ ）
A．0 B． C． D．1
**【答案】：**B
**【分析】**：
（9）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，
则（ ）
A.f(6)\>f(7) B.f(6)\>f(9) C.f(7)\>f(9) D.f(7)\>f(10)
**【答案】：**D
**【分析】**：y=f(x+8)为偶函数，即关于直线对称。
又f(x)在上为减函数，故在上为增函数， 检验知选D。
（10）如图，在四边形ABCD中，
，则的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
**【答案】：**C
**【分析】**：
二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数的虚部为\_\_\_\_\_\_\_\_.
**【答案】：**
**【分析】**：
（12）已知x,y满足，
则函数z = x+3y的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_.
**【答案】：7**
**【分析】**：画出可行域，当直线过点（1，2）时，
（13）若函数f(x) = 的定义域为R，
则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_.
**【答案】：**
**【分析】**：恒成立，恒成立，
（14）设{}为公比q\>1的等比数列，若和是方程的两根，
则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**【答案】：18**
**【分析】**：和是方程的两根，故有：
或（舍）。
（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，
则不同的选课方案有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种。（以数字作答）
**【答案】：25**
**【分析】**：所有的选法数为，两门都选的方法为。
故共有选法数为
（16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，
则\|FP\|\|FQ\|的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**【答案】：**
**【分析】**：
代入得：
设
又
三、解答题：本大题共６小题，共76分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分13分)设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期； (9分)
（2）若锐角满足，求tan的值。(4分)
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为；最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而．
（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司
> 缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元
>
> 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率
>
> 分别为且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；(4分)
（2）获赔金额的分别列与期望。(9分)
解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，
且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
，
，
，
．
综上知，的分布列为
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）．
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
-- -- --
-- -- --
故．
同理得，．
综上有（元）．
（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC---中， AB = 1,
；点D、E分别在上，且，
四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。
（1）求异面直线DE与的距离；(8分)
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。(5分)
解法一：（Ⅰ）因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．
由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．
在直角中，，
又因，
故，所以．
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．
设，则，
又设，则，
从而，即．
又，所以是异面直线与的公垂线．
下面求点的坐标．
设，则．
因四棱锥的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解得，即．
从而，，．
接下来再求点的坐标．
由，有，即 （1）
又由得． （2）
联立（1），（2），解得，，即，得．
故．
（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，
垂足为，连接，
设，则，因为，故
..........................................①
因且得，即
..........................................②
联立①②解得，，即．
则，．
．
又，故，
因此为所求二面角的平面角．又，从而，
故，为直角三角形，所以．
（20）(本小题满分13分)已知函数(x\>0)在x = 1处
> 取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；(6分)
（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)
（3）若对任意x\>0，不等式恒成立，求c的取值范围。(3分)
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，
要使（）恒成立，只需．
即，从而，解得或．
所以的取值范围为．
(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；(5分)
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，
求证：. (7分)
（I）解：由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，
故的通项为．
（II）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，
因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．
\(22\) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），
右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；(4分)
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，
证明: 为定值，并求此定值。(8分)
解：（I）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知
，
因此，．
故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，
假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有
．
解得 ．
因此
，
而
，
故为定值．
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第2课《质数、合数和分解质因数》试题附答案**
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
五年级奥数上册：第二讲 质数、合数和分解质因数 习题解答
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲****解第1课《从数表中找规律》试题附答****案**
\[来源:学。科。网\]
\[来源:Zxxk.Com\]
\
**答****案**
\
\
\
\
三年级奥数下册：第一讲 从数表中找规律 习题解答 \[来源:学.科.网\]
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第五单元演练
一、口算下面各题。
40+30= 50+17= 69-40= 34-20= 30+27=
78-23= 23+56= 97-32= {width="1.3888888888888888e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"} 7+50= 45-32=
二、先把计算错的地方圈出来,再改正。
{width="1.25in" height="1.7916666666666667in"}
三、连一连。
14+31 50+9 5+40 20+7 67-22 7{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}7-5{width="1.875e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}0 78-33 3{width="1.875e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}2+27
59 45 27
四、在○里填上"\>""{width="1.875e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}\<"或"="。
31+26 ○60 65-25 ○50 49 ○42+7
5+24 ○74 34-20○14 {width="1.3888888888888888e-2in" height="1.875e-2in"} 35+60 ○100
6+32 ○6+23 37-20 ○64-4 22+3 ○3+22
五、用竖式计算。
35+24= 6+42= 87-55= 74-32=
67-40= 37-16= {width="2.361111111111111e-2in" height="2.361111111111111e-2in"} 51+31= 45+3=
六、解决问题。
1.商店进新货啦!
{width="2.75625in" height="0.5597222222222222in"}
11个 33{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}个 54个{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}
(1)书包和篮球一共多少个?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(个)
(2)篮球和羽毛球一共多少个?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(个)
(3)书包比篮球少多少个?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(个)
(4)羽毛球比篮球多多少个?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(个)
2.
{width="0.5729166666666666in" height="0.7833333333333333in"} {width="0.38958333333333334in" height="0.5298611111111111in"} {width="0.38958333333333334in" height="0.5798611111111112in"}
41只 57只 12只
(1)山羊和小猫一共有多少只?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(只)
(2)小猫比小兔多多少只?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(只)
(3)山羊再添多少只就和小猫一样多?
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"} {width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}={width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}(只)
3\. {width="4.95625in" height="1.1659722222222222in"}
{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}
4\. 你能提出哪些数学问题?解答出来。
{width="4.039583333333334in" height="1.0430555555555556in"}
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
{width="6.215277777777778in" height="8.645833333333334in"}
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**2016届九年级下学期月考数学试卷（4月份）**
**一、精心选一选（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．**
1．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（ ）
A．  B．  C．  D． 
2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x^2^+x+a^2^﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 
3．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． cm B． 27cm C． cm D． cm
4．如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（ ）
A．  B．  C．  D． 
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 打开电视机，正在播广告，是必然事件
B． 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C． 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D． 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
6．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A． （3，﹣6） B． （﹣3，6） C． （﹣3，﹣6） D． （3，6）
7．矩形ABCD中，AB=8，，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A． 点B、C均在圆P外 B． 点B在圆P外、点C在圆P内
C． 点B在圆P内、点C在圆P外 D． 点B、C均在圆P内
8．已知一次函数y~1~=kx+b与反比例函数y~2~=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y~1~＜y~2~时，x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或x＞3 C． ﹣1＜x＜0 D． x＞3
**二、填空题（每小题3分，共24分）**
9．如果关于x的方程x^2^﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=[ ]{.underline}．
10．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是[ ]{.underline}．
11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为[ ]{.underline}．
12．二次函数y=﹣3（x﹣3）^2^+2是由y=﹣3（x+3）^2^[ ]{.underline}平移得到的．
13．如图，若BC∥DE，=，S~△ABC~=4，则四边形BCED的面积S~四边形DBCE~=[ ]{.underline}．
14．在△ABC和△A~1~B~1~C~1~中，下列四个命题：
（1）若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠A=∠A~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~；
若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠B=∠B~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~；
（3）若∠A=∠A~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~；
（4）若AC：A~1~C~1~=CB：C~1~B~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~．
其中是真命题的为[ ]{.underline}（填序号）．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是[ ]{.underline}．
16．二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有[ ]{.underline}（填序号）
**三、解答题**
17．计算：（﹣1）^2015^﹣（π﹣3）^0^+tan45°﹣sin60°cos30°+．
18．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其中B，C，D点的坐标分别为（1，2），（1，1），（3，1）．
（1）求E点和A点的坐标；
试以点P（0，2）为位似中心，作出相似比为3的位似图形A~1~B~1~C~1~D~1~E~1~，并写出各对应点的坐标．
19．如图，一次函数y=k~1~x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．
21．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了"手机瘾"．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均一天使用4～6小时；E、平
均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）调查了多少名学生的手机使用时间？
将上面的条形统计图补充完整；
（3）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的"手机瘾"．我校初三年级共有1490人，试估计我校初三年级中约有多少人患有严重的"手机瘾"；
（4）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA=，sinA′=．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
25．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
**2016届九年级下学期月考数学试卷（4月份）**
**参考答案与试题解析\[来源:Zxxk.Com\]**
**一、精心选一选（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．**
1．下列手机软件图标中，属于中心对称的是（ ）
A．  B．  C．  D． 
考点： 中心对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
解答： 解：A、不是中心对称，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称，故此选项错误；
C、是中心对称，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x^2^+x+a^2^﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 1或﹣1 D． 
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 由一元二次方程（a﹣1）x^2^+x+a^2^﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．
解答： 解：∵一元二次方程（a﹣1）x^2^+x+a^2^﹣1=0的一个根是0，
∴将x=0代入方程得：a^2^﹣1=0，
解得：a=1或a=﹣1，
将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，
则a的值为﹣1．
故选：B．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． cm B． 27cm C． cm D． cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，由垂径定理可得：AD=DB，再解Rt△ODA即可求得垂直平分半径的弦长．
解答： 解：设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，如下图所示，则：
由题意可得：OA=OC=12cm，CO⊥AB，OD=DC=6cm
∵CO⊥AB
∴由垂径定理可得：AD=DB
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：
AD^2^=AO^2^﹣OD^2^
AD==6cm
∴AB=12cm
∴垂直平分半径的弦长为12cm
故选C．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的运用．
4．如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（ ）
A．  B．  C．  D． 
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可．
解答： 解：从上面看可得到一个矩形里面有一个圆，故选B．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． 打开电视机，正在播广告，是必然事件
B． 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C． 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D． 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
考点： 方差；随机事件；概率的意义．
分析： 根据必然事件的概念、方差的定义、随机事件的概率逐项分析即可．
解答： 解：A、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不是必然事件，故该选项错误；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩不稳定，而不是稳定，故该选项错误；
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是，不是30%，故该选项错误；
D、从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球，是必然事件，故该选项正确，故该选项错误；
故选D．
点评： 本题考查了必然事件的概念、方差的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握方差的定义以及求随机事件的概率．
\[来源:学+科+网\]
6．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A． （3，﹣6） B． （﹣3，6） C． （﹣3，﹣6） D． （3，6）
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 作图题．
分析： 正确作出A旋转以后的A′点，即可确定坐标．
解答： 解：由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．
故选：A．
点评： 本题考查了图形的旋转，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．
7．矩形ABCD中，AB=8，，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A． 点B、C均在圆P外 B． 点B在圆P外、点C在圆P内
C． 点B在圆P内、点C在圆P外 D． 点B、C均在圆P内
考点： 点与圆的位置关系．
专题： 计算题；压轴题；数形结合．
分析： 根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．
解答： 解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，
∴AP=2，
∴r=PD==7，
PC===9，
∵PB=6＜7，PC=9＞7
∴点B在圆P内、点C在圆P外
故选：C．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
8．已知一次函数y~1~=kx+b与反比例函数y~2~=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y~1~＜y~2~时，x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或x＞3 C． ﹣1＜x＜0 D． x＞3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y~1~＜y~2~时所对应的x的取值范围．
解答： 解：根据图象知，一次函数y~1~=kx+b与反比例函数y~2~=的交点是（﹣1，3），（3，﹣1），
∴当y~1~＜y~2~时，﹣1＜x＜0或x＞3；
故选：B．
点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了"数形结合"的数学思想．
**二、填空题（每小题3分，共24分）**
9．如果关于x的方程x^2^﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=[ 1 ]{.underline}．
考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．
解答： 解：∵x的方程x^2^﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根
∴△=b^2^﹣4ac=（﹣2）^2^﹣4×1•m=0
4﹣4m=0
m=1
故答案为：1
点评： 本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．
10．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是[ 20% ]{.underline}．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答： 解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）^2^=2880
解得：x~1~=20%，x~2~=﹣220%（舍去）
故答案为：20%．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为[ 26° ]{.underline}．
考点： 切线的性质；圆周角定理．
专题： 压轴题．
分析： 连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解．
解答： 解：连接OA．
∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠B=64°，
∴∠P=90°﹣64°=26°．
故答案为：26°．
点评： 本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．
12．二次函数y=﹣3（x﹣3）^2^+2是由y=﹣3（x+3）^2^[ 向右平移6个单位，再向下平移2个单位， ]{.underline}平移得到的．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 首先得到两个函数的顶点坐标，看顶点是如何平移的即可．
解答： 解：∵新抛物线的顶点为（3，2），原抛物线的顶点为（﹣3，0），
∴二次函数y=﹣3（x+3）^2^的图象向右平移6个单位，再向下平移2个单位，便得到二次函数y=﹣3（x﹣3）^2^+2的图象，
故答案为：向右平移6个单位，再向下平移2个单位．
点评： 本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键．
13．如图，若BC∥DE，=，S~△ABC~=4，则四边形BCED的面积S~四边形DBCE~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
解答： 解：∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AB：AD=3：4，
∴S~△ABC~：S~△ADE~=9：16，
∴S~四边形DBCE~：S~△ABC~=7：9，
∵△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积为．
故答案为：．
点评： 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
14．在△ABC和△A~1~B~1~C~1~中，下列四个命题：
（1）若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠A=∠A~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~；
若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠B=∠B~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~；
（3）若∠A=∠A~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~；
（4）若AC：A~1~C~1~=CB：C~1~B~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~．
其中是真命题的为[ ①③④ ]{.underline}（填序号）．
考点： 相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；命题与定理．
分析： 根据全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐项分析即可．
解答： 解：（1）若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠A=∠A~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~是正确的，利用SAS判定即可；
若AB=A~1~B~1~，AC=A~1~C~1~，∠B=∠B~1~，则△ABC≌△A~1~B~1~C~1~是错误的，SSA不能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
（3）若∠A=∠A~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
（4）若AC：A~1~C~1~=CB：C~1~B~1~，∠C=∠C~1~，则△ABC∽△A~1~B~1~C~1~是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握其各种判定方法并且灵活运用其各种判定方法．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题： 网格型．
分析： 过点O作OC⊥AB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
解答： 解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=，
∴sin∠OAB=．
故答案为：．
点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
16．二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为
直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有[ ①③ ]{.underline}（填序号）
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
分析： 由抛物线的对称轴方程得到b=﹣4a＞0，则可对①进行判断；由于x=﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）得a﹣b+c=0，把b=﹣4a代入可得c=﹣5a，则8a+7b+2c=﹣30a，于是可对③进行判断；根据而此函数的性质可对④进行判断．
解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣3时，y＜0，\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴a+4a+c=0，\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
∴c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．
故答案为①③．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b^2^﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b^2^﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b^2^﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
**三、解答题**
17．计算：（﹣1）^2015^﹣（π﹣3）^0^+tan45°﹣sin60°cos30°+．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三、四项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣1﹣1+1﹣×+2=．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其中B，C，D点的坐标分别为（1，2），（1，1），（3，1）．
（1）求E点和A点的坐标；
试以点P（0，2）为位似中心，作出相似比为3的位似图形A~1~B~1~C~1~D~1~E~1~，并写出各对应点的坐标．
考点： 作图-位似变换．
分析： （1）首先过点A作AF⊥BE，由△ABE是等边三角形，可求得AF的长，继而可求得E点和A点的坐标；
首先根据题意画出图形，由位似图形的性质即可求得各对应点的坐标．
解答： 解：（1）过点A作AF⊥BE，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=2，∠ABE=60°，
∴AF=AB•sin60°=2×=，
∴点A的坐标为：，点E的坐标为：（3，2）；
如图：A~1~（6，2+3），B~1~（3，2），C~1~（3，﹣1），D~1~（9，﹣1），E~1~（9，2）．
点评： 此题考查了位似图形的性质与矩形、等边三角形的性质．注意作位似图形时找准位似中心与位似比．
19．如图，一次函数y=k~1~x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 探究型．
分析： （1）根据一次函数y=k~1~x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k~1~的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k~2~的值，进而求出其反比例函数的解析式；
过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
解答： 解：（1）∵直线y=k~1~x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
∴，
∴
∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S~△OBM~=2，
∴，
∴
∴n=4
∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线上，
∴，
∴k~2~=12
∴反比例函数的表达式为
过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
20．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，
已知sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，
解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，
∴设DE=a，EF=3a，DF==2a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
又由（1）△ABF∽△DFE，
∴===，
∴tan∠EBF==，
tan∠EBC=tan∠EBF=．
点评： 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，难度适中．
21．当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了"手机瘾"．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均一天使用4～6小时；E、平
均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）调查了多少名学生的手机使用时间？\[来源:Z,xx,k.Com\]
将上面的条形统计图补充完整；
（3）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的"手机瘾"．我校初三年级共有1490人，试估计我校初三年级中约有多少人患有严重的"手机瘾"；
（4）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
分析： （1）由题意得：调查的学生数为：4÷8%=50（名）；
首先求得B类人数，即可补全统计图；
（3）由题意可得：我校初三年级中约有多少人患有严重的"手机瘾"的有：1490×10%=149（名）；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）根据题意得：调查的学生数为：4÷8%=50（名）；
答：调查了50名学生的手机使用时间；
B：50﹣4﹣20﹣9﹣5=12（名）；
如图：
（3）我校初三年级中约有多少人患有严重的"手机瘾"的有：1490×10%=149（名）；
答：我校初三年级中约有多少人患有严重的"手机瘾"的有149名；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的有8种情况，
∴所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率为：=．
点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且cosA=，sinA′=．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；
求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 此题首先把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，（1）先过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E，则得出EC=DB=OO′=2，ED=BC，通过解直角三角形AOD和A′OE得出OD与OE，从而求出BC．
先解直角三角形A′OE，得出A′E，然后求出B′C．
解答： 解：（1）过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E
根据题意可知EC=DB=OO′=2米，ED=BC
∴∠A′ED=∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，∵cosA=，OA=10米，
∴AD=6米，
∴OD==8米．
在Rt△A′OE中，
∵sinA′=，
OA′=10米
∴OE=5米．
∴BC=ED=OD﹣OE=8﹣5=3米．
在Rt△A′OE中，
A′E==米．
∴B′C=A′C﹣A′B′
=A′E+CE﹣AB
=A′E+CE﹣（AD+BD）
=+2﹣（6+2）
=﹣6（米）．
答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（﹣6）米．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题来解决，本题运用了直角三角形函数及勾股定理．
23．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
解答： （1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S~扇形BOC~=．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为：．
点评： 此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
24．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题： 销售问题；压轴题．
分析： （1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
把y=2520时代入y=﹣10x^2^+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=﹣10x^2^+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
解答： 解：（1）根据题意得：
y=（30+x﹣20）=﹣10x^2^+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
当y=2520时，得﹣10x^2^+130x+2300=2520，
解得x~1~=2，x~2~=11（不合题意，舍去）
当x=2时，30+x=32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y=﹣10x^2^+130x+2300
=﹣10（x﹣6.5）^2^+2722.5，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
点评： 本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
25．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
考点： 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据"ASA"证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．
解答： （1）证明：①作PM⊥DG于M，如图1，
∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中
，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；
解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
点评： 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： （1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．
已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．
解答： 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；
∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax^2^+bx，
将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：
，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x^2^+x；
（3）存在；
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为，
①若OB=OP，
则2^2^+\|y\|^2^=4^2^，
解得y=±2，
当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，
∴∠P′OD=60°，
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P′、O、B三点在同一直线上，
∴y=2不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为
②若OB=PB，则4^2^+\|y+2\|^2^=4^2^，
解得y=﹣2，
故点P的坐标为，
③若OP=BP，则2^2^+\|y\|^2^=4^2^+\|y+2\|^2^，
解得y=﹣2，
故点P的坐标为，
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为．
点评： 此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法》单元测试5（附答案）**
一、填空题。（共11分）
1、已知34×7 = 238，你能不能很快算出340×7 =（ ），
34×70 =（ ）。
2. 2 4
> [× 1 2]{.underline}
>
> 4 8 ... （ ）×（ ）
>
> [2 4 ...]{.underline} （ ）×（ ）
2 8 8 ... （ ）＋（ ）
> 3、"神舟六号"飞船每秒钟飞行8千米，火箭点火后20秒钟，飞船的高度大约是（ ）千米。
>
> 4、小明今年12岁，爷爷的年龄比他的6倍少4岁，爷爷今年的年龄是（ ）岁。
>
> 5、光明小学新买了6个书架，每个书架有5层，每层放26本书，新买的书架可放图书（ ）册。
二、选择题。（将正确答案的序号填在括号里。）（共12分）
1、下列计算13×12不正确的是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、13×10 = 130 B、 13×12
13×2 = 26 = 13×2×6
130＋26 = 156 = 26×6
= 156
C、 1 3
> [× 1 2]{.underline}
>
> 2 6
>
> [1 3]{.underline}
>
> 3 8
2、张老师带28名同学去游览世界公园，每张门票60元，应付（ ）元。
A、1680 B、1740 C、1700
3、学校举办科技夏令营，男生有13人参加，女生有11人参加，宾馆只剩下3人间和4人间，应租3人间（ ）个，4人间（ ）个。
A、7 B、6 C、5 D、4 E、3 F、2
4、两位数乘两位数，积是（ ）。
A、三位数 B、四位数 C、三位数或四位数
三、连一连，四只小猫分别钓到的是哪条鱼？（共12分）
四、计算题。（共15分）
1、直接写出得数。
20×6 = 35×20 = 23×30 = 20×18 =
31×30 = 50×85 = 50×20 = 25×60 =
1.2＋0.8 = 8.5－4.2 = 3.9＋1.5 = 1－0.6 =
2、脱式计算。
25×24＋125 23×34－58 1500－125×8
五、找规律。（共20分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、2×25 = 100÷4 =
4×25 = 200÷4 =
6×25 = 300÷4 =
8×25 = 400÷4 =
2、通过计算发现，在计算乘法时，一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就
[ ]{.underline} 。
3、我还发现了 [ ]{.underline} 。来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、解决问题。（共30分）
1、小亮每分钟打字56个，13分钟打多少字？
2、五年级同学向希望小学捐了700本书，45本包成一包，包了15包，还剩多少本？
3、踢键子比赛。
（1）小兰跳了多少下？
（2）小红跳了多少下？
（3）谁跳的多？多几下？
4、培英小学2005年订阅报纸情况如下表：
（1）培英小学三种报纸一共订了多少份？
（2）西关小学订阅报纸情况如下：
A、订《齐鲁少年》的份数正好是培英小学的6倍。
B、订《中国儿童报》的份数，是培英小学的3倍多10份。
C、订《小学生学习报》的份数，是培英小学订阅的《齐鲁少年》和《中国儿童报》总份数的2倍。
你能算出西关小学订阅各种报纸的份数吗？
5、
1. 火车早8：00从B城出发，当日16：00到达A城，A、B两城相距多少千米？
> （2） A城到B城的距离是A城到C城的2倍，坐汽车从A城到C城需多长时间？
**第三单元测试卷的部分答案：**
一、1、2380 2380
2、24×2 24×1 48＋240
3、160
4、68
5、780
二、1、C 2、A 3、C E 4、C
三、448 = 14×32 777 = 37×21
392 = 28×14 420 = 12×35
四、1、120 700 690 360 930 4250 1000 1500 2 4.3 5.4 0.4
2、725 724 500
五、1、50 25
100 50
150 75
200 100
2、扩大几倍
六、1、56×13 = 728（个）
2、700－45×15 = 25（本）
3、（1）45×15 = 675（下）
（2）50×14 = 700（下）
（3）小红跳的多 700－675 = 25（下）
4、（1）67＋90＋118 = 275（份）
（2）402 280 314
5、（1）（16－8）×105 = 840（千米）
（2）840÷2÷60 = 7（小时）
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**2019年湖南省岳阳市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）**
1．（3分）（2019•达州）的绝对值是
A．2019 B． C． D．
2．（3分）（2019•岳阳）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•岳阳）下列立体图形中，俯视图不是圆的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•岳阳）如图，已知平分，且，若，则的度数是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•岳阳）在函数中，自变量的取值范围为
A． B． C．且 D．且
6．（3分）（2019•岳阳）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）（2019•岳阳）下列命题是假命题的是
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
8．（3分）（2019•岳阳）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）**
9．（4分）（2019•岳阳）因式分解：[ ]{.underline}．
10．（4分）（2019•岳阳）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳"水陆空铁"四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
11．（4分）（2019•岳阳）分别写有数字、、、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•岳阳）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•岳阳）分式方程的解是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•岳阳）已知，则代数式的值为[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题："今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？"其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布[ ]{.underline}尺．
16．（4分）（2019•岳阳）如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，过、两点分别作的垂线、，垂足分别为、，连接，则下列结论正确的是[ ]{.underline}．（写出所有正确结论的序号）
①平分；
②；
③若，，则的长为；
④若，，则有．
**三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（6分）（2019•岳阳）计算：
18．（6分）（2019•岳阳）如图，在菱形中，点、分别为、边上的点，，求证：．
19．（8分）（2019•岳阳）如图，双曲线经过点，且与直线有两个不同的交点．
（1）求的值．
（2）求的取值范围．
20．（8分）（2019•岳阳）岳阳市整治农村"空心房"新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内"空心房"进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
21．（8分）（2019•岳阳）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展"我和祖国共成长"主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
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分数段 频数 频率
2 0.05
0.2
12 0.3
14
4 0.1
-------- ------ ------
（1）表中[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在[ ]{.underline}分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（8分）（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高为1.7米，他站在处测得塔顶的仰角为，小琴的目高为1.5米，她站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点、、在同一水平线上，参考数据：，，
（1）求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度．
23．（10分）（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．
（1）如图1，求证：；
（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；
（3）类比探究：若，．
①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）
24．（10分）（2019•岳阳）如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）
（1）求点、的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；
（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年湖南省岳阳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）**
1．（3分）的绝对值是
A．2019 B． C． D．
【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【解答】解：的绝对值是：2009．
故选：．
2．（3分）下列运算结果正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从几何体的上面看物体，所得到的图形，分析每个几何体，解答出即可．
【解答】解：、圆柱的俯视图是圆；故本项不符合题意；
、圆锥的俯视图是圆；故本项不符合题意；
、立方体的俯视图是正方形；故本项符合题意；
、球的俯视图是圆；故本项不符合题意．
故选：．
4．（3分）如图，已知平分，且，若，则的度数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：平分，，
，
，
．
故选：．
5．（3分）在函数中，自变量的取值范围为
A． B． C．且 D．且
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：，，，，
，
射击成绩最稳定的是丙，
故选：．
7．（3分）下列命题是假命题的是
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【分析】由平行四边形的性质得出是假命题；
由同角（或等角）的余角相等，得出是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出、是真命题，即可得出答案．
【解答】解：．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
．同角（或等角）的余角相等；真命题；
．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：．
8．（3分）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点、，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由函数的不动点概念得出、是方程的两个实数根，由知，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数有两个相异的不动点、是方程的两个实数根，
且，
整理，得：，
则．
解得，
故选：．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）**
9．（4分）因式分解：[ ]{.underline}．
【分析】通过提取公因式进行因式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案是：．
10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳"水陆空铁"四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将600000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
11．（4分）分别写有数字、、、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是[ ]{.underline}．
【分析】直接利用无理数的定义结合概率求法得出答案．
【解答】解：写有数字、、、0、的五张大小和质地均相同的卡片，、是无理数，
从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：．
故答案为：．
12．（4分）若一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是[ 4 ]{.underline}．
【分析】设多边形的边数为，根据题意得出方程，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为，
则，
解得：，
故答案为：4．
13．（4分）分式方程的解是[ 1 ]{.underline}．
【分析】观察可得最简公分母为．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边同乘，
得，
解得．
将代入．
所以是原方程的解．
14．（4分）已知，则代数式的值为[ 1 ]{.underline}．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．
【解答】解：，
代数式
．
故答案为：1．
15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题："今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？"其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布[ ]{.underline}尺．
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设第一天织布尺，则第二天织布尺，第三天织布尺，第四天织布尺，第五天织布尺，根据题意可得：
，
解得：，
即该女子第一天织布尺．
故答案为：．
16．（4分）如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，过、两点分别作的垂线、，垂足分别为、，连接，则下列结论正确的是[ ①②④ ]{.underline}．（写出所有正确结论的序号）
①平分；
②；
③若，，则的长为；
④若，，则有．
【分析】连接，可证，得出，由可得，故①正确；证明，则可得出②正确；求出，，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由可得，则，得出，则，可得出，故④正确．
【解答】解：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，即平分，故①正确；
为的直径，
，
，，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
的长为，故③错误；
，，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
**三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（6分）计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（6分）如图，在菱形中，点、分别为、边上的点，，求证：．
【分析】由菱形的性质得出，由证明，即可得出结论．
【解答】证明：四边形是菱形，
，
在和中，，
，
．
19．（8分）如图，双曲线经过点，且与直线有两个不同的交点．
（1）求的值．
（2）求的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数系数的几何意义即可求得；
（2）联立方程，消去得到关于的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）双曲线经过点，
；
（2）双曲线与直线有两个不同的交点，
，整理为：，
△，
，
的取值范围是．
20．（8分）岳阳市整治农村"空心房"新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内"空心房"进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【分析】（1）设改造土地面积是亩，则复耕土地面积是亩．根据"复耕土地面积改造土地面积亩"列出方程并解答；
（2）设休闲小广场总面积是亩，则花卉园总面积是亩，根据"休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的"列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设改造土地面积是亩，则复耕土地面积是亩，
由题意，得
解得．
则．
答：改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；
（2）设休闲小广场总面积是亩，则花卉园总面积是亩，
由题意，得．
解得．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
答：休闲小广场总面积最多为75亩．
21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展"我和祖国共成长"主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
-------- ------ ------
分数段 频数 频率
2 0.05
0.2
12 0.3
14
4 0.1
-------- ------ ------
（1）表中[ 8 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在[ ]{.underline}分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）根据频率频数总数求解可得；
（2）根据所求结果即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1），，
故答案为：8，0.35；
（2）补全图形如下：
（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在，
测他的成绩落在分数段内，
故答案为：．
（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．
，
恰好是一名男生和一名女生的概率为．
22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高为1.7米，他站在处测得塔顶的仰角为，小琴的目高为1.5米，她站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点、、在同一水平线上，参考数据：，，
（1）求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示）
（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度．
【分析】（1）根据正切的定义用表示出，根据等腰直角三角形的性质计算；
（2）根据题意列方程求出，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，四边形、为矩形，
，，
，
在中，，
则，
，
在中，，
，
，
答：小亮与塔底中心的距离米；
（2）由题意得，，
解得，，
则，
，
答：慈氏塔的高度为36.1米．
23．（10分）操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．
（1）如图1，求证：；
（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；
（3）类比探究：若，．
①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；
②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）
【分析】（1）证明即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．
（2）如图2中，连接，作于，则四边形是矩形．利用面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题．
（3）①如图3中，连接，作于．由，可得，由，推出，由此即可解决问题．
②如图4，当点在线段的延长线上运动时，同法可证：．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形是矩形，
，
，
由翻折可知：，
，
．
（2）解：如图2中，连接，作于，则四边形是矩形，．
，，
，，
在中，，，，
，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的周长．
（3）①证明：如图3中，连接，作于．
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
②如图4，当点在线段的延长线上运动时，同法可证：．
24．（10分）如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）
（1）求点、的坐标；
（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；
（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把代入抛物线解析式求得即得到点坐标；把代入抛物线解析式，解方程并判断大于的解为点横坐标．
（2）根据旋转的性质特点可求点、坐标（过点作轴垂线，构造全等得到对应边相等）及的长，用待定系数法求抛物线的解析式，进而求得对称轴．设点纵坐标为，则能用表示、的长度．因为点恰好在以为直径的圆上，即为圆周角，等于，故能根据勾股定理列得关于的方程，解方程求得的值即求得的长，即求得△的面积．
（3）求直线解析式，与抛物线解析式联立方程组，求解即求得点坐标，发现与纵坐标相同，即轴，故．以、、为顶点的三角形要与△相似，则必须有一角为．因为点得直线与轴夹角为，所以点不能在轴或轴的负半轴，在轴或轴的正半轴时，刚好有．由于的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△或△．每种情况下由对应边成比例求得的长，即得到点坐标．
【解答】解：（1）当时，
点坐标为
当时，
解得：，
点在点的左侧
点坐标为
（2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点
，，
将绕点逆时针旋转得到△
，
在△与中
△
，
点在第四象限
同理可求得：
抛物线经过点、
解得：
抛物线解析式为：
对称轴为直线：
点在直线上，设
，
点在以为直径的圆上
解得：
（3）在坐标轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．
直线解析式为
解得：（即为点
轴，
，
，即直线与轴夹角为
当点在轴负半轴或轴负半轴时，，此时不可能与△相似
点在轴正半轴或轴正半轴时，（如图2、图
①若△，则
或
②若△，则
或
综上所述，点坐标为、、或时，以、、为顶点的三角形与△相似．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/9 8:37:39；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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> **周测8答案**
>
> 一、选择题CABCC DBBDB BB
12、\[解析\] 不妨设*P*~1~(*x*~1~，*y*~1~)，*P*~2~(*x*~2~，*y*~2~)，其中0\<*x*~1~\<1\<*x*~2~.
由*l*~1~，*l*~2~分别是点*P*~1~，*P*~2~处的切线，且*f*′(*x*)＝
得*l*~1~的斜率*k*~1~＝－，*l*~2~的斜率*k*~2~＝.
又*l*~1~与*l*~2~垂直，且0\<*x*~1~\<*x*~2~，所以*k*~1~·*k*~2~＝－·＝－1⇒*x*~1~·*x*~2~＝1，
*l*~1~：*y*＝－(*x*－*x*~1~)－ln *x*~1~①，*l*~2~：*y*＝(*x*－*x*~2~)＋ln *x*~2~②，
则点*A*的坐标为(0，1－ln *x*~1~)，点*B*的坐标为(0，－1＋ln *x*~2~)，
由此可得\|*AB*\|＝2－ln *x*~1~－ln *x*~2~＝2－ln(*x*~1~·*x*~2~)＝2.
联立①②两式可解得交点*P*的横坐标*x~P~*＝＝，
所以*S*~△*PAB*~＝\|*AB*\|·\|*x~P~*\|＝×2×＝≤1，当且仅当*x*~1~＝，即*x*~1~＝1时，等号成立．
而0\<*x*~1~\<1，所以0\<*S*~△*PAB*~\<1，故选A.
二、填空 3；.；；(2，8)
16、\[解析\] 由已知得*a*＝1，*b*＝，*c*＝2.当∠*F*~1~*F*~2~*P*＝时，\|*PF*~2~\|＝3，\|*PF*~1~\|＝\|*PF*~2~\|＋2*a*＝5，则\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|＝8；当∠*F*~1~*PF*~2~＝时，设\|*PF*~1~\|＝*m*，\|*PF*~2~\|＝*n*，则而(*m*－*n*)^2^＝4＝*m*^2^＋*n*^2^－2*mn*＝16－2*mn*，所以*mn*＝6，则(*m*＋*n*)^2^＝*m*^2^＋*n*^2^＋2*mn*＝28，则*m*＋*n*＝2.又△*F*~1~*PF*~2~为锐角三角形，故\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|的取值范围是(2，8)．
**三.解答题**
17\. 解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．
又，故................................................2分
于是，解得，.....................4分
因此，故数列的通项公式为．.....................6分
（2），.....................8分
于是
{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}....................................12分
18.（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，....................................2分
则四边形为平行四边形，所以，..........................................3分
又因为面
所以平面..............................................................................5分
（2）又平面，
∴平面，∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.........................................................................6分
{width="2.7430555555555554in" height="1.8125in"}
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，...........................................................................
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.....................................12分
19.（1）因为，.
回归直线必过样本中心点，则................2分
故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24................................................................4分
（2）因为，，，，
所以，........................6分
，即，，，.
，，均不超过10%，
因此使用位置最接近的已有旧井....................................................8分
（3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
所以勘察优质井数的可能取值为2，{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}3，4，
，，.
X 2 3 4
--- --- --- ---
P
............................................................12分
20.试题解析：（Ⅰ）的方程为 其准线方程为．............4分
（Ⅱ）设，，，
则切线的方程：{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.7777777777777776e-2in"}，即，又，
所以，.....................................................................6分
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为. ......................................................8分
联立{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}得，所以。
所以．
点到直线的距离．
所以的面积..................10分
所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2................12分
21．解（1）由，
得....................................2分
令，得，或.
所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，.............................................................5分
（2）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
所以，函数无极值......................................................................6分
②当时，，{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}的变化情况如下表：
{width="5.618055555555555in" height="1.0972222222222223in"}
所以，时，的极小值为{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}.
又时，，
所以，当时，恒成立.
所以，为的最小值.
故是函数存在最小值的充分条件.....................................10分
③当时，，的变化情况如下表：
{width="5.534722222222222in" height="1.1875in"}
因为当时，，
又，
所以，当时，函数也存在最小值.
所以，不是函数存在最小值的必要条件.
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件.........................12分
22．解： **（1）由消去参数*t*，得，\[来源:Z\_xx\_k.Com\]**
**所以圆*C*的普通方程为．**..........................................2分
**由**，**得，换成直角坐标系为，**
**所以直线*l*的直角坐标方程为**.................................5分
**（2）化为直角坐标为在直线*l*上，**
**并且，设*P*点的坐标为，**
**则*P*点到直线*l*的距离为，**...8分
**，所经面积的最小值是**.....................10分
23.解：试题解析：（Ⅰ）由得
....................................................5分
（Ⅱ）∵的值域为，∴对任意的，都有，使得成立，..................................................................7分
∵≥
所以实数的取值范围是.................................................10分
> **附加**
**1、**解：(1)在梯形*ABCD*中，*AB*与*CD*不平行．
延长*AB*，*DC*，相交于点*M*(*M*∈平面*PAB*)，点*M*即为所求的一个点．理由如下：
由已知，*BC*∥*ED*，且*BC*＝*ED*，
所以四边形*BCDE*是平行四边形，
从而*CM*∥*EB*.
又*EB*⊂平面*PBE*，*CM*⊄平面*PBE*，
所以*CM*∥平面*PBE*.\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分
(说明：延长*AP*至点*N*，使得*AP*＝*PN*，则所找的点可以是直线*MN*上任意一点)
{width="1.5833333333333333in" height="1.125in"}
(2)方法一：易知*PA*⊥平面*ABCD*.由已知，*CD*⊥*PA*，*CD*⊥*AD*，*PA*∩*AD*＝*A*，
所以*CD*⊥平面*PAD*，
从而*CD*⊥*PD*，
所以∠*PDA*是二面角*P* *CD* *A*的平面角，
所以∠*PDA*＝45°.
设*BC*＝1，则在Rt△*PAD*中，*PA*＝*AD*＝2.
过点*A*作*AH*⊥*CE*，交*CE*的延长线于点*H*，连接*PH*.
因为*PA*⊥平面*ABCD*，
所以*PA*⊥*CE*，
于是*CE*⊥平面*PAH*，
所以平面*PCE*⊥平面*PAH*.
过*A*作*AQ*⊥*PH*于点*Q*，则*AQ*⊥平面*PCE*，
所以∠*APH*是*PA*与平面*PCE*所成的角．
在Rt△*AEH*中，∠*AEH*＝45°，*AE*＝1，
所以*AH*＝.
在Rt△*PAH*中，*PH*＝＝，
所以sin∠*APH*＝＝.\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--12分
方法二：由已知，*CD*⊥*PA*，*CD*⊥*AD*，*PA*∩*AD*＝*A*，
所以*CD*⊥平面*PAD*，
于是*CD*⊥*PD*，从而∠*PDA*是二面角*P* *CD* *A*的平面角，
所以∠*PDA*＝45°.
由*PA*⊥*AB*，*PA*⊥*CD*，可得*PA*⊥平面*ABCD*.
设*BC*＝1，则在Rt△*PAD*中，*PA*＝*AD*＝2.
{width="1.5416666666666667in" height="1.28125in"}作*Ay*⊥*AD*，以*A*为原点，以，的方向分别为*x*轴，*z*轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系*A* *xyz*，则*A*(0，0，0)，*P*(0，0，2)，*C*(2，1，0)，*E*(1，0，0)，
所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)．
设平面*PCE*的法向量为***n***＝(*x*，*y*，*z*)，
由得设*x*＝2，解得***n***＝(2，－2，1)．
设直线*PA*与平面*PCE*所成角为*α*，则sin *α*＝＝＝，
所以直线*PA*与平面*PCE*所成角的正弦值为.\-\-\-\-\--12分
**2、**试题解析：（Ⅰ）易知函数的定义域是，
①当时，即时, 令,解得或；
令,解得
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；
③当时，即时, 令,解得或；
令,解得．
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
综上所述，
⑴当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减；
⑵当时, 函数在上单调递增；
⑶当时, 函数在和上单调递增,在上单调递减\--6分
（Ⅱ）假设函数存在"中值相依切线"．
设,是曲线上的不同两点，且，
则
曲线在点处的切线斜率
，
依题意得：．
化简可得：，即．
设（），上式化为：, 即．
令,．
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．
所以在内不存在,使得成立．\-\-\-\-\-\--12分
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试语文试卷（一）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至 9页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项
1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并帖好条形码。请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3. 本试卷共10小题，每小题3分，共30分。在每小题 给出的四个悬想中，只有一项符合要求。
> **一、（12分，每小题3分）**
>
> **1．**下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是
A.刍议（chú） 条分缕析(lǘ) 圈养(quān) 全然不乐(qiǎo)
B.倏忽(shǖ) 越俎代庖(páo) 牛虻(máng ) 自惭形秽(huì)
C.靛蓝（dián） 毁家纾难（shū） 干涸（hé） 白头偕老（xié）
D.手帕（pà） 相互龃龉（yǔ） 麾下 （huī） 探本溯源（shuò）
2．下列各项中，加点的成语使用不恰当的一项是
A、土耳其举重选手穆特鲁身高只有1.50米，多次参加世界男子举重56公斤级比赛，拿4金牌如探囊取物，人送绰号"举重神童"。
B．冬天老年人要增加营养，也要适当运动，在户外锻炼时一定要量入为出，以步行为宜，时间最好选在傍晚，还要注意保暖，防止着凉。
C．中国茶艺与日本茶道各有特点，但异曲同工，都强调"和"的精神。中日两国青少年也应以和为贵。为中日睦邻友好多作贡献。
D．北京周边的旅游胜地，笔者去过不少。但六月中下旬的绿树繁花中仍有冰挂高悬在危崖上，这一出人意表的奇景却是第一次见到。
3.下列各句中，没有语病的一句是 A葛振华大学毕业后回农村当起了村支书，他积极寻找本村经济的确切入点，考虑问题与众不同,给村里带来一股清新的确气息。B 荞麦具有降低毛细血管脆性、改善微循环、增加免疫力的作用，可用于高血压、高血脂、冠心病、中风发作等疾病的辅助治疗。 C王羽除了班里和学生会的确工作外，还承担了广播站"音乐不断"、"英语角"栏目主持，居然没有影响学习成绩，真让人佩服。 D 阅览室图书经常出现"开天窗"现象，我们可以从这一现象反映两个问题，一是阅读者素质有待提高，一是管理历度有待加强。
4 依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是
任何国家在任何时候都不能忽视粮食安全问题。中国多年来 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ，
[ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。
1. 实现了粮食供应从长期缺缺到总量基本平衡、丰年有余的历史性转变
2. 以占世界7%的耕地养活了占世界22%的人口
3. 使粮食产量不断攀升
4. 坚持以自力更生为主的粮食安全战略
5. 推广良种、改善水利条件、精耕细作
6. 在上世纪末突破5亿吨大关
A.④⑥②⑤③① B.④⑤③⑥①② C.⑤①⑥④③② D.⑤④③⑥②①
二、（9分，每小题3分）
阅读下面的文字，完成5\~7题。
盖天说与浑天说是中国古代天文学上两大主流学派的理论，两派都创造了许多天文仪器，用于观测、记录、研究和演示天象。浑天学派的浑天仪和浑象奇瑰雄浑，在历史上备受推崇，盖天学派的圭表也广为世人所知。其实，盖天派还创制了一种盖天图仪，同样闪烁着先哲智慧的光芒，然而遗憾的是，这种盖天图仪在中国天文学史上却鲜有提及，所以今天仍有必要介绍和探讨。
盖天说是中国一种古老的天文学理论，传说出自周人之手的《周髀算经》说："天象盖笠，地法覆盘。"古人于伞盖之下，仰观其形有若天穹，于是绘制星辰图像于其上，就成为一幅盖天图。与盖相类者有笠，笠无柄，顶戴于头遮日防雨。用笠制作法天之器，作用于盖相同。故有"盖笠"一词。但笠小盖大，盖上可以绘制更多星辰，这大约就是后代多称"盖天"的原因吧。
盖天图仪之形与天穹相似，人可站立其下仰视，也可以回转盖图以示天空星辰旋转，还可以斜置以演示北极倾斜之状。既简单又直观，可谓古人法天最理解的器具。这种图，天区星度布局比较均匀，完全不像后来的平面盖天图误差那么大。但古代完整的盖天图仪并没有流传下来，我们只能就相似的车盖等来探讨其形制《隋书》中记有一辆南齐帝车："及平齐，得其舆辂，藏于中府。......有乾象辇，羽葆圆盖，画日月五星，二十八宿，天街云罕。"乾象即天象，这正是盖天图仪的形制。另一类盖天图绘于古墓葬中，汉至隋唐的许多墓室设为穹顶，上绘天象，虽稍简陋，但屡见不鲜。
流传于古籍中的平面盖天图，则是将球面图形加以平面化，其好处是制作简易，方便携带。但这样一来所绘星位必然因照顾角度而牺牲距离，而与实际天象不合，于是广受诟病。其实，在表现天象方面，浑天派也有缺点。浑象上绘出的星图是目视星空的反象，相当于人从天外向下俯视。从这一点说，它还不如盖天图直观形象。
中国历史上曾多次发生浑盖之争，由于浑天说占据了主导地位，盖天图仪遂长期为人们的忽视。今天再进行浑天之争当然已经毫无意义，但如果把盖天图仪纳入人类天文学史，则依然是很有意义的。 （摘编自秦建明《盖天图仪考》）
5．下列关于作者写作本文原因的表述，不正确的一项是
A．盖天学派跟浑天学派一样，也是中国古代天文学的主流学派，创造了许多天文仪器。
B．浑天派的浑天仪的浑象，以及盖天学派的圭表在历史上备受推崇，广为世人所知。
C．盖天图仪和浑天仪等，都是古代用于观测、记录、研究和演示天象的重要天文仪器。
D．盖天图仪是盖天学派创制的，这一仪器闪烁着先哲智慧的光芒，但后人却鲜有提及。
6．下列理解和分析，不符合原文意思的一项是
> A．作为天文学理论的盖天说诞生甚早，在春秋时代周朝人所著的《周髀算经》中就有"天象盖笠，地法覆盘"的说法。
>
> B．盖天图仪状如伞盖，上绘日月星辰，人可站立其下仰视。盖图可以旋转、倾斜，演示星辰运动状态。
>
> C．古代完整的盖天图仪实物已经的失传，但在古人的车盖、墓室穹顶上仍绘有盖天图，形制与其相似。
>
> D．平面盖天图虽然所绘星位因照顾角度而牺牲了距离，但是比起浑象来，仍然显得直观形象，而且容易携带。
7．根据原文的内容，下列推断不正确的一项是
> A．所谓"盖天图"是说像伞盖一样的天象图，但古代也有用笠制作的法天之器，所以应该也有以"笠"为名的图。
>
> B．虽然从古人车盖和墓室穹顶上所绘制的盖天图可以探知古代盖图仪的主要形制，但是盖天图仪原物必定更加复杂。
>
> C、正因为浑象上绘出的星图是人们目视星空的反象，所以浑象上星辰的位置、距离也不符合实际天象的。
>
> D．历史上曾多次发生浑盖之争，最后浑天说占据了主导地位，但盖以仰视，浑以俯视，应该说两者各具其妙。
三、（9分，每小题3分）
阅读下面的文言文，完成8～10题。
廖刚字用中，南剑州顺昌人。宣和初，自漳州司录除国子录，擢监察御史。时蔡京当国，刚论秦无所避。以亲老求补外，出知兴化军。钦宗即位，以右正言召。丁父忧，服阕，除工部员外郎，以母疾辞。绍兴元年，盗起旁郡，官吏悉逃去，顺昌民以刚为命。刚喻从盗者使反业，既而他盗入顺昌，部使都檄刚抚定，刚遣长子迟喻贼，贼知刚父子有信义，亦散去。寻召为吏部员外郎，言："古者天子必有亲兵自将，所以备不虞而强主威。愿稽旧制，选精锐为亲兵，居则以为卫，动则以为中军，此强干弱枝之道。"又言："国家艰难已极，今方图新，若会稽诚非久驻之地。请经营建康，亲拥六师往为固守计，以杜金人窥伺之意、"丁母忧，服阕，复拜给事中。刚言："国不可一日无兵，兵不可一日无食。今诸将之兵备江、淮，不知几万，初无储蓄，[日待哺于东南之转饷，浙民已因，欲救此患莫屯田。]{.underline}"因献三说，将校有能射耕，当加优赏，每耕田一顷，与转一资，百姓愿耕，假以粮种，复以租赋。上令都督府措置。时朝廷推究章@、蔡卞误国之罪，追贬其身，仍诏子孙毋得官中朝。至是章杰自崇道观知婺州，章仅自太府丞提举江东茶盐事。刚封还诏书，谓即如此，何以示惩，乃并与祠。时徽宗已崩，上遇朔望犹率群臣遥拜洲圣，刚言："礼有隆杀，[兄为君则君之，己为君则兄之可也。]{.underline}望勉抑圣心，但岁时行家人礼于内庭。"从之。郑亿年与秦桧有连而得美官，刚显疏其恶，桧衔之。金人叛盟，刚乞起旧相之有德望者，处以近藩，桧闻之曰："是欲置我何地耶？"改工部尚书，而以王次翁为中丞。初，边报至，从官会都堂，刚谓亿年曰："公以百口保金人，今已背约，有何面目尚在朝廷乎？"亿年奉祠去。明年致仕。以绍兴十三年卒。
（节选自《宋史·廖刚传》）
8．对下列句子中加点的词的解释，不正确的一项是
A．部使者檄刚抚定 檄：文告。
B．刚遣长子迟喻贼 喻：开导。
C．愿稽旧制，选精锐为亲兵 稽：查考。
D．以杜金人窥伺之意 杜：制止。
9．以下各组句子中，分别表明廖刚"对下采用安抚方式"和"对不公事敢于抗争"的一组是
A． B．
C． D．
10、下列对原文有关内容的分析和概括，不正确的一项是
> A．廖刚是南剑州人，任监察御史时正值蔡京当权。他敢于直言，秦事议论无所避忌。又很孝顺双亲，以亲老求往地方任职，父亲去世后又因母亲病辞任工部员外郎。
>
> B．廖刚认为古代天子亲自率军，是为防备不测增强主威。当今也应精选亲兵，平时守卫，战时打仗。他又认为，当前国家危难，应率军往建康固守，防备金人入侵。
>
> C．廖刚提出国不可一日无兵，兵不可一日无食，如今储将率领部队布于江淮之间，人多粮少，因而要重耕战、行屯田，将校若即能打仗又能种田，应当给以优待。
>
> D．廖刚敢于直言，郑亿年因秦桧的关系而得美官，廖刚上疏奏其恶行，秦桧因此忌恨廖刚。金人叛盟，廖刚起用有德望的旧相，以遏制秦桧，又引起秦桧的强烈不满。
绝密启用前
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**语文**
**第Ⅱ卷**
注意事项:
1. 答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2. 第Ⅱ卷共5页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,**在试题卷上作答无效。**
3. 本卷共11小题，共120分。
------ --------
得分 评卷人
------ --------
四、（23分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
**11．**把第Ⅰ卷文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（10分）
（1）日待哺于东南之特饷，浙民已困，欲救此患莫若屯田。
译文： [ ]{.underline}
[ ]{.underline}
（2）兄为君则君之，已为君则兄之可也。
译文： [ ]{.underline}
[ ]{.underline}
12．阅读下面这首宋诗，然后回答问题。（8分）
江 间 作 四 首 （其三） 潘大临^①^
西山通虎穴^②^，赤壁隐龙宫。形胜三分国，波流万世功。
沙明拳宿鹭^③^，天阔退飞鸿。最羡渔竿客，归船雨打篷。
\[注\]①潘大临(约1057-1106):字邠老,黄州(今湖北黄冈)人,善诗文.曾随苏轼同游赤壁。②西山：在湖北鄂州西，山幽僻深邃。③拳宿鹭：指白鹭睡眠时一腿蜷缩的样子。
（1）第三联两句中各有一个字用得十分传神，请找出来，并说说这样写的好处。
答： [ ]{.underline}
[ ]{.underline}
（2）从全诗看，作者向往一种什么样的生活？请简要分析。
答： [ ]{.underline}
[ ]{.underline}
13．补写出下列名篇名句中的空缺部分。（两题任选一题）（5分）
（1）西望夏口， [ ]{.underline} ，山川相缪，郁乎苍苍， [ ]{.underline} ？方其破荆州，下江陵，顺流而东也， [ ]{.underline} ，旌旗蔽空， [ ]{.underline} ，横槊赋诗， [ ]{.underline} ，而今安在哉？（苏轼《赤壁赋》）
（2）入则无法家拂士， [ ]{.underline} ，国恒亡。（《孟子·告子下》）
锦城虽云乐， [ ]{.underline} 。蜀道之难，难于上青天， [ ]{.underline} ！（李白《蜀道难》）
爱其子， [ ]{.underline} ；于其身也， [ ]{.underline} ，惑矣。（韩愈《师说》）
4.
