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|---|---|---|
**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大****版(秋)**
**第3单元 第三节：数豆子**
一、找规律写数
1、（ ） 78 （ ） （ ） （ ） （ ） 83 （ ） （ ）
2、（ ） （ ） （ ） 61 （ ） （ ） （ ） （ ） 66
3、 8 16 （ ） （ ） 40 （ ）  56 （ ） （ ） （ ）
4、19 29 （ ） （ ） 59 （ ） （ ） （ ） （ ）
二、填空
1、一个数从右边起，第一位是（ ）位，第二位是（ ）位，第三位是（ ）位。
2、读数和写数时，都有从（ ）位起。
3、十位上是7，个位上是6，这个数是（ ）。
4、83里面有（ ）个十和（ ）个一。
5、100里面有（ ）个十。
6、48的"4"在（ ）位上，表示（ ）个（ ），"8"在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。
7、和80相邻的数是（ ）和（ ）。
8、和39相邻的数是（ ）和（ ）。
9、写出4个十位上是8的数（ ）（ ）（ ）（ ）。
10、写出5个十位数字比个位数字大1的数（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）。
三、在（ ）里填"＝"、"＞"或"＜"。
（1）9（ ）10 （2）40（ ）40 （3）16（ ）61\[来源:学科网ZXXK\]
（4）46（ ）64 （5）35（ ）25 （6）63（ ）36
（7）17（ ）71 （8）67（ ）76 （9）18（ ）81
四、看图写数字
（  ） （ ） （ ）  （ ）
\[来源:Z,xx,k.Com\]
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
**答案**
一、找规律写数
1、（ 77 ） 78 （ 79 ） （ 80 ） （ 81 ） （ 82 ） 83 （ 84 ） （ 85 ）
2、（ 58 ） （ 59 ） （ 60 ） 61 （ 62 ） （ 63 ） （ 64 ） （ 65 ） 66
3、 8 16 （24 ） （ 32 ） 40 （ 48 ） 56 （ 64 ）（ 72 ）（ 80 ）
4、19 29 （ 39 ）（ 49 ） 59 （ 69 ）（ 79 ）（ 89 ）（ 99 ）
二、填空
1、个 十 百
2、最高
3、76
4、8 3
5、10
6、十 4 10 个 8 1
7、79 81
8、38 40\[来源:Z,xx,k.Com\]
9、81 82 83 84
10、21 32 43 54 65
三、在（ ）里填"＝"、"＞"或"＜"。
（1）9（ ＜ ）10 （2）40（ ＝ ）40 （3）16（ ＜ ）61
（4）46（ ＜ ）64 （5）35（ ＞ ）25 （6）63（ ＞ ）36
（7）17（ ＜ ）71 （8）67（ ＜ ）76 （9）18（ ＜ ）81
四、看图写数字
\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
12 13  15 20
| 1 | |
**1、高考的指导思想和目标**
注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法。重视考生的"终身学习和发展"，即考查学生在中学所受到的数学教育，考查学生在大学需要的数学基础能力。
**2、考查能力体系**
重点考查的能力体系包括：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力（实践能力和创新意识）。
重视知识发生发展的过程考察，强化运算结果的重要性。
**3、 对于今年毕业班的学生复习，在知识和内容的建议**
数学一般遭遇的困难是对基础知识的理解不扎实，不能形成应用。其根本是欠缺数学思想和做题思维。在基础知识方面，同学们大多都停留在对公式、定理及推理的表面了解和熟悉上；特别对于靠题海战术复习的考生，在解题的时候，大部分同学多是以简单的套用为手段。因此遇到新题型、陌生题或对一些公式变换较为复杂的题型（如解析几何题，利用导数求复合函数的单调性、极最值、分类讨论等式子稍微多一些的题），很多学生不会做。在复习方向上，应以理解课本重要知识点为主，即首先弄清每一个公式、定理及推论是研究什么数学问题、用以描述数学什么现象，着重注意其切入点、推导过程和形成的结论是什么。在解题上训练自己的思维。用以加强抽象概括、空间想象、数形结合等能力。并加强归纳总结意识。高中数学大部分解答题都能形成较为固定的解题思维和相对基本相同的解题步骤，数学讲究严谨和规律，因此要逐渐形成一定的数学思想，才能在数学高考上获取好的成绩。
在平时训练题型的解答上，选择题要打破常规，充分利用题目和选项，本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答。在填空题要多角度的思考，要利用数学中的一些特殊现象进行先行试探，得出的结论一般具有普遍性，起到事半功倍的效果。在解答题上，一定要进行归纳、总结，归纳总结的重点放在整个解题的思维上。重点是如何思考、如何利用题目的条件、通往结论的过程要目的明确，准确落实。强调挖掘其中的思维步骤的共性，形成一套"以不变应万变"的"一解多题"模式。
**高考不是竞赛，是选拔性考试，所有具备了后继学习知识基础和能力的学生，进一步到大学深造，而且北京录取率超过70%。会有约70%左右的基础题，但基础不等于简单，容易，这里基础是强化通性通法的考察，可仍需较高的思维品质。高考命题一定有一些"味道"，不可能象"白开水"那样无滋味。一定在基础题的考察中，设置一些小障碍和小陷阱。**
（1）三角函数：以中、低档题为主，强化双基训练，通性通法的考查。注重三角函数的工具作用和灵活变形的特点。
（2）概率统计问题：文科重点是古典概型与几何概型，理科在此基础上，增加二项分布，适当强化建构在排列组合基础知识上的其它概率的求法及分布列、数学期望等。 至于条件概率是为了深刻理解互斥事件、独立事件的概率。
（3）立体几何：从解决"平行与垂直"的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律------充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高推理论证能力和空间想象能力．理科应注重利用空间向量在解题上的运用，特别是异面直线所成角、线面所成角和二面角的求法，还有点到面的距离的求法。\
（4）函数与导数：从函数的定义域切入，关注函数的基本性质和数学方法。请注意在知识点交汇上予以适当训练。这部分内容包括所有数学方法与全部数学思想。
（5）解析几何：从曲线方程与轨迹切入关注参数取值范围。继续作为较综合的问题。
（6）数列：数列本身并不难，数列知识一般只是作为一个载体，综合运用函数的思想、方程和不等式的思想研究数列问题；强化双基训练与化归与转化的思想。
**4、能力考查与重点题型复习举例**
（1）（）（ 加强抽象概括能力的考查。
 **例1.**点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为"*A*点"，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的所有点都是"*A*点"
B．直线上仅有有限个点是"*A*点"
C．直线上的所有点都不是"*A*点"
D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是"*A*点"
**解析：**如图，如果P点在点时，当轴，，当PAB与抛物线相切时，，直线的斜率是运动、连续、变化的，，P点是"*A*点"，一般地如果直线上的P任意时，同理上述。直线上的所有点都是"*A*点"，选A。
**例2.**已知函数满足，且在上的导数满足，则不等式的解为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**解析：**由得在R是减函数，结合，得及可化为， 即得，解为
(2).切实提高运算能力。
运算能力是高考四大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力）要求之一，是数学及相关学科的基本功，它与记忆、想象互相支撑和渗透。
**例3．** 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=8,b = 10,ΔABC的面积为，则△ABC中最大角的正切值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**解析：注意到同三角形中，大边对大角，两个解或。**
**例4．**某工厂生产某种产品，每日的成本*C(*单位：元）与日产里*x(*单位:吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R(单位:元）与日产量x满足函数关系式
已知每日的利润y = R－C，且当x=30时y =-100.
(I)求a的值；
(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值
**解：**（Ⅰ）由题意可得：
因为*x*=30时，*y*=－100，
所以
所以a=3。
（Ⅱ）当0＜x＜120时，
由可得：，（舍）。
所以当时，原函数是增函数，当时，原函数是减函数。
所以当x=90时，y取得最大值14300。
当x≥120时，y=10400－20x≤8000。
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元。
(3).空间想象能力
直观感知,强化运算。
**例5.**如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，了若EF=1，E=x，DQ=y，DP＝Z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
（A）与x，y，z都有关
（B）与x有关，与y，z无关
（C）与y有关，与x，z无关
（D）与z有关，与x，y无关
答案：D
四面体PEFQ的体积，是等底1，等高，与x，y无关，P点到底面EFQ的距离，即高与P点位置有关，与z有关。
(4).实践能力和创新意识
> **例6.**汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上：
>
> （1）每次只能移动l个碟片；
>
> （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。
>
> 如图所示，将B杆上所有碟片移到A杆上，C杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B杆子上的个碟片移动到A杆上最少需要移动次．
>
> （1）写出的值；
>
> （2）求数列的通项公式；
>
> （3）设,数列的前项和为，证明
解：（Ⅰ），，，．
> （Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列的通项公式为．
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，从B杆移到A杆上只有一种方法,即，这时成立；
②假设当时，成立．
则当时，将B杆上的个碟片看做由个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B杆上的个碟片移到C杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到A杆上有1种移法，最后将C杆上的个碟片移到A杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有种移动方法，故从B杆上的个碟片移到A杆上共有种移动方法．
所以当时成立．
由①②可知数列的通项公式是．
> （说明：也可由递推式，构造等比数列求解）
>
> （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
所以
=．
=
> =++...+
=．
因为函数在区间上是增函数，
．
又当时，．
所以．
(5).树立信心，狠抓落实，非智力因素是学好数学的重要保证。
本质上讲：理解是数学学习的核心。理解对数学学习具有极端重要性。真正意义上的数学学习一定要把理解放在第一位，一定要千方百计地去提高理解层次。
**例7．**设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60^o^,.
(1)求椭圆C的离心率；(2)如果\|AB\|=，求椭圆C的方程.
设，，由题意知，。
(Ⅰ)直线的方程为，其中。
> 联立得。
>
> 解得，。
>
> 因为，所以。
>
> 即。
>
> 得离心率。
>
> （Ⅱ）因为，所以。
>
> 由得。所以，得a=3，。
>
> 椭圆C的方程为。
(6).**少错=多对(数学基础的两个体系――知识体系与易错体系)**
**例8．填空题：**
**（1）如果函数在(-2,+∞)是增函数，那么实数a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。**
解析1：∵ 可化为
，即，
又在(-2,+∞)是增函数，故-2a-1\<0
得 .
解析2：
令y\'~x~＞0，由于x∈(-2，+∞)时，(x+2)^2^＞0
得2a+1＞0
解析3：∵ y=f(x)在(-2,+∞)是增函数，
∴ f(0)＜f(1) 即：， ∴。
评注：
①函数的单调性是函数的最重要性质之一，解答题有：定义法和导数法；填空和选择题还有：图像法、复合函数、单调性运算及特殊值法等。
②特殊值法在解填空题与选择题时，常常可收到事半功倍之效。
**（2）已知2^2-a^-2＜x＜2^a-2^, 函数y=3^x^-3^-x^ 是奇函数，则实数a=\_\_\_\_\_\_。**
**解析：**∵ f(x) 是奇函数，而函数具备奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称，
得：2^2-a^-2=-2^a-2^ 解得a=2.
**评注：**
①函数的奇偶性首先应关注它的定义域。判定时要灵活运用定义的等价式；等
②任何定义在对称区间上的函数f(x)一定可以写成一个奇函数与一个偶函数 之和的形式。
**（3）已知函数的定义域为R，且满足等式，则 [ ]{.underline} （填：是或不是）周期函数；**
**解析：**
∴f(x)是周期T=8的周期函数。
**评注：**
①函数的周期性是函数的整体性质。所以它的定义域至少一端趋近于∞。
②函数周期性与奇偶性在高考中是A层次(了解：对所学知识有初步的认识，会在有关问题中运行识别和直接应用)，所以不会出现难度较大的题。而函数的单调性是C层次(掌握：深刻的理性集训知识，形成技能，并能解决有关问题。)
**（4）若曲线y=a\|x\|与曲线y=x+a有两个不同的公共点，则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。**
**解析1：**联立得a\|x\|=x+a有两个根，
∴ 且
即，**且**，
解得：a\>1或a\<-1.
**解析2：**数形结合，由函数y=\|x\|与y=x分别作伸缩、对称与平移变换，
如图可知：或 ，即a\>1或a\<-1，
**评注：**
①本题考查等价变换的逻辑运算或者数形结合之图象变换，解题时运用要准确熟练。
②去年开始高考能力要求由过去的"逻辑思维能力"改为"思维能力"，它包括"逻辑思维和形象思维能力"。
**例9. 选择题：**
**（1）设实数a∈\[-1,3\], 函数f(x)=x^2^-(a+3)x+2a，当f(x)\>1时，实数x的取值范围是（ ）**
**A、\[-1,3\] B、(-5,+∞) C、(-∞,-1)∪(5,+∞) D、(-∞,1)∪(5,+∞)**
解析：反客为主，视a为变量，函数表达式为y=(2-x)a+x^2^-3x, 由一次函数（或常数函数）的图象知，只需端点a=-1 及a=3时 y\>1即可。
由**,**
**∴ x\>5或x\<-1, 选C。**
**(2)等差数列中，若其前n项的和，前m项的和，则：( )**
解析：用特殊值法。取m=2,n=1，则 ，
此时 否A,C,D,选B
**(3)已知：是正实数，则下列各式中成立的是（ ）**
**A、 B、**
**C、 D、**
**解析：**逻辑分析，知C、D等价全错，都是变量，相等的可能性不大。
猜A，用放缩法
选A。
> **例10.**已知。
>
> （1）若向量，且 ，求的值；
>
> （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围。
>
> 解：（1），
即，所以。
> （2）因为，则，即
则，
因此，于是，
由，则，
则的取值范围为。
> **例11．**如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）
（1）求证：AE//平面DCF；
（2）当AB的长为，时，求二面角A---EF---C的大小．
解：在则，
（1）如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系
设
则
于是
（2）结合（1），，进而求的
**例12．**甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数据中的含义；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.
解：（1）茎叶图如下：
> 学生乙成绩中位数为84，它是这组数据最中位位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中。
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
=85
=35.5
=41
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适
（3）记"甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分"为事件A，
则
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从B（）
k=0，1，2，3
的分布列为
（或）
**例13．**已知函数
（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若使，方程有实根，求实数的取值
解：（I） 
的极值点，
又当时，， 从而的极值点成立．
（II）因为上为增函数，
所以上恒成立．
若，则，上为增函数不成产'
> 若
所以上恒成立．
令， 其对称轴为
因为从而上为增函数．
所以只要即可，即
所以又因为
III）若时，方程
可得
即上有解
即求函数的值域．
法一：令
由
，
从而上为增函数；当，从而上为减函数．
可以无穷小．
法二：
当，所以上递增；
当所以上递减；
又
所以上递减；当，
所以上递增；当上递减；
又当，
当则所以
**例14．**设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
--- -------------------------------------- ------ ------ -------------------------------------- ----------------------------------------
x 3 ---2 4  
y  0 ---4  \-
--- -------------------------------------- ------ ------ -------------------------------------- ----------------------------------------
（1）求的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的
直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
**解：**（1）设抛物线，则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求 2分
设，把点（-2，0）（，）代入得  解得 ∴方程为
（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点（1，0）
设其方程为设，
由。得
由消去，得△
∴ ①
 ②
将①②代入（\*）式，得
 解得
- 假设成立，即存在直线过抛物线焦点F的方程为：
**2012高考英语高频答案词 高频考点 必考点**
**吴军高频答案词一本通**
**目录：**
**一、单选完形高频答案词**
**二、高频句型核心词**
**三、高频核心短语（以介词和副词为中心）**
**四、语法考点高频答案词**
**五、阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**六、吴军2012高考英语必考点解密**
**七、吴军阅读高频答案词及其核心特征**
**一、2012高考英语单选、完形高频答案词**
A
**adapt adjust adopt attract** apply adopt appeal
**adapt**：指修改或改变以适应新条件adapt to sth/sb：适应某物/某人。
You should **adapt** yourself **to** the new environment.
**adjust**：是指"调整、调节"使之适应。
You can't see through the telescope until it is **adjusted to** your eyes
**fit：** 多指"大小适合"，引申为"吻合"。
The shoes fitted me well.
**suit：**多指"合乎要求、口味、性格、情况"等。
No dish suits all taste.
**match**：指"大小、色调、形状、性质等"相配或相称 与**...**匹敌 =**go with**
A red jacket doesn't match green trousers.
**adopt sb：收养 appeal to = attract 吸引 apply for申请**
**sth：采用 hold /draw one's attention to应用**
〖**2010安徽**〗\-\-\--How did you like Nick's performance last night?
\-\-\--To be honest, his singing didn't \_\_\_\_\_\_\_to me much
A. appeal B . belong C refer D. occur
appeal to 意为 "吸引"；belong to意为 "属于"；refer to意为 "提到；涉及"；occur to意为 "突然想到"。 句意为 "她的演唱并不怎么吸引我。"〖答案〗A
〖**2010江苏**〗Thousands of foreigners were\_\_\_\_\_\_ to the Shanghai World Expo the day it opened.
A. attended B. attained C. attracted D. attached
表示成千上万的外宾被吸引来参加上海的世博会。〖答案〗C
〖**2009浙江**〗The good thing about children is that they \_\_\_\_\_\_\_ very easily to new environments.
A. adapt B. appeal C. attach D. apply
根据句意, "关于孩子们美好的事情就是孩子们能很容易适应新的环境"。adapt to"适应"; appeal to"有吸引力, 有感染力；呼吁；求助于；上诉"等; attach to"粘上, 附上"; apply to"应用于, 适应于"。 〖答案〗A
〖**2008辽宁**〗You have to be a fairly good speaker to [ ]{.underline} listeners' interest for over an hour.
A.hold B.make C.improve D.receive
hold one's interest使某人保持兴趣。make制造；做；improve改善, 提升；receive接收。〖答案〗A
〖**2008天津**〗Her shoes [ ]{.underline} her dress;they look very well together.
A.suit B.fit C.compare D.match
句意为：她的鞋和衣服很搭配, 二者搭配看起来很不错。suit指时间、口味等合乎需要；fit指大小、尺寸合适；compare比较, 对照；match指颜色、款式等的搭配。〖答案〗D
〖**2004全国Ⅰ**〗---How about eight o'clock outside the cinema?
> ---That [ ]{.underline} me fine.
A.fits B.meets C.satisfies D.suits
这四个词在汉语意思上很接近, fit一般指衣服等的尺寸对某人很合适；meet有 "满足......的要求"之意；satisfy的意思是 "使......满意"；suit指样式、场合、方便等, 意思是 "适合......的要求"。答语的句意为：这约定正适合我。〖答案〗D
〖**2005上海**〗The company is starting a new advertising campaign to [ ]{.underline} new customers to its stores.
A.join B.attract C.stick D.transfer
句意为：为了把新的顾客吸引到店内, 公司开始了一场新的广告战。join参加；stick粘, 贴；固定在某处；transfer转移；传给。〖答案〗B
〖**2012高考模拟**〗My camera can be \_\_\_\_\_ to take pictures in cloudy or sunny conditions.
A. treated B. adopted C. adjusted D. adapted
adjust强调, 调节, 使适应; The body adjusts itself to change of temperature. (身体能自行调节以适应温度的变化。) 本句中adjust是不及物动词。I must adjust my watch. It\'s slow. (我必须调一下我的表。它走得慢了。) \[答案\] C. adjusted.
〖**2010陕西工大附中模拟**〗Though the necklace is not made of real crystal, it still\_\_[\_]{.underline} young people.
A. appeals to B. attracts to C. accounts for D. apply for
考查动词短语的含义及语境。Appeal to投合所好；attract to吸引； account for说明；apply for 应用。\[答案\] A\
〖**2012高考押题**〗The people who are out of work should \_\_\_\_\_\_ themselves to the new situation quickly.
A. fit B. match C. suit D. adapt **D**
〖**2012高考押题**〗---Mummy, can I put the peaches in the cupboard?
> ---No, dear. They don't \_\_\_\_\_\_\_\_ well. Put them in the fridge instead.\
> A. keep B. fit C. get D. last **A**
〖**2012高考押题**〗Nick is looking for another job because he feels that nothing he does\_\_\_his boss.\
A. serves B. satisfies C. promises D. supports **B**
〖**2012高考押题**〗---Will \$200 \_\_\_\_\_\_\_\_ ?
---I'm afraid not. We need at least 50 more dollars.
A. count B. satisfy C. fit D. do **D**\
〖**2012高考押题**〗Ladies and gentlemen, may I \_\_\_ your attention to me？I have an important announcement to make.
A. draw B. attract C. pull D. drag **A**
**a/an**
**a** variety **of... 多种多样的**
**an** average **of ...平均**
**a** distance **of距离**
**a** lack **of缺乏**
**in the** absence **of 缺少**
**a** waste **of 浪费**
**a wide** range **of 各种各样的= a** variety **of =** different **=various**
**a** gang **of一伙**
**a** matter **of ....的问题**
**affair** 意为"事情、事件", 含义较广，泛指已做或待做的事；复数affairs一般指商业事务及政府的日常事务，如财政管理、外交事务等。
**business**作"事务、事情"解时，一般不能用复数，常常指所指派的任务、责任；有时说的是指派的工作或商业上的买卖活动。It's none of your business.与你无关!
〖**2010湖北**〗This restaurant has become popular for its wide [ ]{.underline} of foods that suit all tastes and pockets.
A. division B. area C. range D. circle
"这家餐馆越来越出名 是由于它做的各种各样的食物适应各种类型人群。" "a range of "强调一个系列, 而 "a wide range of"意为 ""。正好符合题意。从句子结构来讲, 这个句子属于典型的 "从句套从句"。 "for"引导原因状语从句, "that"引导定语从句。答案C
〖**2010江西**〗Last year the number of students who graduated with a driving license reached 200,000, a (n) \_\_\_\_\_\_ of 40,000 per year.
A average B number C amount D quantity
a number of 许多 amount of 一般加不可数名词表金额, a quantity of 既可以加可数也可以加不可数, 但没有平均每年增加的意思。〖答案〗A
〖**2003上海春**〗More and more people choose to shop in a supermarket as it offers a great [ ]{.underline}of goods.
A.variety B.mixture C.extension D.combination
"a great variety of"意为 "品种繁多的"。 〖答案〗A
〖**2001上海**〗In the botanic garden we can find a(n)\_\_\_\_\_\_of plants that range from tall trees to small flowers.
A.species B.group C.amount D.variety
a variety of "多种多样的"。 〖答案〗D
〖**2004全国Ⅲ**〗The faces of four famous American presidents on Mount Rushmore can be seen from a[ ]{.underline} of **[60 miles]{.underline}**.
A.length B.distance C.way D.space
length长度；distance距离；way道路；space空间, 太空。根据句子的意思, 答案选B项, 指离那儿60英里远的地方。〖答案〗B
〖**2007辽宁**〗Health problems are closely connected with bad eating habits and a\_\_\_\_of exercise.
A. limit B. lack C. need D. demand
a lack of缺乏。句意为：健康问题与不良的饮食习惯和缺少锻炼密切相关。〖答案〗B
〖**2012高考押题**〗In the [ ]{.underline} of proof , the police could not take action against the man .
A．lack B．shortage C．absence D．failure
shortage 缺乏, 无此搭配。\"In the developed countries, there\'s a great shortage of labour / work force.\" 发达国家劳动力非常缺乏。〖答案〗C. in the absence of 缺少
〖**2009山东**〗\-\-\-\-\-\--He says that my new car is a \_\_\_\_\_\_ of money.
 \-\-\-\-\-\--Don't you think those words are just sour grapes?
 A. lack B. load C. question D. waste
lack缺乏；load负担；question疑问；waste 浪费；根据句意, 尤其是下句的sour grapes(酸葡萄)可知答案选D。
〖**2012高考押题**〗My knowledge of Hong Kong came only from some movies: a\_\_\_\_\_\_ of criminals are pursued by the police in the narrow streets and then they have a fight.
A. group B. team C. class D. gang
A"组"；B"队"；C"种类，等级"。 〖答案〗 D"一伙"。
〖**2007山东**〗I can't say which wine is best -- it's a(n) \_\_\_\_\_ of personal taste.
A. affair B. event C. matter D. variety
a matter of意为 "关于......的问题", a matter of principle原则问题；a matter of opinion仁者见仁, 智者见智。A项意为 "政治事务, 私人业务"；B项意为 "重要事情、大事"；D项意为 "不同种类"。a matter of ....是固定搭配。〖答案〗C
**be able to do 能够......、有能力......= be [capable]{.underline} of / have the [ability]{.underline}(能力)to do sth.有能力做某事**
**be about to do \...when 就要做某事时，突然...... / be about to do\...when 时态问题及如何解题when在这里的用法很特别，它是并列连词=and then------这一点很重要！记住规律：was/were about to do\...when sth. did\...= \...was//were on the point of doing\...when sth. did\...**
**be absent from 不在、缺席 / [拓展]{.underline}:absent是形容词, 反义词组be [present]{.underline} at**
**be absorbed in 沉迷于......、迷恋于......**
**be active in 在......活跃 / be active in sth/doing sth**
**be admitted into 被\...\...录取 / [拓展]{.underline}: be admitted to加入，被接纳，admitted into v. 许可进入(进入)，be admitted in audience被接见**
**be afraid of doing 担心某事会发生 / [拓展]{.underline}:be afraid of sth./sb. 害怕某人(物)，be afraid that... 恐怕......， be afraid to do 不敢去做,I\'m afraid not.(=I don\'t think so.)口语中常用。**
**be after sth./sb. 找，追赶...... / go after设法得到, take after长得像。**
**be along with 和......一起 / get along with①进展, 走开, 别胡扯②.在\...方面有进展,进行③友好相处,和睦相处,取得进展;get on well with 与\...相处的好 .**
**be an expert on/in/at sth. 在......是专家**
**be angry at sth. 因某事而生气 / be angry with sb. 生某人的气**
**be anxious about为\...而焦虑= be worried about / be anxious for =be eager for渴望**
**be ashamed of / to do sth感到羞耻、惭愧 =be shy**
**be (un) aware of (to do) sth. 意识到 =realize, notice倾向于主动去注意**
**be away from 离......远 / be out of 是没有,在\...之外的意思 / be far from:除了表示距离的远离之外，还有远远不，完全不；决非之意，后接名词，动名词或形容词。如，He is far from a fool.他一点也不傻，这里的be far from为第二种意思。**
〖**2012高考押题**〗Judith lay on the small sofa, \_\_\_\_\_\_\_\_in her book.
A. being absorbed B. absorbed C. to absorb D. absorb
朱迪思网在沙发上专心致志地看书.上面的句子absorbed前面省略了主语Judith，可以把它分为2个分句：Judith lay on the small sofa and Judith was absorbed in her book. 这样就看明白。答案：B
〖**2012高考押题**〗You should be \_\_\_\_\_\_ what you have done.
A. ashamed of B. ashamed to C.ashamed D. ashamed at
你应为自己所做的事感到羞愧。be ashamed of 固定搭配，be ashamed to do；C，D选项没有此搭配。答案：A
〖**2009全国卷II**〗If you leave the club, you will not be [ ]{.underline} back in .
A. received B. admitted C. turned D. moved
如果你离开俱乐部，你将不被允许返回。考查实义动词之间的区别(receive收到, admit允许, turn使转动以及move移动。) ,答案:B.
〖**2012高考押题**〗What they be\_\_\_\_\_\_\_\_\_ is profit
A.for B. at C. after D. against
他们所追求的是利润。be for 支持，赞同，be after 追求，be against反对。be at忙于，专注于, 答案：C.
〖**2012高考押题**〗I wish to \_\_\_\_\_\_\_\_\_ you all night.
A.[be](http://www.iciba.com/be/) [along](http://www.iciba.com/along/) [with](http://www.iciba.com/with/) B. get on well with C. get along with D. along with
我希望整夜都[与](http://www.iciba.com/与/)你在一起. be along with 和......一起，get on well with 和 get along with 与\...相处；along with 是介词短语，不能直接放在不定式"to"的后面。答案：A.
〖**2007全国卷**〗The fire spread through the hotel very quickly but everyone [ ]{.underline} get out.
A. had to B. would C. could D. was able to
尽管大火蔓延的很快，但是所有人都逃出来了.示成功地做了某事时，只能用was/were able to， 不能用could。答案: D.
〖**2012高考押题**〗He\'s very\_\_\_\_\_\_\_\_ about the results of the examinations.
A.anger B. eager C. anxious D. worry
他很担心考试的结果。be angry about:因什么事情感到生气,而没有be anger about 搭配， be eager for盼望，渴求；be worried about为......担心;e anxious about /for为\...而焦虑, 答案：C.
〖**2012高考押题**〗I was about to do my homework \_\_\_\_\_\_\_\_my father came in.
A. as B. while C. when D. Once
我刚要做我的家庭作业，我爸爸进来了。be about to do \...when 就要做某事时，突然......，是固定搭配。答案：C.
〖**2012高考押题**〗He\_\_\_\_\_\_\_\_ turn on the light .
A. will B. is about to C. is to do D. is going to
他就要把灯打开。此题无时间状语，只有be about to后可不跟时间状语。.答案：B.
〖**2012高考押题**〗I do not profess to [be](http://www.iciba.com/be/)\_\_\_\_\_\_\_\_\_ on that subject .
A. professional B. [an](http://www.iciba.com/an/) [expert](http://www.iciba.com/expert/) C. specialist D. master
professional 另有职业的意思，是指专业人员，专门从事某行业的人，而这个人在这个行业里，并不一定是专家高手。master 比expert更 专业，更专。总的来说，professional有些区别，specialist和Expert没有很大的区别。 A.C.D.前应加不定冠词。答案：B
**唤起迅捷激情 震撼学子心灵**
**2012高考英语完形圣经秘诀教案**
**透过已知信息 推断未知信息**
**不易策略**，扫描选项，在万变中找到不变的规律！
**简易策略**，瞻前顾后，化繁为简，化难为易！
**变易策略**，左顾右盼，以变制变，熟能生巧！
首尾段首尾句,边做边看选项中与中心同现词或复现词!
**扫描选项** 同义词 / 同类词排除
高频答案词
相反项有解
同现
**思路** **瞻前顾后** 复现
逻辑结构
**左顾右盼** P原则
关联结构
**技巧归纳**: 感情色彩 时态暗示法 动词综合法(主语/宾语是人是物? 及不及物?过程还是结果?\...\...), \...\... (略) 共20多项法则,交叉都指向同一个答案才最准确!
**满分策略**: 五四运动法 串线交叉法 主线贯穿法, \...\...(略)
**节选教案试看!**
**瞻前顾后 同现 复现 逻辑结构**
**同现**
中心同现是指段落的首段的中心词或段落中反复出现的名词或名词词组,在被选空格内的句子中也重复出现或与其意思倾斜向;词汇同现是指属于同一词汇搭配范畴或者某一领域的词汇在文章中共同出现，达到语义衔接的目的。一般来说，上下文中词汇的范畴越小，上下文的衔接关系越紧密。
**首段首句一般都是中心句,名词是核对重点!**
**◆**Then , mountain \-\-- **[climb]{.underline}**ing began to grow **[popular]{.underline}** as a sport. To some people, there is something greatly \_\_\_**28**\_\_\_\_ about getting to the \_\_\_29\_\_\_\_ of a high mountain: a struggle against nature is finer than a battle \_\_\_30\_\_\_\_other human begins. And then , when you are at the mountain top after a long and difficult \_\_\_\_31\_\_\_\_, what a \_\_\_**32**\_\_\_\_ reward ( 奖品 ) it is to be able to look \_\_\_33\_\_\_ on everything within \_\_\_34\_\_\_\_! At such time , you feel **happier** and **[prouder]{.underline}** than you can ever feel down \_\_\_35\_\_\_. **[与首尾句名词 动词 形容词 副词倾向]{.underline}**!
28.A.**[excited]{.underline}** B. interested C.dangerous D.terrible
32.A.surprising B.**[excited]{.underline}** C.disappointing D.astonishing
**◆**Dorothy Brown was very happy as she sat in the theatre listening to the **[music]{.underline}**. Today her little daughter Lauren was giving her \_\_\_1\_\_\_ concert. She had been waiting for this \_\_2\_\_ for years and years. "Now it is here at last," she thought. "How beautiful her \_\_**\_3\_**\_\_ is."
The song made her \_\_\_4\_\_\_ to the days when she was Lauren's \_\_\_5\_\_\_. As a young \_\_\_6\_\_\_, Dorothy wanted to be a concert singer. She studied \_\_**\_7\_**\_\_ in France, Italy and in the United States. "You can become a fine \_\_**[\_8\_]{.underline}**\_\_ in the future," her teachers told her. "But you must be \_\_\_9\_\_\_ to study hard and work for many years.
3\. A. **[voice]{.underline}** B. face C. dress D. life
7\. A. French B. **[music]{.underline}** C. piano D. dance
8\. A. actress B. student C. **[singer]{.underline}** D. dancer
K
**抓住中心意思\-\-\-\--围绕什么话题 (在文章中出现频率最多的词)**
**◆**Every Thursday afternoon, my art history class meets not in our usual lecture hall ( 演讲厅 ) but in our university **[Art]{.underline}** Museum. We spend our one-hour class discussing two or there of the \_\_**\_1\_**\_\_, many of which are by **[artists]{.underline}** that we have already studied in class. The professor begins by selecting one \_\_\_2\_\_\_ of **[art]{.underline}**. After giving us a quick background on the **[artist]{.underline}** , he will open up for class \_\_\_3\_\_\_.
1\. A. subjects B. **[paintings]{.underline}** C. speeches D. lectures
**仅有技巧和词汇是不够的,高频答案词及短语,是突破的关键!但相当多的具体情况和难以处理的选项,做起来还是有些吃力,怎么办?**
**吴军老师刚刚出炉的2012高考英语完形暗示点全归纳将使您傲视群雄!**
宾语从句是特殊疑问句WH-或whether/if**时,要选下列动词:**
ask, doubt, wonder, want to know, know, guess
**答题选动词:**
〖**2011·全国新课标卷**〗The professor [37]{.underline} the lecture hall, placed upon his desk a large jar filled with dried beans(豆), and invited the students to [** 38**]{.underline} **how many** beans the jar contained. After [39]{.underline} shouts of wildly wrong guesses the professor smiled a thin, dry smile, announced the [40]{.underline} answer, and went on saying, "You have just [41]{.underline} an important lesson about science.
38\. A．count B. guess C. report D. watch
考察动词，或根据后文wildly wrong **[guesses]{.underline}**的提示，考虑复现选B。
**反过来选**WH-或whether/if:
〖**2011·安徽卷**〗One afternoon. I walked into a building to **ask** [** 41**]{.underline} there were any job opportunities(机会)，The people there advised me not to continue my job search in that [42]{.underline} .
41\. A. why B. wherever C. whether D. whenever
一天，作者走进一座大楼去问"是否"(whether)有自己能做的工作。选C。A项为"为什么"；B项为"无论在那"；D项为"无论何时"
**怎么样?这样做题快吗**?
为了让您更加深信不疑,我们再免费发布一个法则,你可以马上用下列真题或你学校的模拟练习题来验证一下,好使,就要赶紧预定呦!每省仅限定10套,额满即!止
**正面的,积极的,肯定的, 还是负面的,消极的,否定的?**
**◆**"**I'm sorry**, but we have enough [27]{.underline} for the newspaper already. Come back next year and we'll talk then." Jenna smiled [** 28**]{.underline} and left. "Why is high school so [29]{.underline} ?" she **[sighed]{.underline}**.
**叹气sighed说明是勉强的,选消极的weakly**
28\. A. widely B. **weakly** C. excitedly D. brightly
**◆[Tired and sad]{.underline}**,she told her story [** 38**]{.underline} ,not to anyone in particular.
38.A.**tearfully** B.seriously C.carefully D.calmly
**◆**It seems funny that we are \_[40]{.underline}\_ for things, with which we are **unfamiliar** or about which we are \_**[41]{.underline}**\_, but we all, my friends as well as I, consider this one of life's \_[42]{.underline}\_ .
41\. A. **uncertain** B. unhappy C. not pleased D. careful
〖**2011·四川卷**〗I truly feel that my mother led me here, to Morzaine, and to my future as a happy wife and businesswoman. When Mum [21]{.underline} in October 2007, I was a cook.. In December that year. while I was working for a wedding, a pearl necklace Mum had left me [** 22**]{.underline} . I was **distraught（忧心如焚的）**.Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [\\24]{.underline} he necklace he found." [25]{.underline} , he returned it.
22.A. burned B. **disappeared** C . broke D. dropped
22空就近distraught（忧心如焚的）是负的,只有disappear是负的；burn燃烧；break打破；drop降低，落下。有后文的我感到"忧心如焚"及"归还"（return）可知此处是指项链丢失了。B
〖**2011·安徽卷**〗Nearly ten minutes later, he [45]{.underline}, He asked me about my plans and **[encouraged]{.underline}** me to stay [** 46**]{.underline} . Then he offered to take me to Royal Oak to [47]{.underline} a job. **积极的!**
I was a little surprised. but had a [** 48**]{.underline} feeling about him. Along the way ,I realized that I had [49]{.underline} resumes(简历). Seeing this, the man [50]{.underline} at his business partner's office to make me fifteen [51]{.underline} copies. He also gave me some [52]{.underline} on dressing and speaking. I handed out my resumes and went home feeling very [** 53**]{.underline} . The following day, I received a [54]{.underline} from a store in Royal Oak **offering me a job**.
46\. A. silent B. busy C. **positive** D. comfortable
他问了问我的打算，鼓励我要振作起来，不要灰心。选C。A项为"沉默不语的"；B项为"忙绿的"；C项为"积极乐观的，有信心的"；D项为"舒适的，舒服的"。
48\. A. dull B. **good** C. guilty D. general
作者对他的主动帮助感到有点惊奇，但是对他充满了"好感" (good feeling)。选B。A项为"阴暗的，无趣的"；C项为"内疚的"；D项为"一般的，普通的"。
53\. A. lonely B. funny C. disappointed D. **satisfied**
我分发完简历回到家感到非常"满意"(satisfied)。选D。A项为"寂寞的，孤独的"；B项为"滑稽的，可笑的"；C项为"失望的，沮丧的"。
〖**2011·四川卷**〗Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [24]{.underline} the necklace he found." [25]{.underline} , he returned it. Hearing how I'd [26]{.underline} Mum for six months before her **death**, he said, "Christmas is going to be [** 27**]{.underline} ---why not go out to the Alps for a couple of weeks?
> 27.A.long B. **hard** C. merry D. free
death.在27空附近是负的,B项对应。在万家团圆的圣诞节，母亲刚去世，对我来说一定很难熬。B
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**情人的眼：十本金牌教案 =火箭式提分！(好喜欢!)**
冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？
高考英语也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能"情有独钟"地筛选出你需要的她吗？
**诗人的心：洞穿作者、命题人思维轨迹！(高考漏题啦?!)**
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用"芝麻开门"，讲的是"以小见大". 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给"点"开了. 以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，足以说明"点"的重要性. 要有诗人般的细心和灵感,发现这些隐藏起来的点!
**英雄的胆：敢于呐喊，考试有捷径！(为时不晚!)**
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的"玻璃盒"里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫"请".
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往"盒"上直戳，七戳，八戳，戳到了"玻璃盒"的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的"敢于一试"，在试试中碰到了盒子的入口.
高考英语何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.吴军和张勇强老师不过是在日以继夜的研究教学过程中,发现了迅捷提分和满分密码的入口,进入后,不断的深入而已!
**侠客的剑: 推助满分的力量! (棒极了!)**
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. "过关斩将"用这大刀，"水淹七军"用这大刀. 关羽的"切瓜分片"是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的高考英语完形和阅读题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！强军高考英语暗示点全归纳,高频答案词一本通,阅读矩阵法则，完型胜经等7刀8剑将助您"过关斩将"！
**速度比完美更重要 思路比题海要有效**
**2012高考英语阅读思维重现法则**
**强军英语满分体系主编:张勇强**
无线索
1、题干无线索的推理 2、判断题
题干
答案 选项
主旨靠 定位
有线索
精确线索 模糊线索 用不同的词、不同的结构表达但和原文一样的内容
（数字、大写、专名、显性逻辑关系） 1全文反复重复的内容
2题干与原文貌离神合
题干定位原则 与主旨靠 3使用原文的近义结构
1数字、大写、专名 原文找意思一样的内容 主\-- -被 人\-\--物
2逻辑关系 因 果 选项定位 真\-\--虚 陈述\-\--倒装
手段 目的 4使用原文、原词、原结构
条件 事实 5使用原文的反说
> 3成分定位 6使用原文的上义词、下义词、同一范畴词
4主旨靠 7使用原文的总结归纳
5找意思一致内容 8使用原文的分说例证
**[大忌]{.underline}**：（只定位个别词、忽视题干、逻辑、成分）
**张勇强阅读选项对比*36*计(部分节选)**
**1 内容相似 都排除**
**目前，高考英语选择题只能选取一个正确答案！**
54\. It can be inferred from the passage that\_\_\_.
**A**. no drugs have been found to treat the disease
**B**. the alternative treatment is not easily available to most people **A=B**
C. malaria has developed its ability to resist parasites
D. nobody knows what will be the drug to treat the disease
**2 内容相反 取其一**
**有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.**
**后面传来一位小姐轻轻的声音："先生别推，请向后拉！"**
**大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问："这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？"**
**小姐答："因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！"**
41.We can learn from the text that\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. email is less popular than the fax service
B. the postal service has over the years become [faster]{.underline} **B\> \<C**
C. the postal service has over the years become [slower]{.underline}
D. the fax service has a history as long as the postal service does
74\. We can learn from the text that the driver needs to stop for a break when his response time
is \_\_\_\_\_.
A. about 400 milliseconds B. [below]{.underline} 500 milliseconds **B\> \<C**
C. over 500 milliseconds D. about 4 minutes
73\. The underlined phrase ["the most vocal"]{.underline} in Paragraph 3 means \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. those who try their best to win
B. those who value competition most highly
C. those who are against competition most strongly **B\> \<C**
D. those who rely on others most for success
80．The last paragraph implies that RFID technology [ ]{.underline} .
A．will not be used for such matters as buying milk
B．will be widely used, including for buying milk **A\> \<B**
C．will be limited to communication uses
D．will probably be used for pop music
63.According to the passage, listening only with ears may happen to us when\_\_\_\_
A\) we are emotionally tired
B\) we are physically disabled **A\> \<C**
C\) we are so interested in the topic
D\) we are asked many questions
72.Q: There is unlikely any life on Venus because\_\_\_\_\_\_.
A．it has very thin atmosphere
B．the surface temperature is too hot **B\> \<C**
C．the weather is too cold
D．it is extremely short of water
**3 结构相似 取其一（有众多相同的词）**
**一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的. 模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！**
70\. According to the study of Brown Medical School, \_\_\_\_\_\_.
A. more than 6 million Americans distrust doctors
B. only 1/10 of medical websites aim to make a profit
C. about 1/10 of the websites surveyed are of high quality B≈C
D. 72% of health websites offer incomplete and faulty facts
E.
72\. According to the text, Driver Alert \_\_\_\_\_.
A. aims to reduce tiredness-related accidents
B. has gone through testing at laboratories
C. aims to prevent drivers from sleeping **A≈C**
D. has been on sale for 12 months
69\. When people suffer from Alzheimer"s disease, \_\_\_\_\_\_\_.
A. their families and friends will suffer from the same disease
B. their families and friends will experience mental sufferings **A≈B**
C. they will certainly die in 8 to 10 years
D. they will forget everybody but their spouses
16\. The rapid-transit rail lines should \_\_\_\_\_\_.
A. develop as quickly as possible B. develop **[with]{.underline}** local economic development
C. develop **[after]{.underline}** local economic development D. develop with the construction industry
**B≈C**
**4 相对、绝对项 取其一**
**一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.**
**上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来"问"这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？**
**其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是藏小孩的好地方.**
74．According to the passage, which of the following statements is TRUE?
A．Mountaineering is a match between climbers.
B．Mountaineering is similar to other sports in many ways. **C相对D绝对**
C．Climbers work like a team when their lives may depend on a rope.
D．Climbers help each other in time of difficulty.
52．According to the passage, the new treatment\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
A．can kill all the H1V viruses **A相对B绝对**
B．cannot get rid of the viruses completely
C．can double the number of disease - fighting cells
D．can reconstruct the patient\'s immune system
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**比如我给你三个矩阵法则序列，来选择下列无法定位的2007辽宁卷58题：**
**出题大概是按照顺序出的；**
**选项中被动结构的容易是答案；**
**找不到或找不全关键字无法确定出题点时,可按出题顺序,大致找到未出题的段落,然后看段首尾有没有段落中心句,没有就看该段反复出现了哪个名词,含有它或与其意思倾向就是答案了.**
What will people die of 100 years from now? If you think that is a simple question, you have not been paying attention to the revolution that is taking place in bio-technology(生物技术). With the help of new medicine, the human body will last a very long time. Death will come mainly from accidents, murder and war. Today\'s leading killers, such as heart diseases, cancer, and aging itself, will become distant memory.
In discussion of technological changes, the Internet gets most of the attention these days. But the change in **[medicine]{.underline}** can be the real technological event of our times. How long can humans live? Human brains were known to decide the final death. Cells(细胞) are the basic units of all living things, and until recently, scientists were sure that the life of cells could not go much beyond 120 years because the basic materials of cells, such as those of brain cells, would not last forever. But the upper limits will be broken by new **[medicine]{.underline}**. Sometime between 2050 and 2100, medicine will have advanced to the point at which every 10 years or so, people will be able to take **[medicine]{.underline}** to repair their organs(器官). The **[medicine]{.underline}**, made up of the basic building materials of life, will build new brain cells, heart cells, and so on\-\--in much the same way our bodies make new skin cells to take the place of old ones.
It is exciting to imagine that the advance in technology may be changing the most basic conditional human existence, but many technical problems still must be cleared up on the way to this wonderful future.
56．According to the passage, human death IS now mainly caused by\_\_\_\_.
A．diseases and aging B．accidents and war
C．accidents and aging D．heart disease and war
57．In the author' s opinion, today's most important advance in technology lies in\_\_\_\_.
**细节题可根据提干关键字到原文中定位**！
A．medicine B. the Internet C．brain cells D. human organ
**58．**Humans may **live** longer **in the future** because\_\_\_\_\_.
A．heart disease will be far away from us
B．human brains can decide the final death
C．the basic materials of cells will last forever
D．human **[organs]{.underline}** can **be repaired** by new **[medicine]{.underline}**
59．We can learn from the passage that \_\_\_\_.
**推论在尾段，找不到就向中心靠拢，或找but句**。
A．human life will not last more than 120 years in the future
B．humans have to take medicine to build new skin cells now
C．much needs to be done before humans can have a longer life
D．we have already solved the technical problems in building new cells
**发现此细节题通过关键字无法定位，但57和59题都解决了，发现第二大段没出题或只出了一个题，按出题顺序，本问题58题应该定位在第二段。**
**通过选项中被动结构的容易是答案原则，可定位58题D选项容易是答案！然后划D项中的名词medicine和organs，到第二大段中去找。**
**发现medicine在第二大段中反复出现，即为中心词。当然就可以确定D是答案了！**
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首尾段首尾句,边做边看选项中与中心同现词或复现词!
**扫描选项** 同义词 / 同类词排除
高频答案词
相反项有解
同现
**思路** **瞻前顾后** 复现
逻辑结构
**左顾右盼** P原则
关联结构
**技巧归纳**: 感情色彩 时态暗示法 动词综合法(主语/宾语是人是物? 及不及物?过程还是结果?\...\...), \...\... (略) 共20多项法则,交叉都指向同一个答案才最准确!
**满分策略**: 五四运动法 串线交叉法 主线贯穿法, \...\...(略)
**节选教案试看!**
**瞻前顾后 同现 复现 逻辑结构**
**同现**
中心同现是指段落的首段的中心词或段落中反复出现的名词或名词词组,在被选空格内的句子中也重复出现或与其意思倾斜向;词汇同现是指属于同一词汇搭配范畴或者某一领域的词汇在文章中共同出现，达到语义衔接的目的。一般来说，上下文中词汇的范畴越小，上下文的衔接关系越紧密。
**首段首句一般都是中心句,名词是核对重点!**
**◆**Then , mountain \-\-- **[climb]{.underline}**ing began to grow **[popular]{.underline}** as a sport. To some people, there is something greatly \_\_\_**28**\_\_\_\_ about getting to the \_\_\_29\_\_\_\_ of a high mountain: a struggle against nature is finer than a battle \_\_\_30\_\_\_\_other human begins. And then , when you are at the mountain top after a long and difficult \_\_\_\_31\_\_\_\_, what a \_\_\_**32**\_\_\_\_ reward ( 奖品 ) it is to be able to look \_\_\_33\_\_\_ on everything within \_\_\_34\_\_\_\_! At such time , you feel **happier** and **[prouder]{.underline}** than you can ever feel down \_\_\_35\_\_\_. **[与首尾句名词 动词 形容词 副词倾向]{.underline}**!
28.A.**[excited]{.underline}** B. interested C.dangerous D.terrible
32.A.surprising B.**[excited]{.underline}** C.disappointing D.astonishing
**◆**Dorothy Brown was very happy as she sat in the theatre listening to the **[music]{.underline}**. Today her little daughter Lauren was giving her \_\_\_1\_\_\_ concert. She had been waiting for this \_\_2\_\_ for years and years. "Now it is here at last," she thought. "How beautiful her \_\_**\_3\_**\_\_ is."
The song made her \_\_\_4\_\_\_ to the days when she was Lauren's \_\_\_5\_\_\_. As a young \_\_\_6\_\_\_, Dorothy wanted to be a concert singer. She studied \_\_**\_7\_**\_\_ in France, Italy and in the United States. "You can become a fine \_\_**[\_8\_]{.underline}**\_\_ in the future," her teachers told her. "But you must be \_\_\_9\_\_\_ to study hard and work for many years.
3\. A. **[voice]{.underline}** B. face C. dress D. life
7\. A. French B. **[music]{.underline}** C. piano D. dance
8\. A. actress B. student C. **[singer]{.underline}** D. dancer
K
**抓住中心意思\-\-\-\--围绕什么话题 (在文章中出现频率最多的词)**
**◆**Every Thursday afternoon, my art history class meets not in our usual lecture hall ( 演讲厅 ) but in our university **[Art]{.underline}** Museum. We spend our one-hour class discussing two or there of the \_\_**\_1\_**\_\_, many of which are by **[artists]{.underline}** that we have already studied in class. The professor begins by selecting one \_\_\_2\_\_\_ of **[art]{.underline}**. After giving us a quick background on the **[artist]{.underline}** , he will open up for class \_\_\_3\_\_\_.
1\. A. subjects B. **[paintings]{.underline}** C. speeches D. lectures
**仅有技巧和词汇是不够的,高频答案词及短语,是突破的关键!但相当多的具体情况和难以处理的选项,做起来还是有些吃力,怎么办?**
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宾语从句是特殊疑问句WH-或whether/if**时,要选下列动词:**
ask, doubt, wonder, want to know, know, guess
**答题选动词:**
〖**2011·全国新课标卷**〗The professor [37]{.underline} the lecture hall, placed upon his desk a large jar filled with dried beans(豆), and invited the students to [** 38**]{.underline} **how many** beans the jar contained. After [39]{.underline} shouts of wildly wrong guesses the professor smiled a thin, dry smile, announced the [40]{.underline} answer, and went on saying, "You have just [41]{.underline} an important lesson about science.
38\. A．count B. guess C. report D. watch
考察动词，或根据后文wildly wrong **[guesses]{.underline}**的提示，考虑复现选B。
**反过来选**WH-或whether/if:
〖**2011·安徽卷**〗One afternoon. I walked into a building to **ask** [** 41**]{.underline} there were any job opportunities(机会)，The people there advised me not to continue my job search in that [42]{.underline} .
41\. A. why B. wherever C. whether D. whenever
一天，作者走进一座大楼去问"是否"(whether)有自己能做的工作。选C。A项为"为什么"；B项为"无论在那"；D项为"无论何时"
**怎么样?这样做题快吗**?
为了让您更加深信不疑,我们再免费发布一个法则,你可以马上用下列真题或你学校的模拟练习题来验证一下,好使,就要赶紧预定呦!每省仅限定10套,额满即!止
**正面的,积极的,肯定的, 还是负面的,消极的,否定的?**
**◆**"**I'm sorry**, but we have enough [27]{.underline} for the newspaper already. Come back next year and we'll talk then." Jenna smiled [** 28**]{.underline} and left. "Why is high school so [29]{.underline} ?" she **[sighed]{.underline}**.
**叹气sighed说明是勉强的,选消极的weakly**
28\. A. widely B. **weakly** C. excitedly D. brightly
**◆[Tired and sad]{.underline}**,she told her story [** 38**]{.underline} ,not to anyone in particular.
38.A.**tearfully** B.seriously C.carefully D.calmly
**◆**It seems funny that we are \_[40]{.underline}\_ for things, with which we are **unfamiliar** or about which we are \_**[41]{.underline}**\_, but we all, my friends as well as I, consider this one of life's \_[42]{.underline}\_ .
41\. A. **uncertain** B. unhappy C. not pleased D. careful
〖**2011·四川卷**〗I truly feel that my mother led me here, to Morzaine, and to my future as a happy wife and businesswoman. When Mum [21]{.underline} in October 2007, I was a cook.. In December that year. while I was working for a wedding, a pearl necklace Mum had left me [** 22**]{.underline} . I was **distraught（忧心如焚的）**.Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [\\24]{.underline} he necklace he found." [25]{.underline} , he returned it.
22.A. burned B. **disappeared** C . broke D. dropped
22空就近distraught（忧心如焚的）是负的,只有disappear是负的；burn燃烧；break打破；drop降低，落下。有后文的我感到"忧心如焚"及"归还"（return）可知此处是指项链丢失了。B
〖**2011·安徽卷**〗Nearly ten minutes later, he [45]{.underline}, He asked me about my plans and **[encouraged]{.underline}** me to stay [** 46**]{.underline} . Then he offered to take me to Royal Oak to [47]{.underline} a job. **积极的!**
I was a little surprised. but had a [** 48**]{.underline} feeling about him. Along the way ,I realized that I had [49]{.underline} resumes(简历). Seeing this, the man [50]{.underline} at his business partner's office to make me fifteen [51]{.underline} copies. He also gave me some [52]{.underline} on dressing and speaking. I handed out my resumes and went home feeling very [** 53**]{.underline} . The following day, I received a [54]{.underline} from a store in Royal Oak **offering me a job**.
46\. A. silent B. busy C. **positive** D. comfortable
他问了问我的打算，鼓励我要振作起来，不要灰心。选C。A项为"沉默不语的"；B项为"忙绿的"；C项为"积极乐观的，有信心的"；D项为"舒适的，舒服的"。
48\. A. dull B. **good** C. guilty D. general
作者对他的主动帮助感到有点惊奇，但是对他充满了"好感" (good feeling)。选B。A项为"阴暗的，无趣的"；C项为"内疚的"；D项为"一般的，普通的"。
53\. A. lonely B. funny C. disappointed D. **satisfied**
我分发完简历回到家感到非常"满意"(satisfied)。选D。A项为"寂寞的，孤独的"；B项为"滑稽的，可笑的"；C项为"失望的，沮丧的"。
〖**2011·四川卷**〗Some days later, I was [23]{.underline} that a guy who was working with us that day. "could probably have made a fortune [24]{.underline} the necklace he found." [25]{.underline} , he returned it. Hearing how I'd [26]{.underline} Mum for six months before her **death**, he said, "Christmas is going to be [** 27**]{.underline} ---why not go out to the Alps for a couple of weeks?
> 27.A.long B. **hard** C. merry D. free
death.在27空附近是负的,B项对应。在万家团圆的圣诞节，母亲刚去世，对我来说一定很难熬。B
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号外！想揭秘高考出题者的答案最爱吗？想毫无顾忌地秒杀正确答案吗？梦想今天就可以成真！联想记忆法,词根记忆法,记忆树学词汇和右脑记忆法是挺好的,但就是学起来太累!而且还与答题语境和正确选项无关！好不容易记住了,考试却选错了!付出了100%却得不到5%的回报!另外，有些知名的英语考试专家，虽然发现了很多规律，但相当部分都是太复杂，好比又多学了一科哲学课程。那么，有没有既简单又易理解,还能在考试中立竿见影的学习秘诀呢？
继沈阳吴军老师2011-2012年推出的高分密码后，2012年他又创意出高考英语高频答案词一本通教案。这套系统教案在发布高频答案词的同时，又大量加入了11年来高考真题和模拟题做为考例并做出详尽的辨析和解析，另外还设计了过关试题并配备了答案。可以说，它是目前最简单,最迅捷的正确答案确认方式!学习不到考纲1/6词汇（还没有中考的词汇多），就使60-110分的同学和艺考生再也不会有"背得慢"、"背了老忘"和"老背不完"等老难题。不读文章直接做题，准确率80%以上；只读一遍，准确率达到95%！再配合语境答题技巧，准确率达到100%也不再是梦！解决了同学们"做题慢、浪费时间"和"准确率低"等困难。
**2011年末吴军高分英语巨献，2012高考提分最快、最in**
**2012高考英语高频答案词 高频考点 必考点**
**高频答案词一本通**
**目录：**
**一、单选、完形高频答案词**
**二、高频句型核心词**
**三、高频核心短语（以介词和副词为中心）**
**四、语法考点高频答案词**
**五、阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**六、吴军2012高考英语必考点解密**
**七、阅读高频答案词及其核心特征**
**完形高频答案词 可快速向标准答案靠拢!解决"发挥不稳定"及"看不懂短文或看懂了还错"的两大难题。**知道了第一类高频答案词就可以马上秒杀答案, 知道了第二类高频答案词,可快速缩小范围,在剩余两项中结合2012吴军高考英语高分密码快速对比,迅速做答!
drop**落下,掉下; 丢下,扔下**
(**2011·全国新课标卷**) "I remember feeling small and [54]{.underline} ，" the woman says，"and I did the only thing I could do．I [55]{.underline} the course that afternoon，and I haven't gone near science since．"
55\. A. **[dropped]{.underline}** B. started C. passed D. missed
（**2011·湖南卷**）My [37]{.underline} came one morning when I was in the community library. I passed by a girl who [38]{.underline} her books out of her locker .Thinking like most that someone else would help her pick them up, I continued my way.
38\. A. took B. **[dropped]{.underline}** C. got D. pulled
不管备选项是什么词,最终的答案始终是dropped, 您可以再试试更早的高考真题,领悟会更深!当然也可以多试一些正规的市级以上的模拟试题,可能意想不到的惊喜在等着您!
eventually =finally =at last**最后**
（**2011·湖北卷**）Then after receiving a [41]{.underline} from Saint Francis University, she got a job at an insurance firm and [** 42**]{.underline} started her own company.
42\. A. gradually B. actually C. **[eventually]{.underline}** D. naturally
**(2009·北京)**The day \_\_**50**\_ came when James counted his money and found ＄ 94. 32. He \_51\_\_ no time and went down to the shop to pick up the bicycle he wanted.
50\. A. **[finally]{.underline}** B. instantly C. normally D. regularly
**(2008·山东)**I would like to thank all of you who made the effort and [** 50**]{.underline} reported to work.It is always reassuring (令人欣慰),at times like these,when employees so clearly show their [51]{.underline} to their jobs.Thank you.
50.A.hardly B.casually C.absolutely D.**[eventually]{.underline}**
再试了这个后,你同样可以发现红花词还是我们总结的eventually 或finally,其他的都是绿叶词,欲想知道更多的一类秒杀高频答案词当然要预定2012吴军高频答案词一本通喽!
现在再看一下第二类高频答案词:realize 97%是完形答案,recognize是三类高频词,同时出现时要小心,应适当对比一下:
**(2010·全国Ⅰ)**Now I **[51]{.underline}** that in marriages, true love is [52]{.underline} of all that, The happiest people don't [53]{.underline} have the best of everything; they just [54]{.underline} the best of everything they have [.55]{.underline} isn't about how to live through the storm, but how to dance in the rain.
51\. A. **[realize]{.underline}** B. suggest C. hope D. prove
**(2008·四川)**When I was a child,my desire to win [34]{.underline} me well.As a parent,I [35]{.underline} that it got in my way.So I had to change.
35.A.**[realized]{.underline}** B.apologized C.imagined D.explained
**(2010·北京)**The shy, quiet freshman achieved success that year. I was [** 48**]{.underline} in the program as \"Student Art Assistant\" because of the time and effort I\'d put in. It was that year that I [** 49**]{.underline} I wanted to spend the rest of my life doing stage design.
48\. A. introduced B. **[recognized]{.underline}** C. identified D. considered
49\. A. confirmed B. decided C. **[realized]{.underline}** D. acknowledged
**2010**·北京高考英语卷中**recognized** 和**realized**分别在不同的选项,当然各选各的啦!关键是他们有时会同时出现,比如下面的**2009**年高考英语辽宁卷,那该怎么办?
**(2009·辽宁)** He did not contact(联系)his father for a whole year [45]{.underline} one day he saw in the street an old man who looked like his father. He [**46**]{.underline} he bad to go back home and see his father.
46\. A learned B **[realized]{.underline}接事** C **recognized接人** D admitted
**2009**年高考英语辽宁卷就出现了这种情况,不过没关系,我们在一本通教案中都做了相关词汇的辩析,就如同上面的一样,很容易就知道答案是B啦!
为了让您深信不疑,我们再举个例子, decide 95%是完形答案, know是三类高频词, 2011年福建卷和2010年辽宁卷毫无疑问选了**decided.** 关键是**2009**年辽宁卷**decide**和**know**两个词都出现了,该怎么办?
（**2011·福建卷**）When arriving in Canada in 2008,she had one [37]{.underline} ;to have what she had back Home in Colombia."I didn't want to [38]{.underline} what I do ,like so many who come to a new Country," she said ."I [** 39**]{.underline} to open a store here in Canada but knew I had to [40]{.underline} myself properly."
39\. A. demanded B. **[decided]{.underline}** C. agreed D. hesitated
**(2010·辽宁)**I really wondered why my aunt \_\_**43**\_ to make things so difficult for me. Now, after studying English at university for three years, I \_44\_\_ that monolingual dictionaries are \_\_45\_ in learning a foreign language
43.A．offered B．agreed C．**[decided]{.underline}** D．happened
**(2009·辽宁)**A young man was getting ready to graduate from college. For many months he had [36]{.underline} a beautiful sports car in a dealer's showroom, and [**37**]{.underline} his father could well [38]{.underline} it, he told him that was all he wanted.
37\. A finding B proving C **deciding** D **[knowing]{.underline}**
此题找到主语即动作发出者he时,代入两个词,He [ ]{.underline} his father......,他决定他父亲还是他知道他父亲?当然**[知道]{.underline}**通顺了,很快突破,选了D.
**词汇单选高频答案词 主要考词汇辩析,吴老师教你另类答题方法!**
actually **= in fact =as a matter of fact 事实上 强调时或看到插入语I think, I believe, there is时,选in fact或actually**.
◆As I found out, there is, **[46]{.underline}** , **[often]{.underline}** no perfect equivalence(对应)between two [47]{.underline} in two languages. **强调!**
46\. A. at least B. in fact C. at times D. in case
suddenly**突然**, **只要选项里出现,一般都是答案**!
◆What laughing [42]{.underline} we had about the [43]{.underline} respectable method for moving spaghetti from plate to mouth. [ ]{.underline} **44** [ ]{.underline} , I wanted to write about that, but I wanted to [45]{.underline} it down simply for my own [46]{.underline} , not for Mr. Fleagle, my composition teacher. [47]{.underline} , I would write something else.
44\. A. Especially B. Probably C. **[Suddenly]{.underline}** D. Fortunately
◆And so we [27]{.underline} for another ten minutes,until [** 28**]{.underline} my daughter burst into tears,and [29]{.underline} that she was beaten.
28.A.nervously B.immediately C.strangely D**[.suddenly]{.underline}**
**(2008·四川)**"If you're going to play it [26]{.underline} ,you're going to play it slowly."And so we [27]{.underline} for another ten minutes,until [** 28**]{.underline} my daughter burst into tears,and [29]{.underline} that she was beaten.
28.A.nervously B.immediately C.strangely D.**[suddenly]{.underline}**
gradually**逐渐地, [come to]{.underline} realize gradually [recover]{.underline} gradually ,即看到come to 或recover就选gradually.**
◆ [50]{.underline} , she insisted that I read the definition(定义)of a word in a monolingual dictionary [51]{.underline} I wanted to get a better understanding of its meaning. **[52]{.underline}** , I have **[come to]{.underline} see** what she meant.
52\. A. Largely B. Generally C. **[Gradually]{.underline}** D. Probably
**高频核心短语（以介词和副词为中心及连词搭配）**
**请看2011年福建卷中**after all 和above all都是高频短语答案词! 转折时用**after all**,并列或**[above all]{.underline} if......**时,用**above all**!
（**2011·福建卷**）Looking back, Diana, a fashion（时装）designer, [54]{.underline} her achievements to the goal she set, the education she received from the college, **and** [** 55**]{.underline} the efforts she made. Now Diana is very happy doing what she is doing.
55\. A. after all B. **[above all]{.underline}** C. at least D. at first
**And**时选**above all ,but**时选**after all.**方法很具体,很实在!是对2012吴军高考英语高分密码的细节补充!
**高频短语**either...or..., from...to..., between...and..., not...but..., would rather...than...**等是解决看不懂长句的法宝!**
（**2011·天津卷**）Your words became my motto. I [31]{.underline} found myself in the unique position of being **[either]{.underline}** the first (woman doctor in Maryland Rotary) [** 32**]{.underline} one of the few women (chief medical reporters) in my field. I gained strength every time I said , "Yes, I'll try that."
32\. A. and B. but C. or D. for
**通过搭配either......or......,很快作出2011年天津卷32题的答案是C.or.**
（**2011·北京卷**）With my [52]{.underline} self-confidence comes more praise from teachers and classmates. I have gone **[from]{.underline}** ["53"]{.underline} in the back of the classroom and not wanting to call attention to myself, [** 54**]{.underline} raising my hand--- even when I sometimes wasn't and not 100 percent [55]{.underline} I had the right answer. Now I have more self-confidence in myself.
54\. A. by B. for C. with D. to
**通过搭配from......to......,很快作出2011年天津卷32题的答案是D.to.**
**语法考点高频答案词** **避开语法的干扰，平均轻松多得3-7分！**
**Where是高频答案词!**
1.从属连词，引导地点状语从句。
The famous scientist grew up where he was born and in 1930 he came to Shanghai.
2.关系副词。用于定从。
There were dirty marks on her trousers where she had wiped her bands.
3.连接副词，用于名词性从句。
You are saying that everyone should be equal and this is where I disagree.
〖**2011陕西卷**〗I walked up to the top of the hill with my friends, [ ]{.underline} we enjoyed a splendid view of the lake.
A.which B. **[where]{.underline}** C. who D.that
〖**2010全国Ⅰ**〗We haven't discussed yet \_\_\_\_\_\_ we are going to place our new furniture.
A. that B. which C. what D. **[where]{.underline}**
〖**2010全国Ⅱ**〗---Have you finished the book?
\-\--No,I've read up to\_\_\_\_\_\_\_\_\_the children discover the secret cave.
A.which B.what C.that D.**[where]{.underline}**
〖**2010江苏**〗---I prefer shutting myself in and listening to music all day on Sundays.
---That's\_\_\_\_\_\_\_I don't agree. You should have a more active life.
A.**[where]{.underline}** B.how C.when D.what
〖**2010重庆**〗Today, we will begin \_\_\_\_\_we stopped yesterday so that no point will be left out.
A. when B. **[where]{.underline}** C. how D. what
〖**2009江苏**〗 [ ]{.underline} \_\_ unemployment and crime are high, it can be assumed that the latter is due to the former.
A. Before B. **[Where]{.underline}** C. Unless D. Until
**高频句型核心词 对完形和单选有快速突破作用,同时对作文造句起到立竿见影的功效!**
It's (There's ) no [use]{.underline} / [good]{.underline} doing.........
It's (There's) no [sense]{.underline} / [point]{.underline} (in) doing......
no wonder**难怪**
hurry**不着急**
doubt**毫无疑问**
excuse**没有理由(借口)**
way**决不**
delay**毫不犹豫**
〖**2008江苏**〗---I can't repair these until tomorrow, I'm afraid.
> ---That's OK, there's \_\_\_\_\_\_.
A. no problem B. no wonder C. no doubt D. no hurry
**no problem意思是 "没问题", 通常单独使用或用That's no problem；(It's) no wonder...意思是 "难怪"；There is no doubt...意思是 "毫无疑问"。**〖答案〗D
〖**2003北京**〗---\_\_\_\_\_I'm sorry I stepped outside for a smoke.I was very tired.
---There is no\_\_\_\_\_\_ for this while you are on duty.
A.reason B.excuse C.cause D.explanation
excuse理由、借口。说话人意为：你在值班的时候是没有任何理由出去的。reason原因；cause事情起因；explanation解释, 与句意不符。〖答案〗B
〖**2006全国Ⅱ**〗It is no [ ]{.underline} arguing with Bill because he will never change his mind.
A. use B. help C.time D.way
it is no use后接动词+ing形式或动词+ing形式短语表示做某事没有用。help意为 "帮助"。time意为 "时间"。way意为 "方法"。〖答案〗A
〖**2009福建**〗The World Health Organization gave a warning to the public **without any** \_\_\_\_\_\_ when the virus of H1N1 hit Mexico in April, 2009. **=with no [ ]{.underline}**
 A. delay B. effort C. schedule D. consideration
delay：耽搁, 延误；effort：努力；schedule：时间表；consideration：考虑, 体谅；关心。当H1N1型2009年4月袭击墨西哥时, 世界卫生组织毫不犹豫地向人们提出了警告。选A。
**阅读词汇题及完形熟词僻义高频考点**
**您知道的sense是\[感官\]的意思,point是\[小数点\]的意思,如果你不知道他们的僻义是\[意义\]的话,下面的高考完形真题,您能答对吗?**
（**2008·安徽卷**）What is the **[52]{.underline}** of studying towns in the way? For me, it is simply that one gets a greater depth of pleasure by visiting and seeing a town with one's own eyes. A personal visit to a town may help one better understand why it is attractive than just reading about it in a guide-book.
52\. A. **[point]{.underline}** B. view C. problem D. difficulty
（**2004·重庆卷**）"This scar will be lasting,but to this day, I have never regretted what I did."At this point, the little boy came out running toward his mother with tears in his eyes. He held her mother in his arms and felt a great [\_\_**54**\_\_\_\_]{.underline} of the sacrifice that his mother had made for him. He held her hand tightly for the tightly of the day.
54.A honor B.**[sense]{.underline}** C.happiness D.pride
**再举个例子serve是\[服务\]的意思, 如果你不知道他们的僻义是\[端饭, 端菜端酒等及 对......起作用\]的话, 下面的高考完形真题,您可能同样会选错的! 若想知道更多详尽的高频归纳请立即购买2012吴军高考英语高频答案词一本通教案!**
（**2008·四川卷**）\...Clearly I had made mistakes. I had started the evening wanting to have a happy time with my daughter but had allowed my desire to win to become more important than my relationship with my daughter. When I was a child, my desire to win [**34**]{.underline} me well. As a parent, I realized that it got in my way. So I had to change.
34 A offered B **[served]{.underline}** C controlled D taught
（**2006·全国卷I**）...A waiter appeared. He paused for just a second, walked into the water to set the table and take their order,and then walked back to the loud [ ]{.underline} cheers of the rest of his customers. Minutes later he returned carrying a bottle of wine and two glasses. Without pausing, he went once more into the water to [** 50**]{.underline} the wine.The couple toasted each other ,the waiter and the crowd...
50\. A. change B. drink C. sell D. **[serve]{.underline}**
（**2004·全国卷I**）It was the night before the composition was due. As I looked at the list of topics (题目) , \"The Art of Eating Spaghetti (意大利面条) \" caught my eye. The word \"spaghetti\" brought back the memory of an evening at Uncle Alien\' s in Belleville when all of us were seated around the table and Aunt Pat **[38]{.underline}** spaghetti for supper. Spaghetti was an exotic (外来的) treat in those days.
38 A cooked B **[served]{.underline}** C got D made
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**相似句型的对比!(详解略)**
**1.强调句与定语从句的对比**
\[1\] It was in this city \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[2\] It was this city \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[3\] It was in 1989 \_\_\_\_\_\_ he was born.
\[4\] It was 1989 \_\_\_\_\_ he was born.
A. where B. which C. that D. when
**CACD**
**2.与其他从句的对比**
\[1\] In my eyes, \_\_\_\_\_\_\_ is known to all \_\_\_\_\_ Chinese economy has taken off.
\[2\] \_\_\_\_\_\_ is known to all, Chinese economy has taken off.
\[3\] I took some medicine for the bad cold, but \_\_\_\_\_ didn't help.
\[4\] I took some medicine for the bad cold, \_\_\_\_\_\_ didn't help.
\[5\] I find \_\_\_\_\_\_ is a pity that he failed in the driving test.
A. which B. that C. it D. As
**\[1\] CB \[2\] D \[3\] C \[4\] A \[5\] C**
**3.与there be句型的对比**
\[1\] \_\_\_\_\_\_ is no doubt that China plays an important role in the world affairs.
\[2\] \_\_\_\_\_\_ is no/little wonder that Liu Xiang is a flying man in the world.
\[3\] \_\_\_\_\_\_ is no point in working on his PhD.
\[4\] \_\_\_\_\_\_ is no knowing where she is now.
A. There B. That C. It D. This
**ACAA**
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**表示可能的may和是might阅读高频答案词!**
(**2011湖北卷**)54.What lesson has the author learnt from his experience?
A. Learning form parents is necessary.
B. Jumping to a conclusion is dangerous.
C. Telling the truth **[may]{.underline}** not always be the best solution.
D. Selecting pleasant words **may** not be the perfect policy.
(**2010广东卷**)45. We can inter from the passage that Chinese English [ ]{.underline} . 
A. is clear and natural to non-native speakers
B. is vivid and direct to non-native speakers
C. has a verv bad reputation in America
D. **[may]{.underline}** bring inconvenience in America
W\_w w. k\*s\*5 u. c\@o m
(**2010江苏卷**)
62.According to those against killing wolves，when wolves eat other animals， [ ]{.underline} ．
A．they never eat strong and healthy ones
B．they always go against the law of nature
C．they **[might]{.underline}** help this kind of animals survive in nature
D．they disturb the ecological balance in the wilderness
**表示范围大的different和various是 阅读高频答案词!**
（**2011·重庆卷**）74. The author mentioned the review in Nature in order to\_\_\_\_.
A. voice a **[different]{.underline}** opinion
B. find fault with Lomborg's book
C. challenge the authority of the media
D. point out the value of scientific views.
（**2010·重庆卷**）What is surprising about the standard of the clothing industry?
A. It has been followed by the industry for over 400 years.
B. It is **[different]{.underline}** for men's clothing and women's.
C. It woks better with men than with women.
D. It fails to consider right-handed people.
（**2010江苏**）China's new high-speed railway plan will be a win-win project because [ ]{.underline}．
A．China will get much-needed resources and develop its western regions
B．China and the countries involved will benefit from the project in **[various]{.underline}** ways
C．China will develop its railway system and communication with other countries
D．the foreign countries involved will develop their railway transportation，business and tourism
（**2010广东卷**）From Paragraph 5,we can learn that [ ]{.underline}.
A. mushrooms should not be eaten
B. vegetables are safer than meat and seafood
C. natural poisons are more dangerous than chemicals
D. **[different]{.underline}** types of food should be handled **[differently]{.underline}**
（**2010江西卷**）What can be inferred from Paragraph 3?
A. Body language is unique to humans.
B. Animals express emotions just as humans do.
C. Humans have other powers of communication.
D. Humans are no **[different]{.underline}** from animals to some degree.
**表示难的difficult, hard (**trouble = difficulty)**是阅读高频答案词!**
（**2011·辽宁卷**）60. What is a problem with cyberschools?
A. Their equipment costs a lot of money.
B. They get little support from the state government.
C. It is **[hard]{.underline}** to know students\' progress in learning.
D. The students find it hard to make friends.
（**2010·重庆卷**）Women's clothes still button from the left today because [ ]{.underline} .
A. adopting men's style is improper for women
B. manufacturers should follow standards
C. modern women dress themselves
D. customs are **[hard]{.underline}** to change
（**2010·辽宁卷**）What is the researchers\' understanding of the New Zealand study results?
A. Poorly motivated 26-year-olds watch more TV.
B. Habits of TV watching reduce learning interest.
C. TV watching leads to lower education levels of the 15-year-olds.
D. The connection between TV and education levels is **[difficult]{.underline}** to explain
（**2010·四川卷**）Which is true about the warship patrols according to the text?
A．The patrols are of little effect.
B．The patrols are more **[difficult]{.underline}**.
C．More patrols are quite necessary even in Asia.
D．The patrols only drive the pirates to other areas.
（**2010·山东卷**）What can we learn from the last paragraph?
A. Fighting wastefulness is **[difficult]{.underline}**.
B. Needless material is mostly recycled.
C. People like collecting recyclable waste.
D. The author is proud of their consumer culture.
（**2010·浙江卷**）In his mother's eyes, the writer\_\_\_\_\_\_\_.
A. was a born artist
B. always caused **[trouble]{.underline}**
C. was a problem solver
D. worked very hard
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题号 一 二 三 四 五 六 卷面分 总分
得分
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一、填一填。（共27分）
{width="5.367361111111111in" height="1.7666666666666666in"}1.在（ ）填上适合的单位名称。
2．在○里填上＞、＜或＝。
○ ○ 800米○8千米 1分20秒○ 80秒
{width="4.415277777777778in" height="0.7125in"}3．用分数表示图中涂色部分。
（ ） （ ） （ ） （ ）
4．在（ ）里填上合适的数。
3000米=（ ）千米 2000千克=（ ）吨
1米-60厘米=（ ）分米 5厘米-24毫米=（ ）毫米
5.一套《百科全书》的价钱是195元，买5套大约需要（ ）元。
6.里面有（ ）个；1里面有（ ）个。
7.小明在计算一道加法算式时，把其中一个加数56看成了65，结果得87，正确的结果是（ ）。
8．动物园中有6只老虎，猴子的只数是老虎的3倍，又是长颈鹿的2倍，动物园里有（ ）只猴子，（ ）只长颈鹿。
9．一根铁丝正好围成一个长10厘米，宽8厘米的长方形，如果把这根铁丝围成正方形，这个正方形的边长是（ ）。
10.截止到2020年11月11日，河北省累计报告新型冠状病毒肺炎确诊病例373例，累计治愈出院361例，累计死亡6例，医院还有新冠肺炎患者（ ）例。
13.课外活动时间，三（1）班有20人参加踢毽子，有15人参加跳绳，两样都参加的有3人，三（1）班一共有（ ）人参加课外活动。
14．一场足球比赛上下半场各45分钟，中场休息20分钟。小明20：10进场时，下半场正好开始。这场球赛开始时间是（ ），结束时间是（ ）。
二、选一选。（把正确答案前的序号填在括号里，共5分）
1\. 一杯牛奶，小洋喝了，杯中还有（ ）。
A． B． C．
2\. 秒针在钟面上从"1"走到"6"，用了（ ）秒。
A.5 B.25 C.30
3. 一头牛重500千克，（ ）头牛的质量是1吨。
A.1 B.2 C.3
4．一条绳子，对折三次后，每小段是这条绳子的（ ）。
A． B． C．
5\. 一个长方形的长与宽的和是10厘米，这个长方形的周长是（ ）厘米。
A.20 B.40 C.60
三、判一判。（正确的打"√"，错误的打"×"，共5分）
1．把一块月饼分成6份，每份月饼是这块月饼的。........................（ ）
{width="1.4423611111111112in" height="0.8055555555555556in"}2．长和宽都不相等的两个长方形，周长一定不相等。........................（ ）
3\. 右图中A的周长大于B的周长。................................................（ ）
4.0与任何数相乘都等于0。............................................................（ ）
5.3个加上5个是8个，就是。..........................................（ ）
四、算一算。（共25分）
1、直接写出得数。
+= 120×0= 30×4+60= 500×4= 460+250=
-= 270-90= 2600－2000= 312×2≈ 1-=
2、用竖式计算下列各题，带※号的要进行{width="0.2777777777777778in" height="0.2777777777777778in"}验算。
495×3 503×6 316+257 ※806-279
3、脱式计算
136×5+334 214+（559-487） （816-679）×7
五、动手操作。（ 共4分）
1.给☆涂色，使涂色部分的个数是未涂色部分的3倍；在横线上画△，使△个数是未涂色☆的2倍。
☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
[ ]{.underline}
{width="3.745833333333333in" height="1.3388888888888888in"}2.在下面的方格中画一个和图中正方形周长相等的长方形。
六、解决问题。（共24分）
{width="2.207638888888889in" height="1.0604166666666666in"}1．涂绿色和蓝色的部分一共占这面墙的几分之几？
涂粉色的部分占这面墙的几分之几？
2.同学们参观海洋馆，他们来到了"南极动物世界"，这里有各种各样的动物，其中雪海燕24只，海豹6只，企鹅的只数是雪海燕只数的。
（1）雪海燕的只数是海豹只数的几倍？
（2）"南极动物世界"里的企鹅有多少只？
{width="2.7847222222222223in" height="1.6666666666666667in"}3.今天共收发多少份快递？
4．三年级的130名同学分别乘4辆车参观科技馆。前3辆车各坐32人，第4辆车上要坐多少人？门票每张7元，准备1000元钱买门票够吗？
{width="1.4520833333333334in" height="0.775in"}5．把一个长7厘米、宽5厘米的长方形和一个边长3厘米的正方形拼在一起（如下图），拼成的图形的周长是多少厘米？
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
化 学
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 Al27 P31 S32 Cl35.5 K39 Ca40 Fe56 Cu63.5 Sn119
1. 选择题（本题包括9小题，每小题3分，共27分。每小题只有一个选项符合题意）
1.2007年诺贝尔化学奖得主Gerhard Ertl对金属Pt表面催化CO氧化反应的模型进行了深入研究。下列关于Pt的说法正确的是
A. Pt和Pt的质子数相同，互称为同位素
B. Pt和Pt的中子数相同，互称为同位素
C. Pt和Pt的核外电子数相同，是同一种核素
D. Pt和Pt的质量数不同，不能互称为同位素
2.海水是一个巨大的化学资源库，下列有关海水综合利用的说法正确的是
A.海水中含有钾元素，只需经过物理变化就可以得到钾单质
B.海水蒸发制海盐的过程中只发生了化学变化
C.从海水中可以得到NaCl，电解熔融NaCl可制备Cl~2~
D.利用潮汐发电是将化学能转化为电能
3.下列涉及有机物的性质或应用的说法不正确的是
A.干馏煤可以得到甲烷、苯和氨等重要化工原料
B.用于奥运"祥云"火炬的丙烷是一种清洁燃料
C.用大米酿的酒在一定条件下密封保存，时间越长越香醇
D.纤维素、蔗糖、葡萄糖和脂肪在一定条件下都可发生水解反应
4.下列实验能达到预期目的的是
A.向煮沸的1 mol·L^-1^ NaOH溶液中滴加FeCl~2~饱和溶液制备Fe（OH）~3~胶体
B.向乙酸乙酯中加入饱和Na~2~CO~3~溶液，振荡，分液分离除去乙酸乙酯中的少量乙酸
C.称取19.0 g SnCl~2~，用100 mL蒸馏水溶解，配制1.0 mol·L^-1^ SnCl~2~溶液
5.用铜片、银片、Cu (NO~3~)~2~溶液、AgNO~3~溶液、导线和盐桥（装有琼脂-KNO~3~的U型管）构成一个原电池。以下有关该原电池的叙述正确的是
①在外电路中，电流由铜电极流向银电极 ②正极反应为：Ag^+^+e^-^=Ag
③实验过程中取出盐桥，原电池仍继续工作
④将铜片浸入AgNO~3~溶液中发生的化学反应与该原电池反应相同
A. ①② B.②③ C.②④ D.③④
6.相同质量的下列物质分别与等浓度的NaOH溶液反应，至体系中均无固体物质，消耗碱量最多的是
A.Al B.Al(OH)~3~ C.Al Cl~3~ D.Al~2~O~3~
7.某合作学习小组讨论辨析以下说法：①粗盐和酸雨都是混合物；②沼气和水蒸气都是可再生能源；③冰和干冰既是纯净物又是化合物；④不锈钢和目前流通的硬币都是合金；⑤盐酸和食醋既是化合物又是酸；⑥纯碱和熟石灰都是碱；⑦豆浆和雾都是胶体。上述说法正确的是
A. ①②③④ B.①②⑤⑥ C.③⑤⑥⑦ D.①③④⑦
8.将H~2~(g)和Br~2~(g)充入恒容密闭容器，恒温下发生反应H~2~（g）+Br~2~(g) 2HBr（g）g平衡时Br~2~(g)的转化率为a；若初始条件相同，绝热下进行上述反应，平衡时Br~2~(g)的转化率为b。a与b的关系是
A.a＞b B.a=b C.a＜b D.无法确定
9.已知Ag~2~SO~4~的*K*~W~ 为2.0×10^-3^，将适量Ag~2~SO~4~固体溶于100 mL水中至刚好饱和，该过程中Ag^+^和SO浓度随时间变化关系如右图（饱和Ag~2~SO~4~溶液中*c*(Ag^+^)＝0.034 mol·L^-1^）。若*t*~1~时刻在上述体系中加入100 mL. 0.020 mol·L^-1^ Na~2~SO~4~ 溶液，下列示意图中，能正确表示*t*~1~时刻后Ag^+^和SO浓度随时间变化关系的是
2. 选择题（本题包括9小题，每小题4分，共36分。每小题有一个或两个选项符合题意。若正确答案包括两个选项，只选一个且正确得2分，但只要选错一个就得0分）
10.设阿伏加德罗常数（*N*~A~）的数值为*n~A~*,下列说法正确的是
A.1 mol Cl~2~与足量Fe反应，转移的电子数为3*n~A~*
B.1.5 mol NO~2~与足量H~2~O反应，转移的电子数为*n~A~*
C.常温常压下，46 g的NO~2~和N~2~O~4~混合气体含有的原子数为3*n~A~*
D.0.10mol Fe粉与足量水蒸气反应生成的H~2~分子数为0.10*n~A~*
11.下列化学反应的离子方程式正确的是
A.在稀氨水中通入过量CO~2~:NH~3~·H~2~O+CO~2~=NH+HCO
B.少量SO~2~通入Ca(ClO)~2~溶液中：SO~2~+H~2~O+Ca^2+^+2ClO^-^=CaSO~3~+2HClO
C.用稀HNO~3~溶液FeS固体：FeS+2H^+^=Fe^2+^+H~2~S
D.氢氧化钙溶液与等物质的量的稀硫酸混合：Ca^2+^+OH^-^+H^+^+SO=CaSO~4~+H~2~O
12.下列有关金属腐蚀与防护的说法正确的是
A.纯银器表面在空气中因化学腐蚀渐渐变暗
B.当镀锡铁制品的镀层破损时，镶层仍能对铁制品起保护作用
C.在海轮外壳连接锌块保护外壳不受腐蚀是采用了牺牲阳极的阴极保护法
D.可将地下输油钢管与外加直流电源的正极相连以保护它不受腐蚀
13.元素X、Y和Z可结合形成化合物XYZ~3~；X、Y和Z的原子序数之和为26；Y和Z在同一周期。下列有关推测正确的是
A.XYZ~3~是一种可溶于水的酸，且X与Y可形成共价化合物XY
B.XYZ~3~是一种微溶于水的盐，且X与Z可形成离子化合物XZ
C.XYZ~3~是一种易溶于水的盐，且Y与Z可形成离子化合物YZ
D.XYZ~3~是一种离子化合物，且Y与Z可形成离子化合物YZ~3~
14.下列有关能量转换的说法正确的是
A.煤燃烧是化学能转化为热能的过程
B.化石燃料和植物燃料燃烧时放出的能量均来源于太阳能
C.动物体内葡萄糖被氧化成CO~2~是热能转变成化学能的过程
D.植物通过光合作用将CO~2~转化为葡萄糖是太阳能转变成热能的过程
15.碘钨灯比白炽灯使用寿命长。灯管内封存的少量碘与使用过程中沉积在管壁上的钨可以发生反应：W（s）+I~2~（g）WI~2~ΔH＜0（温度*T*~1~＜*T*~2~）。下列说法正确的是
A.灯管工作时，扩散到灯丝附近高温区的WI~2~（g）会分解出W~1~W重新沉积到灯丝上
B.灯丝附近温度越高，WI~2~（g）的转化率越低
C.该反应的平衡常数表达式是
D.利用该反应原理可以提纯钨
16.LiFePO~4~电池具有稳定性高、安全、对环境友好等优点，可用于电动汽车。电池反应为：FePO~4~+LiLiFePO~4~，电池的正极材料是LiFePO~4~，负极材料是石墨，含U导电固体为电解质。下列有关LiFePO~4~电池说法正确的是
A.可加入硫酸以提高电解质的导电性
B放电时电池内部Li向负极移动.
C.充电过程中，电池正极材料的质量减少
D.放电时电池正极反应为：FePO~4~+Li^+^+e^-^=LiFePO~4~
17.盐酸、醋酸和碳酸氢钠是生活中常见的物质。下列表述正确的是
A.在NaHCO~3~溶液中加入与其等物质的量的NaOH，溶液中的阴离子只有CO和OH^-^
B.NaHCO~3~溶液中：e(H^+^)+e(H~2~CO~3~)=c(OH^-^)
C.10 mL0.10 mol·L^-1^CH~3~COOH溶液加入等物质的量的NaOH后，溶液中离子的浓度由大到小的顺序是：c(Na^+^)＞c(CH~3~COO^-^)＞c（OH^-^）＞c(H^+^)
D.中和体积与pH都相同的HCl溶液和CH~3~COOH溶液所消耗的NaOH物质的量相同
18.电导率是衡量电解质溶液导电能力大小的物理量，根据溶液电导率变化可以确定滴定反应的终应。右图是KOH溶液分别滴定HCl溶液和CH~3~COOH溶液的滴定曲线示意图。下列示意图中，能正确表示用NH~3~·H~2~O溶液滴定HCl和CH~3~COOH混合溶液的滴定曲线的是
三、本题包括3小题，共34分）
19.（11分）
碳酸钠是造纸、玻璃、纺织、制革等行业的重要原料。工业碳酸钠（钝度约98％）中含有Ca^2+^、Mg^2+^、Fe^3+^、Cl^-^和SO等杂质，提纯工艺路线如下：
已知碳酸钠的溶解度（*S*）随温度变化的曲线如下图所示：
回答下列问题：
（1）滤渣的主要成分为[ ]{.underline}。
（2）"趁热过滤"的原因是[ ]{.underline}。
（3）若在实验室进行"趁热过滤"，可采取的措施是[ ]{.underline}（写出1种）。
（4）若"母液"循环使用，可能出现的问题及其原因是[ ]{.underline}。
（5）已知：
Na~2~CO~3~·10H~2~O(s)=Na~2~CO~3~(s)+10H~2~O(g) Δ*H*~1~=+532.36 kJ·mol^-1^
Na~2~CO~3~·10H~2~O(s)=Na~2~CO~3~·H~2~O(s)+9H~2~O(g) Δ*H*~1~=+473.63 kJ·mol^-1^
写出Na~2~CO~3~·H~2~O脱水反应的热化学方程式[ ]{.underline}。
20.（11分）
某探究小组用HNO~3~与大理石反应过程中质量减小的方法，研究影响反应速率的因素。所用HNO~3~浓度为1.00 mol·L^-1^、2.00 mol·L^-1^，大理石有细颗粒与粗颗粒两种规格，实验温度为298 K、308 K，每次实验HNO~3~的用量为25.0 mL、大理石用量为10.00 g。
（1）请完成以下实验设计表，并在实验目的一栏中填出对应的实验编号：
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 实验编号 | *T*/K | 大理石规格 | HNO~3~浓度/mol·L^-1^ | 实验目的 |
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| ① | 298 | 粗颗粒 | 2.00 | （Ⅰ）实验①和②探究HNO~3~浓度对该反应速率的影响； |
| | | | | |
| | | | | （Ⅱ）实验①和[ ]{.underline}探究温度对该反应速率的影响； |
| | | | | |
| | | | | （Ⅲ）实验①和[ ]{.underline}探究大理石规格（粗、细）对该反应速率的影响；） |
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| ② | | | | |
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| ③ | | | | |
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| ④ | | | | |
+----------+-------+------------+----------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
(2)实验①中CO~2~质量随时间变化的关系见下图：
依据反应方程式CaCO~3~+HNO~3~=Ca(NO~3~)~2~+CO~2~↑+H~2~O，计算实验①在70-90 s范围内HNO~3~的平均反应速率（忽略溶液体积变化，写出计算过程）。
（3）请在答题卡的框图中，画出实验②、③和④中CO~2~质量随时间变化关系的预期结果示意图。
21.（12分）
某种催化剂为铁的氧化物。化学兴趣小组在实验室对该催化剂中铁元素的价态进行探究：将适量稀硝酸加入少许样品中，加热溶解；取少许溶液，滴加KSCN溶液后出现红色。一位同学由此得出该催化剂中铁元素价态为+3的结论。
（1）请指出该结论是否合理并说明理由[ ]{.underline}。
（2）请完成对铁元素价态的探究：
限选实验仪器与试剂：烧杯、试管、玻璃棒、药匙、滴管、酒精灯、试管夹：3 mol·L^-1^H~2~SO~4~/3％ H~2O~2、6 mol·L^-1^HNO~3~/0.01 mol·L^-1^KmnO~4~、NaOH稀溶液、0.1 mol·L^-1^Kl、20％ KSCN、蒸馏水。
1. 提出合理假设
假设1：[ ]{.underline}；
假设2：[ ]{.underline}；
假设3：[ ]{.underline}。
2. 设计实验方案证明你的假设（不要在答题卡上作答）
3. 实验过程
根据②的实验方案，进行实验。请在答题卡上按下表格式写出实验操作步骤、预期现象与结论。
---------- ----------------
实验操作 预期现象与结论
步骤1：
步骤2：
步骤3：
...
---------- ----------------
四、（本题包括3小题，共34分）
22.（11分）
铜在自然界存在于多种矿石中，如：
---------- ---------- ------------- -------- -------------------
矿石名称 黄铜矿 斑铜矿 辉铜矿 孔雀石
主要成分 CuFeS~2~ Cu~5~FeS~4~ Cu~2~S CuCO~3~·Cu(OH)~2~
---------- ---------- ------------- -------- -------------------
请回答下列问题：
（1）上表所列铜化合物中，铜的质量百分含量最高的是[ ]{.underline}。
（2）工业上以黄铜矿为原料。采用火法溶炼工艺生产铜。该工艺的中间过程会发生反应：2Cu~2~O+Cu~2~S6Cu+SO~2~↑，反应的氧化剂是[ ]{.underline}。
（3）SO~2~尾气直接排放到大气中造成环境污染的后果是[ ]{.underline}；处理该尾气可得到有价值的化学品，写出其中1种酸和1种盐的名称[ ]{.underline}。
（4）黄铜矿熔炼后得到的粗铜含少量Fe、Ag、Au等金属杂质，需进一步采用电解法精制。请简述粗铜电解得到精铜的大批量：[ ]{.underline}。
（5）下表中，对陈述Ⅰ、Ⅱ的正确性及其有无因果关系的判断都正确的是*[ ]{.underline}*（填字母）。
------ -------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------
选项 陈述Ⅰ 陈述Ⅱ 判断
A 铜绿的主成分是碱酸铜 可用稀盐酸除铜器表面的铜绿 Ⅰ对；Ⅱ 对；有
B 铜表易形成致密的氧化膜 铜容器可以盛放浓硫酸 Ⅰ对；Ⅱ 对；有
C 铁比铜活泼 例在铜板上的铁钉在潮湿空气中不易生锈 Ⅰ对；Ⅱ 对；有
D 蓝色硫酸铜晶体受热转化为白色硫酸铜粉末是物理变化 硫酸铜溶液可用作游泳池的消毒剂 Ⅰ错；Ⅱ 对；无
------ -------------------------------------------------- -------------------------------------- ----------------
23.(11分)
硅单质及其化合物应用范围很广。请回答下列问题：
1. 制备硅半导体材料必须先得到高纯硅。三氯甲硅烷（SiHCl~3~）还原法是当前制备高纯硅的主要方法，生产过程示意图如下：
①写出由纯SiHCl~3~制备高纯硅的化学反应方程式*[ ]{.underline}*。
②整个制备过程必须严格控制无水无氧。SiHCl~3~遇水剧烈反应生成H~2~SiO~3~、HCl和另一种物质，写出配平的化学反应方程式[ ]{.underline}；H~2~还原SihCl~3~过程中若混0~2~，可能引起的后果是 [ ]{.underline} 。
（2）下列有头硅材料的详法正确的是 [ ]{.underline} （填字母）。
A.碳化硅化学性质稳定，可用于生产耐高温水混
B.氮化硅硬度大、熔点高，可用于制作高温陶瓷和轴承
C.普通玻璃是由纯碱、石灰石和石英砂的，其熔点很高
D.盐酸可以与硅反应，故采用盐酸为抛光液抛光单晶硅
(3)硅酸钠水溶液俗称水玻璃。取少量硅酸钠溶液于试管中，逐滴加入饱和氯化铵溶液，振荡。写出实验现象并给予解释[ ]{.underline}。
24.（12分）
科学家一直致力研究常温、常压下"人工围氮"的新方法。曾有实验报道：在常温、常压、学照条件下，N~2~在催化剂（掺有少量Fe~2~O~3~的TiO~2~）表面与水发生反应，生成的主要产物为NH~3~。进一步研究NH~3~生成量与温度的关系，部分实验数据见下表（光照、N~2~压力1.0×10^5^Pa、反应时间3 h）:
--------------------------- ------ ------ ------ ------
*T/K* 303 313 323 353
NH~3~生成量/（10^-6^mol） 4．8 5．9 6．0 2．0
--------------------------- ------ ------ ------ ------
相应的热化学方程式如下：
N~2~(g)+3H~2~O(1)=2NH~3~(g)+O~2~(g) Δ*H*=+765.2kJ·mol^-1^
回答下列问题：
1. 请在答题卡的坐标图中画出上述反应在有催化剂与无催化剂两种情况下反应过程
中体系能量变化示意图，并进行必要标注。
2. 与目前广泛使用的工业合成氨方法相比，该方法中固氮反应速率慢。请提出可提
高其反应速率且增大NH~3~生成量的建议：[ ]{.underline}。
3. 工业合成氨的反应为N~2~(g)+3H~2~(g) 2NH~3~(g)。设在容积为2.0L的密
闭容器中充入0.60mol N~2~(g)和1.60 mol H~2~(g),.反应在一定条件下达到平衡时，NH~3~的物质的量分数（NH~2~的物质的量与反应体系中总的物质的量之比）为。计算
1. 该条件下N~2~的平衡转化率；
> ②该条件下反应2NH~3~(g) N~2~(g)+3H~2~(g)的平衡常数。
五、（本题包括1小题，9分）
25.（9分）
某些高分子催化剂可用于有机合成。下面是一种高分子催化剂（Ⅶ）合成路线的一部分（Ⅲ和Ⅵ都是Ⅶ的单体；反应均在一定条件下进行；化合物Ⅰ-Ⅲ和Ⅶ中含N杂环的性质类似于苯环）：
回答下列问题：
（1）写出由化合物Ⅰ合成化合物Ⅱ的反应方程式 [ ]{.underline} （不要求标出反应条件）。
（2）下列关于化合物Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的说法中，正确的是 [ ]{.underline} （填字母）。
A．化合物Ⅰ可以发生氧化反应
B．化合物Ⅰ与金属钠反应不生成氢气
C．化合物Ⅱ可以发生水解反应
D．化合物Ⅲ不可以使溴的四氯化碳深液褪色
E．化合物Ⅲ属于烯烃类化合物
（3）化合物Ⅵ是 [ ]{.underline} （填字母）类化合物。
A．醇 B.烷烃 C.烯烃 D.酸 E.酯
（4）写出2种可鉴别*V*和*M*的化学试剂 [ ]{.underline}
（5）在上述合成路线中，化合物Ⅳ和V在催化剂的作用下与氧气反应生成Ⅵ和水，写出反应方程式 [ ]{.underline} （不要求标出反应条件）
六、选择题（本题包括2小题，每小题10分，考生只能选做一题。26小题为"有机化学基础"内容的试题，27小题为"物质结构与性质"内容的试题）
26.（10分）
醇氧化成醛的反应是药物、香料合成中的重要反应之一。
（1）苯甲醇可由C~4~H~5~CH~2~Cl在NaOH水溶液中发生取代反应而得，反应方程式为 [ ]{.underline} 。
（2）醇在催化作用下氧化成醛的反应是绿色化学的研究内容之一。某科研小组研究了把催化剂在氧气气氛中对一系列醇氧化成醛反应的催化效果，反应条件为：K~2~CO~3~、363K、甲苯（溶剂）。实验结果如下：
分析表中数据，得到把催化剂催化效果的主要结论是 [ ]{.underline} （写出2条）。
（3）用空气代替氧气气氛进行苯甲醇氧化生成苯甲醛的反应，其他条件相同，产率达到95%时的反应时间为7.0小时。请写出用空气代替氧气气氛进行反应的优缺点： [ ]{.underline} 。
（4）苯甲醛易被氧化。写出苯甲醛被银氨溶液氧化的反应方程式 [ ]{.underline} （标出具体反应条件）。
（5）在药物、香料合成中常利用醛和醇反应生成综醛来保护醛基，此类反应在酸催化下进行。例如：
①在以上醛基保护反应中要保证反应的顺利进行，可采取的措施有 [ ]{.underline} （写出2条）。
②已知具有五元环和六元环结构的缩醛比较稳定。写出用乙二醇（HOCH~2~CH~3~OH）保护苯甲醛中醛的反应方程式 [ ]{.underline} 。
27.（10分）
镁、铜等金属离子是人体内多种酶的辅因子。工业上从海水中提取镁时，先制备无水氯化镁，然后将其熔融电解，得到金属镁。
（1）以MgCl~2~为原料用熔融盐电解法制备镁时，常加入NaCl、KCl或CaCl~2~等金属氯化物，其主要作用除了降低熔点之外还有 [ ]{.underline} 。
（2）已知MgO的晶体结构属于NaCl型。某同学画出的MgO晶胞结构示意图如右图所示，请改正图中错误： [ ]{.underline} 。
（3）用镁粉、碱金属盐及碱土金属盐等可以做成焰火。燃放时，焰火发出五颜六色的光，请用原子结构的知识解释发光的原因： [ ]{.underline} 。
（4）Mg是第三周期元素，该周期部分元素氟化物的熔点见下表：
-------- ------ -------- --------
氧化物 NaF MgF~2~ SiF~4~
熔点/K 1266 1534 183
-------- ------ -------- --------
解释表中氟化物熔点差异的原因： [ ]{.underline} 。
（5）人工模拟是当前研究的热点。有研究表明，化合物X可用于研究模拟酶，当其结
或Cu（I）（I表示化合价为+1）时，分别形成a和b：
①a中连接相邻含N杂环的碳碳键可以旋转，说明该碳碳键具有 [ ]{.underline} 键的特性。
②微粒间的相互作用包括化学键和分子间相互作用，比较a和b中微粒间相互作用力的差异
[ ]{.underline} 。
**2008年广东化学高考试卷答案解释**
1. A解释：同位素定义：质子数相同，中子数不同的核素称为同位素。
2. C解释：海水中钾元素以K+形式存在，生成钾单质必然发生化学反应，A错。蒸发制海盐发生的是物理变化，B错。潮汐发电是将动能转化为电能，D错。
3. D解释：由煤制备化工原料通过干馏（煤在高温下的分解），A对。丙烷燃烧生成CO2和H2O，并没有污染大气的气体生成，为清洁燃料，B对。大米发酵生成乙醇，时间越长，乙醇浓度越大越香醇，C对。纤维素水解生成葡萄糖；蔗糖水解生成葡萄糖与果糖；脂肪水解生成高级脂肪酸与甘油；葡萄糖为单糖，不会发生水解，D错。
4. B解释：配制FeCl3胶体无需用NaOH溶液，否则会生成Fe（OH）3沉淀，A错。SnCl2易发生水解，应该先将固体SnCl2溶于浓盐酸，再加水稀释配制，C错。检验葡萄糖，应用新制的氢氧化铜溶液，加热检验，而不是用氢氧化铜粉末，D错。
5. C解释：Cu作负极，Ag作正极。负极：Cu-2e-==Cu2+；正极：A+ + e- ==Ag。
在外电路中，电子由Cu电极流向Ag电极，而电流方向与电子流向相反，所以1错。没有盐桥，原电池不能继续工作，3错。无论是否为原电池，反应实质相同，均为氧化还原反应，4对。
6. A 解释：m（Al）：m（NaOH）=27：40；
m（Al（OH）3）：m（NaOH）=75：40；
m（AlCl3）：m（NaOH）=33.375：40；
m（Al2O3）：m（NaOH）=51：40；
所以相同质量的物质，消耗碱量最多的是Al。故选A。
7. D。解释:1.显然正确；2.沼气属于↑↑可再生资源。水煤气由炽热的煤同水蒸气反应制得，而煤为不再生资源，所以水煤气为不可再生资源，故错误； 3.冰为固态水，干冰为固态CO2，均为纯净物和化合物，正确； 4.显然正确。 5.盐酸和食醋为混合物，不是化合物，错误； 6.纯碱为Na2CO3不是碱，错误； 7.豆浆和雾都能发生丁达尔现象，均属于胶体，正确。综上所述，选D。
8. A 解释:正反应为放热反应，前者恒温，后者相对前者，温度升高。使平衡向左移动，从而使Br2的转化率降低。所以b\<a.
9. B 解释:Ag2SO4刚好为100ml的饱和溶液,因为c(Ag+)=0.034mol/L，所以c（SO42-）=0.017mol/L；当加入100ml 0.020mol/LNa2SO4溶液后，c（SO42-）=0.0185mol/L，c（Ag+）=0.017mol/L（此时Q\<Ksp）。由计算可知选B。
10. BC 解释：Fe过量可使Fe3+还原为Fe2+，A错误。3NO2+H2O==2HNO3+NO，易知B正确。C中， 可把N2O4看作2NO2，则有1moLNO2，所以有3mol原子；也可以用极端方法，看作全部NO2或全部N2O4考虑，也可得出结果。3Fe+4H2O===Fe3O4+4H2↑，由方程可知D错误。
11.A HClO有强氧化性，可把SO32-氧化为SO42-，B错。稀HNO3有氧化性，可把S2-与Fe2+氧化，应为FeS+4HNO3=Fe(NO3)3+S↓+NO+H20（还有可能生成SO2，SO3） C错。D应为Ca2++ 2OH- +2H+ + SO42- ==CaSO4↓ + 2H2O，所以D错。
12.AC 银器在空气中久置会被O2所氧化变黑，为化学腐蚀，A正确。当镀层破损时，Sn-Fe可形成原电池，不再起到保护作用，B错。与Zn块形成原电池，Zn作负极（阳极），从而保护Fe正极（阴极），所以C正确；外加电流保护法应该与直流电源的负极相连，故D错。
13.B 解释：由题目可知，XYZ3可能的物质有：HClO3，NaNO3，MgCO3，AlBO3。若XYZ3为一种可溶于水的酸HClO3，XY（HO）不能形成共价化合物A错；若XYZ3为MgCO3微溶于水，可XZ形成离子化合物MgO，B正确；若XYZ3为NaNO3易溶于水的盐，YZ（NO）不是离子化合物，C错；若XYZ3离子化合物，YZ2为NO2，CO2均不是离子化合物，D错。
14AB 解释：葡萄糖氧化放出热量，化学能转化为热能，C错；选项D应该太阳能转化为化学能，D错。
15AD 解释：该反应的正反应为放热反应，温度升高，化学平衡向左移动。所以灯丝附近温度越高，WI2的转化率越高，B错。平衡常数，应为生成物除以反应物：
K=c（WI2）/c（W）· c（I2）利用该反应，可往钨矿石中，加如I2单质，使其反应生成WI2富集，再通过高温加热WI2生成钨，从而提纯W，D正确。
16CD 解释： 放电时，负极：Li \-- e- ==Li+，正极：FePO4 + Li+ + e- == LiFePO4；充电时，阳极：LiFePO4 \-- e- == FePO4 + Li+ 阴极：Li+ + e- == Li，所以易知C.D正确。
若加入硫酸，与Li单质（固体）发生反应，所以A错；放电时，Li+应（正电荷）在电池内部（电解质中）向正极移动，故B错。
17.C 解释：A中，生成Na2CO3溶液，CO32-会发生水解，生成HCO3-，所以A错；
电荷守恒 ：C(H+)+C(Na+)=C(HCO3-)+2C(CO32-)+C(OH-)
物料守恒：C(Na+)=C(HCO3-)+ C(CO32-)+C(H2CO3)
两式相减得 ：C（H+）+C（H2CO3）=C（CO32-）+C(OH-) 所以B错误。
C中，生成NaAc，Ac-水解呈碱性，故C正确；相同PH，相同体积的HCl和HAc，因为HAc为弱酸，所以HAc的物质的量浓度大，HAc所消耗的NaOH的物质的量多，D错。
18.D 解释：
1.HCl为强电解质，HAc为弱电解质，滴加NH3·H2O弱电解质先与HCl反应，生成同样为强电解质的NH4Cl，但溶液体积不断增大，溶液稀释，所以电导率下降。
2.当HCl被中和完后，继续与HAc弱电解质反应，生成NH4Ac的强电解质，所以电导率增大。
3.HCl与HAc均反应完后，继续滴加NH3·H2O弱电解质，电导率变化不大，因为溶液被稀释，有下降趋势。
综上所述：答案选D。
19\. (1) 滤渣的主要成分为Mg(OH)2、Fe（OH）3、CaCO3。
(2) "趁热过滤"的原因是使析出的晶体为Na2CO3·H2O，防止因温度过低而析出Na2CO3·10H20晶体，令后续的加热脱水耗时长。
(3) 若在实验室进行"趁热过滤"，可采取的措施是用已预热的布氏漏斗趁热抽滤。
(4) 若"母液"循环使用，可能出现的问题及其原因是问题：溶解时有大量沉淀生成，使Na2CO3损耗且产物Na2CO3混有杂质；原因："母液"中，含有的离子有Ca2+，Na+，Cl-，SO42-，OH-，CO32-，当多次循环后，使用离子浓度不断增大，溶解时会生成CaSO4，Ca（OH）2，CaCO3等沉淀。
(5) 写出Na2CO3·H2O脱水反应的热化学方程式
Na2CO3·H2O（S）==== Na2CO3（s） + H2O（g）&8710;H= +58.73kJ/mol
解释与思路：
(1) 因工业碳酸钠中含有Mg2+，Fe3+，Ca2+，所以"除杂"中加入过量的NaOH溶液，可生成Mg(OH)2、Fe（OH）3、Ca（OH）2沉淀。
(2) 观察坐标图，温度减少至313K时发生突变，溶解度迅速减少，弱不趁热过滤将析出晶体。
(3) 思路方向：1.减少过滤的时间 2.保持过滤时的温度。
(4) 思路：分析"母液"中存在的离子，若参与循环，将使离子浓度增大，对工业生产中哪个环节有所影响。
(5) 通过观察两个热化学方程式，可将两式相减，从而得到Na2CO3·H2O（S）==== Na2CO3（s)+ H2O（g）。
20。（1）
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
| 实验编号 | T/K | 大理石规格 | HNO3浓度/mol·L-1 | 实验目的 |
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
| ① | 298 | 粗颗粒 | 2.00 | ⑴实验①和②探究HNO3浓度对该反应速率的影响； |
| | | | | |
| | | | | ⑵实验①和③探究温度对该反应速率的影响。 |
| | | | | |
| | | | | ⑶实验①和④探究大理石规格（粗、细）对该反应的影响。 |
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
| ② | 298 | 粗颗粒 | 1.00 | |
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
| ③ | 308 | 粗颗粒 | 2.00 | |
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
| ④ | 298 | 细颗粒 | 2.00 | |
+----------+-----+------------+------------------+---------------------------------------------------+
（2）
1.70至90S，CO2生成的质量为：m（CO2）0.95-0.85=0.1g
2.根据方程式比例，可知消耗HNO3的物质的量为：n（HNO3）0.1/22=1/220mol
3.溶液体积为25ml=0.025L，所以HNO3减少的浓度△c（HNO3）=2/11 mol/L
4.反应的时间t=90-70=20s
5.所以HNO3在70-90S范围内的平均反应速率为
v（HNO3）=△c（HNO3）/t == 1/110 mol·L-1·S-1
（3）作图略
作图要点：因为实验①HNO3与大理石恰好完全反应；
实验②中，HNO3不足量，纵坐标对应的每一个值均为原来的1/2；
实验③④的图象类似，恰好完全反应，但反应条件改变，升高温度与大理石细颗粒增大表面积可加快反应速率。所以图象曲线斜率变大，平衡位置纵坐标与实验①相同。
21。(1) 该结论不正确。稀HNO3有强氧化性，若该铁的价态为+2价，则被氧化为+3价同样可使KSCN溶液变血红色。
\(2\) ①提出合理假设
假设1：催化剂中铁元素的价态为+3价。
假设2：催化剂中铁元素的价态为+2价。
假设3：催化剂中铁元素的价态既有+3价也有+2价。
②设计实验方法证明你的假设
③实验过程
------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
实验操作 预期现象与结论
步骤1：将适量稀H2SO4加入少许样品于试管中，加热溶解； 溶液呈黄绿色，说明溶液中含Fe2+或Fe3+。
步骤2：取少量溶液，滴加酸性KMnO4溶液。 若KMnO4溶液的紫红色褪去为无色溶液，则说明催化剂中铁元素的价态含+2价；若不褪色，则说明催化剂中铁元素的价态不含+2价。
步骤3：另取少量溶液，滴加KSCN溶液。 若溶液变为血红色，则说明催化剂中铁元素的价态含+3价；若溶液无明显变化，则说明催化剂中铁元素的价态不含+3价。
------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22。(1)上表所列铜化合物中，铜的质量百分含量最高的是Cu2S
解释：CuFeS2：34.8% ；Cu5FeS4：63.5% ；Cu2S：80% ；CuCO3·Cu（OH）2：57.6%
(2) 反应的氧化剂是Cu2O，Cu2S
解释：Cu2O，Cu2S的Cu由+1被还原为0价，作氧化剂；Cu2S的S有-2价被氧化为+4价，作还原剂。
(3) SO2尾气直接排放到大气中造成环境污染的后果是形成酸雨。处理该尾气可得到有价值的化学品，写出其中1种酸和1种盐的名称硫酸，硫酸铵。
解释：处理SO2尾气一般为循环制备硫酸，和用Ca（OH）2或氨水吸收，可得到CaSO4和（NH4）2SO4等有价值的化学品。
(4) 简述粗铜电解得到精铜的原理：电解池中，粗铜作阳极，精铜作阴极，电解质为硫酸铜溶液。阳极上发生氧化反应，Cu失去电子，使Cu单质变为Cu2+进入溶液中Cu- e- == Cu2+；阴极上发生还原反应，Cu2+得到电子在阴极上析出Cu单质，Cu2++ e- == Cu，从而达到精制Cu的目的。
(5) A.D
解释：稀盐酸可以同Cu（OH）2与CuCO3反应，而且稀盐酸不能于Cu反应。所以稀盐酸可以除铜器表面的铜绿（CuCO3·Cu（OH）2），A正确。
铜表面不能形成致密氧化膜；铜和浓硫酸在常温下是反应的，生成硫酸铜、SO2和水，反应很慢，反应过程中放热，随着反应的进行，速率会越来越快的，所以不能用铜制容器装浓硫酸，B错误。
因为Fe比Cu活泼，所以Fe-Cu形成的原电池中，Fe作负极，更容易被氧化生绣，C错误。
蓝色硫酸铜晶体受热转化为白色硫酸铜粉末，只有旧键的断裂，没有新键的形成（CuSO4·5H2O中，H2O与Cu2+有配位键），故不属于化学变化，只有物理变化；CuSO4可用作消毒剂，但与前者没有因果关系，D正确。
综上所述，答案选AD。
23，(1) ①写出由纯SiHCl3制备高纯硅的化学反应方程式:
SiHCl3+H2==(1357K)== Si+3HCl
②SiHCl3遇水剧烈反应生成H2SiO3、HCl和另一种物质，写出配平的化学反应方程式3SiHCl3+3H2O===H2SiO3+H2↑+3HCl;H2还原SiHCl3过程中若混入O2，可能引起的后果是：高温下，H2遇O2发生爆炸。
(2)ABCD
解释：SiC和Si3N4均为原子晶体，熔点高，性质稳定，AB正确。光导纤维的材料为SiO2，C正确。普通玻璃的主要成分为Na2SiO3和CaSiO3，它是以石英砂（SiO2）、石灰石（CaCO3）和纯碱（Na2CO3）为主要原料反应制成的。Na2CO3+SiO2==(高温)==Na2SiO3+CO2；CaCO3+SiO2==(高温)==CaSiO3+CO2，D正确。常温下，Si只能与唯一一种酸HF反应不与HCl反应，E错。
(3)写出实验现象并给予解释：生成白色絮状沉淀，又刺激性气味的气体生成；SiO32-与NH4+发生双水解反应，SiO32- + 2 NH4+ + 2H2O === 2NH3·H2O + H2SiO3↓。
24.(1)画图略，
要点：
1.催化剂可降低反应的活化能，但对这各反应前后能量变化并不产生任何影响。
2.该反应为吸热反应，所以反应物的总能量要低于生成物的总能量。
(2)请提出可提高其反应速率且增大NH3生成量的建议：升高温度，增大反应物N2的浓度，不断移出生成物脱离反应体系。
解释：该反应正反应是吸热反应，升高温度，使化学平衡向正反应方向移动，从而增大NH3生成量，升高温度也能提高反应速率；增大反应N2浓度，加快反应速率，并使化学平衡向右移动；不断移出生成物脱离反应体系，使平衡向右移动，增大NH3生成量。
\(3\) ①该条件下N2的平衡转化率：66.7%
②该条件下反应2NH3(g) ==== N2(g) +3H2(g)的平衡常数为0.005
解释：由三行式法计算可知，起始时，c(N2)=0.3mol/l.平衡时，c(N2)=0.1mol/l; c(H2)=0.2mol/l; c(NH3)=0.4mol/l 。
①所以N2的平衡转化率=(0.3-0.1)/0.3\*100%=66.7%
②反应2NH3(g) ==== N2(g) +3H2(g)的平衡常数K= c(N2)\* c(H2)\^3/ c(NH3)\^2=0.005
25。(1)写出由化合物I合成化合物II的反应方程式：
(2)ACE 解释：化合物I官能团有羟基，碳碳双键，故可发生氧化反应，也可以与金属钠发生反应生成氢气，故A正确，B错误。化合物II官能团有酯基，可以发生水解发生，生成相应的酸和醇，故C正确。化合物III的官能团有碳碳双键，可以使溴的四氯化碳溶液褪色，属于以乙烯为母体的烯烃类衍生物，故D错误，E正确。
(3)化合物VI是E（酯类）化合物。 解释：化合物VI的结构为：
(4)写出两种可鉴别V和VI的化学试剂：1.溴的四四氯化碳溶液；2.Na2CO3溶液
解释：化合物V为乙酸，含有羧基，可与Na2CO3溶液反应，生成CO2，化合物VI则不能。化合物VI中，含有碳碳双键，可使溴的四四氯化碳溶液褪色，化合物V则不能。
（5）在上述合成路线中，化合物IV和V在催化剂作用下与氧气反应生成VI和水，写出反应方程式
26。(1)苯甲醇可由C6H5CH2Cl在NaOH水溶液中发生取代反应而得，反应方程式为：
(2)分析表中数据，得到钯催化剂催化效果的主要结论是
1.苯环上的取代基对醛的产率影响不大，对反应时间有一定影响。
2.与羟基相连的碳链长，大大降低醛的产率与增大反应时间。
(3)请写出用空气代替氧气气氛进行反应的优缺点：
优点：原料易得，降低成本。防止苯甲醛氧化为苯甲酸。
缺点：令反应时间增长。
(4)写出苯甲醛被银氨溶液氧化的反应方程式
C6H5CHO+ 2Ag（NH3）2OH ==（水浴加热）== C6H5COONH4 + 2Ag ↓+ 3NH3↑ + H2O
(5)①在以上醛基保护反应中要保证反应的顺利进行，可采取的措施有（写出2条）
1.CH3CH2OH过量，令化学平衡向正反应方向移动；
2.边反应边蒸馏缩醛脱离反应体系，令化学平衡向正反应方向移动；
②写出用乙二醇保护苯甲醛中醛基的反应方程式：
27题（物质结构选做题）
(1) 以MgCl2为原料用熔融盐电解法制备Mg时，常加入NaCl、KCl、或CaCl2等金属氯化物，其主要作用除了降低熔点之外还有：增大离子浓度，从而增大熔融盐的导电性。
(2) 请更正图中错误：⑧应为黑色。
(3) 请用原子结构的知识解释发光的原因：原子核外电子按一定轨道顺序排列，轨道离核越远，能量越高。燃烧时，电子获得能量，从内侧轨道跃迁到外侧的另一条轨道。跃迁到新轨道的电子处在一种不稳定的状态，它随即就会跳回原来轨道，并向外界释放能量（光能）。
(4) 解释表中氟化物熔点差异的原因：NaF与MgF2为离子晶体，SiF4为分子晶体，所以NaF与MgF2远比SiF4熔点要高。又因为Mg2+的半径小于Na+的半径，所以MgF2的离子键强度大于NaF的离子键强度，故MaF2的熔点大于NaF。
(5) ①a中连接相邻含N杂环的碳碳键可以旋转，说明该碳碳键具有：σ键的特性。
②微粒间的相互作用包括化学键和分子间相互作用，比较a和b中微粒间相互作用的差异：a中微粒间的相互作用为氢键，b中微粒间的相互作用为配位共价键。
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**数学1（必修）第一章：（上）集合 \[训练A、B、C\]**
**数学1（必修）第一章：（中） 函数及其表 \[训练A、B、C\]**
**数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质\[训练A、B、C\]**
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函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
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**（数学1必修）第一章（上） 集合**
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>
> **一、选择题**
>
> **1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）**
>
> **A．所有的正数 B．等于的数**
>
> **C．接近于的数 D．不等于的偶数**
>
> **2．下列四个集合中，是空集的是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）**
>
> **A．**
>
> **B．**
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> **C．**
>
> **D．**
>
> **4．下面有四个命题：**
>
> **（1）集合中最小的数是；**
>
> **（2）若不属于，则属于；**
>
> **（3）若则的最小值为；**
>
> **（4）的解可表示为；**
>
> **其中正确命题的个数为（ ）**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
> **5．若集合中的元素是△的三边长，**
>
> **则△一定不是（ ）**
>
> **A．锐角三角形 B．直角三角形**
>
> **C．钝角三角形 D．等腰三角形**
>
> **6．若全集，则集合的真子集共有（ ）**
>
> **A．个 B．个 C．个 D．个**
>
> **二、填空题**
>
> **1．用符号""或""填空**
>
> **（1）\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_**
**（2）（是个无理数）**
**（3）\_\_\_\_\_\_\_\_**
> **2. 若集合，，，则的**
>
> **非空子集的个数为 [ ]{.underline} 。**
>
> **3．若集合，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
>
> **4．设集合,,且，**
>
> **则实数的取值范围是 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．已知集合，试用列举法表示集合。**
>
> **2．已知，，,求*的*取值范围。**
>
> **3．已知集合，若，**
>
> **求实数的值。**
>
> **4．设全集，，**
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**（数学1必修）第一章（上） 集合**
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> **一、选择题**
>
> **1．下列命题正确的有（ ）**
>
> **（1）很小的实数可以构成集合；**
>
> **（2）集合与集合是同一个集合；**
>
> **（3）这些数组成的集合有个元素；**
>
> **（4）集合是指第二和第四象限内的点集。**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
> **2．若集合，，且，则的值为（ ）**
>
> **A． B． C．或 D．或或**
>
> **3．若集合，则有（ ）**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **4．方程组的解集是（ ）**
>
> **A． B． C． D．。**
>
> **5．下列式子中，正确的是（ ）**
**A． B．**
> **C．空集是任何集合的真子集 D．**
>
> **6．下列表述中错误的是（ ）**
>
> **A．若**
>
> **B．若**
**C．**
**D．**
> **二、填空题**
>
> **1．用适当的符号填空**
>
> **（1）**
>
> **（2），**
>
> **（3）**
>
> **2．设**
>
> **则。**
>
> **3．某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 [ ]{.underline} 人。**
>
> **4．若且，则 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 [ ]{.underline} ；**
>
> **若至少有一个元素，则的取值范围 [ ]{.underline} 。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．设**
>
> **2．设,其中,**
>
> **如果，求实数的取值范围。**
>
> **3．集合，，**
>
> **满足，求实数的值。**
>
> **4．设，集合，；**
>
> **若，求的值。**
>
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**（数学1必修）第一章（上） 集合**
**\[提高训练C组\]**
> **一、选择题**
**1．若集合，下列关系式中成立的为（ ）**
**A． B．**
> **C． D．**
>
> **2．名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格人和人，**
>
> **项测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **3．已知集合则实数的取值范围是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **4．下列说法中，正确的是（ ）**
A. **任何一个集合必有两个子集；**
B. **若则中至少有一个为**
C. **任何集合必有一个真子集；**
D. **若为全集，且则**
> **5．若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）**
>
> **（1）若**
>
> **（2）若**
>
> **（3）若**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
> **6．设集合，，则（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C．** **D．**
**7．设集合，则集合（ ）**
**A． B． C． D．**
> **二、填空题**
>
> **1．已知，**
>
> **则。**
>
> **2．用列举法表示集合：= [ ]{.underline} 。**
>
> **3．若，则= [ ]{.underline} 。**
>
> **4．设集合则 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．设全集,集合，,**
>
> **那么等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．若**
>
> **2．已知集合,,,**
>
> **且,求的取值范围。**
>
> **3．全集，，如果则这样的**
>
> **实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由。**
>
> **4．设集合求集合的所有非空子集元素和的和。**
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**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）**
> **⑴，；**
>
> **⑵，；**
>
> **⑶，；**
>
> **⑷，；**
>
> **⑸，。**
**A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸**
**2．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）**
**A． B． C．或 D．或**
**3．已知集合，且**
**使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）**
**A． B． C． D．**
**4．已知，若，则的值是（ ）**
**A． B．或 C．，或 D．**
**5．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，**
**这个平移是（ ）**
**A．沿轴向右平移个单位 B．沿轴向右平移个单位**
**C．沿轴向左平移个单位 D．沿轴向左平移个单位**
**6．设则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
> **二、填空题**
>
> **1．设函数则实数的取值范围是 [ ]{.underline} 。**
>
> **2．函数的定义域 [ ]{.underline} 。**
>
> **3．若二次函数的图象与*x*轴交于，且函数的最大值为，**
>
> **则这个二次函数的表达式是 [ ]{.underline} 。**
>
> **4．函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **5．函数的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．求函数的定义域。**
>
> **2．求函数的值域。**
>
> **3．是关于的一元二次方程的两个实根，又，**
>
> **求的解析式及此函数的定义域。**
>
> **4．已知函数在有最大值和最小值，求、的值。**
>
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**（数学1必修）第一章（中） 函数及其表示**
> **\[综合训练B组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1．设函数，则的表达式是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **2．函数满足则常数等于（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **3．已知，那么等于（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **4．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）**
>
> **A． B.**
>
> **C. D.**
>
> **5．函数的值域是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **6．已知，则的解析式为（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **二、填空题**
>
> **1．若函数，则= [ ]{.underline} ．**
>
> **2．若函数，则= [ ]{.underline} .**
>
> **3．函数的值域是 [ ]{.underline} 。**
>
> **4．已知，则不等式的解集是 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围 [ ]{.underline} 。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．设是方程的两实根,当为何值时,**
>
> **有最小值?求出这个最小值.**
>
> **2．求下列函数的定义域**
>
> **（1） （2）**
>
> **（3）**
>
> **3．求下列函数的值域**
>
> **（1） （2） （3）**
>
> **4．作出函数的图象。**
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**（数学1必修）第一章（中） 函数及其表示**
> **\[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
**1．若集合，，**
> **则是( )**
**A． B.**
**C. D.有限集**
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**有则当时，的解析式为（ ）**
**A． B． C． D．**
> **3．函数的图象是（ ）**
>
> 
>
> **4．若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **5．若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
> **6．函数的值域是（ ）**
**A． B． C． D．**
> **二、填空题**
>
> **1．函数的定义域为，值域为，**
>
> **则满足条件的实数组成的集合是 [ ]{.underline} 。**
>
> **2．设函数的定义域为，则函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **3．当时，函数取得最小值。**
>
> **4．二次函数的图象经过三点，则这个二次函数的**
>
> **解析式为 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．已知函数，若,则 [ ]{.underline} 。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．求函数的值域。**
>
> **2．利用判别式方法求函数的值域。**
>
> **3．已知为常数，若**
>
> **则求的值。**
>
> **4．对于任意实数，函数恒为正值，求的取值范围。**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学1必修）第一章（下） 函数的基本性质**
> **\[基础训练A组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1．已知函数为偶函数，**
>
> **则的值是（ ）**
**A. B.**
**C. D.**
> **2．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）**
>
> **A．**
>
> **B．**
>
> **C．**
>
> **D．**
>
> **3．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，**
>
> **那么在区间上是（ ）**
>
> **A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是**
**C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是**
> **4．设是定义在上的一个函数，则函数**
>
> **在上一定是（ ）**
>
> **A．奇函数 B．偶函数**
>
> **C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。**
>
> **5．下列函数中,在区间上是增函数的是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **6．函数是（ ）**
>
> **A．是奇函数又是减函数**
>
> **B．是奇函数但不是减函数**
>
> **C．是减函数但不是奇函数**
>
> **D．不是奇函数也不是减函数**
>
> **二、填空题**
>
> **1．设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是 [ ]{.underline}**
>
> **2．函数的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **3．已知，则函数的值域是 [ ]{.underline} .**
>
> **4．若函数是偶函数，则的递减区间是 [ ]{.underline} .**
>
> **5．下列四个命题**
>
> **（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;**
>
> **（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，**
>
> **其中正确的命题个数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．判断一次函数反比例函数，二次函数的**
>
> **单调性。**
>
> **2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；**
>
> **（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。**
>
> **3．利用函数的单调性求函数的值域；**
>
> **4．已知函数.**
>
> **① 当时，求函数的最大值和最小值；**
>
> **② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**（数学1必修）第一章（下） 函数的基本性质**
**\[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1．下列判断正确的是（ ）**
**A．函数是奇函数 B．函数是偶函数**
**C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数**
**2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．函数的值域为（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**4．已知函数在区间上是减函数，**
**则实数的取值范围是（ ）**
**A． B． C． D．**
> **5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数。**
**其中正确命题的个数是( )**
**A． B． C． D．**
**6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）**
> **二、填空题**
>
> **1．函数的单调递减区间是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **2．已知定义在上的奇函数，当时，，**
>
> **那么时， [ ]{.underline} .**
**3．若函数在上是奇函数,则的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_.**
> **4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，**
>
> **最小值为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **5．若函数在上是减函数，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．判断下列函数的奇偶性**
>
> **（1） （2）**
>
> **2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；**
>
> **（2）函数是奇函数。**
>
> **3．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.**
>
> **4．设为实数，函数，**
>
> **（1）讨论的奇偶性；**
>
> **（2）求的最小值。**
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> **\[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1．已知函数，，**
>
> **则的奇偶性依次为（ ）**
>
> **A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数**
>
> **C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数**
>
> **2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，**
>
> **则的大小关系是（ ）**
>
> **A．\> B．\<**
>
> **C． D．**
>
> **3．已知在区间上是增函数，**
>
> **则的范围是（ ）**
>
> **A. B.**
>
> **C. D.**
>
> **4．设是奇函数，且在内是增函数，又，**
>
> **则的解集是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
**5．已知其中为常数，若，则的**
> **值等于( )**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **6．函数,则下列坐标表示的点一定在函数*f*(*x*)图象上的是（ ）**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **二、填空题**
>
> **1．设是上的奇函数，且当时，，**
>
> **则当时\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **2．若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 [ ]{.underline} 。**
>
> **3．已知，那么＝\_\_\_\_\_。**
>
> **4．若在区间上是增函数，则的取值范围是 [ ]{.underline} 。**
**5．函数的值域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
> **三、解答题**
>
> **1．已知函数的定义域是，且满足,,**
>
> **如果对于,都有,**
>
> **（1）求；**
>
> **（2）解不等式。**
**2．当时，求函数的最小值。**
> **3．已知在区间内有一最大值，求的值.**
>
> **4．已知函数的最大值不大于，又当，求的值。**
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> **新课程高中数学训练题组**
>
> **根据最新课程标准，参考独家内部资料，精心**
>
> **编辑而成；本套资料分必修系列和选修系列及**
>
> **部分选修4系列。欢迎使用本资料！**
>
> **辅导咨询电话：13976611338，李老师。**
**数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．下列函数与有相同图象的一个函数是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）**
**①** **②** **③** **④**
**A． B． C． D．**
**3．函数与的图象关于下列那种图形对称( )**
**A．轴 B．轴 C．直线 D．原点中心对称**
**4．已知，则值为（ ）**
**A. B. C. D.**
**5．函数的定义域是（ ）**
**A． B． C． D．**
**6．三个数的大小关系为（ ）**
**A. B.**
**C． D.**
**7．若，则的表达式为（ ）**
**A． B． C． D．**
**二、填空题**
**1．从小到大的排列顺序是 [ ]{.underline} 。**
**2．化简的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．计算：= [ ]{.underline} 。**
**4．已知，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**5．方程的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**6．函数的定义域是\_\_\_\_\_\_；值域是\_\_\_\_\_\_.**
**7．判断函数的奇偶性 [ ]{.underline} 。**
**三、解答题**
**1．已知求的值。**
**2．计算的值。**
> **3．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。**
**4．（1）求函数的定义域。**
**（2）求函数的值域。**
> **新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）**
> **\[综合训练B组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1．若函数在区间上的最大值**
>
> **是最小值的倍，则的值为( )**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **2．若函数的图象过两点**
>
> **和，则( )**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **3．已知，那么等于（ ）**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **4．函数( )**
A. **是偶函数，在区间 上单调递增**
B. **是偶函数，在区间上单调递减**
C. **是奇函数，在区间 上单调递增**
> **D．是奇函数，在区间上单调递减**
>
> **5．已知函数（ ）**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **6．函数在上递减，那么在上（ ）**
>
> **A．递增且无最大值 B．递减且无最小值**
>
> **C．递增且有最大值 D．递减且有最小值**
>
> **二、填空题**
>
> **1．若是奇函数，则实数=\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **2．函数的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
>
> **3．已知则用表示 [ ]{.underline} 。**
>
> **4．设, ,且，则 [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} 。**
>
> **5．计算： [ ]{.underline} 。**
>
> **6．函数的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
>
> **三、解答题**
>
> **1．比较下列各组数值的大小：**
>
> **（1）和；（2）和；（3）**
>
> **2．解方程：（1） （2）**
>
> **3．已知当其值域为时，求的取值范围。**
>
> **4．已知函数，求的定义域和值域；**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**数学1（必修）第二章 基本初等函数（1）**
> **\[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1．函数上的最大值和最小值之和为，**
>
> **则的值为（ ）**
>
> **A． B． C． D．**
>
> **2．已知在上是的减函数，则的取值范围是( )**
>
> **A. B. C. D.**
>
> **3．对于，给出下列四个不等式**
>
> **① ②**
>
> **③ ④**
>
> **其中成立的是（ ）**
>
> **A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④**
>
> **4．设函数，则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
> **5．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个**
>
> **偶函数之和，如果，那么( )\
> A．，**
>
> **B．，**
>
> **C．，**
>
> **D．，**
>
> **6．若,则( )**
>
> **A． B．**
>
> **C． D．**
>
> **二、填空题**
>
> **1．若函数的定义域为，则的范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **2．若函数的值域为，则的范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**3．函数的定义域是\_\_\_\_\_\_；值域是\_\_\_\_\_\_.**
> **4．若函数是奇函数，则为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **5．求值：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
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> **三、解答题**
>
> **1．解方程：（1）**
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> **（2）**
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> **2．求函数在上的值域。**
>
> **3．已知，,试比较与的大小。**
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> **4．已知，**
>
> **⑴判断的奇偶性； ⑵证明．**
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**数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）**
**\[基础训练A组\]**
**一、选择题**
**1．若**
**上述函数是幂函数的个数是（ ）**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
**2．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）**
**A．函数在或内有零点**
**B．函数在内无零点**
**C．函数在内有零点**
**D．函数在内不一定有零点**
**3．若，，则与的关系是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**4． 求函数零点的个数为 （ ）**
**A． B． C． D．**
**5．已知函数有反函数，则方程 （ ）**
**A．有且仅有一个根 B．至多有一个根**
**C．至少有一个根 D．以上结论都不对**
**6．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）**
**A． B． C． D．**
**7．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（ ）**
**A．亩 B．亩 C．亩 D．亩**
> **二、填空题**
>
> **1．若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是= [ ]{.underline} 。**
>
> **2．幂函数的图象过点，则的解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **3．用"二分法"求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 [ ]{.underline} 。**
>
> **4．函数的零点个数为 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．设函数的图象在上连续，若满足 [ ]{.underline} ，方程**
>
> **在上有实根．**
>
> **三、解答题**
>
> **1．用定义证明：函数在上是增函数。**
>
> **2．设与分别是实系数方程和的一个根，且 ，求证：方程有仅有一根介于和之间。**
>
> **3．函数在区间上有最大值，求实数的值。**
>
> **4．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，**
>
> **销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？**
>
> **.**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）**
**\[综合训练B组\]**
**一、选择题**
**1。若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，**
**则下列说法正确的是（ ）**
**A．若，不存在实数使得；**
**B．若，存在且只存在一个实数使得；**
**C．若，有可能存在实数使得；**
**D．若，有可能不存在实数使得；**
**2．方程根的个数为（ ）**
**A．无穷多 B． C． D．**
**3．若是方程的解，是 的解，**
**则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**4．函数在区间上的最大值是（ ）**
**A． B． C． D．**
**5．设,用二分法求方程**
**内近似解的过程中得**
**则方程的根落在区间（ ）**
**A． B．**
**C． D．不能确定**
**6．直线与函数的图象的交点个数为（ ）**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
**7．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**二、填空题**
**1．年底世界人口达到亿,若人口的年平均增长率为,年底世界人口**
> **为亿,那么与的函数关系式为 [ ]{.underline} ．**
**2．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 [ ]{.underline} ．**
**3．函数的定义域是 [ ]{.underline} ．**
**4．已知函数，则函数的零点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**5．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数\_\_\_\_\_\_.**
**三、解答题**
**1．利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根：**
**①；②；**
**③； ④。**
**2．借助计算器，用二分法求出在区间内的近似解（精确到）.**
**3．证明函数在上是增函数。**
**4．某电器公司生产种型号的家庭电脑，年平均每台电脑的成本元，并以纯利润标定出厂价.年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.年平均每台电脑出厂价仅是年出厂价的，但却实现了纯利润的高效率.**
> **①年的每台电脑成本；**
>
> **②以年的生产成本为基数，用"二分法"求年至年生产成本平均每年降**
>
> **低的百分率（精确到）**
**新课程高中数学训练题组（咨询13976611338）**
**数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）**
**\[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1．函数（ ）**
> **A．是奇函数，且在上是单调增函数**
>
> **B．是奇函数，且在上是单调减函数**
>
> **C．是偶函数，且在上是单调增函数**
>
> **D．是偶函数，且在上是单调减函数**
**2．已知，则的大小关系是（ ）**
**A． B．**
**C． D．**
**3．函数的实数解落在的区间是( )**
**A． B． C． D．**
**4．在这三个函数中，当时，**
**使恒成立的函数的个数是（ ）**
**A．个 B．个 C．个 D．个**
**5．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，**
**那么下列命题中正确的是（ ）**
***A．函数在区间内有零点***
***B．函数在区间或内有零点***
***C．函数在区间内无零点***
***D．函数在区间内无零点***
**6．求零点的个数为 （ ）**
**A． B． C． D．**
**7．若方程在区间上有一根，则的值为（ ）**
**A． B． C． D．**
> **二、填空题**
>
> **1. 函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 [ ]{.underline} 。**
>
> **2．若函数的零点个数为，则\_\_\_\_\_\_。**
>
> **3．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 [ ]{.underline} 万盒。**
>
> **4．函数与函数在区间上增长较快的一个是 [ ]{.underline} 。**
>
> **5．若，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．已知且，求函数的最大值和最小值．**
>
> **2．建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元，把总造价（元）表示为底面一边长（米）的函数。**
>
> **3．已知且，求使方程有解时的的取值范围。**
**新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）**
> **（数学1必修）第一章（上） \[基础训练A组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. C 元素的确定性；**
>
> **2. D 选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是**
>
> **并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，**
>
> **选项D中的方程无实数根；**
>
> **3. A 阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分；**
>
> **4. A （1）最小的数应该是，（2）反例：，但**
**（3）当,（4）元素的互异性**
**5. D 元素的互异性；**
> **6. C ，真子集有。**
>
> **二、填空题**
>
> **1. 是自然数，是无理数，不是自然数，；**
>
> **当时在集合中**
>
> **2. ，，非空子集有；**
>
> **3. ，显然**
>
> **4. ，则得**
>
> **5. ，。**
>
> **三、解答题**
>
> **1.解：由题意可知是的正约数，当；当；**
>
> **当；当；而，∴，即 ；**
>
> **2.解：当，即时，满足，即；**
>
> **当，即时，满足，即；**
>
> **当，即时，由，得即；**
>
> **∴**
>
> **3.解：∵，∴，而，**
>
> **∴当，**
>
> **这样与矛盾；**
>
> **当符合**
**∴**
> **4.解：当时，，即；**
>
> **当时，即，且**
>
> **∴，∴**
>
> **而对于，即，∴**
>
> **∴**
>
> **（数学1必修）第一章（上） \[综合训练B组\]**
>
> **一、选择题**
1. **A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，**
> **（3），有重复的元素，应该是个元素，（4）本集合还包括坐标轴**
>
> **2. D 当时，满足，即；当时，**
>
> **而，∴；∴；**
>
> **3. A ，；**
>
> **4. D ，该方程组有一组解，解集为；**
>
> **5. D 选项A应改为，选项B应改为，选项C可加上"非空"，或去掉"真"，选项D中的里面的确有个元素""，而并非空集；**
>
> **6. C 当时，**
>
> **二、填空题**
>
> **1.**
>
> **（1），满足，**
>
> **（2）估算，，**
>
> **或,**
>
> **（3）左边，右边**
>
> **2.**
>
> **3. 全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育**
>
> **的人数为人；仅爱好音乐的人数为人；既不爱好体育又不爱好音乐的**
>
> **人数为人 。∴，∴。**
>
> **4. 由，则，且。**
>
> **5. ，**
>
> **当中仅有一个元素时，，或；**
>
> **当中有个元素时，；**
>
> **当中有两个元素时，；**
>
> **三、解答题**
1. **解：由得的两个根，**
> **即的两个根，**
>
> **∴，，**
>
> **∴**
>
> **2.解：由，而，**
>
> **当，即时，，符合；**
>
> **当，即时，，符合；**
>
> **当，即时，中有两个元素，而；**
>
> **∴得**
>
> **∴。**
>
> **3.解： ，，而，则至少有一个元素在中，**
>
> **又，∴，，即，得**
>
> **而矛盾，**
>
> **∴**
>
> **4. 解：，由，**
>
> **当时，，符合；**
>
> **当时，，而，∴，即**
>
> **∴或。**
>
> **（数学1必修）第一章（上） \[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. D**
2. **B 全班分类人：设两项测验成绩都及格的人数为人；仅跳远及格的人数**
> **为人；仅铅球及格的人数为人；既不爱好体育又不爱好音乐的**
>
> **人数为人 。∴，∴。**
>
> **3. C 由，∴；**
>
> **4. D 选项A：仅有一个子集，选项B：仅说明集合无公共元素，**
>
> **选项C：无真子集，选项D的证明：∵，**
>
> **∴；同理， ∴；**
>
> **5. D （1）；**
**（2）；**
**（3）证明：∵，∴；**
**同理， ∴；**
**6. B ；，整数的范围大于奇数的范围**
> **7．B**
>
> **二、填空题**
1.
> **2. （的约数）**
>
> **3. ，**
>
> **4.**
>
> **5. ，代表直线上，但是**
>
> **挖掉点，代表直线外，但是包含点；**
>
> **代表直线外，代表直线上，**
>
> **∴。**
>
> **三、解答题**
1. **解：，**
> **∴**
2. **解：，当时，，**
> **而 则 这是矛盾的；**
>
> **当时，，而，**
>
> **则；**
>
> **当时，，而，**
>
> **则； ∴**
3. **解：由得，即，，**
> **∴，∴**
4. **解：含有的子集有个；含有的子集有个；含有的子集有个；...，**
> **含有的子集有个，∴。**
**新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）**
> **（数学1必修）第一章（中） \[基础训练A组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；**
**（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同；**
> **2. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值；**
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> **3. D 按照对应法则，**
>
> **而，∴**
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> **4. D 该分段函数的三段各自的值域为，而**
>
> **∴∴ ；**
5. **D 平移前的""，平移后的""，**
> **用""代替了""，即，左移**
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> **6. B 。**
>
> **二、填空题**
1. **当，这是矛盾的；**
**当；**
> **2.**
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> **3. 设，对称轴，**
**当时，**
> **4.**
>
> **5. 。**
>
> **三、解答题**
>
> **1.解：∵，∴定义域为**
>
> **2.解： ∵**
>
> **∴，∴值域为**
>
> **3.解：，**
>
> **∴。**
>
> **4. 解：对称轴，是的递增区间，**
>
> **∴**
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> **（数学1必修）第一章（中） \[综合训练B组\]**
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> **一、选择题**
>
> **1. B ∵∴；**
>
> **2. B**
>
> **3. A 令**
>
> **4. A ；**
>
> **5. C**
>
> **；**
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> **6. C 令。**
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> **二、填空题**
>
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>
> **2. 令；**
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>
> **三、解答题**
1. **解：**
2. **解：（1）∵∴定义域为**
> **（2）∵∴定义域为**
>
> **（3）∵∴定义域为**
3. **解：（1）∵，**
> **∴值域为**
>
> **（2）∵**
>
> **∴**
>
> **∴值域为**
>
> **（3）的减函数，**
>
> **当∴值域为**
4. **解：（五点法：顶点，与轴的交点，与轴的交点以及该点关于对称轴对称的点）**
**（数学1必修）第一章（中） \[提高训练C组\]**
> **一、选择题**
>
> **1. B**
>
> **2. D 设，则，而图象关于对称，**
>
> **得，所以。**
>
> **3. D**
>
> **4. C 作出图象 的移动必须使图象到达最低点**
>
> **5. A 作出图象 图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如**
>
> **二次函数的图象；向下弯曲型，例如 二次函数的图象；**
>
> **6. C 作出图象 也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集**
>
> **二、填空题**
1. **当**
> **当**
>
> **2.**
>
> **3. **
>
> **当时，取得最小值**
>
> **4. 设把代入得**
>
> **5. 由得**
>
> **三、解答题**
1. **解：令，则**
> **，当时，**
2. **解：**
> **显然，而（\*）方程必有实数解，则**
>
> **，∴**
>
> **3. 解：**
>
> **∴得，或**
>
> **∴。**
>
> **4. 解：显然，即，则**
>
> **得,∴.**
**新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）**
> **（数学1必修）第一章下 \[基础训练A组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. B 奇次项系数为**
>
> **2. D**
>
> **3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性**
>
> **4. A**
>
> **5． A 在上递减，在上递减，**
>
> **在上递减，**
>
> **6. A**
>
> **为奇函数，而为减函数。**
>
> **二、填空题**
>
> **1． 奇函数关于原点对称，补足左边的图象**
>
> **2. 是的增函数，当时，**
>
> **3． 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；**
>
> **自变量最大时，函数值最大**
>
> **4．**
>
> **5． （1），不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由**
>
> **离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。**
>
> **三、解答题**
>
> **1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；**
**当，在是减函数，**
**当，在是增函数；**
**当，在是减函数，在是增函数，**
**当，在是增函数，在是减函数。**
> **2．解：，则,**
>
> **3．解：，显然是的增函数，，**
>
> **4．解：对称轴**
>
> **∴**
>
> **（2）对称轴当或时，在上单调**
>
> **∴或。**
>
> **（数学1必修）第一章（下） \[综合训练B组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. C 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的**
>
> **而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；**
**2. C 对称轴，则，或，得，或**
> **3. B ,是的减函数，**
>
> **当**
**4. A 对称轴**
5. **A （1）反例；（2）不一定，开口向下也可；（3）画出图象**
> **可知，递增区间有和；（4）对应法则不同**
**6. B 刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！**
> **二、填空题**
>
> **1． 画出图象**
>
> **2. 设，则，，**
**∵∴,**
> **3.**
>
> **∵∴**
>
> **即**
>
> **4. 在区间上也为递增函数，即**
>
> **5.**
>
> **三、解答题**
>
> **1．解：（1）定义域为，则，**
>
> **∵∴为奇函数。**
**（2）∵且∴既是奇函数又是偶函数。**
> **2．证明：(1)设，则，而**
>
> **∴**
>
> **∴函数是上的减函数;**
>
> **(2)由得**
>
> **即，而**
>
> **∴，即函数是奇函数。**
>
> **3．解：∵是偶函数, 是奇函数，∴，且**
而**,得,**
**即，**
**∴，。**
> **4．解：（1）当时，为偶函数，**
>
> **当时，为非奇非偶函数；**
>
> **（2）当时，**
>
> **当时，，**
>
> **当时，不存在；**
>
> **当时，**
>
> **当时，，**
>
> **当时，。**
>
> **（数学1必修）第一章（下） \[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. D ，**
>
> **画出的图象可观察到它关于原点对称**
>
> **或当时，，则**
>
> **当时，，则**
>
> **2. C ，**
>
> **3. B 对称轴**
>
> **4. D 由得或而**
>
> **即或**
>
> **5. D 令，则为奇函数**
>
> **6. B 为偶函数**
>
> **一定在图象上，而，∴一定在图象上**
>
> **二、填空题**
>
> **1． 设，则，**
>
> **∵∴**
>
> **2. 且 画出图象，考虑开口向上向下和左右平移**
>
> **3. ，**
>
> **4. 设则，而**
**，则**
> **5. 区间是函数的递减区间，把分别代入得最大、小值**
>
> **三、解答题**
1. **解：（1）令，则**
**（2）**
**，**
**则。**
2. **解：对称轴**
> **当，即时，是的递增区间，；**
**当，即时，是的递减区间，；**
**当，即时，。**
> **3．解：对称轴，当即时，是的递减区间，**
>
> **则，得或，而，即；**
>
> **当即时，是的递增区间，则，**
>
> **得或，而，即不存在；当即时，**
>
> **则，即；∴或 。**
>
> **4．解：，**
>
> **对称轴，当时，是的递减区间，而，**
>
> **即与矛盾，即不存在；**
>
> **当时，对称轴，而，且**
>
> **即，而，即**
>
> **∴**
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**（数学1必修）第二章 基本初等函数（1）\[基础训练A组\]**
> **一、选择题**
>
> **1. D ，对应法则不同；**
>
> **；**
>
> **2. D 对于，为奇函数；**
>
> **对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；**
>
> **对于，，为奇函数；**
>
> **3. D 由得，即关于原点对称；**
>
> **4. B**
>
> **5. D**
>
> **6. D**
>
> **当范围一致时，；当范围不一致时，**
>
> **注意比较的方法，先和比较，再和比较**
>
> **7． D 由得**
>
> **二、填空题**
>
> **1．**
>
> **，**
>
> **而**
>
> **2.**
>
> **3. 原式**
>
> **4. ，**
>
> **5.**
>
> **6. ；**
>
> **7. 奇函数**
>
> **三、解答题**
>
> **1．解：**
>
> **2．解：原式**
>
> **3．解：且，且，即定义域为；**
**为奇函数；**
**在上为减函数。**
> **4．解：（1），即定义域为；**
>
> **（2）令，则，**
>
> **，即值域为。**
>
> **（数学1必修）第二章 基本初等函数（1）\[综合训练B组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. A**
>
> **2. A 且**
>
> **3. D 令**
>
> **4. B 令，即为偶函数**
>
> **令时，是的减函数，即在区间上单调递减**
>
> **5. B**
>
> **6． A 令，是的递减区间，即，是的**
>
> **递增区间，即递增且无最大值。**
>
> **二、填空题**
>
> **1．**
>
> **（另法）：，由得，即**
>
> **2.**
>
> **而**
>
> **3.**
>
> **4. ∵∴**
>
> **又∵∴，∴**
>
> **5.**
>
> **6. ，**
**三、解答题**
> **1．解：（1）∵，∴**
>
> **（2）∵，∴**
>
> **（3）**
>
> **∴**
>
> **2．解：（1）**
**（2）**
> **3．解：由已知得**
>
> **即得**
>
> **即，或**
>
> **∴，或。**
>
> **4．解：，即定义域为；**
>
> **，**
>
> **即值域为。**
>
> **（数学1必修）第二章 基本初等函数（1）\[提高训练C组\]**
>
> **一、选择题**
>
> **1. B 当时与矛盾；**
>
> **当时；**
>
> **2. B 令是的递减区间，∴而须**
**恒成立，∴，即，∴；**
> **3. D 由得②和④都是对的；**
>
> **4. A**
>
> **5. C**
>
> **6. C**
>
> **二、填空题**
>
> **1． 恒成立，则，得**
>
> **2. 须取遍所有的正实数，当时，符合**
>
> **条件；当时，则，得，即**
>
> **3. ；**
>
> **4.**
>
> **5．**
>
> **三、解答题**
>
> **1．解：（1）**
>
> ，**得或，经检验为所求。**
>
> **（2）**
>
> **，经检验为所求。**
>
> **2．解：**
>
> **而，则**
>
> **当时，；当时，**
>
> **∴值域为**
>
> **3．解：，**
>
> **当，即或时，；**
>
> **当，即时，；**
>
> **当，即时，。**
>
> **4．解：（1）**
>
> **，为偶函数**
>
> **（2），当，则，即；**
>
> **当，则，即，∴。**
**新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）**
**数学1（必修）第三章 函数的应用 \[基础训练A组\]**
> **一、选择题**
>
> **1. C 是幂函数**
>
> **2. C 唯一的零点必须在区间，而不在**
>
> **3. A ，**
>
> **4. C**
>
> **，显然有两个实数根，共三个；**
>
> **5. B 可以有一个实数根，例如，也可以没有实数根，**
**例如**
> **6. D 或**
>
> **7． C**
>
> **二、填空题**
>
> **1． 设则**
>
> **2. ，**
>
> **3. 令**
>
> **4. 分别作出的图象；**
>
> **5. 见课本的定理内容**
>
> **三、解答题**
>
> **1．证明：设**
>
> **即，**
>
> **∴函数在上是增函数。**
>
> **2．解：令由题意可知**
>
> **因为**
>
> **∴，即方程有仅有一根介于和之间。**
>
> **3．解：对称轴，**
>
> **当是的递减区间，；**
**当是的递增区间，；**
**当时与矛盾；**
**所以或。**
**4．解：设最佳售价为元，最大利润为元，**
> **当时，取得最大值，所以应定价为元。**
**（数学1必修）第三章 函数的应用 \[综合训练B组\]**
> **一、选择题**
>
> **1. C 对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一**
>
> **2. C 作出的图象，**
>
> **交点横坐标为，而**
>
> **3. D 作出的图象，发现它们没有交点**
>
> **4. C 是函数的递减区间，**
>
> **5. B**
>
> **6. A 作出图象，发现有个交点**
>
> **7． A 作出图象，发现当时，函数与函数有个交点**
>
> **二、填空题**
>
> **1． 增长率类型题目**
>
> **2. 或 应为负偶数，**
>
> **即，**
>
> **当时，或；当时，或**
>
> **3.**
>
> **4. 或**
>
> **5. ，得**
**三、解答题**
**1．解：作出图象**
**2．解：略**
**3．证明：任取，且，则**
**因为，得**
**所以函数在上是增函数。**
**4．解：略**
**（数学1必修）第三章 函数的应用 \[提高训练C组\]**
**一、选择题**
**1. A 为奇函数且为增函数**
**2. C**
**3. B**
**4. B 作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例如**
> **指数函数的图象；向下弯曲型，例如对数函数的图象；**
**5. C 唯一的一个零点必然在区间**
**6． A 令，得，就一个实数根**
**7． C 容易验证区间**
**二、填空题**
**1． 对称轴为，可见是一个实根，另两个根关于对称**
**2. 作出函数与函数的图象,发现它们恰有个交点**
**3. 2000年：（万）；2001年：（万）；**
> **2002年：（万）；(万)**
**4. 幂函数的增长比对数函数快**
**5. 在同一坐标系中画出函数与的图象，可以观察得出**
**三、解答题**
1. **解：由得，即**
**.**
**当，当**
2. **解：**
**3．解：**
> **，即①，或②**
**当时，①得，与矛盾；②不成立**
**当时，①得，恒成立，即；②不成立**
**显然，当时，①得，不成立，**
**②得得**
> **∴或**
| 1 | |
**1952年试题**
**数学试题分两部分**
**第一部分**
**注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.**
例题:若2x-1=x+3,则x= [4]{.underline} .
本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.
**1.**分解因式:x4-y4= [ ]{.underline} .
**\[Key\] 第一部分**
1. (x-y)(x+y)(x2+y2).
**2.**若log102x=2log10x,问x= [ ]{.underline} .
\[Key\] 2. 2.
\[Key\] 3. -1.
**\[Key\]** 4. ±3.
**5.**
**\[Key\]** 5. -24
**6.**两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是 [ ]{.underline} 寸.
**\[Key\]** 
**7.**三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是 [ ]{.underline} 平方寸.
**\[Key\]** 7. 15.
**8.**正十边形的一内角是 [ ]{.underline} 度.
**\[Key\]** 8. 144°
**9.**祖冲之的圆周率π= [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 
**10.**球的面积等于大圆面积的 [ ]{.underline} 倍.
**\[Key\]** 10. 4.
**11.**直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为 [ ]{.underline} 立方尺.
**\[Key\]** 11. 12π.
**12.**正多面体有 [ ]{.underline} 种,其名称为 [ ]{.underline} .
\[Key\] 12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.
**\[Key\]** 
**14.**方程式tan2x=1的通解为x= [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 
**15.**太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 
**16.**三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为 [ ]{.underline} 平方寸.
**\[Key\]** 16. 3.
**17.**已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 17. x+y+1=0.
**18.**若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 18. x2+y2-6x-8y=0
**19.**原点至3x+4y+1=0之距离= [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 
**20.**抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 [ ]{.underline} .
**\[Key\]** 20. (1,-3)
**第二部分**
**注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.**
**1.**解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.
**\[Key\] 第二部分**
1\. 2,-6,ω,ω2.
**2.**△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.
**\[Key\]**
**3.**设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？
**\[Key\]** 
A,B,C皆为锐角。
**4.**一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.
**\[Key\]** 
| 1 | |
**2020-2021学年广东省深圳市四年级（上）期末数学试卷（A卷）**
**一、选择题（每小题2分，共30分）**
1．下面四个数中，（ ）精确到万位是30万．
A．29499 B．309111 C．305997 D．295786
2．平角与钝角的差一定是（ ）角。
A．锐 B．直 C．钝 D．无法确定
3．一条直线上的一点把这条直线分成（ ）条射线。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列各数中，一个零也不读出来的是（ ）
A．4009000 B．40090000 C．40900000 D．40000900
5．两个数相乘，其中一个乘数扩大3倍，另一个乘数也扩大3倍，积就扩大（ ）倍。
A．3 B．6 C．9
6．抛一枚硬币，连续9次都是正面朝上，第10次抛出，反面朝上的可能性为（ ）
A． B． C． D．1
7．与203×28的结果最接近的是（ ）
A．54×200 B．297×21 C．402×25 D．197×31
8．25×（8+4）＝（ ）
A．25×8×25×4 B．25×8+25×4 C．25×4×8 D．25×8+4
9．56+72+28＝56+（72+28）运用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．乘法结合律 D．加法交换律和结合律
10．小王在小明的北方，那么小明在小王的（ ）
A．南方 B．西方 C．东方
11．电影票上7排5号记作（7，5），那么（9，5）在电影票上是（ ）
A．8排6号 B．9排5号 C．5排9号
12．□45÷5的商是三位数，□里最小可以填（ ）
A．6 B．5 C．9 D．5至9
13．521÷92的商是（ ）位数．
A．一 B．两 C．三
14．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（ ）
A．+3吨表示重量为13吨 B．15吨记为+5吨
C．6吨记为﹣6吨
15．在﹣3、﹣0.5、0、﹣0.1这四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3 B．﹣0.5 C．0 D．﹣0.1
**二、填空题（每空1分，共10分）**
16．用3、4、8和四个0，组成一个零也不读的最大七位数是[ ]{.underline}，组成读两个零的七位数[ ]{.underline}。
17．分针从3转到7，转了[ ]{.underline}°。
18．240□890≈241万，□里最小应[ ]{.underline}，248×35的积是[ ]{.underline}位数。
19．计算64×26后，可以交换两个数的位置验算，是用了[ ]{.underline}律．
20．如果点*A*用数对表示是（2，1），点*B*用数对表示是（2，4），点*C*用数对表示是（6，1），顺次连接*A*、*B*、*C*得到的图形是[ ]{.underline}。
21．□01÷56，要使商是一位数，方框里可以填的数是[ ]{.underline}．
22．比零下3摄氏度高8摄氏度记作[ ]{.underline}摄氏度．
23．明天[ ]{.underline}是晴天。（填"可能"/"不可能"/"一定"）
**三、其他计算（每小题6分，共18分）**
24．用竖式计算并验算。
---------- ---------- ---------- ----------
140×26＝ 181×18＝ 912×52＝ 254×23＝
---------- ---------- ---------- ----------
25．先说说运算顺序，再计算。
-------------------- --------------------- ---------------------- ----------------------
28×\[4+（207÷3）\] \[（98﹣12）×6\]+43 \[（60+320）﹣20\]÷6 27×\[（263+37）÷50\]
-------------------- --------------------- ---------------------- ----------------------
26．先估计商是几位数，再列竖式计算。
481÷37＝ 294÷14＝ 183÷92＝
---------- ---------- ----------
836÷52＝ 700÷63＝ 640÷71＝
**四、解答题（每小题6分，共30分）**
27．据《2004昆山市国民经济和发展统计公报》，到2004年底，昆山市户籍总人口637157人，外来暂住人口达625345人，把前一个数改写成用"万"作单位的数[ ]{.underline}万人，把后一个数保留两位小数是[ ]{.underline}万人．
28．学校组织四年级师生去植物园，四年级老师有14人，学生有406人，成人票：25元/张，学生票：15元/张，带6500元买门票够吗？
29．妈妈买来一件衣服花了239元，一条裤子花了176元，一双鞋子324元。妈妈一共花了多少钱？
30．青山果园收获了645箱苹果和317箱梨，一辆卡车每次最多能运走270箱，这辆卡车至少要运几次才能全部运完？
31．强强家在少年宫的北边400米处，记作+400米．现在他从家往南走了8分钟，每分钟走60米，8分钟后他所在的位置可以怎样表示？
**五、作图题（每小题6分，共12分）**
32．过*A*点分别画出*ON*的平行线和*OM*的垂线。
33．看图画一画：
> （1）超市西面50米处有一家书店，请用"◆"标出书店的位置．
>
> （2）书店北面30米处有一所学校，请用"☆"标出学校的位置．
**2020-2021学年广东省深圳市四年级（上）期末数学试卷（A卷）**
**参考答案**
**一、选择题（每小题2分，共30分）**
1．D； 2．A； 3．A； 4．A； 5．A； 6．C； 7．A； 8．B； 9．B； 10．A； 11．A； 12．B； 13．A； 14．C； 15．A；
**二、填空题（每空1分，共10分）**
16．； ； 17．； 18．； ； 19．[乘法交换]{.underline}； 20．； 21．[1、2、3、4、5]{.underline}； 22．[+5]{.underline}； 23．；
