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|---|---|---|
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）**
**数 学（文科）全解全析**
**本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C
2．若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为，，选C
4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
解析：因为，所以向量与垂直，选D
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解析：由等差数列性质知S~3~、S~6~-S~3~、S~9~-S~6~成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B
6．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
解析：由有关性质排除A、C、D，选B
7．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）
A． B． C． D．
解析：函数为，令得平移公式，所以向量，选C
8．已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A
9．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：定义域为∪，排除A、C，根据复合函数的单调性知的单调增区间为，选D
10．一个坛子里有编号为1，2，...，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
解析：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选D
11．设是两个命题：，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p：，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A
12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．48
解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．**
13．已知函数为奇函数，若，则[ ]{.underline}．
解析：由函数为奇函数得，填1
14．展开式中含的整数次幂的项的系数之和为[ ]{.underline}（用数字作答）．
解析：，当r=0，4，8时为含的整数次幂的项，所以展开式中含的整数次幂的项的系数之和为，填72
15．若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 [ ]{.underline} ．
解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为
16．设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则[ ]{.underline}．
解析：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0），P（，由已知M为PF中点，M（，所以
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
------ ------------- -------------- --------------- --------------- --------------- --------------- -----------
分组 \[500，900) \[900，1100) \[1100，1300) \[1300，1500) \[1500，1700) \[1700，1900) \[1900，)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
------ ------------- -------------- --------------- --------------- --------------- --------------- -----------
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．
（I）解：
------ ------------- -------------- --------------- --------------- --------------- --------------- -----------
分组 \[500，900) \[900，1100) \[1100，1300) \[1300，1500) \[1500，1700) \[1700，1900) \[1900，)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
------ ------------- -------------- --------------- --------------- --------------- --------------- -----------
4分
（II）解：由（I）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． 8分
（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率，根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得
．
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． 12分
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．
本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．
（I）证明：连结，
三棱柱是直三棱柱，
平面，
为在平面内的射影．
中，，为中点，
，
．
，
．
（II）解法一：过点作的平行线，
交的延长线于，连结．
分别为的中点，
．
又，．
．
平面，
为在平面内的射影．
．
为二面角的平面角，．
在中，，，
．
作，垂足为，
，，
平面，
平面平面，
平面．
在中，，，
，即到平面的距离为．
，
平面，
到平面的距离与到平面的距离相等，为．
解法二：过点作的平行线，交的延长线于，连接．
分别为的中点，
．
又，
．
平面，
是在平面内的射影，
．
为二面角的平面角，．
在中，，，
． 8分
设到平面的距离为，
．
，，
，
，
，即到平面的距离为． 12分
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．
（I）解：
． 5分
由，得，
可知函数的值域为． 7分
（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得． 9分
于是有，再由，解得
．
所以的单调增区间为 12分
20．（本小题满分12分）
已知数列，满足，，且（）
（I）令，求数列的通项公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式．
本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．
（Ｉ）解：由题设得，即
（）
易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为
． 4分
（II）解：由题设得，令，则
．
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为
． 8分
由解得
， 10分
求和得． 12分
21．（本小题满分14分）
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知
．
解得，
所以，或，．
设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为
． 4分
解法二：设两点坐标分别为，，由题设知
．
又因为，，可得．即
．
由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．
设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． 4分
（II）解：设，则
． 8分
在中，，由圆的几何性质得
，，
所以，由此可得
．
则的最大值为，最小值为．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，且对任意的实数均有，．
（I）求函数的解析式；
（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．
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**2015年湖北省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）i为虚数单位，i^607^的共轭复数为（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（5分）已知（1+x）^n^的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．2^12^ B．2^11^ C．2^10^ D．2^9^
4．（5分）设X～N（μ~1~，σ~1~^2^），Y～N（μ~2~，σ~2~^2^），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ~2~）≥P（Y≥μ~1~） B．P（X≤σ~2~）≤P（X≤σ~1~）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）设a~1~，a~2~，...，a~n~∈R，n≥3．若p：a~1~，a~2~，...，a~n~成等比数列；q：（a~1~^2^+a~2~^2^+...+a~n﹣1~^2^）（a~2~^2^+a~3~^2^+...+a~n~^2^）=（a~1~a~2~+a~2~a~3~+...+a~n﹣1~a~n~）^2^，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn\[g（x）\]=sgnx B．sgn\[g（x）\]=﹣sgnx C．sgn\[g（x）\]=sgn\[f（x）\] D．sgn\[g（x）\]=﹣sgn\[f（x）\]
7．（5分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记P~1~为事件"x+y≥"的概率，P~2~为事件"\|x﹣y\|≤"的概率，P~3~为事件"xy≤"的概率，则（ ）
A．P~1~＜P~2~＜P~3~ B．P~2~＜P~3~＜P~1~ C．P~3~＜P~1~＜P~2~ D．P~3~＜P~2~＜P~1~
8．（5分）将离心率为e~1~的双曲线C~1~的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e~2~的双曲线C~2~，则（ ）
A．对任意的a，b，e~1~＞e~2~
B．当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~
C．对任意的a，b，e~1~＜e~2~
D．当a＞b时，e~1~＜e~2~；当a＜b时，e~1~＞e~2~
9．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
10．（5分）设x∈R，\[x\]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得\[t\]=1，\[t^2^\]=2，...，\[t^n^\]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
**二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．**
11．（5分）已知向量⊥，\|\|=3，则•=[ ]{.underline}．
12．（5分）函数f（x）=4cos^2^cos（﹣x）﹣2sinx﹣\|ln（x+1）\|的零点个数为[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=[ ]{.underline}m．
14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为[ ]{.underline}；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x^2^+y^2^=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①=； ②﹣=2； ③+=2．
其中正确结论的序号是[ ]{.underline}．（写出所有正确结论的序号）
**选修4-1：几何证明选讲**
15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=[ ]{.underline}．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则\|AB\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（11分）某同学用"五点法"画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
-------------- --- ------------------------------------- --- ------------------------------------- ----
ωx+φ 0  π  2π
x  
Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- ------------------------------------- --- ------------------------------------- ----
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．
18．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的公比为q，已知b~1~=a~1~，b~2~=2，q=d，S~10~=100．
（1）求数列{a~n~}，{b~n~}的通项公式
（2）当d＞1时，记c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
--- ----- ----- -----
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
--- ----- ----- -----
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l~1~：x﹣2y=0和l~2~：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（14分）已知数列{a~n~}的各项均为正数，b~n~=n（1+）^n^a~n~（n∈N~+~），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e^x^的单调区间，并比较（1+）^n^与e的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令c~n~=（a~1~a~2~...a~n~），数列{a~n~}，{c~n~}的前n项和分别记为S~n~，T~n~，证明：T~n~＜eS~n~．
**2015年湖北省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）i为虚数单位，i^607^的共轭复数为（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．
【解答】解：i^607^=i^604+3^=i^3^=﹣i，
它的共轭复数为：i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．
2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5分）已知（1+x）^n^的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．2^12^ B．2^11^ C．2^10^ D．2^9^
【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．
【解答】解：已知（1+x）^n^的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
可得，可得n=3+7=10．
（1+x）^10^的展开式中奇数项的二项式系数和为：=2^9^．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．
4．（5分）设X～N（μ~1~，σ~1~^2^），Y～N（μ~2~，σ~2~^2^），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ~2~）≥P（Y≥μ~1~） B．P（X≤σ~2~）≤P（X≤σ~1~）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．
【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ~1~＜μ~2~，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．
故选：C．
【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
5．（5分）设a~1~，a~2~，...，a~n~∈R，n≥3．若p：a~1~，a~2~，...，a~n~成等比数列；q：（a~1~^2^+a~2~^2^+...+a~n﹣1~^2^）（a~2~^2^+a~3~^2^+...+a~n~^2^）=（a~1~a~2~+a~2~a~3~+...+a~n﹣1~a~n~）^2^，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【分析】运用柯西不等式，可得：（a~1~^2^+a~2~^2^+...+a~n﹣1~^2^）（a~2~^2^+a~3~^2^+...+a~n~^2^）≥（a~1~a~2~+a~2~a~3~+...+a~n﹣1~a~n~）^2^，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．
【解答】解：由a~1~，a~2~，...，a~n~∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a~1~^2^+a~2~^2^+...+a~n﹣1~^2^）（a~2~^2^+a~3~^2^+...+a~n~^2^）≥（a~1~a~2~+a~2~a~3~+...+a~n﹣1~a~n~）^2^，
若a~1~，a~2~，...，a~n~成等比数列，即有==...=，
则（a~1~^2^+a~2~^2^+...+a~n﹣1~^2^）（a~2~^2^+a~3~^2^+...+a~n~^2^）=（a~1~a~2~+a~2~a~3~+...+a~n﹣1~a~n~）^2^，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a~1~=a~2~=a~3~=...=a~n~=0，则a~1~，a~2~，...，a~n~不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．
6．（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn\[g（x）\]=sgnx B．sgn\[g（x）\]=﹣sgnx C．sgn\[g（x）\]=sgn\[f（x）\] D．sgn\[g（x）\]=﹣sgn\[f（x）\]
【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．
【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn\[g（x）\]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn\[f（x）\]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn\[f（x）\]=sgn（x+1）=；
sgn\[g（x）\]=sgn（﹣x）=，
﹣sgn\[f（x）\]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
7．（5分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记P~1~为事件"x+y≥"的概率，P~2~为事件"\|x﹣y\|≤"的概率，P~3~为事件"xy≤"的概率，则（ ）
A．P~1~＜P~2~＜P~3~ B．P~2~＜P~3~＜P~1~ C．P~3~＜P~1~＜P~2~ D．P~3~＜P~2~＜P~1~
【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．
【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：
P~1~：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），
则阴影部分的面积S~1~=1×1﹣=1﹣=，
S~2~=1×1﹣2×=1﹣=，
S~3~=1×+dx=+lnx\|=﹣ln=+ln2，
∴S~2~＜S~3~＜S~1~，
即P~2~＜P~3~＜P~1~，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．
8．（5分）将离心率为e~1~的双曲线C~1~的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e~2~的双曲线C~2~，则（ ）
A．对任意的a，b，e~1~＞e~2~
B．当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~
C．对任意的a，b，e~1~＜e~2~
D．当a＞b时，e~1~＜e~2~；当a＜b时，e~1~＞e~2~
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C~1~：c^2^=a^2^+b^2^，e~1~=；
双曲线C~2~：c′^2^=（a+m）^2^+（b+m）^2^，e~2~=，
∴=﹣=，
∴当a＞b时，e~1~＞e~2~；当a＜b时，e~1~＜e~2~，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）\|（x~1~，y~1~）∈A，（x~2~，y~2~）∈B}的元素可看作正方形A~1~B~1~C~1~D~1~中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．
10．（5分）设x∈R，\[x\]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得\[t\]=1，\[t^2^\]=2，...，\[t^n^\]=n同时成立，则正整数n的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．
【解答】解：若\[t\]=1，则t∈\[1，2），
若\[t^2^\]=2，则t∈\[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若\[t^3^\]=3，则t∈\[，），
若\[t^4^\]=4，则t∈\[，），
若\[t^5^\]=5，则t∈\[，），
其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间\[1，2）∩\[，）∩\[，）∩\[，）上，
但当t=5时，无法找到实数t使其在区间\[1，2）∩\[，）∩\[，）∩\[，）∩\[，）
上，
∴正整数n的最大值4
故选：B．
【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．
**二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．**
11．（5分）已知向量⊥，\|\|=3，则•=[ 9 ]{.underline}．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵\|\|=3，
∴．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．
12．（5分）函数f（x）=4cos^2^cos（﹣x）﹣2sinx﹣\|ln（x+1）\|的零点个数为[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x\|x＞﹣1}．
f（x）=4cos^2^cos（﹣x）﹣2sinx﹣\|ln（x+1）\|
=2sinx﹣\|ln（x+1）\|
=sin2x﹣\|ln（x+1）\|，
分别画出函数y=sin2x，y=\|ln（x+1）\|的图象，
由函数的图象可知，交点个数为2．
所以函数的零点有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．
13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=[ 100]{.underline}[ ]{.underline}m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2．
（1）圆C的标准方程为[ （x﹣1）^2^+（y﹣]{.underline}[）^2^=2 ]{.underline}；
（2）过点A任作一条直线与圆O：x^2^+y^2^=1相交于M，N两点，下列三个结论：
①=； ②﹣=2； ③+=2．
其中正确结论的序号是[ ①②③ ]{.underline}．（写出所有正确结论的序号）
【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；
（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可．
【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，
∵\|AB\|=2，∴\|BE\|=1，
则\|BC\|=，即圆的半径r=\|BC\|=，
∴圆心C（1，），
则圆的标准方程为（x﹣1）^2^+（y﹣）^2^=2，
故答案为：（x﹣1）^2^+（y﹣）^2^=2．
（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），
又∵\|AB\|=2，且E为AB中点，
∴A（0，﹣1），B（0，+1），
∵M、N在圆O：x^2^+y^2^=1上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴\|NA\|=
=
=
=
=，
\|NB\|=
=
=
=，
∴===，
同理可得=，
∴=，①成立，
﹣=﹣（）=2，②正确．
+=+（）=，③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
**选修4-1：几何证明选讲**
15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．
【解答】解：由切割线定理可知：PA^2^=PB•PC，又BC=3PB，
可得PA=2PB，
在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），
可得△PAB∽△PAC，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．
**选修4-4：坐标系与参数方程**
16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则\|AB\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．
【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，
由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x^2^﹣y^2^=﹣4．
联立，得，即．
∴A（），B（），
∴\|AB\|=．
故答案为：．
【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（11分）某同学用"五点法"画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
-------------- --- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ----
ωx+φ 0  π  2π
x  
Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0
-------------- --- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ----
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．
【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．
（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．
【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：
-------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ωx+φ 0  π  2π
x     
Asin（ωx+φ） 0 5 0 ﹣5 0
-------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，
解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．
18．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的公比为q，已知b~1~=a~1~，b~2~=2，q=d，S~10~=100．
（1）求数列{a~n~}，{b~n~}的通项公式
（2）当d＞1时，记c~n~=，求数列{c~n~}的前n项和T~n~．
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c~n~=，写出T~n~、T~n~的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）设a~1~=a，由题意可得，
解得，或，
当时，a~n~=2n﹣1，b~n~=2^n﹣1^；
当时，a~n~=（2n+79），b~n~=9•；
（2）当d＞1时，由（1）知a~n~=2n﹣1，b~n~=2^n﹣1^，
∴c~n~==，
∴T~n~=1+3•+5•+7•+9•+...+（2n﹣1）•，
∴T~n~=1•+3•+5•+7•+...+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，
∴T~n~=2+++++...+﹣（2n﹣1）•=3﹣，
∴T~n~=6﹣．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，
则 tan=tan∠DPF===，解得．
所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
（解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），
于是=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，
则运用向量的数量积求解得出cos==，
解得．所以所以==
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．
【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．
20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
--- ----- ----- -----
W 12 15 18
P 0.3 0.5 0.2
--- ----- ----- -----
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．
（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．
【解答】（12分）
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z~max~=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z~max~=3×1000+6×1200=10200．
当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．
将z=1000x+1200y变形为：，
当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z~max~=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z的分布列为：
--- ------ ------- -------
Z 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
--- ------ ------- -------
因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P~1~=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线l与两定直线l~1~：x﹣2y=0和l~2~：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），\|t\|≤2，
N（x~0~，y~0~），M（x，y），由题意得=2，
且\|\|=\|\|=1，
∴（t﹣x，﹣y）=2（x~0~﹣t，y~0~），且，
即，且t（t﹣2x~0~）=0，
由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，
于是t=2x~0~，故x~0~=，y~0~=﹣，
代入x~0~^2^+y~0~^2^=1，得方程为．
（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S~△OPQ~=，
②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），
由消去y，可得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣16=0，
∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
∴△=64k^2^m^2^﹣4（1+4k^2^）（4m^2^﹣16）=0，即m^2^=16k^2^+4，①，
由，可得P（，），同理得Q（，），
原点O到直线PQ的距离d=和\|PQ\|=•\|x~P~﹣x~Q~\|，
可得S~△OPQ~=\|PQ\|d=\|m\|\|x~P~﹣x~Q~\|=\|m\|\|\|=\|\|②，
将①代入②得S~△OPQ~=\|\|=8\|\|，
当k^2^＞时，S~△OPQ~=8（）=8（1+）＞8，
当0≤k^2^＜时，S~△OPQ~=8\|\|=﹣8（）=8（﹣1+），
∵0≤k^2^＜时，∴0＜1﹣4k^2^≤1，≥2，
∴S~△OPQ~=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，
∴当k=0时，S~△OPQ~的最小值为8，
综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
22．（14分）已知数列{a~n~}的各项均为正数，b~n~=n（1+）^n^a~n~（n∈N~+~），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣e^x^的单调区间，并比较（1+）^n^与e的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令c~n~=（a~1~a~2~...a~n~），数列{a~n~}，{c~n~}的前n项和分别记为S~n~，T~n~，证明：T~n~＜eS~n~．
【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e^x^．取x=即可得到答案；
（2）由b~n~=n（1+）^n^a~n~（n∈N~+~），变形求得，，，由此推测=（n+1）^n^．然后利用数学归纳法证明．
（3）由c~n~的定义、=（n+1）^n^、算术﹣几何平均不等式、b~n~的定义及，利用放缩法证得T~n~＜eS~n~．
【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e^x^．
当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e^x^．
令，得，即．①
（2）解：；=；
．
由此推测：=（n+1）^n^．②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．
（2）假设当n=k时，②成立，即．
当n=k+1时，，由归纳假设可得
=．
∴当n=k+1时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（3）证明：由c~n~的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b~n~的定义及①得
T~n~=c~1~+c~2~+...+c~n~=
=
=
=
=
＜ea~1~+ea~2~+...+ea~n~=eS~n~．
即T~n~＜eS~n~．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．
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**2015-2016学年度下学期高三年级一模考试**
**理数试卷**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.设且，若复数（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3.等差数列中，是一个与无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4.中三边上的高依次为，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
6.已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7.已知等式，定义映射，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）
A．1 B． C． D．
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（ ）
A． B． C． D．
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量的值的计算公式：
10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．67
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：，依次类推可得：，其中.设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知，直线与函数的图像在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是 [ ]{.underline} .
14.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则 [ ]{.underline} .
15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点顺时针旋转后，构成一个斜坐标平面.在此斜坐标平面中，点的坐标定义如下：过点作两坐标轴的平分线，分别交两轴于两点，则在轴上表示的数为，在轴上表示的数为.那么以原点为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 [ ]{.underline} .
16.已知的面积为，内角所对的边分别为，且成等比数列，，则的最小值为 [ ]{.underline} .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，已知，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18（本小题满分12分）如图，四边形是直角梯形，，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.
（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？
（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于两点，如图所示.
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，若，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）设为实数，函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）设函数当有两个极值点时，总有，求实数的值（为的导函数）.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点的平分线分别交和圆于点，若.
（1）求证：；
（2）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数），（为参数）.
（1）化的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为为上的动点，求的中点到直线（为参数）距离的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）解关于的不等式.
**参考答案及解析**
一、选择题
1-5 CABCC 6-10 ACCBC 11-12 CD
二、填空题
13\. 6 14. 15. 16.
（2）当时，，当时，
，两式相减，得
18.(1)
平面，平面，
（2）在平面内，过点作的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示
设
，且
设平面的一个法向量为
则由，
平面的一个法向量为
显然，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为
（3）点到平面的距离
.
19.（1）若三瓶口味均不一样，有
若其中两瓶口味不一样，，有，若三瓶口味一样，有8种，
所以小王共有56+56+8=120种选择方式
（2）可能的取值为0,1,2,3
由于各种口味的高级口香糖均不超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味
所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率为
故随机变量服从二项分布，即
，
，
所以的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
期数学期望
方差
20.（1）椭圆短轴下端点在抛物线的准线上，
，
所以椭圆的方程为
（2）①由（1），知，设，则的圆心坐标为
的方程为，当时，所在直线方程为，此时，与题意不符，不成立，.
可设直线所在直线方程为，即
又圆的半径
由，得
解得
圆的方程为或
②当，由①，知的方程为
由消去，得
则
当且仅当，即时取等号
又，当时，直线的方程为
，
，
综上，
所以实数的取值范围为.
21.（1）当时，
则，令，则
显然在区间内是减函数，又，在区间内，总有
在区间内是减函数，又当时，，
，此时单调递增；
当时，
，此时单调递减；
在区间内的极大值也即最大值是
（2）由题意，知，则
根据题意，方程有两个不同的实根
，即，且
，由
其中，得
所以上式化为
又，所以不等式可化为，对任意的恒成立.
①当，不等式恒成立，；
②当时，恒成立，
令函数
显然是内的减函数，当，
③时，恒成立，即
由②，当，，即
综上所述，.
22.（1）是圆的切线，，又是公共角，
；
（2）由切割线定理，得，又
又是的平分线，
由相交弦定理，得.
23.（1）
为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（2）当时，，故
的普通方程为，到的距离
所以当时，取得最小值.
24.（1）当时，
所以当，函数取得最大值2.
（2）由，得
两边平方，得
即
得，
所以当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当，不等式的解集为.
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**复杂的周期问题作业**
1、2003个2002相乘加2008个2007相乘的和的末位数字是几？
2、2002年1月1日是星期二，2002年的儿童节是星期几？
3. 在100米地跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？
4、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花地顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色地花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）》单元测试1（附答案）**
一、细心填空。(每空1分，共14分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．长方体和正方体都有( )个面，( )条棱和( )个顶点。
2．至少用( )个相同的小正方体才能拼成一个大正方体。
3．把一个长方体放在桌面上，一次最多能看到它的( )个面，长方体有( )个面露在外面。
4．一个正方体的表面积是2.64dm^2^，它一个面的面积是( )dm^2^。
5．一个长方体，长7dm，宽4dm，高2dm，它的棱长总和是( )dm，表面积是( )dm^2^。
6．把两个棱长为3分米的正方体木块拼成一个长方体，它的棱长减少了( )分米，表面积减少了( )平方分米。
7．用一根长48dm的铁丝焊接成一个最大的正方体框架并糊上纸，这个正方体的棱长是( )dm，表面积是( )dm^2^。
8．一个无盖的玻璃鱼缸，长6分米，宽和高都是5分米。制造这个鱼缸至少需要玻璃( )平方分米。
二、认真辨析。(正确韵打"√"，错误的打"×")(5分)
1．在一个长方体中，最多只能有4条棱的长度相等。 ( )
2．表面积相等的长方体，它们的长、宽、高不一定分别相等。 ( )
3．用3个棱长是1厘米的小正方体粘成一个长方体，这个长方体比原来的小正方体少了3个面。 ( )
4．用个数、大小相同的正方体组合成不同形状的物体，露在外面的面的个数一定相同。 ( )
5．长方体是特殊的正方体。 ( )
三、选择正确答案的序号填在括号里。(5分)
1．用一根60厘米长的铁丝，可以围成一个长5厘米，宽3厘米，高( )厘米的长方体框架。
①9 ②7 ③4
2．下面是长方体纸盒的展开图的是( )。
> ① ② ③
3．下面的图( )沿虚线折叠能围成正方体。
> ① ② ③
4．一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大( )倍。
①2 ②4 ③12
5．一个棱长是6厘米的正方体，切成两个相等的长方体，两个长方体的表面积之和比原来正方体的表面积增加了( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
 ①18平方厘米 ②36平方厘米 ③72平方厘米
四、找规律。(9分)
1．如图，将小正方体按这种方式摆放，如果摆6个小正方体，
有 [ ]{.underline} 个面露在外面。
2．如图，将小正方体按这种方式排放，如果摆6个小正方体，
有 [ ]{.underline} 个面露在外面。
3．如图，将小正方体按这种方式摆放，如果摆12个小正方
体，有 [ ]{.underline} 个面露在外面。
五、下面是一个正方体的不同展开图，请在每一个展开图上用相同的符号标出相对的面。(12分)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
六、解决问题。(18分)
1．算出下面长方体各个面的面积，分别填在下表中。(6分)
------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
上面 下面 左面 右面 前面 后面
面积/cm^2^
------------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
2．求出下面各图形的棱长总和与表面积。(12分)
(1)
(2)
七、我会解决生活中的数学问题。(共32分)
1．杨叔叔用铁条焊接一个长9dm、宽4dm、高7dm的长方体广告箱。
(1)焊接这个广告箱至少需要多少铁条？(4分)
> (2)在这个广告箱的外面围一层广告塑膜布(接头处不计)，至少要用多大的广告塑膜布？(5分)
2．下面是一个长方体6个面的展开图，求这个长方体的表面积。(单位：厘米)(7分)
3．一个超市售货员用包装绳捆扎一个长30cm、宽15cm、高10cm的鞋盒，接头处用包装绳20cm，捆扎这个鞋盒至少需要多长的包装绳？(8分)
4．一间长12米，宽8米，高3米的会议室，要粉刷四壁和房顶，门窗的面积是14平方米，如果每平方米用涂料0.6千克，共需涂料多少千克？(8分)
八、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．爸爸先用总长6米的小角铁焊接成一个正方体框架，然后在四周和底部粘上玻璃，制成了一个无盖的鱼缸。制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？
B．把一个长25cm、宽20cm、高8cm的长方体纸箱放在地面上，露在外面的面的面积最大是多少？最小是多少？
附加题。(5分)
扎一种装糕点的盒子(如下图)，如果买2盒点心，怎样扎用的彩绳最短？(先画出草图，再算一算需要多少厘米彩绳，结头处按35cm来计算)
**参考答案**
一、1．6 12 8 2．8 3．3 5 4．0.44 5．52 100 6．24 18
7．4 96 8．140
二、1．× 2．√ 3．× 4．× 5．×
三、1．② 2．② 3．③ 4．② 5．③
四、1．20 2．25 3．34
五、略
六、1．35 35 15 15 21 21 2．(1)124dm 580dm^2^ (2)108m 486m^2^
七、1．(1)(9＋4＋7)×4＝80(dm)
(2)(9×4＋9×7＋4×7)×2＝254(dm^2^)
2．16÷2－2＝6(cm)
(6×4＋6×2＋2×4)×2＝88(cm^2^)
3．30×2＋15×2＋10×4＋20＝150(cm)
4．\[12×8＋(12×3＋8×3)×2－14\]×0.6＝121.2(千克)
八、A．6÷12＝0.5(米) 0.5×0.5×5＝1.25(平方米)
B．最大：(25×20＋25×8)×2＋20×8＝1560(cm^2^)
最小：25×20＋(25×8＋20×8)×2＝1220(cm^2^)
附加题：图略 20×4×2＋35＝195(cm)
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**2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）**
**数学（供文科考生使用）**
**本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**第Ⅰ卷（选择题共60分）**
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
其中表示球的半径
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，**
**只有一项是符合题目要求的．**
[1](http://www.mathschina.com)．已知集合，，则（ D ）
A． B． C． D．
**答案：**D
解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意
，∴.
2．若函数为偶函数，则*a*=（ C ）
A． B． C． D．
**答案：**C
解析：本小题主要考查函数的奇偶性。
[3](http://www.mathschina.com)．圆与直线没有公共点的充要条件是（ B ）
A． B．
C． D．
**答案：**B
解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线
没有公共点
4．已知，，，，则（ C ）
A． B． C． D．
**答案：**C
解析：本小题主要考查对数的运算。
由知其为减函数,
[5](http://www.mathschina.com)．已知四边形的三个顶点，，，且，
则顶点的坐标为（ A ）
A． B． C． D．
**答案：**A
解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。
且，
6．设*P*为曲线*C*：上的点，且曲线*C*在点*P*处切线
倾斜角的取值范围为，则点*P*横坐标的取值范围为（ A ）
A． B． C． D．
**答案：**A
解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标
为, 且（为点*P*处切线的倾斜角），又∵，
∴，∴
[7](http://www.mathschina.com)．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，
则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）
A． B． C． D．
**答案：**C
解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和
为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之
和为奇数的概率
8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）
A． B． C． D．
**答案：**A
解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数
的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个
单位，向下平移1个单位；故
[9](http://www.mathschina.com)．已知变量满足约束条件则的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
**答案：**B
解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为
验证知在点时取得最大值2.
10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中
安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序
只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
**答案：**B
解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有种；∴则不同的安排方案共有
种。
[11](http://www.mathschina.com)．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，
则（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**答案：**D
解析：本小题主要考查双曲线的知识。取
顶点,一条渐近线为
12．在正方体中，分别为棱，的中点，
则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ D ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
**答案：**D
解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生
的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线与M
确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当
M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的
交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：
**第Ⅱ卷（非选择题共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．**
[13](http://www.mathschina.com)．[函数](http://www.mathschina.com)的反函数是 [ ]{.underline} ．
答案：
解析：本小题主要考查反函数问题。
所以反函数是
14．在体积为的球的表面上有*A*、*B*，*C*三点，*AB*=1，*BC*=，*A*，*C*两点的
球面距离为，则球心到平面*ABC*的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
答案：
解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则
,∴设、两点对球心张角为，则
,∴,∴,∴为所在平
面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，
则球心到平面*ABC*的距离为
[15](http://www.mathschina.com)．展开式中的常数项为 [ ]{.underline} ．
答案：35
解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查的通项公式,
所以展开式中的常数项共有两种来源:
①②
相加得15+20=35.
16．设，则函数的最小值为 [ ]{.underline} ．
答案：
解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。
取的左半圆,作图(略)易知
**三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
[17](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求*；*
（Ⅱ）若，求的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为， 8分
联立方程组解得，．
所以的面积． 12分
> 18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果
如下表所示：
---------- ---- ---- ----
周销售量 2 3 4
频数 20 50 30
---------- ---- ---- ----
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． 4分
（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，
故所求的概率为
（ⅰ）． 8分
（ⅱ）． 12分
> [19](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体中，*AP=BQ=b*（0\<*b*\<1），截面*PQEF*∥，截面*PQGH*∥．
（Ⅰ）证明：平面*PQEF*和平面*PQGH*互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面*PQEF*和截面*PQGH*面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面*PQEF*所成角的正弦值．
本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，
考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，
又由已知可得，，，
所以，，所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面*PQEF*和截面*PQGH*都是矩形，且*PQ*=1，所以截面*PQEF*和截面*PQGH*面积之和是
，是定值． 8分
（Ⅲ）解：设交于点，连结，
因为平面，
所以为与平面所成的角．
因为，所以分别为
，，，的中点．
可知，．
所以． 12分
解法二：
以*D*为原点，射线*DA*，*DC*，*DD*′分别为*x*，*y*，*z*轴的正半轴建立如图的空间
直角坐标系*D*－*xyz*．由已知得，故
，，，，
，，，
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面*PQEF*的法向量．
因为，所以是平面*PQGH*的法向量．
因为，所以，所以平面*PQEF*和平面*PQGH*互相垂直．...4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，
所以*PQEF*为矩形，同理*PQGH*为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面*PQEF*和截面*PQGH*面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由为中点可知，分别为，，的中点．
所以，，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分
20．（本小题满分12分）
在数列，是各项均为正数的等比数列，设．
（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，
求数列的前项和．
本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，
考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）是等比数列． 2分
证明：设的公比为，的公比为，则
，故为等比数列． 5分
（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．
由条件得，即
． 7分
故对，，...，
．于是
将代入得，，． 10分
从而有．所以数列的前项和为
． 12分
[21](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点*P*到两点，的距离之和等于4，
设点*P*的轨迹为．
（Ⅰ）写出*C*的方程；
（Ⅱ）设直线与*C*交于*A*，*B*两点．*k为何*值时？
此时的值是多少？
本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设*P*（*x*，*y*），由椭圆定义可知，点*P*的轨迹*C*是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线*C*的方程为． 4分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去*y*并整理得，
故． 6分
，即．而，
于是．
所以时，，故． 8分
当时，，．
，
而，
所以． 12分
22．（本小题满分14分）
设[函数](http://www.mathschina.com)在，处取得极值，
且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，
考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分
解：．① 2分
（Ⅰ）当时，；
由题意知为方程的两根，所以．
由，得． 4分
从而，．
当时，；当时，．
故在单调递减，在，单调递增． 6分
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以．从而，
由上式及题设知． 8分
考虑，． 10分
故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．所以，即的取值范围为． 14分
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**小学数学小升初工程应用题闯关**
1．在新农村建设中，区政府为南村修水泥路支持了一批水泥，用大卡车25辆，或小卡车30辆可以运完，今用大卡车10辆，小卡车15辆装这一次，还余下8吨没有运走，这批水泥一共有多少吨？
2．学校把校园绿地平均分给六年级两个班清理，六（1）班用了15分钟完成，六（2）班用了20分钟完成．如果两班合做几分钟可以完成？
3．有一个水池，单开进水管18分钟可注满空池，单开排水管24分钟可将满池水放尽，现在水池里已有六分之一的水，如果同时打开进水管和出水管，多长时间可注满水池？
4．工程队修一条公路，计划每天修100米，40天完成．实际2天就修了800米，照这样的速度，多少天可以完成？
5．整理一批图书，李老师单独整理要20分钟，小华单独整理要30分钟。现李老师和小华共同整理，要几分钟完成？完成时李老师比小华多整理96本，这批图书一共多少本？
6．一份稿件王红独抄需要8小时，这份稿件正由别人抄了，剩下的交给王红抄，还要几小时才能完成一半？
7．甲、乙两人加工一批零件，甲独做30天完成，乙每天可完成20个。两人合做12天刚好完成。这批零件共有多少个？
8．甲地去乙地，去时用了5小时，返回时用了4小时，车速提高了百分之几？
9．小玲12分钟打960个字，小芳18分钟打1170个字。
（1）她们俩谁打字的速度快？
（2）一篇2000字的文章谁能在半个小时打完？
10．修筑一条水泥路，甲队独修需要12天完成，乙队3天完成．两队合修几天完成？
11．一条水渠全长5312米．已经修了8天，还剩456米没修，平均每天修多少米？
12．小红4分钟打字168个．小明2分钟打字90个。谁打字打得快？
13．一项工程，甲、乙合作6天完成；甲独做10天完成，乙独做几天完成？
14．师徒两人加工一种零件．用同样的时间，徒弟可以加工3个，师傅可以加工5个。如果两人共同加工200个这样的零件，师傅、徒弟分别要加工多少个？
15．幼儿园的老师把一些画片分给A，B，C三个班，每人都能分到6张．如果只分给B班，每人能得15张，如果只分给C班，每人能得14张，问只分给A班，每人能得几张？
16．有一块铁皮，能做8个同样的圆柱形水桶的侧面，或做同一规格的圆柱形水桶的底24个。现有这样的铁皮4张可以做成多少个无盖的铁皮水桶？
17．某厂改进生产技术后，生产人员减少，而生产量却增加了40%，那么改进技术后的生产效率比改进前提高了百分之几？
18．一块布长40米，先剪去它的40%，再剪去米，还剩下多少米？
19．小太阳服装厂生产一批儿童服装，计划每小时生产120套，25小时完成。实际每小时生产200套，实际多少小时完成？
20．王师傅要加工1200个零件，每天加工80个，已经加工了3天，剩下的每天加工96个，还要用多少天完成任务？
21．有一批零件，甲独做10小时完成，乙独做12小时完成，丙独做15小时完成，现在先由甲乙两人合做4小时，余下的由丙一个人独做，还要几小时可以完成？
22．工程队铺设一条长1500米的公路，已铺设了4天，每天铺设150米。余下的每天铺设180米，还要几天铺设完成？
23．某农场要收割2300公顷小麦，原计划每天收割60公顷，收割5天后改为每天收割80公顷，还需要多少天才能完成任务？
24．甲、乙、丙三队单独完成某项工程所需的天数（如图）。现在由甲、丙两队合做，几天能完成这项工程的？
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考点：简单的工程问题．
25．为了促进地方经济发展，昆明市加紧城市建设步伐，一项工程由某工程队承包施工，原计划24个月完成，按计划施工半年后，政府要求提前3个月完成，于是施工单位将工作效率提高了20%，请通过计算说明该工程队是否能在政府要求的时间内完成。
26．学校采购员到商场买一张桌子配2把椅子的桌椅．如果单买桌子，可买12张，如果单买椅子，可买24把．如果成套买，可买多少套桌椅？
27．修一条路，甲队单独修8天完成，乙队单独修12天完成。
（1）两队合修，几天完成任务？
（2）如果甲队先修两天后，剩下的有乙接着修，乙队用几天可以修完？
28．加工一批零件，甲、乙合做15天完成．如果甲做3天，乙做5天，可完成全部任务的。已知乙每天做18个，这批零件共有多少个？
29．打1份稿件5400字，甲单独打3小时完成全部的，乙单独打2小时完成全部的。甲乙两人合打1小时，甲比乙多打多少字？
30．饲养场有一堆饲料，只给鸡吃可以吃12天，只给鸭吃可以吃15天，如果把这堆饲料先给鸭吃6天，剩下的给鸡、鸭一起吃，可以吃几天？
31．甲、乙两地相距120千米．一辆大客车从甲地出发前往乙地．开始时每小时行50千米，中途减速为每小时行40千米．大客车出发l小时后，一辆小轿车也从甲地出发前往乙地，每小时行80千米，结果两辆车同时到达乙地，问大客车从甲地出发多少时间后才降低速度？
32．甲乙两台抽水机排出井内积水，在工作过程中，每小时向井内流入现在井水的，如果不向井内流水，排净井内积水需要的时间：甲机独抽需10小时，乙机独抽需15小时，如果两机同时开始工作，需几小时将井内水和流入的水全部抽干？
**参考答案**
1．0吨
【解析】把这批水泥的吨数看作单位"1"，先求出今用大卡车10辆，小卡车15辆装这一次后剩余的水泥，再根据分数除法意义求解。
解：8÷（1－×10－×15）
=8÷（1－－）
=8÷
=80（吨）
答：这批水泥一共有80吨。
考点：简单的工程问题。
2．分钟
【解析】绿地平均分成了两份，那么就把一半的工作量看成单位"1"，那么总工作量就是2，一班的工作效率是，二班的工作效率就是，它们的和就是合作的工作效率；用总工作量除以合作的工作效率就是合作需要的时间。
解：（1+1）÷（+）
=2÷
=（分钟）
答：如果两班合做分钟可以完。
3．60分
【解析】我们把水池的总容量看作单位"1"，用1－=这个工作量除以进水管与排水管的工作效率的差，就是同时打开进水管和出水管，多长时间可注满水池的时间。
解：（1－）÷（－）
=÷（－）
=÷
=×72
=60（分）
答：同时打开进水管和出水管，60分可注满水池。
4．10天
【解析】要求实际多少天可以完成任务，需知道这条公路一共的千米数和实际每天修的米数。
解：100×40÷（800÷2）
=4000÷400
=10（天）
答：10天可以完成。
5．
【解析】根据题意把一批图书的总数看作单位"1"，表示出李老师和小华的工效，再表示出工效和：（+），求工作时间：工作总量1÷工效和（+），要求这批图书一共多少本，单位"1"是未知的，用除法计算数量（96）÷对应分率（李老师完成的工作量-小华完成的工作量）。
解：现李老师和小华共同整理，要几分钟完成：
1÷（+）
=1÷
=1×
=12（分钟）
96÷（×12－×12）
=96÷
=96×5
=480（个）
答：现李老师和小华共同整理，要12分钟完成。这批图书一共480本。
考点：简单的工程问题。
6．2.4小时
【解析】把这份稿件看作单位"1"，则王红要完成的工作量为－=，而王红的效率是，工作量除以工作效率就是王红完成的时间。
解：（－）÷
=÷
=2.4（小时）
答：还要2.4小时才能完成一半。
7．400个
【解析】把这批零件看成单位"1"，甲的工作效率是，合作的工作效率是，用合作的工作效率减去甲的工作效率就是乙的工作效率，它对应的数量是20个，用除法求出零件的总数。
解：20÷（－），
=20÷，
=400（个）；
答：这批零件共有400个。
8．25%
【解析】把甲地到乙地的距离看作单位"1"，依据速度=路程÷时间，分别求出去时和来时的速度，再根据提高车速率=（返回时速度-去时速度）÷去时速度即可解答。
解：（−）÷
=÷
=25%
答：车速提高了25%。
9．（1）小玲；（2）小玲
【解析】（1）用总共打的字数除以用的时间就是她们各自的速度，然后进行比较即可。
（2）用她们的速度乘30分钟，然后和2000字进行比较即可。
解：（1）小玲的速度：960÷12=80（字/分），
小芳的速度：1170÷18=65（字/分），
80字/分＞65字/分，
所以小玲的打字速度快。
（2）80×30=2400（字），
65×30=1950（字），
因为2400＞2000，1950＜2000，
所以小玲可以在半小时内打完。
答：（1）小玲打字的速度快；（2）一篇2000字的文章小玲能在半个小时打完。
考点：简单的工程问题。
10．天
【解析】要求合作时间，先求出甲和乙的工作效率和，把修路的工作量看作单位"1"，甲的工作效率为，乙的工作效率为，则甲乙的效率和为（+），根据合作时间=工作总量÷工作效率和，即可解答。
解：甲的工作效率为，乙的工作效率为。
合作时间为：1÷（+）
=1÷
=（天）
答：两队合作天完成。
11．607米
【解析】先跟据已修长度=总长度-剩余的长度，求出已修水渠长度，再根据工作效率=工作总量÷工作时间即可解答。
解：（5312-456）÷8
=4856÷8
=607（米）
答：平均每天修607米。
点评：等量关系式：工作效率=工作总量÷工作时间。
12．小明
【解析】小红4分钟打字168个，根据除法的意义可知，小红每分钟打168÷4=42（个），同理可知，小明每分钟打90÷2=45（个），42＜45，即小明打的快些。
解：168÷4=42（个）
90÷2=45（个）
42＜45，即小明打的快些。
答：小明打字快些。
13．15天
【解析】根据题意，把这项工程的工作量看作单位"1"，已知甲、乙合作6天完成；甲、乙每天完成工作量的（工作效率和），甲独做10天完成，甲每天完成工作量的，先求出乙每天完成工作量的几分之几，再根据工作量÷工作效率=工作时间解答。
解：1÷（−）
=1÷（−）
=1÷
=1×15
=15（天）
答：乙独做15天完成。
考点：简单的工程问题。
点评：这是典型的分数工程问题，工作量没有给出具体数量，就把工作量看作单位"1"，再根据工作量=工作效率×工作时间。
14．师傅加工125个，徒弟加工75个
【解析】根据"用同样的时间，徒弟可以加工3个，师傅可以加工5个，"知道徒弟和师傅的工作效率的比是3：5，由此知道徒弟的工作效率是两人工作效率的和的，再根据在时间一定时，工作量与工作效率成正比例，即徒弟的工作量是两人工作量和的，进而解决问题。
解：他们的效率之比是3：5。
徒弟加工零件的个数：200×=200×=75（个）
师傅加工零件的个数：200-75=125（个）
答：师傅加工125个，徒弟加工75个。
15．35张
【解析】把画片的总张数看做单位"1"，分给三个班小朋友，每人分到6张，那么三个班的人数就等于画片数的，同理，B班人数是画片数的，C班人数是画片数的，所以A班人数是画片数的－－=，所以只分给A班，每人分到1÷=35（张）。
解：1÷（－－）
=1÷（－－）
=1÷
=35（张）
答：只分给A班，每人能得35张。
16．24个
【解析】把一块铁皮看成单位"1"，做一个侧面用这块铁皮的，做一个底面需要这块铁皮的$\frac{1}{24}$，它们的和就是做一个无盖水桶需要一张铁皮的几分之几；然后用铁皮的总量除以做一个无盖水桶需要一张铁皮的分率就是可以做的数量。
解：4÷（＋）
=4÷
=24（个）
答：可以做成24个无盖水桶。
17．127.5%
【解析】根据题意知：要把应把改进前的生产效率看作是单位"1"，减少人员，增加产量后的工作效率是（1＋40%）÷（1－），然后用改进后的工作效率减去原来的工作效率，就是提高了百分之几。
解：（1＋40%）÷（1－）－1
=1.4×－1
=2.275-1
=127.5%
答：改进技术后的生产效率比改进前提高了127.5%。
考点：简单的工程问题。
18．米
【解析】"剪去它的40%"，还剩下这块布的（1-40%）=60%，剩下40×60%=24（米）；再减去米，最后剩下24-=（米）。
解：40×（1-40%）－
=40×60%－
=（米）
答：还剩下米。
19．15小时
【解析】要求实际多少小时完成，就要用这批衣服的总数除以实际每小时生产的套数200，因计划每小时生产120套，25小时完成。根据工作量=工作效率×工作时间，可求出衣服的总数。
解：120×25÷200
=3000÷200
=15（小时）
答：实际15小时完成。
20．10天
【解析】先求出3天加工就多少个零件，即80×3=240（个），还剩下1200－240=960（个），用剩下的工作量除以后来的工作效率就是还要用的工作时间，即960÷96=10（天）。
解；80×3=240（个）
1200-240=960（个）
960÷96=10（天）
答：还要用10天。
21．4小时
【解析】把总工作量看作单位"1"，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；先求出甲乙4小时的工作量之和，进而求出余下的工作量以及丙的工作效率，用余下的工作量除以丙的工作效率，从而解决问题。
解：\[1-（+）×4\]÷
=\[1-×4\]÷
=×15
=4（小时）
答：余下的由丙一个人独做，还要4小时可以完成。
考点：简单的工程问题。
22．5天
【解析】先根据工作量=工作效率×工作时间求出已经铺设的米数，再用全长减去已经铺的米数，求出剩下的米数；再用剩下的工作量除以后来的工作效率就是还需的工作时间。
解：1500－150×4
=1500－600
=900（米）
900÷180=5（天）
答：还要5天铺设完成。
23．25天
【解析】根据原计划每天收割60公顷，收割5天，可求出5天共收割的60×5=300公顷，再用一共的减去5天收割的就是还剩的，再根据工作时间=工作总量÷工作效率即可求出。
解：（2300-60×5）÷80
=（2300-300）÷80
=2000÷80
=25（天）
答：还需要25天才能完成任务。
24．
【解析】我们运用除以甲丙的工作效率的和，就是他们工作的天数，即，工作总量÷工作效率的和=工作时间。
解：÷（＋）
=÷（＋）
=×
=5（天）
答：5天能完成这项工程的。
25．能
【解析】把这项工程看作单位"1"，先求出施工半年后剩下的工作量，再依据工作时间=工作总量÷工作效率，求出提高工作效率后剩余工作量需要的时间，最后与政府要求时间比较。
解：1－×6，
=1－
=
÷\[×（1+20%）\]
=÷\[×\]
=÷
=15（月）
24－6－3=15（月）
答：该工程队能在政府要求的时间内完成．
26．6套
【解析】把总钱数看作单位"1"，每张桌子的价钱是总钱数的，每把椅子的价钱是总钱数的，因为一张桌子配2把椅子的桌椅，也就是一张桌子和2把椅子是1套，那么总套数是：1÷（+×2）。
解：1÷（+×2）
=1÷（+）
=1÷
=6（套）
答：如果成套买，可买6套桌椅。
点评：这样理解也很好：一把椅子的价格是一张桌子的0.5倍，一套桌椅的价格是桌子的2倍，那么买12张桌子的价格可以买多少个2倍的桌子？12÷2=6（套）
27．
【解析】把这条路长度看作单位"1"，
（1）依据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答；
（2）先根据工作总量=工作时间×工作效率，求出甲队两天修路长度占总长度的分率，再求出乙队修路长度占总长度分率，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答。
解：（1）1÷（＋）
=1÷
=4.8（天）
答：两队合修，4.8天完成任务。
（2）（1－×2）÷
=（1－）÷
=÷
=9（天）
答：乙队用9天可以修完。
考点：简单的工程问题。
28．1080个
【解析】我们运用甲做3天，乙做5天，看作甲乙合干了3天，乙独干了5-3天，用工作量减去合干的3天的工作量再除以2，就是乙的工作效率，用18除以乙的工作效率就是零件的总个数．
解：18÷\[（−×3）÷（5-3）\]
=18÷\[×\]
=18×60
=1080（个）
答：这批零件共有1080个。
考点：简单的工程问题。
29．150字
【解析】由题干可求出甲单独打每小时打多少字5400×÷3，甲单独打每小时打多少字5400×÷2。
解：5400×÷3=450（字）
5400×÷2=300（字）
450-300=150（字）
答：甲比乙多打150字。
考点：简单的工程问题。
30．4天
【解析】把这堆饲料的总数看作单位"1"，由题意，鸡每天吃总数的，鸭每天吃总数的；鸭吃6天，吃了总数的×6=，还剩，这时鸡、鸭一起吃，可以吃÷（+）天。
解：（1-×6）÷（+）
=（1-）÷
=×
=4（天）
答：可以吃4天。
31．2小时
【解析】据题意可知，小汽车行完全程用时：120÷80=1.5（小时），由于两车同时到达乙地，所以大客车用时1+1.5=2.5（小时），由此可设大客车从甲地出发x小时后开始降速，由此可得等量关系式：50x+40（2.5-x）=120，解此方程即可。
解：轿车用时：120÷80=1.5（小时）
则货车用时：1+1.5=2.5（小时）
设x小时后变速，得方程：
50x+40×（2.5－x）=120
10x+100=120
x=2
答：大客车从甲地出发2小时后才降低速度。
32．小时
【解析】本题可设井内需要排出的积水量为1，如果不向井内流水，则甲的每小能排出全部积水的，乙每小时能排出全部积水的；如果两机同时开始工作，则每小时能排出全部积水的+-（因为在工作过程中，每小时向井内流入现在井水的），所以据工作量÷工作效率=工作时间列式为：1÷（+-）。
解：设井内需要排出的积水量为1，则需要的时间为：
1÷（+-）
=1÷
=（小时）
答：如果两机同时开始工作，需小时将井内水和流入的水全部抽干。
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**灵宝市2020-2021学年度上期期末综合测试**
**小学四年级数学试卷**
**说明：本份试卷试题总分98分，卷面分2分，共计100分。**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
**题 号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **卷面分** **总 分**
**得 分**
----------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ -----------
------------ --
**得 分**
**评卷人**
------------ --
**一、填空。（每空1分，共19分）**
**1.在CCTV公益节目直播中，央视主持人朱广权和"带货一哥"李佳琦组成的"小猪配琦"组合累计卖出总价值40139000元的商品。这个数读作（ ），四舍五入到万位是（ ）万。**
**2. 47÷38，如果商是两位数， 里可填（ ） ；607÷54的商是（ ）位数，商是（ ）。**
**3.把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，那么这两根小棒互相（ ）；如果把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，那么这两根小棒互相（ ）。**
**4.10公顷=（ ）平方米 4000公顷=（ ）平方千米**
**8000000平方米=（ ）公顷=（ ） 平方千米**
**5.两个数相除，商是20，如果在被除数和除数的末尾都添上一个0，商是（ ）。**
**6.清华园小区开展节约用电活动，张明家计划每天节约1千瓦时电。要节约120千瓦时电，大约需要（ ）个月。**
**7. 左图中有（ ）个平行四边形，有（ ）个梯形。**
**8.横线上最大能填什么数？**
**28 3000009≈29亿 321\>53× 75× \<620 **
**9.一只平底锅只能同时煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟（正反面各2分钟）。那么煎3条鱼至少需要（ ）分钟。**
------------ --
**得 分**
**评卷人**
------------ --
**二、判断。（对的画√，错的画×。共6分）**
**1.用一副三角尺可以拼出150°的角。 （ ）**
**2.两个因数的积是70，如果两个因数同时乘以5，这时的积是350。 （ ）**
**3.北京故宫是世界上最大的宫殿，占地面积是72平方米。 （ ）**
**4.因为32÷5=6......2，所以（32×10）÷（5×10）=6......2。 （ ）**
**5.已知买7台同样的手机花了8400元，可以求总价。 （ ）**
**6.两个完全一样的直角梯形一定能拼成一个长方形。 （ ）**
------------ --
**得 分**
**评卷人**
------------ --
**三、计算。（共36分）**
**1.直接写出得数。（共8分）**
**800×40= 540÷60= 6300÷90= 50×700=**
**510×20= 403×28≈ 181÷92≈ 479÷81≈**
**2.笔算下面各题，带★的要验算。（3、6小题各5分，其他各3分，共22分）**
**54×650= 209×42= ★950÷31=**
**512÷39= 754÷29= ★610÷24=**
**3.列综合算式计算。（每题3分，共6分）**
**（1）875是35的多少倍？ （2）440加上16与72的积，和是多少？**
------------ --
**得 分**
**评卷人**
------------ --
**四、选择。（把正确答案的序号填在括号里，共6分）**
**1.甲÷乙＝100，那么（甲÷5）÷乙=（ ）。**
**① 20 ② 100 ③ 500**
**2. 左图的平行四边形中，画出的高与4厘米比，（ ）。**
> **① 比4厘米长 ② 比4厘米短 ③ 等于4厘米**
**3.下面各数中，一个"零"也不读的是（ ）。**
> **① 702405000 ② 724000500 ③ 724005000**
**4.宝贵的课间10分钟，你知道分针从下课到上课，旋转了（ ）度。**
> **① 6 ② 10 ③ 30** **④** **60**
>
> **5.在63×47的竖式中，箭头所指的这一步表示（ ）。 **
**① 4个63的和**
**② 40个63的和**
**③ 47个63的和**
**6.把一个平行四边形卡片剪一刀，不可能出现的是（ ）。**
> **① 两个三角形 ② 两梯形 ③ 一个平行四边形和一个梯形**
------------ --
**得 分**
**评卷人**
------------ --
**五、动手操作。（共10分）**
**1．先量出∠1是多少度，再画出一个比∠1大 45°的角。（3分）**
> **∠1=（ ）°**
**2.画一个上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的直角梯形。（3分）**
**3.以AB为平行四边形的底，画一个高是4厘米的平行四边形，再把这个平行四边形分成两个完全相同的梯形。（4分）**
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --
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**得 分**
**评卷人**
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**六、解决问题。（共21分）**
**1.郑州的四家人乘坐高铁到南京旅游，二等座票价589元，买13张二等座车票需要多少元？（3分）**
**2.育才小学768名少先队员利用周末为福利院老人义务劳动。这些少先队员平均分成16队，每队分成8组。平均每组有多少人？（4分）**
**3.一本故事书，张丽13天看了195页。照这样计算，剩下的还要18天看完，剩下多少页？（4分）**
**4.丽人牙膏每盒12元，超市实行促销活动买3送1，妈妈一次性买了3盒，每盒便宜多少元？（5分）**
**5.根据统计图回答问题。（1+2+2=5分）**
**幸福小学活动中心各活动小组人数统计图**
**1.每格代表（ ）人。**
**2.参加（ ）组的人数最多，参加舞蹈组的比京剧组的多（ ）人。**
**3.从图中你还能得到什么信息？至少写出2条。**
**四年级数学试卷参考答案及评分标准**
**一、填空。（每空1分，共19分）**
**1. 四千零一十三万九千、 4014万**
**2. 1、2、3、 两、 11......13 3. 平行、平行**
**4. 100000、 40、 800、 8 5. 20**
**6. 4 7. 2、 2**
**8. 9、 6、 8 9. 6**
**二、判断。（对的画√，错的画×。共6分）**
**√ × × × × √**
**三、计算。（共36分）**
**1.** **直接写出得数。（答案略。共8分）**
**2. 笔算下面各题，带★的要验算。（没有列竖式的不得分，没验算的扣2分，横式后不写得数的扣1分，3、6小题每题5分，其他各3分，共22分）**
**35100、 8778、 30......20、 13......5、 26、 25......10**
3. **列综合算式计算。（算式2分，得数1分，共6分）**
**（1）875÷35=25 （2） 440+16×72=1592**
**四、选择。（把正确答案的序号填在括号里，每题1分，共6分）**
**① ② ③** **④ ② ③**
**五、动手操作。（作图要用直尺，否则看情况适当扣分。共10分）**
**1、2小题答案略。（6分）**
> **3.正确画出平行四边形得2分，再正确画出分的图得2分。**
**六、解决问题。（共21分，两步及以上的可综合，可分步。分步对一步给一步分，最后的结果错扣1分，不带单位名称扣0.5分，不作答的扣1分。）**
**1.589×13=7657（元） （2分）**
**答：买13张二等座车票需要7657元。 （共3分）**
**2.768÷16÷8=6（人） （3分）**
> **答：平均每组有6人。 （共4分）**
**3.195÷13×18=270（页） （3分）**
**答：剩下270页。 （共4分）**
> **4.12÷3-12÷(1+3)=1（元） （4分）**
>
> **答：每盒便宜1元。 （共5分）**
**5.（1）10人 （1分）**
**（2）书法组、 17人 （2分）**
**（3）写出正确有用信息的得分。答案略。 （2分）**
**★ 卷面分(2分）：书写工整，卷面整洁，得2分。否则根据情况酌情扣分。**
**说明：解答过程和参考答案不同的，只要合理准确，均给分。**
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**2014年北京市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项**
1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e^﹣x^ B．y=x C．y=lnx D．y=\|x\|
3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．15
5．（5分）设a，b是实数，则"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数f（x）=﹣log~2~x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
7．（5分）已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为"可食用率"，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at^2^+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=[ ]{.underline}．
10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为[ ]{.underline}．
11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为[ ]{.underline}．
12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=[ ]{.underline}；sinA=[ ]{.underline}．
13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
+-------+--------+--------+
| 工序 | 粗加工 | 精加工 |
| | | |
| 时间 | | |
| | | |
| 原料 | | |
+-------+--------+--------+
| 原料A | 9 | 15 |
+-------+--------+--------+
| 原料B | 6 | 21 |
+-------+--------+--------+
则最短交货期为[ ]{.underline} 个工作日．
**三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12，数列{b~n~}满足b~1~=4，b~4~=20，且{b~n~﹣a~n~}为等比数列．
（1）求数列{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（2）求数列{b~n~}的前n项和．
16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x~0~，y~0~的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣，﹣\]上的最大值和最小值．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA~1~=AC=2，BC=1，E、F分别为A~1~C~1~、BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~；
（2）求证：C~1~F∥平面ABE；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
------ ------------ ------
排号 分组 频数
1 \[0，2） 6
2 \[2，4） 8
3 \[4，6） 17
4 \[6，8） 22
5 \[8，10） 25
6 \[10，12） 12
7 \[12，14） 6
8 \[14，16） 2
9 \[16，18） 2
合计 100
------ ------------ ------
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
20．（13分）已知函数f（x）=2x^3^﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
**2014年北京市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项**
1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}
【分析】直接利用交集的运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，
∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e^﹣x^ B．y=x C．y=lnx D．y=\|x\|
【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．
【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．
B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．
C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．
D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．
3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：
2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．15
【分析】算法的功能是求S=1+2^1^+2^2^+...+2^k^的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+2^1^+2^2^+...+2^k^的值，
∵跳出循环的k值为3，
∴输出S=1+2+4=7．
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
5．（5分）设a，b是实数，则"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．
【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a^2^＞b^2^，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）^2^＜（﹣3）^2^，所以"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的不充分条件；
反之，由a^2^＞b^2^也不一定得a＞b，如（﹣3）^2^＞（﹣2）^2^，但﹣3＜﹣2，所以"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的不必要条件．
故选：D．
【点评】判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据"谁大谁必要，谁小谁充分"的原则，判断命题p与命题q的关系．
⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．
6．（5分）已知函数f（x）=﹣log~2~x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．
【解答】解：∵f（x）=﹣log~2~x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C．
【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．
7．（5分）已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．
【解答】解：圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
可得PO=AB=m，故有m≤6，
故选：B．
【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．
8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为"可食用率"，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at^2^+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．
【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at^2^+bt+c，可得，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，
∴p=﹣0.2t^2^+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=[ 2 ]{.underline}．
【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．
【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，
∴﹣1+xi=﹣1+2i，
由复数相等可得x=2
故答案为：2
【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．
10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为[ x^2^﹣y^2^=1 ]{.underline}．
【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），
∴c=，a=1，
∴b=1，
∴C的方程为x^2^﹣y^2^=1．
故答案为：x^2^﹣y^2^=1．
【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．
【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；
由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，
在Rt△BCE中，BC=，
在Rt△BCD中，BD=，
在Rt△ACD中，AD=2．
则三棱锥中最长棱的长为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．
12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=[ 2 ]{.underline}；sinA=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，
∴由余弦定理得：c^2^=a^2^+b^2^﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；
∵cosC=，C为三角形内角，
∴sinC==，
∴由正弦定理=得：sinA===．
故答案为：2；．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为[ 1 ]{.underline}．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为，
由图可知，当直线过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．
此时．
故答案为：1．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
+-------+--------+--------+
| 工序 | 粗加工 | 精加工 |
| | | |
| 时间 | | |
| | | |
| 原料 | | |
+-------+--------+--------+
| 原料A | 9 | 15 |
+-------+--------+--------+
| 原料B | 6 | 21 |
+-------+--------+--------+
则最短交货期为[ 42 ]{.underline} 个工作日．
【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可．
【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．
故答案为：42．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
**三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12，数列{b~n~}满足b~1~=4，b~4~=20，且{b~n~﹣a~n~}为等比数列．
（1）求数列{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（2）求数列{b~n~}的前n项和．
【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．
【解答】解：（1）∵{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12，
∴3+3d=12，解得d=3，
∴a~n~=3+（n﹣1）×3=3n．
设等比数列{b~n~﹣a~n~}的公比为q，则
q^3^===8，∴q=2，
∴b~n~﹣a~n~=（b~1~﹣a~1~）q^n﹣1^=2^n﹣1^，
∴b~n~=3n+2^n﹣1^（n=1，2，...）．
（2）由（1）知b~n~=3n+2^n﹣1^（n=1，2，...）．
∵数列{a~n~}的前n项和为n（n+1），
数列{2^n﹣1^}的前n项和为1×=2^n^﹣1，
∴数列{b~n~}的前n项和为n（n+1）+2^n^﹣1．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．
16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x~0~，y~0~的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣，﹣\]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈\[﹣，﹣\]可得2x+∈\[﹣，0\]，由三角函数的性质可得最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期T==π，
可知y~0~为函数的最大值3，x~0~=；
（Ⅱ）∵x∈\[﹣，﹣\]，
∴2x+∈\[﹣，0\]，
∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，
当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA~1~=AC=2，BC=1，E、F分别为A~1~C~1~、BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~；
（2）求证：C~1~F∥平面ABE；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【分析】（1）证明AB⊥B~1~BCC~1~，可得平面ABE⊥B~1~BCC~1~；
（2）证明C~1~F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC~1~为平行四边形，可得C~1~F∥EG；
（3）利用V~E﹣ABC~=S△ABC•AA~1~，可求三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面，
∴BB~1~⊥AB，
∵AB⊥BC，BB~1~∩BC=B，BB~1~，BC⊂平面B~1~BCC~1~，
∴AB⊥平面B~1~BCC~1~，
∵AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~；
（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，
∵E是A~1~C~1~的中点，
∴FG∥EC~1~，FG=EC~1~，
∴四边形FGEC~1~为平行四边形，
∴C~1~F∥EG，
∵C~1~F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C~1~F∥平面ABE；
（3）解：∵AA~1~=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=，
∴V~E﹣ABC~=S~△ABC~•AA~1~=×（××1）×2=．
【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．
18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
------ ------------ ------
排号 分组 频数
1 \[0，2） 6
2 \[2，4） 8
3 \[4，6） 17
4 \[6，8） 22
5 \[8，10） 25
6 \[10，12） 12
7 \[12，14） 6
8 \[14，16） 2
9 \[16，18） 2
合计 100
------ ------------ ------
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；
（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；
（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，
∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；
（Ⅱ）由频率分布表知：数据在\[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；
数据在\[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；
（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），
∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．
【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）椭圆C：x^2^+2y^2^=4化为标准方程为，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x^2^+2y^2^=4化为标准方程为，
∴a=2，b=，c=，
∴椭圆C的离心率e==；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x~0~，y~0~），x~0~≠0，则
∵OA⊥OB，
∴=0，
∴tx~0~+2y~0~=0，∴t=﹣，
∵，
∴\|AB\|^2^=（x~0~﹣t）^2^+（y~0~﹣2）^2^=（x~0~+）^2^+（y~0~﹣2）^2^=x~0~^2^+y~0~^2^++4=x~0~^2^+++4=+4（0＜x~0~^2^≤4），
因为≥4（0＜x~0~^2^≤4），当且仅当，即x~0~^2^=4时等号成立，所以\|AB\|^2^≥8．
∴线段AB长度的最小值为2．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=2x^3^﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x^3^﹣6x^2^+t+3，则"过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切"，
等价于"g（x）有3个不同的零点"．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x^3^﹣3x得f′（x）=6x^2^﹣3，
令f′（x）=0得，x=﹣或x=，
∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值为．
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x~0~，y~0~），
则y~0~=2﹣3x~0~，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y~0~=（6﹣3）（x﹣x~0~），
∴t﹣y~0~=（6﹣3）（1﹣x~0~），
即4﹣6+t+3=0，
设g（x）=4x^3^﹣6x^2^+t+3，
则"过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切"，等价于"g（x）有3个不同的零点"．
∵g′（x）=12x^2^﹣12x=12x（x﹣1），
∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
--------- ------------ ----- ---------- ----- -----------
x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
g′（x） \+ 0 ﹣ 0 \+
g（x） ↗ t+3 ↘ t+1 ↗
--------- ------------ ----- ---------- ----- -----------
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1\]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0\]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分别在区间\[﹣1，0），\[0，1）和\[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和\[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和\[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．
| 1 | |
**2020-2021学年内蒙古呼和浩特市回民区五年级（上）期末数学试卷**
**一、判断。（5分）**
1．（1分）小数除法的商都小于被除数．[ ]{.underline}．（判断对错）
2．（1分）8.7÷2.5×4＝8.7÷10＝0.87。[ ]{.underline}（判断对错）
3．（1分）9.659659......的循环节是965。[ ]{.underline}（判断对错）
4．（1分）在一张方格纸上点（4，5）和点（6，5）在同一行上。[ ]{.underline}（判断对错）
5．（1分）两个等底、等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}（判断对错）
**二、选择。（5分）**
6．（1分）已知3.6×1.4＝5.04，那么0.36×140＝（ ）
A．504 B．50.4 C．5.04 D．5040
7．（1分）*x*＝8是下列方程（ ）的解。
A．5*x*﹣2*x*＝240 B．2.6*x*+1.4*x*＝10
C．6*x*+8*x*＝112 D．3*x*+7＝25
8．（1分）一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等．平行四边形的高是15厘米，三角形的高是（ ）厘米．
A．7.5 B．15 C．30 D．45
9．（1分）小华今年*a*岁，妈妈两年前*b*岁，再过2年后，她俩相差（ ）岁。
A．*b*+2﹣*a* B．*b*﹣*a* C．*a*﹣2﹣*b* D．*a*﹣*b*
10．（1分）用一块长80*cm*，宽50*cm*的长方形布料，剪成底和高都是20*cm*的直角三角形小旗，最多可以剪（ ）面。
A．8 B．10 C．20 D．16
**三、填空。（22分）**
11．（2分）7.6×3.4的积是[ ]{.underline}位小数，积的末位数字是[ ]{.underline}，9÷22的商保留两位小数是[ ]{.underline}。
12．（1分）把4.5、4.$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}$、4.5$\overset{\cdot}{4}$、4.54、4.$\overset{\cdot}{5}$这五个数按从大到小的顺序排列是[ ]{.underline}。
13．（4分）在〇里填上＞或＜。
---------------- --------------- ------------------ -------------
2.78÷0.8〇2.78 0.99×52.8〇53 5.6×10〇5.6÷0.01 3.6×4.8〇12
---------------- --------------- ------------------ -------------
14．（3分）3.02平方米＝[ ]{.underline}平方分米
> 1.2时＝[ ]{.underline}时[ ]{.underline}分
15．（2分）一本书*a*页，小明每天看*x*页，看了4天，还剩[ ]{.underline}页没看，当*a*＝128，*x*＝18时，还剩[ ]{.underline}页。
16．（1分）一个三角形的面积是30平方厘米，底是7.5厘米，它的高是[ ]{.underline}厘米。
17．（1分）一个平行四边形的面积是120平方厘米，与它等底等高的三角形面积是[ ]{.underline}平方分米。
18．（2分）我们在推导梯形面积公式时是将它转化成了[ ]{.underline}，一个梯形的上底是2.4分米、下底和高都是0.8分米，它的面积是[ ]{.underline}。
19．（1分）李阿姨买了8个苹果共重2.1千克，如果买这样的苹果13千克，大约有[ ]{.underline}个。
20．（2分）图如中，指针转到[ ]{.underline}色的可能性最大，指针转到[ ]{.underline}色的可能性相同。
> {width="0.8647036307961505in" height="0.8647036307961505in"}
21．（2分）一根木头长15米，把它锯成长度相等的6段，每锯一段需要8分钟，每段长[ ]{.underline}米，锯完一共需要[ ]{.underline}分钟。
**四、计算。（5分+4分+12分+9分＝30分）**
22．（5分）直接写出得数。
200×0.04＝ 0.2×0.5＝ 1.1﹣0.95＝ 8÷1.6＝
------------ ------------ ------------- ------------
12÷1.2＝ 0.7+6.03＝ 0.54÷0.6＝ 0.21×0.4＝
5.5÷11＝ 8.4×10.1＝
23．（4分）列竖式计算。
> ①9.05×0.26
>
> ②5.69÷1.4（得数保留两位小数）
24．（12分）怎样简便就怎样算。
---------------- ---------- -------------------- --------------------------
①72.8÷5.6+24.9 ②82×0.99 ③4.35×2.5+3.65×2.5 ④5.6×（3.2﹣0.299÷0.23）
---------------- ---------- -------------------- --------------------------
25．（9分）解方程。
------------------ ---------------------- -------------------
①0.4*x*÷0.5＝8.8 ②2.4*x*+0.7*x*＝8.37 ③6*x*+1.8×7＝23.4
------------------ ---------------------- -------------------
**五、做一做。（4分+4分＝8分）**
26．（4分）（1）请在下面的方格纸里描出下面各点，并依次连成封闭图形。*A*（2，9），*B*（1，7），*C*（4，6）。
> （2）画出这个图形向下平移4格后的图形，并标出各个顶点的位置。
>
> {width="1.906515748031496in" height="1.8648436132983377in"}
27．（4分）如图中每个小正方形的边长是1*cm*，求阴影部分的面积。
> {width="1.458536745406824in" height="1.3751924759405074in"}
**六、解决问题。（30分）**
28．（5分）小李去超市买每千克是4.8元的大米，来到超市，发现这种大米正在促销，现价是每千克4.5元，这样原来他计划买30千克大米的钱，现在可以买多少千克？
29．（5分）建筑工地需要水泥32吨，用载重4.5吨的货车运了3次后，剩下的改用载重2.5吨的小货车运，需要多少辆小货车才能一次运完？
30．（5分）乘坐火车从北京到呼和浩特需要用10.5小时，比乘坐高铁所需要时间的4倍还多0.1小时，乘高铁从北京到呼和浩特需要多少小时？
31．（5分）一块三角形的广告牌，底是20米，高是8米，如果给这个广告牌的两面都刷油漆，每平方米用油漆4.5千克，至少需要多少千克油漆？
32．（5分）我市居民用电收费方法如下表：
类别 用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时）
------ ------------------ -----------------------
一档 170及以下 0.42
二档 171﹣260 0.47
> 王老师家上月用电215千瓦时，电费是多少元？
33．（5分）两地相距522千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，4.5小时后两车相遇。甲车平均每小时行52.5千米，乙车平均每小时行多少千米？
**2020-2021学年内蒙古呼和浩特市回民区五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、判断。（5分）**
1．（1分）小数除法的商都小于被除数．[ × ]{.underline}．（判断对错）
> 【分析】本题举反例来判断即可．
>
> 【解答】解：如：0.5÷0.5＝1，1＞0.5，即商大于被除数．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】若*a*÷*b*＝*c*（*abc*≠0），当*b*＞1时，*a*＞*c*；当*b*＝1时，*a*＝*c*；当*b*＜1，*a*＜*c*．
2．（1分）8.7÷2.5×4＝8.7÷10＝0.87。[ × ]{.underline}（判断对错）
> 【分析】8.7÷2.5×4，按照从左向右的顺序，求出结果，再判断。
>
> 【解答】解：8.7÷2.5×4
>
> ＝3.48×4
>
> ＝13.92
>
> 所以，原题做法错误。
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】只含有一级运算的，按照从左向右的顺序进行计算。
3．（1分）9.659659......的循环节是965。[ × ]{.underline}（判断对错）
> 【分析】根据循环节的概念判断，一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。
>
> 【解答】解：9.659659......其中659是依次不断重复出现的数字，所以它的循环节是659。
>
> 所以9.659659......的循环节是965的说法是错误的，
>
> 故答案为：×。
>
> 【点评】本题考查的是对循环节的概念的理解，熟练掌握循环节的概念是解决此题的关键。
4．（1分）在一张方格纸上点（4，5）和点（6，5）在同一行上。[ √ ]{.underline}（判断对错）
> 【分析】数对表示位置时，第一个数表示列数，第二个数表示行数；所以（4，5）的列是4，行是5；数对（6，5）的列是6，行是5，据此做出判断。
>
> 【解答】因为（4，5）的列是4，行是5；数对（6，5）的列是6，行是5，
>
> 所以数对（4，5）和数对（6，5）在同一行上的说法是正确的；
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】此题主要考查数对表示位置的方法，明确第一个数表示列数，第二个数表示行数。
5．（1分）两个等底、等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形．[ × ]{.underline}（判断对错）
> 【分析】等底等高的三角形形状不一定一样，故组成的不一定是平行四边形；如：两个三角形，一个是直角的，一个是钝角的，并且等底等高，不能拼成平行四边形；关键是要两个三角形形状完全一样（全等）．
>
> 【解答】解：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，如下图：
>
> {width="3.6359241032370955in" height="1.6252274715660542in"}
>
> 所以原题说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】两个三角形拼成平行四边形的条件是：只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形．
**二、选择。（5分）**
6．（1分）已知3.6×1.4＝5.04，那么0.36×140＝（ ）
A．504 B．50.4 C．5.04 D．5040
> 【分析】根据积的变规律：因数怎么变，积就怎么变，一个因数除以10，另一个因数乘100，得到的积等于原来的积乘10，据此进行解答即可。
>
> 【解答】解：3.6×1.4＝5.04的一个因数除以10，另一个因数乘100，得到的积等于原来的积乘10，即0.36×140＝5.04×10＝50.4。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查积的变化规律。
7．（1分）*x*＝8是下列方程（ ）的解。
A．5*x*﹣2*x*＝240 B．2.6*x*+1.4*x*＝10
C．6*x*+8*x*＝112 D．3*x*+7＝25
> 【分析】把*x*＝8分别代入各个方程，看方程的左右两边是否相等，据此判断即可。
>
> 【解答】解：*A*．左边＝5×8﹣2×8＝40﹣16＝24，右边＝240，左边≠右边；
>
> *B*．左边＝2.6×8+1.4×8＝20.8+11.2＝32，右边＝10，左边≠右边；
>
> *C*．左边＝6×8+8×8＝48+64＝112，右边＝112，左边＝右边；
>
> *D*．左边＝3×8+7＝24+7＝31，右边＝31，左边≠右边。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题的重点是考查了学生对方程验算方法的掌握。
8．（1分）一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等．平行四边形的高是15厘米，三角形的高是（ ）厘米．
A．7.5 B．15 C．30 D．45
> 【分析】三角形和平行四边形底相等，面积也相等，则三角形的高是平行四边形的高的2倍，据此解答即可．
>
> 【解答】解：15×2＝30（厘米）；
>
> 答：三角形的高为30厘米．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】解题的关键是知道：底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
9．（1分）小华今年*a*岁，妈妈两年前*b*岁，再过2年后，她俩相差（ ）岁。
A．*b*+2﹣*a* B．*b*﹣*a* C．*a*﹣2﹣*b* D．*a*﹣*b*
> 【分析】先求出妈妈今年的年龄，再用妈妈今年的年龄减去小红今年的年龄求出两人的年龄差。
>
> 【解答】解：（*b*+2﹣*a*）（岁）。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】注意年龄差不会随时间的改变而变化。
10．（1分）用一块长80*cm*，宽50*cm*的长方形布料，剪成底和高都是20*cm*的直角三角形小旗，最多可以剪（ ）面。
A．8 B．10 C．20 D．16
> 【分析】因两个底和高都是20厘米的直角三角形纸，可拼成一个边长是20厘米的正方形，可求出在长80厘米，宽50厘米的长方形纸上，能剪多少个边长是20厘米正方形，再乘2，据此解答。
>
> 【解答】解：80÷20＝4（个）
>
> 50÷20＝2（个）...10（厘米）
>
> 4×2×2＝16（个）
>
> 答：最多可以剪成16个。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】本题的关键是先求出能剪多少个小长方形，然后再乘上2。不能用长方形的面积除以三角形的面积。
**三、填空。（22分）**
11．（2分）7.6×3.4的积是[ 两 ]{.underline}位小数，积的末位数字是[ 4 ]{.underline}，9÷22的商保留两位小数是[ 0.41 ]{.underline}。
> 【分析】（1）两个小数相乘，积的小数位数等于两个因数的小数位数和，注意末尾数相乘是整十数的情况，积的末位数字是两个因数末尾数字乘积的末位数字；
>
> （2）根据小数除法的计算方法，求出9÷22的商，然后再进一步解答。
>
> 【解答】解：（1）7.6是一位小数，3.4是一位小数，末尾数6×4＝24，不是整十数；所以，它们的积的小数位数是：1+1＝2，即积是两位小数，积的末位数字是4；
>
> （2）9÷22≈0.41
>
> 故答案为：两，4；0.41。
>
> 【点评】本题主要考查了学生根根据小数乘法和小数除法的计算方法来解答问题的能力。
12．（1分）把4.5、4.$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}$、4.5$\overset{\cdot}{4}$、4.54、4.$\overset{\cdot}{5}$这五个数按从大到小的顺序排列是[ 4.]{.underline}$\overset{\cdot}{5}＞$[4.]{.underline}$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}＞$[4.5]{.underline}$\overset{\cdot}{4}＞$[4.54＞4.5 ]{.underline}。
> 【分析】小数大小的比较，先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大...据此解答。
>
> 【解答】解：把4.5、4.$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}$、4.5$\overset{\cdot}{4}$、4.54、4.$\overset{\cdot}{5}$这五个数按从大到小的顺序排列是4.$\overset{\cdot}{5}＞$4.$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}＞$4.5$\overset{\cdot}{4}＞$4.54＞4.5。
>
> 故答案为：4.$\overset{\cdot}{5}＞$4.$\overset{\cdot}{5}\overset{\cdot}{4}＞$4.5$\overset{\cdot}{4}＞$4.54＞4.5。
>
> 【点评】本题主要考查了学生对小数大小比较方法的掌握情况。
13．（4分）在〇里填上＞或＜。
---------------- --------------- ------------------ -------------
2.78÷0.8〇2.78 0.99×52.8〇53 5.6×10〇5.6÷0.01 3.6×4.8〇12
---------------- --------------- ------------------ -------------
> 【分析】根据一个数（0除外）除以小于1的数，商比这个数大，可得：2.78÷0.8＞2.78；
>
> 一个数（0除外）乘小于1的数，积比这个数小，0.99×52.8＜52.8，52.8＜53，所以0.99×52.8＜53；
>
> 5.6÷0.01＝5.6×100，所以5.6×10＜5.6÷0.01；
>
> 3.6×4.8＝17.28，17.28＞12，所以3.6×4.8＞12。
>
> 【解答】解：
---------------- --------------- ------------------ -------------
2.78÷0.8＞2.78 0.99×52.8＜53 5.6×10＜5.6÷0.01 3.6×4.8＞12
---------------- --------------- ------------------ -------------
> 【点评】本题考查了小数大小比较的方法以及判断因数与积之间大小关系的方法、判断商与被除数之间大小关系的方法及应用。
14．（3分）3.02平方米＝[ 302 ]{.underline}平方分米
> 1.2时＝[ 1 ]{.underline}时[ 12 ]{.underline}分
>
> 【分析】高级单位平方米化成低级单位平方分米乘进率100即可；
>
> 1.2时化成复名数，整数即是小时数，用0.2乘进率60即是分钟数。
>
> 【解答】解：3.02平方米＝302平方分米
>
> 1.2时＝1时12分
>
> 故答案为：302；1，12。
>
> 【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。
15．（2分）一本书*a*页，小明每天看*x*页，看了4天，还剩[ （*a*﹣4*x*） ]{.underline}页没看，当*a*＝128，*x*＝18时，还剩[ 56 ]{.underline}页。
> 【分析】先根据已经看的页数＝每天看的页数×看的天数，求出4天看的页数，再用总页数减去看的页数求出剩下的页数即可。
>
> 【解答】解：（1）还剩：（*a*﹣4*x*）（页）
>
> 答：还剩（*a*﹣4*x*）页。
>
> （2）当*a*＝128，*x*＝18时，
>
> *a*﹣4*x*
>
> ＝128﹣4×18
>
> ＝128﹣72
>
> ＝56（页）
>
> 答：还剩56页。
>
> 故答案为：（*a*﹣4*x*）；56。
>
> 【点评】解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。
16．（1分）一个三角形的面积是30平方厘米，底是7.5厘米，它的高是[ 8 ]{.underline}厘米。
> 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，所以高＝三角形的面积×2÷底，把数据代入计算即可求出高。
>
> 【解答】解：30×2÷7.5
>
> ＝60÷7.5
>
> ＝8（厘米）
>
> 答：它的高是8厘米。
>
> 故答案为：8。
>
> 【点评】此题主要考查三角形的面积公式及其变式。三角形的面积不要忘了除以2。
17．（1分）一个平行四边形的面积是120平方厘米，与它等底等高的三角形面积是[ 60 ]{.underline}平方分米。
> 【分析】如果三角形和平行四边形等底等高，则三角形的面积是平行四边形的面积的一半，据此即可求解。
>
> 【解答】解：120÷2＝60（平方分米）
>
> 答：与它等底等高的三角形面积是60平方分米。
>
> 故答案为：60。
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半。
18．（2分）我们在推导梯形面积公式时是将它转化成了[ 平行四边形 ]{.underline}，一个梯形的上底是2.4分米、下底和高都是0.8分米，它的面积是[ 1.28平方分米 ]{.underline}。
> 【分析】将两个完全一样的梯形中的一个梯形沿上底或下底的一个端点进行旋转并且平移，即可拼成一个平行四边形，从而推导出梯形的面积公式；梯形的面积*S*＝（*a*+*b*）×*h*÷2，将数据代入公式即可求解。
>
> 【解答】解：我们在推导梯形面积公式时是将它转化成了平行四边形
>
> （2.4+0.8）×0.8÷2
>
> ＝3.2×0.8÷2
>
> ＝1.28（平方分米）
>
> 答：我们在推导梯形面积公式时是将它转化成了平行四边形，一个梯形的上底是2.4分米、下底和高都是0.8分米，它的面积是1.28平方分米。
>
> 故答案为：平行四边形，1.28平方分米。
>
> 【点评】此题主要考查梯形面积公式的推导以及面积公式的计算方法，要熟练掌握。
19．（1分）李阿姨买了8个苹果共重2.1千克，如果买这样的苹果13千克，大约有[ 49 ]{.underline}个。
> 【分析】8个苹果共重2.1千克，用2.1千克除以8，求出每个苹果的质量，再用13千克除以每个苹果的质量，即可求出如果买13千克这样的苹果，大约有多少个。
>
> 【解答】解：13÷（2.1÷8）
>
> ＝13÷0.2625
>
> ≈49（个）
>
> 答：大约有49个。
>
> 故答案为：49。
>
> 【点评】解决本题先根据除法平均分的意义求出每个苹果的质量，再根据除法的包含意义求出13千克苹果大约有多少个。
20．（2分）图如中，指针转到[ 白 ]{.underline}色的可能性最大，指针转到[ 黑色和红 ]{.underline}色的可能性相同。
> {width="0.8647036307961505in" height="0.8647036307961505in"}
>
> 【分析】首先观察图形可知，白色区域占的份数最多，黑色和红色占的份数一样多，根据各种颜色区域的面积的大小，直接进行判断即可。
>
> 【解答】解：由题意可知把一个圆平均分成了8份，其中白色占了4份，黑色和红色各占2份，
>
> 因为4＞2
>
> 所以指针转到白色的可能性最大，转到黑色和红色的可能性相同，
>
> 故答案为：白，黑色和红。
>
> 【点评】本题主要考查了事件发生的可能性大小，解决此题的关键是如果不需要准确的计算可能性的大小时，可以根据各种颜色区域面积的大小，直接进行判断。
21．（2分）一根木头长15米，把它锯成长度相等的6段，每锯一段需要8分钟，每段长[ 2.5 ]{.underline}米，锯完一共需要[ 40 ]{.underline}分钟。
> 【分析】用总长度除以所锯段数，计算每段长度；锯成6段，需要锯6﹣1＝5（次），所以用每次时间乘锯的次数，求总时间。
>
> 【解答】解：15÷6＝2.5（米）
>
> 8×（6﹣1）
>
> ＝8×5
>
> ＝40（分钟）
>
> 答：每段长2.5米，锯完一共需要40分钟。
>
> 故答案为：2.5；40。
>
> 【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清所锯次数和段数的关系。
**四、计算。（5分+4分+12分+9分＝30分）**
22．（5分）直接写出得数。
200×0.04＝ 0.2×0.5＝ 1.1﹣0.95＝ 8÷1.6＝
------------ ------------ ------------- ------------
12÷1.2＝ 0.7+6.03＝ 0.54÷0.6＝ 0.21×0.4＝
5.5÷11＝ 8.4×10.1＝
> 【分析】根据小数加减乘除法的计算方法直接进行口算即可。
>
> 【解答】解：
200×0.04＝8 0.2×0.5＝0.1 1.1﹣0.95＝0.15 8÷1.6＝5
------------- ----------------- ----------------- -----------------
12÷1.2＝10 0.7+6.03＝6.73 0.54÷0.6＝0.9 0.21×0.4＝0.084
5.5÷11＝0.5 8.4×10.1＝84.84
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
23．（4分）列竖式计算。
> ①9.05×0.26
>
> ②5.69÷1.4（得数保留两位小数）
>
> 【分析】根据小数乘除法的计算方法进行计算，注意根据四舍五入法保留两位小数。
>
> 【解答】解：①9.05×0.26＝2.353
>
> {width="0.9376312335958005in" height="1.2918471128608924in"}
>
> ②5.69÷1.4≈4.06
>
> {width="1.3751924759405074in" height="1.4897911198600176in"}
>
> 【点评】考查了小数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算，注意根据四舍五入法保留两位小数。
24．（12分）怎样简便就怎样算。
---------------- ---------- -------------------- --------------------------
①72.8÷5.6+24.9 ②82×0.99 ③4.35×2.5+3.65×2.5 ④5.6×（3.2﹣0.299÷0.23）
---------------- ---------- -------------------- --------------------------
> 【分析】①先算除法，再算加法；
>
> ②、③根据乘法分配律进行简算；
>
> ④先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的乘法。
>
> 【解答】解：①72.8÷5.6+24.9
>
> ＝13+24.9
>
> ＝37.9
>
> ②82×0.99
>
> ＝82×（1﹣0.01）
>
> ＝82×1﹣82×0.01
>
> ＝82﹣0.82
>
> ＝81.18
>
> ③4.35×2.5+3.65×2.5
>
> ＝（4.35+3.65）×2.5
>
> ＝8×2.5
>
> ＝20
>
> ④5.6×（3.2﹣0.299÷0.23）
>
> ＝5.6×（3.2﹣1.3）
>
> ＝5.6×1.9
>
> ＝10.64
>
> 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。
25．（9分）解方程。
------------------ ---------------------- -------------------
①0.4*x*÷0.5＝8.8 ②2.4*x*+0.7*x*＝8.37 ③6*x*+1.8×7＝23.4
------------------ ---------------------- -------------------
> 【分析】①先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.8求解；
>
> ②先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以3.1求解；
>
> ③根据等式的性质，方程两边同时减去12.6，再两边同时除以6求解。
>
> 【解答】解：①0.4*x*÷0.5＝8.8
>
> 0.8*x*＝8.8
>
> 0.8*x*÷0.8＝8.8÷0.8
>
> *x*＝11
>
> ②2.4*x*+0.7*x*＝8.37
>
> 3.1*x*＝8.37
>
> 3.1*x*÷3.1＝8.37÷3.1
>
> *x*＝2.7
>
> ③6*x*+1.8×7＝23.4
>
> 6*x*+12.6﹣12.6＝23.4﹣12.6
>
> 6*x*＝10.8
>
> 6*x*÷6＝10.8÷6
>
> *x*＝1.8
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
**五、做一做。（4分+4分＝8分）**
26．（4分）（1）请在下面的方格纸里描出下面各点，并依次连成封闭图形。*A*（2，9），*B*（1，7），*C*（4，6）。
> （2）画出这个图形向下平移4格后的图形，并标出各个顶点的位置。
>
> {width="1.906515748031496in" height="1.8648436132983377in"}
>
> 【分析】（1）按照先列后行的顺序找到*A*，*B*，*C*各点，然后连线完成作图；
>
> （2）把图形往下平移4格，审清题意：位置方向，格数数量，先描点，后连线。
>
> 【解答】解：（1）描点第一步，连线第二步；
>
> （2）如图所示：*A*′（2，5），*B*′（1，3），*C*′（4，2）{width="3.302544838145232in" height="2.7503838582677167in"}
>
> 【点评】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行。
27．（4分）如图中每个小正方形的边长是1*cm*，求阴影部分的面积。
> {width="1.458536745406824in" height="1.3751924759405074in"}
>
> 【分析】如图：{width="1.4689555993000876in" height="1.3856102362204725in"}把阴影图形转化3个三角形，利用三角形面积公式：*S*＝*ah*÷2，计算即可。
>
> 【解答】解：如图：
>
> {width="1.4689555993000876in" height="1.3856102362204725in"}
>
> 9×4÷2+9×3÷2+2×5÷2
>
> ＝18+13.5+5
>
> ＝36.5（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是36.5平方厘米。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**六、解决问题。（30分）**
28．（5分）小李去超市买每千克是4.8元的大米，来到超市，发现这种大米正在促销，现价是每千克4.5元，这样原来他计划买30千克大米的钱，现在可以买多少千克？
> 【分析】首先根据总价＝单价×数量，用原来大米的单价乘30，求出原来买30千克大米需要多少钱；然后用它除以大米的现价，求出现在可以买多少千克大米，列式解答即可。
>
> 【解答】解：4.8×30÷4.5
>
> ＝144÷4.5
>
> ＝32（千克）
>
> 答：现在可以买32千克大米。
>
> 【点评】此题主要考查了乘法、除法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确单价、总价、数量的关系。
29．（5分）建筑工地需要水泥32吨，用载重4.5吨的货车运了3次后，剩下的改用载重2.5吨的小货车运，需要多少辆小货车才能一次运完？
> 【分析】先根据工作总量＝工作效率×工作时间，求出先运的水泥吨数，再根据余下的水泥吨数＝总吨数﹣已运走的水泥吨数，求出余下的水泥吨数，然后再除以小货车的载重量即可解答。
>
> 【解答】解：（32﹣4.5×3）÷2.5
>
> ＝18.5÷2.5
>
> ≈8（辆）
>
> 答：需要8辆小货车才能一次运完。
>
> 【点评】根据小数乘法以及减法的意义先计算出剩余的吨数，是解答本题的关键。
30．（5分）乘坐火车从北京到呼和浩特需要用10.5小时，比乘坐高铁所需要时间的4倍还多0.1小时，乘高铁从北京到呼和浩特需要多少小时？
> 【分析】首先根据小数减法的意义，用10.5减去0.1，求出乘坐高铁需要时间的4倍是多少，再根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答。
>
> 【解答】解：（10.5﹣0.1）÷4
>
> ＝10.4÷4
>
> ＝2.6（小时）
>
> 答：乘高铁从北京到呼和浩特需要2.6小时。
>
> 【点评】此题主要根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法计算即可。
31．（5分）一块三角形的广告牌，底是20米，高是8米，如果给这个广告牌的两面都刷油漆，每平方米用油漆4.5千克，至少需要多少千克油漆？
> 【分析】先利用三角形的面积＝底×高÷2，求出广告牌的面积，因为广告牌的两面都刷油漆，所以用广告牌的面积乘2求出广告牌两面的面积，再用广告牌两面的面积乘每平方米的用油漆量已知，进而可以求出用油漆量。
>
> 【解答】解：20×8÷2×2×4.5
>
> ＝160×4.5
>
> ＝720（千克）
>
> 答：至少需要720千克油漆。
>
> 【点评】解答此题的关键是先求出广告牌两面的面积，再用面积乘每平方米的用油漆量即可得解。
32．（5分）我市居民用电收费方法如下表：
类别 用电量（千瓦时） 电价标准（元/千瓦时）
------ ------------------ -----------------------
一档 170及以下 0.42
二档 171﹣260 0.47
> 王老师家上月用电215千瓦时，电费是多少元？
>
> 【分析】根据题意，王老师家上月用电215千瓦，超过了170千瓦时，那么先用215﹣170，求出超过170千瓦时的用电量，这部分的电费按照二档收费；再加上按一档收费的170千瓦时即可。
>
> 【解答】解：0.42×170+0.47×（215﹣170）
>
> ＝71.4+0.47×45
>
> ＝71.4+21.15
>
> ＝92.55（元）
>
> 答：电费是92.55元.