------ --------
得分 评卷人
------ --------
五、（22分）
**（注意：在试题卷上作答无效）**
**阅读**下面的文字，完成14\~17题。
阳关古道苍凉美 寅公
一到敦煌，我就想了阳关。阳关在哪里？它还是那么荒凉、那么令人感伤吗？于是，一缕思绪把我带到了古阳关遗址。
古阳关位于敦煌西75公里的古董滩上，三面沙丘，沙梁环抱。它与玉门关遥相呼应，像两颗明珠镶嵌在一段汉长城的两端，因在玉门关以南，故名阳关。阳关这样的边塞之地之所以闻名遐迩，并不起始于王维的那首《渭城曲》，而是因为它自汉魏以来就是通往西域诸国最西边防上的重要关隘，是古丝绸之路南道的必经关口。后来，"阳关道"成为光明大道的代名词。
在去阳关古城的路上，只见沿途平沙千里、荒无人烟，戈壁滩与蓝天相互对峙，偶尔有芨芨草、骆驼刺等沙生植物零星地点缀在远处，把广袤的戈壁滩映衬得更为荒凉。车轮飞转，发出沙沙的声响，远方地平线，隐隐约约出现了一线锯齿形的屏障。那屏障原是一条林带。我们的汽车驶进林带，[就好像突然闯进了绿色的海洋。]{.underline}这水渠交错、万木争春的景象，仿佛就是可爱的江南水乡。
汽车穿过禾田，钻出林带，向荒丘起伏的墩墩山上的一座烽火台驶去。我们登上烽火台，但见南边有一块铁牌，上面写着四个工整的字"阳关古城"。然而，向四面看，却只见红沙渺渺，不见古城的一砖一瓦。阳关古需，以雪山为屏，原也有过美丽的环境，一千多年前，它曾是湖水碧清、林草丰美的地方，只是由于种种天灾人祸，才成了连天的荒漠。如今，古阳关已被结地面。山下南面从东到西自然排列成二十余座大沙梁。沙梁之间，为砾石平地。汉唐陶片，铁砖瓦块，俯拾皆是。如果看到颜色乌黑、质地细腻、坚硬如石的阳关砖，千万莫要小瞧它，昔日有名的"阳尖砚"就是用这种砖磨制的。用阳关砚磨的墨冬不结冰，夏不缩水，用来写毛笔字十分方便。听着旅伴的介绍，我不由感慨起来，[好像这凄冷的阳关古城也有几分暖意了。]{.underline}
阳关，昔日丝绸之路上的一个关隘，原本不过是一道关，却被赋予了许多哲思和诗情。哲学家站在这儿宣称，即使人生从同一起点出发，也有不同的道路。"你走你的阳关道，我过我的独木桥"，抽象的对立概念如此生动地写在阳关之下。诗人站在这儿，与朋友依依不舍，"劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人"，道尽多少离愁别绪和万般无奈。然而，最初在阳关道上留下足印的并不是哲学家与诗人，而是戍守边关的将军和士兵。这阳关古道对他们来说，无异于是一道生死关，归乡的路成了夜晚奢侈的梦，像阳关上的那弯月，清冷而高远。他们在这条原本传播文明的古道，冲冲杀杀......于是，[这些走过生死之劫的将军和士兵，便成了哲学家与诗人]{.underline}，他们留下的点滴感慨，震撼着无数人的心灵。
自古以来，阳关在人们心中，总是烽火连天，黄沙穿甲，满是凄凉悲惋。然而，今天阳关附近，则已出现柳绿花红、林茂粮丰的景象。游人漫步这里，既可凭吊古阳关遗址，还可以远眺绿洲、沙漠、雪峰的自然风光。"何必'劝君更尽一杯酒'，这样的苦酒何须进，且把它还给古诗人！什么'西出阳关无故人'？这样的诗句不必吟，且请把它埋进荒沙百尺深！"这是郭小川的诗句吧！
14.根据文意，说说古阳关为什么闻名遐迩。（4分）
答：
15.根据上下文，解释文中画线句子的含意。（4分）
（1）就好像突然闯进了绿色的海洋。
答：
（2）好像这凄冷的阳关古城也有几分暖意了。
答：
（3）这些走过生死之劫的将军和士兵，便成了哲学家与诗人。
答：
16.结合文中对阳关古道的描述，谈谈你对"苍凉美"的理解。（6分）
答：
17.文章末尾引用郭小川的诗句，表现了作者什么样的情感？这样写有什么作用？（6分）
答：
六、（15分）
18.下面是一封求职信的主要内容，其中有四处用词不当，请找出来并加以修改。（4分）
日前惠顾你社网站，得知招聘编辑的消息，我决定应聘。我是广天学院新闻专业2008届本科毕业生，学习成绩优秀，身体健康，表达能力强。现寄上我的相关资料，如有意向，可尽快与我洽谈。
（1）将 改为 ；（2）将 改为 ；
（3）将 改为 ；（4）将 改为 。
19.请根据所给材料，把下列两个语句补充完整。要求对材料内容分别进行概括。（5分）
地震、风灾、冰灾、海啸等灾难的发生，是不以人类的意志为转移的；但是人类可以在灾难面前万众一心、积极应对，而不是畏惧退缩、怨天尤人。
我们不能选择 [ ]{.underline} ，但我们能够选择 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 。
20.红星中学高一(2)班将召开"畅想奥运"的主题班会，下面是主持人开场白的开头和结尾，请你补出中间部分。要求紧扣主题、言简意赅、有文采。50个字左右。（6分）
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
各 位 同 学 ， 今 天 我 们 召 开 一
个 " 畅 想 奥 运 " 的 主 题 班 会 。
50
希 望 大 家 踊 跃 发 言 ， 表 达 我 们 对
奥 运 会 的 祝 福 与 期 望 。
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
七、（60分）
21．阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的文章。(60分)\
2008年5月12日14时28分，四川省汶川县发生里氏8.0级特大地震。\
人民的生命高于一切！\
胡锦涛、温家宝等党政领导人迅速赶赴灾区指导抗震救灾。
十多万解放军、武警和公安民警，各省市的救振队、医疗队、工程抢修队迅速进入灾区。港台求援队和国际求援队飞抵灾区。志愿者从四面八方汇聚灾区。求援物资从水陆空源源不断运进灾区。\
一位中学教师在讲台上用生命保护了下面的四个学生。一位失去15个亲人的县民政局长连续指挥救灾五天只睡了七个小时。幸存者的生还奇迹在不断突破，100小时、150小时、196小时......\
中央电视台24小时播报。19日14时28分举国哀悼。\
一样的爱心，不一样的表达。捐款、献血、义演、关注......\
要求选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。
参考答案：
2008年高考语文试卷（全国一卷）答案
1.C 2.B 3.A 4.B
5.B 6.A 7.C
8.A 9.B 10.D
11.（1）每天等着吃从东南地区运来的军粮，浙地人民已经困乏，要解救这一患难不如屯田。
（2）兄长为国君时就用国君礼待他，自己为国君时用兄长礼节对待他就可以了。
12、（1）"拳"和
用"拳"字形象地表现了鹭鸟在沙滩上栖息时的神态，用" "字别致、生动地表现出鸿鸟在天空中飞行的状态。这样写构成了作者江边所见的一幅动静结合的画面。
（2）向往一种隐逸的生活
①诗的前两联，作者从眼前之景，转入怀古，遥想当年赤壁之战时的人事，而今安在？从而发出了"波流万世功"的感叹。②诗的后两联，作者赞叹宿鹭、飞鸿的闲适，接着又仿佛看到了渔翁的扁舟，联系到"波流万世功"的感叹，于是提出了"最羡鱼竿客"，想驾一叶小舟在烟雨朦胧中归去！
13.（1）东望武昌 此非曹孟德之困于周郎者乎？
轴轳千里 酾酒临江 固一世之雄也
（2）出无敌国外患者
不如早还家 侧身西望长咨嗟
择师而教之 则耻师焉
14、①是通往西域边防的关隘；②是古丝绸之路的必经关口；③王维《渭城曲》诗中对古阳关的咏叹；④有关"阳关道"的民谚广为流传。
15.（1）宽广的绿色林带与沙漠戈壁的反差巨大，是我突然产生了惊喜之感。
（2）城砖磨制的阳关砚，蕴含着历史文化气息，是我对阳关古城的感觉也变得温暖了一些。
（3）出生入死的人生经历，使戍守边关的将军和士兵对生活有着深刻而丰富的感触，给后人留下了哲理和诗情。
16．①古代的军事重镇和交通要道，如今已是平沙千里，广袤雄浑；②昔日"林草丰美"的阳关古城，如今已是红沙渺渺，苍凉悲壮；③古人对生死离别的感慨，道尽人间沧桑，凄凉悲惋。
17.第一问：表现了作者的豪情壮志和对今天美丽富饶的阳关的赞美。
第二问：回应文章开头的提问，使文章前后照应，并强化了作者的观点。
18.（1）"惠顾"改为"浏览"
（2）"你"改为"贵"
（3）"可"改为"请"
（4）"洽谈"改为"联系"
19．示例：要不要灾难 对待灾难的态度
20．略
21．略
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**2020-2021学年四川省成都市邛崃市二年级（上）期末数学试卷**
**一、（共40分）**
1．（28分）计算。
8×4＝ 6+8＝ 13﹣8＝ 15÷3＝
---------- ---------- ----------- ---------
56÷7＝ 9×3＝ 30÷6＝ 7×9＝
12÷4＝ 45÷9＝ 63÷7＝ 6×8＝
7÷7＝ 4×8＝ 24÷6＝ 4×4＝
83﹣50＝ 7×7＝ 100﹣60＝ 16÷2＝
6×5＝ 7+8＝ 12﹣5＝ 24÷8＝
42÷6＝ 8×9＝ 36÷4＝ 6×9＝
81÷9＝ 40÷8＝ 56÷8＝ 7×5＝
4÷4＝ 3×8＝ 15÷3＝ 9×4＝
77﹣40＝ 6×7＝ 16﹣7＝ 63÷9＝
17﹣8＝ 6+15＝ 28﹣10＝ 24÷3＝
54÷9＝ 4×7＝ 28÷4＝ 3×7＝
32÷4＝ 49÷7＝ 21÷7＝ 4×8＝
45÷5＝ 4×9＝ 56÷7＝ 11﹣7＝
27÷9＝ 6×4＝ 36÷9＝ 7×8＝
13﹣5＝ 8×9＝ 75﹣60＝ 12÷2＝
3×4＝ 36+5＝ 14﹣8＝ 18÷6＝
81÷9＝ 8×5＝ 18÷9＝ 7×6＝
40÷5＝ 21÷3＝ 14÷7＝ 4×6＝
8÷8＝ 75﹣60＝ 56÷8＝ 5×9＝
59﹣30＝ 8×9＝ 100﹣70＝ 36÷6＝
8×4＝ 46+7＝ 48﹣16＝ 27÷3＝
2．（12分）
---------- --------- ---------- ---------
8×6﹣8＝ 5×6+6＝ 9×4﹣9＝ 4×4+4＝
---------- --------- ---------- ---------
**一、填空。（共24分）**
3．（6分）每串[ ]{.underline}颗糖葫芦，有[ ]{.underline}串，一共有多少颗糖葫芦？可列式[ ]{.underline}×[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}，计算时用到的乘法口诀是[ ]{.underline}。
4．（2分）
> [ ]{.underline}+[ ]{.underline}+[ ]{.underline}+[ ]{.underline}+[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}
>
> [ ]{.underline}×[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}
5．（2分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
--------- -------------- ------------- ----------
5×5〇10 200厘米〇2米 12﹣4〇12÷4 1×1〇1+1
--------- -------------- ------------- ----------
6．（3分）在□里填上合适的数，在〇里填上"×"或"÷"。
---------- -------- -------------
4×3＝□×□ □÷5＝5 54〇9＝30÷5
---------- -------- -------------
7．（4分）在横线上填上"米"或者"厘米"。
小兰的身高是125[ ]{.underline} 一幢大楼高约12[ ]{.underline}
-------------------------------------- -------------------------------------
《新华字典》厚约3[ ]{.underline} 小华的一步长约45[ ]{.underline}
8．（3分）横线上最大能填几？
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
8×[ ]{.underline}＜60 [ ]{.underline}×5＜36 27＞4×[ ]{.underline}
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
9．（4分）按规律在横线上填上合适的数。
> （1）1、4、9、16、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}。
>
> （2）64、56、48、40、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}。
**二、将正确答案的序号填在括号里。（4分）**
10．（1分）仔细观察木棒的长度是（ ）厘米。
A．5 B．1 C．6
11．（1分）下面的算式中，和6÷6用同一句口诀计算的是（ ）
A．1×6 B．6×6 C．36÷6
12．（1分）用来测量物体长度的长度单位是（ ）
A．角 B．分 C．米
13．（1分）可以用4×3表示的算式是（ ）
A．4+3 B．4+4+4 C．3+3+3
**三、画一画，填一填。（6分）**
14．（2分）画一条3厘米长的线段．
15．（2分）画一画，填一填
> 〇的个数是△的3倍，请画出〇。
>
> △△△△
>
> [ ]{.underline}
>
> □〇□＝□
16．（2分）画一画，填一填
> 先画20个〇，再每4个一份圈一圈。
>
> □〇□＝□
**四、列竖式计算。（共8分）**
17．（8分）列竖式计算
--------- -------------- ------------ -------------
54+39＝ 80﹣26﹣15＝ 25+36+27＝ 92﹣48+16＝
--------- -------------- ------------ -------------
**五、解决问题。（18分）**
18．（6分）购物。
> （1）玩具汽车的价格是练习本的几倍？
>
> （2）有一件衣服的价格是练习本的8倍，这件衣服多少元？
>
> （3）买一个玩具小熊、一个足球和一个玩具汽车一共多少元？
19．（5分）学校生物小组种了24盆黄菊花和6盆白菊花，一共种了多少盆菊花？每班分5盆，可以分给几个班？
20．（4分）一捆电线长36米，第一天用去9米，第二天用去6米。
> （1）两天一共用去多少米？
>
> （2）还剩下多少米？
21．（3分）同学们要搭9个，需要多少个？
**2020-2021学年四川省成都市邛崃市二年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、（共40分）**
1．【分析】根据整数加减乘除四则运算的运算法则计算即可。
> 【解答】解：
8×4＝32 6+8＝14 13﹣8＝5 15÷3＝5
------------ ------------ ------------- ----------
56÷7＝8 9×3＝27 30÷6＝5 7×9＝63
12÷4＝3 45÷9＝5 63÷7＝9 6×8＝48
7÷7＝1 4×8＝32 24÷6＝4 4×4＝16
83﹣50＝33 7×7＝49 100﹣60＝40 16÷2＝8
6×5＝30 7+8＝15 12﹣5＝7 24÷8＝3
42÷6＝7 8×9＝72 36÷4＝9 6×9＝54
81÷9＝9 40÷8＝5 56÷8＝7 7×5＝35
4÷4＝1 3×8＝24 15÷3＝5 9×4＝36
77﹣40＝37 6×7＝42 16﹣7＝9 63÷9＝7
17﹣8＝9 6+15＝21 28﹣10＝18 24÷3＝8
54÷9＝6 4×7＝28 28÷4＝7 3×7＝21
32÷4＝8 49÷7＝7 21÷7＝3 4×8＝32
45÷5＝9 4×9＝36 56÷7＝8 11﹣7＝4
27÷9＝3 6×4＝24 36÷9＝4 7×8＝56
13﹣5＝8 8×9＝72 75﹣60＝15 12÷2＝6
3×4＝12 36+5＝41 14﹣8＝6 18÷6＝3
81÷9＝9 8×5＝40 18÷9＝2 7×6＝42
40÷5＝8 21÷3＝7 14÷7＝2 4×6＝24
8÷8＝1 75﹣60＝15 56÷8＝7 5×9＝45
59﹣30＝29 8×9＝72 100﹣70＝30 36÷6＝6
8×4＝32 46+7＝53 48﹣16＝32 27÷3＝9
> 【点评】本题主要考查整数的四则运算，主要考查学生的计算能力。
2．【分析】8×6﹣8，8×6表示6个8相乘，6个8减去1个8就是5个8，5个8用5乘8计算；
> 5×6+6，5×6表示5个6相乘，5个6加上1个6就是6个6，6个6用6乘6计算；
>
> 9×4﹣9，9×4表示4个9相乘，4个9减去1个9就是3个9，3个9用3乘9计算；
>
> 4×4+4，4×4表示4个4相乘，4个4加上1个4就是5个4，5个4用5乘4计算。
>
> 【解答】解：
------------ ----------- ------------ -----------
8×6﹣8＝40 5×6+6＝36 9×4﹣9＝27 4×4+4＝20
------------ ----------- ------------ -----------
> 【点评】本题主要考查了整数乘法的意义和计算方法，属于基础题，要熟练掌握。
**一、填空。（共24分）**
3．【分析】根据题意，通过数一数，数出一串有4颗糖葫芦，一串木棒有4颗糖葫芦，3串木棒共3个4颗糖葫芦，然后再进一步解答。
> 【解答】解：每串4颗糖葫芦，有3串，一共有多少颗糖葫芦？可列式3×4＝12，计算时用到的乘法口诀是三四十二。
>
> 故答案为：4，3，3，4，12，三四十二。
>
> 【点评】求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答。
4．【分析】每组有3个☆，5组共有5个3，加法算式是：3+3+3+3+3＝15；乘法算式是：3×5＝15，据此解答。
> 【解答】解：根据题意与分析可得：
>
> 3+3+3+3+3＝15；
>
> 3×5＝15。
>
> 故答案为：3，3，3，3，3，15；3，5，15。
>
> 【点评】本题考查了整数乘法的意义的运用。
5．【分析】根据整数乘除法及加法的运算法则计算，然后比较即可，注意单位不统一的先同一单位。
> 【解答】解：
--------- -------------- ------------- ----------
5×5＞10 200厘米＝2米 12﹣4＞12÷4 1×1＜1+1
--------- -------------- ------------- ----------
> 故答案为：＞，＝，＞，＜。
>
> 【点评】本题主要考查乘除法的应用，关键是利用乘法口诀计算。
6．【分析】根据乘法口诀以及乘除法算式中各部分的关系，完成填空即可。
> 【解答】解：
---------- --------- ------------
4×3＝2×6 25÷5＝5 54÷9＝30÷5
---------- --------- ------------
> 故答案为：2，6（答案不唯一）；25；÷。
>
> 【点评】本题主要考查表内乘法的应用，关键利用乘法口诀计算。
7．【分析】根据对长度单位及数据的掌握，度量小兰的身高、《新华字典》的厚度、小华一步的距离用"厘米"做单位；度量大楼的高度用"米"做单位。
> 【解答】解：
小兰的身高是125厘米 一幢大楼高约12米
----------------------- ----------------------
《新华字典》厚约3厘米 小华的一步长约45厘米
> 故答案为：厘米；米；厘米；厘米。
>
> 【点评】本题主要考查长度单位的识别，关键是能正确使用长度单位。
8．【分析】根据乘法口诀，直接填空即可。
> 【解答】解：
--------- --------- ---------
8×7＜60 7×5＜36 27＞4×6
--------- --------- ---------
> 故答案为：7，7，6。
>
> 【点评】本题主要考查表内乘法的应用，关键利用乘法口诀做题。
9．【分析】（1）1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，每一个数是它的项数的平方数；
> （2）64﹣56＝8，56﹣48＝8，48﹣40＝8，前一个数比后一个数多8，由此求解。
>
> 【解答】解：（1）5×5＝25；6×6＝36；7×7＝49；8×8＝64；
>
> （2）40﹣8＝32，32﹣8＝24，24﹣8＝16，16﹣8＝8。
>
> 故答案为：（1）25，36，49，64；（2）32，24，16，8。
>
> 【点评】关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。
**二、将正确答案的序号填在括号里。（4分）**
10．【分析】根据图示可知：木棒从刻度尺的1厘米开始，到6厘米刻度结束，所以长度为：6厘米﹣1厘米＝5厘米。
> 【解答】解：6﹣1＝5（厘米）
>
> 答：木棒的长度是5厘米。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】使用尺子时要注意：
>
> （1）尺子要沿着所测长度放，尺边对齐被测对象，必须放正重合，不能歪斜。
>
> （2）不利用磨损的零刻度线，如因零刻线磨损而取另一整刻度线为零刻线的，切莫忘记最后读数中减掉所取代零刻线的刻度值。
>
> （3）厚尺子要垂直放置。
>
> （4）读数时，视线应与尺面垂直。
11．【分析】根据6的乘法口诀，计算6÷6及1×6都使用"一六得六"这句口诀。据此解答。
> 【解答】解：下面的算式中，和6÷6用同一句口诀计算的是1×6。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题主要考查6的乘法口诀，关键利用乘法口诀解答。
12．【分析】根据常用的长度单位有：千米、米、分米、厘米、毫米，选择即可。
> 【解答】解：用来测量物体长度的长度单位是米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查长度单位的识别，关键是正确认识计量单位。
13．【分析】4×3表示，表示3个4相加，即4+4+4，据此解答。
> 【解答】解：根据题意与分析可得：
>
> 可以用4×3表示的算式是4+4+4。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查了整数乘法的意义的运用。
**三、画一画，填一填。（6分）**
14．【分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长，然后画出长3厘米的线段即可．
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握．
15．【分析】三角形有4个，画圆是三角形的3倍，即画4×3＝12（个）。
> 【解答】解：如图：
>
> 〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
>
> 4×3＝12（个）
>
> 故答案为：〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇，4，×，3，12。
>
> 【点评】本题主要考查表内乘法的应用，关键利用乘法口诀计算。
16．【分析】画20个〇，再把每4个一份圈一圈，表示把20平均分成4份，求一份是多少，用除法计算即可。
> 【解答】解：
>
> 20÷4＝5
>
> 【点评】本题考查了除法的意义：已知一个数，平均分成若干份，求每份是几，用除法求解。
**四、列竖式计算。（共8分）**
17．【分析】根据整数加减法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：54+39＝93
>
> 80﹣26﹣15＝39
>
> 25+36+27＝88
>
> 92﹣48+16＝60
>
> 【点评】考查了整数加减法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
**五、解决问题。（18分）**
18．【分析】（1）用玩具汽车的价格除以练习本的价钱即可。
> （2）用练习本的价钱乘8，求这件衣服的价钱即可。
>
> （3）用小熊的价钱加上足球的价钱，再加上玩具汽车的价钱即可。
>
> 【解答】解：（1）27÷9＝3
>
> 答：玩具汽车的价格是练习本的3倍。
>
> （2）9×8＝72（元）
>
> 答：这件衣服72元。
>
> （3）18+46+27
>
> ＝64+27
>
> ＝91（元）
>
> 答：买一个玩具小熊、一个足球和一个玩具汽车一共91元。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
19．【分析】根据题意，把黄菊花和白菊花的数量合起来，就是一共种的数量，即24+6＝30盆；每班分5盆，30里面有几个5，就可以分给几个班，即30÷5。
> 【解答】解：24+6＝30（盆）
>
> 30÷5＝6（盆）
>
> 答：一共种了30盆菊花，每班分5盆，可以分给6个班。
>
> 【点评】本题考查了整数加法和除法的意义的灵活运用。
20．【分析】（1）根据题意，把两天用去的长度相加即可；
> （2）用电线的总长度减去两天用去的长度，就是剩下的长度。
>
> 【解答】解：（1）9+6＝15（米）
>
> 答：两天一共用去15米。
>
> （2）36﹣15＝21（米）
>
> 答：还剩21米。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
21．【分析】摆1个需要4个小正方体，所以摆9个需要9个4，9×4＝36（个）。
> 【解答】解：9×4＝36（个）
>
> 答：需要36个。
>
> 【点评】本题主要考查表内乘法的应用，关键利用乘法口诀计算。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。。**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 Cl 35.5 Ar 40 V 51 Fe 56**
**二、选择题：本题共8小题，每小题6分。共48分。在每小题给出的四个选项中，第1\~5题只有一项符合题目要求，第6\~8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
1.行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（ ）
A. 增加了司机单位面积的受力大小
B. 减少了碰撞前后司机动量变化量
C. 将司机的动能全部转换成汽车的动能
D. 延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
2.火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
3.如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
4.图（*a*）所示的电路中，K与L间接一智能电源，用以控制电容器*C*两端的电压*U~C~*。如果*U~C~*随时间*t*的变化如图（*b*）所示，则下列描述电阻*R*两端电压*U~R~*随时间*t*变化的图像中，正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
5.一匀强磁场磁感应强度大小为*B*，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，*ac*、*bd*与直径*ab*共线，*ac*间的距离等于半圆的半径。一束质量为*m*、电荷量为*q*（*q*\>0）的粒子，在纸面内从*c*点垂直于*ac*射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A. B. C. D.
6.下列核反应方程中，X~1~，X~2~，X~3~，X~4~代表α粒子的有（ ）
A. B.
C. D.
7.一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离*s*的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s^2^。则（ ）
A. 物块下滑过程中机械能不守恒
B. 物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C. 物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s^2^
D. 当物块下滑20 m时机械能损失了12 J
8.如图，U形光滑金属框*abcd*置于水平绝缘平台上，*ab*和*dc*边平行，和*bc*边垂直。*ab*、*dc*足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒*MN*置于金属框上，用水平恒力*F*向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，*MN*与金属框保持良好接触，且与*bc*边保持平行。经过一段时间后（ ）
A. 金属框的速度大小趋于恒定值
B. 金属框加速度大小趋于恒定值
C. 导体棒所受安培力的大小趋于恒定值
D. 导体棒到金属框*bc*边的距离趋于恒定值
**三、非选择题：共62分，第9\~12题为必考题，每个试题考生都必须作答。第13\~14题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：(共47分）**
9.某同学用伏安法测量一阻值为几十欧姆的电阻*R~x~*，所用电压表的内阻为1 kΩ，电流表内阻为0.5Ω。该同学采用两种测量方案，一种是将电压表跨接在图（a）所示电路的*O*、*P*两点之间，另一种是跨接在*O*、*Q*两点之间。测量得到如图（b）所示的两条*U--I*图线，其中*U*与*I*分别为电压表和电流表的示数。
回答下列问题：
（1）图（b）中标记为II的图线是采用电压表跨接在\_\_\_\_\_\_\_\_（填"*O*、*P*"或"*O*、*Q*"）两点的方案测量得到的。
（2）根据所用实验器材和图（b）可判断，由图线\_\_\_\_\_\_\_\_（填"I"或"II"）得到的结果更接近待测电阻的真实值，结果为\_\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
（3）考虑到实验中电表内阻的影响，需对（2）中得到的结果进行修正，修正后待测电阻的阻值为\_\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
10.某同学用如图所示的实验装置验证动量定理，所用器材包括：气垫导轨、滑块（上方安装有宽度为*d*的遮光片）、两个与计算机相连接的光电门、砝码盘和砝码等。
实验步骤如下：
（1）开动气泵，调节气垫导轨，轻推滑块，当滑块上的遮光片经过两个光电门的遮光时间\_\_\_\_\_\_\_\_时，可认为气垫导轨水平；
（2）用天平测砝码与砝码盘的总质量*m*~1~、滑块（含遮光片）的质量*m*~2~；
（3）用细线跨过轻质定滑轮将滑块与砝码盘连接，并让细线水平拉动滑块；
（4）令滑块在砝码和砝码盘的拉动下从左边开始运动，和计算机连接的光电门能测量出遮光片经过*A*、*B*两处的光电门的遮光时间Δ*t*~1~、Δ*t*~2~及遮光片从*A*运动到*B*所用的时间*t*~12~；
（5）在遮光片随滑块从*A*运动到*B*的过程中，如果将砝码和砝码盘所受重力视为滑块所受拉力，拉力冲量的大小*I*=\_\_\_\_\_\_\_\_，滑块动量改变量的大小Δ*p*=\_\_\_\_\_\_\_\_；（用题中给出的物理量及重力加速度*g*表示）
（6）某次测量得到的一组数据为：*d*=1.000 cm，*m*~1~=1.5010^-2^ kg，*m*~2~=0.400 kg，△*t*~1~=3.90010^-2^ s，Δ*t*~2~=1.27010^-2^ s，*t*~12~=1.50 s，取*g*=9.80 m/s^2^。计算可得*I*=\_\_\_\_\_\_\_\_N·s，Δ*p*=\_\_\_\_ kg·m·s^-1^；（结果均保留3位有效数字）
（7）定义，本次实验*δ*=\_\_\_\_\_\_\_\_%（保留1位有效数字）。
11.我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小*F*可用描写，*k*为系数；*v*是飞机在平直跑道上的滑行速度，*F*与飞机所受重力相等时的*v*称为飞机的起飞离地速度，已知飞机质量为时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物后质量为，装载货物前后起飞离地时的*k*值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1 521 m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
12.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以*O*为圆心，半径为*R*的圆，*AB*为圆的直径，如图所示。质量为*m*，电荷量为*q*（*q*\>0）的带电粒子在纸面内自*A*点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的*C*点以速率*v*~0~穿出电场，*AC*与*AB*的夹角*θ*=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量大小为*mv*~0~，该粒子进入电场时的速度应为多大？
**（二）选考题：共15分。请考生从2道物理题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
**\[物理------选修3-3\]**
13.分子间作用力*F*与分子间距*r*的关系如图所示，*r*= *r*~1~时，*F*=0。分子间势能由*r*决定，规定两分子相距无穷远时分子间的势能为零。若一分子固定于原点*O*，另一分子从距*O*点很远处向*O*点运动，在两分子间距减小到*r*~2~的过程中，势能\_\_\_\_\_（填"减小"不变"或"增大"）；在间距由*r*~2~减小到*r*~1~的过程中，势能\_\_\_\_\_ （填"减小""不变"或"增大"）；在间距等于*r*~1~处，势能\_\_\_\_\_（填"大于""等于"或"小于"）零。
14.甲、乙两个储气罐储存有同种气体（可视为理想气体）。甲罐的容积为*V*，罐中气体的压强为*p*；乙罐的容积为2*V*，罐中气体的压强为。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后：
（i）两罐中气体的压强；
（ii）甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。
**\[物理------选修3-4\]**
15.在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
A. 雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B. 超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C. 观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D. 同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E. 天文学上观察到双星（相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星）光谱随时间的周期性变化
16.一振动片以频率*f*做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上*a*、*b*两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。*c*是水面上的一点，*a*、*b*、*c*间的距离均为*l*，如图所示。已知除*c*点外，在*ac*连线上还有其他振幅极大的点，其中距*c*最近的点到*c*的距离为。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 51 Fe 56**
**一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.国家卫健委公布的新型冠状病毒肺炎诊疗方案指出，乙醚、75%乙醇、含氯消毒剂、过氧乙酸(CH~3~COOOH)、氯仿等均可有效灭活病毒。对于上述化学药品，下列说法错误的是
A. CH~3~CH~2~OH能与水互溶
B. NaClO通过氧化灭活病毒
C. 过氧乙酸相对分子质量为76
D. 氯仿的化学名称是四氯化碳
2.紫花前胡醇可从中药材当归和白芷中提取得到，能提高人体免疫力。有关该化合物，下列叙述错误的是
A. 分子式为C~14~H~14~O~4~
B. 不能使酸性重铬酸钾溶液变色
C. 能够发生水解反应
D. 能够发生消去反应生成双键
3.下列气体去除杂质的方法中，不能实现目的的是
--- -------------- ---------------------------------------------------
气体(杂质) 方法
A SO~2~(H~2~S) 通过酸性高锰酸钾溶液
B Cl~2~(HCl) 通过饱和食盐水
C N~2~(O~2~) 通过灼热的铜丝网
D NO(NO~2~) 通过氢氧化钠溶液
--- -------------- ---------------------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
4.铑的配合物离子\[Rh(CO)~2~I~2~\]^－^可催化甲醇羰基化，反应过程如图所示。
下列叙述错误的是
A. CH~3~COI是反应中间体
B. 甲醇羰基化反应为CH~3~OH+CO=CH~3~CO~2~H
C. 反应过程中Rh的成键数目保持不变
D. 存在反应CH~3~OH+HI=CH~3~I+H~2~O
5.1934年约里奥--居里夫妇在核反应中用α粒子(即氦核)轰击金属原子，得到核素，开创了人造放射性核素的先河：+→+。其中元素X、Y的最外层电子数之和为8。下列叙述正确的是
A. 的相对原子质量为26
B. X、Y均可形成三氯化物
C. X的原子半径小于Y的
D. Y仅有一种含氧酸
6.科学家近年发明了一种新型Zn−CO~2~水介质电池。电池示意图如图，电极金属锌和选择性催化材料，放电时，温室气体CO~2~被转化为储氢物质甲酸等，为解决环境和能源问题提供了一种新途径。
下列说法错误的是
A. 放电时，负极反应
B. 放电时，1 mol CO~2~转化为HCOOH，转移的电子数为2 mol
C. 充电时，电池总反应为
D. 充电时，正极溶液中OH^−^浓度升高
7.以酚酞为指示剂，用0.1000 mol·L^−1^的NaOH溶液滴定20.00 mL未知浓度的二元酸H~2~A溶液。溶液中，pH、分布系数随滴加NaOH溶液体积V~NaOH~的变化关系如图所示。\[比如A^2−^的分布系数：\]
下列叙述正确的是
A. 曲线①代表，曲线②代表
B. H~2~A溶液的浓度为0.2000 mol·L^−1^
C. HA^−^的电离常数*K*~a~=1.0×10^−2^
D. 滴定终点时，溶液中
**三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：共129分。**
8.钒具有广泛用途。黏土钒矿中，钒以+3、+4、+5价的化合物存在，还包括钾、镁的铝硅酸盐，以及SiO~2~、Fe~3~O~4~。采用以下工艺流程可由黏土钒矿制备NH~4~VO~3~。
该工艺条件下，溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
------------ -------- -------- -------- --------
金属离子 Fe^3+^ Fe^2+^ Al^3+^ Mn^2+^
开始沉淀pH 1.9 7.0 3.0 8.1
完全沉淀pH 3.2 9.0 4.7 10.1
------------ -------- -------- -------- --------
回答下列问题：
(1)"酸浸氧化"需要加热，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"酸浸氧化"中，VO^+^和VO^2+^被氧化成，同时还有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_离子被氧化。写出VO^+^转化为反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"中和沉淀"中，钒水解并沉淀为，随滤液②可除去金属离子K^+^、Mg^2+^、Na^+^、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，以及部分的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"沉淀转溶"中，转化为钒酸盐溶解。滤渣③的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"调pH"中有沉淀生产，生成沉淀反应的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)"沉钒"中析出NH~4~VO~3~晶体时，需要加入过量NH~4~Cl，其原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9.为验证不同化合价铁的氧化还原能力，利用下列电池装置进行实验。
回答下列问题：
(1)由FeSO~4~·7H~2~O固体配制0.10 mol·L^−1^ FeSO~4~溶液，需要的仪器有药匙、玻璃棒、\_\_\_\_\_\_\_\_\_(从下列图中选择，写出名称)。
(2)电池装置中，盐桥连接两电极电解质溶液。盐桥中阴、阳离子不与溶液中的物质发生化学反应，并且电迁移率(u^∞^)应尽可能地相近。根据下表数据，盐桥中应选择\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_作为电解质。
-------- ---------------------------------------- -------- -------------------------------
阳离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^) 阴离子 u^∞^×10^8^/(m^2^·s^−1^·V^−1^)
Li^+^ 4.07 4.61
Na^+^ 5.19 7.40
Ca^2+^ 6.59 Cl^−^ 7.91
K^+^ 762 8.27
-------- ---------------------------------------- -------- -------------------------------
(3)电流表显示电子由铁电极流向石墨电极。可知，盐桥中的阳离子进入\_\_\_\_\_\_\_\_电极溶液中。
(4)电池反应一段时间后，测得铁电极溶液中*c*(Fe^2+^)增加了0.02 mol·L^−1^。石墨电极上未见Fe析出。可知，石墨电极溶液中*c*(Fe^2+^)=\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)根据(3)、(4)实验结果，可知石墨电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_，铁电极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。因此，验证了Fe^2+^氧化性小于\_\_\_\_\_\_\_\_，还原性小于\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)实验前需要对铁电极表面活化。在FeSO~4~溶液中加入几滴Fe~2~(SO~4~)~3~溶液，将铁电极浸泡一段时间，铁电极表面被刻蚀活化。检验活化反应完成的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
10.硫酸是一种重要的基本化工产品，接触法制硫酸生产中的关键工序是SO~2~的催化氧化：SO~2~(g)+O~2~(g)SO~3~(g) ΔH=−98 kJ·mol^−1^。回答下列问题：
(1)钒催化剂参与反应的能量变化如图所示，V~2~O~5~(s)与SO~2~(g)反应生成VOSO~4~(s)和V~2~O~4~(s)的热化学方程式为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)当SO~2~(g)、O~2~(g)和N~2~(g)起始的物质的量分数分别为7.5%、10.5%和82%时，在0.5MPa、2.5MPa和5.0MPa压强下，SO~2~平衡转化率α随温度的变化如图所示。反应在5.0MPa、550℃时的α=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，判断的依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。影响α的因素有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)将组成(物质量分数)为2m% SO~2~(g)、m% O~2~(g)和q% N~2~(g)的气体通入反应器，在温度t、压强p条件下进行反应。平衡时，若SO~2~转化率为α，则SO~3~压强为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，平衡常数K~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)研究表明，SO~2~催化氧化的反应速率方程为：v=k(−1)^0.8^(1−nα\')。式中：k为反应速率常数，随温度t升高而增大；α为SO~2~平衡转化率，α\'为某时刻SO~2~转化率，n为常数。在α\'=0.90时，将一系列温度下的k、α值代入上述速率方程，得到v\~t曲线，如图所示。
曲线上v最大值所对应温度称为该α\'下反应的最适宜温度t~m~。t\<t~m~时，v逐渐提高；t\>t~m~后，v逐渐下降。原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**(二)选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
11.Goodenough等人因在锂离子电池及钴酸锂、磷酸铁锂等正极材料研究方面的卓越贡献而获得2019年诺贝尔化学奖。回答下列问题：
(1)基态Fe^2+^与Fe^3+^离子中未成对的电子数之比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Li及其周期表中相邻元素的第一电离能(I~1~)如表所示。I~1~(Li)\> I~1~(Na)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。I~1~(Be)\> I~1~(B)\> I~1~(Li)，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)磷酸根离子的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_，其中P的价层电子对数为\_\_\_\_\_\_\_、杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)LiFePO~4~的晶胞结构示意图如(a)所示。其中O围绕Fe和P分别形成正八面体和正四面体，它们通过共顶点、共棱形成空间链结构。每个晶胞中含有LiFePO~4~的单元数有\_\_\_\_个。
电池充电时，LiFeO~4~脱出部分Li^+^，形成Li~1−x~FePO~4~，结构示意图如(b)所示，则x=\_\_\_\_\_\_\_，n(Fe^2+^ )∶n(Fe^3+^)=\_\_\_\_\_\_\_。
12.有机碱，例如二甲基胺()、苯胺()，吡啶()等，在有机合成中应用很普遍，目前"有机超强碱"的研究越来越受到关注，以下为有机超强碱F的合成路线：
已知如下信息：
①H~2~C=CH~2~
②+RNH~2~
③苯胺与甲基吡啶互为芳香同分异构体
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)由B生成C的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)C中所含官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)由C生成D的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)D的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)E的六元环芳香同分异构体中，能与金属钠反应，且核磁共振氢谱有四组峰，峰面积之比为6∶2∶2∶1的有\_\_\_\_\_\_\_\_种，其中，芳香环上为二取代的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）**
**理科综合生物能力测试**
**一、选择题**
1.新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯，提高公共卫生安全意识。下列相关叙述错误的是（ ）
A. 戴口罩可以减少病原微生物通过飞沫在人与人之间的传播
B. 病毒能够在餐具上增殖，用食盐溶液浸泡餐具可以阻止病毒增殖
C. 高温可破坏病原体蛋白质的空间结构，煮沸处理餐具可杀死病原体
D. 生活中接触的物体表面可能存在病原微生物，勤洗手可降低感染风险
2.种子贮藏中需要控制呼吸作用以减少有机物的消耗。若作物种子呼吸作用所利用的物质是淀粉分解产生的葡萄糖，下列关于种子呼吸作用的叙述，错误的是（ ）
A. 若产生的CO~2~与乙醇的分子数相等，则细胞只进行无氧呼吸
B. 若细胞只进行有氧呼吸，则吸收O~2~的分子数与释放CO~2~的相等
C. 若细胞只进行无氧呼吸且产物是乳酸，则无O~2~吸收也无CO~2~释放
D. 若细胞同时进行有氧和无氧呼吸，则吸收O~2~的分子数比释放CO~2~的多
3.某研究人员以小鼠为材料进行了与甲状腺相关实验，下列叙述错误的是（ ）
A. 切除小鼠垂体，会导致甲状腺激素分泌不足，机体产热减少
B. 给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，其耗氧量会增加
C. 给成年小鼠注射甲状腺激素后，其神经系统的兴奋性会增强
D. 给切除垂体的小鼠注射促甲状腺激素释放激素，其代谢可恢复正常
4.为达到实验目的，需要选用合适的实验材料进行实验。下列实验目的与实验材料的对应，不合理的是（ ）
--- -------------------- -------------------------------------------
实验材料 实验目
A 大蒜根尖分生区细胞 观察细胞的质壁分离与复原
B 蝗虫的精巢细胞 观察细胞的减数分裂
C 哺乳动物的红细胞 观察细胞的吸水和失水
D 人口腔上皮细胞 观察DNA、RNA在细胞中的分布
--- -------------------- -------------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
5.已知果蝇的长翅和截翅由一对等位基因控制。多只长翅果蝇进行单对交配(每个瓶中有1只雌果蝇和1只雄果蝇)，子代果蝇中长翅∶截翅=3∶1。据此无法判断的是（ ）
A. 长翅是显性性状还是隐性性状
B. 亲代雌蝇是杂合子还是纯合子
C. 该等位基因位于常染色体还X染色体上
D. 该等位基因在雌蝇体细胞中是否成对存在
6.土壤小动物对动植物遗体的分解起着重要的作用。下列关于土壤小动物的叙述，错误的是（ ）
A. 调查身体微小、活动力强的小动物数量常用标志重捕法
B. 土壤中小动物类群的丰富度高，则该类群含有的物种数目多
C. 土壤小动物的代谢活动会影响土壤肥力，进而影响植物生长
D. 土壤小动物呼吸作用产生的CO~2~参与生态系统中的碳循环
**三、非选择题**
7.真核细胞的膜结构具有重要功能。请参照表中内容完成下表。
-------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------
结构名称 突触 高尔基体 （1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 叶绿体的类囊体膜
功能 （2）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （3）\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 控制物质进出细胞 作为能量转换的场所
膜的主要成分 （4）\_\_\_\_\_\_\_\_\_
功能举例 在缩手反射中参与兴奋在神经元之间的传递 参与豚鼠胰腺腺泡细胞分泌蛋白的形成过程 参与K^+^从土壤进入植物根细胞的过程 （5）\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------
8.农业生产中的一些栽培措施可以影响作物的生理活动，促进作物的生长发育，达到增加产量等目的。回答下列问题：
（1）中耕是指作物生长期中，在植株之间去除杂草并进行松土的一项栽培措施，该栽培措施对作物的作用有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
（2）农田施肥的同时，往往需要适当浇水，此时浇水的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（3）农业生产常采用间作（同一生长期内，在同一块农田上间隔种植两种作物）的方法提高农田的光能利用率。现有4种作物，在正常条件下生长能达到的株高和光饱和点（光合速率达到最大时所需的光照强度）见下表。从提高光能利用率的角度考虑，最适合进行间作的两种作物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，选择这两种作物的理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
--------------------------- ------- ------- ----- -----
作物 A B C D
株高/cm 170 65 59 165
光饱和点/μmol·m^-2^·s^-1^ 1 200 1 180 560 623
--------------------------- ------- ------- ----- -----
9.某研究人员用药物W进行了如下实验：给甲组大鼠注射药物W，乙组大鼠注射等量生理盐水，饲养一段时间后，测定两组大鼠的相关生理指标。实验结果表明：乙组大鼠无显著变化；与乙组大鼠相比，甲组大鼠的血糖浓度升高，尿中葡萄糖含量增加，进食量增加，体重下降。回答下列问题：
（1）由上述实验结果可推测，药物W破坏了胰腺中的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_细胞，使细胞失去功能，从而导致血糖浓度升高。
（2）由上述实验结果还可推测，甲组大鼠肾小管液中葡萄糖含量增加，导致肾小管液的渗透压比正常时的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_， 从而使该组大鼠的排尿量\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）实验中测量到甲组大鼠体重下降，推测体重下降的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）若上述推测都成立，那么该实验的研究意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
10.遗传学理论可用于指导农业生产实践。回答下列问题：
（1）生物体进行有性生殖形成配子的过程中，在不发生染色体结构变异的情况下，产生基因重新组合的途径有两条，分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）在诱变育种过程中，通过诱变获得的新性状一般不能稳定遗传，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若要使诱变获得的性状能够稳定遗传，需要采取的措施是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**\[生物------选修1：生物技术实践\]**
11.某种物质S（一种含有C、H、N的有机物）难以降解，会对环境造成污染，只有某些细菌能降解S。研究人员按照下图所示流程从淤泥中分离得到能高效降解S的细菌菌株。实验过程中需要甲、乙两种培养基，甲的组分为无机盐、水和S，乙的组分为无机盐、水、S和Y。
回答下列问题：
（1）实验时，盛有水或培养基的摇瓶通常采用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的方法进行灭菌。乙培养基中的Y物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。甲、乙培养基均属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_培养基。
（2）实验中初步估测摇瓶M中细菌细胞数为2×10^7^ 个/mL，若要在每个平板上涂布100μL稀释后菌液，且保证每个平板上长出的菌落数不超过200个，则至少应将摇瓶M中的菌液稀释\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_倍。
（3）在步骤⑤的筛选过程中，发现当培养基中的S超过某一浓度时，某菌株对S的降解量反而下降，其原因可能是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（4）若要测定淤泥中能降解S的细菌细胞数，请写出主要实验步骤\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）上述实验中，甲、乙两种培养基所含有的组分虽然不同，但都能为细菌的生长提供4类营养物质，即\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
12.为研制抗病毒A的单克隆抗体，某同学以小鼠甲为实验材料设计了以下实验流程。
回答下列问题：
（1）上述实验前必须给小鼠甲注射病毒A，该处理的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）写出以小鼠甲的脾脏为材料制备单细胞悬液的主要实验步骤：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）为了得到能产生抗病毒A的单克隆抗体的杂交瘤细胞，需要进行筛选。图中筛选1所采用的培养基属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，使用该培养基进行细胞培养的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。图中筛选2含多次筛选，筛选所依据的基本原理是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）若要使能产生抗病毒A的单克隆抗体的杂交瘤细胞大量增殖，可采用的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
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**乐山市2020年初中学业水平考试**
**数学**
**本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．**
**第Ⅰ卷（选择题 共30分）**
**注意事项：**
**1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．**
**2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．**
1.的倒数是（ ）
A.  B.  C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数，求解．
【详解】解：∵
∴的倒数是2
故选：A．
【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键．
2.某校在全校学生中举办了一次"交通安全知识"测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按"差"、"中"、"良"、 "优"划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为"良"和"优"的总人数估计为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出"良"和"优"的人数所占的百分比，然后乘以2000即可．
【详解】解："良"和"优"的人数所占的百分比：×100%=55%，
∴在2000人中成绩为"良"和"优"的总人数估计为2000×55%=1100（人），
故选：A．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，求出"良"和"优"的人数所占的百分比是解题关键．
3.如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
4.数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是−3，左移7个单位，得−3−7＝−10，
点A表示的数是−3，右移7个单位，得−3＋7＝4，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
5.如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知及菱形的性质求得∠ABD=∠CDB=30º，AO⊥BD，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形的周长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=，
在RtΔDEO中，OE=，DE=，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，
故选：B.
【点睛】本题考查菱形的性质、含30º的直角三角形、勾股定理，熟练掌握菱形的性质及含30º的直角三角形边的关系是解答的关键.
6.直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键．
7.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
【点睛】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
8.已知，．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答．
【详解】∵，
依题意得：，．
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
9.在中，已知，，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出AC、AB，在根据求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵，
∴AC=2BC=2，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴
∴
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据求解是解题关键．
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
**第Ⅱ卷（非选择题 共120分）**
**注意事项**
**1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．**
**2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．**
**3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．**
**4．本部分共16个小题，共120分．**
**二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．**
11.用""或""符号填空：\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵\|-7\|=7，\|-9\|=9，7\<9，
∴-7\>-9，
故答案为：\>．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小．
12.某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是\_\_\_\_\_\_．
【答案】39
【解析】
【分析】
将数据从小到大进行排列即可得出中位数．
【详解】解：将数据从小到大进行排列为：37，37，38，39，40，40，40
∴中位数为39，
故答案为：39．
【点睛】本题考查了求中位数，掌握计算方法是解题关键．
13.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．
【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．
14.已知，且．则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4或-1
【解析】
【分析】
将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
将两边同除以得：
令
则
因式分解得：
解得或
即的值是4或
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
15.把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，
∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º
∴AF平分∠BAE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
16.我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是\_\_\_\_\_\_；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2). 或
【解析】
【分析】
（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．
【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．
**三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．**
17.计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键．
18.解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法，由②-①即可解答；
【详解】解：，
②-①，得 ，
解得：，
把代入①，得 ；
∴原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
【答案】．
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理求出，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
**四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．**
20.已知，且，求的值．
【答案】，1
【解析】
【分析】
先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为．将代入进行计算即可．
【详解】原式=
=
= ，
∵，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含的表达式表示出．
21.如图，已知点在双曲线上，过点的直线与双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）过点作轴于点，连结，过点作于点．求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点在双曲线上，求得反比例函数解析式，再由点B在双曲线上，求得点B坐标，利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）用两种方式表示△ABC的面积可得，即可求出CD的长．
【详解】解：（1）将点代入，得，即，
将代入，得，即，
设直线的解析式为，
将、代入，得
，解得
∴直线的解析式为．
（2）∵、，
∴，
∵轴，
∴BC=4，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数上点坐标的特征，待定系数法求一次函数解析式，两点距离公式，面积法等知识，面积法：是用两种方式表示同一图形的面积．
22.自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈． 如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 [ ]{.underline} 万人，扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为 [ ]{.underline} º ；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）利用岁感染的人数有万人，占比可求得总人数；利用总人数可求扇形统计图中40-59岁感染人数所占百分比，从而可求扇形图中所对应的圆心角；
（2）先求解感染人数，然后直接补全折线统计图即可；
（3）先求解患者年龄为60岁或60岁以上的人数，直接利用概率公式计算即可；
（4）先求解全国死亡的总人数，再利用平均数公式计算即可．
【详解】解：（1）由岁感染的人数有万人，占比
截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为（万人），
扇形统计图中40-59岁感染人数占比：
扇形统计图中40-59岁感染人数对应圆心角的度数为：
故答案为：，；
（2）补全的折线统计图如图2所示；
感染人数为：万人，
补全图形如下：
（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：
；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：
．
【点睛】本题考查的是从扇形统计图，折线统计图中获取信息，考查了扇形统计图某部分所对应的圆心角的计算，考查总体数量的计算，考查了平均数的计算，同时考查简单随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．
**五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．**
23.某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
-------- -------------------- ---------------
车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆）
商务车 6 300
轿 车 4
-------- -------------------- ---------------
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
【解析】
【分析】
（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．
（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．
【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得 ，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得 ，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．
24.如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．
（1）求证：点平分；
（2）如图2所示，延长至点，使，连结． 若点是线段的中点．求证：是⊙的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接，由是直径得，由同角的余角相等证明，由直角三角形斜边中线性质证明，进而得出，即得出结论；
（2）由已知可知DE是OA、HB垂直平分线，可得，，从而，，再由即可证明，由此即可得出可能．
【详解】证明：（1）连接、，如图3所示，
图3
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，即点是的斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即点平分 ；
（2）如图4所示，连接、，
图4
∵点是线段中点，，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴是⊙的切线．
【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
**六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．**
25.点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 [ ]{.underline} ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．
26.已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；
（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴ 解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，
∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
| 1 | |
**2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试**
**理数试卷**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2\. 已知集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题"若，则"的否命题为"若，则"
B. 命题"若，则，互为相反数"的逆命题是真命题
C. 命题"，使得"的否定是"，都有"
D. 命题"若，则"的逆否命题为真命题
5\. 已知满足，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（ ）
A.  B.  C.  D. 
8\. 我国古代著名《九章算术》用"更相减损术"求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法------"辗转相除法"实质一样.如图的程序框图即源于"辗转相除法"，当输入，，输出的（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 已知实数，满足约束条件若不等式 恒成立，则实数的最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
11\. 设双曲线： 的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为\_\_\_\_\_ ．
14\. 二项式展开式中的常数项是\_\_\_\_\_ ．
15\. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是\_\_\_\_\_ ．
16\. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
18\. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.
（1）已知平面平面，求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19\. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的"朋友"，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的"井喷式"增长，也充分反映了人们消费方式的变化.
全国方便面销量情况（单位"亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）
------------------------------------------------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
年份    
时间代号    
年销量（亿包/桶）    
------------------------------------------------------ -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；
(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：回归方程：，其中，.
参考数据：.
20\. 如图，设抛物线 （）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.
（1）当取最小值时，求和的方程；
（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.
21\. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知，
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
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绝密★启用前
河北衡水中学2017届全国高三大联考(全国卷)
理数试题
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合益={} ,B={}，则集合A∩B =
\(A\) (0, +∞) (B) \[0,+∞) (C) (1,+∞) (D)
(2)已知复数z满足（i为虚数单位，a ∈R)，若复数z对应的点位于直角坐标平面内的直线y = -x上，则a的值为
(A)0 (B)l (C)-l (D)2
(3)设函数,若从区间\[-2，4\]上任取一个实数，则所选取的实数满足的概率为
\(A\) (B) (C) (D)
(4)已知a\>0,且a≠1，则双曲线与双曲线的
(A)焦点相同 （B)顶点相同 （C)渐近线相同 （D)离心率相等
(5)中国古代数学名著《张丘建算经》中记载："今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为
\(A\) 里 (B)1050 里 （C) 里 （D)2100里
 (6)如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图. 侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为
\(A\) (B)
（C) （D)
(7)已知 0\<a\<3\<l，c\>l，则
\(A\) (B)
(C) (D) b
(8)运行如图所示的程序框图，则输出的结果是
\(A\)
\(B\)
\(C\)
\(D\)
(9)如图所示，在棱长为a的正方体中，点E，F分别在棱
AD，BC上，且AE=BF=a.过EF的平面绕EF旋转，与、的延长线分别交于G，H点，与、分别交于，点。当异面直线与所成的角的正切值为时，\|\|=
\(A\) (B) (C) (D)
(10)将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是
(A)函数=的最小正周期为
(B)函数的图象的一条对称轴为直线
\(C\)
(D)函数在区间上单调递减
(11)点M(3,2)到拋物线 (a\>0)准线的距离为4，F为拋物线的焦点，点N(l，l)，当点P在直线上运动时，的最小值为
\(A\) (B) (C) (D)
(12)已知是定义在区间(0，+∞)内的单调函数，且对，都有，设为的导函数，则函数的零点个数为
(A)0 (B)l (C)2 (D)3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13)〜（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第（22)〜（23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
(13)在的展开式中，含项的系数是 [ ]{.underline} .
(14)已知向量a，b满足\|a\|= 2，，且a⊥(a - b)，设a与b的夹角为，则等于 [ ]{.underline} .
(15)已知点P(x，y)的坐标满足，则的取值范围为 [ ]{.underline} .
(16)若函数的表达式为 (c≠0)，则函数的图象的对称中心为, , 现已知函数，数列{a~n~}的通项公式为，则此数列前2017项的和为 [ ]{.underline} .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
\(17\) (本小题满分12分）
已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin Acos B = 2sin C-sin B.
(I)求角A;
(Ⅱ)若，求△ABC 的面积.
\(18\) (本小题满分12分）
如图，已知平面ADC//平面A~1~B~1~C~1~，B为线段AD的中点，△ABC≈△A~1~B~1~C~1~，四边形ABB~1~A~1~为正方形，平面AA~1~C~1~C丄平面ADB~1~A~1~，A~1~C~1~=A~1~A, , , M为棱A~1~C~1~的中点.
(I)若N为线段上的点，且直线MN//平面ADB~1~A~1~，试确定点N的位置；
(Ⅱ)求平面MAD与平面CC~1~D所成的锐二面角的余弦值。
\(19\) (本小题满分12分）
某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为，，如果点数满足则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束。
(I)求第一轮闯关成功的概率；
(Ⅱ)如果第i轮闯关成功所获的奖金数 (单位:元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
(Ⅲ)如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望。
(20)(本小题满分12分）
已知椭圆 (a\>b\>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆相切.
(I)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线过点（1，0)，且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T(t，0)(t≠0)，使得不论直线的斜率如何变化，总有 (其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
(21)(本小题满分12分）
已知函数 (a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）.
(I)若曲线在点(e，)处的切线斜率为0,且有极小值，求实数a的取值范围。
(II)(i）当 a = b = l 时，证明：x+2\<0；
(ii)当 a = 1，b= -1 时，若不等式: 在区间（1,+∞）内恒成立，求实数m的最大值。
请考生在第（22)、（23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为=(为参数).
(I)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C的极坐标方程；
(Ⅱ)设M(x，y)为椭圆C上任意一点，求x + 2y的取值范围。
(23)(本小题满分10分)选修4一 5 :不等式选讲
已知函数= \|2x-1\|-2\|x-1\|.
(I)作出函数的图象；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围。
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**第四单元测试卷**
一、圈出每组中不同类的。绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
二、选一选,在每组中不是同类的物体上面画"✕"。
三、找一找,填一填。
学习用品有( )。
四、分一分,把序号填在相应的圈里。绿色圃中小学教育网http://www.lspjy.com/
五、分一分,学习用品画"",体育用品画""。
六、填一填,可以怎么分?
1+2=3 5-2=3 5-3=2 4-2=2 1+1=2 0+3=3
按[ ]{.underline}分 [ ]{.underline} [ ]{.underline}
按[ ]{.underline}分 [ ]{.underline} [ ]{.underline}
七、想一想,填一填。(只填序号)
八、说一说,可以怎么分?
第四单元测试卷答案
一、提示:第一行圈电脑,第二行圈小麦,第三行圈饮料。
二、提示:不同类的分别是第一个图形、铅笔、球、手套。
三、①②③⑤
四、天上飞的:③⑥⑦ 地上跑的:②④⑤⑧⑩
水里游的:①⑨
五、     
六、按得数分:1+2=3、5-2=3、0+3=3为一类,5-3=2、4-2=2、1+1=2为一类。
按加减法分:1+2=3、1+1=2、0+3=3为一类,5-2=3、5-3=2、4-2=2为一类。
七、两只脚的:①③⑥⑦ 四只脚的:②④⑤⑧⑨
会游泳的:①④⑦⑧
八、提示:可以按照男女分,也可以按照大人、小孩分,还可以按照长发、短发分。
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**《认识直角》同步练习**
> **1.找一找，下列图形有几个直角，标出直角"（****）"。**
>
> **\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> 
>
> **2.试一试，在下面的图形中画上一条线段，使这个图形达到下面的要求。**
>
> 
>
> **图中有6个直角。 图中有5个直角。 图中有4个直角。 图中有3个直角。**
>
> **3.在方格纸里画一个有直角的三角形。**
<table><tbody><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="even"><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p><strong>[来源:学_科_网Z_X_X_K]</strong></p></blockquote></td><td></td><td></td><td><blockquote><p><strong>[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学|科|网]</strong></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr class="odd"><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p><strong>[来源:学科网]</strong></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
> 4.下面哪几个图形是直角？在下面的（ ）里画"√ "
（ ） （ ） （ ） （ ）
> 5.找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> 6.下面图形中哪些角是直角? 有几个, 填在( )里．
>
> 
>
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
>
> **参考答案：**
1. **找一找，下列图形有几个直角，标出直角"（****）"。**
> **（ 4 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 6 ）**
>
> **2.试一试，在下面的图形中画上一条线段，使这个图形达到下面的要求。**
>
> 
>
> **图中有6个直角。 图中有5个直角。 图中有4个直角。 图中有3个直角。**
>
> **3.略**
>
> 4.下面哪几个图形是直角？在下面的（ ）里画"√ "
>
> （ √ ） （ ） （ √ ） （ ）
>
> 5.找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "
>
> （ ） （ √ ） （ ） （ √ ） （ √ ）
>
> 6.下面图形中哪些角是直角? 有几个, 填在( )里．
>
> （4）（4）（2）
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一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.**
1.已知集合,若，则（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
2. 已知为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3\. 已知平面向量，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
4函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5\. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为（ ）
A．94 B．86 C．73 D．56
6. 下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ ）
A． B．
C． D．
7、直线与圆＝0的位置关系为（ ）
A、相交且经过圆心 B、相交但不经过圆心
C、相切 D、相离
8\. 为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
9\. 在数列中，，则( )
A． B． C． D．5
10\. 在长为3的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于1的概率等于（ ）
A． B． C． D．
11\. 设是双曲线的两个焦点，点在上，且，若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则的值等于（ ）
A． B．6 C．14 D．16
12\. 已知函数的定义域为实数集，，则的值为（ ）
A．-8 B．-16 C．55 D．101
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.曲线在点（0,2）处的切线方程为 [ ]{.underline} .
14\. 若满足约束条件，则的最大值为 [ ]{.underline} .
15\. 已知三棱锥的顶点在球的表面上，是边长为的等边三角形，如果球的表面积为36，那么到平面距离的最大值为 [ ]{.underline} .
16\. 在中，内角所对的边分别为，如果的面积等于8，,,那么= [ ]{.underline} .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. (本小题满分12分)设数列的前项和为，.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)求证：.
18\. (本小题满分12分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名， 640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在\[80,100\]的学生可取得等（优秀），在\[60,80)的学生可取得等（良好），在\[40,60)的学生可取得等（合格），在不到40分的学生只能取得等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成\[30,40)、\[40,50)、\[50,60)、\[60,70)、\[70,80)、\[80,90)、\[90,100\]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，下图是该频率分布直方图.
(Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；
(Ⅱ) 请你根据已知条件将下列2X2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为"该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关"？
------ -------------- ---------------- ------
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
男生 12
女生
合计
------ -------------- ---------------- ------
附：.
-- ------- ------- -------
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
-- ------- ------- -------
19\. (本小题满分12分)如图，在三棱锥中，为的中点.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)设平面平面，求三棱锥的体积.
20\. (本小题满分12分)已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求的取值范围.
21\. (本小题满分12分)已知.
(Ⅰ)当 时，求的极值；
(Ⅱ)当的最小值不小于时，求实数的取值范围.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，与⊙相切于是⊙的弦，是弧的中点，的延长线与交于.
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)若，求.
23\. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.
24\. (本小题满分10分)
选修4-5：不等式选讲
已知.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
附加题:
**在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，向量**和向量为共线向量**．**
> **（Ⅰ）求角****的大小；**
>
> **（Ⅱ）**若*a*＝6，求**△*ABC****面积的最大值***．**
(6)答案
> **附加题答案:**
>
> **（Ⅰ）因为向量**和向量为共线向量，
>
> 所以， 2分
>
> 由正弦定理得，
>
> 即．
>
> 由于*B*是三角形的内角，**，则**，所以. 6分
**（Ⅱ）因为**，
> 所以，
>
> 且仅当*b*=*c*时取得等号，所以， 10分
>
> 故，
>
> 所以当*b*＝*c*时，**△*ABC****面积的最大值为． 12分*
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> **搭一搭（二）同步练习**
>
> 一、口算
>
> 8÷2= 40÷5= 21÷3= 24÷3=
>
> 36÷6= 49÷7= 30÷5= 42÷7=
>
> 81÷9= 18÷6= 32÷8= 27÷3=
>
> 二、填空
1. 在有余数的除法里，（ ）一定比（ ）小。
2. 25÷4=6······1，读作：（ ），在这道算式里，25是（ ），4是（ ），6是（ ），1是（ ）
3. 16÷3=5······1，读作：（ ），在这道算式里，16是（ ），3是（ ），5是（ ），1是（ ）。
4. 一个数除以8有余数，余数最大是（ ），最小是（ ）。
5. 26里面最多有（ ）个8. 33里面最多有（ ）个5.