**三、其他计算（每小题6分，共18分）**
24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}；
**四、解答题（每小题6分，共30分）**
27．[63.7157]{.underline}； [62.53]{.underline}； 28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}； 31．[ ]{.underline}；
**五、作图题（每小题6分，共12分）**
32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}；
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日期：2021/4/27 14:48:58；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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中学学科网2008年高考（重庆卷）数学（理科）解析
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件*A、B*互斥，那么 *P(A+B)=P(A)+P(B)*
如果事件*A、B*相互独立，那么*P(A·B)=P(A)·P(B)*
如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率
*P~n~(K)=^k^~m~P^k^(1-P)^n-k^*
以*R*为半径的球的体积*V*=π*R*^3^.
1. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）复数1+=
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3
**【标准答案】A**
**【试题解析】**1+=1+
**【高考考点】复数的概念与运算。**
**【易错提醒】计算失误。**
**【学科网备考提示】复数的概念与计算属于简单题，只要考生细心一般不会算错。**
\(2\) **设是整数，则"均为偶数" 是"是偶数"的**
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
**【标准答案】A**
**【试题解析】均为偶数是偶数 则**充分； **是偶数则均为偶数或者均为奇数即是偶数均为偶数 则**不必要，故选A
**【高考考点】利用数论知识然后根据**充要条件的概念**逐一判定**
**【易错提醒】是偶数则均为偶数或者均为奇数**
**【学科网备考提示】均为偶数是偶数**，易得;否定充要时只要举例：，即可。
(3)圆*O*~1~:和圆*O*~2~: 的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
**【标准答案】B**
**【试题解析】**~,，则~
**【高考考点】**圆的一般方程与标准方程以及两圆位置关系
**【易错提醒】**相交
**【学科网备考提示】**圆的一般方程与标准方程互化，此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
(4)已知函数y=的最大值为*M*,最小值为*m*,则的值为
\(A\) (B) (C) (D)
**【标准答案】C**
**【试题解析】定义域 ，当且仅当即上式取等号，故**最大值为 最小值为
**【高考考点】均值定理**
**【易错提醒】正确选用**
**【学科网备考提示】教学中均值定理变形应高度重视和加强训练**
(5)已知随机变量服从正态分布*N*(3,*a*^2^),则＝
\(A\) (B) (C) (D)
**【标准答案】D**
**【试题解析】**服从正态分布*N*(3,*a*^2^) 则曲线关于对称，
**【高考考点】正态分布的意义和主要性质。**
**【易错提醒】**正态分布性质：曲线关于对称
**【学科网备考提示】**根据正态分布性质是个较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
\(6\) 若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是
（A） 为奇函数 （B）为偶函数（C）为奇函数（D）为偶函数
 (8)已知双曲线（*a*＞0,*b*＞0）的一条渐近线为,离心率,则双曲线方程为
（A）－=1 (B)
\(C\) (D)
**【标准答案】C**
**【试题解析】，， 所以**
**【高考考点】**双曲线的几何性质
**【易错提醒】消去参数**
**【学科网备考提示】圆锥**曲线的几何性质是高考必考内容
 (9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.*V*~1~为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，*V*~2~为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A）*V*~1~= (B) *V*~2~=
（C）V~1~\> V~2~ （D）V~1~\< V~2~
**【标准答案】D**
**【试题解析】设大球半径为 ，小球半径为 根据题意所以** **于是即所以**
**【高考考点】**球的体积公式及整体思想
**【易错提醒】及不等式的性质**
**【学科网备考提示】**数形结合方法是高考解题的锐利武器，应当很好掌物。
(10)函数*f(x)*=() 的值域是
（A） （B） （C） （D）
**【标准答案】B**
**【试题解析】特殊值法， 则***f(x)*=淘汰A，
**令得当时时所以矛盾**淘汰C， D
**【高考考点】三角函数与函数值域**
**【易错提醒】不易利用函数值为进行解题**
**【学科网备考提示】加强特殊**法\-\--淘汰法解选择题的训练，节省宝贵的时间，提高准确率
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，
则 [ ]{.underline}
**【标准答案】**{2,5}
**【试题解析】，**
**【高考考点】集合运算**
**【易错提醒】补集的概念**
**【学科网备考提示】应当把集合表示出来，一般就不会算错。**
（12）已知函数*f(x)*=(当*x*0时) ，点在*x*=0处连续，则 [ ]{.underline} .
**【标准答案】**
**【试题解析】 又** 点在*x*=0处连续，
所以 **即 故**
**【高考考点】**连续的概念与极限的运算
**【易错提醒】**
**【学科网备考提示】**函数连续解题较少考查的知识点，尽管此题只考查概念，但是由于考生不注意全面掌握每一个知识点，因而错误率相当高。此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点。
(13)已知(a\>0) ，则 [ ]{.underline} .
**【标准答案】**3
**【试题解析】**
**【高考考点】指数与对数的运算**
**【易错提醒】**
**【学科网备考提示】加强计算能力的训练，训练准确性和速度**
(14)设是等差数列{}的前*n*项和，, ,则 [ ]{.underline} .
**【标准答案】**-72
**【试题解析】，**
**【高考考点】等差数列求和公式以及等差数列的性质的应用。**
**【易错提醒】等差数列的性质**
**【学科网备考提示】此题不难，但是应当注意不要因为计算失误而丢分**
（15）直线与圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为 [ ]{.underline} 。
**【标准答案】**
**【试题解析】设**圆心，直线的斜率为， 弦AB的中点为，的斜率为，则，所以 由点斜**式得**
**【高考考点】直线与圆的位置关系**
**【易错提醒】**
**【学科网备考提示】重视圆的几何性质**
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A~1、~B~1~、C~1~上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）.
**【标准答案】**216
**【试题解析】则底面共，，**
**，由分类计数原理得上底面共，由分步类计数原理得共有**
**【高考考点】排列与组合的概念，并能用它解决一些实际问题。**
**【易错提醒】掌握排列组合的一些基本方法，做题时从特殊情况分析，可以避免错误。**
**【学科网备考提示】排列组合的基本解题方法**
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设的内角*A，B，C*的对边分别为*a*,*b*,*c*，且*A*=，*c*=3*b.*求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cot*B*+cot C的值.
**【标准答案】** 解：（Ⅰ）由余弦定理得
＝故
（Ⅱ）解法一：＝＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故
同理可得
从而
**【高考考点】**本小题主要考查余弦定理、三角函数的基本公式、三角恒等变换等基本知识，以及推理和运算能力。 三角函数的化简通常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆运算。
**【易错提醒】正**余切转化为**正**余
**【学科网备考提示】三角函数在高考题中属于容易题，是我们拿分的基础。。**
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望*E*.
**【标准答案】** 解：令分别表示甲、乙、丙在第*k*局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
----- --- --- --- --- ---
2 3 4 5 6
*P*
----- --- --- --- --- ---
从而（局）.
**【高考考点】**本题主要考查独立事件同时发生、互斥事件、分布列、数学期望的概念和计算，考查分析问题及解决实际问题的能力。
**【易错提醒】**连胜两局或打满6局时停止
**【学科网备考提示】重视概率应用题，近几年的试题必有概率应用题。**
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在中，*B=*,*AC*=,*D、E*两点分别在*AB、AC*上.使
,DE=3.现将沿*DE*折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.
**【标准答案】** 解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故*BE*∥*BC*.又因*B*＝90°，从而*AD*⊥*DE*.
在第（19）图2中，因*A*-*DE*-*B*是直二面角，*AD*⊥*DE*,故*AD*⊥底面*DBCE*，从
而*AD*⊥*DB*.而*DB*⊥*BC*,故*DB*为异面直线*AD*与*BC*的公垂线.
下求*DB*之长.在答（19）图1中，由，得
又已知*DE*=3,从而
因
*y*、*z*轴的正方向建立空间直角坐标系，则*D*（0，0，0），*A*（0，0，4），，E（0，3，0）.过*D*作*DF*⊥*CE*,交*CE*的延长线
于*F*，连接*AF*.
设从而
，有 ①
又由 ②
联立①、②，解得
因为,故,又因,所以为所求的二面角*A-EC-B*的平面角.因有所以
因此所求二面角*A-EC-B*的大小为
**【高考考点】**本题主要考查直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线间的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。
**【易错提醒】**
**【学科网备考提示】立体几何中的平行、垂直、二面角是考试的重点。**
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函
（Ⅰ）用分别表示和；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=的单调区间。
**【标准答案】**解：(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，）,故
又曲线在处的切线垂直于轴，故即,因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.此时有
从而
所以令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
**【高考考点】**本题主要考查导数的概念和计算、利用导数研究函数的单调性、利用单调性求最值以及不等式的性质。
**【易错提醒】**不能求的最小值
**【学科网备考提示】应用导数研究函数的性质，自2003年新教材使用以来，是常考不衰的考点。**
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，和的平面上的两点，动点满足：
（Ⅰ）求点的轨迹方程：
（Ⅱ）若
由方程组 解得 即*P*点坐标为
**【高考考点】**本题主要考查椭圆的方程及几何性质、等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。
**【易错提醒】不能将条件**与联系起来
**【学科网备考提示】重视解析几何条件几何意义教学与训练。**
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{*a*~n~}满足.
（Ⅰ）若，求*a*~3~，*a*~4~，并猜想*a*~2cos~的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对*n*≥2恒成立，求*a*~2~的值及数列{*b*~n~}的通项公式.
**【标准答案】** 解：(Ⅰ)因
由此有，故猜想的通项为
 对求和得 ⑦
由题设知
即不等式2^2*k*+1^＜对*k***N**^\*^恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此,结合③式知,因此*a*~2~=2^\*2^=将代入⑦式得=2－(*n***N\***),
所以==2^2－^(*n***N\***)
**【高考考点】**本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运用知识分析问题和解决问题的能力。
**【易错提醒】如何证明，选择方法很重要。本题（Ⅱ）证明要会熟练的使用不等式放宿技巧。**
**【学科网备考提示】这种题不仅要求考生有很好的思维、推理能力；而且平时做题要善于总结，对数列与不等式的放宿技巧要非常熟练。**
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**福建省2020年中考数学试题**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．**
1.有理数的相反数为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即得．
【详解】A选项与的符号和符号后的数值均不相同，不符合题意；
B选项与只有符号不同，符合题意，B选项正确；
C选项与完全相同，不符合题意；
D选项与符号相同，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的定义，解题关键是熟知相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
2.如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
3.如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】*A*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
*B*、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
*C*、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
*D*、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：*C.*
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
5.如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
6.如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
分析】
根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3
故选：C
【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
7.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除、完全平方公式、逐个分析即可求解．
【详解】解：选项A：，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C错误；
选项D：，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载"买椽多少"问题："六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．"其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据"这批椽的价钱为6210文"、"每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱"列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
9.如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
10.已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
分别讨论*a*\>0和*a*\<0的情况，画出图象根据图象的增减性分析*x*与*y*的关系．
【详解】根据题意画出大致图象：
当*a*\>0时，*x*=1为对称轴，\|*x*-1\|表示为*x*到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的*y*值也越大，由此可知A、C正确．
当*a*\<0时， *x*=1为对称轴，\|*x*-1\|表示为*x*到1的距离，
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，
当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的*y*值也越小，由此可知B、C正确．
综上所述只有C正确．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论．
**第Ⅱ卷**
**二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．**
11.计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】\|﹣8\|=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
12.若从甲、乙、丙3位"爱心辅学"志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为\_\_\_\_\_\_．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，
∴扇形的面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
14.2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器"海斗一号"在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米，根据题意，"海斗一号"下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为\_\_\_\_\_\_\_\_\_米．
【答案】
【解析】
【分析】
海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为米，\
∴"海斗一号"下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，
故答案为：-10907．
【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】30
【解析】
【分析】
先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，
∴∠1=，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算是解题的关键．
16.设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是\_\_\_\_\_\_\_．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对②的判断可以利用反证法．
【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称，
四边形是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形是菱形，
则
显然：＜
所以四边形不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
四边形是矩形，故③错误，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故④正确，
故答案：①④．
【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．
**三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17.解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．
【详解】解：由①得，
，
．
由②得，
，
．
∴原不等式组的解集是．
【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质．
18.如图，点分别在菱形的边，上，且．
求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明后即可求解．
【详解】解：证明：∵四边形是菱形，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】
根据分式运算法则即可求出答案．
【详解】原式
；
当时，原式.
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】
（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
21.如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．
【答案】（1）60°；（2）详见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠*A*=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；
(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．
【详解】解：(1)连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，∴，
∴，则．
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
．
故答案为：．
(2)连接，
由(1)得，，
∵，，∴，
∴，∴．
在与中，
∴，
∴．
又点在上，故与相切．
【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展"精准扶贫"工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
【答案】（1）120；（2）2.4千元；（3）可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；
（2）利用加权平均数进行计算；
（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.
【详解】解：（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为．
（2）依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为
（千元）．
（3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
-------------------- ----- ----- ----- ------ ------ ------
月份 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 500 300 150 200 300 450
月份 7 8 9 10 11 12
人均月纯收入（元） 620 790 960 1130 1300 1470
-------------------- ----- ----- ----- ------ ------ ------
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于
．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
【点睛】本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识，考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识，考查统计与概率思想．
23.如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）按要求进行尺规作图即可；
(2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上．
【详解】解：（1）
则四边形就是所求作的四边形．
（2）∵，∴，，
∴，∴．
∵分别为，的中点，
∴，，∴．
连接，，又∵，
∴，∴，
∵点在上∴，∴，
∴三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
24.如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
【答案】（1）90°；（2）①，证明详见解析；②详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质，得出，进而得出,求出结果；
（2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可；
②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②过点作交于点，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
25.已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）对于，
当时，，所以；
当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得
所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，
所以．
（3）如图，
因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以
所以当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《**圆柱和圆锥**------圆柱的表面积》同步检测2（附答案）**
一、快乐小帮手。(我会填)
1．如果一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，且正方形的边长是6.28分米，那么这个圆柱的表面积是( )平方分米。
2．一个圆柱的底面周长是2.6米，高是0.5米，这个圆柱的侧面积是( )平方米。
3．一个圆柱的底面半径是4分米，高也是4分米，则它的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。
4．一个圆柱的底面直径是12厘米，高是7厘米，则它的表面积是( )平方厘米。
二、大法官巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．圆柱的侧面积与展开后得到的长方形(或正方形)的面积相等。( )
2．圆柱底面的两个圆面积相等。( )
3．圆柱侧面积大小是由圆柱的高决定的。( )
4．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，则它的侧面积缩小到原来的。( )
三、判断正误，错的改正。
一个圆柱的侧面积是12.56cm2，底面积是3.14 cm2，求圆柱的表面积。
列式：12.56+3.14=15.7（cm2）来源：www.bcjy123.com/tiku/
改正：
四、计算面积。
1．求下面圆柱的侧面积。
2．求下面圆柱的表面积。
五、生活中的数学。
1．用铁皮做一种无盖的圆柱形水桶，底面半径为2分米，高7分米，做一个这样的水桶，至少要用铁皮多少平方分米？
2．2010年4月14日青海玉树发生地震。抢修道路急需水泥柱，水泥柱的长度是12米，底面半径是2.5米，求水泥柱的表面积是多少平方米？
六、一个零件是由高都是4cm，底面半径分别是 2cm和6cm的两个圆柱组成的(如图)，求这个零件的表面积。
**参考答案**
一、1. 45.7184 2．1.3 3．100.48 200.96 4．489.84
二、l．√ 2．√ 3．×4．√
三、错误 18.84 cm2
四、l．219.8平方厘米 2．282.6平方厘米来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、l．100.48平方分米 2．227.65平方米
六、427.04 cm2
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2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至5页，第Ⅱ卷6至15页。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共126分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在机读卡上。
> 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．本卷共21小题，每小题6分，共126分。
以下数据可供解题时参考：
相对原子质量（原子量）： H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 Cl 35.5
一、选择题（本题共13小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．为了确定某种矿质元素是否是植物的必需元素，应采用的方法是
A．检测正常叶片中该矿质元素的含量
B．分析根系对该矿质元素的吸收过程
C．分析环境条件对该矿质元素吸收
D．观察含全部营养的培养液中去掉该矿质元素前、后植株生长发育状况的影响
2．下列关于人体内环境及其稳态的叙述，正确的是
A．葡萄糖以自由扩散方式从消化道腔中进入内环境
B．H2CO~3~/ NaHCO~3~ 对血浆pH相对稳定有重要作用
C．内环境的温度随气温变化而变化
D．人体的内环境即指体液
3．下列对根瘤菌的叙述，正确的是
A．根瘤菌在植物根外也能固氮 B．根瘤菌离开植物根系不能存活
C．土壤淹水时，根瘤菌固氮量减少 D．大豆植株生长所需的氮都来自根瘤菌
4．下列关于病毒的叙述，正确的是
A．烟草花叶病毒可以不依赖宿主细胞而增殖
B．流感病毒的核酸位于衣壳外面的囊膜上
C．肠道病毒可在经高温灭菌的培养基上生长增殖
D．人类免疫缺陷病毒感染可导致获得性免疫缺陷综合症
5．人体受到某种抗原刺激后会产生记忆细胞，当其受到同种抗原的第二次刺激后
A．记忆细胞的细胞周期持续时间变短，机体抗体浓度增加
B．记忆细胞的细胞周期持续时间变长，机体抗体浓度增加
C．记忆细胞的细胞周期持续时间变短，机体抗体浓度减少
D．记忆细胞的细胞周期持续时间不变，机体抗体浓度减少
6．2008年北京奥运会的"祥云"火炬所用燃料的主要成分是丙烷，下列有关丙烷的叙述中不正确的是
A．分子中碳原子不在一条直线上 B．光照下能够发生取代反应
C．比丁烷更易液化 D．是石油分馏的一种产品
7．实验室现有3种酸碱指示剂，其pH变色范围如下
甲基橙：3.1～4.4 石蕊：5.0～8.0 酚酞：8.2～10.0
> 用0.1 000mol/L NaOH 溶液滴定未知浓度的CH~3~COOH 溶液，反应恰好完全时，下列叙述中正确的是
A．溶液呈中性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂
B．溶液呈中性，只能选用石蕊作指示剂
C．溶液呈碱性，可选用甲基橙或酚酞作指示剂
D．溶液呈碱性，只能选用酚酞作指示剂
8．对于ⅣA族元素，下列叙述中不正确的是
A．SiO~2~和CO~2~中，Si和O，C和O之间都是共价键
B．C、Si和Ge的最外层电子数都是4，次外层电子数都8
C．CO~2~和SiO~2~都是酸性氧化物，在一定条件下都能和氧化钙反应
D．该族元素的主要化合价是＋4和＋2
9．取浓度相同的Na0H和HCl溶液，以3∶2 体积比相混合，所得溶液的pH 等于12，则原溶液的浓度为
A．0.01mol/L B．0.017mol/L
C．0.05mol/L D．0.50mol/L
10．右图为直流电源电解稀NazSO4 水溶液的装置。通电后在石墨电极a和b附近分别滴加一滴石蕊溶液。下列实验现象中正确的是
> A．逸出气体的体积，a电极的小于b电极的
>
> B．一电极逸出无味气体，另一电极逸出刺激性气味气体
>
> C．a电极附近呈红色，b电极附近呈蓝色
>
> D．a电极附近呈蓝色，b电极附近呈红色
11．某元素的一种同位素X 的原子质量数为*A*，含*N*个中子，它与^1^H 原子组成H~m~X 分子。在*a* g H ~m~X中所含质子的物质的量是
A．mol B．mol
> C．mol D．mol
12．(NH~4~)~2~SO~4~在高温下分解，产物是SO~2~、H~2~O、N~2~和NH~3~。在该反应的化学方程式中，化学计量数由小到大的产物分子依次是
A．SO~2~、H~2~O、N~2~、NH~3~ B．N~2~、SO~2~、H~2~O、 NH~3~
B．N~2~、SO~2~、NH~3~、H~2~O D．H~2~O 、NH~3~、SO~2~、N~2~
13．在相同温度和压强下，对反应CO~2~(g) + H~2~(g）CO(g) + H~2~O(g)进行甲、乙、丙、丁四组实验，实验起始时放入容器内各组分的物质的量见下表
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
| 物质的量 物质 | CO~2~ | H~2~ | CO | H~2~O |
| | | | | |
| 实验 | | | | |
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
| 甲 | *a* mol | *a* mol | 0 mol | 0 mol |
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
| 乙 | 2*a* mol | *a* mol | 0 mol | 0 mol |
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
| 丙 | 0 mol | 0 mol | *a* mol | *a* mol |
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
| 丁 | *a* mol | 0 mol | *a* mol | *a* mol |
+-----------------+----------+---------+---------+---------+
> 上述四种情况达到平衡后，n (CO)的大小顺序是
>
> A．乙＝丁＞丙＝甲 B．乙＞丁＞甲＞丙
C．丁＞乙＞丙＝甲 D．丁＞丙＞乙＞甲
二、选择题（本题共8 小题。在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6 分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分）
14．对一定量的气体，下列说法正确的是
> A．气体的体积是所有气体分子的体积之和
>
> B．气体分子的热运动越剧烈，气体温度就越高
>
> C．气体对器壁的压强是由大量气体分子对器壁不断碰撞而产生的
>
> D．当气体膨胀时，气体分子之间的势能减小，因而气体的内能减少
15．一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下，出射光线侧移距离最大的是
> A．红光以30°的入射角入射 B．红光以45°的入射角入射
>
> C．紫光以30°的入射角入射 D．紫光以45°的入射角入射
16．如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块*A*和*B*紧挨着匀速下滑，*A*与*B*的接触面光滑。己知*A*与斜面之间的动摩擦因数是*B*与斜面之间动摩擦因数的2倍，斜面倾角为*α*。*B*与斜面之间的动摩擦因数是
A．tan*α* B．cot*α* C．tan*α* B．cot*α*
17．一列简i 皆横波沿*x*轴正方向传播，振幅为*A*。t = 0时，平衡位置在*x*=0处的质元位于*y*=0处，且向夕轴负方向运动；此时，平衡位置在*x*＝0.15m处的质元位于y＝*A*处。该波的波长可能等于
A．0.60 m B．0.20 m C．0.12m D．0.086m
18．如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球*a*和*b*。*a*球质量为*m*，静置于地面；b球质量为3*m*， 用手托住，高度为*h*，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放*b*后，*a*可能达到的最大高度为
> A．*h* B．l.5*h*
>
> C．2*h* D．2.5*h*
19．一平行板电容器的两个极板水平放置，两极板间有一带电量不变的小油滴，油滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比。若两极板间电压为零，经一段时间后，油滴以速率*v*匀速下降：若两极板间的电压为*U*，经一段时间后，油滴以速率*v*匀速上升。若两极板间电压为－*U*，油滴做匀速运动时速度的大小、方向将是
> A．2*v*、向下 B．2*v*、向上 C．3*v*、向下 D．3*v*、向上
20．中子和质子结合成氘核时，质量亏损为△*m*，相应的能量△*E*＝△*mc*^2^＝2.2 MeV是氘核的结合能。下列说法正确的是
A．用能量小于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核不能分解为一个质子和一个中子
> B．用能量等于2.2 Mev的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
>
> C．用能量大于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质子和一个中子，它们的动能之和为零
>
> D．用能借大于2.2MeV的光子照射静止氘核时，氘核可能分解为一个质r 和一个中子，它们的动能之和不为零
21．如图，一个边长为*l*的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为*l*的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线*ab*与导线框的一条边垂直，*ba* 的延长线平分导线框。在*t*＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿*ab*方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。以*i*表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列表示*i*---*t*关系的图示中，可能正确的是
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试
第Ⅱ卷（非选择题 共174分）
注意事项：
1.用碳素笔直接答机读中，答在试卷上无效。
2.本卷共10题，共174分。
22.（18分）
> ( l )（5分）某同学用螺旋测微器测量一铜丝的直测微器的示数如图所示，该铜丝的直径为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_mm。
（2）（13分）右图为一电学实验的实物 连线图。该实验可用来测量待测电阻*R~x~* 的阻值（约500 Ω）。图中两个电压表量程相同，内阻都很大。实验步骤如下：
> ①调节电阻箱，使它的阻*R*~0~与待测电阻的阻值接近；将滑动变阻器的滑动头调到最右端。
②合上开关s。
③将滑动变阻器的滑动头向左端滑动，使两个电压表指针都有明显偏转。
④记下两个电压表 和 的读数*U*~1~和*U*~2~。
> ⑤多次改变滑动变阻器滑动头的位置，记下。 和 的多组读数*U*~1~和*U*~2~。
>
> ⑥求*R~x~*的平均值。
回答下列问题：
（Ⅰ）根据实物连线图在虚线框内画出实验的电路图，其中电阻符号为，滑动变阻器的符号为，其余器材用通用的符号表示。
（Ⅱ）不计电压表内阻的影响，用*U*~1~、*U*~2~、和*R*~0~表示*R~x~*的公式为*R~x~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（Ⅲ）考虑电压表内阻的影响，用*U*~1~、*U*~2~、*R*~0~、 的内阻*r*~1~、 的内阻*r*~2~表示*R~x~*的公式为*R~x~*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
23\. ( 15 分）
如图，一质量为*M*的物块静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为*h*。一质量为*m*的子弹以水平速度*v*~0~射入物块后，以水平速度*v*~0~/2 射出。重力加速度为*g*。求：
（1）此过程中系统损失的机械能；
（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。
24.（19 分）
如图，一直导体棒质量为*m*、长为*l*、电阻为*r*，其两端放在位于水平面内间距也为*l*的光滑平行导轨上，并与之密接：棒左侧两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为*B*，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导体棒一个平行于导轨的初速度*v*~0~在棒的运动速度由*v*~0~减小至*v*~1~的过程中，通过控制负载电阻的阻值使棒中的电流强度*I*保持恒定。导体棒一直在磁场中运动。若不计导轨电阻，求此过程中导体棒上感应电动势的平均值和负载电阻上消耗的平均功率。
20.（20分）
我国发射的"嫦娥一号"探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为*M*和*m*，地球和月球的半径分别为*R*和*R*~1~，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为*r*和*r*~1~，月球绕地球转动的周期为*T*。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用*M*、*m*、*R*、*R*~1~、*r*、*r*~1~和*T*表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。
26\. (15分)
红磷P(s)和Cl~2~ (g)发生反应生成PCl~3~(g)和PCl~5~ (g)。反应过程和能量关系如图所示（图中的Δ*H*表示生成lmol产物的数据）。
根据上图回答下列问题：
( l ) P 和Cl~2~反应生成PCl~3~ 的热化学方程式是
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
( 2 ) PCl~5~分解成PCl~3~ 和Cl~2~的热化学方程式是
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
上述分解反应是一个可逆反应。温度*T*~1~时，在密闭容器中加人0.80 mol PC1~5~，反应达平衡时PC1~5~还剩0.60 mol，其分解率*α*~1~等于\_\_\_\_\_\_\_\_；若反应温度由*T*~l~升高到T~2~，平衡时PC1~5~的分解率*α*~2~为，*α*~2~\_\_\_\_\_\_\_*α*~1~（填"大于"、"小于"或"等于") ；
（3）工业上制备PCl~5~通常分两步进行，先将P和Cl~2~反应生成中间产物PCl~3~ ，然后降温，再和Cl~2~反应生成PCl~5~原因是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）P和Cl~2~分两步反应生成1mol PCl~5~的Δ*H*~3 ~＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，P和Cl~2g~一步反应生成1 mol PCl~5~的Δ*H*~4~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_Δ*H*~3~；（填"大于"、"小于"或"等于"）
（5）PCl~5~与足量水充分反应，最终生成两种酸，其化学方程式
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
27.（15分）
Q、R、X、Y、Z为前20号元素中的五种，Q的低价氧化物与X单质分子的电子总数相等，R与Q同族，Y和Z的离子与Ar原子的电子结构相同且Y的原子序数小于Z。
（1）Q的最高价氧化物，其固态属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_晶体，俗名叫\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
> （2）的氢化物分子的空间构型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，属于\_\_\_\_\_\_\_\_分子（填"极性"或"非极性") ；它与X形成的化合物可作为一种重要的陶瓷材料，其化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
>
> （3）X的常见氢化物的空间构型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；它的另一氢化物X~2~H~4~是一种火箭燃料的成分，其电子式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
>
> （4）Q分别与Y、Z形成的共价化合物的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；Q与Y形成的分子的电子式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，属于分子（填"极性"或"非极性"）。
28.（13分）
某钠盐溶液可能含有阴离子NO，CO，SO，Cl，Br，I，为鉴定这些离子^-^，分别取少量溶液进行以下实验：
①测得混合液呈碱性；
②加HCl后，生成无色无味气体。该气体能使饱和石灰水溶液变浑浊；
③加CCl~4~，滴加少量氯水，振荡后，CCl~4~层未变色；
④加BaBl~2~溶液产生白色沉淀，分离，在沉淀中加人足量盐酸，沉淀不能完全溶解；
⑤加HN0~3~酸化后，再加过量AgNO~3~，溶液中析出白色沉淀。
（1）分析上述5个实验，写出每一实验鉴定离子的结论与理由。
实验①\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
实验②\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
实验③\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
实验④\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
实验⑤\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）上述5个实验不能确定是否存在的离子\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
29.(17分）
A、B、C、D、E、F、G、H、I、J均为有机化合物。根据以下框图，回答问题：
( l ) B和C均为有支链的有机化合物，B 的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；C在浓硫酸作用下加热反应只能生成一种烯烃D , D的结构简式为：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2） G能发生银镜反应，也能使澳的四氯化碳溶液褪色，则G的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）⑤的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
⑨的化学方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）①的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，④的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，
⑦的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（5）与H具有相同官能团的H的同分异构体的结构简式为
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
30.25分）
回答下列（I）、（Ⅱ）小题：
（I）香蕉果实成熟过程中，果实中的贮藏物不断代谢转化，香蕉逐渐变甜。图A中I、Ⅱ两条曲线分别表示香蕉果实成熟过程中两种物质含量的变化趋势。
请回答：
取成熟到第X天和第Y天的等量香蕉果肉，分别加等量的蒸馏水制成提取液。然后在a、b试管中各加5mL第X天的提取液，在c、d 试管中各加5mL第Y天的提取液，如图B。
> （1）在a、c。试管中各加人等量碘液后，a管呈蓝色，与a管相比c管的颜色更\_\_\_\_\_\_\_\_\_，两管中被检测的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，图A中表示这种物质含量变化趋势的曲线是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）在b、d 试管中各加人等量的斐林试剂，煮沸后，b管呈砖红色，与b管相比d管的颜色更\_\_\_\_\_\_\_\_\_，两管中被检测的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，图A中表示这种物质含量变化趋势的曲线是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）已知乙烯利能增加细胞内乙烯的含量。如果在第X天喷施乙烯利，从第X天开始曲线Ⅰ将呈现出（加快、减慢）下降的趋势，曲线Ⅱ将呈现出（加快、减慢）上升的趋势。
> （Ⅱ）某湖泊由于大量排人污水，连续多次发生蓝藻爆发，引起水草死亡，周边居民也有出现某种有毒物质中毒现象的。请回答：
>
> （1）湖泊中导致蓝藻爆发的主要非生物因素是过量的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。导致水草死亡的主要原因是水草生长的环境中缺少\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_这两种非生物因素。
>
> （2）某小组分别于早晨和下午在该湖泊的同一地点、同一水层取得两组水样，测得甲组pH为7.3 ，乙组pH为6.0，那么取自早晨的水样是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_组，理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。甲组水样中的O~2~含量\_\_\_\_\_\_\_于乙组的，理由是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）如果居民中毒是由于蓝藻中的某种有毒物质经食物链的传递引起的，这类食物链中含有四个营养级的食物链是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ → \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ →人。
31.（17分）
某植物块根的颜色由两对自由组合的基因共同决定。只要基因R存在，块根必为红色，rrYY或rrYy为黄色，rryy为白色；在基因M存在时果实为复果型，mm为单果型。现要获得白色块根、单果型的三倍体种子。
（1）请写出以二倍体黄色块根、复果型（rryyMm）植株为原始材料，用杂交育种的方法得到白色块根、单果型三倍体种子的主要步骤。
（2）如果原始材料为二倍体红色块根、复果型的植株，你能否通过杂交育种方法获得白色块根、单果型的三倍体种子？为什么？
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科综合能力测试参考答案和评分参考
评分说明：
1．在评卷过程中，如发现考生按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分：有错的，根据错误的性质，参照评分参考中相应的规定评分。
2．计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分。
Ⅰ卷共21小题，每小题6分，共126分。
一、选择题：选对的给6分，选错或未选的给0分。
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.C
7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C
13.A
二、选择题：全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的给0分。
14.BC 15.D 16 .A 17 .AC 18.B 19.C
20.AD 21.C
Ⅱ卷共10题，共174分。
22.（18分)
（1） 4.593 ( 5分。4.592 或4.594 也同样给分）
（2）（Ⅰ）电路原理图如图所示（6分。其中，分压电路3分，除分压电路外的测最部分3分）
（Ⅱ）*R~x~*＝ （3分）
（Ⅲ）*R~x~*＝ （4分）
23\. （15分）
（1）设子弹穿过物块后物块的速度为*V*，由动量守恒得
*mv*~0~＝*m*＋*MV* ①
解得
*V*＝ ②
系统的机械能损失为
Δ*E*＝*m*－ ③
由②③式得
Δ*E*＝ ④
（2）设物块下落到地面所需时间为*t*，落地点距桌边缘的水平距离为*s*，则
*h*＝*gt*^2^ ⑤
*s*＝*Vt* ⑥
由②⑤⑥式得
*s*＝ ⑦
评分参考：第（1）问9分。①③④式各3分。第（2）问6分，⑤⑥⑦式各2分。
24.（19分）
导体棒所受的安培力为
F＝*IlB* ①
该力大小不变，棒做匀减速运动，因此在棒的速度*v*~0~从减小*v*~1~的过程中，平均速度为
②
当棒的速度为*v*时，感应电动势的大小为
*E*＝*lvB* ③
棒中的平均感应电动势为
④
由②④式得
*l*(*v*~0~＋*v*~1~)*B* ⑤
导体棒中消耗的热功率为
*P*~1~＝*I*^2^*r* ⑥
负载电阻上消耗的平均功率为
－*P*~1~ ⑦
由⑤⑥⑦式得
*l*(*v*~0~＋*v*~1~)*BI*－*I*^2^*r* ⑧
> 评分参考：①式3分（未写出①式，但能正确论述导体棒做匀减速运动的也给这3分），②③式各3分，④⑤式各2分，⑥⑦⑧式各2分。
25\. ( 20 分）
如图，*O*和*O*^/ ^分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，*A*是地月连心线*OO*^/ ^与地月球面的公切线*ACD*的交点，*D*、*C*和*B*分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过*A*点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于*E*点。卫星在 运动时发出的信号被遮挡。
设探月卫星的质量为*m*~0~，万有引力常量为*G* ，根据万有引力定律有
*G*＝*mr* ①
*G*＝*m*~0~*r*~1~ ②
式中，*T*~1~是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得
③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为*t*，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有
④
式中， α＝∠CO^/^ *A* ，*β*＝∠CO^/^ *B*\'。由几何关系得
*r*cos*α*＝*R*－*R*~1 ~ ⑤
*r*~1~cos*β*＝*R*~1~ ⑥
由③④⑤⑥式得
*t*＝ ⑦
评分参考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到结果
的也同样给分。
26.（15分）
（1）Cl~2~ (g)＋ P(s)==PCl~3~ (g) Δ*H*＝－306 kJ/ lmol （3分）
( 2 ) PCl~5~(g)==PCl~3~(g)＋Cl~2~(g) △*H*＝93kJ/ lmol （3分）
25％ 大于 （2分）
（3）两步反应均为放热反应，降温有利于提高产率，防止产物分解 （2分）
（4）－399kJ/ mol 等于 （2分）
（5）PCl~5~＋4H~2~O＝ H~3~PO~4~＋5HCl （2分）
27.（15分）
（1）分子 干冰 （2分）
（2）正四面体 非极性 Si~3~N~4~ （3分）
（3）三角锥 （4分）
（4）CS~2~ 和 CCl~4 ~ （2分）
 非极性 （4分）
28\. （13分）
（1）①CO和SO可能存在，因它们水解呈碱性 （2分）
> ②CO肯定存在，因产生的气体CO~2~；不SO存在，因为没有刺激性气味的气体产生 （4分）
>
> ③Br，I不存在，因没有溴和碘的颜色出现 （2分）
>
> ④SO存在，因BaSO~4~不溶于盐酸 （2分）
>
> ⑤Cl存在，因与Ag^+^形成白色沉淀 （2分）
( 2 ) NO （1分）
29.（17分）
（4）水解反应 取代反应 氧化反应 （3分）
30.（25分）
（I）（12分）
（1）浅（l分） 淀粉（1分） Ⅰ(2分）
（2）深（1分） 还原糖（l分） Ⅱ(2分）
（3）加快 加快（每空2分，共4分）
(Ⅱ) （13分）
（1）无机盐（l分）（其他合理答案也给分） 光（l分） 氧（l分）
（2）乙（2分） 由于蓝藻等夜晚呼吸产生大最CO~2~, CO~2~与水结合产生碳酸后使水的pH 下降（2分） 大（l分） 蓝藻等白天进行光合作用释放大量O~2~，使水中O~2~含量上升。（2分）
（3）蓝燕（1分） 浮游动物（l分） 鱼（l分）（其他合理答案也给分）
31.（17分）
（1）步骤：
①二倍体植株（rrYyMm）自交，得到种子；（3分）
②从自交后代中选择白色块根、单果型的二倍体植株，并收获其种子（甲）； （3分）
③播种种子甲，长出的植株经秋水仙素处理得到白色块根、单果型四倍体植株，并收获其种子（乙）； （3分）
④播种甲、乙两种种子，长出植株后，进行杂交，得到白色块根、单果型三倍体种子。（3分）
（若用遗传图解答题，合理也给分）
（2）不一定。（l分）
因为表现型为红色块根、复果型的植株有多种基因型，其中只有基因型为RrYyMm或RryyMm的植株自交后代才能出现基因型为rryymm的二倍体植株。（4分）（其他合理答案也给分）
| 1 | |
**2014年江西省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
2．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1\] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0\]∪\[1，+∞）
3．（5分）已知函数f（x）=5^\|x\|^，g（x）=ax^2^﹣x（a∈R），若f\[g（1）\]=1，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c^2^=（a﹣b）^2^+6，C=，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B． C． D．3
5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
+------+--------+------+------+
| 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+--------+------+------+
| 男 | 6 | 14 | 20 |
+------+--------+------+------+
| 女 | 10 | 22 | 32 |
+------+--------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+--------+------+------+
表2
+------+----+----+------+
| 视力 | 好 | 差 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+----+----+------+
| 男 | 4 | 16 | 20 |
+------+----+----+------+
| 女 | 12 | 20 | 32 |
+------+----+----+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+----+----+------+
表3
+------+------+------+------+
| 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+------+------+------+
| 男 | 8 | 12 | 20 |
+------+------+------+------+
| 女 | 8 | 24 | 32 |
+------+------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+------+------+------+
表4
+--------+------+--------+------+
| 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+--------+------+--------+------+
| 男 | 14 | 6 | 20 |
+--------+------+--------+------+
| 女 | 2 | 30 | 32 |
+--------+------+--------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+--------+------+--------+------+
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
8．（5分）若f（x）=x^2^+2f（x）dx，则f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=11，AD=7，AA~1~=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l~i~（i=2，3，4），l~1~=AE，将线段l~1~，l~2~，l~3~，l~4~竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A． B． C． D．
**二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题**
11．（5分）对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**坐标系与参数方程选做题**
12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤
C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
**三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）若曲线y=e^﹣x^上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是[ ]{.underline}．
15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=[ ]{.underline}．
16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于[ ]{.underline}．
**五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）
（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间\[0，π\]上的最大值与最小值；
（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
18．（12分）已知首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}（b~n~≠0，n∈N^\*^）满足a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0．
（1）令c~n~=，求数列{c~n~}的通项公式；
（2）若b~n~=3^n﹣1^，求数列{a~n~}的前n项和S~n~．
19．（12分）已知函数f（x）=（x^2^+bx+b）（b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y^2^=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x~0~，y~0~）（y~0~≠0）的直线l：﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
22．（14分）随机将1，2，...，2n（n∈N^\*^，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a~1~，最大数为a~2~；B组最小数为b~1~，最大数为b~2~；记ξ=a~2~﹣a~1~，η=b~2~﹣b~1~．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．
**2014年江西省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
【分析】由题，先求出z﹣=﹣2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项．
【解答】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①
又z+=2 ②
由①②解得z=1﹣i
故选：D．
【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题
2．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1\] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0\]∪\[1，+∞）
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则x^2^﹣x＞0，即x＞1或x＜0，
故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础．
3．（5分）已知函数f（x）=5^\|x\|^，g（x）=ax^2^﹣x（a∈R），若f\[g（1）\]=1，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：∵g（x）=ax^2^﹣x（a∈R），
∴g（1）=a﹣1，
若f\[g（1）\]=1，
则f（a﹣1）=1，
即5^\|a﹣1\|^=1，则\|a﹣1\|=0，
解得a=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础．
4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c^2^=（a﹣b）^2^+6，C=，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B． C． D．3
【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵c^2^=（a﹣b）^2^+6，
∴c^2^=a^2^﹣2ab+b^2^+6，
即a^2^+b^2^﹣c^2^=2ab﹣6，
∵C=，
∴cos===，
解得ab=6，
则三角形的面积S=absinC==，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．
5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可．
【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，
故选：B．
【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键．
6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
+------+--------+------+------+
| 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+--------+------+------+
| 男 | 6 | 14 | 20 |
+------+--------+------+------+
| 女 | 10 | 22 | 32 |
+------+--------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+--------+------+------+
表2
+------+----+----+------+
| 视力 | 好 | 差 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+----+----+------+
| 男 | 4 | 16 | 20 |
+------+----+----+------+
| 女 | 12 | 20 | 32 |
+------+----+----+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+----+----+------+
表3
+------+------+------+------+
| 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+------+------+------+------+
| 男 | 8 | 12 | 20 |
+------+------+------+------+
| 女 | 8 | 24 | 32 |
+------+------+------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+------+------+------+------+
表4
+--------+------+--------+------+
| 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 |
| | | | |
| 性别 | | | |
+--------+------+--------+------+
| 男 | 14 | 6 | 20 |
+--------+------+--------+------+
| 女 | 2 | 30 | 32 |
+--------+------+--------+------+
| 总计 | 16 | 36 | 52 |
+--------+------+--------+------+
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X^2^，即可得出结论．
【解答】解：表1：X^2^=≈0.009；
表2：X^2^=≈1.769；
表3：X^2^=≈1.3；
表4：X^2^=≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
故选：D．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=1，S=0
S=lg3，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，
满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）若f（x）=x^2^+2f（x）dx，则f（x）dx=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可．
【解答】解：令f（x）dx=t，对f（x）=x^2^+2f（x）dx，两边积分可得：t=+2tdx=+2t，
解得t=f（x）dx=﹣，
故选：B．
【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题．
9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A．π B．π C．（6﹣2）π D．π
【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得\|OC\|=\|CE\|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．
【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，
由已知得\|OC\|=\|CE\|=r，
过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，
交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，
则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：
d==，
此时r=
∴圆C的面积的最小值为：S~min~=π×（）^2^=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=11，AD=7，AA~1~=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l~i~（i=2，3，4），l~1~=AE，将线段l~1~，l~2~，l~3~，l~4~竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．
【解答】解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A~1~的坐标为：（0，0，12），B~1~的坐标为（11，0，12），C~1~的坐标为（11，7，12），D~1~的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l~1~长度计算
所以：l~1~=\|AE\|==13．
（2）l~2~长度计算
将平面A~1~B~1~C~1~D~1~沿Z轴正向平移AA~1~个单位，得到平面A~2~B~2~C~2~D~2~；显然有：
A~2~的坐标为：（0，0，24），B~2~的坐标为（11，0，24），C~2~的坐标为（11，7，24），D~2~的坐标为（0，7，24）；
显然平面A~2~B~2~C~2~D~2~和平面ABCD关于平面A~1~B~1~C~1~D~1~对称．
设AE与的延长线与平面A~2~B~2~C~2~D~2~相交于：E~2~（x~E2~，y~E2~，24）
根据相似三角形易知：
x~E2~=2x~E~=2×4=8，
y~E2~=2y~E~=2×3=6，
即：E~2~（8，6，24）
根据坐标可知，E~2~在长方形A~2~B~2~C~2~D~2~内．
根据反射原理，E~2~在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l~2~=\|EF\|==13．
（3）l~3~长度计算
设G的坐标为：（x~G~，y~G~，z~G~）
如果G落在平面BCC~1~B~1~；
这个时候有：x~G~=11，y~G~≤7，z~G~≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量与向量共线；
即有：=λ
因为：=（4，3，12）；=（x~G~﹣8，y~G~﹣6，z~G~﹣0）=（3，y~G~﹣6，z~G~）
即有：（4，3，12）=λ（3，y~G~﹣6，z~G~）
解得：y~G~=，z~G~=9；
故G的坐标为：（11，，9）
因为：＞7，故G点不在平面BCC~1~B~1~上，
所以：G点只能在平面DCC~1~D~1~上；
因此有：y~G~=7；x~G~≤11，z~G~≤12
此时：=（x~G~﹣8，y~G~﹣6，z~G~﹣0）=（x~G~﹣8，1，z~G~）
即有：（4，3，12）=λ（x~G~﹣8，1，z~G~）
解得：x~G~=，z~G~=4；
满足：x~G~≤11，z~G~≤12
故G的坐标为：（，7，4）
所以：l~3~=\|FG\|==
（4）l~4~长度计算
设G点在平面A~1~B~1~C~1~D~1~的投影为G'，坐标为（，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A~1~B~1~C~1~D~1~相交，且交点H只能在A~1~G\'；
易知：l~4~＞\|GG'\|=12﹣4=8＞l~3~．
根据以上解析，可知l~1~，l~2~，l~3~，l~4~要满足以下关系：
l~1~=l~2~；且l~4~＞l~3~
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故选：C．
【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．
**二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题**
11．（5分）对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
【解答】解：对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\|
=\|x﹣1\|+\|﹣x\|+\|1﹣y\|+\|y+1\|
≥\|x﹣1﹣x\|+\|1﹣y+y+1\|=3，
当且仅当x∈\[0，1\]，y∈\[﹣1，1\]成立．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．
**坐标系与参数方程选做题**
12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A．ρ=，0≤θ≤ B．ρ=，0≤θ≤
C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤ D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程．
【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1），
可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ=．
由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈\[0，\]，
故选：A．
【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．
**三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C~10~^4^种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C~7~^3^种结果，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从10件中取4件有C~10~^4^种结果，
满足条件的事件是恰好有1件次品有C种结果，
∴恰好有一件次品的概率是P==
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题．
14．（5分）若曲线y=e^﹣x^上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是[ （﹣ln2，2） ]{.underline}．
【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
【解答】解：设P（x，y），则y=e^﹣x^，
∵y′=﹣e^﹣x^，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
∴﹣e^﹣x^=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e^﹣x^=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
15．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．
【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，
=3﹣2=（），=3﹣=（），
∴cosβ===．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力．
16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．
【解答】解：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则①，②，
∵M是线段AB的中点，
∴=1，=1，
∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，
∴y~1~﹣y~2~=﹣（x~1~﹣x~2~），
∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，
∴①②两式相减可得，即，
∴a=b，
∴=b，
∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．
**五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）
（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间\[0，π\]上的最大值与最小值；
（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．
【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣），再根据x∈\[0，π\]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．
（2）由条件可得θ∈（﹣，），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．
【解答】解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）
=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx﹣sinx=﹣sinx+cosx
=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）．
∵x∈\[0，π\]，∴x﹣∈\[﹣，\]，
∴sin（x﹣）∈\[﹣，1\]，
∴﹣sin（x﹣）∈\[﹣1，\]，
故f（x）在区间\[0，π\]上的最小值为﹣1，最大值为．
（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣，），
f（）=0，f（π）=1，
∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，
由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==﹣﹣．
再根据cos2θ=1﹣2sin^2^θ，可得﹣﹣=1﹣2×，
求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣，θ=﹣．
综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）已知首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}（b~n~≠0，n∈N^\*^）满足a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0．
（1）令c~n~=，求数列{c~n~}的通项公式；
（2）若b~n~=3^n﹣1^，求数列{a~n~}的前n项和S~n~．
【分析】（1）由a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0，c~n~=，可得数列{c~n~}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c~n~}的通项公式；
（2）用错位相减法来求和．
【解答】解：（1）∵a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0，c~n~=，
∴c~n~﹣c~n+1~+2=0，
∴c~n+1~﹣c~n~=2，
∵首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}，
∴数列{c~n~}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴c~n~=2n﹣1；
（2）∵b~n~=3^n﹣1^，c~n~=，
∴a~n~=（2n﹣1）•3^n﹣1^，
∴S~n~=1×3^0^+3×3^1^+...+（2n﹣1）×3^n﹣1^，
∴3S~n~=1×3+3×3^2^+...+（2n﹣1）×3^n^，
∴﹣2S~n~=1+2•（3^1^+...+3^n﹣1^）﹣（2n﹣1）•3^n^，
∴S~n~=（n﹣1）3^n^+1．
【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=（x^2^+bx+b）（b∈R）
（1）当b=4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．
【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于0恒成立，得到对任意x∈（0，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．
【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x^2^+4x+4）=（x），
则=．
由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．
当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．
∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．
当x=0时，f（x）取极大值为4；
（2）由f（x）=（x^2^+bx+b），得：
=．
由f（x）在区间（0，）上单调递增，
得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．
即﹣5x^2^﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．
∴对任意x∈（0，）恒成立．
∵．
∴．
∴b的取值范围是．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=，PM=，设AB=x，则V~P﹣ABCD~=，故当时，V~P﹣ABCD~取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．
（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，
作OM⊥BC，连接PM
∴PM⊥BC，
∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，
∴BC=，PM===，BM==，
设AB=x，∴OM=x∴PO=，
∴V~P﹣ABCD~=×x××==，
当，即x=，V~P﹣ABCD~=，
建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，
则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）
面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）
∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos
【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．
21．（13分）如图，已知双曲线C：﹣y^2^=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x~0~，y~0~）（y~0~≠0）的直线l：﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
【分析】（1）依题意知，A（c，），设B（t，﹣），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=，从而可得双曲线C的方程；
（2）易求A（2，），l的方程为：﹣y~0~y=1，直线l：﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N，可求得M（2，），N（，），于是化简=可得其值为，于是原结论得证．
【解答】（1）解：依题意知，A（c，），设B（t，﹣），
∵AB⊥OB，BF∥OA，∴•=﹣1，=，
整理得：t=，a=，
∴双曲线C的方程为﹣y^2^=1；
（2）证明：由（1）知A（2，），l的方程为：﹣y~0~y=1，
又F（2，0），直线l：﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．
于是可得M（2，），N（，），
∴=====．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．
22．（14分）随机将1，2，...，2n（n∈N^\*^，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a~1~，最大数为a~2~；B组最小数为b~1~，最大数为b~2~；记ξ=a~2~﹣a~1~，η=b~2~﹣b~1~．
（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．
（2）根据C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式；
（3）判断P（C）和P（）的大小关系，即判断P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案．
【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5
其中P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）==，
P（ξ=5）==，
故随机变量ξ的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ 2 3 4 5
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ的数学期望E（ξ）=2×+3×+4×+5×=；
（2）∵C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，
∴P（C）=2×
（3）当n=2时，P（C）=2×=，此时P（）＜；
即P（）＜P（C）；
当n≥3时，P（C）=2×＜，此时P（）＞；
即P（）＞P（C）；
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
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**2007年湖南卷**
**数学（文史类）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设（），关于的方程（）有实数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
5．在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米
8．函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．**
11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 [ ]{.underline} ．
12．在中，角所对的边分别为，若，，，则 [ ]{.underline} ．
13．若，，则 [ ]{.underline} ．
14．设集合，，，
（1）的取值范围是 [ ]{.underline} ；
（2）若，且的最大值为9，则的值是 [ ]{.underline} ．
15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是 [ ]{.underline} ；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（本小题满分12分）
已知函数．求：
（I）函数的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
18．（本小题满分12分）
如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．
19．（本小题满分13分）
已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（I）证明，为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
20．（本小题满分13分）
设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
21．（本小题满分13分）
已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）**
**数学（文史类）参考答案**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．**
11．
12．
13．3
14．（1）（2）
15．，
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．解：
．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．
17．解：任选1名下岗人员，记"该人参加过财会培训"为事件，"该人参加过计算机培训"为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是．
所以该人参加过培训的概率是．
（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是．
18．解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
19．解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得..........................................①
当不与轴垂直时，由（I） 有．.....................②
．...........................③
由①②③得．.........................................................④
．..............................................................................⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
20．解：（I）当时，由已知得．
因为，所以． ..............................①
于是． .........................................................②
由②－①得：．...................................................③
于是．............................................................④
由④－③得：．.........................................................⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
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**2019年宁夏中考数学试卷**
**一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目要求的）**
1．（3分）（2019•宁夏）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为"新世界七大奇迹"之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•宁夏）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•宁夏）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图
所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图
是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•宁夏）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
-------------- ----------- ----- ----- ----- ----- -----------
阅读时间小时 0.5及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5及以上
人数 2 9 6 5 4 4
-------------- ----------- ----- ----- ----- ----- -----------
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
5．（3分）（2019•宁夏）如图，在中，点和分别在和上，且．连接，过点的直线与平行，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•宁夏）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•宁夏）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
8．（3分）（2019•宁夏）如图，正六边形的边长为2，分别以点，为圆心，以，为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）（2019•宁夏）分解因式：[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•宁夏）计算：[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•宁夏）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•宁夏）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•宁夏）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为[ ]{.underline}小时．
14．（3分）（2019•宁夏）如图，是的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则的半径为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•宁夏）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是[ ]{.underline}．（只填序号）
**三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）**
17．（6分）（2019•宁夏）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的△．
18．（6分）（2019•宁夏）解方程：．
19．（6分）（2019•宁夏）解不等式组：．
20．（6分）（2019•宁夏）学校在"我和我的祖国"快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
21．（6分）（2019•宁夏）如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
22．（6分）（2019•宁夏）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为，，，，，，，，其中""表示投放正确，""表示投放错误，统计情况如下表．
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 学生 | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 垃圾类别 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 厨余垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 可回收垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 有害垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 其他垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里"有害垃圾"投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
**四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）**
23．（8分）（2019•宁夏）如图在中，，以为直径作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作的切线，交于点，若，求的值．
24．（8分）（2019•宁夏）将直角三角板按如图1放置，直角顶点与坐标原点重合，直角边、分别与轴和轴重合，其中．将此三角板沿轴向下平移，当点平移到原点时运动停止．设平移的距离为，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为，关于的函数图象（如图2所示）与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）试确定三角板的面积；
（2）求平移前边所在直线的解析式；
（3）求关于的函数关系式，并写出点的坐标．
25．（10分）（2019•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．取．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：
------------ ----- --- --- --- --- --- --
跑道宽度米 0 1 2 3 4 5
跑道周长米 400
------------ ----- --- --- --- --- --- --
若设表示跑道宽度（单位：米），表示该跑道周长（单位：米），试写出与的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
26．（10分）（2019•宁夏）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点（点不与，重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．
（1）试说明不论为何值时，总有；
（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；
（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．
**2019年宁夏中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中只有一个是符合目要求的）**
1．（3分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为"新世界七大奇迹"之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为．
故选：．
2．（3分）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【考点】算术平方根；立方根
【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．
【解答】解：，故选项不合题意；
，故选项不合题意；
，故选项不合题意；
，故选项符合题意．
故选：．
3．（3分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，据此可得．
【解答】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图为：
故选：．
4．（3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
-------------- ----------- ----- ----- ----- ----- -----------
阅读时间小时 0.5及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5及以上
人数 2 9 6 5 4 4
-------------- ----------- ----- ----- ----- ----- -----------
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
【考点】众数；中位数
【分析】根据表格中的数据可知共有30人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：
30名学生平均每天阅读时间的是0.7，
故选：．
5．（3分）如图，在中，点和分别在和上，且．连接，过点的直线与平行，若，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
6．（3分）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是
A． B． C． D．
【考点】菱形的判定
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：．
7．（3分）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【解答】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项、错误，选项正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项错误，
故选：．
8．（3分）如图，正六边形的边长为2，分别以点，为圆心，以，为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；正多边形和圆
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：正六边形的边长为2，
正六边形的面积是：，，
图中阴影部分的面积是：，
故选：．
**二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）**
9．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
10．（3分）计算：[ ]{.underline}．
【考点】负整数指数幂；实数的运算
【分析】分别化简每一项可得；
【解答】解：；
故答案为；
11．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为[ 4 ]{.underline}．
【考点】概率公式
【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为，根据摸到白色乒乓球的概率为列出关于的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
盒子内白色乒乓球的个数为4，
故答案为：4．
12．（3分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围[ ]{.underline}．
【考点】根的判别式
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【解答】解：方程有两个不相等的实数根，
△，即，
解得，
故答案为：．
13．（3分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为[ 1.15 ]{.underline}小时．
【考点】加权平均数；条形统计图
【分析】首先根据条形图得出该班学生的总人数以及一天用于体育锻炼的时间，再利用加权平均数的公式列式计算即可．
【解答】解：由图可知，该班一共有学生：（人，
该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：（小时）．
故答案为1.15．
14．（3分）如图，是的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则的半径为[ ]{.underline}．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】连接，设半径为，用表示，根据勾股定理建立的方程，便可求得结果．
【解答】解：连接，设半径为，
将劣弧沿弦折叠交于的中点，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为：．
15．（3分）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则[ ]{.underline}．
【考点】含30度角的直角三角形；作图基本作图；角平分线的性质
【分析】利用基本作图得平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值．
【解答】解：由作法得平分，
，，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为．
16．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即为例加以说明．数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是[ ② ]{.underline}．（只填序号）
【考点】一元二次方程的应用
【分析】仿造案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
【解答】解：即，
构造如图②中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
据此易得．
故答案为：②．
**三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）**
17．（6分）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的△．
【考点】作图旋转变换
【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，其中点的坐标为．
（2）如图所示，△即为所求．
18．（6分）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边同时乘以，得；
【解答】解：，
方程两边同时乘以，得
，
，
将检验是方程的解；
方程的解为；
19．（6分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
20．（6分）学校在"我和我的祖国"快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每位男生的化妆费是元，每位女生的化妆费是元．关键描述语：5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（2）设男生有人化妆，根据女生人数列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是元，每位女生的化妆费是元，
依题意得：．
解得：．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；
（2）设男生有人化妆，
依题意得：．
解得．
即的最大值是37．
答：男生最多有37人化妆．
21．（6分）如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【分析】（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到，由，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在与中，，
，
；
（2）解：，
，
，
．
22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为，，，，，，，，其中""表示投放正确，""表示投放错误，统计情况如下表．
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 学生 | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 垃圾类别 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 厨余垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 可回收垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 有害垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
| 其他垃圾 | | | | | | | | |
+------------+---+---+---+---+---+---+---+---+
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里"有害垃圾"投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
【考点】列表法与树状图法；统计表
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）利用列表法可得所有等可能结果．
【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；
（2）列表如下：
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
**四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）**
23．（8分）如图在中，，以为直径作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作的切线，交于点，若，求的值．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由边等得角等，再由同位角相等，可证得平行；
（2）连接，由得，由切线得，由，得，再利用三角函数可求得与的比值．
【解答】解：（1）证明
（2）如图，连接，
，
为的切线，
为的直径
，
24．（8分）将直角三角板按如图1放置，直角顶点与坐标原点重合，直角边、分别与轴和轴重合，其中．将此三角板沿轴向下平移，当点平移到原点时运动停止．设平移的距离为，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为，关于的函数图象（如图2所示）与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）试确定三角板的面积；
（2）求平移前边所在直线的解析式；
（3）求关于的函数关系式，并写出点的坐标．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）与轴相交于点，，可知，；
（2）设的解析式，将点，代入即可；
（3）在移动过程中，则，所以，；当时，，即可求．
【解答】解：（1）与轴相交于点，，
，
，
，
；
（2），，
设的解析式，
，
，
；
（3）在移动过程中，则，
，
当时，，
．
25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．取．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：
------------ ----- --- --- --- --- --- --
跑道宽度米 0 1 2 3 4 5
跑道周长米 400
------------ ----- --- --- --- --- --- --
若设表示跑道宽度（单位：米），表示该跑道周长（单位：米），试写出与的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
【考点】一次函数的应用；规律型：图形的变化类
【分析】（1）根据周长的意义：直道长度弯道长度求出，
（2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式．
（3）依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽1.2米，求出可以设计几条跑道．
【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度
（2）表格如下：
；
（3）当时，即，
解得：
条
最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．
26．（10分）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点（点不与，重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．
（1）试说明不论为何值时，总有；
（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；
（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（3）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质用表示出、，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
【解答】解：（1），
，
，又，
；
（2）当时，四边形为平行四边形，
，，
四边形为平行四边形；
（3），，，
，
，
，即，
解得，，，
，
，即，
解得，，
则四边形的面积，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第5课《倒推法的妙用》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第五讲 倒推法的妙用 习题解答
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------体积与容积》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)物体所占( )，叫作物体的体积。
(2)容器所能容纳( )，叫作容器的容积。
(3)把土豆放入有水的量杯中，水面会( )，这是因为( )。
(4)把一块橡皮泥先捏成长方体，再捏成正方体，它们的( )不变。
(5)用6个完全一样的小正方体拼成一个长方体，每个小正方体的体积是这个长方体体积的( )。
2．选择。
(1)冰箱的体积( )它的容积。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A．大于 B．小于 C．等于
(2)把一个长方体分割成若干个小正方体，它的体积( )。
A．增加 B．减少 C．不变
(3)做一个汽油箱，要用多少铁皮，是求油箱的( )；这个油箱占多大的空间是求油箱的( )；油箱能装多少汽油是求油箱的( )。
A．体积 B．容积 C．表面积
(4)如果一个水杯最多装水400毫升，我们就说这个水杯的( )是400毫升。
A．体积 B．容积 C．表面积
3．仔细想，认真判。
(1)正方体的体积比长方体的体积大。 ( )
(2)所有的物体都有体积。 ( )
(3)所有的物体都有容积。 ( )
(4)水杯中装了半杯牛奶，牛奶的体积就是水杯的容积。 ( )
(5)把两个完全相同的长方体拼成一个大长方体，体积和表面积都不变。 ( )
(6)一个长方体纸箱里，放满了苹果，所有苹果的体积就是这个纸箱的容积。( )
4．两个体积一样大的盒子，它们的容积一样大吗？为什么？
5．小亮和小茜各有一瓶同样多的饮料，小亮倒了4杯，而小茜却倒了3杯，你认为有可能吗？为什么？
6．动手搭一搭。
用16个大小完全相同的小正方体搭一搭：
(1)搭出两个物体，使它们的体积相同。你能画一画吗？
(2)搭出两个物体，使其中一个物体体积是另一个物体体积的3倍。
7．把8块棱长1dm的正方体摆成一个长方体。
(1)怎样摆它的表面积最大？是多少平方分米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)怎样摆它的表面积最小，是多少平方分米？
**参考答案**
1.（1）空间的大小 （2）物体的体积 （3）上升 土豆要占有一定的空间
（4）体积（5）
2．(1)A (2)C (3)C A B (4)B来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
4．不一样大 因为木头比纸要厚一些，在体积一样大的情况下，木盒的容积比纸盒的容积要小一些。
5．有可能 因为每个杯子大小不同，那么4小杯就等于3大杯。
6．略
7．(1)摆成一行时表面积最大，34d㎡；(2)摆成一个大正方体时表面积最小，24d㎡。
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**2017-2018届高三数学下学期理科数学 周日测试7**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．记复数的虚部为，已知复数，（为虚数单位），则为（ ）
A．2 B．3 C． D．-3
3．已知命题："对任意，都有"，则命题的否定是（ ）
A．对任意，都有 B．存在，使得
C．对任意，都有 D．存在，使得
4．下列函数：，，，在上是增函数且为偶函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的奇函数满足：，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为"凸函数"，已知在上为"凸函数"，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为（ ）
A． B． C． D．
11．已知在中，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13．已知函数的定义域为（其中），则"在和上分别单调递增" 是"在上为增函数"的 [ ]{.underline} 条件.（填"充分不必要"、"必要不充分"、"充要"、"既不充分也不必要条件"）
14．已知函数.若，则实数的最小值为 [ ]{.underline} ．
15．设函数是定义在上的可导函数，且满足条件，则不等式的解集为 [ ]{.underline} ．
16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的"三斜公式"，设三个内角所对的边分别为，面积为，则"三斜求积"公式为．若，，则用"三斜求积"公式求得的面积为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17． 已知数列的前项和，其中．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求．
18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得"要不要再生一个"，"生二孩能休多久产假"等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．
19．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
20． 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
21． 已知函数（且）
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，设函数，函数，
①若恒成立，求实数的取值范围；
②证明：
22．在直角坐标系中，圆的方程为.
（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求直线的斜率.
23．选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（1）求的最大值；
（2）已知，，，且，求的最小值及此时的值．
附加题：
1.已知数列的前项和为，点在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和为，并求使不等式对一切都成立的最大正整数 的值．
2． 已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为，轴正半轴上的某点满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，求证：的周长是定值．
**2017-2018届高三数学下学期理科数学 周日测试7**
**参考答案**
**一、选择题**
1-5:ADBAC 6-10:CABCB 11、12：CD
**二、填空题**
13．必要不充分 14．3 15． 16．
**三、解答题**
17．【答案】（1）；
（2）．
18．解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.
（2）①设"两种安排方案休假周数和不低于32周"为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有、、、、、，共6种，由古典概型概率计算公式得．
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
， ，
因而的分布列为
-- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
29 30 31 32 33 34 35
0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1
-- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
所以.
19．解：（1）由于平面平面， 为等边三角形，
为的中点，则，
根据面面垂直性质定理，所以平面，
又平面，则．
（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
,,,,，
由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，
设平面的法向量，
,,,,,,
则，二面角的余弦值，
由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为．
20．解：（1）∵左顶点为
∴又∵∴
又∵∴椭圆的标准方程为．
（2）直线的方程为，由消元得
化简得， ，则
当时， ，
∴
∵点为的中点
∴点的坐标为，则.
直线的方程为，令，得点的坐标为，
假设存在定点使得,则，
即恒成立，∴恒成立
∴即 ∴定点的坐标为.
（3）∵∴的方程可设为，
由得点的横坐标为
由，得，
当且仅当即时取等号，
∴当时， 的最小值为．
21．解：（1）∵，令．
当时，解得；当时，解得，
所以时函数的单调递增区间是；
时函数的单调递增区间是
（2）①∵，由题意得，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴
由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）．
②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，
∴，令，累加可得
即
22．解：（1）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即，整理得，则．
23．解：（1）因为
当,或时取等号，
令，所以，或．
解得，或
∴的最大值为1
（2）由（1）．
由柯西不等式，，
∴，等号当且仅当，且时成立．
即当且仅当，，时，的最小值为．
附加题
1．解：（1）由题意，得
故当时，
当时，,所以.
（2）.
所以
由于，因此单调递增，
故.令，得，所以.
2.（1）设点的坐标为,可知,
.
因此椭圆的方程是.
（2）设,则,
,
∵,∴,
在圆中, 是切点,
∴,
∴,
同理,∴,
因此的周长是定值．
ADBAC CABCB CD
12【答案】D
【解析】设与在公共点处的切线相同， ，由题意，即，由得或（舍去），即有 ，令，则，于是当，即时， ；当，即时， ，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为，故的最大值为，故选D.
13-16 必要不充分 3 
17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．
18、解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.
（2）①设"两种安排方案休假周数和不低于32周"为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
， ，
因而的分布列为
-- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
29 30 31 32 33 34 35
0．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1
-- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
所以.
19（1）由于平面平面， 为等边三角形， 为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面，又平面，则．
（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为．
20．（1）（2）（3）．
（1）∵左顶点为
∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．
（2）直线的方程为，由消元得
化简得， ，则
当时， ，∴
∵点为的中点
∴点的坐标为，则.
直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立
∴即 ∴定点的坐标为.
（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为
由，得 ，当且仅当即时取等号，
∴当时， 的最小值为．
21解：（1），令．
当时，解得；当时，解得，
所以时函数的单调递增区间是；
时函数的单调递增区间是
（2）①，由题意得，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）．
②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，
，令，累加可得
即
22（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为．
⑵记直线的斜率为，则直线的方程为，由垂径定理及点到直线距离公式知： ， 即，整理得，则．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）因为*\|x*－3*\|*＋\|*x*－*m*\|≥*\|*(*x*－3)－(*x*－*m*)\|＝*\|m*－3\| ...2分
当3≤*x*≤*m*,或*m*≤*x*≤3时取等号，
令*\|m*－3\|≥2*m*，所以*m*－3≥2*m*，或*m*－3≤－2*m*． 解得*m*≤－3，或*m*≤1
∴*m*的最大值为1  ...5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）*a*＋*b*＋*c*＝1．
由柯西不等式，(＋＋1)( 4*a*^2^＋9*b*^2^＋*c*^2^)≥(*a*＋*b*＋*c*)*^2^*＝1， ...7分
∴4*a*^2^＋9*b*^2^＋*c*^2^≥，等号当且仅当4*a*＝9*b*＝*c*，且*a*＋*b*＋*c*＝1时成立．
即当且仅当*a*＝，*b*＝，*c*＝时，4*a*^2^＋9*b*^2^＋*c*^2^的最小值为．
1.解：（Ⅰ）由题意，得 **............1分**
故当时， **............4分**
当*n*=1时，, 所以 . **............5分**
（Ⅱ）. **............6分**
所以.**...8分**
由于，因此单调递增， **............9分**
故.令，得，所以. **............12分**
(1)设点G的坐标为,可知,
.
因此椭圆的方程是.
(2)方法1:设,则,
=,
∵,∴,
在圆中, 是切点,
∴==,
∴,
同理,∴,
因此△的周长是定值．
方法2:设的方程为,
由,得,
设,则,
∴==
=
,
∵与圆相切,∴,即,
∴,
∵,
∵,∴,
同理可得,
∴,
因此△的周长是定值．
| 1 | |
**河北省衡水中学2017届高三9月摸底联考（全国卷）理数试题**
**一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）**
1. 若集合，且，则集合可能是（ ）\[来源:学\_科\_网\]
A. B.  C. D.
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限\[来源om\]
3.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B.  C. D.
4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为（ ）
A.57 B.61 C.62 D.63
6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.为了得到，只需要将作如下变换（ ）\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
A.向右平移个单位  B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 \[来源:学科网ZXXK\]
8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75
9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. B. C.  D.
11.已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ）
A.2  B.3 C.4 D.5
12.函数的部分图象如图所示，且，对不同的，，若，有，则（ ）
A.在上是减函数 B.在上是增函数
C.在上是减函数 D.在上是增函数
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13.的展开式中项的系数为\_\_\_\_\_\_\_.
14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数\_\_\_\_\_\_\_.
15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，点测得，已知山高m，则山高\_\_\_\_\_\_\_m.
16.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17. （本小题满分12分）
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%．
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）；
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99^10^=(1-0.01)^10^≈0.9）
18. （本小题满分12分）
如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且．
（1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，
请证明；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，...，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
-- ------------------------------------- --- --- -----
5 6 7 8
0.4 0.1
-- ------------------------------------- --- --- -----
\[来源:学科网\]
且的数字期望，求，的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
**注**：①产品的"性价比"=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②"性价比"大的产品更具可购买性．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线，分别交椭圆C于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）已知函数(常数且).
（1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；\[
（2）若函数存在两个极值点，，证明：且.
**请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．
（1）若，，求的值；
（2）若，证明：．
\[来源:学\#科\#网\]
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线
的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．
（1）写出C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线C相交于，两点，求值．
24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数,.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
| 1 | |
**一年级数学期末调研测试卷（2021.01）**
**测试时间：60分钟 等第：**
**一、我会算。**
1.直接写得数。
13－3＝ 5＋7＝ 5＋0＝ 12－2－6＝
6＋7＝ 9＋9＝ 7－2＝ 5－4＋7＝
9－2＝ 7＋9＝ 2＋6＝ 9＋4－10＝
5＋10＝ 17－10＝ 8－5＝ 2＋3＋6＝
6－6＝ 3＋3＝ 8＋6＝ 10－4＋9＝
2.在括号里填合适的数。
（ ）＋5＝ 11 7＋（ ）＝13 **6＋（ ）\< 15**
8＋（ ）＝13 （ ）＋6＝15 7＋5 =（ ）+（ ）
**二、我会填。**
{width="1.0229166666666667in" height="0.9798611111111111in"}1.看图写数。
{width="0.8465277777777778in" height="0.4048611111111111in"}{width="1.3340277777777778in" height="0.6729166666666667in"}
> （ ）
>
> （ ） （ ） （ ） （ ）
2.想一想，填一填。
（1）10、12、（ ）、（ ）、18 、（ ）
2. （ ）、10、（ ）、8、7、
（3）20、（ ）、10、5、（ ）
3.在○里填上"＞""＜"或"＝"。
9+6○16 10-6○4 12○2+9 9-5○9-3
15○7+6 4-4○4+4 7+7○14 8○5+5
4.在16、10、4、6、中选3个数，写出两加法算式和两道减法算式。
□+□=□ □+□=□
□-□=□ □-□=□
5\. 与14相邻的数是（ ）和（ ）。
6.（ ）个十和（ ）个一合起来是17，（ ）添上1就是2个十。
7．数一数。
{width="5.1875in" height="1.25in"}
8\. 有一些数：5、11、7、17、19
（1）上面一共有（ ）个数，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。
（2）从左数起，第（ ）个数是7；从右数起，第（ ）个数是11。
（3）上面的数中，（ ）最接近20。
9.写出4道得数是11的加法算式。
□+□=□ □+□=□
□+□=□ □+□=□
**三、我会比。**
1.比一比。
1. 最短的打"√"。 (2) 最轻的打"√"。
{width="2.03125in" height="1.4375in"}{width="3.3645833333333335in" height="1.1659722222222222in"}
2\. 在得数小的算式后面画"√"。
6＋5□ 15－5□ 10－3□
> 3\. 同学们排队买票，从前往后数，小红的前面有7个人，后面有5个人，这一队一共有多少人？
12□ 13□ 16□
4\. 8+（ ）＜17，（ ）里最大能填几？
9□ 10□ 8□
> 5\. 小明看一本课外书，从第一页看起，第一天看了5页，第二天看了7页，第三天应该从第几页看起？
13□ 14□ 15□
**四、我会做。**
1.看图列算式。
（1）
{width="1.726388888888889in" height="1.3402777777777777in"}{width="2.1194444444444445in" height="1.3701388888888888in"}
（2）
□○□=□（ 枝 ） □○□=□（ 个 ）
（3） ○○○○○○ ○○ ★★★★★ ★★★ ★★★★
○○○○○○ ○○ ？个
□○□○□=□ □○□○□=□（ 个 ）
2.解决问题。
（1）一共折了18个纸鹤，送给小红10个，还剩多少个？
□○□=□（ 个 ）
（2）明明剪了9个★，红红剪的和他同样多。明明和红红一共剪了多少个？
□○□=□（ 个 ）
（3）下面有3盘梨，其中有两盘是给一（1）班小朋友的。他们最多可以端走多少个梨？最少呢？
{width="4.502777777777778in" height="0.6701388888888888in"}
最多：□○□=□（ 个 ） 最少：□○□=□（ 个 ）
一年级数学期末调研测试卷答案及分值。\
一、我会算。（共17分。第1题，每题0.5，共10分，第2题，每空1分，共7分）\
1.直接写得数
10 12 5 4 13 18 5 8 7 16 8 3 15 7 3 11 0 6 14 14 \
2.在括号里填合适的数。\
6 6 0～8都可以 5 9 4+ 8（答案不唯一）\
\
二、我会填。（共41分，第4题4分，第9题4分，其余每空1分。）\
1.看图写数。\
4 0 15 15\
2.想一想，填一填。\
（1）14 16 20 \
（2）11 9\
（3）15 0\
3.在○里填上＞＜或＝\
＜ ＝ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ \
4.第一种 4+6＝10 6+4＝10 10-4＝6 10-6＝4\
第二种 10+6＝16 6+10＝16 16-10＝6 16-6＝10\
5. 13 15\
6.1 7 19\
7.数一数 2 2 3\
8. （1）5 19 5 \
（2）3 4\
（3）19\
9.答案不唯一\
二、我会比。（共12分，第1题4分，其余每题2分）\
1.（1）中间那条打勾，\
（2）![C:\\Users\\Administrator\\AppData\\Roaming\\Tencent\\QQTempSys\\HO}{(\~@)\]PXUOF48Q4\~0B)I.png](./data/image/media/image13.png){width="0.23958333333333334in" height="0.23958333333333334in"}后面打勾\
2. 10-3 后面打勾\
3. 13 后面打勾\
4. 8 后面打勾\
5. 13 后面打勾\
四、我会做（共30分，第1题16分，（1）题4分，（2）题6分，（3）题6分，
第2题共14分，（1）题4分，（2）题4分（3）6分）\
1.看图列式计算
（1）7+3＝10， 3+7＝10\
10-3＝7 10-7＝3
（2）10+4＝14. 13-3＝10
> （3）12-2+4＝14 5+3+4＝12\
> 2、解决问题\
> （1）18-10＝8\
> （2）9+9＝18\
> （3）5+7＝12 5+3＝8
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2020---2021学年第一学期期末教学质量监测三年级数学试题
答案及评分标准
1. 选一选。（每题2分，共计20分） ACBBD BCBCC
2. 辨一辨。（每小题1分，共计5分） AABBB
三、填一填。（每空1分，共24分。）
5 300 180 1 千克 克 吨 秒 1/4 3/8 2/10（1/5） 4 2 ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＜ 32 50 30 6 30
四、算一算。（共20分）答案略
24.直接写得数（5分，每小题0.5分）
25.竖式计算。（验算题3分，其他题2分，共计9分）
竖式正确，横式不写得数或得数错误扣0.5分；竖式错误，横式得数正确，不得分；第三式验算1分。
```{=html}
<!-- -->
```
26. 脱式计算。（6分，每题2分）第一步正确，得数错误也不得分。
五、27.想一想，填一填（5分） 略
```{=html}
<!-- -->
```
6. 解决问题。（26分）
1题6分，其他每题4分。算式2分，得数、单位、答共2分。算式错误不得分；得数错误扣2分；得数正确，单位和答有错误扣0.5分。
28\. 9×4-3 200×3+200或200×（3+1）
29.42×8≈320（元）320＞300 不够 答：略
30.1/4+2/4=3/4 答：略
31.58×3+25=199（本） 答：略
32.48×8-7=377（人）或48×7+（48-7）=377（人） 答：略
33.6×2+4=16（米） 答：略
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**2015年陕西省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分**
1．（5分）设集合M={x\|x^2^=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．（5分）二项式（x+1）^n^（n∈N~+~）的展开式中x^2^的系数为15，则n=（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|\|≤\|\|\|\| B．\|\|≤\|\|\|﹣\|\|\|
C．（）^2^=\|\|^2^ D．（）•（）=^2^﹣^2^
8．（5分）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
A．2 B．4 C．10 D．28
9．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
12．（5分）对二次函数f（x）=ax^2^+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
**二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为[ ]{.underline}．
14．（5分）若抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过双曲线x^2^﹣y^2^=1的一个焦点，则p=[ ]{.underline}．
15．（5分）设曲线y=e^x^在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为[ ]{.underline}．
16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为[ ]{.underline}．
**三、解答题，共5小题，共70分**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A~1~BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）若平面A~1~BE⊥平面BCDE，求平面A~1~BC与平面A~1~CD夹角的余弦值．
19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：
------------ ---- ---- ---- ----
T（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 40 60 80 20
------------ ---- ---- ---- ----
（1）求T的分布列与数学期望ET；
（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）^2^+（y﹣1）^2^=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
21．（12分）设f~n~（x）是等比数列1，x，x^2^，...，x^n^的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数F~n~（x）=f~n~（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x~n~），且x~n~=+x；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g~n~（x），比较f~n~（x）和g~n~（x）的大小，并加以证明．
**四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
**六、选修4-5：不等式选讲**
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
**2015年陕西省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分**
1．（5分）设集合M={x\|x^2^=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x\|x^2^=x}={0，1}，
N={x\|lgx≤0}=（0，1\]，
得M∪N={0，1}∪（0，1\]=\[0，1\]．
故选：A．
【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
【解答】解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，
函数取最小值y~min~=﹣3+k=2，解得k=5，
∴y=3sin（x+φ）+5，
∴当当sin（x+φ）取最大值1时，
函数取最大值y~max~=3+5=8，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
4．（5分）二项式（x+1）^n^（n∈N~+~）的展开式中x^2^的系数为15，则n=（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由题意可得==15，解关于n的方程可得．
【解答】解：∵二项式（x+1）^n^（n∈N~+~）的展开式中x^2^的系数为15，
∴=15，即=15，解得n=6，
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理，属基础题．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由cos2α=cos^2^α﹣sin^2^α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos^2^α﹣sin^2^α，
∴"sinα=cosα"是"cos2α=0"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|\|≤\|\|\|\| B．\|\|≤\|\|\|﹣\|\|\|
C．（）^2^=\|\|^2^ D．（）•（）=^2^﹣^2^
【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A恒成立，∵\|\|=\|\|\|\|\|cos＜，＞\|，
又\|cos＜，＞\|≤1，∴\|\|≤\|\|\|\|恒成立；
选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得\|\|≥\|\|\|﹣\|\|\|；
选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）^2^=\|\|^2^；
选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=^2^﹣^2^．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．
8．（5分）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）
A．2 B．4 C．10 D．28
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=2006，
x=2004
满足条件x≥0，x=2002
满足条件x≥0，x=2000
...
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣2
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．
【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
q=f（）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B．
【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，
则，
目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，
此时z最大，
解方程组，解得，
即B的坐标为x=2，y=3，
∴z~max~=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．
11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
【解答】解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且\|z\|≤1，
∴\|z\|=≤1，即（x﹣1）^2^+y^2^≤1，
∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，
而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率P==
故选：D．
【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．
12．（5分）对二次函数f（x）=ax^2^+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．
【解答】解：可采取排除法．
若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax^2^+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，
即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，
又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．
若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；
若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；
若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．
**二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分**
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为[ 5 ]{.underline}．
【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【解答】解：设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案为：5
【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．
14．（5分）若抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过双曲线x^2^﹣y^2^=1的一个焦点，则p=[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先求出x^2^﹣y^2^=1的左焦点，得到抛物线y^2^=2px的准线，依据p的意义求出它的值．
【解答】解：双曲线x^2^﹣y^2^=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y^2^=2px的准线为x=﹣，
∴=，∴p=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y^2^=2px中p的意义．
15．（5分）设曲线y=e^x^在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为[ （1，1） ]{.underline}．
【分析】利用y=e^x^在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．
【解答】解：∵f\'（x）=e^x^，
∴f\'（0）=e^0^=1．
∵y=e^x^在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直
∴点P处的切线斜率为﹣1．
又y\'=﹣，设点P（x~0~，y~0~）
∴﹣=﹣1，
∴x~0~=±1，∵x＞0，∴x~0~=1
∴y~0~=1
∴点P（1，1）
故答案为：（1，1）
【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．
16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为[ 1.2 ]{.underline}．
【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．
【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax^2^，因为抛物线经过（5，2），可得a=，
所以抛物线方程：y=，
横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
2×=2（）=，
等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，
原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．
**三、解答题，共5小题，共70分**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，可得7=4+c^2^﹣2c，解得c=3，
△ABC的面积为：=．
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A~1~BE的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）若平面A~1~BE⊥平面BCDE，求平面A~1~BC与平面A~1~CD夹角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）若平面A~1~BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A~1~BC与平面A~1~CD夹角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，
∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA~1~，BE⊥OC，
则BE⊥平面A~1~OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）若平面A~1~BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA~1~，BE⊥OC，
∴∠A~1~OC为二面角A~1~﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A~1~OC=，
如图，建立空间坐标系，
∵A~1~B=A~1~E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A~1~（0，0，），C（0，，0），
=（﹣，，0），=（0，，﹣），
设平面A~1~BC的法向量为=（x，y，z），平面A~1~CD的法向量为=（a，b，c），
则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），
由得，
取=（0，1，1），
则cos＜＞===，
∴平面A~1~BC与平面A~1~CD夹角的余弦值为．
【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．
19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：
------------ ---- ---- ---- ----
T（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 40 60 80 20
------------ ---- ---- ---- ----
（1）求T的分布列与数学期望ET；
（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
【分析】（1）由统计结果可得T的频率分布，以频率估计概率得T的分布列，能求出T的分布列与数学期望ET．
（II）设T~1~，T~2~分别表示往、返所需时间，T~1~，T~2~的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示"唐教授共用时间不超过120分钟"，由于讲座时间为50分钟，事件A对应于"唐教授在途中的时间不超过70分钟"．由此能求出唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
【解答】解：（1）由统计结果可得T的频率分布为
----------- ----- ----- ----- -----
T（分钟） 25 30 35 40
频率 0.2 0.3 0.4 0.1
----------- ----- ----- ----- -----
以频率估计概率得T的分布列为
--- ----- ----- ----- -----
T 25 30 35 40
P 0.2 0.3 0.4 0.1
--- ----- ----- ----- -----
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32．（分钟）...（4分）
（II）设T~1~，T~2~分别表示往、返所需时间，T~1~，T~2~的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示"唐教授共用时间不超过120分钟"，由于讲座时间为50分钟，
所以事件A对应于"唐教授在途中的时间不超过70分钟"．
P（A）=P（T~1~+T~2~≤70）=P（T~1~=25，T~2~≤45）+P（T~1~=30，T~2~≤40）+P（T~1~=35，T~2~≤35）+P（T~1~=40，T~2~≤30）
=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．...（10分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）^2^+（y﹣1）^2^=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x^2^+4y^2^=4b^2^，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b^2^=3，即可得到椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，
则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，
e===；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x^2^+4y^2^=4b^2^，①
由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则\|AB\|=，
易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k^2^）x^2^+8k（1+2k）x+4（1+2k）^2^﹣4b^2^=0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则x~1~+x~2~=．x~1~x~2~=，
由M为AB的中点，可得x~1~+x~2~=﹣4，得=﹣4，解得k=，
从而x~1~x~2~=8﹣2b^2^，于是\|AB\|=•\|x~1~﹣x~2~\|=•
==，解得b^2^=3，
则有椭圆E的方程为+=1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
21．（12分）设f~n~（x）是等比数列1，x，x^2^，...，x^n^的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数F~n~（x）=f~n~（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x~n~），且x~n~=+x；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g~n~（x），比较f~n~（x）和g~n~（x）的大小，并加以证明．
【分析】（Ⅰ）由F~n~（x）=f~n~（x）﹣2=1+x+x^2^+...++x^n^﹣2，求得F~n~（1）＞0，F~n~（）＜0．再由导数判断出函数F~n~（x）在（，1）内单调递增，得到F~n~（x）在（，1）内有且仅有一个零点x~n~，由F~n~（x~n~）=0，得到；
（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=f~n~（x）﹣g~n~（x）=1+x+x^2^+...++x^n^﹣，当x=1时，f~n~（x）=g~n~（x）．
当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f~n~（x）＜g~n~（x）．
【解答】证明：（Ⅰ）由F~n~（x）=f~n~（x）﹣2=1+x+x^2^+...+x^n^﹣2，
则F~n~（1）=n﹣1＞0，
F~n~（）=1+．
∴F~n~（x）在（，1）内至少存在一个零点，
又，∴F~n~（x）在（，1）内单调递增，
∴F~n~（x）在（，1）内有且仅有一个零点x~n~，
∵x~n~是F~n~（x）的一个零点，∴F~n~（x~n~）=0，
即，故；
（Ⅱ）由题设，，
设h（x）=f~n~（x）﹣g~n~（x）=1+x+x^2^+...+x^n^﹣，x＞0．
当x=1时，f~n~（x）=g~n~（x）．
当x≠1时，．
若0＜x＜1，h′（x）＞=．
若x＞1，h′（x）＜=．
∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，
∴h（x）＜h（1）=0，即f~n~（x）＜g~n~（x）．
综上，当x=1时，f~n~（x）=g~n~（x）；
当x＞0且x≠1时，f~n~（x）＜g~n~（x）．
【点评】本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．
**四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
则=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
则AD=3，
由切割线定理得AB^2^=AD•AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直径为3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
**五、选修4-4：坐标系与参数方程**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ^2^=2，把代入即可得出；．
（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得\|PC\|=，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ^2^=2，化为x^2^+y^2^=，
配方为=3．
（II）设P，又C．
∴\|PC\|==≥2，
因此当t=0时，\|PC\|取得最小值2．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**六、选修4-5：不等式选讲**
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式\|x+a\|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x\|2＜x＜4}，
∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
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**2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）**
**一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）**
1．已知集合A={x\|\|x+1\|≤2，x∈z}，B={y\|y=x^2^，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1\] B．\[﹣1，1\] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S^2^~甲~＜S^2^~乙~ B．＜，S^2^~甲~＞S^2^~乙~
C．＞，S^2^~甲~＞S^2^~乙~ D．＞，S^2^~甲~＜S^2^~乙~
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
5．设S~n~是等比数列{a~n~}的前n项的和，S~m﹣1~=45，S~m~=93，则S~m+1~=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）^2^+μ^2^的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记"点P（a，b）落在直线x+y=n上"为事件C~n~（2≤n≤5，n∈N），若事件C~n~的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
9．已知函数f（x）=，若存在x~1~，x~2~，当0≤x~1~＜4≤x~2~≤6时，f（x~1~）=f（x~2~），则x~1~•f（x~2~）的取值范围是（ ）
A．\[0，1） B．\[1，4\] C．\[1，6\] D．\[0，1\]∪\[3，8\]
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm^2^） B．16+6+4π（cm^2^） C．12+4π（cm^2^） D．22+4π（cm^2^）
11．已知抛物线C~1~：y=x^2^（p＞0）的焦点与双曲线C~2~：﹣y^2^=1的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M，若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）**
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为[ ]{.underline} 米．
14．在（1+x）+（1+x）^2^+...+（1+x）^9^的展开式中，x^2^项的系数是[ ]{.underline}（用数字作答）
15．已知抛物线y^2^=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是[ ]{.underline}．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在\[﹣π，0\]上的值域．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为"微信控"，否则称其为"非微信控"，调查结果如表：
------ -------- ---------- ------
微信控 非微信控 合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
------ -------- ---------- ------
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为"微信控"与"性别"有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中"微信控"和"非微信控"的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中"微信控"的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
---------------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
P（K^2^≥k~0~） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k~0~ 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635
---------------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
20．已知椭圆的两个焦点分别为F~1~（﹣c，0）和F~2~（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F~1~A∥F~2~B，\|F~1~A\|=2\|F~2~B\|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F~2~B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF~1~C的外接圆上，求的值．
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
**选修4一1：几何证明选讲**
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记\|MA\|，\|MB\|，求\|MA\|•\|MB\|的值．
**选修4一5不等式选讲**
24．设函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x﹣2\|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式\|\|a+b\|﹣\|a﹣b\|\|≤\|a\|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
**2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）**
1．已知集合A={x\|\|x+1\|≤2，x∈z}，B={y\|y=x^2^，﹣1≤x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1\] B．\[﹣1，1\] C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x\|\|x+1\|≤2，x∈z}
={x\|﹣3≤x≤1，x∈Z}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
B={y\|y=x^2^，﹣1≤x≤1}={y\|0≤y≤1}，
∴A∩B={0，1}．
故选：C．
2．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（ ）
A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出z的值．
【解答】解：∵（3+z）i=1，∴z==﹣3﹣i，
故选B．
3．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）
A．＜，S^2^~甲~＜S^2^~乙~ B．＜，S^2^~甲~＞S^2^~乙~
C．＞，S^2^~甲~＞S^2^~乙~ D．＞，S^2^~甲~＜S^2^~乙~
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．
【分析】由茎叶图，分别求出和，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，由此能求出结果．
【解答】解：由茎叶图，得：
=（15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8，
=（18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625，
∴＞，
又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，
∴＜，
故选：D．
4．设x，y满足，若目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，则a为（ ）
A． B．23 C．2 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a的值．
【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数z=ax+y（a＞0）最大值为14，即目标函数z=ax+y（a＞0）在的交点M（4，6）处，目标函数z最大值为14，
所以4a+6=14，所以a=2．
故选C．
5．设S~n~是等比数列{a~n~}的前n项的和，S~m﹣1~=45，S~m~=93，则S~m+1~=189，则m=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意得===2，再由S~m~==93解得a~1~=3，从而求m．
【解答】解：∵===2，
∴S~m~===93，
故a~1~=3，
故a~m~=3•2^m﹣1^=48，
解得，m=5，
故选B．
6．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）^2^+μ^2^的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，
E在线段AD上，所以存在实数k使得；
；
∴==；
∴；
∴=；
∴时，t取最小值．
故选：C．
7．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
【考点】组合及组合数公式．
【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；
解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．
【解答】解：
解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C~5~^2^=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C~5~^3^=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C~5~^4^=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C~5~^5^=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C~5~^3^=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C~5~^4^=5种；
若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C~5~^5^=1种；
若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C~5~^4^=5种；
若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C~5~^5^=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C~5~^5^=1种；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C~5~^2^=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C~5~^3^=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C~5~^4^=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C~5~^5^=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．
8．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记"点P（a，b）落在直线x+y=n上"为事件C~n~（2≤n≤5，n∈N），若事件C~n~的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
【考点】概率的意义；集合的含义．
【分析】分别从集合A和B中随机取一个数a和b，组成一个有序数对，共有2×3中方法，要计算事件C~n~的概率最大时n的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出n的所有可能值．
【解答】解：事件C~n~的总事件数为6．只要求出当n=2，3，4，5时的基本事件个数即可．
当n=2时，落在直线x+y=2上的点为（1，1）；
当n=3时，落在直线x+y=3上的点为（1，2）、（2，1）；
当n=4时，落在直线x+y=4上的点为（1，3）、（2，2）；
当n=5时，落在直线x+y=5上的点为（2，3）；
显然当n=3，4时，事件C~n~的概率最大为，
故选D
9．已知函数f（x）=，若存在x~1~，x~2~，当0≤x~1~＜4≤x~2~≤6时，f（x~1~）=f（x~2~），则x~1~•f（x~2~）的取值范围是（ ）
A．\[0，1） B．\[1，4\] C．\[1，6\] D．\[0，1\]∪\[3，8\]
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知将x~1~•f（x~2~）转化为x~1~f（x~1~），再根据函数y=xf（x）的性质求解．
【解答】解：当0≤x~1~＜4≤x~2~≤6时，因为f（x~1~）=f（x~2~），由f（x~1~）=f（x~2~）=1或f（x~1~）=f（x~2~）=2，得到x~1~的取值范围是\[1，3\]，
所以x~1~•f（x~2~）=x~1~•f（x~1~）=x~1~（1﹣\|x~1~\|﹣2）=，即x~1~f（x~2~）的范围是\[1，4\]．
故选B．
10．某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．10+6+4π（cm^2^） B．16+6+4π（cm^2^） C．12+4π（cm^2^） D．22+4π（cm^2^）
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为2的等腰直角三角形，高是3，圆柱的底面半径是1，高是3，写出表面积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，
三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，高是3，
半圆柱的底面半径是1，高是3，
∴组合体的表面积是2×2+2×3+2×3+π+π×1×32=10+6+4π．
故选：A．
11．已知抛物线C~1~：y=x^2^（p＞0）的焦点与双曲线C~2~：﹣y^2^=1的右焦点的连线交C~1~于第一象限的点M，若C~1~在点M处的切线平行于C~2~的一条渐近线，则p=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=x^2^（p＞0）在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．
【解答】解：由抛物线C~1~：y=x^2^（p＞0）得x^2^=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．
由﹣y^2^=1得a=，b=1，c=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，
即①．
设该直线交抛物线于M（），则C~1~在点M处的切线的斜率为．
由题意可知=，得x~0~=，代入M点得M（，）
把M点代入①得：．
解得p=．
故选：D．
12．关于曲线C：，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足 D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为
上述命题中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．
【解答】解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D正确．
真命题有3个，故选：C．
**二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）**
13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为[ 50 ]{.underline} 米．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】理解方位角、仰角的含义，画出图形，确定△ABD中的边与角，利用余弦定理，即可求得结论．
【解答】解：如图，CD为古塔的高度，设为hm，由题意，CD⊥平面ABD，AB=100米，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°
在△CBD中，BD=hm，在△CAD中，AD=hm，
在△ABD中，BD=hm，AD=hm，AB=100m，∠BAD=60°，
∴3h^2^=10000+h^2^﹣2×100hcos60°
∴（h﹣50）（h+100）=0
∴h=50或h=﹣100（舍去）
故答案为：50
14．在（1+x）+（1+x）^2^+...+（1+x）^9^的展开式中，x^2^项的系数是[ 120 ]{.underline}（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】在（1+x）+（1+x）^2^+...+（1+x）^9^的展开式中，x^2^项的系数是C~2~^2^+C~3~^2^+...+C~9~^2^，然后利用组合数公式的性质求解．
【解答】解：在（1+x）+（1+x）^2^+...+（1+x）^9^的展开式中，x^2^项的系数是C~2~^2^+C~3~^2^+...+C~9~^2^=C~10~^3^=120．
故答案为：120．
15．已知抛物线y^2^=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．
【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，
所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，
即，所以，
∵0＜a＜1，∴e^2^＞5，
故．
故答案为：．
16．半径为1的球的内部有4个大小相同的半径为r的小球，则小球半径r可能的最大值为[ ]{.underline}[﹣2 ]{.underline}．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．
【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为=r，
设正四面体的外接球半径为x，则x^2^=（r﹣x）^2^+（r）^2^，
∴x=r，
∴1=r+r，
∴r==﹣2．
故答案为：﹣2．
**三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在\[﹣π，0\]上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式，结合辅助角公式进行化简，即可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）根据三角函数的图象变换，进行化简求解即可．
【解答】解：（Ⅰ） ==，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（Ⅱ）将的图象向左平移个单位，得到=，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到．
∵x∈\[﹣π，0\]，∴．∴，
∴．
∴函数y=g（x）在\[﹣π，0\]上的值域为．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】（1）根据余弦定理求出DC的长，而BC^2^=DB^2^+DC^2^，根据勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，则BD⊥PD，PD∩CD=D，根据线面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC内，根据线面垂直的性质可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立空间坐标系，根据（1）知BD⊥面PDC，则就是面PDC的法向量，设AB与面PDC所成角大小为θ，利用向量的夹角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，设=（x，y，z）为面PAB的法向量，根据•=0， •=0，求出，再根据DE∥面PAB，则•=0求出λ即可．
【解答】解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，
BC^2^=DB^2^+DC^2^，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），
设AB与面PDC所成角大小为θ，cosθ==，
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°
（3）在（2）中的空间坐标系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（﹣3，，0），
=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1， =（a，0，1），
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=
19．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为"微信控"，否则称其为"非微信控"，调查结果如表：
------ -------- ---------- ------
微信控 非微信控 合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
------ -------- ---------- ------
（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为"微信控"与"性别"有关？
（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中"微信控"和"非微信控"的人数；
（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中"微信控"的人数为X，试求X的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
---------------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
P（K^2^≥k~0~） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k~0~ 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635
---------------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）计算K^2^的值，与临界值比较，可得结论；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．
（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由题意，K^2^=≈0.65＜0.708，
∴没有60%的把握认为"微信控"与"性别"有关；
（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中"微信控"有3人，"非微信控"的人数有2人；
（3）X=1，2，3，则
P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．
X的分布列为：
--- ----- ----- -----
X 1 2 3
P 0.3 0.6 0.1
--- ----- ----- -----
X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．
20．已知椭圆的两个焦点分别为F~1~（﹣c，0）和F~2~（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F~1~A∥F~2~B，\|F~1~A\|=2\|F~2~B\|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F~2~B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF~1~C的外接圆上，求的值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由F~1~A∥F~2~B且\|F~1~A\|=2\|F~2~B\|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x^2^+3y^2^=6c^2^，设直线AB的方程为，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k^2^）x^2^﹣18k^2^cx+27k^2^c^2^﹣6c^2^=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF~1~的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF~1~C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F~2~，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF~1~CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
【解答】（1）解：由F~1~A∥F~2~B且\|F~1~A\|=2\|F~2~B\|，
得，从而
整理，得a^2^=3c^2^，故离心率
（2）解：由（I）得b^2^=a^2^﹣c^2^=2c^2^，
所以椭圆的方程可写为2x^2^+3y^2^=6c^2^
设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．
由已知设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k^2^）x^2^﹣18k^2^cx+27k^2^c^2^﹣6c^2^=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x~1~+3c=2x~2~③
联立①③解得，
将x~1~，x~2~代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF~1~的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF~1~C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F~2~B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F~2~，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF~1~C的外接圆上，
且F~1~A∥F~2~B，所以四边形AF~1~CH为等腰梯形．
由直线F~2~B的方程为，
知点H的坐标为．
因为\|AH\|=\|CF~1~\|，所以，解得m=c（舍），或．
则，所以．当时同理可得
21．设函数．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
【解答】解：（Ⅰ）．
故当x∈（0，1）时，f\'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f\'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．
（ⅱ）当a＞0时，由知，其中n为正整数，
且有ln（1+）＜⇔＜﹣1⇔n＞﹣log~2~（﹣1）．
又n≥2时，．
且．
取整数n~0~满足，，且n~0~≥2，
则，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）；
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（﹣∞，0\]．
**选修4一1：几何证明选讲**
22．已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．
【分析】（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，
所以，所以BC=2．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）线段MA，MB长度分别记\|MA\|，\|MB\|，求\|MA\|•\|MB\|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
【分析】（1）将直线l的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再化成直线l的极坐标方程，曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ^2^cos^2^θ，最后再化成普通方程即可；
（2）将直线的参数方程代入y=x^2^得关于t的一元二次方程，再结合根与系数的关系即得\|MA\|•\|MB\|=\|t~1~t~2~\|=2．
【解答】解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，
∴直线l的极坐标方程，
曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ^2^cos^2^θ，
其普通方程是：y=x^2^
（2）将代入y=x^2^
得，3分
∵点M（﹣1，0）在直线上，
∴\|MA\|•\|MB\|=\|t~1~t~2~\|=2．
**选修4一5不等式选讲**
24．设函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x﹣2\|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式\|\|a+b\|﹣\|a﹣b\|\|≤\|a\|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
【考点】绝对值不等式；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x﹣2\|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，
（2）由\|\|a+b\|﹣\|a﹣b\|\|≤2\|a\|，得2\|a\|≤\|a\|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．
【解答】解：（1），... 所以解集\[0，3\]...
（2）由\|\|a+b\|﹣\|a﹣b\|\|≤2\|a\|，...
得2\|a\|≤\|a\|f（x），由a≠0，得2≤f（x），...
解得x或x ...
**2016年11月8日**
| 1 | |
**2020-2021学年湖南省邵阳市邵东市六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空（25分）**
1．（2分）在下面横线里填上合适的单位名称．
------------------------------------------ -----------------------------------------
一块橡皮的体积大约8[ ]{.underline}。 一桶纯净水大约有15[ ]{.underline}。
------------------------------------------ -----------------------------------------
2．（4分）在横线上填上"＞"、"＜"或"＝"．
[ ]{.underline}33.3% 时[ ]{.underline}20分
-------------------------- --------------------------------------------
3×2[ ]{.underline} 7.05立方分米[ ]{.underline}750立方厘米
3．（2分）李宁把送给妈妈的生日礼物放在一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体盒子里，包装这个盒子至少需要[ ]{.underline}平方分米的包装纸；如果在它的外面打上"十字形"的彩带，那么至少需要[ ]{.underline}分米彩带（接头处长3分米）．
4．（2分）张叔叔买了一件羊毛衫标签如图：横线数表示[ ]{.underline}占[ ]{.underline}的98%．
5．（2分）将三个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是[ ]{.underline}平方厘米，体积是[ ]{.underline}立方厘米．
6．（8分）（1）[ ]{.underline}÷25[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}（小数）。
> （2）化简比：[ ]{.underline}；求比值0.32：0.4＝[ ]{.underline}．
>
> （3）已知*m*和*n*互为倒数，则*m*×*n*＝[ ]{.underline}，由此可以推出：[ ]{.underline}．
7．（2分）小林在小强的[ ]{.underline}方向，小强在小林的[ ]{.underline}方向．
8．（1分）光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是6厘米，光盘的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
9．（2分）六年级二班有48名学生，其中男生占．全班有38人报名"周末小志愿者"活动．这个班报名"周末小志愿者"活动的男生最多有[ ]{.underline}人，最少有[ ]{.underline}人．
**二、判断．（对的打"√"，错的打"×"）（共5分）**
10．（1分）一个数的倒数一定比这个数小．[ ]{.underline}（判断对错）
11．（1分）一个三角形三个内角度数比是1：2：3，这个三角形是钝角三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．（1分）在100克水中加入10克糖，全部溶解．糖与水的比是1：10，喝掉一半后，糖水的含糖率不变．[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）饲养场养了2800只白兔，黑兔比白兔少25%，2800×（1﹣25%）表示黑兔的只数．[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）用棱长1*cm*的小正方体木块堆一个棱长1*dm*的大正方体，需要1000个小正方体．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择。（共5分）**
15．（1分）下面的四幅图中，能按虚线折成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
16．（1分）下面的百分率中，可以超过100%的是（ ）
A．增长率 B．成活率 C．合格率 D．出勤率
17．（1分）根据下面的线段图所表示的数量关系，说法正确的是（ ）
A．女生人数女生比男生多的人数
B．男生人数女生人数
C．女生人数×（1）＝男、女生总人数
D．男生人数与女生人数的比是5：7
18．（1分）小兰迷上了《从计数到密码学》，她第一天读了总页数的，第二天读了余下的，那么（ ）
A．第一天读的页数多 B．第二天读的页数多
C．两天读的一样多 D．无法确定
19．（1分）在推导圆的面积公式时，把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于（ ）
A．圆的半径 B．圆周长的一半
C．圆的直径 D．圆的周长
**四、计算.（共28分）**
20．（10分）直接写出得数
10 1 1
---- -- ---- --- --
11 0
21．（12分）计算下面各题（能简算的要简算）。
（）
----- ----------
25% \[（）\]
22．（6分）解方程
> *x*+40%*x*＝28
**五、实践操作（共7分）**
23．（3分）实践一：画一画，算一算
> （1）在如图的图中，先涂色表示出，再面斜线表示出的计算结果．
>
> （2）从图中可以看出写的计算结果是，约分后是．
24．（4分）实践二：想一想，填一填
> 小明用一些1立方厘米的正方体木块搭了一组积木．
>
> （1）小明搭这组积木共用了[ ]{.underline}个正方体木块，体积是[ ]{.underline}立方厘米．
>
> （2）搭的这组积木，从正面看是[ ]{.underline}．
**六、解决问题。（共30分）**
25．（4分）妈妈过生日，小兰赶忙拿出果汁招待亲戚朋友．每盒果汁升，每杯可盛升，6盒果汁可以倒满几杯？
26．（5分）学校体育室购买10个足球和6个篮球，一共用去990元．已知每个足球的价钱是篮球的，每个篮球和足球分别是多少元？
27．（5分）红旗小学举办"建国70周年"演讲比赛，各年级共有240人获奖，其中，有20%的同学获一等奖，获二等奖与三等奖的人数比是5：7，获三等奖的有多少人？
28．（5分）一个长方体玻璃容器，长8分米，宽5分米，高4分米，水深3分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
29．（11分）阅读资料，收集信息，回答问题
> 资料一：袁隆平今年90岁，被誉为"杂交水稻之父"．2019年9月17日，国家主席习近平签署主席令，授予袁隆平"共和国勋章"．他不仅解决了中国的粮食问题，还给世界提供了成功样本．
>
> 资料二：2011年，袁隆平指导的杂交水稻试验田平均每公顷产量比全国水稻平均每公顷产量多了约85%，达到近14吨．
>
> 资料三现在，袁隆平培育的杂交水稻已经实现每公顷17吨的目标．科学探索无止境，袁隆平说："在我有生之年，希望实现试验田达到每公顷20吨"．
>
> （1）2011年全国水稻平均每公顷产量大约是多少吨？（得数保留一位小数）
>
> （2）袁隆平希望将来的杂交水稻每公顷产量比现在还要再增产大约百分之几？（百分号前面的数保留一位小数）
>
> （3）"担复兴大任，做时代新人"．作为即将踏入初中的学生，你准备将来做一个什么样的人？
**2020-2021学年湖南省邵阳市邵东市六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空（25分）**
1．【分析】根据生活经验和实际情况，对体积单位和数据大小的认识，可知计量一块橡皮的体积用"立方厘米"做单位；计量一桶纯净水的体积用"升"做单位；由此解答。
> 【解答】解：
------------------------------- ------------------------
一块橡皮的体积大约8立方厘米。 一桶纯净水大约有15升。
------------------------------- ------------------------
> 故答案为：立方厘米，升。
>
> 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。
2．【分析】（1）把分数、百分数化为小数比较即可；
> （2）统一单位比较即可；
>
> （3）按乘除混合运算法则计算即可；
>
> （4）统一单位比较即可。
>
> 【解答】解：
33.3% 时＜20分
------- ---------------------------
3×2 7.05立方分米＞750立方厘米
> 故答案为：＞；＜；＝；＞。
>
> 【点评】本题主要考查了分数乘除法及大小比、单位换算，解题的的关键是熟记单位转化。
3．【分析】根据长方体的表面积公式：*s*＝（*ab*+*ah*+*bh*）×2，把数据代入公式解答即可；
> 根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，所需要彩带的长度等于2条长+4条高+2条宽+接头处长，代入数据解答即可．
>
> 【解答】解：（6×5+6×4+5×4）×2
>
> ＝（30+24+20）×2
>
> ＝74×2
>
> ＝148（平方分米）
>
> 6×2+4×4+5×2+3
>
> ＝12+16+10+3
>
> ＝41（分米）
>
> 答：包装这个盒子至少需要 148平方分米的包装纸；如果在它的外面打上"十字形"的彩带，那么至少需要 41分米彩带．
>
> 故答案为：148，41．
>
> 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，及长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答．
4．【分析】根据百分数的意义：表示一个数是另一个数百分之几；这里羊毛的含量是98%，是指羊毛的量占羊毛衫总量的98%，由此求解．
> 【解答】解：张叔叔买了一件羊毛衫标签如图：横线数表示 羊毛占 羊毛衫总量的98%．
>
> 故答案为：羊毛，羊毛衫总量．
>
> 【点评】本题考查了百分数的意义：百分数是表示一个数是另一个数百分之几的数．
5．【分析】3个小正方体拼成一个长方体只有一种拼组方法：一字排列法，拼组后长方体的表面积比原来减少了4个小正方体的面的面积，体积是这几个小正方体的体积之和．
> 【解答】解：表面积是：2×2×6×3﹣2×2×4，
>
> ＝72﹣16，
>
> ＝56（平方厘米）；
>
> 体积是：2×2×2×3＝24（立方厘米）；
>
> 答：这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米．
>
> 故答案为：56，24．
>
> 【点评】抓住3个正方体拼组长方体的方法得出表面积减少部分的面积是解决此类问题的关键．
6．【分析】（1）根据分数的基本性质，的分子、分母都乘3就是；根据分数与除法的关系，1÷5，再根据商不变的性质被除数、除数都乘5就是5÷25；1÷5＝0.2；把0.2的小数点向右移动两位添上百分号就是20%。
> （2）根据比的基本性质，：的前、后项都乘15即可将此比化简；根据比值的意义，用比的前项除以后项的商叫比值，即可求出0.32：0.4的比值。
>
> （3）根据倒数的意义，两个互为倒数积是1；根据分数除法的计算法则，10。
>
> 【解答】解：（1）5÷2520%＝0.2（小数）。
>
> （2）化简比：5：21；求比值0.32：0.4＝0.8。
>
> （3）已知*m*和*n*互为倒数，则*m*×*n*＝1，由此可以推出：10。
>
> 故答案为：5，15，20，0.2；5：21，0.8；1，10。
>
> 【点评】此题考查的知识有：除法、小数、分数、百分数之间的关系及转化；化简比与求比值；倒数的意义等。
7．【分析】根据方向和距离确定物体的位置的方法：小林在小强的北偏东50°方向，小强在小林的西偏南40°方向。
> 【解答】解：小林在小强的北偏东50°方向，小强在小林的西偏南40°方向。
>
> 答：小林在小强的北偏东50°方向，小强在小林的西偏南40°方向。
>
> 故答案为：北偏东50°，西偏南40°。
>
> 【点评】解答此题要找出观测点，明确两个物体之间的位置关系是相对的，北和西相差90°，但距离不变。
8．【分析】求光盘的面积，利用圆环的面积＝π（*R*^2^﹣*r*^2^），据此代入数据即可解答．
> 【解答】解：3.14×（6^2^﹣2^2^）
>
> ＝3.14×（36﹣4）
>
> ＝3.14×32
>
> ＝100.48（平方厘米）
>
> 答：它的面积是100.48平方厘米．
>
> 故答案为：100.48．
>
> 【点评】此题实际上是考查圆环的面积公式的计算应用，关键是熟练掌握圆环的面积计算公式．
9．【分析】先把全班的总人数看成单位"1"，其中男生占，用总人数乘即可求出男生的人数，即：4830（人），进而求出女生的人数；全班有38人报名"周末小志愿者"活动．当男生全部参加时，此时参加活动的男生人数就最多，就是30人；当女生全部参加活动时，参加活动的男生人数最少，用38人减去女生的人数，就是此时男生的人数．
> 【解答】解：4830（人）
>
> 48﹣30＝18（人）
>
> 当男生全部参加时，此时参加活动的男生人数就最多，就是30人；
>
> 当女生全部参加活动时，参加活动的男生人数最少，是：38﹣18＝20（人）
>
> 答：这个班报名"周末小志愿者"活动的男生最多有 30人，最少有 20人．
>
> 故答案为：30，20．
>
> 【点评】解决本题先根据分数乘法的意义求出男生的总人数，进而求出女生的总人数，要使男生人数最多，那么男生全部参加活动，要使男生人数最少，那么女生全部参加活动．
**二、判断．（对的打"√"，错的打"&\#215;"）（共5分）**
10．【分析】根据倒数的求法，分三种情况：（1）一个数小于1时；（2）一个数等于1时；（3）一个数大于1时；据此判断出一个数的倒数不一定比这个数小即可．
> 【解答】解：（1）一个数小于1时，
>
> 这个数的倒数比1大．
>
> （2）一个数等于1时，
>
> 这个数的倒数和1相等．
>
> （3）一个数大于1时，
>
> 这个数的倒数比1小．
>
> 所以一个数的倒数不一定比这个数小，
>
> 所以题中说法不正确．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查了倒数的认识和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的倒数不一定比这个数小．
11．【分析】由题意得：三角形三个内角度数比是1：2：3，那么这个三角形中最大角占内角和的；因为三角形的内角和是180度，根据一个数乘分数的意义分别求出这个最大角，然后判断即可．
> 【解答】解：180°90°，
>
> 这个三角形最大角是直角，所以这个三角形应该是直角三角形；
>
> 所以原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配解决问题．
12．【分析】在100克水中加入10克糖，全部溶解，糖与水的比是10：100，即1：10；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比不变，据此进行判断即可．
> 【解答】解：10：100＝1：10
>
> 喝掉一半后，剩下的糖与水的比不变，还是1：10，那么糖水的含糖率不变．
>
> 所以，原题说法是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．
13．【分析】黑兔比白兔少25%，是把白兔的只数看成单位"1"，（1﹣25%）是黑兔是白兔的百分之几，用白兔的只数乘这个分率就表示黑兔的只数，由此判断即可。
> 【解答】解：2800×（1﹣25%）中，（1﹣25%）是黑兔是白兔的百分之几，2800表示白兔的只数
>
> 用白兔的只数×黑兔占白兔的百分之几＝黑兔的只数
>
> 2800×（1﹣25%）表示黑兔的只数，说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】解决本题先找出单位"1"，理解算式中各个量表示的含义，从而解决问题。
14．【分析】根据正方体的体积计算公式，分别计算出棱长为1分米的正方体的体积和棱长为1厘米的小正方体的体积；然后根据求一个数是另一个是的几倍，用除法进行解答即可．
> 【解答】解：1分米＝10厘米，
>
> （10×10×10）÷（1×1×1），
>
> ＝1000÷1，
>
> ＝1000（个）；
>
> 答：需要1000个．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】解答此题应根据体积计算方法分别计算出棱长为1米的正方体的体积和棱长为1分米的小正方体的体积，进而根据题意，用除法进行解答即可．
**三、选择。（共5分）**
15．【分析】根据正方体展开图的11种特征，*A*图属于正方体展开图的"1﹣4﹣1"结构，能按虚线折成正方体；*B*图、*C*图和*D*图都不属于正方体展开图，不能按虚线折成正方体．
> 【解答】解：能按虚线折成正方体；
>
> 、、不能按虚线折成正方体．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种："1﹣4﹣1"结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种："2﹣2﹣2"结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种："3﹣3"结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种："1﹣3﹣2"结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
16．【分析】一般来讲，成活率、出勤率、合格率、正确率能达到100%，增长率能超过100%；出米率、出油率达不到100%；据此解答．
> 【解答】解：成活率是指成活的树的棵数占植树总棵数的百分之几，如果所栽树全部成活，它的成活率最大是100%，同样道理，合格率、出勤率最大也是100%，而增长率是指增长的占原来的百分之几，如果增长的比原来的多，这个增长率就大于100%．
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】百分数最大是100%的有：成活率，出勤率等，百分数不会达到100%的有：出粉率，出油率等，百分数会超过100%的有：增产率，提高率等．
17．【分析】观察图可知：把男生人数看成单位"1"，女生人数比男生人数多；那么女生人数就是男生人数的（1），然后根据分数乘法的意义和比的意义判断各个选项，找出正确的即可。
> 【解答】解：把男生人数看成单位"1"，则：
>
> 男生人数女生比男生多的人数；
>
> 男生人数×（1）＝女生人数
>
> 所以选项*A*、*B*说法错误；
>
> 男生人数×（1+1）＝男、女生总人数；
>
> 选项*C*说法错误；
>
> 男生人数：女生人数＝1：（1）＝1：5：7；
>
> 选项*D*说法正确．
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解决本题关键是找出单位"1"，表示出男生和女生的人数，再根据分数乘法的意义和比的意义求解。
18．【分析】设总页数是1，先把总页数看成单位"1"，第一天读了总页数的，用1求出第一天读的页数；
> 用总页数减去第一天读的页数，就是第一天读后余下的页数，再把这部分页数看成单位"1"，第二天读了这部分的，用（1）求出第二天读的页数；然后再比较解答．
>
> 【解答】解：设总页数是1；
>
> 第一天读了：1；
>
> 第二天读了：（1）
>
> ；
>
> 所以，两天读的一样多．
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是分清两个单位"1"的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解．
19．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干（偶数）等份，剪开后，拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽等于圆的半径。据此解答。
> 【解答】解：把一个圆平均分成若干（偶数）等份，剪开后，拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握面积公式的推动过程及应用。
**四、计算.（共28分）**
20．【分析】根据分数加减乘除法的计算方法进行计算．
> 根据运算顺序进行计算；
>
> 根据乘法交换律和结合律进行计算．
>
> 【解答】解：
104 1 1
----- -- ------ ---- --
1110 00
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．
21．【分析】（1）根据加法交换律和结合律进行简算；
> （2）、（3）根据乘法分配律进行简算；
>
> （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法。
>
> 【解答】解：（1）
>
> ＝（）+（）
>
> ＝0
>
> （2）（）
>
> ＝（）×30
>
> 3030
>
> ＝18﹣5
>
> ＝13
>
> （3）25%
>
> （25%）
>
> 1
>
> （4）\[（）\]
>
> \[\]
>
> ＝1
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
22．【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时除以求解；
> （2）先计算*x*+40%*x*＝1.4*x*，根据等式的性质，方程的两边同时除以1.4求解．
>
> 【解答】解：（1）*x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> （2）*x*+40%*x*＝28
>
> 1.4*x*＝28
>
> 1.4*x*÷1.4＝28÷1.4
>
> *x*＝20
>
> 【点评】本题考查解方程，解题的关键是掌握等式的性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数（0除外），等式仍然成立．
**五、实践操作（共7分）**
23．【分析】（1）先把长方形平均分成3份，其中的2份就是它的，再把这两份平均分成4份，其中的3份就是的，即；
> （2）根据（1）的图进行解答，最后化成最简分数．
>
> 【解答】解：（1）画图如下，斜线表示的计算结果；
>
> （2）
>
> 即从图中可以看出写的计算结果是，约分后是．
>
> 故答案为：，．
>
> 【点评】本题考查了一个数乘分数的意义，注意结合分数的意义进行画图．
24．【分析】观察图形可知，左边一列单行2层，中间一列是1层，右边一列3层，这组积木共用3+1+1+2＝7（块），所以从正面看到的形状是左、中、右分别是2、1、3个正方形，由此进行选择即可．
> 【解答】解：（1）由分析可知：3+1+1+2＝7（块）
>
> 1×7＝7（立方厘米）
>
> 答：小明搭这组积木共用了7个正方体木块，体积是7立方厘米．
>
> （2）搭的这组积木，从正面看是*B*．
>
> 故答案为：7，7，*B*．
>
> 【点评】考查三视图的相关知识；得到从上面看得到的小正方形的排列顺序及个数是解决本题的关键．
**六、解决问题。（共30分）**
25．【分析】首先根据乘法的意义，用乘法求出6盒果汁共有多少升，然后根据"包含"除法的意义，用除法解答即可．
> 【解答】解：
>
> ＝16（杯）
>
> 答：6盒果汁可以倒满16杯．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握分数乘法、除法的意义，以及分数乘、除法的计算法则及应用．
26．【分析】根据题意，设一个篮球*x*元，则一个足球*x*元，由关系式：10个足球的价钱+8个篮球的价钱＝990元，列方程求解即可．
> 【解答】解：设一个篮球*x*元，则一个足球*x*元，
>
> *x*×10+6*x*＝990
>
> 11*x*＝990
>
> *x*＝90
>
> 9045（元）
>
> 答：每个篮球90元，每个足球45元．
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，解决此题的关键是找到等量关系式．
27．【分析】根据题干知，把获奖的人数看作单位"1"，有20%的同学获一等奖，也就是240的20%，即240×20%＝48人，用获奖人数减去获一等奖的人数，就是获二等奖与三等奖的人数；获二等奖与三等奖的人数比是5：7，那么获三等奖的人数占获二等奖与三等奖的人数的，然后再进一步解答．
> 【解答】解：240﹣240×20%
>
> ＝240﹣48
>
> ＝192（人）
>
> 192112（人）
>
> 答：获三等奖的有112人．
>
> 【点评】解决此题关键是先求出获二、三等奖的人数和，然后再根据比的意义进行解答．
28．【分析】根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此由长方体体积公式：*V*＝*abh*．（*a*表示底面的长，*b*表示底面的宽，*h*表示高）；正方体体积公式：*V*＝*a*^3^．（*a*表示棱长）解答．
> 【解答】解：8×5×3+4×4×4﹣8×5×4
>
> ＝120+64﹣160
>
> ＝24（立方分米）
>
> 24立方分米＝24升．
>
> 答：缸里的水溢出24升．
>
> 【点评】本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
29．【分析】（1）把2011年全国水稻平均每公顷产量看作单位"1"，袁隆平指导的杂交水稻试验田平均每公顷产量比全国水稻平均每公顷产量多了约85%，达到近14吨，由此可知，14吨相当于2011年全国水稻平均每公顷产量的（1+85%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答．
> （2）把2011年，袁隆平指导的杂交水稻试验田平均每公顷产量（14吨）看作单位"1"，袁隆平说："在我有生之年，希望实现试验田达到每公顷20吨"．
>
> 先求出20吨比14吨多多少吨，再根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答．
>
> （3）我准备作一个"时代新人"，时代新人应该的勇于创新，善于合作的人．
>
> 【解答】解：（1）14÷（1+85%）
>
> ＝14÷1.85
>
> ≈7.6（吨）；
>
> 答：2011年全国水稻平均每公顷产量大约是7.6吨．
>
> （2）（20﹣17）÷17
>
> ＝3÷17
>
> ≈0.176
>
> ＝17.6%；
>
> 答：袁隆平希望将来的杂交水稻每公顷产量比现在还要再增产大约17.6%．
>
> （3）我准备作一个"时代新人"，时代新人应该的勇于创新，善于合作的人．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握百分数的意义及应用，关键是确定单位"1"．
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**2019年江西省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）**
1．（3分）（2019•江西）2的相反数是
A．2 B． C． D．
2．（3分）（2019•江西）计算的结果为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019•江西）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是
5．（3分）（2019•江西）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
6．（3分）（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
7．（3分）（2019•江西）因式分解：[ ]{.underline}．
8．（3分）（2019•江西）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法："方五，邪（通"斜" 七．见方求邪，七之，五而一．"译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是[ ]{.underline}．
9．（3分）（2019•江西）设，是一元二次方程的两根，则[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•江西）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•江西）斑马线前"车让人"，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米秒，根据题意列方程得：[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•江西）在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为[ ]{.underline}．
**三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）**
13．（6分）（2019•江西）（1）计算：；
（2）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是矩形．
14．（6分）（2019•江西）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
15．（6分）（2019•江西）在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦，使；
（2）在图2中以为边作一个的圆周角．
16．（6分）（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母，，依次表示这三首歌曲）．比赛时，将，，这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是[ ]{.underline}；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
17．（6分）（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，连接，以为边向上作等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）求线段所在直线的解析式．
**四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）**
18．（8分）（2019•江西）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
-------- ---------------------- ------ ------ ------ ------
年级 参加英语听力训练人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
-------- ---------------------- ------ ------ ------ ------
（1）填空：[ ]{.underline}；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
-------- ---------------------- ----------------------------
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 [ ]{.underline} 14.4
-------- ---------------------- ----------------------------
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
19．（8分）（2019•江西）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
20．（8分）（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到．
（1）如图2，，．
①填空：[ ]{.underline}．
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．
（参考数据：，，，
**五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）**
21．（9分）（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．
数学思考
（1）设，点到的距离．
①用含的代数式表示：的长是[ ]{.underline}，的长是[ ]{.underline}；
②与的函数关系式是[ ]{.underline}，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
-- --- ------ ----- ------ -------------------- ------ --- ------ ------ --------------------
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
0 0.55 1.2 1.58 [ ]{.underline} 2.47 3 4.29 5.08 [ ]{.underline}
-- --- ------ ----- ------ -------------------- ------ --- ------ ------ --------------------
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
22．（9分）（2019•江西）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，[ ]{.underline}；
（2）如图2，连接．
①填空：[ ]{.underline}（填""，" "，"" ；
②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
**六、（本大题共12分）**
23．（12分）（2019•江西）特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是[ ]{.underline}；
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足为正整数）的抛物线称为"系列平移抛物线"．
知识应用
在（2）中，如图2．
①"系列平移抛物线"的顶点依次为，，，，，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②"系列平移抛物线"存在"系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）"：，，，，，其横坐标分别为，，，，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交"系列平移抛物线"于点，，，，，连接，，判断，是否平行？并说明理由．
**2019年江西省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）**
1．（3分）2的相反数是
A．2 B． C． D．
【考点】相反数
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解答】解：2的相反数为：．
故选：．
2．（3分）计算的结果为
A． B． C． D．
【考点】分式的乘除法
【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式，
故选：．
3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：它的俯视图为
故选：．
4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是
A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过
C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占
D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是
【考点】扇形统计图
【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【解答】解：．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为，超过，此选项正确；
．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误；
．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确；
故选：．
5．（3分）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是
A．反比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时，
D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误
当或时，
选项正确
故选：．
6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【考点】菱形的判定；图形的剪拼
【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．
【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．
故选：．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
7．（3分）因式分解：[ ]{.underline}．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法："方五，邪（通"斜" 七．见方求邪，七之，五而一．"译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是[ 1.4 ]{.underline}．
【考点】勾股定理；正方形的性质；数学常识
【分析】根据估算方法可求解．
【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长
故答案为：1.4
9．（3分）设，是一元二次方程的两根，则[ 0 ]{.underline}．
【考点】根与系数的关系
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：、是方程的两根，
，，
．
故答案为：0．
10．（3分）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则[ 20 ]{.underline}．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解答】解：，将沿着翻折得到，
，，
，
故答案为：20
11．（3分）斑马线前"车让人"，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米秒，根据题意列方程得：[ ]{.underline}．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设小明通过时的速度是米秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：设小明通过时的速度是米秒，可得：，
故答案为：，
12．（3分）在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为[ 或，或， ]{.underline}．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先由已知得出，，然后分类讨论点的位置从而依次求出每种情况下点的坐标．
【解答】解：，两点的坐标分别为，
轴
点在直线上，
，
如图：
（Ⅰ）当点在处时，要使，即使△
即
解得：
（Ⅱ）当点在处时，
，
的中点
点为以为圆心，长为半径的圆与轴的交点
设，则
即
解得：
，，，
综上所述：点的坐标为或，或，．
**三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）**
13．（6分）（1）计算：；
（2）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：四边形是矩形．
【考点】零指数幂；实数的运算；矩形的判定；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先求出四边形是平行四边形，再求出，最后根据矩形的判定得出即可．
【解答】解：（1）
；
（2）证明：四边形中，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形．
14．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
故不等式组的解为：，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
．
15．（6分）在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦，使；
（2）在图2中以为边作一个的圆周角．
【考点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；作图复杂作图；圆周角定理
【分析】（1）分别延长、交半圆于、，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到，则可判断；
（2）在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于，然后证明，从而根据圆周角定理可判断．
【解答】解：（1）如图1，为所作；
（2）如图2，为所作．
16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母，，依次表示这三首歌曲）．比赛时，将，，这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是[ ]{.underline}；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）因为有，，种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，连接，以为边向上作等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）求线段所在直线的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质
【分析】（1）由点、点，易知线段的长度，，而为等边三角形，得轴，即可知的长即为点的纵坐标，即可求得点的坐标
（2）由（1）知点纵标，已知点的坐标，利用待定系数法即可求线段所在的直线的解析式
【解答】解：（1）如图，过点作轴
点坐标为，，点坐标为，
为等边三角形
点的纵坐标为2
点的坐标为，
（2）由（1）知点的坐标为，，点的坐标为，，设直线的解析式为：
则，解得
故直线的函数解析式为
**四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）**
18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：
周一至周五英语听力训练人数统计表
-------- ---------------------- ------ ------ ------ ------
年级 参加英语听力训练人数
周一 周二 周三 周四 周五
七年级 15 20 30 30
八年级 20 24 26 30 30
合计 35 44 51 60 60
-------- ---------------------- ------ ------ ------ ------
（1）填空：[ 25 ]{.underline}；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
-------- ---------------------- ----------------------------
年级 平均训练时间的中位数 参加英语听力训练人数的方差
七年级 24 34
八年级 [ ]{.underline} 14.4
-------- ---------------------- ----------------------------
（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【考点】方差；中位数；用样本估计总体；折线统计图
【分析】（1）由题意得：；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意得：；
故答案为：25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为：27；
（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为，
该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为（人．
19．（8分）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
【考点】圆周角定理；切线的判定与性质；平行线的性质
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
 
