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|---|---|---|
**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------正比例》同步检测2（附答案）**
一、填空我能行。
1．成正比例的量的特征是：一个量随( )的变化而变化，在变化过程中这两个量的( ) 相同。
2．如果用t表示时间，s表示路程，那么速度v=( )。
3．长方形的宽一定，面积和长成( )比例。
二、小猫钓鱼。(把能组成比例的两个比连起来)
:2 :4
3.2:0.8 4.5:3.5
: 0.25:3
0.3:6 1.5:
三、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)
1．下面不能组成比例的一组是( )。
A．20:3和1:4
B．5:8和10:16
C．3.5:7和2:4
2．圆的半径和周长成( )。
A．正比例 B．不成比例 C．不能确定
3．速度、路程和时间这三种量，当速度一定时，路程与时间( )。
A．不成比例 B．成正比例 C．无法确定
四、大法官，巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．表示两个比的式子叫比例。( )
2．两个比可以组成比例。( )
3．含有未知数的比例也是方程。( )
4．6:10和3:5可以组成比例。( )
五、下面哪四个数可以组成比例？若能组成，把组成的比例写出来。
1．8、6、12和16
2．3、4、5和6
3．1.5、4.5、1.8和5.4
4．、、1和
六、有问题，我来答。
2010年4月青海玉树发生7．1级地震。给灾区人民搭建的一种帐篷长是6米，宽是3米，在一张图纸上用3厘米长的线段表示帐篷的长，用1.5厘米表示帐篷的宽。算一算，帐篷的长和宽与图纸上的长与宽能成比例吗？写出比例。
七、找平衡。(在天平的另外一个盘子里填上一个数字，使天平两边的数字组成比例)
**参考答案**
一、1．另一个量 比值 2． 3．正
二、 · ·
· ·
· ·
· ·
三、1.A 2.A 3.B
四、1．× 2．× 3．√ 4．√
五、1．能 6:8=12:16 3．能 1.5:4.5=1.8:5.4
4．能 :1=:
六、能成比例 6:3=3:1.5
七、6:8=9:12
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北师大上学期[二]{.underline}年级期末考试试卷
------------ --
**座次号**
------------ --
科目：数学
总分100分
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
1. **我会填。**（每空1分，共28分）
（1）、看一看，铅笔长（ ）厘米。
> 
（2）、49里面有（ ）个7，6的8倍是（ ）。
（3）、2个6相加，写成加法算式是（ ），写成乘法算式是（ ）。（4）
横着看，每行（ ）个，共有（ ）行，一共有（ ）个  竖着看，每列（ ）个，共有（ ）列，一共有（ ）个 
（5）、笑笑1分钟做8道口算题，照这样的速度，她4分钟可以做（ ）道口算题，算式是（ ），如果她要做56道口算题，需要（ ）分钟，算式是（ ）。
（6）、7元5角=（ ）角 24角=（ ）元（ ）角
（7）、在括号里填上合适的长度单位。
一张桌子高80（ ）、 一棵大树高6（ ） 。
粉笔盒长约8（ ） 、一支铅笔长大约15（ ）。
（8）、1张 可以换（ ）张或者（ ）张。
（9）、 找规律填空： 12、16、20、（ ）、（ ）。
75、65、55、（ ）、（ ）。
**二、我是小小裁判员。**（对的打"√ "，错的打"**×"。**每题1分，共5分。**）**
1、兰兰有54颗星星，每盒装6个，可以装7盒。 （ ）
2、在计算2×9＝18都和18÷9＝2时都用口诀二九十八。 （ ）
3、两个乘数都是5，积是10。 （ ）
4、1张5元可以换成5张1元。 （ ）
5、把18本书分成3份，每份一定是6本。 （ ）
**三、我会选，把正确答案的代号填在括号里。**（每小题2分，共8分）
（1）、7个5相加的和是多少？，正确的列式是（ ）。
A、 7×5 B、7×7 C、7+5
（2）36÷4=9 中，9叫做（ ）
A、 积 B、差 C、商
（3）  
算一算一共有（ ）元（ ）角
A、2元2角 B、1元2角 C、3元2角
（4）一跟跳绳大约长（ ）
A、2O米、 B、2米 、 C、2厘米
**四、我会连一连。（4分）**
**五、我会算。**（共30分）
1、直接写出得数.（**共10分**）
5×3＝ 19+21= 32÷8＝ 30-8= 4×4＝
48÷6＝ 7×2＝ 81÷9＝ 62-15= 3×9=
2、在○里填上"＞"、"＜"或"=" "＋"、"－"或"×""÷"。（8分）
36＋32○70 4×2○40÷5 3○18÷9 100元○99元9角
> 3○3＝6 48○8＝6 54○6＜10 4○6＝34○10
3、（ ）里最大能填几。（共3分）
3×( )＜16 ( )×5＜36 9×( )＜73
**4、计算下面各题。（共9分）**
22＋35＋18 **57**＋33－49 100－63＋25
**六、我能解答。**（第1题7分，第2题4分；第3题9分；第4题7分，共25分）
1、**购物（5分）**
   
38元 23元 54元 35元
（1）买一个台灯和一本书一共需要多少元？
（2）小明爸爸买了一件裙子和一辆小汽车，付了100元，应找回多少元？
3、①买6个布娃娃需要多少钱？
②24元可以买几只风筝？
③你还能提出什么数学问题？
并解答。
4、淘气今年8岁，淘气的爷爷今年72岁，淘气的爸爸的今年年龄是淘气的5倍，
（1）、爸爸今年多少岁？
（2）爷爷比爸爸大多少岁？
**参考答案**
一、我会填
1、（8） 6、（75）（2）（4）
2、（7）、（48） 7、 （厘米）（米）（厘米）（厘米）
3、（6+6=12）（2×6=12） 8、 （2）（10)
4、 （4）（2）（8） 9、（24）（28）， （45）（35）
5、 （32）（4×8=32）
（7）（56÷8＝7）
二、**我是小小裁判员。**1. × 2. √，3、×； 4、√ 5、×。
三、**我会选，把正确答案的代号填在括号里。**
1.A 2.C、 3.A 4、B
**四、我会连一连。（4分）**
第一行的第一个连第二行的第三个.
第一行的第二个连第二行的第四个.
第一行的第三个连第二行的第一个.
第一行的第四个连第二行的第二个.
五、我会算
1、直接写出得数 15,40，4,22，16
8, 14, 9,47, 27
2、在○里填上"＞"、"＜"或"=" "＋"、"－"或"×""÷"。
\<,= ,\> , \>, **+** ,÷, ÷ , ×, **-**
3、 **（5）、（7）、（8）**
**4计算下面各题:75、41,62。**
**六、我能解答**
**1、 （1）、38+32=61（元） （2）、100**－54－35=11（元）
**2、**27÷3＝9（只）
**3、（1）**6×6=36（元） （2）24÷8＝3**（只）**
**（3）开放题：如买5辆坦克需要多少钱？，** 5×5=25（元）
**4、（1）**8×5=40（岁） （2）**72**－40＝32**（岁）**
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第8课《填算式2》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第八讲 填算式（二）习题解答
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学(必修+选修I)**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
**一、选择题**
[1](http://www.mathschina.com)．若且是，则是（ ）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
**【答案】C**
**【解析】**,在三、四象限；，在一、三象限，∴选C
2．设集合，（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B**
**【解析】，，∴**
**【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别**
[3](http://www.mathschina.com)．原点到直线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
**【答案】D**
**【解析】**
**【高考考点】点到直线的距离公式**
4．[函数](http://www.mathschina.com)的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称
C． 坐标原点对称 D． 直线对称
**【答案】C**
**【解析】**是奇函数，所以图象关于原点对称
**【高考考点】函数奇偶性的性质**
[5](http://www.mathschina.com)．若，则（ ）
A．\<\< B． \<\< C． \<\< D． \<\<
**【答案】C**
**【解析】**由，令且取知\<\<
6．设变量满足约束条件：，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】D**
**【解析】**如图作出可行域，知可行域的顶点
是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)
于是
[7](http://www.mathschina.com)．设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（ ）
A．1 B． C． D．
**【答案】A**
**【解析】，**于是切线的斜率，∴有
8．正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
**【答案】B**
**【解析】**高，又因底面正方形的对角线等于，∴底面积为
，∴体积
**【备考提示】在底面积的计算时，要注意多思则少算**
[9](http://www.mathschina.com)．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．3 D．4
**【答案】A**
**【解析】**
**【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号**
10．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
**【答案】B**
**【解析】，**所以最大值是
**【高考考点】三角函数中化为一个角的三角函数问题**
**【备考提示】三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题**
[11](http://www.mathschina.com)．设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B**
**【解析】**由题意,所以，由双曲线的定义，有
，∴
**【高考考点】双曲线的有关性质，双曲线第一定义的应用**
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
**【答案】C**
**【解析】**设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是对角线,而，∴
**【高考考点】球的有关概念，两平面垂直的性质**
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学(必修+选修I)**
**第Ⅱ卷**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．**
[13](http://www.mathschina.com)．设向量，若向量与向量共线，则 [ ]{.underline} ．
**【答案】 2**
**【解析】**＝则向量与向量共线
14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）
**【答案】 420**
**【解析】**
[15](http://www.mathschina.com)．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段*AB*的中点为，则的面积等于 [ ]{.underline} ．
**【答案】 2**
**【解析】设过M的直线方程为，由**
∴，，由题意，于是直线方程为
，，∴，焦点F（1，0）到直线的距离
∴的面积是2
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① [ ]{.underline} ；
充要条件② [ ]{.underline} ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
**【答案】**两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
**三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
[17](http://www.mathschina.com)．（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
18．（本小题满分12分）
[等差数列](http://www.mathschina.com)中，且成等比数列，求数列前20项的和．
[19](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
[21](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
设，[函数](http://www.mathschina.com)．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
设[椭圆](http://www.mathschina.com)中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与*AB*相交于点*D*，与椭圆相交于*E*、*F*两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学试题（必修选修Ⅰ）参考答案和评分参考**
**评分说明：**
**1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要**
**考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．**
**2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和**
**难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．**
**3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．**
**4．只给整数分数．选择题不给中间分．**
**一、选择题**
[1](http://www.mathschina.com)．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D
[7](http://www.mathschina.com)．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C
**二、填空题**
[13](http://www.mathschina.com)．2 14．420 15．2
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
**三、解答题**
[17](http://www.mathschina.com)．解：
（Ⅰ）由，得，
由，得． 2分
所以． 5分
（Ⅱ）由正弦定理得． 8分
所以的面积． 10分
18．解：
设数列的公差为，则
，
，
． 3分
由成等比数列得，
即，
整理得，
解得或． 7分
当时，． 9分
当时，，
于是． 12分
[19](http://www.mathschina.com)．解：
记分别表示甲击中9环，10环，
分别表示乙击中8环，9环，
表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）， 2分
． 6分
（Ⅱ）， 8分
，
，
． 12分
[20](http://www.mathschina.com)．解法一：
依题设，，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
由[三垂线定理](http://www.mathschina.com)知，． 3分
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．
与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面． 6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角． 8分
，
，．
，．
又，．
．
所以二面角的大小为． 12分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设[向量](http://www.mathschina.com)是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
[21](http://www.mathschina.com)．解：
（Ⅰ）．
因为是[函数](http://www.mathschina.com)的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点． 4分
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，
，
即．
故得． 9分
反之，当时，对任意，
，
而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为． 12分
22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
9分
，
当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
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高中数学12个答题模板！掌握了，数学140分没问题！
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**选择填空题**
**易错点归纳**
九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
**答题方法**
**选择题十大速解方法**
排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法；
**填空题四大速解方法**
直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
**解答题**
**一、三角变换与三角函数的性质问题**
**1、解题路线图**
①不同角化同角
②降幂扩角
③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h
④结合性质求解。
**2、构建答题模板**
①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为"一角、一次、一函数"的形式。
②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
**二、解三角形问题**
**1、解题路线图**
\(1\) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。
\(2\) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。
**2、构建答题模板**
①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
**三、数列的通项、求和问题**
**1、解题路线图**
①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
**2、构建答题模板**
①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法（如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等）。
④写步骤：规范写出求和步骤。
⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
**四、利用空间向量求角问题**
**1、解题路线图**
①建立坐标系，并用坐标来表示向量。
②空间向量的坐标运算。
③用向量工具求空间的角和距离。
**2、构建答题模板**
①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。
②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。
③求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。
④求夹角：计算向量的夹角。
⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。
**五、圆锥曲线中的范围问题**
**1、解题路线图**
①设方程。
②解系数。
③得结论。
**2、构建答题模板**
①提关系：从题设条件中提取不等关系式。
②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。
③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。
④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。
**六、解析几何中的探索性问题**
**1、解题路线图**
①一般先假设这种情况成立（点存在、直线存在、位置关系存在等）
②将上面的假设代入已知条件求解。
③得出结论。
**2、构建答题模板**
①先假定：假设结论成立。
②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。
③下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯。 定假设；若推出矛盾则否定假设。
④再回顾：查看关键点，易错点（特殊情况、隐含条件等），审视解题规范性。
**七、离散型随机变量的均值与方差**
**1、解题路线图**
（1）①标记事件；②对事件分解；③计算概率。
（2）①确定ξ取值；②计算概率；③得分布列；④求数学期望。
**2、构建答题模板**
①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。
②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。
③定型：确定事件的概率模型和计算公式。
④计算：计算随机变量取每一个值的概率。
⑤列表：列出分布列。
⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。
**八、函数的单调性、极值、最值问题**
**1、解题路线图**
（1）①先对函数求导；②计算出某一点的斜率；③得出切线方程。
（2）①先对函数求导；②谈论导数的正负性；③列表观察原函数值；④得到原函数的单调区间和极值。
**2、构建答题模板**
①求导数：求f(x)的导数f′(x)。（注意f(x)的定义域）
②解方程：解f′(x)＝0，得方程的根。
③列表格：利用f′(x)＝0的根将f(x)定义域分成若干个小开区间，并列出表格。
④得结论：从表格观察f(x)的单调性、极值、最值等。
⑤再回顾：对需讨论根的大小问题要特殊注意，另外观察f(x)的间断点及步骤规范性
| 1 | |
**高中数学常用公式及常用结论**
**1. 元素与集合的关系**
**,.**
**2.德摩根公式**
**.**
**3.包含关系**
**4.容斥原理**
**.**
**5．集合的子集个数共有 个；真子集有--1个；非空子集有 --1个；非空的真子集有--2个.**
**6.二次函数的解析式的三种形式**
**(1)一般式;**
**(2)顶点式;**
**(3)零点式.**
**7.解连不等式常有以下转化形式**
**.**
**8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.**
**9.闭区间上的二次函数的最值**
**二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：**
**(1)当a\>0时，若，则；**
**，，.**
**(2)当a\<0时，若，则，若，则，.**
**10.一元二次方程的实根分布**
**依据：若，则方程在区间内至少有一个实根 .**
**设，则**
**（1）方程在区间内有根的充要条件为或；（2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；**
**（3）方程在区间内有根的充要条件为或 .**
**11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据**
**(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.**
**(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.**
**(3)恒成立的充要条件是或.**
**12.真值表**
-------- -------- ---------- ------------ ------------
**ｐ** **ｑ** **非ｐ** **ｐ或ｑ** **ｐ且ｑ**
**真** **真** **假** **真** **真**
**真** **假** **假** **真** **假**
**假** **真** **真** **真** **假**
**假** **假** **真** **假** **假**
-------- -------- ---------- ------------ ------------
**13.常见结论的否定形式**
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **原结论** | **反设词** | **原结论** | **反设词** |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **是** | **不是** | **至少有一个** | **一个也没有** |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **都是** | **不都是** | **至多有一个** | **至少有两个** |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **大于** | **不大于** | **至少有个** | **至多有（）个** |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **小于** | **不小于** | **至多有个** | **至少有（）个** |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **对所有，** | **存在某，** | **或** | **且** |
| | | | |
| **成立** | **不成立** | | |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
| **对任何，** | **存在某，** | **且** | **或** |
| | | | |
| **不成立** | **成立** | | |
+--------------+--------------+----------------+------------------+
**14.四种命题的相互关系**
**原命题 互逆 逆命题**
**若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ**
** 互 互**
** 互 为 为 互**
** 否 否**
** 逆 逆 **
** 否 否**
**否命题 逆否命题 **
**若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ**
**15.充要条件**
**（1）充分条件：若，则是充分条件.**
**（2）必要条件：若，则是必要条件.**
**（3）充要条件：若，且，则是充要条件.**
**注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.**
**16.函数的单调性**
**(1)设那么**
**上是增函数；**
**上是减函数.**
**(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.**
**17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.**
**18．奇偶函数的图象特征**
**奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．**
**19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.**
**20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.**
**21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.**
**22．多项式函数的奇偶性**
**多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.**
**多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.**
**23.函数的图象的对称性**
**(1)函数的图象关于直线对称**
**.**
**(2)函数的图象关于直线对称**
**.**
**24.两个函数图象的对称性**
**(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.**
**(2)函数与函数的图象关于直线对称.**
**(3)函数和的图象关于直线y=x对称.**
**25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.**
**26．互为反函数的两个函数的关系**
**.**
**27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.**
**28.几个常见的函数方程**
**(1)正比例函数,.**
**(2)指数函数,.**
**(3)对数函数,.**
**(4)幂函数,.**
**(5)余弦函数,正弦函数，，**
**.**
**29.几个函数方程的周期(约定a\>0)**
**（1），则的周期T=a；**
**（2），**
**或，**
**或,**
**或,则的周期T=2a；**
**(3)，则的周期T=3a；**
**(4)且，则的周期T=4a；**
**(5)**
**,则的周期T=5a；**
**(6)，则的周期T=6a.**
**30.分数指数幂**
**(1)（，且）.**
**(2)（，且）.**
**31．根式的性质**
**（1）.**
**（2）当为奇数时，；**
**当为偶数时，.**
**32．有理指数幂的运算性质**
**(1) .**
**(2) .**
**(3).**
**注： 若a＞0，p是一个无理数，则a^p^表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.**
**33.指数式与对数式的互化式**
**~.~**
**34.对数的换底公式**
**(,且,,且, ).**
**推论 (,且,,且,, ).**
**35．对数的四则运算法则**
**若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则**
**(1);**
**(2) ;**
**(3).**
**36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.**
**37. 对数换底不等式及其推广**
**若,,,,则函数**
**(1)当时,在和上为增函数.**
**~，~ (2)当时,在和上为减函数.**
**推论:设，，，且，则**
**（1）.**
**（2）.**
**38. 平均增长率的问题**
**如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.**
**39.数列的同项公式与前n项的和的关系**
**( 数列的前n项的和为).**
**40.等差数列的通项公式**
**；**
**其前n项和公式为**
**.**
**41.等比数列的通项公式**
**；**
**其前n项的和公式为**
**或.**
**42.等比差数列:的通项公式为**
**；**
**其前n项和公式为**
**.**
**43.分期付款(按揭贷款)**
**每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).**
**44．常见三角不等式**
**（1）若，则.**
**(2) 若，则.**
**(3) .**
**45.同角三角函数的基本关系式**
**，=，.**
**46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）**
**47.和角与差角公式**
**;**
**;**
**.**
**(平方正弦公式);**
**.**
**=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).**
**48.二倍角公式**
**.**
**.**
**.**
**49. 三倍角公式**
**.**
> **..**
**50.三角函数的周期公式**
**函数，x∈R及函数，x∈R(*A*,ω,为常数，且*A*≠0，ω＞0)的周期；函数，(*A*,ω,为常数，且*A*≠0，ω＞0)的周期.**
**51.正弦定理 **
**.**
**52.余弦定理**
**;**
**;**
**.**
**53.面积定理**
**（1）（分别表示a、b、c边上的高）.**
**（2）.**
**(3).**
**54.三角形内角和定理**
**在△ABC中，有**
**.**
> **55. 简单的三角方程的通解**
**.**
**.**
**.**
**特别地,有**
**.**
**.**
**.**
**56.最简单的三角不等式及其解集**
**.**
**.**
**.**
**.**
**.**
**.**
**57.实数与向量的积的运算律**
**设λ、μ为实数，那么**
**(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;**
> **(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;**
>
> **(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.**
**58.向量的数量积的运算律：**
**(1) *a*·b= b·*a* （交换律）;**
**(2)（*a*）·b= （*a*·b）=*a*·b= *a*·（b）;**
**(3)（*a*+b）·c= *a* ·c +b·c.**
**59.平面向量基本定理 **
**如果e~1~、e ~2~是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ~1~、λ~2~，使得a=λ~1~e~1~+λ~2~e~2~．**
> **不共线的向量e~1~、e~2~叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．**
**60．向量平行的坐标表示 **
**设a=,b=，且b0，则ab(b0).**
**53. *a*与b的数量积(或内积)**
***a*·b=\|*a*\|\|b\|cosθ．**
**61. a·b的几何意义**
**数量积a·b等于a的长度\|a\|与b在a的方向上的投影\|b\|cosθ的乘积．**
**62.平面向量的坐标运算**
**(1)设a=,b=，则a+b=.**
**(2)设a=,b=，则a-b=.**
**(3)设A，B,则.**
**(4)设a=，则a=.**
**(5)设a=,b=，则a·b=.**
**63.两向量的夹角公式**
**(*a*=,b=).**
**64.平面两点间的距离公式**
**=**
**(A，B).**
**65.向量的平行与垂直**
**设a=,b=，且b0，则**
**A\|\|bb=λa .**
**ab(a0)*a*·b=0.**
**66.线段的定比分公式 **
**设，，是线段的分点,是实数，且，则**
**（）.**
**67.三角形的重心坐标公式**
**△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.**
**68.点的平移公式**
**.**
**注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.**
**69."按向量平移"的几个结论**
**（1）点按向量a=平移后得到点.**
**(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.**
**(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.**
**(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.**
**(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.**
**70. 三角形五"心"向量形式的充要条件**
**设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则**
**（1）为的外心.**
**（2）为的重心.**
**（3）为的垂心.**
**（4）为的内心.**
**（5）为的的旁心.**
**71.常用不等式：**
**（1）(当且仅当a＝b时取"="号)．**
**（2）(当且仅当a＝b时取"="号)．**
**（3）**
**（4）柯西不等式**
**（5）.**
**72.极值定理**
**已知都是正数，则有**
**（1）若积是定值，则当时和有最小值；**
**（2）若和是定值，则当时积有最大值.**
**推广 已知，则有**
**（1）若积是定值,则当最大时,最大；**
**当最小时,最小.**
**（2）若和是定值,则当最大时, 最小；**
**当最小时, 最大.**
> **73.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.**
>
> **；**
>
> **.**
**74.含有绝对值的不等式**
**当a\> 0时，有**
**.**
**或.**
**75.无理不等式**
**（1） .**
**（2）.**
**（3）.**
**76.指数不等式与对数不等式**
**(1)当时,**
**;**
**.**
**(2)当时,**
**;**
**77.斜率公式**
**（、）.**
**78.直线的五种方程**
**（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．**
**（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).**
**（3）两点式 ()(、 ()).**
**(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)**
**（5）一般式 (其中A、B不同时为0).**
**79.两条直线的平行和垂直**
**(1)若，**
**①~;~**
**②.**
**(2)若,,且A~1~、A~2~、B~1~、B~2~都不为零,**
**①；**
**②；**
**80.夹角公式**
**(1).**
**(，,)**
**(2).**
**(,,).**
**直线时，直线*l*~1~与*l*~2~的夹角是.**
**81. 到的角公式**
**(1).**
**(，,)**
**(2).**
**(,,).**
**直线时，直线*l*~1~到*l*~2~的角是.**
**82．四种常用直线系方程**
**(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．**
**(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．**
**(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．**
**(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．**
**83.点到直线的距离**
**(点,直线：).**
**84. 或所表示的平面区域**
**设直线，则或所表示的平面区域是：**
**若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.**
**若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.**
**85. 或所表示的平面区域**
**设曲线（），则**
**或所表示的平面区域是：**
**所表示的平面区域上下两部分；**
**所表示的平面区域上下两部分.**
**86. 圆的四种方程**
**（1）圆的标准方程 .**
**（2）圆的一般方程 (＞0).**
**（3）圆的参数方程 .**
**（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).**
**87. 圆系方程**
**(1)过点,的圆系方程是**
**,其中是直线的方程,λ是待定的系数．**
**(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．**
**(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．**
**88.点与圆的位置关系**
**点与圆的位置关系有三种**
**若，则**
**点在圆外;点在圆上;点在圆内.**
**89.直线与圆的位置关系**
**直线与圆的位置关系有三种:**
**;**
**;**
**.**
**其中.**
**90.两圆位置关系的判定方法**
**设两圆圆心分别为O~1~，O~2~，半径分别为r~1~，r~2~，**
**;**
**;**
**;**
**;**
**.**
**91.圆的切线方程**
**(1)已知圆．**
**①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是**
**.**
**当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．**
**②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．**
**③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．**
**(2)已知圆．**
**①过圆上的点的切线方程为;**
**②斜率为的圆的切线方程为.**
**92.椭圆的参数方程是.**
**93.椭圆焦半径公式**
**，.**
**94．椭圆的的内外部**
**（1）点在椭圆的内部.**
**（2）点在椭圆的外部.**
**95. 椭圆的切线方程**
**(1)椭圆上一点处的切线方程是.**
**（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是**
**.**
**（3）椭圆与直线相切的条件是.**
**96.双曲线的焦半径公式**
**，.**
**97.双曲线的内外部**
**(1)点在双曲线的内部.**
**(2)点在双曲线的外部.**
**98.双曲线的方程与渐近线方程的关系**
**(1）若双曲线方程为渐近线方程：.**
**(2)若渐近线方程为双曲线可设为.**
**(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.**
**99. 双曲线的切线方程**
**(1)双曲线上一点处的切线方程是.**
**（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是**
**.**
**（3）双曲线与直线相切的条件是.**
**100. 抛物线的焦半径公式**
**抛物线焦半径.**
**过焦点弦长.**
**101.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .**
**102.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.**
**103.抛物线的内外部**
**(1)点在抛物线的内部.**
**点在抛物线的外部.**
**(2)点在抛物线的内部.**
**点在抛物线的外部.**
**(3)点在抛物线的内部.**
**点在抛物线的外部.**
**(4) 点在抛物线的内部.**
**点在抛物线的外部.**
**104. 抛物线的切线方程**
**(1)抛物线上一点处的切线方程是.**
**（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.**
**（3）抛物线与直线相切的条件是.**
**105.两个常见的曲线系方程**
**(1)过曲线,的交点的曲线系方程是**
**(为参数).**
**(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.**
**106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或**
**（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.**
**107.圆锥曲线的两类对称问题**
**（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.**
**（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是**
**.**
**108."四线"一方程**
**对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程**
**，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.**
**109．证明直线与直线的平行的思考途径**
**（1）转化为判定共面二直线无交点；**
**（2）转化为二直线同与第三条直线平行；**
**（3）转化为线面平行；**
**（4）转化为线面垂直；**
**（5）转化为面面平行.**
**110．证明直线与平面的平行的思考途径**
**（1）转化为直线与平面无公共点；**
**（2）转化为线线平行；**
**（3）转化为面面平行.**
**111．证明平面与平面平行的思考途径**
**（1）转化为判定二平面无公共点；**
**（2）转化为线面平行；**
**（3）转化为线面垂直.**
**112．证明直线与直线的垂直的思考途径**
**（1）转化为相交垂直；**
**（2）转化为线面垂直；**
**（3）转化为线与另一线的射影垂直；**
**（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.**
**113．证明直线与平面垂直的思考途径**
**（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；**
**（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；**
**（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；**
**（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；**
**（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.**
**114．证明平面与平面的垂直的思考途径**
**（1）转化为判断二面角是直二面角；**
**（2）转化为线面垂直.**
**115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律**
**(1)加法交换律：a＋b=b＋a．**
**(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．**
**(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．**
**116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广**
**始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.**
**117.共线向量定理**
**对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．**
**三点共线.**
**、共线且不共线且不共线.**
**118.共面向量定理**
**向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．**
**推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，**
**或对空间任一定点O，有序实数对，使.**
**119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．**
**四点共面与、共面**
**（平面ABC）.**
**120.空间向量基本定理**
**如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．**
**推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.**
**121.射影公式**
**已知向量=*a*和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则**
**〈*a*，e〉=*a*·e**
**122.向量的直角坐标运算**
**设*a*＝，b＝则**
***(1)a*＋b＝；**
***(2)a*－b＝；**
**(3)λ*a*＝ (λ∈R)；**
***(4)a*·b＝；**
**123.设A，B，则**
**= .**
**124．空间的线线平行或垂直**
> **设，，则**
>
> **；**
>
> **.**
**125.夹角公式**
**设*a*＝，b＝，则**
**cos〈*a*，b〉=.**
**推论 ，此即三维柯西不等式.**
**126. 四面体的对棱所成的角**
**四面体中, 与所成的角为,则**
**.**
**127．异面直线所成角**
> **=**
**（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）**
**128.直线与平面所成角**
**(为平面的法向量).**
**129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则**
**.**
**特别地,当时,有**
**.**
**130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则**
**.**
**特别地,当时,有**
**.**
**131.二面角的平面角**
**或（，为平面，的法向量）.**
**132.三余弦定理**
**设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.**
**133. 三射线定理**
**若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;**
**(当且仅当时等号成立).**
**134.空间两点间的距离公式**
**若A，B，则**
**=.**
**135.点到直线距离**
**(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).**
**136.异面直线间的距离**
**(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).**
**137.点到平面的距离**
**（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.**
**138.异面直线上两点距离公式**
**.**
**.**
**（）.**
**(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).**
**139.三个向量和的平方公式**
**140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有**
**.**
**（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.**
**141. 面积射影定理**
**.**
**(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).**
**142. 斜棱柱的直截面**
**已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则**
**①.**
**②.**
**143．作截面的依据**
**三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.**
**144．棱锥的平行截面的性质**
**如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．**
**145.欧拉定理(欧拉公式)**
**(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).**
**（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；**
**（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.**
**146.球的半径是R，则**
**其体积,**
**其表面积．**
**147.球的组合体**
**(1)球与长方体的组合体:**
**长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.**
**(2)球与正方体的组合体:**
**正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.**
**(3) 球与正四面体的组合体:**
**棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.**
**148．柱体、锥体的体积**
**（是柱体的底面积、是柱体的高）.**
**（是锥体的底面积、是锥体的高）.**
**149.分类计数原理（加法原理）**
**.**
**150.分步计数原理（乘法原理）**
**.**
**151.排列数公式**
**==.(，∈N^\*^，且)．**
**注:规定.**
**152.排列恒等式**
**(1）;**
**（2）;**
**（3）;**
**（4）;**
**（5）.**
**(6) .**
**153.组合数公式**
**===(∈N^\*^，，且).**
**154.组合数的两个性质**
**(1)= ;**
**(2) +=.**
**注:规定.**
**155.组合恒等式**
**（1）;**
**（2）;**
**（3）;**
**（4）=;**
**（5）.**
**(6).**
**(7).**
**(8).**
**(9).**
**(10).**
**156.排列数与组合数的关系**
**.**
**157．单条件排列**
**以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.**
**（1）"在位"与"不在位"**
**①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.**
**（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）**
**①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.**
**②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；**
**③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.**
**（3）两组元素各相同的插空**
**个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？**
**当时，无解；当时，有种排法.**
**（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.**
**158．分配问题**
**（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.**
**（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有**
**.**
**（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，...，件，且，，...，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.**
**（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，...，件，且，，...，这个数中分别有a、b、c、...个相等，则其分配方法数有 .**
**（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，...，件无记号的堆，且，，...，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.**
**（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，...，件无记号的堆，且，，...，这个数中分别有a、b、c、...个相等，则其分配方法数有.**
**（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，......等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，...时，则无论，，...，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有**
**.**
**159．"错位问题"及其推广**
**贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为**
**.**
**推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为**
**.**
**160．不定方程的解的个数**
**(1)方程（）的正整数解有个.**
**(2) 方程（）的非负整数解有 个.**
**(3) 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.**
**(4) 方程（）满足条件(,)的正整数解有个.**
> **161.二项式定理 ;**
**二项展开式的通项公式**
**.**
**162.等可能性事件的概率**
**.**
**163.互斥事件A，B分别发生的概率的和**
**P(A＋B)=P(A)＋P(B)．**
**164.个互斥事件分别发生的概率的和**
**P(A1＋A2＋...＋An)=P(A1)＋P(A2)＋...＋P(An)．**
**165.独立事件A，B同时发生的概率**
**P(A·B)= P(A)·P(B).**
**166.n个独立事件同时发生的概率**
**P(A1· A2·...· An)=P(A1)· P(A2)·...· P(An)．**
**167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率**
**168.离散型随机变量的分布列的两个性质**
**（1）;**
**（2）.**
**169.数学期望**
**170.数学期望的性质**
**（1）.**
**（2）若～,则.**
**(3) 若服从几何分布,且，则.**
**171.方差**
**172.标准差**
**=.**
**173.方差的性质**
**(1)；**
**(2）若～，则.**
**(3) 若服从几何分布,且，则.**
**174.方差与期望的关系**
**.**
**175.正态分布密度函数**
**，式中的实数μ，（\>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.**
**176.标准正态分布密度函数**
**.**
**177.对于，取值小于x的概率**
**.**
**.**
**178.回归直线方程**
**，其中.**
**179.相关系数**
**.**
**\|r\|≤1，且\|r\|越接近于1，相关程度越大；\|r\|越接近于0，相关程度越小.**
**180.特殊数列的极限**
**（1）.**
**（2）.**
**（3）（无穷等比数列 ()的和）.**
**181. 函数的极限定理**
**.**
**182.函数的夹逼性定理**
**如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x~0~的附近满足：**
**（1）;**
**（2）（常数）,**
**则.**
**本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.**
**183.几个常用极限**
**（1），（）；**
**（2），.**
**184.两个重要的极限**
**（1）；**
**（2）(e=2.718281845...).**
**185.函数极限的四则运算法则**
**若，，则**
**(1)；**
**(2);**
**(3).**
**186.数列极限的四则运算法则**
**若，则**
**(1)；**
**(2)；**
**(3)**
**(4)( c是常数).**
**187.在处的导数（或变化率或微商）**
**.**
**188.瞬时速度**
**.**
**189.瞬时加速度**
**.**
**190.在的导数**
**.**
**191. 函数在点处的导数的几何意义**
**函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.**
**192.几种常见函数的导数**
**(1) （C为常数）.**
**(2) .**
**(3) .**
**(4) .**
**(5) ；.**
**(6) ; .**
**193.导数的运算法则**
**（1）.**
**（2）.**
**（3）.**
**194.复合函数的求导法则**
**设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.**
**195.常用的近似计算公式（当充小时）**
**(1);；**
**(2)； ；**
**(3)；**
**(4)；**
**(5)（为弧度）；**
**(6)（为弧度）；**
**(7)（为弧度）**
**196.判别是极大（小）值的方法**
**当函数在点处连续时，**
**（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；**
**（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.**
**197.复数的相等**
**.（）**
**198.复数的模（或绝对值）**
**==.**
**199.复数的四则运算法则**
**(1);**
**(2);**
**(3);**
**(4).**
**200.复数的乘法的运算律**
**对于任何，有**
**交换律:.**
**结合律:.**
**分配律: .**
**201.复平面上的两点间的距离公式**
**（，）.**
**202.向量的垂直**
**非零复数，对应的向量分别是，，则**
**的实部为零为纯虚数**
**(λ为非零实数).**
**203.实系数一元二次方程的解**
**实系数一元二次方程，**
**①若,则;**
**②若,则;**
**③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.**
**高中数学知识点总结**
**1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的"确定性、互异性、无序性"。**
**中元素各表示什么？**
**注重借助于数轴和文氏图解集合问题。**
**空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。**
**3. 注意下列性质：**
**（3）德摩根定律：**
**4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）**
**的取值范围。**
**6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？**
**（互为逆否关系的命题是等价命题。）**
**原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。**
**7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？**
**（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）**
**8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？**
**（定义域、对应法则、值域）**
**9. 求函数的定义域有哪些常见类型？**
**10. 如何求复合函数的定义域？**
**义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？**
**12. 反函数存在的条件是什么？**
**（一一对应函数）**
**求反函数的步骤掌握了吗？**
**（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）**
**13. 反函数的性质有哪些？**
**①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；**
**②保存了原来函数的单调性、奇函数性；**
**14. 如何用定义证明函数的单调性？**
**（取值、作差、判正负）**
**如何判断复合函数的单调性？**
**∴......）**
**15. 如何利用导数判断函数的单调性？**
**值是（ ）**
**A. 0 B. 1 C. 2 D. 3**
**∴a的最大值为3）**
**16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？**
**（f(x)定义域关于原点对称）**
**注意如下结论：**
**（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。**
**17. 你熟悉周期函数的定义吗？**
**函数，T是一个周期。）**
**如：**
**18. 你掌握常用的图象变换了吗？**
**注意如下"翻折"变换：**
**19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？**
**的双曲线。**
**应用：①"三个二次"（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系------二次方程**
**②求闭区间［m，n］上的最值。**
**③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。**
**④一元二次方程根的分布问题。**
**由图象记性质！ （注意底数的限定！）**
**利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？**
**20. 你在基本运算上常出现错误吗？**
**21. 如何解抽象函数问题？**
**（赋值法、结构变换法）**
**22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？**
**（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）**
**如求下列函数的最值：**
**23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？**
**24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义**
**25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？**
**（x，y）作图象。**
**27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面------先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。**
**28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？**
**29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？**
**（平移变换、伸缩变换）**
**平移公式：**
**图象？**
**30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？**
**"奇"、"偶"指k取奇、偶数。**
**A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值**
**31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？**
**理解公式之间的联系：**
**应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）**
**具体方法：**
**（2）名的变换：化弦或化切**
**（3）次数的变换：升、降幂公式**
**（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。**
**32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？**
**（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）**
**33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。**
**34. 不等式的性质有哪些？**
**答案：C**
**35. 利用均值不等式：**
**值？（一正、二定、三相等）**
**注意如下结论：**
**36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？**
**（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）**
**并注意简单放缩法的应用。**
**（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）**
**38. 用"穿轴法"解高次不等式------"奇穿，偶切"，从最大根的右上方开始**
**39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论**
**40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？**
**（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）**
**证明：**
**（按不等号方向放缩）**
**42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或"△"问题）**
**43. 等差数列的定义与性质**
**0的二次函数）**
**项，即：**
**44. 等比数列的定义与性质**
**46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？**
**例如：（1）求差（商）法**
**解：**
**［练习］**
**（2）叠乘法**
**解：**
**（3）等差型递推公式**
**［练习］**
**（4）等比型递推公式**
**［练习］**
**（5）倒数法**
**47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？**
**例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。**
**解：**
**［练习］**
**（2）错位相减法：**
**（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。**
**［练习］**
**48. 你知道储蓄、贷款问题吗？**
**△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：**
**若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：**
**△若按复利，如贷款问题------按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款------分期等额归还本息的借款种类）**
**若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足**
**p------贷款数，r------利率，n------还款期数**
**49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。**
**（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一**
**（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不**
**50. 解排列与组合问题的规律是：**
**相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。**
**如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩**
**则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）**
**A. 24 B. 15 C. 12 D. 10**
**解析：可分成两类：**
**（2）中间两个分数相等**
**相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。**
**∴共有5＋10＝15（种）情况**
**51. 二项式定理**
**\
**
**性质：**
**（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第**
**表示）**
**52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？**
**的和（并）。**
**（5）互斥事件（互不相容事件）："A与B不能同时发生"叫做A、B互斥。**
**（6）对立事件（互逆事件）：**
**（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。**
**53. 对某一事件概率的求法：**
**分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即**
**（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生**
**如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。**
**（1）从中任取2件都是次品；**
**（2）从中任取5件恰有2件次品；**
**（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；**
**解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10^3^**
**而至少有2件次品为"恰有2次品"和"三件都是次品"**
**（4）从中依次取5件恰有2件次品。**
**解析：∵一件一件抽取（有顺序）**
**分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。**
**54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。**
**55. 对总体分布的估计------用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。**
**要熟悉样本频率直方图的作法：**
**（2）决定组距和组数；**
**（3）决定分点；**
**（4）列频率分布表；**
**（5）画频率直方图。**
**如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**56. 你对向量的有关概念清楚吗？**
**（1）向量------既有大小又有方向的量。**
**在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。**
**（6）并线向量（平行向量）------方向相同或相反的向量。**
**规定零向量与任意向量平行。**
**（7）向量的加、减法如图：**
**（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）**
**的一组基底。**
**（9）向量的坐标表示**
**表示。**
**57. 平面向量的数量积**
**数量积的几何意义：**
**（2）数量积的运算法则**
**［练习］**
**答案：**
**答案：2**
**答案：**
**58. 线段的定比分点**
**※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？**
**59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？**
**平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：**
**线面平行的判定：**
**线面平行的性质：**
**三垂线定理（及逆定理）：**
**线面垂直：**
**面面垂直：**
**60. 三类角的定义及求法**
**（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°**
**（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°**
**（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱*l*，∴∠AOB为所求。）**
**三类角的求法：**
**①找出或作出有关的角。**
**②证明其符合定义，并指出所求作的角。**
**③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。**
**［练习］**
**（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。**
**（2）如图，正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中对角线BD~1~＝8，BD~1~与侧面B~1~BCC~1~所成的为30°。**
**①求BD~1~和底面ABCD所成的角；**
**②求异面直线BD~1~和AD所成的角；**
**③求二面角C~1~---BD~1~---B~1~的大小。**
**（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。**
**（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线......）**
**61. 空间有几种距离？如何求距离？**
**点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。**
**将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。**
**如：正方形ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，棱长为a，则：**
**（1）点C到面AB~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；**
**（2）点B到面ACB~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；**
**（3）直线A~1~D~1~到面AB~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；**
**（4）面AB~1~C与面A~1~DC~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；**
**（5）点B到直线A~1~C~1~的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？**
**正棱柱------底面为正多边形的直棱柱**
**正棱锥------底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。**
**正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：**
**它们各包含哪些元素？**
**63. 球有哪些性质？**
**（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！**
**（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。**
**（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。**
**积为（ ）**
**答案：A**
**64. 熟记下列公式了吗？**
**（2）直线方程：**
**65. 如何判断两直线平行、垂直？**
**66. 怎样判断直线*l*与圆C的位置关系？**
**圆心到直线的距离与圆的半径比较。**
**直线与圆相交时，注意利用圆的"垂径定理"。**
**67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？**
**68. 分清圆锥曲线的定义**
**70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）**
**71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？**
**如：**
**通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。**
**72. 有关中点弦问题可考虑用"代点法"。**
**答案：**
**73. 如何求解"对称"问题？**
**（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A\'（x\'，y\'）为A关于点M的对称点。**
**75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。**
**（直接法、定义法、转移法、参数法）**
**76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值**
**高中数学知识易错点梳理**
> **一、集合、简易逻辑、函数**
1. **研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合**
**B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y= [ ]{.underline}**
2. **研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x2 ,x∈R},N={y｜y=x^2^+1,x∈R},求M∩N；与集合M={（x,y）｜y=x2 ,x∈R},N={(x,y)｜y=x^2^+1,x∈R}求M∩N的区别。**
3. **集合 A、B，时，你是否注意到"极端"情况：或；求集合的子集时是否忘记. 例如：对一切恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？**
4. **对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足条件的集合*M*共有多少个**
5. **解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？**
6. **两集合之间的关系。**
7. **(C~U~A)∩( C~U~ B) = C~U~(A∪B) (C~U~A)∪( C~U~B) = C~U~(A∩B)；；**
**8、可以判断真假的语句叫做[命题.]{.underline}**
**逻辑连接词有"或"、"且"和"非".**
> **p、q形式的复合命题的真值表:**
-------- -------- ---------- ----------
**p** **q** **P且q** **P或q**
**真** **真** **真** **真**
**真** **假** **假** **真**
**假** **真** **假** **真**
**假** **假** **假** **假**
-------- -------- ---------- ----------
9. **命题的四种形式及其相互关系**
> ** 互 逆**
>
> **互 互**
** 互 为 互**
** 否 逆 逆 否**
** 否 否 **
** 否 否**
** 否 互 逆**
** 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.**
**10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？**
**11、函数的几个重要性质：**
> **①如果函数对于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称.**
>
> **②函数与函数的图象关于直线对称；**
>
> **函数与函数的图象关于直线对称；**
>
> **函数与函数的图象关于坐标原点对称.**
>
> **③若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数．**
>
> **④若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数．**
>
> **⑤函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；**
>
> **函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.**
**12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？**
**13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=的定义域是 [ ；]{.underline}**
**复合函数的定义域弄清了吗？函数的定义域是\[0,1\],求的定义域. 函数的定义域是\[\], 求函数的定义域**
**14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数*y*=*a*sin^2^*x*+2cos*x*-*a*-2(*a*∈*R*)的最小值为*m*, 求*m*的表达**
**15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则**
**①若a∈A,则a=f-1 \[f(a)\]; 若b∈C,则b=f\[f-1 (b)\]; ②若p∈C,求f-1 (p)就是令p=f(x),求x.(x∈A) 即互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,**
**16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．**
**17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;**
**18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。**
19. **你知道函数的单调区间吗？（该函数在和上单调递增；在和上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！**
20. **解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.**
21. **对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（）**
22. **你还记得对数恒等式吗？（）**
23. **"实系数一元二次方程有实数解"转化为""，你是否注意到必须；当a=0时，"方程有解"不能转化为．若原题中没有指出是"二次"方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？**
**二、三角、不等式**
24. **三角公式记住了吗？两角和与差的公式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_； 二倍角公式:\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 万能公式 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_正切半角公式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；解题时本着"三看"的基本原则来进行:"看角,看函数,看特征",基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次,**
25. **在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？**
26. **在三角中，你知道1等于什么吗？（**
**这些统称为1的代换) 常数 "1"的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：[奇变偶不变，符号看象限]{.underline}）**
27. **在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如 等）**
28. **你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）**
29. **你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos^2^x=(1+cos2x)/2;sin^2^x=(1-cos2x)/2**
30. **你还记得某些特殊角的三角函数值吗？**
> **（）**
31. **你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()**
32. **辅助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.**
33. **三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？（别忘了kZ）**
> **三角函数性质要记牢。函数y=k的图象及性质：**
**振幅\|A\|，周期T=, 若x=x~0~为此函数的对称轴，则x~0~是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为------------------------------， 当时函数的增区间为--------------- ，减区间为---------------；当时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。**
> **五点作图法：令依次为 求出x与y，依点作图**
34. **三角函数图像变换还记得吗？**
> **平移公式 （1）如果点 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），则**
>
> **（2） 曲线f（x，y）=0沿向量平移后的方程为f（x-h，y-k）=0**
35. **有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式**
36. **在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？**
> **①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是.**
>
> **②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．**
>
> **③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．**
37. **同向不等式能相减，相除吗？**
38. **不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）**
39. **分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）**
40. **解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）**
41. **含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)**
42. **利用重要不等式 以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且"等号成立"时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等)**
43. **(当且仅当时，取等号）； a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；**
44. **在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是......．**
45. **解含参数的不等式的通法是"定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．"**
46. **对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）**
**三、数列**
47. **等差数列中的重要性质：（1）若，则；（2）；**
**（3）若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设为a-、a-、a+、a+；**
**（4）在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 \>0,d\<0,解不等式组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 \<0,d\>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值时的n的值;（5）．若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则。.（6）.若{}是等差数列，则{}是等比数列，若{}是等比数列且，则{}是等差数列.**
48. **等比数列中的重要性质：（1）若，则；（2），，成等比数列**
49. **你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）**
50. **等比数列的一个求和公式：设等比数列的前n项和为，公比为, 则**
> **．**
51. **等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是**
> **（a, b为常数）其公差是2a.**
52. **你知道怎样的数列求和时要用"错位相减"法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）**
53. **用求数列的通项公式时，你注意到了吗？**
54. **你还记得裂项求和吗？（如 .）**
**四、排列组合、二项式定理**
55. **解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．**
56. **解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？**
57. **排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：**
> **组合数性质：= += =**
**二项式定理：**
**二项展开式的通项公式：**
> **五、立体几何**
58. **有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线线//面面//面，线⊥线线⊥面面⊥面，垂直常用向量来证。**
59. **作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.**
60. **二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量**
61. **求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）**
62. **你记住三垂线定理及其逆定理了吗？**
63. **有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)**
64. **你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F为面数)，棱的两种算法，你还记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=；②多面体每个顶点出发有m条棱，则E=)**
> **六、解析几何**
65. **设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）**
66. **定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）**
> **线段的定比分点坐标公式**
>
> **设P（x，y） ，P~1~（x~1~，y~1~） ，P~2~（x~2~，y~2~） ，且 ，则**
>
> **中点坐标公式**
>
> **若，则△ABC的重心G的坐标是。**
67. **在利用定比分点解题时，你注意到了吗？**
68. **在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.**
69. **直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）**
70. **对不重合的两条直线，，有**
> **； ．**
71. **直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.**
72. **直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．**
73. **两直线和的距离公式d=------------------------------**
74. **直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L的方向向量为=（x~0~，y~0~）时，直线斜率k=---------------------；当直线斜率为k时，直线的方向向量=---------------**
75. **到角公式及夹角公式---------------------，何时用？**
76. **处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．**
77. **处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.**
78. **在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质.**
79. **在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。（焦半径公式：椭圆：\|PF~1~\|=~------------\ ；~\|PF~2~\|=~------------~ ；双曲线：\|PF~1~\|=~------------\ ；~\|PF~2~\|=~------------~ （其中F~1~为左焦点F~2~为右焦点 ）；抛物线：\|PF\|=\|x~0~\|+）**
80. **在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.**
81. **椭圆中，a，b，c的关系为~------------~；离心率e=~------------~；准线方程为~------------~；焦点到相应准线距离为~------------~ 双曲线中，a，b，c的关系为~------------~；离心率e=~------------~；准线方程为~------------~；焦点到相应准线距离为~------------\ ~**
82. **通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.**
83. **你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！**
84. **你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!**
85. **在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。如：求2\<5a-2b\<4,-3\<3a+b\<3求a+b的取值范围，但也可以不用线性规划。**
> **七、向量**
86. **两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意是向量平行的充分不必要条件。(定义及坐标表示)**
87. **向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：\|\|^2^=·，\
cosθ=**
88. **利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意是向量夹角为钝角的必要而非充分条件。**
89. **向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即，切记两向量不能相除。**
90. **你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？**
91. **一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量。**
92. **向量的直角坐标运算**
**设,则**
**设A=, B=,**
**则- =**
> **八、导数**
93. **导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。**
94. **几个重要函数的导数：①,（C为常数）②**
**导数的四运算法则**
95. **利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f '(x)≥0或f '(x)≤0，带上等号。**
96. **(x~0~)=0是函数f(x)在x~0~处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x~0~处取得极值的充分要条件是什么？**
97. **利用导数求最值的步骤：（1）求导数（2）求方程=0的根**
> **（3）计算极值及端点函数值的大小**
**（4）根据上述值的大小,确定最大值与最小值.**
98. **求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。告诉函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零，②函数在此点的值为定值。**
> **九、概率统计**
99. **有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。**
**1）若事件A、B为互斥事件,则**
**P（A+B）=P（A）+P（B）**
**（2）若事件A、B为相互独立事件,则**
**P（A·B）=P（A）·P（B）**
**（3）若事件A、B为对立事件,则**
**P（A）+P（B）=1**
**一般地,**
**（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率**
100. **抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。**
101. **用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。**
**十、解题方法和技巧**
102. **总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。**
103. **解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等)**
104. **解答填空题时应注意什么？（特殊化，图解，等价变形）**
105. **解答应用型问题时，最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、答）**
106. **解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．**
107. **解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．**
108. **解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．**
109. **学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用"由已知得""由题意得""由平面几何知识得"等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上"补证"即可。**
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**河北衡水中学高考押题试卷**
**化学试卷（二）**
可能用到的相对原子质量：H- 1 C -12 N -14 O-16 Ca -40 Cu -64 Br -80
> 第Ⅰ卷
选择题：本题共13小题，每小题 6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符含题目要求的。
7.化学与社会、生活密切相关，对下列现象或亊实的解释不正确的是
------ ---------------------------- -------------------------------
选项 现象或事实 解释
A. 肉制品中添加适量的亚硝酸钠 亚硝酸钠有防腐的作用
B. 液氨常用作制冷剂 液氨汽化时要吸收大量的热
C. 利用静电除尘装置除去粉尘 胶体粒子带电
D. Al(OH)~3~用作塑料的阻燃剂 Al(OH)~3~受热熔化吸收大量的热
------ ---------------------------- -------------------------------
8.下列说法正确的是
> A.H~2~C=CHCH~3~分子中所有原子在同一平面上
>
> B.分子式为C~3~H~5~Br~2~的有机物共有4件同分异构体(不含立体异构）
>
> C.乙二醇和甘油互为同系物
>
> D.结构式为...-CH =CH---CH =CH---CH =CH---CH=CH-...的高分子化合物，其单体是乙烯
9.下列实验中，操作和现象以及对应结论都正确且现象与结论具有因果关系的是
------ ---------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------
选项 操作和现象 结论
A. 滴有酚酞的Na~2~CO~3~溶液中加入BaCl~2~溶液，红色变浅 Na~2~CO~3~溶液中存在水解平衡
B. 向电石中加入饱和食盐水制乙炔，并将产生的气体直接填入酸性高锰酸钾溶液中，溶液紫红色褪去 记明乙炔能被酸性高锰酸钾氧化
C. 常温下，测得饱和Na~2~S溶液的PH大于饱和Na~2~CO~3~溶液 常温下水解程度：S^2-^\>CO~3~^2-^
D. 向分液漏斗中加入碘水后再加入CCl~4~，充分振荡，分层，且上层溶液至紫色 CC1~4~可作为碘的萃取剂
------ ---------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------
10.合成药物异搏定路线中某一步骤如图所示，下列说法错误的是
> 
>
> A.物质X的分子中存在2种含氧官能团
>
> B.物质Y可以发生水解和消去反应
>
> C.1molZ最多可与2molBr~2~发生加成反应
>
> D.等物质的量的X、Y分别与NaOH溶液反应，最多消耗的NaOH的物质的量之比为1:1
11\. 锌银(Zn-Ag~2~O)电池多应用于军事、航空、移动的通信设备、电子仪器和人造卫星、宇宙航行等方面，用如图所示装置模拟其工作原理，下列说法正确的是
> 
>
> A.K^+^向a极移动
>
> B.b 极的电极反应式为 Ag~2~O+H~2~O+2e^-^=2Ag+2OH^-^
>
> C.用该电池给铁棒镀铜，则铁棒与 b 极相连
>
> D.电池工作一段时间后，电解液的pH减小
12.短周期主族元素 X、Y、Z、W的原子序数依次增大，四种元素形成的单质依次为m、n、p、q；r、t、u 是这些元素组成的二元化合物，其中u为葡萄酒中的抑菌成分；25 ℃，0.01 mol/L的v溶液中：
> = 1.0×10^-10^。上述物质的转化关系如图所示，下列说法不正确的是
>
> 
>
> A.简单离子半径：W\>Y\>Z\>X
>
> B.W，Y分別与X元素形成的简单化合物的沸点： Y\> W
>
> C.Z~2~Y和ZX都只存在离子键
>
> D.能抑制水的电离，u的水溶液能促进水的电离
13.室温下，下列关亍电解质的说法中正确的是
> A.中和等体积、等浓度的氨水和氢氧化钠溶液至pH等于7，前者消耗的盐酸多
>
> B.向NaHS 溶液中加入适量 KOH 后：c(Na^+^)=c(H~2~S)+c(HS^-^)+c(S^2-^)
>
> C.将amol·L^-1^的醋酸与0.01 mol·L^-1^的氢氧化钠溶液等体积混合，溶液中：c(Na^+^)=c(CH~3~COO^-^)，
>
> 醋酸的电离常数K~a~= (用含a的代数式表示）
>
> D.向NH~4~Cl溶液中加入少量等浓度的稀盐酸，则的值减小
26\. (15分)
> 溴化钙易溶于水，医学上可用于治疗神经衰弱、癫痫等症。
>
> 请回答下列问题：
>
> Ⅰ.工业上溴的制备。
>
> 
>
> (1)步骤③中主要反应的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
>
> (2)不能直接用"溴水混合物I "进行蒸馏得到液溴，原因是 [ ]{.underline} 。
>
> Ⅱ.实验室溴化钙的制备。
>
> 
>
> (3)"合成"步骤中，所需装置最合适的是 [ ]{.underline} （填选项字母）。
>
> 
>
> (4)"合成"步骤中的反应方程式为 ，"合成"步骤中需控制温度不能过高，原因
>
> 是 [ ]{.underline} ，投料时控制n(Br~2~)；n(NH~3~)=1：0.8，其目的是 [ ]{.underline} 。
>
> (5)步骤⑧酸化时应加入的酸是 [ ]{.underline} 。
>
> (6)设计实验测定产品(主要成分CaBr~2~)纯度（不必描述操作过程的细节，物理量的数值可用字母表示）：
>
> [ ]{.underline} 。
27\. (14 分）
> 氯氨是氯气遇到氨气反应生成的一类化合物，是常用的饮用水二级消毒剂，主要包括一氯胺、二氯胺和三氯胺(NH~2~C1、NHC1~2~和NC1~3~)，副产物少于其它水消毒剂。
>
> 回答下列问题：
>
> (1)①一氯胺(NH~2~Cl)的电子式为 。
>
> ②工业上可利用反应Cl~2~(g)+NH~3~(g)=NH~2~Cl(g)+HCl(g)制备一氯胺，已知部分化学键的键能如下表所示（假设不同物质中同种化学键的链能相同），则该反应的△H= [ ]{.underline} 。
-------------- ------- ------- ------- -------
化学键 N-H Cl-Cl N-Cl H-Cl
键能(kJ/mol) 391.3 243.0 191.2 431.8
-------------- ------- ------- ------- -------
> ③一氯胺是重要的水消毒剂，其原因是由于一氯胺在中性、酸性环境中会发生水解，生成具有强烈杀菌作用的物质，该反应的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
>
> (2)用Cl~2~和NH~3~反应制备二氯胺的方程式为2Cl~2~(g)+NH~3~(g)NHCl~2~(g)+2HCl(g)，向容积均为1 L的甲、乙两个恒温（反应温度分别为400℃、T℃)容器中分别加入2 mol C1~2~和2 mol NH~3~，测得各容器中n(Cl~2~)随反应时间t的变化情况如下表所示：
------------------------ ------ ------ -------- ------ ------
t/min 0 40 80 120 160
n(Cl~2~)(甲容器)/mol 2.00 1.50 1\. 10 0.80 0.80
n(Cl~2~) (乙容器）/mol 2.00 1.45 1.00 1.00 1.00
------------------------ ------ ------ -------- ------ ------
> ①甲容器中，0～40 min内用NH~3~的浓度变化表示的平均反应速率v(NH~3~)= [ ]{.underline} 。
>
> ②该反应的△H [ ]{.underline} 0(填"\>"或"\<") ，理由是 [ ]{.underline} 。
>
> ③对该反应，下列说法正确的是 [ ]{.underline} (填选项字母）。
>
> [A]{.smallcaps}.若容器内气体密度不变，则表明反应达到平衡状态
>
> B.若容器内C1~2~和NH~3~物质的量之比不变，则表明反应达到平衡状态
>
> C.反应达到平衡后，其他条件不变，在原容器中充入一定量氦气，Cl~2~的转化率增大
>
> D.反应达到平衡后，其他条件不变，加入一定量的NHCl2，平衡向逆反应方向移动
>
> (3)在恒温条件下，2molCl~2~和1molNH3发生反应2Cl~2~(g)+NH~3~(g)NHCl~2~(l)+2HCl(g)，测得平衡时Cl~2~和HCl的物质的量浓度与平衡总压的关系如图所示：
>
> 
>
> ①A、B、C三点中Cl~2~转化率最高的是 [ ]{.underline} 点(填"A""B"或"C")。
>
> ②计算C点时该反应的压强平衡常数K~p~(C)= [ ]{.underline} (K~p~是平衡分压代替平衡浓度计算，分压=总压×物质的量分数)
28\. (14分）
> CoCl~2~ • 6H~2~O可用作油漆干燥剂，工艺上可用含钴废料（主要为Co，含少量Fe、Al等杂质）为原料来制取CoCl~2~• 6H~2~O,以下是制备该物质的一种新工艺流程：
>
> 
>
> 已知：部分阳离子以氢氧化物形式沉淀时溶液的[pH见]{.smallcaps}下表：
---------- ----------- ----------- ----------- -----------
沉淀物 Fe(OH)~3~ Fe(OH)~2~ Co(OH)~2~ Al(OH)~3~
开始沉淀 2.7 7.5 7.6 3.8
完全沉淀 3.2 9.7 9.2 5.2
---------- ----------- ----------- ----------- -----------
> 请回答下列问题：
>
> (1)"酸浸"时Co转化为Co^2+^，反应的离子方程式为 。"酸浸"时不能用硝酸的原因是 [ ]{.underline} 。
>
> (2)"氧化"中欲使3 mol的Fe^2+^为Fe^3+^，则需要氧化剂过氧化氢的质量至少为 [ ]{.underline} g。
>
> (3)加入碳酸钠调节p[H]{.smallcaps}至a，a的范围是 [ ]{.underline} 。"滤渣"中所含的两种沉淀的化学式为 [ ]{.underline} 。
>
> (4)滤液中加盐酸的目的是 [ ]{.underline} 。
>
> (5)操作I为 [ ]{.underline} 。
>
> (6)以 CoCl~2~•6H~2~O、NH~4~Cl、H~2~O~2~浓氨水为原料可以制备\[Co(NH~3~)~6~\]Cl~3~的反应方程式为 [ ]{.underline} 。
>
> 式为 •
35.\[化学------选修3:物质结构与性质\](15分）
> 已知A、B、C、D、E、F、G为前四周期中的常见元素，且原子序数依次增大，A的原子半径最小；B的基态原子L层电子数是K层电子数的2倍；C的基态原子最外层电子排布式为ns^m^np^m+2^；D、E、F、G是位于同一周期的金属元素，元素D的焰色反应要透过蓝色钴玻璃才能观察到紫色，且D、G的原子序数相差10，E元素有多种化合价。它的一种氬化物在空气中易被氧化且最终变为红褐色，且E.、F的电子数相差1。
>
> 请回答下列问题：
>
> (1)基态E原子的价电子排布式为 [ ]{.underline} 。
>
> (2)与BC分子互为等电子体的离子为 [ ]{.underline} (填化学式）。
>
> (3)在B~5~A~5~、BC~2~中，B原子采取的杂化方式分別为 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 。
>
> (4)单质C有两种同素异形体，其中沸点高的是 [ ]{.underline} (填分子式），而它的简单氢化物的沸点比同主族的简单氢化物都高的原因是 [ ]{.underline} 。
>
> (5)F可形成分子式均为F(NH~3~)~5~BrSO~4~的两种配合物，其中一种化学式为\[F(NH~3~)~5~Br\]SO~4~。向其溶液中加BaCl~2~溶液时，现象为 [ ]{.underline} ；向另一种配合物的溶液中加入BaCl~2~溶液时，无明显现象。若加入AgNO~3~溶液时，产生淡黄色沉淀，则第二种配合物的化学式为 [ ]{.underline} 。
>
> (6)金属D、G晶体的晶胞结构如图所示。
>
>  
>
> ①其中表示金属D晶体晶胞的结构图为 [ ]{.underline} (填"I"或"II")。
>
> ②金属G的晶胞中，测得晶胞边长为361 pm，G 原子的半径约为 [ ]{.underline} pm（保留三位有效数字），D、G两种晶胞中金属的配位数之比为 [ ]{.underline} 。
>
> ③金属G、锌两种元素的笫一电离能、第二电离能如下表所示：
--------------------- ------ ------
电离能/kJ • mol^-1^ I~1~ I~2~
G 746 1958
锌 906 1733
--------------------- ------ ------
> G的第二电离能（I~2~）大于锌的第二电离能，其主要原因是 [ ]{.underline} 。
36.\[化学------选修5:有机化学基础\](15分）
> 3，4，5-三甲氧基苯甲醛是制备抗菌增效剂TMP的中间体，通常可以通过以下途径合成。
>
> 
>
> (1)写出C的名称: ；下列说法不正确的是 [ ]{.underline} (填选项字母)。
>
> A.反应②要控制条件防止---CHO被氧化
>
> B.1 mol有机物F最多能与3 mol H~2~发生加成反应
>
> C.有机物D不能使KMnO~4~溶液褪色
>
> D.第I步所涉及的反应类型有氧化反应、还原反应
>
> \(2\) 有机物[E]{.smallcaps}的结构简式为 [ ]{.underline} ，E→F的反应类型为 [ ]{.underline} 反应。
>
> \(3\) D与新制Cu(OH)~2~反应的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
>
> (4)满足下列条件的C的同分异构体有 [ ]{.underline} 种，写出其中一种的结构简式： [ ]{.underline} 。
>
> ①红外光谱检测表明分子中含有苯环、结构
>
> ②H---NMR谱显示分子中有四种不同化学环境的氢
>
> (5)已知：RCHO+CH~3~COOR\'RCH═CHCOOR\'，请结合题给信息，设计以苯酚和乙酸乙酯为原料（其他试剂任选）制备的合成路线： [ ]{.underline} 。
7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.D 13.B
26.（15分）
> Ⅰ.(1)SO~2~+Br~2~+2H~2~O═H~2~SO~4~+2HBr（2分）
>
> (2)浓度较低，如果直接蒸馏，处理量大，生产成本高（2分）
>
> Ⅱ.(3)B（2分）
>
> (4)3Ca(OH)~2~+3Br~2~+2NH~3~═3CaBr~2~+N~2~↑+6H~2~O（2分） 温度过高，Br~2~、NH~3~易挥发（1分）确保Br~2~被充分还原（2分）
>
> (5)HBr（或氢溴酸或溴化氢）（1分）
>
> (6)取样品ɑ g，加水溶解（1分）滴入足量Na~2~CO~3~溶液（1分）充分反应后过滤，洗涤、干燥、冷却，称量，得到b g碳酸钙，则样品的纯度为×100%（1分）（其他合理答案也给分）
27.（14分）
> (1)① （1分）
>
> ②+11.3 kJ/mol（2分，不写"+"或不写单位，扣1分）
>
> ③NH~2~Cl+H~2~O═NH~3~+HClO（2分）
>
> \(2\) ①6.25×10^-8^mol·L^-1^·min^-1^（1分）
>
> ②\<（1分） 温度越高，反应速率越快，平衡向吸热反应方向移动，其他条件相同时，T℃时的反应速率比400℃时的反应速率快，且乙容器中平衡时Cl~2~的转化率比甲容器中Cl~2~的转化率小（2分。"原理"和"事实"两个要点各1分）
>
> ③AB（2分）
>
> (3)①B（1分）
>
> ②0.5MPa（2分）
28.（14分）
> (1)Co+2H^+^═Co^2+^+H~2~↑（2分）减少有毒气体的排放，防止大气污染；防止产品中混有硝酸盐（1分，任答一点即可）
>
> (2)51（2分）
>
> (3)5.2≤ɑ\<7.6（1分） Fe(OH)~3~、Al(OH)~3~（2分）
>
> (4)调节溶液的pH，抑制钴离子水解（2分，只答调节pH得1分）
>
> (5)蒸发浓缩，冷却结晶、过滤、洗涤、干燥（2分，蒸发浓缩、冷却结晶得1分，过滤得1分）
>
> (6)2CoCl~2~•6H~2~O+2NH~4~Cl+10NH~3~+H~2~O~2~═2\[Co(NH~3~)~6~\]Cl~3~+14H~2~O（2分）
35.（15分）
> (1)3d^4^4s^2^（1分）
>
> (2)CN^-^（或NO^+^或C）（1分）
>
> (3)sp^2^（1分） sp（1分）
>
> (4)O~3~（1分） 水分子间存在氢键（1分）
>
> (5)产生白色沉淀（1分） \[Co(NH~8~)~6~SO~4~\]Br（1分）
>
> (6)①I（1分）
>
> ②128（2分） 2:3（2分）
>
> ③锌的价电子是3d^10^4s^2^，而铜的是3d^10^4s^1^，在失去一个电子后，铜失去的第二个电子在3d的全满轨道上，而锌的第二个电子在4s的半满轨道上，3d全满比4s半满能量低，结构也更稳定，所以需要更多能量（2分）
36.（15分）
> (1)对硝基甲苯（1分） BC（2分，少选一个扣1分，多选或错选不给分）
>
> \(2\) （2分，写成分子式或结构简式不给分） 取代（1分）
>
> \(3\) （2分，不配平扣1分）
>
> (4)4（2分）（或或或（2分）
>
> \(5\) 
>
> 
>
> （3分，其他合理答案也给分）
| 1 | |
**2020-2021学年辽宁省鞍山市铁东区五年级（上）期末数学试卷**
**一、基础知识（共40分）（一）填一填。**
1．（1分）
> *a*张是[ ]{.underline}元。当*a*等于15时，是[ ]{.underline}元。
2．（1分）找规律，计算。
> 1×1＝1
>
> 11×11＝121
>
> 111×111＝12321.
>
> 1111×1111＝1234321
>
> 11111×11111＝[ ]{.underline}
>
> 111111×111111＝[ ]{.underline}
>
> [ ]{.underline}×[ ]{.underline}＝1234567654321
3．（1分）鞍山博物馆古地面积1万平方米，市图书馆占地面积是它的1.296倍，市图书馆占地面积约是[ ]{.underline}万平方米。（结果保留一位小数。）
4．（3分）用字母表示：平行四边形的面积计算公式[ ]{.underline}，三角形的面积计算公式[ ]{.underline}，梯形的面积计算公式[ ]{.underline}．
5．（1分）六一联欢，抽签表演活动中，丽丽最有可能表演的节目是[ ]{.underline}。
讲笑话 跳舞 唱歌
-------- ------ ------
9张 4张 6张
6．（5分）把这些小数填入指定的集合圈里。
> 5.、0.45656、21.54、3.456565656...、8.69
7．（2分）国庆，校队列表演，乐乐站在队伍的第2列、第5行，用数对简记作（2，5），东东的位置是（4，6），东东站在第4列、第[ ]{.underline}行。站在东东正前面一位的芳芳位置用数对简记作（[ ]{.underline}）。
8．（2分）1.08÷3.6＝[ ]{.underline}÷36
> 215÷0.25＝[ ]{.underline}÷1
9．（2分）如图组合图形中小三角形的面积如果是1，那么小正方形的面积是[ ]{.underline}，整个组合图形的面积是[ ]{.underline}。
**二、选一选，把正确答案的序号填在括号里。**
10．（1分）2021年1月1日是星期五，2021年1月2日（ ）是星期日。
A．可能 B．一定 C．不可能
11．（1分）每袋装*a*条金鱼，装好后，还剩了2条，一共有（ ）条金鱼。
A．3*a* B．3*a*﹣2 C．3*a*+2
12．（1分）计算0.9×0.9，得数保留一位小数是（ ）
A．0.81 B．0.8 C．0.9
13．（1分）小明在教室里的位置是第4列，第3行，用数对表示是（ ）
A．（4，3） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，4）
14．（1分）循环小数1.3567567567...用简便形式写是（ ）
A．1.3567 B．1.3 C．1.36
15．（1分）乐乐用34.4元可买（ ）支同样的笔。
A．14 B．13 C．12
16．（1分）一个直角三角形，三条边分别是3*dm*、4*dm*、5*dm*，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6*dm*^2^ B．12*dm*^2^ C．10*dm*^2^
17．（1分）指针停在（ ）区域的可能性最大。
A．橡皮 B．铅笔 C．文具盒
18．（1分）下面计算梯形面积方法错误的是（ ）
A．（2+4）×4÷2 B．2×4×3
C．4×4﹣（2×4÷2）
19．（1分）图中每个小方格的面积为1*cm*^2^，脚印的面积大约是（ ）
A．5*cm*^2^﹣﹣50*cm*^2^ B．10*cm*^2^﹣﹣28*cm*^2^
C．28*cm*^2^﹣﹣50*cm*^2^
20．（4分）竖式计算下面各题。
------------ ----------- ------------- -------------
47.5÷2.5＝ 108×7.5＝ 3.28×0.05＝ 5.52÷0.46＝
------------ ----------- ------------- -------------
21．（6分）脱式计算下面各题，怎样简便就怎样算。
------------------- ------------------- ----------
（14.7+0.77）÷0.7 5.5×17.3﹣7.3×5.5 3.6×10.1
------------------- ------------------- ----------
22．（10分）解方程。
---------------- ------------------- ---------------
6*x*﹣0.5＝4.9 3.95+1.5*x*＝6.95 *x*÷0.3＝1.35
---------------- ------------------- ---------------
**三、数学操作（共16分）**
23．（1分）计算出下面图形的面积。
24．（1分）计算出下面图形的面积。
25．（4分）填一填，描一描，连一连。
> （1）照样子写出图中字母的位置。
>
> *A*（5，8）*B*（[ ]{.underline}）*C*（[ ]{.underline}）*D*（[ ]{.underline}）
>
> （2）在格子图中描出下列各点。
>
> *E*（7，4）*F*（9，6）*G*（6，6）
>
> （3）从*A*开始按*A*、*B*、*C*、*D*、*E*、*F*、*G*的顺序依次连接各点成封闭图形。连出的图形是[ ]{.underline}。
26．（6分）根据要求涂色。
> （1）一定摸到黑球。
>
> （2）可能摸到黑球。
>
> （3）不可能摸到黑球。
27．（4分）下面四张牌，东东和淘淘各抽一张然后把上面的数相加，如果和是双数东东赢，如果是单数淘淘赢。
> （1）这个规则公平吗？为什么？
>
> （2）若不公平，请设计一个你认为公平的规则：
**四、数学应用（共24分）**
28．（6分）列式解答。
29．（6分）妈妈买了5千克苹果，共花26.9元，平均每千克约是多少元？（结果保留一位小数。）
30．（6分）高速上鞍山到锦州约213.75千米，两辆汽车同时从鞍山、锦州两地相向而行，几小时后两车相遇？（列方程解答。）
31．（6分）靠墙围成一个梯形户外活动场，围户外活动场的篱笆长21.5*m*。
> （1）在图上描出篱笆长。
>
> （2）梯形活动场的上底和下底共用篱笆多少米？
>
> （3）求出户外活动场的面积。
32．（6分）如图平行四边形菜地里，种萝卜的面积是青椒面积的2倍。
> （1）青椒种了多少平方米？
>
> （2）这块平行四边形菜地共有面积多少平方米？
33．（6分）*D*市的乐乐从家打车去植物园，到植物园正门停车处共行驶了17.7千米。
> *D*市出租车收费标准
+--------------------------+----------------------------+
| 超过3千米部分（含3千米） | 3千米以内 |
| | |
| | （不足1千米的按1千米计算） |
+==========================+============================+
| 8元 | 1.8元/千米 |
+--------------------------+----------------------------+
> （1）去掉起步价行驶的3千米，出租车又行驶了多少千米？
>
> （2）根据收费标准，实际按1.8元/千米计算的有多少千米？
>
> （3）司机师傅应收乐乐多少钱？（停车等待时的费用忽略不计）
**2020-2021学年辽宁省鞍山市铁东区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、基础知识（共40分）（一）填一填。**
1．【分析】每张130元，则*a*张130×*a*＝130*a*元；当*a*等于15时，代入计算即可。
> 【解答】解：130×*a*＝130*a*（元）
>
> 当*a*＝15时
>
> 130*a*＝130×15＝1950
>
> 答：*a*张是130*a*元。当*a*等于15时，是1950元。
>
> 故答案为：130*a*，1950。
>
> 【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的意义，再进一步解答。
2．【分析】观察不难发现，相乘的积为对称数，中间的数为因数中的1的个数，然后写出即可。
> 【解答】解：因为11×11＝121，111×111＝12321，1111×1111＝1234321，
>
> 所以11111×11111＝123454321，111111×111111＝12345654321，1111111×1111111＝1234567654321；
>
> 故答案为：123454321，12345654321，1111111，1111111。
>
> 【点评】解答"式"的规律的问题，关键是找到前后算式的运算规律，然后利用这个规律回到问题中，本题是对数字变化规律的考查，观察出积是对称数并且中间最大的数是因数中1的个数是解题的关键。
3．【分析】根据求一个数的几倍是多少用乘法求出市图书馆的占地面积，注意结果保留一位小数。
> 【解答】解：1×1.296≈1.3（平方千米）
>
> 答：市图书馆占地面积约是1.3万平方米。
>
> 故答案为：1.3。
>
> 【点评】本题主要考查了：求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
4．【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2；如果用字母*S*表示面积，用*a*表示底（梯形用*a*表示上底，用*b*表示下底），用*h*表示高，进而用字母表示出计算公式即可．
> 【解答】解：*S*＝*ah*
>
> *S*＝*ah*÷2
>
> *S*＝（*a*+*b*）*h*÷2．
>
> 故答案为：*S*＝*ah*，*S*＝*ah*÷2，*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2．
>
> 【点评】解决此题明确图形面积的计算公式是解题关键．
5．【分析】因为表演讲笑话是9张，跳舞是4张，唱歌是6张，9＞6＞4，所以丽丽最有可能表演的节目是讲笑话的可能性最大；据此解答即可。
> 【解答】解：9＞6＞4
>
> 所以丽丽最有可能表演的节目是讲笑话的可能性最大。
>
> 故答案为：讲笑话。
>
> 【点评】解决此题关键是如果不需要准确地计算可能性的大小时，可以根据各种球个数的多少，直接判断可能性的大小。
6．【分析】小数部分是有限的叫有限小数，小数部分是无限的叫无限小数；据此可以分辨出哪个是有限小数，哪个是无限小数。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解决本题关键是熟练的区分有限小数和无限小数，循环小数是无限小数的一种。
7．【分析】结合题干的记法可知，数对的前一个数表示列数，后一个数表示行数。则东东的位置是（4，6），东东站在第4列、第6行。站在东东正前面一位的芳芳位置是第4列，第5行，用数对简记作（4，5）。据此答题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 东东的位置是（4，6），东东站在第4列、第6行。
>
> 站在东东正前面一位的芳芳位置用数对简记作（4，5）。
>
> 故答案为：6；4，5。
>
> 【点评】本题考查位置与数对的一一对应问题。结合题干描述的规则解决问题即可。
8．【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。
> 【解答】解：1.08÷3.6＝10.8÷36
>
> 215÷0.25＝860÷1
>
> 故答案为：10.8；860。
>
> 【点评】此题考查了商不变性质的灵活应用。
9．【分析】根据图示可知，把整个大正方形平均分成8份，每个小三角形的面积占，小正方形的面积是小三角形面积的2倍；阴影部分是小三角形面积的5倍，据此解答。
> 【解答】解：1×2＝2
>
> 1×5＝5
>
> 答：小正方形的面积是2，整个组合图形的面积是5。
>
> 故答案为：2；5。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化为规则图形计算。
**二、选一选，把正确答案的序号填在括号里。**
10．【分析】2021年1月1日是星期五，2021年1月2日，2021年1月2日比2021年1月1日多1天，可以推出是星期六，由此解答即可。
> 【解答】解：2021年1月1日是星期五，2021年1月2日是星期六，所以原说法错误。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算。
11．【分析】每袋*a*条金鱼，一共3袋，所以袋子里有3*a*条，再加上剩下的2条，即可得出答案。
> 【解答】解：*a*•3+2
>
> ＝（3*a*+2）条
>
> 答：一共有（3*a*+2）条金鱼。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
12．【分析】根据小数乘法运算的计算法则进行计算即可求解．注意根据四舍五入法求近似数。
> 【解答】解：0.9×0.9≈0.8
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】考查了小数乘法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
13．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，或都说第一个数用横坐标的值表示，第二个数用纵坐标的表示，中间用"，"隔开．据此即可解答．
> 【解答】解：小明在教室里的位置是第4列，第3行，用数对表示是（4，3）
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题考查了利用数对表示物体的位置的方法．注意，这两个数据的顺序不同，表示的物体位置不相同．
14．【分析】根据循环小数1.3567567567...，找出依次不断重复的数字，即循环节，在首尾两个数字的上边点上圆点简写即可。
> 【解答】解：循环小数1.3567567567...用简便形式写是。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题重点考查了循环小数的简记法。
15．【分析】根据总价÷单价＝数量解答即可，注意用"去尾法"取值。
> 【解答】解：34.4÷2.5≈13（支）
>
> 答：乐乐用34.4元可买13支同样的笔。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解答此题应根据总价、数量和单价三者之间的关系进行解答。单价×数量＝总价，总价÷数量＝单价，总价÷单价＝数量。
16．【分析】根据直角三角形的特征，在直角三角形中斜边最长，由此可知，这个直角三角形的底和高分别是3分米、4分米，根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：3×4÷2
>
> ＝12÷2
>
> ＝6（平方分米）
>
> 答：中直角三角形的面积是6平方分米。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．【分析】根据题意可知，哪种文具区域的面积大，指针停在哪种文具区域的可能性就大，据此解答即可。
> 【解答】解：根据题意可知：橡皮区域的面积＞铅笔区域的面积＞文具盒区域的面积，而总面积是固定的，所以指针停在橡皮区域的可能性最大。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查可能性大小的求法，用到的知识点为：可能性＝相应的面积与总面积之比。
18．【分析】通过观察图形可知，这是一个直角梯形，上底是2，高是4，这个梯形是由一个直角三角形和一个等腰三角形拼成的，梯形的下底是上底的2倍，所以梯形的下底等于梯形的高，根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，也可以利用"填补"法，用正方形的面积减去补上的三角形的面积。
> 【解答】解：方法一如图；
>
> （2+4）×4÷2
>
> ＝6×4÷2
>
> ＝12
>
> 方法二如图：
>
> 4×4﹣2×4×2
>
> ＝16﹣4
>
> ＝12
>
> 所以，方法错误的是2×4×3。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形、正方形、三角形的面积公式及应用。
19．【分析】分别数出脚印占了几个完整的格子和几个不完整的格子，然后进行判断即可。
> 【解答】解：脚印占了28个完整的格子，不完整的格子有37个，
>
> 所以脚印的面积一定大于28平方厘米，
>
> 28+37÷2
>
> ＝28+18.5
>
> ＝46.5（平方厘米）
>
> 所以，脚印面积大约在50以内。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查了估测，运用方格纸中的方格进行判断是本题解题的关键。
20．【分析】根据小数乘除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：47.5÷2.5＝19
>
> 108×7.5＝810
>
> 3.28×0.05＝0.164
>
> 5.52÷0.46＝12
>
> 【点评】考查了小数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算。
21．【分析】（1）根据乘法分配律简算；
> （2）根据乘法分配律简算；
>
> （3）先把10.1分解成（10+0.1），再根据乘法分配律简算。
>
> 【解答】解：（1）（14.7+0.77）÷0.7
>
> ＝14.7÷0.7+0.77÷0.7
>
> ＝21+1.1
>
> ＝22.1
>
> （2）5.5×17.3﹣7.3×5.5
>
> ＝5.5×（17.3﹣7.3）
>
> ＝5.5×10
>
> ＝55
>
> （3）3.6×10.1
>
> ＝3.6×（10+0.1）
>
> ＝3.6×10+3.6×0.1
>
> ＝36+0.36
>
> ＝36.36
>
> 【点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用。
22．【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时加上0.5，然后两边同时除以6即可。
> （2）首先根据等式的性质，两边同时减去3.95，然后两边再同时除以1.5即可。
>
> （3）根据等式的性质，两边同时乘0.3即可。
>
> 【解答】解：（1）6*x*﹣0.5＝4.9
>
> 6*x*﹣0.5+0.5＝4.9+0.5
>
> 6*x*＝5.4
>
> 6*x*÷6＝5.4÷6
>
> *x*＝0.9
>
> （2）3.95+1.5*x*＝6.95
>
> 3.95+1.5*x*﹣3.95＝6.95﹣3.95
>
> 1.5*x*＝3
>
> 1.5*x*÷1.5＝3÷1.5
>
> *x*＝2
>
> （3）*x*÷0.3＝1.35
>
> *x*÷0.3×0.3＝1.35×0.3
>
> *x*＝0.405
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
**三、数学操作（共16分）**
23．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：2.5×1.6＝4（平方分米）
>
> 答：这个平行四边形的面积是4平方分米。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，代入数据列式计算即可求解。
> 【解答】解：13×5÷2＝32.5（*m*^2^）
>
> 答：图形的面积是32.5*m*^2^。
>
> 【点评】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟练掌握面积计算公式。
25．【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行；
> （2）*E*点在第7列第4行，*F*点在第9列第6行，*G*点在第6列第6行，描出该点即可；
>
> （3）从*A*开始按*A*、*B*、*C*、*D*、*E*、*F*、*G*的顺序依次连接各点，即可得知该图形的形状。
>
> 【解答】解：（1）由图可得：*B*点在第4列第6行，用数对（4，6）表示；*C*点在第1列第6行，用数对（1，6）表示；*D*点在第3列第4行，用数对（3，4）表示；
>
> （2）*E*点在第7列第4行，*F*点在第9列第6行，*G*点在第6列第6行，描出如下：
>
> （3）从*A*开始按*A*、*B*、*C*、*D*、*E*、*F*、*G*的顺序依次连接各点，如图：
>
> 连出的图形是小船。
>
> 故答案为：
>
> （1）（4，6），（1，6），（3，4）；
>
> （2）如图：
>
> ；
>
> （3）如图：
>
> ，小船。
>
> 【点评】此题考查数对与位置的表示及其应用，进一步考查学生的动手操作能力。
26．【分析】（1）全部是黑球，就一定摸到黑球；
> （2）黑球的数量最少，则有可能摸到黑球，但摸到黑球的可能性较小；
>
> （3）没有黑球，不可能摸到黑球。据此得解。
>
> 【解答】解：（1）一定摸到黑球。
>
> （2）可能摸到黑球。（答案不唯一）
>
> （3）不可能摸到黑球。（答案不唯一）
>
> 【点评】解答此题要明确：数量多的可能性就大，注意答案不唯一。
27．【分析】（1）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的可能性是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可；
> （2）要使这个游戏规则公平，可以改为东东和淘淘各抽一张然后把上面的数相加，如果和小于17是东东赢，如果和大于17 是淘淘赢；据此解答即可。
>
> 【解答】解：（1）点数相加的和是：7+8＝15，7+9＝16，7+10＝17，8+9＝17，8+10＝18，9+10＝19，
>
> 从4张牌中任意抽2张，数字相加的和是单数的情况有4种，数字相加的和是双数的情况有2种，
>
> 4＞2，
>
> 所以数字相加的和是单数的可能性大，这个游戏规则不公平；
>
> （2）要使这个游戏规则公平，可以改为东东和淘淘各抽一张然后把上面的数相加，如果和小于17是东东赢，如果和大于17 是淘淘赢。
>
> 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平。
**四、数学应用（共24分）**
28．【分析】根据倍数关系，用黄鳍金枪鱼的速度乘1.6就是旗鱼的速度。
> 【解答】解：70×1.6＝112（千米/时）
>
> 答：旗鱼的速度是112千米/时。
>
> 【点评】本题解答依据是：求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
29．【分析】根据"单价＝总价÷数量"代入数据解答即可，注意结果保留一位小数。
> 【解答】解：26.9÷5≈5.4（元）
>
> 答：平均每千克约是5.4元。
>
> 【点评】本题主要考查了小数除法的意义以及学生对总价、单价和数量三者之间关系的灵活掌握情况。
30．【分析】根据题意可得等量关系式：两车的速度和×相遇时间＝路程，设*x*小时后两车相遇，然后列方程解答即可。
> 【解答】解：设*x*小时后两车相遇，
>
> （105+120）*x*＝213.75
>
> 225*x*＝213.75
>
> *x*＝0.95
>
> 答：0.95小时后两车相遇。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
31．【分析】（1）根据题意，一面靠墙用篱笆围成一个直角梯形，据此描出篱笆长。
> （2）用篱笆的长度减去梯形的高就是上底和下底共用篱笆的长度。
>
> （3）根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数据代入公式解答。
>
> 【解答】解：（1）作图如下：
>
> （2）21.5﹣8＝13.5（米）
>
> 答：梯形活动场的上底和下底共用篱笆13.5米。
>
> （3）13.5×8÷2
>
> ＝108÷2
>
> ＝54（平方米）
>
> 答：户外活动场的面积是54平方米。
>
> 【点评】此题主要考查梯形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
32．【分析】（1）用种萝卜的面积除以2，就是种青椒的面积；
> （2）先求种青椒和萝卜的面积的和，再乘2，就是整块地的面积。
>
> 【解答】解：（1）31.2÷2＝15.6（平方米）
>
> 答：青椒种了15.6平方米。
>
> （2）（15.6+31.2）×2
>
> ＝48.6×2
>
> ＝93.6（平方米）
>
> 答：这块平行四边形菜地共有面积93.6平方米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是根据各部分面积间的关系计算。
33．【分析】（1）一共行驶了17.7千米，减去起步的3千米，就是出租车又行驶了多少千米；
> （2）实际按1.8元/千米计算的部分是去掉3千米后的部分，也就是（1）求出的答案，运用"进一法"取整数值的路程；
>
> （3）先用实际按1.8元/千米计算的部分乘1.8元，求出这部分需要的钱数，再加上3千米的起步价8元即可。
>
> 【解答】解：（1）17.7﹣3＝14.7（千米）
>
> 答：出租车又行驶了14.7千米。
>
> （2）不足1千米的按1千米计算，所以14.7千米应按照15千米计算；
>
> 答：根据收费标准，实际按1.8元/千米计算的有15千米。
>
> （3）1.8×15+8
>
> ＝27+8
>
> ＝35（元）
>
> 答：司机师傅应收乐乐35元。
>
> 【点评】本题关键先看明白统计表，能从里面找取有用的信息，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.**
**2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*U*={−2，−1，0，1，2，3}，*A*={−1，0，1}，*B*={1，2}，则（ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2.若*α*为第四象限角，则（ ）
A. cos2*α*\>0 B. cos2*α*\<0 C. sin2*α*\>0 D. sin2*α*\<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
故需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
第*n*环天石心块数为，第一层共有*n*环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前*n*项和，由题意可得，解方程即可得到*n*，进一步得到.
【详解】设第*n*环天石心块数为，第一层共有*n*环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前*n*项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前*n*项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6.数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
分析】
取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点.
【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9.设函数，则*f*(*x*)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数"同增异减"性得到结论.
10.已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
11.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由知，序列的周期为*m*，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.已知单位向量*a*，*b*的夹角为45°，*ka*--*b*与*a*垂直，则*k*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数*k*的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
15.设复数，满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
【详解】，可设，，
，
，两式平方作和得：，
化简得：
故答案为：.
【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*.
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.中，sin^2^*A*－sin^2^*B*－sin^2^*C*=sin*B*sin*C.*
（1）求*A*；
（2）若*BC*=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，=1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）样本的相关系数为
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合.过*F*且与*x*轴垂直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|.
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）设*M*是*C*~1~与*C*~2~的公共点，若\|*MF*\|=5，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.
20.如图，已知三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点，过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*.
（1）证明：*AA*~1~∥*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且*AO*=*AB*，求直线*B*~1~*E*与平面*A*~1~*AMN*所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；
（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.
【详解】（1）分别为，的中点，
又
在中，为中点，则
又侧面为矩形，
由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面
又平面
平面
平面
平面平面
（2）连接
平面，平面平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面平面，面平面
故：四边形是平行四边形
设边长是()
可得：，
为的中心，且边长为
故：
解得：
在截取，故
且
四边形是平行四边形，
由（1）平面
故为与平面所成角
在，根据勾股定理可得：
直线与平面所成角的正弦值：.
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.
21.已知函数*f*(*x*)=sin^2^*x*sin2*x*.
（1）讨论*f*(*x*)在区间(0，*π*)的单调性；
（2）证明：；
（3）设*n*∈*N*\*，证明：sin^2^*x*sin^2^2*x*sin^2^4*x*...sin^2^2*^n^x*≤.
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)结合(2)的结论有：
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2*B*铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），
，解得：或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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**2019年广东省深圳市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）**
1．（3分）（2019•深圳）的绝对值是
A．5 B． C． D．
2．（3分）（2019•深圳）下列图形中是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•深圳）预计到2025年，中国用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•深圳）下列哪个图形是正方体的展开图
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•深圳）这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是
A．20，23 B．21，23 C．21，22 D．22，23
6．（3分）（2019•深圳）下列运算正确的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•深圳）如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•深圳）如图，已知，，，以，两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为
A．8 B．10 C．11 D．13
9．（3分）（2019•深圳）已知的图象如图，则和的图象为
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•深圳）下面命题正确的是
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
11．（3分）（2019•深圳）定义一种新运算，例如，若，则
A． B． C．2 D．
12．（3分）（2019•深圳）已知菱形，、是动点，边长为4，，，则下列结论正确的有几个
①；②为等边三角形；③；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）**
13．（3分）（2019•深圳）分解因式：[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•深圳）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•深圳）如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，求[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•深圳）如图，在中，，，，点在反比例函数图象上，且轴平分，求[ ]{.underline}．
**三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分）**
17．（5分）（2019•深圳）计算：
18．（6分）（2019•深圳）先化简，再将代入求值．
19．（7分）（2019•深圳）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）这次共抽取[ ]{.underline}名学生进行调查，扇形统计图中的[ ]{.underline}；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中"扬琴"所对扇形的圆心角是[ ]{.underline}度；
（4）若该校有3000名学生，请你佔计该校喜爱"二胡"的学生约有[ ]{.underline}名．
20．（8分）（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得仰角为，求隧道长．，，．
21．（8分）（2019•深圳）有、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发电多少度？
（2）、两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电量的最大值．
22．（9分）（2019•深圳）如图抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
23．（9分）（2019•深圳）已知在平面直角坐标系中，点，，，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接；
①当时，求所有点的坐标[ ]{.underline}（直接写出）；
②求的最大值．
**2019年广东省深圳市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）**
1．（3分）的绝对值是
A．5 B． C． D．
【考点】绝对值
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得，
故选：．
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
3．（3分）预计到2025年，中国用户将超过460000000，将460000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其．中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数
【解答】解：将460000000用科学记数法表示为．
故选：．
4．（3分）下列哪个图形是正方体的展开图
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项、、不是正方体展开图；选项是正方体展开图．．
故选：．
5．（3分）这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是
A．20，23 B．21，23 C．21，22 D．22，23
【考点】众数；中位数
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：这组数据排序后为20，21，22，23，23，
中位数和众数分别是22，23，
故选：．
6．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、幂的乘方以及积的乘方化简即可判断．
【解答】解：．，故选项不合题意；
．，故选项不合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不合题意．
故选：．
7．（3分）如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】利用平行线的性质得到，，，再根据角平分线的定义得到，，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：，
，，，
为角平分线，
，．
故选：．
8．（3分）如图，已知，，，以，两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为
A．8 B．10 C．11 D．13
【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质
【分析】利用基本作图得到垂直平分，利用线段垂直平分线的定义得到，然后利用等线段代换得到的周长．
【解答】解：由作法得垂直平分，
，
的周长．
故选：．
9．（3分）已知的图象如图，则和的图象为
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；二次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据二次函数的图象可以得到，，，由此可以判定经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【解答】解：根据二次函数的图象，
可得，，，
过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
是正确的．
故选：．
10．（3分）下面命题正确的是
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点】命题与定理
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项不正确；
由方程的解为或得出选项不正确；
由六边形内角和为得出选项不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项正确；即可得出结论．
【解答】解：．矩形对角线互相垂直，不正确；
．方程的解为，不正确；
．六边形内角和为，不正确；
．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选：．
11．（3分）定义一种新运算，例如，若，则
A． B． C．2 D．
【考点】负整数指数幂；有理数的混合运算
【分析】根据新运算列等式为，解出即可．
【解答】解：由题意得：，
，
，
，
故选：．
12．（3分）已知菱形，、是动点，边长为4，，，则下列结论正确的有几个
①；②为等边三角形；③；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】①，正确；②由，得，，由，得，所以是等边三角形，正确；③因为，，所以，故③正确；④过点作交下点点，易证是等边三角形，则，由，则．故④正确，
【解答】解：①，正确；
②，
，，
，
，
是等边三角形，
故②正确；
③；
，
，
故③正确正确；
④过点作交下点点，
易证是等边三角形，则，
，
则．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：．
**二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分）**
13．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
14．（3分）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是[ ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】直接利用概率公式计算进而得出答案．
【解答】解：现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，
将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是：．
故答案为：．
15．（3分）如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，求[ ]{.underline}．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质
【分析】作于点．根据折叠的性质与等腰直角三角形的性质得出，，，由勾股定理得到．那么正方形的边长，，然后利用勾股定理即可求出．
【解答】解：如图，作于点．
四边形是正方形，
．
将沿翻折，点对应点刚好落在对角线上的点，
，，
．
将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上的点，
，
正方形的边长，，
．
故答案为．
16．（3分）如图，在中，，，，点在反比例函数图象上，且轴平分，求[ ]{.underline}．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】要求得值，通常可求的坐标，可作轴的垂线，构造相似三角形，利用和可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值．
【解答】解：过作轴，垂足为，
，
，
可证
，
；
又轴平分，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
**三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分）**
17．（5分）计算：
【考点】零指数幂；：实数的运算；：负整数指数幂；：特殊角的三角函数值
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（6分）先化简，再将代入求值．
【考点】分式的化简求值
【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
【解答】解：原式
，
将代入得：
原式．
19．（7分）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）这次共抽取[ 200 ]{.underline}名学生进行调查，扇形统计图中的[ ]{.underline}；
（2）请补全统计图；
（3）在扇形统计图中"扬琴"所对扇形的圆心角是[ ]{.underline}度；
（4）若该校有3000名学生，请你佔计该校喜爱"二胡"的学生约有[ ]{.underline}名．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
【分析】（1）依据喜爱古筝的人数数据，即可得到调查的学生人数，根据喜欢竹笛的学生数占总人数的百分比即可得到结论；
（2）求二胡的学生数，即可将条形统计图补充完整；
（3）依据"扬琴"的百分比，即可得到"扬琴"所占圆心角的度数；
（4）依据喜爱"二胡"的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱"二胡"的学生数量．
【解答】解：（1），，
故答案为：200；；
（2）喜欢二胡的学生数为，
补全统计图如图所示，（3）扇形统计图中"扬琴"所对扇形的圆心角是：，
故答案为：36；
（4），
答：该校喜爱"二胡"的学生约有有900名．
故答案为：900．
20．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得仰角为，求隧道长．，，．
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在中，，
作于，
则，
，
在中，，
，
（米，
答：隧道长为700米．
21．（8分）有、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发电多少度？
（2）、两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电量的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据"每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电"列方程组解答即可；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据题意得：
，解得，
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，则
，
，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值为：（元．
答：厂和厂总发电量的最大是25800度．
22．（9分）如图抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；
（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；
（3），即可求解．
【解答】解：（1），点，
则抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）的周长，其中、是常数，
故最小时，周长最小，
取点关于函数对称点，则，
取点，则，
故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，
四边形的周长的最小值；
（3）如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为两部分，
又，
则，或，
则或，
即：点的坐标为，或，，
将点、的坐标代入一次函数表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为或．
23．（9分）已知在平面直角坐标系中，点，，，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接；
①当时，求所有点的坐标[ ， ]{.underline}（直接写出）；
②求的最大值．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）连接，证明即可，可通过半径相等得到，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得，，得证；
（2）①分两种情况：位于线段上，位于的延长线上；过作的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点坐标；
②应用相似三角形性质和三角函数值表示出，令，应用二次函数最值可得到结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接，为圆的直径，
，
即：
轴
点在上
直线为的切线．
（2）①如图2，当位于上时，过作于，
，，
，即
设，则，
，解得：
即，
如图3，当位于的延长线上时，过作于，
设，则，
解得：
即
故答案为：，，．
②如图4，为直径
，
令
当时，
此时
．
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日期：2019/7/11 8:40:00；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2020年重庆市中考数学试卷（B卷）**
**一．选择题（共12小题）**
1．5的倒数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．﹣
2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A．长方体 B．圆柱体
C．球体 D．圆锥体
3．计算*a*•*a*^2^结果正确的是（ ）
A．*a* B．*a*^2^ C．*a*^3^ D．*a*^4^
4．如图，*AB*是⊙*O*的切线，*A*为切点，连接*OA*，*OB*．若∠*B*＝35°，则∠*AOB*的度数为（ ）
> 
A．65° B．55° C．45° D．35°
5．已知*a*+*b*＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．如图，△*ABC*与△*DEF*位似，点*O*为位似中心．已知*OA*：*OD*＝1：2，则△*ABC*与△*DEF*的面积比为（ ）
> 
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，...，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
> 
A．18 B．19 C．20 D．21
9．如图，垂直于水平面的5*G*信号塔*AB*建在垂直于水平面的悬崖边*B*点处，某测量员从山脚*C*点出发沿水平方向前行78米到*D*点（点*A*，*B*，*C*在同一直线上），再沿斜坡*DE*方向前行78米到*E*点（点*A*，*B*，*C*，*D*，*E*在同一平面内），在点*E*处测得5*G*信号塔顶端*A*的仰角为43°，悬崖*BC*的高为144.5米，斜坡*DE*的坡度（或坡比）*i*＝1：2.4，则信号塔*AB*的高度约为（ ）
> （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
>
> 
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
10．若关于*x*的一元一次不等式组的解集为*x*≥5，且关于*y*的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数*a*的和为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0
11．如图，在△*ABC*中，*AC*＝2，∠*ABC*＝45°，∠*BAC*＝15°，将△*ACB*沿直线*AC*翻折至△*ABC*所在的平面内，得△*ACD*．过点*A*作*AE*，使∠*DAE*＝∠*DAC*，与*CD*的延长线交于点*E*，连接*BE*，则线段*BE*的长为（ ）
> 
A． B．3 C．2 D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形*ABCD*的顶点*A*，*C*分别在*x*轴，*y*轴的正半轴上，点*D*（﹣2，3），*AD*＝5，若反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象经过点*B*，则*k*的值为（ ）
> 
A． B．8 C．10 D．
**二．填空题（共6小题）**
13．计算：（）^﹣1^﹣＝[ ]{.underline}．
14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是[ ]{.underline}．
16．如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*交于点*O*，∠*ABC*＝120°，*AB*＝2，以点*O*为圆心，*OB*长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．（结果保留π）
> 
17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从*A*地出发前往*B*地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达*B*地，乙一直保持原速前往*B*地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程*y*（单位：米）与乙骑行的时间*x*（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚[ ]{.underline}分钟到达*B*地．
> 
18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为[ ]{.underline}元．
**三．解答题**
19.计算：
> （1）（*x*+*y*）^2^+*y*（3*x*﹣*y*）；
>
> （2）（+*a*）÷．
20.如图，在平行四边形*ABCD*中，*AE*，*CF*分别平分∠*BAD*和∠*DCB*，交对角线*BD*于点*E*，*F*．
> （1）若∠*BCF*＝60°，求∠*ABC*的度数；
>
> （2）求证：*BE*＝*DF*．
>
> 
21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展"国家安全法"知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
> 八年级抽取的学生的竞赛成绩：
>
> 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
>
> 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
-------- -------- --------
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 *a* *b*
众数 7 *c*
合格率 85% 90%
-------- -------- --------
> 根据以上信息，解答下列问题：
>
> （1）填空：*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}，*c*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
>
> （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级"国家安全法"知识竞赛的学生成绩谁更优异．
>
> 
22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣"好数"．
> 定义：对于三位自然数*n*，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数*n*为"好数"．
>
> 例如：426是"好数"，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
>
> 643不是"好数"，因为6+4＝10，10不能被3整除．
>
> （1）判断312，675是否是"好数"？并说明理由；
>
> （2）求出百位数字比十位数字大5的所有"好数"的个数，并说明理由．
23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数*y*＝﹣的图象并探究该函数的性质．
----- ----- --------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- -----
*x* ... ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ...