>
> 【点评】本题考查了运用分段计费的方法解决实际问题。
33．（5分）两地相距522千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，4.5小时后两车相遇。甲车平均每小时行52.5千米，乙车平均每小时行多少千米？
> 【分析】首先根据路程÷相遇时间＝速度之和，求出两车的速度之和；然后用两车的速度之和减去甲车的速度即可。
>
> 【解答】解：522÷4.5﹣52.5
>
> ＝116﹣52.5
>
> ＝63.5（千米）
>
> 答：乙车平均每小时行63.5千米。
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：路程÷相遇时间＝速度之和，要熟练掌握。
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日期：2021/4/27 10:56:40；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：191388
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）**
**数学（理科）试卷**
**参考答案**
**一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。**
（1）A（2）D（3）D（4）B（5）A
（6）B（7）C（8）D（9）B（10）C
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。**
（11）1（12）（13）（14）266
（15）（16）（17）
**三、解答题**
（18）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系知识和基本运算能力。满分14分。
解：（Ⅰ）由题意臃及正弦定理，得
，
，
两式相减，得
。
（Ⅱ）由的面积，得
，
由余弦定理，得
，
所以。
（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。
方法一：
（Ⅰ）证明：因为，是的中点，
所以。
又
所以。
（Ⅱ）解：
，
是直线。
因为，
所以，
以因为，
所以，
则。
设，
在直角梯形中，
M是
所以
得，
所以。
在
所以
故。
方法二：
如图，以点为坐标原点，以、过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则
，， ，， 。
（Ⅰ）证明：因为，
所以
故。
（Ⅱ）解：设向量与平面垂直，
则
即。
因为，
所以
即
直线与平面所成的角是
所以，
因此直线与平面所成的角是。
（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以
当且仅当时，取到最在值1，
（Ⅱ）解：由
得
设到的距离为，则
又因为
所以代入②式并整理，得
解得，代入①式检验，。
故直线的方程是
。
（21）本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分15分。
（Ⅰ）解：方程的两个根为
当
所以；
当
所以；
当，
所以；
当
所以。
（Ⅱ）解：
（Ⅲ）证明：
所以
当
，
同时，
。
综上，当。
（22）本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分15分。
（Ⅰ）解：
由
因为当
当
当
故所求函数的单调递增区间是，
单调递减区间是。
（Ⅱ）证明：（i）方法一：
令
。
当，
当，
所以在内的最小值是。
故当时对任意正实数成立。
方法二：
对任意固定的，令，则
，
由。
当；
当
所以当。
因此当。
（ii）方法一：
，
由得，对任意实数成立，
即存在正实数，使得对任意正被实数成立。
下面证明的唯一性：
当时，
，
由（i）得，，
再取，
所以
即时，不满足对任意实数都成立。
故有且仅有一个正实数，
使得对任意实数成立。
方法二：
对任意，
因为，
所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即， ①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意实数成立。
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**一、填空。**
1、 20÷6.6商的最高位是（ ）位,循环节是（ ），商保留一位小数是（ ）。
2、一个三位小数，保留两位小数时，它的近似值是5.90，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。
3、一个袋子里有3个黄球，21个蓝球，2个绿球，这些球除了颜色以外其他完全相同，任意摸一次，摸到（ ）球的可能性最大。
4、根据18×64=1152，写出下列算式的结果：
1.8×0.64=( ) 11.52÷6.4=( )
5、在○里填上"＞"、"＜"或"=" 。
> 0.78÷0.99 0.78 4.9 4.9×1.3
4.82÷0.01 4.82×100
6、一条走廊长200米，在走廊的一侧每隔10米放一盆花（两端都放），一共要放（ ）盆花。
7、小林买4支钢笔，每支**ɑ**元；又买了b本练习本，每本1.5元。一共付出的钱数可以用式子（ ）来表示。
当**ɑ**=5，b=3时，一共付出（ ）元。
8、下图中，平行四边形的面积是56cm^2^ ,底是4cm，涂有阴影的三角形的高是（ ）cm。
> 
9、 在3.1、3.5、3.、3.155这四个数中，最大的是（ ）最小的是（ ）。
10、一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是10cm，那么平行四边形的高是（ ）cm。
2. **判断。（对的打"√"，错的打"×"。）**
1、两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）
2、 0.25×（0.4＋1）=0.25×0.4＋1 （ ）
3、循环小数一定是无限小数。 （ ）
4、因为**ɑ**^2 ^表示两个**ɑ**相乘，所以**ɑ**^2 ^＞ **ɑ** 。 （ ）
5、数对（3，4）和（5，4）表示的位置是在同一行。 （ ）
**三、选择题。（将正确答案的序号填在括号里）**
1、**ɑ**÷b=c......7，若**ɑ**与b同时扩大100倍，则余数是( )。
A． 7 B． 70 C． 700
2、x是大于1的自然数，下列算式中结果最大的是（ ） 。
A. x÷0.1 B. x＋0.1 C. x×0.1
3、下面各式中，（ ）是方程。
> A．3x－4＞0 B．2x＝5 C．5x－4×5
4. 计算下图中三角形的面积（单位：厘米），正确的算式是 （ ）。
```{=html}
<!-- -->
```
A. 11×8÷2 B.11×6÷2 C. 14×6÷2
5、小天把7x+2错写成7（x+2），结果比原来（ ）。
A. 多12 B.少 12 C.不变
**四、计算。**
**1、直接写出得数。**
9.55＋2.45＝ 1.2÷0.3＝ 0.25×0.4＝
> 0.19×40＝ 4÷0.8＝ 70÷0.5＝
0.74×5＝ 2.4**ɑ**＋6**ɑ**＝ 11y---9y＝
d×d＝ 2.5－2.5×0.1＝ 0.125×4÷0.5＝
**2、脱式计算。（能简便的要简便）**
3.9×1.4÷0.35 94.7---1.25×4.7×0.8
3.4×102 8.63×2.3＋7.7×8.63
7.08÷2.5÷0.4 20.93＋1.05÷（5.2---3.7）
3. **解方程。**
> 3.6**x**＋8.5**＝22.9** **13（x**＋**5）＝169**
**53---3x＝14 x---0.38x＝12.4**
**五、自己探究，动手操作。（图中为边长1cm的正方形）**
1. **在图中画出点A（0，1），B（3，1），C（3，5），并连接三点。**
2. **三个点所连成的图形面积是（ ）cm^2^，再在图中画一个与它面积相等的平行四边形。**
**六、计算下面组合图形的面积。**
**七、解决问题。**
**1、服装厂制作一套服装大约需要2.5m^2^的布料，现有布料301m^2^，大约可以做成多少套这样的服装？**
**2、甲、乙两地相距126千米，一辆轿车从甲地到乙地用了1.8小时，一辆客车从甲地到乙地用了2.4小时。轿车的速度比客车的速度快多少千米？**
**3、喷气式飞机每小时飞行1260km，比螺旋桨飞机每小时飞行路程的2倍多210km，螺旋桨飞机每小时飞行多少千米？（列方程解答）**
**4、果园里有苹果树和桃树共255棵，苹果树的棵树是桃树的2.4倍。苹果树和桃树各有多少棵？（列方程解答）**
**5、一块平行四边形果园，底是28.5m，高是12m。在这个果园中种葡萄树，每棵葡萄树占地0.6m^2^，这个果园可以种多少棵葡萄树？**
**6、礼品盒加工厂做一个蝴蝶结需要绳子3.8分米。改变方法后，每个蝴蝶结节省1.3分米。原来做1800个蝴蝶结的绳子，现在可以做多少个？**
**7、**某市为了节约用电，规定每户居民每月用电量在50度以内的每度0.52元；超过50度的部分，每度0.62元。王老师家本月用电量为95度，应缴电费多少元？
**附加题：**
**用一根长12.4dm的铁丝围成一个等腰梯形，已知这个梯形的腰长3.2dm，面积是9dm^2^ ，这个梯形的高是多少分米？**
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**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x＞0}，B={x\|﹣＜x＜}，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~m﹣1~=﹣2，S~m~=0，S~m+1~=3，则m=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m为正整数，（x+y）^2m^展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）^2m+1^展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数f（x）=，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
12．（5分）设△A~n~B~n~C~n~的三边长分别为a~n~，b~n~，c~n~，△A~n~B~n~C~n~的面积为S~n~，n=1，2，3...若b~1~＞c~1~，b~1~+c~1~=2a~1~，a~n+1~=a~n~，，，则（ ）
A．{S~n~}为递减数列
B．{S~n~}为递增数列
C．{S~2n﹣1~}为递增数列，{S~2n~}为递减数列
D．{S~2n﹣1~}为递减数列，{S~2n~}为递增数列
**二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=[ ]{.underline}．
14．（5分）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=a~n~+，则数列{a~n~}的通项公式是a~n~=[ ]{.underline}．
15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=[ ]{.underline}．
16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x^2^）（x^2^+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，AB=AA~1~，∠BAA~1~=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA~1~B~1~B，AB=CB=2，求直线A~1~C与平面BB~1~C~1~C所成角的正弦值．
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
21．（12分）已知函数f（x）=x^2^+ax+b，g（x）=e^x^（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
**四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.**
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．已知曲线C~1~的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C~1~的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C~1~与C~2~交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
**2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x＞0}，B={x\|﹣＜x＜}，则（ ）
A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B
【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．
【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．
【解答】解：∵集合A={x\|x^2^﹣2x＞0}={x\|x＞2或x＜0}，
∴A∩B={x\|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得z的虚部．
【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，∴z====+i，
故z的虚部等于，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由离心率和abc的关系可得b^2^=4a^2^，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．
【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b^2^=a^2^，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（ ）
A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\]
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．
【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t^2^
故分段函数的解析式为：s=，
如果输入的t∈\[﹣1，3\]，画出此分段函数在t∈\[﹣1，3\]时的图象，
则输出的s属于\[﹣3，4\]．
故选：A．
【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的"是"与"否"分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．
6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．
【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R^2^=（R﹣2）^2^+4^2^，
解出R=5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V===．
故选：A．
【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
7．（5分）设等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~m﹣1~=﹣2，S~m~=0，S~m+1~=3，则m=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由a~n~与S~n~的关系可求得a~m+1~与a~m~，进而得到公差d，由前n项和公式及S~m~=0可求得a~1~，再由通项公式及a~m~=2可得m值．
【解答】解：a~m~=S~m~﹣S~m﹣1~=2，a~m+1~=S~m+1~﹣S~m~=3，
所以公差d=a~m+1~﹣a~m~=1，
S~m~==0，
m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，
得a~1~=﹣2，
所以a~m~=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，
另解：等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，即有数列{}成等差数列，
则，，成等差数列，
可得2•=+，
即有0=+，
解得m=5．
又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a~1~+a~m﹣1~）=﹣2，
m（a~1~+a~m~）=0，（m+1）（a~1~+a~m+1~）=3，
可得a~1~=﹣a~m~，﹣2a~m~+a~m+1~+a~m+1~=+=0，
解得m=5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a~n~与S~n~的关系，考查学生的计算能力．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．
∴长方体的体积=4×2×2=16，
半个圆柱的体积=×2^2^×π×4=8π
所以这个几何体的体积是16+8π；
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力
9．（5分）设m为正整数，（x+y）^2m^展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）^2m+1^展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．
【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）^2m^展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，
同理，由（x+y）^2m+1^展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．
再由13a=7b，可得13=7，即 13×=7×，
即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．
10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），代入椭圆方程得，利用"点差法"可得．利用中点坐标公式可得x~1~+x~2~=2，y~1~+y~2~=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a^2^=2b^2^，再利用c=3=，即可解得a^2^，b^2^．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x~1~+x~2~=2，y~1~+y~2~=﹣2，==．
∴，
化为a^2^=2b^2^，又c=3=，解得a^2^=18，b^2^=9．
∴椭圆E的方程为．
故选：D．
【点评】熟练掌握"点差法"和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．
11．（5分）已知函数f（x）=，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\]
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．
【解答】解：由题意可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，
由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=\|f（x）\|在第二象限的部分解析式为y=x^2^﹣2x，
求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，
故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈\[﹣2，0\]
故选：D．
【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
12．（5分）设△A~n~B~n~C~n~的三边长分别为a~n~，b~n~，c~n~，△A~n~B~n~C~n~的面积为S~n~，n=1，2，3...若b~1~＞c~1~，b~1~+c~1~=2a~1~，a~n+1~=a~n~，，，则（ ）
A．{S~n~}为递减数列
B．{S~n~}为递增数列
C．{S~2n﹣1~}为递增数列，{S~2n~}为递减数列
D．{S~2n﹣1~}为递减数列，{S~2n~}为递增数列
【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】由a~n+1~=a~n~可知△A~n~B~n~C~n~的边B~n~C~n~为定值a~1~，由b~n+1~+c~n+1~﹣2a~1~=及b~1~+c~1~=2a~1~得b~n~+c~n~=2a~1~，则在△A~n~B~n~C~n~中边长B~n~C~n~=a~1~为定值，另两边A~n~C~n~、A~n~B~n~的长度之和b~n~+c~n~=2a~1~为定值，
由此可知顶点A~n~在以B~n~、C~n~为焦点的椭圆上，根据b~n+1~﹣c~n+1~=，得b~n~﹣c~n~=，可知n→+∞时b~n~→c~n~，据此可判断△A~n~B~n~C~n~的边B~n~C~n~的高h~n~随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：b~1~=2a~1~﹣c~1~且b~1~＞c~1~，∴2a~1~﹣c~1~＞c~1~，∴a~1~＞c~1~，
∴b~1~﹣a~1~=2a~1~﹣c~1~﹣a~1~=a~1~﹣c~1~＞0，∴b~1~＞a~1~＞c~1~，
又b~1~﹣c~1~＜a~1~，∴2a~1~﹣c~1~﹣c~1~＜a~1~，∴2c~1~＞a~1~，∴，
由题意，+a~n~，∴b~n+1~+c~n+1~﹣2a~n~=（b~n~+c~n~﹣2a~n~），
∴b~n~+c~n~﹣2a~n~=0，∴b~n~+c~n~=2a~n~=2a~1~，∴b~n~+c~n~=2a~1~，
由此可知顶点A~n~在以B~n~、C~n~为焦点的椭圆上，
又由题意，b~n+1~﹣c~n+1~=，∴=a~1~﹣b~n~，
∴b~n+1~﹣a~1~=，∴b~n~﹣a~1~=，
∴，c~n~=2a~1~﹣b~n~=，
∴\[\]\[\]
=\[﹣\]单调递增（可证当n=1时＞0）
故选：B．
【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的"亮点"之一．
**二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=[ 2 ]{.underline}．
【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．
【解答】解：∵，，∴=0，
∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．
故答案为2．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
14．（5分）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=a~n~+，则数列{a~n~}的通项公式是a~n~=[ （﹣2）^n﹣1^ ]{.underline}．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
【解答】解：当n=1时，a~1~=S~1~=，解得a~1~=1
当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=（）﹣（）=，
整理可得，即=﹣2，
故数列{a~n~}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
故当n≥2时，a~n~=（﹣2）^n﹣1^，
经验证当n=1时，上式也适合，
故答案为：（﹣2）^n﹣1^
【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．
15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．
【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin^2^θ+cos^2^θ=1联立即可求出cosθ的值．
【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，
又sin^2^θ+cos^2^θ=1，
联立得（2cosθ+）^2^+cos^2^θ=1，解得cosθ=﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x^2^）（x^2^+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为[ 16 ]{.underline}．
【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x^4^﹣8x^3^﹣14x^2^+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x^2^）（x^2^+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即\[1﹣（﹣3）^2^\]\[（﹣3）^2^+a•（﹣3）+b\]=0且\[1﹣（﹣5）^2^\]\[（﹣5）^2^+a•（﹣5）+b\]=0，
解之得，
因此，f（x）=（1﹣x^2^）（x^2^+8x+15）=﹣x^4^﹣8x^3^﹣14x^2^+8x+15，
求导数，得f′（x）=﹣4x^3^﹣24x^2^﹣28x+8，
令f′（x）=0，得x~1~=﹣2﹣，x~2~=﹣2，x~3~=﹣2+，
当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；
当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0
∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．
又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，
∴f（x）的最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．
【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA^2^=PB^2^+AB^2^﹣2PB•ABcos30°==．
∴PA=．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得，即，
化为．∴．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，CA=CB，AB=AA~1~，∠BAA~1~=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA~1~B~1~B，AB=CB=2，求直线A~1~C与平面BB~1~C~1~C所成角的正弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA~1~，A~1~B，由已知可证OA~1~⊥AB，AB⊥平面OA~1~C，进而可得AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）易证OA，OA~1~，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，\|\|为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB~1~C~1~C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求\|cos＜，＞\|，即为所求正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA~1~，A~1~B，
因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA~1~，∠BAA~1~=60°，
所以△AA~1~B为等边三角形，所以OA~1~⊥AB，
又因为OC∩OA~1~=O，所以AB⊥平面OA~1~C，
又A~1~C⊂平面OA~1~C，故AB⊥A~1~C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA~1~⊥AB，又平面ABC⊥平面AA~1~B~1~B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA~1~B~1~B，故OA，OA~1~，OC两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，\|\|为单位长，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A~1~（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），
则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），
设=（x，y，z）为平面BB~1~C~1~C的法向量，则，即，
可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A~1~C与平面BB~1~C~1~C所成角的正弦值为：．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A~1~，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A~2~，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B~1~，第二次取出的1件产品是优质品为事件B~2~，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A~1~B~1~）∪（A~2~B~2~），且A~1~B~1~与A~2~B~2~互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．
【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A~1~，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A~2~，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件B~1~，第二次取出的1件产品是优质品为事件B~2~，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A~1~B~1~）∪（A~2~B~2~），且A~1~B~1~与A~2~B~2~互斥，
所以P（A）=P（A~1~B~1~）+P（A~2~B~2~）=P（A~1~）P（B~1~\|A~1~）+P（A~2~）P（B~2~\|A~2~）
==
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，
P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 400 500 800
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
故EX=400×+500×+800×=506.25
【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．
20．（12分）已知圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|．
【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）^2^+y^2^=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得\|AB\|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（I）由圆M：（x+1）^2^+y^2^=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）^2^+y^2^=9，圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，
而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a=2，c=1，b^2^=a^2^﹣c^2^=3．
∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）^2^+y^2^=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得\|AB\|=．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），
由l于M相切可得：，解得．
当时，联立，得到7x^2^+8x﹣8=0．
∴，．
∴\|AB\|===
由于对称性可知：当时，也有\|AB\|=．
综上可知：\|AB\|=或．
【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
21．（12分）已知函数f（x）=x^2^+ax+b，g（x）=e^x^（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；
（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f′（x）=2x+a，g′（x）=e^x^（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x^2^+4x+2，g（x）=2e^x^（x+1）
设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke^x^（x+1）﹣x^2^﹣4x﹣2，
则F′（x）=2ke^x^（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke^x^﹣1），
由题设得F（0）≥0，即k≥1，
令F′（x）=0，得x~1~=﹣lnk，x~2~=﹣2，
①若1≤k＜e^2^，则﹣2＜x~1~≤0，从而当x∈（﹣2，x~1~）时，F′（x）＜0，当x∈（x~1~，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，x~1~）上减，在（x~1~，+∞）上是增，故F（x）在\[﹣2，+∞）上的最小值为F（x~1~），
而F（x~1~）=﹣x~1~（x~1~+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
②若k=e^2^，则F′（x）=2e^2^（x+2）（e^x^﹣e^﹣2^），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．
③若k＞e^2^时，F′（x）＞2e^2^（x+2）（e^x^﹣e^﹣2^），
而F（﹣2）=﹣2ke^﹣2^+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，
综上，k的取值范围是\[1，e^2^\]．
【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．
**四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.**
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=．
【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．
23．已知曲线C~1~的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C~1~的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C~1~与C~2~交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）曲线C~1~的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C~1~的极坐标方程．
（2）曲线C~2~的极坐标方程化为直角坐标方程，与C~1~的普通方程联立，求出C~1~与C~2~交点的直角坐标，由此能求出C~1~与C~2~交点的极坐标．
【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）^2^+（y﹣5）^2^=25，
即C~1~：x^2^+y^2^﹣8x﹣10y+16=0，
将代入x^2^+y^2^﹣8x﹣10y+16=0，
得ρ^2^﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
∴C~1~的极坐标方程为ρ^2^﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．
（2）∵曲线C~2~的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴曲线C~2~的直角坐标方程为x^2^+y^2^﹣2y=0，
联立，
解得或，
∴C~1~与C~2~交点的极坐标为（）和（2，）．
【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈\[﹣，\]都成立，分析可得﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．
设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：
结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣，\]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，
故 x≥a﹣2对x∈\[﹣，\]都成立．
故﹣≥a﹣2，
解得 a≤，
故a的取值范围为（﹣1，\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式．
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**2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．∈A B．∈A C．i^5^∈A D．\|﹣i\|∈A
2．设全集U=R，A={x\|2^x（x﹣2）^＜1}，B={x\|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x\|x≥1} B．{x\|x≤1} C．{x\|0＜x≤1} D．{x\|1≤x＜2}
3．设函数，则f\[f（2）\]=（ ）
A． B．2e^2^ C．2e D．2
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5．下列结论中，正确的是（ ）
①命题"若p^2^+q^2^=2，则p+q≤2"的逆否命题是"若p+q＞2，则p^2^+q^2^≠2"；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；
③命题p：y=a^x^（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x^2^﹣3x+1＜0．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．﹣
8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）
A．\[，1） B．（，1） C．\[，） D．（0，）
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
11．设数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~+a~4~=6，且对任意n∈N^\*^，函数f（x）=（a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~）x+a~n+1~•cosx﹣a~n+2~sinx满足若，则数列{c~n~}的前n项和S~n~为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣log~a~\|x\|至少6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（0，\]∪（5，+∞） B．（0，）∪\[5，+∞） C．（，\]∪（5，7） D．（，）∪\[5，7）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为[ ]{.underline}．
14．设等差数列{a~n~}满足，其前n项和为S~n~，若数列也为等差数列，则的最大值为[ ]{.underline}．
15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x^2^+y^2^）≤（x+y）^2^恒成立，则实数m的最大值是[ ]{.underline}．
16．设函数f（x）=，对任意x~1~、x~2~∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值．
18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b=7的概率；
（2）求点（a，b）在函数y=2^x^的图象上的概率；
（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．
19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，并使得平面A~1~DE⊥平面BCED．
（1）求证：A~1~D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA~1~与平面A~1~BD所成角的正切的最大值．
20．已知F是抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且\|PF\|=．
（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S~△OAB~=（S~△OAB~表示△OAB的面积，S~△ODE~表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f（x）=x^2^﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈\[1，e\]，f（x）≥k^2^+6k恒成立，求实数k的取值范围．
**请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-1，几何证明选讲\]**
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2，AE=，求CD．
**\[选修4-4，坐标系与参数方程\]**
23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．
**\[选修4-5，不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣3\|+\|x﹣2\|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；
（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．
**2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．∈A B．∈A C．i^5^∈A D．\|﹣i\|∈A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，
【解答】解：∵，
，
i^5^=i^4^•i=i，
\|﹣i\|=1．
又A={﹣1，i}，
∴i^5^∈A．
故选：C．
2．设全集U=R，A={x\|2^x（x﹣2）^＜1}，B={x\|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x\|x≥1} B．{x\|x≤1} C．{x\|0＜x≤1} D．{x\|1≤x＜2}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由题意，2^x（x﹣2）^＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．
【解答】解：∵2^x（x﹣2）^＜1，
∴x（x﹣2）＜0，
∴0＜x＜2；
∴A={x\|2^x（x﹣2）^＜1}=（0，2）；
又∵B={x\|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），
∴图中阴影部分表示的集合为\[1，2）；
故选D．
3．设函数，则f\[f（2）\]=（ ）
A． B．2e^2^ C．2e D．2
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（2）==﹣1，由f\[f（2）\]=f（﹣1），能求出结果．
【解答】解：∵，
∴f（2）==﹣1，
f\[f（2）\]=f（﹣1）=2e^﹣1+1^=2．
故选：D．
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，b的值为1.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
【考点】散点图．
【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．
【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，
且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，
∴回归直线的斜率小于1，
故结论最有可能成立的是B，
故选：B．
5．下列结论中，正确的是（ ）
①命题"若p^2^+q^2^=2，则p+q≤2"的逆否命题是"若p+q＞2，则p^2^+q^2^≠2"；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；
③命题p：y=a^x^（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x^2^﹣3x+1＜0．
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．
【解答】解：①命题"若p^2^+q^2^=2，则p+q≤2"的逆否命题是"若p+q＞2，则p^2^+q^2^≠2"故①正确；
②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，
由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；
③命题p：y=a^x^（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；
④命题的否定是¬p：∀x∈R，x^2^﹣3x+1＜0，故④正确．
∴正确的命题是①②④．
故选：C．
6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．
【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，
∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．
故选：B．
7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（ ）
A．0 B． C．﹣ D．﹣
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+...+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+...+sin的值，
由于sin+sin+...+=0（k∈Z），2015=335×6+5，
所以S=sin+sin+...+sin=sin+sin+...+sin=0，
故选：A．
8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（ ）
A．\[，1） B．（，1） C．\[，） D．（0，）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x^2^﹣ax+y^2^=0．与椭圆的方程联立可得：（b^2^﹣a^2^）x^2^+a^3^x﹣a^2^b^2^=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．
【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．
设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．
该圆为：，化为x^2^﹣ax+y^2^=0．
联立化为（b^2^﹣a^2^）x^2^+a^3^x﹣a^2^b^2^=0，
则，解得，
∵0＜x＜a，∴，
化为c^2^＞b^2^=a^2^﹣c^2^，
∴，又1＞e＞0．
解得．
∴该椭圆的离心率e的范围是．
故选：C．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，
其直观图如下图所示：
故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，
帮选：A
10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由题意可知： =，设=λ， =+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．
【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，
∴=，
设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，
∵=m+，
∴，即λ=，m=，
故答案选：A．
11．设数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~+a~4~=6，且对任意n∈N^\*^，函数f（x）=（a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~）x+a~n+1~•cosx﹣a~n+2~sinx满足若，则数列{c~n~}的前n项和S~n~为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】依题意，可求得a~n~﹣2a~n+1~+a~n+2~=0，于是知数列{a~n~}是等差数列，设其公差为d，由a~1~=1，a~2~+a~4~=6，可求得a~n~=n，于是知c~n~=a~n~+=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=（a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~）x+a~n+1~•cosx﹣a~n+2~sinx，
∴f′（x）=a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~﹣a~n+1~•sinx﹣a~n+2~cosx，
=a~n~﹣2a~n+1~+a~n+2~，
∵f′（）=0，
∴a~n~﹣2a~n+1~+a~n+2~=0，即2a~n+1~=a~n~+a~n+2~，
∴数列{a~n~}是等差数列，设其公差为d，
∵a~2~+a~4~=6，
∴2a~1~+4d=6，a~1~=1，
∴d=1，
∴a~n~=1+（n﹣1）×1=n，
∴c~n~=a~n~+=n+，
∴S~n~=c~1~+c~2~+...+c~n~
=（1+2+...+n）+（++...+）
=+
=﹣．
故选：C．
12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sinx，若函数g（x）=f（x）﹣log~a~\|x\|至少6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（0，\]∪（5，+∞） B．（0，）∪\[5，+∞） C．（，\]∪（5，7） D．（，）∪\[5，7）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．
【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log~a~\|x\|的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故a＞5；
当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log~a~\|x\|的图象如下，
，
结合图象可知，
，
故0＜a≤．
故选A．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.**
13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为[ ﹣1或﹣5 ]{.underline}．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．
【解答】解：令x=1，则（a+3）^n^的展开式的系数和为256，
据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2^n^
∴2^n^=256，
∴n=8，
∴a+3=±2，
解得a=﹣1或﹣5．
故答案是：﹣1或﹣5．
14．设等差数列{a~n~}满足，其前n项和为S~n~，若数列也为等差数列，则的最大值为[ 121 ]{.underline}．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{a~n~}的公差为d，则=+，可得=1+，解得d，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a~n~，S~n+10~，进而得出．
【解答】解：设等差数列{a~n~}的公差为d，则=+，∴=1+，解得d=2，
∴S~n+10~=（n+10）×1+×2=（n+10）^2^， =\[1+2（n﹣1）\]^2^=（2n﹣1）^2^．
∴===≤121，当n=1时取等号，
∴的最大值为121．
故答案为：121．
15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x^2^+y^2^）≤（x+y）^2^恒成立，则实数m的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】简单线性规划．
【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由题意知：可行域如图，
又∵m（x^2^+y^2^）≤（x+y）^2^在可行域内恒成立．
且m≤=1+=1+=1+，
故只求z=的最大值即可．
设k=，则有图象知A（2，3），
则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，
由图象可知即1≤k≤，
∵z=k+在1≤k≤，
上为增函数，
∴当k=时，z取得最大值z=+=，
此时1+=1+=1+=，
故m≤，
故m的最大值为，
故答案为：
16．设函数f（x）=，对任意x~1~、x~2~∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是[ k≥1 ]{.underline}．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】当x＞0时， =，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求
【解答】解：∵当x＞0时， ==2e
∴x~1~∈（0，+∞）时，函数f（x~1~）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x~1~、x~2~∈（0，+∞），f（x~1~）~min~=2e＞g（x~2~）~max~=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
**三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值．
【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b^2^的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b^2^和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由，
由b^2^=ac及正弦定理得sin^2^B=sinAsinC．
于是=．
（Ⅱ）由．
由余弦定理：b^2^=a^2^+c^2^﹣2ac•cosB，又b^2^=ac=2，cosB=，
得a^2^+c^2^=b^2^+2ac•cosB=2+4×=5，
则（a+c）^2^=a^2^+c^2^+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．
18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b=7的概率；
（2）求点（a，b）在函数y=2^x^的图象上的概率；
（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．
（2）设"点（a，b）在函数y=2^x^的图象上"为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．
（3）记"以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形"为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．
【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．
∴P（a+b=7）==．
（2）设"点（a，b）在函数y=2^x^的图象上"为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），
∴P（B）==．
（3）记"以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形"为事件C，共包含14个基本事件．
∴P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．
P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．
-------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
ξ 0 1 2 3
P（ξ）    
-------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
∴E（ξ）=3×=．
19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，并使得平面A~1~DE⊥平面BCED．
（1）求证：A~1~D⊥EC；
（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA~1~与平面A~1~BD所成角的正切的最大值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．
【分析】（1）等边△ABC的边长为3，且==，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD^2^+DE^2^=AE^2^，判断AD⊥DE折叠后A~1~D⊥DE，根据平面A~1~DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A~1~D⊥平面BCED，进而可知A~1~D⊥EC．
（2）作PH⊥BD于点H，连结A~1~H、A~1~P，由（1）有A~1~D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，推断出A~1~D⊥PH，又A~1~D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A~1~BD，推断出∠PA~1~H是直线PA~1~与平面A~1~BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A~1~H的表达式，继而在Rt△PA~1~H中，表示出tan∠PA~1~H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA~1~H的最大值．
【解答】证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且==，
所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE==．
因为AD^2^+DE^2^=AE^2^，
所以AD⊥DE．
折叠后有A~1~D⊥DE，
因为平面A~1~DE⊥平面BCED，又平面A~1~DE∩平面BCED=DE，
A~1~D⊂平面A~1~DE，A~1~D⊥DE，所以A~1~D⊥平面BCED
故A~1~D⊥EC．
（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A~1~H、A~1~P，
由（1）有A~1~D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，
所以A~1~D⊥PH，又A~1~D∩BD=D，所以PH⊥平面A~1~BD，
所以∠PA~1~H是直线PA~1~与平面A~1~BD所成的角，
设PB=x（0≤x≤3），则BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣
所以A~1~H==
所以在Rt△PA~1~H中，tan∠PA~1~H==
①若x=0，则tan∠PA~1~H===0，
②若x≠0则tan∠PA~1~H===
令=t（t≥），y=20t^2^﹣8t+1
因为函数y=20t^2^﹣8t+1在t≥上单调递增，所以y~min~=20×﹣+1=
所以tan∠PA~1~H的最大值为=（此时点P与C重合）
20．已知F是抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且\|PF\|=．
（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S~△OAB~=（S~△OAB~表示△OAB的面积，S~△ODE~表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，进而可得t值；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A，B的坐标，进而可得E的坐标，利用S~△OAB~=，即可得出结论．
【解答】解：∵点 P（1，t）为抛物线y^2^=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，\|PF\|=，
∴1+=，
解得：p=1，
故抛物线的方程为：y^2^=2x，
将x=1代入可得：t=±；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．
设直线OA的方程为y=kx（k＞0），OA⊥OB，直线OB的方程为y=﹣x．
由，得k^2^x^2^=2x，∴x=0（舍去）或x=，即A（，）．
同理B（2k^2^，﹣2k）．
∵k=1时，AB⊥y轴，不符合题意，
∴直线AB的方程为y+2k=（x﹣2k^2^），
即y+2k=（x﹣2k^2^），
∴E（0，）．
∵S~△OAB~=，
∴\|y~A~\|+\|y~B~\|=\|y~E~\|，
∵y~A~，y~B~异号，
∴\|y~A~\|+\|y~B~\|=\|y~A~﹣y~B~\|=\|y~E~\|，
∴\|\|=•\|\|
∴k^2^=或2，
∴A（4，2）或A（1，），
由对称性，可得A（4，±2）或A（1，±）．
21．已知函数 f（x）=x^2^﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈\[1，e\]，f（x）≥k^2^+6k恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；
（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；
（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈\[1，e\]，f（x）≥k^2^+6k恒成立，即求f（x）~min~≥k^2^+6k恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，
∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a^2^﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分
解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，
当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分
②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
③当a＞1时，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分
（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，
由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，
因此f（x）在区间1，e\]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分
∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，
∴f（e）﹣f（1）=．
设g（x）=x^2^﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，
∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．
∴f（x）在区间1，e\]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分
若要满足对对∀x∈\[1，e\]，f（x）≥k^2^+6k恒成立，只需f（x）~min~≥k^2^+6k恒成立，
即求﹣5≥k^2^+6k恒成立，即k^2^+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．
∴实数k的取值范围是\[﹣5，﹣1\]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分
**请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-1，几何证明选讲\]**
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2，AE=，求CD．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．
（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果
【解答】
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
（2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：（1）略
（2）CD=2
**\[选修4-4，坐标系与参数方程\]**
23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．
【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；
（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．
【解答】解：（1）曲线，
可得：，
曲线C的普通方程：x^2^+y^2^=4．
直线=，
直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．
（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，
，圆心C到直线的距离为1，
∴这三个点在平行直线l~1~与 l~2~上，如图：
直线l~1~与 l~2~与l的距离为1．
l~1~：x+=0，l~2~：x+﹣4=0．
，可得，，
两个交点（﹣，1），（，﹣1）；
，解得（1，），
这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）
**\[选修4-5，不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣3\|+\|x﹣2\|+k．
（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；
（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到\|x﹣3\|+\|x﹣2\|的最小值大于等于3﹣k，求出\|x﹣3\|+\|x﹣2\|的最小值即可确定出k的取值范围；
（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得\|x﹣3\|+\|x﹣2\|+k≥3，对∀x∈R恒成立，
即（\|x﹣3\|+\|x﹣2\|）~min~≥3﹣k，
又\|x﹣3\|+\|x﹣2\|≥\|x﹣3﹣x+2\|=1，
∴（\|x﹣3\|+\|x﹣2\|）~min~=1≥3﹣k，
解得：k≥2；
（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=\|x﹣3\|+\|x﹣2\|+1＜3x，
当x≤2时，变形为5x＞6，
解得：x＞，
此时不等式解集为＜x≤2；
当2＜x＜3时，变形为3x＞2，
解得：x＞，
此时不等式解集为2＜x＜3；
当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，
此时不等式解集为x≥3，
综上，原不等式的解集为（，+∞）．
**2016年11月3日**
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2020---2021学年度上学期期末检测
二年级数学试题
**（**试卷满分100分，卷面分2分，考试时间60分钟）
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题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
分值 28 5 10 20 6 6 25
得分
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（请监考老师读题）
一、**填空。（第1-10题每空1分，第11题2分，共28分）**
1、图钉长（ ）厘米。
绿。
2、一根旗杆高13米，一个小朋友的身高1米多，（ ）个小朋友身高加起来差不多和旗杆一样高。
3、填上合适的长度单位。
一只鞋大约长20（ ） 一张床大约长2（ ）
食指宽约1（ ） 黑板大约长3（ ）
我们学校一节课有40（ ），课间休息10（ ）。
4、把口诀补完整。
四九（ ） （ ）八五十六 六（ ）四十二
5、观察右图：新闻联播晚上（ ）时整开始，要
播放30分，（ ）时（ ）分结束。
6、积是45的乘法口诀是（ ），根据这句乘法口诀写出的乘法算式是（ ）或（ ）。
7、看图写算式：
乘加算式（ ） 乘减算式（ ）
8、用3、5、7这三个数字组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成（ ）个不同的两位数，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。
9、右图有（ ）个直角，（ ）条线段。
10、2个8的和是（ ），2个8的积是（ ）。
11、把24、25、26、27这4个数填入下面括号中。**（2分）**
（ ）＋（ ）---（ ）=（ ）
二**、判断题。(对的在括号里打"√ "，错的打"×",每题1分，共5分)**
**1、7+7** +7+7+7+7可以写成7×6。 （ ）
2、15分也可以说成一刻。 （ ）
3、2×2＝2＋2。 （ ）
4、用直角和锐角不能拼出钝角。 （ ）
5、一个正方体，从不同的面观察，看到的每一个面都是正方形。（ ） 三、选择题。**（把正确答案的序号填在括号里。每题2分，共10分）** 1、下面图形中是线段的是（ ）。
  
① ② ③
2、一本故事书优惠7元后售价是15元，这本书原价是（ ）元。
① 8 ②20 ③ 22
> 3、小丁有3件不同的上衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（ ）种穿法。
①5 ②6 ③3
4、和算式5+5+5+1不相等的是（ ）。
①5**×**4－4 ②5**×**3+1 ③5**×**4－1
**5、分针从12走到3，走了**（ ）分。
①15 ②3 ③30
四、计算。**（20分）**
**1、口算。（每题1分，共8分）**
8×9＝ 5×6＝ 45－30＝ 9×9－9＝
27+6= 45－9= 7×8＝ 6×8+30=
**2、列竖式计算。（每题2分，共12分）**
70－46= 56＋34= 95－78=
34 ＋ 28＋ 19= 90－（36 ＋48 ）= 93－ 16－47 =
五、画一画。（**6分）**
1、画图表示5×4的含义。（**3分）**
2、画一个直角，并标出各部分名称。（3分）
六、观察图形。（6分）
下面的图形是谁看到的？连一连。
小明 小军
小红
小明 小军 小红
**七、解决问题。（第1-4题每题4分，第6题9分，共25分）**
1、一只玩具 5元，一个可以买3只 ，一个多少元？
[ ]{.underline}
**口答：**一个 [ ]{.underline} 元。
2、有25人，每辆能坐4人，6辆这样的 能坐下吗？
[ ]{.underline}
**口答：** [ ]{.underline} 。
3、树上原有35只鸟，飞走了26只，又飞来18只，现在有几只鸟？
[ ]{.underline}
**口答：**现在有 [ ]{.underline} 只鸟。
4、下面是小刚周日下午的活动安排表，把时间和相应的活动连起来。
------ -------------- -------------- -------------- --------------
时间 1：00～2：00 2：10～3：30 3：40～4：40 4：50～6：00
活动 午睡 写作业 看电视 踢足球
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午睡 写作业 看电视 踢足球
> 5、有3种丁香花，花瓣分别是3瓣、4瓣和5瓣。
①1朵3瓣的和1朵5瓣的花共有多少个花瓣？
[ ]{.underline}
> **口答：**1朵3瓣的和1朵5瓣的花共有 [ ]{.underline} 个花瓣。
②6朵4瓣的和1朵5瓣的花共有多少个花瓣？
[ ]{.underline}
> **口答：**6朵4瓣的和1朵5瓣的花共有 [ ]{.underline} 个花瓣。
③你还能提出其它数学问题并解答么？
[ ]{.underline}
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> **河北省衡水中学2017届高三下学期第四周周测**
>
> **理数试题**
>
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2\. 如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数（是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 下列四个函数中，在处取得极值的函数是（ ）
①；②；③；④
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②③
4\. 已知变量满足：，则的最大值为（ ）
A.  B.  C. 2 D. 4
5\. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
6\. 两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（ ）
A. 2 B. 3 C.  D. \[来源:Zxxk.Com\]
7\. 在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，，若在内的概率为0.8，则落在内的概率为（ ）
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
8\. 函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A. 0 B.  C.  D. 
9\. 若，则的值是（ ）
A. -2 B. -3 C. 125 D. -131
10\. 已知圆：，圆：，椭圆：，若圆都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
11\. 定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
12\. 正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（ ）
A.  B.  C.  D. 
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 已知向量与的夹角为，且，若且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，，10的因数有1,2,5,10，，那么\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） \[来源:学科网ZXXK\]**
17\. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
18\. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.\[来源:学§科§网\]
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的"星级卖场".
（1）当时，记甲型号电视机的"星级卖场"数量为，乙型号电视机的"星级卖场"数量为，比较的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记为其中甲型号电视机的"星级卖场"的个数，求的分布列和数学期望；
（3）若，记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断为何值时，达到最小值．（只需写出结论）
19\. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20\. 如图，已知椭圆，点是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段相交于点，且与椭圆相交于两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
21\. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小．\[来源:Zxxk.Com\]
**请考生在22、23两题中任选一****题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值．
23\. 选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数，求的取值范围，使为常函数；
（2）若，，求的最大值．
附加题：
24\. 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦．
①设的中点分别为，证明：直线必过定点，并求此定点坐标；
②若直线的斜率均存在时，求由四点构成的四边形面积的取值范围．
25\. 已知函数（为自然对数的底数，），，．
（1）若，，求在上的最大值的表达式；
（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；
（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．
26\. 2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．
注：（1）表中表示出手次命中次；
（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
 
（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率；
（2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中至少有一场超过60%的概率；
（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．
| 1 | |
第五单元演练
一、填空题。
1\. 计算面积时,要用( )单位,常用的面积单位有( )、( )和( )。\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
2\. 常见的两个相邻长度单位之间的进率是( ),常见的两个相邻面积单位间的进率是( )。
3\. 5平方米=( {width="2.4305555555555556e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"} )平方分米=( )平方厘米
{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}300平方厘米=( )平方分米
4\. 选适当的单位填空。
一个舞蹈教室的地毯面积约是80( )。
1张照片的面积约是180( )。
一本书封面的面积约是2( )。
一台电视屏幕{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的面积约是90( )。
我家的住房面积约是120( )。
大拇指指甲的面积约是1( )。
5\. 将一个边长为6厘米的正方形纸,剪成9张完全相同的正方形小纸片,每张正方形小纸片的边长是( )厘米。
6\. 把一块长6分米、宽4分米的玻璃,裁成边长是2分米的正方形,可以裁成{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}( )块。
7\. 把7个边长是3厘米的正方形拼成一个大长方形,那么这个长方形的面积是( )平方厘米。\[来源:学科网\]
8\. 长120厘米、宽30厘米的长方形的面积是( )平方厘米,合( )平方分米。
二、在{width="0.20625in" height="0.20625in"}里填上"\>""\<"或"="。
1平方米{width="0.20625in" height="0.20625in"}100平方分米
15平方米{width="0.20625in" height="0.20625in"}150平方分米
60000平方厘米{width="0.20625in" height="0.20625in"}6平方米
100平方米{width="0.20625in" height="0.20625in"}900{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}0平方厘米
300平方厘米{width="0.20625in" height="0.20625in"}30平方分米
200平方厘米{width="0.20625in" height="0.20625in"}2平方分米
三、判断题。(正确的画"√ ",错误的画"✕")
1\. 一块地砖的面积是4分米。 ( )
2\. 边长是4分米的正方形,它的面积是16平方米。 ( )
3\. 边长是10厘米的正方形,它的面积是1平方分米。 ( )
4\. 如果一个正方形的面积是36平方米,那么它{width="2.361111111111111e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}的边长是6米。 ( )
5\. 长50厘米、宽40厘米的长方形,面积是20平方分米。 ( )
6\. 1 平方厘米=100 平方分米 ( )
7\. 一个教室的{width="2.361111111111111e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}面积大约为100平方分米。 ( )
8\. 边长为4分米的正方形纸,可以剪成面积是4平方厘米的小正方形100个。 ( )
四、填表格。
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------+-----+-------------------------+------+----+-----+
| {width="0.15625in" height="0.45in"}\[来源:学\#科\#网\] | 长\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\] | 11m | 25cm\[来源:Z.xx.k.Com\] | 35cm | 6m | 6dm |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------+-----+-------------------------+------+----+-----+
| | 宽 | 3m | 比长少 | 15cm | 4m | 6dm |
| | | | | | | |
| | | | 5cm | | | |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------+-----+-------------------------+------+----+-----+
| | 面 | | | | | |
| | | | | | | |
| | 积 | | | | | |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------+-----+-------------------------+------+----+-----+
五、看图计{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}算。
1\. 计算菜地和果园的面积分别是多少。
{width="1.2527777777777778in" height="0.7194444444444444in"}
2\. 用四张大小和形状都相同的长方形纸,拼成一个大正方形,如图。计算大正方形和小正方形的面积。
{width="0.9361111111111111in" height="1.1194444444444445in"}
{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}六、解决问题。
1\. 玉林农场给一个长50{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.875e-2in"}米、宽35米的长方形苗圃四周围一道竹篱笆,竹篱笆长多少米?围起的面积有多大?
2\. 一个长方形桌面长60分米,宽40分米,面积是多少平方分米?合多少平方米?
3\. 一块正方形地砖的边长是3分米,小明家装修用了这样的地砖600块。小明家铺地砖的面积是多少平方米?(6分)
4\. 一个苹果园占地360平方米,平均每棵苹果树占地3平方米。这个苹果园一共种了多少棵苹果树?如果每棵苹果树收苹果40千克,这个苹果园一共收苹果多少千克?(6分)
5\. 一个长方形花坛长6米,宽3米。如果每平方米种4株花,这个花坛一共可以种多少株花?(6分)
6\. 一间房子长18米,宽15米,它的面积是多少平方米?用面积是9平方分米的正方形地砖铺地面,需要多少块?(7分)
第五单元演练答案
一、1.面积 平方米 平方分米 平方厘米 2. 10 100 3. 500 50000 3 4.平方米 平方厘米 平方分米 平方分米 平方米 平方厘米 5. 2 6. 6 7. 63 8. 3600 36
二、= \> = \> \< =
三、1. ✕ 2.{width="2.361111111111111e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"} ✕ 3. √ 4. √ 5. √ 6. ✕
7\. ✕ 8. ✕
四、33m^2^ 500cm^2^ 525cm^2^ 24m^2^ 36dm^2^
五、1.菜地的面积:10×10=100(平方米)
果园的面积:10×(32-10)=220(平方米)
2.(6+18)×(6+18)=576(cm^2^)
(18-6)×(18-6)=144(cm^2^)
六、1.(50+35)×2=170(米)
50×{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}35=1750(平方米)
2.60×{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}40=2400(平方分米)
2400平方分米=24平方米
3.3×3×600=5400(平方分米)
5400平方分米=54平方米
4.360÷3=120(棵) 120×40=4800{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}(千克)
5.3×6=18(平方米) 18×4=72(株)
6.18×15=270(平方米)
270平方米=27000平方分米
27000÷9{width="2.361111111111111e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}=3000(块)
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**秘密★启用前 试卷类型:A**
**二〇二〇年东营市初中学业水平考试**
**数学试题**
**(总分120分 考试时间120分钟)**
注意事项:
1.本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第I卷为非选择题，90分；本试题共6页.
2.数学试题答题卡共8页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回.
3.第I卷每题选出后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
**第I卷 (选择题 共30分)**
**一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2\. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3\. 利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（ ）
A． B． C． D．
4\. 如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5\. 如图，随机闭合开关中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
6\. 如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，随的增大而减小
7\. 用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
8\. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:" 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关"其大意是:有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地.则此人第三天走的路程为（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
9\. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合) ，对角线相交于点过点分别作的垂线，分别交于点交于点.下列结论:
；；；；点在两点的连线上.其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
**第II卷 (非选择题共90分)**
**二、填空题:本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分只要求填写最后结果.**
11\. 2020年6月23日9时43分，"北斗三号"最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于秒，则用科学记数法表示为\_ [ ]{.underline} ．
12\. 因式分解: [ ]{.underline} ．
13\. 东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表:
---------- -- -- --
年龄(岁)
人数
---------- -- -- --
则该校女子游泳队队员的平均年龄是 [ ]{.underline} 岁.
14\. 已知一次函数的图象经过两点，则\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} (填""或"")．
15\. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 [ ]{.underline} ．
16.如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为.若则 [ ]{.underline} ．
17.如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的\--条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为 [ ]{.underline} ．
18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共7小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19.计算:；
先化简，再求值:，其中.
20\. 如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且.
求证:是的切线；
求的直径的长度.
21\. 如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？
22\. 东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.
---------- ------ ------
作业情况 频数 频率
非常好
较好
一般
不好
---------- ------ ------
请根据图表中提供的信息，解答下列问题:
本次抽样共调查了多少名学生？
将统计表中所缺的数据填在表中横线上；
若该中学有名学生，估计该校学生作业情况"非常好"和"较好"的学生一共约多少名？
某学习小组名学生的作业本中，有本"非常好"(记为)，本"较好"(记为)，本"一般"(记为)，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回， 从余下的本中再抽取一本 ，请用"列表法"或"画树状图"的方法求出两次抽到的作业本都是"非常好"的概率.
23\. 2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表:
+-------------+----+----+
| 型号 | 甲 | 乙 |
| | | |
| 价格(元/只) | | |
| | | |
| 项目 | | |
+-------------+----+----+
| 成本 | | |
+-------------+----+----+
| 售价 | | |
+-------------+----+----+
若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润.
24\. 如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点.
求抛物线的解析式及点的坐标；
是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
25\. 如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点.
观察猜想
图1中，线段的数量关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值
**秘密★启用前 试卷类型:A**
**数学试题参考答案及评分标准**
评卷说明:
1.选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分.
2解答题中每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解等到该步骤所应得的累计分数本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其它解法.请参照评分标准相应评分.
3.如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分.但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分.
**一、选择题:本大题共10小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项选出来每小题选对得3分，共30分.选错、不选或选出的答案超过一个均记零分**
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
**二、填空题**
11\. 12. 13. 14.
15\. 16. 17. 18.
**三、解答题**
19\. 解:原式
；
原式
.
当时，
原式.
20.证明:，
，
为的直径，
是的切线.
如图，连接
为的直径，
又
即
从而的直径的长度为
21\. 解:如图，过点作于点
由题意得:，
在中，
在中，，
.
(小时)，
从到达需要小时.
22.解:(名)，本次抽样共调查了名学生；
---------- ------ ------
作业情况 频数 频率
非常好
较好
一般
不好
---------- ------ ------
(名)，
所以该校学生作业情况"非常好"和"较好"的学生一共约名；
列表如下:
+--------+---+---+---+---+
| 第一次 | | | | |
| | | | | |
| 第二次 | | | | |
+--------+---+---+---+---+
| | | | | |
+--------+---+---+---+---+
| | | | | |
+--------+---+---+---+---+
| | | | | |
+--------+---+---+---+---+
| | | | | |
+--------+---+---+---+---+
(树状图略)
由列表可以看出，一共有种结果，并且它们出现的可能性相等.
其中两次抽到的作业本都是"非常好"的有种，
所以
23\. 解:设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，
根据题意得:
解得:
则
则甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；
设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，
根据题意得:
解得:.
设所获利润为万元，
则
由于，所以随的增大而增大，
即当时，最大，
此时.
从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元.
24\. 解:把代入
得:
解得
抛物线的解析式为
令
可得:
存在.
如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点.
直线与轴交于点.
则，
设所在直线的解析式为，
将代入上述解析式得：
解得:
的解析式为
设
则，其中.
当时，有最大值，最大值为.
此时点的坐标为.
25\. 解:相等，
是等边三角形.
理由如下:
如图，由旋转可得
又
点分别为的中点，
是的中位线，
且.
同理可证且.
.
.
是等边三角形.
根据题意得:.
即，从而
的面积
所以面积的最大值为.
| 1 | |
**2019年云南省中考数学试卷**
**一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
1．（3分）（2019•云南）若零上记作，则零下记作[ ]{.underline}．
2．（3分）（2019•云南）分解因式：[ ]{.underline}．
3．（3分）（2019•云南）如图，若，度，则[ ]{.underline}度．
4．（3分）（2019•云南）若点在反比例函数的图象上，则[ ]{.underline}．
5．（3分）（2019•云南）某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为、、、、五个等级，绘制的统计图如图：
根据以上统计图提供的信息，则等级这一组人数较多的班是[ ]{.underline}．
6．（3分）（2019•云南）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）**
7．（4分）（2019•云南）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•云南）2019年"五一"期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
9．（4分）（2019•云南）一个十二边形的内角和等于
A． B． C． D．
10．（4分）（2019•云南）要使有意义，则的取值范围为
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•云南）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积
是
A． B． C． D．
12．（4分）（2019•云南）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是
A． B． C． D．
13．（4分）（2019•云南）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形的面积是
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
14．（4分）（2019•云南）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
**三、解答题（本大题共9小题，共70分）**
15．（6分）（2019•云南）计算：．
16．（6分）（2019•云南）如图，，．求证：．
17．（8分）（2019•云南）某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
-------------- ------ ----- ----- ----- ----- ----
月销售量件数 1770 480 220 180 120 90
人数 1 1 3 3 3 4
-------------- ------ ----- ----- ----- ----- ----
（1）直接写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为（1）中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由．
18．（6分）（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往"研学教育"基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
19．（7分）（2019•云南）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用、表示．若为奇数，则甲获胜；若为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
20．（8分）（2019•云南）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的度数．
21．（8分）（2019•云南）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
22．（9分）（2019•云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量（千克）与销售单价（元千克）的函数关系如图所示：
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润的最大值．
23．（12分）（2019•云南）如图，是的直径，、两点的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．
（1）求证：；
（2）求，的长；
（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．
**2019年云南省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
1．（3分）若零上记作，则零下记作[ ]{.underline}．
【考点】正数和负数
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据正数和负数表示相反的意义，可知
如果零上记作，那么零下记作．
故答案为：．
2．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：．
3．（3分）如图，若，度，则[ 140 ]{.underline}度．
【考点】平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．
【解答】解：，，
，
．
故答案为：140．
4．（3分）若点在反比例函数的图象上，则[ 15 ]{.underline}．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】点在函数的图象上，其纵横坐标一定满足函数的关系式，反之也成立，因此只要将点代入反比例函数即可．
【解答】解：把点的纵横坐标代入反比例函数得：
故答案为：15
5．（3分）某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为、、、、五个等级，绘制的统计图如图：
根据以上统计图提供的信息，则等级这一组人数较多的班是[ 甲班 ]{.underline}．
【考点】扇形统计图；频数（率分布直方图
【分析】由频数分布直方图得出甲班等级的人数为13人，求出乙班等级的人数为人，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：甲班等级的有13人，
乙班等级的人数为（人，
，
所以等级这一组人数较多的班是甲班；
故答案为：甲班．
6．（3分）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于[ ]{.underline}．
【考点】平行四边形的性质
【分析】过作于，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
平行四边形的面积，
故答案为：．
**二、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）**
7．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：.此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
.此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
.此图形旋转后能与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
.此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：．
8．（4分）2019年"五一"期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将688000用科学记数法表示为．
故选：．
9．（4分）一个十二边形的内角和等于
A． B． C． D．
【考点】多边形内角与外角
【分析】边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：十二边形的内角和等于：；
故选：．
10．（4分）要使有意义，则的取值范围为
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】要根式有意义，只要令即可
【解答】解：要使根式有意义
则令，得
故选：．
11．（4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是
A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算
【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的全面积．
【解答】解：侧面积是：，
底面圆半径为：，
底面积，
故圆锥的全面积是：．
故选：．
12．（4分）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式
是
A． B． C． D．
【考点】规律型：数字的变化类；单项式
【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【解答】解：，
，
，
，
，
由上可知，第个单项式是：，
故选：．
13．（4分）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分（即四边形的面积是
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；切线的性质
【分析】利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分（即四边形的面积．
【解答】解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分（即四边形的面积是．
故选：．
14．（4分）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】根据不等式组的解集的概念即可求出的范围．
【解答】解：解关于的不等式组得
故选：．
**三、解答题（本大题共9小题，共70分）**
15．（6分）计算：．
【考点】负整数指数幂；实数的运算；零指数幂
【分析】先根据平方性质，0指数幂法则，算术平方根的性质，负指数幂的运算，再进行有 数的加减运算便可．
【解答】解：原式．
16．（6分）如图，，．求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】由证明，得出对应角相等即可．
【解答】证明：在和中，，
，
．
17．（8分）某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
-------------- ------ ----- ----- ----- ----- ----
月销售量件数 1770 480 220 180 120 90
人数 1 1 3 3 3 4
-------------- ------ ----- ----- ----- ----- ----
（1）直接写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为（1）中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由．
【考点】中位数；众数；加权平均数
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的意义进行解答即可；
（2）根据平均数、中位数和众数得出的数据进行分析即可得出答案．
【解答】解：（1）这15名营业员该月销售量数据的平均数（件，
中位数为180件，
出现了4次，出现的次数最多，
众数是90件；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，平均数、中位数、众数中，中位数最适合作为月销售目标；理由如下：
因为中位数为180件，即月销售量大于180与小于180的人数一样多，
所以中位数最适合作为月销售目标，有一半左右的营业员能达到销售目标．
18．（6分）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往"研学教育"基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【考点】分式方程的应用
【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，由时间关系"甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地"列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
则，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米小时、90千米小时．
19．（7分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用、表示．若为奇数，则甲获胜；若为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示，
（1）共有16种等可能的结果数；
（2）为奇数的结果数为8，为偶数的结果数为8，
甲获胜的概率，乙获胜的概率，
甲获胜的概率乙获胜的概率，
这个游戏对双方公平．
20．（8分）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到，求得，推出，于是得到四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．（8分）已知是常数，抛物线的对称轴是轴，并且与轴有两个交点．
（1）求的值；
（2）若点在物线上，且到轴的距离是2，求点的坐标．
【考点】抛物线与轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为轴，则，可求出的值，再根据抛物线与轴有两个交点，进而确定的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为轴，点到轴的距离为2，可以转化为点的横坐标为2或，求相应的的值，确定点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是轴，
，解得，；
又抛物线与轴有两个交点．
．此时抛物线的关系式为，
因此的值为．
（2）点在物线上，且到轴的距离是2，
点的横坐标为2或，
当时，
当时，．
或
因此点的坐标为：或．
22．（9分）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量（千克）与销售单价（元千克）的函数关系如图所示：
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天销售西瓜获得的利润的最大值．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1），根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得与的函数解析式；
（2），根据总利润每千克利润销售量，列出函数关系式，配方后根据的取值范围可得的最大值．
【解答】解：
（1）当时，设与的关系式为
根据题意得，解得
当时，
故与的函数解析式为：
（2）由已知得：
当时，
，抛物线的开口向下
时，取最大值，
当时，
随的增大而增大
时取得最大值，
综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．
23．（12分）如图，是的直径，、两点的延长线上，是上的点，且，延长至，使得，设，．
（1）求证：；
（2）求，的长；
（3）若点在、、三点确定的圆上，求的长．
【考点】圆的综合题
【分析】（1），，即可求解；
（2）由，即：，即可求解；
（3）在中，过点作于点，，解得：，则，即可求解．
【解答】解：（1），，
；
（2），
，是直径，，又，
，，则交于点，
，则，
，即：，
解得：，，
则，
；
（3）点在、、三点确定的圆上，则是该圆的直径，连接，
，，，
在中，过点作于点，
设，则，
则，
解得：，
则，则，
，
．
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第五单元《认识方程------猜数游戏》同步检测（附答案）**
一、在括号里填上适当的数。
1、（ ）×2＋4 = 20 2、2×（ ）÷9 = 8
3、5×57－5×（ ）= 100 4、3×（ ）＋200 = 2000
二、判断下列方程的解法对不对，如果不对，请改正过来。
1、*x*＋5.6 = 9 2、8－*x* = 4来源：www.bcjy123.com/tiku/
*x* = 9－5.6 = 3.4 *x* = 8＋4 = 12
改： 改：
三、连一连，用线把上下两个相等的式子连起来。
*a* *a*×1 4 *a*＋4*b* *b*×3×*a* 2 *a*
*a* *a*×*a* 3 *ab* *a*＋*a* 4（*a*＋*b*）
四、解方程。
1、4*x*＋8 = 24 2、0.8*x*－0.6 = 5
3、3.2*x*－9.8 = 9.4 4、4*x*÷4 = 25
5、3*x*＋19 = 145 6、0.6*x*＋4 = 70
五、看图列方程，并求出方程的解。
1、小明去买书。
2、
六、在下面算式的（ ）中填上合适的数，使等式成立。
2×4＋24×（ ）= 200来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、妈妈买了4个玻璃杯，共付12元，找回4.8元，每个玻璃杯多少元？
解：设每个玻璃杯*x*元。
八、列出方程并求出方程的解。
1、*x*的6倍减去5与7的积是31，求*x*。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、5.8比*x*的4倍少8，求*x*。
九、我去逛逛数学宫。
1、已知4*x*＋5 = 25，求9*x*＋6的值。
2、已知19.8÷（2*x*）= 0.3，求0.4*x*＋2.56的值。
十、拓展思维。
> 1、甲、乙两数的和是8，乙、丙两数的和是10，甲、丙数的和是14求甲、乙、丙三个数。
>
> 2、两数相除的商是11，余数是1，并且被除数、除数、商与余数的和是121，求除数。
**部分答案：**
一、1、8 2、36 3、37 4、600
二、1、不对 *x* = 9－5.6 *x* = 3.4
2、不对 *x* = 8－4 *x* = 4
四、1、*x* = 4 2、*x* =7 3、*x* =6 4、*x* =25 5、*x* =42 6、*x* =110
五、1、3 *x*＋9.4 = 35.8 *x* = 8.8
2、4 *x*＋8 = 124 *x* = 29
六、8
七、4 *x*＋4.8 = 12 *x* = 1.8
八、1、6 *x*－5×7 = 31 *x* =11
2、4 *x*－5.8 = 8 *x* = 3.45
九、1、51
2、134.56
十、1、甲：6 乙：2 丙：8
2、9
| 1 | |
> **《最喜欢的水果》同步练习2**
>
> 一、下面是李威调查自己班级12位同学和年龄的身高情况，结果如下。
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 姓 名 | > 年 龄 | > 身 高 | > 姓 名 | > 年 龄 | > 身 高 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 方建宏 | > 8岁 | > 128厘米 | > 吴卫东 | > 8岁 | > 123厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 刘云飞 | > 8岁 | > 130厘米 | > 李佳思 | > 8岁 | > 129厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 李亚萍 | > 9岁 | > 135厘米 | > 陈思维 | > 10岁 | > 136厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 王子峰 | > 8岁 | > 119厘米 | > 赵 娟 | > 9岁\[来源:Zxxk.Com\] | > 126厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 陈 影 | > 9岁 | > 132厘米 | > 成亦龙 | > 9岁 | > 131厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
| > 李 霞 | > 10岁 | > 137厘米 | > 王 秋 | > 8岁 | > 120厘米 |
+----------+----------+-----------+----------+------------------------+-----------+
> 你能帮李威填写下面的统计表吗？
+--------+--------+-------+-------+--------+
| > 年龄 | > 合计 | > 8岁 | > 9岁 | > 10岁 |
+--------+--------+-------+-------+--------+
| > 人数 | > 12 | > 6 | > 4 | > 2 |
+--------+--------+-------+-------+--------+
+--------+--------+---------------+---------------------+---------------+
| > 身高 | > 合计 | > 125厘米以下 | > 125厘米---130厘米 | > 130厘米以上 |
+--------+--------+---------------+---------------------+---------------+
| > 人数 | > 12 | > 3 | > 4 | > 5 |
+--------+--------+---------------+---------------------+---------------+
> 请提出两个数学问题并解答。
>
> 二、下面是某年级（二）班同学对水果的爱好情况统计表。
>
> 
>
> 1、爱好（ ）的人最多，爱好（ ）的人最少。
>
> 2、爱好苹果的比爱好梨的多（ ）人。
>
> 3、（二）班共有（ ）人。
>
> 三、红红调查同学们最喜欢吃的水果，结果如下：
>
> 
>
> （1）从统计图汇总可以看出，红红调查了（ ）名同学。
>
> （2）最喜欢吃（ ）的人最多，最喜欢吃（ ）的人最少。
>
> （3）根据上面的数据，自己提出两个问题，并解答。
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
\[来源:学科网\]
参考答案：
一.问1：八岁比十岁多多少人？答1：4人；问2：130厘米以上比125厘米以下多多少人？答1：2人。
二.1.苹果，梨；2.10；3.52.
三.（1）42；（2）香蕉，桃子；（3）问1：喜欢吃苹果和香蕉的一共多少人。答1：20人；问2：喜欢吃香蕉的比喜欢吃西瓜的多多少人。答2：2人。
| 1 | |
**北师大版小学二年级下册数学第七单元《认识图形》单元测试3（附答案）**
一、我会填。
1、角是由一个（ ）和两条（ ）组成的。
2、4个角都是直角的四边形是（ ）形。
3、4条边都相等的长方形是（ ）形。
4、正方形是特殊的（ ）。
5、把直角、锐角、钝角按从小到大顺序排列。
（ ）﹤（ ）﹤（ ）
二、我是小小裁判员。
1、每个角都有一个顶点和两条边。 （ ）
2、角的两边张口越大，角越大，角的大小和边的长短无关。 （ ）
3、每条红领巾上都有2个角。 （ ）
4、课桌桌面上的直角比数学书封面上的直角大。 （ ）
5、学生用的三角板上有一个直角和两个锐角。 （ ）
6、比直角小的角是钝角，比直角大的角是锐角。 （ ）
7、长方形有4个角，它们都是直角。 （ ）
8、平行四边形有6个角，它们都不是直角。 （ ）
三、画一画。
1、画一个开口向右的钝角。
2、画一个长4cm，宽2cm的长方形，并在长方形里，画一个最大的正方形。
3、在下图中画3个平行四边形。
4、在下面的图形中画一长线段，使它成为一个正方形和一个三角形。
> 5、在下面的三角形中画一条线段，使它成为三个三角形，每个三角形中都有一个角是直角。来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、写出下列图形的名称，并量一量。
（ ）cm
（ ）cm （ ）cm （ ）cm （ ）cm
五、比大小，并排一排。
六、想一想，填一填。
1、时针指向3，分针指向12，这时形成一个（ ）角。
2、时针指向2，分针指向12，这时形成一个（ ）角。
3、时针指向5，分针指向12，这时形成一个（ ）角。
4、画出四个时刻的分针和时针形成的角，并说一说哪两个时刻成的角同样大。
七、数一数。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、 （ ）个直角 （ ）个锐角 （ ）钝角
2、
（ ）个正方形 （ ）个长方形 （ ）个平行四边形
**第七单元测试卷的部分答案：**
一、1、顶点 边
2、长方
3、正方
4、长方形
5、锐角﹤直角﹤钝角
二、√ √ × × √ × √ ×
三、
五、∠5﹥∠3﹥∠1﹥∠4﹥∠2
六、1、直角 2、锐 3、钝
七、1、2 7 3
2、14 9 9
| 1 | |
**多边形的面积**
我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形以及圆、扇形等基本图形的面积计算，图形及计算公式如下：
** 正方形面积=边长×边长=a^2^，**
** 长方形面积=长×宽=ab，**
** 平行四边形面积=底×高=ah，**
**圆面积=半径×半径×π=πr^2^，**
**扇形面积=半径×半径×π×圆心角的度数÷360°**
在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。在本讲和后面的两讲中，我们将学习如何计算它们的面积。
** 例1** 小两个正方形组成下图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
** 分析与解**：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出
大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），
小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD与三角形BEF的面积，就得到阴影部分的面积。
10^2^+6^2^-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米^2^）。
** 例2**如左下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
** 分析与证明：**这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右上图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。
两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。
** 例3**如左下图所示，一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140厘米^2^，在底边上任意取一点，这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。
** 分析与解**：a，b与三角形面积的关系一下子不容易看出来。连结等腰三角形的顶点和底边上所取的点，把等腰三角形分为两个小三角形，它们的底都是20厘米，高分别为a厘米和b厘米（见右上图）。大三角形的面积与a，b的关系就显露出来了。根据三角形的面积公式，两个小三角形的面积分别为20×a÷2和20×b÷2。
因为这两个小三角形的面积之和等于原等腰三角形的面积，所以有
20×a÷2+20×b÷2=140，
10×（a+b）=140，
a+b=14（厘米）。
在例2、例3中，通过添加辅助线，使图形间的关系更清晰，从而使问题得解。下面再看一例。
**例4**如左下图所示，三角形ABC的面积是10厘米^2^，将AB，BC，CA分别延长一倍到D，E，F，两两连结D，E，F，得到一个新的三角形DEF。求三角形DEF的面积。
** 分析与解**：想办法沟通三角形ABC与三角形DEF的联系。连结FB（见右上图）。
因为CA=AF，所以三角形ABC与三角ABF等底等高，面积相等。因为AB=BD，所以三角形ABF与三角形BDF等底等高，面积相等。由此得出，三角形ADF的面积是10+10=20（厘米^2^）。
同理可知，三角形BDE与三角形CEF的面积都等于20厘米^2^。
所以三角形DEF的面积等于20×3+10=70（厘米^2^）。
** 例5**一个正方形，将它的一边截去15厘米，另一边截去10厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少1725厘米^2^，求剩下的长方形的面积。
**分析与解**：根据已知条件画出下页左上图，其中甲、乙、丙为截去的部分。
由左上图知，丙是长15厘米、宽10厘米的矩形，面积为15×10=150（厘米^2^）。
因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于
（甲+丙）+（乙+丙）
= 甲+乙+丙）+丙
= 1725+150
= 1875（厘米^2^）。
所以原正方形的的边长等于1875÷25=75（厘米）。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米^2^）。
** 例6**有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。
** 分析与解**：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于
（14+10）÷2=12。
因为绿：红=A∶黄，所以
绿×黄=红×A，
A=绿×黄÷红
=12×12÷20=7.2。
正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2。
**练习20**
1.等腰直角三角形的面积是20厘米^2^，在其中做一个最大的正方形，求这个正方形的面积。
2.如左下图所示，平行四边形ABCD的周长是75厘米，以BC为底的高是14厘米，以CD为底的高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。
3.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米^2^，正方形水池的面积是多少平方米？
4.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米^2^，梯形的上底长是多少厘米？
5.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面积是1，则三角形ABC的面积是多少？
6.一个长方形的周长是28厘米，如果它的长、宽都分别增加3厘米，那么得到的新长方形比原长方形的面积增加了多少平方厘米？
7.如下图所示，四边形ABCD的面积是1，将BA，CB，DC，AD分别延长一倍到E，F，G，H，连结E，F，G，H。问：得到的新四边形EFGH的面积是多少？
**练习20**
1.10厘米^2^。
提示：右图中四个小三角形的面积都相等。
2.280厘米^2^。
解：14×BC=16×CD，所以BC∶CD=16∶14=8∶7。
因为BC+CD=75÷2=37.5，所以
平行四边形ABCD的面积等于14×20=280（厘米^2^）。
3.64米^2^。
提示：右图中每个小矩形的宽是2，面积是80÷4，所以水池的边长是80÷4÷2-2=8（米）。
4.4厘米。
提示：见左下图。上底=28÷7=4（厘米）。
5.6。
提示：如右上图，S△ACF=S△BCF，
S△BFD=S△EFD=S△CFE。
6.51厘米^2^。
解：左下图阴影部分即为增加部分，如右下图重新拼合，所得阴影部分的长为（28÷2+3）厘米，宽为3厘米，面积为（28÷2+3）×3=51（厘米^2^）。
7.5。
提示：连结AF和AC（见右图）。容易求出
S△EBF=2S△ABC。同理可求出
S△HDG=2S△ADC。
所以S△EBF+S△HDG=2S△ABCD。同理可
知S△EAH+S△GCF=2S△ABCD，所以
S EFGH=S△EBF+S△HDG+S△EAH+S△GCF+S ABCD
=5S ABCD=5。
| 1 | |
**2020-2021学年山东省菏泽市郓城县六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题。（每题3分，共18分）**
1．（2分）20分＝[ ]{.underline}小时；吨＝[ ]{.underline}千克。
2．（2分）如图中的黑棋子的数量占图中棋子总数的[ ]{.underline}%。
3．（2分）0.75：化为最简整数比是[ ]{.underline}；这个比的比值是[ ]{.underline}。
4．（2分）在0.57、5.7%和中，最大的数是[ ]{.underline}。
5．（3分）图中的大圆半径等于小圆的直径．大圆周长与小圆周长的比是[ ]{.underline}：[ ]{.underline}．
6．（3分）用白色和灰色的小正方形按下面的方法摆图形。
> 按这样的方法继续摆下去，第5个图形中，灰色的小正方形有[ ]{.underline}个。
**二、选择题（选出正确的选项）。（每题2分，共16分）**
7．（2分）0.8的倒数是（ ）
A．0.2 B．8.0 C．1.25 D．
8．（2分）下面圆中的圆心角是90°的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2分）下面四个算式中，计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2分）下面图形中，对称轴最少的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2分）甲乙两个公园的绿化情况如图所示，根据图中信息，说法正确的是（ ）
A．甲公园绿化覆盖面积比乙公园大
B．乙公园绿化覆盖面积比甲公园大
C．甲公园绿化率比乙公园高
D．乙公园绿化率比甲公园高
12．（2分）小红从家到学校，先向北偏西30°方向步行了300*m*，到达超市，接着，又向西偏南45°方向步行了200*m*，到达学校。正确表示小红行走路线的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2分）在研究圆环面积时，小明借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环分成16份，拼成一个近似的平行四边形，他发现平行四边形的底是（ ）
A．π*R* B．π*r* C．π**R**+π*r* D．π**R**﹣π*r*
14．（2分）两个小组的同学帮助社区修剪一块面积120*cm*^2^的草坪。甲组单独修剪需要4小时完成，乙组单独修剪需要2小时。两个小组合作，修剪完这块草坪需要（ ）小时。
A． B．3 C． D．
**三、计算下面各题。（18分）（将原题抄写在答题卡上，写出主要过程）**
15．（18分）计算下面各题。
8 4
---- ------- ------
15 （2） （）
**四、脱式计算（能简算的要简算）。（共12分）（将原题抄写在答题卡上，写出主要过程）**
16．（12分）脱式计算（能简算的要简算）。
---------- --- -----------------
（）×2.4 7 2.4÷\[（0.4）\]
---------- --- -----------------
**五、操作题。（8分）**
17．（8分）在学习了"圆"的知识后。某同学用圆规和直尺设计了一个图案，如面的图1所示。
> （1）请用圆规和直尺将该同学设计的图案画在方格纸上。
>
> （2）在该同学设计的图案中，阴影部分的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
**六、解决问题。（28分）**
18．（5分）北京大兴国际机场占地总面积比北京首都国际机场大，北京首都国际机场占地总面积约为141公顷。北京大兴国际机场占地总面积约是多少公顷？
19．（5分）无障碍设施建设体现了城市"以人为本"的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求。坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比（如图）。一条轮椅坡道的坡度是1：16，水平长度是12.8*m*。这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？
20．（5分）天宫二号目标飞行器是中国自主研制的载人空间试验平台，地球的半径大约是6700*km*。天宫二号在距离地球390*km*高的圆形轨道上运转。天宫二号的轨道长多少千米？
21．（6分）晚饭后爸爸与萌萌谈起了一个生活上的问题，爸爸说："十月初鸡蛋价格比九月初上涨了15%，十一月初又比十月初回落了15%，十一月初鸡蛋价格和九月初比，变了吗？"萌萌的结论是："十一月初鸡蛋价格和九月初比，变了。"你同意萌萌的结论吗？把你的理由写在下面。
22．（7分）王阿姨要在网上买一台加湿器．她对某款加湿器的外观和功能比较满意，就进入评论区浏览购买过的人们对该商品的评价，在评论区中，好评，中评和差评的人数统计如下：
> （1）下面图中能代表此款商品好评、中评、差评的是[ ]{.underline}．
>
> （2）这款加湿器的好评率是[ ]{.underline}%．
>
> （3）王阿姨把好，中、差评情况进行分类整理．得到下面的结果．
>
> 王阿姨比较看重产品的质量，根据上面的数据，你是否建议她购买这款加温器？写出两个支持你建议的理由．
>
> [ ]{.underline}（横线上填"建议购买"或"不建议购买"）
>
> 理由：[ ]{.underline}．
**2020-2021学年山东省菏泽市郓城县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题。（每题3分，共18分）**
1．【分析】（1）低级单位分化高级单位小时除以进率60；
> （2）高级单位吨化低级单位千克乘进率1000。
>
> 【解答】解：（1）20分小时；
>
> （2）吨＝125千克。
>
> 故答案为：，125。
>
> 【点评】本题是考查质量的单位换算、时间的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。
2．【分析】图中一共有20枚棋子，其中黑棋子6枚，求图中棋子总数的百分之几，用黑棋子的枚数除以总枚数。
> 【解答】解：6÷20×100%
>
> ＝0.3×100%
>
> ＝30%
>
> 答：黑棋子的数量占图中棋子总数的30%。
>
> 故答案为：30。
>
> 【点评】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数再乘100%。
3．【分析】（1）根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；
> （2）用比的前项除以后项即可。
>
> 【解答】解：（1）0.75：
>
> ＝（0.75×12）：（12）
>
> ＝9：10
>
> （2）0.75：
>
> ＝0.75
>
> ＝0.9
>
> 故答案为：9：10，0.9。
>
> 【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
4．【分析】有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都先化为小数，再按照小数大小比较的方法：即先比较整数部分，整数部分大的，那个小数就大，整数部分相同，再比较十分位，十分位大的，那个小数就大...；进行比较得解。
> 【解答】解：5.7%＝0.057，0.571
>
> 0.571＞0.57＞0.057
>
> 所以0.57＞5.7%，即最大的数是；
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】解决有关小数、百分数、分数之间的大小比较，一般都把分数、百分数化为小数再进行比较，从而解决问题。
5．【分析】设小圆的半径是*r*，则小圆的直径是2*r*，大圆的半径是2*r*，根据"圆的周长＝2π*r*"分别计算出大圆和小圆的周长，然后进行比即可．
> 【解答】解：设小圆的半径是*r*，则小圆的直径是2*r*，大圆的半径是2*r*，则：
>
> \[2×π×（2*r*）\]：（2π*r*）
>
> ＝4π*r*：2π*r*
>
> ＝2：1
>
> 答：大圆周长与小圆周长的比是 2：1．
>
> 故答案为：2：1．
>
> 【点评】解答此题应根据圆的周长的计算方法进行解答即可．
6．【分析】根据图示，第1个图形中，灰色的小正方形有1+4＝5（个）；第2个图形中，灰色的小正方形有1+4+4＝9（个）；......；第*n*个图形中，灰色的小正方形有（1+4*n*）个。据此解答。
> 【解答】解：第1个图形中，灰色的小正方形有1+4＝5（个）
>
> 第2个图形中，灰色的小正方形有1+4+4＝9（个）
>
> ......