20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到．
（1）如图2，，．
①填空：[ 160 ]{.underline}．
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．
（参考数据：，，，
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；
②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；
（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．
【解答】解：（1）①过点作，如图1，则，
，
，
，
，
故答案为：160；
②过点作于点，如图2，
则，
投影探头的端点到桌面的距离为：；
（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，
则，，，，，
，
，
，
．
**五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）**
21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．
数学思考
（1）设，点到的距离．
①用含的代数式表示：的长是[ ]{.underline}，的长是[ ]{.underline}；
②与的函数关系式是[ ]{.underline}，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
-- --- ------ ----- ------ -------------------- ------ --- ------ ------ --------------------
6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0
0 0.55 1.2 1.58 [ ]{.underline} 2.47 3 4.29 5.08 [ ]{.underline}
-- --- ------ ----- ------ -------------------- ------ --- ------ ------ --------------------
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
【考点】几何变换综合题
【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．
②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①利用函数关系式计算即可．
②描出点，即可．
③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．
（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）①如图3中，由题意，
，
，，
故答案为：，．
②作于．
，，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）①当时，，当时，，
故答案为2，6．
②点，点如图所示．
③函数图象如图所示．
（3）性质1：函数值的取值范围为．
性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．
22．（9分）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，[ 60 ]{.underline}；
（2）如图2，连接．
①填空：[ ]{.underline}（填""，" "，"" ；
②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据菱形的性质计算；
（2）①证明，根据角的运算解答；
②作于，交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到，证明四边形为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，
，
故答案为：；
（2）①四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，，
，
，
故答案为：；
②作于，交的延长线于，
则，
，又，
，
，，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，又，，
点在的平分线上；
（3）四边形是菱形，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
，又，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
，
．
**六、（本大题共12分）**
23．（12分）特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是[ ①②③ ]{.underline}；
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足为正整数）的抛物线称为"系列平移抛物线"．
知识应用
在（2）中，如图2．
①"系列平移抛物线"的顶点依次为，，，，，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②"系列平移抛物线"存在"系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）"：，，，，，其横坐标分别为，，，，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交"系列平移抛物线"于点，，，，，连接，，判断，是否平行？并说明理由．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；平行线的判定；抛物线与轴的交点
【分析】（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；
②，的对称轴分别为，，的对称轴，
③当时，则，可得或；，可得或；，可得或；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为，，可得；
②横坐标分别为，，，，为正整数），当时，，纵坐标分别为，，，，，相邻两点间距离分别为；
③当时，，可求，，，，，，，，，；
【解答】解：（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；①正确；
②，的对称轴分别为，，
的对称轴，
由向左移动得到，再向左移动得到，
②正确；
③当时，则，
或；
，
或；
，
或；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）①的顶点为，，
令，，
；
②横坐标分别为，，，，为正整数），
当时，，
纵坐标分别为，，，，，
相邻两点间距离分别为；
相邻两点之间的距离都相等；
③当时，，
或，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
；
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第2课《比和比例》试题附答案**
**答案**
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六年级奥数上册：第二讲 比和比例 习题解答
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**小学数学小升初简单应用题闯关**
1．亮亮喝了一杯牛奶的，然后加满水，又喝了一杯的，再倒满水后又喝了半杯，然后加满了水，最后把一杯都喝了。请问亮亮喝的牛奶多还是水多？
2．一堂课40分钟，学生实验用了小时，老师讲解用了小时，其余的时间学生做作业，做作业用了多少小时？
3．一根麻绳长米，另一根麻绳长米，两根麻绳一共长多少米？
4．两桶油共重吨，甲桶油重吨，比乙桶油轻多少吨？
5．一台拖拉机2.5小时耕地2公顷，照这样计算，这台拖拉机耕完4.8公顷的地需多少小时？
6．中国首位航天叫杨利伟乘坐的飞船，在太空中绕地球飞行了14圈，用时约21小时，当飞船飞行5圈时，用了几小时几分？
7．3名工人5小时加工零件90件，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少人？
8．南湖街道开展植树造林活动，5人3天共植树90棵，照这样计算，30人3天共植树多少棵？
9．希望小学去年有毕业生150人，今年比去年毕业生人数多。今年有毕业生多少人？
10．学校去年植树120棵，今年植树的棵树比去年的多5棵，今年植树多少棵？
11．一根12米长的铁丝，用去它的，剩下多少米？
12．我市去年小学毕业生有6000人，今年比去年多。今年小学毕业生有多少人？
13．工程队修一条路，第一周修了全长的，第二周修了60米，还剩下340米，这条路全长多少米？
14．某小学有男生420人，男生比女生多，女生有多少人？
15．学校图书室购进300本故事书，比科技书的多50本。购进科技书多少本？
16．六一班图书角有图书120本，借出80本后，还剩下几分之几没有借出？
17．在比例尺是的地图上，测得甲乙两地的距离是8厘米，在另一幅1：4000000的地图上，甲乙两地相距多少厘米？
18．在比例尺是的地图上量得甲地到乙地公路长为8厘米，求一辆汽车以每小时50千米的速度从甲地到乙地需多少小时？
19．在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米。如果汽车以每小时30千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？
20．在一幅1：20000000的地图上，量得甲、乙两地机场距离为9厘米，一架飞机以每小时750千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几小时？
21．妈妈在银行存了5000元，定期两年，年利率是4.68%，利息税为5%到期时，她可得到税后利息多少元？
22．李老师写了3篇科普故事，得稿费3400元，超出800元以上的部分按14%缴纳个人所得税，李老师应缴税多少元？
23．一种电冰箱原价2500元，现在每台售价2450元。现价比原价降低了百分之几？
24．某工地上午运走水泥25%，下午比上午多运走10.5吨，这批水泥还剩下24.5吨，那么这批水泥共有多少吨？
25．工程队计划20天挖一条800米的水渠，实际16天就完成了任务．工程队的实际工作效率比计划提高了百分之几？
26．把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等。问正方形的面积是多少？
27．新城水泥厂今年三月份生产水泥2700吨，比计划超产450吨，超产了百分之几？
28．{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}选择出适当的条件来解决问题。
条件：
①姐姐和弟弟的邮票张数比是3：2；
②姐弟俩一共有120张邮票；
③姐姐比弟弟的邮票多24张；
问题：姐、弟各有多少张邮票？
我选择的条件是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} 。
我的解答： [ ]{.underline} 。
29．一批电脑，卖出了， [ ]{.underline} ，这批电脑原来有多少台？
（请你在横线上补充一个含有数字36的条件，并解决问题）
30．小记者到城北小学采访，收集到的资料是：该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人。请你提出两个数学问题，并解答。
31．科技小组进行玉米种子发芽实验，结果有500粒种子发芽了，25粒种子未发芽，求这批种子的发芽率。
32．某班今天出勤47人，事假1人，病假2人，今天的出勤率是多少？
**参考答案**
1．一样多
【解析】由题意可知，亮亮喝的牛奶与水是一样多的。这一过程中，没有加牛奶，喝的纯牛奶是一杯，而喝的水是一杯的++=1，即他喝的水与牛奶的总量+++1＝2，而纯牛奶是一杯，因此水也喝了一杯。
解：++=1
即水喝了一杯，而纯牛奶是一杯。
答：亮亮喝的牛奶和水是一样多的。
考点：分数加减法应用题。
2．
【解析】先把40分钟转化成小时，然后小时减去学生实验用的时间，再减去老师讲解用的时间，就是做作业用的时间。
解：40分钟=小时，
－－
=－
=（小时）
答：做作业用了小时。
3．米
【解析】求两根麻绳一共长多少米，把两根麻绳的长度相加即可。
解：+=（米）
答：两根麻绳一共长米。
4．吨
【解析】先用两桶油的总重量减去甲桶油的重量就是乙桶油的重量，再用乙桶油的重量减去甲桶油的重量，就是甲桶油比乙桶油轻多少吨。
解：－－
=－
=（吨）
答：甲桶油比乙桶油轻吨。
5．6小时
【解析】照这样计算是指：每小时耕地的面积相等，先用2公顷除以2.5小时，求出每小时耕地的面积，然后再用总面积除以每小时耕地的面积。
解：4.8÷（2÷2.5）
=4.8÷0.8
=6（小时）
答：这台拖拉机耕完4.8公顷的地需6小时。
考点：简单的归一问题。
点评：解决本题关键是先根据工作效率=工作量÷工作时间，求出不变的工作效率，再用工作效率求出后来的工作时间。
6．7小时30分
【解析】要求用了几小时几分，先求出每圈要多少小时，再用每圈要多少小时乘以5圈即得解。
解：21÷14×5
=1.5×5
=7.5（小时）
=7小时30分钟
答：用了7小时30分。
7．9人
【解析】由"3名工人5小时加工零件90件"可知，每人每小时加工零件90÷5÷3=6（个）；要在10小时完成540个零件，那么每小时完成540÷10=54（个），因此需要工人54÷6=9（人）。
解：540÷10÷（90÷5÷3）
=54÷6
=9（人）
答：需要工人9人。
8．540棵
【解析】照这样计算，说明植树的效率不变，只要先求出1人3天植几棵树，再求30人3天共植多少棵树。
解：90÷5=18（棵）
18×30=540（棵）
答：30人3天共植树540棵。
9．153人
【解析】首先分析条件"今年比去年毕业生人数多"，把去年毕业生人数看做单位"1"，今年的毕业生人数比去年多，即今年的人数=去年的人数+去年的人数×；也可以理解为今年的人数是去年的（1+），即今年的人数=去年的人数×（1+）。
解：150+150×
=150+3
=153（人）
或150×（1+）
=150×
=153（人）
答：今年有毕业生153人。
考点：分数乘法应用题。
10．95棵
【解析】的单位"1"是去年植树的棵数，根据"今年植树的棵树比去年的多5棵"再根据分数乘法的意义，列出正确的算式，再与所给的选项进行比较。
解：120×+5
=90+5
=95（棵）
答：今年植树95棵。
11．4.8米
【解析】把一根铁丝的长度看作单位"1"，用12乘以（1-）列式计算即可。
解：12×（1-）
=12×0.4
=4.8（米）
答：剩下4.8米。
12．6300人
【解析】今年比去年多，把去年毕业的人数看作单位"1"，那么，今年毕业的人数就是去年的（1+）=。求今年毕业的人数，也就是求6000的是多少，根据分数乘法的意义，列式解答即可。
解：6000×（1+）
=6000×
=6300（人）
答：今年小学毕业生有6300人。
13．米
【解析】把全长看成单位"1"，第二周修的长度和剩下的长度是（340+60）米，它对应了全长的（1-），求全长用除法。
解：（340+60）÷（1-）
=400÷
=（米）
答：这条路全长米。
考点：分数除法应用题。
14．360人
【解析】由题意可知把女生人数看作单位"1"，男生人数是女生的1+，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。
解：420÷（1+）
=420÷
=420×
=360（人）
答：女生有360人。
考点：分数除法应用题。
15．625本
【解析】根据故事书比科技书的多50本，可以确定把科技书的本数看作单位"1"，根据已知一个数的几分之几的数是多少求这个数，用除法解答。
解：（300-50）÷
=250÷
=250×
=625（本）
答：购进科技书625本。
16．
【解析】图书角有图书120本，借出80本后，借出80本后，则还剩下(120-80)本，根据分数的意义，还剩下\[（120-80）÷120\]没有借出。
解：（120－80）÷120
=40÷120
=
答：还剩下没借出。
17．10厘米
【解析】图上距离和比例尺已知，依据"实际距离=图上距离÷比例尺"即可求出甲乙两地的实际距离，再据"图上距离=实际距离×比例尺"即可求出在另一幅图上的图上距离。
解：8÷=40000000（厘米）
40000000×=10（厘米）
答：甲乙两地相距10厘米。
考点：比例尺应用题。
18．6.4小时
【解析】首先根据已知图上距离和比例尺求出实际距离，再根据路程÷速度=时间，列式解答。
解：8÷=8×4000000=32000000（厘米）
32000000厘米=320千米
320÷50=6.4（小时）
答：从甲地到乙地需6.4小时。
19．2.4小时
【解析】图上距离和比例尺已知，先依据"实际距离=图上距离÷比例尺"求出甲、乙两地的实际距离，再根据数量关系"路程÷速度=时间"即可求出汽车到达乙地需要的时间。
解：3.6÷=7200000（厘米）
7200000厘米=72千米
72÷30=2.4（小时）
答：2.4小时可以到达。
20．2.4小时
【解析】此题应先求出甲、乙两地的实际距离，根据实际距离=图上距离÷比例尺即可求出；再用距离除以速度即可。
解：9÷=180000000（厘米）
180000000厘米=1800千米
1800÷750=2.4（小时）
答：需要飞行2.4小时。
21．444.6元
【解析】要求税后利息，先求出利息和利息税，然后用利息减去利息税即可得到税后利息。
解：5000×4.68%×2=468（元）
468×5%=23.4（元）
468－23.4=444.6（元）
答：她可得到税后利息444.6元。
考点：百分数的实际应用。
点评：此题主要考查求利息的计算公式及利息税的计算，税后利息就等于利息减去利息税。
22．364元
【解析】要求李老师应缴税多少元，通过题意可以得知：先要求出超过800元以上的有多少元，用3400元减去800元可求出等于2600元，按14%缴纳个人所得税，也就是求2600元的14%是多少，然后根据一个数乘分数的意义，直接用乘法计算得出。
解：（3400-800）×14%
=2600×14%
=364（元）
答：李老师应缴税364元。
23．2%
【解析】先求出现价比原价降低了多少元，然后用降低的钱数除以原价即可。
解：（2500-2450）÷2500
=50÷2500
=2%
答：现价比原价降低了2%。
24．70吨
【解析】下午比上午多运走10.5吨，即下午运走了全部的25%多10.5吨，还剩下24.5吨，（10.5+24.5）吨占全部的（1-25%-25%），根据分数除法的意义，这批水泥共有\[（10.5+24.5）÷（1-25%-25%）\]吨。
解：（10.5+24.5）÷（1-25%-25%）
=35÷50%
=70（吨）
答：这批水泥共有70吨。
25．25%
【解析】先求出计划的工作效率，再求出实际的工作效率，再看实际提高的效率占原计划的百分之几。
解：计划每天的效率：800÷20=40（米）
实际每天的效率：800÷16=50（米）
提高的效率：（50－40）÷40=25%
答：工程队的实际工作效率比计划提高了25%。
考点：百分数的实际应用。
点评：此题关键是找准单位"1"。然后用已知一个数的百分之几是多少求这个数，用除法计算。
26．64平方米
【解析】把正方形的边长看做单位"1"，根据一边减少了20%，另一边将增加2米，得到的长方形与原来的正方形面积相等，可知减少的面积就等于增加的面积，先求得增加的面积即2×（1-20%），也就是减少的面积数，再用减少的面积数除以20%就是原来正方形的边长，再用边长乘边长即得正方形的面积。
解：正方形的边长：
2×（1-20%）÷20%
=2×0.8÷0.2
=8（米）
正方形的面积：8×8=64（平方米）
答：正方形的面积是64平方米。
考点：百分数的实际应用；长方形、正方形的面积。
27．20%
【解析】超产了百分之几就是求超产的是计划的百分之几，先求出计划的产量，然后用超出的量÷计划的产量就是超产了百分之几。
解：450÷（2700-450）
=450÷2250
=20%
答：超产了20%。
考点：百分数的实际应用。
28．①，②，72张和48张
【解析】我们根据所求的问题正确的选出条件，然后再进行解答，即我们选择①②两个条件，就可以求出姐、弟各有多少张邮票。
解：120×
=120×
=72（张）
120-72=48（张）
答：姐姐和弟弟分别有72张和48张。
考点："提问题"、"填条件"应用题。
29．54台
【解析】要求这批电脑原来有多少台，根据题意如果已知卖出的台数，即可求出答案。
解：补充条件为：正好是36台。
36÷=36×=54（台）
答：这批电脑原来有54台。
点评：此题属于简单分数应用题，已知卖出所对应的数量就可求出单位"1"（即这批电脑原来有多少台）。
30．①该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？
②该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生比女生多的人数占全校的几分之几？
①975人；
【解析】根据题意我们可以提出问题如下：
①该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？
②该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生比女生多的人数占全校的几分之几？
解：①该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生有多少人？
（1800+150）÷2
=1950÷2
=975（人）
答：男生有975人。
②该校本期共有学生1800人，男生比女生多150人，男生比女生多的人数占全校的几分之几？
150÷1800=
答：男生比女生多的人数占全校的。
31．95.2%
【解析】首先理解发芽率，发芽率是指发芽的种子粒数占种子总粒数的百分之几，先求出种子的总粒数，进而用：×100%=发芽率，由此列式解答即可。
解：实验种子的总粒数：500+25=525（粒）
发芽率：×100%≈0.952=95.2%。
答：这批种子的发芽率是95.2%。
考点：百分率应用题。
32．94%
【解析】理解出勤率，出勤率是指实际出勤的人数占应出勤的人数的百分之几。出勤率=×100%。
解：出勤率=×100%=0.94×100%=94%
答：今天的出勤率是94%。
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**绝密★考试启用前**
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效．
3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 C 35.5 Fe 56
一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1\. 果蝇体细胞含有8条染色体。下列关于果蝇体细胞有丝分裂的叙述，错误的是（ ）
A. 间期，DNA进行半保留复制，形成16个DNA分子
B. 在前期，每条染色体由2条染色单体组成，含2个DNA分子
C. 在中期，8条染色体的着丝点排列在赤道板上，易于观察染色体
D. 在后期，成对的同源染色体分开，细胞中有16条染色体
【答案】D
【解析】
【分析】1、有丝分裂过程：（1）间期：进行DNA的复制和有关蛋白质的合成；（2）前期：核膜、核仁逐渐解体消失，出现纺锤体和染色体；（3）中期：染色体形态固定、数目清晰，着丝点排列在赤道板上；（4）后期：着丝点分裂，姐妹染色单体分开成为染色体，并均匀地移向两极；（5）末期：核膜、核仁重建、纺锤体和染色体消失。
2、染色体、染色单体、DNA变化特点（体细胞染色体为2N）：（1）染色体数目变化：后期加倍（4N），平时不变（2N）；（2）核DNA含量变化：间期加倍（2N→4N），末期还原（2N）；（3）染色单体数目变化：间期出现（0→4N），前期出现（4N），后期消失（4N→0），存在时数目同DNA。
【详解】A、已知果蝇体细胞含有8条染色体，每条染色体上有1个DNA分子，共8个DNA分子，在间期，DNA进行半保留复制，形成16个DNA分子，A正确；
B、间期染色体已经复制，故在前期每条染色体由2条染色单体组成，含2个DNA分子，B正确；
C、在中期，8条染色体的着丝点排列在赤道板上，此时染色体形态固定、数目清晰，易于观察染色体，C正确；
D、有丝分裂后期，着丝点分裂，姐妹染色单体分开，染色体数目加倍，由8条变成16条，同源染色体不分离，D错误。
故选D。
2\. 选择合适的试剂有助于达到实验目的。下列关于生物学实验所用试剂的叙述，错误的是（ ）
A. 鉴别细胞的死活时，台盼蓝能将代谢旺盛的动物细胞染成蓝色
B. 观察根尖细胞有丝分裂中期的染色体，可用龙胆紫溶液使其着色
C. 观察RNA在细胞中分布的实验中，盐酸处理可改变细胞膜的通透性
D. 观察植物细胞吸水和失水时，可用蔗糖溶液处理紫色洋葱鳞片叶外表皮
【答案】A
【解析】
【分析】1、细胞膜具有选择透过性，台盼蓝等不被细胞需要的大分子物质不能进入细胞内。
2、染色质（体）主要由蛋白质和DNA组成，易被碱性染料（龙胆紫、醋酸洋红等）染成深色而得名。
3、在"观察DNA和RNA在细胞中的分布"实验中∶（1）用质量分数为0.9%的NaCIl溶液保持细胞原有的形态﹔（2）用质量分数为8%的盐酸改变细胞膜的通透性，加速染色剂进入细胞，将染色体上的DNA和蛋白质分离，便于染色剂与DNA结合；（3）用吡罗红-甲基绿染色剂对DNA和RNA进行染色。
4、观察植物细胞吸水和失水时，需要选择有颜色的成熟的植物细胞，紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞符合条件。
【详解】A、代谢旺盛的动物细胞是活细胞，细胞膜具有选择透过性，台盼蓝不能进入细胞内，故不能将代谢旺盛的动物细胞染成蓝色，A错误；
B、龙胆紫溶液可以将染色体染成深色，故观察根尖细胞有丝分裂中期的染色体，可用龙胆紫溶液使其着色，B正确；
C、观察RNA在细胞中分布的实验中，盐酸处理可改变细胞膜的通透性，加速染色剂进入细胞，C正确；
D、观察植物细胞吸水和失水时，可用较高浓度的蔗糖溶液处理紫色洋葱鳞片叶外表，使其失水而发生质壁分离，D正确。
故选A。
3\. 植物在生长发育过程中，需要不断从环境中吸收水。下列有关植物体内水的叙述，错误的是（ ）
A. 根系吸收的水有利于植物保持固有姿态
B. 结合水是植物细胞结构的重要组成成分
C. 细胞的有氧呼吸过程不消耗水但能产生水
D. 自由水和结合水比值的改变会影响细胞的代谢活动
【答案】C
【解析】
【分析】水的存在形式和作用：1、含量：生物体中的水含量一般为60%\~90%，特殊情况下可能超过90%，是活细胞中含量最多的化合物。
2、存在形式：细胞内的水以自由水与结合水的形式存在。
3、作用：结合水是细胞结构的重要组成成分，自由水是良好的溶剂，是许多化学反应的介质，自由水还参与许多化学反应，自由水对于运输营养物质和代谢废物具有重要作用，自由水与结合水比值越高，细胞代谢越旺盛，抗逆性越差，反之亦然。
【详解】A、水是植物细胞液的主要成分，细胞液主要存在于液泡中，充盈的液泡使植物细胞保持坚挺，故根系吸收的水有利于植物保持固有姿态，A正确；
B、结合水与细胞内其他物质相结合，是植物细胞结构的重要组成成分，B正确；
C、细胞的有氧呼吸第二阶段消耗水，第三阶段产生水，C错误；
D、自由水参与细胞代谢活动，故自由水和结合水比值的改变会影响细胞的代谢活动，自由水与结合水比值越高，细胞代谢越旺盛，反之亦然，D正确。
故选C。
4\. 在神经调节过程中，兴奋会在神经纤维上传导和神经元之间传递。下列有关叙述错误的是（ ）
A. 兴奋从神经元的细胞体传导至突触前膜，会引起Na^+^外流
B. 突触前神经元兴奋可引起突触前膜释放乙酰胆碱
C. 乙酰胆碱是一种神经递质，在突触间隙中经扩散到达突触后膜
D. 乙酰胆碱与突触后膜受体结合，引起突触后膜电位变化
【答案】A
【解析】
分析】1、神经冲动的产生：静息时，神经细胞膜对钾离子的通透性大，钾离子大量外流，形成内负外正的静息电位；受到刺激后，神经细胞膜的通透性发生改变，对钠离子的通透性增大，钠离子内流，形成内正外负的动作电位。兴奋部位和非兴奋部位形成电位差，产生局部电流，兴奋传导的方向与膜内电流方向一致。
2、兴奋在神经元之间需要通过突触结构进行传递，突触包括突触前膜、突触间隙、突触后膜，其具体的传递过程为：兴奋以电流的形式传导到轴突末梢时，突触小泡释放递质（化学信号），递质作用于突触后膜，引起突触后膜产生膜电位（电信号），从而将兴奋传递到下一个神经元。
【详解】A、神经细胞膜外Na^+^浓度高于细胞内，兴奋从神经元的细胞体传导至突触前膜，会引起Na^+^内流，A错误；
B、突触前神经元兴奋可引起突触前膜释放神经递质，如乙酰胆碱，B正确；
C、乙酰胆碱是一种兴奋性神经递质，在突触间隙中经扩散到达突触后膜，与后膜上的特异性受体相结合，C正确；
D、乙酰胆碱与突触后膜受体结合，引起突触后膜电位变化，即引发一次新的神经冲动，D正确。
故选A。
5\. 在格里菲思所做的肺炎双球菌转化实验中，无毒性的R型活细菌与被加热杀死的S型细菌混合后注射到小鼠体内，从小鼠体内分离出了有毒性的S型活细菌。某同学根据上述实验，结合现有生物学知识所做的下列推测中，不合理的是（ ）
A. 与R型菌相比，S型菌的毒性可能与荚膜多糖有关
B. S型菌的DNA能够进入R型菌细胞指导蛋白质的合成
C. 加热杀死S型菌使其蛋白质功能丧失而DNA功能可能不受影响
D. 将S型菌的DNA经DNA酶处理后与R型菌混合，可以得到S型菌
【答案】D
【解析】
【分析】肺炎双球菌转化实验包括格里菲斯体内转化实验和艾弗里体外转化实验，其中格里菲斯体内转化实验证明S型细菌中存在某种转化因子，能将R型细菌转化为S型细菌，没有证明转化因子是什么物质，而艾弗里体外转化实验，将各种物质分开，单独研究它们在遗传中作用，并用到了生物实验中的减法原理，最终证明DNA是遗传物质。
【详解】A、与R型菌相比，S型菌具有荚膜多糖，S型菌有毒，故可推测S型菌的毒性可能与荚膜多糖有关，A正确；
B、S型菌的DNA进入R型菌细胞后使R型菌具有了S型菌的性状，可知S型菌的DNA进入R型菌细胞后指导蛋白质的合成，B正确；
C、加热杀死的S型菌不会使小白鼠死亡，说明加热杀死的S型菌的蛋白质功能丧失，而加热杀死的S型菌的DNA可以使R型菌发生转化，可知其DNA功能不受影响，C正确；
D、将S型菌的DNA经DNA酶处理后，DNA被水解为小分子物质，故与R型菌混合，不能得到S型菌，D错误。
故选D。
6\. 某种二倍体植物*n*个不同性状由*n*对独立遗传的基因控制（杂合子表现显性性状）。已知植株A的*n*对基因均杂合。理论上，下列说法错误的是（ ）
A. 植株A的测交子代会出现2^n^种不同表现型的个体
B. *n*越大，植株A测交子代中不同表现型个体数目彼此之间差异越大
C. 植株A测交子代中*n*对基因均杂合的个体数和纯合子的个体数相等
D. *n*≥2时，植株A的测交子代中杂合子的个体数多于纯合子的个体数
【答案】B
【解析】
【分析】1、基因的自由组合定律的实质是：位于非同源染色体上的非等位基因的分离或组合是互不干扰的；在减数分裂的过程中，同源染色体上的等位基因彼此分离的同时，非同源染色体上的非等位基因自由组合。
2、分析题意可知：*n*对等位基因独立遗传，即*n*对等位基因遵循自由组合定律。
【详解】A、每对等位基因测交后会出现2种表现型，故*n*对等位基因杂合的植株A的测交子代会出现2^n^种不同表现型的个体，A正确；
B、不管n有多大，植株A测交子代比为（1：1）^n^~=~1：1：1：1......（共2^n^个1），即不同表现型个体数目均相等，B错误；
C、植株A测交子代中*n*对基因均杂合的个体数为1/2^n^，纯合子的个体数也是1/2^n^，两者相等，C正确；
D、*n*≥2时，植株A的测交子代中纯合子的个体数是1/2^n^，杂合子的个体数为1-（1/2^n^），故杂合子的个体数多于纯合子的个体数，D正确。
故选B。
7\. 我国提出争取在2030年前实现碳达峰，2060年实现碳中和，这对于改善环境，实现绿色发展至关重要。碳中和是指的排放总量和减少总量相当。下列措施中能促进碳中和最直接有效的是
A. 将重质油裂解轻质油作为燃料
B. 大规模开采可燃冰作为清洁燃料
C. 通过清洁煤技术减少煤燃烧污染
D. 研发催化剂将还原为甲醇
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．将重质油裂解为轻质油并不能减少二氧化碳的排放量，达不到碳中和的目的，故A不符合题意；
B．大规模开采可燃冰做为清洁燃料，会增大二氧化碳的排放量，不符合碳中和的要求，故B不符合题意；
C．通过清洁煤技术减少煤燃烧污染，不能减少二氧化碳的排放量，达不到碳中和的目的，故C不符合题意；
D．研发催化剂将二氧化碳还原为甲醇，可以减少二氧化碳的排放量，达到碳中和的目的，故D符合题意；
故选D。
8\. 在实验室采用如图装置制备气体，合理的是
--- ---------- ------------
化学试剂 制备的气体
A
B (浓)
C
D (浓)
--- ---------- ------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】C
【解析】
【分析】由实验装置图可知，制备气体的装置为固固加热装置，收集气体的装置为向上排空气法，说明该气体的密度大于空气的密度；
【详解】A．氨气的密度比空气小，不能用向上排空法收集，故A错误；
B．二氧化锰与浓盐酸共热制备氯气为固液加热反应，需要选用固液加热装置，不能选用固固加热装置，故B错误；
C．二氧化锰和氯酸钾共热制备氧气为固固加热的反应，能选用固固加热装置，氧气的密度大于空气，可选用向上排空气法收集，故C正确；
D．氯化钠与浓硫酸共热制备为固液加热反应，需要选用固液加热装置，不能选用固固加热装置，故D错误；
故选C。
9\. 下列过程中的化学反应，相应的离子方程式正确的是
A. 用碳酸钠溶液处理水垢中的硫酸钙：
B. 过量铁粉加入稀硝酸中：
C. 硫酸铝溶液中滴加少量氢氧化钾溶液：
D. 氯化铜溶液中通入硫化氢：
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A.硫酸钙微溶，用碳酸钠溶液处理水垢中的硫酸钙转化为难溶的碳酸钙，离子方程式为：C+CaSO~4~=CaCO~3~+S，故A正确；
B．过量的铁粉与稀硝酸反应生成硝酸亚铁、一氧化氮和水，离子方程式应为：3Fe+8H^+^+2N=3Fe^2+^+2NO↑+4H~2~O，故B错误；
C．硫酸铝溶液与少量氢氧化钾溶液反应生成氢氧化铝沉淀和硫酸钾，离子方程式应为：Al^3+^+3OH^-^=Al(OH)~3~↓，故C错误；
D．硫化氢为弱电解质，书写离子方程式时不能拆，离子方程式应为：Cu^2+^+H~2~S=CuS↓+2H^+^，故D错误；
答案选A。
10\. 一种活性物质的结构简式为，下列有关该物质的叙述正确的是
A. 能发生取代反应，不能发生加成反应
B. 既是乙醇的同系物也是乙酸的同系物
C. 与互为同分异构体
D. 该物质与碳酸钠反应得
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．该物质含有羟基、羧基、碳碳双键，能发生取代反应和加成反应，故A错误；
B．同系物是结构相似，分子式相差1个或n个CH~2~的有机物，该物质的分子式为C~10~H~18~O~3~，而且与乙醇、乙酸结构不相似，故B错误；
C．该物质的分子式为C~10~H~18~O~3~，的分子式为C~10~H~18~O~3~，所以二者的分子式相同，结构式不同，互为同分异构体，故C正确；
D．该物质只含有一个羧基，1mol该物质与碳酸钠反应，生成0.5mol二氧化碳，质量为22g，故D错误；
故选C。
11\. 我国蠕娥五号探测器带回的月球土壤，经分析发现其构成与地球士壤类似土壤中含有的短周期元素W、X、Y、Z，原子序数依次增大，最外层电子数之和为15，X、Y、Z为同周期相邻元素，且均不与W同族，下列结论正确的是
A. 原子半径大小顺序为
B. 化合物XW中的化学键为离子键
C. Y单质的导电性能弱于Z单质的
D. Z的氧化物的水化物的酸性强于碳酸
【答案】B
【解析】
【分析】由短周期元素W、X、Y、Z，原子序数依次增大，最外层电子数之和为15， X、Y、Z为同周期相邻元素，可知W所在主族可能为第ⅢA族或第ⅥA族元素，又因X、Y、Z为同周期相邻元素，且均不与W同族，故W一定不是第ⅢA族元素，即W一定是第ⅥA族元素，进一步结合已知可推知W、X、Y、Z依次为O、Mg、Al、Si，据此答题。
【详解】A．O原子有两层，Mg、Al、Si均有三层且原子序数依次增大，故原子半径大小顺序为Mg＞Al＞Si＞O，即，A错误；
B．化合物XW即MgO为离子化合物，其中的化学键为离子键，B正确；
C．Y单质为铝单质，铝属于导体，导电性很强，Z单质为硅，为半导体，半导体导电性介于导体和绝缘体之间，故Y单质的导电性能强于Z单质的，C错误；
D．Z的氧化物的水化物为硅酸，硅酸酸性弱于碳酸，D错误；
故选B。
12\. 沿海电厂采用海水为冷却水，但在排水管中生物的附着和滋生会阻碍冷却水排放并降低冷却效率，为解决这一问题，通常在管道口设置一对惰性电极(如图所示)，通入一定的电流。
下列叙述错误的是
A. 阳极发生将海水中的氧化生成的反应
B. 管道中可以生成氧化灭杀附着生物的
C. 阴极生成的应及时通风稀释安全地排入大气
D. 阳极表面形成的等积垢需要定期清理
【答案】D
【解析】
【分析】海水中除了水，还含有大量Na^+^、Cl^-^、Mg^2+^等，根据题干信息可知，装置的原理是利用惰性电极电解海水，阳极区溶液中的Cl^-^会优先失电子生成Cl~2~，阴极区H~2~O优先得电子生成H~2~和OH^-^，结合海水成分及电解产物分析解答。
【详解】A．根据分析可知，阳极区海水中的Cl^-^会优先失去电子生成Cl~2~，发生氧化反应，A正确；
B．设置的装置为电解池原理，根据分析知，阳极区生成的Cl~2~与阴极区生成的OH^-^在管道中会发生反应生成NaCl、NaClO和H~2~O，其中NaClO具有强氧化性，可氧化灭杀附着的生物，B正确；
C．因为H~2~是易燃性气体，所以阳极区生成的H~2~需及时通风稀释，安全地排入大气，以排除安全隐患，C正确；
D．阴极的电极反应式为：2H~2~O+2e^-^=H~2~↑+2OH^-^，会使海水中的Mg^2+^沉淀积垢，所以阴极表面会形成Mg(OH)~2~等积垢需定期清理，D错误。
故选D。
13\. HA是一元弱酸，难溶盐MA的饱和溶液中随c(H^+^)而变化，不发生水解。实验发现，时为线性关系，如下图中实线所示。
下列叙述错误是
A 溶液时，
B. MA的溶度积度积
C. 溶液时，
D. HA的电离常数
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知HA是一元弱酸，其电离常数K~a~(HA)=；K~sp~(MA)=c(M^+^)×c(A^-^)，联立二式可得线性方程c^2^(M^+^)=。
【详解】A．由图可知pH=4，即c(H^+^)=10×10^-5^mol/L时，c^2^(M^+^)=7.5×10^-8^mol^2^/L^2^，c(M^+^)=mol/L\<3.0×10^-4^mol/L，A正确；
B．当c(H^+^)=0mol/L时，c^2^(M^+^)=5.0×10^-8^，结合分析可知5.0×10^-8^==，B正确；
C．设调pH所用的酸为H~n~X，则结合电荷守恒可知+ nc(X^n-^)，题给等式右边缺阴离子部分nc(X^n-^)，C错误；
D．当c(H^+^)=20×10^-5^mol/L时，c^2^(M^+^)=10.0×10^-8^mol^2^/L^2^，结合B代入线性方程有10.0×10^-8^=，解得，D正确；
选C。
**二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
14\. 如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（ ）
A. 动量守恒，机械能守恒
B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒
D. 动量不守恒，机械能不守恒
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤去推力后滑块在车厢底板上有相对滑动，即摩擦力做功，而水平地面是光滑的；以小车、弹簧和滑块组成的系统，根据动量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力后该系统动量守恒，机械能不守恒。
故选B。
15\. 如图（a），在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图（b）中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于*M*和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为和，相应的电势能分别为和，则（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】由图中等势面的疏密程度可知
根据
可知
由题可知图中电场线是由金属板指向负电荷，设将该试探电荷从*M*点移到*N*点，可知电场力做正功，电势能减小，即
故选A。
16\. 如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为*m*、电荷量为的带电粒子从圆周上的*M*点沿直径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转；若射入磁场时的速度大小为，离开磁场时速度方向偏转，不计重力，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
设圆形磁场区域的半径为*R*，根据几何关系有第一次的半径
第二次的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
所以
故选B。
17\. 医学治疗中常用放射性核素产生射线，而是由半衰期相对较长的衰变产生的。对于质量为的，经过时间*t*后剩余的质量为*m*，其图线如图所示。从图中可以得到的半衰期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】由图可知从到恰好衰变了一半，根据半衰期的定义可知半衰期为
故选C。
18\. 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为*M*，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期*T*=16年，地球的公转周期*T*~0~=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径*r*与地球绕太阳做圆周运动的半径*R*关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
19\. 水平桌面上，一质量为*m*的物体在水平恒力*F*拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去*F*，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为*g*，则（ ）
A. 在此过程中*F*所做的功为
B. 在此过中*F*的冲量大小等于
C. 物体与桌面间的动摩擦因数等于
D. *F*的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】CD．外力撤去前，由牛顿第二定律可知
①
由速度位移公式有
②
外力撤去后，由牛顿第二定律可知
③
由速度位移公式有
④
由①②③④可得，水平恒力
动摩擦因数
滑动摩擦力
可知*F*的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的3倍，
故C正确，D错误；
A．在此过程中，外力*F*做功为
故A错误；
B．由平均速度公式可知，外力*F*作用时间
在此过程中，*F*的冲量大小是
故B正确。
故选BC。
20\. 四个带电粒子的电荷量和质量分别、、、它们先后以相同的速度从坐标原点沿*x*轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与*y*轴平行，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. \
【答案】AD
【解析】
【分析】
【详解】带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，加速度为
由类平抛运动规律可知，带电粒子的在电场中运动时间为
离开电场时，带电粒子的偏转角的正切为
因为四个带电的粒子的初速相同，电场强度相同，极板长度相同，所以偏转角只与比荷有关，前面三种带电粒子带正电，第四种带电粒子带负电，所以第四个粒子与前面三个粒子的偏转方向不同；第一种粒子与第三种粒子的比荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与第四种粒子的比荷也相同，所以一、三、四粒子偏转角相同，但第四种粒子与前两个粒子的偏转方向相反；第二种粒子的比荷与第一、三种粒子的比荷小，所以第二种粒子比第一、三种粒子的偏转角小，但都还正电，偏转方向相同。
故选AD。
21\. 水平地面上有一质量为的长木板，木板的左明上有一质量为的物块，如图（*a*）所示。用水平向右的拉力*F*作用在物块上，*F*随时间*t*的变化关系如图（*b*）所示，其中、分别为、时刻*F*的大小。木板的加速度随时间*t*的变化关系如图（*c*）所示。已知木板与地面间的动摩擦因数为，物块与木板间的动摩擦因数为，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为*g*。则（ ）
A.
B.
C.
D. 时间段物块与木板加速度相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】
【详解】A．图（c）可知，*t*~1~时滑块木板一起刚在从水平滑动，此时滑块与木板相对静止，木板刚要滑动，此时以整体为对象有
故A错误；
BC．图（c）可知，*t*~2~滑块与木板刚要发生相对滑动，以整体为对象， 根据牛顿第二定律，有
以木板为对象，根据牛顿第二定律，有
解得
故BC正确；
D．图（c）可知，0\~*t*~2~这段时间滑块与木板相对静止，所以有相同的加速度，故D正确。
故选BCD。
**三、非选择题：第9～12题为必考题，每个试题考生都必须作答。第13\~16题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：**
22\. 某同学利用图（a）所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图（b）所示（图中未包括小球刚离开轨道的影像）。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为。该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图（b）中标出。
完成下列填空：（结果均保留2位有效数字）
（1）小球运动到图（b）中位置*A*时，其速度的水平分量大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，竖直分量大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）根据图（b）中数据可得，当地重力加速度的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1.0 (2). 2.0 (3). 9.7
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]因小球水平方向做匀速直线运动，因此速度为
\[2\]竖直方向做自由落体运动，因此A点的竖直速度可由平均速度等于时间中点的瞬时速度求得
（2）\[3\]由竖直方向的自由落体运动可得
代入数据可得
23\. 一实验小组利用图（a）所示的电路测量---电池的电动势*E*（约）和内阻*r*（小于）。图中电压表量程为，内阻：定值电阻；电阻箱*R*，最大阻值为；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
（1）为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"5.0"或"15.0"）；
（2）闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值*R*和电压表的相应读数*U*；
（3）根据图（a）所示电路，用*R*、、、*E*和*r*表示，得\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）利用测量数据，做图线，如图（b）所示：
（5）通过图（b）可得\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_V（保留2位小数），\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（保留1位小数）；
（6）若将图（a）中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为，由此产生的误差为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_%。
【答案】 (1). 15.0 (2). (3). 1.55 (4). 1.0 (5). 5
【解析】
【分析】
【详解】（1）\[1\]为了避免电压表被烧坏，接通电路时电压表两端电压不能比电表满偏电压大，则由并联电路分压可得
代入数据解得
因此选。
（3）\[2\]由闭合回路的欧姆定律可得
化简可得
（5）\[3\]\[4\]由上面公式可得
，
由图象计算可得
，
代入可得
，
（6）\[5\]如果电压表为理想电压表，则可有
则此时
因此误差为
24\. 一篮球质量为，一运动员使其从距地面高度为处由静止自由落下，反弹高度为。若使篮球从距地面的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球、球落地后反弹的高度也为。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取，不计空气阻力。求：
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
【详解】（1）第一次篮球下落的过程中由动能定理可得
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中，由动能定理可得
第二次从1.5m的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得
因篮球每次和地面撞击的前后动能的比值不变，则有比例关系
代入数据可得
（2）因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此有牛顿第二定律可得
在拍球时间内运动的位移为
做得功为
联立可得
（舍去）
25\. 如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为*x*，则金属棒在磁场中运动的时间为
则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端*EF*刚好进入线框，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
，
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
，，，
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
代入数据解得
26\. 磁选后的炼铁高钛炉渣，主要成分有、、、、以及少量的。为节约和充分利用资源，通过如下工艺流程回收钛、铝、镁等。
该工艺条件下，有关金属离子开始沉淀和沉淀完全的见下表
------------ ----- ----- ------ ------
金属离子
开始沉淀的 2.2 3.5 9.5 12.4
沉淀完全的 3.2 4.7 11.1 13.8
------------ ----- ----- ------ ------
回答下列问题：
(1)"焙烧"中，、几乎不发生反应，、、、转化为相应的硫酸盐，写出转化为的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"水浸"后"滤液"的约为2.0，在"分步沉淀"时用氨水逐步调节至11.6，依次析出的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"母液①\"中浓度为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"水浸渣"在160℃"酸溶"最适合的酸是\_\_\_\_\_\_\_。"酸溶渣"的成分是\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"酸溶"后，将溶液适当稀释并加热，水解析出沉淀，该反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将"母液①"和"母液②"混合，吸收尾气，经处理得\_\_\_\_\_\_\_，循环利用。
【答案】 (1). (2). (3). (4). 硫酸 (5). (6). (7). (8).
【解析】
【分析】由题给流程可知，高钛炉渣与硫酸铵混合后焙烧时，二氧化钛和二氧化硅不反应，氧化铝、氧化镁、氧化钙、氧化铁转化为相应的硫酸盐，尾气为氨气；将焙烧后物质加入热水水浸，二氧化钛、二氧化硅不溶于水，微溶的硫酸钙部分溶于水，硫酸铁、硫酸镁和硫酸铝铵溶于水，过滤得到含有二氧化钛、二氧化硅、硫酸钙的水浸渣和含有硫酸铁、硫酸镁、硫酸铝铵和硫酸钙的滤液；向pH约为2.0的滤液中加入氨水至11.6，溶液中铁离子、铝离子和镁离子依次沉淀，过滤得到含有硫酸铵、硫酸钙的母液①和氢氧化物沉淀；向水浸渣中加入浓硫酸加热到160℃酸溶，二氧化硅和硫酸钙与浓硫酸不反应，二氧化钛与稀硫酸反应得到TiOSO~4~，过滤得到含有二氧化硅、硫酸钙的酸溶渣和TiOSO~4~溶液；将TiOSO~4~溶液加入热水稀释并适当加热，使TiOSO~4~完全水解生成TiO~2~·x H~2~O沉淀和硫酸，过滤得到含有硫酸的母液②和TiO~2~·x H~2~O。
【详解】(1)氧化铝转化为硫酸铝铵发生的反应为氧化铝、硫酸铵在高温条件下反应生成硫酸铝铵、氨气和水，反应的化学方程式为Al~2~O~3~+4(NH~4~)~2~SO~4~NH~4~Al(SO~4~)~2~+4NH~3~↑+3H~2~O，故答案为：Al~2~O~3~+4(NH~4~)~2~SO~4~NH~4~Al(SO~4~)~2~+4NH~3~↑+3H~2~O；
(2)由题给开始沉淀和完全沉淀的pH可知，将pH约为2.0的滤液加入氨水调节溶液pH为11.6时，铁离子首先沉淀、然后是铝离子、镁离子，钙离子没有沉淀，故答案为：Fe^3+^、Al^3+^、Mg^2+^；
(3)由镁离子完全沉淀时，溶液pH为11.1可知，氢氧化镁的溶度积为1×10^---5^×(1×10^---2.9^)^2^=1×10^---10.8^，当溶液pH为11.6时，溶液中镁离子的浓度为=1×10^---6^mol/L，故答案为：1×10^---6^；
(4)增大溶液中硫酸根离子浓度，有利于使微溶的硫酸钙转化为沉淀，为了使微溶的硫酸钙完全沉淀，减少TiOSO~4~溶液中含有硫酸钙的量，应加入浓硫酸加热到160℃酸溶；由分析可知，二氧化硅和硫酸钙与浓硫酸不反应，则酸溶渣的主要成分为二氧化硅和硫酸钙，故答案为：硫酸；SiO~2~、CaSO~4~；
(5)酸溶后将TiOSO~4~溶液加入热水稀释并适当加热，能使TiOSO~4~完全水解生成TiO~2~·x H~2~O沉淀和硫酸，反应的离子方程式为TiO^2+^+（x+1）H~2~OTiO~2~·xH~2~O+2H^+^，故答案为：TiO^2+^+(x+1)H~2~OTiO~2~·xH~2~O+2H^+^；
(6)由分析可知，尾气为氨气，母液①为硫酸铵、母液②为硫酸，将母液①和母液②混合后吸收氨气得到硫酸铵溶液，可以循环使用，故答案为：(NH~4~)~2~SO~4~。
27\. 氧化石墨烯具有稳定的网状结构，在能源、材料等领域有着重要的应用前景，通过氧化剥离石墨制备氧化石墨烯的一种方法如下(转置如图所示)：
Ⅰ.将浓、、石墨粉末在c中混合，置于冰水浴中，剧烈搅拌下，分批缓慢加入粉末，塞好瓶口。
Ⅱ.转至油浴中，35℃搅拌1小时，缓慢滴加一定量的蒸馏水。升温至98℃并保持1小时。
Ⅲ.转移至大烧杯中，静置冷却至室温。加入大量蒸馏水，而后滴加至悬浊液由紫色变为土黄色。
Ⅳ.离心分离，稀盐酸洗涤沉淀。
Ⅴ.蒸馏水洗涤沉淀。
Ⅵ.冷冻干燥，得到土黄色的氧化石墨烯。
回答下列问题：
(1)装置图中，仪器a、c的名称分别是\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_，仪器b的进水口是\_\_\_\_\_\_\_(填字母)。
(2)步骤Ⅰ中，需分批缓慢加入粉末并使用冰水浴，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)步骤Ⅱ中的加热方式采用油浴，不使用热水浴，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)步骤Ⅲ中，的作用是\_\_\_\_\_\_\_(以离子方程式表示)。
(5)步骤Ⅳ中，洗涤是否完成，可通过检测洗出液中是否存在来判断。检测的方法是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)步骤Ⅴ可用试纸检测来判断是否洗净，其理由是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 滴液漏斗 (2). 三颈烧瓶 (3). d (4). 反应放热，使反应过快 (5). 反应温度接近水的沸点，油浴更易控温 (6). (7). 取少量洗出液，滴加，没有白色沉淀生成 (8). 与电离平衡，洗出液接近中性时，可认为洗净
【解析】
【分析】
【详解】(1)由图中仪器构造可知，a的仪器名称为滴液漏斗，c的仪器名称为三颈烧瓶；仪器b为球形冷凝管，起冷凝回流作用，为了是冷凝效果更好，冷却水要从d口进，a口出，故答案为：分液漏斗；三颈烧瓶；d；
(2)反应为放热反应，为控制反应速率，避免反应过于剧烈，需分批缓慢加入KMnO~4~粉末并使用冰水浴，故答案为：反应放热，使反应过快；
(3)油浴和水浴相比，由于油的比热容较水小，油浴控制温度更加灵敏和精确，该实验反应温度接近水的沸点，故不采用热水浴，而采用油浴，故答案为：反应温度接近水的沸点，油浴更易控温；
(4)由滴加H~2~O~2~后发生的现象可知，加入的目的是除去过量的KMnO~4~，则反应的离子方程式为：2Mn+5H~2~O~2~+6H^+^=2Mn^2+^+5O~2~↑+8H~2~O，故答案为：2Mn+5H~2~O~2~+6H^+^=2Mn^2+^+5O~2~↑+8H~2~O ；
(5)该实验中为判断洗涤是否完成，可通过检测洗出液中是否存在S来判断，检测方法是：取最后一次洗涤液，滴加BaCl~2~溶液，若没有沉淀说明洗涤完成，故答案为：取少量洗出液，滴加BaCl~2~，没有白色沉淀生成；
(6)步骤IV用稀盐酸洗涤沉淀，步骤V洗涤过量的盐酸，与电离平衡，洗出液接近中性时，可认为洗净，故答案为：与电离平衡，洗出液接近中性时，可认为洗净。
28\. 一氯化碘(ICl)是一种卤素互化物，具有强氧化性，可与金属直接反应，也可用作有机合成中的碘化剂。回答下列问题：
(1)历史上海藻提碘中得到一种红棕色液体，由于性质相似，Liebig误认为是ICl，从而错过了一种新元素的发现，该元素是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)氯铂酸钡()固体加热时部分分解为、和，376.8℃时平衡常数，在一硬质玻璃烧瓶中加入过量，抽真空后，通过一支管通入碘蒸气(然后将支管封闭)，在376.8℃，碘蒸气初始压强为。376.8℃平衡时，测得烧瓶中压强为，则\_\_\_\_\_\_\_，反应的平衡常数K=\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式即可)。
(3)McMorris测定和计算了在136\~180℃范围内下列反应的平衡常数。
得到和均为线性关系，如下图所示：
①由图可知，NOCl分解为NO和反应的\_\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")
②反应的K=\_\_\_\_\_\_\_(用、表示)：该反应的\_\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")，写出推理过程\_\_\_\_\_\_\_。
(4)Kistiakowsky曾研究了NOCl光化学分解反应，在一定频率(v)光的照射下机理为：
其中表示一个光子能量，表示NOCl的激发态。可知，分解1mol的NOCl需要吸收\_\_\_\_\_\_\_mol光子。
【答案】 (1). 溴(或) (2). 24.8 (3). (4). 大于 (5). (6). 大于 (7). 设，即，由图可知：则：，即，因此该反应正反应为吸热反应，即大于0 (8). 0.5
【解析】
【分析】
【详解】(1)红棕色液体，推测为溴单质，因此错过发现的元素是溴(或)；
(2)由题意玻376.8℃时璃烧瓶中发生两个反应：(s)(s)+(s)+2(g)、Cl~2~(g)+I~2~(g)2ICl(g)。(s)(s)+(s)+2(g)的平衡常数，则平衡时p^2^(Cl~2~)=，平衡时p(Cl~2~)=100Pa，设到达平衡时I~2~(g)的分压减小pkPa，则，376.8℃平衡时，测得烧瓶中压强为，则0.1+20.0+p=32.5，解得p=12.4，则平衡时2p=2×12.4kPa=24.8kPa；则平衡时，I~2~(g)的分压为(20.0-p)kPa=7.6kPa=7.6×10^3^Pa，24.8kPa=24.8×10^3^Pa，p(Cl~2~)=0.1kPa=100Pa，因此反应的平衡常数K=；
(3)①结合图可知，温度越高，越小，lgKp~2~越大，即Kp~2~越大，说明升高温度平衡正向移动，则NOCl分解为NO和反应的大于0；
②Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅰ+Ⅱ得，则的K=；该反应的大于0；推理过程如下：设，即，由图可知：则：，即，因此该反应正反应为吸热反应，即大于0；
(4)Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅰ+Ⅱ得总反应为2NOCl+hv=2NO+Cl~2~，因此2molNOCl分解需要吸收1mol光子能量，则分解1mol的NOCl需要吸收0.5mol光子。
29\. 生活在干旱地区的一些植物（如植物甲）具有特殊的CO~2~固定方式。这类植物晚上气孔打开吸收CO~2~，吸收的CO~2~通过生成苹果酸储存在液泡中；白天气孔关闭，液泡中储存的苹果酸脱羧释放的CO~2~可用于光合作用。回答下列问题：
（1）白天叶肉细胞产生ATP的场所有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。光合作用所需的CO~2~来源于苹果酸脱羧和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_释放的CO~2~。
（2）气孔白天关闭、晚上打开是这类植物适应干旱环境的一种方式，这种方式既能防止\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，又能保证\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_正常进行。
（3）若以pH作为检测指标，请设计实验来验证植物甲在干旱环境中存在这种特殊的CO~2~固定方式。\_\_\_\_\_（简要写出实验思路和预期结果）
【答案】 (1). 细胞质基质、线粒体（线粒体基质和线粒体内膜）、叶绿体类囊体薄膜 (2). 细胞呼吸（或呼吸作用） (3). 蒸腾作用过强导致水分散失过多 (4). 光合作用 (5). 实验思路：取生长状态相同的植物甲若干株随机均分为A、B两组；A组在（湿度适宜的）正常环境中培养，B组在干旱环境中培养，其他条件相同且适宜，一段时间后，分别检测两组植株夜晚同一时间液泡中的pH，并求平均值。\
预期结果：A组pH平均值高于B组。
【解析】
【分析】据题可知，植物甲生活在干旱地区，为降低蒸腾作用减少水分的散失，气孔白天关闭、晚上打开。白天气孔关闭时：液泡中储存的苹果酸脱羧释放的CO~2~可用于光合作用，光合作用生成的氧气和有机物可用于细胞呼吸，白天能产生ATP的场所有细胞质基质、线粒体和叶绿体；而晚上虽然气孔打开，但由于无光照，叶肉细胞只能进行呼吸作用，能产生ATP的场所有细胞质基质和线粒体。
【详解】（1）白天有光照，叶肉细胞能利用液泡中储存的苹果酸脱羧释放的CO~2~进行光合作用，也能利用光合作用产生的氧气和有机物进行有氧呼吸，光合作用光反应阶段能将光能转化为化学能储存在ATP中，有氧呼吸三阶段都能产生能量合成ATP，因此叶肉细胞能产生ATP的场所有细胞质基质、线粒体（线粒体基质和线粒体内膜）、叶绿体类囊体薄膜。光合作用为有氧呼吸提供有机物和氧气，反之，细胞呼吸（呼吸作用）产生的二氧化碳也能用于光合作用暗反应，故光合作用所需的CO~2~可来源于苹果酸脱羧和细胞呼吸（或呼吸作用）释放的CO~2~。
（2）由于环境干旱，植物吸收的水分较少，为了维持机体的平衡适应这一环境，气孔白天关闭能防止白天因温度较高蒸腾作用较强导致植物体水分散失过多，晚上气孔打开吸收二氧化碳储存固定以保证光合作用等生命活动的正常进行。
（3）该实验自变量是植物甲所处的生存环境是否干旱，由于夜间气孔打开吸收二氧化碳，生成苹果酸储存在液泡中，导致液泡pH降低，故可通过检测液泡的pH验证植物甲存在该特殊方式，即因变量检测指标是液泡中的pH值。实验思路：取生长状态相同的植物甲若干株随机均分为A、B两组；A组在（湿度适宜的）正常环境中培养，B组在干旱环境中培养，其他条件相同且适宜，一段时间后，分别检测两组植株夜晚同一时间液泡中的pH，并求平均值。
预期结果：A组pH平均值高于B组。
【点睛】解答本题的关键是明确实验材料选取的原则，以及因变量的检测方法和无关变量的处理原则。
30\. 在自然界中，竞争是一个非常普遍的现象。回答下列问题：
（1）竞争排斥原理是指在一个稳定的环境中，两个或两个以上受资源限制的，但具有相同资源利用方式的物种不能长期共存在一起。为了验证竞争排斥原理，某同学选用双小核草履虫和大草履虫为材料进行实验，选择动物所遵循的原则是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。该实验中需要将两种草履虫放在资源\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"有限的"或"无限的"）环境中混合培养。当实验出现\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的结果时即可证实竞争排斥原理。
（2）研究发现，以同一棵树上的种子为食物的两种雀科鸟原来存在竞争关系，经进化后通过分别取食大小不同的种子而能长期共存。若仅从取食的角度分析，两种鸟除了因取食的种子大小不同而共存，还可因取食的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）不同而共存。
（3）根据上述实验和研究，关于生物种间竞争的结果可得出的结论是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 形态和习性上很接近（或具有相同的资源利用方式） (2). 有限的 (3). 一方（双小核草履虫）存活，另一方（大草履虫）死亡 (4). 部位、时间等（合理即可） (5). 有相同资源利用方式的物种竞争排斥，有不同资源利用方式的物种竞争共存
【解析】
【分析】竞争指两种或两种以上生物相互争夺资源和空间等。竞争的结果常表现为相互抑制，有时表现为一方占优势，另一方处于劣势甚至死亡。
【详解】（1）为了验证竞争排斥原理，某同学选用双小核草履虫和大草履虫为材料进行实验，选择动物所遵循的原则是形态和习性上很接近，或相同的资源利用方式。竞争排斥原理是指在一个稳定的环境中，两个或两个以上受资源限制的，但具有相同资源利用方式的物种不能长期共存在一起，因此，该实验中需要将两种草履虫放在资源有限的环境中混合培养。当实验出现一方（双小核草履虫）存活，另一方（大草履虫）死亡的结果时即可证实竞争排斥原理。
（2）研究发现，以同一棵树上的种子为食物的两种雀科鸟原来存在竞争关系，经进化后通过分别取食大小不同的种子而能长期共存。若仅从取食的角度分析，两种鸟除了因取食的种子大小不同而共存，还可因取食的部位、时间等（合理即可）不同而共存。
（3）根据上述实验和研究，关于生物种间竞争的结果可得出的结论是有相同资源利用方式的物种竞争排斥，有不同资源利用方式的物种竞争共存。
【点睛】解答本题的关键是明确种间竞争概念，竞争导致的两种不同结果，以及竞争排斥和竞争共存的区别。
31\. 哺乳动物细胞之间的信息交流是其生命活动所必需的。请参照表中内容，围绕细胞间的信息交流完成下表，以体现激素和靶器官（或靶细胞）响应之间的对应关系。
+------------+-----------------------+-----------------------+---------------------------+-----------------------------------+
| 内分泌腺或 | 激素 | 激素运输 | 靶器官或靶细胞 | 靶器官或靶细胞的响应 |
| | | | | |
| 内分泌细胞 | | | | |
+------------+-----------------------+-----------------------+---------------------------+-----------------------------------+
| 肾上腺 | 肾上腺素 | （3）通过\_\_\_\_运输 | （4）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ | 心率加快 |
+------------+-----------------------+-----------------------+---------------------------+-----------------------------------+
| 胰岛B细胞 | （1）\_\_\_\_\_\_\_\_ | | 肝细胞 | 促进肝糖原的合成 |
+------------+-----------------------+-----------------------+---------------------------+-----------------------------------+
| 垂体 | （2）\_\_\_\_\_\_\_\_ | | 甲状腺 | （5）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ |
+------------+-----------------------+-----------------------+---------------------------+-----------------------------------+
【答案】 (1). 胰岛素 (2). 促甲状腺激素 (3). 体液 (4). 心脏（心肌细胞） (5). 促进甲状腺分泌甲状腺激素
【解析】
【分析】激素调节特点：1、微量和高效：激素在血液中含量很低，但却能产生显著生理效应，这是由于激素的作用被逐级放大的结果。
2、通过体液运输：内分泌腺没有导管，所以激素扩散到体液中，由血液来运输。
3、作用于靶器官、靶细胞：激素的作用具有特异性，它有选择性地作用于靶器官、靶腺体或靶细胞，激素一经靶细胞接受并起作用后就被灭活，因此体内需要源源不断的产生激素，以维持激素含量的动态平衡。激素种类多、含量极微，既不组成细胞结构，也不提供能量，只起到调节生命活动的作用。
【详解】（1）肾上腺分泌肾上腺素，通过体液运输，由题靶细胞的响应是使心跳加速、心率加快，因此肾上腺素作用于心肌细胞。
（2）胰岛B细胞分泌胰岛素，胰岛素是机体唯一的降血糖激素，通过体液运输，作用于肝细胞，促进肝糖原的合成，使血糖水平降低。
（3）由题干垂体作用的靶器官是甲状腺可知，垂体可以分泌促甲状腺激素，通过体液运输，作用于甲状腺，促进甲状腺分泌甲状腺激素，提高细胞代谢速率，使机体产生更多的热量。
【点睛】本题考查机体内分泌腺分泌的激素种类及作用、激素调节的特点等相关知识，解决本题的关键是注意靶器官或靶细胞这一栏的答案应该与相应的靶器官和靶细胞响应保持一致。
32\. 果蝇的灰体对黄体是显性性状，由X染色体上的1对等位基因（用A/a表示）控制；长翅对残翅是显性性状，由常染色体上的1对等位基因（用B/b表示）控制。回答下列问题：
（1）请用灰体纯合子雌果蝇和黄体雄果蝇为实验材料，设计杂交实验以获得黄体雌果蝇。\_\_\_\_\_\_\_（要求：用遗传图解表示杂交过程。）
（2）若用黄体残翅雌果蝇与灰体长翅雄果蝇（X^A^YBB）作为亲本杂交得到F~1~，F~1~相互交配得F~2~，则F~2~中灰体长翅∶灰体残翅∶黄体长翅∶黄体残翅=\_\_\_\_\_\_，F~2~中灰体长翅雌蝇出现的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1).\
\
 (2). 3：1：3：1 (3). 3/16
【解析】
【分析】分析题意可知：果蝇的灰体对黄体是显性性状，由X染色体上的1对等位基因A/a 控制，可知雌果蝇基因型为X^A^X^A^（灰体）、X^A^X^a^（灰体）、X^a^X^a^（黄体），雄果蝇基因型为X^A^Y（灰体）、X^a^Y（黄体）；长翅对残翅是显性性状，由常染色体上的1对等位基因B/b控制，可知相应基因型为BB（长翅）、Bb（长翅）、bb（残翅）。
【详解】（1）亲本灰体纯合子雌果蝇的基因型为X^A^X^A^，黄体雄果蝇基因型为X^a^Y，二者杂交，子一代基因型和表现型为X^A^X^a^（灰体雌果蝇）、X^A^Y（灰体雄果蝇），想要获得黄体雌果蝇X^a^X^a^，则需要再让子一代与亲代中的黄体雄果蝇杂交，相应遗传图解如下：
 