*y* ... ﹣ *a* ﹣2 ﹣4 *b* ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣ ...
----- ----- --------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- -----
> （1）列表，写出表中*a*，*b*的值：*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}；
>
> 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
>
> （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用"√"作答，错误的用"×"作答）：
>
> ①函数*y*＝﹣的图象关于*y*轴对称；
>
> ②当*x*＝0时，函数*y*＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
>
> ③在自变量的取值范围内函数*y*的值随自变量*x*的增大而减小．
>
> （3）已知函数*y*＝﹣*x*﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣*x*﹣的解集．
>
> 
24.为响应"把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对*A*，*B*两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年*A*、*B*两个品种各种植了10亩．收获后*A*、*B*两个品种的售价均为2.4元/*kg*，且*B*品种的平均亩产量比*A*品种高100千克，*A*、*B*两个品种全部售出后总收入为21600元．
> （1）求*A*、*B*两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
>
> （2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计*A*、*B*两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加*a*%和2*a*%．由于*B*品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨*a*%，而*A*品种的售价保持不变，*A*、*B*两个品种全部售出后总收入将增加*a*%．求*a*的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）与*y*轴交于点*C*，与*x*轴交于*A*，*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），且*A*点坐标为（﹣，0），直线*BC*的解析式为*y*＝﹣*x*+2．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）过点*A*作*AD*∥*BC*，交抛物线于点*D*，点*E*为直线*BC*上方抛物线上一动点，连接*CE*，*EB*，*BD*，*DC*．求四边形*BECD*面积的最大值及相应点*E*的坐标；
>
> （3）将抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）向左平移个单位，已知点*M*为抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）的对称轴上一动点，点*N*为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形*BECD*的面积最大时，是否存在以*A*，*E*，*M*，*N*为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点*N*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
26.△*ABC*为等边三角形，*AB*＝8，*AD*⊥*BC*于点*D*，*E*为线段*AD*上一点，*AE*＝2．以*AE*为边在直线*AD*右侧构造等边三角形*AEF*，连接*CE*，*N*为*CE*的中点．
> （1）如图1，*EF*与*AC*交于点*G*，连接*NG*，求线段*NG*的长；
>
> （2）如图2，将△*AEF*绕点*A*逆时针旋转，旋转角为α，*M*为线段*EF*的中点，连接*DN*，*MN*．当30°＜α＜120°时，猜想∠*DNM*的大小是否为定值，并证明你的结论；
>
> （3）连接*BN*，在△*AEF*绕点*A*逆时针旋转过程中，当线段*BN*最大时，请直接写出△*ADN*的面积．
>
> 
**2020年重庆市中考数学试卷（B卷）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共12小题）**
1．5的倒数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．﹣
> 【分析】根据倒数的定义，可得答案．
>
> 【解答】解：5得倒数是，
>
> 故选：*B*．
2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
A．长方体 B．圆柱体
C．球体 D．圆锥体
> 【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．
>
> 【解答】解：*A*、六个面都是平面，故本选项正确；
>
> *B*、侧面不是平面，故本选项错误；
>
> *C*、球面不是平面，故本选项错误；
>
> *D*、侧面不是平面，故本选项错误；
>
> 故选：*A*．
3．计算*a*•*a*^2^结果正确的是（ ）
A．*a* B．*a*^2^ C．*a*^3^ D．*a*^4^
> 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
>
> 【解答】解：*a*•*a*^2^＝*a*^1+2^＝*a*^3^．
>
> 故选：*C*．
4．如图，*AB*是⊙*O*的切线，*A*为切点，连接*OA*，*OB*．若∠*B*＝35°，则∠*AOB*的度数为（ ）
> 
A．65° B．55° C．45° D．35°
> 【分析】根据切线的性质得到∠*OAB*＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
>
> 【解答】解：∵*AB*是⊙*O*的切线，
>
> ∴*OA*⊥*AB*，
>
> ∴∠*OAB*＝90°，
>
> ∴∠*AOB*＝90°﹣∠*B*＝55°，
>
> 故选：*B*．
5．已知*a*+*b*＝4，则代数式1++的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
> 【分析】将*a*+*b*的值代入原式＝1+（*a*+*b*）计算可得．
>
> 【解答】解：当*a*+*b*＝4时，
>
> 原式＝1+（*a*+*b*）
>
> ＝1+×4
>
> ＝1+2
>
> ＝3，
>
> 故选：*A*．
6．如图，△*ABC*与△*DEF*位似，点*O*为位似中心．已知*OA*：*OD*＝1：2，则△*ABC*与△*DEF*的面积比为（ ）
> 
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
> 【分析】根据位似图形的概念求出△*ABC*与△*DEF*的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
>
> 【解答】解：∵△*ABC*与△*DEF*是位似图形，*OA*：*OD*＝1：2，
>
> ∴△*ABC*与△*DEF*的位似比是1：2．
>
> ∴△*ABC*与△*DEF*的相似比为1：2，
>
> ∴△*ABC*与△*DEF*的面积比为1：4，
>
> 故选：*C*．
7．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
> 【分析】设还可以买*x*个作业本，根据总价＝单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关系*x*的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
>
> 【解答】解：设还可以买*x*个作业本，
>
> 依题意，得：2.2×7+6*x*≤40，
>
> 解得：*x*≤4．
>
> 又∵*x*为正整数，
>
> ∴*x*的最大值为4．
>
> 故选：*B*．
8．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，...，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
> 
A．18 B．19 C．20 D．21
> 【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第*n*个图形中实心圆点的个数为2*n*+*n*+2，据此求解可得．
>
> 【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数5＝2×1+3，
>
> 第②个图形中实心圆点的个数8＝2×2+4，
>
> 第③个图形中实心圆点的个数11＝2×3+5，
>
> ......
>
> ∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+8＝20，
>
> 故选：*C*．
9．如图，垂直于水平面的5*G*信号塔*AB*建在垂直于水平面的悬崖边*B*点处，某测量员从山脚*C*点出发沿水平方向前行78米到*D*点（点*A*，*B*，*C*在同一直线上），再沿斜坡*DE*方向前行78米到*E*点（点*A*，*B*，*C*，*D*，*E*在同一平面内），在点*E*处测得5*G*信号塔顶端*A*的仰角为43°，悬崖*BC*的高为144.5米，斜坡*DE*的坡度（或坡比）*i*＝1：2.4，则信号塔*AB*的高度约为（ ）
> （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
>
> 
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
> 【分析】过点*E*作*EF*⊥*DC*交*DC*的延长线于点*F*，过点*E*作*EM*⊥*AC*于点*M*，根据斜坡*DE*的坡度（或坡比）*i*＝1：2.4可设*EF*＝*x*，则*DF*＝2.4*x*，利用勾股定理求出*x*的值，进而可得出*EF*与*DF*的长，故可得出*CF*的长．由矩形的判定定理得出四边形*EFCM*是矩形，故可得出*EM*＝*FC*，*CM*＝*EF*，再由锐角三角函数的定义求出*AM*的长，进而可得出答案．
>
> 【解答】解：过点*E*作*EF*⊥*DC*交*DC*的延长线于点*F*，过点*E*作*EM*⊥*AC*于点*M*，
>
> 
>
> ∵斜坡*DE*的坡度（或坡比）*i*＝1：2.4，*BE*＝*CD*＝78米，
>
> ∴设*EF*＝*x*，则*DF*＝2.4*x*．
>
> 在Rt△*DEF*中，
>
> ∵*EF*^2^+*DF*^2^＝*DE*^2^，即*x*^2^+（2.4*x*）^2^＝78^2^，
>
> 解得*x*＝30，
>
> ∴*EF*＝30米，*DF*＝72米，
>
> ∴*CF*＝*DF*+*DC*＝72+78＝150米．
>
> ∵*EM*⊥*AC*，*AC*⊥*CD*，*EF*⊥*CD*，
>
> ∴四边形*EFCM*是矩形，
>
> ∴*EM*＝*CF*＝150米，*CM*＝*EF*＝30米．
>
> 在Rt△*AEM*中，
>
> ∵∠*AEM*＝43°，
>
> ∴*AM*＝*EM*•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
>
> ∴*AC*＝*AM*+*CM*＝139.5+30＝169.5米．
>
> ∴*AB*＝*AC*﹣*BC*＝169.5﹣144.5＝25米．
>
> 故选：*D*．
10．若关于*x*的一元一次不等式组的解集为*x*≥5，且关于*y*的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数*a*的和为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．0
> 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出*a*的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出*a*的值，求出之和即可．
>
> 【解答】解：不等式组整理得：，
>
> 由解集为*x*≥5，得到2+*a*≤5，即*a*≤3，
>
> 分式方程去分母得：*y*﹣*a*＝﹣*y*+2，即2*y*﹣2＝*a*，
>
> 解得：*y*＝+1，
>
> 由*y*为非负整数，且*y*≠2，得到*a*＝0，﹣2，之和为﹣2，
>
> 故选：*B*．
11．如图，在△*ABC*中，*AC*＝2，∠*ABC*＝45°，∠*BAC*＝15°，将△*ACB*沿直线*AC*翻折至△*ABC*所在的平面内，得△*ACD*．过点*A*作*AE*，使∠*DAE*＝∠*DAC*，与*CD*的延长线交于点*E*，连接*BE*，则线段*BE*的长为（ ）
> 
A． B．3 C．2 D．4
> 【分析】延长*BC*交*AE*于*H*，由折叠的性质∠*DAC*＝∠*BAC*＝15°，∠*ADC*＝∠*ABC*＝45°，∠*ACB*＝∠*ACD*＝120°，由外角的性质可求∠*AED*＝∠*EAC*，可得*AC*＝*EC*，由"*SAS*"可证△*ABC*≌△*EBC*，可得*AB*＝*BE*，∠*ABC*＝∠*EBC*＝45°，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
>
> 【解答】解：如图，延长*BC*交*AE*于*H*，
>
> 
>
> ∵∠*ABC*＝45°，∠*BAC*＝15°，
>
> ∴∠*ACB*＝120°，
>
> ∵将△*ACB*沿直线*AC*翻折，
>
> ∴∠*DAC*＝∠*BAC*＝15°，∠*ADC*＝∠*ABC*＝45°，∠*ACB*＝∠*ACD*＝120°，
>
> ∵∠*DAE*＝∠*DAC*，
>
> ∴∠*DAE*＝∠*DAC*＝15°，
>
> ∴∠*CAE*＝30°，
>
> ∵∠*ADC*＝∠*DAE*+∠*AED*，
>
> ∴∠*AED*＝45°﹣15°＝30°，
>
> ∴∠*AED*＝∠*EAC*，
>
> ∴*AC*＝*EC*，
>
> 又∵∠*BCE*＝360°﹣∠*ACB*﹣∠*ACE*＝120°＝∠*ACB*，*BC*＝*BC*，
>
> ∴△*ABC*≌△*EBC*（*SAS*），
>
> ∴*AB*＝*BE*，∠*ABC*＝∠*EBC*＝45°，
>
> ∴∠*ABE*＝90°，
>
> ∵*AB*＝*BE*，∠*ABC*＝∠*EBC*，
>
> ∴*AH*＝*EH*，*BH*⊥*AE*，
>
> ∵∠*CAE*＝30°，
>
> ∴*CH*＝*AC*＝，*AH*＝*CH*＝，
>
> ∴*AE*＝2，
>
> ∵*AB*＝*BE*，∠*ABE*＝90°，
>
> ∴*BE*＝＝2，
>
> 故选：*C*．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形*ABCD*的顶点*A*，*C*分别在*x*轴，*y*轴的正半轴上，点*D*（﹣2，3），*AD*＝5，若反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象经过点*B*，则*k*的值为（ ）
> 
A． B．8 C．10 D．
> 【分析】过*D*作*DE*⊥*x*轴于*E*，过*B*作*BF*⊥*x*轴，*BH*⊥*y*轴，得到∠*BHC*＝90°，根据勾股定理得到*AE*＝＝4，根据矩形的性质得到*AD*＝*BC*，根据全等三角形的性质得到*BH*＝*AE*＝4，求得*AF*＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：过*D*作*DE*⊥*x*轴于*E*，过*B*作*BF*⊥*x*轴，*BH*⊥*y*轴，
>
> ∴∠*BHC*＝90°，
>
> ∵点*D*（﹣2，3），*AD*＝5，
>
> ∴*DE*＝3，
>
> ∴*AE*＝＝4，
>
> ∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴*AD*＝*BC*，
>
> ∴∠*BCD*＝∠*ADC*＝90°，
>
> ∴∠*DCP*+∠*BCH*＝∠*BCH*+∠*CBH*＝90°，
>
> ∴∠*CBH*＝∠*DCH*，
>
> ∵∠*DCG*+∠*CPD*＝∠*APO*+∠*DAE*＝90°，
>
> ∠*CPD*＝∠*APO*，
>
> ∴∠*DCP*＝∠*DAE*，
>
> ∴∠*CBH*＝∠*DAE*，
>
> ∵∠*AED*＝∠*BHC*＝90°，
>
> ∴△*ADE*≌△*BCH*（*AAS*），
>
> ∴*BH*＝*AE*＝4，
>
> ∵*OE*＝2，
>
> ∴*OA*＝2，
>
> ∴*AF*＝2，
>
> ∵∠*APO*+∠*PAO*＝∠*BAF*+∠*PAO*＝90°，
>
> ∴∠*APO*＝∠*BAF*，
>
> ∴△*APO*∽△*BAF*，
>
> ∴，
>
> ∴＝，
>
> ∴*BF*＝，
>
> ∴*B*（4，），
>
> ∴*k*＝，
>
> 故选：*D*．
>
> 
**二．填空题（共6小题）**
13．计算：（）^﹣1^﹣＝[ 3 ]{.underline}．
> 【分析】先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减可得．
>
> 【解答】解：原式＝5﹣2＝3，
>
> 故答案为：3．
14．经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人．请把数94000000用科学记数法表示为[ 9.4×10^7^ ]{.underline}．
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：94000000＝9.4×10^7^，
>
> 故答案为：9.4×10^7^．
15．盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
>
> 【解答】解：列表如下
--- --- --- ---
1 2 3
1 3 4
2 3 5
3 4 5
--- --- --- ---
> 由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
>
> 所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为＝，
>
> 故答案为：．
16．如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*交于点*O*，∠*ABC*＝120°，*AB*＝2，以点*O*为圆心，*OB*长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为[ 3]{.underline}[﹣π ]{.underline}．（结果保留π）
> 
>
> 【分析】由菱形的性质可得*AC*⊥*BD*，*BO*＝*DO*，*OA*＝*OC*，*AB*＝*AD*，∠*DAB*＝60°，可证△*BEO*，△*DFO*是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠*EOF*＝60°，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．
>
> 【解答】解：如图，设连接以点*O*为圆心，*OB*长为半径画弧，分别与*AB*，*AD*相交于*E*，*F*，连接*EO*，*FO*，
>
> 
>
> ∵四边形*ABCD*是菱形，∠*ABC*＝120°，
>
> ∴*AC*⊥*BD*，*BO*＝*DO*，*OA*＝*OC*，*AB*＝*AD*，∠*DAB*＝60°，
>
> ∴△*ABD*是等边三角形，
>
> ∴*AB*＝*BD*＝2，∠*ABD*＝∠*ADB*＝60°，
>
> ∴*BO*＝*DO*＝，
>
> ∵以点*O*为圆心，*OB*长为半径画弧，
>
> ∴*BO*＝*OE*＝*OD*＝*OF*，
>
> ∴△*BEO*，△*DFO*是等边三角形，
>
> ∴∠*DOF*＝∠*BOE*＝60°，
>
> ∴∠*EOF*＝60°，
>
> ∴阴影部分的面积＝2×（*S*~△*ABD*~﹣*S*~△*DFO*~﹣*S*~△*BEO*~﹣*S*~扇形*OEF*~）＝2×（×12﹣×3﹣×3﹣）＝3﹣π，
>
> 故答案为：3﹣π．
17．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从*A*地出发前往*B*地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达*B*地，乙一直保持原速前往*B*地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程*y*（单位：米）与乙骑行的时间*x*（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚[ 12 ]{.underline}分钟到达*B*地．
> 
>
> 【分析】首先确定甲乙两人的速度，求出总里程，再求出甲到达*B*地时，乙离*B*地的距离即可解决问题．
>
> 【解答】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为*x*米/分．
>
> 则有：7500﹣20*x*＝2500，
>
> 解得*x*＝250，
>
> 25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分）．
>
> 由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），
>
> 86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
>
> ∴＝12（分钟）．
>
> 故答案为12．
18．为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为[ 1230 ]{.underline}元．
> 【分析】设第一时段摸到红球*x*次，摸到黄球*y*次，摸到绿球*z*次，（*x*，*y*，*z*均为非负整数），则第一时段返现（50*x*+30*y*+10*z*），根据"第三时段返现金额比第一时段多420元"，得出*z*＝42﹣9*y*，进而确定出*y*≤，再根据"三个时段返现总金额为2510元"，得出25*x*＝42*y*﹣43，进而得出≤*y*≤，再将满足题意的*y*的知代入④，计算*x*，进而得出*x*，*z*，即可得出结论．
>
> 【解答】解：设第一时段摸到红球*x*次，摸到黄球*y*次，摸到绿球*z*次，（*x*，*y*，*z*均为非负整数），则第一时段返现金额为（50*x*+30*y*+10*z*），
>
> 第二时段摸到红球3*x*次，摸到黄球2*y*次，摸到绿球4*z*次，则第二时段返现金额为（50×3*x*+30×2*y*+10×4*z*），
>
> 第三时段摸到红球*x*次，摸到黄球4*y*次，摸到绿球2*z*次，则第三时段返现金额为（50*x*+30×4*y*+10×2*z*），
>
> ∵第三时段返现金额比第一时段多420元，
>
> ∴（50*x*+30×4*y*+10×2*z*）﹣（50*x*+30*y*+10*z*）＝420，
>
> ∴*z*＝42﹣9*y*①，
>
> ∵*z*为非负整数，
>
> ∴42﹣9*y*≥0，
>
> ∴*y*≤，
>
> ∵三个时段返现总金额为2510元，
>
> ∴（50*x*+30*y*+10*z*）+（50*x*+30×4*y*+10×2*z*）+（50*x*+30×4*y*+10×2*z*）＝2510，
>
> ∴25*x*+21*y*+7*z*＝251②，
>
> 将①代入②中，化简整理得，25*x*＝42*y*﹣43，
>
> ∴*x*＝④，
>
> ∵*x*为非负整数，
>
> ∴≥0，
>
> ∴*y*≥，
>
> ∴≤*y*≤，
>
> ∵*y*为非负整数，
>
> ∴*y*＝2，34，
>
> 当*y*＝2时，*x*＝，不符合题意，
>
> 当*y*＝3时，*x*＝，不符合题意，
>
> 当*y*＝4时，*x*＝5，则*z*＝6，
>
> ∴第二时段返现金额为50×3*x*+30×2*y*+10×4*z*＝10（15×5+6×4+4×6）＝1230（元），
>
> 故答案为：1230．
**三．解答题**
19.计算：
> （1）（*x*+*y*）^2^+*y*（3*x*﹣*y*）；
>
> （2）（+*a*）÷．
>
> 【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式；6C：分式的混合运算．
>
> 【专题】512：整式；513：分式；66：运算能力；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；
>
> （2）根据分式的四则计算的法则进行计算即可，
>
> 【解答】解：（1）（*x*+*y*）^2^+*y*（3*x*﹣*y*），
>
> ＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^+3*xy*﹣*y*^2^，
>
> ＝*x*^2^+5*xy*；
>
> （2）（+*a*）÷，
>
> ＝（+）×，
>
> ＝×，
>
> ＝﹣．
20.如图，在平行四边形*ABCD*中，*AE*，*CF*分别平分∠*BAD*和∠*DCB*，交对角线*BD*于点*E*，*F*．
> （1）若∠*BCF*＝60°，求∠*ABC*的度数；
>
> （2）求证：*BE*＝*DF*．
>
> 
>
> 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
>
> 【专题】555：多边形与平行四边形；67：推理能力．
>
> 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到*AB*∥*CD*，根据平行线的性质得到∠*ABC*+∠*BCD*＝180°，根据角平分线的定义得到∠*BCD*＝2∠*BCF*，于是得到结论；
>
> （2）根据平行四边形的性质得到*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，∠*BAD*＝∠*DCB*，求得∠*ABE*＝∠*CDF*，根据角平分线的定义得到∠*BAE*＝∠*DCE*，根据全等三角形的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）∵四边形*ABCD*是平行四边形，
>
> ∴*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠*ABC*+∠*BCD*＝180°，
>
> ∵*CF*平分∠*DCB*，
>
> ∴∠*BCD*＝2∠*BCF*，
>
> ∵∠*BCF*＝60°，
>
> ∴∠*BCD*＝120°，
>
> ∴∠*ABC*＝180°﹣120°＝60°；
>
> （2）∵四边形*ABCD*是平行四边形，
>
> ∴*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，∠*BAD*＝∠*DCB*，
>
> ∴∠*ABE*＝∠*CDF*，
>
> ∵*AE*，*CF*分别平分∠*BAD*和∠*DCB*，
>
> ∴∠*BAE*＝，∠*DCF*＝，
>
> ∴∠*BAE*＝∠*DCE*，
>
> ∴△*ABE*≌△*CDF*（*ASA*），
>
> ∴*BE*＝*CF*．
21.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展"国家安全法"知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
> 八年级抽取的学生的竞赛成绩：
>
> 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
>
> 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
-------- -------- --------
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 *a* *b*
众数 7 *c*
合格率 85% 90%
-------- -------- --------
> 根据以上信息，解答下列问题：
>
> （1）填空：*a*＝[ 7.5 ]{.underline}，*b*＝[ 8 ]{.underline}，*c*＝[ 8 ]{.underline}；
>
> （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
>
> （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级"国家安全法"知识竞赛的学生成绩谁更优异．
>
> 
>
> 【考点】V5：用样本估计总体；W4：中位数；W5：众数．
>
> 【专题】542：统计的应用；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）由图表可求解；
>
> （2）利用样本估计总体思想求解可得；
>
> （3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级"国家安全法"知识竞赛的学生成绩更优异．
>
> 【解答】解：（1）由图表可得：*a*＝＝7.5，*b*＝＝8，*c*＝8，
>
> 故答案为：7.5，8，8；
>
> （2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×＝200（人），
>
> 答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
>
> （3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
>
> ∴八年级"国家安全法"知识竞赛的学生成绩更优异．
22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣"好数"．
> 定义：对于三位自然数*n*，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数*n*为"好数"．
>
> 例如：426是"好数"，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
>
> 643不是"好数"，因为6+4＝10，10不能被3整除．
>
> （1）判断312，675是否是"好数"？并说明理由；
>
> （2）求出百位数字比十位数字大5的所有"好数"的个数，并说明理由．
>
> 【考点】\#3：数的整除性．
>
> 【专题】32：分类讨论；66：运算能力．
>
> 【分析】（1）根据"好数"的意义，判断即可得出结论；
>
> （2）设十位数数字为*a*，则百位数字为*a*+5（0＜*a*≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2*a*+5，再分别取*a*＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．
>
> 【解答】解：（1）312是"好数"，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，6能被2整除，
>
> 675不是"好数"，因为6+7＝13，13不能被5整除；
>
> （2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
>
> 设十位数数字为*a*，则百位数字为*a*+5（0＜*a*≤4的整数），
>
> ∴*a*+*a*+5＝2*a*+5，
>
> 当*a*＝1时，2*a*+5＝7，
>
> ∴7能被1，7整除，
>
> ∴满足条件的三位数有611，617，
>
> 当*a*＝2时，2*a*+5＝9，
>
> ∴9能被1，3，9整除，
>
> ∴满足条件的三位数有721，723，729，
>
> 当*a*＝3时，2*a*+5＝11，
>
> ∴11能被1整除，
>
> ∴满足条件的三位数有831，
>
> 当*a*＝4时，2*a*+5＝13，
>
> ∴13能被1整除，
>
> ∴满足条件的三位数有941，
>
> 即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数*y*＝﹣的图象并探究该函数的性质．
----- ----- --------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- -----
*x* ... ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 ...
*y* ... ﹣ *a* ﹣2 ﹣4 *b* ﹣4 ﹣2 ﹣ ﹣ ...
----- ----- --------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- -----
> （1）列表，写出表中*a*，*b*的值：*a*＝[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}，*b*＝[ ﹣6 ]{.underline}；
>
> 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
>
> （2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用"√"作答，错误的用"×"作答）：
>
> ①函数*y*＝﹣的图象关于*y*轴对称；
>
> ②当*x*＝0时，函数*y*＝﹣有最小值，最小值为﹣6；
>
> ③在自变量的取值范围内函数*y*的值随自变量*x*的增大而减小．
>
> （3）已知函数*y*＝﹣*x*﹣的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣＜﹣*x*﹣的解集．
>
> 
>
> 【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；FD：一次函数与一元一次不等式；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
>
> 【专题】533：一次函数及其应用；64：几何直观．
>
> 【分析】（1）将*x*＝﹣3，0分别代入解析式即可得*y*的值，再画出函数的图象；
>
> （2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
>
> （3）根据图象求得即可．
>
> 【解答】解：（1）*x*＝﹣3、0分别代入*y*＝﹣，得*a*＝﹣＝﹣，*b*＝﹣＝﹣6，
>
> 故答案为﹣，﹣6；
>
> 画出函数的图象如图：
>
> ，
>
> 故答案为﹣，﹣6；
>
> （2）根据函数图象：
>
> ①函数*y*＝﹣的图象关于*y*轴对称，说法正确；
>
> ②当*x*＝0时，函数*y*＝﹣有最小值，最小值为﹣6，说法正确；
>
> ③在自变量的取值范围内函数*y*的值随自变量*x*的增大而减小，说法错误．
>
> （3）由图象可知：不等式﹣＜﹣*x*﹣的解集为*x*＜﹣4或﹣2＜*x*＜1．
24.为响应"把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对*A*，*B*两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年*A*、*B*两个品种各种植了10亩．收获后*A*、*B*两个品种的售价均为2.4元/*kg*，且*B*品种的平均亩产量比*A*品种高100千克，*A*、*B*两个品种全部售出后总收入为21600元．
> （1）求*A*、*B*两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
>
> （2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计*A*、*B*两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加*a*%和2*a*%．由于*B*品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨*a*%，而*A*品种的售价保持不变，*A*、*B*两个品种全部售出后总收入将增加*a*%．求*a*的值．
>
> 【考点】9A：二元一次方程组的应用；AD：一元二次方程的应用．
>
> 【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）设*A*、*B*两个品种去年平均亩产量分别是*x*千克和*y*千克；根据题意列方程组即可得到结论；
>
> （2）根据题意列方程即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）设*A*、*B*两个品种去年平均亩产量分别是*x*千克和*y*千克；
>
> 根据题意得，，
>
> 解得：，
>
> 答：*A*、*B*两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
>
> （2）2.4×400×10（1+*a*%）+2.4（1+*a*%）×500×10（1+2*a*%）＝21600（1+*a*%），
>
> 解得：*a*＝10，
>
> 答：*a*的值为10．
25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）与*y*轴交于点*C*，与*x*轴交于*A*，*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），且*A*点坐标为（﹣，0），直线*BC*的解析式为*y*＝﹣*x*+2．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）过点*A*作*AD*∥*BC*，交抛物线于点*D*，点*E*为直线*BC*上方抛物线上一动点，连接*CE*，*EB*，*BD*，*DC*．求四边形*BECD*面积的最大值及相应点*E*的坐标；
>
> （3）将抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）向左平移个单位，已知点*M*为抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）的对称轴上一动点，点*N*为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形*BECD*的面积最大时，是否存在以*A*，*E*，*M*，*N*为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点*N*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】HF：二次函数综合题．
>
> 【专题】153：代数几何综合题；32：分类讨论；65：数据分析观念．
>
> 【分析】（1）利用直线*BC*的解析式求出点*B*、*C*的坐标，则*y*＝*ax*^2^+*bx*+2＝*a*（*x*+）（*x*﹣3）＝*ax*^2^﹣2*a*﹣6*a*，即﹣6*a*＝2，解得：*a*＝，即可求解；
>
> （2）四边形*BECD*的面积*S*＝*S*~△*BCE*~+*S*~△*BCD*~＝×*EF*×*OB*+×（*x~D~*﹣*x~C~*）×*BH*，即可求解；
>
> （3）分*AE*是平行四边形的边、*AE*是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1）直线*BC*的解析式为*y*＝﹣*x*+2，令*y*＝0，则*x*＝3，令*x*＝0，则*y*＝2，
>
> 故点*B*、*C*的坐标分别为（3，0）、（0，2）；
>
> 则*y*＝*ax*^2^+*bx*+2＝*a*（*x*+）（*x*﹣3）＝*a*（*x*^2^﹣2*x*﹣6）＝*ax*^2^﹣2*a*﹣6*a*，
>
> 即﹣6*a*＝2，解得：*a*＝，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+*x*+2①；
>
> （2）如图，过点*B*、*E*分别作*y*轴的平行线分别交*CD*于点*H*，交*BC*于点*F*，
>
> 
>
> ∵*AD*∥*BC*，则设直线*AD*的表达式为：*y*＝﹣（*x*+）②，
>
> 联立①②并解得：*x*＝4，故点*D*（4，﹣），
>
> 由点*C*、*D*的坐标得，直线*CD*的表达式为：*y*＝﹣*x*+2，
>
> 当*x*＝3时，*y~BC~*＝﹣*x*+2＝﹣2，即点*H*（3，﹣2），故*BH*＝2，
>
> 设点*E*（*x*，﹣*x*^2^+*x*+2），则点*F*（*x*，﹣*x*+2），
>
> 则四边形*BECD*的面积*S*＝*S*~△*BCE*~+*S*~△*BCD*~＝×*EF*×*OB*+×（*x~D~*﹣*x~C~*）×*BH*＝×（﹣*x*^2^+*x*+2+*x*﹣2）×3+×4×2＝﹣*x*^2^+3*x*+4，
>
> ∵＜0，故*S*有最大值，当*x*＝时，*S*的最大值为，此时点*E*（，）；
>
> （3）存在，理由：
>
> *y*＝﹣*x*^2^+*x*+2＝﹣（*x*）^2^+，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+2（*a*≠0）向左平移个单位，
>
> 则新抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+，
>
> 点*A*、*E*的坐标分别为（﹣，0）、（，）；设点*M*（，*m*），点*N*（*n*，*s*），*s*＝﹣*n*^2^+；
>
> ①当*AE*是平行四边形的边时，
>
> 点*A*向右平移个单位向上平移个单位得到*E*，同样点*M*（*N*）向右平移个单位向上平移个单位得到*N*（*M*），
>
> 即±＝*n*，
>
> 则*s*＝﹣*n*^2^+＝﹣或，
>
> 故点*N*的坐标为（，﹣）或（﹣，）；
>
> ②当*AE*是平行四边形的对角线时，
>
> 由中点公式得：﹣+＝*n*+，解得：*n*＝﹣，
>
> *s*＝﹣*n*^2^+＝，
>
> 故点*N*的坐标（﹣，）；
>
> 综上点*N*的坐标为：（，﹣）或（﹣，）或（﹣，）．
26.△*ABC*为等边三角形，*AB*＝8，*AD*⊥*BC*于点*D*，*E*为线段*AD*上一点，*AE*＝2．以*AE*为边在直线*AD*右侧构造等边三角形*AEF*，连接*CE*，*N*为*CE*的中点．
> （1）如图1，*EF*与*AC*交于点*G*，连接*NG*，求线段*NG*的长；
>
> （2）如图2，将△*AEF*绕点*A*逆时针旋转，旋转角为α，*M*为线段*EF*的中点，连接*DN*，*MN*．当30°＜α＜120°时，猜想∠*DNM*的大小是否为定值，并证明你的结论；
>
> （3）连接*BN*，在△*AEF*绕点*A*逆时针旋转过程中，当线段*BN*最大时，请直接写出△*ADN*的面积．
>
> 【考点】RB：几何变换综合题．
>
> 【专题】152：几何综合题；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）如图1中，连接*BE*，*CF*．解直角三角形求出*BE*，再利用全等三角形的性质证明*CF*＝*BE*，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
>
> （2）结论：∠*DNM*＝120°是定值．利用全等三角形的性质证明∠*EBC*+∠*BCF*＝120°，再利用三角形的中位线定理，三角形的外角的性质证明∠*DNM*＝∠*EBC*+∠*BCF*即可．
>
> （3）如图3﹣1中，取*AC*的中点，连接*BJ*，*BN*．首先证明当点*N*在*BJ*的延长线上时，*BN*的值最大，如图3﹣2中，过点*N*作*NH*⊥*AD*于*H*，设*BJ*交*AD*于*K*，连接*AN*．解直角三角形求出*NH*即可解决问题．
>
> 【解答】解：（1）如图1中，连接*BE*，*CF*．
>
> 
>
> ∵△*ABC*是等边三角形，*AD*⊥*BC*，
>
> ∴*AB*＝*BC*＝*AC*＝8，*BD*＝*CD*＝4，
>
> ∴*AD*＝*BD*＝4，
>
> ∵*AE*＝2，
>
> ∴*DE*＝*AE*＝2，
>
> ∴*BE*＝＝＝2，
>
> ∵△*ABC*，△*AEF*答等边三角形，
>
> ∴*AB*＝*AC*，*AE*＝*AF*，∠*BAC*＝∠*EAF*＝60°，
>
> ∴∠*BAE*＝∠*CAF*，
>
> ∴△*BAE*≌△*CAF*（*SAS*），
>
> ∴*CF*＝*BE*＝2，
>
> ∵*EN*＝*CN*，*EG*＝*FG*，
>
> ∴*GN*＝*CF*＝．
>
> （2）结论：∠*DNM*＝120°是定值．
>
> 
>
> 理由：连接*BE*，*CF*．同法可证△*BAE*≌△*CAF*（*SAS*），
>
> ∴∠*ABE*＝∠*ACF*，
>
> ∵∠*ABC*+∠*ACB*＝60°+60°＝120°，
>
> ∴∠*EBC*+∠*BCF*＝∠*ABC*﹣∠*ABE*+∠*ACB*+∠*ACF*＝120°，
>
> ∵*EN*＝*NC*，*EM*＝*MF*，
>
> ∴*MN*∥*CF*，
>
> ∴∠*ENM*＝∠*ECM*，
>
> ∵*BD*＝*DC*，*EN*＝*NC*，
>
> ∴*DN*∥*BE*，
>
> ∴∠*CDN*＝∠*EBC*，
>
> ∵∠*END*＝∠*NDC*+∠*ACB*，
>
> ∴∠*DNM*＝∠*DNE*+∠*ENM*＝∠*NDC*+∠*ACN*+∠*ECM*＝∠*EBC*+∠*ACB*+∠*ACF*＝∠*EBC*+∠*BCF*＝120°．
>
> （3）如图3﹣1中，取*AC*的中点，连接*BJ*，*BN*．
>
> 
>
> ∵*AJ*＝*CJ*，*EN*＝*NC*，
>
> ∴*JN*＝*AE*＝，
>
> ∵*BJ*＝*AD*＝4，
>
> ∴*BN*≤*BJ*+*JN*，
>
> ∴*BN*≤5，
>
> ∴当点*N*在*BJ*的延长线上时，*BN*的值最大，如图3﹣2中，过点*N*作*NH*⊥*AD*于*H*，设*BJ*交*AD*于*K*，连接*AN*．
>
> 
>
> ∵*KJ*＝*AJ*•tan30°＝，*JN*＝，
>
> ∴*KN*＝，
>
> 在Rt△*HKN*中，∵∠*NHK*＝90°，∠*NKH*＝60°，
>
> ∴*HN*＝*NK*•sin60°＝×＝，
>
> ∴*S*~△*ADN*~＝•*AD*•*NH*＝×4×＝7．
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第七单元演练
一、填空题。
1.有些钟面上有3根针,它们分别是( )、( )、( ),其中( )走得最快,它走一{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}圈是( ),( )走得最慢,它走1大格是( )。
2.我们学过的时间单位有( )、( )、( )。计量很短的时间时,常用比分更小{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}的单位( {width="1.7361111111111112e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"})。
3.秒针走1小格是( )秒,走1圈是( )秒,也就是( )分。分针{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}走1小格是( )分,走1圈是( )分,也就是( )时。
4.秒针从钟面上一个数字走到相邻的下一个数字,经过的{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}时间是( )。\[来源:Zxxk.Com\]
5.填写合适的时间单位。
(1)一节课40( )。
(2)爸爸每天工作8( )。\[来源:Zxxk.Com\]
(3)李静跑50米的成绩是10( )。
(4)做一次深呼吸要4( )。
6.体育老师对第一小组同学进行50米测试,成绩为小红9秒,小丽11秒,小明8秒,小军10秒。( )跑得最快,( )跑得最慢。
二、判断题。(对的画"√",错的画"✕")
1.6分=600秒。 ( )
2.分针走1大格,时针就走1小格。 ( )
3.秒针走1圈,分针走1小格。 ( )
4.火车下午1:05从南京出发,当天下午3:50到达上海,{width="2.361111111111111e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}火车共行驶了2时45分。 {width="2.0833333333333332e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"} {width="2.361111111111111e-2in" height="2.361111111111111e-2in"} ( )
5.小红每{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}天{width="2.2222222222222223e-2in" height="1.875e-2in"}晚上9:00睡觉,第二天早上7:00起床,小红每天睡10时。 ( )
6.小军早上6:30起床,小强早上6:40起床,小强比小军起得早。 ( )
三、在正确的钟面下面画""。
{width="4.679861111111111in" height="1.6729166666666666in"}
四、在{width="0.225in" height="0.225in"}里填上"\>""\<"或"="。
6分{width="0.225in" height="0.225in"}60秒 160分{width="0.225in" height="0.225in"}3时 4分{width="0.225in" height="0.225in"}200秒
3时{width="0.225in" height="0.225in"}300分 250分{width="0.225in" height="0.225in"}5时 60秒{width="0.225in" height="0.225in"}60分\[来源:Z§xx§k.Com\]
10分{width="0.225in" height="0.225in"}600秒 120分{width="0.225in" height="0.225in"}2时 30分{width="0.225in" height="0.225in"}300秒
五、写出每个钟面上所指的时刻,并算出经过的时间。
1.{width="2.6395833333333334in" height="0.8861111111111111in"}
2.{width="3.05in" height="0.9159722222222222in"}
3.{width="3.05in" height="1.0027777777777778in"}
\[来源:Z&xx&k.Com\]
六、解决问题。
1.火车9:20开,李华从家到火车站要35分,李华至少要在几时几分从家出发才能赶上火车?
2{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.875e-2in"}.一个钟表显示的时间是11:45,它比准确时间慢了5分,你知道准确时间是几时几分吗?
3.小军、小红、小伟三个好朋友住在同一个小区,他们一起去郊外旅游。
{width="1.7in" height="0.5263888888888889in"}
集合时间 到达公园的时间
(1)集合5分后汽车出发,汽车出发的时间是多少?
(2)他们什么时间到达公园?路上用了多长时间?
\[来源:学科网\]
4.把一根长24米的木棒每4米锯一段,锯一次用4分。锯完这根木棒{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}用多{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}长时间?
第{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}七单元演练
一、1.秒针 分针 时针(前三空顺序随意) 秒针
60秒 时针 1时
2.时 分 秒 秒
3.1 60 1 1 60 1
4.5秒 5.(1)分 (2)时 (3)秒 (4)秒
6.小明 小丽
二、1.✕ 2.✕ 3. √ 4. √ 5. √ 6.✕
三、提示:7:30 9:00 4:00 画""略
四、\> \< \> \< \< \< ={width="2.361111111111111e-2in" height="2.361111111111111e-2in"} = \>
五、1.6:00 30 6:30 50 7:20
2.3:00 90 4:30 15 4:45
3.12:00 35 12:35 25 1:00
六、1.9时20分-35分=8时45分
2.11时45分-5分=11时40分
3.(1)8时+5分=8时5分
(2)9:30 9时30分-8时5分=1时25分
4.24÷4=6(段) (6-1)×4=20(分)
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**第七单元测试卷**
一、下面哪种分法是平均分?在( )里画"√"。
二、算一算。
12÷3= 27÷3= 35÷5= 32÷8= 25÷5=
24÷8= 18÷2= 45÷9= 3×9= 2×7=
6÷6= 16÷8= 16÷4= 28÷7= 12÷4=
三、比比哪只小猫快?
四、在里填上"\>""\<"或"="。 [http:///](http://www.xkb1.com/)
4×86×5 28÷42×3 4×425÷5 0×51×5
8×435÷7 18÷627÷9 21÷72×3 16÷44×1
五、看图填一填。
1\.
(1)8个,每2个分一份,分成( )份。[http:///](http://www.xkb1.com/)
÷=
(2)8个,平均分成4份,每份( )个。
÷=
2\.
12里面有( )个4,的根数是的( )倍。
○=
六、看图列式。
1\.
×= ÷=
2\.
×= ÷=
七、解决问题。
1.梅梅平均每天看几页?\
2.有9人参加游泳小组,有18人参加溜冰小组。\
3\.
(1)一共有多少块糖? (2)平均每人分多少块?
4.服装厂用6米布做了3套学生校服,做5套校服需要多少米布?
第七单元测试卷答案
一、 ( )( √)( √)
二、 4 9 7 4 5 3 9 5 27 14 1 2
4 4 3
三、 7 21 24 4 2 24 4 16 8 24
四、 \> \> \> \< \> = \< =[http:///](http://www.xkb1.com/)
五、 1. (1)4 8÷2=4 (2)2 8÷4=2
2\. 3 3 12÷4=3
六、 1. 3×3=9 9÷3=3
2\. 4×4=16 16÷4=4
七、 1. 32÷4=8(页) 2. 18÷9=2
3\. (1)9×4=36(块) (2)36÷6=6(块)
4\. 6÷3=2(米) 5×2=10(米)
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《圆柱和圆锥》单元测试2（附答案）**
一、填空题。（每题2分，共20分）
1、3个圆锥形钢锭可以熔铸成（ ）个与它等底等高的圆柱形钢锭。
> 2、用一张长15厘米，宽10厘米的长方形围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积最多是（ ）平方厘米。
3、把圆锥的半径扩大2倍，高扩大15倍，圆锥的体积扩大（ ）倍。
> 4、一个圆柱的侧面展开后恰好是一个正方形，这个圆柱的高是底面直径的（ ）
>
> 倍。
>
> 5、一个圆柱体的体积比与它等底等高的圆锥体体积多24立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米。
6、一个圆锥的体积是12.56立方分米，高是3分米，底面周长是（ ）分米。
7、一个圆柱体底面直径与高相等，它的侧面积是表面积的。
> 8、一个底面直径为4厘米，高为6厘米的圆柱体，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了（ ）平方厘米。
9、圆锥体的底面积是平方分米，高是分米，它的体积是（ ）立方分米。
> 10、将一根长、宽、高分别为6厘米、8厘米、10厘米的长方体削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是（ ）立方厘米。
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×" ）（每小题2分，共10分）
1、将一段圆柱形木头削成一个最大的圆锥，削去的体积占圆柱体的。 （ ）
2、从圆锥的顶点到底面直径上任意一点的线段叫做圆锥的高。 （ ）
3、一个圆柱与一个长方体等底等高，那么它们的体积相等。 （ ）
4、一个圆柱形的玻璃杯盛水1立方分米，我们就说玻璃杯的容积是1升。 （ ）
5、圆柱的侧面展开后不是长方形，就是正方形。 （ ）
三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里）（每题2分，共10分）
1、以一个正方形的一条边为轴转一周，就可以得到一个（ ）。
A、正方体 B、长方体 C、圆柱体
2、一个圆锥的体积是62.8立方分米，底面直径是2分米，高是（ ）分米。
A、10 B、30 C、60
> 3、把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥体，削去部分重12千克，这段圆柱形钢材重多少千克？正确算式是（ ）。
A、12×（1－） B、12÷（1－） C、12×（1＋）
> 4、两个等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相差12.56立方分米，它们的体积和是（ ）立方分米。
A、18.84 B、25.12 C、37.68
> 5、一个圆锥与一个棱长为4分米的正方体的体积相等，已知这个圆锥的底面积是3 32平方分米，它的高应是（ ）分米。
A、2 B、4 C、6
四、求下面各零件的体积。（单位：厘米）（每题5分，共10分）
五、解决问题。（40分）
> 1、影剧院门前有4根大柱子，直径为60厘米，高为5米，如果每平方米付油漆加工费5元，油漆这些柱子要花多少钱？
>
> 2、一个圆柱形茶杯，底面内直径是12厘米，高15厘米，这个茶杯能装水多少立方厘米？
>
> 3、把一根长5分米的圆柱形木料沿底面直径锯成两部分后，表面积增加了200平方分米，求这根木料的体积是多少立方分米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 4、一批小麦堆成圆锥形，底面周长是15.7米，高是3米，把这堆小麦装进底面直径为4米的圆柱形粮囤里，可以装多高？（得数保留两位小数）
六、（10分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
请你量出这个几何图形的有关数据，并计算出它的体积，好吗？
附加题。（10分）
> 一个正方体容器内恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，求这个正方体容
器的容积是多少立方厘米？
**第一单元测试卷 B卷的部分答案：**
一、1、1 2、150 3、60 4、 5、36 6、12.56 7、 8、48
9、 10、100.48
二、1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、√
三、1、C 2、C 3、B 4、B 5、C
四、1、3.14×（）×4－×3.14×（）×1.5 = 10.99（立方厘米）
2、3＋3.14×（）×2 = 22.28（立方厘米）
五、1、3.14×（60÷100）×5×4×5 = 188.4（元）
2、3.14×（12÷2）×15 = 1695.6（立方厘米）
3、3.14×（200÷2÷5÷2）×5 = 1570（立方分米）
4、×3.14×（15.7÷3.14÷2）×3÷\[3.14×（）\]≈1.56（米）
附加题
设正方体容器的棱长为*x*厘米，则它的体积为*x*立方厘米。
3.14×（）×*x* = 628 解得*x* = 800（立方厘米）
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**海南省2020年初中学业水平考试**
**数学**
**(考试时间100分钟，满分120分)**
**一、选择题(本大题满分36分，每小题3分)在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑.**
1\. 实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2\. 从海南省可再生能源协会2020年会上获悉，截至4月底，今年我省风电、光伏及生物质能的新能源发电量约千瓦时.数据可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3\. 图1是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4\. 不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5\. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为:.这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A． B． C． D．
6\. 如图2，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7\. 如图3，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8.分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9\. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
10\. 如图4，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）
A． B． C． D．
11\. 如图5，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12\. 如图6，在矩形中，点在边上，和交于点若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题(本大题满分16分，每小题4分，其中第16小题每空2分)**
13\. 因式分解: [ ]{.underline} ．
14\. 正六边形的一个外角等于 [ ]{.underline} 度.
15\. 如图7，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线交边于点连接则的周长为\_ [ ]{.underline} ．
16\. 海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录.图8是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有 [ ]{.underline} \_个菱形， 第个图中有\_\_ [ ]{.underline} 个菱形(用含的代数式表示).
**三、解答题(本大题满分68分)**
17\. 计算:
；
.
18.某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
19.新冠疫情防控期间，全国中小学开展"停课不停学"活动.某市为了解初中生每日线上学习时长(单位:小时)的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图9所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
根据图中信息，解答下列问题:
在这次调查活动中，采取的调查方式是\_ [ ]{.underline} (填写"全面调查"或"抽样调查")，\_ [ ]{.underline} .
从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在""范围的概率是 [ ]{.underline} ；
若该市有名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在""范围的初中生有\_ [ ]{.underline} 名.
20.为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图10， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为.
填空:\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度，\_\_\_\_\_\_\_\_\_度；
求隧道的长度(结果精确到米).
(参考数据:)
21.四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点(不与点重合)，连结交于点.
如图11-1，当点是边的中点时，求证:；
如图11-2，当点与点重合时，求的长；
在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由.
22.抛物线经过点和点，与轴交于点.
求该抛物线的函数表达式；
点是该抛物线上的动点，且位于轴的左侧.
如图12-1，过点作轴于点，作轴于点，当时，求的长；
如图12-2， 该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.
**海南省2020年初中学业水平考试**
**数学参考答案及评分标准**
**一、选择题**
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.，
**三、解答题**
17\. 解:原式
原式
.
18\. 解:设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天.
则
解得
经检验，符合题意.
答:改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天.
19\. 解:抽样调查
20.解:
过点作于点过点作于点.
则
在中，
在中，
(米).
答:隧道的长度约为米.
21.证明:
四边形是正方形.
点分别是的中点
.
解:在正方形中，
即
当时，.理由如下:
由知，当点与重合(即)时，
点应在的延长线上(即)，
如图所示，设交于点
若使
则有
又
在中，
即
即
故当时，
22\. 解:抛物线经过点，
解得
所以抛物线的函数表达式为
设则.
因为点是抛物线上的动点且位于轴左侧，
当点在轴上时，点与重合，不合题意，故舍去，
因此分为以下两种情况讨论:.
如图1，当点在第三象限时，点坐标为，
则即
解得(舍去)
如图2，当点在第二象限时，点坐标为，
则即
解得(舍去)
综上所述，的长为或
存在点，使得，理由如下:
当时，
在中，
过点作于点，交直线于点
则
又
过点作轴于点则
即
如图3，当点在第三象限时，点的坐标为
由和得
直线的解析式为.
于是有，
即
解得(舍去)
点的坐标为
如图4，当点在第二象限时，点的坐标为
由和得
直线的解析式为
于是有
即
解得(舍去)
点的坐标为
综上所述，点的坐标为或
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**名校真题 比例百分数篇**
**时间：15分钟 满分5分 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 测试成绩\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**1 （12年清华附中考题）**
**甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是\_\_\_\_\_\_\_\_元.**
**2 （13年101中学考题）**
**100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？**
3. **（12年实验中学考题）**
**有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是 [ ]{.underline} 升。**
**4 （12年三帆中学考题）**
**有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。这两堆煤共重（ ）吨。**
**5 （12年人大附中考题）**
**一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？**
**【附答案】**
**1 【解】：设方程：设甲成本为X元，则乙为2200-X元。根据条件我们可以求出列出方程：90%×\[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)\]-2200=131。解得X=1200。**
**2 【解】：转化成浓度问题**
**相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。**
**方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成"98％的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇"，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成"混合配比"的问题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99％的重量。将100千克按1∶1分配，如下图：**
** 所以蒸发了100×1/2=50升水。**
**3 【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为4.5升。**
**4 【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24吨，这样乙堆运12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明相差1份，所以现在甲重48×2=96吨，总共重量为48×3=144吨。**
**5 【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。**
**第九讲 小升初专项训练 比例百分数篇**
**一、小升初考试热点及命题方向**
**分数百分数是小学六年级重点学习的知识点，也是小升初重点考察的知识点，这一部分主要考察三大块，分百应用题；比和比例；经济浓度问题；三块的地位是均等的，在考试中都有可能出现，希望同学们全面复习，而不要厚此薄彼。**
**二、2007年考点预测**
**07年的出题方式依然是大题中必然出现一道或者两道和本章内容相关的题目，占的分值权重较大，只要认真复习，掌握解题规律，则可以顺利的拿下这部分分值。**
**三、知识要点**
**分数百分数应用题**
**分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及"量"、"率"之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．**
** 为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．\
**
** ①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．**
** ②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．**
** ③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示"量"与"百分率"之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．**
**④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．\
比和比例**
**这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。**
**在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．**
** 成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）。在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如：****\
成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．**
**经济浓度问题**
**这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系。而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、利润率这几个量的关系。**
**四、典型例题解析**
**1 分数百分数应用题**
**【例1】（★★）某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？**
**【解】这是一道变换单位"1"的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。**
**浓度差之比1∶24 重量之比 24∶1 48÷24×1=2人**
**方法二：男生原来有48×（1-37.5％）=30，来了女生后男生的人数书不变的，所以后来全班的总人数就是30÷（1-40％）=50，所以增加的2人就是转来的女生人数。**
**【例2】（★★）把一个正方形的一边减少 20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？**
**【解】设正方形的边长是"1".因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了 20％，另一边将增加**
** 所以正方形的边长是 2÷25％＝8（米）.**
**正方形的面积是 8×8＝ 64（平方米）.**
**【例3】（★★★）学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？**
**【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％.\
在全体学生中，会游泳的男生占 45％×72％＝32.4％.\
在会游泳的学生中，男生占 32.4％÷54％×100％＝ 60％\
在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.**
**【解2】画一个图非常清楚。**
**【例4】某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班，将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？**
**【解】：原一班的1/3与原二班的1/4 + 原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，**
**余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，新一班人数：新二班人数=11：10，即原一班的（1/3-1/4）=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12×2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48人。**
**答：原一班有48人。**
**2 比和比例**
**【例5】（★★★）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？**
**画出图便于解题：**
**【解1】：BC的长：182÷13＝14（厘米），**
** BD的长：14＋13＝27（厘米），**
** 从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，**
** AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，**
** **
** 原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）。**
** 答：原长方形面积是630平方厘米。**
**【解2】：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程**
** （14x－13）×13－5x×13＝182，**
** **
** 9x＝27，**
** x＝3。**
** 则原长方形面积**
** （14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）。**
**【拓展】已知长方形的周长为346米，若边长分别增加2米，则面积增加多少平方米？**
**设两边长分别为a、b，这样增加的面积我们可以分为一个2×2的正方形，一个2×a的长方形，一个2×b的长方形，所以增加的面积就是2×（a+b）+2×2=350平方米。**
**【例6】（★★★）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2∶5。现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（左下图），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下图），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？**
> 
**【解】4∶3。设竖式纸盒有a个，横式纸盒有b个，则共用长方形纸板（4a＋3b）块，正方形纸板（a＋2b）块。根据题意有：**
**（a＋2b）∶（4a＋3b）＝2∶5，即5（a＋2b）＝2（4a＋3b），解得a∶b＝4∶3。**
**【例7】（★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3.结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5.未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4.问报考的共有多少人？**
**【解1】报考人数是119人，**
**录取学生中男生：91×=56人，女：91-56=35（人）.**
** 先将未录取的人数之比3：4变成4：4×，又有56×＝42（人）**
**\
未录取男生 4 × 3= 12（人），女生 16（人）。\
报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。**
**【解2】**
**(56+3x)：（35+4x）=4：3 得：X=4**
**未录取男生 4 × 3= 12（人），女生 16（人）。**
**报考人数是 （56+ 12）+ （35 + 16）= 119（人）。**
**【例8】（★★★）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班中男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？**
**【解】\[方法一\]：鸡兔同笼**
**\[思 路\]：由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。**
**解：假设18名女生全部是大班，则**
**大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有30人，**
**实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；**
**中班男生数：女生数=2:1=6：3，**
**以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；**
**所以，大班女生有18-3×2=12个。**
**答：大班有女生12名。**
**\[方法二\]：份数**
**\[思 路\] ：可以把中班女生数看作"1"份，那么中班男生数为2份．从而大班中的男生数为32---2份，大班里的女生人数是18---1份．根据题意有(32---2份)：(18---1份)=5：3，只要求出1份的数目即可。**
**解：设中班女生数看作"1"，(32---2份)：(18---1份)=5：3，求出一份是6人**
**所以大班的女生则有18---6=12人．**
**答：大班有女生12名。**
3. **经济浓度问题**
**【例9】（★★）某商店进了一批笔记本，按 30％的利润定价.当售出这批笔记本的 80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？**
**【解】设这批笔记本的成本是"1".因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中\
80％的卖价是 1.3×80％，\
20％的卖价是 1.3÷2×20％.\
因此全部卖价是 1.3×80％ ＋1.3 ÷ 2×20％＝ 1.17.\
实际获得利润的百分数是 1.17－1＝ 0.17＝17％.**
**【例10】（★★★）A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水 10克倒入 A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从 B中取出 10克倒入 C中。现在 C中盐水浓度是 0.5％。问最早倒入A中的盐水浓度是多少？**
**【解】最早倒入A中的盐水浓度为 12％。\
B中盐水的浓度是（30 ＋ 10）×0.5％ ÷10×100％=2％。\
现在A中盐水的浓度是（20＋10）×2％ ÷10×100％＝ 6％。\
最早倒入A中的盐水浓度为 （10＋10）×6％ ÷10=12％。**
**【例11】（★★★）小明到商店买红、黑两种笔共66支。红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元。由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85％付钱，黑笔按定价80％付钱，如果他付的钱比按定价少付了18％，那么他买了红笔多少支？**
**【来源】北京市第14届迎春杯数学竞赛初赛试题**
** **
**【解】浓度倒三角的妙用：**
**红笔按85％优惠，黑笔按80％优惠，结果少付18％，相当于按82％优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这66支笔了。**
** **
**【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？**
**【解】第9档次；7776元。\
由题意，生产第n（n=1，2，...，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189－9n=9×（21－n）双，每双利润为18＋6n=6×（3＋n）（元），所以每天获利润［6×（3＋n）］×［9× ［（21－n）］=54×（3＋n）×（21－n）元。**
**两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（21－n）的和是24，而n=9时，（3＋n）与（21－n）都等于12，所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54×（3＋9）×（21－9）＝7776（元）。**
**小结**
**本讲主要接触到以下几种典型题型：**
**1）分数百分数应用题 参见例1，2，3，4**
**2）比和比例 参见例5，6，7，8**
**3）经济浓度问题 参见例9，10，11，12**
**【课外知识】**
**勾股定理**
** 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。**
** 这个定理在中国又称为\"商高定理\"，在外国称为\"毕达哥拉斯定理\"。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：\"...故折矩，勾广三，股修四，经隅五。\"什么是\"勾、股\"呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为\"勾\"，下半部分称为\"股\"。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成\"勾三股四弦五\"。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作\"商高定理\"。**
** 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为\"毕达哥拉斯定理\"，以后就流传开了。**
** 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：\"故禹之所以治天下者，此数之所由生也。\"\"此数\"指的是\"勾三股四弦五\"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。**
**勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：\"禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。\"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。**
**作业题**
**（注：作业题\--例题类型对照表，供参考）**
**题1---类型1；题2，4，5，6，8---类型4；题3，7---类型5**
**1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？**
**【解】男生156人，女生147人。**
**如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13人少 1.4人.因此上年度是 1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有**
** 140×（1＋5％）＝ 147（人）.**
**2、（★★★）在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.**
**【解】1∶4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 （15-9）∶9.**
**3、（★★★）成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？**
**【解】打了8折.**
** 先销掉 80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝ 96.按86％获得利润 0.25×40％×1200×86％=103.2.因此，出售剩下的20％，要获得利润**
** 103.2-96=7.2（元），**
** 每本需要获得利润**
** 7.2÷（1200× 20％）= 0.03（元）。**
** 现在售价是 0.25＋ 0.03＝ 0.28（元），定价是**
** 0.25×（1＋ 40％）＝ 0.35（元）。**
** 售价是定价的0.28÷ 0.35=80％。**
**4、（★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的，如果甲给乙20本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的。那么他们共有多少本书？**
**【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，大数为:(4+1)/2=2.5,小数:(4-1)/2=1.5, ,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:3.**
**同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5：7，思考一下为什么是5：7，不要把前后项颠倒了。因为甲给乙20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这里8与12的最小公倍数是24份：**
**5：3=15：9**
**5：7=10：14**
**观察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4×（15+9）=96本。**
**5、（★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.**
**【解】3∶5∶4.**
** （108+18）÷（5 + 5+ 4）= 9**
** 甲、乙、丙三人图书数之比是**
**（9×5-18）∶（9×5）∶（9×4）=3∶5∶4。**
**6、（★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起**
，**第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。**
**【解】三种球体积之比是2∶8∶11.**
** 设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量.**
** **
** 小球时，容器中已经空出体积1，因此中球的体积是3+1=4.**
** 未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是2.5，小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5.**
** 三个球的体积之比是**
** 1∶ 4∶ 5.5= 2∶ 8∶ 11.**
**7、（★★）某种密瓜每天减价20％.第一天妈妈按定价减价20％买了3个密瓜，第二天妈妈又买了5个密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？**
**【解】第三天买，只要30.72元.**
** 每个密瓜原来定价是**
** 42÷\[（1-0.2）×3+（1-0.2）×（1-0.2）×5）\]=7.5（元）.**
** 第三天买每个价格是**
**7.5×0.8× 0.8 ×0.8= 3.84（元）.**
**3.84×8=30.72（元）.**
**8. （★★★★） 袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？**
**【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。**
**红 白**
**原来 19 ：13=57：39**
**加红 5 ： 3=65：39**
**加白 13 ：11=65：55**
**原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。**
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**年小学数学毕业复习数与代数精编试题------数的认识**
1．地球上海洋面积大约是[三亿六千一百万]{.underline}平方米，这个数写作（ ），改写成用亿作单位的数是（ ），省略亿后面的尾数约是（ ）。
2．一个数有7个1和5个组成，这个数是（ ），它的倒数是（ ）。
3．2的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。
4．36：24＝（ ）÷36＝＝（ ）%
5．一种零件的标准质量是25克，如果质量是26克的零件记作+1，那么23克的零件应该记作（ ）。
6．用小于10的两个合数组成一个最简真分数是（ ）。
7．（m是非0自然数）的分数单位是（ ），当m是（ ）时，这个分数是最小的假分数。
8．－3、2.4、1、0.2、＋都在同一条数轴上，离0最近的数是（ ），－3在0的（ ）边。
9．把、30%、π、0.32、3按从小到大的顺序排列是（ ）。
10．一个数，如果将它的小数点向右移动一位，得到的数比原数大2.25，原数是（ ）。
11．非0自然数a除以b商是4，那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
12．米表示把1米平均分成（ ）份，取其中的（ ）份；也表示把3米平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。
13．在（ ）里填上合适的数。
14．n是自然数，2n+1一定是奇数。（ ）
15．一个分数，它的分母越大，分数单位就越小。（ ）
16．0.5和0.50的大小相等，意义相同。（ ）
17．一个非0自然数不是合数就是质数。（ ）
18．5千克苹果平均分给6个小朋友，每个小朋友分得这些苹果的。（ ）
19．3.0101010101是一个循环小数。（ ）
20．、、都不能化成有限小数。（ ）
21．一个数不是正数就是负数。（ ）
22．一个数的因数都比它的倍数小。（ ）
23．下面各数能改成百分数的是（ ）。
A、绳长3米 B、白糖重千克
C、女生人数是男生的 D、每分钟行0.75千米
24．的分母增加15，要分数的大小不变，分子应（ ）。
A、扩大4倍 B、扩大3倍 C、增加15 D、增加10
25．下列说法错误的是（ ）。
A、把7.8%的百分号去掉，这个数就扩大100倍
B、负数都比正数小
C、1既不是质数也不是合数
D、假分数的倒数都小于1
26．下列各数中，去掉所有的0大小不变的数是（ ）。
A、600 B、12.00 C、10.0 D、102.0
27．如果a=b×c，b、c为两个不同的质数，那么a有（ ）个因数。
28．下面的说法中，错误的是（ ）。
A、真分数一定比假分数小 B、O既不是正数，也不是负数
C、两位小数表示百分之几 D、的分数单位比的分数单位大
29．把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，那么两段比较，（ ）。
A、第一段长 B、第二段长 C、两段一样长 D、不能确定
30．如果a×b=c(a、b、c都是不等于0的自然数)，那么（ ）。
A、a是b的倍数 B、b和c都是a的倍数
C、a和b都是c的因数 D、c是a、b的最小公倍数
31．古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是"完全数"。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数。6 = 1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是"完全数"。下面的数中是"完全数"的是（ ）。
A、12 B、28 C、36 D、48
32．某种物质装在下面三个容器中，甲容器大约装有6亿 颗，丙容器大约装有10亿颗，估一估，乙容器大约装有（ ）颗。
A、70000000 B、8000000000
C、610000000 D、850000000
33．两个连续自然数的积一定是（ ）。
A、奇数 B、偶数 C、质数 D、合数
34．甲数是，乙数是，那么甲、乙两个数比较（ ）
A、甲＞乙 B、甲＜乙 C、甲=乙 D、不能确定
35．组数。
用3个0、2个5和2个8组成一个七位数，使这个七位数读出两个零（ ）；用这7个数字组成一个最大的七位数是（ ）。
36．填数。
把12、5、1、8、15、26、9、11、2填在下图中合适的位置上。
37．比数。
比较和的大小，你能想到哪些不同的方法？
38．读故事想问题。
在数学上也不乏"此时无声胜有声"的小故事。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科勒上了讲台，他没说一句话，知识用粉笔在黑板上写了两个算式，一个是67个2相乘减1，另一个是193707721×761838257287，并演算出结果。两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？
因为科勒解决了200年来一直没有弄清的一个问题，即67个2相乘减1的结果是不是质数？现在既然它等于另外另个数的乘积，因此证明67个2相乘再减1不是质数，而是合数。
科勒只作了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的试卷才得出的结论。在这简单算式中所蕴涵的智慧、毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。
请你用数学概念说明为什么67个2相乘再减1的结果不是质数而是合数。
**参考答案**
1．361000000，3.61亿，4亿
【解析】本题考查数的读写和改写、省略，属于基础题。写对这个数是前提，可按顺位顺序表对着写出各位上的数字，哪一位上一个数字也没有就用0占位。改写成用亿作单位的数，不能改变数的大小，要在亿位后面点一个小数点，再加上一个"亿"字。省略亿后面的尾数则是看千万位上的数字是几，进而判定是舍还是入，这个数千万位上是6，要向前一位进1，所以是4亿。
2．7，
【解析】本题主要考查数的组成、计数单位、倒数和带分数化假分数等有关知识。7个1是7，5个是，合起来就是7。要求它的倒数，先要化成假分数用6做分母，7×6＋5的结果做分子，得到，再得到倒数。
3．，11
【解析】本题考查了分数单位、合数、分数加减法等有关知识。带分数的分数单位也要看它分数部分的分母是多少，是几就是几分之一。然后需要知道最小的合数是4，用4减去2是，即11个，故括号里填11。
4．54，4，150
【解析】本题考查综合运用比的基本性质、分数的基本性质、商不变的性质及分数百分数的互化、分数、除法及比的各部分之间的关系等知识解决问题的能力。这样的连等式要从已知条件入手，这道题的关键是36:24，把它化简后得到3:2，相当于3÷2或，这样就可以根据商不变的性质得到54÷36，根据分数的基本性质得到；这个比的比值是1.5，化成百分数是150%
5．－2克
【解析】本题考查负数的意义。25克是标准，比这个标准重1克记作＋1，23克比25克少2克，所以就记作－2克。
6．或
【解析】先找出10以内的合数有4、6、8、9四个数，要想组成的分数符合最简这一条件，选出的这个数只能有公因数1，可以是4和9，也可以是8和9，而真分数的分母要比分子大，所以组成的分数是或，写出其中一个即对。
7．，8
【解析】分数的分数单位有这个分数的分母决定，的分母是8，所以分数单位是。最小假分数是，所以第二个空里面填8.
8．，左
【解析】小学生还没有学绝对值的概念，解答这道题就要用数轴来帮助直观理解。通过观察可以发现0.2和到0的距离都不满1，肯定要比其他的数离着近。然后比较两个数的大小知道＜0.2，所以离着更近一些。通过观察可知，正数在0的左边，负数在0的右边，故-3在0的左边。
9．30%、0.32、、3、π
【解析】首先可以看出3和π都大于1，另外三个数都小于1，所以分开比较更容易一些。可以先把、30%、0.32都化成小数，可知从小到大依次为30%、0.32、。后面再加上3和π即可。
10．0.15
【解析】一个小数向右移动一位会扩大10倍，增加的2.25对应的是9倍，2.25÷9可得0.15。
11．b，a
【解析】解答这道题的关键是从"a除以b商是4"这句话中发现a、b两数的关系，这句话说明a是b的倍数，b是a的因数。所以两个数的最大公因数就是b，最小公倍数就是a。
12．5，3，5，1
【解析】一个分数有两个意义，一个是分数意义，一个是除法意义。根据分数意义可以知道把1米平均分成5份，取其中的3份即为1米的，也就是米。根据除法的意义可以看成3÷5，也就是把3米平均分成5份，每份是米。
13．－2，，2.5
【解析】以0为标准，左边的表示负数，右边的表示正数。左边第一个空在0左边两个单位处，所以表示－2。中间一个空在0的右边，0和1之间，所以应该是个真分数，从图中可以看出是。右边一个空在2和3中间的位置，用小数表示是2.5。
14．√
【解析】可以用不完全列举法，从0开始一一列举，可以发现对应的2n是偶数，再加1即为奇数，所以正确。
15．√
【解析】分母决定一个分数的分数单位，分母大了，单位"1"分的份数就多了，每份就小了，所以正确。
16．×
【解析】小数的末尾添上0或去掉0小数的大小不变，但意义改变了，0.5表示5个0.1,0.50表示50个0.01.