>
> 第*n*个图形中，灰色的小正方形有（1+4*n*）个
>
> ......
>
> 第5个图形中，灰色的小正方形有：
>
> 1+4×5
>
> ＝1+20
>
> ＝21（个）
>
> 答：第5个图形中，灰色的小正方形有21个。
>
> 故答案为：21。
>
> 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
**二、选择题（选出正确的选项）。（每题2分，共16分）**
7．【分析】0.8，那么分子和分母调换位置，它的倒数是，即1.25。
> 【解答】解：0.8的倒数是1.25。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查了求一个数倒数的方法，要熟练掌握。
8．【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；可知*D*项所示不是圆心角，通过测量得知，*A*是锐角，*B*是直角，*C*是钝角，据此解答即可。
> 【解答】解：由分析知，这些图形中圆心角是90°的是*B*。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查了圆心角的概念和角的测量。
9．【分析】根据分数乘除法的运算法则求出结果，进行比较即可。
> 【解答】解：
>
> 所以说计算结果最大的是。
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题考查了分数的乘除法，熟练是解决本题的关键。
10．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答。
> 【解答】解：*A*图形有2条对称轴；
>
> *B*图形有1条对称轴；
>
> *C*图形有无数条对称轴；
>
> *D*图形有3条对称轴；
>
> 最少的是*B*中图形。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】确定轴对称图形对称轴的条数及位置，关键是各图形的特征及轴对称图形的意义。
11．【分析】根据对扇形统计图的认识分析排除即可。
> 【解答】解：甲公园的绿化占比为70%，乙公园的绿化占比为65%，
>
> 70%＞65%
>
> 所以，甲公园绿化率比乙公园高，
>
> 所以，*C*正确，*D*错误，
>
> 根据百分数的意义，在甲乙两个公园总面积不确定的情况下，绿化面积也无法确定，
>
> 所以，两公园的绿化面积无法比较，
>
> 所以，*A*、*B*都不正确。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查了扇形统计图，正确理解百分数的意义是本题解题的关键。
12．【分析】根据上北下南，左西右东的方位辨别法分析解答即可。
> 【解答】解：*A*路线：从家向北偏东30° 走300米到超市，然后再向东偏南45°方向走200米到学校，故*A*错；
>
> *B*路线：从家向北偏西30° 走300米到超市，然后再向西偏南45°方向走200米到学校，故*B*正确；
>
> *C*路线：从家向北偏东30° 走300米到超市，然后再向东偏南45°方向走200米到学校，故*C*错；
>
> *D*路线：从家向西偏北30°走300米到超市，然后再向西偏南45°方向走200米到学校，故*D*错；
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】本题主要考查方向的辨别，注意找准观察点掌握基本方位。
13．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把圆环平均分成16份，沿半径剪开后再拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底等于圆环外圆周长的一半加上内圆周长的一半，如果外圆半径用"*R*"表示，内圆半径用"*r*"表示．根据圆的周长公式：*C*＝2π*R*，外圆周长的一半是π*R*，内圆周长的一半是π*r*，则这个平行四边形的底是（π**R**+π*r*）．据此解答．
> 【解答】解：在研究圆环面积时，小明借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环分成16份，拼成一个近似的平行四边形，
>
> 如果圆环外圆半径用"*R*"表示，内圆半径用"*r*"表示．则这个平行四边形的底是：
>
> 2π*R*÷2+2π*r*÷2
>
> ＝（π**R**+π*r*）
>
> 答：他发现平行四边形的底是（π**R**+π*r*）．
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】此题考查的目的是借助圆面积公式的推导过程探索圆环面积的计算及应用．
14．【分析】把这块草坪的面积看作单位"1"，甲组单独修剪需要4小时完成，平均每小时的工作效率是；乙组单独修剪需要2小时，平均每小时的工作效率是；根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答。
> 【解答】解：1÷（）
>
> ＝1
>
> （小时）
>
> 答：两个小组合作，修剪完这块草坪需要小时。
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用。
**三、计算下面各题。（18分）（将原题抄写在答题卡上，写出主要过程）**
15．【分析】（1）按照从左到右的顺序计算；
> （2）按照从左到右的顺序计算；
>
> （3）先算除法，再算减法；
>
> （4）按照从左到右的顺序计算；
>
> （5）先算小括号里面的减法，再算除法；
>
> （6）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法。
>
> 【解答】解：（1）8
>
> ＝12
>
> （2）
>
> （3）4
>
> （4）15
>
> （5）（2）
>
> ＝3
>
> （6）（）
>
> 【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
**四、脱式计算（能简算的要简算）。（共12分）（将原题抄写在答题卡上，写出主要过程）**
16．【分析】（1）根据乘法分配律简算；
> （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算；
>
> （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的除法。
>
> 【解答】解：（1）（）×2.4
>
> 2.42.4
>
> ＝2﹣0.9
>
> ＝1.1
>
> （2）7
>
> ＝（）
>
> （3）2.4÷\[（0.4）\]
>
> ＝2.4÷\[\]
>
> ＝2.4
>
> ＝6.4
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**五、操作题。（8分）**
17．【分析】（1）根据图示可知，该阴影是由一个直径是8里的半圆去掉一个直径是8÷2＝4（厘米）的圆。完成作图即可。
> （2）利用圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，计算即可。
>
> 【解答】解：（1）如图：
>
> （2）3.14×（8÷2）^2^÷2﹣3.14×（8÷2÷2）^2^
>
> ＝25.12﹣12.56
>
> ＝12.56（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是12.56平方厘米。
>
> 故答案为：12.56。
>
> 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。
**六、解决问题。（28分）**
18．【分析】把北京首都国际机场占地总面积看作单位"1"，北京大兴国际机场占地总面积比北京首都国际机场大，也就是北京大兴国际机场占地总面积相当于北京首都国际机场的（1），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
> 【解答】解：141×（1）
>
> ＝253.8（公顷）
>
> 答：北京大兴国际机场占地总面积约是253.8公顷。
>
> 【点评】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位"1"，利用基本数量关系解决问题。
19．【分析】坡度是1：16，即垂直高度与水平长度的比，设这条轮椅坡道的垂直高度是*x*米，即可列比例"*x*：12.8＝1：16"解答。
> 【解答】解：设这条轮椅坡道的垂直高度是*x*米。
>
> *x*：12.8＝1：16
>
> 16*x*＝12.8×1
>
> 16*x*÷16＝12.8×1÷16
>
> *x*＝0.8
>
> 答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。
>
> 【点评】列比例解答应用题的关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
20．【分析】根据题意，首先用地球的半径加上天宫二号距离地球的距离，天宫二号的轨道的半径，然后根据圆的周长公式：*C*＝2π*r*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：2×3.14×（6700+390）
>
> ＝6.28×7090
>
> ＝44525.2（千米）
>
> 答：天宫二号的轨道长44525.2千米。
>
> 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．【分析】把九月初的鸡蛋价格看作单位"1"，则十月初的价格相当于九月初的（1+15%），根据百分数乘法的意义，十月初的价格是1×（1+15%）。再把十月初的价格看作单位"1"，十一月初的价格相当于十月初的（1﹣15%），根据百分数乘法的意义，用十月初的价格乘（1﹣15%）就是十一月初的价格。根据计算结果即可知萌萌的结论是否对。
> 【解答】解："我"同意萌萌的结论
>
> 理由如下：
>
> 设九月初的鸡蛋价格为"1"
>
> 则十一月初的价格为：
>
> 1×（1+15%）×（1﹣15%）
>
> ＝1×115%×85%
>
> ＝0.9775
>
> 1＞0.9775
>
> 即十一月初的价格比九月初的价格低
>
> 因此，"十一月初鸡蛋价格和九月初比，变了。"
>
> 【点评】上涨15%、回落15%，单位"1"不同，无论先涨后回落，还是先回落后上涨，都比原价低。
22．【分析】（1）根据数据先求总人数：360+8+32＝400（人），然后根据好评、中评和差评占总人数的百分率，选择合适的扇形统计图．
> （2）根据公式：好评率＝好评数量÷总人数×100%，计算即可．
>
> （3）我建议王阿姨购买，因为：①好评中对产品质量的评价占80%；②中、差评中对产品质量的评价仅占10%．
>
> 【解答】解：（1）360÷（360+8+32）
>
> ＝360÷400
>
> ＝90%
>
> 8÷（360+8+32）
>
> ＝8÷400
>
> ＝2%
>
> 32÷（360+8+32）
>
> ＝32÷400
>
> ＝8%
>
> 所以能代表此款商品好评、中评、差评的是 *B*．
>
> （2）360÷（360+8+32）×100%
>
> ＝360÷400×100%
>
> ＝90%
>
> 答：这款加湿器的好评率是 90%．
>
> （3）我建议王阿姨购买，因为：①好评中对产品质量的评价占80%；②中、差评中对产品质量的评价仅占10%．
>
> 故答案为：*B*；90；建议购买； ①好评中对产品质量的评价占80%；②中、差评中对产品质量的评价仅占10%．
>
> 【点评】本题主要考查扇形统计图的应用，关键根据扇形统计图的特点即所给数据完成问题．
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日期：2021/4/27 11:18:16；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**二〇一七年齐齐哈尔市初中学业水平考试数学试卷**
**第Ⅰ卷（共30分）**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2.下列四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
3.作为"一带一路"倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著．两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达185亿美元．185亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4.下列算式运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.为有效开展"阳光体育"活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
6.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
7.已知等腰三角形的周长是10，底边长是腰长的函数，则下列函数中，能正确反映与之间函数关系的图象是（ ）
8.一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有个小正方体组成，最少有个小正方体组成，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9.一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题3分，满分27分，将答案填在答题纸上）**
11.在某次七年级期末测试中，甲、乙两个班的数学平均成绩都是89.5分，且方差分别为，，则成绩比较稳定的是 [ ]{.underline} 班．
12.在函数中，自变量的取值范围是 [ ]{.underline} ．
13.矩形的对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件 [ ]{.underline} ，使其成为正方形（只填一个即可）．
14.因式分解： [ ]{.underline} ．
15.如图，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接，若，则的度数为 [ ]{.underline} ．
16.如图，在等腰三角形纸片中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 [ ]{.underline} ．
17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的"和谐分割线"．如图，线段是的"和谐分割线"，为等腰三角形，和相似，，则的度数为 [ ]{.underline} ．
18.如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图像经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于 [ ]{.underline} ．
19.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
20.先化简，再求值：，其中．
21.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的；
（3）求（2）中线段扫过的图形面积．
22.如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
注：二次函数（）的顶点坐标为．
23.如图，在中，于，，，，分别是，的中点．
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长．
24.为养成学生课外阅读的习惯，各学校普遍开展了"我的梦 中国梦"课外阅读活动．某校为了解七年级1200名学生课外日阅读所用时间情况，从中随机抽查了部分同学，进行了相关统计，整理并绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表信息解答问题：
（1）表中 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）样本中，学生日阅读所用时间的中位数落在第 [ ]{.underline} 组；
（4）请估计该校七年级学生日阅读量不足1小时的人数．
25."低碳环保、绿色出行"的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题：
（1） [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是米/分，且在图中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出的取值范围．
26.如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求线段，的长；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点的坐标；
（4）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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**第八单元测试卷**
一、填一填。[http:///](http://www.xkb1.com/)
1.根据口诀"八九七十二",可以写出的两道乘法算式分别是( )、( )。
2.8+8+8+8+8+8+8=× 9×4+9=×
3.8的7倍是( );( )是9的4倍。
4.一个乘数是7,另一个乘数是9,积是( )。
二、把口诀补充完整。
二九( ) 三( )二十一 ( )十五 ( )六十八
七九( ) ( )四十九 四七( ) 六六( )
三、算一算。
8×5= 7×6= 6×8= 6×7+7=
9×3= 7×7= 9×9= 8×3+8=
8×9= 4×8= 4×9= 7×6-7=
8×8= 9×5= 7×8= 8×9-9=
四、在里填上"\>""\<"或"="。
36+428×9 7×748 18-93×4
2×94×4 7×86×9 37-25×7
五、在( )里填上合适的数。
5×( )=35 ( )×9=54 6×( )=48
( )×9=63 5×( )=40 ( )×9=6×3
六、看图列式计算。
1\.
2\.
 
七、解决问题。
1.二(2)班的同学分成5组玩老鹰捉小鸡的游戏,每组有6人。二(2)班共有多少名同学?(5分)
2.小丽折了多少只纸鹤?
3\.
(1)一件上衣的价钱是一个文具盒的8倍,一件上衣多少元?
(2)买7支钢笔,一共要花多少元?
4\.
(1)爸爸每周工作5天,共多少时?
(2)你还能提出哪些数学问题?试着解答出来。
第八单元测试卷答案
一、 1. 8×9=72 9×8=72
2\. 8 7 9 5
3\. 56 36 4. 63
二、 十八 七 三五 三 六十三 七七 二十八
三十六
三、 40 42 48 49 27 49 81 32 72 32 36 35 64 45 56 63
四、 \> \> \< \> \> =
五、 7 6 8 7 8 2
六、 1. 3×5=15或5×3=15 8×4=32或4×8=32
2\. 9×4=36或4×9=36 8×3=24或3×8=24
七、 1. 5×6=30(名) 2. 9×3=27(只)
3\. (1)9×8=72(元) (2)8×7=56(元)
4\. (1)8×5=40(时)
(2)答案不唯一,如:妈妈每周工作5天,一周共工作多少时?7×5=35(时)
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2006年高考试题辽宁卷理科数学试题
一. 选择题
(1) 设集合,则满足的集合B的个数是
> (A)1 (B)3 (C)4 (D)8
\(2\) 设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
> (A)是奇函数 (B)是奇函数
>
> \(C\) 是偶函数 (D) 是偶函数
\(3\) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
> 其中假命题的个数是
>
> (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
\(4\) 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
> \(A\) (B) (C) (D)
\(5\) 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
> (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
>
> (6)的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
>
> \(A\) (B) (C) (D)
>
> \(7\) 与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
>
> \(A\) (B)
>
> \(C\) (D)
\(8\) 曲线与曲线的
> (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
\(9\) 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于
> \(A\) (B) (C) (D)
\(10\) 直线与曲线 的公共点的个数为
> (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(11)已知函数,则的值域是
> \(A\) (B) (C) (D)
\(12\) 设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是
> \(A\) (B) (C) (D)
二. 填空题
\(13\) 设则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\(14\) \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\(15\) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有\_\_\_\_\_\_\_种.(以数作答)
\(16\) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=\_\_\_\_\_\_
三． 解答题
\(17\) (本小题满分12分)
已知函数，.求:
\(I\) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
\(II\) 函数的单调增区间.
\(18\) (本小题满分12分)\]
已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.
\(I\) 证明平面;
(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.
\(19\) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
\(I\) 求、的概率分布和数学期望、;
\(II\) 当时,求的取值范围.
\(20\) (本小题满分14分)
已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
\(I\) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C
(I)求
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值
22．（本小题满分12分）
已知,其中,设,.
\(I\) 写出;
\(II\) 证明:对任意的,恒有.
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第七单元演练
一、小动物们聚会。
{width="2.8340277777777776in" height="0.7090277777777778in"}
如果一{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}个方格代表一只小动物,请你涂一涂。
{width="1.8763888888888889in" height="0.9430555555555555in"}
二、下面各种{width="2.2222222222222223e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}图形各有多少个?分一分,数一数,填在统计表中。{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}
{width="2.936111111111111in" height="0.8354166666666667in"}
------ ---------- ---------- ---------- ----------
种类 三角形 四边形 五边形 六边形
数量 ( )个 ( )个 ( )个 ( )个
------ ---------- ---------- ---------- ----------
三、三年级同学的生日在4个季节的人数统计如下。(✕代表1{width="1.875e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}人)
{width="2.729861111111111in" height="1.4333333333333333in"}
1.从上图中可以看出,共调查了( )名同学。
2.( )季过生日的人数最多,( )季过生日的人数最少。
3.春季和冬季过生日{width="2.361111111111111e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的人共有( {width="2.2222222222222223e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"})人。
四、数图形并回答问题。
{width="2.629861111111111in" height="1.2798611111111111in"}{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}
1.完成下面的统计表。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
种类 {width="0.28958333333333336in" height="0.2861111111111111in"} {width="0.4465277777777778in" height="0.14652777777777778in"} {width="0.13958333333333334in" height="0.4in"} {width="0.3298611111111111in" height="0.3298611111111111in"}
{width="1.7361111111111112e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}数量 ( )个 ( )个 ( )个 ( )个
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.{width="0.28958333333333336in" height="0.2861111111111111in"}比{width="0.3298611111111111in" height="0.3298611111111111in"}多( )个,{width="0.13958333333333334in" height="0.4in"}比{width="0.28958333333333336in" height="0.2861111111111111in"}少( )个。
五、小军的储蓄罐。
{width="2.9916666666666667in" height="0.8958333333333334in"}{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}
1.在下图中进行统计。
{width="1.926388888888889in" height="0.22291666666666668in"}
2.算一算,一共有多少钱?
{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
3.小军想买1本10元钱的书,够吗?如果不够,还差多少钱?
六、下面是整理三(1)班学生一星期阅读课外读物的册数。
{width="2.6395833333333334in" height="1.0763888888888888in"}
1.把上面整理的结果填入下表。
{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}
------ -------------- ------------ --------------
类别 《少儿文艺》 《连环画》 《故事大王》
册数
------ -------------- ------------ --------------
2.阅读《连环画》的册数比《故事大王》多多少册?
3.同学们最喜欢看的课外读物是什么?
4.全班共读了多少册课外读物?
\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
{width="2.361111111111111e-2in" height="1.875e-2in"}
第七单元演练答案
一、{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}略
二、1 5 3 2\[来源:学§科§网\]\[来源:学科网\]
三、1.63 2.秋 夏 3. 32
四、1. 4 3 3 {width="1.875e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}2 2. 2 1
五、1.略 2. 9元2角
3.不够 10元-9元2角=8角
六、1. 16 17 12 2. 17-12=5(册)
3.连环画 4. 16+17+12=45(册)
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**小学三年级下册数学奥数知识点讲解第****7****课《和倍问题》试****题附答****案**
**来源：www.bc****jy123.com/tiku****/**
\[来源:学\*科\*网\]
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
**答案**
\[来源:学,科,网\]
\
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三年级奥数下册：第七讲 和倍问题 习题解答
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:学,科,网\]
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**2008年普通高等学校统一考试**
**数学（文科）（海南、宁夏卷）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，**
> **只有一项是符合题目要求的。**
1、已知集合M ={ x\|(x + 2)(x－1) \< 0 }，N ={ x\| x + 1 \< 0 }，则M∩N =（ ）
A. (－1，1) B. (－2，1)
C. (－2，－1) D. (1，2)
【标准答案】Ｃ\
【试题解析】易求得∴
【高考考点】一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算
【易错提醒】混淆集合运算的含义或运算不仔细出错\
【全品备考提示】一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，
要认真掌握，并确保得分。
2、双曲线的焦距为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
【标准答案】Ｄ\
【试题解析】由双曲线方程得，于是，选Ｄ
【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质
【易错提醒】将双曲线中三个量的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ
【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高
3、已知复数，则（ ）
A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i
【标准答案】Ａ\
【试题解析】将代入得，选Ａ
【高考考点】复数的加减、乘除及乘方运算
【易错提醒】运算出错
【全品备考提示】简单的复数运算仍然是需要掌握的内容，但要求不高，属于必须得分的内容.
4、设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【标准答案】B\
【试题解析】∵ ∴
∴由得，选Ｂ
【高考考点】两个函数积的导数及简单应用
【易错提醒】不能熟练掌握导数的运算法则而出错\
【全品备考提示】导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。
5、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），
与垂直，则是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
【标准答案】Ａ\
【试题解析】由于
∴，即，选Ａ
【高考考点】简单的向量运算及向量垂直
【易错点】：运算出错
【全品备考提示】**：**高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，
这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分。
6、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要
> 求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断
>
> 框中，应该填入下面四个选项中的（ ）权
A. c \> x B. x \> c C. c \> b D. b \> c
【标准答案】**：**A
【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较*x*与*b*的大小，
故第二个选择框的作用应该是比较*x*与*c*的大小，故应选Ａ；
【**高考考点**】算法中的判断语句等知识。
**【易错点】：**不能准确理解流程图的含义而导致错误。
【全品网备考提示】**：**算法是新课程中的新增加的内容，
也必然是新高考中的一个热点，应高度重视。
7、已知，则使得都成立的取值范围是（ ）
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
【标准答案】**：**Ｂ
【试题解析】：由，得：，即，
解之得，由于，故；选Ｂ.
【**高考考点**】二次不等式的解法及恒成立知识
**【易错点】：**不能准确理解恒成立的含义而导致错误。
**【**全品备考提示**】：**不等式恒成立问题是历年高考的一个重点，要予以高度重视
8、设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【标准答案】**：**Ｃ
【试题解析】：由于 ∴；选Ｃ；
【**高考考点**】等比数列的通项公式及求和公式的综合应用
**【易错点】：**不能准确掌握公式而导致错误。
**【全品备考提示】：**等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，
要予以高度重视
9、平面向量，共线的充要条件是（ ）
A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量
C. ， D. 存在不全为零的实数，，
【标准答案】**：**Ｄ
【试题解析】：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；若，则由两向量共线知，存在，使得，
> 即，符合题意，故选Ｄ
【**高考考点**】向量共线及充要条件等知识。
**【易错点】：**考虑一般情况而忽视了特殊情况
**【全品备考提示】：**在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，
还要注意特殊情况是否成立。
10、点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，
则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. \[0，5\] B. \[0，10\] C. \[5，10\] D. \[5，15\]
【标准答案】**：**Ｂ
【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段上，有线段过原点，故点Ｐ
到原点最短距离为零，最远距离为点到原点距离且距离为１０，故选Ｂ；
【**高考考点**】直线方程及其几何意义
**【易错点】：**忽视了点的范围或搞错了点的范围而至错。
**【全品备考提示】：**随着三大圆锥曲线的降低要求，直线与圆的地位凸现，要予以重视。
11、函数的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3， D. －2，
【标准答案】**：**Ｃ
【试题解析】：∵
∴当时，，当时，；故选Ｃ；
【**高考考点**】三角函数值域及二次函数值域
**【易错点】：**忽视正弦函数的范围而出错。
**【全品备考提示】：**高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可。
12、已知平面α⊥平面β，α∩β= ***l***，点A∈α，A***l***，直线AB∥***l***，直线AC⊥***l***，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥***m*** B. AC⊥***m*** C. AB∥β D. AC⊥β
【标准答案】**：**Ｄ
【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然，
但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；
【**高考考点**】线面平行、线面垂直的有关知识及应用
**【易错点】：**对有关定理理解不到位而出错。
**【全品备考提示】：**线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握。
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。**
13、已知{a~n~}为等差数列，a~3~ + a~8~ = 22，a~6~ = 7，则a~5~ = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
【标准答案】**：**１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
【**高考考点**】等差数列有关性质及应用
**【易错点】：**对有关性质掌握不到位而出错。
**【全品备考提示】：**等差数列及等比数列"足数和定理"是数列中的重点内容，
要予以重点掌握并灵活应用。
14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_
【标准答案】**：**
【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积
【**高考考点**】正六棱柱及球的相关知识
**【易错点】：**空间想象能力不强，不能画出直观图而出错。
**【全品备考提示】：**空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养。
15、过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
【标准答案】**：**
【试题解析】：将椭圆与直线方程联立：，得交点；
故；
【**高考考点**】直线与椭圆的位置关系
**【易错点】：**不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁。
**【全品备考提示】：**对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的
位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可。
16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①[ ]{.underline}
[ ]{.underline}；
②[ ]{.underline}
[ ]{.underline}.
【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
（２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较
甲品种棉花的纤维长度更集中）。
（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为
３１８mm；
（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种
棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，也大致对称，其分布较均匀；
【**高考考点**】统计的有关知识
**【易错点】：**不会对数据作出统计分析。
**【全品备考提示】：**对数据的处理是新高考的一个新要求，此类问题今后仍然会出现.
**三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。**
17、（本小题12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
> BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
【试题解析】：.(1)因为
> 所以，
(2)在中，，故由正弦定理得
,故
【**高考考点**】正弦定理及平面几何知识的应用
**【易错点】：**对有关公式掌握不到位而出错。
**【全品备考提示】：**解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。
18、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG。
18\. 【试题解析】(1)如图
（２）所求多面体的体积
（３）证明：如图，在长方体中，连接，则∥
因为Ｅ，Ｇ分别为中点，所以∥，从而∥，
又, 所以∥平面ＥＦＧ；
【**高考考点**】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识
**【易错点】：**对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据。
**【全品备考提示】：**三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，
要予以足够的重视。
19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
19\. 【试题解析】
（１）总体平均数为
（２）设Ａ表示事件"样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5"
从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7),
(6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共１５个基本结果。
事件Ａ包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有７个基本结果；
所以所求的概率为
【**高考考点**】统计及古典概率的求法
**【易错点】：**对基本事件分析不全面。
**【全品备考提示】：**古典概率的求法是一个重点，但通常不难，要认真掌握。
20、（本小题满分12分）已知m∈R，直线*l*：和圆C：
。
（1）求直线*l*斜率的取值范围；
（2）直线*l*能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
２０【试题解析】
（１）直线的方程可化为，此时斜率
因为，所以，当且仅当时等号成立
所以，斜率k的取值范围是；
（２）不能.由（１知的方程为，其中；
圆Ｃ的圆心为，半径；圆心Ｃ到直线的距离
由，得，即，从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得
的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；
【**高考考点**】直线与圆及不等式知识的综合应用
**【易错点】：**对有关公式掌握不到位而出错。
**【全品备考提示】：**本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握；
21、（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为
> 。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的
>
> 切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
２１. 【试题解析】１）方程可化为，当时，；
又，于是，解得，故
（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；
【**高考考点**】导数及直线方程的相关知识
**【易错点】：**运算不仔细而出错。
**【全品备考提示】：**运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了。
**请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。**
**做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。**
22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
> 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。
>
> （1）证明：OM·OP = OA^2^；
>
> （2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
22．【试题解析】（１）证明：因为ＭＡ是圆Ｏ的切线，所以，又因为，
在中，由射影定理知；
（２）证明：因为ＢＫ是圆Ｏ的切线，，同有：，又，
所以，即，又，
所以，故；
【**高考考点**】圆的有关知识及应用
**【易错点】：**对有关知识掌握不到位而出错
**【全品备考提示】：**高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，
它是我们的得分点之一。
23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
> 已知曲线C~1~：，曲线C~2~：。
>
> （1）指出C~1~，C~2~各是什么曲线，并说明C~1~与C~2~公共点的个数；
>
> （2）若把C~1~，C~2~上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C~1~与C~2~公共点的个数是否相同？
>
> 说明你的理由。
２３. 【试题解析】
（１）Ｃ~１~时圆，Ｃ~２~是直线
Ｃ~１~的普通方程为，圆心Ｃ~１~（0,0），半径;
Ｃ~2~的普通方程为,因为圆心Ｃ~１~到直线的距离为１，
所以Ｃ~１~与Ｃ~２~只有一个公共点；
（２）压缩后的参数方程分别为
化为普通方程为，
联立消元得：，其判别式；
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；
【**高考考点**】参数方程与普通方程的互化及应用
**【易错点】：**对有关公式掌握不到位而出错。
**【全品备考提示】：**高考对参数方程的考查要求也不高，故要重点掌握，
它也是我们的得分点之一。
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第六节：回收废品**
一、用计算。
42+34= 34+5= 65-2= 78-60=
56-21= 40+23= 6+32= 59-4=
二、填空。
1、46里面有（ ）个十和（ ）个一。
2、63是由（ ）个一和（ ）十个组成的。
3、37和39中间的数是（ ）。
4、（ ）的前面是59，后面是（ ）。\[来源:学,科,网\]
5、（ ）的后面是90，前面是（ ）。
6、66比（ ）大1，比（ ）小1。
7、个位上5，十位上是2，这个数是（ ）。
8、2个一和3个十是（ ）。\[来源:Zxxk.Com\]
9、比72少21的数是（ ）。
10、11加（ ）得99。
三、解决问题。
1、木工组修理一批桌子，已经修好了24张，还有15张没修。这批桌子有多少张？
2、车上原来有35人，到站下去一些人后，还剩4人。到站下去了多少人？
3、小图书室有90本故事书，借出40本，还剩多少本？
4、学校合唱队有女同学有38人,比男同学多18人，男同学有多少人?
5、星期天妈妈去买菜，用去16元后还剩下10元，妈妈原来有多少钱？
\[来源:学科网\]
四、应用题。
妈妈买一件上衣需要62元，买一条裤子比上衣便宜30元。
1. 买一条裤子需要多少元？
2. 买这样的一套衣服需要多少钱？
\[来源:学\|科\|网\]
答案
一、用计算。
42+34=76 34+5=39 65-2=63 78-60=18
56-21=35 40+23=63 6+32=38 59-4=55
二、填空。
1、4 6
2、3 6
3、38
4、60 61
5、89  88
6、65 67
7、25
8、31
9、51
10、88
三、解决问题。
1、24+15=37张 答：这批桌子有37张。
2、35-4=31人 答：到站下去了31人。
3、90-40=50本 答：还剩50本。
4、38-18=20人 答：男同学有20人。\[来源:学,科,网\]
5、16+10=26元 答：妈妈原来有26钱。
四、应用题。
妈妈买一件上衣需要62元，买一条裤子比上衣便宜30元。
（1）62-30=32元 答：买一条裤子需要32元。
（2）62+32=94元 答：买这样的一套衣服需要94钱。
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**2017年甘肃省天水市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）**
1．若x与3互为相反数，则\|x+3\|等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+y=2xy B．x•2y^2^=2xy^2^ C．2x÷x^2^=2x D．4x﹣5x=﹣1
4．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ）
A．13×10^7^kg B．0.13×10^8^kg C．1.3×10^7^kg D．1.3×10^8^kg
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的叙述不正确的是（ ）
A． =2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y=x；②函数y=x^2^；③函数y=．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S~阴影~=（ ）
A．2π B．π C．π D．π
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm^2^），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）**
11．若式子有意义，则x的取值范围是[ ]{.underline}．
12．分解因式：x^3^﹣x=[ ]{.underline}．
13．定义一种新的运算：x\*y=，如：3\*1==，则（2\*3）\*2=[ ]{.underline}．
14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=[ ]{.underline}．
15．观察下列的"蜂窝图"
则第n个图案中的""的个数是[ ]{.underline}．（用含有n的代数式表示）
16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为[ ]{.underline}米．
17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是[ ]{.underline}．
18．如图是抛物线y~1~=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y~2~=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax^2^+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y~2~＞y~1~；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是[ ]{.underline}．（只填写序号）
**三、解答题（本大题共3小题，共28分）**
19．（1）计算：﹣1^4^+sin60°+（）^﹣2^﹣（π﹣）^0^
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．
20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
21．八年级一班开展了"读一本好书"的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了"小说""戏剧""散文""其他"四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
------ -------------- ------
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
------ -------------- ------
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中"其他"类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了"戏剧"类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
**四、解答题（共50分）**
22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上"冒黑烟"较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax^2^﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
**2017年甘肃省天水市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）**
1．若x与3互为相反数，则\|x+3\|等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】15：绝对值；14：相反数．
【分析】先求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵x与3互为相反数，
∴x=﹣3，
∴\|x+3\|=\|﹣3+3\|=0．
故选A．
2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得横着的""字，
故选C．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2x+y=2xy B．x•2y^2^=2xy^2^ C．2x÷x^2^=2x D．4x﹣5x=﹣1
【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式．
【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；
B、x•2y^2^=2xy^2^，正确；
C、2x÷x^2^=，故此选项错误；
D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；
故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【考点】X3：概率的意义．
【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选A．
5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ）
A．13×10^7^kg B．0.13×10^8^kg C．1.3×10^7^kg D．1.3×10^8^kg
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：130 000 000kg=1.3×10^8^kg．
故选：D．
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos∠B==．
故选B．
7．关于的叙述不正确的是（ ）
A． =2
B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数
D．在数轴上可以找到表示的点
【考点】27：实数．
【分析】=2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．
【解答】解：A、=2，所以此选项叙述正确；
B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；
C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；
本题选择叙述不正确的，
故选C．
8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y=x；②函数y=x^2^；③函数y=．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形．
【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．
故选C
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S~阴影~=（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S~阴影~=S~扇形ODB~﹣S~△DOE~+S~△BEC~．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S~阴影~=S~扇形ODB~﹣S~△DOE~+S~△BEC~=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．
故选B．
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm^2^），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=x^2^；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=4cm，
∴BH=CH，
∵∠B=30°，
∴AH=AB=2，BH=AH=2，
∴BC=2BH=4，
∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，
在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，
∴y=•x•x=x^2^，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4
在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），
∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，
综上所述，y=．
故选D．
**二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）**
11．若式子有意义，则x的取值范围是[ x≥﹣2且x≠0 ]{.underline}．
【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．
【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：x≥﹣2且x≠0．
12．分解因式：x^3^﹣x=[ x（x+1）（x﹣1） ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x^2^﹣1），而x^2^﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x^3^﹣x，
=x（x^2^﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
13．定义一种新的运算：x\*y=，如：3\*1==，则（2\*3）\*2=[ 2 ]{.underline}．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：（2\*3）\*2=（）\*2=4\*2==2，
故答案为：2
14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=[ 40° ]{.underline}．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°，
∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，
∴四边形BCEC′是正方形，
∴∠BEC=45°，
由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°，
由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°，
∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为：40°．
15．观察下列的"蜂窝图"
则第n个图案中的""的个数是[ 3n+1 ]{.underline}．（用含有n的代数式表示）
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13'个图案，由此可得出规律．
【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个""，
∴第n个图案中共有""为：4+3（n﹣1）=3n+1
故答案为：3n+1
16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为[ 5 ]{.underline}米．
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是[ 6 ]{.underline}．
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．
【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．
【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，
∵BE=1，BC=CD=4，
∴CE=3，DE=5，
∴BP′+P′E=DE=5，
∴△PBE周长的最小值是5+1=6，
故答案为：6．
18．如图是抛物线y~1~=ax^2^+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y~2~=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax^2^+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y~2~＞y~1~；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是[ ②⑤ ]{.underline}．（只填写序号）
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax^2^+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y~2~＜y~1~，故④错误，
因为x=1时，y~1~有最大值，所以ax^2^+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
**三、解答题（本大题共3小题，共28分）**
19．（1）计算：﹣1^4^+sin60°+（）^﹣2^﹣（π﹣）^0^
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）﹣1^4^+sin60°+（）^﹣2^﹣（π﹣）^0^=﹣1+2×+4﹣1=5；
（2）（1﹣）÷=×=，
当x=﹣1时，
原式=．
20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．
【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=，
∴PC=20•cos60°=10，
∴AC==10，
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=10，
∴AB=AC﹣BC=10﹣10（海里）．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10﹣10）海里．
21．八年级一班开展了"读一本好书"的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了"小说""戏剧""散文""其他"四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
------ -------------- ------
类别 频数（人数） 频率
小说 0.5
戏剧 4
散文 10 0.25
其他 6
合计 1
------ -------------- ------
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中"其他"类所占的百分比；
（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了"戏剧"类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．
【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
【解答】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，
∴总人数=10÷0.25=40（人）；
（2）在扇形统计图中，"其他"类所占的百分比为×100%=15%，
故答案为：15%；
（3）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，
∴P（丙和乙）==．
**四、解答题（共50分）**
22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，
则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，
则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+2；
（2）由题意知BC=2，
则△ACB的面积=×2×6=6．
23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
【考点】MD：切线的判定．
【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD， =，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD， =，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC==10，
∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，
∴BE===4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的长为9.6．
24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上"冒黑烟"较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据"A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元"列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由"购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元"和"10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次"列出不等式组探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得，
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：≤a≤，
因为a是整数，
所以a=6，7，8；
则（10﹣a）=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴=，
∵BP=2，CQ=9，BE=CE，
∴BE^2^=18，
∴BE=CE=3，
∴BC=6．
26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax^2^﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax^2^﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax^2^﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）令ax^2^﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax^2^﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当y=0时，ax^2^﹣2ax﹣3a=0，
解得：x~1~=﹣1，x~2~=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x==1；
（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），
∴0=﹣k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax^2^﹣2ax﹣3a=kx+k，
即ax^2^﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣=﹣1×4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax^2^﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF=ax^2^﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax^2^﹣3ax﹣4a，
∴S~△ACE~=S~△AFE~﹣S~△CEF~=（ax^2^﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax^2^﹣3ax﹣4a）x=（ax^2^﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）^2^﹣a，
∴△ACE的面积的最大值=﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a=，
解得a=﹣；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax^2^﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax^2^﹣3ax﹣4a=0，
解得：x~1~=1，x~2~=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD^2^+PD^2^=AP^2^，
∴5^2^+（5a）^2^+3^2^+（26﹣5a）^2^=2^2^+（26a）^2^，
即a^2^=，
∵a＜0，
∴a=﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP^2^+PD^2^=AD^2^，
∴（﹣1﹣1）^2^+（8a）^2^+（1﹣4）+（8a﹣5a）^2^=5^2^+（5a）^2^，
即a^2^=，
∵a＜0，
∴a=﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
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2017---2018学年高三一轮复习周测卷（一）
理数
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、下列说法正确的是
A．0与的意义相同
B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合
C．集合是有限集
D．方程的解集只有一个元素
2、已知集合，则
A． B． C． D．
3、设命题，则为
A． B． C． D．
4、已知集合，则集合
A． B． C． D．
5、设，则""是""的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7、已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为
A． B． C． D．
8、已知集合，则集合不可能是
A． B． C． D．
9、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10、已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11、对于任意两个正整数，定义某种运算""，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合 的真子集的个数是
A． B． C． D．
12、用表示非空集合中的元素个数，定义 ，
若，且，设实数的所有可能的取值集合是，则
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则等于
14、已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
15、已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为
16、下列说法错误的是 [ ]{.underline} (填序号)
①命题"，有"的否定是"，有"；
②若一个命题的逆命题，则它的否命题也一定为真命题；
③已知，若为真命题，则实数的取值范围是
④""是""成立的充分条件
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分10分）
已知集合 .
（1）分别求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
18、（本小题满分12分）
（1）已知，关于的方程有实数，关于的函数在区间上是增函数，若"或"是真命题，"且"是假命题，求实数的取值范围；
（2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19、（本小题满分12分）
集合
（1）若集合只有一个元素，求实数的值；
（2）若是的真子集，求实数的取值范围.
20、（本小题满分12分）
已知函数的值域是集合A，关于的不等式的解集为B，集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
21、（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，集合.
（1）若，求实数的值；
（2）若，使，求实数的取值范围.
22、（本小题满分12分）
已知是定义域为R的奇函数，且当时，，
设"".
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）设集合与集合的交集为，若为假，为真，求实数的取值范围.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）**
**数 学（文史卷）**
**参考答案**
**一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。**
1．A 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B
**二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。**
11．
12．8
13．3
14．
15．y=；0.6
**三、解答题：本大题共6小题，共75分。**
16.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角形函数的图象和性质解题的能力.
解：
（1）
又∵*x*∈［］，∴≤2x-≤即2≤1+2sin(2x-)≤3.
∴f(x)~max~=3,f(x)~min~=2.
(Ⅱ) ∵\|f(x)-m\|\<2=f(x)-2\<m\<f(x)+2,x∈
∴m\>f(x)~max~-2且m\<f(x)~min~+2,
∴1\<m\<4,即m的取值范围是（1，4）
17.小题主要考查线面关系，直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力，以及应用向量知识解决数学问题的能力。
**解法1：**
（Ⅰ）∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，
∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，于是AB⊥平面VCD，
又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD.
（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（Ⅰ）知CH⊥平面VAB.
连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角。
依题意∠CBH=，所以
在Rt△CHD中，CH=；
在Rt△BHC中，CH=asin,
∴sinθ=∵0＜θ＜∴
故当时，直线BC与平面VAB所成的角为
**解法2：**
（Ⅰ）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直坐标系，则C（0，0，0），A（a,0,0）,B(0,a,0),D
于是，
从而⊥CD.
同理AB⊥CD.
又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD，
又AB平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD.
（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n=（x,y,z）,
则由
得
可取n=(1,1,),又
于是sin
即sin=∵0\<θ\<
故当θ=时，直线BC与平面VAB所成的角为
**解法3：**
（Ⅰ）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别在x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，-），B（0， ），C（-，0），
V（-，），
于是
从而
即AB⊥DC.
同理
即AB⊥DV.
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD。
又AB平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n=(x·y·z)，
则由
取n=(tanθ,0,1),又
于是sin
即sinθ=
∵0\<θ\<∴
故当时，直线BC与平面VAB所成的角为
18.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数，导数的知识解决实际问题的能力。
解：
（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx^2^，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx^2^)=(21-x)(432+kx^2^).
又由已知条件，24=k·2^2^,于是有k=6,
所以f(x)= -6x^3^+126x*^2^-432x+9072,x∈［0,30］.*
(Ⅱ)根据（Ⅰ），我们有f′(x)=-18x^2^+252x-432=-18(x-2)(x-12).
------- ---------- ------ ----------- ------ ------------
X ［0，2］ 2 （2，12） 12 （12，30）
f′(x) \- 0 \+ 0 \-
f(x) ↘ 极小 ↖ 极大 ↘
------- ---------- ------ ----------- ------ ------------
故x=12时，f(x)达到极大值，因为f(0)=9072、f(12)=11264,所以定价为30-12=18
元能使一个星期的商品销售利润最大。
19.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力。
**解法1：**
（Ⅰ）令g(x)=f(x)-x=x^2^+（a-1）x+a,则由题意可得
故所求实数a的取值范围是（0，3-2）
（Ⅱ）f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a^2^, 令h(a)=2a^2^
∵当a\>0时h(a)单调增加，
∴当0\<a\<3-2时
0\<h(a)\<h(3-2)=2(3-2)^2^=2(17-12)
=2·
**解法2：**
（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a^2^,由（Ⅰ）知0\<a\<3-2
∴4a-1\<12-17\<0,又4a+1\>0,于是
2a^2^-=
即2a^2^-故f(0)f(1)-f(0)\<
解法3：（Ⅰ）方程f(x)-x=0x^2^+(a-1)x+a=0,由韦达定理得
故所求实数a的取值范围是（0，3-2）
（Ⅱ）依题意可设g(x)=(x-x~1~)(x-x~2~),则由0\<x~1~\<x~2~\<1得
f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x~1~x~2~(1-x~1~)(1-x~2~)=［x~1~(1-x~1~)］［x~2~(1-x~2~)］
\<
20.本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.
解：
（Ⅰ）证：由
∴*a~n~*~+2~=*a*~n~*q*^2^(*n*∈N\*).
（Ⅱ）证：∵
∴(C~n~)是首项为5，以q^2^为公比的等比数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，于是
当q=1时，
当q≠1时，
故
21.本小题主要考查直线、圆和抛物线平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
**解法1：**
（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x~1~·y~1~），B（x~2~,y~2~）,直线AB的方程为y=kx+p,与x^2^=2py联立得消去y得x^2^-2pkx-2p*^2^=0.*
由韦达定理得x~1~+x~2~=2pk,x~1~x~2~=-2p^2^.
于是S~△ABN~=S~△BCN~+S~△CAN~ =
=p\|x~1~-x~2~\|=p
∴当k=0时，（S~△ABN~）~min~=2
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，设AC的中点为，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则H⊥PQ，点的坐标为
令a-得a=此时\|PQ\|=p为定值，故满足条件的直线l存在.其方程为y=
即抛物线的通径所在的直线.
**解法2：**
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
\|AB\|=
=
=
又由点到直线的距离公式得d=
从而，S~△ABC~=d\|AB\|=
=2p^2^
∴当k=0时，（S~△ABN~）~min~=2
(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为
（x-0）(x-x~1~)+(y-p)(y-y~1~)=0,将直线方程y=a代入得
x^2^-x~1~x+(a-p)(a-y~1~)=0,则
△=x-4(a-p)(a-y~1~)=4
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x~3~,y~3~）,Q(x~4~,y~4~),则有
令a-此时\|PQ\|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=
即抛物线的通径所在的直线。
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**新疆乌鲁木齐市2017年中考数学试题**
**一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 如图，数轴上点表示数，则是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，直线 ，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
3\. 计算的结果是（ ）
A． B． C. D．
4.下列说法正确的是 （ ）
A．"经过有交通信号的路口，遇到红灯，" 是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可投中次
C.处于中间位置的数一定是中位数
D．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
5.如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是 （ ）
A． B． C. D．
6．一次函数是常数，）的图象，如图所示，则不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
7.2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ）
A． B．
C. D．
8\. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C. D．
9.如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（ ）
A． B． C. D．
10\. 如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C. D．
**二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
11.计算 [ ]{.underline} ．
12.如图，在菱形中，，则菱形的面积为 [ ]{.underline} ．
13.一件衣服售价为元，六折销售，仍可获利，则这件衣服的进价是 [ ]{.underline} 元．
14.用等分圆周的方法，在半径为的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 [ ]{.underline} ．
15.如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
16\. 解不等式组： .
17\. 先化简，再求值：，其中.
18.我国古代数学名著《孙子算经》中有"鸡兔同笼"问题："今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何"，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有个头，从下面看有条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
19\. 如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且，求证：.
20\. 现今"微信运动"被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市名教师某日"微信运动"中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
------ ------ ------
步数 频数 频率
------ ------ ------
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过步（包含步）的教师有多少名？
（3）若在名被调查的教师中，选取日行走步数超过步（包含步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在步（包含步）以上的概率.
21\. 一艘渔船位于港口的北偏东方向，距离港口海里处，它沿北偏西方向航行至处突然出现故障，在处等待救援，之间的距离为海里，救援船从港口出发分钟到达处，求救援的艇的航行速度.，结果取整数）
22\. 一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地相距多远？
（2）求快车和慢车的速度分别是多少？
（3）求出两车相遇后与之间的函数关系式；
（4）何时两车相距千米.
23.如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于.
（1）求证：；
（2）若，求半径.
24.如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.
①当时，求点坐标；
② 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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**2017年上海市高考数学试卷**
**一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）**
1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=[ ]{.underline}．
2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=[ ]{.underline}．
3．（4分）不等式＞1的解集为[ ]{.underline}．
4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于[ ]{.underline}．
5．（4分）已知复数z满足z+=0，则\|z\|=[ ]{.underline}．
6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F~1~、F~2~，P为该双曲线上的一点，若\|PF~1~\|=5，则\|PF~2~\|=[ ]{.underline}．
7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是[ ]{.underline}．
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），若g（x）=为奇函数，则f^﹣1^（x）=2的解为[ ]{.underline}．
9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x^3^，④y=x，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为[ ]{.underline}．
10．（5分）已知数列{a~n~}和{b~n~}，其中a~n~=n^2^，n∈N^\*^，{b~n~}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^\*^，{b~n~}的第a~n~项等于{a~n~}的第b~n~项，则=[ ]{.underline}．
11．（5分）设a~1~、a~2~∈R，且，则\|10π﹣a~1~﹣a~2~\|的最小值等于[ ]{.underline}．
12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P~1~，P~2~，P~3~，P~4~}，点P∈Ω，过P作直线l~P~，使得不在l~P~上的"▲"的点分布在l~P~的两侧．用D~1~（l~P~）和D~2~（l~P~）分别表示l~P~一侧和另一侧的"▲"的点到l~P~的距离之和．若过P的直线l~P~中有且只有一条满足D~1~（l~P~）=D~2~（l~P~），则Ω中所有这样的P为[ ]{.underline}．
**二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（ ）
A． B． C． D．
14．（5分）在数列{a~n~}中，a~n~=（﹣）^n^，n∈N^\*^，则a~n~（ ）
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x~n~}的通项x~n~=an^2^+bn+c，n∈N^\*^，则"存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列"的一个必要条件是（ ）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C~1~：=1和C~2~：x^2^+=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，w是的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且=w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
**三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）**
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A~1~M与平面ABC所成角的大小．
18．（14分）已知函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N^\*^）个月共享单车的投放量和损失量分别为a~n~和b~n~（单位：辆），其中a~n~=，b~n~=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S~n~=﹣4（n﹣46）^2^+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且\|OP\|=，求P的坐标；
（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．
21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x~1~、x~2~∈R，当x~1~＜x~2~时，都有f（x~1~）≤f（x~2~）．
（1）若f（x）=ax^3^+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"．
**2017年上海市高考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）**
1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=[ {3，4} ]{.underline}．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，
∴A∩B={3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=[ 3 ]{.underline}．
【分析】利用排列数公式直接求解．
【解答】解：∵排列数=6×5×4，
∴由排列数公式得，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．
3．（4分）不等式＞1的解集为[ （﹣∞，0） ]{.underline}．
【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
【解答】解：由＞1得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．
4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于[ 9π ]{.underline}．
【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．
【解答】解：球的体积为36π，
设球的半径为R，可得πR^3^=36π，
可得R=3，
该球主视图为半径为3的圆，
可得面积为πR^2^=9π．
故答案为：9π．
【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．
5．（4分）已知复数z满足z+=0，则\|z\|=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z^2^=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．
【解答】解：由z+=0，
得z^2^=﹣3，
设z=a+bi（a，b∈R），
由z^2^=﹣3，得（a+bi）^2^=a^2^﹣b^2^+2abi=﹣3，
即，解得：．
∴．
则\|z\|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．
6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F~1~、F~2~，P为该双曲线上的一点，若\|PF~1~\|=5，则\|PF~2~\|=[ 11 ]{.underline}．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6，解可得\|PF~2~\|的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，
其中a==3，
则有\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6，
又由\|PF~1~\|=5，
解可得\|PF~2~\|=11或﹣1（舍）
故\|PF~2~\|=11，
故答案为：11．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．
7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是[ （﹣4，3，2） ]{.underline}．
【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C~1~的坐标，由此能求出结果．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C~1~（0，3，2），
∴．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），若g（x）=为奇函数，则f^﹣1^（x）=2的解为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
【解答】解：若g（x）=为奇函数，
可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3^﹣x^﹣1，
由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），
则g（x）=f（x）=1﹣3^﹣x^，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），
且f^﹣1^（x）=2，
可由f（2）=1﹣3^﹣2^=，
可得f^﹣1^（x）=2的解为x=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．
9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x^3^，④y=x，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件的个数，由此能求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率．
【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x^3^，④y=x，
从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，
③④有两个公共点（0，0），（1，1）．
事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件有：
①③，①④共2个，
∴事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率为P（A）==．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
10．（5分）已知数列{a~n~}和{b~n~}，其中a~n~=n^2^，n∈N^\*^，{b~n~}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^\*^，{b~n~}的第a~n~项等于{a~n~}的第b~n~项，则=[ 2 ]{.underline}．
【分析】a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项，可得==．于是b~1~=a~1~=1，=b~4~，=b~9~，=b~16~．即可得出．
【解答】解：∵a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项，
∴==．
∴b~1~=a~1~=1，=b~4~，=b~9~，=b~16~．
∴b~1~b~4~b~9~b~16~=．
∴=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）设a~1~、a~2~∈R，且，则\|10π﹣a~1~﹣a~2~\|的最小值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意，要使+=2，可得sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1．求出α~1~和α~2~，即可求出\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|的最小值
【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα~1~，sin2α~2~的范围在\[﹣1，1\]，
要使+=2，
∴sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1．
则：，k~1~∈Z．
，即，k~2~∈Z．
那么：α~1~+α~2~=（2k~1~+k~2~）π，k~1~、k~2~∈Z．
∴\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|=\|10π﹣（2k~1~+k~2~）π\|的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．
12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P~1~，P~2~，P~3~，P~4~}，点P∈Ω，过P作直线l~P~，使得不在l~P~上的"▲"的点分布在l~P~的两侧．用D~1~（l~P~）和D~2~（l~P~）分别表示l~P~一侧和另一侧的"▲"的点到l~P~的距离之和．若过P的直线l~P~中有且只有一条满足D~1~（l~P~）=D~2~（l~P~），则Ω中所有这样的P为[ P~1~、P~3~、P~4~ ]{.underline}．
【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，
过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，
则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．
【解答】解：设记为"▲"的四个点是A，B，C，D，
线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH为平行四边形，如图所示；
又平行四边形EFGH的对角线交于点P~2~，
则符合条件的直线l~P~一定经过点P~2~，
且过点P~2~的直线有无数条；
由过点P~1~和P~2~的直线有且仅有1条，
过点P~3~和P~2~的直线有且仅有1条，
过点P~4~和P~2~的直线有且仅有1条，
所以符合条件的点是P~1~、P~3~、P~4~．
故答案为：P~1~、P~3~、P~4~．
【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．
**二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．
【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：
D=．
故选：C．
【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．
14．（5分）在数列{a~n~}中，a~n~=（﹣）^n^，n∈N^\*^，则a~n~（ ）
A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在
【分析】根据极限的定义，求出a~n~=的值．
【解答】解：数列{a~n~}中，a~n~=（﹣）^n^，n∈N^\*^，
则a~n~==0．
故选：B．
【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．
15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x~n~}的通项x~n~=an^2^+bn+c，n∈N^\*^，则"存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列"的一个必要条件是（ ）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0
【分析】由x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列，可得：2x~200+k~=x~100+k~x~300+k~，代入化简即可得出．
【解答】解：存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列，可得：2\[a（200+k）^2^+b（200+k）+c\]=a（100+k）^2^+b（100+k）+c+a（300+k）^2^+b（300+k）+c，化为：a=0．
∴使得x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列的必要条件是a≥0．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C~1~：=1和C~2~：x^2^+=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，w是的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且=w}，则Ω中元素个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个
【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．
【解答】解：椭圆C~1~：=1和C~2~：x^2^+=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π，
则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），
当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，
则Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且=w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m^2^+9n^2^=36，9u^2^+v^2^=9，
由柯西不等式（m^2^+9n^2^）（9u^2^+v^2^）=324≥（3mu+3nv）^2^，
当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．
**三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）**
17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A~1~M与平面ABC所成角的大小．
【分析】（1）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积V=S~△ABC~×AA~1~=，由此能求出结果．
（2）连结AM，∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角，由此能求出直线A~1~M与平面ABC所成角的大小．
【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积：
V=S~△ABC~×AA~1~
=
==20．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5，M是BC中点，
∴AA~1~⊥底面ABC，AM==，
∴∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角，
tan∠A~1~MA===，
∴直线A~1~M与平面ABC所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
18．（14分）已知函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；
（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+
=cos2x+，x∈（0，π），
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1时，π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为\[，π）；
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a=，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+=0，
解得2A=π，即A=π，
由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，
化为c^2^﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB=＜0，
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．
【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N^\*^）个月共享单车的投放量和损失量分别为a~n~和b~n~（单位：辆），其中a~n~=，b~n~=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S~n~=﹣4（n﹣46）^2^+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【分析】（1）计算出{a~n~}和{b~n~}的前4项和的差即可得出答案；
（2）令a~n~≥b~n~得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．
【解答】解：（1）∵a~n~=，b~n~=n+5
∴a~1~=5×1^4^+15=20
a~2~=5×2^4^+15=95
a~3~=5×3^4^+15=420
a~4~=﹣10×4+470=430
b~1~=1+5=6
b~2~=2+5=7
b~3~=3+5=8
b~4~=4+5=9
∴前4个月共投放单车为a~1~+a~2~+a~3~+a~4~=20+95+420+430=965，
前4个月共损失单车为b~1~+b~2~+b~3~+b~4~=6+7+8+9=30，
∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．
（2）令a~n~≥b~n~，显然n≤3时恒成立，
当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，
∴第42个月底，保有量达到最大．
当n≥4，{a~n~}为公差为﹣10等差数列，而{b~n~}为等差为1的等差数列，
∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．
S~42~=﹣4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．
【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．
（1）若P在第一象限，且\|OP\|=，求P的坐标；
（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．
【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．
（2）设M（x~0~，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x~0~=；由∠M=90°，求出x~0~=1或x~0~=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．
（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0）推导出x~0~=cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，
P为Γ上异于上、下顶点的动点，
P在第一象限，且\|OP\|=，
∴联立，
解得P（，）．
（2）设M（x~0~，0），A（0，1），
P（），
若∠P=90°，则•，即（x~0~﹣，﹣）•（﹣，）=0，
∴（﹣）x~0~+﹣=0，解得x~0~=．
如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x~0~，1）•（﹣x~0~，）=0，
∴=0，解得x~0~=1或x~0~=，
若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．
∴点M的横坐标为，或1，或．
（3）设C（2cosα，sinα），
∵，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0），
∵\|MA\|=\|MP\|，∴x~0~^2^+1=（2cosβ﹣x~0~）^2^+（sinβ）^2^，
整理得：x~0~=cosβ，
∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，
∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，
且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，
∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）^2^+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），
此时，直线AC的斜率k~AC~=﹣= （负值已舍去），如图．
∴直线AQ为y=x+1．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．
21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x~1~、x~2~∈R，当x~1~＜x~2~时，都有f（x~1~）≤f（x~2~）．
（1）若f（x）=ax^3^+1，求a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"．
【分析】（1）直接由f（x~1~）﹣f（x~2~）≤0求得a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有f（x~0~）=f（x~0~+T~k~），证明对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~），可得f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，再由...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数；
（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．
【解答】（1）解：由f（x~1~）≤f（x~2~），得f（x~1~）﹣f（x~2~）=a（x~1~^3^﹣x~2~^3^）≤0，
∵x~1~＜x~2~，∴x~1~^3^﹣x~2~^3^＜0，得a≥0．
故a的范围是\[0，+∞）；
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有
f（x~0~）=f（x~0~+T~k~），
由题意，对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~），
∴f（x~0~）=f（x）=f（x~0~+T~k~）．
又∵f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，并且
...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数；
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c~1~，设g（x）的一个周期为T~g~，则
h（x）=c~1~•g（x），则对任意x~0~∈R，
h（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~）=h（x~0~），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T~h~．
若存在x~1~，x~2~，使得f（x~1~）＞0，且f（x~2~）＜0，则由题意可知，
x~1~＞x~2~，那么必然存在正整数N~1~，使得x~2~+N~1~T~k~＞x~1~，
∴f（x~2~+N~1~T~k~）＞f（x~1~）＞0，且h（x~2~+N~1~T~k~）=h（x~2~）．
又h（x~2~）=g（x~2~）f（x~2~）＜0，而
h（x~2~+N~1~T~k~）=g（x~2~+N~1~T~k~）f（x~2~+N~1~T~k~）＞0≠h（x~2~），矛盾．
综上，f（x）＞0恒成立．
由f（x）＞0恒成立，
任取x~0~∈A，则必存在N~2~∈N，使得x~0~﹣N~2~T~h~≤x~0~﹣T~g~，
即\[x~0~﹣T~g~，x~0~\]⊆\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]，
∵...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R，
∴...∪\[x~0~﹣2N~2~T~h~，x~0~﹣N~2~T~h~\]∪\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+N~2~T~h~\]∪\[x~0~+N~2~T~h~，x~0~+2N~2~T~h~\]∪...=R．
h（x~0~）=g（x~0~）•f（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~）=g（x~0~﹣N~2~T~h~）•f（x~0~﹣N~2~T~h~），
∵g（x~0~）=M≥g（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0，f（x~0~）≥f（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0．
因此若h（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~），必有g（x~0~）=M=g（x~0~﹣N~2~T~h~），且f（x~0~）=f（x~0~﹣N~2~T~h~）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数．
综上，必要性得证．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．
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**2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
**数学（理工类）**
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件、互斥，那么.
·如果事件、相互独立，那么.
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则
A. B. C. D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A.2 B.3 C.5 D.6
3.设，则""是""的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A.5 B.8
C.24 D.29
5.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6.已知，，，则的大小关系为
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A. B. C. D.
8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.是虚数单位，则的值为 [ ]{.underline} .
10.是展开式中的常数项为 [ ]{.underline} .
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 [ ]{.underline} .
12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 [ ]{.underline} .
13.设，则的最小值为 [ ]{.underline} .
14.在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则 [ ]{.underline} .
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
> （Ⅱ）求的值.
>
> 16.（本小题满分13分）
>
> 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
>
> （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
>
> （Ⅱ）设为事件"上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2"，求事件发生的概率.
>
> 17.（本小题满分13分）
>
> 如图，平面，，.
>
> （Ⅰ）求证：平面；
>
> （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
>
> （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
>
> 
>
> 18.（本小题满分13分）
>
> 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
>
> （Ⅰ）求椭圆的方程；
>
> （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
>
> 19.（本小题满分14分）
>
> 设是等差数列，是等比数列.已知.
>
> （Ⅰ）求和的通项公式；
>
> （Ⅱ）设数列满足其中.
>
> （i）求数列的通项公式；
>
> （ii）求.
>
> 20.（本小题满分14分）
>
> 设函数为的导函数.
>
> （Ⅰ）求的单调区间；
>
> （Ⅱ）当时，证明；
>
> （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
>
> **2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）**
>
> **数学（理工类）参考解答**
>
> 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
>
> 1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A
>
> 7.C 8.C
>
> 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.
>
> 9\. 10. 11. 12. 13. 14.
>
> 三.解答题
>
> 15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.
>
> （Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.
>
> （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，，故
>
> ，
>
> 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
>
> （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而.
>
> 所以，随机变量的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
> 随机变量的数学期望.
>
> （Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知
>
> .
>
> 17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
>
> 依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，.设，则.
>
> （Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.
>
> （Ⅱ）解：依题意，.
>
> 设为平面的法向量，则即不妨令，
>
> 可得.因此有.
>
> 所以，直线与平面所成角的正弦值为.
>
> （Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即
>
> 不妨令，可得.
>
> 由题意，有，解得.经检验，符合题意.
>
> 所以，线段的长为.
>
> 
>
> 18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
>
> （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，.
>
> 所以，椭圆的方程为.
>
> （Ⅱ）解：由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率.在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.
>
> 所以，直线的斜率为或.
>
> 19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
>
> （Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得故.
>
> 所以，的通项公式为的通项公式为.
>
> （Ⅱ）（i）解：.
>
> 所以，数列的通项公式为.
>
> （ii）解：
>
> .
>
> 20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
>
> （Ⅰ）解：由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.
>
> 所以，的单调递增区间为的单调递减区间为.
>
> （Ⅱ）证明：记.依题意及（Ⅰ），有，从而.当时，，故
>
> .
>
> 因此，在区间上单调递减，进而.
>
> 所以，当时，.
>
> （Ⅲ）证明：依题意，，即.记，则，且.
>
> 由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此.又由（Ⅱ）知，，故
>
> .
>
> 所以，.
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**《分苹果》同步练习**
1、算一算。
**2、做一做：分别用竖式解决。**
**（1）64÷8=？**
**（2）有30个苹果，分给6个小朋友，每人分得几个？**
**（3）有24根小木棍，8根一捆，可以分几捆？**
**（4）81个同学，每9人一组，可以分几组？**
**（5）小红有20个球，5个放在一个玻璃瓶里，一共需要几个玻璃瓶？**
**3、应用题**
**(1)妈妈买来24根香蕉，每天吃3根，可以吃几天？（用竖式计算）**
**(2)李老师买了48颗糖要分给小朋友，如果每人分6颗糖，可以分给几个小朋友？用除法竖式计算，并说说除法竖式中每一步的意思。**
**（3）二年级一班48个小朋友要去划船，一个船上只能坐6个小朋友，一共需要几艘小船？**
4、填一填。
（1）42÷7=（ ） 表示把（ ）平均分成（ ）份，每份（ ）个；还可以表示42里面有（ ）个（ ）。
（2）
3 8 \[来源:Z,xx,k.Com\]
4 4
6 5
5、**分一分。**
\[来源:学科网\]
**\[来源:Zxxk.Com\]**
（1） 每个篮子装2个松果，需要（ ）个篮子。
（2） 每个篮子装3个松果，需要（ ）个篮子。
（3） 有6个篮子，平均每个篮装（ ）个。
（4） 有9个篮子，平均每个篮装（ ）个。
**参考答案：**
1、算一算。
2 5
5 8
4 6
6 9
**2、做一做：分别用竖式解决。**
**（1）8**
**（2）5**
**（3）3**
**（4）9**
**（5）4\[来源:学.科.网\]**
**3、应用题**
**(1)8**
**(2)8**
**（3）8**
4、填一填。
（1）42÷7=（6 ） 表示把（42 ）平均分成（ 7）份，每份（6 ）个；还可以表示42里面有（6 ）个（7 ）。
（2）
8 7
7 11
6 7
5、**分一分。**
（1） 每个篮子装2个松果，需要（9 ）个篮子。
（2） 每个篮子装3个松果，需要（6 ）个篮子。
（3） 有6个篮子，平均每个篮装（ 3）个。\[来源:学科网\]
（4） 有9个篮子，平均每个篮装（2 ）个。
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**湖南省2021年普通高中学业水平选择性考试**
**化学**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：**
**一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 下列有关湘江流域的治理和生态修复的措施中，没有涉及到化学变化的是
A. 定期清淤，疏通河道
B. 化工企业"三废"处理后，达标排放
C. 利用微生物降解水域中的有毒有害物质
D. 河道中的垃圾回收分类后，进行无害化处理
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．定期清淤，疏通河道，保证河流畅通，没有涉及化学变化，A符合题意；
B．工业生产中得到产品的同时常产生废气、废水和废渣（简称"三废"），常涉及化学方法进行处理，如石膏法脱硫、氧化还原法和沉淀法等处理废水，废渣资源回收利用等过程均有新物质生成，涉及化学变化，B不符合题意；
C．可通过微生物的代谢作用，将废水中有毒有害物质尤其复杂的有机污染物降解为简单的、无害物质，所以微生物法处理废水有新物质的生成，涉及的是化学变化，C不符合题意；
D．河道中的垃圾回收分类，适合焚化处理的垃圾，利用现代焚化炉进行燃烧，消灭各种病原体，把一些有毒、有害物质转化为无害物质，同时可回收热能，用于供热和发电等，此过程涉及化学变化，D不符合题意；
故选A。
2\. 下列说法正确的是
A. 糖类、蛋白质均属于天然有机高分子化合物
B. 粉末在空气中受热，迅速被氧化成
C. 可漂白纸浆，不可用于杀菌、消毒
D. 镀锌铁皮的镀层破损后，铁皮会加速腐蚀
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A．糖类分为单糖、二糖和多糖，其中属于多糖的淀粉、纤维素的相对分子质量上万，属于天然高分子化合物，蛋白质也属于天然有机高分子化合物，而单糖和二糖相对分子质量较小，不属于天然高分子化合物，A错误；
B．氧化亚铁具有较强的还原性，在空气中受热容易被氧气氧化为稳定的四氧化三铁，B正确；
C．二氧化硫除了具有漂白作用，可漂白纸浆、毛和丝等，还可用于杀菌消毒，例如，在葡萄酒酿制过程中可适当添加二氧化硫，起到杀菌、抗氧化作用，C错误；
D．镀锌的铁皮镀层破损后构成原电池，锌作负极，铁作正极被保护，铁皮不易被腐蚀，D错误；
故选B。
3\. 下列实验设计不能达到实验目的的是
--- ---------------------- ----------------------------------------------
实验目的 实验设计
A 检验溶液中是否被氧化 取少量待测液，滴加溶液，观察溶液颜色变化
B 净化实验室制备的 气体依次通过盛有饱和溶液、浓的洗气瓶
C 测定溶液的pH 将待测液滴在湿润的pH试纸上，与标准比色卡对照
D 工业酒精制备无水乙醇 工业酒精中加生石灰，蒸馏
--- ---------------------- ----------------------------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A.若Fe^2+^被氧化为Fe^3+^，Fe^3+^能与SCN^-^生成Fe(SCN)~3~，溶液变成血红色，能达到实验目的，故A不符合题意；
B．实验室用浓盐酸和二氧化锰加热制氯气，先用饱和食盐水除去混有的氯化氢，再通过浓硫酸的洗气瓶干燥，能达到实验目的，故B不符合题意；
C．用pH试纸测定NaOH溶液的pH不能润湿pH试纸，否则会因浓度减小，而影响测定结果，不能达到实验目的，故C符合题意；
D．制取无水酒精时，通常把工业酒精跟新制的生石灰混合，加热蒸馏，能达到实验目的，故D不符合题意。
答案选C。
4\. 已二酸是一种重要的化工原料，科学家在现有工业路线基础上，提出了一条"绿色"合成路线：
下列说法正确的是
A. 苯与溴水混合，充分振荡后静置，下层溶液呈橙红色
B. 环己醇与乙醇互为同系物
C. 已二酸与溶液反应有生成
D. 环己烷分子中所有碳原子共平面
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A.苯的密度比水小，苯与溴水混合，充分振荡后静置，有机层在上层，应是上层溶液呈橙红色，故A错误；
B．环己醇含有六元碳环，和乙醇结构不相似，分子组成也不相差若干CH~2~原子团，不互为同系物，故B错误；
C．己二酸分子中含有羧基，能与NaHCO~3~溶液反应生成CO~2~，故C正确；
D．环己烷分子中的碳原子均为饱和碳原子，与每个碳原子直接相连的4个原子形成四面体结构，因此所有碳原子不可能共平面，故D错误；
答案选C。
5\. 为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是
A. 含有的中子数为
B. 溶液中含有的数为
C. 与在密闭容器中充分反应后的分子数为
D. 和(均为标准状况)在光照下充分反应后的分子数为
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．的物质的量为=0.9mol，1个含0+(18-8)=10个中子，则含有的中子数为，A错误；
B．未给溶液体积，无法计算，B错误；
C．存在2NO+O~2~=2NO~2~，2NO~2~N~2~O~4~，因此与在密闭容器中充分反应后的分子数小于，C错误；
D．甲烷和氯气在光照下发生取代，1mol氯气可取代1molH，同时产生1molHCl分子，标准状况下的物质的量为0.5mol，的物质的量为1mol，0.5molCH~4~含4molH，最多可消耗4molCl~2~，因此CH~4~过量，根据1mol氯气可取代1molH，同时产生1molHCl分子可知1molCl~2~完全反应可得1moHCl，根据C守恒，反应后含C物质的物质的量=甲烷的物质的量=0.5mol，因此和(均为标准状况)在光照下充分反应后的分子数为，D正确；
选D。
6\. 一种工业制备无水氯化镁的工艺流程如下：
下列说法错误的是
A. 物质X常选用生石灰
B. 工业上常用电解熔融制备金属镁
C. "氯化"过程中发生的反应为
D. "煅烧"后的产物中加稀盐酸，将所得溶液加热蒸发也可得到无水
【答案】D
【解析】
【分析】海水经一系列处理得到苦卤水，苦卤水中含Mg^2+^，苦卤水中加物质X使Mg^2+^转化为Mg(OH)~2~，过滤除去滤液，煅烧Mg(OH)~2~得MgO，MgO和C、Cl~2~经"氯化"得无水MgCl~2~。
【详解】A．物质X的作用是使Mg^2+^转化为Mg(OH)~2~，工业上常采用CaO，发生CaO+H~2~O=Ca(OH)~2~，Ca(OH)~2~+Mg^2+^=Mg(OH)~2~+Ca^2+^，A正确；
B．Mg是较活泼金属，工业上常用电解熔融制备金属镁，B正确；
C．由图可知"氯化"过程反应物为MgO、氯气、C，生成物之一为MgCl~2~，C在高温下能将二氧化碳还原为CO，则"气体"为CO，反应方程式为，C正确；
D．"煅烧"后得到MgO，MgO和盐酸反应得到MgCl~2~溶液，由于MgCl~2~在溶液中水解为氢氧化镁和HCl，将所得溶液加热蒸发HCl会逸出，MgCl~2~水解平衡正向移动，得到氢氧化镁，得不到无水MgCl~2~，D错误；
选D。
7\. W、X、Y、Z为原子序数依次增大的短周期主族元素，Y的原子序数等于W与X的原子序数之和，Z的最外层电子数为K层的一半，W与X可形成原子个数比为2：1的分子。下列说法正确的是
A. 简单离子半径：
B. W与Y能形成含有非极性键的化合物
C. X和Y的最简单氢化物的沸点：
D. 由W、X、Y三种元素所组成化合物的水溶液均显酸性
【答案】B
【解析】
【分析】Z的最外层电子数为K层的一半，则Z的核外有3个电子层，最外层电子数为1，即为Na，W与X能形成原子个数比为2:1的18电子的分子，则形成的化合物为N~2~H~4~，所以W为H，X为N，Y的原子序数是W和X的原子序数之和，则Y为O。据此分析解答。
【详解】由分析可知，W为H，X为N，Y为O，Z为Na。
A．离子的电子层数相同时，原子序数越小，半径越大，即离子半径大小为：N^3-^＞O^2-^＞Na^+^，即简单离子半径为：X＞Y＞Z，故A错误；
B．W为H，Y为O，能形成H~2~O~2~，含有极性共价键和非极性共价键，故B正确；
C．X的最简单氢化物为氨气，Y的最简单氢化物为水，水的沸点高于氨气，即最简单氢化物的沸点为Y＞X，故C错误；
D．由W、X、Y三种元素形成的化合物有硝酸，硝酸铵，氨水等，硝酸，硝酸铵显酸性，氨水显碱性，故由W、X、Y三种元素形成的化合物不一定都是酸性，故D错误；
故选B。
8\. 常用作食盐中的补碘剂，可用"氯酸钾氧化法"制备，该方法的第一步反应为。下列说法错误的是
A. 产生22.4L(标准状况)时，反应中转移
B. 反应中氧化剂和还原剂的物质的量之比为11：6
C. 可用石灰乳吸收反应产生的制备漂白粉
D. 可用酸化淀粉碘化钾溶液检验食盐中的存在
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．该反应中只有碘元素价态升高，由0价升高至KH(IO~3~)~2~中+5价，每个碘原子升高5价，即6I~2~60e^-^，又因方程式中6I~2~3Cl~2~，故3Cl~2~60e^-^，即Cl~2~20e^-^，所以产生22.4L (标准状况) Cl~2~即1mol Cl~2~时，反应中应转移20 mol e^-^，A错误；
B．该反应中KClO~3~中氯元素价态降低，KClO~3~作氧化剂，I~2~中碘元素价态升高，I~2~作还原剂，由该方程式的计量系数可知，11KClO~3~6I~2~，故该反应的氧化剂和还原剂的物质的量之比为11:6，B正确；
C．漂白粉的有效成分是次氯酸钙，工业制漂白粉可用石灰乳与氯气反应，C正确；
D．食盐中可先与酸化的淀粉碘化钾溶液中的H^+^、I^-^发生归中反应生成I~2~，I~2~再与淀粉发生特征反应变为蓝色，故可用酸化的淀粉碘化钾溶液检验食盐中的存在，D正确。
故选A。
9\. 常温下，用的盐酸分别滴定20.00mL浓度均为三种一元弱酸的钠盐溶液，滴定曲线如图所示。下列判断错误的是
A. 该溶液中：
B. 三种一元弱酸的电离常数：
C. 当时，三种溶液中：
D. 分别滴加20.00mL盐酸后，再将三种溶液混合：
【答案】C
【解析】
【分析】由图可知，没有加入盐酸时，NaX、NaY、NaZ溶液的pH依次增大，则HX、HY、HZ三种一元弱酸的酸性依次减弱。
【详解】A．NaX为强碱弱酸盐，在溶液中水解使溶液呈碱性，则溶液中离子浓度的大小顺序为*c*(Na^+^)＞*c*(X^-^)＞*c*(OH^-^)＞*c*(H^+^)，故A正确；
B．弱酸的酸性越弱，电离常数越小，由分析可知，HX、HY、HZ三种一元弱酸的酸性依次减弱，则三种一元弱酸的电离常数的大小顺序为*K*~a~(HX)＞*K*~a~ (HY)＞*K*~a~(HZ)，故B正确；
C．当溶液pH为7时，酸越弱，向盐溶液中加入盐酸的体积越大，酸根离子的浓度越小，则三种盐溶液中酸根的浓度大小顺序为*c*(X^-^)＞*c*(Y^-^)＞*c*(Z^-^)，故C错误；
D．向三种盐溶液中分别滴加20.00mL盐酸，三种盐都完全反应，溶液中钠离子浓度等于氯离子浓度，将三种溶液混合后溶液中存电荷守恒关系*c*(Na^+^)+ *c*(H^+^)= *c*(X^-^)+*c*(Y^-^)+*c*(Z^-^)+ *c*(Cl^-^)+ *c*(OH^-^)，由*c*(Na^+^)= *c*(Cl^-^)可得：*c*(X^-^)+*c*(Y^-^)+*c*(Z^-^)= *c*(H^+^)---*c*(OH^-^)，故D正确；
故选C。
10\. 锌溴液流电池是一种先进的水溶液电解质电池，广泛应用于再生能源储能和智能电网的备用电源等。三单体串联锌溴液流电池工作原理如图所：
下列说法错误的是
A. 放电时，N极为正极
B. 放电时，左侧贮液器中的浓度不断减小
C. 充电时，M极的电极反应式为
D. 隔膜允许阳离子通过，也允许阴离子通过
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，放电时，N电极为电池的正极，溴在正极上得到电子发生还原反应生成溴离子，电极反应式为Br~2~+2e^---^=2Br^---^，M电极为负极，锌失去电子发生氧化反应生成锌离子，电极反应式为Zn---2e^---^=Zn^2+^，正极放电生成的溴离子通过离子交换膜进入左侧，同时锌离子通过交换膜进入右侧，维持两侧溴化锌溶液的浓度保持不变；充电时，M电极与直流电源的负极相连，做电解池的阴极，N电极与直流电源的正极相连，做阳极。
【详解】A．由分析可知，放电时，N电极为电池的正极，故A正确；
B．由分析可知，放电或充电时，左侧储液器和右侧储液器中溴化锌的浓度维持不变，故B错误；
C．由分析可知，充电时，M电极与直流电源的负极相连，做电解池的阴极，锌离子在阴极上得到电子发生还原反应生成锌，电极反应式为Zn^2+^+2e^---^=Zn，故C正确；
D．由分析可知，放电或充电时，交换膜允许锌离子和溴离子通过，维持两侧溴化锌溶液的浓度保持不变，故D正确；
故选B。
**二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有一个或两个选项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。**
11\. 已知：，向一恒温恒容的密闭容器中充入和发生反应，时达到平衡状态I，在时改变某一条件，时重新达到平衡状态Ⅱ，正反应速率随时间的变化如图所示。下列说法正确的是
A. 容器内压强不变，表明反应达到平衡
B. 时改变的条件：向容器中加入C
C. 平衡时A的体积分数：
D. 平衡常数K：
【答案】BC
【解析】
【分析】根据图像可知，向恒温恒容密闭容器中充入1molA和3molB发生反应，反应时间从开始到t~1~阶段，正反应速率不断减小，t~1~-t~2~时间段，正反应速率不变，反应达到平衡状态，t~2~-t~3~时间段，改变条件使正反应速率逐渐增大，平衡向逆反应方向移动，t~3~以后反应达到新的平衡状态，据此结合图像分析解答。
【详解】A.容器内发生的反应为A(g)+2B(g)3C(g)，该反应是气体分子数不变的可逆反应，所以在恒温恒容条件下，气体的压强始终保持不变，则容器内压强不变，不能说明反应达到平衡状态，A错误；
B.根据图像变化曲线可知，t~2~t~3~过程中，t~2~时^，^瞬间不变，平衡过程中不断增大，则说明反应向逆反应方向移动，且不是"突变"图像，属于"渐变"过程，所以排除温度与催化剂等影响因素，改变的条件为：向容器中加入C，B正确；
C.最初加入体系中的A和B的物质的量的比值为1：3，当向体系中加入C时，平衡逆向移动，最终A和B各自物质的量增加的比例为1：2，因此平衡时A的体积分数(II)\>(I)，C正确；
D.平衡常数K与温度有关，因该反应在恒温条件下进行，所以K保持不变，D错误。
故选BC。
12\. 对下列粒子组在溶液中能否大量共存的判断和分析均正确的是
--- -------- ----------------------------
粒子组 判断和分析
A 、、、 不能大量共存，因发生反应：
B 、、、 不能大量共存，因发生反应：
C 、、、 能大量共存，粒子间不反应
D 、、、 能大量共存，粒子间不反应
--- -------- ----------------------------
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A.Al^3+^和NH~3~H~2~O生成Al(OH)~3~沉淀而不是生成Al，故A错误；
B．S~2~和H^+^反应生成单质硫、二氧化硫和水，离子方程式为：2H^+^+ S~2~=S↓+SO~2~↑+H~2~O，故B正确；
C．Fe^3+^可以将H~2~O~2~氧化得Fe^2+^和O~2~，不能大量共存，故C错误；
D．在酸性条件下Mn能将Cl^-^氧化为Cl~2~，不能大量共存，故D错误；
答案选B。
13\. 1-丁醇、溴化钠和70%的硫酸共热反应，经过回流、蒸馏、萃取分液制得1-溴丁烷粗产品，装置如图所示：
已知：
下列说法正确的是
A. 装置I中回流的目的是为了减少物质的挥发，提高产率
B. 装置Ⅱ中a为进水口，b为出水口
C. 用装置Ⅲ萃取分液时，将分层的液体依次从下放出
D. 经装置Ⅲ得到的粗产品干燥后，使用装置Ⅱ再次蒸馏，可得到更纯的产品
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意1-丁醇、溴化钠和70%的硫酸在装置I中共热发生得到含、、NaHSO~4~、NaBr、H~2~SO~4~的混合物，混合物在装置Ⅱ中蒸馏得到和的混合物，在装置Ⅲ中用合适的萃取剂萃取分液得粗产品。
【详解】A．浓硫酸和NaBr会产生HBr，1-丁醇以及浓硫酸和NaBr产生HBr均易挥发，用装置I回流可减少反应物的挥发，提高产率，A正确；
B．冷凝水应下进上出，装置Ⅱ中b为进水口，a为出水口，B错误；
C．用装置Ⅲ萃取分液时，将下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出，C错误；
D．由题意可知经装置Ⅲ得到粗产品，由于粗产品中各物质沸点不同，再次进行蒸馏可得到更纯的产品，D正确；
选AD。
14\. 铁的配合物离子(用表示)催化某反应的一种反应机理和相对能量的变化情况如图所示：
下列说法错误的是
A. 该过程的总反应为
B. 浓度过大或者过小，均导致反应速率降低
C. 该催化循环中元素的化合价发生了变化
D. 该过程的总反应速率由Ⅱ→Ⅲ步骤决定
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】A．由反应机理可知，HCOOH电离出氢离子后，HCOO^-^与催化剂结合，放出二氧化碳，然后又结合氢离子转化为氢气，所以化学方程式为HCOOHCO~2~↑+H~2~↑，故A正确；
B．若氢离子浓度过低，则反应Ⅲ→Ⅳ的反应物浓度降低，反应速率减慢，若氢离子浓度过高，则会抑制加酸的电离，使甲酸根浓度降低，反应Ⅰ→Ⅱ速率减慢，所以氢离子浓度过高或过低，均导致反应速率减慢，故B正确；