子二代中黄体雌果蝇即为目标果蝇，选择即可。
（2）已知长翅对残翅是显性性状，基因位于常染色体上，若用黄体残翅雌果蝇（X^a^X^a^bb）与灰体长翅雄果蝇(X^A^YBB) 作为亲本杂交得到F~1~，F~1~ 的基因型为X^A^X^a^Bb、X^a^YBb，F~1~相互交配得F~2~，分析每对基因的遗传，可知F~2~中长翅：残翅=（1BB+2Bb）∶（1bb）=3∶1，灰体：黄体=（1X^A^X^a^+1X^A^Y）∶（1X^a^X^a^+1X^a^Y）=1∶1，故灰体长翅：灰体残翅：黄体长翅：黄体残翅=（1/2×3/4）∶（1/2×1/4）∶（1/2×3/4）∶（1/2×1/4）=3∶1∶3∶1，F~2~中灰体长翅雌蝇（X^A^X^a^B~-~）出现的概率为1/4×3/4=3/16。
【点睛】本题考查基因自由组合定律以及伴性遗传规律的应用的相关知识，意在考查考生运用所学知识解决实际问题的能力，答题关键在于利用分离定律思维解决自由组合定律概率计算问题。
**（二）选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每学科按所做的第一题计分。**
**\[物理---选修3-3\]**
33.（1）如图，一定量的理想气体从状态经热力学过程、、后又回到状态*a*。对于、、三个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 过程中，气体始终吸热
B. 过程中，气体始终放热
C. 过程中，气体对外界做功
D. 过程中，气体的温度先降低后升高
E. 过程中，气体的温度先升高后降低
【答案】ABE
【解析】
【分析】
【详解】A．由理想气体的图可知，理想气体经历*ab*过程，体积不变，则，而压强增大，由可知，理想气体的温度升高，则内能增大，由可知，气体一直吸热，故A正确；
BC．理想气体经历*ca*过程为等压压缩，则外界对气体做功，由知温度降低，即内能减少，由可知，，即气体放热，故B正确，C错误；
DE．由可知，图像的坐标围成的面积反映温度，*b*状态和*c*状态的坐标面积相等，而中间状态的坐标面积更大，故*bc*过程的温度先升高后降低，故D错误，E正确；
故选ABE。
（2）如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为，。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差。已知外界大气压为。求A、B两管内水银柱的高度差。
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】对*B*管中的气体，水银还未上升产生高度差时，初态为压强，体积为，末态压强为，设水银柱离下端同一水平面的高度为，体积为，由水银柱的平衡条件有
*B*管气体发生等温压缩，有
联立解得
对*A*管中的气体，初态为压强，体积为，末态压强为，设水银柱离下端同一水平面的高度为，则气体体积为，由水银柱的平衡条件有
*A*管气体发生等温压缩，有
联立可得
解得
或
则两水银柱的高度差为
**【物理------选修3-4】**
34\. （1）图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过后，其波形曲线如图中虚线所示。已知该波的周期*T*大于，若波是沿*x*轴正方向传播的，则该波的速度大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，周期为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_s，若波是沿*x*轴负方向传播的，该波的周期为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_s。
【答案】 (1). 0.5 (2). 0.4\
(3). 1.2
【解析】
【分析】
【详解】（1）若波是沿*x*轴正方向传播的，波形移动了15cm，由此可求出波速和周期：
（2）若波是沿*x*轴负方向传播的，波形移动了5cm，由此可求出波速和周期：
（2）用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路、C、D两个大头针确定出射光路，*O*和分别是入射点和出射点，如图（*a*）所示。测得玻璃砖厚度为，A到过*O*点的法线的距离，*M*到玻璃砖的距离，到的距离为。
（ⅰ）求玻璃砖的折射率；
（ⅱ）用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图（*b*）所示。光从上表面入射，入时角从0逐渐增大，达到时、玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。
【答案】（i） （ii）15°
【解析】
【分析】
【详解】（i）从O点射入时，设入射角为*α*，折射角为*β*。根据题中所给数据可得：
再由折射定律可得玻璃砖的折射率：
（ii）当入射角为45°时，设折射角为γ，由折射定律：
可求得：
再设此玻璃砖上下表面夹角为*θ*，光路图如下：
而此时出射光线恰好消失，则说明发生全反射，有：
解得：
由几何关系可知：
即玻璃砖上下表面的夹角：
**\[化学------选修3：物质结构与性质\]**
35．过渡金属元素铬是不锈钢的重要成分，在工农业生产和国防建设中有着广泛应用。回答下列问题：
(1)对于基态Cr原子，下列叙述正确的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.轨道处于半充满时体系总能量低，核外电子排布应为
B.4s电子能量较高，总是在比3s电子离核更远的地方运动
C.电负性比钾高，原子对键合电子的吸引力比钾大
(2)三价铬离子能形成多种配位化合物。中提供电子对形成配位键的原子是\_\_\_\_\_\_\_，中心离子的配位数为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)中配体分子、以及分子的空间结构和相应的键角如图所示。
中P的杂化类型是\_\_\_\_\_\_\_。的沸点比的\_\_\_\_\_\_\_，原因是\_\_\_\_\_\_\_，的键角小于的，分析原因\_\_\_\_\_\_\_。
(4)在金属材料中添加颗粒，可以增强材料的耐腐蚀性、硬度和机械性能。具有体心四方结构，如图所示，处于顶角位置的是\_\_\_\_\_\_\_原子。设Cr和Al原子半径分别为和，则金属原子空间占有率为\_\_\_\_\_\_\_%(列出计算表达式)。
【答案】 (1). AC (2). (3). 6 (4). (5). 高 (6). 存在分子间氢键 (7). 含有一对孤对电子，而含有两对孤对电子，中的孤对电子对成键电子对的排斥作用较大 (8). Al (9).
【解析】
【分析】
【详解】(1) A. 基态原子满足能量最低原理，Cr有24个核外电子，轨道处于半充满时体系总能量低，核外电子排布应为，A正确；
B. Cr核外电子排布为，由于能级交错，3d轨道能量高于4s轨道的能量，即3d电子能量较高，B错误；
C. 电负性为原子对键合电子的吸引力，同周期除零族原子序数越大电负性越强，钾与铬位于同周期，铬原子序数大于钾，故铬电负性比钾高，原子对键合电子的吸引力比钾大，C正确；
故答案为：AC；
(2)中三价铬离子提供空轨道，提供孤对电子与三价铬离子形成配位键，中心离子的配位数为三种原子的个数和即3+2+1=6，故答案为：；6；
(3)的价层电子对为3+1=4，故中P的杂化类型是； N原子电负性较强，分子之间存在分子间氢键，因此的沸点比的高；的键角小于的，原因是：含有一对孤对电子，而含有两对孤对电子，中的孤对电子对成键电子对的排斥作用较大，故答案为：；高；存在分子间氢键；含有一对孤对电子，而含有两对孤对电子，中的孤对电子对成键电子对的排斥作用较大；
(4)已知具有体心四方结构，如图所示，黑球个数为，白球个数为，结合化学式可知，白球为Cr，黑球为Al，即处于顶角位置的是Al原子。设Cr和Al原子半径分别为和，则金属原子的体积为，故金属原子空间占有率=%，故答案为：Al；。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
36．卤沙唑仑W是一种抗失眠药物，在医药工业中的一种合成方法如下：
已知：(ⅰ)
(ⅱ)
回答下列问题：
(1)A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)写出反应③的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_。
(3)D具有的官能团名称是\_\_\_\_\_\_\_。(不考虑苯环)
(4)反应④中，Y的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)反应⑤反应类型是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)C的同分异构体中，含有苯环并能发生银镜反应的化合物共有种\_\_\_\_\_\_\_种。
(7)写出W的结构简式\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2－氟甲苯（或邻氟甲苯） (2). 或或 (3). 氨基，羟基，卤素原子(溴原子，氯原子) (4).  (5). 取代反应 (6). 10 (7). 
【解析】
【分析】A（）在酸性高锰酸钾的氧化下生成B（），与SOCl~2~反应生成C（），与在氯化锌和氢氧化钠的作用下，发生取代反应生成，与Y（）发生取代反应生成，与发生取代反应生成F（），F与乙酸、乙醇反应生成W（），据此分析解答。
【详解】(1)由A（）的结构可知，名称为：2－氟甲苯（或邻氟甲苯），故答案为：2－氟甲苯（或邻氟甲苯）；
(2)反应③为与在氯化锌和氢氧化钠的作用下，发生取代反应生成，故答案为：；
(3)含有的官能团为溴原子，氟原子，氨基，羰基（或酮基），故答案为：溴原子，氟原子，氨基，羰基（或酮基）；
\(4\) D为，E为，根据结构特点，及反应特征，可推出Y为，故答案为：；
\(5\) E为，F为，根据结构特点，可知与发生取代反应生成F，故答案为：取代反应；
\(6\) C为，含有苯环且能发生银镜反应的同分异构体为：含有醛基，氟原子，氯原子，即苯环上含有三个不同的取代基，可能出现的结构有，故其同分异构体为10种，故答案为：10；
(7)根据已知及分析可知，与乙酸、乙醇反应生成，故答案为：；
**\[生物------选修1:生物技术实践\]**
37．工业上所说的发酵是指微生物在有氧或无氧条件下通过分解与合成代谢将某些原料物质转化为特定产品的过程。利用微生物发酵制作酱油在我国具有悠久的历史。某企业通过发酵制作酱油的流程示意图如下。
回答下列问题：
（1）米曲霉发酵过程中，加入大豆、小麦和麦麸可以为米曲霉的生长提供营养物质，大豆中的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_可为米曲霉的生长提供氮源，小麦中的淀粉可为米曲霉的生长提供\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）米曲霉发酵过程的主要目的是使米曲霉充分生长繁殖，大量分泌制作酱油过程所需的酶类，这些酶中的\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_能分别将发酵池中的蛋白质和脂肪分解成易于吸收、风味独特的成分，如将蛋白质分解为小分子的肽和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。米曲霉发酵过程需要提供营养物质、通入空气并搅拌，由此可以判断米曲霉属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"自养厌氧""异养厌氧"或"异养好氧"）微生物。
（3）在发酵池发酵阶段添加的乳酸菌属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"真核生物"或"原核生物"）；添加的酵母菌在无氧条件下分解葡萄糖的产物是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。在该阶段抑制杂菌污染和繁殖是保证酱油质量的重要因素，据图分析该阶段中可以抑制杂菌生长的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
【答案】 (1). 蛋白质 (2). 碳源 (3). 蛋白酶 (4). 脂肪酶 (5). 氨基酸 (6). 异养好氧 (7). 原核生物 (8). 酒精和二氧化碳 (9). 酒精、乳酸、食盐（答一个即可）
【解析】
【分析】1、参与腐乳制作的微生物主要是毛霉，其新陈代谢类型是异养需氧型。腐乳制作的原理：毛霉等微生物产生的蛋白酶能将豆腐中的蛋白质分解成小分子的肽和氨基酸；脂肪酶可将脂肪分解成甘油和脂肪酸。
2、微生物的生长繁殖一般需要水、无机盐、碳源和氮源等基本营养物质，有些还需要特殊的营养物质如生长因子，还需要满足氧气和pH等条件。
3、果酒制作的菌种为酵母菌，其原理是：在有氧的条件下，酵母菌大量繁殖，无氧的条件下，酵母菌产生酒精和二氧化碳。
【详解】（1）大豆中含有丰富的蛋白质，可为微生物的生长繁殖提供氮源。小麦中的淀粉可以为微生物的生长繁殖提供碳源。
（2）米曲霉在发酵过程中产生的蛋白酶能将蛋白质分解为小分子的肽和氨基酸，产生的脂肪酶能将脂肪分解为甘油和脂肪酸，使发酵的产物具有独特的风味。米曲霉发酵时需要利用现有的有机物和需要氧气，说明其代谢类型是异养好氧型。
（3）乳酸菌没有核膜包被的细胞核，属于原核生物。酵母菌属于兼性厌氧型微生物，既可以进行有氧呼吸，也可以进行无氧呼吸，无氧呼吸的产物是酒精和二氧化碳。在发酵池中酵母菌产生的酒精能抑制杂菌的生长，乳酸菌产生的乳酸使发酵液呈酸性也能抑制杂菌的生长，同时往发酵池中添加的食盐也能抑制杂菌的生长。
【点睛】本题以酱油的制作为题材，本质考查果酒和腐乳的制作，对于此类试题，需要考生注意的细节较多，如实验的原理、实验条件、实验现象等，需要考生在平时的学习过程中注意积累。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
38．用DNA重组技术可以赋予生物以新的遗传特性，创造出更符合人类需要的生物产品。在此过程中需要使用多种工具酶，其中4种限制性核酸内切酶的切割位点如图所示。
回答下列问题：
（1）常用的DNA连接酶有*E. coli* DNA连接酶和T~4~DNA连接酶。上图中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_酶切割后的DNA片段可以用*E. coli* DNA连接酶连接。上图中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_酶切割后的DNA片段可以用T~4~DNA连接酶连接。
（2）DNA连接酶催化目的基因片段与质粒载体片段之间形成的化学键是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）DNA重组技术中所用的质粒载体具有一些特征，如质粒DNA分子上有复制原点，可以保证质粒在受体细胞中能\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；质粒DNA分子上有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，便于外源DNA插入；质粒DNA分子上有标记基因（如某种抗生素抗性基因），利用抗生素可筛选出含质粒载体的宿主细胞，方法是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）表达载体含有启动子，启动子是指\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). EcoRI、PstI (2). EcoRI、PstI、 SmaI和EcoRV (3). 磷酸二酯键 (4). 自我复制 (5). 一至多个限制酶切位点 (6). 用含有该抗生素的培养基培养宿主细胞，能够存活的即为含有质粒载体的宿主细胞 (7). 位于基因首端的一段特殊DNA序列，是RNA聚合酶识别及结合的部位，能驱动转录过程
【解析】
【分析】1、参与腐乳制作的微生物主要是毛霉，其新陈代谢类型是异养需氧型。腐乳制作的原理：毛霉等微生物产生的蛋白酶能将豆腐中的蛋白质分解成小分子的肽和氨基酸；脂肪酶可将脂肪分解成甘油和脂肪酸。
2、微生物的生长繁殖一般需要水、无机盐、碳源和氮源等基本营养物质，有些还需要特殊的营养物质如生长因子，还需要满足氧气和pH等条件。
3、果酒制作的菌种为酵母菌，其原理是：在有氧的条件下，酵母菌大量繁殖，无氧的条件下，酵母菌产生酒精和二氧化碳。
【详解】（1）限制酶EcoRI和PstI切割形成的是黏性末端，限制酶SmaI和EcoRV切割形成的是平末端，E. coli DNA连接酶来源于大肠杆菌，只能将双链DNA片段互补的黏性末端之间的磷酸二酯键连接起来，而T4DNA连接酶来源于T4噬菌体，可用于连接黏性末端和平末端，但连接效率较低。因此图中EcoRI和PstI切割后的DNA片段（黏性末端）可以用E. coli DNA连接酶连接，除了这两种限制酶切割的DNA片段，限制酶SmaI和EcoRV切割后的DNA片段（平末端）也可以用T~4~DNA连接酶连接。
（2）DNA连接酶将两个DNA片段连接形成磷酸二酯键。
（3）质粒是小型环状的DNA分子，常作为基因表达的载体，首先质粒上含有复制原点，能保证质粒在受体细胞中自我复制。质粒DNA分子上有一个至多个限制性核酸内切酶的酶切位点，便于目的基因的导入。质粒上的标记基因是为了鉴定受体细胞中是否含有目的基因，具体做法是用含有该抗生素的培养基培养宿主细胞，能够存活的即为含有质粒载体的宿主细胞。
（4）启动子是一段特殊结构的DNA片段，位于基因的首端，它是RNA聚合酶识别和结合的部位，有了它才能驱动基因转录出mRNA，最终获得需要的蛋白质。
【点睛】本题考查基因工程的相关知识，要求考生识记基因工程的概念、原理及操作步骤，掌握各操作步骤中需要注意的细节，能结合所学的知识准确答题。
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**2017年山东省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）设集合M={x\|\|x﹣1\|＜1}，N={x\|x＜2}，则M∩N=（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z^2^=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2
3．（5分）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（5分）已知cosx=，则cos2x=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x^2^﹣x+1≥0．命题q：若a^2^＜b^2^，则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
7．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
9．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（5分）若函数e^x^f（x）（e=2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A．f（x）=2^﹣x^ B．f（x）=x^2^ C．f（x）=3^﹣x^ D．f（x）=cosx
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=[ ]{.underline}．
12．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为[ ]{.underline}．
13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈\[﹣3，0\]时，f（x）=6^﹣x^，则f（919）=[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x^2^=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A~1~，A~2~，A~3~和3个欧洲国家B~1~，B~2~，B~3~中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A~1~但不包括B~1~的概率．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S~△ABC~=3，求A和a．
18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~截去三棱锥C~1~﹣B~1~CD~1~后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A~1~E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A~1~O∥平面B~1~CD~1~；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A~1~EM⊥平面B~1~CD~1~．
19．（12分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列，且a~1~+a~2~=6，a~1~a~2~=a~3~．
（1）求数列{a~n~}通项公式；
（2）{b~n~} 为各项非零的等差数列，其前n项和为S~n~，已知S~2n+1~=b~n~b~n+1~，求数列的前n项和T~n~．
20．（13分）已知函数f（x）=x^3^﹣ax^2^，a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为\|NO\|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
**2017年山东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）设集合M={x\|\|x﹣1\|＜1}，N={x\|x＜2}，则M∩N=（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
【解答】解：集合M={x\|\|x﹣1\|＜1}=（0，2），
N={x\|x＜2}=（﹣∞，2），
∴M∩N=（0，2），
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z^2^=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2
【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案．
【解答】解：∵复数z满足zi=1+i，
∴z==1﹣i，
∴z^2^=﹣2i，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．
3．（5分）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由：解得A（﹣1，2），
目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．
4．（5分）已知cosx=，则cos2x=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】利用倍角公式即可得出．
【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos^2^x﹣1，且cosx=，
∴cos2x=2×﹣1=．
故选：D．
【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x^2^﹣x+1≥0．命题q：若a^2^＜b^2^，则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x^2^﹣x+1≥0成立．
故命题p为真命题；
当a=1，b=﹣2时，a^2^＜b^2^成立，但a＜b不成立，
故命题q为假命题，
故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；
命题p∧￢q为真命题，
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．
6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（ ）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log~2~x输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，
方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．
【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log~2~x输出，需要x＞4，
故选B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A错误，
若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log~2~4=2，故B正确；
若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C错误，
若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D错误，
故选：B．
【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．
【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．
8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y=5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x=3，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．
9．（5分）设f（x）=若f（a）=f（a+1），则f（）=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可．
【解答】解：当a∈（0，1）时，f（x）=，若f（a）=f（a+1），可得=2a，
解得a=，则：f（）=f（4）=2（4﹣1）=6．
当a∈\[1，+∞）时．f（x）=，若f（a）=f（a+1），
可得2（a﹣1）=2a，显然无解．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
10．（5分）若函数e^x^f（x）（e=2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（ ）
A．f（x）=2^﹣x^ B．f（x）=x^2^ C．f（x）=3^﹣x^ D．f（x）=cosx
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）=2^﹣x^时，满足定义．
【解答】解：当f（x）=2^﹣x^时，函数e^x^f（x）=（）^x^在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分**
11．（5分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=[ ﹣3 ]{.underline}．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．
12．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】将（1，2）代入直线方程，求得+=1，利用"1"代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，
由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，
当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查"1"代换，考查计算能力，属于基础题．
13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为[ 2+]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V~1~=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V~2~=×π×1^2^×1=，
则该几何体的体积V=V~1~+2V~1~=2+，
故答案为：2+．
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈\[﹣3，0\]时，f（x）=6^﹣x^，则f（919）=[ 6 ]{.underline}．
【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）=f（153×6+1）=f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈\[﹣3，0\]时，f（x）=6^﹣x^，
f（﹣1）=6^﹣（﹣1）^=6，
∴f（919）=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x^2^=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为[ y=±]{.underline}[x ]{.underline}．
【分析】把x^2^=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a^2^y^2^﹣2pb^2^y+a^2^b^2^=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答】解：把x^2^=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），
可得：a^2^y^2^﹣2pb^2^y+a^2^b^2^=0，
∴y~A~+y~B~=，
∵\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，∴y~A~+y~B~+2×=4×，
∴=p，
∴=．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．
故答案为：y=±x．
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**三、解答题**
16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A~1~，A~2~，A~3~和3个欧洲国家B~1~，B~2~，B~3~中选择2个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A~1~但不包括B~1~的概率．
【分析】（Ⅰ）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A~1~但不包括B~1~的概率．
【解答】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A~1~，A~2~，A~3~和3个欧洲国家B~1~，B~2~，B~3~中选择2个国家去旅游．
从这6个国家中任选2个，基本事件总数n==15，
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=，
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P===．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：
（A~1~，B~1~），（A~1~，B~2~），（A~1~，B~3~），（A~2~，B~1~），（A~2~，B~2~），
（A~2~，B~3~），（A~3~，B~1~），（A~3~，B~2~），（A~3~，B~3~），
这2个国家包括A~1~但不包括B~1~包含的基本事件有：（A~1~，B~2~），（A~1~，B~3~），共2个，
∴这2个国家包括A~1~但不包括B~1~的概率P=．
【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，=﹣6，S~△ABC~=3，求A和a．
【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．
【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S~△ABC~=bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜180°，
∴A=135°，
∴c==2，
由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA=9+8+12=29
∴a=
【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题
18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~截去三棱锥C~1~﹣B~1~CD~1~后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A~1~E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A~1~O∥平面B~1~CD~1~；
（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A~1~EM⊥平面B~1~CD~1~．
【分析】（Ⅰ）取B~1~D~1~中点G，连结A~1~G、CG，推导出A~1~GOC，从而四边形OCGA~1~是平行四边形，进而A~1~O∥CG，由此能证明A~1~O∥平面B~1~CD~1~．
（Ⅱ）推导出BD⊥A~1~E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A~1~EM，再由BD∥B~1~D~1~，得B~1~D~1~⊥平面A~1~EM，由此能证明平面A~1~EM⊥平面B~1~CD~1~．
【解答】证明：（Ⅰ）取B~1~D~1~中点G，连结A~1~G、CG，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~截去三棱锥C~1~﹣B~1~CD~1~后，A~1~GOC，
∴四边形OCGA~1~是平行四边形，∴A~1~O∥CG，
∵A~1~O⊄平面B~1~CD~1~，CG⊂平面B~1~CD~1~，
∴A~1~O∥平面B~1~CD~1~．
（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~截去三棱锥C~1~﹣B~1~CD~1~后，BDB~1~D~1~，
∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A~1~E⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥A~1~E，
∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，
∴AO⊥BD，
∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD，
∵A~1~E∩EM=E，∴BD⊥平面A~1~EM，
∵BD∥B~1~D~1~，∴B~1~D~1~⊥平面A~1~EM，
∵B~1~D~1~⊂平面B~1~CD~1~，
∴平面A~1~EM⊥平面B~1~CD~1~．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列，且a~1~+a~2~=6，a~1~a~2~=a~3~．
（1）求数列{a~n~}通项公式；
（2）{b~n~} 为各项非零的等差数列，其前n项和为S~n~，已知S~2n+1~=b~n~b~n+1~，求数列的前n项和T~n~．
【分析】（1）通过首项和公比，联立a~1~+a~2~=6、a~1~a~2~=a~3~，可求出a~1~=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；
（2）利用等差数列的性质可知S~2n+1~=（2n+1）b~n+1~，结合S~2n+1~=b~n~b~n+1~可知b~n~=2n+1，进而可知=，利用错位相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）记正项等比数列{a~n~}的公比为q，
因为a~1~+a~2~=6，a~1~a~2~=a~3~，
所以（1+q）a~1~=6，q=q^2^a~1~，
解得：a~1~=q=2，
所以a~n~=2^n^；
（2）因为{b~n~} 为各项非零的等差数列，
所以S~2n+1~=（2n+1）b~n+1~，
又因为S~2n+1~=b~n~b~n+1~，
所以b~n~=2n+1，=，
所以T~n~=3•+5•+...+（2n+1）•，
T~n~=3•+5•+...+（2n﹣1）•+（2n+1）•，
两式相减得：T~n~=3•+2（++...+）﹣（2n+1）•，
即T~n~=3•+（+++...+）﹣（2n+1）•，
即T~n~=3+1++++...+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•
=5﹣．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查等差数列的性质，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=x^3^﹣ax^2^，a∈R，
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，
（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x^3^﹣x^2^，
∴f′（x）=x^2^﹣2x，
∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0
（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x^3^﹣ax^2^+（x﹣a）cosx﹣sinx，
∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），
令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，
①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，
当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a^3^﹣sina
当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，
②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，
当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，
∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a^3^﹣sina
当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a
③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），
当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴g（x）在R上单调递增，无极值．
【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为\|NO\|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（，1），然后结合离心率可得椭圆方程；
（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为，
∴=，a^2^=2b^2^，
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2，
∴椭圆C过点（，1），
∴+=1，
∴b^2^=2，a^2^=4，
∴椭圆C的方程为+=1．
（Ⅱ）设A，B的横坐标为x~1~，x~2~，
则A（x~1~，kx~1~+m），B（x~2~，kx~2~+m），D（，+m），
联立可得（1+2k^2^）x^2^+4kmx+2m^2^﹣4=0，
∴x~1~+x~2~=﹣，
∴D（﹣，），
∵M（0，m），则N（0，﹣m），
∴⊙N的半径为\|m\|，
\|DN\|==，
设∠EDF=α，
∴sin====，
令y=，则y′=，
当k=0时，sin取得最小值，最小值为．
∴∠EDF的最小值是60°．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．
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**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）**
**一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合S={x\|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x\|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣∞，2\]∪\[3，+∞）
C．\[3，+∞） D．（0，2\]∪\[3，+∞）
2．（5分）若z=1+2i，则=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．（5分）若tanα=，则cos^2^α+2sin2α=（ ）
A． B． C．1 D．
6．（5分）已知a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）定义"规范01数列"{a~n~}如下：{a~n~}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a~1~，a~2~，...，a~k~中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的"规范01数列"共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移[ ]{.underline}个单位长度得到．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是[ ]{.underline}．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若\|AB\|=2，则\|CD\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=1+λa~n~，其中λ≠0．
（1）证明{a~n~}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S~5~=，求λ．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：y~i~=9.32，t~i~y~i~=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r=，
回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=，=﹣．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记\|f（x）\|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：\|f′（x）\|≤2A．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）设集合S={x\|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x\|x＞0}，则S∩T=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣∞，2\]∪\[3，+∞） C．\[3，+∞） D．（0，2\]∪\[3，+∞）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．
【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2\]∪\[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴S∩T=（0，2\]∪\[3，+∞），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）若z=1+2i，则=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：z=1+2i，则===i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
【解答】解：，；
∴；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．
5．（5分）若tanα=，则cos^2^α+2sin2α=（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】将所求的关系式的分母"1"化为（cos^2^α+sin^2^α），再将"弦"化"切"即可得到答案．
【解答】解：∵tanα=，
∴cos^2^α+2sin2α====．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，"弦"化"切"是关键，是基础题．
6．（5分）已知a=，b=，c=，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
【解答】解：∵a==，
b=，
c==，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，
∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，
∴BD=AD=a，CD=a，
在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，
∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，
故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r==2，
又由AA~1~=3，
故直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为，
此时V的最大值=，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得k~BH~=k~BM~，
即为=，
化简可得=，即为a=3c，
可得e==．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得=，
由△BOH∽△BFM，
可得==，
即有=即a=3c，
可得e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．（5分）定义"规范01数列"{a~n~}如下：{a~n~}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a~1~，a~2~，...，a~k~中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的"规范01数列"共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．
【分析】由新定义可得，"规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，"规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．
故选：C．
【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由得D（1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
故答案为：．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．
14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移[ ]{.underline}[ ]{.underline}个单位长度得到．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），
令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），
则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ（k∈Z），
当k=0时，正数φ~min~=，
故答案为：．
【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是[ 2x+y+1=0 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），
当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有
x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，
可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，
则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），
即为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若\|AB\|=2，则\|CD\|=[ 4 ]{.underline}．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出\|CD\|即可．
【解答】解：由题意，\|AB\|=2，∴圆心到直线的距离d=3，
∴=3，
∴m=﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴\|CD\|==4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=1+λa~n~，其中λ≠0．
（1）证明{a~n~}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S~5~=，求λ．
【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
【解答】解：（1）∵S~n~=1+λa~n~，λ≠0．
∴a~n~≠0．
当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=1+λa~n~﹣1﹣λa~n﹣1~=λa~n~﹣λa~n﹣1~，
即（λ﹣1）a~n~=λa~n﹣1~，
∵λ≠0，a~n~≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，
即=，（n≥2），
∴{a~n~}是等比数列，公比q=，
当n=1时，S~1~=1+λa~1~=a~1~，
即a~1~=，
∴a~n~=•（）^n﹣1^．
（2）若S~5~=，
则若S~5~=1+λ\[•（）^4^\]=，
即（）^5^=﹣1=﹣，
则=﹣，得λ=﹣1．
【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：y~i~=9.32，t~i~y~i~=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r=，
回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=，=﹣．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．
【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r==≈≈≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）==≈≈0.103，
=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，
2016年对应的t值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，
∴NG∥BC，且NG=，
又AM=，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，
∵AD∥BC，
∴cos，则sin∠EAM=，
在△EAM中，
∵AM=，AE=，
由余弦定理得：EM==，
∴cos∠AEM=，
而在△ABC中，cos∠BAC=，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM^2^=AC^2^+AM^2^﹣2AC•AM•cos∠MAC=．
∴AM^2^+MC^2^=AC^2^，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，
在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，
∴sin．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
F（，0），准线为 x=﹣，
S~△PQF~=\|PQ\|=\|y~1~﹣y~2~\|，
设直线AB与x轴交点为N，
∴S~△ABF~=\|FN\|\|y~1~﹣y~2~\|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
∴2\|FN\|=1，∴x~N~=1，即N（1，0）．
设AB中点为M（x，y），由得=2（x~1~﹣x~2~），
又=，
∴=，即y^2^=x﹣1．
∴AB中点轨迹方程为y^2^=x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记\|f（x）\|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：\|f′（x）\|≤2A．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；
（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：\|f′（x）\|≤2A．
【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．
（II）当a≥1时，\|f（x）\|=\|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）\|≤a\|cos2x\|+（a﹣1）\|（cosx+1）\|≤a\|cos2x\|+（a﹣1）（\|cosx\|+1）\|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．
当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos^2^x+（a﹣1）cosx﹣1，
令g（t）=2at^2^+（a﹣1）t﹣1，
则A是\|g（t）\|在\[﹣1，1\]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，
且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）
令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．
①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，\|g（﹣1）\|=a，\|g（1）\|=2﹣3a，\|g（﹣1）\|＜\|g（1）\|，
∴A=2﹣3a，
②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），
又\|g（）\|﹣\|g（﹣1）\|=＞0，
∴A=\|g（）\|=，
综上，A=．
（III）证明：由（I）可得：\|f′（x）\|=\|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx\|≤2a+\|a﹣1\|，
当0＜a≤时，\|f′（x）\|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，
当＜a＜1时，A==++＞1，
∴\|f′（x）\|≤1+a≤2A，
当a≥1时，\|f′（x）\|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，
综上：\|f′（x）\|≤2A．
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
**请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
可得G为圆心，即有GC=GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程；
（2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C~1~的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C~2~的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，\|PQ\|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得\|PQ\|的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．
【解答】解：（1）曲线C~1~的参数方程为（α为参数），
移项后两边平方可得+y^2^=cos^2^α+sin^2^α=1，
即有椭圆C~1~：+y^2^=1；
曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C~2~的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
\|PQ\|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，
联立可得4x^2^+6tx+3t^2^﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t^2^﹣16（3t^2^﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2时，\|PQ\|取得最小值，
即有\|PQ\|==，
此时4x^2^﹣12x+9=0，解得x=，
即为P（，）．
另解：设P（cosα，sinα），
由P到直线的距离为d=
=，
当sin（α+）=1时，\|PQ\|的最小值为，
此时可取α=，即有P（，）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a=2时，由已知得\|2x﹣2\|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
（2）由f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，得\|x﹣\|+\|x﹣\|≥，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=\|2x﹣2\|+2，
∵f（x）≤6，∴\|2x﹣2\|+2≤6，
\|2x﹣2\|≤4，\|x﹣1\|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x\|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=\|2x﹣1\|，
∴f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，
2\|x﹣\|+2\|x﹣\|+a≥3，
\|x﹣\|+\|x﹣\|≥，
当a≥3时，成立，
当a＜3时，\|x﹣\|+\|x﹣\|≥\|a﹣1\|≥＞0，
∴（a﹣1）^2^≥（3﹣a）^2^，
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围是\[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
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**2015年福建省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．**
1．（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4
2．（5分）若集合M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}
3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y= B．y=e^x^ C．y=cosx D．y=e^x^﹣e^﹣x^
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15
10．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[，1） D．\[，1）
12．（5分）"对任意x，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．**
13．（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为[ ]{.underline}．
14．（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是[ ]{.underline}．
15．（4分）若函数f（x）=2^\|x﹣a^\|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在\[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于[ ]{.underline}．
16．（4分）若a，b是函数f（x）=x^2^﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．**
17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~2~=4，a~4~+a~7~=15．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=2+n，求b~1~+b~2~+b~3~+...+b~10~的值．
18．（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示：
------ ---------- ------
组号 分组 频数
1 \[4，5） 2
2 \[5，6） 8
3 \[6，7） 7
4 \[7，8\] 3
------ ---------- ------
（1）现从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率；
（2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数．
19．（12分）已知点F为抛物线E：y^2^=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且\|AF\|=3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
20．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=10sincos+10cos^2^．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x~0~，使得g（x~0~）＞0．
22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x~0~＞1，当x∈（1，x~0~）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．
**2015年福建省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．**
1．（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（ ）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4
【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．
【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，
得a=3，b=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题．
2．（5分）若集合M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}
【分析】直接利用交集及其运算得答案．
【解答】解：由M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，
得M∩N={x\|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
3．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．y= B．y=e^x^ C．y=cosx D．y=e^x^﹣e^﹣x^
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为\[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．
B．函数y=e^x^单调递增，为非奇非偶函数．
C．y=cosx为偶函数．
D．f（﹣x）=e^﹣x^﹣e^x^=﹣（e^x^﹣e^﹣x^）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，
若x=1
不满足条件x≥2，y=8
输出y的值为8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．
【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴+=1（a＞0，b＞0），
所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，
当且仅当=即a=b=2时取等号，
∴a+b最小值是4，
故选：C．
【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键．
6．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．
【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，
tanα==﹣．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
7．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），
∴=+k=（1+k，2+k）
∵，∴•=0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣
故选：A．
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
8．（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．
【解答】解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2），
把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1），
令=2可解得x=﹣2，即D（﹣2，2），
∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=×3×1=，
∴所求概率P==
故选：B．
【点评】本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题．
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15
【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，
底面的梯形上底1，下底2，高为1，
∴侧面为（4）×2=8，
底面为（2+1）×1=，
故几何体的表面积为8=11，
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．
10．（5分）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，
解得：m=1．
故选：C．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A．（0，\] B．（0，\] C．\[，1） D．\[，1）
【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=\|AF\|+\|BF\|=\|AF′\|+\|BF\|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．
【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=\|AF\|+\|BF\|=\|AF′\|+\|AF\|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．
∴e==≤=．
∴椭圆E的离心率的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）"对任意x，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．
【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，
当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立（sinx＜x在x恒成立），但是对任意x，ksinxcosx＜x"，可得k=1也成立，
所以"对任意x，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．**
13．（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为[ 25 ]{.underline}．
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，
则应抽取的男生人数是500×=25人，
故答案为：25．
【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．
14．（4分）在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得求得BC．
【解答】解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°
由正弦定理可知ACsinB=BCsinA
∴BC==
故答案为
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
15．（4分）若函数f（x）=2^\|x﹣a^\|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在\[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于[ 1 ]{.underline}．
【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．
【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x），
所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，
而f（x）=2^\|x﹣a\|^，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，
因此，a=1，f（x）=2^\|x﹣1\|^，
且该函数在（﹣∞，1\]上单调递减，在\[1，+∞）上单调递增，
又因为函数f（x）在\[m，+∞）上单调递增，
所以，m≥1，即实数m的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．
16．（4分）若a，b是函数f（x）=x^2^﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于[ 9 ]{.underline}．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．**
17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~2~=4，a~4~+a~7~=15．
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=2+n，求b~1~+b~2~+b~3~+...+b~10~的值．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）b~n~=2+n=2^n^+n，利用分组求和求b~1~+b~2~+b~3~+...+b~10~的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以a~n~=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）b~n~=2+n=2^n^+n，
所以b~1~+b~2~+b~3~+...+b~10~=（2+1）+（2^2^+2）+...+（2^10^+10）
=（2+2^2^+...+2^10^）+（1+2+...+10）
=+=2101．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键．
18．（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示：
------ ---------- ------
组号 分组 频数
1 \[4，5） 2
2 \[5，6） 8
3 \[6，7） 7
4 \[7，8\] 3
------ ---------- ------
（1）现从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率；
（2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数．
【分析】（1）利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可．
（2）根据平均数的定义和公式进行计算即可．
【解答】解：（1）融合指数在\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"记为A~1~，A~2~，A~3~，
融合指数在\[4，5）内的"省级卫视新闻台"记为B~1~，B~2~，
从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研的事件为：
{A~1~，A~2~}，{A~1~，A~3~}，{A~2~，A~3~}，{A~1~，B~1~}，{A~1~，B~2~}，{A~2~，B~1~}，{A~2~，B~2~}，{A~3~，B~1~}，{A~3~，B~2~}，
{B~1~，B~2~}，共10个．
至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的事件有；{A~1~，A~2~}，{A~1~，A~3~}，{A~2~，A~3~}，{A~1~，B~1~}，{A~1~，B~2~}，
{A~2~，B~1~}，{A~2~，B~2~}，{A~3~，B~1~}，{A~3~，B~2~}，共9个，
则至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率为；
（2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数为：
=6.05．
【点评】本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等．
19．（12分）已知点F为抛物线E：y^2^=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且\|AF\|=3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：\|AF\|=2+=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x^2^﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），计算k~GA~，k~GB~，可得k~GA~+k~GB~=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x^2^﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：\|AF\|=2+=3，解得p=2．
∴抛物线E的方程为y^2^=4x；
（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，
∴m^2^=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），
联立，化为2x^2^﹣5x+2=0，解得x=2或，B．
又G（﹣1，0），∴k~GA~=．k~GB~==﹣，
∴k~GA~+k~GB~=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m^2^=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），
联立，化为2x^2^﹣5x+2=0，解得x=2或，B．
又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+2=0，=0，
点F（1，0）到直线GA的距离d==，
同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值．
（Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，
所以AC⊥DO，
又PO垂直于圆O所在的平面，
所以PO⊥AC，
因为DO∩PO=O，
所以AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）因为点C在圆O上，
所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，
又AB=2，所以△ABC面积的最大值为，
又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1，
故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：．
（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，
所以PB==，
同理PC=，所以PB=PC=BC，
在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，
当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，
又因为OP=OB，C′P=C′B，
所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．
从而OC′=OE+EC′==．
亦即CE+OE的最小值为：．
【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=10sincos+10cos^2^．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x~0~，使得g（x~0~）＞0．
【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；
（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；
（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x~0~ ，使得10sinx~0~ ﹣8＞0，即sinx~0~ ，由＜知，存在0＜α~0~＜，使得sinα~0~=
由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α~0~，2kπ+π﹣α~0~）（k∈Z）时，均有sinx，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10sincos+10cos^2^=5sinx+5cosx+5=10sin（x+）+5，
∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，
再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象，
∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13，
∴函数g（x）=10sinx﹣8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x~0~，使得g（x~0~）＞0，
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x~0~ ，使得10sinx~0~ ﹣8＞0，即sinx~0~ ，
由＜知，存在0＜α~0~＜，使得sinα~0~=，
由正弦函数的性质可知，当x∈（α~0~，π﹣α~0~）时，均有sinx，
因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α~0~，2kπ+π﹣α~0~），
（k∈Z）时，均有sinx．
因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α~0~）﹣（2kπ+α~0~）=π﹣2α~0~＞＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数x~k~∈（2kπ+α~0~，2kπ+π﹣α~0~），使得sinx~k~，
即存在无穷多个互不相同的正整数x~0~，使得g（x~0~）＞0．
【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题．
22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x~0~＞1，当x∈（1，x~0~）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在\[1，+∞）上单调递减，可得结论；
（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，
∴f′（x）=＞0（x＞0），
∴0＜x＜，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=
当x＞1时，F′（x）＜0，
∴F（x）在\[1，+∞）上单调递减，
∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，
即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x~0~＞1满足题意；
当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），
从而不存在x~0~＞1满足题意；
当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则
G′（x）==0，可得x~1~=＜0，x~2~=＞1，
当x∈（1，x~2~）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x~2~）上单调递增，
从而x∈（1，x~2~）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），
综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．
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**2019年江苏省盐城市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）**
1．（3分）（2019•盐城）如图，数轴上点表示的数是
A． B．0 C．1 D．2
2．（3分）（2019•盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•盐城）使有意义的的取值范围是
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•盐城）如图，点、分别是边、的中点，，则的长为
A．2 B． C．3 D．
5．（3分）（2019•盐城）如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•盐城）下列运算正确的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•盐城）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1400000平方米的航站楼，数据1400000用科学记数法应表示为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•盐城）关于的一元二次方程为实数）根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
**二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）**
9．（3分）（2019•盐城）如图，直线，，那么[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•盐城）分解因式：[ ]{.underline}．
11．（3分）（2019•盐城）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•盐城）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是，乙的方差是，这5次短跑训练成绩较稳定的是[ ]{.underline}．（填"甲"或"乙"
13．（3分）（2019•盐城）设、是方程的两个根，则[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•盐城）如图，点、、、、在上，且为，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•盐城）如图，在中，，，，则的长为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）**
17．（6分）（2019•盐城）计算：．
18．（6分）（2019•盐城）解不等式组：
19．（8分）（2019•盐城）如图，一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
20．（8分）（2019•盐城）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是[ ]{.underline}．
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
21．（8分）（2019•盐城）如图，是的角平分线．
（1）作线段的垂直平分线，分别交、于点、；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．
（2）连接、，四边形是[ ]{.underline}形．（直接写出答案）
22．（10分）（2019•盐城）体育器材室有、两种型号的实心球，1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克．
（1）每只型球、型球的质量分别是多少千克？
（2）现有型球、型球的质量共17千克，则型球、型球各有多少只？
23．（10分）（2019•盐城）某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．
频数分布表
------ -------------- ------ ------
组别 销售数量（件 频数 频率
3 0.06
7 0.14
13
0.46
4 0.08
合计 1
------ -------------- ------ ------
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中，[ ]{.underline}、[ ]{.underline}；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为"优秀员工"，试估计该季度被评为"优秀员工"的人数．
24．（10分）（2019•盐城）如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．
（1）若的半径为，，求的长；
（2）求证：与相切．
25．（10分）（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿折叠，使点落在边上点处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点再次折叠，使得点落在边上点处，如图③，两次折痕交于点；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接、、、，如图④．
【探究】
（1）证明：；
（2）若，设为，为，求关于的关系式．
26．（12分）（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
---- ------------- ------
菜价3元千克
质量 金额
甲 1千克 3元
乙 1千克 3元
---- ------------- ------
第二次：
---- ------------------------ ----------------------
菜价2元千克
质量 金额
甲 1千克 [ ]{.underline}元
乙 [ ]{.underline}千克 3元
---- ------------------------ ----------------------
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价总金额总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为千克的菜，乙每次买金额为元的菜，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，船顺水航行速度为，逆水航行速度为，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．
27．（14分）（2019•盐城）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中．
（1）求、两点的横坐标；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）二次函数图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
**2019年江苏省盐城市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）**
1．（3分）如图，数轴上点表示的数是
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据数轴直接回答即可．
【解答】解：数轴上点所表示的数是1．
故选：．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
3．（3分）使有意义的的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
，
解得，．
故选：．
4．（3分）如图，点、分别是边、的中点，，则的长为
A．2 B． C．3 D．
【分析】直接利用中位线的定义得出是的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
【解答】解：点、分别是的边、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
5．（3分）如图是由6个小正方体搭成的物体，该所示物体的主视图是
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形，如图所示：
故选：．
6．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据同底数幂相乘法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则以及幂的乘方法则化简即可．
【解答】解：、，故选项不合题意；
、，故选项符合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项不合题意．
故选：．
7．（3分）正在建设中的北京大兴国际机场规划建设面积约1400000平方米的航站楼，数据1400000用科学记数法应表示为
A． B． C． D．
【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可
【解答】解：
科学记数法表示：1400
故选：．
8．（3分）关于的一元二次方程为实数）根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求
【解答】解：
由根的判别式得，△
故有两个不相等的实数根
故选：．
**二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）**
9．（3分）如图，直线，，那么[ 50 ]{.underline}．
【分析】直接利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：，，
，
故答案为：50．
10．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案 ．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（3分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为[ ]{.underline}．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【解答】解：圆被等分成6份，其中阴影部分占3份，
落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
12．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是，乙的方差是，这5次短跑训练成绩较稳定的是[ 乙 ]{.underline}．（填"甲"或"乙"
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：甲的方差为，乙的方差为，
，
成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
13．（3分）设、是方程的两个根，则[ 1 ]{.underline}．
【分析】由韦达定理可知，，代入计算即可；
【解答】解：、是方程的两个根，
，，
；
故答案为1；
14．（3分）如图，点、、、、在上，且为，则[ 155 ]{.underline}．
【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得到，结合图形计算即可．
【解答】解：连接，
为，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
故答案为：155．
15．（3分）如图，在中，，，，则的长为[ 2 ]{.underline}．
【分析】过点作，垂足为点，设，则，在中，通过解直角三角形可得出，的长，在中，利用勾股定理可得出的长，由结合可求出的值，此题得解．
【解答】解：过点作，垂足为点，如图所示．
设，则．
在中，，
；
在中，，，
．
，
．
故答案为：2．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是[ ]{.underline}．
【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论．
【解答】解：一次函数的图象分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，，
，，
过作交于，过作轴于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，
，
，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
**三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）**
17．（6分）计算：．
【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，
【解答】解：原式．
18．（6分）解不等式组：
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是．
19．（8分）如图，一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【分析】（1）根据一次函数的图象交轴于点，与反比例函数的图象交于点，可以求得点的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）根据题目中一次函数的解析式可以求得点的坐标，再根据（1）中求得的点的坐标，即可求得的面积．
【解答】解：（1）点在直线上，
，得，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，得，
即反比例函数的表达式是；
（2）将代入，得，
则点的坐标为，
点的坐标为，
的面积是；．
20．（8分）在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是[ ]{.underline}．
（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率；、
故答案为；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
所以两次都摸到红球的概率．
21．（8分）如图，是的角平分线．
（1）作线段的垂直平分线，分别交、于点、；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．
（2）连接、，四边形是[ 菱 ]{.underline}形．（直接写出答案）
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
【解答】解：（1）如图，直线即为所求．
（2）平分，
，
，
，，
，
，
垂直平分线段，
，，
，
四边形是菱形．
故答案为菱．
22．（10分）体育器材室有、两种型号的实心球，1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克．
（1）每只型球、型球的质量分别是多少千克？
（2）现有型球、型球的质量共17千克，则型球、型球各有多少只？
【分析】（1）直接利用1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克得出方程求出答案；
（2）利用分类讨论得出方程的解即可．
【解答】解：（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克；
（2）现有型球、型球的质量共17千克，
设型球1个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球2个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球3个，设型球个，则，
解得：，
设型球4个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球5个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
综上所述：型球、型球各有3只、2只．
23．（10分）某公司共有400名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．
频数分布表
------ -------------- ------ ------
组别 销售数量（件 频数 频率
3 0.06
7 0.14
13
0.46
4 0.08
合计 1
------ -------------- ------ ------
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中，[ 0.26 ]{.underline}、[ ]{.underline}；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该季度销量不低于80件的销售人员将被评为"优秀员工"，试估计该季度被评为"优秀员工"的人数．
【分析】（1）由频数除以相应的频率求出的值，进而确定出的值即可；
（2）补全频数分布直方图即可；
（3）求出不低于80件销售人员占的百分比，乘以400即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：，；
故答案为：0.26；50；
（2）根据题意得：，
补全频数分布图，如图所示：
（3）根据题意得：，
则该季度被评为"优秀员工"的人数为216人．
24．（10分）如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．
（1）若的半径为，，求的长；
（2）求证：与相切．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可得；
（2）欲证明为的切线，只要证明．
【解答】解：（1）连接，
的半径为，
，是斜边上的中线，
，
，
为直径
，且
（2），为斜边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线．
25．（10分）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿折叠，使点落在边上点处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点再次折叠，使得点落在边上点处，如图③，两次折痕交于点；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接、、、，如图④．
【探究】
（1）证明：；
（2）若，设为，为，求关于的关系式．
【分析】（1）利用折叠性质，由边角边证明；
（2）过点作于点．由（1），，，则，则，，则在中，由勾股定理得，即，所以关于的关系式：．
【解答】解：（1）证明：由折叠可知，，
，，，
在中，
，
；
（2）过点作于点．
由（1），
，
，则，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得
，
即，
关于的关系式：．
26．（12分）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
---- ------------- ------
菜价3元千克
质量 金额
甲 1千克 3元
乙 1千克 3元
---- ------------- ------
第二次：
---- ------------------------ -----------------------
菜价2元千克
质量 金额
甲 1千克 [ 2 ]{.underline}元
乙 [ ]{.underline}千克 3元
---- ------------------------ -----------------------
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价总金额总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为千克的菜，乙每次买金额为元的菜，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，船顺水航行速度为，逆水航行速度为，所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．
【分析】（1）利用均价总金额总质量可求；
（2）利用均价总金额总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；
【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案；
【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．
【解答】解：（1）（元，（元千克）
故答案为2；1.5．
（2）甲两次买菜的均价为：（元千克）
乙两次买菜的均价为：（元千克）
甲两次买菜的均价为2.5（元千克），乙两次买菜的均价为2.4（元千克）．
【数学思考】，
【知识迁移】，
（当且仅当时取等号）
．
27．（14分）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中．
（1）求、两点的横坐标；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的值；
（3）二次函数图象的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：，即可求解；
（2）分、两种情况，求解即可；
（3）求出，在中，，即可求解．
【解答】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：，
解得：或2，
故点、的坐标分别为、；
（2），
①当时，
即：，解得：（舍去；
②当时，
，解得：或；
故的值为：或或；
（3）存在，理由：
过点作于点，将的图形放大见右侧图形，
过点作的角平分线交于点，过点作于点，过点作轴于点，
图中：点、点，则，，
设：，则，
则，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
在中，，
解得：（舍去正值），
故．
| 1 | |
**北师大版六年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.分类测评卷（一）
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（二）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（三）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（四）
5\. 第四单元测评卷 16.分类测评卷（五）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（一）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（二）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（三）
9\. 第六单元测评卷 20.期末测评卷（四）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（五）
11.第七单元测评卷 22.期末测评卷（六）
附：参考答案
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**文综试卷**
**参考答案**
**Ⅰ卷共35题，每题2分。共140分。**
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C
11．A 12．C 13．D 14．C 15．A 16．A 17．B 18．B 19．C 20．C
21．D 22．B 23．D 24．A 25．D 26．B 27．A 28．B 29．C 30．C
31．D 32．A 33．C 34．B 35．B
**Ⅱ卷共4题，共160分。**
36．（32分）
（1）
（2）雨热同期； 地势平坦； 人口稠密。
（3）
（4）交通便利：保护历史文化名城；为城市进一步发展留有余地； 与文化生活区之间建有绿化防护带。
37．（32分）
（1）重民生。戒奢从简：轻徭薄赋。
（2）董仲舒神化君权；黄宗羲强调民本；孟子思想介于两者之间。
他们都没有超越"君主"这一思想范畴。
（3）自由平等， 分权思想，议会政治， 法治思想。
> 洛克提出了分权说，孟德斯鸠明确提出立法、司法和行政三权分立的原则。1689年通过了《权利法案》，初步确立了君主立宪制。
（4）实行君主立宪是强国之路。
> 民族资本主义发展不充分，维新派力量单薄；长期的君主专制统治，民主思想影响有限。
>
> （5）批判了封建君主专制思想，继承和改造了中国传统的民本思想； 借鉴了西方启蒙思想。
38．（36分）
（1）①党和人民的关系。中国共产党代表最广大人民的根本利益，坚持执政为民。②政府和人民的关系。国家机构是人民意旨的执行者和利益的捍卫者，人民是国家的主人。③党和政府的关系。党是社会主义事业的领导核心，提出构建和谐社会，体现了党对国家的政治领导；政府的政策措施是在贯彻党的路线、方针和政策。④中央和地方的关系。国务院是我国最高行政机关，各级地方政府在中央政府统一领导下，根据本地实际制定相应的政策措施。
（2）①国家运用宏观调控手段，增加财政支出，解决人民群众最关心、最直接、最现实的利益问题，如教育、医疗、就业等。②有利于提高农村人口素质和人民生活水平；有利于维护劳动者就业和享受社会保险的权利；有利于实现社会公平和共同富裕。
（3）①发展的实质是新事物代替旧事物。构建和谐社会符合社会发展的规律。②坚持发展的观点。构建和谐社会是一个发展的过程，解决民生问题是现阶段的重要任务。③矛盾是事物发展的动力，事物发展是量变和质变的统一、前进性和曲折性的统一。只有不断解决民生问题才能实现社会和谐。
（4）围绕公民义务列举具体做法，言之有理，即可给分。
39．（60分）
（1）科技水平高： 经济基础雄厚。
（2）甲区域：原料和燃料； 乙区域：市场。
（3）文化扩散； 海洋渔业资源丰富； 河流交汇的位置；
海上多风浪。
（4）英国工业革命已开始，需要开辟海外市场； 中国处于封建社会末期，闭关锁国。
（5）广州、上海依据《南京条约》，天津依据《北京条约》； 开埠通商引起全国外贸中心的转移，设立租界引起相关城市商业或经济中心的转移。
（6）逐渐形成"经济特区------沿海开放城市------沿海经济开放区------内地"的格局。 市场经济体制初步形成。
（7）近代世界工业资本主义经济迅速发展， 中国自然经济占主导地位， 被迫开放，卷入世界市场； 当代世界经济走向全球化， 中国逐步过渡到市场经济， 主动开放，融入世界经济。
（8）①三大区域的第一产业比重均低于全国水平，第三产业比重均高于全国水平；第二产业比重，珠三角和长三角高于全国水平、京津冀低于全国水平。②三大区域的产业结构状况优于全国，经济发展程度在全国处于领先地位。
（9）①高新技术产业为先导，基础产业和制造业为支撑，现代服务业全面发展。
②产业结构得到优化升级；促进了经济增长、效益提高和经济发展目标的实现。
（10）①正确的意识能促进事物发展。滨海新区以科学发展观为指导，经济发展呈现出良好态势。
②正确发挥主观能动性。滨海新区积极调整产业结构，使整体经济质量得到提升。
③正确处理整体和部分的关系。滨海新区抓好各类产业，使整体功能得到大发挥。
| 1 | |
**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县一年级（上）期末数学试卷**
**一、细心填一填。（每空一分，共34分）**
1．（4分）按规律填数：
> [ ]{.underline}，13，15，[ ]{.underline}，19。
>
> [ ]{.underline}，15，14，[ ]{.underline}，12。
2．（4分）看图写数。
3．（1分）一个数的个位上是9，十位上是1，这个数是[ ]{.underline}。
4．（2分）和17相邻的两个数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
5．（3分）15里面有[ ]{.underline}个十和[ ]{.underline}个一；20里面有[ ]{.underline}个一。
6．（2分）写出两个比7大，比17小的数：[ ]{.underline}、[ ]{.underline}。
7．（2分）比5大11的数是[ ]{.underline}；12比18少[ ]{.underline}。
8．（6分）
> 把上面数字填写完整。其中最大的数是[ ]{.underline}；排在11左边的数有[ ]{.underline}。
9．（4分）看钟面写时间。
10．（6分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
6+0〇6 20〇19 4+9〇9+4
------------ ---------- -----------
9﹣9〇8﹣8 15〇11+5 6+2〇6﹣2
**二、认真算一算。（共21分）**
11．（12分）算一算。
（1）7+9＝ （2）12﹣2＝ （3）7﹣2＝ （4）3+4﹣2＝
-------------- -------------- --------------- ----------------
（5）16﹣4＝ （6）10+0＝ （7）17﹣3＝ （8）19﹣5+5＝
（9）15+3＝ （10）9﹣3＝ （11）16﹣5＝ （12）12+2+3＝
12．（9分）在□里填上合适的数。
（1）16﹣□＝13 （2）□+3＝10 （3）□﹣6＝10
---------------- ---------------- ---------------
（4）14+□＝18 （5）□+4＝14 （6）□﹣4＝3
（7）4+□＝15 （8）19﹣□＝17 （9）5+□＝12
**三、解答题（共1小题，满分8分）**
13．（8分）谨慎连一连。
**四、你能帮小动物们找到食物吗？（6分）**
14．（6分）（1）小猫往[ ]{.underline}走2格，再往[ ]{.underline}走5格，就能吃到小鱼。
> （2）小兔子往[ ]{.underline}走4格，再往[ ]{.underline}走3格，就能吃到胡萝卜。
>
> （3）大熊猫往[ ]{.underline}走3格，再往[ ]{.underline}走4格，就能吃到竹笋。
**五、比一比。（6分）**
15．（2分）重的画"√"，轻的画"〇"。
16．（2分）多的画"√"，少的画"〇"。
17．（2分）把一样的方糖放进杯里后，哪杯水最甜？在下面画"√"。
**六、看图列算式（共4小题，满分13分）**
18．（4分）看图列算式。
19．（3分）看图列算式。
20．（3分）看图列算式。
21．（3分）看图列算式。
**七、解决问题。（每小题各4分，共12分）**
22．（4分）歌唱组一共有18人，男生有多少人？
23．（4分）原来桌子上有多少颗草莓？
24．（4分）采松果。
> （1）妹妹和哥哥一共采了多少个松果？
>
> （2）哥哥比姐姐少采了几个松果？
**2020-2021学年广东省揭阳市惠来县一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、细心填一填。（每空一分，共34分）**
1．【分析】（1）后一个数等于前一个数加2，据此解答。
> （2）后一个数等于前一个数减1，据此解答。
>
> 【解答】解：（1）13﹣2＝11
>
> 15+2＝17
>
> 所以这组数是：11，13，15，17，19。
>
> （1）15+1＝16
>
> 14﹣1＝13
>
> 所以这组数为：16，15，14，13，12。
>
> 故答案为：11，17；16，13。
>
> 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
2．【分析】根据自然数的认识，解答此题即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题考查自然数的认识的知识。
3．【分析】一个两位数的个位上是9，十位上是1，按从高位到低位顺序即可写出这个数。
> 【解答】解：一个数的个位上是9，十位上是1，这个数是19。
>
> 答：这个数是19。
>
> 故答案为：19。
>
> 【点评】本题是考查整数的写法．整数的读、写都是从高位到低位。
4．【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，由此可知，和17相邻的两个自然数是16和18．
> 【解答】解：17﹣1＝16，
>
> 17+1＝18，
>
> 和17相邻的两个数是 16和 18；
>
> 故答案为：16，18．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解自然数的意义，掌握自然数的排列规律，相邻的自然数相差1．
5．【分析】十位是几就表示几个十，个位上是几就表示几个一。
> 【解答】解：15里面有1个十和5个一；20里面有20个一．
>
> 故答案为：1，5；20。
>
> 【点评】本题考查整数的认识，解决本题的关键是明确数的组成。
6．【分析】比7大，比17小是数有8、9、10、11、12、13、14、15、16，写出其中的两个即可。
> 【解答】解：比7大，比17小的数：8、9。（答案不唯一。）
>
> 故答案为：8、9。答案不唯一。
>
> 【点评】首先想到比7大，比17小是数有8、9、10、11、12、13、14、15、16，再写出其中的两个即可。
7．【分析】求比5大的数用加法；12比18少用减法。
> 【解答】解：5+11＝16
>
> 18﹣12＝6
>
> 答：比5大11的数是16；12比18少6。
>
> 故答案为：16、6。
>
> 【点评】求比谁大多少的数用加法，谁比谁少多少用减法。
8．【分析】根据数轴上数的大小比较的知识，数轴上右边的数比左边的数大，解答即可。
> 【解答】解：最大的数是17；排在11左边的数有10。
>
> 【点评】本题考查数轴上数的大小比较的知识。
9．【分析】图1是时针指向10，分针指向12，表示10：00；
> 图2是时针指向8，分针指向12，表示8：00；
>
> 图3是时针指向2，分针指向12，表示2：00；
>
> 图4是时针指在3和4之间，分针指向6，表示3：30。
>
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了钟表和时间的认识，要熟练掌握。
10．【分析】分别算出两边的数值，再比较两个数的大小即可。
> 【解答】解：6+0＝6 20＞19 4+9＝9+4
>
> 9﹣9＝8﹣8 15＜11+5 6+2＞6﹣2
>
> 故答案为：＝；＞；＝；＝；＜；＞。
>
> 【点评】这是一道易错题目，先分别算出两边的数值，再比较两个数的大小。
**二、认真算一算。（共21分）**
11．【分析】根据整数加减法的计算法则直接写出得数即可。
> 【解答】解：
（1）7+9＝16 （2）12﹣2＝10 （3）7﹣2＝5 （4）3+4﹣2＝5
---------------- ---------------- ----------------- ------------------
（5）16﹣4＝12 （6）10+0＝10 （7）17﹣3＝14 （8）19﹣5+5＝19
（9）15+3＝18 （10）9﹣3＝6 （11）16﹣5＝11 （12）12+2+3＝17
> 【点评】本题主要考查了20以内的加减法，熟练是解决本题的关键。
12．【分析】根据减数＝被减数﹣差，一个加数＝和﹣另一个加数，被减数＝差+减数，由此进行填空即可。
> 【解答】解：
（1）16﹣3＝13 （2）7+3＝10 （3）16﹣6＝10
---------------- ---------------- ----------------
（4）14+4＝18 （5）10+4＝14 （6）7﹣4＝3
（7）4+11＝15 （8）19﹣2＝17 （9）5+7＝12
> 【点评】本题主要考查了整数加减法以及各部分之间的关系，要熟练掌握。
**三、解答题（共1小题，满分8分）**
13．【分析】根据对长方体、正方体、圆柱、球的简单认识，结合图形的特征进行连接即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题是考查常见立体图形长方体、正方体、圆柱、球的简单认识。
**四、你能帮小动物们找到食物吗？（6分）**
14．【分析】依据地图上的方向辨别方法，即"上北下南，左西右东"，以及图上标注的其他信息，即可进行解答。
> 【解答】解（1）小猫往东走2格，再往北走5格，就能吃到小鱼。
>
> （2）小兔子往西走4格，再往北走3格，就能吃到胡萝卜。
>
> （3）大熊猫往南走3格，再往西走4格，就能吃到竹笋。
>
> 故答案为：东，北，西，北，南，西。
>
> 【点评】此题主要考查地图上的方向辨别方法的理解和灵活应用。
**五、比一比。（6分）**
15．【分析】天平平衡，说明1个菠萝的重量与3个苹果的重量相同，菠萝个数少，苹果需要的个数多，据此可知菠萝重。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了天平的相关知识，要熟练掌握。
16．【分析】观察图形，可知第三个袋子里的球最多，第一个最少，画出即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了观察个数的方法，要熟练掌握。
17．【分析】根据生活经验，把一样的方糖放进杯里后，水越少越甜，比较可得第三杯水最少，据此解答即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题考查了生活经验，以后会学习含糖率，同样可以得出糖量一样水越少越甜的结论。
**六、看图列算式（共4小题，满分13分）**
18．【分析】根据加法的意义，求一共有多少朵，把左边的6朵与右边的4朵相加；或把右边的4朵与左边的6朵相加即可。
> 【解答】解：6+4＝10（朵）
>
> 4+6＝10（朵）
>
> 故答案为：6、+、4、10；4、+、6、10。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
19．【分析】通过观察图片可知，一共有14只，右边是2只，求左边有多少只，根据减法的意义，用减法解答。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
20．【分析】根据加法的意义，求一共有多少个，把左边的4个与右边盒子里的12个相加即可。
> 【解答】解：4+12＝16（个）
>
> 故答案为：4、+、12、16。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
21．【分析】通过观察图片可知，一共有8个足球，先拿走2个，又拿走3个，求还剩下多少个足球，根据减法的意义，用减法解答。
> 【解答】解：8﹣2﹣3＝3（个）
>
> 答：还剩下3个足球。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
**七、解决问题。（每小题各4分，共12分）**
22．【分析】根据减法的意义，求男生有多少人，用总人数减去女生的人数即可。
> 【解答】解：18﹣8＝10（人）
>
> 答：男生有10人。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
23．【分析】根据加法的意义，求原来桌子上有多少颗草莓，把桌子上的颗数与吃的颗数，以及送给妹妹的颗数相加即可。
> 【解答】解：7+8+2＝17（颗）
>
> 答：原来桌子上有17颗草莓。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
24．【分析】（1）哥哥采了9个松果，妹妹采的和哥哥一样多，求妹妹和哥哥一共采了多少个，根据加法的意义，用加法解答。
> （2）姐姐采了10个，求哥哥比姐姐少采了多少个，根据求一个数比另一个数少几，用减法解答。
>
> 【解答】解：（1）9+9＝18（个）
>
> 答：妹妹和哥哥一共采了18个松果。
>
> （2）10﹣9＝1（个）
>
> 答：哥哥比姐姐少采了1个松果。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
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日期：2021/4/27 14:32:43；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x\|x＜} B．A∩B=∅
C．A∪B={x\|x＜} D．A∪B=R
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x~1~，x~2~，...，x~n~，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x~1~，x~2~，...，x~n~的平均数 B．x~1~，x~2~，...，x~n~的标准差
C．x~1~，x~2~，...，x~n~的最大值 D．x~1~，x~2~，...，x~n~的中位数
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）^2^ B．i^2^（1﹣i） C．（1+i）^2^ D．i（1+i）
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知F是双曲线C：x^2^﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1\]∪\[9，+∞） B．（0，\]∪\[9，+∞） C．（0，1\]∪\[4，+∞） D．（0，\]∪\[4，+∞）
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=[ ]{.underline}．
14．（5分）曲线y=x^2^+在点（1，2）处的切线方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和．已知S~2~=2，S~3~=﹣6．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并判断S~n+1~，S~n~，S~n+2~是否成等差数列．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
经计算得 =x~i~=9.97，s==≈0.212，≈18.439，（x~i~﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16．
（1）求（x~i~，i）（i=1，2，...，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若\|r\|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n）的相关系数r=，≈0.09．
20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^（e^x^﹣a）﹣a^2^x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围．
**2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）已知集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}，则（ ）
A．A∩B={x\|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x\|x＜} D．A∪B=R
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
【解答】解：∵集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}={x\|x＜}，
∴A∩B={x\|x＜}，故A正确，B错误；
A∪B={x\|\|x＜2}，故C，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x~1~，x~2~，...，x~n~，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）
A．x~1~，x~2~，...，x~n~的平均数 B．x~1~，x~2~，...，x~n~的标准差
C．x~1~，x~2~，...，x~n~的最大值 D．x~1~，x~2~，...，x~n~的中位数
【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的"中等水平"，
故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：B．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．
3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）^2^ B．i^2^（1﹣i） C．（1+i）^2^ D．i（1+i）
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
【解答】解：A．i（1+i）^2^=i•2i=﹣2，是实数．
B．i^2^（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）^2^=2i为纯虚数．
D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
5．（5分）已知F是双曲线C：x^2^﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．
【解答】解：由双曲线C：x^2^﹣=1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，
同理当y＜0时，则△APF的面积S=，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；
所以选项A满足题意，
故选：A．
【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：
，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由解得A（3，0），
所以z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．
8．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y=，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=时，f（）==，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．
9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称性．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），
∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，
即f（x）=f（2﹣x），
即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键．
10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．
【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在"否"时输出确定""内不能输入"A＞1000"，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在"否"时输出，
所以""内不能输入"A＞1000"，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以""中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A=，
由正弦定理可得=，
∴sinC=，
∵a=2，c=，
∴sinC===，
∵a＞c，
∴C=，
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1\]∪\[9，+∞） B．（0，\]∪\[9，+∞） C．（0，1\]∪\[4，+∞） D．（0，\]∪\[4，+∞）
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=≥tan60°=，即可求得m的取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
则a^2^﹣x^2^=，
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，
则tanγ=tan\[π﹣（α+β）\]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，
∴tanγ=﹣，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，
∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=≥tan60°=，
解得：0＜m≤1；
当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=≥tan60°=，解得：m≥9，
∴m的取值范围是（0，1\]∪\[9，+∞）
故选A．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=[ 7 ]{.underline}．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．
【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），
∴=（﹣1+m，3），
∵向量+与垂直，
∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
14．（5分）曲线y=x^2^+在点（1，2）处的切线方程为[ x﹣y+1=0 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：曲线y=x^2^+，可得y′=2x﹣，
切线的斜率为：k=2﹣1=1．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5分）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=，cosα=，再根据两角差的余弦公式即可求出．
【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，
∴sinα=2cosα，
∵sin^2^α+cos^2^α=1，
解得sinα=，cosα=，
∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，
故答案为：
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为[ 36π ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得，解得r=3．
球O的表面积为：4πr^2^=36π．
故答案为：36π．
【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和．已知S~2~=2，S~3~=﹣6．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并判断S~n+1~，S~n~，S~n+2~是否成等差数列．
【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意可知a~3~=S~3~﹣S~2~=﹣6﹣2=﹣8，a~1~==，a~2~==，由a~1~+a~2~=2，列方程即可求得q及a~1~，根据等比数列通项公式，即可求得{a~n~}的通项公式；
（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S~n~，分别求得S~n+1~，S~n+2~，显然S~n+1~+S~n+2~=2S~n~，则S~n+1~，S~n~，S~n+2~成等差数列．
【解答】解：（1）设等比数列{a~n~}首项为a~1~，公比为q，
则a~3~=S~3~﹣S~2~=﹣6﹣2=﹣8，则a~1~==，a~2~==，
由a~1~+a~2~=2，+=2，整理得：q^2^+4q+4=0，解得：q=﹣2，
则a~1~=﹣2，a~n~=（﹣2）（﹣2）^n﹣1^=（﹣2）^n^，
∴{a~n~}的通项公式a~n~=（﹣2）^n^；
（2）由（1）可知：S~n~===﹣\[2+（﹣2）^n+1^\]，
则S~n+1~=﹣\[2+（﹣2）^n+2^\]，S~n+2~=﹣\[2+（﹣2）^n+3^\]，
由S~n+1~+S~n+2~=﹣\[2+（﹣2）^n+2^\]﹣\[2+（﹣2）^n+3^\]，
=﹣\[4+（﹣2）×（﹣2）^n+1^+（﹣2）^2^×（﹣2）^n+1^\]，
=﹣\[4+2（﹣2）^n+1^\]=2×\[﹣（2+（﹣2）^n+1^）\]，
=2S~n~，
即S~n+1~+S~n+2~=2S~n~，
∴S~n+1~，S~n~，S~n+2~成等差数列．
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=，PO=，由四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，
∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴V~P﹣ABCD~=
====，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，
∴PB=PC==2，
∴该四棱锥的侧面积：
S~侧~=S~△PAD~+S~△PAB~+S~△PDC~+S~△PBC~
=+++
=
=6+2．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------
经计算得 =x~i~=9.97，s==≈0.212，≈18.439，（x~i~﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16．
（1）求（x~i~，i）（i=1，2，...，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若\|r\|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n）的相关系数r=，≈0.09．
【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）代入数据计算，比较\|r\|与0.25的大小作出结论；
（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；
（ii）代入公式计算即可．
【解答】解：（1）r===﹣0.18．
∵\|r\|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，
∴需要对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为=10.02，
=16×0.212^2^+16×9.97^2^=1591.134，
∴剔除离群值后样本方差为（1591.134﹣9.22^2^﹣15×10.02^2^）=0.008，
∴剔除离群值后样本标准差为≈0.09．
【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．
20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【考点】I3：直线的斜率；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设A（x~1~，），B（x~2~，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；
（2）设M（m，），求出y=的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x~1~，x~2~的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1）设A（x~1~，），B（x~2~，）为曲线C：y=上两点，
则直线AB的斜率为k==（x~1~+x~2~）=×4=1；
（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，
可得x^2^﹣4x﹣4t=0，即有x~1~+x~2~=4，x~1~x~2~=﹣4t，
再由y=的导数为y′=x，
设M（m，），可得M处切线的斜率为m，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM可得，k~AM~•k~BM~=﹣1，
即为•=﹣1，
化为x~1~x~2~+2（x~1~+x~2~）+20=0，
即为﹣4t+8+20=0，
解得t=7．
则直线AB的方程为y=x+7．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^（e^x^﹣a）﹣a^2^x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
【解答】解：（1）f（x）=e^x^（e^x^﹣a）﹣a^2^x=e^2x^﹣e^x^a﹣a^2^x，
∴f′（x）=2e^2x^﹣ae^x^﹣a^2^=（2e^x^+a）（e^x^﹣a），
①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，
②当a＞0时，2e^x^+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
③当a＜0时，e^x^﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），
当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，
（2）①当a=0时，f（x）=e^2x^＞0恒成立，
②当a＞0时，由（1）可得f（x）~min~=f（lna）=﹣a^2^lna≥0，
∴lna≤0，∴0＜a≤1，
③当a＜0时，由（1）可得：
f（x）~min~=f（ln（﹣））=﹣a^2^ln（﹣）≥0，
∴ln（﹣）≤，
∴﹣2≤a＜0，
综上所述a的取值范围为\[﹣2，1\]
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]（10分）**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．
【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y^2^=1；
a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，
\|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|﹣5﹣a﹣4\|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时
\|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|5﹣a﹣4\|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．
【分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=，分x＞1、x∈\[﹣1，1\]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，\]；
（2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立⇔x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，只需，解之即可得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，
g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x^2^+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，\]；
当x∈\[﹣1，1\]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，\]；
（2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立，即x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是\[﹣1，1\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．
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{width="0.5277777777777778in" height="0.4861111111111111in"}**2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)**
**地理试题**
医用注射剂瓶和用于加工它的玻璃管的生产过程对水、空气等环境条件要求严苛。世界最大的高端玻璃管生产企业德国某公司,通过对浙江丽水、四川成都、江苏无锡等地比较,最终选定在具有相关产业和生态环境优良的丽水某山间小镇建生产厂;2017年,从德国进口高端玻璃管制成医用注射剂瓶的生产厂投产;2020年,高端玻璃管生产厂投产。完成下面小题。
1\. 该公司选择在中国建生产厂,主要是因为中国（ ）
A. 原材料充足 B. 市场广阔
C. 技术先进 D. 劳动力价格低
2\. 该公司最终选定在丽水建生产厂,看中的主要人文地理条件是（ ）
A. 基础设施 B. 商业氛围
C. 科研实力 D. 配套产业
3\. 丽水山间小镇的生态环境也是吸引该公司投资的重要条件。这说明与大城市相比,该公司在山间小镇建生产厂,可以（ ）
A. 提高产品质量 B. 降低车间环境净化成本
C. 增加产品产量 D. 降低废弃物处理成本
2011年日本福岛核泄漏事件之后,德国宣布逐步放弃核电而重点发展光伏发电。下图示意2014年某日德国电力总需求和电力净需求的变化(电力净需求量=电力总需求量一光伏发电量)。据此完成下面小题。
{width="3.5833333333333335in" height="2.154861111111111in"}
4\. 图中所示这一天所在的月份是（ ）
A. 3月 B. 6月
C. 9月 D. 12月
5\. 随着光伏发电量的增加,电力净需求量（ ）
A. 全天性减少 B. 时段性增加
C. 时段性减少 D. 不发生变化
6\. 降低夜间的电力净需求量,关键是发展（ ）
A. 火力发电技术 B. 光伏发电技术
C. 特高压输电技术 D. 电能储存技术
增加屋顶的太阳辐射反射率可以减小建筑物增温幅度,降低城市气温,从而在一定程度上缓解城市热岛效应。据此完成下面小题。
7\. 下列功能区中,安装高反射率屋顶对城市热环境影响最大的是（ ）
A. 高密度居住区 B. 文教区
C. 低密度居住区 D. 工业区
8\. 安装高反射率屋顶对降低城市气温最明显的是夏季（ ）
A. 冷锋过境日 B. 低压控制期
C. 暖锋过境日 D. 高压控制期
珊瑚礁是由造礁珊瑚和其他生物骨骼共同形成的生物质石灰岩，主要分布在热带浅水海域。造礁珊瑚一般生活在距海面25米以内海域。下图示意珊瑚礁发育的一种模式的不同阶段。据此完成下面小题。
{width="5.527777777777778in" height="1.2722222222222221in"}
9\. 判断图示珊瑚礁的发育阶段依次是（ ）
A. ②①④③ B. ③①④②
C. ②④①③ D. ③④①②
10\. 图中所示④阶段珊瑚礁的形成过程中,海平面可能（ ）
A. 先升后降 B. 先降后升
C. 持续上升 D. 持续下降
11\. 西太平洋35°N附近海域也分布有珊瑚礁,主要原因是这里（ ）
A. 岛屿众多 B. 受副热带高压控制
C. 受暖流影响 D. 受东亚季风影响
12\. 阅读图文材料,完成下列要求。
下图中阴影示意的M地区曾经是湿地(沼泽)，年降水量是年蒸发量的1.2～1.5倍,远低于英国西部和北部。在罗马时代,人们对M地区湿地进行了排水尝试，湿地仅得到零星开垦。17世纪，该地引入荷兰风车与水利工程技术，湿地得到成片开垦。经过几百年的开发，M地区已经成为英国重要的农产品生产基地，但也存在诸多问题。
{width="2.5506944444444444in" height="2.5118055555555556in"}
（1）分析M地区排水后能够发展农业的自然条件。
（2）分析罗马时代和17世纪对M地区湿地开垦结果存在差异的原因。
（3）推测M地区当前农业发展中存在的主要环境问题。
13\. 阅读图文材料,完成下列要求。
下图所示的我国祁连山西段某山间盆地边缘，山坡、冲积扇和冲积平原的植被均为草原，其中冲积平原草原茂盛。山坡表面多覆盖有沙和粉沙物质。附近气象站(海拔3367米)监测的年平均气温为-2.6℃，年降水量约291毫米，集中在夏季，冬春季多风。
{width="3.7493055555555554in" height="1.8965277777777778in"}
（1）说明冲积扇和山坡堆积物中砾石的差异及其原因。
（2）分析分布在山坡表面的沙和粉沙的空间迁移过程。
（3）说明冲积平原水分条件比山坡和冲积扇好的原因。
14.【地理------选修3:旅游地理】
地处江西赣州市北部的兴国县,是我国著名的苏区模范县和将军县,拥有苏园、将军馆、革命烈士纪念馆等众多红色旅游资源。1996年9月,在兴国"绕了个弯"的京九铁路正式通车,兴国终于有了第一条直通北京、迈向大江南北的大通道,经济发展实现第一次提速。2019年底,又有一条"绕弯"兴国的铁路------昌赣高铁正式通车,"兴国弯"再次成为热点,兴国由此迈入高铁时代(下图)。2020年兴国县红色旅游接待人数超过300万人次,同比增长20％左右。
{width="2.917361111111111in" height="2.529861111111111in"}
分析铁路开通对兴国县发挥红色旅游资源优势、促进经济发展的作用。
15\. 【地理------选修6:环境保护】
2008年,新疆吉木乃县对拉斯特河谷近900公顷草原进行封育保护,如今这里林草茂盛。2020年春季,当地政府为防止封育区林草自燃，选择在青草萌发之前的1个月,投放1600头牛去吃掉积累的枯草和落叶,进行生物防火(下图)。
{width="2.3041666666666667in" height="1.4479166666666667in"}
说明采用放牛方式进行生物防火对拉斯特河谷封育区生态环境的有利影响。
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------探索与发现\--三角形内角和》同步检测1（附答案）**
一、求出下面各角的度数，并标明它是哪类三角形。
1. ∠C= [ ]{.underline}
它是( )三角形
2.∠B= [ ]{.underline}
它是( )三角形
3.∠A= [ 来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
它是( )三角形
二、填一填。
1．钝角三角形的两个锐角的度数之和( )90°。
2．在一个直角三角形中，两个锐角的和是( )度。
3．有一个角是60°的等腰三角形，一定是( )三角形。
4．在一个三角形中，∠A是52°，∠B是∠A的2倍，∠C=( )，这个三角形是( )三角形。
三、火眼金睛。
1．在等腰三角形中，两个底角都是锐角。( )
2．等腰三角形都是锐角三角形。( )
3．在一个三角形中，∠A=38°，这个三角形是锐角三角形。( )
四、选一选。
1．在三角形中，有两个角分别是38°和64°，第三个角是( )。
A．78° B．68° C．58°
2．等边三角形的内角和是( )。
A．60° B．120° C．180°
3．等腰直角三角形的一个底角是( )。
A．90° B．60° C．45°
4．三角形中，最大的一个内角一定( )。
A．不小于90° B．不小于60° C．大于90°[来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
五、填表。
-------- ----------------- ------------
三角形 已知角度数 未知角度数
① ∠A=45°，∠B=60° ∠C=
② ∠A=90°, ∠B=23° ∠C=
③ ∠A=105°, ∠B=30° ∠C=
-------- ----------------- ------------
六、根据条件求出角的度数。
在等腰三角形中，∠l为顶角，∠2为底角。
1．∠l=80°，求∠2。
2．∠2=80°，求∠l。[来源：www.bcjy123.com/tiku/]{.underline}
七、解决问题。
1．下面是一块三角形的苗圃，量得苗圃的周长是82米，∠B=∠C，BC=20米。
求AB和AC的长是多少米？
2．一个三角形中，∠1比∠2大10°，∠2比∠3大10°，求∠l、∠2、∠3的度数。
八、一张纸盖住了三角形的一部分，猜一猜这个三角形可能是什么三角形。
**参考答案**
一、1．70° 锐角 2. 65° 直角 3. 125° 钝角
二、1. 小于 2. 90 3. 等边 4. 24° 钝角
三、1.√ 2.× 3.×
四、1.A 2.C 3.C 4.B
五、①75° ②67° ③45°
六、1. 50° 2. 20°
七、1.（82-20）÷2＝31（米）
2\. ∠3＝50° ∠2＝60° ∠1＝70°
八、可能是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形中的任意一种。
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**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x﹣3≥0}，B={x\|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A．\[1，2） B．\[﹣1，1\] C．\[﹣1，2） D．\[﹣2，﹣1\]
2．（5分）=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在\[0，π\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p~1~：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p~2~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~1~，p~2~ D．p~1~，p~3~
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则\|QF\|=（ ）
A． B．3 C． D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
**二、填空题（共4小题，每小题5分）**
13．（5分）（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为[ ]{.underline}．（用数字填写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，a~n~≠0，a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a~n+2~﹣a~n~=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a~n~}为等差数列？并说明理由．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s^2^（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ^2^），其中μ近似为样本平均数，σ^2^近似为样本方差s^2^．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ^2^）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，AB⊥B~1~C．
（Ⅰ）证明：AC=AB~1~；
（Ⅱ）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，AB=BC，求二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
21．（12分）设函数f（x）=ae^x^lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
**选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
**选修4-5：不等式选讲**
24．若a＞0，b＞0，且+=．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分）**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x﹣3≥0}，B={x\|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ）
A．\[1，2） B．\[﹣1，1\] C．\[﹣1，2） D．\[﹣2，﹣1\]
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1\]∪\[3，+∞），
∵B=\[﹣2，2），
∴A∩B=\[﹣2，﹣1\]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
\|f（﹣x）\|•g（﹣x）=\|f（x）\|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•\|g（﹣x）\|=﹣f（x）•\|g（x）\|是奇函数，故C正确．
\|f（﹣x）•g（﹣x）\|=\|f（x）•g（x）\|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．m D．3m
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）可化为，
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2^4^=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有2^4^﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为=．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在\[0，π\]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=\|cosx\|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM\|sinx\|
=\|cosx\|•\|sinx\|=\|sin2x\|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；
第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；
第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα=，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．
9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p~1~：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p~2~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~1~，p~2~ D．p~1~，p~3~
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p~1~：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p~2~：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p~3~：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p~4~：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p~1~、p~2~正确；
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则\|QF\|=（ ）
A． B．3 C． D．2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y^2^=8x联立可得x=1，利用\|QF\|=d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则\|QF\|=d，
∵=4，
∴\|PQ\|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y^2^=8x联立可得x=1，
∴\|QF\|=d=1+2=3，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，
∴f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x^2^+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，
∴．AC==6，AD=4，
显然AC最长．长为6．
故选：B．
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
**二、填空题（共4小题，每小题5分）**
13．（5分）（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为[ ﹣20 ]{.underline}．（用数字填写答案）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）^8^中xy^7^，x^2^y^6^，项的系数，求和即可．
【解答】解：（x+y）^8^的展开式中，含xy^7^的系数是：8．
含x^2^y^6^的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ A ]{.underline}．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为[ 90° ]{.underline}．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
【解答】解：在圆中若=（+），
即2=+，
即+的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则⊥，
即与的夹角为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b^2^=c^2^﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b^2^=c^2^﹣bc，
又因为：a=2，
所以：，
△ABC面积，
而b^2^+c^2^﹣a^2^=bc
⇒b^2^+c^2^﹣bc=a^2^
⇒b^2^+c^2^﹣bc=4
⇒bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
**三、解答题**
17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，a~n~≠0，a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a~n+2~﹣a~n~=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a~n~}为等差数列？并说明理由．
【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，a~n+1~a~n+2~=λS~n+1~﹣1，相减即可得出；
（Ⅱ）假设存在λ，使得{a~n~}为等差数列，设公差为d．可得λ=a~n+2~﹣a~n~=（a~n+2~﹣a~n+1~）+（a~n+1~﹣a~n~）=2d，．得到λS~n~=，根据{a~n~}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，a~n+1~a~n+2~=λS~n+1~﹣1，
∴a~n+1~（a~n+2~﹣a~n~）=λa~n+1~
∵a~n+1~≠0，
∴a~n+2~﹣a~n~=λ．
（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a~n~}为等差数列，设公差为d．
则λ=a~n+2~﹣a~n~=（a~n+2~﹣a~n+1~）+（a~n+1~﹣a~n~）=2d，
∴．
∴，，
∴λS~n~=1+=，
根据{a~n~}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．
此时可得，a~n~=2n﹣1．
因此存在λ=4，使得{a~n~}为等差数列．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s^2^（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ^2^），其中μ近似为样本平均数，σ^2^近似为样本方差s^2^．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
若Z～N（μ，σ^2^）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s^2^分别为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
s^2^=（﹣30）^2^×0.02+（﹣20）^2^×0.09+（﹣10）^2^×0.22+0×0.33+10^2^×0.24+20^2^×0.08+30^2^×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，AB⊥B~1~C．
（Ⅰ）证明：AC=AB~1~；
（Ⅱ）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，AB=BC，求二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值．
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】（1）连结BC~1~，交B~1~C于点O，连结AO，可证B~1~C⊥平面ABO，可得B~1~C⊥AO，B~1~0=CO，进而可得AC=AB~1~；
（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，\|\|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．
【解答】解：（1）连结BC~1~，交B~1~C于点O，连结AO，
∵侧面BB~1~C~1~C为菱形，
∴BC~1~⊥B~1~C，且O为BC~1~和B~1~C的中点，
又∵AB⊥B~1~C，∴B~1~C⊥平面ABO，
∵AO⊂平面ABO，∴B~1~C⊥AO，
又B~1~0=CO，∴AC=AB~1~，
（2）∵AC⊥AB~1~，且O为B~1~C的中点，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB~1~两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，\|\|为单位长度，
的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB~1~=60°，∴△CBB~1~为正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0，），B（1，0，0，），B~1~（0，，0），C（0，，0）
∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），
设向量=（x，y，z）是平面AA~1~B~1~的法向量，
则，可取=（1，，），
同理可得平面A~1~B~1~C~1~的一个法向量=（1，﹣，），
∴cos＜，＞==，
∴二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值为
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出\|PQ\|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．
【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得又，
所以a=2，b^2^=a^2^﹣c^2^=1，故E的方程．...．（5分）
（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）
将y=kx﹣2代入，得（1+4k^2^）x^2^﹣16kx+12=0，
当△=16（4k^2^﹣3）＞0，即时，
从而
又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，
设，则t＞0，，
当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．...（12分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）设函数f（x）=ae^x^lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe^﹣x^﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）~min~＞h（x）~max~，利用导数可分别求得g（x）~min~，h（x）~max~；
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x^lnx+，
∵f（x）＞1，∴e^x^lnx+＞1，∴lnx＞﹣，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe^﹣x^﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．
设函数h（x）=xe^﹣x^﹣，则h′（x）=e^﹣x^（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
**选修4-1：几何证明选讲**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到\|PA\|，化积后由三角函数的范围求得\|PA\|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，\|PA\|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，\|PA\|取得最小值，最小值为．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
**选修4-5：不等式选讲**
24．若a＞0，b＞0，且+=．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a^3^+b^3^的最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，
∴=+≥2，∴ab≥2，
当且仅当a=b=时取等号．
∵a^3^+b^3^ ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，
∴a^3^+b^3^的最小值为4．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．
而由（1）可知，2≥2=4＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
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**2016届九年级下学期第一次月考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）**
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
3．分解因式x^2^y﹣y^3^结果正确的是（ ）
A．y（x+y）^2^ B．y（x﹣y）^2^ C．y（x^2^﹣y^2^） D．y（x+y）（x﹣y）
4．面积是15cm^2^的正方形，它的边长的大小在（ ）
A．1cm与2cm之间 B．2cm与3cm之间 C．3cm与4cm之间 D．4cm与5cm之间
5．若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
7．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为"智慧三角形"．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．2014年底我县人口约370000人，将370000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
12．计算：\|﹣2\|﹣（3﹣π）^0^+2cos45°=[ ]{.underline}．
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为[ ]{.underline}．
14．二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五条结论：
①abc＜0；②4ac﹣b^2^＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）
其中正确的结论是[ ]{.underline}（把所有正确的结论的序号都填写在横线上）
**三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）**
15．解一元一次不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
16．如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷．
**四、（本大题共5小题，每小题8分，满分48分）**
17．某校初三（1）班50名学生需要参加体育"五选一"自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
------------ ------ ------
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球 5 0.10
合计 50 1
------------ ------ ------
（1）求a，b的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求"一分钟跳绳"对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报"推铅球"的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．
18．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
19．某校为美化校园，计划对面积为1800m^2^的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m^2^区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m^2^？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
21．如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．
**七、（本题满分12分）**
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x^2^+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
**八、（本题满分14分）**
23．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去...
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为[ ]{.underline}，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为[ ]{.underline}，此时AE与BF的数量关系是[ ]{.underline}；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
**2016届九年级下学期第一次月考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）**
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：∵互为相反数相加等于0，
∴﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．正三棱柱 D．正三棱锥
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，
则可得出该几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．
3．分解因式x^2^y﹣y^3^结果正确的是（ ）
A．y（x+y）^2^ B．y（x﹣y）^2^ C．y（x^2^﹣y^2^） D．y（x+y）（x﹣y）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x^2^y﹣y^3^=y（x^2^﹣y^2^）=y（x+y）（x﹣y）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
4．面积是15cm^2^的正方形，它的边长的大小在（ ）
A．1cm与2cm之间 B．2cm与3cm之间 C．3cm与4cm之间 D．4cm与5cm之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据正方形的面积先求出正方形的边长，然后估算即可得出答案．
【解答】解：设正方形的边长为x，因为正方形面积是15cm，
所以x^2^=15，故x=；
∵9＜15＜16，∴3＜＜4；
故选C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．
5．若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】延长AC交BE于F，根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠1．
【解答】解：如图，延长AC交BE于F，
∵∠ACB=90°，∠CBE=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠1=60°．
故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】图形的剪拼．
【分析】利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．
【解答】解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，
则n可以为：3，4，5，
故n≠2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．
8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO==5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是2016届中考常见题型，比较简单．
9．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为"智慧三角形"．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
【考点】解直角三角形．
【专题】新定义．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵1^2^+1^2^=（）^2^，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合"智慧三角形"的定义，故选项正确．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，"智慧三角形"的概念．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵∠A=30°，AP=x，
∴PQ=xtan30°=，
∴y=×AP×PQ=×x×=x^2^；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，
∴BP=16﹣x，∠B=60°，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．
∴==．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
**二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．2014年底我县人口约370000人，将370000用科学记数法表示为[ 3.7×10^5^ ]{.underline}．
【考点】科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将370000用科学记数法表示为：3.7×10^5^．
故答案为：3.7×10^5^．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．计算：\|﹣2\|﹣（3﹣π）^0^+2cos45°=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】分别进行绝对值、零指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．
【解答】解：原式=2﹣1+2×=1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，掌握各部分的运算法则是关键．
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为[ 1+]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】在直角三角形BCD中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据CD的长求出BC的长，利用勾股定理求出BD的长，在直角三角形ACD中，根据∠A的度数确定出此三角形为等腰直角三角形，得出AD=CD=1，由AD+DB即可求出AB的长．
【解答】解：在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=1，
∴BC=2CD=2，
根据勾股定理得：BD==，
在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
∴AD=CD=1，
则AB=AD+DB=1+．
故答案为：1+．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．二次函数y=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列五条结论：
①abc＜0；②4ac﹣b^2^＜0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）
其中正确的结论是[ ②④⑤ ]{.underline}（把所有正确的结论的序号都填写在横线上）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用．
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断①；根据抛物线与x轴交点个数可判断②；根据x=0与x=﹣2关于对称轴x=﹣1对称，且x=0时y＞0，可判断③；根据x=1时，y＜0，且对称轴为x=﹣1可判断④；由抛物线在x=﹣1时有最大值，可判断⑤．
【解答】解：①由抛物线图象得：开口向下，即a＜0；c＞0，﹣=﹣1＜0，即b=2a＜0，
∴abc＞0，选项①错误；
②∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴△=b^2^﹣4ac＞0，即4ac﹣b^2^＜0，选项②正确；
③∵抛物线对称轴为x=﹣1，且x=0时，y＞0，
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，选项③错误；
④∵抛物线对称轴x=﹣1，即﹣=﹣1，
∴a=，
由图象可知，当x=1时，y=a+b+c=+c＜0，
故3b+2c＜0，选项④正确；
⑤由图象可知，当x=﹣1时y取得最大值，
∵m≠﹣1，
∴am^2^+bm+c＜a﹣b+c，即am^2^+bm+b＜a，
∴m（am+b）+b＜a，选项⑤正确；
故答案为：②④⑤．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax^2^+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．
**三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）**
15．解一元一次不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由①得，x＞﹣1，由②得，x≤4，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
16．如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷．
【考点】分式的化简求值；解二元一次方程组．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•（x+y）+2•（x+y）=xy+2x+2y，
方程组，
解得：，
当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，掌握分式的化简方法与解方程组的方法是解决问题的关键．
**四、（本大题共5小题，每小题8分，满分48分）**
17．某校初三（1）班50名学生需要参加体育"五选一"自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：
------------ ------ ------
自选项目 人数 频率
立定跳远 9 0.18
三级蛙跳 12 a
一分钟跳绳 8 0.16
投掷实心球 b 0.32
推铅球 5 0.10
合计 50 1
------------ ------ ------
（1）求a，b的值；
（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求"一分钟跳绳"对应扇形的圆心角的度数；
（3）在选报"推铅球"的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．
【考点】游戏公平性；简单的枚举法；扇形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可；
（2）根据表示做出扇形统计图，求出"一分钟跳绳"对应扇形的圆心角的度数即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）根据题意得：a=1﹣（0.18+0.16+0.32+0.10）=0.24；
b=×0.32=16；
（2）作出扇形统计图，如图所示：
根据题意得：360°×0.16=57.6°；
（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，
由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，AB、AC、BC是男生组合，
∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：．
【点评】此题考查了游戏公平性，扇形统计图，列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
18．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE=BF；
（2）求∠BPC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．某校为美化校园，计划对面积为1800m^2^的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m^2^区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m^2^？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】工程问题．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m^2^），根据在独立完成面积为400m^2^区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m^2^），根据题意得：
﹣=4，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m^2^），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m^2^、50m^2^；
（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，由B（n，﹣2）得BD=2，由tan∠BOC=，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值，由"两点法"求直线AB的解析式；
（2）点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析式求CO，再确定E点坐标．
【解答】解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），
∴BD=2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC=，即=，
解得OD=5，
又∵B点在第三象限，
∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y=，
将A（2，m）代入y=中，得m=5，
∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得，
解得．
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S~△BCE~=S~△BCO~，
∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过解直角三角形确定B点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特求A点坐标，求出反比例函数解析式，一次函数解析式．
21．如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．
（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；
（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA．
【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，
∴PA===．
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，
∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB=90°，
又因为AB为直径
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB=∠POB，
又因为∠ACB=∠ONP=90°，
∴△ACB∽△0NP
∴=，
又∵AB=13 AC=5 OP=，
代入得 ON=，
∴AN=OA+ON=9
∴在Rt△OPN中，有NP^2^=0P^2^﹣ON^2^=36
在Rt△ANP中 有PA===3
∴PA=3．
【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
**七、（本题满分12分）**
22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x^2^+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
【解答】解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，
∴k=﹣1，
∴y=x^2^﹣3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO•BD=6，
当0=x^2^﹣3x，
x（x﹣3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
即4=x^2^﹣3x，
解得：x=4或x=﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO==4，
当∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x^2^﹣3x，
即﹣x=x^2^﹣3x，
解得x=2 或x=0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．
∴OP==2，
使∠POB=90°，
∴△POB的面积为：PO•BO=×4×2=8．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．
**八、（本题满分14分）**
23．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去...
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为[ 等边三角形 ]{.underline}，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为[ 正方形 ]{.underline}，此时AE与BF的数量关系是[ AE=BF ]{.underline}；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由旋转性质，易得△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；
（2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；
②求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围．
【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形．
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）
∴AE=CF．
设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴EF=BF=（4﹣x）．
∴DE=DF=EF=（4﹣x）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE^2^+AD^2^=DE^2^，即：x^2^+4^2^=\[（4﹣x）\]^2^，
解得：x~1~=8﹣4，x~2~=8+4（舍去）
∴EF=（4﹣x）=4﹣4．
DEF的形状为等边三角形，EF的长为4﹣4．
（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：
由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∠EFG=90°，∴四边形EFGH的形状为正方形．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4．
在△AEH与△BFE中，
∴△AEH≌△BFE（ASA）
∴AE=BF．
②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，
∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．
∴y=S~正方形ABCD~﹣4S~△AEH~=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x^2^﹣8x+16．
∴y=2x^2^﹣8x+16（0＜x＜4）
∵y=2x^2^﹣8x+16=2（x﹣2）^2^+8，
∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，
∴y的取值范围为：8≤y＜16．
【点评】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法------分数除法（三）》同步检测2（附答案）**
一、解方程。
4*x* = *x* = 14 *x* = *x*× = 20
二、填一填。
（ ）的是8，的是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、府山公园。
1、水杉树有多少棵？ 2、梧桐树有多少棵？
四、商场促销活动。
五、图书馆有科技书120本，是故事书本数的，图书馆有故事书有多少本？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、五（1）班有女生27人，是全班总人数的，五（1）班共有多少人？
七、一袋水泥的正好是60千克，这袋水泥重多少千克？
八、车辆城有童车15辆。
1、童车的辆数是自行车辆数的，车辆城里有多少辆自行车？来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、自行车的辆数是三轮车的，车辆城里有多少辆三轮车？
九、同学们口算比赛时，小林做对了全题目的，恰好是45题。这次口算比赛一共有多少道口算题？小明做对了全部题目的，小明做对了多少道题？
**部分答案：**
一、*x* = *x* = 35 *x* = 1 *x* =
二、
三、1、14÷ = 16（棵）
2、14÷ = 15（棵）
四、72元 80元 70元
五、120÷ = 170（本）
六、27÷ = 48（人）
七、60÷ = 150（千克）
八、1、15÷ = 28（辆）
2、28÷ = 32（辆）
九、45÷ = 50（道） 50× = 48（道）
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题六（附答案）**
一、快乐小帮手。(填一填)
1．含有未知数的( )叫做方程。
2．二年级有女生x人，男生比女生少5人，男生有( )人，全年级有( )人。
3．如果2x+5=49，那么x=( )。
4．比x的5倍多7的数是22，那么x=( )。
5．求方程的解的过程叫做( )。
二、小法官来断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．方程一定是等式，但等式不一定是方程。( )
2．5x+6是方程。( )
3．7+9=16是方程。( )
4．13x=2.6是方程。( )
三、对号入座。(将正确答案的序号填在括号里)
1．要使是假分数，是真分数，x应该是( )。
A．8 B．9 C．10
2．一个数除以ɑ商5余2，这个数是( )。
A．5ɑ+2 B．ɑ÷5+2 C．3ɑ-2
3．小明今年8岁，爷爷比他的6倍还多2岁，爷爷今年( )岁。
A．48 B．50 C．46
4．如果用x表示每天生产零件的个数，y表示生产的天数，xy表示( )。
A.工作效率 B．工作总量 C．工作时间
四、数学乐园。
1．用含有字母的式子表示下面的数量关系。
(1)ɑ与5的和 [ ]{.underline} 。
(2)x与y的积 [ ]{.underline} 。
(3)48除以ɑ的2倍 [ ]{.underline} 。
2．上海世博会期间，某商店运来10筐苹果，每筐ɑ千克，又运来b筐桃子，每筐20千克。
(1)10ɑ表示 [ ]{.underline} 。
(2)20b表示 [ ]{.underline} 。
(3)10ɑ+20b表示 [ ]{.underline} 。
五、我会解方程。
2x-0.5=3.8 14×5-5x=55
x+x=75 =
六、问题银行。
1．三年级二班有学生90人，比一班的2倍少20人，一班有多少人？
2．甲、乙两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，2.5时相遇，甲车每时行80千米，乙车每时行多少千米？
七、已知三位数ɑ与两位数b的和是353，且ɑ÷b=12......15，求ɑ和b各是多少？
**参考答案**
一、1．等式 2．x-5 2x-5 3．22 4．3 5．解方程
二、1．√ 2．× 3．× 4．√
三、1．B 2．A 3．B 4．B
四、1．(1) ɑ+5 (2)xy (3)48÷(2ɑ)
2．(1)运来苹果的质量 (2)运来桃子的质量
(3)运来苹果和桃子总共的质量
五、x=2.15 x=3 x=90 x=82
六、1．55人 2．112千米
七、327 26
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------露在外面的面》同步检测2（附答案）**
1．有5个棱长为40厘米的正方体纸箱放在墙角处(如图)，有几个面露在外面？
 露在外面的面积一共有多少平方厘米？
2．下列各个图形中分别有几个面露在外面？露在外面的面积是多少？(图中小正
方体的棱长为2dm) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
> （1）
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
> （2）
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3．将棱长是2cm的小正方体按下图方式摆放在桌面上，露在外面的面数发生了怎样的变化？
(1)观察上图，把下表填写完整。
---------------- --- --- --- --- ---
小正方形的个数 1 2 3 4 5
露在外面的面数
---------------- --- --- --- --- ---
(2)如果摆5个小正方体，露在外面的面的面积是多少平方厘米？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．在正确答案后面的口里打√。
 一个棱长为2厘米的正方体，在它的一个角上挖掉一块棱长是1厘米的小正方体(如右图)，它的表面积与原来的正方体相比较，结果会怎样？
（1）减少了 （2）相等 （3）增加了
**参考答案**
1．10个面 16000平方厘米
2．(1)15个面 2×2×15＝60(d㎡)
(2)14个面 2×21×14＝56(d㎡)
3．(1)5 8 11 14 17 (2)2×2×17＝68(c㎡)
4．(2)√
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第7课《摆摆看看》试题附答案**
一年级奥数上册：第七讲 摆摆看看 来源：www.bcjy123.com/tiku/
一年级奥数上册：第七讲 摆摆看看 习题
一年级奥数上册：第七讲 摆摆看看 习题解答
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1\. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2\. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3\. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4\. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据*L*和小数记录表的数据*V*的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
5\. 已知是双曲线*C*的两个焦点，*P*为*C*上一点，且，则*C*的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6\. 在一个正方体中，过顶点*A*的三条棱的中点分别为*E*，*F*，*G*．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
7\. 等比数列的公比为*q*，前*n*项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8\. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有*A*，*B*，*C*三点，且*A*，*B*，*C*在同一水平面上的投影满足，．由*C*点测得*B*点的仰角为，与的差为100；由*B*点测得*A*点的仰角为，则*A*，*C*两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A 346 B. 373 C. 446 D. 473
9\. 若，则（ ）
A. B. C. D.
10\. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
11\. 已如*A*，*B*，*C*是半径为1球*O*的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
12\. 设函数定义域为**R**，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．**
13\. 曲线在点处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 已知向量．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知为椭圆*C*：的两个焦点，*P*，*Q*为*C*上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数*x*为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共60分．**
17\. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
-------- -------- -------- ------
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
-------- -------- -------- ------
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
----- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----- ------- ------- --------
18\. 已知数列的各项均为正数，记为的前*n*项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19\. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，*E*，*F*分别为和的中点，*D*为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
20\. 抛物线*C*的顶点为坐标原点*O*．焦点在*x*轴上，直线*l*：交*C*于*P*，*Q*两点，且．已知点，且与*l*相切．
（1）求*C*，的方程；
（2）设是*C*上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
21\. 已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求*a*的取值范围．
**（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22\. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线*C*的极坐标方程为．
（1）将*C*的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点*A*的直角坐标为，*M*为*C*上的动点，点*P*满足，写出*Р*的轨迹的参数方程，并判断*C*与是否有公共点．
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23\. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求*a*的取值范围．
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**2019年"中南传媒湖南新教材杯"重庆市高中数学竞赛**
**暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案**
**一、填空题(每小题8分，共64分)**
1.设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若，则集合\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
提示：设，其中
则解得，从而。
2.函数$f\left( x \right) = (\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} - 3)(\sqrt{1 - x^{2}} + 1)$的最小值为$m$，最大值为$M$，则$\frac{M}{m} =$\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案： $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$
提示：设$t = \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$,则$t \geq 0$且$t^{2} = 2 + 2\sqrt{1 - x^{2}}$，∴$t \in \left\lbrack \sqrt{2},2 \right\rbrack$.
$f\left( x \right) = \left( t - 3 \right) \cdot \frac{t^{2}}{2}$，令$g\left( t \right) = \frac{1}{2}t^{2}\left( t - 3 \right)$，$t \in \lbrack\sqrt{2},2\rbrack$.
令$g^{'}\left( t \right) = 0$得$t = 2$，$g\left( \sqrt{2} \right) = \sqrt{2} - 3$，$g\left( 2 \right) = - 2$，
∴$M = {g\left( t \right)}_{\max} = \sqrt{2} - 3$，$m = {g\left( t \right)}_{\min} = - 2$，∴$\frac{M}{m} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$.
3.$\tan 15^{o} + 2\sqrt{2}\sin 15^{o} =$\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案： $1$
提示：$\tan 15^{o} + 2\sqrt{2}\sin 15^{o} = \frac{{\text{si}n}15^{o}}{\cos 15^{o}} + 2\sqrt{2}\sin 15^{o} = \frac{{\text{si}n}15^{o} + \sqrt{2}\sin 30^{o}}{\cos 15^{o}} = \frac{{\text{si}n}15^{o} + \sqrt{2}\sin\left( 45^{o} - 15^{o} \right)}{\cos 15^{o}}$
$= \frac{{\text{si}n}15^{o} + \sqrt{2}(\sin 45^{o}\cos 15^{o} - \cos 45^{o}\sin 15^{o})}{\cos 15^{o}} = 1$.
4.已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\left| \overrightarrow{a} \right| : \left| \overrightarrow{b} \right| : \left| \overrightarrow{c} \right| = 1 : k : 3(k \in \mathbf{Z}^{+})$，且$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})$，若$\alpha$为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夹角，则$\cos\alpha =$\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案： $- \frac{1}{12}$
提示：∵$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})$ ∴$\overrightarrow{b} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ ∴${\overrightarrow{b}}^{2} = \frac{1}{9}{\overrightarrow{a}}^{2} + \frac{4}{9}{\overrightarrow{c}}^{2} + \frac{4}{9}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$
∵$\left| \overrightarrow{a} \right| : \left| \overrightarrow{b} \right| : \left| \overrightarrow{c} \right| = 1 : k : 3$ ∴$k^{2} = \frac{1}{9} + 4 + \frac{4}{3}\cos\alpha \in (2,6)$
又∵$k \in \mathbf{Z}^{+}$ ∴$k = 2$ ∴$\cos\alpha = - \frac{1}{12}$.
5.已知复数$z_{1}$，$z_{2}$，$z_{3}$使得$\frac{z_{1}}{z_{2}}$为纯虚数，$\left| z_{1} \right| = \left| z_{2} \right| = 1$，$\left| z_{1} + z_{2} + z_{3} \right| = 1$，则$\left| z_{3} \right|$的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
提示：设$z = z_{1} + z_{2} + z_{3}$，则$|z| = 1$，由已知 $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \overline{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = 0$ ∴$z_{1}\overline{z_{2}} + z_{2}\overline{z_{1}} = 0$
∴$\left| z_{1} + z_{2} \right|^{2} = \left( z_{1} + z_{2} \right)\left( \overline{z_{1} + z_{2}} \right) = z_{1}\overline{z_{1}} + z_{2}\overline{z_{2}} + \overline{z_{1}}z_{2} + z_{1}\overline{z_{2}} = 2$ ∴$\left| z_{1} + z_{2} \right| = \sqrt{2}$
∴$\left| z_{3} \right| = \left| z_{1} + z_{2} - z \right| \geq \left| z_{1} + z_{2} \right| - \left| z \right| = \sqrt{2} - 1$。 当 时，最小值能取到。
6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案： $4 + 2\sqrt{6}$
提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为$a$，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球，
且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为$1 : 3$，所以正四面体的高
$h = \sqrt{\frac{2}{3}}a = 3 + \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2 + \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2 + 1$, 得$a = 4 + 2\sqrt{6}$
7\. 设是定义在上的单调函数，对任意有，，则 [ ]{.underline} .
答案：
提示：由题意存在使。又因是上的单调函数，这样的是唯一的，再由得
解得或（舍）。所以，。
8.已知$\bigtriangleup \text{ABC}$为椭圆$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$的内接三角形，且$AB$过点$P(1,0)$，则$\bigtriangleup \text{ABC}$的面积的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案： $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
提示：经伸缩变换$\left\{ \begin{matrix}
x = 3X \\
y = 2Y \\
\end{matrix} \right.\ $得$\bigtriangleup A^{'}B^{'}C^{'}$内接于圆$X^{2} + Y^{2} = 1$，$A^{'}B^{'}$过点$P^{'}(\frac{1}{3},0)$，
$S_{\bigtriangleup \text{ABC}} = 6S_{\bigtriangleup A^{'}B^{'}C^{'}}$，设$O^{'}$距$A^{'}B^{'}$的距离为$t$，则$0 \leq t \leq \frac{1}{3}$，$\left| A^{'}B^{'} \right| = 2\sqrt{1 - t^{2}}$，$S_{\bigtriangleup A^{'}B^{'}C^{'}} \leq \sqrt{1 - t^{2}} \cdot (1 + t)$，易知当 $t = \frac{1}{3}$ 时，$S_{\bigtriangleup A^{'}B^{'}C^{'}}$有最大值为$\frac{8\sqrt{2}}{9}$，∴$S_{\bigtriangleup \text{ABC}}$的最大值为 $\frac{16\sqrt{2}}{3}$.
**二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分)**
9.已知过点$P(3,0)$斜率为$k$的直线$l$交双曲线$C$：$x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$右支于$A、B$两点，$F$为双曲线$C$的右焦点，且$\left| \text{AF} \right| + \left| \text{BF} \right| = 16$，求$k$的值.
解：设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则直线 $l$：$y = k\left( x - 3 \right)$.离心率$\mathbb{e} = 2$。\...\...4分
联立 $\left\{ \begin{matrix}
y = k\left( x - 3 \right) \\
x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 \\
\end{matrix} \right.\ $ 得$\left( k^{2} - 3 \right)x^{2} - 6k^{2}x + 9k^{2} + 3 = 0$
∴$x_{1} + x_{2} = \frac{6k^{2}}{k^{2} - 3}$\...\...\.....8分
∴$16 = \left| \text{AF} \right| + \left| \text{BF} \right| = \left( 2x_{1} - 1 \right) + \left( 2x_{2} - 1 \right) = 2 \times \frac{6k^{2}}{k^{2} - 3} - 2$ \...\....12分
∴$k = \pm 3$. \...\..... 16分。
10.数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 3$，$a_{2} = 6$，$a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + 9}{a_{n}}(n \in \mathbf{Z}^{+})$.
（1）证明：数列$\{ a_{n}\}$是正整数数列；
（2）是否存在$m \in \mathbf{Z}^{+}$，使得$2109 \mid a_{m}$，并说明理由.
证明：（1）已知 $a_{3} = 15$，$a_{n}a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2} + 9$ ∴$a_{n + 1}a_{n + 3} = a_{n + 2}^{2} + 9$
相减得 $\frac{a_{n + 3} + a_{n + 1}}{a_{n + 2}} = \frac{a_{n + 2} + a_{n}}{a_{n + 1}}$
∴$\{\frac{a_{n + 2} + a_{n}}{a_{n + 1}}\}$为常数数列。\...\...\.... 5分
∴$\frac{a_{n + 2} + a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{3} + a_{1}}{a_{2}} = 3$
∴$a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - a_{n}$，又∵$a_{1},a_{2} \in \mathbf{Z}$ ∴$a_{n} \in \mathbf{Z}(n \in \mathbf{Z}^{+})$
又∵$a_{n} > 0$，∴$a_{n} \in \mathbf{Z}^{+}(n \in \mathbf{Z}^{+})$ \...\.... 10分
（2）∵$2109 = 3 \times 19 \times 37$，假设有$2109 \mid a_{m}$，则$19 \mid a_{m}$。\..... 15分
法一：由 $a_{1} = 3$，$a_{2} = 6$，$a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - a_{n}$
得 $a_{n} \equiv 3,6,15,1,7,1,15,6,3,3,6,\ldots(mod\ 19)$
∴$19 \nmid a_{n}(n \in \mathbf{Z}^{+})$ ∴$19 \nmid a_{m}$
法二：∵$a_{m}a_{m + 2} = a_{m + 1}^{2} + 9$ ∴$a_{m + 1}^{2} \equiv - 9(mod\ 19)$
由费马小定理得 $1 \equiv - 1(mod\ 19)$，矛盾.
所以不存在$m \in \mathbf{Z}^{+}$，使得$2109 \mid a_{m}$，得证. \...\...20分
11.已知 $x,y \geq 0$，$x^{2019} + y = 1$，求证 $x + y^{2019} > 1 - \frac{1}{300}$.
注：可直接应用以下结论
（1）$\ln x \leq x - 1(x > 0)$；（2）$\ln 2019 \approx 7.610$。
证明：设 $n = 2019$，$f\left( x \right) = x + y^{n},x,y \geq 0$，则 $f\left( x \right) = x + {(1 - x^{n})}^{n}$，$0 \leq x \leq 1$.
只要证 ${f\left( x \right)}_{\min} > 1 - \frac{1}{300}$，因为 $f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1 > 1 - \frac{1}{300}$, 所以只要证明：对满足$f^{'}\left( x \right) = 0$的$x$，有 $f\left( x \right) > 1 - \frac{1}{300}$。\..... 5分
令 $f^{'}\left( x \right) = 1 - n^{2}x^{n - 1}\left( 1 - x^{n} \right)^{n - 1} = 0$ 得$xy = n^{- \ \frac{2}{n - 1}}$，
此时 $f\left( x \right) = x + y^{n} = n \times \frac{x}{n} + y^{n} \geq \left( n + 1 \right) \cdot \sqrt[{n + 1}]{\left( \frac{x}{n} \right)^{n}y^{n}} = \left( n + 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \cdot n^{- \ \frac{2}{n - 1}} \right)^{\frac{n}{n + 1}}$
$= \frac{n + 1}{n} \cdot n^{- \ \frac{1}{n - 1}}$，\...\...\... 10分
∴$f\left( x \right) > 1 - \frac{1}{300} \Leftarrow \frac{n + 1}{n} \cdot n^{- \ \frac{1}{n - 1}} > 1 - \frac{1}{300} \Leftrightarrow n^{- \ \frac{1}{n - 1}} > \left( 1 - \frac{1}{300} \right) \cdot \frac{n}{n + 1}$
$\Leftrightarrow - \ln 2019 > 2018\lbrack\ \ln{\left( 1 - \frac{1}{300} \right) +}\ln\left( 1 - \frac{1}{2020} \right)\ \rbrack$ . \...\..... 15分
∵$\ln x \leq x - 1$∴$2018\left\lbrack \ \ln{\left( 1 - \frac{1}{300} \right) +}\ln\left( 1 - \frac{1}{2020} \right)\ \right\rbrack \leq 2018\left( - \frac{1}{300} - \frac{1}{2020} \right) < - 7.7 < - \ln 2019 \approx - 7.61$，不等式成立，得证. \...\..... 20分
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
**一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）**
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知种型号产品共抽取了24件，则种型号产品抽取的件数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．40
4．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知把函数的图像向右平移个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数，则函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．78种 D．84种
8．已知椭圆的左、右焦点与双曲线的焦点重合．且直线与双曲线右支相交于点，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体，在这个长方体中把四面体截出如图所示，则四面体的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，，且平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数下列是关于函数的零点个数的四种判断：①当时，有3个零点；②当时．有2个零点；③当时，有4个零点；④当时，有1个零点．则正确的判断是（ ）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）**
13．已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则\_\_\_\_\_\_．
14．设曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则的值为\_\_\_\_\_\_．
15．已知中，角、、的对边分别为、、，已知，则的最小值为\_\_\_\_\_\_．
16．若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的"完美函数"．已知，若函数是区间上的"完美函数"，则整数的最小值为\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）**
17．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且首项．
（1）求证：是等比数列；
（2）若为递增数列，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：
-------------------- ---- ---- ---- ----
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
-------------------- ---- ---- ---- ----
假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路径；
（2）若通过公路1、公路2的"一次性费用"分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
19．（本小题满分12分）
如图，平面平面，，为等边三角形，，过作平面交、分别于点、．
（1）求证：；
（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为．
20．（本小题满分12分）
如图，已知圆，点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与（1）中轨迹相交下两点，直线的斜率分别为（其中）．的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（l）求函数的单调区间；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3）求证：．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．**
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知直线与圆相切于点，交圆于、两点，交圆于，
，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）
（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；
（2）若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
（2）已知正数满足，求的最小值．
河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A卷）
**参考答案**
**一、选择题**
DCCCD DADDB AA
**二、填空题**
13．0 14． 15． 16．3
**三、解答题**
17．解：（1）因为，所以．................................................1分
∴．.........................................................4分
且，
所以是以为首项，以2为公比的等比数列．................................................6分
（2）由（1）得，，所以．
当时，
．............8分
若为递增数列，则对恒成立．
当时，，
则对恒成立，
则；...............................................................................................................10分
又
所以的取值范围为
18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：
-------------------- ----- ----- ----- -----
所用的时间（天数） 10 11 12 13
通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2
通过公路2的频数 0.1 0.4 0.4 0.1
-------------------- ----- ----- ----- -----
设分别表示汽车在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；、分别表示汽车在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；
，
，
，
，
所以汽车选择公路，汽车选择公路2．
（Ⅱ）设表示汽车选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则．
的分布列如下：
-- ----- ----- ----- -----
42 40 38 36
0.2 0.4 0.2 0.2
-- ----- ----- ----- -----
．
∴表示汽车选择公路1时的毛利润为（万元）．
设表示汽车选择公路2时的毛利润，．
则的分布列如下：
-- ------ ------ ------ ------
42.4 40.4 38.4 36.4
0.1 0.4 0.4 0.1
-- ------ ------ ------ ------
．
∵，∴汽车为生产商获得毛利润更大．
19．（1）如图以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，，，
则，，，，，
由，得，
是平面的一个法向量，且，故，
又∵平面，即知平面，
又∵四点共面，∴；
（2），
设平面的法向量，则，可取，
又∵是平面的一个法向量，
由，以及可得，
即，解得（负值舍去），故．
20．解：（Ⅰ）连结，根据题意，，
则，
故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．2分
设其方程为，可知，则，3分
所以点的轨迹的方程为为．4分
（Ⅱ）设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理有：
且...............................................................6分
∵构成等比数列，∴，
即：
由韦达定理代入化简得：．∵，∴......................................................8分
此时，即．又由、、三点不共线得
从而．
故
10分
又
则
为定值．12分
∴当且仅当时等号成立．
综上：．14分
21．（Ⅰ）函数的定义域为，
∵，
∴，
若，因，所以，故，函数在上单调递减；
若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
综上，若，函数的单调减区间为；
若，的单调增区间为，单调减区间为．
（Ⅱ）时，，
由（Ⅰ）可知，在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的最大值为；
而；，
，
所以，故函数在上的最小值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
故函数在上的最大值为，即．
22．（Ⅰ）因为，所以，因为与圆相切于点，所以，所以．
（Ⅱ）因为，且，所以，因为，所以，即有，即，则，又，即，所以，因为与圆相切于点，所以，即，所以．
23.解：（1）由得
所以直线的普通方程为：，.....................................................................2分
由
又
所以，圆的标准方程为，..................................................................5分
（2）因为直线与圆恒有公共点，所以，.............................................7分
两边平方得，∴
所以的取值范围是或..............................................................................10分
24．（1）由绝对值的性质得，..................3分
所以的最小值为，从而，解得，
因此的最大值为．.............................................................................................5分
（2）由于，所以
．
当且仅当，即时，等号成立．..........................................8分
∴的最小值为．...........................................................................10分
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**2020年湖南省常德市中考数学试卷**
**一．选择题（共8小题）**
1.4的倒数为（ ）
A. B. 2 C. 1 D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的定义进行解答即可.
【详解】4的倒数为．
故选：*A*．
【点睛】本题考查求一个数的倒数，正确理解倒数的定义是解答的关键.
2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答.
【详解】*A*、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
*B*、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
*C*、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
*D*、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：*C*．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键.
3.如图，已知*AB*∥*DE*，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠*BCE*的度数为（ ）
A. 70° B. 65° C. 35° D. 5°
【答案】B
【解析】
【分析】
作*CF*∥*AB*，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠*BCF*，∠*FCE*＝∠2，从而可得∠*BCE*的度数，本题得以解决．
【详解】作*CF*∥*AB*，
∵*AB*∥*DE*，
∴*CF*∥*DE*，
∴*AB*∥*DE*∥*DE*，
∴∠1＝∠*BCF*，∠*FCE*＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠*BCF*＝30°，∠*FCE*＝35°，
∴∠*BCE*＝65°，
故选：*B*．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4.下列计算正确的是（ ）
A. *a*^2^+*b*^2^＝（*a*+*b*）^2^ B. *a*^2^+*a*^4^＝*a*^6^
C. *a*^10^÷*a*^5^＝*a*^2^ D. *a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘除法计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：*A*、*a*^2^+2*ab*+*b*^2^＝（*a*+*b*）^2^，原计算错误，故此选项不符合题意；
*B*、*a*^2^与*a*^4^不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
*C*、*a*^10^÷*a*^5^＝*a*^5^，原计算错误，故此选项不符合题意；
*D*、*a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：*D*．
【点睛】此题主要考查幂与整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
5.下列说法正确的是（ ）
A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D. 一组数据的众数一定只有一个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
【详解】解：*A*、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
*B*、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；
*C*、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
*D*、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；
故选：*C*．
【点睛】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法及众数的定义．
6.一个圆锥的底面半径*r*＝10，高*h*＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 100π B. 200π C. 100π D. 200π
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：这个圆锥的母线长＝＝10，
这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．
故选：*C*．
【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．
7.二次函数*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）的图象如图所示，下列结论：①*b*^2^﹣4*ac*＞0；②*abc*＜0；③4*a*+*b*＝0；④4*a*﹣2*b*+*c*＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
分析】
先由抛物线与*x*轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为*x*＝2，判断出结论③，最后用*x*＝﹣2时，抛物线在*x*轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】解：由图象知，抛物线与*x*轴有两个交点，
∴方程*ax*^2^+*bx*+*c*＝0有两个不相等的实数根，
∴*b*^2^﹣4*ac*＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为*x*＝2，
∴﹣＝2，
∴4*a*+*b*＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
∴*a*＜0，
∵4*a*+*b*＝0，
∴*b*＞0，而抛物线与*y*轴的交点在*y*轴的正半轴上，
∴*c*＞0，
∴*abc*＜0，故②正确，
由图象知，当*x*＝﹣2时，*y*＜0，
∴4*a*﹣2*b*+*c*＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：*B*．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
8.如图，将一枚跳棋放在七边形*ABCDEFG*的顶点*A*处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第*k*次移动*k*个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在*B*处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在*D*处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）
A. *C*、*E* B. *E*、*F* C. *G*、*C*、*E* D. *E*、*C*、*F*
【答案】D
【解析】
【分析】
设顶点*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*，*G*分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了*k*次后走过的总格数是1+2+3+...+*k*＝*k*（*k*+1），然后根据题目中所给的第*k*次依次移动*k*个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】设顶点*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*，*G*分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了*k*次后走过的总格数是1+2+3+...+*k*＝*k*（*k*+1），应停在第*k*（*k*+1）﹣7*p*格，
这时*P*是整数，且使0≤*k*（*k*+1）﹣7*p*≤6，分别取*k*＝1，2，3，4，5，6，7时，
*k*（*k*+1）﹣7*p*＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜*k*≤2020，
设*k*＝7+*t*（*t*＝1，2，3）代入可得，*k*（*k*+1）﹣7*p*＝7*m*+*t*（*t*+1），
由此可知，停棋的情形与*k*＝*t*时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点*C*，*E*和*F*棋子不可能停到．
故选：*D*．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
**二．填空题（共8小题）**
> 9.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x（y+2）（y-2）
【解析】
【分析】
首先提公因式x，然后利用平方差公式分解即可；
【详解】解：
故答案为：x（y+2）（y-2）
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解止．
10.若代数式在实数范围内有意义，则*x*的取值范围是\_\_\_\_\_．
【答案】*x*＞3
【解析】
【分析】
本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【详解】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数
所以有．
又因为分式分母不为零
所以．
故综上：＞
则：．
故答案为：x＞3
【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
11.计算：﹣＝\_\_\_\_\_．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接化简二次根式进而合并得出答案．
【详解】解：原式＝﹣+2
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.
12.如图，若反比例函数*y*＝（*x*＜0）的图象经过点*A*，*AB*⊥*x*轴于*B*，且△*AOB*的面积为6，则*k*＝\_\_\_\_\_．
【答案】﹣12
【解析】
【分析】
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
【详解】解：∵*AB*⊥*OB*，
∴*S*~△*AOB*~＝＝6，
∴*k*＝±12，
∵反比例函数的图象在二四象限，
∴*k*＜0，
∴*k*＝﹣12，
故答案为﹣12．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数比例系数的几何意义．
13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：
--------------------- --------- ------------ ------------ ----------
阅读时间（*x*小时） *x*≤3.5 3.5＜*x*≤5 5＜*x*≤6.5 *x*＞6.5
人数 12 8 6 4
--------------------- --------- ------------ ------------ ----------
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为\_\_\_\_\_．
【答案】400
【解析】
【分析】
用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．
【详解】解：1200×＝400（人），
答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．
故答案为：400．
【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体数量的知识．正确的理解题意是解题的关键．
14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是\_\_\_\_\_次．
【答案】4
【解析】
【分析】
设李红出门没有买到口罩的次数是*x*，买到口罩的次数是*y*，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于*x*和*y*的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是*x*，买到口罩的次数是*y*，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二元一次方程应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解．
15.如图1，已知四边形*ABCD*是正方形，将，分别沿*DE*，*DF*向内折叠得到图2，此时*DA*与*DC*重合（*A*、*C*都落在*G*点），若*GF*＝4，*EG*＝6，则*DG*的长为\_\_\_\_\_．
【答案】12
【解析】
【分析】
设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．
【详解】设正方形ABCD的边长为，则，
由翻折的性质得：，，
∵
∴，，
∴，
如图，在中，由勾股定理得：
即
整理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
16.阅读理解：对于*x*^3^﹣（*n*^2^+1）*x*+*n*这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
*x*^3^﹣（*n*^2^+1）*x*+*n*＝*x*^3^﹣*n*^2^*x*﹣*x*+*n*＝*x*（*x*^2^﹣*n*^2^）﹣（*x*﹣*n*）＝*x*（*x*﹣*n*）（*x*+*n*）﹣（*x*﹣*n*）＝（*x*﹣*n*）（*x*^2^+*nx*﹣1）．
理解运用：如果*x*^3^﹣（*n*^2^+1）*x*+*n*＝0，那么（*x*﹣*n*）（*x*^2^+*nx*﹣1）＝0，即有*x*﹣*n*＝0或*x*^2^+*nx*﹣1＝0，
因此，方程*x*﹣*n*＝0和*x*^2^+*nx*﹣1＝0的所有解就是方程*x*^3^﹣（*n*^2^+1）*x*+*n*＝0的解．
解决问题：求方程*x*^3^﹣5*x*+2＝0的解为\_\_\_\_\_．
【答案】*x*＝2或*x*＝﹣1+或*x*＝﹣1﹣．
【解析】
【分析】
将原方程左边变形为*x*^3^﹣4*x*﹣*x*+2＝0，再进一步因式分解得（*x*﹣2）\[*x*（*x*+2）﹣1\]＝0，据此得到两个关于*x*的方程求解可得．
【详解】解：∵*x*^3^﹣5*x*+2＝0，
∴*x*^3^﹣4*x*﹣*x*+2＝0，
∴*x*（*x*^2^﹣4）﹣（*x*﹣2）＝0，
∴*x*（*x*+2）（*x*﹣2）﹣（*x*﹣2）＝0，
则（*x*﹣2）\[*x*（*x*+2）﹣1\]＝0，即（*x*﹣2）（*x*^2^+2*x*﹣1）＝0，
∴*x*﹣2＝0或*x*^2^+2*x*﹣1＝0，
解得*x*＝2或*x*＝﹣1，
故答案为：*x*＝2或*x*＝﹣1+或*x*＝﹣1﹣．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
**三．解答题（共10小题）**
17.计算：2^0^+（）^﹣1^•﹣4tan45°．
【答案】3
【解析】
【分析】
先计算2^0^、、（）^﹣1^、tan45°，再按运算顺序求值即可．
【详解】2^0^+（）^﹣1^•﹣4tan45°
＝1+3×2﹣4×1
＝1+6﹣4
＝3．
【点睛】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18.解不等式组．
【答案】﹣1≤*x*＜5
【解析】
【分析】
首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：*x*＜5，
由②得：*x*≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤*x*＜5．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（*x*+1﹣）÷．
【答案】，当*x*＝2时，原式=﹣．
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（*x*+1﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当*x*＝2时，原式＝＝﹣．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则．
20.第5代移动通信技术简称5*G*，某地已开通5*G*业务，经测试5*G*下载速度是4*G*下载速度的15倍，小明和小强分别用5*G*与4*G*下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4*G*与5*G*的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4*G*的下载速度是每秒4兆，则该地5*G*的下载速度是每秒60兆．
【解析】
【分析】
首先设该地4*G*的下载速度是每秒*x*兆，则该地5*G*的下载速度是每秒15*x*兆，根据题意可得等量关系：4*G*下载600兆所用时间﹣5*G*下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【详解】解：设该地4*G*的下载速度是每秒*x*兆，则该地5*G*的下载速度是每秒15*x*兆，
由题意得：﹣＝140，
解得：*x*＝4，
经检验：*x*＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15*x* =15×4＝60，
答：该地4*G*的下载速度是每秒4兆，则该地5*G*的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5*G*与4*G*下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．
21.已知一次函数*y*＝*kx*+*b*（*k*≠0）的图象经过*A*（3，18）和*B*（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数*y*＝*kx*+*b*（*k*≠0）的图象与反比例函数*y*＝（*m*≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为*y*＝2*x*+12；（2）（﹣3，6）．
【解析】
【分析】
（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数*y*＝*kx*+*b*中可得关于*k*、*b*的方程组，再解方程组可得*k*、*b*的值，进而求出一次函数的解析式；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2*x*^2^+12*x*﹣*m*＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数*y*＝*kx*+*b*（*k*≠0），得
，
解得，
∴一次函数的解析式为*y*＝2*x*+12；
（2）∵一次函数*y*＝*kx*+*b*（*k*≠0）的图象与反比例函数*y*＝（*m*≠0）的图象只有一个交点，
∴只有一组解，
即2*x*^2^+12*x*﹣*m*＝0有两个相等的实数根，
∴△＝12^2^﹣4×2×（﹣*m*）＝0，
∴*m*＝-18．
把*m*＝-18代入求得该方程的解为：*x*＝-3，
把*x*＝-3代入*y*＝2*x*+12得：*y*＝6，
即所求的交点坐标为（-3，6）．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．
22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆*BC*的底部支撑点*B*在水平线*AD*的下方，*AB*与水平线*AD*之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线*AD*成60°，此时*AB*与支撑顶杆*BC*的夹角为45°，若*AC*＝2米，求*BC*的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【答案】所求*BC*的长度约为2.6米．
【解析】
【分析】
过点*A*作*AE*⊥*BC*于点*E*，先求出∠C，再运用锐角三角函数关系的知识求得CE和AE，然后再说明△*AEB*是等腰直角三角形得到*AE*＝*BE*，最后根据*BC*＝*BE*+*CE*解答即可．
【详解】解：如图，过点*A*作*AE*⊥*BC*于点*E*，
∵在Rt△*ACE*中，∠*C*＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cos*C*＝cos70°＝，即*CE*＝*AC*×cos70°≈2×0.34＝0.68，
sin*C*＝sin70°＝，*AE*＝*AC*×sin70°≈2×0.94＝1.88，
又∵在Rt△*AEB*中，∠*ABC*＝45°，
∴△*AEB*是等腰直角三角形
∴*AE*＝*BE*，
∴*BC*＝*BE*+*CE*＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，
答：所求*BC*的长度约为2.6米．
【点睛】本题考查了运用锐角三角函数解直角三角形，正确做出辅助线、构造合适的直角三角形是解答本题的关键．
23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的*A*、*B*、*C*、*D*、*E*五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中*B*、*D*两位患者的概率．
【答案】（1）160人；（2）100万元；（3）2.15万；（4）
【解析】
【分析】
（1）因为总人数已知，由轻症患者所占的百分比即可求出其的人数；
（2）求出该市危重症患者所占的百分比，即可求出其共花费的钱数；
（3）用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；
（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中*B*、*D*两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；
（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；
（3）所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）；
（4）列表得：
----- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
*A* *B* *C* *D* *E*
*A* （*B*，*A*） （*C*，*A*） （*D*，*A*） （*E*，*A*）
*B* （*A*，*B*） （*C*，*B*） （*D*，*B*） （*E*，*B*）
*C* （*A*，*C*） （*B*，*C*） （*D*，*C*） （*E*，*C*）
*D* （*A*，*D*） （*B*，*D*） （*C*，*D*） （*E*，*D*）
*E* （*A*，*E*） （*B*，*E*） （*C*，*E*） （*D*，*E*）
----- -------------- -------------- -------------- -------------- --------------
由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中*B*、*D*两位同学的有2种情况，
∴*P*（恰好选中*B*、*D*）＝＝．
【点睛】此题主要考查统计与概率，解题的关键是熟知列表的方法及概率公式的应用．
24.如图，已知*AB*是⊙*O*的直径，*C*是⊙*O*上的一点，*D*是*AB*上的一点，*DE*⊥*AB*于*D*，*DE*交*BC*于*F*，且*EF*＝*EC*．
（1）求证：*EC*是⊙*O*的切线；
（2）若*BD*＝4，*BC*＝8，圆的半径*OB*＝5，求切线*EC*的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接*OC*，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠*OCB*+∠*ECF*＝90°，可证*EC*是⊙*O*的切线；
（2）由勾股定理可求*AC*＝6，由锐角三角函数可求*BF*＝5，可求*CF*＝3，通过证明△*OAC*∽△*ECF*，可得，可求解．
【详解】解：（1）连接*OC*，
∵*OC*＝*OB*，
∴∠*OBC*＝∠*OCB*，
∵*DE*⊥*AB*，
∴∠*OBC*+∠*DFB*＝90°，
∵*EF*＝*EC*，
∴∠*ECF*＝∠*EFC*＝∠*DFB*，
∴∠*OCB*+∠*ECF*＝90°，
∴*OC*⊥*CE*，
∴*EC*是⊙*O*的切线；
（2）∵*AB*是⊙*O*的直径，
∴∠*ACB*＝90°，
∵*OB*＝5，
∴*AB*＝10，
∴*AC*＝＝＝6，
∵cos∠*ABC*＝，
∴，
∴*BF*＝5，
∴*CF*＝*BC*﹣*BF*＝3，
∵∠*ABC*+∠*A*＝90°，∠*ABC*+∠*BFD*＝90°，
∴∠*BFD*＝∠*A*，
∴∠*A*＝∠*BFD*＝∠*ECF*＝∠*EFC*，
∵*OA*＝*OC*，
∴∠*OCA*＝∠*A*＝∠*BFD*＝∠*ECF*＝∠*EFC*，
∴△*OAC*∽△*ECF*，
∴，
∴*EC*＝＝＝．
【点睛】此题主要考查切线的判定与性质与相似三角形综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
25.如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^过点*A*（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线*l*过点*A*，*M*（，0）且与抛物线交于另一点*B*，与*y*轴交于点*C*，求证：*MC*^2^＝*MA*•*MB*；
（3）若点*P*，*D*分别是抛物线与直线*l*上的动点，以*OC*为一边且顶点为*O*，*C*，*P*，*D*的四边形是平行四边形，求所有符合条件的*P*点坐标．
【答案】（1）*y*＝*x*^2^；（2）见解析；（3）*P*（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）构建方程组确定点*B*的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（3）如图2中，设*P*（*t*，*t*^2^），根据*PD*＝*CD*构建方程求出*t*即可解决问题．
详解】解：（1）把点*A*（﹣3，）代入*y*＝*ax*^2^，
得到＝9*a*，
∴*a*＝，
∴抛物线的解析式为*y*＝*x*^2^．
（2）设直线*l*的解析式为*y*＝*kx*+*b*，则有，
解得，
∴直线*l*的解析式为*y*＝﹣*x*+，
令*x*＝0，得到*y*＝，
∴*C*（0，），
由，解得或，
∴*B*（1，），
如图1中，过点*A*作*AA*~1~⊥*x*轴于*A*~1~，过*B*作*BB*~1~⊥*x*轴于*B*~1~，则*BB*~1~∥*OC*∥*AA*~1~，
∴＝＝＝，＝＝＝，
∴＝，
即*MC*^2^＝*MA*•*MB*．
（3）如图2中，设*P*（*t*，*t*^2^）
∵*OC*为一边且顶点为*O*，*C*，*P*，*D*的四边形是平行四边形，
∴*PD*∥*OC*，*PD*＝*OC*，
∴*D*（*t*，﹣*t*+），
∴\|*t*^2^﹣（﹣*t*+）\|＝，
整理得：*t*^2^+2*t*﹣6＝0或*t*^2^+2*t*＝0，
解得*t*＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），
∴*P*（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质．
26.已知*D*是Rt△*ABC*斜边*AB*的中点，∠*ACB*＝90°，∠*ABC*＝30°，过点*D*作Rt△*DEF*使∠*DEF*＝90°，∠*DFE*＝30°，连接*CE*并延长*CE*到*P*，使*EP*＝*CE*，连接*BE*，*FP*，*BP*，设*BC*与*DE*交于*M*，*PB*与*EF*交于*N*．
（1）如图1，当*D*，*B*，*F*共线时，求证：
①*EB*＝*EP*；
②∠*EFP*＝30°；
（2）如图2，当*D*，*B*，*F*不共线时，连接*BF*，求证：∠*BFD*+∠*EFP*＝30°．
【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△*CBP*是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．
②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得*BC*∥*EF*，由平行线的性质得*BP*⊥*EF*，可得*EF*是线段*BP*的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠*PFE*＝∠*BFE*＝30°．
（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长*DE*到*Q*，使*EQ*＝*DE*，连接*CD*，*PQ*，*FQ*，证明△*QEP*≌△*DEC*（*SAS*），则*PQ*＝*DC*＝*DB*，由*QE*＝*DE*，∠*DEF*＝90°，知*EF*是*DQ*的垂直平分线，证明△*FQP*≌△*FDB*（*SAS*），再由*EF*是*DQ*的垂直平分线，可得结论．
【详解】证明（1）①∵∠*ACB*＝90°，∠*ABC*＝30°
∴∠*A*＝90°﹣30°＝60°
同理∠*EDF*＝60°
∴∠*A*＝∠*EDF*＝60°
∴*AC*∥*DE*
∴∠*DMB*＝∠*ACB*＝90°
∵*D*是Rt△*ABC*斜边*AB*的中点，*AC*∥*DM*
∴
即*M*是*BC*的中点
∵*EP*＝*CE*，即*E*是*PC*的中点
∴*ED*∥*BP*
∴∠*CBP*＝∠*DMB*＝90°
∴△*CBP*是直角三角形
∴*BE*＝*PC*＝*EP*
②∵∠*ABC*＝∠*DFE*＝30°
∴*BC*∥*EF*
由①知：∠*CBP*＝90°
∴*BP*⊥*EF*
∵*EB*＝*EP*
∴*EF*是线段*BP*的垂直平分线
∴*PF*＝*BF*
∴∠*PFE*＝∠*BFE*＝30°
（2）如图2，延长*DE*到*Q*，使*EQ*＝*DE*，连接*CD*，*PQ*，*FQ*
∵*EC*＝*EP*，∠*DEC*＝∠*QEP*
∴△*QEP*≌△*DEC*（*SAS*）
则*PQ*＝*DC*＝*DB*
∵*QE*＝*DE*，∠*DEF*＝90°
∴*EF*是*DQ*的垂直平分线
∴*QF*＝*DF*
∵*CD*＝*AD*
∴∠*CDA*＝∠*A*＝60°
∴∠*CDB*＝120°
∴∠*FDB*＝120°﹣∠*FDC*＝120°﹣（60°+∠*EDC*）＝60°﹣∠*EDC*＝60°﹣∠*EQP*＝∠*FQP*
∴△*FQP*≌△*FDB*（*SAS*）
∴∠*QFP*＝∠*BFD*
∵*EF*是*DQ*的垂直平分线
∴∠*QFE*＝∠*EFD*＝30°
∴∠*QFP*+∠*EFP*＝30°
∴∠*BFD*+∠*EFP*＝30°
【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------图形分类》同步检测（附答案）**
一、填一填。
1．三角形具有( )。
2．平行四边形有( )的特性。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．一个三角形中最多有( )个锐角，最少有( )个锐角。
4．一个三角形中最多有( )个直角，最多有( )个钝角。
5．三角形按角可分为( )三角形，( )三角形和( )三角形；
三角形按边可分为( )三角形，( )三角形和( )三角形。
二、火眼金睛。
1．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形。( )
2．锐角三角形一定是等腰三角形。( )
3．一个三角形中可能有一个钝角。( )
4．有一个角是直角的三角形是直角三角形。( )
5．用放大2倍的放大镜看30°的角，看到的角是60°。( )
三、选一选。
1．一个三角形中，有两个角是锐角，那么这个三角形是( )。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2．有一个角是钝角的三角形一定是( )。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
3．自行车的车架做成三角形，是利用三角形( )的特点。
A．具有稳定性 B．美观 C．节省材料
4．学校的电动门做成若干个平行四边形，是利用平行四边形的( )特性。
A．美观 B．易变形 C．不易变形来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、分分类。
1．把下面的图形分为两类。
2．把下面的三角形分类。
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
五、猜一猜被纸遮住的三角形可能是什么三角形。
1. ( )三角形
2.( )三角形
六、在点子图上按要求画三角形。
  