6. 一个数除以5如果有余数，余数可能是（ ）。
7. 42÷9的商是（ ），余数是（ ）。
8. （ ）÷（ ）=5······1，除数最小是（ ）。
三、下面的立体图形从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么?在方格纸上画一画。
（1）\[来源:Z,xx,k.Com\]
正面
上面
侧面
（2）
正面
上面
侧面
\[来源:学.科.网\]
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
> **参考答案：**
>
> 一、口算
>
> 8÷2=4 40÷5=8 21÷3=7 24÷3=8\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
>
> 36÷6=6 49÷7=7 30÷5=6 42÷7=6
>
> 81÷9=9 18÷6=3 32÷8=4 27÷3=9
2. 填空
```{=html}
<!-- -->
```
1. （ 余数 ） （ 除数 ）
2. （二十五除以四商六余1 ） （被除数） （除数） （商） （余数）
3. （十六除以三商五余1） （被除数） （除数） （商） （余数）
4、 （7） （1）
5、（3） （6）
6、 （1，2，3，4）
7、 （4） （6）
8、 （1）
> 三、下面的立体图形从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么?在方格纸上画一画。
>
> （1）
-- --
-- --
> 正面
>
> 上面
>
> 侧面
>
> （2）
-- --
-- --
> 正面
>
> 上面
>
> 侧面
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**2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区五年级（上）期末数学试卷**
**一、填空（本题共10小题，共21分）**
1．（3分）比一比，在圆圈里填上"＞""＜"或"＝"。
---------------- ------------------ -----------------------
4.2÷7〇4.2÷0.7 1.7×0.5〇1.7÷0.5 0.333......〇0.03÷0.1
---------------- ------------------ -----------------------
2．（1分）农民伯伯榨出28升花生油，分别装入4.5升的油桶中，需要准备[ ]{.underline}个这样的油桶。
3．（5分）圈一圈，填一填。
> 
>
> 按照圈的过程写出乘法算式：[ ]{.underline}。
4．（1分）用"↓"在图中标出公交车和动车平均每小时行驶的大致距离。
> 
5．（1分）0.82港元可以兑换1元人民币，100港元可以兑换[ ]{.underline}元人民币。
6．（2分）3.05的1.2倍是[ ]{.underline}；[ ]{.underline}的2.5倍是6.25。
7．（2分）的分数单位是[ ]{.underline}，再加上[ ]{.underline}个这样的分数单位就是最小的合数．
8．（2分）35和42的最大公因数是[ ]{.underline}；最小公倍数是[ ]{.underline}。
9．（3分）在如图表示出、1、的大致位置。
> 
10．（1分）如图所示，把一个长方形分成：一个梯形和一个三角形。已知梯形的面积比三角形的面积大18平方厘米，那么梯形的上底长为[ ]{.underline}厘米。
> 
**二、选择题（将正确的答案序号填在括号中，本题共5小题，每题1分，共5分）**
11．（1分）如图的竖式中，余下的4添0后，表示40个（ ）
> 
A．1 B．0.1 C．0.01 D．0.001
12．（1分）淘气想把平行四边形的面积转化成长方形面积，（ ）种不能拼成长方形。
> 
A．*A* B．*B* C．*C* D．*D*
13．（1分）观察分数墙，1个与（ ）个相等．
> 
A．2 B．3 C．4 D．6
14．（1分）如图中的阴影部分是一片湿地，估一估，这片湿地的面积最接近（ ）公顷．（每个小方格代表一公顷）
> 
A．25 B．65 C．120 D．150
15．（1分）下面有4个袋子，每个袋子中分别装有8个小球（小球除颜色外完全一样）．小聪选择其中一个袋子进行摸球试验，每次任意摸出一个球，记录结果后再放回袋子摇匀．他一共摸了40次，摸出红球29次，黄球11次．小聪选择的袋子最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
**三、计算下列各题（共36分）**
16．（10分）直接写得数。
------------- ------------ ------------ ----------- ------------
0.3÷0.03＝ 4.4÷0.4＝ 5.1+15.9＝ 10÷4＝ 0.3÷0.2＝
0.36÷0.04＝ 2.4÷0.01＝ 0.6÷1.2＝ 4.5×1.8＝ 12.9÷0.3＝
------------- ------------ ------------ ----------- ------------
17．（8分）用竖式计算。☆题再用其它方法计算。
---------- ------------- ------------
70÷5.6＝ 23.8÷0.17＝ ☆3.5÷2.5＝
---------- ------------- ------------
18．（18分）计算（能简算的要简算）。
--------------- ------------------------- ---------------------
29.4÷7+3.6 0.8×4.32+4.32×1.2﹣4.32 0.2×0.6×0.5×4
6.8×0.75÷0.25 0.96÷1.25÷0.8 26.5÷（26.5﹣16.5）
--------------- ------------------------- ---------------------
**四、操作题（19小题4分，20小题2分，共6分）**
19．（4分）请在方格纸上以*AB*为底，画出面积是9平方厘米的直角三角形、钝角三角形。（每格边长1厘米）
> 
20．（2分）先以虚线为对称轴，画一个轴对称图形；再将画出的轴对称图形先向左平移4格的图形。
> 
**五、解决问题（本题共6小题，共32分）**
21．（6分）学校购买防疫物口罩和消毒液共花2.45万元，口罩花的钱是消毒液的2.5倍，口罩花了多少钱？（先在线段图中画出题中的已知条件和所求问题，再列综合算式计算。）
22．（5分）把5块月饼平均给4个小朋友，每个小朋友分得多少块？（先画图表示出分得的结果，再列式计算。）
23．（5分）一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算）
24．（5分）松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共采了136个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？
--------------- --------------- ---------------
晴天采20个/天 雨天采12个/天 共采136个松子
...... ...... ......
--------------- --------------- ---------------
25．（5分）五年一班有45人参加队列表演，其中男生25人，女生人数是男生人数的几分之几？（结果化成最简分数）
26．（6分）梯形上底10厘米，下底17厘米，其中阴影部分的面积是102平方厘米，求梯形的面积。
> 
**2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空（本题共10小题，共21分）**
1．【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；
> 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
>
> 据此解答。
>
> 【解答】解：
---------------- ------------------ -----------------------
4.2÷7＜4.2÷0.7 1.7×0.5＜1.7÷0.5 0.333......＞0.03÷0.1
---------------- ------------------ -----------------------
> 故答案为：＜，＜，＞。
>
> 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。
2．【分析】每个油桶的容量是4.5升，求出28升需要多少个这样的油桶，就是求28升里面有多少个4.5升，用28升除以4.5升即可求解。
> 【解答】解：28÷4.5≈7（个）
>
> 答：需要准备7个这样的油桶。
>
> 故答案为：7。
>
> 【点评】解决本题根据除法的包含意义列式求解，注意结果要运用进一法保留整数。
3．【分析】（1）被除数和除数同时扩大到原来的10倍，变成24÷6。涂色有24份，可以平均分成4个六份。
> （2）根据除数是整数的小数除法，26.5÷5，先用26除以5，商5，余1，落下十分位上的5，与个位上的3合起来是15个十分之一，也就是15个0.1，据此解答。
>
> 【解答】解：如图
>
> 
>
> （2.4×10）÷（0.6×10）＝4
>
> 
>
> 【点评】此题主要考查了小数除法的笔算方法，正确理解除法的算理，是解决本题的关键。
4．【分析】根据速度＝路程÷时间，分别求出两车的速度，再根据下面的数轴上一格表示100千米，找出两车速度的大致位置，从而解决问题。
> 【解答】解：175÷2＝87.5（千米）
>
> 615÷2＝307.5（千米）
>
> 两车速度的大致位置如下：
>
> 
>
> 【点评】解决本题根据速度＝路程÷时间，求出两车的速度，从而解决问题。
5．【分析】根据题意可知：1元＝0.82港元。
> 单位换算：低级单位到高级单位进行换算，要除以进率。
>
> 【解答】解：100÷0.82≈121.95（元）
>
> 答：100港元可以兑换121.95元人民币。
>
> 故答案为：121.95。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确的进行人民币的换算。
6．【分析】根据乘法的意义列出算式3.05×1.2计算即可求解；根据除法的意义列出算式6.25÷2.5计算即可求解。
> 【解答】解：3.05×1.2＝3.66
>
> 6.25÷2.5＝2.5
>
> 答：3.05的1.2倍是3.66；2.5的2.5倍是6.25。
>
> 故答案为：3.66，2.5。
>
> 【点评】考查了小数的乘除法，关键是根据题意正确列出算式进行计算。
7．【分析】（1）根据分数的意义，就是把单位"1"平均分为7份，取其中的5份，它的分数单位是，据此解答；
> （2）最小的合数是4，4﹣＝，问题得解．
>
> 【解答】解：（1）的分数单位是；
>
> （2）4﹣＝，所以再加上 23个这样的分数单位就是最小的合数；
>
> 故答案为：，23．
>
> 【点评】本题主要考查分数的意义，注意分数单位是取其中的一份的数，最小的合数是4．
8．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，据此解答即可。
> 【解答】解：35＝5×7
>
> 42＝2×3×7
>
> 所以35和42的最大公因数是7
>
> 最小公倍数是2×3×5×7＝210
>
> 故答案为：7，210。
>
> 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法。
9．【分析】把0和1之间的线段平均分成4份，即可找到的位置，把1和2之间的线段平均分成2份，可找出1的位置，把1和2之间的线段平均分成3份，可找出1的位置，即的位置。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题主要考查了分数的意义及数轴的认识。
10．【分析】已知梯形的面积比三角形的面积大18平方厘米，这个18平方厘米是一个小长方形的面积，这个小长方形的长等于原来大长方形的宽，根据长方形的面积公式：*S*＝*ab*，那么*b*＝*S*÷*a*，把数据代入公式解答即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 18÷6＝3（厘米）
>
> 答：梯形的上底是3厘米。
>
> 故答案为：3。
>
> 【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，根据是熟记公式。
**二、选择题（将正确的答案序号填在括号中，本题共5小题，每题1分，共5分）**
11．【分析】根据小数除法竖式计算的方法进行解答．
> 【解答】解：由于数字0在百分位上，所以竖式中的40表示40个百分之一，也就是所以表示40个0.01；
>
> 所以，余下的4添0后，表示40个0.01．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题关键是理解除到哪一位，商就在哪一位的上面，这一数位上的商与除数的积就表示有几个这样的计数单位．
12．【分析】根据平行四边形面积公式的推导过程可知，把平行四边形沿它高剪开，然后通过平移的方法，把平行四边形转化为一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。据此解答。
> 【解答】解：图*A*、图*C*、图*D*都可以转化为长方形，而图*B*不能。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形、长方形的特征及应用。
13．【分析】由图即可看出，1个与2个相等．
> 【解答】解：如图
>
> 
>
> 1个与2个相等．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】把单位"1"平均分成3份，每份表示；再把每份平均分成2份，这样单位"1"被平均分成6份，每份是它的，由于1份分成2份，即1个分成2个．
14．【分析】根据图示，阴影部分大约是一个长9格，宽8格的长方形，减掉一个边长是3格的正方形的面积：9×8﹣3×3＝63（公顷）然后比较选项，找出最接近的即可．
> 【解答】解：9×8﹣3×3
>
> ＝72﹣9
>
> ＝63（公顷）
>
> 63公顷与选项中65公顷最接近．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】把阴影进行割补，可以看成一个近似的长方形，找出长方形的长和宽，即可计算阴影的近似面积．
15．【分析】根据小聪摸球的结果，一共摸了40次，摸出红球29次，黄球11次，可以看出小聪摸到红球的次数较多，摸到黄球的次数较少，所以袋子里可能红球比黄球多一些．据此选择．
> 【解答】解：29＞11
>
> 根据小聪摸球的结果判断，他选择的袋子最有可能的是*B*．
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，根据日常生活经验判断．
**三、计算下列各题（共36分）**
16．【分析】根据小数加减法以及乘除法的计算法则以及四则混合运算的运算顺序计算即可。
> 【解答】解：
-------------- --------------- -------------- -------------- --------------
0.3÷0.03＝10 4.4÷0.4＝11 5.1+15.9＝21 10÷4＝2.5 0.3÷0.2＝1.5
0.36÷0.04＝9 2.4÷0.01＝240 0.6÷1.2＝0.5 4.5×1.8＝8.1 12.9÷0.3＝43
-------------- --------------- -------------- -------------- --------------
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
17．【分析】根据小数乘除法的计算方法进行计算，注意验算。
> 【解答】解：（1）70÷5.6＝12.5
>
> 
>
> （2）23.8÷0.17＝140
>
> 
>
> 3.5÷2.5＝1.4
>
> 
>
> 
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握小数除法的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算。
18．【分析】（1）先算除法，再算加法；
> （2）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （3）运用乘法的交换律、结合律进行简算；
>
> （4）从左向右进行计算；
>
> （5）运用除法的性质进行简算；
>
> （6）先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法。
>
> 【解答】解：（1）29.4÷7+3.6
>
> ＝4.2+3.6
>
> ＝7.8
>
> （2）0.8×4.32+4.32×1.2﹣4.32
>
> ＝（0.8+1.2﹣1）×4.32
>
> ＝1×4.32
>
> ＝4.32
>
> （3）0.2×0.6×0.5×4
>
> ＝0.2×0.5×0.6×4
>
> ＝（0.2×0.5）×（0.6×4）
>
> ＝0.1×2.4
>
> ＝0.24
>
> （4）6.8×0.75÷0.25
>
> ＝5.1÷0.25
>
> ＝20.4
>
> （5）0.96÷1.25÷0.8
>
> ＝0.96÷（1.25×0.8）
>
> ＝0.96÷1
>
> ＝0.96
>
> （6）26.5÷（26.5﹣16.5）
>
> ＝26.5÷10
>
> ＝2.65
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**四、操作题（19小题4分，20小题2分，共6分）**
19．【分析】根据三角形面积计算公式"*S*＝*ah*÷2"，以*AB*为三角形的底，*AB*＝6厘米，则三角形的高为9×2÷6＝3（厘米），根据直角三角形的意义、钝角三角形的意义即分别画出以*AB*为底、高为3厘米的直角三角形、钝角三角形。
> 【解答】解：在方格纸上以*AB*为底，画出面积是9平方厘米的直角三角形（三角形*ABC*）、钝角三角形（三角形*ABD*）。
>
> （画法不唯一）。
>
> 【点评】根据面积画平面图形的关键是根据相关图形的面积计算公式计算出相关图形相关线段的长度。
20．【分析】答案不唯一。根据轴对称图形的特征，可画一个较大的等腰三角形作"小鱼"的身子，再画一个较小的等腰三角形作"小鱼"的尾巴，的画的"小鱼"是轴对称图形，两过两等腰三角形底边中点的直线就它的对称；根据平移的特征，把"小鱼"的各顶点分别微信左平移4格，依次连结即可得到平移后的图形。
> 【解答】解：
>
> （答案不唯一）。
>
> 【点评】如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴，据此即可以虚线为对称轴画一个轴对称图形；平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
**五、解决问题（本题共6小题，共32分）**
21．【分析】口罩花的钱是消毒液的2.5倍，先画一条线段表示消毒液花的钱数，再画一条线段，它的长度是上一条线段的2.5倍，这表示口罩花的钱数，然后表示出两种商品的总价2.45万元；根据图可知，总价2.45万元相当于消毒液钱数的（2.5+1）倍，用2.45除以（2.5+1）即可求出消毒液花的钱数，再乘2.5就是口罩花的钱数。
> 【解答】解：画图如下：
>
> 
>
> 2.45÷（2.5+1）×2.5
>
> ＝2.45÷3.5×2.5
>
> ＝0.7×2.5
>
> ＝1.75（万元）
>
> 答：口罩花了1.75万元。
>
> 【点评】本题考查了和倍问题：两数和÷倍数和＝1倍的量；画图更容易理解。
22．【分析】先拿4块来分，这样每个小朋友就是一人一块；再把最后一块平均分成4份，每人就可以拿到1÷4＝块，如图。
> 【解答】解：
>
> 4÷4＝1（块）
>
> 1÷4＝（块）
>
> 1＝1（块）
>
> 答：每个小朋友分得1块。
>
> 【点评】解决此题关键是弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量；求分率平均分的是单位"1"。
23．【分析】根据题意可知：一张长方形餐桌可以坐6人；2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人）；3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人）；......；*n*张餐桌拼一起可坐：6+4（*n*﹣1）＝（4*n*+2）人。据此作图并解答即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 一张长方形餐桌可以坐6人
>
> 2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人）
>
> 3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人）
>
> ......
>
> *n*张餐桌拼一起可坐：6+4（*n*﹣1）＝（4*n*+2）人
>
> ......
>
> 6张桌子可坐人数：
>
> 4×6+2
>
> ＝24+2
>
> ＝26（人）
>
> 答：6张这样的餐桌可以坐26人。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
24．【分析】根据题意，本题属于鸡兔同笼问题，利用列举法，找到符合题意的天数即可。
> 【解答】解：
--------------- --------------- ---------------
晴天采20个/天 雨天采12个/天 共采136个松子
8 0 160
7 1 152
6 2 144
5 3 136
4 4 128
...... ...... ......
--------------- --------------- ---------------
> 答：这八天有5天晴天，3天雨天。
>
> 【点评】本题主要考查鸡兔同笼问题，关键利用列举法解答。
25．【分析】五年一班有45人参加队列表演，其中男生25人，则女生为（45﹣25）人，求女生人数是男生人数的几分之几，用女生人数除以男生人数。
> 【解答】解：（45﹣25）÷25
>
> ＝20÷25
>
> ＝
>
> 答：女生人数是男生人数的。
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。求出女生人数是关键。
26．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，那么*h*＝2*S*÷*a*，据此求出梯形的高，再根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：102×2÷17
>
> ＝204÷17
>
> ＝12（厘米）
>
> （10+17）×12÷2
>
> ＝27×12÷2
>
> ＝324÷2
>
> ＝162（平方厘米）
>
> 答：梯形的面积是162平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查三角形的面积公式、梯形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
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日期：2021/4/27 15:29:47；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**2013年上海市高考数学试卷（理科）**
**一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．**
1．（4分）计算：=[ ]{.underline}．
2．（4分）设m∈R，m^2^+m﹣2+（m^2^﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=[ ]{.underline}．
3．（4分）若=，x+y=[ ]{.underline}．
4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a^2^+2ab+3b^2^﹣3c^2^=0，则角C的大小是[ ]{.underline}．
5．（4分）设常数 a∈R，若（x^2^+）^5^的二项展开式中x^7^项的系数为﹣10，则 a=[ ]{.underline}．
6．（4分）方程+=3^x﹣1^的实数解为[ ]{.underline}．
7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为[ ]{.underline}．
8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为[ ]{.underline}．
10．（4分）设非零常数d是等差数列x~1~，x~2~，...，x~19~的公差，随机变量ξ等可能地取值x~1~，x~2~，...，x~19~，则方差Dξ=[ ]{.underline}．
11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=[ ]{.underline}．
12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为[ ]{.underline}．
13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）^2^+y^2^=1（x≥1）和（x﹣3）^2^+y^2^=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（\|y\|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为[ ]{.underline}．
14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y\|y=g（x），x∈I}．已知定义域为\[0，3\]的函数y=f（x）有反函数y=f^﹣1^（x），且f^﹣1^（\[0，1））=\[1，2），f^﹣1^（（2，4\]）=\[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x~0~，则x~0~=[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．**
15．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
16．（5分）钱大姐常说"便宜没好货"，她这句话的意思是："不便宜"是"好货"的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
17．（5分）在数列（a~n~）中，a~n~=2^n^﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c~ij~=a~i~•a~j~+a~i~+a~j~（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A．18 B．28 C．48 D．63
18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．**
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在\[﹣，\]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间\[a，b\]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在\[a，b\]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的\[a，b\]中，求b﹣a的最小值．
22．（16分）如图，已知双曲线C~1~：，曲线C~2~：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C~1~，C~2~都有公共点，则称P为"C~1~﹣C~2~型点"
（1）在正确证明C~1~的左焦点是"C~1~﹣C~2~型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C~2~有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C~1~﹣C~2~型点"；
（3）求证：圆x^2^+y^2^=内的点都不是"C~1~﹣C~2~型点"
23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2\|x+c+4\|﹣\|x+c\|．数列a~1~，a~2~，a~3~，...满足a~n+1~=f（a~n~），n∈N^\*^．
（1）若a~1~=﹣c﹣2，求a~2~及a~3~；
（2）求证：对任意n∈N^\*^，a~n+1~﹣a~n~≥c；
（3）是否存在a~1~，使得a~1~，a~2~，...，a~n~，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a~1~；若不存在，说明理由．
**2013年上海市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．**
1．（4分）计算：=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由数列极限的意义即可求解．
【解答】解：==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列极限的求法，属基础题．
2．（4分）设m∈R，m^2^+m﹣2+（m^2^﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】根据纯虚数的定义可得m^2^﹣1=0，m^2^﹣1≠0，由此解得实数m的值．
【解答】解：∵复数z=（m^2^+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，
∴m^2^+m﹣2=0，m^2^﹣1≠0，解得m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m^2^+m﹣2=0，m^2^﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．
3．（4分）若=，x+y=[ 0 ]{.underline}．
【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．
【解答】解：∵=，
∴x^2^+y^2^=﹣2xy
∴（x+y）^2^=0
∴x+y=0
故答案为0
【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a^2^+2ab+3b^2^﹣3c^2^=0，则角C的大小是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】把式子3a^2^+2ab+3b^2^﹣3c^2^=0变形为，再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵3a^2^+2ab+3b^2^﹣3c^2^=0，∴，
∴==．
∴C=．
故答案为．
【点评】熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．
5．（4分）设常数 a∈R，若（x^2^+）^5^的二项展开式中x^7^项的系数为﹣10，则 a=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x^7^的系数，列出方程求解即可．
【解答】解：的展开式的通项为T~r+1~=C~5~^r^x^10﹣2r^（）^r^=C~5~^r^x^10﹣3r^a^r^
令10﹣3r=7得r=1，
∴x^7^的系数是aC~5~^1^
∵x^7^的系数是﹣10，
∴aC~5~^1^=﹣10，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．（4分）方程+=3^x﹣1^的实数解为[ log~3~4 ]{.underline}．
【分析】化简方程+=3^x﹣1^为 =3^x﹣1^，即（3^x^﹣4）（3^x^+2）=0，解得 3^x^=4，可得x的值．
【解答】解：方程+=3^x﹣1^，即 =3^x﹣1^，即 8+3^x^=3^x﹣1^（ 3^x+1^﹣3），
化简可得 3^2x^﹣2•3^x^﹣8=0，即（3^x^﹣4）（3^x^+2）=0．
解得 3^x^=4，或 3^x^=﹣2（舍去），
∴x=log~3~4，
故答案为 log~3~4．
【点评】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．
7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．
【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，
解得ρ=或ρ=（舍），
所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，
故答案为：．
【点评】本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．
8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
【分析】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．
【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．
取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．
则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．
所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．
故答案为
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．
9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），
因点C在椭圆上，∴，
∴b^2^=，
∴c^2^=a^2^﹣b^2^=4﹣=，c=，
则Γ的两个焦点之间的距离为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
10．（4分）设非零常数d是等差数列x~1~，x~2~，...，x~19~的公差，随机变量ξ等可能地取值x~1~，x~2~，...，x~19~，则方差Dξ=[ 30d^2^ ]{.underline}．
【分析】利用等差数列的前n项和公式可得x~1~+x~2~+...+x~19~=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．
【解答】解：由题意可得Eξ===x~1~+9d．
∴x~n~﹣Eξ=x~1~+（n﹣1）d﹣（x~1~+9d）=（n﹣10）d，
∴Dξ=+...+（﹣d）^2^+0+d^2^+（2d）^2^+...+（9d）^2^\]
=
=
=30d^2^．
故答案为：30d^2^．
【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．
11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．
【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．
∵sin2x+sin2y=，
∴sin\[（x+y）+（x﹣y）\]+sin\[（x+y）﹣（x﹣y）\]=，
∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，
∴，
∴sin（x+y）=．
故答案为．
【点评】熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．
12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为[ ]{.underline}[． ]{.underline}．
【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．
【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以当x=0时，f（x）=0；
当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（x）=9x+﹣7；
因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，
所以当x=0时，0≥a+1成立，
所以a≤﹣1；
当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，
只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，
因为9x+﹣7≥2=6\|a\|﹣7，
所以6\|a\|﹣7≥a+1，
解得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．
13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）^2^+y^2^=1（x≥1）和（x﹣3）^2^+y^2^=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（\|y\|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为[ 2π^2^+16π ]{.underline}．
【分析】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．
【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，
一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，
高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，
这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，
即Ω的体积为π•1^2^•2π+2•8π=2π^2^+16π．
故答案为2π^2^+16π．
【点评】本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．
14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y\|y=g（x），x∈I}．已知定义域为\[0，3\]的函数y=f（x）有反函数y=f^﹣1^（x），且f^﹣1^（\[0，1））=\[1，2），f^﹣1^（（2，4\]）=\[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x~0~，则x~0~=[ 2 ]{.underline}．
【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈\[0，1）时，x∈\[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域\[0，3\]上存在反函数可知：x∈\[2，3\]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x~0~的值．
【解答】解：因为g（I）={y\|y=g（x），x∈I}，f^﹣1^（\[0，1））=\[1，2），f^﹣1^（2，4\]）=\[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈\[0，1）时，f（x）∈（2，4\]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；
当x∈\[1，2）时，f（x）∈\[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；
所以当x∈\[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）﹣x=0有解x~0~，且定义域为\[0，3\]，
故当x∈\[2，3\]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪\[1，2\]∪（4，+∞），
故若f（x~0~）=x~0~，只有x~0~=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
**二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．**
15．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞）
【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1\]∪\[a，+∞），B=\[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a\]∪\[1，+∞），B=\[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2\]．
故选：B．
【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
16．（5分）钱大姐常说"便宜没好货"，她这句话的意思是："不便宜"是"好货"的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】因为"好货不便宜"是"便宜没好货"的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到："好货不便宜"是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出"不便宜"是"好货"的必要条件．
【解答】解："好货不便宜"是"便宜没好货"的逆否命题，
根据互为逆否命题的真假一致得到："好货不便宜"是真命题．
所以"好货"⇒"不便宜"，
所以"不便宜"是"好货"的必要条件，
故选：B．
【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．
17．（5分）在数列（a~n~）中，a~n~=2^n^﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c~ij~=a~i~•a~j~+a~i~+a~j~（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A．18 B．28 C．48 D．63
【分析】由于该矩阵的第i行第j列的元素c~ij~=a~i~•a~j~+a~i~+a~j~=（2^i^﹣1）（2^j^﹣1）+2^i^﹣1+2^j^﹣1=2^i+j^﹣1（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），要使a~ij~=a~mn~（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12）．
则满足2^i+j^﹣1=2^m+n^﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a~ij~≠a~mn~，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．
【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素c~ij~=a~i~•a~j~+a~i~+a~j~=（2^i^﹣1）（2^j^﹣1）+2^i^﹣1+2^j^﹣1=2^i+j^﹣1（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a~ij~=a~mn~（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，...，19，共18个不同数值．
故选：A．
【点评】由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a~ij~=a~mn~（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12）是解题的关键．
18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（ ）
A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0
【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．
【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，
∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，
∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，
∴m＜0，M＜0
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．
**三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．**
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
【分析】解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC． 所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．
解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据 =﹣0，可得 ⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d= 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．
【解答】解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，
故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，
于是直线BC′平行于平面D′AC．
直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，
考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V=•（）=，
而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，
故△CAD′的面积S~△CAD′~=••=，
所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．
解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．
∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．
令v=1，可得 u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．
由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有 ⊥．
再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．
由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，
故直线BC′到平面D′AC的距离为．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；
（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．
【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）
根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x^2^﹣14x﹣3≥0
∴x≥3或x≤﹣
∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×
=90000（）=9×10^4^\[+\]
∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．
21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在\[﹣，\]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间\[a，b\]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在\[a，b\]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的\[a，b\]中，求b﹣a的最小值．
【分析】（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；
（2）利用变换法则"左加右减，上加下减"即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间\[a，mπ+a\]（m∈N^\*^）恰有2m+1个零点，所以在区间\[a，14π+a\]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b\]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．
【解答】解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，
∴，且，
解得．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，
∴函数y=g（x）=，
令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．
∴相邻两个零点之间的距离为或．
若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间\[a，π+a\]，\[a，2π+a\]，...，\[a，mπ+a\]（m∈N^\*^）分别恰有3，5，...，2m+1个零点，
所以在区间\[a，14π+a\]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b\]至少有一个零点，
∴．
另一方面，在区间恰有30个零点，
因此b﹣a的最小值为．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．
22．（16分）如图，已知双曲线C~1~：，曲线C~2~：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C~1~，C~2~都有公共点，则称P为"C~1~﹣C~2~型点"
（1）在正确证明C~1~的左焦点是"C~1~﹣C~2~型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C~2~有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C~1~﹣C~2~型点"；
（3）求证：圆x^2^+y^2^=内的点都不是"C~1~﹣C~2~型点"
【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是"C~1~﹣C~2~型点"，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；
（2）由直线y=kx与C~2~有公共点联立方程组有实数解得到\|k\|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C~1~和C~2~有公共点；
（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当\|k\|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C~2~无公共点，当\|k\|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C~2~有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与\|k\|＞1矛盾．从而证明了结论．
【解答】（1）解：C~1~的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：
或，其中．
（2）证明：因为直线y=kx与C~2~有公共点，
所以方程组有实数解，因此\|kx\|=\|x\|+1，得．
若原点是"C~1~﹣C~2~型点"，则存在过原点的直线与C~1~、C~2~都有公共点．
考虑过原点与C~2~有公共点的直线x=0或y=kx（\|k\|＞1）．
显然直线x=0与C~1~无公共点．
如果直线为y=kx（\|k\|＞1），则由方程组，得，矛盾．
所以直线y=kx（\|k\|＞1）与C~1~也无公共点．
因此原点不是"C~1~﹣C~2~型点"．
（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C~1~，C~2~都有公共点，显然l不与x轴垂直，
故可设l：y=kx+b．
若\|k\|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，
从而过Q且以k为斜率的直线l与C~2~无公共点，矛盾，所以\|k\|＞1．
因为l与C~1~由公共点，所以方程组有实数解，
得（1﹣2k^2^）x^2^﹣4kbx﹣2b^2^﹣2=0．
因为\|k\|＞1，所以1﹣2k^2^≠0，
因此△=（4kb）^2^﹣4（1﹣2k^2^）（﹣2b^2^﹣2）=8（b^2^+1﹣2k^2^）≥0，
即b^2^≥2k^2^﹣1．
因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，
所以，从而，得k^2^＜1，与\|k\|＞1矛盾．
因此，圆内的点不是"C~1~﹣C~2~型点"．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2\|x+c+4\|﹣\|x+c\|．数列a~1~，a~2~，a~3~，...满足a~n+1~=f（a~n~），n∈N^\*^．
（1）若a~1~=﹣c﹣2，求a~2~及a~3~；
（2）求证：对任意n∈N^\*^，a~n+1~﹣a~n~≥c；
（3）是否存在a~1~，使得a~1~，a~2~，...，a~n~，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a~1~；若不存在，说明理由．
【分析】（1）对于分别取n=1，2，a~n+1~=f（a~n~），n∈N^\*^．去掉绝对值符合即可得出；
（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；
（3）由（2）及c＞0，得a~n+1~≥a~n~，即{a~n~}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a~1~＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a~1~＜﹣c时，当a~1~≥﹣c时．即可得出a~1~的取值范围．
【解答】解：（1）a~2~=f（a~1~）=f（﹣c﹣2）=2\|﹣c﹣2+c+4\|﹣\|﹣c﹣2+c\|=4﹣2=2，
a~3~=f（a~2~）=f（2）=2\|2+c+4\|﹣\|2+c\|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当a~n~≥﹣c时，a~n+1~﹣a~n~=c+8＞c；
当﹣c﹣4≤a~n~＜﹣c时，a~n+1~﹣a~n~=2a~n~+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；
当a~n~＜﹣c﹣4时，a~n+1~﹣a~n~=﹣2a~n~﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．
∴对任意n∈N^\*^，a~n+1~﹣a~n~≥c；
（3）假设存在a~1~，使得a~1~，a~2~，...，a~n~，...成等差数列．
由（2）及c＞0，得a~n+1~≥a~n~，即{a~n~}为无穷递增数列．
又{a~n~}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a~n~≥﹣c，从而a~n+1~=f（a~n~）=a~n~+c+8，由于{a~n~}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a~1~＜﹣c﹣4时，则a~2~=f（a~1~）=﹣a~1~﹣c﹣8，
又a~2~=a~1~+d=a~1~+c+8，故﹣a~1~﹣c﹣8=a~1~+c+8，即a~1~=﹣c﹣8，从而a~2~=0，
当n≥2时，由于{a~n~}为递增数列，故a~n~≥a~2~=0＞﹣c，
∴a~n+1~=f（a~n~）=a~n~+c+8，而a~2~=a~1~+c+8，故当a~1~=﹣c﹣8时，{a~n~}为无穷等差数列，符合要求；
②若﹣c﹣4≤a~1~＜﹣c，则a~2~=f（a~1~）=3a~1~+3c+8，又a~2~=a~1~+d=a~1~+c+8，∴3a~1~+3c+8=a~1~+c+8，得a~1~=﹣c，应舍去；
③若a~1~≥﹣c，则由a~n~≥a~1~得到a~n+1~=f（a~n~）=a~n~+c+8，从而{a~n~}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a~1~的取值范围为{﹣c﹣8}∪\[﹣c，+∞）．
【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．
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**2019年贵州省贵阳市中考数学试卷**
**一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分**
1．（3分）（2019•贵阳）可表示为
A． B． C． D．
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•贵阳）选择计算的最佳方法是
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
4．（3分）（2019•贵阳）如图，菱形的周长是，，那么这个菱形的对角线的长是
A． B．2 C． D．
5．（3分）（2019•贵阳）如图，在的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•贵阳）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•贵阳）如图，下面是甲乙两位党员使用"学习强国"在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习"文章"的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
8．（3分）（2019•贵阳）数轴上点，，表示的数分别是，，9，点为线段的中点，则的值是
A．3 B．4.5 C．6 D．18
9．（3分）（2019•贵阳）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长度是
A．2 B．3 C． D．
10．（3分）（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A． B． C．或 D．
**二、填空题：每小题4分，共20分。**
11．（4分）（2019•贵阳）若分式的值为0，则的值是[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解是[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•贵阳）一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•贵阳）如图，用等分圆的方法，在半径为的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若，则四叶幸运草的周长是[ ]{.underline}．
15．（4分）（2019•贵阳）如图，在矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题10小题，共100分.**
16．（8分）（2019•贵阳）如图是一个长为，宽为的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母，的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当，时，求矩形中空白部分的面积．
17．（10分）（2019•贵阳）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行"禁毒知识应知应会"测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予"禁毒小卫士"的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
---------- ---- ---- -------------------- ---- ---- ---- -------------------- ---- ----
成绩分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 [ ]{.underline} 3 2 1 [ ]{.underline} 2 1
---------- ---- ---- -------------------- ---- ---- ---- -------------------- ---- ----
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
-------- -------------------- --------
平均数 众数 中位数
93 [ ]{.underline} 91
-------- -------------------- --------
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前的学生为"良好"等次，你认为"良好"等次的测评成绩至少定为[ ]{.underline}分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前的学生"禁毒小卫士"荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
18．（10分）（2019•贵阳）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求点到点的距离．
19．（10分）（2019•贵阳）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是[ ]{.underline}
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
20．（10分）（2019•贵阳）某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是15本，款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求，两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本款毕业纪念册．
21．（8分）（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径，为检修时阀门开启的位置，且．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）
，，，，，，
22．（10分）（2019•贵阳）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于，两点，并与反比例函数的图象相切于点．
（1）切点的坐标是[ ]{.underline}；
（2）若点为线段的中点，将一次函数的图象向左平移个单位后，点和点平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求的值．
23．（10分）（2019•贵阳）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点关于的对称点恰好落在上．
（1）求证：；
（2）过点作的切线，交的延长线于点．如果，，求的直径．
24．（12分）（2019•贵阳）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
25．（12分）（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系．
**2019年贵州省贵阳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分**
1．（3分）可表示为
A． B． C． D．
【考点】有理数的乘方
【分析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案．
【解答】解：可表示为：．
故选：．
2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．
【解答】解：如图所示：它的主视图是：．
故选：．
3．（3分）选择计算的最佳方法是
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【考点】平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：选择计算的最佳方法是：运用平方差公式．
故选：．
4．（3分）如图，菱形的周长是，，那么这个菱形的对角线的长是
A． B．2 C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．
【解答】解：四边形是菱形，是对角线，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的周长是，
．
故选：．
5．（3分）如图，在的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是
A． B． C． D．
【考点】利用轴对称设计图案；几何概率
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：．
故选：．
6．（3分）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；正多边形和圆
【分析】根据正六边形的内角和求得，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在正六边形中，，，
，
故选：．
7．（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用"学习强国"在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习"文章"的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
【考点】条形统计图；扇形统计图
【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是，
由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是，
所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．
故选：．
8．（3分）数轴上点，，表示的数分别是，，9，点为线段的中点，则的值是
A．3 B．4.5 C．6 D．18
【考点】数轴
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：数轴上点，，表示的数分别是，，9，点为线段的中点，
，
解得：，
故选：．
9．（3分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长度是
A．2 B．3 C． D．
【考点】等腰三角形的性质；作图基本作图；角平分线的性质
【分析】利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算的长．
【解答】解：由作法得，则，
，
在中，．
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A． B． C．或 D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系
【分析】分，两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求的取值范围．
【解答】解：抛物线与线段有两个不同的交点，
令，则
△
①当时，
解得：
②当时，
解得：
综上所述：或
故选：．
**二、填空题：每小题4分，共20分。**
11．（4分）若分式的值为0，则的值是[ 2 ]{.underline}．
【考点】分式的值为零的条件
【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．
【解答】解：分式的值为0，
，且，
解得：．
故答案为：2．
12．（4分）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于，的方程组的解是[ ]{.underline}．
【考点】一次函数与二元一次方程（组
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：一次函数与的图象的交点坐标为，
关于，的方程组的解是．
故答案为．
13．（4分）一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．
【解答】解：一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
与的关系是：．
故答案为：．
14．（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若，则四叶幸运草的周长是[ ]{.underline}．
【考点】弧长的计算；正多边形和圆
【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长个圆的周长，
四叶幸运草的周长；
故答案为：．
15．（4分）如图，在矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是[ ]{.underline}．
【考点】轨迹；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】当与点重合时和与重合时，根据的位置，可知的运动路径是的长；由已知条件可以推导出是直角三角形，且，在中，求出即可求解．
【解答】解：的运动路径是的长；
，，
，
当与点重合时，
在中，，，，
，，
当与重合时，，
，，
在中，；
故答案为．
**三、解答题：本大题10小题，共100分.**
16．（8分）如图是一个长为，宽为的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．
（1）用含字母，的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当，时，求矩形中空白部分的面积．
【考点】列代数式；代数式求值
【分析】（1）空白区域面积矩形面积两个阴影平行四边形面积中间重叠平行四边形面积；
（2）将，代入（1）中即可；
【解答】解：（1）；
（2）当，时，；
17．（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行"禁毒知识应知应会"测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予"禁毒小卫士"的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
---------- ---- ---- --------------------- ---- ---- ---- -------------------- ---- ----
成绩分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 [ 5 ]{.underline} 3 2 1 [ ]{.underline} 2 1
---------- ---- ---- --------------------- ---- ---- ---- -------------------- ---- ----
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
-------- -------------------- --------
平均数 众数 中位数
93 [ ]{.underline} 91
-------- -------------------- --------
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前的学生为"良好"等次，你认为"良好"等次的测评成绩至少定为[ ]{.underline}分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前的学生"禁毒小卫士"荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
【考点】用样本估计总体；众数；加权平均数；中位数
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）由，结合题意即可得出结论；
（3）由，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
出现次数最多的是90分，
众数是90分；
故答案为：5；3；90；
（2），
如果该校想确定七年级前的学生为"良好"等次，则"良好"等次的测评成绩至少定为91分；
故答案为：91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
，
估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
18．（10分）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求点到点的距离．
【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，等量代换得到，，于是得到四边形是平行四边形；
（2）连接，根据已知条件得到，根据直角三角形的判定定理得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
，，
，
，，
，
，
．
19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是[ ]{.underline}
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为、一名本科生为，历史专业的一名研究生为、一名本科生为，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【解答】解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为：；
（2）设思政专业的一名研究生为、一名本科生为，历史专业的一名研究生为、一名本科生为，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
20．（10分）某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是15本，款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是10本，销售总价是280元．
（1）求，两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本款毕业纪念册．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）直接利用第一周款销售数量是15本，款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程求出答案；
（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设款毕业纪念册的销售为元，款毕业纪念册的销售为元，根据题意可得：
，
解得：，
答：款毕业纪念册的销售为10元，款毕业纪念册的销售为8元；
（2）设能够买本款毕业纪念册，则购买款毕业纪念册本，根据题意可得：
，
解得：，
则最多能够买24本款毕业纪念册．
21．（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径，为检修时阀门开启的位置，且．
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）
，，，，，，
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应用坡度坡角问题
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据余角的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围为：；
（2）如图，，
，
，
，
，
，
，
，
答：此时下水道内水的深度约为．
22．（10分）如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于，两点，并与反比例函数的图象相切于点．
（1）切点的坐标是[ ]{.underline}；
（2）若点为线段的中点，将一次函数的图象向左平移个单位后，点和点平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求的值．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点坐标，再求出点和点平移后的对应点的坐标，列出方程可求和的值．
【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相切于点
，
点坐标为
故答案为：；
（2）一次函数的图象与坐标轴交于，两点，
点
点为线段的中点，
点
点和点平移后的对应点坐标分别为，
23．（10分）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点关于的对称点恰好落在上．
（1）求证：；
（2）过点作的切线，交的延长线于点．如果，，求的直径．
【考点】切线的性质；轴对称的性质
【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出，利用同位角相等两直线平行，可得出与平行；
（2）由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，又垂直于，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到与平行，根据两直线平行内错角相等得到，由，等量代换可得出，再由，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形三内角相等，确定出三角形为等边三角形，根据等边三角形的内角为得到为，由平行于，利用两直线平行同位角相等可得出，再由，得到三角形为等边三角形，可得出为，利用平角的定义得到也为，再加上，可得出三角形为等边三角形，得到内角为，可求出为，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得出为的一半，而等于圆的半径等于直径的一半，可得出为的四分之一，即．
【解答】（1）证明：关于的对称点恰好落在上．
，
，
又，
，
；
（2）解：连接，
为圆的切线，
，又，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
又，
，又，
为等边三角形，
，
，又，
也为等边三角形，
，，
又，
，
在中，，
又，
，
．
24．（12分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点在点上方和下方两种情况，先求出的度数，再利用三角函数求出的长，从而得出答案；
（3）分对称轴在到范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）点与点关于直线对称，
点的坐标为，
代入，得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知，
则，
，
若点在点上方，则，
，
；
若点在点下方，则，
，
；
综上，的长为或；
（3）若，即，
则函数的最小值为，
解得（负值舍去）；
若，即，
则函数的最小值为，
解得：（舍去）；
若，
则函数的最小值为，
解得（负值舍去）；
综上，的值为或．
25．（12分）（1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系；
（2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数；
（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系．
【考点】四边形综合题
【分析】数学理解：
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，由正方形的性质可得，，可求，即可得；
问题解决：
（2）延长，使，通过证明，可得，通过，可得，，由三角形内角和定理可求的度数；
联系拓广：
（3）由正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，，可得，，即可求，，的数量关系．
【解答】解：
数学理解：
（1）
理由如下：是等腰直角三角形
，，
四边形是正方形
，
问题解决：
（2）如图，延长，使，连接，
四边形是正方形
，
，，
，，，
，且，
同理可得：
，
联系拓广：
（3）四边形是正方形
，
，，
，
，
，
在中，，
，
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日期：2019/7/11 8:48:26；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**河北省衡水中学2017届高三上学期第五次调研考试（12月）**
**理数试题**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：\[来源:Zxxk.Com\]
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）
A．45 B．50 C.55 D．60
5.已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C.  D．
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．35 C.  D．
7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）
（参考数据：,,）
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
A．12 B．24 C. 36   D．4
8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（  ）\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
A． B． C. D．
9.三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C.  D．
10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C.  D．3
11.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C.  D．
12.已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B．  C.  D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于\_\_\_\_\_\_\_\_.\[来源:Zxxk.Com\]
14.已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
16.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.
（1）求数列,的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为"环保卫士-12369"的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？
下面临界值表供参考：
参考公式：，其中.
19\. （本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.
（1）若分别为，的中点，求证：平面；\[来源:学\|科\|网\]
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值.
**请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数，，函数的最大值为3.
（1）求的值；
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.
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> **河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试**
>
> **数学（理）试题**
>
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，或，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】因为，所以，应选答案D。
2\. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。学科网
3\. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为
4\. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 （ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
5\. 《九章算术》中有如下问题："今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ "其大意："已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？"现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为
6\. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为1
7\. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）学\#科\#网\...
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为
8\. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以
9\. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。
10\. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】由流程图逐一计算即可得S=
11\. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A 学科网
【解析】设，且的外接圆的方程为，将分别代入可得，由可得，即，所以，即，所以，应选答案A。
点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为，然后依据题设建立不等式，即，然后借助参数之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。
12\. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】当k=0时，即解f(x)\<0即可，构造函数，所以可令+c，所以由得c=1所以，即f(x)\<0得解集为其中恰有两个整数-2，-1，所以k=0成立，排除AD，当k=，则f(x)\<0即\<,h（x）=得函数在（-4，-1）递减，递增，且，此时的解集至少包括-4，-2，-3，-1所以违背题意，故不能取，排除B，故选C学\#科\#网\...
点睛：对于比较复杂的函数问题首先要根据题意构造新函数，转化为分析等价新函数的问题，另外对于选择题还可根据选项的区别可以逐一排除选项
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由得：，又，所以得故=
14\. 在中，分别为角的对边，，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由余弦定理可得：，再有正弦定理角化边可得：
15\. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由可得为直角三角形，∠=90°，可得即，，得即化为可得：，又由双曲线中c\>a=1,所以双曲线的焦点的取值范围为
点睛：首先要明确由可得为直角三角形，∠=90°，可得即然后根据双曲线的定义和几何性质可得从而得出结论
16\. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】如图：，内切球的半径为：，所以正方体棱长为，取的靠B的三等分点H连接CD,DH，则NB⊥面DHC，所以M的轨迹为DHC与内切球的交线，由正方体棱长为可得O到面DCH的距离为，所以截面圆的半径为，所以M的轨迹长度为：
点睛：此题困难，首先要明确M的轨迹，通过题意可知M为DHC与内切球的交线是解题关键，然后根据几何关系求出相应线段长度即可.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意可得由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，然后根据等差数列通向求法即可得结论（2）由题先得的通项，根据等比性质先得通项，因此，再根据分组求和即可
试题解析：
解：(1) 由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，.
(2)设等比数列的首项为，则，依题有 ，即，解得，故，.学科网
18\. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.
（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.学\#科\#网\...
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据互斥事件的性质可得等式求结论（2）首先得的所有可能取值为，然后一一计算对应概率即可，最后列表写出分布列求期望
试题解析：
解：设表示事件"此人于3月日到达该市".依题意知，，且.
(1)设为事件"此人停留天空气质量都是重度污染" ，则，所以，即此人停留天空气质量都是重度污染的概率为.
\(2\) 由题意可知，的所有可能取值为，且，，，
，
(或)，
所以的分布列为
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
    
    
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
故的期望.
点睛：掌握互斥事件间的概率计算性质，，所以然后根据分布列写法，一一列出概率求解即可
19\. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，故从而的证明（2）求解二面角时则通过建立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可
试题解析：
解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，故.又平面平面平面.学\#科\#网\...
(2)平面平面与均为正三角形，延长交的中点，连接平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，，
，设，可得，设平面的一个法向量为，由，令，得，同理可得平面的一个法向量，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.
点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可
20\. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）可直接依据等腰三角形的几何特征建立方程求解；（2）先依据题条件建立直线的截距式方程，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解：
解：(1) 由题知，则的中点坐标为，则，解得，故的方程为.
\(2\) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得，，设的坐标为，则，由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.
点睛：设置本题的目的旨在考查抛物线的标准方程与几何性质及直线与抛物线的位置关系等知识的综合运用。解答本题的第一问时，直接依据等腰三角形的几何特征建立方程，通过求解方程使得问题获解；求解第二问时，先依据题条件建立直线的截距式方程为，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解。
21\. 设函数）.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，设切点，得斜率，列方程求即可；
（2）由（1）得当，；当时，，取绝对值构造函数即可.
试题解析：
（1）设切点的坐标为，由，得，
所以切线方程为，即，
由已知和为同一条直线，所以，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
当且仅当时等号成立，所以.学科网
（2）①当时，有（1）结合函数的图象知：
存在，使得对于任意，都有，
则不等式等价，即，
设 ，
由得，由得，
若，因为，所以在上单调递减，
因为，
所以任意，与题意不符，
若，所以在上单调递增，
因为，所以对任意符合题意，
此时取，可得对任意，都有.
②当时，有（1）结合函数的图象知，
所以对任意都成立，
所以等价于，
设，则，
由得得，，
所以在上单调递减，注意到，
所以对任意，不符合题设，
总数所述，的取值范围为.
点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线参数方程得到形式运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；（2）先将问题进行等价转化为不等式恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式进行求解：
解：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方， ，恒成立，即
（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.
点睛：求解第一问时，可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线的参数方程的形式，运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；求解第二问时先将问题进行等价转化为不等式 ，恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式使得问题获解。
23\. 选修4-5：不等式选讲学\#科\#网\...
已知定义在上的函数，且恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）1（2）见解析 学科网
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**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇州县一年级（上）期末数学试卷**
**一.认真算一算，我是计算小能手。（44分）**
1．（6分）填数。
[ ]{.underline}﹣8＝5 [ ]{.underline}+2＝18 9+[ ]{.underline}＝15
--------------------------- ----------------------------- ----------------------------
5+[ ]{.underline}＝12 14﹣[ ]{.underline}＝14 5+9＝9+[ ]{.underline}
2．（15分）口算题。
9+9＝ 11+4＝ 9﹣0＝ 0+4＝ 3+4+3＝
------- --------- -------- --------- ----------
8+8＝ 7+10＝ 8+6＝ 11﹣1＝ 9﹣4+8＝
2+6＝ 11﹣7＝ 1+4＝ 10﹣1＝ 5+0+4＝
3．（5分）数一数，填一填。
> （1）有[ ]{.underline}个一位数，有[ ]{.underline}个两位数，一共有[ ]{.underline}个数。
>
> （2）从左往右数，是第[ ]{.underline}个，是第[ ]{.underline}个。
4．（6分）在〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
5﹣4〇4+5 18﹣12〇10 7+9〇15
----------- ------------ ------------
7〇16﹣3 9﹣9〇1 5+2〇10﹣3
5．（4分）从7、17、5、12这四个数中选出三个数，列出四道不同算式。
> [ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}、[ ]{.underline}
6．（8分）看图列式计算。
**二、用心思考，正确填写，你是最棒的！（22分）**
7．（4分）看计数器填空或画珠子。
8．（2分）按规律填数。
9．（2分）比一比在最重的后面画√，在最轻的后面画〇。
10．（2分）比一比，在最长的车下面画√.
11．（2分）比一比，在最高的下面画√，在最矮的下面画〇。
12．（2分）按要求画一画。
> 第一行：画5个□，[ ]{.underline}。
>
> 第二行：画〇，要比△多.△△△△[ ]{.underline}。
13．（4分）找朋友，连一连。
14．（4分）用两种方法记下钟表上的时刻。
**三、仔细填一填，相信你能行！（13分）**
15．（3分）14里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一。3个一和1个十合起来是[ ]{.underline}。
16．（2分）10前面一个数是[ ]{.underline}，后面一个数是[ ]{.underline}。
17．（2分）6和[ ]{.underline}组成10，[ ]{.underline}和0组成8。
18．（1分）写出大于7而小于12的数：[ ]{.underline}。
19．（2分）在3、8、11、7、20、19、13中，这几个数中，最小的数是[ ]{.underline}，最大的数是[ ]{.underline}。
20．（1分）一个加数5，另一个加数是9，它们的和是[ ]{.underline}。
21．（2分）被减数是11，减数是10，差是[ ]{.underline}。6和[ ]{.underline}凑成10。
**五.解决问题我最行。（21分）**
22．（4分）树上原来有20只小鸟，飞走了几只小鸟？
23．（4分）算一算草地上共有多少只蝴蝶？
24．（4分）小企鹅分三组在锻炼身体，你能计算出一共有多少企鹅？
25．（4分）他俩一共买了多少本书？
26．（5分）一年级有15人参加游园比赛。在第一轮比赛中，有8人走了，又来了10人参加第二轮比赛。现在有多少人参加游园比赛？
**2020-2021学年黑龙江省大庆市肇州县一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一.认真算一算，我是计算小能手。（44分）**
1．【分析】根据一个加数＝和﹣另一个加数，被减数＝差+减数，减数＝被减数﹣差，由此求解。
> 【解答】解：
13﹣8＝5 16+2＝18 9+6＝15
---------- ----------- ----------
5+7＝12 14﹣0＝14 5+9＝9+5
> 故答案为：13，16，6，7，0，5。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的计算方法以及加减法各部分之间的关系，要熟练掌握。
2．【分析】根据20以内加减法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
9+9＝18 11+4＝15 9﹣0＝9 0+4＝4 3+4+3＝10
--------- ---------- --------- ----------- ------------
8+8＝16 7+10＝17 8+6＝14 11﹣1＝10 9﹣4+8＝13
2+6＝8 11﹣7＝4 1+4＝5 10﹣1＝9 5+0+4＝9
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
3．【分析】（1）有一个数字的数是一位数，有两个数字的数是两位数，数一数即可知道一位数和两位数各有多少个，再把它们的个数相加就是一共的个数，也可以从左到右一个一个数出有多少个数。7、8和2是一位数，一位数有3个，18、11和10是两位数，两位数有3个，一共有3+3＝6个数。
> （2）左手这边是左，从左手这边数，是第1个，是第5个。
>
> 【解答】解：（1）7、8和2是一位数，一位数有3个，18、11和10是两位数，两位数有3个，一共有3+3＝6个数。
>
> 答：有3个一位数，有3个两位数，一共有6个数。
>
> （2）从左往右数，是第1个，是第5个。
>
> 故答案为：（1）3，3，6；（2）1，5。
>
> 【点评】本题考查了数位和左右的位置，要注意区分左右位置。
4．【分析】根据整数加减法的运算法则，先口算出所给算式的结果，再根据整数大小比较的方法比较大小。
> 【解答】解：
5﹣4＜4+5 18﹣12＜10 7+9＞15
----------- ------------ ------------
7＜16﹣3 9﹣9＜1 5+2＝10﹣3
> 故答案为：＜，＜，＞，＜，＜，＝。
>
> 【点评】本题主要考查整数大小的比较，关键是根据符号意识，对所给整数进行比较。
5．【分析】因为7与5的和是12，所以可以写成7+5＝12、5+7＝12、12﹣7＝5、12﹣5＝7。
> 【解答】解：从7、8、9、17这四个数中选出三个数，列出四道加法算式：
>
> 7+5＝12、5+7＝12、12﹣7＝5、12﹣5＝7。
>
> 故答案为：7+5＝12、5+7＝12、12﹣7＝5、12﹣5＝7。
>
> 【点评】此题考查了简单的整数加法，先找出两个数的和等于第三个数，再写算式。
6．【分析】第一个图：一共有19个篮球，拿出4个，还剩几个，用19个减去拿出的4个，就是剩余的，即19﹣4；
> 第二个图：左边有4块橡皮，右边有9块橡皮，把它们合起来，就是共有的，即4+9。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题关键是明确每个图的含义，然后再列式解答。
**二、用心思考，正确填写，你是最棒的！（22分）**
7．【分析】（1）十位是1，画1个珠子，个位是4，画4个珠子；
> （2）十位上2个珠子，表示2个十，个位是0个珠子，表示0个一；
>
> （3）十位是1个珠子，表示1个十，个位是2个珠子，表示2个一；
>
> （4）十位上是2，画2个珠子，个位是0，画0个珠子。
>
> 【解答】解：如图：
>
> 。
>
> 【点评】本题主要考查在计数器是表示数，在摆两位数时，要按照一定的顺序写，不要漏写或者重复写。
8．【分析】（1）根据所给数据发现，后一个数等于前一个数加1，据此解答；
> （2）后一个数等于前一个数减去2，据此解答。
>
> 【解答】解：（1）3﹣1＝2
>
> 3+1＝4
>
> 4+1＝5
>
> 5+1＝6
>
> 6+1＝7
>
> （2）16﹣2＝14
>
> 14﹣2＝12
>
> 12﹣2＝10
>
> 10﹣2＝8
>
> 8﹣2＝6
>
> 6﹣2＝4
>
> 如图：
>
> 。
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
9．【分析】根据天平平衡原理，下沉的一边较重，结合图示可知，小熊比小猴重，小猴比小兔重，所以小熊最重，小兔最轻。
> 【解答】解：如图：
>
> 。
>
> 【点评】本题主要考查学生对轻重的认识，属于基础题。
10．【分析】根据图示，大巴车比小轿车长，据此做题。
> 【解答】解：如图：
>
> 。
>
> 【点评】本题主要考查长短的比较，属于基础题。
11．【分析】通过观察，发现：妈妈弯下腰还比爸爸高，小朋友踮起脚还没爸爸高，所以妈妈最高，小朋友最矮。
> 【解答】解：如图：
>
> 【点评】此题主要考查学生对高和矮的认识，比较简单。
12．【分析】第一行：画5个□，也就是数出5个□，画在横线上即可；
> 数一数，一共有4个△，画〇，要比△多，也就是比4个△多，可以画5个〇。（此题答案不唯一）
>
> 【解答】解：根据题意与分析可得：
>
> 第一行：□□□□□。
>
> 第二行：〇〇〇〇〇。（此题答案不唯一）
>
> 【点评】本题关键是看清每一行的具体要求，然后再画一画。
13．【分析】根据长方体、正方体、圆柱和球的特征，完成连线即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 【点评】本题主要考查立体图形的分率和辨识，关键根据长方体、正方体、圆柱和球的特征做题。
14．【分析】根据分针指向12，时针指向几就是几时；分针指向6，时针走过几就是几时半，运用整时和半时的判断方法进行判断即可。
> 【解答】解：
>
> 故答案为：4时、4：00；12时半、12：30；6时、6：00；10时、10：00。
>
> 【点评】本题考查的是整时和半时的判断方法，应熟练掌握。
**三、仔细填一填，相信你能行！（13分）**
15．【分析】十位是几就表示几个十，个位上是几就表示几个一，所以14里面有1个十和4个一。3个一和1个十合起来是13。
> 【解答】解：14里面有1个十和4个一。3个一和1个十合起来是13。
>
> 故答案为：1，4；13。
>
> 【点评】此题考查的是数的组成，能够根据计数器明确该数的组成。
16．【分析】相邻两个自然数相差1，所以10前面一个数是9，后面一个数是11。据此解答即可。
> 【解答】解：10前面一个数是9，后面一个数是11。
>
> 故答案为：9，11。
>
> 【点评】此题的关键是明确相邻两个自然数相差1，然后再进一步解答。
17．【分析】根据10的组成可知6和4组成10，根据8的组成可知8和0组成8。
> 【解答】解：6和4组成10，8和0组成8。
>
> 故答案为：4，8。
>
> 【点评】此题考查的是数的组成，可以根据计数器明确该数的组成。
18．【分析】大于7而小于12的数，在7和12之间，有8、9、10、11。
> 【解答】解：大于7而小于12的数有：8、9、10、11。
>
> 故答案为：8、9、10、11。
>
> 【点评】本题考查了20以内数的认识，写完要检查看看是不是在7和12之间。
19．【分析】根据20以内数的大小比较方法，可以根据20以内数的排列顺序进行比较，排列在后面的数大于排列在前面的数。据此解答即可。
> 【解答】解：把3、8、11、7、20、19、13按照从小到大的顺序排列如下：
>
> 3＜7＜8＜11＜13＜19＜20.