17．×
【解析】根据自然数因数的个数，可以分质数和合数。但1既不是质数也不是合数。
18．×
【解析】根据分数的意义，把单位"1"平均分成6份，每份是这个单位"1"的。所以这句话不正确。
19．×
【解析】 根据小数部分位数是否有限分为有限小数和无限小数，无限小数里根据是否循环分为循环小数和不循环小数。这个数小数部分的位数是有限的，属于有限小数，而不属于无限小数，更谈不上是循环小数了。
20．×
【解析】把这些分数化简后可以看出=，可以化成0.6，故这句话不正确。
21．×
【解析】0既不是正数也不是负数，所以错误。
22．×
【解析】一个数的因数最大是它本书，一个数的倍数最小也是它本身，所以一个数的因数也可能等于它的倍数。
23．C
【解析】百分数只表示分率不能表示是数量。四个选项中ACD均表示的是具体数量，只有C表示的分率，即男生为单位"1"，平均分成4份，女生占其中的3份，也可以说"男生占女生的75%"。
24．A
【解析】分母增加15即变为20，扩大4倍，根据分数的基本性质要使分数的大小不变，分子也应扩大4倍，A正确。
25．D
【解析】7.8%的百分号去掉变为7.8，扩大了100倍，正确。负数都小于0，正数都大于0，所有的负数都比正数小，正确。根据因数的个数可以分为质数和合数，但1既不是质数也不是合数，C选项正确。假分数大于等于1，如也是假分数，它的倒数等于1，故D选项错误。
26．C
【解析】小数的末尾添上0或去掉0小数的大小不变，所以只要看看这些选项中哪些0是末尾的0哪些不是，就能做出选择了。600的两个0都在整数部分，去掉之后缩小100倍；10.0的一个0在小数的末尾，但另一个0在个位，去掉之后，小数的大小会改变；102.0十位上的0也不能去掉，只有12.00的两个0都在小数的末尾，去掉之后大小不变。选C。
27．C
【解析】b、c都是a的因数，又都是质数，所以b、c是a的质因数，可知a的因数有1，a，b，ab（即c），共4个。C正确。
28．D
【解析】真分数小于1，假分数大于等于1，所以真分数小于假分数正确。数分为正数、负数和0，所以B也正确。由小数的意义可知：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，C选项正确。的分数单位是，的分数单位是，小于，D选项错误。
29．A
【解析】此题应从"第二段占全长的"这句话入手分析，如果把这根绳子的长度看作单位"1"，第二段占全长的，第一段一定占，不管第一段的实际长度是多少，从分率上看，＞，所以一定是第一段长。
30．A
【解析】根据因数和倍数的概念可知，a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。B、C选项都把因数倍数的关系说反了，而c是b的倍数也是a的倍数，可以说是a和b的公倍数，但不一定是最小的公倍数，所以D也是错误的。只有A正确。
31．B
【解析】这道题能正确理解完全数的定义是关键。根据题中叙述的完全数的定义，分别找出这四个数的因数后发现28的因数有1、2、4、7、14、28，除 28外 ,1＋2＋4＋7＋14=28，所以28是完全数。
32．B
【解析】此题考查的是学生的数感和估算能力。根据题意可知乙容器里的物质介于6亿至10亿之间，从图中还可以看出，大约七八亿的样子。把四个选项改写成用亿作单位的数后，发现只有B符合要求。
33．B
【解析】两个连续自然数中，一定有一个偶数，这个偶数有因数2，那么它们的乘积也一定有因数2，所以一定是偶数。
34．B
【解析】此题用常规通分的方法比较大小难度太大，通过观察两个分数中分子分母的数据特点可以发现，这两个分数都接近1，甲数加上就是1，乙数加上也是1，而大于，说明乙数更接近1，所以乙数更大一些。选B。
35．5080058（答案不唯一）；8855000
【解析】要想读出两个零，数中的0就要在每级的中间。在万级里，十万位上一定要是0，而万位上不能是0，这样可以读出一个零；个级在中间再有一个0，或连续有两个0都可以。如：5080058、8085005等，此题答案不唯一；最大的七位数即把这些数字从大到小依次排列，即8855000。
36．
【解析】此题看懂集合图中各部分表示的是什么样的数最关键。如下图所示：
37．小于，大于，所以＜（答案不唯一）
【解析】此题考查学生比较大小方法的灵活性。可用常规的通分的方法；也可以统一分子，再比较两个分数的大小，分子大的那个数就小；可以化成小数进行比较；还可以找一个中间量进行比较，比如可以比较和，小于，大于，所以＜。此题方法不唯一，只要合理能比较出大小即可。
38．67个2相乘再减1等于193707721×761838257287，也就是说"67个2相乘再减1"除了1和它本身外还有193707721和761838257287这两个因数，所以它一定不是质数。
【解析】除了1和它本身两个因数的数叫做质数，从故事中可以知道：67个2相乘再减1等于193707721×761838257287，也就是说"67个2相乘再减1"除了1和它本身外还有193707721和761838257287这两个因数，所以它一定不是质数。
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**北师大版三年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第七单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.第八单元测评卷
3\. 阶段测评卷（一） 14.阶段测评卷（四）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（一）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（二）
6\. 阶段测评卷（二） 17.分类测评卷（三）
7\. 期中测评卷（一） 18.分类测评卷（四）
8\. 期中测评卷（二） 19.期末测评卷（一）
9\. 第五单元测评卷 20.期末测评卷（二）
10.第六单元测评卷 21.期末测评卷（三）
11.阶段测评卷（三） 22.期末测评卷（四）
附：参考答案
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第4单元 第三节：动手做（二）**
一、数一数，填一填。
有（ ）个三角形 有（ ）个三角形 有（ ）个三角形（ ）个平行四边形 （ ）个平行四边形 （ ）个平行四边形
**二、算一算，****填一填。**
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
□□□□□□□
○○○○○○○○○○○○○○○○
□比☆（ ）（ ）个。  □○□＝□\[来源:学科网\]
☆比○（ ）（ ）个。 □○□＝□
□比○（ ）（ ）个。 □○□＝□
三、做生活中的有心人。
下面是日常生活中见过的一些物品，仔细辨认，是长方形的在（ ）里画""；是正方形的在（  ）里画""；是三角形的在（ ）里画"△"；是圆形的在（ ）里画" "。\[来源:学科网\]
1、数学书的面 （ ） 2、田字格（ ）\[来源:学科网\]
3、课桌的面 （ ） 4、红领巾（ ）
5、1元硬币的面 （ ） 6、小手帕（  ）\[来源:学科网ZXXK\]
四、解答题
1、星星合唱队原有52人，有9名同学毕业了，新加入了15人，合唱队现在有多少人？
2、公共汽车上原有56人，下车27人，上车19人，现在车上有多少人?\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
3、一卷电线长98米，先用去35米，又用去46米。
⑴一共用去多少米？
⑵张老师需要20米电线，剩下的够不够？
答案
一、
有（ 2 ）个三角形 有（ 4 ）个三角形  有（ 8 ）个三角形（ 2 ）个平行四边形 （ 4 ）个平行四边形 （ 3 ）个平行四边形
**二、**
□比☆（ 少 ）（ 20 ）个。 27-7=20
☆比○（ 多 ）（ 11 ）个。 27-16=11
□比○（ 少 ）（ 9 ）个。 16-7=9
三、
1、数学书的面 （  ） 2、田字格（  ）
3、课桌的面 （  ） 4、红领巾（ △ ）
5、1元硬币的面 （  ） 6、小手帕（  ）
四、
1、52-9+15=58人 答：合唱队现在有58人。
2、56-27+19=48 答：现在车上有48人。
3、
⑴35+46=81米 答：一共用去81米。
⑵98-81=17米 20＞17 答：剩下的不够。
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**2015年浙江省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合P={x\|x^2^﹣2x≥3}，Q={x\|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A．\[3，4） B．（2，3\] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3\]
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm^3^ B．12cm^3^ C． D．
3．（5分）设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m^2^）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m^2^）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
8．（5分）设实数a，b，t满足\|a+1\|=\|sinb\|=t．则（ ）
A．若t确定，则b^2^唯一确定 B．若t确定，则a^2^+2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a^2^+a唯一确定
**二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）**
9．（6分）计算：log~2~=[ ]{.underline}，2=[ ]{.underline}．
10．（6分）已知{a~n~}是等差数列，公差d不为零，若a~2~，a~3~，a~7~成等比数列，且2a~1~+a~2~=1，则a~1~=[ ]{.underline}，d=[ ]{.underline}．
11．（6分）函数f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1的最小正周期是[ ]{.underline}，最小值是[ ]{.underline}．
12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=[ ]{.underline}，f（x）的最小值是[ ]{.underline}．
13．（4分）已知~1~，~2~是平面单位向量，且~1~•~2~=，若平面向量满足•~1~=•=1，则\|\|=[ ]{.underline}．
14．（4分）已知实数x，y满足x^2^+y^2^≤1，则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值是[ ]{.underline}．
15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
17．（15分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~=2，b~1~=1，a~n+1~=2a~n~（n∈N^\*^），b~1~+b~2~+b~3~+...+b~n~=b~n+1~﹣1（n∈N^\*^）
（Ⅰ）求a~n~与b~n~；
（Ⅱ）记数列{a~n~b~n~}的前n项和为T~n~，求T~n~．
18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A~1~A=4，A~1~在底面ABC的射影为BC的中点，D是B~1~C~1~的中点．
（Ⅰ）证明：A~1~D⊥平面A~1~BC；
（Ⅱ）求直线A~1~B和平面BB~1~C~1~C所成的角的正弦值．
19．（15分）如图，已知抛物线C~1~：y=x^2^，圆C~2~：x^2^+（y﹣1）^2^=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C~1~和圆C~2~相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
20．（15分）设函数f（x）=x^2^+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在\[﹣1，1\]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
**2015年浙江省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合P={x\|x^2^﹣2x≥3}，Q={x\|2＜x＜4}，则P∩Q=（ ）
A．\[3，4） B．（2，3\] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3\]
【分析】求出集合P，然后求解交集即可．
【解答】解：集合P={x\|x^2^﹣2x≥3}={x\|x≤﹣1或x≥3}，
Q={x\|2＜x＜4}，
则P∩Q={x\|3≤x＜4}=\[3，4）．
故选：A．
【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm^3^ B．12cm^3^ C． D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：2^3^+×2×2×2=．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5分）设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则"a+b＞0"，则"ab＞0"不成立．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，
所以设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；
B根据面面垂直的性质判断B错误；
C根据面面平行的判断定理得出C错误；
D根据面面平行的性质判断D错误．
【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；
对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；
对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；
对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．
5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，
且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除A、B．
当x=π，f（x）＞0，故排除D，
但是当x趋向于0时，f（x）＞0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．
6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m^2^）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m^2^）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
【分析】作差法逐个选项比较大小可得．
【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，
∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）
=a（x﹣z）+c（z﹣x）
=（x﹣z）（a﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞az+by+cx；
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z﹣x）+c（x﹣z）
=（z﹣x）（b﹣c）＜0，
∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）
=a（z﹣y）+b（y﹣z）
=（z﹣y）（a﹣b）＜0，
∴az+by+cx＜ay+bz+cx，
∴最低费用为az+by+cx
故选：B．
【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．
【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点P的轨迹是椭圆．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8．（5分）设实数a，b，t满足\|a+1\|=\|sinb\|=t．则（ ）
A．若t确定，则b^2^唯一确定 B．若t确定，则a^2^+2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a^2^+a唯一确定
【分析】根据代数式得出a^2^+2a=t^2^﹣1，sin^2^b=t^2^，运用条件，结合三角函数可判断答案．
【解答】解：∵实数a，b，t满足\|a+1\|=t，
∴（a+1）^2^=t^2^，
a^2^+2a=t^2^﹣1，
t确定，则t^2^﹣1为定值．
sin^2^b=t^2^，
A，C不正确，
∴若t确定，则a^2^+2a唯一确定，
故选：B．
【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a^2^+2a=t^2^﹣1，即可判断．
**二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）**
9．（6分）计算：log~2~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，2=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．
【解答】解：log~2~=log~2~=﹣；
2===3．
故答案为：；．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．
10．（6分）已知{a~n~}是等差数列，公差d不为零，若a~2~，a~3~，a~7~成等比数列，且2a~1~+a~2~=1，则a~1~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，d=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a~1~，再由条件2a~1~+a~2~=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．
【解答】解：由a~2~，a~3~，a~7~成等比数列，
则a~3~^2^=a~2~a~7~，
即有（a~1~+2d）^2^=（a~1~+d）（a~1~+6d），
即2d^2^+3a~1~d=0，
由公差d不为零，
则d=﹣a~1~，
又2a~1~+a~2~=1，
即有2a~1~+a~1~+d=1，
即3a~1~﹣a~1~=1，
解得a~1~=，d=﹣1．
故答案为：，﹣1．
【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
11．（6分）函数f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1的最小正周期是[ π ]{.underline}，最小值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin^2^x+sinxcosx+1
=+sin2x+1
=sin（2x﹣）+．
∴最小正周期T=，最小值为：．
故答案为：π，．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，f（x）的最小值是[ 2]{.underline}[﹣6 ]{.underline}．
【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．
【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）^2^=4，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；
∵当x≤1时，f（x）=x^2^，
由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；
当x＞1时，f（x）=x+﹣6，
由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，
当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；
∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6
故答案为：﹣；2﹣6
【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
13．（4分）已知~1~，~2~是平面单位向量，且~1~•~2~=，若平面向量满足•~1~=•=1，则\|\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据数量积得出~1~，~2~夹角为60°，＜，~1~＞=＜，~2~＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．
【解答】解：∵~1~，~2~是平面单位向量，且~1~•~2~=，
∴~1~，~2~夹角为60°，
∵向量满足•~1~=•=1
∴与~1~，~2~夹角相等，且为锐角，
∴应该在~1~，~2~夹角的平分线上，
即＜，~1~＞=＜，~2~＞=30°，
\|\|×1×cos30°=1，
∴\|\|=
故答案为：
【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．
14．（4分）已知实数x，y满足x^2^+y^2^≤1，则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值是[ 15 ]{.underline}．
【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值．
【解答】解：如图，
由x^2^+y^2^≤1，
可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，
则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，
令z=﹣3x﹣4y+10，得，
如图，
要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，
由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．
则，即z=15或z=5．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，
由①②可得：m=，n=，代入③可得：，
可得，4e^6^+e^2^﹣1=0．
即4e^6^﹣2e^4^+2e^4^﹣e^2^+2e^2^﹣1=0，
可得（2e^2^﹣1）（2e^4^+e^2^+1）=0
解得e=．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，
所以==．
（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．
又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．
设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．
【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~=2，b~1~=1，a~n+1~=2a~n~（n∈N^\*^），b~1~+b~2~+b~3~+...+b~n~=b~n+1~﹣1（n∈N^\*^）
（Ⅰ）求a~n~与b~n~；
（Ⅱ）记数列{a~n~b~n~}的前n项和为T~n~，求T~n~．
【分析】（Ⅰ）直接由a~1~=2，a~n+1~=2a~n~，可得数列{a~n~}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a~n~}的通项公式；
再由b~1~=1，b~1~+b~2~+b~3~+...+b~n~=b~n+1~﹣1，取n=1求得b~2~=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{a~n~b~n~}的前n项和为T~n~．
【解答】解：（Ⅰ）由a~1~=2，a~n+1~=2a~n~，得．
由题意知，当n=1时，b~1~=b~2~﹣1，故b~2~=2，
当n≥2时，b~1~+b~2~+b~3~+...+=b~n~﹣1，和原递推式作差得，
，整理得：，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因此
，
两式作差得：，
（n∈N^\*^）．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A~1~A=4，A~1~在底面ABC的射影为BC的中点，D是B~1~C~1~的中点．
（Ⅰ）证明：A~1~D⊥平面A~1~BC；
（Ⅱ）求直线A~1~B和平面BB~1~C~1~C所成的角的正弦值．
【分析】（I）连接AO，A~1~D，根据几何体的性质得出A~1~O⊥A~1~D，A~1~D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB~1~C~1~C的法向量=（，0，1），\|根据与数量积求解余弦值，即可得出直线A~1~B和平面BB~1~C~1~C所成的角的正弦值．
【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B~1~C~1~的中点．
∴A~1~D⊥B~1~C~1~，
∵BC∥B~1~C~1~，
∴A~1~D⊥BC，
∵A~1~O⊥面ABC，A~1~D∥AO，
∴A~1~O⊥AO，A~1~O⊥BC
∵BC∩AO=O，A~1~O⊥A~1~D，A~1~D⊥BC
∴A~1~D⊥平面A~1~BC
解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A~1~A=4
∴O（0，0，0），B（0，，0），B~1~（﹣，，），A~1~（0，0，）
即=（0，，﹣），=（0，，0），=（，0，），
设平面BB~1~C~1~C的法向量为=（x，y，z），
即得出
得出=（，0，1），\|\|=4，\|\|=
∵=，
∴cos＜，＞==，
可得出直线A~1~B和平面BB~1~C~1~C所成的角的正弦值为
【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题．
19．（15分）如图，已知抛物线C~1~：y=x^2^，圆C~2~：x^2^+（y﹣1）^2^=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C~1~和圆C~2~相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
【分析】（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x^2^﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C~2~的圆心D（0，1），设B（x~0~，y~0~），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，可得，解得B坐标．
（II）由（I）可得：（t^2^﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又\|AB\|=．即可得出S~△PAB~=．
【解答】解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立，
化为x^2^﹣4kx+4kt=0，
∵△=16k^2^﹣16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t^2^）．
圆C~2~的圆心D（0，1），设B（x~0~，y~0~），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，
∴，解得．
∴B．
（II）由（I）可得：k~AB~==，直线AB的方程为：y﹣t^2^=，化为（t^2^﹣1）x﹣2ty+2t=0，
∴点P到直线AB的距离d===t，
又\|AB\|==t^2^．
∴S~△PAB~==．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（15分）设函数f（x）=x^2^+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在\[﹣1，1\]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间\[﹣1，1\]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）^2^+1，对称轴为x=﹣，
当a≤﹣2时，函数f（x）在\[﹣1，1\]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；
当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；
当a＞2时，函数f（x）在\[﹣1，1\]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．
综上可得，g（a）=；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，
则，
由于0≤b﹣2a≤1，
由此≤s≤（﹣1≤t≤1），
当0≤t≤1时，≤st≤，
由﹣≤≤0，由=9﹣\[（2（t+2）+\]≤9﹣2，
得﹣≤≤9﹣4，
所以﹣≤b≤9﹣4；
当﹣1≤t＜0时，≤st≤，
由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b的取值范围是\[﹣3，9﹣4\]．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．
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2008年海南高考化学答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B D C D B A C D B C
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13、（1）H~2~+SH~2~S（写成可逆反应也正确）
（2）H~2~SO~3~ + 2H~2~S=3S + 3H~2~O
（3）C+2H~2~SO~4~（浓）CO~2~ ↑+2SO~2~ ↑+2H~2~O
或Cu+ 2H~2~SO~4~（浓）CuSO~4~ +SO~2~ ↑+ 2H~2~O等
（4）①H~2~SO~3~ +2OH^---^ = SO~3~^2---^ + 2H~2~O
②大于；Na~2~SO~3~溶液中SO~3~^2-^发生水解使溶液显碱性。
③增大；升高温度促进Na~2~SO~3~溶液的水解。
14、（1）7；K~2~O、K~2~O~2~（KO~2~也可以）
（2）He、Ne、Ar
（3）C、H
（4）Na
（5）NH~3~ ; SiH~4~
15、(1)放热
(2)减小；该反应正反应为放热反应，升高温度使平衡向逆反应方向移动；
(3)不影响；催化剂不改变平衡的移动。\
(4)减小、减小
16、（1）B、D、F
选择B，目的：除去空气中的水蒸气
选择D，目的：除去空气中的CO~2~
选择F，目的：除去空气中的O~2~
（2）h→g→d→c→k→l→a→b
（3）制得的氮化镁将不纯；因为A装置没有排完空气前就加热会让空气中的氧气、CO~2~、水蒸气等与镁反应。
（4）将产物取少量置于试管中，加入适量水，将润湿的红色石蕊试纸置于试管口，如果能够看到润湿的红色石蕊试纸变蓝，则说明产物是氮化镁。
17、（1）C~5~H~10~O
（2）HOOC---CH~2~---COOH，
HOOC---CH~2~---COOH + 2C~2~H~5~OHC~2~H~5~OOC---CH~2~---COOC~2~H~5~ +2H~2~O；
酯化反应（或取代反应）
（3）HO---CH~2~---CH~2~---CH=CH---CH~3~
（4）2；CH~3~CH~2~CH~2~COOH、CH~3~CH(CH~3~)COOH
18、D
19、B
20、D
21、（1）CH~2~=CH---CH~3~
（2）Cl~2~、高温
（3）加成反应
（4）CH~2~=CH---CH~2~Cl +Br~2~ CH~2~Br---CHBr---CH~2~Cl
(5)
我觉得：
E的结构从中学生的思维可以是：
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）**
**数 学（理科）**
**参考答案**
**一、选择题**
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C
7．D 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B
**二、填空题**
13．\[5，∞）
14．4
15．2
16．B，D
**三、解答题**
17．解：
（1）因为0\<c\<1，所以c^2^\<c，
由，即，
又因为在处连续，
所以，即k=1
（2）由（1）得：
由得，当时，解得
当时，解得，
所以的解集为
18．解：
（1）将x=0，代入函数得，
因为，所以
又因为，，，所以，
因此
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为
又因为点在的图象上，所以
因为，所以，
从而得或
即或
19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A~1~，A~2~，A~3~
（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
（2）**解法一：**因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，
所以，
故
**解法二：**分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则
P（A）=P（B）=P（C）=0.3，
所以，
，
，
于是，
20．**解法一：**
（1）证明：作OD∥AA~1~交A~1~B~1~于D，连C~1~D
则OD∥BB~1~∥CC~1~
因为O是AB的中点，
所以
则ODCC~1~是平行四边形，因此有OC∥C~1~D
平面C~1~B~1~A~1~且平面C~1~B~1~A~1~，
则OC∥面A~1~B~1~C~1~
（2）如图，过B作截面BA~2~C~2~∥面A~1~B~1~C~1~，分别交AA~1~，CC~1~于A~2~，C~2~
作BH⊥A~2~C~2~于H，连CH
因为面，所以，则平面
又因为，，
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角
因为，所以，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为
（3）因为，所以
所求几何体体积为
**解法二：**
（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为是的中点，所以，
易知，是平面A~1~B~1~C~1~的一个法向量
因为，平面，所以平面．
（2），，
设是平面的一个法向量，则
则，得：
取，
显然，为平面的一个法向量
则，结合图形可知所求二面角为锐角
所以二面角的大小是
（3）**同解法一**
21．**解法一：**
（1）在△PAB中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线
方程为：
（2）设，
①当垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，-1）在双曲线上．
即，因为，所以．
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）
由得：，
由题意知：，
所以，
于是：
因为，且M，N在双曲线右支上，所以
由①②知，
**解法二：**（1）同解法一
（2）设，，MN的中点为
①当x~1~=x~2~=1时，，
因为，所以；
②当时，
又所以；
由得，
由第二定义得
所以
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知
22．解：（1）据条件得 ①
当时，由，即有，
解得因为为正整数，故
当时，由，
解得，所以
（2）**方法一：**由，，，猜想：
下面用数学归纳法证明
1当n=1，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
因为时，，所以
k-1≥1，所以
又，所以
故，即时，成立
由1，2知，对任意，
（2）**方法二：**
由a~1~=1，a~2~=4，a~3~=9，猜想：a~n~=n^2^
下面用数学归纳法证明
1当n=1，时，由（1）知均成立；
2假设n=k（k≥2）成立，则，则n=k+1时
由①得
即②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则于是③
又由②右式，
则
因为两端为正整数，则，
所以
又因时，为正整数，则④
据③④，即时，成立
由1，2知，对任意，
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**2014年湖北省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）i为虚数单位，（）^2^=（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
2．（5分）若二项式（2x+）^7^的展开式中的系数是84，则实数a=（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（ ）
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x^2^，
其中为区间\[﹣1，1\]上的正交函数的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω~1~，不等式组确定的平面区域记为Ω~2~，在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F~1~PF~2~=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（\|x﹣a^2^\|+\|x﹣2a^2^\|﹣3a^2^），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）
A．\[﹣，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，\] D．\[﹣，\]
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．**
11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=[ ]{.underline}．
12．（5分）直线l~1~：y=x+a和l~2~：y=x+b将单位圆C：x^2^+y^2^=1分成长度相等的四段弧，则a^2^+b^2^=[ ]{.underline}．
13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=[ ]{.underline}．
**三、解答题**
14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M~f~（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M~f~（a，b）=c=，即M~f~（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）=[ ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）=[ ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=[ ]{.underline}．
16．已知曲线C~1~的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈\[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A~1~B~1~，A~1~D~1~的中点，点P，Q分别在棱DD~1~，BB~1~上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
+------------+-----------+----------+--------+
| 年入流量X | 40＜X＜80 | 80≤X≤120 | X＞120 |
+------------+-----------+----------+--------+
| 发电机最多 | 1 | 2 | 3 |
| | | | |
| 可运行台数 | | | |
+------------+-----------+----------+--------+
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
22．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
**2014年湖北省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）i为虚数单位，（）^2^=（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．
【解答】解：由于，所以，（）^2^=（﹣i）^2^=﹣1
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题
2．（5分）若二项式（2x+）^7^的展开式中的系数是84，则实数a=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．
【解答】解：二项式（2x+）^7^的展开式即（+2x）^7^的展开式中x^﹣3^项的系数为84，
所以T~r+1~==，
令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，
代入得：，
解得a=1，
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．
3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．
【解答】解：由题意A⊆C，则∁~U~C⊆∁~U~A，当B⊆∁~U~C，可得"A∩B=∅"；若"A∩B=∅"能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C，
∴U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的充分必要的条件．
故选：C．
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．
4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（ ）
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0
--- ----- ----- ------- ----- ------- -------
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．
故选：B．
【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．
5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．
【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，
故选：D．
【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．
6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x^2^，
其中为区间\[﹣1，1\]上的正交函数的组数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
【解答】解：对于①：\[sinx•cosx\]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数；
对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x^2^﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数；
对于③：x^3^dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数，
∴正交函数有2组，
故选：C．
【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．
7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω~1~，不等式组确定的平面区域记为Ω~2~，在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：平面区域Ω~1~，为三角形AOB，面积为，
平面区域Ω~2~，为△AOB内的四边形BDCO，
其中C（0，1），
由，解得，即D（，），
则三角形ACD的面积S==，
则四边形BDCO的面积S=，
则在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．
8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据近似公式V≈L^2^h，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，
∴=（2πr）^2^h，
∴π=．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．
9．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F~1~PF~2~=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a~1~，（a＞a~1~），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设\|PF~1~\|=r~1~，\|PF~2~\|=r~2~，\|F~1~F~2~\|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e~1~，e~2~
∵∠F~1~PF~2~=，
∴由余弦定理可得4c^2^=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣2r~1~r~2~cos，①
在椭圆中，①化简为即4c^2^=4a^2^﹣3r~1~r~2~，
即，②
在双曲线中，①化简为即4c^2^=4a~1~^2^+r~1~r~2~，
即，③
联立②③得，=4，
由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）^2^，
即（）=
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a~1~，双曲线的实半轴为a~2~，（a~1~＞a~2~），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设\|PF~1~\|=r~1~，\|PF~2~\|=r~2~，\|F~1~F~2~\|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e~1~，e~2~
∵∠F~1~PF~2~=，
∴由余弦定理可得4c^2^=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣2r~1~r~2~cos=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣r~1~r~2~，
由，得，
∴=，
令m===，
当时，m，
∴，
即的最大值为，
法3：设\|PF~1~\|=m，\|PF~2~\|=n，则，
则a~1~+a~2~=m，
则=，
由正弦定理得=，
即=sin（120°﹣θ）≤=
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（\|x﹣a^2^\|+\|x﹣2a^2^\|﹣3a^2^），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）
A．\[﹣，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，\] D．\[﹣，\]
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，求解该不等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a^2^，x＞2a^2^，得f（x）＞﹣a^2^；
当a^2^＜x≤2a^2^时，f（x）=﹣a^2^；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a^2^，得f（x）≥﹣a^2^．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，是中档题．
**二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．**
11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=[ ±3 ]{.underline}．
【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），
∴向量\|\|=3，\|\|=，向量•=3﹣3=0，
若（+λ）⊥（﹣λ），
则（+λ）•（﹣λ）=，
即18﹣2λ^2^=0，
则λ^2^=9，
解得λ=±3，
故答案为：±3，
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．
12．（5分）直线l~1~：y=x+a和l~2~：y=x+b将单位圆C：x^2^+y^2^=1分成长度相等的四段弧，则a^2^+b^2^=[ 2 ]{.underline}．
【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a^2^+b^2^的值．
【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，
∴==cos45°=，∴a^2^+b^2^=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．
13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=[ 495 ]{.underline}．
【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．
【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；
第二次循环a=198，b=981﹣189=792；
第三次循环a=792，b=972﹣279=693；
第四次循环a=693，b=963﹣369=594；
第五次循环a=594，b=954﹣459=495；
第六次循环a=495，b=954﹣459=495，
满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．
故答案为：495．
【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
**三、解答题**
14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M~f~（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M~f~（a，b）=c=，即M~f~（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）=[ x ]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【分析】（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，
从而得出结论．
（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．
【解答】解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，
令y=0，求得x=c=，
∴当f（x）=，（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数，
故答案为：．
（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，
令y=0，求得x=c=，
∴当f（x）=x（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数，
故答案为：x．
【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．
15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=[ 4 ]{.underline}．
【分析】利用切割线定理可得QA^2^=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．
【解答】解：∵QA是⊙O的切线，
∴QA^2^=QC•QD，
∵QC=1，CD=3，
∴QA^2^=4，
∴QA=2，
∴PA=4，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PB=PA=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．已知曲线C~1~的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ （]{.underline}[，1） ]{.underline}．
【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C~1~与C~2~交点的直角坐标．
【解答】解：把曲线C~1~的参数方程是（t为参数），
消去参数化为直角坐标方程为x^2^=3y^2^ （x≥0，y≥0），即 y=x （x≥0）．
曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x^2^+y^2^=4．
解方程组 ，再结合x＞0、y＞0，求得 ，∴C~1~与C~2~交点的直角坐标为（，1），
故答案为：（，1）．
【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈\[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈\[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，解得t的范围，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈\[0，24），
∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，
当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），
由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．
18．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S~n~根据S~n~＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）^2^=2（2+4d），
化简得d^2^﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a~n~=2，
当d=4时，a~n~=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．
（Ⅱ）当a~n~=2时，S~n~=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，
当a~n~=4n﹣2时，S~n~==2n^2^，
令2n^2^＞60n+800，即n^2^﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当a~n~=2时，不存在满足题意的正整数n，
当a~n~=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A~1~B~1~，A~1~D~1~的中点，点P，Q分别在棱DD~1~，BB~1~上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC~1~∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD~1~分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C~1~（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），
∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）
λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），
∴=2，
∴BC~1~∥FP，
∵FP⊂平面EFPQ，BC~1~⊄平面EFPQ，
∴直线BC~1~∥平面EFPQ；
（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，
∴取=（λ，﹣λ，1）．
同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则
•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．
∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
+------------+-----------+----------+--------+
| 年入流量X | 40＜X＜80 | 80≤X≤120 | X＞120 |
+------------+-----------+----------+--------+
| 发电机最多 | 1 | 2 | 3 |
| | | | |
| 可运行台数 | | | |
+------------+-----------+----------+--------+
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【分析】（1）依题意，p~1~=0.2，p~2~=0.7，p~3~=0.1．由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）记水电站年总利润为Y，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．
【解答】解：（1）依题意，p~1~=P（40＜X＜80）==0.2，
p~2~=P（80≤X≤120）==0.7，
p~3~=P（X＞120）==0.1．
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p=（1﹣p~3~）^4^+（1﹣p~3~）^3^p~3~=0.9^4^+4×0.9^3^×0.1=0.9477．...（5分）
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．...（7分）
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P（Y=840）=P（40＜X＜80）=p~1~=0.2；
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X≥80）=p~2~+p~3~=0.8．
由此得Y的分布列如下：
--- ----- -------
Y 840 2 000
P 0.2 0.8
--- ----- -------
所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．...（9分）
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680，
因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p~1~=0.2；
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，
因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p~2~=0.7；
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，
因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p~3~=0.1．
由此得Y的分布列如下：
--- ----- ------ -------
Y 680 1840 3 000
P 0.2 0.7 0.1
--- ----- ------ -------
所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．...（11分）
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台...（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x~0~＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：\|MF\|=\|x\|+1，即，
化简得，y^2^=2\|x\|+2x．
∴点M的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C~1~：y^2^=4x（x≥0），C~2~：y=0（x＜0）．
依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．
由方程组，可得ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0．
①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．
故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．
②当k≠0时，方程ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k^2^+k﹣1）．
设直线l与x轴的交点为（x~0~，0），
则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．
若，解得k＜﹣1或k＞．
即当k∈时，直线l与C~1~没有公共点，与C~2~有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若或，解得k=﹣1或k=或．
即当k=﹣1或k=时，直线l与C~1~只有一个公共点，与C~2~有一个公共点．
当时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~无公共点．
故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．
即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．
综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；
当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；
当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．
22．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；
（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^．再根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增，可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^，从而六个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3^e^＜π^e^＜π^3^＜3^π^，3^e^＜e^3^，又由（Ⅱ）知，，得π^e^＜e^π^，故只需比较e^3^与π^e^和e^π^与π^3^的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπ^e^＞lne^3^，3lnπ＞π，由此易得结论；
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=，∴f′（x）=，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^．
于是根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增，可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^，
故这六个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中．
由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，
由，得lnπ^3^＜ln3^π^，∴3^π^＞π^3^；
由，得ln3^e^＜lne^3^，∴3^e^＜e^3^．
综上，6个数中的最大数是3^π^，最小数是3^e^．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3^e^＜π^e^＜π^3^＜3^π^，3^e^＜e^3^，
又由（Ⅱ）知，，得π^e^＜e^π^，
故只需比较e^3^与π^e^和e^π^与π^3^的大小．
由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．
在上式中，令x=，又，则ln＜，
从而2﹣lnπ，即得lnπ．①
由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπ^e^＞lne^3^，
∴e^3^＜π^e^．
又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，
∴e^π^＜π^3^．
综上可得，3^e^＜e^3^＜π^e^＜e^π^＜π^3^＜3^π^，即6个数从小到大顺序为3^e^，e^3^，π^e^，e^π^，π^3^，3^π^．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．
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**2020-2021学年吉林省长春市长春新区六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择题。（每空1分，共10分）**
1．（1分）在同一个圆中，圆的周长与它直径的比是（ ）
A．π B．π：1 C．3.14：1
2．（1分）如图，从*M*点到*N*点有①和②两条路可走，你认为走哪条路更近一些？（ ）
> 
A．①更近 B．②更近 C．同样近
3．（1分）一件上衣原价是160元，先提价，又降价，这件上衣的现价和原价相比（ ）
A．现价比原价低 B．现价等于原价
C．现价比原价高
4．（1分）桌子上放着几只碗，下面三幅图分别是从上面、正面和左面观察到的结果，请你算一算桌子上一共放了（ ）只碗。
> 
A．4 B．5 C．6
5．（1分）一个圆的半径扩大3倍，面积扩大（ ）倍．
A．3 B．6 C．9
6．（1分）甲数比乙数少25%，甲，乙两数的最简整数比是（ ）
A．3：4 B．4：3 C．4：1 D．1：4
7．（1分）把4：15的前项增加12，要使比值不变，后项应该（ ）
A．增加12 B．减少12 C．乘4
8．（1分）下面（ ）杯中的水和李阿姨配的一样甜。
> 李阿姨：水：80*g*；糖：20克。
A．糖：水＝1：5 B．糖比水少 C．含糖率：25%
9．（1分）宁宁去离家600米的书店买书，走了10分钟到达书店，挑选了15分钟，买了两本书，爷爷骑自行车来接她，用6分钟就到家了。下面（ ）图反映了这样的关系。
A．
B．
C．
10．（1分）要统计淘气家一年饮食、水电、服装、文化教育等各项支出占总支出的百分比情况，应该选用（ ）统计图。
A．条形 B．折线 C．扇形
**二、填空题。（每空1分，共27分）**
11．（5分）0.8＝＝[ ]{.underline}÷15＝4：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}成。
12．（3分）圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的直径是[ ]{.underline}厘米，周长是[ ]{.underline}厘米，圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
13．（3分）大、小两个正方形边长分别是6*cm*和4*cm*，大、小正方形边长的比是[ ]{.underline}，周长的比是[ ]{.underline}，面积的比是[ ]{.underline}。
14．（1分）同学们进行种子发芽试验，结果有46粒发芽，4粒没发芽，发芽率是[ ]{.underline}．
15．（3分）磁悬浮列车3小时行1290千米，路程与时间的比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}，这个比值表示的是[ ]{.underline}。
16．（1分）学校举行乒乓球比赛，小兰、小芳、小燕、小琴、小娟分在同一组，每两人之间都要进行一场比赛，这组一共要进行[ ]{.underline}场比赛。
17．（1分）有6瓶苏打水，每瓶*L*，如果每个杯子中能倒入*L*，这些苏打水最多能够倒[ ]{.underline}杯。
18．（2分）水结冰后，体积增加，冰的体积是水的体积的，100*L*水结成冰后的体积是[ ]{.underline}*L*。
19．（2分）如图，将一个圆形杯垫沿半径剪开，得到一个近似的三角形，三角形的底长12.56厘米，圆形杯垫的半径是[ ]{.underline}厘米，面积是[ ]{.underline}平方厘米。
> 
20．（2分）新区某学校六年级有学生300人，参加各种兴趣小组的人数占总人数的百分比如图所示，根据如图算出：歌咏组有[ ]{.underline}人，书法组有[ ]{.underline}人。
> 
21．（1分）近几年，由于我国采取多种措施保护珍稀动物藏羚羊，藏羚羊的只数由1999年的8万只增长到现在的15万只，增长了[ ]{.underline}%。
22．（2分）妈妈把5000元存入银行，定期二年，年利率为2.25%，到期后能得到利息[ ]{.underline}元，本金和利息一共[ ]{.underline}元。
23．（1分）综合实践课上，新区某学校开展包饺子活动，出于营养均衡考虑，将菜和肉的质量比定为3：2，已经准备了36千克的菜，还需要买[ ]{.underline}千克的肉。
> 
**三、计算题（共20分）**
24．（8分）化简比。
-------- -------- -------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------
21：35 1：2.4 ： 4：
-------- -------- -------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------
25．（6分）解方程。
--------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
3*x*+＝3 *x*﹣*x*＝ 34%*x*+21%*x*＝11
--------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------
26．（6分）计算。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
×× 45÷（÷） 24×（+﹣）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
**四、观察操作题（共12分）**
27．（4分）在边长4*cm*的正方形中画一个最大的圆，图中要体现确定圆心的方法，并标出圆心和半径。
> 
28．（2分）小猴和小鸟能看到小熊吗？
> 
29．（4分）某中学在开学前要进行军训活动，30名军训队员，遇到突发的训练任务，教官同时通知两名队员，每名队员再分别同时通知两名队员，依此类推，每人再同时通知两个人。每同时通知两人需要1分钟，通知30名队员共需要多少分钟？（画图或列算式解决都可以）
30．（2分）机灵狗放学从学校出发，它看到下面四幅图片的顺序是：[ ]{.underline}→[ ]{.underline}→[ ]{.underline}→[ ]{.underline}。
> 
**五、解决问题。（第37题7分，其它每小题4分，共31分）**
31．（4分）新区某学校为联欢会采购了48千克糖果，其中为水果糖，在水果糖里有是草莓味的，草莓味的水果糖有多少千克？
32．（4分）甲、乙两个商场出售同一款电饭锅。为了促销，各自采用不同的优惠方式。如果想要购买这款电饭锅，到哪家商场购买合算？
> 
33．（4分）学校储备抗疫物资，储备免洗洗手液240瓶，酒精的瓶数比免洗洗手液少，酒精有多少瓶？（先画图，再解答）
34．（4分）学校专业教室要制作一面长方形软墙，已知长方形软墙的周长是28米，长和宽的比是4：3，这个长方形软墙的长和宽各是多少米？
> 
35．（4分）五年级（4）班参加美术兴趣小组的有24人，比参加体育兴趣小组的人数多20%，参加体育兴趣小组的有多少人？（列方程解决问题）
36．（4分）彤彤家的小区有一个中心广场（如图），彤彤饭后绕中心广场走了一圈，她所走的路程是多少米？
> 
37．（7分）下面是"奥林匹克"数学兴趣小组21名同学的一次测验成绩：
> （单位：分）
----- ----- ----- ---- ---- ----
100 97 99 56 87 69
96 98 100 95 81 98
75 100 88 96 99 86
100 77 94 68 98 99
----- ----- ----- ---- ---- ----
> （1）按分数段填写下表：
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
分数/（分） 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计
人数/（人） 24
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
> （2）"奥林匹克"数学兴趣小组同学的分数在[ ]{.underline}分数段的人数最多，在[ ]{.underline}分数段的人数最少。
>
> （3）如果把90～100分定为"优"，60分以下定为"不及格"，那么数学兴趣小组这次考试优秀率为[ ]{.underline}%，及格率约为[ ]{.underline}%。（百分号前保留一位小数）
**2020-2021学年吉林省长春市长春新区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题。（每空1分，共10分）**
1．【分析】根据圆的周长等于直径乘π，即*C*＝π*d*，直径为*d*，那么周长与直径的比即是π*d*：*d*，化简后可直接得到比值。
> 【解答】解：直径是*d*，周长是π*d*
>
> 所以周长与直径的比是π*d*：*d*＝π：1。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查的是在同一个圆内圆的周长与直径的关系。
2．【分析】从*M*到*N*有两条路线，即以2+4+6＝12（厘米）为直径的半圆的弧长（线路①）和分别以2厘米、4厘米、6厘米为直径的半圆的弧长之和线路②，根据圆周长公式计算出结果，通过比较即可。
> 【解答】解：
>
> 路线①长度：
>
> 3.14×（2+4+6）÷2
>
> ＝3.14×12÷2
>
> ＝18.84（厘米）
>
> 路线②长度：3.14×2÷2+3.14×4÷2+3.14×6÷2
>
> ＝3.14×（2+4+6）÷2
>
> ＝3.14×12÷2
>
> ＝18.84（厘米）
>
> 即①＝②
>
> 答：要从*M*处到*N*处，两条路一样近，都是18.84米。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要是考查圆周长计算。此题不难看出，路线②各半圆的直径之和，等于路线①的直径，两条路线长度相等。
3．【分析】首先明确两个所对应的单位"1"不同，先提价，把原价看作单位"1"；又降价，是把提价后的价格看作单位"1"，由此用乘法解答。
> 【解答】解：160×（1+）×（1﹣）
>
> ＝160×1.25×0.75
>
> ＝150（元）
>
> 150＜160
>
> 答：现价比原价低。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】解答此题的关键：判断出前后两个单位"1"的不同，进而根据分数乘法的意义求解。
4．【分析】由从上面看到的形状可知一共有4叠碗，再由正面、左面看到的形状可知第一排有3叠碗，左边一叠2个，右面的两叠都是1个，第二排有1叠碗只一个，由此计算得出答案即可。
> 【解答】解：从上面看到的形状可知一共有4叠碗
>
> 再由正面、左面看到的形状可知第一排有3叠碗，左边一叠2个，右面的两叠都是1个
>
> 第二排有1叠碗只一个
>
> 一共有：4+1＝5（只）
>
> 答：桌子上一共放了5只碗。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查从不同方向观察几何体，注意看的位置与物体之间的联系。
5．【分析】依据圆的面积公式即可求得结果．
> 【解答】解：圆的面积公式为π*r*^2^，若*r*扩大3倍，则其面积扩大3^2^＝9倍．
>
> 答：面积扩大9倍．
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的面积公式．
6．【分析】甲数比乙数少25%，把乙数看作单位"1"，则甲数为1﹣25%＝75%，两数相比并化简即可．
> 【解答】解：甲、乙两数的最简整数比是：
>
> （1﹣25%）：1，
>
> ＝0.75：1．
>
> ＝3：4．
>
> 答：甲、乙两数的最简整数比是3：4．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】解答此题的关键是找出单位"1"，把另一个数表示出来，然后相比并化简．此题考查了比的意义，以及化简比的方法．
7．【分析】根据4：15的前项增加12，可知比的前项由4变成16，相当于前项乘4；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘4，由15变成60，也可以认为是后项加上60﹣15＝45；据此进行解答。
> 【解答】解：4：5比的前项加上12，由4变成16，相当于前项乘4，
>
> 要使比值不变，后项也应该乘4，
>
> 由15变成60，相当于后项加上：60﹣15＝45。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变。
8．【分析】李阿姨配的这杯糖水中，水80克，糖20克。根据比的意义即可写出糖与水的比，并化成最简整数比；用糖与水的质量差除以水的质量，就是糖比水少的分率；根据"×100%"即可计算出含糖率。根据计算结果即可进行选择。
> 【解答】解：糖与水的比是：20：80＝1：4
>
> 糖比水少：（80﹣20）÷80
>
> ＝60÷80
>
> ＝
>
> 含糖率：×100%
>
> ＝×100%
>
> ＝20%
>
> *B*杯中糖比水少，和李阿姨配的一样甜。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的知识点：比的意义及化简、求一个数比另一个数多（或少）几分之几、糖水含糖率的计算等。
9．【分析】根据题意，宁宁去买书到回家，分为三个时间段，从家到书店用10分钟，在书店挑书用15分钟，爷爷接她回家用6分钟。据此解答即可。
> 【解答】解：首先排除图*A*，因为图*A* 中没有停留，不符合题意。
>
> 再排除图*C*，因为图*C*从家到书店用了15分，在书店挑书用10分钟，不符合题意。
>
> 只有图*B*能反映了这样的关系。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
10．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：要统计淘气家一年饮食、水电、服装、文化教育等各项支出占总支出的百分比情况，应该选用扇形统计图。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
**二、填空题。（每空1分，共27分）**
11．【分析】把0.8化成分数并化简是，根据分数的基本性质，分子、分母都乘2就是；根据分数与除法关系＝4÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘3就是12÷15；根据比与分数的关系＝4：5；把0.8的小数点向右移动两位添上百分号就是80%；根据成数的意义，就是八成。
> 【解答】解：0.8＝＝12÷15＝4：5＝80%＝八成。
>
> 故答案为：8，12，5，80，八。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比、成数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
12．【分析】由题意知，画出的圆的半径是3厘米，要求所画圆的直径、周长和面积，可直接利用*d*＝2*r*，*C*＝2π*r*及*S*＝π*r*^2^解答即可．
> 【解答】解：直径：3×2＝6（厘米），
>
> 周长：3.14×3×2＝18.84（厘米），
>
> 面积：3.14×3^2^＝28.26（平方厘米）；
>
> 答：画出的圆的直径是6厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米．
>
> 故答案为：6，18.84，28.26．
>
> 【点评】此题考查了圆的周长＝2π*r*和圆的面积＝π*r*^2^的计算应用．
13．【分析】先依据比的意义求出边长的比；再据正方形的周长*C*＝4*a*，正方形的面积*S*＝*a*^2^分别求出它们的周长和面积，再求比即可。
> 【解答】解：边长比：6：4＝3：2，
>
> 周长比：（6×4）：（4×4）
>
> ＝24：16
>
> ＝3：2，
>
> 面积比：（6×6）：（4×4）
>
> ＝36：16
>
> ＝9：4。
>
> 故答案为：3：2；3：2；9：4。
>
> 【点评】此题主要依据正方形的周长和面积公式，以及比的意义解决问题。
14．【分析】先用"46+4＝50"求出试验种子总数，然后根据公式：发芽率＝×100%，进行计算后判断即可．
> 【解答】解：×100%＝92%，
>
> 答：发芽率是92%．
>
> 故答案为：92%．
>
> 【点评】此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百，解题的时候不要被表面数字困惑．
15．【分析】路程是1290千米，时间是3小时，根据比的意义，写出比、化简即可；比的前项除以后项所得的商叫做比值；因为路程÷时间＝速度，所以比值表示速度；解答即可。
> 【解答】解：1290：3
>
> ＝（1290÷3）：（3÷3）
>
> ＝430：1
>
> 1290：3
>
> ＝1290÷3
>
> ＝430
>
> 比值表示速度。
>
> 故答案为：430：1，430，速度。
>
> 【点评】解答此题用到的知识点为：（1）比的意义；（2）比值的含义。
16．【分析】如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的4人进行一场比赛，每个同学打4场，共有5×4＝20场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打20÷2＝10场即可。
> 【解答】解：（5﹣1）×5÷2
>
> ＝20÷2
>
> ＝10（场）
>
> 答：这组一共要进行10场比赛。
>
> 故答案为：10。
>
> 【点评】在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛人数×（人数﹣1）÷2。
17．【分析】首先根据分数乘整数的意义，用乘法求出6瓶苏打水一共有多少升，再根据"包含"除法的意义，用除法解答。
> 【解答】解：×6÷
>
> ＝×
>
> ＝9（杯）
>
> 答：这些苏打水最多能倒满9杯。
>
> 故答案为：9。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握分数乘法、除法的意义，分数乘法、除法的计算法则及应用。
18．【分析】把水的体积看作单位"1"，水结冰后，体积增加，也就是冰的体积相当于水体积的（1），再根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
> 【解答】解：1+＝
>
> 100×＝110（升）
>
> 答：冰的体积是水的体积的，100升水结成冰后的体积是110升。
>
> 故答案为：、110。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
19．【分析】通过观察图形可知，将一个圆形杯垫沿半径剪开，得到一个近似的三角形，三角形的底等于圆的周长，三角形的高等于圆的半径，根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，那么*r*＝*C*÷2π，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
>
> 3.14×2^2^
>
> ＝3.14×4
>
> ＝12.56（平方厘米）
>
> 答：圆形杯垫的半径是2厘米，面积是12.56平方厘米。
>
> 故答案为：2、12.56。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．【分析】把六年级学生总人数看作单位"1"，根据减法的意义，用减法求出书法组的人数占总人数的百分之几，再根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
> 【解答】解：1﹣30%﹣40%﹣25%＝5%
>
> 300×40%＝120（人）
>
> 300×5%＝15（人）
>
> 答：歌咏组有120人，书法组有15人。
>
> 故答案为：120、15。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
21．【分析】先用15减去8求出增加的数量，然后再除以8即可。
> 【解答】解：（15﹣8）÷8
>
> ＝7÷8
>
> ＝87.5%
>
> 答：增长了87.5%。
>
> 故答案为：87.5。
>
> 【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位"1"，单位"1"的量为除数。
22．【分析】根据题意，先利用公式：利息＝本金×利率×时间，算出利息是多少，再加本金即可求出本金和利息一共多少元。
> 【解答】解：5000×2.25%×2
>
> ＝5000×0.0225×2
>
> ＝225（元）
>
> 5000+225＝5225（元）
>
> 答：到期后能得到利息225元，本金和利息一共5225元。
>
> 故答案为：225，5225。
>
> 【点评】主要考查利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间。
23．【分析】由题意可知，肉的质量占菜质量的，把已经准备的菜的质量看作单位"1"，根据分数乘法的意义，用已经准备的菜的质量乘就是还需要买肉的质量。
> 【解答】解：36×＝24（千克）
>
> 答：还需要买24千克的肉。
>
> 故答案为：24。
>
> 【点评】此题是考查比的应用，除按上述解答方法外，也可把已经准备的菜的质量平均分成3份，用除法求出1份的质量，再用乘法求出2份的质量。
**三、计算题（共20分）**
24．【分析】根据比的性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变，把比化成最简比即可。
> 【解答】解：（1）21：35
>
> ＝（21÷7）：（35÷7）
>
> ＝3：5
>
> （2）1：2.4
>
> ＝（1×5）：（2.4×5）
>
> ＝5：12
>
> （3）：
>
> ＝（×）：（×）
>
> ＝5：7
>
> （4）4：
>
> ＝（4×4）：（×4）
>
> ＝16：1
>
> 【点评】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
25．【分析】（1）方程左右两边先同时减去，再同时除以3即可求解。
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。
>
> （3）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以55%求解。
>
> 【解答】解：
>
> （1）3*x*+＝3
>
> 3*x*+﹣＝3﹣
>
> 3*x*＝
>
> 3*x*÷3＝÷3
>
> *x*＝
>
> （2）*x*﹣*x*＝
>
> *x*＝
>
> *x*÷＝÷
>
> *x*＝
>
> （3）34%*x*+21%*x*＝11
>
> 55%*x*＝11
>
> 55%*x*÷55%＝11÷55%
>
> *x*＝20
>
> 【点评】本题考查的是解方程，关键是熟练掌握等式的两个性质。
26．【分析】（1）按照乘法交换律进行简算；
> （2）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法；
>
> （3）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）××
>
> ＝××
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （2）45÷（÷）
>
> ＝45÷
>
> ＝36
>
> （3）24×（+﹣）
>
> ＝24×+24×﹣24×
>
> ＝21+4﹣18
>
> ＝7
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
**四、观察操作题（共12分）**
27．【分析】正方形内最大圆的直径等于正方形的边长；圆的圆心也是正方形的中心，连接两条对角线，交点就是圆心，据此画图。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查了圆的画法，确定圆心是本题解题的关键。
28．【分析】两点确定一条直线，由此连接经过观察点与建筑物顶点的直线，找出小鸟和小猴的视区和盲区，即可解答问题。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 根图示可知，小鸟所能看到的范围是黑线以上的部分，小猴所能看到的是红线以上的部分，所以小鸟能看到小熊，小猴看不到。
>
> 【点评】本题考查了学生的动手操作能力，观察分析问题的能力。
29．【分析】第一次通知，通知到两名队员，第二次通知，通知到（1+2）×2＝6（名）队员，第三次通知，通知到（1+2+6）×2＝18（名）队员，第四次，通知到（1+2+6+18）×2＝54（名）队员，据此解答。
> 【解答】解：第一次，通知到两名队员，
>
> 第二次，教官和两名队员再去通知到：（1+2）×2＝6（名）
>
> 此时得到通知的队员有：2+6＝8（名）
>
> 第三次，通知到：（1+8）×2＝18（名）
>
> 此时得到通知的队员有：8+18＝26（名）
>
> 第四次，通知到：（1+26）×2＝54（名）
>
> 此时得到通知的队员有：26+54＝80（名）
>
> 26＜30＜80
>
> 所以需要通知4次，
>
> 1×4＝4（分钟）
>
> 答：通知30名队员共需要4分钟。
>
> 【点评】本题主要考查了最佳方法问题，还可以用树状图来进行解答。
30．【分析】离的越远，观察的范围大，物体小；离的越近，观察的范围小，物体大；据此进行排序即可。
> 【解答】解：机灵狗放学从学校出发，它看到下面四幅图片的顺序是：①→②→④→③。
>
> 故答案为：①，②，④，③。
>
> 【点评】这道题考查的是从不同方向观察物体和几何体。
**五、解决问题。（第37题7分，其它每小题4分，共31分）**
31．【分析】把购买糖果的总数看作单位"1"，其中为水果糖，在水果糖里有是草莓味的，草莓味的水果糖有多少千克，根据一个数乘分数的意义，用乘法先求出水果糖有多少千克，进而求出草莓味的有多少千克。
> 【解答】解：48××
>
> ＝18×
>
> ＝12（千克）
>
> 答：草莓味的水果糖有12千克。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
32．【分析】把这款电饭锅的原价看作单位"1"，甲商场按七五折出售，即按原价的75%出售，根据百分数乘法的意义，用原价乘75%就是现价；用原价减120元就是乙商场的现价。再把甲、乙两个商场的现价作比较即可确定到哪家商场购买合算。
> 【解答】解：七五折＝75%
>
> 600×75%＝450（元）
>
> 600﹣120＝480（元）
>
> 450＜480
>
> 答：到甲商场购买合算。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据百分数乘法的意义求出甲商场的售价、根据减法的意义求出乙商场的售价。
33．【分析】把免洗洗手液的瓶数看作单位"1"，酒精的瓶数比免洗洗手液少，也就是酒精的瓶数相当于免洗洗手液的（1﹣），根据一个数乘分数的应用，用乘法解答。
> 【解答】解：如图：
>
> 
>
> 240×（1）
>
> ＝240×
>
> ＝180（瓶）
>
> 答：酒精有180瓶。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
34．【分析】根据长方形周长计算公式"*C*＝2（*a*+*b*）"，28÷2＝14（米），即长方形宽、宽之和是14米，把14米平均分成（4+3）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法分别求出4份（长方形长）、3份（长方形宽）的长度。
> 【解答】解：28÷2÷（4+3）
>
> ＝14÷7
>
> ＝2（米）
>
> 2×4＝8（米）
>
> 2×3＝6（米）
>
> 答：这个长方形软墙的长是8米，宽是6米。
>
> 【点评】在求出这个长方形软墙的长、宽之后，再根据按比例分配问题解答，除按上述解答方法外，也可分别求出长、宽各占长、宽之和的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
35．【分析】根据题意，设参加体育兴趣小组的有*x*人，则参加美术兴趣小组的人数＝参加体育兴趣小组人数×（1+20%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。把数代入计算即可。
> 【解答】解：24÷（1+20%）
>
> ＝24÷1.2
>
> ＝20（人）
>
> 答：参加体育兴趣小组的有20人。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
36．【分析】绕中心广场走了一圈，所走的路程是就是这个图形的周长，观察图形可知：这个图形的周长是下面长方形的一条长、2条宽和上面半圆弧的长度和，半圆弧的直径是200米，根据*C*＝π*d*，求出圆的周长，再除以2就是半圆弧的长度，再加上1条长和2条宽进行即可求解。
> 【解答】解：3.14×200÷2+200+100×2
>
> ＝314+200+200
>
> ＝714（米）
>
> 答：她所走的路程是714米。
>
> 【点评】解决本题根据周长的含义，找出这个图形的周长是由哪几部分组成的，分别求出后再相加。
37．【分析】（1）根据表中数据直接数出结果；
> （2）根据统计表中数据，填出即可；
>
> （3）优秀率＝优秀人数÷总人数×100%，求及格率可用1减去不及格率，不及格率＝不及格人数÷总人数×100%。
>
> 【解答】解：（1）填表如下：
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
分数/（分） 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计
人数/（人） 4 11 4 2 2 1 24
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
> （2）"奥林匹克"数学兴趣小组同学的分数在90～99分数段的人数最多，在60以下分数段的人数最少。
>
> （3）（4+11）÷24×100%
>
> ＝15÷24×100%
>
> ＝62.5%
>
> 1﹣1÷24×100%
>
> ≈1﹣4.2%
>
> ＝95.8%
>
> 答：数学兴趣小组这次考试优秀率为62.5%，及格率约为95.8%。
>
> 故答案为：
>
> （1）
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
分数/（分） 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计
人数/（人） 4 11 4 2 2 1 24
------------- ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
> （2）90～99，60以下。
>
> （3）62.5、95.8。
>
> 【点评】此题考查了学生对数据进行统计的知识。
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日期：2021/4/27 16:01:39；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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2020---2021学年度上学期期末检测
三年级数学试题
**（**试卷满分100分，卷面分2分，考试时间90分钟）
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题号 一 二 三 四 五 六 总分
分值 24 5 5 24 10 32
得分
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
一、填空题。（每空1分，共24分）
1、在（ ）里填上合适的单位。
**小明每天大约睡9（ ）** 一头大象约重4（ ）
一次深呼吸要4（ ） 飞机1小时飞行750（ ）
2、250×4的积的末尾一共（ ）个0。
3、妈妈买回12个桔子，小敏吃了，小敏吃了（ ）个。
4、沿着250米的跑道跑（ ）圈，正好1千米。
5、9千米=（ ）米 1吨---400千克=（ ）千克
3分５秒=（ ）秒 1厘米－8毫米＝（ ）毫米绿
6、超市上午8:30开门营业，现在是7:45，还要等（ ）分钟才能开门。
7、在○里填上"＞""＜""＝"。
○ 1分15秒○95秒 5000千克○5吨 6分米○6毫米
8、28个同学去坐船。游乐场的规定是：大船限坐6人，小船限坐4人。如果每条船都坐满，有（ ）种租船方式。
9、右图涂色部分用分数表示为（），如果再涂4份，
涂色部分一共用分数表示为（）。
10、在一道减法算式中，已知被减数、减数与差的和是42，那么被减数是（ ）。
11、用3、0、8三个数字组成的最大的数是（ ），最小的数是（ ）。
12、小刚爱吃的水果有：苹果、梨、枣、香蕉、葡萄。小丁爱吃的水果有：桃、苹果、草莓、枣、石榴。他们都爱吃的水果有（ ）种。
13、一张长方形纸长8厘米，宽6厘米，如果剪下一个最大的正方形，正方形的周长是（ ）厘米。
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"，共5分）
1、一个人唱一首歌需要4分钟，6个人合唱这首歌需要24分钟。 （ ） 2、四边形有四条直的边，四个角。 （ ）
3、0和任何数相加得0，0和任何数相乘得0。 （ ）
4、最大的两位数乘最大的一位数，积一定是三位数。 （ ）
5、身份证号为421381201208154165的人生日是每年的8月1日。 （ ）
三、选择题。（把正确答案前的字母填在括号里，每小题1分，共5分）
1、  要使●是○的2倍，再画（ ）个●。
A．2 B．3 C．4
2、小明周末要去相距25千米的外婆家，选择（ ）方式更合适。
A．步行 B．坐汽车 C．坐火车
3、一杯果汁，第一次喝了，第二次喝了，杯中还剩（ ）。
A． B． C．
4、右图中甲、乙两部分的周长比较（ ）。
> A. 相等 B. 甲长 C.乙长
5、中华人民共和国成立于1949年10月1日，今年的10月1日是祖国建国（ ）周年纪念日。
A、70 B、71 C、72
四、计算题。（24分）
1、直接写出得数。（每小题1分，共8分）
－= ＋= ＋= 503×9≈
> 400×8= 500+230= 21×5≈ 102×4≈
**2、**脱式计算。（每小题2分，共6分）
76×8－259 （185－47）×8 394×（81÷9）
3、列竖式计算，带\*号的要验算。（前两题每题3分，后两题每题2分，共10分）
\*[768＋132=](http://www.xkb1.com/) \*603－298= 460×5= 208×7=
五、画图题。（10分）
1、请在右面的方格纸上按要求画图。
（小正方形的边长是1厘米）
①画一个长6厘米，宽4厘米的长方形。（2分）
②画一个和上面长方形周长一样的正方形。（2分）
③用阴影涂出正方形的。（2分）
2、在每幅图里涂上颜色，分别表示出它的。（4分）
六、解决问题。（32分）
1、看图列式计算。（5分）
2、3个货物箱，每个重650千克，一辆载质量2吨的货车能一次运走吗？（5分）
3、爸爸今年36岁，聪聪的年龄是爸爸的，爷爷的年龄是聪聪的7倍，聪聪和他爷爷的年龄各是多少岁？（5分）
> 4、如右图：一个边长为4厘米的正方形铁丝圈，改围成一个长方形，若长方形的长为5厘米，那么宽是多少厘米？（5分）
5、仔细观察下表：（6分）
①10：15同学们正在学校做什么？（2分）
②如果你从家到学校要走15分钟，你最晚什么时候从家里出发？（2分）
③你能发现上课时间的规律吗？请你填出第四节课的上课时间。（2分）
6、一台电风扇197元，一台微波炉458元，一台学习机246元。（6分）
①估一估，买这3种商品，大约需要多少钱？（2分）
②买这三种商品，收银员应收多少钱？（2分）
③你能提出用乘法解决的问题并解答吗？（2分）
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.**
**2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*U*={−2，−1，0，1，2，3}，*A*={−1，0，1}，*B*={1，2}，则（ ）
A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3}
2.若*α*为第四象限角，则（ ）
A. cos2*α*\>0 B. cos2*α*\<0 C. sin2*α*\>0 D. sin2*α*\<0
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
5.若过点（2，1）圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A. B. C. D.
8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
9.设函数，则*f*(*x*)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
10.已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
11.若，则（ ）
A. B. C. D.
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.已知单位向量*a*，*b*的夹角为45°，*ka*--*b*与*a*垂直，则*k*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种.
15.设复数，满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*.
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.中，sin^2^*A*－sin^2^*B*－sin^2^*C*=sin*B*sin*C.*
（1）求*A*；
（2）若*BC*=3，求周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，=1414.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合.过*F*且与*x*轴垂直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|.
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）设*M*是*C*~1~与*C*~2~的公共点，若\|*MF*\|=5，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程.
20.如图，已知三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点，过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*.
（1）证明：*AA*~1~∥*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且*AO*=*AB*，求直线*B*~1~*E*与平面*A*~1~*AMN*所成角的正弦值.
21.已知函数*f*(*x*)=sin^2^*x*sin2*x*.
（1）讨论*f*(*x*)在区间(0，*π*)的单调性；
（2）证明：；
（3）设*n*∈*N*\*，证明：sin^2^*x*sin^2^2*x*sin^2^4*x*...sin^2^2*^n^x*≤.
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2*B*铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第9课《区分图形》试题附答案**
一年级奥数上册：第九讲 区分图形 
**答案**
**例一**
**例二**
**例三**
**例四**
一年级奥数上册：第九讲 区分图形 习题
一年级奥数上册：第九讲 区分图形 习题解答
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**2020年贵州省黔东南州中考数学试卷**
**一．选择题（共10小题）**
1.﹣2020的倒数是（ ）
A. ﹣2020 B. ﹣ C. 2020 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据倒数的概念即可解答．
【详解】解：根据倒数的概念可得，﹣2020的倒数是，
故选：*B*．
【点睛】本题考查了倒数的概念，熟练掌握是解题的关键．
2.下列运算正确的是（ ）
A. （*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ B. *x*^3^+*x*^4^＝*x*^7^
C. *x*^3^•*x*^2^＝*x*^6^ D. （﹣3*x*）^2^＝9*x*^2^
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：*A*、（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^，故此选项错误；
*B*、*x*^3^+*x*^4^，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
*C*、*x*^3^•*x*^2^＝*x*^5^，故此选项错误；
*D*、（﹣3*x*）^2^＝9*x*^2^，正确．
故选：*D*．
【点睛】此题主要考查整式的运算，熟练掌握各种整式运算法则是解题关键．
3.实数2介于（ ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】
首先化简＝，再估算，由此即可判定选项．
【详解】解：∵＝，且6＜＜7，
∴6＜＜7．
故选：C．
【点睛】本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记1到20整数的平方，可以快速准确地进行估算.
4.已知关于*x*的一元二次方程*x*^2^+5*x*﹣*m*＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根为*x*，则
*x*+2＝﹣5，
解得*x*＝﹣7．
故选：*A*．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
5.如图，将矩形*ABCD*沿*AC*折叠，使点*B*落在点*B*′处，*B*′*C*交*AD*于点*E*，若∠*1*＝25°，则∠2等于（ ）
A. 25° B. 30° C. 50° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可得出∠*ACB*′的度数，由矩形的性质可得出*AD*∥*BC*，再利用"两直线平行，内错角相等"可求出∠2的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知：∠*ACB*′＝∠1＝25°．
∵四边形*ABCD*为矩形，
∴*AD*∥*BC*，
∴∠2＝∠1+∠*ACB*′＝25°+25°＝50°．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的性质．
6.桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A. 12个 B. 8个 C. 14个 D. 13个
【答案】D
【解析】
【分析】
易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【详解】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．
故选：*D*．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用"主视图疯狂盖，左视图拆违章"找到所需正方体的个数．
7.如图，⊙*O*的直径*CD*＝20，*AB*是⊙*O*的弦，*AB*⊥*CD*，垂足为*M*，*OM*：*OD*＝3：5，则*AB*的长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接*OA*，先根据⊙*O*的直径*CD*＝20，*OM*：*OD*＝3：5求出*OD*及*OM*的长，再根据勾股定理可求出*AM*的长，进而得出结论．
【详解】连接*OA*，
∵⊙*O*的直径*CD*＝20，*OM*：*OD*＝3：5，
∴*OD*＝10，*OM*＝6，
∵*AB*⊥*CD*，
∴，
∴*AB*＝2*AM*＝16．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8.若菱形*ABCD*的一条对角线长为8，边*CD*的长是方程*x*^2^﹣10*x*+24＝0的一个根，则该菱形*ABCD*的周长为（ ）
A. 16 B. 24 C. 16或24 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程得出*x*＝4或*x*＝6，分两种情况：①当*AB*＝*AD*＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当*AB*＝*AD*＝6时，6+6＞8，即可得出菱形*ABCD*的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形*ABCD*是菱形，
∴*AB*＝*BC*＝*CD*＝*AD*，
∵*x*^2^﹣10*x*+24＝0，
因式分解得：（*x*﹣4）（*x*﹣6）＝0，
解得：*x*＝4或*x*＝6，
分两种情况：
①当*AB*＝*AD*＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当*AB*＝*AD*＝6时，6+6＞8，
∴菱形*ABCD*的周长＝4*AB*＝24．
故选：*B*．
【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
9.如图，点*A*是反比例函数*y*（*x*＞0）上的一点，过点*A*作*AC*⊥*y*轴，垂足为点*C*，*AC*交反比例函数*y*＝的图象于点*B*，点*P*是*x*轴上的动点，则△*PAB*的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
连接*OA*、*OB*、*PC*．由于*AC*⊥*y*轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数*k*的几何意义得到*S*~△*APC*~＝*S*~△*AOC*~＝3，*S*~△*BPC*~＝*S*~△*BOC*~＝1，然后利用*S*~△*PAB*~＝*S*~△*APC*~﹣*S*~△*APB*~进行计算．
【详解】解：如图，
连接*OA*、*OB*、*PC*．
∵*AC*⊥*y*轴，
∴*S*~△*APC*~＝*S*~△*AOC*~＝×\|6\|＝3，*S*~△*BPC*~＝*S*~△*BOC*~＝×\|2\|＝1，
∴*S*~△*PAB*~＝*S*~△*APC*~﹣*S*~△*BPC*~＝2．
故选：*A*．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值\|k\|．
10.如图，正方形*ABCD*的边长为2，*O*为对角线的交点，点*E*、*F*分别为*BC*、*AD*的中点．以*C*为圆心，2为半径作圆弧，再分别以*E*、*F*为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣3 D. 4﹣π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
阴影部分的面积是：•π×2^2^﹣﹣2（1×1﹣•π×1^2^）＝π﹣2，
故选：*B*．
【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．
**二．填空题（共10小题）**
11.= \_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值填空即可.
【详解】由特殊角的三角函数值，能够确定=.
故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
12.2020年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止6月份，全球确诊人数约3200000人，其中3200000用科学记数法表示为\_\_\_\_\_．
【答案】3.2×10^6^
【解析】
【分析】
科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】由科学记数法的定义得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题键．
13.在实数范围内分解因式：*xy*^2^﹣4*x*＝\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式*x*，再运用平方差公式分解因式即可求解．
【详解】解：*xy*^2^﹣4*x*
＝*x*(*y*^2^﹣4)
＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键.
14.不等式组的解集为\_\_\_\_\_．
【答案】2＜*x*≤6
【解析】
【分析】
先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据"大小小大中间找"可确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式5*x*﹣1＞3（*x*+1），得：*x*＞2，
解不等式*x*﹣1≤4﹣*x*，得：*x*≤6，
则不等式组的解集为2＜*x*≤6，
故答案为：2＜*x*≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
15.把直线*y*＝2*x*﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为\_\_\_\_\_．
【答案】*y*＝2*x*+3
【解析】
【分析】
直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【详解】解：把直线*y*＝2*x*﹣1向左平移1个单位长度，得到*y*＝2（*x*+1）﹣1＝2*x*+1，
再向上平移2个单位长度，得到*y*＝2*x*+3．
故答案为：*y*＝2*x*+3．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．
16.抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的部分图象如图所示，其与*x*轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为*x*＝﹣1，则当*y*＜0时，*x*的取值范围是\_\_\_\_\_．
【答案】﹣3＜*x*＜1
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）与*x*轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为*x*＝﹣1，
∴抛物线与*x*轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当*y*＜0时，*x*的取值范围是﹣3＜*x*＜1．
故答案为：﹣3＜*x*＜1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
17.以▱*ABCD*对角线的交点*O*为原点，平行于*BC*边的直线为*x*轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若*A*点坐标为（﹣2，1），则*C*点坐标为\_\_\_\_\_．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱*ABCD*对角线的交点*O*为原点和点*A*的坐标，即可得到点*C*的坐标．
【详解】解：∵▱*ABCD*对角线的交点*O*为原点，*A*点坐标为（﹣2，1），
∴点*C*的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．
18.某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果，
∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解.
19.如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，∴△OCE为等腰直角三角形， ∵OC=2，∴OE=.
考点：(1)、圆的基本性质；(2)、勾股定理
20.如图，矩形*ABCD*中，*AB*＝2，*BC*＝，*E*为*CD*的中点，连接*AE*、*BD*交于点*P*，过点*P*作*PQ*⊥*BC*于点*Q*，则*PQ*＝\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，*AD*＝*BC*，∠*BAD*＝90°，根据线段中点的定义得到*DE*＝*CD*＝*AB*，根据相似三角形的判定证明△*ABP*∽△*EDP，*再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】解：∵四边形*ABCD*是矩形，
∴*AB*∥*CD*，*AB*＝*CD*，*AD*＝*BC*，∠*BAD*＝90°，
∵*E*为*CD*的中点，
∴*DE*＝*CD*＝*AB*，
∴△*ABP*∽△*EDP*，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵*PQ*⊥*BC*，
∴*PQ*∥*CD*，
∴△*BPQ*∽△*DBC*，
∴＝＝，
∵*CD*＝2，
∴*PQ*＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质证明△*ABP*∽△*EDP*得到＝是解题的关键．
**三．解答题（共6小题）**
21.（1）计算：（）^﹣2^﹣\|﹣3\|+2tan45°﹣（2020﹣π）^0^；
（2）先化简，再求值：（﹣*a*+1）÷，其中*a*从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】（1）2+；（2）﹣*a*﹣1，-4
【解析】
【分析】
（1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可；
（2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个a的值代入计算即可．
【详解】解：（1）（）^﹣2^﹣\|﹣3\|+2tan45°﹣（2020﹣π）^0^
＝4+﹣3+2×1﹣1
＝4+﹣3+2﹣1
＝2+；
（2）（﹣*a*+1）÷
＝×
＝
＝﹣*a*﹣1，
要使原式有意义，只能*a*＝3，
则当*a*＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键．
22.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩*x*分（*x*为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用*A*、*B*、*C*、*D*表示），*A*等级：90≤*x*≤100，*B*等级：80≤*x*＜90，*C*等级：60≤*x*＜80，*D*等级：0≤*x*＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
------ -------------- ------
等级 频数（人数） 频率
*A* *a* 20%
*B* 16 40%
*C* *b* *m*
*D* 4 10%
------ -------------- ------
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的*a*[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}，*m*＝[ ]{.underline}．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从*D*等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）8，12，30%；（2）40名，补图见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用*D*等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）*a*＝16÷40%×20%＝8，*b*＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，*m*＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；
补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为*A*，*B*，女生标记为*a*，*b*，
----- -------------- -------------- -------------- --------------
*A* *B* *a* *b*
*A* （*A*，*B*） （*A*，*a*） （*A*，*b*）
*B* （*B*，*A*） （*B*，*a*） （*B*，*b*）
*a* （*a*，*A*） （*a*，*B*） （*a*，*b*）
*b* （*b*，*A*） （*b*，*B*） （*b*，*a*）
----- -------------- -------------- -------------- --------------
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
∴抽得恰好为"一男一女"的概率为＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.如图，*AB*是⊙*O*的直径，点*C*是⊙*O*上一点（与点*A*，*B*不重合），过点*C*作直线*PQ*，使得∠*ACQ*＝∠*ABC*．
（1）求证：直线*PQ*是⊙*O*的切线．
（2）过点*A*作*AD*⊥*PQ*于点*D*，交⊙*O*于点*E*，若⊙*O*的半径为2，sin∠*DAC*＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）﹣．
【解析】
【分析】
（1）连接*OC*，由直径所对的圆周角为直角，可得∠*ACB*＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条件∠*ACQ*＝∠*ABC*，可求得∠*OCQ*＝90°，按照切线的判定定理可得结论．
（2）由sin∠*DAC*＝，可得∠*DAC*＝30°，从而可得∠*ACD*的 度数，进而判定△*AEO*为等边三角形，则∠*AOE*的度数可得；利用*S*~阴影~＝*S*~扇形~﹣*S*~△*AEO*~，可求得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接*OC*，
∵*AB*是⊙*O*的直径，
∴∠*ACB*＝90°，
∵*OA*＝*OC*，
∴∠*CAB*＝∠*ACO*．
∵∠*ACQ*＝∠*ABC*，
∴∠*CAB*+∠*ABC*＝∠*ACO*+∠*ACQ*＝∠*OCQ*＝90°，即*OC*⊥*PQ*，
∴直线*PQ*是⊙*O*的切线．
（2）连接*OE*，
∵sin∠*DAC*＝，*AD*⊥*PQ*，
∴∠*DAC*＝30°，∠*ACD*＝∠ABC=60°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，
又∵*OA*＝*OE*，
∴△*AEO*为等边三角形，
∴∠*AOE*＝60°．
∴*S*~阴影~＝*S*~扇形~﹣*S*~△*AEO*~
＝*S*~扇形~﹣*OA*•*OE*•sin60°
＝
＝．
∴图中阴影部分的面积为﹣．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
24.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为*x*（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤*x*≤19时，甲商品的日销售量*y*（单位：件）与销售单价*x*之间存在一次函数关系，*x*、*y*之间的部分数值对应关系如表：
---------------------- ---- ----
销售单价*x*（元/件） 11 19
日销售量*y*（件） 18 2
---------------------- ---- ----
请写出当11≤*x*≤19时，*y*与*x*之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为*w*元，当甲商品的销售单价*x*（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）*y*＝﹣2*x*+40（11≤*x*≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【解析】
【分析】
（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是*a*、*b*元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设*y*与*x*之间的函数关系式为*y*＝*k*~1~*x*+*b*~1~，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是*a*、*b*元/件，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设*y*与*x*之间的函数关系式为*y*＝*k*~1~*x*+*b*~1~，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴*y*与*x*之间的函数关系式为*y*＝﹣2*x*+40（11≤*x*≤19）．
（3）由题意得：
*w*＝（﹣2*x*+40）（*x*﹣10）
＝﹣2*x*^2^+60*x*﹣400
＝﹣2（*x*﹣15）^2^+50（11≤*x*≤19）．
∴当*x*＝15时，*w*取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
25.如图1，△*ABC*和△*DCE*都是等边三角形．
探究发现
（1）△*BCD*与△*ACE*是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若*B*、*C*、*E*三点不在一条直线上，∠*ADC*＝30°，*AD*＝3，*CD*＝2，求*BD*的长．
（3）若*B*、*C*、*E*三点在一条直线上（如图2），且△*ABC*和△*DCE*的边长分别为1和2，求△*ACD*的面积及*AD*的长．
【答案】（1）全等，理由见解析；（2）*BD*＝；（3）△*ACD*的面积为，*AD*＝．
【解析】
【分析】
（1）依据等式的性质可证明∠*BCD*＝∠*ACE*，然后依据*SAS*可证明△*ACE*≌△*BCD*；
（2）由（1）知：*BD*＝*AE*，利用勾股定理计算*AE*的长，可得*BD*的长；
（3）过点*A*作*AF*⊥*CD*于*F*，先根据平角的定义得∠*ACD*＝60°，利用特殊角的三角函数可得*AF*的长，由三角形面积公式可得△*ACD*的面积，最后根据勾股定理可得*AD*的长．
【详解】解：（1）全等，理由是：
∵△*ABC*和△*DCE*都是等边三角形，
∴*AC*＝*BC*，*DC*＝*EC*，∠*ACB*＝∠*DCE*＝60°，
∴∠*ACB*+∠*ACD*＝∠*DCE*+∠*ACD*，
即∠*BCD*＝∠*ACE*，
在△*BCD*和△*ACE*中，
，
∴△*ACE*≌△*BCD*（*SAS*）；
（2）如图3，由（1）得：△*BCD*≌△*ACE*，
∴*BD*＝*AE*，
∵△*DCE*都是等边三角形，
∴∠*CDE*＝60°，*CD*＝*DE*＝2，
∵∠*ADC*＝30°，
∴∠*ADE*＝∠*ADC*+∠*CDE*＝30°+60°＝90°，
在Rt△*ADE*中，*AD*＝3，*DE*＝2，
∴，
∴*BD*＝；
（3）如图2，过点*A*作*AF*⊥*CD*于*F*，
∵*B*、*C*、*E*三点在一条直线上，
∴∠*BCA*+∠*ACD*+∠*DCE*＝180°，
∵△*ABC*和△*DCE*都是等边三角形，
∴∠*BCA*＝∠*DCE*＝60°，
∴∠*ACD*＝60°，
在Rt△*ACF*中，sin∠*ACF*＝，
∴*AF*＝*AC*×sin∠*ACF*＝，
∴*S*~△*ACD*~＝，
∴*CF*＝*AC*×cos∠*ACF*＝1×，*FD*＝*CD*﹣*CF*＝，
在Rt△*AFD*中，*AD*^2^＝*AF*^2^+*FD*^2^＝，
∴*AD*＝．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26.已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左边），与*y*轴交于点*C*（0，﹣3），顶点*D*的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在*y*轴上找一点*E*，使得△*EAC*为等腰三角形，请直接写出点*E*的坐标．
（3）点*P*是*x*轴上动点，点*Q*是抛物线上的动点，是否存在点*P*、*Q*，使得以点*P*、*Q*、*B*、*D*为顶点，*BD*为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点*P*、*Q*坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）*yx*^2^﹣2*x*﹣3；（2）满足条件的点*E*的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，*P*（﹣1+2，0）、*Q*（1+2，4）或*P*（﹣1﹣2，0）、*Q*（1﹣2，4）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点*C*坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点*A*，*C*坐标，设出点*E*坐标，表示出*AE*，*CE*，*AC*，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点*Q*的纵坐标，代入抛物线解析式求出点*Q*的横坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为*y*＝*a*（*x*﹣1）^2^﹣4，
将点*C*（0，﹣3）代入抛物线*y*＝*a*（*x*﹣1）^2^﹣4中，得*a*﹣4＝﹣3，
∴*a*＝1，
∴抛物线解析式为*y*＝*a*（*x*﹣1）^2^﹣4＝*x*^2^﹣2*x*﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为*y*＝*x*^2^﹣2*x*﹣3，
令*y*＝0，则*x*^2^﹣2*x*﹣3＝0，
∴*x*＝﹣1或*x*＝3，
∴*B*（3，0），*A*（﹣1，0），
令*x*＝0，则*y*＝﹣3，
∴*C*（0，﹣3），
∴*AC*＝，
设点*E*（0，*m*），则*AE*＝，*CE*＝\|*m*+3\|，
∵△*ACE*是等腰三角形，
∴①当*AC*＝*AE*时，＝，
∴*m*＝3或*m*＝﹣3（点*C*的纵坐标，舍去），
∴*E*（3，0），
②当*AC*＝*CE*时，＝\|*m*+3\|，
∴*m*＝﹣3±，
∴*E*（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），
③当*AE*＝*CE*时，＝\|*m*+3\|，
∴*m*＝﹣，
∴*E*（0，﹣），
即满足条件的点*E*的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵*D*（1，﹣4），
∴将线段*BD*向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点*B*的对应点落在抛物线上，这样便存在点*Q*，此时点*D*的对应点就是点*P*，
∴点*Q*的纵坐标为4，
设*Q*（*t*，4），
将点*Q*的坐标代入抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*x*﹣3中得，*t*^2^﹣2*t*﹣3＝4，
∴*t*＝1+2或*t*＝1﹣2，
∴*Q*（1+2，4）或（1﹣2，4），
分别过点*D*，*Q*作*x*轴的垂线，垂足分别为*F*，*G*，
∵抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*x*﹣3与*x*轴的右边的交点*B*的坐标为（3，0），且*D*（1，﹣4），
∴*FB*＝*PG*＝3﹣1＝2，
∴点*P*的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，
即*P*（﹣1+2，0）、*Q*（1+2，4）或*P*（﹣1﹣2，0）、*Q*（1﹣2，4）．
【点睛】此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
| 1 | |
**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第3单元 第二节：数一数**
**一、填一填**
1、计数器上，从右边数起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（ ）位。
2、5个十是（ ），（ ）个十是100。
3、2个十和8个一合起来是（ ），6个一和8个十合起来是（ ）。
4、92里面有（ ）个一和（ ）个十，（ ）个一和（ ）个十组成32。
5、74是（ ）位数，74里有（ ）个十和（ ）个一。
6、一个数，个位上3，十位上8，这个数是（ ），读作（ ）。
7、57里，5在（ ）位上，表示5个（ ），7在（ ）位上，表示7个（ ）。
8、88左边的8在（  ）位，表示（ ）个（ ），右边的8在（ ）位，表示（ ）个（ ）。
**二、有五张数字卡片2、4、5、7、****9、0，从中抽取两张卡片，一共能组成多少个数？并写出其相对应的前后两个数字。**
三、我是数学小法官。（对的画"√"，错的画"×"）
1、一个数个位上是2，十位上是8，这个数是28。（ ）
2、十位上一个数也没有就写0。（ ）
3、一个数里面有9个一，8个十，这个数读作89。（ ）\[来源:学,科,网\]
4、45与54都有数字4和5，所以它们一样大。（ ）
5、最大的一位数与最小的两位数相差1。（ ）
四、写一写。
1、写出十位上是5的两位数：51、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。
2.、写出个位上是0的两位数：\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。
3、 写出十位和个位数字相同的两位数：99、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。\[来源:Zxxk.Com\]
4、 写出十位数字比个位数字多1的两位数：32、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。
五、我做得最仔细。
1、和80相邻的两个数是。（ ）
A、81和82 B、79和81 C、78和79
2、从76到82之间有几个数。（ ）
A、5个 B、6个 C、7个
3、最小的两位数比最大的两位数少几？（ ）
A、10 B、89  C、1
4、下面的数中，十位上的数比个位上的数小5的数是。（ ）
A、61 B、38 C、25
**答案**
**一、填一填**
1、个 十 百
2、50: 10
3、28 86
4、2 9 2 3
5、两，7 4
6、83 八十三
7、十 10 个 1\[来源:学&科&网\]
8、十 8 10 个 8 1
**二、**
**24 25 27 29 20 42 45 47 49 40 52 54 57 59 50 72 74 75 79 70 92 94 95 97 90** 
三、我是数学小法官。（对的画"√"，错的画"×"）
1、×
2、×
3、√
4、×
5、√
**四、**写一写。
1、52 53 54 55 56
2、10 20 30 40
3、 11 22 33 44 55 \[来源:学科网\]
4、 43 54 65 76 87 \[来源:学科网ZXXK\]
五、我做得最仔细。
1、B
2、A
3、B
4、B
| 1 | |
2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）
数学（理工农医类） 全解全析
**一 填空（4'×11）**
1.不等式的解集是 [ ]{.underline}.
【答案】
【解析】由.
2.若集合A＝{*x*\|*x*≤2}、B＝{*x*\|*x*≥*a*}满足A∩B＝{2}，则实数*a*＝ [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由.
3.若复数z满足z＝*i*(2-z)（*i*是虚数单位），则z＝ [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由.
4.若函数*f*(*x*)的反函数为*f* ^－1^(*x*)＝*x*^2^（*x*＞0），则*f*(4)＝ [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】令.
5.若向量→、→满足\|→\|＝1，\|→\|＝2，且→与→的夹角为*π*，则\|→+→\|＝ [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
.
6.函数*f*(*x*)＝sin *x* +sin(*π*+*x*)的最大值是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由.
7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 [ ]{.underline} （结果用分数表示）.
【答案】
【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：；
8.设函数*f*(*x*)是定义在R上的奇函数，若当*x*∈(0,+∞)时，*f*(*x*)＝lg *x*，则满足*f*(*x*)＞0
的*x*的取值范围是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由*f*(*x*)为奇函数得：
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,*a*,*b*,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则*a*、*b*的取值分别是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须时，总体方差最小；
10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2*a*，短轴长为2*b*的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为*h*~1~、*h*~2~，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ~1~、θ~2~，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】依题意，
；
11.方程*x*^2^+*x*－1＝0的解可视为函数*y*＝*x*+的图像与函数*y*＝的图像交点的横坐标，若*x*^4^+*ax*－4＝0的各个实根*x*~1~，*x*~2~，...，*x~k~* (*k*≤4)所对应的点(*x~i\ ~*,)（*i*＝1,2,...,*k*）均在直线*y*＝*x*的同侧，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} .
【答案】
> 【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(*x~i\ ~*,)（*i*＝1,2,...,*k*）均在直线*y*＝*x*的同侧，因直线*y*＝*x*与交点为：；所以结合图象可得：
>
> ；
**二 选择（4'×4）**
12.组合数**C**（*n*＞*r*≥1，*n*、*r*∈Z）恒等于（ ）
A．**C** B．(*n*+1)(*r*+1)**C** C．*nr* **C** D．**C**
【答案】
【解析】由.
13\. 给定空间中的直线*l*及平面*α*，条件"直线*l*与平面*α*内无数条直线都垂直"是"直线*l*与平面*α*垂直"的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】
【解析】直线与平面*α*内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面*α*垂直，
即充分性不成立；
14\. 若数列{*a~n~*}是首项为1，公比为*a*－的无穷等比数列，且{*a~n~*}各项的和为*a*，则*a*的值
是（ ） A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】由.
15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与*x*轴的正半轴、*y*轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(*x*,*y*)、P'(*x*',*y*')满足*x*≤*x*' 且*y*≥*y*'，则称P优于P'，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过
该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的
左上方区域（权且称为"第二象限"）与点
Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的
集合才为所求. 检验得：D．
三. 解答题（本大题满分90分）
16.(12')如图，在棱长为2的正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，
E是BC~1~的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的
大小（结果用反三角函数表示）
【解析】
过作，交于，连接.
平面，
是直线与平面所成的角. ......4分
由题意，得.
. ......8分
， . ......10分
故直线与平面所成角的大小是. ......12分
17.(13')如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°
> 的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C
>
> 处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某
>
> 人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A
>
> 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，
>
> 求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
【解析】
\[解法一\] 设该扇形的半径为米，连接. ......2分
由题意，得 (米)，（米），
......4分
在△中， ......6分
即， ......9分
解得 （米）
答：该扇形的半径的长约为445米. ......13分
\[解法二\] 连接，作，交于， ......2分
由题意，得（米），
（米）， ......4分
在△中，
.
（米）. ......6分
. ......9分
在直角△中，（米），，
（米）.
答：该扇形的半径的长约为445米. ......13分
18.(6'+9')已知双曲线，为上的任意点。
> （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
>
> （2）设点的坐标为，求的最小值；
>
> 【解析】
（1）设是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是和. ......2分
点到两条渐近线的距离分别是和， ......4分
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ......6分
（2）设的坐标为，则
......8分
......11分
， ......13分
当时，的最小值为，
即的最小值为. ......15分
19.(8'+8')已知函数*f*(*x*)＝2*^x^*－
⑴ 若*f*(*x*)＝2，求*x*的值
⑵ 若2*^t^ f*(2*t*)+m *f*(*t*)≥0对于*t*∈\[1,2\]恒成立，求实数m的取值范围
【解析】
（1）当时，；当时， ......2分
由条件可知，即
解得 ......6分
......8分
（2）当时， ......10分
即，， ......13分
，
故的取值范围是 ......16分
20.(3'+5'+8')设P(*a*,*b*)（*b*≠0）是平面直角坐标系*x*O*y*中的点，*l*是经过原点与点(1,*b*)的直线，记Q是直线*l*与抛物线*x*^2^＝2*py*（*p*≠0）的异于原点的交点
⑴ 若*a*＝1，*b*＝2，*p*＝2，求点Q的坐标
⑵ 若点P(*a*,*b*)（*ab*≠0）在椭圆+*y*^2^＝1上，*p*＝，
求证：点Q落在双曲线4*x*^2^－4*y*^2^＝1上
> ⑶ 若动点P(*a*,*b*)满足*ab*≠0，*p*＝，若点Q始终落在一条关于*x*轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由
【解析】
**（1）**当时，
解方程组 得 即点的坐标为 ......3分
**（2）**【证明】由方程组 得
即点的坐标为 ......5分
时椭圆上的点，即 ，
因此点落在双曲线上 ......8分
**（3）**设所在的抛物线方程为 ......10分
将代入方程，得，即 ......12分
当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；
当时， ，此时点的轨迹落在圆上；
当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；
当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ......16分
21.(3'+7'+8')已知以*a~1~*为首项的数列{*a~n~*}满足：*a~n＋1~*＝
⑴ 当*a~1~*＝1，c＝1，*d*＝3时，求数列{*a~n~*}的通项公式
⑵ 当0＜*a~1~*＜1，c＝1，*d*＝3时，试用*a~1~*表示数列{*a~n~*}的前100项的和*S~100~*
> ⑶ 当0＜*a~1~*＜（m是正整数），c＝，*d*≥3m时，求证：数列*a~2~*－，*a~3m+2~*－，*a~6m+2~*－，*a~9m+2~*－成等比数列当且仅当*d*＝3m
【解析】
**（1）**由题意得 ......3分
**(2)** 当时，
，，，，，
，，，......6分
......10分
**（3）**当时，
， ；
， ；
，
，， ，
综上所述，当时，数列，，，
是公比为的等比数列 ......13分
当时，，
......15分
由于，，
故数列不是等比数列
所以，数列成等比数列
当且仅当 ......18分
| 1 | |
**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第11课《画图凑数法》试题附答案**
**答案**
二年级奥数：第十五讲 画图凑数法习题解答
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**2017年江苏省连云港市中考数学试题**
**数学试题**
**一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.2的绝对值是( )
A. B.2 C. D.
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( )
A.方差 B.平均数 C.众数 D.中位数
4.如图，已知，，则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.由6个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，比较它的正视图,左视图和俯视图的面积，则( )
A.三个视图的面积一样大 C.主视图的面积最小
C.左视图的面积最小 D.俯视图的面积最小
6.关于的叙述正确的是( )
A.在数轴上不存在表示的点 B.
C. D.与最接近的整数是3
7.已知抛物线过，两点，则下列关系式一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；...按此规律运动到点处，则点与点间的距离是( )
A.4 B. C. D.0
**二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
9.使分式有意义的的取值范围是 [ ]{.underline} ．
10.计算 [ ]{.underline} ．
11.截至今年4月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进,出场量6800000吨，数据6 800 000用科学计数法可表示为 [ ]{.underline} ．
12.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 [ ]{.underline} ．
13.如图，在平行四边形中，于点，于点，若，则 [ ]{.underline} ．
14.如图，线段与相切于点，线段与相交于点，，，则的半径长为 [ ]{.underline} ．
15.设函数与的图象的交点坐标为，则的值是 [ ]{.underline} ．
16.如图，已知等边三角形与反比例函数的图象交于,两点，将沿直线翻折，得到，点的对应点为点，线段交轴于点，则的值为 [ ]{.underline} ．(已知)
**三、解答题 （本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.计算：.
18.化简：.
19.解不等式组：.
20.某校举行了"文明在我身边"摄影比赛.已知每幅参赛作品成绩记为分().校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表.
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中的值为 [ ]{.underline} ；样本成绩的中位数落在分数段 [ ]{.underline} 中；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若80分以上(含80分)的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是多少？
21.为落实"垃圾分类"，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.
(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.
22.如图，已知等腰三角形中，，点,分别在边、上，且，连接、，交于点.
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点、的直线垂直平分线段.
23.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，将直线绕着点顺时针旋转后，分别与轴轴交于点、.
(1)若，求直线的函数关系式；
(2)连接，若的面积是5，求点的运动路径长.
24.某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗).已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓.
(1)若基地一天的总销售收入为元，求与的函数关系式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值.
25.如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.
(1)求的面积；
(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)
(参考数据：，，，，，，)
26.如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.
(1)求此二次函数的关系式；
(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；
(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.
27.如图1，点、、、分别在矩形的边、、、上，.
求证：.(表示面积)
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中，点在上移动时，上述结论会发生变化，分别过点、作边的平行线，再分别过点、作边的平行线，四条平行线分别相交于点、、、，得到矩形.
如图2，当时，若将点向点靠近()，经过探索，发现：
.
如图3，当时，若将点向点靠近(，请探索、与之间的数量关系，并说明理由.
迁移应用：
请直接应用"实验探究"中发现的结论解答下列问题.
(1)如图4，点、、、分别是面积为25的正方形各边上的点，已知，，，，求的长.
(2)如图5，在矩形中，，，点、分别在边、上，，，点、分别是边、上的动点，且，连接、，请直接写出四边形面积的最大值.
**2017年江苏省连云港市中考数学试题**
**数学试题参考答案**
**一、选择题**
1-4：BDAD 5-8：CDCA
**二、填空题**
9\. 10. 11. 12.1
13.56 14.5 15. 16.
**三、解答题**
17.解：原式.
18.解：原式
.
19.解不等式，得.
解不等式，得.
所以，原不等式组的解集是.
20.(1)，.
(2)画图如图；
(3)(幅)
答：估计全校被展评的作品数量是180幅.
21.(1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是.
(2)列出树状图如图所示：
由图可知，共有18种等可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种.
所以，(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类).
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.
22.(1).
因为，，，所以.
所以.
(2)因为，所以.
由(1)可知，所以，所以.
又因为，所以点、均在线段的垂直平分线上，
即直线垂直平分线段.
23.(1)因为，且点在轴正半轴上，所以点坐标为.
设直线的函数关系式为，将点，的坐标分别代入
得，解得，所以直线的函数关系式为.
(2)设，因为的面积是，所以.
所以，即.
解得或(舍去).
因为，
所以点的运动路径长为.
24.(1)根据题意得：.
(2)因为，解得，又因为为正整数，且.
所以，且为正整数.
因为，所以的值随着的值增大而减小，
所以当时，取最大值，最大值为.
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元.
25.(1)过点作交的延长线于点，
在中，，
所以米.
所以(平方米).
(2)连接，过点作，垂足为点，则.
因为是中点，
所以米，且为中点，
米，
所以米.
所以米，由勾股定理得，
米.
答：、间的距离为米.
26.(1)把点，代入中得
，解得，
所以所求函数的关系式为.
(2)为直角三角形.
过点作轴于点，
易知点坐标为，所以，所以，
又因为点坐标为，所以，所以，
所以，所以为直角三角形，
圆心的坐标为.
(3)存在.
取中点，过点作轴于点，
因为的坐标为，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
所以要使抛物线沿射线方向平移，
且使经过原点，
则平移的长度为或，
因为，
所以抛物线的顶点向左、向下均分别平移个单位长度，
或个单位长度.
因为.
所以平移后抛物线的关系式为，
即
或，即.
综上所述，存在一个位置，使经过原点，此时抛物线的关系式为
或.
27.问题呈现：
因为四边形是矩形，所以，，
又因为，所以四边形是矩形，
所以，同理可得.
因为，所以.
实验探究：
由题意得，当将点向点靠近时，
如图所示，，，
，，
所以，
所以，
即.
迁移应用：
(1) 如图所示，由"实验探究"的结论可知，
所以，
因为正方形面积是25，所以边长为5，
又，
所以，，
所以，
所以，.
(2) 四边形面积的最大值为.
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**位值原则**
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个"位置值"。例如"5"，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是"满十进一"。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做"十"，10个十叫做"百"，10个百叫做"千"，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。
个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。
** 例2**有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。
** 分析与解**：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。
设这个两位数为x。由题意得到
（10x+1）-（100+x）=666，
10x+1-100-x=666，
10x-x=666-1+100，
9x=765，
x=85。
原来的两位数是85。
** 例3** a，b，c是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
** 分析与解**：用a，b，c组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到
所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。
** 例4**用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
** 解：**由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222，
所以平均值是（2+8+7）×222÷6=629。
** 例5**一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
（a+b）×5-（10a+b）=6，
5a+5b-10a-b=6，
4b-5a=6。
当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。
** 例6**将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
** 分析与解**：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若
由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。
**练习17**
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。
2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。
5.从1～9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。这六个三位数中最小的能是几？最大的能是几？
6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。
7.一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。
**练习17**
1.79。
解：设原来的两位数为x，则（100+x）+（10x+1）=970。
解得x=79。
2.372。
解：设原来的三位数为x，则
（10x+3）-（1000+x）=2351。解得x=372。
3.6。
=100a+10b+c-（a+b+c）
 4.3814
5.159；951。
提示：由例3知，a+b+c=3330÷222=15。
6.63。
（10a+b）-（a+b）×6=9，
化简得4a-5b=9。解得a=6，b=3，所求两位数为63。
7.267。
解：设三位数的百位数字为a，后两位数为x，则有
4x-（100a+x）=1，
3x=100a+1。
因为x是两位数，所以3x＜300，推知a=1或2。
若a=1，则x=101÷3不是整数，不合题意；
若a=2，则x=201÷3=67。所求三位数为267。
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解****第3课《认****识****图形三》试****题附答案**
一年级奥数上册：认识图形习题三
小学一年级奥数题：认识图形例题讲解（三）
答案
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法------分数除法（一）》同步检测2（附答案）**
一、5的倒数是（ ）。 的倒数是（ ）。
的倒数是（ ）。 的倒数是（ ）。
（ ）的倒数是. （ ）×（ ）= 1
二、分数除以一个整数（零除外）等于 [ ]{.underline} 这个整数的 [ ]{.underline} 。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、涂一涂，用图表示算式的意义。
× ÷2
四、 ÷3 ÷7 ÷9
= × = =
= = =
五、72÷8 = 72×（ ） 150÷15 = 150×（ ）
45÷9 = 45×（ ） ÷7 = ×（ ）
六、算一算。
15÷4 ÷15 ÷38 ÷8
÷15 ÷16 ÷26 ÷33
七、一瓶黄酒有千克，2天喝完，平均每天喝多少千克黄酒？3天喝完呢？
八、6个月饼重千克，平均每个月饼重多少千克？
九、王大伯家给稻田施肥，8天已经完成稻田的，平均每天完成稻田的几分之几？还剩几分之几完成？
十、有千克龙井茶叶，妈妈打算包装成6袋，平均每袋包多少千克？
**部分答案：**
一、 2
二、乘 倒数
四、 × ×
五、 来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、千克 千克
八、千克
九、
十、千克
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------小数点搬家》同步检测2（附答案）**
一、计算下面各题。
4×10 = 25×10 = 24÷10 =
4×100 = 250×10 = 24÷100 =
0.4×100 = 2.5×10 = 2.4÷10 =
二、下面的数与48.5比较，大小有什么变化？来源：www.bcjy123.com/tiku/
4.85 0.485 0.0485
三、算一算，比一比。来源：www.bcjy123.com/tiku/
0.3×10 = 0.42×10 = 2.8÷10 =
0.3×100 = 0.42×100 = 2.8÷100 =
0.3×1000 = 0.42×1000 = 2.8÷1000 =
四、土星绕太阳一周需29.46年，绕太阳5周需要多少时间？
五、练一练。
1.48×100 = 4.2÷10 =来源：www.bcjy123.com/tiku/
32.7÷100 = 0.03×10 =
8.15×1000 = 7.6÷1000 =
六、同学们参加兴趣小组。美术组有25人，舞蹈组的人数是美术组的1.2倍，这两个小组共有多少人？
七、下面每个图形的面积各是多少平方米？
八、华联超市新购进一批新鲜水果。亮亮买了4.5千克梨子，明明买了6千克西瓜，谁用的钱多，多多少元？你还能提出哪些数学问题？
九、刘老师买了10本同样的练习册共用去了42元钱，平均每本练习册多少元？四（5）班共60名同学每人需要一本这样的练习册，一共要多少钱？
十、1千克小麦可以磨面粉0.85千克。100千克、1000千克小麦可以磨面粉多少千克？
十一、某地的海水1千克含盐0.03千克，10千克海水含盐多少千克？
**部分答案：**
一、40 250 2.4 400 2500 0.24 40 25 0.24
三、3 4.2 0.28 30 42 0.028 300 420 0.0028
四、147.3年
五、148 0.42 0.327 0.3 8150 0.0076
六、55人
七、1.68平方米 0.16平方米
八、亮亮多，多3元
九、4.2元 252元
十、85千克 850千克
十一、0.3千克
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**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.是的共轭复数，若为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：设，依题意有，故.
考点：复数概念及运算．
2.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：投影为.
考点：向量概念及运算．
3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有---段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长
安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先
至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A． 日 B．日 C． 日 D．日
【答案】D
【解析】
试题分析：设日相逢，，解得.
考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．
4.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
5.动点满足，点为为原点，，则的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点取得最大值为.
考点：向量，线性规划．
6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）
A． B． \[来源:Z。xx。k.Com\]
C． D．
【答案】C
考点：三视图．
7.已知函数是奇函数，其中,则函数的
图象（ ）
A．关于点对称
B．可由函数的图象向右平移个单位得到
C．可由函数的图象向左平移个单位得到
D．可由函数的图象向左平移个单位得到
【答案】C
【解析】
考点：三角函数图象变换．
8.中，若，则（ ）
A． B．
C．是直角三角形  D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：由三角形内角和定理，得，化简得，所以是直角三角形或者.
考点：解三角形．
9.已知数列满足，若，
且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：取倒数，得，故，故，.
考点：数列与不等式．
10.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
考点：向量运算．
11.已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，
若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）
A．？ B．？  C．？ D．？
【答案】B
【解析】
试题分析：，程序框图的作用是求其前项和，由于，故再循环一次就满足，故填.
考点：算法与程序框图．
【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.\[来源:Z。xx。k.Com\]
12.已知满足，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
考点：数列求和．
【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）**
13.数列满足：，且对任意的都有：，则 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：令，，令，，故.
考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理．\[来源:Zxxk.Com\]
14.在中，，则的
值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
考点：向量运算．
15.在中,角、、所对的边分别为、、，，且，
则面积的最大值为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：，，，，外接圆直径为，由图可知，当在垂直平分线上时，面积取得最大值.设高，则由相交弦定理有，解得，故最大面积为.
考点：解三角形．
16.已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
试题分析：定义域为，令，这是一个偶函数，我们只需研究上的零点即可，此时，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，函数在区间上单调增，在区间上单调减，要有两个零点，只需，解得.
考点：函数图象与性质，零点问题．
【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到的范围.
**三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,且
.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题解析：
（1）由正弦定理可得，,从而可得
,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此.
（2）,由可知,
,从而,因此,故的取值范围为.
考点：解三角形．
18.（本小题满分12分）设数列的前和为，.
（1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说
明理由；
（3）设,若不等式,对
恒成立, 求的最大值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【解析】
试题解析：
（1）由,得,相减得.
故数列是以为首项, 以公差的等差数列..
（2）由（1）知,
,由
,得,即存在满足条件的自然数.
（3）
故符合条件的最大值为.
考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．
19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单
位圆上, 且.
（1）求的值；
（2）若四边形是平行四边形.
①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程；
②设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求
其单调增区间.
【答案】（1）；（2）①；②，增区间为和.
【解析】
试题分析：（1）由三角函数定义得，由齐次方程可计算的结果为；（2）①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨迹方程；②依题意得，又由①知，，，代入正弦的单调区间，求得增区间为和.
试题解析：
（1）由三角函数定义得,所以.
（2）四边形是平行四边形, 所以与互相平分.
①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨迹方程.
和.
考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换．
20.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）已知,当时, 有两个扱值
点,且,求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由已知可得在上恒成立,分离参数得，求右边函数的最大值为，故；（2），求导得，写出根与系数关系.化简，令换元后，利用导数可求得其最小值为.
试题解析：
.
令,
,
,单调递减,
.
考点：函数导数与不等式．
21.（本小题满分12分）在单调递增数列中, ,且成等差数
列, 成等比数列，.
（1）①求证：数列为等差数列；
②求数列通项公式；
（2）设数列的前项和为,证明:.
【答案】（1）①证明见解析；②当为偶数时,当为奇数时；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有，化简得，所以数列为等差数列；②由①得首项为公差为，所以，即，结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时；（2），另外，，故，所以，利用裂项求和法求得.
试题解析：
（1）①因为数列单调递增数列,, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列.
②又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此,
当为偶数时,当为奇数时.
（2）求数列通项公式为:, 因为,所以,
则有.
考点：数列与不等式．
**请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 是圆上两点, 延长至点,满足,过作直线与圆相切于点
的平分线交于点.
\[来源:学。科。网\]
（1）证明:；
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
试题解析：
（1）由题可,,
故,故.
（2）因为与分别为圆的切线和割线, 所以,得,又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故.
考点：几何证明选讲．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程\[来源:学科网\]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应
的参数与曲线交于点.
（1）求曲线,的普通方程；
（2）是曲线上的两点, 求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题解析：
（1）将及时对应的参数,, 代入得,
所以的方程为,设圆的半径,则圆的方程为(或),将点代入得: 圆的方程为:( 或).
（2）设曲线的方程为,将代入得,,所以.
考点：极坐标与参数方程．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求证:；
（2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用零点分段法，按三个零点分段去掉绝对值，可求得最小值为，得证；（2）由（1）知: 的最大值等于
,,"=" 成立,, 即当时, 取得最小值,当时,, 又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围.
考点：不等式选讲．
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**河北省衡水中学2017届高三下学期第六次调研考试**
**理数试题**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.若为纯虚数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.或
6.执行如图所示的框图，若输出的的值为，则条件框中应填写的是（ ）
A． B． C. D．
7.已知的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）
A． B． C. D．
8.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
9.已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C. D．
10.以抛物线的一点为直角顶点作抛物线的两个内接，则线段与线段的交点的坐标为（ ）
A． B． C. D．
11.将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转。如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为（ ）
A． B． C.  D．
12.已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
**第Ⅱ卷（共90分）\[来源:学科网\]**
**二****、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.如图，是半径为的圆的两条直径，,则的值是 [ ]{.underline} ．
14.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为"格点"，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为"阶格点函数"，下列函数中是"一阶格点函数"的有 [ ]{.underline} ．
① ② ③ ④ ⑤
15.已知实数x,y满足，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 [ ]{.underline} ．
16.各项均为正数的数列首项为，且满足，公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列设，求数列的前项和 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算****步骤.）**
17.在中，,点在边上，，且 .
（1）若的面积为，求；
（2）若，求.
18.如图所示，五面体中，正的边长为，平面,,且 \[来源:Zxxk.Com\]
（1）设与平面所成的角为，，若，求k的取值范围；
（2）在（1）和条件下，当取得最大值时，求平面与平面所成角的余弦值.
19.中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口断井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
--------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
井号      
坐标\[来源:学科网\]      
钻探深度      
出油量      
--------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（1）～号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值；
（2）现准备勘探新井，若通过号并计算出的的值（精确到）与（1）中的值差不超过，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？\[来源:学科网ZXXK\]
（参考公式和计算结果：）
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有口井中任意勘探口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望.
20\. 已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。
（1）若点的法线被抛物线所截的线段最短，求点坐标；
（2）任意一条和轴平行的直线交曲线于点，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点，求定点坐标.
21.已知函数 .
**（1）若在****处，****和****图象的切线平行，求****的值；**
**（2）设函数****，讨论函数****零点的个数.**
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为
（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲已知函数
（1）求的解集；
（2）若对任意的，都存在一个使得，求的取值范围.
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**2017\~2018学年度上学期高三年级九模考试**
**数学试卷**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．若全集为实数集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．命题"且"的否定形式是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．且
4．阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列的前10项和
B．计算数列的前9项和
C．计算数列的前10项和
D．计算数列的前9项和
5．直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．"石头、剪刀、布"，又称"猜丁壳"，是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世家.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表"石头"，食指和中指伸出代表"剪刀"，五指伸开代表"布"．"石头"胜"剪刀"， "剪刀"胜"布"，而"布"又胜"石头"，若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行"五局三胜制"的"石头、剪刀、布"游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在区间上单调递减
C．若，则
D．的最小正周期为
10．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．已知函数，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料。如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为7000元。那么可产生最大的利润是 [ ]{.underline} 元．
14．如图，为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点：找到一个点，从点可以观察到点；并测得到一些数据：，，，，，，，则两点之间的距离为 [ ]{.underline} ．（其中取近似值）
15．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
16．如图，在矩形中，，.四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17．已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，请说明理由.
18．已知正三棱柱中，分别为的中点，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.
19．某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：
（1）求每台仪器能出厂的概率；
（2）求生存一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生存两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.
20．如图，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连结并延长分别交于两点，连接；与的面积分别记为，设.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
21．（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．**
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线过，倾斜角为，以为极点，轴在平面直角坐标系中，直线，曲线（为参数），坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于点两点，求的最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若函数的最小值为2，求实数的值；
（2）若命题"存在，满足不等式"为假命题，求实数的取值范围.
**2017\~2018学年度上学期高三年级九模考试**
**数学试卷参考答案**
**一、选择题**
1-5:DACBA 6-10:DBACA 11、12：BC
**二、填空题**
13．38000元 14． 15． 16．
**三、解答题**
17．解：（1）设等比数列的公比为，则，.
由题意得，
即，解得，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
若存在，使得，
则，即.
当为偶数时，，上式不成立；
当为奇数时，，
即，则.
综上，存在符合条件的正整数，且的集合为.
18．解：（1）因为正三棱柱，所以平面，
所以，
又是正三角形，为中点，
所以，又
故平面，又平面，
所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，方向为轴，
轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长
，由题意，则，
，，，，
，
设平面的法向量则
，令，
则
由（1）可知为平面的一个法向量
故，计算可得：
由（1）可知，，
由定义则为二面角的平面角，
此时由勾股定理：，，
，
满足，则此时二面角为直二面角
19．解：（1）记每台仪器不能出厂为事件，则，
所以每台仪器能出厂的概率.
（2）生产一台仪器利润为1600的概率.
（3）可取3800,3500,3200,500,200，-2800.
，，，
，，
.
的分布列为：
20．解：（1）由抛物线定义可得，
∵点在抛物线上，
∴，即①
又由，得，将上式代入①，得，解得，
∴，∴，
所以曲线的方程为，曲线的方程为
（2）设直线的方程为，
由消去整理得，
设，，则，
设，，则，
所以，②
设直线的方程为，
由，解得，
所以，
由②可知，用代替，可得，
由，解得，所以，
用代替，可得
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以的取值范围为.
21．解：（1）的定义域为
，
当且仅当时，，
所以在单调递增.
（2），
由（1）知，单调递增，
对任意，，，
因此，存在唯一，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
.
于是，由，知单调递增
所以，由，得.
因为单调递增，对任意，存在唯一的，，
使得，所以的值域是，
综上，当时，有最小值，的值域是.
22．解：（1）∵，，
∴，
，∴，
∵，，
∴，
∴，∴
（2）曲线为，
设，，，，
则，
∴，.
23．解：（1）因为，
所以.
令，得或，
解得或.
（2）若命题"存在，满足"是假命题，
则当时，恒成立，
当时，，，
由，得，
即，即.
据题意，，则解得.
所以实数的取值范围是.
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四川省内江市2017年中考数学试题答案
1-5 DCDBA 6-10ACCBB 11-12AC
13\.
14.且
15\.
16\. 分析：以点为原点，直线分别为轴，建立直角坐标系，可分别求出直线的方程，求得交点．利用两点间的距离公式得到，故．再证明与相似，所以根据，得到，故求出．
17.8
18.证明：依题可知：为的平分线，故，又因为，所以，因为，且，故有，因此是等腰三角形.
19.（1）（人）；（2）；（3）
20.分析：令，因此，借助三角函数可得：，可得到，解出，所以，且，所以塔高．
21.（1）反比例函数：； 一次函数：；
（2）求出，；
（3）取值范围：或者；
22.；分析：由式子知：，则有：
23. 分析：延长直线交于点，因为垂直且平分，所以为等腰三角形．由于，故为中点，所以根据面积比等于相似比的平方，有：，所以，令，则，解出，故本题面积是1．
24\. 5 分析：先通分，再使用公式法和韦达定理即可.
25.分析：如图所示：，且，所以满足：
故有．
26. （1）；
```{=html}
<!-- -->
```
2. ；
3. ；
4.
27\.
分析：
（1）连接，因为，所以，由于垂直且平分，所以是等腰三角形，即，因此，故．根据相似三角形的性质可得：，所以：．
（2）连接，则，又因为，且，所以，故；
（3）连接，交圆于点，此时最小.因为是中点，可得出是等边三角形，所以，且，根据三角函数知，借助勾股定理可得，因此，
28.（1）根据二次函数的对称性得到，设方程为，代入点，求得方程为；
（2）设运动时间为，那么可以得到，又因为，则有，故，所以当时，三角形的面积最大为；
3.
①若时：有，解出；
②若时：不满足条件，应该舍去；
③若时：有，且由（2）知道，解出；
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第7课《行程问题》试题附答案**
**答案**
五年级奥数上册：第七讲 行程问题习题解答
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**2019年湖南省娄底市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）**
1．（3分）（2019•娄底）2019的相反数是
A． B．2019 C． D．
2．（3分）（2019•娄底）下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
4．（3分）（2019•娄底）一组数据、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是
A．、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
5．（3分）（2019•娄底）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为系列、荣耀相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗手机芯片．用科学记数法表示为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•娄底）下列命题是假命题的是
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．边形的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
7．（3分）（2019•娄底）如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•娄底）如图，边长为的等边的内切圆的半径为
A．1 B． C．2 D．
9．（3分）（2019•娄底）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•娄底）如图，直线和与轴分别交于点，点，则解集为
A． B． C．或 D．
11．（3分）（2019•娄底）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的
是
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）（2019•娄底）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为
A． B． C．0 D．1
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）**
13．（3分）（2019•娄底）函数的自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•娄底）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•娄底）如图，，，，则的度数为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•娄底）如图，、两点在以为直径的圆上，，，则[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•娄底）已知方程的一根为，则方程的另一根为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•娄底）已知点，到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）**
19．（6分）（2019•娄底）计算：
20．（6分）（2019•娄底）先化简，再求值：．其中，．
**四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）**
21．（8分）（2019•娄底）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
------------ ------ ------
关注程度 频数 频率
．高度关注 0.4
．一般关注 100 0.5
．没有关注 20
------------ ------ ------
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
22．（8分）（2019•娄底）如图，某建筑物高96米，它的前面有一座小山，其斜坡的坡度为．为了测量山顶的高度，在建筑物顶端处测得山顶和坡底的俯角分别为、．已知，，求山顶的高度、、在同一水平面上）．
**五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）**
23．（9分）（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二所示：
------ ---------------- ----------------
类别 成本价（元箱） 销售价（元箱）
甲 25 35
乙 35 48
------ ---------------- ----------------
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
24．（9分）（2019•娄底）如图，点在以为直径的上，平分，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线．
（2）求证：．
**六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）**
25．（10分）（2019•娄底）如图，点、、、分别在矩形的边、、、（不包括端点）上运动，且满足，．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．
26．（10分）（2019•娄底）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．
（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．
**2019年湖南省娄底市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）**
1．（3分）2019的相反数是
A． B．2019 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：2019的相反数是：．
故选：．
2．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
【解答】解：．，故选项不合题意；
．，故选项符合题意；
．，故选项不合题意；
与不是同类项，故不能合并，所以选项不合题意．
故选：．
3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：如图，、分别是、的中点，
且，
同理，且，
且，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
又根据三角形的中位线定理，，，
，
平行四边形是矩形．
故选：．
4．（3分）一组数据、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是
A．、0 B．1、0 C．1、1 D．2、1
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．
【解答】解：这组数据的众数为1，
从小到大排列：，0，1，1，1，2，中位数是1，
故选：．
5．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为系列、荣耀相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗手机芯片．用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示为．
故选：．
6．（3分）下列命题是假命题的是
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．边形的内角和是
D．旋转不改变图形的形状和大小
【分析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；
、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；
、边形的内角和是，正确，是真命题；
、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选：．
7．（3分）如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．
【解答】解：双曲线的图象关于轴对称，
根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，
并且扇形的圆心角为，半径为2，
所以：．
故选：．
8．（3分）如图，边长为的等边的内切圆的半径为
A．1 B． C．2 D．
【分析】连接、，的延长线交于，如图，利用内心的性质得平分，平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用正切的定义计算出即可．
【解答】解：设的内心为，连接、，的延长线交于，如图，
为等边三角形，
平分，平分，为等边三角形，
，，
，，
在中，，
，
即内切圆的半径为1．
故选：．
9．（3分）将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为
A． B． C． D．
【分析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．
【解答】解：由"左加右减"的原则可知，
的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：；
由"上加下减"的原则可知，
函数的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：．
故选：．
10．（3分）如图，直线和与轴分别交于点，点，则解集为
A． B． C．或 D．
【分析】根据两条直线与轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
【解答】解：直线和与轴分别交于点，点，
解集为，
故选：．
11．（3分）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点；即可得出，；△；再由图象可知当时，，即；当时，，即；即可求解．
【解答】解：由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点，
，；
△；
；
当时，，即；
当时，，即；
，即；
只有④是正确的；
故选：．
12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为
A． B． C．0 D．1
【分析】先计算点走一个的时间，得到点纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，再用，得出在第2019秒时点的纵坐标为是．
【解答】解：点运动一个用时为秒．
如图，作于，与交于点．
在中，，，
，
，
，
第1秒时点运动到点，纵坐标为1；
第2秒时点运动到点，纵坐标为0；
第3秒时点运动到点，纵坐标为；
第4秒时点运动到点，纵坐标为0；
第5秒时点运动到点，纵坐标为1；
，
点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，
，
第2019秒时点的纵坐标为是．
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）**
13．（3分）函数的自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
14．（3分）如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是[ ]{.underline}．
【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：
能让灯泡发光的概率：，
故答案为：．
15．（3分）如图，，，，则的度数为[ ]{.underline}．
【分析】由平行线的性质得出，再由平行线的性质得出，即可得出结果．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，、两点在以为直径的圆上，，，则[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用圆周角定理得到，，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求的长．
【解答】解：为直径，
，
，
．
故答案为2．
17．（3分）已知方程的一根为，则方程的另一根为[ ]{.underline}．
【分析】设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为，
，
．
故答案为：．
18．（3分）已知点，到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为[ ]{.underline}．
【分析】利用两平行线间的距离定义，在直线上任意取一点，然后计算这个点到直线的距离即可．
【解答】解：当时，，即点在直线上，
因为点到直线的距离为：，
因为直线和平行，
所以这两条平行线之间的距离为．
故答案为．
**三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）**
19．（6分）计算：
【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）先化简，再求值：．其中，．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当，时，原式．
**四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）**
21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
------------ ------ ------
关注程度 频数 频率
．高度关注 0.4
．一般关注 100 0.5
．没有关注 20
------------ ------ ------
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为[ 200 ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为（人，（人，；
（2）据上信息补全图中的条形统计图；
（3）高度关注新高考政策的人数：（人．
【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为（人，
（人，；
故答案为200，80，0.4；
（2）补全图中的条形统计图
（3）高度关注新高考政策的人数：（人，
答：高度关注新高考政策的约有600人．
22．（8分）如图，某建筑物高96米，它的前面有一座小山，其斜坡的坡度为．为了测量山顶的高度，在建筑物顶端处测得山顶和坡底的俯角分别为、．已知，，求山顶的高度、、在同一水平面上）．
【分析】作于．设米．由斜坡的坡度为，得出米．解，求得米，则米．解，得出米，又米，列出方程，求出即可．
【解答】解：如图，作于．设米．
斜坡的坡度为，
米．
在中，，米，，
（米，
米，
米．
在中，，，
米，
米，
，解得．
故山顶的高度为16米．
**五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）**
23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二所示：
------ ---------------- ----------------
类别 成本价（元箱） 销售价（元箱）
甲 25 35
乙 35 48
------ ---------------- ----------------
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【分析】（1）设购进甲矿泉水箱，购进乙矿泉水箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润单箱利润销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进甲矿泉水箱，购进乙矿泉水箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（元．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
24．（9分）如图，点在以为直径的上，平分，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线．
（2）求证：．
【分析】（1）连接，由角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）连接，
是的切线，为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
**六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）**
25．（10分）如图，点、、、分别在矩形的边、、、（不包括端点）上运动，且满足，．
（1）求证：；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
（3）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：，同理可得，即可得四边形是平行四边形；
（3）由三角形中位线定理得到：四边形的周长一半等于矩形一条对角线长度．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
．
在与中，，
；
（2）由（1）知，，则，同理证得，则，
四边形是平行四边形；
（3）四边形的周长一半等于矩形一条对角线长度．理由如下：
如图，连接，．
四边形是矩形，
．
、分别是边，的中点，
是的中位线，
．
同理，，．
．
四边形的周长一半等于矩形一条对角线长度．
26．（10分）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．
（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．
【分析】（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分、，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线倾斜角，进而求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）设直线与轴交于点，设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，则，
，
，故有最大值，当时，其最大值为；
（3），，
，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点作与点，
，解得：，
则，则，
则直线的表达式为：②，
联立①②并解得：（舍去负值），
故点，
②时，
，
则直线的表达式为：③，
联立①③并解得：，
故点，；
综上，点，或，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/12 8:58:34；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2019年广西贺州市中考数学试卷**
**一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在试卷上作答无效．）**
1．（3分）（2019•贺州）的绝对值是
A． B．2 C． D．
2．（3分）（2019•贺州）如图，已知直线，，则的度数是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•贺州）一组数据2，3，4，，6的平均数是4，则是
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）（2019•贺州）如图是某几何体的三视图，则该几何体是
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
5．（3分）（2019•贺州）某图书馆有图书约985000册，数据985000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•贺州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
7．（3分）（2019•贺州）如图，在中，，分别是，边上的点，，若，，，则等于
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）（2019•贺州）把多项式分解因式，结果正确的是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•贺州）已知方程组，则的值是
A． B．2 C． D．4
10．（3分）（2019•贺州）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能
A． B．
C． D．
11．（3分）（2019•贺州）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是
A． B．2 C． D．
12．（3分）（2019•贺州）计算的结果是
A． B． C． D．
**二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效.）**
13．（3分）（2019•贺州）若分式有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•贺州）计算的结果是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•贺州）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用[ ]{.underline}方式更合适．（填"全面调查"或"抽样调查"
16．（3分）（2019•贺州）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是[ ]{.underline}度．
17．（3分）（2019•贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是[ ]{.underline}（填写序号）．
18．（3分）（2019•贺州）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为[ ]{.underline}．
**三、解答题：（本大题共8题，满分66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效）**
19．（6分）（2019•贺州）计算：．
20．（6分）（2019•贺州）解不等式组：
21．（8分）（2019•贺州）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
22．（8分）（2019•贺州）如图，在处的正东方向有一港口．某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以20海里小时的速度行驶3小时到达港口．求，间的距离．，，结果保留一位小数）．
23．（8分）（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
24．（8分）（2019•贺州）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且．
（1）求证：；
（2）当时，四边形是菱形吗？请说明理由．
25．（10分）（2019•贺州）如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，，，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
26．（12分）（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求，两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
**2019年广西贺州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在试卷上作答无效．）**
1．（3分）的绝对值是
A． B．2 C． D．
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出的绝对值．
【解答】解：，
故选：．
2．（3分）如图，已知直线，，则的度数是
A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质得出的度数．
【解答】解：直线，，
．
故选：．
3．（3分）一组数据2，3，4，，6的平均数是4，则是
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】算术平均数
【分析】利用平均数的定义，列出方程即可求解．
【解答】解：数据2，3，4，，6的平均数是4，
，
解得：，
故选：．
4．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是
A．长方体 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
【考点】由三视图判断几何体
【分析】由已知三视图得到几何体是正方体．
【解答】解：由已知三视图得到几何体是以正方体；
故选：．
5．（3分）某图书馆有图书约985000册，数据985000用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于985000有6位，所以可以确定．
【解答】解：，
故选：．
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
【考点】：轴对称图形；：中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
故选：．
7．（3分）如图，在中，，分别是，边上的点，，若，，，则等于
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果．
【解答】解：，
，
，
即，
解得：，
故选：．
8．（3分）把多项式分解因式，结果正确的是
A． B． C． D．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：；完全平方公式：；
【解答】解：，
故选：．
9．（3分）已知方程组，则的值是
A． B．2 C． D．4
【考点】解二元一次方程组
【分析】两式相减，得，所以，即．
【解答】解：两式相减，得，
，
即，
故选：．
10．（3分）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象
【分析】根据反比例函数图象确定的符号，结合已知条件求得的符号，由、的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：若反比例函数经过第一、三象限，则．所以．则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数经过第二、四象限，则．所以．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项正确；
故选：．
11．（3分）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是
A． B．2 C． D．
【考点】切线的性质
【分析】由切线的性质得出，求出，证出，得出，得出，由直角三角形的性质得出，，，得出，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
故选：．
12．（3分）计算的结果是
A． B． C． D．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【解答】解：原式
．
故选：．
**二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，在试卷上作答无效.）**
13．（3分）若分式有意义，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：分式有意义，
，即
故答案为：．
14．（3分）计算的结果是[ ]{.underline}．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
【解答】解：，
故答案为．
15．（3分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用[ 抽样调查 ]{.underline}方式更合适．（填"全面调查"或"抽样调查"
【考点】全面调查与抽样调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适，
故答案为：抽样调查．
16．（3分）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是[ 90 ]{.underline}度．
【考点】圆锥的计算
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：设圆锥的母线为，根据勾股定理得，，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，
根据题意得，解得，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．
故答案为：90．
17．（3分）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是[ ①③④ ]{.underline}（填写序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点
【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得，根据图象与轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合的取值可判定出，根据、、的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式中得，再根据对称性判断出②的正误；把代入中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
【解答】解：根据图象可得：，，
对称轴：，
，
，
，
，故①正确；
把代入函数关系式中得：，
由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，
，故②错误；
，
，
即：，故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为：①③④．
18．（3分）如图，正方形的边长为4，点是的中点，平分交于点，将绕点顺时针旋转得，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】旋转的性质；正方形的性质
【分析】作于，于，如图，易得四边形为矩形，则，利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，于是可判断点在的延长线上，接着证明平分得到，然后利用面积法计算出，从而计算就可得到的长．
【解答】解：作于，于，如图，易得四边形为矩形，则，
正方形的边长为4，点是的中点，
，
，
绕点顺时针旋转得，
，，，，，
而，
点在的延长线上，
平分交于点，
，
，即平分，
，
，
，
．
故答案为．
**三、解答题：（本大题共8题，满分66分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.在试卷上作答无效）**
19．（6分）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂
【分析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法．
【解答】解：原式
．
20．（6分）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
21．（8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为、、、，其中过期牛奶为，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为．
22．（8分）如图，在处的正东方向有一港口．某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以20海里小时的速度行驶3小时到达港口．求，间的距离．，，结果保留一位小数）．
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】过点作，垂足为点，则，，通过解直角三角形可求出，的长，将其相加即可求出的长．
【解答】解：过点作，垂足为点，则，，如图所示．
在中，，，
，；
在中，，
．
．
，间的距离约为114.2海里．
23．（8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入年该贫困户的家庭年人均纯收入增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为．
（2）（元，
．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
24．（8分）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且．
（1）求证：；
（2）当时，四边形是菱形吗？请说明理由．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，得出，由，证出四边形是平行四边形，再由，即可得出四边形是菱形．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，，
在和中，，
；
（2）解：当时，四边形是菱形，理由如下：
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
25．（10分）如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点，，，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】（1）由切线的性质得出，由圆周角定理好已知条件得出，证出，得出，求出，由圆周角定理即可得出结果；
（2）由垂径定理得出，得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出．
【解答】解：（1）与相切于点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求，两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1），即可求解；
（2）抛物线的表达式为：，即可求解；
（3），即可求解．
【解答】解：（1），
故点、的坐标分别为、；
（2）抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）直线过点，设其函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
，，
轴，，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为，
此时点．
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日期：2019/7/10 9:56:54；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**小学数学小升初周长、面积、体积相关问题应用题闯关**
1．王大妈家的柜式空调长0.4米，宽0.2米，高1.7米，为了防灰尘，王大妈准备用布做一只长方体套子把这只空调罩起来，请你帮她算一下，做这只套子至少需用多少平方米的布？（接头处共需用布0.2平方米）
2．一间教室，长9米，款6米，高3米，门窗13.5平方米．要把教室四周和屋顶粉刷一遍，每平方米付材料和工资费用10.5元，一共要付多少元？
3．长10米，宽8米，高3.5米的教室，抹上石灰，扣除门窗黑板面积9.8平方米，抹石灰的面积有多少平方米？
4．一个长方体的饮料盒，长6厘米，宽4厘米，高8厘米，在它的四周贴一圈商标纸，商标纸的面积是多少平方厘米？
5．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？
6．一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5分米，宽3分米，高3.5分米．制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？
7．用一根长40分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为4分米，长、宽的比是1：1，再把它五个面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？
8．王老师家买了一个金鱼缸，从外面量长8分米，宽4分米，高6.5分米，
（1）如果要把鱼缸放在柜子上，要占多大的面积？
（2）请你算一算，制作这个鱼缸要用多少玻璃？
9．阅读短文，解决问题。
国家游泳中心又被称为"水立方"（Water Cube），是北京为2008年夏季奥运会修建的主游泳馆．"水立方"的长、宽、高分别为177米、177米、30米，设计采用了泡沫理论，建筑外墙分布着3000个不规则的泡泡气枕，整个外墙表面覆盖面积达到11万平方米，比德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积还要大5万平方米．"水立方"具有整体重量轻（总用钢量6900吨，每平方米用钢量仅120千克）、跨度大（最大跨度130米）的特点。"水立方"的总用钢量比相邻的鸟巢用钢量约少65.5%．相比之下，"水立方"显得更加节省能源。
（1）"水立方"的体积是多少立方米？（只列式，不解答）
（2）"水立方"的外墙表面覆盖面积比德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积大百分之几？（百分号前保留一位小数）
（3）鸟巢用钢量大约多少吨？
10．一个有盖长方体不锈钢水箱，高是8分米，原来水箱里有水深5分米，后来放入一个体积6000立方厘米的铁块后（水淹没铁块）水深5.4分米，这个水箱一共能存水多少立方分米？
11．如图，左边是一个装满了果汁的饮料盒，右边是一个茶杯，茶杯的底面直径是10厘米，高是8厘米。如果把饮料盒内的果汁全部倒入右边的茶杯里，能倒满几杯？
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12．一个长方体水池，长20米、宽9米，池中水深1.57米．池底有根出水管，水管内直径为2分米，放水时水流速度平均每秒2米，放完这池水需要多少分钟？
13．牧民们打算在草原附近修建一共圆形的牛栏，半径为50米。
（1）如果每隔2米安装一根木桩，一圈一共要安装多少根木桩？
（2）如果用粗铁丝把这个牛栏围成5圈，（接头处忽略不计）至少需要铁丝多少米？
14．一辆自行车轮胎的外直径是70厘米，小强骑着自行车通过一座1000米长的大桥，如果车轮平均每分钟转100周，要用多长时间通过大桥？（得数保留一位小数）
15．某文具店搞促销，其中一种直径7毫米的圆柱形铅笔"买一送一"。为了方便，商店把每两支这样的铅笔用胶带捆扎（接头处忽略不计），捆扎这样的两支铅笔至少需要多长的胶带？（结果保留整数）
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16．一条"机器蛇"长1.2米，直径0.06米，重1.8千克．你看它扭动着身躯，在地上蜿蜒爬行，一会儿前进，一会儿后退，简直跟真蛇一样，它最快的爬行速度可达20米/分。
（1）如果用"机器蛇"围成一个圆，这个圆的面积是多少？
（2）如果这条机器"蛇"从中间断开，它的横截面的面积是多少？
17．在一块半径为10米的圆形菜地上种水果，西瓜占总面积的20%，剩下的地按1：3的比例中西红柿和茄子，西红柿和茄子分别要种多大面积？
18．号称"华夏第一大锅'现身成都，它的周长为37.68米，自重16吨，内圈有6个大汤锅，外圈有60个小火锅，可供80\--120人同时用餐． 这个大火锅的占地面积有多大？
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19．火车头的主动轮的直径是1.5米，如果每分钟转350周，这个火车头每分钟前进多少米？
20．在一个直径8米的圆形花坛边修一条宽1米的环形小路．这条小路的面积是多少平方米？
21．小熊维尼买了一枝20厘米的圆柱形新铅笔，底面直径是0.8厘米，把铅笔的笔头削成高是1.5厘米的圆锥形后，新铅笔的体积比原来减少了多少立方厘米？
22．一种圆柱形易拉罐饮料，从易拉罐的外面量高14厘米，底面直径6厘米．易拉罐侧面印有"净含量400ml"的字样，请问该标注是真实的还是虚假的？
23．有一种饮料的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是42厘米3，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．（见图），问瓶内现有饮料多少立方厘米？
24．营养学家建议，儿童每天水的摄入量应不少于1500毫升．小刚每天用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6杯水，小刚水的摄入量达到要求了吗？（π取3.14）
25．书架上下两层共放有120本书，如果从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多。上下两层原来各有多少本书？（能否用两种不同的想法做呢）
26．压路机的滚筒是一个圆柱体．滚筒直径1米，长1.5米．现在滚筒向前滚动120周，被压路面的面积是多少？
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27．用塑料板制作一个无盖的圆柱米桶，桶的底面直径是6分米，高是8分米．做这个桶至少需用塑料板多少平方米？
28．把粗细一样，长都是40厘米的两个圆柱体木料的一头胶合起来，成为一根圆柱体木料．这样表面积比原来减少9.42平方厘米，问胶合后的体积是多少立方厘米？
29．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽l.5米的长方体沙坑里，可以装多高？
30．一个圆锥形沙堆，底面周长为6.28米，高4.5分米，用这堆沙在5米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
31．一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形（如图）．量得圆柱底面的周长是62.8米，高2米，圆锥的高是1.2米。这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤最多能装稻谷多少吨？（保留一位小数）
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32．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着一些石子，石子的体积为π立方厘米，在容器内到满水后，再把石子全部拿出来，满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度。
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33．墙角堆放着一堆小麦（如图），这堆小麦的顶点在两墙角的边界线上，小麦的底面半径是2米，高为0.6米．这堆小麦的体积是多少立方米？
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**参考答案**
1．2.32平方米
【解析】首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由五个长方形组成，缺少下面，最后计算这五个面的面积和加上接头的面积解决问题．解答：解：0.4×1.7×2+0.2×1.7×2+0.2×0.4+0.2
=0.68×2+0.34×2+0.08+0.2
=1.36+0.68+0.08+0.2
=2.32（平方米）
答：做这只套子至少需用2.32平方米的布。
点评：长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积。
考点：长方体、正方体表面积.