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
七、怎样在三角形纸上画一条线段，使它成为两个直角三角形。
 
**参考答案**
一、
1\. 稳定性
2\. 易变形
3\. 3 2
4\. 1 1
5\. 锐角 钝角 直角 等边 等腰 不等边
二、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.×
三、1.D 2.C 3.A 4.B
四、1.一类是：ACDFH 另一类是：BIEG
2.锐角三角形：④⑥ 直角三角形：①⑤⑧ 钝角三角形：②③⑦
五、1.锐角或钝角或直角 2.钝角
六、略。（相信你能行）
七、
（答案不唯一）
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**2020-2021学年甘肃省酒泉市肃州区第六片区一年级（上）期末数学试卷**
**一、我会填（每空1分，共38分）**
1．（9分）看图写数.
2．（1分）1个十和7个一合起来是[ ]{.underline}。
3．（1分）个位和十位都是1，这个数是[ ]{.underline}．
4．（2分）比8多5的数是[ ]{.underline}，比10少3的数是[ ]{.underline}。
5．（2分）与19相邻的两个数是[ ]{.underline}和[ ]{.underline}．
6．（2分）最大的一位数是[ ]{.underline}，最小的两位数是[ ]{.underline}．
7．（2分）一两位数，从右边起第一位是[ ]{.underline}位，第二位[ ]{.underline}位．
8．（11分）按规律填数。
9．（4分）在〇里填上在"＝"、"＞"或"＜"。
------- -------- ---------- ----------
6〇12 4+5〇8 7〇17﹣7 6+6〇3+9
------- -------- ---------- ----------
10．（4分）（1）一共有[ ]{.underline}个物体，其中有[ ]{.underline}个。
> （2）从左边数，排第[ ]{.underline}，从右边数排第[ ]{.underline}。
**二、比一比（每题2分，共8分）**
11．（2分）最高的画"√"，最矮的画"〇"。
12．（2分）最长的画"√"，最短的画"〇"。
13．（4分）画一画
> （1）画比多5个。
>
> [ ]{.underline}
>
> （2）画比少3个。
>
> [ ]{.underline}
**三、我会算（每题1分，共25分）**
14．（20分）直接写得数。
3+9＝ 9+5＝ 7+8＝ 6+7＝
------------ ----------- ----------- ----------
4+2＝ 9﹣6＝ 10﹣8＝ 16﹣3＝
8﹣8＝ 7﹣0＝ 14﹣4＝ 9+9＝
15﹣3＝ 18﹣7＝ 10+10＝ 4+3+6＝
14﹣4﹣3＝ 12+5﹣3＝ 18﹣7+5＝ 9﹣5+7＝
15．（5分）填上合适的数。
[ ]{.underline}+6＝11 5+[ ]{.underline}＝9 12﹣[ ]{.underline}＝10
--------------------------- --------------------------- -----------------------------
[ ]{.underline}﹣2＝6 [ ]{.underline}﹣5＜9
**四、看钟面写时间（每题1分，共4分）**
16．（4分）看钟面写时间。
**五、看图列算式（每题4.5分，共9分）**
17．（4.5分）看图列算式。
18．（4.5分）看图列算式。
**六、数一数，填一填（每空1分，共4分）**
19．（4分）数一数，填一填.
**七、解决问题（每个4分，共12分）**
20．（4分）停车场原来有10辆车，开走了4辆，现在停车场还有几辆车？
21．（4分）小明看一本书，第一天看了8页，第二天看了9页，两天一共看了多少页？
22．（4分）树上有8只小鸟，飞走了2只，又飞来了7只，现在树上有几只小鸟？
**2020-2021学年甘肃省酒泉市肃州区第六片区一年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、我会填（每空1分，共38分）**
1．【分析】（1）（2）（3）（4）（5）按照个数去数，然后写出这个数的写法即可，通过图片可知：有2个菠萝；8朵花；3只鸭子；10个西红柿；5头牛；
> （6）一捆是10根，右侧还有3根，合起来是13根；
>
> （7）左侧一串是10个，右侧还有5个，合起来是15个；
>
> （8）十位上有2颗珠子，所以是20；
>
> （3）十位上有1颗珠子，是1个十，个位上有6个珠子是6个一，所以表示的数是16。
>
> 【解答】解：（1）有2个菠萝；（2）有8朵花；（3）有3只鸭子；（4）有10个西红柿；（5）有5头牛；
>
> （6）有13根小棍；（7）有15个珠子；（8）表示的数是20；（9）表示的数是16。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，解答本题关键是正确数出图形的数量。
2．【分析】1个十是10，7个一是7，合起来就是10+7＝17，由此计算即可。
> 【解答】解：10+7＝17
>
> 所以1个十和7个一合起来是17。
>
> 故答案为：17。
>
> 【点评】本题是考查整数的写法，关键是弄清每位上的数字。
3．【分析】根据整数数位顺序表，对应的这个数的数位上是几就写几，哪个数位上一个数也没有就写0，据此写出．
> 【解答】解：个位和十位都是1，这个数是11；
>
> 故答案为：11．
>
> 【点评】根据整数数位顺序表进行解答．
4．【分析】要求比8多5的数是8多少，用8加上5即可，要求比10少3的数是多少用10减去3即可。
> 【解答】解：8+5＝13
>
> 10﹣3＝7
>
> 所以比8多5的数是13，比10少3的数是7。
>
> 故答案为：13，7。
>
> 【点评】本题主要考查了20以内整数的加减法的计算方法，属于基础题，比较简单。
5．【分析】根据相邻的两个整数相差1，可知：与19相邻的两个数是19﹣1和19+1；据此解答即可．
> 【解答】解：19﹣1＝18，19+1＝20，
>
> 所以与19相邻的两个数是 18和 20；
>
> 故答案为：18，20．
>
> 【点评】解答此题应明确：相邻的两个整数相差1．
6．【分析】最大的一位数是9，最小的两位数，即十位上是1，个位上是0；由此解答．
> 【解答】解：最大的一位数是9，最小的两位数是10；
>
> 故答案为：9，10．
>
> 【点评】本题主要考查整数的认识，明确最小的一位数是1，最大的一位数是9．
7．【分析】根据整数的数位顺序．从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位...据此解答即可．
> 【解答】解：一两位数，从右边起第一位是个位，第二位是十位．
>
> 故答案为：个，十．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握整数的数位顺序及应用．
8．【分析】有数列特点可知一下规律：第一个数列可知，一项比它前一项大2；第二个数列，一项比它前一项小2；第三个数列，一项比它前一项大2。
> 【解答】解：
>
> 故答案为：
>
> 【点评】本题考查数中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。
9．【分析】首先根据20以内数的加减法的计算法则，分别口算出各式的结果，再根据20以内数的大小比较方法进行比较即可。
> 【解答】解：
------- -------- ---------- ----------
6＜12 4+5＞8 7＜17﹣7 6+6＝3+9
------- -------- ---------- ----------
> 故答案为：＜；＞；＜；＝。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握20以内数的加减法、20以内数的大小比较方法及应用。
10．【分析】抓住长方体、正方体、球和圆柱的特点即可在图形中找出所有符合题意的立体图形，然后数出其个数即可。
> 【解答】解：（1）一共有8个物体，其中有5个。
>
> （2）从左边数，排第7，从右边数排第2。
>
> 故答案为：8，5；7，2。
>
> 【点评】本题考查了基本的立体图形，属于基础题，注意掌握各种和立体图形的概念及形状特点。
**二、比一比（每题2分，共8分）**
11．【分析】长颈鹿最高，其它两个动物比较矮，小兔最矮。
> 【解答】解：
>
> 【点评】这道题目解题的关键是理解"最高""最矮"的含义。
12．【分析】结合图示可知第一个图有2圈线；第二个图有4圈线；第三个图有3圈线；比较后可以按照最长的画"√"，最短的画"〇"即可。
> 【解答】解：第一个图有2圈线；第二个图有4圈线；第三个图有3圈线；所以最长的是第二个图，最短的是第一个图。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】考查物体的长度；只需要观察图片，做出判断即可。
13．【分析】（1）首先数一数〇的个数是3，然后画3+5＝8（个）△即可；
> （2）首先数一数□的个数是8，然后画8﹣3＝5（个）〇即可。
>
> 【解答】解：（1）3+5＝8（个）；
>
> 作图如下：△△△△△△△△；
>
> （2）8﹣3＝5（个）；
>
> 作图如下：〇〇〇〇〇。
>
> 故答案为：（1）△△△△△△△△；（2）〇〇〇〇〇。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答，并画图表示。
**三、我会算（每题1分，共25分）**
14．【分析】根据20以内整数加减法的计算方法以及四则运算的顺序，直接进行口算即可。
> 【解答】解：
3+9＝12 9+5＝14 7+8＝15 6+7＝13
------------- ------------- ------------- ------------
4+2＝6 9﹣6＝3 10﹣8＝2 16﹣3＝13
8﹣8＝0 7﹣0＝7 14﹣4＝10 9+9＝18
15﹣3＝12 18﹣7＝11 10+10＝20 4+3+6＝13
14﹣4﹣3＝7 12+5﹣3＝14 18﹣7+5＝16 9﹣5+7＝11
> 【点评】直接写得数时，要注意运算数据和运算符号细心计算即可。
15．【分析】根据一个加数＝和﹣另一个加数，减数＝被减数﹣差，被减数＝差+减数，由此计算即可；9+5＝14，14﹣5＝9，所以13﹣5＜9（答案不唯一）。
> 【解答】解：
5+6＝11 5+4＝9 12﹣2＝10
--------- ---------- -----------
8﹣2＝6 13﹣5＜9
> 故答案为：5，4，2，8，13。
>
> 【点评】本题主要考查了20以内数的加减法以及大小比较的方法，要熟练掌握。
**四、看钟面写时间（每题1分，共4分）**
16．【分析】首先要认识钟面，短针是时针，长针是分针，分针指向12，时针指向几就是几时，分针指向6，时针就是几时30分，依此即可求解。
> 【解答】解：
>
> 【点评】此题是考查钟表的认识，属于基础知识，要掌握。
**五、看图列算式（每题4.5分，共9分）**
17．【分析】根据加法的意义，求一共有多少个，把三部分的个数相加即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
18．【分析】根据减法的意义，求盒子里有几粒，用总粒数减去外面的粒数即可。
> 【解答】解：
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
**六、数一数，填一填（每空1分，共4分）**
19．【分析】通过观察图画，结合长方体、正方体、圆柱和球的特征，数一数，完成填空即可。
> 【解答】解：如图：
>
> 【点评】本题主要考查图形的辨识，关键根据长方体、正方体、圆柱和球的特征数出各图形的个数。
**七、解决问题（每个4分，共12分）**
20．【分析】根据题意，用停车场原来的车辆数减去开走的4辆，即可求出现在停车场还有几辆车。
> 【解答】解：10﹣4＝6（辆）
>
> 答：现在停车场还有6辆车。
>
> 【点评】本题主要考查了整数减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
21．【分析】第一天看了8页，第二天看了9页，把两天看的页数相加即可求出两天一共看了多少页。
> 【解答】解：8+9＝17（页）
>
> 答：两天一共看了17页。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加法的意义和实际应用，要熟练掌握。
22．【分析】根据题意，用树上原来的小鸟只数减去飞走的2只，然后再加上又飞来的7只即可求出现在树上有几只小鸟。
> 【解答】解：8﹣2+7
>
> ＝6+7
>
> ＝13（只）
>
> 答：现在树上有13只小鸟。
>
> 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义和实际应用，要熟练掌握。
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日期：2021/4/27 14:34:10；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*=（ ）
A. {*x*\|2\<*x*≤3} B. {*x*\|2≤*x*≤3}
C. {*x*\|1≤*x*\<4} D. {*x*\|1\<*x*\<4}
2.（ ）
A 1 B. −1
C i D. −i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种 B. 90种
C. 60种 D. 30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为（ ）
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 90°
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
6.基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A 1.2天 B. 1.8天
C. 2.5天 D. 3.5天
7.已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
8.若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
**二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知曲线.（ ）
A. 若*m*\>*n*\>0，则*C*椭圆，其焦点在*y*轴上
B. 若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为
C. 若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为
D. 若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线
10.下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)的部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= （ ）
A. B. C. D.
11.已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则（ ）
A. B.
C. D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵.（ ）
A. 若*n*=1，则*H*(*X*)=0
B. 若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大
C. 若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大
D. 若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*)
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13.斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^．
16.已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：
-- ---- ---- ----
32 18 4
6 8 12
3 7 10
-- ---- ---- ----
（1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
-- -- --
-- -- --
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
-- ------- ------- --------
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
-- ------- ------- --------
20.如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*．
（1）证明：*l*⊥平面*PDC*；
（2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值．
21.已知椭圆*C*：过点*M*（2，3）,点*A*为其左顶点，且*AM*的斜率为 ，
（1）求*C*的方程；
（2）点*N*为椭圆上任意一点，求△*AMN*的面积的最大值.
22.已知函数．
（1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围．
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第八单元演练
一、填表题。
李明调查了全班学生最{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}喜欢吃的水果情况。
{width="3.95625in" height="1.5465277777777777in"}
根据上图画"正"字整理。
------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
水果 {width="0.3159722222222222in" height="0.23333333333333334in"} {width="0.2263888888888889in" height="0.2298611111111111in"} {width="0.2in" height="0.21944444444444444in"} {width="0.3298611111111111in" height="0.19652777777777777in"}
人数
------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
二、填空题。
1.二年级同学的生日在4个季节的人数统计如下。
---- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
春 正正正{width="8.194444444444444e-2in" height="0.10208333333333333in"}
夏 正正
秋 正正正正{width="0.1451388888888889in" height="0.1451388888888889in"}
冬 正正正{width="6.944444444444445e-2in" height="1.597222222222222e-2in"}
---- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1)从上表中可以看出,共调查了( )名同学。
(2)( )季过生日的人数最多,( )季过生日的人数最少。
(3)春季和冬季过生日的人共有( )人。
2.数图形并回答问题。
{width="2.629861111111111in" height="1.2798611111111111in"}
(1)用自己喜欢的方法,完成下面的统计{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}表。
------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
物品 {width="0.28958333333333336in" height="0.2861111111111111in"}\[来源:Z\_xx\_k.Com\] {width="0.4465277777777778in" height="0.14652777777777778in"} {width="0.13958333333333334in" height="0.4in"} {width="1.5277777777777777e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}{width="0.3298611111111111in" height="0.3298611111111111in"}
个数 ( ) ( ) {width="1.7361111111111112e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}( ) ( )
------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(2)正方体比球多( )个,圆柱比正方体少( )个。
三、解决问题。
1.小军的储蓄罐。
{width="3.845833333333333in" height="1.1520833333333333in"}
(1)用画"正"字的方法统计。
--------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
种类 {width="0.39305555555555555in" height="0.39652777777777776in"} {width="0.39652777777777776in" height="0.39652777777777776in"} {width="0.38333333333333336in" height="0.39305555555555555in"}
枚数\[来源:学科网\]
--------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(2)算一算,{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}一共有多少钱?
(3)小军想买{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}1本10元钱的书,够吗?如果不够,还差{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.875e-2in"}多少钱?
{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}
2.下面是二(1)班一星期阅读课外读物的册数情况。
{width="2.6395833333333334in" height="1.0763888888888888in"}
(1)把上面整理的结果填{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}入下表。
------ -------------- ------------ --------------
类别 《少儿文艺》 《连环画》 《故事大王》
册数
------ -------------- ------------ --------------
(2)读《连环画》的册数比《故事大王》的多多少册?
\[来源:学科网\]
(3)同学们最喜欢看的课外读物是什么?
(4)全班共读了多少册课外读物?
\[来源:学科网ZXXK\]
{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.875e-2in"}
{width="5.295833333333333in" height="4.895833333333333in"}
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**2014年上海市高考数学试卷（理科）**
**一、填空题（共14题，满分56分）**
1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[ ]{.underline}．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=[ ]{.underline}．
3．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[ ]{.underline}．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为[ ]{.underline}．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[ ]{.underline}．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为[ ]{.underline}（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是[ ]{.underline}．
8．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[ ]{.underline}．
9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[ ]{.underline}．
10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=[ ]{.underline}．
12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间\[0，2π\]上恰有三个解x~1~，x~2~，x~3~，则x~1~+x~2~+x~3~=[ ]{.underline}．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为[ ]{.underline}．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[ ]{.underline}．
**二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分**
15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P~i~（i=1，2，...8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，...，8）的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解
B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解
C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解
D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解
18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．\[﹣1，2\] B．\[﹣1，0\] C．\[1，2\] D．\[0，2\]
**三、解答题（共5题，满分72分）**
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）已知数列{a~n~}满足a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1．
（1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围；
（2）设{a~n~}是公比为q的等比数列，S~n~=a~1~+a~2~+...a~n~，若S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，n∈N^\*^，求q的取值范围．
（3）若a~1~，a~2~，...a~k~成等差数列，且a~1~+a~2~+...a~k~=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a~1~，a~2~，...a~k~的公差．
**2014年上海市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（共14题，满分56分）**
1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．
【解答】解：y=1﹣2cos^2^（2x）
=﹣\[2cos^2^（2x）﹣1\]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T==
故答案为：
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=[ 6 ]{.underline}．
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+）•=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i^2^+1
=2+4
=6．
故答案为：6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．
3．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[ x=﹣2 ]{.underline}．
【分析】由题设中的条件y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故=2得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为[ （﹣∞，2\] ]{.underline}．
【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．
【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=2^2^=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=2^2^=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2\]．
【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．
【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x^2^+2y^2^=x^2^+≥2=2，
当且仅当x^2^=，即x=±时取等号，
故答案为：2
【点评】本题考查基本不等式，属基础题．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为[ arccos]{.underline}[ ]{.underline}（结果用反三角函数值表示）．
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．
【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴==3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ==，
∴θ=arccos，
故答案为：arccos
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．
【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．
故答案为：．
【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．
8．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知条件推导出a~1~=，由此能求出q的值．
【解答】解：∵无穷等比数列{a~n~}的公比为q，
a~1~=（a~3~+a~4~+...a~n~）
=（﹣a~1~﹣a~1~q）
=，
∴q^2^+q﹣1=0，
解得q=或q=（舍）．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．
9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[ （0，1） ]{.underline}．
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，
即＜，
∴，
∵y=是增函数，
∴的解集为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．
10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}（结果用最简分数表示）．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a^2^，b^2^}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a^2^，a=b^2^，则两式相减得a^2^﹣b^2^=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间\[0，2π\]上恰有三个解x~1~，x~2~，x~3~，则x~1~+x~2~+x~3~=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在\[0，2π\]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x~1~，x~2~，x~3~最后相加即可．
【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在\[0，2π\]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，
∴此时x~1~=0，x~2~=，x~3~=2π，
∴x~1~+x~2~+x~3~=0++2π=．
故答案为：
【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为[ 0.2 ]{.underline}．
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．
【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[ \[2，3\] ]{.underline}．
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．
【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x~P~∈\[﹣2，0\]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m=∈\[2，3\]．
故答案为：\[2，3\]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．
**二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分**
15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P~i~（i=1，2，...8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，...，8）的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．
【解答】解：=，
则•=（）=\|\|^2^+，
∵，
∴•=\|\|^2^=1，
∴•（i=1，2，...，8）的不同值的个数为1，
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．
17．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解
B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解
C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解
D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a~1~，b~1~，P~2~，a~2~，b~2~的关系，然后求解方程组的解即可．
【解答】解：P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a~1~≠a~2~，并且b~1~=ka~1~+1，b~2~=ka~2~+1，∴a~2~b~1~﹣a~1~b~2~=ka~1~a~2~﹣ka~1~a~2~+a~2~﹣a~1~=a~2~﹣a~1~
，
①×b~2~﹣②×b~1~得：（a~1~b~2~﹣a~2~b~1~）x=b~2~﹣b~1~，
即（a~1~﹣a~2~）x=b~2~﹣b~1~．
∴方程组有唯一解．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．
18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．\[﹣1，2\] B．\[﹣1，0\] C．\[1，2\] D．\[0，2\]
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a^2^﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a^2^，
由题意得：a^2^≤x++a，
解不等式：a^2^﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D．
【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．
**三、解答题（共5题，满分72分）**
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V．
【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
【解答】解：根据题意可得：P~1~，B，P~2~共线，∵∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~，∠ABC=60°，
∴∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~=60°，
∴∠P~1~=60°，同理∠P~2~=∠P~3~=60°，
∴△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P~1~P~2~P~3~的边长为4，
V~P﹣ABC~==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2^x^﹣2^﹣x^）=0．
∵2^x^﹣2^﹣x^不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a^2^﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，
∵0，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan，
即=，
解得0≈28.28，
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得，
即a=，
∴m=≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），再根据η＜0，得出结论．
（2）联立直线y=kx与曲线x^2^﹣4y^2^=1可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据此方程无解，可得1﹣4k^2^≤0，从而求得k的范围．
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P~1~、P~2~的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．
【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．
（2）解：联立直线y=kx与曲线x^2^﹣4y^2^=1可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k^2^≤0，
∴k≤﹣，或 k≥．
曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．
（3）证明：设点M（x，y），则 •\|x\|=1，故曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①．
y轴为x=0，显然与方程①联立无解．
又P~1~（1，2）、P~2~（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，
故x=0是一条分隔线．
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1，可得\[x^2^+（kx﹣2）^2^\]x^2^=1，
令f（x）=\[x^2^+（kx﹣2）^2^\]x^2^﹣1，
∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）^2^＜0，∴f（x）=0没有实数解，
k=2，f（x）=\[x^2^+（2x﹣2）^2^\]x^2^﹣1=0没有实数解，
即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线．
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．
23．（16分）已知数列{a~n~}满足a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1．
（1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围；
（2）设{a~n~}是公比为q的等比数列，S~n~=a~1~+a~2~+...a~n~，若S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，n∈N^\*^，求q的取值范围．
（3）若a~1~，a~2~，...a~k~成等差数列，且a~1~+a~2~+...a~k~=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a~1~，a~2~，...a~k~的公差．
【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S~n~分别代入不等式S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．
（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a~1~，a~2~，...a~k~的公差．
【解答】解：（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q=1时，S~n~=n，S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即，成立．
当1＜q≤3时，，S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3q^n+1^﹣q^n^﹣2=q^n^（3q﹣1）﹣2＞2q^n^﹣2＞0对于不等式q^n+1^﹣3q^n^+2≤0，令n=1，
得q^2^﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴q^n+1^﹣3q^n^+2=q^n^（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3q^n+1^﹣q^n^﹣2=q^n^（3q﹣1）﹣2＜2q^n^﹣2＜0，
q^n+1^﹣3q^n^+2=q^n^（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：．
（3）设a~1~，a~2~，...a~k~的公差为d．由，且a~1~=1，
得
即
当n=1时，﹣≤d≤2；
当n=2，3，...，k﹣1时，由，得d≥，
所以d≥，
所以1000=k，即k^2^﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a~1~，a~2~，...a~k~的公差为﹣．
【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．
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**2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁~U~（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）
A．{x\|0＜x＜1}∪{x\|x＞1} B．{x\|0＜x＜1}
C．{x\|﹣1＜x＜0} D．{x\|x＜0}
4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x^2^+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC~1~所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么\|φ\|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．（5分）已知椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则\|\|=（ ）
A． B．2 C． D．3
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（x﹣y）^10^的展开式中，x^7^y^3^的系数与x^3^y^7^的系数之和等于[ ]{.underline}．
14．（5分）设等差数列{a~n~}的前n的和为S~n~，若S~9~=72，则a~2~+a~4~+a~9~=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于[ ]{.underline}．
16．（5分）若直线m被两平行线l~1~：x﹣y+1=0与l~2~：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是[ ]{.underline}（写出所有正确答案的序号）
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，公比是正数的等比数列{b~n~}的前n项和为T~n~，已知a~1~=1，b~1~=3，a~3~+b~3~=17，T~3~﹣S~3~=12，求{a~n~}，{b~n~}的通项公式．
18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a^2^﹣c^2^=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．
21．（12分）已知函数f（x）=x^4^﹣3x^2^+6．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．
22．（12分）如图，已知抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
**2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】GE：诱导公式．菁优网版权所有
【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．
【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．
2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁~U~（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
A∩B={4，7，9}∴∁~U~（A∩B）={3，5，8}故选A．
也可用摩根律：∁~U~（A∩B）=（∁~U~A）∪（∁~U~B）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）
A．{x\|0＜x＜1}∪{x\|x＞1} B．{x\|0＜x＜1} C．{x\|﹣1＜x＜0} D．{x\|x＜0}
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．
【解答】解：∵＜1，
∴\|x+1\|＜\|x﹣1\|，
∴x^2^+2x+1＜x^2^﹣2x+1．
∴x＜0．
∴不等式的解集为{x\|x＜0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．
【解答】解：∵tana=4，cotβ=，
∴tanβ=3
∴tan（a+β）===﹣
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x^2^+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．
【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，
代入抛物线方程整理得ax^2^﹣bx+a=0，
因渐近线与抛物线相切，所以b^2^﹣4a^2^=0，
即，
故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．
6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．
【解答】解：由题令1+2lgx=1
得x=1，
即f（1）=1，
又g（1）=1，
所以f（1）+g（1）=2，
故选：C．
【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．
7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C~5~^1^•C~3~^1^•C~6~^2^=225种选法；
（2）乙组中选出一名女生有C~5~^2^•C~6~^1^•C~2~^1^=120种选法．故共有345种选法．
故选：D．
【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！
8．（5分）设非零向量、、满足，则=（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，
∵两个向量的模长相等
∴、可构成菱形的两条相邻边，
∵
∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，
∴两个向量的夹角是120^°^，
故选：B．
【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的"双重身份"能融数形于一体．
9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC~1~所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【分析】首先找到异面直线AB与CC~1~所成的角（如∠A~1~AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A~1~B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A~1~D、AD、A~1~B，易知θ=∠A~1~AB即为异面直线AB与CC~1~所成的角；
并设三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长为1，则\|AD\|=，\|A~1~D\|=，\|A~1~B\|=，
由余弦定理，得cosθ==．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么\|φ\|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得\|φ\|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．
∴∴由此易得．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
12．（5分）已知椭圆C：+y^2^=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则\|\|=（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得\|AF\|．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意，
故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±
即BM=，
故AN=1，
∴．
故选：A．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（x﹣y）^10^的展开式中，x^7^y^3^的系数与x^3^y^7^的系数之和等于[ ﹣240 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）^n^=C~n~^0^a^n^b^0^+C~n~^1^a^n﹣1^b^1^+C~n~^2^a^n﹣2^b^2^++C~n~^r^a^n﹣r^b^r^++C~n~^n^a^0^b^n^，各项的通项公式为：T~r+1~=C~n~^r^a^n﹣r^b^r^．然后根据题目已知求解即可．
【解答】解：因为（x﹣y）^10^的展开式中含x^7^y^3^的项为C~10~^3^x^10﹣3^y^3^（﹣1）^3^=﹣C~10~^3^x^7^y^3^，
含x^3^y^7^的项为C~10~^7^x^10﹣7^y^7^（﹣1）^7^=﹣C~10~^7^x^3^y^7^．
由C~10~^3^=C~10~^7^=120知，x^7^y^3^与x^3^y^7^的系数之和为﹣240．
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）^n^=C~n~^0^a^n^b^0^+C~n~^1^a^n﹣1^b^1^+C~n~^2^a^n﹣2^b^2^++C~n~^r^a^n﹣r^b^r^++C~n~^n^a^0^b^n^，属于重点考点，同学们需要理解记忆．
14．（5分）设等差数列{a~n~}的前n的和为S~n~，若S~9~=72，则a~2~+a~4~+a~9~=[ 24 ]{.underline}．
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【分析】先由S~9~=72用性质求得a~5~，而3（a~1~+4d）=3a~5~，从而求得答案．
【解答】解：∵
∴a~5~=8
又∵a~2~+a~4~+a~9~=3（a~1~+4d）=3a~5~=24
故答案是24
【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．
15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于[ 16π ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．
【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，
设球的半径为R，
由图可知，R^2^=R^2^+3，∴R^2^=3，∴R^2^=4．
∴S~球~=4πR^2^=16π．
故答案为：16π
【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．
16．（5分）若直线m被两平行线l~1~：x﹣y+1=0与l~2~：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是[ ①或⑤ ]{.underline}（写出所有正确答案的序号）
【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l~1~与l~2~所截得的线段的长为，求出直线m与l~1~的夹角为30°，推出结果．
【解答】解：两平行线间的距离为，
由图知直线m与l~1~的夹角为30°，l~1~的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．
故填写①或⑤
故答案为：①或⑤
【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，公比是正数的等比数列{b~n~}的前n项和为T~n~，已知a~1~=1，b~1~=3，a~3~+b~3~=17，T~3~﹣S~3~=12，求{a~n~}，{b~n~}的通项公式．
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设{a~n~}的公差为d，数列{b~n~}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a~n~}，{b~n~}的通项公式．
【解答】解：设{a~n~}的公差为d，数列{b~n~}的公比为q＞0，
由题得，
解得q=2，d=2
∴a~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2^n﹣1^．
【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．
18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a^2^﹣c^2^=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a^2^﹣c^2^=2b即可得到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a^2^﹣c^2^）=b^2^．
又由已知a^2^﹣c^2^=2b∴4b=b^2^．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a^2^﹣c^2^=b^2^﹣2bccosA．
又a^2^﹣c^2^=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；
法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；
法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．
（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，
设MN=x，则NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．
在RT△MNE中由ME^2^=NE^2^+MN^2^∴3x^2^=x^2^+2
解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．
（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则，，
由题得，
即
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）
所以M是侧棱SC的中点．
（I）证法三：设，
则
又
故，
即，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
又，，
设分别是平面SAM、MAB的法向量，
则且，
即且
分别令得z~1~=1，y~1~=1，y~2~=0，z~2~=2，
即，
∴
二面角S﹣AM﹣B的大小．
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】12：应用题．
【分析】根据题意，记"第i局甲获胜"为事件A~i~（i=3，4，5），"第j局甲获胜"为事件B~i~（j=3，4，5），
（1）"再赛2局结束这次比赛"包含"甲连胜3、4局"与"乙连胜3、4局"两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，
（2）若"甲获得这次比赛胜利"，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：记"第i局甲获胜"为事件A~i~（i=3，4，5），
"第j局甲获胜"为事件B~i~（j=3，4，5）．
（Ⅰ）设"再赛2局结束这次比赛"为事件A，则A=A~3~•A~4~+B~3~•B~4~，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（A）=P（A~3~•A~4~+B~3~•B~4~）=P（A~3~•A~4~）+P（B~3~•B~4~）=P（A~3~）P（A~4~）+P（B~3~）P（B~4~）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．
（Ⅱ）记"甲获得这次比赛胜利"为事件H，
因前两局中，甲、乙各胜1局，
故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，
甲先胜2局，从而B=A~3~•A~4~+B~3~•A~4~•A~5~+A~3~•B~4~•A~5~，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（H）=P（A~3~•A~4~+B~3~•A~4~•A~5~+A~3~•B~4~•A~5~）
=P（A~3~•A~4~）+P（B~3~•A~4~•A~5~）+P（A~3~•B~4~•A~5~）
=P（A~3~）P（A~4~）+P（B~3~）P（A~4~）P（A~5~）+P（A~3~）P（B~4~）P（A~5~）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648
【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．
21．（12分）已知函数f（x）=x^4^﹣3x^2^+6．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．
（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）
令f′（x）＞0得或；
令f′（x）＜0得或
因此，f（x）在区间和为增函数；
在区间和为减函数．
（Ⅱ）设点P（x~0~，f（x~0~）），
由l过原点知，l的方程为y=f′（x~0~）x，
因此f（x~0~）=f′（x~0~）x~0~，即x~0~^4^﹣3x~0~^2^+6﹣x~0~（4x~0~^3^﹣6x~0~）=0，
整理得（x~0~^2^+1）（x~0~^2^﹣2）=0，解得或．
所以的方程为y=2x或y=﹣2x
【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．
22．（12分）如图，已知抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y^2^=x代入圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）的方程，
消去y^2^，整理得x^2^﹣7x+16﹣r^2^=0（1）
抛物线E：y^2^=x与圆M：（x﹣4）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴
即．
解这个方程组得，．
（II）设四个交点的坐标分别为
、、、．
则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x~1~），y+=（x﹣x~1~），
解得点P的坐标为（，0），
则由（I）根据韦达定理有x~1~+x~2~=7，x~1~x~2~=16﹣r^2^，
则
∴
令，
则S^2^=（7+2t）^2^（7﹣2t）下面求S^2^的最大值．
由三次均值有：
当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．
经检验此时满足题意．
故所求的点P的坐标为．
【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1\~5题只有一项符合题目要求，第6\~8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
1.如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。圆环初始时静止。将图中开关S由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到（ ）
A. 拨至*M*端或*N*端，圆环都向左运动
B. 拨至*M*端或*N*端，圆环都向右运动
C. 拨至*M*端时圆环向左运动，拨至*N*端时向右运动
D. 拨至*M*端时圆环向右运动，拨至*N*端时向左运动
【答案】B
【解析】
【详解】无论开关S拨至哪一端，当把电路接通一瞬间，左边线圈中的电流从无到有，电流在线圈轴线上的磁场从无到有，从而引起穿过圆环的磁通量突然增大，根据楞次定律（增反减同），右边圆环中产生了与左边线圈中方向相反的电流，异向电流相互排斥，所以无论哪种情况，圆环均向右运动。
故选B。
2.甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为（ ）
A. 3 J B. 4 J C. 5 J D. 6 J
【答案】A
【解析】
【详解】由*v*-*t*图可知，碰前甲、乙的速度分别为，；碰后甲、乙的速度分别为，，甲、乙两物块碰撞过程中，由动量守恒得
解得
则损失的机械能为
解得
故选A。
3."嫦娥四号"探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的*K*倍。已知地球半径*R*是月球半径的*P*倍，地球质量是月球质量的*Q*倍，地球表面重力加速度大小为*g*。则"嫦娥四号"绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为和的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有
，
解得
设嫦娥四号卫星的质量为，根据万有引力提供向心力得
解得
故选D。
4.如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上*O*点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，*O*点两侧绳与竖直方向的夹角分别为*α*和*β*。若α=70°，则*β*等于（ ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】甲物体是拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则甲、乙绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上，如图所示
根据几何关系有
解得。
故选B。
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为*a*和3*a*的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为*v*的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为*m*，电荷量为*e*，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，则其运动轨迹，如图所示
A点为电子做圆周运动的圆心，*r*为半径，由图可知为直角三角形，则由几何关系可得
解得；
由洛伦兹力提供向心力
解得，故C正确，ABD错误。
故选C。
6.1934年，约里奥---居里夫妇用*α*粒子轰击铝箔，首次产生了人工放射性同位素X，反应方程为：。X会衰变成原子核Y，衰变方程为，则（ ）
A. X的质量数与Y的质量数相等 B. X的电荷数比Y的电荷数少1
C. X的电荷数比的电荷数多2 D. X的质量数与的质量数相等
【答案】AC
【解析】
【详解】设和的质子数分别为和，质量数分别为和，则反应方程为
，
根据反应方程质子数和质量数守恒，解得
，
，
解得
， ， ，
即的质量数与的质量数相等，电荷数比的电荷数多2，电荷数比的质量数多3，AC正确，BD错误。
故选AC。
7.在图（a）所示的交流电路中，电源电压的有效值为220V，理想变压器原、副线圈的匝数比为10∶1，*R*~1~、*R*~2~、*R*~3~均为固定电阻，*R*~2~=10，*R*~3~=20，各电表均为理想电表。已知电阻*R*~2~中电流*i*~2~随时间*t*变化的正弦曲线如图（b）所示。下列说法正确的是（ ）
A. 所用交流电频率为50Hz B. 电压表的示数为100V
C. 电流表的示数为1.0A D. 变压器传输的电功率为15.0W
【答案】AD
【解析】
【详解】A．交流电的频率为
A正确；
B．通过电流的有效值为
两端即副线圈两端的电压，根据欧姆定律可知
根据理想变压器的电压规律可知原线圈的电压
电阻两端分压即为电压表示数，即
B错误；
C．电流表的示数为
C错误；
D．副线圈中流过总电流为
变压器原副线圈传输的功率为
D正确。
故选AD。
8.如图，∠*M*是锐角三角形*PMN*最大的内角，电荷量为*q*（*q*\>0）的点电荷固定在*P*点。下列说法正确的是（ ）
A. 沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电场强度的大小逐渐增大
B. 沿*MN*边，从*M*点到*N*点，电势先增大后减小
C. 正电荷在*M*点的电势能比其在*N*点的电势能大
D. 将正电荷从*M*点移动到*N*点，电场力所做的总功为负
【答案】BC
【解析】
【详解】A．点电荷的电场以点电荷为中心，向四周呈放射状，如图
是最大内角，所以，根据点电荷的场强公式（或者根据电场线的疏密程度）可知从电场强度先增大后减小，A错误；
B．电场线与等势面（图中虚线）处处垂直，沿电场线方向电势降低，所以从电势先增大后减小，B正确；
C．、两点的电势大小关系为，根据电势能的公式可知正电荷在点的电势能大于在点的电势能，C正确；
D．正电荷从，电势能减小，电场力所做的总功为正功，D错误。
故选BC。
**三、非选择题：共62分。第9\~12题为必考题，每个试题考生都必须作答。**
**（一）必考题：共47分。**
9.某同学利用图（a）所示装置验证动能定理。调整木板的倾角平衡摩擦阻力后，挂上钩码，钩码下落，带动小车运动并打出纸带。某次实验得到的纸带及相关数据如图（b）所示。
 