C．由反应机理可知，Fe在反应过程中，化学键数目发生变化，则化合价也发生变化，故C正确；
D．由反应进程可知，反应Ⅳ→Ⅰ能垒最大，反应速率最慢，对该过程的总反应起决定作用，故D错误；
故选D。
**二、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第15\~17题为必考题，每个试题考生都必须作答。第18、19题为选考题，考生根据要求作答。**
**(一)必考题：此题包括3小题，共39分。**
15\. 碳酸钠俗称纯碱，是一种重要的化工原料。以碳酸氢铵和氯化钠为原料制备碳酸钠，并测定产品中少量碳酸氢钠的含量，过程如下：
步骤I.的制备
步骤Ⅱ.产品中含量测定
①称取产品2.500g，用蒸馏水溶解，定容于250mL容量瓶中；
②移取25.00mL上述溶液于锥形瓶，加入2滴指示剂M，用盐酸标准溶液滴定，溶液由红色变至近无色(第一滴定终点)，消耗盐酸；
③在上述锥形瓶中再加入2滴指示剂N，继续用盐酸标准溶液滴定至终点(第二滴定终点)，又消耗盐酸；
④平行测定三次，平均值为22.45，平均值为23.51。
已知：(i)当温度超过35℃时，开始分解。
(ii)相关盐在不同温度下的溶解度表
------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
温度/ 0 10 20 30 40 50 60
35.7 35.8 36.0 36.3 36.6 37.0 37.3
11.9 15.8 21.0 27.0
6.9 8.2 9.6 11.1 12.7 14.5 16.4
29.4 33.3 37.2 41.4 45.8 50.4 55.2
------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
回答下列问题：
(1)步骤I中晶体A的化学式为\_\_\_\_\_\_\_，晶体A能够析出的原因是\_\_\_\_\_\_\_；
(2)步骤I中"300℃加热"所选用的仪器是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)；
A. B. C. D.
(3)指示剂N为\_\_\_\_\_\_\_，描述第二滴定终点前后颜色变化\_\_\_\_\_\_\_；
(4)产品中的质量分数为\_\_\_\_\_\_\_(保留三位有效数字)；
(5)第一滴定终点时，某同学俯视读数，其他操作均正确，则质量分数的计算结果\_\_\_\_\_\_\_(填"偏大""偏小"或"无影响")。
【答案】 (1). NaHCO~3~ (2). 在30-35C时NaHCO~3~的溶解度最小（意思合理即可） (3). D (4). 甲基橙 (5). 由黄色变橙色，且半分钟内不褪色 (6). 3.56% (7). 偏大
【解析】
【分析】步骤I：制备Na~2~CO~3~的工艺流程中，先将NaCl加水溶解，制成溶液后加入NH~4~HCO~3~粉末，水浴加热，根据不同温度条件下各物质的溶解度不同，为了得到NaHCO~3~晶体，控制温度在30-35C发生反应，最终得到滤液为NH~4~Cl，晶体A为NaHCO~3~，再将其洗涤抽干，利用NaHCO~3~受热易分解的性质，在300C加热分解NaHCO~3~制备Na~2~CO~3~；
步骤II：利用酸碱中和滴定原理测定产品中碳酸氢钠的含量，第一次滴定发生的反应为：Na~2~CO~3~+HCl=NaHCO~3~+NaCl，因为Na~2~CO~3~、NaHCO~3~溶于水显碱性，且碱性较强，所以可借助酚酞指示剂的变化来判断滴定终点，结合颜色变化可推出指示剂M为酚酞试剂；第二次滴定时溶液中的溶质为NaCl，同时还存在反应生成的CO~2~，溶液呈现弱酸性，因为酚酞的变色范围为8-10，所以不适合利用酚酞指示剂检测判断滴定终点，可选择甲基橙试液，所以指示剂N为甲基橙试液，发生的反应为：NaHCO~3~+HCl=NaCl+H~2~O+CO~2~↑，再根据关系式求出总的NaHCO~3~的物质的量，推导出产品中NaHCO~3~的，最终通过计算得出产品中NaHCO~3~的质量分数。
【详解】根据上述分析可知，
(1)根据题给信息中盐在不同温度下的溶解度不难看出，控制温度在30-35C，目的是为了时NH~4~HCO~3~不发生分解，同时析出NaHCO~3~固体，得到晶体A，因为在30-35C时，NaHCO~3~的溶解度最小，故答案为：NaHCO~3~；在30-35C时NaHCO~3~的溶解度最小；
(2)300C加热抽干后的NaHCO~3~固体，需用坩埚、泥三角、三脚架进行操作，所以符合题意的为D项，故答案为：D；
(3)根据上述分析可知，第二次滴定时，使用的指示剂N为甲基橙试液，滴定到终点前溶液的溶质为碳酸氢钠和氯化钠，滴定达到终点后溶液的溶质为氯化钠，所以溶液的颜色变化为：由黄色变为橙色，且半分钟内不褪色；
\(4\) 第一次滴定发生的反应是：Na~2~CO~3~+HCl=NaHCO~3~+NaCl，则n(Na~2~CO~3~)=n~生成~(NaHCO~3~)=n(HCl)=0.1000mol/L22.4510^-3^L=2.24510^-3^mol，第二次滴定消耗的盐酸的体积*V*~2~=23.51mL，则根据方程式NaHCO~3~+HCl=NaCl+H~2~O+CO~2~↑可知，消耗的NaHCO~3~的物质的量n~总~(NaHCO~3~)= 0.1000mol/L23.5110^-3^L=2.35110^-3^mol，则原溶液中的NaHCO~3~的物质的量n(NaHCO~3~)= n~总~(NaHCO~3~)- n~生成~(NaHCO~3~)= 2.35110^-3^mol-2.24510^-3^mol=1.0610^-4^mol，则原产品中NaHCO~3~的物质的量为=1.0610^-3^mol，故产品中NaHCO~3~的质量分数为，故答案为：3.56%；
(5)若该同学第一次滴定时，其他操作均正确的情况下，俯视读数，则会使标准液盐酸的体积偏小，即测得*V*~1~偏小，所以原产品中NaHCO~3~的物质的量会偏大，最终导致其质量分数会偏大，故答案为：偏大。
16\. 氨气中氢含量高，是一种优良的小分子储氢载体，且安全、易储运，可通过下面两种方法由氨气得到氢气。
方法I：氨热分解法制氢气
相关化学键的键能数据
-------- ----- ------- -------
化学键
键能 946 436.0 390.8
-------- ----- ------- -------
一定温度下，利用催化剂将分解为和。回答下列问题：
(1)反应\_\_\_\_\_\_\_；
(2)已知该反应的，在下列哪些温度下反应能自发进行？\_\_\_\_\_\_\_(填标号)
A25℃ B.125℃ C.225℃ D.325℃
(3)某兴趣小组对该反应进行了实验探究。在一定温度和催化剂的条件下，将通入3L的密闭容器中进行反应(此时容器内总压为200kPa)，各物质的分压随时间的变化曲线如图所示。
①若保持容器体积不变，时反应达到平衡，用的浓度变化表示时间内的反应速率\_\_\_\_\_\_\_(用含的代数式表示)
②时将容器体积迅速缩小至原来的一半并保持不变，图中能正确表示压缩后分压变化趋势的曲线是\_\_\_\_\_\_\_(用图中a、b、c、d表示)，理由是\_\_\_\_\_\_\_；
③在该温度下，反应的标准平衡常数\_\_\_\_\_\_\_。(已知：分压=总压×该组分物质的量分数，对于反应，，其中，、、、为各组分的平衡分压)。
方法Ⅱ：氨电解法制氢气
利用电解原理，将氮转化为高纯氢气，其装置如图所示。
(4)电解过程中的移动方向为\_\_\_\_\_\_\_(填"从左往右"或"从右往左")；
(5)阳极的电极反应式为\_\_\_\_\_\_\_。
KOH溶液KOH溶液
【答案】 (1). +90.8 (2). CD (3). (4). b\
(5). 开始体积减半，N~2~分压变为原来的2倍，随后由于加压平衡逆向移动，N~2~分压比原来2倍要小 (6). 0.48 (7). 从右往左 (8). 2NH~3~-6e^-^+6OH^-^= N~2~+6H~2~O
【解析】
【分析】
【详解】(1) 根据反应热=反应物的总键能-生成物的总键能，2NH~3~(g)N~2~(g)+3H~2~(g)，*H*=390.8kJmol^-1^-(946 kJmol^-1^+436.0kJmol^-1^)= +90.8kJmol^-1^，故答案为：+90.8；
(2)若反应自发进行，则需*H*-T*S*\<0，T\>==456.5K，即温度应高于(456.5-273)℃=183.5℃，CD符合，故答案为：CD；
(3)①设t~1~时达到平衡，转化的NH~3~的物质的量为2x，列出三段式：
根据同温同压下，混合气体的物质的量等于体积之比，=，解得x=0.02mol，(H~2~)==molL^-1^min^-1^，故答案为：；
②t~2~时将容器体积压缩到原来的一半，开始N~2~分压变为原来的2倍，随后由于加压平衡逆向移动，N~2~分压比原来2倍要小，故b曲线符合，故答案为：b；开始体积减半，N~2~分压变为原来的2倍，随后由于加压平衡逆向移动，N~2~分压比原来2倍要小；
③由图可知，平衡时，NH~3~、N~2~、H~2~的分压分别为120 kPa、40 kPa、120 kPa，反应的标准平衡常数==0.48，故答案为：0.48；
(4)由图可知，通NH~3~的一极氮元素化合价升高，发生氧化反应，为电解池的阳极，则另一电极为阴极，电解过程中OH^-^移向阳极，则从右往左移动，故答案为：从右往左；
(5)阳极NH~3~失电子发生氧化反应生成N~2~，结合碱性条件，电极反应式为：2NH~3~-6e^-^+6OH^-^= N~2~+6H~2~O，故答案为：2NH~3~-6e^-^+6OH^-^= N~2~+6H~2~O。
17\. 可用于催化剂载体及功能材料的制备。天然独居石中，铈(Ce)主要以形式存在，还含有、、、等物质。以独居石为原料制备的工艺流程如下：
回答下列问题：
(1)铈的某种核素含有58个质子和80个中子，该核素的符号为\_\_\_\_\_\_\_；
(2)为提高"水浸"效率，可采取的措施有\_\_\_\_\_\_\_(至少写两条)；
(3)滤渣Ⅲ的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；
(4)加入絮凝剂的目的是\_\_\_\_\_\_\_；
(5)"沉铈"过程中，生成的离子方程式为\_\_\_\_\_\_\_，常温下加入的溶液呈\_\_\_\_\_\_\_(填"酸性""碱性"或"中性")(已知：的，的，)；
(6)滤渣Ⅱ的主要成分为，在高温条件下，、葡萄糖()和可制备电极材料，同时生成和，该反应的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_
【答案】 (1). (2). 适当升高温度，将独居石粉碎等 (3). Al(OH)~3~ (4). 促使铝离子沉淀 (5). ↑ (6). 碱性 (7). 6++12=12+6CO↑+6H~2~O+6CO~2~↑
【解析】
【分析】焙烧浓硫酸和独居石的混合物、水浸，转化为Ce~2~(SO~4~)~3~和H~3~PO~4~，与硫酸不反应，转化为Al~2~(SO~4~)~3~，转化为Fe~2~(SO~4~)~3~，转化为CaSO~4~和HF，酸性废气含HF；后过滤，滤渣Ⅰ为和磷酸钙、FePO~4~，滤液主要含H~3~PO~4~，Ce~2~(SO~4~)~3~，Al~2~(SO~4~)~3~，Fe~2~(SO~4~)~3~，加氯化铁溶液除磷，滤渣Ⅱ为FePO~4~；聚沉将铁离子、铝离子转化为沉淀，过滤除去，滤渣Ⅲ主要为氢氧化铝，还含氢氧化铁；加碳酸氢铵沉铈得Ce~2~(CO~3~)~3~·nH~2~O。
【详解】(1)铈的某种核素含有58个质子和80个中子，则质量数为58+80=138，该核素的符号为；
(2)为提高"水浸"效率，可采取的措施有适当升高温度，将独居石粉碎等；
(3)结合流程可知，滤渣Ⅲ的主要成分是Al(OH)~3~；
(4)加入絮凝剂的目的是促使铝离子沉淀；
(5)用碳酸氢铵"沉铈"，则结合原子守恒、电荷守恒可知生成的离子方程式为↑；铵根离子的水解常数K~h~()=≈5.7×10^-10^，碳酸氢根的水解常数K~h~()==≈2.3×10^-8^，则K~h~()\<K~h~()，因此常温下加入的溶液呈碱性；
(6)由在高温条件下，、葡萄糖()和可制备电极材料，同时生成和可知，该反应中Fe价态降低，C价态升高，结合得失电子守恒、原子守恒可知该反应的化学方程式为6++12=12+6CO↑+6H~2~O+6CO~2~↑。
**(二)选考题：共15分。请考生从给出的两道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
**\[选修3：物质结构与性质\]**
18\. 硅、锗(Ge)及其化合物广泛应用于光电材料领域。回答下列问题：
(1)基态硅原子最外层的电子排布图为\_\_\_\_\_\_\_，晶体硅和碳化硅熔点较高的是\_\_\_\_\_\_\_(填化学式)；
(2)硅和卤素单质反应可以得到，的熔沸点如下表：
-------- ------------------------------------------ ------- ------- -------
熔点/K 1830 203.2 278.6 393.7
沸点/K 187.2 330.8 427.2 560.7
-------- ------------------------------------------ ------- ------- -------
①0℃时，、、、呈液态的是\_\_\_\_(填化学式)，沸点依次升高的原因是\_\_\_\_\_，气态分子的空间构型是\_\_\_\_\_\_\_；
②与N-甲基咪唑反应可以得到，其结构如图所示：
N-甲基咪唑分子中碳原子的杂化轨道类型为\_\_\_\_\_\_\_，H、C、N的电负性由大到小的顺序为\_\_\_\_\_\_\_，1个中含有\_\_\_\_\_\_\_个键；
(3)下图是、、三种元素形成的某化合物的晶胞示意图。
①己知化合物中和的原子个数比为1：4，图中Z表示\_\_\_\_\_\_\_原子(填元素符号)，该化合物的化学式为\_\_\_\_\_\_\_；
②已知该晶胞的晶胞参数分别为anm、bnm、cnm，，则该晶体的密度\_\_\_\_\_\_\_(设阿伏加德罗常数的值为，用含a、b、c、的代数式表示)。
【答案】 (1). ； (2). SiC (3). SiCl~4~ (4). SiX~4~都是结构相似的分子晶体，相对分子质量依次增大，分子间作用力依次增大 (5). 正四面体形 (6). sp^2^、sp^3^；； (7). N\>C\>H (8). 54 (9). O (10). Mg~2~GeO~4~ (11). =×10^21^
【解析】
【分析】
【详解】(1)硅元素的原子序数为14，价电子排布式为3s^2^3p^2^，则价电子排布图为；原子晶体的熔点取决于共价键的强弱，晶体硅和碳化硅都是原子晶体，碳原子的原子半径小于硅原子，非金属性强于硅原子，碳硅键的键能大于硅硅键、键长小于硅硅键，则碳硅键强于硅硅键，碳化硅的熔点高于晶体硅，故答案为：；SiC；
\(2\) ①由题给熔沸点数据可知，0℃时，四氟化硅为气态，四氯化硅为液态，四溴化硅、四碘化硅为固态；分子晶体的沸点取决于分子间作用力的大小，SiX~4~都是结构相似的分子晶体，相对分子质量依次增大，分子间作用力依次增大，则SiX~4~的沸点依次升高；SiX~4~分子中硅原子的价层电子对数为4，孤对电子对数为0，则分子的空间构型为正四面体形，故答案为：SiCl~4~； SiX~4~都是结构相似的分子晶体，相对分子质量依次增大，分子间作用力依次增大；正四面体形；
②由M^2+^离子的结构可知，离子中含有杂化方式为sp^3^杂化的单键碳原子和sp^2^杂化的双键碳原子；元素的非金属性越强，其电负性越大，元素的非极性强弱顺序为N\>C\>H，则元素电负性的大小顺序为N\>C\>H；M^2+^离子的结构中含有单键、双键和配位键，单键和配位键都是σ键，双键中含有1个σ键，则离子中含有54个σ键，故答案为：sp^2^、sp^3^；N\>C\>H；54；
(3)①由晶胞结构可知，晶胞中位于顶点、面心、棱上和体内的X原子为8×+6×+4×+3=8，位于体内的Y原子和Z原子分别为4和16，由Ge和O原子的个数比为1：4可知，X为Mg原子、Y为Ge原子、Z为O原子，则晶胞的化学式为Mg~2~GeO~4~，故答案为：O；Mg~2~GeO~4~；
②由晶胞的质量公式可得：=abc×10^---21^×ρ，解得ρ=×10^21^g/cm^3^，故答案为：×10^21^。
**\[选修5：有机化学基础\]**
19\. 叶酸拮抗剂是一种多靶向性抗癌药物。以苯和丁二酸酐为原料合成该化合物的路线如下：
回答下列问题：
已知：①
②
(1)A的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_；
(2)，的反应类型分别是\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_；
(3)M中虚线框内官能团的名称为a\_\_\_\_\_\_\_，b\_\_\_\_\_\_\_；
(4)B有多种同分异构体，同时满足下列条件的同分异构体有\_\_\_\_\_\_\_种(不考虑立体异构)
①苯环上有2个取代基②能够发生银镜反应③与溶液发生显色发应
其中核磁共振氢谱有五组峰，且峰面积之比为6：2：2：1：1的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_；
(5)结合上述信息，写出丁二酸酐和乙二醇合成聚丁二酸乙二醇酯的反应方程式\_\_\_\_\_\_\_；
(6)参照上述合成路线，以乙烯和为原料，设计合成的路线\_\_\_\_\_\_\_(其他试剂任选)。
【答案】 (1).  (2). 还原反应 (3). 取代反应 (4). 酰胺基 (5). 羧基 (6). 15 (7).  (8).  (9). 
【解析】
【分析】
【详解】1)由已知信息①可知，与 反应时断键与成键位置为，由此可知A的结构简式为，故答案为：。
(2)A→B的反应过程中失去O原子，加入H原子，属于还原反应；D→E的反应过程中与醛基相连的碳原子上的H原子被溴原子取代，属于取代反应，故答案为：还原反应；取代反应。
(3)由图可知，M中虚线框内官能团的名称为a：酰胺基；b：羧基。
(4)的同分异构体满足：①能发生银镜反应，说明结构中存在醛基，②与FeCl~3~溶液发生显色发应，说明含有酚羟基，同时满足苯环上有2个取代基，酚羟基需占据苯环上的1个取代位置，支链上苯环连接方式（红色点标记）： 、 共五种，因此一共有5×3=15种结构；其中核磁共振氢谱有五组峰，因酚羟基和醛基均无对称结构，因此峰面积之比为6：2：2：1：1的结构简式一定具有对称性(否则苯环上的氢原子不等效)，即苯环上取代基位于对位，核磁共振氢谱中峰面积比为6的氢原子位于与同一碳原子相连的两个甲基上，因此该同分异构的结构简式为，故答案为：15；。
(5)丁二酸酐()和乙二醇(HOCH~2~CH~2~OH)合成聚丁二酸乙二醇酯()的过程中，需先将转化为丁二酸，可利用已知信息②实现，然后利用B→C的反应类型合成聚丁二酸乙二醇酯，因此反应方程式为，故答案为：。
(6)以乙烯和为原料合成的路线设计过程中，可利用E→F的反应类型实现，因此需先利用乙烯合成，中醛基可通过羟基催化氧化而得，中溴原子可利用D→E的反应类型实现，因此合成路线为，故答案为：。
【点睛】有机合成推断解题过程中对信息反应的分析主要是理解成键与断键的位置关系，同时注意是否有小分子物质生成。按照要求书写同分异构体时，需根据题干所给要求得出结构中官能团种类及数目，然后分析该结构是否具有对称性，当核磁共振氢谱中出现比例为6的结构中，一般存在同一个碳原子上连接两个甲基或者甲基具有对称性的情况，当核磁共振氢谱出现比例为9的结构中，一般存在三个甲基连接在同一个碳原子上。
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**2016年北京市高考数学试卷（理科）**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）设，是向量，则"\|\|=\|\|"是"\|+\|=\|﹣\|"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）^x^﹣（）^y^＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为
8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=[ ]{.underline}．
10．（5分）在（1﹣2x）^6^的展开式中，x^2^的系数为[ ]{.underline}．（用数字作答）
11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则\|AB\|=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和．若a~1~=6，a~3~+a~5~=0，则S~6~=[ ]{.underline}．
13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为[ ]{.underline}；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
----- ----------------------------
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
----- ----------------------------
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ~1~，表格中数据的平均数记为μ~0~，试判断μ~0~和μ~1~的大小．（结论不要求证明）
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
18．（13分）设函数f（x）=xe^a﹣x^+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：\|AN\|•\|BM\|为定值．
20．（13分）设数列A：a~1~，a~2~，...，a~N~ （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a~k~＜a~n~，则称n是数列A的一个"G时刻"，记G（A）是数列A的所有"G时刻"组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a~n~使得a~n~＞a~1~，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a~n~﹣a~n﹣1~≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于a~N~﹣a~1~．
**2016年北京市高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x\|\|x\|＜2}={x\|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y的最大值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：输入的a值为1，则b=1，
第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；
第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；
第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，
故输出的k值为2，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
4．（5分）设，是向量，则"\|\|=\|\|"是"\|+\|=\|﹣\|"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：若"\|\|=\|\|"，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若"\|+\|=\|﹣\|"，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故"\|\|=\|\|"是"\|+\|=\|﹣\|"的既不充分也不必要条件；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出"\|\|=\|\|"与"\|+\|=\|﹣\|"表示的几何意义，是解答的关键．
5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）^x^﹣（）^y^＜0 D．lnx+lny＞0
【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．
【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S=×1×1=，
高为1，
故棱锥的体积V==，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
7．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）
A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为
【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．
【解答】解：将x=代入得：t=sin=，
将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，
得到P′（﹣s，）点，
若P′位于函数y=sin2x的图象上，
则sin（﹣2s）=cos2s=，
则2s=+2kπ，k∈Z，
则s=+kπ，k∈Z，
由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．
8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．
【解答】解：取两个球共有4种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加1个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．
设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．
则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；
丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；
黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j
由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．
故选：B．
【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．
【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，
若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a+1=0，
解得：a=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．
10．（5分）在（1﹣2x）^6^的展开式中，x^2^的系数为[ 60 ]{.underline}．（用数字作答）
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．
【解答】解：（1﹣2x）^6^的展开式中，通项公式T~r+1~=（﹣2x）^r^=（﹣2）^r^x^r^，
令r=2，则x^2^的系数==60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则\|AB\|=[ 2 ]{.underline}．
【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得\|AB\|．
【解答】解：直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0．
圆ρ=2cosθ化为ρ^2^=2ρcosθ，∴x^2^+y^2^=2x，配方为（x﹣1）^2^+y^2^=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
则圆心C在直线上，∴\|AB\|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和．若a~1~=6，a~3~+a~5~=0，则S~6~=[ 6 ]{.underline}．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S~6~．
【解答】解：∵{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和．
a~1~=6，a~3~+a~5~=0，
∴a~1~+2d+a~1~+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S~6~==36﹣30=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
13．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=[ 2 ]{.underline}．
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，
∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，
即a=b，
∵正方形OABC的边长为2，
∴OB=2，即c=2，
则a^2^+b^2^=c^2^=8，
即2a^2^=8，
则a^2^=4，a=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．
14．（5分）设函数f（x）=．
①若a=0，则f（x）的最大值为[ 2 ]{.underline}；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是[ （﹣∞，﹣1） ]{.underline}．
【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则，或，解得答案．
【解答】解：①若a=0，则f（x）=，
则f′（x）=，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2；
②f′（x）=，
令f′（x）=0，则x=±1，
若f（x）无最大值，则，或，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案为：2，（﹣∞，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
**三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+ac．
∴a^2^+c^2^﹣b^2^=ac．
∴cosB===，
∴B=
（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，
∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）
=cosA﹣cosA+sinA
=cosA+sinA
=sin（A+）．
∵A∈（0，），
∴A+∈（，π），
故当A+=时，sin（A+）取最大值1，
即cosA+cosC的最大值为1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．
16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
----- ----------------------------
A班 6 6.5 7 7.5 8
B班 6 7 8 9 10 11 12
C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
----- ----------------------------
（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ~1~，表格中数据的平均数记为μ~0~，试判断μ~0~和μ~1~的大小．（结论不要求证明）
【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ~0~＞μ~1~．
【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，
故抽样比K==，
故C班有学生8÷=40人，
（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有5×8=40种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；
当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；
（Ⅲ）μ~0~＞μ~1~．
【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y~1~，z~1~），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得
，由此列式求得当时，M点即为所求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC=，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
则，，
设为平面PCD的法向量，
则由，得，则．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；
（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y~1~，z~1~），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，
则有，可得M（0，1﹣λ，λ），
∴，
∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，
∴，即，解得．
综上，存在点M，即当时，M点即为所求．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．
18．（13分）设函数f（x）=xe^a﹣x^+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e﹣1，
∵f（x）=xe^a﹣x^+bx，
∴f′（x）=e^a﹣x^﹣xe^a﹣x^+b，
则，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2﹣x^+ex，
∴f′（x）=e^2﹣x^﹣xe^2﹣x^+e=（1﹣x）e^2﹣x^+e=（1﹣x+e^x﹣1^）e^2﹣x^，
∵e^2﹣x^＞0，
∴1﹣x+e^x﹣1^与f′（x）同号，
令g（x）=1﹣x+e^x﹣1^，
则g′（x）=﹣1+e^x﹣1^，
由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，
由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，
则当x=1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）=1，
则g（x）≥g（1）=1＞0，
故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：\|AN\|•\|BM\|为定值．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x~0~，y~0~），可得x~0~^2^+4y~0~^2^=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，\|BM\|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，\|AN\|，化简整理，即可得到\|AN\|•\|BM\|为定值4．
方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，\|BM\|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，\|AN\|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到\|AN\|•\|BM\|为定值4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，
又△OAB的面积为1，可得ab=1，
且a^2^﹣b^2^=c^2^，
解得a=2，b=1，c=，
可得椭圆C的方程为+y^2^=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x~0~，y~0~），
可得x~0~^2^+4y~0~^2^=4，
直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，
则\|BM\|=\|1+\|；
直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，
则\|AN\|=\|2+\|．
可得\|AN\|•\|BM\|=\|2+\|•\|1+\|
=\|\|=\|\|
=\|\|=4，
即有\|AN\|•\|BM\|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=（x﹣2），令x=0，可得y=﹣，
则\|BM\|=\|\|；
直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=﹣，
则\|AN\|=\|\|．
即有\|AN\|•\|BM\|=\|\|•\|\|
=2\|\|
=2\|\|=4．
则\|AN\|•\|BM\|为定值4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．
20．（13分）设数列A：a~1~，a~2~，...，a~N~ （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a~k~＜a~n~，则称n是数列A的一个"G时刻"，记G（A）是数列A的所有"G时刻"组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a~n~使得a~n~＞a~1~，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a~n~﹣a~n﹣1~≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于a~N~﹣a~1~．
【分析】（Ⅰ）结合"G时刻"的定义进行分析；
（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；
（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．
【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a~1~=﹣2，a~2~=2，a~3~=﹣1，a~4~=1，a~5~=3，a~1~＜a~2~满足条件，2满足条件，a~2~＞a~3~不满足条件，3不满足条件，
a~2~＞a~4~不满足条件，4不满足条件，a~1~，a~2~，a~3~，a~4~，均小于a~5~，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．
（Ⅱ）因为存在a~n~＞a~1~，设数列A中第一个大于a~1~的项为a~k~，则a~k~＞a~1~≥a~i~，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；
（Ⅲ）设A数列的所有"G时刻"为i~1~＜i~2~＜...＜i~k~，
对于第一个"G时刻"i~1~，有＞a~1~≥a~i~（i=2，3，...，i~1~﹣1），则
﹣a~1~≤﹣≤1．
对于第二个"G时刻"i~1~，有＞≥a~i~（i=2，3，...，i~1~﹣1），则
﹣≤﹣≤1．
类似的﹣≤1，...，﹣≤1．
于是，k≥（﹣）+（﹣）+...+（﹣）+（﹣a~1~）=﹣a~1~．
对于a~N~，若N∈G（A），则=a~N~．
若N∉G（A），则a~N~≤，否则由（2）知，，...，a~N~，中存在"G时刻"与只有k个"G时刻"矛盾．
从而k≥﹣a~1~≥a~N~﹣a~1~．
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对"G时刻"定义的把握，难度较大．
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**2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C．﹣i D．i
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^
3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A，B两点，\|AB\|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．6
10．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P~1~：\|+\|＞1⇔θ∈\[0，）；P~2~：\|+\|＞1⇔θ∈（，π\]；P~3~：\|﹣\|＞1⇔θ∈\[0，）；P~4~：\|﹣\|＞1⇔θ∈（，π\]；其中的真命题是（ ）
A．P~1~，P~4~ B．P~1~，P~3~ C．P~2~，P~3~ D．P~2~，P~4~
11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A．f（x）在单调递减 B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增
12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为[ ]{.underline}．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F~1~F~2~在x轴上，离心率为．过F~l~的直线交于A，B两点，且△ABF~2~的周长为16，那么C的方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为[ ]{.underline}．
16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共8小题，满分70分）**
17．（12分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且2a~1~+3a~2~=1，a~3~^2^=9a~2~a~6~，
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{}的前n项和．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 8 20 42 22 8
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
B配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 4 12 42 32 10
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C~2~
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|．
24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值．
**2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C．﹣i D．i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．
【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．
2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．
【解答】解：对于A．y=2x^3^，由f（﹣x）=﹣2x^3^=﹣f（x），为奇函数，故排除A；
对于B．y=\|x\|+1，由f（﹣x）=\|﹣x\|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；
对于C．y=﹣x^2^+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；
对于D．y=2^﹣\|x\|^，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2^﹣x^，为减函数，故排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．
3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．
【解答】解：执行程序框图，有
N=6，k=1，p=1
P=1，k＜N成立，有k=2
P=2，k＜N成立，有k=3
P=6，k＜N成立，有k=4
P=24，k＜N成立，有k=5
P=120，k＜N成立，有k=6
P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．
故选：B．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P=，
故选：A．
【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．
5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．
【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，
所以cos^2^θ===，
则cos2θ=2cos^2^θ﹣1=2×﹣1=﹣．
故选：B．
【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】13：作图题．
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A，B两点，\|AB\|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．
【解答】解：不妨设双曲线C：，
焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，
由题设知，
，
∴，
b^2^=2a^2^，
c^2^﹣a^2^=2a^2^，
c^2^=3a^2^，
∴e=．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
8．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．
【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a
∴1+a=2
∴a=1
∴=
=
∴展开式中常数项为的的系数和
∵展开式的通项为T~r+1~=（﹣1）^r^2^5﹣r^C~5~^r^x^5﹣2r^
令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3
展开式中常数项为8C~5~^2^﹣4C~5~^3^=40
故选：D．
【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．6
【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
10．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P~1~：\|+\|＞1⇔θ∈\[0，）；P~2~：\|+\|＞1⇔θ∈（，π\]；P~3~：\|﹣\|＞1⇔θ∈\[0，）；P~4~：\|﹣\|＞1⇔θ∈（，π\]；其中的真命题是（ ）
A．P~1~，P~4~ B．P~1~，P~3~ C．P~2~，P~3~ D．P~2~，P~4~
【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9E：向量数乘和线性运算．菁优网版权所有
【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．
【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈\[0，π\]，故可以得出θ∈（，π\]，故P~3~错误，P~4~正确．
由\|+\|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈\[0，π\]，故可以得出θ∈\[0，），故P~2~错误，P~1~正确．
故选：A．
【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．
11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）
A．f（x）在单调递减 B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增
【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．
【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，
由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，
又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及\|φ\|＜，得出φ=．
因此，f（x）=cos2x，
若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，
若x∈（，），则2x∈（，），
该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．
12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．
【分析】函数y~1~=与y~2~=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．
【解答】解：函数y~1~=，
y~2~=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），
作出两个函数的图象，如图，
当1＜x≤4时，y~1~＜0
而函数y~2~在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，）和（，）上是减函数；
在（，）和（，4）上是增函数．
∴函数y~1~在（1，4）上函数值为负数，
且与y~2~的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y~1~在（﹣2，1）上函数值为正数，
且与y~2~的图象有四个交点A、B、C、D
且：x~A~+x~H~=x~B~+x~G~=x~C~+x~F~=x~D~+x~E~=2，
故所求的横坐标之和为8．
故选：A．
【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为[ ﹣6 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．
【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，
得到的图形是一个平行四边形，
目标函数z=x+2y，
变化为y=﹣x+，
当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，
当直线过A点时，z取到最小值，
由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）
∴z=4+2（﹣5）=﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F~1~F~2~在x轴上，离心率为．过F~l~的直线交于A，B两点，且△ABF~2~的周长为16，那么C的方程为[ ]{.underline}[+]{.underline}[=1 ]{.underline}．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意，△ABF~2~的周长为16，即BF~2~+AF~2~+BF~1~+AF~1~=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．
【解答】解：根据题意，△ABF~2~的周长为16，即BF~2~+AF~2~+BF~1~+AF~1~=16；
根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；
椭圆的离心率为，即=，则a=c，
将a=c，代入可得，c=2，则b^2^=a^2^﹣c^2^=8；
则椭圆的方程为+=1；
故答案为：+=1．
【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．
15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为[ 8]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．
【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，
所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．
故答案为：8
【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．
16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．
【解答】解：设AB=c AC=b BC=a
由余弦定理
cosB=
所以a^2^+c^2^﹣ac=b^2^=3
设c+2a=m
代入上式得
7a^2^﹣5am+m^2^﹣3=0
△=84﹣3m^2^≥0 故m≤2
当m=2时，此时a=，c=符合题意
因此最大值为2
另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有
====2，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA
=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
=cosA+5sinA
=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）
所以AB+2BC的最大值为2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．
**三、解答题（共8小题，满分70分）**
17．（12分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且2a~1~+3a~2~=1，a~3~^2^=9a~2~a~6~，
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{}的前n项和．
【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a~3~^2^=9a~2~a~6~，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a~1~+3a~2~=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a~n~}的通项公式代入设bn=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b~n~的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公比为q，由a~3~^2^=9a~2~a~6~得a~3~^2^=9a~4~^2^，所以q^2^=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a~1~+3a~2~=1得2a~1~+3a~1~q=1，所以a~1~=．
故数列{a~n~}的通项式为a~n~=．
（Ⅱ）b~n~=++...+=﹣（1+2+...+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++...+=﹣2\[（1﹣）+（﹣）+...+（﹣）\]=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题；31：数形结合；35：转化思想．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD^2^+AD^2^=AB^2^，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则
A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．
=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
即，
因此可取=（，1，）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，
即：
可取=（0，1，），cos＜＞==
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：．
【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 8 20 42 22 8
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
B配方的频数分布表
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\]
频数 4 12 42 32 10
------------ ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
\[90，94），\[94，102），\[102，110\]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
--- ------ ------ ------
X ﹣2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
--- ------ ------ ------
∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；36：整体思想．
【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x~0~，y~0~）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．
所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．
再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．
所以曲线C的方程式为y=﹣2．
（Ⅱ）设P（x~0~，y~0~）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x~0~，
因此直线l的方程为y﹣y~0~=x~0~（x﹣x~0~），即x~0~x﹣2y+2y~0~﹣x~0~^2^=0．
则o点到l的距离d=．又y~0~=﹣2，
所以d==≥2，
所以x~0~^2^=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．
【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．
【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．
（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．
【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
（Ⅰ）
由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故
即解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
）．
考虑函数（x＞0），则
．
（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x^2^+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（﹣∞，0\]．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．
（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．
【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x^2^﹣14x+mn=0的两根为x~1~=2，x~2~=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．
23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C~2~
（Ⅰ）求C~2~的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|．
【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C~1~的方程即可求出曲线C~2~的方程；
（II）根据（I）将求出曲线C~1~的极坐标方程，分别求出射线θ=与C~1~的交点A的极径为ρ~1~，以及射线θ=与C~2~的交点B的极径为ρ~2~，最后根据\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|求出所求．
【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C~1~上，
所以即
从而C~2~的参数方程为
（α为参数）
（Ⅱ）曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=8sinθ．
射线θ=与C~1~的交点A的极径为ρ~1~=4sin，
射线θ=与C~2~的交点B的极径为ρ~2~=8sin．
所以\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|=．
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．
24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为\|x﹣1\|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．
（Ⅱ）由f（x）≤0得\|x﹣a\|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为
\|x﹣1\|≥2．
由此可得x≥3或x≤﹣1．
故不等式f（x）≥3x+2的解集为
{x\|x≥3或x≤﹣1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0得
\|x﹣a\|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为{x\|x}
由题设可得﹣=﹣1，故a=2
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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**2020---2021学年度上学期学业水平测试**
**小三数学评分意见及参考答案**
一、共27分。其中第1题6分；第2、5、6、8题，每题3分；第3、4题，每题2分；第7题5分。
1、180 6 500 7 9 4200；2、4 $\frac{3}{4}$ 四分之三； 3、6 50；4、630 369；5、②⑤⑦ ③⑧ ⑥；6、6:35 30分 7:05；7、吨 秒 分钟 千米 厘米；8、（1）答案略（2）2 （3）9。
二、共12分，每题2分。
1、① 2、② 3、② 4、① 5、④ 6、①
三、共22分。
1、共10分，每小题1分，答案略。
2、共12分，每题2分，竖式略。146 951 296 1235 4040 4320（竖式书写要规范正确，方给满分。）
四、共12分（必须用尺规作图，不用尺规的，酌情扣分）。
1、共2分，图略。
2、共4分，每图2分，图略。
3、共6分，每画对1个长方形得2分，图略。
五、共24分。学生解决问题的策略和方法是多种多样的，或估算或
计算、或语言叙述或画图、列表等，只要思路正确，合情合理，计算
无误，均给满分。
1、共3分。430×6=2580（件） 答：略。
2、共4分。12×2×2+23×2=94（分米） 答：略。
3、共7分。其中第（1）（2）小题各2分，第（3）小题3分。
（1）1-= 答：略。
（2）32÷8×5=20（人） 答：略。
（3）282+36+282=600（人） 600=600 答：准备600袋够。
4、共4分。48÷6×12=96（元） 答：略。
5、共6分。共3种租车方案，每种2分。
（1）6×9=54（人）（2）6×5+8×3=54（人）(3)6×1+8×6=54(人)
> 答：有3种租车方案：（1）9辆小汽车；（2）5辆小汽车，3辆面包车；（3）1辆小汽车，6辆面包车。
**附加题**
**1、6分，每题2分（只要使式子成立，均得分）。**
**1 6； 1 650； 1 930**
**2、5分，每空1分。5 3；6 5 3**
**3、4分。36**÷4×3×4=108（厘米） 答：略。
**4、5分，求出钢笔3分，求出毛笔2分。**
钢笔：（64-52）÷（8-5）=4（元） 答：略。
**毛笔：（52-4**×5**）**÷4=8（元） 答：略。
**以上答案仅供参考，如遇其它情况请老师们自行商量解决。**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
**文综试卷**
**第一部分**
本部分共35题，每题4分，共140分。在每题给出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求的。
读图1，回答1－3题。
1．某两洲面积之和与某大洋面积十分接近，它们是
A．亚洲、北美洲与大西洋 B．亚洲、非洲与印度洋
C．欧洲、北美洲与大西洋 D．欧洲、非洲与印度洋
2．从B大洲最大港口至C大洲最大港口，沿最短海上航线所经过的海峡依次是图2中的
A．①②③④ B．①②④③ C．②①③④ D．②①④③
3．春分日重庆太阳高度角最大时，H大洋某岛屿正好日出。此时，两架飞机从该岛同时起飞，甲沿经线向南飞行至南极点，乙沿纬线飞行一圈，则甲比乙穿越六大板块的数目
A．多1个 B．多2个 C．少1个 D．少2个
读图3，回答4－5题。
4．近百年来，图示区域冰川面积快速减少的主要原因是
A．温室气体增加 B．太阳辐射增强
C．臭氧空洞扩大 D．酸雨危害严重
5．当甲地一年中雪线最低的时候
A．澳大利亚东南牧场牧民正忙于剪羊毛
B．北印度洋的洋流呈顺时针流动
C．美国北部森林内地面光照为最强的季节
D．巴西高原正值干季草木枯黄
读图4，回答6－8题。
6．图示黄河段沿程年平均水温线是
A．X~1~ B．Y~1~ C．X~2~ D．Y~2~
7．两河海拔2000－1000米河段水温变化幅度
A．2月长江大于黄河 B．2月长江小于黄河
C．7月长江大于黄河 D．7月长江与黄河相近
8．河流水温变化与其流经地区的气候相关，Y河甲河段冬夏水温差异小，因其穿行在
A．横断山区 B．四川盆地 C．黄土高原 D．太行山区
图5为a城到d城之间的高速公路建设规划示意图。规划设计走向有甲、乙两个方案，经过比较分析，最终选择按乙方案建设，线路总长58.5千米，建设费用31亿元，比甲方案的概算费用多5亿元，长度多7千米，根据图5及相关信息，回答9－11题。
9．图5中高速公路建设选择乙方案，其原因可能是
①单位距离建设成本低 ②沿河谷走向自然障碍小
③促进沿线地区城镇发展 ④保护重点风景名胜区
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
10．c地建休闲度假地最有利的区位条件是
A．环境承载量大，旅游配套设施好 B．环境优美，旅游配套设施好
C．环境承载量大，交通便捷靠近市场 D．环境优美，交通便捷靠近市场
11．最适宜在b城发展的工业部门是
A．建材工业 B．仪表工业 C．造纸工业 D．森林工业
中国古代各民族共同促进了祖国的发展。回答12－13题。
12．生活在东北地区的女真族
A．由粟末靺鞨发展而来
B．首领完颜阿骨打建立了八旗制度
C．建州等部明初归奴儿干都司管辖
D．在努尔哈赤时将族名改为满洲
13．下列汉族先进文化促进少数民族地区发展的表述，不正确的是
A．汉代中原地区的铸铁技术传入今新疆地区
B．契丹族依照汉字创制自己的文字
C．西夏仿效唐宋王朝建立政治制度
D．清代开始在西南地区实行"改土归流"
经济的发展与变化反映了社会的需要。回答14－16题
14．下列关于中国古代经济制度发展的表述，正确的是
A．春秋战国时期开始酿酒
B．唐朝前期政府开始征收茶税
C．明代引进原产于美洲的高产农作物
D．清政府鼓励扩大手工业生产规模
15．图6为隋唐时期局部图。A、B、C、D四城市中，同时以陶瓷和纺织品著称的是
16．在抗日根据地建设的措施中，适应现实要求的经济内容是
A．打土豪分田地 B．废除封建债务 C．限制富农经济 D．减轻封建剥削
中国近代社会巨变中产生了许多杰出历史人物。回答17－18题。
17．开创仿造西方战船先河的著名人物是
18．中国共产党第一个早期组织负责人
A．发表了《文学改良刍议》 B．领导了五四爱国运动
C．主持了中共"一大" D．出席了中共八七会议
思想解放是社会变革的先导。回答19－20题。
19．文艺复兴与中国明末清初启蒙思潮的相同点是
①有唯物主义思想 ②有反封建思想 ③有完整的思想体系 ④有广泛的阶级基础
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
20．1919年12月，重庆《川东学生周刊》创刊。对其办刊宗旨"排斥强权"和"改良社会"理解全面的是
A．反对北洋政府 B．追求民主自由 C．反帝反封建 D．抨击专制皇权
第二次世界大战后，世界经济出现了新变化。回答21－23题。
21．促进日本与韩国经济发展的共同因素主要有
①充分利用国际市场 ②受到局部战争刺激
③引进先进科学技术 ④实行国民经济非军事化
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
22．印度、伊拉克和伊朗经济发展面临的共同问题是
A．人口压力、粮食短缺、经济单一 B．人口压力、边界争端、教派纷争
C．教派纷争、边界争端、市场狭窄 D．粮食短缺、经济单一、市场狭窄
23．当今世界各国之间的经济联系愈加紧密。推动这一趋势发展的主要原因有
①跨国公司发挥主要作用 ②科技进步和生产力提高
③冷战以后局部冲突减少 ④国际经济新秩序的建立
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2006年是我国实施"十一五"规划并实现良好开局的第一年，国民经济发展取得了重大成就。国内生产总值增长率为10.7%；企业整体自主创新能力增强，产品产销两旺，经营效益明显提高；国民收入分配格局趋向合理，中央财政用于"三农"支出的比重明显增加，10年来农民人均纯收入率首次超过7%。居民家庭支出结构发生变化，轿车日益成为大众消费品。据此回答24－26题。
24．中央财政用于"三农"支出的比重增加，使
①城乡居民收入同步增长 ②农业基础地位得到加强
③财政支农政策效果显著 ④农村经营体制得到完善
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
25．企业整体经营效益提高的主要原因是
①市场规模扩大 ②能耗总是减少 ③居民存款增加 ④依靠科技进步
A．①② B．①④ C． ②③ D．③④
26．国民经济实现良好开局的主要表现是
①居民生活质量得到改善 ②社会总产值增长率10.7%
③经济发展速度和效益相协调 ④居民、企业、政府间分配走向协调
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
国内某企业家说："我觉得我们企业家要负起自己的责任。我们最应该做的事情就是把自己的企业做好，为社会提供更好的产品和服务。我们要照章纳税，努力增加就业机会，扩大社会财富。这是我们的本分。"据此回答27－28题。
27．材料启示：企业应该
①面向市场生产 ②实现充分就业目标 ③兼顾社会效益 ④实现经济增长目标
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
28．材料表明
①企业经营者的价值观影响企业的生存和发展
②企业经营者的价值观决定企业的生存和发展
③企业追求经济效益与坚持集体主义原则具有一致性
④企业追求经济效益与加强企业经营管理具有一致性
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
图7是一幅题为"晚了一步"的漫画，据此回答29－31题。
29．漫画体现的哲学原理是
A．正确的把握事物的因果联系，才能提高人们认识活动的自主性和创新性
B．正确的把握事物的因果联系，才能提高人们实践活动的自觉性和预见性
C．承认因果联系的客观性，是人们进行科学研究、正确认识事物的前提
D．承认因果联系的普遍性，是人们正确判断形势、趋利避害的必然要求
30．漫画内三句话的"想"字，体现的是
A．认识的计划性 B．认识的目的性
C．认识的预见性 D．人脑对客观事物的反映
31．漫画的主题"晚了一步"体现了认识
A．是实践的目的 B．总是超前于实践
C．总是落后于实践 D．是对实践经验的总结
中共十六大以来，党中央对民族和宗教工作做出了一系列重大决策和部署，取得了显著成就。如：内蒙古全区共出版各类蒙古文图书近千种约200万册，蒙古语言文字的使用范围不断扩大；"格萨尔王史诗"、"藏医药"等被列入国家非物质文化遗产；有关宗教的文物、古迹、寺庙得到妥善保护，各种宗教活动正常举行，满足了群众宗教信仰的需要。据此回答32－34题。
32．材料体现了党对民族和宗教工作的
A．政治领导 B．组织领导 C．思想领导 D．文化领导
33．民族工作的文化成就表明我国坚持了民族
①平等原则 ②友好原则 ③互助原则 ④共同繁荣原则
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
34．材料体现了我国尊重和保护宗教信仰自由与保护
①少数民族的语言文字是一致的
②信教群众正常的宗教活动是一致的
③宗教活动场所的合法权益是一致的
④少数民族公民的政治权利与自由是一致的
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
35．当前国际竞争的实质是以经济和科技实力为基础的综合国力的较量。资料显示，在"十五"期间的前4年，国家财政对科技的投入年均增长17.45%，但目前我国每年科技成果转化和产业化率偏低，这说明：在综合国力较量中，我国增强科技力尤其需要
A．加强科学技术交流 B．提高科学技术的经济效益
C．加大科技经费投入 D．提高科技应用和发展水平
**第二部分（综合题）**
36．（36分）图8是我国甲乙两省2005年农业产值结构图，图9是两省耕地面积变化图。按图回答下列问题。
图8
（1）说出从乙省会到甲省经最短铁路线年降水量的变化规律及其原因。（6分）
（2）2000\~2005年期间，两省耕地变化的共同趋势是\_\_\_\_\_\_\_。两省耕地变化绝对量较大的省是\_\_\_\_\_\_\_（省名）。变化率较大的省是\_\_\_\_\_\_\_（省名）。（6分）
（3）分别说明导致两省耕地变化的主要原因。指出甲省在耕保护中应采取的最主要措施。（10分）
（4）简要说明两省农业结构的差异，并分析形成差异的自然原因。（14分）
37．（32分）根据材料回答问题。
材料一
孔子聚徒讲学，弟子三千，其中不少学子"贫且贱"，没有社会地位。
材料二
古之取士皆本于学校。故道德一于上，习俗成于下，其人材皆足有为于世，自先王之泽竭，教养之法无所本，士虽有美材而无学校师友以成就之，此议者之所患也。今欲追复古以革其弊......以俟（等待）朝廷兴建学校。（王安石《临川集》）
材料三
19世纪60年代到90年代初期，在北京、上海、天津等地以同文馆、电报学堂、武备学堂、水师学堂、自强学堂等命名的学堂相继创办，其间还有150多人被派赴美、英、法等国留学。
材料四
拿破仑通过《教育基本法》等法令实施教育改革，加强国家对教育的控制；同时改建与发展为资产阶级政治经济服务的初等学校、中等学校、专科学校和军事学校等。
（1）材料一反映了孔子的什么教育主张？（2分）结合所学知识，说明孔子的教育主张和实践给当时的教育格局带来了怎样的变化？（4分）
（2）根据材料二并结合所学知识，分析王安石教育改革的原因（2分）。概括其教育改革措施的特征。（6分）
（3）根据材料三结合所学知识，分析这一教育变革的历史背景，（4分）并对此变革加以评价（4分）
（4）根据材料四并结合所学知识，归纳拿破仑教育改革的特点，（4分）说明拿破仑教育改革的目的。（4分）
（5）结合以上材料，你得到什么启示？（2分）
38．（32分）根据材料回答下列问题。
某些地方政府管理理念错位，为提升城市形象，忽视民生问题，要建"无摊贩城市"。目前，上海的无证摊贩约5万个，上海市政府经调查研究，一改往日对马路摊点一律封杀的做法，出台《城市设摊导则》，规定：部分市区路段经市民同意，便可设置部分便民摊点，政府颁发临时许可证，这既可扩大就业，方便居民生活，又可规范城市摊点管理。
（1）分析说明材料蕴含的主要经济常识。（10分）
（2）运用矛盾对立统一的观点分析塑造城市形象与解决民生问题的关系。（10分）
（3）运用政治常识分析上海市政府的做法。（12分）
39．（60分）2007年1月30日至2月10日，国家主席胡锦涛对非洲八国进行了友好访问，谱写了中非友谊的新篇章。
根据图10，图11和材料回答问题。
（1）访问首日，八国首都中正午太阳高度角最大的是 。甲、乙两湖为世界著名深水湖，其形成原因是 （4分）
（2）分析图11中，A、B区域年降水量特别丰沛的主要原因。（8分）
（3）说出北非地区主要的矿产资源，并分析矿产资源开发的有利与不利区位因素（8分）
材料一
19世纪末20世纪初，由于列强商品的涌入，非洲各地原有的手工业、冶炼业进一步受到摧残，而机器制造业几乎是空白。单一作物制或矿产制的推行，更使非洲经济具有极大的依赖性。
材料二
新中国成立后，每当一个非洲国家取得独立，中国政府立即予以承认。从1956年到1965年，中国先后同19个非洲国家建立外交关系，并与几内亚、加纳等许多国家签订了友好条约和经济技术合作协定。
材料三
改革开放以来，我国鼓励企业扩大对非洲的投资，积极扩大 从非洲的进口。我国企业实施"引进来"和"走出去"战略，遵循市场经济规律，发展中非经贸合作，实现互利共赢。苏丹喀土穆炼油有限公司是中国石油天然气集团公司和苏丹能矿部各以50%股份合资建成的公司。胡锦涛主席访问非洲期间在考察该公司时指出，中苏石油合作既有利于中国企业发展，也促进苏丹建成了完备的石油工业体系，为苏丹合理利用资源、创造就业机会、增加税收、把本国资源优势转化为经济发展优势做出了贡献。事实证明，中苏石油合作堪称南南合作的典范。
（4）归纳材料一反映的非洲殖民地经济的特点。（4分）结合所学历史知识分析其成因。（6分）
（5）根据材料二并结合所学历史知识，分析这一时期中国政府发展与非洲国家外交关系的原因，（6分）指出20世纪50－70年代中非友好合作的主要作用。（4分）
（6）根据材料三，运用经济常识，谈谈在中非经贸合作中我国企业应如何促进双方互利共赢。（10分）
（7）根据材料三，运用唯物论观点，分析我国企业在发展中非经贸合作中实施"引进来"和"走出去"战略的哲学依据。（10分）
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**河北衡水中学2016-2017学年度**
**高三下学期数学第三次摸底考试（理科）**
> **必考部分**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 已知集合，则集合等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】 ,选D.
2\. ，若，则等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】设 ,则
 ,选A.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
3\. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ）
A.  B. 41 C.  D. 
【答案】A
【解析】因为，所以 ，选A.
4\. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.  B.  C.  D. 2
【答案】D
【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选D.
5\. 在中，" "是""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时，，所以必要性成立； 时，，所以充分性不成立，选B.
6\. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A学\|科\|网\...
【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：
，而 ，所以直线过C取最大值 ，过B点取最小值， 的取值范围是，选A.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
7\. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为 ，选C.
8\. 20世纪30年代，德国数学家洛萨\-\--科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的""猜想.如图是验证""猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定
【答案】B
【解析】由题意得
 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.
9\. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ）
A.  B.  C. 57 D. 33
【答案】A
【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为 ,选A.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
10\. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（ ）
A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275
【答案】B
【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为，所以解得，即 ，所以 ，满足，  ，选B.
11\. 已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（ ）
A.  B. 2 C.  D. 
【答案】C
【解析】因为所以 ；因为，所以
学\|科\|网\...
的最大值与最小值之和为，选C.
12\. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】因为偶函数满足，所以 ，
因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 在 上单调递增，且，在 上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 ，选C.
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上**
13\. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
-------------------------------------------- ----- ---- ----- ---- ------
价格 8.5 9 9.5 10 10.5
销售量 12 11 9 7 6
-------------------------------------------- ----- ---- ----- ---- ------
由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】39.4
【解析】
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.
14\. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 学\|科\|网\...
点睛：三角函数的图象变换，提倡"先平移，后伸缩"，但"先伸缩，后平移"也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
15\. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】6
【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则
16\. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】因为，所以
因此，所以
因为 ，所以
，因此
**三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，
.
（1）求边的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.
试题解析：解：（1）因为，所以，所以．
因为，
所以，
所以，又，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，因为，
所以，
所以
．学\|科\|网\...
18\. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解
试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，
所以，
因为，所以，
连接，易知三点共线，，
所以，
所以，
解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，
所以易知，所以．
因为平面，所以，因为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则．
所以，
设平面的法向理为，
所以，令，则．
可取平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
19\. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）学\|科\|网\...
【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.
试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第 次划拳小华平"为；事件"第 次划拳小华输"为，所以．
因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：
第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；
其概率为，
第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，
其概率为
所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．
（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，
，
，
，
所以的分布列为：
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
 2 3 4 5
    
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
所以的数学期望为：
．
20\. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．
试题解析：解：（1）依题知，
解得，所以椭圆的离心率；
（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，
所以原点到直线的距离为，
因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．
所以直线的方程为，即，
所以，解得或．
①当时，此时直线的方程为，
所以的值为点纵坐标的两倍，即；
②当时，直线的方程为，
将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，
设点坐标为，所以，解得，
所以．
点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
21\. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据： ）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.
试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，
所以．
①当时，是常数函数，没有单调性．
②当时，由，得；由，得．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
③当时，由得，； 由，得，学\|科\|网\...
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，
所以，即．
令，则有，即．
设方程的根为，则，
所以是方程的根．
由（1）知在单调递增，在上单调递减．
且当时，，当时，，
如图，依据题意，不妨取，所以，
因为，
易知，要证，即证．
所以，又函数在上单调递增，
所以，所以．
**选考部分**
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．
（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；
（2）求证：为定值．
【答案】（1）,（2）
【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.
试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，
当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，
当时，直线的斜率为，所以其方程为，
即一般方程为．
因为的极坐标方程为，所以，
因为，所以．
所以曲线的标准方程为．
（2）设直线的参数方程为（为参数），学\|科\|网\...
代入曲线的标准方程为，
可得，即，
则，
所以，
同理，
所以．
23\. 选修4-5：不等式选讲
已知实数满足．
（1）求的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；
（2）因为，而，即证.
试题解析：解：（1）因为，所以．
①当时，，解得，即；
②当时，，解得 ，即，
所以，则，
而，
所以，即；
（2）由（1）知，
因为
当且仅当时取等号，
所以
 ．
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**2013年辽宁省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
2．（5分）已知集合A={x\|0＜log~4~x＜1}，B={x\|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．（1，2\]
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a~n~}的四个命题：
p~1~：数列{a~n~}是递增数列；
p~2~：数列{na~n~}是递增数列；
p~3~：数列是递增数列；
p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p~1~，p~2~ B．p~3~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~1~，p~4~
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）使得（3x+）^n^（n∈N~+~）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a^3^），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a^3^ B．
C． D．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2（a+2）x+a^2^，g（x）=﹣x^2^+2（a﹣2）x﹣a^2^+8．设H~1~（x）=max{f（x），g（x）}，H~2~（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H~1~（x）的最小值为A，H~2~（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣16a^2^﹣2a﹣16 D．16a^2^+2a﹣16
12．（5分）设函数f（x）满足x^2^f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[ ]{.underline}．
14．（5分）已知等比数列{a~n~}是递增数列，S~n~是{a~n~}的前n项和．若a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，则S~6~=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=[ ]{.underline}．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，抛物线C~1~：x^2^=4y，C~2~：x^2^=﹣2py（p＞0），点M（x~0~，y~0~）在抛物线C~2~上，过M作C~1~的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x~0~=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C~2~上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e^﹣2x^，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈\[0，1\]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
**请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。**
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF^2^=AD•BC．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C~1~，直线C~2~的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C~1~与C~2~交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C~1~的圆心，Q为C~1~与C~2~交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
**2013年辽宁省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）复数的模长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：复数，
所以===．
故选：B．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A={x\|0＜log~4~x＜1}，B={x\|x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．（1，2\]
【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．
【解答】解：由A中的不等式变形得：log~4~1＜log~4~x＜log~4~4，
解得：1＜x＜4，即A=（1，4），
∵B=（﹣∞，2\]，
∴A∩B=（1，2\]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），\|\|=5，再根据与向量同方向的单位向量为  求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），\|\|==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．
4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a~n~}的四个命题：
p~1~：数列{a~n~}是递增数列；
p~2~：数列{na~n~}是递增数列；
p~3~：数列是递增数列；
p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
A．p~1~，p~2~ B．p~3~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~1~，p~4~
【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a~n~}，a~n+1~﹣a~n~=d＞0，∴命题p~1~：数列{a~n~}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{na~n~}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）a~n+1~﹣na~n~=（n+1）d+a~n~，不一定是正实数，
故p~2~不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，
故p~3~不正确，是假命题．
对于数列{a~n~+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 a~n+1~+3（n+1）d﹣a~n~﹣3nd=4d＞0，
故命题p~4~：数列{a~n~+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，
则∠B=．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
7．（5分）使得（3x+）^n^（n∈N~+~）的展开式中含有常数项的最小的n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用二项展开式的通项公式T~r+1~=3^n﹣r^••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．
【解答】解：设（n∈N~+~）的展开式的通项为T~r+1~，
则：T~r+1~=3^n﹣r^••x^n﹣r^•=3^n﹣r^••，
令n﹣r=0得：n=r，又n∈N~+~，
∴当r=2时，n最小，即n~min~=5．
故选：B．
【点评】本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）
A． B． C． D．
【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，
执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．
【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，
判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；
判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；
判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；
判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；
判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；
判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．
故选：A．
【点评】本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．
9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a^3^），若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a^3^ B．
C． D．
【分析】利用已知可得=（a，a^3^﹣b），，=（a，a^3^），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵=（a，a^3^﹣b），，=（a，a^3^），且ab≠0．
①若，则=ba^3^=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b（a^3^﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a^3^≠0；
③若，则=a^2^+a^3^（a^3^﹣b）=0，得1+a^4^﹣ab=0，即．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．
故选：C．
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．
10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA~1~=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B~1~BCC~1~，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC~1~=，
所以球的半径为：．
故选：C．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．
11．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2（a+2）x+a^2^，g（x）=﹣x^2^+2（a﹣2）x﹣a^2^+8．设H~1~（x）=max{f（x），g（x）}，H~2~（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H~1~（x）的最小值为A，H~2~（x）的最大值为B，则A﹣B=（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣16a^2^﹣2a﹣16 D．16a^2^+2a﹣16
【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）^2^﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H~1~（x），H~2~（x）．进而得出A，B即可．
【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x^2^﹣2（a+2）x+a^2^﹣\[﹣x^2^+2（a﹣2）x﹣a^2^+8\]=2x^2^﹣4ax+2a^2^﹣8=2（x﹣a）^2^﹣8．
①由2（x﹣a）^2^﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；
②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；
③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．
综上可知：
（1）当x≤a﹣2时，则H~1~（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=\[x﹣（a+2）\]^2^﹣4a﹣4，
H~2~（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣\[x﹣（a﹣2）\]^2^﹣4a+12，
（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H~1~（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H~2~（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）当x≥a+2时，则H~1~（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H~2~（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
故A=g（a+2）=﹣\[（a+2）﹣（a﹣2）\]^2^﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，
∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．
故选：B．
【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．
12．（5分）设函数f（x）满足x^2^f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【分析】令F（x）=x^2^f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．
【解答】解：∵函数f（x）满足，
∴
令F（x）=x^2^f（x），则F′（x）=，
F（2）=4•f（2）=．
由，得f′（x）=，
令φ（x）=e^x^﹣2F（x），则φ′（x）=e^x^﹣2F′（x）=．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e^2^﹣2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选：D．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.**
13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[ 16π﹣16 ]{.underline}．
【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．
【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．
故其体积为：2^2^π×4﹣2^2^×4=16π﹣16，
故答案为：16π﹣16．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．
14．（5分）已知等比数列{a~n~}是递增数列，S~n~是{a~n~}的前n项和．若a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，则S~6~=[ 63 ]{.underline}．
【分析】通过解方程求出等比数列{a~n~}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
【解答】解：解方程x^2^﹣5x+4=0，得x~1~=1，x~2~=4．
因为数列{a~n~}是递增数列，且a~1~，a~3~是方程x^2^﹣5x+4=0的两个根，
所以a~1~=1，a~3~=4．
设等比数列{a~n~}的公比为q，则，所以q=2．
则．
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】设椭圆右焦点为F\'，连接AF\'、BF\'，可得四边形AFBF\'为平行四边形，得\|AF\|=\|BF\'\|=6．△ABF中利用余弦定理算出\|BF\|=8，从而得到\|AF\|^2^+\|BF\|^2^=\|AB\|^2^，得∠AFB=90°，所以c=\|OF\|=\|AB\|=5．根据椭圆的定义得到2a=\|BF\|+\|BF\'\|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F\'，连接AF\'、BF\'
∵AB与FF\'互相平分，∴四边形AFBF\'为平行四边形，可得\|AF\|=\|BF\'\|=6
∵△ABF中，\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF=，
∴由余弦定理\|AF\|^2^=\|AB\|^2^+\|BF\|^2^﹣2\|AB\|×\|BF\|cos∠ABF，
可得6^2^=10^2^+\|BF\|^2^﹣2×10×\|BF\|×，解之得\|BF\|=8
由此可得，2a=\|BF\|+\|BF\'\|=14，得a=7
∵△ABF中，\|AF\|^2^+\|BF\|^2^=100=\|AB\|^2^
∴∠AFB=90°，可得\|OF\|=\|AB\|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e==
故答案为：
【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．
16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为[ 10 ]{.underline}．
【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．
【解答】解：设样本数据为：x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~，
平均数=（x~1~+x~2~+x~3~+x~4~+x~5~）÷5=7；
方差s^2^=\[（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^+（x~5~﹣7）^2^\]÷5=4．
从而有x~1~+x~2~+x~3~+x~4~+x~5~=35，①
（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^+（x~5~﹣7）^2^=20．②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x~5~=11，则②式变为：
（x~1~﹣7）^2^+（x~2~﹣7）^2^+（x~3~﹣7）^2^+（x~4~﹣7）^2^=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）设向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值．
【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．
（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 =+sin^2^x=4sin^2^x，=cos^2^x+sin^2^x=1，
由，可得 4sin^2^x=1，即sin^2^x=．
∵x∈\[0，\]，∴sinx=，即x=．
（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin^2^x=sin2x+=sin（2x﹣）+．
x∈\[0，\]，∴2x﹣∈\[﹣，\]，
∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
由AB是圆的直径，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，连接NC．
由三垂线定理得CN⊥PB．
所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．
因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．
故MN=．
又在Rt△CNM中，．故cos．
所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，"寻找垂面，构造垂线"是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．
19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（I）设事件A="张同学至少取到1道乙类题"
则=张同学至少取到的全为甲类题
∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=
（II）X的所有可能取值为0，1，2，3
P （X=0）==
P（X=1）==
P（X=2）=+=
P（X=3）==
X的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X 0 1 2 3
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
EX=
【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
20．（12分）如图，抛物线C~1~：x^2^=4y，C~2~：x^2^=﹣2py（p＞0），点M（x~0~，y~0~）在抛物线C~2~上，过M作C~1~的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x~0~=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）当M在C~2~上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．
（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C~1~：x^2^=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，
所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），
故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+
因为点M（1﹣，y~0~）在切线MA及抛物线C~2~上，于是
y~0~=﹣（2﹣）+=﹣①
∴y~0~=﹣=﹣②
解得p=2
（Ⅱ）设N（x，y），A（x~1~，），B（x~2~，），x~1~≠x~2~，由N为线段AB中点知x=③，y==④
切线MA，MB的方程为y=（x﹣x~1~）+，⑤；y=（x﹣x~2~）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x~0~，y~0~）的坐标满足x~0~=，y~0~=
因为点M（x~0~，y~0~）在C~2~上，即x~0~^2^=﹣4y~0~，所以x~1~x~2~=﹣⑦
由③④⑦得x^2^=y，x≠0
当x~1~=x~2~时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x^2^=y
因此中点N的轨迹方程为x^2^=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题
21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e^﹣2x^，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈\[0，1\]时，
（I）求证：；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（I）①当x∈\[0，1）时，（1+x）e^﹣2x^≥1﹣x⇔（1+x）e^﹣x^≥（1﹣x）e^x^，令h（x）=（1+x）e^﹣x^﹣（1﹣x）e^x^，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；
②当x∈\[0，1）时，⇔e^x^≥1+x，令u（x）=e^x^﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．
（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．
【解答】（I）证明：①当x∈\[0，1）时，（1+x）e^﹣2x^≥1﹣x⇔（1+x）e^﹣x^≥（1﹣x）e^x^，
令h（x）=（1+x）e^﹣x^﹣（1﹣x）e^x^，则h′（x）=x（e^x^﹣e^﹣x^）．
当x∈\[0，1）时，h′（x）≥0，
∴h（x）在\[0，1）上是增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．
②当x∈\[0，1）时，⇔e^x^≥1+x，令u（x）=e^x^﹣1﹣x，则u′（x）=e^x^﹣1．
当x∈\[0，1）时，u′（x）≥0，
∴u（x）在\[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）．
综上可知：．
（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=
≥=．
令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，
令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．
当x∈\[0，1）时，K′（x）＜0，
可得H′（x）是\[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在\[0，1）单调递减，
∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．
∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在\[0，1）上恒成立．
下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在\[0，1）上不恒成立．
f（x）﹣g（x）≤==﹣x．
令v（x）==，则v′（x）=．
当x∈\[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在\[0，1）上是减函数，
∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3\]．
当a＞﹣3时，a+3＞0．
∴存在x~0~∈（0，1），使得v（x~0~）＞0，此时，f（x~0~）＜g（x~0~）．
即f（x）≥g（x）在\[0，1）不恒成立．
综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3\]．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．
**请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。**
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：
（I）∠FEB=∠CEB；
（II）EF^2^=AD•BC．
【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．
（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF^2^=AF•FB．等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．
∴∠FEB=∠EAB．
∴∠CEB=∠EAB．
（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，
又∠CEB=∠FEB，EB公用．
∴△CEB≌△FEB．
∴CB=FB．
同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF^2^=AF•FB．
∴EF^2^=AD•CB．
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键．
23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C~1~，直线C~2~的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．
（Ⅰ）求C~1~与C~2~交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C~1~的圆心，Q为C~1~与C~2~交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．
【分析】（I）先将圆C~1~，直线C~2~化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．
【解答】解：（I）圆C~1~，直线C~2~的直角坐标方程分别为 x^2^+（y﹣2）^2^=4，x+y﹣4=0，
解得或，
∴C~1~与C~2~交点的极坐标为（4，）．（2，）．
（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，
由参数方程可得y=x﹣+1，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．
24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集；
（2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值．
【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，直接求出不等式\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由\|h（x）\|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，
当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x\|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=
由\|h（x）\|≤2得，
又已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，
所以，
故a=3．
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
理科综合能力测试物理部分
14.放射性同位素针232经*αβ*衰变会生成氧，其衰变方程为*ThRn*+*xα+yβ*，其中
A.*x*=1,*y*=3 B.*x*=2,y=3
C.*x*=3,*y*＝1 D.*x*=3,*y*=2
15.某同学设计了一个转向灯电路（题15图），其中L为指示灯，L~1~、L~2~分别为左、右转向灯，S为单刀双掷开关，E为电源.当S置于位置1时，以下判断正确的是
A. L的功率小于额定功率
B. L~1~亮，其功率等于额定功率
C. L~2~亮，其功率等于额定功率
D. 含L支路的总功率较另一支路的大
16.地面附近有一正在上升的空气团，它与外界的热交热忽略不计.已知大气压强随高度增加而降低，则该气团在此上升过程中（不计气团内分子间的势能）
A.体积减小，温度降低 B.体积减小，温度不变
C.体积增大，温度降低 D.体积增大，温度不变
17.下列与能量有关的说法正确的是[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
A. 卫星绕地球做圆周运动的半径越大，动能越大
B. 从同种金属逸出的光电子的最大初动能随照射光波长的减小而增大
C. 做平抛运动的物体在任意相等时间内动能的增量相同
D. 在静电场中，电场线越密的地方正电荷的电势能一定越高
18.如题18图，粗糙水平桌面上有一质量为*m*的铜质矩形线圈.当一竖直放置的条形磁铁从线圈中线AB正上方等高快速经过时，若线圈始终不动，则关于线圈受到的支持力*F*~N~及在水平方向运动趋势的正确判断是
A. *F*~N~先小于*mg*后大于*mg*,运动趋势向左
B. *F*~N~先大于*mg*后小于*mg*,运动趋势向左
C. *F*~N~先大于*mg后大于mg*,运动趋势向右
D. *F*~N~先大于*mg*后小于*mg*,运动趋势向右
19.题19图是一个圆柱体棱镜的截面图，图中E、F、G、H将半径OM分成5等份，虚线EE~1~、FF~1~、GG~1~、HH~1~平行于半径ON,ON边可吸收到达其上的所有光线.已知该棱镜的折射率*n*=,若平行光束垂直入射并覆盖OM,则光线
A. 不能从圆孤射出
B. 只能从圆孤射出
C. 能从圆孤射出
D. 能从圆孤射出
20.某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成（题20图）.在一次地震中，震源地地震仪下方，观察到两振子相差5s开始振动，则
A. P先开始振动，震源距地震仪约36km
B. P先开始振动，震源距地震仪约25km
C. H先开始振动，震源距地震仪约36km
D. H先开始振动，震源距地震仪约25km
21.题21图1是某同学设计的电容式速度传感器原理图，其中上板为固定极板，下板为待测物体，在两极板间电压恒定的条件下，极板上所带电量*Q*将随待测物体的上下运动而变化，若*Q*随时间t的变化关系为*Q*=（*a*、*b*为大于零的常数），其图象如题21图2所示，那么题21图3、图4中反映极板间场强大小*E*和物体速率*v*随*t*变化的图线可能是
A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④
第二部分（非选择题共174分）
22.（请在答题卡上作答）（17分）[易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
（1）某实验小组拟用如题22图1所示装置研究滑块的运动.实验器材有滑块、钩码、纸带、米尺、带滑轮的木板，以及由漏斗和细线组成的单摆等.实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时单摆垂直于纸带运动方向摆动，漏斗漏出的有色液体在纸带带下留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置.
①在题22图2中，从 [ ]{.underline} 纸带可看出滑块的加速度和速度方向一致.
②用该方法测量滑块加速度的误差主要来源有： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} （写出2个即可）.
（2）某研究性学习小组设计了题22图3所示的电路，用来研究稀盐水溶液的电阻率与浓度的关系.图中E为直流电源，K为开关，K~1~为单刀双掷开关，V为电压表，A为多量程电流表，R为滑动变阻器，R~x~为待测稀盐水溶液液柱.
①实验时，闭合K之前将R的滑片P置于 [ ]{.underline} （填"C"或"D"）端；当用电流表外接法测量R~x~的阻值时，K~1~应置于位置 [ ]{.underline} （填"1"或"2"）.
②在一定条件下，用电流表内、外接法得到R~x~的电阻率随浓度变化的两条曲线如题22图4所示（不计由于通电导致的化学变化）.实验中R~x~的通电面积为20 cm^2^，长度为20 cm，用内接法测量R~x~的阻值是3500Ω，则其电阻率为 [ ]{.underline} Ω·m，由图中对应曲线 [ ]{.underline}
（填"1"或"2"）可得此时溶液浓度约为 [ ]{.underline} %（结果保留2位有效数字）.
23.（16分）滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力*F*~x~垂直于板面，大小为kv^2^，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角*θ*=37°时（题23图），滑板做匀速直线运动，相应的*k*=54 kg/m，入和滑板的总质量为108 kg,试求（重力加速度g取10 m/s^2^,sin 37°取，忽略空气阻力）：
（1）水平牵引力的大小；
（2）滑板的速率；
（3）水平牵引力的功率.
24.（19分）题24图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料------ER流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止,ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）: [易考网络](http://www.ekaonet.com/)(www.2008gk.cn)高考试题免费下载
(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；
(2)滑块向下运动过程中加速度的大小；
(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小.
25.（20分）题25题为一种质谱仪工作原理示意图.在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点.CM垂直磁场左边界于M，且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v~0~.若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：
（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；
（2）离子沿与CM成*θ*角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
（3）线段CM的长度.
答案：
14.D 15.A 16.C 17.B 18.D
19.B 20.A 21.C
22.（1）
① [* B *]{.underline}
②[摆长测量、漏斗重心变化、液体痕迹偏粗、阻力变化......]{.underline}
（2）
① [* D*]{.underline} [1]{.underline}
② [35]{.underline} [1]{.underline}
23.解：
（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示
由共点力平衡条件可得
①
②
由①、②联立，得
*F* =810N
\(2\)
得m/s
(3)水平牵引力的功率
*P*=*Fv*
*=*4050 W
24.解：
（1）设物体下落末速度为*v*~0~，由机械能守恒定律
得
设碰后共同速度为*v*~1~，由动量守恒定律
2*mv*~1~=*mv*~0~
得
碰撞过程中系统损失的机械能力
(2)设加速度大小为*a*,有
得
（3）设弹簧弹力为*F~N~*，ER流体对滑块的阻力为*F*~ER~
受力分析如图所示
*F~S~*=*kx*
*x=d+mg/k*
25.解：
（1）
设沿*CM*方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为*R*
由
R=d
===
得*B*＝
磁场方向垂直纸面向外
（2）
设沿CN运动的离子速度大小为*v*，在磁场中的轨道半径为*R*′，运动时间为*t*
由*v*cos*θ*=*v*~0~
得*v*＝
*R′*==
方法一：设弧长为*s*
> *t*=
>
> *s=*2(*θ*+*α*)×*R′*
>
> *t*=
方法二：
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期*T*＝
*t*=*Ｔ*×=
\(3\)
方法一：
*CM*=*MN*cot*θ*
=
*Ｒ*′=
以上3式联立求解得*CM*=*d*cot*α*
方法二：
设圆心为*A*，过*A*做*AB*垂直*NO*，
可以证明*NM*＝*BO*
∵*NM*=*CM*tan*θ*
又∵*BO*=*AB*cot*α*
=*R*′sin*θ*cot*α*
=
∴*CM*=*d*cot*α*
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第2单元 第二节：****看一看（二）**
一.请问这四个小朋友他们都看到了什么，连一连。
二.**填一填****,下面的图形是在哪个位置观察的?**
三.下面的图形从上面看，是什么形状？连连看。
四．猫咪在站岗，松鼠、小猪、小猴、小兔都来围观，它们都看到了什么，连一连。
\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
\[来源:学科网\]
答案
一.请问这四个小朋友他们都看到了什么，连一连。
二.**填一****填,下面的图形是在哪个位置观察的?**
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
  正面 后面   侧面
三.下面的图形从上面看，是什么形状？连连看。\[来源:Z\#xx\#k.Com\]\[来源:学科网ZXXK\]
四．猫咪在站岗，松鼠、小猪、小猴、小兔都来围观，它们都看到了什么，连一连。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷
**文科数学（必修+选修Ⅰ）**
**注意事项：**
1. 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
3. 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6. 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
**第Ⅰ卷（选择题）**
**本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
**一、选择题**
1．（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．把函数的图像按向量平移，得到的图像，则（ ）
A． B． C． D．
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（非选择题）**
**本卷共10题，共90分**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．**
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 [ ]{.underline} ．
14．已知数列的通项，则其前项和 [ ]{.underline} ．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 [ ]{.underline} cm．
16．的展开式中常数项为 [ ]{.underline} ．（用数字作答）
三**、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分10分）
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
19．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件："取出的2件产品中至多有1件是二等品"的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件："取出的2件产品中至少有一件二等品"的概率．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，
底面为正方形，侧棱底面
分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
**\
2007年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案**
**评分说明：**
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
**一、选择题**
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D C A A A C D D B
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
1．，选C。
2．设集合，则，选B。
3．函数的一个单调增区间是，选C。
4．∵ ，∴ ln(ln2)\<0，(ln2)^2^\< ln2，而ln=ln2\<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。
5．不等式的解集是，选C。
6．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则
=，∴ λ=，选A。
7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角的余弦值等于，选A。
8．已知曲线的一条切线的斜率为，=，∴ x=1，则切点的横坐标为1，选A。
9．把函数*y*=*e^x^*的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到*y*=*f*(*x*)的图象，*f*(*x*)= ，选C。
10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有2^5^=32种，选D。
11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。
12．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=，选B。
**二、填空题**
------ ---- ---- ---- ----
题号 13 14 15 16
答案 57
------ ---- ---- ---- ----
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．
14．已知数列的通项，，则其前项和=．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm^2^.
16．的展开式中常数项为．
**三、解答题**
17．解：由题设知，
则 ②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
18．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
19．（1）记表示事件"取出的2件产品中无二等品"，
表示事件"取出的2件产品中恰有1件二等品"．
则互斥，且，故
于是．
解得（舍去）．
（2）记表示事件"取出的2件产品中无二等品"，
则．
若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．
20．解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
21．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．
由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
22．解：求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
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**中学学科网2008年高考湖北卷文科数学试题全解全析**
解析作者：李华
**绝密★启用前**
**数 学（文史类）**
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
> ★祝考试顺利★
**注意事项**：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
```{=html}
<!-- -->
```
1. 设*a*=(1,-2),*b*=(-3,4),*c*=(3,2),则(*a*+2*b*)·*c*=
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11
**2. 的展开式中常数项是**
**A．210 B． C． D．**
**【标准答案】2. B**
**【试题解析】,所以常数项为,故**B为正确答案．
**【高考考点】考查二项式定理.**
**【易错提醒】记错公式.**
**【学科网备考提示】对二项式的展开式要牢记公式.**
3. 若集合*,*则
A."*x*∈*P*"是"*x*∈*Q*"的充分条件但不是必要条件
B. "*x*∈*P*"是"*x*∈*Q*"的必要条件但不是充分条件
C. "*x*∈*P*"是"*x*∈*Q*"的充要条件
D. "*x*∈*P*"既不是"*x*∈*Q*"的充分条件也不是"*x*∈*A*"必要条件
**【标准答案】3．A**
**【试题解析】易知Ｂ正确．**
**【高考考点】集合的运算的理解和充分条件与必要条件．**
**【易错提醒】不理解要得到充分条件与必要条件，那个做为条件，那个做结论．**
**【学科网备考提示】对＂抽象＂的集合问题常用韦恩图来分析问题，这其实是数形结合的思想．**
4. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为
A. B. C. D.
**【标准答案】３．D**
**【试题解析】易知球的半径是，所以根据球的体积公式知，故**D为正确答案．
**【高考考点】球的体积公式和空间想象能力。**
**【易错提醒】记错公式。**
**【学科网备考提示】对立体几何中的公式要牢记在心。**
4. 函数*f*(*x*)=的定义域为
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］ D. ［－4，0∪（0，1）
**【标准答案】4．Ｄ**
**【试题解析】要使函数有意义，**
**则有，**
**故**D为正确答案．
**【高考考点】求函数的定义域。**
**【易错提醒】忽略。**
**【学科网备考提示】求函数的定义域要注意分母不能为零、负数不能开偶次方、真数大于零等等。**
5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的
**【标准答案】5. C**
**【试题解析】将所给的二元不等式给在**平面直角坐标系中画出,便知C正确.
**【高考考点】二元不等式的图形表示.**
**【易错提醒】对绝对值考虑不周.**
**【学科网备考提示】些内容是新增内容,一般高考题中是比较容易的题,考生应掌握其基本方法,**
6.已知在*R*上是奇函数，且
A.-2 B.2 C.-98 D.98
**【标准答案】6.A**
**【试题解析】由题意可知函数是周期为4的奇函数,**
**所以,所以选A.**
**【高考考点】考查函数的基本性质: 周期性与奇偶性.**
**【易错提醒】没有发现周期性.**
**【学科网备考提示】函数的本质在于把握函数的性质.**
7\. .将函数*y=*3sin（*x*-*θ*）的图象*F按向量（*，3*）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=*,则*θ*的一个可能取值是
A. B. C. D.
**【标准答案】7．Ａ**
**【试题解析】依题意可得图象的解析式为,当对称，根据选项可知A正确。**
**【高考考点】图象的平移和三角函数中对称与最值。**
**【易错提醒】将图象平移错了。**
**【学科网备考提示】函数图象的平移是考生应掌握的知识点。**
8. 函数*f*(*x*)=的定义域为
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］ D. ［－4，0∪（0，1）
**【标准答案】8．Ｄ**
**【试题解析】要使函数有意义，**
**则有，**
**故**D为正确答案．
**【高考考点】求函数的定义域。**
**【易错提醒】忽略。**
**【学科网备考提示】求函数的定义域要注意分母不能为零、负数不能开偶次方、真数大于零等等。**
9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为
A.100 B.110 C.120 D.180
**【标准答案】9．B**
**【试题解析】用间接法做: 考虑没有女生入选的,则所要求的结果为,,故B正确．**
**【高考考点】考查排列组合的基本知识。**
**【易错提醒】不知如何分类与分步。**
**【学科网备考提示】排列组合的问题要注意分类与分步，些题一方面要注意分类与分步，另一方面还要注意如何分组与分配。**
10.如图所示，"嫦娥一号"探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c~1~和2c~2~分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a~1~和2a~2~分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①*a~1~+c~1~=a~2~+c~2~*;②*a~1~-c~1~=a~2~-c~2~*;③*c~1~a~2~＞a~1~c~1~*;④＜.
其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
**【标准答案】10．Ｂ**
**【试题解析】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．**
**【高考考点】椭圆的基本量之间的关系．**
**【易错提醒】没有抓住问题的关键，用错不等式。**
**【学科网备考提示】圆锥曲线的基本量之间的关系是高考常考内容，考生应从代数、几何、不等式方面入手。**
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 [ ]{.underline} .
**【标准答案】11．１0**
**【试题解析】由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足,即10为**
**正确答案.**
**【高考考点】考查分层抽样方法。**
**【易错提醒】不明概念。**
**【学科网备考提示】对统计这部分内容，高考要求不高，主要是要抓住概念。**
12.在△*ABC*中，*a*，*b*，*c*分别是角*A*，*B*，*C*所对的边，已知则
*A*＝ [ ]{.underline} .
**【标准答案】12．**
**【试题解析】由余弦定理可得,再由余弦定理可得A=。**
**【高考考点】余弦定理。**
**【易错提醒】运算要细心。**
**【学科网备考提示】解三角形中的正弦定理、余弦定理是重要内容。**
13.方程的实数解的个数为 [ ]{.underline} .
**【标准答案】13．2**
**【试题解析】由数形结合的数学思想，可知与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。**
**【高考考点】数形结合思想。**
**【易错提醒】图形画的不好。**
**【学科网备考提示】数形结合思想是重要的数学思想方法，考生一定要能灵活运用此思想方法。**
14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 [ ]{.underline} .
**【标准答案】14．0. 98**
**【试题解析】用间接法做: 两个闹钟一个也不准时响的概率是,所以要求的结果是.**
**【高考考点】间接法求概率,分类讨论思想。**
**【易错提醒】计算出错.**
**【学科网备考提示】本题还可以这样做:**
**要求的概率是**
15.圆的圆心坐标为 [ ]{.underline} ，和圆*C*关于直线对称的圆*C*′的普通方程是 [ ]{.underline} .