2．1370.25元
【解析】教室四壁和屋顶的面积，少了一个底面的面积，求出这5个面的面积再减去门窗的面积即可。
解：9×6+9×3×2+6×3×2
=54+54+36
=144（平方米）
144-13.5=130.5（平方米）
130.5×10.5=1370.25（元）
答：一共要付1370.25元。
3．196.2平方米
【解析】求粉刷面积，就是求长方体5个面的面积，缺少下面，然后计算这五个面的面积减去门窗的面积。
解：10×8+（10×3.5+8×3.5）×2-9.8，
=80+126-9.8，
=196.2（平方米）；
答：抹石灰的面积有196.2平方米。
4．160平方厘米
【解析】"在它的四周贴一圈商标纸"，要贴的是4个面，不贴上面和下面。
解：（6×8+4×8）×2
=（48+32）×2
=80×2
=160（平方厘米）
答：商标纸的面积是160平方厘米。
5．3：4
【解析】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（50-20）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比．由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比．
解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30=2：3。
注20厘米的水的时间为18×2 3 =12（分），这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为12-3=9（分）。
已知长方体铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4。
答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4。
考点：长方体、正方体表面积。
点评：1、求出两次注水时间的比。
2、再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟。
6．71平方分米
【解析】要求制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，也就是求长方体五个面的面积（缺少上面）。
解：5×3+（5×3.5+3×3.5）×2
=15+（17.5+10.5）×2
=15+56
=71（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要71平方分米的玻璃。
7．57平方分米
【解析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，高已知，再求出长与宽的和，然后利用按比例分配的方法分别求出长与宽；下面为空，是求剩下5个面的总面积。
解：40÷4－4
=10－4
=6（分米）
6÷（1+1）=3（分米）
3×3+3×4×4
=9+48
=57（平方分米）
答：至少需要57平方分米的纸。
8．32平方分米；188平方分米
【解析】（1）占地面积就是用鱼缸的长乘以宽解答即可。
（2）我们运用四周的侧面积加上下面的底面积就是玻璃缸要用的玻璃的面积。
解：（1）8×4=32（平方分米）
答：把鱼缸放在柜子上，要占32平方分米。
（2）（8+4）×2×6.5+8×4
=24×6.5+32
=156+32
=188（平方分米）
答：制作这个鱼缸要用188平方分米的玻璃。
9．939870立方米；83.3%；20000吨
【解析】（1）直接根据长方体的体积计算公式列式；
（2）先求出德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积，再求出"水立方"的外墙表面覆盖面积比德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积大百分之几；
（3）根据"鸟巢用钢量-水立方比鸟巢少的用钢量=水立方用钢量"这个等量关系式列方程求出鸟巢用钢量。
解：（1）177×177×30
=31329×30
=939870（立方米）
答："水立方"的体积是939870立方米。
（2）5÷（11－5）
=5÷6
≈83.3%
答："水立方"的外墙表面覆盖面积比德国世界杯安联球场的外墙表面覆盖面积大83.3%。
（3）设鸟巢用钢量为x吨。
x－65.5%x=6900
34.5%x=6900
x=20000
答：鸟巢用钢量大约是20000吨。
考点：长方体、正方体表面积与体积的应用。
10．120立方分米
【解析】由题意可知：放入的铁块的体积就等于升高部分的水的体积，又因铁块的体积已知，就等于知道了升高部分的水的体积，升高部分的水的高度为（5.4-5）分米，于是即可利用长方体的体积V=Sh，求出水箱的底面积，水箱的高度已知，从而可以求出水箱的容积。
解：6000立方厘米=6立方分米
6÷（5.4-5）
=6÷0.4，
=15（平方分米）
15×8=120（立方分米）
答：这个水箱一共能存水120立方分米。
点评：1、长方体的体积V=Sh。
2、放入的铁块的体积就等于升高部分的水的体积，于是可以求出水箱的底面积，进而求出水箱的容积。
11．5杯
【解析】先分别求出饮料盒里果汁的体积和茶杯的容积，再用除法计算。
解：30×20×6=3600（立方厘米）
3.14×（10÷2）^2^×8=628（立方厘米）
3600÷628≈5（杯）
答：能倒满5杯。
总结：注意答案要用去尾法取值。
12．75分钟
【解析】根据题意，可依据长方体的体积公式计算出这个水池的容积，再依据圆柱的体积公式计算出这根放水管的每分钟放水的体积，用水池的容积除以出水管每分钟放水的体积．
解：长方体水池的容积：
20×9×1.57
=180×1.57
=282.6（立方米）
2分米=0.2米
出水管的半径是：0.2÷2=0.1（米）
每分钟出水的体积是：3.14×0.12×2×60=3.768（立方米）
282.6÷3.768=75（分钟）
答：放完池中的水需要75分钟。
13．157根；1570米
【解析】（1）先利用圆的周长公式求出牛栏的周长，再除以2，就是需要的木桩的根数；
（2）先利用圆的周长公式求出牛栏的周长，再乘5。
解：（1）2×3.14×50÷2，
=314÷2，
=157（根）；
答：一圈一共要安装157根木桩．
（2）2×3.14×50×5
=314×5
=1570（米）
答：至少需要铁丝1570米。
考点：圆的应用题。
14．4.5分钟
【解析】先利用圆的周长公式求出轮胎的周长，进而求出车轮每分钟行驶的路程，再据"路程÷速度=时间"即可求出过这座桥所用的时间。
解：70厘米=0.7米
1000÷（3.14×0.7×100）
=1000÷（2.198×100）
=1000÷219.8
≈4.5（分钟）
答：要用4.5分钟通过大桥。
15．50毫米
【解析】根据题意，要求捆扎这样的两支铅笔至少需要多长的胶带，也就是求一个直径7毫米的圆的周长再加上4条直径的长度和。
解：3.14×7+7×4
=（3.14+4）×7
=49.98（毫米）
≈50（毫米）
答：捆扎这样的两支铅笔至少需要50毫米的胶带。
点评：题意的理解：求一个直径7毫米的圆的周长再加上4条直径的长度和。
16．0.113354平方米；0.002826平方米
【解析】（1）首先根据圆的周长公式：c=2πr，求出圆的半径，再根据圆的面积公式：s=πr^2^，把数据代入公式解答。
（2）首先根据直径是半径的2倍，用直径除以2求出半径，再根据圆的面积公式：s=πr^2^，把数据代入公式解答。
解：（1）3.14×（1.2÷3.14÷2）^2^
≈3.14×0.19^2^
=3.14×0.0361
=0.113354（平方米）
答：这个圆的面积是0.113354平方米。
（2）3.14×（0.06÷2）^2^
=3.14×0.03^2^
=3.14×0.0009
=0.002826（平方米）
答：它的横截面的面积是0.002826平方米。
17．西红柿要种62.6平方米，茄子要种188.4平方米。
【解析】根据圆的面积公式S=πr^2^，先求出圆形菜地的面积，再求出种西瓜的面积，最后利用按比例分配的方法分别求出种西红柿和茄子的面积。
解：3.14×10^2^=314（平方米）
314×（1-20%）=251.2（平方米）
1+3=4
251.2÷4×1=62.8（平方米）
251.2÷4×3=188.4（平方米）
答：西红柿要种62.6平方米，茄子要种188.4平方米。
考点：圆的应用题；百分数的实际应用。
点评：本题主要是利用了圆的面积公式及按比例分配的方法。
18．113.04平方米
【解析】首先根据圆的周长公式：c=2πr，求出半径，再根据圆的面积公式：s=πr^2^，把数据代入公式。
解：3.14×（37.68÷3.14÷2）^2^
=3.14×36
=113.04（平方米）
答：这个打火锅的占地面积有113.04平方米。
19．1648.5米
【解析】先求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长。然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数。
解：3.14×1.5×350
=4.71×350
=1648.5（米）
答：这个火车头每分钟前进1648.5米。
20．15.7平方米
【解析】这条小路的面积就是这个外圆半径为8÷2+1=5（米），内圆半径为8÷2=4（米）的圆环的面积。
解：8÷2=4（米），4+1=5（米），
所以小路的面积为：
3.14×（5^2^-4^2^）
=3.14×9
=28.26（平方米）
答：这条小路的面积是15.7平方米。
21．0.5024立方厘米
【解析】铅笔的笔头削成高是1.5厘米的圆锥形后，那"新铅笔比原来减少的体积"就是削掉的高1.5厘米的圆柱体积的。
解：0.8÷2=0.4（厘米）
3.14×0.42×1.5×
=0.5024×1.5×
=0.7536×
=0.5024（立方厘米）
答：新铅笔的体积比原来减少了0.5024立方厘米。
考点：关于圆柱的应用题。
总结：圆锥的体积计算公式v=底面积×高。
22．
【解析】易拉罐底面直径6厘米，高14厘米，代入圆柱体的体积V=Sh，求出易拉罐的容积，再与400毫升进行比较即可知道该标注是真实的还是虚假的。
解：3.14×（6÷2）2×14
=3.14×9×14
=28.26×14
=395.64（立方厘米）
395.64立方厘米=395.64毫升
因为395.64毫升＜400毫升，所以该标注是虚假的。
答：该标准是虚假的。
23．33.6立方厘米
【解析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷（20+5）=，再根据一个数乘分数的意义，用乘法列式解答。
解：42×\[20÷（20+5）\]
=42×
=33.6（立方厘米）
答：瓶内现有饮料33.6立方厘米。
24．达到了
【解析】根据圆柱的体积公式，求出小刚喝水的水杯的容积，再求出小刚每天一共喝水的毫升数，最后与1500毫升进行比较。
解：3.14×（6÷2）^2^×10×6
=3.14×9×10×6
=31.4×54
=1695.6（立方厘米）
1695.6立方厘米=1695.6毫升
因为，1500毫升＜1695.6毫升
所以，小刚的喝水量达到要求。
答：小刚每日的喝水量达到了要求。
点评：圆柱的体积公式：V=sh=πr^2^h。
25．上层原来有书75本，下层原来有书45本
【解析】方法一：根据题意，上层比下层原来多15×2=30（本），也就是总数再加上30本就是上层书的2倍，那么上层有书：（120+15×2）÷2，计算即可；
方法二，用方程解答，可设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，根据"从上层拿15本到下层，则两层书架上的书同样多"，列方程解答。
解：方法一：
上层：（120+15×2）÷2
=150÷2
=75（本）
下层：120-75=45（本）
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
方法二：设上层原来有书x本，则下层原来有书（120-x）本，得
x-15=120-x+15
2x=150
x=75（本）
则120-x=120-75=45（本）
答：上层原来有书75本，下层原来有书45本。
考点：和差问题。
26．565.2平方米
【解析】根据圆柱体的特征，它的侧面是一个曲面．侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱的高．先求出压路机的滚筒滚动一周压路的面积，再乘120即是被压路面的面积。
解：3.14×1×1.5×120
=4.71×120
=565.2（平方米）
答：被压路面的面积565.2平方米。
27．1.7898平方米
【解析】首先分清制作没有盖的圆柱形米桶，需要计算几个面的面积：侧面面积与底面圆的面积两个面，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答。
解：米桶的侧面积：3.14×6×8=150.72（平方分米）
米桶的底面积：3.14×（6÷2）2=3.14×32=28.26（平方分米）
水桶的表面积：150.72+28.26=178.98（平方分米）=1.7898（平方米）
答：做一个这样的米桶大约用铁皮1.7898平方米。
28．376.8立方厘米
【解析】根据题干，这个圆柱的高是40×2=80厘米，拼组后表面积是减少了圆柱的2个底面积，利用减少的9.42平方厘米，即可求出其中一个圆柱的底面积是：9.42÷2=4.71（平方厘米）。
解：9.42÷2×（40×2）
=7.71×80
=376.8（立方厘米）
答：胶合后的体积是376.8立方厘米。
29．3.768米
【解析】由题意知，"沙"由圆锥变为长方体，形状变了但体积没变，即V圆锥=V长方体，由此可利用它们的体积公式来求装的高度。
解：3.14×（18.84÷3.14÷2）2×1.2×÷（2×1.5）
=11.304÷3
=3.768（米）
答：可以装3.768米高。
考点：圆锥的应用题。
点评：此题考查了圆锥体积的求法和长方体底面积的求法，求圆锥体积时不要忘了乘。
30．4.71米
【解析】要求能铺多少米，应先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求所铺路面的长度。
解：4.5分米=0.45米，2厘米=0.02米。
沙堆的体积：
×3.14×（6.28÷3.14÷2）2×0.45
=×3.14×1×0.45
=3.14×0.15
=0.471（立方米）
所铺路面的长度：
0.471÷（5×0.02）
=0.471÷0.1
=4.71（米）
答：能铺4.71米。
31．376.8吨
【解析】（1）第一问是求这个粮囤的体积，根据圆锥与圆柱的体积公式计算即可；
（2）要求这个粮囤最多能装稻谷多少吨，用求得的粮囤的体积，乘单位体积的稻谷的重量即可。
解：（1）圆柱的底面积为：
3.14×（62.8÷3.14÷2）^2^
=3.14×10^2^
=3.14×100
=314（平方米）
这个粮囤的体积：
×314×1.2+314×2
=125.6+628
=753.6（立方米）
答：这个粮囤能装稻谷753.6立方米。
（2）753.6×500=376800（千克）
376800千克=376.8吨
答：这个粮囤最多能装稻谷376.8吨。
32．4.76厘米
【解析】先计算出圆锥容器的容积，又因水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x=，所以水的体积等于×3.14×x×()^2^=水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积，解方程得x=6，所以此时容器内水面高度为4.76厘米。
解：圆锥容器的容积为×3.14×5^2^×10
=×3.14×25×10
水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积：
×3.14×25×10-×3.14
=×3.14
=18×3.14
假设取出石子后，水面的高度为x厘米，则水面的底面半径为x=
×3.14×x×（）^2^=18×3.14
x^3^=108
x=6
所以此时容器内水面高度为4.76厘米。
答：此时容器内水面高度为4.76厘米。
考点：圆锥的应用题。
点评：深刻理解题意，水的体积等于圆锥的容积减去石子的体积。
33．0.628立方米
【解析】根据"在墙角有一堆小麦，小麦顶点在两墙面交界线上"得知：这堆小麦的体积等于整堆小麦体积的。运用圆锥体积公式求出整堆小麦的体积，进而解决问题。
解：×3.14×2^2^×0.6×
=×3.14×4×0.6×
=0.628（立方米）
答：这堆小麦的体积是0.628立方米。
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------有趣的测量》同步检测1（附答案）**
1\. 填一填。
0.345L＝( )mL＝( )cm来源：www.bcjy123.com/tiku/
1500cm＝( )mL＝( )L
3dm＝( )L＝( )mL
2.4L＝( )dm＝( )cm
2．如右图所示，玻璃缸中石块沉入前水面的高度是6厘米；石块沉入水中后，水面升高4厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
3．有一个长方体容器，从里面量长5分米，宽4分米，高6分米，里面注了水，水深
3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
4．(1)这个橘子的体积是多少？
(2)如果再放一个相同体积的橘子，烧杯中水面的刻度该是多少呢？
(3)如果不让水溢出来，最多能放几个这样的橘子？
5．一只长方体的玻璃缸，长8dm、宽6dm、高4dm，水深2.8dm。如果投入一块棱
长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
**参考答案**
1．345 345 1500 1.5 3 3000 2.4 2400来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．2400cm
3．0.4分米
4．(1)100cm (2)400mL (3)3个
5．4×4×4－8×6×(4－2.8)＝6.4(dm)＝6.4(升)
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------画一画》同步检测2（附答案）**
1．给出一个数，求出它的4倍，并填写下表。
------------- --- --- ---- --- --- --- -----
一个数 1 2 3 4 5 6 ...
这个数的4倍 4 8 12 ...
------------- --- --- ---- --- --- --- -----
(1)根据上表，在图中描点表示表中的数量关系。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)连结各点，你发现了什么?
(3)利用上图，把下面的表格填完整。
------------- ----- ---- ----- ----- ----- -----
一个数 1.5 4.5 5.5
这个数的4倍 10 2.8 2.4
------------- ----- ---- ----- ----- ----- -----
2．购买一种丝绸面料，购买的长度与应付的钱数如下。把下表填写完整。
--------- ---- ---- --- --- --- --- -----
长度/米 1 2 3 4 5 6 ...
金额/元 40 80 ...
--------- ---- ---- --- --- --- --- -----
(1)在下图中描点表示上表中的数量关系。
(2)连结各点，你发现了什么?
(3)购买丝绸的长度和所需的金额成正比例吗?说说理由。
(4)观察图像，180元可以购买多少米丝绸?
(5)根据图像估计一下，买5．5米丝绸要用多少元?
3．填一填。(填"是''或"不是")
(1)如果，那么和关系( )正比例关系。
(2)如果甲数等于乙数的2．5倍。那么甲数和乙数( )正比例关系。
(3)今年爷爷的年龄是小明的8倍，那么爷爷的年龄和小明的年龄( )正比例关系。
参考答案
1.（2）所描的点都在同一条直线上
2．120 160 200 240
(1)图略来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)所描的点都在同一条直线上。
(3)因为购买丝绸所付的金额÷购买丝绸的长度=每米丝绸的价格(一定)，所以购买丝绸的长度和所需金额成正比例。
(4)4．5米 (5)220元
3．(1)是(2)是(3)不是
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**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（1）**
**一、解答题（共1小题，满分10分）**
1．
---------- ------------ ----------- --------------
1×1= 1﹣0.9= 0.32÷2= 0.8×5=
0.9×0.1= 3.11+2.22= 0.36÷0.4= 12.5+12.5×7=
8m﹣6m= a×a=
---------- ------------ ----------- --------------
**二、填空（每空1分，共20分）**
2．2.305的小数点右边第三位是[ ]{.underline}位，3表示有三个[ ]{.underline}．
3．0.4里面有[ ]{.underline}个0.1，0.025里面有[ ]{.underline}个0.001．
4．三角形按角分可以分为[ ]{.underline}、[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
5．69克=[ ]{.underline}千克
5元6角7分=[ ]{.underline}元
5.1米=[ ]{.underline}分米
1千克50克=[ ]{.underline}克．
6．在横线上填上"＞""＜"或"="
----------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------
4.72÷0.99[ ]{.underline}4.72 5.43×0.82[ ]{.underline}5.43 127÷1.3[ ]{.underline}127．
----------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------
7．在三角形中，∠A=60°，∠B=30°，∠C=[ ]{.underline}．
8．一个工地用卡车运土，每车运x吨，一天上午运25车，下午运20车，这个工地上午运土[ ]{.underline}吨，这天一共运[ ]{.underline}吨，上午比下午多运[ ]{.underline}吨．
9．盒子里有6个球，1个白球、2个黄球、3个红球，任意摸出一球，摸到白球可能性是[ ]{.underline}，红球是[ ]{.underline}．
10．如图共有[ ]{.underline}个长方形．
11．已知2、4、6、8、10、...，第n个是[ ]{.underline}．
**三、判断（每题1分，共5分）**
12．两个乘数同时扩大10倍，积一定不变．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．一个数乘小于1的数，积一定小于这个数．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．两个一样大小的三角形可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}（判断对错）
15．盒子里装了6个白球，3个红球，2个黑球，摸到白球的可能性最大．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．用3cm、4cm、7cm长的小棒一定能搭成一个三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）
**四、选择（每题1分，共5分）**
17．下面各数，读数时只读一个零的是（ ）
A．50.09 B．4.005 C．7.0900
18．用放大10倍的放大镜看一个90°的角，看到的角是（ ）
A．90° B．900° C．180°
19．0.3与0.4之间的小数有（ ）
A．9 个 B．10个 C．无数个
20．有一个四边形，两组对边分别平行，这个图形一定是（ ）
A．梯形 B．三角形 C．平行四边形
21．下面式子中是方程的是（ ）
A．4x+3.2 B．3x=0 C．3x﹣0.5＞1
22．下列算式中得数最小的算式是（ ）
A．2.8×0.5 B．2.8+0.5 C．2.8﹣0.5
23．下面的物体，从正面看到的形状是（ ）
A． B． C．
**五、计算（共31分）**
24．竖式计算并验算
4.8×0.15=
6.21×10.3=
25．用你喜欢的方法计算：
（1）70.8﹣1.25﹣1.75
（2）（8+0.8）×1.25
（3）9.4×\[0.96÷（5.4÷0.9）\]．
26．解方程
6x÷2=15
5x﹣3.9=6.1．
27．文字题
（1）7.4与3.6的和乘以它们的差，积是多少？
（2）x的9倍比x的4倍多45，求x．
**四、动手操作**
28．画一条线段，将下面的图形分成一个三角形和一个梯形．
**五、解决问题（每题5分，共25分）**
29．每支中性笔1.9元，每支钢笔3.9元，买中性和钢笔各12支，一共需要多少钱？付给售货员100元，应该找回多少元？
30．海啸过后的第16天，已不是中国首富的丁磊在广州宣布他个人向中国红十字会捐款120万美元，帮助受灾地区重建家园．他的捐款折合人民币多少万元（1美元相当于6.25元人民币）？
31．超市在批发市场进了一箱重20千克的香蕉，花了50元．然后以每千克3.5元的出售，一箱香蕉卖完后，赚了多少钱？
32．乐乐超市开展促销活动，买一箱牛奶（24盒）100元，还送一盒；同样的牛奶，咪咪超市的促销方法是4盒12元．哪一家的价格更便宜？
33．果园里有桃树和梨树共168棵，桃树的棵树是梨树的3倍，两种果树各有多少棵？
（1）先画出线段分析图．
（2）写出数量关系式，并用方程解答．
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（1）**
**参考答案与试题解析**
**一、解答题（共1小题，满分10分）**
1．
---------- ------------ ----------- --------------
1×1= 1﹣0.9= 0.32÷2= 0.8×5=
0.9×0.1= 3.11+2.22= 0.36÷0.4= 12.5+12.5×7=
8m﹣6m= a×a=
---------- ------------ ----------- --------------
【考点】小数的加法和减法；运算定律与简便运算；小数乘法；小数除法；有理数的乘方．
【分析】运用小数四则运算的计算方法进行计算即可．
【解答】解：1×1=1 1﹣0.9=0.1 0.32÷2=0.16 0.8×5=4
0.9×0.1=0.09 3.11+2.22=5.33 0.36÷0.4=0.9 12.5+12.5×7=100，
8m﹣6m=2m a×a=a^2^．
故答案为：1，0.1，0.16，4，0.09，5.33，0.9，100，2m，a^2^．
**二、填空（每空1分，共20分）**
2．2.305的小数点右边第三位是[ 千分 ]{.underline}位，3表示有三个[ 十分之一 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】根据小数数位顺序表，小数点右边第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位...；这个数位的数是几，它就表示有几个这样的计数单位；据此解答即可．
【解答】解：2.305的小数点右边第三位是千分位，3表示有三个十分之一．
故答案为：千分、十分之一．
3．0.4里面有[ 4 ]{.underline}个0.1，0.025里面有[ 25 ]{.underline}个0.001．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】本题考查的是学生对计数单位的理解和掌握，
【解答】解：0.4的计数单位是0.1所以0.4里面有4个0.1，0.025的计数单位是0.001所以0.025里面有25个0.001．
故答案为：4，25．
4．三角形按角分可以分为[ 锐角三角形 ]{.underline}、[ 直角三角形 ]{.underline}和[ 钝角三角形 ]{.underline}．
【考点】三角形的分类．
【分析】根据三角形的分类：按角的大小可分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；据此解答即可．
【解答】解：三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；
故答案为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．
5．69克=[ 0.069 ]{.underline}千克
5元6角7分=[ 5.67 ]{.underline}元
5.1米=[ 51 ]{.underline}分米
1千克50克=[ 1050 ]{.underline}克．
【考点】质量的单位换算；货币、人民币的单位换算；长度的单位换算．
【分析】（1）低级单位分克化高级单位千克除以进率1000．
（2）把6角除以进率10化成0.6元，7分除以进率100化成0.07元，再把二者与5元相加．
（3）高级单位米化低级单位分分米乘进率10．
（4）把1千克化成1000克再与50克相加．
【解答】解：（1）69克=0.069千克；
（2）5元6角7分=5.67元；
（3）5.1米=51分米；
（4）1千克50克=1050克．
故答案为：0.069，5.67，51，1050．
6．在横线上填上"＞""＜"或"="
----------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------------
4.72÷0.99[ ＞ ]{.underline}4.72 5.43×0.82[ ＜ ]{.underline}5.43 127÷1.3[ ＜ ]{.underline}127．
----------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------------
【考点】积的变化规律；商的变化规律．
【分析】（1）（3）根据商的变化规律解答：两个非零的数相除，当除数大于1，商小于被除数；当除数小于1，商大于被除数；当除数等于1，商等于被除数；
（2）根据积的变化规律解答：两个数的积与其中一个因数比较，（两个因数都不为0），要看另一个因数；如果另一个因数大于1，则积大于这个因数；如果另一个因数小于1，则积小于这个因数；如果另一个因数等于1，则积等于这个因数．
【解答】解：（1）因为0.99＜1，所以，4.72÷0.99＞4.72；
（2）因为0.82＜1，所以，5.43×0.82＜5.43；
（3）因为1.3＞1，所以，127÷1.3＜127；
故答案为：＞，＜，＜．
7．在三角形中，∠A=60°，∠B=30°，∠C=[ 90° ]{.underline}．
【考点】三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和是180°，∠C=180°﹣∠A﹣∠B，据此解答即可．
【解答】解：，∠C=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣60°﹣30°
=90°．
答：∠C=90°．
故答案为：90°．
8．一个工地用卡车运土，每车运x吨，一天上午运25车，下午运20车，这个工地上午运土[ 25x ]{.underline}吨，这天一共运[ 45x ]{.underline}吨，上午比下午多运[ 5x ]{.underline}吨．
【考点】用字母表示数．
【分析】根据"每辆车运的吨数×运了的车数=共运的吨数"分别求出上午和下午各运的吨数，然后根据"上午运的吨数+下午运的吨数=一天共运的吨数"，"上午运的吨数﹣下午运的吨数=上午比下午多运的吨数"解答即可．
【解答】解：上午运土吨数为：25×x=25x（吨），
下午运土吨数为：20×x=20x（吨），
所以，这天一共运土吨数为：25x+20x=45x（吨）；
上午比下午多运的吨数为：25x﹣20x=5x（吨）．
故答案为：25x，45x，5x．
9．盒子里有6个球，1个白球、2个黄球、3个红球，任意摸出一球，摸到白球可能性是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，红球是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】简单事件发生的可能性求解．
【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：摸出白球的可能性是：1÷6=；
摸出红球的可能性是：3÷6=．
故答案为：；．
10．如图共有[ 6 ]{.underline}个长方形．
【考点】组合图形的计数．
【分析】单个的长方形有3个，2个长方形组成的长方形有2个，三个长方形组成的长方形有1个，据此即可解答问题．
【解答】解：3+2+1=6（个）．
答：共有6个长方形．
故答案为：6．
11．已知2、4、6、8、10、...，第n个是[ 2n ]{.underline}．
【考点】数列中的规律．
【分析】通过分析发现，2=2×1，4=2×2，6=2×3，...2n，由此发现此为一个按顺序排列的偶数数列，数列中的每个数值都是其顺序数的2倍，所以第n个是2n．
【解答】解：此为一个按顺序排列的偶数数列，
数列中的每个数值都是其顺序数的2倍，所以第n个是2n．
故答案为：2n．
**三、判断（每题1分，共5分）**
12．两个乘数同时扩大10倍，积一定不变．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】积的变化规律．
【分析】本题利用举反例来判断即可．
【解答】解：设这两个乘数分别是3和4，则：
3×4=12；
把乘数都扩大10倍就是：
30×40=1200；
12＜1200，积变了．
故答案为：错误．
13．一个数乘小于1的数，积一定小于这个数．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】小数乘法；小数大小的比较．
【分析】根据题意，可以假设一个数是0，因为0乘任何小于1的数都等于0，再根据题意进行判断即可．
【解答】解：由题意，可以假设一个数是0，因为0乘任何小于1的数都等于0，那么它们的积和这个数相等，与原题不相符，所以原题是错误的．
故填：错误．
14．两个一样大小的三角形可以拼成一个平行四边形．[ 正确 ]{.underline}（判断对错）
【考点】图形的拼组．
【分析】因两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，两个一样大小的意思就是完全一样，所以两个一样大小的三角形可以拼成一个平行四边形，正确，据此解答．
【解答】解：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，两个一样大小的意思就是完全一样，所以两个一样大小的三角形可以拼成一个平行四边形，正确．
故答案为：正确．
15．盒子里装了6个白球，3个红球，2个黑球，摸到白球的可能性最大．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】可能性的大小．
【分析】根据可能性的计算公式分别求出摸到红球、摸到黑球、摸到白球的可能性，再进行比较即可；或直接根据每种球的数量的多少就可进行比较．
【解答】解：盒子里装了6个白球，3个红球，2个黑球，其中白球最多，摸到白球的可能性最大；
故答案为：正确．
16．用3cm、4cm、7cm长的小棒一定能搭成一个三角形．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；进行解答．
【解答】解：3+4=7，
所以不能组成三角形；
故答案为：错误．
**四、选择（每题1分，共5分）**
17．下面各数，读数时只读一个零的是（ ）
A．50.09 B．4.005 C．7.0900
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】小数的读法：整数部分是"0"的就读作"零"；整数部分不是"0"的按照整数读法来读；小数点读作"点"；小数部分依次读出每一个数位上的数字，据此读出各选项中的数，进而选择．
【解答】解：A、50.09读作：五十点零九，读出一个零；
B、4.005读作：四点零零五，读出两个零；
C、7.0900读作：七点零九零零，读出三个零；
故选：A．
18．用放大10倍的放大镜看一个90°的角，看到的角是（ ）
A．90° B．900° C．180°
【考点】角的概念及其分类．
【分析】角的度数的大小，只与两边叉开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个90度的角，仍然是90度；据此选择即可．
【解答】解：用一个10倍的放大镜看一个90度的角，那么看到的仍然是90度的角．
故选：A．
19．0.3与0.4之间的小数有（ ）
A．9 个 B．10个 C．无数个
【考点】小数大小的比较．
【分析】由题意可知要求的在0.3和0.4之间，没有说明是几位小数，可以是两位小数、三位小数...，所以有无数个小数．
【解答】解：0.3与0.4之间的两位小数有0.31、0.31、0.33、0.34、0.35、0.36、0.37、0.38、0.39共9个；
而题干中没有说几位小数，所以有无数个．
故选：C．
20．有一个四边形，两组对边分别平行，这个图形一定是（ ）
A．梯形 B．三角形 C．平行四边形
【考点】平行四边形的特征及性质；梯形的特征及分类．
【分析】梯形是指只有一组对边平行的四边形；平行四边形是指两组对边分别平行的四边形；而三角形是由三条边围成的图形；据它们的特征进行选择．
【解答】解：有一个四边形，两组对边分别平行，这个图形一定是平行四边形；
故选：C．
21．下面式子中是方程的是（ ）
A．4x+3.2 B．3x=0 C．3x﹣0.5＞1
【考点】方程的意义．
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以等式包含方程，方程只是等式的一部分，方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
【解答】解：A、4x+3.2，含有未知数，但不是等式，不是方程；
B、3x=0，是含有未知数的等式，是方程；
C、3x﹣0.5＞1，含有未知数，但不是等式，不是方程；
故选：B．
22．下列算式中得数最小的算式是（ ）
A．2.8×0.5 B．2.8+0.5 C．2.8﹣0.5
【考点】小数的加法和减法；小数大小的比较．
【分析】分别算出每个算式的得数，再进行比较．据此解答．
【解答】解：A、2.8×0.5=1.4
B、2.8+0.5=3.3
C、2.8﹣0.5=2.3
3.3＞2.3＞1.4．
故选：A．
23．下面的物体，从正面看到的形状是（ ）
A． B． C．
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边，据此即可选择．
【解答】解：根据题干分析可得，从正面看到的图形是，
故选：A．
**五、计算（共31分）**
24．竖式计算并验算
4.8×0.15=
6.21×10.3=
【考点】小数乘法．
【分析】根据小数乘法的计算法则直接计算即可解答，验算时用交换位置的方法进行验算．
【解答】解：4.8×0.15=0.72；
验算：
6.21×10.3=63.963
验算：
25．用你喜欢的方法计算：
（1）70.8﹣1.25﹣1.75
（2）（8+0.8）×1.25
（3）9.4×\[0.96÷（5.4÷0.9）\]．
【考点】运算定律与简便运算；小数四则混合运算．
【分析】（1）连减两个数等于减去这两个数的和，依此进行简算；
（2）运用乘法分配律进行简算；
（3）按运算顺序和运用小数乘法和除法的计算法则进行计算．
【解答】解：（1）70.8﹣1.25﹣1.75，
=70.8﹣（1.25+1.75），
=70.8﹣3，
=67.8；
（2）（8+0.8）×1.25，
=8×1.25+0.8×1.25，
=10+1，
=11；
（3）9.4×\[0.96÷（5.4÷0.9）\]，
=9.4×\[0.96÷6\]，
=9.4×0.16，
=1.504．
26．解方程
6x÷2=15
5x﹣3.9=6.1．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】①依据等式的性质，方程两边同时除以3求解；
②依据等式的性质，方程两边同时加3.9，再同时除以5求解．
【解答】解：①6x÷2=15
3x÷3=15÷3
x=5
②5x﹣3.9=6.1
5x﹣3.9+3.9=6.1+3.9
5x÷5=10÷5
x=2
27．文字题
（1）7.4与3.6的和乘以它们的差，积是多少？
（2）x的9倍比x的4倍多45，求x．
【考点】小数四则混合运算．
【分析】（1）7.4与3.6的和乘以它们的差，积是多少？求的是积，最后要算乘，要先算和与差，根据四则运算的顺序，先算和与差就要加上括号；
（2）根据题意，本题含的数量关系式是：x×9﹣x×4=45，据此根据等式的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）（7.4+3.6）×（7.4﹣3.6）
=11×3.8
=41.8；
答：积是41.8．
（2）9x﹣4x=45
5x=45
5x÷5=45
x=9；
答：x是9．
**四、动手操作**
28．画一条线段，将下面的图形分成一个三角形和一个梯形．
【考点】过直线外一点作已知直线的平行线．
【分析】根据三角形的定义，三条首尾相接的三条线段组成的图形是三角形；梯形的定义，只有一组对边平行的四边形是梯形．要画一条线段，将下面的图形分成一个三角形和一个梯形，就要用到原图形的两条边为新三角形的两条边，且这条边应和原图形的另一条边平行，据此可画图．
【解答】解：据以上分析可解答．
**五、解决问题（每题5分，共25分）**
29．每支中性笔1.9元，每支钢笔3.9元，买中性和钢笔各12支，一共需要多少钱？付给售货员100元，应该找回多少元？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】要求12支中性笔和12支钢笔一共需要多少钱，先求一支中性笔和一支钢笔多少钱，把两支笔的单价相加，然后再用一支中性笔和一支钢笔的价钱乘12即可，最后用100元钱减去一共花的钱就是找回的钱．
【解答】解：（1.9+3.9）×12
=5.8×12
=69.6（元）
100﹣69.6=30.4（元）
答：一共需要69.6元，应该找回30.4元．
30．海啸过后的第16天，已不是中国首富的丁磊在广州宣布他个人向中国红十字会捐款120万美元，帮助受灾地区重建家园．他的捐款折合人民币多少万元（1美元相当于6.25元人民币）？
【考点】简单的等量代换问题．
【分析】1美元相当于6.25元人民币，120万美元相当于120万个6.25元人民币，根据乘法的意义，用乘法计算．
【解答】解：120×6.25=750（万元），
答：他的捐款折合人民币750万元．
31．超市在批发市场进了一箱重20千克的香蕉，花了50元．然后以每千克3.5元的出售，一箱香蕉卖完后，赚了多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】先计算出一箱香蕉一共可以卖多少钱，即：每千克的卖价×20=一箱香蕉一共可以卖的钱数，再减去一箱香蕉的批发价即可．
【解答】解：3.5×20﹣50，
=70﹣50，
=20（元）；
答：赚了20元．
32．乐乐超市开展促销活动，买一箱牛奶（24盒）100元，还送一盒；同样的牛奶，咪咪超市的促销方法是4盒12元．哪一家的价格更便宜？
【考点】最优化问题．
【分析】要想知道哪一家的价格更便宜，根据总价÷数量=单价，分别求出两家牛奶每盒的单价，进行比较即可．
【解答】解：100÷（24+1）
=100÷25
=4（元）
12÷4=3（元）
3元＜4元
答：咪咪超市的价格更便宜．
33．果园里有桃树和梨树共168棵，桃树的棵树是梨树的3倍，两种果树各有多少棵？
（1）先画出线段分析图．
（2）写出数量关系式，并用方程解答．
【考点】列方程解含有两个未知数的应用题．
【分析】桃树的棵数是梨树的3倍，即梨树的棵数是1份，桃树的棵数是3份数，由此设梨树有x棵，则桃树有3x棵，根据"桃树和梨树共168棵"可找出等量关系式为：桃树棵数+梨树棵数=168；据此列出方程解答即可．
【解答】解：（1）
（2）等量关系式为：桃树棵数+梨树棵数=168，
设梨树有x棵，则桃树有3x棵，根据题意可得方程：
3x+x=168
4x=168
x=42，
则桃树有168﹣42=126（棵），
答：桃树有126棵，梨树有42棵．
**2016年8月20日**
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2015-2016学年度下学期高三年级猜题卷
高三数学（理科）
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.""是"复数（其中是虚数单位）为纯虚数"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意得，是纯虚数，故是必要不充分条件，故选B.
考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．
2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算．
3.若点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据任意角的三角函数的定义，，故选A.
考点：任意角的三角函数．
4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B.
考点：1.统计的运用；2.程序框图．
5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.
考点：三角函数的图象和性质．
6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A. B． C． D．
【答案】D.
考点：函数性质的综合运用．
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．
8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
考点：数列的通项公式．
9.已知非零向量，，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ）
A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4
【答案】D.
考点：平面向量数量积．
10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：如下图所示，设球心为，则可知球心在面的投影在外心，即中点处，取中点，连，，，，由题意得，面，∴在四边形中，设，∴半径，，即球心即为中点，∴表面积，故选B.
考点：空间几何体的外接球．
【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为，，的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即；2.棱长为的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即；棱长为a的正四面体：外接球的半径为，内切球的半径为；
11.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
考点：双曲线的标准方程及其性质．
【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于，的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如等.
12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A.
【解析】
试题分析：如下图所示，画出函数以及的图象，从而可知，当时，方程有一正根，∴方程有两个根，当时，方程有一正根，一个根为，
∴有三个根，当时，方程有两个正根，一个大于的负根，
∴有四个根，当时，方程有一个负根，三个正根，∴有七个根，当时，方程有三个正根，一个小于的负根，∴有八个根，当时，方程有两个正根，一个小于的负根，∴有六个根，当时，方程有一个正根一个小于的负根，∴有四个根，∴根的个数可能为，，，，，，故选A.
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．\[来源:Zxxk.Com\]
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）**
13.已知，展开式的常数项为15，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
考点：定积分的计算及其性质.
14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】. \[来源:\]
考点：线性规划.
15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
【解析】
试题分析：如下图所示，设，过作的垂线，垂足是，则易得，
则易得，又∵，
由抛物线的焦点弦性质，，∴，
∴，故填：.
考点：抛物线焦点弦的性质.
【名师点睛】若为抛物线的焦点弦，为抛物线焦点，，两点的坐标分别为，，则：，，以为直径的圆与抛物线的准线相切，.
16.已知数列满足，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
试题分析：∵，∴，两式相减，可得
，∴，，......，
∴，故填：.
考点：数列的通项公式.\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由和递推关系求出前几项，再归纳、猜想的方法，以及"累加法"，"累乘法"等：1.已知且，可以用"累加法"得：，；
2.已知且，可以用"累乘法"得：，.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.（本小题满分12分）
如图，在中，已知点在边上，且，，，.
（1）求长； （2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）利用已知条件首先求得的值，再在中，利用余弦定理即可求解；（2）在中利用正弦定理即可求解.
试题解析：（1）∵，则，∴，
即，在中，由余弦定理，可知，
即，解得，或，∵，∴；......6分
（2）在中，由正弦定理，可知.
又由，可知，∴.
∵，∴.............12分
考点：正余弦定理解三角形．
18.（本小题满分12分）
已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
（2）法一：设是线段的中点，
过点作，垂足为，连接，，如图，则，
∵平面平面，∴平面，∴是在平面上的射影，
由三垂线定理，得，∴是二面角的平面角，
在中，，，
，∴二面角的余弦值为.............12分
法二：如图，以，为轴、轴，过点且垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，\[来源:ZXXK\]
易知平面的一个法向量为；
设平面的一个法向量为，
，，
则，即，取，得，∴，
∴二面角的余弦值为.............12分
考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．
19.(本小题满分12分)
2015年7月9日21时15分，台风"莲花"在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
----------------- ---------------------- -------------------- ------
经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计
捐款超过500元
捐款不超过500元
合计
----------------- ---------------------- -------------------- ------
-- ------- ------- -------------------------------------------------------------------------- ------- ------- ------- --------
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-- ------- ------- -------------------------------------------------------------------------- ------- ------- ------- --------
附：临界值表参考公式：.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
试题解析：（1）记每户居民的平均损失为元，
则
；............4分（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有户，损失超过8000元的居民共有户，因此的可能值为0，1，2，，，，
的分布列为
-- -- -- --
-- -- -- --
；............8分
（3）解得，，，，，，，
，
∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.............12分
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.
∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，
直线的方程为，可得，即，
直线的方程为，可得，即.
联立，消去，整理，得.
由，可得，，，
∴为定值，且.............12分
法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，
，
由，令，得，即，
同理得，即，则
∴为定值，该定值为.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．
【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
21.(本小题满分12分)
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数，的值；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】（1），；（2）.
（2）不等式，
即，或，
令，，，
当时，；当时，，
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，∴，
即，∴在上单调递增，而，
∴；，
∴当或时，，同理可得，当时，.
∴由恒成立可知，，和是方程的两根，
∴，，∴.............12分.
考点：导数的综合运用．
【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据切线的性质首先证明，再利用即可得证；（2）首先根据切割线定理求得，的长度，再利用即可求解.
试题解析：（1）由为切线，得，又∵，∴，
∴；............4分
（2）由切割线定理，得，，
由，得，又，∴，∴，
又知，∴，
又∵，，∴，∴.............10分
考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）求.
【答案】（1）直线的普通方程是，曲线的普通方程是；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.
【解析】
考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）解不等式，根据整数解为，即可求解；（2）问题等价于恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.\[来源:学\|科\|网\]
试题解析：（1）由，即，，
得，∵不等式的整数解为，∴，解得，
又∵不等式仅有一个整数解，∴；............4分
考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------四边形分类》同步检测2（附答案）**
一、填一填。
1.有两组对边分别平行的四边形叫( )。
2.只有一组对边平行的四边形叫( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.长方形和正方形都是特殊的( )。
4.平行四边形和梯形都是( )形，它们都有( )条边，都有( )个角。
二、选一选。
1.下面的图形中，( )是平行四边形。
  
A B C
2.下面的图形中，( )是梯形。
  
A B C
3.下面的图形中，四边形有( )个。
A.3 B.4 C.5
三、你能把下列图形分类吗？
A B C
四、下面哪些图形是平行四边形？哪些图形是梯形？来源：www.bcjy123.com/tiku/
梯形 平行四边形
五、下面哪些图形是轴对称图形？哪些不是轴对称图形？
轴对称图形 不是轴对称图形
六、下面哪些图形是轴对称图形？请画出一条对称轴。
七、下面哪两个图形能拼成长方形、平行四边形、梯形？(连一连)
八、你能利用所学的图形设计出美丽图案吗？
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**参考答案**
一、
1\. 平行四边形
2\. 梯形
3\. 平行四边形
4\. 四边 4 4
二、1. C 2. A 3. B
三、A：①⑤ B：②⑥⑧ C：③④⑦
四、梯形：⑤⑧⑨ 平行四边形：①②⑥ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、轴对称图形：①③⑤⑥⑧ 不是轴对称图形：②④⑦
六、  
七、
八、略。
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 搭一搭（二）**
1. **列竖式。**
47÷8= 12÷7= 23÷4= 56÷8=
64÷3= 27÷3= 66÷4= 87÷4=
\[来源:Z,xx,k.Com\]
2. **填一填。**
> 1、
>
> 平均分给5个小朋友，每个小朋友分（ ）个，还剩几（ ）个。
2. 四片树叶可以贴一幅画，老师一共拿了54片树叶，可以贴（ ）幅画。现在有12个同学贴画，每个同学平均可以贴（ ）幅，剩下的老师可以贴（ ） 幅。
3. 已知学校有30棵树需要浇水，老师让12个同学给树浇水，2人一组每组需要浇（ ） 棵树。
4. ⊙⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙⊙ ⊙⊙⊙⊙
表示有（ ）个⊙，平均分成（ ）份， ,每份份（ ）个。
算式式是（ ）\
5、计算有余数的除法时，余数（ ）除数。
3. **在○内填写＜或＞或=**
9÷4○2 35÷7○5 7×7○50 43÷5○9
32÷4○8 23÷4○6 6×4○34 52÷8○7
4. **应用题。**
1、商店有自行车60辆，卖了4天，每天卖8辆，还剩多少辆?
2、海印电器商场有彩电550台，又运来240台，卖了一些后还剩320台，卖了多少台?
\[来源:学科网ZXXK\]
3、有两群猴子，每群9只，现把它们平均分成3组，每组有几只猴子?
4、二小一班有32人，二班有40人，做游戏每8人一个组，可以分几组玩?
5.校园里有8排松树，每排7棵.37棵松树已经浇了水，还有多少棵没浇水?
6.商店有7盒钢笔，每盒8支，卖了28支，还剩多少支?
答案解析:
列竖式 5......7 1......5 5......3 7
21......1 9 1 14......2 21......3\[来源:学科网\]
> 填一填。
1、每个小朋友分2个，还剩几2个
2、可以贴（13）幅画。每个同学平均可以贴（ 1）幅，剩下的老师可以贴（ 1） 幅。
3、 （ 5 ） 棵树。
4、表示有（ 12 ）个⊙，平均分成（ 3 ）份， ,每份份（ 4 ）个。\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
算式式是（12÷3=4）\
5、小于
填写＜或＞或=
＞ = ＜ ＜ = ＜ ＜ ＜
应用题。
1、4×8=32 60-32=28 还剩28辆。
2、 550+240-320=430 卖了430台。
3、2×9=18 18÷3=6 每组6只猴子。
4、32+40=72 72÷8=9 可以分9组玩。
5.8×7=56 56-37=19 还有19棵没浇水。
6.商店有7盒钢笔，每盒8支，卖了28支，7×7=56 56-28=28 还剩28支.
网资源www.wang26.cn专业学习资料平台\[来源:学科网\]
| 1 | |
**一年级数学下册同步练习****及解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第四节：跳绳**
一、算一算。
65-19= 40-23= 91-37= 77-18=
42-27= 72-35= 50-15= 93-59=
二、实际应用。\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
1、小明有18支铅笔，小红有23支铅笔，小红比小明朵多少支铅笔？
[ \[来源:学+科+网\]]{.underline}
答：小红比小明朵 [ ]{.underline} 支铅笔。
2、妈妈今年35岁，小刚比妈妈小26岁，小刚今年多少岁？
[ ]{.underline}  [ ]{.underline}
答：小刚今年 [ ]{.underline} 岁。
3、我班女生植树34棵，男生植树52棵，女生再植多少棵树就和男生植的一样多？
[ ]{.underline}  [ ]{.underline}
答：女生再植 [ ]{.underline} 棵树就和男生植的一样多。
三、填空题。
1、72－（ ）＝12  （ ）＋14＝40 2、（ ）－28＝12 80－（ ）＝18
3、49＋（ ）＝58 （ ）＋25＝55
四、实际问题。
校园里的花。
------ ------ ------
红花 黄花 白花
29 16 37
------ ------ ------
（1）白花比黄花多多少朵？
[ ]{.underline}
答：白花比黄花多 [ ]{.underline} 朵。
（2）再种多少朵红花就和白花一样多？
[ ]{.underline}  [ ]{.underline}
答：再种 [ ]{.underline} 朵红花就和白花一样多。
五、想一想。
65－△=□
1、△里填几，得数的十位数不变？
2、△里填几，得数的十位数变了？
六、解决问题。\[来源:学科网\]
1、减数是27，被减数是56，差是多少？
[ ]{.underline}
答：差是 [ ]{.underline} 。
2、一个加数是38，和是63，另一个加数是多少？
[ ]{.underline}
答：另一个加数是 [ ]{.underline} 。
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
答案
一、
65-19=46 40-23=17  91-37=54 77-18=59
42-27=15 72-35=37 50-15=35 93-59=34
二、
1、 [ 23-18=5]{.underline}
答：小红比小明朵 [ 5]{.underline} 支铅笔。
2、 [ 35-26=9]{.underline}
答：小刚今年 [ ]{.underline} 岁。
3、 [ 52-34=18]{.underline}
答：女生再植 [ 18]{.underline} 棵树就和男生植的一样多。
三、
1、72－（60 ）＝12 （26 ）＋14＝40
2、（40 ）－28＝12 80－（62 ）＝18
3、49＋（9 ）＝58 （30 ）＋25＝55
四、喜子的商铺(淘宝店)：<http://t.cn/Ri466E4> 微店：http://shop83755268.vpubao.com/
（1）
[ 37-16=21]{.underline}
答：白花比黄花多 [ 21]{.underline} 朵。
（2）
[ 37-29=8]{.underline}
答：再种 [ 8]{.underline} 朵红花就和白花一样多。
五、想一想。
65－△=□
1、0,1,2,3,4,5
2、6,7,8,9
六、解决问题。
1、 [56-27=29 \[来源:Zxxk.Com\]]{.underline}
答：差是 [29]{.underline} 。
2、一个加数是38，和是63，另一个加数是多少？
[63-38=25]{.underline}
答：另一个加数是 [25]{.underline} 。
| 1 | |
**2014年四川省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）已知集合A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）在"世界读书日"前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度
4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）
A．3 B．2 C． D．1
5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知b＞0，log~5~b=a，lgb=c，5^d^=10，则下列等式一定成立的是（ ）
A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c
8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．m B．m C．m D．m
9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则\|PA\|+\|PB\|的取值范围是（ ）
A．\[，2\] B．\[，2\] C．\[，4\] D．\[2，4\]
10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）双曲线﹣y^2^=1的离心率等于[ ]{.underline}．
12．（5分）复数=[ ]{.underline}．
13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=[ ]{.underline}．
14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=[ ]{.underline}．
15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有[ ]{.underline}．（写出所有真命题的序号）
**三、解答题（共6小题，共75分）**
16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（Ⅰ）求"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率；
（Ⅱ）求"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC~1~A~1~；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC~1~的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A~1~MC？请证明你的结论．
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^）
（Ⅰ）证明：数列{b~n~}为等比数列；
（Ⅱ）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~．
20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
**2014年四川省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）**
1．（5分）已知集合A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．
【解答】解：A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}={x\|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，
故A∩B={﹣1，0，1，2}
故选：D．
【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．
2．（5分）在"世界读书日"前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．
【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，
故选：A．
【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题．
3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度
【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，
∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．
4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）
A．3 B．2 C． D．1
【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，
底面为等边三角形，边长为2，
∴三棱锥的体积V=××2××=1．
故选：D．
【点评】本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．
5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，
∴C、D不正确；
=﹣3，=﹣
∴A不正确，B正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．
故选：C．
【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
7．（5分）已知b＞0，log~5~b=a，lgb=c，5^d^=10，则下列等式一定成立的是（ ）
A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c
【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．
【解答】解：由5^d^=10，可得，
∴cd=lgb=log~5~b=a．
故选：B．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．
8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．m B．m C．m D．m
【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】解：如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．
故选：B．
【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则\|PA\|+\|PB\|的取值范围是（ ）
A．\[，2\] B．\[，2\] C．\[，4\] D．\[2，4\]
【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得\|PA\|^2^+\|PB\|^2^=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．
【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴\|PA\|^2^+\|PB\|^2^=\|AB\|^2^=10．
设∠ABP=θ，则\|PA\|=sinθ，\|PB\|=cosθ，
由\|PA\|≥0且\|PB\|≥0，可得θ∈\[0，\]
∴\|PA\|+\|PB\|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），
∵θ∈\[0，\]，∴θ+∈\[，\]，
∴sin（θ+）∈\[，1\]，
∴2sin（θ+）∈\[，2\]，
故选：B．
【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．
10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由⇒y^2^﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y~1~•y~2~=﹣m，
∵•=2，∴x~1~•x~2~+y~1~•y~2~=2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y~1~•y~2~=﹣2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y~1~＞0，又，
∴S~△ABO~+S~△AFO~═×2×（y~1~﹣y~2~）+×y~1~，
=．
当且仅当，即时，取"="号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"．
**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）**
11．（5分）双曲线﹣y^2^=1的离心率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可知a^2^=4，b^2^=1，
则c^2^=a^2^+b^2^=4+1=5，
则a=2，c=，
即双曲线的离心率e==，
故答案为：
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．
12．（5分）复数=[ ﹣2i ]{.underline}．
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．
【解答】解：复数===﹣2i，
故答案为：﹣2i．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=[ 1 ]{.underline}．
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于"送分题"．
14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），
∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．
∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．
，=2．
∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴，
化为5m+8=4m+10，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．
15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有[ ①③④ ]{.underline}．（写出所有真命题的序号）
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．
【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；
（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；
（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．
则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；
（4）对于命题④，∵﹣≤≤，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．
**三、解答题（共6小题，共75分）**
16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（Ⅰ）求"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率；
（Ⅱ）求"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率．
【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率．
（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的（a，b，c）共计三个，由此求得"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的概率，再用1减去此概率，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，
而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，
故"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率为=．
（Ⅱ）满足"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的（a，b，c）有：
（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，
故"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的概率为=，
∴"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率为1﹣=．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）^2^=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，
求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为\[﹣，+\]，k∈Z．
（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，
∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos^2^α﹣sin^2^α），
∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）^2^（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．
综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC~1~A~1~；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC~1~的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A~1~MC？请证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）先证明AA~1~⊥平面ABC，可得AA~1~⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC~1~A~1~；
（Ⅱ）取AB的中点M，连接A~1~M，MC，A~1~C，AC~1~，证明四边形MDEO为平行四边形即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形，
∴AA~1~⊥AB，AA~1~⊥AC，
∵AB∩AC=A，
∴AA~1~⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，
∴AA~1~⊥BC，
∵AC⊥BC，AA~1~∩AC=A，
∴直线BC⊥平面ACC~1~A~1~；
（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A~1~M，MC，A~1~C，AC~1~，设O为A~1~C，AC~1~的交点，则O为AC~1~的中点．
连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
∴DE∥MO，
∵DE⊄平面A~1~MC，MO⊂平面A~1~MC，
∴DE∥平面A~1~MC，
∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A~1~MC．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^）
（Ⅰ）证明：数列{b~n~}为等比数列；
（Ⅱ）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a~n~，b~n~，再利用错位相减求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b~n~=＞0，
当n≥1时，===2^d^，
∴数列{b~n~}为首项是，公比为2^d^的等比数列；
（Ⅱ）解：f′（x）=2^x^ln2
∴函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a~2~），
∵在x轴上的截距为2﹣，
∴a~2~﹣=2﹣，∴a~2~=2，
∴d=a~2~﹣a~1~=1，a~n~=n，b~n~=2^n^，a~n~b~n~^2^=n4^n^，
∴T~n~=1•4+2•4^2^+3•4^3^+...+（n﹣1）•4^n﹣1^+n•4^n^，
4T~n~=1•4^2^+2•4^3^+...+（n﹣1）•4^n^+n•4^n+1^，
∴T~n~﹣4T~n~=4+4^2^+...+4^n^﹣n•4^n+1^=﹣n•4^n+1^=，
∴T~n~=．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．
20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k~TF~=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
解得c=2，a=，b=．
∴椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），
设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，
∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．
设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）．
联立，化为（m^2^+3）y^2^﹣4my﹣2=0，
△＞0，∴y~1~+y~2~=，y~1~y~2~=．
∴x~1~+x~2~=m（y~1~+y~2~）﹣4=．
∵四边形OPTQ是平行四边形，
∴，∴（x~1~，y~1~）=（﹣3﹣x~2~，m﹣y~2~），
∴，解得m=±1．
此时四边形OPTQ的面积S=═=．
【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．
21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；
（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．
【解答】解：∵f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e^x^﹣2ax﹣b，
又g′（x）=e^x^﹣2a，x∈\[0，1\]，∴1≤e^x^≤e，
∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e^x^﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递增，g（x）~min~=g（0）=1﹣b；
②当，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x^﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x^﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间\[0，ln（2a）\]上单调递减，在区间\[ln（2a），1\]上单调递增，
g（x）~min~=g\[ln（2a）\]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当时，则2a≥e，g′（x）=e^x^﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递减，g（x）~min~=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值为；
（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间\[0，1\]上单调，不可能满足"函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间"这一要求．
若，则g~min~（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）= （1＜x＜e）
则=，∴．由＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，
==＜0，即g~min~（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，
又，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．
【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．
| 1 | |
**余数问题**
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
** （1）余数小于除数。**
** （2）被除数=除数×商+余数；**
** 除数=（被除数-余数）÷商；**
** 商=（被除数-余数）÷除数。**
** （3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。**例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
** （4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。**例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
** （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。**例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
** 例1** 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
** 分析与解**：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
5056=2^6^×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
** 例2** 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
** 解：**因为被除数=除数×商+余数
=除数×33+52，
被除数=2143-除数-商-余数
=2143-除数-33-52
=2058-除数，
所以 除数×33+52=2058-除数，
所以 除数=（2058-52）÷34=59，
被除数=2058-59=1999。
答：被除数是1999，除数是59。
** 例3** 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
** 解：**因为 甲=乙×11+32，
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，
甲=1088-乙=1000。
答：甲数是1000，乙数是88。
** 例4** 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。
** 分析与解**：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16......2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1......52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
** 例5** 求478×296×351除以17的余数。
** 分析与解**：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9......1。
所求余数是1。
** 例6** 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
** 分析与解**：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍"甲数×乙数"张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于"甲数×乙数"除以36的余数。
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以"甲数×乙数"除以36的余数等于11×25除以36的余数。
（11×25）÷36=7......23，
即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。
**练习14**
1.今天是星期六，再过1000天是星期几？
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，a×b，a^2^-b^2^各自除以13的余数。
3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。
4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。
5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。
6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。
7.2000年五月有5个星期三、4个星期四，这个月的一日是星期几？
**练习14**
1.星期五。
2.1；9；6；9。
提示：由5^2^÷13=1......12，9^2^÷13=6......3知，a^2^-b^2^除以13的余数为12-3=9。
3.73
解：除数×商=被除数-余数=2100-56=2044，2044=2^2^×7×73，
因为2044介于56～99之间的约数只有73，所以这个两位数是73。
4.842。
解：因为 被除数=除数×商+余数=35×商+2，
被除数=903-35-2-商=866-商，
所以35×商+2=866-商，
所以 商=24，
被除数=866-24=842。
5.22。
** 解：**这个整数应能整除543-345，且商9，所以这个整数是（543-345）÷9=22。
6.25。提示：这个整数应是（312+231+123）-41=625的约数。
7.星期一。
提示：五月有31天，31=7×4+3，所以有5天的星期数是星期一、二、三，5月1日是星期一。
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**《分苹果》同步练习**
一、根据图形填空。
（1）平均每个大圆内放（ ）个小圆。
（2）平均每个圆内放（ ）个小正方形。
（3）平均每个圆内放（ ）个三角形。
（4）平均每只狗可以分（ ）块骨头。
**二、做一做：分别用竖式解决。**
**（1）81÷9=？**
**（2）被除数是24，除数是6，商是多少？\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]**
**（3）有45朵花，平均分给9个小朋友，平均每个小朋友获得几朵花？**
**\[来源:学科网ZXXK\]**
**（4）40个同学，每8人一组，可以分几组？**
**三、做一做\[来源:学科网ZXXK\]**
**爸爸买来10个大西瓜，平均每天吃2个，可以吃几天？（列竖式计算）**
\[来源:学科网ZXXK\]
\[来源:Z&xx&k.Com\]
参考答案：
一、根据图形填空。
（1）7
（2）5
（3）8
（4）6
**二、做一做：分别用竖式解决。**
**（1）9**
**（2）4**
**（3）5**
**（4）5**
**三、做一做**
**5**
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**2019年山东省菏泽市中考数学试卷**
**一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置**
1．（3分）（2019•菏泽）下列各数中，最大的数是
A． B． C．0 D．
2．（3分）（2019•菏泽）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•菏泽）下列运算正确的是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•菏泽）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•菏泽）已知是方程组的解，则的值是
A． B．1 C． D．5
6．（3分）（2019•菏泽）如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按"向上向右向下向右"的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点第次移动到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•菏泽）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是
A． B．
C． D．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）**
9．（3分）（2019•菏泽）计算的结果是[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•菏泽）已知，那么的值是[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•菏泽）如图，，，则的度数是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•菏泽）一组数据4，5，6，的众数与中位数相等，则这组数据的方差是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•菏泽）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•菏泽）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）**
15．（6分）（2019•菏泽）解不等式组：
16．（6分）（2019•菏泽）先化简，再求值：，其中．
17．（6分）（2019•菏泽）如图，四边形是矩形．
（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的长．
18．（6分）（2019•菏泽）列方程（组解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
19．（7分）（2019•菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长．
20．（7分）（2019•菏泽）如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是，的面积是24．反比例函数的图象经过点和，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）所在直线的函数表达式．
21．（10分）（2019•菏泽）4月23日是世界读书日，习近平总书记说："读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．"我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了"读书感悟分享"比赛活动根据参赛学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；
-- ------ ------
频数 频率
4
0.3
16
-- ------ ------
（1）求，的值；
（2）求等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．
22．（10分）（2019•菏泽）如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
23．（10分）（2019•菏泽）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
24．（10分）（2019•菏泽）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在第二象限内，且，求的面积．
（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
**2019年山东省菏泽市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置**
1．（3分）下列各数中，最大的数是
A． B． C．0 D．
【考点】18：有理数大小比较
【分析】比较确定出最大的数即可．
【解答】解：，
则最大的数是，
故选：．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】：中心对称图形；：轴对称图形
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；35：合并同类项
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意，
故选：．
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
A． B． C． D．
【考点】：几何体的表面积；：由三视图判断几何体
【分析】由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别为、、，可求其表面积．
【解答】解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别、、，
所以其面积为：．
故选：．
5．（3分）已知是方程组的解，则的值是
A． B．1 C． D．5
【考点】97：二元一次方程组的解
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将代入，
可得：，
两式相加：，
故选：．
6．（3分）如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【考点】：全等三角形的判定；：圆周角定理
【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项成立；
由平行线的性质得出，选项成立；
由垂径定理得出，选项成立；
和中，没有相等的边，与不全等，选项不成立，即可得出答案．
【解答】解：是的直径，平分，
，，
，
，
，
，
，选项成立；
，选项成立；
，选项成立；
和中，没有相等的边，
与不全等，选项不成立；
故选：．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按"向上向右向下向右"的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点第次移动到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
【考点】：规律型：点的坐标
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【解答】解：，，，，，，，
，
所以的坐标为，
则的坐标是．
故选：．
8．（3分）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是
A． B．
C． D．
【考点】：动点问题的函数图象
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当时，
正方形的边长为，
；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有选项图象符合．
故选：．
**二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）**
9．（3分）计算的结果是[ ]{.underline}．
【考点】：有理数的减法；：负整数指数幂；：有理数的乘方
【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
10．（3分）已知，那么的值是[ 4 ]{.underline}．
【考点】：二次根式的化简求值
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
故答案为：4
11．（3分）如图，，，则的度数是[ ]{.underline}．
【考点】：平行线的性质
【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：作，
，
，
，，，
，，
．
故答案为：．
12．（3分）一组数据4，5，6，的众数与中位数相等，则这组数据的方差是[ ]{.underline}．
【考点】：中位数；：方差；：众数
【分析】分别假设众数为4，5，6，分类讨论，找到符合题意的的值，再根据方差的定义求解可得．
【解答】解：若众数为4，则数据为4，4，5，6，此时中位数为4.5，不符合题意；
若众数为5，则数据为4，5，5，6，中位数为5，符合题意，
此时平均数为，方差为；
若众数为6，则数据为4，5，6，6，中位数为5.5，不符合题意；
故答案为．
13．（3分）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是[ ]{.underline}．
【考点】：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形；根据勾股定理计算的长，可得结论．
【解答】解：如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四边形的周长，
故答案为：．
14．（3分）如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是[ ， ]{.underline}．
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：切线的判定与性质
【分析】根据函数解析式求得，．，得到，，根据勾股定理得到，设与直线相切于，连接，则，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：直线交轴于点，交轴于点，
令，得，令，得，
，．，
，，
，
设与直线相切于，
连接，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，．
**三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）**
15．（6分）解不等式组：
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：分式的化简求值
【分析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
，
原式．
17．（6分）如图，四边形是矩形．
（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求的长．
【考点】：矩形的性质；：线段垂直平分线的性质；：作图基本作图
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
（2）利用含的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形是矩形，是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
．
18．（6分）列方程（组解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
【考点】：分式方程的应用
【分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是千米分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米分钟，根据"行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟"列出方程并解答．
【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是千米分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米分钟，
由题意，得．
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
所以（千米分钟）．
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米分钟．
19．（7分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长．
【考点】：解直角三角形的应用方向角问题
【分析】过点作于点，根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点作于点，
由题意，得：，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
答：的距离是海里．
20．（7分）如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是，的面积是24．反比例函数的图象经过点和，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）所在直线的函数表达式．
【考点】：平行四边形的性质；：待定系数法求一次函数解析式；：反比例函数系数的几何意义；：反比例函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）根据题意得出，结合平行四边形的面积得出，继而知点坐标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）顶点的坐标是，顶点的纵坐标是，
，
又的面积是24，
，
则
，
反比例函数解析式为；
（2）由题意知的纵坐标为，
其横坐标为，
则，
设所在直线解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以所在直线解析式为．
21．（10分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说："读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．"我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了"读书感悟分享"比赛活动根据参赛学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；
-- ------ ------
频数 频率
4
0.3
16
-- ------ ------
（1）求，的值；
（2）求等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．
【考点】：扇形统计图；：列表法与树状图法；：频数（率分布表
【分析】（1）根据等级有4人，所占的百分比是即可求得总人数，然后求得和的值；
（2）首先计算出等级频数，再利用乘以对应的百分比即可求得等级所对应的圆心角度数；
（3）利用列举法求得选中等级的小明的概率．
【解答】解：（1）总人数：，
，
；
（2）的频数：，
等级对应扇形圆心角的度数：；
（3）用表示小明，用、、表示另外三名同学．
则选中小明的概率是：．
22．（10分）如图，是的直径，是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【考点】：圆周角定理；：切线的性质
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的半径为6．
23．（10分）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，的廷长线交于点，交于点，求证：；
（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接，，的延长线交于点，若，，求的面积．
【考点】：全等三角形的判定与性质；：等腰直角三角形；：旋转的性质
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，，求得，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）和是有公共顶点的等腰直角三角形，．
，，，
即，
在与中，，
，
，
，
，
；
（2）在与中，，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
的面积．
24．（10分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在第二象限内，且，求的面积．
（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）点、点，则函数的表达式为：，即可求解；
（2），则，求得：点，利用，即可求解；
（3），则，即可求解．
【解答】解：（1）点的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点，
则函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，则，则，
设点，则点，点，
，
，
解得：或（舍去，
即点
；
（3）由题意得：是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，
，
则，
则，
故点，．
| 1 | |
**2017---2018学年度上学期高三年级二调考试**
**数学（理科）**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由题意得，  ，所以，因此。选B。
2\. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...学&科&网\...
=
∴3a=9，b=1，∴
故选：C
3\. 设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A. 63或120 B. 256 C. 120 D. 63
【答案】C
【解析】由题意得，解得或。又 所以数列为递减数列，故。设等比数列的公比为，则，因为数列为正项数列，故，从而，所以。选C。
4\. 的展开式中的系数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 12
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含的项有展开式中的常数项乘以中的以及展开式中的含的项乘以中的两部分，所以其系数为，故选C．
考点：二项式定理．
5\. 已知中，，则为（ ）
A. 等腰三角形 B. 的三角形
C. 等腰三角形或的三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵,
∴，
∴，
整理得,
∴，
∴或。
当时，则，三角形为等腰三角形；
当时，则，可得。
综上为等腰三角形或的三角形。选C。
6\. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由 成等比可得
（当且仅当 ，即 时取等号），故选B.
7\. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 （正方体的棱长为 ， 是棱的中点），其体积为 ，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其"翻译"成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素"高平齐，长对正，宽相等"，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
8\. 已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（ ）
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线对称
【答案】A
【解析】∵函数（为常数，）的图像关于直线对称，
∴，得，解得。
∴。
对于选项A，当时，为最大值，故A正确；
对于选项B，当时，，故B不正确；
对于选项C，当时，，故C不正确；
对于选项D，当时，，不是最值，故D不正确。综上A正确。选A。
9\. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当点在圆外（上）时，可行域与圆有公共点，即，也即时可行域与圆有公共点，此时动直线经过点时，在上的截距最大，其最大值为。应选答案D。
点睛：解答本题的关键是运用转化与化归思想将问题化为区域内的点在圆外，即，然后解不等式 得到，然后运用线性规划的知识求得动直线经过点时，在上的截距最大，其最大值为，进而借助实数的取值范围获得答案。
10\. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】令，可得，
∵函数（，）的图像与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的图象与直线相邻两个交点的距离为，
∴函数的周期为，故，∴。
∴.
由题意得"对于任意的恒成立"等价于"对于任意的恒成立"。
∵，
∴，
∴，
∴。
故结合所给选项可得C正确。选C。
点睛：本题难度较大，解题时根据题意得，可将问题转化成"函数
对于任意的恒成立"，然后可根据在上的取值范围是的子集去处理，由此通过不等式可得的范围，结合选项得解。
11\. 已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（ ）
A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1
【答案】D
【解析】构造函数所以
因为 所以
所以函数 在 时是增函数，
又 所以当x 成立，
因为对任意
，所以 ，
由于 是奇函数，所以x＞0时
即 只有一个根就是0．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．
12\. 已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】试题分析：关于直线的对称直线为，先考虑特殊位置：与相切得，与相切，由导数几何意义得，结合图像可知，选A．
考点：函数零点
【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】∵，
∴
，
∴。
答案：2
14\. 已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
如图，设，的外接圆的半径为1，.
由正弦定理得，
∴,
由，得。
∴
 
 .
∵，∴，
∴，
∴。
∴的取值范围为。
答案：。
点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题时先由正弦定理把△ABC的边a，c用含有A的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于A的三角函数，最后利用三角函数的取值范围求解．
15\. 数列满足，则数列的前100项和为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5100
【解析】由于的周期为，
 ，
 ，
 ，于是得到；
同理可求出，，......
由此，数列的前100项和可以转化为以6为首项，8为公比的等差数列的前25项和，所以前100项和为 .
点睛：本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.
16\. 函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的"弯曲度"，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的"弯曲度"为常数；
③设点，是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．
其中真命题的序号为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（将所有真命题的序号都填上）
【答案】②③
【解析】对于①，由得，
故，
又，故。
∴。故①错误。
对于②，常数函数y=1满足图象上任意两点之间的"弯曲度"为常数，故②正确；
对于③，设，，又，
∴
，
∴，故③正确。
对于④，由可得，，
由恒成立可得恒成立，
而当时该式恒成立，故④错误。
综上可得②③正确。
答案：②③
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。
试题解析：（1）由题意可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
整理得，
解得：．
故的长为。
（2）在中，由正弦定理得，
即
所以，
所以．
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
．
18\. 如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），点坐标为，平行四边形的面积为．
（1）求的最大值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据向量加法及数量积得，根据平行四边形面积公式得，利用配角公式得．根据正弦函数性质得最值（2）由向量平行得，根据同角三角函数关系得，再利用二倍角公式得，最后根据两角差正弦公式得结果
试题解析：(Ⅰ)由已知得、、的坐标分别为、、，
∵四边形是平行四边形， ∴，
∴，
又平行四边形的面积为，
∴．
又∵， ∴当时，的最大值为．
(Ⅱ)由题意知，，
∵，∴，∵，∴，
由，，得，
∴，
∴ ．
19\. 已知数列满足对任意的都有，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）当n=1，n=2时，直接代入条件且，可求得；
（2）递推一项，然后做差得，所以；由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故求得数列的通项公式；
（3）由（2）知，则，利用裂项相消法得，根据单调递增得，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即可求得实数a的取值范围.
试题解析：
（1）解：当时，有，
由于，所以．
当时，有，
将代入上式，由于，所以．
（2）解：由于，①
则有．②
②－①，得，
由于，所以③
同样有，④
③－④，得．
所以．
由于，即当时都有，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
故．
（3）解：由（2）知，则，所以
，∴数列单调递增 ．
.
要使不等式对任意正整数n恒成立，只要．
.
，即.
所以，实数a的取值范围是．
考点：等差数列的定义及性质 .
20\. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值。
试题解析：（1）函数的定义域为．
由题意得，
当时，，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，
得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，
则，
令，则在区间内单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
当时，，，
所以当时，有极大值，也为最大值，且  ，
所以，
又，所以,
所以，
因为，
故整数的最小值为2．
点睛：本题属于导数的综合应用题。第一问中要合理确定对进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由可得，在解题时将进行代换以使问题得以求解。
21\. 已知函数（其中，为自然对数的底数，...）．
（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，函数有两个零点，，且．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：(1)求出函数的导函数，转化不等式，再通过与的大小讨论即可求的取值范围；（2）通过的范围及的零点个数，即可确定函数恒成立的条件，通过构造函数的方法，转化成利用导函数求恒成立问题.
试题解析：（1），
由得到或 （\*）
由于仅有一个极值点，
关于的方程（\*）必无解，
①当时，（\*）无解，符合题意，
②当时，由（\*）得，故由得，
由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，∴仅为的极值点，综上可得的取值范围是；
（2）由（1）当时，为的极小值点，
又∵对于恒成立，
对于恒成立，
对于恒成立，
∴当时，有一个零点，当时，有另一个零点，
即，
且，（\#）
所以，
下面再证明，即证，
由得，
由于为减函数，
于是只需证明，
也就是证明，
，
借助（\#）代换可得，
令，
则,
∵为的减函数，且，
∴在恒成立，
于是为的减函数，即，
∴，这就证明了，综上所述，．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和不等式的证明，考查了利用求导数研究函数的性质解题能力和分类讨论思想的应用，第一问借助函数为单调函数进行转化，第二问通过构造函数，分析函数的单调性，最终达到证明不等式成立的目的,因此正确构造函数是解决本题的关键.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）求出的参数方程，即可求出的普通方程；（2）建立适当的极坐标系，可得的极坐标方程，设极坐标，代入，可得其值。
(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，
则有  
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，
曲线C化为极坐标方程得：，设A（），B（），
则\|OA\|=，\|OB\|=。则===.
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】**试题分析：**
(1)结合零点分类讨论： 当时，当时，当时，三种情况的解集，然后求解其并集即可求得原不等式的解集为．
\(2\) 原命题等价于,结合绝对值不等式的性质可知：．
试题解析：
（Ⅰ）当时，，
当时，不等式等价于，解得，∴；
当时，不等式等价于，即，∴解集为空集；
当时，不等式等价于，解得，∴．
故原不等式的解集为．
（Ⅱ）  ，
∵原命题等价于，即，
∴．
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题五（附答案）**
一、快乐小帮手。(我来填空)
1．把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做( )。
2．把0.7扩大到它的( )倍后再将小数点向左移动一位恰好是70。
3．一个因数=( )。
4．在一道减法算式中，被减数，减数、差三个数的和是284，被减数是( )。
二、我来当裁判。(对的打"√"，错的打"×")
1．如果x\>0，那么x一定小于。( )
2．5个连续的自然数的和是210，这5个数中最小的数是41。( )
3．一个数的倍数一定比这个数的因数大。( )
4．分数加减法，就是把分子、分母分别相加减。( )
三、对号入座。(将正确答案的序号填在括号里)
1．两个数的商是0.1，如果被除数扩大到原来的100倍，除数扩大到原来的100倍，那么商是( )。
A．0.1 B．10 C．100
2．在一个减法算式里被减数增加5，减数减少5，差( )。
A．不变 B．增加10 C．减小10 D．扩大5倍
3．从300里面减去150×，结果是多少？正确的列式是( )。
A．300-150×
B．(300-150)×
C．300-150×+150
四、我会计算。
43×+136×+35×
\[(10-1÷25)÷99.6\]0.01
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、我会列式计算。
1．从的倒数里减去1除的商，差是多少？
2．15的减去1是多少？
六、问题银行。
小明从家到学校有975米，需要15分，小明家到水立方的距离是他家到学校距离的3倍。小明从家到水立方需多长时间？
七、数学游戏。
、、是三个最简真分数，如果三个分数的分子都加上c，则三个分数的和为6。这三个真分数分别是多少？
**参考答案**
一、1．分数 2．1000
3．积÷另一个因数 4．142
二、1．× 2．× 3．×4．×
三、1．A 2．B 3．A
四、136 10
五、1． 2.4来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、45分
七、
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**山东省青岛市2020年中考数学真题**
**（考试时间：120分钟；满分：120分）**
**说明：**
**1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题，第I卷为选择题，共8小题，24分；**
**第II卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．**
**2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.**
**第I卷（共24分）**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）**
1.－4的绝对值是（ ）
A. 4 B. C. －4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）
【详解】根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.
【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.
2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A. 22×10^8^ B. 2.2×10^-8^ C. 0.22×10^-7^ D. 22×10^-9^
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数。本题小数点往右移动到的后面，所以
【详解】解：0.000000022
故选
【点睛】本题考查知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义即可求解．
【详解】由图形可知，这个几何体的俯视图为
故选A．
【点睛】此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义．
5.如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
【详解】解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．\
故选：D．
【点睛】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
6.如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解．
【详解】解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
7.如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明再求解利用轴对称可得答案．
【详解】解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得：
故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8.已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
**第Ⅱ卷（共96分）**
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
9.计算的结果是\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算计算即可.
【详解】解：.
故答案为4.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试．测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2:1:3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_将被录用（填甲或乙）
+----------+----+----+
| 应聘者 | 甲 | 乙 |
| | | |
| 项目 | | |
+----------+----+----+
| 学历 | 9 | 8 |
+----------+----+----+
| 经验 | 7 | 6 |
+----------+----+----+
| 工作态度 | 5 | 7 |
+----------+----+----+
【答案】乙
【解析】
【分析】
直接根据加权平均数比较即可．
【详解】解：甲得分：
乙得分：
∵\>
故答案为：乙．
【点睛】此题主要考查加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题关键．
11.如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案．
【详解】解： 的面积为6．
＞，
把代入
经检验：符合题意．
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
12.抛物线（为常数）与轴交点的个数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出∆的值，根据∆的值判断即可．
【详解】解：∵∆=4(k-1)^2^+8k=4k^2^+4\>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数*y*=*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*，*b*，*c*为常数，*a*≠0）的图象与*x*轴的交点横坐标是一元二次方程*ax*^2^+*bx*+*c*=0的根．当∆=0时，二次函数与*x*轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆\>0时，二次函数与*x*轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆\<0时，二次函数与*x*轴没有交点，一元二次方程没有实数根．
13.如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质与中位线定理得到CD,FG的长，故可求出AE、DF的长，再等面积法即可得到AH的长，故可求解．
【详解】如图，过点A作AH⊥DF的延长线于点H，
∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴O为AC中点
∵F点是AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=6
∴G点是AD的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴GF==1
∴CD=CE-DE=4,
∴AD=CD=4
在Rt△ADE中，AD=4,DE=2
∴AE=
∴DF=AE=
∴S~△AFD~=AD·GF=FD·AH
即×4×1=××AH
∴AH=
∴点A到DF的距离为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查正方形内的线段求解，解题的关键是熟知正方形的性质、中位线定理、勾股定理及三角形的面积公式．
14.如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º，，再由弧长公式求得半径OM，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30º，进而解得AM，则可得，代入相关数值即可解得阴影面积·
【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90º，
∵∠BAC=120º，
∴∠MON=60º，
∵的长为，
∴，
∴OM=3，
∵在Rt△AMO和Rt△ANO中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，
∴∠AOM=∠AON=∠MON=30º，
∴AM=OM·tan30º=，
∴，
∵∠MON=60º，
∴∠MOE+∠NOF=120º，
∴，
∴图中阴影面积为
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算．
**三、作图题（本大题满分4分）**
**请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹**
15.已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【解析】
【分析】
要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
**四、解答题（本大题共9小题，共74分）**
16.（1）计算: （2）解不等式组:
【答案】（1）；（2）x\>3
【解析】
【分析】
（1）先算括号里，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式=
=
=；
（2）
解①得，x≥-1，
解②得，x\>3，
∴不等式组的解集是x\>3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则是解（1）的关键，掌握解一元一次不等式组得步骤是解（2）的关键．
17.小颖和小亮都想去观看"垃圾分类"宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个"配紫色"游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析
【解析】
【分析】
画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．
【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
如图，
∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，
∴P（紫色）=，
∴这个游戏对双方公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
18.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据:，，，，，）
【答案】4.3海里
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，"70\~80"这组的百分比\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）已知"80\~90"这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_分；
（4）若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
【答案】（1）见解析；（2）20％；（3）84．5分；（4）672人
【解析】
【分析】
（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出"90\~1000"这组的频数，从而补全频数直方图；
（2）用"70\~80"这组的频数除以样本容量即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
【详解】解：（1）8÷16％=50人，
50-4-8-10-12=16人，
补全频数直方图如下：
（2）m==20％；
（3）∵"50\~80"分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
∴中位数是分；
（4）人．
∴优秀人数是672人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m^3^/h；（2）8h
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m^3^/h，则乙的注水速度是(140-x) m^3^/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【详解】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m^3^/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m^3^/h；
（2）设甲的注水速度是x m^3^/h，则乙的注水速度是(140-x) m^3^/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
21.如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形什么特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证明≌即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF；
（2）四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE, ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴AECF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．
22.某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元
【解析】
【分析】
（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解；
（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解；
（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N（1，）
∴MN=m，
∴S~四边形FGMN~=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）^2^+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
23.实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、...、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、...等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
--------------- ------ -------- ------
所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3
2个整数之和 3 4 5
--------------- ------ -------- ------
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
--------------- ------ -------- ------ ------ ------ ------
所取的2个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
--------------- ------ -------- ------ ------ ------ ------
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
（4）从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
（2）从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、...、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有\_\_\_\_\_\_种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，...，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有\_\_\_\_\_\_种不同的结果．
【答案】探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）．
【解析】
【分析】
探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；
探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取4个整数的和的结果数，
再根据上面探究归纳出从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；
拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）如下表：
------------- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
取的2个整数
2个整数之和
------------- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
------------- ------- ------- ------- -------
取的3个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4
3个整数之和 6 7 8 9
------------- ------- ------- ------- -------
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、...、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
当 有
或
或
从1，2，3，...，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，...，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．
24.已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=,
【解析】
【分析】
（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可；
（2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可；
（3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式；
（4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可．
【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BFBC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型．
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）》单元测试3（附答案）**
1. 看图回答问题。来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 1、把下面长方体的表面展开图，画在方格纸上。
>
>  
>
> 2、请你归纳出长方体、正方体的特点。
>
> 
>
> 3、把下面长方体各个面的面积填在表中。
>
> 
>
> 4、工人师傅要制作一种棱长为4分米的正方体灯笼框架，下面3种木条，你认为该选用哪种？做一个灯笼框架需要多少条？
>
> 
>
> 
>
> 5、计算下面图形的表面积。（单位：分米）
>
> 
>
> 6、找一找，相对面的字是谁与谁？
2. 选择题。（共16分）
> 1、正方体是（ ）的长方体。
>
> A、长与宽相等 B、长与高相等 C、12条棱长都相等
>
> 2、至少要（ ）同样的正方体才能拼成一个较大的正方体。
>
> A、4块 B、6块 C、8块
>
> 3、把一块长为8分米，宽为6分米，高为4分米的长方体木块切割为两个一样的长方体，表面积最大增加（ ）。
>
> A、96平方分米 B、126平方分米 C、48平方分米 D、24平方分米
>
> 4、一种长方体形状的铁皮烟囱的底面积是边长为3分米的正方形，高4米。制造这样一节烟囱至少要铁皮（ ）。
A、66平方分米 B、48平方分米 C、48平方分米 D、126平方分米
三、解决下面各题。（共60分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 1、一个长方体形状的水池的长为4米，宽为2.5米，深为1.5米，要给水池的四壁与底部都抹上水泥，求抹水泥部分的面积是多少？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 2、一种长方体铁盒的长为3分米，宽为2分米，高为1.5分米。制作80个这样的铁盒至少需要铁皮多少平方米？
>
> 3、下面两图是黄老师把棱长为5分米的正方体纸箱，靠墙角叠的图形，仔细观察，认真思考：
（1）各用了多少个纸箱？
（2）露在外面的面积各有多少平方分米？
4、下图是靠角用同样正方体叠放的图形。根据叠放的规律填一填：
如果叠放216个小正方体，那么露在外面的面有多少面？
5、有一个正方体木块搭成的立体图形。
从上面、前面看都是： 从左面看是：
要搭成这样的立休图形，需要用多少个正方体木块？
> 6、一个仓库的长为10米，宽为8米，高为5米，要粉刷仓库的天花板和四面墙壁，除去门窗的32平方米，平均每平方米需要2.50元。粉刷这个仓库大约需要多少钱？
>
> 7、用铁丝做一个棱长为10厘米的正方体框架，至少要用多少厘米的铁丝？如果在这个正方体框架外面糊一层硬纸，那么至少需要多少平方厘米？
>
> 8、有一个棱长为6厘米的正方体，在它的中心部分挖出一个长方体。挖出的长方体横截面为正方形，边长为2厘米（正方体挖空中心部分后横截面如图），这时这个正方体的表面积比原来增加了多少平方厘米?
> 9、有一个长方体，正好可以切成大小相同的4个正方体，每个正方体的表面积是24平方厘米，原长方体的表面积可能是多少平方厘米？（提示：可以用4个一样大小的正方体来拼。）
**答案：**
一、3、48 48 32 32 24 24
4、③ 4×12÷8 = 6（条）来源：www.bcjy123.com/tiku/
5、（8×4＋8×5＋4×5）×2 = 184（平方分米）
6×3×4＋6×6×6×2 = 144（平方分米）
7×7×6 = 294（平方分米）
6、明与界 世与风 东与珠
二、1、C 2、C 3、A 4、C
三、1、4×2.5＋4×1.5×2＋2.5×1.5×2 = 29.5（平方米）
2、（3×2×2＋3×1.5×2＋2×1.5×20）×80 = 2160（平方分米）
= 21.6（平方米）
3、（1）10个 9个
（2）450平方分米 500平方分米
4、7 11 15 19 23 27 216÷3 = 72 72×4＋3 = 291（面）
5、8个
6、（10×8＋10×5×2＋8×5×2－32）×2.5 = 570（元）
7、10×12 = 120（厘米） 10×10×6 = 600（平方厘米）
8、2×4×6－2×2×2 = 40（平方厘米）
9、本题有两种情况，如图：
原长方体的表面积为72平方厘米或64平方厘米。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）**
**数学（文科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）**
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ
10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｄ
**二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。**
13． 14． 15． 16．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）**
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），，得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为。
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为，则，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率。
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
。
19．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）平面，平面。。
又，。
，，
，即。
又。平面。
（Ⅱ）连接。
平面。，。
为二面角的平面角。
在中，，
，，
二面角的大小为。
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
，。，，
又，面。
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
解得。
，。二面角的大小为。
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
由，得，从而，，。
因为成等差数列，所以，
即，。
所以。故。
（Ⅱ）。
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，。
（Ⅱ）令，即，
，或。
又在区间上恒成立，。
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。
（1）当轴时，。
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。
由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。
。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。
| 1 | |
**准考证号 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline}**
**（在此卷上答题无效）**
**绝密★启用前**
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷l至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分．
第Ⅰ卷
**考生注意：**
1\. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2\. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
> 3\. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
**参考公式**：
如果事件*A*、*B*互斥，那么 球的表面积公式
*P*(*A*＋*B*)＝*P*(*A*)＋*P*(*B*) *S*＝4πR^2^
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
*P*(*A*·*B*)＝*P*(*A*)·*P*(*B*) 球的体积公式
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么 *V*＝*πR*^3^
*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率 其中R表示球的半径
*P*~n~(*k*)＝*CP* (1一*P*)
**一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.若集合*M*={0,1},*I* ={0,1,2,3,4,5} , 则 ~7~*M*为
A.{0,1} B.{2,3,4,5} C.{0,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
2.的最小正周期为
A. B. C. D.
3.函数的定义域为
A.（1，4） B.
C. D.
4.若tanα＝3,,则tan(α一β)等于
A.－3 B.－ C.3 D.
5.设，
则得值为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
6.一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4, 5, 6, 7,8的八个球, 从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两球的编号和不小于15的概率为
A. B. C. D.
7.连接抛物线的焦点*F*与点*M*（1,0）所得的线段与抛物线交于点*A*, 设点*O*为坐标原
点，则三角形*OAM*的面积为
A. B. C. D.
8.若0＜*x*＜，则下列命题中正确的是
A.sin *x*＜ B.sin *x*＞ C.sin *x*＜ D.sin *x*＞
9.四面体*ABCD*的外接球的球心在*CD*上,且*CD*=2,*AB*=,则在外接球面上的两点*A*、 *B*间的球面距离为
A. B. C. D.
10.设*p*：在(－∞，＋∞)内单调递增，*q*：*m*≥，则*p*是*q*的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为*h*~1~，*h*~2~，*h*~3~，*h*~4~，则它们的大小关系正确的是
A.*h*~2~＞*h*~1~＞*h*~4~ B.*h*~1~＞*h*~2~＞*h*~3~ C.*h*~3~＞*h*~2~＞*h*~4~ D.*h*~2~＞*h*~4~＞*h*~1~
12.设椭圆的离心率为*e*＝，右焦点为*F*(*c*，0)，方程*ax*^2^＋*bx*－*c*＝0的两个实根分别为*x*~1~和*x*~2~，则点*P*(*x*~1~，*x*~2~)
A.必在圆*x*^2^＋*y*^2^＝2上 B.必在圆*x*^2^＋*y* ^2^＝2外
C.必在圆*x*^2^＋*y* ^2^＝2内 D.以上三种情形都有可能
**绝密★启用前**
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第Ⅱ卷
**注意事项：**
第Ⅱ卷2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效．
**二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．**
13.在平面直角坐标系中,正方形*OABC*的对角线*OB*的两端点分别为 *O* ( 0 , 0 ) , *B* ( 1 , 1 ) , 则 [ ]{.underline} .
14.已知等差数列{*a*~n~}的前*n*项和为*S~n~*,若*S*~12~=21,则＝ [ ]{.underline} .
15.已知函数存在反函数，若函数的图像经过点（3，1），则函数的图像必经过点 [ ]{.underline} .
16.如图，正方体*AC*~1~的棱长为1，过点*A*作平面*A*~1~*BD*的垂
线，垂足为点*H*．则下列四个命题
A.点*H*是△*A*~1~*BD*的垂心
B.*AH*垂直平面*CB*~1~*D*~1~
C.二面角*C---B*~1~*D*~1~*---C*~1~的正切值为
D.点*H*到平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的距离为
其中真命题的代号是 [ ]{.underline} ．(写出所有真命题的代号)
三．解答题：本大题共6小题, 共74分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 满足.
（1）求常数*c*的值;
（2）解不等式.
18．（本小题满分12分）
> 如图,函数
>
> 的图象与*y*轴交于点(0,), 且该函数的最小正
>
> 周期为.
（1）求*θ*和ω的值；
（2）已知点*A*(，0)，点*P*是该函数图象上一点，点Q(*x*~0~，*y*~0~)是*PA*的中点，当*y*~0~＝，*x*~0~∈\[，π\]时，求*x*~0~的值．
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽,已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6 ，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9。
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（ 以 *A*~1~*B*~1~*C*~1~为底面 ）被一平面所截得到的几何体, 截面为*ABC*. 已知*A*~1~*B*~1~＝*B*~1~*C*~1~＝l,∠*A*~l~*B*~l~*C*~1~＝90°,
> *AA*~l~＝4,*BB*~l~＝2,*CC*~l~＝3.
（1）设点*O*是*AB*的中点，证明：*OC*∥平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~;
（2）求*AB*与平面*AA*~1~*C*~1~*C*所成的角的大小;
（3）求此几何体的体积.
21．（本小题满分12分）
设数列{*a*~n~}为等比数列,*a*~1~＝1,*a*~2~＝3.