已知打出图（b）中相邻两点的时间间隔为0.02 s，从图（b）给出的数据中可以得到，打出*B*点时小车的速度大小*v*~B~=\_\_\_\_\_m/s，打出*P*点时小车的速度大小*v~P~*=\_\_\_\_\_m/s（结果均保留2位小数）。
若要验证动能定理，除了需测量钩码的质量和小车的质量外，还需要从图（b）给出的数据中求得的物理量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 0.36 (2). 1.80 (3). *B*、*P*之间的距离
【解析】
【详解】\[1\]\[2\]由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于平均速度
\[3\]验证动能定理需要求出小车运动的过程中拉力对小车做的功，所以需要测量对应的*B*、*P*之间的距离。
10.已知一热敏电阻当温度从10℃升至60℃时阻值从几千欧姆降至几百欧姆，某同学利用伏安法测量其阻值随温度的变化关系。所用器材：电源*E*、开关S、滑动变阻器*R*（最大阻值为20 Ω）、电压表（可视为理想电表）和毫安表（内阻约为100 Ω）。
(1)在答题卡上所给的器材符号之间画出连线，组成测量电路图\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)实验时，将热敏电阻置于温度控制室中，记录不同温度下电压表和亳安表的示数，计算出相应的热敏电阻阻值。若某次测量中电压表和毫安表的示数分别为5.5 V和3.0 mA，则此时热敏电阻的阻值为\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。实验中得到的该热敏电阻阻值*R*随温度*t*变化的曲线如图（a）所示。
(3)将热敏电阻从温控室取出置于室温下，测得达到热平衡后热敏电阻的阻值为2.2kΩ。由图（a）求得，此时室温为\_\_\_\_\_℃（保留3位有效数字）。
(4)利用实验中的热敏电阻可以制作温控报警器，其电路的一部分如图（b）所示。图中，E为直流电源（电动势为10 V，内阻可忽略）；当图中的输出电压达到或超过6.0 V时，便触发报警器（图中未画出）报警。若要求开始报警时环境温度为50 ℃，则图中\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"*R*~1~"或"*R*~2~"）应使用热敏电阻，另一固定电阻的阻值应为\_\_\_\_\_\_\_\_\_kΩ（保留2位有效数字）。
【答案】 (1).  (2). 1.8 (3). 25.5 (4). *R*~1~ (5). 1.2
【解析】
【详解】(1)滑动变阻器由用分压式，电压表可是为理想表，所以用电流表外接。连线如图
(2)由部分电路欧姆定律得
(3)由该电阻的阻值随温度变化的曲线直接可读得：25.5℃。
(4)①温度升高时，该热敏电阻阻值减小，分得电压减少。而温度高时输出电压要升高，以触发报警，所以*R*~1~为热敏电阻。②由图线可知，温度为50℃时，*R*~1~ =0.8kΩ，由欧姆定律可得
代入数据解得。
11.如图，一边长为*l*~0~的正方形金属框*abcd*固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为*B*的匀强磁场。一长度大于的均匀导体棒以速率*v*自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与*ac*垂直且中点位于*ac*上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为*r*，金属框电阻可忽略。将导体棒与*a*点之间的距离记为*x*，求导体棒所受安培力的大小随*x*（）变化的关系式。
【答案】
【解析】
【详解】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为*l*时，由法第电磁感应定律可知导体棒上感应电动势的大小为
由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为
式中*R*为这一段导体棒的电阻。按题意有
此时导体棒所受安培力大小为
由题设和几何关系有
联立各式得
12.如图，相距*L*=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小*v*可以由驱动系统根据需要设定。质量*m*=10 kg的载物箱（可视为质点），以初速度*v*~0~=5.0 m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数*μ*= 0.10，重力加速度取*g* =10m/s^2^。
(1)若*v*=4.0 m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
(3)若*v*=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
【答案】(1)2.75s；(2) ，；(3)0
【解析】
【详解】(1)传送带的速度为时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：
①
设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为x~1~，由运动学公式有
②
联立①②式，代入题给数据得*x*~1~=4.5m；③
因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小至*v*，然后开始做匀速运动，设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为*t*~1~，做匀减速运动所用的时间为*t*~2~，由运动学公式有
④
⑤
联立①③④⑤式并代入题给数据有*t*~1~=2.75s；⑥
(2)当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为*v*~1~，当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为*v*~2.~由动能定理有
⑦
⑧
由⑦⑧式并代入题给条件得
，⑨
(3)传送带的速度为时，由于，载物箱先做匀加速运动，加速度大小仍a。设载物箱做匀加速运动通过的距离为x~2~，所用时间为*t*~3~，由运动学公式有
⑩
⑪
联立①⑩⑪式并代入题给数据得
*t*~3~=1.0s ⑫
x~2~=5.5m ⑬
因此载物箱加速运动1.0s、向右运动5.5m时，达到与传送带相同的速度。此后载物箱与传送带共同匀速运动的时间后，传送带突然停止，设载物箱匀速运动通过的距离为*x*~3~有
⑭
由①⑫⑬⑭式可知
即载物箱运动到右侧平台时速度大于零，设为*v*~3~，由运动学公式有，
⑮
设载物箱通过传远带的过程中，传送带对它的冲量为*I*，由动量定理有
代题给数据得
**（二）选考题：共15分。请考生从2道物理题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。**
**\[物理------选修3--3\]**
13.如图，一开口向上的导热气缸内。用活塞封闭了一定质量的理想气体，活塞与气缸壁间无摩擦。现用外力作用在活塞上。使其缓慢下降。环境温度保持不变，系统始终处于平衡状态。在活塞下降过程中（ ）
A 气体体积逐渐减小，内能增知
B. 气体压强逐渐增大，内能不变
C. 气体压强逐渐增大，放出热量
D. 外界对气体做功，气体内能不变
E. 外界对气体做功，气体吸收热量
【答案】BCD
【解析】
【详解】A．理想气体的内能与温度之间唯一决定，温度保持不变，所以内能不变。A错误；
B．由理想气体状态方程，可知体积减少，温度不变，所以压强增大。因为温度不变，内能不变。B正确；
CE．由理想气体状态方程，可知体积减少，温度不变，所以压强增大。体积减少，外接对系统做功，且内能不变，由热力学第一定律可知，系统放热。C正确；E错误。
D．体积减少，外接对系统做功。理想气体的内能与温度之间唯一决定，温度保持不变，所以内能不变。故D正确。
故选BCD。
14.如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为*H*=18cm的*U*型管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高*h*~0~= 4cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离*l*= 12cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为*T*~1~=283K。大气压强*p*~0~ =76cmHg。
（i）现从右侧端口缓慢注入水银（与原水银柱之间无气隙），恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少？
（ii）再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少？
【答案】（i）12.9cm；（ii）363K
【解析】
【详解】（i）设密封气体初始体积为V~1~，压强为*p*~1~，左、右管的截面积均为S，密封气体先经等温压缩过程体积变为V~2~，压强变为*p*~2.~由玻意耳定律有
设注入水银后水银柱高度为h，水银的密度为*ρ*，按题设条件有
，
，
联立以上式子并代入题给数据得h=12.9cm；
（ii）密封气体再经等压膨胀过程体积变为V~3~，温度变为*T*~2~，由盖一吕萨克定律有
按题设条件有
代入题给数据得
*T*~2~=363K
**\[物理选修3--4\]**
15.如图，一列简谐横波平行于*x*轴传播，图中的实线和虚线分别为*t*=0和*t*=0.1 s时的波形图。已知平衡位置在*x*=6 m处的质点，在0到0.1s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为\_\_\_\_\_s，波速为\_\_\_\_\_m/s，传播方向沿*x*轴\_\_\_\_\_（填"正方向"或"负方向"）。
【答案】 (1). (2). (3). 负方向
【解析】
【详解】因为处的质点在内运动方向不变，所以该处质点从正向位移最大处经过四分之一个周期向下运动至平衡位置处，即
解得周期为，所以波速为
在虚线上，处的质点向下运动，根据同侧法可知波沿轴负方向传播。
16.如图，一折射率为的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形*ABC*，∠*A*=90°，∠*B*=30°。一束平行光平行于*BC*边从*AB*边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求*AC*边与*BC*边上有光出射区域的长度的比值。
【答案】2
【解析】
【详解】设从点入射光线经折射后恰好射向点，光在边上的入射角为，折射角为，如图所示
由折射定律有
设从范围入射的光折射后在边上的入射角为，由几何关系有
代入题中数据解得
所以从范围入射的光折射后在边上发生全反射，反射光线垂直射到边，边上全部有光射出。设从范围入射的光折射后在边上的入射角为，如图所示
由几何关系可知
根据已知条件可知
即从范围入射的光折射后在边上发生全反射，反射光线垂直射到边上。设边上有光线射出的部分为，由几何关系得
边与边有光射出区域长度比值为
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试 化学**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·CuCO~3~)，青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)~2~·2CuCO~3~)。下列说法错误的是
A. 保存《千里江山图》需控制温度和湿度
B. 孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化
C. 孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱
D. Cu(OH)~2~·CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~·2CuCO~3~
【答案】C
【解析】
【详解】A．字画主要由纸张和绢、绫、锦等织物构成，为防止受潮和氧化，保存古代字画时要特别注意控制适宜温度和湿度，A说法正确；
B．由孔雀石和蓝铜矿的化学成分可知，其中的铜元素、碳元素和氢元素均处于最高价，其均为自然界较稳定的化学物质，因此，用其所制作的颜料不易被空气氧化，B说法正确；
C．孔雀石和蓝铜矿的主要成分均可与酸反应生成相应的铜盐，因此，用其制作的颜料不耐酸腐蚀，C说法错误；
D．因为氢氧化铜中铜元素的质量分数高于碳酸铜，所以Cu(OH)~2~∙CuCO~3~中铜的质量分数高于Cu(OH)~2~∙2CuCO~3~，D说法正确。
综上所述，相关说法错误的是C，故本题答案为C。
2.金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：
下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是
A. 可与氢气发生加成反应 B. 分子含21个碳原子
C. 能与乙酸发生酯化反应 D. 不能与金属钠反应
【答案】D
【解析】
【详解】A．该物质含有苯环和碳碳双键，一定条件下可以与氢气发生加成反应，故A正确；
B．根据该物质的结构简式可知该分子含有21个碳原子，故B正确；
C．该物质含有羟基，可以与乙酸发生酯化反应，故C正确；
D．该物质含有普通羟基和酚羟基，可以与金属钠反应放出氢气，故D错误；
故答案为D。
3.*N*~A~是阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 22.4 L(标准状况)氮气中含有7*N*~A~个中子
B 1 mol重水比1 mol水多*N*~A~个质子
C. 12 g石墨烯和12 g金刚石均含有*N*~A~个碳原子
D. 1 L 1 mol·L^−1^ NaCl溶液含有28*N*~A~个电子
【答案】C
【解析】
【详解】A．标准状况下22.4L氮气的物质的量为1mol，若该氮气分子中的氮原子全部为^14^N，则每个N~2~分子含有(14-7)×2=14个中子，1mol该氮气含有14*N*~A~个中子，不是7*N*~A~，且构成该氮气的氮原子种类并不确定，故A错误；
B．重水分子和水分子都是两个氢原子和一个氧原子构成的，所含质子数相同，故B错误；
C．石墨烯和金刚石均为碳单质，12g石墨烯和12g金刚石均相当于12g碳原子，即=1molC原子，所含碳原子数目为*N*~A~个，故C正确；
D．1molNaCl中含有28*N*~A~个电子，但该溶液中除NaCl外，水分子中也含有电子，故D错误；
故答案为C。
4.喷泉实验装置如图所示。应用下列各组气体---溶液，能出现喷泉现象的是
----- ------- ------------------
气体 溶液
A． H~2~S 稀盐酸
B． HCl 稀氨水
C． NO 稀H~2~SO~4~
D． CO~2~ 饱和NaHCO~3~溶液
----- ------- ------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】
【分析】
能够发生喷泉实验，需要烧瓶内外产生明显的压强差；产生压强差可以通过气体溶于水的方法，也可以通过发生反应消耗气体产生压强差，据此分析。
【详解】A．由于硫化氢气体和盐酸不发生反应且硫化氢在水中的溶解度较小，烧瓶内外压强差变化不大，不会出现喷泉现象，A错误；
B．氯化氢可以和稀氨水中的一水合氨发生反应，使烧瓶内外产生较大压强差，能够出现喷泉实验，B正确；
C．一氧化氮不与硫酸发生反应且不溶于水，烧瓶内外不会产生压强差，不能发生喷泉现象，C错误；
D．二氧化碳不会溶于饱和碳酸氢钠溶液中，烧瓶内外不会产生压强差，不能发生喷泉实验，D错误；
故选B。
5.对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是
A. 用Na~2~SO~3~溶液吸收少量Cl~2~:
B. 向CaCl~2~溶液中通入CO~2~：
C. 向H~2~O~2~溶液中滴加少量FeCl~3~：
D. 同浓度同体积NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合：
【答案】A
【解析】
【详解】A．用Na~2~SO~3~溶液吸收少量的Cl~2~，Cl~2~具有强氧化性，可将部分氧化为，同时产生的氢离子与剩余部分结合生成，Cl~2~被还原为Cl^-^，反应的离子反应方程式为：3+Cl~2~+H~2~O=2+2Cl^-^+，A选项正确；
B．向CaCl~2~溶液中通入CO~2~，H~2~CO~3~是弱酸，HCl是强酸，弱酸不能制强酸，故不发生反应，B选项错误；
C．向H~2~O~2~中滴加少量的FeCl~3~，Fe^3+^的氧化性弱于H~2~O~2~，不能氧化H~2~O~2~，但Fe^3+^能催化H~2~O~2~的分解，正确的离子方程式应为2H~2~O~2~2H~2~O+O~2~↑，C选项错误；
D．NH~4~HSO~4~电离出的H^+^优先和NaOH溶液反应，同浓度同体积的NH~4~HSO~4~溶液与NaOH溶液混合，氢离子和氢氧根恰好完全反应，正确的离子反应方程式应为：H^+^+OHˉ=H~2~O，D选项错误；
答案选A。
【点睛】B选项为易错点，在解答时容易忽略H~2~CO~3~是弱酸，HCl是强酸，弱酸不能制强酸这一知识点。
6.一种高性能的碱性硼化钒(VB~2~)---空气电池如下图所示，其中在VB~2~电极发生反应：该电池工作时，下列说法错误的是
A. 负载通过0.04 mol电子时，有0.224 L(标准状况)O~2~参与反应
B. 正极区溶液的pH降低、负极区溶液的pH升高
C. 电池总反应为
D. 电流由复合碳电极经负载、VB~2~电极、KOH溶液回到复合碳电极
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图示的电池结构，左侧VB~2~发生失电子的反应生成和，反应的电极方程式如题干所示，右侧空气中的氧气发生得电子的反应生成OH^-^，反应的电极方程式为O~2~+4e^-^+2H~2~O=4OH^-^，电池的总反应方程式为4VB~2~+11O~2~+20OH^-^+6H~2~O=8+4，据此分析。
【详解】A．当负极通过0.04mol电子时，正极也通过0.04mol电子，根据正极的电极方程式，通过0.04mol电子消耗0.01mol氧气，在标况下为0.224L，A正确；
B．反应过程中正极生成大量的OH^-^使正极区pH升高，负极消耗OH^-^使负极区OH^-^浓度减小pH降低，B错误；
C．根据分析，电池的总反应为4VB~2~+11O~2~+20OH^-^+6H~2~O=8+4，C正确；
D．电池中，电子由VB~2~电极经负载流向复合碳电极，电流流向与电子流向相反，则电流流向为复合碳电极→负载→VB~2~电极→KOH溶液→复合碳电极，D正确；
故选B。
【点睛】本题在解答时应注意正极的电极方程式的书写，电解质溶液为碱性，则空气中的氧气得电子生成氢氧根；在判断电池中电流流向时，电流流向与电子流向相反。
7.W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z；化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟。下列叙述正确的是
A. 非金属性：W\> X\>Y\> Z B. 原子半径：Z\>Y\>X\>W
C. 元素X的含氧酸均为强酸 D. Y的氧化物水化物为强碱
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题干信息可知，W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期元素，化合物XW~3~与WZ相遇会产生白烟，则WX~3~为NH~3~，WZ为HCl，所以W为H元素，X为N元素，Z为Cl元素，又四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z，则Y的核外电子总数为11，Y为Na元素，据此分析解答。
【详解】根据上述分析可知，W为H元素，X为N元素，Y为Na元素，Z为Cl元素，则
A．Na为金属元素，非金属性最弱，非金属性Y＜Z，A选项错误；
B．同周期元素从左至右原子半径依次减小，同主族元素至上而下原子半径依次增大，则原子半径：Na＞Cl＞N＞H，B选项错误；
C．N元素的含氧酸不一定全是强酸，如HNO~2~为弱酸，C选项错误；
D．Y的氧化物水化物为NaOH，属于强碱，D选项正确；
答案选D。
**二、非选择题**
**(一)必考题**
8.氯可形成多种含氧酸盐，广泛应用于杀菌、消毒及化工领域。实验室中利用下图装置(部分装置省略)制备KClO~3~和NaClO，探究其氧化还原性质。
回答下列问题：
(1)盛放MnO~2~粉末的仪器名称是\_\_\_\_\_\_\_\_，a中的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)b中采用的加热方式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，c中化学反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，采用冰水浴冷却的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)d的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_，可选用试剂\_\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A．Na~2~S B．NaCl C．Ca(OH)~2~ D．H~2~SO~4~
(4)反应结束后，取出b中试管，经冷却结晶，\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，干燥，得到KClO~3~晶体。
(5)取少量KClO~3~和NaClO溶液分别置于1号和2号试管中，滴加中性KI溶液。1号试管溶液颜色不变。2号试管溶液变为棕色，加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显\_\_\_\_色。可知该条件下KClO~3~的氧化能力\_\_\_\_NaClO(填"大于"或"小于")。
【答案】 (1). 圆底烧瓶 (2). 饱和食盐水 (3). 水浴加热 (4). Cl~2~+2OH^−^=ClO^−^+Cl^−^+H~2~O (5). 避免生成NaClO~3~ (6). 吸收尾气(Cl~2~) (7). AC (8). 过滤 (9). 少量(冷)水洗涤 (10). 紫 (11). 小于
【解析】
【分析】
本实验目的是制备KClO~3~和NaClO，并探究其氧化还原性质；首先利用浓盐酸和MnO~2~粉末共热制取氯气，生成的氯气中混有HCl气体，可在装置a中盛放饱和食盐水中将HCl气体除去；之后氯气与KOH溶液在水浴加热的条件发生反应制备KClO~3~，再与NaOH溶液在冰水浴中反应制备NaClO；氯气有毒会污染空气，所以需要d装置吸收未反应的氯气。
【详解】(1)根据盛放MnO~2~粉末的仪器结构可知该仪器为圆底烧瓶；a中盛放饱和食盐水除去氯气中混有的HCl气体；
(2)根据装置图可知盛有KOH溶液的试管放在盛有水的大烧杯中加热，该加热方式为水浴加热；c中氯气在NaOH溶液中发生歧化反应生成氯化钠和次氯酸钠，结合元素守恒可得离子方程式为Cl~2~+2OHˉ=ClOˉ+Clˉ+H~2~O；根据氯气与KOH溶液的反应可知，加热条件下氯气可以和强碱溶液反应生成氯酸盐，所以冰水浴的目的是避免生成NaClO~3~；
(3)氯气有毒，所以d装置的作用是吸收尾气(Cl~2~)；
A．Na~2~S可以将氯气还原成氯离子，可以吸收氯气，故A可选；
B．氯气在NaCl溶液中溶解度很小，无法吸收氯气，故B不可选；
C．氯气可以Ca(OH)~2~或浊液反应生成氯化钙和次氯酸钙，故C可选；
D．氯气与硫酸不反应，且硫酸溶液中存在大量氢离子会降低氯气的溶解度，故D不可选；
综上所述可选用试剂AC；
(4)b中试管为KClO~3~和KCl的混合溶液，KClO~3~的溶解度受温度影响更大，所以将试管b中混合溶液冷却结晶、过滤、少量(冷)水洗涤、干燥，得到KClO~3~晶体；
(5)1号试管溶液颜色不变，2号试管溶液变为棕色，说明1号试管中氯酸钾没有将碘离子氧化，2号试管中次氯酸钠将碘离子氧化成碘单质，即该条件下KClO~3~的氧化能力小于NaClO；碘单质更易溶于CCl~4~，所以加入CCl~4~振荡，静置后CCl~4~层显紫色。
【点睛】第3小题为本题易错点，要注意氯气除了可以用碱液吸收之外，氯气还具有氧化性，可以用还原性的物质吸收。
9.某油脂厂废弃的油脂加氢镍催化剂主要含金属Ni、Al、Fe及其氧化物，还有少量其他不溶性物质。采用如下工艺流程回收其中的镍制备硫酸镍晶体(NiSO~4~·7H~2~O)：
溶液中金属离子开始沉淀和完全沉淀的pH如下表所示：
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 金属离子 | Ni^2+^ | Al^3+^ | Fe^3+^ | Fe^2+^ |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
| 开始沉淀时(*c*=0.01 mol·L^−1^)的pH | 7.2 | 3.7 | 2.2 | 7.5 |
| | | | | |
| 沉淀完全时(*c*=1.0×10^−5^ mol·L^−1^)的pH | 8.7 | 4.7 | 3.2 | 9.0 |
+------------------------------------------+--------+--------+--------+--------+
回答下列问题：
(1)"碱浸"中NaOH的两个作用分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。为回收金属，用稀硫酸将"滤液①"调为中性，生成沉淀。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"滤液②"中含有的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"转化"中可替代H~2~O~2~的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若工艺流程改为先"调pH"后"转化"，即
"滤液③"中可能含有的杂质离子为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)利用上述表格数据，计算Ni(OH)~2~的K~sp~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式)。如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0 mol·L^−1^，则"调pH"应控制的pH范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)硫酸镍在强碱溶液中用NaClO氧化，可沉淀出能用作镍镉电池正极材料的NiOOH。写出该反应的离子方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将分离出硫酸镍晶体后的母液收集、循环使用，其意义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 除去油脂、溶解铝及其氧化物 (2). +H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O (3). Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^ (4). O~2~或空气 (5). Fe^3+^ (6). (7). 3.2\~6.2 (8). 2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O (9). 提高镍回收率
【解析】
【分析】
由工艺流程分析可得，向废镍催化剂中加入NaOH溶液进行碱浸，可除去油脂，并发生反应2Al+2NaOH+2H~2~O=2NaAlO~2~+3H~2~↑、2Al~2~O~3~+4NaOH=4NaAlO~2~+2H~2~O将Al及其氧化物溶解，得到的滤液①含有NaAlO~2~，滤饼①为Ni、Fe及其氧化物和少量其他不溶性杂质，加稀H~2~SO~4~酸浸后得到含有Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^的滤液②，Fe^2+^经H~2~O~2~氧化为Fe^3+^后，加入NaOH调节pH使Fe^3+^转化为Fe(OH)~3~沉淀除去，再控制pH浓缩结晶得到硫酸镍的晶体，据此分析解答问题。
【详解】(1)根据分析可知，向废镍催化剂中加入NaOH溶液进行碱浸，可除去油脂，并将Al及其氧化物溶解，滤液①中含有NaAlO~2~(或Na\[Al(OH)~4~\])，加入稀硫酸可发生反应+H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O，故答案为：除去油脂、溶解铝及其氧化物；+H^+^+H~2~O=Al(OH)~3~↓或+H^+^=Al(OH)~3~↓+H~2~O；
(2)加入稀硫酸酸浸，Ni、Fe及其氧化物溶解，所以"滤液②"中含有的金属离子是Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^，故答案为：Ni^2+^、Fe^2+^、Fe^3+^；
(3)"转化"在H~2~O~2~的作用是将Fe^2+^氧化为Fe^3+^，可用O~2~或空气替代；若将工艺流程改为先"调pH"后"转化"，会使调pH过滤后的溶液中含有Fe^2+^，则滤液③中可能含有转化生成的Fe^3+^，故答案为：O~2~或空气；Fe^3+^；
(4)由上述表格可知，Ni^2+^完全沉淀时的pH=8.7，此时*c*(Ni^2+^)=1.0×10^-5^mol·L^-1^，*c*(H^+^)=1.0×10^-8.7^mol·L^-1^，则*c*(OH^-^)=，则Ni(OH)~2~的；或者当Ni^2+^开始沉淀时pH=7.2，此时*c*(Ni^2+^)=0.01mol·L^-1^，*c*(H^+^)=1.0×10^-7.2^mol·L^-1^，则*c*(OH^-^)=，则Ni(OH)~2~的；如果"转化"后的溶液中Ni^2+^浓度为1.0mol·L^-1^，为避免镍离子沉淀，此时，则，即pH=6.2；Fe^3+^完全沉淀的pH为3.2，因此"调节pH"应控制的pH范围是3.2\~6.2，故答案为：；3.2\~6.2；
(5)由题干信息，硫酸镍在强碱中被NaClO氧化得到NiOOH沉淀，即反应中Ni^2+^被氧化为NiOOH沉淀，ClOˉ被还原为Clˉ，则根据氧化还原得失电子守恒可得离子方程式为2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O，故答案为：2Ni^2+^+ClOˉ+4OHˉ=2NiOOH↓+Clˉ+H~2~O；
(6)分离出硫酸镍晶体后的母液中还含有Ni^2+^，可将其收集、循环使用，从而提高镍的回收率，故答案为：提高镍的回收率。
【点睛】本题主要考查金属及其化合物的性质、沉淀溶解平衡常数*K*sp的计算、氧化还原离子反应方程式的书写等知识点，需要学生具有很好的综合迁移能力，解答关键在于正确分析出工艺流程原理，难点在于*K*sp的计算及"调pH"时pH的范围确定。
10.二氧化碳催化加氢合成乙烯是综合利用CO~2~的热点研究领域。回答下列问题：
(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水的反应中，产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)∶*n*(H~2~O)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。当反应达到平衡时，若增大压强，则*n*(C~2~H~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"变大""变小"或"不变")。
(2)理论计算表明，原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1MPa，反应达到平衡时，四种组分的物质的量分数*x*随温度*T*的变化如图所示。
图中，表示C~2~H~4~、CO~2~变化的曲线分别是\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_。CO~2~催化加氢合成C~2~H~4~反应的Δ*H*\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")。
(3)根据图中点A(440K，0.39)，计算该温度时反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_(MPa)^−3^(列出计算式。以分压表示，分压=总压×物质的量分数)。
(4)二氧化碳催化加氢合成乙烯反应往往伴随副反应，生成C~3~H~6~、C~3~H~8~、C~4~H~8~等低碳烃。一定温度和压强条件下，为了提高反应速率和乙烯选择性，应当\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 1∶4 (2). 变大 (3). d (4). c (5). 小于 (6). 或等 (7). 选择合适催化剂等
【解析】
【分析】
根据质量守恒定律配平化学方程式，可以确定产物的物质的量之比。根据可逆反应的特点分析增大压强对化学平衡的影响。根据物质的量之比等于化学计量数之比，从图中找到关键数据确定代表各组分的曲线，并计算出平衡常数。根据催化剂对化反应速率的影响和对主反应的选择性，工业上通常要选择合适的催化剂以提高化学反应速率、减少副反应的发生。
【详解】(1)CO~2~催化加氢生成乙烯和水，该反应的化学方程式可表示为2CO~2~+6H~2~ ⇌ CH~2~ = CH~2~+4H~2~O，因此，该反应中产物的物质的量之比*n*(C~2~H~4~)：*n*(H~2~O)=1：4。由于该反应是气体分子数减少的反应，当反应达到平衡状态时，若增大压强，则化学平衡向正反应方向移动，*n*(C~2~H~4~)变大。
\(2\) 由题中信息可知，两反应物初始投料之比等于化学计量数之比；由图中曲线的起点坐标可知，c和a所表示的物质的物质的量分数之比为1:3、d和b表示的物质的物质的量分数之比为1:4，则结合化学计量数之比可以判断，表示乙烯变化的曲线是d，表示二氧化碳变化曲线的是c。由图中曲线的变化趋势可知，升高温度，乙烯的物质的量分数减小，则化学平衡向逆反应方向移动，则该反应为放热反应，∆*H*小于0。
\(3\) 原料初始组成*n*(CO~2~)∶*n*(H~2~)=1∶3，在体系压强为0.1Mpa建立平衡。由A点坐标可知，该温度下，氢气和水的物质的量分数均为0.39，则乙烯的物质的量分数为水的四分之一，即，二氧化碳的物质的量分数为氢气的三分之一，即，因此，该温度下反应的平衡常数(MPa)^-3^=(MPa)^-3^。
(4)工业上通常通过选择合适催化剂，以加快化学反应速率，同时还可以提高目标产品的选择性，减少副反应的发生。因此，一定温度和压强下，为了提高反应速率和乙烯的选择性，应当选择合适的催化剂。
【点睛】本题确定图中曲线所代表的化学物质是难点，其关键在于明确物质的量的分数之比等于各组分的物质的量之比，也等于化学计量数之比（在初始投料之比等于化学计量数之比的前提下，否则不成立）。
**(二)选考题**
**［化学------选修3：物质结构与性质］**
11.氨硼烷(NH~3~BH~3~)含氢量高、热稳定性好，是一种具有潜力的固体储氢材料。回答下列问题：
(1)H、B、N中，原子半径最大的是\_\_\_\_\_\_。根据对角线规则，B的一些化学性质与元素\_\_\_\_\_\_的相似。
(2)NH~3~BH~3~分子中，N---B化学键称为\_\_\_\_键，其电子对由\_\_\_\_提供。氨硼烷在催化剂作用下水解释放氢气：3NH~3~BH~3~+6H~2~O=3NH~3~++9H~2~，的结构如图所示：
在该反应中，B原子的杂化轨道类型由\_\_\_\_\_\_变为\_\_\_\_\_\_。
(3)NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性(H^δ+^)，与B原子相连的H呈负电性(H^δ-^)，电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。与NH~3~BH~3~原子总数相等的等电子体是\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写分子式)，其熔点比NH~3~BH~3~\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"高"或"低")，原因是在NH~3~BH~3~分子之间，存在\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也称"双氢键"。
(4)研究发现，氦硼烷在低温高压条件下为正交晶系结构，晶胞参数分别为*a* pm、*b* pm、*c* pm，*α*=*β*=*γ*=90°。氨硼烷的2×2×2超晶胞结构如图所示。
氨硼烷晶体的密度*ρ*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^−3^(列出计算式，设*N*~A~为阿伏加德罗常数的值)。
【答案】 (1). B (2). Si(硅) (3). 配位 (4). N (5). sp^3^ (6). sp^2^ (7). N＞H＞B (8). CH~3~CH~3~ (9). 低 (10). H^δ+^与H^δ−^的静电引力 (11).
【解析】
【分析】
根据元素在周期表中的位置比较和判断元素的相关性质；根据中心原子的价层电子对数确定其杂化轨道的类型；运用等量代换的方法寻找等电子体；根据电负性对化合价的影响比较不同元素的电负性；根据晶胞的质量和体积求晶体的密度。
【详解】(1)在所有元素中，H原子的半径是最小的，同一周期从左到右，原子半径依次减小，所以，H、B、N中原子半径最大是B。B与Si在元素周期表中处于对角张的位置，根据对角线规则，B的一些化学性质与Si元素相似。
(2)B原子最外层有3个电子，其与3个H原子形成共价键后，其价层电子对只有3对，还有一个空轨道；在NH~3~中，N原子有一对孤对电子，故在NH~3~BH~3~分子中，N---B键为配位键，其电子对由N原子提供。NH~3~BH~3~分子中，B原子的价层电子对数为4，故其杂化方式为sp^3^。NH~3~BH~3~在催化剂的作用下水解生成氢气和B~3~O~6~^3-^，由图中信息可知，B~3~O~6~^3-^中每个B原子只形成3个σ键，其中的B原子的杂化方式为sp^2^，因此，B原子的杂化轨道类型由sp^3^变为sp^2^。
\(3\) NH~3~BH~3~分子中，与N原子相连的H呈正电性，说明N的电负性大于H；与B原子相连的H呈负电性，说明H的电负性大于B，因此3种元素电负性由大到小的顺序为N＞H＞B。NH~3~BH~3~分子中有8个原子，其价电子总数为14，N和B的价电子数的平均值为4，依据等量代换的原则，可以找到其等电子体为CH~3~CH~3~。由于NH~3~BH~3~分子属于极性分子，而CH~3~CH~3~属于非极性分子，两者相对分子质量接近，但是极性分子的分子间作用力较大，故CH~3~CH~3~熔点比NH~3~BH~3~低。NH~3~BH~3~分子间存在"双氢键"，类比氢键的形成原理，说明其分子间存在H^δ+^与H^δ-^的静电引力。
(4)在氨硼烷的2×2×2的超晶胞结构中，共有16个氨硼烷分子，晶胞的长、宽、高分别为2apm、2bpm、2cpm，若将其平均分为8份可以得到8个小长方体，则平均每个小长方体中占有2个氨硼烷分子，小长方体的长、宽、高分别为apm、bpm、cpm，则小长方体的质量为，小长方体的体积为，因此，氨硼烷晶体的密度为g∙cm^-3^。
【点睛】本题最后有关晶体密度的计算是难点，要求考生能读懂题意，通过观察晶胞结构，确定超晶胞结构中的分子数，并能合理分成8份，从而简化计算。
**\[化学------选修5：有机化学基础\]**
12.苯基环丁烯酮( PCBO)是一种十分活泼的反应物，可利用它的开环反应合成一系列多官能团化合物。近期我国科学家报道用PCBO与醛或酮发生\[4+2\]环加成反应，合成了具有生物活性的多官能团化合物(E)，部分合成路线如下：
已知如下信息：
回答下列问题：
(1)A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)由C生成D所用的试别和反应条件为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步反应中，若反应温度过高，C易发生脱羧反应，生成分子式为C~8~H~8~O~2~的副产物，该副产物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)写出化合物E中含氧官能团的名称\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；E中手性碳(注：连有四个不同的原子或基团的碳)的个数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)M为C一种同分异构体。已知：1 mol M与饱和碳酸氢钠溶液充分反应能放出2 mol二氧化碳；M与酸性高锰酸钾溶液反应生成对苯二甲酸。M的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)对于，选用不同的取代基R\'，在催化剂作用下与PCBO发生的\[4+2\]反应进行深入研究，R\'对产率的影响见下表：
-------- ---------- ------------- -----------------------
R\' ---CH~3~ ---C~2~H~5~ ---CH~2~CH~2~C~6~H~5~
产率/% 91 80 63
-------- ---------- ------------- -----------------------
请找出规律，并解释原因\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 2−羟基苯甲醛(水杨醛) (2).  (3). 乙醇、浓硫酸/加热 (4).  (5). 羟基、酯基 (6). 2 (7).  (8). 随着R\'体积增大，产率降低；原因是R\'体积增大，位阻增大
【解析】
【分析】
根据合成路线分析可知，A()与CH~3~CHO在NaOH的水溶液中发生已知反应生成B，则B的结构简式为，B被KMnO~4~氧化后再酸化得到C()，C再与CH~3~CH~2~OH在浓硫酸加热的条件下发生酯化反应得到D()，D再反应得到E()，据此分析解答问题。
【详解】(1)A的结构简式为，其名称为2-羟基苯甲醛(或水杨醛)，故答案为：2-羟基苯甲醛(或水杨醛)；
(2)根据上述分析可知，B的结构简式为，故答案为：；
(3)C与CH~3~CH~2~OH在浓硫酸加热的条件下发生酯化反应得到D()，即所用试剂为乙醇、浓硫酸，反应条件为加热；在该步反应中，若反应温度过高，根据副产物的分子式可知，C发生脱羧反应生成，故答案为：乙醇、浓硫酸/加热；；
(4)化合物E的结构简式为，分子中的含氧官能团为羟基和酯基，E中手性碳原子共有位置为的2个手性碳，故答案为：羟基、酯基；2；
(5)M为C的一种同分异构体，1molM与饱和NaHCO~3~溶液反应能放出2mol二氧化碳，则M中含有两个羧基(---COOH)，又M与酸性高锰酸钾溶液溶液反应生成对二苯甲酸，则M分子苯环上只有两个取代基且处于对位，则M的结构简式为，故答案为：；
(6)由表格数据分析可得到规律，随着取代基R′体积的增大，产物的产率降低，出现此规律的原因可能是因为R′体积增大，从而位阻增大，导致产率降低，故答案为：随着R′体积增大，产率降低；原因是R′体积增大，位阻增大。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）**
**理科综合生物能力测试**
**一、选择题**
1.关于真核生物的遗传信息及其传递的叙述，错误的是（ ）
A. 遗传信息可以从DNA流向RNA，也可以从RNA流向蛋白质
B. 细胞中以DNA的一条单链为模板转录出的RNA均可编码多肽
C. 细胞中DNA分子的碱基总数与所有基因的碱基数之和不相等
D. 染色体DNA分子中的一条单链可以转录出不同的 RNA分子
【答案】B
【解析】
【分析】
真核生物的正常细胞中遗传信息的传递和表达过程包括DNA的复制、转录和翻译过程。DNA分子上分布着多个基因，基因是有遗传效应的DNA片段。
【详解】A、遗传信息的表达过程包括DNA转录成mRNA，mRNA进行翻译合成蛋白质，A正确；
B、以DNA的一条单链为模板可以转录出mRNA、tRNA、rRNA等，mRNA可以编码多肽，而tRNA的功能是转运氨基酸，rRNA是构成核糖体的组成物质，B错误；
C、基因是有遗传效应的DNA片段，而DNA分子上还含有不具遗传效应的片段，因此DNA分子的碱基总数大于所有基因的碱基数之和，C正确；
D、染色体DNA分子上含有多个基因，由于基因的选择性表达，一条单链可以转录出不同的RNA分子，D正确。
故选B。
2.取燕麦胚芽鞘切段，随机分成三组，第1组置于一定浓度的蔗糖（Suc）溶液中（蔗糖能进入胚芽鞘细胞），第2组置于适宜浓度的生长素（IAA）溶液中，第3组置于IAA+ Suc溶液中，一定时间内测定胚芽鞘长度的变化，结果如图所示。用KCl代替蔗糖进行上述实验可以得到相同的结果。下列说法不合理的是（ ）
A. KCl可进入胚芽鞘细胞中调节细胞的渗透压
B. 胚芽鞘伸长生长过程中，件随细胞对水分的吸收
C. 本实验中Suc是作为能源物质来提高IAA作用效果的
D. IAA促进胚芽鞘伸长效果可因加入Suc或KC1而提高
【答案】C
【解析】
【分析】
分析图示可知，仅加入蔗糖组胚芽鞘伸长率最低，仅加入IAA组比仅加入蔗糖组胚芽鞘伸长率升高，IAA+Suc组胚芽鞘伸长率明显高于仅加入IAA组，说明蔗糖对IAA促进胚芽鞘伸长的效果有促进作用。
【详解】A、K^+^、Cl^－^是植物所需要的矿质离子，可被植物细胞主动吸收，进入细胞后能使细胞渗透压上升，A正确；
B、水是细胞生命活动所需的重要物质，胚芽鞘伸长生长的过程伴随着细胞的吸水过程，B正确；
C、由题干信息可知，用KCl代替蔗糖可得到相同的实验结果，而KCl不能作为能源物质，因此不能说明蔗糖作为能源物质来提高IAA的作用效果，C错误；
D、由以上分析可知，IAA+Suc组胚芽鞘伸长率明显高于IAA组，而KCl代替Suc也可达到相同结果，因此说明IAA促进胚芽鞘伸长的效果可因加入Suc或KCl而提高，D正确。
故选C。
3.细胞内有些tRNA分子的反密码子中含有稀有碱基次黄嘌呤（I），含有I的反密码子在与mRNA中的密码子互补配对时，存在如图所示的配对方式（Gly表示甘氨酸）。下列说法错误的是（ ）
A. 一种反密码子可以识别不同的密码子
B. 密码子与反密码子的碱基之间通过氢键结合
C tRNA分子由两条链组成，mRNA分子由单链组成
D. mRNA中的碱基改变不一定造成所编码氨基酸的改变
【答案】C
【解析】
【分析】
分析图示可知，含有CCI反密码子的tRNA转运甘氨酸，而反密码子CCI能与mRNA上的三种密码子（GGU、GGC、GGA）互补配对，即I与U、C、A均能配对。
【详解】A、由图示分析可知，I与U、C、A均能配对，因此含I的反密码子可以识别多种不同的密码子，A正确；
B、密码子与反密码子的配对遵循碱基互补配对原则，碱基对之间通过氢键结合，B正确；
C、由图示可知，tRNA分子由单链RNA经过折叠后形成三叶草的叶形，C错误；
D、由于密码子的简并性，mRNA中碱基的改变不一定造成所编码氨基酸的改变，从图示三种密码子均编码甘氨酸也可以看出，D正确。
故选C。
4.下列有关人体免疫调节的叙述，合理的是（ ）
A. 若病原体不具有细胞结构，就不会使人体产生抗体
B. 病原体裂解后再注射到人体，就不会使人体产生抗体
C. 病原体表面若不存在蛋白质分子，就不会使人体产生抗体
D. 病原体经吞噬细胞处理后暴露出的抗原可使人体产生抗体
【答案】D
【解析】
【分析】
体液免疫的过程：大多数病原体经过吞噬细胞等的摄取和处理，暴露出病原体特有抗原，将抗原传递给T细胞，刺激T细胞产生淋巴因子，少数抗原直接刺激B细胞。B细胞受到刺激后，在淋巴因子的作用下开始增殖、分化，大部分分化为浆细胞，产生抗体，小部分形成记忆细胞。抗体能与抗原结合，从而抑制病原体的繁殖或对人体细胞的黏附。多数情况下，抗原、抗体结合后会形成沉淀或细胞集团，进而被吞噬细胞吞噬。
【详解】A、病原体是指可造成人或动植物感染疾病的微生物、寄生虫或其他媒介，如细菌、病毒，病毒不具细胞结构，但也能使人体通过体液免疫产生抗体，A错误；
B、病原体裂解后仍含有能引起机体产生免疫反应的抗原物质，因此会使人体产生抗体，B错误；
C、抗原不一定是蛋白质，病原体含有的大分子多糖、黏多糖等特异性化学物质，也能引起机体发生免疫反应产生抗体，C错误；
D、大多数病原体经过吞噬细胞等的摄取和处理，暴露出病原体特有抗原，将抗原传递给T细胞，刺激T细胞产生淋巴因子，少数抗原直接刺激B细胞，使B细胞增殖分化成浆细胞，分泌相应抗体，D正确。
故选D。
5.新冠病毒是一种RNA病毒。新冠肺炎疫情给人们的生活带来了巨大影响。下列与新冠肺炎疫情防控相关的叙述，错误的是（ ）
A. 新冠病毒含有核酸和蛋白质，通过核酸检测可排查新冠病毒感染者
B. 教室经常开窗通风可以促进空气流动，降低室内病原微生物的密度
C. 通常新冠肺炎患者的症状之一是发烧，因此可以通过体温测量初步排查
D. 每天适量饮酒可以预防新冠肺炎，因为酒精可以使细胞内的病毒蛋白变性
【答案】D
【解析】
【分析】
病毒一般由蛋白质和核酸构成，具有严整结构，营寄生生活，通过侵染宿主进行增殖，进入宿主细胞后具有遗传和变异的特征，离开活细胞后不再进行生命活动。
【详解】A、新冠病毒是一种RNA病毒，由RNA和蛋白质构成，RNA携带特定的遗传信息，因此通过核酸检测可排查新冠病毒感染者，A正确；
B、教室经常开窗通风有利于室内与室外的空气交换，病原微生物也能随空气流动到室外，B正确；
C、感染新冠肺炎的患者体内会发生免疫反应，使体温升高，正常人体温一般维持在37℃，因此可以通过体温测量初步排查，C正确；
D、75%左右的酒精具有杀菌作用，饮酒的度数一般不能达到75%，且长期饮酒对人体会产生损害，免疫力下降，因此每天适量饮酒不能预防新冠肺炎，D错误。
故选D。
6.生态系统的物质循环包括碳循环和氮循环等过程。下列有关碳循环的叙述，错误的是（ ）
A. 消费者没有参与碳循环的过程
B. 生产者的光合作用是碳循环的重要环节
C. 土壤中微生物的呼吸作用是碳循环的重要环节
D. 碳在无机环境与生物群落之间主要以CO~2~形式循环
【答案】A
【解析】
【分析】
生态系统的物质循环是指组成生物体的C、H、O、N、P、S等元素，都不断进行着从无机环境到生物群落，又从生物群落到无机环境的循环过程。
【详解】A、消费者能通过呼吸作用将有机物中的碳转化为无机物CO~2~，释放到无机环境中，参与了碳循环，A错误；
B、生产者的光合作用能将无机环境中的无机碳转化为含碳有机物，是碳进入生物群落的重要途径，因此是碳循环的重要环节，B正确；
C、土壤中的微生物的分解作用，能将有机物中的碳转化为无机物释放到无机环境中，是碳返回无机环境的重要过程，C正确；
D、碳在无机环境与生物群落之间主要以CO~2~的形式循环，在生物群落内部的传递形式是含碳有机物，D正确。
故选A。
**三、非选择题**
7.照表中内容，围绕真核细胞中ATP的合成来完成下表。
------------------- --------------------------- --------------------------- ---------------------------
反应部位 （1）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 叶绿体的类囊体膜 线粒体
反应物 葡萄糖 丙酮酸等
反应名称 （2）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 光合作用的光反应 有氧呼吸的部分过程
合成ATP的能量来源 化学能 （3）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 化学能
终产物（除ATP外） 乙醇、CO~2~ （4）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （5）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
------------------- --------------------------- --------------------------- ---------------------------
【答案】 (1). 细胞质基质 (2). 无氧呼吸 (3). 光能 (4). O~2~、NADPH (5). H~2~O、CO~2~
【解析】
【分析】
1、无氧呼吸：场所：细胞质基质；反应式C~6~H~12~O~6~2C~2~H~5~OH（酒精）+2CO~2~+能量
2、有氧呼吸三个阶段的反应：
第一阶段：反应场所：细胞质基质；反应式C~6~H~12~O~6~2C~3~H~4~O~3~(丙酮酸)+4\[H\]+少量能量
第二阶段：反应场所：线粒体基质；反应式：2C~3~H~4~O~3~(丙酮酸)+6H~2~O20\[H\]+6CO~2~+少量能量
第三阶段：反应场所：线粒体内膜；反应式：24\[H\]+6O~2~12H~2~O+大量能量(34ATP)
3、光反应和暗反应比较：
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 比较项目 | 光反应 | 暗反应 |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 场所 | 基粒类囊体膜上 | 叶绿体的基质 |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 条件 | 色素、光、酶、水、ADP、Pi | 多种酶、CO~2~、ATP、\[H\] |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 反应产物 | \[H\]、O~2~、ATP | 有机物、ADP、Pi、水 |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 物质变化 | 水的光解：2H~2~O4\[H\]+O~2~ | CO~2~的固定：CO~2~+C~5~2C~3~ |
| | | |
| | ATP的生成：ADP+PiATP | C~3~的还原：2C~3~（CH~2~O）+C~5~+H~2~O |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 能量变化 | 光能→电能→ATP中活跃的化学能 | ATP中活跃的化学能→糖类等有机物中稳定的化学能 |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 实质 | 光能转变为化学能，水光解产生O~2~和\[H\] | 同化CO~2~形成（CH~2~O） |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 联系 | ①光反应暗反应提供\[H\]（以NADPH形式存在）和ATP； | |
| | | |
| | ②暗反应产生的ADP和Pi为光反应合成ATP提供原料； | |
| | | |
| | ③没有光反应，暗反应无法进行，没有暗反应，有机物无法合成 | |
+----------+--------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
【详解】（1）由反应产物乙醇、CO~2~可知，该反应为无氧呼吸，反应场所为细胞质基质。
（2）由反应产物乙醇、CO~2~可知，该反应为无氧呼吸。
（3）由分析可知，光合作用的光反应中光能转化成活跃的化学能，储存在ATP中。
（4）由分析可知，光合作用的光反应的产物为O~2~和NADPH。
（5）由分析可知，线粒体内进行有氧呼吸的第二阶段产物为CO~2~，第三阶段产物为H~2~O。
【点睛】本题通过ATP的合成过程中能量的来源，考查有氧呼吸、无氧呼吸以及光合作用的场所、反应物、产物和能量转化的知识，考查内容较基础。
8.给奶牛挤奶时其乳头上的感受器会受到制激，产生的兴奋沿着传入神经传到脊髓能反射性地引起乳腺排乳；同时该兴奋还能上传到下丘脑促使其合成催产素，进而促进乳腺排乳。回答下列问题：
（1）在完成一个反射的过程中，一个神经元和另个神经元之间的信息传递是通过\_\_\_\_\_\_\_这一结构来完成的。
（2）上述排乳调节过程中，存在神经调节和体液调节。通常在哺乳动物体内，这两种调节方式之间的关系是\_\_\_\_\_\_\_。
（3）牛奶的主要成分有乳糖和蛋白质等，组成乳糖的2种单糖是\_\_\_\_\_\_\_。牛奶中含有人体所需的必需氨基酸，必需氨基酸是指\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 突触 (2). 有些内分泌腺直接或间接地受中枢神经系统的调节；内分泌腺所分泌的激素也可以影响神经系统的发育和功能 (3). 葡萄糖和半乳糖 (4). 人体细胞自身不能合成，必须从食物中获取的氨基酸
【解析】
【分析】
1、兴奋在神经元之间的传递需要突触结构，突触由突触前膜、突触后膜和突触间隙构成。
2、神经调节和体液调节共同协调、相辅相成，但神经调节占主导地位。
两种调节方式的特点：神经调节的特点是以反射的形式来实现的，反射的结构基础是反射弧，反应迅速；体液调节的特点主要是激素随着血液循环送到全身各处而发挥调节作用，反应较缓慢。
神经调节与体液调节之间的关系：一方面大多数内分泌腺直接或间接地受到中枢神经系统的调节；另一方面内分泌腺分泌的激素也可以影响神经系统的发育和功能。
3、氨基酸分为必需氨基酸和非必需氨基酸。
必需氨基酸：指人体（或其它脊椎动物）不能合成或合成速度远不适应机体的需要，必需由食物蛋白供给，这些氨基酸称为必需氨基酸。
非必需氨基酸：人体能够合成的氨基酸。
4、乳糖是动物特有的二糖，由葡萄糖和半乳糖合成。
【详解】（1）兴奋在神经元之间需要通过突触（突触前膜、突触后膜和突触间隙）这个结构传递信息。
（2）神经调节和体液调节之间的关系是：一方面，大多数内分泌腺本身直接或间接的受中枢神经系统的控制，体液调节可以看成是神经调节的一个环节；另一方面，内分泌腺分泌的激素可以影响神经系统的发育和功能。
（3）组成乳糖的单糖是葡萄糖和半乳糖；必需氨基酸是指人体细胞不能合成的，必须从外界环境中直接获取的氨基酸。
【点睛】本题综合考查神经调节和体液调节的知识，识记兴奋在神经元之间的传递，理解神经调节和体液调节之间的联系是解答本题的关键。
9.假设某种蓝藻（A）是某湖泊中唯一的生产者，其密度极大，使湖水能见度降低。某种动物（B）是该湖泊中唯一的消费者。 回答下列问题：
（1）该湖泊水体中A种群密度极大的可能原因是\_\_\_\_\_\_\_ （答出2 点即可）。
（2）画出该湖泊生态系统能量流动的示意图\_\_\_\_\_\_\_。
（3）假设该湖泊中引入一种仅以A为食的动物（C）后，C种群能够迅速壮大，则C和B的种间关系是\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 水体富营养化，没有其他生产者的竞争 (2).  (3). 竞争
【解析】
【分析】
1、本题中A是唯一的生产者，B是唯一的消费者，所以存在A→B的食物链。
2、"J"型曲线：指数增长函数，描述在食物充足，无限空间，无天敌的理想条件下生物无限增长的情况。
3、生态系统能量流动指生态系统中能量输入、传递、转化和散失的过程。
流入生态系统的总能量：生产者固定的太阳能。
某一营养级（最高营养级除外）能量的最终去向：自身呼吸消耗；被分解者利用；流向下一个营养级。
【详解】（1）A是蓝藻，是该湖泊唯一的生产者，所以其种群密度极大的原因可能有该水域污染，水体富营养化，造成蓝藻爆发和缺少其他生产者竞争。
（2）该生态系统存在唯一一条食物链A→B，所以能量流动关系如图：
。
（3）C和B都以A为食，所以二者是竞争关系。
【点睛】本题考查生态系统和种群的知识，解答（1）考生可以结合种群增长中"J"型增长的模型，解答（2）需要考生理解生态系统能量流动的过程。
10.普通小麦是目前世界各地栽培的重要粮食作物。普通小麦的形成包括不同物种杂交和染色体加倍过程，如图所示（其中A、B、D分别代表不同物种的一个染色体组，每个染色体组均含7条染色体）。在此基础上，人们又通过杂交育种培育出许多优良品种。回答下列问题：
（1）在普通小麦的形成过程中，杂种一是高度不育的，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_。已知普通小麦是杂种二染色体加倍形成的多倍体，普通小麦体细胞中有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_条染色体。一般来说，与二倍体相比，多倍体的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
（2）若要用人工方法使植物细胞染色体加倍，可采用的方法有\_\_\_\_\_\_\_（答出1点即可）。
（3）现有甲、乙两个普通小麦品种（纯合体），甲的表现型是抗病易倒伏，乙的表现型是易感病抗倒伏。若要以甲、乙为实验材料设计实验获得抗病抗倒伏且稳定遗传的新品种，请简要写出实验思路\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】 (1). 无同源染色体，不能进行正常的减数分裂 (2). 42 (3). 营养物质含量高、茎秆粗壮 (4). 秋水仙素处理 (5). 甲、乙两个品种杂交，F~1~自交，选取F~2~中既抗病又抗倒伏、且自交后代不发生性状分离的植株
【解析】
【分析】
图中是普通小麦育种的过程，一粒小麦和斯氏麦草杂交形成杂种一，经过加倍后形成拟二粒小麦AABB，在和滔氏麦草杂交获得杂种二ABD，然后加倍形成普通小麦AABBDD。
秋水仙素可以抑制纺锤丝的形成，导致细胞染色体数目加倍。
【详解】（1）杂种一是一粒小麦和斯氏麦草杂交的产物，细胞内含有一粒小麦和斯氏麦草各一个染色体组，所以细胞内不含同源染色体，不能进行正常的减数分裂，因此高度不育；
普通小麦含有6个染色体组，每个染色体组有7条染色体，所以体细胞有42条染色体；
多倍体植株通常茎秆粗壮，叶片、果实和种子都比较大，糖类和蛋白质等营养物质的含量都有所增加。
（2）人工诱导植物细胞染色体加倍可以采用秋水仙素处理。
（3）为获得稳定遗传的抗病抗倒伏的小麦，可以利用杂交育种，设计思路如下：
将甲和乙两品种杂交获得F~1~，将F~1~植株进行自交，选取F~2~中既抗病又抗倒伏的、且自交后代不发生性状分离的植株，即为稳定遗传的抗病又抗倒伏的植株。
【点睛】本题考查染色体变异和育种的知识，考生理解多倍体育种的过程是本题的难点，同时设计实验需要理解杂交育种的步骤。
**\[生物------选修1：生物技术实践\]**
11.水果可以用来加工制作果汁、果酒和果醋等回答下列问题：
（1）制作果汁时，可以使用果胶酶、纤维素酶等提高水果的出汁率和澄清度。果胶酶是分解果胶的一类酶的总称，包括多聚半乳糖醛酸酶、\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2种即可）。纤维素酶可以分解植物\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填细胞膜或细胞壁）中的纤维素。
（2）用果胶酶处理果泥时，为了提高出汁率，需要控制反应的温度，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）现有甲乙丙三种不同来源的果胶酶，某同学拟在果泥用量、温度、pH等所有条件都相同的前提下比较这三种酶的活性。通常，酶活性的高低可用\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_来表示。
（4）获得的果汁（如苹果汁）可以用来制作果酒或者果醋，制作果酒需要\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_菌，这一过程中也需要O~2~，O~2~的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。制作果醋需要醋酸菌，醋酸菌属于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填好氧或厌氧）细菌。
【答案】 (1). 果胶分解酶、果胶酯酶 (2). 细胞壁 (3). 温度对果胶酶活性有影响，在最适温度下酶活性最高，出汁率最高 (4). 在一定条件下，单位时间内、单位体积中反应物的消耗量或者产物的增加量 (5). 酵母 (6). 促进有氧呼吸，使酵母菌大量繁殖 (7). 好氧
【解析】
【分析】
1、果胶是由半乳糖醛酸聚合而成的一种高分子化合物，不溶于水，在果汁加工中，果胶不仅会影响出汁率，还会使果汁混浊。果胶酶能分解果胶，使榨取果汁变得更容易，也使得浑浊的果汁变得澄清。果胶酶是分解果胶的一类酶的总称，包括多聚半乳糖醛酸酶、果胶分解酶和果胶酯酶等。
2、果酒的制作离不开酵母菌。酵母菌是兼性厌氧微生物，在有氧条件下，酵母菌进行有氧呼吸，大量繁殖。在无氧条件下，酵母菌能进行酒精发酵。
3、醋酸菌是一种好氧细菌，只有当氧气充足时才能进行旺盛的生理活动。当氧气、糖源都充足时，醋酸菌将葡萄汁中的糖分解成醋酸；当缺少糖源时，醋酸菌将乙醇变为乙醛，再将乙醛变为醋酸。
【详解】（1）由分析可知，果胶酶包括多聚半乳糖醛酸酶、果胶分解酶和果胶酯酶等。植物细胞壁由纤维素和果胶构成，故可用纤维素酶分解细胞壁。
（2）酶发挥催化作用需要适宜的温度和Ph条件，在最适温度下，果胶酶的活性最高，出汁率最高。
（3）酶的活性是指酶催化一定化学反应的能力，酶活性的高低可以用在一定条件下，单位时间内、单位体积中反应物的消耗量或者产物的增加量来表示。
（4）由分析可知，果酒的制作离不开酵母菌，在初期通入氧气，可以促进酵母菌的有氧呼吸，使其大量繁殖；醋酸菌是一种好氧细菌。
【点睛】本题考查果酒、果醋的制作和果胶酶的相关内容，要求考生识记制作果酒、果醋的原理，掌握果汁生产中果胶酶的作用，并结合题干信息解题。
**\[生物------选修3：现代生物科技专题\]**
12.W是一种具有特定功能的人体蛋白质。某研究小组拟仿照制备乳腺生物反应器的研究思路，制备一种膀胱生物反应器来获得W，基本过程如图所示。
（1）步骤①中需要使用的工具酶有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤②和③所代表的操作分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。步骤④称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）与乳腺生物反应器相比，用膀胱生物反应器生产W的优势在于不受转基因动物的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）的限制。
（3）一般来说，在同一动物个体中，乳腺上皮细胞与膀胱上皮细胞的细胞核中染色体DNA所含的遗传信息\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填相同或不同），原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）从上述流程可知，制备生物反应器涉及胚胎工程，胚胎工程中所用到的主要技术有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。
【答案】 (1). 限制性核酸内切酶、DNA连接酶 (2). 显微注射 (3). 体外培养 (4). 胚胎移植 (5). 性别、年龄 (6). 相同 (7). 两种上皮细胞都是体细胞，且来源于同一个受精卵 (8). 体外受精、胚胎移植
【解析】
【分析】
1、膀胱反应器有着和乳腺反应器一样的优点：收集产物蛋白比较容易,不会对动物造成伤害。此外,该系统可从动物一出生就收集产物,不论动物的性别和是否正处于生殖期。膀胱生物反应器最显著的优势在于从尿中提取蛋白质比在乳汁中提取简便、高效。
2、基因工程技术的基本步骤包括：目的基因的获取；基因表达载体的构建，是基因工程的核心步骤，基因表达载体包括目的基因、启动子、终止子和标记基因等；将目的基因导入受体细胞；目的基因的检测与鉴定。
3、分析题图可知，步骤①为将W基因与运载体结合，构建基因表达载体；步骤②为将重组表达载体导入受精卵，常用显微注射法；步骤③为体外培养；步骤④为胚胎移植。
【详解】（1）由分析可知，步骤①为构建基因表达载体，需使用同种限制酶切割目的基因和运载体，再由DNA连接酶连接粘性末端，形成重组表达载体；步骤②为显微注射；步骤③为体外培养；步骤④为胚胎移植。
（2）与乳腺生物反应器相比，用膀胱生物反应器生产W，可从动物一出生就收集产物,不受动物的性别和年龄的限制。
（3）在同一动物个体中，乳腺上皮细胞与膀胱上皮细胞是由同一个受精卵有丝分裂产生的体细胞，其细胞核中染色体DNA所含的遗传信息相同。
（4）由分析可知，步骤③为体外培养，步骤④为胚胎移植，均属于胚胎工程。
【点睛】本题考查基因工程和胚胎工程的相关知识，要求考生识记基因工程的基本工具和操作步骤，掌握胚胎工程各项技术的相关细节，能结合所学的知识准确答题，属于考纲识记和理解层次的考查。
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第12课《棋盘中的数学3》试题附答案**
**答案**
六年级奥数上册：第十二讲 棋盘中的数学（三）习题
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第2课《速算与巧算2》试题附答案**
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答案
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**北师大版小学一年级下册数学第四单元《有趣的图形------动手做（三）》同步检测1（附答案）**
下面的图案分别是由哪些图形组成的？来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、在下面的每个图案中找到和圆圈中相同的图案，再涂一涂。
三、照样子，涂出你喜爱的星星。
四、下面这个图形，中要添画几条直线，就可显现出三辆汽车。你能画出来吗？
五、下面是小云设计出的一种地板砖，把地面铺成了美丽的图案。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、上图共用（ ）块地板砖拼成。
2、请你也来设计一种地板砖，把地面铺成美丽的图案。
一共用（ ）块地板砖拼成。
六、找规律，涂一涂。
**部分答案：**
一、由平行四边形和正方形组成。
三、提示：根据自己的设计涂色。
四、提示：上面有1辆车，下面有2辆车。
五、1、32 2、提示：根据自己的设计画图、填空。来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、
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平面解析几何题库
1. 有如下结论："圆上一点处的切线方程为
"，类比也有结论："椭圆处的切
线方程为"，过椭圆C：的右准线*l*上任意一点M引椭圆C的
两条切线，切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积
1.解：（1）设M
∵点M在MA上∴ ①........................3分
同理可得②..............................5分
由①②知AB的方程为............6分
易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）......8分
（2）把AB的方程
∴........................12分
又M到AB的距离
∴△ABM的面积........................15分
2. 在平面直角坐标系中，椭圆C：过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线的方程为．
①求证：直线与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．
3. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．
分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
（1）解：由题意，得，，故，
从而，
所以椭圆的方程为． ① .........5分
（2）证明：设直线的方程为， ②
直线的方程为， ③ .........7分
由①②得，点，的横坐标为，
由①③得，点，的横坐标为， .........9分
记，，，，
则直线，的斜率之和为
 .........13分
． .........16分
4. 椭圆的右焦点为，右准线为，离心率为，点在椭圆上，以为圆心，为半径的圆与的两个公共点是．
（1）若是边长为的等边三角形，求圆的方程；
（2）若三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为，求椭圆方程．
解：设椭圆的半长轴是，半短轴是，半焦距离是，
> 由椭圆的离心率为，可得椭圆方程是， 2分
>
> （只要是一个字母，其它形式同样得分，）
>
> 焦点，准线，设点，
（1）是边长为的等边三角形，则圆半径为，且到直线的距离是，
又到直线的距离是， 所以，，，
> 所以
>
> 所以，圆的方程是。 6分
（2）因为三点共线，且是圆心，所以是线段中点，
> 由点横坐标是得，， 8分
>
> 再由得：，，
>
> 所以直线斜率 10分
>
> 直线：， 12分
>
> 原点到直线的距离，
>
> 依题意，，所以，
所以椭圆的方程是． 15分
5. 已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知*a*=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，
据题意有：，即，
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．
6. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆*C*：（）的左焦点为，右顶点为*A*，动点*M* 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆*C*于点*P*，已知椭圆*C*的离心率为，点*M*的横坐标为．
（1）求椭圆*C*的标准方程；
（2）设直线*PA*的斜率为，直线*MA*的斜率为，求的取值范围．
解：（1）由已知，得，
7. 在平面直角坐标系中，椭圆*E*:的右准线为直线*l*，动直线交椭圆于*A*，*B*两点，线段*AB*的中点为*M*，射线*OM*分别交椭圆及直线*l*于*P*，*Q*两点，如图．若*A*，*B*两点分别是椭圆*E*的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．
（1）求椭圆*E*的标准方程；
（2）如果*OP*是*OM*，*OQ*的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
> 解：当*A*，*B*两点分别是椭圆*E*的右顶点和上顶点时，则，，．
>
> ∵，∴由*O*，*M*，*Q*三点共线，得，化简，得．.........2分
>
> ∵，∴，化简，得．
>
> 由 解得 ................................................4分
>
> （1）椭圆*E*的标准方程为． ................................................6分
>
> （2）把，代入，得
>
> ． ...................................................8分
>
> 当△，时，，，
>
> 从而点． ...................................................10分
>
> 所以直线*OM*的方程．
>
> 由 得． ...................................................12分
>
> ∵*OP*是*OM*，*OQ*的等比中项，∴，
>
> 从而． ...................................................14分
>
> 由，得，从而，满足△． ...............15分
∴为常数． ........................................................................16分
8. 如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为，圆D：。
（1）若圆D过两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
（3）在（1）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
解：（1）圆与轴交点坐标为，，，故，
> 所以，椭圆方程是：。
9. 如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。
⑴求椭圆T与圆O的方程；
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。
2. P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；
②若，求与的方程。
解: (1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程...............4分
(2)设因为⊥,则
因为 所以,.....................7分
因为 所以当时取得最大值为，此时点............9分
(3)设的方程为,由解得；
由解得.......................................11分
把中的置换成可得，..............................12分
所以，
，
由得解得...........................15分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为..............................16分
10. 如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为、，右准线为，为上一点，且在轴上方，与椭圆交于点。
> ⑴若，求证：；
>
> ⑵设过三点的圆与轴交于两点，求的最小值。
11. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
解：（1）设抛物线的方程为，
因为准线的方程为，所以，即，
因此抛物线的方程为．
（2）由题意可知，，,
则直线方程为：，
即，
> 设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，
>
> 则圆心到直线的距离，
>
> 即①或② \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 由①可得对任意恒成立，则有
>
> ，解得（舍去）
>
> 由②可得对任意恒成立，则有
>
> ，可解得
>
> 因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
12. **\
**已知圆过点,且与圆:关于直线对称.
(Ⅰ)求圆的方程；
(Ⅱ)设为圆上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
解:(Ⅰ)设圆心,则,解得 (3分)
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为.........(5分)
(Ⅱ)设,则,且 (7分)
==,所以的最小值为
(可由线性规划或三角代换求得)...(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得 (11分)
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)
同理,,所以
=
所以,直线和一定平行... .........(16分)
**\
**
13. 在平面直角坐标系中， 直线L：恒过一定点，且与以原点为
圆心的圆C恒有公共点。
⑴ 求出直线L恒过的定点坐标；
⑵ 当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
⑶ 已知定点，直线L与⑵中的圆C交于M、N两点，试问 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由。
解：⑴直线L：y=mx+3-4m可化简为y=m(x-4)+3
所以直线恒过定点T（4，3）
⑵由题意，要使圆C的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆C的方程为。
⑶
=
=
由题意得直线L与圆C的一个交点为M（4，3），又知定点Q（--4，3），
直线L~MQ~：y=3，\|MQ\|=8，则当N（0，--5）时S~MQN~有最大值32.
即有最大值为64，
此时直线L的方程为2x--y--5=0。
14. 已知椭圆的离心率为，且过
 点，为上顶点，为右焦点．点是线
段（除端点外）上的一个动点，过作平行于轴的
直线交直线于点，以为直径的圆的圆心为．
（1）求椭圆方程；
（2）若圆与轴相切，求圆的方程；
（3）设点为圆上的动点，点到直线的最大距离为，求的取值范围．
解：（1）∵*e*＝ 不妨设*c*＝*3k*，*a*＝5*k*，则*b*＝4*k*，其中*k*＞0，故椭圆方程为，
∵*P*（4，）在椭圆上， ∴解得*k*＝1， ∴椭圆方程为―――4分
（2） ， 则直线AP的方程为―――――5分
令*y*＝*t* ，则 ∴M（ ，
∵*Q*（0，*t*） ， ∴N（， ――――――――――――7分
∵圆*N*与*x*轴相切 ∴ ，由题意M为第一象限的点，则，解得－9分
∴,圆*N*的方程为――――――――10分
（3）*F*（3,0）， ∴直线*PF*的方程为即――11分
∴点*N*到直线*PF*的距离为＝＝
∴＋，∵0＜*t*＜4 ――――12分
∴当0＜*t*≤时，＝ ，此时－14分
当＜*t*＜4时，＝，此时 －16分
∴综上， d的取值范围为．
15. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为*A*，*B*，右焦点为*F*，直线*l*为椭圆的右准线，*N*为*l*上一动点，且在*x*轴上方，直线*AN*与椭圆交于点*M*．
（1）若*AM*=*MN*，求∠*AMB*的余弦值；
（2）设过*A*，*F*，*N*三点的圆与*y*轴交于*P*，*Q*两点，当
线段*PQ*的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．
解：（1）由已知，，直线．
设*N*（8，*t*）（*t*\>0），因为*AM*=*MN*，所以*M*（2，）．
由*M*在椭圆上，得*t*=6．故所求的点*M*的坐标为*M*（2，3）．
所以，．
．
（用余弦定理也可求得）
（2）设圆的方程为，将*A*，*F*，*N*三点坐标代入，得
∵ 圆方程为，令，得．...11分
设，则．
由线段*PQ*的中点坐标为（0，9），得，．
此时所求圆的方程为．
（本题用韦达定理也可解）
（2）（法二）由圆过点*A*、*F*得圆心横坐标为－1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），
得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（－1，9）．
易求得圆的半径为，
所以，所求圆的方程为．
16. 已知圆，点，直线.
⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
解：⑴设所求直线方程为，即，
直线与圆相切，∴，得，
∴所求直线方程为
⑵方法1：假设存在这样的点，
当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，
依题意，，解得，（舍去），或。
下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。
设，则，
∴，
从而为常数。
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴，将代入得，
，即
对恒成立，
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。
17. 已知椭圆*E*：的离心率为，右焦点为*F*，且椭圆*E*上的点到点*F*距离的最小值为2．
（1）求椭圆*E*的方程；
（2）设椭圆*E*的左、右顶点分别为*A*、*B*，过点*A*的直线*l*与椭圆*E*及直线分别相交于点*M*、*N*．
> ① 当过*A*、*F*、*N*三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
>
> ② 若，求的面积．
解：⑴由已知，，且，所以，，所以，
所以椭圆的方程为．...............................................................3分
⑵（ⅰ）由⑴，，，设．
设圆的方程为，将点的坐标代入，得
解得...................................................6分
所以圆的方程为，
即，
因为，当且仅当时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为．.............................................9分
（ⅱ）由对称性不妨设直线的方程为．
由得，...................................................11分
所以，，
所以，
化简，得，..................................................................14分
解得，或，即，或，
此时总有，所以的面积为．..............................16分
18. 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
解：（1）设，由题可知，所以，解之得：
故所求点的坐标为或．
（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，
解得，或，
故所求直线的方程为：或．
（3）设，的中点，因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或
所以经过三点的圆必过定点或.
19. 已知**椭圆*E*：的**离心率为，它的**上顶点为*A*，左、右焦点分别为**，直线*AF*~1~，*AF*~2~分别交椭圆于**点*B*，*C*．**
（1）求证直线*BO*平分线段*AC*；
（2）设点*P*（*m*，*n*）（*m*，*n*为常数）在直线*BO*上且在椭圆外，过*P*的动直线*l*与椭圆交于两个不同点*M*，*N*，在线段*MN*上取点*Q*，满足，试证明点*Q*恒在一定直线上．
【解析】（1）由题意，，则，，
故椭圆方程为，
即，其中，，
∴直线的斜率为，此时直线的方程为，
联立得，解得（舍）和，即，
由对称性知．
直线*BO*的方程为，线段*AC*的中点坐标为，
*AC*的中点坐标满足直线*BO*的方程，即直线*BO*平分线段*AC*．
（2）设过*P*的直线*l*与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，
则，．
∵，∴设，则，
求得，，∴，
∴，
由于*m*，*n*，*C*为常数，所以点*Q*恒在直线上．
20. 椭圆*C*： 两个焦点为，点*P*在椭圆*C*上，且,且，.
(1)求椭圆*C*的方程.
(2)以此椭圆的上顶点*B*为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形*ABC*，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.
**解：**(1) ，又，
,
所求椭圆C的方程为.
> (2)假设能构成等腰直角三角形*ABC*，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.
由得,故，
用代替上式中的，得,
由
即即
故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.
21. 已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值．
（1）将与代入椭圆的方程，得
，............（2分）
解得，．............（5分）
所以椭圆的方程为．............（6分）
（2）由，知在线段的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知、关于原点对称．
①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时
．......（1分）
同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时
．......（2分）
②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），
则直线的方程为．设，，
由，解得，，......（4分）
所以，同理可得，
所以．......（7分）
综上，为定值．............（8分）
22. 已知椭圆*C*：(*a*\>*b*\>0)的上顶点为*A*，左，右焦点分别为*F*~1~，*F*~2~,且椭圆*C*过点*P*(，)，以*AP*为直径的圆恰好过右焦点*F*~2~.
(1)求椭圆*C*的方程；
> (2)若动直线*l*与椭圆*C*有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线*l*的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为椭圆过点*P*(，),所以=1,解得*a*^2^=2, ..................2分
又以*AP*为直径的圆恰好过右焦点*F*~2~.所以*AF*~2~⊥*F*~2~*P*,即−⋅−=−1, *b*^2^=*c*(4−3*c*).......6分
而*b*^2^=*a*^2^−*c*^2^=2−*c*^2^,所以*c*^2^−2*c*+1=0,解得*c*^2^=1,
故椭圆*C*的方程是+*y*^2^=1. ...........................8分
(2)①当直线*l*斜率存在时，设直线*l*方程为*y*=*kx*+*p*，代入椭圆方程得
> (1+2*k*^2^)*x*^2^+4*kpx*+2*p*^2^－2=0.
因为直线*l*与椭圆*C*有只有一个公共点，所以
△=16*k*^2^*p*^2^－4(1+2*k*^2^)(2*p*^2^－2)=8(1+2*k*^2^―*p*^2^)=0，
即 1+2*k*^2^=*p*^2^. .......................................10分
设在*x*轴上存在两点(*s*,0),(*t*,0),使其到直线*l*的距离之积为1,则
⋅ ==1,
即(*st*+1)*k*+*p*(*s*+*t*)=0(\*)，或(*st*+3)*k*^2^+(*s*+*t*)*kp*+2=0 (\*\*).
由(\*)恒成立,得解得−,或−, ..............................14分
而(\*\*)不恒成立.
②当直线*l*斜率不存在时，直线方程为*x*=±时，
> 定点(－1，0)、*F*~2~(1，0)到直线*l*的距离之积*d*~1~⋅⋅ *d*~2~=(－1)(+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(−1,0),使其到直线*l* 的距离之积为定值1. .........16分
23. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.
> (1)求椭圆的方程；
>
> (2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.
>
> ①若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程；
>
> ②若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.
解: (1)由，，得，故椭圆方程为.........3分
又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为.........5分
(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,
又由, ,得的中点为，而，
所以的中垂线方程为，由，得 ...8分
所以圆T的半径为，
故的外接圆的方程为..................10分
(说明:该圆的一般式方程为)
(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为.联立直线与椭圆方程： ，
整理得，得，
所以，整理得， ...13分
又
=，所以为定值..................16分
24. 已知左焦点为*F*(－1，0)的椭圆过点*E*(1，)．过点*P*(1，1)分别作斜率为*k*~1~，*k*~2~的椭圆的动弦*AB*，*CD*，设*M*，*N*分别为线段*AB*，*CD*的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若*P*为线段*AB*的中点，求*k*~1~；
（3）若*k*~1~+*k*~2~=1，求证直线*MN*恒过定点，并求出定点坐标．
**解**：依题设*c*=1，且右焦点(1，0)．
所以，2*a*==，*b*^2^=*a*^2^－*c*^2^=2，
故所求的椭圆的标准方程为． ....................................4分
(2)设*A*(，)，*B*(，)，则①，②．
②－①，得 ．
所以，*k*~1~=． .................................9分
(3)依题设，*k*~1~≠*k*~2~．
设*M*(,)，直线*AB*的方程为*y*－1=*k*~1~(*x*－1)，即*y*=*k*~1~*x*+(1－*k*~1~)，亦即*y*=*k*~1~*x*+*k*~2~，
代入椭圆方程并化简得 ．
于是，，． ....................................11分
同理，，．
当*k*~1~*k*~2~≠0时，
直线*MN*的斜率*k*==．..................13分
直线*MN*的方程为，
即 ，
亦即 ．
此时直线过定点． ...............................................................15分
当*k*~1~*k*~2~=0时，直线*MN*即为*y*轴，此时亦过点．
综上，直线*MN*恒过定点，且坐标为． .................................16分
25. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求椭圆的方程；
2. 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的 任意一点，直线交于点
> （ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；
（ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
⑴由题意得 ，所以，又，.......................................2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为．............................................................4分
⑵（ⅰ）设，，则，，
因为三点共线，所以， 所以，，8分
因为在椭圆上，所以，故为定值．10分
（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,
则直线的方程为，................................................12分
==，
所以直线过定点． ...............................................................16分
26. 已知椭圆的长轴两端点分别为*A*，*B*，是椭圆上的动点，以*AB*为一边在*x*轴下方作矩形*ABCD*，使，*PD*交*AB*于点*E*，*PC*交*AB*于点*F*．
（1）如图（1），若*k*＝1，且*P*为椭圆上顶点时，的面积为12，点*O*到直线*PD*的距离为，求椭圆的方程；
（2）如图（2），若*k*＝2，试证明：*AE*，*EF*，*FB*成等比数列．
图（1）
图（2）
**解**：（Ⅰ）如图，当*k*＝1时，*CD*过点（0，-*b*），*CD*＝2*a*，
∵的面积为12，∴，即．① ..................... 2分
此时*D*（-*a*，-*b*），∴直线*PD*方程为．
∴点*O*到*PD*的距离＝． ② ...... 4分
由①②解得． ............... 6分
∴所求椭圆方程为． ............ 7分
（Ⅱ）如图，当*k*＝2时，，设，
由*D*，*E*，*P*三点共线，及，
（说明：也可通过求直线方程做）
得，
∴，即．...... 9分
由*C*，*F*，*P*三点共线，及，
得，
∴，即．...... 11分
又，∴． ........................ 13分
而．...15分
∴，即有*AE*，*EF*，*FB*成等比数列． ................................. 16分
27. 如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C．
（Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；
（**Ⅱ**）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；
（**Ⅲ**）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，
> 得， .....................2分
>
> ∴，，∴． .....................4分
（**Ⅱ**）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，，
> ∴，则点B在线段的中垂线上，∴，............6分
>
> 又，∴，，∴，
>
> 代入椭圆方程得=，∴=．............9分
（**Ⅲ**）法一：由得，
> ∴，或，
>
> ∵，∴，则．......11分
>
> 由得，
>
> 得，或，同理，得，，......13分
>
> 当时，，，
>
> ，∴ BD⊥AD，∵为圆，
>
> ∴ ∠ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（*a*,0）. ...............16分
>
> 法二：**直线过定点，** .....................10分
>
> **证明如下：**
>
> 设，，则：
>
> **，**
>
> **所以，又**
>
> **所以三点共线，即直线过定点。**. .....................16分
28. 已知椭圆的中心在原点，长轴在*x*轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过*A*点的动直线交椭圆于*P*,*Q*两点．
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求椭圆的标准方程；
> （2）证明*P*,*Q*两点的横坐标的平方和为定值；
>
> （3）过点 *A,P*,*Q*的动圆记为圆*C，动圆C*过不同于*A*的定点，请求出该定点坐标.
解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.**......2分**
, , **......2分** 椭圆的标准方程为.**......4分**
（2）证明：设点
将带入椭圆，化简得：
,......**6分** ,
*P*,*Q*两点的横坐标的平方和为定值4.......**7分**
（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,
*PQ*中点*M*(), *PQ*的垂直平分线的方程为:, **......8分**
圆心（）满足，所以,**......9分**
圆过定点(2,0)，所以,**......10分**
圆过, *则* 两式相加得：
> ,**......11分**
, .**......12分**
因为动直线与椭圆C交与*P,Q*（均不与*A*点重合）所以，
由解得: **......13分**
代入圆的方程为：,
整理得：,**......14分**
所以：**......15分** 解得：或(舍).
所以圆过定点(0,1).**......16分**
**(法二)** 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:
.**......8分**
方程与方程为同解方程., **......11分**
圆过定点(2,0)，所以 , **......12分**
因为动直线与椭圆C交与*P,Q*（均不与*A*点重合）所以.
解得: ,**......13分 (以下相同)**
29. 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的"伴随圆"． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．
（Ⅰ）求椭圆及其"伴随圆"的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的"伴随圆"所得的弦长为，求的值；
（Ⅲ）过椭圆C的"伴椭圆"上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，当直线都有斜率时，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
（１）椭圆方程为：；.................. 2分
椭圆C的"伴椭圆"方程为： ... 4分
（２）设直线方程为：
因为截椭圆C的"伴随圆"所得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为
， ..................7分
又得
， ..................10分
（３）设，直线，
由（２）可知
即
又
为定值。 .................. 15分
30. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为。记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为（为常数）的椭圆为D。
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在轴上方），点P关于轴的对称点为N，设直线QN交轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论。
31. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆
```{=html}
<!-- -->
```
1. 若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
2. 设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.
证明：动圆圆心在一条定直线上运动；
动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
设圆：（），①
易得圆：， ②
圆：，③
由①②得，将代入得，
由①③得，将代入得，
代入③得，
整理得，
由得或
所以定点的坐标为，．
思路3（几何方法）：利用定点*M*在直线*C*~1~*C*~2~上，*C*~1~*C*~2~的中点为*N*，动圆圆心*C*满足*CC*~1~^2^+1^2^=*r*^2^= *CN*^2^+*CM*^2^，则*CM*^2^= *CN*^2^ ---*CC*~1~^2^+1= *C*~1~*N*^2^+1=9，进而得出结论．
32. 如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求点B的轨迹方程；
2. 当D位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
3. 若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE。记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。
(1)由已知，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，
所以点的轨迹方程为； ...................................................4分
⑵当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，
所以∥，且，
> 所以的坐标分别为和， .............................................7分
因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，
即直线的方程为． ..........................................10分
⑶设点的坐标分别为和，则点的坐标为，
因为点均在圆上，且，
所以 ①
②
③ ................................................13分
所以，，．
所以
，
即点到坐标原点的距离为定值，且定值为．....................................16分
33. 在平面直角坐标系中，过点A(-2,-1)椭圆的左焦点为F,短轴端点为、，。
> （1）求、的值；
>
> （2）过点A的直线与椭圆C的另一交点为Q，与轴的交点为R．过原点O且平行于的直线与椭圆的一个交点为P．若AQAR=3 OP^2^，求直线的方程。
34. 已知长轴在轴上的椭圆的离心率，且过点
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求椭圆的方程；
2. 若点为圆上任一点，过点作圆的切线交椭圆于、两点，求证：（为坐标原点）.
35. 如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为．过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，．
（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；
> （2）求的最大值．
**解：**（1）因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为．.......................................1分
因为两渐近线的夹角为且，所以．
所以．................................................2分
所以．因为，所以，所以，．
所以椭圆的方程为．......................................................5分
（2）因为，所以直线与的方程为，其中．.........6分
因为直线的方程为，
联立直线与的方程解得点．...........................7分
设，则．因为点，设点，
则有．解得，．... 10分
因为点在椭圆上，所以．
即．
等式两边同除以得...............12分
以．14分
所以当，即时，取得最大值．
故的最大值为．........................16分
36. 在平面直角坐标系*xOy*中，设椭圆*C*的中心在原点，焦点在*x*轴上，短半轴长为2，椭圆*C*上的点到右焦点的距离的最小值为．
（1）求椭圆*C*的方程；
（2）设直线*l*与椭圆*C*相交于*A*，*B*两点，且．
①求证：原点*O*到直线*AB*的距离为定值；
②求*AB*的最小值．
【解】（1）由题意，可设椭圆*C*的方程为，焦距为2*c*，离心率为*e*．
于是．
设椭圆的右焦点为*F*，椭圆上点*P*到右准线距离为，
则，于是当*d*最小即*P*为右顶点时，*PF*取得最小值，
所以．...........................................................................3分
因为
所以椭圆方程为．...............................................................5分
（2）①设原点到直线的距离为*h*，则由题设及面积公式知．
当直线的斜率不存在或斜率为时，或
于是．.............................................7分
当直线的斜率存在且不为时，则，
解得 同理.............................................9分
在Rt△*OAB*中，，
则
，所以．
综上，原点到直线的距离为定值．..........................................11分
另解：
，所以．
②因为*h*为定值，于是求的最小值即求的最小值．
，
令，则，
于是， ...............14分
因为，所以，
当且仅当，即，取得最小值，因而
所以的最小值为．...................................................16分
37. 已知曲线：，曲线：.曲线的左顶点恰为曲线的左焦点.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)设为曲线上一点，过点作直线交曲线于两点. 直线交
曲线于两点. 若为中点，
① 求证：直线的方程为 ；
② 求四边形的面积.
（Ⅰ） 5分
（Ⅱ）① 可得 7分
由
即
，符合 9分
② 解法一：联立方程
即 11分
到距离 13分
4 14分
当时面积也为4 15分
② 解法二：
联立方程
即 11分
， 到距离
14分
当时面积也为4 15分
② 解法三：
，，
到的距离为， 11分
又，
则. 13分
又为中点，
则. 15分
38. 如图，椭圆与椭圆中心在原点，焦点均在轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为，且椭圆的左准线被椭圆截得的线段长为，已知点是椭圆上的一个动点．
⑴求椭圆与椭圆的方程；
⑵设点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，若直线刚好平分，求点的坐标；
⑶若点在椭圆上，点满足，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
⑴设椭圆方程为，椭圆方程为，
则，∴，又其左准线，∴，则
∴椭圆方程为，其离心率为， ......3分
∴椭圆中，由线段的长为，得,代入椭圆，得，∴，椭圆方程为； ......6分
⑵，则中点为，∴直线为，...7分
由，得或，
∴点的坐标为； ......10分
⑶设，，则，，
由题意，∴ ......12分
∴
......14分
∴，∴，即，
∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为． ......16分
39. 在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.
> (Ⅰ)求椭圆的方程;
>
> (Ⅱ) 设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值；
>
> （III）在第(Ⅱ)问的条件下，作，设交于点，证明:当点在椭圆上移动时，点在某定直线上.
解：（Ⅰ）解(Ⅰ)由题意得 ，又，...........................2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
求椭圆的方程为．........................4分
(Ⅱ)设直线方程为，并设点，
由.
，...........................6分
，当时，直线与椭圆相交，所以，，
由得，，.....................8分
，整理得：.而,代入中得
为定值. ........................10分
（III）的斜率为：，又由,
从而得直线的方程为：,联立方程,
消去得方程，因为， 所以 ，
即点在直线上. ...........................14分
40. 在矩形中，已知，，*E*、*F*为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
> （1）求以*F*、*E*为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；
>
> （2）求⊙的方程；
>
> （3）设点，过点*P*作直线与⊙交于*M*，*N*两点，若点*M*恰好是线段*PN*的中点，求实数的取值范围．www.ks5u.com
>
> 
（1）由已知，设椭圆方程为，
由于焦点的坐标为，它对应的准线方程为 ，..............................2分
所以，，于是 ，，
所以所求的椭圆方程为: ． ...................................................4分
\(2\) 由题意可知，，，．
所以直线和直线的方程分别为:，，
由 解得 所以点的坐标为．..................6分
所以，，
因为，所以，................................................8分
所以⊙的圆心为中点，半径为，
所以⊙方程为 ..............................................10分
\(3\) 设点的坐标为，则点的坐标为，
因为点均在⊙上，所以，
由②－①×4，得，
> 所以点在直线，..................12分
>
> 又因为点在⊙上，
>
> 所以圆心到直线的距离
>
> ，....................................14分
即，
> 整理，得，即，
所以，故的取值范围为．.........16分
解法二：过作交于，
设到直线的距离，则
，
，
又因为
所以，，因为，
所以，所以，；
解法三：因为，，所以
所以，所以，．
41. 已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
4\. 解：设直线与椭圆的交点坐标为.
（1）把代入可得：， （2分）
则，当且仅当时取等号 （4分）
（2）由得，，（6分）
所以
（9分）
（3）（理）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，
由消去整理得
则 ① 又 ②
若存在定点符合题意，且
（11分）
把①、②式代入上式整理得
(其中都是常数)
要使得上式对变量恒成立，当且仅当
，解得 （13分）
当时，定点就是椭圆的右顶点，此时，；
当时，定点就是椭圆的左顶点，此时，； （15分）
当直线与轴垂直时，由，解得两交点坐标为
，可验证：或
所以，存在一点（或），使直线和的斜率的乘积为
非零常数（或）. （16分）
42. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过三点的圆的半径为2，过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）
> （1）求椭圆的标准方程；
>
> （2）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由**．**
解（1），是的中点，，，过三点的圆的圆心为，半径为，， \...\...4分
（2）设直线的方程为
，
由于菱形对角线垂直，则，解得，
即，，当且仅当时，等号成立
43. 在平面直角坐标系xoy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为。
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如
果不存在，说明理由。
1）设，则直线的斜率分别为...............2分
由题意知，即
所以动点的轨迹方程是 ..............................4分
（说明：没有范围扣1分）
（2）（ⅰ）由题意
所以线段的垂直平分线方程为 ..............................6分
设，则圆的方程为
圆心到轴的距离，由，得
所以圆的方程为 ..............................10分
（ⅱ）假设存在定直线与动圆均相切
当定直线的斜率不存在时，不合题意
设直线：
则对任意恒成立 ..............................12分
由
得
所以，解得或
所以存在两条直线和与动圆均相切 ........................16分
（说明：少一条直线扣1分）
44. 已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G： （是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．
> （1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；
>
> （2）当为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；
>
> （3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．
解：（1）令椭圆，其中，
得，所以，即椭圆为． .........3分
（2）直线，
设点，则中点为，
所以点所在的圆的方程为，
化简为， .........5分
与圆作差，即有直线，
因为点在直线上，所以，
所以，所以，
得，故定点， ...8分
> ． .........9分
（3）由直线AB与圆G： （是椭圆的焦半距）相离，
则，即，，
得
因为， 所以，① .........11分
> 连接若存在点使为正三角形，则在中，，
所以，，
，得
因为，所以，② .........14分
由①②，，
所以． .........15分
45. 如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知*F*~1~(－4,0)，*F*~2~(4,0)，*A*(0,8)，直线*y*＝*t*(0\<*t*\<8)与线段*AF*~1~，*AF*~2~分别交于点*P*，*Q*.
(1)当*t*＝3时，求以*F*~1~，*F*~2~为焦点，且过*PQ*中点的椭圆的标准方程；
(2)过点*Q*作直线*QR*∥*AF*~1~交*F*~1~*F*~2~于点*R*，记△*PRF*~1~的外接圆为圆*C*.
①求证：圆心*C*在定直线7*x*＋4*y*＋8＝0上；
②圆*C*是否恒过异于点*F*~1~的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(*a*\>*b*\>0)，
当*t*＝3时，*PQ*的中点为(0,3)，所以*b*＝3.
而*a*^2^－*b*^2^＝16，所以*a*^2^＝25，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①证明：法一：易得直线*AF*~1~：*y*＝2*x*＋8，
*AF*~2~：*y*＝－2*x*＋8，
所以可得*P*，*Q*，
再由*QR*∥*AF*~1~，得*R*(4－*t,*0)．
则线段*F*~1~*R*的中垂线方程为*x*＝－，
线段*PF*~1~的中垂线方程为*y*＝－*x*＋，
由解得△*PRF*~1~的外接圆的圆心坐标为.
经验证，该圆心在定直线7*x*＋4*y*＋8＝0上．
法二：易得直线*AF*~1~：*y*＝2*x*＋8；*AF*~2~：*y*＝－2*x*＋8，所以可得*P*，*Q*，再由*QR*∥*AF*~1~，得*R*(4－*t,*0)．
设△*PRF*~1~的外接圆*C*的方程为*x*^2^＋*y*^2^＋*Dx*＋*Ey*＋*F*＝0，
则
解得
所以圆心坐标为，经验证，该圆心在定直线7*x*＋4*y*＋8＝0上．
②由①可得圆*C*的方程为*x*^2^＋*y*^2^＋*tx*＋*y*＋4*t*－16＝0.
该方程可整理为(*x*^2^＋*y*^2^＋4*y*－16)＋*t*＝0，
则由
解得或
所以圆*C*恒过异于点*F*~1~的一个定点，该点坐标为.
46. 已知椭圆*C*：＋＝1(*a*\>*b*\>0)的离心率为，一条准线*l*：*x*＝2.
(1)求椭圆*C*的方程；
(2)设*O*为坐标原点，*M*是*l*上的点，*F*为椭圆*C*的右焦点，过点*F*作*OM*的垂线与以*OM*为直径的圆*D*交于*P*，*Q*两点．
①若*PQ*＝，求圆*D*的方程；
②若*M*是*l*上的动点，求证点*P*在定圆上，并求该定圆的方程．
解：(1)由题设：∴，∴*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝1，
∴椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)①由(1)知：*F*(1,0)，设*M*(2，*t*)，
则圆*D*的方程：(*x*－1)^2^＋^2^＝1＋，
直线*PQ*的方程：2*x*＋*ty*－2＝0，
∵*PQ*＝，∴2 ＝，
∴*t*^2^＝4，∴*t*＝±2.
∴圆*D*的方程：(*x*－1)^2^＋(*y*－1)^2^＝2或
(*x*－1)^2^＋(*y*＋1)^2^＝2.
②证明：法一：设*P*(*x*~0~，*y*~0~)，
由①知
即
消去*t*得*x*＋*y*＝2
∴点*P*在定圆*x*^2^＋*y*^2^＝2上．
法二：设*P*(*x*~0~，*y*~0~)，
则直线*FP*的斜率为*k~FP~*＝.
∵*FP*⊥*OM*，∴直线*OM*的斜率为*k~OM~*＝，
∴直线*OM*的方程为*y*＝－*x*，
点*M*的坐标为*M*.
∵*MP*⊥*OP*，∴·＝0，
∴*x*~0~(*x*~0~－2)＋*y*~0~＝0
∴*x*＋*y*＝2，∴点*P*在定圆*x*^2^＋*y*^2^＝2上．
47. 过点*C*(0,1)的椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的离心率为.椭圆与*x*轴交于两点*A*(*a,*0)、*B*(－*a,*0)．过点*C*的直线*l*与椭圆交于另一点*D*，并与*x*轴交于点*P*.直线*AC*与直线*BD*交于点*Q*.
(1)当直线*l*过椭圆右焦点时，求线段*CD*的长；
(2)当点*P*异于点*B*时，求证：·为定值．
解：(1)由已知得*b*＝1，＝，解得*a*＝2，
所以椭圆方程为＋*y*^2^＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，此时直线*l*的方程为
*y*＝－*x*＋1，代入椭圆方程化简得7*x*^2^－8*x*＝0.
解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝，
代入直线*l*的方程得*y*~1~＝1，*y*~2~＝－，
所以*D*点坐标为.
故\|*CD*\|＝＝.
(2)证明：当直线*l*与*x*轴垂直时与题意不符．
设直线*l*的方程为*y*＝*kx*＋1.
代入椭圆方程化简得(4*k*^2^＋1)*x*^2^＋8*kx*＝0.
解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝，
代入直线*l*的方程得*y*~1~＝1，*y*~2~＝，
所以*D*点坐标为.
又直线*AC*的方程为＋*y*＝1，
直线*BD*的方程为*y*＝(*x*＋2)，
联立解得
因此*Q*点坐标为(－4*k,*2*k*＋1)．
又*P*点坐标为.
所以·＝·(－4*k,*2*k*＋1)＝4.
故·为定值．
48. 已知*A*、*B*为椭圆＋＝1的左、右顶点，*F*为椭圆的右焦点，*P*是椭圆上异于*A*、*B*的任意一点，直线*AP*、*BP*分别交直线*l*：*x*＝*m*(*m*\>2)于*M*、*N*两点，*l*交*x*轴于*C*点．
(1)当*PF*∥*l*时，求点*P*的坐标；
(2)是否存在实数*m*，使得以*MN*为直径的圆过点*F*？若存在，求出实数*m*的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵*a*^2^＝4，*b*^2^＝3，∴*c*＝＝1.
连结*PF*，当*PF*∥*l*时，将*x*＝1代入＋＝1，
得*y*＝±，则*P*.
(2)设椭圆上任意一点*P*(*x*~0~，*y*~0~)，易得直线*AM*的方程为*y*＝(*x*＋2)，
由得*M*.
直线*BN*的方程为*y*＝(*x*－2)，
由得*N*.
∵点*P*(*x*~0~，*y*~0~)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，变形得＝－，
∴*k~MF~*·*k~NF~*＝·
＝＝·＝－.
要使以*MN*为直径的圆过点*F*，即要满足*MF*⊥*NF*，则*k~MF~*·*k~NF~*＝－1，解得*m*＝4.
所以存在*m*＝4，使得以*MN*为直径的圆过点*F*.
49. 如图，分别是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作直线的垂线交直线于点．
（1）当时，求点的坐标；
（2）判断直线与直线的斜率之积是否为定值?若是，请求出定值；若不是，说明理由；
（3）证明：直线与椭圆只有一个公共点．
【解析】（1），当时， 或，
当时，，所以直线的方程为，
令得，，所以的坐标为．
由对称性知，当时，的坐标为．
(2)设，则，
因为，所以，
所以直线的方程为，令，得，
所以，
又，所以(定值)．
(3)由(2)知，直线的方程为，即，
由
得，化简得:，
解得，所以直线与椭圆只有一个交点．
50. 已知椭圆的左顶点为，左右焦点为，点是椭圆上一点，
，且的三边构成公差为1的等差数列．
( I )求椭圆的离心率；
( II)若，求椭圆方程；
(III)若，点在第一象限，且的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点的坐标﹒
题型一：弦长问题
例1、已知椭圆*G*：＋*y*^2^＝1.过点(*m,*0)作圆*x*^2^＋*y*^2^＝1的切线*l*交椭圆*G*于*A*，*B*两点．
(1)求椭圆*G*的焦点坐标和离心率；
(2)将\|*AB*\|表示为*m*的函数，并求\|*AB*\|的最大值．
解 (1)由已知得，*a*＝2，*b*＝1，
所以*c*＝＝.
所以椭圆*G*的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为*e*＝＝.
(2)由题意知，\|*m*\|≥1.
当*m*＝1时，切线*l*的方程为*x*＝1，点*A*，*B*的坐标分别为，，此时\|*AB*\|＝.
当*m*＝－1时，同理可得\|*AB*\|＝.
当\|*m*\|＞1时，设切线*l*的方程为*y*＝*k*(*x*－*m*)．
由得(1＋4*k*^2^)*x*^2^－8*k*^2^*mx*＋4*k*^2^*m*^2^－4＝0.
设*A*，*B*两点的坐标分别为(*x*~1~，*y*~1~)，(*x*~2~，*y*~2~)，则
*x*~1~＋*x*~2~＝，*x*~1~*x*~2~＝.
又由*l*与圆*x*^2^＋*y*^2^＝1相切，得＝1，
即*m*^2^*k*^2^＝*k*^2^＋1.
所以\|*AB*\|＝＝
＝
＝.
由于当*m*＝±1时，\|*AB*\|＝，
所以\|*AB*\|＝，*m*∈(－∞，－1\]∪\[1，＋∞)．
因为\|*AB*\|＝＝≤2，
且当*m*＝±时，\|*AB*\|＝2，所以\|*AB*\|的最大值为2.
例2、设椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~.点*P*(*a*，*b*)满足\|*PF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|.
(1)求椭圆的离心率*e*；
(2)设直线*PF*~2~与椭圆相交于*A*，*B*两点，若直线*PF*~2~与圆(*x*＋1)^2^＋(*y*－)^2^＝16相交于*M*，*N*两点，且\|*MN*\|＝\|*AB*\|，求椭圆的方程．
解 (1)设*F*~1~(－*c,*0)，*F*~2~(*c,*0)(*c*＞0)，因为\|*PF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|，所以＝2*c*.整理得2^2^＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以*e*＝.(4分)
(2)由(1)知*a*＝2*c*，*b*＝*c*，可得椭圆方程为3*x*^2^＋4*y*^2^＝12*c*^2^，直线*PF*~2~的方程为*y*＝(*x*－*c*)．
*A*、*B*两点的坐标满足方程组消去*y*并整理，得5*x*^2^－8*cx*＝0.解得*x*~1~＝0，*x*~2~＝*c*.(6分)
得方程组的解为
不妨设*A*，*B*(0，－*c*)，
所以\|*AB*\|＝＝*c*.(8分)
于是\|*MN*\|＝\|*AB*\|＝2*c*.
圆心(－1，)到直线*PF*~2~的距离*d*＝＝.(10分)
因为*d*^2^＋^2^＝4^2^，所以(2＋*c*)^2^＋*c*^2^＝16.
整理得7*c*^2^＋12*c*－52＝0.
得*c*＝－(舍)，或*c*＝2.所以椭圆方程为＋＝1.
题型二：中点弦问题
例1、已知直线*y*＝－*x*＋2和椭圆＋＝1(*a*＞*b*＞0)相交于*A*、*B*两点，*M*为线段*AB*的中点，若\|*AB*\|＝2，直线*OM*的斜率为，求椭圆的方程．
\[尝试解答\] 设*A*(*x*~1~，*y*~1~)，*B*(*x*~2~，*y*~2~)，*M*(*x*~0~，*y*~0~)．
则
①－②得：＝－.
∴*k~AB~*＝－×＝－.③
又*k~OM~*＝＝，④
由③④得*a*^2^＝4*b*^2^.
由得：*x*^2^－4*x*＋8－2*b*^2^＝0，
∴*x*~1~＋*x*~2~＝4，*x*~1~·*x*~2~＝8－2*b*^2^.
∴\|*AB*\|＝\|*x*~1~－*x*~2~\|
＝
＝
＝
＝2.
解得：*b*^2^＝4.
故所求椭圆方程为：＋＝1
题型三：轨迹问题
例1、如图，
已知椭圆*E*经过点*A*(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点*F*~1~，*F*~2~在*x*轴上，离心率*e*＝.
(1)求椭圆*E*的方程；
(2)求∠*F*~1~*AF*~2~的角平分线所在直线*l*的方程．
解 (1)设椭圆*E*的方程为＋＝1(*a*＞*b*＞0)，
由*e*＝，即＝，得*a*＝2*c*，得*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝3*c*^2^.
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将*A*(2,3)代入上式，得＋＝1，解得*c*＝2，
∴椭圆*E*的方程为＋＝1.
(2)由(1)知*F*~1~(－2,0)，*F*~2~(2,0)，∴直线*AF*~1~的方程为
*y*＝(*x*＋2)，即3*x*－4*y*＋6＝0，直线*AF*~2~的方程为*x*＝2.
由点*A*在椭圆*E*上的位置知，直线*l*的斜率为正数．
设*P*(*x*，*y*)为*l*上任一点，则＝\|*x*－2\|.
若3*x*－4*y*＋6＝5*x*－10，得*x*＋2*y*－8＝0(因其斜率为负，舍去)．
于是，由3*x*－4*y*＋6＝－5*x*＋10，得2*x*－*y*－1＝0，
∴直线*l*的方程为2*x*－*y*－1＝0.
例2、(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点*O*，离心率*e*＝， 一条准线的方程为*x*＝2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点*P*满足：*O*＝*O*＋2*O*，其中*M*、*N*是椭圆上的点，直线*OM*与*ON*的斜率之积为－ .问：是否存在两个定点*F*~1~，*F*~2~，使得\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|为定值？若存在，求*F*~1~，*F*~2~的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)由*e*＝＝，＝2，
解得*a*＝2，*c*＝，*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝2，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设*P*(*x*，*y*)，*M*(*x*~1~，*y*~1~)，*N*(*x*~2~，*y*~2~)，
则由*O*＝*O*＋2*O*得
(*x*，*y*)＝(*x*~1~，*y*~1~)＋2(*x*~2~，*y*~2~)＝(*x*~1~＋2*x*~2~，*y*~1~＋2*y*~2~)，
即*x*＝*x*~1~＋2*x*~2~，*y*＝*y*~1~＋2*y*~2~.
因为点*M*、*N*在椭圆*x*^2^＋2*y*^2^＝4上，
所以*x*＋2*y*＝4，*x*＋2*y*＝4，
故*x*^2^＋2*y*^2^＝(*x*＋4*x*＋4*x*~1~*x*~2~)＋2(*y*＋4*y*＋4*y*~1~*y*~2~)
＝(*x*＋2*y*)＋4(*x*＋2*y*)＋4(*x*~1~*x*~2~＋2*y*~1~*y*~2~)
＝20＋4(*x*~1~*x*~2~＋2*y*~1~*y*~2~)．
设*k~OM~*，*k~ON~*分别为直线*OM*，*ON*的斜率，
由题设条件知*k~OM~*·*k~ON~*＝＝－，
因此*x*~1~*x*~2~＋2*y*~1~*y*~2~＝0，
所以*x*^2^＋2*y*^2^＝20.
所以*P*点是椭圆＋＝1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为*F*~1~，*F*~2~，
则由椭圆的定义\|*PF*~1~\|＋\|*PF*~2~\|为定值．
又因*c*＝＝，
因此两焦点的坐标为*F*~1~(－，0)，*F*~2~(，0)．
题型四：定点、定值问题
例1、(2014·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系*xOy*中，椭圆*E*：＋＝1(*a*\>*b*\>0)的焦距为2，且过点.
(1)求椭圆*E*的方程．
(2)若点*A*，*B*分别是椭圆*E*的左、右顶点，直线*l*经过点*B*且垂直于*x*轴，点*P*是椭圆上异于*A*，*B*的任意一点，直线*AP*交*l*于点*M*.
①设直线*OM*的斜率为*k*~1~，直线*BP*的斜率为*k*~2~，求证：*k*~1~*k*~2~为定值；
②设过点*M*垂直于*PB*的直线为*m*，求证：直线*m*过定点，并求出定点的坐标．
解 (1)由题意得2*c*＝2，所以*c*＝1.
又＋＝1，
消去*a*得2*b*^4^－5*b*^2^－3＝0，
解得*b*^2^＝3或*b*^2^＝－(舍去)，则*a*^2^＝4，
所以椭圆*E*的方程为＋＝1.
(2)①设*P*(*x*~1~，*y*~1~)(*y*~1~≠0)，*M*(2，*y*~0~)，
则*B*(2,0)，*k*~1~＝，*k*~2~＝，
因为*A*，*P*，*M*三点共线，所以*y*~0~＝，
所以*k*~1~*k*~2~＝＝.
因为*P*(*x*~1~，*y*~1~)在椭圆上，
所以*y*＝(4－*x*)，
所以*k*~1~*k*~2~＝＝－，为定值．
②直线*BP*的斜率为*k*~2~＝，直线*m*的斜率为*k~m~*＝，则直线*m*的方程为
*y*－*y*~0~＝(*x*－2)，
*y*＝(*x*－2)＋*y*~0~
＝*x*－＋
＝*x*＋
＝*x*＋
＝*x*＋＝(*x*＋1)，
所以直线*m*过定点(－1,0)．
例2、(2013·南京、淮安二模)在平面直角坐标系*xOy*中，椭圆*C*：＋＝1(*a*\>*b*\>0)过点*A*和点*B*(，1)．
(1)求椭圆*C*的方程．
(2)已知点*P*(*x*~0~，*y*~0~)在椭圆*C*上，*F*为椭圆的左焦点，直线*l*的方程为*x*~0~*x*＋3*y*~0~*y*－6＝0.
①求证：直线*l*与椭圆*C*有唯一的公共点；
②若点*F*关于直线*l*的对称点为*Q*，求证：当点*P*在椭圆*C*上运动时，直线*PQ*恒过定点，并求出此定点的坐标．
解 (1)由题意得
解得
所以所求椭圆*C*的方程为＋＝1.
(2)①联立方程组消去*y*得
(*x*＋3*y*)*x*^2^－12*x*~0~*x*＋36－18*y*＝0.(\*)
由于点*P*(*x*~0~，*y*~0~)在椭圆*C*上，
所以＋＝1，即3*y*＝6－*x*.
故(\*)式可化为*x*^2^－2*x*~0~*x*＋*x*＝0.
因为*Δ*＝(－2*x*~0~)^2^－4*x*＝0，所以原方程组仅有一组解，显然*x*＝*x*~0~，*y*＝*y*~0~是方程组的解，
所以直线*l*与椭圆*C*有唯一的公共点．
②点*F*的坐标为(－2,0)，过点*F*且与直线*l*垂直的直线的方程为
3*y*~0~*x*－*x*~0~*y*＋6*y*~0~＝0.
由解得
因为点*P*(*x*~0~，*y*~0~)在椭圆＋＝1上，
所以3*y*＝6－*x*，所以
所以点*F*(－2,0)关于直线*l*的对称点的坐标为*Q*.
当*x*~0~≠2时，*k~PQ~*＝＝.
所以直线*PQ*的方程为
*y*－*y*~0~＝(*x*－*x*~0~)，
即(*x*－2)*y*~0~－*yx*~0~＋2*y*＝0.
所以即直线*PQ*过定点(2,0)．
当*x*~0~＝2时，*y*~0~＝±，此时点*Q*的坐标为(2，±2)，直线*PQ*过点*M*(2,0)．
综上，直线*PQ*恒过定点(2,0)．
题型五：三角形面积问题
例1、（2014镇江高三一模）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大值.
解：（1）由题意：，则，**（每个1分）** **......3分**
椭圆的方程为 **......4分**
（2）斜率均存在，设直线方程为：，
，
得， **......5分**
，故， **......6分**
将上式中的换成，则同理可得：， **......8分**
如，得，则直线斜率不存在，
此时直线过点，下证动直线过定点. **......9分**
**（法一）**若直线斜率存在，则 ，
直线为， **......11分**
令，得，
综上，直线过定点. **......12分**
**（法二）**动直线最多过一个定点，由对称性可知，定点必在轴上，设与轴交点为，下证动直线过定点.
当时，， **......10分**
同理将上式中的换成，可得， **......11分**
则，直线过定点. **......12分**
（3）由第（2）问可知直线过定点，
故*S*~△*FMN*~=*S*~△*FPM*~+*S*~△*FPN*~
**......13分**
，
令，*S*~△*FMN*~ **......14分**
，则在单调递减， **......15分**
当时取得最大值，此时*S*~△*FMN*~取得最大值，此时. **......16分**
例2、如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求面积的最大值．
解：（1）由题意得，，
解得，所以，所以椭圆的标准方程为．
...............4分
（2）设，显然直线的斜率都存在，设为
，则，，
所以直线的方程为：，
消去得，化简得，
故点在定直线上运动． ...............10分
（3）由（2）得点的纵坐标为，
又，所以，则，
所以点到直线的距离 为，
将代入得，
所以面积
，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为． ...............16分
题型六：直线斜率问题
例1、（2014南京、盐城高三一模）在平面直角坐标系中，椭圆的右
准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为
的直线经过点，且点到直线的距离为.
> （1）求椭圆的标准方程；
>
> （2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当
>
> 三点共线时，试确定直线的斜率.
解：（1）由题意知，直线的方程为，即， ...............2分
右焦点到直线的距离为，， ...............4分
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，
椭圆的方程为； ...............6分
（2）方法一：由（1）知，， 直线的方程为， ...............8分
联立方程组，解得或（舍），即， ............12分
直线的斜率. ...............14分
方法二: 由（1）知，， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.
方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，
> 所以,，当三点共线时有，，
即，解得或，又由题意知，得或，所以.
例2、（2014南通高三一模）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，且∆是边长为的等边三角形.
求椭圆的方程；
过右焦点的直线与椭圆交于两点，记∆，∆的面积分别为.若，求直线的斜率.
解
题型七：最值问题
例1、（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,设,分别为椭圆的右顶点和上顶点,过原点作直线交线段于点(异于点,),交椭圆于,两点(点在第一象限内),和的面积分别为与.
> (1)若是线段的中点,直线的方程为,求椭圆的离心率;
>
> (2)当点在线段上运动时,求的最大值.
>
> 【答案】
>
> 
>
> 
例2、（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M.
> ⑴求椭圆T与圆O的方程;
>
> ⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合).
>
> ①若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;
>
> ②若,求与的方程.
>
> 
>
> 解: (1)由题意知: 解得可知:
>
> 椭圆的方程为与圆的方程
>
> (2)设因为⊥,则因为
>
> 所以,
>
> 因为 所以当时取得最大值为,此时点
>
> (3)设的方程为,由解得;
>
> 由解得
>
> 把中的置换成可得, 12分
>
> 所以,
>
> ,
>
> 由得解得 15分
>
> 所以的方程为,的方程为
或的方程为,的方程为 16分
圆锥曲线常见题型分析（二）
题型八：几何相切问题
例1、（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知椭圆的离心率,一条准线方程为
> ⑴求椭圆的方程;
>
> ⑵设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且.
>
> ①当直线的倾斜角为时,求的面积;
>
> ②是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.
>
> 解 (1)因为,,,
>
> 解得,所以椭圆方程为
>
> (2)①由,解得 ,
>
> 由 得 ,
>
> 所以,所以
>
> ②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为,则
>
> 因为,故,
>
> 当与的斜率均存在时,不妨设直线方程为:,
>
> 由,得,所以,
>
> 同理可得 (将中的换成可得)
>
> ,, p
>
> 当与的斜率有一个不存在时,可得,
故满足条件的定圆方程为:
例2、（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）如图,在平面直角坐标系中,点为椭圆的
> 右顶点, 点,点在椭圆上, .
>
> (1)求直线的方程;
>
> (2)求直线被过三点的圆截得的弦长;
>
> (3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
>
> 
>
> 解: (1)因为,且A(3,0),所以=2,而B, P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,
>
> 从而得
>
> 所以直线BD的方程为
>
> (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,
>
> 所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为
>
> 又圆心(0,-1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长
>
> 为
>
> 
题型九：几何垂直问题
例1、（2014苏锡常镇宿迁五市联考）在平面直角坐标系中，已知椭圆*C*：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点*A*作直线*l*⊥*x*轴，点*M*为直线*l*上的动点（点*M*与点*A*在不重合），点*B*为椭圆右顶点，直线*BM*交椭圆*C*于点*P*．
（1） 求椭圆*C*的方程；
（2） 求证：*AP*⊥*OM*；
（3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解
**例2、给定椭圆*C*：，称圆心在原点*O*、半径是的圆为椭圆*C*的"准**
**圆"．已知椭圆*C*的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．**
**（1）求椭圆*C*和其"准圆"的方程；**
**（2）若点是椭圆*C*的"准圆"与轴正半轴的交点，是椭圆*C*上的两相异点，且**
**轴，求的取值范围；**
**（3）在椭圆*C*的"准圆"上任取一点，过点作直线，使得与椭圆*C*都只有一个**
> **交点，试判断是否垂直？并说明理由．**
**解 （1）由题意知，且，可得****，**
**故椭圆*C*的方程为，其"准圆"方程为．**
**（2）由题意，可设，则有，**
**又*A*点坐标为，故，**
**故,**
**又，故， 所以的取值范围是．**
**（3）设，则．**
**当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．**
**当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，**
**则的方程为，代入椭圆方程可得**
**，即，**
**由，**
**可得，其中，**
**设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，**
**故，即．**
**综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．**
题型十：存在性恒成立问题
例1、（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆*E*:的左、右焦点,*A*,*B*分别是椭圆E的左、右顶点,且.
> (1)求椭圆*E*的离心率;
>
> (2)已知点为线段的中点,*M* 为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
>
> 
解: (1),.,化简得, 故椭圆*E*的离心率为.
(2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,,从而,,左焦点,椭圆*E*的方程为.设,,,,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、、共线,,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,
题型十一：取值范围问题
例1、（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知椭圆的左、右顶点分别为,,圆上有一动点, 在轴的上方,,直线交椭圆于点,连结,.
> (1)若,求的面积;
>
> (2)设直线,的斜率存在且分别为,,若,求的取值范围.
>
> 【答案】
>
>  
例2、（苏州市第一中学2013届高三"三模"数学试卷及解答）已知椭圆过点,且它的离心率.直线与椭圆交于、两点.
> (Ⅰ)求椭圆的标准方程;
>
> (Ⅱ)当时,求证:、两点的横坐标的平方和为定值;
>
> (Ⅲ)若直线与圆相切,椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
>
> 【答案】解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为
>
> 由已知得:,解得
>
> 所以椭圆的标准方程为:
>
> (Ⅱ) 由,得,设,,
>
> 则,为定值
>
> (Ⅲ)因为直线与圆相切
>
> 所以,
>
> 把代入并整理得:
>
> 设,则有
>
> 因为,, 所以,
>
> 又因为点在椭圆上, 所以,
>
> . 因为 所以 ,
>
> 所以 ,所以 的取值范围为
题型十二：离心率问题
例1、（2014南京高三三模）在平面直角坐标系*xOy*中，设中心在坐标原点的椭圆*C*的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~，右准线
*l*：*x*＝*m*＋1与*x*轴的交点为*B*，*BF*~2~＝*m*．
> （1）已知点(，1)在椭圆*C*上，求实数*m*的值；
>
> （2）已知定点*A*(－2，0)．
①若椭圆*C*上存在点*T*，使得＝，求椭圆*C*的离心率的取值范围；
> ②当*m*＝1时，记*M*为椭圆*C*上的动点，直线*AM*，*BM*分别与椭圆*C*交于另一点*P*，*Q*，
>
> 若 ＝*λ*，＝*μ*，求证：*λ*＋*μ*为定值．
**解** （1）设椭圆*C*的方程为 ＋＝1(*a*＞*b*＞0)．
由题意，得 解得
所以椭圆方程为＋＝1．
因为椭圆*C*过点(，1)，所以＋＝1，
解得*m*＝2或*m*＝－ (舍去）．
所以*m*＝2． .............................. 4分
（2）①设点*T*(*x*，*y*)．
由＝，得(*x*＋2)^2^＋*y*^2^＝2\[(*x*＋1)^2^＋*y*^2^\]，即*x*^2^＋*y*^2^＝2． ..................... 6分
由 得*y*^2^＝*m*^2^－*m*．
因此0≤*m*^2^－*m*≤*m*，解得1***≤**m**≤***2．
所以椭圆*C*的离心率*e*＝\[，\]． .............................. 10分
②**（方法一）**设*M*(*x*~0~，*y*~0~)，*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)．
则→＝(*x*~0~＋2，*y*~0~)，→＝(*x*~1~＋2，*y*~1~)．
由→＝*λ*→， 得 *λλ*
从而*λλλ* .............................. 12分
因为＋*y*~0~^2^＝1，所以*λλ*＋(*λy*~1~)^2^＝1．
即*λ*^2^(＋*y*~1~^2^)＋2*λ*(*λ*－1)*x*~1~＋2(*λ*－1)^2^－1＝0．
因为 ＋*y*~1~^2^＝1，代入得2*λ* (*λ*－1)*x*~1~＋3*λ*^2^－4*λ*＋1＝0．
由题意知，*λ*≠1，
故*x*~1~＝－*λλ*，所以*x*~0~＝*λ*．
同理可得*x*~0~＝*μ*． .............................. 14分
因此*λ*＝*μ*，
所以*λ*＋*μ*＝6． .............................. 16分
**（方法二）**设*M*(*x*~0~，*y*~0~)，*P*(*x*~1~，*y*~1~)，*Q*(*x*~2~，*y*~2~)．
直线*AM*的方程为*y*＝(*x*＋2)．
将*y*＝(*x*＋2)代入＋*y*^2^＝1，得((*x*~0~＋2)^2^＋*y*)*x*^2^＋4*yx*＋4*y*－(*x*~0~＋2)^2^ ＝0(\*)．
因为＋*y*~0~^2^＝1，所以（\*）可化为(2*x*~0~＋3)*x*^2^＋4*yx*－3*x*－4*x*~0~＝0．
因为*x*~0~*x*~1~＝－，所以*x*~1~＝－．
同理*x*~2~＝． .............................. 14分
因为→＝*λ*→，＝*μ*，
所以*λ*＋*μ*＝＋＝＋
＝＋＝6．
即*λ*＋*μ*为定值6． .............................. 16分
题型十三：方程解析式问题
例1、（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知椭圆:的离心率为,右焦点为,且椭圆上的点到点距离的最小值为2.
> ⑴求椭圆的方程;
>
> ⑵设椭圆的左、右顶点分别为,过点的直线与椭圆及直线分别相交于点.
>
> (ⅰ)当过三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
>
> (ⅱ)若,求的面积.
>
> 【答案】⑴由已知,,且,所以,,所以,
>
> 所以椭圆的方程为
>
> ⑵(ⅰ)由⑴,,,设.
>
> 设圆的方程为,将点的坐标代入,得
>
> 解得
>
> 所以圆的方程为,
>
> 即,
>
> 因为,当且仅当时,圆的半径最小,
>
> 故所求圆的方程为
>
> (ⅱ)由对称性不妨设直线的方程为.
>
> 由得,
>
> 所以,,
>
> 所以,
>
> 化简,得,
>
> 解得,或,即,或, 此时总有,所以的面积为.
例2、（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.
> (1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;
>
> (2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.
>
> 
>
> 【答案】解:设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是,
>
> 由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是,
>
> (只要是一个字母,其它形式同样得分,)
>
> 焦点,准线,设点,
>
> (1)是边长为的等边三角形,
>
> 则圆半径为,且到直线的距离是,
>
> 又到直线的距离是,
>
> 所以,,,
>
> 所以
>
> 所以,圆的方程是
>
> (2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点,
>
> 由点横坐标是得,,
>
> 再由得:,,
>
> 所以直线斜率
>
> 直线:,
>
> 原点到直线的距离,
>
> 依题意,,所以,
>
> 所以椭圆的方程是
例3、（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））如图,已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(3,1),离心率.
> (1)求椭圆E的方程;
>
> (2)过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点,过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点,求证A、B、C、D四点在同一个圆上.
>
> 
>
> 【答案】解(1) 设椭圆方程为,因为离心率,所以,
>
> 所以椭圆方程为,
>
> 又因为经过点,则,
>
> 所以,所以椭圆的方程为
>
> 
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**《十年的变化》同步练习**
> 一、三位数加减法计算题练习。
>
> 59+86= 473+577= 733+530=
>
> 139+312= 323+291= 387+833=
>
> 964+103= 686+936= 921+231=
>
> 302+355= 195+676= 968+825=
>
> 519+171= 216+612= 160+248=
>
> 515+449= 118+377= 165+868=
>
> 二、综合应用：
>
> 1．学校商店上午卖出219根冰棒，下午卖出392根冰棒，一天一共卖出多少根冰棒？
>
> 2、超市一共卖出615箱豆奶，还剩下345箱豆奶没有卖出，超市原来有多少箱豆奶？
>
> 三、笔算下列各题：
>
> 645+285= 34+678=
>
> 四、说一说：计算645+285时，\[来源:学科网\]
>
> 645 先算（ ）+（ ）=（ ），向十位上进1.个位上写（ ），
>
> +285 再算（ ）+（ ）＋（ ）=（ ），向（ ）位进1，十位上写（ ），
>
> 最后算（ ）+（ ）＋（ ）=（ ）。\[来源:学科网ZXXK\]
>
> 五、笔算加法时，哪一位上的数相加满十，就要向（ ）位进1.
>
> 六、小明从家走到超市走了279米，又从超市走到电影院走了321米。小明一共走了多少米？
>
> 七、笔算下面各题。\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
>
> 153＋826＝ 784＋163＝ 289＋446＝ 489＋108＝
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> 八、列式计算。
>
> 1．一个加数是384，另一个加数是408，和是多少？
>
> 2．比586多207的数是多少？
>
> **参考答案：**
>
> 一：145；1050；1263；451；614；1220；1067；1622；1152；657；871；1793；690；828；408；964；495；1033。
>
> 二：（1）答：一共卖出219+392=611根；
>
> （2）答：超市原来有615+345=960箱。
>
> 三：930；712。
>
> 四：5+5=10；0；4+8+1=13；百；3；6+2+3=11。
>
> 五：前一。
>
> 六：答：小明一共走了279+321=600米。
>
> 七、笔算下面各题。\[来源:学\*科\*网\]
>
> 153＋826＝979 784＋163＝947
>
> 289＋446＝735 489＋108＝597
>
> 八、列式计算。
>
> 1．384＋408＝792 2．586＋207＝793
>
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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小学数学总复习专题训练（三）
**一、基本训练：**
1、找出下列各题中的单位"1"。
> ①男生人数占女生人数60%。
>
> ②男生人数比女生人数多20%。
>
> ③女生人数比男生人数少25%。
>
> ④加工一批零件，已完成了80%。
>
> ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
>
> 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系
>
> ①一条路，已修了全长的60%
②一种彩电，现价比原价降低10%
> ③松树的棵数比柏树多
3、看图列式。
用去30% ? 只
灰兔 比灰兔多25%
用去 ? 吨 还剩28吨 白兔
30只
4、列式计算：
（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。
（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。
**二、解决问题：**
1、对比练习
（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？
（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？
> 2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？
>
> 3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？
4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元？
> 5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？
>
> 6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，\_\_\_\_\_\_\_\_?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵， [ ]{.underline} ，梨树有多少棵？
①200÷20%
②200×20%
③200÷（1+20%）
④200÷（1-20%）
⑤200×（1-20%）
⑥200×（1+20%）
**参考答案：**
**一、基本训练：**
1、找出下列各题中的单位"1"。
> ①男生人数占女生人数60%。 把女生人数看作单位"1"
>
> ②男生人数比女生人数多20%。 把女生人数看作单位"1"
>
> ③女生人数比男生人数少25%。 把男生人数看作单位"1"
>
> ④加工一批零件，已完成了80%。 把一批零件看作单位"1"
>
> ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。把去年的猪肉单价看作单位"1"
>
> 2、根据所给信息，说出数量间的相等关系
>
> ①一条路，已修了全长的60% 全长 × 60% = 已修
②一种彩电，现价比原价降低10% 原价 × 10% = 降价
原价 ×（1-10%）= 现价
> ③松树的棵数比柏树多 柏树 × = 松树比柏树多的棵数
>
> 柏树 ×（1+）= 松树
3、看图列式。
用去30% ? 只
灰兔 比灰兔多25%
用去 ? 吨 还剩28吨 白兔
28 ÷（1 - 30%）×30% = 12（吨） 30只
ｘ + 25％ｘ = 30
ｘ = 24
4、列式计算：
（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。75％ｘ -- 30 × 25% = 1.5
ｘ = 12
（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。75％ｘ -- 25%ｘ = 30
ｘ = 60
二、解决问题：
1、对比练习
（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？
解：设五月份用煤ｘ吨。 ｘ -- 25%ｘ = 60
ｘ = 80
（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？
60 + 60 × 25% = 75（吨）
> 2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是60%ｘ元。
ｘ -- 60%ｘ = 10
ｘ = 25
25 × 60% = 15（元）或 25 -- 10 = 15（元）
答：课桌的单价是25元，椅子的单价是15元。
> 3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？
解：设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是20%ｘ棵。
ｘ + 20%ｘ = 360
ｘ = 300
300 × 20% = 60（棵）或 360 -- 300 = 60（棵）
答：梨树的棵树是300棵，苹果树的棵树是60棵。
4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是30%ｘ元。
ｘ + 30%ｘ = 78
ｘ = 60
60 × 30% = 18（元）或 78 -- 60 = 18（元）
答：课桌的单价是60元，椅子的单价是18元。
> 5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
25%ｘ + 35%ｘ = 6
ｘ = 10
答：这条绳子共长10米。
> 6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
35%ｘ - 25%ｘ = 1
ｘ = 10
答：这条绳子共长10米。
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，\_\_\_\_\_\_\_\_?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 25 ÷ 20 = 125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 20 ÷ 25 = 80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ （25 -- 20） ÷ 20 = 25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ （25 -- 20） ÷ 25 = 20%
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵， [ ]{.underline} ，梨树有多少棵？
①200÷20% 苹果树是梨树的20%
②200×20% 梨树是苹果树的20%
③200÷（1+20%） 苹果树比梨树多20%
④200÷（1-20%） 苹果树比梨树少20%
⑤200×（1-20%） 梨树比苹果树少20%
⑥200×（1+20%） 梨树比苹果树多20%
| 1 | |
**2019年江苏省镇江市中考数学试卷**
**一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）**
1．（2分）（2019•镇江）的相反数是[ ]{.underline}．
2．（2分）（2019•镇江）27的立方根为[ ]{.underline}．
3．（2分）（2019•镇江）一组数据4，3，，1，5的众数是5，则[ ]{.underline}．
4．（2分）（2019•镇江）若代数式有意义，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
5．（2分）（2019•镇江）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.00000000005表示为[ ]{.underline}．
6．（2分）（2019•镇江）已知点、都在反比例函数的图象上，则[ ]{.underline}．（填""或""
7．（2分）（2019•镇江）计算：[ ]{.underline}．
8．（2分）（2019•镇江）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则[ ]{.underline}．
9．（2分）（2019•镇江）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于[ ]{.underline}．
10．（2分）（2019•镇江）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则[ ]{.underline}．（结果保留根号）
11．（2分）（2019•镇江）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘、，当转盘停止转动时，若事件"指针都落在标有数字1的扇形区域内"的概率是，则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是[ ]{.underline}．
12．（2分）（2019•镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）**
13．（3分）（2019•镇江）下列计算正确的是
A． B． C． D．
14．（3分）（2019•镇江）一个物体如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
15．（3分）（2019•镇江）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B． C． D．
16．（3分）（2019•镇江）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是
A．
B．
C．
D．
17．（3分）（2019•镇江）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于
A． B． C． D．3
**三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）**
18．（8分）（2019•镇江）（1）计算：；
（2）化简：．
19．（10分）（2019•镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式：
20．（6分）（2019•镇江）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；
（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
21．（6分）（2019•镇江）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
22．（6分）（2019•镇江）如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，的半径为12，则[ ]{.underline}．
23．（6分）（2019•镇江）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知与的面积满足．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
24．（6分）（2019•镇江）在三角形纸片（如图中，，．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图．
（1）[ ]{.underline}；
（2）求正五边形的边的长．
参考值：，，．
25．（6分）（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
------ ----------------------------------
得分 类别
0 ：没有作答
1 ：解答但没有正确
3 ：只得到一个正确答案
6 ：得到两个正确答案，解答完全正确
------ ----------------------------------
已知两个班一共有的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是[ ]{.underline}；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是多少？
26．（6分）（2019•镇江）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为"复矩" ，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
【实际应用】
观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知，求这两个观测点之间的距离即上的长．取
27．（10分）（2019•镇江）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．
（1）点的坐标是[ ]{.underline}；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围[ ]{.underline}．
28．（11分）（2019•镇江）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的"迎面相遇"包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为[ ]{.underline}个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为[ ]{.underline}个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
①[ ]{.underline}；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是[ ]{.underline}．（直接写出结果）
**2019年江苏省镇江市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）**
1．（2分）的相反数是[ 2019 ]{.underline}．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：的相反数是：2019．
故答案为：2019．
2．（2分）27的立方根为[ 3 ]{.underline}．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：，
的立方根是3，
故答案为：3．
3．（2分）一组数据4，3，，1，5的众数是5，则[ 5 ]{.underline}．
【分析】根据众数的概念求解可得．
【解答】解：数据4，3，，1，5的众数是5，
，
故答案为：5．
4．（2分）若代数式有意义，则实数的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
5．（2分）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.00000000005表示为[ ]{.underline}．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为．
故答案为：．
6．（2分）已知点、都在反比例函数的图象上，则[ ]{.underline}．（填""或""
【分析】反比例函数的图象在第二象限，在第二象限内，随的增大而增大，根据的值大小，得出值大小．
【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限，而、都在第二象限，
在第二象限内，随的增大而增大，
．
故答案为：
7．（2分）计算：[ ]{.underline}．
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
8．（2分）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则[ 40 ]{.underline}．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
由三角形的外角性质可知，，
故答案为：40．
9．（2分）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值等于[ 1 ]{.underline}．
【分析】利用判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为1．
10．（2分）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则[ ]{.underline}．（结果保留根号）
【分析】先根据正方形的性质得到，，再利用旋转的性质得，根据正方形的性质得，则可判断为等腰直角三角形，从而计算即可．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点落在对角线上，
，，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
11．（2分）如图，有两个转盘、，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘、，当转盘停止转动时，若事件"指针都落在标有数字1的扇形区域内"的概率是，则转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数是[ 80 ]{.underline}．
【分析】先根据题意求出转盘中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于计算即可．
【解答】解：设转盘中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为，
根据题意得：，
解得，
转盘中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．
故答案为：80．
12．（2分）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是[ ]{.underline}．
【分析】根据题意得，解不等式求得，把代入代数式即可求得．
【解答】解：抛物线过点，两点，
线段的长不大于4，
的最小值为：；
故答案为．
**二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）**
13．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
14．（3分）一个物体如图所示，它的俯视图是
A． B．
C． D．
【分析】从图形的上方观察即可求解；
【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到，
故选：．
15．（3分）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于
A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出、，计算即可．
【解答】解：连接，
四边形是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：．
16．（3分）下列各数轴上表示的的取值范围可以是不等式组的解集的是
A．
B．
C．
D．
【分析】由数轴上解集左端点得出的值，代入第二个不等式，解之求出的另外一个范围，结合数轴即可判断．
【解答】解：由得，
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
．由数轴知，则，，解得，与数轴相符合；
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
．由数轴知，则，，解得，与数轴不符；
故选：．
17．（3分）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于
A． B． C． D．3
【分析】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．首先说明点与点重合时，的值最大，如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当点是的中点时，作于，连接．
，，
，，
，
，
，
当点与重合时，的值最大．
如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．
，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
**三、解答题（本大题共有11小题，共计81分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）**
18．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；
（2）根据分式的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
19．（10分）（1）解方程：；
（2）解不等式：
【分析】（1）方程两边同乘以化成整式方程求解，注意检验；
（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．
【解答】解；（1）方程两边同乘以得
检验：将代入得
是原方程的解．
原方程的解是．
（2）化简得
原不等式的解集为．
20．（6分）如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；
（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
【分析】（1）由垂线的性质得出，，由平行线的性质和对顶角相等得出，由即可得出；
（2）连接、，由全等三角形的性质得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，
，，
，
，
，，
，
在和中，，
；
（2）解：线段与互相平分，理由如下：
连接、，如图所示：
由（1）得：，
，
，
四边形是平行四边形，
线段与互相平分．
21．（6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，
则小丽和小明在同一天值日的概率是．
22．（6分）如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，的半径为12，则[ ]{.underline}．
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出，得出，再由三角函数定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
点在圆上，
直线与相切；
（2）解：，
，
，
，
；
故答案为：．
23．（6分）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知与的面积满足．
（1）[ 3 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标．
【分析】（1）由一次函数解析式求得点的坐标，易得的长度，结合点的坐标和三角形面积公式求得，所以，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
（2）利用待定系数法确定直线函数关系式，易得点的坐标；利用，判定，根据该相似三角形的对应边成比例求得、的长度，易得点的坐标．
【解答】解：（1）由一次函数知，．
又点的坐标是，
．
．
．
点是反比例函数图象上的点，
，则．
故答案是：3；8；
（2）由（1）知，反比例函数解析式是．
，即．
故，将其代入得到：．
解得．
直线的解析式是：．
令，则，
，
．
．
由（1）知，．
设，则，．
，，
，
，即①，
又②．
联立①②，得（舍去）或．
故．
24．（6分）在三角形纸片（如图中，，．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图．
（1）[ 30 ]{.underline}；
（2）求正五边形的边的长．
参考值：，，．
【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；
（2）作于，根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）五边形是正五边形，
，
，
故答案为：30；
（2）作于，
在中，，
，
在中，，
，
．
25．（6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．
各类别的得分表
------ ----------------------------------
得分 类别
0 ：没有作答
1 ：解答但没有正确
3 ：只得到一个正确答案
6 ：得到两个正确答案，解答完全正确
------ ----------------------------------
已知两个班一共有的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：
（1）九（2）班学生得分的中位数是[ 6分 ]{.underline}；
（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是多少？
【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在类，所以中位数是6分；
（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班、两类的学生数得到类和类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．
【解答】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：人，
将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在类，所以中位数是6分．
故答案为6分；
（2）两个班一共有学生：（人，
九（1）班有学生：（人．
设九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是人、人．
由题意，得，
解得．
答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于类和类的人数各是6人、17人．
26．（6分）【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为"复矩" ，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．
【实际应用】
观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．
（1）求的度数；
（2）已知，求这两个观测点之间的距离即上的长．取
【分析】（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，则，证出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出；
（2）同（1）可证，求出，由弧长公式即可得出结果．
【解答】解：（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可证，
，
．
27．（10分）如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线1，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．
（1）点的坐标是[ ]{.underline}；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点、，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围[ ]{.underline}．
【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；
（2）由对称轴可知点，，，点关于对称轴对称的点，，借助的直线解析式求得；①当时，，可求，，当时，，；当与不平行时，；②当，时，，，所以，则有且只有一个与相似时，；
【解答】解：（1）顶点为；
故答案为；
（2）对称轴，
，
由已知可求，，
点关于对称点为，，
则关于对称的直线为，
，
①当时，，
，，
当时，，
，
，
；
当与不平行时，，
，
，
；
综上所述，；
②当，时，
，
，
，
，
有且只有一个与相似时，；
故答案为；
28．（11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的"迎面相遇"包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为[ 90 ]{.underline}个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为[ ]{.underline}个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图2所示）．
①[ ]{.underline}；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是[ ]{.underline}．（直接写出结果）
【分析】【观察】①设此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
②此时相遇点距点为个单位，根据题意列方程即可得到结论；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论；
②设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论；
【拓展】由题意得到，得到，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
【解答】解：【观察】①相遇地点与点之间的距离为30个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人甲从相遇点到点所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：90；
②相遇地点与点之间的距离为40个单位长度，
相遇地点与点之间的距离为个单位长度，
设机器人甲的速度为，
机器人乙的速度为，
机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点所用时间为，而，
设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点为个单位，
根据题意得，，
，
故答案为：120；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
经检验：是分式方程的根，
即：，
故答案为：50；
②当时，点在线段上，
线段的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时，
设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
，
即：，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，，
，
第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过60个单位长度，
，
，
，
，
故答案为．
| 1 | |
**2019年广东省广州市中考数学试卷**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．（3分）（2019•广州）\|﹣6\|＝（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）（2019•广州）广州正稳步推进碧道建设，营造"水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群"的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
3．（3分）（2019•广州）如图，有一斜坡*AB*，坡顶*B*离地面的高度*BC*为30*m*，斜坡的倾斜角是∠*BAC*，若tan∠*BAC*＝，则此斜坡的水平距离*AC*为（ ）
> 
A．75*m* B．50*m* C．30*m* D．12*m*
4．（3分）（2019•广州）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）^2^＝﹣
C．*x*^3^•*x*^5^＝*x*^15^ D．•＝*a*
5．（3分）（2019•广州）平面内，⊙*O*的半径为1，点*P*到*O*的距离为2，过点*P*可作⊙*O*的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．（3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做*x*个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
7．（3分）（2019•广州）如图，▱*ABCD*中，*AB*＝2，*AD*＝4，对角线*AC*，*BD*相交于点*O*，且*E*，*F*，*G*，*H*分别是*AO*，*BO*，*CO*，*DO*的中点，则下列说法正确的是（ ）
> 
A．*EH*＝*HG*
B．四边形*EFGH*是平行四边形
C．*AC*⊥*BD*
D．△*ABO*的面积是△*EFO*的面积的2倍
8．（3分）（2019•广州）若点*A*（﹣1，*y*~1~），*B*（2，*y*~2~），*C*（3，*y*~3~）在反比例函数*y*＝的图象上，则*y*~1~，*y*~2~，*y*~3~的大小关系是（ ）
A．*y*~3~＜*y*~2~＜*y*~1~ B．*y*~2~＜*y*~1~＜*y*~3~ C．*y*~1~＜*y*~3~＜*y*~2~ D．*y*~1~＜*y*~2~＜*y*~3~
9．（3分）（2019•广州）如图，矩形*ABCD*中，对角线*AC*的垂直平分线*EF*分别交*BC*，*AD*于点*E*，*F*，若*BE*＝3，*AF*＝5，则*AC*的长为（ ）
> 
A．4 B．4 C．10 D．8
10．（3分）（2019•广州）关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（*k*﹣1）*x*﹣*k*+2＝0有两个实数根*x*~1~，*x*~2~，若（*x*~1~﹣*x*~2~+2）（*x*~1~﹣*x*~2~﹣2）+2*x*~1~*x*~2~＝﹣3，则*k*的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
11．（3分）（2019•广州）如图，点*A*，*B*，*C*在直线*l*上，*PB*⊥*l*，*PA*＝6*cm*，*PB*＝5*cm*，*PC*＝7*cm*，则点*P*到直线*l*的距离是[ ]{.underline}*cm*．
> 
12．（3分）（2019•广州）代数式有意义时，*x*应满足的条件是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•广州）分解因式：*x*^2^*y*+2*xy*+*y*＝[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板*ADE*绕点*A*逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板*ADE*的一边所在的直线与*BC*垂直，则α的度数为[ ]{.underline}．
> 
15．（3分）（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为[ ]{.underline}．（结果保留π）
> 
16．（3分）（2019•广州）如图，正方形*ABCD*的边长为*a*，点*E*在边*AB*上运动（不与点*A*，*B*重合），∠*DAM*＝45°，点*F*在射线*AM*上，且*AF*＝*BE*，*CF*与*AD*相交于点*G*，连接*EC*，*EF*，*EG*，则下列结论：
> ①∠*ECF*＝45°；②△*AEG*的周长为（1+）*a*；③*BE*^2^+*DG*^2^＝*EG*^2^；④△*EAF*的面积的最大值*a*^2^．
>
> 其中正确的结论是[ ]{.underline}．（填写所有正确结论的序号）
>
> 
**三、解答题（共9小题，满分102分）**
17．（9分）（2019•广州）解方程组：．
18．（9分）（2019•广州）如图，*D*是*AB*上一点，*DF*交*AC*于点*E*，*DE*＝*FE*，*FC*∥*AB*，求证：△*ADE*≌*CFE*．
> 
19．（10分）（2019•广州）已知*P*＝﹣（*a*≠±*b*）
> （1）化简*P*；
>
> （2）若点（*a*，*b*）在一次函数*y*＝*x*﹣的图象上，求*P*的值．
20．（10分）（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加"平均每周课外阅读时间"的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
> 频数分布表
------- ----------- -----------
组别 时间/小时 频数/人数
*A*组 0≤*t*＜1 2
*B*组 1≤*t*＜2 *m*
*C*组 2≤*t*＜3 10
*D*组 3≤*t*＜4 12
*E*组 4≤*t*＜5 7
*F*组 *t*≥5 4
------- ----------- -----------
> 请根据图表中的信息解答下列问题：
>
> （1）求频数分布表中*m*的值；
>
> （2）求*B*组，*C*组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
>
> （3）已知*F*组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从*F*组中随机选取2名学生，恰好都是女生．
>
> 
21．（12分）（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5*G*等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5*G*基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5*G*基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5*G*基站数量将达到17.34万座．
> （1）计划到2020年底，全省5*G*基站的数量是多少万座？
>
> （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5*G*基站数量的年平均增长率．
22．（12分）（2019•广州）如图，在平面直角坐标系*xOy*中，菱形*ABCD*的对角线*AC*与*BD*交于点*P*（﹣1，2），*AB*⊥*x*轴于点*E*，正比例函数*y*＝*mx*的图象与反比例函数*y*＝的图象相交于*A*，*P*两点．
> （1）求*m*，*n*的值与点*A*的坐标；
>
> （2）求证：△*CPD*∽△*AEO*；
>
> （3）求sin∠*CDB*的值．
>
> 
23．（12分）（2019•广州）如图，⊙*O*的直径*AB*＝10，弦*AC*＝8，连接*BC*．
> （1）尺规作图：作弦*CD*，使*CD*＝*BC*（点*D*不与*B*重合），连接*AD*；（保留作图痕迹，不写作法）
>
> （2）在（1）所作的图中，求四边形*ABCD*的周长．
>
> 
24．（14分）（2019•广州）如图，等边△*ABC*中，*AB*＝6，点*D*在*BC*上，*BD*＝4，点*E*为边*AC*上一动点（不与点*C*重合），△*CDE*关于*DE*的轴对称图形为△*FDE*．
> （1）当点*F*在*AC*上时，求证：*DF*∥*AB*；
>
> （2）设△*ACD*的面积为*S*~1~，△*ABF*的面积为*S*~2~，记*S*＝*S*~1~﹣*S*~2~，*S*是否存在最大值？若存在，求出*S*的最大值；若不存在，请说明理由；
>
> （3）当*B*，*F*，*E*三点共线时．求*AE*的长．
>
> 
25．（14分）（2019•广州）已知抛物线*G*：*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3有最低点．
> （1）求二次函数*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3的最小值（用含*m*的式子表示）；
>
> （2）将抛物线*G*向右平移*m*个单位得到抛物线*G*~1~．经过探究发现，随着*m*的变化，抛物线*G*~1~顶点的纵坐标*y*与横坐标*x*之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量*x*的取值范围；
>
> （3）记（2）所求的函数为*H*，抛物线*G*与函数*H*的图象交于点*P*，结合图象，求点*P*的纵坐标的取值范围．
**2019年广东省广州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）**
1．（3分）（2019•广州）\|﹣6\|＝（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
>
> 【解答】解：﹣6的绝对值是\|﹣6\|＝6．
>
> 故选：*B*．
2．（3分）（2019•广州）广州正稳步推进碧道建设，营造"水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群"的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（ ）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
> 【考点】众数．菁优网版权所有
>
> 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
>
> 【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5
>
> 故选：*A*．
3．（3分）（2019•广州）如图，有一斜坡*AB*，坡顶*B*离地面的高度*BC*为30*m*，斜坡的倾斜角是∠*BAC*，若tan∠*BAC*＝，则此斜坡的水平距离*AC*为（ ）
> 
A．75*m* B．50*m* C．30*m* D．12*m*
> 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得*AC*的长，本题得以解决．
>
> 【解答】解：∵∠*BCA*＝90°，tan∠*BAC*＝，*BC*＝30*m*，
>
> ∴tan∠*BAC*＝，
>
> 解得，*AC*＝75，
>
> 故选：*A*．
4．（3分）（2019•广州）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）^2^＝﹣
C．*x*^3^•*x*^5^＝*x*^15^ D．•＝*a*
> 【考点】实数的运算；同底数幂的乘法．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；
>
> *B*、3×（﹣）^2^＝，故此选项错误；
>
> *C*、*x*^3^•*x*^5^＝*x*^8^，故此选项错误；
>
> *D*、•＝*a*，正确．
>
> 故选：*D*．
5．（3分）（2019•广州）平面内，⊙*O*的半径为1，点*P*到*O*的距离为2，过点*P*可作⊙*O*的切线条数为（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
> 【考点】切线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
>
> 【解答】解：∵⊙*O*的半径为1，点*P*到圆心*O*的距离为2，
>
> ∴*d*＞*r*，
>
> ∴点*P*与⊙*O*的位置关系是：*P*在⊙*O*外，
>
> ∵过圆外一点可以作圆的2条切线，
>
> 故选：*C*．
6．（3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做*x*个零件，下列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
> 【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】设甲每小时做*x*个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
>
> 【解答】解：设甲每小时做*x*个零件，可得：，
>
> 故选：*D*．
7．（3分）（2019•广州）如图，▱*ABCD*中，*AB*＝2，*AD*＝4，对角线*AC*，*BD*相交于点*O*，且*E*，*F*，*G*，*H*分别是*AO*，*BO*，*CO*，*DO*的中点，则下列说法正确的是（ ）
> 
A．*EH*＝*HG*
B．四边形*EFGH*是平行四边形
C．*AC*⊥*BD*
D．△*ABO*的面积是△*EFO*的面积的2倍
> 【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
>
> 【解答】解：∵*E*，*F*，*G*，*H*分别是*AO*，*BO*，*CO*，*DO*的中点，在▱*ABCD*中，*AB*＝2，*AD*＝4，
>
> ∴*EH*＝*AD*＝2，*HG*＝*AB*＝1，
>
> ∴*EH*≠*HG*，故选项*A*错误；
>
> ∵*E*，*F*，*G*，*H*分别是*AO*，*BO*，*CO*，*DO*的中点，
>
> ∴*EH*＝，
>
> ∴四边形*EFGH*是平行四边形，故选项*B*正确；
>
> 由题目中的条件，无法判断*AC*和*BD*是否垂直，故选项*C*错误；
>
> ∵点*E*、*F*分别为*OA*和*OB*的中点，
>
> ∴*EF*＝，*EF*∥*AB*，
>
> ∴△*OEF*∽△*OAB*，
>
> ∴，
>
> 即△*ABO*的面积是△*EFO*的面积的4倍，故选项*D*错误，
>
> 故选：*B*．
8．（3分）（2019•广州）若点*A*（﹣1，*y*~1~），*B*（2，*y*~2~），*C*（3，*y*~3~）在反比例函数*y*＝的图象上，则*y*~1~，*y*~2~，*y*~3~的大小关系是（ ）
A．*y*~3~＜*y*~2~＜*y*~1~ B．*y*~2~＜*y*~1~＜*y*~3~ C．*y*~1~＜*y*~3~＜*y*~2~ D．*y*~1~＜*y*~2~＜*y*~3~
> 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出*y*~1~、*y*~2~、*y*~3~的值，比较后即可得出结论．
>
> 【解答】解：∵点*A*（﹣1，*y*~1~），*B*（2，*y*~2~），*C*（3，*y*~3~）在反比例函数*y*＝的图象上，
>
> ∴*y*~1~＝＝﹣6，*y*~2~＝＝3，*y*~3~＝＝2，
>
> 又∵﹣6＜2＜3，
>
> ∴*y*~1~＜*y*~3~＜*y*~2~．
>
> 故选：*C*．
9．（3分）（2019•广州）如图，矩形*ABCD*中，对角线*AC*的垂直平分线*EF*分别交*BC*，*AD*于点*E*，*F*，若*BE*＝3，*AF*＝5，则*AC*的长为（ ）
> 
A．4 B．4 C．10 D．8
> 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】连接*AE*，由线段垂直平分线的性质得出*OA*＝*OC*，*AE*＝*CE*，证明△*AOF*≌△*COE*得出*AF*＝*CE*＝5，得出*AE*＝*CE*＝5，*BC*＝*BE*+*CE*＝8，由勾股定理求出*AB*＝＝4，再由勾股定理求出*AC*即可．
>
> 【解答】解：连接*AE*，如图：
>
> ∵*EF*是*AC*的垂直平分线，
>
> ∴*OA*＝*OC*，*AE*＝*CE*，
>
> ∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴∠*B*＝90°，*AD*∥*BC*，
>
> ∴∠*OAF*＝∠*OCE*，
>
> 在△*AOF*和△*COE*中，，
>
> ∴△*AOF*≌△*COE*（*ASA*），
>
> ∴*AF*＝*CE*＝5，
>
> ∴*AE*＝*CE*＝5，*BC*＝*BE*+*CE*＝3+5＝8，
>
> ∴*AB*＝＝＝4，
>
> ∴*AC*＝＝＝4；
>
> 故选：*A*．
>
> 
10．（3分）（2019•广州）关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（*k*﹣1）*x*﹣*k*+2＝0有两个实数根*x*~1~，*x*~2~，若（*x*~1~﹣*x*~2~+2）（*x*~1~﹣*x*~2~﹣2）+2*x*~1~*x*~2~＝﹣3，则*k*的值（ ）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
> 【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
>
> 【分析】由根与系数的关系可得出*x*~1~+*x*~2~＝*k*﹣1，*x*~1~*x*~2~＝﹣*k*+2，结合（*x*~1~﹣*x*~2~+2）（*x*~1~﹣*x*~2~﹣2）+2*x*~1~*x*~2~＝﹣3可求出*k*的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于*k*的一元二次不等式，解之即可得出*k*的取值范围，进而可确定*k*的值，此题得解．
>
> 【解答】解：∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（*k*﹣1）*x*﹣*k*+2＝0的两个实数根为*x*~1~，*x*~2~，
>
> ∴*x*~1~+*x*~2~＝*k*﹣1，*x*~1~*x*~2~＝﹣*k*+2．
>
> ∵（*x*~1~﹣*x*~2~+2）（*x*~1~﹣*x*~2~﹣2）+2*x*~1~*x*~2~＝﹣3，即（*x*~1~+*x*~2~）^2^﹣2*x*~1~*x*~2~﹣4＝﹣3，
>
> ∴（*k*﹣1）^2^+2*k*﹣4﹣4＝﹣3，
>
> 解得：*k*＝±2．
>
> ∵关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣（*k*﹣1）*x*﹣*k*+2＝0有实数根，
>
> ∴△＝\[﹣（*k*﹣1）\]^2^﹣4×1×（﹣*k*+2）≥0，
>
> 解得：*k*≥2﹣1或*k*≤﹣2﹣1，
>
> ∴*k*＝2．
>
> 故选：*D*．
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
11．（3分）（2019•广州）如图，点*A*，*B*，*C*在直线*l*上，*PB*⊥*l*，*PA*＝6*cm*，*PB*＝5*cm*，*PC*＝7*cm*，则点*P*到直线*l*的距离是[ 5 ]{.underline}*cm*．
> 
>
> 【考点】点到直线的距离．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
>
> 【解答】解：∵*PB*⊥*l*，*PB*＝5*cm*，
>
> ∴*P*到*l*的距离是垂线段*PB*的长度5*cm*，
>
> 故答案为：5．
12．（3分）（2019•广州）代数式有意义时，*x*应满足的条件是[ *x*＞8 ]{.underline}．
> 【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出*x*的取值范围．
>
> 【解答】解：代数式有意义时，
>
> *x*﹣8＞0，
>
> 解得：*x*＞8．
>
> 故答案为：*x*＞8．
13．（3分）（2019•广州）分解因式：*x*^2^*y*+2*xy*+*y*＝[ *y*（*x*+1）^2^ ]{.underline}．
> 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先提取公因式*y*，再利用完全平方进行二次分解即可．
>
> 【解答】解：原式＝*y*（*x*^2^+2*x*+1）＝*y*（*x*+1）^2^，
>
> 故答案为：*y*（*x*+1）^2^．
14．（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板*ADE*绕点*A*逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板*ADE*的一边所在的直线与*BC*垂直，则α的度数为[ 15°或60° ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】角的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】分情况讨论：①*DE*⊥*BC*；②*AD*⊥*BC*．
>
> 【解答】解：分情况讨论：
>
> ①当*DE*⊥*BC*时，∠*BAD*＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠*BAD*＝15°；
>
> ②当*AD*⊥*BC*时，α＝90°﹣∠*C*＝90°﹣30°＝60°．
>
> 故答案为：15°或60°
15．（3分）（2019•广州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．（结果保留π）
> 
>
> 【考点】等腰直角三角形；弧长的计算；圆锥的计算；简单几何体的三视图；由三视图判断几何体．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
>
> 【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
>
> ∴斜边长为2，
>
> 则底面圆的周长为2π，
>
> ∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，
>
> 故答案为2π．
16．（3分）（2019•广州）如图，正方形*ABCD*的边长为*a*，点*E*在边*AB*上运动（不与点*A*，*B*重合），∠*DAM*＝45°，点*F*在射线*AM*上，且*AF*＝*BE*，*CF*与*AD*相交于点*G*，连接*EC*，*EF*，*EG*，则下列结论：
> ①∠*ECF*＝45°；②△*AEG*的周长为（1+）*a*；③*BE*^2^+*DG*^2^＝*EG*^2^；④△*EAF*的面积的最大值*a*^2^．
>
> 其中正确的结论是[ ①④ ]{.underline}．（填写所有正确结论的序号）
>
> 
>
> 【考点】二次根式的应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】①正确．如图1中，在*BC*上截取*BH*＝*BE*，连接*EH*．证明△*FAE*≌△*EHC*（*SAS*），即可解决问题．
>
> ②③错误．如图2中，延长*AD*到*H*，使得*DH*＝*BE*，则△*CBE*≌△*CDH*（*SAS*），再证明△*GCE*≌△*GCH*（*SAS*），即可解决问题．
>
> ④正确．设*BE*＝*x*，则*AE*＝*a*﹣*x*，*AF*＝*x*，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
>
> 【解答】解：如图1中，在*BC*上截取*BH*＝*BE*，连接*EH*．
>
> ∵*BE*＝*BH*，∠*EBH*＝90°，
>
> ∴*EH*＝*BE*，∵*AF*＝*BE*，
>
> ∴*AF*＝*EH*，
>
> ∵∠*DAM*＝∠*EHB*＝45°，∠*BAD*＝90°，
>
> ∴∠*FAE*＝∠*EHC*＝135°，
>
> ∵*BA*＝*BC*，*BE*＝*BH*，
>
> ∴*AE*＝*HC*，
>
> ∴△*FAE*≌△*EHC*（*SAS*），
>
> ∴*EF*＝*EC*，∠*AEF*＝∠*ECH*，
>
> ∵∠*ECH*+∠*CEB*＝90°，
>
> ∴∠*AEF*+∠*CEB*＝90°，
>
> ∴∠*FEC*＝90°，
>
> ∴∠*ECF*＝∠*EFC*＝45°，故①正确，
>
> 如图2中，延长*AD*到*H*，使得*DH*＝*BE*，则△*CBE*≌△*CDH*（*SAS*），
>
> ∴∠*ECB*＝∠*DCH*，
>
> ∴∠*ECH*＝∠*BCD*＝90°，
>
> ∴∠*ECG*＝∠*GCH*＝45°，
>
> ∵*CG*＝*CG*，*CE*＝*CH*，
>
> ∴△*GCE*≌△*GCH*（*SAS*），
>
> ∴*EG*＝*GH*，
>
> ∵*GH*＝*DG*+*DH*，*DH*＝*BE*，
>
> ∴*EG*＝*BE*+*DG*，故③错误，
>
> ∴△*AEG*的周长＝*AE*+*EG*+*AG*＝*AG*+*GH*＝*AD*+*DH*+*AE*＝*AE*+*EB*+*AD*＝*AB*+*AD*＝2*a*，故②错误，
>
> 设*BE*＝*x*，则*AE*＝*a*﹣*x*，*AF*＝*x*，
>
> ∴*S*~△*AEF*~＝•（*a*﹣*x*）×*x*＝﹣*x*^2^+*ax*＝﹣（*x*^2^﹣*ax*+*a*^2^﹣*a*^2^）＝﹣（*x*﹣*a*）^2^+*a*^2^，
>
> ∵﹣＜0，
>
> ∴*x*＝*a*时，△*AEF*的面积的最大值为*a*^2^．故④正确，
>
> 故答案为①④．
>
> 
>
> 
**三、解答题（共9小题，满分102分）**
17．（9分）（2019•广州）解方程组：．
> 【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
>
> 【分析】运用加减消元解答即可．
>
> 【解答】解：，
>
> ②﹣①得，4*y*＝2，解得*y*＝2，
>
> 把*y*＝2代入①得，*x*﹣2＝1，解得*x*＝3，
>
> 故原方程组的解为．
18．（9分）（2019•广州）如图，*D*是*AB*上一点，*DF*交*AC*于点*E*，*DE*＝*FE*，*FC*∥*AB*，求证：△*ADE*≌*CFE*．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用*AAS*证明：△*ADE*≌*CFE*．
>
> 【解答】证明：∵*FC*∥*AB*，
>
> ∴∠*A*＝∠*FCE*，∠*ADE*＝∠*F*，
>
> 在△*ADE*与△*CFE*中：
>
> ∵，
>
> ∴△*ADE*≌△*CFE*（*AAS*）．
19．（10分）（2019•广州）已知*P*＝﹣（*a*≠±*b*）
> （1）化简*P*；
>
> （2）若点（*a*，*b*）在一次函数*y*＝*x*﹣的图象上，求*P*的值．
>
> 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）*P*＝﹣＝＝＝；
>
> （2）将点（*a*，*b*）代入*y*＝*x*﹣得到*a*﹣*b*＝，再将*a*﹣*b*＝代入化简后的*P*，即可求解；
>
> 【解答】解：（1）*P*＝﹣＝＝＝；
>
> （2）∵点（*a*，*b*）在一次函数*y*＝*x*﹣的图象上，
>
> ∴*b*＝*a*﹣，
>
> ∴*a*﹣*b*＝，
>
> ∴*P*＝；
20．（10分）（2019•广州）某中学抽取了40名学生参加"平均每周课外阅读时间"的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
> 频数分布表
------- ----------- -----------
组别 时间/小时 频数/人数
*A*组 0≤*t*＜1 2
*B*组 1≤*t*＜2 *m*
*C*组 2≤*t*＜3 10
*D*组 3≤*t*＜4 12
*E*组 4≤*t*＜5 7
*F*组 *t*≥5 4
------- ----------- -----------
> 请根据图表中的信息解答下列问题：
>
> （1）求频数分布表中*m*的值；
>
> （2）求*B*组，*C*组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
>
> （3）已知*F*组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从*F*组中随机选取2名学生，恰好都是女生．
>
> 
>
> 【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出*m*的值；
>
> （2）分别用360°乘以*B*组，*C*组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
>
> （3）画出树状图，即可得出结果．
>
> 【解答】解：（1）*m*＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；
>
> （2）*B*组的圆心角＝360°×＝45°，
>
> *C*组的圆心角＝360°或＝90°．
>
> 补全扇形统计图如图1所示：
>
> （3）画树状图如图2：
>
> 共有12个等可能的结果，
>
> 恰好都是女生的结果有6个，
>
> ∴恰好都是女生的概率为＝．
>
> 
>
> 
21．（12分）（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5*G*等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5*G*基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5*G*基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5*G*基站数量将达到17.34万座．
> （1）计划到2020年底，全省5*G*基站的数量是多少万座？
>
> （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5*G*基站数量的年平均增长率．
>
> 【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）2020年全省5*G*基站的数量＝目前广东5*G*基站的数量×4，即可求出结论；
>
> （2）设2020年底到2022年底，全省5*G*基站数量的年平均增长率为*x*，根据2020年底及2022年底全省5*G*基站数量，即可得出关于*x*的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
>
> 【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
>
> 答：计划到2020年底，全省5*G*基站的数量是6万座．
>
> （2）设2020年底到2022年底，全省5*G*基站数量的年平均增长率为*x*，
>
> 依题意，得：6（1+*x*）^2^＝17.34，
>
> 解得：*x*~1~＝0.7＝70%，*x*~2~＝﹣2.7（舍去）．
>
> 答：2020年底到2022年底，全省5*G*基站数量的年平均增长率为70%．
22．（12分）（2019•广州）如图，在平面直角坐标系*xOy*中，菱形*ABCD*的对角线*AC*与*BD*交于点*P*（﹣1，2），*AB*⊥*x*轴于点*E*，正比例函数*y*＝*mx*的图象与反比例函数*y*＝的图象相交于*A*，*P*两点．
> （1）求*m*，*n*的值与点*A*的坐标；
>
> （2）求证：△*CPD*∽△*AEO*；
>
> （3）求sin∠*CDB*的值．
>
> 
>
> 【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据点*P*的坐标，利用待定系数法可求出*m*，*n*的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点*A*的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点*P*的坐标找出点*A*的坐标亦可）；
>
> （2）由菱形的性质可得出*AC*⊥*BD*，*AB*∥*CD*，利用平行线的性质可得出∠*DCP*＝∠*OAE*，结合*AB*⊥*x*轴可得出∠*AEO*＝∠*CPD*＝90°，进而即可证出△*CPD*∽△*AEO*；
>
> （3）由点*A*的坐标可得出*AE*，*OE*，*AO*的长，由相似三角形的性质可得出∠*CDP*＝∠*AOE*，再利用正弦的定义即可求出sin∠*CDB*的值．
>
> 【解答】（1）解：将点*P*（﹣1，2）代入*y*＝*mx*，得：2＝﹣*m*，
>
> 解得：*m*＝﹣2，
>
> ∴正比例函数解析式为*y*＝﹣2*x*；
>
> 将点*P*（﹣1，2）代入*y*＝，得：2＝﹣（*n*﹣3），
>
> 解得：*n*＝1，
>
> ∴反比例函数解析式为*y*＝﹣．
>
> 联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
>
> 解得：，，
>
> ∴点*A*的坐标为（1，﹣2）．
>
> （2）证明：∵四边形*ABCD*是菱形，
>
> ∴*AC*⊥*BD*，*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠*DCP*＝∠*BAP*，即∠*DCP*＝∠*OAE*．
>
> ∵*AB*⊥*x*轴，
>
> ∴∠*AEO*＝∠*CPD*＝90°，
>
> ∴△*CPD*∽△*AEO*．
>
> （3）解：∵点*A*的坐标为（1，﹣2），
>
> ∴*AE*＝2，*OE*＝1，*AO*＝＝．
>
> ∵△*CPD*∽△*AEO*，
>
> ∴∠*CDP*＝∠*AOE*，
>
> ∴sin∠*CDB*＝sin∠*AOE*＝＝＝．
>
> 
23．（12分）（2019•广州）如图，⊙*O*的直径*AB*＝10，弦*AC*＝8，连接*BC*．
> （1）尺规作图：作弦*CD*，使*CD*＝*BC*（点*D*不与*B*重合），连接*AD*；（保留作图痕迹，不写作法）
>
> （2）在（1）所作的图中，求四边形*ABCD*的周长．
>
> 
>
> 【考点】作图---复杂作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）以*C*为圆心，*CB*为半径画弧，交⊙*O*于*D*，线段*CD*即为所求．
>
> （2）连接*BD*，*OC*交于点*E*，设*OE*＝*x*，构建方程求出*x*即可解决问题．
>
> 【解答】解：（1）如图，线段*CD*即为所求．
>
> 
>
> （2）连接*BD*，*OC*交于点*E*，设*OE*＝*x*．
>
> ∵*AB*是直径，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∴*BC*＝＝＝6，
>
> ∵*BC*＝*CD*，
>
> ∴＝，
>
> ∴*OC*⊥*BD*于*E*．
>
> ∴*BE*＝*DE*，
>
> ∵*BE*^2^＝*BC*^2^﹣*EC*^2^＝*OB*^2^﹣*OE*^2^，
>
> ∴6^2^﹣（5﹣*x*）^2^＝5^2^﹣*x*^2^，
>
> 解得*x*＝，
>
> ∵*BE*＝*DE*，*BO*＝*OA*，
>
> ∴*AD*＝2*OE*＝，
>
> ∴四边形*ABCD*的周长＝6+6+10+＝．
24．（14分）（2019•广州）如图，等边△*ABC*中，*AB*＝6，点*D*在*BC*上，*BD*＝4，点*E*为边*AC*上一动点（不与点*C*重合），△*CDE*关于*DE*的轴对称图形为△*FDE*．
> （1）当点*F*在*AC*上时，求证：*DF*∥*AB*；
>
> （2）设△*ACD*的面积为*S*~1~，△*ABF*的面积为*S*~2~，记*S*＝*S*~1~﹣*S*~2~，*S*是否存在最大值？若存在，求出*S*的最大值；若不存在，请说明理由；
>
> （3）当*B*，*F*，*E*三点共线时．求*AE*的长．
>
> 
>
> 【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠*DFC*＝∠*A*，可证*DF*∥*AB*；
>
> （2）过点*D*作*DM*⊥*AB*交*AB*于点*M*，由题意可得点*F*在以*D*为圆心，*DF*为半径的圆上，由△*ACD*的面积为*S*~1~的值是定值，则当点*F*在*DM*上时，*S*~△*ABF*~最小时，*S*最大；
>
> （3）过点*D*作*DG*⊥*EF*于点*G*，过点*E*作*EH*⊥*CD*于点*H*，由勾股定理可求*BG*的长，通过证明△*BGD*∽△*BHE*，可求*EC*的长，即可求*AE*的长．
>
> 【解答】解：（1）∵△*ABC*是等边三角形
>
> ∴∠*A*＝∠*B*＝∠*C*＝60°
>
> 由折叠可知：*DF*＝*DC*，且点*F*在*AC*上
>
> ∴∠*DFC*＝∠*C*＝60°
>
> ∴∠*DFC*＝∠*A*
>
> ∴*DF*∥*AB*；
>
> （2）存在，
>
> 
>
> 过点*D*作*DM*⊥*AB*交*AB*于点*M*，
>
> ∵*AB*＝*BC*＝6，*BD*＝4，
>
> ∴*CD*＝2
>
> ∴*DF*＝2，
>
> ∴点*F*在以*D*为圆心，*DF*为半径的圆上，
>
> ∴当点*F*在*DM*上时，*S*~△*ABF*~最小，
>
> ∵*BD*＝4，*DM*⊥*AB*，∠*ABC*＝60°
>
> ∴*MD*＝2
>
> ∴*S*~△*ABF*~的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6
>
> ∴*S*~最大值~＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6
>
> （3）如图，过点*D*作*DG*⊥*EF*于点*G*，过点*E*作*EH*⊥*CD*于点*H*，
>
> 
>
> ∵△*CDE*关于*DE*的轴对称图形为△*FDE*
>
> ∴*DF*＝*DC*＝2，∠*EFD*＝∠*C*＝60°
>
> ∵*GD*⊥*EF*，∠*EFD*＝60°
>
> ∴*FG*＝1，*DG*＝*FG*＝
>
> ∵*BD*^2^＝*BG*^2^+*DG*^2^，
>
> ∴16＝3+（*BF*+1）^2^，
>
> ∴*BF*＝﹣1
>
> ∴*BG*＝
>
> ∵*EH*⊥*BC*，∠*C*＝60°
>
> ∴*CH*＝，*EH*＝*HC*＝*EC*
>
> ∵∠*GBD*＝∠*EBH*，∠*BGD*＝∠*BHE*＝90°
>
> ∴△*BGD*∽△*BHE*
>
> ∴
>
> ∴
>
> ∴*EC*＝﹣1
>
> ∴*AE*＝*AC*﹣*EC*＝7﹣
25．（14分）（2019•广州）已知抛物线*G*：*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3有最低点．
> （1）求二次函数*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3的最小值（用含*m*的式子表示）；
>
> （2）将抛物线*G*向右平移*m*个单位得到抛物线*G*~1~．经过探究发现，随着*m*的变化，抛物线*G*~1~顶点的纵坐标*y*与横坐标*x*之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量*x*的取值范围；
>
> （3）记（2）所求的函数为*H*，抛物线*G*与函数*H*的图象交于点*P*，结合图象，求点*P*的纵坐标的取值范围．
>
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>
> 【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，*m*＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
>
> （2）写出抛物线*G*的顶点式，根据平移规律即得到抛物线*G*~1~的顶点式，进而得到抛物线*G*~1~顶点坐标（*m*+1，﹣*m*﹣3），即*x*＝*m*+1，*y*＝﹣*m*﹣3，*x*+*y*＝﹣2即消去*m*，得到*y*与*x*的函数关系式．再由*m*＞0，即求得*x*的取值范围．
>
> （3）法一：求出抛物线恒过点*B*（2，﹣4），函数*H*图象恒过点*A*（2，﹣3），由图象可知两图象交点*P*应在点*A*、*B*之间，即点*P*纵坐标在*A*、*B*纵坐标之间．
>
> 法二：联立函数*H*解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用*x*表示*m*的式子．由*x*与*m*的范围讨论*x*的具体范围，即求得函数*H*对应的交点*P*纵坐标的范围．
>
> 【解答】解：（1）∵*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3＝*m*（*x*﹣1）^2^﹣*m*﹣3，抛物线有最低点
>
> ∴二次函数*y*＝*mx*^2^﹣2*mx*﹣3的最小值为﹣*m*﹣3
>
> （2）∵抛物线*G*：*y*＝*m*（*x*﹣1）^2^﹣*m*﹣3
>
> ∴平移后的抛物线*G*~1~：*y*＝*m*（*x*﹣1﹣*m*）^2^﹣*m*﹣3
>
> ∴抛物线*G*~1~顶点坐标为（*m*+1，﹣*m*﹣3）
>
> ∴*x*＝*m*+1，*y*＝﹣*m*﹣3
>
> ∴*x*+*y*＝*m*+1﹣*m*﹣3＝﹣2
>
> 即*x*+*y*＝﹣2，变形得*y*＝﹣*x*﹣2
>
> ∵*m*＞0，*m*＝*x*﹣1
>
> ∴*x*﹣1＞0
>
> ∴*x*＞1
>
> ∴*y*与*x*的函数关系式为*y*＝﹣*x*﹣2（*x*＞1）
>
> （3）法一：如图，函数*H*：*y*＝﹣*x*﹣2（*x*＞1）图象为射线
>
> *x*＝1时，*y*＝﹣1﹣2＝﹣3；*x*＝2时，*y*＝﹣2﹣2＝﹣4
>
> ∴函数*H*的图象恒过点*B*（2，﹣4）
>
> ∵抛物线*G*：*y*＝*m*（*x*﹣1）^2^﹣*m*﹣3
>
> *x*＝1时，*y*＝﹣*m*﹣3；*x*＝2时，*y*＝*m*﹣*m*﹣3＝﹣3
>
> ∴抛物线*G*恒过点*A*（2，﹣3）
>
> 由图象可知，若抛物线与函数*H*的图象有交点*P*，则*y~B~*＜*y~P~*＜*y~A~*
>
> ∴点*P*纵坐标的取值范围为﹣4＜*y~P~*＜﹣3
>
> 法二：
>
> 整理的：*m*（*x*^2^﹣2*x*）＝1﹣*x*
>
> ∵*x*＞1，且*x*＝2时，方程为0＝﹣1不成立
>
> ∴*x*≠2，即*x*^2^﹣2*x*＝*x*（*x*﹣2）≠0
>
> ∴*m*＝＞0
>
> ∵*x*＞1
>
> ∴1﹣*x*＜0
>
> ∴*x*（*x*﹣2）＜0
>
> ∴*x*﹣2＜0
>
> ∴*x*＜2即1＜*x*＜2
>
> ∵*y~P~*＝﹣*x*﹣2
>
> ∴﹣4＜*y~P~*＜﹣3
>
> 
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日期：2019/7/10 9:51:43；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（2）**
**一、填空．（每空1分，共24分）**
1．含有[ ]{.underline}的[ ]{.underline}叫方程．如：[ ]{.underline}．
2．54.24这个数字中，右边的4表示[ ]{.underline}，左边的4表示[ ]{.underline}．
3．把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是[ ]{.underline}．
4．三角形的内角和是[ ]{.underline}．四边形的内角和是[ ]{.underline}，三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是[ ]{.underline}．
5．一种上衣降价x元后是100元，原价是[ ]{.underline}．
6．任意一个三角形中至少有[ ]{.underline}个锐角．三角形的内角和是[ ]{.underline}度．
7．把2.7缩小到百分之一，只要把它的小数点向[ ]{.underline}移动[ ]{.underline}位．
8．三角形具有[ ]{.underline}性，平行四边形具有[ ]{.underline}性．
9．6千克50克=[ ]{.underline}千克
[ ]{.underline}吨=5吨6千克
7元8分=[ ]{.underline}元
[ ]{.underline}元=6角5分．
10．[ ]{.underline}和[ ]{.underline}都是特殊的平行四边形．
11．按规律填写数字．
0.3，0.6，[ ]{.underline}，1.2，1.5．
8.05，7.05[ ]{.underline}，5.05，[ ]{.underline}．
12．0.267×[ ]{.underline}=267；
650÷[ ]{.underline}=6.5．
**二、我会选：（每题1分，共4分）**
13．在0.1与0.2之间的小数有（ ）
A．9 个 B．10个 C．无数个
14．在下列算式中，结果最小的是（ ）
A．0.65×3 B．0.65×0.03 C．3×O.65
15．下列算式中，只有（ ）是方程：
A．3x=8 B．5×7=35 C．2X=5
16．把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）
A．90° B．180° C．60°
**三、判断．（共5分）**
17．3x+6＞12是方程．[ ]{.underline}（判断对错）
18．等腰三角形都是等边三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．等边三角形一定是锐角三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）．
20．用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形．[ ]{.underline}． （判断对错）
21．0比所有的小数都大．[ ]{.underline}．（判断对错）
**四、解答题（共4小题，满分36分）**
22．直接写出得数．
--------- ------------ ----------- --------------
13×0.2= 1﹣0.9= 0.32÷2= 0.8×5=
9×0.1= 3.11+2.22= 0.36÷0.4= 12.5+12.5×7=
8m﹣6m= 1.62﹣0.62 5.9+4.4= 0.053×100=
--------- ------------ ----------- --------------
23．列竖式计算
244.54﹣34.06=
125.4+87.11=
0.87×2.5=
24．脱式计算，能简便运算的要简便运算．
12.5×40×2.5×0.8
12.5﹣0.5×1.2
17.83﹣7.9﹣2.1．
25．解方程
12+7x=26
5x=13.5
3x+2x=4.5．
**七、我是小画家．（每图2分，共6分）**
26．在点子图上画出一个等腰三角形，一个平形四边形和一个梯形．
**八、解决问题（每题4分，共24分）**
27．一个三角形中，∠1=80°，∠2=45°，∠3等于多少度？
28．一个等腰三角形的顶角是40°，它的一个底角是多少度？
29．小红和爸爸妈妈去旅游，行程单程票价是65.5元，儿童半价，往返交通费用需要多少元？
30．四年级的丽丽同学买了两本书，分别是一本童话故事和一本海底世界，一本童话故事12.36元，一本童话故事比一本海底世界多4.25元，丽丽共付给售货员多少钱？
31．小力在文具店买了2支钢笔和5个文具盒，共用去75元，已知一支钢笔5元，求一个文具盒多少元？（列方程解）
32．学校买了5个足球和3个篮球共花去900元，每个足球120元，每个篮球多少元？（列方程解答）
33．妈妈去菜场买了一些牛肉和鸡蛋，买牛肉花了22元，比鸡蛋的4倍还多2元，买鸡蛋用多少钱？（用方程解）
34．金天出租车公司出租汽车收费标准如表：
------------------------ --------
里程 收费
3千米以下（含3千米） 6.00元
3千米以上，每增加1千米 1.50元
------------------------ --------
（1）张红乘出租车行驶了4千米，应付费多少元？
（2）张红的爸爸从甲乘出租车到乙地共付了28.50元，甲、乙两地的路程最多为多少千米？
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（2）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空．（每空1分，共24分）**
1．含有[ 未知数 ]{.underline}的[ 等式 ]{.underline}叫方程．如：[ 3x+5=14 ]{.underline}．
【考点】方程的意义．
【分析】含有未知数的等式叫做方程；由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此解答．
【解答】解：含有未知数的等式叫方程．如：3x+5=14．
故答案为：未知数、等式、3x+5=14．
2．54.24这个数字中，右边的4表示[ 4个0.01 ]{.underline}，左边的4表示[ 4个一 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】首先搞清这个数字在整数的还是在小数的什么数位上，这个数位的计数单位是什么，它就表示有几个这样的计数单位．
【解答】解：54.24这个数字中，右边的4表示 4个0.01，左边的4表示 4个一．
故答案为：4个0.01，4个一．
3．把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是[ 376 ]{.underline}．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】把37.6先扩大100倍，再缩小10倍，相当于把此数扩大了10倍，只要把37.6的小数点向右移动1位即可解决．
【解答】解：把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是：376；
故答案为：376．
4．三角形的内角和是[ 180° ]{.underline}．四边形的内角和是[ 360° ]{.underline}，三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是[ 钝角三角形 ]{.underline}．
【考点】三角形的内角和；多边形的内角和．
【分析】根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形，再利用三角形的内角和等于180°即可计算出四边形的内角和，解答即可；
因为三角形的内角和是180度，已知两个内角的和是85度，用"180°﹣85°"求出第三个内角的度数，进而根据三角形的分类进行解答．
【解答】解：如图：
四边形分成两个三角形，
因为三角形的内角和是180°；
180°×2=360°
所以四边形的内角和是360°，
第三个内角：180°﹣85°=95°，
因为有一个角是钝角的三角形，
所以这个三角形是钝角三角形；
故答案为：180°、360°，钝角三角形．
5．一种上衣降价x元后是100元，原价是[ 100+x元 ]{.underline}．
【考点】用字母表示数．
【分析】本题是一个用字母表示数的题，由一种上衣降价x元后是100元，可知原价比现价100元贵x元，列出算式即可．
【解答】解：原价是：100+x元；
故答案为：100+x元．
6．任意一个三角形中至少有[ 2 ]{.underline}个锐角．三角形的内角和是[ 180 ]{.underline}度．
【考点】三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，假设任意一个三角形至少有1个锐角，则另外两个内角的度数和就会等于或大于180度，这与三角形的内角和是180度是相违背的，故假设不成立，从而可以判断出任意一个三角形至少有2个锐角．据此判断．
【解答】解：三角形的内角和是180度．
假设任意一个三角形至少有1个锐角，
则另外两个内角的度数和就会等于或大于180度，
那么三角形的内角和就大于180度，
这与三角形的内角和是180度是相违背的，
所以任意一个三角形至少有2个锐角．
故答案为：2、180．
7．把2.7缩小到百分之一，只要把它的小数点向[ 左 ]{.underline}移动[ 2 ]{.underline}位．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】根据小数点的位置移动引起小数大小变化的规律：把2.7缩小到百分之一，只要把它的小数点向左移动2位，据此解答．
【解答】解：把2.7缩小到百分之一，只要把它的小数点向左移动2位．
故答案为：左，2．
8．三角形具有[ 稳定 ]{.underline}性，平行四边形具有[ 易变 ]{.underline}性．
【考点】三角形的特性；平行四边形的特征及性质．
【分析】根据三角形的特性：稳定性；平行四边形的特性：具有易变形；进行解答即可．
【解答】解：三角形具有稳定性，平行四边形具有易变形；
故答案为：稳定，易变．
9．6千克50克=[ 6.05 ]{.underline}千克
[ 5.006 ]{.underline}吨=5吨6千克
7元8分=[ 7.08 ]{.underline}元
[ 6.05 ]{.underline}元=6角5分．
【考点】质量的单位换算；货币、人民币及其常用单位．
【分析】（1）把50克除以进率1000化成0.05千克再与6千克相加．
（2）把6千克除以进率1000化成0.006吨再与5吨相加．
（3）把8分除以进率100化成0.08元再与7元相加．
（4）把5分除以进率100化成0.05元再与6元相加．
【解答】解：（1）6千克50克=6.05千克；
（2）5.006吨=5吨6千克；
（3）7元8分=7.08元；
（4）6.05元=6角5分．
故答案为：6.05，5.006，7.08，6.05．
10．[ 长方形 ]{.underline}和[ 正方形 ]{.underline}都是特殊的平行四边形．
【考点】四边形的特点、分类及识别．
【分析】根据平行四边形的特征：两组对边平行且相等；则得出：长方形、正方形两组对边平行且相等，有四个角是直角，所以是特殊的平行四边形．
【解答】解：长方形和正方形都是特殊的平行四边形；
故答案为：长方形，正方形．
11．按规律填写数字．
0.3，0.6，[ 0.9 ]{.underline}，1.2，1.5．
8.05，7.05[ 6.05 ]{.underline}，5.05，[ 4.05 ]{.underline}．
【考点】数列中的规律．
【分析】（1）前面的数加上0.3得到后面相邻的数；
（2）前面的数减去1得到后面相邻的数；
由此规律解答即可．
【解答】解：（1）0.6+0.3=0.9
数列为0.3，0.6，0.9，1.2，1.5；
（2）7.05﹣1=6.05，5.05﹣1=4.05，
数列为8.05，7.056.05，5.05，4.05．
故答案为：0.9；6.05，4.05．
12．0.267×[ 1000 ]{.underline}=267；
650÷[ 100 ]{.underline}=6.5．
【考点】乘与除的互逆关系．
【分析】乘法中的积相当于除法中的被除数，乘法中的一个因数相当于除法中的除数（或商），另一个因数相当于除法中的商（或除数）；由此解答即可．
【解答】解：267÷0.267=1000
650÷6.5=100
故答案为：1000，100．
**二、我会选：（每题1分，共4分）**
13．在0.1与0.2之间的小数有（ ）
A．9 个 B．10个 C．无数个
【考点】小数大小的比较．
【分析】由题意可知要求的小数在0.1和0.2之间，没有说明是几位小数，可以是两位小数、三位小数...，所以有无数个小数．
【解答】解：在0.1与0.2之间小数有无数个，
故选：C．
14．在下列算式中，结果最小的是（ ）
A．0.65×3 B．0.65×0.03 C．3×O.65
【考点】小数乘法．
【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数．
【解答】解：0.65×3、0.65×0.03、3×0.65三个算式中都含有同一个因数0.65
根据两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数越小，积就越小；
0.03＜3
所以在算式中，结果最小的是0.03×0.65．
故选：B．
15．下列算式中，只有（ ）是方程：
A．3x=8 B．5×7=35 C．2X=5
【考点】方程的意义．
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
【解答】解：A、3x=8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；
B、5×7=35，只是等式，不含有未知数，不是方程；
C、2X=5，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程．
故选：A、C．
16．把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）
A．90° B．180° C．60°
【考点】三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180°，
所以每个小三角形的内角和也是180°．
故选：B．
**三、判断．（共5分）**
17．3x+6＞12是方程．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】方程需要满足的条件．
【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．
【解答】解：3x+6＞12，虽然含有未知数，但它是不等式，不是方程．
故答案为：×．
18．等腰三角形都是等边三角形．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】等腰三角形与等边三角形．
【分析】等腰三角形是指有两条边相等的三角形，而等边三角形是指三条边都相等的三角形；根据定义可知：所有的等边三角形都是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．由此进行选择．
【解答】解：所有的等边三角形都是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形．
故判断为：错误．
19．等边三角形一定是锐角三角形．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）．
【考点】等腰三角形与等边三角形；三角形的分类．
【分析】由等边三角形的特点可知，等边三角形的三个内角相等，再据三角形的内角和是180度，则可以求出每个内角的度数，从而可以作出正确选择．
【解答】解：等边三角形每个内角的度数：180°÷3=60°，
所以等边三角形一定是锐角三角形；
故答案为：正确．
20．用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形．[ × ]{.underline}． （判断对错）
【考点】等腰三角形与等边三角形；三角形的特性．
【分析】因为5厘米+5厘米=10厘米，不符合两边之和大于第三边，所以不能构成一个三角形，更谈不上是等腰三角形．
【解答】解：因为5厘米+5厘米=10厘米，不符合两边之和大于第三边，
所以用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形，说法错误；
故答案为：×．
21．0比所有的小数都大．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】因为小数有正小数和负小数，负小数在数轴上都在0的左边，都比0小，但正小数在数轴上都在0的右边都比0大，进而判断即可．
【解答】解：由分析可知，0比所有的小数都大说法错误；
故答案为：×．
**四、解答题（共4小题，满分36分）**
22．直接写出得数．
--------- ------------ ----------- --------------
13×0.2= 1﹣0.9= 0.32÷2= 0.8×5=
9×0.1= 3.11+2.22= 0.36÷0.4= 12.5+12.5×7=
8m﹣6m= 1.62﹣0.62 5.9+4.4= 0.053×100=
--------- ------------ ----------- --------------
【考点】小数乘法；小数除法．
【分析】根据小数加、减、乘、除法的计算法则，直接进行口算即可．
【解答】解：
------------ ---------------- -------------- -----------------
13×0.2=2.6 1﹣0.9=0.1 0.32÷2=0.16 0.8×5=4
9×0.1=0.9 3.11+2.22=5.33 0.36÷0.4=0.9 12.5+12.5×7=100
8m﹣6m=2m 1.62﹣0.62=1 5.9+4.4=10.3 0.053×100=5.3．
------------ ---------------- -------------- -----------------
23．列竖式计算
244.54﹣34.06=
125.4+87.11=
0.87×2.5=
【考点】小数的加法和减法；小数乘法．
【分析】根据小数加减乘除法运算的计算法则进行计算即可求解．
【解答】解：244.54﹣34.06=210.48
125.4+87.11=212.51
0.87×2.5=2.175
24．脱式计算，能简便运算的要简便运算．
12.5×40×2.5×0.8
12.5﹣0.5×1.2
17.83﹣7.9﹣2.1．
【考点】运算定律与简便运算．
【分析】（1）根据乘法交换结合律，12.5与0.8结合，40与2.5结合，可使运算简便．
（2）没有简便算法，根据四则运算的顺序，先算乘，再算减．
（3）根据一个数去两个数，就等于这个数减运两个减数的和，可使运算简便．
【解答】解：（1）12.5×40×2.5×0.8
=（12.5×0.8）×（40×2.5）
=10×100
=1000；
（2）12.5﹣0.5×1.2
=12.5﹣0.6
=11.9；
（3）17.83﹣7.9﹣2.1
=17.83﹣（7.9+2.1）
=17.83﹣10
=7.83．
25．解方程
12+7x=26
5x=13.5
3x+2x=4.5．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时减去12，然后两边再同时除以7即可；
（2）根据等式的性质，两边同时除以5即可；
（3）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以5即可．
【解答】解：（1）12+7x=26
12+7x﹣12=26﹣12
7x=14
7x÷7=14÷7
x=2
（2）5x=13.5
5x÷5=13.5÷5
x=2.7
（3）3x+2x=4.5
5x=4.5
5x÷5=4.5÷5
x=0.9
**七、我是小画家．（每图2分，共6分）**
26．在点子图上画出一个等腰三角形，一个平形四边形和一个梯形．
【考点】等腰三角形与等边三角形；平行四边形的特征及性质；梯形的特征及分类．
【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形；在同一平面内，有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形；根据他们的意义画图即可．
【解答】解：画图如下：
**八、解决问题（每题4分，共24分）**
27．一个三角形中，∠1=80°，∠2=45°，∠3等于多少度？
【考点】三角形的内角和．
【分析】因为三角形的内角和是180度，已知其中两个角求第三个角，用180度减去已知的两个角的和，列式解答即可．
【解答】解：∠3=180°﹣（45°+80°）
=180°﹣125°
=55°
答：∠3等于55度．
28．一个等腰三角形的顶角是40°，它的一个底角是多少度？
【考点】三角形的内角和．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，所以它的另一，顶角也是40°，根据三角形的内角和是180°，用180°减去40°再除以2，即可求出这个三角形的底角的度数，列式解答即可．
【解答】解：÷2
=140°÷2
=70°
答：它的一个底角是70度．
29．小红和爸爸妈妈去旅游，行程单程票价是65.5元，儿童半价，往返交通费用需要多少元？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据题意，儿童半价就是指儿童的票价是65.5÷2=32.75元，因为要求往返的交通费用，所以先求3个人单程的费用是多少钱，把3个人的票价相加，然后再用3个人的单程票价乘2即可解答．
【解答】解：65.5÷2=32.75（元），
（65.5×2+32.75）×2
=163.75×2
=327.5（元）
答：往返交通费用需要327.5元．
30．四年级的丽丽同学买了两本书，分别是一本童话故事和一本海底世界，一本童话故事12.36元，一本童话故事比一本海底世界多4.25元，丽丽共付给售货员多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】先用故事书的价钱减去4.25元，求出海底世界的价钱，再把故事书和海底世界的价钱相加．
【解答】解：12.36﹣4.25+12.36
=8.11+12.36
=20.47（元）
答：丽丽共付给售货员20.47元．
31．小力在文具店买了2支钢笔和5个文具盒，共用去75元，已知一支钢笔5元，求一个文具盒多少元？（列方程解）
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【分析】设一个文具盒x元，根据等量关系：2支钢笔的价钱+5个文具盒的价钱=75元，列方程解答即可．
【解答】解：设一个文具盒x元，
5x+5×2=75
5x=65
x=13
答：一个文具盒13元．
32．学校买了5个足球和3个篮球共花去900元，每个足球120元，每个篮球多少元？（列方程解答）
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【分析】设每个篮球x元，根据等量关系：5个足球的价钱+3个篮球的价钱=900元，列方程解答即可．
【解答】解：设每个篮球x元，
3x+120×5=900
3x=300
x=100
答：每个篮球100元．
33．妈妈去菜场买了一些牛肉和鸡蛋，买牛肉花了22元，比鸡蛋的4倍还多2元，买鸡蛋用多少钱？（用方程解）
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【分析】由"买牛肉花了22元，比鸡蛋的4倍还多2元"，可知买鸡蛋花的钱数×4+2就等于买牛肉花的钱数，买鸡蛋花的钱看作单位"1"，又是所求的问题，因此用方程解决比较简单．
【解答】解：设买鸡蛋用了x元钱，由题意得，
4x+2=22，
4x=20，
x=5，
答：买鸡蛋用了5元钱．
34．金天出租车公司出租汽车收费标准如表：
------------------------ --------
里程 收费
3千米以下（含3千米） 6.00元
3千米以上，每增加1千米 1.50元
------------------------ --------
（1）张红乘出租车行驶了4千米，应付费多少元？
（2）张红的爸爸从甲乘出租车到乙地共付了28.50元，甲、乙两地的路程最多为多少千米？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】（1）张红应付的车费等于起步价6元加上起步价以外的路程费，起步价以外的路程费等于起步价以外的单价1.5元×起步价以外的路程（4﹣3）；
（2）甲、乙两地的路程等于起步3千米加上起步以外的路程，起步以外的路程等于（28.5﹣6）÷1.5，列式解答即可．
【解答】解：（1）6+1.5×（4﹣3），
=6+1.5×1，
=7.5（元）；
（2）3+（28.5﹣6）÷1.5，
=3+22.5÷1.5，
=3+15，
=18（千米）；
答：张红应付7.5元；甲、乙两地的路程是18千米．
**2016年8月20日**
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**江苏省盐城市二〇二〇年初中毕业与升学考试**
**数学试题**
**注意事项：**
**1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分，考试形式为闭卷．**
**2．本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题．**
**3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分．**
**4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上．**
**一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.2020的相反数是（ ）
A. 2020 B. ﹣2020 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：*B*．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.下列图形中，属于中心对称图形的是：（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念即图形旋转180°后与原图重合即可求解．
【详解】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3.下列运算正确的是：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据整式的加减与幂的运算法则即可判断．
【详解】A.，故错误；
B. ，故错误；
C.，正确；
D. ，故错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
4.实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴的特点即可求解．
【详解】由图可得，
故选C．
【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质．
5.如图是由个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解．
【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如选项A所示，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下面看得到的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形．
6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为万平方米，将数据用科学记数法表示应为：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：由题意可知，将用科学记数法表示为：，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个"九宫格"．它源于我国古代的"洛書"（图），是世界上最早的"幻方"．图是仅可以看到部分数值的"九宫格"，则其中的值为：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出"九宫格"中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
8.如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有，，，又因为*H*为*BC*中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
【详解】解：∵四边形*ABCD*是菱形
∴，，
∴△*BOC*是直角三角形
∴
∴*BC*=5
∵*H*为*BC*中点
∴
故最后答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
**二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
9.如图，直线被直线所截，．那么\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可求解．
【详解】∵
∴
故答案为：60．
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．
10.一组数据的平均数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数．
【详解】由题意知，数据的平均数为：
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可．平均数反映一组数据的平均水平，它能代表一组数据的集中趋势．
11.因式分解：\_\_\_\_．
【答案】；
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式分解：*x*^2^－*y*^2^＝(*x*＋*y*)(*x*－*y*)．
故答案为(*x*＋*y*)(*x*－*y*)．
12.分式方程的解为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
方程两边同时乘化成整式方程，进而求出的值，最后再检验即可．
【详解】解：方程两边同时乘得：
，
解得：，
检验，当时分母不为0，
故原分式方程的解为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记得检验．
13.一个不透明袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，
∴任意摸出一个球为白球的概率是：，
故答案为.
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14.如图，在中，点在上，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
【答案】
【解析】
【分析】
画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．
【详解】如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，
∵圆周角度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
15.如图，且，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
设AB=a，根据得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解．
【详解】∵
∴△ABC∽△ADE，
∴
设AB=a,则DE=10-a
故
解得a~1~=2,a~2~=8
∵
∴AB=2，
故
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例．
16.如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】或
【解析】
【分析】
因为与关于直线*l*对称，且直线轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2*m*，利用等量关系计算出*m*的值，又由于有两个顶点在函数，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出*k*的值．
【详解】解：∵与关于直线*l*对称，直线轴，垂足为点，
∴，，
∵有两个顶点在函数
（1）设，在直线上，
代入有，不符合故不成立；
（2）设，在直线上，
有，，，，代入方程后*k*=-6；
（3）设，在直线上，
有，，，，代入方程后有*k*=-4；
综上所述，*k*=-6或*k*=-4；
故答案为：-6或-4．
【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．
**三、解答题 （本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）**
17.计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据乘方，二次根式和零指数幂的运算法则化简，然后再计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了乘方，二次根式和零指数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集．
【详解】解：由题意知：
解不等式：去分母得：，
移项得：，
系数化为1得：，
解不等式，得，
在数轴上表示不等式的解集如图：
不等式组的解集为．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集取法为：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间．
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】
根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将代入求解即可．
【详解】解：原式
当时代入，
原式．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键．
20.如图，在中，的平分线交于点．求的长？
【答案】6
【解析】
【分析】
由求出∠*A*=30°，进而得出∠*ABC*=60°，由*BD*是∠*ABC*的平分线得出∠*CBD*=30°，进而求出*BC*的长，最后用sin∠*A*即可求出*AB*的长．
【详解】解：在中，
是的平分线，
又
，
在中， ，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．
21.如图，点是正方形，的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明即可求解．
【详解】如图所示，点即为所求．
连接
由得：
是正方形中心，
在和中，
．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图为地区累计确诊人数的条形统计图，图为地区新增确诊人数的折线统计图．
（1）根据图中的数据，地区星期三累计确诊人数为 [ ]{.underline} ，新增确诊人数为 [ ]{.underline} ；
（2）已知地区星期一新增确诊人数为人，在图中画出表示地区新增确诊人数的折线统计图．
（3）你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？
【答案】（1）41,13；（2）见解析；（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）根据图①的条形统计图即可求解；
（2）根据图中的数据即可画出折线统计图；
（3）根据折线统计图，言之有理即可．
【详解】（1）地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为41-28=13，
故答案为：41；13；
如图所示：
地区累计确诊人数可能会持续增加，地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图．
23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图，通过涂器色或不涂色可表示两个不同的信息．
（1）用树状图或列表格的方法，求图可表示不同信息的总个数：（图中标号表示两个不同位置的小方格，下同）
（2）图为的网格图．它可表示不同信息的总个数为 [ ]{.underline} ；
（3）某校需要给每位师生制作一张"校园出入证"，准备在证件的右下角采用的网格图来表示各人身份信息，若该校师生共人，则的最小值为 [ ]{.underline} ；
【答案】（1）见解析；（2）16；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出树状图即可求解；
（2）根据题意画出树状图即可求解；
（3）根据（1）（2）得到规律即可求出n的值．
【详解】解：画树状图如图所示：
图的网格可以表示不同信息的总数个数有个．
（2）画树状图如图所示：
图④2×2的网格图可以表示不同信息的总数个数有16=2^4^个，
故答案为：16．
（3）依题意可得3×3网格图表示不同信息的总数个数有2^9^=512＞，
故则的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图．
24.如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为交与点；求证：是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)连接OC，由AB是圆O的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO即可证明∠OCD=90°进而求解；
(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，进而得到△DFC为等腰三角形．
【详解】解：(1)证明：连接，
为圆的直径，
又
又点在圆上，
是的切线．
\(2\)
又
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．
25.若二次函数的图像与轴有两个交点，且经过点过点的直线与轴交于点与该函数的图像交于点（异于点）．满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且．
（1）抛物线的开口方向 [ ]{.underline} （填"上"或"下"）；
（2）求直线相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）上；（2）；（3）
【解析】
【分析】
(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；
(2)根据是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是，此时，由此算出C点坐标，进而求解；
(3)过B点作BH⊥*x*轴，由得到，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线*l*中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
(2)①若，
则与重合，直线与二次函数图像交于点
∵直线与该函数的图像交于点（异于点）
∴不合符题意，舍去；
②若，则在轴下方，
∵点在轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若
则
设直线
将代入：
，解得
直线．
故答案为：．
(3)过点作轴，垂足为，
，，
又，
，
又，
，
即点纵坐标为，
又(2)中直线*l*经过B点，
将代入中，得，
，
将三点坐标代入中，得
，
解得，
抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．
26.木门常常需要雕刻美丽的图案．
（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为厘米，长为厘米，阴影部分是边长为厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；
（2）如图，对于中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．
【答案】（1）；（2）雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为
【解析】
【分析】
（1）过点作求出PE，进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；
（2）如图，过P作PQ⊥CD于Q，连接PG,先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及∠PGE，当移动到点时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得图案的周长．
【详解】如图，过点作垂足为
是边长为的正方形模具的中心，
同理：与之间的距离为
与之间的距离为
与之间的距离为
．
答：图案的周长为．
如图，连接过点作，垂足为
是边长为的等边三角形模具的中心，
．
当三角形向上平移至点与点重合时，
由题意可得：绕点顺时针旋转
使得与边重合
绕点顺时针旋转至
．
同理可得其余三个角均为弧长为的圆弧，
图中的虚线即为所画的草图，
∴
．
答：雕刻所得图案的草图的周长为．
【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30º角的直角三角形、图形的周长等知识，解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和计算．
27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题．
（1）在中，，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）
-- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- --
（2）根据学习函数的经验，选取上表中和的数据进行分析；
设，以为坐标，在图所示的坐标系中描出对应的点；
连线；
观察思考
（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当 [ ]{.underline} 时，最大；
（4）进一步C猜想：若中，，斜边为常数，），则 [ ]{.underline} 时，最大．
推理证明
（5）对（4）中的猜想进行证明．
问题1．在图中完善的描点过程，并依次连线；
问题2．补全观察思考中的两个猜想： [\_\_\_\_\_\_\_]{.underline} [\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}
问题3．证明上述中的猜想：
问题4．图中折线是一个感光元件的截面设计草图，其中点间的距离是厘米，厘米，平行光线从区域射入，线段为感光区城，当的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．
【答案】问题1：见解析；问题2：2，；问题3：见解析；问题4：当时，感光区域长度之和最大
【解析】
【分析】
问题1：根据（1）中的表格数据，描点连线，作出图形即可；
问题2：根据（1）中的表格数据，可以得知当2时，最大；设，则，可得，有，可得出；
问题3：可用两种方法证明，方法一：（判别式法）设，则，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），设，得，可得，根据当时，等式成立有，可得出
；
问题4：方法一：延长交于点，过点作于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，交于点，由题可知：在中，，得，根据，有，得，易证四边形为矩形，四边形为矩形，根据可得，由问题3可知，当时，最大，则有时，最大为；方法二：
延长相交于点同法一求得：，根据四边形为矩形，有，，得到，由问题3可知，当时，最大
则可得时最大为．
【详解】问题1：图
问题2：；
问题3：
法一：（判别式法）
证明：设
在中，
关于的元二次方程有实根，
当取最大值时，
当时，有最大值．
法二：（基本不等式）
设
在中，
．
当时，等式成立
．
，
当时，有最大值．
问题4：
法一：延长交于点
过点作于点垂足为
过点作交于点垂足为
交于点
由题可知：在中，
即
又
，
在中，
，
即
四边形为矩形
，
四边形为矩形，
在中，．
由问题3可知，当时，最大
时，最大为
即当时，感光区域长度之和最大为
法二：
延长相交于点
同法一求得：
设
四边形为矩形，
．
由问题3可知，当时，最大
时最大为
即当时，感光区域长度之和最大为．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数，不等式，解直角三角形，三角函数，矩形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
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**2019年山东省聊城市中考数学试卷**
**一、选择题（本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)**
1．（3分）（2019•聊城）的相反数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•聊城）如图所示的几何体的左视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•聊城）如果分式的值为零，那么的值为
A．或1 B．1 C． D．1或0
4．（3分）（2019•聊城）在光明中学组织的全校师生迎"五四"诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是
A．96分、98分 B．97分、98分 C．98分、96分 D．97分、96分
5．（3分）（2019•聊城）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
6．（3分）（2019•聊城）下列各式不成立的是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•聊城）若不等式组无解，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•聊城）如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，．如果，那么的度数为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•聊城）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为
A． B．且 C． D．且
10．（3分）（2019•聊城）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A． B． C． D．
11．（3分）（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
12．（3分）（2019•聊城）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为
A． B．， C．， D．
**二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果)**
13．（3分）（2019•聊城）计算：[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：，计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•聊城）在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分，，，四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•聊城）如图，在中，，，为的中位线，延长至，使，连接并延长交于点．若，则的周长为[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•聊城）数轴上，两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，，．，是整数）处，那么线段的长度为[ ]{.underline}，是整数）．
**三、解答题（本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)**
18．（7分）（2019•聊城）计算：．
19．（8分）（2019•聊城）学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
------ -------------- -------------- ------
组别 课前预习时间 频数（人数） 频率
1 2
2 0.10
3 16 0.32
4
5 3
------ -------------- -------------- ------
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为[ ]{.underline}，表中的[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数．
20．（8分）（2019•聊城）某商场的运动服装专柜，对，两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
------------------ -------- --------
第一次 第二次
品牌运动服装数件 20 30
品牌运动服装数件 30 40
累计采购款元 10200 14400
------------------ -------- --------
（1）问，两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
21．（8分）（2019•聊城）在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．
求证：（1）；
（2）．
22．（8分）（2019•聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）
（参考数据：，，，，
23．（8分）（2019•聊城）如图，点，，是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点，已知，连接，，．
（1）求直线的表达式；
（2）和的面积分别为，．求．
24．（10分）（2019•聊城）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，求弦的长．
25．（12分）（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；
（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．
**2019年山东省聊城市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本题共12个小题,每小题3分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)**
1．（3分）的相反数是
A． B． C． D．
【考点】28：实数的性质
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
2．（3分）如图所示的几何体的左视图是
A． B．
C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选：．
3．（3分）如果分式的值为零，那么的值为
A．或1 B．1 C． D．1或0
【考点】63：分式的值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．
【解答】解：根据题意，得
且，
解得，．
故选：．
4．（3分）在光明中学组织的全校师生迎"五四"诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是
A．96分、98分 B．97分、98分 C．98分、96分 D．97分、96分
【考点】：条形统计图；：中位数；：众数
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；
共有25个数，最中间的数为第13数，是96，所以数据的中位数为96分．
故选：．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；：零指数幂；：负整数指数幂
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
6．（3分）下列各式不成立的是
A． B． C． D．
【考点】79：二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解：，选项成立，不符合题意；
，选项成立，不符合题意；
，选项不成立，符合题意；
，选项成立，不符合题意；
故选：．
7．（3分）若不等式组无解，则的取值范围为
A． B． C． D．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于的不等式，解之可得．
【解答】解：解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选：．
8．（3分）如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，．如果，那么的度数为
A． B． C． D．
【考点】：圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接，由圆周角定理得出，求出，再由圆周角定理得出即可，
【解答】解：连接，如图所示：
是半圆的直径，
，
，
，
，
故选：．
9．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为
A． B．且 C． D．且
【考点】：根的判别式；：一元二次方程的定义
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：，
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
10．（3分）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来搅收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为
A． B． C． D．
【考点】：一次函数的应用
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式为：，根据题意得，解得，
；
设乙仓库的快件数量（件与时间（分之间的函数关系式为：，根据题意得，解得，
，
联立，解得，
此刻的时间为．
故选：．
11．（3分）如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是
A． B．
C． D．
【考点】：旋转的性质；：等腰直角三角形
【分析】连接，易证，利用全等三角形的性质可得出，进而可得出，选项正确；由三角形内角和定理结合，可得出，选项正确；由可得出，结合图形可得出，选项正确．综上，此题得解．
【解答】解：连接，如图所示．
为等腰直角三角形，点为的中点，
，，．
，，
．
在和中，，
，
，
，选项正确；
，，，
，选项正确；
，
，
，选项正确．
故选：．
12．（3分）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为
A． B．， C．， D．
【考点】：坐标与图形变化平移；：轴对称最短路线问题
【分析】根据已知条件得到，，求得，，得到，，作关于直线的对称点，连接交于，则此时，四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【解答】解：在中，，，
，，
，点为的中点，
，，
，，
作关于直线的对称点，连接交于，
则此时，四边形周长最小，，
直线 的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
解得，，
，，
故选：．
**二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后结果)**
13．（3分）计算：[ ]{.underline}．
【考点】：有理数的混合运算
【分析】先计算括号内的减法，同时将除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】解：原式，
故答案为：．
14．（3分）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：，计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为[ ]{.underline}．
【考点】：由三视图判断几何体；：圆锥的计算
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解：圆锥的底面半径为1，
圆锥的底面周长为，
圆锥的高是，
圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为，
，
解得．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为．
故答案为：．
15．（3分）在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分，，，四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是[ ]{.underline}．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【解答】解：如下图所示，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，
小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是，
故答案为：．
16．（3分）如图，在中，，，为的中位线，延长至，使，连接并延长交于点．若，则的周长为[ ]{.underline}．
【考点】：含30度角的直角三角形；：三角形中位线定理；：相似三角形的判定与性质
【分析】在中，求出，，在中用表示出长，并证明，从而转化到上，根据周长可求周长．
【解答】解：在中，，
，
，．
是中位线，
．
在中，利用勾股定理求出，
．
，
．
周长．
故答案为．
17．（3分）数轴上，两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，，．，是整数）处，那么线段的长度为[ ]{.underline}，是整数）．
【考点】13：数轴；38：规律型：图形的变化类；：两点间的距离
【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度．
【解答】解：由于，
所有第一次跳动到的中点处时，，
同理第二次从点跳动到处，离原点的处，
同理跳动次后，离原点的长度为，
故线段的长度为，是整数）．
故答案为：．
**三、解答题（本题共8个小题,共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)**
18．（7分）计算：．
【考点】：分式的混合运算
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式
．
19．（8分）学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
------ -------------- -------------- ------
组别 课前预习时间 频数（人数） 频率
1 2
2 0.10
3 16 0.32
4
5 3
------ -------------- -------------- ------
请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为[ 50 ]{.underline}，表中的[ ]{.underline}，[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数．
【考点】：总体、个体、样本、样本容量；：用样本估计总体；：频数（率分布表；：扇形统计图
【分析】（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量其他小组的人数即可得到，用本次调查的样本容量得到；
（2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上，即可得到扇形统计图中"4"区对应的圆心角度数；
（3）根据每天课前预习时间不少于的学生人数所占的比例乘上该校九年级总人数，即可得到结果．
【解答】解：（1），，，；
故答案为：50，5，24，0.48；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）每天课前预习时间不少于的学生人数的频率，
，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于的学生人数是860人．
20．（8分）某商场的运动服装专柜，对，两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
------------------ -------- --------
第一次 第二次
品牌运动服装数件 20 30
品牌运动服装数件 30 40
累计采购款元 10200 14400
------------------ -------- --------
（1）问，两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
【考点】：一元一次不等式的应用；：二元一次方程组的应用
【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设，两种品牌运动服的进货单价各是元和元，根据题意可得：
，
解得：，
答：，两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；
（2）设购进品牌运动服件，购进品牌运动服件，
则，
解得：，
经检验，不等式的解符合题意，
，
答：最多能购进65件品牌运动服．
21．（8分）在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．
求证：（1）；
（2）．
【考点】：菱形的性质；：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据菱形的性质得到，，由平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2），
，，
，
．
22．（8分）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，部分），在起点处测得大楼部分楼体的顶端点的仰角为，底端点的仰角为，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达处，测得顶端的仰角为（如图②所示），求大楼部分楼体的高度约为多少米？（精确到1米）
（参考数据：，，，，
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】设楼高为米，于是得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设楼高为米，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：（米，
在中，，
（米，
答：大楼部分楼体的高度约为17米．
23．（8分）如图，点，，是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点，已知，连接，，．
（1）求直线的表达式；
（2）和的面积分别为，．求．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先将点，代入反比例函数解析式中求出的值，进而得到点的坐标，已知点、点坐标，利用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出，的值，即可求出．
【解答】解：（1）由点，，在反比例函数图象上
反比例函数的解析式为
将点代入得
设直线的表达式为
解得
直线的表达式为；
（2）由点、坐标得，点到的距离为
设与轴的交点为，可得，如图：
由点，，知点，到的距离分别为，3
．
24．（10分）如图，内接于，为直径，作交于点，延长，交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，求弦的长．
【考点】：相似三角形的判定与性质；：勾股定理；：切线的性质
【分析】（1）连接，由切线的性质可证得，又，可得，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长．
【解答】（1）证明：连接，
与相切，为是的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在和中，
，，
，
，
即，
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；
（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）将点、、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）只有当时，△，可得：，设点坐标，即可求解；
（3）利用得：，再求出的最大值，即可求解．
【解答】解：（1）将点、、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）点、，，，
轴，，
，
只有当时，△，
此时，即：，
，
设点的纵坐标为，则，，
，
将点坐标代入二次函数表达式并解得：
或（舍去，
则点，；
（3）在中，，
轴，，，
，
，
而，，
，
即当取得最大值时，最大，
将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
当时，的最大值为4，
故当时，．
| 1 | |
{width="0.375in" height="0.3888888888888889in"}**绝密★启用前**
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合*U*={−2*，−1，0，1，2，*3}，*A*={−1*，0，*1}，*B*={1*，*2}，则
> A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}
2．若*α*为第四象限角，则
> A．cos2*α*\>0 B．cos2*α*\<0 C．sin2*α*\>0 D．sin2*α*\<0
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
> A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
> A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
>
> {width="2.5517639982502187in" height="3.218347550306212in"}
5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
> A． B． C． D．
6．数列中，，，若，则
> A．2 B．3 C．4 D．5
7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为
{width="2.61in" height="2.10875in"}
> A． B． C． D．
8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
> A．4 B．8 C．16 D．32
9．设函数，则*f*(*x*)
> A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
>
> C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
>
> 10．已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上．若球*O*的表面积为16π，则*O*到平面*ABC*的距离为
>
> A． B． C．1 D．
11．若2*^x^*－2*^y^*\<3^−*x*^－3^−*y*^，则
> A．ln(*y*-*x*+1)\>0 B．ln(*y*-*x*+1)\<0 C．ln∣*x*-*y*∣\>0 D．ln∣*x*-*y*∣\<0
12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是
> A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知单位向量***a***，***b***的夹角为45°，*k**a***--***b***与***a***垂直，则*k*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种．
15．设复数，满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16．设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
*p*~4~：若直线*l*平面α，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*．
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
> ① ② ③ ④
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
> 中，sin^2^*A*－sin^2^*B*－sin^2^*C*= sin*B*sin*C*．
>
> （1）求*A*；
>
> （2）若*BC*=3，求周长的最大值．
18．（12分）
> 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*) (*i=*1，2，...，20)，其中*x*~i~和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．
>
> （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
>
> （2）求样本(*x~i~*，*y~i~*) (*i=*1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
>
> （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
>
> 附：相关系数*r*= ，=1.414．
19．（12分）
> 已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>*0)*的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合．过*F*且与*x*轴垂直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，*交C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|．
>
> （1）求*C*~1~的离心率；
>
> （2）设*M*是*C*~1~与*C*~2~的公共点，若\|*MF*\|=5，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程．
20．（12分）
> 如图，已知三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点，过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*．
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> （1）证明：*AA*~1~∥*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥*EB*~1~*C*~1~*F*；
>
> （2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*∥平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且*AO*=*AB*，求直线*B*~1~*E*与平面*A*~1~*AMN*所成角的正弦值．
21． (12分)
> 已知函数*f*(*x*)= sin^2^*x* sin2*x．*
>
> （1）讨论*f*(*x*)在区间(0，π)的单调性；
>
> （2）证明: ；
>
> （3）设*n*∈***N***\*，证明：sin^2^*x* sin^2^2*x* sin^2^4*x*...sin^2^2*^n^x*≤．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．\[选修4---4：坐标系与参数方程\]（10分）
> 已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为
>
> *C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）．
>
> （1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
>
> （2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系．设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程．
23．\[选修4---5：不等式选讲\]（10分）
> 已知函数*f*(*x*)= \|*x*-*a*^2^\|+\|*x*-2*a*+1\|．
>
> （1）当*a*=2时，求不等式*f*(*x*)≥4的解集；
>
> （2）若*f*(*x*)≥4，求*a*的取值范围．
**参考答案**
1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C
13． 14．36 15． 16．①③④
17．解：（1）由正弦定理和已知条件得，①
> 由余弦定理得，②
>
> 由①，②得.
>
> 因为，所以.
>
> （2）由正弦定理及（1）得，
>
> 从而，.
>
> 故.
>
> 又，所以当时，周长取得最大值.
>
> 18．解：（1）由己知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200= 12 000．
>
> （2）样本的相关系数
>
> ．
>
> （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
>
> 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.
> 不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.
>
> 由得，即，解得（舍去），.
>
> 所以的离心率为.
>
> （2）由（1）知，，故，
>
> 设，则，，故.①
>
> 由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.
>
> 所以的标准方程为，的标准方程为.
20．解：（1）因为*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，所以*MN*∥*CC*．又由已知得*AA*~1~∥*CC*~1~，故*AA*~1~∥*MN*．
因为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~是正三角形，所以*B*~1~*C*~1~⊥*A*~1~*N*．又*B*~1~*C*~1~⊥*MN*，故*B*~1~*C*~1~⊥平面*A*~1~*AMN*．
所以平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*CF*．
> （2）由己知得*AM*⊥*BC*．以*M*为坐标原点，的方向为*x*轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系*M*-*xyz*，则*AB*=2，*AM*=．
>
> 连接*NP*，则四边形*AONP*为平行四边形，故．由（1）知平面*A*~1~*AMN*⊥平面*ABC*，作*NQ*⊥*AM*，垂足为*Q*，则*NQ*⊥平面*ABC*．
>
> 设，则，
>
> 故．
>
> 又是平面*A*~1~*AM*的法向量，故．
>
> 所以直线*B*~1~*E*与平面*A*~1~*AMN*所成角的正弦值为．
>
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21．解：（1）
> ．
>
> 当时，；当时，．
>
> 所以在区间单调递增，在区间单调递减．
>
> （2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，
>
> 最小值为．而是周期为的周期函数，故．
>
> （3）由于
>
> ，
>
> 所以．
22．解：（1）的普通方程为．
> 由的参数方程得，，所以．
>
> 故的普通方程为．
>
> （2）由得所以的直角坐标为．
>
> 设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，
>
> 解得．
>
> 因此，所求圆的极坐标方程为．
23．解：（1）当时，
> 因此，不等式的解集为．
>
> （2）因为，故当，即时，．所以当*a*≥3或*a*≤-1时，．
>
> 所以*a*的取值范围是．
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**2019年新疆中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请按答题卷中的要求作答。)**
1．（5分）（2019•新疆）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（5分）（2019•新疆）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）（2019•新疆）如图，*AB*∥*CD*，∠*A*＝50°，则∠1的度数是（ ）
> 
A．40° B．50° C．130° D．150°
4．（5分）（2019•新疆）下列计算正确的是（ ）
A．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ B．（﹣2*ab*）^2^＝4*a*^2^*b*^2^
C．*x*^2^+3*x*^2^＝4*x*^4^ D．﹣6*a*^6^÷2*a*^2^＝﹣3*a*^3^
5．（5分）（2019•新疆）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）
> 
A．甲的成绩更稳定
B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的成绩一样稳定
D．无法判断谁的成绩更稳定
6．（5分）（2019•新疆）若关于*x*的一元二次方程（*k*﹣1）*x*^2^+*x*+1＝0有两个实数根，则*k*的取值范围是（ ）
A．*k*≤ B．*k*＞ C．*k*＜且*k*≠1 D．*k*≤且*k*≠1
7．（5分）（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有*x*个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．*x*（*x*﹣1）＝36 B．*x*（*x*+1）＝36
C．*x*（*x*﹣1）＝36 D．*x*（*x*+1）＝36
8．（5分）（2019•新疆）如图，在△*ABC*中，∠*C*＝90°，∠*A*＝30°，以点*B*为圆心，适当长为半径画弧，分别交*BA*，*BC*于点*M*，*N*；再分别以点*M*，*N*为圆心，大于*MN*的长为半径画弧，两弧交于点*P*，作射线*BP*交*AC*于点*D*．则下列说法中不正确的是（ ）
> 
A．*BP*是∠*ABC*的平分线 B．*AD*＝*BD*
C．*S*~△*CBD*~：*S*~△*ABD*~＝1：3 D．*CD*＝*BD*
9．（5分）（2019•新疆）如图，正方形*ABCD*的边长为2，点*E*是*BC*的中点，*AE*与*BD*交于点*P*，*F*是*CD*上一点，连接*AF*分别交*BD*，*DE*于点*M*，*N*，且*AF*⊥*DE*，连接*PN*，则以下结论中：①*S*~△*ABM*~＝4*S*~△*FDM*~；②*PN*＝；③tan∠*EAF*＝；④△*PMN*∽△*DPE*，正确的是（ ）
> 
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
**二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.)**
10．（5分）（2019•新疆）将数526000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
11．（5分）（2019•新疆）五边形的内角和为[ ]{.underline}度．
12．（5分）（2019•新疆）计算：﹣＝[ ]{.underline}．
13．（5分）（2019•新疆）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）（2019•新疆）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝4，将△*ABC*绕点*A*顺时针旋转30°，得到△*ACD*，延长*AD*交*BC*的延长线于点*E*，则*DE*的长为[ ]{.underline}．
> 
15．（5分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知正比例函数*y*＝﹣2*x*与反比例函数*y*＝的图象交于*A*（*a*，﹣4），*B*两点，过原点*O*的另一条直线*l*与双曲线*y*＝交于*P*，*Q*两点（*P*点在第二象限），若以点*A*，*B*，*P*，*Q*为顶点的四边形面积为24，则点*P*的坐标是[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（本大题共8小题,共75分.)**
16．（6分）（2019•新疆）计算：（﹣2）^2^﹣+（﹣1）^0^+（）^﹣1^．
17．（8分）（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）（2019•新疆）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：
> 30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
>
> 对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：
>
> 表一
----------------------- ----------- ------------ ------------ -------------
时间*t*（单位：分钟） 0≤*t*＜30 30≤*t*＜60 60≤*t*＜90 90≤*t*＜120
人数 2 *a* 10 *b*
----------------------- ----------- ------------ ------------ -------------
> 表二
-------- -------- ------
平均数 中位数 众数
60 *c* *d*
-------- -------- ------
> 根据以上提供的信息，解答下列问题：
>
> （1）填空
>
> ①*a*＝[ ]{.underline}，*b*＝[ ]{.underline}；
>
> ②*c*＝[ ]{.underline}，*d*＝[ ]{.underline}；
>
> （2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．
19．（10分）（2019•新疆）如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*相交于点*O*，*E*是*CD*中点，连接*OE*．过点*C*作*CF*∥*BD*交*OE*的延长线于点*F*，连接*DF*．
> 求证：（1）△*ODE*≌△*FCE*；
>
> （2）四边形*OCFD*是矩形．
>
> 
20．（10分）（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔*P*的东北方向，距离灯塔80海里的*A*处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔*P*的南偏东30°方向上的*B*处．
> （1）求海轮从*A*处到*B*处的途中与灯塔*P*之间的最短距离（结果保留根号）；
>
> （2）若海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处，试判断海轮能否在5小时内到达*B*处，并说明理由．
>
> （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
>
> 
21．（10分）（2019•新疆）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
> （1）降价前苹果的销售单价是[ ]{.underline}元/千克；
>
> （2）求降价后销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
>
> （3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
>
> 
22．（10分）（2019•新疆）如图，*AB*是⊙*O*的直径，*CD*与⊙*O*相切于点*C*，与*AB*的延长线交于点*D*，*CE*⊥*AB*于点*E*．
> （1）求证：∠*BCE*＝∠*BCD*；
>
> （2）若*AD*＝10，*CE*＝2*BE*，求⊙*O*的半径．
>
> 
23．（13分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*经过*A*（﹣1，0），*B*（4，0），*C*（0，4）三点．
> （1）求抛物线的解析式及顶点*D*的坐标；
>
> （2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移*h*（*h*＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点*D*′在△*ABC*内，求*h*的取值范围；
>
> （3）点*P*为线段*BC*上一动点（点*P*不与点*B*，*C*重合），过点*P*作*x*轴的垂线交（1）中的抛物线于点*Q*，当△*PQC*与△*ABC*相似时，求△*PQC*的面积．
>
> 
**2019年新疆中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共9小题,每小题5分,共45分,在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请按答题卷中的要求作答。)**
1．（5分）（2019•新疆）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
>
> 【解答】解：﹣2的绝对值是：2．
>
> 故选：A．
2．（5分）（2019•新疆）下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
> 【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
>
> 【分析】找出从正面看，主视图为圆的几何体即可．
>
> 【解答】解：A．主视图为正方形，不合题意；
>
> B．主视图为长方形，不合题意；
>
> C．主视图为三角形，不合题意；
>
> D．主视图为圆，符合题意；
>
> 故选：D．
3．（5分）（2019•新疆）如图，*AB*∥*CD*，∠*A*＝50°，则∠1的度数是（ ）
> 
A．40° B．50° C．130° D．150°
> 【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据平行线的性质解答即可．
>
> 【解答】解：∵*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠2＝∠*A*＝50°，
>
> ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
>
> 故选：C．
4．（5分）（2019•新疆）下列计算正确的是（ ）
A．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ B．（﹣2*ab*）^2^＝4*a*^2^*b*^2^
C．*x*^2^+3*x*^2^＝4*x*^4^ D．﹣6*a*^6^÷2*a*^2^＝﹣3*a*^3^
> 【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：A. *a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^，故此选项错误；
>
> B.（﹣2*ab*）^2^＝4*a*^2^*b*^2^，正确；
>
> C. *x*^2^+3*x*^2^＝4*x*^2^，故此选项错误；
>
> D. ﹣6*a*^6^÷2*a*^2^＝﹣3*a*^4^，故此选项错误；
>
> 故选：B．
5．（5分）（2019•新疆）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是（ ）
> 
A．甲的成绩更稳定
B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的成绩一样稳定
D．无法判断谁的成绩更稳定
> 【考点】折线统计图；方差．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
>
> 【解答】解：由折线图可知，乙与其平均值的离散程度较小，所以稳定性更好．
>
> 故选：B．
6．（5分）（2019•新疆）若关于*x*的一元二次方程（*k*﹣1）*x*^2^+*x*+1＝0有两个实数根，则*k*的取值范围是（ ）
A．*k*≤ B．*k*＞ C．*k*＜且*k*≠1 D．*k*≤且*k*≠1
> 【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于*k*的一元一次不等式组，解之即可得出*k*的取值范围．
>
> 【解答】解：∵关于*x*的一元二次方程（*k*﹣1）*x*^2^+*x*+1＝0有两个实数根，
>
> ∴，
>
> 解得：*k*≤且*k*≠1．
>
> 故选：D．
7．（5分）（2019•新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有*x*个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．*x*（*x*﹣1）＝36 B．*x*（*x*+1）＝36
C．*x*（*x*﹣1）＝36 D．*x*（*x*+1）＝36
> 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝36，把相关数值代入即可．
>
> 【解答】解：设有*x*个队参赛，根据题意，可列方程为：
>
> *x*（*x*﹣1）＝36，
>
> 故选：A．
8．（5分）（2019•新疆）如图，在△*ABC*中，∠*C*＝90°，∠*A*＝30°，以点*B*为圆心，适当长为半径画弧，分别交*BA*，*BC*于点*M*，*N*；再分别以点*M*，*N*为圆心，大于*MN*的长为半径画弧，两弧交于点*P*，作射线*BP*交*AC*于点*D*．则下列说法中不正确的是（ ）
> 
A．*BP*是∠*ABC*的平分线 B．*AD*＝*BD*
C．*S*~△*CBD*~：*S*~△*ABD*~＝1：3 D．*CD*＝*BD*
> 【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图---基本作图．菁优网版权所有
>
> 【分析】利用基本作图可对*A*选项进行判断；计算出∠*ABD*＝30°＝∠*A*，则可对*B*选项进行判断；利用∠*CBD*＝∠*ABC*＝30°得到*BD*＝2*CD*，则可对*D*选项进行判断；由于*AD*＝2*CD*，则可根据三角形面积公式对*C*选项进行判断．
>
> 【解答】解：由作法得*BD*平分∠*ABC*，所以*A*选项的结论正确；
>
> ∵∠*C*＝90°，∠*A*＝30°，
>
> ∴∠*ABC*＝60°，
>
> ∴∠*ABD*＝30°＝∠*A*，
>
> ∴*AD*＝*BD*，所以*B*选项的结论正确；
>
> ∵∠*CBD*＝∠*ABC*＝30°，
>
> ∴*BD*＝2*CD*，所以*D*选项的结论正确；
>
> ∴*AD*＝2*CD*，
>
> ∴*S*~△*ABD*~＝2*S*~△*CBD*~，所以C选项的结论错误．
>
> 故选：C．
>
> 
9．（5分）（2019•新疆）如图，正方形*ABCD*的边长为2，点*E*是*BC*的中点，*AE*与*BD*交于点*P*，*F*是*CD*上一点，连接*AF*分别交*BD*，*DE*于点*M*，*N*，且*AF*⊥*DE*，连接*PN*，则以下结论中：①*S*~△*ABM*~＝4*S*~△*FDM*~；②*PN*＝；③tan∠*EAF*＝；④△*PMN*∽△*DPE*，正确的是（ ）
> 
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
> 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形．菁【分析】①正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．
>
> ②正确．作*PH*⊥*AN*于*H*，求出*PH*，*HN*即可解决问题．
>
> ③正确．求出*EN*，*AN*即可判断．
>
> ④错误．证明∠*DPN*≠∠*PDE*即可．
>
> 【解答】解：∵正方形*ABCD*的边长为2，点*E*是*BC*的中点，
>
> ∴*AB*＝*BC*＝*CD*＝*AD*＝2，∠*ABC*＝∠*C*＝∠*ADF*＝90°，*CE*＝*BE*＝1，
>
> ∵*AF*⊥*DE*，
>
> ∴∠*DAF*+∠*ADN*＝∠*ADN*+∠*CDE*＝90°，
>
> ∴∠*DAN*＝∠*EDC*，
>
> 在△*ADF*与△*DCE*中，，
>
> ∴△*ADF*≌△*DCE*（*ASA*），
>
> ∴*DF*＝*CE*＝1，
>
> ∵*AB*∥*DF*，
>
> ∴△*ABM*∽△*FDM*，
>
> ∴＝（）^2^＝4，
>
> ∴*S*~△*ABM*~＝4*S*~△*FDM*~；故①正确；
>
> 由勾股定理可知：*AF*＝*DE*＝*AE*＝＝，
>
> ∵×*AD*×*DF*＝×*AF*×*DN*，
>
> ∴*DN*＝，
>
> ∴*EN*＝，*AN*＝＝，
>
> ∴tan∠*EAF*＝＝，故③正确，
>
> 作*PH*⊥*AN*于*H*．
>
> ∵*BE*∥*AD*，
>
> ∴＝＝2，
>
> ∴*PA*＝，
>
> ∵*PH*∥*EN*，
>
> ∴＝＝，
>
> ∴*AH*＝×＝，*HN*＝，
>
> ∴*PN*＝＝，故②正确，
>
> ∵*PN*≠*DN*，
>
> ∴∠*DPN*≠∠*PDE*，
>
> ∴△*PMN*与△*DPE*不相似，故④错误．
>
> 故选：A．
>
> 
**二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.)**
10．（5分）（2019•新疆）将数526000用科学记数法表示为[ 5.26×10^5^ ]{.underline}．
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，*n*是正数；当原数的绝对值＜1时，*n*是负数．
>
> 【解答】解：将526000用科学记数法表示为5.26×10^5^．
>
> 故答案为：5.26×10^5^
11．（5分）（2019•新疆）五边形的内角和为[ 540 ]{.underline}度．
> 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
>
> 【分析】*n*边形内角和公式为（*n*﹣2）180°，把*n*＝5代入可求五边形内角和．
>
> 【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°．
>
> 故答案为：540．
12．（5分）（2019•新疆）计算：﹣＝[ *a*+*b* ]{.underline}．
> 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
>
> 【分析】同分母的分式相减，就是分母不变，把分子相减即可．
>
> 【解答】解：原式＝＝*a*+*b*，
>
> 故答案是*a*+*b*．
13．（5分）（2019•新疆）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子点数的和是小于5的结果数，然后根据概率公式求解．
>
> 【解答】解：画树状图为：
>
> 
>
> 共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，
>
> ∴两枚骰子点数之和小于5的概率是，
>
> 故答案为：．
14．（5分）（2019•新疆）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝4，将△*ABC*绕点*A*顺时针旋转30°，得到△*ACD*，延长*AD*交*BC*的延长线于点*E*，则*DE*的长为[ 2]{.underline}[﹣2 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：∠*CAD*＝30°＝∠*CAB*，*AC*＝*AD*＝4．从而得到∠*BCD*＝150°，∠*DCE*＝30°，∠*E*＝45°．过点*C*作*CH*⊥*AE*于*H*点，
>
> 在Rt△*ACH*中，*CH*和*AH*长，在Rt△*CHE*中可求*EH*长，利用*DE*＝*EH*﹣*HD*即可求解．
>
> 【解答】解：根据旋转过程可知：∠*CAD*＝30°＝∠*CAB*，*AC*＝*AD*＝4．
>
> ∴∠*BCA*＝∠*ACD*＝∠*ADC*＝75°．
>
> ∴∠*ECD*＝180°﹣2×75°＝30°．
>
> ∴∠*E*＝75°﹣30°＝45°．
>
> 过点*C*作*CH*⊥*AE*于*H*点，
>
> 在Rt△*ACH*中，*CH*＝*AC*＝2，*AH*＝2．
>
> ∴*HD*＝*AD*﹣*AH*＝4﹣2．
>
> 在Rt△*CHE*中，∵∠*E*＝45°，
>
> ∴*EH*＝*CH*＝2．
>
> ∴*DE*＝*EH*﹣*HD*＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．
>
> 
>
> 故答案为2﹣2．
15．（5分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知正比例函数*y*＝﹣2*x*与反比例函数*y*＝的图象交于*A*（*a*，﹣4），*B*两点，过原点*O*的另一条直线*l*与双曲线*y*＝交于*P*，*Q*两点（*P*点在第二象限），若以点*A*，*B*，*P*，*Q*为顶点的四边形面积为24，则点*P*的坐标是[ *P*（﹣4，2）或*P*（﹣1，8） ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】先将*y*＝﹣4代入正比例函数*y*＝﹣2*x*，可得出*x*＝2，求得点*A*（2，﹣4），再根据点*A*与*B*关于原点对称，得出*B*点坐标，即可得出*k*的值；由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以*A*、*B*、*P*、*Q*为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△*POB*的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出*P*点的坐标，然后表示出△*POB*的面积，由于△*POB*的面积为6，由此可得出关于*P*点横坐标的方程，即可求出*P*点的坐标．
>
> 【解答】解：∵点*A*在正比例函数*y*＝﹣2*x*上，
>
> ∴把*y*＝﹣4代入正比例函数*y*＝﹣2*x*，
>
> 解得*x*＝2，∴点*A*（2，﹣4），
>
> ∵点*A*与*B*关于原点对称，
>
> ∴*B*点坐标为（﹣2，4），
>
> 把点*A*（2，﹣4）代入反比例函数*y*＝，得*k*＝﹣8，
>
> ∴反比例函数为*y*＝﹣，
>
> ∵反比例函数图象是关于原点*O*的中心对称图形，
>
> ∴*OP*＝*OQ*，*OA*＝*OB*，
>
> ∴四边形*AQBP*是平行四边形，
>
> ∴*S*~△*POB*~＝*S*~平行四边形*AQBP*~×＝×24＝6，
>
> 设点*P*的横坐标为*m*（*m*＜0且*m*≠﹣2），
>
> 得*P*（*m*，﹣），
>
> 过点*P*、*B*分别做*x*轴的垂线，垂足为*M*、*N*，
>
> ∵点*P*、*B*在双曲线上，
>
> ∴*S*~△*POM*~＝*S*~△*BON*~＝4，
>
> 若*m*＜﹣2，如图1，
>
> ∵*S*~△*POM*~+*S*~梯形*PMNB*~＝*S*~△*POB*~+*S*~△*POM*~，
>
> ∴*S*~梯形*PMNB*~＝*S*~△*POB*~＝6．
>
> ∴（4﹣）•（﹣2﹣*m*）＝6．
>
> ∴*m*~1~＝﹣4，*m*~2~＝1（舍去），
>
> ∴*P*（﹣4，2）；
>
> 若﹣2＜*m*＜0，如图2，
>
> ∵*S*~△*POM*~+*S*~梯形*BNMP*~＝*S*~△*BOP*~+*S*~△*BON*~，
>
> ∴*S*~梯形*BNMP*~＝*S*~△*POB*~＝6．
>
> ∴（4﹣）•（*m*+2）＝6，
>
> 解得*m*~1~＝﹣1，*m*~2~＝4（舍去），
>
> ∴*P*（﹣1，8）．
>
> ∴点*P*的坐标是*P*（﹣4，2）或*P*（﹣1，8），
>
> 故答案为*P*（﹣4，2）或*P*（﹣1，8）．
>
> 
>
> 
**三、解答题（本大题共8小题,共75分.)**
16．（6分）（2019•新疆）计算：（﹣2）^2^﹣+（﹣1）^0^+（）^﹣1^．
> 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣3
>
> ＝﹣1．
17．（8分）（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
> 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
>
> 【解答】解：
>
> 解不等式①得：*x*＜2，
>
> 解不等式②得：*x*＞1，
>
> ∴不等式组的解集为1＜*x*＜2，
>
> 在数轴上表示不等式组的解集为：
>
> ．
18．（8分）（2019•新疆）某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：
> 30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
>
> 对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：
>
> 表一
----------------------- ----------- ------------ ------------ -------------
时间*t*（单位：分钟） 0≤*t*＜30 30≤*t*＜60 60≤*t*＜90 90≤*t*＜120
人数 2 *a* 10 *b*
----------------------- ----------- ------------ ------------ -------------
> 表二
-------- -------- ------
平均数 中位数 众数
60 *c* *d*
-------- -------- ------
> 根据以上提供的信息，解答下列问题：
>
> （1）填空
>
> ①*a*＝[ 5 ]{.underline}，*b*＝[ 3 ]{.underline}；
>
> ②*c*＝[ 65 ]{.underline}，*d*＝[ 70 ]{.underline}；
>
> （2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．
>
> 【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．菁
>
> 【分析】（1）利用划记法求出*a*，*b*，再根据中位数，众数的定义求出*c*，*d*即可．
>
> （2）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
>
> 【解答】解：（1）由题意：*a*＝5，*b*＝3，*c*＝65，*d*＝70，
>
> 故答案为5，3，65，70．
>
> （2）200×＝130（人），
>
> 答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．
19．（10分）（2019•新疆）如图，在菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*相交于点*O*，*E*是*CD*中点，连接*OE*．过点*C*作*CF*∥*BD*交*OE*的延长线于点*F*，连接*DF*．
> 求证：（1）△*ODE*≌△*FCE*；
>
> （2）四边形*OCFD*是矩形．
>
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠*ODE*＝∠*FCE*，根据线段中点的定义可得*CE*＝*DE*，然后利用"角边角"证明△*ODE*和△*FCE*全等；
>
> （2）根据全等三角形对应边相等可得*OD*＝*FC*，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形*ODFC*是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠*COD*＝90°，即可得出结论．
>
> 【解答】证明：（1）∵*CF*∥*BD*，
>
> ∴∠*ODE*＝∠*FCE*，
>
> ∵*E*是*CD*中点，
>
> ∴*CE*＝*DE*，
>
> 在△*ODE*和△*FCE*中，，
>
> ∴△*ODE*≌△*FCE*（*ASA*）；
>
> （2）∵△*ODE*≌△*FCE*，
>
> ∴*OD*＝*FC*，
>
> ∵*CF*∥*BD*，
>
> ∴四边形*OCFD*是平行四边形，
>
> ∵四边形*ABCD*是菱形，
>
> ∴*AC*⊥*BD*，
>
> ∴∠*COD*＝90°，
>
> ∴四边形*OCFD*是矩形．
20．（10分）（2019•新疆）如图，一艘海轮位于灯塔*P*的东北方向，距离灯塔80海里的*A*处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔*P*的南偏东30°方向上的*B*处．
> （1）求海轮从*A*处到*B*处的途中与灯塔*P*之间的最短距离（结果保留根号）；
>
> （2）若海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处，试判断海轮能否在5小时内到达*B*处，并说明理由．
>
> （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
>
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）作*PC*⊥*AB*于*C*，则∠*PCA*＝∠*PCB*＝90°，由题意得：*PA*＝80，∠*APC*＝45°，∠*BPC*＝60°，得出△*APC*是等腰直角三角形，∠*B*＝30°，求出*AC*＝*PC*＝*PA*＝40即可；
>
> （2）由直角三角形的性质得出*BC*＝*PC*＝40，得出*AB*＝*AC*+*BC*＝40+40，求出海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处所用的时间，即可得出结论．
>
> 【解答】解：（1）作*PC*⊥*AB*于*C*，如图所示：
>
> 则∠*PCA*＝∠*PCB*＝90°，
>
> 由题意得：*PA*＝80，∠*APC*＝45°，∠*BPC*＝90°﹣30°＝60°，
>
> ∴△*APC*是等腰直角三角形，∠*B*＝30°，
>
> ∴*AC*＝*PC*＝*PA*＝40，
>
> 答：海轮从*A*处到*B*处的途中与灯塔*P*之间的最短距离为40海里；
>
> （2）海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处，海轮不能在5小时内到达*B*处，理由如下：
>
> ∵∠*PCB*＝90°，∠*B*＝30°，
>
> ∴*BC*＝*PC*＝40，
>
> ∴*AB*＝*AC*+*BC*＝40+40，
>
> ∴海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处所用的时间＝＝≈≈5.15（小时）＞5小时，
>
> ∴海轮以每小时30海里的速度从*A*处到*B*处，海轮不能在5小时内到达*B*处．
>
> 
21．（10分）（2019•新疆）某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
> （1）降价前苹果的销售单价是[ 16 ]{.underline}元/千克；
>
> （2）求降价后销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
>
> （3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
>
> 
>
> 【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得降价前苹果的销售单价；
>
> （2）根据题目中的信息和图象中的数据可以求得降价后销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
>
> （3）根据图象中的数据和题意，可以求得该水果店这次销售苹果盈利了多少元．
>
> 【解答】解：（1）由图可得，
>
> 降价前前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克），
>
> 故答案为：16；
>
> （2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10，
>
> 设降价后销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的函数解析式是*y*＝*kx*+*b*，该函数过点（40，640），（50，760），
>
> ，得，
>
> 即降价后销售金额*y*（元）与销售量*x*（千克）之间的函数解析式是*y*＝12*x*+160（40＜*x*≤50）；
>
> （3）该水果店这次销售苹果盈利了：760﹣8×70＝200（元），
>
> 答：该水果店这次销售苹果盈利了200元．
22．（10分）（2019•新疆）如图，*AB*是⊙*O*的直径，*CD*与⊙*O*相切于点*C*，与*AB*的延长线交于点*D*，*CE*⊥*AB*于点*E*．
> （1）求证：∠*BCE*＝∠*BCD*；
>
> （2）若*AD*＝10，*CE*＝2*BE*，求⊙*O*的半径．
>
> 
>
> 【考点】切线的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据切线的性质得出*OC*⊥*CD*，即可得出∠*OBC*+∠*BCE*＝90°，由∠*OCB*+∠*BCD*＝∠*OCD*＝90°，根据等腰三角形的性质得出∠*OBC*＝∠*OCB*，即可证得∠*BCE*＝∠*BCD*；
>
> （2）由*CE*＝2*BE*，通过解直角三角形得出tan∠*ABC*＝＝2，进而证得△*CBD*∽△*ACD*，得出＝，从而求得*CD*，然后根据切线长定理即可求得．
>
> 【解答】（1）证明：连接*OC*，
>
> ∵*CD*与⊙*O*相切于点*C*，
>
> ∴*OC*⊥*CD*，
>
> ∵*OB*＝*OC*，
>
> ∴∠*OBC*＝∠*OCB*，
>
> ∵*CE*⊥*AB*，
>
> ∴∠*OBC*+∠*BCE*＝90°，
>
> ∵∠*OCB*+∠*BCD*＝∠*OCD*＝90°，
>
> ∴∠*BCE*＝∠*BCD*；
>
> （2）解：连接*AC*，
>
> ∵*AB*是直径，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∴∠*OCB*+∠*ACO*＝90°，
>
> ∵∠*BCD*+∠*OCB*＝90°，
>
> ∴∠*BCD*＝∠*ACO*，
>
> ∵*OA*＝*OC*，
>
> ∴∠*ACO*＝∠*CAO*，
>
> ∴∠*BCD*＝∠*DAC*，
>
> ∵∠*CDB*＝∠*ADC*，
>
> ∴△*CBD*∽△*ACD*，
>
> ∴＝
>
> ∵*CE*＝2*BE*，
>
> ∴在Rt△*BCE*中，tan∠*ABC*＝＝2，
>
> ∴在Rt△*ABC*中，tan∠*ABC*＝＝2，
>
> ∴2＝，
>
> ∴*CD*＝5，
>
> 设⊙*O*的半径为*r*，
>
> ∴*BD*＝*AD*﹣2*r*＝10﹣2*r*，
>
> ∵*CD*^2^＝*BD*•*AD*，
>
> ∴*BD*＝，即10﹣2*r*＝，
>
> 解得*r*＝
>
> ∴⊙*O*的半径为．
>
> 
23．（13分）（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*经过*A*（﹣1，0），*B*（4，0），*C*（0，4）三点．
> （1）求抛物线的解析式及顶点*D*的坐标；
>
> （2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移*h*（*h*＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点*D*′在△*ABC*内，求*h*的取值范围；
>
> （3）点*P*为线段*BC*上一动点（点*P*不与点*B*，*C*重合），过点*P*作*x*轴的垂线交（1）中的抛物线于点*Q*，当△*PQC*与△*ABC*相似时，求△*PQC*的面积．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）函数表达式为：*y*＝*a*（*x*+1）（*x*﹣4）＝*a*（*x*^2^﹣3*x*﹣4），即可求解；
>
> （2）物线向下平移个单位长度，再向左平移*h*（*h*＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点*D*′（﹣*h*，），将点*AC*的坐标代入一次函数表达式即可求解；
>
> （3）分△*CPQ*∽△*CBA*、△*CPQ*∽△*ABC*，两种情况分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1）函数表达式为：*y*＝*a*（*x*+1）（*x*﹣4）＝*a*（*x*^2^﹣3*x*﹣4），
>
> 即﹣4*a*＝4，解得：*a*＝﹣1，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+3*x*+4，
>
> 函数顶点*D*（，）；
>
> （2）物线向下平移个单位长度，再向左平移*h*（*h*＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点*D*′（﹣*h*，），
>
> 将点*AC*的坐标代入一次函数表达式并解得：
>
> 直线*AC*的表达式为：*y*＝4*x*+4，
>
> 将点*D*′坐标代入直线*AC*的表达式得：＝4（﹣*h*）+4，
>
> 解得：*h*＝，
>
> 故：0＜*h*＜；
>
> （3）过点*P*作*y*轴的平行线交抛物线和*x*轴于点*Q*、*H*
>
> ∵*OB*＝*OC*＝4，∴∠*PBA*＝∠*OCB*＝45°＝∠*QPC*，
>
> 直线*BC*的表达式为：*y*＝﹣*x*+4，
>
> 则*AB*＝5，*BC*＝4，*AC*＝，
>
> *S*~△*ABC*~＝×5×4＝10，
>
> 设点*Q*（*m*，﹣*m*^2^+3*m*+4），点*P*（*m*，﹣*m*+4），
>
> *CP*＝*m*，*PQ*＝﹣*m*^2^+3*m*+4+*m*﹣4＝﹣*m*^2^+4*m*，
>
> 
>
> ①当△*CPQ*∽△*CBA*，
>
> ，即，
>
> 解得：*m*＝，
>
> 相似比为：，
>
> ②当△*CPQ*∽△*ABC*，
>
> 同理可得：相似比为：，
>
> 利用面积比等于相似比的平方可得：
>
> *S*~△*PQC*~＝10×（）^2^＝或*S*~△*PQC*~＝10×（）^2^＝．
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第六单元演练
一、按要求做题。
1{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.875e-2in"}.某文化宫广场周围环境如下图所示:
{width="2.359722222222222in" height="1.0395833333333333in"}
(1)文化宫东面350米处,有一条商业街与人民路互相垂直。在图中画直线表示这条街,并标上:商业街。
(2)体育馆在文化宫( )方向( )米处。{width="2.361111111111111e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}
(3)李小明以60米/分的速度从学校沿着人民路向东走,3分后他在文化宫( )面( )米处。
2\. 以电信塔为观测点。
{width="2.279861111111111in" height="1.4631944444444445in"}
(1)学校的位置是{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}北偏西15°,距离电信塔( )m。
(2)游乐园的位置是( )偏( )( ),距离电信塔( )m。
(3){width="1.6666666666666666e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}公园的位置是( )偏( )( ),距离电信塔( )m。
3\. 下图是某市5路公交车行驶线路图。
{width="2.459722222222222in" height="1.5798611111111112in"}
(1)从火车站向( )行驶( )站{width="1.875e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}到汽车站,再向( )行驶( )站到医院,从医院向( )偏( )45°方向行驶( )站到十五中学。
(2)从气象台向( )行驶( )站到十五中学,再向( )偏( )45°方向行驶( )站到少年宫。\[来源:学科网\]
二、画一画,填一填。
1\. 下图是某{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}动物园各场馆位置的平面图。
{width="2.5229166666666667in" height="1.5131944444444445in"}
(1)猴山在鸟语林( )偏( )( )°的方向上,距离( )m。
(2)动物园的工作人员准备在鸟语林北偏西45{width="1.875e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}°方向2400 m的地方建一个蛇岛,请用"▲"在图中标出。
(3)设计一条游玩路线,用彩色笔描出来。
2\. 根据下面的描述,在平面图上标出各场所的位置。
{width="2.5in" height="1.7833333333333334in"}
(1)图书馆在校门的北偏东35°方向150 m处。
(2)体育馆在校门的西偏北40°方向200 m处。
{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}三、下面是光明乡三个村庄的平面图
{width="2.0229166666666667in" height="1.5798611111111112in"}
根据上图回答下面的问题。
1\. 以公园为观测点,用方向和距离分别写出三个村庄在图上的位置。
2\. 以兴阳村为观测点,说一说张家村和新村的方向。
四、看图回答问题。
{width="1.6833333333333333in" height="1.2131944444444445in"}
1.一艘{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}轮船从海港*O*出发,以每时10千米的速度沿(* *)偏(* *)(* *)的方向行驶4时到达*A*岛,然后以每时15千米的速{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}度沿(* *)偏(* *)(* *)的方向行驶2时到达*B*岛。
2*.*如果该轮船以每时14千米的速度沿原路返回,返回海港*O*共需要多长时间?
五、王红要从家经过学校去小明家,请描述她的行走路线。
{width="2.0729166666666665in" height="0.9465277777777777in"}
{width="6.447916666666667in" height="8.255555555555556in"}
| 1 | |
**分析填数**
{width="1.9868055555555555in" height="1.15625in"}1、将数字1---6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。
{width="1.85625in" height="1.6861111111111111in"}2、把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条边的○内，使得每条边上的三个数的和是21。
3. {width="1.7666666666666666in" height="1.6701388888888888in"}在图中填入2---9，使每边3个数的和等于15。
4、把1---8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。
{width="1.70625in" height="1.63125in"}
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲解第4课《最短路线问****题》试题附****答案**
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**答****案**
\[来源:学科网\]
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**\[来源:Zxxk.Com\]**
\[来源:学科网\]
三年级奥数下册：第四讲 最短路线问题 习题解答
\[来源:学科网\]
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第9课《牛吃草问题》试题附答案**
**答案**
五年级奥数上册：第九讲 "牛吃草"问题习题解答
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------变化的量》同步检测2（附答案）**
一、小华和妈妈的年龄变化情况如下。请把表填写完整。说一说小华和妈妈的年龄是如何变化的。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、有20粒糖果，平均分给一些同学，请把表填写完整。
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数就越 [ ]{.underline} 。
三、下面是小华6～10岁的身高情况统计表：
1、上表中有哪两种变化的量？
2、这两种量是怎样变化的？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、某日室内温度变化情况如下图。
1、读出各个时刻的温度。
2、在什么时间范围内温度是上升的？在什么时间范围内温度是下降的？
五、记录你身边的一种事物的变化，制成表格写下来。
**部分答案：**
一、34 35 36 37 来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、10 5 4 2 1 少
三、1、有年龄和身高两种变化的量。
2、随着年龄的增长，身高也增高。
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**德州市二○二○年初中学业水平考试**
**数学试题**
**本试题分选择题48分；非选择题102分；全卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上．**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．**
**3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．**
**4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**第Ⅰ卷（选择题 共48分）**
**一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．**
1.的结果是（ ）
A. B. 2020 C. D. -2020
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：．
故答案为：B
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟知绝对值的性质"正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数"是解题关键．
2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法逐一分析即可．
【详解】A．，该项不符合题意；
B．，该项符合题意；
C．，该项不符合题意；
D．，该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法则．
4.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ）
A. 主视图 B. 主视图和左视图
C. 主视图和俯视图 D. 左视图和俯视图
【答案】D
【解析】
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：
-------------- --- --- ---- ---- ---
一周做饭次数 4 5 6 7 8
人数 7 6 12 10 5
-------------- --- --- ---- ---- ---
那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：==6，
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数的计算，掌握计算方法是解题关键．
6.如图，小明从*A*点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°......照这样走下去，他第一次回到出发点*A*时，共走路程为（ ）
A. 80米 B. 96米 C. 64米 D. 48米
【答案】C
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
7.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
8.下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判断即可．
【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形，是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定，熟知特殊四边形的判定定理是解题关键．
9.若关于*x*的不等式组的解集是，则*a*的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解：解不等式＞，得：，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
11.二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A. 若，是图象上的两点，则
B.
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，*y*随*x*的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键．
12.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）
   