**【标准答案】15．**（3，－2），（*x*＋2）^2^＋（*y*－3）^2^＝16（或*x*^2^＋*y*^2^＋4*x*－6*y*－3＝0）
**【试题解析】将圆的参数方程转化为标准方程为:,可知圆C的圆为**（3，－2）;要求关于直线对称的圆,关键在求圆心的坐标,显然（3，－2）关于直线对称的点的坐标是（－2，3）,所以要求的圆的方程是（*x*＋2）^2^＋（*y*－3）^2^＝16（或*x*^2^＋*y*^2^＋4*x*－6*y*－3＝0）.
**【高考考点】考查圆的参数方程向标准方程的转化和对称问题。**
**【易错提醒】不知道怎么转化。**
**【学科网备考提示】圆的标准方程是高中数学的重点内容，要重点复习。**
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
16.（本小题满分12分）
已知函数*f*(*x*)
（Ⅰ）将函数*f*(*x*)化简成Asin(ω*x*+*φ*)+*B*（*A*＞0，ω＞0，*φ*∈\[0，2π\]）的形式；
（Ⅱ）求函数*f*(*x*)在上的最大值与最小值..
**【标准答案】16．**
**解(1).**
**故***f*(*x*)**的周期为.**
**(2)由,得.因为在上是减**函数, 上是增函数.
故当=时, *f*(*x*)有最小值;而,
所以当时,有最大值.
**【试题解析】本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.**
**【高考考点】三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值。**
**【易错提醒】容易忽略函数的定义域。**
**【学科网备考提示】三角函数的常用公式和三角中的恒等变换、代数式的化简变形是高中数学的重要内容，学生应熟练掌握。**
**17.（本小题满分12分）**
**已知**函数（为常数，且）有极大值9。
1. 求的值；
2. 若斜率为－5的直线是曲线的切线，求此直线方程。
**【标准答案】17.** 解：(Ⅰ) *f'*(*x*)＝3*x*^2^+2*mx*－*m*^2^=(*x*+*m*)(3*x*－*m*)=0,则*x*=－*m*或*x*=*m*,
当*x*变化时，*f'*(*x*)与*f*(*x*)的变化情况如下表：
----------- ------------- -------- -------- -------- -------
*x* (－∞,－*m*) －*m* (－m,) (,+∞)
*f'*(*x*) \+ 0 － 0 \+
*f* (*x*) 极大值 极小值
----------- ------------- -------- -------- -------- -------
从而可知，当*x*=－*m*时，函数*f*(*x*)取得极大值9，
即*f*(*－m*)＝－*m*^3^+*m*^3^+*m*^3^+1=9,∴*m*＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，*f*(*x*)=*x*^3^+2*x*^2^－4*x*+1,
依题意知*f'*(*x*)＝3*x*^2^＋4*x*－4＝－5，∴*x*＝－1或*x*＝－.
又*f*(*－*1)＝6，*f*(*－*)＝，
所以切线方程为*y*－6＝－5(*x*＋1),或*y*－＝－5(*x*＋)，
即5*x*＋*y*－1＝0，或135*x*＋27*y*－23＝0.
**【试题解析】本题主要考查应用导数研究函数的性质的方法和运算能力。**
**【高考考点】函数的性质与切线方程的求法。**
**【易错提醒】忽略"为常数，且"**
**【学科网备考提示】函数的本质在于把握函数的性质.**
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，直线*AC*与平面所成的角为，二面角
**【标准答案】18．**
18\. (Ⅰ)证明：如右图，过点*A*在平面*A*~1~*ABB*~1~内作*AD*⊥*A*~1~*B*于*D*，则
由平面*A*~1~*BC*⊥侧面*A*~1~*ABB*~1~,且平面*A*~1~*BC*∩侧面*A*~1~*ABB*~1~＝*A*~1~*B*，
得*AD*⊥平面
*A*~1~*BC*.又*BC*平面*A*~1~*BC*
所以*AD*⊥*BC*.
因为三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~是直三棱柱,
则*AA*~1~⊥底面*ABC*,所以*AA*~1~⊥*BC*.
又*AA*~1~∩*AD*=*A*,从而*BC*⊥侧面*A*~1~*ABB*~1~,
又*AB*侧面*A*~1~*ABB*~1~，
故*AB*⊥*BC*.
(Ⅱ)证法1：连接*CD*,则由(Ⅰ)知∠*ACD*就是直线*AC*与平面*A*~1~*BC*所成的角，∠*ABA*~1~就是二面角*A*~1~－*BC*－*A*的颊角，即∠*ACD*＝*θ*，∠*ABA*~1~=.
于是在RtΔ*ADC*中，sin*θ*=,在RtΔ*ADA*~1~中，sin∠*AA*~1~*D*＝,
∴sin*θ*=sin∠*AA*~1~*D*,由于*θ*与∠*AA*~1~*D*都是锐角，所以*θ*＝∠*AA*~1~*D*.
又由RtΔ*A*~1~*AB*知，∠*AA*~1~*D*＋＝∠*AA*~1~*B*＋＝，故*θ*＋＝.
 证法2：由(Ⅰ)知，以点*B*为坐标原点，以*BC*、*BA*、*BB*~1~所在的直线分别为*x*轴、*y*轴、*z*轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
**【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。**
**【学科网备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。**
19.（本不题满分12分）
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm^2,^四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
**【标准答案】19．**
解法1：设矩形栏目的高为*a* cm，宽为*b* cm，则*ab*=9000. ①
广告的高为*a*+20，宽为2*b*+25，其中*a*＞0，*b*＞0.
广告的面积*S*＝(*a*+20)(2*b*+25)
＝2*ab*+40*b*+25*a*+500＝18500+25*a*+40*b*
≥18500+2=18500+
当且仅当25*a*＝40*b*时等号成立，此时*b*=,代入①式得*a*=120，从而*b*=75.
即当*a*=120，*b*=75时,*S*取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
**【试题解析】本题是解不等式，当然要注意问题的转化。**
**【高考考点】本题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.【易错提醒】不等式解出后在写最后的结果时出错；求导求错。**
**【学科网备考提示】解不等式是高中数学的重要内容，不等式问题贯穿高中数学的始终；导数是新增加的内容，是处理许多问题的有利工具，是高考的必考内容，考生一定要认真掌握。**
20（本小题满分13分）
已知双同线的两个焦点为
的曲线*C*上.
（Ⅰ）求双曲线*C*的方程；
（Ⅱ）记*O*为坐标原点，过点*Q* (0,2)的直线*l*与双曲线*C*相交于不同的两点*E*、*F*，若△*OEF*的面积为求直线*l*的方程
**【标准答案】20．**
(Ⅰ)解法1：依题意，由*a*^2^+*b*^2^=4，得双曲线方程为（0＜*a*^2^＜4＝，
将点（3，）代入上式，得.解得*a*^2^=18（舍去）或*a*^2^＝2，
故所求双曲线方程为
解法2：依题意得，双曲线的半焦距*c*=2.
2*a*=\|*PF*~1~\|－\|*PF*~2~\|=
∴*a*^2^=2，*b*^2^=*c*^2^－*a*^2^=2.
∴双曲线*C*的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线*l*的方程为*y*=*kx*+2，代入双曲线*C*的方程并整理，
得(1－*k*^2^)*x*^2^－4*kx*－6=0.
∵直线*I*与双曲线*C*相交于不同的两点*E*、*F*,
∴
∴*k*∈(－)∪(1,).
设*E*(*x*~1~,*y*~1~),*F*(*x*~2~,*y*~2~)，则由①式得*x*~1~+*x*~2~=于是
\|*EF*\|=
=
而原点*O*到直线*l*的距离*d*＝,
∴*S*~Δ*OEF*~=
若*S*~Δ*OEF*~＝，即解得*k*=±,
满足②.故满足条件的直线*l*有两条，其方程分别为*y*=和
> 解法2：依题意，可设直线*l*的方程为*y*=*kx*+2,代入双曲线*C*的方程并整理，
由\|*OQ*\|＝2及③式，得*S*~Δ*OEF*~＝.
若*S*~Δ*OEF*~＝2，即,解得*k*=±,满足②.
故满足条件的直线*l*有两条，基方程分别为*y*=和*y*=
**【试题解析】第（1）问只要求求了出双曲线方程中的与。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。**
**【高考考点】本题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.**
**【易错提醒】直线与双曲线有两个交点时，在联立后的一元二次方程的二次项系数不能为零。**
**【学科网备考提示】要牢记圆锥曲线的定义，并会灵活运用。**
21.（本小题满分14分）
已知数列,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）设为数列的前*n*项和，是否存在实数，使得对任意正整数*n*，都有
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
 即
令
当*n*为正奇数时，当*n*为正偶数时，
于是可得
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有
的取值范围为
**【试题解析】第（1）问问的是证明 "不是等比数列"，这样的问题显然用"反证法"；第（2）问要先求和再解建立不等式。**
**【高考考点】本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理能力。**
**【易错提醒】本题主要是，没有掌握解题的基本方法，再就是没有分类讨论。**
**【学科网备考提示】对等比数列、等差数列、数求和的知识要熟练掌握，数列中要特别注意递推关系式的结构。**
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**人教版二年级数学上册期末测试卷（A）**
**一、填空。**
1.1米＝\_\_\_\_\_\_\_\_厘米 32米＋48米＝\_\_\_\_\_\_\_\_米
2.最大的两位数是\_\_\_\_\_\_\_\_，最小的两位数是\_\_\_\_\_\_\_\_，它们相差\_\_\_\_\_\_\_\_。
3.把口诀填完整。
三\_\_\_\_\_\_\_\_二十四 四\_\_\_\_\_\_\_\_三十六 七\_\_\_\_\_\_\_\_五十六
\_\_\_\_\_\_\_\_六十八 九\_\_\_\_\_\_\_\_八十一 \_\_\_\_\_\_\_\_六三十
4. 一个角有\_\_\_\_\_\_\_\_个顶点，\_\_\_\_\_\_\_\_条边。
5.填上"＞""＜"或"＝"。
8×9\_\_\_\_\_\_\_\_9×9  6×6\_\_\_\_\_\_\_\_5×7 4×3\_\_\_\_\_\_\_\_6×2
72－48\_\_\_\_\_\_\_\_44 5×9\_\_\_\_\_\_\_\_54 5×1\_\_\_\_\_\_\_\_5＋1
6.最大能填几。
3×\_\_\_\_\_\_\_\_＜14 \_\_\_\_\_\_\_\_×9＜67
34＞\_\_\_\_\_\_\_\_×6 23＞\_\_\_\_\_\_\_\_×9
7.5个3相加是\_\_\_\_\_\_\_\_，再减去5得\_\_\_\_\_\_\_\_。
8.下图是由\_\_\_\_\_\_\_\_条线段组成的，有\_\_\_\_\_\_\_\_个直角。
**二、计算。**
9.直接写出得数。
5×8= 4×5= 54＋9= 8×9=
6×3= 6＋80= 6×7= 64－30=
10.竖式计算。
（1）52－38
（2）76＋19
（3）73＋24
（4）85-27
**三、我会填。**
11.写出角的各部分的名称。
12.想一想，有几条对称轴。
\_\_\_\_\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_
**四、解决问题。**
13.练习本的价钱是一本8角，买5本练习本要多少钱？
14.每4架飞机编成一个队列，要编6个队列需要多少架飞机？
15.第一小组有9个同学，每人浇6棵树。
（1）第一小组共浇了多少棵树。
（2）第二小组浇了50棵树，第一小组比第二小组多浇多少棵树。
16.看图回答。
（1）买4个西瓜要用\_\_\_\_\_\_\_\_元。
（2）买5个菠萝和1把香蕉要用\_\_\_\_\_\_\_\_元。
（3）买6个苹果需要带\_\_\_\_\_\_\_\_元。
17.下面是二年级同学最喜欢的饮料统计图。
（1）我们班喜欢喝\_\_\_\_\_\_\_\_的人数最多。
（2）喜欢喝牛奶的比喜欢喝汽水的人数多\_\_\_\_\_\_\_\_人。
（3）喜欢喝\_\_\_\_\_\_\_\_的比喜欢喝\_\_\_\_\_\_\_\_的人数少\_\_\_\_\_\_\_\_人。
**答案解析部分**
一、填空。
1.【答案】 100；80
【考点】两位数与两位数的加减法，米与厘米之间的换算与比较
【解析】【解答】解：1米=100厘米，32米+48米=80米。\
故答案为：100；80。\
【分析】1米=10分米，1分米=10厘米，所以1米=100厘米；根据两位数的加法的计算方法计算出和即可。
2.【答案】99；10；89
【考点】整数的加法和减法
【解析】【解答】根据整数的性质，最大的两位数是99，最小的两位数是10，他们相差99-10=89，\
【分析】根据题意可以知道两个数分别是99,10，最后用减法算式可以解答。
3.【答案】 八；九；八；三；九；五
【考点】6的乘法口诀及应用，8的乘法口诀及应用，9的乘法口诀及应用
【解析】【解答】解：三八二十四；四九三十六；七八五十六；三六十八；九九八十一；五六三十。\
故答案为：八；九；八；三；九；五。\
【分析】根据"6""8""9"的乘法口诀直接填空即可。
4.【答案】1；两
【考点】角的概念及其分类
【解析】【解答】组成一个角，都是有一个顶点两条边。\
【分析】角的概念。
5.【答案】 ＜；＞；=；＜；＜；＜
【考点】100以内数的大小比较，6的乘法口诀及应用，7的乘法口诀及应用，9的乘法口诀及应用
【解析】【解答】解：8＜9，所以8×9＜9×9；6×6=36，5×7=35，所以6×6＞5×7；4×3=12，6×2=12，所以4×3=6×2；\
72-48=24，所以72-48＜44；5×9=45，所以5×9＜54；5×1=5，5+1=6，所以5×1＜5+1。\
故答案为：＜；＞；=；＜；＜；＜。\
【分析】根据乘法口诀直接口算出积，再比较大小；根据两位数减两位数的减法计算方法计算出差后再比较大小。
6.【答案】 4；7；5；2
【考点】4的乘法口诀及应用，6的乘法口诀及应用，9的乘法口诀及应用
【解析】【解答】解：3×4=12，3×5=15，所以3×4＜14；7×9=63，8×9=72，所以7×9＜67；\
5×6=30，6×6=36，所以34＞5×6；2×9=18，3×9=27，所以23＞2×9。\
故答案为：4；7；5；2。\
【分析】观察数字特点，根据乘法口诀试算后确定横线上能填的最大的数即可。
7.【答案】 15；10
【考点】100以内数乘法与加减法的混合运算
【解析】【解答】解：5个3相加是3×5=15，再减去5得15-5=10。\
故答案为：15；10。\
【分析】用乘法计算5个3相加的和，然后用这个和减去5求出差即可。
8.【答案】 9；6
【考点】线段、直线、射线的认识及表示，直角的特征
【解析】【解答】解：这个图是由9条线段组成，有6个直角。\
故答案为：9；6。\
【分析】单独的线段共8条，两条线段组合而成的线段有1条，共9条；直角共有6个，如图：\
二、计算。
9.【答案】 5×8=40；4×5=20；54+9=63；8×9=72；\
6×3=18；6+80=86；6×7=42；64-30=34
【考点】6的乘法口诀及应用，7的乘法口诀及应用，8的乘法口诀及应用，9的乘法口诀及应用
【解析】【分析】根据乘法口诀直接计算乘积，计算加法时注意进位情况。
10.【答案】 （1）52-38=14\
\
（2）76+19=95\
\
（3）73+24=97\
\
（4）85-27=58\
【考点】两位数与两位数的加减法
【解析】【分析】两位数加减两位数，相同数位对齐，从个位加起或减起；计算加法时哪一位上的数相加满十要向前一位进1；计算减法时个位上不够减要向十位退1在本位上加10再减。
三、我会填。
11.【答案】 
【考点】角的初步认识
【解析】【分析】角是由两条具有共同端点的射线组成的，两条射线就是角的两条边，共同的端点是角的顶点。
12.【答案】 1；1；2
【考点】轴对称图形的对称轴数量及位置
【解析】【解答】解：第一个图形1条对称轴，第二个图形1条对称轴，第三个图形2条对称轴。\
故答案为：1；1；2。\
【分析】如图：\
四、解决问题。
13.【答案】 解：8×5=40（角）=4（元）\
答：买5本练习本要4元。
【考点】8的乘法口诀及应用
【解析】【分析】用一本的钱数乘5求出总钱数，把总钱数换算成元即可。
14.【答案】 解：4×6=24（架）\
答：需要24架飞机。
【考点】6的乘法口诀及应用
【解析】【分析】用一个队列需要飞机的架数乘6即可求出一共需要多少架飞机。
15.【答案】 （1）9×6=54（棵）\
答：第一小组共浇了54棵树。\
（2）54-50=4（棵）\
答：第一小组比第二小组多浇了4棵树。
【考点】两位数减整十数的减法，9的乘法口诀及应用
【解析】【分析】（1）用每人浇树的棵数乘人数即可求出浇树的总数；\
（2）用减法计算第一小组比第二小组多浇树的棵数。
16.【答案】 （1）36\
（2）45\
（3）12
【考点】6的乘法口诀及应用，8的乘法口诀及应用，9的乘法口诀及应用
【解析】【解答】解：（1）9×4=36（元）；；\
（2）8×5+5=50+5=45（元）；\
（3）2×6=12（元）。\
故答案为：（1）36；（2）45；（3）12。\
【分析】（1）用一个西瓜的钱数乘4求出买西瓜用的钱数；\
（2）把5个菠萝的钱数加上一把香蕉的钱数就是要用的钱数；\
（3）用一个苹果的钱数乘6就是苹果的总钱数。
17.【答案】 （1）牛奶\
（2）6\
（3）矿泉水；橙汁；4
【考点】两位数与两位数的加减法，从单式条形统计图获取信息
【解析】【解答】解：（1）我们班喜欢喝牛奶的人数最多；\
（2）喜欢喝牛奶的比喜欢喝汽水的多20-14=6（人）；\
（3）喜欢喝矿泉水的比喜欢喝橙汁的人数少18-14=4（人）。\
故答案为：（1）牛奶；（2）6；（3）矿泉水；橙汁；4（答案不唯一）。\
【分析】（1）根据长条的长度确定哪种人数最多；\
（2）根据长条的长度确定四种饮料喜欢喝的人数，然后用减法计算喝牛奶的比喝汽水的多的人数；\
（3）根据人数的多少确定谁比水少几人即可。
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目 录
> 前言 ............................................................... 2
1. 高中数学解题基本方法 ........................... 3
```{=html}
<!-- -->
```
1. 配方法 ............................................. 3
2. 换元法 ............................................. 7
3. 待定系数法 ....................................... 14
4. 定义法 ............................................. 19
5. 数学归纳法 ....................................... 23
6. 参数法 ............................................. 28
7. 反证法 ............................................. 32
8. 消去法 .............................................
9. 分析与综合法 ....................................
10. 特殊与一般法 ....................................
11. 类比与归纳法 ..............................
12. 观察与实验法 ..............................
```{=html}
<!-- -->
```
2. 高中数学常用的数学思想 ........................ 35
```{=html}
<!-- -->
```
1. 数形结合思想 .................................... 35
2. 分类讨论思想 .................................... 41
3. 函数与方程思想 ................................. 47
4. 转化（化归）思想 .............................. 54
```{=html}
<!-- -->
```
3. 高考热点问题和解题策略 ........................ 59
```{=html}
<!-- -->
```
1. 应用问题 .......................................... 59
2. 探索性问题 ....................................... 65
3. 选择题解答策略 ................................. 71
4. 填空题解答策略 ................................. 77
> 附录 ...............................................................
1. 高考数学试卷分析 ..............................
2. 两套高考模拟试卷 ..............................
3. 参考答案 ..........................................
前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去"套"，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
1. 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
2. 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
3. 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
4. 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，"知识"是基础，"方法"是手段，"思想"是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是"能力"。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
第一章 高中数学解题基本方法
1. 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成"完全平方"）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，从而完成配方。有时也将其称为"凑配法"。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝\[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)\]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝...
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；...... 等等。
**Ⅰ、再现性题组：**
1\. 在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝\_\_\_\_\_\_\_。
2\. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是\_\_\_\_\_。
A. \<k\<1 B. k\<或k\>1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3\. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为\_\_\_\_\_\_。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4\. 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是\_\_\_\_\_。
A. （－∞, \] B. \[,+∞) C. (－,\] D. \[,3)
5\. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝\_\_\_\_\_。
【简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r\>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－。
**Ⅱ、示范性题组**：
**例1.** 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为\_\_\_\_\_。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知"长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24"而得：。
长方体所求对角线长为：＝＝＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
**例2.** 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式"Δ"；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对"△"讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对"△"的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
**例3.** 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0 ，
设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1。
又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，
所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为\_\_\_\_\_。
> A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是\_\_\_\_\_。
> A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有\_\_\_\_\_。
> A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝\_\_\_\_\_。
> A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：2＋的结果是\_\_\_\_\_。
> A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6\. 设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
7\. 若x\>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8\. 已知〈β\<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)
9\. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m\<n）,且满足A\[(m+n)+ mn\]＋2A\[B(m+n)－Cmn\]＋B＋C＝0 。
1. 解不等式f(x)\>0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)\<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。
> 10\. 设s\>1，t\>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
1. 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
2. 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t\>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈\[0,1\]，设x＝sinα ，α∈\[0,\]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r\>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t\>0和α∈\[0,\]。
**Ⅰ、再现性题组：**
> 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 2.设f(x＋1)＝log(4－x) （a\>1），则f(x)的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 5.方程＝3的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈\[－,\]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
>
> 2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log\[-(t-1)＋4\]，所以值域为(－∞,log4\]；
>
> 3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
>
> 4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
>
> 5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
>
> 6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)\<2，解得－2\<y\<1，所以x∈(log,log3)。
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：\|\|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的"有界法"。
【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈\[－，\]，
则xy＝±代入①式得：4S±5=5，
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤
∴ ＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法属于"三角换元法"，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于"均值换元法"，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和"均值换元法"类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为"和差换元法"，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈\[0,\]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈\[,\]，再求＋的值。
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）
【分析】 由已知"A＋C＝2B"和"三角形内角和等于180°"的性质，可得 ；由"A＋C＝120°"进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：\
＋＝＋＝＋＝＝＝－2,
解得：cosα＝， 即：cos＝。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－
＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，
所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，
即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】 本题两种解法由"A＋C＝120°"、"＋＝－2"分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：
2coscos＝－\[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,
解得：cos＝
y\
, ,\
－ x
例3. 设a\>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈\[-,\]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a\>0），t∈\[-,\]
t＝-时，取最小值：－2a－2a－
当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；
当0\<2a≤时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈\[-,\]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log\>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t\>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t\<0即log\<0
0\<\<1，解得0\<a\<1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了"判别式法"。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝
设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t---10t＋3＝0，
∴t＝3或， 解得＝±或±。
【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k\>0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k\>0得：
3cosθ＋4sinθ－k\>0，即k\<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k\<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用"分离参数法"转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用"三角换元法"。
y\
x\
\
\
x＋y－k\>0
k 平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c\>0 (a\>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k\>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k\<-3时原不等式恒成立。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 已知f(x)＝lgx (x\>0)，则f(4)的值为\_\_\_\_\_。
> A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
2. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是\_\_\_\_\_\_。
> A. \[-2,+∞) B. \[-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1\]
3. 设等差数列{a}的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋......＋a的值为\_\_\_\_\_。
> A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 不等式\>ax＋的解集是(4,b)，则a＝\_\_\_\_\_\_\_\_，b＝\_\_\_\_\_\_\_。
7. 函数y＝2x＋的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8. 在等比数列{a}中，a＋a＋...＋a＝2，a＋a＋...＋a＝12，求a＋a＋...＋a。
y D C\
A B\
\
O x
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1\<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2 (x\>0,y\>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
> 使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
1. 利用对应系数相等列方程；
2. 由恒等的概念用数值代入法列方程；
3. 利用定义本身的属性列方程；
4. 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
**Ⅰ、再现性题组：**
1. 设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为\_\_\_\_\_。
> A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
2. 二次不等式ax＋bx＋2\>0的解集是(－,)，则a＋b的值是\_\_\_\_\_。
> A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3. 在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是\_\_\_\_\_。
> A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
4. 函数y＝a－bcos3x (b\<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是\_\_\_\_\_。
5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L'的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；
5小题：设直线L'方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。
> **Ⅱ、示范性题组：**
1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到"判别式法"。
> 【解】 函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
>
> ∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
>
> 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
>
> 代入两根得： 解得：或
>
> ∴ y＝或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用"判别式法"处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的"判别式法"：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用"判别式法"的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。
y B'\
x\
\
A F O' F' A'\
\
B
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则\|BF'\|＝a
∴ 解得：
∴ 所求椭圆方程是：＋＝1
也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB'F'后，由其性质推证出等腰Rt△B'O'F'，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值。
【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。
一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。
例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋...＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）
【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。
【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：
,解得，
于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋...＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：
假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋...＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；
当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋...＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝\[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10\]，
也就是说，等式对n＝k＋1也成立。
综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1＋2＋...＋n、1＋2＋...＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋...＋n(n＋1)＝(1＋2＋...＋n)＋2(1＋2＋...＋n)＋(1＋2＋...＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
显然:15－x\>0，7－x\>0，x\>0。
设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a\>0,b\>0）
要使用均值不等式，则
解得：a＝， b＝ ， x＝3 。
从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用"待定系数法"求。本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了"凑配法"和"函数思想"。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 函数y＝logx的x∈\[2,+∞)上恒有\|y\|\>1，则a的取值范围是\_\_\_\_\_。
> A. 2\>a\>且a≠1 B. 0\<a\<或1\<a\<2 C. 1\<a\<2 D. a\>2或0\<a\<
2. 方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为\_\_\_\_\_。
> A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定
3. 如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－对称，那么a＝\_\_\_\_\_。
> A. B. － C. 1 D. －1
4. 满足C＋1·C＋2·C＋...＋n·C\<500的最大正整数是\_\_\_\_\_。
> A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 无穷等比数列{a}的前n项和为S＝a－ , 则所有项的和等于\_\_\_\_\_。
> A. － B. 1 C. D.与a有关
6. (1＋kx)＝b＋bx＋bx＋...＋bx，若b＋b＋b＋...＋b＝－1，则k＝\_\_\_\_\_\_。
7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8\. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9\. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋...＋f(m)的值。
10\. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4, 求抛物线的方程。
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。
**Ⅰ、再现性题组：**
1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则\_\_\_\_\_\_。
> A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则\_\_\_\_\_。
> A. MP\<OM\<AT B. OM\<MP\<AT C. AT\<\<OM\<MP D. OM\<AT\<MP
3. 复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果\|z\|\< \|z\|，则实数a的取值范围是\_\_\_\_\_。
> A. －1\<a\<1 B. a\>1 C. a\>0 D. a\<－1或a\>1
4. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为\_\_\_\_\_。
> A. 8 C. 7.5 C. D. 3
5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为\_\_\_\_\_。
> A. T B. 0 C. D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为\_\_\_\_\_。
【简解】1小题：利用并集定义，选B；
2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；
3小题：利用复数模的定义得\<，选A；
4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；
5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；
6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。
> **Ⅱ、示范性题组：**
例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）
【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；
由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。
由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；
根据复数相等的定义，得：，
解得。
【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。
【解】 解得：
∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)\>0得：0\<x\<1
设\<x\<x\<1， 则f(x)－f(x)＝－x+x-（-x+x）=(x-x)\[1-(x+x)( x+x)\],
∵ x+x\>， x+x\> ∴ (x+x)( x+x)〉×＝1
∴ f(x)－f(x)\>0即f(x)在(,1)上是减函数
∵ \<1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函数。
A' A\
D\
C' C\
O H\
B' B
【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图，已知A'B'C'---ABC是正三棱柱，D是AC中点。
1. 证明：AB'∥平面DBC'；
2. 假设AB'⊥BC'，求二面角D---BC'---C的度数。（94年全国理）
【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB'平行平面DBC'内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。
【解】 ① 连接B'C交BC'于O, 连接OD
∵ A'B'C'---ABC是正三棱柱
∴ 四边形B'BCC'是矩形
∴ O是B'C中点
△AB'C中， D是AC中点 ∴ AB'∥OD
∴ AB'∥平面DBC'
2. 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC'C
> ∵ AB'∥OD, AB'⊥BC' ∴ BC'⊥OD
>
> ∴ BC'⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。
>
> 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ；
>
> Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝，
>
> ∴ OH＝＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D---BC'---C的度数为45°。
【注】对于二面角D---BC'---C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。
此题文科考生的第二问为：假设AB'⊥BC'，BC＝2，求AB'在侧面BB'C'C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B'E即所求，易得到OE∥B'B，所以＝＝，EF＝B'E。在Rt△B'BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B'E×EF＝BE即B'E＝1，所以B'E＝。
y\
M F\
A x
例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。
【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。
【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：
，消m得：（x－1）＋＝1，
所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1。
【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式是\_\_\_。
2\. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,则∠AFB等于\_\_\_\_\_。
> A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
>
> 3\. 已知A＝{0,1}，B＝{x\|xA}，则下列关系正确的是\_\_\_\_\_。
>
> A. AB B. AB C. A∈B D. AB
>
> 4\. 双曲线3x－y＝3的渐近线方程是\_\_\_\_\_。
A. y＝±3x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±x
5\. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是\_\_\_\_\_。
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数
6. C＋C＝\_\_\_\_\_\_\_\_。
7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8. 不等式ax＋bx＋c\>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a\<0解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9. 已知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，其中b＝(a＋a＋...＋a)。
10\. 已知F、F是椭圆＋＝1 (a\>b\>0)的两个焦点，其中F与抛物线y＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M FF·cos∠MFF＝，求椭圆方程。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定"对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确"。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
**Ⅰ、再现性题组：**
1\. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)...(n＋n)＝2·1·2...(2n－1) （n∈N），从"k到k＋1"，左端需乘的代数式为\_\_\_\_\_。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.
2\. 用数学归纳法证明1＋＋＋...＋\<n (n\>1)时，由n＝k (k\>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是\_\_\_\_\_。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3\. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得\_\_\_\_\_\_。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4\. 数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是\_\_\_\_\_。
A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－3
5\. 用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6\. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)...(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)...(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；
2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；
3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；
5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；
6小题：答案k－1。
**Ⅱ、示范性题组：**
1. 已知数列，得，...，，...。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ，
猜测S＝ (n∈N)。
当n＝1时，等式显然成立；
假设当n＝k时等式成立，即：S＝，
当n＝k＋1时，S＝S＋
＝＋
＝
＝＝,
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
【注】 把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。
【另解】 用裂项相消法求和：
由a＝＝－得，
S＝（1－）＋（－）＋......＋－＝1－
＝。
此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。
例2. 设a＝＋＋...＋ (n∈N),证明：n(n＋1)\<a\< (n＋1) 。
【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
【解】 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，
∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)\<a\< (k＋1) ，
当n＝k＋1时，k(k＋1)＋\<a\<(k＋1)＋,
k(k＋1)＋\>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)\>(k＋1)(k＋2)，
(k＋1)＋＝(k＋1)＋\<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，
所以(k＋1)(k＋2) \<a\<(k＋2)，即n＝k＋1时不等式也成立。
综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)\<a\<(n＋1)恒成立。
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由\>n可得，a\>1＋2＋3＋...＋n＝n(n＋1)；由\<n＋可得，a\<1＋2＋3＋...＋n＋×n＝n(n＋1)＋n＝(n＋2n)\<(n＋1)。所以n(n＋1)\<a\<(n＋1)。
例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】 要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
【解】 设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a， ∴当n＝2时猜测正确。
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，
将a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，
整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列。
【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2。
【另解】 可证a －a＝ a－ a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，从而{a}是等差数列。
一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 用数学归纳法证明：6＋1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋...＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·...·cos＝ (81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： \|sinnx\|≤n\|sinx\| （n∈N）。 （85年广东高考）
6\. 数列{a}的通项公式a＝ (n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)...(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos\[(n－1)x\]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8\. 设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)\>n (n\>1且n∈N)
六、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
**Ⅰ、再现性题组：**
1\. 设2＝3＝5\>1，则2x、3y、5z从小到大排列是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
2\. （理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（文）若k\<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3\. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
4\. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为\_\_\_\_\_\_。
5\. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x\>0时，f(x)\<0，则f(x)的R上是\_\_\_\_\_\_函数。(填"增"或"减")
6\. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是\_\_\_\_\_。
A. 3 B. C. D. 2
【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用"比较法"比较2x、3y、5z，得出3y\<2x\<5z；
2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；
4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；
6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。
**Ⅱ、示范性题组：**
1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到"均值换元法"，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。
> 【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，
∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥
> 所以a＋b＋c的最小值是。
【注】由"均值换元法"引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和"配方法"进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若k·k＝－ ，
> ①．求证：\|OP\|＋\|OQ\|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。
【分析】 由"换元法"引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算\|OP\|＋\|OQ\|，并运用"参数法"求中点M的坐标，消参而得。
【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),
则k·k＝＝－，整理得到：
cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。
∴ \|OP\|＋\|OQ\|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，
即\|OP\|＋\|OQ\|等于定值20。
由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，
所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行"三角换元"，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和"平方法"，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程"消参法"的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用"参数法"时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用"消去法"消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，消y得(1＋4k)x＝16,即\|x\|＝；
，消y得(1＋)x＝16，即\|x\|＝；
所以\|OP\|＋\|OQ\|＝()＋（）
＝＝20。即\|OP\|＋\|OQ\|等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式\|AB\|＝\|x－x\|求\|OP\|和\|OQ\|的长。
S\
\
E\
\
D C\
O F\
A B
例3.已知正四棱锥S---ABCD的侧面与底面的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。
【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝,
SC＝＝
＝
又 ∵BE＝＝＝
在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。
所以cosα＝－cosβ。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 已知复数z满足\|z\|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
2. 函数y＝x＋2＋的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为\_\_\_\_\_
> A. 5 B. 10 C. 2 D. 3
4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。
5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。
6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈\[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
7\. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模为1的虚根，求实数a的值及方程的根。
8\. 给定的抛物线y＝2px (p\>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有＋为定值。
七、反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于"间接证明法"一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括："若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾"。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律"。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的"矛盾律"；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说"A或者非A"，这就是逻辑思维中的"排中律"。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据"矛盾律"，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以"否定的结论"必为假。再根据"排中律"，结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为"否定→推理→否定"。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是"否定之否定"。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到"反设"进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫"归谬法"；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫"穷举法"。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过："反证法是数学家最精当的武器之一"。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以"否定形式"、"至少"或"至多"、"唯一"、"无限"形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
**Ⅰ、再现性题组：**
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 \_\_\_\_\_\_。
> A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2. 已知a\<0,－1\<b\<0，那么a、ab、ab之间的大小关系是\_\_\_\_\_。
> A. a\>ab\> ab B. ab\>ab\>a C. ab\>a\> ab D. ab\> ab\>a
3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则\_\_\_\_\_。
> A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
>
> C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有\_\_\_\_\_。(97年全国理)
> A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；
2小题：采用"特殊值法"，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D。
S
C\
\
A O\
B
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是"不垂直"，呈"否定性"，考虑使用反证法，即假设"垂直"后再导出矛盾后，再肯定"不垂直"。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
,解得,即－\<a\<－1。
所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。
【注】"至少"、"至多"问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了"判别式法"、"补集法"（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】"不平行"的否定是"平行"，假设"平行"后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】 ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,
假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 这与已知"a≠1"矛盾，
因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。
② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
【注】对于"不平行"的否定性结论使用反证法，在假设"平行"的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 已知f(x)＝，求证：当x≠x时，f(x)≠f(x)。
2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：、、不可能成等差数列。
3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求证：\|f(1)\|、\|f(2)\|、\|f(3)\|中至少有一个不小于 。
4. 求证：抛物线y＝－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。
5. 已知a、b∈R，且\|a\|＋\|b\|\<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。
A\
\
\
F D\
B M\
N\
\
E C
6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能垂直CF。
第二章 高中数学常用的数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过："数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。"数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。"数"与"形"是一对矛盾，宇宙间万物无不是"数"和"形"的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
**Ⅰ、再现性题组：**
5. 设命题甲：0\<x\<5；命题乙：\|x－2\|\<3，那么甲是乙的\_\_\_\_\_。 （90年全国文）
> A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 若log2\<log2\<0，则\_\_\_\_\_。(92年全国理)
> A. 0\<a\<b\<1 B. 0\<b\<a\<1 C. a\>b\>1 D. b\>a\>1
7. 如果\|x\|≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是\_\_\_\_\_。 (89年全国文)
> A. B. － C. －1 D.
8. 如果奇函数f(x)在区间\[3,7\]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的\[-7,-3\]上是\_\_\_\_。(91年全国)
> A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
>
> C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
9. 设全集I＝{(x,y)\|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)\| ＝1}，N＝{(x,y)\|y≠x＋1}，那么等于\_\_\_\_\_。 (90年全国)
> A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)\|y＝x＋1
10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是\_\_\_\_\_。
> A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
11. 已知集合E＝{θ\|cosθ\<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ\|tgθ\<sinθ}，那么E∩F的区间是\_\_\_\_\_。（93年全国文理）
> A. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)
12. 若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝\_\_\_\_\_。
> A. －2－2ｉ B. －2＋2ｉ C. －2＋2ｉ D. －2－2ｉ
13. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是\_\_\_\_\_。 (90年全国理)
> A. B. C. D.
14. 满足方程\|z＋3－ｉ\|＝的辐角主值最小的复数z是\_\_\_\_\_。
【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝\>乙，选A;
2小题：由已知画出对数曲线，选B；
3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；
4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；
5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；
6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；
7小题：利用单位圆，选A；
8小题：将复数表示在复平面上，选B；
9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；
10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
y\
4 y=1-m\
1\
O 2 3 x
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
【解】 原方程变形为
即：
设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m\<4时，有唯一解，即－3\<m≤0,
> ∴ m＝1或－3\<m≤0
此题也可设曲线y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y＝m后画出图像求解。
【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
y A\
D\
O B x
C
例2. 设\|z\|＝5，\|z\|＝2, \|z－\|＝，求的值。
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。
由图可知，\|\|＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：
cos∠AOD＝＝
∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ
y A\
D\
O x
【另解】设z＝、＝如图所示。则\|\|＝，且
cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，
所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。
【注】本题运用"数形结合法"，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。
本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则\|z－\|＝\|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ\|＝
＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±，
＝＝\[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)\]＝(±ｉ)＝2±ｉ。
本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由\|z－\|＝得：
（z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13,
所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。
几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。
例3. 直线L的方程为：x＝－ (p\>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：
，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0
所以△＝16－64p＋48p\>0,即6p－8p＋2\>0，解得：p\<或p\>1。
结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，
所以\<\<4+即p\<，且f()\>0、f(4+)\>0即p\>－4＋3。
结合以上，所以－4＋3\<p\<。
【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了"判别式法"，其中特别要注意解的范围。另外，"定义法"、"数形结合法"、"转化思想"、"方程思想"等知识都在本题进行了综合运用。
例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)\|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)\|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)\|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)
【分析】集合A、B都是不连续的点集，"存在a、b，使得A∩B≠φ"的含意就是"存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d＝＝3(＋)≥12
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。
本题直接运用代数方法进行解答的思路是：
由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）；
由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）；
把①式代入②式，得关于a的不等式：
(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,
它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)\[(3n＋15)－144\]＝－36(n－3)
因为n是整数，所以n－3≠0,因而△\<0，又因为1＋n\>0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 已知5x＋12y＝60，则的最小值是\_\_\_\_\_。
> A. B. C. D. 1
2. 已知集合P＝{(x,y)\|y＝}、Q＝{(x,y)\|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是\_\_\_\_。
> A. \|b\|\<3 B. \|b\|≤3 C. －3≤b≤3 D. －3\<b\<3
3. 方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是\_\_\_\_\_。
> A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对
4. 方程x＝10sinx的实根的个数是\_\_\_\_\_\_\_。
5. 若不等式m\>\|x－1\|＋\|x＋1\|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 设z＝cosα＋ｉ且\|z\|≤1,那么argz的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
7. 若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是\_\_\_\_\_\_。
8. sin20°＋cos80°＋sin20°·cos80°＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9. 解不等式： \>b－x
10. 设A＝{x\|\<1x\<3}，又设B是关于x的不等式组的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。 （90年高考副题）
11. 定义域内不等式〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。
> 12\. 已知函数y＝＋，求函数的最小值及此时x的值。
>
> 13\. 已知z∈C，且\|z\|＝1，求\|(z＋1)(z－ｉ)\|的最大值。
14\. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如\|a\|的定义分a\>0、a＝0、a\<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax\>2时分a\>0、a＝0和a\<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是"不漏不重"。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
**Ⅰ、再现性题组**：
> 1．集合A＝{x\|\|x\|≤4,x∈R}，B＝{x\|\|x－3\|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是\_\_\_\_\_。
>
> A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a\<1 D. 0\<a\<1
>
> 2.若a\>0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是\_\_\_\_\_。
>
> A. p＝q B. p\<q C. p\>q D.当a\>1时，p\>q；当0\<a\<1时，p\<q
>
> 3.函数y＝＋＋＋的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 4.若θ∈(0, )，则的值为\_\_\_\_\_。
>
> A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
>
> 5.函数y＝x＋的值域是\_\_\_\_\_。
>
> A. \[2,+∞) B. (-∞,-2\]∪\[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. \[-2,2\]
>
> 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为\_\_\_\_\_。
>
> A. B. C. D. 或
>
> 7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是\_\_\_\_\_。
>
> A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
【简解】1小题：对参数a分a\>0、a＝0、a\<0三种情况讨论，选B；
2小题：对底数a分a\>1、0\<a\<1两种情况讨论，选C；
3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；
4小题：分θ＝、0\<θ\<、\<θ\<三种情况，选D；
5小题：分x\>0、x\<0两种情况，选B；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 设0\<x\<1，a\>0且a≠1，比较\|log(1－x)\|与\|log(1＋x)\|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 0\<x\<1 ∴ 0\<1－x\<1 , 1＋x\>1
1. 当0\<a\<1时，log(1－x)\>0，log(1＋x)\<0，所以\
\|log(1－x)\|－\|log(1＋x)\|＝log(1－x)－\[－log(1＋x)\]＝log(1－x)\>0;
2. 当a\>1时，log(1－x)\<0，log(1＋x)\>0，所以\
\|log(1－x)\|－\|log(1＋x)\|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)\>0；
> 由①、②可知，\|log(1－x)\|\>\|log(1＋x)\|。
【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a\>1时其是增函数，当0\<a\<1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C·C＋C·C＋C·C＝1084
【注】本题是排列组合中"包含与排除"的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用"排除法"，即C－C＝1084。
例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： \<lgS； ②.是否存在常数c\>0，使得＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
【解】 设{a}的公比q，则a\>0，q\>0
①．当q＝1时，S＝na，从而SS－S＝na(n＋2)a－(n＋1)a＝－a\<0；
当q≠1时，S＝，从而
SS－S＝－＝－aq\<0；
由上可得SS\<S，所以lg(SS)\<lg(S)，即\<lgS。
②. 要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S＝na，则
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)\[(n＋2)a－c\]－\[(n＋1)a－c\]＝－a\<0
当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝\[－c\]\[ －c\]－\[－c\]＝－aq\[a－c(1－q)\]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－\<0 ∴对数式无意义
由上综述，不存在常数c\>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明\>logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1\<x\<4的一切x值都有f(x)\>0，求实数a的取值范围。
1 4 x\
\
\
\
\
1 4 x
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
【解】当a\>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
∴ 或
或
∴ a≥1或\<a\<1或φ 即 a\>；
当a\<0时，，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a\> 。
【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a\>0、a\<0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a\>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是"数形结合法"的运用。
例5. 解不等式\>0 (a为常数，a≠－)
【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a\>0、a＝0、－\<a\<0、a\<－分别加以讨论。
【解】 2a＋1\>0时，a\>－； －4a\<6a时，a\>0 。 所以分以下四种情况讨论：
> 当a\>0时，(x＋4a)(x－6a)\>0，解得：x\<－4a或x\>6a；
>
> 当a＝0时，x\>0，解得：x≠0；
>
> 当－\<a\<0时，(x＋4a)(x－6a)\>0，解得: x\<6a或x\>－4a；
>
> 当a\>－时，(x＋4a)(x－6a)\<0，解得： 6a\<x\<－4a 。
综上所述，当a\>0时，x\<－4a或x\>6a；当a＝0时，x≠0；当－\<a\<0时，x\<6a或x\>－4a；当a\>－时，6a\<x\<－4a 。
【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
> 例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2\|z\|＝a 。 (90年全国高考)
【分析】由已知z＋2\|z\|＝a和\|z\|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。
【解】 ∵ \|z\|∈R，由z＋2\|z\|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，\|z\|＋2\|z\|＝a,解得：\|z\|＝－1＋ ∴ z＝±(－1＋)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y\>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2＋2xyｉ＝a；
∴
当y＝0时，x＋2\|x\|＝a，解得x＝±(－1＋)，所以z＝±(－1＋)；
当x＝0时，－y＋2\|y\|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)ｉ。
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想。
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
\|MA\|＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝\[x－(a－1)\]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即\|MA}＝2a－1；
当a－1\<0时，x＝0取最小值，即\|MA}＝a；
综上所述，有f(a)＝ 。
【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f(a)的函数表达式。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 若log\<1，则a的取值范围是\_\_\_\_\_。
> A. (0, ) B. (,1) C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞)
2. 非零实数a、b、c，则＋＋＋的值组成的集合是\_\_\_\_\_。
> A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)\|3a－x\|，a是正常数，下列结论正确的是\_\_\_\_\_。
> A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
>
> C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
4\. 设f(x,y)＝0是椭圆方程，f(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)＋λf(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲线是\_\_\_\_\_。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5\. 函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间\[2,3\]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为\_\_\_\_\_。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是\_\_\_\_\_。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7\. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是\_\_\_\_\_。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
> 8.z∈C，方程z－3\|z\|＋2＝0的解的个数是\_\_\_\_\_。
>
> A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
>
> 9.复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
10.解关于x的不等式： 2log(2x－1)\>log(x－a) (a\>0且a≠1)
11.设首项为1，公比为q (q\>0)的等比数列的前n项和为S，又设T＝，求T 。
12\. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且\|z\|＝2，求z 。
13\. 有卡片9张，将0、1、2、...、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14\. 函数f(x)＝(\|m\|－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。
**三、函数与方程的思想方法**
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的......等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了"联系和变化"的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
**Ⅰ、再现性题组：**
> 1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为\_\_\_\_\_。
>
> A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
>
> 2.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么\_\_\_\_\_。
>
> A. f(2)\<f(1)\<f(4) B. f(1)\<f(2)\<f(4) C. f(2)\<f(4)\<f(1) D. f(4)\<f(2)\<f(1)
>
> 3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) \_\_\_\_\_\_。
>
> A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
>
> 4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tgθ的值是\_\_\_\_\_。
>
> A. － B. － C. D.
>
> 5.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
> 7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8\. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B；
4小题：设tg＝x (x\>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
5小题：利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
6小题：设cosx＝t，t∈\[-1,1\]，则a＝t－t－1∈\[－,1\]，所以答案：\[－,1\]；
7小题：设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
8小题：设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 设a\>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)
【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。
【解】 将原方程化为：log(x－ak)＝log， 等价于 （a\>0,a≠1）
∴ k＝－ ( \|\|\>1 ）,
设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－\|ctgθ\|
当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg\<－1，故k\<－1；
当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0\<k\<1；
综上所述，k的取值范围是：k\<－1或0\<k\<1。
y C
C
-ak
-a a x
【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。
另一种解题思路是采取"数形结合法"： 将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于x－ak＝ (x－ak\>0)，设曲线C：y＝x－ak，曲线C：y＝ (y\>0)，如图所示。
由图可知，当－ak\>a或－a\<－ak\<0时曲线C与C有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k\<－1或0\<k\<1。
还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为后，解得：，所以\>ak，即－k\>0，通分得\<0，解得k\<－1或0\<k\<1。所以k的取值范围是：k\<－1或0\<k\<1。
例2. 设不等式2x－1\>m(x－1)对满足\|m\|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)\<0在\[-2,2\]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在\[-2,2\]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)\<0在\[-2,2\] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1),
则
解得x∈（,）
【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1\>m(x－1)的解集是\[-2,2\]时求m的值、关于x的不等式2x－1\>m(x－1)在\[-2,2\]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S\>0，S\<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、...、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
【分析】 ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d\>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d\<0。
解得：－\<d\<－3。
② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝\[n－(5－)\]－\[(5－)\]
因为d\<0，故\[n－(5－)\]最小时，S最大。由－\<d\<－3得6\<(5－)\<6.5，故正整数n＝6时\[n－(5－)\]最小，所以S最大。
【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a\>0、a\<0 ，即：由d\<0知道a\>a\>...\>a，由S＝13a\<0得a\<0，由S＝6(a＋a)\>0得a\>0。所以，在S、S、...、S中，S的值最大。
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P\
\
M\
A H B\
D C
【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋\[(2r－x)sinθ\]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)\[x－\]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
【注】 本题巧在将立体几何中"异面直线的距离"变成"求异面直线上两点之间距离的最小值"，并设立合适的变量将问题变成代数中的"函数问题"。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得
tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝ (1＋)
设tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A\<C，则tgA＝1，tgC＝2＋， ∴A＝，C＝
由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
【注】本题的解答关键是利用"△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC"这一条性质得到tgA＋tgC，从而设立方程求出tgA和tgC的值，使问题得到解决。
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
【分析】 观察题设，发现正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。
【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列
【注】一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了"x＋x＝a、x·x＝b"的形式，则可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解决，体现了一定的技巧性，也是解题基本方法中的一种"构造法"。
例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤ 。
【分析】考虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运用"三角形的内角和为180°"。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。
【证明】 设k＝cosA·cosB·cosC＝\[cos(A＋B)＋cos(A－B)\]·cosC＝\[－cosC＋cos(A－B)\]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1
∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤
【注】本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有"二次"特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的方程有实解的问题，这既是"方程思想"，也体现了"判别式法"、"参数法"。
此题的另外一种思路是使用"放缩法",在放缩过程中也体现了"配方法"，具体解答过程是：cosA·cosB·cosC＝\[cos(A＋B)＋cos(A－B)\]·cosC ＝－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－ \[cosC－\]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。
例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1\]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
【分析】当x∈(-∞,1\]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a\>0在x∈(-∞,1\]上恒成立的不等式问题。
【解】 由题设可知，不等式1＋2＋4a\>0在x∈(-∞,1\]上恒成立，
即：()＋()＋a\>0在x∈(-∞,1\]上恒成立。
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在\[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a\>0，得a\>－
所以a的取值范围是a\>－。
【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
在解决不等式()＋()＋a\>0在x∈(-∞,1\]上恒成立的问题时，也可使用"分离参数法"： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－\]，所以a的取值范围是a\>－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用"函数思想"。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是\_\_\_\_\_。
> A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知函数f(x)＝\|2－1\|，a\<b\<c，且f(a)\>f(c)\>f(b)，则\_\_\_\_\_。
> A. a\<0,b\<0,c\>0 B. a\<0,b\>0,c\>0 C. 2\<2 D. 2＋2\<2
3. 已知函数f(x)＝log(x－4x＋8)， x∈\[0,2\]的最大值为－2，则a＝\_\_\_\_\_。
> A. B. C. 2 D. 4
4.已知{a}是等比数列，且a＋a＋a＝18，a＋a＋a＝－9，S＝a＋a＋...＋a，那么S等于\_\_\_\_\_。
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差数列{a}中，a＝84，前n项和为S,已知S\>0，S\<0，则当n＝\_\_\_\_\_\_时，S最大。
6\. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_。
7.若关于x的方程\|x－6x＋8\|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。
9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。
10.已知lg－4·lg·lg＝0，求证：b是a、c的等比中项。
11.设α、β、γ均为锐角，且cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π 。
12.当p为何值时，曲线y＝2px (p\>0)与椭圆(x―2―)＋y＝1有四个交点。(88年全国高考)
13.已知关于x的实系数二次方程x＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：
1. 如果\|α\|\<2，\|β\|\<2，那么2\|a\|\<4＋b且\|b\|\<4；
2. 如果2\|a\|\<4＋b且\|b\|\<4，那么\|α\|\<2，\|β\|\<2 。 （93年全国理）
14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I表示区间(2k-1,2k+1\]，已知当x∈I时，f(x)＝x。 ①.求f(x)在I上的解析表达式； ②.对自然数k，求集合M＝{a\|使方程f(x)＝ax在I上有两个不相等的实根}。 （89年全国理）
**四、等价转化思想方法**
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出："解题就是把要解题转化为已经解过的题"。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式...等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
**Ⅰ、再现性题组：**
1\. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于\_\_\_\_\_。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f\[f(x)\]等于\_\_\_\_\_\_。
A. B. 9x－8 C. x D.
3\. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是\_\_\_\_\_\_。
A. B. C. D.
4\. 如果复数z满足\|z＋ｉ\|＋\|z－ｉ\|＝2，那么\|z＋ｉ＋1\|的最小值为\_\_\_\_\_\_。
A. 1 B. C. 2 D.
5\. 设椭圆＋＝1 （a\>b\>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到l的距离等于c，则椭圆的离心率为\_\_\_\_\_。
A. B. C. D.
6\. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为\_\_\_\_\_。
A. B. 10 C. D.
【简解】1小题：由已知转化为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
3小题：由mp＋nq≤＋容易求解，选A；
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
5小题：ab＝×，变形为12e－31e＋7＝0，再解出e，选B；
6小题：由S＝S和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
**Ⅱ、示范性题组：**
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)
＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求＋＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
【分析】 设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，
即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈\[0,4\]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈\[0,4\]
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。
【解一】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
【解二】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝
＝＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）
【解三】ctg10°－4cos10°＝－4cos10°＝
＝＝
＝＝
＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）
【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒等变形的每一道难关。
例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，
求证：\[f(x)＋f(x)\]\>f() （94年全国高考）
【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
【证明】\[f(x)＋f(x)\]\>f() \[tgx＋tgx\]\>tg
> (＋)\> \>
>
> 1＋cos(x＋x)\>2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx\>2cosxcosx
>
> cosxcosx＋sinxsinx\<1 cos(x－x)\<1
>
> 由已知显然cos(x－x)\<1成立，所以\[f(x)＋f(x)\]\>f()
S\
\
A M
D N C\
B
【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。此种题型属于分析证明型。
例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1\. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为\_\_\_\_\_。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2\. 函数f(x)＝\|lgx\|，若0\<a\<b时有f(a)\>f(b)，则下列各式中成立的是\_\_\_\_\_。
A. ab≤1 B. ab\<1 C. ab\>1 D. a\>1且b\>1
3\. \[－\] (n∈N)的值为\_\_\_\_\_\_。
A. B. C. 0 D. 1
4\. (a＋b＋c)展开式的项数是\_\_\_\_\_。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5\. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'＝AD＝1，AB＝，则顶点A到截面A'BD的距离是\_\_\_\_\_\_\_。
6\. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，则\|MN\|的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
7\. 函数y＝＋的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
8\. 不等式log（x＋x＋3）\>log(x＋2)的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
9．设x\>0，y\>0，求证：(x＋y)\>(x＋y) (86年上海高考)
10\. 当x∈\[0, \]时，求使cosx－mcosx＋2m－2\>0恒成立的实数m的取值范围。
11\. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝\[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)\]·\[sin(－)＋ｉcos(－)\]的辐角主值argz的最大值。
12\. 已知抛物线C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m,0)，求m的取值范围。
**第三章 高考热点问题和解题策略**
数学高考坚持以"两个有利"（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思想，严格遵循"考试说明"的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查数学学科的思维能力。
函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）数列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。
1993年---1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考查的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力多题渗透。
今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题5分，但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，2000高考将适当降低试卷的难度，**进一步加强对思维能力考查**。
进一步注重通性通法的考查，继续**突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等）**，淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材过渡的准备。
应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式。
**一、应用问题**
应用问题的"考试要求"是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确"数学有用，要用数学"，并积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用"考试说明"所规定的数学知识和方法来求解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
**1、读题**：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
**2、建模**：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
**3、求解**：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
**4、评价**：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
**Ⅰ、再性性题组：**
1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成\_\_\_\_\_\_。(94年全国高考)
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为\_\_\_\_\_\_\_时，场地面积最大，最大面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。(82年全国高考)
3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是\_\_\_\_\_\_\_。(93年全国高考)
A. ()π B. ()π C. ()π D. 2()π
4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为\_\_\_\_\_\_\_。(精确到0.1m) (93年全国高考)
5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有\_\_\_\_\_\_\_种承包方式。(86年全国高考)
【简解】1小题：答案B；
2小题：设长x，面积S＝x×≤()，答案：长为，最大面积；
3小题：V＝πr＝πr(－2r)≤π()，选A；
4小题：由＝tg60°得h＝10≈17.3；
5小题：CCC＝1680。
**Ⅱ、示范性题组：**
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （96年全国高考）
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。
【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P 。
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋...≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋...≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。
在解答应用问题时，我们强调"评价"这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1,算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上。
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？（91年上海高考）
【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。
【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋...≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m。
【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型属于应用问题中的数列模型。
例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考）
【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。
【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0,c\]。
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k\>0)的单调性而得：
当\<c时，则v＝时，y取最小值；
当≥c时，则v＝c时，y取最小值。
综上所述，为使全程成本y最小，当\<c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c。
【注】对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整。此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型。
A\
\
M C D B
例4．如图，假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往B地，已知AC＝10km，BC＝30km，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C点多远处？
【分析】设∠ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等。
【解】设∠ADC＝α，则AD＝，BD＝30－10ctgα，
设水路每km的运费为1，则运费y＝(30－10ctgα)＋2×
＝10(3－＋)＝10(3＋)
设t＝，即t×sinα＋cosα＝2,有sin(α＋θ)＝2,
∴≥2即t≥。
当t＝时，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1,
∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。
∴ CD＝10ctgα＝km
综上所述，D点应选在距C点km时运费最少。
【注】作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型。
在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型。此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1.某商品降价10％后，欲恢复原价，则应提价为\_\_\_\_\_\_。
A. 10％ B. 9％ C. 11％ D. 11％
2.某工厂去年12月的月厂值为a，已知月平均增长率为P，则今年12月厂值比去年同期增加的倍数是\_\_\_\_\_\_。
A. (1＋P)－1 B. (1＋P) C. (1＋P) D. 12P
3.将一半径为R的木球加工成一正方形木块，则木块的最大体积为\_\_\_\_\_\_。
A. R B. R C. R D. R
4.在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50°与140°的圈上，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离为\_\_\_\_\_\_。
A. πR B. πR C. R D. πR
5.某种商品分两次提价，有三种提价方案，方案甲是：第一次提价p％，第二次提价q％；方案乙是：第一次提价q％，第二次提价p％；方案丙是：第一次提价％，第二次提价％，已知p\>q\>0，则上述三个方案中\_\_\_\_\_\_。
A.方案甲提价最多 B.方案乙提价最多 C.方案丙提价最多 D.以上都不对
6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率8个百分点，即8％），计划可收购m万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。 ① 写出税收y（万元）与x的函数关系式； ② 要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。
7.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月的这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
A\
\
\
O 水面
8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（97年上海高考）
9.电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A处的照度I与射到点A的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，与点A到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r＝0.5米，当电灯离桌面1米时，桌边A处的照度为I。 ① 试把照度I表示为角θ的函数； ② 怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌边处最亮？
10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米）
**二、探索性问题**
近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由"应试教育"向"素质教育"转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以"是否存在"的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨"是否存在"类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。
探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。
**Ⅰ、再现性题组：**
1.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋...＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国理）
2.已知数列，...，，...。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【简解】1题：令n＝1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a＝3、b＝11、c＝10，猜测a、b、c的值对所有的n∈N都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题）
2题：计算得到S＝、S＝、S＝、S＝，观察后猜测S＝，再运用数学归纳法进行证明。
**Ⅱ、示范性题组：**
【例1】已知方程kx＋y＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。（78年全国高考题）
【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx＋y＝4的特点，对参数k分k\>1、k＝1、0\<k\<1、k＝0、k\<0五种情况进行讨论。
【解】由方程kx＋y＝4，分k\>1、k＝1、0\<k\<1、k＝0、k\<0五种情况讨论如下：
① 当k\>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a＝2，b＝;
② 当k＝1时，表示圆，圆心在原点，r＝2；
③ 当0\<k\<1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x轴上，a＝，b＝2；
④ 当k＝0时，表示两条平行直线 y＝±2；
⑤ 当k\<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴上。
y y y y y\
\
x x x x x
所有五种情况的简图依次如下所示：
【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。
【例2】给定双曲线x－＝1， ① 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P及P，求线段PP的中点P的轨迹方程； ② 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q、Q，且点B是线段Q、Q的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。（81年全国高考题）
【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。
【解】① 设直线L：y＝k(x－2)
∴ 消y得(2－k)x＋4kx－(2＋4k)＝0
∴ x＋x＝ ∴x＝ 代入直线L得：y＝
∴ 消k得2x－4x－y＝0即－＝1
线段PP的中点P的轨迹方程是：－＝1
② 设所求直线m的方程为：y＝k(x－1)＋1
∴ 消y得(2－k)x＋(2k－2k)x＋2k－k－3＝0
∴ x＋x＝＝2×2 ∴k＝2
代入消y后的方程计算得到：△\<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。
【注】本题综合性比较强，将解析几何知识进行了横向综合。对于直线与曲线的交点问题和有关交点弦长及其中点的问题，一般可以利用韦达定理和根的判别式求解。本题属于存在型问题，其一般解法是：假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。在解题思路中，分析法与反证法起了关键作用。这类问题一般是先列出条件组，通过等价转化解组。
【例3】设{a}是正数组成的数列，其前n项的和为S，并且对于所有的自然数n，a与2的等差中项等于S与2的等比中项。 ① 写出数列{a}的前3项； ② 求数列{a}的通项公式（写出推证过程）； ③ 令b＝（＋） (n∈N)，求(b＋b＋...＋b－n)。(94年全国高考题)
【分析】由题意容易得到＝，由此而求得a、a、a，通过观察猜想a，再用数学归纳法证明。求出a后，代入不难求出b，再按照要求求极限。
【解】① ∵ ＝＝ ∴ a＝2
∵ ＝＝＝ ∴ a＝6
∵ ＝＝＝ ∴a＝10
所以数列{a}的前3项依次为2、6、10。
② 由数列{a}的前3项依次为2、6、10猜想a＝4n－2，
下面用数学归纳法证明a＝4n－2：
当n＝1时，通项公式是成立的；
假设当n＝k时结论成立，即有a＝4k－2，
由题意有＝,将a＝4k－2代入得到：S＝2k；
当n＝k＋1时，由题意有＝＝
∴ ()＝2(a＋2k) 即a－4a＋4－16k＝0
由a\>0，解得a＝2＋4k＝4(k＋1)－2，
所以n＝k＋1时，结论也成立。
综上所述，上述结论对所有的自然数n都成立。
③ 设c＝b－1＝（＋）－1＝（＋－2）
＝\[（－1）＋(－1)\]＝－
b＋b＋...＋b－n＝c＋c＋...＋c＝（1－）+（－）＋...＋(－)＝1－
∴(b＋b＋...＋b－n)＝(1－)＝1
【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特殊的情况出发，推测出结论，再进行严格证明。第③问对极限的求解，使用了"裂项相消法"，设立新的数列c具有一定的技巧性。
此外，本题第②问数列通项公式的求解，属于给出数列中S与a的函数关系式求a，对此类问题我们还可以直接求解，解答思路是由a＝S－S的关系转化为数列通项之间的递推关系，再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解。具体的解答过程是：
由题意有＝，整理得到S＝(a＋2)，所以S＝(a＋2)，
∴ a＝S－S＝\[(a＋2)－(a＋2)\]
整理得到(a＋a)( a－a－4)＝0
由题意a\>0可以得到：a－a－4＝0,即a－a＝4
∴数列{a}为等差数列，其中a＝2，公差d＝4，即通项公式为a＝4n－2。
【例4】已知x\>0，x≠1，且x＝ (n∈N)，比较x与x的大小。(86年全国理)
【分析】比较x与x的大小，采用"作差法"，判别差式的符号式，分情况讨论。
【解】x－x＝－x＝
由x\>0及数列{x}的定义可知，x\>0，所以x－x与1－x的符号相同。
假定x\<1，当n＝1时，1－x\>0；假设n＝k时1－x\>0，那么当n＝k＋1时，
1－x＝1－\[\]＝\>0，因此对一切自然数n都有1－x\>0,即x\<x。
假定x\>1，当n＝1时，1－x\<0；假设n＝k时1－x\<0，那么当n＝k＋1时，
1－x＝1－\[\]＝\<0，因此对一切自然数n都有1－x\<0,即x\<x。
所以，对一切自然数n都有x\<x。
【注】本题对1－x的符号的探讨，由于其与自然数n有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n有关时，我们可以用归纳→猜想→证明的方法解出。
**Ⅲ、巩固性题组：**
1\. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： \<lgS； ②.是否存在常数c\>0，使得\<lg（S－c）成立？并证明你的结论。(95年全国理)
2.已知数列{b}是等差数列，b＝1，b＋b＋...＋b＝100。
①.求数列{b}的通项； ②.设数列{a}的通项a＝lg(1＋)，记S是数列{a}的前n项和，试比较S与lgb的大小，并证明你的结论。（98年全国高考题）
3.是否存在a、b、c，使得a＝an＋bn＋c，且满足a＝1,3S＝(n＋2)a，对一切自然数n都成立（其中S＝a＋a＋...＋a）？试证明你的结论。
4.已知P＝(1＋x)，Q＝1＋nx＋x，n∈N，x∈(-1,+∞)，比较P和Q的大小。
5.已知数列{a}满足关系式a＝a (a\>0)，a＝ (n≥2，n∈N)。
① 用a表示a、a、a； ② 猜想a的表达式，并证明你的结论。
A y\
\
\
B O C x
6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且b、a、c成等差数列，b≥c。已知B(-1,0)、C(1,0)。
① 求顶点A的轨迹L；
② 是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q且\|PQ\|恰好等于原点O到直线m距离的倒数？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由。
P\
N\
B M A\
C D
7.如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。
1. 求证：MN⊥AB；
② 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由。
三、选择题解答策略
近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本策略是准确、迅速。
准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型的考试，致使"超时失分"是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的"了解、理解、掌握"三个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是"四选一"型，即选择项中只有一个是正确的。它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A、B、C、D组成。
选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推理等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷简捷，评分客观，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生常犯的概念错误或运算、推理错误，所有具有较大的"迷惑性"。
一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项选择题的结构（由"四选一"的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目"个性"，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
**Ⅰ、示范性题组：**
1. 直接法：
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则等知识，通过推理运算，得出结论，再对照选择项，从中选正确答案的方法叫直接法。
【例1】（96年高考题）若sinx\>cosx,则x的取值范围是\_\_\_\_\_\_。
A．{x\|2k－\<x\<2k＋,kZ} B. {x\|2k＋\<x\<2k＋,kZ}
> C. {x\|k－\<x\<k＋,kZ} D. {x\|k＋\<x\<k＋,kZ}
【解】直接解三角不等式：由sinx\>cosx得cosx－sinx\<0,即cos2x\<0，所以： ＋2kπ\<2x\<＋2kπ，选D；
【另解】数形结合法：由已知得\|sinx\|\>\|cosx\|，画出单位圆：
利用三角函数线，可知选D。
【例2】（96年高考题）设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于\_\_\_\_\_\_。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
【解】由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B。
也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5。
【例3】（87年高考题）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是\_\_\_\_\_。
A. 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800
【解一】用排除法：七人并排站成一行，总的排法有P种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×P种。因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：P－2×P＝3600,对照后应选B；
【解二】用插空法：P×P＝3600。
直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解。直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案。提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的"个性"，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握"三基"的基础上，否则一味求快则会快中出错。
2. 特例法：
用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确判断的方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。
【例4】(97年高考题)定义在区间(-∞，∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间\[0,+∞）的图象与f(x)的图象重合，设a\>b\>0,给出下列不等式①f(b)－f(-a)\>g(a)－g(-b);②f(b)－f(-a)\<g(a)－g(-b);③f(a)－f(-b)\>g(b)－g(-a);④f(a)－f(-b)\<g(b)－g(-a).其中成立的是（ ）
> A. ①与④ B. ②与③ C. ①与③ D. ②与④
【解】令f(x)＝x，g(x)＝\|x\|，a＝2，b＝1,则：f(b)－f(-a)＝1－(－2)＝3, g(a)－g(-b)＝2－1=1,得到①式正确；f(a)－f(-b)＝2－（－1）＝3, g(b)－g(-a)＝1－2＝－1，得到③式正确。所以选C。
【另解】直接法：f(b)－f(-a)＝f(b)＋f(a)，g(a)－g(-b)＝g(a)－g(b)＝f(a)－f(b)，从而①式正确；f(a)－f(-b)＝f(a)＋f(b)，g(b)－g(-a)＝g(b)－g(a)＝f(b)－f(a)，从而③式正确。所以选C。
【例5】（85年高考题）如果n是正偶数，则C＋C＋...＋C＋C＝\_\_\_\_\_\_。
A. 2 B. 2 C. 2 D. (n－1)2
【解】用特值法：当n＝2时，代入得C＋C＝2,排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8,排除答案D。所以选B。
【另解】直接法：由二项展开式系数的性质有C＋C＋...＋C＋C＝2，选B。
当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得愈简单愈好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略。近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右。
3. 筛选法:
从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据"四选一"的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确判断的方法叫筛选法或剔除法。
【例6】（95年高考题）已知y＝log(2－ax)在\[0,1\]上是x的减函数，则a的取值范围是\_\_\_\_\_。
A. \[0,1\] B. (1,2\] C. (0,2) D. \[2,+∞)
【解】∵ 2－ax是在\[0,1\]上是减函数，所以a\>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax\>0得x\<1，这与\[0,1\]不符合，排除答案C。所以选B。
【例7】（88年高考题）过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_。
A. y＝2x－1 B. y＝2x－2 C. y＝－2x＋1 D. y＝－2x＋2
【解】筛选法：由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；
【另解】直接法：设过焦点的直线y＝k(x－1)，则，消y得：
kx－2(k＋2)x＋k＝0,中点坐标有，消k得y＝2x－2，选B。
筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择。它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％。
4. 代入法：
将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确判断的方法叫代入法，又称为验证法，即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案。
【例8】（97年高考题）函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是\_\_\_\_\_。
A． B. C. 2 D. 4
【解】代入法：f(x＋)＝sin\[－2(x＋)\]＋sin\[2(x＋)\]＝－f(x)，而
f(x＋π)＝sin\[－2(x＋π)\]＋sin\[2(x＋π)\]＝f(x)。所以应选B；
【另解】直接法：y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，选B。
【例9】（96年高考题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角等于\_\_\_\_\_。
> A. B. C. D.
【解】代入法：四个选项依次代入求得r分别为：、、、，再求得h分别为：、、、，最后计算体积取最大者，选D。
【另解】直接法：设底面半径r，则V＝πr＝π≤...
其中＝，得到r＝，所以＝2π／1＝，选D。
代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。
5. 图解法：
据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断的方法叫图解法或数形结合法。
【例10】（97年高考题）椭图C与椭圆＋＝1关于直线x＋y＝0对称，椭圆C的方程是\_\_\_\_\_。
A．＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
【解】图解法：作出椭圆及对称的椭圆C，由中心及焦点位置，容易得到选A。
【另解】直接法：设椭圆C上动点(x,y)，则对称点(－y，－x)，代入已知椭圆方程得＋＝1，整理即得所求曲线C方程，所以选A。
【例11】（87年高考题）在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是\_\_\_\_\_。
y\
\
O x
A. （，） B. (,－) C. (－,) D. (－,－)
【解】图解法：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A。
【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得。
M - i\
2
【例12】已知复数z的模为2，则 \|z－ｉ\| 的最大值为\_\_\_\_\_\_\_。
A. 1 B. 2 C. D. 3
【解】图解法：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆上的点到M的距离最大时即为\|z－ｉ\|最大。所以选D；
【另解】不等式法或代数法或三角法：
\|z－ｉ\|≤\|z\|＋\|ｉ\|＝3,所以选D。
数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；97年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右。
从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不管是什么方法，甚至可以猜测。但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确理由与错误的原因，这样，才会在高考时充分利用题目自身的提供的信息，化常规为特殊，避免小题作，真正做到熟练、准确、快速、顺利完成三个层次的目标任务。
**Ⅱ、巩固性题组：**
1.（86年高考题）函数y＝（）＋1的反函数是\_\_\_\_\_\_。
A. y＝logx＋1 （x\>0） B. y＝log5＋1 （x\>0且x≠1）
C. y＝log(x－1) (x\>1) D. y＝logx－1 (x\>1)
2.（90年高考题）已知f(x)＝x＋ax＋bx－8,且f(－2)＝10，那么f(2)等于\_\_\_\_\_。
A. －26 B. －18 C. －10 D. 10
3.一个凸多边形的最小内角为,各内角成等差数列，公差为,则此多边形的边数为\_\_\_\_\_。
A. 9 B. 16 C. 9或16 D. 16或25
4.设a、b、c为实数，且cos2x＝acosx＋bcosx＋c恒成立，则a＋b＋c＝\_\_\_\_\_\_。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.若a、b是任意实数，且a\>b，则\_\_\_\_\_\_。
A. a\>b B. \<1 C. lg(a－b)\>0 D. （）\<()
6.如果方程x＋ky＝2表示焦点在y轴上椭圆，那么实数k的取值范围是\_\_\_\_\_。
A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)
7.中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是\_\_\_\_\_\_。
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋y＝1 D. x＋＝1
8.已知正三棱台上、下底面边长分别为2和4,高为2，它被中截面截得的较大部分体积是\_\_\_\_\_。
A. B. C. D.
9.若α＝arg(2＋ｉ)，β＝arg(－3＋ｉ)，则β－α等于\_\_\_\_\_\_。
A. B. C. － D. －
10\. (95年高考题)等差数列{a}、{b}前n项和分别是S和T，若＝，则等于\_\_\_\_\_\_。
A. 1 B. C. D.
四、填空题解答策略
填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。
填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法。
**Ⅰ、示范性题组：**
一、直接推演法：
直接法就是根据数学概念，或者运用数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或者计算得出结果后，将所得结论填入空位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。
【例1】（94年高考题）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0,π)，则ctgθ的值是 [ ]{.underline} 。
【解】已知等式两边平方得sinθcosθ＝－，解方程组得sinθ＝，cosθ＝，故答案为：－。
【另解】设tg＝t，再利用万能公式求解。
【例2】（95年高考题）方程log(x＋1)＋log(x＋1)＝5的解是 [ ]{.underline} 。
【解】由换底公式得4log(x＋1)＋log(x＋1)＝5，即log(x＋1)＝1,解得x＝3。
二、特值代入法：
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。
【例3】（89年高考题）已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋...＋ax，那么a＋a＋...＋a＝ [ ]{.underline} 。
【解】令x＝1，则有（－1）＝a＋a＋a＋...＋a＝－1；令x＝0,则有a＝1。所以a＋a＋...＋a＝－1－1=－2。
【例4】（90年高考题）在三棱柱ABC---A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V、V的两部分，那么V:V＝ [ ]{.underline} 。
【解】由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面积为4，高为1，则体积V＝4，而V＝（1＋＋4）=，V＝V－V＝，则V:V＝7:5。
三、图解法：
一些计算过程复杂的代数、三角、解析几何问题，可以作出有关函数的图像或者构造适当的几何图形，利用图示辅助进行直观分析，从而得出结论。这也就是数形结合的解题方法。
y\
\
O 2 x
【例5】不等式\>x＋1的解集是 [ ]{.underline} 。
【解】如图，在同一坐标系中画出函数y＝与y＝x＋1的图像，由图中可以直观地得到：－≤x\<2，所以所求解集是\[－,2)。
y\
\
O 1 3\|k\| x
【例6】（93年高考题）若双曲线－＝1与圆x＋y＝1没有公共点，则实数k的取值范围是 [ ]{.underline} 。
【解】在同一坐标系中作出双曲线－＝1与圆x＋y＝1，由双曲线的顶点位置的坐标，可以得到\|3k\|\>1,故求得实数k的取值范围是k\>或k\<－。
**Ⅱ、巩固性题组：**
1\.