>
> 所以最小数是3，最大的数是20。
>
> 故答案为：3、20。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握20以内数的大小比较方法及应用。
20．【分析】根据加数+加数＝和，代入数据进行解答。
> 【解答】解：5+9＝14
>
> 答：和是14。
>
> 故答案为：14。
>
> 【点评】考查了整数加法各部分名称之间的关系的灵活运用。
21．【分析】（1）根据差＝被减数﹣减数，代入数据进行解答；
> （2）10能分成6和4，所以，6和4凑成10，据此解答。
>
> 【解答】解：（1）11﹣10＝1
>
> 答：差是1。
>
> （2）10能分成6和4，所以，6和4凑成10。
>
> 故答案为：1；4。
>
> 【点评】考查了减法各部分名称之间的关系的运用，以及凑十法的运用。
**五.解决问题我最行。（21分）**
22．【分析】根据题意，树上还剩13只鸟，用原来的20只，减去剩下的，就是飞走的只数，即20﹣13。
> 【解答】解：20﹣13＝7（只）
>
> 答：飞走了7只小鸟。
>
> 【点评】本题关键是数清剩下的只数，然后再根据减法的意义进行解答。
23．【分析】根据题意可得，左边有8只蝴蝶，右边有11只蝴蝶，把左右两边的蝴蝶只数合起来，就是共有的只数，即8+11。
> 【解答】解：8+11＝19（只）
>
> 答：草地上共有19只蝴蝶。
>
> 【点评】本题考查了整数加法的意义的运用，注意数清左右两边蝴蝶的只数。
24．【分析】根据图可知，第一组有5只企鹅，第二组有7只企鹅，第三组有5只企鹅，把这三组的企鹅数量相加即可。
> 【解答】解：5+7+5＝17（只）
>
> 答：一共有17只企鹅。
>
> 【点评】本题考查了整数加法的意义的运用。
25．【分析】小男孩买了6本书，小女孩买的和小男孩一样多，也是6本书，然后再把他们买的合起来，求出一共买的本数，即6+6。
> 【解答】解：6+6＝12（本）
>
> 答：他俩一共买了12本书。
>
> 【点评】本题关键是明确买的一样多的含义，然后再根据加法的意义进行解答。
26．【分析】根据题意，用原来的15人，减去走的8人，再加上又来的10人即可。
> 【解答】解：15﹣8+10
>
> ＝7+10
>
> ＝17（人）
>
> 答：现在有17人参加游园比赛。
>
> 【点评】本题关键是明确：原来的人数减去走的，再加上又来的人数，就是现在的人数。
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**2020-2021学年度上期期末考试**
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**座号**
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**四年级数学试题**
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**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **卷面分** **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ ----------
**温馨提示：**
**1.本卷共4页，六大题，知识90分，卷面10分，满分100分。**
**2.请同学们认真审题，规范作答；字体工整，卷面整洁，书写最美试卷，争取不失卷面分。**
**3.请阅卷老师严格把关，审美评卷，根据卷面、字体、书写格式，打好卷面分。**
**一、填空题（每空1分，共21分）**
**1．12升＝( )毫升 3升－300毫升＝( )毫升**
**2．○÷△＝15......15，△最小是( )。**
**3．将120+180＝300，300÷50＝6，12×6＝72合并成综合算式是( )**
**4．不计算，在****里填上"＞"、"＜"或"＝"。**
**960÷24****960÷8÷3 200－125－25****200－(125+25)**
 **40×8+2****40×(8+2) 82－36÷12****(84－36)÷12**
**5．右图中，如果∠1＝∠2，那么两个角都是( )°，**
**如果∠3＝∠4＝∠5，那么每个角都是( )°。**
**∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝( )°**
**6．一个数的23倍是782，这个数是( )；26的( )倍是468。**
**7．周角是平角的( )倍，是直角的( )倍。**
**8．两个数的商是45，如果被除数不变，除数缩小5倍，则商是( )。**
**9．两条直线相交成直角时，这两条直线( )，其中一条直线是另一条直线的( )，这两条直线的交点叫作( )。**
**10．不透明的口袋中有3个黄球，5个红球，任意摸一个，摸到( )球的可能性大，摸到( )球的可能性小。**
**二、判断题（每小题1分、共5分）**
**1．8400÷400＝84÷4 ( )**
**2．比锐角大的角叫做钝角。 ( )**
**3．角的两边越长，角就越大。 ( )**
**4．被除数不变（0除外），除数越大，商越小。 ( )**
**5．一瓶可乐的容量是250毫升，8瓶可乐的容量是2升。 ( )**
**三、选择题（每小题2分，共10分）**
**1．12:30时，钟面上时针和分针所成的角是( )**
**A．锐角 B．直角 C．钝角**
**2．王叔叔骑自行车3小时行驶51千米，照这样计算，他行驶119千米需要多少小时？正确的算式是( )**
**A．119÷51÷3 B．119÷(51×3) C．119÷(51÷3)**
**3．若A×40＝320，则A×5＝( )**
**A．3000 B．400 C．10**
**4．280÷90的余数是( )**
**A．1 B．10 C．100**
**5．小花6分钟跳绳186下，小燕5分钟跳绳160下，( )每分钟跳的多。**
**A．小花 B．小燕 C．无法确定**
**四、计算题（共22分）**
**1．直接写出得数．（4分）**
**320÷40＝ 64÷4＝ 420÷60＝ 800÷8÷2＝**
**2×32＝ 16×6＝ 450÷50＝ 360÷6÷4＝**
**2．用竖式计算（6分）**
**810÷27＝ 803÷16＝ 816÷51＝**
**3．脱式计算．（12分）**
**405÷15+42 680+21×15-360**
**\[175－(49+26)\]×23 (736÷16+27)×18**
**576÷(33+15) 490÷\[210÷（180÷12）\]**
**五、操作题（7分）**
**过点A画出直线的垂线和直线的平行线。**
**六、解决问题（每小题5分，共25分）**
**1.江老师买了2件长袖衬衫一共用去270元，买3件短袖衬衫一共用去180元。一件长袖衬衫比一件短袖衬衫贵多少元？**
**2.一种玩具飞机原来每架90元。降价后，原来买6架的钱可以多买3架。降价后每架玩具飞机多少钱？**
**3超市运来36箱鸡蛋，每箱16千克。若将这些鸡蛋分装成每箱12千克，需装多少箱？**
> **4.希望小学四年级的328名同学去参观市科技示范园，已经去了48人，剩下的每20人乘一辆中巴车，需要多少辆中巴车？**
5. **同学们栽树，四年级栽了32棵，六年级栽的棵数比四年级的3倍少18棵。四年级比六年级少栽多少棵树？**
**四年级数学答案**
**一、1、1200 2700 2、16 3、（120+180）÷50×12＝72**
**4、＝ ＝ ＜ ＞ 5、45 60 270 6、34 18**
**7、2 4 8、225 9、互相垂直 垂线 垂足 10、红 黄**
**二、1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.√**
**三、1.C 2.C 3.B 4.B 5.B**
**四、1、8 16 7 50 64 96 9 15 2、30 50......3 16**
**3、69 635 2300 1314 12 35**
**五、略**
**六、1、270÷2－180÷3＝75 2、90×6÷（6+3）＝60**
**3、36×16÷12＝48 4、（328－48）÷20＝14**
**5、32×3－18－32＝46**
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**北师大版小学二年级下册数学第六单元《加与减一》单元测试3（附答案）**
一、我会填。
1、80里面有（ ）个十，7个十是（ ）。
2、9000里面有（ ）个千，（ ）个百；700－300是（ ）个百。
3、852里面有（ ）个百、（ ）个十和（ ）个一。
> 4、由4个百和5个一组成的数是（ ），由8个千、5个百和6个十组成的数是（ ）。
5、比310多400的数是（ ），410比80多（ ）。
6、（ ）＋550 = 750 （ ）－70 = 250
7、最小的三位数与最大的两位数的和是（ ），差是（ ）。
8、按规律填数：4020，4040，4060，（ ），（ ）。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、判断题。
1、两数相加，和一定大于任何一个加数。 （ ）
2、两数相减，差一定小于被减数。 （ ）
3、一个三位数减一个两位数，差是一个三位数。 （ ）
4、求"753比900少多少"的列式是：753－900。 （ ）
5、被减数 = 差＋减数。 （ ）
三、我会选。
1、下面计算对的是（ ）。
A、72－49 = 32 B、1500－600 = 90
C、360－40 = 320 D、720－400 = 300
2、下面正确的是（ ）。
A、46＋38﹥83 B、7×8﹥60
C、83－29 = 53 D、70﹤68＋12
3、下面想法对的是（ ）。
A、250＋40 B、320－70 C、740－300 D、1360－500
4、按照从小到大的顺序排列1008、989、1080、1800，排列对的是（ ）。
A、1008﹤989﹤1080﹤1800 B、989﹤1080﹤1008﹤1800
C、1008﹤1080﹤989﹤1800 D、989﹤1008﹤1080﹤1800
四、比大小。来源：www.bcjy123.com/tiku/
752 725 4356 3456 150＋400 150＋40
1200－800 400 6×7＋12 42 654－300 650－30
五、计算训练营。
1、直接写出得数。
63－36 = 75－57 = 43＋57 = 62＋13 =
47＋53 = 470＋60 = 710－70 = 820＋90 =
740－80 = 480＋500 = 1000－400 = 9×7＋8 =
30＋8×6 = 9×2÷6 = 650＋80 = （420－50）＋300 =
2、用竖式计算并验算。
730＋87 595－468
827＋383 624－139
237－98 284＋375
六、列式计算。
1、758比一个数少45，这个数是多少？
2、什么数加上75得655？
3、一个数减去560，还剩380，这个数是多少？
七、解决问题。
1、
> 2、小华家上半年养鸡680只，下半年比上半年多养89只，下半年养鸡多少只？小华家全年养鸡多少只？
3、60颗开心果，要想分给7个人，每人9颗，还差多少颗？
**第六单元测试卷的部分答案：**
一、1、8 70
2、9 90 4
3、8 5
4、405 8560
5、710 330
6、200 320
7、199 1
8、4080 4100
二、× × × × √
三、1、C 2、A 3、A 4、D
四、﹥ ﹥ ﹥ = ﹥ ﹤
五、2、817 127 1210 485 139 659
六、1、758＋45 = 803
2、655－75 = 580
3、380＋560 = 940
七、1、2285－1524 = 761（度）或2286－1525 = 761（度）
2、680＋89 = 769（只）
680＋769 = 1449（只）
3、7×9－60 = 63－60 = 3（颗）
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**北师大版小学一年级下册数学第三单元《加与减一------小兔请客》同步检测1（附答案）**
一、算一算，填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
＋ = （盆）
－ = （盆）
－ = （盆）来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、计算。
三、我会算。
50＋30 = 20＋70 = 40－30 =
90－80 = 60－50 = 10＋60 =
四、在○里填"﹥"、"﹤"或"="。
30＋40 40 50－20 50
70－30 40 80＋10 90
50－50 10 60＋20 70
五、送信（连线）。
六、分花生。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1. 还剩多少个花生？
> = （个）
>
> 2、你还能提出什么数学问题？请提出并解答。
七、
你知道少了多少个鸡蛋吗？这些鸡蛋可能在哪里呢？
八、你能用10，20，30，40，50，60，70，80这八个数组成下面的等式吗？
1、 ＋ 2、 －
= ＋ = －
= ＋ = －
= ＋ = －
**部分答案：**
一、10＋20 = 30 20－10 = 10
30－10 = 20或30－20 = 10
二、70 50 60 90
60 0 50 30
三、80 90 10 10 10 70
四、﹥ ﹤ = = ﹤ ﹥
五、
六、1、50－10－20 = 20（个）
2、两只小猴一共要了多少个花生？
20＋10 = 30（个）
七、少了10个鸡蛋，这10个鸡蛋可能变成小鸡了。
八、1、10＋80 = 20＋70 = 30＋60 = 40＋50
2、80－70 = 60－50 = 40－30 = 20－10或80－60 = 70－50 = 40－20 = 30－10
提示：此小题的答案不唯一。
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**北师大版五年级数学下册期末复习试卷1**
（新教材）
特别说明：本试卷为最新北师版教材（\~2016年）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第八单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（一）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（二）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（三）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（四）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（一）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（二）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（三）
9\. 第六单元测评卷 20.期末测评卷（四）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（五）
11.第七单元测评卷 22.期末测评卷（六）
附：参考答案
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第5课《数一数二》试题附答案**
一年级奥数上册：第五讲 数一数（二）
 
**答案**
一年级奥数上册：第五讲 数一数 习题五
一年级奥数上册：第五讲 数一数 习题解答
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------街心广场》同步检测2（附答案）**
一、算一算。
二、填一填。
1.因为4×6=24，所以0.4×6=( )，0.4×0.6=( )。
2.两数相乘，其中第一个乘数是一位小数，第二个乘数是两位小数，那么它们的积是( )位小数。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.0.83×0.45的积是( )位小数。
4.因为12×32=384，所以0.12×0.32=( )。
5.两数相乘，如果其中一个乘数扩大到原来的l00倍，而另一个乘数不变，则积就( )。
6.在小数乘法中，积的小数位数是两个乘数的小数位数的( )。
三、火眼金睛。
1.两个一位小数相乘，积一定是一位小数。( )
2.6.83×0.04的积是四位小数。( )
3.两个小数相乘，其中一个乘数扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的l00倍。( )
4.两个数相乘，第一个乘数是两位小数，第二个乘数是三位小数，它们的积是六位小数。( )
四、小动物回家。
0.6×12 积是四位小数
2.1×0.3 积是三位小数
4.5×0.17 积是两位小数来源：www.bcjy123.com/tiku/
0.083×1.9 积是一位小数
五、根据所给算式写出下面各式的积。
例：23×24=552
例：18×6=108
六、根据32×14=448,在( )里填上适当的数。
( )×( )
1.4.48= ( )×( )
( )×( )
( )×( )
2.0.448= ( )×( )
( )×( )
七、冬冬的计算器上的小数点无法显示了，你能帮他得到正确答案吗？
----------- ----------
5.2×1.6 0.3×8.4
0.12×20.8 6.4×1.33
----------- ----------
八、根据所给算式，总结结论。
**参考答案**
一、12 1.2 0.12 36 0.36 0.036
二、1. 2.4 0.24 2.三 3.四 4. 0.0384 5.扩大到原来的100倍 6.和
三、1. × 2. √ 3.× 4.×
四、
五、55.2 5.52 0.552 0.0552 0.552 0.00552
1.08 1.08 0.108 0.0108 0.0108 1.08
六、答案不唯一。
1\. 0.32×14 3.2×1.4 32×0.14
2\. 0.032×14 32×0.014 0.32×1.4
七、65.52 2.52 2.496 8.512
八、两个乘数的小数点同时向左移动一位，积的小数点就向左移动两位；两个乘数的小数点同时向右移动一位，积的小数点就向右移动两位
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2017年云南省中考数学试卷(解析版)
（全卷三个大题，共23个小题；满分120分）
一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．2的相反数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【考点】相反数
【答案】-2；
2．已知关于x的方程\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
【考点】方程的解
【答案】-7
3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，，
则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【考点】相似三角形，等比性质
【解析】等比性质
等比性质的原理是
，
故本题答案为
4.
【考点】二次根式
【答案】
5.如图，边长为4的正方形ABCD外切于圆，切点分别为E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【考点】多边形内切圆，切线长定理。阴影部分面积
【解析】方法很多，又是选择题，要求没有那么严谨，只要看出分割，就可以完成
【答案】
6.
两点的一次函数的解析式（也称关系式）为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法\[来源:学科网ZXXK\]
【解析】因为，所以ab=5
又因为a、b都是正整数，所以
所以分两种情况：
①B（1,0），C（0,5），由此可得一次函数解析式为
②B（5,0），C（0,1），由此可得一次函数解析式为
二、选则题（本大题共8个小题，每小题只要一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为6700000m，将6700000用科学计数法表示为（ ）
A． B.  C.  D. 
【考点】科学计算法
【答案】选B
8．下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ）
【考点】三视图
【答案】选C
9．下列计算正确的是（ ）
A． B.
C. D.
【考点】整式乘除、幂的性质
【答案】选D
10\. 若一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
【考点】多边形内角和
【答案】选C
11\. sin60°的值为（ ）
A． B. C. D.
【考点】特殊角三角函数
【答案】选B
12\. 下列说法正确的是（ ）
A．要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法
B．4为同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100
C．甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62，则乙的表现较甲更稳定
D.某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖
【考点】统计概率小综合
【解析】B选项中位数应为102.5；
C选项根据方差甲更稳定；D这种事情是常识大家都懂，
故选A
13.正如我们小学学过的圆锥体积公式（表示圆周率，表示圆锥的底面半径，表示圆锥的高）一样，许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后第7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把计算得更精确。在辉煌的成就背后，我们来看看祖冲之付出了多少，现在研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内。即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现代的阿拉伯数字，而是用算筹（小竹棍或小竹片）进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习。
下面我们就来通过计算解决问题，已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（ ）
A． B. C. D.
【考点】祖冲之的故事，并对他不怕复杂计算的毅力致敬！圆锥体积，扇形、弧长公式
【解析】法一：如图，设圆锥高为h，底面圆半径为r，则母线=
底面圆周长为，而展开图中扇形半径=母线=，并且展开图中弧长为
故
到了这一步，同学就傻了，可以算，但现在你不一定会，
另外你可以用答案去检验h的值
算一下，
法二：利用一个结论， 圆锥展开图如果是半圆，那么圆锥的母线是底面半径的2倍。这个方法可以先算出
再利用，算出，进一步可得
14．如图，B、C是圆A上的两点，AB的垂直平分线与圆A交于E、F两点，与线段AC交于D点，若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30° B.29° C.28° D.20°
【考点】圆周角，中垂线，等腰三角形
【解析】∠A=2∠BFC=40°,因为AB=AC，所以∠ABC=70°,
因为EF是AB中垂线，所以DA=DB
所以∠ABD=40°，∠DBC=30°
故选A
三、解答题（本大题共9小题，共70分）
15.（本小题满分6分）
如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF.
求证：∠ABC=∠DEF
【考点】全等三角形判定性质
【解析】这道题大家都会，证明全等由全等性质可得角等
16．（本小题满分6分）
观察下列各个等式的规律：
第一个等式：，
第二个等式：
第三个等式：
.....................................................................
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的。
【考点】规律探索，体现了归纳猜想能力
【解析】（1）第四个等式为：；
（2）第n个等式
证明：左边=
所以左边=右边，等式成立。
17、（本小题满分8分）
某初级中学正在开展"文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行"的"创文活动"，为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查，根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图，条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比。
（1）请补全条形统计图
（2）若该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？
【考点】统计图，估计
【解析】（1）总人数为50人，则八年级人数为15人，九年级人数为10人（图略）；
（2）60020%=120（人）
答：该校九年级大约有120名志愿者。
18.（本小题满分6分）\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元。
1. 该商店第一次购进水果多少千克？
2. 假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售，若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和。
【解析】（1）设该商店第一次购进水果 x千克
解得：x=100
经检验x=100是原方程的解
所以 2x=200
答：该商店第一次购进水果 100千克.
（2）设每千克水果的标价是y元，则
解得：
答：每千克水果的标价至少为15元。
19．（本题满分7分）
在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，，7的小球，它（原题为"他"）们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机取出1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字。
1. 用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
2. 求两次取出的小球上的数字相同的概率P .
【考点】概率，列举法求概率
【解析】（1）
+--------+-----------+------------+----------+
| 第二次 | 6 | -2 | 7 |
| | | | |
| 第一次 | | | |
+--------+-----------+------------+----------+
| 6 | （6,6） | （6，-2） | （6,7） |
+--------+-----------+------------+----------+
| -2 | （-2，6） | （-2，-2） | （-2,7） |
+--------+-----------+------------+----------+
| 7 | （7,6） | （7，-2） | （7,7） |
+--------+-----------+------------+----------+
共有9种等可能结果
（2）记两次取出小球上的数字相同这个事件为A
所以P（A）=
答：两次取出的小球上的数字相同的概率为
20.（本小题满分8分）
如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点。
1. 求证：四边形AEDF是菱形
2. 如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S。
【考点】菱形判定，中位线定理，等腰三角形
【解析】（1）证明思路：由△ABC是等腰三角形且AD⊥BC，可得点D为BC中点，在利用中位线定理可以证明出DE平行与AC且等于AC一半，可得四边形AEDF是平行四边形，再证明邻边相等可得菱形。（其他方法也可）
（2）连接EF交AD于O点，设AO=x,EO=y
21．（本题满分8分）
已知二次函数（3，8），该二次函数图像的对称轴与轴的交点为A，M是这个二次函数图像上的点，是原点
1. 不等式是否成立？请说明理由；
2. 设是△AMO的面积，求满足的所有点M的坐标。
【考点】二次函数性质
【解析】（1）
（直接用顶点公式展开也可求出b、c值）
（2）设
①  ②
22.（本小题满分9分）
在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立"绿水青山就是金山银山"理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具。
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
------ --------- ----------
型号 载客量 租金单价
A 30人/辆 380元/辆
B 20人/辆 280元/辆
------ --------- ----------
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数。
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元。
1. 求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
2. 若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
【考点】一次函数求最值，列不等式组
【解析】（1）（且x为整数）
可由1441来决定，
（2）
因为x取整数，所以有25种方案。在中，y随x的增大而增大，
所以当x=21时，最省钱，为19460元
答：共有25种方案，当A型租21辆，B型租41辆时，最省钱。
23.（本小题满分12分）
已知AB是⊙的直径，PB是⊙的切线，C是⊙上的点， AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为，B与直线CM上的点连线距离的
最小值为.
1. 求证：PC是⊙的切线；
2. 设，求∠CPO的正弦值；
3. 。
【考点】圆的切线判定性质，相似三角形，三角函数定义，线段和最短
【解析】（1）连接OC，
∵AC∥OP，∴∠1=∠4，∠2=∠3
∵OA=OC，∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4
在△OCP和△OBP中
∴△OCP≌△OBP（SAS）
∴∠OCP=∠OBP
∵PB切圆O于点B，∴∠OBP=90°，∴∠OCP=90°
∵OC⊥PC且OC为半径
∴PC是圆O的切线
（2）
（3）过点A作AE垂直MC于点E,并延长交圆O于点K,则AE=d,
过点B作BF垂直MC于点F,则BF=f, 连BK,则四边形EKBF是矩形，所以EK=BF,
所以 d+f=AE+BF=AE+EK=AK,
因为AC≤AK≤AB,
所以9≤d+f≤15.
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2017考研数学一答案及解析
**一、选择题：1\~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。\
**（1）若函数在连续，则（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由连续的定义可得，而
，，因此可得，故选择A。
（2）设函数可导，且，则（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】令，则有，故单调递增，则，即，即，故选择C。
（3）函数在点处沿向量的方向导数为（ ）。
A.12
B.6
C.4
D.2
【答案】D
【解析】，因此代入可得，则有。
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（ ）。
{width="4.291666666666667in" height="2.09375in"}
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与，由定积分的几何意义可知，，因此可知。
（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（ ）。
A. 不可逆
B. 不可逆
C. 不可逆
D. 不可逆
【答案】A
【解析】因为的特征值为0（n-1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。
（6）已知矩阵，则（ ）。
A.A与C相似，B与C相似
B. A与C相似，B与C不相似
C. A与C不相似，B与C相似
D. A与C不相似，B与C不相似
【答案】B
【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。
（7）设A，B为随机事件，若，且的充分必要条件是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由得，即，因此选择A。
（8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（ ）。
A. 服从分布
B. 服从分布
C. 服从分布
D. 服从分布
【答案】B
【解析】，故，，因此，故，故B错误，由可得，，，则有，因此。
**二、填空题：9\~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。**
（9）已知函数，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】0
【解析】，因此
，代入可得。
（10）微分方程的通解为=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】
【解析】由，所以，因此，因此通解为：。
（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】－1
【解析】设，因此可得：
，根据，因此可得。
（12）幂级数在区间内的和函数=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】
【解析】。
（13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】2
【解析】因为，而
，因此，所以向量组的秩2。
（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】2
【解析】
因此可得。
**三、解答题： 15\~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
（15）（本题满分10分）
设函数具有2阶连续偏导数，，求。
【答案】，
【解析】因为，所以，因此
因此得：
（16）（本题满分10分）
求
【答案】
【解析】由定积分的定义可知，
，然后计算定积分，
（17）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值。
【答案】极大值为，极小值为。
【解析】对关于求导得：，
令得，因此，当时，，当时，。
对关于再次求导得：，将代入可得
当时，时，代入可得，当时，时，代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。
（18）（本题满分10分）
设函数在区间上具有2阶导数，且，，证明：
（Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根；
（Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
（Ⅰ）证：因为，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。
（Ⅱ）构造函数，因此，
因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。
【解析】略
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为，记圆锥与柱面的交线为，
（Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程；
（Ⅱ）求的质量。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）64。
【解析】（Ⅰ）的方程为，投影到平面上为
（Ⅱ），
因此有。
（20）（本题满分11分）
三阶行列式有3个不同的特征值，且，
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）如果，求方程组的通解。
【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）。
【解析】（Ⅰ）证：因为有三个不同的特征值，所以不是零矩阵，因此，若，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据，所以，因此。
（Ⅱ）因为，所以的基础解系中只有一个解向量，又，即，因此基础解系的一个解向量为。因为，故
的特解为，因此的通解为。
（21）（本题满分11分）
设在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。
【答案】，正交矩阵
【解析】
二次型对应的矩阵为，因为标准型为，所以，从而，即，代入得，解得；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
从而正交矩阵。
（22）（本题满分11分）
设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的概率密度。
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：，则
（Ⅱ）先求的分布函数，由分布函数的定义可知：。由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知
（其中为的分布函数：）
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立，且均服从正态分布，该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计
（Ⅰ）求的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求的矩估计量；
（Ⅲ）求的最大似然估计量。
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以，对应的概率密度为，设的分布函数为，对应的概率密度为；
当时，；
当时，；则的概率密度为；
（Ⅱ）因为，所以，从而的矩估计量为；
（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为，取对数得：，所以，令，得，所以的最大似然估计量为。
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**北师大版四年级（下）期中数学试卷（1）**
**一、想一想，填一填**
1．一个数从右边起，每[ ]{.underline}位为一级，第五位是[ ]{.underline}位，百万位是从右边起第[ ]{.underline}位．
2．10个一百是[ ]{.underline}，一百万里有[ ]{.underline}个十万．
3．由5个千万，5个万，5个十组成的数是[ ]{.underline}，读作[ ]{.underline}．
4．在3和3之间填上[ ]{.underline}个0才会是三千万零三．
5．在一个长方形中有[ ]{.underline}组对边是平行的．
6．一个数精确到"亿"位约是10亿，这个数最大可能是[ ]{.underline}．
7．把下面的数改写成以万或亿做单位的数
2800000=[ ]{.underline}万 500000000=[ ]{.underline}万 104000000000=[ ]{.underline}亿 900000000=[ ]{.underline}亿．
8．把下面各数用四舍五入的方法精确到万位或亿位．
94999≈[ ]{.underline}万 95111≈[ ]{.underline}万 7950000001≈[ ]{.underline}亿 7909999999≈[ ]{.underline}亿．
**二、判断题．**
9．102003000读作一亿零两百万三千．[ ]{.underline}．（判断对错）
10．用放大3倍的放大镜看一个25°的角，看到的角是75°．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．过两点可以画无数条直线．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．一条射线长5米．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．两条线相交，必定相互垂直．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、计算小能手．（22）**
14．直接写出得数，我能算得又对又快．
------- -------- -------- -------- ---------
25×4= 15×70= 360×2= 19×6= 603×10=
14×8= 107×5= 58×50= 270×3= 540×2=
------- -------- -------- -------- ---------
15．我会列竖式计算．
270×46
206×55
765÷45
585÷13．
16．用简便方法计算．
475+57+43
25×（6×4）
63×73﹣63×63．
**四、解答题（共3小题，满分21分）**
17．在方格纸上画出图形B和C．
（1）将图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形B．
（2）将图形A向右平移6格，得到图形C．
18．①过P点作直线L的垂线和平行线．
②分别画出40°、135°的角．
19．画一画、量一量、填一填．
在所说的位置点上点，并写上名称．
（1）学校在（3，2）的位置上．
（2）小红家在（5，3）的位置上．
（3）小东家在（1，4）的位置上．
（4）小丽家在（2，1）的位置上．
以学校为观测点量一量，小红家在[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向上，小东家在[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向上，小丽家在[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向上．
**五、小小设计师**
20．幸福小学四年级全体学生参加课外兴趣小组体育、音乐、绘画、数学与电脑的人数分别是：16人、20人、18人、26人、40人．你能将这些成绩绘制成条形统计图吗？
（1）参加[ ]{.underline}小组的人数最多，参加[ ]{.underline}小组的人数最少．
（2）参加[ ]{.underline}小组的人数是参加[ ]{.underline}小组的人数的2倍．
（3）从图中你还能获得哪些信息？
**六、列式计算．**
21．列式计算
（1）一个因数是46，另一个因数是9，积是多少？
（2）比11的15倍多312的数是几？
（3）5个120的和是多少？
（4）减数是最小的五位数，差是最大的六位数，被减数是几？
**五、小小数学家**
22．小红每分钟读126个字，她从6：35开始读到7：25，她大约读了多少个字？
23．小客车限乘14人，大客车限乘46人，如果两种车各开来12辆，刚好让学校同学全部坐下，那么这个学校共有多少学生？
24．一辆汽车以每小时80千米的速度从学校行驶到博物馆用了15小时
（1）从学校到博物馆相距少千米？
（2）如果从原路返回时行12时，那么回来时每时需行多少千米？
25．幸福小学参观"神舟六号"飞船科技成果展览，三年级参加了45人，四年级参加的人数是三年级的3倍，六年级参加的人数是四年级的4倍，六年级有多少人参加？若门票费每人50元，学校准备了40000元，够不够？
**北师大版四年级（下）期中数学试卷（1）**
**参考答案与试题解析**
**一、想一想，填一填**
1．一个数从右边起，每[ 四 ]{.underline}位为一级，第五位是[ 万 ]{.underline}位，百万位是从右边起第[ 七 ]{.underline}位．
【考点】整数的认识．
【分析】在数位顺序表中，从右边起每四位为一级，第一位是个位，计数单位是一；第二位是十位，计数单位是十；第三位是百位，计数单位是百；第四位是千位，计数单位是千；第五位是万位，计数单位是万...；以此类推，解答即可．
【解答】解：一个数从右边起，每四位为一级，
第五位是万位，
百万位是从右边起第七位．
故答案为：四，万，七．
2．10个一百是[ 一千 ]{.underline}，一百万里有[ 10 ]{.underline}个十万．
【考点】十进制计数法．
【分析】根据相邻的两个计数单位间的进率是"10"，百和千，百万和十万，都是两个相邻的计数单位，它们的进率都是"10"，据此解答即可．
【解答】解：10个一百是一千，一百万里有10个十万．
故答案为：一千，10．
3．由5个千万，5个万，5个十组成的数是[ 50050050 ]{.underline}，读作[ 五千零五万零五十 ]{.underline}．
【考点】整数的读法和写法．
【分析】这是一个八位数，最高位是千万位，千万位、万位和十位上都是5，写这个数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；读这个数时，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零．
【解答】解：这个数写作：50050050；
50050050读作：五千零五万零五十；
故答案为：50050050，五千零五万零五十．
4．在3和3之间填上[ 6 ]{.underline}个0才会是三千万零三．
【考点】整数的读法和写法．
【分析】三千万零三是一个八位数，在两个3中间要加上6个0，
【解答】解：三千万零三写作：30000003，
因此，要在3和3之间填上6个0才会是三千万零三；
故答案为：6
5．在一个长方形中有[ 两 ]{.underline}组对边是平行的．
【考点】长方形的特征及性质．
【分析】根据长方形的性质即可解答．
【解答】解：根据长方形的性质可得：长方形的两组对比分别平行，
故答案为：两．
6．一个数精确到"亿"位约是10亿，这个数最大可能是[ 1049999999 ]{.underline}．
【考点】整数的改写和近似数．
【分析】这个数精确到亿位约是10亿，也就是利用"四舍五入法"求此的近似数是10亿，根据千万位上数字的大小来确定用"四舍"法、还是用"五入"法，用"四舍"法时准确数比近似数大，则千万位上是0或1、2、3、4，其中4最大，上是8，其他各位上都是9时，这个数最大．由此解答．
【解答】解：根据分析得：一个数精确到"亿"位约是10亿，这个数最大可能是1049999999；
故答案为：1049999999．
7．把下面的数改写成以万或亿做单位的数
2800000=[ 280 ]{.underline}万 500000000=[ 50000 ]{.underline}万 104000000000=[ 1040 ]{.underline}亿 900000000=[ 9 ]{.underline}亿．
【考点】整数的改写和近似数．
【分析】（1）改成用万作单位的数，是把万位后面的4个"0"去掉，或者在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上"万"字，据此改写；
（2）改写成用"亿"作单位的数，是把亿位后面的4个"0"去掉，或者在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面带上"亿"字，据此写出；
【解答】解：2800000=280万；
500000000=50000万；
104000000000=1040亿；
900000000=9亿．
故答案为：280；50000；1040；9．
8．把下面各数用四舍五入的方法精确到万位或亿位．
94999≈[ 9 ]{.underline}万 95111≈[ 10 ]{.underline}万 7950000001≈[ 80 ]{.underline}亿 7909999999≈[ 79 ]{.underline}亿．
【考点】整数的改写和近似数．
【分析】省略万位后面的尾数，利用"四舍五入法"，根据千位上数字的大小来确定用用"四舍"法、还是用"五入"法，省略尾数后同时写上"万"字；
省略亿位后面的尾数，利用"四舍五入法"，根据千万位上数字的大小来确定用"四舍"法、还是用"五入"法，省略尾数后同时写上"亿"字．
【解答】解：94999≈9万；
95111≈10万；
7950000001≈80亿；
7909999999≈79亿．
故答案为：9；10；80；79．
**二、判断题．**
9．102003000读作一亿零两百万三千．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的读法和写法．
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数，然后再作判断．
【解答】解：1 0200 3000读作：一亿零两百万三千．
故答案为：√．
10．用放大3倍的放大镜看一个25°的角，看到的角是75°．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】角的概念及其分类．
【分析】角的度数的大小，只与两边叉开的大小有关，所以用一个放大3倍的放大镜看一个25度的角，仍然是25度．
【解答】解：用一个放大3倍的放大镜看一个25度的角，放大的只是边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小，看到的是仍是25度的角，故原题说法错误；
故答案为：×．
11．过两点可以画无数条直线．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】直线、线段和射线的认识．
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线；进行解答即可．
【解答】解：因为两点确定一条直线；
所以经过两点可以画无数条直线，说法错误；
故答案为：×．
12．一条射线长5米．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】直线、线段和射线的认识．
【分析】根据射线的定义和特点直接判断．
【解答】解；射线有一个端点，能向一方无限延长，所以射线无限长，无法度量长度．
故答案为：×．
13．两条线相交，必定相互垂直．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【分析】在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是一种特殊的相交；据此解答即可．
【解答】解：因为在同一平面内，两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是一种特殊的相交，所以同一平面内的两条直线相交，那么这两条直线就互相垂直说法错误；
故答案为：×．
**三、计算小能手．（22）**
14．直接写出得数，我能算得又对又快．
------- -------- -------- -------- ---------
25×4= 15×70= 360×2= 19×6= 603×10=
14×8= 107×5= 58×50= 270×3= 540×2=
------- -------- -------- -------- ---------
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据整数乘法的计算方法进行计算．
【解答】解：
---------- ------------ ------------ ----------- -------------
25×4=100 15×70=1050 360×2=720 19×6=114 603×10=6030
14×8=112 107×5=535 58×50=2900 270×3=810 540×2=1080
---------- ------------ ------------ ----------- -------------
15．我会列竖式计算．
270×46
206×55
765÷45
585÷13．
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．
【解答】解：270×46=12420
206×55=11330
765÷45=17
585÷13=45
16．用简便方法计算．
475+57+43
25×（6×4）
63×73﹣63×63．
【考点】运算定律与简便运算．
【分析】（1）根据加法结合律简便计算；
（2）根据乘法交换律和结合律简便计算；
（3）根据乘法分配律简便计算．
【解答】解：（1）475+57+43
=475+（57+43）
=475+100
=575
（2）25×（6×4）
=25×4×6
=100×6
=600
（3）63×73﹣63×63
=63×（73﹣63）
=63×10
=630
**四、解答题（共3小题，满分21分）**
17．在方格纸上画出图形B和C．
（1）将图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形B．
（2）将图形A向右平移6格，得到图形C．
【考点】将简单图形平移或旋转一定的度数．
【分析】（1）根据图形旋转的特点，图形A绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不变，各边都绕点O旋转90°，即可画出图形A绕点O顺时针旋转90°得到的图形B；
（2）先把原图形的4个顶点分别向右平移6格，然后再把各点照原图形状连线，得图形乙．
【解答】解：作图如下：
18．①过P点作直线L的垂线和平行线．
②分别画出40°、135°的角．
【考点】过直线上或直线外一点作直线的垂线；画指定度数的角；过直线外一点作已知直线的平行线．
【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和p点重合，过p点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．
（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和p点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．
（3）先从一点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合，在量角器135°或40°的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角．
【解答】解：根据题干分析，画图如下：
19．画一画、量一量、填一填．
在所说的位置点上点，并写上名称．
（1）学校在（3，2）的位置上．
（2）小红家在（5，3）的位置上．
（3）小东家在（1，4）的位置上．
（4）小丽家在（2，1）的位置上．
以学校为观测点量一量，小红家在[ 东 ]{.underline}偏[ 北20 ]{.underline}°方向上，小东家在[ 北 ]{.underline}偏[ 西45 ]{.underline}°方向上，小丽家在[ 西 ]{.underline}偏[ 南45 ]{.underline}°方向上．
【考点】数对与位置；根据方向和距离确定物体的位置．
【分析】（1）数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可在平面图中标出各家的位置；
（2）以学校为观测点，利用方向标和量角器，测量出小红家、小东家、小丽家与学校的角度，即可解决问题．
【解答】解：（1）学校在（3，2）的位置上，是在第3列第2行；
②小红家在（5，3）的位置上，是在第5列第3行；
③小东家在（1，4）的位置上，是在第1列第4行；
④小丽家在（2，1）的位置上，是在第2列第1行；由此在平面图中标出如图所示：
（2）以学校为观测中心，如上图所示：
小红家在东偏北20°方向上，小东家在北偏西45°方向上，小丽家在西偏南45°方向上．
故答案为：东；北；20；北；西；45；西；南；45．
**五、小小设计师**
20．幸福小学四年级全体学生参加课外兴趣小组体育、音乐、绘画、数学与电脑的人数分别是：16人、20人、18人、26人、40人．你能将这些成绩绘制成条形统计图吗？
（1）参加[ 电脑 ]{.underline}小组的人数最多，参加[ 体育 ]{.underline}小组的人数最少．
（2）参加[ 电脑 ]{.underline}小组的人数是参加[ 音乐 ]{.underline}小组的人数的2倍．
（3）从图中你还能获得哪些信息？
【考点】绘制条形统计图；统计图表的综合分析、解释和应用．
【分析】先根据给出的数据画出条形统计图；
（1）直条最高的人数最多，直条最矮的人数最少；
（2）根据数据，找出是2倍关系的即可；
（3）根据图，找出可以知道的信息．
【解答】解：统计图如下：
（1）参加电脑小组的人数最多，参加体育小组的人数最少．
（2）40÷20=2；
参加电脑小组的人数是参加音乐小组的人数的2倍．
（3）从图中你还能获得的信息：
参加音乐小组的人数比参加绘画小组的人数多2人．
故答案为：电脑，体育；电脑，音乐．
**六、列式计算．**
21．列式计算
（1）一个因数是46，另一个因数是9，积是多少？
（2）比11的15倍多312的数是几？
（3）5个120的和是多少？
（4）减数是最小的五位数，差是最大的六位数，被减数是几？
【考点】整数的乘法及应用；整数四则混合运算．
【分析】（1）根据积=因数×因数进行计算即可．
（2）要求比11的15倍多312是数是多少，用11×15，再加上312即可．
（3）根据乘法的意义：求几个相同加数的和是多少，用乘法直接计算，即用120乘5，列式解答即可．
（4）根据整数的意义可知最大的六位数是每一位都是最大的一位自然数9，最小的五位数是每一位都应是最小的自然数0，但是最高位不能是零，所以零不能放在最高位，最高位应当是1，再根据被减数=差+减数进行计算．
【解答】解：（1）46×9=414
答：积是414．
（2）11×15+312
=165+312
=477
答：比11的15倍多312的数是477
（3）120×5=600
答：5个120相加的和是600．
（4）10000+999999=1009999
答：被减数是1009999．
**五、小小数学家**
22．小红每分钟读126个字，她从6：35开始读到7：25，她大约读了多少个字？
【考点】整数、小数复合应用题；日期和时间的推算．
【分析】已知小红每分钟读126个字，要求她大约读了多少个字，应求出她读的时间．根据题意，她从6：35开始读到7：25，共经过了50分钟，那么她大约读了126×50个字，计算即可．
【解答】解：7时25分﹣6时35分=50分钟，
126×50=6300（个）；
答：她大约读了6300个字．
23．小客车限乘14人，大客车限乘46人，如果两种车各开来12辆，刚好让学校同学全部坐下，那么这个学校共有多少学生？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】此题要求出12辆小客车和12辆大客车各乘了多少人，再求出这个学校共有多少学生．
【解答】解：14×12+46×12
=168+552
=720（人），
答：这个学校共有720位学生．
24．一辆汽车以每小时80千米的速度从学校行驶到博物馆用了15小时
（1）从学校到博物馆相距少千米？
（2）如果从原路返回时行12时，那么回来时每时需行多少千米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】（1）路程=速度×时间，代入数据可求出从学校到博物馆的距离．
（2）速度=路程÷时间，代入数据可求出返回时的速度．据此解答．
【解答】解：（1）80×15=1200（千米），
答：从学校到博物馆相距1200千米．
（2）1200÷12=100（千米/小时）．
答：回来时每小时行100千米．
25．幸福小学参观"神舟六号"飞船科技成果展览，三年级参加了45人，四年级参加的人数是三年级的3倍，六年级参加的人数是四年级的4倍，六年级有多少人参加？若门票费每人50元，学校准备了40000元，够不够？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】首先根据乘法的意义，用三年级的人数乘以3，求出四年级的人数，再用四年级的人数乘以4，求出六年级的人数是多少；然后根据总价=单价×数量，用每人的每票的价格乘以学校的总人数，求出一共需要多少钱，再和4000比较大小即可．
【解答】解：六年级的人数是：
45×3×4
=135×4
=540（人）
50×（45+45×3+540）
=50×720
=36000（元）
因为36000＜40000，
所以学校准备了40000元，够．
答：学校准备了40000元，够．
**2016年8月27日**
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**2013年浙江省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（ ）
A．\[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．\[﹣4，1\] D．（﹣2，1\]
2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
3．（5分）若α∈R，则"α=0"是"sinα＜cosα"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm^3^ B．100cm^3^ C．92cm^3^ D．84cm^3^
6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax^2^+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0
8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）如图F~1~、F~2~是椭圆C~1~：+y^2^=1与双曲线C~2~的公共焦点，A、B分别是C~1~、C~2~在第二、四象限的公共点，若四边形AF~1~BF~2~为矩形，则C~2~的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设a，b∈R，定义运算"∧"和"∨"如下：
a∧b= a∨b=
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.**
11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=[ ]{.underline}．
12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于[ ]{.underline}．
13．（4分）直线y=2x+3被圆x^2^+y^2^﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于[ ]{.underline}．
14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于[ ]{.underline}．
15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足  若z的最大值为12，则实数k=[ ]{.underline}．
16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x^4^﹣x^3^+ax+b≤（x^2^﹣1）^2^，则ab等于[ ]{.underline}．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
19．（14分）在公差为d的等差数列{a~n~}中，已知a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列．
（Ⅰ）求d，a~n~；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．
21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x^3^﹣3（a+1）x^2^+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若\|a\|＞1，求f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值．
22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求\|MN\|的最小值．
**2013年浙江省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（ ）
A．\[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．\[﹣4，1\] D．（﹣2，1\]
【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．
【解答】解：∵集合S={x\|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x\|﹣4≤x≤1}=\[﹣4，1\]，
∴S∩T=（﹣2，1\]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（ ）
A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i
【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．
【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i^2^=5+5i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
3．（5分）若α∈R，则"α=0"是"sinα＜cosα"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】当"α=0"可以得到"sinα＜cosα"，当"sinα＜cosα"时，不一定得到"α=0"，得到"α=0"是"sinα＜cosα"的充分不必要条件．
【解答】解：∵"α=0"可以得到"sinα＜cosα"，
当"sinα＜cosα"时，不一定得到"α=0"，如α=等，
∴"α=0"是"sinα＜cosα"的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．
4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm^3^ B．100cm^3^ C．92cm^3^ D．84cm^3^
【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．
故选：B．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．
【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），
∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，
∵ω=2，∴T=π．
故选：A．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax^2^+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（ ）
A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0
【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．
【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，
所以4a+b=0；
又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，
所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．
8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在\[﹣1，0\]上的逐渐增大，
故函数f（x）在\[﹣1，0\]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．
导函数f′（x）的值在\[0，1\]上的逐渐减小，
故函数f（x）在\[0，1\]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
9．（5分）如图F~1~、F~2~是椭圆C~1~：+y^2^=1与双曲线C~2~的公共焦点，A、B分别是C~1~、C~2~在第二、四象限的公共点，若四边形AF~1~BF~2~为矩形，则C~2~的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨设\|AF~1~\|=x，\|AF~2~\|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C~2~的离心率．
【解答】解：设\|AF~1~\|=x，\|AF~2~\|=y，∵点A为椭圆C~1~：+y^2^=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF~1~BF~2~为矩形，
∴+=，即x^2^+y^2^=（2c）^2^==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C~2~的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=\|AF~2~\|﹣\|AF~1~\|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C~2~的离心率e===．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得\|AF~1~\|与\|AF~2~\|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）设a，b∈R，定义运算"∧"和"∨"如下：
a∧b= a∨b=
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．
【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，
正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，
∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；
再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；
故选：C．
【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.**
11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=[ 10 ]{.underline}．
【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．
【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，
所以，解得a=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．
12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，
满足2名都是女同学的共有=3种情况，
故所求的概率为：=．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．
13．（4分）直线y=2x+3被圆x^2^+y^2^﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于[ 4]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．
【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，
圆心到直线的距离为：，
因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，
所以直线y=2x+3被圆x^2^+y^2^﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．
14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．
【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．
而S=1++++
=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．
15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足  若z的最大值为12，则实数k=[ 2 ]{.underline}．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z~max~=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）
设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得
①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，
由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，
此时，z~max~=F（2，3）=2k+3或z~max~=F（4，4）=4k+4
但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，
故此种情况不符合题意；
②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，
由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值
此时z~max~=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意
综上所述，实数k的值为2
故答案为：2
【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x^4^﹣x^3^+ax+b≤（x^2^﹣1）^2^，则ab等于[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x^4^﹣x^3^+ax+b≤（x^2^﹣1）^2^，考察（x^2^﹣1）^2^，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x^4^﹣x^3^+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．
【解答】解：验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，
令f（x）=x^4^﹣x^3^+ax+b，即f（1）=a+b=0，
又f′（x）=4x^3^﹣3x^2^+a，f′′（x）=12x^2^﹣6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x^3^﹣3x^2^+a在\[0，\]上减，在\[，+∞）上增，
又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，
又x≥0时恒有0≤x^4^﹣x^3^+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x^4^﹣x^3^+ax+b的极小值点，也是最小值点．
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，
故ab=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于[ 2 ]{.underline}．
【分析】由题意求得 =，\|\|==，从而可得 ==
=，再利用二次函数的性质求得的最大值．
【解答】解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴\|\|===，
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
**三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bc•cosA，即36=b^2^+c^2^﹣bc=（b+c）^2^﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S~△ABC~=bcsinA=．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
19．（14分）在公差为d的等差数列{a~n~}中，已知a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列．
（Ⅰ）求d，a~n~；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列列式求出公差，则通项公式a~n~可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a~n~}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|的和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d^2^﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，a~n~=a~1~+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
当d=4时，a~n~=a~1~+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
所以a~n~=﹣n+11或a~n~=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a~n~=﹣n+11．
则当n≤11时，．
当n≥12时，\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|=﹣S~n~+2S~11~=．
综上所述，
\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|=．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．
【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG
=PC﹣GC 的值，从而求得  的值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．
∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△CPA，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．
21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x^3^﹣3（a+1）x^2^+6ax
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若\|a\|＞1，求f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x^2^﹣12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；
（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值．
f′（x）=6x^2^﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）
令f′（x）=0，得到x~1~=1，x~2~=a
当a＞1时，
+---------+---+----------+-------------+----------+--------------+-----------+-------+
| x | 0 | （0，1） | 1 | （1，a） | a | （a，2a） | 2a |
+---------+---+----------+-------------+----------+--------------+-----------+-------+
| f′（x） | | \+ | 0 | ﹣ | 0 | \+ | |
+---------+---+----------+-------------+----------+--------------+-----------+-------+
| f（x） | 0 | 单调递增 | 极大值3a﹣1 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 4a^3^ |
| | | | | | | | |
| | | | | | a^2^（3﹣a） | | |
+---------+---+----------+-------------+----------+--------------+-----------+-------+
比较f（0）=0和f（a）=a^2^（3﹣a）的大小可得g（a）=；
当a＜﹣1时，
-------- --- ---------- ------------- ------------- ------------------
X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a） ﹣2a
f′x） ﹣ 0 \+
f（x） 0 单调递减 极小值3a﹣1 单调递增 ﹣28a^3^﹣24a^2^
-------- --- ---------- ------------- ------------- ------------------
∴g（a）=3a﹣1
∴f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值为g（a）=．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求\|MN\|的最小值．
【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（II）由题意，可A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出\|MN\|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x^2^=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x^2^=4y
（II）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线AB的方程为y=kx+1，
由消去y，整理得x^2^﹣4kx﹣4=0，
所以x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4，从而有\|x~1~﹣x~2~\|==4，
由解得点M的横坐标为x~M~===，
同理可得点N的横坐标为x~N~=，
所以\|MN\|=\|x~M~﹣x~N~\|=\|﹣\|=8\|\|=，
令4k﹣3=t，t≠0，则k=，
当t＞0时，\|MN\|=2＞2，
当t＜0时，\|MN\|=2=2≥．
综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，\|MN\|的最小值是．
【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．
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**2019年江苏省宿迁市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）（2019•宿迁）2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
2．（3分）（2019•宿迁）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•宿迁）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是
A．3 B．3.5 C．4 D．7
4．（3分）（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•宿迁）不等式的非负整数解有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为
A． B． C．2 D．
**二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）（2019•宿迁）实数4的算术平方根是[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•宿迁）分解因式：[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•宿迁）宿迁近年来经济快速发展，2018年约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•宿迁）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•宿迁）下面3个天平左盘中"△""□"分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•宿迁）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•宿迁）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•宿迁）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•宿迁）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）（2019•宿迁）计算：．
20．（8分）（2019•宿迁）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）（2019•宿迁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
22．（8分）（2019•宿迁）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求线段的长．
23．（10分）（2019•宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对"你最喜爱的课外阅读书目"进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
-------- ---------- ----------
类别 男生（人 女生（人
文学类 12 8
史学类 5
科学类 6 5
哲学类 2
-------- ---------- ----------
根据以上信息解决下列问题
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）扇形统计图中"科学类"所对应扇形圆心角度数为[ ]{.underline}；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
24．（10分）（2019•宿迁）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
25．（10分）（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，
26．（10分）（2019•宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
27．（12分）（2019•宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．
（1）如图②，当时，连接、．求证：；
（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
28．（12分）（2019•宿迁）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
**2019年江苏省宿迁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（3分）2019的相反数是
A．2019 B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2019的相反数是．
故选：．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：、，无法计算，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
故选：．
3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是
A．3 B．3.5 C．4 D．7
【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据重新排列为：2、3、4、4、7、7，
这组数据的中位数为，
故选：．
4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于
A． B． C． D．
【分析】由题意知图中是一个等腰直角三角形和一个含角的直角三角形，故，，由平行线的性质可知，由三角形内角和定理可求出的度数．
【解答】解：由题意知，，
，
，
在中，
，
故选：．
5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得出底面半径，易求周长以及母线长，从而求出侧面积．
【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长，底面半径，
由图得，母线长，
侧面面积．
故选：．
6．（3分）不等式的非负整数解有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案．
【解答】解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：．
7．（3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是
A． B． C． D．
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和（大圆的面积正六边形的面积）即可得到结果．
【解答】解：6个月牙形的面积之和，
故选：．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为
A． B． C．2 D．
【分析】设，，利用菱形的性质得到点为的中点，则，，把，代入得，利用得到，解得，所以，根据正切定义得到，从而得到．
【解答】解：设，，
点为菱形对角线的交点，
，，，
，，
把，代入得，
，
四边形为菱形，
，
，解得，
，
在中，，
．
故选：．
**二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9．（3分）实数4的算术平方根是[ 2 ]{.underline}．
【分析】依据算术平方根根的定义求解即可．
【解答】解：，
的算术平方根是2．
故答案为：2．
10．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【分析】观察原式， 找到公因式，提出即可得出答案 ．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（3分）宿迁近年来经济快速发展，2018年约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将275000000000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是、，且，则队员身高比较整齐的球队是[ 乙 ]{.underline}．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：，
队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
13．（3分）下面3个天平左盘中"△""□"分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为[ 10 ]{.underline}．
【分析】设"△"的质量为，"□"的质量为，由题意列出方程：，解得：，得出第三个天平右盘中砝码的质量．
【解答】解：设"△"的质量为，"□"的质量为，
由题意得：，
解得：，
第三个天平右盘中砝码的质量；
故答案为：10．
14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是[ ]{.underline}．
【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，
掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：．
故答案为：．
15．（3分）已知直角三角形的两直角边分别为5，12，则它的内切圆半径为[ 2 ]{.underline}．
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【解答】解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径．
故答案为2．
16．（3分）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是[ 且 ]{.underline}．
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为：且．
17．（3分）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】当点在射线上运动，的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的的值．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，，交于点
在中，，
，由勾股定理得：，
在中，，
，由勾股定理得：，
当是锐角三角形时，点在上移动，此时．
故答案为：．
18．（3分）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为[ ]{.underline}．
【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【解答】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动
将绕点旋转，使与重合，得到
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上
作，则即为的最小值
作，可知四边形为矩形，
则
故答案为．
**三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
19．（8分）计算：．
【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
21．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求的长，根据面积和可得结论．
【解答】解：（1）把．，代入，得，，
，，
把，代入得
，解得，
一次函数解析式为；
（2）时，，
，
的面积．
22．（8分）如图，矩形中，，，点、分别在、上，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求线段的长．
【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：在矩形中，，，
，，，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
．
23．（10分）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对"你最喜爱的课外阅读书目"进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
-------- ---------- ----------
类别 男生（人 女生（人
文学类 12 8
史学类 5
科学类 6 5
哲学类 2
-------- ---------- ----------
根据以上信息解决下列问题
（1）[ 20 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）扇形统计图中"科学类"所对应扇形圆心角度数为[ ]{.underline}；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
【分析】（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出、；
（2）由乘以"科学类"所占的比例，即可得出结果；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（人，
，；
故答案为：20，2；
（2）扇形统计图中"科学类"所对应扇形圆心角度数为；
故答案为：79.2；
（3）列表得：
----- -------- -------- -------- --------
男1 男2 女1 女2
男1 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2
----- -------- -------- -------- --------
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
所选取的两名学生都是男生的概率为．
24．（10分）在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【分析】（1）连接，可证得，结合平行线的性质和圆的特性可求得，可得出结论；
（2）由（1）可知切点是的角平分线和的交点，圆心在的垂直平分线上，由此即可作出．
【解答】解：（1）证明：如图①，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②所示为所求．①
①作平分线交于点，
②作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：在的垂直平分线上，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，
与边相切．
25．（10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，
【分析】（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【解答】解：（1）如图1，过点作于点，
由题意知、，
，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，
由题意知，
则，1，
．
26．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
每件利润不能超过60元，
，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
27．（12分）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．
（1）如图②，当时，连接、．求证：；
（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出，可得，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．
（2）利用相似三角形的性质证明即可．
（3）点的运动路程，是图③中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图②中，
由图①，点为边中点，点为边中点，
，
，
，
，
，
．
（2）的大小不发生变化，．
理由：如图③中，设交于点．
，
，
，，，
．
（3）如图③中．设的中点为，连接，以为边向右作等边，连接，．
以为圆心，为半径作，
，，
，
点在上运动，
以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的长，
观察图象可知，点的运动路程是的长的两倍．
28．（12分）如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．
（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．
（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
解得：
抛物线的函数表达式为
（2）①若点在轴下方，如图1，
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点
当，解得：，
，
，，，
中，，
，为中点
，
，即
中，，
中，，，
，
，，即，
设直线解析式为
解得：
直线
解得：（即点，
，
②若点在轴上方，如图2，
在上截取，则与关于轴对称
，
设直线解析式为
解得：
直线
解得：（即点，
，
综上所述，点的坐标为，或，．
（3）为定值
抛物线的对称轴为：直线
，
设，
设直线解析式为
解得：
直线
当时，
设直线解析式为
解得：
直线
当时，
，为定值．
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**2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题**
**理科数学（Ⅱ）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设集合，，则集合=（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由题意可得： ，则集合=.