（1）求最小的自然数n，使;
（2）求和:.
22．（本小题满分14分）
设动点*P*到两定点*F*~1~ (－l，0 )和*F*~2~ (1，0 ) 的距离分别为*d*~1~和*d*~2~,∠*F*~1~*PF*~2~＝2*θ*,且存在常数λ(0＜λ＜1，使得*d*~1~*d*~2~ sin^2^*θ*＝λ.
（1）证明：动点*P*的轨迹*C*为双曲线，并求出*C*的方程；
（2）如图过点*F*~2~的直线与双曲线C的右支交于A、B两点, 问:是否存在λ,使 *F*~1~*AB*是以点*B*为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案**
**一、选择题**
1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ
10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ
**二、填空题**
13． 14． 15． 16．*A*，*B*，*C*
**三、解答题**
17．解：（1）因为，所以；
由，即，．
（2）由（1）得
由得，
当时，解得，
当时，解得，
所以的解集为．
18．解：（1）将，代入函数中得，
因为，所以．
由已知，且，得．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或．
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则，．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
20．
解法一：
（1）证明：作交于，连．
则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以
所求几何体的体积为．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．
又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
21．解：（1）由已知条件得，
因为，所以，使成立的最小自然数．
（2）因为，............①
，............②
得：
所以．
22．解：（1）在中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得，
则
由⑤得，
，
故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．
| 1 | |
> **《比一比》同步练习**
>
> **一、复习**
>
> **1、填一填（填"\>""\<"或"="）**
>
> 54 33 2 4\[来源:学\_科\_网\]
>
> 25 4 1 4 4
>
> **2、看图填空**
>
>  
>
>  \[来源:Zxxk.Com\]
>
> **3、填一填**
>
> 5和3 2和3 4和1
>
>   
>
>   
>
> 二、拔高
>
> 1、按照从小到大排顺序。
>
> 100米、1千米、10米、10千米
>
> 2、按照从大到小排顺序。
>
> 5001、 1005、 5010、 5100
>
> （ ） \< （ ） \< （ ） \< （ ）
>
> 3、505 500 550 515 555 \[来源:学科网\]
>
> （ ） \> （ ） \> （ ） \> （ ） \> （ ）
>
> 4、9090 9009 9900 9000 9999
>
> （ ） \< （ ） \< （ ） \< （ ）\< （ ）
>
> 三、判断：\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
>
> 1、一个数的最高位是百位，这个数是四位数。 （ ）
>
> 2、三位数一定比四位数小。 （ ）
>
> 3、七千零九写作：7009 （ ）
>
> 4、最大的四位数比最小的五位数大。 （ ）
>
> 5、用5、6、0、3组成最小的四位数是6305。 （ ）
>
> 6、最高位是万位的数它是五位数，一个四位数最高位是千位。 （ ）
>
> 7、只读一个零的数是末尾有0的数。 （ ）
>
> 1、1453、1435、1543、1354中最大的数是哪个？（ ）
>
> A、1453 B、1435 C、1543 D、1354
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
参考答案：
一、复习
1、 \>、=、\<、\<、\>、=
2、 3 \> 2 ，4 \< 5
3、5 \> 3 ， 2 \< 3 ， 1 \< 4，
3 \< 5 ， 3 \> 2 ， 4 ＞ 1
二、拔高
> 1、按照从小到大排顺序。
>
> 10米、100米、1千米、10千米
>
> 2、按照从大到小排顺序。
>
> （ 1005 ） \< （ 5001 ） \< （ 5010 ） \< （ 5100 ）
>
> 3、
>
> （ 555 ） \> （ 550 ） \> （ 515 ） \> （ 505 ） \> （ 500 ）
>
> 4、
>
> （ 9000 ） \< （ 9009 ） \< （ 9090 ） \< （ 9900 ）\< （ 9999 ）
>
> 三、判断：
>
> 1、 （ × ）
>
> 2、 （ √ ）
>
> 3、 （ √ ）
>
> 4、 （ × ）
>
> 5、 （ × ）
>
> 6、 （ √ ）
>
> 7、 （ × ）
>
> 四、判断
>
> （ C ）
| 1 | |
**2020-2021学年福建省福州市鼓楼区五年级（上）期末数学试卷**
**一.填空题。**
1．2300*cm*^2^＝[ ]{.underline}*dm*^2^
> 2时45分＝[ ]{.underline}时
2．在横线里填上"＞"、"＝"或"＜"。
---------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------
5.35÷0.99[ ]{.underline}5.35 2.7÷0.18[ ]{.underline}27÷1.8 8.6÷1.1[ ]{.underline}1.1×8.6 0.0[ ]{.underline}0.06
---------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------------- ----------------------------
3．每盒饼干6.9元钱，50元最多可以买[ ]{.underline}盒饼干．
4．一个灯塔上的信号灯，闪5下用了20秒，信号灯闪了12下用时[ ]{.underline}秒，30秒最多闪[ ]{.underline}下。
5．光年是计量天体距离的单位，1光年约9.5万亿千米．距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，合[ ]{.underline}万亿千米．
6．袋子里有三种大小相同颜色不同的小球，其中红球5个，黑球3个，蓝球2个。任意摸出1个球，摸到[ ]{.underline}球的可能性最大。
7．小强走0.25千米需要0.1小时，他每小时走[ ]{.underline}千米，每走1千米需要[ ]{.underline}小时．
8．一本书有*a*页，张华每天看5页，看了*b*天。5*b*表示[ ]{.underline}，*a*﹣5*b*表示[ ]{.underline}。
9．第一颗人造卫星绕地球一圈要用114分钟，比"神舟"六号绕地球一圈所用时间的2倍少66分钟。设"神舟"六号绕地球一圈的时间为*x*分钟，列方程为[ ]{.underline}。
10．一条直线上有*A*、*B*、*C*三个点，*A*点用数对表示为（2，1），*B*点用数对表示为（4，2），那么*C*点用数对表示为（*x*，5），那么*x*的值为[ ]{.underline}。
**二、对号入座（选择正确答案序号填在括号内）**
11．与4.886÷1.03的商相等的是（ ）
A．488.6÷10.3 B．48.86÷103 C．48.86÷10.3 D．4886÷103
12．如图，如果点*A*的位置表示为（5，4），那么*B*的位置可以表示为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（ 1，2） D．（2，2）
13．*x*＝3是下面方程（ ）的解。
A．4*x*+8＝17 B．23﹣5*x*＝8 C．20.4÷*x*＝5.1 D．6*x*＝78
14．如果7.3×□+□×2.7＝31.5，那么□里应填的数是（ ）
A．3.15 B．31.5 C．0.315 D．无法确定
15．与35.87÷7.04的商最接近的算式是（ ）
A．35÷7 B．36÷7 C．35÷8 D．38÷8
16．下面等式不成立的是（ ）
A．5.6×102＝5.6×100+2×5.6
B．18.4﹣6.5+4.2＝18.4﹣（6.5﹣4.2）
C．7×0.98＝7×1﹣0.02
D．7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）
17．下列事件中，（ ）是不可能发生的。
A．人体吸入大量的煤气会中毒
B．月亮绕着地球转
C．姚明将长到3*m*高
D．时间在不断的流逝
18．下面算式中，结果最大的是（ ）
A．☆×0.98 B．☆÷1.3 C．☆×0.45 D．☆÷0.45
19．在一条长80*m*路的两旁，从头到尾每隔5*m*栽一棵树，一共栽多少棵树。下面列式正确的是（ ）
A．80÷5×2 B．80÷5+1 C．（80÷5+1）×2 D．80÷（5﹣1）×2
20．如图中三角形的面积等于平行四边形的面积的一半的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
**三.计算题。**
21．直接写出得数。
1÷0.4＝ 0.6^2^＝ 4.3﹣0.01＝ 1.3*x*+1.7*x*＝
---------- ----------- ------------- -------------------
13×0.5＝ 0.4+2.5＝ 2.4÷0.3＝ 0.6×0.6÷0.6×0.6＝
22．用竖式计算。（带\*号题商用循环小数表示.带☆号题的商保留两位小数）
---------- -----------
\*6.8÷11 ☆1.39÷3.5
---------- -----------
23．能简便算的要简便算。
--------------- ------------- ------------
1.76+3.24÷0.5 3.27×8×1.25 3.6+98×1.8
--------------- ------------- ------------
24．解方程。
-------------------- ------------------ ----------------------
0.8*x*+7.2*x*＝5.6 1.7*x*+6×3＝26.5 0.6（5.3﹣*x*）＝2.4
-------------------- ------------------ ----------------------
**四.我会操作。**
25．在下面方格纸上（正方形方格边长为1*cm*）各画一个面积等于24*cm*^2^的三角形和梯形。
**五、计算如图所示图形（或阴影部分）的面积。（单位：cm）**
26．计算如图的面积。（单位：*cm*）
27．计算如图阴影部分的面积。（单位：*cm*）
28．如图每个小方格的面积为1*cm*^2^，图中阴影部分的面积是多少？
**六、解决问题。**
29．下面是晨光文具店铅笔的进货价和零售价。
铅笔每捆20支
-------------------
进货价：每捆18元
零售价：每支1.3元
> 文具店某一天共卖了15支铅笔，获利多少元？
30．玩具厂原来制作一只毛绒熊猫需要4.8元的材料。经过技术革新，每只可节省材料0.3元。原来制作180只毛绒熊猫的材料，现在可以生产多少个？
31．两辆汽车从相距522*km*的两地同时相对开出，3.6小时后两车相遇。已知一辆汽车每小时行驶65*km*，另一辆汽车的速度是多少？（用方程解）
32．有一块三角形的广告牌，底是15*m*，高是9*m*。如果用油漆刷这块广告牌的正反面，每平方米需要用油漆500*g*，施工队准备了60*kg*的油漆，够不够？
33．某网络公司上网收费标准如下表
上网时间 收费标准
------------------------------ -----------------
60小时以内（含60小时） 30元
超过60小时的部分 每小时收费1.5元
说明：不足1小时间按1小时计算
> ①李叔叔家五月份上时间是71时48分，应付费多少元？
>
> ②小明家六月份支付上网费43.5元．算一算，他家这个月最多上网多少小时？
**2020-2021学年福建省福州市鼓楼区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一.填空题。**
1．【分析】（1）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100；
> （2）把45分除以进率60化成0.75时再加2时。
>
> 【解答】解：（1）2300*cm*^2^＝23*dm*^2^
>
> （2）2时45分＝2.75时。
>
> 故答案为：23，2.75。
>
> 【点评】本题是考查时间的单位换算、面积的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。
2．【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
> 在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
>
> 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；
>
> 0.00.0656566，0.060.065556，所以0.00.06。
>
> 【解答】解：
----------------- ------------------ ------------------ ---------
5.35÷0.99＞5.35 2.7÷0.18＝27÷1.8 8.6÷1.1＜1.1×8.6 0.00.06
----------------- ------------------ ------------------ ---------
> 故答案为：＞，＝，＜，＞。
>
> 【点评】此题主要考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法。
3．【分析】求50元最多可以买几盒饼干，即求50里面含有几个6.9，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
> 【解答】解：50÷6.9≈7（盒）；
>
> 答：50元最多可以买7盒饼干；
>
> 故答案为：7．
>
> 【点评】解答此题应根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答；注意：应结合实际情况，用"去尾"法．
4．【分析】根据植树问题原理，信号灯闪5下，有5﹣1＝4（个）间隔，闪12下，有12﹣1＝11（个）间隔，用20÷4＝5（秒）求一个间隔的时间，再乘11，得11个间隔的时间；30除以每个间隔的时间，再加上1，就是闪的下数。
> 【解答】解：20÷（5﹣1）
>
> ＝20÷4
>
> ＝5（秒）
>
> （12﹣1）×5
>
> ＝11×5
>
> ＝55（秒）
>
> 30÷5+1
>
> ＝6+1
>
> ＝7（下）
>
> 答：信号灯闪了12下用时55秒，30秒最多闪7下。
>
> 故答案为：55；7。
>
> 【点评】本题主要考查植树问题，关键是利用间隔数与闪的下数的关系做题。
5．【分析】1光年约9.5万亿千米，距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，根据乘法的意义可知，4.22万光年合4.22×9.5＝40.09万亿千米．
> 【解答】解：4.22×9.5＝40.09（万亿千米）．
>
> 故答案为：40.09．
>
> 【点评】完成本题要注意小数点位置的变化．
6．【分析】因为是任意摸出一个球，所以哪种球的个数最多，摸出这种球的可能性就最大。
> 【解答】解：5＞3＞2，红球最多，所以摸出红球的可能性最大。
>
> 故答案为：红。
>
> 【点评】此题考查可能性的大小，数量多的摸到的可能性就大，据此判断即可。
7．【分析】根据路程÷时间＝速度，先求出它的速度即1小时走的路程；然后用路程1千米除以速度就是走1千米需要的时间．
> 【解答】解：0.25÷0.1＝2.5（千米）
>
> 1÷2.5＝0.4（小时）
>
> 答：他每小时走2.5千米，走1千米需要0.4小时．
>
> 故答案为：2.5，0.4．
>
> 【点评】掌握路程、速度和时间的关键是解题的关键．
8．【分析】用每天看的页数乘以天数即可得到看的总页数，每天看5页，看了*b*天，5*b*表示*b*天看的页数，*a*﹣5*b*表示剩下的页数，由此进行解答即可.
> 【解答】解：5*b*表示*b*天看的页数是多少，*a*﹣5*b*表示剩下的页数是多少。
>
> 故答案为：*b*天看的页数是多少，剩下的页数是多少。
>
> 【点评】本题考查了用字母表示数，关键是熟悉用每天看的页数乘看的天数就是看的总页数的知识点．
9．【分析】设"神舟"六号绕地球一圈的时间为*x*分钟，由关系式："神舟"六号绕地球一圈所用时间×2﹣66分钟＝第一颗人造地球卫星绕地球一圈的时间，列方程求解即可。
> 【解答】解：设"神舟"六号绕地球一圈的时间为*x*分钟，
>
> 2*x*﹣66＝114
>
> 2*x*＝180
>
> *x*＝90
>
> 答：神舟"六号绕地球一圈所用时间是90分钟。方程为：2*x*﹣66＝114。
>
> 故答案为：2*x*﹣66＝114。
>
> 【点评】观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可。
10．【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，在方格图分别描出*A*、*B*两点，再过*A*、*B*两点画直线，当直线经过第5行时，此点所在的列就是*x*的值。
> 【解答】解：如图
>
> 一条直线上有*A*、*B*、*C*三个点，*A*点用数对表示为（2，1），*B*点用数对表示为（4，2），那么*C*点用数对表示为（*x*，5），那么*x*的值为10。
>
> 故答案为：10。
>
> 【点评】数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。
**二、对号入座（选择正确答案序号填在括号内）**
11．【分析】根据商不变性质，被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，据此解答即可。
> 【解答】解：与4.886÷1.03的商相等的是48.86÷10.3。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了商不变性质的灵活应用。
12．【分析】点*A*的位置表示为（5，4），即点*A*在第5列第4行；点*B*在第2列第2行，用数对表示出即可。
> 【解答】解：点*A*的位置表示为（5，4），点*B*在第2列第2行，用数对（2，2）表示。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查数对的写法，即先看在第几列，这个数就是数对中的第一个数；再看在第几行，这个数就是数对中的第二个数。
13．【分析】根据题意，把*x*＝3分别代入各个选项中的方程，能使方程左右两边相等的，就是这个方程的解。
> 【解答】解：*A*、把*x*＝3代入方程4*x*+8＝17；方程左边＝4×3+8＝12+8＝20≠方程右边，所以，*x*＝3不是方程4*x*+8＝17的解；
>
> *B*、把*x*＝3代入方程23﹣5*x*＝8；方程左边＝23﹣5×3＝8＝方程右边，所以，*x*＝3是方程23﹣5*x*＝8的解；
>
> *C*、把*x*＝3代入方程20.4÷*x*＝5.1；方程左边＝20.4÷3＝6.8≠方程右边，所以，*x*＝3不是方程20.4÷*x*＝5.1的解；
>
> *D*、把*x*＝3代入方程6*x*＝78；方程左边＝6×3＝18≠方程右边，所以，*x*＝3不是方程6*x*＝78的解。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查了方程的解的检验方法的灵活运用。
14．【分析】根据乘法分配律，7.3×□+□×2.7＝（7.3+2.7）×□＝10×□＝31.5，由一个因数＝积÷另一个因数，可得□＝31.5÷10＝3.15，据此解答。
> 【解答】解：7.3×□+□×2.7
>
> ＝（7.3+2.7）×□
>
> ＝10×□
>
> ＝31.5
>
> 那么□＝31.5÷10＝3.15。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】考查了乘法分配律和乘法各部分名称之间的关系的灵活运用。
15．【分析】根据题意可知，估算小数除法时，可以把被除数和除数分别看作接近的整数来除，然后估算，据此解答。
> 【解答】解：35.87÷7.04可以看成是36÷7来进行估算。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握估算的计算法则正确进行计算。
16．【分析】根据小数四则混合运算的顺序或运算定律，分别求出各个选项中算式的结果，再比较解答。
> 【解答】解：*A*、5.6×102
>
> ＝5.6×（100+2）
>
> ＝5.6×100+5.6×2
>
> ＝560+11.2
>
> ＝571.2
>
> 5.6×100+2×5.6
>
> ＝560+11.2
>
> ＝571.2
>
> 所以，5.6×102＝5.6×100+2×5.6；
>
> *B*、18.4﹣6.5+4.2
>
> ＝11.9+4.2
>
> ＝16.1
>
> 18.4﹣（6.5﹣4.2）
>
> ＝18.4﹣2.3
>
> ＝16.1
>
> 所以，18.4﹣6.5+4.2＝18.4﹣（6.5﹣4.2）；
>
> *C*、7×0.98
>
> ＝7×（1﹣0.02）
>
> ＝7×1﹣7×0.02
>
> ＝7﹣0.14
>
> ＝6.86
>
> 7×1﹣0.02
>
> ＝7﹣0.02
>
> ＝6.98
>
> 6.86＜6.98
>
> 所以，7×0.98＜7×1﹣0.02；
>
> *D*、7.23﹣0.31﹣0.69
>
> ＝7.23﹣（0.31+0.69）
>
> ＝7.23﹣1
>
> ＝6.23
>
> 7.23﹣（0.31+0.69）
>
> ＝7.23﹣1
>
> ＝6.23
>
> 所以，7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
17．【分析】分别剖析*ABCD*中的事件的确定、不确定性。然后找到满足要求的即可。
> 【解答】解：*A*.人体吸入大量的煤气会中毒是必然的，故排除；
>
> *B*.月亮绕着地球转是必然的，故排除；
>
> *C*.姚明将长到3*m*高是不可能的；
>
> *D*.时间在不断的流逝是必然的，故排除。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查事件的确定性和不确定性。明确"一定""可能"或"不可能"的含义，很容易解决这类问题。
18．【分析】一个数乘一个大于1的数，结果大于原来的数；一个数乘小于1的数，结果小于原来的数；
> 一个数除以一个大于1的数，结果小于原来的数；一个数除以小于1的数，结果大于原来的数，据此解答即可。
>
> 【解答】解：*A*选项☆×0.98＜☆；
>
> *B*选项☆÷1.3＜☆；
>
> *C*选项☆×0.45＜☆；
>
> *D*选项☆÷0.45＞☆。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题主要考查了积的变化规律和商的变化规律，熟练掌握变化规律是解答本题的关键。
19．【分析】先求出大路一旁的植树棵数，再乘2，即两端都要栽时，植树棵数＝间隔数+1，由此即可解答问题。
> 【解答】解：（80÷5+1）×2
>
> ＝17×2
>
> ＝34（棵）
>
> 答：一共栽34棵树。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了植树问题中：两端都要栽时，植树棵数＝间隔数+1的计算应用，因为是大路两旁栽树，不要忘记乘2。
20．【分析】将每个小正方形的边长看作单位"1"，由图形可以知道平行四边形以及每个三角形的底和高分别为多少，根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，和三角形的面积公式：*Sah*，分别计算平行四边形和三角形的面积，找出与平行四边形面积相等的三角形即可．
> 【解答】解：将每个小正方形的边长看作单位"1"，
>
> 平行四边形的底为5，高为6，它的面积为5×6＝30
>
> ①三角形的底为5，高为6，它的面积为5×6＝15，符合题意；
>
> ②三角形的底为5，高为6，它的面积为5×6＝15，符合题意；
>
> ③三角形的底为6，高为5，它的面积为6×5＝15，符合题意；
>
> ④三角形的底为5，高为4，它的面积为5×4＝10，不符合题意．
>
> 所以，①②③三角形的面积等于平行四边形的面积的一半．
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了三角形和平行四边形的面积公式，需要学生熟记并能灵活运用．
**三.计算题。**
21．【分析】根据小数加减乘除法的计算法则以及四则混合运算的运算顺序计算即可。注意得数的小数的位数。
> 【解答】解：
1÷0.4＝2.5 0.6^2^＝0.36 4.3﹣0.01＝4.29 1.3*x*+1.7*x*＝3*x*
------------- -------------- ----------------- -----------------------
13×0.5＝6.5 0.4+2.5＝2.9 2.4÷0.3＝8 0.6×0.6÷0.6×0.6＝0.36
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
22．【分析】根据小数乘除法的竖式计算方法进行解答即可。
> 【解答】解：（1）6.8÷11＝0.6
>
> （2）1.39÷3.5≈0.40
>
> 【点评】在列竖式完成小数乘除法算式时要细心，注意小数点位置的变化。
23．【分析】（1）先算除法，再算加法。
> （2）根据乘法的结合律简算即可。
>
> （3）根据乘法的分配律简算即可。
>
> 【解答】解：（1）1.76+3.24÷0.5
>
> ＝1.76+6.48
>
> ＝8.24
>
> （2）3.27×8×1.25
>
> ＝3.27×（8×1.25）
>
> ＝3.27×10
>
> ＝32.7
>
> （3）3.6+98×1.8
>
> ＝1.8×2+98×1.8
>
> ＝1.8×（2+98）
>
> ＝1.8×100
>
> ＝180
>
> 【点评】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算。
24．【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以8求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时减去18，再两边同时除以1.7求解；
>
> （3）根据等式的性质，方程两边同时除以0.6，再两边同时加上*x*，再两边同时减去2.4求解。
>
> 【解答】解：（1）0.8*x*+7.2*x*＝5.6
>
> 8*x*＝5.6
>
> 8*x*÷8＝5.6÷8
>
> *x*＝7
>
> （2）1.7*x*+6×3＝26.5
>
> 1.7*x*+18﹣18＝26.5﹣18
>
> 1.7*x*＝8.5
>
> 1.7*x*÷1.7＝8.5÷1.7
>
> *x*＝5
>
> （3）0.6（5.3﹣*x*）＝2.4
>
> 0.6（5.3﹣*x*）÷0.6＝2.4÷0.6
>
> 5.3﹣*x*＝4
>
> 5.3﹣*x*+*x*＝4+*x*
>
> 5.3＝4+*x*
>
> 5.3﹣4＝4+*x*﹣4
>
> *x*＝1.3
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**四.我会操作。**
25．【分析】根据三角形的面积计算公式"*S*＝*ah*÷2"，24×2＝48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，画法不唯一，根据方格图，在此可画底8厘米，高6厘米的三角形；根据梯形的面积计算公式"*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2"，可画上、下底之和等于三角形的底，与三角形等高的梯形。
> 【解答】解：在下面方格纸上（正方形方格边长为1*cm*）各画一个面积等于24*cm*^2^的三角形和梯形（画法不唯一）。
>
> 【点评】根据面积画平面图形的关键是根据相关图形的面积计算公式计算出相关图形相关线段的长度。
**五、计算如图所示图形（或阴影部分）的面积。（单位：cm）**
26．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：15×12＝180（平方厘米）
>
> 答：这个平行四边形的面积是180平方厘米。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：底和高的对应。
27．【分析】阴影面积＝平行四边形面积﹣三角形面积。
> 【解答】解：12×4.5＝54（平方厘米）
>
> 4.2×4.5÷2＝9.45（平方厘米）
>
> 54﹣9.45＝44.55（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积44.55平方厘米。
>
> 【点评】求阴影图形的面积可以用大的图形的面积减去空白的面积。
28．【分析】分别数出整格和不满整格的方格数，不满整格按照半格估算即可。
> 【解答】解：阴影部分有16个整格和14个不满格，
>
> （16+14÷2）×1
>
> ＝16+7
>
> ＝23（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积为23平方厘米。
>
> 【点评】本题主要考查了估测，运用方格纸进行估测是本题解题的关键。
**六、解决问题。**
29．【分析】首先根据单价＝总价÷数量，求出铅笔的进货价是多少；然后用每支铅笔的零售价减去它的进货价，求出每支铅笔可以盈利多少钱，再乘以15，求出铅笔一共可以盈利多少钱。
> 【解答】解：（1.3﹣18÷20）×15
>
> ＝0.4×15
>
> ＝6（元）
>
> 答：文具店某一天共卖了15支铅笔，获利6元。
>
> 【点评】此题主要考查了乘法、除法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系。
30．【分析】一只毛绒熊猫原来需要4.80元的材料，根据乘法的意义，原来制作180只需要4.8×180元钱，又现在每只可节省材料0.3元，也就是需要4.5元，根据除法的意义，用原来制作180只需要钱数除以现在制作每只毛绒熊猫需要的钱数，即得现在可以制作多少个毛绒熊猫。
> 【解答】解：（4.8×180）÷（4.8﹣0.3）
>
> ＝864÷4.5
>
> ＝192（只）
>
> 答：现在可以生产192只。
>
> 【点评】首先根据单价×数量＝总价求出原来制作180只需要的钱数是完成本题的关键。
31．【分析】根据题意，设另一辆汽车的速度是*x*千米/小时，根据两车3.6小时相遇，利用公式：路程＝速度×时间，列方程求解即可。
> 【解答】解：设另一辆汽车的速度是*x*千米/小时，
>
> 3.6×（65+*x*）＝522
>
> 65+*x*＝145
>
> *x*＝80
>
> 答：另一辆汽车的速度是80千米/小时。
>
> 【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程。
32．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，求出这个广告牌正反两面的面积，然后用油漆的面积乘每平方米需要油漆的质量，然后与60千克进行比较，如果需要油漆的质量小于或等于60千克，说明够，否则就不够。
> 【解答】解：500克＝0.5千克
>
> 15×9÷2×2×0.5
>
> ＝135÷2×2×0.5
>
> ＝135×0.5
>
> ＝67.5（千克）
>
> 60千克＜67.5千克
>
> 答：施工队准备了60*kg*的油漆不够。
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
33．【分析】①71时48分看作72小时，先求出超过60小时的时间，再求出超过60小时的费用，再加上60小时的费用即可解答．
> ②先求出超过60小时的费用，再除以1.5求出超过60小时的时间，再加上60即可解答．
>
> 【解答】解：①71时48分≈72时
>
> （72﹣60）×1.5+30
>
> ＝18+30
>
> ＝48（元）
>
> 答：应付费48元．
>
> ②（43.5﹣30）÷1.5+60
>
> ＝9+60
>
> ＝69（时）
>
> 答：他家这个月最多上网69小时．
>
> 【点评】本题考查了收费问题，关键是知道收费是分两个阶段的．
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日期：2021/4/27 11:01:57；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**小升初专项训练 工程篇**
**一、小升初考试热点及命题方向**
**罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：\
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？\
答案：\
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。\
另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。\
这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。**
**工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位"1" 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。**
**二、考点预测**
**13年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。**
**三、知识要点**
**在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。**
**【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：**
**工作效率×工作时间＝工作总量；**
**工作总量÷工作时间＝工作效率；**
** 工作总量÷工作效率＝工作时间。**
** 为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。**
**【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。**
> **（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/(100+a)。时间缩短了a/(100+a)。**
>
> **（2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/(100-a)。时间延长了a/(100-a)。**
>
> **(3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原来的a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。**
>
> **(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的b /（b-a）。时间延长了a/(b-a)。**
>
> **(5)当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间b，则通常是把条件处理为甲乙和干了a（或b时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）**
**四、典型例题解析**
**1 涉及二者的工程问题**
> **【例1】（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？**
>
> **【解】：方法一：4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。**
>
> **方法二：假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成4.5×（）=，而总工作量只有1，所以多出来的就是乙休息时间里做的，所以乙休息了÷=1.5天。**
>
> **【答】：乙休息了1.5天。**
**【例2】（★★）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？**
**【解】：40分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－＝3小时，但都完成了120个零件。如果乙和甲的时间是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。**
**【答】：甲每小时能加工24个零件。**
**2 涉及三者的工程问题**
**【例3】（★★★）一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？**
**\
【解】：方法一：设工作总量为\[24，30\]＝120单位，则甲队每天完成240÷24=5单位，乙队每天完成240÷30=4单位。前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。**
**方法二：甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15，所以丙要做15天。**
**【答】：如果从开始让丙队独做，需要15天。**
**【例4】（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？**
**【解】：可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的。可以算出丙队3天完成的工作量是。则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。**
**【答】：还需要6天。**
**【例5】（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？**
**【解】：由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。设工作总量为\[12，15\]＝60份，这样原来张、马二人的工效之和为60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。**
**原来两位师傅每天一共加工零件12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷2＝28个。**
**【答】：马师傅每天加工28个零件。**
**【例6】（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成。一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成。如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？**
**【解】：设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5，丙组每人每天的工作量为：4/5×3/8=3/10。**
**这项工作的总工作量为：（1×13+4/5×15）×3=75**
**丙组10人需要干：75÷3/10÷10=25（天）。**
3. **涉及多者的工程问题**
> **【例7】（★★）一项工程，45人可以若干天完成。现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天？**
>
> **【解】：前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为36×4÷9＝16天。原计划用16＋4＝20天。**
**【答】：原计划用20天完成。**
**【例8】（★★★）A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E两人一起干，需要12天完 工。那么，若E一人单独干需要几天完工？**
**【解】：可设工作总量为\[6，8，12\]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5单位。那么，如果由E一人单独做需要24÷0.5＝48天。**
**【答】：如果由E一人单独做需要48天。**
**【例9】（★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？**
**【思路】：我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍．**
**【解】：通过条件，我们有以下公式：**
** （一＋二＋三＋四＋五）×3=(一＋二＋三)+(一＋三＋五)+(二＋四＋五)×2+(一＋三＋四)．**
**所以，5支小队效率和为：**
4. **水箱注水的工程问题**
**【例10】（★★★）水池安装A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：**
---------- ---------- ---------- ---------- ----------
**A，B** **C，D** **E，A** **D，E** **B，C**
**2** **6** **10** **3** **15**
---------- ---------- ---------- ---------- ----------
**如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？**
**答：D。**
**提示：由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得B＞E，比较第一列与第五列得A＞C，比较第二列与第五列得D＞B，比较第二列与第四列得E＞C，比较第三列与第四列得D＞A。**
**【例11】（★★★）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5。经过时，A、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25％，乙管的注水速度降低 30％。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？**
**【解】：因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5不变，所以经过恰好是一池水时，甲乙水管分别注入一池水的、。如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分别还需**
**注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需**
**所以，当甲水管注满A池时，乙水管注满B池还需**
**5 较复杂的工程问题**
**【例12】（★★★★）一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？**
**来源：人大附测试题**
**【解】：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为：**
> 
**竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。**
**【例13】（★★★★）有甲乙两个工程，现分别由A、B两个施工队完成。在晴天A队完成工程需要8天，B队完成工程需要12天，在雨天，A施工队的工作效率下降60﹪，B施工队的工作效率下降20﹪。最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？**
**【解】：10天。**
**晴天时，A施工队比B的工作效率高：1/8－1/12=1/24**
**雨天时，B施工队比A的工作效率高：**
**1/12（1－20﹪）－1/8（1－60﹪）=1/60**
**要想两队同时完成，则由1/24：1/60=5/2可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：1/8×2+1/8×0.4×5=1/2，故整个工程共有4个晴天，10个雨天。**
**【教师选讲】：**
**有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。如果把8根进水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光。问要想在4.5小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？**
**【解】：这道题是"牛吃草"问题与工程问题的综合。**
**设每根出水管1小时的排水量为单位"1"。8根出水管3小时共排水24单位，5根出水管6小时共排除水30小时，表明进水管6－3＝3小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每小时2单位，池中原有水24－2×3＝18或30－2×6＝18单位。如果要在4.5小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18＋2×4.5＝27单位，每小时排水27÷4.5＝6单位，则需要同时打开6根出水管。**
**【拓展】"牛吃草"问题**
**例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24只羊，则6天吃完草；如果放牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：**
**1、如果放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？**
**2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？**
**【解】：1、设草每天吃1份。24只羊，则6天吃完草,说明6天长的草+原来的草共24×6=144; 21只羊，8天吃完,说明8天长的草+原来的草共21×8=168份; 所以两天长的草168-144=24份，即每天长12份,**
**这样原来草为144-6×12=72份，那么草地每天长的草够12头羊吃一天.如果放16头羊，那么12头够吃长出来的草，还剩下4头吃原来的72份，这样可以吃18天。**
**2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放12头羊.**
**\[补充试题\]：一块1500平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。可供18头牛吃16天，或是供27头牛吃8天。如果这片牧场有6000平方米，6天中最多可供几头牛吃？**
**【解】：设每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16=288份，供27头牛吃8天共216份，多出来288-216=72份就是8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288-9×16=144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的4倍，所以现在草有144×4=576，每天长36份，这样每天新长的草要36头牛吃，而原来的草要吃6天，要576÷6=96头牛，所以总共要132头牛。**
**【课外知识】**
**牛吃草问题**
**由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负／天）。如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。公司聘任了苦干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。问：公司聘任了多少名打字员？\
【分析】\
解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。其解法和解决牛吃草问题类似。\
【解】设每个打字员1天打字为1，则5名打字员24天打了5×24＝120，\
9名打字员12天打了 9×12＝108。\
材料每天增加（120－108）÷（24－12）＝l。\
原有材料120－24×1＝96。\
40天实际材料总量96＋1×8＋（40－8）×1÷2＝120。\
打字员人数120÷40＝3（人）。\
答：公司聘任了3名打字员。\
【评注】\
本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中，这种简便新颖的解法令人拍案叫绝！**
**小结**
**本讲主要接触到以下几种典型题型：**
**1）涉及二者的工程问题 参见例1，2**
**2）涉及三者的工程问题 参见例3，4，5，6**
**3）涉及多者的工程问题 参见例7，8，9**
**4）水箱注水的工程问题 参见例10，11**
**5）较为复杂的工程问题 参见例12，13，**
**作业题**
**（注：作业题\--例题类型对照表，供参考）**
**题1，4，6，7---类型1；题2---类型4；题3，5---类型5，题8---类型2**
**1、（★★）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？**
**【解】：6天。由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天。\
**
**2．（★★）某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升。现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水？**
**【解】：甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升。因此池中原有水3000升。\
**
**3．（★★★）张师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45％时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？**
**【解】：平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分。由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=（分）。到9点时加工所用的时间为27+=（分）=29分15秒。所以开始时是8时30分45秒。**
> **4. （★★★） 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的1/3时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？**
**【解】：360个。提示：甲完成3/5时乙完成了一半，效率比为6：5。所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个。占1/3。所以甲的总任务180个。这批零件为360个。**
> **5. （★★★）李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％。这批零件共有多少个？**
**解：48×\[1＋125％×（1＋105％）\]÷95％＝180（个）。**
**6. （★★★） 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？**
**【解】：如果26天都由乙来做，他能完成的工作量为**
**可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作**
**甲做一天比乙做一天多做**
**所以甲做的天数为天。**
**7. （★★） 修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？**
** **
> **8. （★★★）有A，B两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20时，乙车需要24时，丙车需要30时。现在甲车装运A堆煤，乙车装运B堆煤，丙车开始先装运A堆煤，中途转向装运B堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运A堆煤用了多少时间？**
**【解】：以装运一堆煤的工作量为1，则三车共同完成的工作量**
**9、（★★★）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50％，因此比计划提前1天完工。如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？**
**【解】：新、旧施工方法的效率之比为150∶100，用旧施工方法干3天等于用新施工方法干2天。又由于用旧施工方法干4天后改用新施工方法可提前1天，所以用旧施工方法干1天后改用新施工方法可提前2天。再由题设条件知，用旧施工方法1天筑路200米，需7天完成。**
**名校真题 测试卷7 （工程篇）**
**时间：15分钟 满分5分 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 测试成绩\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**1 （06年三帆中学考题）**
**原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植\_\_\_\_\_\_棵树.**
**2 （05年首师附中考题）**
**一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。现乙先做4天，问甲还要多少天完成？**
3. **（05年人大附中考题）**
**一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，......两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？**
**4 （06年西城四中考题）**
> **如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 \_\_\_\_\_\_小时。**
**5 (01年北大附中考题)**
**一项工程，预计15个工人每天做4个小时，18天可以完成。为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加1小时，可以提前\_\_\_\_\_\_\_天完工。**
**【附答案】**
**1 【解】： 3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原来要种的，所以原来每人要植树15÷3=5棵。**
**2 【解】：甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12×=22.5天。现在乙了4天就相当于甲做了4×=2.5天，所以甲还要做20天。**
**3 【解】：甲的工作效率=，乙的工作效率= ，合作工效=，甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时，这样1÷==8...，所以合作了8小时，这样还剩下就是甲做的，所以甲还要做÷=3，所以两人总共作了8+8+小时。**
**4 【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙60分钟可以灌满，甲、乙两管80分钟可以灌满，乙、丙两根水管75分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、75的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份，甲、乙每分钟灌1200÷80=15份，乙、丙每分钟灌1200÷75=16份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200÷11=分钟。**
**方法二：设工作效率求解，省略。**
**5 【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×4×18=1080份，增加3人每天增加1小时，那么需要的时间=1080÷（15+3）÷(4+1)=12天，所以提前6天完成。**
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**《一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第二节：采松果**
一、列式并计算。
1、一个加数是26，另一个加数是3，和是多少？
2、被减数是76，减数是5，差是多少？
二、填空。
1、63是由（ ）个一和（ ）十个组成的。
2、37和39中间的数是（ ）。
3、（ ）的前面是59，后面是（ ）。
4、（ ）的后面是90，前面是（ ）。
5、66比（ ）大1，比（ ）小1。
6、个位上5，十位上是2，这个数是（ ）。
7、2个十和3个一是（ ）。\[来源:Zxxk.Com\]
三、在得数小于80的算式下面打"√"。
97-5 74+5 90-20 75-9 56+20 90+2 80-8 80+6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
四、填表格。
五、填空。
1、一个数从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（ ）位；56的个位上是（ ），十位上是（ ）。
2、100里面有（ ）个十，100里面有（ ）个一。
3、78里面有（ ）个十和（ ）个一。
六、算一算。
32+5= 4+65=  72+5=
5+74= 66-3= 44-4=
78-6= 26+3= 88-5=
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
答案
一、
1、26+3=29
2、76-5=71
二、
1、3 6
2、38
3、60 61 \[来源:Z,xx,k.Com\]
4、89 88
5、65 67
6、25
7、23
三、
97-5 74+5 90-20 75-9 56+20 90+2 80-8 80+6
( ) ( √ ) ( √ ) (√ ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( ) 
四、
-------- ---- -------------------------------------- --------------------------------- ---- ---- ----
被减数 60 80 28\[来源:学。科。网Z。X。X。K\] 48 92 39
减数 20 50 7 5 0 8
差 40 30 21 43 92 31
-------- ---- -------------------------------------- --------------------------------- ---- ---- ----
五、
1、个 十 百  6  5
2、10 100
3、7 8
六、
32+5=37 4+65=69 72+5=77
5+74=79 66-3=63 44-4=40
78-6=72 26+3=29 88-5=83
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**2020-2021学年辽宁省大连市中山区六年级（上）期末数学试卷**
**一、选择（将正确选项前的字母填到括号内，每题2分，共10分）**
1．（2分）周五下午，辅导员带同学们乘客车从学校出发到博物馆，在博物馆参观2小时后乘车回到学校。下图描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）一个由几个相同的正方体搭成的立体图形，从它的上面看到的形状是，从它的左面看到的形状是，这个立体图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）如图，左图是在空中看到的李爷爷家，房子周围有一棵大树和一头牛，门前有一条小路。右面的两幅图是在（ ）的位置看到的。
> 
A．①和② B．②和④ C．③和④ D．③和①
4．（2分）如图，这个圆的面积与一个长方形的面积相等，那么长方形的长是（ ）
> 
A．π*r* B．2π*r* C．4π*r* D．π*r*^2^
**二、填空（每空1分，共23分）**
5．（4分）[ ]{.underline}÷15＝0.8＝＝16：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}折．
6．（3分）如图中，阴影部分占整幅图的多少用百分数表示为[ ]{.underline}；用最简分数表示为[ ]{.underline}；用小数表示为[ ]{.underline}。
> 
7．（1分）2020年12月25日，六年一班出席学生47人，缺席3人，出席率是[ ]{.underline}。
8．（2分）一艘轮船3小时行驶了240千米，行驶的路程与时间的最简比是[ ]{.underline}，它们的比值表示的是轮船行驶的[ ]{.underline}。
9．（1分）联欢会上，每两个同学之间握手一次，6个同学一共握手[ ]{.underline}次。
10．（1分）根据统计图可知去年大豆产量是今年的[ ]{.underline}%。
> 
11．（1分）乒乓球从1米高的空中自由下落，反弹的高度是0.6米。乒乓球反弹的高度比自由下落的高度低[ ]{.underline}%。
12．（1分）爸爸把3000元钱存在银行，整存整取二年，年利率如表所示，到期时应得的利息是[ ]{.underline}元。
------------------ --------
存期（整存整取） 年利率
一年 1.75%
二年 2.25%
三年 2.75%
------------------ --------
13．（3分）把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，此时长方形的长相当于圆的[ ]{.underline}，长方形的宽相当于圆的[ ]{.underline}，如果长方形的周长比圆的周长增加4厘米，那么圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
14．（2分）一个直径为10厘米的半圆的周长是[ ]{.underline}厘米，面积是[ ]{.underline}平方厘米．
15．（1分）用一张长32*cm*，宽20*cm*的长方形纸，最多能剪[ ]{.underline}个半径是2*cm*的圆形纸片。
16．（2分）用100米长的篱笆围成一块长与宽的比为3：2的长方形菜地，长方形的菜地的长是[ ]{.underline}米，长方形菜地的面积是[ ]{.underline}平方米。
17．（1分）如图中正方形的面积是16平方厘米，圆形的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
> 
**三、计算（20分）**
18．（3分）化简比。
--------------- ----------------------------------------------- ----------------
（1）81：54＝ （2）：5＝ （3）0.25：1＝
--------------- ----------------------------------------------- ----------------
19．（2分）求比值。
> （1）4.2：＝
>
> （2）50分：时＝
20．（9分）脱式计算，能简算的要简算。
------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------
（1）22÷（） （2）（2﹣）× （3）
------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------
21．（6分）解方程。
---------------------------------------------------- ------------------------- -----------------------------------------------------
（1）3+*x*＝115 （2）60%*x*﹣43%*x*＝51 （3）*y*﹣*y*＝9
---------------------------------------------------- ------------------------- -----------------------------------------------------
**四、操作与分析（19分）**
22．（3分）画出立体图形从三个面看到的形状。
> 
23．（3分）画出下面图形的所有对称轴。
> 
24．（1分）从*A*楼顶端经*B*楼顶端向前看去，请将看不见的区域涂阴影。
> 
25．（5分）画出直径是1厘米和2厘米的两个圆心相同的圆，标注圆心*O*及半径*r*、*R*；将两圆所夹的部分用阴影表示；求阴影部分的面积。
26．（7分）下面是绿城希望小学6.1班同学12月的数学检测成绩。（单位：分）
----- ---- ---- ----- ----
87 96 74 75 66
76 88 78 100 89
55 80 90 87 67
100 71 83 62 92
----- ---- ---- ----- ----
> （1）按分数段填写下表。
------ ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
分数 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计
人数
------ ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
> （2）分数在[ ]{.underline}段的人数最多，在[ ]{.underline}段的人数最少。
>
> （3）如果我们规定90～100分为优秀，70～89分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格。把各类学生成绩分布情况的统计图补充完整。
>
> 
**五、解决问题。（28分）**
27．（6分）合唱组有120人，美术组的人数是合唱组的，科技组的人数是美术组的。
> （1）画图表示三个小组之间的人数关系。
>
> （2）算一算科技组有多少人？
28．（6分）一列火车从甲地开往乙地，已经行驶了246千米，比剩下的路程多。剩下的路程有多少千米？
> （1）画图表示剩下的路程有多少千米。
>
> （2）再列方程解答。
29．（5分）科学课上，淘气测量轮船模型的长度，从左侧测15厘米做标记*A*，从右侧测15厘米做标记*B*，标记*A*、*B*中间的距离占模型总长度的40%，轮船模型的长度为多少厘米？
30．（5分）师徒两人共同加工576个零件，4.8小时正好完成。已知师傅和徒弟的工作效率比是8：7，徒弟每小时加工多少个零件？
31．（6分）如图中的小、中、大三个圆相交于一点*A*，它们的直径分别是2厘米、4厘米和6厘米。
> （1）求图中阴影部分面积是多少平方厘米？
>
> （2）图中阴影部分面积比空白部分面积少百分之几？
>
> 
**2020-2021学年辽宁省大连市中山区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择（将正确选项前的字母填到括号内，每题2分，共10分）**
1．【分析】因为客车从学校出发，所以客车一开始与学校的距离为0；在博物馆参观期间，客车到学校的距离是不变的，所以折线统计图中有一段是水平的，据此选择即可。
> 【解答】解：因为客车从学校出发，所以客车一开始与学校的距离为0，
>
> 所以，*A*和*D*不正确，
>
> 在博物馆参观期间，客车到学校的距离是不变的，所以折线统计图中有一段是水平的，
>
> 所以，*B*正确，*C*错误。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查了单式折线统计图，采用排除法可以简化选择题的解答。
2．【分析】观察图形，找出各个选项中图形从上面和左面看到的图形与已知的形状相比较，找出符合题意的一项即可解答问题．
> 【解答】解：*A*、从上面看到的图形是，从左面看到的形状是，符合题意，
>
> *B*、从它的左面看到的形状是，但是从上面看到的图形不是，不符合题意，
>
> *C*、从它的左面看到的形状是，但是从上面看到的图形不是，不符合题意，
>
> *D*、从上面看到的图形是，从左面看到的图形是，都不符合题意．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查了从不同方向观察问题和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．
3．【分析】在①的位置能看到房子的侧面、小路、老牛、大树的一部分；在②的位置能看到房子的后面、大树、老牛的屁股；在③的位置能看到房子的正面，小路、大树、老牛头；在④的位置能看到大树，房子的一部分，小路、老牛的侧面。
> 【解答】解：根据图示可知，右面的两幅图是在③和①的位置看到的。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解答此题的关键是抓住从各位置看到哪些景物。
4．【分析】根据图可以发现，长方形的宽为圆的半径*r*，根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，求出圆的面积，即长方形的面积，再根据长方形面积公式变式，*a*＝*S*÷*r*，代入计算即可。
> 【解答】解：π*r*^2^÷*r*＝π*r*
>
> 答：长方形的长为π*r*。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题主要考查了圆与组合图形，熟记圆和长方形的面积公式是本题解题的关键。
**二、填空（每空1分，共23分）**
5．【分析】解决此题关键在于0.8，0.8可化成分数，的分子和分母同时除以2可化成最简分数；用分子4做被除数，分母5做除数可转化成除法算式4÷5，4÷5的被除数和除数同时乘上3可化成12÷15；也可用分子4做比的前项，分母5做比的后项转化成比4：5，4：5的前项和后项同时乘4可化成16：20；0.8的小数点向右移动两位，同时添上百分号可化成80，80%也就是八折；由此进行转化并填空．
> 【解答】解：12÷15＝0.8＝＝16：20＝80%＝八折．
>
> 故答案为：12，4，20，80，八．
>
> 【点评】此题考查小数、分数、百分数、比和除法之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化．
6．【分析】把每个小方格的边长看作"1"，则整个长方形的面积就是1×1×16＝16，阴影部分面积等于整个正方形面积减4个两直角边为2的等腰直角三角形面积，4个等腰直角三角形的面积为2×2÷2×4＝8，据此即可求出阴影部分面积，再用阴影部分面积除以整个正方形的面积，其商可以用小数表示，再把小数化成分数（小数化分数，原来有几位小数就在1的后面加几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后能约分的要约分），把小数化成百分数（小数化百分数，先把小数点向右移动两位，再添上百分号）。
> 【解答】解：设每个小方格的边长看作"1"，则整个长方形的面积就是1×1×16＝16
>
> 4个空白三角形的面积：2×2÷2×4＝8
>
> 阴影部分面积：16﹣8＝8
>
> 8÷16＝
>
> ＝0.5＝50%。
>
> 即阴影部分占整幅图的多少用百分数表示为50%；用最简分数表示为；用小数表示为0.5。
>
> 故答案为：50%，，0.5。
>
> 【点评】此题主要是考查小数、分数、百分数的转化。关键是把1个方格边长看作"1"，据此求出阴影部分面积、整个正方形面积。
7．【分析】出席学生47人，缺席3人，该班总人数为（47+3）人。根据"出席率＝×100%"即可解答。
> 【解答】解：×100%
>
> ＝×100%
>
> ＝94%
>
> 答：出席率是94%。
>
> 故答案为：94。
>
> 【点评】出席率、及格率、出油率......都有计算公式，要善于收集。
8．【分析】路程是240千米，时间是3小时，根据比的意义写出比、化简即可；比的前项除以后项所得的商叫做比值，因为路程÷时间＝速度，所以比值表示速度；解答即可。
> 【解答】解：240：3
>
> ＝（240÷3）：（3÷3）
>
> ＝80：1
>
> 240：3
>
> ＝240÷3
>
> ＝80
>
> 比值表示这轮船的速度。
>
> 故答案为：80：1，速度。
>
> 【点评】解答此题用到的知识点为：（1）比的意义；（2）比值的含义。
9．【分析】6个人每两人握手一次，则每个人都要和其他5个人分别握手，则每人握手的次数为6﹣1＝5次，则所有人握手的次数为6×5＝30次，由于握手是在两人之间进行的，所以共握手：30÷2＝15次。
> 【解答】解：6×（6﹣1）÷2
>
> ＝6×5÷2
>
> ＝30÷2
>
> ＝15（次）
>
> 答：一共要握15次。
>
> 故答案为：15。
>
> 【点评】解答此类每两人都要握手一次的题目要明确：握手的次数＝人数×（人数﹣1）÷2。
10．【分析】根据条形统计图可知，去年大豆的常量是3格，今年大豆的产量是4格，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。
> 【解答】解：3÷4＝75%
>
> 答：去年大豆产量是今年的75%。
>
> 故答案为：75。
>
> 【点评】本题主要考查了条形统计图，以统计图每个纵格为单位"1"是本题解题的关键。
11．【分析】把自由下落的高度看成单位"1"，先用自由落下的高度减去反弹的高度，求出乒乓球反弹的高度比自由下落的高度低了多少米，再除以自由下落的高度即可求解。
> 【解答】解：（1﹣0.6）÷1
>
> ＝0.4÷1
>
> ＝40%
>
> 答：乒乓球反弹的高度比自由下落的高度低40%。
>
> 故答案为：40。
>
> 【点评】本题是求一个数比另一个数少百分之几，关键是看把谁当成了单位"1"，单位"1"的量为除数。
12．【分析】整存整取二年，所以年利率是2.25%；根据利息＝本金×年利率×存期，把数据代入公式解答即可。
> 【解答】解：3000×2×2.25%＝135（元）
>
> 答：到期时应得的利息是135元。
>
> 故答案为：135。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握利息的计算方法。
13．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，此时长方形的长相当于圆周长的一半，长方形宽相当于圆的半径。如果长方形的周长比圆的周长增加4厘米。也就是圆的半径的2倍是4厘米，据此可以求出半径，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：4÷2＝2（厘米）
>
> 3.14×2^2^
>
> ＝3.14×4
>
> ＝12.56（平方厘米）
>
> 答：长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形宽相当于圆的半径，这个圆的面积是12.56平方厘米。
>
> 故答案为：周长的一半，半径，12.56。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
14．【分析】因为半圆的周长＝圆的周长的一半+直径，半圆的面积＝圆的面积÷2，利用圆的周长和面积公式即可求解．
> 【解答】解：3.14×10÷2+10，
>
> ＝15.7+10，
>
> ＝25.7（厘米）；
>
> 3.14×（10÷2）^2^÷2，
>
> ＝3.14×25÷2，
>
> ＝39.25（平方厘米）；
>
> 答：这个半圆的周长是25.7厘米，面积是39.25平方厘米．
>
> 故答案为：25.7、39.25．
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法．
15．【分析】如果要画半径是2厘米的圆，那么它的直径是4厘米，所以在长32*cm*，宽20*cm*的长方形纸内，长可以画8个圆，宽可以画5个圆，二者相乘即是最多能画圆的个数。
> 【解答】解：2×2＝4（厘米）
>
> 32÷4＝8（个）
>
> 20÷4＝5（个）
>
> 5×8＝40（个）
>
> 答：最多能剪40个半径是2*cm*的圆形纸片。
>
> 故答案为：40。
>
> 【点评】此题考查了学生的作图能力。
16．【分析】铁丝的长度就是长方形的周长，据此除以2，即可得出一条长与宽的和，再根据长与宽的比是3：2，分别计算出它们的长与宽的值，再利用长方形的面积＝长×宽计算即可。
> 【解答】解：100÷2＝50（米）
>
> 50÷（2+3）
>
> ＝50÷5
>
> ＝10（米）
>
> 10×3＝30（米）
>
> 10×2＝20（米）
>
> 30×20＝600（平方米）
>
> 答：长方形的菜地的长是30米，长方形菜地的面积是600平方米。
>
> 故答案为：30，600。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据长方形的周长公式和按比例分配的方法，明确长方形的长与宽的值。
17．【分析】由图意可知：正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积已知，从而可以求得圆的面积．
> 【解答】解：3.14×16＝50.24（平方厘米）
>
> 答：圆形的面积是50.24平方厘米．
>
> 故答案为：50.24．
>
> 【点评】解答此题的关键是明白：正方形的面积等于圆的半径的平方，从而利用正方形的面积求出圆的面积．
**三、计算（20分）**
18．【分析】依据比的基本性质进行运算，比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变。
> 【解答】解：（1）81：54
>
> ＝（81÷27）：（54÷27）
>
> ＝3：2
>
> （2）：5
>
> ＝（×）：（5×）
>
> ＝1：7
>
> （3）0.25：1
>
> ＝（0.25×4）：（1×4）
>
> ＝1：4
>
> 【点评】本题主要考查了运用比的基本性质化简比，熟练掌握比的基本性质是解决本题的关键。
19．【分析】用比的前项除以后项，所得的商即为比值。
> 【解答】解：（1）4.2：
>
> ＝4.2÷
>
> ＝4.9
>
> （2）50分：时
>
> ＝50分：40分
>
> ＝50÷40
>
> ＝
>
> 【点评】此题主要考查了求比值的方法，求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
20．【分析】（1）先算小括号里的减法，再算括号外的除法；
> （2）先算小括号里的除法，再算小括号里的减法，然后算括号外的乘法；
>
> （3）把除以17化成乘上，再运用乘法的分配律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）22÷（）
>
> ＝22÷
>
> ＝36
>
> （2）（2﹣）×
>
> ＝（2﹣）×
>
> ＝×
>
> ＝
>
> （3）
>
> ＝×+×
>
> ＝（+）×
>
> ＝1×
>
> ＝
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
21．【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时减去3，然后两边同时乘即可。
> （2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以0.17即可。
>
> （3）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘即可。
>
> 【解答】解：（1）3+*x*＝115
>
> 3+*x*﹣3＝115﹣3
>
> *x*＝112
>
> *x*×＝112×
>
> *x*＝252
>
> （2）60%*x*﹣43%*x*＝51
>
> 0.17*x*＝51
>
> 0.17*x*÷0.17＝51÷0.17
>
> *x*＝300
>
> （3）*y*﹣*y*＝9
>
> *y*＝9
>
> *y*×＝9×
>
> *x*＝
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
**四、操作与分析（19分）**
22．【分析】左边的立体图形由5个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的小正方形，分两层，每层两个，呈"田"字形；从上面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层2个，下层1个，左齐；从左面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层2个，左齐。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
23．【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴．根据轴对称图形的定义，找出并画出轴对称图形的对称轴即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法。
24．【分析】作图的时候，分别从*A*处和*B*处连成一线，一直延长到达地面，即可求出看不见的区域。
> 【解答】解：
>
> 
>
> 【点评】本题考查了学生的动手操作能力，观察分析问题的能力。
25．【分析】根据圆的画法，先确定圆心，然后把圆规两之间的距离定为0.5厘米，画出内圆，用同样的方法，画出半径为1厘米外圆。阴影部分是环形，根据环形面积公式：*S*＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），把数据代入公式解答。
> 【解答】解：作图如下：
>
> 
>
> 3.14×\[（2÷2）^2^﹣（1÷2）^2^\]
>
> ＝3.14×\[1﹣0.25\]
>
> ＝3.14×0.75
>
> ＝2.355（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是2.355平方厘米。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的画法及应用，以及环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．【分析】（1）根据统计表中的数据完成分段统计表。
> （2）根据数据即可知哪段人数最多，哪段最少。
>
> （3）根据统计表中的数据，计算各成绩人数占全班人数的百分率，完成统计图即可。
>
> 【解答】解：（1）分数段统计表如下：
------ ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
分数 100 90～99 80～89 70～79 60～69 60以下 合计
人数 2 3 6 5 3 1 20
------ ----- -------- -------- -------- -------- -------- ------
> （2）分数在80～89段的人数最多，在60以下段的人数最少。
>
> （3）（2+3）÷20
>
> ＝5÷20
>
> ＝25%
>
> （6+5）÷20
>
> ＝11÷20
>
> ＝55%
>
> 3÷20＝15%
>
> 1÷20＝5%
>
> 如图：
>
> 。
>
> 故答案为：80～89；60以下。
>
> 【点评】本题主要考查统计图表的填充，关键利用所给数据完成统计图表并回答问题。
**五、解决问题。（28分）**
27．【分析】（1）首先把合唱组的人数看作单位"1"，美术组的人数是合唱组的，再把美术组的人数看作单位"1"，科技组的人数是美术组的。据此画图表示。
> （2）根据一个数乘分数的意义，用乘法求出美术组的人数，进而求出科技组的人数。
>
> 【解答】解：（1）作图如下：
>
> 
>
> （2）120××
>
> ＝72×
>
> ＝48（人）
>
> 答：科技组有48人。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个单位"1"的区别，已知单位"1"的量，求单位"1"的几分之几是多少用乘法解答。
28．【分析】（1）根据"已经行驶了246千米，比剩下的路程多"，把剩余路程看作单位"1"，则，所行路程＝剩余路程×（1+）＝剩余路程×。把剩余路程看作5份，则所行路程为这样的6份。据此作图即可。
> （2）根据（1）的关系列方程求解。
>
> 【解答】解：（1）如图：
>
> 
>
> （2）设剩余*x*千米，
>
> （1+）*x*＝246
>
> *x*＝246
>
> *x*＝205
>
> 答：剩下的路程有205千米。
>
> 【点评】本题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
29．【分析】把模型总长度看成单位"1"，15+15＝30（厘米），分为两种情况：
> 情况一：如下图，总长度大于30厘米，*AB*之间的长度是总长度40%，那么剩余部分的长度占总长度的（1﹣40%），它对应的数量就是30厘米，根据分数除法的意义，用30除以（1﹣40%）即可求解；
>
> 
>
> 情况二：如下图，总长度小于30厘米，那么30厘米比总长度多40%，那么30厘米就是总长度的（1+40%），用30厘米除以（1+40%）即可求粗轮船的长度。
>
> 
>
> 【解答】解：情况一：
>
> （15+15）÷（1﹣40%）
>
> ＝30÷60%
>
> ＝50（厘米）
>
> 情况二：
>
> （15+15）÷（1+40%）
>
> ＝30÷140%
>
> ＝（厘米）
>
> 答：轮船模型的长度为50厘米或厘米。
>
> 【点评】解决本题注意分清楚两种不同的情况，分别找出30厘米是总长度的百分之几，再根据分数除法的意义求解。
30．【分析】根据"工作效率＝工作量÷工作时间"，用师徒二人共加工零件的个数（576个）除以完成的时间（4.8小时）就是师徒的工作效率之和，把师徒的工作效率之和平均分成（8+7）份，先用除法求出1份是多少，再用乘法求出7份（徒弟每小时加工的个数）是多少。
> 【解答】解：576÷4.8÷（8+7）
>
> ＝120÷15
>
> ＝8（个）
>
> 8×7＝56（个）
>
> 答：徒弟每小时加工56个零件。
>
> 【点评】根据工作量、工作时间、工作效率之间的关键求出师徒的工作效率之和后，也可看师徒的工作效率之和看作单位"1"，求出徒弟的工作效率占师徒二人工作效率之和的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
31．【分析】（1）阴影部分的面积等于直径4厘米的圆的面积减去直径是2厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> （2）空白部分的面积等于直径是6厘米的圆的面积减去阴影部分的面积，根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式求出空白部分的面积，然后根据求一个数比另一个少百分之几，用除法解答。
>
> 【解答】解（1）3.14×\[（4÷2）^2^﹣（2÷2）^2^\]
>
> ＝3.14×\[4﹣1\]
>
> ＝3.14×3
>
> ＝9.42（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是9.42平方厘米。
>
> （2）3.14×（6÷2）^2^﹣9.42
>
> ＝3.14×9﹣9.42
>
> ＝28.26﹣9.42
>
> ＝18.84（平方厘米）
>
> （18.84﹣9.42）÷18.84
>
> ＝9.42÷18.84
>
> ＝0.5
>
> ＝50%
>
> 答：图中阴影部分面积比空白部分面积少50%。
>
> 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，以及百分数意义的应用。
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日期：2021/4/27 16:01:55；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**名校真题 测试卷 找规律篇**
**时间：15分钟 满分5分 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 测试成绩\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**1 （12年清华附中考题）**
> **如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？**
**2 （13年三帆中学考题）**
**观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，**
**然后填写2001＋（ ）＝2002**
3. **（12年西城实验考题）**
**一串分数：其中的第2000个分数是 [ ]{.underline} .**
**4 （12年东城二中考题）**
**在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?**
**2......7......5......8......3**
**5 (04年人大附中考题)**
**请你从01、02、03、...、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。**
**(1)请你说明：11这个数必须选出来；**
**(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；**
**(3)你能选出55个数满足要求吗？**
**【附答案】**
**1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。**
**2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11......，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。**
**3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8...88=1980\<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。**
**4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，......**
**它们的差依次为5、15、45、135、405......为等比数列，公比为3。**
**它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。**
**5 【解】 (1)，11，22，33，...99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1\~9某个单一的数比如111...11...，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。**
> **(2)，比如这个数3737...37...，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。**
>
> **(3)，同37的例子，**
>
> **01和10必选其一，02和20必选其一，......09和90必选其一，选出9个**
>
> **12和21必选其一，13和31必选其一，......19和91必选其一，选出8个。**
>
> **23和32必选其一，24和42必选其一，......29和92必选其一，选出7个。**
>
> **.........**
>
> **89和98必选其一，选出1个。**
>
> **如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上11\~99这9个数就是54个。**
**小升初专项训练 找规律篇**
**一、小升初考试热点及命题方向**
**找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在刚刚结束的12年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。**
**二、2007年考点预测**
**07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。**
**三、典型例题解析**
**1 与周期相关的找规律问题**
**【例1】、（★★）化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？**
**【解】化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73...21,所以n=6。**
**【例2】、（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29......那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？**
**【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1...这样就使5个数一周期，所以2003÷5=400...3，所以余4。**
**【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是2月几日?**
**【来源】 第五届"华杯赛"初赛第16题**
**【解】因为3×7\<24\<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子.**
**2 图表中的找规律问题**
**【例4】、（★★）图中，任意\_\--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么B=\_\_\_\_\_\_\_.**
**【来源】第十届\<小数报\>数学竞赛初赛填空题第5题**
**【解】 根据"任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891"，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11.**
**【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；**
> 
**（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？**
**【解】：本题考察学生"观察---归纳---猜想"的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n个数是（n-1）^2^+1，②第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1．**
**由此（1）〔（13-1）^2^+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）^2^+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．**
3. **较复杂的数列找规律**
**【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，...，第60个数是\_\_\_\_\_\_。**
**【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题**
**【解】最大的（即第63个数）是**
**1+3+9+27+81+243=364**
**第60个数（倒数第4个数）是**
**364－1－3＝360。**
**【例7】、（★★★）在两位数10，11，...，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?**
**【来源】 第五届"华杯赛"初赛第15题**
**【解】原来的总和是10+11+...+98+99==4905，被7除余2的两位数是**
**7×2+2=16，7×3+2=23，...，7×13十2=93.**
**共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的，因此这-手续使总和减少了**
**(16+23+...+93)×(1-)=×=588.6**
**所以，经过改变之后，所有数的和是4905---588.6=4316.4.**
**【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 [ ]{.underline} 个.**
**【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题**
**【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有 100+100×+100×=155(个).**
4. **与斐波那契数列相关的找规律**
**【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？**
**现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。**
**第1个月到第6个月兔子的对数是：**
**1，2，3，5，8，13。**
**我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：**
**1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。**
**显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。**
**在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项"1"后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......叫做"斐波那契数列"，这个数列的任意一项都叫做"斐波那契数"。**
**【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？\
**
**【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584\
绝对是一棵大树。**
**【例10】（★★）有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？**
**【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始：**
**1根，有：1种；**
**2根，有1、1，2，共两种；**
**3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；**
**4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；**
**5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；**
**6根，得到24=13+7+4种；**
**即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。**
**由此得到，10根为274种。**
**\[拓展\]爬楼梯问题。**
**【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？**
**【来源】 仁华考题**
**【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。**
**归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。**
**5 有趣的猫捉耗子规律**
**注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。**
**【例12】、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列...一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？**
**【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12......50都是2的倍数；**
**第二次剩下的是：4、8、12、16......48都是4=2的倍数；**
**第三次剩下的是：8、16、24......都是8=2的倍数，......这样每次剩下的都是2的倍数，现在要剩下一只，这样就是看1～50中2的最大数就是32号。**
**【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号......这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。**
**【解】360**
**【例13】、（★★★）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、......、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？**
**【来源】03年圆明杯数学竞赛试题**
**【解】： 方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A＝2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。**
**现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。**
**现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(42－36)＝7号。**
**方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚...则最后剩下的均为1号。**
**比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，**
**而50枚先取50－32＝18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、...、36，则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。**
**【例14】、（★★★）把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12---1，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；......（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？**
> 
**【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。**
**我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。**
**这样，数的个数是16，32，64，......，2n时，最后剩的都是起始数1。**
**当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。**
**根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是时，下一步起始数就是最后剩下的数。**
**解：因为1024=2^10^，2048=2^11^，**
**21^10^＜1993＜2^11^，**
**1993-1024=969，**
**就是说，要剩2^10^个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：\
969×2=1938\
下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。**
**练习 按照例1的操作规则**
> ** （1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？**
>
> ** （2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？**
>
> ** 说明：这道例题的解题思路是：**
>
> ** 特 殊→ 一 般→ 特 殊**
>
> ** （简单情况） （一般规律） （较复杂情况）**
>
> ** 一般规律：**
**把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，......（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数？**
> **解： 设2^k^≤n≤2^k+1^，k是自然数。**
**x=（n-2^k^）×2+1**
**【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留1，擦去2；保留3，擦去4；......（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？**
**【解】剩下的规律是剩下时，都是最后一号留下，所以答案是1938。**
**【例15】、（★★★）100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至100号。从第1号开始1至2报数，凡是报到1的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个小朋友是多少号？**
**【解】与上题不同 １００＝２＋３６ ３６×２＝７２**
**小结**
**本讲主要接触到以下几种典型题型：**
**1）与周期相关的找规律问题 参见例1，2，3**
**2）图表中的找规律问题 参见例4，5**
**3）较复杂的数列找规律 参见例6，7，8**
**4）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，11**
**5）有趣的猫捉耗子规律 参见例12，13，14，15**
**【课外知识】**
**珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。**
**珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，"珍妮，你昂起头来真美！"老师爱抚地拍拍她的肩说。**
**那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。**
**自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。**
**温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱------人人都喜欢的那种可爱。**
**作业题**
**（注：作业题\--例题类型对照表，供参考）**
**题1---类型3；题2，3，4---类型5；题5，6，7---类型2，**
**１、（★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，...。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6765。**
**２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、...、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？\
【解】 先取走15**
**３. （★★★）把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，......。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？\
【解】 （1992-1024）×2+1=1937**
**\
４. （★★★）把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；......，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？\
【解】** 
**５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多 种。**
<table><tbody><tr class="odd"><td><blockquote><p><strong>A</strong></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p><strong>C</strong></p></blockquote></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><blockquote><p><strong>B</strong></p></blockquote></td><td></td><td><blockquote><p><strong>D</strong></p></blockquote></td></tr></tbody></table>
**【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。**
**6、（★★）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？**
**【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法...所以到8号房间总共有34种房间。**
**7、（★★★）如数表：**
**第1行 1 2 3 ... 14 15**
**第2行 30 29 28 ... 17 16**
**第3行 31 32 33 ... 44 45**
**...... ... ... ... ... ... ...**
**第n行 ............A..................**
**第n＋1行 ............B..................**
**第n行有一个数A，它的下一行（第n＋1行）有一个数B，且A和B在同一竖列。如果A+B＝391，那么n=\_\_\_\_\_\_\_。**
**【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题**
**【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是**
**31，61，91，121，...。（\*）**
**每项比前一项多30，因此391是（\*）中的第(391---31)÷30＋1＝13个数，即n＝13.**
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**数学试卷（理科）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2\. 已知为虚数单位，复数满足，则为（ ）
A． B． C． D．
3\. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4\. 已知命题：方程有两个实数根；命题：函数的最小值为．给出下列命题：
①；②；③；④．
则其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
5\. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6\. 函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7\. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
8\. 定义在上的函数满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9\. 若实数，，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10\. 已知存在，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11\. 设函数，若方程有个不同的根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12\. 设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 函数在区间上有两个零点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知函数在时有极值，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
在中，，，分别为角，，所对的边，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
18.（本小题满分12分）
函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，，有，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，且公差大于，求的值．
20.（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）记，判断在区间内的零点个数并说明理由；
（2）记在内的零点为，，若（）在内有两个不等实根，（），判断与的大小，并给出对应的证明．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的切线，是切点，于，割线交圆于，两点．
（1）证明：，，，四点共圆；
（2）设，，求的大小．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将直线向右平移个单位，所得直线与圆相切，求．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，．
（1）若当时，恒有，求的最大值；
（2）若当时，恒有，求的取值范围．
**试卷答案**
一、选择题
1\. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
11．解析：，，，，函数在，单调递增，且在单调递减，函数的极大值为，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设，可知，原方程有个不同的根，则方程应在内有两个不同的根，设则，所以取值的范围．
二、填空题
13\. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解（1），
，
即，则，．
又在中，．
则，解得，
或，
，．
在中有，
则，
则．
得，所以．
18.（Ⅰ）增区间是，减区间；（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）（），时，，单增
时，，单减。
（Ⅱ）首先，对于任意，恒成立，则
因为函数在上是减函数，
所以，
其次，，使不等式成立，于是
令，则，所以函数在上是增函数，于是，故，即的取值范围是
19\.
（Ⅰ）由，根据正弦定理得，
所以． ...4分
（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得
． ①
设， ②
①+②，得． ③ ...7分
又，，所以，，
故． ...10分
代入③式得．
因此
20.解：（Ⅰ），其中...............2分
由于函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，
即有两个不等的正实数根记为，，显然............4分
所以解得．................................................6分
（Ⅱ）由得，且．由（Ⅰ）知存在极大值和极小值．
设的两根为，（），则在上递增，在上递减，在上递增，所以，．
因为，所以，而且，
由于函数在上单调递减，所以．.....................10分
又由于（），所以（）．
所以
令，则，令
所以，
所以在上单调递减，所以
由，知，所以，.........1分
21.解：（Ⅰ）证明：，定义域为，，
而，故，即在上单调递增， ............2分
又，，而在上连续，故根据根的存在性定理有：在区间有且仅有唯一实根 ..................4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，当时，，且存在使得，故时，；当时，．
因而， ............6分
显然当时，，因而单增；当时，，，因而递减；在有两不等实根，，
则， ............7分
显然当时，，下面用分析法给出证明．要证：即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即， ............9分
记，，其中．
， ............10分
记，，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，............11分
即单增．从而时，即，
故得证 ............12分
22\. 解：（Ⅰ）连结，则．由射影定理得．
由切割线定理得，故，即，
又，所以，所以．
因此，，，四点共圆． ............6分
（Ⅱ）连结．因为，结合（Ⅰ）得
． ............10分
23.解：（Ⅰ）因为，，所以圆的直角坐标方程为．...4分
（Ⅱ）平移直线后，所得直线的（为参数）．
．
因为与圆相切，所以
，即，
解得或． ............10分
24.解：
（Ⅰ）；
．
依题意有，，．
故的最大值为． ............6分
（Ⅱ），
当且仅当时等号成立．
解不等式，得的取值范围是． ............10分
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**2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．己知集合Q={x\|2x^2^﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．2 B． C． D．
4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．或
6．已知，则tan2α=（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章"均输"中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．11
8．如图所示，过抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若\|BC\|=2\|BF\|，且\|AF\|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y^2^=9x B．y^2^=6x C．y^2^=3x D．
9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5）
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x^3^﹣3x^2^+x+1）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x~1~，x~2~∈\[1，2\]，且x~1~≠x~2~时，\[\|f（x~1~）\|﹣\|f（x~2~）\|\]（x~1~﹣x~2~）＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A．\[﹣，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，\] D．\[﹣e^2^，e^2^\]
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．已知，则的值是[ ]{.underline}．
14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有[ ]{.underline}种．
15．已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ ]{.underline}．
16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．
19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）
------------ ------ ------ ---- ----
年龄 频数 频率 男 女
\[0，10） 10 0.1 5 5
\[10，20） ① ② ③ ④
\[20，30） 25 0.25 12 13
\[30，40） 20 0.2 10 10
\[40，50） 10 0.1 6 4
\[50，60） 10 0.1 3 7
\[60，70） 5 0.05 1 4
\[70，80） 3 0.03 1 2
\[80，90） 2 0.02 0 2
合计 100 1.00 45 55
------------ ------ ------ ---- ----
（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？
（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列
（表二）
------ --------------------- --------------------- ---------------------
50岁以上 50岁以下 合计
男生 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
女生 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
合计 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
------ --------------------- --------------------- ---------------------
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
（参考公式：k^2^=，其中n=a+b+c+d）
20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的"准圆"．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其"准圆"方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的"准圆"上的动点，过点P作椭圆的切线l~1~，l~2~交"准圆"于点M，N．
（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴的交点时，求直线l~1~，l~2~的方程并证明l~1~⊥l~2~；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．
21．已知函数f（x）=x^2^﹣alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ^2^=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设f（x）=\|x﹣a\|，a∈R
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．
**2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．己知集合Q={x\|2x^2^﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】解出集合Q，再根据P⊆Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；
【解答】解：集合Q={x\|2x^2^﹣5x≤0，x∈N}，
∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P⊆Q，
又Q的子集的个数为2^3^=8，
∴P的个数为8，
故选D；
2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数==i﹣2的虚部为1．
故选：B．
3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数公式先求出a，再计算它们的方差．
【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是
×（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，
根据方差计算公式得
s^2^=×\[（﹣1﹣1）^2^+（0﹣1）^2^+（1﹣1）^2^+（2﹣1）^2^+（3﹣1）^2^\]=2．
故选：A．
4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．
【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，
则c=2a，b=，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，
∴d=，
即，
解得c=2，
则焦距为2c=4，
故选：C
5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．或
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】依题意，三条直线围成一个直角三角形，可能会有两种情形，分别计算两种情形下三角形的顶点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：有两种情形：
（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直，则k=﹣，
三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（，），
三角形的面积为s=×1×=；
（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直，则k=0，
三角形的三个顶点为（0.0），（0，1），（，1），
三角形的面积为s=×1×=．
∴该三角形的面积为或．
故选：D．
6．已知，则tan2α=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GU：二倍角的正切．
【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．
【解答】解：∵，
∴，化简得4sin2α=3cos2α，
∴，
故选：C．
7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章"均输"中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．11
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．
【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，
第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，
第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，
第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，
第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，
跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，
故选：A
8．如图所示，过抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若\|BC\|=2\|BF\|，且\|AF\|=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y^2^=9x B．y^2^=6x C．y^2^=3x D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设\|BF\|=a，根据抛物线定义可知\|BD\|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．
【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设\|BF\|=a，则由已知得：\|BC\|=2a，由定义得：\|BD\|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵\|AE\|=3，\|AC\|=3+3a，
∴2\|AE\|=\|AC\|
∴3+3a=6，
从而得a=1，
∵BD∥FG，
∴=求得p=，
因此抛物线方程为y^2^=3x．
故选C．
9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误．
【解答】解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；
且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥
A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥
设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥
B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，
根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥
故选D
10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（ ）
A．（﹣0.4，﹣0.3） B．（﹣0.2，﹣0.1） C．（﹣0.3，﹣0.2） D．（0.4，0.5）
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】由题意求得cosA=﹣，再由余弦定理，得出关于﹣的方程，
构造函数，利用函数零点的判断方法得出cosA的取值范围．
【解答】解：△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，
∴c=b=2，﹣acosA=1，
cosA=﹣＜0，且4＞a＞2；
由余弦定理得，cosA==，
∴﹣=，
化为：8•﹣8•+1=0，
令﹣=x∈（﹣，﹣），
则f（x）=8x^3^﹣8x^2^+1=0，
∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）=0.064＞0，
∴cosA∈（﹣0.4，﹣0.3）．
故选：A．
11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x^3^﹣3x^2^+x+1）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】构造函数f（x）=x^3^﹣3x^2^+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x^2^﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案．
【解答】解：令f（x）=x^3^﹣3x^2^+x+1，
则f（x）=（x﹣1）（x^2^﹣2x﹣1）
=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），
∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0，
∵sgn（x）=，
∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；
又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C，
故选D．
12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x~1~，x~2~∈\[1，2\]，且x~1~≠x~2~时，\[\|f（x~1~）\|﹣\|f（x~2~）\|\]（x~1~﹣x~2~）＞0，则实数a的取值范围为（ ）
A．\[﹣，\] B．\[﹣，\] C．\[﹣，\] D．\[﹣e^2^，e^2^\]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由任意的x~1~，x~2~∈\[1，2\]，且x~1~＜x~2~，由\[\|f（x~1~）\|﹣\|f（x~2~）\|\]（x~1~﹣x~2~）＞0，
则函数y=丨f（x）丨单调递增，
当a≥0，f（x）在\[1，2\]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，
当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，
解得：x=ln，
由对勾函数的单调递增区间为\[ln，+∞），
故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，
综上可知：a的取值范围为\[﹣，\]，
故选B．
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．已知，则的值是[ （]{.underline}[）^2018^ ]{.underline}．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项式定理，对等式中的x赋值﹣2，可求得a~0~=0，再令x=，即可求出答案．
【解答】解：∵（x+1）^2^（x+2）^2016^=a~0~+a~1~（x+2）+a~2~（x+2）+...+a~2018~（x+2）^2018^，
∴令x=﹣2，得a~0~=0
再令x=﹣，得到a~0~+=（﹣+1）^2^（﹣+2）^2016^=（）^2018^，
∴=，
故答案为：（）^2018^，
14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有[ 18 ]{.underline}种．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，由排列数公式可得其排法数目，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，若A，E种的植物不同；由加法原理可得D、E区域的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，
将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A~3~^3^=6种情况，
②、对于D、E区域，分2种情况讨论：
若A，E种的植物相同，则D有2种种法，
若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，
则D、E区域共有2+1=3种不同情况，
则不同的种法共有6×3=18种；
故答案为：18．
15．已知函数f（x）=sinx．若存在x~1~，x~2~，...，x~m~满足0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，且\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12（m≥2，m∈N^\*^），则m的最小值为[ 8 ]{.underline}．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：∵y=sinx对任意x~i~，x~j~（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（x~i~）﹣f（x~j~）\|≤f（x）~max~﹣f（x）~min~=2，
要使m取得最小值，尽可能多让x~i~（i=1，2，3，...，m）取得最高点，
考虑0≤x~1~＜x~2~＜...＜x~m~≤6π，\|f（x~1~）﹣f（x~2~）\|+\|f（x~2~）﹣f（x~3~）\|+...+\|f（x~m﹣1~）﹣f（x~m~）\|=12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故答案为：8．
16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，AD=1，可得四面体ABCD的外接球的半径==，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．
【解答】解：由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，
∵AD=1，∴四面体ABCD的外接球的半径==，
∴四面体ABCD的外接球的表面积为=，
故答案为：．
**三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性；8H：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，
∴S~n~==n^2^﹣n+na~1~，
∵S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，
∴，
∴，化为，解得a~1~=1．
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=（﹣1）^n﹣1^==．
∴T~n~=﹣++...+．
当n为偶数时，T~n~=﹣++...+﹣=1﹣=．
当n为奇数时，T~n~=﹣++...﹣+=1+=．
∴Tn=．
18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．
（II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．
【解答】解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．
因为F为DE的中点，所以OF∥BE．
因为BE⊄平面ACF，OF⊂平面AFC，
所以BE∥平面ACF．
（II）因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD．
因为AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，
所以CD⊥平面DAE．
因为DE⊂平面DAE，所以DE⊥CD．
所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．
因为AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为AE=DE=2，所以．
因为四边形ABCD为正方形，
所以，
所以．
由四边形ABCD为正方形，
得==（2，2，2），
所以．
设平面BEF的一个法向量为=（x~1~，y~1~，z~1~），又知=（0，﹣2，﹣2），=（1，0，0），
由，可得，
令y~1~=1，得，
所以．
设平面BCF的一个法向量为=（x~2~，y~2~，z~2~），又知=（﹣2，0，﹣2），=（1，﹣2，0），
由，即：．
令y~2~=1，得，
所以．
设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，
又cos===．
则．
所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为．
19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）
------------ ------ ------ ---- ----
年龄 频数 频率 男 女
\[0，10） 10 0.1 5 5
\[10，20） ① ② ③ ④
\[20，30） 25 0.25 12 13
\[30，40） 20 0.2 10 10
\[40，50） 10 0.1 6 4
\[50，60） 10 0.1 3 7
\[60，70） 5 0.05 1 4
\[70，80） 3 0.03 1 2
\[80，90） 2 0.02 0 2
合计 100 1.00 45 55
------------ ------ ------ ---- ----
（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？
（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列
（表二）
------ ---------------------- ---------------------- -----------------------
50岁以上 50岁以下 合计
男生 [ 5 ]{.underline} [ 40 ]{.underline} [ 45 ]{.underline}
女生 [ 15 ]{.underline} [ 40 ]{.underline} [ 55 ]{.underline}
合计 [ 20 ]{.underline} [ 80 ]{.underline} [ 100 ]{.underline}
------ ---------------------- ---------------------- -----------------------
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P（K^2^≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
（参考公式：k^2^=，其中n=a+b+c+d）
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验．
【分析】（1）由频率分布表的性质能完成表（一），从而能完成频率分布直方图，进而求出30岁以下频率，由此以频率作为概率，能估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格，求出K^2^=≈4.04＜5.024，从而得到没有97.5%的把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．
（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
【解答】解：（1）完成表（一），如下表：
------------ ------ ------ ---- ----
年龄 频数 频率 男 女
\[0，10） 10 0.1 5 5
\[10，20） 15 0.15 7 8
\[20，30） 25 0.25 12 13
\[30，40） 20 0.2 10 10
\[40，50） 10 0.1 6 4
\[50，60） 10 0.1 3 7
\[60，70） 5 0.05 1 4
\[70，80） 3 0.03 1 2
\[80，90） 2 0.02 0 2
合计 100 1.00 45 55
------------ ------ ------ ---- ----
完成频率分布直方图如下：
30岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5，
以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为：12000×0.5=6000．
（2）完成表格，如下：
------ ---------- ---------- ------
50岁以上 50岁以下 合计
男生 5 40 45
女生 15 40 55
合计 20 80 100
------ ---------- ---------- ------
K^2^==≈4.04＜5.024，
所以没有97.5%的把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．
（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列为：
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
ξ 0 1 2
P   
--- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的"准圆"．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其"准圆"方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C的"准圆"上的动点，过点P作椭圆的切线l~1~，l~2~交"准圆"于点M，N．
（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴的交点时，求直线l~1~，l~2~的方程并证明l~1~⊥l~2~；
（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其即可得出；
（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；
（ii）分类讨论：l~1~，l~2~经过点P（x~0~，y~0~），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l~1~，l~2~垂直．即可得出线段MN为准圆x^2^+y^2^=4的直径．
【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．
∴，，
∴=1，
∴椭圆方程为，
∴准圆方程为x^2^+y^2^=4．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x^2^+y^2^=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，
联立得（1+3k^2^）x^2^+12kx+9=0．
∵直线y=kx+2与椭圆相切，
∴△=144k^2^﹣4×9（1+3k^2^）=0，解得k=±1，
∴l~1~，l~2~方程为y=x+2，y=﹣x+2．
∵，
∴l~1~⊥l~2~．
（ⅱ）①当直线l~1~，l~2~中有一条斜率不存在时，不妨设直线l~1~斜率不存在，
则l~1~：，
当l~1~：时，l~1~与准圆交于点，
此时l~2~为y=1（或y=﹣1），显然直线l~1~，l~2~垂直；
同理可证当l~1~：时，直线l~1~，l~2~垂直．
②当l~1~，l~2~斜率存在时，设点P（x~0~，y~0~），其中．
设经过点P（x~0~，y~0~）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x~0~）+y~0~，
∴由
得．
由△=0化简整理得，
∵，∴有．
设l~1~，l~2~的斜率分别为t~1~，t~2~，
∵l~1~，l~2~与椭圆相切，
∴t~1~，t~2~满足上述方程，
∴t~1~•t~2~=﹣1，即l~1~，l~2~垂直．
综合①②知：∵l~1~，l~2~经过点P（x~0~，y~0~），又分别交其准圆于点M，N，且l~1~，l~2~垂直．
∴线段MN为准圆x^2^+y^2^=4的直径，\|MN\|=4，
∴线段MN的长为定值．
21．已知函数f（x）=x^2^﹣alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b．
（2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈\[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．
【解答】解：（1）因为：（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
所以 解得：a=2，b=﹣2ln2...
（2）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；...
当a＜0时，在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵，，所以方程有惟一解．...
当a＞0时，
因为当时，f\'（x）＞0，f（x）在内为减函数；
当时，f（x）在内为增函数．
所以当时，有极小值即为最小值...
当a∈（0，e）时，，此方程无解；
当a=e时，．此方程有惟一解．
当a∈（e，+∞）时，，
因为且，所以方程f（x）=0在区间上有惟一解，
因为当x＞1时，（x﹣lnx）\'＞0，所以x﹣lnx＞1，
所以，，
因为 ，所以，
所以 方程f（x）=0在区间上有惟一解．
所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解． ...
综上所述：当a∈\[0，e）时，方程无解；
当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解． ...
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．已知曲线C的极坐标方程是ρ^2^=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；O7：伸缩变换．
【分析】（I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ^2^=x^2^+y^2^，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x^2^+y^2^=1．曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，从而点M的参数方程为（θ为参数），由此能求出的取值范围．
【解答】解：（I）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴消去数t，得直线l的一般方程为，
∵曲线C的极坐标方程是ρ^2^=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ^2^=x^2^+y^2^，
得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）^2^+（y﹣3）^2^=1．
∵圆心（2，3）到直线l的距离d==r，
∴直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x^2^+y^2^=1．
曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，
则点M的参数方程为（θ为参数），
∴，
∴的取值范围为\[﹣2，2\]．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设f（x）=\|x﹣a\|，a∈R
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．
【考点】R2：绝对值不等式．
【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可；
（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1﹣2m大于等于不等式左侧的最小值即可．
【解答】解：（I）a=5时原不等式等价于\|x﹣5\|≤3即﹣3≤x﹣5≤3，2≤x≤8，
∴解集为{x\|2≤x≤8}；
（II）当a=1时，f（x）=\|x﹣1\|，
令，
由图象知：当时，g（x）取得最小值，由题意知：，
∴实数m的取值范围为．
**2017年7月23日**
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------长方体的认识》同步检测1（附答案）**
1．填一填。
(1)长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点。长方体的6个面一般都是( )形。也有可能有( )个相对的面是( )形。长方体相对面面积( )，相对的棱的长度( )。正方体的每个面都是( )形，它的面积都( )，它的棱长都( )。
(2)正方体是一种特殊的( )。
(3)相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的( )、( )、( )。
2．看图填空。
> (1)右图皮鞋盒的上面是( )形，长是( )cm，
>
> 宽是( )cm，和它面积相等的面是皮鞋盒的( )面。
>
> (2)它的左面是( )形，长是( )cm，宽是( )cm，
>
> 和它面积相等的面是皮鞋盒的( )面。
(3)有( )个面的长是30cm，宽是10cm。
3．选一选。
(1)一个正方体的棱长总和是24cm，每条棱长( )。
A．1cm B．2cm C．3cm
(2)一个长方体最多有( )个面是正方形。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．1 B．2 C．4
(3)一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍,它的棱长之和( )。
A．扩大到原来的2倍
B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍
(4)至少用( )个完全相同的小正方体，可以拼成一个大正方体。
A．4 B．6 C．8
4．(1)你能计算出它的棱长总和吗？仔细观察再填写哟！
(2)它的上面、左面、后面的面积分别是多少平方厘米？
------ ------- ------- ----------
长/cm 宽/cm 面积/c㎡
上面
左面
右面
------ ------- ------- ----------
5．从下面的8个面中找出6个面，使它们能围成右图的长方体，这6个面的编号分别是： [ ]{.underline}
来源：www.bcjy123.com/tiku/
6．服务员用绳子将一种长10cm，宽6cm，高4cm的礼品盒包扎起来，接头打结处20cm。下图包扎10m长的绳子最多能包扎几个同样的礼品盒？
**参考答案**
1．(1)6 12 8 长方 2 正方 相等 相等 正方 相等 相等
(2)长方体 (3)长 宽 高
2．(1)长方 30 20 下 (2)长方 20 10 右 (3)2
3．(1)B (2)B (3)A (4)C
4．(1)(21＋5＋4)×4＝120(cm) (2)上面：21 5 105
左面： 45 4 20 后面：21 4 8
5．①、②、③、⑤、⑦、⑧
6．10×2＋6×4＋4×6＋20＝88(cm)
10m＝1000cm 1000÷88＝11(个)......32(cm)，最多能包扎11个。
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**2013年广东省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合S={x\|x^2^+2x=0，x∈R}，T={x\|x^2^﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（ ）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
2．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（﹣1，+∞） B．\[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．\[﹣1，1）∪（1，+∞）
3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．7
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x^2^+y^2^=1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．
8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；
③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）**
11．（5分）设数列{a~n~}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a~1~+\|a~2~\|+a~3~+\|a~4~\|=[ ]{.underline}．
12．（5分）若曲线y=ax^2^﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=[ ]{.underline}．
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是[ ]{.underline}．
**选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）**
14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为[ ]{.underline}．
15．（几何证明选讲选做题）
如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=[ ]{.underline}．
**四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．**
16．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求．
17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
分组（重量） \[80，85） \[85，90） \[90，95） \[95，100）
频数（个） 5 10 20 15
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在\[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在\[80，85）和\[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在\[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的概率．
18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V~F﹣DEG~．
19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足4S~n~=a~n+1~^2^﹣4n﹣1，n∈N^\*^，且a~2~，a~5~，a~14~构成等比数列．
（1）证明：a~2~=；
（2）求数列{a~n~}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．
20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x~0~，y~0~）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值．
21．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣kx^2^+x（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＜0时，求函数f（x）在\[k，﹣k\]上的最小值m和最大值M．
**2013年广东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设集合S={x\|x^2^+2x=0，x∈R}，T={x\|x^2^﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（ ）
A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}
【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．
【解答】解：分析可得，
S为方程x^2^+2x=0的解集，则S={x\|x^2^+2x=0}={0，﹣2}，
T为方程x^2^﹣2x=0的解集，则T={x\|x^2^﹣2x=0}={0，2}，
故集合S∩T={0}，
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．
2．（5分）函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（﹣1，+∞） B．\[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．\[﹣1，1）∪（1，+∞）
【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．
【解答】解：要使函数有意义需，
解得x＞﹣1且x≠1．
∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．
3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得\|x+yi\|=\|4﹣3i\|==5．
【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．
∴\|x+yi\|=\|4﹣3i\|==5．
故选：D．
【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．
4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．
故选：C．
【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．7
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，退出循环，输出S=4；
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．
∴．
因此V===．
故选：B．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x^2^+y^2^=1相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．
【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x^2^+y^2^=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．
【解答】解：设所求的直线为l，
∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1
∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0
∵直线l与圆x^2^+y^2^=1相切，
∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±
当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；
当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；
∵直线l与圆x^2^+y^2^=1的切点在第一象限，
∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0
故选：A．
【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；
根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；
根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；
根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．
【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；
若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；
若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；
若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．
9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b^2^=a^2^﹣c^2^求出b^2^，则椭圆的方程可求．
【解答】解：由题意设椭圆的方程为．
因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，
即，所以a=2，则b^2^=a^2^﹣c^2^=3．
所以椭圆的方程为．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：
①给定向量，总存在向量，使；
②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；
③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；
上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．
【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，
故总存在向量，使，故①正确；
选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；
选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），
无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，
要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；
选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使成立，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．
**二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）**
11．（5分）设数列{a~n~}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a~1~+\|a~2~\|+a~3~+\|a~4~\|=[ 15 ]{.underline}．
【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a~1~+\|a~2~\|+a~3~+\|a~4~\|的值．
【解答】解：∵数列{a~n~}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a~n~=a~1~•q^n﹣1^=（﹣2）^n﹣1^，
∴a~1~=1，a~2~=﹣2，a~3~=4，a~4~=﹣8，∴则a~1~+\|a~2~\|+a~3~+\|a~4~\|=1+2+4+8=15，
故答案为15．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．
12．（5分）若曲线y=ax^2^﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．
【解答】解：由题意得，
∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，
∴2a﹣1=0，得a=，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是[ 5 ]{.underline}．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
由 得A（1，4）
目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，
由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z~最大~=1+4=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．
**选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）**
14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为[ ]{.underline}[（θ为参数） ]{.underline}．
【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．
【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ^2^=2ρcosθ，即x^2^+y^2^﹣2x=0．
化圆的方程为标准式，得（x﹣1）^2^+y^2^=1．
令，得．
所以曲线C的参数方程为．
故答案为．
【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．
15．（几何证明选讲选做题）
如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，
∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，
∴∠ECD=60°，
在△ECD中，CD=AB=，EC=，
根据余弦定理得：ED^2^=EC^2^+CD^2^﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，
则ED=．
故答案为：
【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
**四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．**
16．（12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求．
【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．
（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．
【解答】解：（1）
（2）∵，，
∴．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．
17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
分组（重量） \[80，85） \[85，90） \[90，95） \[95，100）
频数（个） 5 10 20 15
-------------- ------------ ------------ ------------ -------------
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在\[90，95）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在\[80，85）和\[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在\[80，85）的有几个？
（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的概率．
【分析】（1）用苹果的重量在\[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．
（2）根据重量在\[80，85）的频数所占的比例，求得重量在\[80，85）的苹果的个数．
（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．
【解答】解：（1）苹果的重量在\[90，95）的频率为．
（2）重量在\[80，85）的有个．
（3）设这4个苹果中，重量在\[80，85）段的有1个，编号为1． 重量在\[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．
设任取2个，重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，
所以．
【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了
总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V~F﹣DEG~．
【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．
（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC^2^=BF^2^+CF^2^，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 ，运算求得结果．
【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，
∴DE∥BC．
又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．
∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC^2^=BF^2^+CF^2^，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴=．
【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足4S~n~=a~n+1~^2^﹣4n﹣1，n∈N^\*^，且a~2~，a~5~，a~14~构成等比数列．
（1）证明：a~2~=；
（2）求数列{a~n~}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．
【分析】（1）对于，令n=1即可证明；
（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．
（3）由（2）可得=．利用"裂项求和"即可证明．
【解答】解：（1）当n=1时，，
∵
（2）当n≥2时，满足，且，
∴，
∴，
∵a~n~＞0，∴a~n+1~=a~n~+2，
∴当n≥2时，{a~n~}是公差d=2的等差数列．
∵a~2~，a~5~，a~14~构成等比数列，∴，，解得a~2~=3，
由（1）可知，，∴a~1~=1∵a~2~﹣a~1~=3﹣1=2，
∴{a~n~}是首项a~1~=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{a~n~}的通项公式a~n~=2n﹣1．
（3）由（2）可得式=．
∴
【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、"裂项求和"、通项与前n项和的关系a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~（n≥2）是解题的关键．
20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x~0~，y~0~）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值．
【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；
（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；
（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出\|AF\|•\|BF\|，再由（2）得x~1~+x~2~=2x~0~，x~1~x~2~=4y~0~，x~0~=y~0~+2，将它表示成关于y~0~的二次函数的形式，从而即可求出\|AF\|•\|BF\|的最小值．
【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，
所以抛物线C的方程为x^2^=4y．
（2）设，，
由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，
所以PA：①PB：②
联立①②可得点P的坐标为，即，，
又因为切线PA的斜率为，整理得，
直线AB的斜率，
所以直线AB的方程为，
整理得，即，
因为点P（x~0~，y~0~）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x~0~﹣y~0~﹣2=0，即y~0~=x~0~﹣2，
所以直线AB的方程为x~0~x﹣2y﹣2y~0~=0．
（3）根据抛物线的定义，有，，
所以=，
由（2）得x~1~+x~2~=2x~0~，x~1~x~2~=4y~0~，x~0~=y~0~+2，
所以=．
所以当时，\|AF\|•\|BF\|的最小值为．
【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．
21．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣kx^2^+x（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k＜0时，求函数f（x）在\[k，﹣k\]上的最小值m和最大值M．
【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x^2^﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；
（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x^2^﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．
解法二：利用"作差法"比较：当k＜0时，对∀x∈\[k，﹣k\]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）．
【解答】解：f′（x）=3x^2^﹣2kx+1
（1）当k=1时f′（x）=3x^2^﹣2x+1，
∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．
（2）当k＜0时，f′（x）=3x^2^﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）
（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在\[k，﹣k\]上单调递增，
从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，
当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k^3^﹣k^3^﹣k=﹣2k^3^﹣k．
（ii）当，即时，令f′（x）=3x^2^﹣2kx+1=0
解得：，注意到k＜x~2~＜x~1~＜0，
∴m=min{f（k），f（x~1~）}，M=max{f（﹣k），f（x~2~）}，
∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，
∵，
∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k^3^﹣k．
综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k^3^﹣k
解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈\[k，﹣k\]，都有f（x）﹣f（k）=x^3^﹣kx^2^+x﹣k^3^+k^3^﹣k=（x^2^+1）（x﹣k）≥0，
故f（x）≥f（k）．
f（x）﹣f（﹣k）=x^3^﹣kx^2^+x+k^3^+k^3^+k=（x+k）（x^2^﹣2kx+2k^2^+1）=（x+k）\[（x﹣k）^2^+k^2^+1\]≤0，
故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k^3^﹣k＞0．
所以 ，f（x）~min~=f（k）=k．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．
| 1 | |
**2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）**
文科数学
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
依题意可知，所以.
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
{width="3.5833333333333335in" height="2.3916666666666666in"}
A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
答案：
C
解析：
A.低于万元的比率估计为，正确.
B.不低于万元的比率估计为，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.万到万的比率为，正确.
3.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.下列函数中是增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵，，在上单调递减，在上单调递减，故A，B，C错误；在上单调递增，故D正确.
5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：\
A
解析：
双曲线的渐近线为，则点到双曲线的一条渐近线的距离为.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入，知，故.
7.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
{width="1.6388888888888888in" height="1.8375in"}
A.{width="1.3333333333333333in" height="1.3097222222222222in"}
B.{width="1.3055555555555556in" height="1.320138888888889in"}
C.{width="1.3090277777777777in" height="1.3333333333333333in"}
D.{width="1.3958333333333333in" height="1.363888888888889in"}
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.故选D.
{width="1.7840277777777778in" height="1.7222222222222223in"}
8.在中，已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由余弦定理可得，解得.
9.记为等比数列的前项和.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
由等比数列的性质可知：成等比数列，即成等比数列，所以，即，故选A.
10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
求出所有的排列数，先将个排成一排，有个空位，当每个空位排一个，即从个空位中选个，有种排法，此时个不相邻；当两个相邻时，即从个空位中选出一个来排两个，有种选法，从而总的排法数有个，再根据古典概型概率公式可得概率，故选C.
11.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.
∴
∴
∴.