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**2016年四川省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）^2^=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
2．（5分）设集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a为函数f（x）=x^3^﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足\|\|=1，=，则\|\|^2^的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
11．（5分）sin750°=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log~a~b为整数的概率是[ ]{.underline}．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣）+f（2）=[ ]{.underline}．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（，），当P是原点时，定义"伴随点"为它自身，现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A．
②单元圆上的"伴随点"还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的"伴随点"关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的"伴随点"一定共线．
其中的真命题是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5\]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，求tanB．
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^+^
（Ⅰ）若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，求e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718^...^为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
**2016年四川省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）^2^=（ ）
A．0 B．2 C．2i D．2+2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1+i）^2^=1+i^2^+2i=1﹣1+2i=2i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）设集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用交集的运算性质即可得出．
【解答】解：∵集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集，
则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．
∴集合A∩Z中元素的个数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度
【分析】根据函数图象平移"左加右减"的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．
【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，
平移后函数解析式为：y=sin（x+），
可得平移量为向左平行移动个单位长度，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移"左加右减"的原则，是解答的关键．
5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．
【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知a为函数f（x）=x^3^﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【分析】可求导数得到f′（x）=3x^2^﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）=3x^2^﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a=2．
故选：D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A．35 B．20 C．18 D．9
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=3，
故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，
满足进行循环的条件，v=9，i=0，
满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1
不满足进行循环的条件，
故输出的v值为：
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足\|\|=1，=，则\|\|^2^的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈\[0，2π）．又=，可得M，代入\|\|^2^=+3sin，即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
B（0，0），C．
A．
∵M满足\|\|=1，
∴点P的轨迹方程为：=1，
令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈\[0，2π）．
又=，则M，
∴\|\|^2^=+=+3sin≤．
∴\|\|^2^的最大值是．
也可以以点A为坐标原点建立坐标系．
解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【分析】设出点P~1~，P~2~的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l~1~与l~2~的斜率，由两直线垂直求得P~1~，P~2~的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到\|AB\|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．
【解答】解：设P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）（0＜x~1~＜1＜x~2~），
当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，
∴l~1~的斜率，l~2~的斜率，
∵l~1~与l~2~垂直，且x~2~＞x~1~＞0，
∴，即x~1~x~2~=1．
直线l~1~：，l~2~：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx~1~），B（0，﹣1+lnx~2~），
\|AB\|=\|1﹣lnx~1~﹣（﹣1+lnx~2~）\|=\|2﹣（lnx~1~+lnx~2~）\|=\|2﹣lnx~1~x~2~\|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴\|AB\|•\|x~P~\|==．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x~1~＜1，
∴，则，
∴．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.**
11．（5分）sin750°=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．
【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，
故答案为：．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，
∴棱锥的体积V=Sh==．
故答案为：．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．
13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log~a~b为整数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log~a~b为整数满足的基本事件个数，由此能求出log~a~b为整数的概率．
【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，
基本事件总数n==12，
log~a~b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，
∴log~a~b为整数的概率p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣）+f（2）=[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，
则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（，），当P是原点时，定义"伴随点"为它自身，现有下列命题：
①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A．
②单元圆上的"伴随点"还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的"伴随点"关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的"伴随点"一定共线．
其中的真命题是[ ②③ ]{.underline}．
【分析】根据"伴随点"的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．
【解答】解：①设A（0，1），则A的"伴随点"为A′（1，0），
而A′（1，0）的"伴随点"为（0，﹣1），不是A，故①错误，
②若点在单位圆上，则x^2^+y^2^=1，
即P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P（y，﹣x），
满足y^2^+（﹣x）^2^=1，即P′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），
则Q（x，﹣y）的"伴随点"为Q′（﹣，），
则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，
④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，
∴（﹣1，1）的"伴随点"为（，），即（，），
（0，1）的"伴随点"为（1，0），（1，1的"伴随点"为（，﹣），即（，﹣），
则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，
故答案为：②③
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解"伴随点"的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
**三、解答题（共6小题，满分75分）**
16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5\]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30万，
则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5\]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；
（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．
【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．
取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM⊂平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M为AD的中点，连接CM，
由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，
CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b^2^+c^2^﹣a^2^=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^+^
（Ⅰ）若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，求e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a~2~与a~3~的值，又由a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，可得2a~3~=a~2~+（a~2~+a~3~），代入a~2~与a~3~的值可得q^2^=2q，解可得q的值，进而可得S~n+1~=2S~n~+1，进而可得S~n~=2S~n﹣1~+1，将两式相减可得a~n~=2a~n﹣1~，即可得数列{a~n~}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意S~n+1~=qS~n~+1，同理有S~n~=qS~n﹣1~+1，将两式相减可得a~n~=qa~n﹣1~，分析可得a~n~=q^n﹣1^；又由双曲线x^2^﹣=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，分析可得e~2~==2，
解可得a~2~的值，由a~n~=q^n﹣1^可得q的值，进而可得数列{a~n~}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e~n~^2^=1+a~n~^2^=1+3^n﹣1^，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a~n~}的首项为1，即a~1~=1，
又由S~n+1~=qS~n~+1，则S~2~=qa~1~+1，则a~2~=q，
又有S~3~=qS~2~+1，则有a~3~=q^2^，
若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，即2a~3~=a~2~+（a~2~+a~3~），
则可得q^2^=2q，（q＞0），
解可得q=2，
则有S~n+1~=2S~n~+1，①
进而有S~n~=2S~n﹣1~+1，②
①﹣②可得a~n~=2a~n﹣1~，
则数列{a~n~}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则a~n~=1×2^n﹣1^=2^n﹣1^；
（Ⅱ）根据题意，有S~n+1~=qS~n~+1，③
同理可得S~n~=qS~n﹣1~+1，④
③﹣④可得：a~n~=qa~n﹣1~，
又由q＞0，
则数列{a~n~}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a~n~=1×q^n﹣1^=q^n﹣1^；
若e~2~=2，则e~2~==2，
解可得a~2~=，
则a~2~=q=，即q=，
a~n~=1×q^n﹣1^=q^n﹣1^=（）^n﹣1^，
则e~n~^2^=1+a~n~^2^=1+3^n﹣1^，
故e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^=n+（1+3+3^2^+...+3^n﹣1^）=n+．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．
20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（\|AB\|）^2^，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：如图，
由题意可得，解得a^2^=4，b^2^=1，
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，
联立，得x^2^+2mx+2m^2^﹣2=0．
∴△=4m^2^﹣4（2m^2^﹣2）=8﹣4m^2^＞0，即．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~），
则，
\|AB\|==．
∴x~0~=﹣m，，即M（），
则OM所在直线方程为y=﹣，
联立，得或．
∴C（﹣，），D（，﹣）．
则︳MC︳•︳MD︳=
==．
而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m^2^）=．
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣ln x，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718^...^为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；
（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，
∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，
即证，也就是证，
令h（x）=，则h′（x）=，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）~min~=h（1）=e，
即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，
设t（x）=，
由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，
∵t（1）=0，
∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，
令φ（x）=，
则φ′（x）=2a=，
当x≥2时，φ′（x）＞0，
令h（x）=，h′（x）=，函数在\[1，2）上单调递增，
∴h（x）~min~=h（1）=﹣1．
e^1﹣x^＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，
综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，
∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，
由2a﹣1≥0，
∴a≥．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．
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**2015年天津市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁~U~B=（ ）
A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}
2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5分）设x∈R，则"1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）^2^+y^2^=3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y^2^=1 D．x^2^﹣=1
6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2^\|x﹣m\|^﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log~0.5~3），b=f（log~2~5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为[ ]{.underline}．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}m^3^．
11．（5分）已知函数f（x）=a^x^lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为[ ]{.underline}．
12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为[ ]{.underline}时，log~2~a•log~2~（2b）取得最大值．
13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件"编号为A~5~和A~6~的两名运动员中至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
17．（13分）如图，已知AA~1~⊥平面ABC，BB~1~∥AA~1~，AB=AC=3，BC=2，AA~1~=，BB~1~=2，点E和F分别为BC和A~1~C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A~1~B~1~BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA~1~⊥平面BCB~1~；
（Ⅲ）求直线A~1~B~1~与平面BCB~1~所成角的大小．
18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列，{b~n~}是等差数列，且a~1~=b~1~=1，b~2~+b~3~=2a~3~，a~5~﹣3b~2~=7．
（Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设c~n~=a~n~b~n~，n∈N^\*^，求数列{c~n~}的前n项和．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，\|PM\|=λ\|MQ\|．
（i）求λ的值．
（ii）若\|PM\|sin∠BQP=，求椭圆的方程．
20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x^4^，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~，求证：x~2~﹣x~1~≤﹣+4．
**2015年天津市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁~U~B=（ ）
A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}
【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁~U~B={2，5}，又集合A={2，3，5}，
则集合A∩∁~U~B={2，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．
2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=3x+y得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，
由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，3），
代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．
即目标函数z=3x+y的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=10，i=0
i=1，S=9
不满足条件S≤1，i=2，S=7
不满足条件S≤1，i=3，S=4
不满足条件S≤1，i=4，S=0
满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）设x∈R，则"1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求解：\|x﹣2\|＜1，得出"1＜x＜2"，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵\|x﹣2\|＜1，
∴1＜x＜3，
∵"1＜x＜2"
∴根据充分必要条件的定义可得出："1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．
5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）^2^+y^2^=3相切，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y^2^=1 D．x^2^﹣=1
【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）^2^+y^2^=3相切，
∴，
∴b=a，
∵焦点为F（2，0），
∴a^2^+b^2^=4，
∴a=1，b=，
∴双曲线的方程为x^2^﹣=1．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．
6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=．
故选：A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2^\|x﹣m\|^﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log~0.5~3），b=f（log~2~5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2^\|x\|^﹣1，这样便知道f（x）在\[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间\[0，+∞）上：a=f（\|log~0.5~3\|），b=f（log~2~5），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在\[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2^\|﹣x﹣m\|^﹣1=2^\|x﹣m\|^﹣1；
∴\|﹣x﹣m\|=\|x﹣m\|；
（﹣x﹣m）^2^=（x﹣m）^2^；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2^\|x\|^﹣1；
∴f（x）在\[0，+∞）上单调递增，并且a=f（\|log~0.5~3\|）=f（log~2~3），b=f（log~2~5），c=f（0）；
∵0＜log~2~3＜log~2~5；
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间\[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），
由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x^2^，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣\|2﹣x\|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）^2^+2﹣\|2﹣x\|=x^2^﹣5x+8．
即h（x）=，
作出函数h（x）的图象如图：
当y=3时，两个函数有2个交点，
故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为[ ﹣i ]{.underline}．
【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．
【解答】解：i是虚数单位，
===﹣i．
故答案为：﹣i．
【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}m^3^．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V~几何体~=2×π•1^2^×1+π•1^2^•2
=π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）已知函数f（x）=a^x^lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为[ 3 ]{.underline}．
【分析】由题意求出f\'（x），利用f′（1）=3，求a．
【解答】解：因为f（x）=a^x^lnx，所以f′（x）=f（x）=lna•a^x^lnx+a^x^，又f′（1）=3，所以a=3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．
12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为[ 4 ]{.underline}时，log~2~a•log~2~（2b）取得最大值．
【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log~2~a•log~2~（2b）取得最大值，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得当log~2~a•log~2~（2b）最大时，log~2~a和log~2~（2b）都是正数，
故有a＞1．
再利用基本不等式可得log~2~a•log~2~（2b）≤===4，
当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log~2~a•log~2~（2b）取得最大值，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．
13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．
【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，
∵=，=，
∴•=（+）•（+）=（+）•（+）
=•+•+•+•
=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°
=1+=，
故答案为：
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω^2^=，从而可求ω的值．
【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），
∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：\[，\]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，
∴解得：0＜ω^2^≤且0＜ω^2^≤2k，k∈Z，
解得：﹣，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω^2^=，可解得：ω=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．
**三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A为事件"编号为A~5~和A~6~的两名运动员中至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；
（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，
27×=3，9×=1，18×=2，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；
（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：
（A~1~，A~2~），（A~1~，A~3~），（A~1~，A~4~），（A~1~，A~5~），（A~1~，A~6~），
（A~2~，A~3~），（A~2~，A~4~），（A~2~，A~5~），（A~2~，A~6~），（A~3~，A~4~），
（A~3~，A~5~），（A~3~，A~6~），（A~4~，A~5~），（A~4~，A~6~），（A~5~，A~6~），
共15种；
（ii）设A为事件"编号为A~5~和A~6~的两名运动员中至少有1人被抽到"，
则事件A包含：（A~1~，A~5~），（A~1~，A~6~），（A~2~，A~5~），（A~2~，A~6~），
（A~3~，A~5~），（A~3~，A~6~），（A~4~，A~5~），（A~4~，A~6~），（A~5~，A~6~）共9个基本事件，
∴事件A发生的概率P==
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．
16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；
（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，可得a=8，
，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
17．（13分）如图，已知AA~1~⊥平面ABC，BB~1~∥AA~1~，AB=AC=3，BC=2，AA~1~=，BB~1~=2，点E和F分别为BC和A~1~C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A~1~B~1~BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA~1~⊥平面BCB~1~；
（Ⅲ）求直线A~1~B~1~与平面BCB~1~所成角的大小．
【分析】（Ⅰ）连接A~1~B，易证EF∥A~1~B，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB~1~⊥AE，可证AE⊥平面BCB~1~，进而可得面面垂直；
（Ⅲ）取BB~1~中点M和B~1~C中点N，连接A~1~M，A~1~N，NE，易证∠A~1~B~1~N即为直线A~1~B~1~与平面BCB~1~所成角，解三角形可得．
【解答】（Ⅰ）证明：连接A~1~B，在△A~1~BC中，
∵E和F分别是BC和A~1~C的中点，∴EF∥A~1~B，
又∵A~1~B⊂平面A~1~B~1~BA，EF⊄平面A~1~B~1~BA，
∴EF∥平面A~1~B~1~BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA~1~⊥平面ABC，BB~1~∥AA~1~，∴BB~1~⊥平面ABC，
∴BB~1~⊥AE，又∵BC∩BB~1~=B，∴AE⊥平面BCB~1~，
又∵AE⊂平面AEA~1~，∴平面AEA~1~⊥平面BCB~1~；
（Ⅲ）取BB~1~中点M和B~1~C中点N，连接A~1~M，A~1~N，NE，
∵N和E分别为B~1~C和BC的中点，∴NE平行且等于B~1~B，
∴NE平行且等于A~1~A，∴四边形A~1~AEN是平行四边形，
∴A~1~N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB~1~，∴A~1~N⊥平面BCB~1~，
∴∠A~1~B~1~N即为直线A~1~B~1~与平面BCB~1~所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A~1~N=AE=2，
∵BM∥AA~1~，BM=AA~1~，∴A~1~M∥AB且A~1~M=AB，
又由AB⊥BB~1~，∴A~1~M⊥BB~1~，
在RT△A~1~MB~1~中，A~1~B~1~==4，
在RT△A~1~NB~1~中，sin∠A~1~B~1~N==，
∴∠A~1~B~1~N=30°，即直线A~1~B~1~与平面BCB~1~所成角的大小为30°
【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．
18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列，{b~n~}是等差数列，且a~1~=b~1~=1，b~2~+b~3~=2a~3~，a~5~﹣3b~2~=7．
（Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设c~n~=a~n~b~n~，n∈N^\*^，求数列{c~n~}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）设出数列{a~n~}的公比和数列{b~n~}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{c~n~}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公比为q，数列{b~n~}的公差为d，由题意，q＞0，
由已知有，消去d整理得：q^4^﹣2q^2^﹣8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{a~n~}的通项公式为，n∈N^\*^；
数列{b~n~}的通项公式为b~n~=2n﹣1，n∈N^\*^．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
设{c~n~}的前n项和为S~n~，则
，
，
两式作差得：=2^n+1^﹣3﹣（2n﹣1）×2^n^=﹣（2n﹣3）×2^n^﹣3．
∴．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．
19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，\|PM\|=λ\|MQ\|．
（i）求λ的值．
（ii）若\|PM\|sin∠BQP=，求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）通过e=、a^2^=b^2^+c^2^、B（0，b），计算即得结论；
（Ⅱ）设点P（x~P~，y~P~），Q（x~Q~，y~Q~），M（x~M~，y~M~）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得x~P~=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得x~Q~=，计算即得结论；（ii）通过=可得\|PQ\|=\|PM\|，利用\|PM\|sin∠BQP=，可得\|BP\|=，通过y~P~=2x~P~+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），
∵离心率e=，a^2^=b^2^+c^2^，∴a=c，b=2c，
又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；
（Ⅱ）设点P（x~P~，y~P~），Q（x~Q~，y~Q~），M（x~M~，y~M~）．
（i）由（I）知a=c，b=2c，k~BF~=2，
∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，
联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x^2^+5cx=0，解得x~P~=﹣，
∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，
联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x^2^﹣40cx=0，解得x~Q~=，
又∵λ=，及x~M~=0，∴λ===；
（ii）∵=，∴==，即\|PQ\|=\|PM\|，
又∵\|PM\|sin∠BQP=，∴\|BP\|=\|PQ\|sin∠BQP=\|PM\|sin∠BQP=，
又∵y~P~=2x~P~+2c=﹣c，∴\|BP\|==c，
因此=c，即c=1，
∴椭圆的方程为：+=1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x^4^，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~，求证：x~2~﹣x~1~≤﹣+4．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x~0~）（x﹣x~0~），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，
有F（x）≤F（x~0~）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x~2~≤x~2~′．
同理得到x~1~′≤x~1~，则可证得．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x^4^，可得f′（x）=4﹣4x^3^．
当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x~0~，0），则，f′（x~0~）=﹣12，
曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x~0~）（x﹣x~0~），即g（x）=f′（x~0~）（x﹣x~0~），
令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x~0~）（x﹣x~0~），
则F′（x）=f′（x）﹣f′（x~0~）．
∵F′（x~0~）=0，∴当x∈（﹣∞，x~0~）时，F′（x）＞0；当x∈（x~0~，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（﹣∞，x~0~）上单调递增，在（x~0~，+∞）上单调递减，
∴对于任意实数x，F（x）≤F（x~0~）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x~2~′，可得．
∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x~2~）≥f（x~2~）=a=g（x~2~′），
因此x~2~≤x~2~′．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，
对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x^4^≤0，即f（x）≤h（x）．
设方程h（x）=a的根为x~1~′，可得，
∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x~1~′）=a=f（x~1~）≤h（x~1~），
因此x~1~′≤x~1~，
由此可得．
【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **物理部分**
理科综合共300分，考试用时150分钟。
物理试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页，共120分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
1.每题选出答案后，用铅笔将答题对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8题，每题6分，共48分。
**一、单项选择题（每小题6分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）**
1.2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，"实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹"。已知月球的质量为、半径为，探测器的质量为，引力常量为，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为的匀速圆周运动时，探测器的（ ）
A.周期为 B.动能为
C.角速度为 D.向心加速度为
2.2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索（所有钢索均处在同一竖直面内）斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B.为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C.索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D.为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
3.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为的带电小球，以初速度从点竖直向上运动，通过点时，速度大小为，方向与电场方向相反，则小球从运动到的过程（ ）
A.动能增加 B.机械能增加
C.重力势能增加 D.电势能增加
4.笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作：当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为、长为的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压，以此控制屏幕的熄灭。则元件的（ ）
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压与无关
C.前、后表面间的电压与成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为
5.如图为、、三种光在同一光电效应装置中测的光电流和电压的关系。由、、组成的复色光通过三棱镜时，下述光路图中正确的是（ ）
**二、不定项选择题（每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分）**
6.我国核聚变反应研究大科学装置"人造太阳"2018年获得重大突破，等离子体中心电子温度首次达到1亿度，为人类开发利用核聚变能源奠定了重要的技术基础。下列关于聚变的说法正确的是（ ）
A.核聚变比核裂变更为安全、清洁
B.任何两个原子核都可以发生聚变
C.两个轻核结合成质量较大的核，总质量较聚变前增加
D.两个轻核结合成质量较大的核，核子的比结合能增加
7.一列简谐横波沿轴传播，已知轴上和处质点的振动图像分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是（ ）
A. B. C. D.
8.单匝闭合矩形线框电阻为，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动，穿过线框的磁通量与时间的关系图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.时刻线框平面与中性面垂直
B.线框的感应电动势有效值为
C.线框转一周外力所做的功为
D.从到过程中线框的平均感应电动势为
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **物理部分**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共4题，共72分。
9.（18分）
（1）第26届国际计量大会决定，质量单位"千克"用普朗克常量定义，"国际千克原器"于2019年5月20日正式"退役"的数值为，根据能量子定义，的单位是\_\_\_\_\_\_，该单位用国际单位制中的力学基本单位表示，则为\_\_\_\_\_\_。
（2）某小组做测定玻璃的折射率实验，所用器材有：玻璃砖，大头针，刻度尺，圆规，笔，白纸。
①下列哪些措施能够提高实验准确程度\_\_\_\_\_\_。
A.选用两光学表面间距大的玻璃砖
B.选用两光学表面平行的玻璃砖
C.选用粗的大头针完成实验
D.插在玻璃砖同侧的两枚大头针间的距离尽量大些
②该小组用同一套器材完成了四次实验，记录的玻璃砖界线和四个大头针扎下的孔洞如下图所示，其中实验操作正确的是\_\_\_\_\_\_。
③该小组选取了操作正确的实验记录，在白纸上画出光线的径迹，以入射点为圆心作圆，与入射光线、折射光线分别交于、点，再过、点作法线的垂线，垂足分别为、点，如图所示，则玻璃的折射率\_\_\_\_\_\_。（用图中线段的字母表示）
（3）现测定长金属丝的电阻率。
①某次用螺旋测微器测量金属丝直径的结果如图所示，其读数是\_\_\_\_\_\_。
②利用下列器材设计一个电路，尽量准确地测量一段金属丝的电阻。这段金属丝的电阻，约为，画出实验电路图，并标明器材代号。
电源 （电动势，内阻约为）
电流表 （量程，内阻）
电流表 （量程，内阻约为）
滑动变阻器 （最大阻值，额定电流）
开关及导线若干
③某同学设计方案正确，测量得到电流表的读数为，电流表的读数为，则这段金属丝电阻的计算式\_\_\_\_\_\_。从设计原理看，其测量值与真实值相比\_\_\_\_\_\_（填"偏大"、"偏小"或"相等"）。
10.（16分）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板是与水平甲板相切的一段圆弧，示意如图2，长，水平投影，图中点切线方向与水平方向的夹角（）。若舰载机从点由静止开始做匀加速直线运动，经到达点进入。已知飞行员的质量，，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功；
（2）舰载机刚进入时，飞行员受到竖直向上的压力多大。
11.（18分）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒和长度也为、电阻均为，两棒与导轨始终接触良好。两端通过开关与电阻为的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。的质量为，金属导轨足够长，电阻忽略不计。
（1）闭合，若使保持静止，需在其上加多大的水平恒力，并指出其方向；
（2）断开，在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为的加速过程中流过的电荷量为，求该过程安培力做的功。
12.（20分）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极、之间的匀强电场（初速度忽略不计），、间电压为，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为，电荷量为，期中是正整数，是元电荷。
（1）若引擎获得的推力为，求单位时间内飘入、间的正离子数目为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率不同时，引擎获得的推力也不同，试推导的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增天的三条建议。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **物理部分参考答案**
**Ⅰ卷共8题，每题6分，共48分。**
1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.AD 7.BC 8.BC
**Ⅱ卷共4题，共72分。**
9.（18分）
（1）
（2）①AD
②D
③
（3）①（均可）
②如图
③ 相等
10.（16分）
（1）舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为，则有
①
根据动能定理，有
②
联立①②式，代入数据，得
③
（2）设上翘甲板所对应的圆弧半径为，根据几何关系，有
④
由牛顿第二定律，有
⑤
联立①④⑤式，代入数据，得
⑥
11.（18分）
（1）设线圈中的感应电动势为，由法拉第电磁感应定律，则
①
设与并联的电阻为，有
②
闭合时，设线圈中的电流为，根据闭合电路欧姆定律得
③
设中的电流为，有
④
设受到的安培力为，有
⑤
保持静止，由受力平衡，有ⅠⅡⅢⅣ
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
⑦
方向水平向右。
（2）设由静止开始到速度大小为的加速过程中，运动的位移为，所用时间为，回路中的磁通量变化为，平均感应电动势为，有
⑧
其中
⑨
设中的平均电流为，有
⑩
根据电流的定义得
⑪
由动能定理，有
⑫
联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬式得
⑬
12.（20分）
（1）设正离子经过电极时的速度为，根据动能定理，有
①
设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有
②
设引擎在时间内飘入电极间的正离子个数为，由牛顿第二定律，有
③
联立①②③式，且得
④
（2）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
⑤
考虑到牛顿第三定律得到，联立①⑤式得
⑥
（3）为使尽量大，分析⑥式得到
三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子；减小加速电压。
**2019年普通高等学校招生个国统一考试（天津卷）理科综合 化学部分**
理科综合共300分，考试用时150分钟。
化学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共100分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共6题，每题6分，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：
相对原子质量：
1．化学在人类社会发展中发挥着重要作用，下列事实不涉及化学反应的是（ ）
A．利用废弃的秸秆生产生物质燃料乙醇 B．利用石油生产塑料、化纤等高分子材料
C．利用基本的化学原料生产化学合成药物 D．利用反渗透膜从海水中分离出淡水
2．下列离子方程式能用来解释相应实验现象的是（ ）
--- -------------------------------------------- ------------
实验现象 离子方程式
A 向氢氧化镁悬浊液中滴加氯化铵溶液，沉淀溶解
B 向沸水中滴加饱和氯化铁溶液得到红褐色液体
C 二氧化硫使酸性高锰酸钾溶液褪色
D 氧化亚铁溶于稀硝酸
--- -------------------------------------------- ------------
3．下列有关金属及其化合物的不合理的是（ ）
A．将废铁屑加入溶液中，可用于除去工业废气中的
B．铝中添加适量钾，制得低密度、高强度的铝合金，可用于航空工业
C．盐碱地（含较多等）不利于作物生长，可施加熟石灰进行改良
D．无水呈蓝色，吸水会变为粉红色，可用于判断变色硅胶是否吸水
4．下列实验操作或装置能达到目的的是（ ）
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
A B C D
   
混合浓硫酸和乙醇 配制一定浓度的溶液 收集气体 证明乙炔可使溴水褪色
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
5．某温度下，和的电离常数分别为和。将和体积均相同的两种酸溶液分别稀释，其随加水体积的变化如图所示。下列叙述正确的是（ ）
A．曲线Ⅰ代表溶液
B．溶液中水的电离程度：b点＞c点
C．从c点到d点，溶液中保持不变（其中、分别代表相应的酸和酸根离子）
D．相同体积a点的两溶液分别与恰好中和后，溶液中相同
6．我国科学家研制了一种新型的高比能量锌-碘溴液流电池，其工作原理示意图如下。图中贮液器可储存电解质溶液，提高电池的容量。
A．放电时，a电极反应为
B．放电时，溶液中离子的数目增大
C．充电时，b电极每增重，溶液中有被氧化
D．充电时，a电极接外电源负极
**第Ⅱ卷**
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共4题，共64分。
7．（14分）氮、磷、砷、锑、铋、镆为元素周期表中原子序数依次增大的同族元素。回答下列问题：
（1）砷在元素周期表中的位置\_\_\_\_\_\_。的中子数为\_\_\_\_\_\_。
已知：（，白磷）＝（，黑磷） ；
（，白磷）＝（，红磷） ；
由此推知，其中最稳定的磷单质是\_\_\_\_\_\_。
（2）氮和磷氢化物性质的比较：
热稳定性：\_\_\_\_\_\_（填"＞""＜"）。
沸点：\_\_\_\_\_\_（填"＞""＜"），判断依据是\_\_\_\_\_\_。
（3）和与卤化氢的反应相似，产物的结构和性质也相似。下列对与反应产物的推断正确的是\_\_\_\_\_\_（填序号）。
a．不能与反应 b．含离子键、共价键 c．能与水反应
（4）能发生较强烈的水解，生成难溶的，写出该反应的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，因此，配制溶液应注意\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
①
②
③
达平衡时，体系中，，，则℃时反应①的平衡常数值为\_\_\_\_\_\_（用字母表示）。
8．（18分）我国化学家首次实现了膦催化的环加成反应，并依据该反应，发展了一条合成中草药活性成分茅苍术醇的有效路线。
已知环加成反应：
（、可以是或）
回答下列问题：
（1）茅苍术醇的分子式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，所含官能团名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，分子中手性碳原子（连有四个不同的原子或原子团）的数目为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）化合物B的核磁共振氢谱中有\_\_\_\_\_\_个吸收峰；其满足以下条件的同分异构体（不考虑手性异构）数目为\_\_\_\_\_\_。
①分子中含有碳碳三键和乙酯基
②分子中有连续四个碳原子在一条直线上
写出其中碳碳三键和乙酯基直接相连的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，除外该反应另一产物的系统命名为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（5）下列试剂分别与和反应，可生成相同环状产物的是\_\_\_\_\_\_（填序号）。
a． b． c．溶液
（6）参考以上合成路线及条件，选择两种链状不饱和酯，通过两步反应合成化合物，在方框中写出路线流程图（其他试剂任选）。
9．（18分）环己烯是重要的化工原料。其实验室制备流程如下：
回答下列问题：
Ⅰ．环己烯的制备与提纯
（1）原料环己醇中若含苯酚杂质，检验试剂为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，现象为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）操作1的装置如图所示（加热和夹持装置已略去）。
①烧瓶A中进行的可逆反应化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，浓硫酸也可作该反应的催化剂，选择而不用浓硫酸的原因为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填序号）。
a．浓硫酸易使原料碳化并产生
b．污染小、可循环使用，符合绿色化学理念
c．同等条件下，用比浓硫酸的平衡转化率高
②仪器B的作用为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）操作2用到的玻璃仪器是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）将操作3（蒸馏）的步骤补齐：安装蒸馏装置，加入待蒸馏的物质和沸石，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，弃去前馏分，收集83℃的馏分。
Ⅱ．环己烯含量的测定
在一定条件下，向环己烯样品中加入定量制得的，与环己烯充分反应后，剩余的与足量作用生成，用的标准溶液滴定，终点时消耗标准溶液（以上数据均已扣除干扰因素）。
测定过程中，发生的反应如下：
①
②
③
（5）滴定所用指示剂为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。样品中环己烯的质量分数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用字母表示）。
（6）下列情况会导致测定结果偏低的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填序号）。
a．样品中含有苯酚杂质
b．在测定过程中部分环己烯挥发
c．标准溶液部分被氧化
10．（14分）多晶硅是制作光伏电池的关键材料。以下是由粗硅制备多晶硅的简易过程。
回答下列问题：
Ⅰ．硅粉与在300℃时反应生成气体和，放出热量，该反应的热化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。的电子式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
Ⅱ．将氢化为有三种方法，对应的反应依次为：
①
②
③
（1）氢化过程中所需的高纯度可用惰性电极电解溶液制备，写出产生的电极名称\_\_\_\_\_\_（填"阳极"或"阴极"），该电极反应方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）已知体系自由能变，时反应自发进行。三个氢化反应的与温度的关系如图1所示，可知：反应①能自发进行的最低温度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；相同温度下，反应②比反应①的小，主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（3）不同温度下反应②中转化率如图2所示。下列叙述正确的是\_\_\_\_\_\_（填序号）。
a．B点： b．：A点点 c．反应适宜温度：℃
（4）反应③的\_\_\_\_\_\_（用，表示）。温度升高，反应③的平衡常数\_\_\_\_\_\_（填"增大"、"减小"或"不变"）。
（5）由粗硅制备多晶硅过程中循环使用的物质除、和外，还有\_\_\_\_\_\_（填分子式）。
**理科综合 化学部分参考答案**
Ⅰ卷共6题，每题6分，共36分。
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D
Ⅱ卷共4题，共64分。
7．（14分）
（1）第四周期第VA族 173 黑磷
（2）＞ ＞ 分子间存在氢键
（3）b、c
（4）（""写成""亦可）
加盐酸，抑制水解
（4）
8．（18分）
（1） 碳碳双键、羟基 3
（2）2 5
和
（3）加成反应或还原反应
（4）
2-甲基-2-丙醇或2-甲基丙-2-醇
（5）b
（6）
（写成等合理催化剂亦可）
9．（18分）
（1）溶液 溶液显紫色
（2）① a、b
②减少环己醇蒸出
（3）分液漏斗、烧杯
（4）通冷凝水，加热
（5）淀粉溶液
（6）b、c
10．（14分）
Ⅰ．
Ⅱ．
（1）阴极 或
（2）1000℃ 导致反应②的小
（3）a、c
（4） 减小
（5）、
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **生物部分**
理科综合共300分，考试用时150分钟，
生物试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6 页，共80分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
**第I卷**
**注意亊项：**
> 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
2.本卷共6题，每题6分，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.用^3^H标记胸腺嘧啶后合成脱氧核苷酸，注入真核细胞，可用于研究
A. DNA复制的场所 B. mRNA与核糖体的结合
C.分泌蛋白的运输 D.细胞膜脂质的流动
2.下列过程需ATP水解提供能量的是
A.唾液淀粉酶水解淀粉 B.生长素的极性运输
C.光反应阶段中水在光下分解
D.乳酸菌无氧呼吸的第二阶段
3.植物受病原菌惑染后，特异的蛋白水解酸被激活，从而诱导植物细胞编程性死亡，同时病原菌被消灭。激活蛋白水解酶有两条途径：①由钙离子进入细胞后启动；②由位于线粒体内膜上参与细胞呼吸的细胞色素c含量增加启动，下列叙述正确的是
A.蛋白水解酶能使磷酸二酯键断开
B.钙离子通过自由扩散进入植物细胞
C.细胞色素c与有氧呼吸第一阶段有关
D.细胞编程性死亡避免了病原菌对邻近细胞的进一步感染
4.叶色变异是由体细胞突变引起的芽变现象。红叶杨由绿叶杨芽变后选育形成，其叶绿体基粒类囊体减少，光合速率减小，液泡中花青素含量增加。下列叙述正确的是
A.红叶杨染色体上的基因突变位点可用普通光学显微镜观察识别
B.两种杨树叶绿体基粒类囊体的差异可用普通光学显微镜观察
C.两种杨树叶光合速率可通过"探究光照强弱对光合作用强度的影响"实验作比较
D.红叶杨细胞中花青素绝对含量可通过"植物细胞的吸水和失水"实验测定
5.多数植物遭到昆虫蚕食时会分泌茉莉酸，启动抗虫反应，如分泌杀虫物质、产生吸引昆虫天敌的挥发物质等。烟粉虱能合成Bt56蛋白，该蛋白会随烟粉虱唾液进入植物，抑制茉莉酸启动的抗虫反应，使烟粉虱数量迅速增长。下列叙述错误的是
A.植物产生挥发物质吸引昆虫天敌体现了信息传递调节种间关系的功能
B.植食性昆虫以植物为食和植物抗虫反应是长期共同进化的结果
C.Bt56基因表达被抑制的烟粉虱在寄主植物上的数量增长比未被抑制的对照组快
D.开发能水解Bt56蛋白的转基因植物可为控制烟粉虱提供防治措施
6.囊鼠的体毛深色（D）对浅色（d）为显性，若毛色与环境差异大则易被天敌捕食。调查不同区域囊鼠深色表现型频率，检测并计算基因频率，结果如图。
下列叙述错误的是
A.深色囊鼠与浅色囊鼠在不同区域的分布现状受自然选择影响
B.与浅色岩P区相比，深色熔岩床区囊鼠的杂合体频率低
C.浅色岩Q区的深色囊鼠的基因型为DD、Dd
D.与浅色岩Q区相比，浅色岩P区囊鼠的隐性纯合体频率高
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **生物部分**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共4题，共44分。
7.（10分）在北方农牧交错带的中温带半干旱区，当农田连续耕作六年后，农作物产量往往下降，弃耕后
土地易沙化。对三片弃耕土地分别采取围封禁牧、人工种植灌木或乔木等恢复措施，灌木、乔木成活
后该地自然恢复。十五年后进行调查，结果见下表。
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
| 样地 | 土壤含水量（%） | 土壤全氮（g·kg^-1^) | 草本植物种数（种） | 节肢动物个体数（只·样本^-1^） | 节肢动物多样性指数\* |
| | | | | | |
| 指标 | | | | | |
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
| 弃耕地（对照） | 0.26 | 0.09 | 1.1 | 3.1 | 0.6 |
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
| 禁牧草地 | 0.66 | 0.36 | 2.6 | 9.4 | 1.7 |
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
| 人工灌木林 | 0.77 | 0.42 | 2.8 | 7.4 | 0.8 |
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
| 人工乔木林 | 1.37 | 0.27 | 1.6 | 10.0 | 1.1 |
+----------------+-----------------+---------------------+--------------------+-------------------------------+----------------------+
\*多样性指数综合反映丰富度和均匀度
据表回答：
（1）土壤含水量增加最明显的是 [ ]{.underline} 样地。土壤全氮增加最明显的是 [ ]{.underline} 样地，这是
该样地内豆科植物与根瘤菌相互作用的结果，豆科植物与根瘤菌的种间关系为 [ ]{.underline} 。
（2）三种恢复措施均可改良土壤，这体现了生物多样性的 [ ]{.underline} 价值。
（3）在半干旱地区，节肢动物是物种最丰富和数量最多的类群，在食物网中占据重要地位，其多样性一定
程度上可反映生态系统的物种多样性。从生物多样性角度分析，三种恢复措施中更适宜于中温带半
干旱区的是 [ ]{.underline} 。
（4）在中温带半干旱区，草原生态系统比农田生态系统的自我调节能力更 [ ]{.underline} 。
8.（12分）人类心脏组织受损后难以再生。该现象可追溯到哺乳动物祖先，随着它们恒温状态的建立，心脏组织再生能力减弱。
（1）哺乳动物受到寒冷刺激后，通过 [ ]{.underline} （神经/体液/神经-体液）调节促进甲状腺激素分泌，使机体产生更多热量以维持体温。
（2）活跃分裂的动物细胞多是二倍体细胞，多倍体细胞通常不能分裂。
①对比不同动物心脏中二倍体细胞所占比例及其甲状腺激素水平，结果如右图。恒温动物的心脏组织因二倍体细胞比例 [ ]{.underline} ，再生能力较差；同时体内甲状腺激素水平 [ ]{.underline} 。由此表明甲状腺激素水平与心脏组织再生能力呈负相关。
②制备基因工程小鼠，使其心脏细胞缺乏甲状腺激素受体，导致心脏细胞不受 [ ]{.underline} 调节。与正常小鼠相比，基因工程小鼠体内的甲状腺激素 [ ]{.underline} 正常小鼠心脏组织再生能力。
③以斑马鱼为材料进一步研究。将成年斑马鱼分成A、B两组，分别饲养在不同水箱中，A组作为对照，B组加入甲状腺激素。若 [ ]{.underline} 组斑马鱼心脏组织受损后的再生能力比另一组弱，则证明甲状腺激素对变温动物斑马鱼心脏组织再生能力的影响与对恒温动物小鼠的影响一致。
9.（12分）B基因存在于水稻基因组中，其仅在体细胞（2n）和精子中正常表达，但在卵细胞中不转录。为研究B基因表达对卵细胞的影响，设计了如下实验。
据图回答：
（1）B基因在水稻卵细胞中不转录，推测其可能的原因是卵细胞中 [ ]{.underline} （单选）。
A.含B基因的染色体缺失 B.DNA聚合酶失活
C.B基因发生基因突变 D.B基因的启动子无法启动转录
（2）从水稻体细胞或 [ ]{.underline} 中提取总RNA，构建 [ ]{.underline} 文库，进而获得B基因编码蛋白的序列。将该序列与Luc基因（表达的荧光素酶能催化荧光素产生荧光）连接成融合基因（表达的蛋白质能保留两种蛋白质各自的功能），然后构建重组表达载体。
3. 在过程①、②转化筛选时，过程 [ ]{.underline} 中T-DNA整合到受体细胞染色体DNA上，过程 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 在培养基中应加入卡那霉素。
4. 获得转基因植株过程中，以下鉴定筛选方式正确的是 [ ]{.underline} （多选）。
A.将随机断裂的B基因片段制备成探针进行DNA分子杂交
B.以Luc基因为模板设计探针进行DNA分子杂交
C.以B基因编码蛋白的序列为模板设计探针与从卵细胞提取的mRNA杂交
D.检测加入荧光素的卵细胞中是否发出荧光
（5）从转基因植株未成熟种子中分离出胚，观察到细胞内仅含一个染色体组，判定该胚是由未受精的卵细胞发育形成的，而一般情况下水稻卵细胞在未受精时不进行发育，由此表明 [ ]{.underline} 。
10.（10分）作物M的F~1~基因杂合，具有优良性状。F~1~自交形成自交胚的过程见途径1（以两对同源染色体为例）。改造F~1~相关基因，获得具有与F~1~优良性状一致的N植株，该植株在形成配子时，有丝分裂替代减数分裂，其卵细胞不能受精，直接发育成克隆胚，过程见途径2。据图回答：
（1）与途径1相比，途径2中N植株形成配子时由于有丝分裂替代减数分裂，不会发生由 [ ]{.underline} 和
[ ]{.underline} 导致的基因重组，也不会发生染色体数目 [ ]{.underline} 。
> （2）基因杂合是保持F~1~优良性状的必要条件。以n对独立遗传的等位基因为例，理论上，自交胚与F~1~基因型一致的概率是 [ ]{.underline} ，克隆胚与N植株基因型一致的概率是 [ ]{.underline} 。通过途径 [ ]{.underline} 获得的后代可保持F~1~的优良性状。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科综合 **生物部分参考答案**
Ⅰ卷共6题，每题6分，共36分。
1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B
Ⅱ卷共4题，共44分。
7.（共10分）
（1）人工乔木林
> 人工灌木林
>
> 互利共生
（2）间接
（3）围封禁牧
（4）强
8.（共12分）
（1）神经-体液
（2）①低
> 高
②甲状腺激素
抑制
> ③B
9.（共12分）
（1）D
（2）精子
> cDNA
（3）② ①
（4）BCD
（5）B 基因表达能使卵细胞不经受精直接发育成胚
10.（共10分）
（1）同源染色体非姐妹染色单体交叉互换
> 非同源染色体自由组合
>
> 减半
（2）1/2^n^
> 100%
（3）2
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法》单元测试1（附答案）**
一、填空题。（每空1分，共22分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、4.5×0.4表示 [ ]{.underline} ；2.8×1.2表示 [ ]{.underline} 。
2、4.38千米 = [ ]{.underline} 米 80千克 = [ ]{.underline} 吨
3、2.96×4.39的积有 [ ]{.underline} 位小数，保留两位小数是 [ ]{.underline} 。
4、9.97÷3.21的商是 [ ]{.underline} ，余数是 [ ]{.underline} 。
5、在下面的○里填上"﹥""﹤"或"="。
43.6÷0.98 43.6 0.97×0.97 0.97
2.75×0.18 0.18 2.45÷1.03 2.45
6、一个三位小数的近似值是5.70，这个三位数最大是 [ ]{.underline} ，最小是 [ ]{.underline} 。
7、一个因数扩大100倍，另一个因数缩小10倍，积会 [ ]{.underline} 。
8、4.3535......是 [ ]{.underline} 循环小数，可以简写成 [ ]{.underline} ，循环节是 [ ]{.underline} ，
0.02828......是 [ ]{.underline} 循环小数，循环节是 [ ]{.underline} ，保留两位小数是 [ ]{.underline} 。
9、把3.14、3.14159......，3.15，3.14，3.144按从大到小的顺序排列起来是：
[ ]{.underline}
二、判断题。（每题1分，共6分）
1、一个数的4.7倍一定大于这个数。 （ ）
2、496÷0.125×8 = 496÷1 = 496 （ ）
3、0.96去掉小数点，这个数比原来的数多99倍。 （ ）
4、0.3603603......的循环节是360。 （ ）
5、无限小数比限小数大。 （ ）
6、近似数5.0和5的大小相等，精确度不一样。 （ ）
三、选择题。（每题1分，共6分）
1、6.8÷2.3的商保留两位小数约是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、2.95 B、2.60 C、2.96
2、两个数相除的商是4.5，把被除数和除数同时扩大5倍，商是（ ）。
A、13.5 B、1.5 C、4.5
3、某商场按原价卖铅笔，每枝铅笔0.15元，小青买7枝应付（ ）元。
A、1.05 B、1.085 C、1.09
4、0.15除0.25，商是1.6，余数是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
A、10 B、1 C、0.1 D、0.01
5、一个小数的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，这个小数（ ）。
A、比原来缩小10倍
B、比原来扩大10倍
C、大小不变
> 6、下面各数中是有限小数的有（ ），是无限小数的有（ ），是循环小数的有（ ）。
A、4.4444 B、0.78782782...... C、8.203302030......
D、2.905 E、4.3696969 F、2.045
四、列竖式计算。（每题2分，共6分）
220.5÷31 0.45×0.49 70.6÷22
（商精确到百分位。） （得数保留三位小数。） （商用循环小数表示。）
五、计算下面各题，能简算的要简算。（每题3分，共18分）
28.49×0.32÷7.4 4.8×13.5＋13.5×5.2
25.6×1.01 1.25×0.25×32
7.8×（1.001÷0.26）×0.26 49÷35
六、求未知数*x*。（每题2分，共6分）
*x*÷4.05 = 201 15.28－*x* = 10.48 15.4÷*x* = 0.25
七、列式计算。（每题2分，共6分）
1、8.2的千分之五去除2.05，商是多少？
2、3.64除以24.5与11.5的差，结果是多少？
3、甲数是4.85，是乙数的5倍，甲、乙两数的和是多少？
八、应用题。（每题5分，共20分）
> 1、学校买了4个篮球和3个排球，排球每个64.30元，篮球每个49.20元，一共付了多少元？
2、一个长方形的度是8.4米，是宽的2.8倍，这个长方形的面积是多少平方米？
> 3、用同样的3台磨面机2小时可以磨面粉3276千克，照这样计算，1台磨面机3.5
小时可以磨面粉多少千克？
> 4、一块长方形玻璃长1米20厘米，宽80厘米，每平方米售价16.5元，这块玻璃应售价多少元？
九、思维训练。（共10分）
一个四位数，在它的十位数字后面点上小数点，再和原来四位数相加和得2202.2，原来的四位数是多少？
**第三单元综合提优训练的部分答案：**
一、1、405的十分之四是多少 2.8的1.2倍是多少。
2、4380 0.08
3、四 12.99
4、3 0.34
5、﹥ ﹤ ﹥ ﹤
6、5.704 5.695
7、扩大10倍
8、纯 4. 35 混 28 0.03
9、3.15 3.1 2.144 2.14159...... 3.14
二、× × √ √ × √
三、1、C 2、C 3、A 4、D 5、B 6、ADEF BC B
四、7.11 0.221 3.2
五、1.232 135 25.856 10 7.8078 1.4
六、*x* = 814.05 *x* = 4.8 *x* = 61.6
七、1、2.05÷（8.2×0.005）= 50
2、3.64÷（24.5－11.5）= 0.28
3、4.85＋4.85÷5 = 5.82
八、1、64.30×3＋49.20×4 = 389.7（元）
2、8.4×（8.4÷2.8）= 25.2（平方米）
3、3276÷3÷2×3.5 = 1911（千克）
4、1米20厘米 = 1.2米
80厘米 = 0.8米
16.5×（1.2×0.8）= 15.84（元）
九、2002
| 1 | |
**一、我会填。**
1\. 在括号里填上合适的单位。
（1）一棵大树高约6（ ）。
（2）一根筷子的长度25（ ）。
（3）妈妈身高1（ ）65（ ）。
（4）我们上一节课的时间是35（ ）。
2\. 
**( )个（ ）**
**加法算式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**乘法算式：（ ）×（ ）=（ ）**
**乘法口诀：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
3．在括号里填上合适的数。
（1）56厘米-7厘米=（ ）厘米
（2）1米－30厘米=（ ）厘米
（3） 90分=（ ）时（ ）分
（4）18米＋8米＝（ ）米
4\. 29比52少（ ）；比52多29的数是（ ）。
一个乘数是4，另一个乘数是7，积是（ ）。
5\. 括号里最大能填几。
（ ）×9\<62 33\>5×（ ）
6\.
这支铅笔长（ ）厘米。
7\. 在○里填上"\>"、"\<"或"="。
42+18〇50 90分〇1时
3×7〇2×9 **3米**〇**23厘米**
> 8\. 大壮、爸爸、妈妈三人下棋，每两人要下一局，一共要下（ ）局。
9．时针从12开始绕了一圈又走回12，走了（ ）时。
10．先写出每个钟面表示的时刻，再写出时针和分针形成的角是直角、锐角还是钝角。
 
> **二、我会判**（正确的在括号内打"√"，错的打"×"）。
>
> （1）两个数相乘的积，一定比这两个数相加的和大**。** （ ）
>
> （2）锐角都比直角小。 （ ）
（3）小华一步可以走过40米长的路。 （ ）
> （4）分针从12走到6，走了6小时。 （ ）
（5）**" " 这是一条线段。** （ ）
**三、我会选。**
1\. 2个4是多少，列式正确的是( )。
①2+2+2+2 ② 2+4 ③ 4×2
2\. 教学楼大约高15（ ）。
①米 ②厘米 ③分 ④元
3\. 下面算式结果最接近80的是（ ）。
①47+34 ②26+35 ③100-8
4\. 用1、2、0能组成（ ）个十位和个位不同的两位数。
①2 ②4 ③6
5\. 把一根彩带对折，再对折后，每段长6米。这条彩带一共长（ ）米。
①24 ②12 ③36
**四、我会算。**
**1.口算。**
25-10= 6×5= 22+9= 35+8=
4×7= 9×3= 7+18= 42-3=
73-7= 8+54= 8×9= 6×6=
50-20+30= 3×3+50= 4×3-12= 8×4-4=
> **2. 用竖式计算。**
**45+25＝ 48－26＝ 57＋39=**
**80－43= 25+16＋37＝ 71－（56－33）＝**
**五、连一连，右面这些照片分别是谁拍的？**
**六、画一画。**
1\. 画一个直角。
> 2.画一条比5厘米短1厘米的线段。
**七、我会解决问题。**
> 1\. 王老师一共买来70个口罩，发给同学们42个，还剩多少个口罩？
口答：还剩（ ）个口罩。
2.某小学实验室新进一批实验器材
（1）其中有6盒地球仪，每盒8个，一共进了多少个地球仪？
口答：一共进了（ ）个地球仪。
（2）新进两盒放大镜，其中一盒8个，另一盒6个，一共进了多少个放大镜？
口答：一共进了（ ）个放大镜。
3.**暑假 9名同学去公园玩，公园的儿童票是每张7元，带60元去，买票的钱够吗？**
口答：**买票的钱（ 够 不够）。（圈出正确答案）**
4.阳光图书室原有58本科技书，借走17本，后来又买了20本。现在有科技书多少本？
口答：现在有科技书（ ）本。
5.
1. 买一个羽毛球拍和一个乒乓球拍需要多少元？
口答：买一个羽毛球拍和一个乒乓球拍需要（ ）元。
2. 商店搞活动，满50元减5元，现在买一个羽毛球拍和一个篮球需要多少元？
口答：现在买一个羽毛球拍和一个篮球需要（ ）元。
**附加题：**
数一数，算一算下面图形有（ ）个角。
| 1 | |
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科综合能力测试**
**注意事项：**
**1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效。**
**3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。**
**4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 Cl35.5 Fe 56**
**一、选择题**
1\. 我国提出争取在2030年前实现碳达峰，2060年实现碳中和，这对于改善环境，实现绿色发展至关重要。碳中和是指的排放总量和减少总量相当。下列措施中能促进碳中和最直接有效的是
A. 将重质油裂解为轻质油作为燃料
B. 大规模开采可燃冰作为新能源
C. 通过清洁煤技术减少煤燃烧污染
D. 研发催化剂将还原为甲醇
2\. 在实验室采用如图装置制备气体，合理的是
--- ---------- ------------
化学试剂 制备的气体
A
B (浓)
C
D (浓)
--- ---------- ------------
A. A B. B C. C D. D
3\. 下列过程中的化学反应，相应的离子方程式正确的是
A. 用碳酸钠溶液处理水垢中的硫酸钙：
B. 过量铁粉加入稀硝酸中：
C. 硫酸铝溶液中滴加少量氢氧化钾溶液：
D. 氯化铜溶液中通入硫化氢：
4\. 一种活性物质的结构简式为，下列有关该物质的叙述正确的是
A. 能发生取代反应，不能发生加成反应
B. 既是乙醇的同系物也是乙酸的同系物
C. 与互为同分异构体
D 该物质与碳酸钠反应得
5\. 我国嫦娥五号探测器带回的月球土壤，经分析发现其构成与地球士壤类似土壤中含有的短周期元素W、X、Y、Z，原子序数依次增大，最外层电子数之和为15。X、Y、Z为同周期相邻元素，且均不与W同族，下列结论正确的是
A. 原子半径大小顺序为
B. 化合物XW中的化学键为离子键
C. Y单质的导电性能弱于Z单质的
D. Z的氧化物的水化物的酸性强于碳酸
6\. 沿海电厂采用海水为冷却水，但在排水管中生物的附着和滋生会阻碍冷却水排放并降低冷却效率，为解决这一问题，通常在管道口设置一对惰性电极(如图所示)，通入一定的电流。
下列叙述错误的是
A. 阳极发生将海水中的氧化生成的反应
B. 管道中可以生成氧化灭杀附着生物的
C. 阴极生成的应及时通风稀释安全地排入大气
D. 阳极表面形成的等积垢需要定期清理
7\. HA是一元弱酸，难溶盐MA的饱和溶液中随c(H^+^)而变化，不发生水解。实验发现，时为线性关系，如下图中实线所示。
下列叙述错误的是
A. 溶液时，
B. MA溶度积度积
C. 溶液时，
D. HA的电离常数
**二、非选择题**
8\. 磁选后的炼铁高钛炉渣，主要成分有、、、、以及少量的。为节约和充分利用资源，通过如下工艺流程回收钛、铝、镁等。
该工艺条件下，有关金属离子开始沉淀和沉淀完全的见下表
------------ ----- ----- ------ ------
金属离子
开始沉淀的 2.2 3.5 9.5 12.4
沉淀完全的 3.2 4.7 11.1 13.8
------------ ----- ----- ------ ------
回答下列问题：
(1)"焙烧"中，、几乎不发生反应，、、、转化为相应的硫酸盐，写出转化为的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_。
(2)"水浸"后"滤液"的约为2.0，在"分步沉淀"时用氨水逐步调节至11.6，依次析出的金属离子是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)"母液①\"中浓度为\_\_\_\_\_\_\_。
(4)"水浸渣"在160℃"酸溶"最适合的酸是\_\_\_\_\_\_\_。"酸溶渣"的成分是\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_。
(5)"酸溶"后，将溶液适当稀释并加热，水解析出沉淀，该反应的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)将"母液①"和"母液②"混合，吸收尾气，经处理得\_\_\_\_\_\_\_，循环利用。
9\. 氧化石墨烯具有稳定的网状结构，在能源、材料等领域有着重要的应用前景，通过氧化剥离石墨制备氧化石墨烯的一种方法如下(转置如图所示)：
Ⅰ.将浓、、石墨粉末c中混合，置于冰水浴中，剧烈搅拌下，分批缓慢加入粉末，塞好瓶口。
Ⅱ.转至油浴中，35℃搅拌1小时，缓慢滴加一定量的蒸馏水。升温至98℃并保持1小时。
Ⅲ.转移至大烧杯中，静置冷却至室温。加入大量蒸馏水，而后滴加至悬浊液由紫色变为土黄色。
Ⅳ.离心分离，稀盐酸洗涤沉淀。
Ⅴ.蒸馏水洗涤沉淀。
Ⅵ.冷冻干燥，得到土黄色的氧化石墨烯。
回答下列问题：
(1)装置图中，仪器a、c的名称分别是\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_，仪器b的进水口是\_\_\_\_\_\_\_(填字母)。
(2)步骤Ⅰ中，需分批缓慢加入粉末并使用冰水浴，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(3)步骤Ⅱ中的加热方式采用油浴，不使用热水浴，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
(4)步骤Ⅲ中，的作用是\_\_\_\_\_\_\_(以离子方程式表示)。
(5)步骤Ⅳ中，洗涤是否完成，可通过检测洗出液中是否存在来判断。检测方法是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)步骤Ⅴ可用试纸检测来判断是否洗净，其理由是\_\_\_\_\_\_\_。
10\. 一氯化碘(ICl)是一种卤素互化物，具有强氧化性，可与金属直接反应，也可用作有机合成中碘化剂。回答下列问题：
(1)历史上海藻提碘中得到一种红棕色液体，由于性质相似，Liebig误认为是ICl，从而错过了一种新元素的发现，该元素是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)氯铂酸钡()固体加热时部分分解为、和，376.8℃时平衡常数，在一硬质玻璃烧瓶中加入过量，抽真空后，通过一支管通入碘蒸气(然后将支管封闭)，在376.8℃，碘蒸气初始压强为。376.8℃平衡时，测得烧瓶中压强为，则\_\_\_\_\_\_\_，反应的平衡常数K=\_\_\_\_\_\_\_(列出计算式即可)。
(3)McMorris测定和计算了在136\~180℃范围内下列反应的平衡常数。
得到和均为线性关系，如下图所示：
①由图可知，NOCl分解为NO和反应的\_\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")
②反应的K=\_\_\_\_\_\_\_(用、表示)：该反应的\_\_\_\_\_\_\_0(填"大于"或"小于")，写出推理过程\_\_\_\_\_\_\_。
(4)Kistiakowsky曾研究了NOCl光化学分解反应，在一定频率(v)光的照射下机理为：
其中表示一个光子能量，表示NOCl的激发态。可知，分解1mol的NOCl需要吸收\_\_\_\_\_\_\_mol光子。
11\. 过渡金属元素铬是不锈钢的重要成分，在工农业生产和国防建设中有着广泛应用。回答下列问题：
(1)对于基态Cr原子，下列叙述正确的是\_\_\_\_\_\_\_(填标号)。
A.轨道处于半充满时体系总能量低，核外电子排布应为
B.4s电子能量较高，总是在比3s电子离核更远的地方运动
C.电负性比钾高，原子对键合电子的吸引力比钾大
(2)三价铬离子能形成多种配位化合物。中提供电子对形成配位键的原子是\_\_\_\_\_\_\_，中心离子的配位数为\_\_\_\_\_\_\_。
(3)中配体分子、以及分子的空间结构和相应的键角如图所示。
中P的杂化类型是\_\_\_\_\_\_\_。的沸点比的\_\_\_\_\_\_\_，原因是\_\_\_\_\_\_\_，的键角小于的，分析原因\_\_\_\_\_\_\_。
(4)在金属材料中添加颗粒，可以增强材料的耐腐蚀性、硬度和机械性能。具有体心四方结构，如图所示，处于顶角位置的是\_\_\_\_\_\_\_原子。设Cr和Al原子半径分别为和，则金属原子空间占有率为\_\_\_\_\_\_\_%(列出计算表达式)。
12\. 卤沙唑仑W是一种抗失眠药物，在医药工业中的一种合成方法如下：
已知：(ⅰ)
(ⅱ)
回答下列问题：
(1)A的化学名称是\_\_\_\_\_\_\_。
(2)写出反应③的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_。
(3)D具有的官能团名称是\_\_\_\_\_\_\_。(不考虑苯环)
(4)反应④中，Y的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_。
(5)反应⑤的反应类型是\_\_\_\_\_\_\_。
(6)C的同分异构体中，含有苯环并能发生银镜反应的化合物共有\_\_\_\_\_\_\_种。
(7)写出W的结构简式\_\_\_\_\_\_\_。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**历史部分**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。写在试卷上无效。**
**3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.图5为不同时期的部分货币，据图可知，其形制变化的共同原因是
A. 铸铁技术的进步 B. 商品交易的需要
C. 审美观念的不同 D. 国家统一的推动
2.东汉末年，曹操在许下和各地置田官，大力发展屯田，以解决军粮供应、田亩荒芜和流民问题。"数年中所在积粟，仓廪皆满。"曹操实行屯田，客观上
A 助长了大土地所有制 B. 推动了农业商品化进程
C. 促进了中原人口南迁 D. 缓和了社会的主要矛盾
3.唐代书法家张旭曾说："始吾闻公主与担夫争路，而得笔法之意。后见公孙氏舞剑器，而得其神。"据此可知，张旭书法呈现出
A. 书写结构的严整性 B. 书写气象的灵动性
C. 书写笔画的繁杂性 D. 书写技法的内敛性
4.明万历年间，神宗下令工部铸钱供内府用，内阁首辅张居正"以利不胜费止之"。神宗向户部索求十万金，张居正面谏力争，"得停发太仓银十万两"。这反映出当时
A. 内阁权势强大 B. 皇权受到严重制约
C. 社会经济凋敝 D. 君权相权关系紧张
5.面对外商轮船航运势力进一步扩展，李鸿章认："各口岸轮船生意已被洋商占尽，华商领官船另树一帜，洋人势必挟重资以侵夺"，因此"须华商自立公司，自建行栈，自筹保险"。这表明
A. 商战成为对外交往中心 B. 清政府鼓励民间投资设厂
C. 求富以自强方针的改变 D. 洋务派准备创办民用企业
6.清帝退位诏书稿由南京临时政府拟订，袁世凯收到后擅自在诏书稿上加入"由袁世凯以全权组织临时共和政府"等内容发表。孙中山表示反对，致电袁世凯强调："共和政府不能由清帝委任组织。"他们分歧的实质体现在
A. 是否赞同共和体制 B. 政府组建的主导权
C. 是否进行社会革命 D. 临时大总统的人选
7.1940年代中后期，中国许多工矿企业尽管账面上获得利润，但难以维持再生产，故"很多工厂把囤积原料作主业，反以生产作为副业"。这说明，当时
A. 商业的繁荣带动了工业生产 B. 抗日战争的胜利推动生产恢复
C. 国统区的经济秩序遭到破坏 D. 国民党军阀混战扰乱经济发展
8.1983年，北京四个最大的百货商场与北京市第一商业局签订合同，规定：超额完成利润承包额的，超额部分国家与商场对半分成；完不成利润承包额的，差额部分由企业利润留成和浮动工资弥补。这反映出
A. 企业活力逐步得到增强 B. 国企改革全面展开
C. 市场经济体制目标确立 D. 现代企业制度建立
9.1549～1560年，约4776名法国逃难者进入加尔文派控制下的日内瓦，其中1536人是工匠。他们将技术和资金由奢侈品行业投入普通的钟表业，日内瓦逐步发展成为世界钟表业的摇篮。这反映出，当时
A. 人文主义传播缓和了社会矛盾 B. 经济发展不平衡促进技术转移
C. 工匠精神决定了城市生活面貌 D. 宗教改革助推日内瓦经济发展
10.美国建国初期，制宪会议的参加者麦迪逊认为，新宪法授予联邦政府的权力很少，并有明确的规定；各州所保留的权力很多，却没有明确规定。在第一届国会上，麦迪逊提出宪法修正案：除了明确授予中央政府的权力以外，其余的权力由各州自行保留。这一主张
A. 赋予各州主权 B. 恢复邦联制度
C. 体现了分权与制衡原则 D. 旨在扩大联邦政府权力
11.图6为西方绘画作品《第一步》，其代表绘画流派
A. 注重内心的"自我感受" B. 强化了直观印象的作用
C. 强调素描的准确性 D. 追求画面严整和谐
12.1964年，主要由亚非拉国家组成的七十七国集团成立。在1975～2006年联合国决议中，围绕着裁军和国际安全议题，七十七国集团成员的意见基本一致。这种状况
A. 确立了世界多极化的格局 B. 维护了发展中国家的共同利益
C. 遏制了战后全世界范围内的军备竞赛 D. 改变了发达国家主导国际政治的局面
**二、非选择题：共52分。第41---42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第45---47题为选考题，考生根据要求作答。**
> **（一）必考题：共37分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
材料一 公元前11世纪下半叶，周公东征胜利后，在广阔的征服地域内分封其亲属子弟，拓殖建"城"，"国人"居于城内，"野人"居于城外，他们都享有一定的政治权利，国人政治身份高于野人，西周时期的"国"指天子诸侯之都城，其建设有一套理想化的标准模式。都城必置宗庙，立社稷，建高墙，是国家的象征，秦以后两千多年都城的修建往往继承了这种规划传统。
------摘编自白寿彝总主编《中国通史》等
材料二 公元前8世纪，希腊城邦兴起，为数众多的城邦一般都建在高地或山丘上，建有城墙等防御设施。城邦大多建立了大规模的神庙，是城邦的宗教中心，城市的中心广场即市政广场是城邦社会与政治活动中心。在许多城邦，人民凭着对土地的拥有权而获得公民权，可以参与城邦公共事务的讨论和执行。城邦一般以一个城市为中心，周围有大片的农村地区，这是城邦的主要经济基础。
------摘编自黄洋等主编《世界古代中世纪史》等
（1）根据材料并结合所学知识，分别概括西周时期的都城和古希腊城邦的特点。
（2）根据材料二并结合所学知识，概括古希腊城邦兴起的历史条件。
（3）根据材料并结合所学知识，分析西周政治制度对中华文明发展的影响。
14.阅读材料，完成下列要求。
材料 表1摘自1995年7～8月对江苏昆山，浙江乐清的部分农民进行的调查统计，调查对象中近60%为18～35岁的青壮年。
表1 1995年7～8月江苏昆山、浙江乐清部分农民调查统计 单位：%
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 选择意向明确的统计结果 | | | | | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 你是否同意以下说法 | 很赞同 | 比较赞同 | 说不准 | 不太赞同 | 很不赞同 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 农民的孩子应以种田为本 | 2.9 | 4.3 | 8.2 | 23.0 | 61.1 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 父母在，不远游 | 7.2 | 15.1 | 21.8 | 34.9 | 20.8 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 改革虽然有风险，但比吃大锅饭强 | 45.4 | 29.2 | l7.5 | 5.0 | 2.6 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 富贵贫贱是命定的 | 6.8 | 11.2 | 15.4 | 25.1 | 41.2 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 重新选择职业意向明确的统计结果 | | | | | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| | 经商 | 去乡镇企业 | 读书上大学 | 去大城市 | 继续种田 |
| | | | | | |
| | | 工作 | | 打工 | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 如果有机会重作选择，你将选择 | 35.2 | 14.1 | 31.8 | 2.7 | 8.5 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
------据周晓虹《传统与变迁》
根据材料并结合所学知识，就材料整体或其中任意一点拟定一个论题，并予以阐述。（要求：论题明确，持论有据，论证充分，表达清晰。）
**（二）选考题：共15分。请考生从3道历史题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15.【历史------选修1：历史上重大改革回眸】
材料 农奴制改革前，俄国出口商品主要包括粮食、亚麻、兽皮、皮货、木材等，粮食占出口额的35%以上；进口商品主要为工业品，即工厂所需的机器和设备、颜料、皮棉、煤。从1822年起，俄国对进口商品实行高关税，对外国商品的输入进行限制，农奴制改革后，俄国的出口结构中，农产品仍然占最大份额，粮食占出口额一半以上，主要出口英国，由于工业急需金属、机器和设备，俄国降低了保护关税税率，使进口机器的支出由1861～1865年的730万卢布增加到1876～1880年的4680万卢布。到90年代，与改革前相比，俄国对外贸易额增加2倍以上。
------摘编自（苏）B．T．琼图洛夫等编《苏联经济史》
（1）根据材料，概括俄国农奴制改革前后对外贸易的变化。
（2）根据材料并结合所学知识，简析对外贸易发生变化的原因。
16.【历史------选修3：20世纪的战争与和平】
材料一 ......
三、铁路与公路交通。西有平汉铁路，南有陇海铁路，东有津浦铁路，有菏泽经濮县虽公路有破坏，因平原关系，无大妨碍，仍可通车。
四、......（辖区）共18个县城，大小市镇200余个，村庄万余个，人口有300万。
五、......在粮食方面能自给有余，村庄相距有二三里，村村有沟道，便于开展游击战争。
......
七、群众组织，有自卫队、农救会、青救会、妇救会、儿童团等......
八、群众武装，一般每县有个独立团，县长兼团长；有的有个基干大队；根据地内有游击小组。
------摘自《冀鲁豫边区的概况》（1940年4月）
材料二 你们在去年一年打了大小几千次的仗，打死五万以上的敌伪军，打退了常常几倍几十倍的敌人进攻......收复了许多的失地，许多抗日根据地的面积和人口是扩大了......你们的大功劳，中国人民永远不会忘记，各国人民也已明白。
------摘自《中共中央向敌后军民致贺电》（1944年1月）
（1）根据材料一，概括冀鲁豫（边区）抗日根据地建立条件。
（2）根据材料二并结合所学知识，简析抗日根据地对战胜日本帝国主义的贡献。
17.【历史------选修4：中外历史人物评说】
材料 张九龄（678～740），韶州曲江（今广东韶关）人。七岁能文，进士及第后步入仕途，开元年间官至宰相，成为秦至唐在统一王朝任官级别最高的岭南人。张九龄为政注重民生疾苦，轻刑罚，薄赋敛，扶持农桑。其为人忠诚耿介，敢于进谏，亦终因此罢相，后有人认为这是唐朝由治到乱的分水岭。张九龄有《曲江集》传世，其诗清新自然，其文高雅严整。岭南多被时人视为蛮荒之地，而在张九龄的笔下，却是山明水秀，风光无限。他曾主持开大庾岭新路，便利了岭南与中原的交通，至今用之。张九龄"耿直温雅，风仪甚整"，人们以其家乡之名称之为"曲江风度"。明末清初著名思想家王夫之称赞他："当年唐室无双士，自古南天第一人。"
------据《新唐书》等
（1）根据材料并结合所学知识，概括张九龄成为盛唐名相的历史背景。
（2）根据材料并结合所学知识，评价张九龄的历史贡献。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**一、选择题：本题共11小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
自20世纪90年代，在经济全球化浪潮下，一些国家之间签订自由贸易协定，降低甚至取消彼此间部分商品的贸易关税，促进商品的自由贸易。下图示意汽车企业在已签订自由贸易协定的甲、乙两国的产业布局调整。据此完成下面小题。
1\. 汽车企业将组装厂由甲国转移至乙国的主要目的是（ ）
A. 创新技术 B. 拓展市场 C. 扩大规模 D. 降低成本
2\. 该产业布局模式宜发生在邻国之间，主要原因是邻国之间（ ）
A. 消费习惯相近 B. 经济发展水平相近
C. 运输费用较低 D. 研发成本差异较小
3\. 该产业布局调整导致甲国汽车的（ ）
A. 进口量增多 B. 出口量增多
C. 销售量增多 D. 生产量增多
户籍人口与常住人口的差值可以表示当地人口常年（半年以上）外出的数量。下图显示2010年我国西部某市50岁以下各年龄组女性人数。调查表明，该市妇女生育峰值在21---29岁。据此完成下面小题。
4\. 以下时间段中，该市人口出生率最高的为（ ）
A 2001～2005年 B. 1991～1995年
C 1981～1985年 D. 1971～1975年
5\. 造成该市20～24岁年龄组人数明显偏多的原因可能是，该组人口出生期间（ ）
A. 生育政策放宽 B. 经济发展提速
C. 育龄妇女较多 D. 生育观念转变
6\. 推测2010～2030年该市人口发展变化是（ ）
A. 人口出生率逐渐提高 B. 人口增长较缓慢
C. 2025年迎来生育高峰 D. 人口总量逐渐减少
下图示意某地质剖面，其中①指断层。据此完成下面小题。
7\. ①②③④中最先形成的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
8\. 砂砾石层的下界为相对平坦而广阔的面。该面形成时期，所在区域可能（ ）
A. 地壳持续抬升，遭受侵蚀 B. 地壳持续下降，接受沉积
C. 地壳运动稳定，遭受侵蚀 D. 地壳运动稳定，接受沉积
勘察加火山群位于环太平洋火山带的北端，气候冷湿，火山锥各坡的降水差异小，近几十年来受全球气候变化的影响，火山锥的林线（森林分布上限）升高、雪线（终年积雪下限）有所降低。此外，其他干扰也影响林线和雪线高度。例如，火山喷发彻底破坏原有景观，若干年内该火山锥的林线与雪线高度往往发生显著变化。据此完成下面小题。
9\. 一般情况下，与阴坡相比，该地火山锥阳坡的（ ）
A. 林线与雪线更高 B. 林线与雪线更低
C. 林线更高、雪线更低 D. 林线更低、雪线更高
10\. 林线升高，雪线有所降低，表明火山群所在区域气候变化趋势为（ ）
A. 暖湿 B. 暖干 C. 冷湿 D. 冷干
11\. 火山喷发后若干年内，该火山锥（ ）
A. 林线升高，雪线升高 B. 林线升高，雪线降低
C. 林线降低，雪线升高 D. 林线降低，雪线降低
**二、非选择题:第12～13题为必考题，每个试题考生都必须作答。第14～15题为选考题，考生根据要求作答。**
12.阅读图文材料，完成下列要求。
马来西亚曾为世界最大的锡精矿生产国。自1986年开始实施工业化战略，经济持续数年高速增长，迅速进入新兴工业化国家的行列。20世纪80年代，该国锡矿资源枯竭，最大的锡矿坑积水成湖，周边矿场废置。自1990年起，利用该矿坑湖和废置矿场，陆续建起集主题公园、高尔夫俱乐部及球场、酒店和度假村、购物中心和商业城、国际会展中心、高档住宅区等为一体的休闲城。该休闲城成为闻名世界的旅游和休闲中心。下图示意该休闲城的位置。
（1）估算该休闲城至吉隆坡市中心和国际机场的距离，说明其位置优势。
（2）说明废置矿场和矿坑湖为建设该休闲城提供的有利条件。
（3）该休闲城定位高档。从马来西亚经济发展背景出发，分析该休闲城主要的客源市场。
（4）该休闲城规模大，集休闲娱乐、体育、会展、购物、酒店、住宅等于一体。简述这样模式对吸引消费者的作用。
13.阅读图文材料，完成下列要求。
毛乌素沙地中流动沙地、固定沙地与湖泊、河流、沼泽等景观并存。上述景观在自然和人文因素影响下可发生转化。1995～2013年，流动沙地趋于固定，湖沼面积减小。一般而言，风沙沉积越多，风沙活动越强。某科研团队调查1万年以来毛乌素沙地东南部湖沼沉积和风沙沉积数量的变化，结果如图1所示。图2示意毛乌素沙地1995～2013年气温、降水的变化。
> 
（1）分别简述图1所示I、Ⅱ、Ⅲ三个阶段湖沼面积和风沙活动的变化特征，并归纳湖沼面积与风沙活动的关系。
（2）说明毛乌素沙地1995～2013年流动沙地趋于固定的自然原因。
（3）毛乌素沙地1995～2013年湖沼面积减小，试对此做出合理解释。
（4）近些年来，毛乌素沙地绿化面积逐渐增大，有人认为"毛乌素沙地即将消失"。你是否赞同？表明你的态度并说明理由。
14.【地理---选修3：旅游地理】
徽杭古道是古代徽商贩运盐、茶、山货的必经之路。近年来，徽杭古道安徽伏岭镇至浙江清凉峰镇段逐渐发展成为徒步旅游线路。下图示意该段徽杭古道所在区域的地形。
说明该段徽杭古道成为徒步旅游线路的优势条件。
15.【地理---选修6：环境保护】
据估计，建筑物的玻璃幕墙每年导致全球数以亿计的鸟儿死亡。某度假村建于燕山南麓沟谷之中，周边树木葱茏，鸟儿啼鸣，环境优美。建筑物整体顺谷地南北向延伸，外立面大面积使用玻璃幕墙（剖面如图所示）。该建筑建成初期，清晨和傍晚鸟儿频频撞击玻璃幕墙而死亡，且清晨多发于西侧而傍晚多发于东侧。
合理解释鸟儿撞击玻璃幕墙"清晨多发于西侧而傍晚多发于东侧"的原因，并提出解决措施。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）**
**文科综合-政治**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共16页。如遇缺页、漏印、自己不清等情况，考试须及时报告监考老师。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.某果园尝试新的运营模式：认养人在年初按1000元/年认养5株桃树，由果园代管，果园将收获的桃子寄给认养人。合同约定，寄送的桃子数量由桃树的实际收成确定：果园承诺有机种植，并定期通过视频或文字向认养人汇报桃子的生长情况；认养人可以去果园参观游览、参加养护采摘等活动。果园的桃树很快被认养一空。该模式的吸引力在于（ ）
①果园可提前获得销售收入，降低经营风险
②果园可扩大种植规模，提高生产效率
③认养人可获得丰富的消费体验，满足个性化需求
④认养人可全程参与果园生产经营，维护自身权益
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
2."银税互动"是指税务、银保监部门和金融机构合作，帮助中小企业将纳税信用转化为融资信用，为其贷款提供便利，实现"以税促信、以信申贷"的目标。银行根据企业纳税信用等级确定免抵押、免担保的信用融资额度。到2020年4月末，"银税互动"贷款余额5732亿元，同比增长74%；贷款户数75万户，同比增长114%。"银税互动"的积极作用是（ ）
①放宽融资条件，纾解企业资金困难
②提高存贷利差，增加银行利润
③鼓励诚信纳税，降低企业融资成本
④有效控制信贷风险，改善银企关系
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3.近年来"电商+直播"模式迅速兴起，电商平台提供渠道和技术支持，电视台主播、影视明星、企业家等通过视频直播以折价让利、实时交流、实物展示等方式推销产品，带动了销售增长。与传统电商相比，"电商+直播"的优势在于（ ）
①借助网络平台，节约营销费用
②缩短交易环节，加速商品流通
③通过演示与互动，激发购买欲望
④利用名人效应，将"粉丝"转化为顾客
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
4.下图反映2018～2019年中国对外货物贸易顺差情况（本题将全球经济体分为中国、"一带一路"沿线国家、美国和其他经济体）。
2018～2019年中国对外货物贸易顺差
据图可推断出（ ）
①中国对其他经济体存在货物贸易逆差
②美国是中国货物贸易顺差的重要来源
③中国货物进口额大于出口额，且差额扩大
④中国从"一带一路"沿线国家进口的商品增加
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
5.近年来，某县各乡镇因地制宜在村委会办公楼、社区商店、医疗卫生室等地方设立近百个村民服务代办点，提供社保卡信息采集、申领老年人优待证等10多项政务服务。设立村民服务代办点（ ）
①优化了农村社区的组织结构
②能够更好实现村民民主权利
③是农村公共服务机制创新的体现
④提升了基层政府公共服务水平
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6.2019年5月，某市人民检察院向市住房和城乡建设局送达有关规范公共租赁住房管理检察建议书，指出本市存在违规领取公共租赁住房租赁补贴等情况，建议该局尽快出台公共租赁住房租赁标准实施细则，依法履行职责，并要求在收到建议书两个月内书面回复。这一事例表明（ ）
①政府职能部门应当接受司法机关的监督
②向行政机关提出检察建议书是检察机关的法定职责
③行政机关必须按照检察机关的建议安排自己的工作
④行政机关与检察机关的相互制约有利于提高社会治理水平
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
7.2019年，中央财政通过国家文物保护专项资金、非物质文化遗产保护专项资金以及中央补助地方公共文化服务体系建设专项资金等相关财政转移支付，支持加强民族语言文字出版能力建设，推动少数民族地区新闻出版广播电视事业发展。中央财政支持（ ）
①旨在推动民族地区文化事业的发展
②凸显了民族区域自治制度的优越性
③是民族地区经济社会发展的基本保障
④体现了各民族共同发展共同富裕共同繁荣原则
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
8.习近平指出，中华民族历来注重敦亲睦邻，讲信修睦、协和万邦是中国一以贯之的外交理念。我们提出了亲、诚、惠、容的周边外交理念，就是要诚心诚意同邻居相处，一心一意共谋发展，携手把合作的蛋糕做大，共享发展成果。提出亲、诚、惠、容的周边外交理念（ ）
①彰显了民族文化深厚底蕴和强大生命力
②表明传统文化焕发生机取决于时代的变迁
③增强了坚守中华传统文化内容和形式的信心
④是优秀传统文化创造性转化、创新性发展的范例
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
9.2019年4月，世界著名文化遗产巴黎圣母院因火灾受损。11月，中法双方签署文件，决定就巴黎圣母院修复等开展合作。双方商定在2020年确定巴黎圣母院保护修复合作的主题、模式及中方专家人选，同时明确双方将就陕西秦始皇陵兵马俑保护开展技术与科学交流及培训项目。中法开展文化遗产修复和保护合作旨在（ ）
①丰富世界文化的多样性
②促进中法文化交流互鉴
③赋予中法传统文化新的时代内涵
④推动中法文化在取长补短中共同发展
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10."岁月不居，时节如流"。这客观规律谁也无法改变，可以改变的是人们对待时间的态度。毛泽东讲，"一万年太久，只争朝夕"。邓小平说，"我就担心丧失机会。不抓呀，看到的机会就丢掉了，时间晃就过去了"。人们在时间规律面前要"争"，要"抓"，其哲学依据是（ ）
①时间的价值因人而异，没有客观性
②承认时间规律的客观性是科学利用时间的前提
③时间规律的普遍性决定了人们对待时间态度的统一性
④时间的流逝是客观的，对时机的把握需要发挥主观能动性
A ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
11.1869年，门捷列夫公布了自己制作的元素周期表，将已发现的化学元素纳入一个统一的体系中。依据元素周期律，门捷列夫推断当时的一些原子量测定结果存在误差，预言"类铝"（镓）、"类硼"（钪）等当时尚未发现元素的存在，他的推断和预言后来在实验中被逐一证实。这表明（ ）
①科学发现来源于认识的不断深化与积累
②科学原理对探索和发现客观真理具有指导作用
③任何科学理论都必须在实践中验证自己的真理性
④科学原理------科学预测------实践检验是认识发展的一般规律
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
12.十三届全国人大三次会议通过的《中华人民共和国民法典》，是一部体现对生命健康、财产安全、交易便利、生活幸福、人格尊严等民众各方面权利平等保护的基础性法律，对加快建设社会主义法治国家，发展社会主义市场经济，依法维护人民权益，推进国家治理体系和治理能力现代化，都具有重大意义。制定民法典体现的唯物史观原理是（ ）
①经济基础的变革总是先于上层建筑的变革
②上层建筑为经济基础服务，就能推动生产力发展
③上层建筑的变化发展离不开社会意识的能动作用
④上层建筑定要适合生产力和经济基础发展的要求
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
**二、非选择题：共52分。**
13.阅读材料，完成下列要求
家庭农场是以家庭成员为主要劳动力，从事农业规模化、集约化、商品化生产经营，并以农业收入为家庭主要收入来源的农业组织形式，2013年中央"一号文件"首次提出具体农场。2019年中央"一号文件"提出"全面深化农村改革，激发乡村发展活力"，并再次强调要坚持家庭经营基础地位，突出培育家庭农场等新型农业经营主体。
近年来，我国家庭农场发展迅速，数量已经超过87.7万户，据2019年农业农村部信息：我国家庭农场大多由小农户升级而来，经营规模在20～200之间；家庭农场主要从事种植业、养殖业和种养结合，其中种植业农场有56.1%采用了喷灌技术，养殖业农场有近80%进行了粪便资源化、综合循环利用和无害化处理；在不少家庭农场中，父辈负责生产、子女负责营销，经营的农产品有以自己名字命名的品牌；全国有36.9%的家庭农场加入聊农民合作社，参与和分享农机、良种、技术、订单等服务。
结合材料并运用经济知识，说明发展家庭农场对于激发乡村经济活力的积极作用。
14.阅读材料，完成下列要求。
新型冠状病毒肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，对全世界是一次严重危机和严峻考验。人类生命安全和健康面临重大威胁。
面对突如其来、来势汹汹的疫情天灾，中国果断打响疫情防控阻击战，把人民生命安全和身体健康放在第一位，采取最全面最严格最彻底的防控措施，取得了抗击疫情重大战略成果，毫不保留同各方分享防控和救治经验，尽己所能向国际社会提供人道主义援助，支持全球抗击疫情。
2020年3月26日，国家主席习近平出席二十国集团领导人特别峰会并发表《携手抗议 共克时艰》讲话，倡议打好新冠肺炎疫情防控全球阻击战，有效开展国际联防联控，积极支持国际组织发挥作用，加强国际宏观经济政策协调。
结合材料并运用政治生活知识，分析打赢新冠肺炎疫情防控全球阻击战为什么要秉持人类命运共同体理念。
15.阅读材料，完成下列要求。
黄河是中华民族的母亲河，也是一条桀骜难驯的忧患河。"九曲黄河万里沙"，三年两决口、百年一改道，曾给沿岸百姓带来深重灾难。中华民族始终在同黄河水早灾害作斗争，但是受主客观条件的制约，黄河屡治屡决的状况没有得到根本改观。
20世纪中叶，黄河治理的千古难题历史性地交到了中国共产党人手中。1952年，毛泽东发出"要把黄河的事情办好"的伟大号召，动员和激励了千百万黄河儿女兴修水利、筑坝拦洪、修复生态，开启了破解黄河治理千古难题之旅。经过几代人不屈不挠的顽强拼搏，特别是党的十八大以来按照"节水优先、空间均衡、系统治理、两手发力"的治水思路进行的全面整治，黄河水沙治理取得显著成效，实现连续20年不断流，黄河流域生态环境持续明显向好，经济社会发展水平不断提升，黄河儿女交出了一份优异的治黄答卷。
2019年9月，习近平郑重宣布，黄河流域生态保护和高质量发展是重大国家战略。他深入剖析黄河水少沙多等难题症结，强调黄河治理要坚持"绿水青山就是金山银山"的理念；坚持生态优先、绿色发展，紧紧抓住水沙关系调节这个"牛鼻子"；坚持山水林田湖草综合治理、系统治理、源头治理。习近平关于黄河治理的战略思想，为"让黄河成为造福人民的幸福河"提供了行动指南。
（1）运用整体与部分辩证关系原理说明黄河治理战略思想的科学性。
（2）结合材料并运用文化力量的知识，分析新中国黄河治理交出优异答卷的原因。
（3）请就更好地守护黄河撰写两条公益宣传广告用语。要求紧扣主题，朗朗上口，每条在16个字以内。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）**
**数 学（文科）**
**参考答案**
**一、选择题**
1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D
7．B 8．B 9．C 10．C 11．A 12．C
**二、填空题**
13．1
14．7
15．（1，4）
16．A，B，C
**三、解答题**
17．解：
（1）因为，所以；
由，即，
（2）由（1）得
由得，
当时，解得，
当时，解得，
所以的解集为
18．解：
（1）将，代入函数中得，
因为，所以
由已知，且，得
（2）因为点，是的中点，
所以点的坐标为
> 又因为点在的图象上，且，所以，
，从而得或，
即或
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A~1~，A~2~；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）**解法一：**分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B，
则，
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
**解法二：**恰好有一种果树栽培成活的概率为：
20．
**解法一：**
（1）证明：作交于，连
则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面
连结，则就是与面所成的角
因为，，所以
与面所成的角为
（3）因为，所以
所求几何体的体积为
**解法二：**
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，A（0，1，4），B（0，0，2）C（1，），3）。
因为O是AB的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面
（2）设与面所成的角为
求得，
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：
又因为
所以，，则
所以与面所成的角为
（3）同解法一
21．解：
（1）由已知条件得，
因为，所以，使成立的最小自然数
（2）因为，............①
，............②
得：
所以
22．解：
（1）在中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为
（2）**方法一：**在中，设，，，
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得，
则
由⑤得，
，
故存在满足题设条件
**方法二：**（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以，
则①
由，可设，
则，
则②
由①②得③
根据双曲线定义可得，
平方得：④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件。
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第21周抓"不变量"解题
====================
**一、知识要点**
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
**二、精讲精练**
**【例题1】**将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
**解法一**：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题："一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。"
分母：（61-43）÷（1－）＝81
分子：81×＝63
81-61＝20或63-43＝20
**解法二**：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
约分后所得的在约分前是：＝＝
所加的数是81-61＝20\[来源:学科网ZXXK\]
答：所加的数是20。
**练习1：**
1、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？
2、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？
3、的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？
> 4、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？
**【例题2】**将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
**解法一**：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由"它的分母减去2得"可知，分母比分子的倍还多2。由"分母加1得"可知，分母比分子的倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（－）=12
分母：12×-1＝17
**解法二**：两个新分数在未约分时，分子相同。
①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝
②原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
答：这个分数为。\[来源:Zxxk.Com\]
**练习2**：
1、将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？
2、将一个分数的分母加上3得，分母加上2得。原来的分数是多少？
3、将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？
4、将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？
**【例题3】**在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。
**解法一**：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以
＝＝，＝＝
故原来的最简分数是。
**解法二：**根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
（+）÷2＝
答：原来的最简分数是。
**练习3：**
> 1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
> 3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
**【例题4】**将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？
**解法一**：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和分母再同乘以2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。
**解法二**：因为分子没有变，所以把分子看做单位"1"。分母加3后是分子的，分母加5后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是。
**练习4：**
1、一个分数，将它的分母加5得，加8得，原来的分数是多少？（用两种方法）\[来源:学\*科\*网\]
2、将一个分数的分母减去3，约分后得；若将它的分母减去5，则得。原来的分数是多少？（用两种方法做）
3、把一个分数的分母减去2，约分后等于。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。求原分数。
**【例题5】**有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于，这个分数是多少？
根据"分子加1，这个分数等于"可知，分母比分子的2倍多2；根据"分母加1这个分数就等于"可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是。
**练习5：**
> 1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于，如果分母加上1，这个分数等于，这个分数是多少？
>
> 2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于，如果分母减3，这个分数等于，这个分数是多少？
>
> 3、一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于，这个分数是多少？
>
> **答案：**
>
> **练1**
>
> 1、 41 2、17 3、 37 4、 16
>
> **练2**
>
> 1、 2、 3、 4、
>
> **练3**
>
> 1、 2、 3、
>
> **练4\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> 1、 2、 3、
>
> **练5**
1、 2、 3、
> \[来源:学科网\]
**三、课后练习**
1、的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？
2、将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？
> 3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
>
> 4、一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于，这个分数是多少？
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(****秋)**
**第3单元 第****五节：做个百数表**
**一、在百数表中的○里填空。**
-------- ------- ------------------------------------ ------- -------
**★** **●** **▲** **■**
**行** 
**列**
**数**
-------- ------- ------------------------------------ ------- -------
**二、依据上图填空。**
**1、第6行第7列是（ ），第8行第10列是（ ）。**
**2、95在第（ ）行第（ ）列。**
**3、43在第（ ）行第（ ）列。**
**4、70在第（ ）行第（ ）列。**
**5、35向下三行是（ ）；80向上二行是（ ）。**
**6、48向左五行是（ ）；****55向右四列是（ ）。**
**7、在百数表中，73周围的数是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。**
三、填表。
-------- ------- -------- ------- ------------------------------ -------- -------------------------------------- --------
**行** **3** **5** **7** **10**
**列** **7** **6** **10 \[来源:Z\_xx\_k.Com\]** **10 \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]**
**数** **75** **81** **98**
-------- ------- -------- ------- ------------------------------ -------- -------------------------------------- --------
**四、**口算。
36+3＝ 3+85= 86－4= 84－50=
27+3= 74－70= 50+32= 63－30=
8+62＝ 66－6＝ 32+32＝ 85－5＝
**五、**笔算。
5 6 3 8 42 5 3
[+ 4]{.underline}  [+ 3 2]{.underline} [－7]{.underline} [－2 6]{.underline}
\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_
**答案**
------------------------------------- -------- -------- -------- -----------------------------------------
**★** **●** **▲** **■**
**行** **3** **6** **6** **9**
**列\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]** **3** **10** **5** **9**
**数** **23** **50** **55** **89**
------------------------------------- -------- -------- -------- -----------------------------------------
**一、在百数表中的○里填空。**
**二、依据上图填空。**
**1、57，70**
**2、10 5**
**3、5 3**
**4、6 10**
**5、65；60。**
**6、43；59。**
**7、72 74 63 83**
三、填表。
-------- ----------------------------------------- -------- ------------------------------------------- -------- -------- --------- ------------------------------------------
**行** **3** **8** **5** **7** **9** **10** **10**
**列** **7** **5** **6 \[来源:学科网ZXXK\]** **10** **1** **10** **8** 
**数** **27** **75** **46**  **60** **81** **100** **98**
-------- ----------------------------------------- -------- ------------------------------------------- -------- -------- --------- ------------------------------------------
四、口算。喜子的商铺(淘宝店)：<http://t.cn/Ri466E4> 微店：http://shop83755268.vpubao.com/
36+3＝39  3+85=88 86－4=82  84－50=34
27+3=30 74－70=4 50+32=82 63－30= 33
8+62＝70 66－6＝60 32+32＝64 85－5＝80
五、笔算。
5 6 3 8 42  5 3
[+ 4]{.underline} [+ 3 2]{.underline} [－7]{.underline} [－2 6]{.underline}
[\_60]{.underline}\_ \_\_\_[70\_]{.underline}\_ \_\_\_[35\_]{.underline}\_ \_[\_\_27]{.underline}[\_\_]{.underline}\_
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)**
**理科数学**(必修+选修II)
注意事项:
1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟.
2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。
3. 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
P~n~(k)=CP^k^(1－P)^n－k^
一．选择题
1．sin210^0^ =
\(A\) (B) - (C) (D) -
2．函数f(x)=\|sinx\|的一个单调递增区间是
(A)（－，） (B) （，） (C) （π，） (D) （，2π）
3．设复数*z*满足=*i*，则*z* =
\(A\) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i
4．以下四个数中的最大者是
\(A\) (ln2)^2^ (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2
5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则λ=
\(A\) (B) (C) - (D) -
6．不等式:\>0的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
\(C\) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
7．已知正三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~的侧棱长与底面边长相等，则AB~1~与侧面ACC~1~A~1~所成角的正弦等于
\(A\) (B) (C) (D)
8．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D)
9．把函数*y*=*e^x^*的图象按向量***a***=(2,3)平移，得到*y*=*f*(*x*)的图象，则*f*(*x*)=
\(A\) *e^x^*^-3^+2 (B) *e^x^*^+3^－2 (C) *e^x^*^-2^+3 (D) *e^x^*^+2^－3
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
(A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种
11．设F~1~，F~2~分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F~1~AF~2~=90º，且\|AF~1~\|=3\|AF~2~\|，则双曲线离心率为
\(A\) (B) (C) (D)
12．设F为抛物线y^2^=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=**0**，则\|FA\|+\|FB\|+\|FC\|=
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
第II卷（非选择题）
本卷共10题，共90分。
二．填空题
13．（1+2*x*^2^）(*x*－)^8^的展开式中常数项为 [ ]{.underline} 。（用数字作答）
14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ^2^）（σ\>0），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为 [ ]{.underline} 。
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 [ ]{.underline} cm^2^.