本题选择B选项.
2\. 设复数满足，则=（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意可得： .
本题选择C选项.
3\. 若，，则的值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
结合两角和差正余弦公式有：
 .
本题选择A选项.
4\. 已知直角坐标原点为椭圆 的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件"以为离心率的椭圆与圆：没有交点"的概率为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】满足题意时，椭圆上的点 到圆心 的距离：
 ，
整理可得 ，
据此有： ，
题中事件的概率 .学,科,网\...
本题选择A选项.
5\. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】由题意可得： ，
设双曲线的渐近线与 轴的夹角为 ，
双曲线的渐近线为 ，则 ，
结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为.
本题选择D选项.
6\. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：
由题意： ，据此可知：
 ， ， ，
它的表面积是 .
本题选择A选项.
**点睛：**三视图的长度特征："长对正、宽相等，高平齐"，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．
7\. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意 ，
则 且 ，函数为非奇非偶函数，选项C,D错误；
当 时， ，则函数值 ，排除选项B.
本题选择A选项.
8\. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（ ）学,科,网\...
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 ，
二项式 展开式的通项公式为： ，
由题意有： ，整理可得： .
本题选择D选项.
**点睛：**二项式系数与展开式项的系数的异同
一是在*T~r~*~＋1~＝*a^n^*^－*r*^*b^r^*中， 是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，前者只与*n*和*r*有关，恒为正，后者还与*a*，*b*有关，可正可负．
二是二项式系数的最值与增减性与指数*n*的奇偶性有关，当*n*为偶数，中间一项的二项式系数最大；当*n*为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
9\. 执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（ ）
A. 81 B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】依据流程图运行程序，首先 初始化数值， ，进入循环体：
，时满足条件 ，执行 ，进入第二次循环，
，时满足条件 ，执行 ，进入第三次循环，
，时不满足条件 ，输出 .
本题选择C选项.
10\. 已知数列，，且，，则的值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由递推公式可得：
当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为4的等差数列，
当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列，
本题选择C选项.
11\. 已知函数 的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）
A. 函数图象的对称轴方程为学,科,网\...
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行
D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
【答案】C
【解析】由函数的最值可得 ，函数的周期 ，
当 时， ，
令 可得 ，函数的解析式 .则：
结合函数的解析式有 ，而 ，
选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确.
本题选择C选项.
12\. 已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】很明显 ，由题意可得： ，
则由 可得 ，
由题意得不等式： ，
即： ，
综上可得的取值范围是 .
本题选择D选项.
**点睛：**函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令*f*(*x*)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间\[*a*，*b*\]上是连续不断的曲线，且*f*(*a*)·*f*(*b*)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13\. 向量，，若向量，共线，且，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-8学,科,网\...
【解析】由题意可得： 或 ，
则： 或 .
14\. 设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】试题分析：∵△PQM是锐角三角形，
∴
∴
化为
∴
解得
∴该椭圆离心率的取值范围是
故答案为：
15\. 设，满足约束条件则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，目标函数 表示可行域内的点 与坐标原点 之间连线的斜率，目标函数在点 处取得最大值 ，在点 处取得最小值 ，则的取值范围为.
**点睛：**本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
16\. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】由题意可设： ，则： ，
则：当 时，面积由最大值 ；
当 时，面积由最大值 ；
结合二次函数的性质可得：的取值范围为.
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 已知数列的前项和为，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记 求的前项和.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】试题分析：
(1)由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列， .学,科,网\...
(2)裂项求和，，故.
试题解析：
（1）当时，由及，
得，即，解得.
又由，①
可知，②
②-①得，即.
且时，适合上式，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故 .
（2）由（1）及 ，
可知，
所以，
故  .
18\. 如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面.
(2)结合(1)的结论和题意建立空间直角坐标系，由平面的法向量可得二面角的余弦值为.
试题解析：
（1）因为底面为菱形，所以，
又平面底面，平面平面，
因此平面，从而.
又，所以平面，
由，，，
可知，，
，，
从而，故.
又，所以平面.学,科,网\...
又平面，所以平面平面.
（2）取中点，由题可知，所以平面，又在菱形中，，所以分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系（如图示），
则，，，，，
所以 ， ， .
由（1）可知平面，所以平面的法向量可取为.
设平面的法向量为，
则即即令，得，
所以.
从而 .
故所求的二面角的余弦值为.
**点睛：**作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由"形"转"数"的转化思想．
两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
19\. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为"考前心理稳定整体过关"，请问该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.
【答案】（1）448；（2）该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关；（3）见解析.
【解析】试题分析：
(1)由频率分布直方图估算该校高三年级学生获得成绩为的人数为448；
(2)计算平均分可得该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关.
(3)的可能值为0，1，2，3.由超几何分布的概率写出分布列，求得数学期望为 .
试题解析：
（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，
则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.
（2）这100名学生成绩的平均分为 ，
因为，所以该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"已过关.学,科,网\...
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中级4个，级7个，从而任意选取3个，这3个为级的个数的可能值为0，1，2，3.
则，，
，.
因此可得的分布列为：
则 .
20\. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）
（1）求椭圆的方程.
（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，，故所求的椭圆方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得为定值.
试题解析：
（1）由题意可知，所以，即，①
又点在椭圆上，所以有，②
由①②联立，解得，，
故所求的椭圆方程为.
（2）设，由，
可知.
联立方程组
消去化简整理得，
又由题知，
即，
整理为.
将③代入上式，得.
化简整理得，从而得到.
21\. 设函数 .
（1）试讨论函数的单调性；学,科,网\...
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：
(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：
①若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；
②若时，函数单调递增；
③若时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.
(2)构造新函数  ，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析：
（1）由，可知 .
因为函数的定义域为，所以，
①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
②若时，当在内恒成立，函数单调递增；
③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
（2）证明：由题可知  ，
所以 .
所以当时，；当时，；当时，.
欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.
设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，
则
两式相减并整理得 ，
从而，
故只需证明，
即.
因为，
所以（\*）式可化为，
即.
因为，所以，
不妨令，所以得到，.
记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.学,科,网\...
又，
因此，，
故，得证，
从而得证.
**请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当时，两曲线相交于，两点，求.
【答案】（1），，：；；（2）.
【解析】试题分析：
(1)由题意计算可得曲线与化为直角坐标系中的普通方程为，；的取值范围是；
(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得.
试题解析：
（1）曲线：消去参数可得普通方程为.
曲线：，两边同乘.可得普通方程为.
把代入曲线的普通方程得：，
而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.
（2）当时，曲线：，
两曲线交点，所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为，
所以.
23\. 选修4-5：不等式选讲.
已知函数.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：
(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为.学,科,网\...
(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件.
试题解析：
（1）因为 
所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.
（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.
所以，从而，
从而   .
当且仅当时，等号成立，
即，时，有最小值，
所以得证.
| 1 | |
**武威市（凉州区）2018年初中毕业、高中招生考试**
**数学试卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项.**
1.-2018的相反数是（ ）
A．-2018 B．2018 C． D．
2.下列计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
3.若一个角为，则它的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
5.若分式的值为0，则的值是（ ）
A．2或-2 B．2 C．-2 D．0
6.甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差如下表：
-------------- ------ ------ ------ ------
甲 乙 丙 丁
平均数（米） 11.1 11.1 10.9 10.9
方差 1.1 1.2 1.3 1.4
-------------- ------ ------ ------ ------
若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
9.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
**二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.**
11.计算： [ ]{.underline} ．
12.使得代数式有意义的的取值范围是 [ ]{.underline} ．
13.若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是 [ ]{.underline} ．
14.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为 [ ]{.underline} ．
15.已知，，是的三边长，，满足，为奇数，则 [ ]{.underline} ．
16.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 [ ]{.underline} ．
17.如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为 [ ]{.underline} ．
18.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2018次输出的结果为 [ ]{.underline} ．\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
**三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
19.计算：.
20.如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
21.《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了"盈不足"等问题.如有一道阐述"盈不足"的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题.
22.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）\[来源:学科网\]
23.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（，，，，，）中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
**四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
24."足球运球"是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按，，，四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图.（说明：级：8分---10分，级：7分---7.9分，级：6分---6.9分，级：1分---5.9分）
根据所给信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，对应的扇形的圆心角是\_\_\_\_\_\_\_度；
（2）补全条形统计图；
（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在\_\_\_\_\_\_\_等级；
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到级的学生有多少人？
25.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点.
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且，求点的坐标.
26.已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点.
（1）求证：；
（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.
27.如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且.
（1）求证：；
（2）当，时，求的长.
28.如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
**武威市2018年初中毕业、高中招生考试**
**数学试题参考答案**
**一、选择题**
1-5: BDCBA 6-10: ACDBA\[来源:Zxxk.Com\]
**二、填空题**
11\. 0 12. 13. 8 14. 108
15\. 7 16. 17. 18. 1
**三、解答题**
19.解：原式=
=﹒
．
20.解：（1）如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）AC与⊙O相切．
21.解：设合伙买鸡者有*x人*，鸡价为*y文钱*．
根据题意可得方程组，
解得 ．
答：合伙买鸡者有9*人*，鸡价为70*文钱*．
22.解：如图，过点*C*作*CD*⊥*AB,* 垂足为*D*．
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵ ∠*CAB*=30°，∠*CBA*=45°，AC=640．
∴ *CD*=320，*AD*=，
∴ *BD =CD*=320，*BC=*,
∴ AC+*BC*=，
∴ AB=AD+BD=，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从*A地到B地的路程将约缩短224公里*．
23.解：（1）米粒落在阴影部分的概率为；
（2）列表：
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| 第二次 | *A* | *B* | *C* | *D* | *E* | *F* |
| | | | | | | |
| 1. | | | | | | |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *A* | | (*A*，*B)* | (*A*，*C*) | (*A*，*D*) | (*A*，*E*) | (*A*，*F*) |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *B* | *（B , A）* | | (*B*，*C*) | (*B*，D) | (*B*，*E*) | (B，F) |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *C* | (C , A) | (*C*，*B*) | | (*C*，*D*) | (*C*，*E*) | (*C*，*F*) |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *D* | *(D , A）* | (*D*，*B*) | (*D*，*C*) | | (D，*E*) | (*D*，*F*) |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *E* | *(E , A)* | (*E*，*B*) | (*E*，*C*) | *(E，D)* | | (*E*，*F*) |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
| *F* | *(F , A)* | (*F* , *B*) | (*F* , *C*) | *(F , D)* | (*F*，*E*) | |
+--------+-------------+------------------------------------------------+-------------+------------+------------+------------+
共有30种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有10种，
故图案是轴对称图形的概率为；
（注：画树状图或列表法正确均可得分）
**四、解答题（二)：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注：解法合理，答案正确均可得分）**
24．（1）117；
（2）如图
（3）B；
（4）
25.解：（1）把点*A*（-1，*a*）代入，得,
∴ *A*（-1，3）
把*A*（-1，3）代入反比例函数，得,
∴ 反比例函数的表达式为．
（2）联立两个函数表达式得 ,解得 ，．
∴ 点*B*的坐标为*B*（-3，1）．
当时，得.
∴ 点*C*（-4，0）．
设点*P*的坐标为（，0）．
∵ ，
∴ ．
即 ,
解得 ，.
∴ 点*P*（-6，0）或（-2，0）．
26.解：（1）∵点*F*,*H*分别是*BC*,*CE*的中点，
∴*FH*∥*BE*，．
∴．
又∵点*G*是*BE*的中点，
∴．
又∵*，*
∴△*BGF* ≌ △*FHC*．
（2）当四边形*EGFH*是正方形时，可知*EF*⊥*GH*且*EF*=*GH*，
∵在△*BEC中，点G，H*分别是*BE,EC*的中点,
∴ 且*GH*∥*BC,*
∴*EF*⊥B*C.*
又∵AD∥*BC, AB*⊥B*C,*
∴，
∴．
27．（1）证明：连接*OE*,*BE*．
∵ *DE*=*EF*，∴ =*,*∴ ∠OBE=∠DBE.
∵ OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,
∴∠OEB =∠DBE,∴OE∥BC.
∵⊙*O*与边*AC*相切于点*E*，∴ *OE*⊥*AC*．
∴BC⊥AC,∴∠*C*=90°.
（2）解：在△A*BC中，*∠*C*=90°，*BC*=3，，
∴*AB*=5．
设⊙O的半径为*r，则AO=5-r*，
在Rt △AOE中，,
∴ ．
∴．
28．解：（1）将点*B*和点*C*的坐标代入,
得 ，解得，．
∴ 该二次函数的表达式为．
（2）若四边形*POP′C*是菱形，则点*P*在线段*CO*的垂直平分线上；
如图，连接*PP′*，则*PE*⊥*CO，垂足为E*，
∵ *C*（0，3），
∴ *E*（0，）,
∴ 点*P*的纵坐标等于．
∴ ,
解得，（不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（，）．
（3）过点*P*作*y*轴的平行线与*BC*交于点*Q*，与*OB*交于点*F*，
设*P*（*m*，），设直线*BC*的表达式为，
则 , 解得 .
∴直线*BC*的表达式为 ．
∴*Q*点的坐标为（*m*，），
∴.
当，
解得，
∴ *AO*=1，*AB*=4，
∴ *S*~四边形*ABPC\ *~=*S*~△*ABC*~+*S*~△*CPQ*~+*S*~△*BPQ*~
=
=
=．
当时，四边形*ABPC*的面积最大．
此时*P*点的坐标为，四边形*ABPC*的面积的最大值为．
武威市2018年初中毕业、高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
**一、选择题：本大题共1****0小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.**
-------------------------------------------------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ------------------
**题号** 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
**答****案** B D C B A A C D B A\[来源:学科网\]
-------------------------------------------------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ------------------
2. **填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.**
11\. 0 12. 13.8 14.108
15\. 7 16. 17. 18.1
**三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注：解法合理，答案正确均可得分）**
19.（4分）
解：原式= 2分
= ﹒ 3分
． 4分
20.（4分）
解：（1）如图,作出角平分线*CO*; 1分
作出⊙*O*． 3分
> （2）*AC*与⊙*O*相切． 4分
21\. (6分)
解：设合伙买鸡者有*x人*，鸡价为*y文钱*． 1分
根据题意可得方程组， 3分
解得 ． 5分
答：合伙买鸡者有9*人*，鸡价为70*文钱*． 6分
22\. (6分)
解：如图，过点*C*作*CD*⊥*AB,* 垂足为*D*． 1分
在Rt△*ADC*和Rt△*BCD*中，
∵ ∠*CAB*=30°，∠*CBA*=45°，*AC*=640．
∴ *CD*=320，*AD*=，
∴ *BD =CD*=320，*BC=*, 2分
∴ *AC*+*BC*=， 3分
∴ *AB*=*AD*+*BD*=， 4分
∴ 1088-864=224（公里）．  5分
答：隧道打通后与打通前相比，从*A地到B地的路程将约缩短224公里*． 6分
23．(6分)
解：（1）米粒落在阴影部分的概率为； 2分
（2）列表：
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| 第二次 | *A* | *B* | *C* | *D* | *E* | *F* |
| | | | | | | |
| 2. | | | | | | |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *A* | | (*A*，*B)* | (*A*，*C*) | (*A*，*D*) | (*A*，*E*) | (*A*，*F*) |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *B* | *（B , A）* | | (*B*，*C*) | (*B*，*D*) | (*B*，*E*) | (*B*，*F*) |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *C* | (*C* , *A*) | (*C*，*B*) | | (*C*，*D*) | (*C*，*E*) | (*C*，*F*) |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *D* | *(D , A）* | (*D*，*B*) | (*D*，*C*) | | (*D*，*E*) | (*D*，*F*) |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *E* | *(E , A)* | (*E*，*B*) | (*E*，*C*) | *(E，D)* | | (*E*，*F*) |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
| *F* | *(F , A)* | (*F* , *B*) | (*F* , *C*) | *(F , D)* | (*F*，*E*) | |
+--------+-------------+-------------+-------------+------------+------------+------------+
4分
共有30种等可能的情况，其中图案是轴对称图形的有10种，
故图案是轴对称图形的概率为； 6分
（注：画树状图或列表法正确均可得分）
**四、解答题（二)：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注：解法合理，答案正确均可得分）**
24．(7分)
（1）117； 2分
（2）如图
4分
（3）*B*； 5分
（4） 7分
25．(7分)
解：（1）把点*A*（-1，*a*）代入，得,
∴ *A*（-1，3）
把*A*（-1，3）代入反比例函数，得,
∴ 反比例函数的表达式为． 3分
（2）联立两个函数表达式得 , 解得 ，．
∴ 点*B*的坐标为*B*（-3，1）．
当时，得.
∴ 点*C*（-4，0）．   4分
设点*P*的坐标为（，0）．
∵ ，
∴ ．
即 ,
解得 ，. 6分
∴ 点*P*（-6，0）或（-2，0）． 7分
26．(8分)
解：（1）∵ 点*F*,*H*分别是*BC*,*CE*的中点，
∴ *FH*∥*BE*，． 1分
∴ ． 2分
> 又 ∵ 点*G*是*BE*的中点，
>
> ∴ ． 3分
>
> 又 ∵*，*
∴ △*BGF* ≌ △*FHC*． 4分
> （2）当四边形*EGFH*是正方形时，可知*EF*⊥*GH*且*EF*=*GH*， 5分
>
> ∵ 在△*BEC中，点G，H*分别是*BE,EC*的中点,
>
> ∴ 且*GH*∥*BC,*
>
> ∴ *EF*⊥*BC.* 6分
>
> 又∵*AD*∥*BC, AB*⊥*BC,*
>
> ∴ ，
∴ ． 8分
27．(8分)
（1）证明：连接*OE*,*BE*．
∵ *DE*=*EF*， ∴ =*,* ∴ ∠*OBE*=∠*DBE*.
∵ *OE*=*OB*, ∴∠*OEB=*∠*OBE*,
∴ ∠*OEB* =∠*DBE*, ∴ *OE*∥*BC*. 3分
∵ ⊙*O*与边*AC*相切于点*E*， ∴ *OE*⊥*AC*．
∴ *BC*⊥*AC*, ∴ ∠*C*=90°. 4分
（2）解：在△*ABC中，*∠*C*=90°，*BC*=3 ，，
∴ *AB*=5． 5分
设⊙*O*的半径为*r，则AO=5-r*，
在Rt △*AOE*中，,
∴ ． 7分
∴． 8分
28．(10分)
解：（1）将点*B*和点*C*的坐标代入,
得 ， 解得 ，．
∴ 该二次函数的表达式为． 3分
（2）若四边形*POP′C*是菱形，则点*P*在线段*CO*的垂直平分线上； 4分
如图，连接*PP′*，则*PE*⊥*CO，垂足为E*，
∵ *C*（0，3），
∴ *E*（0，）,
∴ 点*P*的纵坐标等于．
∴ ,
解得，（不合题意，舍去）， 6分
∴ 点*P*的坐标为（，）．  7分
（3）过点*P*作*y*轴的平行线与*BC*交于点*Q*，与*OB*交于点*F*，
设*P*（*m*，），设直线*BC*的表达式为，
则 , 解得 .
∴ 直线*BC*的表达式为 ．
∴ *Q*点的坐标为（*m*，），
∴ .
当 ，
解得 ，
∴ *AO*=1，*AB*=4，
∴ *S*~四边形*ABPC\ *~=*S*~△*ABC*~+*S*~△*CPQ*~+*S*~△*BPQ*~
=
=
=． 9分
当 时，四边形*ABPC*的面积最大．
此时*P*点的坐标为，四边形*ABPC*的面积的最大值为． 10分
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=（ ）
A. {*x*\|2\<*x*≤3} B. {*x*\|2≤*x*≤3}
C. {*x*\|1≤*x*\<4} D. {*x*\|1\<*x*\<4}
2.（ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
6.基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
7.已知*P*是边长为2正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是（ ）
A B.
C. D.
8.若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知曲线.（ ）
A. 若*m*\>*n*\>0，则*C*是椭圆，其焦点在*y*轴上
B. 若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
C. 若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
D. 若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
10.下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= （ ）
A. B. C. D.
11.已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则（ ）
A. B.
C. D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.（ ）
A. 若*n*=1，则*H*(*X*)=0
B. 若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
C. 若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
D. 若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
16.已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
-- --------------------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- --------------------
20.如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
21.已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围．
22.已知椭圆*C*：离心率为，且过点*A*（2，1）．
（1）求*C*的方程：
（2）点*M*，*N*在*C*上，且*AM*⊥*AN*，*AD*⊥*MN*，*D*为垂足．证明：存在定点*Q*，使得\|*DQ*\|为定值．
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的意义和加减法------比大小》同步检测2（附答案）**
一、填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.在( )里填上恰当的小数。
4角8分=( )元 5分=( )元
3米2分米=( )米 15厘米=( )米
38克=( )千克 2米3厘米=( )米
16分米=( )米 425克=( )千克
2.8.2与8.3之间有( )个两位小数。
3.用0，2，3这三个数和小数点，组成一个最小的两位小数是( )，
组成一个最大的两位小数是( )。
4.与6.47相邻的两个整数是( )和( )。
二、用"元"作单位，把下面的钱数改写成小数，再比大小。
12元8角 15元5角 12元6角
[ ]{.underline} 元 [ ]{.underline} 元 [ ]{.underline} 元
( )＜( )＜( )
三、火眼金睛。
1.在比较小数大小时，看小数位数的多少，小数的位数越多，小数越大。( )
2.最小的两位小数是0.11。( )
3.0.402＜0.42( )
4.6克=0.006千克( )
四、选一选。
1.在0.28，0.203，2.08，2.3中，最大的小数是( )。
A.2.3 B.2.08 C.0.28
2.大于2.8而小于2.9的两位小数有( )个。
A.9 B.10 C.无数
3.比9.57大，比9.63小的小数可能是( )。
A.9.83 B.9.52 C.9.61
五、找一找下面小数所表示的位置，并回答问题。
1.在图上画三个点表示11.54，11.52，11.68。
2.回答问题。
(1)与11.52相邻的两位小数分别是多少？
(2)把11.54，11.52，11.68这三个小数按从小到大的顺序排列。
六、把下面中国男子篮球运动员的身高按从高到低的顺序排列。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
----------- -------- -------- --------
姓名 王仕鹏 王治郅 陈江华
身高/米 1.96 2.14 1.87
姓名 姚明 杜锋 易建联
身高/分米 22.6 20.7 21.3
----------- -------- -------- --------
七、填一填。
在□里填数字，使它分别符合下列要求：
3□.□6
1.使这个数最大，这个数是( )；来源：www.bcjy123.com/tiku/
2.使这个数最接近34，这个数是( )；
3.使这个数最小，这个数是( )；
4.与这个数相邻的两位小数是30.25和30.27，这个数是( )。
八、小方不小心抄丢了小数点，请在适当的位置上写上小数点，使这个式子成立。
＜ ＜ ＜
**参考答案**
一、
1\. 0.48 0.05 3.2 0.15 0.038 2.03 1.6 0.425
2\. 9
3\. 0.23 3.20
4\. 6 7
二、12.8 15.5 12.6 12.6＜12.8＜15.5
三、1.× 2. × 3. √ 4. √
四、1.A 2.A 3.C
五、
1\. 
2.（1）11.51 11.53 （2）11.52＜11.54＜11.68
六、22.6分米=2.26米 20.7分米=2.07米
21.3分米=2.13米
2.26＞2.14＞2.13＞2.07＞1.96＞1.87
七、
1\. 39.96
2\. 33.96
3\. 30.06
4\. 30.26
八、3.21 4.98 5.06 43.2
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**2020-2021学年四川省成都市高新区益民学校二年级（上）期末数学试卷（一）**
**一、填一填。（34分）**
1．（4分）看图写数。
2．（3分）17里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一；20里面有[ ]{.underline}个十。
3．（2分）1个十和7个一合起来是[ ]{.underline}；10个一是[ ]{.underline}。
4．（3分）15的个位是[ ]{.underline}，十位是[ ]{.underline}，再添加[ ]{.underline}个一就是20.
5．（2分）与19相邻的两个数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
6．（4分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
9〇11 6+2〇8
---------- ---------
10﹣4〇4 9+8〇16
7．（1分）如果表示12，照样子表示14[ ]{.underline}。
8．（5分）按顺序填数。
-- ---- ---- -- ----
19 18 16
-- ---- ---- -- ----
--- --- -- -- ---- --
7 9 15
--- --- -- -- ---- --
9．（6分）数一数，填一填。
> （1）一共有[ ]{.underline}种水果。
>
> （2）从左数在第[ ]{.underline}；从右数在第[ ]{.underline}。
>
> （3）的左边有[ ]{.underline}个水果，右边有[ ]{.underline}个水果。
>
> （4）请把右边的3个水果圈起来。
10．（4分）从4、5、8、9中选3个数，写四道有联系的算式。
> □〇□＝□
>
> □〇□＝□
>
> □〇□＝□
>
> □〇□＝□
**二、算一算。（19分）**
11．（19分）算一算。
7﹣4＝ 2+7＝ 15﹣5＝ 12+7＝ 6+9＝
----------- --------- ------------ ----------- -------
5+7＝ 18﹣6＝ 7+6＝ 4+9＝ 9+8＝
6+5＝ 0+15＝ 19﹣4＝ 6+8＝ 7+7＝
14﹣4+5＝ 9+3+6＝ 15﹣5﹣4＝ 18﹣8+3＝
**三、实践操作。（10分）**
12．（2分）最高的画"√"，最矮的画"〇"。
13．（2分）把同类的圈起来。
14．（2分）多的画"√"，少的画"〇"。
15．（2分）长的画"√"，短的画"〇"。
16．（2分）谁最重，谁最轻，最重的画"√"，最轻的画"〇"。
17．（8分）数一数。
> 有[ ]{.underline}个，有[ ]{.underline}个，有[ ]{.underline}个，有[ ]{.underline}个。
18．（8分）连一连。
**六、解决问题。（1-4题每题4分，第5题5分，共21分）**
19．（4分）一共有多少朵花？
20．（4分）有16本本子，已经发了10本，还剩多少本？
21．（4分）一共19棵白菜，菜篮子里有多少棵？
22．（4分）树上原来有[ ]{.underline}鸟，又飞来了[ ]{.underline}只，现在一共有[ ]{.underline}只鸟。
23．（5分）车上原来有10人，到站后有1人下车，5人上车，现在车上有多少人？
**五、填空题（共4小题，每小题4分，满分20分）**
24．（4分）□里最大能填几？
------ ------- ------ ------
□＜8 □＜10 6＞□ 4＞□
------ ------- ------ ------
25．（6分）在□里填上合适的数，使等式成立。
3+4＝□+5 9﹣□＝6﹣1
------------ --------------
10﹣5＝□+3 □+□＝□﹣3＝2
26．（6分）在下面的横线上填上合适的数。
5+[ ]{.underline}＝12 [ ]{.underline}+9＝19
--------------------------- -----------------------------
9﹣[ ]{.underline}＝3 14﹣[ ]{.underline}＝10
3＝[ ]{.underline}﹣3 [ ]{.underline}﹣6＝9
27．（4分）想一想。
> ☆+◎＝14
>
> ◎+10＝12
>
> ☆＝[ ]{.underline}
>
> ◎＝[ ]{.underline}
**2020-2021学年四川省成都市高新区益民学校二年级（上）期末数学试卷（一）**
**参考答案与试题解析**
**一、填一填。（34分）**
1．【分析】数清楚每幅图的数量，写出数字即可。
> 【解答】解：
>
> 故答案为：5，13，16，20。
>
> 【点评】此题考查了整数的认识，要熟练掌握。
2．【分析】整数17里面可以分为10和7，即17里面有1个十和7个一；整数20可以分为10和10，即20里面有2个十。
> 【解答】解：整数17，从高位到低位为1个十，个位数7为7个一；
>
> 整数20，从高位到低位为2，即2个十，个位0不用读出来；
>
> 故答案为：1，7，2。
>
> 【点评】本题主要考查整数的组成。
3．【分析】根据整数的各个数位的上数的意义可知：哪个数位上的数是几，就表示几个这样的计数单位，据此解答即可。
> 【解答】解：1个十是10，7个一是7，10+7＝17，所以1个十和7个一合起来是17；
>
> 10个一是10。
>
> 故答案为：17，10。
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，关键是根据整数的各计数单位上数的意义做题。
4．【分析】15是个两位数，最高位是十位，十位上的数字是1，个位上的数字是5，15是15个一，20是20个一，20个一减15个一是5个一，由此填空即可。
> 【解答】解：15的个位是5，十位是1，再添加5个一就是20。
>
> 故答案为：5，1，5。
>
> 【点评】本题是考查整数组成，关键是弄清每个数位上的数字，数字在什么数位上，它就表示几个该数位的计数单位。
5．【分析】根据相邻的两个整数相差1，可知：与19相邻的两个数是19﹣1和19+1；据此解答即可．
> 【解答】解：19﹣1＝18，19+1＝20，
>
> 所以与19相邻的两个数是 18和 20；
>
> 故答案为：18，20．
>
> 【点评】解答此题应明确：相邻的两个整数相差1．
6．【分析】根据20以内数的加减法直接计算出结果，然后再根据大小比较的方法进行比较即可。
> 【解答】解：
9＜11 6+2＝8
---------- ---------
10﹣4＞4 9+8＞16
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的计算方法以及大小比较的方法，比较简单。
7．【分析】先分析出图片表示的意思，大五角星的个数表示十位上的数字，小五角星的个数表示个位数字，据此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】1个大五角星和4个小五角星就表示14。
8．【分析】（1）后一个数等于前一个数减1，据此填空。
> （2）后一个数等于前一个数加2，据此解答。
>
> 【解答】解：（1）19+1＝20
>
> 18﹣1＝17
>
> 这组数为：
---- ---- ---- ---- ----
20 19 18 17 16
---- ---- ---- ---- ----
> （2）9+2＝11
>
> 11+2＝13
>
> 15+2＝17
>
> 这组数是：
--- --- ---- ---- ---- ----
7 9 11 13 15 17
--- --- ---- ---- ---- ----
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
9．【分析】（1）数一数即可得出答案；
> （2）（3）分清左右，数一数即可；
>
> （4）分清左右，圈出即可。
>
> 【解答】解：（1）一共有7种水果；
>
> （2）从左数在第5；从右数在第4；
>
> （3）的左边有2个水果，右边有4个水果；
>
> （4）请把右边的3个水果圈起来
>
> 。
>
> 故答案为：7；5；4；2；4；
>
> 。
>
> 【点评】本题主要考查了方向，解题的关键是分清左右。
10．【分析】根据所给数据的特点，有：4+5＝9，利用整数加减法运算中各部分的关系写出四个算式即可。
> 【解答】解：4+5＝9
>
> 5+4＝9
>
> 9﹣5＝4
>
> 9﹣4＝5
>
> 【点评】本题主要考查整数加减法的运算，关键根据加减法运算中各部分的关系做题。
**二、算一算。（19分）**
11．【分析】根据20以内整数加减法和四则运算的顺序，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
7﹣4＝3 2+7＝9 15﹣5＝10 12+7＝19 6+9＝15
------------- ----------- ------------- ------------- ---------
5+7＝12 18﹣6＝12 7+6＝13 4+9＝13 9+8＝17
6+5＝11 0+15＝15 19﹣4＝15 6+8＝14 7+7＝14
14﹣4+5＝15 9+3+6＝18 15﹣5﹣4＝6 18﹣8+3＝13
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
**三、实践操作。（10分）**
12．【分析】直接根据图形判断三人的高低，判断出哪个人最高，就在最高的下面画√，右边小朋友是最矮的，画〇。
> 【解答】解：
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确的比较高低。
13．【分析】按照文具和服装来分类即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】这道题考查了事物的正确分类，要熟练掌握。
14．【分析】上面有8个桃子，下面有5个苹果，8＞5，所以桃子多，苹果少。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查学生对多少的认识，关键是能够正确数数。
15．【分析】根据生活经验，结合图示直接比较长短即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查长短的比较，关键是培养学生的观察能力。
16．【分析】从天平看，2只猫的重量和1只狗的重量相同，3只狗的重量和1只熊重量相同，所以最重的是熊，最轻的是猫。
> 【解答】解：
>
> 【点评】培养学生直观的观察物体的轻重比较。
17．【分析】抓住长方体、正方体、球和圆柱的特点即可在图形中找出所有符合题意的立体图形，由此即可解决问题
> 【解答】解：长方体有4个；正方体有2个；球有3个；圆柱有5个。
>
> 故答案为：4，2，3，5。
>
> 【点评】此题考查了立体图形的计数：这里要熟记长方体、正方体、球和圆柱的特点是解答此题的关键。
18．【分析】根据钟面上时针和分针的特点，分针走1小格是1分，走1大格是5分，时针刚过几就是几时多；分针指向12，时针指向几，就是几时整。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查时刻的认识，关键是能够正确认识钟面上的时刻。
**六、解决问题。（1-4题每题4分，第5题5分，共21分）**
19．【分析】通过观察图片可知，左边有4朵花，右边有8朵花，求一共有多少朵花，根据加法的意义，用加法解答。
> 【解答】解：4+8＝12（朵）
>
> 答：一共有12朵花。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解整数加法的意义，掌握20以内数的加法的计算法则及应用。
20．【分析】根据题意，用原来本子的数量减去已经发的数量，由此列式解答即可。
> 【解答】解：16﹣10＝6（本）
>
> 答：还剩6本。
>
> 【点评】本题主要考查了整数减法的意义和实际应用，关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。
21．【分析】一共有19棵白菜，菜篮子外面有2棵，求菜篮子里面有多少棵，根据减法的意义，用减法解答。
> 【解答】解：19﹣2＝17（棵）
>
> 答：菜篮子里面有17棵白菜。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握减法的意义，掌握20以内数的减法的计算法则及应用。
22．【分析】通过观察图片可知树上原来有7只鸟，又飞来了6只，求现在一共有多少只鸟，根据加法的意义，用加法解答。
> 【解答】解：7+6＝13（只）
>
> 答：现在一共有13只鸟。
>
> 故答案为：7、6、13。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解整数加法的意义，掌握20以内数的计算法则及应用。
23．【分析】首先根据减法的意义，用减法求出到站1人下车后，车上还有多少人，再根据加法的意义，用加法求出车上还有的人数加上又上车的人数就是现在车上的人数。
> 【解答】解：10﹣1+5
>
> ＝9+5
>
> ＝14（人）
>
> 答：现在车上有14人。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握20以内数的加减法的意义及应用。
**五、填空题（共4小题，每小题4分，满分20分）**
24．【分析】根据10以内数的大小比较方法，可以根据10以内数的排列顺序进行比较，排列在后面的数大于排列是前面的数。据此解答。
> 【解答】解：
-------------------- --------------------- -------------------- --------------------
7＜8（答案不唯一） 9＜10（答案不唯一） 6＞5（答啊不唯一） 4＞3（答案不唯一）
-------------------- --------------------- -------------------- --------------------
> 故答案为：（答案不唯一）7；9；6；3。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握10以内数的大小比较方法及应用。
25．【分析】根据整数加减法的运算法则先算出一侧的结果，再进行计算即可解答。注意最后一题答案不唯一。
> 【解答】解：
3+4＝2+5 9﹣4＝6﹣1
------------ --------------
10﹣5＝2+3 1+1＝5﹣3＝2
> 故答案为：2、4、2、1、1、5。（答案不唯一）
>
> 【点评】本题考查了20以内的加减法，熟练是解决本题的关键。
26．【分析】根据整数加减法的运算法则进行计算。
> 【解答】解：
5+7＝12 10+9＝19
--------- -----------
9﹣6＝3 14﹣4＝10
3＝6﹣3 15﹣6＝9
> 故答案为：7、10、6、4、6、15。
>
> 【点评】本题考查了20以内的加减法，熟练是解决本题的关键。
27．【分析】先由第二个算式求出◎表示的数，再由第一个算式求出☆表示的数即可。
> 【解答】解：因为◎+10＝12，所以◎＝2；因为☆+◎＝14，所以☆＝12。
>
> 故答案为：12；2
>
> 【点评】先由第二个算式求出◎表示的数，是解答此题的关键。
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**小学三年级下册数学奥数知识点****讲解第12课《****盈亏问题****》试题附答案**
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**答案**\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
\[来源:Zxxk.Com\]
三年级奥数下册：第十二讲 盈亏问题 习题解答 
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2017---2018学年度上学期高三年级六调考试
数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．\[来源:学,科,网\]
\[来源:\]
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)
1．已知数集，设函数*f*（*x*）是从A到B的函数，则函数*f*（*x*）的值域的可能情况的个数为
A．1 B．3 C．7 D．8\[来源:学\*科\*网\]
2．已知*i*为虚数单位，且
A．1 B． C． D．2
3．已知等差数列的前*n*项和为
A．18 B．36 C．54 D．72
4．已知为第二象限角，
A． B． C． D．
5．已知双曲线轴交于A，B两点，，则的面积的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．8
6．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
7．在等比数列中，为
A．64 B．81 C．128 D．243
8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入的*a*，*b*分别为72，27，则输出的
A．18 B．9 C．6 D．3
9．已知点M在抛物线上，N为抛物线的准线*l*上一点，F为该抛物线的焦点，若，则直线MN的斜率为
A．± B．±l C．±2 D．±
10．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．经随机模拟实验产生了如下20组随机数：
据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为
A． B． C． D．
11．已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，平面BCD，且，则球O的表面积为
A． B． C． D．\[来源:Z。xx。k.Com\]
12．若对任意的实数t，函数在R上是增函数，则实数*a*的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．曲线和直线所围成的图形的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．若的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．已知函数，数列为等比数列，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)如图，在的平分线BD交AC于点D，设，其中是直线的倾斜角．
(1)求sin A；
(2)若，求AB的长．
18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱
分别为的中点．
(1)在平面ABC内过点A作AM∥平面交BC于点M，并写出作图步骤。不要求证明；
(2)若侧面侧面，求直线A~1~C~1~与平面PQB~1~所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示("√"
表示答对，"×"表示答错)：
(1)根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
(3)定义统计量，其中为第*i*题的实测难度，为第*i*题的预估难度()．规定：若S≤0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
20．(本小题满分12分)已知点A(2，0)，O为坐标原点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)过点A且不垂直于坐标轴的直线*l*轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与*x*交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数．
(1)求函数*f*（*x*）的单调区间；
(2)当时，关于*x*方程在区间\[1，e^2^\]上有唯一实数解，求实数m取值范围．
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4---4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线*l*过点，且倾斜角为．以原点O极点，*x*的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C极坐标方程为．
(1)写出直线*l*一个参数方程和圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线*l*于A，B两点，求的值．
23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲．
已知函数．
(1)解不等式；
(2)已知，若关于*x*的不等式恒成立，求实数*a*的取值范围．
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\
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**2019年湖北省鄂州市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．*a*^3^•*a*^2^ ＝*a*^6^ B．*a*^7^÷*a*^3^ ＝*a*^4^
C．（﹣3*a*）^2^ ＝﹣6*a*^2^ D．（*a*﹣1）^2^＝*a*^2^ ﹣1
3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1031×10^6^ B．1.031×10^7^ C．1.031×10^8^ D．10.31×10^9^
4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（ ）
> 
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝
35°，则∠1的度数为（ ）
> 
A．45° B．55° C．65° D．75°
6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，*x*，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
7．（3分）（2019•鄂州）关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣4*x*+*m*＝0的两实数根分别为*x*~1~、*x*~2~，且*x*~1~+3*x*~2~＝5，则*m*的值为（ ）
A． B． C． D．0
8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数*y*＝﹣*x*+*k*与*y*＝（*k*为常数，且*k*≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2019•鄂州）二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*的图象如图所示，对称轴是直线*x*＝1．下列结论：①*abc*＜0；②3*a*+*c*＞0；③（*a*+*c*）^2^﹣*b*^2^＜0；④*a*+*b*≤*m*（*am*+*b*）（*m*为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~...*A~n~*在*x*轴上，*B*~1~、*B*~2~、*B*~3~...*B~n~*在直线*y*＝*x*上，若*A*~1~（1，0），且△*A*~1~*B*~1~*A*~2~、△*A*~2~*B*~2~*A*~3~...△*A~n~B~n~A~n~*~+1~都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为*S*~1~、*S*~2~、*S*~3~...*S~n~*．则*S~n~*可表示为（ ）
> 
A．2^2*n*^ B．2^2*n*﹣1^ C．2^2*n*﹣2^ D．2^2*n*﹣3^
**二.填空题（每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4*ax*^2^﹣4*ax*+*a*＝[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•鄂州）若关于*x*、*y*的二元一次方程组的解满足*x*+*y*≤0，则*m*的取值范围是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径*r*＝5，高*h*＝10，则这个圆锥的侧面积是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点*P*（*x*~0~，*y*~0~）到直线*Ax*+*By*+*C*＝0的距离公式为：*d*＝，则点*P*（3，﹣3）到直线*y*＝﹣*x*+的距离为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段*AB*＝4，*O*是*AB*的中点，直线*l*经过点*O*，∠1＝60°，*P*点是直线*l*上一点，当△*APB*为直角三角形时，则*BP*＝[ ]{.underline}．
> 
16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知*C*（3，4），以点*C*为圆心的圆与*y*轴相切．点*A*、*B*在*x*轴上，且*OA*＝*OB*．点*P*为⊙*C*上的动点，∠*APB*＝90°，则*AB*长度的最大值为[ ]{.underline}．
> 
**三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）**
17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为*x*的值代入求值．
> （﹣）÷
18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形*ABCD*中，*AB*＝8，*AD*＝6，点*O*是对角线*BD*的中点，过点*O*的直线分别交*AB*、*CD*边于点*E*、*F*．
> （1）求证：四边形*DEBF*是平行四边形；
>
> （2）当*DE*＝*DF*时，求*EF*的长．
>
> 
19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
------ ------ ------ ------ ------ ------
类别 *A* *B* *C* *D* *E*
类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 11 20 40 *m* 4
------ ------ ------ ------ ------ ------
> 请你根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）统计表中*m*的值为[ ]{.underline}，统计图中*n*的值为[ ]{.underline}，*A*类对应扇形的圆心角为[ ]{.underline}度；
>
> （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
>
> （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
>
> 
20．（8分）（2019•鄂州）已知关于*x*的方程*x*^2^﹣2*x*+2*k*﹣1＝0有实数根．
> （1）求*k*的取值范围；
>
> （2）设方程的两根分别是*x*~1~、*x*~2~，且+＝*x*~1~•*x*~2~，试求*k*的值．
21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度*AB*，他站在距离教学楼底部*E*处6米远的地面*C*处，测得宣传牌的底部*B*的仰角为60°，同时测得教学楼窗户*D*处的仰角为30°（*A*、*B*、*D*、*E*在同一直线上）．然后，小明沿坡度*i*＝1：1.5的斜坡从*C*走到*F*处，此时*DF*正好与地面*CE*平行．
> （1）求点*F*到直线*CE*的距离（结果保留根号）；
>
> （2）若小明在*F*处又测得宣传牌顶部*A*的仰角为45°，求宣传牌的高度*AB*（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
>
> 
22．（10分）（2019•鄂州）如图，*PA*是⊙*O*的切线，切点为*A*，*AC*是⊙*O*的直径，连接*OP*交⊙*O*于*E*．过*A*点作*AB*⊥*PO*于点*D*，交⊙*O*于*B*，连接*BC*，*PB*．
> （1）求证：*PB*是⊙*O*的切线；
>
> （2）求证：*E*为△*PAB*的内心；
>
> （3）若cos∠*PAB*＝，*BC*＝1，求*PO*的长．
>
> 
23．（10分）（2019•鄂州）"互联网+"时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为*x*元（*x*为正整数），每月的销售量为*y*条．
> （1）直接写出*y*与*x*的函数关系式；
>
> （2）设该网店每月获得的利润为*w*元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
>
> （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*与*x*轴交于*A*、*B*两点，*AB*＝4，交*y*轴于点*C*，对称轴是直线*x*＝1．
> （1）求抛物线的解析式及点*C*的坐标；
>
> （2）连接*BC*，*E*是线段*OC*上一点，*E*关于直线*x*＝1的对称点*F*正好落在*BC*上，求点*F*的坐标；
>
> （3）动点*M*从点*O*出发，以每秒2个单位长度的速度向点*B*运动，过*M*作*x*轴的垂线交抛物线于点*N*，交线段*BC*于点*Q*．设运动时间为*t*（*t*＞0）秒．
>
> ①若△*AOC*与△*BMN*相似，请直接写出*t*的值；
>
> ②△*BOQ*能否为等腰三角形？若能，求出*t*的值；若不能，请说明理由．
>
> 
**2019年湖北省鄂州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•达州）﹣2019的绝对值是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．
>
> 【解答】解：﹣2019的绝对值是：2019．
>
> 故选：*A*．
2．（3分）（2019•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A．*a*^3^•*a*^2^ ＝*a*^6^ B．*a*^7^÷*a*^3^ ＝*a*^4^
C．（﹣3*a*）^2^ ＝﹣6*a*^2^ D．（*a*﹣1）^2^＝*a*^2^ ﹣1
> 【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．菁优网版权所有
>
> 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
>
> 【解答】解：*A*、原式＝*a*^5^，不符合题意；
>
> *B*、原式＝*a*^4^，符合题意；
>
> *C*、原式＝9*a*^2^，不符合题意；
>
> *D*、原式＝*a*^2^﹣2*a*+1，不符合题意，
>
> 故选：*B*．
3．（3分）（2019•鄂州）据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人．数据1031万用科学记数法可表示为（ ）
A．0.1031×10^6^ B．1.031×10^7^ C．1.031×10^8^ D．10.31×10^9^
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为*a*×10*^n^*，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数，据此判断即可．
>
> 【解答】解：将1031万用科学记数法可表示为1.031×10^7^．
>
> 故选：*B*．
4．（3分）（2019•鄂州）如图是由7个小正方体组合成的几何体，则其左视图为（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左主视图中．
>
> 【解答】解：从左面看易得其左视图为：
>
> 
>
> 故选：*A*．
5．（3分）（2019•鄂州）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
> 
A．45° B．55° C．65° D．75°
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
>
> 【解答】解：如图，
>
> 作*EF*∥*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠2＝∠*AEF*＝35°，∠1＝∠*FEC*，
>
> ∵∠*AEC*＝90°，
>
> ∴∠1＝90°﹣35°＝55°，
>
> 故选：*B*．
6．（3分）（2019•鄂州）已知一组数据为7，2，5，*x*，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）
A．3 B．4.5 C．5.2 D．6
> 【考点】算术平均数；方差．菁优网版权所有
>
> 【分析】先由平均数是5计算*x*的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
>
> 【解答】解：∵一组数据7，2，5，*x*，8的平均数是5，
>
> ∴5＝（7+2+5+*x*+8），
>
> ∴*x*＝5×5﹣7﹣2﹣5﹣8＝3，
>
> ∴*s*^2^＝\[（7﹣5）^2^+（2﹣5）^2^+（5﹣5）^2^+（3﹣5）^2^+（8﹣5）^2^\]＝5.2，
>
> 故选：*C*．
7．（3分）（2019•鄂州）关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣4*x*+*m*＝0的两实数根分别为*x*~1~、*x*~2~，且*x*~1~+3*x*~2~＝5，则*m*的值为（ ）
A． B． C． D．0
> 【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到*x*~1~+*x*~2~＝4，代入代数式计算即可．
>
> 【解答】解：∵*x*~1~+*x*~2~＝4，
>
> ∴*x*~1~+3*x*~2~＝*x*~1~+*x*~2~+2*x*~2~＝4+2*x*~2~＝5，
>
> ∴*x*~2~＝，
>
> 把*x*~2~＝代入*x*^2^﹣4*x*+*m*＝0得：（）^2^﹣4×+*m*＝0，
>
> 解得：*m*＝，
>
> 故选：*A*．
8．（3分）（2019•鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数*y*＝﹣*x*+*k*与*y*＝（*k*为常数，且*k*≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
>
> 【解答】解：∵函数*y*＝﹣*x*+*k*与*y*＝（*k*为常数，且*k*≠0），
>
> ∴当*k*＞0时，*y*＝﹣*x*+*k*经过第一、二、四象限，*y*＝经过第一、三象限，故选项*A*、*B*错误，
>
> 当*k*＜0时，*y*＝﹣*x*+*k*经过第二、三、四象限，*y*＝经过第二、四象限，故选项*C*正确，选项*D*错误，
>
> 故选：*C*．
9．（3分）（2019•鄂州）二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*的图象如图所示，对称轴是直线*x*＝1．下列结论：①*abc*＜0；②3*a*+*c*＞0；③（*a*+*c*）^2^﹣*b*^2^＜0；④*a*+*b*≤*m*（*am*+*b*）（*m*为实数）．其中结论正确的个数为（ ）
> 
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
> 【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】①由抛物线开口方向得到*a*＞0，对称轴在*y*轴右侧，得到*a*与*b*异号，又抛物线与*y*轴正半轴相交，得到*c*＜0，可得出*abc*＞0，选项①错误；
>
> ②把*b*＝﹣2*a*代入*a*﹣*b*+*c*＞0中得3*a*+*c*＞0，所以②正确；
>
> ③由*x*＝1时对应的函数值＜0，可得出*a*+*b*+*c*＜0，得到*a*+*c*＜﹣*b*，由*a*＞0，*c*＞0，﹣*b*＞0，得到（ ）*a*+*c*）^2^﹣*b*^2^＜0，选项③正确；
>
> ④由对称轴为直线*x*＝1，即*x*＝1时，*y*有最小值，可得结论，即可得到④正确．
>
> 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴*a*＞0，
>
> ∵抛物线的对称轴在*y*轴右侧，∴*b*＜0
>
> ∵抛物线与*y*轴交于负半轴，
>
> ∴*c*＜0，
>
> ∴*abc*＞0，①错误；
>
> ②当*x*＝﹣1时，*y*＞0，∴*a*﹣*b*+*c*＞0，
>
> ∵，∴*b*＝﹣2*a*，
>
> 把*b*＝﹣2*a*代入*a*﹣*b*+*c*＞0中得3*a*+*c*＞0，所以②正确；
>
> ③当*x*＝1时，*y*＜0，∴*a*+*b*+*c*＜0，
>
> ∴*a*+*c*＜﹣*b*，
>
> ∵*a*＞0，*c*＞0，﹣*b*＞0，
>
> ∴（*a*+*c*）^2^＜（﹣*b*）^2^，即（*a*+*c*）^2^﹣*b*^2^＜0，所以③正确；
>
> ④∵抛物线的对称轴为直线*x*＝1，
>
> ∴*x*＝1时，函数的最小值为*a*+*b*+*c*，
>
> ∴*a*+*b*+*c*≤*am*^2^+*mb*+*c*，
>
> 即*a*+*b*≤*m*（*am*+*b*），所以④正确．
>
> 故选：*C*．
10．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点*A*~1~、*A*~2~、*A*~3~...*A~n~*在*x*轴上，*B*~1~、*B*~2~、*B*~3~...*B~n~*在直线*y*＝*x*上，若*A*~1~（1，0），且△*A*~1~*B*~1~*A*~2~、△*A*~2~*B*~2~*A*~3~...△*A~n~B~n~A~n~*~+1~都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为*S*~1~、*S*~2~、*S*~3~...*S~n~*．则*S~n~*可表示为（ ）
> 
A．2^2*n*^ B．2^2*n*﹣1^ C．2^2*n*﹣2^ D．2^2*n*﹣3^
> 【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】直线*y*＝*x*与*x*轴的成角∠*B*~1~*OA*~1~＝30°，可得∠*OB*~2~*A*~2~＝30°，...，∠*OB~n~A~n~*＝30°，∠*OB*~1~*A*~2~＝90°，...，∠*OB~n~A~n~*~+1~＝90°；根据等腰三角形的性质可知*A*~1~*B*~1~＝1，*B*~2~*A*~2~＝*OA*~2~＝2，*B*~3~*A*~3~＝4，...，*B~n~A~n~*＝2^*n*﹣1^；根据勾股定理可得*B*~1~*B*~2~＝，*B*~2~*B*~3~＝2，...，*B~n~B~n~*~+1~＝2*^n^*，再由面积公式即可求解；
>
> 【解答】解：∵△*A*~1~*B*~1~*A*~2~、△*A*~2~*B*~2~*A*~3~...△*A~n~B~n~A~n~*~+1~都是等边三角形，
>
> ∴*A*~1~*B*~1~∥*A*~2~*B*~2~∥*A*~3~*B*~3~∥...∥*A~n~B~n~*，*B*~1~*A*~2~∥*B*~2~*A*~3~∥*B*~3~*A*~4~∥...∥*B~n~A~n~*~+1~，△*A*~1~*B*~1~*A*~2~、△*A*~2~*B*~2~*A*~3~...△*A~n~B~n~A~n~*~+1~都是等边三角形，
>
> ∵直线*y*＝*x*与*x*轴的成角∠*B*~1~*OA*~1~＝30°，∠*OA*~1~*B*~1~＝120°，
>
> ∴∠*OB*~1~*A*~1~＝30°，
>
> ∴*OA*~1~＝*A*~1~*B*~1~，
>
> ∵*A*~1~（1，0），
>
> ∴*A*~1~*B*~1~＝1，
>
> 同理∠*OB*~2~*A*~2~＝30°，...，∠*OB~n~A~n~*＝30°，
>
> ∴*B*~2~*A*~2~＝*OA*~2~＝2，*B*~3~*A*~3~＝4，...，*B~n~A~n~*＝2^*n*﹣1^，
>
> 易得∠*OB*~1~*A*~2~＝90°，...，∠*OB~n~A~n~*~+1~＝90°，
>
> ∴*B*~1~*B*~2~＝，*B*~2~*B*~3~＝2，...，*B~n~B~n~*~+1~＝2*^n^*，
>
> ∴*S*~1~＝×1×＝，*S*~2~＝×2×2＝2，...，*S~n~*＝×2^*n*﹣1^×2*^n^*＝；
>
> 故选：*D*．
**二.填空题（每小题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•鄂州）因式分解：4*ax*^2^﹣4*ax*+*a*＝[ *a*（2*x*﹣1）^2^ ]{.underline}．
> 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
>
> 【分析】原式提取*a*，再利用完全平方公式分解即可．
>
> 【解答】解：原式＝*a*（4*x*^2^﹣4*x*+1）＝*a*（2*x*﹣1）^2^，
>
> 故答案为：*a*（2*x*﹣1）^2^
12．（3分）（2019•鄂州）若关于*x*、*y*的二元一次方程组的解满足*x*+*y*≤0，则*m*的取值范围是[ *m*≤﹣2 ]{.underline}．
> 【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先解关于*x*和*y*的方程组，利用*m*表示出*x*+*y*，代入*x*+*y*≤0即可得到关于*m*的不等式，求得*m*的范围．
>
> 【解答】解：，
>
> ①+②得2*x*+2*y*＝4*m*+8，
>
> 则*x*+*y*＝2*m*+4，
>
> 根据题意得2*m*+4≤0，
>
> 解得*m*≤﹣2．
>
> 故答案是：*m*≤﹣2．
13．（3分）（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径*r*＝5，高*h*＝10，则这个圆锥的侧面积是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
>
> 【解答】解：∵圆锥的底面半径*r*＝5，高*h*＝10，
>
> ∴圆锥的母线长为＝5，
>
> ∴圆锥的侧面积为π×5×5＝，
>
> 故答案为：．
14．（3分）（2019•鄂州）在平面直角坐标系中，点*P*（*x*~0~，*y*~0~）到直线*Ax*+*By*+*C*＝0的距离公式为：*d*＝，则点*P*（3，﹣3）到直线*y*＝﹣*x*+的距离为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题目中的距离公式即可求解．
>
> 【解答】解：∵*y*＝﹣*x*+
>
> ∴2*x*+3*y*﹣5＝0
>
> ∴点*P*（3，﹣3）到直线*y*＝﹣*x*+的距离为：＝，
>
> 故答案为：．
15．（3分）（2019•鄂州）如图，已知线段*AB*＝4，*O*是*AB*的中点，直线*l*经过点*O*，∠1＝60°，*P*点是直线*l*上一点，当△*APB*为直角三角形时，则*BP*＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】勾股定理．菁优网版权所有
>
> 【分析】分∠*APB*＝90°、∠*PAB*＝90°、∠*PBA*＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
>
> 【解答】解：∵*AO*＝*OB*＝2，
>
> ∴当*BP*＝2时，∠*APB*＝90°，
>
> 当∠*PAB*＝90°时，∵∠*AOP*＝60°，
>
> ∴*AP*＝*OA*•tan∠*AOP*＝2，
>
> ∴*BP*＝＝2，
>
> 当∠*PBA*＝90°时，∵∠*AOP*＝60°，
>
> ∴*BP*＝*OB*•tan∠1＝2，
>
> 故答案为：2或2或2．
>
> 
16．（3分）（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，已知*C*（3，4），以点*C*为圆心的圆与*y*轴相切．点*A*、*B*在*x*轴上，且*OA*＝*OB*．点*P*为⊙*C*上的动点，∠*APB*＝90°，则*AB*长度的最大值为[ 16 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】连接*OC*并延长，交⊙*C*上一点*P*，以*O*为圆心，以*OP*为半径作⊙*O*，交*x*轴于*A*、*B*，此时*AB*的长度最大，根据勾股定理和题意求得*OP*＝8，则*AB*的最大长度为16．
>
> 【解答】解：连接*OC*并延长，交⊙*C*上一点*P*，以*O*为圆心，以*OP*为半径作⊙*O*，交*x*轴于*A*、*B*，此时*AB*的长度最大，
>
> ∵*C*（3，4），
>
> ∴*OC*＝＝5，
>
> ∵以点*C*为圆心的圆与*y*轴相切．
>
> ∴⊙*C*的半径为3，
>
> ∴*OP*＝*OA*＝*OB*＝8，
>
> ∵*AB*是直径，
>
> ∴∠*APB*＝90°，
>
> ∴*AB*长度的最大值为16，
>
> 故答案为16．
**三.解答题（17～21题每题8分，22、23题每题10分，24题12分，共72分）**
17．（8分）（2019•鄂州）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为*x*的值代入求值．
> （﹣）÷
>
> 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
>
> 【分析】先化简分式，然后将*x* 的值代入计算即可．
>
> 【解答】解：原式＝\[﹣\]÷
>
> ＝\[﹣\]）÷
>
> ＝•
>
> ＝*x*+2
>
> ∵*x*﹣2≠0，*x*﹣4≠0，
>
> ∴*x*≠2且*x*≠4，
>
> ∴当*x*＝﹣1时，
>
> 原式＝﹣1+2＝1．
18．（8分）（2019•鄂州）如图，矩形*ABCD*中，*AB*＝8，*AD*＝6，点*O*是对角线*BD*的中点，过点*O*的直线分别交*AB*、*CD*边于点*E*、*F*．
> （1）求证：四边形*DEBF*是平行四边形；
>
> （2）当*DE*＝*DF*时，求*EF*的长．
>
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据矩形的性质得到*AB*∥*CD*，由平行线的性质得到∠*DFO*＝∠*BEO*，根据全等三角形的性质得到*DF*＝*BE*，于是得到四边形*BEDF*是平行四边形；
>
> （2）推出四边形*BEDF*是菱形，得到*DE*＝*BE*，*EF*⊥*BD*，*OE*＝*OF*，设*AE*＝*x*，则*DE*＝*BE*＝8﹣*x*根据勾股定理即可得到结论．
>
> 【解答】（1）证明：∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠*DFO*＝∠*BEO*，
>
> 又因为∠*DOF*＝∠*BOE*，*OD*＝*OB*，
>
> ∴△*DOF*≌△*BOE*（*ASA*），
>
> ∴*DF*＝*BE*，
>
> 又因为*DF*∥*BE*，
>
> ∴四边形*BEDF*是平行四边形；
>
> （2）解：∵*DE*＝*DF*，四边形*BEDF*是平行四边形
>
> ∴四边形*BEDF*是菱形，
>
> ∴*DE*＝*BE*，*EF*⊥*BD*，*OE*＝*OF*，
>
> 设*AE*＝*x*，则*DE*＝*BE*＝8﹣*x*
>
> 在Rt△*ADE*中，根据勾股定理，有*AE*^2^+*AD*^2^＝*DE*^2^
>
> ∴*x*^2^+6^2^＝（8﹣*x*）^2^，
>
> 解之得：*x*＝，
>
> ∴*DE*＝8﹣＝，
>
> 在Rt△*ABD*中，根据勾股定理，有*AB*^2^+*AD*^2^＝*BD*^2^
>
> ∴*BD*＝，
>
> ∴*OD*＝ *BD*＝5，
>
> 在Rt△*DOE*中，根据勾股定理，有*DE*^2^ ﹣*OD*^2^＝*OE*^2^，
>
> ∴*OE*＝，
>
> ∴*EF*＝2*OE*＝．
19．（8分）（2019•鄂州）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
------ ------ ------ ------ ------ ------
类别 *A* *B* *C* *D* *E*
类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 11 20 40 *m* 4
------ ------ ------ ------ ------ ------
> 请你根据以上信息，回答下列问题：
>
> （1）统计表中*m*的值为[ 25 ]{.underline}，统计图中*n*的值为[ 25 ]{.underline}，*A*类对应扇形的圆心角为[ 39.6 ]{.underline}度；
>
> （2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
>
> （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
>
> 
>
> 【考点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）先根据*B*类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出*m*，继而由百分比概念得出*n*的值，用360°乘以*A*类别人数所占比例即可得；
>
> （2）利用样本估计总体思想求解可得．
>
> 【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，
>
> ∴*m*＝100﹣（11+20+40+4）＝25，*n*%＝×100%＝25%，*A*类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°，
>
> 故答案为：25、25、39.6．
>
> （2）1500×＝300（人）
>
> 答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
>
> （3）画树状图如下：
>
> 
>
> 共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
>
> 所以所选2名同学中有男生的概率为．
20．（8分）（2019•鄂州）已知关于*x*的方程*x*^2^﹣2*x*+2*k*﹣1＝0有实数根．
> （1）求*k*的取值范围；
>
> （2）设方程的两根分别是*x*~1~、*x*~2~，且+＝*x*~1~•*x*~2~，试求*k*的值．
>
> 【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据一元二次方程*x*^2^﹣2*x*+2*k*﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）^2^﹣4（2*k*﹣1）≥0，求出*k*的取值范围即可；
>
> （2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
>
> 【解答】（1）解：∵原方程有实数根，
>
> ∴*b*^2^﹣4*ac*≥0∴（﹣2）^2^﹣4（2*k*﹣1）≥0
>
> ∴*k*≤1
>
> （2）∵*x*~1~，*x*~2~是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
>
> *x*~1~+*x*~2~ ＝2，*x*~1~ •*x*~2~ ＝2*k*﹣1
>
> 又∵+＝*x*~1~•*x*~2~，
>
> ∴
>
> ∴（*x*~1~+*x*~2~）^2^﹣2*x*~1~ *x*~2~ ＝（*x*~1~ •*x*~2~）^2^
>
> ∴2^2^﹣2（2*k*﹣1）＝（2*k*﹣1）^2^
>
> 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
>
> ∵*k*≤1
>
> ∴．
21．（8分）（2019•鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度*AB*，他站在距离教学楼底部*E*处6米远的地面*C*处，测得宣传牌的底部*B*的仰角为60°，同时测得教学楼窗户*D*处的仰角为30°（*A*、*B*、*D*、*E*在同一直线上）．然后，小明沿坡度*i*＝1：1.5的斜坡从*C*走到*F*处，此时*DF*正好与地面*CE*平行．
> （1）求点*F*到直线*CE*的距离（结果保留根号）；
>
> （2）若小明在*F*处又测得宣传牌顶部*A*的仰角为45°，求宣传牌的高度*AB*（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
>
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）过点*F*作*FG*⊥*EC*于*G*，依题意知*FG*∥*DE*，*DF*∥*GE*，∠*FGE*＝90°；得到四边形*DEFG*是矩形；根据矩形的性质得到*FG*＝*DE*；解直角三角形即可得到结论；
>
> （2）解直角三角形即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）过点*F*作*FG*⊥*EC*于*G*，
>
> 依题意知*FG*∥*DE*，*DF*∥*GE*，∠*FGE*＝90° ；
>
> ∴四边形*DEFG*是矩形；
>
> ∴*FG*＝*DE*；
>
> 在Rt△*CDE*中，
>
> *DE*＝*CE*•tan∠*DCE*；
>
> ＝6×tan30 ^*o*^ ＝2 （米）；
>
> ∴点*F*到地面的距离为2 米；
>
> （2）∵斜坡*CF* *i*＝1：1.5．
>
> ∴Rt△*CFG*中，*CG*＝1.5*FG*＝2×1.5＝3，
>
> ∴*FD*＝*EG*＝3+6．
>
> 在Rt△*BCE*中，
>
> *BE*＝*CE*•tan∠*BCE*＝6×tan60 ^*o*^ ＝6．
>
> ∴*AB*＝*AD*+*DE*﹣*BE*．
>
> ＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．
>
> 答：宣传牌的高度约为4.3米．
>
> 
22．（10分）（2019•鄂州）如图，*PA*是⊙*O*的切线，切点为*A*，*AC*是⊙*O*的直径，连接*OP*交⊙*O*于*E*．过*A*点作*AB*⊥*PO*于点*D*，交⊙*O*于*B*，连接*BC*，*PB*．
> （1）求证：*PB*是⊙*O*的切线；
>
> （2）求证：*E*为△*PAB*的内心；
>
> （3）若cos∠*PAB*＝，*BC*＝1，求*PO*的长．
>
> 
>
> 【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）连结*OB*，根据圆周角定理得到∠*ABC*＝90°，证明△*AOP*≌△*BOP*，得到∠*OBP*＝∠*OAP*，根据切线的判定定理证明；
>
> （2）连结*AE*，根据切线的性质定理得到∠*PAE*+∠*OAE*＝90°，证明*EA*平分∠*PAD*，根据三角形的内心的概念证明即可；
>
> （3）根据余弦的定义求出*OA*，证明△*PAO*∽△*ABC*，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
>
> 【解答】（1）证明：连结*OB*，
>
> ∵*AC*为⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*ABC*＝90°，
>
> ∵*AB*⊥*PO*，
>
> ∴*PO*∥*BC*
>
> ∴∠*AOP*＝∠*C*，∠*POB*＝∠*OBC*，
>
> *OB*＝*OC*，
>
> ∴∠*OBC*＝∠*C*，
>
> ∴∠*AOP*＝∠*POB*，
>
> 在△*AOP*和△*BOP*中，
>
> ，
>
> ∴△*AOP*≌△*BOP*（*SAS*），
>
> ∴∠*OBP*＝∠*OAP*，
>
> ∵*PA*为⊙*O*的切线，
>
> ∴∠*OAP*＝90°，
>
> ∴∠*OBP*＝90°，
>
> ∴*PB*是⊙*O*的切线；
>
> （2）证明：连结*AE*，
>
> ∵*PA*为⊙*O*的切线，
>
> ∴∠*PAE*+∠*OAE*＝90°，
>
> ∵*AD*⊥*ED*，
>
> ∴∠*EAD*+∠*AED*＝90°，
>
> ∵*OE*＝*OA*，
>
> ∴∠*OAE*＝∠*AED*，
>
> ∴∠*PAE*＝∠*DAE*，即*EA*平分∠*PAD*，
>
> ∵*PA*、*PD*为⊙*O*的切线，
>
> ∴*PD*平分∠*APB*
>
> ∴*E*为△*PAB*的内心；
>
> （3）解：∵∠*PAB*+∠*BAC*＝90°，∠*C*+∠*BAC*＝90°，
>
> ∴∠*PAB*＝∠*C*，
>
> ∴cos∠*C*＝cos∠*PAB*＝，
>
> 在Rt△*ABC*中，cos∠*C*＝＝＝，
>
> ∴*AC*＝，*AO*＝，
>
> ∵△*PAO*∽△*ABC*，
>
> ∴，
>
> ∴*PO*＝＝＝5．
>
> 