A. 148 B. 152 C. 174 D. 202
【答案】C
【解析】
【分析】
观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为\[(1+2+3+4)×2+2×1\]（个），第三个图案需要的个数为\[(1+2+3+4+5)×2+2×2\]（个），第四个图案需要的个数为\[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3\]（个）...由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第10个图案需要的个数只需将n=10代入即可．
【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为\[(1+2+3+4)×2+2×1\]（个）；
第三个图案需要的个数为\[(1+2+3+4+5)×2+2×2\]（个）；
第四个图案需要的个数为\[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3\]（个）；
...
第n个图案需要的个数为（个）
∴第10个图案需要的个数为\[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174（个）
故选C．
【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．
**第Ⅱ卷（非选择题 共102分）**
**二、填空题：本大題共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．**
13.计算：＝\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式=．
故答案为．
14.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 [ ]{.underline} °．
【答案】120．
【解析】
试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．
考点：圆锥的计算．
15.在平面直角坐标系中，点*A*的坐标是，以原点*O*为位似中心，把线段*OA*放大为原来的2倍，点*A*的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
【详解】∵以原点O为位似中心，将线段*OA*放大为原来的2倍，得到OA\'，A（-2，1），\
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为()，
∴，
∴反比例函数的解析式为：．\
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键．
16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】20
【解析】
【分析】
解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵
因式分解得：（x-4）（x-5）=0，
解得：x=4，或 x=5，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形；
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
17.如图，在的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，
所以概率为P=．
故答案为：
【点睛】本题考查了列举法求概率，轴对称图形的判定，熟知求概率公式和轴对称图形的概念是解题关键．
18.如图，在矩形*ABCD*中，，，把*AD*沿*AE*折叠，使点*D*恰好落在*AB*边上的处，再将绕点*E*顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点*F*．交*AB*于点*G*，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①先根据图形反折变换性质以及勾股定理得出的长，再根据勾股定理求出EF的长，即可求解；
②利用特殊角的三角函数求得，从而求得，根据弧长公式即可求解；
③由于不是等边三角形，得出，从而说明和不是全等三角形；
④先利用"HL"证得，求得，再求得，从而推出．
【详解】①在矩形*ABCD*中，，
∵△ADE翻折后与△AD′E重合，
∴AD′=AD，D′E=DE，，
∴四边形ADED′是正方形，\
∴AD′=AD=D′E=DE=，
∴AE=，
将绕点*E*顺时针旋转，得到，
∴，==，，
∵点*F*是的中点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②由①得，
在中，，
，
∴，
∴，
∴弧的长度是，故②正确；
③在中，，，
∴不是等边三角形，
∴，
∴和不是全等三角形，故③错误；
④在和中，，公共，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
又，
∴，故④正确；
综上，①②④正确，
故答案：①②④．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
**三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．**
19.先化简：，然后选择一个合适的*x*值代入求值．
【答案】化简结果是：，选择*x*=1时代入求值为-1.
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的*x*的值代入进行计算即可
【详解】解：原式
.
当x=1时代入，原式=.
故答案为：化简结果是，选择*x*=1时代入求值为-1.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的*x*求值时要保证选取的*x*不能使得分母为0.
20.某校"校园主持人大赛"结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
 
（1）本次比赛参赛选手共有\_\_\_\_\_\_\_\_人，扇形统计图中"79.5\~89.5"这一范围的人数占总参赛人数的百分比为\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）补全图2频数直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
【答案】（1）50，36%；（2）见解析；（3）能获奖．理由见解析；（4）
【解析】
【分析】
（1）用"89.5～99.5"的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出"59.5～69.5"这两组所占的百分比，然后计算出"79.5～89.5"所占的百分比；
（2）根据"69.5～79.5"所占的百分比可求得"69.5～74.5"的人数，根据"79.5～89.5"所占的百分比可求得"79.5～84.5"的人数，从而补全统计图；
（3）计算出前40%有20人，恰好落在"84.5～99.5" 这一范围，从而可判断他能获奖；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）"89.5～99.5"的人数和它们所占的百分比分别是：(8+4)人和24%，
∴总人数：(人)，
"59.5～69.5"的人数是5人，所占百分比是：，
∴"79.5～89.5"所占的百分比是：1-24%-10%-30%=36%，
故答案为：50，36%；
（2）∵"69.5～79.5" 的人数是：5030%=15(人)，
∴"69.5～74.5"的人数是：15-8=7(人)，
"79.5～89.5" 的人数是：5036%=18(人)，
∴"79.5～84.5"的人数是：18-8=10(人)，
补全条形图如图所示：
（3）能获奖．理由：
因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为（人）
由频数直方图可得84.5～99.5这一范围人数恰好人，
又，所以能获奖；
（4）画树状图为：\
由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，
所以P（一男一女为主持人）．
答：恰好选中一男一女为主持人的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用以及列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.如图，无人机在离地面60米的*C*处，观测楼房顶部*B*的俯角为30°，观测楼房底部*A*的俯角为60°，求楼房的高度．
【答案】这栋楼高为40米
【解析】
【分析】
过点B作交于点E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，问题得解．
【详解】解：过点B作交于点E，
由题意知，．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（米）．
答：这栋楼高为40米．
【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形．
22.如图，点*C*在以*AB*为直径的上，点*D*是半圆*AB*的中点，连接*AC*，*BC*，*AD*，*BD*，过点*D*作交*CB*的延长线于点*H*．
（1）求证：直线*DH*是的切线；
（2）若，，求*AD*，*BH*的长．
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】
（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出，再根据，得出，即可证明；
（2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案．
【详解】证明：（1）连接，
∵是的直径，D是半圆的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
又D是半圆的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴在中，
∵四边形是圆内接四边形，
∵，
∵，
∴，
由（1）知∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知识点是解题关键．
23.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支*A*型画笔，第二次超市推荐了*B*型画笔，但*B*型画笔比*A*型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的*B*型画笔．
（1）超市*B*型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用*B*型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支*B*型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的*B*型画笔*x*支，购买费用为*y*元，请写出*y*关于*x*的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买*B*型画笔，则能购买多少支*B*型画笔？
【答案】（1）超市B型画笔单价为5元；（2），其中x是正整数；（3）小刚能购买65支B型画笔．
【解析】
【分析】
（1）设超市B型画笔单价a元，根据"花100元买了相同支数的*B*型画笔"，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时， 当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；
（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．
【详解】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，
由题意列方程得，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以其中x是正整数
（3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
答：小刚能购买65支B型画笔．
【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式，是解题的关键．
24.问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，*AD*是中线，求*AD*的取值范围．她的做法是：延长*AD*到*E*，使，连接*BE*，证明，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明的判定定理是：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）*AD*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
方法运用：
（3）如图2，*AD*是的中线，在*AD*上取一点*F*，连结*BF*并延长交*AC*于点*E*，使，求证：．
（4）如图3，在矩形*ABCD*中，，在*BD*上取一点*F*，以*BF*为斜边作，且，点*G*是*DF*的中点，连接*EG*，*CG*，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；
（2）利用全等三角形的性质得到 求解的范围，从而可得答案；
（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；
（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，*AD*是中线，
在与中，
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）证明：延长至点，使，
∵是的中线
∴
在和中
∴，
∴，
又∵，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵
∴
（4）证明：延长至点使，连接、、
∵G为的中点
∴
在和中
∴
∴
在中，∵，
∴
又矩形中，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又为的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵G为的中点，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25.如图1，在平面直角坐标系中，点*A*的坐标是，在*x*轴上任取一点*M*．连接*AM*，分别以点*A*和点*M*为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于*G*，*H*两点，作直线*GH*，过点*M*作*x*轴的垂线*l*交直线*GH*于点*P*．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段*PA*与*PM*的数量关系为\_\_\_\_\_\_\_\_，其理由为：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
（2）在*x*轴上多次改变点*M*的位置，按上述作图方法得到相应点*P*的坐标，并完成下列表格：
----------- ----- -- -- -- -- -----
*M*的坐标 ... ...
*P*的坐标 ... ...
----------- ----- -- -- -- -- -----
猜想：
（3）请根据上述表格中*P*点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线*L*，猜想曲线*L*的形状是\_\_\_\_\_\_\_\_．
验证：
（4）设点*P*的坐标是，根据图1中线段*PA*与*PM*的关系，求出*y*关于*x*的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点，，点*D*为曲线*L*上任意一点，且，求点*D*的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）
【解析】
【分析】
（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；
（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点*P*的位置，即可求解；
（3）用平滑的曲线作出图象，即可；
（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案；
（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解．
【详解】解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
（2）
--------- ----- -- -- -- -- -----
M的坐标 ... ...
P的坐标 ... ...
--------- ----- -- -- -- -- -----
（3）草图见图2：形状：抛物线
（4）如图1，过点P作轴于点E，
，，
在中，
即
化简，得
∴y关于x的函数解析式为．
 
（5）连接，易得，又
∴为等边三角形，∴
当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°
其圆心在的垂直平分线y轴上，
∴的外接圆圆心为坐标原点O，
设，则，即 ①
又点D该抛物线上
∴ ②
由①②联立解得：（舍去）
数形结合可得，
当时，点D的纵坐标的取值范围为
【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆．
| 1 | |
**2020年天津市普通高中学业水平等级性考试**
**化学**
**相对原子质量：H1 O16 S32 Co 59 Cu 64 Zn 65 Ba 137**
**第I卷**
1.在全国人民众志成城抗击新冠病毒期间，使用的"84消毒液"的主要有效成分是
A. NaOH B. NaCl C. NaClO D. Na~2~CO~3~
2.晋朝葛洪的《肘后备急方》中记载："青蒿一握，以水二升渍，绞取汁，尽服之......"，受此启发为人类做出巨大贡献的科学家是
A. 屠呦呦 B. 钟南山 C. 侯德榜 D. 张青莲
3.下列说法错误的是
A. 淀粉和纤维素均可水解产生葡萄糖
B. 油脂的水解反应可用于生产甘油
C. 氨基酸是组成蛋白质的基本结构单元
D. 淀粉、纤维素和油脂均是天然高分子
4.下列离子方程式书写正确的是
A. CaCO~3~与稀硝酸反应：
B. FeSO~4~溶液与溴水反应：
C. NaOH溶液与过量H~2~C~2~O~4~溶液反应：
D. C~6~H~5~ONa溶液中通入少量CO~2~:
5.下列实验仪器或装置的选择正确的是
+--------------------------------------------------------------+------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
|  |  |  |  |
+--------------------------------------------------------------+------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| 配制5000mL0.1000mol.L^-1^ | 除去Cl~2~中的HCl | 蒸馏用冷凝管 | 盛装Na~2~SiO~3~溶液的试剂瓶 |
| | | | |
| Na~2~CO~3~溶液 | | | |
+--------------------------------------------------------------+------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
| A | B | C | D |
+--------------------------------------------------------------+------------------------------------+-------------------------------------+-------------------------------------+
A. A B. B C. C D. D
6.检验下列物所选用的试剂正确的是
--- ------------------------------------------------- ------------------------------
待检验物质 所用试剂
A 海水中的碘元素 淀粉溶液
B SO~2~气体 澄清石灰水
C 溶液中Cu^2+^ 氨水
D 溶液中的 NaOH溶液，湿润的蓝色石蕊试纸
--- ------------------------------------------------- ------------------------------
A. A B. B C. C D. D
7.常温下，下列有关电解质溶液的说法错误的是
A. 相同浓度的 HCOONa和NaF两溶液，前者的pH较大，则
B. 相同浓度的CH~3~COOH和CH~3~COONa两溶液等体积混合后pH约为4.7，则溶液中
C. FeS溶于稀硫酸，而CuS不溶于稀硫酸，则
D. 在溶液中，
8.短周期元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大。用表中信息判断下列说法正确的是
---------------------- ------ ------- ----------- ------
元素 X Y Z W
最高价氧化物的水化物 H~3~ZO~4~
溶液对应的pH(25℃) 1.00 13.00 1.57 0.70
---------------------- ------ ------- ----------- ------
A. 元素电负性：Z\<W B. 简单离子半径：W\<Y
C. 元素第一电离能：Z\<W D. 简单氢化物的沸点：X\<Z
9.关于的说法正确的是
A. 分子中有3种杂化轨道类型的碳原子
B. 分子中共平面的原子数目最多为14
C. 分子中的苯环由单双键交替组成
D. 与Cl~2~发生取代反应生成两种产物
10.理论研究表明，在101kPa和298K下，异构化反应过程的能量变化如图所示。下列说法错误的是
A. HCN比HNC稳定
B. 该异构化反应的
C. 正反应的活化能大于逆反应的活化能
D. 使用催化剂，可以改变反应的反应热
11.熔融钠-硫电池性能优良，是具有应用前景的储能电池。下图中的电池反应为(*x*=5\~3，难溶于熔融硫)，下列说法错误的是
A. Na~2~S~4~的电子式为
B. 放电时正极反应为
C. Na和Na~2~S*~x~*分别为电池的负极和正极
D. 该电池是以为隔膜的二次电池
12.已知呈粉红色，呈蓝色，为无色。现将CoCl~2~溶于水，加入浓盐酸后，溶液由粉红色变为蓝色，存在以下平衡：，用该溶液做实验，溶液的颜色变化如下：
以下结论和解释正确的是
A. 等物质的量的和中σ键数之比为3:2
B. 由实验①可推知△*H*\<0
C. 实验②是由于*c*(H~2~O)增大，导致平衡逆向移动
D. 由实验③可知配离子的稳定性：
**第Ⅱ卷**
13.Fe、Co、Ni是三种重要的金属元素。回答下列问题:
(1)Fe、Co、Ni在周期表中的位置为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，基态Fe原子的电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)CoO的面心立方晶胞如图所示。设阿伏加德罗常数的值为*N*~A~，则CoO晶体的密度为\_\_\_\_\_\_g﹒cm^-3^：三种元素二价氧化物的晶胞类型相同，其熔点由高到低的顺序为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)Fe、Co、Ni能与C1~2~反应，其中Co和为Ni均生产二氯化物，由此推断FeCl~3~、CoCl~3~和Cl~2~的氧化性由强到弱的顺序为\_\_\_\_，Co(OH)~3~与盐酸反应有黄绿色气体生成，写出反应的离子方程式：\_\_\_\_\_\_。
(4)95℃时，将Ni片浸在不同质量分数的硫酸中，经4小时腐蚀后的质量损失情况如图所示，当大于63%时，Ni被腐蚀的速率逐渐降低的可能原因为\_\_\_\_\_。由于Ni与H~2~SO~4~反应很慢，而与稀硝酸反应很快，工业上选用H~2~SO~4~和HNO~3~的混酸与Ni反应制备NiSO~4~。为了提高产物的纯度，在硫酸中添加HNO~3~的方式为\_\_\_\_\_\_(填"一次过量"或"少量多次")，此法制备NiSO~4~的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_。
14.天然产物H具有抗肿瘤、镇痉等生物活性，可通过以下路线合成。
已知:(等)
回答下列问题：
(1)A的链状同分异构体可发生银镜反应，写出这些同分异构体所有可能的结构：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)在核磁共振氢谱中，化合物B有\_\_\_\_\_\_\_\_组吸收峰。
(3)化合物X的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)D→E的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)F的分子式为\_\_\_\_\_\_\_，G所含官能团的名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)化合物H含有手性碳原子的数目为\_\_\_\_\_，下列物质不能与H发生反应的是\_\_\_\_\_\_\_(填序号)。
a.CHCl~3~ b.NaOH溶液 c.酸性KMnO~4~溶液 d.金属Na
(7)以和为原料，合成，写出路线流程图(无机试剂和不超过2个碳的有机试剂任选)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
15.为测定CuSO~4~溶液的浓度，甲、乙两同学设计了两个方案。回答下列问题：
Ⅰ.甲方案
实验原理：
实验步骤：
(1)判断沉淀完全的操作为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)步骤②判断沉淀是否洗净所选用的试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)步骤③灼烧时盛装样品仪器名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)固体质量为wg，则*c*(CuSO~4~)=\_\_\_\_\_\_\_\_mol‧L^-1^。
(5)若步骤①从烧杯中转移沉淀时未洗涤烧杯，则测得*c*(CuSO~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"偏高"、"偏低"或"无影响")。
Ⅱ.乙方案
实验原理：，
实验步骤:
①按右图安装装置(夹持仪器略去)
②......
③在仪器A、B、C、D、E...中加入图示的试剂
④调整D、E中两液面相平，使D中液面保持在0或略低于0刻度位置，读数并记录。
⑤将CuSO~4~溶液滴入A中搅拌，反应完成后，再滴加稀硫酸至体系不再有气体产生
⑥待体系恢复到室温，移动E管，保持D、E中两液面相平，读数并记录
⑦处理数据
(6)步骤②为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(7)步骤⑥需保证体系恢复到室温的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_(填序号)。
a.反应热受温度影响 b.气体密度受温度影响 c.反应速率受温度影响
(8)Zn粉质量为ag，若测得H~2~体积为bmL，已知实验条件下，则*c*(CuSO~4~)\_\_\_\_\_\_mol‧L^-1^(列出计算表达式)。
(9)若步骤⑥E管液面高于D管，未调液面即读数，则测得*c*(CuSO~4~)\_\_\_\_\_\_\_\_(填"偏高"、"偏低"或"无影响")。
(10)是否能用同样的装置和方法测定MgSO~4~溶液的浓度：\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填"是"或"否")。
16.利用太阳能光解水，制备H~2~用于还原CO~2~合成有机物，可实现资源的再利用。回答下列问题：
Ⅰ.半导体光催化剂浸入水或电解质溶液中，光照时可在其表面得到产物
(1)下图为该催化剂在水中发生光催化反应的原理示意图。光解水能量转化形式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)若将该催化剂置于Na~2~SO~3~溶液中，产物之一为，另一产物为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若将该催化剂置于AgNO~3~溶液中，产物之一为O~2~，写出生成另一产物的离子反应式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
Ⅱ.用H~2~还原CO~2~可以在一定条下合成CH~3~OH(不考虑副反应)：
(3)某温度下，恒容密闭容器中，CO~2~和H~2~起始浓度分别为 a mol‧L^-1^和3 a mol‧L^-1^，反应平衡时，CH~3~OH的产率为b，该温度下反应平衡常数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)恒压下，CO~2~和H~2~的起始物质的量比为1:3时，该反应在无分子筛膜时甲醇的平衡产率和有分子筛膜时甲醇的产率随温度的变化如图所示，其中分子筛膜能选择性分离出H~2~O。
①甲醇平衡产率随温度升高而降低的原因为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②P点甲醇产率高于T点的原因为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③根据上图，在此条件下采用该分子筛膜时的最佳反应温度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_°C。
Ⅲ.调节溶液pH可实现工业废气CO~2~的捕获和释放
\(5\) 的空间构型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。已知25℃碳酸电离常数为*K~a~*~1~*、K~a~*~2~，当溶液pH=12时，=1：\_\_\_\_\_\_\_：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
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**2014年陕西省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．\[0，1\] B．\[0，1） C．（0，1\] D．（0，1）
2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
3．（5分）定积分（2x+e^x^）dx的值为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1
4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（ ）
A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^
5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x^3^ C．f（x）=（）^x^ D．f（x）=3^x^
8．（5分）原命题为"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
9．（5分）设样本数据x~1~，x~2~，...，x~10~的均值和方差分别为1和4，若y~i~=x~i~+a（a为非零常数，i=1，2，...，10），则y~1~，y~2~，...，y~10~的均值和方差分别为（ ）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x B．y=x^3^﹣x
C．y=x^3^﹣x D．y=﹣x^3^+x
**二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[ ]{.underline}．
12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=[ ]{.underline}．
14．（5分）观察分析下表中的数据：
-------- ----------- ------------- -----------
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
-------- ----------- ------------- -----------
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是[ ]{.underline}．
**（不等式选做题）**
15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则的最小值为[ ]{.underline}．
**（几何证明选做题）**
16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[ ]{.underline}．
**（坐标系与参数方程选做题）**
17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）**
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若++=，求\|\|；
（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
---------------- ----- -----
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
---------------- ----- -----
----------------------- ----- -----
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
----------------------- ----- -----
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C~2~：y=﹣x^2^+1（y≤0）连接而成，C~1~与C~2~的公共点为A，B，其中C~1~的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C~1~，C~2~分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g~1~（x）=g（x），g~n+1~（x）=g（g~n~（x）），n∈N~+~，求g~n~（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N~+~，比较g（1）+g（2）+...+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
**2014年陕西省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）**
1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．\[0，1\] B．\[0，1） C．（0，1\] D．（0，1）
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．
【解答】解：∵M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}={x\|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=\[0，1）．
故选：B．
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．
2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．
【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．
3．（5分）定积分（2x+e^x^）dx的值为（ ）
A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可．
【解答】解：（2x+e^x^）dx=（x^2^+e^x^）\|=（1+e）﹣（0+e^0^）=e．
故选：C．
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．
4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（ ）
A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．
【解答】解：由程序框图知：a~i+1~=2a~i~，a~1~=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴a~n~=2^n^．
故选：C．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．
5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR^3^=π．
故选：D．
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．
6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．
【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，
∴所求概率为=．
故选：C．
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．
7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（ ）
A．f（x）=x B．f（x）=x^3^ C．f（x）=（）^x^ D．f（x）=3^x^
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
【解答】解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x^3^，f（y）=y^3^，f（x+y）=（x+y）^3^，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．
D．f（x）=3^x^，f（y）=3^y^，f（x+y）=3^x+y^，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．
8．（5分）原命题为"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．
【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"是真命题；
其逆命题是："若\|z~1~\|=\|z~2~\|，则z~1~，z~2~互为共轭复数"，例\|1\|=\|﹣1\|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．
故选：B．
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．
9．（5分）设样本数据x~1~，x~2~，...，x~10~的均值和方差分别为1和4，若y~i~=x~i~+a（a为非零常数，i=1，2，...，10），则y~1~，y~2~，...，y~10~的均值和方差分别为（ ）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
【解答】解：方法1：∵y~i~=x~i~+a，
∴E（y~i~）=E（x~i~）+E（a）=1+a，
方差D（y~i~）=D（x~i~）+E（a）=4．
方法2：由题意知y~i~=x~i~+a，
则=（x~1~+x~2~+...+x~10~+10×a）=（x~1~+x~2~+...+x~10~）=+a=1+a，
方差s^2^=\[（x~1~+a﹣（+a）^2^+（x~2~+a﹣（+a）^2^+...+（x~10~+a﹣（+a）^2^\]=\[（x~1~﹣）^2^+（x~2~﹣）^2^+...+（x~10~﹣）^2^\]=s^2^=4．
故选：A．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a^2^Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．
10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A．y=﹣x B．y=x^3^﹣x
C．y=x^3^﹣x D．y=﹣x^3^+x
【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．
【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；
B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；
C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；
D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．
**二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）**
11．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
【解答】解：由4^a^=2，得，
再由lgx=a=，
得x=．
故答案为：．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为[ x^2^+（y﹣1）^2^=1 ]{.underline}．
【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x^2^+（y﹣1）^2^=1，
故答案为：x^2^+（y﹣1）^2^=1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），属于基础题．
13．（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos^2^θ=0，
∴2sinθcosθ=cos^2^θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
14．（5分）观察分析下表中的数据：
-------- ----------- ------------- -----------
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
-------- ----------- ------------- -----------
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是[ F+V﹣E=2 ]{.underline}．
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．
【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、...等等，发现上述公式都成立．
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．
**（不等式选做题）**
15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据柯西不等式（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^）≥（ac+bd）^2^当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
【解答】解：由柯西不等式得，
（ma+nb）^2^≤（m^2^+n^2^）（a^2^+b^2^）
∵a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，
∴（m^2^+n^2^）≥5
∴的最小值为
故答案为：
【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．
**（几何证明选做题）**
16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[ 3 ]{.underline}．
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．
【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∵BC=6，AC=2AE，
∴EF=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
**（坐标系与参数方程选做题）**
17．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是[ 1 ]{.underline}．
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．
直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）**
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin\[π﹣（A+C）\]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b^2^=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC．
如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，
∴AD∥EF．
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，
∴AD∥GH．
由平行公理可得EF∥GH．
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，
∴BC∥FG．
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，
∴BC∥EH．
由平行公理可得FG∥EH．
∴四边形EFGH为平行四边形．
又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH．
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN=，又MF=AB=，
∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是．
解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1．
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点．
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．
则．
设平面EFGH的一个法向量为．
由，得，取y=1，得x=1．
∴．
则sinθ=\|cos＜＞\|===．
【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．
（Ⅰ）若++=，求\|\|；
（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．
【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；
（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，
∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0
∴3x﹣6=0，3y﹣6=0
∴x=2，y=2，
即=（2，2）
∴
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴，
∵=m+n，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x，
令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为1．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，
21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
---------------- ----- -----
作物产量（kg） 300 500
概率 0.5 0.5
---------------- ----- -----
----------------------- ----- -----
作物市场价格（元/kg） 6 10
概率 0.4 0.6
----------------------- ----- -----
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件"作物产量为300kg"，B表示事件"作物市场价格为6元/kg"，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
--- ------ ------ -----
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
--- ------ ------ -----
（Ⅱ）设C~i~表示事件"第i季利润不少于2000元"（i=1，2，3），
则C~1~，C~2~，C~3~相互独立，
由（Ⅰ）知，P（C~i~）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C~1~C~2~C~3~）=P（C~1~）P（C~2~）P（C~3~）=0.8^3^=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C~2~C~3~）+P（C~1~C~3~）+P（C~1~C~2~）=3×0.8^2^×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．
【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．
22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C~2~：y=﹣x^2^+1（y≤0）连接而成，C~1~与C~2~的公共点为A，B，其中C~1~的离心率为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C~1~，C~2~分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）在C~1~、C~2~的方程中，令y=0，即得b=1，设C~1~：的半焦距为c，由=及a^2^﹣c^2^=b^2^=1得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C~1~的方程为+x^2^=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C~1~的方程，整理得（k^2^+4）x^2^﹣2k^2^x+k^2^﹣4=0．（\*）设点P（x~p~，y~p~），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k^2^﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）在C~1~、C~2~的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C~1~的左右顶点．
设C~1~：的半焦距为c，由=及a^2^﹣c^2^=b^2^=1得a=2．
∴a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C~1~的方程为+x^2^=1（y≥0）．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），
代入C~1~的方程，整理得：
（k^2^+4）x^2^﹣2k^2^x+k^2^﹣4=0．（\*）
设点P（x~p~，y~p~），
∵直线l过点B，
∴x=1是方程（\*）的一个根，
由求根公式，得x~p~=，从而y~p~=，
∴点P的坐标为（，）．
同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k^2^﹣2k），
∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），
∵AP⊥AQ，∴•=0，即\[k﹣4（k+2）\]=0，
∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．
经检验，k=﹣符合题意，
故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．
23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）令g~1~（x）=g（x），g~n+1~（x）=g（g~n~（x）），n∈N~+~，求g~n~（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N~+~，比较g（1）+g（2）+...+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．
【分析】（Ⅰ）由已知，，...可得用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3...，然后各式相加即得到不等式．
【解答】解：由题设得，
（Ⅰ）由已知，
，
...
可得
下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．
②假设n=k时结论成立，即，
那么n=k+1时，=即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N~+~成立．
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．
设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在\[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0在\[0，+∞）上恒成立．
∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）
当a＞1时，对x∈（0，a﹣1\]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1\]上单调递减，
∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0
即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，
故知ln（1+x）≥不恒成立，
综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1\]．
（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+...+g（n）=，
n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），
比较结果为g（1）+g（2）+...+g（n）＞n﹣ln（n+1）
证明如下：上述不等式等价于，
在（Ⅱ）中取a=1，可得，
令则
故有，
ln3﹣ln2，...
，
上述各式相加可得结论得证．
【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．
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**2015年陕西省高考数学试卷（文科）**
**一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）**
1．（5分）设集合M={x\|x^2^=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
3．（5分）已知抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|\|≤\|\|\|\| B．\|\|≤\|\|\|﹣\|\|\|
C．（）^2^=\|\|^2^ D．（）•（）=^2^﹣^2^
9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
**二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）**
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为[ ]{.underline}．
14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）函数y=xe^x^在其极值点处的切线方程为[ ]{.underline}．
16．（5分）观察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
...
据此规律，第n个等式可为[ ]{.underline}．
**三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A~1~BE的位置，得到四棱锥A~1~﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）当平面A~1~BE⊥平面BCDE时，四棱锥A~1~﹣BCDE的体积为36，求a的值．
19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
21．（12分）设f~n~（x）=x+x^2^+...+x^n^﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求f~n~′（2）；
（Ⅱ）证明：f~n~（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为a~n~），且0＜a~n~﹣＜（）^n^．
**三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
**2015年陕西省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）**
1．（5分）设集合M={x\|x^2^=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（ ）
A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\]
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x\|x^2^=x}={0，1}，
N={x\|lgx≤0}=（0，1\]，
得M∪N={0，1}∪（0，1\]=\[0，1\]．
故选：A．
【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）已知抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【分析】利用抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y^2^=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），
∴=1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．
4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵，
∴f（﹣2）=2^﹣2^=，
f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由cos2α=cos^2^α﹣sin^2^α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos^2^α﹣sin^2^α，
∴"sinα=cosα"是"cos2α=0"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=6
x=3
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣3
不满足条件x≥0，y=10
输出y的值为10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．\|\|≤\|\|\|\| B．\|\|≤\|\|\|﹣\|\|\|
C．（）^2^=\|\|^2^ D．（）•（）=^2^﹣^2^
【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A恒成立，∵\|\|=\|\|\|\|\|cos＜，＞\|，
又\|cos＜，＞\|≤1，∴\|\|≤\|\|\|\|恒成立；
选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得\|\|≥\|\|\|﹣\|\|\|；
选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）^2^=\|\|^2^；
选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=^2^﹣^2^．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．
9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数．
再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ）
A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q
【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．
【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），
q=f（）=ln（）≥ln（）=p，
r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B．
【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
--------- ---- ---- ----------
甲 乙 原料限额
A（吨） 3 2 12
B（吨） 1 2 8
--------- ---- ---- ----------
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，
则，
目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，
此时z最大，
解方程组，解得，
即B的坐标为x=2，y=3，
∴z~max~=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．
12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（ ）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣
【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．
【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：
复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率：=．
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．
**二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）**
13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为[ 5 ]{.underline}．
【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【解答】解：设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案为：5
【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．
14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为[ 8 ]{.underline}．
【分析】由图象观察可得：y~min~=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y~max~=3+k=3+5=8．
【解答】解：∵由题意可得：y~min~=﹣3+k=2，
∴可解得：k=5，
∴y~max~=3+k=3+5=8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
15．（5分）函数y=xe^x^在其极值点处的切线方程为[ y=﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．
【解答】解：依题解：依题意得y′=e^x^+xe^x^，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣．
因此函数y=xe^x^在其极值点处的切线方程为y=﹣．
故答案为：y=﹣．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
16．（5分）观察下列等式：
1﹣=
1﹣+﹣=+
1﹣+﹣+﹣=++
...
据此规律，第n个等式可为[ ]{.underline}[+...+]{.underline}[=]{.underline}[+...+]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．
【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．
∴第n个等式为：+...+=+...+．
【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
**三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）**
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，可得7=4+c^2^﹣2c，解得c=3，
△ABC的面积为：=．
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A~1~BE的位置，得到四棱锥A~1~﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A~1~OC；
（Ⅱ）当平面A~1~BE⊥平面BCDE时，四棱锥A~1~﹣BCDE的体积为36，求a的值．
【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A~1~OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A~1~OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A~1~O是四棱锥A~1~﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a^2^，运用体积公式求解即可得出a的值．
【解答】解：
（I）在图1中，
因为AB=BC==a，E是AD的中点，
∠BAD=，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A~1~O，BE⊥OC，
从而BE⊥面A~1~OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A~1~OC，
（II）即A~1~O是四棱锥A~1~﹣BCDE的高，
根据图1得出A~1~O=AB=a，
∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a^2^，
V==a=a^3^，
由a=a^3^=36，得出a=6．
【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．
19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；
（Ⅱ）称相邻的两个日期为"互邻日期对"，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，
从而估计运动会期间不下雨的概率为．
【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y^2^=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，
结合a^2^=b^2^+c^2^，解得a=，
所以+y^2^=1；
（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），
代入椭圆方程+y^2^=1，
可得（1+2k^2^）x^2^﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，
由已知得（1，1）在椭圆外，
设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），x~1~x~2~≠0，
则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
且△=16k^2^（k﹣1）^2^﹣8k（k﹣2）（1+2k^2^）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．
则有直线AP，AQ的斜率之和为k~AP~+k~AQ~=+
=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•
=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．
即有直线AP与AQ斜率之和为2．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．
21．（12分）设f~n~（x）=x+x^2^+...+x^n^﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求f~n~′（2）；
（Ⅱ）证明：f~n~（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为a~n~），且0＜a~n~﹣＜（）^n^．
【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到f~n~′（2）；
（Ⅱ）只要证明f~n~（x）在（0，）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后f~n~（a~n~）变形得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′~n~（x）=1+2x+3x^2^+...+nx^n﹣1^，
所以，①
则2f′~n~（2）=2+2×2^2^+3×2^3^+...+n2^n^，②，
①﹣②得﹣f′~n~（2）=1+2+2^2^+2^3^+...+2^n﹣1^﹣n•2^n^==（1﹣n）2^n^﹣1，
所以．
（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，f~n~（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，
所以f~n~（x）在（0，）内至少存在一个零点，
又f′~n~（x）=1+2x+3x^2^+...+nx^n﹣1^＞0，所以f~n~（x）在（0，）内单调递增，
所以f~n~（x）在（0，）内有且仅有一个零点a~n~，由于f~n~（x）=，
所以0=f~n~（a~n~）=，
所以，故，
所以0＜．
【点评】本题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心．
**三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
则=3，
∵BC=，
∴AB=3，AC=，
则AD=3，
由切割线定理得AB^2^=AD•AE，
即AE=，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O的直径为3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ^2^=2，把代入即可得出；．
（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得\|PC\|=，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴ρ^2^=2，化为x^2^+y^2^=，
配方为=3．
（II）设P，又C．
∴\|PC\|==≥2，
因此当t=0时，\|PC\|取得最小值2．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求+的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式\|x+a\|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x\|2＜x＜4}，
∴，解方程组可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+
=+≤
=2=4，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
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**年北师大版小学数学二年级下册分苹果练习卷（带解析）**
1．根据题意填空。
每盘有7个苹果，63个苹果可以放几盘？
列式（ ）
2．老师把18个橘子分给小朋友，每人可以得到两个橘子。
根据题意填空。
列式（ ）
3．把6朵花平均分给3个小朋友。
根据题意填空。
列式（ ）
4．根据题意填空：
5．把14个小三角分组，每组分两个。
根据题意填空。
列式（ ）
算式（ ）
6．根据原题填空：
7．根据原题填空：
8．
9．填一填。
10．填一填。
11．填一填。
12．填一填。
13．解答并列竖式。
把40个  平均分成8份，每份是（ ）个？
14．妈妈买来48支花，每8支扎成一束，可以扎（ ）束。
15．解答并列竖式：
16．把28本练习簿，平均分给7个同学，每人分得（ ）本。
17．有42块 ，每7块装一袋，可以装6袋。 （ ）
18．下面为表示48÷8=6竖式。
（ ）
19．把56个 分成8份，每份有8个 。 （ ）
20．一个数的8倍是64，这个数是8。 （ ）
21．24÷6=4的竖式为下：
22．有48只兔子，平均装在8个笼里，每个笼装几只？
23．解答列竖式：
把这些风车平均分给6个小朋友，每个小朋友分几朵？
24．每7个学生一组，可以分成几组？
25．解答并列竖式：
26．35名同学在操场上做游戏，可以每7个人分一组，一共分了几组？
27．解答并列竖式：
一个气球8元，妈妈用32元能买几个气球？
28．小明带着8元去买糖，一共买了4块，问一块糖多少钱？
29．一个桃子3元，一根香蕉2元，用买4个桃子的钱可以买几根香蕉？
30．解答并列竖式：
一只可以采3朵花，这里有27多花，需要几只蜜蜂？
**参考答案**
1．
63÷7=9；
【解析】
根据乘法口诀我们知道七九六十三，所以63÷7=9。
2．
18÷2=9；
【解析】
根据乘法口诀我们知道二九十八，所以18÷2=9。
3．
6÷3=2；
【解析】
根据乘法口诀我们知道二三得六，所以6÷2=3。
4．
【解析】
根据乘法口诀我们知道六九五十四，所以54÷6=9。
5．
14÷2=7
【解析】
根据乘法口诀我们知道二七十四，所以14÷2=7。
6．
【解析】
根据乘法口诀我们知道四八三十二，所以32÷8=4。
7．
【解析】
根据乘法口诀我们知道六八四十八，所以48÷6=8。
8．
【解析】
根据乘法口诀我们知道五九四十五，所以45÷5=9。
9．
【解析】
根据乘法口诀我们知道七七四十九，所以49÷7=7。
10．
【解析】
根据乘法口诀我们知道七九六十三，所以63÷9=7。
11．
【解析】
根据乘法口诀我们知道八九七十二，所以72÷9=8。
12．
【解析】
根据乘法口诀我们知道三七二十一，所以21÷7=3。
13．
5
【解析】
根据乘法口诀我们知道五八四十，所以40÷8=5。
14．
6
【解析】
根据乘法口诀我们知道六八四十八，所以48÷8=6。
15．
6
【解析】
根据乘法口诀我们知道六七四十二，所以42÷7=6。
16．
4
【解析】
根据乘法口诀我们知道四七二十八，所以28÷7=4。
17．
正确。
【解析】
根据乘法口诀我们知道六七四十二，42÷7=6
18．
错误
【解析】
该题写错6与8的位置，应调换。
19．
错误。
【解析】
由题意可列式子56÷8=7，所以应该每份有8个苹果。
20．
正确。
【解析】
由题意可列式64÷8=8，所以上面这个数为8。
21．
正确。
【解析】
根据乘法口诀我们知道四六二十四，所以24÷6=4。
22．
解：48÷8=6（只）
答：每个笼装6只。
【解析】
根据乘法口诀我们知道六八四十八，所以48÷8=6。
23．
解：一共做了3×8=24个小花，
每个小朋友分24÷6=4（朵）
答：每个小朋友分4朵。
【解析】
先求出一共有多少小花，再用除法求出每个小朋友分多少朵。
24．
解：女生人数是6×8=48人，男生人数是8人，一共有48+8=56人。
56÷7=8（组）
答：可以分成8组。
【解析】
先求出总的学生数，再按照7个学生一组，求出分组数。
25．
解：3×10=30朵，30÷6=5（朵）
答：每个同学分5朵。
【解析】
先求出总的花朵数，再按照分给6个同学求出每个同学的花朵数。
26．
解：35÷7=5（组）
答：一共分了5组。
【解析】
根据7的乘法口诀，五七三十五。所以35÷7=5。
27．
解：32÷8=4（个）
答：妈妈可以买4个气球。
【解析】
根据乘法口诀我们知道四八三十二，所以32÷8=4。
28．
解：8÷4=2（元）
答：一块糖2元。
【解析】
根据2的乘法口诀，二四得八，所以8÷4=2。
29．
解：3×4=12（元）
12÷2=6（根）
答：可以买6根香蕉。
【解析】
可以先求得买桃子所花的总钱数，再求香蕉数。
30．
解：27÷3=9（只）
答需要9只蜜蜂。
【解析】
根据三的乘法口诀三九二十七，27÷3=9。
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2016～2017学年度小学期高三年级小二调考试
==========================================================================
数学试卷（理科）
----------------
> > **本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
1. 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、已知全集,,,
则( )
A.{-1,2} B.{4} C.{2} D.
2、下面关于复数的四个命题:, ,的共轭复数为,的虚部为-1其中真命题为( )
A. B. C. D.
3、某种新药服用小时后血液中残留为毫克,如图所示为函数的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( )\
A.上午10:00 B.中午12:00 C.下午4:00 D.下午6:00
4、以下有关命题的说法错误的是（ ）
A."x=1"是"x^2^-3x+2=0"的充分不必要条件
B.命题"若x^2^-3x+2=0,则x=1"的逆否命题为"若x≠1,则x^2^-3x+2≠0"
C.对于命题p:,使得x^2^+x+1\<0,则,均有x^2^+x+1≥0
D.若pq为假命题,则p、q均为假命题
5、如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6、执行如图所示程序框图,则输出的( )\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
A.-2012 B. 2012 C. -2013 D. 2013
7、某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
第6题框图 第7题三视图
8、已知函数是定义在上的奇函数,且当时, 
(其中是的导函数), ,，,则的大小关系是( )\
A. B. C. D.
9、已知函数满足,且是偶函数,当时, ,
若在区间内,函数有个零点,则实数的取值范围是( )\
A. B. C. D.
10.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11、已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当时，，若不等式
对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、在平面直角坐标系中,点是由不等式组 所确定的平面区域内的动点,是直线上任意一点,为坐标原点,则的最小值为( )\
A. B. C.  D.1
> **第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
2. **填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）**
13、，求的取值范围 [ ]{.underline} 。
14、已知函数在上单调递减,则的取值范围是 [ ]{.underline} 。
15、已知变量满足约束条件 且有无穷多个点使目标函数取得最小值,则 [ ]{.underline} 。
16.已知函数且对于定域内的任意的x恒成立，则a的取值范围是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题（本大题共8题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）**\
17.（本小题满分12分）在中，分别为角、、的对边，为边的中点，
．
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积.
18.**（本小题满分12分）**已知函数 .
（1）设时，求函数在（）上的最大值
（2）时讨论函数的单调区间.
19．（本小题满分12分）设a∈R，函数＋满足
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求f（A）的取值范围．
20.（**本小题满分12分）**设函数
（1）若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。
（2）若对任意, 都存在(e为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。
21．（本小题满分12分）已知函数，.
（1）设.
①若函数在处的切线过点，求的值；
②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；
（2）设函数，且，求证：当时，.
**请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形是圆的内接四边形，其中，与交于点，直线与交于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，将曲线上所有点横坐标变为原来的倍得到曲线，将曲线向上平移一个单位得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的普通方程及曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若点是曲线上任意一点，点是曲线上任意一点，求的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意,都存在,使得成立, 求实数的取值范围.
2016～2017学年度小学期高三年级小二调考试理科数学答案
====================================================
2. 选择题 D C C C A B D C C D A A
2. **填空题**13、 14、1 15、 \[-6，0\] 16、
**三、解答题**
 
(2)以为邻边作如图所示的平行四边形，
如图，则，...............8分
在△BCE中，
由余弦定理：．
即，
解得：即.....................10分
所以........................................12分
18.解：（1）
=3==， ...............1分
令=0，则=或=2 ...............2分
-------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------
 （，）  （，2）
 \+ 0 
 增 极大 减
-------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------
...............4分
 ...............5分
（2）=（1+2）+==
令=0，则=或=2...............6分
i、当2\>,即\>时，
-------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
 （，）  （，2） 2 （2，+）
 \+ 0  0 +\[来源:\]
 增 减 增
-------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------
所以的增区间为（，）和（2，+），减区间为（，2） ...............8分
ii、当2=,即=时，=0在（，+）上恒成立，
所以的增区间为（，+） ...............9分
iii、当\<2\<,即0\<\<时，
------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
 （，2） 2 （2，）  （，+）
 +\[来源:ZXXK\] 0  0 \+
 增 减 增
------------------------------------------------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------
所以的增区间为（，2）和（，+），减区间为（2，） ...............11分
综上述： 0\<\<时，的增区间为（，2）和（，+），减区间为（2，）
=时，的增区间为（，+）
\>时，的增区间为（，）和（2，+），减区间为（，2） ............12分
**20.（1）****，∵****是函数****的极值点，∴****.∵1是函数****的零点，得****，**
**由****解得****.**  **.........2分**
**∴****,****，**
**令****，****，得****； 令****得****，**
**所以****在****上单调递减；在****上单调递增. .........4分**
**故函数****至多有两个零点，其中****，**
**因为****，**
**，所以****，故****． .........6分**
**（2）令****，****，则****为关于****的一次函数且为增函数，根据题意，对任意****，都存在****，使得****成立，则****在****有****解，**
**令****，只需存在****使得****即可，**
**由于****=****，**
**令****，****，**
**∴****在(1，*e*)上单调递增，****， .........9分**
**①当****，即****时，****，即****，****在(1，*e*)上单调递增，∴****，不符合题意.\[来源:学&科&网\]**
**②当****，即****时，****，**
**若****，则****，所以在(1，*e*)上****恒成立，即****恒成立，∴****在(1，*e*)上单调递减,**
**∴存在****，使得****，符合题意.**
**若****，则****，∴在(1，*e*)上一定存在实数*m*，使得****，∴在(1，*m*)上****恒成立，即****恒成立，** **在(1，*m*)上单调递减,∴存在****，使得****，符合题意.**
**综上所述，当****时，对任意****，都存在****，使得****成立。 .........12分**
21．（1）由题意，得，
所以函数在处的切线斜率， 2分
又，所以函数在处的切线方程，
将点代入，得.  4分
（2）当，可得，因为，所以，
①当时，，函数在上单调递增，而，
所以只需，解得，从而. 6分
②当时，由，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以函数在上有最小值为，
令，解得，所以.
综上所述，. 8分
（3）由题意，，
而等价于，
令， 10分
则，且，，
令，则，
因， 所以， 11分
所以导数在上单调递增，于是，
从而函数在上单调递增，即. 12分
22\.
23\.
24\. 解：（1）由得,,得不等式的解集为. 5分
（2）任意,都有,使得成立,,
又,,解得或,实数的取值范围是. 10分
\[来源:学.科.网\]
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**2019年山西省中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）**
1．（3分）（2019•山西）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2*a*+3*a*＝5*a*^2^ B．（*a*+2*b*）^2^＝*a*^2^+4*b*^2^
C．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ D．（﹣*ab*^2^）^3^＝﹣*a*^3^*b*^6^
3．（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对面上的汉字是（ ）
> 
A．青 B．春 C．梦 D．想
4．（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•山西）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，∠*A*＝30°，直线*a*∥*b*，顶点*C*在直线*b*上，直线*a*交*AB*于点*D*，交*AC*与点*E*，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
> 
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．（3分）（2019•山西）不等式组的解集是（ ）
A．*x*＞4 B．*x*＞﹣1 C．﹣1＜*x*＜4 D．*x*＜﹣1
7．（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．"五一"小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，"五一"小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（ ）
A．2.016×10^8^元 B．0.2016×10^7^元
C．2.016×10^7^元 D．2016×10^4^元
8．（3分）（2019•山西）一元二次方程*x*^2^﹣4*x*﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（*x*+2）^2^＝3 B．（ *x*+2）^2^＝5 C．（*x*﹣2）^2^＝3 D．（ *x*﹣2）^2^＝5
9．（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于*A*，*B*两点．拱高为78米（即最高点*O*到*AB*的距离为78米），跨径为90米（即*AB*＝90米），以最高点*O*为坐标原点，以平行于*AB*的直线为*x*轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
> 
A．*y*＝*x*^2^ B．*y*＝﹣*x*^2^
C．*y*＝*x*^2^ D．*y*＝﹣*x*^2^
10．（3分）（2019•山西）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，*AB*＝2，*BC*＝2，以*AB*的中点*O*为圆心，*OA*的长为半径作半圆交*AC*于点*D*，则图中阴影部分的面积为（ ）
> 
A．﹣ B．+ C．2﹣π D．4﹣
**二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）**
11．（3分）（2019•山西）化简﹣的结果是[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于"教育"，"服装"，"食品"，"其他"这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从"扇形统计图"，"条形统计图"，"折线统计图"中选择一种统计图，最适合的统计图是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•山西）如图，在一块长12*m*，宽8*m*的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77*m*^2^，设道路的宽为*xm*，则根据题意，可列方程为[ ]{.underline}．
> 
14．（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点*O*为坐标原点，菱形*ABCD*的顶点*B*在*x*轴的正半轴上，点*A*坐标为（﹣4，0），点*D*的坐标为（﹣1，4），反比例函数*y*＝（*x*＞0）的图象恰好经过点*C*，则*k*的值为[ ]{.underline}．
> 
15．（3分）（2019•山西）如图，在△*ABC*中，∠*BAC*＝90°，*AB*＝*AC*＝10*cm*，点*D*为△*ABC*内一点，∠*BAD*＝15°，*AD*＝6*cm*，连接*BD*，将△*ABD*绕点*A*按逆时针方向旋转，使*AB*与*AC*重合，点*D*的对应点为点*E*，连接*DE*，*DE*交*AC*于点*F*，则*CF*的长为[ ]{.underline}*cm*．
> 
**三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）**
16．（10分）（2019•山西）（1）计算：+（﹣）^﹣2^﹣3tan60°+（π﹣）^0^．
> （2）解方程组：
17．（7分）（2019•山西）已知：如图，点*B*，*D*在线段*AE*上，*AD*＝*BE*，*AC*∥*EF*，∠*C*＝∠*F*．求证：*BC*＝*DF*．
> 
18．（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：
> （1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．
>
> （2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从"众数"，"中位数"，或"平均数"中的一个方面评价即可）．
>
> （3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母*A*，*B*，*C*，*D*表示．现把分别印有*A*，*B*，*C*，*D*的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是"*A*"和"*B*"的概率．
>
> 
19．（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
> 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
>
> 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
>
> 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为*x*次，选择方式一的总费用为*y*~1~（元），选择方式二的总费用为*y*~2~（元）．
>
> （1）请分别写出*y*~1~，*y*~2~与*x*之间的函数表达式．
>
> （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数*x*在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
20．（9分）（2019•山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
------------ --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：*xxx* 组员：*xxx*，*xxx*，*xxx*
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图  说明：线段*GH*表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度*AC*＝*BD*＝1.5*m*，测点*A*，*B*与*H*在同一条水平直线上，*A*，*B*之间的距离可以直接测得，且点*G*，*H*，*A*，*B*，*C*，*D*都在同一竖直平面内，点*C*，*D*，*E*在同一条直线上，点*E*在*GH* 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠*GCE*的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠*GDE*的度数 31.2° 30.8° 31°
*A*，*B*之间的距离 5.4*m* 5.6*m*
... ...
------------ --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------
> 任务一：两次测量*A*，*B*之间的距离的平均值是[ ]{.underline}*m*．
>
> 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆*GH*的高度．
>
> （参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
>
> 任务三：该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
>
> 
21．（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
> 莱昂哈德•欧拉（*LeonhardEuler*）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△*ABC*中，*R*和*r*分别为外接圆和内切圆的半径，*O*和*I*分别为其中外心和内心，则*OI*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*．
>
> 
>
> 如图1，⊙*O*和⊙*I*分别是△*ABC*的外接圆和内切圆，⊙*I*与*AB*相切分于点*F*，设⊙*O*的半径为*R*，⊙*I*的半径为*r*，外心*O*（三角形三边垂直平分线的交点）与内心*I*（三角形三条角平分线的交点）之间的距离*OI*＝*d*，则有*d*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*．
>
> 下面是该定理的证明过程（部分）：
>
> 延长*AI*交⊙*O*于点*D*，过点*I*作⊙*O*的直径*MN*，连接*DM*，*AN*．
>
> ∵∠*D*＝∠*N*，∠*DMI*＝∠*NAI*（同弧所对的圆周角相等）．
>
> ∴△*MDI*∽△*ANI*．∴＝，∴*IA*•*ID*＝*IM*•*IN*，①
>
> 如图2，在图1（隐去*MD*，*AN*）的基础上作⊙*O*的直径*DE*，连接*BE*，*BD*，*BI*，*IF*．
>
> ∵*DE*是⊙*O*的直径，所以∠*DBE*＝90°．
>
> ∵⊙*I*与*AB*相切于点*F*，所以∠*AFI*＝90°，
>
> ∴∠*DBE*＝∠*IFA*．
>
> ∵∠*BAD*＝∠*E*（同弧所对的圆周角相等），
>
> ∴△*AIF*∽△*EDB*，
>
> ∴＝．
>
> ∴*IA*•*BD*＝*DE*•*IF*②
>
> 任务：（1）观察发现：*IM*＝**R**+*d*，*IN*＝[ ]{.underline}（用含*R*，*d*的代数式表示）；
>
> （2）请判断*BD*和*ID*的数量关系，并说明理由．
>
> （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
>
> （4）应用：若△*ABC*的外接圆的半径为5*cm*，内切圆的半径为2*cm*，则△*ABC*的外心与内心之间的距离为[ ]{.underline}*cm*．
22．（11分）（2019•山西）综合与实践
> 动手操作：
>
> 第一步：如图1，正方形纸片*ABCD*沿对角线*AC*所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点*C*的直线折叠，使点*B*，点*D*都落在对角线*AC*上．此时，点*B*与点*D*重合，记为点*N*，且点*E*，点*N*，点*F*三点在同一条直线上，折痕分别为*CE*，*CF*．如图2．
>
> 第二步：再沿*AC*所在的直线折叠，△*ACE*与△*ACF*重合，得到图3．
>
> 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点*C*与点*F*重合，如图4，展开铺平，连接*EF*，*FG*，*GM*，*ME*．如图5，图中的虚线为折痕．
>
> 问题解决：
>
> （1）在图5中，∠*BEC*的度数是[ ]{.underline}，的值是[ ]{.underline}．
>
> （2）在图5中，请判断四边形*EMGF*的形状，并说明理由；
>
> （3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：[ ]{.underline}．
>
> 
23．（13分）（2019•山西）综合与探究
> 如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+6经过点*A*（﹣2，0），*B*（4，0）两点，与*y*轴交于点*C*，点*D*是抛物线上一个动点，设点*D*的横坐标为*m*（1＜*m*＜4）．连接*AC*，*BC*，*DB*，*DC*．
>
> （1）求抛物线的函数表达式；
>
> （2）△*BCD*的面积等于△*AOC*的面积的时，求*m*的值；
>
> （3）在（2）的条件下，若点*M*是*x*轴上一动点，点*N*是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点*M*，使得以点*B*，*D*，*M*，*N*为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点*M*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
**2019年山西省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑**
1．（3分）（2019•山西）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
> 【考点】绝对值．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据绝对值的定义，﹣3的绝对值是指在数轴上表示﹣3的点到原点的距离，即可得到正确答案．
>
> 【解答】解：\|﹣3\|＝3．
>
> 故﹣3的绝对值是3．
>
> 故选：*B*．
2．（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（ ）
A．2*a*+3*a*＝5*a*^2^ B．（*a*+2*b*）^2^＝*a*^2^+4*b*^2^
C．*a*^2^•*a*^3^＝*a*^6^ D．（﹣*ab*^2^）^3^＝﹣*a*^3^*b*^6^
> 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
>
> 【解答】解：*A*、2*a*+3*a*＝5*a*，故此选项错误；
>
> *B*、（*a*+2*b*）^2^＝*a*^2^+4*ab*+4*b*^2^，故此选项错误；
>
> *C*、*a*^2^•*a*^3^＝*a*^5^，故此选项错误；
>
> *D*、（﹣*ab*^2^）^3^＝﹣*a*^3^*b*^6^，正确．
>
> 故选：*D*．
3．（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对面上的汉字是（ ）
> 
A．青 B．春 C．梦 D．想
> 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据正方体展开*z*字型和*L*型找对面的方法即可求解；
>
> 【解答】解：展开图中"点"与"春"是对面，"亮"与"想"是对面，"青"与"梦"是对面；
>
> 故选：*B*．
4．（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
> 【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
>
> 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
>
> 【解答】解：解：*A*、，故*A*不符合题意；
>
> *B*、，故*B*不符合题意；
>
> *C*、，故*C*不符合题意；
>
> *D*、是最简二次根式，故*D*符合题意．
>
> 故选：*D*．
5．（3分）（2019•山西）如图，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*，∠*A*＝30°，直线*a*∥*b*，顶点*C*在直线*b*上，直线*a*交*AB*于点*D*，交*AC*与点*E*，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
> 
A．30° B．35° C．40° D．45°
> 【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠*ACB*＝75°，由三角形外角的性质可得∠*AED*的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
>
> 【解答】解：∵*AB*＝*AC*，且∠*A*＝30°，
>
> ∴∠*ACB*＝75°，
>
> 在△*ADE*中，∵∠1＝∠*A*+∠*AED*＝145°，
>
> ∴∠*AED*＝145°﹣30°＝115°，
>
> ∵*a*∥*b*，
>
> ∴∠*AED*＝∠2+∠*ACB*，
>
> ∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
>
> 故选：*C*．
6．（3分）（2019•山西）不等式组的解集是（ ）
A．*x*＞4 B．*x*＞﹣1 C．﹣1＜*x*＜4 D．*x*＜﹣1
> 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
>
> 【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．
>
> 【解答】解：，
>
> 由①得：*x*＞4，
>
> 由②得：*x*＞﹣1，
>
> 不等式组的解集为：*x*＞4，
>
> 故选：*A*．
7．（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．"五一"小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，"五一"小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（ ）
A．2.016×10^8^元 B．0.2016×10^7^元
C．2.016×10^7^元 D．2016×10^4^元
> 【考点】科学记数法---表示较大的数．菁优网版权所有
>
> 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（*a*×10的*n*次幂的形式），其中1≤\|*a*\|＜10，*n*表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的*n*次幂．
>
> 【解答】解：120000×168＝20160000＝2.016×10^7^，
>
> 故选：*C*．
8．（3分）（2019•山西）一元二次方程*x*^2^﹣4*x*﹣1＝0配方后可化为（ ）
A．（*x*+2）^2^＝3 B．（ *x*+2）^2^＝5 C．（*x*﹣2）^2^＝3 D．（ *x*﹣2）^2^＝5
> 【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
>
> 【分析】移项，配方，即可得出选项．
>
> 【解答】解：*x*^2^﹣4*x*﹣1＝0，
>
> *x*^2^﹣4*x*＝1，
>
> *x*^2^﹣4*x*+4＝1+4，
>
> （*x*﹣2）^2^＝5，
>
> 故选：*D*．
9．（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于*A*，*B*两点．拱高为78米（即最高点*O*到*AB*的距离为78米），跨径为90米（即*AB*＝90米），以最高点*O*为坐标原点，以平行于*AB*的直线为*x*轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）
> 
A．*y*＝*x*^2^ B．*y*＝﹣*x*^2^
C．*y*＝*x*^2^ D．*y*＝﹣*x*^2^
> 【考点】根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
>
> 【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
>
> 【解答】解：设抛物线的解析式为：*y*＝*ax*^2^，
>
> 将*B*（45，﹣78）代入得：﹣78＝*a*×45^2^，
>
> 解得：*a*＝﹣，
>
> 故此抛物线钢拱的函数表达式为：*y*＝﹣*x*^2^．
>
> 故选：*B*．
10．（3分）（2019•山西）如图，在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，*AB*＝2，*BC*＝2，以*AB*的中点*O*为圆心，*OA*的长为半径作半圆交*AC*于点*D*，则图中阴影部分的面积为（ ）
> 
A．﹣ B．+ C．2﹣π D．4﹣
> 【考点】勾股定理；扇形面积的计算．菁优网版权所有
>
> 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得*DE*的长、∠*DOB*的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△*ABC*的面积减去△*AOD*的面积和扇形*BOD*的面积，从而可以解答本题．
>
> 【解答】解：∵在Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，*AB*＝2，*BC*＝2，
>
> ∴tan*A*＝，
>
> ∴∠*A*＝30°，
>
> ∴∠*DOB*＝60°，
>
> ∵*OD*＝*AB*＝，
>
> ∴*DE*＝，
>
> ∴阴影部分的面积是：＝，
>
> 故选：*A*．
>
> 
**二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）**
11．（3分）（2019•山西）化简﹣的结果是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
>
> 【分析】先把异分母转化成同分母，再把分子相减即可．
>
> 【解答】解：原式＝．
>
> 故答案为：
12．（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于"教育"，"服装"，"食品"，"其他"这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从"扇形统计图"，"条形统计图"，"折线统计图"中选择一种统计图，最适合的统计图是[ 扇形统计图 ]{.underline}．
> 【考点】统计图的选择．菁优网版权所有
>
> 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
>
> 【解答】解：要表示一个家庭一年用于"教育"，"服装"，"食品"，"其他"这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
>
> 故答案为：扇形统计图
13．（3分）（2019•山西）如图，在一块长12*m*，宽8*m*的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77*m*^2^，设道路的宽为*xm*，则根据题意，可列方程为[ （12﹣*x*）（8﹣*x*）＝77 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
>
> 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
>
> 【解答】解：∵道路的宽应为*x*米，
>
> ∴由题意得，（12﹣*x*）（8﹣*x*）＝77，
>
> 故答案为：（12﹣*x*）（8﹣*x*）＝77．
14．（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点*O*为坐标原点，菱形*ABCD*的顶点*B*在*x*轴的正半轴上，点*A*坐标为（﹣4，0），点*D*的坐标为（﹣1，4），反比例函数*y*＝（*x*＞0）的图象恰好经过点*C*，则*k*的值为[ 16 ]{.underline}．
> 
>
> 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
>
> 【分析】要求*k*的值，求出点*C*坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出*k*的值．
>
> 【解答】解：过点*C*、*D*作*CE*⊥*x*轴，*DF*⊥*x*轴，垂足为*E*、*F*，
>
> ∵*ABCD*是菱形，
>
> ∴*AB*＝*BC*＝*CD*＝*DA*，
>
> 易证△*ADF*≌△*BCE*，
>
> ∵点*A*（﹣4，0），*D*（﹣1，4），
>
> ∴*DF*＝*CE*＝4，*OF*＝1，*AF*＝*OA*﹣*OF*＝3，
>
> 在Rt△*ADF*中，*AD*＝，
>
> ∴*OE*＝*EF*﹣*OF*＝5﹣1＝4，
>
> ∴*C*（4，4）
>
> ∴*k*＝4×4＝16
>
> 故答案为：16．
>
> 
15．（3分）（2019•山西）如图，在△*ABC*中，∠*BAC*＝90°，*AB*＝*AC*＝10*cm*，点*D*为△*ABC*内一点，∠*BAD*＝15°，*AD*＝6*cm*，连接*BD*，将△*ABD*绕点*A*按逆时针方向旋转，使*AB*与*AC*重合，点*D*的对应点为点*E*，连接*DE*，*DE*交*AC*于点*F*，则*CF*的长为[ （10﹣2]{.underline}[） ]{.underline}*cm*．
> 
>
> 【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】过点*A*作*AG*⊥*DE*于点*G*，由旋转的性质推出∠*AED*＝∠*ADG*＝45°，∠*AFD*＝60°，利用锐角三角函数分别求出*AG*，*GF*，*AF*的长，即可求出*CF*＝*AC*﹣*AF*＝10﹣2．
>
> 【解答】解：过点*A*作*AG*⊥*DE*于点*G*，
>
> 由旋转知：*AD*＝*AE*，∠*DAE*＝90°，∠*CAE*＝∠*BAD*＝15°，
>
> ∴∠*AED*＝∠*ADG*＝45°，
>
> 在△*AEF*中，∠*AFD*＝∠*AED*+∠*CAE*＝60°，
>
> 在Rt△*ADG*中，*AG*＝*DG*＝＝3，
>
> 在Rt△*AFG*中，*GF*＝＝，*AF*＝2*FG*＝2，
>
> ∴*CF*＝*AC*﹣*AF*＝10﹣2，
>
> 故答案为：10﹣2．
>
> 
**三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）**
16．（10分）（2019•山西）（1）计算：+（﹣）^﹣2^﹣3tan60°+（π﹣）^0^．
> （2）解方程组：
>
> 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数，0次幂进行计算，再合并同类二次根式；
>
> （2）用加减法进行解答便可．
>
> 【解答】解：（1）原式＝3+4﹣3+1
>
> ＝5；
>
> （2）①+②得，
>
> 4*x*＝﹣8，
>
> ∴*x*＝﹣2，
>
> 把*x*＝﹣2代入①得，
>
> ﹣6﹣2*y*＝﹣8，
>
> ∴*y*＝1，
>
> ∴．
17．（7分）（2019•山西）已知：如图，点*B*，*D*在线段*AE*上，*AD*＝*BE*，*AC*∥*EF*，∠*C*＝∠*F*．求证：*BC*＝*DF*．
> 
>
> 【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
>
> 【分析】由已知得出*AB*＝*ED*，由平行线的性质得出∠*A*＝∠*E*，由*AAS*证明△*ABC*≌△*EDF*，即可得出结论．
>
> 【解答】证明：∵*AD*＝*BE*，
>
> ∴*AD*﹣*BD*＝*BE*﹣*BD*，
>
> ∴*AB*＝*ED*，
>
> ∵*AC*∥*EF*，
>
> ∴∠*A*＝∠*E*，
>
> 在△*ABC*和△*EDF*中，，
>
> ∴△*ABC*≌△*EDF*（*AAS*），
>
> ∴*BC*＝*DF*．
18．（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：
> （1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．
>
> （2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从"众数"，"中位数"，或"平均数"中的一个方面评价即可）．
>
> （3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母*A*，*B*，*C*，*D*表示．现把分别印有*A*，*B*，*C*，*D*的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是"*A*"和"*B*"的概率．
>
> 
>
> 【考点】算术平均数；中位数；众数；列表法与树状图法．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案；
>
> （2）分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得；
>
> （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
>
> 【解答】解：（1）小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用；
>
> （2）从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；
>
> 从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；
>
> 从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数．
>
> （3）画树状图如下：
>
> 
>
> 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是"*A*"和"*B*"的有2种结果，
>
> 所以抽到的两张卡片恰好是"*A*"和"*B*"的概率为＝．
19．（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式．
> 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．
>
> 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
>
> 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为*x*次，选择方式一的总费用为*y*~1~（元），选择方式二的总费用为*y*~2~（元）．
>
> （1）请分别写出*y*~1~，*y*~2~与*x*之间的函数表达式．
>
> （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数*x*在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
>
> 【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
>
> （2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）当游泳次数为*x*时，方式一费用为：*y*~1~＝30*x*+200，方式二的费用为：*y*~2~＝40*x*；
>
> （2）由*y*~1~＜*y*~2~得：30*x*+200＜40*x*，
>
> 解得*x*＞20时，
>
> 当*x*＞20时，选择方式一比方式二省钱．
20．（9分）（2019•山西）某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
------------ --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------
课题 测量旗杆的高度
成员 组长：*xxx* 组员：*xxx*，*xxx*，*xxx*
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图  说明：线段*GH*表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度*AC*＝*BD*＝1.5*m*，测点*A*，*B*与*H*在同一条水平直线上，*A*，*B*之间的距离可以直接测得，且点*G*，*H*，*A*，*B*，*C*，*D*都在同一竖直平面内，点*C*，*D*，*E*在同一条直线上，点*E*在*GH* 上．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
∠*GCE*的度数 25.6° 25.8° 25.7°
∠*GDE*的度数 31.2° 30.8° 31°
*A*，*B*之间的距离 5.4*m* 5.6*m*
... ...
------------ --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------
> 任务一：两次测量*A*，*B*之间的距离的平均值是[ 5.5 ]{.underline}*m*．
>
> 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆*GH*的高度．
>
> （参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
>
> 任务三：该"综合与实践"小组在制定方案时，讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
>
> 
>
> 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影．菁优网版权所有
>
> 【分析】任务一：根据矩形的性质得到*EH*＝*AC*＝1.5，*CD*＝*AB*＝5.5；
>
> 任务二：设*EC*＝*xm*，解直角三角形即可得到结论；
>
> 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
>
> 【解答】解：任务一：由题意可得，四边形*ACDB*，四边形*ADEH*是矩形，
>
> ∴*EH*＝*AC*＝1.5，*CD*＝*AB*＝5.5，
>
> 故答案为：5.5；
>
> 任务二：设*EC*＝*xm*，
>
> 在Rt△*DEG*中，∠*DEC*＝90°，∠*GDE*＝31°，
>
> ∵tan31°＝，
>
> ∴*DE*＝，
>
> 在Rt△*CEG*中，∠*CEG*＝90°，∠*GCE*＝25.7°，
>
> ∵tan25.7°＝，*CE*＝，
>
> ∵*CD*＝*CE*﹣*DE*，
>
> ∴﹣＝5.5，
>
> ∴*x*＝13.2，
>
> ∴*GH*＝*CE*+*EH*＝13.2+1.5＝14.7，
>
> 答：旗杆*GH*的高度为14.7米；
>
> 任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到．
21．（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
> 莱昂哈德•欧拉（*LeonhardEuler*）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△*ABC*中，*R*和*r*分别为外接圆和内切圆的半径，*O*和*I*分别为其中外心和内心，则*OI*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*．
>
> 
>
> 如图1，⊙*O*和⊙*I*分别是△*ABC*的外接圆和内切圆，⊙*I*与*AB*相切分于点*F*，设⊙*O*的半径为*R*，⊙*I*的半径为*r*，外心*O*（三角形三边垂直平分线的交点）与内心*I*（三角形三条角平分线的交点）之间的距离*OI*＝*d*，则有*d*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*．
>
> 下面是该定理的证明过程（部分）：
>
> 延长*AI*交⊙*O*于点*D*，过点*I*作⊙*O*的直径*MN*，连接*DM*，*AN*．
>
> ∵∠*D*＝∠*N*，∠*DMI*＝∠*NAI*（同弧所对的圆周角相等）．
>
> ∴△*MDI*∽△*ANI*．∴＝，∴*IA*•*ID*＝*IM*•*IN*，①
>
> 如图2，在图1（隐去*MD*，*AN*）的基础上作⊙*O*的直径*DE*，连接*BE*，*BD*，*BI*，*IF*．
>
> ∵*DE*是⊙*O*的直径，所以∠*DBE*＝90°．
>
> ∵⊙*I*与*AB*相切于点*F*，所以∠*AFI*＝90°，
>
> ∴∠*DBE*＝∠*IFA*．
>
> ∵∠*BAD*＝∠*E*（同弧所对的圆周角相等），
>
> ∴△*AIF*∽△*EDB*，
>
> ∴＝．
>
> ∴*IA*•*BD*＝*DE*•*IF*②
>
> 任务：（1）观察发现：*IM*＝**R**+*d*，*IN*＝[ **R**﹣*d* ]{.underline}（用含*R*，*d*的代数式表示）；
>
> （2）请判断*BD*和*ID*的数量关系，并说明理由．
>
> （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
>
> （4）应用：若△*ABC*的外接圆的半径为5*cm*，内切圆的半径为2*cm*，则△*ABC*的外心与内心之间的距离为[ ]{.underline}[ ]{.underline}*cm*．
>
> 【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）直接观察可得；
>
> （2）*BD*＝*ID*，只要证明∠*BID*＝∠*DBI*，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；
>
> （3）应用（1）（2）结论即可；
>
> （4）直接代入计算．
>
> 【解答】解：（1）∵*O*、*I*、*N*三点共线，
>
> ∴*OI*+*IN*＝*ON*
>
> ∴*IN*＝*ON*﹣*OI*＝**R**﹣*d*
>
> 故答案为：**R**﹣*d*；
>
> （2）*BD*＝*ID*
>
> 理由如下：
>
> 如图3，过点*I*作⊙*O*直径*MN*，连接*AI*交⊙*O*于*D*，连接*MD*，*BI*，*BD*，
>
> ∵点*I*是△*ABC*的内心
>
> ∴∠*BAD*＝∠*CAD*，∠*CBI*＝∠*ABI*
>
> ∵∠*DBC*＝∠*CAD*，∠*BID*＝∠*BAD*+∠*ABI*，∠*DBI*＝∠*DBC*+∠*CBI*
>
> ∴∠*BID*＝∠*DBI*
>
> ∴*BD*＝*ID*
>
> （3）由（2）知：*BD*＝*ID*
>
> ∴*IA*•*ID*＝*DE*•*IF*
>
> ∵*DE*•*IF*＝*IM*•*IN*
>
> ∴2*R*•*r*＝（**R**+*d*）（**R**﹣*d*）
>
> ∴*R*^2^﹣*d*^2^＝2*Rr*
>
> ∴*d*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*
>
> （4）由（3）知：*d*^2^＝*R*^2^﹣2*Rr*；将*R*＝5，*r*＝2代入得：
>
> *d*^2^＝5^2^﹣2×5×2＝5，
>
> ∵*d*＞0
>
> ∴*d*＝
>
> 故答案为：．
>
> 
22．（11分）（2019•山西）综合与实践
> 动手操作：
>
> 第一步：如图1，正方形纸片*ABCD*沿对角线*AC*所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点*C*的直线折叠，使点*B*，点*D*都落在对角线*AC*上．此时，点*B*与点*D*重合，记为点*N*，且点*E*，点*N*，点*F*三点在同一条直线上，折痕分别为*CE*，*CF*．如图2．
>
> 第二步：再沿*AC*所在的直线折叠，△*ACE*与△*ACF*重合，得到图3．
>
> 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点*C*与点*F*重合，如图4，展开铺平，连接*EF*，*FG*，*GM*，*ME*．如图5，图中的虚线为折痕．
>
> 问题解决：
>
> （1）在图5中，∠*BEC*的度数是[ 67.5° ]{.underline}，的值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
>
> （2）在图5中，请判断四边形*EMGF*的形状，并说明理由；
>
> （3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：[ 菱形*EMCH*或菱形*FGCH* ]{.underline}．
>
> 
>
> 【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
>
> 【分析】（1）由折叠的性质得*BE*＝*EN*，*AE*＝*AF*，∠*CEB*＝∠*CEN*，∠*BAC*＝∠*CAD*，由正方形性质得∠*EAF*＝90°，推出∠*AEF*＝∠*AFE*＝45°，得出∠*BEN*＝135°，∠*BEC*＝67.5°，证得△*AEN*是等腰直角三角形，得出*AE*＝*EN*，即可得出结果；
>
> （2）由正方形性质得∠*B*＝∠*BCD*＝∠*D*＝90°，由折叠的性质得∠*BCE*＝∠*ECA*＝∠*ACF*＝∠*FCD*，*CM*＝*CG*，∠*BEC*＝∠*NEC*＝∠*NFC*＝∠*DFC*，得出∠*BCE*＝∠*ECA*＝∠*ACF*＝∠*FCD*＝22.5°，∠*BEC*＝∠*NEC*＝∠*NFC*＝∠*DFC*＝67.5°，由折叠可知*MH*、*GH*分别垂直平分*EC*、*FC*，得出*MC*＝*ME*＝*CG*＝*GF*，推出∠*MEC*＝∠*BCE*＝22.5°，∠*GFC*＝∠*FCD*＝22.5°，∠*MEF*＝90°，∠*GFE*＝90°，推出∠*CMG*＝45°，∠*BME*＝45°，得出∠*EMG*＝90°，即可得出结论；
>
> （3）连接*EH*、*FH*，由折叠可知*MH*、*GH*分别垂直平分*EC*、*FC*，同时*EC*、*FC*也分别垂直平分*MH*、*GH*，则四边形*EMCH*与四边形*FGCH*是菱形．
>
> 【解答】解：（1）由折叠的性质得：*BE*＝*EN*，*AE*＝*AF*，∠*CEB*＝∠*CEN*，∠*BAC*＝∠*CAD*，
>
> ∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴∠*EAF*＝90°，
>
> ∴∠*AEF*＝∠*AFE*＝45°，
>
> ∴∠*BEN*＝135°，
>
> ∴∠*BEC*＝67.5°，
>
> ∴∠*BAC*＝∠*CAD*＝45°，
>
> ∵∠*AEF*＝45°，
>
> ∴△*AEN*是等腰直角三角形，
>
> ∴*AE*＝*EN*，
>
> ∴＝＝；
>
> 故答案为：67.5°，；
>
> （2）四边形*EMGF*是矩形；理由如下：
>
> ∵四边形*ABCD*是正方形，
>
> ∴∠*B*＝∠*BCD*＝∠*D*＝90°，
>
> 由折叠的性质得：∠*BCE*＝∠*ECA*＝∠*ACF*＝∠*FCD*，*CM*＝*CG*，∠*BEC*＝∠*NEC*＝∠*NFC*＝∠*DFC*，
>
> ∴∠*BCE*＝∠*ECA*＝∠*ACF*＝∠*FCD*＝＝22.5°，∠*BEC*＝∠*NEC*＝∠*NFC*＝∠*DFC*＝67.5°，
>
> 由折叠可知：*MH*、*GH*分别垂直平分*EC*、*FC*，
>
> ∴*MC*＝*ME*＝*CG*＝*GF*，
>
> ∴∠*MEC*＝∠*BCE*＝22.5°，∠*GFC*＝∠*FCD*＝22.5°，
>
> ∴∠*MEF*＝90°，∠*GFE*＝90°，
>
> ∵∠*MCG*＝90°，*CM*＝*CG*，
>
> ∴∠*CMG*＝45°，
>
> ∵∠*BME*＝∠*BCE*+∠*MEC*＝22.5°+22.5°＝45°，
>
> ∴∠*EMG*＝180°﹣∠*CMG*﹣∠*BME*＝90°，
>
> ∴四边形*EMGF*是矩形；
>
> （3）连接*EH*、*FH*，如图所示：
>
> ∵由折叠可知：*MH*、*GH*分别垂直平分*EC*、*FC*，同时*EC*、*FC*也分别垂直平分*MH*、*GH*，
>
> ∴四边形*EMCH*与四边形*FGCH*是菱形，
>
> 故答案为：菱形*EMCH*或菱形*FGCH*．
>
> 
23．（13分）（2019•山西）综合与探究
> 如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+6经过点*A*（﹣2，0），*B*（4，0）两点，与*y*轴交于点*C*，点*D*是抛物线上一个动点，设点*D*的横坐标为*m*（1＜*m*＜4）．连接*AC*，*BC*，*DB*，*DC*．
>
> （1）求抛物线的函数表达式；
>
> （2）△*BCD*的面积等于△*AOC*的面积的时，求*m*的值；
>
> （3）在（2）的条件下，若点*M*是*x*轴上一动点，点*N*是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点*M*，使得以点*B*，*D*，*M*，*N*为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点*M*的坐标；若不存在，请说明理由．
>
> 
>
> 【考点】二次函数综合题．菁
>
> 【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；
>
> （2）利用*S*~△*BDC*~＝*HB*×*OB*，即可求解；
>
> （3）分*BD*是平行四边形的一条边、*BD*是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：*y*＝*a*（*x*+2）（*x*﹣4）＝*a*（*x*^2^﹣2*x*﹣8）＝*ax*^2^﹣2*ax*﹣8*a*，
>
> 即﹣8*a*＝6，解得：*a*＝﹣，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝﹣*x*^2^+*x*+6；
>
> （2）点*C*（0，6），将点*B*、*C*的坐标代入一次函数表达式并解得：
>
> 直线*BC*的表达式为：*y*＝﹣*x*+6，
>
> 如图所示，过点*D*作*y*轴的平行线交直线*BC*与点*H*，
>
> 
>
> 设点*D*（*m*，﹣*m*^2^+*m*+6），则点*H*（*m*，﹣*m*+6）
>
> *S*~△*BDC*~＝*HB*×*OB*＝2（﹣*m*^2^+*m*+6+*m*﹣6）＝﹣*m*^2^+3*m*，
>
> *S*~△*ACO*~＝××6×2＝，
>
> 即：﹣*m*^2^+3*m*＝，
>
> 解得：*m*＝1或3（舍去1），
>
> 故*m*＝3；
>
> （3）当*m*＝3时，点*D*（3，），
>
> ①当*BD*是平行四边形的一条边时，
>
> 如图所示：*M*、*N*分别有三个点，
>
> 
>
> 设点*N*（*n*，﹣*n*^2^+*n*+6）
>
> 则点*N*的纵坐标为绝对值为，
>
> 即\|﹣*n*^2^+*n*+6\|＝，
>
> 解得：*n*＝﹣1或3（舍去）或1，
>
> 故点*N*（*N*′、*N*″）的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）或（1﹣，﹣），
>
> 当点*N*（﹣1，）时，由图象可得：点*M*（0，0），
>
> 当*N*′的坐标为（1，﹣），由中点坐标公式得：点*M*′（，0），
>
> 同理可得：点*M*″坐标为（﹣，0），
>
> 故点*M*坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）；
>
> ②当*BD*是平行四边形的对角线时，
>
> 点*B*、*D*的坐标分别为（4，0）、（3，）
>
> 设点*M*（*m*，0），点*N*（*s*，*t*），
>
> 由中点坐标公式得：，而*t*＝﹣*s*^2^+*s*+6，
>
> 解得：*t*＝，*s*＝﹣1，*m*＝8，
>
> 故点*M*坐标为（8，0）；
>
> 故点*M*的坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）或（8，0）．
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**北师大版小学四年级数学上册期中考试试卷五（附答案）**
一、精彩补白。(每空1分，共13分)
1．在74后面添上( )个0，这个数就变成七百四十万；在58中间添( )个0，这个数变成五百万零八。
2．丹麦的格陵兰岛是世界上最大的岛，面积是二百一十七万五千六百平方千米，这个数写作( )平方千米，约( )万平方千米。
3．珊瑚海是世界上最大的海，面积达4791000平方千米，这个数读作( )平方千米，四舍五入到万位约是( )万平方千米。
4．平移前后的两条直线互相( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
5．要使□×700＜3024, □里最大能填的整数是( )。
6．当时钟正对( )点时，时针和分针组成平角；当时钟正对( )点或( )点时，时针与分针组成直角。
7．25×32的积与25×( )×( )的积相等。
二、对号入座。(将正确答案的字母填在括号里)(共10分)
1．下列数中最接近十万的数是( )。
A．99980 B．100001 C．100100
2．用一副三角板可以画出的角有( )。
A．85° B 140° C．150°
3．不计算，下面结果正确的是( )。
A．456×23=1488 B．703×15=7090 C．79×56=4424
4．下面的( )图形是绕C点旋转的。
A． B． C．
5． 
A． B． C．
三、公正审判。(对的打"√"，错的打"×")(共8分)
1．直线比射线长。 ( )
2．过直线外一点可作一条已知直线的平行线。 ( )
3．最大五位数比最大六位数少1。 ( )
4．人步行时，两手臂甩动时的运动是旋转。 ( )
四、下图中每个钟面上时针和分针组成的角各是什么角？(共10分)
  
( )角 ( )角 ( )角
 
( )角 ( )角
我发现：( )角＞( )角＞( )角＞( )角＞( )角
五、用量角器分别量出下面各角的度数。(共6分)
  
∠1=( ) ∠2=( ) ∠3=( )
六、神机妙算。(共25分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．计算下列各角的度数。(4分)
 
∠1=( ) ∠2=( )
2．列竖式算算。 (12分)
732×24= 315×28=
205×14= 62×243=
3．用你喜欢的方法算出答案。(9分)
50×26×20 24×86＋86×76 123×67－23×67
七、按要求画图。(共5分)
八、解决问题。(共18分)
1．一个滴水的水龙头每天白白流掉12千克水。照这样计算，一年365天要流掉多少千克水？(6分)
2．卖冷饮。(12分)
(1)李老师买了12箱可口可乐和13箱雪糕，李老师买了多少瓶可口可乐？多少块雪糕？
(2)如果每瓶可乐的售价为3元，那么4箱可乐一共可以卖多少元钱？
(3)如果每块雪糕卖2元钱，李老师带了600元钱，她买5箱雪糕，钱够吗？
九、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对可得10分)
A．旅游。
乐乐一家三口人从广州坐火车到北京旅游，全程行驶2310千米。已知火车平均每小时行120千米。现在火车已经行了17小时，到北京还要行多少千米？
B．某体育用品店购进80套运动服，上衣每件65元，裤子每件35元，一共用了多少元钱？
附加题。(共5分)
钟面时针从8时整到11时整的过程中。
(1)时钟在钟面上旋转了多少度？
(2)分针在钟面上转了多少圈？如果一圈看作360°，合多少度？
**参考答案**
一、1．5 5
2．2175600 218
3．四百七十九万一千 479
4．平行
5．4
6．6 3 9
7．4 8
二、1．B 2．C 3．C 4．C 5．A
三、1．× 2．√ 3．× 4．√
四、平 钝 锐 周 直 周 平 钝 直 锐
五、略
六、1．∠1=30° ∠2=128°
2．17568 8820 2870 15066
3．26000 8600 6700
七、略
八、1．4380千克
2．(1)288瓶 650块 (2)288元 (3)够
九、A．270千米 B．8000元
附加题：(1)90° (2)3圈 1080度
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**北师大版小学二年级下册数学第五单元《测量》单元测试3（附答案）**
一、写出下面物体的长度。(8分)
1． 木棒长( )厘米( )毫米。
2． 纸条长( )厘米。
3． 铅笔长( )厘米( )毫米。来源：www.bcjy123.com/tiku/
4． 小刀长( )厘米( )毫米。
二、填一填。(19分)
1．我们学过的长度单位有( )、( )、( )、( )、( )，用字母表示分别是( )、( )、( )、( )、( )。
2．1厘米中有( )个小格，每小格的长度是( )。
3．( )个10米就是1000米，18千米是( )米。
4．小明身高1( )30( )。
5．中国最长的河流**------**长江长6397( )。
6．明明的爸爸身高175( )。
7．一幢教学楼高180分米，是( )米。
三、换一换，算一算。(10分)
8m＝( )dm 1m－7dm＝( )
90cm＝( )dm 1km－800m＝( )
60mm＝( )cm 3m－60cm＝( )
7km＝( )m 7mm＋3mm＝( )
5000m＝( )km 8dm－9cm＝( )
四、比一比，填"＞"、"＜"或"＝"。(10分)
1．7cm○70mm 2cm○200mm
82mm○9m 10dm○100cm
5km○700m 99km○9000m
2m＋40dm○18m－10dm 1dm○1OOmm
2.按你喜欢的顺序排一排
50dm 60cm 6000m 5km 5m5dm
( )○( )○( )○( )○( )
五、巧手画一画。(用尺子比着画哟)(6分)
1．画一条长28mm的线段。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．画一条长1dm的线段。
3．画一条比2dm短13cm的线段。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、填上合适的长度单位。(9分)
  
塔高75( ) 大树高15( ) 刘杰身高139( )
  
硬币厚约2( ) 球场长约90( ) 曲别针长约90( )
  