又∵.如图，.
{width="1.4791666666666667in" height="0.6951388888888889in"}
12.设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
∵是定义在上的奇函数，
∴，
∴
∴周期为的周期函数.
∴.
二、填空题
13.若向量满足，，，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
，∴，∴，∴，
∴，∴.
14.已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为
[ ]{.underline} .
答案：
解析：
圆锥底面半径，体积，则圆锥的高，则母线长，则圆锥的侧面积.
15.已知函数的部分图像如图所示，则 [ ]{.underline} .
{width="2.3472222222222223in" height="1.3777777777777778in"}
答案：
解析：
由图可知，由，
所以.
16.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
答案：
解析：
如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.
设，，则，得.所以，四边形面积为.
{width="2.5375in" height="1.5743055555555556in"}
三、解答题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：
{width="2.545138888888889in" height="1.7715277777777778in"}
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，
{width="2.432638888888889in" height="0.7868055555555555in"}
答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为；
（2）由题意.
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：
见解析
解析：
∵为等差数列，设公差为.∴，即.
∴，∴.
∴，∴，
即，又同样满足通项公式，所以是等差数列.
19．已知直三棱柱$\text{ABC} - A_{1}B_{1}C_{1}$中，侧面$AA_{1}B_{1}B$为正方形．$\text{AB}＝\text{BC}＝2，E，F$分别为$\text{AC}$和$CC_{1}$的中点，$\text{BF}\bot A_{1}B_{1}$．
(1)求三棱锥*F*－*EBC*的体积；
(2)已知$D$为棱$A_{1}B_{1}$上的点，证明：$\text{BF}\bot\text{DE}$．
答案：\
见解析；
解析；\
（1），则.
又则.
,.
（2）连，取中点连，，
由为，的中点，则，
又，，则共面，故面.
又在侧面中，则
又，则.
{width="1.8770833333333334in" height="2.0277777777777777in"}
20.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.
答案：
见解析
解析：\
（1）
∵，，∴，∴当时函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
∴在上递减，在上递增，
（2）当时，结合函数单调性可知若与无交点时
即.
化简可得即.所以参数的取值范围为
21.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析
解析：\
（1）， .
（2）设，，.
，所以
①.
，所以
②.
所以，是方程的两根.
又，所以
.
所以，即直线与相切.
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
答案：
见解析
解析：\
（1）.
（2）设，，由
.
又在上，所以
.
则为为圆心，半径为的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.
{width="1.2256944444444444in" height="1.2159722222222222in"}
23.已知函数，.
（1）画出和的图象；
（2）若，求的取值范围.
{width="4.614583333333333in" height="3.9270833333333335in"}
答案：
见解析；
解析：
（1）；
{width="3.7784722222222222in" height="2.329861111111111in"}
（2）当时，恒不满足，此时；
当时，恒成立，必有
.
当时，
时，，，所以.
时，，，令，所以.
时，，.
，所以.
所以，.
| 1 | |
**最大公约数与最小公倍数（一）**
** 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。**
** 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。**自然数a~1~，a~2~，...，a~n~的最大公约数通常用符号（a~1~，a~2~，...，a~n~）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a~1~，a~2~，...，a~n~的最小公倍数通常用符号\[a~1~，a~2~，...，a~n~\]表示，例如\[8，12\]=24，\[6，9，15\]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
** 例1** 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？
** 分析与解**：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。
** 例2** 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？
** 分析与解**：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。
所求数是（48，36，84）=12。
** 例3** 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
** 分析与解**：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件"它们的和是1111"入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
** 例4** 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？
** 分析与解**：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）
小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。
** 例5** 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
** 分析与解**：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为\[60，75，90\]=900（秒）=15（分）。
** 例6** 爷爷对小明说："我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。"你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
** 分析与解**：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
\[6，5，4，3，2\]=60，
爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在
小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁），
爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
**练习12**
1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？
2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。
3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？
4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？
5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？
6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？
7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。
**最大公约数与最小公倍数（二）**
这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，\[18，12\]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×\[18，12\]
=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）
=18×12。
也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
** 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，**
（a，b）×\[a，b\]=a×b。
** 例1** 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
** 解：**由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
** 例2** 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
** 分析与解**：如果将两个自然数都除以7，则原题变为："两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。"
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是
7×5=35和7×6=42。
** 例3** 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
** 分析与解**：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是\[12，15\]=60的倍数。再由\[a，b，c\]=120知， a只能是60或120。\[a，c\]=15，说明c没有质因数2，又因为\[a，b，c\]=120=2^3^×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为："a是60或120，（a，b）=12，\[a，b\]=120，求a，b。"
当a=60时，
b=（a，b）×\[a，b\]÷a
=12×120÷60=24；
当a=120时，
b=（a，b）×\[a，b\]÷a
=12×120÷120=12。
所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。
要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？
** 分析与解**：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，\[6，4，9\]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，
（150，135，80）=5。
上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装
在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。
** 如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。**
由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；
类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。
** 如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。**
** 求一组分数的最小公倍数的方法：**
（1）先将各个分数化为假分数；
（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；
（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；
 一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？
同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为
所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。
黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了
**练习13**
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？
3.求下列各组分数的最大公约数：
4.求下列各组分数的最小公倍数：
部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？
于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。
**练习12**
1.20段。
解：（200，240，360）=40，
（200+240+360）÷40=20（段）。
2.39和52。
解：这两个数分别除以13后得到两个互质数，这两个互质数的乘积是2028÷13÷13=12=1×12=3×4，因为13×12=156＞150，所以这两个数分别是13×3=39和13×4=52。
3.9。
提示：每个九位数都由1～9组成，1+2+...+9=45，由能被9整除的数的特征知，9是这些数的公约数。又因为123456789与123456798相差9，这两个数的最大公约数是9，所以9是这些数的最大公约数。
4.21.6米。
解：（54，72）=18，54÷18=3，72÷18=4，说明小亮走4步等于爸爸走3步，其中脚印重合一次，留下4+3-1=6（个）脚印。所以花圃周长54×4×（60÷6）=2160（厘米）=21.6（米）。
5.59个。
提示：增加1个桔子后，桔子数是4，5，6的公倍数。
6.11点。提示：［5，6，8］=120（分）=2（时）。
7.9，11，13，15。
解：6435=3^2^×5×11×13=9×11×13×5，因为［9，11，13，5］=［9，11，13，15］，
所以这四个连续奇数是9，11，13和15。
**练习13**
1.72×120=（7，120）×［72，120］=24×360。
2.12，72与24，36两组。
提示：72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：
①12×1=12，12×6=72； ②12×2=24，12×3=36。
5.等于。
6.151瓶。
7.120米。
| 1 | |
**北师大版小学三年级上册数学期中试卷（附答案）**
一、我来填。
1、400的5倍是（ ），13的6倍是（ ），8个15连加的和是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、210×5的积是( )位数，4000×5的积的末尾有（ ）个零。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、我们学过的重量单位有( )、（ ）和（ ），计量较大或较重物品的重量时，我们常用（ ）作单位。
4、一个书柜216元，估一估7个书柜大约 （ ）元。
5. □ ÷6 = □......□
6、学校运动会接力赛每班参赛人数为10男10女，那么8个班共有（ ）个同学参加。
7、多位数乘一位数，先从多位数的（ ）位乘起。
8、990克再添上（ ）克正好是1千克。来源：www.bcjy123.com/tiku/
9、7个十8个一是（ ），13个百4个十是（ ）。
10、一个鸡蛋重50（ ） 一袋大米重50（ ）
11、4吨 = ( )千克 2千克 = （ ）克
6000千克 = （ ）顿 7吨300千克 = （ ）千克
12、在○中填上"＜"、"＞"或"＝"。
240÷3 ○ 240 ÷4 42÷6 ○ 48 ÷6 25×4 ○ 25×3
0 ×50 ○ 50 ×0 18 ×5 ○ 5 ×81 36÷6 ○ 36 + 6
二、我是小法官。
1、一位数乘两位数，积一定是三位数。 （ ）
2、1千克铁比1千克棉花重。 （ ）
3、比5吨重1000千克就是6吨。 （ ）
4、200×5的积的末尾有2个0。 （ ）
5、因为5 -- 5 = 0，所以5 ÷5 = 0。 （ ）
三、我会选择。
1、5个15的和与5的（ ）倍相等。
A 5 B 15 C 75
2、小青的体重是32（ ），身高是125（ ）
A 克 B 厘米 C 千克 D 米
3、下列式子中，积中间有零的是（ ）
A 105×4 B 103×7 C 701×2 D 250×3
4、一块香皂重100（ ）
A 克 B 千克 C 吨
5、小华有两条裙子，三件上衣，共有（ ）种不同的穿法。
A 5 B 6 C 7
四、我会算。
1、口算。
12 ×4 = 36 ÷3 = 900×4 = 20×3 + 40 =
24×5 = 48 ÷2 = 88÷4 = 300×2 - 400 =
2、脱式计算
480÷6 - 35 40×7 + 55 84÷4 -- 16
76 - 18×4 (57 + 33)÷3 180 -（57 + 89）
3、竖式计算。
104 × 7 54 × 3 250 × 8 342×5
五、我会列式计算。
1、525加上525除以5的商，和是多少？
2、420除以48与42的差，商是多少？
3、多少的5倍是100？
六、我会画。（正面、上面、侧面看到的图形画出来）
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
七、我会解决问题。
> 1、三1班有男生25人，女生23人。把全班同学平均分成4组，每组有多少人？
2、购物。
一台录音机 440元 一个台灯 120元
（1）妈妈带了100元，够买9个台灯吗？
（2）妈妈买了3个台灯，1台录音机，一共用了多少钱？
3、妈妈买了4个台灯，付出500元，应找回多少元？
> 4、学校美术组有24人，合唱组的人数比美术组的4倍少6人，这两个兴趣小组共有多少人？
命题意图说明：本套试题严格按照新课程标准的要求，对学生在这段时间所学的所有的基本知识和基本技能进行全面细致的考核。
本套试题共分为三部分：基础知识、计算、解决生活中的实际问题。在基础知识里面主要考核的知识点：质量单位------千克、克、吨的实际大小；数的组成；乘法和除法的意义和倍数关系。在计算里面主要考核的是学生的计算能力。在小学阶段，计算能力是每个学生都应具备的主要技能之一，所以这部分的内容尤为重要，考核了乘、除法的口算、竖式计算和加减混合运算中的脱式计算。解决生活中的实际问题，主要考核的是运用已学过的数学知识，在具体的情景中来解决生活中的实际问题，从而提高学生发现问题和解决问题的能力。知识点不能在一张试卷上都能呈现，所以命题内容选择尽量最求知识的联系和综合。
由于学生的个体差异，所以在出题时以基础知识题为主，穿插拔高题型，第一题我来填的第4、5小题，充分考核学生掌握估算和算法多样化的能力。还有解决生活中实际问题的第3题，加大了考核难度，使学生在对原有知识的理解和掌握的基础上得到升华。
参考答案
一、我来填。
1、2000 78 120
2、四 4
3、吨 千克 克 吨
4、只要得数接近1540就可以
5、只要余数小于6或等式成立就可以
6、160
7、个
8、10
78. 1340
10、克 千克
11、4000 2000 6 7300
12、 ﹥ ﹤ ﹥ = ﹤ ﹤
二、我是小法官。
× × ∨ × ×
三、我会选择。
1B 2C B 3 C 4 A 5B
四、我会算。
1、48 12 3600 100 120 24 22 200
2、45 335 5 4 30 200
3、28 162 2000 1710
五、我会列式计算。
1525+525÷5 = 630
2420÷（48-42）= 7
3100÷5 = 20
六、略
七、我会解决问题。
1、25 + 23 =48 （人） 48 ÷ 2 = 24 （人）
2、（1）120×9 =1080元 1000 1080 不够
（2）120×3 +440 =800元
（3）120×4 = 480元 500-480 =20元
或500-120×4 = 20元
324×4 -- 6 = 90人 24 +90 = 114 人
或24×（4 +1）- 6 = 114人
| 1 | |
**2020年辽宁省营口市中考数学试卷**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
> 
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．*x*^2^•*x*^3^＝*x*^6^ B．*xy*^2^﹣*xy*^2^＝*xy*^2^
C．（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．（2*xy*^2^）^2^＝4*xy*^4^
4．如图，*AB*∥*CD*，∠*EFD*＝64°，∠*FEB*的角平分线*EG*交*CD*于点*G*，则∠*GEB*的度数为
> （ ）
>
> 
A．66° B．56° C．68° D．58°
5．反比例函数*y*＝（*x*＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，在△*ABC*中，*DE*∥*AB*，且＝，则的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
7．如图，*AB*为⊙*O*的直径，点*C*，点*D*是⊙*O*上的两点，连接*CA*，*CD*，*AD*．若∠*CAB*＝40°，则∠*ADC*的度数是（ ）
> 
A．110° B．130° C．140° D．160°
8．一元二次方程*x*^2^﹣5*x*+6＝0的解为（ ）
A．*x*~1~＝2，*x*~2~＝﹣3 B．*x*~1~＝﹣2，*x*~2~＝3
C．*x*~1~＝﹣2，*x*~2~＝﹣3 D．*x*~1~＝2，*x*~2~＝3
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
------------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
射击次数 20 80 100 200 400 1000
"射中九环以上"的次数 18 68 82 168 327 823
"射中九环以上"的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
------------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
> 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时"射中九环以上"的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
10．如图，在平面直角坐标系中，△*OAB*的边*OA*在*x*轴正半轴上，其中∠*OAB*＝90°，*AO*＝*AB*，点*C*为斜边*OB*的中点，反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象过点*C*且交线段*AB*于点*D*，连接*CD*，*OD*，若*S*~△*OCD*~＝，则*k*的值为（ ）
> 
A．3 B． C．2 D．1
**二．填空题（共8小题）**
11．*ax*^2^﹣2*axy*+*ay*^2^＝[ ]{.underline}．
12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
13．（3+）（3﹣）＝[ ]{.underline}．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是*S*~甲~^2^＝3.83，*S*~乙~^2^＝2.71，*S*~丙~^2^＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是[ ]{.underline}．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为[ ]{.underline}．
16．如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*交于点*O*，其中*OA*＝1，*OB*＝2，则菱形*ABCD*的面积为[ ]{.underline}．
> 
17．如图，△*ABC*为等边三角形，边长为6，*AD*⊥*BC*，垂足为点*D*，点*E*和点*F*分别是线段*AD*和*AB*上的两个动点，连接*CE*，*EF*，则*CE*+*EF*的最小值为[ ]{.underline}．
> 
18．如图，∠*MON*＝60°，点*A*~1~在射线*ON*上，且*OA*~1~＝1，过点*A*~1~作*A*~1~*B*~1~⊥*ON*交射线*OM*于点*B*~1~，在射线*ON*上截取*A*~1~*A*~2~，使得*A*~1~*A*~2~＝*A*~1~*B*~1~；过点*A*~2~作*A*~2~*B*~2~⊥*ON*交射线*OM*于点*B*~2~，在射线*ON*上截取*A*~2~*A*~3~，使得*A*~2~*A*~3~＝*A*~2~*B*~2~；...；按照此规律进行下去，则*A*~2020~*B*~2020~长为[ ]{.underline}．
> 
**三．解答题**
19.先化简，再求值：（﹣*x*）÷，请在0≤*x*≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
20.随着"新冠肺炎"疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立"防疫志愿者服务队"，设立四个"服务监督岗"：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
> （1）李老师被分配到"洗手监督岗"的概率为[ ]{.underline}；
>
> （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
21."生活垃圾分类"逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对"生活垃圾分类"的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为"*A*．很有必要""*B*．有必要""*C*．无所谓""*D*．没有必要"四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
> 
>
> （1）补全条形统计图；
>
> （2）扇形统计图中"*D*．没有必要"所在扇形的圆心角度数为[ ]{.underline}；
>
> （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对"生活垃圾分类"认为"*A*．很有必要"的学生人数．
22.如图，海中有一个小岛*A*，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在*B*点测得小岛*A*在北偏西60°方向上，航行12海里到达*C*点，这时测得小岛*A*在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）
> 
23.如图，△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*BO*为△*ABC*的角平分线，以点*O*为圆心，*OC*为半径作⊙*O*与线段*AC*交于点*D*．
> （1）求证：*AB*为⊙*O*的切线；
>
> （2）若tan*A*＝，*AD*＝2，求*BO*的长．
>
> 
24.某超市销售一款"免洗洗手液"，这款"免洗洗手液"的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款"免洗洗手液"的销售单价为*x*（元），每天的销售量为*y*（瓶）．
> （1）求每天的销售量*y*（瓶）与销售单价*x*（元）之间的函数关系式；
>
> （2）当销售单价为多少元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
25.如图，在矩形*ABCD*中，*AD*＝*kAB*（*k*＞0），点*E*是线段*CB*延长线上的一个动点，连接*AE*，过点*A*作*AF*⊥*AE*交射线*DC*于点*F*．
> （1）如图1，若*k*＝1，则*AF*与*AE*之间的数量关系是[ ]{.underline}；
>
> （2）如图2，若*k*≠1，试判断*AF*与*AE*之间的数量关系，写出结论并证明；（用含*k*的式子表示）
>
> （3）若*AD*＝2*AB*＝4，连接*BD*交*AF*于点*G*，连接*EG*，当*CF*＝1时，求*EG*的长．
>
> 
26.在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣3过点*A*（﹣3，0），*B*（1，0），与*y*轴交于点*C*，顶点为点*D*．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*为直线*CD*上的一个动点，连接*BC*；
>
> ①如图1，是否存在点*P*，使∠*PBC*＝∠*BCO*？若存在，求出所有满足条件的点*P*的坐标；若不存在，请说明理由；
>
> ②如图2，点*P*在*x*轴上方，连接*PA*交抛物线于点*N*，∠*PAB*＝∠*BCO*，点*M*在第三象限抛物线上，连接*MN*，当∠*ANM*＝45°时，请直接写出点*M*的坐标．
>
> 
**2020年辽宁省营口市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
> 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．
>
> 【解答】解：\|﹣6\|＝6，
>
> 故选：*A*．
2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
>
> 【解答】解：从上面看易得俯视图：
>
> ．
>
> 故选：*C*．
3．下列计算正确的是（ ）
A．*x*^2^•*x*^3^＝*x*^6^ B．*xy*^2^﹣*xy*^2^＝*xy*^2^
C．（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．（2*xy*^2^）^2^＝4*xy*^4^
> 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案．
>
> 【解答】解：*A*、*x*^2^•*x*^3^＝*x*^5^，原计算错误，故此选项不符合题意；
>
> *B*、*xy*^2^﹣*xy*^2^＝*xy*^2^，原计算正确，故此选项符合题意；
>
> *C*、（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^，原计算错误，故此选项不符合题意；
>
> *D*、（2*xy*^2^）^2^＝4*xy*^4^，原计算错误，故此选项不符合题意．
>
> 故选：*B*．
4．如图，*AB*∥*CD*，∠*EFD*＝64°，∠*FEB*的角平分线*EG*交*CD*于点*G*，则∠*GEB*的度数为
> （ ）
>
> 
A．66° B．56° C．68° D．58°
> 【分析】根据平行线的性质求得∠*BEF*，再根据角平分线的定义求得∠*GEB*．
>
> 【解答】解：∵*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠*BEF*+∠*EFD*＝180°，
>
> ∴∠*BEF*＝180°﹣64°＝116°；
>
> ∵*EG*平分∠*BEF*，
>
> ∴∠*GEB*＝58°．
>
> 故选：*D*．
5．反比例函数*y*＝（*x*＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
> 【分析】根据题目中的函数解析式和*x*的取值范围，可以解答本题．
>
> 【解答】解：∵反比例函数*y*＝（*x*＜0）中，*k*＝1＞0，
>
> ∴该函数图象在第三象限，
>
> 故选：*C*．
6．如图，在△*ABC*中，*DE*∥*AB*，且＝，则的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．
>
> 【解答】解：∵*DE*∥*AB*，
>
> ∴＝＝，
>
> ∴的值为，
>
> 故选：*A*．
7．如图，*AB*为⊙*O*的直径，点*C*，点*D*是⊙*O*上的两点，连接*CA*，*CD*，*AD*．若∠*CAB*＝40°，则∠*ADC*的度数是（ ）
> 
A．110° B．130° C．140° D．160°
> 【分析】连接*BC*，如图，利用圆周角定理得到∠*ACB*＝90°，则∠*B*＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠*ADC*的度数．
>
> 【解答】解：如图，连接*BC*，
>
> ∵*AB*为⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∴∠*B*＝90°﹣∠*CAB*＝90°﹣40°＝50°，
>
> ∵∠*B*+∠*ADC*＝180°，
>
> ∴∠*ADC*＝180°﹣50°＝130°．
>
> 故选：*B*．
>
> 
8．一元二次方程*x*^2^﹣5*x*+6＝0的解为（ ）
A．*x*~1~＝2，*x*~2~＝﹣3 B．*x*~1~＝﹣2，*x*~2~＝3
C．*x*~1~＝﹣2，*x*~2~＝﹣3 D．*x*~1~＝2，*x*~2~＝3
> 【分析】利用因式分解法解方程．
>
> 【解答】解：（*x*﹣2）（*x*﹣3）＝0，
>
> *x*﹣2＝0或*x*﹣3＝0，
>
> 所以*x*~1~＝2，*x*~2~＝3．
>
> 故选：*D*．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
------------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
射击次数 20 80 100 200 400 1000
"射中九环以上"的次数 18 68 82 168 327 823
"射中九环以上"的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
------------------------------------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
> 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时"射中九环以上"的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
> 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
>
> 【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
>
> ∴这名运动员射击一次时"射中九环以上"的概率是0.82．
>
> 故选：*B*．
10．如图，在平面直角坐标系中，△*OAB*的边*OA*在*x*轴正半轴上，其中∠*OAB*＝90°，*AO*＝*AB*，点*C*为斜边*OB*的中点，反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象过点*C*且交线段*AB*于点*D*，连接*CD*，*OD*，若*S*~△*OCD*~＝，则*k*的值为（ ）
> 
A．3 B． C．2 D．1
> 【分析】根据题意设*B*（*m*，*m*），则*A*（*m*，0），*C*（，），*D*（*m*，*m*），然后根据*S*~△*COD*~＝*S*~△*COE*~+*S*~梯形*ADCE*~﹣*S*~△*AOD*~＝*S*~梯形*ADCE*~，得到（+）•（*m*﹣*m*）＝，即可求得*k*＝＝2．
>
> 【解答】解：根据题意设*B*（*m*，*m*），则*A*（*m*，0），
>
> ∵点*C*为斜边*OB*的中点，
>
> ∴*C*（，），
>
> ∵反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象过点*C*，
>
> ∴*k*＝•＝，
>
> ∵∠*OAB*＝90°，
>
> ∴*D*的横坐标为*m*，
>
> ∵反比例函数*y*＝（*k*＞0，*x*＞0）的图象过点*D*，
>
> ∴*D*的纵坐标为，
>
> 作*CE*⊥*x*轴于*E*，
>
> ∵*S*~△*COD*~＝*S*~△*COE*~+*S*~梯形*ADCE*~﹣*S*~△*AOD*~＝*S*~梯形*ADCE*~，*S*~△*OCD*~＝，
>
> ∴（*AD*+*CE*）•*AE*＝，即（+）•（*m*﹣*m*）＝，
>
> ∴＝1，
>
> ∴*k*＝＝2，
>
> 故选：*C*．
>
> 
**二．填空题（共8小题）**
11．*ax*^2^﹣2*axy*+*ay*^2^＝[ *a*（*x*﹣*y*）^2^ ]{.underline}．
> 【分析】首先提取公因式*a*，再利用完全平方公式分解因式即可．
>
> 【解答】解：*ax*^2^﹣2*axy*+*ay*^2^
>
> ＝*a*（*x*^2^﹣2*xy*+*y*^2^）
>
> ＝*a*（*x*﹣*y*）^2^．
>
> 故答案为：*a*（*x*﹣*y*）^2^．
12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为[ 1.8×10^6^ ]{.underline}．
> 【分析】根据科学记数法的表示方法：*a*×10*^n^*，可得答案．
>
> 【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×10^6^，
>
> 故答案为：1.8×10^6^．
13．（3+）（3﹣）＝[ 12 ]{.underline}．
> 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
>
> 【解答】解：原式＝（3）^2^﹣（）^2^
>
> ＝18﹣6
>
> ＝12．
>
> 故答案为：12．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是*S*~甲~^2^＝3.83，*S*~乙~^2^＝2.71，*S*~丙~^2^＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是[ 丙 ]{.underline}．
> 【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得．
>
> 【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，*S*~甲~^2^＝3.83，*S*~乙~^2^＝2.71，*S*~丙~^2^＝1.52，
>
> ∴*S*~丙~^2^＜*S*~乙~^2^＜*S*~甲~^2^，
>
> ∴丙选手的成绩更加稳定，
>
> ∴适合参加比赛的选手是丙，
>
> 故答案为：丙．
15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为[ 15π ]{.underline}．
> 【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
>
> 【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
>
> ∴母线长为5，
>
> ∴圆锥的侧面积为：π*rl*＝π×3×5＝15π，
>
> 故答案为：15π
16．如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*交于点*O*，其中*OA*＝1，*OB*＝2，则菱形*ABCD*的面积为[ 4 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
>
> 【解答】解：∵*OA*＝1，*OB*＝2，
>
> ∴*AC*＝2，*BD*＝4，
>
> ∴菱形*ABCD*的面积为×2×4＝4．
>
> 故答案为：4．
17．如图，△*ABC*为等边三角形，边长为6，*AD*⊥*BC*，垂足为点*D*，点*E*和点*F*分别是线段*AD*和*AB*上的两个动点，连接*CE*，*EF*，则*CE*+*EF*的最小值为[ 3]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】过*C*作*CF*⊥*AB*交*AD*于*E*，则此时，*CE*+*EF*的值最小，且*CE*+*EF*的最小值＝*CF*，根据等边三角形的性质得到*BF*＝*AB*＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
>
> 【解答】解：过*C*作*CF*⊥*AB*交*AD*于*E*，
>
> 则此时，*CE*+*EF*的值最小，且*CE*+*EF*的最小值＝*CF*，
>
> ∵△*ABC*为等边三角形，边长为6，
>
> ∴*BF*＝*AB*＝6＝3，
>
> ∴*CF*＝＝＝3，
>
> ∴*CE*+*EF*的最小值为3，
>
> 故答案为：3．
>
> 
18．如图，∠*MON*＝60°，点*A*~1~在射线*ON*上，且*OA*~1~＝1，过点*A*~1~作*A*~1~*B*~1~⊥*ON*交射线*OM*于点*B*~1~，在射线*ON*上截取*A*~1~*A*~2~，使得*A*~1~*A*~2~＝*A*~1~*B*~1~；过点*A*~2~作*A*~2~*B*~2~⊥*ON*交射线*OM*于点*B*~2~，在射线*ON*上截取*A*~2~*A*~3~，使得*A*~2~*A*~3~＝*A*~2~*B*~2~；...；按照此规律进行下去，则*A*~2020~*B*~2020~长为[ ]{.underline}[（1+]{.underline}[）^2019^ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】解直角三角形求出*A*~1~*B*~1~，*A*~2~*B*~2~，*A*~3~*B*~3~，...，探究规律利用规律即可解决问题．
>
> 【解答】解：在Rt△*OA*~1~*B*~1~中，∵∠*OA*~1~*B*~1~＝90°，∠*MON*＝60°，*OA*~1~＝1，
>
> ∴*A*~1~*B*~1~＝*A*~1~*A*~2~＝*OA*~1~•tan60°＝，
>
> ∵*A*~1~*B*~1~∥*A*~2~*B*~2~，
>
> ∴＝，
>
> ∴＝，
>
> ∴*A*~2~*B*~2~＝（1+），
>
> 同法可得，*A*~3~*B*~3~＝（1+）^2^，
>
> ...
>
> 由此规律可知，*A*~2020~*B*~2020~＝（1+）^2019^，
>
> 故答案为（1+）^2019^．
**三．解答题**
19.先化简，再求值：（﹣*x*）÷，请在0≤*x*≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
> 【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
>
> 【专题】11：计算题；513：分式；66：运算能力．
>
> 【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取*x*的值，代入求值即可．
>
> 【解答】解：原式＝•
>
> ＝•
>
> ＝﹣2﹣*x*．
>
> ∵*x*≠1，*x*≠2，
>
> ∴在0≤*x*≤2的范围内的整数选*x*＝0．
>
> 当*x*＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
20.随着"新冠肺炎"疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立"防疫志愿者服务队"，设立四个"服务监督岗"：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
> （1）李老师被分配到"洗手监督岗"的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}；
>
> （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
>
> 【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
>
> 【专题】543：概率及其应用；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）直接利用概率公式计算；
>
> （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
>
> 【解答】解：（1）李老师被分配到"洗手监督岗"的概率＝；
>
> 故答案为：；
>
> （2）画树状图为：
>
> 
>
> 共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
>
> 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
21."生活垃圾分类"逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对"生活垃圾分类"的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为"*A*．很有必要""*B*．有必要""*C*．无所谓""*D*．没有必要"四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
> 
>
> （1）补全条形统计图；
>
> （2）扇形统计图中"*D*．没有必要"所在扇形的圆心角度数为[ 18° ]{.underline}；
>
> （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对"生活垃圾分类"认为"*A*．很有必要"的学生人数．
>
> 【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
>
> 【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．
>
> 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出*A*组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到*C*组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
>
> （2）根据条形统计图中*D*组的人数，可以计算出扇形统计图中"*D*．没有必要"所在扇形的圆心角度数；
>
> （3）根据扇形统计图中*A*组所占的百分比，即可计算出该校对"生活垃圾分类"认为"*A*．很有必要"的学生人数．
>
> 【解答】解：（1）*A*组学生有：200×30%＝60（人），
>
> *C*组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），
>
> 补全的条形统计图，如右图所示；
>
> （2）扇形统计图中"*D*．没有必要"所在扇形的圆心角度数为：360°×＝18°，
>
> 故答案为：18°；
>
> （3）2500×30%＝750（人），
>
> 答：该校对"生活垃圾分类"认为"*A*．很有必要"的学生有750人．
>
> 
22.如图，海中有一个小岛*A*，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在*B*点测得小岛*A*在北偏西60°方向上，航行12海里到达*C*点，这时测得小岛*A*在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）
> 
>
> 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
>
> 【专题】31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．
>
> 【分析】作高*AN*，由题意可得∠*ABE*＝60°，∠*ACD*＝30°，进而得出∠*ABC*＝∠*BAC*＝30°，于是*AC*＝*BC*＝12，在在Rt△*ANC*中，利用直角三角形的边角关系，求出*AN*与10海里比较即可．
>
> 【解答】 解：没有触礁的危险；
>
> 理由：如图，过点*A*作*AN*⊥*BC*交*BC*的延长线于点*N*，
>
> 由题意得，∠*ABE*＝60°，∠*ACD*＝30°，
>
> ∴∠*ACN*＝60°，∠*ABN*＝30°，
>
> ∴∠*ABC*＝∠*BAC*＝30°，
>
> ∴*BC*＝*AC*＝12，
>
> 在Rt△*ANC*中，*AN*＝*AC*•cos60°＝12×＝6，
>
> ∵*AN*＝6≈10.38＞10，
>
> ∴没有危险．
>
> 
23.如图，△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*BO*为△*ABC*的角平分线，以点*O*为圆心，*OC*为半径作⊙*O*与线段*AC*交于点*D*．
> （1）求证：*AB*为⊙*O*的切线；
>
> （2）若tan*A*＝，*AD*＝2，求*BO*的长．
>
> 
>
> 【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
>
> 【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力．
>
> 【分析】（1）过*O*作*OH*⊥*AB*于*H*，根据角平分线的性质得到*OH*＝*OC*，根据切线的判定定理即可得到结论；
>
> （2）设⊙*O*的半径为3*x*，则*OH*＝*OD*＝*OC*＝3*x*，在解直角三角形即可得到结论．
>
> 【解答】 （1）证明：过*O*作*OH*⊥*AB*于*H*，
>
> ∵∠*ACB*＝90°，
>
> ∴*OC*⊥*BC*，
>
> ∵*BO*为△*ABC*的角平分线，*OH*⊥*AB*，
>
> ∴*OH*＝*OC*，
>
> 即*OH*为⊙*O*的半径，
>
> ∵*OH*⊥*AB*，
>
> ∴*AB*为⊙*O*的切线；
>
> （2）解：设⊙*O*的半径为3*x*，则*OH*＝*OD*＝*OC*＝3*x*，
>
> 在Rt△*AOH*中，∵tan*A*＝，
>
> ∴＝，
>
> ∴＝，
>
> ∴*AH*＝4*x*，
>
> ∴*AO*＝＝＝5*x*，
>
> ∵*AD*＝2，
>
> ∴*AO*＝*OD*+*AD*＝3*x*+2，
>
> ∴3*x*+2＝5*x*，
>
> ∴*x*＝1，
>
> ∴*OA*＝3*x*+2＝5，*OH*＝*OD*＝*OC*＝3*x*＝3，
>
> ∴*AC*＝*OA*+*OC*＝5+3＝8，
>
> 在Rt△*ABC*中，∵tan*A*＝，
>
> ∴*BC*＝*AC*•tan*A*＝8×＝6，
>
> ∴*OB*＝＝＝3．
>
> 
24.某超市销售一款"免洗洗手液"，这款"免洗洗手液"的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款"免洗洗手液"的销售单价为*x*（元），每天的销售量为*y*（瓶）．
> （1）求每天的销售量*y*（瓶）与销售单价*x*（元）之间的函数关系式；
>
> （2）当销售单价为多少元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
>
> 【考点】HE：二次函数的应用．
>
> 【专题】124：销售问题；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用；66：运算能力；69：应用意识．
>
> 【分析】（1）销售单价为*x*（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量*y*；
>
> （2）设每天的销售利润为*w*元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出*w*关于*x*的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
>
> 【解答】解：（1）由题意得：*y*＝80+20×，
>
> ∴*y*＝﹣40*x*+880；
>
> （2）设每天的销售利润为*w*元，则有：
>
> *w*＝（﹣40*x*+880）（*x*﹣16）
>
> ＝﹣40（*x*﹣19）^2^+360，
>
> ∵*a*＝﹣40＜0，
>
> ∴二次函数图象开口向下，
>
> ∴当*x*＝19时，*w*有最大值，最大值为360元．
>
> 答：当销售单价为19元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为880元．
25.如图，在矩形*ABCD*中，*AD*＝*kAB*（*k*＞0），点*E*是线段*CB*延长线上的一个动点，连接*AE*，过点*A*作*AF*⊥*AE*交射线*DC*于点*F*．
> （1）如图1，若*k*＝1，则*AF*与*AE*之间的数量关系是[ *AF*＝*AE* ]{.underline}；
>
> （2）如图2，若*k*≠1，试判断*AF*与*AE*之间的数量关系，写出结论并证明；（用含*k*的式子表示）
>
> （3）若*AD*＝2*AB*＝4，连接*BD*交*AF*于点*G*，连接*EG*，当*CF*＝1时，求*EG*的长．
>
> 
>
> 【考点】SO：相似形综合题．
>
> 【专题】152：几何综合题；556：矩形 菱形 正方形；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力．
>
> 【分析】（1）证明△*EAB*≌△*FAD*（*AAS*），由全等三角形的性质得出*AF*＝*AE*；
>
> （2）证明△*ABE*∽△*ADF*，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
>
> （3）①如图1，当点*F*在*DA*上时，证得△*GDF*∽△*GBA*，得出，求出*AG*＝．由△*ABE*∽△*ADF*可得出＝，求出*AE*＝．则可得出答案；
>
> ②如图2，当点*F*在*DC*的延长线上时，同理可求出*EG*的长．
>
> 【解答】解：（1）*AE*＝*AF*．
>
> ∵*AD*＝*AB*，四边形*ABCD*矩形，
>
> ∴四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴∠*BAD*＝90°，
>
> ∵*AF*⊥*AE*，
>
> ∴∠*EAF*＝90°，
>
> ∴∠*EAB*＝∠*FAD*，
>
> ∴△*EAB*≌△*FAD*（*AAS*），
>
> ∴*AF*＝*AE*；
>
> 故答案为：*AF*＝*AE*．
>
> （2）*AF*＝*kAE*．
>
> 证明：∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴∠*BAD*＝∠*ABC*＝∠*ADF*＝90°，
>
> ∴∠*FAD*+∠*FAB*＝90°，
>
> ∵*AF*⊥*AE*，
>
> ∴∠*EAF*＝90°，
>
> ∴∠*EAB*+∠*FAB*＝90°，
>
> ∴∠*EAB*＝∠*FAD*，
>
> ∵∠*ABE*+∠*ABC*＝180°，
>
> ∴∠*ABE*＝180°﹣∠*ABC*＝180°﹣90°＝90°，
>
> ∴∠*ABE*＝∠*ADF*．
>
> ∴△*ABE*∽△*ADF*，
>
> ∴，
>
> ∵*AD*＝*kAB*，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*AF*＝*kAE*．
>
> （3）解：①如图1，当点*F*在*DA*上时，
>
> 
>
> ∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴*AB*＝*CD*，*AB*∥*CD*，
>
> ∵*AD*＝2*AB*＝4，
>
> ∴*AB*＝2，
>
> ∴*CD*＝2，
>
> ∵*CF*＝1，
>
> ∴*DF*＝*CD*﹣*CF*＝2﹣1＝1．
>
> 在Rt△*ADF*中，∠*ADF*＝90°，
>
> ∴*AF*＝＝＝，
>
> ∵*DF*∥*AB*，
>
> ∴∠*GDF*＝∠*GBA*，∠*GFD*＝∠*GAB*，
>
> ∴△*GDF*∽△*GBA*，
>
> ∴，
>
> ∵*AF*＝*GF*+*AG*，
>
> ∴*AG*＝．
>
> ∵△*ABE*∽△*ADF*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*AE*＝＝．
>
> 在Rt△*EAG*中，∠*EAG*＝90°，
>
> ∴*EG*＝＝＝，
>
> ②如图2，当点*F*在*DC*的延长线上时，*DF*＝*CD*+*CF*＝2+1＝3，
>
> 
>
> 在Rt△*ADF*中，∠*ADF*＝90°，
>
> ∴*AF*＝＝＝5．
>
> ∵*DF*∥*AB*，
>
> ∵∠*GAB*＝∠*GFD*，∠*GBA*＝∠*GDF*，
>
> ∴△*AGB*∽△*FGD*，
>
> ∴＝，
>
> ∵*GF*+*AG*＝*AF*＝5，
>
> ∴*AG*＝2，
>
> ∵△*ABE*∽△*ADF*，
>
> ∴，
>
> ∴*AE*＝，
>
> 在Rt△*EAG*中，∠*EAG*＝90°，
>
> ∴*EG*＝＝＝．
>
> 综上所述，*EG*的长为或．
26.在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣3过点*A*（﹣3，0），*B*（1，0），与*y*轴交于点*C*，顶点为点*D*．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*为直线*CD*上的一个动点，连接*BC*；
>
> ①如图1，是否存在点*P*，使∠*PBC*＝∠*BCO*？若存在，求出所有满足条件的点*P*的坐标；若不存在，请说明理由；
>
> ②如图2，点*P*在*x*轴上方，连接*PA*交抛物线于点*N*，∠*PAB*＝∠*BCO*，点*M*在第三象限抛物线上，连接*MN*，当∠*ANM*＝45°时，请直接写出点*M*的坐标．
>
> 
>
> 【考点】HF：二次函数综合题．
>
> 【专题】16：压轴题；65：数据分析观念．
>
> 【分析】（1）*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣3＝*a*（*x*+3）（*x*﹣1），即可求解；
>
> （2）①分点*P*（*P*′）在点*C*的右侧、点*P*在点*C*的左侧两种情况，分别求解即可；
>
> ②证明△*AGR*≌△*RHM*（*AAS*），则点*M*（*m*+*n*，*n*﹣*m*﹣3），利用点*M*在抛物线上和*AR*＝*NR*，列出等式即可求解．
>
> 【解答】解：（1）*y*＝*ax*^2^+*bx*﹣3＝*a*（*x*+3）（*x*﹣1），
>
> 解得：*a*＝1，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝*x*^2^+2*x*﹣3①；
>
> （2）由抛物线的表达式知，点*C*、*D*的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
>
> 由点*C*、*D*的坐标知，直线*CD*的表达式为：*y*＝*x*﹣3；
>
> tan∠*BCO*＝，则cos∠*BCO*＝；
>
> ①当点*P*（*P*′）在点*C*的右侧时，
>
> 
>
> ∵∠*PAB*＝∠*BCO*，
>
> 故*P*′*B*∥*y*轴，则点*P*′（1，﹣2）；
>
> 当点*P*在点*C*的左侧时，
>
> 设直线*PB*交*y*轴于点*H*，过点*H*作*HN*⊥*BC*于点*N*，
>
> ∵∠*PAB*＝∠*BCO*，
>
> ∴△*BCH*为等腰三角形，则*BC*＝2*CH*•cos∠*BCO*＝2×*CH*×＝，
>
> 解得：*CH*＝，则*OH*＝3﹣*CH*＝，故点*H*（0，﹣），
>
> 由点*B*、*H*的坐标得，直线*BH*的表达式为：*y*＝*x*﹣②，
>
> 联立①②并解得：，
>
> 故点*P*的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
>
> ②∵∠*PAB*＝∠*BCO*，而tan∠*BCO*＝，
>
> 故设直线*AP*的表达式为：*y*＝*x*+*s*，将点*A*的坐标代入上式并解得：*s*＝1，
>
> 故直线*AP*的表达式为：*y*＝*x*+1，
>
> 联立①③并解得：，故点*N*（，）；
>
> 设△*AMN*的外接圆为圆*R*，
>
> 
>
> 当∠*ANM*＝45°时，则∠*ARM*＝90°，设圆心*R*的坐标为（*m*，*n*），
>
> ∵∠*GRA*+∠*MRH*＝90°，∠*MRH*+∠*RMH*＝90°，
>
> ∴∠*RMH*＝∠*GAR*，
>
> ∵*AR*＝*MR*，∠*AGR*＝∠*RHM*＝90°，
>
> ∴△*AGR*≌△*RHM*（*AAS*），
>
> ∴*AG*＝*m*+3＝*RH*，*RG*＝﹣*n*＝*MH*，
>
> ∴点*M*（*m*+*n*，*n*﹣*m*﹣3），
>
> 将点*M*的坐标代入抛物线表达式得：*n*﹣*m*﹣3＝（*m*+*n*）^2^+2（*m*+*n*）﹣3③，
>
> 由题意得：*AR*＝*NR*，即（*m*+3）^2^＝（*m*﹣）^2^+（）^2^④，
>
> 联立③④并解得：，
>
> 故点*M*（﹣，﹣）．
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**2008年高考北京理科数学详解**
**一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
**【标准答案】: D**
【**试题分析**】**:** CB=\[-1, 4\]，＝
【**高考考点**】**:集合**
**【易错提醒】: 补集求错**
**【备考提示】:** 高考基本得分点
2．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
**【标准答案】: A**
【**试题分析**】**:**利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0.
【**高考考点**】**:** 函数的映射关系，函数的图像。
**【易错提醒】: 估值出现错误。**
**【备考提示】:** 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。
3．"函数存在反函数"是"函数在上为增函数"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
**【标准答案】: B**
【**试题分析**】**:** 函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【**高考考点**】**:** 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。
**【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚**
**【备考提示】:** 平时注意数形结合训练。
4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
**【标准答案】: D**
【**试题分析**】**:** 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
【**高考考点**】**:** 二次函数的定义。
**【易错提醒】: 没有转化的意识**
**【备考提示】:** 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。
5．若实数满足则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
**【标准答案】: B**
【**试题分析**】**:** 解出可行域的顶点，带入验证。
【**高考考点**】**:** 线性规划
**【易错提醒】: 顶点解错**
**【备考提示】:** 高考基本得分点。
6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
**【标准答案】: C**
【**试题分析**】**:** 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【**高考考点**】**:** 数列
**【易错提醒】: 特殊性的运用**
**【备考提示】:** 加强从一般性中发现特殊性的训练。
7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
**【标准答案】: C**
【**试题分析一**】**:** 过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。
【**试题分析二**】**:**明白N点后，用图象法解之也很方便
【**高考考点**】**:** 直线与圆的位置关系。
**【易错提醒】: N点找不到。**
**【备考提示】:** 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。
8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
**【标准答案】: B**
【**试题分析**】**:** 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。
【**高考考点**】**:** 截面，线与面的位置关系。
**【易错提醒】: 找不到特殊点O，或者发现不了O的特殊性。**
**【备考提示】:** 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．**
9．已知，其中是虚数单位，那么实数 ．
**【标准答案】: -1**
【**试题分析**】**:** a－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1
【**高考考点**】**:** 复数的运算
**【易错提醒】: 增根a=1没有舍去。**
**【备考提示】:** 高考基本得分点。
10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
**【标准答案】: 0**
【**试题分析**】**:** 利用数形结合知，向量**a**与**2a+b**垂直。
【**高考考点**】**:** 向量运算的几何意义
**【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。**
**【备考提示】:** 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。
11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
**【标准答案】: 5 10**
【**试题分析**】**:** 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成"前3后2"恰好出现常数项，C＝10.
【**高考考点**】**:** 二项式
**【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误**
**【备考提示】:** 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。
12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；
．（用数字作答）
**【标准答案】: 2 -2**
【**试题分析**】**:** f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.
【**高考考点**】**:** 函数的图像，导数的几何意义。
**【易错提醒】: 概念"导数的几何意义"不清。**
**【备考提示】:** 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。
13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 ．
**【标准答案】:** ②
【**试题分析**】**:** 函数显然是偶函数，其导数y'=2x+sinx在0\<x\<时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点。当x=,x=-时，①③均不成立。
【**高考考点**】**:** 导数，函数的图像，奇偶性。
**【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。**
**【备考提示】:** 加强导数综合应用的训练。
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
**【标准答案】: (1,2) (3, 402)**
【**试题分析**】**:** T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1......(k=1,2,3,4......)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5......；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.......因此，第6棵树种在 **(1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。**
【**高考考点**】**:** 数列的通项
**【易错提醒】: 前几项的规律找错**
**【备考提示】:** 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
**三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
**【标准答案】: （见后）**
【**高考考点**】**:** 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。
**【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。**
**【备考提示】:** 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
**【标准答案】: （见后）**
【**高考考点**】**:** 直线与直线的垂直，二面角，点面距离
**【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求**点面距离的方法单一
**【备考提示】:** 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。
17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
**【标准答案】:**
【**高考考点**】**:** 概率，随机变量的分布列
**【易错提醒】:** 总的可能性是典型的"捆绑排列"，易把C混淆为A
**【备考提示】:** 近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。
18．（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
**【标准答案】:**
【**高考考点**】**:** 导数，导数的应用
**【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错**
**【备考提示】:** 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。
19．（本小题共14分）
已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
**【标准答案】:**
【**高考考点**】**:** 直线方程，最值
**【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理**
**【备考提示】:** 解析几何的综合题在高考中的"综合程度"往往比较高，注意复习时与之匹配。
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；
又定义．
设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
**【标准答案】:**
【**高考考点**】**:** 数列
**【易错提醒】: 入口出错**
**【备考提示】:** 由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，新数列的前几项一定不难出错，它出错，则整体出错。
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学（理工农医类）（北京卷）参考答案**
**一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）**
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**
9． 10． 11．5 10 12．
13．② 14．
**三、解答题（本大题共6小题，共80分）**
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以，
因此，即的取值范围为．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为．
．
点到平面的距离为．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件""是指有两人同时参加岗位服务，
则．
所以，的分布列是
-- --- ---
1 3
-- --- ---
18．（共13分）
解：
．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：
-- -- --- -- --
0
-- -- --- -- --
当，即时，的变化情况如下表：
-- -- -- --- --
0
-- -- -- --- --
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以．
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，
则为，，，，，
从而
．
又，
所以
，
故．
（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由
可知．
又由（Ⅱ）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，
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**二年级下数学同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 分苹果**
**一、选 择。**
1.、二年级数学下册表内除法练习题：30÷6=5，读作( )。
A.30除以6等于5 B.30除以5等于6
2.20里面有4个( )。
A.10 B.4 C.5 D.16
3.下列算式中，商最大的算式是( )。
A.12÷3 B.36÷6 C.20÷4 D.24÷6
4.有一堆苹果，比20个多，比40个少，分得的份数和每份的个数同样多。这堆苹果可能有( )个。
A.24 B.25 C.36 D.35
5.二年(2)班参加舞蹈队的同学站了5排，每排站6人，其中男生有9人，求女生有多少人。用算式表示是( )。\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
A.5+6-9 B.5+ 6-9
C.5×6-9 D.5+6-9
**二、填 空。**
1\. 30 ÷ 5 = 6
\| \| \| \|
2. 用下面卡片上的数摆成学过的除法算式。
3\. 6÷口=口，表示6只大公鸡，每( )只分为一组，可以分成这样的( )组。
4.如果 □+□+※+※+※=21, □+※+※+※+※+※=27
那么，□=( )，※=( )
5.乘法算式：( )X( )=( )，( )X( )=( )
除法算式：( )÷( )=( )，( )÷( )=( )
**三、应 用。**
1.一个乒乓球2元钱，4个羽毛球12元钱，哪种球比较便宜?便宜多少钱?
2.超市饮料降价，买3瓶鲜橙汁6元钱，买6瓶多少钱?
3.一本书有36页，小明每天看6页，几天可以看完?如果4天看完，平均每天看多少页?
拓展题\[来源:学科网\]
12个小朋友进行乒乓球比赛，每3人发给4个乒乓球，一共需要多少个乒乓球?
答案
---、 1.A 2.C 3.B 4.B， C 5.B
二、1. 30 ÷ 5 = 6\[来源:学科网\]
被除数 除号 除数 商
2.20÷5=4 20÷4=5\[来源:Zxxk.Com\]
12÷4=3 12÷3=4
18÷3=6 18÷6=3
3.6÷2=3 2，3 4.6，3
5.3×5=15， 5×3=15，
15÷3=5，15÷5=3
四、1.乒乓球便宜。每个便宜l元钱。
2.12元
提示：方法一： 先求单价，再求总量。6÷3×6=12(元)
方法二：6瓶中包含着几个3瓶，就包含着几个6元。\[来源:Z.xx.k.Com\]
6瓶÷3瓶× 6元=12(元)
3.36÷6=6(天)，36÷4=9(页)
拓展
12个小朋友每3人一组，12÷3=4，可以分成4组，
每组4个拍拍球，4×4=16，一共需要16个拍拍球。
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**2016-2017学年下学期重点小学2年级期末检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
----------------------------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 **总分**
**得分\[来源:学。科。网\]**
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一、填空题。(20分)
1\. 30朵菊花平均分给4个小朋友,每个小朋友可以分得( )朵,还剩( )朵。
2\. 一个算式中,除数是6,商也是6,余数最大时,被除数是( )。
3\. 钟面上分针从12走到5,走了( )分,再过20分分针走到了( )。
4\. 吉林在北京的东北方向,也可以说北京在吉林的( )方向。
5\. 长方形与正方形的共同特征是四个角都是( )角。红领巾有三个角,一个( )角和两个( )角。
6\. 一个数是由8个千、6个百和9个一组成的,这个数是( ),读作( )。
7\. 五千零二写作( ),这是一个( )位数,最高位是( ),5在( )位上,表示( )个( )。
8\. 用3、6和两个0组成的四位数中,最大的是( ),最小的是( ),读一个零的数中最大的是( ),一个零也不读的数中最小的是( )。
9\. 在括号里填上合适的单位。
(1)枫叶的厚度约1( )。 (2)学校教学楼的高度是16( )。
(3)我的凳子高约6( )。 (4)从北京到上海约是1050( )。
10\. 按规律填数。
6626,6526,( ),( ),( ),( ),6026,( )。\[来源:Zxxk.Com\]
550,575,600,( ),( )( ),700,( ),750。
11\. 与6009相邻的两个数分别是( )和( )。
12\. 里最大能填几?
6× \<40 ×9\<58 6301\> 330 9千米\> 005米
二、判断题。(对的画"√",错的画"✕")(8分)
1\. 用放大镜能让角的边变长,角变大。 ( )
2\. 读数时,"0"都要读出来。 ( )
3\. 在有余数的除法算式里,余数应该大于除数。 ( )
4\. 用竖式计算加减法时,要从高位算起。 ( )
5\. 我们读数或写数时都应该从高位起。 ( )
6\. 8个0相加得8。 ( )
7\. 蚂蚁的身长是5dm。 ( )
8. 平行四边形容易变形,在生活中有很多的用处。 ( )
三、计算下列各题。(22分)
1\. 直接写得数。(4分)
18÷3= 9×4= 621-200= 7×8=
2\. 用竖式计算。(带★的要验算)(18分)
65÷8= 47÷7= ★641-389=
★187+613= 167+354= 1000-436=
\[来源:学科网ZXXK\]
四、按要求,做一做。(19分)
1\. 先估一估下面的边长,再用尺子量一量。(4分)
(1)∠1和∠3都是( )角,∠2是( )角。
(2)最短的边比最长的边短多少?
2.数图形。(3分)
 (1)图中有( )个长方形。\
(2)图中有( )个正方形。\
(3)图中有( )个平行四边形。
3.数角。(8分)
(1)图中有( )个角,其中直角有( )个,锐角有( )个,钝角有( )个。
(2)把∠1、∠2、∠3和∠4按顺序排列。
( )\<( )\<( )\<( )
4\. 在下面的方格里画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。如果把它剪成一个最大的正方形,这个正方形的边长是多少厘米?(每个方格边长1厘米)(4分)
五、解决问题。(31分)
1\. 电影院正在热映《玩具总动员3》,妈妈带明明去看电影。(8分)
(1)电影票成人每张29元,儿童每张16元。买票共花去多少元?
(2)妈妈去买了3袋薯条,花了18元。平均每袋薯条多少元?
2\. 看图回答问题。(8分)
(1)李晓家在电影院的( )面,在韩玉家的( )方向,在动物园的( )方向。
(2)从韩玉家到动物园有两条路,用笔画出较近的一条路,两条路相差多少米?
3\. 一年级、二年级和三年级的同学回收废旧电池,数量统计如下表。(8分)
------------------- -------- -------- --------
年 级 一年级 二年级 三年级
回收废电池数量/节 279 318 362
------------------- -------- -------- --------
(1)三个年级一共回收了多少节? (2)提出其他数学问题并解答。
4.下面是同学们喜欢的动物的调查结果。(6分)
------ --------------------------------------------------------
小狗 正正
小猫 正
小兔 正正
小猴 \[来源:学\#科\#网\]
------ --------------------------------------------------------
(1)喜欢小猴的同学有( )人。
(2)喜欢小狗比喜欢小兔的少( )人。
(3)你还能提出什么数学问题?试着解答出来。
期 末 测 试答案
一、1. 7 2 2. 41 3. 25 9 4. 西南
5\. 直 钝 锐
6\. 8609 八千六百零九
7\. 5002 四 千位 千 5 千
8\. 6300 3006 6030 3600
9\. (1)毫米 (2)米 (3)分米 (4)千米
10\. 6426 6326 6226 6126 5926
625 650 675 725
11\. 6008 6010
12\. 6 6 5 8
二、1. ✕ 2. ✕ 3. ✕ 4. ✕ 5. 6. ✕
7\. ✕ 8. √\[来源:学。科。网\]
三、1. 6 36 421 56
2\. 8......1 6......5 252 800 521 564 验算略
四、1. 30 40 50 (1)锐 直 (2)50-30=20(mm)
2\. (1)10 (2)8 (3)9
3\. (1)9 2 4 3 (2)∠4\<∠1\<∠2\<∠3
4\. 画图略 4厘米
五、1. (1)29+16=45(元) (2)18÷3=6(元)
2\. (1)东 东北 东南
(2)画图略 518+364=882(米)
286+424=710(米) 882-710=172(米)
3\. (1)279+318=597(节) 597+362=959(节)
(2)答案不唯一,如:三年级比一年级多收集多少节?
362-279=83(节)
4\. (1)4 (2)1
(3)答案不唯一,如:调查的总人数是多少人?
13+5+14+4=36(人)
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2016年5月九年级教学质量抽测参考答案
（数学）
1. 选择题
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C A C C A C A C D C
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二、填空题：13. 6 14. -2 15. 1:4
16\. 7 17. 2006 18.
19\. 解：原式= \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--3分
= \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分
=2． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--6分
20. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD， \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
∴在：△ABE与△CDF中，
 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分
∴△ABE≌△CDF（ASA） \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--6分
{#section .list-paragraph}
{#section-1 .list-paragraph}
21.解：（1）m=40； \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--1分
（2）"其他"类所占的百分比为15%；\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
（3）画树状图，如图所示：
 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）==． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--6分
22\. 解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A~1~（2，﹣4）；\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--1分
如图下图：连接A~1~、B~1~、C~1~即可得到△A~1~B~1~C~1~．
\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
（2）如图：
\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
（3）由两点间的距离公式可知：BC= \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分
∴点C旋转到C~2~点的路径长=． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--8分
23.解：（1）依题意，则AN=4+2=6，\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--1分
∴N（6，2）， \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
把N（6，2）代入y=得：
∴k=； \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
（2）∵M点横坐标为2，
∴M点纵坐标为，
∴M（2，），
∴由图象知，≥ax+b的解集为：
0＜x≤2或x≥6． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--8分
24.解：（1）设A种型号服装每件x元，B种型号服装每件y元．\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--1分
依题意可得 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
解得 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--3分
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
（2）设B型服装购进m件，则A型服装购进（2m+4）件．\-\-\-\-\-\-\-\--5分
根据题意得 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--6分
解不等式得9≤m≤12 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分
因为m这是正整数
所以 m=10，11，12
2m+4=24，26，28
答：有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--8分
25.（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB， \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--1分
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线 \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--3分
（2）解：2PO=3BC．（写PO=BC亦可） \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--5分
∴，
∴2PO=3BC． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--6分
（3）解：∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴，
即DC=OD．
∴OC=OD，
∴DC=2OC． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）^2^=x^2^+（2y）^2^，即2x^2^=y^2^．\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--8分
∵x＞0，y＞0，
∴y=x，OP==x． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--9分
∴sin∠OPA====． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--10分
26\. 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，
∴A（1，0），B（0，3）， \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--2分
分别代入y=a（x﹣2）^2^+k，可得，解得，
即a为1，k为﹣1； \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--4分
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x﹣2）^2^﹣1，
令y=0，可求得x=1或x=3，
∴C（3，0），
∴AC=3﹣1=2，AB=，
过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ~1~=BQ~2~=AC=2，如图1，
∵B（0，3），
∴Q~1~（﹣2，3），Q~2~（2，3）；
过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ~3~=CQ~4~=AB=，如图2，
∵B（0，3），
∴Q~3~、Q~4~到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，
∴Q~3~（2，3）、Q~4~（4，﹣3）；
综上可知满足条件的Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--7分
（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，
∵A、C两点关于对称轴对称，
∴AM=MC，
∴BM+AM最小， \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--8分
∴△ABM周长最小，
∵B（0，3），C（3，0），
∴可设直线BC解析式为y=mx+3，
把C点坐标代入可求得m=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
当x=2时，可得y=1，
∴M（2，1）； \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--9分
∴存在满足条件的M点，
此时BC=3，且AB=，
∴△ABM的周长的最小值为3+； \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--10分
（4）由条件可设N点坐标为（2，n），
则NB^2^=2^2^+（n﹣3）^2^=n^2^﹣6n+13，NA^2^=（2﹣1）^2^+n^2^=1+n^2^，且AB^2^=10，
当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB^2^+NA^2^=AB^2^，
∴n^2^﹣6n+13+1+n^2^=10，解得n=1或n=2，
即N点坐标为（2，1）或（2，2），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）． \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--12分
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初二数学竞赛班入学测试卷
出卷人：郑剑雄
满分100分，考试时间：1小时
1、（5分）解关于a的方程
ax=ba
2. （5分）解关于m的不等式
-mx²＜mn²
3、（10分）解方程：
4、（10分）因式分解
1+a+b+c+ab+ac+bc++abc
5、（10分）因式分解
6、（10分）三角形ABC中，AB=AC，证明∠B=∠C（不能用辅助线）
> 7、（20分）如图，*F* 为正方形 *ABCD* 边*CD* 上一点，连接 *AC* 、 *AF* ，延长 *AF* 交 *AC* 的平行线*DE* 于点*E* ，且 *AE* = *AC* ，连接*CE* 。求证：*CE* = *CF*
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8、（30分）化简
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> **《搭一搭（一）》同步练习**
一、选择题。（将正确答案的代号填在括号内）
（ 1 ） （ 2 ） ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 )
(11) (12) (13) (14)\[来源:学科网ZXXK\]
(15) (16) (17) (18 ) (19)
\[来源:学.科.网\]
(20) (21) (22) (23) (24)
1. 图形 从正面看到的是（），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
2．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ），
从右面看到的是（ ）。
3．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
4．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
 5．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
6．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
7．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
8．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
9．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
10．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
11．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
12．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
13．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
 14．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
15．图形 从正面看到的是（ ）,从右面看到的是（ ）。
16．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
17．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
18．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
19．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
20．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
21．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
22．图形 从正面看到的是（ ），从上面看到的是（ ）， 从右面看到的是（ ）。
二、回答问题。
一个立体图形，
搭这样的立体图形，需要多少个小正方块？
二. 按要求把下面各式填到框里。
15÷2 65÷7 25÷5 20÷9 28÷4 22÷7
没有余数 余数是2 余数是1
三．应用题。
（1）儿童活动站有气球35个，平均挂到4个活动室，每个活动室有几个气球？剩下几个？
（2）有30张画片，分给4个小朋友，每人分得同样多，每人分多少张？还剩几张？
（3）有37个乒乓球，装在7个袋子里，平均每袋装几个？还剩几个？
（4）同学们看望革命老战士，买了50个苹果，每8个放一盘，需要放几盘？还剩几个？
\[来源:学科网\]
参考答案：
一、选择题。（将正确答案的代号填在括号内）\[来源:学科网ZXXK\]
1. 图形 从正面看到的是（1），从上面看到的是（10 ）， 从右面看到的是（10 ）。
2．图形 从正面看到的是（10 ），从上面看到的是（ 16），
从右面看到的是（5 ）。
3．图形 从正面看到的是（ 19），从上面看到的是（19 ）， 从右面看到的是（3 ）。
4．图形 从正面看到的是（18 ），从上面看到的是（5 ）， 从右面看到的是（ 3）。
 5．图形 从正面看到的是（ 8），从上面看到的是（5 ）， 从右面看到的是（10 ）。
6．图形 从正面看到的是（2 ），从上面看到的是（9 ）， 从右面看到的是（ 23）。
7．图形 从正面看到的是（ 12），从上面看到的是（19 ）， 从右面看到的是（ 10）。
8．图形 从正面看到的是（5 ），从上面看到的是（24 ）， 从右面看到的是（10 ）。
9．图形 从正面看到的是（13 ），从上面看到的是（ 19）， 从右面看到的是（10 ）。
10．图形 从正面看到的是（5 ），从上面看到的是（7 ）， 从右面看到的是（5 ）。
11．图形 从正面看到的是（5 ），从上面看到的是（ 5）， 从右面看到的是（6 ）。
12．图形 从正面看到的是（2 ），从上面看到的是（ 16）， 从右面看到的是（8 ）。
13．图形 从正面看到的是（ 18），从上面看到的是（ 21）， 从右面看到的是（23 ）。
 14．图形 从正面看到的是（15 ），从上面看到的是（ 5）， 从右面看到的是（6 ）。
15．图形 从正面看到的是（14 ）， 从右面看到的是（23 ）。
16．图形 从正面看到的是（19 ），从上面看到的是（22 ）， 从右面看到的是（4 ）。
17．图形 从正面看到的是（20 ），从上面看到的是( 5 ）， 从右面看到的是（10 ）。
18．图形 从正面看到的是（18 ），从上面看到的是（24 ）， 从右面看到的是（4 ）。
19．图形 从正面看到的是（8 ），从上面看到的是（24 ）， 从右面看到的是（ 4）。
20．图形 从正面看到的是（8 ），从上面看到的是（ 21）， 从右面看到的是（ 4）。
21．图形 从正面看到的是（17 ），从上面看到的是（5 ）， 从右面看到的是（6 ）。
22．图形 从正面看到的是（ 14 ），从上面看到的是（ 5）， 从右面看到的是（ 6）。
二、回答问题。
6
二. 按要求把下面各式填到框里。
没有余数 25÷5 28÷4
余数是2 65÷7 20÷9
余数是1 15÷2 22÷7
三．应用题。
（1）儿童活动站有气球35个，平均挂到4个活动室，每个活动室有几个气球？剩下几个？
8 3
（2）有30张画片，分给4个小朋友，每人分得同样多，每人分多少张？还剩几张？
7 2
（3）有37个乒乓球，装在7个袋子里，平均每袋装几个？还剩几个？
5 2
（4）同学们看望革命老战士，买了50个苹果，每8个放一盘，需要放几盘？还剩几个？
6 2
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**2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题**
**理科数学（Ⅲ）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知复数，则=（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意可得： ，则= .
本题选择C选项.
2\. 集合，，则=（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意可得： ，则= .
本题选择A选项.
3\. 已知函数 的最小正周期为，则函数的图象（ ）
A. 可由函数的图象向左平移个单位而得
B. 可由函数的图象向右平移个单位而得
C. 可由函数的图象向左平移个单位而得
D. 可由函数的图象向右平移个单位而得
【答案】D
【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.
4\. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点 处取得最大值 .
本题选择B选项.
5\. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，， ，则=（ ）学,科,网\...
A.  B. 1 C.  D. -3
【答案】A
【解析】由几何关系可得： ，则： ，
即： ，
则= .
本题选择A选项.
**点睛：**(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
6\. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（ ）
A. 906 B. 1359 C. 2718 D. 3413
【答案】B
【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，
则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .
本题选择B选项.
**点睛：**关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记*P*(*μ*－*σ*\<*X*≤*μ*＋*σ*)，*P*(*μ*－2*σ*\<*X*≤*μ*＋2*σ*)，*P*(*μ*－3*σ*\<*X*≤*μ*＋3*σ*)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与*x*轴之间面积为1.
7\. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，
且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，
∴该几何体的表面积 ，
本题选择B选项.
8\. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B学,科,网\...
【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当 时推出循环，则判断框内的条件是.
本题选择B选项.
9\. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（ ）
A. 3 B.  C.  D. 4
【答案】B
【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．
10\. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（ ）
A.  B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意：M（x~0~，2√2）在抛物线上，则8=2px~0~，则px~0~=4，①\
由抛物线的性质可知,， ，则，\
∵被直线截得的弦长为√3\|MA\|，则，\
由，在Rt△MDE中，丨DE丨^2^+丨DM丨^2^=丨ME丨^2^，即
，\
代入整理得： ②，\
由①②，解得：x~0~=2，p=2，\
∴ ，\
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.
11\. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】不妨令 ，该函数满足题中的条件，则不等式转化为： ，
整理可得： ，结合函数的定义域可得不等式的解集为.
本题选择D选项.
12\. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】令 ，则 ，函数 在定义域内单调递增，
方程即： ，即 ，
结合函数的单调性有： .
本题选择C选项.
**点睛：**(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**学,科,网\...
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13\. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.
考点：二项式公式，重要不等式.
14\. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】由题意有： ，
则的面积为 .
【答案】
【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .
16\. 已知下列命题：
①命题"，"的否定是"，"；
②已知，为两个命题，若""为假命题，则"为真命题"；
③""是""的充分不必要条件；
④"若，则且"的逆否命题为真命题
其中，所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】②
【解析】逐一考查所给的命题：
①命题"，"的否定是"，"；
②已知，为两个命题，若""为假命题，则" 为真命题"；
③""是""的必要不充分条件；
④"若，则且"是假命题，则它的逆否命题为假命题
其中，所有真命题的序号是②.
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 设为数列的前项和，且，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求.
【答案】（1）见解析；（2）.学,科,网\...
【解析】试题分析：
(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；
(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得 .
试题解析：
（1）因为，所以，
即，则，
所以，又，故数列为等比数列.
（2）由（1）知，所以，
故.
设，
则，
所以 ，
所以，
所以.
**点睛：**证明数列{*a~n~*}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明 ＝*q*(*n*≥2，*q*为常数)；二是等比中项法，证明 ＝*a~n~*~－1~·*a~n~*~＋1~.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
18\. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.
（1）求证：；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.
(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：
（1）中，应用余弦定理得 ，
解得，
所以，
所以.
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又因为平面，学,科,网\...
所以.
（2）由（1）平面，平面，
所以.
又因为，平面平面，
所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.
因为，，
所以平面.
所以是与平面所成的角.
因为在中，，
所以在中，.
19\. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
表2：女生身高频数分布表
（1）求该校高一女生的人数；
（2）估计该校学生身高在的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：
(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；
(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.
\(3\) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .
试题解析：
（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.
即高一女学生人数为300.
（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.
所以样本中该校学生身高在的概率为.
因此，可估计该校学生身高在的概率为.
（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.学,科,网\...
由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.
所以，，.
所以的分布列为：
所以.
20\. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.
（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；
（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.
试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
依题意得.
由，得，
因为故，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），
所以的轨迹方程为.
设，依题意，
所以，即，
代入的轨迹方程得，，
所以点的轨迹的方程为.
（2）设.
由题意得直线不与坐标轴平行，
因为，所以直线为，
与联立得，
，
由韦达定理，
同理，
所以或，
当时，轴，
当时，由，得，学,科,网\...
同理，轴.
因此，故是等腰三角形.
解法二：
（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.
依题意得.
在轴上取，
因为点在线段上，且，
所以，
则，
故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），
所以点的轨迹的方程为.
（2）设，，
由题意得，直线斜率不为0，且，
故设直线的方程为：，其中，
与椭圆方程联立得，，
由韦达定理可知，，
其中，
因为满足椭圆方程，故有，
所以.
设直线的方程为：，其中，
同理，
故
，
所以，即轴，
因此，故是等腰三角形.
21\. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求证：；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网\...
【解析】试题分析：
(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.
(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.
(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.
试题解析：
（1）根据题意，得，则.
由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，
故.
（2）令.
由，得，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
所以，所以.
（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.
令，，得  .
由（2）可知，当时，恒成立，
令，得；令，得.
所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.
所以实数的取值范围为.
**请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求，的直角坐标方程；
（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.
\(2\) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接
，则为正三角形 ，所以，，把代入，得：，即，故，所以.
【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,网\...
23\. 选修4-5：不等式选讲.
已知，为任意实数.
（1）求证：；
（2）求函数 的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：
(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；
(2)利用题意结合不等式的性质可得.
试题解析：
（1）  
，
因为，
所以.
（2）      .
即.
**点睛：**本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：\|\|*a*\|－\|*b*\|\|≤\|*a*±*b*\|≤\|*a*\|＋\|*b*\|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
| 1 | |
**2019年上海市高考数学试卷**
2019.06.07
**一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1\~6题每题4分，第7\~12题每题5分）**
1\. 已知集合，，则 [ ]{.underline}
2\. 已知，且满足，求 [ ]{.underline}
3\. 已知向量，，则与的夹角为 [ ]{.underline}
4\. 已知二项式，则展开式中含项的系数为 [ ]{.underline}
5\. 已知、满足，求的最小值为 [ ]{.underline}
6\. 已知函数周期为1，且当，，则 [ ]{.underline}
7\. 若，且，则的最大值为 [ ]{.underline}
8\. 已知数列前项和为，且满足，则 [ ]{.underline}
9\. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上
方，为抛物线上一点，，则 [ ]{.underline}
10\. 某三位数密码，每位数字可在09这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有
两位数字相同的概率是 [ ]{.underline}
11\. 已知数列满足（），若均在双曲线上，
则 [ ]{.underline}
12\. 已知（，），与轴交点为，若对于图像
上任意一点，在其图像上总存在另一点（、*Q*异于），满足，且
，则 [ ]{.underline}
**二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13\. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
14\. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
15\. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，
则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
16\. 已知，有下列两个结论：① 存在在第一象限，在第三象限；② 存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①对②错 D. ①错②对
**三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）**
17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面的夹角；
（2）求点*A*到平面的距离.
18\. 已知，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在时有零点，求的取值范围.
19. 如图，为海岸线，*AB*为线段，为四分之一圆弧，km，，，.
（1）求的长度；
（2）若km，求*D*到海岸线的最短距离.
（精确到0.001km）
20\. 已知椭圆，、为左、右焦点，直线过交椭圆于*A*、*B*两点.
（1）若直线垂直于*x*轴，求；
（2）当时，*A*在*x*轴上方时，求*A*、*B*的坐标；
（3）若直线交*y*轴于*M*，直线交*y*轴于*N*，是否存在直线*l*，使得，
若存在，求出直线*l*的方程，若不存在，请说明理由.
21\. 数列有100项，，对任意，存在，
，若与前*n*项中某一项相等，则称具有性质*P.*
（1）若，，求所有可能的值；
（2）若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质*P*；
（3）若中恰有三项具有性质*P*，这三项和为*c*，请用*a*、*d*、*c*表示.
**参考答案**
**一. 填空题**
1\.
2\. ，
3\. ，
4\. ，的系数为
5\. ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当，时，
6\. ，
7\. ，法一：，∴；
法二：由，（），求二次最值
8\. ，由得：（），∴为等比数列，且，
，∴
9\. ，依题意求得：，，设坐标为，
有：，带入有：，
即
10\. ，法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）；
法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）
11\. ，法一：由得：，∴，，利用两点间距离公式求解极限：；
法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在轴投影为1，渐近线斜角满足：，∴
12\.
**二. 选择题**
13\. 选D，依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为
14\. 选B，依题意：，
15\. 选C，法一：依次代入选项的值，检验的奇偶性；
法二：，若为偶函数，则，且
也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数），∴，当时，
16\. 选D，取特殊值检验法：例如：令和，求是否存在（考试中，
若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）
**三. 解答题**
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1）km；（2）35.752km.
20.（1）；（2），；（3）.
21.（1）3、5、7；（2）略；（3）.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）**
**化学试卷**
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Br 80
**一、单项选择题：本题包括8小题，每小题4分。共计32分。每小题只有一个选项符合题意。**
1．据估计，地球上的绿色植物通过光合作用每年能结合来自CO~2~中的碳1500亿吨和来自水中的氢250亿吨，并释放4000亿吨氧气。光合作用的过程一般可用下式表示：
下列说法不正确的是
A．某些无机物通过光合作用可转化为有机物
B．碳水化合物就是碳和水组成的化合物
C．叶绿素是光合作用的催化剂
D．增加植被，保护环境是人类生存的需要
2．下列叙述正确的是
3．三聚氰酸\[C~3~N~3~（OH）~3~\]可用于消除汽车尾气中的NO~2~。其反应原理为：
下列说法正确的是
A．C~3~N~3~（OH）~3~与HNCO为同一物质
B．HNCO是一种很强的氧化剂
C．1 molNO~2~在反应中转移的电子为4mol
D．反应中NO~2~是还原剂
4．下列说法正确的是
A．原子晶体中只存在非极性共价键
B．稀有气体形成的晶体属于分子晶体
C．干冰升华时，分子内共价键会发生断裂
D．金属元素和非金属元素形成的化合物一定是离子化合物
5．下列有关实验的说法正确的是
A．除去铁粉中混有的少量铝粉，可加入过量的氢氧化钠溶液，完全反应后过滤
B．为测定熔融氢氧化钠的导电性，可在瓷坩埚中熔化氢氧化钠固体后进行测量
C．制备Fe（OH）~3~胶体，通常是将Fe（OH）~3~固体溶于热水中
D．某溶液中加入盐酸能产生使澄清石灰水变浑浊的气体，则该溶液中一定含有CO~3~^2^
6．向存在大量Na^+^、Cl^－^的溶液中通入足量的NH~3~后，该溶液中还可能大量存在的离子组是
A．K^＋^、Br^－^、CO~3~^2－^ B．Al^3＋^、H^＋^、MnO~4~^－^
C．NH~4~^＋^、Fe^3＋^、SO~4~^2－^ D．Ag^＋^、Cu^2＋^、NO~3~^－^
7．甲醇质子交换膜燃料电池中将甲醇蒸气转化为氢气的两种反应原理是
①CH~3~OH（g）+H~2~O（g）=CO~2~（g）+3H~2~（g）；△H= + 49．0 kJ·mol^－1^
②CH~3~OH（g）+O~2~（g）=CO~2~（g）+2H~2~（g）；△H=－192．9 kJ·mol^－1^
下列说法正确的是
A．CH~3~OH的燃烧热为192．9 kJ·mol^－1^
B．反应①中的能量变化如右图所示
C．CH~3~OH转变成H~2~的过程一定要吸收能量
D．根据②推知反应：
CH~3~OH（l）+O~2~（g）=CO~2~（g）+2H~2~（g）的△H\>－192．9kJ·mol^－1^
8．阿伏加德罗常数约为6.02×10^23^mol^－1^，下列叙述正确的是
A．2.24LCO~2~中含有的原子数为0.3 ×6.02×10^23^
B．0.1L3 mol·L^－1^的NH~4~NO~3~溶液中含有的NH~4~^＋^数目为0.3 ×6.02×10^23^
C．5.6g铁粉与硝酸反应失去的电子数一定为0.3 ×6.02×10^23^
D．4.5gSiO~2~晶体中含有的硅氧键数目为0.3 ×6.02×10^23^
**二、不定项选择题：本题包括8小题，每小题4分。共计32分。每小题有一个或两个选项符合题意。若正确答案只包括一个选项，多选时该题为0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就为0分。**
9．下列离子方程式书写正确的是
A．过量的SO~2~通入NaOH溶液中：SO~2~+2OH^－^=SO~3~^2－^+H~2~O
B．Fe（NO~3~）~3~溶液中加入过量的HI溶液：2Fe^3＋^+2I^－^=2Fe^2＋^+I~2~
C．NaNO~2~溶液中加入酸性KMnO~4~溶液：2MnO~4~^－^+5NO~2~^－^+6H^＋^=2Mn^2＋^+5NO~3~^－^+3H~2~O
D．NaHCO~3~溶液中加入过量的Ba（OH）~2~溶液：2HCO~3~^－^+Ba^2＋^+2OH^－^=BaCO~3~↓+2H~2~O+CO~3~^2－^
10．用下列实验装置完成对应的实验（部分仪器巳省略），能达到实验目的的是
11．某同学按右图所示的装置进行电解实验。下列说法正确的是
A．电解过程中，铜电极上有H~2~产生
B．电解初期，主反应方程式为：Cu+H~2~SO~4~CuSO~4~+H~2~↑
C．电解一定时间后，石墨电极上有铜析出
D．整个电解过程中，H^＋^的浓度不断增大
12．花青苷是引起花果呈现颜色的一种花色素，广泛存在于植物中。它的主要结构在不同pH条件下有以下存在形式：
下列有关花青苷说法不正确的是
A．花青苷可作为一种酸碱指示剂
B．I和Ⅱ中均含有二个苯环
C．I和Ⅱ中除了葡萄糖基外，所有碳原子可能共平面
D．I和Ⅱ均能与FeCl~3~溶液发生显色反应
13．一定温度下可逆反应：A（s）+2B（g）2C（g）+D（g）；△H\<0。现将1mol A和2molB加入甲容器中，将4 molC和2 mol D加入乙容器中，此时控制活塞P，使乙的容积为甲的2倍，t~1~时两容器内均达到平衡状态（如图1所示，隔板K不能移动）。下列说法正确的是
A．保持温度和活塞位置不变，在甲中再加入1molA和2molB,达到新的平衡后，甲中C的浓度是乙中C的浓度的2倍
B．保持活塞位置不变，升高温度，达到新的平衡后，甲、乙中B的体积分数均增大
C．保持温度不变，移动活塞P，使乙的容积和甲相等，达到新的平衡后，乙中C的体积分数是甲中C的体积分数的2倍
D．保持温度和乙中的压强不变，t~2~时分别向甲、乙中加入等质量的氦气后，甲、乙中反应速率变化情况分别如图2和图3所示（t~1~前的反应速率变化已省略）
14．有X、Y两种元素，原子序数≤20，X的原子半径小于Y，且X、Y原子的最外层电子数相同（选项中m、n均为正整数）。下列说法正确的是
A．若X（OH）n为强碱，则Y（OH）n也一定为强碱
B．若HnXOm为强酸，则X的氢化物溶于水一定显酸性
C．若X元素形成的单质是X~2~，则Y元素形成的单质一定是Y~2~
D．若Y的最高正价为+m，则X的最高正价一定为+m
15．下列溶液中各微粒的浓度关系不正确的是
A．0.1 mol·L^－1^ HCOOH溶液中：c（HCOO^－^）+c（OH^－^）=c（H^＋^）
B．1 L 0．l mol·L^－1^CuSO~4~·（NH~4~）~2~SO~4~·6H~2~O的溶液中：c（SO~4~^2－^）\>c（NH~4~^＋^））\>c（Cu^2＋^）\>c（H^＋^）\>c（OH^－^）
C．0.1 mol·L^－1^NaHCO~3~溶液中： c（Na^＋^）+c（H^＋^）+c（H~2~CO~3~）=c（HCO~3~^－^）+c（CO~3~^2－^）+c（OH^－^）
D．等体积、等物质的量浓度的NaX和弱酸HX混合后的溶液中：c（Na^＋^）\>c（HX）\>c（X^－^）\>c（H^＋^）\>（OH^－^）
16．某合金（仅含铜、铁）中铜和铁的物质的量之和为ymol，其中Cu的物质的量分数为a ，将其全部投入50mLbmol·L^－1^的硝酸溶液中，加热使其充分反应（假设NO是唯一的还原产物）。
下列说法正确的是
A．若金属有剩余，在溶液中再滴入硫酸后，金属又开始溶解
B．若金属全部溶解，则溶液中一定含有Fe^3＋^
C．若金属全部溶解，且产生336mL气体（标准状况），则b=0.3
D．当溶液中金属离子只有Fe^3＋^、Cu^2＋^时，则a与b的关系为：b≥80y（1－）
**三、本题包括2小题．共计22分。**
17．（10分）
实验室常利用甲醛法测定（NH~4~）~2~SO~4~样品中氮的质量分数，其反应原理为：4NH~4~^＋^+6HCHO=3H^＋^+6H~2~O+（CH~2~）~6~N~4~H^＋^ \[滴定时，1 mol（CH~2~）~6~N~4~H^+^与 l mol H^+^相当\]，然后用NaOH标准溶液滴定反应生成的酸，某兴趣小组用甲醛法进行了如下实验：
步骤I：称取样品1.500g。
步骤II：将样品溶解后，完全转移到250 mL容量瓶中，定容，充分摇匀。
步骤Ⅲ：移取25.00mL样品溶液于250mL锥形瓶中，加入10mL20％的中性甲醛溶液，摇匀、静置5 min后,加入1～2滴酚酞试液，用NaOH标准溶液滴定至终点。按上述操作方法再重复2次。
（1）根据步骤Ⅲ填空：①碱式滴定管用蒸馏水洗涤后，直接加入NaOH标准溶液进行滴定，则测得样品中氮的质量分数 [ ]{.underline} （填"偏高"、"偏低"或"无影响"）。②锥形瓶用蒸馏水洗涤后，水未倒尽，则滴定时用去NaOH标准溶液的体积\_\_[▲]{.underline} 。 （填"偏大"、"偏小"或"无影响"）③滴定时边滴边摇动锥形瓶，眼睛应观察\_\_[▲]{.underline} 。
A．滴定管内液面的变化
B．锥形瓶内溶液颜色的变化
④滴定达到终点时，酚酞指示剂由\_\_[▲]{.underline} 色变成\_\_[▲]{.underline} 色。
（2）滴定结果如下表所示：
若NaOH标准溶液的浓度为0.1010mol·L^－1^则该样品中氮的质量分数为\_\_[▲]{.underline} 。
18．（12分）
酯是重要的有机合成中间体，广泛应用于溶剂、增塑剂、香料、粘合剂及印刷、纺织等工业。乙酸乙酯的实验室和工业制法常采用如下反应：
CH~3~COOH＋C~2~H~5~OH CH~3~COOC~2~H~5~＋H~2~O
请根据要求回答下列问题：
（1）欲提高乙酸的转化率，可采取的措施有\_\_[▲]{.underline} 、\_\_[▲]{.underline} 等。
（2） 若用右图所示装置来制备少量的乙酸乙酯，产率往往偏低，其原因可能为 \_\_[▲]{.underline} 、\_\_[▲]{.underline} 等。
（3）此反应以浓硫酸为催化剂，可能会造成\_\_[▲]{.underline} 、\_\_[▲]{.underline} 等问题。
（4）目前对该反应的催化剂进行了新的探索，初步表明质子酸离子液体可用作此反应的催化剂，且能重复使用。实验数据如下表所示（乙酸和乙醇以等物质的量混合）
①根据表中数据，下列\_\_[▲]{.underline} （填字母）为该反应的最佳条件。
A．120℃，4h
B．80℃，2h
C．60℃，4h
D．40℃，3h
②当反应温度达到120℃时，反应选择性降低的原因可能为\_\_[▲]{.underline} 。
**四、本题包括2小题，共计18分。**
19．（8分）
通常情况下，微粒A和B为分子，C和E为阳离子，D为阴离子，它们都含有10个电子；B溶于A后所得的物质可电离出C和D；A、B、E三种微粒反应后可得C和一种白色沉淀。请回答：
（1）用化学符号表示下列4种微粒：
A：\_\_[▲]{.underline} ；B ：\_\_[▲]{.underline} ；C：\_\_[▲]{.underline} ；D ：\_\_[▲]{.underline} 。
（2）写出A、B、E三种微粒反应的离子方程式：
\_\_[▲]{.underline} 。
20．（10分）右图中各物质均由常见元素（原子序数≤20）组成。已知A、B、K为单质且在常温下A和K为气体，B为固体。D为常见的无色液体。I是一种常用的化肥，在其水溶液中滴加AgNO~3~溶液有不溶于稀HNO~3~的白色沉淀产生。J是一种实验室常用的干燥剂。它们的相互转化关系如图所示：
（图中反应条件未列出）。请回答下列问题：
（1）I的化学式为\_\_[▲]{.underline} ； J的电子式为 \_\_[▲]{.underline} 。
（2）反应①的化学方程式为\_\_[▲]{.underline} 。
（3）F的水溶液与氯气反应的离子方程式为\_\_[▲]{.underline} 。
**五、本题包括1小题，共计10分。**
21．（10分）
工业上以硫铁矿为原料制硫酸所产生的尾气除了含有N~2~、O~2~外，还含有SO~2~、微量的SO~3~和酸雾。为了保护环境，同时提高硫酸工业的综合经济效益，应尽可能将尾气中的SO~2~转化为有用的副产品。请按要求回答下列问题：
（1）将尾气通入氨水中，能发生多个反应，写出其中可能发生的两个氧化还原反应的化学方程式：\_\_[▲]{.underline} 、\_\_[▲]{.underline} 。
> （2）在尾气与氨水反应所得到的高浓度溶液中，按一定比例加入氨水或碳酸氢铵，此时溶液的温度会自行降低，并析出晶体。①导致溶液温度降低的原因可能是\_\_[▲]{.underline} ；②析出的晶体可用于造纸工业，也可用于照相用显影液的生产。已知该结晶水合物的相对分子质量为134，则其化学式\_\_[▲]{.underline} ；③生产中往往需要向溶液中加入适量的对苯二酚或对苯二胺等物质，其目的是\_\_[▲]{.underline} 。
（3）能用于测定硫酸尾气中SO~2~含量的是\_\_[▲]{.underline} 。（填字母）
A．NaOH溶液、酚酞试液
B．KMnO~4~溶液、稀H~2~SO~4~
C．碘水、淀粉溶液
D．氨水、酚酞试液
**六、本题包括2小题，共计18分。**
22．（8分）
肉桂醛是一种食用香精，它广泛用于牙膏、洗涤剂、糖果以及调味品中。工业上可通过下列反应制备：
（1）请推测B侧链上可能发生反应的类型：\_\_[▲]{.underline} 。（任填两种）
（2）请写出两分子乙醛在上述条件下反应的化学方程式：\_\_[▲]{.underline} 。
（3）请写出同时满足括号内条件的B的所有同分异构体的结构简式：\_\_[▲]{.underline} 。（①分子中不含羰基和羟基； ②是苯的对二取代物 ③除苯环外，不含其他环状结构。）
23．（10分）
物质A（C~11~H~18~）是一种不饱和烃，它广泛存在于自然界中，也是重要的有机合成中间体之一。某化学实验小组从A经反应①到⑤完成了环醚F的合成工作：
该小组经过上述反应，最终除得到F~1~ 外，还得到它的同分异构体，
其中B、C、D、E、F、分别代表一种或多种物质。已知：
请完成：
（1）写出由A制备环醚F~1~ 的合成路线中C的结构简式：\_\_[▲]{.underline} 。
（2）①写出B的一种结构简式：\_\_[▲]{.underline} ；②写出由该B出发经过上述反应得到的F~1~的同分异构体的结构简式：\_\_[▲]{.underline} 。
（3）该小组完成由A到F的合成工作中，最多可得到\_\_[▲]{.underline} 种环醚化合物。
**七、本题包括2小题．共计18分。**
24．（8分）
在隔绝空气的条件下，某同学将一块部分被氧化的钠块用一张已除氧化膜、并用针刺一些小孔的铝箔包好，然后放入盛满水且倒置于水槽中的容器内。待钠块反应完全后，在容器中仅收集到1.12 L氢气（标准状况），此时测得铝箔质量比反应前减少了0.27g，水槽和容器内溶液的总体积为2.0 L，溶液中NaOH的浓度为0.050mol·L^-1^（忽略溶液中离子的水解和溶解的氢气的量）。
（1）写出该实验中发生反应的化学方程式。
（2）试通过计算确定该钠块中钠元素的质量分数。
25．（10分）
钢铁工业是国家工业的基础。2006年我国粗钢产量突破4亿吨，居世界首位。某中学社会实践活动小组利用假期对当地钢铁厂进行了调研，对从矿石开始到钢铁产出的工艺流程有了全面的感性认识。请您对社会实践活动小组感兴趣的问题进行计算：
（1）将6．62 g铁矿石样品投入适量的盐酸中（充分反应），过滤，然后在滤液中加过量的NaOH 溶液，充分反应后，过滤、洗涤、灼烧得4.80g Fe~2~O~3~。现以该铁矿石为原料炼铁，若生产过程中铁元素损失4％，计算每生产1.00t生铁（含铁96％），至少需要这种铁矿石多少吨? （保留两位小数）
（2）取某钢样粉末28.12g（假设只含Fe和C），在氧气流中充分反应，得到CO~2~气体224mL（标准状况）。
①计算此钢样粉术中铁和碳的物质的量之比。
②再取三份不同质量的钢样粉末分别加到100mL相同浓度的H~2~SO~4~溶液中，充分反应后，测得的实验数据如下表所示：
------------------------------ ------- ------- -------
实验序号 I II III
加入铜样粉末的质量/g 2.812 5.624 8.436
生成气体的体积/L（标准状况） 1.120 2.240 2.800
------------------------------ ------- ------- -------
计算硫酸溶液的物质的量浓度。
③若在实验Ⅱ中继续加入mg钢样粉末，计算反应结束后剩余的固体质量为多少? （用含m的代数式表示）
| 1 | |
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------分一分（一）》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)把一块蛋糕平均分成6份，其中的一份为( )。 来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)九分之四写作( )，它的分子是( )，分母是( )。
(3)是4个( )，( )个是。
(4)1里面有( )个。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．用分数表示图中的阴影部分和空白部分。
 
阴影部分 [ ]{.underline} 阴影部分 [ ]{.underline} 阴影部分 [ ]{.underline} 阴影部分 [ ]{.underline}
空白部分 [ ]{.underline} 空白部分 [ ]{.underline} 空白部分 [ ]{.underline} 空白部分 [ ]{.underline}
3．用分数表示下面各图中的涂色部分。
( ) ( ) ( ) ( )
4．选择题。
（1)在下图中，阴影部分占图形的的图形是( )。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
A B C
(2)下面几个分数，不能表示图中阴影部分的是( )。
A． B． C．
(3)把一个圆平均分成5份，其中的3份是( )。
A． B． C．
(4)八分之六写作( )。
A． B． C．
5．下图中阴影部分的表示法对吗？对的打"√"，错的打"×"。
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6．按分数把下面各图形涂上颜色。
参考答案
1\. 略
2\. 略
3\. 略
4．(1)B (2)C (3)C (4)B
5．√ × × × × √
6．略
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**沈丘县2020-2021学年度上期期末教学质量监测试卷**
**六年级数学**
**注意事项：1、本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。**
**答在试卷上的答案无效。**
**一、填空题。（2×8=16）**
> **1．在0.62、 、-6.2三个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。**
>
> **2．甲、乙两数的平均数是70，甲乙两数的比是4:3，甲数是（ ）。**
>
> **3．A在B的北偏东30°方向上，则B在A的（ ）方向上。**
>
> **4．要开凿一条隧道，甲工程队单独施工需要12天，乙工程队单独施工需要15天，如果甲、乙两个工程队同时施工，需要（ ）天开凿完这条隧道。**
>
> **5．有10张倒扣着的相同的卡片，其中2张画的是喜鹊，8张画的是熊猫，和匀后从中任意拿1张。选择"可能性大""可能性小""经常""偶尔""不可能"填空：**
>
> **（1）（ ）拿到画有喜鹊的卡片，拿到的（ ） （2）（ ）拿到画有老虎的卡片 （3）（ ）拿到画有熊猫的卡片，拿到的（ ）。**
>
> **6．如图，大圆的周长是12.56cm，小圆的周长是（ ）。**
 
**第6题图 第7题图 第8题图**
> **7．如图所示，圆的直径是8厘米，那么正方形的面积是（ ）平方厘米。**
>
> **8．图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。**
**二、选择题。（选择正确答案的序号填在括号里）（1×5=5）**
**1．下面图形中，对称轴最多的是( )。**
**A．** **B．** **C．** **D．**
**2．下列四个算式中，结果最大的是( )。**
**A． B． C． D．**
**3．下列算式中，等号左右两边不相等的是( )。**
**A． B．×（×）=（×）×**
**C． D．**
**4．下面图（ ）中的阴影部分不是扇形．**
**A．** **B．** **C．** **D．**
**5．在测量圆的周长时用到的数学思想方法是（ ）**
**A．一一对应 B．化曲为直 C．统计 D．归纳**
**三、判断题。（对的打"√"，错的打"×"）（1×5=5）**
**1．因为1.25×0.8＝1，所以1.25和0.8互为倒数。 （ ）**
**2．甲数比乙数多 ，乙数就比甲数少 。 （ ）**
**3．可以把1.5，-72 ，0这三个数分成正数和负数两类。 （ ）**
**4．一枚骰子，任意掷一次都有6种可能的结果。 （ ）**
**5．只要功夫深铁杵磨成针的可能性很大。 （ ）**
**四、计算题。（10+8+4+6+6=34）**
**1．直接写出下面各题的得数。（1×10=10）**
**2．下面各题怎样简便就怎样算。（2×4=8）**
**3．解方程。（2×2=4）**
**（1）5x－x＝ （2）2x＋＝**
**4．计算下图中阴影部分的面积。（3×2=6）**
**（1）** **（2）（单位：厘米）** 
**5．列式计算。（3×2=6）**
**（1）0.7与 的差除以它们的和，商是多少？**
**（2）一个数的 是9，它的 是多少？**
**五、解答题。（6+4=10）**
**1．看图回答问题。**
**①图书馆在中心广场的（ ）偏（ ）（ ）度方向上，距离是（ ）米。**
**②少年宫在中心广场的西偏北方向上，距离600米处。请在图上用▲标出少年宫的位置。**
**2．我来讲道理。**
**请你回忆数学课上，你们是怎么研究得出圆的面积计算公式的？把探究过程写下来。（可以画图或者写出与课本上不同的方法）**
**六、问题解决。（6×5=30）**
> **1．故宫是全世界最大的宫殿建筑群，天安门广场的占地面积大约是44公顷，比故**
>
> **宫的占地面积少 。故宫的占地面积大约是多少公顷？**
>
> **2．在一个周长是62.8m的圆形水池周围修一条宽1m的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？**
>
> **3．六(1)班的李佳、张帅和刘云峰在教室里擦桌椅。李佳擦了桌椅总数的；张帅和刘云峰擦完了剩下的桌椅，他俩所擦桌椅数的比是2:3，其中张帅擦了10套桌椅。三人一共擦了多少套桌椅？**
>
> **4．张大伯家用18.84m长的竹篱笆靠墙围的一个半圆形鸡舍（如图）。这个鸡舍的占地面积是多少平方米？**
> **5．4个大人,2个小孩,一起参加江城一日游。旅行社推出甲、乙两种江城一日游的优惠方案。选择哪种方案省钱？**
**甲方案：大人每人120元，小孩每人只收1个大人的。**
**乙方案：每人110元，团体5人以上（含5人）优惠。**
**2020-2021学年六年级数学上册期末测试**
**参考答案**
**一、填空题。（2×8=16）**
1． - 6.2
2．80
3.南偏西30°
4．
5.（1）偶尔 可能性小 （2）不可能 （3）经常 可能性大
6．6.28cm
7．32
8．6.28
**二、选择题。（选择正确答案的序号填在括号里）（1×5=5）**
1．C 2．D 3．A 4．D 5.B
**三、判断题。（对的打"√"，错的打"×"）（1×5=5）**
1．√ 2．× 3．× 4．√ 5．√
**四、计算题。（10+8+4+6+6=34）**
1．直接写出下面各题的得数。（1×10=10）
；4；；40；；
；；；0.9；
2．下面各题怎样简便就怎样算。（2×4=8）
；31；5；
3．解方程。（2×2=4）
（1）x=；（2）x=
4．计算下图中阴影部分的面积。（3×2=6）
（1）半径＝8÷2＝4（米）
半圆的面积＝3.14×4×4÷2＝25.12（平方米）
三角形的面积＝4×4÷2＝8（平方米）
则阴影部分的面积＝25.12－8＝17.12（平方米）
（2）（4+7）×4÷2
=11×4÷2
=44÷2
=22(平方厘米)
5．列式计算。（3×2=6）
（1）（0.7- ）÷（0.7+ ）
=
=
（2）9÷×
=
=
**五、解答题。（6+4=10）**
1．①东；北；50；500
②
2．把圆平均分成若干份，沿半径剪开，然后拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，因为长方形的面积 ＝ 长 × 宽， 所以圆的面积 ＝πr×r＝**πr²**。（或其他比较有见地的想法）
**六、问题解决。（6×5=30）**
1． 44÷（1﹣）
＝44÷
＝72（公顷）
答：故宫的占地面积大约是72公顷
2．62.8÷3.14÷2=10(m)
3.14×(10+1)^2^- 3.14×10^2^=65.94( m^2^)
答：这条小路的面积是65.94 m^2^。
3． 10×=15（套）
(10 +15)÷（1-1/2）=50（套）
答：三人一共擦了50套桌椅
4．56.52平方米
5．乙方案。
甲方案所需钱数：120×4＋120××2
＝480＋144＝624（元）
乙方案所需钱数：110×（4＋2）×（1－）
＝110×6×
＝594（元）
594＜624
答：乙方案更省钱。
| 1 | |
**2020-2021学年云南省玉溪市峨山县六年级（上）期末数学模拟试卷**
**一、认真审题，准确填空。（每空1分，共23分）**
1．（2分）的倒数是[ ]{.underline}，[ ]{.underline}的倒数是1．
2．（3分）比9*m*多的是[ ]{.underline}*m*，60*t*比[ ]{.underline}少，[ ]{.underline}分是1小时的。
3．（1分）六（1）班有40人，今天有两个同学请假，今天六（1）班的出勤率是[ ]{.underline}。
4．（1分）一件衣服的定价是150元，现在降价20%出售，现在的售价是[ ]{.underline}元。
5．（4分）6：[ ]{.underline}÷20＝[ ]{.underline}%
6．（2分）一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的[ ]{.underline}倍，面积扩大到原来的[ ]{.underline}倍．
7．（1分）要找到一个圆的圆心，至少要将圆对折[ ]{.underline}次．
8．（1分）工程队修一条800*m*长的水渠，第一周修了全长的，第二周修了余下的，还剩下[ ]{.underline}*m*没有修。
9．（1分）一只闹钟的分针长5*cm*，经过1小时，分针的针尖走过了[ ]{.underline}*cm*。
10．（3分）在、0.28、和28.5%中，最大的数是[ ]{.underline}，[ ]{.underline}和[ ]{.underline}一样大。
11．（2分）一辆汽车小时行驶了200千米，这辆汽车行驶的路程与时间的最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
12．（2分）一个三角形的三个内角度数比是2：3：4，按角分，这是一个[ ]{.underline}三角形，它最大的角是[ ]{.underline}度。
**二、仔细推敲，准确判断。（对的打"√"，错的打"×"。每小题1分，共5分）**
13．（1分）把4：5的前项增加8，要使比值不变，后项要乘2。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）一双皮鞋，先提价后，再降价，皮鞋的价格不变．[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）甲用小时行走的路程与乙用小时行走的路程相等，甲走得比乙快．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．（1分）圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）一种福利彩票的中奖率为5%，即表示买100张彩票一定有5张中奖。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、反复比较，慎重选择。（把正确答案的序号填在括号里。每小题1分，共5分）**
18．（1分）下列算式中，计算结果最大的是（ ）
A．6 B．6 C．6 D．
19．（1分）合唱队有40人，航模队的人数是合唱队的，美术队的人数比合唱队少，舞蹈队的人数比合唱队多。算式40×（1）表示求（ ）
A．航模队有多少人
B．美术队有多少人
C．舞蹈队有多少人
D．舞蹈队比合唱队多多少人
20．（1分）在一个边长为6*cm*的正方形内剪一个最大的圆，则圆的周长为（ ）
A．6*cm* B．12*cm* C．12.56*cm* D．18.84*cm*
21．（1分）要想清楚地表示出种植收入、养殖收入、打工收入、其它收入在总收入中所占的百分比，最好选用（ ）统计图。
A．条形 B．扇形 C．折线 D．复式条形
22．（1分）（ ）
A．1 B． C． D．2
**四、看清题目，认真计算。（共31分）**
23．（10分）直接写出得数。
42 18＝ 1.6＝
------------------ ------- ------- -------
200×（1﹣40%）＝ 50%＝ 9＝ 75%＝
24．（12分）计算下面各题，怎样简便就怎样算。
（1）361.7 （2）7
---------------- ---------------------
（3）（18×14） （4）（1）×0.72÷64%
25．（9分）解方程。
----------- ---------- ----------
（1）*xx* （2）*x* （3）*x*
----------- ---------- ----------
**五、看清要求，合理操作、计算。（共8分）**
26．（3分）按要求完成下面各题。
> （1）画一个直径是4*cm*的圆，并用字母标出各部分的名称。
>
> （2）在这个圆中画一个圆心角是60°的扇形。
27．（2分）某勘探队在*A*城南偏西60°方向上约60千米处发现稀有金属矿．请你在平面图上确定金属矿的位置*B*．
28．（3分）计算图中阴影部分的面积（单位：*cm*）。
**六、联系生活，实践数学。（共28分）**
29．（5分）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路，全程2298*km*。一列火车沿京广高铁从北京开往广州，已经行了全程的，这列火车距离广州还有多少千米？
30．（5分）学校食堂运来大米和面粉共400千克，其中面粉的质量是大米的．运来面粉和大米各有多少千克？（用方程解）
31．（6分）一座电视塔的圆形塔底的半径是30*m*，现在要在它的周围种植20*m*宽的环形草坪（如图），如果在草坪的外围围一圈贴栅栏，这圈铁栅栏长多少米？草坪的面积有多大？
32．（5分）学校图书室运来800本书，六年级借走了，剩下的图书按2：2：3借给三、四、五年级，五年级借到多少本图书？
33．（7分）如图是张叔叔一个月3500元工资的安排情况统计图。
> （1）请填写如表。
项目 基本生活费 休闲 储蓄 其他
------------ --------------------- --------------------- --------------------- ---------------------
金额（元） [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
> （2）张叔叔想买一台4500元的电脑，他需要几个月的储蓄才够买？
**2020-2021学年云南省玉溪市峨山县六年级（上）期末数学模拟试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、认真审题，准确填空。（每空1分，共23分）**
1．【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，又根据乘法中各部分间的关系，用1除以一个数的商就是这个数的倒数，或把一个数的分子、分母颠倒位置所得到的数就是这个数的倒数；1的倒数是它本身．
> 【解答】解：1
>
> ＝1
>
> 或把的分子、分母颠倒位置是
>
> 所以的倒数是；
>
> 因为1×﹣＝1
>
> 所以1的倒数是1．
>
> 故答案为：，1．
>
> 【点评】此题是考查倒数的意义，求一个数的倒数的方法．求一个数的倒数一般是根据倒数的意义，用1除以这个数，或把这个数的分子、分母颠倒位置；1的倒数是1，0没有倒数．
2．【分析】把9米看作单位"1"，要求的数量相当于9米的（1），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答；
> 把所求的数看作单位"1"，也就是60吨相当于这个数的（1），因此这个数是60÷（1）；
>
> 1小时＝60分，要求1小时的是多少，用60乘即可。
>
> 【解答】解：9×（1）
>
> ＝9
>
> ＝12（米）
>
> 60÷（1）
>
> ＝60
>
> ＝75（吨）
>
> 6048（分）
>
> 答：比9*m*多的是12*m*，60*t*比75少，48分是1小时的。
>
> 故答案为：12，75，48。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘除应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
3．【分析】出勤率＝出勤人数÷总人数×100%，由此代入数据求解。
> 【解答】解：（40﹣2）÷40×100%
>
> ＝0.95×100%
>
> ＝95%
>
> 答：今天六（1）班的出勤率是95%。
>
> 故答案为：95%。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百。
4．【分析】把这件衣服的定价看作单位"1"，则现在售价相当于定价的（1﹣20%），根据百分数乘法的意义，用定价（150元）乘（1﹣20%）就是现在的售价。
> 【解答】解：150×（1﹣20%）
>
> ＝150×80%
>
> ＝120（元）
>
> 答：现在的售价是120元。
>
> 故答案为：120。
>
> 【点评】此题是考查百分数乘法的意义及应用。求一个数的百分之几是多少，用这个数乘百分率。
5．【分析】根据分数的基本性质，的分子、分母都乘3就是；根据比与分数的关系，3：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘2就是6：10；根据分数与除法的关系，3÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘4就是12÷20；3÷5＝0.6，把0.6的小数点向右移动两位添上百分号就是60%。
> 【解答】解：6：1012÷20＝60%。
>
> 故答案为：10，15，12，60。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
6．【分析】根据圆的：*C*＝2π*r*，*S*＝π*r*^2^以及积的变化规律可得：一个圆的半径扩大到原来的*n*倍，这个圆的周长就扩大到原来的*n*倍，面积就扩大到原来的*n*^2^倍；据此解答．
> 【解答】解：一个圆的半径扩大到原来的3倍，这个圆的周长就扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的3^2^＝9倍．
>
> 故答案为：3，9．
>
> 【点评】本题考查了积的变化规律在圆的*C*＝2π*r*，*S*＝π*r*^2^中灵活应用，可以把它当作结论记住．
7．【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．
> 【解答】解：将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．
>
> 故答案为：两．
>
> 【点评】本题考查了确定圆心的方法．
8．【分析】根据题意，把整条水渠的长度看作单位"1"，则第一周修的长度＝全长，第二周修的长度＝第一周修后剩余的长度。用全长减去两周修的长度，即可求剩余长度。
> 【解答】解：800﹣800800×（1）
>
> ＝800﹣200﹣200
>
> ＝400（米）
>
> 答：还剩下400*m*没有修。
>
> 故答案为：400。
>
> 【点评】本题主要考查分数四则运算的应用，关键找到单位"1"，利用数量关系做题。
9．【分析】根据生活经验可知，分针1小时转一圈，经过1小时，分针的针尖走过的路程等于半径为5厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：2×3.14×5＝31.4（厘米）
>
> 答：分针的针尖走过了31.4厘米。
>
> 故答案为：31.4。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．【分析】把分数、百分数都化成保留一定位数的小数，再根据小数的大小比较方法进行比较即可。
> 【解答】解：0.2857
>
> 0.28
>
> 28.5%＝0.285
>
> 即28.5%0.28
>
> 答：在、0.28、和28.5%中，最大的数是 ，0.28和 一样大。
>
> 故答案为：；0.28；。
>
> 【点评】本题主要考查小数、分数及百分数的比较，关键把分数和百分数转化成小数。
11．【分析】根据题意，可知路程是200千米，时间是小时，据此直接写出路程和时间的对应比，进而化简成最简整数比；再用最简比的前项除以后项即得比值。
> 【解答】解：200：
>
> ＝（200÷2.5）：（5÷2.5）
>
> ＝80：1
>
> 200：
>
> ＝200
>
> ＝80
>
> 答：这辆汽车行驶的路程与时间的最简整数比是80：1，比值是80。
>
> 故答案为：80：1，80。
>
> 【点评】此题考查根据题意写比、化简比以及求比值的方法的运用。
12．【分析】三角形的内角和是180°，这个三角形三个角度数的比是2：3：4，其中最大角的度数占内角和的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出最大角的度数，再根据三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，根据最大角的度数确定这个三角形属于哪种三角形。
> 【解答】解：180°
>
> ＝180°
>
> ＝80°
>
> 80度的角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形，最大的角是80度。
>
> 故答案为：锐角、80。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形分类、按比例分配的方法及应用。
**二、仔细推敲，准确判断。（对的打"√"，错的打"&\#215;"。每小题1分，共5分）**
13．【分析】4：5的前项增加8，即4+8＝12，12÷4＝3，相当于比的前项乘3，根据比的基本性质，比的后项也要乘3。
> 【解答】解：4+8＝12
>
> 12÷4＝3
>
> 比的前项增加8，相当于乘3
>
> 根据比的基本性质，比的后项要乘3。
>
> 原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题是考查比的基本性质，比的前、后项都乘或除以一个非0数，比值不变。关键是把前项增加8转化成乘几。
14．【分析】设这双皮鞋的原价为"1"，提价后相当于原价的（1），根据分数乘法的意义，提价后是1×（1）；再把提价后的价钱看作单位"1"，降价后相当于降价前的（1），根据分数乘法的意义，用降价前的价钱乘（1）就是现价．通过比较即可判断．
> 【解答】解：设这双皮鞋的原价为"1"
>
> 1×（1）×（1）
>
> ＝1
>
> 1
>
> 皮鞋价格比原价低了，原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题不常考题．无论先提再降还是先降再提，只人两个分率相等，都比原价低了．记住这个结论，能快速解答此类题．
15．【分析】甲用小时行走的路程与乙用小时行走的路程相等，由于行走的路程相同，则甲与乙的速度比是：5：4，即甲比乙走的快．
> 【解答】解：甲与乙的速度比是：5：4，
>
> 即甲比乙走的快．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】行走相同的路程，所用时间与速度成反比．
16．【分析】一个圆有无数条直径，每条直径都可把这个圆分成两个半圆，即沿任何一条直径所在的直线对折，直线两旁的部分都能够完全重合，根据轴对称图形的意义，圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
> 【解答】解：由分析可知：圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．
17．【分析】例如，如果一种彩票的中奖概率是5%，那就是的机会中奖，说明这种彩票只有20种组合，把这20种组合全部买一张，就必定有一张中奖，但如果你购买的100张都是这20种组合中的同一种组合，那中奖概率还是5%，并不能保证百分百中得5张，要保证必中5张，就需要把这20种组合重复买5次。据此判断。
> 【解答】解：一种福利彩票的中奖率为5%，不能表示买100张彩票一定有5张中奖。
>
> 故原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查了概率的认识，要熟练掌握。
**三、反复比较，慎重选择。（把正确答案的序号填在括号里。每小题1分，共5分）**
18．【分析】先根据分数乘除法的计算方法，计算出各个算式的结果，再比较。
> 【解答】解：6
>
> 64
>
> 69
>
> 1
>
> 1＜4＜9
>
> 即6的结果最大。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决本题关键是熟练掌握分数乘除法的计算方法，正确的计算。
19．【分析】把合唱队的人数看作单位"1"，舞蹈队的人数比合唱队多。算式40×（1）表示求舞蹈队有多少人。据此解答。
> 【解答】解：算式40×（1）表示求舞蹈队有多少人。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
20．【分析】根据题意可知，在这个正方形内剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：*C*＝π*d*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：3.14×6＝18.84（厘米）
>
> 答：圆的周长是18.84厘米。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：要想清楚地表示出种植收入、养殖收入、打工收入、其它收入在总收入中所占的百分比，最好选用扇形统计图。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
22．【分析】根据分数的拆项公式，即可求出。
> 【解答】解：
>
> ＝1
>
> ＝1
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】考查分数的拆项公式，要根据实际灵活运用。
**四、看清题目，认真计算。（共31分）**
23．【分析】分数乘法：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母，能约分的先约分；
> 分数除法：除以一个不为0的数等于乘上这个数的倒数；
>
> 200×（1﹣40%）把百分数化成小数再计算；
>
> 50%，75%把百分数化成分数再计算。
>
> 【解答】解：
4245 18＝14 1.6＝1
--------------------- -------- -------- -----
200×（1﹣40%）＝120 50%＝1 9 75%
0 3
> 【点评】本题考查了简单的运算，要注意根据运算法则和运算定律快速准确的得出答案。
24．【分析】（1）根据除法的性质进行简算；
> （2）根据乘法分配律进行简算；
>
> （3）根据乘法交换律和结合律进行简算；
>
> （4）先算小括号里面的减法，再按照从左向右的顺序进行计算。
>
> 【解答】解：（1）361.7
>
> ＝36÷（）﹣1.7
>
> ＝36÷4﹣1.7
>
> ＝9﹣1.7
>
> ＝7.3
>
> （2）7
>
> ＝（）
>
> ＝1
>
> （3）（18×14）
>
> ＝（14）×（18）
>
> ＝4×10
>
> ＝40
>
> （4）（1）×0.72÷64%
>
> 0.72÷64%
>
> ＝0.64÷64%
>
> ＝1
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
25．【分析】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
> （2）根据等式的性质，方程两边同时乘上*x*，再两边同时除以求解；
>
> （3）根据等式的性质，方程两边同时加上*x*。再两边同时减去，然后再两边同时除以求解。
>
> 【解答】解：（1）*xx*
>
> *x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> （2）*x*
>
> *x*×*xx*
>
> *x*
>
> *x*
>
> （3）*x*
>
> *x*
>
> *xxx*
>
> *x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、看清要求，合理操作、计算。（共8分）**
26．【分析】（1）圆的半径为：4÷2＝2（厘米），根据圆的画法，画出半径为2厘米的圆即可；
> （2）以圆心为顶点画一个60°的角，角与圆弧所围扇形就是要画的扇形。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题主要考查了圆的画法，需要注意的是：圆规两脚之间的距离是圆的半径。
27．【分析】根据方向规定南偏西可以确定金属矿方向，再根据线段比例尺，1厘米表示15千米，60千米在图上应是4厘米，此题可解．
> 【解答】解：60÷15＝4（厘米）
>
> 作图如下：
>
> 【点评】掌握方向的规定方法及线段比例尺的意义，知道实际距离求出图上距离是解决此题的关键．
28．【分析】阴影面积＝长方形面积﹣半圆面积。代入公式 *S*~长~＝*ab*，*S*~圆~＝π*r*^2^ 计算即可。
> 【解答】解：阴影面积：
>
> 10÷2＝5（厘米）
>
> 3.14×5×5÷2
>
> ＝78.5÷2
>
> ＝39.25（平方厘米）
>
> 10×5＝50（平方厘米）
>
> 50﹣39.25＝10.75（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是10.75平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**六、联系生活，实践数学。（共28分）**
29．【分析】把全程看成单位"1"，剩下的路程占其中的（1），用全程乘（1），即可求出火车距离广州还有多少千米。
> 【解答】解：2298×（1）
>
> ＝2298
>
> ＝383（千米）
>
> 答：这列火车距离广州还有383千米。
>
> 【点评】本题的关键是找出单位"1"，已知单位"1"的量求它的几分之几是多少用乘法求解。
30．【分析】根据题干，设运来大米*x*千克，则运来的面粉就是*x*千克，根据等量关系：运来大米的千克数+面粉的千克数＝400千克，列出方程即可解答问题．
> 【解答】解：设运来大米*x*千克，则运来的面粉就是*x*千克，根据题意可得：
>
> *xx*＝400
>
> *x*＝400
>
> *x*400
>
> *x*＝250
>
> 250150（千克）
>
> 答：运来面粉150千克，大米250千克．
>
> 【点评】解答此题容易找出基本数量关系：运来大米的千克数+面粉的千克数＝400千克，由此列方程解决问题．
31．【分析】根据题意可知，需要栅栏的长度等于外圆的周长，根据圆的周长公式：*c*＝2π*r*，把数据代入公式解答，草坪的面积是环形，根据环形面积＝外圆面积﹣内圆面积，据此解答．
> 【解答】解：外圆半径：30+20＝50（米），
>
> 2×3.14×50＝314（米），
>
> 3.14×（50^2^﹣30^2^）
>
> ＝3.14×（2500﹣900）
>
> ＝3.14×1600
>
> ＝5024（平方米），
>
> 答：这圈铁栅栏长314米，草坪的面积是5024平方米．
>
> 【点评】此题主要考查圆是周长公式、环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
32．【分析】先求出800本的是多少，再求出剩下的本数，按2：2：3借给三、四、五年级，五年级借到剩下本数的，据此解答即可。
> 【解答】解：800﹣800
>
> ＝800﹣100
>
> ＝700（本）
>
> 700300（本）
>
> 答：五年级借到300本。
>
> 【点评】本题的关键是根据比与分数的关系，求出五年级借的占剩下的总本数的几分之几，再根据分数乘法的意义列式解答。
33．【分析】（1）根据求一个数的百分之几是多少用乘法分别求出各个项目的钱数；
> （2）由每一小题可知，张叔叔一个月储蓄的金额，然后看4500里面有多少个这个金额，解答即可。
>
> 【解答】解：（1）基本生活费：3500×40%＝1400（元）
>
> 休闲：3500×20%＝700（元）
>
> 储蓄：3500×30%＝1050（元）
>
> 其他：3500×10%＝350（元）
>
> 填表如下：
项目 基本生活费 休闲 储蓄 其他
------------ ------------ ------ ------ ------
金额（元） 1400 700 1050 350
> （2）4500÷1050＝4（个月）...300（元）
>
> 4+1＝5（个月）
>
> 他需要5个月的储蓄才够买。
>
> 答：他需要5个月的储蓄才够买。
>
> 故答案为：1400、700、1050、350。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
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日期：2021/4/27 11:17:50；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**菏泽市二0二0年初中学业水平考试（中考）数学试题**
**注意事项：**
**1．本试题共24个题，考试时间120分钟．**
**2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．**
**一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）**
1.下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：，，，，
∵，
∴绝对值最小的数是；
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2.函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
【详解】解：由题意得：
解得：且
故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
3.在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
【详解】解：∵将点向右平移个单位，
∴点的坐标为：(0，2)，
∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A．
【点睛】本题考查平移时点的坐标特征及关于轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题的关键．
4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
从正面看，注意"长对正，宽相等、高平齐"，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
【详解】解：从正面看所得到的图形为选项中的图形．
故选：．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】
由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
【详解】
根据题意画出图形如下：\
答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．\
证明：∵四边形EFGH是矩形，\
∴∠FEH=90°，\
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，\
∴EF是三角形ABD的中位线，\
∴EF∥BD，\
∴∠FEH=∠OMH=90°，\
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，\
∴EH是三角形ACD的中位线，\
∴EH∥AC，\
∴∠OMH=∠COB=90°，\
即AC⊥BD．\
故选C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键．
6.如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．
【详解】由旋转的性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180º，
∴∠ADE+∠ABE=180º，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=
∴∠BED=180º-，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
7.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）^2^−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x~1~+x~2~=4\>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax^2^＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
8.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，\
∴a\>0，b＜0，\
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；\
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，\
∴a\>0，b\>0，\
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；\
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，\
∴a\<0，b\>0，\
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；\
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，\
∴a＜0，b＜0，\
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．\
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
**二、填空题（本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）**
9.计算的结果是\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】﹣13
【解析】
【分析】
根据平方差公式计算即可.