23．（10分）（2019•鄂州）"互联网+"时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为*x*元（*x*为正整数），每月的销售量为*y*条．
> （1）直接写出*y*与*x*的函数关系式；
>
> （2）设该网店每月获得的利润为*w*元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
>
> （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
>
> 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出*y*与*x*的函数关系式；
>
> （2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
>
> （3）利用总利润＝4220+200，求出*x*的值，进而得出答案．
>
> 【解答】解：（1）由题意可得：*y*＝100+5（80﹣*x*）整理得 *y*＝﹣5*x*+500；
>
> （2）由题意，得：
>
> *w*＝（*x*﹣40）（﹣5*x*+500）
>
> ＝﹣5*x*^2^+700*x*﹣20000
>
> ＝﹣5（*x*﹣70）^2^+4500
>
> ∵*a*＝﹣5＜0∴*w*有最大值
>
> 即当*x*＝70时，*w*~最大值~＝4500
>
> ∴应降价80﹣70＝10（元）
>
> 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
>
> （3）由题意，得：
>
> ﹣5（*x*﹣70）^2^+4500＝4220+200
>
> 解之，得：*x*~1~＝66，*x*~2~ ＝74，
>
> ∵抛物线开口向下，对称轴为直线*x*＝70，
>
> ∴当66≤*x*≤74时，符合该网店要求
>
> 而为了让顾客得到最大实惠，故*x*＝66
>
> ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
24．（12分）（2019•鄂州）如图，已知抛物线*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*与*x*轴交于*A*、*B*两点，*AB*＝4，交*y*轴于点*C*，对称轴是直线*x*＝1．
> （1）求抛物线的解析式及点*C*的坐标；
>
> （2）连接*BC*，*E*是线段*OC*上一点，*E*关于直线*x*＝1的对称点*F*正好落在*BC*上，求点*F*的坐标；
>
> （3）动点*M*从点*O*出发，以每秒2个单位长度的速度向点*B*运动，过*M*作*x*轴的垂线交抛物线于点*N*，交线段*BC*于点*Q*．设运动时间为*t*（*t*＞0）秒．
>
> ①若△*AOC*与△*BMN*相似，请直接写出*t*的值；
>
> ②△*BOQ*能否为等腰三角形？若能，求出*t*的值；若不能，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）将*A*、*B*关坐标代入*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*中，即可求解；
>
> （2）确定直线*BC*的解析式为*y*＝﹣*x*+3，根据点*E*、*F*关于直线*x*＝1对称，即可求解；
>
> （3）①△*AOC*与△*BMN*相似，则，即可求解；②分*OQ*＝*BQ*、*BO*＝*BQ*、*OQ*＝*OB*三种情况，分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1））∵点*A*、*B*关于直线*x*＝1对称，*AB*＝4，
>
> ∴*A*（﹣1，0），*B*（3，0），
>
> 代入*y*＝﹣*x*^2^+*bx*+*c*中，得：，解得，
>
> ∴抛物线的解析式为*y*＝﹣*x*^2^+2*x*+3，
>
> ∴*C*点坐标为（0，3）；
>
> （2）设直线*BC*的解析式为*y*＝*mx*+*n*，
>
> 则有：，解得，
>
> ∴直线*BC*的解析式为*y*＝﹣*x*+3，
>
> ∵点*E*、*F*关于直线*x*＝1对称，
>
> 又*E*到对称轴的距离为1，
>
> ∴*EF*＝2，
>
> ∴*F*点的横坐标为2，将*x*＝2代入*y*＝﹣*x*+3中，
>
> 得：*y*＝﹣2+3＝1，
>
> ∴*F*（2，1）；
>
> （3）①如下图，
>
> *MN*＝﹣4*t*^2^+4*t*+3，*MB*＝3﹣2*t*，
>
> △*AOC*与△*BMN*相似，则，
>
> 即：，
>
> 解得：*t*＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3），
>
> 故：*t*＝1；
>
> 
>
> ②∵*M*（2*t*，0），*MN*⊥*x*轴，∴*Q*（2*t*，3﹣2*t*），
>
> ∵△*BOQ*为等腰三角形，∴分三种情况讨论，
>
> 第一种，当*OQ*＝*BQ*时，
>
> ∵*QM*⊥*OB*
>
> ∴*OM*＝*MB*
>
> ∴2*t*＝3﹣2*t*
>
> ∴*t*＝；
>
> 第二种，当*BO*＝*BQ*时，在Rt△*BMQ*中
>
> ∵∠*OBQ*＝45°，
>
> ∴*BQ*＝，
>
> ∴*BO*＝，
>
> 即3＝，
>
> ∴*t*＝；
>
> 第三种，当*OQ*＝*OB*时，
>
> 则点*Q*、*C*重合，此时*t*＝0
>
> 而*t*＞0，故不符合题意
>
> 综上述，当*t*＝或秒时，△*BOQ*为等腰三角形．
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日期：2019/7/9 8:38:34；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
| 1 | |
**2020-2021学年辽宁省沈阳市法库东北学区六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空（20分）**
1．（2分）[ ]{.underline}吨是90吨的，50米比40米多[ ]{.underline}%。
2．（1分）一件上衣打八折后是180元，原价是[ ]{.underline}元。
3．（1分）小明站在路灯下，他离路灯越远，他的影子就越[ ]{.underline}．
4．（4分）一个三角形三个内角的比是1：2：3，这个三角形的三个内角分别是[ ]{.underline}度，[ ]{.underline}度，[ ]{.underline}度，这是一个[ ]{.underline}三角形．
5．（2分）是从物体的[ ]{.underline}面看到的图形；是从物体的[ ]{.underline}面看到的图形．
6．（1分）小明在草地上连续拍摄了正在行驶的一辆汽车的一组照片．下面三幅照片按照拍摄时间的先后顺序排列是[ ]{.underline}．
> 
7．（4分）把34%，0.3232...，0.333，四个数按照从小到大的顺序排列为：[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}。
8．（3分）请你写出三个比值是的比，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}。
9．（2分）我们将10克盐溶于100克水中，水与盐的质量比是[ ]{.underline}，盐与盐水的质量比是[ ]{.underline}。
**二、判断（5分）**
10．（1分）圆和圆环都是轴对称图形．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．（1分）明明说："我今年暑假参加了夏令营训练，体重下降了10%千克"。[ ]{.underline}（判断对错）
12．（1分）星期一，六年级一班的出勤率为97%，出勤人数占全班人数的97%。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）淘气和笑笑比赛做口算题，淘气4分钟做32道，笑笑5分钟做35道，淘气与笑笑做题的速度比是32：35。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）两个人分别站在两个方向给同一建筑物拍照，他们拍出的照片可能是一样的．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择（10分）**
15．（2分）某班50人参加考试，其中优秀21人，良好15人，及格10人，不及格4人，如果用扇形统计图把这个班的考试结果表示出来，那么及格人数的扇形圆心角是（ ）度。
A．100 B．72 C．30 D．20
16．（2分）一件商品，先降价10%，后又降价10%．现在的价格与原来相比（ ）
A．提高了 B．降低了 C．不变 D．无法确定
17．（2分）某工厂五月份生产机床220台，比计划超额了10%，超额了（ ）
A．12台 B．22台 C．20台 D．无数
18．（2分）甲数是乙数的2倍，那么甲数比乙数多（ ）
A．20% B．100% C．50% D．200%
19．（2分）为了比较向阳小学五年级各班得纪律红旗的多少，可以制成（ ）统计图。
A．条形 B．折线 C．扇形 D．复式折线
**四、计算（30分）**
20．（8分）直接写得数。
----------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.6^2^＝ 0.24：2＝ 0.3：0.09＝ 12÷＝
×0×＝ ÷＝ ×＝ ÷×＝
----------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21．（9分）解方程。
--------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- --------------------------------------------------------
（1）*x*﹣*x*＝ （2）*x*+35%*x*＝540 （3）（1﹣）*x*＝49
--------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- --------------------------------------------------------
22．（8分）脱式计算，能简算的要简算。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------
（1）÷﹣× （2）××（27×21）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------
23．（5分）求图中阴影部分的面积（单位：*cm*）
> 
**五、动手操作（12分）**
24．（6分）请你分别画出淘气站在*A*、*B*位置时所看到的树的范围，再说说你的发现。
> 我发现：[ ]{.underline}。
>
> 
25．（6分）一个立体图形（如图），请你分别画出从上面、正面和右面看到的立体图形的形状。
> 
**六、问题解决（10分）**
26．（5分）一种花生的出油率是42%，要榨2100千克的油，需要这种花生仁多少千克？（先画图分析，再列方程解答）
27．（5分）小明读一本书，已读的和未读的页数比是1：3．如果再读40页，则已读的和未读的页数之比为5：7，这本书共有多少页？
**七、统计与概率（13分）**
28．（13分）希望小学六（2）班同学在体育达标测试中，1分计时跳绳成绩如下。（单位：个）
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
128 137 186 205 197 167 153 129 149 177 136 200 167 157 142
139 195 156 173 176 135 176 158 179 170 143 152 176 201 155
----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- -----
> （1）对上面的数据进行分段整理，然后填入下表。
----------- --------- ---------- ---------- ---------- ----------- ------
个数段/个 140以下 140～159 160～179 180～199 200及以上 合计
人数
----------- --------- ---------- ---------- ---------- ----------- ------
> （2）根据上表完成下面的条形统计图。
>
> 
>
> （3）六（2）班同学跳绳成绩最好的1分跳[ ]{.underline}个，成绩最少的1分跳[ ]{.underline}个，成绩在140以下的人数占全班人数的[ ]{.underline}%。
>
> （4）你想对1分跳140个以下的同学说些什么？
**2020-2021学年辽宁省沈阳市法库东北学区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空（20分）**
1．【分析】求90吨的是多少，直接用60吨×即可；
> 先求出50与40的差，然后再除以40即可。
>
> 【解答】解：90×＝30（吨）
>
> （50﹣40）÷40
>
> ＝10÷40
>
> ＝25%
>
> 答：30吨是90吨的，50米比40米多25%。
>
> 故答案为：30；25。
>
> 【点评】求一个数的几分之几是多少用乘法计算．求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。
2．【分析】把原价看作单位"1"，打八折也就是现价是原价的80%，关键已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。
> 【解答】解：180÷80%
>
> ＝180÷0.8
>
> ＝225（元）
>
> 答：原价是225元。
>
> 故答案为：225。
>
> 【点评】此题属于基本的百分数除法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
3．【分析】根据"同样高的物体离路灯越近，影子就越短；离路灯越远，影子就越长"进行解答即可．
> 【解答】解：小明站在路灯下，他离路灯越远，他的影子就越长；
>
> 故答案为：长．
>
> 【点评】此题应根据生活中的实际情况及经验进行解答即可．
4．【分析】三角形内角和是180度，依据按比例分配方法分别求出三个角的度数，再根据最大角的度数即可解答．
> 【解答】解：1+2+3＝6
>
> 180×＝30（度）
>
> 180×＝60（度）
>
> 180×＝90（度）
>
> 答：这个三角形三个内角分别为30度，60度，90度，它是一个直角三角形．
>
> 故答案为：30，60，90，直角．
>
> 【点评】本题考查三角形的分类，以及三角形的内角和定理．
5．【分析】观察图形可知，从第一个物体的侧面看到的图形是一列2个正方形；从第二个物体的上面看到的图形是一行2个正方形，由此即可解答．
> 【解答】解：是从物体的侧面看到的图形；是从物体的上面看到的图形．
>
> 故答案为：侧；上．
>
> 【点评】此题考查学生观察物体和几何体的能力，培养学生的空间观念．
6．【分析】根据题干分析可得，小明先拍到的是汽车的前面，然后是汽车的侧面，最后是汽车经过摄影师离去的后面；据此即可标出．
> 【解答】解：观察图形可知，汽车进入镜头的先后顺序应是③①②．
>
> 故答案为：③①②．
>
> 【点评】此题主要考查从不同方向观察物体的能力，要注意结合生活经验进行解答．
7．【分析】根据百分数、分数化成小数的方法，把34%化成0.34，把化成0.，然后根据小数大小比较的方法进行比较。
> 【解答】解：34%＝0.34
>
> ＝0.
>
> 因为0.3232＜0.333＜0.＜0.34，
>
> 所以0.3232＜0.333＜＜34%。
>
> 故答案为：0.3232、0.333、、34%。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握百分数、分数化成小数的方法、小数大小比较的方法及应用。
8．【分析】因为比值是，根据"前项÷后项＝比值"，只要进行假设，设出后项，即能求出前项，从而写出比。
> 【解答】解：假设后项是1，则×1＝，比为：1；
>
> 假设后项为2，则×2＝，比为：2；
>
> 假设后项为3，则×3＝，比为：3
>
> 故答案为：，：1，：2，：3（答案不唯一）。
>
> 【点评】此题根据"前项÷后项＝比值"，只要进行假设，设出后项，即能求出前项，从而写出比。
9．【分析】用水的质量比盐的质量，再进行化简，即可计算出水与盐的质量的比；先用盐加水的质量计算出盐水的质量，用盐的质量比盐水的质量，再进行化简，即可计算出盐与盐水的质量比。
> 【解答】解：100：10＝10：1
>
> 10：（10+100）
>
> ＝10：110
>
> ＝1：11
>
> 答：水与盐的质量比是10：1，盐与盐水的质量比是1：11。
>
> 故答案为：10：1，1：11。
>
> 【点评】本题考查了比的意义．解答此题主要理解盐、水和盐水的概念，利用比的意义、化简解决问题。
**二、判断（5分）**
10．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
> 【解答】解：根据轴对称图形的含义可知：圆和圆环都是轴对称图形；
>
> 所以原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
11．【分析】百分数是"表示一个数是另一个数百分之几的数．"它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量；据此判断即可。
> 【解答】解：根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，所以明明说法错误，应为10%，而不是10%千克。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】百分数不能表示具体的数量，这是百分数与分数的区别之一。
12．【分析】出勤率指的是出勤的人数占总人数的百分之几，由此可知：星期一，六年一班的出勤率为97%，即出勤人数占全班人数的97%；由此判断即可。
> 【解答】解：星期一，六年级一班的出勤率为97%，出勤人数占全班人数的97%，说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】明确出勤率的含义，是解答此题的关键。
13．【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出两人每分钟各做多少道题；然后根据题意求比即可判断。
> 【解答】解：（32÷4）：（35÷5）＝8：7
>
> 所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查了比的意义，关键是先求出俩人做题的速度，然后再进行比即可，注意要化成最简比。
14．【分析】对于一般的物体，从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的；但有特殊情况，如果这个物体是正方体或是球体，那么从不同的方向看到的形状一样；所以两人分别在两个方向给同一建筑物照相，他们照出来的相片可能是一样的．
> 【解答】解：因为对于一般的物体，从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的；
>
> 但有特殊情况，如果这个物体是正方体或是球体，那么从不同的方向看到的形状一样；
>
> 所以两人分别在两个方向给同一建筑物照相，他们照出来的相片可能是一样的．
>
> 原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了从不同方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和创新思维能力．
**三、选择（10分）**
15．【分析】首先把这个班参加考试的小数人数看作单位"1"，根据求一个数另一个数的百分之几，用除法求出及格的小数人数占全班小数人数的百分之几，再把周角的度数看再单位"1"，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
> 【解答】解：10÷50＝0.2＝20%
>
> 360°×20%＝72°
>
> 答：及格人数的扇形圆心角是72°。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，以及百分数意义的应用。
16．【分析】设商品的原价是1，先把原价看成单位"1"，降价10%后的价格是原价的1﹣10%，由此用乘法求出提价后的价格；再把提价后的价格看成单位"1"，现价是提价后的1﹣10%，再用乘法求出现价，然后现价和原价比较即可判断．
> 【解答】解：设商品的原价是1，现价是：
>
> 1×（1﹣10%）×（1﹣10%）
>
> ＝1×90%×90%
>
> ＝0.81
>
> 0.81＜1，现价比原价降低了；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题关键是对两个不同单位"1"的理解，进一步发现比单位"1"多或少百分之几，由此解决问题．
17．【分析】把计划生产台数看作单位"1"，则实际生产台数相当于计划的（1+10%），根据百分数除法的意义，用实际生产的台数除以（1+10%）就是计划生产的台数，再用实际生产的台数减计划生产的台数。
> 【解答】解：220﹣220÷（1+10%）
>
> ＝220﹣220÷110%
>
> ＝220﹣200
>
> ＝20（台）
>
> 答：超额了20台。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据百分数除法的意义求出计划生产的台数。已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的百分率。
18．【分析】甲数是乙数的2倍，设乙数是1，那么甲数就是1×2＝2，求出两数差，再用两数差除以乙数即可．
> 【解答】解：设乙数是1，则：
>
> 1×2＝2
>
> （2﹣1）÷1
>
> ＝1÷1
>
> ＝100%
>
> 答：甲数比乙数多100%．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】先设出数据，然后表示出甲乙两数，再根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
19．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：为了比较向阳小学五年级各班得纪律红旗的多少，可以制成条形统计图。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
**四、计算（30分）**
20．【分析】根据小数、分数乘除法的计算方法进行计算。
> 0.24：2，0.3：0.09，根据比的前项除以后项求出比值。
>
> 【解答】解：
------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.6^2^＝0.36 0.24：2＝0.12 0.3：0.09＝ 12÷＝20
×0×＝0 ÷＝ ×＝ ÷×＝
------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
21．【分析】（1）先计算*x*﹣*x*＝*x*，根据等式的性质，方程的两边同时除以求解；
> （2）先计算*x*+35%*x*＝1.35*x*，根据等式的性质，方程的两边同时除以1.35求解；
>
> （3）先计算1﹣＝，根据等式的性质，方程的两边同时除以求解。
>
> 【解答】解：（1）*x*﹣*x*＝
>
> *x*＝
>
> *x*÷＝÷
>
> *x*＝
>
> （2）*x*+35%*x*＝540
>
> 1.35*x*＝540
>
> 1.35*x*÷1.35＝540÷1.35
>
> *x*＝400
>
> （3）（1﹣）*x*＝49
>
> *x*＝49
>
> *x*÷＝49÷
>
> *x*＝84
>
> 【点评】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立。
22．【分析】（1）根据乘法分配律进行简算；
> （2）根据乘法交换律和结合律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）÷﹣×
>
> ＝×﹣×
>
> ＝×（﹣）
>
> ＝×
>
> ＝1
>
> （2）××（27×21）
>
> ＝（×21）×（×27）
>
> ＝6×3
>
> ＝18
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律简便计算。
23．【分析】阴影部分的面积＝梯形的面积﹣四分之一圆的面积，然后根据梯形的面积公式*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，圆的面积公式*S*＝π*r*^2^；把数据代入公式解答即可。
> 【解答】解：（4+10）×4÷2﹣3.14×4^2^÷4
>
> ＝28﹣12.56
>
> ＝15.44（平方厘米）
>
> 答：图中阴影部分的面积是15.44平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**五、动手操作（12分）**
24．【分析】由于有房子的遮挡，距离要观测的物体越远，观测到的范围越大，物体越小；距离越近观测到的范围越小，物体越大，据此解答即可。
> 【解答】解：淘气在*A*位置时所能看到的范围：红线之外的地方。淘气在*B*位置时所能看到的范围：蓝线之外的地方。
>
> 如图：
>
> 
>
> 我发现：距离越远，看到的范围越大。
>
> （答案不唯一。）
>
> 故答案为：距离越远，看到的范围越大。（答案不唯一。）
>
> 【点评】本题关键是理解观测点的远近决定了观测到的图象的范围和大小。
25．【分析】这个立体图形由6个相同的小正方体组成。从正面能看到5个相同的正方形，分两层，下层4个，上层1个，上层与下层左数第二个成一列；从上面能看到5个相同的正方形，分两层，上层4个，下层1个，左齐；从右面能看到3个相同的正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
**六、问题解决（10分）**
26．【分析】出油率是指榨出油的重量占花生仁总重量的百分比，把花生仁的总质量看成单位"1"，它的42%是榨出油的质量，即花生仁的质量×42%＝榨出油的质量，由此列出方程求解。
> 【解答】解：画图如下：
>
> 
>
> 设花生仁的质量是*x*千克
>
> 42%*x*＝2100
>
> 42%*x*÷42%＝2100÷42%
>
> *x*＝5000
>
> 答：需要这种花生仁5000千克。
>
> 【点评】本题先理解出油率，从中找出单位"1"，再根据分数乘法的意义找出等量关系，列出方程求解。
27．【分析】把这本书的总页数看作单位"1"，已经读了总页数的，再读40页就是总页数的，40页所对应的分率是（﹣），根据分数除法的意义，用40页除以（﹣）就是这本书的总页数．
> 【解答】解：40÷（﹣）
>
> ＝40÷（﹣）
>
> ＝40÷
>
> ＝240（页）
>
> 答：这本书共有240页．
>
> 【点评】解答此题的关键是把比转化成分数，求出40页所对应的分率，再根据分数除法的意义解答．
**七、统计与概率（13分）**
28．【分析】（1）（2）根据统计表中的数据完成统计图表即可。
> （3）根据统计表中的数据找到跳绳最少和最多的个数，用成绩是140以下的人数除以全班人数即可。
>
> （4）根据自己的想法，说出自己的期望即可。
>
> 【解答】解：（1）填表如下：
----------- --------- ---------- ---------- ---------- ----------- ------
个数段/个 140以下 140～159 160～179 180～199 200及以上 合计
人数 6 9 9 3 3 30
----------- --------- ---------- ---------- ---------- ----------- ------
> （2）根据上表完成下面的条形统计图。
>
> 
>
> （3）6÷30＝20%
>
> 答：六（2）班同学跳绳成绩最好的1分跳205个，成绩最少的1分跳128个，成绩在140以下的人数占全班人数的20%。
>
> （4）我想对1分跳140个以下的同学说：加强锻炼，你们也会跳的很好。
>
> （答案不唯一。）
>
> 故答案为：205，128，20。
>
> 【点评】本题主要考查统计图表的填充，关键是利用所给数据完成统计图表并回答问题。
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 16:02:08；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
| 1 | |
2017年全国高中数学联赛（A卷）
一试试题
一、填空题（每小题8分，共64分）
**1.** 设是定义在上的函数，对任意实数有．又当时，，则的值为 [ ]{.underline} ．
**2.** 若实数满足，则的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**3.** 在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
**4.** 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为"平稳数"．平稳数的个数是 [ ]{.underline} ．
**5.** 正三棱锥中，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 [ ]{.underline} ．
**6.** 在平面直角坐标系中，点集．在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为 [ ]{.underline} ．
**7.** 在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
**8.** 设两个严格递增的正整数数列，满足：，对任意正整数，有，则的所有可能值为 [ ]{.underline} ．
二、解答题（共56分）
**9.** （16分）设为实数，不等式对所有成立．证明：．
**10.** （20分）设是非负实数，满足，求
的最小值和最大值．
**11.** （20分）设复数满足，且（其中表示复数的实部）．
求的最小值；
求的最小值．
一试解答
**1.** 提示：由条件知，，所以
．
**2.** 提示：由于
，
故．
由可知，
．
因此当时，有最小值（这时可以取）；当时，有最大值（这时可以取）．由于的值域是，从而的取值范围是．
**3.** 提示：易知．设的坐标是
，则
．
其中．当时，四边形面积的最大值为．
**4.** 提示：考虑平稳数．
若，则，有个平稳数．
若，则，有个平稳数．
若，则，有个平稳数．
若，则，有个平稳数．
综上可知，平稳数的个数是．
**5.** 提示：设的中点分别为，则易证平面就是平面．由中线长公式知
，
所以
．
又易知直线在平面上的射影是直线，而，所以
，
故棱与平面所成角的余弦值为．
**6.** {width="1.5243055555555556in" height="1.5055555555555555in"} 提示：易知中有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种．
将中的点按右图标记为，其中有对点之间的距离为．由对称性，考虑取两点的情况，则剩下的一个点有种取法，这样有个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个，中恰有两点与之距离为（这里下标按模理解），因而恰有这个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个数为，进而所求概率为．
**7.** 提示：由条件知，
，，
故
．
由于
，
所以，进一步可得，从而
．
当时，的最小值为．
**8.** 提示：由条件可知：均为正整数，且．
由于，故．反复运用的递推关系知
，
因此
，
而，故有
． ①
另一方面，注意到，有，故
． ②
当时，①，②分别化为，无解．
当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．
当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．
综上所述，的所有可能值为．
**9.**令，，则．于是
， ①
， ②
． ③
由①②③知，
，
故．
**10.**由柯西不等式
，
当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1．
因为
，
当时不等式等号成立，故欲求的最大值为．
**11.** 对，设．由条件知
．
因此
．
又当时，．这表明，的最小值为．
对，将对应到平面直角坐标系中的点，记是关于轴的对称点，则均位于双曲线的右支上．
设分别是的左、右焦点，易知．
根据双曲线的定义，有，进而得
，
等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）．
综上可知，的最小值为．
加试试题
**一、（40分）**如图，在中，，为的内心．以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点、的圆与、分别交于点、（不同于点）．设与交于点．
证明：．**（答题时请将图画在答卷纸上）**
{width="1.95in" height="2.216666666666667in"}
**二、（40分）**设数列定义为，
> ．
求满足的正整数的个数．
**三、（50分）**将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为"分隔边"．试求分隔边条数的最小值．
**四、（50分）**设均是大于1的整数，．是个不超过的互不相同的正整数，且互素．证明: 对任意实数，均存在一个（），使得，这里表示实数到与它最近的整数的距离．
加试解答
**一、**连接，，，，．
{width="1.95in" height="2.216666666666667in"}
由于点在圆上，故，所以．
又，，，四点共圆，所以，于是，
故∽，从而有，且
．
注意到，且为的内心，故，所以
，
于是∽，故．
又点在圆的弧上，故，因此
，
故．
**二、**由数列的定义可知．假设对某个整数有，我们证明对，有
． ①
对归纳证明．
当时，由于，由定义，
，
，
结论成立．
设对某个，①成立，则由定义
，
，
即结论对也成立．由数学归纳法知，①对所有成立，特别当时，有，从而
．
若将所有满足的正整数从小到大记为，则由上面的结论可知
，，．
由此可知，，从而
．
由于
，
在中满足的数共有个，为．
由①可知，对每个，中恰有一半满足．由于
与均为奇数，而在中，奇数均满足，偶数均满足，其中的偶数比奇数少1个．因此满足的正整数的个数为
．
**三、**记分隔边的条数为．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即．
{width="1.8333333333333333in" height="1.9722222222222223in"}
下面证明．将方格纸的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为．行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为．三种颜色分别记为．对于一种颜色，设是含有色方格的行数与列数之和．记
类似地定义．于是
．
由于染色的方格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，因此，从而
，
故 ． ①
由于在行中有种颜色的方格，因此至少有条分隔边．同理在列中，至少有条分隔边．于是
②
． ③
下面分两种情形讨论．
情形1: 有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为色，从而方格纸的33列中均含有色的方格，由于色方格有363个，故至少有11行中含有色方格，于是
． ④
由①，③及④即得
．
情形2: 没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意，均有，．从而由②知
．
综上所述，分隔边条数的最小值等于56．
**四、**首先证明以下两个结论.
结论1：存在整数，满足，并且， ．
由于，由裴蜀定理，存在整数，满足
． ①
下面证明，通过调整，存在一组满足①，且绝对值均不超过．记
．
如果，那么存在，于是，又因为均为正
数，故由①可知存在．令
，，(，)，
则 ， ②
并且，．
因为，且，所以．又及，故．
如果，那么存在，因此有一个．令，，(，)，那么②成立，并且，．与上面类似地可知，且．
因为与均是非负整数，故通过有限次上述的调整，可得到一组，使得①成立，并且．结论1获证．
结论2: （1）对任意实数，均有．
（2）任意整数和实数有．
由于对任意整数和实数，有，故不妨设，此时，. 若，不妨设，则，从而
．
若，即同号．当时，有，此时
．
当时，注意总有，故
．
故（1）得证．由（1）及即知（2）成立．
回到原问题，由结论1，存在整数，使得，并且，．于是
．
利用结论2得
．
因此
． ③
若，由③可知
．
若，则在中存在两个相邻正整数. 不妨设相邻，则
．
故与中有一个．
综上所述，总存在一个（），满足．
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**2014年浙江省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题（每小题5分，共50分）**
1．（5分）设全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}，则∁~U~A=（ ）
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）
A．90cm^2^ B．129cm^2^ C．132cm^2^ D．138cm^2^
4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
5．（5分）在（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，记x^m^y^n^项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
6．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（ ）
A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9
7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（ ）
A．min{\|+\|，\|﹣\|}≤min{\|\|，\|\|} B．min{\|+\|，\|﹣\|}≥min{\|\|，\|\|}
C．max{\|+\|^2^，\|﹣\|^2^}≤\|\|^2^+\|\|^2^ D．max{\|+\|^2^，\|﹣\|^2^}≥\|\|^2^+\|\|^2^
9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ~i~（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p~i~（i=1，2）．
则（ ）
A．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~） B．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~）
C．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~） D．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~）
10．（5分）设函数f~1~（x）=x^2^，f~2~（x）=2（x﹣x^2^），，，i=0，1，2，...，99．记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，k=1，2，3，则（ ）
A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~2~＜I~1~＜I~3~ C．I~1~＜I~3~＜I~2~ D．I~3~＜I~2~＜I~1~
**二、填空题**
11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[ ]{.underline}．
12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=[ ]{.underline}．
13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有[ ]{.underline}种（用数字作答）．
15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[ ]{.underline}．
17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是[ ]{.underline}．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
**三、解答题**
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos^2^A﹣cos^2^B=sinAcosA﹣sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=，求△ABC的面积．
19．（14分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~a~2~a~3~...a~n~=（n∈N^\*^）．若{a~n~}为等比数列，且a~1~=2，b~3~=6+b~2~．
（Ⅰ）求a~n~和b~n~；
（Ⅱ）设c~n~=（n∈N^\*^）．记数列{c~n~}的前n项和为S~n~．
（i）求S~n~；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N^\*^均有S~k~≥S~n~．
20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．
21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l~1~与l垂直，证明：点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．
22．（14分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，求3a+b的取值范围．
**2014年浙江省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题5分，共50分）**
1．（5分）设全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}，则∁~U~A=（ ）
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁~U~A．
【解答】解：∵全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}={x∈N\|x≥3}，
则∁~U~A={2}，
故选：B．
【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．
2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用复数的运算性质，分别判断"a=b=1"⇒"（a+bi）^2^=2i"与"a=b=1"⇐"（a+bi）^2^=2i"的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
【解答】解：当"a=b=1"时，"（a+bi）^2^=（1+i）^2^=2i"成立，
故"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的充分条件；
当"（a+bi）^2^=a^2^﹣b^2^+2abi=2i"时，"a=b=1"或"a=b=﹣1"，
故"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的不必要条件；
综上所述，"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的充分不必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．
3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）
A．90cm^2^ B．129cm^2^ C．132cm^2^ D．138cm^2^
【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，
其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，
四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，
∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm^2^）．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．
【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．
5．（5分）在（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，记x^m^y^n^项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（ ）
A．45 B．60 C．120 D．210
【分析】由题意依次求出x^3^y^0^，x^2^y^1^，x^1^y^2^，x^0^y^3^，项的系数，求和即可．
【解答】解：（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，含x^3^y^0^的系数是：=20．f（3，0）=20；
含x^2^y^1^的系数是=60，f（2，1）=60；
含x^1^y^2^的系数是=36，f（1，2）=36；
含x^0^y^3^的系数是=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
6．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（ ）
A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9
【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．
【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）
得，
解得，
则f（x）=x^3^+6x^2^+11x+c，
由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，
即6＜c≤9，
故选：C．
【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．
7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象，比照后可得答案．
【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为：
此时答案D满足要求，
当a＞1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为：
无满足要求的答案，
综上：故选D，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．
8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（ ）
A．min{\|+\|，\|﹣\|}≤min{\|\|，\|\|} B．min{\|+\|，\|﹣\|}≥min{\|\|，\|\|}
C．max{\|+\|^2^，\|﹣\|^2^}≤\|\|^2^+\|\|^2^ D．max{\|+\|^2^，\|﹣\|^2^}≥\|\|^2^+\|\|^2^
【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．
【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；
对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{\|+\|，\|﹣\|}=0，显然，不等式不成立；
对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{\|+\|^2^，\|﹣\|^2^}=\|+\|^2^=4，而不等式右边=\|\|^2^+\|\|^2^=2，故C不成立，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时"排除法"，"确定法"，"特殊值"代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．
9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．
（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ~i~（i=1，2）；
（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p~i~（i=1，2）．
则（ ）
A．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~） B．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~）
C．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~） D．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~）
【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P~1~，P~2~和E（ξ~1~），E（ξ~2~）进行比较即可．
【解答】解析：，，
，所以P~1~＞P~2~；
由已知ξ~1~的取值为1、2，ξ~2~的取值为1、2、3，
所以，==，
E（ξ~1~）﹣E（ξ~2~）=．
故选：A．
【点评】正确理解ξ~i~（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．
10．（5分）设函数f~1~（x）=x^2^，f~2~（x）=2（x﹣x^2^），，，i=0，1，2，...，99．记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，k=1，2，3，则（ ）
A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~2~＜I~1~＜I~3~ C．I~1~＜I~3~＜I~2~ D．I~3~＜I~2~＜I~1~
【分析】根据记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，分别求出I~1~，I~2~，I~3~与1的关系，继而得到答案
【解答】解：由，故==1，
由，故×=×＜1，
+
=，
故I~2~＜I~1~＜I~3~，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．
**二、填空题**
11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[ 6 ]{.underline}．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；
第二次循环S=2×1+2=4，i=3；
第三次循环S=2×4+3=11，i=4；
第四次循环S=2×11+4=26，i=5；
第五次循环S=2×26+5=57，i=6，
满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．
【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，
解得，，
所以．
故答案为：
【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．
13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[ \[]{.underline}[\] ]{.underline}．
【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得C（1，）．
联立，解得B（2，1）．
在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恒成立，
则，解得：1．
∴实数a的取值范围是．
解法二：令z=ax+y，
当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，
可得，即1≤a≤；
当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，
①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）
②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）
综上所述即：1≤a≤；
故答案为：．
【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．
14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有[ 60 ]{.underline}种（用数字作答）．
【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．
【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；
一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，
共有24+36=60种．
故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是[ （﹣∞，]{.underline}[\] ]{.underline}．
【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：
由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2．
当a＜0时，f（a）=a^2^+a=（a+）^2^﹣≥﹣2恒成立；
当a≥0时，f（a）=﹣a^2^≥﹣2，即a^2^≤2，解得0≤a≤，
则实数a的取值范围是a≤，
故答案为：（﹣∞，\]．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则
与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，
∴=﹣3，
∴a=2b，
∴=b，
∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）
【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，
∴BC=20m，
过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，
设BP′=x，则CP′=20﹣x，
由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），
在直角△ABP′中，AP′=，
∴tanθ=•，
令y=，则函数在x∈\[0，20\]单调递减，
∴x=0时，取得最大值为=．
若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），
在直角△ABP′中，AP′=，
∴tanθ=•，
令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，
故答案为：．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**三、解答题**
18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos^2^A﹣cos^2^B=sinAcosA﹣sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．
（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴，
化为，
由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），
得，即，
∴；
（2）由，利用正弦定理可得，得，
由a＜c，得A＜C，从而，故，
∴．
【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（14分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~a~2~a~3~...a~n~=（n∈N^\*^）．若{a~n~}为等比数列，且a~1~=2，b~3~=6+b~2~．
（Ⅰ）求a~n~和b~n~；
（Ⅱ）设c~n~=（n∈N^\*^）．记数列{c~n~}的前n项和为S~n~．
（i）求S~n~；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N^\*^均有S~k~≥S~n~．
【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a~n~}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a~n~，然后现利用条件求出通项b~n~；
（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵a~1~a~2~a~3~...a~n~=（n∈N^\*^） ①，
当n≥2，n∈N^\*^时，②，
由①②知：，
令n=3，则有．
∵b~3~=6+b~2~，
∴a~3~=8．
∵{a~n~}为等比数列，且a~1~=2，
∴{a~n~}的公比为q，则=4，
由题意知a~n＞0~，∴q＞0，∴q=2．
∴（n∈N^\*^）．
又由a~1~a~2~a~3~...a~n~=（n∈N^\*^）得：
，
，
∴b~n~=n（n+1）（n∈N^\*^）．
（Ⅱ）（i）∵c~n~===．
∴S~n~=c~1~+c~2~+c~3+...+~c~n~
=
=
=
=；
（ii）因为c~1~=0，c~2~＞0，c~3~＞0，c~4~＞0；
当n≥5时，
，
而
=＞0，
得
，
所以，当n≥5时，c~n~＜0，
综上，对任意n∈N^\*^恒有S~4~≥S~n~，故k=4．
【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．
20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．
【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．
【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，
由AC=，AB=2得AB^2^=AC^2^+BC^2^，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD^2^=BC^2^+BD^2^，得BD⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，
由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．
在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；
在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；
在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．
在△BFG中，cos∠BFG==，
所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．
【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．
21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l~1~与l垂直，证明：点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．
【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b^2^+a^2^k^2^）x^2^+2a^2^kmx+a^2^m^2^﹣a^2^b^2^=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；
（Ⅱ）由于直线l~1~过原点O且与直线l垂直，设直线l~1~的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l~1~的距离d=，整理即可证得点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．．
【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得
（b^2^+a^2^k^2^）x^2^+2a^2^kmx+a^2^m^2^﹣a^2^b^2^=0．
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b^2^﹣m^2^+a^2^k^2^=0，
此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得
点P的纵坐标为﹣k•+m=，
∴点P的坐标为（﹣，），
又点P在第一象限，故m＞0，
故m=，
故点P的坐标为P（，）．
（Ⅱ）由于直线l~1~过原点O且与直线l垂直，故直线l~1~的方程为x+ky=0，所以点P到直线l~1~的距离
d=，
整理得：d=，
因为a^2^k^2^+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k^2^=时等号成立．
所以，点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．
22．（14分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，求3a+b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合\[﹣1，1\]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈\[﹣1，1\]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|=，
∴f′（x）=，
①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，
∴M（a）﹣m（a）=8；
②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x^3^+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x^3^﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，
∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a^3^，
∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，
∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a^3^﹣3a+4；
＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a^3^+3a+2；
③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，
∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，
∴M（a）﹣m（a）=4；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，
∵\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，
∴﹣2≤h（x）≤2对x∈\[﹣1，1\]恒成立，
由（Ⅰ）知，
①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；
②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a^3^+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a^3^+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，
令t（a）=﹣2﹣a^3^+3a，则t′（a）=3﹣3a^2^＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，
∴﹣2≤3a+b≤0；
③＜a＜1时，最小值h（a）=a^3^+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a^3^+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；
④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．
综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第16课《一个图形的等份分划》试题附答案**
**答案**
一年级奥数上册：第十六讲 一个图形的等份分划 习题
一年级奥数上册：第十六讲 一个图形的等份分划 习题解答
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**2015年四川省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。**
1．（5分）设集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜1} C．{x\|1＜x＜2} D．{x\|2＜x＜3}
2．（5分）设i是虚数单位，则复数i^3^﹣=（ ）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
5．（5分）过双曲线x^2^﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（ ）
A． B．2 C．6 D．4
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，\|\|=6，\|\|=4，若点M、N满足，，则=（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则"3^a^＞3^b^＞3"是"log~a~3＜log~b~3"的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x^2^+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[\]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
10．（5分）设直线l与抛物线y^2^=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。**
11．（5分）在（2x﹣1）^5^的展开式中，含x^2^的项的系数是[ ]{.underline}（用数字填写答案）．
12．（5分）sin15°+sin75°的值是[ ]{.underline}．
13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b^（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是[ ]{.underline}小时．
14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知函数f（x）=2^x^，g（x）=x^2^+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x~1~、x~2~，设m=，n=．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x~1~、x~2~，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x~1~、x~2~，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x~1~、x~2~，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x~1~、x~2~，使得m=﹣n．
其中的真命题有[ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（12分）设数列{a~n~}（n=1，2，3，...）的前n项和S~n~满足S~n~=2a~n~﹣a~1~，且a~1~，a~2~+1，a~3~成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T~n~，求使得\|T~n~﹣1\|成立的n的最小值．
17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan=；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
20．（13分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x^2^﹣2ax﹣2a^2^+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
**2015年四川省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。**
1．（5分）设集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜1} C．{x\|1＜x＜2} D．{x\|2＜x＜3}
【分析】求解不等式得出集合A={x\|﹣1＜x＜2}，
根据集合的并集可求解答案．
【解答】解：∵集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}，
∴集合A={x\|﹣1＜x＜2}，
∵A∪B={x\|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（5分）设i是虚数单位，则复数i^3^﹣=（ ）
A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i
【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．
【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i^3^﹣，
∴===i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin=，
输出S的值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A．y=cos（2x+） B．y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【解答】解：
y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．
5．（5分）过双曲线x^2^﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（ ）
A． B．2 C．6 D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解\|AB\|．
【解答】解：双曲线x^2^﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x^2^﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得y~A~=2，y~B~=﹣2，
∴\|AB\|=4．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A~4~^3^=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A~4~^3^=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．
7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，\|\|=6，\|\|=4，若点M、N满足，，则=（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【分析】根据图形得出=+=，
==，=•（）=^2^﹣，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，
∴根据图形可得：=+=，
==，
∴=，
∵=•（）=^2^﹣，
^2^=^2^^2^，
=^2^^2^，
\|\|=6，\|\|=4，
∴=^2^^2^=12﹣3=9
故选：C
【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．
8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则"3^a^＞3^b^＞3"是"log~a~3＜log~b~3"的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求解3^a^＞3^b^＞3，得出a＞b＞1，
log~a~3＜log~b~3，或根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：a、b都是不等于1的正数，
∵3^a^＞3^b^＞3，
∴a＞b＞1，
∵log~a~3＜log~b~3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出："3^a^＞3^b^＞3"是"log~a~3＜log~b~3"的充分条不必要件，
故选：B．
【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．
9．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x^2^+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[\]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【分析】函数f（x）=（m﹣2）x^2^+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[\]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在\[，2\]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在\[，2\]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x^2^+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[\]上单调递减，
∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在\[，2\]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在\[，2\]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即
由（2）得m≤（12﹣n），
∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．
故选：B．
解法二：
∵函数f（x）=（m﹣2）x^2^+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[\]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=﹣，
②即
③即
设或或
设y=，y′=，
当切点为（x~0~，y~0~），k取最大值．
①﹣=﹣2．k=2x，
∴y~0~=﹣2x~0~+12，y~0~==2x~0~，可得x~0~=3，y~0~=6，
∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②﹣=﹣．，k=，
y~0~==，
2y~0~+x~0~﹣18=0，
解得：x~0~=9，y~0~=
∵x~0~＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，
故选：B．
【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．
10．（5分）设直线l与抛物线y^2^=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．
【解答】解：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~），
斜率存在时，设斜率为k，则y~1~^2^=4x~1~，y~2~^2^=4x~2~，
则，相减，得（y~1~+y~2~）（y~1~﹣y~2~）=4（x~1~﹣x~2~），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky~0~=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x~0~=3，
即M的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y^2^=4x，得y^2^=12，∴﹣2，
∵M在圆上，∴（x~0~﹣5）^2^+y~0~^2^=r^2^，∴r^2^=y~0~^2^+4＜12+4=16，
∵直线l恰有4条，∴y~0~≠0，∴4＜r^2^＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。**
11．（5分）在（2x﹣1）^5^的展开式中，含x^2^的项的系数是[ ﹣40 ]{.underline}（用数字填写答案）．
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
T~r+1~=；
要求x^2^的项的系数，
∴5﹣r=2，
∴r=3，
∴x^2^的项的系数是2^2^（﹣1）^3^C~5~^3^=﹣40．
故答案为：﹣40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（5分）sin15°+sin75°的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e^kx+b^（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是[ 24 ]{.underline}小时．
【分析】由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e^kx+b^，解方程，可得k，b，再由x=33，代入即可得到结论．
【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．
代入函数y=e^kx+b^，
可得e^b^=192，e^22k+b^=48，
即有e^11k^=，e^b^=192，
则当x=33时，y=e^33k+b^=×192=24．
故答案为：24．
【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．
【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴；
∴cosθ==；
设f（y）=，；
函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0；
∴g（y）＜0在\[0，2\]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在\[0，2\]上单调递减；
∴y=0时，f（y）取到最大值．
故答案为：．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．
15．（5分）已知函数f（x）=2^x^，g（x）=x^2^+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x~1~、x~2~，设m=，n=．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x~1~、x~2~，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x~1~、x~2~，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x~1~、x~2~，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x~1~、x~2~，使得m=﹣n．
其中的真命题有[ ①④ ]{.underline}（写出所有真命题的序号）．
【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x^2^+ax﹣2^x^，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x^2^+ax+2^x^，求出导数判断单调性，即可判断④．
【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x~1~）﹣f（x~2~）=g（x~1~）﹣g（x~2~），即为g（x~1~）﹣f（x~1~）=g（x~2~）﹣f（x~2~），
考查函数h（x）=x^2^+ax﹣2^x^，h′（x）=2x+a﹣2^x^ln2，
当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x~1~）﹣f（x~2~）=﹣\[g（x~1~）﹣g（x~2~）\]，考查函数h（x）=x^2^+ax+2^x^，
h′（x）=2x+a+2^x^ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（12分）设数列{a~n~}（n=1，2，3，...）的前n项和S~n~满足S~n~=2a~n~﹣a~1~，且a~1~，a~2~+1，a~3~成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T~n~，求使得\|T~n~﹣1\|成立的n的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a~n~=2a~n﹣1~（n≥2），再由已知a~1~，a~2~+1，a~3~成等差数列求出数列首项，可得数列{a~n~}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T~n~，结合求解指数不等式得n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知S~n~=2a~n~﹣a~1~，有
a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=2a~n~﹣2a~n﹣1~ （n≥2），
即a~n~=2a~n﹣1~（n≥2），
从而a~2~=2a~1~，a~3~=2a~2~=4a~1~，
又∵a~1~，a~2~+1，a~3~成等差数列，
∴a~1~+4a~1~=2（2a~1~+1），解得：a~1~=2．
∴数列{a~n~}是首项为2，公比为2的等比数列．故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴．
由，得，即2^n^＞1000．
∵2^9^=512＜1000＜1024=2^10^，
∴n≥10．
于是，使\|T~n~﹣1\|成立的n的最小值为10．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；
（Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，
则X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==．
X的分布列：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 1 2 3
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
和数学期望EX=1×=2．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．
法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）F、G、H的位置如图；
证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点，
∵BC的中点为M、GH的中点为N，
∴OM∥CD，OM=CD，
HN∥CD，HN=CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，
∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，
∴直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角，
设AD=2，则CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=，
在Rt△PKM中，KM==，
∴cos∠PKM=，
即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．
方法二：以D为坐标原点，
分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
则=（2，﹣2，0），，
设平面EGM的法向量为=（x，y，z），
则，即，令x=2，得=（2，2，1），
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则==（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
则cos＜＞====．
二面角A﹣EG﹣M的余弦值为．
【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力．
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan=；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．
（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD^2^=AB^2^+AD^2^﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
在△BCD中，有BD^2^=BC^2^+CD^2^﹣2BC•CDcosC，
所以AB^2^+AD^2^﹣2AB•ADcosA=BC^2^+CD^2^﹣2BC•CDcosC，
则：cosA===．
于是sinA==，
连结AC，同理可得：cosB===，
于是sinB==．
所以tan+tan+tan+tan===．
【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用．
20．（13分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，
∴点（，1）在椭圆E上，
又∵离心率是，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
如果存在定点Q满足条件，则有==1，即\|QC\|=\|QD\|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y~0~）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，
则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），
又∵=，∴=，解得y~0~=1或y~0~=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．
下面证明：对任意直线l，均有．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，
A、B的坐标分别为A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），
联立，消去y并整理得：（1+2k^2^）x^2^+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）^2^+8（1+2k^2^）＞0，
∴x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=﹣，
∴+==2k，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x~2~，y~2~），
又k~AQ~===k﹣，k~QB′~===﹣k+=k﹣，
∴k~AQ~=k~QB′~，即Q、A、B′三点共线，
∴===．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x^2^﹣2ax﹣2a^2^+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；
（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x^2^，由函数零点存在定理得到x~0~∈（1，e），使得φ（x~0~）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a~0~∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a~0~时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）=，
∴．
当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，
在区间上单调递减；
当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由=0，解得，
令φ（x）=x^2^，
则φ（1）=1＞0，φ（e）=．
故存在x~0~∈（1，e），使得φ（x~0~）=0．
令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴．
即a~0~∈（0，1），
当a=a~0~时，有f′（x~0~）=0，f（x~0~）=φ（x~0~）=0．
由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
故当x∈（1，x~0~）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x~0~）=0；
当x∈（x~0~，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x~0~）=0．
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．
综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第三节：青蛙吃虫子**
一、口算
24+40= 9+70= 45+40= 80+0= 29+60=
46+40= 40+27= 9+50= 69+10= 50+42=
42+30= 30+34=  30+40= 40+45= 60+36=
42+40= 20+3= 41+40= 18+20= 80+19=
二、请找到合适的帽子
邮递员34+10 46头盔
医生54-20   61带有小灯的帽子
建筑工人30 +16 34医生帽子
煤矿工人21+40 44绿色帽子
**三、列式计算**
**1、母鸡64****只，公鸡30只，公鸡比母鸡少多少只？\[来源:学科网\]**
□○□=□（个）
2、
车上还有几个座？
□○□=□（个）
四、看图列式。
1、
= 
2、
 =
3、
\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
 =
**4、**
**=**
**\[来源:Zxxk.Com\]**
答案
一、口算
24+40=64 9+70=79 45+40=85 80+0=80 29+60=89
46+40=86 40+27=67 9+50=59 69+10=79 50+42=92
42+30=72 30+34=64 30+40=70 40+45=85 60+36=96
42+40=82 20+3=23 41+40=81 18+20=38 80+19=99
二、
邮递员34+10 46头盔
医生54-20 61带有小灯的帽子
建筑工人30 +16 34医生帽子
煤矿工人21+40 44绿色帽子
**三、**
**1、**
64-30=34只 答：**公鸡比母鸡少34只**
2、
45-30=15个 答：车上还有15个座。
四、看图列式。
1、10-4=6  
2、3+2+4=9
3、2+7+1=10\[来源:Zxxk.Com\]
4、3+3+2=8\[来源:学。科。网\]
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**北师大版小学四年级数学上册期中考试试卷三（附答案）**
**\
一、填空。20分（第6题6分，其余每小题2分）\
**1、我国陆地面积约9600000km 读作（ ）。\
2、一个数由23个亿、605个万和78个一组成，这个数写作（ ）。\
3、最大三位数乘以最小两位数的积是（ ）。\
4、在5□890≈6万，□里最大能填（ ），最小能填（ ）。\
5、某栋大楼的地面这层为一楼，17楼电梯标识记作（ ）；地下二层记作（ ）。\
6、在○里填上"＞、＜或＝"。来源：www.bcjy123.com/tiku/\
314156○314159 59988○60000 20×68○34×40\
＋2 ○ ―10 ―2 ○ 0 ― 6.5○ －７\
7、教室里，小明坐在第二组第4排，他的位置表示为（2，4），那么小军坐在第五组第3排，他的位置可表示为（ ， ）。\
8、从86970253中划去3个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成的五位数，最小的是（ ），最大的是（ ）。
**二、当回裁判员。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）**
（4分）\
1、图形的旋转只能按顺时针方向转。（ ）\
2、用3倍的放大镜看一个15^0^ 的角。这个角被放大成 45^0^ 。（ ）\
3、向东一定要用正数表示，向西一定要用负数表示。 （ ）\
4、统计图每一格的长度表示的数量一定是相等的。（ ）
> **三、快乐A、B、C。（选择正确答案的序号填在括号里）4分\
> **1、一个数四舍五入到万位是25万，最接近25万的数是（ ）。\
> ①249800 ②254300 ③250400\
> 2、下面各数，只读一个零的是（ ）。\
> ①6008800 ②6000880 ③6080800\
> 3、长方形有（ ）组平行线。\
> ①1 ②2 ③4\
> 4、右图中有（ ）条射线。\
> ①2 ②4 ③5\
> \
> 
**四、神机妙算显身手。26分（8＋9＋9）\
**
**1、竖式计算。（最后一题要验算）\
** 356×35= 731÷79= 769÷46＝
**2、用简便方法计算。\
**25×27×4 54×99 23×52＋52×77\
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3**、脱式计算。**\
35×（320－170）÷50 （36×54－984）÷24
150÷\[90÷（67－52）\] 来源：www.bcjy123.com/tiku/
**五、心灵手巧动手做。26分（4＋4＋6＋4＋8）\
**1、画出75^0^ 、135^0^ 的角各一个。
2、过A点画出已知直线的平行线和垂线。\
\
A •\
六、解决问题办法多。20分（4+4+4+8）\
1、便利食杂店12月1日的营业额是496元，估计一下，这个食杂店12月份的营业额大约是多少元？
2、有两捆粗细相同的铁丝，其中一捆铁丝长8米，重400千克，另一捆铁丝重200千克，这捆铁丝长多少米？
3、一个工程队要修一条长4340米公路，前6个月已修了1860米。照这样的进度，还要几个月才能完成任务？
4、学校张老师到商店买8个篮球和8个排球，篮球的单价是73元，排球的单价是65元，买篮球比买排球多用多少元？（用两种方法解答）
探究天地（6分）
淘气的爸爸为淘气的电脑设置了开机密码,是用0.1.3.4.5.7.9这七个数组成的约等于351万的最大七位数,这个密码是多少?