图钉长约1( ) 学生尺约20( ) 暖水瓶高约34( )
七、下面说法，对的画"√"，错的画"×"。(8分)
1\. 飞机每小时飞行1200千米。( )
2\. 1分硬币厚约1厘米。( )
3．一座桥长1670千米。( )
4\. 电话卡的厚度大约是1mm。( )
5\. 所有长度单位之间的进率都是十。( )
6\. 米、分米、毫米。都是长度单位。( )
7\. 教室有9米长，85厘米宽。( )
8\. 10个100m是1km。( )
八、将正确答案的序号填入( )中。(6分)
1．下面属于测量长度的工具是( )。
①米尺 ②秤 ③手表
2．9分米比9厘米( )。
①短 ②长 ③无法比
3．李红家到学校的距离是( )。
①800cm ②800m ③800km
4．公路旁的里程碑上写着50( )。
①mm ②dm ③km
5．升旗杆大约高15( )。
①cm ②dm ③m
6．杰杰身高92cm，他离1m还差( )。
①18cm ②12cm ③8cm
九、把每小时行的路程与合适的出行方式用线连起来。(4分)
15千米 1600千米 50千米 5千米
十、用数学。(15分)
1.一根绳子，第一次剪去23米，第二次剪去35米，还剩38米。这根绳子原来长多少米？(4分)
2.爸爸带王芳去外地旅游。汽车上了公路一段时间后，王芳看到了一个指示牌。这条公路有多长？(5分)
3．把3根5厘米长的小棒连起来，重叠的部分长1厘米，连好后的小棒长几厘米？(6分)
十一、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．在一次长跑比赛中，李军在刘辛前面70米，邓力在张华前面40米，刘辛在张华前面30米。谁跑第一名？第一名和最后一名相距多少米？(5分)
B．一天，刘叔叔骑自行车从谷村到岗村，他行了16千米后，离两村的中点还差3千米，问：谷村与岗村之间相距多少千米？(5分)
附加题。(5分)
在一个圆形花坛上放了10盆鲜花，每两盆花之间相隔2米。这个花坛一圈长多少米？
**参考答案**
一、1．5 1 2．6 3．4 5 4．6 2
二、1．千米 米 分米 厘米 毫米 km m dm cm mm
2．10 1mm
3．100 18000
4．米 厘米
5．千米
6．cm
7．18
三、80 9 6 7000 5 3dm 200m 240cm 1cm 71cm
四、1．＝ ＜ ＞ ＜ ＜ ＝ ＞ ＝
2．60cm＜50dm＜5m5dm＜5km＜6000m
五、略
六、m m cm mm m mm cm cm cm
七、1．√ 2．× 3．× 4．√ 5．× 6．√ 7．× 8．√
八、1．① 2．② 3．② 4．③ 5．③ 6．③
九、步行：5千米 汽车：50千米
飞机：1600千米 自行车：15千米
十、1．23＋35＋38＝96(米) 2．80＋90＝170(km)
3．5×3－2＝13(cm)
十一、A．李军第一名 相距100米
B．(16＋3)＋(16＋3)＝38(千米)
附加题：
10×2＝20(米)
| 1 | |
**一、我会填。**
1. **数一数，写一写。**
**2、十位是1,个位是2,这个数是( )。**
**3、1个十和8个一合起来是（ ），和这个数相邻的两个数是（ ）和（ ）。**
**4、被减数是15，减数是3，差是（ ）。**
**5、按顺序写数。**
-------- -- -- -------- --
**20** **17**
-------- -- -- -------- --
-- ------- ------- -- -- --------
**3** **5** **11**
-- ------- ------- -- -- --------
**6、** 10比9多（ ），10再加上（ ）就是19。
**7、△△△△△△**
**○○○○**
**（1）有（ ）个 △ ，有（ ）○。**
**（2）○ 比 △ 少（ ）个。**
**（3）去掉（ ）个△，△和○同样多。**
8**、数一数,圈一圈。**
(1)一共有（ ）只小动物。
（2） 排第一， 排第（ ），排第（ ）。
（3）从左边数，请把第4只小动物圈起来。
9、按要求写出时刻。
**现在是： [ ]{.underline} 过1小时是： [ ]{.underline}**
**二、我会算**
**1、快来算一算。**
**7+ 6 = 3 + 9 = 0 + 11 = 5 + 8 =**
**2 +8 = 14 -- 2= 9+5= 10 --5=**
**3＋9 = 12＋4 = 4＋7 = 13＋3=**
**5 +10= 3 + 13= 9 --9= 10 -- 0=**
**19－9= 7－4= 11＋7= 18－6=**
**3+6+4= 9+5-2= 9-6+7=**
**15-5+8= 10+5-0= 16-3-3=**
**2、在（ ）里填上适当的数。**
**2＋（ ）=7 （ ）--- 6=1 （ ）＋5=11**
**13---（ ）=10 （ ）＋8=17 9---（ ）=9**
**3、在○里填"＜"、"＞" 或"="。**
9+4 14 18 8+8 8+7 16-0
3+8 10 7+7 6+8 9+8 4+14
3. **数一数, 填一填。**
**四、看图列式。**
1、
□+□=□ □ˉ□=□
□+□=□ □ˉ□=□
2、 ？个
13个
□○□=□ （个）
3、
□○□=□ （座）
4、
□○□○□=□（块）
 5、
□○□○□=□（颗）
5. **解决问题。**
**1、**
我们两人一共吃了多少个草莓？
= （个）
2. 池塘里原来有15条鱼， 小猫钓上来了10条。 现在还剩几条鱼？
> □○□=□（条）
3、
他们俩一共折了多少颗五角星？
= （颗）
4、妈妈准备了一些水果。
（1） 和 一共有多少个？
□○□=□ （个）
> （2）妈妈招待客人一共需要8个 ，还要再准备几个 ？
□○□=□ （个）
5、
我现在有多少个气球？
= （个）
6、
一共有多少朵花？ = = （朵）
还可以怎样解答？ = = （朵）
**附加题：**
动脑筋，填上数，使横行竖行相加都得12。
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**2020-2021学年吉林省白山市长白山保护开发区六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题。（每题2分，共20分）**
1．（2分）24：[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}（填小数）。
2．（2分）550千克是吨；2小时25分是2小时。
3．（2分）长方形周长是32*cm*，相邻两边的比是5：3，长方形的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
4．（2分）把5克糖溶解到100克水中，糖和糖水的质量比是[ ]{.underline}．
5．（2分）铺一条800*m*的路，已经铺了320*m*，还剩[ ]{.underline}%没有铺。
6．（2分）某种商品4月的价格比3月降低了20%，5月的价格比4月又上涨了20%。5月的价格是3月价格的[ ]{.underline}%。
7．（2分）光明小学五（1）班学生人数在40人到50人之间，这个班男生人数和女生人数的比是6：5，这个班男生有[ ]{.underline}人，女生有[ ]{.underline}人．
8．（2分）已知下列等式：1^3^＝1^2^，1^3^+2^3^＝3^2^，1^3^+2^3^+3^3^＝6^2^，1^3^+2^3^+3^3^+4^3^＝10^2^......由此规律知，第6个等式是[ ]{.underline}。
9．（2分）打一篇文章，小明单独完成需要15分钟，小兰单独完成需要12分钟，他们的所用时间比是[ ]{.underline}，打字速度比是[ ]{.underline}。
10．（2分）公园中圆形花坛的周长是31.4*m*，这个花坛的占地面积是[ ]{.underline}*m*^2^。
**二、判断题。（对的打"√"错的打"×"。）（5分）**
11．（1分）圆有无数条对称轴．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．（1分）半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．（1分）4：5的后项增加10，要使比值不变，前项应增加8．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．（1分）一个真分数的倒数一定比这个真分数大．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．（1分）如果男生人数比女生人数多，那么女生人数就比男生人数少．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择题。（每题2分，共10分）**
16．（2分）有苹果150千克，\_\_\_\_\_，梨有多少千克？根据算式150×（1+20%），横线上应该补充的数学信息是（ ）
A．梨比苹果多20% B．苹果比梨多20%
C．梨比苹果少20%
17．（2分）因为*A*比*B*多25%，那么*B*就比*A*少（ ）%。
A．30 B．25 C．20
18．（2分）学校在李华家西偏北30°方向300米处，那么李华家在学校的（ ）
A．北偏西30°方向300米处 B．东偏南30°方向300米处
C．南偏东30°方向300米处
19．（2分）把一个圆平均分成128份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，在这个转化过程中，（ ）
A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了
C．周长变了，面积没变
20．（2分）圆的半径由2*cm*增加到3*cm*，这个圆的面积增加了（ ）*cm*^2^。
A．π B．5 C．5π
**四、计算题。（共29分）**
21．（8分）直接写得数。
24 114＝
----------- ------ ------- -----
1﹣0.28＝ 5%＝ 2.4
22．（12分）能简算的要简算。
-- --------- ---- ---
（）×12 99 2
-- --------- ---- ---
23．（9分）解方程。
------------ ------ --------------------
0.75*x*＝1 *xx* 6×3﹣180%*x*＝10.8
------------ ------ --------------------
**五、图形题。（每题3分，共6分）**
24．（3分）根据路线图，写出李颖从家去学校所走的方向和路程。
25．（3分）求图形阴影部分的面积
**六、解决问题。（共30分）**
26．（4分）某学校有50位教师，今天1人请了事假，1人请了病假，这天的出勤率是多少？
27．（5分）一个篮球的价钱是120元，一个排球的价钱是一个篮球的价钱的，一个足球的价钱是一个排球价钱的，一个足球多少钱？
28．（5分）李阿姨订了一张春运期间吉林到西安的飞机票，花了1160元。这张飞机票比平时的价钱上涨了45%，平时吉林到西安的飞机票多少元钱？
29．（5分）用84厘米长的铁丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5．这个三角形的三条边各是多少厘米？
30．（5分）修一条道路，如果一队单独修，12天能修完，如果二队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？
31．（6分）这是小明上个月零用钱使用情况统计图。
> （1）如果上个月小明的零用钱是80元，那么上个月他购买图书花了多少元钱？
>
> （2）上个月小明购买零食的钱占零用钱的百分之几？它比购买学习用品的钱少多少元？
**2020-2021学年吉林省白山市长白山保护开发区六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题。（每题2分，共20分）**
1．【分析】根据分数的基本性质，的分子、分母都乘6就是；根据比与分数的关系6：5，再根据比的基本性质比的前、后项都乘4就是24：20；6÷5＝1.2；把1.2的小数点向右移动两位添上百分号就是120%。
> 【解答】解：24：20120%＝1.2。
>
> 故答案为：20，36，120，1.2。
>
> 【点评】此题主要是考查小数、分数、百分数、比之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
2．【分析】根据1吨＝1000千克，用550除以1000，把千克化为吨做单位的数即可。
> 因为1时＝60分，用25除以60，把25分化成时，再加上2即可。
>
> 【解答】解：550÷1000（吨）
>
> 所以550千克是吨。
>
> 25÷60
>
> 所以2小时25分是2小时。
>
> 故答案为：；。
>
> 【点评】本题主要考查质量单位、时间单位之间的换算关系，关键利用质量单位、时间单位之间的进率做题。
3．【分析】首先用这个长方形的周长除以2，求出长和宽的和是多少；然后把长和宽的和看作单位"1"，分别用长和宽的和乘长、宽占长和宽的和的分率，求出长和宽各是多少；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出这个长方形的面积是多少即可。
> 【解答】解：32÷2＝16（*cm*）
>
> 1610（*cm*）
>
> 166（*cm*）
>
> 10×6＝60（*cm*^2^）
>
> 答：长方形的面积是60*cm*^2^ 。
>
> 故答案为：60。
>
> 【点评】此题主要考查了长方形的周长、面积的求法，以及分数乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。
4．【分析】糖的质量是5克，水的质量是100克，所以糖水的质量是5+100＝105（克），糖和糖水的比为5：（5+100），化简即可．
> 【解答】解：5：（5+100）
>
> ＝5：105
>
> ＝1：21
>
> 答：糖和糖水的比是1：21．
>
> 故答案为：1：21．
>
> 【点评】解答此题首先应弄清：糖水的质量＝糖的质量+水的质量，这是解决本题的关．
5．【分析】先用总长度减去已经铺的长度，求出剩下的长度，再用剩下的长度除以总长度即可求解。
> 【解答】解：（800﹣320）÷800
>
> ＝480÷800
>
> ＝60%
>
> 答：还剩60%没有铺．
>
> 故答案为：60。
>
> 【点评】本题是求一个数是另一个数的百分之几，关键是看把谁当成了单位"1"，单位"1"的量为除数。
6．【分析】把3月份的价格看作单位"1"，则4月份的价格是3月份的1﹣20%；再把4月份的价格看作单位"1"，则5月份的价格是4月份的1+20%；根据百分数乘法的意义，则5月份的价格是3月份的（1﹣20%）×（1+20%）；据此解答即可。
> 【解答】解：（1﹣20%）×（1+20%）
>
> ＝0.8×1.2
>
> ＝0.96
>
> ＝96%
>
> 答：5月的价格是3月价格的96%。
>
> 故答案为：96。
>
> 【点评】解答本题的关键是区别两个20%的单位"1"的不同，然后根据百分数乘法的意义解答即可。
7．【分析】本题可先根据男女生的比求出全班共有多少人，男女生比例为6：5，如果男生有6人的话，女生有5人，班里共5+6＝11人，所以班里人的总数一定是11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人，然后，再根据男女生比求出男生有多少人，从而求解．
> 【解答】解：男女生比例为6：5，所以班内人数总数一定为5+6＝11的倍数，而40到50之间11的倍数只有44，所以班里有44人．
>
> 女生有：4420（人）；
>
> 男生有：44﹣20＝24（人）．
>
> 答：这个班男生有24人，女生有20人．
>
> 故答案为：24，20．
>
> 【点评】本题的关键是根据男女生的比例及人数范围确定好全班人数是多少．
8．【分析】1^3^+2^3^＝（1+2）^2^＝3^2^，
> 1^3^+2^3^+3^3^＝（1+2+3）^2^＝6^2^，
>
> 1^3^+2^3^+3^3^+4^3^＝（1+2+3+4）^2^＝10^2^，
>
> 所以1^3^+2^3^+3^3^+4^3^＝（1+2+3+4+5）^2^＝15^2^，1^3^+2^3^+3^3^+4^3^+5^3^+6^3^＝（1+2+3+4+5+6）^2^＝21^2^。
>
> 【解答】解：由上面算式规律知：第5个等式是：1^3^+2^3^+3^3^+4^3^＝（1+2+3+4+5）^2^＝15^2^；
>
> 第6个等式是：1^3^+2^3^+3^3^+4^3^+5^3^+6^3^＝（1+2+3+4+5+6）^2^＝21^2^。
>
> 故答案为：1^3^+2^3^+3^3^+4^3^+5^3^+6^3^＝21^2^。
>
> 【点评】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧；根据题中所给的材料获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能。
9．【分析】求两人所用时间的比，用小明的工作时间比小兰的工作时间，化简即可；
> 求速度比，把工作总量看作单位"1"，根据题意，小明的速度为，小兰的速度为，二者相比即可。
>
> 【解答】解：15：12＝5：4
>
> ：4：5
>
> 答：打一篇文章，小明单独完成需要15分钟，小兰单独完成需要12分钟，他们的所用时间比是5：4，打字速度比是4：5。
>
> 故答案为：5：4，4：5。
>
> 【点评】本题考查了比的意义．解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
10．【分析】由"圆的周长＝2×圆周率×半径"可得"半径＝圆的周长÷（2×圆周率）"，把数据代入计算可以求出花坛的半径，进而利用圆的面积＝圆周率×半径×半径即可求出花坛的面积。
> 【解答】解：花坛的半径：31.4÷（2×3.14）
>
> ＝31.4÷6.28
>
> ＝5（米）
>
> 花坛的面积：3.14×5^2^
>
> ＝3.14×25
>
> ＝78.5（平方米）
>
> 答：这个花坛的占地面积是78.5平方米。
>
> 故答案为：78.5。
>
> 【点评】此题主要考查知道圆的周长求圆的面积的计算方法，关键是先求出花坛的半径。
**二、判断题。（对的打"√"错的打"&\#215;"。）（5分）**
11．【分析】依据轴对称图形的定义即可作答．
> 【解答】解：因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴．
>
> 答：圆有无数条对称轴是正确的．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置．
12．【分析】圆的周长是长度单位厘米，圆的面积是面积单位平方厘米，两者之间不能互换，因此无法比较大小．
> 【解答】解：圆的周长是长度单位厘米，圆的面积是面积单位平方厘米，两者之间不能互换，因此无法比较大小．
>
> 答：半径是2厘米的圆，它的周长和面积不能进行大小的比较．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查的是不能互换的两单位之间也不能进行大小的比较．
13．【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这是比的基本性质，比的后项5增加10，相当于扩大了3倍，要使比值不变，前项4也要扩大3倍，然后减去原来的，就是增加的．
> 【解答】解：后项扩大的倍数：（5+10）÷5＝3，
>
> 前项应增加的数：4×3﹣4＝8，
>
> 所以前项应该增加8．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题运用比的基本性质解决，增加了多少，看看是增加了几倍，然后灵活利用比的基本性质求解．
14．【分析】分数的分子比分母小的分数叫做真分数．真分数都小于1；根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个数的倒数的方法，就是把这个数的分子和分母调换位置，由此解答．
> 【解答】解：真分数都小于1，它的倒数一定大于这个分数．这种说法是正确的；
>
> 例如：的倒数是2，2大于；再如：的倒数是，大于；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】做此题的关键要知道：一个真分数的倒数是假分数，真分数都小于1，假分数都大于或等于1．
15．【分析】男生人数比女生人数多，是以女生人数为单位"1"，女生人数比男生人数少，是以男生人数为单位"1"，单位"1"不同，所以多的和少的分数是不可能一样的．
> 【解答】解：根据题意可知，男生人数比女生人数多，是以女生人数为单位"1"，女生人数比男生人数少，是以男生人数为单位"1"，
>
> 单位"1"不同，所以多的和少的分数是不可能一样的，所以上面的说法是错误的．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查了单位"1"确定的实际应用．
**三、选择题。（每题2分，共10分）**
16．【分析】通过算式发现此题属于分数乘法应用题，算式150×（1+20%），是用乘法求梨的千克数，所以单位"1"是苹果的千克数（已知），梨的分率是1+20%，所以应填梨比苹果多20%。
> 【解答】解：由算式150×（1+20%），可知横线上应填梨比苹果多20%。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】关键是找准单位"1"的量，如果用乘法解答，说明单位"1"的量是已知的，如果用除法解答，说明单位"1"的量是未知的；用"1+分率"，说明比单位"1"的量多几分之几，用"1﹣分率"，说明比单位"1"的量少几分之几。
17．【分析】先把*B*看成单位"1"，那么*A*就是（1+25%），用*B*除以*A*即可求解。
> 【解答】解：1÷（1+25%），
>
> ＝1÷125%，
>
> ＝80%；
>
> 1﹣80%＝20%
>
> 答：*B*就比*A*少20%。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决本题关键是分清楚单位"1"的不同，用其中的一个数表示出另一个数，再进行求解。
18．【分析】根据位置的相对性可知，它们的方向相反，角度相等，距离相等，据此解答。
> 【解答】解：由分析可知：学校在李华家西偏北30°方向300米处，那么李华家在学校的东偏南30°方向300米处。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题考查了方向与位置的相对关系，注意：东对西，南对北，角度不变，距离不变。
19．【分析】把一个圆形平均分成128份，剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程圆的面积不变，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆的周长的一半，所以这个转化过程中圆的面积不变，周长增加了两个半径的长度；依此解答即可。
> 【解答】解：把一个圆形平均分成128份，剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程圆的面积不变，周长发生变化，周长增加了两个半径的长度，所以本题选项*C*正确。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是明白：将圆拼成一个近似的长方形后，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆周长的一半。
20．【分析】根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，可以求出圆的面积，两次求出的面积差就是要求的答案。
> 【解答】解：π×3^2^﹣π×2^2^
>
> ＝π×（9﹣4）
>
> ＝5π（*cm*^2^）
>
> 答：这个圆的面积增加了5π*cm*^2^。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解答此题的关键是牢记圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，尤其是半径的平方，计算时要注意*r*^2^是两个半径相乘。
**四、计算题。（共29分）**
21．【分析】根据分数、百分数乘除法及减法的运算法则计算即可。
> 【解答】解：
249 114＝24
--------------- -------- --------- ------
1﹣0.28＝0.72 5%＝12 2.41
> 【点评】本题主要考查分数、百分数的乘除法及加法的运算，关键利用分数、百分数乘除法运算的运算法则计算。
22．【分析】（1）先把除法变乘法，再按乘法交换律计算。
> （2）根据乘法分配律进行简算。
>
> （3）根据乘法分配律进行简算。
>
> （4）先计算除法，再计算减法，最后计算加法。
>
> 【解答】解：（1）
>
> （2）（）×12
>
> ＝9+10
>
> ＝19
>
> （3）99
>
> ＝（98+1）
>
> ＝981
>
> ＝97
>
> ＝97
>
> （4）2
>
> ＝2
>
> ＝2
>
> ＝1
>
> 【点评】本题主要考查了分数的巧算，合理运用运算定律是本题解题的关键。
23．【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时减去0.75，然后两边同时乘2即可。
> （2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘12即可。
>
> （3）首先根据等式的性质，两边同时加上1.8*x*，然后两边同时减去10.8，最后两边同时除以1.8即可。
>
> 【解答】解：（1）0.75*x*＝1
>
> 0.75*x*﹣0.75＝1﹣0.75
>
> *x*＝0.25
>
> *x*×2＝0.25×2
>
> *x*＝0.5
>
> （2）*xx*
>
> *x*
>
> *x*×1212
>
> *x*＝6
>
> （3）6×3﹣180%*x*＝10.8
>
> 18﹣1.8*x*＝10.8
>
> 18﹣1.8*x*+1.8*x*＝10.8+1.8*x*
>
> 10.8+1.8*x*＝18
>
> 10.8+1.8*x*﹣10.8＝18﹣10.8
>
> 1.8*x*＝7.2
>
> 1.8*x*÷1.8＝7.2÷1.8
>
> *x*＝4
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
**五、图形题。（每题3分，共6分）**
24．【分析】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，确定方向，利用图上距离与比例尺，计算实际距离，结合图示角度完成做题即可。
> 【解答】解：3×300＝900（米）
>
> 2×300＝600（米）
>
> 答：李颖从家去学校先向东偏南30°方向行900米到图书馆，再向北偏东25°方向行600米到学校。
>
> 【点评】本题主要考查根据方向的距离确定物体的位置，关键利用图上确定方向的方法解题。
25．【分析】（1）用半圆的面积减去等腰直角三角形的面积即可．
> （2）用梯形的面积减去半径为4*cm*的圆的面积的四分之一即可．
>
> （3）用梯形的面积减去直径为6尺码的半圆的面积即可．
>
> 【解答】解：（1）10÷2＝5（*cm*），
>
> 3.14×5^2^÷2﹣5×5÷2，
>
> ＝39.25﹣12.5，
>
> ＝26.75（*c*㎡）．
>
> （2）（4+8）×4÷2﹣3.14×4^2^÷4，
>
> ＝24﹣12.56，
>
> ＝11.44（*c*㎡）．
>
> （3）6÷2＝3（*cm*），
>
> （6+10）×3÷2﹣3.14×3^2^÷2，
>
> ＝24﹣14.13，
>
> ＝9.87（*c*㎡）．
>
> 【点评】此题主要考查求组合图形的面积，解答关键是明确面积的意义，认真分析图形是由几部分组成，然后再根据相应的公式进行解答．
**六、解决问题。（共30分）**
26．【分析】根据出勤率的意义，出勤率100%，据此解答即可。
> 【解答】解：100%
>
> 100%
>
> ＝0.96×100%
>
> ＝96%
>
> 答：这天的出勤率是96%。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解出勤率的意义，掌握求出勤率的计算方法及应用。
27．【分析】的单位"1"是篮球的价钱，即120元，根据一个数乘以分数的意义，即可求出排球的价钱；的单位"1"是排球的价钱，根据一个数乘以分数的意义，即可求出足球的单价．
> 【解答】解：120
>
> ＝96
>
> ＝84（元）；
>
> 答：一个足球84元．
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数连乘应用题，只要找清单位"1"，从问题除法，找可求问题的直接条件，利用基本数量关系解决问题．
28．【分析】把平时吉林到西安的飞机票的票价看作单位"1"，春运期间吉林到西安的飞机票的票价相当于平时票价的（1+45%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。
> 【解答】解：1160÷（1+45%）
>
> ＝1160÷1.45
>
> ＝800（元）
>
> 答：平时吉林到西安的飞机票是800元。
>
> 【点评】此题属于基本的百分数除法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
29．【分析】先求出三角形周长的总份数：3+4+5＝12（份），再求得各边长占三角形周长的几分之几，根据按比例分配的意义，运用乘法即可求出各边的长度．
> 【解答】解：3+4+5＝12（份）
>
> 8421（厘米）
>
> 8428（厘米）
>
> 8435（厘米）
>
> 答：三条边分别是21厘米、28厘米、35厘米．
>
> 【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．
30．【分析】根据题意，把整条路的长度看作单位"1"，甲队每天修道路总长的1÷12，乙队每天修总长度的1÷18，用总长度除以两队工作效率的和，就是所需天数。
> 【解答】解：1÷（1÷12+1÷18）
>
> ＝1÷（）
>
> ＝1
>
> ＝7.2（天）
>
> 答：7.2天能修完。
>
> 【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作效率和工作时间的关系做题。
31．【分析】（1）把小明上个月的零花钱（80元）看作单位"1"，购买图书支出占零花钱的35%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答。
> （2）首先根据减法的意义，用减法求出小明上个月购买零食的钱占零花钱的百分之几，根据一个数乘百分数的意义，用乘法分别求出小明上个月购买零食、购买学习用品各用了多少元，然后根据求一个数比另一个数少几，用减法解答。
>
> 【解答】解：（1）80×35%
>
> ＝80×0.35
>
> ＝28（元）
>
> 答：个月他购买图书花了28元。
>
> （2）1﹣30%﹣35%﹣25%＝10%
>
> 80×30%﹣80×10%
>
> ＝24﹣8
>
> ＝16（元）
>
> 答：上个月小明购买零食的钱占零用钱的10%，它比购买学习用品的钱，16元。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
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**2020-2021学年河北省张家口市阳原县五年级（上）期末数学试卷**
**一、细心审题，正确计算。**
1．（4分）直接写出得数。
------------- ------------- ------------ -------------
0.12×6＝ 0.35÷7＝ 24.8÷8＝ 3.5+0.5×2＝
0.58+0.42＝ 3.5﹣0.27＝ 1.6÷0.16＝ 4.9×2.5×4＝
------------- ------------- ------------ -------------
2．（7分）竖式计算。
------------ ------------------------- ------------------
0.38×2.5＝ 7.4÷23≈（保留一位小数） 0.8÷0.32＝验算：
------------ ------------------------- ------------------
3．（12分）计算下面各题，能简算的要简算。
--------- --------------------- ----------------------- ----------------------
2.7×9.9 18.5﹣7.6×1.4﹣5.36 （21.6÷0.8﹣4.5）÷7.5 4.2×3.8+4.2×7.2﹣4.2
--------- --------------------- ----------------------- ----------------------
4．（4分）解方程。
> 1.5*x*+0.5×6＝4.8
>
> 26*x*﹣*x*＝240
**二、用心思考，准确填空。**
5．（3分）计算0.56×0.4时，先算56×4＝[ ]{.underline}，再从积的右边往左数[ ]{.underline}位，点上小数点，结果是[ ]{.underline}。
6．（3分）五（1）班同学进行体操表演，周强在第4列、第5行的位置，用数对表示是（4，5）。李斌在（3，6）的位置，那么他在第[ ]{.underline}列、第[ ]{.underline}行，周强在李斌的[ ]{.underline}（填"前"或"后"）一行。
7．（4分）根据214×15＝3210，在横线里填上合适的数。
-------------------------------- --------------------------------
21.4×0.15＝[ ]{.underline} 321÷15＝[ ]{.underline}
1.5×[ ]{.underline}＝32.1 32.1÷2.14＝[ ]{.underline}
-------------------------------- --------------------------------
8．（3分）李阿姨要做200个布娃娃，每天做*a*个，3天做[ ]{.underline}个，还剩下[ ]{.underline}个没做。当*a*＝35时，还剩下[ ]{.underline}个没做。
9．（1分）一个三角形的底是6厘米，高是4.5厘米，这个三角形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
10．（2分）有一条80米的小路，计划在小路一旁栽树，每隔4米栽一棵。如果一端栽，端不栽，一共要栽[ ]{.underline}棵；如果两端都不栽，一共要栽[ ]{.underline}棵。
11．（2分）11.8÷22的商的小数部分的位数是[ ]{.underline}的，保留两位小数约是[ ]{.underline}。
12．（2分）盒子里装了10个红球.5个绿球和3个黄球。从中任意摸出一一个球，有[ ]{.underline}种可能的结果，摸出[ ]{.underline}球的可能性最大。
13．（2分）用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形面积是30平方厘米。如果梯形的上、下底之和是15厘米，那么高是[ ]{.underline}厘米。
14．（3分）如图，摆1个三角形需要[ ]{.underline}根小棒，摆2个三角形需要[ ]{.underline}根小棒，摆*x*个三角形需要[ ]{.underline}根小棒。
> 
15．（2分）先观察算式的规律，再填空。
> 370.37×3＝1111.11
>
> 370.37×6﹣2222.22
>
> 370.37×9＝3333.33
>
> 370.37×12＝[ ]{.underline}
>
> 370.37×15＝[ ]{.underline}
**三、认真对照，判断正误。**
16．（1分）海南岛6月份可能会下雪。[ ]{.underline}（判断对错）
17．（1分）把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形的面积小于长方形的面积．[ ]{.underline}．（判断对错）
18．（1分）一个小数不是有限小数就是循环小数．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（1分）建设大楼上的大钟3时敲3下，4秒钟敲完。6时敲6下，敲完需要10秒钟。[ ]{.underline}（判断对错）
20．（1分）2.7+3*c*＞9是方程。[ ]{.underline}（判断对错）
21．（1分）周磊坐在教室的第2列、第3行用数对（2，3）表示，李军坐在第3列、第3行，用数对（3，3）表示，并且他们的座位相邻。[ ]{.underline}（判断对错）
22．（1分）一个比1小的因数乘0.1，所得的积比任意一个因数都大。[ ]{.underline}（判断对错）
23．（1分）如图中的三角形面积用含有字母的式子表示是*ah*÷2或*bc*÷2。[ ]{.underline}（判断对错）
> 
24．（1分）李明买了*a*本笔记本，张鑫买了*b*本同样的笔记本（*b*＞*a*），已知每本笔记本8.5元，那么张鑫买笔记本比李明多花了8.5（*b*﹣*a*）元。[ ]{.underline}（判断对错）
25．（1分）17.5÷2.5×4＝17.5÷（2.5×4）＝1.75。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、反复比较，慎重选择。**
26．（1分）*x*与它的1.2倍的和用含有*x*的式子表示是（ ）
A．*x*+1.2*x* B．*x*+1.2 C．1.2*x*
27．（1分）周磊家在一栋高楼里，他每天走楼梯回家，每上一层楼要走16级台阶。如果周磊从一楼往上走80级台阶才能到家，他家在（ ）楼。
A．4 B．5 C．6
28．（1分）如图，在组平行线间，平行四边形和三角形的底分别是4厘米和8厘米。它们的面积相比较，结果是（ ）
> 
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大
C．一样大
29．（1分）盒子里原来有7个黑球，1个白球，从中任意摸出一个球，要使从盒子里摸出黑球和白球的可能性一样，应至少往盒子里增加（ ）个白球。
A．5 B．6 C．7
30．（1分）刘亚今年*x*岁，妹妹比刘亚小4岁，再过*b*年，妹妹（ ）岁。
A．*x*+*b* B．*x*﹣4+*b* C．4+*b*
31．（1分）两个因数的积是38.4，如果这两个因数分别乘10，所得的积是（ ）
A．3840 B．384 C．38400
32．（1分）下面算式中，与4.42÷2.6的商相等的是（ ）
A．0.442÷26 B．44.2÷26 C．442÷26
33．（1分）下面三个数中最大的是（ ）
A．8.0 B．8. C．8.20
34．（1分）将点*U*（1，4）先向右平移2格，再向下平移3格，平移后的位置用（ ）表示。
> 
A．（3，2） B．（1，3） C．（3，1）
35．（1分）如图是一个平行四边形，已知两条边分别是6厘米和10厘米其中一条底上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米．
> 
A．48 B．80 C．60
**五、手脑并用，操作探究。**
36．（6分）（1）如图，等腰梯形*ABCD*的三个顶点*A*、*B*、*C*的位置用数对表示分别是（4，6）、（1，3）、（10，3），那么*D*点的位置用数对表示是[ ]{.underline}。
> （2）画出这个等腰梯形。
>
> （3）图中每个小方格的边长是1厘米，这个等腰梯形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
>
> 
**六、联系生活，解决问题。**
37．（3分）罗旭和爸爸妈妈起去海洋公园游玩，成人票每张65.5元，儿童票每张32.5元，他们买门票一共需要多少元？
38．（3分）售货员用一根长35*m*的红丝带包装礼盒，每个礼盒用1.8*m*。这根红丝带最多能包装多少个礼盒？
39．（4分）居委会要给面靠墙的花坛围上铁栅栏，如图，需要多少米的铁栅栏？
> 
40．（4分）黄阿姨买牛奶和酸奶各6盒，共用了39.6元，已知每盒酸奶3.6元，每盒牛奶多少元？（用方程解）
41．如图是张伯伯家菜园的平面图。
> （1）菜园的总面积是多少平方米？
>
> （2）如果每平方米菜园施肥0.4千克，张伯伯需要准备多少千克肥？
>
> 
**2020-2021学年河北省张家口市阳原县五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、细心审题，正确计算。**
1．【分析】根据小数加减乘除法的计算方法进行解答，4.9×2.5×4运用乘法的结合律进行简算。
> 【解答】解：
-------------- ----------------- -------------- ----------------
0.12×6＝0.72 0.35÷7＝0.05 24.8÷8＝3.1 3.5+0.5×2＝4.5
0.58+0.42＝1 3.5﹣0.27＝3.23 1.6÷0.16＝10 4.9×2.5×4＝49
-------------- ----------------- -------------- ----------------
> 【点评】此题考查了小数加减乘除法的口算能力，注意灵活运用运算定律进行简算。
2．【分析】根据小数乘除法的竖式计算方法进行解答即可。
> 【解答】解：（1）0.38×2.5＝0.95
>
> 
>
> （2）7.4÷23≈0.3
>
> 
>
> （3）0.8÷0.32＝2.5
>
> 
>
> 【点评】此题考查了小数乘除法的计算方法及计算能力，注意小数除法的验算方法。
3．【分析】（1）按照乘法分配律计算；
> （2）先算乘法，再按照减法的性质计算；
>
> （3）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法；
>
> （4）按照乘法分配律计算。
>
> 【解答】解：（1）2.7×9.9
>
> ＝2.7×（10﹣0.1）
>
> ＝2.7×10﹣2.7×0.1
>
> ＝27﹣0.27
>
> ＝26.73
>
> （2）18.5﹣7.6×1.4﹣5.36
>
> ＝18.5﹣10.64﹣5.36
>
> ＝18.5﹣（10.64+5.36）
>
> ＝18.5﹣16
>
> ＝2.5
>
> （3）（21.6÷0.8﹣4.5）÷7.5
>
> ＝（27﹣4.5）÷7.5
>
> ＝22.5÷7.5
>
> ＝3
>
> （4）4.2×3.8+4.2×7.2﹣4.2
>
> ＝4.2×（3.8+7.2﹣1）
>
> ＝4.2×10
>
> ＝42
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
4．【分析】（1）首先根据等式的性质，两边同时减去3，然后两边再同时除以1.5即可。
> （2）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以25即可。
>
> 【解答】解：（1）1.5*x*+0.5×6＝4.8
>
> 1.5*x*+3＝4.8
>
> 1.5*x*+3﹣3＝4.8﹣3
>
> 1.5*x*＝1.8
>
> 1.5*x*÷1.5＝1.8÷1.5
>
> *x*＝1.2
>
> （2）26*x*﹣*x*＝240
>
> 25*x*＝240
>
> 25*x*÷25＝240÷25
>
> *x*＝9.6
>
> 【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
**二、用心思考，准确填空。**
5．【分析】计算0.56×0.4时，先算56×4的积，再从积的右边往左数三位，点上小数点，据此解答。
> 【解答】解：算0.56×0.4时，先算56×4＝224，再从积的右边往左数三位，点上小数点，结果是0.224。
>
> 故答案为：224，三，0.224。
>
> 【点评】本题考查了小数乘法的计算方法的运用。
6．【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行；周强在第5行，李斌在第6行，所以周强在李斌的前一行，由此解答即可。
> 【解答】解：李斌在（3，6）的位置，即李斌在第3列、第6行；周强在第4列、第5行的位置，即周强在李斌的前一行。
>
> 故答案为：3，6，前。
>
> 【点评】考查数对的表示及位置的应用。
7．【分析】（1）（3）根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数，据此解答即可得到答案。
> （2）（4）再根据商不变的性质进行解答。
>
> 【解答】解：
----------------- ---------------
21.4×0.15＝3.21 321÷15＝21.4
1.5×21.4＝32.1 32.1÷2.14＝15
----------------- ---------------
> 故答案为：3.21，21.4，21.4，15。
>
> 【点评】此题主要考查的是积的变化规律和商不变的性质的灵活应用。
8．【分析】首先用李阿姨每天做布娃娃的数量乘3，求出李阿姨3天做多少个；然后用李阿姨要做布娃娃的数量减去3天做的数量，求出还剩下多少个没做；最后应用代入法，求出当*a*＝35时，还剩下多少个没做即可。
> 【解答】解：李阿姨要做200个布娃娃，每天做*a*个，3天做3*a*个，还剩下（200﹣3*a*）个没做。
>
> 当*a*＝35时，还剩下：
>
> 200﹣3×35
>
> ＝200﹣105
>
> ＝95（个）
>
> 答：每天做*a*个，3天做3*a*个，还剩下（200﹣3*a*）个没做。当*a*＝35时，还剩下95个没做。
>
> 故答案为：3*a*，（200﹣3*a*），95。
>
> 【点评】此题主要考查了用字母表示数的方法，以及含字母式子的求值方法，要熟练掌握，注意代入法的应用。
9．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，代入数据列式计算即可求解。
> 【解答】解：6×4.5÷2＝13.5（平方厘米）
>
> 答：这个三角形面积是13.5平方厘米。
>
> 故答案为：13.5。
>
> 【点评】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟练掌握面积计算公式。
10．【分析】根据植树问题公式：如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数；如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1；先求间隔数，即共有80÷4＝20个；再求植树棵数即可。
> 【解答】解：80÷4＝20（个）
>
> 20﹣1＝19（棵）
>
> 答：如果一端栽，端不栽，一共要栽20棵；如果两端都不栽，一共要栽19棵。
>
> 故答案为：20，19。
>
> 【点评】本题考查了植树问题，知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。
11．【分析】11.8÷22＝0.5363636......，根据循环小数的意义：一个无限小数的小数部分有一个或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数；可知：0.53636...是无限循环小数；保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用"四舍五入法"求出近似数即可。
> 【解答】解：11.8÷22＝0.5363636......
>
> 11.8÷22≈0.54
>
> 答：11.8÷22的商的小数部分的位数是无限的，保留两位小数约是0.54。
>
> 故答案为：无限，0.54。
>
> 【点评】本题考查了小数除法的计算方法，以及循环小数的定义和四舍五入法求近似值的方法。
12．【分析】盒子里装了10个红球.5个绿球和3个黄球，从中任意摸出一个球，可能摸出红球，也可能摸出绿球，还可能摸出黄球，即任意摸出一个有3种可能；10个红球.5个绿球和3个黄球，10＞5＞3，红球的个数最多，所以摸到红球的可能性最大；据此解答即可。
> 【解答】解：因为盒子里装了10个红球.5个绿球和3个黄球，所以摸出的可能是红球，也可能是绿球，还可能是黄球，即有3种可能，
>
> 10＞5＞3，红球的个数最多，任意摸一个，所以摸到红球的可能性最大；
>
> 故答案为：3，红。
>
> 【点评】解决此题关键是如果不需要准确地计算可能性的大小时，可以根据各种球个数的多少，直接判断可能性的大小。
13．【分析】用两个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的上下底之和，用平行四边形的面积除以平行四边形的底就是平行四边形的高，即梯形的高；据此解答即可。
> 【解答】解：30÷15＝2（厘米）
>
> 答：高是2厘米。
>
> 故答案为：2。
>
> 【点评】本题是考查了梯形面积公式的推导过程的运用，关键是理解梯形和平行四边形的关系。
14．【分析】搭一个三角形需3根小棒，搭2个三角形中间少用1根，需要5根小棒，搭3个三角形中间少用2根，需要7根小棒，搭4个三角形中间少用3根，需要9根小棒棒...搭*n*个三角形中间少用（*n*﹣1）根，需要\[3*n*﹣（*n*﹣1）\]＝（2*n*+1）根小棒。
> 【解答】解：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆*x*个三角形需要（2*x*+1）根小棒。
>
> 故答案为：3，5，（2*x*+1）。
>
> 【点评】注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径．也可以只分析数字3，5，7，9，11...，得出结论。
15．【分析】一个因数不变，另一个因数扩大多少倍（0除外），积也会扩大相同的倍数，据此解答即可。
> 【解答】解：12÷3＝4
>
> 所以370.37×12
>
> ＝1111.11×4
>
> ＝4444.44
>
> 同理：370.37×15
>
> ＝1111.11×5
>
> ＝5555.55
>
> 故答案为：4444.44，5555.55。
>
> 【点评】解答此题关键是找准算式中的规律，然后再按照积的变化规律进行计算即可。
**三、认真对照，判断正误。**
16．【分析】海南岛位于热带地区，下雪的可能性非常小，6月份下雪可能性就更小了。但少并不代表不可能。据此答题即可。
> 【解答】解：经分析得：
>
> 海南岛6月份下雪的可能性非常小，但小并不代表不可能。
>
> 故海南岛6月份可能会下雪。
>
> 故题干说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查事件的确定性和不确定性。明确"一定""可能"或"不可能"的含义，很容易解决这类问题。
17．【分析】要比较平行四边形和长方形的面大小，则要先看看它们的高和底有没有变化，由题意可知：长方形被拉成平行四边形后，如果长方形长和平行四边形的底大小没变，平行四边形的高就比长方形的宽小，根据面积公式就即可判断．
> 【解答】解：长方形的面积＝长×宽，
>
> 平行四边形的面积＝底×高，
>
> 本题中长方形的长＝平行四边形底，长方形的宽＞平行四边形的高，
>
> 则平行四边形的面积＜长方形的面积；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】此题主要考查长方形的面积公式及平行四边形面积公式，再依据等底不等高进行比较，则能得到结论．
18．【分析】小数可以分成有限小数和无限小数，无限小数是位数无限的小数，它包括循环小数，和无限不循环小数，例如π就是一个无限不循环的小数．
> 【解答】解：一个小数除了有限小数，就是无限小数，但是无限小数有循环小数和无限不循环小数；
>
> 例如π就是一个无限不循环的小数．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题属于辨识无限小数和循环小数，无限小数不一定是循环小数．
19．【分析】一面大钟3时敲3下，需要4秒完成；要经历3﹣1＝2个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：4÷2＝2秒；由此即可求得敲6下，即6﹣1＝5个间隔需要的时间。
> 【解答】解：4÷（3﹣1）
>
> ＝4÷2
>
> ＝2（秒）
>
> （6﹣1）×2
>
> ＝5×2
>
> ＝10（秒）
>
> 即敲6下需要10秒，所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】抓住间隔数＝敲的次数﹣1求出敲响一次需要的时间；这是解决本题的关键。
20．【分析】方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；由此判断即可。
> 【解答】解：2.7+3*c*＞9，虽然含有未知数，但它是不等式，不是方程，所以本题说法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
21．【分析】周磊坐在教室的第2列第3行，李军坐在第3列、第3行，则说明李军与周磊在同一行，且李军在第3列，周磊在第2列，由此利用数对表示位置的方法即可解答。
> 【解答】解：周磊坐在教室的第2列第3行，李军坐在第3列、第3行，则说明李军与周磊在同一行，且李军和周磊在相邻列，故他们的座位相邻。
>
> 所以原说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题考查了数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答。
22．【分析】举出一个反例进行证明即可判断。
> 【解答】解：0×0.1＝0，积0＝0、0＜0.1
>
> 所以在一个比1小的因数乘0.1，所得的积比任意一个因数都大的说法是错误的。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题主要考查因数与积的关系，当一个因数小于或等于1时，积就小于或等于另个因数。
23．【分析】根据图形可知，线段*b*和线段*c*是这个三角形的直角边，线段*a*是三角形的斜边，线段*h*是三角形的高。根据直角三角形的面积＝一条直角边×另一条直角边÷2＝底×高÷2
> 【解答】解：因为直角三角形的面积＝一条直角边×另一条直角边÷2＝底×高÷2
>
> 所以*ah*÷2＝*bc*÷2是正确的。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】直角三角形的面积等于两条直角边相乘再除以2，或者是底面积乘以高。
24．【分析】根据单价×数量＝总价，用笔记本的单价乘两个人各自买的本数求出两个人各自的总价，再用张鑫买笔记本的总价减去李明买笔记本的总价就是张鑫买笔记本多花了的钱数。
> 【解答】解：8.5*b*﹣8.5*a*＝8.5（*b*﹣*a*）（元）
>
> 答：张鑫买笔记本比李明多花了8.5（*b*﹣*a*）元。所以原题说法正确。
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】本题考查了用单价、数量与总价的关系表示数。
25．【分析】按照从左到右的顺序计算出算式的结果，然后再和1.75比较即可判断。
> 【解答】解：17.5÷2.5×4
>
> ＝7×4
>
> ＝28
>
> 28≠1.75，所以原题计算错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
**四、反复比较，慎重选择。**
26．【分析】根据倍数关系，先用*x*乘1.2求出它的1.2倍是多少，然后再加上*x*即可。
> 【解答】解：*x*与它的1.2倍的和用含有*x*的式子表示是：*x*+1.2*x*
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
27．【分析】每上一层楼要走16级台阶，上楼走80个台阶，走的间隔数是：80÷16＝5个，由于上第一层楼不上楼梯，所以小燕家住在5+1＝6楼，据此解答即可。
> 【解答】解：80÷16+1
>
> ＝5+1
>
> ＝6（楼）
>
> 答：他家在6楼。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题考查了植树问题，知识点是：楼梯间隔数＝层数﹣1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。
28．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：因为平行四边形和三角形的高相等，三角形的底是平行四边形底的2倍，所以平行四边形和三角形的面积相等。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形、三角形面积公式的灵活运用，根据是熟记公式。
29．【分析】可以根据球的数量的多少来判断，数量多的摸到的可能性大，数量少的摸到的可能性小，要使摸到黑球和白球的可能性一样，只有当两个颜色的球一样多的时候才可以，求出黑球和白球的数量差，即可解答。
> 【解答】解：7﹣1＝6（个）
>
> 答：应至少往盒子里增加6个白球。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解决此题的关键是如果不需要准确的计算可能性的大小时，可以根据各种球的数量的多少来直接判断，当各种颜色的球的数量一样多，可能性的大小才一样。
30．【分析】刘亚今年*x*岁，妹妹比刘亚小4岁，那么妹妹今年（*x*﹣4）岁，再过*b*年，妹妹增加了*b*岁，即（*x*﹣4+*b*）岁。
> 【解答】解：再过*b*年，妹妹的年龄是：（*x*﹣4+*b*）岁。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
31．【分析】积的变化规律：如果两个因数扩大几倍（0除外），积扩大的倍数就等于两个因数扩大倍数的乘积；据此解答即可。
> 【解答】解：两个因数的积是38.4，如果这两个因数分别乘10，所得的积是：38.4×10×10＝3840
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】此题考查了积的变化规律的灵活应用。
32．【分析】商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。
> 【解答】解：4.42÷2.6＝（4.42÷10）÷（2.6÷10）＝0.442÷0.26≠0.442÷26
>
> 4.42÷2.6＝（4.42×10）÷（2.6×10）＝44.2÷26
>
> 4.42÷2.6＝（4.42×100）÷（2.6×100）＝442÷260≠442÷26
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查了商不变性质的灵活应用。
33．【分析】比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大，......，以此类推。
> 【解答】解：8.0＝8.0222......
>
> 8.＝8.0202......
>
> 8.20＞8.0222......＞8.0202......
>
> 所以：8.20＞8.0＞8.，最大的是8.20。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决本题关键是熟练掌握小数比较大小的方法以及循环小数中循环节的意义。
34．【分析】将用数对表示的点向右（左）平移几格，行数不变，列数加（减）几；向上（下）平移几格，列数不变，行数加（减）几。由此解答即可。
> 【解答】解：点*U*（1，4）在第1列第4行，将点*U*（1，4）向右平移2格后的位置是（3，4），再向下平移3格后的位置是（3，1），最后的位置是（3，1）。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题是考查图形的平移、用数对表示物体的位置。数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行。
35．【分析】先依据直角三角形的斜边大于直角边，确定出这条高所对应的底边，再利用平行四边形的面积＝底×高，即可求出这个平行四边形的面积．
> 【解答】解：由题意可知，8厘米所对应的底边是6厘米，
>
> 所以平行四边形的面积：6×8＝48（平方厘米）；
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】解答此题的关键是先确定出8厘米的高所对应的底边，从而可以求出平行四边形的面积．
**五、手脑并用，操作探究。**
36．【分析】（1）点*A*、*B*、*C*的位置用数对表示分别是（4，6）、（1，3）、（10，3），可知*A*点在第4列第6行，点*B*在第1列第3行，点*C*在第10列第3行，*ABCD*为等腰梯形，可得*AB*＝*DC*，由此得*D*点在第7列第6行，写出数对即可；
> （2）根据*A*、*B*、*C*、*D*的位置用数对表示分别是（4，6）、（1，3）、（10，3）、（7，6），描出该点，依次连接即可；
>
> （3）由（2）所画图形可得，梯形上底*AD*＝3厘米，下底*BC*＝9厘米，高＝3厘米，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，代入解答即可。
>
> 【解答】解：（1）*ABCD*为等腰梯形，可得*AB*＝*DC*，由此可得*D*点在第7列第6行，用数对（7，6）表示；
>
> （2）如图：
>
> ；
>
> （3）每个小方格的边长是1厘米，由图可得：梯形上底*AD*＝3厘米，下底*BC*＝9厘米，高＝3厘米，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，代入得：
>
> ＝（3+9）×3÷2
>
> ＝12×3÷2
>
> ＝36÷2
>
> ＝18（平方厘米）
>
> 故答案为：
>
> （1）（7，6），
>
> （2）如图：
>
> 
>
> （3）18。
>
> 【点评】此题考查数对与位置的写法及其应用。
**六、联系生活，解决问题。**
37．【分析】首先根据总价＝单价×数量，用每张成人票的价格乘2，求出2张成人票需要多少钱；然后用它加上1张儿童票的价格，求出买门票一共需要多少元即可。
> 【解答】解：65.5×2+32.5
>
> ＝131+32.5
>
> ＝163.5（元）
>
> 答：他们买门票一共需要163.5元。
>
> 【点评】此题主要考查了乘法、加法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、数量的关系。
38．【分析】求这根红丝带最多能包装多少个礼盒，就相当于求35里面有几个1.8，用除法计算。注意用"去尾法"取值。
> 【解答】解：35÷1.8≈19（个）
>
> 答：这根红丝带最多能包装19个礼盒。
>
> 【点评】本题解答依据是：包含除法的意义，求一个数里面有几个几，用除法计算。
39．【分析】根据梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，那么*a*+*b*＝2*S*÷*h*，把数据代入公式求出梯形上底、下底的和，因为一面靠墙，所以需要铁栅栏的长度等于这个梯形的上底+下底+高，据此解答。
> 【解答】解：96×2÷12
>
> ＝192÷12
>
> ＝16（米）
>
> 16+12＝28（米）
>
> 答：需要28米铁栅栏。
>
> 【点评】此题主要考查梯形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
40．【分析】根据题意可得等量关系式：（每盒酸奶的单价+每盒牛奶的单价）×盒数＝总价，设每盒牛奶*x*元，然后列方程解答即可。
> 【解答】解：设每盒牛奶*x*元，
>
> （*x*+3.6）×6＝39.6
>
> *x*+3.6＝6.6
>
> *x*＝3
>
> 答：每盒牛奶3元。
>
> 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为*x*，由此列方程解决问题。
41．【分析】（1）菜园的总面积是＝三角形的面积+梯形的面积，然后根据三角形的面积公式*S*＝*ah*÷2，梯形的面积公式*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2解答即可。
> （2）用每平方米菜园施肥的面积乘菜园的面积即可。
>
> 【解答】解：（1）9×3÷2+（9+4）×4÷2
>
> ＝13.5+26
>
> ＝39.5（平方米）
>
> 答：菜园的总面积是39.5平方米。
>
> （2）39.5×0.4＝15.8（千克）
>
> 答：张伯伯需要准备15.8千克肥。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
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日期：2021/4/27 11:05:27；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《比例》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)一幅地图的比例尺是1：3400000，它表示图上l厘米长的线段代表实际距离( )千米。
(2)一幅图的比例尺是l0：1，它表示图上1厘米长的线段代表实际距离( )。
(3)一幅地图上，图上2厘米表示实际距离160米。这幅图的比例尺是( )。
(4)一幅精密零件长2.6毫米，画在图纸上长26厘米。这幅图纸的比例尺是( )。
2．择优录取。(把正确答案的序号填在括号里)
(1)把改写成数值比例尺是( )。
A．1：60 B．1：600 C．1：6000000
(2)在比例尺是1：10000的平面图上，实际距离l00米，图上距离是( )。
A．1米 B．1分米 C．l厘米
(3)一种8毫米的手表零件，画在图纸上长16厘米，这幅图纸的比例尺是( )。
A．1:2 B．1:20 C.20:1
3．量一量，算一算。
(1)量出重庆到宜昌之间的距离是多少厘米。
(2)算出重庆到宜昌的实际距离。
4．量一量，算一算，填一填。
(1)小华从家到学校的图上距离是( )厘米，如果她从家到学校要走600步，平均每步长50厘米，那么从小华家到学校的实际距离是( )米。这幅平面网的比例尺是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(2)小华从家到科技馆的实际距离是( )米。超市在小华家( )偏( )( ) °方向( )米处。
(3)新华书店在小华家南偏西45°方向500米处，请在图上标出新华书店的位置。
(4)小华每分钟走50米，一天她从学校出发，先回到家里，放下书包后，又立即到公园，一共需要走多少分钟?
5．在比例尺是l：30的平面图上，有一块长方形壁画(如下图)，先量出所需数据，再计算出这幅壁画的实际面积。
6．在比例尺为l：5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5．4厘米，如果汽车以60千米／时的速度在上午10时从甲地出发，那么到达乙地的时问是几时?
来源：www.bcjy123.com/tiku/
7．下面是实验小学所在社区的平面图。
(1)小明从学校到文化广场，如果每分钟走50米，需要多少分钟?
(2)李大爷家住在文化广场，一天他沿着这个社区的三条主干道跑了2圈，则他实际一共跑了多少米?
8．化工厂用钢板焊一个圆柱形储料罐，设计师在比例尺是1：1000的设计图上画出了储料罐的侧面展开图和两个底面。求这个储料罐的实际容积是多少立方米。
9．在比例尺是l：17000000的中国地图上，量得北京到上海的图上距离是6厘米。甲、乙两列火车同时从两地相向开出，5小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是5：7。甲、乙两车每小时各行多少千米?
**参考答案**
6．5.4÷ =27000000(厘米) =270(千米) 270÷60=4．5(小时)则到达乙地的时间为下午2时30分。
8\. l÷=1000 (cm) 1.5÷=1500(cm)=15（m）
3.14×(10÷2)^2^×15=1177．5(m^3^)
9．6÷=102000000(厘米)=1020(千米)
甲：1020÷5×=85(千米)
乙：l020÷5×=119(千米)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**数学重点、难点归纳辅导**
** **
** **
** 第一部分**
** **
> 第一章 集合与映射
§1.集合
§2.映射与函数
本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
> 第二章 数列极限
§1.实数系的连续性
§2.数列极限
§3.无穷大量
§4.收敛准则
本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章 函数极限与连续函数
§1.函数极限
§2.连续函数
§3.无穷小量与无穷大量的阶
§4.闭区间上的连续函数
本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章 微 分
§1.微分和导数
§2.导数的意义和性质
§3.导数四则运算和反函数求导法则
§4.复合函数求导法则及其应用
§5.高阶导数和高阶微分
本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章 微分中值定理及其应用
§1.微分中值定理
§2.L＇Hospital法则
§3.插值多项式和Taylor公式
§4.函数的Taylor公式及其应用
§5.应用举例
§6.函数方程的近似求解
本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章 不定积分
§1.不定积分的概念和运算法则
§2.换元积分法和分部积分法
§3.有理函数的不定积分及其应用
本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章 定积分（§1 ---§3）
§1.定积分的概念和可积条件
§2.定积分的基本性质
§3.微积分基本定理
第七章 定积分（§4 ---§6）
§4.定积分在几何中的应用
§5.微积分实际应用举例
§6.定积分的数值计算
本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿---莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。
第八章 反常积分
§1.反常积分的概念和计算
§2.反常积分的收敛判别法
本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。
第九章 数项级数
§1.数项级数的收敛性
§2.上级限与下极限
§3.正项级数
§4.任意项级数
§5.无穷乘积
本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章 函数项级数
§1.函数项级数的一致收敛性
§2.一致收敛级数的判别与性质
§3.幂级数
§4.函数的幂级数展开
§5.用多项式逼近连续函数
本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§1.Euclid空间上的基本定理
§2.多元连续函数
§3.连续函数的性质
本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章 多元函数的微分学（§1---§5）
§1.偏导数与全微分
§2. 多元复合函数的求导法则
§3.Taylor公式
§4.隐函数
§5.偏导数在几何中的应用
** **
第十二章 多元函数的微分学（§6---§7）
§6.无条件极值
§7.条件极值问题与Lagrange乘数法
本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章 重积分
§1.有界闭区域上的重积分
§2.重积分的性质与计算
§3.重积分的变量代换
§4.反常重积分
§5.微分形式
本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章 曲线积分与曲面积分
§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分
§3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式
§4.微分形式的外微分
§5.场论初步
本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green公式，Gauss公式和Stokes公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章 含参变量积分
§1.含参变量的常义积分
§2.含参变量的反常积分
§3.Euler积分
本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler积分的计算。
第十六章 Fourier级数
§1.函数的Fourier级数展开
§2. Fourier级数的收敛判别法
§3. Fourier级数的性质
§4. Fourier变换和Fourier积分
§5.快速Fourier变换
本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对Fourier变换与Fourier积分有一个初步的了解。
**试题**
**一、解答下列各题**
**1、**
**2、**
**3、**
**4、**
**5、**
**6、**
**7、**
**8、**
**9、**
**10、**
**11、**
**12、**
**13、**
**14、**
**15、**
**16、**
**二、解答下列各题**
**1、**
**2、**
**3、**
**三、解答下列各题**
**四、解答下列各题 **
** 第二部分**
** **
（1） **课程名称**：微分几何
（2） **基本内容**：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：
> **曲线论**，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
>
> **曲面的局部理论**，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
**基本要求**：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
**二***、***讲授纲要**
**第一章 三维欧氏空间的曲线论**
**§1 曲线 曲线的切向量 弧长**
> 教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。
**§2 主法向量与从法向量 曲率与扰率**
> 教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概
>
> 念，会计算曲率与挠率。
**§3 Frenet标架 Frenet公式**
教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。
**§4 曲线在一点邻近的性质**
> 教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
**§5 曲线论基本定理**
> 教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。
**§6 平面曲线的一些整体性质**
**6．1 关于闭曲线的一些概念**
**6．2 切线的旋转指标定理**
**6．3 凸曲线\***
**6．4 等周不等式\***
**6．5 四顶点定理\***
**6．6 Cauchy-Crofton公式\***
> 教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切
>
> 线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与
>
> Cauchy-Crofton公式。
**§7 空间曲线的整体性质**
**7．1 球面的Crofton公式\***
**7．2 Fenchel定理\***
**7．3 Fary-Milnor定理\***
> 教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公
式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
**第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何 **
**§1 曲面的表示 切向量 法向量**
**1．1 曲面的定义**
**1．2 切向量 切平面**
**1．3 法向量**
**1．4 曲面的参数表示**
**1．5 例**
**1．6 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面**
> 教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。
**§2 曲面的第一、第二基本形式 **
> **2．1 曲面的第一基本形式**
>
> **2．2 曲面的正交参数曲线网**
>
> **2．3 等距对应 曲面的内蕴几何**
>
> **2．4 共形对应**
>
> **2．5 曲面的第二基本形式 **
>
> 教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量------曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。
** §3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式**
** 3．1 省略和式记号的约定**
** 3．2 曲面上的活动标架 曲面的基本公式**
** 3．3 Weingarten变换W**
** 3．4 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线**
教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。
**§4 曲面上的曲率 **
** 4．1 曲面上曲线的法曲率**
> **4．2 主方向 主曲率**
>
> **4．3 Dupin标线**
>
> **4．4 曲率线**
>
> **4．5 主曲率及曲率线的计算 总曲率 平均曲率**
>
> **4．6 曲率线网**
>
> **4．7 曲面在一点的邻近处的形状**
>
> **4．8 Gauss映照及第三基本形式**
>
> **4．9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面**
>
> 教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。
**§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 **
** 5．1 曲面的基本方程**
** 5．2 曲面论的基本定理**
教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
**§6 测地曲率 测地线 **
** 6．1 测地曲率向量 测地曲率**
** 6．2 计算测地曲率的Liouville公式**
** 6．3 测地线**
** 6．4 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系**
** 6．5 应用**
** 6．6 测地扰率**
** 6．7 Gauss-Bonnet公式**
教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。
**§7 曲面上的向量的平行移动 **
**7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分**
**7．2 绝对微分的性质**
**7．3 自平行曲线**
**7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示**
**7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系**
> 教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。
>
>
>
>
**习题**：
1. 证明推论2.3.1，
2. 设*X，Y*为Banach空间，是连续抽象函数, 对有界线性算子，证明：在上－可积，并且。
3. 设到中的算子由给出，在任一元素处是否－可导？若答案肯定，求导算子。
4. 设是到中的一个映射。证明：在处沿方向的－微分等于 *grad f (x~0~) h^T^*,
这里 *grad f* =（）, 
在 和 
的情况下计算，又问：在处的－导数是什么？当时求。
5. 设由定义，求在（－1，2）处沿方向（1，－1）的－微分。
> 解：写，知，故所求－微分为。
>
> **6**. 设、是赋范线性空间，：由定义，其
，B(*X, Y* )，证明在处---可微，且求其---导算子。
解：
，由于B(*X, Y* )，且在处是---可微的，且。
**7**. 设由确定，求在（1，2，－1）处的---导数。
解：采用列向量表示，将变换成，故在处的 *F* ---导数应是变换的Jacobi矩阵，在处，此矩阵为，在列向量表示下，在（1，2，－1）处的---导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：右端即故在（1，2，－1）处的---导数就是将变换为的线性变换。
［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］
［备注2：当表示为，我们可得在处的---导数是：
，即，
故  
或 ，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。］
** 第三部分 **
** **
** **
**1. 高等代数基本定理**
设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。
**定理**（高等代数基本定理） **C**的任一元素在**C**中必有零点。
**命题 ** 设是**C**上一个次多项式，是一个复数。则存在**C**上首项系数为的次多项式，使得
**证明** 对作数学归纳法。
**推论** 为的零点，当且仅当为的因式（其中）。
**命题**（高等代数基本定理的等价命题） 设 为**C**上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使
**证明** 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。
**2．高等代数基本定理的另一种表述方式**
**定义** 设是一个数域，是一个未知量，则等式
 （1）
（其中）称为数域上的一个次**代数方程**；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个**根**。
**[定理]{.underline}**（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域上的次代数方程在复数域**C**内必有一个根。
**[命题]{.underline}** 次代数方程在复数域**C**内有且恰有个根（可以重复）。
**[命题]{.underline}**（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定**C**上两个*n*次、*m*次多项式
，
，
如果存在整整数,,及个不同的复数，使得
，
则。
**1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性**
设，其中。设的复根为（可能有重复），则
所以
；
；
我们记
**；**
**；**
**；**
（称为的**初等对称多项式**）。于是有
**[定理2.5]{.underline}** (韦达定理) 设，其中。设的复根为。则
；
；
**[命题]{.underline}** 给定**R**上次方程
， ，
如果i是方程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。
**证明 ** 由已知，
.
两边取复共轭，又由于**R**，所以
.
**高等代数试题**
设，并且 ，，...，都不等于零，但，证明：，，...，线性无关
答案：按线性无关的定义证明
2、令 表示一切次数不大于的多项式连同零多项式所成的向量空间，，求关于以下两个基的矩阵：
（1）1，，，...，，
（2）1，，，...，，
答：（1） （2）
3、表示数域上四元列空间 取
 对于 ，令 
求 ，
解：，取的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB的列向量恰是这个基的象。又，所以  所以 
4、设上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵是
，求关于基  的矩阵
 
5、令是数域上向量空间的一个线性变换，并且满足条件，证明：（1） （2）
证明：（1），则
> ，
>
> 反之，，，
>
> 于是 
>
> ，即
>
> 设 由，有，使得 又 ，所以
>
> ，即  所以 
6、设  ，求
解：特征值 
特征向量  ，
 则 
>
** **
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）**
**数学（理科）试卷**
**注意事项：**
> 1．本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
>
> 2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
>
> 3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
**第一部分（共60分）**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。**
1．在复平面内，复数z=对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限
2．已知全集U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝，则集合C~u~A等于
（A） （B） （C） （D）
3．抛物线y=x^2^的准线方程是
（A）4y+1=0 （B）4x+1=0 （C）2y+1=0 （D）2x+1=0
4．已知sinα=，则sin^4^α-cos^4^α的值为
（A）- （B）- （C） （D）
5．各项均为正数的等比数列的前n项和为S~n~，若S~n~=2，S~30~=14，则S~40~等于
（A）80 （B）30 （C）26 （D）16
6．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
（A） （B） （C） （D）
7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是
（A） （B）
（C） a （D） b
8．若函数f（x）的反函数为*f*，则函数f（x-1）与*f*的图象可能是
9．给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f（x）=logx，则f（\|x\|）是偶函数。
其中不正确命题的序号是
（A）①②③ （B）①②
（C）②③ （D）①③
10．已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则
（A）*b≤c≤a* （B）*a≤c≤b *
（C） *c≤a≤b* （D） *c≤b≤a*
11．*f（x）*是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足*xf' （x）+f（x）≤*0，对任意正数*a、b*，若 *a＜b，*则必有
（A）*af（b）* ≤*bf（a）* （B）*bf（a）* ≤*af（b）*
（C） *af（a）* ≤*f（b）* （D）*bf（b）* ≤*f（a）*
12．设集合S={A~0~，A~1~，A~2~，A~3~}，在S上定义运算为：A~1~A~1~=A~b~，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3。满足关系式（xx）A~2~=A~0~的x（x∈S）的个数为
（A）4 （B）3 （C） 2 （D）1
**第二部分（共90分）**
**二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。**
13． [。]{.underline}
14．已知实数*x、y*满足条件，则*z*=*x+2y*的最大值为 [。]{.underline}
15．如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且\|\|＝\|\|＝1，\|\|＝，若＝*λ*+*μ*（*λ，μ*∈**R**），则*λ+μ*的值为 [ ]{.underline} 。
16．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 [ ]{.underline} 种。（用数字作答）
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。**
17．（本小题满分12分）
设函数*f*（*x*）=*a·b*，其中向量*a*=（*m，*cos2*x*），*b*=（1+sin2*x*，1），*x*∈**R**，且函数*y=f*（*x*）的图象经过点，
（Ⅰ）求实数*m*的值；
（Ⅱ）求函数*f*（*x*）的最小值及此时x的值的集合。
18．（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。\
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为*ξ*，求随机变量*ξ*的分布列与数学期望。（注：本小题结果可用分数表示）
19．（本小题满分12分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥ABCD，
，BC=6。
（Ⅰ）求证：BD
（Ⅱ）求二面角的大小。
20．（本小题满分12分）
设函数f（x）=其中a为实数。
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间。
21．（本小题满分14分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
22．（本小题满分12分）
已知各项全不为零的数列{a~k~}的前k项和为S~k~，且S~k~＝N^\*^），其中a~1~=1。
（Ⅰ）求数列{a~k~}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b~k~}满足（k=1，2，...，n-1），b~1~=1。
求b~1~+b~2~+...+b~n~^。^
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**理科综合能力测试（物理部分）**
14．下列说法正确的是
A．布朗运动是悬浮在液体中固体颗粒的分子无规则运动的反映
B．没有摩擦的理想热机可以把吸收的能量全部转化为机械能
C．知道某物质的摩尔质量和密度可求出阿伏加德罗常数
D．内能不同的物体，它们分子热运动的平均动能可能相同
**14、D**【解析】 布朗运动是悬浮在液体中固体小颗粒的运动，他反映的是液体无规则的运动，所以A错误；没有摩擦的理想热机不经过做功是不可能把吸收的能量全部转化为机械能的B错误，摩尔质量必须和分子的质量结合才能求出阿伏加德罗常数C错；温度是分子平均动能的标志，只要温度相同分子的平均动能就相同，物体的内能是势能和动能的总和所以D正确
15．一个氡核衰变成钋核并放出一个粒子，其半衰期为3.8天。1g氡经过7.6天衰变掉氡的质量，以及。衰变成的过程放出的粒子是
A．0.25g，*a*粒子
B．0.75g，*a*粒子
C．0.25g，*β*粒子
D．0.75g，*β*粒子
15、B【解析】经过了两个半衰期，1g的氡剩下了0.25g，衰变了0.75g，根据核反应方程的规律，在反应前后的质量数和荷电荷数不变可得出是*a*粒子，所以B正确。
16．下列有关光现象的说法正确的是
A．在光的双缝干涉实验中，若仅将入射光由紫光改为红光，则条纹间距一定变大
B．以相同入射角从水中射向空气，紫光能发生全反射，红光也一定能发生全反射
C．紫光照射某金属时有电子向外发射，红光照射该金属时也一定有电子向外发射
D．拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加装一个偏振片以增加透射光的强度
16、A【解析】根据干涉条纹的间距的公式△*x*=*λ*可知，由于紫光的波长比红光的波长短，所以改为红光后条纹间距一定增大，A正确；紫光的临界角比红光的临界角小，所以紫光发生全反射后红光不一定发生全反射，B错误；由于紫光的频率大于红光的频率，所以紫光的能量比红光的能量大，紫光发生光电效应红光不一定发生光电效应，C错误，拍摄玻璃橱窗内的物品时，往往在镜头前加装一个偏振镜是为了防止玻璃的反光，所以D错误。
17．一理想变压器的原线圈上接有正弦交变电压，其最大值保持不变，副线圈接有可调电阻*R*。设原线圈的电流为*I*~1~，输入功率为*P*~1~，副线圈的电流为*I*~2~，输出功率为*P*~2~。当R增大时
A．*I*~1~减小，*P*~1~增大
B．*I*~1~减小，*P*~1~减小
D．*I*~2~增大，*P*~2~减小
D．*I*~2~增大，*P*~2~增大
17、B【解析】理想变压器的特点是输入功率等于输出功率，当负载电阻增大时，由于副线圈的电压不变，所以输出电流I~2~减小，导致输出功率P~2~减小，所以输入功率P~1~减小；输入的电压不变，所以输入的电流I~1~减小，B正确
18．带负电的粒子在某电场中仅受电场力作用，能分别完成以下两种运动：①在电场线上运动，②在等势面上做匀速圆周运动。该电场可能由
A．一个带正电的点电荷形成
B．一个带负电的点电荷形成
C．两个分立的带等量负电的点电荷形成
D．一带负电的点电荷与带正电的无限大平板形成'
18、A【解析】在仅受电场力的作用在电场线上运动，只要电场线是直线的就可能实现，但是在等势面上做匀速圆周运动，就需要带负电的粒子在电场中所受的电场力提供向心力，根据题目中给出的4个电场，同时符合两个条件的是A答案
19．在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F~1~，B对A的作用力为F~2~，地面对A的作用力为F~3~。若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中
A．*F*~1~保持不变，*F*~3~缓慢增大
B．*F*~1~缓慢增大，*F*~3~保持不变
C．*F*~2~缓慢增大，*F*~3~缓慢增大
D．*F*~2~缓慢增大，*F*~3~保持不变
19、C【解析】力*F*产生了两个作用效果，一个是使B压紧竖直墙面的力*F*~1~，一个是压紧A的力*F*~2~，用整体法进行分析，可知*F*~1~和*F*~3~的大小相等，当力F缓慢增大时，合力的方向和两个分力的方向都没有发生变化，所以当合力增大时两个分力同时增大，C正确
20．一个静止的质点，在0～4s时间内受到力F的作用，力的方向始终在同一直线上，力F随时间t的变化如图所示，则质点在
A．第2s末速度改变方向
B．第2s末位移改变方向
C．第4s末回到原出发点
D．第4s末运动速度为零
20、D【解析】这是一个物体的受力和时间关系的图像，从图像可以看出在前两秒力的方向和运动的方向相同，物体经历了一个加速度逐渐增大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，2少末速度达到最大，从2秒末开始到4秒末运动的方向没有发生改变而力的方向发生了改变与运动的方向相反，物体又经历了一个加速度逐渐增大的减速运动和加速度逐渐减小的减速的和前2秒运动相反的运动情况，4秒末速度为零，物体的位移达到最大，所以D正确。
21．一列简谐横波沿直线由*a*向*b*传播，相距10.5m的*a*、*b*两处的质点振动图象如图中*a*、*b*所示，则
A．该波的振幅可能是20cm
B．该波的波长可能是8.4m
C．该波的波速可能是10.5 m/s
D．该波由口传播到6可能历时7s
21、D【解析】题目中给出了两个质点的振动图像，从图中直接可以看出振动的振幅为10cm,周期为4S，A错误，因为波是沿着a向b传播，所以从振动形式可以看出，b比a至少晚振动3/4个周期，满足*t*=*nT*+3，（*n*=0，1，2......），再利用*v*= = ，可得BC错，D正确。
22\. (16分) (1)用螺旋测微器测量金属导线的直径，其示数如图所示，该金属导线的直径为 [ ]{.underline} mm。
(2)用下列器材组装成描绘电阻R伏安特性曲线的电路，请将实物图连线成为实验电路。
微安表*μ*A(量程200μA，内阻约200)；
电压表V(量程3V，内阻约10K)；
电阻*R*(阻值约20k)；
滑动变阻器*R*(最大阻值50，额定电流1 A)．
电池组*E*(电动势3V，内阻不计)；
开关*S*及导线若干。
(3)某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长*L*，通过改变摆线的长度，测得6组*L*和对应的周期T，画出*L*一*T*^2^图线，然后在图线上选取*A*、*B*两个点，坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为*g*= [ ]{.underline} 。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将 [ ]{.underline} 。(填"偏大"、"偏小"或"相同")
**22、【答案】**（1）1.880（1.878－1.882均正确）（每空2分）
**【**解析**】**题目考查螺旋测微器的读数
螺旋测微器的读数方法是1、先读固定尺上的读数为1.5mm,
2、读可动刻度为38.0与精确度0.01相乘得到0.380mm，
3、固定读数与可动读数相加即为最终结果，1.5mm＋0.380mm=1.880mm
（2）**【答案】实物连接如图**
**从题目中给的电压表的内阻和电流表的内阻以及待测电阻R~0~的阻值可以判断测量电路要用伏安法的内接法，变阻器的电阻比较小，所以电源电路采用分压法。**
**（3）【答案】 相同**
**【**解析**】题目考查了用单摆测重力加速度**
设A、B的摆线长为L~A~和L~B~，摆线到重心的距离为L^1^，所以A、B的两处的摆长分别为L~A~＋L^1^和L~B~＋L^1^，根据周期公式得则 （1） （2）
（2）－（1）得
从式子中可以看出，最终的结果与重心的位置无关，所以不影响g值的测量。
23．(16分)在平面直角坐标系*xOy*中，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为*B*。一质量为*m*、电荷量为*q*的带正电的粒子从*y*轴正半轴上的*M*点以速度*v*~0~垂直于*Y*轴射入电场，经*x*轴上的N点与*x*轴正方向成*θ*=60°角射入磁场，最后从*y*轴负半轴上的*P*点垂直于*Y*轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求
(1)*M*、*N*两点间的电势差*U~MN~*。
(2)粒子在磁场中运动的轨道半径*r*；
(3)粒子从*M*点运动到*P*点的总时间*t*。
23.【解析】（1）设粒子过N点时的速度为v，有 （1）
（2）
粒子从M点运动到N点的过程，有 （3）
（4）
（2）粒子在磁场中以为圆心做匀速圆周运动，半径为，有 （5）
（6）
（3）由几何关系得
（7）
设粒子在电场中运动的时间为t~1~,有 （8）
（9）
粒子在磁场在做匀速圆周运动的周期 （10）
设粒子在磁场中运动的时间为t~2~,有 （11）
（12）
\(13\)
24．(18分)光滑水平面上放着质量*m~A~*=1kg的物块*A*与质量*m~B~*=2kg的物块*B*，*A*与*B*均可视为质点，*A*靠在竖直墙壁上，*A*、*B*间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与*A*、*B*均不拴接)，用手挡住*B*不动，此时弹簧弹性势能*E~P~*=49J。在*A*、*B*间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后*B*向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后*B*冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径*R*=0.5m，*B*恰能到达最高点*C*。取g=10m／s^2^，求
(1)绳拉断后瞬间B的速度*v~B~*的大小；
(2)绳拉断过程绳对*B*的冲量I的大小；
(3)绳拉断过程绳对*A*所做的功W。
24.解析：
（1）设B在绳被拉断后瞬间的速度为,到达C点时的速度为，有
（1）
（2）
代入数据得
（3）
（2）设弹簧恢复到自然长度时B的速度为，取水平向右为正方向，有
（4）
（5）
代入数据得 其大小为4NS （6）
（3）设绳断后A的速度为，取水平向右为正方向，有
（7）
代入数据得 （9）
25．(22分)磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具。它的驱动系统简化为如下模型，固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为*R*，金属框置于*xOy*平面内，长边*MN*长为l，平行于*y*轴，宽为*d*的*NP*边平行于*x*轴，如图1所示。列车轨道沿*Ox*方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿*Ox*方向按正弦规律分布，其空间周期为*λ*，最大值为*B*~0~，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度*v*~0~沿*Ox*方向匀速平移。设在短暂时间内，*MN*、*PQ*边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿*Ox*方向加速行驶，某时刻速度为*v*(*v*\<*v*~0~)。
(1)简要叙述列车运行中获得驱动力的原理；
(2)为使列车获得最大驱动力，写出*MN*、*PQ*边应处于磁场中的什么位置及*λ*与*d*之间应满足的关系式：
(3)计算在满足第(2)问的条件下列车速度为*v*时驱动力的大小。
25．解析：
(1)由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力。
(2)为使列车获得最大驱动力，*MN*、*PQ*应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大。因此，*d*应为的奇数倍，即
或 （）①
(3)由于满足第(2)问条件：则MN、PQ边所在处的磁感应强度大小均为B~0~且方向总相反，经短暂的时间，
磁场沿Ox方向平移的距离为，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为。
因为v~0~\>V，所以在时间内MN边扫过磁场的面积
在此时间内，MN边左侧穿过S的磁通移进金属框而引起框内磁通量变化
②
同理，该时间内，PQ边左侧移出金属框的磁通引起框内磁通量变化
③
故在内金属框所围面积的磁通量变化
④
根据法拉第电磁感应定律，金属框中的感应电动势大小
⑤
根据闭合电路欧姆定律有
⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力
PQ边所受的安培力
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力方向相同，此时列车驱动力的大小
\(7\)
联立解得
\(8\)
| 1 | |
2022届新高考开学数学摸底考试卷3
**一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
**1．已知集合，，则 ( )**
**A． B． C． D．**
**2．已知复数满足，则 ( )**
**A． B． C． D．**
**3．若满足则 ( )**
**A． B． C． D．**
**4．已知函数的图像如图所示，则 ( )**
{width="2.160416666666667in" height="1.979861111111111in"}
**A． B． C． D．**
**5．函数的部分图像大致为 ( )**
**A．** {width="1.304861111111111in" height="1.2340277777777777in"} **B．** {width="1.3680555555555556in" height="1.3694444444444445in"}
**C．** {width="1.2097222222222221in" height="1.35in"} **D．**{width="1.1194444444444445in" height="1.3756944444444446in"}
**6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 ( )**
**A．150 B．200 C．300 D．400**
**7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题∶\"今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?\"其意思为∶有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺? ( )**
**A．90 B．120 C． 140 D．150**
**8．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为则三校锥的外接球的表面积为 ( )**
**A． B． C． D．**
**二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.**
**9．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是 ( )**
**A． 的最小正周期为4**
**B．的图像关于直线对称**
**C．当时，函数的最大值为2**
**D．当时，函数的最小值为**
**10．如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则 ( )**
{width="2.6118055555555557in" height="2.3854166666666665in"}
**A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行**
**C．点与点到平面的距离相等 D．平面截正方体所得的截面面积为**
**11．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则 ( )**
**A．实轴为2 B．渐近线为**
**C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3**
**12．已知，，记，则( )**
**A．的最小值为 B．当最小时，**
**C．的最小值为 D．当最小时**
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
**13．已知向量，，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**14．的展开式中的系数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**15．某系列智能手机玻璃版有\"星河银\"、\"罗兰紫\"、\"翡冷翠\"、\"亮黑色\"四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机.若甲购买\"亮黑色\"或\"星河银\"，则乙不购买\"罗兰紫\"，则这四位市民不同的购买方案有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种.**
**16．已知函数①若，则不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
**17．(10分)在中，，，分别为内角，，的对边，且满足.**
**(1)求的大小；**
**(2)若，，求的面积.**
**18．(12分)给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点均在函数的图像上，其中为常数；③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.**
**设是一个公比为的等比数列，且它的首项，.**
**(1)求数列的通项公式；**
**(2)令，证明的前项和.**
**19．(12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.**
{width="2.1527777777777777in" height="1.4319444444444445in"}{width="2.2222222222222223in" height="1.4694444444444446in"}
**(1)求证：平面；**
**(2)求二面角的余弦值.**
**20．(12分)已知椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为2的直线经过点，且点到直线的距离为.**
**(1)求椭圆的标准方程；**
**(2)将直线绕点旋转，它与椭圆C相交于另一点，当，，三点共线时，试确定直线的斜率.**
**21．(12分)南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下∶
**
-------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- ---------------
**得分** **\[30,40)** **\[40,50)** **\[50,60)** **\[60,70)** **\[70,80)** **\[80,90)** **\[90,100)**
**男性人数** **40** **90** **120** **130** **110** **60** **30**
**女性人数** **20** **50** **80** **110** **100** **40** **20**
-------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- ---------------
**(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；**
**(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为\"比较了解\"（得分不低于60分）和\"不太了解\"（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为\"居民对垃圾分类的了解程度\"与\"性别\"有关?
**
---------- -------------- -------------- ----------
**不太了解** **比较了解** **总计**
**男性**
**女性**
**总计**
---------- -------------- -------------- ----------
**(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求的最小值.
**
**附公式及表，其中.**
-- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
**0.15** **0.10** **0.05** **0.025** **0.010** **0.005** **0.001**
**2.072** **2.706** **3.841** **5.024** **6.635** **7.879** **10.828**
-- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
**22．(12分)已知函数，，其中，是的一个极值点，且.**
**(1)讨论函数的单调性；(2)求实数和的值；**
**(3)证明**
**高三数学试题答案**
**一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1－8：C D A D C C B C
2. **多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．**
9．**ABC** 10．BD 11．BC 12．**A**B
3. **填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一个空2分，第二个空3分.**
13．；14．－280；15．20； 16．①（－∞，0\] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
**四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．**解：（1）因为，**
**由正弦定理，得，即， ......2分**
**所以， ......4分**
**因为，所以． ......5分**
2. **由正弦定理，得． ......6分**
**由余弦定理，得，**
**解得． ......8分**
**所以的面积． ......10分**
**18．** 解：若选：因为成等差数列，所以.
又因为数列是等比数列，即解得 或（舍去）**......**3分
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 **......**6分
若选：点均在函数的图像上，所以，又因为，所以，所以，所以，所以. **......**3分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 **......**6分
若选：，因为是公比为的等比数列，
所以，即解得或（舍去） **......**3分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 **......**6分
（2）证明：因为，所以 **......**8分
所以 **......**10分所以 **......**12分
**19．解：（1）**∵*DE*⊥*BE*，*BE*∥*DC*，∴*DE*⊥*DC．* **......1分**
又∵*A*~1~*D*⊥*DC*，*A*{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.638888888888889e-2in"}~1~*D*∩*DE*=*D*，∴*DC*⊥平面*A*~1~*DE*，∴*DC*⊥*A*~1~*E*． **......3分**
又∵*A*~1~*E*⊥*DE*，*DC*∩*DE*=*D*，∴*A*~1~*E*⊥平面*BCDE*． **......5分**
**（2）**∵*A*~1~*E*⊥平面*BCDE*，*DE*⊥*BE*，
∴以*EB*，*ED*，*EA*~1~所在直线分别为*x*轴，*y*轴和*z*轴，建立空间直角坐标系（如图）．
{width="2.21875in" height="1.1770833333333333in"}
易知*DE*=2{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，则*A*~1~(0，0，2)，*B*(2，0，0)，*C*(4，2{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，0)，*D*(0，2{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，0)，**......7分**
∴=(−2，0，2)，=(2，2{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，0)，
易知平面*A*~1~*BE*的一个法向量为*n*=(0，1，0)． **......8分**
设平面*A*~1~*BC*的法向量为*m*=(*x*，*y*，*z*)，
由·*m*={width="1.3888888888888888e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}0，·*m*=0，得{width="0.9270833333333334in" height="0.4270833333333333in"}令*y*=1，得*m*=(−{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，1，−{width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"})， **......10分**
∴cos〈*m*，*n*〉={width="0.3645833333333333in" height="0.2708333333333333in"}={width="0.34375in" height="0.34375in"}={width="0.17708333333333334in" height="0.3229166666666667in"}．
由图得二面角*E* −*A*~1~*B* −*C*为钝二面角，∴二面角*E* −*A*~1~*B* −*C*的余弦值为−{width="0.17708333333333334in" height="0.3229166666666667in"}．**......12分**
*20.*解：（1）由题意知，直线的方程为，， .........2分
右焦点到直线的距离为， ...............4分
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，椭圆的方程为； ...............6分
（2）由（1）知，， 直线的方程，...............7分
联立方程组，
解得或（舍），即， ...............10分
直线的斜. ...............12分
其他方法：
方法二: 由（1）知，， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.
方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，
所以,，当三点共线时有，，
即，解得或，又由题意知，得或，所以.
21.解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6； ......2分
（2）由题意得列联表如下：
------ ---------- ---------- ------
不太了解 比较了解 总计
男性 250 330 580
女性 150 270 420
总计 400 600 1000
------ ---------- ---------- ------
......3分
K^2^＝≈5.542 ......5分
因为 5.542＞3.841，
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 ......6分
3. 由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人 ......7分
随机变量*ξ*的所以可能取值为0，1，2，3，其中
*P*（*ξ＝0*）*＝*，*P*（*ξ＝1*）*＝*，*P*（*ξ＝2*）*＝*，*P*（*ξ＝3*）*＝*，
......9分
所以随机变量*ξ*的分布列为：
----- --- --- --- ---
*ξ* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
*E*（*ξ*）*＝*×0＋×1＋×2＋×3≥2 ......10分
解得*m*≥2，所以*m*的最小值为2 ......12分
法二：由题意知，随机变量*ξ*服从超几何分布*H*（3，*m*＋6，*m*＋10）， ......8分
则*E*（*ξ*）*＝*， ......10分
由*E*（*ξ*）≥2 得*m*≥2，所以*m*的最小值为2 ......12分
22. 解：（1）函数*f*(*x*)的定义域为（0，＋∞），且*f* ′(*x*)＝2*x*－2ln*x*－2，令*h*(*x*)＝*f* ′(*x*)，
则有*h*′(*x*)＝，由*h*′(*x*)＝0可得*x*＝1，如下表：
----------- ---------- -------- ------------
*x* （0，1） 1 （1，＋∞）
*h*′(*x*) － 0 *＋*
*h*(*x*) ↘ 极小值 ↗
----------- ---------- -------- ------------
所以*h*(*x*)≥*h*(1)＝*0* ，即*f* ′(*x*)≥0，*f*(*x*)在（0，＋∞）上单调递增 ......3分
2. 函数*g*(*x*)的定义域为（0，＋∞），且*g* ′(*x*)＝1－－
由已知，得*g* ′(*x~0~*)＝0，即 *x~0~^2^*－2*x~0~*ln*x~0~*－*a*＝0 ①
由 *g* (*x~0~*)＝2可得*x~0~^2^*－*x~0~（*ln*x~0~）^2^*－2*x~0~*＋*a*＝0 ②
联立①②消去*a*可得2*x~0~*－*（*ln*x~0~）^2^* －2ln*x~0~*－2＝0 ③
令 *t* (*x*)＝2*x*－*（*ln*x）^2^* －2ln*x*－2，则*t*′ (*x*)＝2－－ ＝
由 ①知 *x*－ln*x*－1≥0，故*t*′ (*x*)≥0，所以*t* (*x*)在（0，＋∞）上单调递增
*t* (*1*)＝0，所以方程③有唯一解*x~0~*＝1，代入①，可得*a*＝1. ......7分
3. 由（1）知*f* (*x*)＝*x*^2^－2*x*ln*x在*（0，＋∞）上单调递增，
故当*x*∈（1，＋∞），*f* (*x*)＞*f* (*1*)＝1，所以*g* ′(*x*)＝1－－＝＞0，
可得*g*(*x*)在（1，＋∞）上单调递增。当*x*＞1时， *g*(*x*)＞*g*(*1*)＝2，即*x＋*－*（*ln*x）^2^* ＞2
亦即（－ ）^2^＞*（*ln*x）^2^* ，这时－＞0， ln*x*＞0，故得－＞ln*x*
*取x*＝，*k*∈***N*^\*^**。可得－＞ln（2*k*＋1）－ln（2*k*－1）
而－＝ 故＞\[ln（2*k*＋1）－ln（2*k*－1）\]＝ln（2*n＋*1）
所以＞ln（2*n＋*1） ......12分
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**2013年天津市高考数学试卷（文科）**
**一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（5分）设a，b∈R，则"（a﹣b）a^2^＜0"是"a＜b"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）^2^+y^2^=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间\[0，\]上的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．0
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间\[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log~2~a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）
A． B．\[1，2\] C． D．（0，2\]
8．（5分）设函数f（x）=e^x^+x﹣2，g（x）=lnx+x^2^﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0
**二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=[ ]{.underline}．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为[ ]{.underline}．
11．（5分）已知抛物线y^2^=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为[ ]{.underline}．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为[ ]{.underline}．
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为[ ]{.underline}．
**三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
产品编号 A~1~ A~2~ A~3~ A~4~ A~5~
质量指标（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1）
产品编号 A~6~ A~7~ A~8~ A~9~ A~10~
质量指标（x，y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1） （2，1，2）
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4"，求事件B发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．
（1）求b的值；
（2）求sin（2B﹣）的值．
17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱A~1~A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A~1~C~1~的中点
（Ⅰ）证明EF∥平面A~1~CD；
（Ⅱ）证明平面A~1~CD⊥平面A~1~ABB~1~；
（Ⅲ）求直线B~1~C~1~与平面A~1~CD所成角的正弦值．
18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．
19．（14分）已知首项为的等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且﹣2S~2~，S~3~，4S~4~成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ） 证明．
20．（14分）设a∈\[﹣2，0\]，已知函数
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点P~i~（x~i~，f（x~i~））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x~1~x~2~x~3~≠0，证明．
**2013年天津市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.**
1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\]
【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．
【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2}
∴A∩B={x\|﹣2≤x≤2}∩{x\|x≤1，x∈R}={x\|﹣2≤x≤1}
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选：A．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．
【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）^1^×1+（﹣1）^2^×2+（﹣1）^3^×3+（﹣1）^4^×4，
因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．
故输出的n的值为4．
故选：D．
【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键．
4．（5分）设a，b∈R，则"（a﹣b）a^2^＜0"是"a＜b"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．
【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a^2^＜0，
∴a＜b成立，
由a＜b，则a﹣b＜0，"（a﹣b）a^2^≤0，
所以根据充分必要条件的定义可的判断：
a，b∈R，则"（a﹣b）a^2^＜0"是a＜b的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．
5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）^2^+y^2^=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）^2^+y^2^=5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）^2^+y^2^=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，
所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．
6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间\[0，\]上的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．0
【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．
【解答】解：由题意x∈，得2x∈\[﹣，\]，
∴∈\[，1\]
∴函数在区间的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值．
7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间\[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log~2~a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（ ）
A． B．\[1，2\] C． D．（0，2\]
【分析】由偶函数的性质将f（log~2~a）+f（）≤2f（1）化为：f（log~2~a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（）=f（﹣log~2~a）=f（log~2~a），
则f（log~2~a）+f（）≤2f（1）为：f（log~2~a）≤f（1），
因为函数f（x）在区间\[0，+∞）上单调递增，
所以\|log~2~a\|≤1，解得≤a≤2，
则a的取值范围是\[，2\]，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．
8．（5分）设函数f（x）=e^x^+x﹣2，g（x）=lnx+x^2^﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（ ）
A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0
【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．
【解答】解：①由于y=e^x^及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e^x^+x﹣2在R上单调递增，
分别作出y=e^x^，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．
同理g（x）=lnx+x^2^﹣3在R^+^上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．
∴g（a）=lna+a^2^﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，
f（b）=e^b^+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．
∴g（a）＜0＜f（b）．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．
**二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.**
9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=[ 5﹣5i ]{.underline}．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i^2^=5﹣5i．
故答案为5﹣5i．
【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．
【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，
球的体积为：，
解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．
11．（5分）已知抛物线y^2^=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用抛物线的标准方程y^2^=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b^2^=c^2^﹣a^2^可得b^2^．进而得到双曲线的方程．
【解答】解：由抛物线y^2^=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．
由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．
又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b^2^=c^2^﹣a^2^=3．
∴双曲线的方程为．
故答案为．
【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．
12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．
【解答】解：∵，．
∴==
=+﹣==1，
化为，
∵，∴．
故答案为．
【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．
13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．
【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，
因为AB=AD=5，BE=4，
梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，
由切割线定理可知：AE^2^=EB•EC，所以AE==6，
在△ABE中，BE^2^=AE^2^+AB^2^﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，
所以cosα=，AB=AD=5，
所以BD=2×ABcosα=．
故答案为：．
【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力．
14．（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．
【解答】解：∵a+b=2，∴，
∴=，
∵b＞0，\|a\|＞0，∴≥1（当且仅当b^2^=4a^2^时取等号），
∴≥1，
故当a＜0时，的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．
**三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
产品编号 A~1~ A~2~ A~3~ A~4~ A~5~
质量指标（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1）
产品编号 A~6~ A~7~ A~8~ A~9~ A~10~
质量指标（x，y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1） （2，1，2）
--------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i）用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4"，求事件B发生的概率．
【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；
（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；
（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：
---------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------
产品编号 A~1~ A~2~ A~3~ A~4~ A~5~ A~6~ A~7~ A~8~ A~9~ A~10~
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
---------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ -------
其中S≤4的有A~1~，A~2~，A~4~，A~5~，A~7~，A~9~共6件，故样本的一等品率为．
从而可估计该批产品的一等品率为0.6；
（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A~1~，A~2~}，{A~1~，A~4~}，{A~1~，A~5~}，
{A~1~，A~7~}，{A~1~，A~9~}，{A~2~，A~4~}，{A~2~，A~5~}，{A~2~，A~7~}，{A~2~，A~9~}，{A~4~，A~5~}，{A~4~，A~7~}，
{A~4~，A~9~}，{A~5~，A~7~}，{A~5~，A~9~}，{A~7~，A~9~}共15种．
（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A~1~，A~2~，A~5~，A~7~．
则事件B发生的所有可能结果为{A~1~，A~2~}，{A~1~，A~5~}，{A~1~，A~7~}，{A~2~，A~5~}，{A~2~，A~7~}，{A~5~，A~7~}，共6种．
所以p（B）=．
【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．
（1）求b的值；
（2）求sin（2B﹣）的值．
【分析】（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；
（Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，
又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．
由余弦定理可知：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，，
即b^2^=3^2^+1^2^﹣2×3×cosB，
可得b=．
（Ⅱ）由，可得sinB=，
所以cos2B=2cos^2^B﹣1=﹣，
sin2B=2sinBcosB=，
所以===．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱A~1~A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A~1~C~1~的中点
（Ⅰ）证明EF∥平面A~1~CD；
（Ⅱ）证明平面A~1~CD⊥平面A~1~ABB~1~；
（Ⅲ）求直线B~1~C~1~与平面A~1~CD所成角的正弦值．
【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A~1~CD，只需证明EF∥DA~1~即可；
（II）欲证平面平面A~1~CD⊥平面A~1~ABB~1~，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A~1~ABB~1~，再根据面面垂直的判定定理得证；
（III）先过B作BG⊥AD交A~1~D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A~1~CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A~1~CD所成角的正弦值．
【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AC∥A~1~C~1~，AC=A~1~C~1~，连接ED，
可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A~1~C~1~的中点．∴A~1~F=DE，A~1~F∥DE，
所以A~1~DEF是平行四边形，所以EF∥DA~1~，
DA~1~⊂平面A~1~CD，EF⊄平面A~1~CD，∴EF∥平面A~1~CD
（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又AA~1~⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴AA~1~⊥CD，又AA~1~∩AB=A，
∴CD⊥面A~1~ABB~1~，又CD⊂面A~1~CD，
∴平面A~1~CD⊥平面A~1~ABB~1~；
（III）过B作BG⊥A~1~D交A~1~D于G，
∵平面A~1~CD⊥平面A~1~ABB~1~，且平面A~1~CD∩平面A~1~ABB~1~=A~1~D，
BG⊥A~1~D，
∴BG⊥面A~1~CD，
则∠BCG为所求的角，
设棱长为a，可得A~1~D=，由△A~1~AD∽△BGD，得BG=，
在直角△BGC中，sin∠BCG==，
∴直线BC与平面A~1~CD所成角的正弦值．
【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．
【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．
（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），由消去y得，（2+3k^2^）x^2^+6k^2^x+3k^2^﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴当x=﹣c时，，得y=±，
∴=，
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），
设C（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），
由消去y得，（2+3k^2^）x^2^+6k^2^x+3k^2^﹣6=0，
∴x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=，又A（﹣，0），B（，0），
∴
=（x~1~+，y~1~）•（﹣x~2~．﹣y~2~）+（x~2~+，y~2~）•（﹣x~1~．﹣y~1~），
=6﹣（2+2k^2^）x~1~x~2~﹣2k^2^（x~1~+x~2~）﹣2k^2^，
=6+=8，解得k=．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．
19．（14分）已知首项为的等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且﹣2S~2~，S~3~，4S~4~成等差数列．
（Ⅰ） 求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ） 证明．
【分析】（Ⅰ）由题意得2S~3~=﹣2S~2~+4S~4~，变形为S~4~﹣S~3~=S~2~﹣S~4~，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S~n~随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a~n~}的公比为q，
∵﹣2S~2~，S~3~，4S~4~等差数列，
∴2S~3~=﹣2S~2~+4S~4~，即S~4~﹣S~3~=S~2~﹣S~4~，
得2a~4~=﹣a~3~，∴q=，
∵，∴=；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S~n~==1﹣，
∴，
当n为奇数时，==，
当n为偶数时，=，
∴随着n的增大而减小，
即，且，
综上，有成立．
【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．
20．（14分）设a∈\[﹣2，0\]，已知函数
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点P~i~（x~i~，f（x~i~））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x~1~x~2~x~3~≠0，证明．
【分析】（Ⅰ）令，．分别求导即可得到其单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
已知曲线y=f（x）在点P~i~（x~i~，f（x~i~））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x~1~，x~2~，x~3~互不相等，利用导数的几何意义可得．
不妨x~1~＜0＜x~2~＜x~3~，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x^2^﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．
由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈\[﹣2，0\]，可得，
故，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）令，．
①，由于a∈\[﹣2，0\]，从而当﹣1＜x＜0时，，
所以函数f~1~（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，
②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈\[﹣2，0\]，所以0＜x＜1时，；
当x＞1时，，即函数f~2~（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
综合①②及f~1~（0）=f~2~（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点P~i~（x~i~，f（x~i~））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x~1~，x~2~，x~3~互不相等，且．
不妨x~1~＜0＜x~2~＜x~3~，由+a=．
可得，解得，从而．
设g（x）=3x^2^﹣（a+3）x+a，则．
由，解得，
所以，
设t=，则，
∵a∈\[﹣2，0\]，∴，
故，
故．
【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．
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在解数学题目时，不是计算错误就是时间不够，总之，就是最后得不到全分！这是为啥呢？三个字：不熟练。那怎么才能熟练呢？除了大量刷题之外，你需要的更多的是总结，这里总结了21个解题方法和技巧，需要的就用起来吧！
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**北师大版小学二年级下册数学第五单元《测量》单元测试1（附答案）**
一、 。(30分)
1．当测量的长度不是整厘米时，就要用( )作单位。测量比较长的路程，通常用( )
作单位。
2．4000m是( )个1000m，就是( )km。
3．10cm=( )mm 3dm=( )cm
700cm=( ) m 500mm=( ) cm
4．在括号里填上合适的单位名称。
（1）明明身高1( )35( )。
（2）自行车每小时行15( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（3）数学课本厚约9( )。
（4）曲别针长约3( )。
（5）矿泉水瓶高约2( )。
（6）飞机每小时飞行800( )。
二、 ， 。(10分)
1．5km与500m一样长。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．km与m的进率是10。( )
3．一枝新铅笔长约20mm。( )
4．教室门高约20dm。( )
5．北京到深圳的铁路线全程长约300 m。( )
三、 。( )(10分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．一本《上下五千年》厚约5( )。
A．dm B．cm C．m
2．汽车每小时行80( )。
A．dm B．km C．m
3．王叔叔要去美国考察，应乘( )。
A．汽车 B．自行车 C．飞机
4．下面长度中与30米相等的是( )。
A．300 cm B．3000 cm C．3 km
5．一分硬币的厚度大约是1( )。
A．mm B．cm C．dm
四、○ "＞""＜""="。(12分)
40cm○600mm
980m○9km
260cm○2m6cm
8000m○8km
5dm○4dm＋8mm
4 m5cm○45dm
五、 ， 。(12分)
1\.
钉子长( )毫米
2枚这样的钉子长( )毫米，合( )厘米。
2\.
铅笔长( )cm多一些。
3\.
代强家离学校( )km，他每天往返两趟，至少要走( )km。
六、把下列各数排一排。(8分)
1．210cm 20m 2200mm 40dm
[ ＞ ＞ ＞ ＞]{.underline}
2．8000dm 80m 8km 800cm
[ ＜ ＜ ＜ ＜]{.underline}
七、 。(18分)
1．沿原路返回，每小时行6 km，需要行几小时？
2．一根铁丝长7dm 2cm，平均分成9份，每份是多少厘米？
3．宫营家到学校需要走5分钟。宫营家到水立方的距离是他家到学校距离的3倍。
(1)宫营平均每分钟行多少米？
(2)宫营家到水立方比到学校远多少米？
。(10分)
饼干能放进哪个盒子？连一连。
 
  
**参考答案**
一、1．毫米 千米
2．4 4
3．100 30 7 50
4．(1)m cm (2)km (3)mm (4)cm (5)dm (6)km
二、1．× 2．× 3．×4．√5．×
三、1．B 2．B 3．C 4．B 5．A
四、＜ ＜ ＞ = ＞ ＜
五、1．55 110 11
2．6
3．2 8
六、1．20m＞40dm＞2200mm＞210cm
2．800cm＜80m＜8000dm＜8km
七、1．11时30分－8时30分=3时 3×8=24(千米)
24÷6=4(时)
2．7dm 2cm=72cm 72÷9=8(cm)
3．(1)300÷5=60(m)
(2)300×3=900(m) 900－300=600(m)
附加题：
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**2004年上海市普通高等学校春季招生考试**
**英 语**
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
**第一卷(共110分)**
I. Listening Comprehension
==========================
Part A Short Conversations
==========================
1.A. At 12:00. B. At 12:15. C. At 12:30. D. At 12:45.
2\. A. To visit a museum. B. To attend a wedding. C. To get married. D. To go to India.
3\. A. Developing a film. B. Watching a movie. C. Repairing a camera. D. Taking a photo.
4\. A. In a tea house. B. In a school. C. In a grocery. D. In a garage.
5\. A. The desk lamp. B. The electricity bill. C. The dirty kitchen. D. The power failure.
6\. A. She could have done better in the interview.
B. She couldn\'t answer some of the questions.
C. She was quite pleased with the interview.
D. She was disappointed with the interview.
7\. A. A couple. B. Neighbours. C. Classmates. D. Colleagues.
8\. A. She saw the play more than once. B. She acted in the play.
C. She visited the English Department. D. She led the drama club.
9\. A. Minor changes could be made. B. Major corrections are needed.
C. The paper should be rewritten. D. The paper needs no revision.
10\. A. Engineering. B. Education. C. Manufacturing. D. Business.
Part B Passages
===============
Questions 11 through 13 are based on the following passage.
11\. A. He was robbed. B. He was knocked down by a bus.
C. He fell ill suddenly. D. He was chased by some tough guys.
12\. A. A neighbour. B. A stranger. C. A friend. D. A doctor.
13\. A. A friend in need is a friend indeed.
B. Neighbours are clearer than distant relatives.
C. Church-goers are very helpful.
D. Only doctors can save our lives.
Questions 14 through 16 are based on the following news.
14\. A. Britain. B. France. C. Sweden. D. Spain.
15\. A. J. K. Rowling will have an Internet interview.
B. Children will meet Harry Potter\'s mother.
C. The book will be available on the Internet.
D. The book will arrive in China in early June.
16\. A. To get ready for a military parade. B. To learn to protect themselves.
C. To gain some military knowledge. D. To develop their love for the country.
Part C Longer Conversations
===========================
Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.
+---------------------------------------+
| Flight Reservation Form |
+---------------------------------------+
| Departure time: July 23rd |
| |
| Time of return: July [17]{.underline} |
| |
| Place of arrival: [18]{.underline} |
| |
| Price: \$ 980 |
| |
| Flight number: [19]{.underline} |
| |
| Requirement: A seat [20]{.underline} |
+---------------------------------------+
Complete the form. Write NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.
Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.
--------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
Where will the new students meet at 10 am? In the [21]{.underline} .
What will the Director of Studies tell them about? About the [22]{.underline} and their requirements.
Who will give a talk about the services and activities? The [23]{.underline} .
What will they do in Classroom 5? To have an [24]{.underline} .
--------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
Complete the form. Write NO MORE THAN TWO WORDS for each answer.
**II. Grammar**
25\. Some of the stamps belong to me, while the rest are \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. him and her B. his and hers C. his and her D. him and hers
26\. I am sorry it\' s \_\_\_\_\_\_ my power to make a final decision on the project.
A. over B. above C. off D. beyond
27\. The village is far away from here indeed. It\'s \_\_\_\_\_\_\_\_ walk.
A. a four hour B. a four hour\'s C. a four-hours D. a four hours\'
28\. As a rule, domestic servants doing odd jobs are paid \_\_\_\_\_\_\_.
A. by the hour B. by hour C. by an hour D. by hours
29.You might just as well tell the manufacturer that male customers \_\_\_\_\_\_\_ not like the design of the furniture.
A. must B. shall C. may D. need
30\. No one in the department but Tom and I \_\_ that the director is going to resign.
A. knows B. know C. have known D. am to know
31\. There is no light in the dormitory. They must have gone to the lecture, \_\_\_\_\_\_\_?
A. didn\'t they B. don\' t they C. mustn\'t they D. haven\' t they
32\. I have worked with him for some time and have found that he is \_\_\_\_\_\_\_ than John.
A. more efficiently a worker B. a more efficient worker
C. more an efficient worker D. a worker more efficiently
33\. Although he has lived with us for years, he \_\_ us much impression.
A. hadn\'t left B. didn\'t leave C. doesn\'t leave D. hasn\'t left
34\. \_\_\_\_\_\_\_, some famous scientists have the qualities of being
both careful and careless.
A. Strangely enough B. Enough strangely C. Strange enough D. Enough strange
35\. I\'m going to the supermarket this afternoon. Do you have
anything \_\_\_\_\_\_\_\_ ?
A. to be buying B. to buy C. for buying D. bought
36\. A fast food restaurant is the place \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, just as the name
suggests, eating is performed quickly.
A. which B. where C. there D. what
37\. It was only with the help of the local guide \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. was the mountain climber rescued
B. that the mountain climber was rescued
C. when the mountain climber was rescued
D. then the mountain climber was rescued
38 .The other day, my brother drove his car down the street at \_\_\_\_\_\_\_\_\_ I thought was a dangerous speed.
A. as B. which C. what D. that
39\. The pilot asked all the passengers on board to remain \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ as the plane was making a landing.
A. seat B. seating C. seated D. to be seating
40\. Victor apologized for \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ to inform me of the change in the plan.
A. his being not able B. him not to be able
C. his not being able D. him to be not able
41\. Along with the letter was his promise \_\_\_\_\_\_\_ he would visit me this coming Christmas.
A. which B. that C. what D. whether
42\. After his journey from abroad, Richard Jones returned home, \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. exhausting B. exhausted C. being exhausted D. having exhausted
43\. \_\_\_\_\_\_\_\_\_, I have to put it away and focus my attention on study this week.
A. However the story is amusing B. No matter amusing the story is
C. However amusing the story is D. No matter how the story is amusing
44\. Suddenly, a tall man driving a golden carriage \_\_\_\_\_\_\_\_\_ the girl and took her away, \_\_\_\_\_\_\_\_\_ into the woods.
A. seizing.., disappeared B. seized.., disappeared
C. seizing.., disappearing D. seized.., disappearing
**III. Vocabulary**
45\. Although I can walk about, there is still a \_\_\_\_\_\_\_\_ pain in my leg.
A. weak B. slight C. tender D. soft
46.The three sisters decided to bold a family party to \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ their parents\' silver wedding.
A. celebrate B. memorize C. congratulate D. welcome
47\. Finnish President said Finland-China relations had progressed \_\_\_\_\_\_\_\_ with fruitful co-operation in new and high-tech fields.
A. peacefully B. highly C. quietly D. smoothly
48\. I have read the material several times but it doesn\'t make any \_\_\_\_\_\_\_\_ to me.
A. meaning B. importance C. sense D. significance
49.The elderly need special care in winter, as they are \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ to the sudden change of weather.
A. sensitive B. sensible C. flexible D. positive
50\. Usually a child\' s behaviour is a \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ of his family environment.
A. recognition B. reflection C. return D. record
51\. Joe Jones, the eldest of the eight children, had to \_\_\_\_\_\_\_\_ out of high school at the age of 16 to help his father on the farm.
A. leave B. drop C. fall D. go
52\. We need to consider what we will be using for language training.
A. abilities B. appliances C. facilities D. qualities
53\. Words \_\_\_\_\_\_\_\_ me when I wanted to express my thanks to him
got having saved my son from the burning house.
A. failed B. left C. discouraged D. disappointed
54\. It was foolish of him to \_\_\_\_\_\_\_\_ his notes during that important
test, and as a result, he got punished.
A. stick to B. refer to C. keep to D. point to
**IV. Cloze**
**(A)**
People wear hats for three main reasons: protection, communication, and decoration.
Protection. People first began to wear hats to [55]{.underline} themselves from the climate. In hot, sunny climates, wide-edged hats provide [56]{.underline} from the sun. In cold climates, people often wear wool hats. In some regions, people wear a variety of protective hats, [57]{.underline} the season. They may wear a wool hat in winter, a rain hat in spring or fall, and a wide-edged hat in summer. Hats also provide protection in certain [58]{.underline} . Construction workers, football players, military personnel, and people in many other fields wear metal or plastic helmets (头盔) for protection from [59]{.underline} .
Communication. Hats can communicate various things about the people who wear them. The hats of coal miners, cowboys and firemen indicate the wearer\'s [60]{.underline} . Students may wear a mortarboard (学士帽) to show they are graduating from high school or college.
Decoration. Most people wear a hat that they believe makes them look attractive, [61]{.underline} the hat\'s main purpose may be protection or communication. Many protective hats are attractive and stylish. Even the caps of police officers and military personnel are designed to [62]{.underline} the wearer\' s appearance. Certain decorative hats are worn as a(n) [63]{.underline} . In Scotland, for example, people wear a cap called a tam-o\'-shanter that is part of their national costume(服装). Many people change their style of hat from time to time because they feel more [64]{.underline} when keeping up with the latest fashion.
55\. A. defend B. protect C. prevent D. hide
56\. A. shade B. shadow C. security D. cover
57\. A. resulting from B. basing upon C. relating to D. depending on
58\. A. seasons B. climates C. activities D. communities
59\. A. injury B. destruction C. harm D. pollution
60\. A. experience B. occupation C. personality D. education
61\. A. as B. unless C. though D. because
62\. A. change B. increase C. display D. improve
63\. A. tradition B. label C. honour D. fashion
64\. A. sociable B. informal C. attractive D. noble
**(B)**
In Renee Smith\'s classroom, attendance is up, trips to the headmaster\'s office are down and students are handing in assignments on time. The Springfield High School teacher says she has seen great [65]{.underline} since adding a few new students to her class \-- five Labrador puppies and their father.
The seven [ 66]{.underline} students in Smith\' s class have a history of discipline [67]{.underline} . But since they\' ve started teaching the dogs obedience(顺从), their own [68]{.underline} has improved. A dog trainer Chuck Reynolds [69]{.underline} the students a new trick each week that they then work on with the puppies. At night, the dogs go home with the staff members who have raised them. They get dropped off in the morning, [70]{.underline} a parent would take a child to day care.
Smith said she came up with the idea when her dog had puppies and she saw how [71]{.underline} her own children responded to them. She consulted with school psychologist Kristin Edinger,
[72]{.underline} they took the idea \-- along with letters from students [73]{.underline} the programme \-- to the school board. A pet therapist said, \"What you are trying to teach is [74]{.underline} and that there are consequences for the decisions you make.\"
65\. A. promotion B. progress C. disturbance D. disappointment
66\. A. human B. dog C. new D. Labrador
67\. A. problems B. questions C. issues D. troubles
68\. A. habit B. attitude C. action D. behaviour
69\. A. guides B. teaches C. permits D. aids
70\. A. such as B. much as C. so that D. even if
71\. A. well B. quickly C. poorly D. carelessly
72\. A. but B. so C. and D. because
73\. A. revising B. describing C. opposing D. supporting
74\. A. self-criticism B. self-respect C. self-control D. self-importance
**V. Reading Comprehension**
**(A)**
Daniel Brown was just tire years old when lie climbed into the family car and let it roll away down the road. He was only three when he flooded the kitchen.
His mother, Angela Brown, is in despair. She is very busy looking after her new baby, a little girl called Laura, as well as Daniel. She tom us, \"Daniel is so full of curiosity.\" At that moment, we hear a huge crash and then silence. We go upstairs and find Daniel crawling out of a wardrobe(衣橱) he has pulled over onto the floor, with a book in his hand. \"It\'s for you, Mum,\" he says and looks up at his mum and smiles. Seven-year-old Daniel has a lovely face. He has golden hair, big brown eyes, and a friendly smile. I have to admit that Daniel doesn\'t look likes naughty boy.
Angela told me all about it. \"Once I found him as he was about to put Jasper in the washing machine.\" Jasper, she explained, is the Brown\'s dog. \"When I asked him why, he said that he thought Jasper has dirty ! It\'s amazing how one little Day can cause so much trouble. Another time he cut off all the hair of the little girl next door. She was going to attend her sister\' s wedding and the neighbours haven\'t spoken to us since.\"
Angela told me about Daniel\'s most expensive crime. \"I was about to do the washing up when the baby started crying. Daniel decided m help and filled the kitchen sink with water. When I came in the water was already flooding the kitchen and was about to flood the hall. The carpet was ruined and had to be replaced. I hope things will get better as he gets older.\"
Amazingly, Daniel is quite well behaved in school. This may be because he is rarely bored. Meanwhile he continues to be the naughtiest little boy in England. Will his baby sister Laura grow up to the naughtiest little girl!
75\. What did Daniel do while his mother was talking to the author?
A. He drove away the family car. B. He cu off the hair of the girl next door.
C. He flooded the kitchen. D. He fell to the floor with the wardrobe.
76\. Why was Daniel going to put the dog in the washing machine?
A. He meant to clean the dog. B. He wanted to punish the dog.
C. He intended to make trouble. D. He wished to draw his mother\'s attention.
77\. It can he inferred from the passage that \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A. the mother spoiled the boy B. the boy found school life interesting
C. the mother lost hope in the boy D. the boy had no freedom at home
**(B)**
Transportation and communication networks bring people together. Yet sometimes people themselves create barriers (障碍) to transportation and communication.
In mine countries, laws stop people from moving freely from place to place. Over the centuries, many groups of people have been denied the freedom to travel because of their race, religion, or nationality. In the Middle Ages, for example, Jews were often forbidden to move about freely within certain cities. South Africa\'s government used to require black Africans to carry passes when they travel within the country. Some governments all citizens to carry identification papers and to report to government officials whenever they move.
Countries set up customs posts at their borders. Foreign travellers must go through a customs inspection before they are allowed to travel in the country. Usually travellers have to carry special papers such as passports and visas (签证). Some countries even limit the number of visitors to their country each year. Others allow tourists to visit only certain areas of the country, or they may require that travellers be with an official guide at all times during their stay.
Many of those barriers to travel also act as barriers to communication. When two governments disagree with each other on important matters, they usually do not want their citizens to exchange news or ideas freely. Countries often try to keep military or industrial information secret.
Today, people have the ability to travel, to communicate and to transport goods more quickly and easily than ever before. Natural larders that were difficult or dangerous to cross a hundred years ago can now be crossed easily. The barriers that people themselves make are not so easy to overcome. But in spite of all the different kinds of barriers, people continue to enjoy trued and the exchange of goods and ideas.
78.The examples in Paragraph 2 are used to tell the leaders that \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. people have been allowed to travel freely within the country
B. people have not been permitted to travel freely for various reasons
C. travellers have to carry, special papers such as passports and visas
D. customs posts ale necessary at the borders of the countries
79\. Some governments limit the freedom of communication because \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. they intend to keep their national secrets unknown to others
B. they think such freedom will lead to wars
C. they often disagree with each other on important matters
D. they want to show their authority over communication
80\. We may learn from the passage that \_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. people do not care about the removal of borders between countries
B. people can not remove the obstacles made by themselves
C. man-made harriers are sometimes harder to overcome than natural ones
D. barriers should be taken for granted as they always exist
81 .Which of the following can serve as the best title of the passage ?
A. Barriers Made by People B. Functions of Communication
C. Restrictions on Transportation D. Progress of Human Society
**(C)**
**PEOPLE**
NOBLE SMUGGLER
==============
This Thursday, Irena Sendler will he honoured for her work as a smuggler(偷运者). During World War II, the Polish social worker smuggled nearly 2,500 Jewish children out of the Warsaw ghetto (聚居区). She gave them new identities, found them safe places with good-hearted Christians, and kept the children\'s real names buried in jars in her neighbours\' gardens. (The play\', Life in a Jar, based on her story, is being performed. ) At 93, Sendler lives in a Warsaw nursing home and is too weak to travel to Washington D. C., to receive the 2003 Jan Karski Award for Valor and Compassion from the American Center of Polish Culture. One of the children she saved will accept the award for her.
**You risked your life to save the children.**
I was taught by my father that when someone is drowning, you don\'t ask if they can swim, you just jump in and help. During the war, everyone was drowning, hut mostly the Jewish children.
How did you persuade parents to give up their children?
=======================================================
I had to answer honestly that I didn\'t even know if we would get the guards.
What was the most frightening moment?
=====================================
When I saw a priest (牧师) in charge of an orphanage for Jewish children in the ghetto walk with them out to be. killed. The children were in their best Sunday suits. The priest was killed with them.
**How did you get the children to behave as you smuggled them out?**
I told the older children to act as if they were sick and sometimes gave the younger ones a sleeping pill. They were told to remember their new names. I also told the children to tell guards they had only been visiting a servant in the ghetto and were going back to their real homes outside.
Did you tell your own two children what you did?
================================================
I never told them. Only when my daughter went to Israel did she learn all about me. I thought it was only normal to do so. And it was a very painful subject. It was always on my mind that I couldn\'t do more.
------------ Samantha Levine
82\. We can learn from the passage that Irena Sendler \_\_\_\_\_\_\_.
A. will go to Washington to accept the award with her daughter
B. was caught a few times while she was rescuing the Jewish children
C. told those parents that their children\' s lives would be guaranteed
D. saved thousands of Jewish children at the risk of her own life
83\. The expression \"everyone was drowning\" can best be replaced by \"\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\".
A. everyone was involved in the war B. all the people were drowned
C. people were facing danger and death D. Jewish children were being killed
84\. Which of the following could NOT be expected when Sendler was smuggling the Jewish children?
A. Some children were told to pretend to be sick in front of the guards.
B. ,Some children pretended to be returning home after visiting servants in the ghetto.
C. The children were asked to remember and use new names instead of real ones.
D. The children pretended to be brothers and sisters from one big family.
85\. Sendler didn't tell her own children what she did in the war because \_\_\_\_\_\_\_\_.
A. she thought it was the most frightening experience
B. the topic was too painful and heartbreaking to mention
C. it was already recorded and made known to the public
D. she planned to bury the secret in her heart until her death
**(D)**
In toy stores, what is old is new again.
Some of the latest toys to hit store shrives include several
names that were popular in the 1980\' s. Among them: He -man, My little Pony, Teenage Mutant Ninja Turtles, and Transformers. Their appearance is surprising in an industry where all but classic toys like Barbie dolls tend to stay in the market for only a few years before they leave kid culture for good.
The return of toys introduced a generation ago, say experts, is largely a generational effect. These toys were among the first to be marketed primarily through TV cartoons. The result: The toys carried with them a much stronger brand identity than toys from previous ages. When those who played with these toys during the 1980s began having children of their own, businessmen realized they could take advantage of parents\' emotional ties by bringing the toys back.
We re starting to see a lot of properties and products coming back now for the kids of Generation X,\" says Greg Livingston, vice president of Wondergroup, a children\' s product marketing firm. But other industry observers say this return-of-toy trend is more rooued in basic economics. When the economy isn\'t strong, they say, toy-makers become more careful.
One of the safest marketing techniques is bringing back toys that are proven successes. \"If you\'re in the business of making and selling toys, you\' re going to go the safest route, which is using proven brands,\" says Stephanie Oppenheimer, co-founder of the Oppenheimer Toy Co., an independent consumer group that rates toys. Other companies use product ideas that have sold well in other countries, such as Japan. Still, Mr Oppenheimer also believes that American consumers simply are not in the mood for new, high-tech toys anymore. \"People are interested less in what we wish we had anti more in what we already have,\" says Oppenheimer. \"As a country, we\' re looking for things that remind us of simpler times.\"
86\. The expression in the first, paragraph \"what\'s old is new again\" means that " \_\_\_\_\_\_\_\_."
A. both old and new toys are sold B. old and new toys are of the same price
C. old toys are in fashion again D. old toys have taken on new forms
87\. Which of the following is NOT listed as the cause for the return of the toys popular about two decades ago?
A. Generational effect. B. Economic factors.
C. Marketing techniques. D. Fierce competition.
88\. The expression \"for good\" in the second paragraph can be replaced by \_\_\_\_\_\_\_\_.
A. for ever B. for the future C. for the best D. for all
89\. The main purpose of the passage is\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. to introduce the development of kid culture, in the past century
B. to analyse the reappearance of toys popular in the 1980s
C. to promote the marketing techniques of toy manufacturers
D. to show the impact of high-tech toys on the kids of Generation X
**第二卷(共40分)**
I．Translation
1．我们盼望能参加下星期举行的艺术节开幕式。(look forward to)
2．多参加些体育锻炼，你就不那么容易感冒了。(If．．．)
3．因为缺少实践，他没有通过驾驶考试。(The reason why)
4．直到被送入手术间时，他才明白遵守交通规则的重要性。(not．．．until．．．)
5．虽然她孤身一人，无亲无故，但邻居们都向她伸出了援助之手。(offer)
Il. Guided Writing
Directions Write an English composition in over 120 words according to the instructions below in Chinese.
简要描述图片，并谈谈你对学生在业余时间参加过多的补习和培训的看法。
参考答案
1-5:DBCAB 6-10:CCBAB 11-15:BDBCA 16.C
17\. 28th 18.London 19. 1070 20. by the window
21\. main hall 22. costs 23. driver 24. English test 25. B
26 - 30: DDACA 31 - 35: DBCAB 36 - 40: BBCCC
41 - 45: BBCDB 46 - 50: ADCAB 51 - 55: BCABB
56 - 60: ADCAB 61 - 65: CDACB 66 - 70:AADBB
71 - 75: ACDCD 76 - 80: ABBAC 81 - 85: ADCDB
86 - 89: CDAB
Translation:
1\. We are looking forward to taking part in the opening ceremonial of the art.
2\. If you take more PE exercises, you will not catch a cold so easily.
3\. The reason why he didn\'t pass the driving test is lacking of practice.
4\. He didn\'t know the importance of obeying the traffic roles until he was sent into the mom of operation.
5\. Though she is single and has no friends or realities, all! the neighbours offer her help.
One possible version:
We Want Have Our Own Time
As we all know, today students have more and more homework. They use their spare time to do the homework mid to take lessons. Then, students have no time for themselves. Iii my opinion, I think, students should have more time to develop themselves.
First, students should have some time to relax and play. This doesn\'t mean that they will waste time. We also can study and learn from the play. After doing the homework for a long time, it is necessary to have some time to relax. \"No play no games makes Jack a dull boy.\" We don\'t want to be dull boys. We want to be good students in many ways.
Second, we can have our own time in order to make our body strong enough. This can be helpful in our further study.
After all. I want to say, students should have their own time to develop themselves.
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**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.
2\. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由图可知，所以，即复数的点是，故选D.
考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.
3\. 如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
【答案】A
考点：几何概型.
4\. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）
A．45 B．50  C.55 D．60
【答案】D
【解析】
试题分析：由表格可知，，所以，所以有
，解得，故选D.
考点：线性回归.
5\. 已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C.  D．
【答案】C
考点： 双曲线的标准方程与几何性质.
6\. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．35 C.  D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为的等腰三角形，三棱柱的高为，两个三棱锥的底面底与高皆为的等腰三角形，高为，因此几何体的体积为 ，故选C.
考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.
7\. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）
（参考数据：,,）
A．12 B．24 C. 36 D．4
【答案】B
考点：1.数学文化；2.程序框图.
8\. 如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由图象可知，函数，由此知此函数是由的图象向右平移 个单位得到的，由选项可知D正确，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
9\. 三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C.  D．
【答案】B
考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.
10\. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C.  D．3
【答案】B
考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.
【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题. \[来源:学科网\]
11\. 已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C.  D．
【答案】B
【解析】
试题分析：在直角坐标系内作出函数 的图象与直线的图象，当直线与相切时， ，由图可知，当直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点时，，故选B.学科网
考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
12\. 已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B．  C.  D．
【答案】D
考点：导数与函数的单调性、极值、最值.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸****上）\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:Z\*xx\*k.Com\]**
13\. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
考点：二项式定理.
14\. 已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为，准线为，设，则，又因为 ，，所以，所以，，代入得，解之得或，又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以.
考点：抛物线的标准方程及几何性质.
15\. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.
【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．"含"与"不含"的问题："含"，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；"不含"，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
16\. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：在直角坐标系内作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分，易知点，直线的斜率为，直线的斜率为，由图可知,平面区域存在点，使成立等价于，即.
考点：线性规划.
【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）
设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.
（1）求数列,的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】(1) ；(2) .
（2），
............①
............②............8分
1. ---②得
............10分
整理得：..................12分
考点：1.与的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.
【名师点睛】本题考查与的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
18\. （本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为"环保卫士-12369"的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
下面临界值表供参考：
参考公式：，其中.
【答案】（1）；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
（Ⅱ）根据以上数据得到如表：
---------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
非重度污染 重度污染 合计
供暖季   
非供暖季   
合计   
---------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
............8分
的观测值.
有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关...............................12分
考点：1.古典概型；2.独立性检验.
【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求的观察值或已知观察值，判断命题的正确性.
19\. （本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.
（1）若分别为，的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
试题分析：(1)欲证平面，只要证平面平面即可，取的中点，连接，由中位线定理可证，从而可证平面，同理可证平面，从而可证平面平面；(2)由题中所给数据易证，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量与平面平面的法向量，由向量的夹角公式计算即可.
（2）连接，在中，
，
所以由余弦定理得是等腰直角三角形，，
又因为平面平面，平面平面平面，平面，，............7分
又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，..................8分
设平面的一个法向量为，则，即，令，则
，
故为平面的一个法向量，
考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.
20\. （本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析： （Ⅰ）因为椭圆的右焦点，............1分
在椭圆上，，............2分
由得，所以椭圆的方程为.............4分
又圆心到的距离得，............9分
又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，..................10分
所以面积
，............11分
令，则，
综上，面积的取值范围为.............12分
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
21\. （本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)求函数的导函数，由即可求出 的值；(2) 不等式等价于即或，构造函数，研究函数的单调性可知在上单调递增，而，所以当或时，；同理可得，当时，，则恒成立，等价于当或时，，即和是方程的两根，从而求出的值即可.
令.
当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，，
即，所以在上单调递增，而；
故.
当或时，；同理可得，当时，.
当恒成立可得，当或时，，
当时，，故和是方程的两根，
从而.............12分
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.
**请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.
【答案】（1）直线的普通方程,曲线的普通方程为；（2）最小值为，相应的点为或.
（2）∵，∴的直角坐标方程为.
∴设，则.
∴.
∴当，即或，上式取最小值.
即当或，的最小值为.
【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用.
23\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数，，函数的最大值为3.
（1）求的值；
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
（2）当时，，......6分
对于，使得等价于成立，
∵的对称轴为，∴在为减函数，
∴的最大值为，......8分
∴，即，解得或，
又因为，所以.......10分
【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.
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**2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题**
**理科数学（Ⅰ）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）
A. B． C. D．
4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）
A.它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上
C.它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等
5.在等比数列中，"，是方程的两根"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）
A.1009 B．-1009 C.-1007 D．1008
7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）
A． B． C. D．
9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B．
C. D．
10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了"祖国，你好"的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）
A．720 B．768 C.810 D．816
11.焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．或 B．
C.或 D．
12.定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13.已知，，若向量与共线，则和方向上的投影为 [ ]{.underline} ．
14.已知实数，满足不等式组且的最大值为，则= [ ]{.underline} ．
15.在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为 [ ]{.underline} ．
16.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 [ ]{.underline} .
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17.已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.
18.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
20\. 已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
21\. 已知函数.
**（1）讨论函数**的单调性；
**（2）当时，若函数**的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为**，，线段**的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点，求证：.
**请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.
（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；
（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.
**23. 选修4-5：不等式选讲.**
**已知函数.**
**（1）求函数**的值域**；**
**（2）若，试比较，，的大小.**
**参考答案及解析**
**理科数学（Ⅰ）**
**一、选择题**
1-5:BBDDA 6-10:BCCDB 11、12：AD
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）的展开式中的系数为，
即，
所以当时，；
当时，也适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：，
所以，
所以.
18.解：（1）如图，延长交于点.
因为为的重心，所以为的中点.
因为为的中点，所以.
因为是圆的直径，所以，所以.
因为平面，平面，所以.
又平面，平面，，所以平面.
即平面，又平面，
所以平面平面.
（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.
过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.
在中，由，得，则，.
所以，.
所以.
设二面角的大小为，则.
19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为.
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.
，，
，，
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
20.解：（1）由题意可得，所以.
由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，
可得椭圆经过点，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，
所以，.
因为，所以，
即，
所以.
当时，，
所以；
当时，，所以.
综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.
21\. 解：（1）由于的定义域为，则.
对于方程，其判别式.
当，即时，恒成立，故在内单调递增.
当，即，方程恰有两个不相等是实根，
令，得或，此时单调递增；
令，得，此时单调递减.
综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.
（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.
又因为，为的零点，
所以，，两式相减得，得.
而，所以.
令，由得，
因为，两边同时除以，得，
因为，故，解得或，所以.
设，所以，
则在上是减函数，
所以，
即的最小值为.
所以.
22.解：（1）由得，
所以，所以圆的直角坐标方程为.
将直线的参数方程代入圆，并整理得，
解得，.
所以直线被圆截得的弦长为.
（2）直线的普通方程为.
圆的参数方程为（为参数），
可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.
所以，
即的面积的最大值为.
23\. 解：（1）
根据函数的单调性可知，当时，.
所以函数的值域.
（2）因为，所以，所以.
又，
所以，知，，
所以，所以，
所以.
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**2008年浙江理科数学全解全析**
**本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。**
**请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。**
**第Ⅰ卷（共50分）**
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
> 如果事件A、B互斥，那么
>
> P（A+B）=P（A）+（B）
>
> 如果事件A、B相互独立，那么
>
> P（A·B）=P（A）·（B）
>
> 如果事件A在一次试验中发生的概率是p那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径
求的体积公式V=
其中R表示球的半径
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，**
> **只有一项是符合题目要求的。**
（1）已知是实数，是纯虚数，则=( A )
（A）1 （B）-1 （C） （D）-
解析：本小题主要考查复数的概念。由是纯虚数，
则且故=1.
（2）已知U=R，A=,B=,则 ( D )
（A） （B）
（C） （D）
解析：本小题主要考查集合运算。
（3）已知，b都是实数，那么""是"\>b"的( D )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题"\>b"既不能推出 "\>b"；反之，由"\>b"
也不能推出""。故""是"\>b"的既不充分也不必要条件。
（4）在的展开式中，含的项的系数是( A )
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号
（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含
的项的系数为
（5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象
> 和直线的交点个数是( C )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：
=作出原函数图像，
截取部分，其与直线的交点个数是2个.
（6）已知是等比数列，，则=( C )
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
数列仍是等比数列:其首项是公比为所以,
（7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,
则双曲线的离心率是( D )
（A）3 （B）5 （C） （D）
解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，
则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离
为，依题即，
∴双曲线的离心率
（8）若则=( B )
（A） （B）2 （C） （D）
解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由可知，
两边同时除以得平方得
,解得或用观察法.
（9）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,
则的最大值是( C )
（A）1 （B）2 （C） （D）
解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。
展开
则的最大值是;
或者利用数形结合, ，对应的点A,B在圆上,
对应的点C在圆上即可.
（10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，
使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( B )
（A）圆 （B）椭圆
（C）一条直线 （D）两条平行直线
解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。
考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线
AB的距离为定值，若忽略平面的限制，则P轨迹类
似为一以AB为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！
还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，
故面积也为无穷大，从而排除C与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂
直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！
**2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷**
**数学（理科）**
**第Ⅱ卷（共100分）**
注意事项：
1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图,可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
**二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。**
（11）已知\>0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=\_\_\_\_\_\_\_
解析：本小题主要考查三点共线问题。
(舍负).
（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点
若，则=\_\_\_\_\_\_8\_\_\_\_\_\_。
解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线过椭圆的左焦点,在 中，，又，∴
（13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：
,即,
∴
（14）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，
> DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，
>
> 则球O点体积等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出
> 球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都
>
> 是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到
>
> D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。
（15）已知t为常数，函数在区间\[0，3\]上的最大值为2，则t=\_\_\_\_1\_\_\_\_
解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间\[0，3\]上的最大值为2，知解得检验时,
> 不符,而时满足题意.
（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是\_\_\_\_40 \_\_\_\_\_\_（用数字作答)。
解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有
> 种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，
>
> ∴不同的安排方案共有种。
（17）若，且当时，恒有，则以,b
> 为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于\_\_\_\_\_\_\_1\_\_\_\_\_。
解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时，
恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点
所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
**三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
（18）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
> BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
> （Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
**18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等**
**基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．**
方法一：
（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，
可得四边形为矩形，又为矩形，
所以，从而四边形为平行四边形，
故．因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得平面，
从而．所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
又因为，所以，
从而．
于是．
因为，
所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，
建立空间直角坐标系．设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．因为平面，所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而
解得．所以，．
设与平面垂直，则，，
解得．又因为平面，，
所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。
> （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。
**本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望**
**等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．**
（Ⅰ）解：（i）记"从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球"为事件*A*，
设袋中白球的个数为，则，
得到．故白球有5个．
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
的数学期望
．
（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，
所以，，故．
记"从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球"为事件*B*，则
．
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．
故袋中红球个数最少．
（20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。
> **本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．**
（Ⅰ）解：设为上的点，则，
到直线的距离为．由题设得．
化简，得曲线的方程为．
（Ⅱ）解法一：
设，直线，则
，从而．
在中，因为
，．
所以 .
，
．
当时，，从而所求直线方程为．
解法二：设，直线，则，从而
．过垂直于的直线．
因为，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
（21）（本题15分）已知是实数，函数。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为在区间上的最小值。
（i）写出的表达式；
（ii）求的取值范围，使得。
**21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想**
> **以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．**
（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．
若，则，有单调递增区间．
若，令，得，当时，，
当时，．有单调递减区间，单调递增区间．
（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．
若，在上单调递减，在上单调递增，
所以．若，在上单调递减，
所以．
综上所述，
（ii）令．若，无解．若，解得．
若，解得．故的取值范围为．
（22）（本题14分）已知数列，，，．记．．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，
同时考查逻辑推理能力．满分14分．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得，
所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为，
所以．
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**2009年全国硕士研究生入学统一考试**
**数学二试题及答案解析**
**一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.**
\(1\) 函数的可去间断点的个数为
1 2 3 无穷多个 【答案】
【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义.
故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解
.
故可去间断点为3个,即.
\(2\) 当时,与是等价无穷小,则
【答案】
【解析】
,故排除.
另外,存在,蕴含了,故排除.
所以本题选.
\(3\) 设函数的全微分为,则点
> 不是的连续点 不是的极值点
>
> 是的极大值点 是的极小值点 【答案】
【解析】因可得.
,
又在处,,,
故为函数的一个极小值点.
\(4\) 设函数连续,则
> 【答案】
【解析】的积分区域为两部分：
,,
将其写成一块,
故二重积分可以表示为,故答案为.
\(5\) 若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间内
> 有极值点,无零点 无极值点,有零点
>
> 有极值点,有零点 无极值点,无零点 【答案】
【解析】由题意可知,是一个凸函数,即,且在点处的曲率
,而,由此可得,.
在上,,即单调减少,没有极值点.
对于,(拉格朗日中值定理)
而,由零点定理知,在上,有零点.故应选.
（6）设函数在区间上的图形为：
则函数的图形为
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：
①时，，且单调递减。
②时，单调递增。
③时，为常函数。
④时，为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为。
（7）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
> . .
>
> . . 【答案】 B
【解析】根据若
分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆
（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为
> . .
>
> . . 【答案】 A
【解析】，即：
**二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
（9）曲线在处的切线方程为 [ ]{.underline}
【答案】
【解析】
所以
所以 切线方程为
（10）已知,则 [ ]{.underline} 【答案】
【解析】
因为极限存在所以
（11） [ ]{.underline} 【答案】0
【解析】令
所以
即
（12）设是由方程确定的隐函数，则 [ ]{.underline} 【答案】
【解析】对方程两边关于求导有，得
对再次求导可得，
得
当时，，，代入得
（13）函数在区间上的最小值为 [ ]{.underline} 【答案】
【解析】因为，令得驻点为。
又，得，
故为的极小值点，此时，
又当时，；时，，故在上递减，在上递增。
而，，
所以在区间上的最小值为。
(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则
[ ]{.underline} 【答案】
【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是，而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则。
**三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分9分）求极限
【解析】
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分
【解析】方法一：令得
方法二：
即
（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与
【解析】
（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。
【解析】微分方程得其通解为任意常数
令，则，微分方程变形为
得到其中为任意常数
即得到其中为任意常数
又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得
从而
于是，所求非负函数
又由可得，在第一象限曲线表示为
于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中
（19）（本题满分10分）
求二重积分，其中。
【解析】由得，
（20）（本题满分12分）
设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式
【解析】由题意，当时，，即，得，
又代入得，从而有
当时，得 的通解为
令解为，则有，得，
故，得的通解为
由于是内的光滑曲线，故在处连续
于是由，故时，在处连续
又当 时，有，得，
当时，有，得
由得，即
故 的表达式为或
，又过点，
所以。
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。
【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：
；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。
根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即
（Ⅱ）任取，则函数满足；
在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得......
又由于，对上式（\*式）两边取时的极限可得：
故存在，且。
（22）（本题满分11分）设，
（Ⅰ）求满足的所有向量
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令，由解得，
求特解，令，得
故 ，其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令，由得
令，由得
求特解 故 ，其中为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
故 线性无关.
（23）（本题满分11分）设二次型
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则
1) 若，则 ， ，不符题意
2) 若 ，即，则，，符合
3) 若 ，即，则 ，，不符题意
> 综上所述，故
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**一年级数学下册同步练习及解****析\|北师大版(秋)**
**第1单元 第五****节：跳伞比赛**
一、口算题。
13－6＝ 12－8＝ 13－7＝
5＋8＝ 14－9＝ 9＋9＝
12＋5＝ 13－3＝ 0＋10＝
二、下面的□里分别填几？
5＋□＝9 14－□＝11  9＋□＝13
□＋7＝15 12－□＝6 4＋8＝5＋□
三、算一算，连一连
14-5+6 9  16-9
12+3-8 15 9+9
16-7+9 7 13-4
四、小小数学家 。
（1）丽丽比明明多跳了（ ）下。\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:学科网ZXXK\]
（2）军军和明明一共跳了（ ）下。
（3）军军比明明少跳了（ ）下。
（4）请你再提出一个数学问题并解答。
答案
一、口算题。
13－6＝7 12－8＝4 13－7＝6\[来源:Zxxk.Com\]
5＋8＝13 14－9＝5 9＋9＝18\[来源:学科网ZXXK\]
12＋5＝17 13－3＝10 0＋10＝10\[来源:学科网ZXXK\]
三、算一算，连一连
14-5+6 9 16-9
12+3-8 15 9+9
16-7+9 7 13-4
二、下面的□里分别填几？
5＋4＝9 14－3＝11 9＋4＝13
8＋7＝15 12－6＝6 4＋8＝5＋7
四、小小数学家 。
（1）3
（2）15
（3） 3
（4）丽丽比军军多跳几下？
12-6=6（下） 答：丽丽比军军多跳6下
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师****大版(秋)**
**第3单元 第四节：谁的红果多**
一、画算珠：先按要求在计数器上画出对应的珠子，再填数。
4个十和4个一 3个百 7个一二、填一填。
1、3个一和7个十组成的数是（ ）。
2、99是（ ）位数，它的十位上是（ ），个位上是（ ）。
3、比较大小。
27○72 90○89 4个十○40个一
三、画一画，写一写。
四、填空。
1、10个一是（ ），20里面有（ ）个十，（ ）个十是100。
2、7个十和5个一合起来是（ ），96是由（ ）个十和（ ）个一组成的。
3、59的前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。 （4）99在（ ）和（ ）之间。
4、57中的"7"在（  ）位上，表示（ ）个（ ），"5"在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。
五、先找规律，再填数。\[来源:学科网ZXXK\]
答案
一、画算珠：先按要求在计数器上画出对应的珠子，再填数。
4个十和4个一 3个百 7个一
  44 300 7
二、填一填。
1、73
2、两 9 9\[来源:学科网\]
3、27＜72 90＞89 4个十＝40个一
三、画一画，写一写。
26 37 100\[来源:学科网\]
四、
1、1，2，10
2、75，9 6
3、58，60
4、个 7 1 十 5 10
五、先找规律，再填数。
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7 8 9 10 11 12\[来源:学科网\] 13 14
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3 14 15 16 17
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**2018年天津市初中毕业生学业考试试卷**
**数学**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1\. 计算的结果等于（ ）
A. 5 B.  C. 9 D. 
2\. 的值等于（ ）
A.  B.  C. 1 D. 
3\. 今年"五一"假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
5\. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 估计的值在（ ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间
C. 7和8之间 D. 8和9之间
7\. 计算的结果为（ ）
A. 1 B. 3 C.  D. 
8\. 方程组的解是（ ）
A.  B.  C.  D. 
9\. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A.  B.  C.  D. 
10\. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
11\. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点；
②方程有两个不相等的实数根；
③.
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13\. 计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
17\. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
18\. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
（1）的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（度）；
（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）**
19\. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式（1），得 [ ]{.underline} ．
（Ⅱ）解不等式（2），得 [ ]{.underline} ．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 [ ]{.underline} ．
20\. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中的值为 [ ]{.underline} ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ） 根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？
21\. 已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
22\. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
23\. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
---------------------- ----- ----- ---- ----- --------------------------------------
游泳次数 10 15 20 ... 
方式一的总费用（元） 150 175 ...
方式二的总费用（元） 90 135 ...
---------------------- ----- ----- ---- ----- --------------------------------------
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
24\. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.
25\. 在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求定点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
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Subsets and Splits
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