16．已知数列的通项*a~n~*=－5*n*+2,其前*n*项和为S*~n~*, 则= [ ]{.underline} 。
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.在 ∆ABC中，已知内角A=,边 BC=2,设内角B=*x*, 周长为*y*
（1）求函数*y*=*f*(*x*)的解析式和定义域；
（2）求*y*的最大值
18\. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A："取出的2件产品中至多有1件是二等品"的概率P（A）=0.96
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率*p*;
（2）若该批产品共有100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列
19.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
1. 求证：EF∥ 平面SAD
2. 设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小
20．在直角坐标系*xOy*中，以O为圆心的圆与直线：x-y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使\|PA\|、\|PO\|、\|PB\|成等比数列，求的取值范围。
21．设数列{*a~n~*}的首项*a*~1~∈ (0,1), *a*~n~=，*n*=2,3,4...
（1）求{*a~n~*}的通项公式；
（2）设，求证\<，其中*n*为正整数。
22.已知函数*f*(*x*)=*x*^3^－*x*
（1）求曲线*y*=*f*(*x*)在点*M*(*t*, *f*(*t*))处的切线方程
（2）设*a*\>0,如果过点（*a*, *b*）可作曲线*y*=*f*(*x*)的三条切线，证明：－*a*\<*b*\<*f*(*a*)
**\
2007年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案**
**评分说明：**
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
**一、选择题**
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C D A C A A C B B B
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1．sin210^0^ =，选D。
2．函数f(x)=\|sinx\|的一个单调递增区间是(π，)，选C。
3．设复数*z=*, (*a*，*b*∈R)满足=*i*，∴ ，，∴ *z* =，选C。
4．∵ ，∴ ln(ln2)\<0，(ln2)^2^\< ln2，而ln=ln2\<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。
5．在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则
=，∴ λ=，选A。
6．不等式:\>0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。
7．已知正三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~的侧棱长与底面边长相等，取A~1~C~1~的中点D~1~，连接BD~1~，AD~1~，∠B~1~AD~1~是AB~1~与侧面ACC~1~A~1~所成的角，，选A。
8．已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。
9．把函数*y*=*e^x^*的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到*y*=*f*(*x*)的图象，*f*(*x*)= ，选C。
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种，选B。
11．设F~1~，F~2~分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F~1~AF~2~=90º，且\|AF~1~\|=3\|AF~2~\|，设\|AF~2~\|=1，\|AF~1~\|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。
12．设F为抛物线y^2^=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=**0**，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，
∴ \|FA\|+\|FB\|+\|FC\|=，选B。
**二、填空题**
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题号 13 14 15 16
答案
------ ---- ---- ---- ----
13．(1+2*x*^2^)(*x*－)^8^的展开式中常数项为=－42。
14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ^2^）（σ\>0），正态分布图象的对称轴为x=1，ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于ξ在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm^2^.
16．已知数列的通项*a~n~*=－5*n*+2，其前*n*项和为S*~n~*，则=－。
**三、解答题**
17．解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
18．解：（1）记表示事件"取出的2件产品中无二等品"，
表示事件"取出的2件产品中恰有1件二等品"．
则互斥，且，故
于是．
解得（舍去）．
（2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故
．
．
．
所以的分布列为
-- --- --- ---
0 1 2
-- --- --- ---
19．解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以，而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
20．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．
由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
21．解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得
（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么，
又由（1）知且，故，
因此 为正整数．
方法二：
由（1）可知，
因为，
所以 ．
由可得，
即
两边开平方得 ．
即 为正整数．
22．解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当变化时，变化情况如下表：
-- -- -------- -- -------- --
0
0 0
极大值 极小值
-- -- -------- -- -------- --
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
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2015-2016学年度下学期高三年级猜题卷
高三数学（理科）
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）\[来源:Zxxk.Com\]**
1.""是"复数（其中是虚数单位）为纯虚数"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.设全集，函数的定义域为，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.若点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
5.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6.若函数的图象如图所示，则的范围为（ ）
A. B． C．  D．
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．
8.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）
A． B． C． D．
9.已知非零向量，，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值为（ ）
A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．是2 D．是4
10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11.已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）**
13.已知，展开式的常数项为15，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
15.设抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作它的弦，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.已知数列满足，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.（本小题满分12分）
如图，在中，已知点在边上，且，，，.
（1）求长； （2）求.
18.（本小题满分12分）
已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
2015年7月9日21时15分，台风"莲花"在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
----------------- ---------------------- -------------------- ------
经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计
捐款超过500元
捐款不超过500元
合计
----------------- ---------------------- -------------------- ------
--------------------- ------- ------------------------------------------ ------- ------- ------- ------- --------
\[来源:学\|科\|网\] 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
--------------------- ------- ------------------------------------------ ------- ------- ------- ------- --------
附：临界值表参考公式：.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数，的值；
（2）若恒成立，求的值.\[来源:Zxxk.Com\]
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，为四边形外接圆的切线，的延长线交于点，与相交于点，且.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）求.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，，，，若关于的不等式的整数解有且仅有一个值为-2.
（1）求整数的值；
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围.\[来源:Zxxk.Com\]
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**北师大版小学数学三年级下册期末检测试题**
1．星期六早晨，小刚去买早点。
2．咕噜猪去商店买文具。
3．**根据下面的价格来计算。**
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**名称** **篮球** **足球** **排球** **羽毛球拍**
**单价/元** **60** **35** **40** **30**
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**一问：买20个足球，要付多少钱？**
**二问：李老师要买18个排球，带1000元够吗？**
**三问：小东带上200元可以买哪些东西？**
4．**找规律，再计算。**
**24×11=240+24=264**
**47×11=470+47=517**
**35×11=（ ）+（ ）=（ ）**
**78×11=（ ）+（ ）=（ ）**
5．想一想，填一填。
今天是我的生日，3个好朋友给我买了一个精美的三角形的蛋糕，我可喜欢了！怎么切这个蛋糕呢？我的3个好朋友分别给我提供了她们的切法：
（ ）的切法最合理，能让我们四个吃的一样多，我们按照她提供的切法切开了蛋糕，我吃了这个蛋糕的（ ），你知道我吃的是哪一块吗？找出来，涂成你喜欢的颜色啊！
呵呵，切蛋糕，吃蛋糕，我还真学到了不少数学知识呢！
6．一盒蛋糕，平均分成若干块后，妈妈吃了4块，爸爸吃了3块，明明吃了2块后刚好吃完。
一问：他们各吃了这盒蛋糕的几分之几？
二问：爸爸比妈妈少吃了这盒蛋糕的几分之几？
三问：妈妈和明明一共吃了这盒蛋糕的几分之几？
**参考答案**
1．0.50元读作：零点五零元，0.50元=5角；
0.6元读作：零点六元，0.6元=6角；
3.45元读作：三点四五元，3.45元=3元4角5分
【解析】1.按照小数的读法读出每个小数。
2.依据小数点左边的整数部分表示元，右边第一位表示角，右边第二位表示分，把小数改写成几元几角几分。
总结：（1）先读整数部分，再读小数部分，读小数部分按从左到右的顺序依次读出每一位上的数字。
（2）把带有元、角、分的数改写成以元为单位的小数，元对应小数的整数部分，角对应小数部分的第一位，分对应小数部分的第二位。
2．够
【解析】
解：3.5+1.2=4.7（元）
4.7元＜5元
答：买一本笔记本和一把尺子，5元钱够。
总结：够与不够的判断→看商品的总价值与你拥有的钱数的比较得来的：
总价值﹥你的钱数，则为不够；
总价值﹤（或=）你的钱数，则为够。
**3．700元；够；可以买2个篮球和2个排球，也可以买5个排球等。**
**【解析】一问：每个足球35元，买20个足球，也就是求20个35元是多少？做乘法运算：35×20。**
**解：35×20=700（元）**
**答：要付700元。**
**二问：要求1000元够不够，看买18个排球要花多少钱？再与1000元进行比较。比1000元大，就不够；反之，就够。**
**解：18×40=720（元）**
**720元＜1000元**
**答：带1000元够了。**
**三问：这里可以单独购买，也可以组合购买。如：可以买2个篮球和2个排球，也可以买5个排球等。**
解：**60×2=120（元）**
**40×2=80（元）**
**120+80=200（元）**
**或40×5=200（元）**
**答：可以买2个篮球和2个排球，也可以买5个排球等。**
**总结：这是一道考查学生合理选择数学信息、灵活解决实际问题的应用题。一问是求20个35是多少，直接用乘法计算；二问是两步计算，先用乘法算出总价，再与1000元比大小，做判断；三问考查思维的灵活性，答案有多种。只要合符200元的总价就行。三个问题都是围绕乘数是整十数的乘法设问的，只是各题的侧重点不同而已。同学们要根据问题，灵活选用不同方法计算。**
4．**350，35，385；780，78，858**
【解析】**两位数乘11的巧算方法是：**
**两位数扩大到原来的10倍＋这个两位数=两位数乘11的积**
解：**35×11=350+35=385**
**78×11=780+78=858**
**总结：1乘任何数都得原数，而十位的1表示10，而乘10则表示把这个数扩大到原来的10倍，只需在这个数的未尾加一个0就可以了。**
**5．**李云，，（答案不唯一）
【解析】仔细阅读，比较三人的切法，要使四个人吃得一样多，就是要将蛋糕平均分成4份。不难看出李云的切法是将蛋糕平均分成了四份，每份大小相等。每人都吃了蛋糕的，最合理。究竟"我"吃了哪一块，可以是四份中的任一块。
总结：根据题目提供的数学信息，分析对比，找出谁的切法最合理，"我"吃了多少，最后涂出"我"吃的那一块。由于每一块都是相等的，"我"吃的是哪一块都是合理的，可能的，所以这里涂法有多种，答案不唯一。
6．妈妈吃了这盒蛋糕的，爸爸吃了这盒蛋糕的，明明吃了这盒蛋糕的；；
【解析】一问：要求他们各吃了这盒蛋糕的几分之几，首先要知道这盒蛋糕平均分成了多少份，从"妈妈吃了4块，爸爸吃了3块，明明吃了2块后刚好吃完"可知，蛋糕一共4+3+2=9（块），也就是这盒蛋糕被分成了9份，妈妈吃了4块，就是吃了4份，占总数的；同理，爸爸吃了，明明吃了。
二问：求爸爸比妈妈少吃了这盒蛋糕的几分之几，就是求爸爸和妈妈吃的相差几分之几，用减法算。
解：---=
答：爸爸比妈妈多吃了这盒蛋糕的。
三问：求妈妈和明明一共吃了这盒蛋糕的几分之几，就是把妈妈吃的和明明吃的合起来，用加法算。
解：+=
答：妈妈和明明一共吃了这盒蛋糕的。
总结：一问是求三人各吃了蛋糕的几分之几，用三人吃的总块数作分母，每人吃的块数作分子，即可得出每人各吃了这个蛋糕的几分之几。二问是同分母分数减法题，分母不变，分子相减。三问是同分母分数加法题，分母不变，分子相加即可。
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**2013年浙江省高考数学试卷（理科）**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
2．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|x^2^+3x﹣4≤0}，则（∁~R~S）∪T=（ ）
A．（﹣2，1\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
3．（5分）已知x，y为正实数，则（ ）
A．2^lgx+lgy^=2^lgx^+2^lgy^ B．2^lg（x+y）^=2^lgx^•2^lgy^
C．2^lgx•lgy^=2^lgx^+2^lgy^ D．2^lg（xy）^=2^lgx^•2^lgy^
4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则"f（x）是奇函数"是"φ="的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
6．（5分）已知，则tan2α=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设△ABC，P~0~是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC
8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e^x^﹣1）（x﹣1）^k^（k=1，2），则（ ）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
9．（5分）如图F~1~、F~2~是椭圆C~1~：+y^2^=1与双曲线C~2~的公共焦点，A、B分别是C~1~、C~2~在第二、四象限的公共点，若四边形AF~1~BF~2~为矩形，则C~2~的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f~π~（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q~1~=f~β~\[f~α~（P）\]，Q~2~=f~α~\[f~β~（P）\]，恒有PQ~1~=PQ~2~，则（ ）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．**
11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=[ ]{.underline}．
12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于[ ]{.underline} cm^3^．
13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=[ ]{.underline}．
14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有[ ]{.underline}种（用数字作答）
15．（4分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若\|FQ\|=2，则直线l的斜率等于[ ]{.underline}．
16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=[ ]{.underline}．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
18．（14分）在公差为d的等差数列{a~n~}中，已知a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列．
（Ⅰ）求d，a~n~；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|．
19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．
20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C~1~的长轴是圆C~2~：x^2^+y^2^=4的直径，l~1~，l~2~是过点P且互相垂直的两条直线，其中l~1~交圆C~2~于A、B两点，l~2~交椭圆C~1~于另一点D．
（1）求椭圆C~1~的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l~1~的方程．
22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x^3^﹣3x^2^+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈\[0，2\]时，求\|f（x）\|的最大值．
**2013年浙江省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．
【解答】解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|x^2^+3x﹣4≤0}，则（∁~R~S）∪T=（ ）
A．（﹣2，1\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞）
【分析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁~R~S，再利用并集的定义求出结果．
【解答】解：∵集合S={x\|x＞﹣2}，
∴∁~R~S={x\|x≤﹣2}，
T={x\|x^2^+3x﹣4≤0}={x\|﹣4≤x≤1}，
故（∁~R~S）∪T={x\|x≤1}
故选：C．
【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范围．
3．（5分）已知x，y为正实数，则（ ）
A．2^lgx+lgy^=2^lgx^+2^lgy^ B．2^lg（x+y）^=2^lgx^•2^lgy^
C．2^lgx•lgy^=2^lgx^+2^lgy^ D．2^lg（xy）^=2^lgx^•2^lgy^
【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．
【解答】解：因为a^s+t^=a^s^•a^t^，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2^lg（xy）^=2^lgx+lgy^=2^lgx^•2^lgy^，满足上述两个公式，
故选：D．
【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．
4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则"f（x）是奇函数"是"φ="的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以"f（x）是奇函数"是"φ="必要不充分条件．
【解答】解：若φ=，
则f（x）=Acos（ωx+）
⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；
若f（x）是奇函数，
⇒f（0）=0，
∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．
∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=
"f（x）是奇函数"是"φ="必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．
5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7
【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++...+的值，利用裂项相消法易得答案．
【解答】解：由已知可得该程序的功能是
计算并输出S=1++...+=1+1﹣=2﹣．
若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．
∴a=4，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．
6．（5分）已知，则tan2α=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意结合sin^2^α+cos^2^α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．
【解答】解：∵，又sin^2^α+cos^2^α=1，
联立解得，或
故tanα==，或tanα=3，
代入可得tan2α===﹣，
或tan2α===
故选：C．
【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．
7．（5分）设△ABC，P~0~是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC
【分析】设\|\|=4，则\|\|=1，过点*C*作*AB*的垂线，垂足为*H*，在*AB*上任取一点*P*，设*HP*~0~=*a*，则由数量积的几何意义可得\|\|^2^﹣（*a*+1）\|\|+*a*≥0恒成立，只需△=（*a*+1）^2^﹣4*a*=（*a*﹣1）^2^≤0即可，由此能求出△*ABC*是等腰三角形，AC=BC．
【解答】解：设\|\|=4，则\|\|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP~0~=a，则由数量积的几何意义可得，
=\|\|•\|\|=\|\|^2^﹣（a+1）\|\|，
•=﹣a，
于是•≥~•~•恒成立，
整理得\|\|^2^﹣（a+1）\|\|+a≥0恒成立，
只需△=（a+1）^2^﹣4a=（a﹣1）^2^≤0即可，于是a=1，
因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，
所以AC=BC．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力
8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e^x^﹣1）（x﹣1）^k^（k=1，2），则（ ）
A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值
B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值
C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值
D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值
【分析】通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f\'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．
【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（e^x^﹣1）（x﹣1）．
求导函数可得f\'（x）=e^x^（x﹣1）+（e^x^﹣1）=（xe^x^﹣1），
f\'（1）=e﹣1≠0，f\'（2）=2e^2^﹣1≠0，
则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f（x）=（e^x^﹣1）（x﹣1）^2^．
求导函数可得f\'（x）=e^x^（x﹣1）^2^+2（e^x^﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe^x^+e^x^﹣2），
∴当x=1，f\'（x）=0，且当x＞1时，f\'（x）＞0，当x~0~＜x＜1时（x~0~为极大值点），f\'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x~0~，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．
9．（5分）如图F~1~、F~2~是椭圆C~1~：+y^2^=1与双曲线C~2~的公共焦点，A、B分别是C~1~、C~2~在第二、四象限的公共点，若四边形AF~1~BF~2~为矩形，则C~2~的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨设\|AF~1~\|=x，\|AF~2~\|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C~2~的离心率．
【解答】解：设\|AF~1~\|=x，\|AF~2~\|=y，∵点A为椭圆C~1~：+y^2^=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF~1~BF~2~为矩形，
∴+=，即x^2^+y^2^=（2c）^2^==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C~2~的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=\|AF~2~\|﹣\|AF~1~\|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C~2~的离心率e===．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得\|AF~1~\|与\|AF~2~\|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f~π~（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q~1~=f~β~\[f~α~（P）\]，Q~2~=f~α~\[f~β~（P）\]，恒有PQ~1~=PQ~2~，则（ ）
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°
【分析】设P~1~是点P在α内的射影，点P~2~是点P在β内的射影．根据题意点P~1~在β内的射影与P~2~在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP~1~Q~1~P~2~为矩形，且∠P~1~Q~1~P~2~是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．
【解答】解：设P~1~=f~α~（P），则根据题意，得点P~1~是过点P作平面α垂线的垂足
∵Q~1~=f~β~\[f~α~（P）\]=f~β~（P~1~），
∴点Q~1~是过点P~1~作平面β垂线的垂足
同理，若P~2~=f~β~（P），得点P~2~是过点P作平面β垂线的垂足
因此Q~2~=f~α~\[f~β~（P）\]表示点Q~2~是过点P~2~作平面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ~1~=PQ~2~，
∴点Q~1~与Q~2~重合于同一点
由此可得，四边形PP~1~Q~1~P~2~为矩形，且∠P~1~Q~1~P~2~是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P~1~Q~1~P~2~是直角，∴平面α与平面β垂直
故选：A．
【点评】本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题．
**二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．**
11．（4分）设二项式的展开式中常数项为A，则A=[ ﹣10 ]{.underline}．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 T~r+1~=••（﹣1）^r^•=（﹣1）^r^••．
令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，
故答案为﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于[ 24 ]{.underline} cm^3^．
【分析】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．
【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：
V=V~棱柱~﹣V~棱锥~==24（cm^3^）
故答案为：24．
【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V~椎体~=Sh，V~柱体~=Sh．考查空间想象能力．
13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=[ 2 ]{.underline}．
【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．
【解答】解：可行域如图：
由得：A（4，4），
同样地，得B（0，2），
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．
当k＞0时，
目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；
当k＜0时，
①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，
此时，12=4k+4，
故k=2．
②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，
此时，12=0×k+2，
故k不存在．
综上，k=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．
14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有[ 480 ]{.underline}种（用数字作答）
【分析】按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
【解答】解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，
因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
当C在左边第1个位置时，有A，
当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有AA，
当C在左边第3个位置时，有AA+AA，
共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．
故答案为：480．
【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．
15．（4分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若\|FQ\|=2，则直线l的斜率等于[ 不存在 ]{.underline}．
【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y^2^﹣4my+4=0，△=16m^2^﹣16=16（m^2^﹣1）＞0．设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），Q（x~0~，y~0~）．利用根与系数的关系可得y~1~+y~2~=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x~0~=my~0~﹣1=2m^2^﹣1．Q（2m^2^﹣1，2m），由抛物线C：y^2^=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．
【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y^2^﹣4my+4=0，△=16m^2^﹣16=16（m^2^﹣1）＞0．
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），Q（x~0~，y~0~）．
∴y~1~+y~2~=4m，∴=2m，∴x~0~=my~0~﹣1=2m^2^﹣1．
∴Q（2m^2^﹣1，2m），
由抛物线C：y^2^=4x得焦点F（1，0）．
∵\|QF\|=2，∴，化为m^2^=1，解得m=±1，不满足△＞0．
故满足条件的直线l不存在．
故答案为不存在．
【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．
【解答】解：如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得=，
代入数据可得=，解得sin∠AMB=，
故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，
而在RT△ACM中，cosβ==，
故可得=，化简可得a^4^﹣4a^2^b^2^+4b^4^=（a^2^﹣2b^2^）^2^=0，
解之可得a=b，再由勾股定理可得a^2^+b^2^=c^2^，联立可得c=，
故在RT△ABC中，sin∠BAC====，
另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα=AM：sin∠B
BM：sinβ=AM
又有sinβ=cos∠AMC=cos（α+∠B），
联立消去BM，AM得sin∠Bcos（α+∠B）=sinα，
拆开，将1化成sin^2^∠B+cos^2^∠B，
构造二次齐次式，同除cos^2^∠B，
可得tanα=，
若，则cos∠BAM=，
tan∠BAM=，
解得tan∠B=，cosB=
易得sin∠BAC=．
另解：作MD⊥AB交于D，设MD=1，AM=3，AD=2，DB=x，BM=CM=，
用△DMB和△CAB相似解得x=，
则cosB=，
易得sin∠BAC=．
故答案为：
【点评】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．
17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于[ 2 ]{.underline}．
【分析】由题意求得 =，\|\|==，从而可得 ==
=，再利用二次函数的性质求得的最大值．
【解答】解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．
∵非零向量=x+y，∴\|\|===，
∴====，
故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．
**三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
18．（14分）在公差为d的等差数列{a~n~}中，已知a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列．
（Ⅰ）求d，a~n~；
（Ⅱ）若d＜0，求\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a~1~=10，且a~1~，2a~2~+2，5a~3~成等比数列列式求出公差，则通项公式a~n~可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a~n~}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|的和．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d^2^﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，a~n~=a~1~+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
当d=4时，a~n~=a~1~+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
所以a~n~=﹣n+11或a~n~=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a~n~=﹣n+11．
则当n≤11时，．
当n≥12时，\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|=﹣S~n~+2S~11~=．
综上所述，
\|a~1~\|+\|a~2~\|+\|a~3~\|+...+\|a~n~\|=．
【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．
19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．
（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．
【分析】（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；
（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，
P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；
P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．
故所求ξ的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
ξ 2 3 4 5 6
P     
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（2）由题意知η的分布列为
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
η 1 2 3
P   
--- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
Eη==
Dη=（1﹣）^2^+（2﹣）^2^ +（3﹣）^2^ =．
得，
解得a=3c，b=2c，
故a：b：c=3：2：1．
【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题．
20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【分析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．
【解答】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ
∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD
∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形
∴PQ∥OF
∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH
∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH
因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°
设∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin^2^θ
Rt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==
∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°
【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．
21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C~1~的长轴是圆C~2~：x^2^+y^2^=4的直径，l~1~，l~2~是过点P且互相垂直的两条直线，其中l~1~交圆C~2~于A、B两点，l~2~交椭圆C~1~于另一点D．
（1）求椭圆C~1~的方程；
（2）求△ABD面积的最大值时直线l~1~的方程．
【分析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），D（x~0~，y~0~）．由题意可知：直线l~1~的斜率存在，设为k，则直线l~1~的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l~1~的距离和弦长\|AB\|，又l~2~⊥l~1~，可得直线l~2~的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出\|PD\|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．
【解答】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C~1~的方程为；
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），D（x~0~，y~0~）．
由题意可知：直线l~1~的斜率存在，设为k，则直线l~1~的方程为y=kx﹣1．
又圆的圆心O（0，0）到直线l~1~的距离d=．
∴\|AB\|==．
又l~2~⊥l~1~，故直线l~2~的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k^2^）x^2^+8kx=0，解得，
∴\|PD\|=．
∴三角形ABD的面积S~△~==，
令4+k^2^=t＞4，则k^2^=t﹣4，
f（t）===，
∴S~△~=，当且仅，即，当时取等号，
故所求直线l~1~的方程为．
【点评】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．
22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x^3^﹣3x^2^+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈\[0，2\]时，求\|f（x）\|的最大值．
【分析】（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求\|f（x）\|的最大值．特别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小．
【解答】解：（1）因为f（x）=x^3^﹣3x^2^+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x^2^﹣6x+3a，
故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x﹣1）^2^+3（a﹣1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在\[0，2\]上单调递减，故
\|f（x）\|~max~=max{\|f（0）\|，\|f（2）\|}=3﹣3a．
当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在\[0，2\]上单调递增，故
\|f（x）\|~max~=max{\|f（0）\|，\|f（2）\|}=3a﹣1．
当0＜a＜1时，由3（x﹣1）^2^+3（a﹣1）=0，得，．
所以，当x∈（0，x~1~）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x~1~，x~2~）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x~2~，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的极大值，极小值．
故f（x~1~）+f（x~2~）=2＞0，．
从而f（x~1~）＞\|f（x~2~）\|．
所以\|f（x）\|~max~=max{f（0），\|f（2）\|，f（x~1~）}．
当0＜a＜时，f（0）＞\|f（2）\|．
又=
故．
当时，\|f（2）\|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
所以当时，f（x~1~）＞\|f（2）\|．
故．
当时，f（x~1~）≤\|f（2）\|．
故f（x）~max~=\|f（2）\|=3a﹣1．
综上所述\|f（x）\|~max~=．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．
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**2017年湖北省孝感市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）**
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义即可求出答案．
【解答】解：\|﹣\|=，
故选（C）
【点评】本题考查绝对值的意义，解题的关键是正确理解绝对值的意义，本题属于基础题型
2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据射线DF⊥直线c，可得与∠1互余的角有∠2，∠3，根据a∥b，可得与∠1互余的角有∠4，∠5．
【解答】解：∵射线DF⊥直线c，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
即与∠1互余的角有∠2，∠3，
又∵a∥b，
∴∠3=∠5，∠2=∠4，
∴与∠1互余的角有∠4，∠5，
∴与∠1互余的角有4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及余角的综合应用，解决问题的关键是掌握：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
3．下列计算正确的是（ ）
A．b^3^b^3^=2b^3^ B．=a^2^﹣4
C．﹣（4a﹣5b）=4a﹣12b
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=b^6^，不符合题意；
B、原式=a^2^﹣4，符合题意；
C、原式=a^3^b^6^，不符合题意；
D、原式=8a﹣7b﹣4a+5b=4a﹣2b，不符合题意，
故选B
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答
【解答】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱，
故选C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先解出两个不等式的解；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣2
在数轴上表示为：
故选：D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．
6．方程=的解是（ ）
A．x= B．x=5 C．x=4 D．x=﹣5
【分析】方程的两边都乘以（x+3）（x﹣1），把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程的两边都乘以（x+3）（x﹣1）得：2x﹣2=x+3，
解方程得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
所以原方程的解是x=5．
故选B．
【点评】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式方程，注意一定要进行检验．
7．下列说法正确的是（ ）
A．调查孝感区居民对创建"全国卫生城市"的知晓度，宜采用抽样调查
B．一组数据85，95，90，95，95，90，90，80，95，90的众数为95
C．"打开电视，正在播放乒乓球比赛"是必然事件
D．同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，出现两个正面朝上的概率为
【分析】根据抽样调查、众数和概率的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、调查孝感区居民对创建"全国卫生城市"的知晓度，宜采用抽样调查，正确；
B、一组数据85，95，90，95，95，90，90，80，95，90的众数为95和90，故错误；
C、"打开电视，正在播放乒乓球比赛"是随机事件，故错误；
D、同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，出现两个正面朝上的概率为，
故选A．
【点评】此题考查了抽样调查、众数、随机事件，概率，众数是一组数据中出现次数最多的数．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，﹣1）
【分析】作AB⊥x轴于点B，由AB=、OB=1可得∠AOy=30°，从而知将点A顺时针旋转150°得到点A′后如图所示，OA′=OA==2，∠A′OC=30°，继而可得答案．
【解答】解：作AB⊥x轴于点B，
∴AB=、OB=1，
则tan∠AOB==，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOy=30°
∴将点A顺时针旋转150°得到点A′后，如图所示，
OA′=OA==2，∠A′OC=30°，
∴A′C=1、OC=，即A′（，﹣1），
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，根据点A的坐标求出∠AOB=60°，再根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点B′在OA上是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．已知△ABC的周长为8，BC=x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由三角形的内心性质和平行线的性质证出BE=OE，CF=OF，得出△AEF的周长y与x的关系式为y=8﹣x，求出0＜x＜4，即可得出答案．
【解答】解：∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△AEF的周长y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC=x，
∴AB+AC=8﹣x，
∴y=8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y=8﹣x（x＜4），
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的周长等知识；求出y与x的关系式是解决问题的关键．
10．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
11．我国是世界上人均拥有淡水量较少的国家，全国淡水资源的总量约为27500亿m^3^，应节约用水，数27500用科学记数法表示为[ 2.75×10^4^ ]{.underline}．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10^n^，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：27500=2.75×10^4^．
故答案为：2.75×10^4^．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10^n^，其中1≤\|a\|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S~1~，S~2~，则可化简为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先表示S~1~=a^2^﹣1，S~2~=（a﹣1）^2^，再约分化简即可．
【解答】解： ===，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．
13．如图，将直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为[ （]{.underline}[，0） ]{.underline}．
【分析】先作点B关于x轴对称的点B\'，连接AB\'，交x轴于P，则点P即为所求，根据待定系数法求得平移后的直线为y=﹣x﹣2，进而得到点B的坐标以及点B\'的坐标，再根据待定系数法求得直线AB\'的解析式，即可得到点P的坐标．
【解答】解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B\'，连接AB\'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2，
∴平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2）
∴B\'（0，2），
设直线AB\'的解析式为y=kx+b，
把A（2，﹣4），B\'（0，2）代入可得，
，解得，
∴直线AB\'的解析式为y=﹣3x+2，
令y=0，则x=，
∴P（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题属于最短路线问题，主要考查了一次函数图象与几何变换的运用，解决问题的关键是掌握：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
14．如图，四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，
∴AD=AB==13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD=DH×AB，
∴12×10=13×DH，
∴DH=，
∴BH==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出DH的长是解题关键．
15．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2，则∠COD的度数为[ 150°或30° ]{.underline}．
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根据垂径定理结合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的计算结合圆周角与圆心角间的关系，即可求出∠COD的度数．
【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2，OE⊥AD，
∴AE=，OE==，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，从而求得B（n+1，1﹣n），根据k=n×1=（n+1）（1﹣n）得出方程，解方程即可．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：
则AG⊥BC，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAG=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠GAB，
在△AOE和△BAG中，，
∴△AOE≌△BAG（AAS），
∴OE=AG，AE=BG，
∵点A（n，1），
∴AG=OE=n，BG=AE=1，
∴B（n+1，1﹣n），
∴k=n×1=（n+1）（1﹣n），
整理得：n^2^+n﹣1=0，
解得：n=（负值舍去），
∴n=，
∴k=；
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．
**三、解答题（本大题共8小题，共72分）**
17．计算：﹣2^2^++cos45°．
【分析】根据乘方的意义、立方根的定义、特殊角的三角函数值化简计算即可．
【解答】解：原式=﹣4﹣2+×
=﹣4﹣2+1
=﹣5．
【点评】本题考查实数的运算、乘方、立方根、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是掌握有理数的运算法则．
18．如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B=∠D，根据平行线的判定，可得答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF．
在Rt△AFB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AFB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠D，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出BE=DF是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．
19．今年四月份，某校在孝感市争创"全国文明城市"活动中，组织全体学生参加了"弘扬孝德文化，争做文明学生"的知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分成A，B，C，D，E，F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．
------ ------------- ------------
等级 得分x（分） 频数（人）
A 95≤x≤100 4
B 90≤x＜95 m
C 85≤x＜90 n
D 80≤x＜85 24
E 75≤x＜80 8
F 70≤x＜75 4
------ ------------- ------------
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查样本容量为[ 80 ]{.underline}，表中：m=[ 12 ]{.underline}，n=[ 8 ]{.underline}；扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角α等于[ 36 ]{.underline}度；
（2）该校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、病、丁）中，随机选择2名成为学校文明宣讲志愿者，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
【分析】（1）由D等级人数及其百分比求得总人数，总人数乘以B等级百分比求得其人数，根据各等级人数之和等于总人数求得n的值，360度乘以E等级人数所占比例可得；
（2）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）本次抽样调查样本容量为24÷30%=80，
则m=80×15%=12，n=80﹣（4+12+24+8+4）=28，
扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角α=360°×=36°，
故答案为：80，12，8，36；
（2）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、频数分布表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；
②作∠DAE的平分线交CD于点F；
③连接EF；
（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】（1）根据题目要求作图即可；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可证△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，从而由tan∠FEC=tan∠BAE=可得答案．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，
∵AB=8，
∴BE==6，
在△DAF和△EAF中，
∵，
∴△DAF≌△EAF（SAS），
∴∠D=∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
又∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
∴tan∠FEC=tan∠BAE===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图及全等三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x^2^﹣6x+m+4=0有两个实数根x~1~，x~2~．
（1）求m的取值范围；
（2）若x~1~x~2~满足3x~1~=\|x~2~\|+2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20﹣4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x~1~+x~2~=6①、x~1~x~2~=m+4②，分x~2~≥0和x~2~＜0可找出3x~1~=x~2~+2③或3x~1~=﹣x~2~+2④，联立①③或①④求出x~1~、x~2~的值，进而可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x^2^﹣6x+m+4=0有两个实数根x~1~，x~2~，
∴△=（﹣6）^2^﹣4（m+4）=20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
（2）∵关于x的一元二次方程x^2^﹣6x+m+4=0有两个实数根x~1~，x~2~，
∴x~1~+x~2~=6①，x~1~x~2~=m+4②．
∵3x~1~=\|x~2~\|+2，
当x~2~≥0时，有3x~1~=x~2~+2③，
联立①③解得：x~1~=2，x~2~=4，
∴8=m+4，m=4；
当x~2~＜0时，有3x~1~=﹣x~2~+2④，
联立①④解得：x~1~=﹣2，x~2~=8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20﹣4m≥0；（2）分x~2~≥0和x~2~＜0两种情况求出x~1~、x~2~的值．
22．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．
（1）劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；
（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元．
①A型健身器材最多可购买多少套？
②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？
【分析】（1）该每套A型健身器材年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的（1﹣x），第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）^2^，根据题意列方程解答即可．
（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；
②设总的养护费用是y元，则根据题意列出函数y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）=﹣0.1m+14.4．结合函数图象的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）^2^=1.6，
则（1﹣n）^2^=0.64，
所以1﹣n=±0.8，
所以n~1~=0.2=20%，n~2~=1.8（不合题意，舍去）．
答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；
（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，
依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，
整理，得
1.6m+96﹣1.2m≤1.2，
解得m≤40，
即A型健身器材最多可购买40套；
②设总的养护费用是y元，则
y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），
∴y=﹣0.1m+14.4．
∵﹣0.1＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴m=40时，y最小．
∵m=40时，y~最小值~=﹣01×40+14.4=10.4（万元）．
又∵10万元＜10.4万元，
∴该计划支出不能满足养护的需要．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．
23．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是[ ]{.underline}[+]{.underline}[ ]{.underline}；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
【分析】（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S~扇形AOD~+S~△BOD~可得答案；
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即=，求得EF的长即可得．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠AOD=90°，
则曲边三角形的面积是S~扇形AOD~+S~△BOD~=+×5×5=+，
故答案为： +；
（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB=10、AC=6，
∴BC==8，
过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，
∴AF=OD=FD=5，
∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
∴=，即=，
∴，
∴DE=DF+EF=+5=．
【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）^2^+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）^2^﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．
（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）^2^﹣4的顶点坐标为[ （﹣1，﹣4） ]{.underline}，伴随直线为[ y=x﹣3 ]{.underline}，抛物线y=（x+1）^2^﹣4与其伴随直线的交点坐标为[ （0，﹣3） ]{.underline}和[ （﹣1，﹣4） ]{.underline}；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）^2^﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D．
①若∠CAB=90°，求m的值；
②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．
【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；
（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC^2^、AB^2^和BC^2^，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵y=（x+1）^2^﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，
∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；
（2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）^2^﹣4m，
∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，
∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），
在y=m（x﹣1）^2^﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，
∴C（﹣1，0），D（3，0），
∴AC^2^=4+16m^2^，AB^2^=1+m^2^，BC^2^=9+9m^2^，
∵∠CAB=90°，
∴AC^2^+AB^2^=BC^2^，即4+16m^2^+1+m^2^=9+9m^2^，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，
∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣；
②设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），
∴，解得，
∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，
∵点P的横坐标为x，
∴P（x，m（x﹣1）^2^﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），
∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
∴PQ=m（x﹣1）^2^﹣4m+mx+m=m（x^2^﹣x﹣2）=m\[（x﹣）^2^﹣\]，
∴S~△PBC~=×\[（2﹣（﹣1）\]PQ=（x﹣）^2^﹣m，
∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣m，
∴S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
| 1 | |
**2020-2021学年四川省内江市隆昌市五年级（上）期末数学试卷**
**一.丝不苟、灵活计算。（共30分）**
1．直接写出下面各题的结果。
3.5×0.2＝ 1÷0.01＝ 5.6÷0.8＝ 0.27×101＝
----------- --------------- -------------- --------------
0.6×50＝ 0.1^2^÷0.01＝ *a*+0.8*a*＝ 6.3﹣3＝
99÷0.01＝ 8÷0.08＝ *m*×*m*＝ 2.2﹣0.2÷2＝
2．解方程。
------------------- ---------------- -------------------
4*x*﹣0.4*x*＝7.2 3*x*+5.4＝16.2 4（*x*﹣0.75）＝9
------------------- ---------------- -------------------
3．用递等式计算。（带※的题目要简算）
3.6+8.4÷2.4×1.6 1.8×\[2.99：（5﹣2.7）\]
------------------------- --------------------------
5.95÷（5.49÷1.8﹣2.88） ※8.5×17.3+8.5×82.7
※9.9×51﹣0.99×410 ※7.2÷4÷2.5
**二、读题细致、认真填空。（28分）**
4．5.04×2.1的积是[ ]{.underline}位小数，四舍五入后保留整数是[ ]{.underline}。
5．2÷1.1的商可以简写成[ ]{.underline}，四舍五入精确到十分位是[ ]{.underline}。
6．用"可能""一定""不可能"填空。
> ①等底等高的两个三角形，面积[ ]{.underline}相等。
>
> ②小飞的年龄[ ]{.underline}比小飞妈妈的年龄大。
>
> ③爸爸买了一注彩票，[ ]{.underline}会中奖。
7．在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
---------------- --------------- -------------
①0.550.8〇0.55 ②0.5÷0.8〇0.5 ③2.4÷2.3〇1
---------------- --------------- -------------
8．*x*÷1.2＝4.5与*mx*＝8.1有相同的解。则*m*＝[ ]{.underline}。
9．王师傅加工一种零件，5分钟加工了10个，那么王师傅平均加工1个零件需要[ ]{.underline}分钟。
10．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米，这个三角形的面积是[ ]{.underline}平方厘米，斜边上的高是[ ]{.underline}厘米．
11．在轨道建设中，某工程队某周前3天共铺设了4.1千米道路，后4天平均每天铺设1.6千米道路，那么这个工程队这周平均每天铺设道路[ ]{.underline}千米。
12．一条走廊的两侧共放有20盆花（两端都放），每隔5米放一盆，这条走廊长[ ]{.underline}米。把10根短绳通过打结的方法连接成一条长绳，需要打[ ]{.underline}个结。
13．一个直角梯形的下底是1分米，如果把上底增加4厘米，它就变成一个正方形，这个梯形的面积是[ ]{.underline}平方厘米。
14．一条路长*m*米，小飞每分钟走*n*米，走了6分钟后，还剩米。强强今年*a*岁，比亮亮小3岁。3年后，亮亮[ ]{.underline}岁。
15．一批货物重37吨，用一辆载重5吨的卡车运，至少需要运[ ]{.underline}次完。一本故事书7.5元，50元钱最多能买
> [ ]{.underline}本这样的故事书。
16．如图：*B*点用数对表示为（5，1），那么*A*点用数对表示为[ ]{.underline}用数对表示为[ ]{.underline}。
17．如图，直角梯形的上下底分别是6厘米、10厘米，高为8厘米，如果用虚线把梯形分成面积相等的两部分，那么*AB*的长度是[ ]{.underline}厘米。
18．为鼓励节约用水，自来水公司制定了下列收费办法：每户每月用水10吨以内（含10吨），每吨水费1.7元。超出10吨部分，按每吨2.5元收取。小飞家2020年12月用水12吨，该交水费[ ]{.underline}元；小明家2020年12月份交水费37元，他家用水[ ]{.underline}。
19．观察下面各正方形中的四个数之间的规律，根据规律，*m*的值是[ ]{.underline}.
**三、仔细推敲、判断对错。（正确的在括号内打"√"，错的打"×"。5分）**
20．数对（3，4）和（4，3）表示的不是同一位置。[ ]{.underline}（判断对错）
21．有两个两位小数，保留一位小数后的近似值都是10.0，这两个小数的差最大是0.09。[ ]{.underline}（判断对错）
22．1.27×83.9与12.7×8.39的积相等。[ ]{.underline}（判断对错）
23．灯塔上的信号灯闪烁5次用了20秒，那么闪烁7次要用28秒。[ ]{.underline}（判断对错）
24．小飞将一枚硬币连续抛20次，一定是正面和反面各有10次朝上。[ ]{.underline}（判断对错）
**四、反复比较、慎重选择。（选择正确答案的序号填在括号内，共5分）**
25．下列式子中（ ）是方程。
A．3*m*+6＝36 B．2*x*+5＞18 C．6*x*﹣4*x*
26．8个同学围在一张圆桌边吃饭，每相邻两个同学之间相距50厘米。这张圆桌的周长是（ ）
A．3.5米 B．4米 C．4.5米
27．下列说法正确的是（ ）
A．3.666.是循环小数
B．0.98×99的积大于0.98，小于99
C．三角形的面积是平行四边形面积的一半
28．0.0小数部分第80位上的数字是（ ）
A．5 B．0 C．2
29．如图，长方形是由两个边长相等的正方形拼成的，图中阴影部分的面积与空白部分面积比较（ ）
A．阴影部分面积更大
B．空白部分面积更大
C．阴影和空白部分面积一样大
**五、手脑并用、操作思考。（7分）**
30．下面方格纸中每一个小方格表示1*cm*^2^，在方格纸上描出点*A*（2，5），*B*（5，5），*C*（6，2），*D*（1，2）并顺次连接成一个封闭图形，再分别画一个平行四边形和一个直角三角形，使它们分别与这个封闭图形的面积相等。
**六、走进生活、解决问题。（25分）**
31．某工程队承包一条自来水管道的安装任务，原计划每天安装0.48千米，35天完成，实际每天安装0.6千米，实际安装了几天？
32．一栋大楼高51米，一层是门面，高4.6米，其余楼层是住宅，每层都是高2.9米。这栋大楼一共有多少层？
33．春节快到了，某超市购买了一批中国结用于节日装饰。其中小中国节有540只，比购进的大中国结的4倍少60只，超市购进多少只大中国结？（用方程解答）
34．甲乙两辆汽车同时从相距720千米的两地相对开出，经过4小时两车相遇已知甲车速度是乙车速度的1.25倍，求甲、乙两车的速度分别是每小时行多少千米？（用方程解答）
35．隆昌城市森林公园里原来有一块梯形绿地（如图），后来又挖了一条人工小河穿过这块绿地。现在剩下的绿地面积还有多少平方米？
**2020-2021学年四川省内江市隆昌市五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一.丝不苟、灵活计算。（共30分）**
1．[ ]{.underline}； 2．[ ]{.underline}； 3．[ ]{.underline}；
**二、读题细致、认真填空。（28分）**
4．； ； 5．； ； 6．； ； ； 7．[ ]{.underline}； 8．； 9．； 10．[6]{.underline}； [2.4]{.underline}； 11．； 12．； ； 13．； 14．； 15．； ； 16．； ； 17．； 18．； ； 19．；
**三、仔细推敲、判断对错。（正确的在括号内打"√"，错的打"&\#215;"。5分）**
20．； 21．； 22．； 23．； 24．；
**四、反复比较、慎重选择。（选择正确答案的序号填在括号内，共5分）**
25．A； 26．A； 27．A； 28．A； 29．A；
**五、手脑并用、操作思考。（7分）**
30．[ ]{.underline}；
**六、走进生活、解决问题。（25分）**
31．[ ]{.underline}； 32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}； 34．[ ]{.underline}； 35．[ ]{.underline}；
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日期：2021/4/27 11:10:15；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第5单元 第五节：收玉米**
一、在下面的○里填上"+"、"-"号。
56○3＝59 37○5＝32 79○19＝60
36○6＝30 24○15＝39 74○21＝95
35○14＝49 32○12＝20 40○20＝20
二、看图列式计算。
三、在○里填上"﹤" 、"﹥" 或" = "。\[来源:学科网ZXXK\]
59+30○98 84-60○30 62+6○86
55+21○71 58-25○33 45+23○82
79-14○65 45+4○40 54-4○52
四、找规律填数。
①、83－9（ ）－9（ ）－9（ ）－9（ ）
②、42－8（ ）－8（ ）－8（ ）－8（ ）
五、在○里填上"＞"、"＜"或"="。
50-13○56+7 37+8○39+7 96－49○21+26
43+19○49+10 87－34○10+37 60－15○58－9
10+27○27+9 56+7○56+6 43+9○9+43
六、解决问题。\[来源:Zxxk.Com\]
1、学校合唱队有男生26人，女生42人。合唱队一共有多少人？
2、小兰今年6岁，妈妈今年29岁，妈妈和小兰相差多少岁？
3、一双球鞋的价格是88元，一双布鞋的价格比一双球鞋的价格便宜了26元。一双布鞋的价格是多少元？
\[来源:Zxxk.Com\]
**答案**
一、\[来源:学\_科\_网\]
56+3＝59 37-5＝32  79-19＝60
36-6＝30 24+15＝39 74+21＝95
35+14＝49 32-12＝20 40-20＝20
二、
24+55=79 65-23=42
三、
59+30﹤98 84-60﹤30 62+6﹤86\[来源:学科网\]
55+21﹥71 58-25=33 45+23﹤82
79-14＝65 45+4﹥40 54-4﹤52
四、
①、83－9（ 74 ）－9（ 65 ）－9（ 56 ）－9（ 47 ）
②、42－8（ 34 ）－8（ 26 ）－8（ 18 ）－8（ 10 ）
五、
50-13＜56+7 37+8＜39+7 96－49＝21+26
43+19＞49+10 87－34＝10+37 60－15＜58－9
10+27＞27+9 56+7＞56+6 43+9＝9+43
六
1、
26+42=68人 答案：合唱队一共有68人
2、
29-6=23岁 答案：妈妈和小兰相差23岁
3、
88-26=62元 答案：一双布鞋的价格是62元。
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**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}，N={x\|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4\] B．\[0，4） C．\[﹣1，0） D．（﹣1，0\]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量、满足：\|\|=1，（+）⊥，（2+）⊥，则\|\|=（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
7．（5分）曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F~1~、F~2~，点A在C上，若\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|，则cos∠AF~2~F~1~=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等比数列{a~n~}中，a~4~=2，a~5~=5，则数列{lga~n~}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）的展开式中x^2^y^2^的系数为[ ]{.underline}．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
18．（12分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=13，a~2~为整数，且S~n~≤S~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a~1~=1，a~n+1~=ln（a~n~+1），证明：＜a~n~≤（n∈N^\*^）．
**2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）**
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【解答】解：∵z==，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）设集合M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}，N={x\|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4\] B．\[0，4） C．\[﹣1，0） D．（﹣1，0\]
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x^2^﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}={x\|﹣1＜x＜4}，
又N={x\|0≤x≤5}，
∴M∩N={x\|﹣1＜x＜4}∩{x\|0≤x≤5}=\[0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．
4．（5分）若向量、满足：\|\|=1，（+）⊥，（2+）⊥，则\|\|=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得\|\|．
【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b^2^=2，
则\|\|=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C~6~^2^=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C~5~^1^=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y^2^=1 C．+=1 D．+=1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF~1~B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF~1~B的周长为4，
∵△AF~1~B的周长=\|AF~1~\|+\|AF~2~\|+\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=e^x﹣1^+xe^x﹣1^=（1+x）e^x﹣1^，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO~1~上，记为O，求出PO~1~，OO~1~，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R^2^=（4﹣R）^2^+（）^2^，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）^2^=．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F~1~、F~2~，点A在C上，若\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|，则cos∠AF~2~F~1~=（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=，即c=2a，
点A在双曲线上，
则\|F~1~A\|﹣\|F~2~A\|=2a，
又\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|，
∴解得\|F~1~A\|=4a，\|F~2~A\|=2a，\|\|F~1~F~2~\|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF~2~F~1~===．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．（5分）等比数列{a~n~}中，a~4~=2，a~5~=5，则数列{lga~n~}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的性质可得a~1~a~8~=a~2~a~7~=a~3~a~6~=a~4~a~5~=10．再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{a~n~}是等比数列，a~4~=2，a~5~=5，
∴a~1~a~8~=a~2~a~7~=a~3~a~6~=a~4~a~5~=10．
∴lga~1~+lga~2~+...+lga~8~
=lg（a~1~a~2~•...•a~8~）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF===．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
**二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)**
13．（5分）的展开式中x^2^y^2^的系数为[ 70 ]{.underline}．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x^2^y^2^的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为 T~r+1~=•（﹣1）^r^••=•（﹣1）^r^••，
令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x^2^y^2^的系数为 =70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为[ 5 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z~max~=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．
【解答】解：设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是[ （﹣∞，2\] ]{.underline}．
【考点】HM：复合三角函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin^2^x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t^2^+at+1．
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t^2^+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t^2^+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2\]．
故答案为：（﹣∞，2\]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
**三、解答题**
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=．
∴tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（12分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=13，a~2~为整数，且S~n~≤S~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和T~n~．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过S~n~≤S~4~得a~4~≥0，a~5~≤0，利用a~1~=13、a~2~为整数可得d=﹣4，进而可得结论；
（2）通过a~n~=13﹣3n，分离分母可得b~n~=（﹣），并项相加即可．
【解答】解：（1）在等差数列{a~n~}中，由S~n~≤S~4~得：
a~4~≥0，a~5~≤0，
又∵a~1~=13，
∴，解得﹣≤d≤﹣，
∵a~2~为整数，∴d=﹣4，
∴{a~n~}的通项为：a~n~=17﹣4n；
（2）∵a~n~=17﹣4n，
∴b~n~===﹣（﹣），
于是T~n~=b~1~+b~2~+......+b~n~
=﹣\[（﹣）+（﹣）+......+（﹣）\]
=﹣（﹣）
=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2．
（Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A~1~D⊥平面ABC，A~1~D⊂平面AA~1~C~1~C，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA~1~C~1~C，连结A~1~C，
由侧面AA~1~C~1~C为菱形可得AC~1~⊥A~1~C，
又AC~1~⊥BC，A~1~C∩BC=C，
∴AC~1~⊥平面A~1~BC，AB~1~⊂平面A~1~BC，
∴AC~1~⊥A~1~B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA~1~C~1~C，BC⊂平面BCC~1~B~1~，
∴平面AA~1~C~1~C⊥平面BCC~1~B~1~，
作A~1~E⊥CC~1~，E为垂足，可得A~1~E⊥平面BCC~1~B~1~，
又直线AA~1~∥平面BCC~1~B~1~，
∴A~1~E为直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离，即A~1~E=，
∵A~1~C为∠ACC~1~的平分线，∴A~1~D=A~1~E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A~1~F，
又可得AB⊥A~1~D，A~1~F∩A~1~D=A~1~，
∴AB⊥平面A~1~DF，∵A~1~F⊂平面A~1~DF
∴A~1~F⊥AB，
∴∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A~1~FD==，
∴二面角A~1~﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】记A~i~表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX~i~，再利用数学期望公式计算即可．
【解答】解：由题意可得"同一工作日至少3人需使用设备"的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.5^2^×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.5^2^×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.5^2^×0.4+（1﹣0.6）×2×0.5^2^×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A~2~•B•C）=0.5^2^×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．
21．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=\|PQ\|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x~0~=，根据\|QF\|=\|PQ\|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长\|AB\|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得\|MN\|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y^2^=2px（p＞0），
可得x~0~=，∵点P（0，4），∴\|PQ\|=．
又\|QF\|=x~0~+=+，\|QF\|=\|PQ\|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y^2^=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y^2^=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y^2^﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m^2^+16＞0，y~1~+y~2~=4m，y~1~•y~2~=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m^2^+1，2m），弦长\|AB\|=\|y~1~﹣y~2~\|==4（m^2^+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m^2^+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y^2^+y﹣4（2m^2^+3）=0，∴y~3~+y~4~=，y~3~•y~4~=﹣4（2m^2^+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m^2^+3，），∴\|MN\|=\|y~3~﹣y~4~\|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=\|MN\|，
∴+DE^2^=MN^2^，
∴4（m^2^+1）^2^ ++=×，化简可得 m^2^﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a~1~=1，a~n+1~=ln（a~n~+1），证明：＜a~n~≤（n∈N^\*^）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a^2^﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a^2^﹣2a）上是增函数，
若x∈（a^2^﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a^2^﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a^2^﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a^2^﹣2a）上是减函数，
若x∈（a^2^﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a^2^﹣2a，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，
下面用数学归纳法进行证明＜a~n~≤成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即，
则当n=k+1时，a~n+1~=ln（a~n~+1）＞ln（），
a~k+1~=ln（a~k~+1）＜ln（），
即当n=k+1时，成立，
综上由①②可知，对任何n∈N^•^结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．
| 1 | |
**2020年贵州省遵义市初中毕业生学业升学统一考试数学试题**
**一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑、涂满）**
1\. ﹣3的绝对值是（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. ±3 D. 
【答案】B
【解析】
试题分析：当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，所以﹣3的绝对值是3．故选B．
考点：绝对值．
2.在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年"五一"假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客18.25万人次，将18.25万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.825×10**^5^** B. 1.825×10**^6^** C. 1.825×10**^7^** D. 1.825×10**^8^**
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数.本题小数点往左移动到1的后面，所以
【详解】解：18.25万
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
3.一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图
∵*AB*∥*CD*，
∴∠1＝∠*D*＝45°，
故选：*B*．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及直角三角板的各角度数，解答关键是根据利用平行线的性质找到相应角度之间的关系.
4.下列计算正确的是（ ）
A. *x***^2^**+*x*＝*x***^3^** B. （﹣3*x*）**^2^**＝6*x***^2^**
C. 8*x***^4^**÷2*x***^2^**＝4*x***^2^** D. （*x*﹣2*y*）（*x*+2*y*）＝*x***^2^**﹣2*y***^2^**
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：*x*^2^+*x*不能合并，故选项*A*错误；
，故选项*B*错误；
8*x*^4^÷2*x*^2^＝4*x*^2^，故选项*C*正确；
（*x*﹣2*y*）（*x*+2*y*）＝*x*^2^﹣4*y*^2^，故选项*D*错误；
故选：*C*．
【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．
5.某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A. 众数是36.5 B. 中位数是36.7
C. 平均数是36.6 D. 方差是0.4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差即可得出答案．
【详解】解：A、7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故符合题意；
B、将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故不符合题意；
C、平均数＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故不符合题意；
D、方差，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了数据分析，熟练掌握众数、中位数的概念及平均数和方差的计算方法是解题的关键．
6.已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 11 D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．
7.如图，把一块长为40*cm*，宽为30*cm*的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600*cm***^2^**，设剪去小正方形的边长为*xcm*，则可列方程为（ ）
A. （30﹣2*x*）（40﹣*x*）＝600 B. （30﹣*x*）（40﹣*x*）＝600
C. （30﹣*x*）（40﹣2*x*）＝600 D. （30﹣2*x*）（40﹣2*x*）＝600
【答案】D
【解析】
【分析】
设剪去小正方形的边长是*xcm*，则纸盒底面的长为（40﹣2*x*）*cm*，宽为（30﹣2*x*）*cm*，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600*cm*^2^，即可得出关于*x*的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是*xcm*，则纸盒底面的长为（40﹣2*x*）*cm*，宽为（30﹣2*x*）*cm*，
根据题意得：（40﹣2*x*）（30﹣2*x*）＝600．
故选：*D*．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用*S***~1~**、*S***~2~**分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，*t*为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．
【详解】对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项
对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项
开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．
故选：C
【点睛】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
9.如图，在菱形*ABCD*中，*AB*＝5，*AC*＝6，过点*D*作*DE*⊥*BA*，交*BA*的延长线于点*E*，则线段*DE*的长为（ ）
A. B. C. **4** D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
10.构建几何图形解决代数问题是"数形结合"思想重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△*ACB*中，∠*C*＝90°，∠*ABC*＝30°，延长*CB*使*BD*＝*AB*，连接*AD*，得∠*D*＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. **﹣1** C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝*x*，再用*x*表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝*x*，则：BC＝*x*，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
11.如图，△*ABO*的顶点*A*在函数*y*＝（*x*＞0）的图象上，∠*ABO*＝90°，过*AO*边的三等分点*M*、*N*分别作*x*轴的平行线交*AB*于点*P*、*Q*．若四边形*MNQP*的面积为3，则*k*的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】
由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案．
【详解】解：
四边形*MNQP*的面积为3，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
12.抛物线*y*＝*ax***^2^**+*bx*+*c*的对称轴是直线*x*＝﹣2．抛物线与*x*轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4*a*﹣*b*＝0；②*c*≤3*a*；③关于*x*的方程*ax***^2^**+*bx*+*c*＝2有两个不相等实数根；④*b***^2^**+2*b*＞4*ac*．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
分析】
①由对称轴即可判断；
②将*c*≤3*a*转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断；
③根据图象所体现的最大值即可判断；
④根据图象的最值结合对称轴即可判断．
【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与*x*轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知*y*＝*ax***^2^**+*bx*+*c*的最大值为3，所以当*ax***^2^**+*bx*+*c*＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键．
**二、填空题（本小题共4小题，每小题分，共16分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上）**
13.计算的结果是\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【详解】.
【点睛】考点：二次根式的加减法．
14.如图，直线*y*＝*kx*+*b*（*k*、*b*是常数*k*≠0）与直线*y*＝2交于点*A*（4，2），则关于*x*的不等式*kx*+*b*＜2的解集为\_\_\_\_\_．
【答案】*x*＜4
【解析】
【分析】
结合函数图象，写出直线在直线*y*＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵直线*y*＝*kx*+*b*与直线*y*＝2交于点*A*（4，2），
∴*x*＜4时，*y*＜2，
∴关于*x*的不等式*kx*+*b*＜2的解集为：*x*＜4．
故答案为：*x*＜4．
【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
15.如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
在Rt△A´BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．
【详解】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，\
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．\
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．\
∴A′B＝AB＝2BM．\
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，\
∴sin∠MA′B＝，\
∴∠MA′B＝30°，\
∵MN∥BC，\
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，\
∵∠ABC＝90°，\
∴∠ABA′＝60°，\
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，\
∴BE＝．\
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．
16.如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相似三角形的判定和性质可求DE．
【详解】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，\
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，\
∴∠BOC＝90°，\
∵BD＝4，CD＝1，\
∴BC＝4＋1＝5，\
∴OB＝OC＝，
\
∴OA＝，OF＝BF＝，\
∴DF＝BD−BF＝，\
∴OG＝，GD＝，\
在Rt△AGO中，AG＝，\
∴AD＝AG＋GD＝，
∵连接BE,AD与BE相交于D，
∴∠BED=∠ACD，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ADC，
∴\
．\
故答案：．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的难点是求出AD的长．
**三、解答題（本共有8小题，共86分．答题请用黑色水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
17.计算：
（1）sin30°﹣（π﹣3.14）^0^+（﹣）^﹣2^；
（2）解方程；．
【答案】（1）；（2）*x*＝3
【解析】
【分析】
（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到*x*的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）原式＝－1＋4
＝
（2）去分母得：2*x*﹣3＝3*x*﹣6，
解得：*x*＝3，
经检验*x*＝3是分式方程的解．
【点睛】本题考查实数的混合运算和解分式方程，考查学生的运算能力，解题的关键是掌握实数的运算法则和解分式方程的方法．
18.化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为*x*的值代入求值．
【答案】化简结果： 当时，原式=
【解析】
【分析】
先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可．
【详解】解：
当时，上式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键．
19.某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门*AD*的顶部*A*处距地面高为2.2*m*，为了解自己的有效测温区间．身高1.6*m*的小聪做了如下实验：当他在地面*N*处时测温门开始显示额头温度，此时在额头*B*处测得*A*的仰角为18°；在地面*M*处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头*C*处测得*A*的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间*MN*的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1*m*，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
【答案】*MN*的长度约为1.5*m*．
【解析】
【分析】
延长BC交AD于E，利用锐角三角函数求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长BC交AD于E，
结合题意得：四边形DEBN，四边形MCBN都为矩形，
BE=DN，DE=NB=MC＝1.6，BC=MN,
由
由得：
米．
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数的意义解直角三角形，掌握三角函数的含义是解题的关键．
20.如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；\
（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD^2^的值，求算术平方根即可得出BD的值．
【详解】解：（1）连接OD，如图：\
∵OA＝OD，\
∴∠OAD＝∠ADO，\
∵AD平分∠CAB，\
∴∠DAE＝∠OAD，\
∴∠ADO＝∠DAE，\
∴OD∥AE，\
∵DE∥BC，\
∴∠E＝90°，\
∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，\
∴DE是⊙O的切线；
（2）因为直径，则
∵，
∴OB=3
∴，
∵∠ADB=∠DFB=90°, ∠B=∠B
∴△DBF∽△ABD
∴
∴
所以．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．
21.遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：*h*）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表
------------------- ------ ------
劳动时间分组 频数 频率
** **0≤*t*＜20 2 0.1
** **20≤*t*＜40 4 *m*
** **40≤*t*＜60 6 0.3
** **60≤*t*＜80 *a* 0.25
** **80≤*t*＜100 3 0.15
------------------- ------ ------
解答下列问题：
（1）频数分布表中*a*＝**[ ]{.underline}**，*m*＝**[ ]{.underline}**；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60*h*的人数；
（3）已知课外劳动时间在60*h*≤*t*＜80*h*的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加"全市中学生劳动体验"演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．
【答案】（1）5,0.2，直方图图形见解析；（2）160人；（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表所给数据即可求出a，m；进而可以补充完整频数分布直方图；
（2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；
（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为1男1女的概率．
【详解】解：（1）*a*＝（2÷0.1）×0.25＝5，*m*＝4÷20＝0.2，
补全的直方图如图所示：
故答案为：5，0.2；
（2）400×（025+0.15）＝160（人）
则该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数大概有160人．
（3）课外劳动时间在60*h*≤*t*＜80*h*的人数总共5人，男生有2人，则女生有3人，根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有20种等可能的情况，其中1男1女有12种，
故所选学生为1男1女的概率为：*P*＝＝．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、求事件概率的知识点，熟练掌握这些知识点的概念及计算方法是解题的关键．
22.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
-------- ---------------- ------------------------------------------- ------
时间 销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8 1100
第二月 38 24 2460
-------- ---------------- ------------------------------------------- ------
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯*a*个，利润为*w*元，写出*w*与*a*的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）*w*＝﹣5*a*+800，第三月的最大利润为550元．
【解析】
【分析】
（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可，
（2）根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．
【详解】解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则
①②得：
把代入①得：
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意得：甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，
所以：
又
由①得：，
所以不等式组的解集为：
其中为正整数，所以
随的增大而减小，
当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23.如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交，于点、，作射线交射线于点
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）GE的长为，
【解析】
【分析】
（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；\
（2）分两种情况：①当点F在线段AB上时，②当点F在BA的延长线上时；均可根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，\
∴∠ECM＝45°，\
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，\
∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，\
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，\
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，\
∴MC＝ME，\
∵CD＝MN，\
∴DM＝EN，\
∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，\
∵∠DEF＝90°，\
∴∠DEM＋∠FEN＝90°，\
∴∠EDM＝∠FEN，\
在△DME和△ENF中
，\
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴
（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
\
∴ME＝NF，\
∵四边形MNBC是矩形，\
∴MC＝BN，\
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，\
∴BN＝MC＝NF＝1，\
∵∠EMC＝90°，\
∴CE＝，\
∵AF∥CD，\
∴△DGC∽△FGA，\
∴，\
∴，\
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，\
∴AC＝4，\
∵AC＝AG＋GC，\
∴AG＝，CG＝，\
∴GE＝GC−CE＝-=；\
如图2所示，
\
同理可得，FN＝BN，\
∵AF＝2，AB＝4，\
∴AN＝1，\
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，\
∴AC＝4，\
∵AF∥CD，\
∴△GAF∽△GCD，\
∴，\
即，\
解得，AG＝4，\
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，\
∴AE＝，\
∴GE＝GA＋AE＝5．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.如图，抛物线*y*＝*ax***^2^**+*x*+*c*经过点*A*（﹣1，0）和点*C* （0，3）与*x*轴的另一交点为点*B*，点*M*是直线*BC*上一动点，过点*M*作*MP*∥*y*轴，交抛物线于点*P*．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点*Q*，使得△*QCO*是等边三角形？若存在，求出点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以*M*为圆心，*MP*为半径作⊙*M*，当⊙*M*与坐标轴相切时，求出⊙*M*的半径．
【答案】（1）y＝﹣x^2^+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为或
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线y＝ax^2^+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；
（3）分两种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，进而求得⊙M的半径．
详解】（1）∵抛物线y＝ax^2^+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)
∴
解得
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x^2^+x+3
故答案为：y＝﹣x^2^+x+3
（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N
∵△QCO是等边三角形，OC=3
∴CN=
∴NQ=
即Q(,)
当x=时，y＝﹣×()^2^+×+3=≠
∴Q(,)不在抛物线上
y＝﹣x^2^+x+3
故答案为：不存在，理由见解析
（3）①⊙M与y轴相切，如图所示
∵y＝﹣x^2^+x+3
当y=0时，﹣x^2^+x+3=0
解得x~1~=-1，x~2~=4
∴B(4,0)
令直线BC的解析式为y=kx+b
解得
∴直线BC的解析式为
令M点横坐标为t
∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切
∴t=﹣t^2^+t+3-
解得t=
⊙M的半径为
②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示
令M点横坐标为m
∵PN=2MN
∴
解得m=1或m=4（舍去）
∴⊙M的半径为：
故答案为：⊙M的半径为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质．
| 1 | |
**北师大版小学一年级下册数学第一单元《生活中的数》单元测试1（附答案）**
一、数一数，填一填。（共6分）
1、
一共有（ ）个。（ ）个（ ）个地数最简便。
2、
一共有（ ）根。我是（ ）根（ ）根地数的。
二、看一看，填一填。（共6分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、
（ ）个十和（ ）个一是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、
（ ）个十和（ ）个一是（ ）。
三、填一填。（共12分）
1、由5个十和9个一组成的数是（ ）。
2、一个数个位和十位上的数都是8，这个数是（ ）。
> 3、36的个位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）；十位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）。
4、最大的两位数是（ ），最小的两位数是（ ）。
5、和99相邻的两个数是（ ）和（ ）。
四、按顺序写数。（共8分）
1、
2、
五、日历。（共8分）
1、把上面的日历填完整。
2、根据上表，猜猜下面□里各是什么数。
六、比一比，填一填。（共9分）
75 85 70 60 10 100
43 34 4 ﹤ 50 5 ﹤ 75
七、小花可能写了多少个字？（画"√" ）（6分）
八、估一估。（共12分）
一年级合唱队有28人。
1、美术组可能有多少人？（画"√" ）
2、科技组可能有多少人？（画"○" ）
九、用、、三张卡片组成两位数，你能写出多少个？（看谁能找到规律，不漏掉一个）（8分）
[ ]{.underline}
十、8个小朋友分组做游戏。30号以下的小朋友跳绳，40号至70号的小朋友捉迷藏，其他的小朋友跳舞。（9分）
参加跳绳的有（ ）人，参加捉迷藏的有（ ）人，参加跳舞的有（ ）人。
十一、排队。（共8分）
1、小羊排第 [ ]{.underline} 。
2、这一排一共有 [ ]{.underline} 只小动物。
十二、猜数。（共8分）
1、
2、
| 1 | |
**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------探索与发现\--三角形边的关系》同步检测1（附答案）**
1. 计算题。
> 0.8－0.4 = 1－0.42 = 3－0.71 =
>
> 5.5＋3.7＋4.3 = 0.9＋0.27 = 8.2－（1.76＋3.28）=
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、求下面∠C的度数。
三、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）
1、三角形任意两边长度的和一定比第三边大。 （ ）
2、一个三角形，它的三边长度分别为2厘米、3厘米、5厘米。 （ ）
3、有一个角是锐角的三角形是锐角三角形。 （ ）
4、平行四边形只能画出一条高。 （ ）
5、4根小棒可以摆成一个三角形。 （ ）
四、判断下面各组线段能围成一个三角形吗？（请在（ ）里填"能"或"不能"。）
1、3厘米、2厘米、5厘米 （ ）
2、4厘米、3厘米、6厘米 （ ）
3、6厘米、7厘米、12厘米 （ ）
五、猜一猜。（边长皆为正整数。）
1、一个三角形的两条边长分别是6厘米和5厘米，那么第三条边可能是几厘米？
2、一个三角形的两条边长分别是8厘米和3厘米，那么第三条边可能是几厘米？
六、下面的几条线段中，你认为哪三条可以组合成一个三角形？你能组合成几个三角形？
七、计算下面各题。
（4800÷75＋32）×24 2790÷（250×12－2991）
85.07－（15.3－4.8）＋4.43 7.34＋（3.1－2.07）－4.78
八、有一块等腰三角形的菜地，底边长12米，比腰包短2米，求这块菜地的周长。
九、你能求出五边形的内角和吗？
十、如图，已知∠1 = 75°, ∠2 = 20°, ∠3 = 46°,求∠5的度数。
**答案：**
二、∠C = 74° ∠C = 60° ∠C = 120°
三、√ × × × ×
四、1、不能 2、能 3、能
五、1、10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米、5厘米、4厘米、3厘米、2厘米
2、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米
六、①②③ ①④⑤ ③④⑤
七、2304 310 79 3.59来源：www.bcjy123.com/tiku/
八、12＋2 = 14（米） 14＋14＋12 = 40（米）
九、180°×3 = 540°
十、∠5 = 39°
| 1 | |
**2020-2021学年湖北省宜昌市远安县六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（每空1分，计19分）**
1．（3分）0.5＝[ ]{.underline}%＝[ ]{.underline}÷15＝[ ]{.underline}折。
2．（4分）在0.833、、83.3%、八成这四个数中，最大的数是[ ]{.underline}最小的数是[ ]{.underline}。[ ]{.underline}和[ ]{.underline}相等。
3．（2分）0.8：最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}．
4．（1分）月球探测是一项非常复杂并具有高风险的工程，截至目前包括"嫦娥五号"在内，世界上共进行了132次月球探测活动，其中成功69次，成功率是[ ]{.underline}。
5．（1分）如图，在一个圆转化成面积相等的长方形这一过程中，周长增加了10厘米．圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米。（π取3.14）
6．（1分）把5000元存入银行，定期两年，年利率是3.75%，免征利息税，到期后共得到利息[ ]{.underline}元．
7．（4分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"。
------ ------ ------ ------
6〇6 6〇6 9〇9 9〇9
------ ------ ------ ------
8．（1分）一辆汽车分钟行驶千米，照这样计算，每分钟行驶[ ]{.underline}千米．
9．（1分）一次体育比赛中，有8名运动员，如果每两个运动员之间都要握一次手，一共握了[ ]{.underline}次手。
10．（1分）半径为4*cm*的圆，按照如图的规律排列起来，连接圆心组成三角形，图（1）二层圆组成的三角形周长是24厘米，图（2）三层圆组成的三角形周长是48厘米，照这样，四层圆组成的三角形周长是[ ]{.underline}厘米．
**二、选择（每题1分，计10分）**
11．（1分）把5：3这个比的前项加上15，要使比值不变，后项应该（ ）
A．加上10 B．加上9 C．乘3 D．乘10
12．（1分）下面说法正确的是（ ）
A．一条路已经修了80%千米
B．男生人数比女生人数多10%
C．某班的出勤率达到101%
D．一件商品打八折表示是原价的8%
13．（1分）下面各种情况中，比较适合选用扇形统计图的是（ ）
A．小慧家下半年电费支出情况
B．小慧身高变化和年龄增长之间的关系
C．比较小慧和五个好朋友之间的身高情况
D．小慧一天时间分配情况
14．（1分）下面各数中，最小的是（ ）
A．0.89 B．9.9% C． D．
15．（1分）下面算式符合如图图意的是（ ）
A． B． C． D．
16．（1分）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从左面看到（ ）
A． B． C． D．无法确定
17．（1分）把一根木料截成两段，第一段长米，第二段占全长的，这两段相比（ ）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法确定
18．（1分）学校食堂运进一批大米，第一个月吃了全部的，第二个月吃了全部的，第二个月比第一个月少吃了20千克，求这批大米共多少千克正确的列式是（ ）
A．20×（） B．20×（） C．20÷（） D．20÷（）
19．（1分）淘气从家去书城，中途休息了几分钟，到书城买完书后直接回家．下面正确描述淘气这一过程的图象是（ ）
A． B．
C． D．
20．（1分）观察如图，随着圆的个数增多，阴影的面积（ ）
A．没有改变 B．可能不变 C．越变越大 D．越变越小
**三、计算。（32分）**
21．（8分）直接写得数。
500×3%＝ 4.8 60%＝
-------- ---------- ----- -------
1÷1%＝ 1﹣75%＝ 33 3÷3
22．（18分）怎样简便怎样算。
--------- --- ----------
30×（） 3 \[（）\]
--------- --- ----------
23．（6分）解方程．
> 75%*x*﹣3＝2.1
>
> *xx*＝3.3
**四、实践操作（12分）**
24．（6分）如图是用5个小正方体搭成的立体图形，分别画出从上面、正面和左面看到的形状．
25．（2分）点*A*处有一电灯，画出立杆*BC*在地面上的影子．
26．（4分）如图每个小方格是边长1*cm*的小正方形。画一个周长是30*cm*，长和宽的比是3：2的长方形。
**五、解决问题。（27分）**
27．（4分）如图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个羊圈。已知羊圈的直径是10米，则围成的羊圈的面积是多少平方米？
28．（8分）根据线段图列式计算。
29．（4分）庆祝中华人民共和国成立70周年，受阅部队约1.5万人，约为群众游行人数的15%，参加群众游行的人数比受阅部队多多少万人？
30．（4分）学校里有篮球、足球、排球共180个，已知篮球、足球、排球的比是5：4：3，三种球各有多少只？
31．（4分）笑笑参加学校的冬季长跑，已经跑了70%，还剩下300米。笑笑一共要跑多少米？
32．（3分）六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加的人数的比是3：4．六年级一共有多少人？
**2020-2021学年湖北省宜昌市远安县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空。（每空1分，计19分）**
1．【分析】小数化成百分数：小数点向右移动两位，去掉百分号即可。
> 用0.5×15即可算出被除数的值。
>
> 0.5就是五折。
>
> 【解答】解：0.5＝50%＝7.5÷15＝五折。
>
> 故答案为：50；7.5；五。
>
> 【点评】这道题考查的是百分数的应用和小数百分数的转化，要熟练掌握。
2．【分析】把分数、百分数和八成分别化为小数，再比较大小即可。
> 【解答】解：0.8333...；83.3%＝0.833；八成＝0.8
>
> 最大的数是；最小的数是八成；83.3%和0.833相等。
>
> 故答案为：；八成；83.3%；0.833。
>
> 【点评】本题考查把分数、百分数和八成分别化为小数的方法。
3．【分析】（1）根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比；
> （2）用比的前项除以后项，所得的商即为比值．
>
> 【解答】解：0.8：
>
> ＝（0.8×5）：（5）
>
> ＝4：1
>
> 0.8：
>
> ＝0.8
>
> ＝4
>
> 故答案为：4：1，4．
>
> 【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．
4．【分析】成功率＝成功次数÷总次数×100%，由此代入数据求解。
> 【解答】解：69÷132×100%
>
> ≈0.52×100%
>
> ＝52%
>
> 答：成功率是52%。
>
> 故答案为：52%。
>
> 【点评】此题属于百分率问题，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘百分之百。
5．【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆转化为一个近似长方形，这个正方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，已知长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，据此可以求出圆的半径，再根据圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：10÷2＝5（厘米）
>
> 3.14×5^2^
>
> ＝3.14×25
>
> ＝78.5（平方厘米）
>
> 答：圆的面积是78.5平方厘米。
>
> 故答案为：78.5。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用。
6．【分析】在此题中，本金是5000元，时间是2年，利率是3.75%，求利息，运用关系式：利息＝本金×年利率×时间，解决问题．
> 【解答】解：5000×3.75%×2
>
> ＝5000×0.0375×2
>
> ＝187.5×2
>
> ＝375（元）
>
> 答：到期后共得到利息375元．
>
> 故答案为：375．
>
> 【点评】这种类型属于利息问题，运用关系式"利息＝本金×年利率×时间"，代入数据，解决问题．
7．【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；
> 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；
>
> 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
>
> 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；
>
> 据此解答即可．
>
> 【解答】解：66
>
> 66
>
> 99
>
> 99
>
> 故答案为：＜，＞，＞，＜．
>
> 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法．
8．【分析】根据：路程÷时间＝速度，用这辆汽车分钟行驶的路程除以，求出照这样计算，每分钟行驶多少千米即可．
> 【解答】解：（千米）
>
> 答：每分钟行驶千米．
>
> 故答案为：．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
9．【分析】共有8名运动员，每两个人握一次手，即每人都要与其他7人握一次手，则所有人握手的次数为8×7＝56次，握手是在两人之间进行的，则他们一共互相握手56÷2＝28次。
> 【解答】解：8×（8﹣1）÷2
>
> ＝8×7÷2
>
> ＝28（次）
>
> 答：一共要握手28次。
>
> 故答案为：28。
>
> 【点评】此为一个典型的握手问题，人数与握手次数之间的关系为：握手次数＝人数×（人数﹣1）÷2。
10．【分析】根据图示可知本组图形的规律：第一个图形三角形为二层，三角形边长为：2×4＝8（厘米），三角形周长为：8×3＝24（厘米）；第二个图形三角形为二层，三角形边长为：4×4＝16（厘米），三角形周长为：16×3＝48（厘米）；第四个图形三角形为四层，三角形边长为：6×4＝24（厘米），三角形周长为：24×3＝72（厘米）．据此答题．
> 【解答】解：第一个图形三角形为二层，三角形边长为：2×4＝8（厘米），三角形周长为：8×3＝24（厘米）
>
> 第二个图形三角形为二层，三角形边长为：4×4＝16（厘米），三角形周长为：16×3＝48（厘米）
>
> 第四个图形三角形为四层，三角形边长为：6×4＝24（厘米），三角形周长为：24×3＝72（厘米）
>
> 答：四层圆组成的三角形周长是 72厘米．
>
> 故答案为：72．
>
> 【点评】本题主要考查圆与组合图形，关键根据所给图示发现规律，并运用规律做题．
**二、选择（每题1分，计10分）**
11．【分析】5：3的前项加上15，是5+15＝20，即可看出前项扩大了20÷5＝4倍，要使比值不变，后项也要扩大4倍，即加上3×4﹣3＝9；由此即可解答．
> 【解答】解：（5+15）÷5×3﹣3
>
> ＝20÷5×3﹣3
>
> ＝4×3﹣3
>
> ＝12﹣3
>
> ＝9
>
> 答：后项应该加上9．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题主要考查比的基本性质，关键由前项加上一个数要看前项扩大了几倍，再利用比的基本性质解决问题．
12．【分析】根据题意对各选项进行依次分析、进而得出结论．
> 【解答】解：*A*、一条路已经修了80%千米，说法错误，因为百分数不能表示具体的数量，不能带单位名称；
>
> *B*、男生人数比女生人数多10%，说法正确；
>
> *C*、某班的出勤率达到101%，错误，最多为100%；
>
> *D*、一件商品打八折表示是原价的80%，所以本题说法错误；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
13．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
> 【解答】解：根据统计图的特点可知：
>
> *A*、小慧家下半年电费支出情况，比较适合选用条形统计图；
>
> *B*、小慧身高变化和年龄增长之间的关系，比较适合选用折线统计图；
>
> *C*、比较小慧和五个好朋友之间的身高情况，比较适合选用条形统计图；
>
> *D*、小慧一天时间分配情况，比较适合运用扇形统计图；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．
14．【分析】根据分数、百分数化成小数的方法，把9.9%、、化成小数，再根据小数大小比较的方法进行比较即可。
> 【解答】解：99.9%＝0.099
>
> 0.909
>
> 0.9
>
> 0.099＜0.89＜0.9＜0.909
>
> 所以9.9%＜0.89，最小的是9.9%。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握分数、百分数化成小数的方法，小数大小比较的方法及应用。
15．【分析】先把长方形平均分成了3份，其中1份涂色，就是它的，再把这1份平均分成了5份，其中的3份就是的，即，由此求解．
> 【解答】解：表示的含义是：
>
> ．
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】解决本题根据分数的意义和分数乘法的意义进行求解．
16．【分析】用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，说明这些小正方体分前、后两排，前排3个，后排1个居中，因此从左面看到的形状是．
> 【解答】解：用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从左面看到．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】解答此题的关键是根据已知条件确定这个小正方体的个数及摆放的位置．
17．【分析】把这根木料的长度看作单位"1"，由"第二段占全长的"，可知第一段占全长的1，通过比较得出答案．
> 【解答】解：1，
>
> ，
>
> 所以第一段长；
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题要注意两个表示的意义不同，前者带单位表示一个具体的数量，后者不带单位表示是单位"1"的几分之几．
18．【分析】把这批大米的总重量看作单位"1"，第一个月吃了全部的，第二个月吃了全部的，第二个月比第一个月少吃了20千克，第二个月比第一个月少吃了（），求这批大米的总重量，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答．
> 【解答】解：20÷（）
>
> ＝20
>
> ＝300（千克）
>
> 答：这批大米共300千克．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】把这批大米的总重量看作单位"1"，找出对应关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答．
19．【分析】根据所给的条件，分析出时间与离家距离之间的关系，再从选项中找出符合的答案．
> 【解答】解：淘气的这一过程可分成以下几段：
>
> （1）从家出发到途中休息前，这一段时间里离家的距离越来越远；
>
> （2）途中休息，这一段时间离家的距离不变；
>
> （3）途中休息后到书城，这一段时间里离家的距离越来越远；
>
> （4）在书城借书，这一段时间离家的距离不变；
>
> （5）从书城回家，这一段时间里离家的距离越来越近．
>
> 只有选项*C*符合这一变化．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】这类题目关键是找出离家的距离随时间的变化是怎么变化的，分好段求解．
20．【分析】观察图形可知，第（1）个图形的圆的个数是1^2^＝1．第（2）个图形的圆的个数是2^2^＝4．第（3）个图形的圆的个数是3^2^＝9．可以猜想第（4）个图形的圆的个数是4^2^＝16．根据阴影部分的面积＝正方形的面积﹣所以圆的面积计算可得答案．
> 【解答】解：（1）*S*~阴影~＝*a*^2^﹣π•
>
> ＝*a*^2^π*a*^2^
>
> （2）*S*~阴影~＝*a*^2^﹣4×π
>
> ＝*a*^2^
>
> （3）*S*~阴影~＝*a*^2^﹣9π
>
> ＝*a*^2^
>
> 三个图形的阴影部分的面积相等．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】此题考查了图形的变化规律，认真观察图形，发现图形的变化规律，利用规律解决问题．
**三、计算。（32分）**
21．【分析】根据分数、小数、百分数减法和乘除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
500×3%＝15 4.88 60%
----------- -------------- ------ ------
1÷1%＝100 1﹣75%＝0.25 3355 3÷33
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
22．【分析】（1）先算除法，再算乘法；
> （2）运用乘法的交换律、结合律进行简算；
>
> （3）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （4）运用乘法的分配律进行简算；
>
> （5）从左向右进行计算；
>
> （6）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。
>
> 【解答】解：（1）
>
> （2）
>
> （）
>
> ＝1
>
> （3）
>
> （）
>
> 1
>
> （4）30×（）
>
> ＝303030
>
> ＝6+20﹣8
>
> ＝26﹣8
>
> ＝18
>
> （5）3
>
> 3
>
> 3
>
> （6）\[（）\]
>
> \[（\]
>
> 【点评】此题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
23．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上3，再两边同时除以75%求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解．
>
> 【解答】解：（1）75%*x*﹣3＝2.1
>
> 75%*x*﹣3+3＝2.1+3
>
> 75%*x*÷75%＝5.1÷75%
>
> *x*＝6.8
>
> （2）*xx*＝3.3
>
> *x*＝3.3
>
> *x*3.3
>
> *x*＝2.7
>
> 【点评】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以某一个数（0除外），等式的两边仍相等，同时注意"＝"上下要对齐．
**四、实践操作（12分）**
24．【分析】这个立方体图形从正面能看到4个正方形，分两行，上行1个，下行3个，左齐；从左面能看到3个正方形，分两行，上行1个，下行2个，左齐；从上面能看到4个正方形，分两行，上行3个，下行1个，右齐．
> 【解答】解：
>
> 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形．
25．【分析】要画出立杆*BC*在地面上的影子，首先要知道影子是怎样形成的；然后根据光的直线传播来作图．
> 【解答】解：光在同一均匀介质中是沿直线传播的，当光照在不透明的物体上就在物体的背面形成一个黑暗的区域，这就是影子；
>
> 过光源和立杆的顶点做一条光线，这条光线和地面的交点就是影子的最右端的位置，从而得出结果．
>
> 故答案如下：
>
> 【点评】学习知识的目的是为了应用，我们要能够根据我们所学到的知识解释生活中的现象，这一个现在考试的一个侧重点．
26．【分析】根据长方形的周长计算公式"*C*＝2（*a*+*b*）"即可求出所画长方形的长、宽之和，再把长、宽之和平均分成（3+2）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法求出3份（长方形长）、2份（长方形宽）的长度，然后根据长方形对边相等，四个角都是直角的特征即可画出此长方形。
> 【解答】解：30÷2÷（3+2）
>
> ＝15÷5
>
> ＝3（*cm*）
>
> 3×3＝9（*cm*）
>
> 3×2＝6（*cm*）
>
> 所画长方形的长是9*cm*，宽是6*cm*（画图如下）：
>
> 【点评】解答此题的关键是根据长方形的周长计算公式及按比例分配问题求出这个长方形的长、宽。
**五、解决问题。（27分）**
27．【分析】根据图示，羊圈围成的是一个以10米为直径的圆的面积的，利用圆的面积公式：*S*＝π*r*^2^，把数代入计算即可。
> 【解答】解：3.14×（10÷2）^2^
>
> ＝3.14×25
>
> ＝78.5
>
> ＝58.875（平方米）
>
> 答：围成的羊圈的面积是58.875平方米。
>
> 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化为规则图形，计算即可。
28．【分析】（1）把白兔的只数看作单位"1"，灰兔的只数相当于白兔的（1），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
> （2）把苹果的质量看作单位"1"，桔子的质量相当于苹果的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
>
> 【解答】解：（1）40×（1）
>
> ＝50（只）
>
> 答：灰兔有50只。
>
> （2）48÷（1）
>
> ＝64（千克）
>
> 答：苹果有64千克。
>
> 【点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
29．【分析】把群众游行人数看作单位"1"，那么群众游行人数的15%就是1.5万人，然后用除法求出群众游行的人数，再减去1.5万人即可．
> 【解答】解：1.5÷15%﹣1.5
>
> ＝10﹣1.5
>
> ＝8.5（万人）
>
> 答：参加群众游行的人数比受阅部队多8.5万人．
>
> 【点评】本题考查了百分数除法应用题，关键是确定单位"1"，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算．
30．【分析】首先求出总份数，5+4+3＝12份，其中篮球占总数的，足球占总数的，排球占总数的，再根据一个数的乘分数的意义，用乘法解答．
> 【解答】解：总份数：5+4+3＝12（份），
>
> 篮球有：18075（个）；
>
> 足球有：18060（个）；
>
> 排球有：18045（个）；
>
> 答：篮球有75个，足球有60个，排球有45个．
>
> 【点评】此题属于按比例分配问题，解答关键是求出总份数，把比转化成分率，根据一个数乘分数的意义用乘法，由此列式解答．
31．【分析】把总长度看作单位"1"，那么单位"1"的（1﹣70%）就是300米，然后根据百分数除法的意义解答即可。
> 【解答】解：300÷（1﹣70%）
>
> ＝300÷30%
>
> ＝1000（米）
>
> 答：笑笑一共要跑1000米。
>
> 【点评】本题考查了百分数除法应用题，关键是确定单位"1"，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算。
32．【分析】我们把六年级全体学生的人数看做单位"1"，找出20名学生所占六年级学生的分率，用20除以所占的分率就是六年级全体同学的人数．
> 【解答】解：20÷（），
>
> ＝20÷（），
>
> ＝20，
>
> ＝210（人）；
>
> 答：六年级一共有210人．
>
> 【点评】本题是一道复杂的分数乘除法应用题，只要弄清单位"1"，找出已知数对应的分率，问题就迎刃而解了．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/4/27 11:20:32；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2017年广东省初中毕业生学业考试**
**数 学**
说明：1.全卷共6页，满分为120 分，考试用时为100分钟。
> 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
>
> 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
>
> 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
**一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.**
1\. 5的相反数是( )
A. B.5 C.- D.-5
2."一带一路"倡议提出三年以来，广东企业到"一带一路"国家投资越来越活跃.据商务部门发布的数据显示。2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4 000 000 000美元.将4 000 000 000用科学记数法表示为( )
A.0.4× B.0.4× C.4× D.4×
3.已知,则的补角为( )
A. B. C. D.
4.如果2是方程的一个根，则常数k的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.在学校举行"阳光少年，励志青春"的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组的数据的众数是( )
A.95 B.90 C.85 D.80
6.下列所述图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.圆
7.如题7图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲
线 相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，2），
则点B的坐标为( )
A.（-1，-2） B.（-2，-1） C.（-1，-1） D.（-2，-2）
8.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如题9图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，
则∠DAC的大小为( )
A.130° B.100° C.65° D.50°
10.如题10图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①；②；③；
④,其中正确的是( )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
**二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.**
11.分解因式： [ ]{.underline} .