**命题说明**
本套试题是根据教学大刚的要求并结合小学四年级学生的年龄特点全面的了解学生的学习状况，激发学生的学习热情，促进学生的全面发展，同时通过测评，了解反思自己的教学行为，改进教学的过程，以便为学生创设更好的学习环境。
本套试题有以下特点：
1. 注重基本知识的理解和应用，如：填空题。判断题。选择题。
2. 考察学生动手能力，如画平行线，垂线，角等
3. 考察学生计算能力，如第4大题
4. 重视探索能力的评价
5. 探索能力是培养学生创新意识的基础也是学生进一步学习数学的重要能力。在本套题中我设计了探究天地就是培养学生的探究意识。
**四年级期中测试题答案**
1. 填空。20分（第6题6分，其余每小题2分）
1.960万千米 2．2306050078 3.99900 4．（9，5） 5.（+17，-2 ）
6.（﹤﹤=＞＜＞） 7.（5，3）
8.（60253. 97253）
二、当回裁判员。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）4分 1.× 2. × 3.× 4.×
三、快乐A、B、C。（选择正确答案的序号填在括号里）4分1. （1）2. （2）3. （2） 4.（2）
四、神机妙算显身手。26分（8＋9＋9）略
六、解决问题办法多。20分（4+4+4+8）\
1.496×31≈15000（元） 2.4米
3.1480÷6=310（米）（4340-1860）÷310=8（个）4.64（元）
探究天地 3519740
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**2020-2021学年山东省临沂市莒南县六年级（上）期末数学试卷**
**一、我会填空。**
1．比30米长是[ ]{.underline}米；54千克比[ ]{.underline}千克重。
2．[ ]{.underline}÷32＝35：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}（小数）。
3．[ ]{.underline}的和的倒数相等。
4．在8：9中，前项增加32，要使比值不变，后项应增加[ ]{.underline}。
5．：0.375化成最简单的整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
6．某校六年级同学参加体育达标测试，其中有361人达标，达标率为95%，这所学校六年级有[ ]{.underline}人。
7．在〇里填上"＞"、"＜"或"＝"。
---- ---- ----
〇 〇 〇
---- ---- ----
8．用90厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形长与宽的比是3：2，这个长方形的长是[ ]{.underline}。
9．如图，正方形的面积是30*cm*^2^，圆的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
10．甲、乙两数的和是80，甲数是乙数的，乙数是[ ]{.underline}。
11．把5*m*长的绳子剪成每段长*m*的小段，每段是全长的[ ]{.underline}。
**二、我会判断（对的在括号呈画"√"，错的画"×"）。**
12．两个分数相除，商一定小于被除数．[ ]{.underline}（判断对错）
13．一件上衣先降价15%，再提价15%，价格不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．扇形统计图能清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系．[ ]{.underline}（判断对错）
15．某班男生与女生人数的比是4：5，表示女生比男生多。[ ]{.underline}（判断对错）
16．圆周长是直径的3.14倍．[ ]{.underline}（判断对错）
**三、我会选择（将正确答案的序号填在括号里）。**
17．把一个直径是4*cm*的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是（ ）*cm*。
A．12.56 B．6.28 C．10.28
18．下列各数，能改写成百分数的是（ ）
A．丝带长0.35米 B．苹果的棵树是桃树的
C．大米重0.4吨
19．如图，餐厅楼在教学楼的（ ）方向上。
A．西偏北40° B．南偏东40° C．北偏西40°
20．把一根木料截成两段，第一段长米，第二段占全长的，这两段相比（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法确定
21．仔细分析，第7个图形一共有（ ）个小三角形。
A．25 B．49 C．64
**四、我会计算**
22．直接写出得数。
6.4＝ 10÷20%＝ 50%＝
------- --- ---------- -------
5 24
23．计算下面各题，能简算的要简算。
--------- ---------- ----
18÷（） （）×4.8 38
--------- ---------- ----
24．解方
------------------ -------
*x*﹣20%*x*＝2.1 *x*32
------------------ -------
25．计算如图图形阴影部分的面积。
**五、我会操作。**
26．根据下面的描述，在平面图上标出相应的位置。
> 小刚家在学校的北偏东60°方向200*m*处；小芳家在学校的西偏北45°方向300*m*处；小亮家在学校东偏南20°方向400*m*处；超市在学校的南偏西50°方向400*m*处。
27．画一个直径是3*cm*的圆，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。
**六、我会解决问题。**
28．书店新进批故事书，卖出后还剩56本。书店共进了多少本故事书？
29．果园里有杏树360棵，苹果树的棵数比杏树多。苹果树有多少棵？
30．一个长方体木块的长、宽、高分别是5*cm*、4*cm*、3*cm*．如果用它锯成一个最大的正方体，体积要比原来减少百分之几？
31．有300棵树，甲队单独种，需要6天；乙队单独种，需要8天。现在两队合种，3天能种完吗？
32．一袋面粉，用去后，再加进了7千克，这时袋里的面粉正好是原来面粉的75%。这袋面粉原有多少千克？
33．六年级学生最喜欢的球类运动情况如图：
> （1）喜欢乒乓球的有38人，喜欢篮球的有多少人？
>
> （2）喜欢羽毛球的比喜欢足球的少多少人？
**2020-2021学年山东省临沂市莒南县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、我会填空。**
1．[35]{.underline}； [42]{.underline}； 2．[28]{.underline}； [40]{.underline}； [87.5]{.underline}； [0.875]{.underline}； 3．[]{.underline}； 4．[36]{.underline}； 5．[20：9]{.underline}； []{.underline}； 6．[380]{.underline}； 7．[ ]{.underline}； 8．[27厘米]{.underline}； 9．[94.2]{.underline}； 10．[64]{.underline}； 11．[]{.underline}；
**二、我会判断（对的在括号呈画"√"，错的画"&\#215;"）。**
12．[×]{.underline}； 13．[×]{.underline}； 14．[√]{.underline}； 15．[×]{.underline}； 16．[×]{.underline}；
**三、我会选择（将正确答案的序号填在括号里）。**
17．C； 18．B； 19．C； 20．A； 21．B；
**四、我会计算**
22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}；
**五、我会操作。**
26．[ ]{.underline}； 27．[ ]{.underline}；
**六、我会解决问题。**
28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}； 31．[ ]{.underline}； 32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}；
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**扬州市2017年初中毕业、升学统一考试数学试题**
**第Ⅰ卷（共24分）**
**一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.）**
1.若数轴上表示和的两点分别是点和点，则点和点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2.下列算式的运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3.一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定
4.下列统计量中，反映一组数据波动情况的是（ ）
A．平均数 B．众数 C.频率 D．方差
5.经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ）\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
A． B． C. D．
6.若一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长可能是（ ）
A． B． C. D．
7.在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第个数是（ ）
A．1 B． C. D．
8.如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共126分）**
**二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）**
9.2017年5月18日，我国在南海北部神弧海域进行的可燃冰试开采成功，标志着我国成为全球第一个在海域可燃冰开采中获得连续稳定的国家．目前每日的天然气试开采量约为立方米，把立方米用科学记数法表示为 [ ]{.underline} 立方米．
10.若，，则 [ ]{.underline} ．11.因式分解： [ ]{.underline} ．
12.在ABCD中，若，则 [ ]{.underline} ．
13.为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了份试卷成绩，结果如下：个分，个分，个分，个分，个分，个分．则这组数据的中位数为 [ ]{.underline} 分．
14.同一温度的华氏度数（）与摄氏度数（）之间的函数表达式是．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 [ ]{.underline} ．
15.如图，已知⊙*O*是的外接圆，连接，若，则 [ ]{.underline} ．
16.如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，若，则 [ ]{.underline} ．
17.如图，已知点是反比例函数的图像上的一个动点，连接，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点所在图像的函数表达式为 [ ]{.underline} ．
18.若关于的方程存在整数解，则正整数的所有取值的和为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共10小题，共96分.）**
19\. （本题满分8分）计算或化简：
（1）； （2）．
20. （本题满分8分）解不等式组，并求出它的所有整数解．
21\. （本题满分8分）"富春包子"是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查．根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：\[来源:学§科§网\]
（1）条形统计图中"汤包"的人数是 [ ]{.underline} ，扇形统计图中"蟹黄包"部分的圆心角为 [ ]{.underline} ；
（2）根据抽样调查结果，请你估计富春茶社名顾客中喜欢"汤包"的有多少人？
22\. （本题满分8分）车辆经过润扬大桥收费站时，个收费通道、、、中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择通道通过的概率是 [ ]{.underline} ；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23\. （本题满分10分）星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区米的少年宫参加活动，为响应"节能环保，绿色出行"的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的倍，结果小明比小芳早分钟到达，求小芳的速度．
24. （本题满分10分）如图，将沿着射线方向平移至，使点落在的外角平分线上，连结．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在中，，，，求的长．
25\. （本题满分10分）如图，已知OABC的三个顶点、、在以为圆心的半圆上，过点作，分别交、的延长线于点、，交半圆于点，连接．
（1）判断直线与半圆的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：；
②若半圆的半径为，求阴影部分的周长．
26. （本题满分10分）我们规定：三角形任意两边的"极化值"等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的"极化值"就等于的值，可记为．
（1）在图1中，若，，，是边上的中线，则 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）如图2，在中，，∠BAC＝120°，求、的值；
（3）如图3，在中，，是边上的中线，点在上，且，已知，，求的面积．
27\. （本题满分12分）农经公司以元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
---------------------- ----------------------- ----- ----- ----- ----
销售价格x（元/千克） 30\[来源:学\_科\_网\] 35 40 45 50
日销售量*p*（千克） 600 450 300 150 0
---------------------- ----------------------- ----- ----- ----- ----
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售千克这种农产品需支出元（）的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为元，求的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）
\[来源:Zxxk.Com\]
28\. （本题满分12分）如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线、相交于点．（1）若，则 [ ]{.underline} ；
（2）①求证：点一定在的外接圆上；
②当点从点运动到点时，点也随之运动，求点经过的路径长；
（3）在点从点到点的运动过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值．
2017年扬州中考数学参考答案：
一、1、D；2、B；3、A；4、D；5、B；6、C；7、B；8、C；
二、9、；10、12；11、；12、80°；13、135；14、－40；15、50°；16、2＋2；17、；18、15；
第18题详解：因为，若x＝2017，则m无解，当x≠2017时，，令t＝， m=，0＜t≤7且为整数，将t=1,2，3,4，5,6，7代入，当t＝1时，m＝12；当t＝4时，m＝3；所以12＋3＝15.\[来源:学科网\]
三、19、（1）原式＝－4；（2）原式＝.
20、解不等式组得－≤x＜3，又因为x取整数，所以x＝－1,0，1,2.
21、（1）48,72°；（2）300.
22、（1）；（2）树状图或列表略，.
23、设小芳的速度为6m/min.根据题意得：，x=50，经检验x=50是原方程的解，答略.
24、（1）略；（2）易求AC＝26，BC＝10，＝16.
25、（1）略；（2）阴影部分的周长为（4＋12＋12）；
26、（1）0, 7；（2）AB△AC＝－8， BA△BC＝24；（3）设ON＝x，OB＝OC＝y，那么 OB＝2x，OA＝3x，，解得：， （负值舍去），所以BC＝4，OA＝3，所以△ABC的面积为6.
27、（1）*p*＝－30x＋1500；（2）设利润为w元，那么，当x=40时，最大利润w为3000元；（3）a=2。
28、（1）；（2）*①*取EP的中点H，连接HA、HO，只需证明HO＝HA＝HP＝HE即可；*②2*；（3）.
| 1 | |
> **《最喜欢的水果》同步练习3**
>
> 一、统计本班同学业余最喜欢的哪种活动？
>
> 
>
> 1、本班共有（ ）人。
>
> 2、本班同学业余最喜欢（ ）的人最多。
>
> 3、本班同学业余最喜欢看电视的比最喜欢看书的人多（ ）人。
>
> 二、旺旺超市一周内销出的鲜橙多和冰红茶瓶数如下： \[来源:学科网\]
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 星期 | > 鲜橙多（瓶） | > 冰红茶（瓶） |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 一 | > 85 | > 63 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 二 | > 120\[来源:学。科。网Z。X。X。K\] | > 86 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 三 | > 94 | > 90 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 四 | > 115 | > 78 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 五 | > 120 | > 97 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 六 | > 134 | > 89 |
+--------+------------------------------------+----------------+
| > 天 | > 128 | > 109\* |
+--------+------------------------------------+----------------+
> 1、从一周销售情况来看，人们喜欢喝（ ）。
>
> 2、这一周内鲜橙多，售出最多的是星期日（ ），最少的是星期（ ），大约一共售出（ ）瓶。
>
> 3、如果商场想再进一批饮料，你有什么好想法？
>
> 三、下面是某班同学最喜欢的动物卡片统计表。
>
> 1、把整理的结果填在统计表里。
>
> **2、喜欢（ ）的人数最多。**
>
> **3、喜欢（ ）和（ ）的人数是一样的。**
>
> **4、喜欢小熊猫的比喜欢小狗的多（ ）人。**
>
> 四、统计。
>
> 喜欢水果的人数。
+--------+--------+--------+--------+--------+
| > 种类 | > 苹果 | > 梨子 | > 香蕉 | > 桃子 |
+--------+--------+--------+--------+--------+
| > 个数 | > 16 | > 14 | > 20 | > 18 |
+--------+--------+--------+--------+--------+
> 1、喜欢吃（ ）的人数最多，喜欢吃（ ）的人数最少。
>
> 2、每个格代表（ ）人。
>
> 3、全部有（ ）人。
>
> 4、喜欢吃苹果的比喜欢吃香蕉的少多少人？
\[来源:学科网\]
\[来源:学\_科\_网\]
\[来源:学科网\]
参考答案：
一．1.44；2.看电视；3.8.
二. 1.鲜橙多；2.128瓶，一，700；3.进鲜橙多。
三．1.10，14，10，4；2.小熊猫；3.小猫，小猴；4.10.
四. 1.香蕉，梨子；2.略；3.68；4.答：喜欢吃苹果的比喜欢吃香蕉的少20-16=4人。
| 1 | |
**第一单元测试卷**
一、算一算。
二、填一填。
5 4\
[+ 1 8\
]{.underline} ( )\
[- 4 1\
]{.underline} ( )
6 8\
[- 4 7\
]{.underline} ( )\
[+ 7 6\
]{.underline} ( )
6 3\
[+ 3 5\
]{.underline} ( )\
[- 1 7\
]{.underline} ( )
7 8\
[- 3 9\
]{.underline} ( )\
[+ 5 5\
]{.underline} ( )
5 3\
[+ 2 7\
]{.underline} ( )\
[- 9\
]{.underline} ( )
三、改一改。
3 5\
[ + 2 9 \
]{.underline} 5 4\
[ + 1 7 \
]{.underline} 6 1
7 4\
[ - 2 8 \
]{.underline} 5 6\
[ - 1 9 \
]{.underline} 4 7
5 4\
[ + 2 8 \
]{.underline} 7 2\
[ - 3 5 \
]{.underline} 4 7
四、计算题。
1.直接写出得数。
98-20= 9+40= 80-17=
36+30= 8+54= 44+8=
35+30+5= 48-6-4= 32+40-12=
80-9+10= 91-8-60= 42+8+40=[http:///](http://www.xkb1.com/)
2.列竖式计算。
58+27-12= 72-43+54= 25+36+17=
80-19-37= 53+28-39= 16+40-48=
五、在里填上"\>""\<"或"="。
4118+22-20 91-8-6014 48-6-410
36+36-1723 35-30+553 65-17+1045-7
六、把每行、每列和每一斜行的3个数加起来,你发现了什么?
---- ---- ----
24 51 15
21 30 39
45 9 36
---- ---- ----
七、解决问题。
1.争星比赛。
(1)小红得了多少颗星? (2)小军得了多少颗星?
2.二年级开联欢会,一班有48人,二班有45人,礼堂里有80把椅子,还差多少把椅子?
3.手工小组计划做90件手工艺品,上午做了31件,下午做了36件,还要再做多少件才能完成计划?
4.育才小学组织植树活动。下午植树的有多少人?
第一单元测试卷答案
一、 25 40 46 63 71 80 68 45 18 9
二、 72 31 21 97 98 81 39 94 80 71
三、 提示:得数分别是81、27、47。
四、 1. 78 49 63 66 62 52 70 38 60
81 23 90
2\. 73 83 78 24 42 8
五、 \> \> \> \> \< \>[http:///](http://www.xkb1.com/)
六、 提示:得数都是90。
七、 1. (1)25+18=43(颗)
(2)25+18-17=26(颗)
2\. 48+45-80=13(把)
3\. 90-31-36=23(件)
4\. 25+36-18=43(人)
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**理综试卷**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共300分，考试用时150分钟。第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷6至16页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共21题，每题6分，共126分。在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：
相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 O 16 S 32 Fe 56 Cu 64 Zn 65
1．下列关于细胞基因复制与表达的叙述，正确的是
A．一种密码子可以编码多种氨基酸
B．基因的内含子能翻译成多肽
C．编码区增加一个碱基对，只会改变肽链上的一个氨基酸
D．DNA分子经过复制后，子代DNA分子中（C+T）/（A+G）＝1
2．下列关于动物新陈代谢的叙述，不正确的是
A．在正常情况下，肝脏细胞可以将多余的脂肪合成为脂蛋白
B．当血糖含量升高时，肌肉细胞可以将葡萄糖合成为糖元
C．糖类分解时可以产生与必需氨基酸相对应的中间产物
D．氨基酸脱氧基产生的不含氮部分可以合成为脂肪
3．下列叙述正确的是
A．当病毒侵入人体后，只有细胞免疫发挥防御作用
B．大肠杆菌在葡萄糖和乳糖为碳源的培养基上，只有葡萄糖耗尽才能利用乳糖
C．大水分供应充足的大田中，只有通风透光才能提高光能利用率
D．当甲状腺激素含量偏高时，只有反馈抑制下丘脑活动才能使激素含量恢复正常
4．下图表示玉米种子的形成和萌发过程。据图分析正确的叙述是
A．①与③细胞的基因型可能不同
B．①结构由胚芽、胚轴、胚要和胚柄四部分构成
C．②结构会出现在所有被子植物的成熟种子中
D．④过程的初期需要添加必需矿质元素
5．利用细胞工程方法，以SARS病毒核衣壳蛋白为抗原制备出单质克隆抗体。下列相关叙述 正确的是
A．用纯化的核衣蛋白反复注射到小鼠体内，产生的血清抗体为单克隆抗体
B．体外培养单个效应B细胞可以获得大量针对SARS病毒的单克隆抗体
C．将等量效应B细胞和骨髓瘤细胞混合，经PEG诱导融合后的细胞均为杂交瘤细胞
D．利用该单克隆抗体与SARS病毒核衣壳蛋白特异性结合的方法可诊断出病毒感染者
6．某植株成熟叶正常，部分幼叶出现病态，用Ca（NO~3~） ~2~根部施肥后幼叶恢复正常。下面是施肥后根尖成熟区细胞吸收Ca^2+^、NO^－^~2~和H~2~O的示意图，正确的是
7．2007年3月21日，我国公布了111号元素Rg的中文名称。该元素名称及所在周期是
A．纶 第七周期 B．镭 第七周期
C．铼 第六周期 D．氡 第六周期
8．为达到预期的实验目的，下列操作正确的是
A．欲配制质量分数为10%的ZnSO~4~溶液，将10 g ZnSO~4·~7H~2~O溶解在90 g水中
B．欲制备Fe（OH）~3~胶体，向盛有沸水的烧杯中滴加FeCl~3~饱和溶液并长时间煮沸
C．为鉴别KCl、AlCl~3~和MgCl~2~溶液，分别向三种溶液中滴加NaOH溶液至过量
D．为减小中和滴定误差，锥形瓶必须洗净并烘干后才能使用
9．下列关于粒子结构的描述不正确的是
A．H~2~S和NH~3~均是价电子总数为8的极性分子
B．HS^－^和HCl均是含有一个极性键的18电子粒子
C．CH~2~Cl~2~和CCl~4~均是四面体构型的非极性分子
D．1 mol 中含中子、质子、电子各10*N*~A~（*N*~A~代表阿伏加德罗常数的值）
10．草酸是二元中强酸，草酸氢钠溶液显酸性。常温下，向10 mL 0.01 mol/L NaHC~2~O~4~溶液中滴加0.01 mol/L NaOH溶液，随着NaOH溶液体积的增加，溶液中离子浓度关系正确的是
A．*V*（NaOH）＝0时，*c*（H^+^）＝1×10^－2^ mol/L
B．*V*（NaOH）＜10 mL时，不可能存在*c*（Na^+^）＝
C．*V*（NaOH）＝10 mL时，*c*（H^+^）＝1×10^－7^ mol/L
D．*V*（NaOH）＞10 mL时，*c*（Na^+^）＞
11．25℃时，水的电离可达到平衡：H^2^O=H^+^+OH^－^;△*H*＞0，下列叙述正确的是
A．向水中加入稀氨水，平衡逆向移动，*c*（OH^－^）降低
B．向水中加入少量固体硫酸氢钠，*c*（H^+^）增大，*K*~w~不变
C．向水中加入少量固体CH~3~COONa，平衡逆向移动，*c*（H^+^）降低
D．将水加热，*K*~w~增大，pH不变
12．下列有关工业生产的叙述正确的是
A．合成氨生产过程中将NH~3~液化分离，可加快正反应速率，提高N~2~、H~2~的转化率
B．硫酸工业中，在接触室安装热交换器是为了利用SO~3~转化为H~2~SO~4~时放出的热量
C．电解饱和食盐水制烧碱采用离子交换膜法，可防止阴极室生产的Cl~2~进入阳极室
D．电解精炼铜时，同一时间内阳极溶解铜的质量比阴极析出铜的质量小
13．天津是我国研发和生产锂离子电池的重要基地。锂离子电池正极材料是含锂的二氧化钴（LiCoO~2~），充电时，LiCoO~2~中Li被氧化，Li^+^迁移并以原子形式嵌入电池负极材料碳（C~6~）中，以LiC~6~表示。电池反应为LiCoO~2~+C~6~CoO~2~+LiC~6~，下列说法正确的是
A．充电时，电池的负极反应为LiC~6~－e*^－^*=Li^+^+C~6~
B．放电时，电池的正极反应为CoO~2~+Li^+^+e*^－^*=LiCoO~2~
C．羧酸、醇等含活泼氢的有机物可用作锂离子电池的电解质
D．锂离子电池的比能量（单位质量释放的能量）低
14．下列说法正确的是
A．用三棱镜观察太阳光谱是利用光的干涉现象
B．在光导纤维束内传送图象是利用光的全反射现象
C．用标准平面检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象
D．电视机遥控器是利用发出紫外线脉冲信号来换频道的
15．如图所示，物体*A*静止在光滑的水平面上，*A*的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体*B*以速度*v*向*A*运动并与弹簧发生碰撞，*A*、*B*始终沿同一直线运动，则*A*、*B*组成的系统动能损失最大的时刻是
A．*A*开始运动时
B．A的速度等于*v*时
C．*B*的速度等于零时
D．*A*和*B*的速度相等时
16．将阻值为5Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上，电源电动势随时间变化的规律如图所示。下列说法正确的是
A．电路中交变电流的频率为0.25 Hz
B．通过电阻的电流为A
C．电阻消耗的电功率为2.5 W
D．用交流电压表测得电阻两端的电压是5 V
12．我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为*m*~1~、*m*~2~，半径分别为*R*~1~、*R*~2~，人造地球卫星的第一宇宙速度为*v*，对应的环绕周期为T，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为
A．， B．，
C．， D．，
18．右图为氢原子能级的示意图，现有大量的氢原子处于*n*=4的激发态，当向低能级跃迁时辐射出若干不同频率的光。关于这些光下列说法正确的是
A．最容易表现出衍射现象的光是由*n*=4能级跃迁到*n*=1能级产生的
B．频率最小的光是由*n*=2能级跃迁到*n*=1能级产生的
C．这些氢原子总共可辐射出3种不同频率的光
D．用*n*=2能级跃迁到*n*=1能级辐射出的光照射逸出功为6.34eV的金属铂能发生光电效应
19．如图所示，在*x*轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为*B*的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点*O*处以速度*v*进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与*x*轴正方向成120°角，若粒子穿过*y*轴正半轴后在磁场中到*x*轴的最大距离为*a*，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是
A．，正电荷 B．，正电荷
C．，负电荷 D．，负电荷
20．*A*、*B*两装置，均由一支一端封闭、一端开口且带有玻璃泡的管状容器和水银槽组成，除玻璃泡在管上的位置不同外，其他条件都相同。将两管抽成真空后，开口向下竖起插入水银槽中（插入过程没有空气进入管内），水银柱上升至图示位置停止。假设这一过程水银与外界没有热交换，则下列说法正确的是
A．*A*中水银的内能增量大于*B*中水银的内能增量
B．B中水银的内能增量大于A中水银的内能增量
C．*A*和*B*中水银体积保持不变，故内能增量相同
D．*A*和*B*中水银温度始终相同，故内能增量相同
21．如图所示，实线是沿*x*轴传播的一列简谐横波在*t*=0时刻的波形图，虚线是这列波在*t*=0.2 s时刻的波形图。已知该波的波速是0.8 m/s，则下列说法正确的是
A．这列波的波长是14 cm
B．这列波的周期是0.125 s
C．这列波可能是沿*x*轴正方向传播的
D．*t*=0时，*x*=4 cm处的质点速度沿*y*轴负方向
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共10题，共174分。
22．（16分）（1）一种游标卡尺，它的游标尺上有50个小的等分刻度，总长度为49 mm。用它测量某物体长度，卡尺示数如图所示，则该物体的长度是 [ ]{.underline} cm。
（2）某学生用打点计时器研究小车的匀变速直线运动。他将打点计时器接到频率为50 Hz的交流电源上，实验时得到一条纸带。他在纸带上便于测量的地方选取第一个计时点，在这点下标明*A*，第六个点下标明*B*，第十一个点下标明*C*，第十六个点下标明*D*，第二十一个点下标明*E*。测量时发现*B*点已模糊不清，于是他测得AC长为14.56 cm，*CD*长为11.15 cm，*DE*长为13.73 cm，则打*C*点时小车的瞬时速度大小为 [ ]{.underline} m/s，小车运动的加速度大小为 [ ]{.underline} m/s^2^，*AB*的距离应为 [ ]{.underline} cm。（保留三位有效数字）
（3）在"练习使用示波器"实验中，某同学将衰减调节旋钮置于最右边的""挡，扫描范围旋钮置于"外X"档，"X输入"与"地"之间未接信号输入电压，他在示波器荧光屏上看到的图像可能是下图中的 [ ]{.underline} 。
23．（16分）如图所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车的四分之一圆弧轨道*AB*是光滑的，在最低点*B*与水平轨道*BC*相切，*BC*的长度是圆弧半径的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从*A*点正上方某处无初速度下落，恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道沿街至轨道末端*C*处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点*B*时对轨道的压力是物块重力的9倍，小车的质量是物块的3倍，不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求
（1）物块开始下落的位置距水平轨道*BC*的竖直高度是圆弧半径的几倍；
（2）物块与水平轨道*BC*间的动摩擦因数*μ*。
24．（18分）两根光滑的长直金属导轨*MN*、*M*′*N*′平行置于同一水平面内，导轨间距为*l*，电阻不计，*M*、*M*′处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为*R*，电容器的电容为*C*。长度也为*l*、阻值同为*R*的金属棒*ab*垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为*B*、方向竖直向下的匀强磁场中。*ab*在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在*ab*运动距离为*s*的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q。求
（1）*ab*运动速度*v*的大小；
（2）电容器所带的电荷量*q*。
25．（22分）离子推进器是新一代航天动力装置，可用于卫星姿态控制和轨道修正。推进剂从图中*P*处注入，在*A*处电离出正离子，*BC*之间加有恒定电压，正离子进入*B*时的速度忽略不计，经加速后形成电流为*I*的离子束后喷出。已知推进器获得的推力为*F*，单位时间内喷出的离子质量为*J*。为研究问题方便，假定离子推进器在太空中飞行时不受其他外力，忽略推进器运动速度。
（1）求加在*BC*间的电压*U*；
（2）为使离子推进器正常运行，必须在出口D处向正离子束注入电子，试解释其原因。
26．（14分）U、V、W、X、Y、Z是原子序数依次增大的六种常见元素。Y的单质在W~2~中燃烧的产物可使品红溶液褪色。Z和W元素形成的化合物Z~3~W~4~具有磁性。U的单质在W~2~中燃烧可生成UW和UW~2~两种气体。X的单质是一种金属，该金属在UW~2~中剧烈燃烧生成黑、白两种固体。
请回答下列问题：
（1）V的单质分子的结构式为 [ ]{.underline} ；XW的电子式为 [ ]{.underline} ；
Z元素在周期表中的位置是 [ ]{.underline} 。
（2）U元素形成的同素异形体的晶体类型可能是（填序号） [ ]{.underline} 。
①原子晶体 ②离子晶体 ③分子晶体 ④金属晶体
（3）U、V、W形成的10电子氢化物中，U、V的氢化物沸点较低的是（写化学式）\
[ ]{.underline} ；V、W的氢化物分子结合H^+^能力较强的是（写化学式） [ ]{.underline} ；用一个离子方程式加以证明 [ ]{.underline} 。
（4）YW~2~气体通入BaCl~2~和HNO~3~的混合溶液，生成白色沉淀和无色气体VW，有关反应的离子方程式为 [ ]{.underline} ，由此可知VW和YW~2~还原性较强的是（写化学式） [ ]{.underline} 。
27．（19分）奶油中有一种只含C、H、O的化合物A。A可用作香料，其相对分子质量为88，分子中C、H、O原子个数比为2：4：1。
（1）A的分子式为 [ ]{.underline} 。
（2）写出与A分子式相同的所有酯的结构简式：
[ ]{.underline} 。
已知：①ROH+HBr（氢溴酸）RBr+H~2~O
②
A中含有碳氧双键，与A相关的反应如下：
（3）写出A→E、E→F的反应类型：A→E [ ]{.underline} 、E→F [ ]{.underline} 。
（4）写出A、C、F的结构简式：A [ ]{.underline} 、C [ ]{.underline} 、\
F [ ]{.underline} 。
（5）写出B→D反应的化学方程式：
[ ]{.underline}
（6）在空气中长时间搅拌奶油，A可转化为相对分子质量为86的化合物G，G的一氯代物只有一种，写出G的结构简式： [ ]{.underline} 。A→G的反应类型为 [ ]{.underline} 。
28．（19分）二氯化二硫（S~2~Cl~2~）在工业上用于橡胶的硫化。为在实验室合成S~2~Cl~2~，某化学研究性学习小组查阅了有关资料，得到如下信息：
①将干燥的氯气在110℃～140℃与硫反应，即要得S~2~Cl~2~粗晶。
②有关物质的部分性质如下表：
+-----------+--------+--------+-------------------------+
| 物质 | 熔点/℃ | 沸点/℃ | 化学性质 |
+-----------+--------+--------+-------------------------+
| S | 112.8 | 444.6 | 略 |
+-----------+--------+--------+-------------------------+
| S~2~Cl~2~ | －77 | 137 | 遇水生成HCl、SO~2~、S； |
| | | | |
| | | | 300℃以上完全分解； |
| | | | |
| | | | S~2~Cl~2~+Cl~2~2SCl~2~ |
+-----------+--------+--------+-------------------------+
设计实验装置图如下：
（1）上图中气体发生和尾气处理装置不够完善，请你提出改进意见 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 。
利用改进后的正确装置进行实验，请回答下列问题：
（2）B中反应的离子方程式： [ ]{.underline} ；
E中反应的化学方程式： [ ]{.underline} 。
（3）C、D中的试剂分别是 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 。
（4）仪器A、B的名称分别是 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ，F的作用是 [ ]{.underline} 。
（5）如果在加热E时温度过高，对实验结果的影响是 [ ]{.underline} ，在F中可能出现的现象是 [ ]{.underline} 。
（6）S~2~Cl~2~粗品中可能混有的杂质是（填写两种） [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ，为了提高S~2~Cl~2~的纯度，关键的操作是控制好温度和 [ ]{.underline} 。
29．（14分）黄铁矿主要成分是FeS~2~。某硫酸厂在进行黄铁矿成分测定时，取0.1000 g样品在空气中充分灼烧，将生成的SO~2~气体与足量Fe~2~ （SO~4~）~3~溶液完全反应后，用浓度为0.02000 mol/L的K~2~Cr~2~O~7~标准溶液滴定至终点，消耗K~2~Cr~2~O~7~溶液25.00 mL。
已知：SO~2~+2Fe^3+^+2H~2~O＝SO^2－^~4~+2Fe^2+^+4H^+^
Cr~2~O^2－^~7~+6Fe^2+^+14H^+^＝2Cr^3+^+6Fe^3+^+7H~2~O
（1）样品中FeS~2~的质量分数是（假设杂质不参加反应） [ ]{.underline} 。
（2）若灼烧6 g FeS~2~产生的SO~2~全部转化为SO~3~气体时放出9.83 kJ热量，产生的SO~3~与水全部化合生成H~2~SO~4~，放出13.03 kJ热量，写出SO~3~气体转化为H~2~SO~4~的热化学方程\
式： [ ]{.underline} 。
（3）煅烧10 t上述黄铁矿，理论上产生SO~2~的体积（标准状况）为 [ ]{.underline} L，制得98%的硫酸质量为 [ ]{.underline} t，SO~2~全部转化为H~2~SO~4~时放出的热量是 [ ]{.underline} kJ。
30．（14分）在培育转基因植物的研究中，卡那霉素抗基因（kan^2^）常作为标记基因，只有含卡那霉素抗性基因的细胞才能在卡那霉素培养基上生长。下图为获得抗虫棉的技术流程。
请据图回答：
（1）A过程需要的酶有 [ ]{.underline} 。
（2）B过程及其结果体现了质粒作为运载体必须具备的两个条件是 [ ]{.underline}\
[ ]{.underline} 。
（3）C过程的培养基因除含有必要营养物质、琼脂和激素外，还必须加入 [ ]{.underline} 。
（4）如果利用DNA分子杂交原理对再生植物进行检测，D过程应该用 [\
]{.underline}作为探针。
（5）科学家发现转基因植株的卡那霉素抗性基因的传递符合孟德尔遗传规律。
①将转基因植株与 [ ]{.underline} 杂交，其后代中抗卡那霉素型与卡那霉素敏感型的数量比为1：1。
②若该转基因植株自交，则其后代中抗卡那霉素型与卡那霉素敏感型的数量比为 [ ]{.underline} 。
③若将该转基因植株的花药在卡那霉素培养基上作离体培养，则获得的再生植株群体中抗卡那霉素型植株占 [ ]{.underline} ％。
31．（22分）
Ⅰ．（12分）下图为生态系统碳循环示意图，其中甲、乙、丙表示生态系统中的三种成分。
请据图回答：
（1）生态系统的碳循环是指碳元素在 [ ]{.underline} 之间不断循环的过程。
（2）X与甲中图示生物类群的能量来源不同，X代表的生物为 [ ]{.underline} ；\
Y的细胞结构与丙中图示生物不同，Y的细胞结构最主要的特点是 [ ]{.underline} 。
（3）大气中的CO~2~在甲中图示的 [ ]{.underline} （在a～d中选择）合成有机物；含碳有机物在甲中图示的 [ ]{.underline} 处（在a～d中选择）可以分解为CO~2~。
（4）化石燃料除燃烧外，还可以通过 [ ]{.underline} 途径产生CO~2~。
Ⅱ．（10分）为研究"圆褐固氮菌对某种植物枝条生根作用的影响"，设计相关实验，结果如下图。试管内基质为灭菌的珍珠岩（起固定、通气和吸水作用）。
请据图回答：
（1）为了排除其他微生物对实验结果的影响，配制的灭菌培养液在成分上应具备的主要特点是 [ ]{.underline} 。
（2）A中枝条的下端切口处 [ ]{.underline} （有/无）生长素，A与C对比说明： [ ]{.underline} 。
（3）上述实验综合分析表明，圆褐固氮菌能促进该植物枝条生根。为进一步探究"圆褐固氮菌是否分泌了促生根物质"，请完成下列实验：
①用灭菌培养液培养圆褐固氮菌。
②将培养物过滤，得到菌体和无菌滤过液。
③实验分两组：甲组试管中加入基质和灭菌水；乙组取若干试管，加入相同基质，再分别加入 [ ]{.underline} 。
④分别插入同类枝条，培养并观察。
结果分析：如果 [ ]{.underline} ，则表明圆褐固氮菌分泌了促生根物质。
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**2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
4．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．（5分）曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．（5分）设向量，，满足\|\|=\|\|=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则\|\|的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~=0且．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：S~n~＜1．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．
**2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y=（x≥0），
∴x=，y≥0，
故反函数为y=（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
4．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S~k+2~，S~k~，将S~k+2~﹣S~k~=24转化为关于k的方程求解．
【解答】解：根据题意：
S~k+2~=（k+2）^2^，S~k~=k^2^
∴S~k+2~﹣S~k~=24转化为：
（k+2）^2^﹣k^2^=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A． B． C． D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．
【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．
【解答】解：由题意画出图形如图：
直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，
所以AD=，CD=，BC=
由V~B﹣ACD~=V~D﹣ABC~可知
所以，h=
故选C．
【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C~4~^2^种，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，
另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C~4~^2^=6种，
根据分类计数原理知共10种，
故选：B．
【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．
8．（5分）曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】解：∵y=e^﹣2x^+1∴y\'=（﹣2）e^﹣2x^
∴y\'\|~x=0~=（﹣2）e^﹣2x^\|~x=0~=﹣2
∴曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=
∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A． B． C． D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据已知中抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，
∴F点的坐标为（1，0）
又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，
则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），
则=（0，﹣2），=（3，4），
则cos∠AFB===﹣，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∴圆N的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
12．（5分）设向量，，满足\|\|=\|\|=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则\|\|的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．
【解答】解：∵，
∴的夹角为120°，
设，则；=
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACB=180°
∴A，O，B，C四点共圆
∵
∴
∴
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=
当OC为直径时，模最大，最大为2
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）**
13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为[ 0 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x的系数与x^9^的系数；求出值．
【解答】解：展开式的通项为
令得r=2；令得r=18
∴x的系数与x^9^的系数C~20~^2^，C~20~^18^
∴x的系数与x^9^的系数之差为C~20~^2^﹣C~20~^18^=0
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．
【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==
∴tan2α==﹣
故答案为：﹣
【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．
15．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ 6 ]{.underline}．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
【解答】解：
不妨设A在双曲线的右支上
∵AM为∠F~1~AF~2~的平分线
∴=
又∵\|AF~1~\|﹣\|AF~2~\|=2a=6
解得\|AF~2~\|=6
故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．
【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．
【解答】解：由题意画出图形如图：
因为E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，
延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，
所以BE：CF=1：2
所以SB：SC=1：2，
设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．
【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，
利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，
即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C+=B或C++B=π（舍去），
所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，
解得C=．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．
（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8
（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）
所以EX=100×0.2=20
【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD==
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD^2^=SA^2^+SD^2^
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）
则
设平面SBC的一个法向量为
则，
即
取x=0，y=，z=1
即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）
又=（0，2，0）
cos＜，＞===
∴＜，＞=arccos
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．
20．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~=0且．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：S~n~＜1．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a~n~}的通项公式．
（Ⅱ）由==，能够证明S~n~＜1．
【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，
，
∴（n∈N^\*^）．
（Ⅱ）==，
∴=1﹣＜1．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）
椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②
联立方程可得4x^2^﹣2x﹣1=0，
则x~1~+x~2~=，x~1~×x~2~=﹣
则y~1~+y~2~=﹣（x~1~+x~2~）+2=1
设P（p~1~，p~2~），
则有：=（x~1~，y~1~），=（x~2~，y~2~），=（p~1~，p~2~）；
∴+=（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）=（，1）；=（p~1~，p~2~）=﹣（+）=（﹣，﹣1）
∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（，），即（，），
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=
③④的交点就是圆心O~1~（﹣，），
r^2^=\|O~1~P\|^2^=（﹣﹣（﹣））^2^+（﹣1﹣）^2^=
故过P Q两点圆的方程为：（x+）^2^+（y﹣）^2^=...⑤，
把y=﹣x+1 ...②代入⑤，
有x~1~+x~2~=，y~1~+y~2~=1
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在\[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98×...×81＜（90）^19^，最后证明＜e^﹣2^，即证＞e^2^，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得
【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，
∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，
∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．
即当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．
先证：P=＜，即证＜
即证99×98×...×81＜（90）^19^
而99×81=（90+9）×（90﹣9）=90^2^﹣9^2^＜90^2^
98×82=（90+8）×（90﹣8）=90^2^﹣8^2^＜90^2^...