【详解】.
故答案为﹣13.
【点睛】本题考查平方差公式和二次根式计算,关键在于牢记公式.
10.方程的解是\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解．
【详解】方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以分式方程解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
11.如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，\
∴DC=DB，\
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，\
∴，\
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．
12.从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
13.如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
14.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，，，
∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴，又=5，
∴PD=8，
∵AB∥DQ，
∴，即
解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键．
**三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）**
15.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用，熟知以上运算是解题的关键．
16.先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a^2^+4a,6
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a^2^+4a.
∵，
∴a^2^+2a=3.
∴原式=2（a^2^+2a）=6.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
17.如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴∠ADE=90°，
∵，
∴∠ACB=∠ADE，
在和中
，
∴，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18.某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．（参考数据：，，）
【答案】大楼的高度为52米
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度及勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．
【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE==，
∴AE=2.4BE，
又∵BE^2^+AE^2^=AB^2^，
∴BE^2^+(2.4BE)^2^=52^2^，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，
即：tan53°==
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度为52米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键．
19.某中学全校学生参加了"交通法规"知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如下不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：组的有多少人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）若该学校有名学生，估计这次竞赛成绩在A：组的学生有多少人．
【答案】（1）24人；（2）C组；（3）150人．
【解析】
【分析】
（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数；
（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；
（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．
【详解】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，
∴本次抽取的总人数为：（人），
∴抽取的学生成绩在C：组的人数为：（人）；
（2）∵总人数为60人，
∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，
∵，且
∴中位数落在C组；
（3）本次调查中竞赛成绩在A：组的学生的频率为：，
故该学校有名学生中竞赛成绩在A：组学生人数有：（人）．
【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知以上知识是解题的关键．
20.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），
∵直线交轴于点，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵面积是，
∴
∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
【解析】
【分析】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断购买方案．
【详解】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键．
22.如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
23.如图1，四边形的对角线，相交于点，，．
图1 图2
（1）过点作交于点，求证：；
（2）如图2，将沿翻折得到．
①求证：；
②若，求证：．
【答案】（１）见解析；（２）①见解析；②见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接CE，根据全等证得AE=CD，进而AECD为平行四边形，由进行等边代换，即可得到；
（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，，得，利用翻折的性质得到，即可证明；②证△BEF≌△CDE，从而得，进而得∠CED=∠BCD，且，得到△BCD∽△CDE，得，即可证明．
【详解】解：（1）连接CE，
∵，
∴，
∵，，，
∴△OAE≌△OCD，
∴AE=CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD，OE=OD，
∵，
∴CD=BE，
∴；
（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，
由（1）得，，
∴，
由翻折的性质得，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴EF=DE，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE=BE，
∵AF∥CD，
∴，
∵EF=DE，CD=BE，，
∴△BEF≌△CDE（SAS），
∴，
∵，
∴∠CED=∠BCD，
又∵∠BDC=∠CDE，
∴△BCD∽△CDE，
∴，即，
∵DE=2OD，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，考查等腰三角形的判定与性质综合，熟练掌握各图形的性质并灵活运用是解题的关键．
24.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）先求出函数对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积；
（3）根据平行四边形的性质得到，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．
【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）代入得：
，
解得：
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴l：，，
设直线BC：，
可得：
解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，
设，则，
∴，
由题意可得
整理得
解得（舍去），
∴，
∴
∴
；
（3）存在
由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知，
①如图2
当时，四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入
解得
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形．
②如图3
当时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF
∴此时N点纵坐标为
将y=代入，
得，解得：
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形．
综上所述， 或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．
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**2019-2020学年陕西省西安市长安区富力城黄河国际小学四年级（上）期末数学试卷**
**一、注意审题，细心计算．（25分）**
1．（8分）直接写出得数．
18×20＝ 600÷50＝ 210×3＝ 125×16＝
---------- ---------- ---------- -----------
720÷90＝ 280÷7＝ 600÷12＝ 4×79×25＝
2．（8分）列竖式计算．
> 321×14＝
>
> 602×32＝
>
> 378÷21＝
>
> 926÷35＝
3．（9分）能简便运算的要简便运算．
> 106×98+294×98
>
> 485+123+515+877
>
> （125×13）×8+596
>
> （105×13﹣740）÷25
**二、认真思考，正确填空．（36分，每空1分）**
4．（3分）故宫博物院现有藏品一百八十万七千五百五十八件，这个数写作[ ]{.underline}，这是一个[ ]{.underline}位数，最高位是[ ]{.underline}位
5．（4分）一个袋子里，混装着2只红袜子，3只黄袜子、8只灰袜子和3只黑袜子，从中任意摸一只，摸到[ ]{.underline}色袜子的可能性最大，摸到[ ]{.underline}袜子的可能性最小，摸到的可能性相等的袜子是[ ]{.underline}色和[ ]{.underline}色．
6．（1分）如果把零上15℃记作+15℃，那么零下8℃记作[ ]{.underline}．
7．（3分）在﹣3，0，3，5，﹣2，9，120，，﹣1，7，中，正数有[ ]{.underline}个，负数有[ ]{.underline}个，既不是正数也不是负数的有[ ]{.underline}个．
8．（4分）一个周末，妈妈与妙想先坐1路车到位置（10，5）的景点玩，这景点的名称是[ ]{.underline}．之后他们到外婆家，傍晚坐3路车回到家中，图中经过的两个站是[ ]{.underline}、[ ]{.underline}，这两个站的位置用数对表示依次是[ ]{.underline}．
9．（2分）在如图的除法竖式中，方框里的"38"是第一步的商"2"与除数19的积，"2"在十位上，实际表示[ ]{.underline}，所以方框中的"38"实际表示[ ]{.underline}．
10．（3分）张叔叔开车3小时行驶了225千米，李叔叔开车4小时行驶了304千米，张叔叔每小时行驶[ ]{.underline}千米，李叔叔每小时行驶[ ]{.underline}千米．[ ]{.underline}开车的速度快．
11．（5分）怡心宾馆要给58个房间每个房间装一部电话机，每部电话机196元，准备12000元买电话机够吗？估算时，可以把196看作[ ]{.underline}，把58看作[ ]{.underline}，估算的结果是196×58≈[ ]{.underline}元，这个结果比准确结果[ ]{.underline}（填"大"或"小"），准备12000元买电话机[ ]{.underline}（填"够"或"不够"）．
12．（2分）在下面的数直线上，请分别标出表示3、﹣4的点，*A*点表示的数是[ ]{.underline}，*B*点表示的数是[ ]{.underline}．
13．（2分）要使三位数□43除以65的商是一位数，□内最大填[ ]{.underline}；要使三位数□43除以65的商是两位数，□内最小填[ ]{.underline}．
14．（4分）在横线上填上"＞""＜"或"＝"．
> 92×37[ ]{.underline}78×37
>
> 56×380[ ]{.underline}590×38
>
> 780÷60[ ]{.underline}78÷6
>
> 3564÷54[ ]{.underline}3564÷27
**三、注意辨析、正确判断．**
15．（1分）从装有5个黄球、5个红球的袋子中，任意摸一个，摸到黄球与红球的可能性相等．[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）84951四舍五入到万位约等于90000．[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）整数的个数是有限的．[ ]{.underline}（判断对错）
18．（1分）三位数除以两位数，商一定是两位数．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（1分）在9°与10°之间还有其他的角．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、斟酌比较、慎重选择．**
20．（2分）如图中共有（ ）条线段．
A．4 B．6 C．8 D．10
21．（2分）三位数406与29的积是（ ）
A．三位数 B．四位数
C．五位数 D．不能确定是几位数
22．（2分）郑老师的身份证号码是612123197506120143，郑老师2017年（ ）岁
A．43 B．42 C．40 D．20
**五、用心思考、动手操作．**
23．（5分）在如图中，用一种颜色标出一组平行线，用铅笔标出一组互相垂直的线段．两处∠1和∠2的大小．∠1＝[ ]{.underline}，∠2＝[ ]{.underline}．
24．（5分）以*E*点为顶点，在下面画一个40°的角．以*AB*为一边，画一个长方形．
**六、联系实际，解决问题．**
25．（7分）刘师傅开车3小时行驶了195千米．照这样的速度，他开车7小时可以行驶多少千米？
26．（7分）餐厅买了面粉和大米各12袋，面粉每袋83元，大米每袋62元，一共需要多少元？
27．（7分）刘叔叔开车从县城去北山，去的时候每小时行驶48千米，用了3小时；原路返回用来2小时，他返回时平均每小时行驶多少千米？
**七、附加题．（10分）**
28．（10分）商场购进340双鞋，分别装在6个大箱和8个小箱中．如果2个大箱和3个小箱装的鞋一样多，那么每个大箱、小箱各装几双鞋？
**2019-2020学年陕西省西安市长安区富力城黄河国际小学四年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、注意审题，细心计算．（25分）**
1．【分析】根据整数乘除法运算的计算法则计算即可求解．注意125×16变形为125×8×2简便计算；600÷12变形为600÷6÷2计算；4×79×25根据乘法交换律和结合律计算．
> 【解答】解：
18×20＝360 600÷50＝12 210×3＝630 125×16＝2000
------------ ------------ ------------ ---------------
720÷90＝8 280÷7＝40 600÷12＝50 4×79×25＝7900
> 【点评】考查了整数乘除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
2．【分析】根据整数乘除法运算的计算法则计算即可求解．
> 【解答】解：321×14＝4494
>
> 602×32＝19264
>
> 378÷21＝18
>
> 926÷35＝26...16
>
> 【点评】考查了整数乘除法运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
3．【分析】（1）根据乘法分配律简算；
> （2）根据加法交换律和结合律简算；
>
> （3）先根据乘法交换律和结合律简算，最后算加法；
>
> （4）先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算括号外的除法．
>
> 【解答】解：（1）106×98+294×98
>
> ＝98×（106+294）
>
> ＝98×400
>
> ＝39200
>
> （2）485+123+515+877
>
> ＝（485+515）+（123+877）
>
> ＝1000+1000
>
> ＝2000
>
> （3）（125×13）×8+596
>
> ＝（125×8）×13+596
>
> ＝1000×13+596
>
> ＝13000+596
>
> ＝13596
>
> （4）（105×13﹣740）÷25
>
> ＝（1365﹣740）÷25
>
> ＝625÷25
>
> ＝25
>
> 【点评】此题主要考查整数的四则混合运算的运算顺序和应用运算定律进行简便计算．
**二、认真思考，正确填空．（36分，每空1分）**
4．【分析】本题可以根据数位顺序表来写出这个数，在数位表中哪一位是几就写几，没有计数单位的就写0．
> 【解答】解：一百八十万七千五百五十八件，这个数写作：180 7558，这是 7位数，最高位是百万位．
>
> 故答案为：1807558，7，百万．
>
> 【点评】本题主要考查整数的写法的应用．
5．【分析】这袋子里混装着2只红袜子，3只黄袜子、8只灰袜子和3只黑袜子，红色袜子只数最少，灰色袜子只数最多，黄色袜子与黑色袜子只数相同，因此，摸到灰色袜子的可能性最大，摸到红袜子的可能性最小，摸到的可能性相等的袜子是黄色和黑色．
> 【解答】解：因为红色袜子只数最少，灰色袜子只数最多；
>
> 所以摸到灰色袜子的可能性最大，摸到红袜子的可能性最小；
>
> 因为黄色袜子与黑色袜子只数相同；
>
> 所以摸到的可能性相等的袜子是黄色和黑色．
>
> 故答案为：灰，红，黄，黑．
>
> 【点评】袋子中哪种颜色的只数多，摸到的可能就大，反之，摸到的可能性就小；两种颜色的只数相同，摸到的可能性也相同．
6．【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温记为正，则零下气温就记为负，直接得出结论即可．
> 【解答】解：如果把零上15℃记作+15℃，那么零下8℃记作﹣8℃．
>
> 故答案为：﹣8℃．
>
> 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
7．【分析】根据正数的意义，以前学过的1、2、3、...这样的数叫做正数，正数前面也可以加"+"号；根据负数的意义，为了表示两种相反意义的量，这里出现了一种新的数，像﹣1、﹣2、﹣3、...这样的数叫做负数；0即不是正数也不是负数．
> 【解答】解：在﹣3，0，3，5，﹣2，9，120，，﹣1，7，中，
>
> 正数有：3、5、9、120、、7，共6个，
>
> 负数有：﹣3、﹣2、﹣1、，共4个，
>
> 既不是正数也不是负数的有0，只有1个；
>
> 故答案为：6，4，1．
>
> 【点评】本题是考查正、负数的意义，明确正数、负数的含义，是解答此题的关键．
8．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可得到位置（10，5）的景点的名称；根据3路车的行驶路线可得图中经过的两个站，再根据数对表示位置的方法即可求解．
> 【解答】解：一个周末，妈妈与妙想先坐1路车到位置（10，5）的景点玩，这景点的名称是 海洋世界．
>
> 之后他们到外婆家，傍晚坐3路车回到家中，图中经过的两个站是 广播大厦、百货大厦，这两个站的位置用数对表示依次是（5，4）、（3，3）．
>
> 故答案为：海洋世界，广播大厦、百货大厦，（5，4）、（3，3）．
>
> 【点评】此题主要考查数对表示位置的方法以及利用方向与距离确定物体位置和描述简单路线图的方法．
9．【分析】"2"在十位上，实际表示2个十，所以方框中的"38"实际表示38个十，即380，据此解答即可．
> 【解答】解：在如图的除法竖式中，方框里的"38"是第一步的商"2"与除数19的积，"2"在十位上，实际表示2个十，所以方框中的"38"实际表示380．
>
> 故答案为：2个十，380．
>
> 【点评】解答此题的关键是明确各个数位所代表的含义．
10．【分析】首先根据路程÷时间＝速度，把数据代入计算求出各自的速度，然后比较大小即可．
> 【解答】解：225÷3＝75（千米/时）
>
> 304÷4＝76（千米/时）
>
> 76＞75
>
> 答：张叔叔每小时行驶75千米，李叔叔每小时行驶76千米．李叔叔开车的速度快．
>
> 故答案为：75，76，李叔叔．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
11．【分析】在乘法估算中一般要根据"四舍五入"法，把因数看作是整十、整百、整千...的数来进行计算．
> 【解答】解：怡心宾馆要给58个房间每个房间装一部电话机，每部电话机196元，准备12000元买电话机够吗？估算时，可以把196看作 200，把58看作 60，
>
> 因为58＜60，196＜200，所以估算的结果是196×58≈12000元，
>
> 这个结果比准确结果 大，准备12000元买电话机 够．
>
> 故答案为：200，60，12000，大，够．
>
> 【点评】此题主要考查了学生对乘法估算方法的掌握情况．
12．【分析】在数轴上上，0左边的数都是负数，0右边的数都是正数，本题中1个单位长度表示1，由此解答即可．
> 【解答】解：
>
> *A*点表示的数是 5，*B*点表示的数是﹣2．
>
> 故答案为：5，﹣2．
>
> 【点评】本题考查了正负数意义的灵活应用，应明确在这道题中，1个单位长度表示1．
13．【分析】三位数除以两位数，要使商是两位数，被除数的前两位数字大于或等于除数；反之，商是一位数，据此即可解答．
> 【解答】解：□43÷65，□4＜65时，商是一位数，所以□里面最大填6；
>
> □4≥65时，商是两位数，所以□里面最小填7．
>
> 故答案为：6，7．
>
> 【点评】此题考查了三位数除以两位数的除法的试商方法．
14．【分析】（1）积的变化规律：一个因数（0除外）相同，另一个因数大的积就大，依此比较92×37和78×37的大小；
> （2）56×380和590×38，先将56×380变形为560×38，再比较560和590的大小即可求解；
>
> （3）780÷60和78÷6根据商不变规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变即可求解；
>
> （4）3564÷54和3564÷27的被除数相同，比较除数的大小即可求解．
>
> 【解答】解：（1）92×37＞78×37
>
> （2）56×380＜590×38
>
> （3）780÷60＝78÷6
>
> （4）3564÷54＜3564÷27
>
> 故答案为：＞；＜；＝；＜．
>
> 【点评】考查了整数的乘除法运算，整数大小的比较，关键是灵活运用运算定律简便计算．
**三、注意辨析、正确判断．**
15．【分析】袋子中装有5个黄球、5个红球，由于红球、黄球的个数相同，任意摸一个，摸到黄球与红球的可能性相等．
> 【解答】解：因为袋子中装有5个黄球、5个红球，5＝5，即红球与黄球的个数相同，
>
> 因此，任意摸一个，摸到黄球与红球的可能性相等；
>
> 原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】袋子中两种颜色球的个数相同，任意摸一个，摸到黄球与红球的可能性相等．
16．【分析】改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上"万"字；省略"万"后面的尾数就是四舍五入到万位，把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上"万"字．
> 【解答】解：84951四舍五入到万位约等于80000＝8万．
>
> 题干的说法是错误的．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题主要考查整数的求近似数，注意求近似数时要带计数单位．
17．【分析】整数的个数是无限的，没有最大的整数，据此解答即可．
> 【解答】解：整数的个数是有限的，说法错误；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查了对整数的认识，学生要熟练掌握整数的概念．
18．【分析】本题可以用极值法，用最大的三位数除以最小的两位数，以及最小的三位数除以最大的两位数，找出商的范围，再求解．
> 【解答】解：当被除数最大是999，除数最小是10时：
>
> 999÷10＝99...9，
>
> 商是99，是两位数；
>
> 当被除数最小100，除数最大是99时：
>
> 100÷99＝1...1；
>
> 商是1，是一位数；
>
> 商在1～99之间，可能是一位数，也可能是两位数；
>
> 所以原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题利用极值法，求出商的范围再判断．
19．【分析】度不是最小的单位，1度＝60分，1分＝60秒，所以在9°与10°之间还有很多其他的角，如9°3′，据此解答即可．
> 【解答】解：在9°与10°之间还有其他的角，说法正确；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了角的大小和单位，要熟练掌握．
**四、斟酌比较、慎重选择．**
20．【分析】此题可看作是握手问题，每个点都要和另外的4个点组成一条线段，5个点共组成4×5＝20条线段，由于每两点只能组成一条线段，去掉重复的情况，实际只组成了20÷2＝10条线段，据此解答．
> 【解答】解：（5﹣1）×5÷2
>
> ＝20÷2
>
> ＝10（条）
>
> 答：图中共有10条线段．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】本题是考查握手问题的应用，如果点数比较少，可以用枚举法解答；如果点数比较多，可以用公式：*n*（*n*﹣1）÷2解答．
21．【分析】根据两位数乘三位数的方法，估算出406与29的积，判断出三位数406与29的积是几位数即可．
> 【解答】解：406×29
>
> ≈400×30
>
> ＝12000
>
> 所以三位数406与29的积是五位数．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题主要考查了两位数乘三位数的方法，以及估算的方法，要熟练掌握．
22．【分析】身份证号码是612123197506120143，可知郑老师生日是1975年6月12日，要求郑老师2017年多少岁，用减法解答即可．
> 【解答】解：2017﹣1975＝42（岁）
>
> 答：郑老师2017年42岁．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】解答此题的关键是明确身份证7～14位表示生日．
**五、用心思考、动手操作．**
23．【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
> 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
>
> 使用量角器量出两角的度数即可．
>
> 【解答】解：两处∠1和∠2的大小．∠1＝60°，∠2＝120°．
>
> 故答案为：60°，120°．
>
> 【点评】此题考查了垂直与平行的判定方法和角的度量．
24．【分析】（1）①先以已知点为端点，画一条射线，再把量角器的中心点对准已知射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；
> ②对准量角器40°的刻度线点一个点（找点）；
>
> ③把点和射线端点连接，然后标出角的度数．
>
> （2）分别过图形中的线段的两个端点*A*、*B*作已知线段的同方向的垂线，截取相等的长度，再把另一个端点连接即可求解．
>
> 【解答】解：（1）如图所示：
>
> （2）如图所示：
>
> 【点评】考查了画指定度数的角，步骤为：两重合（点点重合、线线重合）；找点；连线．
**六、联系实际，解决问题．**
25．【分析】首先根据路程÷时间＝速度，用路程195千米除以时间3小时，求出刘师傅开车的速度；然后根据速度×时间＝路程，用刘师傅开车的速度乘时间7小时，求出7小时可以行驶多少千米即可．
> 【解答】解：195÷3×7
>
> ＝65×7
>
> ＝455（千米）
>
> 答：他开车7小时可以行驶455千米．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
26．【分析】根据每袋的价格及运来的袋数分别算出运来大米与面粉的价格，然后将两者相加即得学校食堂运来大米和面粉一共需要多少元．
> 【解答】解：83×12+62×12
>
> ＝（83+62）×16
>
> ＝145×12
>
> ＝1740（元）
>
> 答：一共要用1740元．
>
> 【点评】由于运来的大米和面粉的袋数相同，所以也可先将每袋大米和面粉的价格相加再乘袋数进行计算．
27．【分析】首先根据：速度×时间＝路程，用刘叔叔去时的速度乘去时用的时间，求出两地之间的距离是多少；然后用两地之间的距离除以返回用的时间，求出返回时平均每小时行驶多少千米即可．
> 【解答】解：48×3÷2
>
> ＝144÷2
>
> ＝72（千米/时）
>
> 答：他返回时平均每小时行驶72千米/时．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
**七、附加题．（10分）**
28．【分析】根据2个大箱和3只小箱装的运动鞋一样多，所以6只大箱与9只小箱装的运动鞋一样多，所以6只大箱+8只小箱＝340双，即9只小箱+8只小箱＝340双，用540除以（9+8）求出一只小箱装多少双，再用一只小箱装的数量乘3除以2等于一只大箱装的数量，据此解答即可．
> 【解答】解：由分析可知：
>
> 340÷（9+8）
>
> ＝340÷17
>
> ＝20（双）
>
> 20×3÷2＝30（双）
>
> 答：每只大箱装30双，每只小箱装20双运动鞋．
>
> 【点评】此题考查简单的等量代换，解决此题的关键是根据2个大箱和3只小箱装的运动鞋一样多，得出6只大箱与9只小箱装的运动鞋一样多，所以9只小箱+8只小箱＝340双．
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**福建省福州市2015届九年级数学下学期自主招生试题**
**（满分100分，考试时间60分钟）**
**学 校 [ ]{.underline} 姓 名 [ ]{.underline} 准考证号 [ ]{.underline}**
**注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应位置**．
**一、选择题（本大题共6小题，每小****题5分，共30分**．**在每小题给出的四个选**
**项中，只有一个选项是正确的**．**）**
1．实数、在数轴上的位置如下图所示，则化简*－*的结果为（★★★）
A． B． C． D．
2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（★★★）
   
A． B． C． D．
3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：
年龄（岁）      
------------ ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
人数（人）      
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（★★★）
A．， B．， C．， D．，
4．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（★★★）
A． B． C． D．
5．如下图所示，矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，得折痕，则的值是（★★★）
A． B． C． D．
 
第5题图 第6题图
6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（★★★）
A． B．
C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分**．**）**
7．对正实数作定义，若，则[★★★]{.underline}．
8．已知一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，若往口袋中再放入个白球和个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则与之间的函数关系式为[★★★]{.underline}．
9．如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，⊙与轴相切，
> ⊙与轴相切．若点的坐标为，且⊙
>
> 的半径是⊙的半径的倍，则点的坐标为[★★★]{.underline}．
10．若关于的不等式组有且只有四个整数解，则实数的取值范围是[★★★]{.underline}．
11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边和重合．已知，将绕点逆时针旋转后（如图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是[★★★]{.underline}．
 
图1 图2
12．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了场，乙赛了场，丙赛了场，丁赛了场，戊赛了场，则小强赛了[★★★]{.underline}场．
**三、解答题（本大题共3小题，满分40分**．**）**
13．（本小题满分13分）
> 如图，过圆直径的两端点各引一条切线，在圆上取一点，过、两点的直线交两切线于．
（1）求证：∽；
（2）如果圆的半径为，且，
求的长．
14**．**（本小题满分13分）
> 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的横坐标为**．**
>
> （1）求该抛物线的解析式；
>
> （2）点是直线**上方**的抛物线上一动点（不与点、重合）**．**过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点**，**设的周长为，点的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值**．**
 
图1 备用图
15．（本小题满分14分）
> 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：
...
图1
...
图2
> 他们研究过图1中的，... ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的，... ，这样的数为正方形数（四边形数）．
>
> （1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于的最小正整数为 [ ]{.underline} ；
>
> （2）试证明，当为正整数时，必为正方形数；
>
> （3）记第个边形数为，例如，．
>
> （ⅰ）试直接写出，的表达式；
>
> （ⅱ）通过进一步的研究发现，，... ，请你推测的表达式，并由此计算的值．
**\
数学参考答案**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**
**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6**
---------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
**答案** **D** **A** **A** **B** **D** **A**
**二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）**
**7．**  **8．** 说明：不写范围不扣分
**9．**  **10．**
**11．** **12．**
**三、解答题（本大题共3小题，满分40分）**
**13．**（1）证法一：∵为圆的切线，∴，
∵，
∴，---------① ..................... 3分
∵为圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，---------② .....................6分
由①②得． .....................7分
证法二：∵，∴，
∴，
∵，且，
∴，---------③
由①③得．
证法三：由②③得．
（注：其他证法对应给分）
解：（2）由（1）知，
∴， ................................. 10分
设，则，∵，
∴，即，.................................12分
解得，即． .................................13分
**14．****解：**（1）对于，当时，；当时，．
∴点坐标为，点坐标为，.......................................2分
由抛物线经过、两点，得，
解得．
∴． .......................................4分
（2）设直线与轴交于点，当时，． ∴．
∵点坐标为，∴，
∴． .......................................6分
∵．
由题意得，，，
∴． .......................................7分
∴． .......................................8分
∵点是直线上方的抛物线上一动点，
∴，......10分
∴，...............11分
∴，
∴时． .......................................13分
**15．**解：（1）． .......................................4分
> （2）∵
 .......................................6分
∴是完全平方数，即为正方形数．...............8分
（3）（ⅰ）， .......................................9分
． .......................................10分
（ⅱ）观察，，
，，... ，
由其变化规律，推测，............13分
∴．  .......................................14分
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**河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷**
**理数****试题**
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1.""是"复数（其中是虚数单位）为纯虚数"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.若点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C．  D．
6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A.  B． C． D．
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．
8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，
则（ ）
A． B． C． D．
9.已知非零向量，，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ）
A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4
10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个  D．8个
**二****、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）**
13.已知，展开式的常数项为15，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.已知数列满足，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.（本小题满分12分）
如图，在中，已知点在边上，且，，，.
（1）求长； （2）求.
\[来源:学,科,网\]
18.（本小题满分12分）
已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
2015年7月9日21时15分，台风"莲花"在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
----------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ------
经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计
捐款超过500元  
捐款不超过500元  
合计
----------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ------
-------------------------------------- ------- --------------- ------- ------------------------ ------- ------- --------
 0.15 0.10\[来源:\] 0.05 0.025\[来源:Zxxk.Com\] 0.010 0.005 0.001
 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-------------------------------------- ------- --------------- ------- ------------------------ ------- ------- --------
附：临界值表参考公式：.
\[来源:ZXXK\]
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数，的值；
（2）若恒成立，求的值.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.\[来源:ZXXK\]
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）求.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.
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**搭一搭（二）同步练习**
1、每棵树表示一个数，算一算它们最大是多少？
×6＜52 表示（ ）
×9＜40 表示（ ）
×7＜54 表示（ ）
2、用竖式进行计算
32÷5= 24÷7= 57÷8=
3、解决数学问题
小明有40个苹果，要平均分给小红，小强，小美，算一算，每人分几个？还剩几个？并用竖式计算
\[来源:Z。xx。k.Com\]
4、解决数学问题：
有19片扇叶，每台电扇装3片，这些扇叶足够装几台电扇？用竖式计算。
5.在（）里最大能填几？
5×（ ）\< 16 ( ) × 6 \< 25 4 × ( ) \< 23
7×( ) \<43 47 \> ( ) × 6 ( ) × 8 \< 26
6.练一练，用竖式进行计算。
大家来圈△，一共有15个△。
1. 每份3个，共几份？
2. 每份4个，共几份？还多几个？
3. 每根5个，共几份？
4、每份6个，共几份？还多几个？
**参考答案**
1、每棵树表示一个数，算一算它们最大是多少？\[来源:Z.xx.k.Com\]
×6＜52 表示（ 8 ）
×9＜40 表示（ 4 ）
\[来源:Zxxk.Com\]
×7＜54 表示（ 7 ）
2、略
\[来源:学\|科\|网\]
3、解决数学问题
40÷3=13余1
每人分13个，还剩1个
4、解决数学问题：
19÷3=6余1
5.在（）里最大能填几？
5×（ 3 ）\< 16 ( 4 ) × 6 \< 25 4 × (5 ) \< 23
7×( 6 ) \<43 47 \> ( 7 ) × 6 ( 3 ) × 8 \< 26
6.练一练，圈一圈。
大家来圈△，一共有15个△。
1、每份3个，共5份\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
2、每份4个，共3，还多3个
3、每根5个，共3份
4、每份6个，共2份，还3个
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**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题：（每小题2分，共24分）**
1．（2分）大小两个正方体，它们的棱长比是5：3，大小两个正方体的表面积的比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}；体积比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}。
2．（2分）5÷8＝＝[ ]{.underline}：40＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}（小数）。
3．（2分）一桶油，用去它的，是把[ ]{.underline}看作单位"1"；如果用去的是15千克，那么原来这桶油重[ ]{.underline}千克。
4．（2分）吨：50千克化成最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
5．（2分）圆的周长是37.68厘米，它的半径是[ ]{.underline}厘米，面积是[ ]{.underline}平方厘米．
6．（2分）100米比80米多[ ]{.underline}%；50吨比[ ]{.underline}吨多25%。
7．（2分）一个直角三角形，两个锐角的度数的比是2：3，这两个锐角分别是[ ]{.underline}度和[ ]{.underline}度．
8．（2分）一道减法算式，被减数、减数、差一共是96，减数与差的比是7：5，减数是[ ]{.underline}，差是[ ]{.underline}。
9．（2分）学校种了160棵树苗，结果132棵成活，成活率是[ ]{.underline}%，如果要成活165棵，至少需要种[ ]{.underline}棵树苗。
10．（2分）张大伯把20000元存入银行，定期2年，年利率是2.4%，到期可得利息[ ]{.underline}元，他打算把利息的40%捐给灾区，他捐了[ ]{.underline}元。
11．（2分）一个长方形的周长是48厘米，长比宽多，这个长方形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
12．（2分）一桶油，第一次用去全部的20%，第二次用去全部的35%，还剩下22.5千克，这桶油原来有[ ]{.underline}千克。
**二、判断题：（对的打"√"，错的打"×"。.）（6分）**
13．（1分）淘气看一本100页的故事书，第一天看了全书32%，第二天他应从第33页开始看起。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）实际产量比计划增加15%，实际产量相当于计划产量的115%。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）一件商品，连续两次降价10%，就是降价20%。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）10个足球队，每两队赛一场，一共要比赛45场。[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）圆周率就是圆的周长与它的直径的比值．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（1分）100吨煤，用去60%，还剩40%吨。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、选择。（把正确答案的序号填在括号内）（5分）**
19．（1分）下面的数，可以用百分数表示的是（ ）
A．丹丹走一步约0.6米
B．杨树棵数比柳树多
C．一堆煤重吨
D．小明身高比小强矮0.05米
20．（1分）要表示一天气温的变化情况，绘制（ ）比较合适。
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．统计表
21．（1分）在含盐20%的盐水中，盐与水的质量比是（ ）
A．1：10 B．1：5 C．1：4 D．20：100
22．（1分）给3：4的前项加上6，后项（ ），比值不变．
A．加上6 B．加上4 C．加上8 D．乘上6
23．（1分）下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
**四、计算题：（35分）**
24．（8分）化简比并求比值。
-------- -------- ----------- ------------- --------------------------------------------------------------------------
34：51 0.36：0.6 0.4时：30分 ：
化简比
求比值
-------- -------- ----------- ------------- --------------------------------------------------------------------------
25．（8分）直接写出得数。
--------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------
15×＝ ÷7＝ 1÷10%＝ 0÷＝
6.25﹣＝ ÷＝ ×＝ 1.8÷＝
--------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------
26．（12分）合理、灵活计算。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------
（+﹣）×12 ×3.8+×3.2 32×÷+ 35÷（÷）
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------
27．（4分）解方程。
> *x*﹣30%*x*＝3.5
>
> *x*﹣＝
28．（3分）列综合算式计算。
> 一个数的35%是21，这个数60%是多少？
**五、解答题（共1小题，满分4分）**
29．（4分）求出阴影部分的面积。（单位：厘米）
> 
**六、解决问题(5、6题各5分,其余每小题4分；共26分)**
30．（4分）一个电水壶，现价40元，降价10元，降价百分之几？
31．（4分）煤气公司铺设一条煤气管道，第一周铺了全长的30%，第二周铺了全长的40%，两周共铺2800米，这条煤气管道全长多少米？
32．（4分）学校操场如图，周长222.8米，这个操场的面积是多少平方米？
> 
33．（4分）学校原有少先队员600人，六一儿童节又发展了一批，增加了8%，现在有少先队员多少人？
34．（5分）某校四、五、六年级共有12个班，平均每班48人，三个年级人数比是4：3：2，三个年级各有多少人？
35．（5分）水果店运来梨和苹果共120千克，梨比苹果多，梨和苹果各有多少千克？
**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题：（每小题2分，共24分）**
1．【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6；所以棱长比为5：3，则两个正方体表面积比等于棱长的平方比；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，则两个正方体的体积比等于棱长的立方比。
> 【解答】解：
>
> 大小两个正方体的表面积的比是：
>
> （5×5）：（3×5）＝25：9
>
> 大小两个正方体的体积的比是：
>
> （5×5×5）：（3×3×3）＝125：27
>
> 故答案为：25：9；125：27
>
> 【点评】解决此类问题要搞清楚正方体的表面积、体积的比与棱长比之间的关系。
2．【分析】根据分数与除法的关系5÷8＝，再根据分数的基本性质，分子、分母都乘8就是；根据比与除法的关系5÷8＝5：8，再根据比的基本性质比的前、后项都乘5就是25：40；5÷8＝0.625；把0.625的小数点向右移动两位添上百分号就是62.5%。
> 【解答】解：5÷8＝＝62.5%＝0.625。
>
> 故答案为：64，25，62.5，0.625。
>
> 【点评】此题主要是考查除法、小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
3．【分析】把这桶油的质量看作单位"1"，用去它的，用去15千克，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
> 【解答】解：15÷
>
> ＝15×
>
> ＝20（千克）
>
> 答：原来这桶油重20千克。
>
> 故答案为：一桶油的质量，20。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数除法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
4．【分析】（1）先把吨化为200千克，再根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外）比值不变；
> （2）先把吨化为200千克，再用比的前项除以后项即可．
>
> 【解答】解：（1）吨：50千克，
>
> ＝200千克：50千克，
>
> ＝200：50，
>
> ＝（200÷50）：（50÷50），
>
> ＝4：1；
>
> （2）吨：50千克，
>
> ＝200千克：50千克，
>
> ＝200÷50，
>
> ＝4，
>
> 故答案为：4：1，4．
>
> 【点评】注意无论是化简比还是求比值都要先把比的两项的单位统一，结果都不带单位．
5．【分析】根据圆的周长公式*C*＝2π*r*可用37.68除以2π得到半径，再根据圆的面积公式*S*＝π*r*^2^计算出这个圆形的面积即可．
> 【解答】解：半径为：37.68÷（3.14×2）
>
> ＝37.68÷6.28
>
> ＝6（厘米），
>
> 面积为：3.14×6^2^＝113.04（平方厘米），
>
> 答：圆形半径是6厘米，面积是113.04平方厘米．
>
> 故答案为：6，113.04．
>
> 【点评】此题主要考查的是圆的周长公式和圆的面积公式的灵活应用．
6．【分析】要求100比80米多百分之几，是求100比80多的数占80的百分之几，被比的数80看作单位"1"（作除数），列式解答；
> 把要求的数量看成单位"1"，50吨是单位"1"的1+25%，用除法求出单位"1"的量。
>
> 【解答】解：（100﹣80）÷80
>
> ＝20÷80
>
> ＝25%
>
> 50÷（1+25%）
>
> ＝50÷125%
>
> ＝40（吨）
>
> 答：100米比80米多25%；50吨比40吨多25%。
>
> 故答案为：25，40。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的百分数除法的计算，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
7．【分析】根据直角三角形的性质和三角形内角和是180°可以知道直角三角形的两个锐角度数的和是90°，它们的度数之比是2：3，由此可以求出它们的度数．
> 【解答】解：因为三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°
>
> 所以直角三角形的两个锐角度数的和是90°，
>
> 又2+3＝5，
>
> 所以这两个锐角分别为：90°×＝36°；90°×＝54°，
>
> 答：这个三角形两个锐角的度数分别是 36°；54°．
>
> 故答案为：36，54．
>
> 【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．
8．【分析】根据减法算式中各部分间的关系，被减数＝减数+差，用被减数、减数、差之和（96）除以2就是减数与差的和，把减数与差的和平均分成（7+5）份，先用除法求出1份是多少，再用乘法分别求出7份（减数）、5份（差）各是多少。
> 【解答】解：96÷2÷（7+5）
>
> ＝48÷12
>
> ＝4
>
> 4×7＝28
>
> 4×5＝20
>
> 答：减数是28，差是20。
>
> 故答案为：28，20。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据减法算式中各部分间的关系求出减数、差之和，然后再根据按比例分配问题解答（除按上述解答方法外，也可分别求出减数、差各占减数、差之和的几分之几，再根据分数乘法的意义解答）。
9．【分析】根据"成活率＝×100%"即可求出成活率。根据"总棵数＝成活棵数÷成活率"即可求出至少要种的棵数。
> 【解答】解：×100%
>
> ＝0.825×100%
>
> ＝82.5%
>
> 165÷82.5%＝200（棵）
>
> 答：成活率是82.5%如果要成活165棵，至少需要种200棵树苗。
>
> 故答案为：82.5，200。
>
> 【点评】解答此题的关键是记住并会灵活运用成活率计算公式。
10．【分析】根据利息＝本金×年利率×存期，把数据代入公式即可求得利息多少元；再把利息看作单位"1"，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答即可。
> 【解答】解：20000×2.4%×2＝960（元）
>
> 960×40%＝384（元）
>
> 答：到期可得利息960元，他一共捐了384元。
>
> 故答案为：960，384。
>
> 【点评】这种类型属于利息问题，有固定的计算方法，利息＝本金×利率×存期，找清数据与问题，代入公式计算即可。
11．【分析】首先用周长除以2求出长与宽的和，长比宽多，也就是长与宽的比是5：3，利用按比例分配的方法求出长、宽，然后根据长方形的面积公式：*S*＝*ab*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：48÷2＝24（厘米）
>
> （1）：1＝5：3
>
> 24×＝15（厘米）
>
> 24×＝9（厘米）
>
> 15×9＝135（平方厘米）
>
> 答：这个长方形的面积是135平方厘米。
>
> 故答案为：135。
>
> 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
12．【分析】第一次用去全部的20%，第二次用去全部的35%，将总量当作单位"1"，根据分数减法的意义，剩下的占全部的（1﹣20%﹣35%），根据分数除法的意义，用剩下的数量除以其占总量的分率，即得这桶油原来是多少千克。
> 【解答】解：22.5÷（1﹣20%﹣35%）
>
> ＝22.5÷45%
>
> ＝50（千克）
>
> 答：这桶油原来有50千克。
>
> 故答案为：50。
>
> 【点评】本题考查了百分数除法应用题，关键是确定单位"1"，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。
**二、判断题：（对的打"√"，错的打"&\#215;"。.）（6分）**
13．【分析】把总页数看成单位"1"，用总页数乘上32%，就是已经看的页数，然后加上1，就是第二天开始看的页数。
> 【解答】解：100×32%+1
>
> ＝32+1
>
> ＝33（页）
>
> 即第二天应从第33页开始看起；所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】先找出单位"1"，求出已经看的页数，第二天开始看的页数是已经看的页数的下一页。
14．【分析】把计划产量看作单位"1"，实际产量比计划产量增长15%，也就是说实际产量是计划产量的1+15%＝115%。
> 【解答】解：1+15%＝115%
>
> 即实际产量相当于计划产量的115%，所以原题的说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】解答本题关键是明确：实际产量比计划产量增长15%，也就是实际产量比单位"1"多15%。
15．【分析】第一次降价10%，10%的单位"1"是商品的原价，即第一次降价后的价格是原价的（1﹣10%），用乘法列式表示出第一次降价后的价格；再把第一次降价后的价格看作单位"1"，现价是第一次降价后的（1﹣10%），由此即可求出现价是原价的百分之几；再进一步解答即可。
> 【解答】解：1×（1﹣10%）×（1﹣10%）
>
> ＝90%×90%
>
> ＝81%
>
> 1﹣81%＝19%
>
> 即：连续两次降价10%，就是降价19%，所以原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位"1"，已知单位"1"的量，求它的百分之几是多少用乘法。
16．【分析】如果每两个足球队之间都进行一场比赛，每个足球队都要和其他的9个足球队进行一场比赛，每个足球队比赛9场，共有10×9场比赛；由于每两个足球队之间重复计算了一次，实际只需比赛10×9÷2＝45场即可。
> 【解答】解：10×（10﹣1）÷2
>
> ＝90÷2
>
> ＝45（场）
>
> 即一共要进行45场比赛，所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数＝参赛人数×（人数﹣1）÷2。
17．【分析】圆周率的定义是：任意一个圆的周长与它的直径的比的比值是一个固定的数，人们称它为圆周率，用字母π表示．
> 【解答】解：圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，所以原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题考查了圆周率的定义；注意圆周率是一个固定的数值．
18．【分析】由题意，把100吨煤看作单位"1"，用去60%，则还剩它的（1﹣60%），要求还剩多少吨，单位"1"已知，用乘法解答即可。
> 或根据40%不能表示具体数量直接判断。
>
> 【解答】解：100×（1﹣60%）
>
> ＝100×0.4
>
> ＝40（吨）
>
> 即还剩40吨；所以原题说法错误。
>
> 或根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，所以40%吨的表示方法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】求一个数的百分之几是多少，用乘法解答。百分数不能表示具体的数量，这是百分数与分数的区别之一。
**三、选择。（把正确答案的序号填在括号内）（5分）**
19．【分析】结合百分数是不带单位这一属性，分别判断*A*、*B*、*C*、*D*选项，排除法确认最终结果即可。
> 【解答】解：*A*.丹丹走一步约0.6米，0.6米带有单位，故不能用百分数表示，排除；
>
> *B*.杨树棵数比柳树多，可以使用百分数表示；
>
> *C*.一堆煤重吨，吨带有单位，故不能用百分数表示，排除；
>
> *D*.小明身高比小强矮0.05米，0.05米带有单位，故不能用百分数表示，排除。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查百分数的意义。根据百分数不带单位解决问题。
20．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；统计表可以直观的看出数量关系；由此根据情况选择即可。
> 【解答】解：要表示一天气温的变化情况，绘制折线统计图比较合适。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图、统计表各自的特点进行解答。
21．【分析】含盐20%的盐水是指盐占盐水的20%，把盐水的重量看作单位"1"，则水占盐水的（1﹣20%），再用盐比上水即可解答。
> 【解答】解：20%：（1﹣20%）
>
> ＝0.2：0.8
>
> ＝1：4
>
> 答：盐水中盐与水的比是1：4。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键：判断出单位"1"，进而根据题意，进行比即可。
22．【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或除以相同的数（0除外），比值不变；前项加上6得9，也就是前项乘3，要使比值不变，后项也要乘3，得12，所以要加上8．
> 【解答】解：3+6＝9，
>
> 3：4＝9：12，
>
> 12﹣4＝8，
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题关键理解：前项加上一个数，要看前项乘上几，要使比值不变，后项也要乘上几．
23．【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的条数及位置。
> 【解答】解：*A*中图形有4条对称轴；
>
> *B*中图形有6条对称轴；
>
> *C*中图形有5条对称轴；
>
> *D*中图形有3条对称轴；
>
> 所以*B*中图形的对称轴最多。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活应用。
**四、计算题：（35分）**
24．【分析】（1）根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；
> （2）用比的前项除以后项，所得的商即为比值。
>
> 【解答】解：（1）34：51
>
> ＝（34÷17）：（51÷17）
>
> ＝2：3
>
> 34：51
>
> ＝34÷51
>
> ＝
>
> （2）0.36：0.6
>
> ＝（0.36÷0.12）：（0.6÷0.12）
>
> ＝3：5
>
> 0.36：0.6
>
> ＝0.36÷0.6
>
> ＝
>
> （3）0.4时：30分
>
> ＝24分：30分
>
> ＝（24÷6）：（30÷6）
>
> ＝4：5
>
> 0.4时：30分
>
> ＝24分：30分
>
> ＝24÷30
>
> ＝
>
> （4）：
>
> ＝（×10）：（×10）
>
> ＝8：3
>
> ：
>
> ＝÷
>
> ＝
>
> 【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
25．【分析】根据分数减法法以及乘除法的计算法则以及四则混合运算的运算顺序计算即可。
> 【解答】解：
---------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------
15×＝9 ÷7＝ 1÷10%＝10 0÷＝0
6.25﹣＝6 ÷＝ ×＝ 1.8÷＝2.7
---------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------
> 【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
26．【分析】（1）（2）运用乘法的分配律进行简算；
> （3）先算乘法，再算除法，最后算加法；
>
> （4）先算小括号里的除法，再算括号外的除法。
>
> 【解答】解：（1）（+﹣）×12
>
> ＝×12+×12﹣×12
>
> ＝6+8﹣10
>
> ＝14﹣10
>
> ＝4
>
> （2）×3.8+×3.2
>
> ＝×3.8+×3.2
>
> ＝×（3.8+3.2）
>
> ＝×7
>
> ＝5
>
> （3）32×÷+
>
> ＝20÷+
>
> ＝24+
>
> ＝24
>
> （4）35÷（÷）
>
> ＝35÷
>
> ＝
>
> 【点评】完成本题要注意分析式中数据的特点，然后运用合适的运算定律进行简算。
27．【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以0.7即可。
> （2）首先根据等式的性质，两边同时加上，然后两边再同时乘即可。
>
> 【解答】解：（1）*x*﹣30%*x*＝3.5
>
> 0.7*x*＝3.5
>
> 0.7*x*÷0.7＝3.5÷0.7
>
> *x*＝5
>
> （2）*x*﹣＝
>
> *x*﹣+＝+
>
> *x*＝
>
> *x*×＝×
>
> *x*＝
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
28．【分析】已知一个数的35%是21，用21除以35%，求出这个数，然后再乘上60%即可。
> 【解答】解：21÷35%×60%
>
> ＝60×60%
>
> ＝36
>
> 答：这个数60%是36。
>
> 【点评】根据题意，先弄清运算顺序，然后再列式进行解答。
**五、解答题（共1小题，满分4分）**
29．【分析】阴影面积＝长方形面积﹣半径为1*cm*的圆的面积。
> 【解答】解：3×2＝6（平方厘米）
>
> 3.14×（2÷2）^2^
>
> ＝3.14×1
>
> ＝3.14（平方厘米）
>
> 6﹣3.14＝2.86（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是2.86平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**六、解决问题(5、6题各5分,其余每小题4分；共26分)**
30．【分析】先用10加上40求出原价，再除10就是降价了百分之几。
> 【解答】解：10÷（10+40）
>
> ＝10÷50
>
> ＝20%
>
> 答：降价了20%。
>
> 【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位"1"，单位"1"的量为除数。
31．【分析】把这条煤气管道的全长看成单位"1"，它的（30%+40%）对应的数量是2800米，由此用除法求出全长即可。
> 【解答】解：2800÷（30%+40%）
>
> ＝2800÷70%
>
> ＝4000（米）
>
> 答：这条煤气管道全长4000米。
>
> 【点评】本题的关键是找出单位"1"，并找出单位"1"的百分之几对应的数量，用除法就可以求出单位"1"的量。
32．【分析】根据题意，用操场的周长减去（80×2）米，求出圆的周长，根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，那么*r*＝*C*÷π÷2，据此求出圆的半径，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，长方形的面积公式：*S*＝*ab*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：222.8﹣80×2
>
> ＝222.8﹣160
>
> ＝62.8（米）
>
> 62.8÷3.14÷2＝10（米）
>
> 3.14×10^2^+80×（10×2）
>
> ＝3.14×100+80×20
>
> ＝314+1600
>
> ＝1914（平方米）
>
> 答：这个操场的面积是1914平方米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
33．【分析】把原来的人数看作单位"1"，则现在的人数是原来人数的（1+8%），求现在的人数，用乘法计算。
> 【解答】解：600×（1+8%）
>
> ＝600×1.08
>
> ＝648（人）
>
> 答：现在有少先队员648人。
>
> 【点评】本题主要考查百分数的应用，关键找到单位"1"，利用数量关系做题。
34．【分析】平均每班48人，则12个班共有（48×12）人。把（48×12）人平均分成（4+3+2）份，先用除法求出1份的人数，再用乘法分别求出4份（四年级）、3份（五年级）、2份（六年级）各有多少人。
> 【解答】解：48×12÷（4+3+2）
>
> ＝576÷9
>
> ＝64（人）
>
> 64×4＝256（人）
>
> 64×3＝192（人）
>
> 64×2＝128（人）
>
> 答：四年级有256人，五年级有192人，六年级有128人。
>
> 【点评】在根据平均数的意义求出三个年级总人数后，后面的问题属于按比例分配问题，除按上述解答方法外，也可分别求出三个年级各占总人数的几分之几，再根据分数乘法的意义解答。
35．【分析】把水果店运来的苹果质量看作单位"1"，则运来梨的质量相当于（1+），根据分数除法的意义，用运来苹果和梨的质量之和（120千克）除以（1+1+）就是运来苹果的质量；用运来苹果、梨的质量之和减运来苹果的质量就是运来梨的质量。
> 【解答】解：120÷（1+1+）
>
> ＝120÷
>
> ＝56（千克）
>
> 120﹣56＝64（千克）
>
> 答：梨有64千克，苹果有56千克。
>
> 【点评】解答此题的关键是根据分数除法的意义求出运来苹果的质量。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
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日期：2021/4/27 16:02:52；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）**
**数学**
**本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.**
**考生注意：**
**1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.**
**2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.**
**参考公式：**
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
| **如果事件*A*，*B*互斥，那么** | **柱体的体积公式** |
| | |
| **如果事件*A*，*B*相互独立，那么** | **其中表示柱体的底面积，表示柱体的高** |
| | |
| **如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，那么*n*次独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率** | **锥体的体积公式** |
| | |
| **台体的体积公式** | **其中表示锥体的底面积，表示锥体的高** |
| | |
| **其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高** | **球的表面积公式** |
| | |
| | **球的体积公式** |
| | |
| | **其中表示球的半径** |
+-----------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------+
**选择题部分（共40分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合*P*=，，则*PQ*=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
2.已知*a*∈**R**，若*a*--1+(*a*--2)*i*(*i*为虚数单位)是实数，则*a*=（ ）
A. 1 B. --1 C. 2 D. --2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为为实数，所以，
故选：C
点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.若实数*x*，*y*满足约束条件，则*z*=2*x*+*y*的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中*z*取得最大值时，其几何意义表示直线系在*y*轴上的截距最大，
*z*取得最小值时，其几何意义表示直线系在*y*轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点*A*处取得最小值，
联立直线方程：，可得点*A*的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是.
故选：B
【点睛】求线性目标函数*z*＝*ax*＋*by*(*ab*≠0)的最值，当*b*＞0时，直线过可行域且在*y*轴上截距最大时，*z*值最大，在*y*轴截距最小时，*z*值最小；当*b*＜0时，直线过可行域且在*y*轴上截距最大时，*z*值最小，在*y*轴上截距最小时，*z*值最大.
4.函数*y*=*x*cos*x*+sin*x*在区间\[--π，+π\]的图象大致为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项*CD*错误；
且时，，据此可知选项*B*错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，
且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，
所以几何体的体积为：
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
6.已知空间中不过同一点的三条直线*m*，*n*，*l*，则"*m*，*n*，*l*在同一平面"是"*m*，*n*，*l*两两相交"的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，"在同一平面"是"两两相交"的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.
7.已知等差数列{*a~n~*}的前*n*项和*S~n~*，公差*d*≠0，．记*b*~1~=*S*~2~，*b~n+~*~1~=*S~n+~*~2~--*S*~2*n*~，，下列等式不可能成立的是（ ）
A. 2*a*~4~=*a*~2~+*a*~6~ B. 2*b*~4~=*b*~2~+*b*~6~ C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
8.已知点*O*（0，0），*A*（--2，0），*B*（2，0）．设点*P*满足\|*PA*\|--\|*PB*\|=2，且*P*为函数*y*=图像上的点，则\|*OP*\|=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
9.已知*a*，*b***R**且*ab*≠0，若(*x*--*a*)(*x--b*)(*x--*2*a--b*)≥0在*x*≥0上恒成立，则（ ）
A. *a*\<0 B. *a*\>0 C. *b*\<0 D. *b*\>0
【答案】C
【解析】
【分析】
对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，设，则零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
10.设集合*S*，*T*，*S***N***^\*^*，*T***N***^\*^*，*S*，*T*中至少有两个元素，且*S*，*T*满足：
①对于任意*x*，*yS*，若*x*≠*y*，都有*xyT*
②对于任意*x*，*yT*，若*x*\<*y*，则*S*；
下列命题正确的是（ ）
A. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有7个元素
B. 若*S*有4个元素，则*S*∪*T*有6个元素
C. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有4个元素
D. 若*S*有3个元素，则*S*∪*T*有5个元素
【答案】A
【解析】
【分析】
分别给出具体的集合*S*和集合*T*，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项*D*；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项*C*；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项*B*；
下面来说明选项*A*的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：*A*.
【点睛】"新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是"难题"，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
**非选择题部分（共110分）**
**二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.**
11.已知数列{*a~n~*}满足，则*S*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．
【详解】因为，所以．
即．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
12.设，则*a*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_；*a*~1~+*a*~2~ + *a*~3~=\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). 80\
(2). 122
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】的通项为，令，则，故；.
故答案为：80；122
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
13.已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【详解】，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
15.设直线，圆，，若直线与，都相切，则\_\_\_\_\_\_\_；*b*=\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由直线与圆相切建立关于*k*，*b*的方程组，解方程组即可.
【详解】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，
解得.
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则\_\_\_\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
17.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
**三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18.在锐角△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，且．
（I）求角*B*；
（II）求cos*A*+cos*B*+cos*C*的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】
【分析】
（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠*B*的大小；
（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠*A*的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠*A*的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）由结合正弦定理可得：
△*ABC*为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现"边化角"，二是利用余弦定理实现"角化边"；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
19.如图，三棱台*DEF*---*ABC*中，面*ADFC*⊥面*ABC*，∠*ACB*=∠*ACD*=45°，*DC* =2*BC*．
（I）证明：*EF*⊥*DB*；
（II）求*DF*与面*DBC*所成角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）
【解析】
【分析】
（I）作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得；
（II）由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）作交于，连接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，
∴．
在中，，即有，∴．
由棱台的定义可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
（Ⅱ）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．
作于，连接，由（1）可知，平面，
因为所以平面平面，而平面平面，
平面，∴平面．
即在平面内的射影为，即为所求角．
在中，设，则，，
∴．
故与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．
20.已知数列{*a~n~*}，{*b~n~*}，{*c~n~*}中，．
（Ⅰ）若数列{*b~n~*}为等比数列，且公比，且，求*q*与*a~n~*的通项公式；
（Ⅱ）若数列{*b~n~*}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
所以
.
由于，所以，所以.
即，.
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
21.如图，已知椭圆，抛物线，点*A*是椭圆与抛物线的交点，过点*A*的直线*l*交椭圆于点*B*，交抛物线于*M*（*B*，*M*不同于*A*）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线*l*使*M*为线段*AB*的中点，求*p*的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
法2：设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.
22.已知，函数，其中*e*=2.71828...为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记*x*~0~为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；
（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；
（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.
【详解】（I）在上单调递增，
，
所以由零点存在定理得在上有唯一零点；
（II）（i），
，
令
一方面： ，
在单调递增，，
，
另一方面：，
所以当时，成立，
因此只需证明当时，
因为
当时，，当时，，
所以，
在单调递减，，，
综上，.
（ii），
，，
，因为，所以，
，
只需证明，
即只需证明，
令，
则，
，即成立，
因此.
【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.
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**2009年高考英语试题分类汇编------特殊句式**
（09福建）1. For a moment nothing happened Then [ ]{.underline} all shouting together.
A. voices had come B. came voices C. voices would come D. did voices come
**【答案】**B 副词then位于句首，且当句子的主语是名词时，句子用全部倒装句，选B。
（09湖南）2. Every evening after dinner, if not [ ]{.underline} from work, I will spend some time walking my dog.
A. being tired B. tiring C. tired D. to be tired
**【答案】**C 省略句式。在if引导的条件状语从句中，从句中还原应为if am not tired from work，根据省略的原则，所以答案选C。
（09湖南）3. You and I could hardly work together, [ ]{.underline} ?
A. could you B. couldn't I C. couldn't we D. could we
**【答案】**D 反义疑问句的用法。根据陈述部分是肯定形式，疑问部分用否定形式；反之。陈述部分中含有否定词hardly，故疑问部分用肯定形式，主语是you and i。故应选D。
（09湖南）4. Either you or one of your students \_\_\_\_\_\_ to attend the meeting that is due tomorrow.
A. are B. is C. have D. be
**【答案】**B 主谓一致的用法。Either ...or.... 连接两个主语，按就近原则来确定谓语的单复数。One of your students 谓语应用单数形式。
（09江西）5. According to statistics, a man is more than twice as likely to die of skin cancer \_\_\_\_\_\_\_\_\_ a woman.
A. than B. such C. so D. as
【**答案**】D 比较级的结构，as ..... as , 注意句中的more than 只是修饰twice
（09江西）6. It was \_\_\_\_\_ he came back from Africa that wear \_\_\_\_\_\_\_\_\_ he met the girl he would like to marry.
A. when; then B. not; until C. not until; that D. only; when
【**答案**】C 强调句型。根据It is ......that 结构可知。
（09江西）7. Some of you may have finished unit one. \_\_\_\_\_ , you can go on to unit two.
A. If you may B. If you do C. If not D. If so
【**答案**】D 省略句的用法。 If so = If you have done that / so
（09海南）8. The computer was used in teaching. As a result, not only , but students became more interested in the lessons.
A. saved was teachers' energy B. was teachers' energy saved
C. teachers' energy was saved D. was saved teachers' energy
**【答案】**B。 句意为：计算机应用于教学。结果，不仅教师节省能量，而且学生对课程更感兴趣。考查"not only\...but also\..."， 放在句首作状语，句子则进行部分倒装。前一部分倒装，后一部分不倒装。
（09山东）9. So sudden \_\_\_\_\_\_\_\_that the enemy had no time to escape.
A. did the attack B. the attack did C. was the attack D. the attack was
**【答案】C** 考查倒装，so ..that.., such ..that..的句子结构中，若so, such 和与其所修饰的词置于句首，实行部分倒装，又sudden是形容词，作表语，所以选C。
> （09陕西）10. He must be helping the old man to water the flowers, [ ]{.underline} ?
>
> A. is he B. isn't he C. must he D. mustn't he
**【答案】**B 考查反意疑问句。陈述句中的谓语中虽有情态动词must，但此处must表示对正在进行的动作进行推测，将其不看作情态动词。而must后有助动词be，故反意疑问句根据助动词be来构成，选B。
（09陕西）11. Little [ ]{.underline} about her own safety, though she was in great danger herself.
A. did Rose care B. Rose did care C. Rose does care D. does Rose care
> **【答案】**A little是具有否定意义的词，位于句首时句子用部分倒装句，选A。
（09四川）13. --- I wonder \_\_\_\_\_\_\_\_ you'll water this kind of flower.
------Every other day.
A. how often B. how long C. how soon D. how much
**【答案】**A 相似疑问词的区别。根据答语Every other day可知对方问的是多久浇一次这种花。how often问频率，符合题意。
（09四川）14.. Not until I came home last night \_\_\_\_\_\_\_\_ to bed.
A. Mum did go B. did Mum go C. went Mum D. Mum went
**【答案】**B 倒装语序的用法。not until 位于句首时要用半倒装的句型，把助动词did提到主语Mum的前面。所以答案为：B
（09四川）15.. The teacher together with the students \_\_\_\_\_\_\_\_ discussing Reading Skills that \_\_\_\_\_\_\_\_ newly published in America.
A. are; were B. is; were C. are; was D. is; was
**【答案】**B 考查主谓一致。A together with B作主语时谓语动词与A的单复数保持一致；第二空为定语从句that指代Reading Skills，由于Reading Skills是书名所以谓语动词用单数。
（09重庆）16. Unsatisfied with the payment, he took the job just to get some work experience.
A. though was he **B. though he was** C. he was though D. was he though
**【答案】**B
（09全国2卷）17. It is often [ ]{.underline} that human beings are naturally equipped to speak.
A. said B. to say C. saying D. being said
**【答案】**A 固定句型（it is +Ved +that从句）。
（09江苏）18.\-\-- What's the matter with Della?