91×89=（90+1）×（90﹣1）=90^2^﹣1^2^＜90^2^
∴99×98×...×81＜（90）^19^
即P＜
再证：＜e^﹣2^，即证＞e^2^，即证19ln＞2，即证ln＞
由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．
令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞
综上有：P＜＜
【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．
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**北师大版小学三年级下册数学第四单元《面积》单元测试1（附答案）**
一、理解题意，认真填写。(7分)
1．边长是1分米的正方形面积是( )；
边长是1厘米的正方形面积是( )；
1平方分米的正方形相当于( )个1平方厘米的正方形。
2．边长是100m的正方形土地面积是( )。
3．一个长方形操场的长是100m，宽是68m，这个操场的面积是( )。
4．用一根40cm长的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )。
5．在括号里填上合适的单位。
(1)小军手掌的面积大约是1( )。
(2)一枚邮票的面积大约是6( )。
(3)数学课本封面的面积约450( )。
(4)一家超市占地面积1250( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(5)王强身高135( )。
6．5米^2^＝( )分米^2^ 2分米^2^＝( )厘米^2^
200厘米^2^＝( )分米^2^ 100分米^2^＝( )米^2^
60000米^2^＝( )公顷 80厘米^2^＝( )分米
二、写出下面各图形中涂色部分的面积。(每小格面积表示1cm^2^)(6分)
> ( )cm^2^ ( )cm^2^ ( )cm^2^
三、细心比较，在○填上"＞"、"＜"或"＝"。(8分)
5米^2^ ○500厘米^2^ 3分米^2^ ○30厘米^2^
4公顷○400米^2^ 9分米^2^ ○900米^2^
200厘米^2^ ○2分米^2^ 12分米○120厘米
3米^2^ ○300分米^2^ 一年零3个月○13个月来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、我会排序。(8分)
1．6000m 25km 39m 39cm
\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_
2．2公顷 2km^2^ 20dm^2^ 2m^2^
\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_＞\_\_\_\_\_\_
五、仔细推敲，认真辨析。(对的打"√"，错的打"×")(10分)
1．边长是4厘米的正方形，面积和周长一样大。 ( )
2．一个正方形操场，边长是100米，它的面积正好是1公顷。 ( )
3．两个周长相等的长方形，面积也一定相等。 ( )
4．8个面积为1cm^2^的小正方形可以拼成一个大的正方形。 ( )
5．正方形的边长增加8米，它的周长就增加32米。 ( )
六、反复比较，慎重选择，把正确答案的序号填在括号里。(10分)
1．进率是100的两个土地面积单位是( )
①平方米和公顷 ②平方米和平方分米 ③平方厘米和平方米
2．长方形的长和宽都扩大2倍，面积就扩大( )倍。
①2 ②4 ③8
3． 左图中，甲、乙两部分的周长( )，面积( )。
①甲长 ②乙长 ③一样长 ④甲大 ⑤乙大 ⑥一样大
4．一块长10m、宽5m的长方形菜地，分成两块同样大小的正方形地，每块地的面积是( )
①25m^2^ ②25m ③20m^2^
5．一张长方形纸，长8dm，宽6dm。如果剪一个最大正方形，这个正方形的面积是( )
①48dm^2^ ②36dm^2^ ③64dm^2^
七、在方格中画出4个面积等于24个方格的形状不同的图形。(8分)
八、联系实际，解决问题。(28分)
1．一个长方形花圃，长7米，宽5米。在它的四周围上栅栏。
(1)栅栏长多少米？(3分)
(2)这个花圃的面积是多少平方米？(3分)
2．会议室里面有一面长方形的墙，长9米，宽3米。墙上窗户面积是8平方米，粉刷这面墙要粉刷多少平方米？(4分)
3．一个长方形的广场，长60m，宽40m。如果用面积为25dm^2^的方砖铺这个广场，需要多少块砖？(4分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．有两个大小一样的长方形，长都是12cm，宽都是6cm。
(1)如果把它们拼成一个正方形，这个正方形的周长是多少？(3分)
(2)如果把它们拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？(3分)
(3)拼成的长方形和正方形的面积相等吗？各是多少？(2分)
5．小丽家新房装修，买大瓷砖40块，小瓷砖56块。
25元 18元
(1)两种瓷砖各需要多少钱？(4分)
(2)一共应付多少钱？(2分)
九、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A题：
我想用正方形的地砖把餐厅铺成右边这种样子。
(1)一共要用多少块砖？(2分)
(2)如果每块地砖的边长为5dm，我家餐厅的面积
是多少平方米？(3分)
B题：(5分)
每个小方格按1平方米计算，阴影部分的面积是( )平方米。
附加题。(5分)
在一块长方形的草地四周，铺上宽1米的小路，小路的面积(如图中阴影部分所示)是多少平方米？
**参考答案**
一、1．1平方分米 1平方厘米 100
2．10000m^2^ 3．6800m^2^ 4．100cm^2^
5．(1)dm^2^ (2)cm^2^ (3)cm^2^ (4)m^2^ (5)cm
6．500 200 2 1 6 8
二、10 8 11
三、＞ ＞ ＞ ＜ ＝ ＝ ＝ ＞
四、1．25km＞6000m＞39m＞39cm
2．2km^2^ ＞2公顷＞2m^2^ ＞20dm^2^
五、1．× 2．√ 3．× 4．× 5．√
六、1．② 2．② 3．③ ④ 4．① 5．②
七、略
八、1．(1)(7＋5)×2＝24(m) (2)7×5＝35(m^2^)
2．9×3－8＝19(m^2^)
3．60×40＝2400(m^2^) 2400m^2^＝240000dm^2^ 240000÷25＝9600(块)
4．(1)12×4＝48(cm) (2)(12＋12＋6)×2＝60(cm)
(3)相等 12×12＝24×6＝144(cm^2^)
5．(1)40×25＝1000(元) 18×56＝1008(元) (2)1000＋1008＝2008(元)
九、A：(1)40块 (2)5×5＝25(dm^2^) 25×40＝1000(dm^2^) 1000dm^2^＝10m^2^
B：4×4÷2＝8(m^2^)
附加题：20×1×2＋14×1×2＋1×1×4＝72(平方米)或
(20＋2)×(14＋2)－20×14＝72(平方米)
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法》单元测试2（附答案）**
一、填一填。(9分)
1.把3.2+3.2+3.2改写成乘法算式是( )。把0.8×3改写成加法算式是( )。
2.在一个乘法算式中，其中一个乘数有两位小数，另一个乘数有一位小数，它们的积最多有( )位小数。
3.求6.27的2.5倍是多少，列式是( )。
4.把一个数的小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的( )；把一个数的小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的( )。
5.把l2.36的小数点向( )移动( )位，得1.236，正好缩小到原来的( )。
二、火眼金睛。(15分)
1.一个乘数扩大到原来的10倍，另一个乘数也扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的20倍。( )
2.一个数乘小数，积一定比这个数小。( )
3.把0.832扩大到原来的l000倍，应把小数点向右移动三位。( )
4.0.83×1.3的积小于0.83。( )
5.算式5.27×0.3的积是三位小数。( )
三、对号入座。(15分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.去掉6.831的小数点，原来的数就( )。
A.缩小到原来的
B.扩大到原来的1000倍
C.扩大到原来的3倍
2.日记本每本3.5元，买3本应付( )元。
A.10.5 B.9.5 C.6.5
3.15.2×0.8○15.2。"○"里应填( )。
A.＞ B.＜ C.=
4.下面各算式的计算结果正确的是( )。
A.4.8×1.3=624
B.4.8×0.13=6.24
C.0.48×1.3=0.624
5.16.3×0.84＋16.3×0.16=16.3×(0.84＋0.16)运用了( )。
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法分配律
四、计算。(31分)
1.口算。(3分)
2.用竖式计算。(12分)
2.43×40 0.83×1.5
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.计算下面各题，怎样简便就怎样算。(16分)
2.8×13＋0.96 46.5－3.2×1.4
五、在○里填上"＞"、"＜"或"="。(12分)
0.72×1.1○0.72 4.5×1.8○1.8
0.72×0.9○0.72. 0.8 ×1.8○1.8
六、解决问题。(18分)
1.吸烟不仅有害健康，生产香烟还消耗能源。1天少抽1支烟，每人每年能节约0.014吨标准煤，相应减排二氧化碳0.37千克。小明爸爸的工作室共有5个烟民，如果每人每天少吸一支烟，每年可以节约多少吨标准煤，减排二氧化碳多少千克？
> 2.东丰小学为玉树灾区捐款，四年级有6个班，平均每班捐款l65.5元，五年级有8个班，平均每班捐款211.6元。四、五年级共捐款多少钱？
附加题。(10分)
用简便方法计算。
14.75×6.88－8.75×6.88＋14.75×3.12－8.75×3.12
**参考答案**
一、l. 3.2×3 0.8+0.8+0.8
2\. 三
3\. 6.27×2.5
4\. 100倍
5\. 左 一
二、1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√
三、l.B 2.A 3.B 4.C 5.C
四、l. 0.8 8 80
2\. 97.2 1.245
3\. 37.36 42.02
五、＞ ＞ ＜ ＜
六、1. 0.014×5=0.07(吨) 0.37×5=1.85(千克)
2\. 165.5×6+211.6×8=2685.8(元)
附加题：l4.75×6.88－8.75×6.88+14.75×3.12 8.75×3.12
=6.88×(14.75－8.75)+3.12×(14.75－8.75)
=6.88×6+3.12×6
=(6.88+3.12)×6
=10×6
=60
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**2020-2021学年山东省枣庄市滕州市六年级（上）期末数学试卷**
**一、认真想，就能填对。**
1．7÷[ ]{.underline}＝＝25%＝4：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}（填小数）
2．有12个☆，△的个数是☆的，☆的个数是◇的，△有[ ]{.underline}个，◇有[ ]{.underline}个。
3．如图中，空白部分与阴影部分面积的比是[ ]{.underline}，空白部分是阴影部分的[ ]{.underline}%。
> 
4．如图中有[ ]{.underline}条对称轴，一个圆的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^，长方形的周长是[ ]{.underline}*cm*。
> 
5．一根4米长的绳子，剪去它的后，又剪去米，还剩下[ ]{.underline}米．
6．"春水春池满，春日春草生，春人饮春酒，春鸟弄春色"，这首诗中"春"占总字数的[ ]{.underline}%．
7．化简下面各比。
----------------------------- ----------------------------- --------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------
45：18＝[ ]{.underline} 3.5：2＝[ ]{.underline} ＝[ ]{.underline} ＝[ ]{.underline}
----------------------------- ----------------------------- --------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------
8．箱子里有5个白球和7个红球，如果从箱中任意摸出一个球，摸到[ ]{.underline}球的可能性大。乐乐从箱中拿走了全部球的，他拿走了[ ]{.underline}个。
9．如图中，圆*A*和圆*B*直径的比是[ ]{.underline}，周长的比是[ ]{.underline}，面积的比是[ ]{.underline}。如果小圆的面积是25*cm*^2^，那么大圆的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
> 
10．如图中，是将一个圆形纸板在直尺上滚动一周，从这个图上可以看出这个圆的周长大约是[ ]{.underline}*cm*，它的直径大约是[ ]{.underline}*cm*。
> 
11．六（1）班今天出勤39人，有1人因病请假，今天六（1）班学生的出勤率是[ ]{.underline}．
12．根据"男生人数是女生的"，写出数量关系是[ ]{.underline}×＝[ ]{.underline}。如果男生有60人，女生有[ ]{.underline}人；如果女生有60人，男生有[ ]{.underline}人。
13．一个钟表的分针长是5*cm*，当它走过一圈时，针尖走过了[ ]{.underline}*cm*，分针所扫描过的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
**二、仔细辨，才知对错。（对的打"√"，错的打"×"）**
14．当圆的半径等于2*cm*时，圆的周长与面积的数值相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．抽查一批产品102件，全部合格，合格率为102%．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．一幅扑克牌中，去掉大王和小王，任意抽一张，抽到四种花色的可能性相等。[ ]{.underline}（判断对错）
17．1米的75%是75%米．[ ]{.underline}．
18．一杯糖水，糖和水的比是1：16，喝掉一半后，糖和水的比是1：8．[ ]{.underline}．
**三、精心选，才能选准。（将正确答案的序号填在括号里）**
19．一根铁丝剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段铁丝比较（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．两段一样长
20．一个三角形的三个内角的度数比是1：2：7，这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形
21．下面不能用"转化"的方法推导圆面积计算公式的是（ ）
A．
B．
C．
22．下面的百分率中，可以超过100%的是（ ）
A．增长率 B．成活率 C．近视率
23．如图为2米长的模具，李师傅已加工70%，（ ）可以表示工作完成情况。
A．
B．
C．
**四、用心做，才能做好。**
24．在直线上用"•"分别标出和2的倒数位置，并在点下面写出这些数的倒数。
> 
25．估计每幅图的阴影占整幅图的百分之几，与对应的百分数连一连．
> 
26．在如图的长方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径。如果沿圆的边缘把圆剪下来，剩余部分的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
> 
27．在如图方格中画一个长方形，以线段*AB*为长，并使长与宽的比是3：2；然后再将长方形的面积按1：2分成两部分。
> 
**五、细心算，就能算对。**
28．直接写得数。
--------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15×＝ ÷＝ 9π≈ 60×25%＝ 36×（+）＝
÷＝ ×＝ 25^2^＝ ÷＝ ×÷×＝
--------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29．脱式计算，能简算的要用简便方法计算。
---------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1﹣× 3÷﹣÷3 （+﹣）×24 ÷+×3
---------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30．解方程。
------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5*x*＝ *x*÷＝ *x*+*x*＝ *x*＝﹣
------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**六、想办法，才能解决。**
31．儿童的负重最好不要超过体重的。如果长期背负过重物体，会导致背痛，严重的会妨碍骨骼的成长。乐乐的书包超重了吗？
> 
32．六（1）班有50人，在一次数学检测中，有45人达到合格，其中15人为优秀。这次检测的合格率和优秀率分别是多少？
33．中困共产党的成立即将100周年，在共产党的领导下，中国"速度"取得了举世瞩目的成绩。高速列车的速度可达350千米/时，磁悬浮列车的速度比高速列车还快。磁悬浮列车的速度是多少？
34．花园里有太阳花350棵，\_\_\_\_\_\_，月季花有多少棵？
> （1）根据下面的线段图，将题中的信息补充完整。
>
> 
>
> （2）根据补充的信息解答。
35．为全面建成小康社会，清阳市积极贯彻党中央"精准扶贫"方略，向某贫困镇发放扶贫资金8000万元，资金按5：3：8的比例用于教育、医疗和住房。用在教育、医疗和住房的资金分别是多少万元？
36．中国建筑中经常能看到"外方内圆"和"外圆内方"的设计。如图中两个圆的半径都是1米，请你求出正方形和圆之间部分的面积。
> 
37．如图，学校操场由正方形和两个半圆组成。妙妙沿操场的边沿跑了5圈，一共跑了多少米？
> 
**2020-2021学年山东省枣庄市滕州市六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、认真想，就能填对。**
1．[28]{.underline}；[16]{.underline}；[0.25]{.underline}； 2．；； 3．；； 4．；；； 5．[2]{.underline}； 6．[40]{.underline}； 7．；；；； 8．；； 9．；；；； 10．；； 11．[97.5%]{.underline}； 12．；；；； 13．；；
**二、仔细辨，才知对错。（对的打"√"，错的打"&\#215;"）**
14．[×]{.underline}； 15．[×]{.underline}； 16．； 17．[×]{.underline}； 18．[×]{.underline}；
**三、精心选，才能选准。（将正确答案的序号填在括号里）**
19．A； 20．A； 21．A； 22．A； 23．A；
**四、用心做，才能做好。**
24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．； 27．[ ]{.underline}；
**五、细心算，就能算对。**
28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}；
**六、想办法，才能解决。**
31．[ ]{.underline}； 32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}； 34．[ ]{.underline}； 35．[ ]{.underline}； 36．[ ]{.underline}； 37．[ ]{.underline}；
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第6课《能被30以下质数整除的数的特征》试题附答案**
五年级奥数上册：第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 习题
五年级奥数上册：第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 习题解答
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**小学数学小升初植树和年龄问题应用题闯关**
1．甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植一棵树的时间，乙可以植两棵树，丙可以植三棵树．他们先一起工作了5天，完成全部任务的$\frac{1}{3}$，然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务．问：从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？
2．原计划沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻两根的间距是50米．后来实际只埋了201根，求实际每相邻两根的间距。
3．一个老人以等速在公路上散步，从第一根电线杆走到第12根用了12分，这个老人如果走24分，应走到第几根？
4．有一段木料，如果把它锯成每段0.8米长的短木料，需要锯9次．现在要把它锯成每段0.4米长的短木料，需要锯几次？
5．老张问了小李的年龄后，老张说："当你到我现在的年龄时，咱们的年龄之和是72岁，在我是你现在的年龄时，你的年龄刚好是我现在的五分之一。"问：两人现在各多少岁？
6．全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前，他们全家年龄之和是58岁，现在是73岁。问：现在各人的年龄分别是多少？
7．今年小玲和妈妈岁数之和正好是60岁，小玲的岁数是妈妈的，小玲和妈妈今年各有多少岁？
8．有甲、乙、丙三人，甲的年龄除以乙的年龄等于2，丙的年龄除以甲的年龄等于4，丙比乙大56岁，问三人的年龄和为多少？
9．熊猫妈妈的小宝宝\--小熊猫今年2岁了，过若干年以后，当小熊猫和熊猫妈妈当年年龄一样大时，熊猫妈妈已经18岁了。熊猫妈妈今年是多少岁？
10．王欢、爸爸、妈妈今年三人的平均年龄正好是30岁，已知爸爸妈妈两人的平均年龄是39岁，王欢今年是多少岁？
11．如果四个人的平均年龄是30岁，且在四个人中没有小于21岁的，那么年龄最大的这个是多少岁？
12．学生问老师几岁，老师说："当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。"这位老师几岁？
13．明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，明明是多少岁？
14．小朋友想一想，"小机灵"今年几岁了？
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15．小红和爷爷今年年龄的和是70岁，5年后小红比爷爷小50岁，小红和爷爷今年各多少岁？
16．24个同学在操场上围城一个圆圈做游戏，每相邻两名同学之间都是2米，这个圆圈的周长是多少米？
17．一座大桥全长是240米，从桥的一头到另一头每隔30米安装一盏灯，两边都安装，一共安装了多少盏路灯？
18．有一个正方形操场，每边都栽6棵树，四个角各栽1棵，一共栽了多少棵树？
19．一个正五边形的游泳池的周围要安装护栏，每边安15根，每个角上都要安装，一共需要多少根？
20．二人比赛爬楼梯，小华跑到4层是时，小红恰好跑到3层，照这样计算，小华跑到16层时，小红跑到几层？
21．两辆车每20分同时发一次车，从早上6点到晚上5点同时发车几次？
22．大摆钟自动报：当时间是8点整时，他就会敲8下．已知该摆钟7点整时敲7下花了12秒钟。在一次报时间时，大摆钟一共花了20秒敲完，你能算出这是几点吗？
23．小科坐在靠近列车窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，共需时80秒；小科便根据自己的电子表计时，由第一根电线杆到第11根电线杆用了25秒，如果路旁每两根相邻电线杆的间隔为50米，请问大桥的长度是多少米？
24．在一个长方形人工湖的中间修了两条分别为40米、60米的坝，（如图）如果再在湖的四周和堤坝上隔2米种一棵树，最多可以种树多少棵？
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25．一座楼房，每上一层要走24级楼梯，小华要到五楼去，共要走多少级楼梯？
26．河滩的一边栽了45棵柳树，每两棵柳树之间栽2棵桃树，栽了多少棵桃树？
27．学校北墙前要栽月季花，全长300米，每隔5米种一株，两头不能种花。共能栽多少株月季花？
28．老陈和老孙两家都有两个小于9岁的男孩，四个孩子的年龄各不相同。一位邻居向我介绍：
（1）小明比哥哥小3岁；
（2）海涛是4个孩子中最大的；
（3）小峰年龄恰好是老陈家其中一个孩子的一半；
（4）奇志比老孙家第二个孩子大5岁；
（5）他们两家五年前都只有一个孩子。
我听了还是弄不清谁是哪一家的孩子，每个孩子年龄究竟几岁。你能帮我弄清楚吗？
29．有一对父子，他们年龄相差20岁零六个月．父亲的岁数又是儿子岁数的3倍。请问：再过多少年，父亲的岁数是儿子的2倍？
30．从前有兄弟俩，都以为只有自己过一年长一岁而别人不会长．某天，哥哥对弟弟说："再过3年我的年龄就是你的2倍．"弟弟说："不对，再过3年我和你一样大．"今年，他们俩分别是多少？
31．古希腊数学家丢番图是以研究不定方程著称于世的数学家，在他的墓碑上刻着一段墓志铭：上帝赐予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓，又过四年，他也走完了人生的旅途．计算丢番图在世的年龄．
32．有一位学者，在几年前去世了．己知他出生的年数正好是它的年龄的31倍．又知道这位学者于1965年获博士学位．这位学者是哪一年去世的？去世时是多少岁？
**参考答案**
1．20天
【解析】根据甲植一棵树的时间乙可以植两棵，丙可以植3棵，也就是说乙每天植树棵数是甲的2倍，丙每天植树棵数是甲的3倍，再根据甲乙丙5天完成全部的，得出甲乙丙一天完成全部的÷5，那么甲、乙、丙每天植树是总数的几分之几即可求出，再根据丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务，即可得出答案。
解：甲乙丙一天完成全部的÷5=，
甲每天植数是总数的：÷（1+2+3）=
乙每天植树是总数的：×2=
丙每天植树是总数的：×3=
在丙休息8天，乙休息3天这段时间内，甲做了8天，乙做8－3=5（天），一共做了总数的×8+×5=
最后3人一起做共用了（1－－）÷=7（天）
从开始植树起共用了5+8+7=20（天）
答：从开始植树算起，共用了20天。
考点：植树问题。
2．75米
【解析】根据题意，埋电线杆301根，有301-1=300个间隔，乘上每相邻两根的间离是50米，可以求出这条路的距离；实际只埋了201根，有201-1=200个间隔，用路长除以实际的间隔数，就是实际的间隔距离。
解：路长：（301-1）×50=15000（米）；
实际间隔距离：15000÷（201-1）=75（米）．
答：实际每相邻两根的间距是75米。
3．23根
【解析】从第一根电线杆走到第12根，一共走过了12-1=11个间隔，由此可以求得走过1个间隔所用的时间为：12÷11=（分钟），可得老人走过24分钟所走过的间隔数为24÷=24×=22（个），由此即可解决问题。
解：12÷（12－1）
=12÷11
=（个）
24÷+1
=24×+1
=22+1
=23（根）
答：老人走到了第23根电线杆。
点评：本题的模型是植树问题中的两端都要栽的情况：电线杆数=间隔数+1。
4．19次
【解析】锯9次，是把这段木料锯成9+1=10段，由此可以求出木料的总长度是0.8×10=8（米），则要把它锯成每段0.4米长的短木料，可以锯成8÷0.4=20（段），根据：锯的次数=锯出的段数-1即可解答。
解：（9+1）×0.8÷0.4-1
=10×0.8÷0.4-1
=20-1
=19（次）
答：需要锯19次。
点评：锯木头时：锯出的段数=锯的次数+1，一定要灵活应用。
5．
【解析】根据老张说的话，把老张现在的年龄看作单位"1"，那么老张现在的年龄相当于5份，则年龄差相当于（5－1）÷2=2（份）；所以当"当你到我现在的年龄时，咱们的年龄之和是72岁"时，老张的年龄是现在年龄的，小李的年龄=老张现在的年龄，所以老张：72÷（1+）=30（岁），小李：30×（1－）=18（岁）。
解：老张：72÷（1+）
=72÷（1+）
=30（岁）
小李：30×（1-）=18（岁）
答：老张现在30岁，小李现在18岁。
考点：年龄问题。
点评：关键是要认识到两人的年龄差始终不变，再找准两人的年龄差是多少份。
6．父亲现在的年龄是34岁，母亲现在的年龄是31岁，姐姐现在的年龄是5岁，弟弟现在的年龄是3岁。
【解析】根据年龄问题可知，现在全家年龄之和比四年前应该多16岁，但73-58=15，说明四年前弟弟没出生。
解：现在全家年龄之和比四年前应该多16岁，但73-58=15，说明四年前弟弟没出生，所以假设弟弟今年3岁，姐姐就是3+2=5（岁）。
设母亲的年龄为x岁，则父亲年龄为（x+3）岁。由题意得：
x+（x+3）+5+3=73
2x+11=73
2x=62
x=31
所以父亲今年年龄是31+3=34（岁）
答：父亲现在的年龄是34岁，母亲现在的年龄是31岁，姐姐现在的年龄是5岁，弟弟现在的年龄是3岁。
7．小玲12岁，妈妈48岁
【解析】根据题干分析可得，把小玲和妈妈的年龄之和平均分成5份，则小玲的年龄是其中的1份，则妈妈的年龄就是4份，由此求出1份是多少，即可得出小玲的年龄。
解：小玲的年龄是：60÷5=12（岁）
则妈妈的年龄是：60-12=48（岁）
答：小玲12岁，妈妈48岁。
8．88岁
【解析】根据题意，甲的年龄除以乙的年龄等于2，可得甲的年龄是乙的2倍；丙的年龄除以甲的年龄等于4，可得丙的年龄是甲的4倍，由此可得丙的年龄是乙的2×4=8倍；又丙比乙大56岁，根据差倍公式可以求出乙和丙的年龄，然后再进一步解答。
解：根据题意可得：
丙的年龄是乙的：2×4=8；
由差倍公式可得：
乙的年龄是：56÷（8-1）=8（岁）；
丙的年龄是：8×8=64（岁）；
甲的年龄是：8×2=16（岁）；
三人的年龄和是：16+8+64=88（岁）；
答：三人的年龄和为88岁。
9．10岁
【解析】解答年龄问题的关键是抓住：不管多少年后，他们的年龄差不变。
（18+2）÷2=10（岁），熊猫妈妈今年为10岁。
解：（18+2）÷2
=20÷2
=10（岁）
答熊猫妈妈今年是10岁。
考点：年龄问题。
10．12岁
【解析】根据"爸爸和妈妈两人的平均年龄是39岁"，知道爸爸和妈妈两人的年龄和是（39×2），再根据"王欢、爸爸、妈妈三人的平均年龄正好是30岁，"知道王欢、爸爸、妈妈三人的年龄和是（30×3），用三人年龄之和减去爸爸妈妈的年龄和即可求出王欢的年龄。
解：30×3－39×2
=90－78
=12（岁）
答：王欢今年12岁。
11．57岁
【解析】根据题意，个人的平均年龄是30岁，这四个人一共30×4=120（岁）；四个人中没有小于21岁的，也就是都大于或等于21岁；要使一个人的年龄最大，那么其他三个人的年龄应最小，是21岁。
解：根据题意可得：
四个人的年龄和是：30×4=120（岁）；
要使一个人的年龄最大，那么其他三个人的年龄应最小，是21岁，最小的三人的年龄和是：21×3=63（岁）；
最大的年龄是：120-63=57（岁）
答：年龄最大的这个是57岁。
12．27岁
【解析】假设年龄差为x，学生现在x+3，老师现在2x+3；根据"当你像我这么大时，我已经39岁"可列关系式：老师现在的年龄+年龄差=39；据此列方程解答求出年龄差，然后再求出老师现在的年龄。
解：设年龄差为x，学生现在x+3，老师现在2x+3。
2x+3+x=39
3x=36
x=12
老师现在：2x+3=2×12+3=27
答：这位老师27岁。
13．25岁
【解析】明明和强强的年龄差为12-7=5（岁），这是一个不变的量，当两人年龄和是45岁时，明明比强强还是大5岁，如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差5岁，得到的就是两个强强的年龄是45-5=40（岁），所以强强的年龄是40÷2=20（岁），明明的年龄就是45-20=25（岁）。
解：45-（12-7）=40（岁）
40÷2=20（岁）
45-20=25（岁）
答：明明是25岁。
14．12岁
【解析】根据题意，"小机灵"三年后年龄的2倍减去我三年前年龄的2倍的差是3×2+3×2=12岁，也就是现在的年龄，然后再进一步解答。
解：3×2+3×2
=6+6
=12（岁）．
答："小机灵"今年12岁了。
点评：关键是理解好三年后年龄的2倍与三年前年龄的2倍相差多少岁，也就是今年的岁数。
15．
【解析】根据"5年后小红比爷爷小50岁"知道今年爷爷比小红大50岁，由此根据和差公式即可求出今年小红和爷爷的年龄。
解：爷爷：（70+50）÷2
=120÷2
=60（岁）
小红：（70－50）÷2
=20÷2
=10（岁）
答：小红今年是10岁，爷爷今年是60岁。
点评：1、年龄差不会随时间的改变而变化；2、和差问题的公式：{（和＋差）÷2=大数，（和－差）÷2=小数}。
16．48米
【解析】由于圆圈是一个封闭图形，人数=间隔数；然后根据"圆圈的总长度=间隔数×间距"即可求出这个圆圈的周长，列式为2×24=48（米）。
解：2×24=48（米）
答：这个圆圈的周长是48米。
考点：植树问题。
点评：1、在封闭图形上的植树问题，知识点是：栽树的棵数=间隔数；
2、沿直线上栽：栽树的棵数=间隔数-1（两端都不栽），植树的棵数=间隔数+1（两端都栽），植树的棵数=间隔数（只栽一端）。
17．18盏
【解析】根据题意，全长240米除以间隔距离30米，求出间隔数，因为两端都安装，间隔数加上1，可以求出一边的，再乘上2即可。
解：（240÷30+1）×2
=（8+1）×2
=18（盏）
答：一共安装了18盏路灯。
18．20棵
【解析】每边都要种6棵树，那么6×4=24（棵），其中四个角的树重复加了一次，所以要减去，即可得出植树的总棵数。
解：6×4-4
=24-4
=20（棵）
答：这个操场的四周一共要种20棵树。
点评：植树问题中的方阵问题（四个角都有）：植树的棵数=边上的数量×边数-4。
19．70根
【解析】每个边上安装15根，一共是5个边，所以是15×5根，但是五个顶点的被计算了2次，所以再减去5就是一共要安装的根数。
解：15×5-5
=75-5
=70（根）
答：一共要安装70根。
20．11层
【解析】从生活实际来分析，小华跑到4层时，他实际跑的路程是3层的路程；而小红跑到3层时，她也只是跑了2层楼的路程。这样可以发现小华跑了3层楼的路程，小红只跑了2层楼的路程；小华跑到16层时，他跑了15层楼的路程。按照比例算出：小华跑了15层楼的路程时，小红跑的路程是2×（15÷3）=10（层）跑了10层楼的路程时，正好到了11层。
解：（3-1）×\[（16-1）÷（4-1）\]+1
=2×（15÷3）+1
=2×5+1
=10+1
=11（层）
答：小红跑到了11层。
考点：植树问题。
点评：知识点：楼梯间隔数=层数-1。
21．
【解析】由"从早晨6时发车到晚上5时"，知道一共是5+12-6=11小时，再把11小时化为分钟，用除法列式即可求出间隔时间内发车的辆数，再加上6时整时发的那两辆车就是一天共发车的辆数。
解：晚上5时用24时计时法是：12+5=17（时）
所以一天的发车时间总共是：17－6=11（小时）
151小时=660分钟
660÷20×2+2
=66+2
=68（辆）
答：这一天共发车68辆。
考点：植树问题。
22．11点
【解析】已知该摆钟7点整时敲7下花了12秒钟，实际是隔了7-1=6个间隔，那么每一个间隔用时为：12÷6=2秒，在一次报时间时，大摆钟一共花了20秒敲完，间隔数就是20÷2=10，由此即可求得打点的时间。
解：7-1=6
12÷6=2（秒）
20÷2+1=11（点）
答：在一次报时间时，大摆钟一共花了20秒敲完，这是11点。
点评：打点报时的间隔数=点数-1。
23．1600米
【解析】第一根电线杆到第11根电线杆，一共有10个间隔，用了25秒，由此求出每个间隔用的时间；由于总时间是80秒，用总时间除以每个间隔用的时间，就是全长一共有几个间隔，再乘上50米即可。
解：25÷（11－1）
=25÷10
=2.5（秒）
80÷2.5×50
=32×50
=1600（米）
答：大桥的长度是1600米。
24．147棵
【解析】先求出四周要植树多少棵，考虑最多情况：四个角都植树，那么植树的棵树=间隔数，使四周植树棵树最多为：（40+60）×2÷2=100（棵）。
再求出中间两条坝上植树的棵数：因为坝的两端处在四周的中点上，所以不再植树，那么植树的棵数=间隔数-1，由此可以求得植树：60÷2-1+40÷2-1=48（棵），中间1棵重复加了，所以两条坝上的植树棵数为：48-1=47（棵）。
解：四周植树棵树为：
（40+40）×2÷2
=100×2÷2
=100（棵）
两条坝上的植树棵树为：
60÷2－1+40÷2－1－1
=30－1+20－1－1
=47（棵）
100+47=147（棵）
答：最多可以种147棵树。
考点：植树问题。
25．96级
【解析】小华要到五楼去，共要走5-1=4层楼梯，求要走多少级楼梯。就是求4个24是多少。
解：24×（5-1）
=24×4
=96（级）
答：共要走96级楼梯。
26．88棵
【解析】共有间隔数为：45-1=44个，由于每两棵柳树之间栽2棵桃树，求栽了多少棵桃树，就相当于求44个2，用乘法计算，列式是：2×44=88（棵）。
解：2×（45-1）
=2×44
=88（棵）
答：栽了88棵桃树。
27．59株
【解析】先用总长度除以间距求出间隔数，由于两头不能种花，所以栽花的株数等于间隔数减1。
解：300÷5-1
=60-1
=59（株）
答：共能栽59株月季花。
28．老陈家：奇志7岁，小明4岁；老孙家：海涛8岁，小峰2岁。
【解析】根据题意，老陈和老孙两家都有两个小于9岁的男孩，也就是最大8岁，由（2）可得海涛8岁；根据5个条件可看出海涛和奇志分别是两家的哥哥，小明和小峰分别是两家的弟弟；然后再进一步推算即可。
解：小于9岁即最大8岁，且由5个条件可看出海涛和奇志分别是两家的哥哥，小明和小峰分别是两家的弟弟；由第2个条件可得海涛8岁；由第5个条件和原题中两家都有两个小于9岁的男孩，说明两家都各有一个小于4岁的男孩，也就是1\~3岁；
若刚出生的小孩算1岁的话，由第4个条件可知奇志年龄在6-8岁之间，老孙家有一个1-3岁的孩子。
由1、4条件，如果小明是老孙家的孩子，那他哥哥不会是奇志而是海涛，则小明5岁，那么与前述结论不符（没有1-4岁的），故小明一定是老陈家的孩子，而海涛不可能是他哥哥。所以奇志是老陈家的孩子，即小明的哥哥；从而可断定海涛和小峰是老孙家的孩子。
综上结论可知：
老陈家：奇志在6-7岁，小明在3-4岁；
老孙家：海涛8岁，小峰在1-2岁；
由条件3（注意其中"恰好"一词），如果小峰1岁，那么老陈家该有个2岁的孩子，而实际上没有，那么小峰定是2岁，那么老陈家只有小明在条件范围内，故小明4岁，继而推出奇志7岁。
最后结论：
老陈家：奇志7岁，小明4岁；
老孙家：海涛8岁，小峰2岁。
考点：年龄问题。
29．10年零3个月
【解析】由题意，父子年龄相差20岁零六个月，父亲的岁数又是儿子岁数的3倍，即相差的20岁零六个月是儿子岁数的（3－1）倍，由此可求得儿子的年龄；由于父子的年龄差不会随时间而改变，所以当父亲的岁数是儿子的2倍时，他们年龄相差1倍还是20岁零六个月，即当时儿子的年龄就是20岁零六个月，用儿子后来的年龄减去原来的年龄就是再过的年数。
解：儿子的年龄：20岁零六个月÷（3-1）=10岁零3个月，
后来儿子的年龄：20岁零六个月÷（2-1）=20岁零六个月，
20岁零六个月-10岁零3个月=10年零3个月，
答：再过10年零3个月，父亲的岁数是儿子的2倍．
30．6岁，9岁
【解析】根据题意，弟弟看来，过3年我和你一样大，哥哥保持不变，哥哥比弟弟大3岁；哥哥看来，再过3年，自己就比弟弟大3+3岁，而弟弟保持不变，由差倍公式可以求出弟弟的，然后再进一步解答即可．
解：弟弟：（3+3）÷（2-1）=6（岁）
哥哥：6+3=9（岁）
答：他们俩分别是6岁，9岁。
31．84岁
【解析】题意是：丢番图的一生，幼年占，青少年占，又过了才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父的，由次列方程：x+x+x+5+x+4＝x解答即可．
解：设丢番图在世的年龄为x岁．根据题意列方程：
x+x+x+5+x+4＝x
x+9=x
x=9
x=84
答：丢番图在世的年龄是84岁。
考点：年龄问题。
32．1984，62岁
【解析】1965÷31=63...12，所以在小于1965年的整数中，1953、1922、1891、...都是31的倍数。假如这位学者生于1953年，那么获得博士学位时才1965-1953=12（岁），这是不可能的。
又假如这位学者出生于1891年或更早些，那么他的年龄是1891÷31=61（岁），又假如这位学者出生于1891年或更早些，然后再讨论即可。
解：1965÷31=63......12，在小于31×63=1965年的整数中，1953、1922、1891...都是31的倍数。
假如这位学者生与1953年，那么获得博士学位时才1965－1953=12（岁），这是不可能的。
又假如这位学者出生于1891年或更早些，那么他的年龄是1891÷31=61（岁），
1891+61=1952年，
再看看他获得博士学位时的年龄是1965-1891=74（岁），这也是不可能的，因为到1965年时他早已去世了。
由此可推出他生于1922年，去世时是1922÷31=62（岁）。
他去世的年数是1922+62=1984年。
答：这位学者是1984年去世的，去世时是62岁。
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**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（5分）（x^2^+）^5^的展开式中x^4^的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[，3\] D．\[2，3\]
7．（5分）函数y=﹣x^4^+x^2^+2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
11．（5分）设F~1~，F~2~是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F~2~作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若\|PF~1~\|=\|OP\|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（5分）设a=log~0.2~0.3，b=log~2~0.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=[ ]{.underline}．
14．（5分）曲线y=（ax+1）e^x^在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=[ ]{.underline}．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在\[0，π\]的零点个数为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y^2^=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．若S~m~=63，求m．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K^2^=，
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：\|\|，\|\|，\|\|成等差数列，并求该数列的公差．
21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax^2^）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x\|x﹣1≥0}={x\|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x\|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】cos2α=1﹣2sin^2^α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin^2^α=1﹣2×=．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）（x^2^+）^5^的展开式中x^4^的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．
【分析】由二项式定理得（x^2^+）^5^的展开式的通项为：T~r+1~=（x^2^）^5﹣r^（）^r^=，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x^2^+）^5^的展开式中x^4^的系数．
【解答】解：由二项式定理得（x^2^+）^5^的展开式的通项为：
T~r+1~=（x^2^）^5﹣r^（）^r^=，
由10﹣3r=4，解得r=2，
∴（x^2^+）^5^的展开式中x^4^的系数为=40．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式中x^4^的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[，3\] D．\[2，3\]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=2，设P（2+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d==∈\[\]，由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|==2，
∵点P在圆（x﹣2）^2^+y^2^=2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d==，
∵sin（）∈\[﹣1，1\]，∴d=∈\[\]，
∴△ABP面积的取值范围是：
\[，\]=\[2，6\]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5分）函数y=﹣x^4^+x^2^+2的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x^3^+2x=﹣2x（2x^2^﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x^2^﹣1）＜0，
得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x^2^﹣1）＞0，
得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），
P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】推导出S~△ABC~==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为，
∴S~△ABC~==，
∴sinC==cosC，
∵0＜C＜π，∴C=．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C==，OO′==2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：=18．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5分）设F~1~，F~2~是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F~2~作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若\|PF~1~\|=\|OP\|，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据点到直线的距离求出\|PF~2~\|=b，再求出\|OP\|=a，在三角形F~1~PF~2~中，由余弦定理可得\|PF~1~\|^2^=\|PF~2~\|^2^+\|F~1~F~2~\|^2^﹣2\|PF~2~\|•\|F~1~F~2~\|cos∠PF~2~O，代值化简整理可得a=c，问题得以解决．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
∴点F~2~到渐近线的距离d==b，即\|PF~2~\|=b，
∴\|OP\|===a，cos∠PF~2~O=，
∵\|PF~1~\|=\|OP\|，
∴\|PF~1~\|=a，
在三角形F~1~PF~2~中，由余弦定理可得\|PF~1~\|^2^=\|PF~2~\|^2^+\|F~1~F~2~\|^2^﹣2\|PF~2~\|•\|F~1~F~2~\|COS∠PF~2~O，
∴6a^2^=b^2^+4c^2^﹣2×b×2c×=4c^2^﹣3b^2^=4c^2^﹣3（c^2^﹣a^2^），
即3a^2^=c^2^，
即a=c，
∴e==，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
12．（5分）设a=log~0.2~0.3，b=log~2~0.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：∵a=log~0.2~0.3=，b=log~2~0.3=，
∴=，
，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），
∴，
解得λ=．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）曲线y=（ax+1）e^x^在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=[ ﹣3 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．
【解答】解：曲线y=（ax+1）e^x^，可得y′=ae^x^+（ax+1）e^x^，
曲线y=（ax+1）e^x^在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，
可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5分）函数f（x）=cos（3x+）在\[0，π\]的零点个数为[ 3 ]{.underline}．
【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．
【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，
∴3x+=+kπ，k∈Z，
∴x=+kπ，k∈Z，
当k=0时，x=，
当k=1时，x=π，
当k=2时，x=π，
当k=3时，x=π，
∵x∈\[0，π\]，
∴x=，或x=π，或x=π，
故零点的个数为3，
故答案为：3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．
16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y^2^=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
[ 2 ]{.underline}．
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k^2^x^2^﹣2（2+k^2^）x+k^2^=0，可表示x~1~+x~2~，x~1~x~2~，y~1~+y~2~，y~1~y~2~，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．
【解答】解：∵抛物线C：y^2^=4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），
联立可得，k^2^x^2^﹣2（2+k^2^）x+k^2^=0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则 x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=1，
∴y~1~+y~2~=k（x~1~+x~2~﹣2）=，y~1~y~2~=k^2^（x~1~﹣1）（x~2~﹣1）=k^2^\[x~1~x~2~﹣（x~1~+x~2~）+1\]=﹣4，
∵M（﹣1，1），
∴=（x~1~+1，y~1~﹣1），=（x~2~+1，y~2~﹣1），
∵∠AMB=90°，∴•=0
∴（x~1~+1）（x~2~+1）+（y~1~﹣1）（y~2~﹣1）=0，
整理可得，x~1~x~2~+（x~1~+x~2~）+y~1~y~2~﹣（y~1~+y~2~）+2=0，
∴1+2+﹣4﹣+2=0，
即k^2^﹣4k+4=0，
∴k=2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．若S~m~=63，求m．
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a~n~}的通项公式．
（2）当a~1~=1，q=﹣2时，S~n~=，由S~m~=63，得S~m~==63，m∈N，无解；当a~1~=1，q=2时，S~n~=2^n^﹣1，由此能求出m．
【解答】解：（1）∵等比数列{a~n~}中，a~1~=1，a~5~=4a~3~．
∴1×q^4^=4×（1×q^2^），
解得q=±2，
当q=2时，a~n~=2^n﹣1^，
当q=﹣2时，a~n~=（﹣2）^n﹣1^，
∴{a~n~}的通项公式为，a~n~=2^n﹣1^，或a~n~=（﹣2）^n﹣1^．
（2）记S~n~为{a~n~}的前n项和．
当a~1~=1，q=﹣2时，S~n~===，
由S~m~=63，得S~m~==63，m∈N，无解；
当a~1~=1，q=2时，S~n~===2^n^﹣1，
由S~m~=63，得S~m~=2^m^﹣1=63，m∈N，
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
---------------- ------- ---------
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
---------------- ------- ---------
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K^2^=，
------------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
------------- ------- ------- --------
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；
由此填写列联表如下；
---------------- ------- --------- ------
超过m 不超过m 总计
第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
---------------- ------- --------- ------
（3）根据（2）中的列联表，计算
K^2^===10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，
∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，
∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，
∵AD∩DM=D，
∴MC⊥平面ADM，
∵MC⊂平面MBC，
∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）∵△ABC的面积为定值，
∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M为圆弧的中点，
建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），
则平面MCD的法向量=（1，0，0），
设平面MAB的法向量为=（x，y，z）
则=（0，2，0），=（﹣2，1，1），
由•=2y=0，•=﹣2x+y+z=0，
令x=1，
则y=0，z=2，即=（1，0，2），
则cos＜，＞===，
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．
【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：\|\|，\|\|，\|\|成等差数列，并求该数列的公差．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），利用点差法得6（x~1~﹣x~2~）+8m（y~1~﹣y~2~）=0，k==﹣=﹣
又点M（1，m）在椭圆内，即，解得m的取值范围，即可得k＜﹣，
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），可得x~1~+x~2~=2
由++=，可得x~3~﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex~1~=2﹣x~1~，\|FB\|=2﹣x~2~，\|FP\|=2﹣x~3~=．即可证明\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|，求得A，B坐标再求公差．
【解答】解：（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x~1~+x~2~=2，y~1~+y~2~=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x~1~+x~2~）（x~1~﹣x~2~）+4（y~1~+y~2~）（y~1~﹣y~2~）=0，
即6（x~1~﹣x~2~）+8m（y~1~﹣y~2~）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．
（2）证明：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），
可得x~1~+x~2~=2，
∵++=，F（1，0），∴x~1~﹣1+x~2~﹣1+x~3~﹣1=0，y~1~+y~2~+y~3~=0，
∴x~3~=1，y~3~=﹣（y~1~+y~2~）=﹣2m
∵m＞0，可得P在第四象限，故y~3~=﹣，m=，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex~1~=2﹣x~1~，\|FB\|=2﹣x~2~，\|FP\|=2﹣x~3~=．
则\|FA\|+\|FB\|=4﹣，∴\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|，
联立，可得\|x~1~﹣x~2~\|=
所以该数列的公差d满足2d=\|x~1~﹣x~2~\|=，
∴该数列的公差为±．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax^2^）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；
（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值．
【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．
，，
可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0
∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．
∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．
（2）解：由f（x）=（2+x+ax^2^）ln（1+x）﹣2x，得
f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，
令h（x）=ax^2^﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），
h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．
当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，
显然h″（x）单调递减，
①令h″（0）=0，解得a=﹣．
∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，
∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴h′（x）≤h′（0）=0，
∴h（x）单调递减，又h（0）=0，
∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；
②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，
∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x~0~，
∴当0＜x＜x~0~时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x~0~）上单调递增，不符合题意；
③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e^2^＞0，
∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x~1~，
∴当x~1~＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，
∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（x~1~，0）上单调递减，不符合题意．
综上，a=﹣．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）⊙O的普通方程为x^2^+y^2^=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．
（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m^2^+1）y^2^+2+2m^2^﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x^2^+y^2^=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，
∴tan^2^α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴或，
综上α的取值范围是（，）．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），
设A（x~1~，y~1~），（B（x~2~，y~2~），P（x~3~，y~3~），
联立，得（m^2^+1）y^2^+2+2m^2^﹣1=0，
，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在\[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．
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**2015年小学奥数应用题专题------工程问题**
1．一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？
2．有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？
3．一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？
4．某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？
5．马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？
6．有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成。一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成。如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？
7．一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？
8．A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E两人一起干，需要12天完 工。那么，若E一人单独干需要几天完工？
9．某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？
10．一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？
来源：人大附测试题
11．有甲乙两个工程，现分别由A、B两个施工队完成。在晴天A队完成工程需要8天，B队完成工程需要12天，在雨天，A施工队的工作效率下降60﹪，B施工队的工作效率下降20﹪。最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？
12．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。如果把8根进水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光。问要想在4.5小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？
13．某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？
14．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升。现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水？
15．张师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45％时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？
16．甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？
17．李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％。这批零件共有多少个？
18． 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？
19．某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50％，因此比计划提前1天完工。如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？
**参考答案**
1．1.5
【解析】方法一：4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。
方法二：假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成4.5×（）=，而总工作量只有1，所以多出来的就是乙休息时间里做的，所以乙休息了÷=1.5天。
乙休息了1.5天。
2．24
【解析】40分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了小时，时间乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－＝3小时，但都完成了120个零件。如果乙和甲的是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。
甲每小时能加工24个零件。
3．15
【解析】方法一：设工作总量为\[24，30\]＝120单位，则甲队每天完成240÷24=5单位，乙队每天完成240÷30=4单位。前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。
方法二：甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15，所以丙要做15天。
如果从开始让丙队独做，需要15天。
4．6
【解析】可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的。可以算出丙队3天完成的工作量是。则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。
还需要6天。
5．28
【解析】由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。设工作总量为\[12，15\]＝60份，这样原来张、马二人的工效之和为60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。
原来两位师傅每天一共加工零件12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷2＝28个。
马师傅每天加工28个零件。
6．25
【解析】设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为，丙组每人每天的工作量为：×=3/10。
这项工作的总工作量为：（1×13+×15）×3=75
丙组10人需要干：75÷÷10=25（天）。
7．20
【解析】前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为36×4÷9＝16天。原计划用16＋4＝20天。
原计划用20天完成。
8．48
【解析】可设工作总量为\[6，8，12\]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5单位。那么，如果由E一人单独做需要24÷0.5＝48天。
如果由E一人单独做需要48天。
9．
【解析】我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍．
通过条件，我们有以下公式：
（一＋二＋三＋四＋五）×3=(一＋二＋三)+(一＋三＋五)+(二＋四＋五)×2+(一＋三＋四)．
所以，5支小队效率和为：
10．8.5
【解析】如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。
11．10天
【解析】
晴天时，A施工队比B的工作效率高：－=
雨天时，B施工队比A的工作效率高：
（1－20﹪）－（1－60﹪）=
要想两队同时完成，则由：=可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：×2+×0.4×5=，故整个工程共有4个晴天，10个雨天。
12．6
【解析】这道题是"牛吃草"问题与工程问题的综合。
设每根出水管1小时的排水量为单位"1"。8根出水管3小时共排水24单位，5根出水管6小时共排除水30小时，表明进水管6－3＝3小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每小时2单位，池中原有水24－2×3＝18或30－2×6＝18单位。如果要在4.5小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18＋2×4.5＝27单位，每小时排水27÷4.5＝6单位，则需要同时打开6根出水管。
13．6天
【解析】由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天。
**14．3000**
**【解析】**甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升。因此池中原有水3000升。
15．8时30分45秒
【解析】平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分。由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=（分）。到9点时加工所用的时间为27+=（分）=29分15秒。所以开始时是8时30分45秒。
16．360个
【解析】甲完成时乙完成了一半，效率比为6：5。所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个。占。所以甲的总任务180个。这批零件为360个。
17．180
【解析】48×\[1＋125％×（1＋105％）\]÷95％＝180（个）。
18．18
【解析】如果26天都由乙来做，他能完成的工作量为
可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作
甲做一天比乙做一天多做
所以甲做的天数为天。
19．7
【解析】新、旧施工方法的效率之比为150∶100，用旧施工方法干3天等于用新施工方法干2天。又由于用旧施工方法干4天后改用新施工方法可提前1天，所以用旧施工方法干1天后改用新施工方法可提前2天。再由题设条件知，用旧施工方法1天筑路200米，需7天完成。
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**2017年河南省普通高中招生考试试卷**
**数学**
**一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.**
1.下列各数中比1大的数是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．-3
2.2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元.数据"74.4万亿"用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.某几何体的左视图如下图所示，则该几何体不可能是（ ）
   
A． B． C． D．
4.解分式方程，去分母得（ ）
A． B． C. D．
5.八年级某同学6此数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．95分，95分 B．95分，90分 C. 90分，95分 D．95分，85分
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D．没有实数根
7.如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（ ）
A． B． C. D．
8.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A． B． C. D．
9.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C. D．
10.如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C. D．
11\.
**二、填空题（每小题3分，共15分）**
11.计算： [ ]{.underline} ．
12.不等式组的解集是 [ ]{.underline} ．
13.已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为 [ ]{.underline} ．
14.如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点.图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 [ ]{.underline} ．
15.如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共8个小题，满分75分）**
16.先化简，再求值：
，其中，.
17.为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表.
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 [ ]{.underline} 人， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）求扇形统计图中扇形的圆心角度数；
（3）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数.
18.如图，在中， ，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
19.如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，）
20\. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和.
（1）填空：一次函数的解析式为 [ ]{.underline} ，反比例函数的解析式为 [ ]{.underline} ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围.
21.学校"百变魔方"社团准备购买，两种魔方.已知购买2个 种魔方和6个种魔方共需130元，购买3个种魔方和4个种魔方所需款数相同.
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）.某商店有两种优惠活动，如图所示.
请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.
22.如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 [ ]{.underline} ，位置关系是 [ ]{.underline} ；
（2）探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.
23.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为"共谐点".请直接写出使得，，三点成为"共谐点"的的值.
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**初中考高中理科实验班专用实战训练题（二）**
一、选择题（每题5分，共25分）
1、已知三个关于x的一元二次方程ax^2^+bx+c=0,bx^2^+cx+a=0,cx^2^+ax+b=0恰有一个公共根，则的值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2、设a、b是整数，方程x^2^+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A、2 B、0 C、-2 D、-1
3、正实数a~1~,a~2~,....，a~2011~满足a~1~+a~2~+.....+a~2011~=1,设P=，则（ ）
A、p\>2012 B、p=2012
C、p\<2012 D、p与2012的大小关系不确定
4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
5、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题（每题5分，共25分）
6、已知实数x，y满足，则3x^2^-2y^2^+3x-3y-2012=
[ ]{.underline}
7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且,则的值是 [ ]{.underline}
8、 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L
的函数表达式是 [ ]{.underline}
9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在
BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交
AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN
的长为 [ ]{.underline}
10、的最小值为 [ ]{.underline}
三、解答题
11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x^2^-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分）
12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF\>BC，取线段AE的中点M 。
（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)
（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）
13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=(1≤x≤16且x为整数)
（1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）
（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）
（3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）
14、如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=﹣3于点N。
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；（4分）
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（6分）
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。（4分）
**初中考高中理科实验班专用实战训练题（二）参考答案**
1、D 2、C 3、A 4、C 5、A
6）-1 7） 8） 9） 10）
11、设直角边为a，b（a\<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）^2^-16k为完全平方数。
设(k+2)^2^-16k=n^2^ ∴k^2^-12k+4=n^2^ ∴(k-6)^2^-n^2^=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6\>k-n-6 ∴
解得，k~2~=15,k~3~=12
当k~2~=15时，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；当k=12时，a+b=14,ab=48
∴a=6 ， b=8 ，c=10
12、略
13、（1）
（2）
（3）由（2）化简得
①当时 ∵1≤x≤6 ∴当x=6时，w有最大值，最大值为18.5
②当
∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为
③当
∵12≤x≤16 ∴当x=12时，w有最大值为18
综上所述，当x=11时，w有最大值为
答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为
14、（1）略
\(2\)
（3）P~1~（0，3） P~2~
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**小升初知识点复习专项练习-数的运算05整数的乘法及应用**
**一．选择题（共10小题）**
1．（•萝岗区）125×80的积的末尾有（ ）个0．
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ---
2．（•萝岗区）欧尚超市卖出5箱色拉油，每箱6瓶，每瓶色拉油的单价是45元，表示每箱可卖多少元的算式是（ ）
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A． 45×6×5 B． 45×6 C． 45×5 D． 5×6
---- ----- -------- ----- ------ ----- ------ ----- -----
3．如果a×b=0，那么（ ）
---- ----- --------------------- ----- ------------
A． a一定等于0 B． b一定等于0
C． a和b中至少有一个是0
---- ----- --------------------- ----- ------------
4．×3和3×两个算式比较（ ）
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
A． 结果相同，意义不同 B． 结果相同，意义也相同
C． 结果和意义都不同
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
5．两个三位数的乘积一定是（ ）
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A． 四位数 B． 五位数 C． 六位数 D． 五位数或六位数
---- ----- -------- ----- -------- ----- -------- ----- ----------------
6．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是（ ）
---- ----- --------- ----- --------- ----- --------- ----- ---------
A． 5096303 B． 5096304 C． 5096305 D． 5096306
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7．250×8的积的末尾有（ ）个0．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 1 B． 2 C． 3
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8．△代表一个不为0的自然数．那么，得数最大的是（ ）
---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
A． △× B． △÷ C． ÷△
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9．三位数乘两位数，积最少是（ ）位数．
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A． 三 B． 四 C． 五
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10．×3和3×两个算式比较（ ）
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
A． 结果相同，意义不同 B． 结果相同，意义也相同
C． 结果和意义都不同
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**二．填空题（共10小题）**
11．（•萝岗区）12×500，积的末尾有两个0．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}． （判断对错）
12．（•肃州区模拟）小丽唱一首歌用时3分钟，照这样的速度三个人一起唱，要用[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}分．
13．5×5×5×5=[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
14．最大的两位数与最小的三位数的积是10000．[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．（判断对错）
15．一辆车一次可以运200千克货物，两辆车4次可以运[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}千克货物．
16．一个三位数，个位与百位上的数字的和与积都是4，三个数字相乘的积还是4，这个三位数是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
17．已知a和b都是非0自然数，并且a+b=100．a和b相乘，积最大是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，积最小是[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
18．7×表示[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}，×7表示[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
19．两根电线，第一根长5米，第二根长25米，第一根的长度是第二根的[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}．
20．小明、小英、小兰、小强四位同学都有一些课外书，小明的书本数是小英的6倍，小英的书本数是小兰的3倍，小强的书本数是小兰的9倍．小明的书本数是小强的[ \_\_\_\_\_\_\_\_\_ ]{.underline}倍．
**三．解答题（共10小题）**
21．（•萝岗区）
+----------------+----------+---------+---------+
| 直接写出得数． | 5﹣2.1= | 70×70= | 0÷45.2= |
| | | | |
| 20×50= | | | |
+----------------+----------+---------+---------+
| 3500÷7= | 9.7+3.3= | 35.4+0= | 76.8×0= |
+----------------+----------+---------+---------+
22．（•萝岗区）
+----------------+---------+---------+------------+
| 直接写出得数． | 200×42= | 60×110= | 100×0.324= |
| | | | |
| 23×300= | | | |
+----------------+---------+---------+------------+
| 400×50= | 400÷50= | 213×30= | 4.07÷100= |
+----------------+---------+---------+------------+
23．（•萝岗区）用竖式计算．
34×206=
70﹣45.56=
420÷30=
**小升初知识点复习专项练习-数的运算05整数的乘法及应用**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．（•萝岗区）125×80的积的末尾有（ ）个0．
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
---- ----- --- ----- --- ----- --- ----- ---
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据末尾有0的整数乘法的运算法则可知，在计算125×80时，可先计算125×8，125×8的结果是1000，然后再在1000后边加上原来80后边的0，即为10000，即125×80的积的末尾有4个零． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：在计算125×80时，可先计算125×8，125×8的结果是1000， |
| | |
| | 然后再在1000后边加上原来80后边的0，即为10000， |
| | |
| | 即125×80的积的末尾有4个零． |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
2．（•萝岗区）欧尚超市卖出5箱色拉油，每箱6瓶，每瓶色拉油的单价是45元，表示每箱可卖多少元的算式是（ ）
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A． 45×6×5 B． 45×6 C． 45×5 D． 5×6
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+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 简单应用题和一般复合应用题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 每箱6瓶，每瓶色拉油的单价是45元，根据乘法的意义，用每箱的瓶数乘以每瓶的单价即得每箱可卖多少元：45×6． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：表示每箱可卖多少元的算式是：45×6． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题体现的价格问题的基本关系式：单价×数量=总价． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------+
3．如果a×b=0，那么（ ）
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A． a一定等于0 B． b一定等于0
C． a和b中至少有一个是0
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+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；用字母表示数． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 因数是0乘法运算：任何数乘0都得0，两个因数中有一个是0，还可以都是0，那么就是说a和b至少有一个为0，或者都为0． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：如果a×b=0， |
| | |
| | 那么ab中至少有一个是0． |
| | |
| | 故应选：C． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 有关0的计算情况要会：一个数加上0，或减去0都得它本身；任何数乘0都得0，0除以任何数都得0，0不能做除数． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
4．×3和3×两个算式比较（ ）
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
A． 结果相同，意义不同 B． 结果相同，意义也相同
C． 结果和意义都不同
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由乘法交换律可知：×3=3×；×3表示3个的和是多少；3×表示3的是多少；由此求解． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：：×3=3×；它们的运算结果相同； |
| | |
| | ×3表示3个的和是多少；3×表示3的是多少；它们的意义不相同． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 1，分数乘以整数：和整数乘法意义相同，就是求几个相同加数的运算； |
| | |
| | 2，一个数乘以分数：是求一个数的几分之几是多少． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------+
5．两个三位数的乘积一定是（ ）
---- ----- -------- ----- -------- ----- -------- ----- ----------------
A． 四位数 B． 五位数 C． 六位数 D． 五位数或六位数
---- ----- -------- ----- -------- ----- -------- ----- ----------------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据题意，假设这两个三位数分别是100、200或者是900，800；然后再进一步解答即可． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：根据题意，假设这两个三位数分别是100、200或者是900，800； |
| | |
| | 100×200=20000；20000是五位数； |
| | |
| | 900×800=720000；720000是六位数； |
| | |
| | 所以，两个三位数的乘积一定是五位数或六位数． |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 根据题意，用赋值法能快速解决此类问题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
6．下面4个数中，恰有一个数是两个相邻整数的乘积，这个数是（ ）
---- ----- --------- ----- --------- ----- --------- ----- ---------
A． 5096303 B． 5096304 C． 5096305 D． 5096306
---- ----- --------- ----- --------- ----- --------- ----- ---------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由题意知，将5096303、5096304、5096305、5096306分解质因数即可判断． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：5096303=1×5096303， |
| | |
| | 5096304=2×2×2×2×3×3×3×11797， |
| | |
| | 5096305=5×1019261， |
| | |
| | 5096306=2257×2258， |
| | |
| | 故选：D． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题主要考查了学生对知识的综合运用能力，此题主要运用分解质因数的方法解决问题． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------+
7．250×8的积的末尾有（ ）个0．
---- ----- --- ----- --- ----- ---
A． 1 B． 2 C． 3
---- ----- --- ----- --- ----- ---
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 要求250×8的积的末尾有几个0，可以先计算出得数，进而确定积末尾的0的个数． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为250×8=2000； |
| | |
| | 所以250×8，积的末尾有3个0． |
| | |
| | 故选：C． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查积末尾有0的乘法，看积的末尾有几个0，一定要先计算再确定，不能只看两个因数的末尾的0的个数，就加以判断． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
8．△代表一个不为0的自然数．那么，得数最大的是（ ）
---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
A． △× B． △÷ C． ÷△
---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；整数的除法及应用． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据一个数（不为0）乘大于1的数，积就大于这个数；一个数（不为0）乘小于1的数，积小于这个数； |
| | |
| | 一个数（不为0）除以大于1的数商就小于这个数；一个数（不为0）除以小于1的数，商大于这个数； |
| | |
| | 因为△代表一个不为0的自然数，所以△×的积一定小于△，△÷的商一定小于△，可以通过举例证明．由此解答． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：因为△代表一个不为0的自然数，假设△表示的数是1， |
| | |
| | A．△× =1×； |
| | |
| | B．△÷； |
| | |
| | C.÷△=； |
| | |
| | 所以得数最大的是△÷． |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要利用整数乘、除法中积与商同算式中的因数、被除数之间的关系解决问题． |
+--------+------------------------------------------------------------------------------------------------+
9．三位数乘两位数，积最少是（ ）位数．
---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
A． 三 B． 四 C． 五
---- ----- ---- ----- ---- ----- ----
+--------+-------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+-------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 用最小的三位数100乘最小的两位数10得到的积是几位数，据此判断即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：100×10=1000， |
| | |
| | 所以三位数乘两位数最少是4位数； |
| | |
| | 故选：B． |
+--------+-------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题我们采取极值法进行解答判断． |
+--------+-------------------------------------------------------------------+
10．×3和3×两个算式比较（ ）
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
A． 结果相同，意义不同 B． 结果相同，意义也相同
C． 结果和意义都不同
---- ----- -------------------- ----- ----------------------
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算；一个数乘分数的意义，表示求这个数的几分之几是多少；由此解答． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：3表示3个的和是多少，3×表示求3的是多少；它们的结果相同，意义不同． |
| | |
| | 故选：A． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题主要考查分数乘整数、整数乘分数的意义，以及它们的计算方法． |
+--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**二．填空题（共10小题）**
11．（•萝岗区）12×500，积的末尾有两个0．[ × ]{.underline}． （判断对错）
+--------+---------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+---------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据整数乘法的计算方法，求出12×500的积，然后再进一步解答． |
+--------+---------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：12×500=6000； |
| | |
| | 6000的末尾有3个0； |
| | |
| | 所以，12×500的积的末尾有3个0． |
| | |
| | 故答案为：×． |
+--------+---------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 求两个数的积的末尾0的个数，可以先求出它们的乘积，然后再进一步解答． |
+--------+---------------------------------------------------------------------+
12．（•肃州区模拟）小丽唱一首歌用时3分钟，照这样的速度三个人一起唱，要用[ 3 ]{.underline}分．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 因每个人唱一首歌用的时间相同，他们照这样的速度三个人一起唱，则用的时间也一样，与几个人一起唱没关系． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：由于每个人唱一首歌用的时间相同，三个人一起唱，用的时间也一样是3分钟． |
| | |
| | 答：照这样的速度三个人一起唱，要用3分． |
| | |
| | 故答案为：3． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 完成本题要排除惯性思维的干扰，不要将问题复杂化，此题主要考查唱一首歌的时间相同，与几个人一起唱没关系，则所用时间必定相同． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
13．5×5×5×5=[ 625 ]{.underline}．
+--------+------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+------------------------------------------------+
| 分析： | 5×5×5×5，按照从左向右的顺序进行计算． |
+--------+------------------------------------------------+
| 解答： | 解：5×5×5×5 |
| | |
| | =25×5×5 |
| | |
| | =125×5 |
| | |
| | =625． |
| | |
| | 故答案为：625． |
+--------+------------------------------------------------+
| 点评： | 只含有乘法的计算，按照从左向右的顺序进行计算． |
+--------+------------------------------------------------+
14．最大的两位数与最小的三位数的积是10000．[ × ]{.underline}．（判断对错）
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 最大的两位数是99，最小的三位数是100，求出这两个数的积与10000进行比较即可． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：99×1000=99000， |
| | |
| | 答：最大的两位数与最小的三位数的积是99000． |
| | |
| | 故答案为：×． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题考查的目的是理解掌握整数乘法的意义及应用，关键是明确：最大的两位数是99，最小的三位数是100． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------+
15．一辆车一次可以运200千克货物，两辆车4次可以运[ 1600 ]{.underline}千克货物．
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 运算顺序及法则． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据题意，先求出两辆车一次可以运多少千克货物，再求两辆车4次次可以运多少千克货物，用乘法计算即可． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：200×2×4 |
| | |
| | =400×4 |
| | |
| | =1600（千克）； |
| | |
| | 答：两辆车4次可以运1600千克货物． |
| | |
| | 故答案为：1600． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题也可以先求出一辆车4次可以运千克货物，再求两辆车4次次可以运多少千克货物，列式200×4×2． |
+--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
16．一个三位数，个位与百位上的数字的和与积都是4，三个数字相乘的积还是4，这个三位数是[ 212 ]{.underline}．
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；整数的认识；整数的加法和减法． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据各个数位上的关系确定出数即可． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：和与积都是4的两个数只有2和2，所以个位与百位上的数字都是2； |
| | |
| | 只有1与4相乘还得4，所以十位一定是1；该数应为212． |
| | |
| | 故答案为：212． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 该题考查了学生对整数乘法、加减法和数位的综合应用． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
17．已知a和b都是非0自然数，并且a+b=100．a和b相乘，积最大是[ 2500 ]{.underline}，积最小是[ 99 ]{.underline}．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | （1）要使积最大，两个因数ab越接近乘积越大，那么当两个因数相等时积最大； |
| | |
| | （2）当其中一个因数最小时，积最小，那么其中的一个因数为1时积最小． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：（1）当两个因数都是50时积最大； |
| | |
| | 50×50=2500； |
| | |
| | （2）当一个因数是1时积最小； |
| | |
| | 100﹣1=99； |
| | |
| | 99×1=99； |
| | |
| | 故答案为：2500，99． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 如果两个数的和一定，当这两个数相等时积最大；积最小就要考虑到其中一个因数是1的情况． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------+
18．7×表示[ 几个7的和是多少 ]{.underline}，×7表示[ 7个相同加数的和是多少 ]{.underline}．
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据乘法的意义求解． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：7乘一个数表示：几个7的和是多少； |
| | |
| | 一个数乘7表示：7个相同加数的和是多少． |
| | |
| | 故答案为：几个7的和是多少；7个相同加数的和是多少． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 本题考查了乘法的意义：求几个相同加数和简便运算，一般把加数的个数放在第二个因数的位置． |
+--------+----------------------------------------------------------------------------------------+
19．两根电线，第一根长5米，第二根长25米，第一根的长度是第二根的[ ]{.underline}．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 已知两根电线，第一根长5米，第二根长25米，求第一根的长度是第二根的几分之几，根据求一个数是另一个数的几分之几，直接用除法解答． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：5÷25=； |
| | |
| | 答：第一根的长度是第二根的； |
| | |
| | 故答案为：． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题属于求一个数是另一个数的几分之几，是"谁"的几分之几，就把"谁"看作单位"1"作除数，用除法解答；注意能约分的要约分． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
20．小明、小英、小兰、小强四位同学都有一些课外书，小明的书本数是小英的6倍，小英的书本数是小兰的3倍，小强的书本数是小兰的9倍．小明的书本数是小强的[ 2 ]{.underline}倍．
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 由"小明的书本数是小英的6倍，小英的书本数是小兰的3倍"可知，小明的本书应是小兰的（6×3）倍；又因"小强的书本数是小兰的9倍"，则小明的本书是小强的（6×3÷9）倍，从而问题得解． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：6×3÷9=2； |
| | |
| | 答：小明的书本数是小强的2倍． |
| | |
| | 故答案为：2． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 此题的关键是搞清：求一个数是另一个数的几倍用除法，求一个数的几倍用乘法计算，直接列算式解决问题． |
+--------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
**三．解答题（共10小题）**
21．（•萝岗区）
+----------------+----------+---------+---------+
| 直接写出得数． | 5﹣2.1= | 70×70= | 0÷45.2= |
| | | | |
| 20×50= | | | |
+----------------+----------+---------+---------+
| 3500÷7= | 9.7+3.3= | 35.4+0= | 76.8×0= |
+----------------+----------+---------+---------+
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；整数的除法及应用；小数的加法和减法；小数除法． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据整数和小数加减乘除法的计算方法进行计算． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| | ------------ ------------ ------------- ---------- |
| | 20×50=1000 5﹣2.1=2.9 70×70=4900 0÷45.2=0 |
| | 3500÷7=500 9.7+3.3=13 35.4+0=35.4 76.8×0=0 |
| | ------------ ------------ ------------- ---------- |
+--------+------------------------------------------------------------------+
| 点评： | 口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算． |
+--------+------------------------------------------------------------------+
22．（•萝岗区）
+----------------+---------+---------+------------+
| 直接写出得数． | 200×42= | 60×110= | 100×0.324= |
| | | | |
| 23×300= | | | |
+----------------+---------+---------+------------+
| 400×50= | 400÷50= | 213×30= | 4.07÷100= |
+----------------+---------+---------+------------+
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；整数的除法及应用；小数除法． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据整数和小数乘除法的计算方法进行计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解： |
| | |
| | -------------- ------------- ------------- ----------------- |
| | 23×300=6900 200×42=8400 60×110=6600 100×0.324=32.4 |
| | 400×50=20000 400÷50=8 213×30=6390 4.07÷100=0.0407 |
| | -------------- ------------- ------------- ----------------- |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
23．（•萝岗区）用竖式计算．
34×206=
70﹣45.56=
420÷30=
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 考点： | 整数的乘法及应用；整数的加法和减法；整数的除法及应用． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 专题： | 计算题． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 分析： | 根据整数乘除法和小数减法的计算方法进行计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 解答： | 解：34×206=7004 |
| | |
| |  |
| | |
| | 70﹣45.56=24.44 |
| | |
| |  |
| | |
| | 420÷30=14 |
| | |
| |  |
+--------+----------------------------------------------------------------+
| 点评： | 考查了整数乘除法和小数减法的笔算，根据各自的计算方法进行计算． |
+--------+----------------------------------------------------------------+
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Subsets and Splits