\-\-- Well, her parents wouldn\'t allow her to go to the party, but she still \_\_
A. hopes to B. hopes so C. hopes not D. hopes for
**【答案】**A
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试**
**二、选择题：**
1.管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化将其焊接。焊接过程中所利用的电磁学规律的发现者为（ ）
A. 库仑 B. 霍尔 C. 洛伦兹 D. 法拉第
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可知，圆管为金属导体，导体内部自成闭合回路，且有电阻，当周围的线圈中产生出交变磁场时，就会在导体内部感应出涡电流，电流通过电阻要发热。该过程利用原理的是电磁感应现象，其发现者为法拉第。故选D。
2.若一均匀球形星体的密度为*ρ*，引力常量为*G*，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则
， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期
3.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3*h*，其左边缘*a*点比右边缘*b*点高0.5*h*。若摩托车经过*a*点时的动能为*E*~1~，它会落到坑内*c*点。*c*与*a*的水平距离和高度差均为*h*；若经过*a*点时的动能为*E*~2~，该摩托车恰能越过坑到达*b*点。等于（ ）
A. 20 B. 18 C. 9.0 D. 3.0
【答案】B
【解析】
【详解】有题意可知当在*a*点动能为*E*~1~时，有
根据平抛运动规律有
当在*a*点时动能为*E*~2~时，有
根据平抛运动规律有
联立以上各式可解得
故选B。
4.CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图（a）是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中*M*、*N*之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为*P*点。则（ ）
A. *M*处的电势高于*N*处的电势
B. 增大*M*、*N*之间的加速电压可使*P*点左移
C. 偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D. 增大偏转磁场磁感应强度的大小可使*P*点左移
【答案】D
【解析】
【详解】A．由于电子带负电，要在MN间加速则MN间电场方向由N指向M，根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知M的电势低于N的电势，故A错误；
B．增大加速电压则根据
可知会增大到达偏转磁场的速度；又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有
可得
可知会增大在偏转磁场中的偏转半径，由于磁场宽度相同，故根据几何关系可知会减小偏转的角度，故P点会右移，故B错误；
C．电子在偏转电场中做圆周运动，向下偏转，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，故C错误；
D．由B选项的分析可知，当其它条件不变时，增大偏转磁场磁感应强度会减小半径，从而增大偏转角度，使P点左移，故D正确。
故选D。
5.氘核可通过一系列聚变反应释放能量，其总效果可用反应式表示。海水中富含氘，已知1kg海水中含有的氘核约为1.0×10^22^个，若全都发生聚变反应，其释放的能量与质量为*M*的标准煤燃烧时释放的热量相等；已知1 kg标准煤燃烧释放的热量约为2.9×10^7^ J，1 MeV= 1.6×10^--13^J，则*M*约为（ ）
A. 40 kg B. 100 kg C. 400 kg D. 1 000 kg
【答案】C
【解析】
【详解】氘核可通过一系列聚变反应释放能量，其总效果可用反应式
则平均每个氘核聚变释放的能量为
1kg海水中含有的氘核约为1.0×10^22^个，可以放出的总能量为
由可得，要释放的相同的热量，需要燃烧标准煤燃烧的质量
6.特高压输电可使输送中的电能损耗和电压损失大幅降低。我国已成功掌握并实际应用了特高压输电技术。假设从*A*处采用550 kV的超高压向*B*处输电，输电线上损耗的电功率为∆*P*，到达*B*处时电压下降了∆*U*。在保持*A*处输送的电功率和输电线电阻都不变的条件下，改用1 100 kV特高压输电，输电线上损耗的电功率变为∆*P*′，到达*B*处时电压下降了∆*U*′。不考虑其他因素的影响，则（ ）
A. ∆*P*′=∆*P* B. ∆*P*′=∆*P* C. ∆*U*′=∆*U* D. ∆*U*′=∆*U*
【答案】AD
【解析】
【详解】输电线上损失的功率
Δ*P*＝( )^2^·*r*
损失的电压
Δ*U*＝·*r*
当输送电压变为原来的2倍，损失的功率变为原来的 ，即
Δ*P*′＝Δ*P*
损失的电压变为原来的，即
Δ*U*′＝Δ*U*
故选AD。
7.如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。*a*、*b*为圆环水平直径上的两个点，*c*、*d*为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则（ ）
A. *a*、*b*两点的场强相等 B. *a*、*b*两点的电势相等
C. *c*、*d*两点的场强相等 D. *c*、*d*两点的电势相等
【答案】ABC
【解析】
【详解】BD．如下图所示，为等量异种电荷周围空间的电场分布图。本题的带电圆环，可拆解成这样无数对等量异种电荷的电场，沿竖直直径平行放置。它们有共同的对称轴，所在的水平面与每一条电场线都垂直，即为等势面，延伸到无限远处，电势为零。故在上的点电势为零，即；而从M点到N点，电势一直在降低，即，故B正确，D错误；
AC．上下两侧电场线分布对称，左右两侧电场线分布也对称，由电场的叠加原理可知AC正确；
故选ABC。
8.水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为
A. 48 kg B. 53 kg C. 58 kg D. 63 kg
【答案】BC
【解析】
【详解】设运动员和物块的质量分别为、规定运动员运动的方向为正方向，运动员开始时静止，第一次将物块推出后，运动员和物块的速度大小分别为、，则根据动量守恒定律
解得
物块与弹性挡板撞击后，运动方向与运动员同向，当运动员再次推出物块
解得
第3次推出后
解得
依次类推，第8次推出后，运动员的速度
根据题意可知
解得
第7次运动员的速度一定小于，则
解得
综上所述，运动员的质量满足
AD错误，BC正确。
故选BC。
**三、非选择题：**
**（一）必考题：**
9.一细绳跨过悬挂的定滑轮，两端分别系有小球*A*和*B*，如图所示。一实验小组用此装置测量小球*B*运动的加速度。
令两小球静止，细绳拉紧，然后释放小球，测得小球*B*释放时的高度*h*~0~=0.590 m，下降一段距离后的高度*h*=0.100 m；由*h*~0~下降至*h*所用的时间*T*=0.730 s。由此求得小球*B*加速度的大小为*a*=\_\_\_\_\_\_\_m/s^2^（保留3位有效数字）。
从实验室提供的数据得知，小球*A*、*B*的质量分别为100.0 g和150.0 g，当地重力加速度大小为*g*=9.80 m/s^2^。根据牛顿第二定律计算可得小球*B*加速度的大小为*a*′=\_\_\_\_\_\_\_m/s^2^（保留3位有效数字）。
可以看出，*a*′与*a*有明显差异，除实验中的偶然误差外，写出一条可能产生这一结果的原因：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1.84 (2). 1.96 (3). 滑轮的轴不光滑，绳和滑轮之间有摩擦（或滑轮有质量）
【解析】
【详解】①有题意可知小球下降过程中做匀加速直线运动，故根据运动学公式有
代入数据解得*a*=1.84m/s^2^；
②根据牛顿第二定律可知对小球A有
对小球B有
带入已知数据解得；
③在实验中绳和滑轮之间有摩擦会造成实际计算值偏小。
10.某同学要研究一小灯泡L（3.6 V，0.30 A）伏安特性。所用器材有：电流表A~1~（量程200 mA，内阻*R*~g1~=10.0 Ω），电流表A~2~（量程500 mA，内阻*R*~g2~=1.0 Ω）、定值电阻*R*~0~（阻值*R*~0~=10.0 Ω）、滑动变阻器*R*~1~（最大阻值10 Ω）、电源*E*（电动势4.5 V，内阻很小）、开关S和若干导线。该同学设计的电路如图（a）所示。
（1）根据图（a），在图（b）的实物图中画出连线\_\_\_\_\_\_。
（2）若*I*~1~、*I*~2~分别为流过电流表A~1~和A~2~的电流，利用*I*~1~、*I*~2~、*R*~g1~和*R*~0~写出：小灯泡两端的电压*U*=\_\_\_\_\_\_\_，流过小灯泡的电流*I*=\_\_\_\_\_\_\_。为保证小灯泡的安全，*I*~1~不能超过\_\_\_\_\_\_\_mA。
（3）实验时，调节滑动变阻器，使开关闭合后两电流表的示数为零。逐次改变滑动变阻器滑片位置并读取相应的*I*~1~和*I*~2~。所得实验数据在下表中给出。
----------- ----- ----- ----- ----- ----- -----
*I*~1~/mA 32 55 85 125 144 173
*I*~2~/mA 171 229 299 379 424 470
----------- ----- ----- ----- ----- ----- -----
根据实验数据可算得，当*I*~1~=173 mA时，灯丝电阻*R*=\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
（4）如果用另一个电阻替代定值电阻*R*~0~，其他不变，为了能够测量完整的伏安特性曲线，所用电阻的阻值不能小于\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。
【答案】 (1).  (2). (3). (4). 180 (5). 11.6 (6). 8.0
【解析】
【详解】（1）根据电路图连接实物图如图所示
（2）①根据电路图可知灯泡两端的电压为电流表A~1~和*R*~0~的总电压，故根据欧姆定律有
②根据并联电路特点可知流过小灯泡的电流为
③因为小灯泡的额定电压为3.6V，故根据题目中已知数据带入①中可知*I*~1~不能超过180mA；
（3）根据表中数据可知当*I*~1~=173mA时，*I*~2~=470mA；根据前面的分析代入数据可知此时灯泡两端的电压为*U*=3.46V；流过小灯泡的电流为*I*=297mA=0.297A；故根据欧姆定律可知此时小灯泡的电阻为
（4）要测量完整的伏安特性曲线则灯泡两端的电压至少要达到3.6V，而电流表A~1~不能超过其量程200mA，此时结合①有
解得，即要完整的测量小灯泡伏安特性曲线所用电阻的阻值不能小于。
11.如图，在0≤*x*≤*h*，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度*B*的大小可调，方向不变。一质量为*m*，电荷量为*q*（*q*\>0）的粒子以速度*v*~0~从磁场区域左侧沿*x*轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过*y*轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值*B*~m~；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与*x*轴正方向的夹角及该点到*x*轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；；（2）；
【解析】
【详解】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为*R*，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
> ①
由此可得
> ②
粒子穿过*y*轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在*y*轴正半轴上，半径应满足
> ③
由题意，当磁感应强度大小为*B*~m~时，粒子的运动半径最大，由此得
> ④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在*y*轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为
> ⑤
粒子会穿过图中*P*点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在*P*点的运动方向与*x*轴正方向的夹角为*α*，
> 
由几何关系
> ⑥
即⑦
由几何关系可得，*P*点与*x*轴的距离为
> ⑧
联立⑦⑧式得
> ⑨
12.如图，一竖直圆管质量为*M*，下端距水平地面的高度为*H*，顶端塞有一质量为*m*的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知*M* =4*m*，球和管之间的滑动摩擦力大小为4*mg*, *g*为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。
【答案】（1）*a*~1~=2*g*，*a*~2~=3*g；*（2）；（3）
【解析】
【详解】（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为*a*~1~，方向向下；球的加速度大小为*a*~2~，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为*f*，由牛顿运动定律有
> *Ma*~1~=*Mg*+*f* ①
>
> *ma*~2~= *f-- mg* ②
>
> 联立①②式并代入题给数据，得
>
> *a*~1~=2*g*，*a*~2~=3*g*③
>
> （2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为
>
> ④
>
> 方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。
>
> 设自弹起时经过时间*t*~1~，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式
>
> *v*~0~*--a*~1~*t*~1~= *--v*~0~*+a*~2~*t*~1~⑤
>
> 联立③④⑤式得
>
> ⑥
>
> 设此时管下端高度为*h*~1~，速度为*v*。由运动学公式可得
>
> ⑦
>
> ⑧
>
> 由③④⑥⑧式可判断此时*v*\>0。此后，管与小球将以加速度*g*减速上升*h*~2~，到达最高点。由运动学公式有
>
> ⑨
>
> 设管第一次落地弹起后上升的最大高度为*H*~1~，则
>
> *H*~1~= *h*~1~+ *h*~2~⑩
>
> 联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得
>
> ⑪
（3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为*x*~1~。在管开始下落到上升*H*~1~这一过程中，由动能定理有
> *Mg*（*H*--*H*~1~）+*mg*（*H*--*H*~1~+*x*~1~）--4*mgx*~1~=0⑫
>
> 联立⑪⑫式并代入题给数据得
>
> ⑬
>
> 同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移*x*~2~为
>
> ⑭
设圆管长度为*L*。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是
> *x*~1~+ *x*~2~≤*L*⑮
联立⑪⑬⑭⑮式，*L*应满足条件为
> ⑯
**（二）选考题：**
13.下列关于能量转换过程的叙述，违背热力学第一定律的有\_\_\_\_\_\_\_，不违背热力学第一定律、但违背热力学第二定律的有\_\_\_\_\_\_\_。（填正确答案标号）
A. 汽车通过燃烧汽油获得动力并向空气中散热
B. 冷水倒入保温杯后，冷水和杯子的温度都变得更低
C. 某新型热机工作时将从高温热源吸收的热量全部转化为功，而不产生其他影响
D. 冰箱的制冷机工作时从箱内低温环境中提取热量散发到温度较高的室内
【答案】 (1). B (2). C
【解析】
【详解】A．燃烧汽油产生的内能一方面向机械能转化，同时热传递向空气转移。既不违背热力学第一定律，也不违背热力学第二定律；
B．冷水倒入保温杯后，没有对外做功，同时也没有热传递，内能不可能减少，故违背热力学第一定律；
C．某新型热机工作时将从高温热源吸收的热量全部转化为功，必然产生其他影响故违背热力学第二定律；
D．制冷机消耗电能工作时从箱内低温环境中提取热量散发到温度较高的室内，发生了内能的转移，同时对外界产生了影响。既不违背热力学第一定律，也不违背热力学第二定律。
14.潜水钟是一种水下救生设备，它是一个底部开口、上部封闭的容器，外形与钟相似。潜水钟在水下时其内部上方空间里存有空气，以满足潜水员水下避险的需要。为计算方便，将潜水钟简化为截面积为*S*、高度为*h*、开口向下的圆筒；工作母船将潜水钟由水面上方开口向下吊放至深度为*H*的水下，如图所示。已知水的密度为*ρ*，重力加速度大小为*g*，大气压强为*p*~0~，*Hh*，忽略温度的变化和水密度随深度的变化。
（1）求进入圆筒内水的高度*l*；
（2）保持*H*不变，压入空气使筒内水全部排出，求压入的空气在其压强为*p*~0~时的体积。
【答案】（1）*；*（2）
【解析】
【详解】（1）设潜水钟在水面上方时和放入水下后筒内气体的体积分别为*V*~0~和*V*~1~，放入水下后筒内气体的压强为*p*~1~，由玻意耳定律和题给条件有
*p*~1~*V*~1~= *p*~0~*V*~0~ ①
*V*~0~=*hS* ②
*V*~1~=（*h*--*l*）*S* ③
*p*~1~= *p*~0~+ *ρg*（*H*--*l*） ④
联立以上各式并考虑到*Hh*，*h* \>*l*，解得
⑤
（2）设水全部排出后筒内气体的压强为*p*~2~；此时筒内气体的体积为*V*~0~，这些气体在其压强为*p*~0~时的体积为*V*~3~，由玻意耳定律有
*p*~2~*V*~0~= *p*~0~*V*~3~ ⑥
其中
*p*~2~= *p*~0~+ *ρgH* ⑦
设需压入筒内的气体体积为*V*，依题意
*V* = *V*~3~--*V*~0~ ⑧
联立②⑥⑦⑧式得
⑨
15.用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过\_\_\_\_\_\_\_cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。）
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为\_\_\_\_\_\_\_cm。
【答案】 (1). 6.9 (2). 96.8
【解析】
【详解】拉离平衡位置的距离
题中要求摆动最大角度小于，且保留1位小数，所以拉离平衡位置的不超过；
根据单摆周期公式结合题意可知
代入数据为
解得新单摆的摆长为
16.直角棱镜的折射率*n*=1.5，其横截面如图所示，图中∠*C*=90°，∠*A*=30°。截面内一细束与*BC*边平行的光线，从棱镜*AB*边上的*D*点射入，经折射后射到*BC*边上。
（1）光线在*BC*边上是否会发生全反射?说明理由；
（2）不考虑多次反射，求从*AC*边射出光线与最初的入射光线夹角的正弦值。
【答案】（1）光线在*E*点发生全反射；（2）
【解析】
【详解】（1）如图，设光线在*D*点的入射角为*i*，折射角为*r*。折射光线射到*BC*边上的*E*点。设光线在*E*点的入射角为，由几何关系，有
> 
=90°--（30°--*r*）\> 60° ①
根据题给数据得
sin\> sin60°\> ②
即*θ*大于全反射临界角，因此光线在*E*点发生全反射。
（2）设光线在*AC*边上的*F*点射出棱镜，光线的入射角为*i\'*，折射角为*r\'*，由几何关系、反射定律及折射定律，有
*i*= 30° ③
*i\'* =90°--*θ* ④
sin *i* = *n*sin*r* ⑤
*n*sin*i\'* = sin*r\'* ⑥
联立①③④⑤⑥式并代入题给数据，得
⑦
由几何关系，*r\'*即*AC*边射出的光线与最初的入射光线的夹角。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.北宋沈括《梦溪笔谈》中记载："信州铅山有苦泉，流以为涧。挹其水熬之则成胆矾，烹胆矾则成铜。熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"。下列有关叙述错误的是
A. 胆矾的化学式为CuSO~4~
B. 胆矾可作为湿法冶铜的原料
C. "熬之则成胆矾"是浓缩结晶过程
D. "熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"是发生了置换反应
【答案】A
【解析】
【详解】A.胆矾为硫酸铜晶体，化学式为CuSO~4~5H~2~O，A说法错误；
B.湿法冶铜是用铁与硫酸铜溶液发生置换反应制取铜，B说法正确；
C.加热浓缩硫酸铜溶液可析出胆矾，故"熬之则成胆矾"是浓缩结晶过程，C说法正确；
D.铁与硫酸铜溶液发生置换反应生成铜，D说法正确。
综上所述，相关说法错误的是A，故选A。
2.某白色固体混合物由NaCl、KCl、MgSO~4~、CaCO~3~中的两种组成，进行如下实验：① 混合物溶于水，得到澄清透明溶液；② 做焰色反应，通过钴玻璃可观察到紫色；③ 向溶液中加碱，产生白色沉淀。根据实验现象可判断其组成为
A. KCl、NaCl B. KCl、MgSO~4~
C. KCl、CaCO~3~ D. MgSO~4~、NaCl
【答案】B
【解析】
【详解】①混合物溶于水，得到澄清透明溶液，则不含CaCO~3~，排除C选项；②做焰色反应，通过钴玻璃可观察到紫色，可确定含有钾元素，即含有KCl；③向溶液中加碱，产生白色沉淀，则应含有MgSO~4~，综合以上分析，混合物由KCl和MgSO~4~两种物质组成，故选B。
3.二氧化碳的过量排放可对海洋生物的生存环境造成很大影响，其原理如下图所示。下列叙述错误的是
A. 海水酸化能引起浓度增大、浓度减小
B. 海水酸化能促进CaCO~3~的溶解，导致珊瑚礁减少
C. CO~2~能引起海水酸化，其原理为H^+^+
D. 使用太阳能、氢能等新能源可改善珊瑚的生存环境
【答案】C
【解析】
详解】A．海水酸化，H^+^浓度增大，平衡H^+^+⇌正向移动，浓度减小，浓度增大，A正确；
B．海水酸化，浓度减小，导致CaCO~3~溶解平衡正向移动，促进了CaCO~3~溶解，导致珊瑚礁减少，B正确；
C．CO~2~引起海水酸化的原理为：CO~2~+H~2~O⇌H~2~CO~3~⇌H^+^+，⇌H^+^+，导致H^+^浓度增大，C错误；
D．使用太阳能、氢能等新能源，可以减少化石能源的燃烧，从而减少CO~2~的排放，减弱海水酸化，从而改善珊瑚礁的生存环境，D正确；
答案选C。
4.吡啶()是类似于苯的芳香化合物，2-乙烯基吡啶(VPy)是合成治疗矽肺病药物的原料，可由如下路线合成。下列叙述正确的是
A. Mpy只有两种芳香同分异构体 B. Epy中所有原子共平面
C. Vpy是乙烯的同系物 D. 反应②的反应类型是消去反应
【答案】D
【解析】
【详解】A．MPy有3种芳香同分异构体，分别为：甲基在N原子的间位C上、甲基在N原子的对位C上、氨基苯，A错误；
B．EPy中有两个饱和C，以饱和C为中心的5个原子最多有3个原子共面，所以EPy中所有原子不可能都共面，B错误；
C．VPy含有杂环，和乙烯结构不相似，故VPy不是乙烯的同系物，C错误；
D．反应②为醇的消去反应，D正确。
答案选D。
5.据文献报道：Fe(CO)~5~催化某反应的一种反应机理如下图所示。下列叙述错误的是
A. OH^-^参与了该催化循环 B. 该反应可产生清洁燃料H~2~
C. 该反应可消耗温室气体CO~2~ D. 该催化循环中Fe的成键数目发生变化
【答案】C
【解析】
【分析】
题干中明确指出，铁配合物Fe(CO)~5~充当催化剂作用。机理图中，凡是出现在历程中，进去的箭头表示反应物，出来的箭头表示生成物，既有进去又有出来的箭头表示为催化剂或反应条件，其余可以看成为中间物种。由题干中提供的反应机理图可知，铁配合物Fe(CO)~5~在整个反应历程中成键数目，配体种类等均发生了变化；并且也可以观察出，反应过程中所需的反应物除CO外还需要H~2~O，最终产物是CO~2~和H~2~，同时参与反应的还有OH^-^，故OH^-^也可以看成是另一个催化剂或反应条件。
【详解】A．从反应机理图中可知，OH^-^有进入箭头也有出去的箭头，说明OH^-^参与了该催化循环，故A项正确；
B．从反应机理图中可知，该反应的反应物为CO和H~2~O，产物为H~2~和CO~2~，Fe(CO)~5~作为整个反应的催化剂，而OH^-^仅仅在个别步骤中辅助催化剂完成反应，说明该反应方程式为，故有清洁燃料H~2~生成，故 B项正确；
C．由B项分析可知，该反应不是消耗温室气体CO~2~，反而是生成了温室气体CO~2~，故 C项不正确；
D．从反应机理图中可知，Fe的成键数目和成键微粒在该循环过程中均发生了变化，故 D项正确；
答案选C。
【点睛】对于反应机理图的分析，最重要的是判断反应物，产物以及催化剂；一般催化剂在机理图中多数是以完整的循环出现的；通过一个箭头进入整个历程的物质则是反应物；而通过一个箭头最终脱离整个历程的物质一般多是产物。
6.电致变色器件可智能调控太阳光透过率，从而实现节能。下图是某电致变色器件的示意图。当通电时，Ag^+^注入到无色WO~3~薄膜中，生成Ag*~x~*WO~3~，器件呈现蓝色，对于该变化过程，下列叙述错误的是
A. Ag为阳极 B. Ag^+^由银电极向变色层迁移
C. W元素的化合价升高 D. 总反应为：WO~3~+*x*Ag=Ag*~x~*WO~3~
【答案】C
【解析】
【分析】
从题干可知，当通电时，Ag^+^注入到无色WO~3~薄膜中，生成Ag~x~WO~3~器件呈现蓝色，说明通电时，Ag电极有Ag^+^生成然后经固体电解质进入电致变色层，说明Ag电极为阳极，透明导电层时阴极，故Ag电极上发生氧化反应，电致变色层发生还原反应。
【详解】A．通电时，Ag电极有Ag^+^生成，故Ag电极为阳极，故A项正确；
B．通电时电致变色层变蓝色，说明有Ag^+^从Ag电极经固体电解质进入电致变色层，故B项正确；
C．过程中，W由WO~3~的+6价降低到Ag~x~WO~3~中的+(6-x)价，故C项错误；
D．该电解池中阳极即Ag电极上发生的电极反应为：xAg-xe^-^= xAg^+^，而另一极阴极上发生的电极反应为：WO~3~+xAg^+^+xe- = AgxWO~3~，故发生的总反应式为：xAg + WO~3~=Ag~x~WO~3~，故D项正确；
答案选C。
【点睛】电解池的试题，重点要弄清楚电解的原理，阴、阳极的判断和阴、阳极上电极反应式的书写，阳极反应式+阴极反应式=总反应式，加的过程中需使得失电子数相等。
7.一种由短周期主族元素组成的化合物(如图所示)，具有良好的储氢性能，其中元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大、且总和为24。下列有关叙述错误的是
A. 该化合物中，W、X、Y之间均为共价键
B. Z的单质既能与水反应，也可与甲醇反应
C. Y的最高化合价氧化物的水化物为强酸
D. X的氟化物XF~3~中原子均为8电子稳定结构
【答案】D
【解析】
【分析】
一种由短周期主族元素形成的化合物，具有良好的储氢性能，其中元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，且总和为24，根据图示，W为1价形成共价键，W为氢，Z为+1价阳离子，Z为Na，Y为3价，Y为N，24-1-11-7=5，X为B元素。
【详解】A．该化合物中，H、B、N之间均以共用电子对形成共价键，故A正确；
B．Na单质既能与水反应生成氢氧化钠和氢气，也能与甲醇反应生成甲醇钠和氢气，故B正确；
C．N的最高价氧化物的水化物HNO~3~为强酸，故C正确；
D．B氟化物BF~3~中B原子最外层只有6个电子，达不到8电子稳定结构，故D错误；
故选D。
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.化学工业为疫情防控提供了强有力的物质支撑。氯的许多化合物既是重要化工原料，又是高效、广谱的灭菌消毒剂。回答下列问题：
(1)氯气是制备系列含氯化合物的主要原料，可采用如图(a)所示的装置来制取。装置中的离子膜只允许\_\_\_\_\_\_离子通过，氯气的逸出口是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
(2)次氯酸为一元弱酸，具有漂白和杀菌作用，其电离平衡体系中各成分的组成分数*δ*\[*δ*(X)=，X为HClO或ClO^−^\]与pH的关系如图(b)所示。HClO的电离常数*K*~a~值为\_\_\_\_\_\_。
(3)Cl~2~O为淡棕黄色气体，是次氯酸的酸酐，可由新制的HgO和Cl~2~反应来制备，该反应为歧化反应(氧化剂和还原剂为同一种物质的反应)。上述制备Cl~2~O的化学方程式为\_\_\_\_\_\_。
(4)ClO~2~常温下为黄色气体，易溶于水，其水溶液是一种广谱杀菌剂。一种有效成分为NaClO~2~、NaHSO~4~、NaHCO~3~的"二氧化氯泡腾片"，能快速溶于水，溢出大量气泡，得到ClO~2~溶液。上述过程中，生成ClO~2~的反应属于歧化反应，每生成1 mol ClO~2~消耗NaClO~2~的量为\_\_\_\_\_mol；产生"气泡"的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"84消毒液"的有效成分为NaClO，不可与酸性清洁剂混用的原因是\_\_\_\_\_\_(用离子方程式表示)。工业上是将氯气通入到30%的NaOH溶液中来制备NaClO溶液，若NaClO溶液中NaOH的质量分数为1%，则生产1000 kg该溶液需消耗氯气的质量为\_\_\_\_kg(保留整数)。
【答案】 (1). Na^+^ (2). a (3). 10^-7.5^ (4). 2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O (5). 1.25 (6). NaHCO~3~+NaHSO~4~=CO~2~↑+Na~2~SO~4~+H~2~O (7). ClO^-^+Cl^-^+2H^+^=Cl~2~↑+ H~2~O (8). 203
【解析】
【分析】
（1）电解饱和食盐水，阳极产生氯气，阳离子移向阴极室；
（2）由图pH=7.5时，c(HClO)=c(ClO^-^)，HClO的*K*a==c(H^+^)；
（3）Cl~2~歧化为Cl~2~O和Cl^-^；
（4）根据5ClO~2~^－^＋4H^＋^=4ClO~2~＋Cl^－^＋2H~2~O，计算每生成1molClO~2~，消耗的NaClO~2~；碳酸氢钠和硫酸氢钠反应生成硫酸钠、水和二氧化碳；
(5)"84"中的NaClO、NaCl和酸性清洁剂混合后发生归中反应；根据NaOH质量守恒计算；
【详解】（1）电解饱和食盐水，反应的化学方程式为2NaCl+2H~2~O 2NaOH+Cl~2~↑+H~2~↑，阳极氯离子失电子发生氧化反应生成氯气，氯气从a口逸出，阴极氢离子得到电子发生还原反应生成氢气，产生OH^-^与通过离子膜的Na^+^在阴极室形成NaOH，故答案为：Na^+^；a；
(2)由图pH=7.5时，c(HClO)=c(ClO^-^)，HClO的*K*a==c(H^+^)=10^-7.5^；故答案为：10^-7.5^；
（3）Cl~2~歧化为Cl~2~O和Cl^-^，HgO和氯气反应的方程式为：2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O，故答案为：2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O；
（4）5ClO~2~^－^＋4H^＋^=4ClO~2~＋Cl^－^＋2H~2~O，每生成1molClO~2~，消耗NaClO~2~为 =1.25mol；碳酸氢钠和硫酸氢钠反应生成硫酸钠、水和二氧化碳，方程式为：NaHCO~3~＋NaHSO~4~=Na~2~SO~4~＋H~2~O＋CO~2~↑，故答案为:1.25mol；NaHCO~3~＋NaHSO~4~=Na~2~SO~4~＋H~2~O＋CO~2~↑；
(5)"84"中的NaClO、NaCl和酸性清洁剂混合后发生归中反应，离子方程式为：ClO^－^＋Cl^－^＋2H^＋^=Cl~2~↑＋H~2~O；设氯气为xkg，则消耗的NaOH为kg，原氢氧化钠质量为+1000Kg×0.01，由NaOH质量守恒：原溶液为1000Kg-x，则Kg+1000Kg×0. 01=（1000Kg-x)×0.3，解得x=203Kg；故答案为：ClO^－^＋Cl^－^＋2H^＋^=Cl~2~↑＋H~2~O；203。
9.苯甲酸可用作食品防腐剂。实验室可通过甲苯氧化制苯甲酸，其反应原理简示如下：
+KMnO~4~→+ MnO~2~+HCl→+KCl
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 名称 | 相对分 | 熔点/℃ | 沸点/℃ | 密度/(g·mL^−1^) | 溶解性 |
| | | | | | |
| | 子质量 | | | | |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 甲苯 | 92 | −95 | 110.6 | 0.867 | 不溶于水，易溶于乙醇 |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 苯甲酸 | 122 | 122.4(100℃左右开始升华) | 248 | ------ | 微溶于冷水，易溶于乙醇、热水 |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
实验步骤：
(1)在装有温度计、冷凝管和搅拌器的三颈烧瓶中加入1.5 mL甲苯、100 mL水和4.8 g(约0.03 mol)高锰酸钾，慢慢开启搅拌器，并加热回流至回流液不再出现油珠。
(2)停止加热，继续搅拌，冷却片刻后，从冷凝管上口慢慢加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液，并将反应混合物趁热过滤，用少量热水洗涤滤渣。合并滤液和洗涤液，于冰水浴中冷却，然后用浓盐酸酸化至苯甲酸析出完全。将析出的苯甲酸过滤，用少量冷水洗涤，放在沸水浴上干燥。称量，粗产品为1.0 g。
(3)纯度测定：称取0. 122 g粗产品，配成乙醇溶液，于100 mL容量瓶中定容。每次移取25. 00 mL溶液，用0.01000 mol·L^−1^的KOH标准溶液滴定，三次滴定平均消耗21. 50 mL的KOH标准溶液。
回答下列问题：
(1)根据上述实验药品的用量，三颈烧瓶的最适宜规格为\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．100 mL B．250 mL C．500 mL D．1000 mL
(2)在反应装置中应选用\_\_\_\_\_\_冷凝管(填"直形"或"球形")，当回流液不再出现油珠即可判断反应已完成，其判断理由是\_\_\_\_\_\_。
(3)加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步骤亦可用草酸在酸性条件下处理，请用反应的离子方程式表达其原理\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"用少量热水洗涤滤渣"一步中滤渣的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_。
(5)干燥苯甲酸晶体时，若温度过高，可能出现的结果是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)本实验制备的苯甲酸的纯度为\_\_\_\_\_\_\_；据此估算本实验中苯甲酸的产率最接近于\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．70% B．60% C．50% D．40%
(7)若要得到纯度更高的苯甲酸，可通过在水中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的方法提纯。
【答案】 (1). B (2). 球形 (3). 无油珠说明不溶于水的甲苯已经被完全氧化 (4). 除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气 (5). 2+5H~2~C~2~O~4~+6H^+^=2Mn^2+^+10CO~2~↑+8H~2~O (6). MnO~2~ (7). 苯甲酸升华而损失 (8). 86.0％ (9). C (10). 重结晶
【解析】
分析】
甲苯用高锰酸钾氧化时生成苯甲酸钾和二氧化锰，为增加冷凝效果，在反应装置中选用球形冷凝管，加热回流，当回流液中不再出现油珠时，说明反应已经完成，加入适量的饱和亚硫酸氢钠溶液除去过量的高锰酸钾，用盐酸酸化得苯甲酸，过滤、干燥、洗涤得粗产品；用KOH溶液滴定，测定粗产品的纯度。
【详解】（1）加热液体，所盛液体的体积不超过三颈烧瓶的一半，三颈烧瓶中已经加入100m的水，1.5mL甲苯，4.8g高锰酸钾，应选用250mL的三颈烧瓶，故答案为：B；
（2）为增加冷凝效果，在反应装置中宜选用球形冷凝管，当回流液中不再出现油珠时，说明反应已经完成，因为：没有油珠说明不溶于水的甲苯已经完全被氧化；故答案为：球形；没有油珠说明不溶于水的甲苯已经完全被氧化；
（3）高锰酸钾具有强氧化性，能将Cl^-^氧化。加入适量的饱和亚硫酸氢钠溶液是为了除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气；该步骤亦可用草酸处理，生成二氧化碳和锰盐，离子方程式为：5H~2~C~2~O~4~＋2MnO~4~^－^＋6H^＋^=2Mn^2＋^＋10CO~2~↑＋8H~2~O；故答案为：除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气；5H~2~C~2~O~4~＋2MnO~4~^－^＋6H^＋^=2Mn^2＋^＋10CO~2~↑＋8H~2~O；
（4）由信息甲苯用高锰酸钾氧化时生成苯甲酸钾和二氧化锰，"用少量热水洗涤滤渣"一步中滤渣的主要成分是：MnO~2~，故答案为：MnO~2~；
（5）苯甲酸100℃时易升华，干燥苯甲酸时，若温度过高，苯甲酸升华而损失；故答案为：苯甲酸升华而损失；
（6）由关系式C~6~H~5~COOH～KOH得，苯甲酸的纯度为： ×100%=86.0%；1.5mL甲苯理论上可得到苯甲酸的质量： =1.72g，产品的产率为 ×100%=50%；故答案为：86.0%；C；
（7）提纯苯甲酸可用重结晶的方法。故答案为：重结晶。
【点睛】本题考查制备方案的设计，涉及物质的分离提纯、仪器的使用、产率计算等，清楚原理是解答的关键，注意对题目信息的应用，是对学生实验综合能力的考查，难点（6）注意产品纯度和产率的区别。
10.天然气的主要成分为CH~4~，一般还含有C~2~H~6~等烃类，是重要的燃料和化工原料。
(1)乙烷在一定条件可发生如下反应：C~2~H~6~(g)= C~2~H~4~(g)+H~2~(g) Δ*H*，相关物质的燃烧热数据如下表所示：
-------------------------- ------------- ------------- ---------
物质 C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) H~2~(g)
燃烧热Δ*H*/( kJ·mol^−1^) -1560 -1411 -286
-------------------------- ------------- ------------- ---------
①Δ*H*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_kJ·mol^−1^。
②提高该反应平衡转化率的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③容器中通入等物质的量的乙烷和氢气，在等压下(*p*)发生上述反应，乙烷的平衡转化率为*α*。反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用平衡分压代替平衡浓度计算，分压=总压×物质的量分数)。
(2)高温下，甲烷生成乙烷的反应如下：2CH~4~C~2~H~6~+H~2~。反应在初期阶段的速率方程为：*r*=*k*×，其中*k*为反应速率常数。
①设反应开始时的反应速率为*r*~1~，甲烷的转化率为*α*时的反应速率为*r*~2~，则*r*~2~=\_\_\_\_\_ *r*~1~。
②对于处于初期阶段的该反应，下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
A．增加甲烷浓度，*r*增大 B．增加H~2~浓度，*r*增大
C．乙烷的生成速率逐渐增大 D．降低反应温度，*k*减小
(3)CH~4~和CO~2~都是比较稳定的分子，科学家利用电化学装置实现两种分子的耦合转化，其原理如下图所示：
①阴极上的反应式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②若生成的乙烯和乙烷的体积比为2∶1，则消耗的CH~4~和CO~2~体积比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 137 (2). 升高温度 (3). 减小压强(增大体积) (4). (5). 1－*α* (6). AD (7). CO~2~+2e^−^=CO+O^2−^ (8). 6∶5
【解析】
【分析】
\(1\) ①先写出三种气体的燃烧热的热化学方程式，然后根据盖斯定律进行计算，得到目标反应的∆H；
②反应C~2~H~6~(g)C~2~H~4~(g) + H~2~(g)为气体体积增大的吸热反应，升高温度、减小压强平衡等都向正反应方向移动；
③根据已知乙烷的转化率，设起始时加入的乙烷和氢气各为1mol，列出三段式，求出平衡时各物质的分压，带入平衡常数的计算公式进行计算；
\(2\) ①根据r=k×，若r~1~=kc，甲烷转化率为甲烷的浓度为c(1-)，则r~2~= kc(1-)；
②根据反应初期的速率方程为：r=k×，其中k为反应速率常数，据此分析速率变化的影响因素；
\(3\) ①由图可知，CO~2~在阴极得电子发生还原反应，电解质传到O^2-^，据此写出电极反应；
②令生成乙烯和乙烷分别为2体积和1体积，根据阿伏加德罗定律，同温同压下，气体体积比等于物质的量之比，再根据得失电子守恒，得到发生的总反应，进而计算出为消耗CH~4~和CO~2~的体积比。
【详解】(1)①由表中燃烧热数值可知：
①C~2~H~6~(g)+O~2~(g)=2CO~2~(g) +3H~2~O(l) ∆*H*~1~= -1560kJ∙mol^-1^；②C~2~H~4~(g)+3O~2~(g)=2CO~2~(g) +2H~2~O(l) ∆*H*~2~= -1411kJ∙mol^-1^；③H~2~(g)+O~2~(g)=H~2~O(l) ∆*H*~3~= -286kJ∙mol^-1^；根据盖斯定律可知，①-②-③得C~2~H~6~(g) =C~2~H~4~(g) + H~2~(g)，则∆*H*= ∆*H*~1~-∆*H*~2~-∆*H*~3~=( -1560kJ∙mol^-1^)-( -1411kJ∙mol^-1^)- ( -286kJ∙mol^-1^)=137kJ∙mol^-1^，故答案为137；
②反应C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) + H~2~(g)为气体体积增大的吸热反应，升高温度、减小压强平衡都向正反应方向移动，故提高该反应平衡转化率的方法有升高温度、减小压强（增大体积）；
③设起始时加入的乙烷和氢气各为1mol，列出三段式，
C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) + H~2~(g)
起始（mol） 1 0 1
转化（mol） α α
平衡（mol） 1- 1+
平衡时，C~2~H~6~、C~2~H~4~和H~2~平衡分压分别为p、p和p，则反应的平衡常数为K~p~=；
\(2\) ①根据*r*=*k*×，若*r*~1~= *k*c，甲烷转化率为甲烷的浓度为c(1-)，则*r*~2~= *k*c(1-)，所以*r*~2~=(1-)*r*~1~；
②A.增大反应物浓度反应速率增大，故A说法正确；
B.由速率方程可知，初期阶段的反应速率与氢气浓度无关，故B说法错误；
C．反应物甲烷的浓度逐渐减小，结合速率方程可知，乙烷的生成速率逐渐减小，故C说法错误；
D．化学反应速率与温度有关，温度降低，反应速率常数减小，故D正确。
答案选AD。
\(3\) ①由图可知，CO~2~在阴极得电子发生还原反应，电极反应为CO~2~+2e^-^=CO+O^2-^；
②令生成乙烯和乙烷分别为2体积和1体积，根据阿伏加德罗定律，同温同压下，气体体积比等于物质的量之比，再根据得失电子守恒，得到发生的总反应为：6CH~4~+5CO~2~=2C~2~H~4~+ C~2~H~6~+5H~2~O+5CO，即消耗CH~4~和CO~2~的体积比为6:5。故答案为：6:5。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.钙钛矿(CaTiO~3~)型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料，回答下列问题：
(1)基态Ti原子的核外电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Ti的四卤化物熔点如下表所示，TiF~4~熔点高于其他三种卤化物，自TiCl~4~至TiI~4~熔点依次升高，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
-------- -------- --------- --------- --------
化合物 TiF~4~ TiCl~4~ TiBr~4~ TiI~4~
熔点/℃ 377 ﹣24.12 38.3 155
-------- -------- --------- --------- --------
(3)CaTiO~3~的晶胞如图(a)所示，其组成元素的电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；金属离子与氧离子间的作用力为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，Ca^2+^的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)一种立方钙钛矿结构的金属卤化物光电材料的组成为Pb^2+^、I^﹣^和有机碱离子，其晶胞如图(b)所示。其中Pb^2+^与图(a)中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的空间位置相同，有机碱中，N原子的杂化轨道类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；若晶胞参数为*a* nm，则晶体密度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^-3^(列出计算式)。
(5)用上述金属卤化物光电材料制作的太阳能电池在使用过程中会产生单质铅和碘，降低了器件效率和使用寿命。我国科学家巧妙地在此材料中引入稀土铕(Eu)盐，提升了太阳能电池的效率和使用寿命，其作用原理如图(c)所示，用离子方程式表示该原理\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^ (2). TiF~4~为离子化合物，熔点高，其他三种均为共价化合物，随相对分子质量的增大分子间作用力增大，熔点逐渐升高 (3). O＞Ti＞Ca (4). 离子键 (5). 12 (6). Ti^4+^ (7). sp^3^ (8). (9). 2Eu^3+^+Pb=2Eu^2+^+Pb^2+^ (10). 2Eu^2+^+I~2~=2Eu^3+^+2I^−^
【解析】
【分析】
(1)考查了对基态原子电子排布规律的认识；(2)考查了不同类型的晶体的熔沸点比较，相同类型的晶体的熔沸点比较；(3)考查了电负性的周期性变化规律，微粒间的相互作用以及晶胞中离子的配位数；(4)考查了晶胞中微粒的位置和杂化理论，晶体密度的计算问题；(5)重点考查通过反应历程图，来书写离子方程式等。
【详解】(1)钛元素是22号元素，故其基态原子的核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^或\[Ar\]3d^2^4s^2^；故答案为：1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^或\[Ar\]3d^2^4s^2^；
\(2\) 一般不同的晶体类型的熔沸点是原子晶体\>离子晶体\>分子晶体，TiF~4~是离子晶体，其余三种则为分子晶体，故TiF~4~的熔点高于其余三种物质；TiCl~4~、TiBr~4~、TiI~4~均为分子晶体，对于结构相似的分子晶体，则其相对分子质量越大，分子间作用力依次越大，熔点越高；故答案为：TiF~4~是离子晶体，其余三种则为分子晶体，故TiF~4~的熔点高于其余三种物质；TiCl~4~、TiBr~4~、TiI~4~均为分子晶体，相对分子质量依次增大，分子间作用力依次增强，故熔点依次升高；
(3)CaTiO~3~晶体中含有Ca、Ti、O三种元素，Ca、Ti是同为第四周期的金属元素，Ca在Ti的左边，根据同一周期元素的电负性从左往右依次增大，故Ti\>Ca，O为非金属，故其电负性最强，故三者电负性由大到小的顺序是：O\>Ti\>Ca，金属阳离子和氧负离子之间以离子键结合，离子晶体晶胞中某微粒的配位数是指与之距离最近且相等的带相反电性的离子，故Ca^2+^的配位数必须是与之距离最近且相等的氧离子的数目，从图(a)可知，该数目为三个相互垂直的三个面上，每一个面上有4个，故Ca^2+^的配位数是12；故答案为：O\>Ti\>Ca；离子键；12；
(4)比较晶胞(a)(b)可知，将图(b)中周围紧邻的八个晶胞中体心上的离子连接起来，就能变为图(a)所示晶胞结构，图(b)中体心上的Pb^2+^就变为了八个顶点，即相当于图(a)中的Ti^4+^；图(b)中顶点上的I^-^就变成了体心，即相当于图(a)中的Ca^2+^；图(b)面心上中的 就变成了棱心，即相当于图(a)中的O^2-^；故图(b)中的Pb^2+^与图(a)中的Ti^4+^的空间位置相同；有机碱中N原子上无孤对电子，周围形成了4个键，故N原子采用sp^3^杂化；从图（b）可知，一个晶胞中含有Pb^2+^的数目为个，的数目为个，I-的数目为个，故晶胞的密度为，故答案为：Ti^4+^；sp^3^；；
（5）从作用原理图(c)可以推出，这里发生两个离子反应方程式，左边发生Pb + 2Eu^3+^= Pb^2+^+ 2Eu^2+^，右边发生I~2~+ 2Eu^2+^= 2Eu^3+^+ 2I^-^，故答案为：Pb + 2Eu^3+^= Pb^2+^+ 2Eu^2+^；I~2~+ 2Eu^2+^= 2Eu^3+^+ 2I^-^
【点睛】对电负性的考查，只要掌握周期表同一周期从左往右电负性依次增大，同一主族从上往下电负性依次减小的规律，另金属元素的电负性小于非金属的；化学键的类型判断主要也是通过电负性，当两元素的电负性相差1.7以上形成离子键，小于则形成共价键；判断分子等构型时，可以通过价层电子对互斥理论或杂化轨道理论以及等电子体原理进行判断；由陌生晶胞结构计算晶体密度时，先要确定晶胞中含有的微粒数目，这时一方面要认真分析晶胞中各类粒子的位置信息，另一方面也要注意均摊法的使用，然后根据质量的两种计算方法相等即来进行求算。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.维生素E是一种人体必需的脂溶性维生素，现已广泛应用于医药、营养品、化妆品等。天然的维生素E由多种生育酚组成，其中α-生育酚(化合物E)含量最高，生理活性也最高。下面是化合物E的一种合成路线，其中部分反应略去。
已知以下信息：a) 
b\) 
c\) 
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)反应物C含有三个甲基，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)反应⑤的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)反应⑥的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物C的同分异构体中能同时满足以下三个条件的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_个(不考虑立体异构体，填标号)。
(ⅰ)含有两个甲基；(ⅱ)含有酮羰基(但不含C=C=O)；(ⅲ)不含有环状结构。
(a)4 (b)6 (c)8 (d)10
其中，含有手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的化合物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 3-甲基苯酚(或间甲基苯酚) (2).  (3).  (4). 加成反应 (5).  (6). c (7). CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()
【解析】
【分析】
结合"已知信息a"和B的分子式可知B为；结合"已知信息b"和C的分子式可知C为；结合"已知信息c"和D的分子式可知D为，据此解答。
【详解】(1)A为，化学名称3-甲基苯酚（或间甲基苯酚），故答案为：3-甲基苯酚（或间甲基苯酚）；
(2)由分析可知，B的结构简式为，故答案为：；
(3)由分析可知，C的结构简式为，故答案为：；
(4)反应⑤为加成反应，H加在羰基的O上，乙炔基加在羰基的C上，故答案为：加成反应；
(5)反应⑥为中的碳碳三键和H~2~按1:1加成，反应的化学方程式为：，故答案为：；
(6)C为，有2个不饱和度，含酮羰基但不含环状结构，则分子中含一个碳碳双键，一个酮羰基，外加2个甲基，符合条件的有8种，如下：CH~3~CH=CHCOCH~2~CH~3~、CH~3~CH=CHCH~2~COCH~3~、CH~3~CH~2~CH=CHCOCH~3~、CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~、CH~2~=C(C~2~H~5~)COCH~3~、CH~2~=C(CH~3~)COCH~2~CH~3~、CH~2~=C(CH~3~)CH~2~COCH~3~、CH~2~=CHCOCH(CH~3~)~2~，其中，含有手性碳的为CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()，故答案为：c；CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）**
**理科综合生物能力测试**
**一、选择题**
1.新冠病毒（SARS-CoV-2）和肺炎双球菌均可引发肺炎，但二者的结构不同，新冠病毒是一种含有单链RNA的病毒。下列相关叙述正确的是（ ）
A. 新冠病毒进入宿主细胞的跨膜运输方式属于被动运输
B. 新冠病毒与肺炎双球菌均可利用自身的核糖体进行蛋白质合成
C. 新冠病毒与肺炎双球菌二者遗传物质所含有的核苷酸是相同的
D. 新冠病毒或肺炎双球菌的某些蛋白质可作为抗原引起机体免疫反应
【答案】D
【解析】
【分析】
新冠病毒是一种RNA病毒，不具细胞结构，主要由RNA和蛋白质构成；肺炎双球菌是一种细菌，属于原核生物。
【详解】A、新冠病毒进入宿主细胞的方式为胞吞，A错误；
B、新冠病毒不具细胞结构，不含核糖体等细胞器，利用宿主细胞的核糖体进行蛋白质的合成，B错误；
C、新冠病毒的遗传物质为RNA，肺炎双球菌的遗传物质为DNA，二者的核苷酸不同，C错误；
D、抗原是指能够引起机体产生特异性免疫反应的物质，病毒、细菌等病原体表面的蛋白质等物质都可以作为引起免疫反应的抗原，D正确。
故选D。
2.当人体的免疫系统将自身物质当作外来异物进行攻击时，可引起自身免疫病。下列属于自身免疫病的是（ ）
A 艾滋病
B. 类风湿性关节炎
C. 动物毛屑接触性鼻炎
D. 抗维生素D佝偻病
【答案】B
【解析】
【分析】
自身免疫病：由于免疫系统异常敏感、反应过度，"敌我不分"地将自身物质当作外来异物进行攻击而引起的一类疾病。
过敏反应：日常生活中，有些人接触某些花粉而引起皮肤荨麻疹，或吃了海鲜而呕吐、接触了动物的毛屑而出现过敏性鼻炎等，都是由于免疫系统对外来物质（过敏原）过度敏感引起的过敏反应。
【详解】A、艾滋病是由艾滋病病毒引起的免疫功能缺失的获得性免疫缺陷综合征，A错误；
B、类风湿性关节炎为自身免疫反应对自身组织和器官造成损伤，属于自身免疫病，B正确；
C、动物毛屑接触性鼻炎是由于免疫系统对过敏原（毛屑）过度敏感引起的过敏反应，C错误；
D、抗维生素D佝偻病是由显性致病基因控制的单基因遗传病，D错误。
故选B。
3.下列关于生物学实验的叙述，错误的是（ ）
A. 观察活细胞中的线粒体时，可以用健那绿染液进行染色
B. 探究人体红细胞因失水而发生的形态变化时，可用肉眼直接观察
C. 观察细胞中RNA和DNA的分布时，可用吡罗红甲基绿染色剂染色
D. 用细胞融合的方法探究细胞膜流动性时，可用荧光染料标记膜蛋白
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查教材上多个观察和验证性实验的相关知识，需要考生掌握相关实验的原理和方法，明确所用实验材料和试剂的特性，然后根据选项描述进行判断。
【详解】A、健那绿染液是将活细胞中线粒体染色的专一性染料，可以使活细胞中的线粒体呈现蓝绿色，而细胞质接近无色，A正确；
B、红细胞体积微小，观察其因失水而发生的形态变化需要利用显微镜，B错误；
C、甲基绿和吡罗红两种染色剂对DNA和RNA的亲和力不同，甲基绿使DNA呈现绿色，吡罗红使RNA呈现红色，利用甲基绿、吡罗红混合染色剂将细胞染色，可以显示DNA和RNA在细胞中的分布，C正确；
D、细胞膜主要由磷脂和蛋白质组成，用两种荧光染料分别标记两种细胞的膜蛋白分子，经过细胞融合后，两种颜色的荧光均匀分布，可以证明细胞膜具有流动性，D正确。
故选B。
4.关于高等植物细胞中染色体组的叙述，错误的是（ ）
A. 二倍体植物的配子只含有一个染色体组
B. 每个染色体组中的染色体均为非同源染色体
C. 每个染色体组中都含有常染色体和性染色体
D. 每个染色体组中各染色体DNA的碱基序列不同
【答案】C
【解析】
【分析】
细胞中的一组非同源染色体，在形态和功能上各不相同，但又互相协调，共同控制生物的生长、发育、遗传和变异，这样的一组染色体叫作一个染色体组。
同源染色体是指形状和大小一般相同，一条来自父方，一条来自母方的染色体。
【详解】A、二倍体植物体细胞含有两个染色体组，减数分裂形成配子时染色体数目减半，即配子只含一个染色体组，A正确；
B、由染色体组的定义可知，一个染色体组中所有染色体均为非同源染色体，不含同源染色体，B正确；
C、不是所有生物都有性别之分，有性别之分的生物的性别不一定由性染色体决定，因此不是所有细胞中都有性染色体和常染色体之分，C错误；
D、一个染色体组中的所有染色体在形态和功能上各不相同，因此染色体DNA的碱基序列不同，D正确。
故选C。
5.取某植物的成熟叶片，用打孔器获取叶圆片，等分成两份，分别放入浓度（单位为g/mL）相同的甲糖溶液和乙糖溶液中，得到甲、乙两个实验组（甲糖的相对分子质量约为乙糖的2倍）。水分交换达到平衡时，检测甲、乙两组的溶液浓度，发现甲组中甲糖溶液浓度升高。在此期间叶细胞和溶液之间没有溶质交换。据此判断下列说法错误的是（ ）
A. 甲组叶细胞吸收了甲糖溶液中的水使甲糖溶液浓度升高
B. 若测得乙糖溶液浓度不变，则乙组叶细胞的净吸水量为零
C. 若测得乙糖溶液浓度降低，则乙组叶肉细胞可能发生了质壁分离
D. 若测得乙糖溶液浓度升高，则叶细胞的净吸水量乙组大于甲组
【答案】D
【解析】
【分析】
渗透作用需要满足的条件是：①半透膜；②膜两侧具有浓度差。浓度差是指单位体积溶质分子数量的差异，即物质的量浓度差异，由题干信息可知，甲糖和乙糖的质量分数相同，但甲糖的相对分子质量约为乙糖的2倍，因此乙糖溶液的物质的量浓度约为甲糖溶液的2倍。
【详解】A、由题干信息可知，叶细胞与溶液之间无溶质交换，而甲组的甲糖溶液浓度升高，则可能是由于叶细胞的细胞液浓度大于甲糖溶液物质的量浓度，引起了细胞吸水，A正确；
B、若乙糖溶液浓度不变，说明乙糖溶液物质的量浓度与叶细胞的细胞液浓度相等，叶细胞净吸水量为零，B正确；
C、若乙糖溶液浓度降低，说明细胞失水，叶肉细胞可能发生了质壁分离，C正确；
D、若乙糖溶液浓度升高，说明乙糖溶液物质的量浓度低于叶细胞的细胞液浓度，细胞吸水，而乙糖溶液的物质的量浓度约为甲糖溶液的2倍，因此叶细胞的净吸水量应是乙组小于甲组，D错误。
故选D。
6.河水携带泥沙流入大海时，泥沙会在入海口淤积形成三角洲。在这个过程中，会出现3种植物群落类型：①以芦苇为主的植物群落（生长在淡水环境中），②以赤碱蓬为主的植物群落（生长在海水环境中），③草甸植物群落（生长在陆地环境中）。该三角洲上的植物群落是通过群落演替形成的，演替的顺序是（ ）
A. ②①③
B ③②①
C. ①③②
D. ③①②
【答案】A
【解析】
【分析】
群落是一个动态系统，它是不断发展变化的。随着时间的推移，一个群落被另一个群落代替的过程，叫作演替。群落的演替可分为初生演替和次生演替，初生演替是指在一个从来没有植物覆盖的地面或者原来存在过植被，但被彻底消灭的地方发生的演替；次生演替是指在原有植被虽已不存在，但原有土壤条件基本保留，甚至还保留了植物的种子或其他繁殖体的地方发生的演替。
【详解】由题干信息可知，该处形成三角洲的过程发生的演替属于次生演替，由于入海口的海水环境，最先形成的群落应是②以碱蓬为主的植物群落，随着河水（淡水）的不断冲刷，此处环境中水中的盐浓度会逐渐下降，植物群落便逐渐演替为①以芦苇为主的植物群落，由于河水中带有泥沙，三角洲处的陆地面积也会有一定的增大，因此会逐渐演替为草甸植物群落，则演替顺序为②①③，A正确。
故选A。
**三、非选择题**
7.大豆蛋白在人体内经消化道中酶的作用后，可形成小肽（短的肽链）。回答下列问题：
（1）在大豆细胞中，以mRNA为模板合成蛋白质时，除mRNA外还需要其他种类的核酸分子参与，它们是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）大豆细胞中大多数mRNA和RNA聚合酶从合成部位到执行功能部位需要经过核孔。就细胞核和细胞质这两个部位来说，作为mRNA合成部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，作为mRNA执行功能部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；作为RNA聚合酶合成部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，作为RNA聚合酶执行功能部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）部分氨基酸的密码子如表所示。若来自大豆的某小肽对应的编码序列为UACGAACAUUGG，则该小肽的氨基酸序列是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若该小肽对应的DNA序列有3处碱基发生了替换，但小肽的氨基酸序列不变，则此时编码小肽的RNA序列为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
+--------+--------+
| 氨基酸 | 密码子 |
+--------+--------+
| 色氨酸 | UGG |
+--------+--------+
| 谷氨酸 | GAA |
| | |
| | GAG |
+--------+--------+
| 酪氨酸 | UAC |
| | |
| | UAU |
+--------+--------+
| 组氨酸 | CAU |
| | |
| | CAC |
+--------+--------+
【答案】 (1). rRNA (2). tRNA (3). 细胞核 (4). 细胞质 (5). 细胞质 (6). 细胞核 (7). 酪氨酸-谷氨酸-组氨酸-色氨酸 (8). UAUGAGCACUGG
【解析】
【分析】
翻译：
1、概念：游离在细胞质中的各种氨基酸，，以mRNA为模板合成具有一定氨基酸顺序的蛋白质的过程。
2、场所：核糖体。
3、条件：①模板：mRNA； ②原料：氨基酸； ③酶； ④能量；⑤tRNA
4、结果：形成具有一定氨基酸顺序的蛋白质。
【详解】（1）翻译过程中除了需要mRNA外，还需要的核酸分子组成核糖体的rRNA和运输氨基酸的tRNA。
（2）就细胞核和细胞质这两个部位来说，mRNA是在细胞核内以DNA的一条链为模板合成的，合成后需进入细胞质翻译出相应的蛋白质。RNA聚合酶的化学本质是蛋白质，在细胞质中合成后，进入细胞核用于合成RNA。
（3）根据该小肽的编码序列和对应的部分密码子表可知，该小肽的氨基酸序列是：酪氨酸-谷氨酸-组氨酸-色氨酸。由于谷氨酸、酪氨酸、组氨酸对应的密码子各有两种，故可知对应的DNA序列有3处碱基发生替换后，氨基酸序列不变，则形成的编码序列为UAUGAGCACUGG。
【点睛】本题考查蛋白质合成的相关知识，要求考生能够识记蛋白质的合成过程以及密码子的相关知识，结合实例准确答题。
8.为了研究细胞器功能，某同学将正常叶片置于适量的溶液B中，用组织捣碎机破碎细胞，再用差速离心法分离细胞器。回答下列问题：
（1）该实验所用溶液B应满足的条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
（2）离心沉淀出细胞核后，上清液在适宜条件下能将葡萄糖彻底分解，原因是此上清液中含有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）将分离得到的叶绿体悬浮在适宜溶液中，照光后有氧气释放；如果在该适宜溶液中将叶绿体外表的双层膜破裂后再照光，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"有"或"没有"）氧气释放，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). pH 应与细胞质基质的相同，渗透压应与细胞内的相同 (2). 细胞质基质组分和线粒体 (3). 有 (4). 类囊体膜是H~2~O分解释放O~2~的场所，叶绿体膜破裂不影响类囊体膜的功能
【解析】
【分析】
细胞器的种类及功能：
1、细胞器分为：线粒体、叶绿体、内质网、高尔基体、核糖体、溶酶体、液泡、中心体。
2、①线粒体是细胞进行有氧呼吸的主要场所。又称"动力车间"。细胞生命活动所需的能量，大约95%来自线粒体。
②叶绿体是绿色植物能进行光合作用的细胞含有的细胞器，是植物细胞的"养料制造车间"和"能量转换站"。
③内质网是由膜连接而成的网状结构，是细胞内蛋白质的合成和加工，以及脂质合成的"车间"。
④高尔基体对来自内质网的蛋白质加工，分类和包装的"车间"及"发送站"。
⑤核糖体是"生产蛋白质的机器"，有的依附在内质网上称为附着核糖体，有的游离分布在细胞质中称为游离核糖体。
⑥溶酶体分解衰老，损伤的细胞器，吞噬并杀死入侵的病毒或细菌。
⑦液泡是调节细胞内的环境，是植物细胞保持坚挺的细胞器。含有色素（花青素）。
⑧中心体与低等植物细胞、动物细胞有丝分裂有关。由两个相互垂直的中心粒构成.。
【详解】（1）将正常叶片置于适量的溶液B中，为防止叶片失水，应保证pH与细胞质基质的相同，渗透压与细胞内的相同。
（2）葡萄糖彻底氧化分解的场所为细胞质基质和线粒体。
（3）由于类囊体膜是H~2~O分解释放O~2~的场所，叶绿体膜破裂不影响类囊体膜功能，故有氧气释放。
【点睛】本题结合具体实例考查光合作用、呼吸作用和细胞器的相关内容，掌握光合作用和呼吸作用的场所、细胞器的功能是解题的关键。
9.人在剧烈奔跑运动时机体会出现一些生理变化。回答下列问题：
（1）剧烈奔跑运动时肌细胞会出现\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，这一呼吸方式会导致肌肉有酸痛感。
（2）当进行较长时间剧烈运动时，人体还会出现其他一些生理变化。例如，与运动前相比，胰岛A细胞的分泌活动会加强，分泌\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，该激素具有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）等生理功能，从而使血糖水平升高。
（3）人在进行剧烈运动时会大量出汗，因此在大量出汗后，为维持内环境的相对稳定，可以在饮水的同时适当补充一些\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 无氧呼吸 (2). 胰高血糖素 (3). 促进糖原分解和非糖物质转化为葡萄糖 (4). 电解质（或答：无机盐）
【解析】
【分析】
胰岛B细胞能分泌胰岛素，其作用是促进组织细胞加速摄取、利用和储存葡萄糖，从而使血糖水平降低；胰岛A细胞能分泌胰高血糖素，其作用是促进糖原分解，并促进一些非糖物质转化为葡萄糖，从而使血糖水平升高。
【详解】（1）剧烈奔跑时肌细胞会进行无氧呼吸产生乳酸，从而使肌肉有酸痛感。
（2）胰岛A细胞能分泌胰高血糖素，其作用是促进糖原分解，并促进一些非糖物质转化为葡萄糖，从而使血糖水平升高。
（3）汗液中除含有水分外，还会含有一些电解质（无机盐），故大量出汗后除了补充水分外，还应补充电解质（无机盐）。
【点睛】本题结合生活实例，主要考查了无氧呼吸、血糖调节以及水盐平衡调节的相关知识，意在考查考生从题中获取信息的能力，并运用所学知识对信息进行分析、推理和解释现象的能力。
10.控制某种植物叶形、叶色和能否抗霜霉病3个性状的基因分别用A/a、B/b、D/d表示，且位于3对同源染色体上。现有表现型不同的4种植株：板叶紫叶抗病（甲）、板叶绿叶抗病（乙）、花叶绿叶感病（丙）和花叶紫叶感病（丁）。甲和丙杂交，子代表现型均与甲相同；乙和丁杂交，子代出现个体数相近的8种不同表现型。回答下列问题：
（1）根据甲和丙的杂交结果，可知这3对相对性状的显性性状分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）根据甲和丙、乙和丁的杂交结果，可以推断甲、乙、丙和丁植株的基因型分别为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）若丙和丁杂交，则子代的表现型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）选择某一未知基因型植株X与乙进行杂交，统计子代个体性状。若发现叶形的分离比为3∶1、叶色的分离比为1∶1、能否抗病性状的分离比为1∶1，则植株X的基因型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 板叶、紫叶、抗病 (2). AABBDD (3). AabbDd (4). aabbdd (5). aaBbdd (6). 花叶绿叶感病、 花叶紫叶感病 (7). AaBbdd
【解析】
【分析】
分析题意可知：甲板叶紫叶抗病与丙花叶绿叶感病杂交，子代表现型与甲相同，可知甲为显性纯合子AABBDD，丙为隐性纯合子aabbdd；乙板叶绿叶抗病与丁花叶紫叶感病杂交，后代出现8种表现型，且比例接近1：1：1：1：1：1：1：1，可推测三对等位基因应均为测交。
【详解】（1）甲板叶紫叶抗病与丙花叶绿叶感病杂交，子代表现型与甲相同，可知甲为显性纯合子AABBDD，可知，显性性状为板叶、紫叶、抗病。
（2）已知显性性状为板叶、紫叶、抗病，再根据甲乙丙丁的表现型和杂交结果可推知，甲、乙、丙、丁的基因型分别为AABBDD、AabbDd、aabbdd、aaBbdd。
（3）若丙aabbdd和丁aaBbdd杂交，根据自由组合定律，可知子代基因型和表现型为：aabbdd（花叶绿叶感病）和aaBbdd（花叶紫叶感病）。
（4）已知杂合子自交分离比为3：1，测交比为1：1，故，X与乙杂交，叶形分离比为3：1，则为Aa×Aa杂交，叶色分离比为1：1，则为Bb×bb杂交，能否抗病分离比为1：1，则为Dd×dd杂交，由于乙的基因型为AabbDd，可知X的基因型为AaBbdd。
【点睛】本题考查分离定律和自由组合定律的应用的相关知识，要求考生掌握基因基因分离定律和自由组合定律的实质及相关分离比，并能灵活运用解题。
**\[生物------选修1：生物技术实践\]**
11.研究人员从海底微生物中分离到一种在低温下有催化活性的α-淀粉酶A~3~，并对其进行了研究。回答下列问题：
（1）在以淀粉为底物测定A~3~酶活性时，既可检测淀粉的减少，检测应采用的试剂是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也可采用斐林试剂检测\_\_\_\_\_\_\_\_的增加。
（2）在A~3~的分离过程中可采用聚丙烯酰胺凝胶电泳检测其纯度，通常会在凝胶中添加SDS，SDS的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）本实验中，研究人员在确定A~3~的最适pH时使用了三种组分不同的缓冲系统，结果如图所示。某同学据图判断，缓冲系统的组分对酶活性有影响，其判断依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）在制备A~3~的固定化酶时，一般不宜采用包埋法，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答出1 点即可）。
【答案】 (1). 碘液 (2). 还原糖（或答：葡萄糖） (3). 消除蛋白质所带净电荷对迁移率的影响 (4). 使蛋白质发生变性 (5). 在pH相同时，不同缓冲系统条件下所测得的相对酶活性不同 (6). 酶分子体积小，容易从包埋材料中漏出
【解析】
【分析】
SDS聚丙烯酰胺凝胶电泳原理：在离子强度低时，主要以单体形式存在的SDS可以与蛋白质结合，生成蛋白质-SDS复合物。由于SDS带有大量负电荷，复合物所带的负电荷远远超过蛋白质原有的负电荷，这使得不同蛋白质间电荷的差异被掩盖。而SDS-蛋白质复合物形状都呈椭圆棒形，棒的长度与蛋白质亚基分子量有关，所以在SDS聚丙烯酰胺凝胶电泳中蛋白只存在分子大小的差别，利用这一点可将不同的蛋白质分开 （分子筛效应），因此SDS-PAGE常用于检测蛋白质亚基的分子量及鉴定纯度。
【详解】（1）测定酶活性时，可以通过检测反应物的减少或生成物的增加来反映酶活性，所以可以用碘液检测淀粉的减少，也可用斐林试剂检测还原糖（或葡萄糖）的增加。
（2）鉴定蛋白质纯度常用SDS聚丙烯酰胺凝胶电泳法，凝胶中加入SDS可以消除蛋白质所带净电荷对迁移率的影响，并使蛋白质发生变性。
（3）分析题中曲线可知，在pH相同时，不同缓冲系统条件下所测得的相对酶活性不同，可推测缓冲系统的组分对酶活性有影响。
（4）由于酶分子体积小，容易从包埋材料中漏出，所以固定化酶时，一般不采用包埋法。
【点睛】本题比较基础，考查蛋白质的提取和分离、固定化酶技术等相关知识，对于此类试题，需要考生注意的细节较多，如实验的原理、实验采用的试剂及试剂的作用、实验操作步骤等，考生在平时的学习过程中应注意积累。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
12.植树造林、"无废弃物农业"、污水净化是建设美丽中国的重要措施。回答下列有关生态工程的问题：
（1）在植树造林时，一般认为，全部种植一种植物的做法是不可取的。因为与混合种植方式所构建的生态系统相比，按照种植一种植物方式所构建的生态系统，其抵抗力稳定性\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。抵抗力稳定性的含义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）"无废弃物农业"是我国利用生态工程的原理进行农业生产的一种模式，其做法是收集有机物质。包括人畜粪便、枯枝落叶等，采用堆肥和沤肥等多种方式，把它们转变为有机肥料，再施用到农田中。施用有机肥料的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出3点即可）。在有机肥料的形成过程中，微生物起到了重要作用，这些微生物属于生态系统组分中的\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）在污水净化过程中，除发挥污水处理厂的作用外，若要利用生物来回收污水中的铜、镉等金属元素，请提供一个方案：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 低 (2). 生态系统抵抗外界干扰并使自身的结构与功能保持原状或不受损害的能力 (3). 改善了土壤结构；培育了土壤微生物；实现了土壤养分的循环利用 (4). 分解者 (5). 种植能吸收这些金属元素的水生植物，再从植物中回收金属
【解析】
【分析】
1、生态系统的稳定性：包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性。
2、生态工程的基本原理：
①物质循环再生原理：物质能在生态系统中循环往复，分层分级利用；
②物种多样性原理：物种繁多复杂的生态系统具有较高的抵抗力稳定性；
③协调与平衡原理：生态系统的生物数量不能超过环境承载力（环境容纳量）的限度；
④整体性原理：生态系统建设要考虑自然、经济、社会的整体影响；
⑤系统学和工程学原理：系统的结构决定功能原理：要通过改善和优化系统结构改善功能；
系统整体性原理：系统各组分间要有适当的比例关系，使得能量、物质、信息等的转换和流通顺利完成，并实现总体功能大于各部分之和的效果，即"1+1＞2"。
【详解】（1）生态系统抵抗力稳定性取决于生态系统中物种组成的复杂程度，种植一种植物，生态系统的生物种类过少，抵抗力稳定性较低；所谓抵抗力稳定性是指生态系统抵抗外界干扰并使自身的结构与功能保持原状或不受损害的能力。
（2）由于有机肥料中有机物较多，故施用有机肥料可以改善土壤结构、培育土壤微生物、实现了土壤养分的循环利用。分解人畜粪便、枯枝败叶中的有机物质的微生物属于分解者。
（3）利用生物来回收污水中的金属元素，可以通过种植能吸收这些金属元素的水生植物，再从植物中回收金属。
【点睛】本题考查生态系统和生态工程的相关知识，要求考生识记生态系统的结构、稳定性以及生态工程的基本原理及生态恢复工程的实例，掌握生态农业的意义，能结合所需的知识准确答题。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考公式：**
如果事件*A、B*互斥，那么*P（A+B）*－*P（A）+P（B）*
如果事件*A、B*相互独立，那么*P（A·B）*－*P（A）·P（B）*
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么*n*次独立事件重复试验中恰好发生*k*次的概率*P~n~（k）*=*C^k^~n~P^k^（1-P）^n-k^*
**一、选择题：**本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B．4 C． 5 D． 6
2．命题"若，则"的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分
4．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．120
5．在中，，则BC =（ ）
A． B． C．2 D．
6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若*a*是1+2*b*与1-2*b*的等比中项，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设正数*a*，*b*满足，则（ ）
A．0 B． C． D．1
9．已知定义域为R的函数*f*（*x*）在上为减函数，且*y*=*f*（*x*+8）函数为偶函数，则（ ）
A．*f*（6）\>*f*（7） B．*f*（6）\>*f*（9） C．*f*（7）\>*f*（9） D．*f*（7）\>*f*（10）
10．如图，在四边形ABCD中，，=0，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
**二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上**
11．复数的虚部为\_\_\_\_\_\_\_\_。
12．已知*x*，*y*满足，则函数*z* = *x*+3*y*的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_。
13．若函数*f*（*x*） = 的定义域为R，则*a*的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_。
14．设{}为公比*q*\>1的等比数列，若和是方程的两根，则
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种。（以数字作答）
16．过双曲线的右焦点F作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P、Q两点，则\|FP\|·\|FQ\|的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分13分，其中（I）小问9分，（II）小问4分。）
设*f*（*x*）=
（1）求*f*（*x*）的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求t*an*的值。
18．（本小题满分13分，其中（I）小问4分，（II）小问9分。））
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为、、，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额的分布列与期望。
19．（本小题满分13分，其中（I）小问8分，（II）小问5分）
如图，在直三棱柱ABC---中，AA~1~=2，AB = 1，；点D、E分别在BB~1~、A~1~D上，且，四棱锥C---ABDA~1~与直三棱柱的体积之比为3：5。
（1）求异面直线DE与B~1~C~1~的距离；
（2）若BC =，求二面角A~1~---DC~1~---B~1~的平面角的正切值。
20．（本小题满分13分）
已知函数（*x*\>0）在*x* = 1处取得极值－3－*c*，其中*a*，*b*，*c*为常数。
（1）试确定*a*，*b*的值；
（2）讨论函数*f*（*x*）的单调区间；
（3）若对任意*x*\>0，不等式恒成立，求*c*的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}的前*n*项和S*~n~*满足S*~n~*\>1，且
。
（1）求{}的通项公式；
（2）设数列{}满足，并记为{}的前*n*项和，求证：
22．（本小题满分12分）
如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线*l*的方程为：*x* = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值。
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**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市二年级（上）期末数学试卷**
**一、我会选（5小题，共10分）**
1．（2分）看到的是（ ）
A． B． C．
2．（2分）一个三角尺上有（ ）个锐角。
A．1 B．2 C．3
3．（2分）小明6：30起床，7：40开始上第一节课，小明吃早饭可能在（ ）
A．6：20 B．7：00 C．8：10
4．（2分）用2、5、9组成两位数（十位与个位上数字不同），能组成（ ）个。
A．4 B．6 C．8
5．（2分）求7个3相加的和是多少，列式为（ ）
A．7+3 B．7×3 C．7﹣3
**二、我会填。（每空1分，共23分）**
6．（2分）填上合适的长度单位。
------------------------------- -----------------------------------
教室长10[ ]{.underline}。 一支铅笔长15[ ]{.underline}。
------------------------------- -----------------------------------
7．（3分）6+6+6+6+6+6+6改写成乘法算式是[ ]{.underline}或[ ]{.underline}，计算时用到的乘法口诀是[ ]{.underline}。
8．（2分）64比49多[ ]{.underline}：比27多33的数是[ ]{.underline}。
9．（2分）一个角有[ ]{.underline}个顶点，[ ]{.underline}条射线．
10．（2分）图中有[ ]{.underline}条线段，有[ ]{.underline}个直角。
11．（1分）乐乐今天7：30到学校，欢欢7：45到校，[ ]{.underline}到学校比较早．
12．（1分）三个人进行跳棋比赛，每两人进行一场，一共要比[ ]{.underline}场。
13．（1分）从直尺的刻度"3"到刻度"9"是[ ]{.underline}厘米。
14．（4分）在〇里填上"＜"、"＞"、"＝"。
----------- ------------- ---------- -------------
70〇34+40 3米〇30厘米 3+3〇3×3 60分〇1小时
----------- ------------- ---------- -------------
15．（3分）横线上最大能填几？
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
8×[ ]{.underline}＜58 [ ]{.underline}×3＜19 45＞7×[ ]{.underline}
--------------------------- --------------------------- ---------------------------
16．（4分）写出下面钟表的时间。
> 图中的钟面显示的时间是（[ ]{.underline}：[ ]{.underline}），再过10分钟是（[ ]{.underline}：[ ]{.underline}）。
**三、我是小法官。（对的在括号里打√，错的打×共5小题，每小题2分，共10分）**
17．（2分）所有的钝角都比直角大。[ ]{.underline}（判断对错）
18．（2分）计算小数加减法，相同数位要对齐，从个位算起．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（2分）两个乘数都是9，积是18。[ ]{.underline}（判断对错）
20．（2分）根据每一句乘法口诀都能写出两道乘法算式．[ ]{.underline}（判断对错）
21．（2分）分针从数字2走到数字6，经过的时间是4分钟．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、我会算（共22分）**
22．（12分）直接写得数。
3×7＝ 36﹣8＝ 7×8＝ 65﹣20＝
------- ---------- ---------- ----------
6×2＝ 1×7＝ 57﹣29＝ 8×9＝
5×5＝ 50﹣26＝ 46+9＝ 30+24＝
23．（10分）竖式计算。
--------- ---------- ------------- -----------------
57+36＝ 80﹣37＝ 90﹣45+37＝ 83﹣（18+26）＝
--------- ---------- ------------- -----------------
**五、操作题（3小题，共10分）**
24．（3分）画一个比直角小的角，并标明它是什么角。
25．（3分）画出比6厘米短2厘米的线段．
26．（4分）画图表示下面算式的含义。
**六、解决问题（共23分）**
27．（6分）体育课举行跳绳比赛，明明跳了45下，东东跳的比明明少15下，东东跳了多少下？他们一共跳了多少下？
28．（6分）花店原来有75盆花，上午卖出18盆后，下午又进来30盆，花店里现在有多少盆花？
29．（5分）妈妈带了70元钱，想给笑笑买一套8本的儿童读物，每本9元，妈妈带的钱够吗？
30．（6分）图书角里有图书60本，李丽和4个好朋友去借书，每人都借走了7本。
> （1）一共借走了多少本？
>
> （2）还剩多少本？
**2020-2021学年吉林省吉林市磐石市二年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、我会选（5小题，共10分）**
1．【分析】这个立体图形由4个相同的小正方体组成。乌龟是从正面看的，它能看到4个相同的小正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；鸭子是从右面看的，它看到的是一列2个正方形；小鸟是从上面看的，它看到的是一行3个正方形。
> 【解答】解：如图
>
> 看到的是。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。
2．【分析】因为三角形的三个内角的和是180度，三角尺中有一个直角，另两个角的度数都小于90度，所以是锐角；由此解答即可。
> 【解答】解：一个三角尺上有2个锐角。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题应根据三角形的内角和是180度，并结合锐角的含义进行解答。
3．【分析】小明6：30起床，7：40开始上第一节课，小明吃早饭一定在6：30之后，7：40之前，可以用排除法排除6：20（在6：30之前）、8：10（7：40之后），可能是7：00。
> 【解答】解：小明6：30起床，7：40开始上第一节课，小明吃早饭可能在7：00。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】如分析所说，小明吃早饭一定在6：30之后，7：40之前。
4．【分析】运用列举法，把可以组成的两位数都写出即可。十位是2的数有：25、29，十位是5的数有：52、59，十位是9的数有：92、95，一共6个。
> 【解答】解：十位是2的数有：25、29
>
> 十位是5的数有：52、59
>
> 十位是9的数有：92、95
>
> 一共6个。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】在写这些两位数时，要按照一定的顺序写，不要漏写或者重复写。
5．【分析】求7个3相加的和是多少，可以用加法算式：3+3+3+3+3+3+3，也可以用乘法算式：7×3或3×7．
> 【解答】解：求7个3相加的和是多少，列式为7×3或3×7．
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查了整数乘法的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求几个相同加数的和是多少，用乘法解答。
**二、我会填。（每空1分，共23分）**
6．【分析】根据生活经验以及对长度单位和数据大小的认识，结合实际情况可知计量教室的长度用"米"做单位，计量一支铅笔的长度用"厘米"做单位，由此解答。
> 【解答】解：
-------------- --------------------
教室长10米。 一支铅笔长15厘米。
-------------- --------------------
> 故答案为：米，厘米。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
7．【分析】乘法的意义为：求几个相同加数和的简便计算．据此可知，6+6+6+6+6+6+6改写成乘法算式是6×7或7×6，乘法口诀是六七四十二。
> 【解答】解：6+6+6+6+6+6+6改写成乘法算式是6×7或7×6，计算时用到的乘法口诀是六七四十二。
>
> 故答案为：6×7或7×6，六七四十二。
>
> 【点评】本题考查了学生对于乘法意义的理解与应用及乘法口诀。
8．【分析】要求64比49多多少，用64减去49即可；要求比27多33的数是多少，用27加上33即可。
> 【解答】解：64﹣49＝15
>
> 27+33＝60
>
> 答：64比49多15：比27多33的数是60。
>
> 故答案为：15，60。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的计算方法，属于基础题，比较简单。
9．【分析】根据角的概念：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；可知：一个角有1个顶点，有两条边；进而解答即可．
> 【解答】解：根据角的概念可知：一个角有1个顶点，2条射线，这两条射线是角的两条边。
>
> 故答案为：1，2．
>
> 【点评】此题考查了角的概念，应注意基础知识的掌握．
10．【分析】观察图示，可知其由一个三角形和一个长方形组成，数一数可知：图中有6条线段，有4个直角。
> 【解答】解：经分析可知：
>
> 图中有6条线段，有4个直角。
>
> 故答案为：6；4。
>
> 【点评】本题考查组合图形的计数问题。按照分类的方式不重不漏数全即可。
11．【分析】要求谁到学校比较早，就看这两个时刻谁在前面．
> 【解答】解：因为7：30比7：45早，所以乐乐到学校比较早．
>
> 故答案为：乐乐．
>
> 【点评】本题考查了时间的推算，关键是明确这两个时刻谁在前面．
12．【分析】每两人之间进行一场跳棋比赛即进行单循环比赛。则每位同学都要和其他的2位同学赛一场，所以所有同学参赛的场数为2×3＝6场；由于比赛是在每两个人之间进行的，所以一共要赛6÷2＝3场。
> 【解答】解：3×（3﹣1）÷2
>
> ＝3×2÷2
>
> ＝3（场）
>
> 答：一共要比赛3场。
>
> 故答案为：3。
>
> 【点评】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数＝*n*（*n*﹣1）÷2解答。
13．【分析】测量时不是0刻度与线段的端点对齐，要用结束刻度减去起始刻度才是线段的长度。
> 【解答】解：9﹣3＝6（厘米）
>
> 即：从直尺的刻度"3"到刻度"9"是6厘米。
>
> 故答案为：6。
>
> 【点评】在直尺上读刻度，不管是从零开始还是其它刻度开始，直接用大刻度减去小刻度即可。
14．【分析】先计算和换算单位，再比较大小即可。
> 【解答】解：（1）34+40＝74，70＜74，所以70＜34+40；
>
> （2）1米＝100厘米，3米＝300厘米，300厘米＞30厘米，所以3米＞30厘米；
>
> （3）3+3＝6，3×3＝9，6＜9，所以3+3＜3×3；
>
> （4）1小时＝60分。
>
> 故答案为：＜；＞；＜；＝。
>
> 【点评】这道题解题的关键是要会正确比较大小。
15．【分析】（1）根据乘法口诀七八五十六可得8×7＝56，56＜58，横线上最大可以填7；
> （2）根据乘法口诀三六十八可得6×3＝18，18＜19，横线上最大可以填6；
>
> （3）根据乘法口诀六七四十二可得7×6＝42，42＜45，横线上最大可以填6。
>
> 【解答】解：
--------- --------- ---------
8×7＜58 6×3＜19 45＞7×6
--------- --------- ---------
> 故答案为：7，6，6。
>
> 【点评】解决本题关键是熟练掌握乘法口诀。
16．【分析】时针指向7、8之间，是7时多，分针指向5，是25分，所显示的时刻是7：25；再过10分钟用现在时刻+经过时间＝结束时刻，计算解答即可。
> 【解答】解：时针指向7、8之间，是7时多，分针指向5，是25分，所显示的时刻是7：25；7时25分+10分＝7时35分。
>
> 故答案为：7，25；7，35。
>
> 【点评】此题主要是考查钟表的认识和时刻的推算；当分针指向12时，时针指向几就是几时整；不是整时时，时针刚过几就是几时，分针指向多少分，就是几时多少分；开始时刻+经过时间＝结束时刻。
**三、我是小法官。（对的在括号里打√，错的打&\#215;共5小题，每小题2分，共10分）**
17．【分析】根据钝角和直角的含义："大于90°小于180°的角是钝角；等于90°的角叫做直角"可知：所有的钝角都比直角大；据此判断即可。
> 【解答】解：由钝角和直角的含义可知：所有的钝角都比直角大，说法正确。
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题应根据钝角、直角的含义进行解答。
18．【分析】根据小数加减法的计算法则进行判断即可．
> 【解答】解：计算小数加减法时，相同数位要对齐，也就是小数点对齐，从末位算起．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】本题主要考查小数加减法计算法则，即计算小数加减法时，相同数位要对齐，也就是小数点对齐，从末位算起．
19．【分析】根据：积＝乘数×乘数，代入数据解答即可。
> 【解答】解：9×9＝81
>
> 所以，两个乘数都是9，积是81，故原题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查了整数乘除法各部分之间的关系。
20．【分析】解答此题应结合实际，进行分析，找出反例，进而得出结论．
> 【解答】解：由分析可知：当两个因数相同的情况下，如：一一得一，只能写一个乘法算式和一个除法算式，
>
> 即：1×1＝1，1÷1＝1，故原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】解答此题应结合实际，进行分析，找出反例，进而得出结论．
21．【分析】钟面12个数字把钟面平均分成12份，即12大格，分针走1大格是5分，从数字2走到数字6，走了6﹣2＝4大格，是5×4＝20分．
> 【解答】解：6﹣2＝4（大格）
>
> 5×4＝20（分钟）
>
> 即分针从数字2走到数字6，经过的时间是20分钟
>
> 原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】在钟面上分针走1大格是5经过的时间是5分钟，走几大格就是几个5分钟，根据加法或乘法即可解答．
**四、我会算（共22分）**
22．【分析】根据乘法口诀及整数加减法的计算方法，依次填出即可。
> 【解答】解：
3×7＝21 36﹣8＝28 7×8＝56 65﹣20＝45
--------- ------------ ------------ ------------
6×2＝12 1×7＝7 57﹣29＝28 8×9＝72
5×5＝25 50﹣26＝24 46+9＝55 30+24＝54
> 故答案为：21，28，56，45，12，7，28，72，25，24，55，54。
>
> 【点评】灵活掌握乘法口诀及整数加减法的计算方法，是解答此题的关键。
23．【分析】根据整数加减法和四则运算的顺序进行计算即可。
> 【解答】解：57+36＝93
>
> 80﹣37＝43
>
> 90﹣45+37＝82
>
> 83﹣（18+26）＝39
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的竖式计算方法，注意相同数位要对齐。
**五、操作题（3小题，共10分）**
24．【分析】根据直角的意义，90°的角叫直角，根据锐角的意义，大于0°而小于直角的角叫锐角。用三角板或量角器即可画一个比直角小的角，它是锐角。
> 【解答】解：
>
> （画不唯一）。
>
> 【点评】此题主要是考查直角的意义及角的分类。
25．【分析】先求出要画线段的长度，再根据画线段的方法：先画一个点，用直尺的"0"刻度和这点重合，然后在直尺上找出对应的刻度，点上点，然后过这两点画线段即可．
> 【解答】解：6厘米﹣2厘米＝4厘米．
>
> 画图如下：
>
> 【点评】本题考查了学生通过计算求出要画线段的长度，和画线段的能力．
26．【分析】5×3表示3个5相加的和；
> 5+3表示5与3相加的和。据此解答。
>
> 【解答】解：
>
> （答案不唯一）
>
> 【点评】本题考查了整数乘法和加法的意义的运用。
**六、解决问题（共23分）**
27．【分析】明明跳了45下，东东跳的比明明少15下，用明明跳的下数减去15下，就是东东跳的下数，再把东东和明明跳的下数相加，就是一共跳了多少下。
> 【解答】解：45﹣15＝30（下）
>
> 45+30＝75（下）
>
> 答：东东跳了30下，他们一共跳了75下。
>
> 【点评】这道题是对加法和减法含义的理解：把两部分合起来用加法计算，从总数中去掉一部分用减法计算。
28．【分析】根据题意，用花店原来的数量减去上午卖出的数量，然后再加上后来又进的数量即可求出花店里现在有多少盆花。
> 【解答】解：75﹣18+30
>
> ＝57+30
>
> ＝87（盆）
>
> 答：花店里现在有87盆花。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
29．【分析】每本9元，一套8本的儿童读物共8个9元，即9×8，然后再与70元进行比较解答。
> 【解答】解：9×8＝72（元）
>
> 72＞70
>
> 答：妈妈带的钱不够。
>
> 【点评】本题考查了整数乘法意义的运用。
30．【分析】（1）求一共借走了多少本，用每人借走的书的本数乘人数即可；
> （2）求还剩多少本，用总数量减去借走的数量即可。
>
> 【解答】解：（1）7×（4+1）＝35（本）
>
> 答：一共借走了35本；
>
> （2）60﹣35＝25（本）
>
> 答：还剩下25元。
>
> 【点评】灵活掌握数量间的关系，是解答此题的关键。
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第14课《多个图形的组拼》试题附答案**
**答案**
一年级奥数上册：第十四讲 多个图形的组拼 习题
一年级奥数上册：第十四讲 多个图形的组拼 习题解答
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.北宋沈括《梦溪笔谈》中记载："信州铅山有苦泉，流以为涧。挹其水熬之则成胆矾，烹胆矾则成铜。熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"。下列有关叙述错误的是
A. 胆矾的化学式为CuSO~4~
B. 胆矾可作为湿法冶铜的原料
C. "熬之则成胆矾"是浓缩结晶过程
D. "熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"是发生了置换反应
【答案】A
【解析】
【详解】A.胆矾为硫酸铜晶体，化学式为CuSO~4~5H~2~O，A说法错误；
B.湿法冶铜是用铁与硫酸铜溶液发生置换反应制取铜，B说法正确；
C.加热浓缩硫酸铜溶液可析出胆矾，故"熬之则成胆矾"是浓缩结晶过程，C说法正确；
D.铁与硫酸铜溶液发生置换反应生成铜，D说法正确。
综上所述，相关说法错误的是A，故选A。
2.某白色固体混合物由NaCl、KCl、MgSO~4~、CaCO~3~中的两种组成，进行如下实验：① 混合物溶于水，得到澄清透明溶液；② 做焰色反应，通过钴玻璃可观察到紫色；③ 向溶液中加碱，产生白色沉淀。根据实验现象可判断其组成为
A. KCl、NaCl B. KCl、MgSO~4~
C. KCl、CaCO~3~ D. MgSO~4~、NaCl
【答案】B
【解析】
【详解】①混合物溶于水，得到澄清透明溶液，则不含CaCO~3~，排除C选项；②做焰色反应，通过钴玻璃可观察到紫色，可确定含有钾元素，即含有KCl；③向溶液中加碱，产生白色沉淀，则应含有MgSO~4~，综合以上分析，混合物由KCl和MgSO~4~两种物质组成，故选B。
3.二氧化碳的过量排放可对海洋生物的生存环境造成很大影响，其原理如下图所示。下列叙述错误的是
A. 海水酸化能引起浓度增大、浓度减小
B. 海水酸化能促进CaCO~3~的溶解，导致珊瑚礁减少
C. CO~2~能引起海水酸化，其原理为H^+^+
D. 使用太阳能、氢能等新能源可改善珊瑚的生存环境
【答案】C
【解析】
详解】A．海水酸化，H^+^浓度增大，平衡H^+^+⇌正向移动，浓度减小，浓度增大，A正确；
B．海水酸化，浓度减小，导致CaCO~3~溶解平衡正向移动，促进了CaCO~3~溶解，导致珊瑚礁减少，B正确；
C．CO~2~引起海水酸化的原理为：CO~2~+H~2~O⇌H~2~CO~3~⇌H^+^+，⇌H^+^+，导致H^+^浓度增大，C错误；
D．使用太阳能、氢能等新能源，可以减少化石能源的燃烧，从而减少CO~2~的排放，减弱海水酸化，从而改善珊瑚礁的生存环境，D正确；
答案选C。
4.吡啶()是类似于苯的芳香化合物，2-乙烯基吡啶(VPy)是合成治疗矽肺病药物的原料，可由如下路线合成。下列叙述正确的是
A. Mpy只有两种芳香同分异构体 B. Epy中所有原子共平面
C. Vpy是乙烯的同系物 D. 反应②的反应类型是消去反应
【答案】D
【解析】
【详解】A．MPy有3种芳香同分异构体，分别为：甲基在N原子的间位C上、甲基在N原子的对位C上、氨基苯，A错误；
B．EPy中有两个饱和C，以饱和C为中心的5个原子最多有3个原子共面，所以EPy中所有原子不可能都共面，B错误；
C．VPy含有杂环，和乙烯结构不相似，故VPy不是乙烯的同系物，C错误；
D．反应②为醇的消去反应，D正确。
答案选D。
5.据文献报道：Fe(CO)~5~催化某反应的一种反应机理如下图所示。下列叙述错误的是
A. OH^-^参与了该催化循环 B. 该反应可产生清洁燃料H~2~
C. 该反应可消耗温室气体CO~2~ D. 该催化循环中Fe的成键数目发生变化
【答案】C
【解析】
【分析】
题干中明确指出，铁配合物Fe(CO)~5~充当催化剂作用。机理图中，凡是出现在历程中，进去的箭头表示反应物，出来的箭头表示生成物，既有进去又有出来的箭头表示为催化剂或反应条件，其余可以看成为中间物种。由题干中提供的反应机理图可知，铁配合物Fe(CO)~5~在整个反应历程中成键数目，配体种类等均发生了变化；并且也可以观察出，反应过程中所需的反应物除CO外还需要H~2~O，最终产物是CO~2~和H~2~，同时参与反应的还有OH^-^，故OH^-^也可以看成是另一个催化剂或反应条件。
【详解】A．从反应机理图中可知，OH^-^有进入箭头也有出去的箭头，说明OH^-^参与了该催化循环，故A项正确；
B．从反应机理图中可知，该反应的反应物为CO和H~2~O，产物为H~2~和CO~2~，Fe(CO)~5~作为整个反应的催化剂，而OH^-^仅仅在个别步骤中辅助催化剂完成反应，说明该反应方程式为，故有清洁燃料H~2~生成，故 B项正确；
C．由B项分析可知，该反应不是消耗温室气体CO~2~，反而是生成了温室气体CO~2~，故 C项不正确；
D．从反应机理图中可知，Fe的成键数目和成键微粒在该循环过程中均发生了变化，故 D项正确；
答案选C。
【点睛】对于反应机理图的分析，最重要的是判断反应物，产物以及催化剂；一般催化剂在机理图中多数是以完整的循环出现的；通过一个箭头进入整个历程的物质则是反应物；而通过一个箭头最终脱离整个历程的物质一般多是产物。
6.电致变色器件可智能调控太阳光透过率，从而实现节能。下图是某电致变色器件的示意图。当通电时，Ag^+^注入到无色WO~3~薄膜中，生成Ag*~x~*WO~3~，器件呈现蓝色，对于该变化过程，下列叙述错误的是
A. Ag为阳极 B. Ag^+^由银电极向变色层迁移
C. W元素的化合价升高 D. 总反应为：WO~3~+*x*Ag=Ag*~x~*WO~3~
【答案】C
【解析】
【分析】
从题干可知，当通电时，Ag^+^注入到无色WO~3~薄膜中，生成Ag~x~WO~3~器件呈现蓝色，说明通电时，Ag电极有Ag^+^生成然后经固体电解质进入电致变色层，说明Ag电极为阳极，透明导电层时阴极，故Ag电极上发生氧化反应，电致变色层发生还原反应。
【详解】A．通电时，Ag电极有Ag^+^生成，故Ag电极为阳极，故A项正确；
B．通电时电致变色层变蓝色，说明有Ag^+^从Ag电极经固体电解质进入电致变色层，故B项正确；
C．过程中，W由WO~3~的+6价降低到Ag~x~WO~3~中的+(6-x)价，故C项错误；
D．该电解池中阳极即Ag电极上发生的电极反应为：xAg-xe^-^= xAg^+^，而另一极阴极上发生的电极反应为：WO~3~+xAg^+^+xe- = AgxWO~3~，故发生的总反应式为：xAg + WO~3~=Ag~x~WO~3~，故D项正确；
答案选C。
【点睛】电解池的试题，重点要弄清楚电解的原理，阴、阳极的判断和阴、阳极上电极反应式的书写，阳极反应式+阴极反应式=总反应式，加的过程中需使得失电子数相等。
7.一种由短周期主族元素组成的化合物(如图所示)，具有良好的储氢性能，其中元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大、且总和为24。下列有关叙述错误的是
A. 该化合物中，W、X、Y之间均为共价键
B. Z的单质既能与水反应，也可与甲醇反应
C. Y的最高化合价氧化物的水化物为强酸
D. X的氟化物XF~3~中原子均为8电子稳定结构
【答案】D
【解析】
【分析】
一种由短周期主族元素形成的化合物，具有良好的储氢性能，其中元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大，且总和为24，根据图示，W为1价形成共价键，W为氢，Z为+1价阳离子，Z为Na，Y为3价，Y为N，24-1-11-7=5，X为B元素。
【详解】A．该化合物中，H、B、N之间均以共用电子对形成共价键，故A正确；
B．Na单质既能与水反应生成氢氧化钠和氢气，也能与甲醇反应生成甲醇钠和氢气，故B正确；
C．N的最高价氧化物的水化物HNO~3~为强酸，故C正确；
D．B氟化物BF~3~中B原子最外层只有6个电子，达不到8电子稳定结构，故D错误；
故选D。
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.化学工业为疫情防控提供了强有力的物质支撑。氯的许多化合物既是重要化工原料，又是高效、广谱的灭菌消毒剂。回答下列问题：
(1)氯气是制备系列含氯化合物的主要原料，可采用如图(a)所示的装置来制取。装置中的离子膜只允许\_\_\_\_\_\_离子通过，氯气的逸出口是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
(2)次氯酸为一元弱酸，具有漂白和杀菌作用，其电离平衡体系中各成分的组成分数*δ*\[*δ*(X)=，X为HClO或ClO^−^\]与pH的关系如图(b)所示。HClO的电离常数*K*~a~值为\_\_\_\_\_\_。
(3)Cl~2~O为淡棕黄色气体，是次氯酸的酸酐，可由新制的HgO和Cl~2~反应来制备，该反应为歧化反应(氧化剂和还原剂为同一种物质的反应)。上述制备Cl~2~O的化学方程式为\_\_\_\_\_\_。
(4)ClO~2~常温下为黄色气体，易溶于水，其水溶液是一种广谱杀菌剂。一种有效成分为NaClO~2~、NaHSO~4~、NaHCO~3~的"二氧化氯泡腾片"，能快速溶于水，溢出大量气泡，得到ClO~2~溶液。上述过程中，生成ClO~2~的反应属于歧化反应，每生成1 mol ClO~2~消耗NaClO~2~的量为\_\_\_\_\_mol；产生"气泡"的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"84消毒液"的有效成分为NaClO，不可与酸性清洁剂混用的原因是\_\_\_\_\_\_(用离子方程式表示)。工业上是将氯气通入到30%的NaOH溶液中来制备NaClO溶液，若NaClO溶液中NaOH的质量分数为1%，则生产1000 kg该溶液需消耗氯气的质量为\_\_\_\_kg(保留整数)。
【答案】 (1). Na^+^ (2). a (3). 10^-7.5^ (4). 2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O (5). 1.25 (6). NaHCO~3~+NaHSO~4~=CO~2~↑+Na~2~SO~4~+H~2~O (7). ClO^-^+Cl^-^+2H^+^=Cl~2~↑+ H~2~O (8). 203
【解析】
【分析】
（1）电解饱和食盐水，阳极产生氯气，阳离子移向阴极室；
（2）由图pH=7.5时，c(HClO)=c(ClO^-^)，HClO的*K*a==c(H^+^)；
（3）Cl~2~歧化为Cl~2~O和Cl^-^；
（4）根据5ClO~2~^－^＋4H^＋^=4ClO~2~＋Cl^－^＋2H~2~O，计算每生成1molClO~2~，消耗的NaClO~2~；碳酸氢钠和硫酸氢钠反应生成硫酸钠、水和二氧化碳；
(5)"84"中的NaClO、NaCl和酸性清洁剂混合后发生归中反应；根据NaOH质量守恒计算；
【详解】（1）电解饱和食盐水，反应的化学方程式为2NaCl+2H~2~O 2NaOH+Cl~2~↑+H~2~↑，阳极氯离子失电子发生氧化反应生成氯气，氯气从a口逸出，阴极氢离子得到电子发生还原反应生成氢气，产生OH^-^与通过离子膜的Na^+^在阴极室形成NaOH，故答案为：Na^+^；a；
(2)由图pH=7.5时，c(HClO)=c(ClO^-^)，HClO的*K*a==c(H^+^)=10^-7.5^；故答案为：10^-7.5^；
（3）Cl~2~歧化为Cl~2~O和Cl^-^，HgO和氯气反应的方程式为：2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O，故答案为：2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O；
（4）5ClO~2~^－^＋4H^＋^=4ClO~2~＋Cl^－^＋2H~2~O，每生成1molClO~2~，消耗NaClO~2~为 =1.25mol；碳酸氢钠和硫酸氢钠反应生成硫酸钠、水和二氧化碳，方程式为：NaHCO~3~＋NaHSO~4~=Na~2~SO~4~＋H~2~O＋CO~2~↑，故答案为:1.25mol；NaHCO~3~＋NaHSO~4~=Na~2~SO~4~＋H~2~O＋CO~2~↑；
(5)"84"中的NaClO、NaCl和酸性清洁剂混合后发生归中反应，离子方程式为：ClO^－^＋Cl^－^＋2H^＋^=Cl~2~↑＋H~2~O；设氯气为xkg，则消耗的NaOH为kg，原氢氧化钠质量为+1000Kg×0.01，由NaOH质量守恒：原溶液为1000Kg-x，则Kg+1000Kg×0. 01=（1000Kg-x)×0.3，解得x=203Kg；故答案为：ClO^－^＋Cl^－^＋2H^＋^=Cl~2~↑＋H~2~O；203。
9.苯甲酸可用作食品防腐剂。实验室可通过甲苯氧化制苯甲酸，其反应原理简示如下：
+KMnO~4~→+ MnO~2~+HCl→+KCl
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 名称 | 相对分 | 熔点/℃ | 沸点/℃ | 密度/(g·mL^−1^) | 溶解性 |
| | | | | | |
| | 子质量 | | | | |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 甲苯 | 92 | −95 | 110.6 | 0.867 | 不溶于水，易溶于乙醇 |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
| 苯甲酸 | 122 | 122.4(100℃左右开始升华) | 248 | ------ | 微溶于冷水，易溶于乙醇、热水 |
+--------+--------+-------------------------+--------+-----------------+------------------------------+
实验步骤：
(1)在装有温度计、冷凝管和搅拌器的三颈烧瓶中加入1.5 mL甲苯、100 mL水和4.8 g(约0.03 mol)高锰酸钾，慢慢开启搅拌器，并加热回流至回流液不再出现油珠。
(2)停止加热，继续搅拌，冷却片刻后，从冷凝管上口慢慢加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液，并将反应混合物趁热过滤，用少量热水洗涤滤渣。合并滤液和洗涤液，于冰水浴中冷却，然后用浓盐酸酸化至苯甲酸析出完全。将析出的苯甲酸过滤，用少量冷水洗涤，放在沸水浴上干燥。称量，粗产品为1.0 g。
(3)纯度测定：称取0. 122 g粗产品，配成乙醇溶液，于100 mL容量瓶中定容。每次移取25. 00 mL溶液，用0.01000 mol·L^−1^的KOH标准溶液滴定，三次滴定平均消耗21. 50 mL的KOH标准溶液。
回答下列问题：
(1)根据上述实验药品的用量，三颈烧瓶的最适宜规格为\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．100 mL B．250 mL C．500 mL D．1000 mL
(2)在反应装置中应选用\_\_\_\_\_\_冷凝管(填"直形"或"球形")，当回流液不再出现油珠即可判断反应已完成，其判断理由是\_\_\_\_\_\_。
(3)加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步骤亦可用草酸在酸性条件下处理，请用反应的离子方程式表达其原理\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"用少量热水洗涤滤渣"一步中滤渣的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_。
(5)干燥苯甲酸晶体时，若温度过高，可能出现的结果是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)本实验制备的苯甲酸的纯度为\_\_\_\_\_\_\_；据此估算本实验中苯甲酸的产率最接近于\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．70% B．60% C．50% D．40%
(7)若要得到纯度更高的苯甲酸，可通过在水中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的方法提纯。
【答案】 (1). B (2). 球形 (3). 无油珠说明不溶于水的甲苯已经被完全氧化 (4). 除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气 (5). 2+5H~2~C~2~O~4~+6H^+^=2Mn^2+^+10CO~2~↑+8H~2~O (6). MnO~2~ (7). 苯甲酸升华而损失 (8). 86.0％ (9). C (10). 重结晶
【解析】
分析】
甲苯用高锰酸钾氧化时生成苯甲酸钾和二氧化锰，为增加冷凝效果，在反应装置中选用球形冷凝管，加热回流，当回流液中不再出现油珠时，说明反应已经完成，加入适量的饱和亚硫酸氢钠溶液除去过量的高锰酸钾，用盐酸酸化得苯甲酸，过滤、干燥、洗涤得粗产品；用KOH溶液滴定，测定粗产品的纯度。
【详解】（1）加热液体，所盛液体的体积不超过三颈烧瓶的一半，三颈烧瓶中已经加入100m的水，1.5mL甲苯，4.8g高锰酸钾，应选用250mL的三颈烧瓶，故答案为：B；
（2）为增加冷凝效果，在反应装置中宜选用球形冷凝管，当回流液中不再出现油珠时，说明反应已经完成，因为：没有油珠说明不溶于水的甲苯已经完全被氧化；故答案为：球形；没有油珠说明不溶于水的甲苯已经完全被氧化；
（3）高锰酸钾具有强氧化性，能将Cl^-^氧化。加入适量的饱和亚硫酸氢钠溶液是为了除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气；该步骤亦可用草酸处理，生成二氧化碳和锰盐，离子方程式为：5H~2~C~2~O~4~＋2MnO~4~^－^＋6H^＋^=2Mn^2＋^＋10CO~2~↑＋8H~2~O；故答案为：除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气；5H~2~C~2~O~4~＋2MnO~4~^－^＋6H^＋^=2Mn^2＋^＋10CO~2~↑＋8H~2~O；
（4）由信息甲苯用高锰酸钾氧化时生成苯甲酸钾和二氧化锰，"用少量热水洗涤滤渣"一步中滤渣的主要成分是：MnO~2~，故答案为：MnO~2~；
（5）苯甲酸100℃时易升华，干燥苯甲酸时，若温度过高，苯甲酸升华而损失；故答案为：苯甲酸升华而损失；
（6）由关系式C~6~H~5~COOH～KOH得，苯甲酸的纯度为： ×100%=86.0%；1.5mL甲苯理论上可得到苯甲酸的质量： =1.72g，产品的产率为 ×100%=50%；故答案为：86.0%；C；
（7）提纯苯甲酸可用重结晶的方法。故答案为：重结晶。
【点睛】本题考查制备方案的设计，涉及物质的分离提纯、仪器的使用、产率计算等，清楚原理是解答的关键，注意对题目信息的应用，是对学生实验综合能力的考查，难点（6）注意产品纯度和产率的区别。
10.天然气的主要成分为CH~4~，一般还含有C~2~H~6~等烃类，是重要的燃料和化工原料。
(1)乙烷在一定条件可发生如下反应：C~2~H~6~(g)= C~2~H~4~(g)+H~2~(g) Δ*H*，相关物质的燃烧热数据如下表所示：
-------------------------- ------------- ------------- ---------
物质 C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) H~2~(g)
燃烧热Δ*H*/( kJ·mol^−1^) -1560 -1411 -286
-------------------------- ------------- ------------- ---------
①Δ*H*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_kJ·mol^−1^。
②提高该反应平衡转化率的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③容器中通入等物质的量的乙烷和氢气，在等压下(*p*)发生上述反应，乙烷的平衡转化率为*α*。反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(用平衡分压代替平衡浓度计算，分压=总压×物质的量分数)。
(2)高温下，甲烷生成乙烷的反应如下：2CH~4~C~2~H~6~+H~2~。反应在初期阶段的速率方程为：*r*=*k*×，其中*k*为反应速率常数。
①设反应开始时的反应速率为*r*~1~，甲烷的转化率为*α*时的反应速率为*r*~2~，则*r*~2~=\_\_\_\_\_ *r*~1~。
②对于处于初期阶段的该反应，下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
A．增加甲烷浓度，*r*增大 B．增加H~2~浓度，*r*增大
C．乙烷的生成速率逐渐增大 D．降低反应温度，*k*减小
(3)CH~4~和CO~2~都是比较稳定的分子，科学家利用电化学装置实现两种分子的耦合转化，其原理如下图所示：
①阴极上的反应式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②若生成的乙烯和乙烷的体积比为2∶1，则消耗的CH~4~和CO~2~体积比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 137 (2). 升高温度 (3). 减小压强(增大体积) (4). (5). 1－*α* (6). AD (7). CO~2~+2e^−^=CO+O^2−^ (8). 6∶5
【解析】
【分析】
\(1\) ①先写出三种气体的燃烧热的热化学方程式，然后根据盖斯定律进行计算，得到目标反应的∆H；
②反应C~2~H~6~(g)C~2~H~4~(g) + H~2~(g)为气体体积增大的吸热反应，升高温度、减小压强平衡等都向正反应方向移动；
③根据已知乙烷的转化率，设起始时加入的乙烷和氢气各为1mol，列出三段式，求出平衡时各物质的分压，带入平衡常数的计算公式进行计算；
\(2\) ①根据r=k×，若r~1~=kc，甲烷转化率为甲烷的浓度为c(1-)，则r~2~= kc(1-)；
②根据反应初期的速率方程为：r=k×，其中k为反应速率常数，据此分析速率变化的影响因素；
\(3\) ①由图可知，CO~2~在阴极得电子发生还原反应，电解质传到O^2-^，据此写出电极反应；
②令生成乙烯和乙烷分别为2体积和1体积，根据阿伏加德罗定律，同温同压下，气体体积比等于物质的量之比，再根据得失电子守恒，得到发生的总反应，进而计算出为消耗CH~4~和CO~2~的体积比。
【详解】(1)①由表中燃烧热数值可知：
①C~2~H~6~(g)+O~2~(g)=2CO~2~(g) +3H~2~O(l) ∆*H*~1~= -1560kJ∙mol^-1^；②C~2~H~4~(g)+3O~2~(g)=2CO~2~(g) +2H~2~O(l) ∆*H*~2~= -1411kJ∙mol^-1^；③H~2~(g)+O~2~(g)=H~2~O(l) ∆*H*~3~= -286kJ∙mol^-1^；根据盖斯定律可知，①-②-③得C~2~H~6~(g) =C~2~H~4~(g) + H~2~(g)，则∆*H*= ∆*H*~1~-∆*H*~2~-∆*H*~3~=( -1560kJ∙mol^-1^)-( -1411kJ∙mol^-1^)- ( -286kJ∙mol^-1^)=137kJ∙mol^-1^，故答案为137；
②反应C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) + H~2~(g)为气体体积增大的吸热反应，升高温度、减小压强平衡都向正反应方向移动，故提高该反应平衡转化率的方法有升高温度、减小压强（增大体积）；
③设起始时加入的乙烷和氢气各为1mol，列出三段式，
C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) + H~2~(g)
起始（mol） 1 0 1
转化（mol） α α
平衡（mol） 1- 1+
平衡时，C~2~H~6~、C~2~H~4~和H~2~平衡分压分别为p、p和p，则反应的平衡常数为K~p~=；
\(2\) ①根据*r*=*k*×，若*r*~1~= *k*c，甲烷转化率为甲烷的浓度为c(1-)，则*r*~2~= *k*c(1-)，所以*r*~2~=(1-)*r*~1~；
②A.增大反应物浓度反应速率增大，故A说法正确；
B.由速率方程可知，初期阶段的反应速率与氢气浓度无关，故B说法错误；
C．反应物甲烷的浓度逐渐减小，结合速率方程可知，乙烷的生成速率逐渐减小，故C说法错误；
D．化学反应速率与温度有关，温度降低，反应速率常数减小，故D正确。
答案选AD。
\(3\) ①由图可知，CO~2~在阴极得电子发生还原反应，电极反应为CO~2~+2e^-^=CO+O^2-^；
②令生成乙烯和乙烷分别为2体积和1体积，根据阿伏加德罗定律，同温同压下，气体体积比等于物质的量之比，再根据得失电子守恒，得到发生的总反应为：6CH~4~+5CO~2~=2C~2~H~4~+ C~2~H~6~+5H~2~O+5CO，即消耗CH~4~和CO~2~的体积比为6:5。故答案为：6:5。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.钙钛矿(CaTiO~3~)型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料，回答下列问题：
(1)基态Ti原子的核外电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)Ti的四卤化物熔点如下表所示，TiF~4~熔点高于其他三种卤化物，自TiCl~4~至TiI~4~熔点依次升高，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
-------- -------- --------- --------- --------
化合物 TiF~4~ TiCl~4~ TiBr~4~ TiI~4~
熔点/℃ 377 ﹣24.12 38.3 155
-------- -------- --------- --------- --------
(3)CaTiO~3~的晶胞如图(a)所示，其组成元素的电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；金属离子与氧离子间的作用力为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，Ca^2+^的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)一种立方钙钛矿结构的金属卤化物光电材料的组成为Pb^2+^、I^﹣^和有机碱离子，其晶胞如图(b)所示。其中Pb^2+^与图(a)中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的空间位置相同，有机碱中，N原子的杂化轨道类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；若晶胞参数为*a* nm，则晶体密度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^-3^(列出计算式)。
(5)用上述金属卤化物光电材料制作的太阳能电池在使用过程中会产生单质铅和碘，降低了器件效率和使用寿命。我国科学家巧妙地在此材料中引入稀土铕(Eu)盐，提升了太阳能电池的效率和使用寿命，其作用原理如图(c)所示，用离子方程式表示该原理\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^ (2). TiF~4~为离子化合物，熔点高，其他三种均为共价化合物，随相对分子质量的增大分子间作用力增大，熔点逐渐升高 (3). O＞Ti＞Ca (4). 离子键 (5). 12 (6). Ti^4+^ (7). sp^3^ (8). (9). 2Eu^3+^+Pb=2Eu^2+^+Pb^2+^ (10). 2Eu^2+^+I~2~=2Eu^3+^+2I^−^
【解析】
【分析】
(1)考查了对基态原子电子排布规律的认识；(2)考查了不同类型的晶体的熔沸点比较，相同类型的晶体的熔沸点比较；(3)考查了电负性的周期性变化规律，微粒间的相互作用以及晶胞中离子的配位数；(4)考查了晶胞中微粒的位置和杂化理论，晶体密度的计算问题；(5)重点考查通过反应历程图，来书写离子方程式等。
【详解】(1)钛元素是22号元素，故其基态原子的核外电子排布式为1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^或\[Ar\]3d^2^4s^2^；故答案为：1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^或\[Ar\]3d^2^4s^2^；
\(2\) 一般不同的晶体类型的熔沸点是原子晶体\>离子晶体\>分子晶体，TiF~4~是离子晶体，其余三种则为分子晶体，故TiF~4~的熔点高于其余三种物质；TiCl~4~、TiBr~4~、TiI~4~均为分子晶体，对于结构相似的分子晶体，则其相对分子质量越大，分子间作用力依次越大，熔点越高；故答案为：TiF~4~是离子晶体，其余三种则为分子晶体，故TiF~4~的熔点高于其余三种物质；TiCl~4~、TiBr~4~、TiI~4~均为分子晶体，相对分子质量依次增大，分子间作用力依次增强，故熔点依次升高；
(3)CaTiO~3~晶体中含有Ca、Ti、O三种元素，Ca、Ti是同为第四周期的金属元素，Ca在Ti的左边，根据同一周期元素的电负性从左往右依次增大，故Ti\>Ca，O为非金属，故其电负性最强，故三者电负性由大到小的顺序是：O\>Ti\>Ca，金属阳离子和氧负离子之间以离子键结合，离子晶体晶胞中某微粒的配位数是指与之距离最近且相等的带相反电性的离子，故Ca^2+^的配位数必须是与之距离最近且相等的氧离子的数目，从图(a)可知，该数目为三个相互垂直的三个面上，每一个面上有4个，故Ca^2+^的配位数是12；故答案为：O\>Ti\>Ca；离子键；12；
(4)比较晶胞(a)(b)可知，将图(b)中周围紧邻的八个晶胞中体心上的离子连接起来，就能变为图(a)所示晶胞结构，图(b)中体心上的Pb^2+^就变为了八个顶点，即相当于图(a)中的Ti^4+^；图(b)中顶点上的I^-^就变成了体心，即相当于图(a)中的Ca^2+^；图(b)面心上中的 就变成了棱心，即相当于图(a)中的O^2-^；故图(b)中的Pb^2+^与图(a)中的Ti^4+^的空间位置相同；有机碱中N原子上无孤对电子，周围形成了4个键，故N原子采用sp^3^杂化；从图（b）可知，一个晶胞中含有Pb^2+^的数目为个，的数目为个，I-的数目为个，故晶胞的密度为，故答案为：Ti^4+^；sp^3^；；
（5）从作用原理图(c)可以推出，这里发生两个离子反应方程式，左边发生Pb + 2Eu^3+^= Pb^2+^+ 2Eu^2+^，右边发生I~2~+ 2Eu^2+^= 2Eu^3+^+ 2I^-^，故答案为：Pb + 2Eu^3+^= Pb^2+^+ 2Eu^2+^；I~2~+ 2Eu^2+^= 2Eu^3+^+ 2I^-^
【点睛】对电负性的考查，只要掌握周期表同一周期从左往右电负性依次增大，同一主族从上往下电负性依次减小的规律，另金属元素的电负性小于非金属的；化学键的类型判断主要也是通过电负性，当两元素的电负性相差1.7以上形成离子键，小于则形成共价键；判断分子等构型时，可以通过价层电子对互斥理论或杂化轨道理论以及等电子体原理进行判断；由陌生晶胞结构计算晶体密度时，先要确定晶胞中含有的微粒数目，这时一方面要认真分析晶胞中各类粒子的位置信息，另一方面也要注意均摊法的使用，然后根据质量的两种计算方法相等即来进行求算。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.维生素E是一种人体必需的脂溶性维生素，现已广泛应用于医药、营养品、化妆品等。天然的维生素E由多种生育酚组成，其中α-生育酚(化合物E)含量最高，生理活性也最高。下面是化合物E的一种合成路线，其中部分反应略去。
已知以下信息：a) 
b\) 
c\) 
回答下列问题：
(1)A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)反应物C含有三个甲基，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)反应⑤的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)反应⑥的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物C的同分异构体中能同时满足以下三个条件的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_个(不考虑立体异构体，填标号)。
(ⅰ)含有两个甲基；(ⅱ)含有酮羰基(但不含C=C=O)；(ⅲ)不含有环状结构。
(a)4 (b)6 (c)8 (d)10
其中，含有手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的化合物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 3-甲基苯酚(或间甲基苯酚) (2).  (3).  (4). 加成反应 (5).  (6). c (7). CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()
【解析】
【分析】
结合"已知信息a"和B的分子式可知B为；结合"已知信息b"和C的分子式可知C为；结合"已知信息c"和D的分子式可知D为，据此解答。
【详解】(1)A为，化学名称3-甲基苯酚（或间甲基苯酚），故答案为：3-甲基苯酚（或间甲基苯酚）；
(2)由分析可知，B的结构简式为，故答案为：；
(3)由分析可知，C的结构简式为，故答案为：；
(4)反应⑤为加成反应，H加在羰基的O上，乙炔基加在羰基的C上，故答案为：加成反应；
(5)反应⑥为中的碳碳三键和H~2~按1:1加成，反应的化学方程式为：，故答案为：；
(6)C为，有2个不饱和度，含酮羰基但不含环状结构，则分子中含一个碳碳双键，一个酮羰基，外加2个甲基，符合条件的有8种，如下：CH~3~CH=CHCOCH~2~CH~3~、CH~3~CH=CHCH~2~COCH~3~、CH~3~CH~2~CH=CHCOCH~3~、CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~、CH~2~=C(C~2~H~5~)COCH~3~、CH~2~=C(CH~3~)COCH~2~CH~3~、CH~2~=C(CH~3~)CH~2~COCH~3~、CH~2~=CHCOCH(CH~3~)~2~，其中，含有手性碳的为CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()，故答案为：c；CH~2~=CHCH(CH~3~)COCH~3~()。
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