12.一个n边形的内角和是，那么n= [ ]{.underline} .
13.已知实数*a,b*在数轴上的对应点的位置如题13图所示，
> 则 [ ]{.underline} 0(填"\>","\<"或"=").
14.在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5.随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率是 [ ]{.underline} .
15.已知，则整式的值为 [ ]{.underline} .
16.如题16图（1），矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=3,先按题16图（2）操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按题16图（3）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG,则A、H两点间的距离为 [ ]{.underline} .
**三、解答题(一)（本大题共3题，每小题6分，共18分）**
17.计算：.
18.先化简，再求值，其中.
19.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书。若干男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本，求男生 、女生志愿者各有多少人？
**四、解答题(二)（本大题共3题，每小题7分，共21分）**
20.如是20图，在中，.
> （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）在（1）的条件下，连接AE，若,求的度数。
21.如图21图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，为锐角.\[来源:学科网ZXXK\]
（1）求证：;
（2）若BF=BC,求的度数。
22.某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如题22图表所示，请根据图表信息回答下列问题：
1. 填空：①m= [ ]{.underline} (直接写出结果)；
> ②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于 [ ]{.underline} 度；
2. 如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？
**五、解答题(三)（本大题共3题，每小题9分，共27分）**
23.如图23图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A(1,0),B(3,0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件，求的值.
24.如题24图，AB是⊙O的直径，,点E为线段OB上一点（不与O、B重合），作，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，于点F，连结CB.
（1）求证：CB是的平分线；
（2）求证：CF=CE;
（3）当 时，求劣弧  的长度（结果保留π）.
25．如题25图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A、C的坐标分别是和，点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为 [ ]{.underline} ；
> （2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：；
②设，矩形BDEF的面积为，求关于的函数关系式（可利用①的结论），并求出的最小值
**2017年广东省中考数学试卷参考答案**
1. **选择题**
--- --- --- --- ---------------------- --- --- --- --- ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A B B\[来源:Z+xx+k.Com\] D A B C C
--- --- --- --- ---------------------- --- --- --- --- ----
2. **填空题**
```{=html}
<!-- -->
```
11. *a*（*a*+1）
12. 6
13. \>
14.
15. -1
16.
```{=html}
<!-- -->
```
3. **解答题（一）**
17、计算：
解：原式=7-1+3
=9
18. 先化简，再求值：
解：
当时，上式=
19. 解：设男生*x*人，女生*y*人，则有
答：男生有12人，女生16人。
**四、解答题（二）**
20. （1）作图略
```{=html}
<!-- -->
```
2. ∵*ED*是*AB*的垂直平分线
∴*EA*=*EB\[来源:Zxxk.Com\]*
∴∠*EAC*=∠*B*=50°
∵∠*AEC*是△*ABE*的外角
∴∠*AEC*=∠*EBA*+∠*B*=100°
21. （1）如图，∵*ABCD*、*ADEF*是菱形
∴*AB*=*AD*=*AF*
又∵∠*BAD*=∠*FAD*
由等腰三角形的三线合一性质可得
*AD*⊥*BF*
2. ∵*BF*=*BC*
∴*BF*=*AB*=*AF*
∵△*ABF*是等比三角形
∴∠*BAF*=60°
又∵∠*BAD*=∠*FAD*
∴∠*BAD*=30°
∴∠*ADC*=180°-30°=150°
22. （1）①、52
（2）144
3.
答：略
**五、解答题（三）**
23. 解（1）把*A*（1,0）*B*（3,0）代入得
∴
2. 过*P*做*PM*⊥*x*轴与*M*
∵*P*为*BC*的中点，*PM*∥*y*轴
∴*M*为*OB*的中点
∴*P*的横坐标为
把*x*=代入得
∴
3. ∵*PM*∥*OC*
∴∠*OCB*=∠*MPB*，
∴
∴*sin*∠*MPB*=
∴*sin*∠*OCB*=
24. 证明：连接*AC*，
∵*AB*为直径，
∴∠*ACB*=90°
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
又∵*CP*为切线
∴∠*OCP*=90°
∵*DC*为直径
∴∠*DBC*=90°
∴∠4+∠*DCB*=90°，∠*DCB*+∠*D*=90°
∴∠4=∠*D*
又∵弧*BC*=弧*BC*
∴∠3=∠*D*
∴∠1=∠4即：*CB*是∠*ECP*的平分线
2. ∵∠*ACB*=90°
∴∠5+∠4=90°，∠*ACE*+∠1=90°
由（1）得∠1=∠4
∴∠5=∠*ACE*
在*Rt*△*AFC*和*Rt*△*AEC*中
∴*CF*=*CE*
3. 延长*C**E*交*DB*于*Q*
25、（1）
（2）存在
理由：①如图1 若*ED=EC*
由题知：∠*ECD*=∠*EDC*=30°
∵*DE*⊥DB
∴∠*BDC*=60°
∵∠*BCD*=90°-∠*ECD*=60°
∴△*BDC*是等边三角形，*CD=BD=BC*=2
∴*AC*=
∴*AD=AC-CD*=4-2=2
②如图2 若*CD=CE*
依题意知：∠*ACO*=30°，∠*CDE*=∠*CED*=15°
∵*DE*⊥*DB*，∠*DBE=*90°
∴∠*ADB*=180°-∠*ADB*-∠*CDE*=75°
∵∠*BAC*=∠*OCA*=30°
∴∠*ABD*=180°-∠*ADB*-∠*BAC*=75°
∴△*ABD*是等腰三角形，*AD=AB*=
③：若*DC=DE*则∠*DEC*=∠*DCE=*30°或∠*DEC*=∠*DCE=150°*
∴∠*DEC*\>90°，不符合题意，舍去
综上所述：*AD*的值为2或者，△*CDE*为等腰三角形
\[来源:学科网\]
\[来源:学\_科\_网\]
（3）①如图（1），过点D作DG⊥OC于点G，DH⊥BC于点H。
∵∠GDE + ∠EDH = ∠HDB + ∠EDH = 90°
∴∠GDE = ∠HDB
在△ DGE和△ DHB 中，
∴
∴
∵
∴
②如图（2），作
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**2020年浙江省杭州市中考数学试卷**
**一．选择题（共10小题）**
1．×＝（ ）
A． B． C． D．3
2．（1+*y*）（1﹣*y*）＝（ ）
A．1+*y*^2^ B．﹣1﹣*y*^2^ C．1﹣*y*^2^ D．﹣1+*y*^2^
3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
4．如图，在△*ABC*中，∠*C*＝90°，设∠*A*，∠*B*，∠*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，则（ ）
> 
A．*c*＝*b*sin*B* B．*b*＝*c*sin*B* C．*a*＝*b*tan*B* D．*b*＝*c*tan*B*
5．若*a*＞*b*，则（ ）
A．*a*﹣1≥*b* B．*b*+1≥*a* C．*a*+1＞*b*﹣1 D．*a*﹣1＞*b*+1
6．在平面直角坐标系中，已知函数*y*＝*ax*+*a*（*a*≠0）的图象过点*P*（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为*x*；去掉一个最低分，平均分为*y*；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为*z*，则（ ）
A．*y*＞*z*＞*x* B．*x*＞*z*＞*y* C．*y*＞*x*＞*z* D．*z*＞*y*＞*x*
8．设函数*y*＝*a*（*x*﹣*h*）^2^+*k*（*a*，*h*，*k*是实数，*a*≠0），当*x*＝1时，*y*＝1；当*x*＝8时，*y*＝8，（ ）
A．若*h*＝4，则*a*＜0 B．若*h*＝5，则*a*＞0
C．若*h*＝6，则*a*＜0 D．若*h*＝7，则*a*＞0
9．如图，已知*BC*是⊙*O*的直径，半径*OA*⊥*BC*，点*D*在劣弧*AC*上（不与点*A*，点*C*重合），*BD*与*OA*交于点*E*．设∠*AED*＝α，∠*AOD*＝β，则（ ）
> 
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
10．在平面直角坐标系中，已知函数*y*~1~＝*x*^2^+*ax*+1，*y*~2~＝*x*^2^+*bx*+2，*y*~3~＝*x*^2^+*cx*+4，其中*a*，*b*，*c*是正实数，且满足*b*^2^＝*ac*．设函数*y*~1~，*y*~2~，*y*~3~的图象与*x*轴的交点个数分别为*M*~1~，*M*~2~，*M*~3~，（ ）
A．若*M*~1~＝2，*M*~2~＝2，则*M*~3~＝0 B．若*M*~1~＝1，*M*~2~＝0，则*M*~3~＝0
C．若*M*~1~＝0，*M*~2~＝2，则*M*~3~＝0 D．若*M*~1~＝0，*M*~2~＝0，则*M*~3~＝0
**二．填空题（共6小题）**
11．若分式的值等于1，则*x*＝[ ]{.underline}．
12．如图，*AB*∥*CD*，*EF*分别与*AB*，*CD*交于点*B*，*F*．若∠*E*＝30°，∠*EFC*＝130°，则∠*A*＝[ ]{.underline}．
> 
13．设*M*＝*x*+*y*，*N*＝*x*﹣*y*，*P*＝*xy*．若*M*＝1，*N*＝2，则*P*＝[ ]{.underline}．
14．如图，已知*AB*是⊙*O*的直径，*BC*与⊙*O*相切于点*B*，连接*AC*，*OC*．若sin∠*BAC*＝，则tan∠*BOC*＝[ ]{.underline}．
> 
15．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是[ ]{.underline}．
16．如图是一张矩形纸片，点*E*在*AB*边上，把△*BCE*沿直线*CE*对折，使点*B*落在对角线*AC*上的点*F*处，连接*DF*．若点*E*，*F*，*D*在同一条直线上，*AE*＝2，则*DF*＝[ ]{.underline}，*BE*＝[ ]{.underline}．
> 
**三．解答题（共7小题）**
17．以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
> 解：去分母，得3（*x*+1）﹣2（*x*﹣3）＝1．
>
> 去括号，得3*x*+1﹣2*x*+3＝1．
>
> 移项，合并同类项，得*x*＝﹣3．
>
> 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．
> （1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；
>
> （2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
>
> 
19．如图，在△*ABC*中，点*D*，*E*，*F*分别在*AB*，*BC*，*AC*边上，*DE*∥*AC*，*EF*∥*AB*．
> （1）求证：△*BDE*∽△*EFC*．
>
> （2）设，
>
> ①若*BC*＝12，求线段*BE*的长；
>
> ②若△*EFC*的面积是20，求△*ABC*的面积．
>
> 
20．设函数*y*~1~＝，*y*~2~＝﹣（*k*＞0）．
> （1）当2≤*x*≤3时，函数*y*~1~的最大值是*a*，函数*y*~2~的最小值是*a*﹣4，求*a*和*k*的值．
>
> （2）设*m*≠0，且*m*≠﹣1，当*x*＝*m*时，*y*~1~＝*p*；当*x*＝*m*+1时，*y*~1~＝*q*．圆圆说："*p*一定大于*q*"．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
21．如图，在正方形*ABCD*中，点*E*在*BC*边上，连接*AE*，∠*DAE*的平分线*AG*与*CD*边交于点*G*，与*BC*的延长线交于点*F*．设＝λ（λ＞0）．
> （1）若*AB*＝2，λ＝1，求线段*CF*的长．
>
> （2）连接*EG*，若*EG*⊥*AF*，
>
> ①求证：点*G*为*CD*边的中点．
>
> ②求λ的值．
>
> 
22．在平面直角坐标系中，设二次函数*y*~1~＝*x*^2^+*bx*+*a*，*y*~2~＝*ax*^2^+*bx*+1（*a*，*b*是实数，*a*≠0）．
> （1）若函数*y*~1~的对称轴为直线*x*＝3，且函数*y*~1~的图象经过点（*a*，*b*），求函数*y*~1~的表达式．
>
> （2）若函数*y*~1~的图象经过点（*r*，0），其中*r*≠0，求证：函数*y*~2~的图象经过点（，0）．
>
> （3）设函数*y*~1~和函数*y*~2~的最小值分别为*m*和*n*，若*m*+*n*＝0，求*m*，*n*的值．
23．如图，已知*AC*，*BD*为⊙*O*的两条直径，连接*AB*，*BC*，*OE*⊥*AB*于点*E*，点*F*是半径*OC*的中点，连接*EF*．
> （1）设⊙*O*的半径为1，若∠*BAC*＝30°，求线段*EF*的长．
>
> （2）连接*BF*，*DF*，设*OB*与*EF*交于点*P*，
>
> ①求证：*PE*＝*PF*．
>
> ②若*DF*＝*EF*，求∠*BAC*的度数．
>
> 
**2020年浙江省杭州市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．×＝（ ）
A． B． C． D．3
> 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
>
> 【解答】解：×＝，
>
> 故选：*B*．
2．（1+*y*）（1﹣*y*）＝（ ）
A．1+*y*^2^ B．﹣1﹣*y*^2^ C．1﹣*y*^2^ D．﹣1+*y*^2^
> 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
>
> 【解答】解：（1+*y*）（1﹣*y*）＝1﹣*y*^2^．
>
> 故选：*C*．
3．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
> 【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．
>
> 【解答】解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．
>
> 则需要付费19元．
>
> 故选：*B*．
4．如图，在△*ABC*中，∠*C*＝90°，设∠*A*，∠*B*，∠*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*，则（ ）
> 
A．*c*＝*b*sin*B* B．*b*＝*c*sin*B* C．*a*＝*b*tan*B* D．*b*＝*c*tan*B*
> 【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
>
> 【解答】解：∵Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，∠*A*、∠*B*、∠*C*所对的边分别为*a*、*b*、*c*，
>
> ∴sin*B*＝，即*b*＝*c*sin*B*，故*A*选项不成立，*B*选项成立；
>
> tan*B*＝，即*b*＝*a*tan*B*，故*C*选项不成立，*D*选项不成立．
>
> 故选：*B*．
5．若*a*＞*b*，则（ ）
A．*a*﹣1≥*b* B．*b*+1≥*a* C．*a*+1＞*b*﹣1 D．*a*﹣1＞*b*+1
> 【分析】举出反例即可判断*A*、*B*、*D*，根据不等式的传递性即可判断*C*．
>
> 【解答】解：*A*、*a*＝0.5，*b*＝0.4，*a*＞*b*，但是*a*﹣1＜*b*，不符合题意；
>
> *B*、*a*＝3，*b*＝1，*a*＞*b*，但是*b*+1＜*a*，不符合题意；
>
> *C*、∵*a*＞*b*，∴*a*+1＞*b*+1，∵*b*+1＞*b*﹣1，∴*a*+1＞*b*﹣1，符合题意；
>
> *D*、*a*＝0.5，*b*＝0.4，*a*＞*b*，但是*a*﹣1＜*b*+1，不符合题意．
>
> 故选：*C*．
6．在平面直角坐标系中，已知函数*y*＝*ax*+*a*（*a*≠0）的图象过点*P*（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
> 【分析】求得解析式即可判断．
>
> 【解答】解：∵函数*y*＝*ax*+*a*（*a*≠0）的图象过点*P*（1，2），
>
> ∴2＝*a*+*a*，解得*a*＝1，
>
> ∴*y*＝*x*+1，
>
> ∴直线交*y*轴的正半轴，且过点（1，2），
>
> 故选：*A*．
7．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为*x*；去掉一个最低分，平均分为*y*；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为*z*，则（ ）
A．*y*＞*z*＞*x* B．*x*＞*z*＞*y* C．*y*＞*x*＞*z* D．*z*＞*y*＞*x*
> 【分析】根据题意，可以判断*x*、*y*、*z*的大小关系，从而可以解答本题．
>
> 【解答】解：由题意可得，
>
> *y*＞*z*＞*x*，
>
> 故选：*A*．
8．设函数*y*＝*a*（*x*﹣*h*）^2^+*k*（*a*，*h*，*k*是实数，*a*≠0），当*x*＝1时，*y*＝1；当*x*＝8时，*y*＝8，（ ）
A．若*h*＝4，则*a*＜0 B．若*h*＝5，则*a*＞0
C．若*h*＝6，则*a*＜0 D．若*h*＝7，则*a*＞0
> 【分析】当*x*＝1时，*y*＝1；当*x*＝8时，*y*＝8；代入函数式整理得*a*（9﹣2*h*）＝1，将*h*的值分别代入即可得出结果．
>
> 【解答】解：当*x*＝1时，*y*＝1；当*x*＝8时，*y*＝8；代入函数式得：，
>
> ∴*a*（8﹣*h*）^2^﹣*a*（1﹣*h*）^2^＝7，
>
> 整理得：*a*（9﹣2*h*）＝1，
>
> 若*h*＝4，则*a*＝1，故*A*错误；
>
> 若*h*＝5，则*a*＝﹣1，故*B*错误；
>
> 若*h*＝6，则*a*＝﹣，故*C*正确；
>
> 若*h*＝7，则*a*＝﹣，故*D*错误；
>
> 故选：*C*．
9．如图，已知*BC*是⊙*O*的直径，半径*OA*⊥*BC*，点*D*在劣弧*AC*上（不与点*A*，点*C*重合），*BD*与*OA*交于点*E*．设∠*AED*＝α，∠*AOD*＝β，则（ ）
> 
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
> 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠*CBD*，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠*COD*，最后由角的和差关系得结果．
>
> 【解答】解：∵*OA*⊥*BC*，
>
> ∴∠*AOB*＝∠*AOC*＝90°，
>
> ∴∠*DBC*＝90°﹣∠*BEO*＝90°﹣∠*AED*＝90°﹣α，
>
> ∴∠*COD*＝2∠*DBC*＝180°﹣2α，
>
> ∵∠*AOD*+∠*COD*＝90°，
>
> ∴β+180°﹣2α＝90°，
>
> ∴2α﹣β＝90°，
>
> 故选：*D*．
>
> 
10．在平面直角坐标系中，已知函数*y*~1~＝*x*^2^+*ax*+1，*y*~2~＝*x*^2^+*bx*+2，*y*~3~＝*x*^2^+*cx*+4，其中*a*，*b*，*c*是正实数，且满足*b*^2^＝*ac*．设函数*y*~1~，*y*~2~，*y*~3~的图象与*x*轴的交点个数分别为*M*~1~，*M*~2~，*M*~3~，（ ）
A．若*M*~1~＝2，*M*~2~＝2，则*M*~3~＝0 B．若*M*~1~＝1，*M*~2~＝0，则*M*~3~＝0
C．若*M*~1~＝0，*M*~2~＝2，则*M*~3~＝0 D．若*M*~1~＝0，*M*~2~＝0，则*M*~3~＝0
> 【分析】选项*B*正确，利用判别式的性质证明即可．
>
> 【解答】解：选项*B*正确．
>
> 理由：∵*M*~1~＝1，*M*~2~＝0，
>
> ∴*a*^2^﹣4＝0，*b*^2^﹣8＜0，
>
> ∵*a*，*b*，*c*是正实数，
>
> ∴*a*＝2，
>
> ∵*b*^2^＝*ac*，
>
> ∴*c*＝*b*^2^，
>
> 对于*y*~3~＝*x*^2^+*cx*+4，
>
> 则有△＝*c*^2^﹣16＝*b*^2^﹣16＝（*b*^2^﹣64）＜0，
>
> ∴*M*~3~＝0，
>
> ∴选项*B*正确，
>
> 故选：*B*．
**二．填空题（共6小题）**
11．若分式的值等于1，则*x*＝[ 0 ]{.underline}．
> 【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
>
> 【解答】解：由分式的值等于1，得
>
> ＝1，
>
> 解得*x*＝0，
>
> 经检验*x*＝0是分式方程的解．
>
> 故答案为：0．
12．如图，*AB*∥*CD*，*EF*分别与*AB*，*CD*交于点*B*，*F*．若∠*E*＝30°，∠*EFC*＝130°，则∠*A*＝[ 20° ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】直接利用平行线的性质得出∠*ABF*＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
>
> 【解答】解：∵*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠*ABF*+∠*EFC*＝180°，
>
> ∵∠*EFC*＝130°，
>
> ∴∠*ABF*＝50°，
>
> ∵∠*A*+∠*E*＝∠*ABF*＝50°，∠*E*＝30°，
>
> ∴∠*A*＝20°．
>
> 故答案为：20°．
13．设*M*＝*x*+*y*，*N*＝*x*﹣*y*，*P*＝*xy*．若*M*＝1，*N*＝2，则*P*＝[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】根据完全平方公式得到（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^＝1，（*x*﹣*y*）^2^＝*x*^2^﹣2*xy*+*y*^2^＝4，两式相减即可求解．
>
> 【解答】解：（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^＝1，（*x*﹣*y*）^2^＝*x*^2^﹣2*xy*+*y*^2^＝4，
>
> 两式相减得4*xy*＝﹣3，
>
> 解得*xy*＝﹣，
>
> 则*P*＝﹣．
>
> 故答案为：﹣．
14．如图，已知*AB*是⊙*O*的直径，*BC*与⊙*O*相切于点*B*，连接*AC*，*OC*．若sin∠*BAC*＝，则tan∠*BOC*＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据切线的性质得到*AB*⊥*BC*，设*BC*＝*x*，*AC*＝3*x*，根据勾股定理得到*AB*＝＝＝2*x*，于是得到结论．
>
> 【解答】解：∵*AB*是⊙*O*的直径，*BC*与⊙*O*相切于点*B*，
>
> ∴*AB*⊥*BC*，
>
> ∴∠*ABC*＝90°，
>
> ∵sin∠*BAC*＝＝，
>
> ∴设*BC*＝*x*，*AC*＝3*x*，
>
> ∴*AB*＝＝＝2*x*，
>
> ∴*OB*＝*AB*＝*x*，
>
> ∴tan∠*BOC*＝＝，
>
> 故答案为：．
15．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
>
> 【解答】解：根据题意画图如下：
>
> 
>
> 共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，
>
> 则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝．
>
> 故答案为：．
16．如图是一张矩形纸片，点*E*在*AB*边上，把△*BCE*沿直线*CE*对折，使点*B*落在对角线*AC*上的点*F*处，连接*DF*．若点*E*，*F*，*D*在同一条直线上，*AE*＝2，则*DF*＝[ 2 ]{.underline}，*BE*＝[ ]{.underline}[﹣1 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据矩形的性质得到*AD*＝*BC*，∠*ADC*＝∠*B*＝∠*DAE*＝90°，根据折叠的性质得到*CF*＝*BC*，∠*CFE*＝∠*B*＝90°，*EF*＝*BE*，根据全等三角形的性质得到*DF*＝*AE*＝2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：∵四边形*ABCD*是矩形，
>
> ∴*AD*＝*BC*，∠*ADC*＝∠*B*＝∠*DAE*＝90°，
>
> ∵把△*BCE*沿直线*CE*对折，使点*B*落在对角线*AC*上的点*F*处，
>
> ∴*CF*＝*BC*，∠*CFE*＝∠*B*＝90°，*EF*＝*BE*，
>
> ∴*CF*＝*AD*，∠*CFD*＝90°，
>
> ∴∠*ADE*+∠*CDF*＝∠*CDF*+∠*DCF*＝90°，
>
> ∴∠*ADF*＝∠*DCF*，
>
> ∴△*ADE*≌△*FCD*（*ASA*），
>
> ∴*DF*＝*AE*＝2；
>
> ∵∠*AFE*＝∠*CFD*＝90°，
>
> ∴∠*AFE*＝∠*DAE*＝90°，
>
> ∵∠*AEF*＝∠*DEA*，
>
> ∴△*AEF*∽△*DEA*，
>
> ∴，
>
> ∴＝，
>
> ∴*EF*＝﹣1（负值舍去），
>
> ∴*BE*＝*EF*＝﹣1，
>
> 故答案为：2，﹣1．
**三．解答题（共7小题）**
17．以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
> 解：去分母，得3（*x*+1）﹣2（*x*﹣3）＝1．
>
> 去括号，得3*x*+1﹣2*x*+3＝1．
>
> 移项，合并同类项，得*x*＝﹣3．
>
> 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
>
> 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
>
> 【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
>
> 正确的解答过程如下：
>
> 3（*x*+1）﹣2（*x*﹣3）＝6．
>
> 去括号，得3*x*+3﹣2*x*+6＝6．
>
> 移项，合并同类项，得*x*＝﹣3．
18．某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．
> （1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；
>
> （2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？
>
> 
>
> 【分析】（1）根据题意列式计算即可；
>
> （2）分别求得3月份生产的产品中，不合格的件数和4月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得到结论．
>
> 【解答】解：（1）（132+160+200）÷（8+132+160+200）×100%＝98.4%，
>
> 答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；
>
> （2）估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，
>
> 理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为5000×2%＝100，
>
> 4月份生产的产品中，不合格的件数为10000×（1﹣98.4%）＝160，
>
> ∵100＜160，
>
> ∴估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．
19．如图，在△*ABC*中，点*D*，*E*，*F*分别在*AB*，*BC*，*AC*边上，*DE*∥*AC*，*EF*∥*AB*．
> （1）求证：△*BDE*∽△*EFC*．
>
> （2）设，
>
> ①若*BC*＝12，求线段*BE*的长；
>
> ②若△*EFC*的面积是20，求△*ABC*的面积．
>
> 
>
> 【分析】（1）由平行线的性质得出∠*DEB*＝∠*FCE*，∠*DBE*＝∠*FEC*，即可得出结论；
>
> （2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
>
> ②先求出＝，易证△*EFC*∽△*BAC*，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
>
> 【解答】（1）证明：∵*DE*∥*AC*，
>
> ∴∠*DEB*＝∠*FCE*，
>
> ∵*EF*∥*AB*，
>
> ∴∠*DBE*＝∠*FEC*，
>
> ∴△*BDE*∽△*EFC*；
>
> （2）解：①∵*EF*∥*AB*，
>
> ∴＝＝，
>
> ∵*EC*＝*BC*﹣*BE*＝12﹣*BE*，
>
> ∴＝，
>
> 解得：*BE*＝4；
>
> ②∵＝，
>
> ∴＝，
>
> ∵*EF*∥*AB*，
>
> ∴△*EFC*∽△*BAC*，
>
> ∴＝（）^2^＝（）^2^＝，
>
> ∴*S*~△*ABC*~＝*S*~△*EFC*~＝×20＝45．
20．设函数*y*~1~＝，*y*~2~＝﹣（*k*＞0）．
> （1）当2≤*x*≤3时，函数*y*~1~的最大值是*a*，函数*y*~2~的最小值是*a*﹣4，求*a*和*k*的值．
>
> （2）设*m*≠0，且*m*≠﹣1，当*x*＝*m*时，*y*~1~＝*p*；当*x*＝*m*+1时，*y*~1~＝*q*．圆圆说："*p*一定大于*q*"．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
>
> 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝*a*﹣4，②；可求*a*的值和*k*的值；
>
> （2）设*m*＝*m*~0~，且﹣1＜*m*~0~＜0，将*x*＝*m*~0~，*x*＝*m*~0~+1，代入解析式，可求*p*和*q*，即可判断．
>
> 【解答】解：（1）∵*k*＞0，2≤*x*≤3，
>
> ∴*y*~1~随*x*的增大而减小，*y*~2~随*x*的增大而增大，
>
> ∴当*x*＝2时，*y*~1~最大值为，①；
>
> 当*x*＝2时，*y*~2~最小值为﹣＝*a*﹣4，②；
>
> 由①，②得：*a*＝2，*k*＝4；
>
> （2）圆圆的说法不正确，
>
> 理由如下：设*m*＝*m*~0~，且﹣1＜*m*~0~＜0，
>
> 则*m*~0~＜0，*m*~0~+1＞0，
>
> ∴当*x*＝*m*~0~时，*p*＝*y*~1~＝，
>
> 当*x*＝*m*~0~+1时，*q*＝*y*~1~＝＞0，
>
> ∴*p*＜0＜*q*，
>
> ∴圆圆的说法不正确．
21．如图，在正方形*ABCD*中，点*E*在*BC*边上，连接*AE*，∠*DAE*的平分线*AG*与*CD*边交于点*G*，与*BC*的延长线交于点*F*．设＝λ（λ＞0）．
> （1）若*AB*＝2，λ＝1，求线段*CF*的长．
>
> （2）连接*EG*，若*EG*⊥*AF*，
>
> ①求证：点*G*为*CD*边的中点．
>
> ②求λ的值．
>
> 
>
> 【分析】（1）根据*AB*＝2，λ＝1，可以得到*BE*、*CE*的长，然后根据正方形的性质，可以得到*AE*的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到*EF*的长，从而可以得到线段*CF*的长；
>
> （2）①要证明点*G*为*CD*边的中点，只要证明△*ADG*≌△*FGC*即可，然后根据题目中的条件，可以得到△*ADG*≌△*FGC*的条件，从而可以证明结论成立；
>
> ②根据题意和三角形相似，可以得到*CE*和*EB*的比值，从而可以得到λ的值．
>
> 【解答】解：（1）∵在正方形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，
>
> ∴∠*DAG*＝∠*F*，
>
> 又∵*AG*平分∠*DAE*，
>
> ∴∠*DAG*＝∠*EAG*，
>
> ∴∠*EAG*＝∠*F*，
>
> ∴*EA*＝*EF*，
>
> ∵*AB*＝2，∠*B*＝90°，点*E*为*BC*的中点，
>
> ∴*BE*＝*EC*＝1，
>
> ∴*AE*＝＝，
>
> ∴*EF*＝，
>
> ∴*CF*＝*EF*﹣*EC*＝﹣1；
>
> （2）①证明：∵*EA*＝*EF*，*EG*⊥*AF*，
>
> ∴*AG*＝*FG*，
>
> 在△*ADG*和△*FCG*中
>
> ，
>
> ∴△*ADG*≌△*FCG*（*AAS*），
>
> ∴*DG*＝*CG*，
>
> 即点*G*为*CD*的中点；
>
> ②设*CD*＝2*a*，则*CG*＝*a*，
>
> 由①知，*CF*＝*DA*＝2*a*，
>
> ∵*EG*⊥*AF*，∠*GDF*＝90°，
>
> ∴∠*EGC*+∠*CGF*＝90°，∠*F*+∠*CGF*＝90°，∠*ECG*＝∠*GCF*＝90°，
>
> ∴∠*EGC*＝∠*F*，
>
> ∴△*EGC*∽△*GFC*，
>
> ∴，
>
> ∵*GC*＝*a*，*FC*＝2*a*，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*EC*＝*a*，*BE*＝*BC*﹣*EC*＝2*a*﹣*a*＝*a*，
>
> ∴λ＝．
>
> 
22．在平面直角坐标系中，设二次函数*y*~1~＝*x*^2^+*bx*+*a*，*y*~2~＝*ax*^2^+*bx*+1（*a*，*b*是实数，*a*≠0）．
> （1）若函数*y*~1~的对称轴为直线*x*＝3，且函数*y*~1~的图象经过点（*a*，*b*），求函数*y*~1~的表达式．
>
> （2）若函数*y*~1~的图象经过点（*r*，0），其中*r*≠0，求证：函数*y*~2~的图象经过点（，0）．
>
> （3）设函数*y*~1~和函数*y*~2~的最小值分别为*m*和*n*，若*m*+*n*＝0，求*m*，*n*的值．
>
> 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
>
> （2）函数*y*~1~的图象经过点（*r*，0），其中*r*≠0，可得*r*^2^+*br*+*a*＝0，推出1++＝0，即*a*（）^2^+*b*•+1＝0，推出是方程*ax*^2^+*bx*+1的根，可得结论．
>
> （3）由题意*a*＞0，∴*m*＝，*n*＝，根据*m*+*n*＝0，构建方程可得结论．
>
> 【解答】解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得*b*＝﹣6，
>
> ∵函数*y*~1~的图象经过（*a*，﹣6），
>
> ∴*a*^2^﹣6*a*+*a*＝﹣6，
>
> 解得*a*＝2或3，
>
> ∴函数*y*~1~＝*x*^2^﹣6*x*+2或*y*~1~＝*x*^2^﹣6*x*+3．
>
> （2）∵函数*y*~1~的图象经过点（*r*，0），其中*r*≠0，
>
> ∴*r*^2^+*br*+*a*＝0，
>
> ∴1++＝0，
>
> 即*a*（）^2^+*b*•+1＝0，
>
> ∴是方程*ax*^2^+*bx*+1的根，
>
> 即函数*y*~2~的图象经过点（，0）．
>
> （3）由题意*a*＞0，∴*m*＝，*n*＝，
>
> ∵*m*+*n*＝0，
>
> ∴+＝0，
>
> ∴（4*a*﹣*b*^2^）（*a*+1）＝0，
>
> ∵*a*+1＞0，
>
> ∴4*a*﹣*b*^2^＝0，
>
> ∴*m*＝*n*＝0．
23．如图，已知*AC*，*BD*为⊙*O*的两条直径，连接*AB*，*BC*，*OE*⊥*AB*于点*E*，点*F*是半径*OC*的中点，连接*EF*．
> （1）设⊙*O*的半径为1，若∠*BAC*＝30°，求线段*EF*的长．
>
> （2）连接*BF*，*DF*，设*OB*与*EF*交于点*P*，
>
> ①求证：*PE*＝*PF*．
>
> ②若*DF*＝*EF*，求∠*BAC*的度数．
>
> 
>
> 【分析】（1）解直角三角形求出*AB*，再证明∠*AFB*＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
>
> （2）①过点*F*作*FG*⊥*AB*于*G*，交*OB*于*H*，连接*EH*．想办法证明四边形*OEHF*是平行四边形可得结论．
>
> ②想办法证明*FD*＝*FB*，推出*FO*⊥*BD*，推出△*AOB*是等腰直角三角形即可解决问题．
>
> 【解答】（1）解：∵*OE*⊥*AB*，∠*BAC*＝30°，*OA*＝1，
>
> ∴∠*AOE*＝60°，*OE*＝*OA*＝，*AE*＝*EB*＝*OE*＝，
>
> ∵*AC*是直径，
>
> ∴∠*ABC*＝90°，
>
> ∴∠*C*＝60°，
>
> ∵*OC*＝*OB*，
>
> ∴△*OCB*是等边三角形，
>
> ∵*OF*＝*FC*，
>
> ∴*BF*⊥*AC*，
>
> ∴∠*AFB*＝90°，
>
> ∵*AE*＝*EB*，
>
> ∴*EF*＝*AB*＝．
>
> （2）①证明：过点*F*作*FG*⊥*AB*于*G*，交*OB*于*H*，连接*EH*．
>
> ∵∠*FGA*＝∠*ABC*＝90°，
>
> ∴*FG*∥*BC*，
>
> ∴△*OFH*∽△*OCB*，
>
> ∴＝＝，同理＝，
>
> ∴*FH*＝*OE*，
>
> ∵*OE*⊥*AB*．*FH*⊥*AB*，
>
> ∴*OE*∥*FH*，
>
> ∴四边形*OEHF*是平行四边形，
>
> ∴*PE*＝*PF*．
>
> ②∵*OE*∥*FG*∥*BC*，
>
> ∴＝＝1，
>
> ∴*EG*＝*GB*，
>
> ∴*EF*＝*FB*，
>
> ∵*DF*＝*EF*，
>
> ∴*DF*＝*BF*，
>
> ∵*DO*＝*OB*，
>
> ∴*FO*⊥*BD*，
>
> ∴∠*AOB*＝90°，
>
> ∵*OA*＝*OB*，
>
> ∴△*AOB*是等腰直角三角形，
>
> ∴∠*BAC*＝45°．
>
> 
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**高中数学知识归纳汇总**
**------------冲刺背诵篇**
**第一部分 集合**
**1．**理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是应变量的取值？还是曲线上的点？... ；
**2．**数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
**3．**（1）含n个元素的集合的子集数为2^n^,真子集数为2^n^－1；非空真子集的数为2^n^-2；
> （2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。
（3）
**4．**是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
**第二部分 函数与导数**
**1．映射：**注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
**2．函数值域的求法：**①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
> ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法
**3．复合函数的有关问题**
（1）复合函数定义域求法：
> ① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f\[g(x)\]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；
>
> ② 若f\[g(x)\]的定义域为\[a,b\],求 f(x)的定义域，相当于x∈\[a,b\]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
> ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据"同性则增，异性则减"来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数的定义域是内函数的值域。
**4．分段函数：**值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
**5．函数的奇偶性**
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的**必要条件**；
⑵是奇函数；
⑶是偶函数 ；
⑷奇函数在原点有定义，则；（扬州二模填空题第五题再去想一想）
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
**6．函数的单调性**
⑴单调性的定义：
> ①在区间上是增函数当时有；
>
> ②在区间上是减函数当时有；
⑵单调性的判定
1. 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
② 导数法（见导数部分）；
③ 复合函数法（见2 （2））；
④ 图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
**7．函数的周期性**
(1)周期性的定义：
> 对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。
>
> 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ；② ；③；
④ ；⑤；
⑶ 函数周期的判定
①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷ 与周期有关的结论
①或 的周期为；
②的图象关于点中心对称周期为2；
③的图象关于直线轴对称周期为2；
> ④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；
**8．基本初等函数的图像与性质**
⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：；
⑶对数函数:；⑷正弦函数:；
⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；
⑻其它常用函数：
1. 正比例函数：；②反比例函数：；特别的
> （其图像就是双曲线只不过中心不在坐标原点）
2. 函数；
**9．二次函数：**
⑴解析式：
①一般式：；②顶点式：，为顶点；
③零点式： 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。
**10．函数图象：**
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
1. 平移变换：ⅰ，---------左"+"右"-"；
ⅱ---------上"+"下"-"；
2. 伸缩变换：
> ⅰ， （---------纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；
ⅱ， （---------横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
3. 对称变换：ⅰ；ⅱ；
ⅲ ；
4. 翻转变换：
ⅰ---------右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；
ⅱ---------上不动，下向上翻（\|\|在下面无图象）；
**11．函数图象（曲线）对称性的证明**
> (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
>
> （2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；
>
> （注意上述两点的区别！）
注：
①曲线C~1~:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C~2~方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C~1~:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C~2~方程为：f(2a－x, y)=0;
> ③曲线C~1~：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C~2~的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；
⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；
**12．函数零点的求法：**
⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
**13．导数**
⑴导数定义：f(x)在点x~0~处的导数记作；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦；
⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：
> ⑷***（理科）***复合函数的导数：
>
> ⑸导数的应用：
>
> ①利用导数求切线：注意：ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是"在"还是"过"该点的切线？
>
> ②利用导数判断函数单调性：
ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函数；
ⅲ 为常数；
> ③利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值。
>
> ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
***14．（理科）*定积分**
⑴定积分的定义：
⑵定积分的性质：① （常数）；
②；
③ （其中。
> ⑶微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：
⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：；
3. 求变速直线运动的路程：；③求变力做功：。
**第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形**
**1．⑴角度制与弧度制的互化：**弧度，弧度，弧度
**⑵弧长公式：；扇形面积公式：。**
**2．三角函数定义：**角中边上任意一点为，设则：
**3．三角函数符号规律：**一全正，二正弦，三两切，四余弦；
**4．诱导公式记忆规律：**"奇变偶不变，符号看象限"；
> **5．**⑴对称轴：；对称中心：；
>
> ⑵对称轴：；对称中心：；
>
> （上述结论不需要记忆，但要知道如何得到上述的结论）
**6．同角三角函数的基本关系：**；
**7. 三角函数的单调区间**
的递增区间是，递减区间是；
> 的递增区间是，递减区间是
>
> 的递增区间是
>
> 的递减区间是
**8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：**①
②③ 。**．二9. 倍角公式：**①；
②；③。
**10．正、余弦定理：**
⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）
> 注：①；②；③。
⑵余弦定理：等三个；注：等三个。
**11。几个公式:**
⑴三角形面积公式：；
> ⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=
**11．已知时三角形解的个数的判定：**
**第四部分 立体几何**
**1．三视图与直观图：**注：原图形与直观图面积之比为。
（斜二测画法如何作图你还知道吗？）
**2．表（侧）面积与体积公式：**
⑴柱体：①表面积：S=S~侧~+2S~底~；②侧面积：S~侧~=；③体积：V=S~底~h
⑵锥体：①表面积：S=S~侧~+S~底~；②侧面积：S~侧~=；③体积：V=S~底~h：
> ⑶台体：①表面积：S=S~侧~+S~上底~S~下底~；②侧面积：S~侧~=；
>
> ③体积：V= （S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= 。
**3．位置关系的证明（主要方法）：**
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。
> ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义\-\--两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。
**注：理科还可用向量法。**
> **4.求角：（步骤\-\-\-\-\-\--Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）**
⑴异面直线所成角的求法：
1. 平移法：平移直线，构造三角形；
> ② 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。
**注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。**
⑵直线与平面所成的角：
> ①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。
**注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。**
**5．结论：**
> ⑴ 长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca；
>
> 长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos^2^+cos^2^+cos^2^=1；sin^2^+sin^2^+sin^2^=2
⑵ 正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6，体积为
⑶ 长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长；
\(4\) 正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：
1. 高：；②对棱间距离：；
> ③ 内切球半径：；外接球半径：；
**第五部分 直线与圆**
> **1．直线方程**
>
> ⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；
>
> ⑷两点式： ；⑸一般式：，（A，B不全为0）。
>
> （直线的方向向量：（，法向量（
>
> **2．求解线性规划问题的步骤是：**
>
> （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
**3．两条直线的位置关系：**
**4．直线系：**
**5．几个公式**
⑴设A（x~1~,y~1~）、B(x~2~,y~2~)、C（x~3~,y~3~），⊿ABC的重心G：（）；
⑵点P（x~0,~y~0~）到直线Ax+By+C=0的距离：；
⑶两条平行线Ax+By+C~1~=0与 Ax+By+C~2~=0的距离是；
**6．圆的方程：**
⑴标准方程：① ；② 。
⑵一般方程： （
注：Ax^2^+Bxy+Cy^2^+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D^2^+E^2^－4AF\>0；
**7．圆的方程的求法：**⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
（圆的方程有2种，在利用待定系数法求圆的方程时2种方程选取方案如何确定）
**8．圆系：**
⑴ ；
注：当时表示两圆交线。
⑵ 。
**9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）**
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
> ①相切；②相交；（直线与圆相交所得的弦长）③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
**10．与圆有关的结论：**
⑴过圆x^2^+y^2^=r^2^上的点M(x~0~,y~0~)的切线方程为：x~0~x+y~0~y=r^2^；
过圆(x-a)^2^+(y-b)^2^=r^2^上的点M(x~0~,y~0~)的切线方程为：(x~0~-a)(x-a)+(y~0~-b)(y-b)=r^2^；
⑵以A(x~1~，y~2~)、B(x~2~,y~2~)为直径的圆的方程：(x－x~1~)(x－x~2~)+(y－y~1~)(y－y~2~)=0。
**第六部分 圆锥曲线**
**（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质，下面所列可能是你会疏忽的一些内容）**
**1．定义：**⑴椭圆：；
⑵双曲线：；
⑶抛物线：
（圆锥曲线还有种定义叫做统一定义，也叫第二定义，你知道吗？）
**2．结论**
> ⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左"+"右"-"）；
2. 抛物线：（）
> （若抛物线的为，他的焦半径公式请你写一写： [ ]{.underline} ）
⑵弦长公式：
> ；
>
> 注：（Ⅰ）抛物线焦点弦长：＝x~1~+x~2~+p
>
> （Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。
>
> ⑶ 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；
\(4\) 双曲线中的结论：
①双曲线（a\>0,b\>0）的渐近线：；
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；
③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；
**3．直线与圆锥曲线问题解法：**
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于""还是关于""的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法或叫点差法）：\-\-\-\-\-\-\--处理弦中点问题
> 步骤如下：①设点A(x~1~，y~1~)、B(x~2~,y~2~)；②作差得；③解决问题。
**4．求轨迹的常用方法：**
> （1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。
**第七部分 平面向量**
⑴设**a**=(x~1~,y~1~)**,b**=(x~2~,y~2~)，则：
> **① a**∥**b**(**b**≠**0**)**a**=**b （**x~1~y~2~－x~2~y~1~=0；
>
> **② a**⊥**b**(**a**、**b**≠**0**)**a·b**=**0**x~1~x~2~+y~1~y~2~=0 .
**⑵a·b=\|a\|\|b\|cos\<a,b\>=**x~2~+y~1~y~2~；
> 注：①**\|a\|cos\<a,b\>叫做a在b方向上的投影；\|b\|cos\<a,b\>叫做b在a方向上的投影；**
3. **a·b的几何意义：a·b等于\|a\|与\|b\|在a方向上的投影\|b\|cos\<a,b\>的乘积。**
⑶**cos\<a,b\>=；**
**（4）**
**⑷三点共线的充要条件**
**P，A，B三点共线；**
**附：（理科）P，A，B，C四点共面。**
**第八部分 数列**
> **1．定义：**
>
> ⑴等差数列 ；
>
> ⑵等比数列
>
> ；
>
> **2．等差、等比数列性质**
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①a~n~=a~m~+ (n－m)d, ①a~n~=a~m~q^n-m^;
②m+n=p+q时a~m~+a~n~=a~p~+a~q~ ②m+n=p+q时a~m~a~n~=a~p~a~q~
③成AP ③成GP
④成AP, ④成GP,
**3．数列通项的求法：**
> ⑴定义法（利用AP,GP的定义）；（2）累加法（；
（3）公式法：
> ⑷累乘法（型）；⑸变形构造法（、等类型）；
>
> **4．前项和的求法：**
（1）倒序相加法；（2）错位相减法。（3）裂项相消法；（4）分组求和法
> **5．等差数列前n项和最值的求法：**
>
> ⑴（数列思想） ；⑵（函数思想）利用二次函数的图象与性质。
>
> **第九部分 不等式**
>
> **1．均值不等式：**
>
> 注意：①一正二定三相等；②变形，。
>
> **2．不等式的性质：**
>
> **⑴**；**⑵**；
>
> **⑶**；；
>
> **⑷**；；
；
**⑸；（6）**。
> **4．不等式等证明（主要）方法：**
>
> ⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。
>
> **第十部分 复数**
>
> **1．概念：**
⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z^2^≥0；
⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z^2^\<0；
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
> **2．复数的代数形式及其运算：**设z~1~= a + bi , z~2~ = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
>
> （1） z ~1~± z~2~ = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z~1~.z~2~ = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶ z~1~÷z~2~ (z~2~≠0) （方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）;
**3．共轭的性质：**⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
**4．模的性质：**（1）；（2）；（3）；
> **第十一部分 概率**
**1．事件的关系：**
> （1）事件A与事件B互斥：不可能同时发生的两个事件A和B叫做互斥事件；
﹙2﹚对立事件：两个互斥事件A、B必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件
**2．概率公式：**
（1） 互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
（2）对立事件概率公式：
（3） 古典概型：；
> （4） 几何概型： =；
>
> **第十二部分 统计与统计案例**
>
> **1．抽样方法**
>
> **⑴**简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
>
> 注：①每个个体被抽到的概率为；
>
> ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
>
> **⑵**系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
> 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；
④按预先制定的规则抽取样本。
**⑶**分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
**2．总体特征数的估计：**
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差= ；
**3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：**
**注：**⑴\>0时，变量正相关； \<0时，变量负相关；
⑵ ① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
（3）判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析
**4．独立性检验（分类变量关系）：**
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
**第十三部分 算法初步**
**1．程序框图：**
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。
③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0? 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0?否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）------先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）------先执行一次循环体，再判断条件。
**2．基本算法语句：**
⑴输入语句： INPUT "提示内容"；变量 ；输出语句：PRINT "提示内容"；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
**3．算法案例：**
⑴辗转相除法与更相减损法\-\-\-\--求两个正整数的最大公约数；
⑵秦九韶算法\-\-\-\-\--求多项式的值；
⑶进位制\-\-\-\-\-\-\-\-\--各进制数之间的互化。
> **第十四部分** **常用逻辑用语与推理证明**
1. **四种命题：**
> ⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；
>
> ⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p
>
> 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
>
> **2．充要条件的判断：**
>
> （1）定义法\-\-\--正、反方向推理；
>
> （2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
>
> **3．逻辑连接词：**
>
> ⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p
>
> ⑵或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假
>
> ⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假
>
> 假 真 假 真 真
>
> 假 假 假 假 真
>
> **4．全称量词与存在量词**
>
> ⑴ 全称量词\-\-\-\-\-\--"所有的"、"任意一个"等，用表示；
>
> 全称命题p：；
>
> 全称命题p的否定p：。
>
> ⑵ 存在量词\-\-\-\-\-\-\--"存在一个"、"至少有一个"等，用表示；
>
> 特称命题p：；
>
> 特称命题p的否定p：；
**第十五部分 推理与证明**
**1．推理：**
> ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
>
> ①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
> ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
**⑵**演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
"三段论"是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提\-\-\-\-\-\-\-\--已知的一般结论；
⑵小前提\-\-\-\-\-\-\-\--所研究的特殊情况；
⑶结 论\-\-\-\-\-\-\-\--根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
**⒈**直接证明
⑴综合法
> 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
> 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
**2．**间接证明\-\-\-\-\--反证法
> 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
**附：数学归纳法（仅限理科）**
一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当取第一个值是命题成立；
⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
**注：①**数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
4. 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
**第十六部分 理科选修部分**
1. **排列、组合和二项式定理**
⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)...(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N\*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)...3.2.1=n!;
⑵组合数公式：（m≤n）,；
⑶组合数性质：；
⑷二项式定理：
①通项：②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；
> ③
>
> (6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
**2.** **概率与统计**
⑴随机变量的分布列：
①随机变量分布列的性质：p~i~≥0,i=1,2,...； p~1~+p~2~+...=1;
②离散型随机变量：
+-----+--------+--------+-------+--------+-------+
| > X | > x~1~ | > X~2~ | > ... | > x~n~ | > ... |
+-----+--------+--------+-------+--------+-------+
| > P | > P~1~ | > P~2~ | > ... | > Pn | > ... |
+-----+--------+--------+-------+--------+-------+
期望：EX＝ x~1~p~1~ + x~2~p~2~ + ... + x~n~p~n~ + ... ;
方差：DX＝ ;
注：；
③两点分布：
X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).
P 1－p p
1. 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。
称分布列
X 0 1 ... m
P ...
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
⑤二项分布（独立重复试验）：
若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0P（B\|A）1；②P(B∪C\|A)=P(B\|A)+P(C\|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
> （6）正态曲线的性质：
>
> ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；
③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；
2. 当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；
3. 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越"矮胖"，表示总体分布越集中；
越小，曲线越"高瘦"，表示总体分布越分散。
注：P=0.6826；P=0.9544
P=0.9974
| 1 | |
> **《奥运开幕》同步练习**
>
> **一、判断**（正确的在（ ）里打"√"，错的打"×" ）
>
> 1．2小时＝20分。（ ）
>
> 2．分针从一个数字走到下一个数字是5分钟。（ ）
>
> 3．时针在5和6之间，分针指着9，是6:45。（ ）
>
> 4．时针和分钟都指着12时是12时整。（ ）
>
> 5．秒针在钟面上走一圈是60秒，也就是1分钟。( )
>
> 6．时针走一圈经过的时间是12小时。（ ）
>
> 7．秒针从钟面上的一个数字走到下一个数字，经过的时间是5秒。（ ）
>
> 8．分针从钟面上的2走到7，中间经过了35分。（ ）
>
> 9．分针和时针在6时正成一直线。（ ）
>
> 10．2时30分也可以说2点半。（ ）\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
>
> \[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
>
> **二、画分针。（8分）**
>
> 
>
> **三、灵活应用，解决问题。（25分）**
>
> 1、做一个灯笼，小红用了6分钟，小明用了12分钟，小红比小明快几分钟？
>
> 2、兰兰唱一首歌用了3分钟，她把这首歌连续唱4遍，需要几分钟？
>
> 3、小军跑40米用了8秒钟，他平均每秒钟跑多少米？
>
> 4、我们平均每天在学校5小时，你能算出一周在学校多长时间吗？
>
> 5、笑笑4分钟做完了24道数学题，她平均每分钟做了几道题？
>
> \[来源:学科网\]
>
> **四、智力大冲浪。**
>
> 爸爸把一根木头截成两段用了5分钟，如果把这根木头截成4段，需要几分钟？
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
**参考答案：**
> **一、判断**（正确的在（ ）里打"√"，错的打"×" ）
>
> 1．（×）
>
> 2．（√）
>
> 3．（× ）
>
> 4．（√ ）
>
> 5． ( √ )
>
> 6．（√）
>
> 7．（√ ）
>
> 8．（× ）\[来源:Zxxk.Com\]
>
> 9．（√ ）
>
> 10.（× ）
>
> **二、画分针。（8分）**
>
> 
>
> **三、灵活应用，解决问题。（25分）**
>
> 1、6
2、12
3、5
4、35
5、6
**四、智力大冲浪。**
> 15
| 1 | |
**小学数学总复习专题训练（一）**
模拟试题
**一、填空。**
> 1、篮球个数是足球的125％，篮球比足球多（ ）％，足球个数是篮球的（ ）％，足球个数比篮球少（ ）％。
2、排球个数比篮球多18％，排球个数相当于篮球的（ ）％。
3、足球个数比篮球少20％。排球个数比篮球多18％，（ ）球个数最多，（ ）球个数最少。
> 4、果园里种了60棵果树，其中36棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ ）％，其余的果树占总棵数的（ ）％。
5、女生人数占全班的百分之几 = （ ）÷ （ ）
杨树的棵数比柏树多百分之几 = （ ）÷ （ ）
实际节约了百分之几 = （ ）÷ （ ）
比计划超产了百分之几 = （ ）÷ （ ）
> 6、20的40％是（ ），36的10％是（ ），50千克的60％是（ ）千克，800米的25％是（ ）米。
7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的10％，这批货物的成本是（ ）元。
**二、解决实际问题**
1、白兔有25只，灰兔有30只。灰兔比白兔多百分之几？
2、四美食盐厂上月计划生产食盐450吨，实际生产了480吨。实际比计划多生产了百分之几？
> 3、小明家八月份用电80千瓦时，小亮家比小明家节约10千瓦时，小亮家比小明家八月份节约用电百分之几？
4、某化肥厂9月份实际生产化肥5000吨，比计划超产500吨。比计划超产百分之几？
5、蓝天帽业厂去年收入总额达900万元，按国家的税率规定，应缴纳17％的增值税。一共要缴纳多少万元的增值税？
6、爸爸买了一辆价值12万元的家用轿车。按规定需缴纳10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共需花多少钱？
**参考答案：**
一、填空。
1、篮球个数是足球的125％，篮球比足球多（ 25 ）％，足球个数是篮球的（ 80 ）％，足球个数比篮球少（ 20 ）％。
2、排球个数比篮球多18％，排球个数相当于篮球的（ 118 ）％。
3、足球个数比篮球少20％。排球个数比篮球多18％，（ 排 ）球个数最多，（ 足 ）球个数最少。
4、果园里种了60棵果树，其中36棵是苹果树。苹果树占总棵数的（ 60 ）％，其余的果树占总棵数的（ 40 ）％。
5、女生人数占全班的百分之几 = （ 女生人数 ）÷ （ 全班人数 ）
杨树的棵数比柏树多百分之几 =（ 杨树比柏树多的棵数 ）÷ （ 柏树棵数 ）
实际节约了百分之几 = （ 节约的数量 ）÷ （ 计划数量 ）
比计划超产了百分之几 = （ 超产产量 ）÷ （ 计划产量 ）
6、20的40％是（ 8 ），36的10％是（ 3.6 ），50千克的60％是（ 30 ）千克，800米的25％是（ 200 ）米。
7、进口价ａ元的一批货物，税率和运费都是货物价值的10％，这批货物的成本是（ 1.2ａ ）元。
二、解决实际问题
1、白兔有25只，灰兔有30只。灰兔比白兔多百分之几？
（30 - 25）÷ 25 = 20 ％
2、四美食盐厂上月计划生产食盐450吨，实际生产了480吨。实际比计划多生产了百分之几？
（480 - 450）÷ 450 ≈ 6.7％
3、小明家八月份用电80千瓦时，小亮家比小明家节约10千瓦时，小亮家比小明家八月份节约用电百分之几？
10 ÷ 80 = 12.5 ％
4、某化肥厂9月份实际生产化肥5000吨，比计划超产500吨。比计划超产百分之几？
500 ÷ （5000 -- 500） ≈ 11.1％
5、蓝天帽业厂去年收入总额达900万元，按国家的税率规定，应缴纳17％的增值税。一共要缴纳多少万元的增值税？
900 × 17％ = 153（万元）
6、爸爸买了一辆价值12万元的家用轿车。按规定需缴纳10％的车辆购置税。爸爸买这辆车共需花多少钱？
方法1：12 ×10％ + 12 = 1.2 + 12 = 13.2（万元）
方法2：12 ×（1 + 10％） = 12 ×1.1 = 13.2（万元）
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**北师大版小学四年级下册数学第三单元《小数乘法------手拉手》同步检测1（附答案）**
一、计算下面各题。
9.5＋4.85－6.36 = 4.02－3.5－098 =
5.6＋2.7－4.4 = 70.8－1.25＋1.75 =
二、整数的运算定律有哪些？来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、脱式计算。
4.8×6.5×7.2 8.5＋1.5×4 3.7×2.5－3.64 5.4×2.6×0.1
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、用竖式计算下面各题。
1.06×2.25 = 1.48×8.7 = 2.19×0.08 = 5.24×6.3 =
五、用简便方法计算下面各题。
6.5×7.7－7.6×2.1 0.99×1.6
98×4.2＋4.2×2 0.125×32×0.25
六、回收1千克废纸，可生产0.8千克再生纸。如果每人回收2.5千克废纸，100人回收的废纸可生产多少千克再生纸？
七、计算下面各题。
（8＋0.8）×0.25 4.5×3.6＋4.5×1.4 0.25×2.8×4
八、一条裤子的价格是45.25元，一件上衣的价格是裤子的1.2倍，买一套衣服需要多少元？
九、下面是甘济家水、电、煤气的交费单，算一算各需交多少钱？
十、我国有13个省的33.4万平方千米的土地已经受到沙漠威胁，如果不采取措施，每年将以0.12万平方千米的速度扩展。如果不不治理，60年后，我国沙漠化土地可能是多少万平方千米？
十一、松柏林能分泌杀菌素，可以净化空气。如果1公顷松柏林每天分泌杀菌素54千克，那么23.5公顷松柏林30天能分泌杀菌素多少千克？
十二、某农场新建一座温室，室内耕地面积是285平方米，全部栽种西红柿，平均每平方米产12千克。每千克按0.65元计算，一共可以收入多少元？
**部分答案：**
一、7.99 1.5 3.9 71.3
三、224.64 14.5 5.61 1.404
四、2.385 12.876 0.1752 33.012
五、34.09 1.584 420 1
六、200千克
七、11 22.5 2.8
八、99.55元
九、34 44.88 33 19.14 22 28.6
十、40.6万平方千米
十一、38070千克
十二、2223元
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**数学试卷（理科）**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．-1 D．1
3.下列结论正确的是（ ）
A．若直线平面，直线平面，则
B．若直线平面，直线平面，则
C．若两直线与平面所成的角相等，则
D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则
4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.若，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）
A．计算数列前5项的和 B．计算数列前5项的和
C．计算数列前6项的和 D．计算数列前6项的和
8\. 中，"角成等差数列"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若实数，且满足，则的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证：．
18.（本小题满分12分）
已知向量，记．
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
19.（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间；
（2）若函数在上无零点，求的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．
（1）求的值；
（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；
（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
（1）若直线与曲线交于两点，求的值；
（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知使不等式成立．
（1）求满足条件的实数的集合；
（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
**参考答案**
一、选择题
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B D C D A D A B C
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ----
二、填空题
13\. 14．0 15．80 16．
三、解答题
17．解：（1）∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18．（1），
由，得，所以．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为，由正弦定理得
，所以，
所以，因为，
所以，且，所以，又，所以，
则，又，则，得，
所以，又因为，
故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19．（1）证明：
如图，取的中点，连接．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
因，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
由平面侧面，且平面，．．．．．．．．．．．．．．3分
得平面，又平面，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因为三棱柱是直三棱柱，
则底面，所以．
又，从而侧面，
又侧面，故．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影，
∴即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角的正弦值为，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
在等腰直角中，，且点是中点，
∴且，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
过点作于点，连接，
由（1）知平面，则，且，
∴即为二面角的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
且直角中，，
又，∴，且二面角为锐二面角，
∴，即二面角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
解法二（向量法）：
由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
设平面的一个法向量，
由得：
，令，得，则．．．．．．．．．．．．10分
设直线与平面所成的角为，则，
得，解得，即，
又设平面的一个法向量为，同理可得，
设锐二面角的大小为，则
，且，得，
∴锐二面角的大小为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20．解：（1）∵，∴，∴，．．．．．．．．2分
又，∴，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
由，得，
∴函数单调减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）因为在区间上恒成立不可能，
故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，
即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令，
则．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
再令，
则，
故在上为减函数，于是，
从而，，于是在上为增函数，所以，
故要使恒成立，只要，
综上，若函数在上无零点，则的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21．解：（1）∵，
∴二次函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
关于的不等式的解集为，
也就是不等式的解集为，
∴和 是方程的两个根，
由韦达定理得：，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）由（1）得，
∴，
∵存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
令，则，
当时，，
∴在上为增函数，
从而，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（3）的定义域为，
∴
方程 （\*）的判别式
．
①若时，，方程（\*）的两个实根为，或，
则时，；时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
此时函数存在极小值，极小值点为可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
②若时，当，即时，恒成立，在上为增函数，
此时在上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
下面只需考虑的情况，由，得或，
当，则，
故时，，
∴函数在上单调递增，
∴函数没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
当时，，
则时，时，时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极大值和极小值，极小值点，有极大值点．
综上所述，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22．解：（1）由可知，，
在中，则，因此；．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由，可知，又由（1）可知，
则，由题意，可得，
则，又，即，
又为圆的切线，则，
因此，即．．．．．．．．．．．．．．．10分
23．解：（1）已知曲线 的标准方程为，则其左焦点为．
则，将直线的参数方程与曲线联立，
得，则．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由曲线的方程为，可设曲线上的定点，
则以为顶点的内接矩形周长为，
因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
24．解：（1）令，则，
由于使不等式成立，有．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）知，，
根据基本不等式，
从而，当且仅当时取等号，
再根据基本不等式当且仅当时取等号，
所以的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
| 1 | |
**数一数（一）同步练习**
1．下面的数字你认识吗？
上面一共有（ ）面小旗．
2．请你把与数字同样多的部分圈起来．
3．先数一数，再照样子画一画．
4．请你把与图中数量相同的○涂上颜色．
二、拔高
> 1、数一数，有多少片树叶？并说说你是怎样数的？
>
> 
>
> 2、一张方格纸有400个小格，5张方格纸一共有多少个小格？( )\[来源:Z。xx。k.Com\]\[来源:学科网ZXXK\]
>
> A．800个 B.1600个 C.2000个 D.2200个
>
> \[来源:学科网\]
参考答案\[来源:学,科,网\]
一、复习
1．下面的数字你认识吗？
略
2．请你把与数字同样多的部分圈起来．
略\[来源:学科网\]
3．先数一数，再照样子画一画．
4．请你把与图中数量相同的○涂上颜色．
二、拔高
> 1 、 225
>
> 2、C
>
> 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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**乐山市2017届初中学业水平考试暨高中阶段教育学校招生考试**
**数 学**
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
**第一部分（选择题 共30分）**
**注意事项：**
** **1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．本部分共10小题，每小题3分，共30分．
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．**
1\. 的倒数是
2．随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016年国民出境旅游超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
4.含角的直角三角板与直线、的位置关系如图1所示，已知，，则=
5\. 下列说法正确的是
打开电视，它正在播广告是必然事件
要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明乙的射击成绩比甲稳定
6\. 若，则
或 或
7\. 图2是"明清影视城"的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，米，米，且、与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离
地面的距离是
米 米
米 米
8\. 已知，则下列三个等式：①，②，③中，正确的个数有
个 个
个 个
9\. 已知二次函数（为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是
或 或
10\. 如图3，平面直角坐标系中，矩形的边、分别落在、轴上，点坐标为，
反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折至
处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是
**第二部分（非选择题 共120分）**
**注意事项**
** **1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
> 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
>
> 4．本部分共16小题，共120分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算： \_\_[▲]{.underline}\_\_.
12．二元一次方程组的解是\_\_[▲]{.underline}\_\_.
13．如图4，直线垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的
> 对称点是点，于点，于点.若,，
>
> 则阴影部分的面积之和为\_\_[▲]{.underline}\_\_.
14.点、、在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线
的距离是\_\_\_[▲]{.underline}\_\_.
15\. 庄子说："一尺之椎，日取其半，万世不竭".这句话（文字语言）表达了古人将
事物无限分割的思想，用图形语言表示为图6.1，
按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：
.
图6.2也是一种无限分割：在中，，，过点作于点，再
过点作于点，又过点作于点,如此无限继续下去，则可将利
分割成、、、、...、
、....假设，这些三角形的面积和可以得到一个
等式是\_\_\_\_[▲]{.underline}\_\_\_\_\_.
16．对于函数，我们定义（为常数）.
例如，则.
已知：.
> （1）若方程有两个相等实数根，则的值为\_\_\_\_\_[▲]{.underline}\_\_\_\_\_\_；
>
> （2）若方程有两个正数根，则的取值范围为\_\_\_\_[▲]{.underline}\_\_\_\_\_\_.
**三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.**
17\. 计算：.
18\. 求不等式组 的所有整数解.
19\. 如图7， 延长*□*的边到点，使，延长到点，使，分别连结
点、和点、.
求证：.
四、**本大题共3小题，每小题10分，共30分．**
20\. 化简: .
21\. 为了了解我市中学生参加"科普知识"竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图8所示.请根据图表信息解答下列问题：
（1）在表中： [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 [ ]{.underline} 组；
（4）个小组每组推荐人,然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明.
22\. 如图9，在水平地面上有一幢房屋与一棵树，在地面观测点处测得屋顶与树梢的仰
角分别是与，，在屋顶处测得.若房屋的高米.
> 求树高的长度.
**五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.**
23、某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
---------------------- ------ ------ ------ ------
年 度 2013 2014 2015 2016
投入技改资金（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本（万元/件） 7.2 6 4.5 4
---------------------- ------ ------ ------ ------
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元.
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
> ②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）.
24．如图10，以边为直径的⊙经过点,是⊙上一点，连结交于点，
> 且，.
（1）试判断与⊙的位置关系，并说明理由；
（2）若点是弧的中点，已知，求的值.
**六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.**
25．在四边形中，，对角线平分.
（1）如图11.1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系并说明理由.
（2）如图11.2，若将（1）中的条件""去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图11.3，若，探究边、与对角线的数量关系并说明理由.
26．如图12.1，抛物线:与:相交于点、，与分别交轴于点
、，且为线段的中点.
（1）求 的值；
（2）若,求的面积；
（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：
> ①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
>
> ②如图12.2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
**乐山市2017届初中学业水平考试暨高中阶段教育学校招生考试**
**数学参考答案及评分意见**
**第一部分（选择题 共30分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.**
1\. 2. 3. 4. 5.
6\. 7. 8. 9. 10.
**第二部分（非选择题 共120分）**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.**
11.； 12.； 13. ； 14.；
15.；
16.（1）；（2）且.
注：（1）第14题，若给出的是化简后正确的等式，也视为正确；
（2）第16题，第（1）问1分，第（2）问2分.
**三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.**
17．解：原式..........................................（8分）
=.....................................（9分）
18．解：解不等式①得：..........................................（3分）
> 解不等式②得：..........................................（6分）
所以，不等式组的解集为..........................................（8分）
> 不等式组的整数解为. ..........................................（9分）
19\. 证明：*□*中，，
> ，，∴.
， ∴..................(6分)
又∥，
∴四边形是平行四边形. ..................(8分)
> ∴...........................(9分)
**四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.**
20\. 解：原式=..................（2分）
=..................（4分）
=..................（6分）
=..................（8分）
> =..............................（10分）
21．解：（1），..................（2分）
（2）；如图2 ..................（4分）
（3）；..................（6分）
（4）
..................（9分）
> ∴抽中﹑两组同学的概率为=............（10分）
22．解：如图3，在中，，，
∴ ；.....................（3分）
> 在中，，
>
> ∴ ；.....................（6分）
>
> 在中，，
>
> .....................（9分）
答：树的高为米......................（10分）
**五、本大题共小题，每小题分，共分**
23．解:(1)设,(为常数,)
∴，解这个方程组得，
∴.
当时,.
∴一次函数不能表示其变化规律. ..........................................(2分)
设,(为常数,)，∴，
∴，∴.
当时，；当时，；当时，；
∴所求函数为反比例函数..........................................(5分)
（2）①当时，； （万元）
∴比年降低万元. ..........................................(7分)
②当时，； （万元）
∴还需要投入技改资金约万元. ..........................................(9分)
答：要把每件产品的成本降低到万元，还需投入技改资金约万元. .....................(10分)
24.解：（1）如图4，是⊙的切线.证明如下：..........................................(1分)
连结，，∴，
，∴，
，∴， ∴，
∴是⊙的切线. ..........................................(4分)
（2）连结，是⊙的直径， ∴，
又为弧的中点， ∴，
，.
，∴∽，..........................................(8分)
∴，∴...........................................(10分)
**六、本大题共小题，第25题12分，第26题13分，共25分**
25.解：（1）.证明如下：
在四边形中，，，
∴ .
，平分,
∴,
,∴,同理.
∴..................................(4分)
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
以为顶点，为一边作，
的另一边交延长线于点,
,∴为等边三角形，
∴，
,,∴,
∴,
∴,∴...........................................(8分)
（3）.理由如下：
过点作交的延长线于点，
,,
∴,,∴,
又平分，∴,∴.
∴.
又，,
∴,∴,∴.
在中，,∴,
∴. ..........................................(12分)
26．解：(1)，
当时，，，，∴
，
当时，，，，∴
∵为的中点，∴.
∴...........................................(2分)
（2）解得： ，，
，，
当时，， ∴. .................................(3分)
过作轴于点，∴.
∵，∴∽，∴，
∴，即，
∴（舍去），（舍去），.................................(5分)
∴,,
∴..........................................(6分)
（3）①，对称轴，
点关于的对称点为,，
则为直线与的交点，
设的解析式为，∴，得，
则的解析式为，
当时，，∴. ..........................................(8分)
②设，
则，
 而,,
设直线的解析式为，
由，解得，
直线的解析式为. ..........................................(9分)
过点作轴的平行线交直线于点,
则， 即，
∴，
∴
∴
，..........................................(11分)
，∴当时，，
当时，，
∴,. ..........................................(13分)
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**六年级数学下册 期末试卷（二）及答案**
班级 [ ]{.underline} 姓名 [ ]{.underline} 分数 [ ]{.underline}
一、认真读题，准确填空。20分
1．地球上海洋的面积大约是[三]{.underline}亿六千一百万平方千米，横线上的数写作（ ）平方千米，省略"亿"后面的尾数约是（ ）亿平方千米。
2．2.05吨=（ ）千克 3小时15分=（ ）小时
3．0.8 = =( ):40
4．每千克梨a元，买6千克应付( )元，付出50元，应找回( )元。
5．把30分解质因数是：30= [ ]{.underline} ，30有（ ）个约数。
6．一个长方体长5厘米，宽4厘米，高3厘米，这个长方体的表面积是（ ），体积是（ ）。
7． 左边两个图形周长的比是（ ），面积的比是（ ）。
8．一条长3米的绳子，平均分成5段，每段长（ ）米，每段占全长的（ ）。
9．把一根1米长的圆柱形木料沿底面直径切割成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了40平方分米，这根木料的底面直径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。
10．把棱长3分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方分米。
二、反复比较，慎重选择。（选出正确答案的编号填在括号里）5分
1．用一条长100厘米的铁丝围成以下的图形，面积最大的是（ ）。
A、圆 B、正方形 C、长方形
2．下列四个数中，最大的是（ ）。
A．101% B．0. C． D．1
3．一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）百分之几。
A．长比宽多 B．宽比长多 C．宽比长少 D．长比宽少
4．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ ）
A．加上20 B．加上6 C．扩大2倍 D．增加3倍
5．一个两位小数精确到十分位后是10.0，这个小数一定在（ ）之间。
A．9.99到10.01 B．9.95到10.04 C．9.65到10.04 D．9.01到10.00
三、明辨是非，判断对错。5分
1.在8.2、－4、0、6、－27中，负数有3个。 （ ）
2.把一个60°的角按1：10的比例尺画纸上，纸上的角度仍然是60°。 （ ）
3.盒子里有1000个红球、一个白球。任意摸出1个球，不可能是白球。 ( )
4.六年一班请假2人，出席48人，这一天的出勤率是96％。 （ ）
5.如果3a＝4b(a≠0，b≠0)，那么＝。 （ ）
四、看清题目，细心计算。35分
1．直接写出得数。5分
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ 84.6+4= ⑧ ⑨ 10÷0.05= ⑩
2．解方程。（6分）
① ②
3．下面各题，怎样算简便就怎样算。18分
① 1485 + 290 ÷ 58 × 16 ② 34.25 -1.72 -2.28 ③ ( 2.8 + 3.85 ÷ 3.5 ) × 4.6
④ ⑤ ⑥
4．列式计算。6分
五、动手操作，大显身手。6分
1．在右图中用阴影部分表示公顷。（2分）
2．根据下图中提供的信息，完成下列问题。
① 自来水厂要从水库取水，取水管道怎样铺最短，请在图中画出来。（1分）
② 自来水厂到城区的送水管道经测算最短是2000米，请你测算：自来水厂到水库的取水管道最短需多少米？（3分）
六、灵活运用，解决问题。29分（第1题6分，第2、3题4分，4～6每题5分）
1．只列式不必计算。（6分）
①一桶油倒出3.5升，还剩1.5升，这桶油有多少升？
[ ]{.underline}
②张师傅计划用8天加工120个零件，实际每天加工20个零件，实际比计划提前几天完成任务？
[ ]{.underline}
③一件工作，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。甲、乙两人合做5天，完成这件工作的几分之几？
[ ]{.underline}
2．超市运来黄瓜300千克，比运来的西红柿少25%，运来西红柿多少千克？
3．大象最快每小时可以跑35千米，比猎豹的少20千米。猎豹最快每小
时能跑多少千米？（列方程解答）
4．希望小学装修多媒体教室。计划用边长30厘米的釉面方砖铺地，需要
900块，实际用边长50厘米的方大理石铺地，需要多少块？(用比例知识
解答)
5．一个圆锥形沙堆，底面积是10平方米，高是1.2米。把这堆沙均匀地铺
在一个面积20平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？
6．在一个半径4米的圆形花坛边修一条宽1米的环形小路。这条小路的
面积是多少平方米？
**六年级数学期末试卷答案**
一．1、361000000 4 2、2050 3¼ 3、4 32 4、6a 50-6a
5、30=2×3×5 8 6、94平方厘米 60立方厘米 7、1:1 9:5
8、3/5 1/5 9、4 125.6 10、21.195 7.065
二．1、A 2、A 3、C 4、A 5、B
三．1、× 2、√ 3、× 4、√ 5、×
四．1、0.15 444 2/9 49 18 2 88.6 1/12 200 9/20
2、45 10 3、 1565 30.25 17.94 20 96/195 160
3、1.4 10
五．1、 2、略
3、2:2000=1：X X=1000
六．1、1.5+3.5 8-120÷20 （1/20+1/30）×5
2、400 3、110 4、324 5、20 6、28.26
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**北师大版小学六年级下册数学第二单元《正比例和反比例------画一画》同步检测1（附答案）**
一、快乐小帮手。(我来填)
1．当两个变量成正比例关系时，所绘成的图是( )。
2．圆的周长随直径的变化而变化，周长与直径的比值( )，所以圆的周长与直径成( )。
3．圆的面积和半径( )比例。
二、大法官，巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．任何两个比都能组成比例。( )
2．比和比例都是表示两数的倍数关系。( )
3．含有未知数的比例不是方程。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．10:2和25:5能组成比例。( )
三、填一填，连一连。
------------- --- --- --- --- --- --- --- ---
一个数 O 1 2 3 4 5 6 7
这个数的3倍 O 3 6
------------- --- --- --- --- --- --- --- ---
你发现了什么？
四、生活中的数学。
1．填一填，圆的面积和半径成正比例关系吗？
-------------- ----- ------ ------ ---- ---- ----
圆的半径(cm) 10 20 30 40 50 60
圆的面积cm2 314 1256 2826
-------------- ----- ------ ------ ---- ---- ----
2．填一填，正方形的面积和边长成正比例吗？画一画。
------------------ --- --- --- ---- --- --- --- ---
正方形的边长(m) 1 2 3 4 5 6 7 8
正方形的面积(m2) 1 4 9 16
------------------ --- --- --- ---- --- --- --- ---
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、数学游戏。
用1、2、和组成比例，可以组成多少个不同的比例？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**参考答案**
一、1．一条直线 2．一定 正比例 3．不成
二、1．× 2．× 3．× 4．√
三、9 12 15 18 21 所有的点都在一条直线上
四、1．略 不成 2．略 不成 自已动手画一画
五、2:1=:(自己再写一写)
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**目录**
**2019年全国Ⅰ理科高考数学试卷答案解析**
**2019年全国Ⅰ文科高考数学试卷答案解析**
**2019年全国Ⅱ理科高考数学试卷答案解析**
**2019年全国Ⅱ文科高考数学试卷答案解析**
**2019年全国Ⅲ理科高考数学试卷答案解析**
**2019年全国Ⅲ文科高考数学试卷答案解析**
**2019年北京理科高考数学试卷答案解析**
**2019年北京文科高考数学试卷答案解析**
**2019年天津理科高考数学试卷答案解析**
**2019年天津文科高考数学试卷答案解析**
**2019年江苏省高考数学试卷答案解析**
**2019年浙江省高考数学试卷答案解析**
**2019年上海春季高考数学试卷答案解析**
**2019年上海秋季高考数学试卷答案解析**
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I卷）
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理科数学
========
1.已知集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
由题意可知,,又因为,则，故选.
2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
∵复数在复平面内对应的点为，
∴
∴
∴
3.已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的"断臂维纳斯"便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）{width="1.4284722222222221in" height="2.682638888888889in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
方法一：
设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，
根据题意可知,故；又，，故；
所以身高，将代入可得.
根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；
即，，将代入可得
所以，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近且身高应略小于，故选B.
5. 函数在的图像大致为（ ）
A.{width="2.2090277777777776in" height="1.1777777777777778in"}
B.{width="2.4277777777777776in" height="1.5090277777777779in"}
C.{width="2.198611111111111in" height="1.4111111111111112in"}
D.{width="2.1666666666666665in" height="1.2034722222222223in"}
答案：
D
解答：
∵，
∴为奇函数，排除A，
又，排除C，
，排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用"卦"描述万物的变化.每一"重卦"由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻"{width="0.8854166666666666in" height="0.16666666666666666in"}"和阴爻"{width="0.90625in" height="0.14583333333333334in"}"，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（ ）
{width="1.0in" height="0.9375in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以.
7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
设与的夹角为，
∵
∴
∴
∴.
8.右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
{width="1.3645833333333333in" height="2.0625in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得，满足条件，
选项B代入运算可得,不符合条件，
选项C代入运算可得,不符合条件，
选项D代入运算可得,不符合条件.
9.记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：
A
解析：
依题意有，可得，，.
10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.
11. 关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②在区间单调递增
③在有4个零点 ④的最大值为
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
答案：
C
解答：
因为，所以是偶函数，①正确，
因为，而，所以②错误，
画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，
结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.
12. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
设，则
∴
∵，
∴,即，解得，
∴
又
易知两两相互垂直，
故三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的体积为，故选D.
13.曲线在点处的切线方程为 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
∵，
∴结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，
∴切线方程为.
14.记为等比数列的前项和，若，，则 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
∵，
设等比数列公比为
∴
∴
∴
15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为"主主客客主客主"设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是
[ ]{.underline} .
答案：
解答：
甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：
.
16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的
两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.
{width="2.092361111111111in" height="1.7597222222222222in"}
17. 的内角的对边分别为.设.
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求；
2. 若，求.
答案：
略
解答：
1. 由得
结合正弦定理得
∴
又，∴.
2. 由得,
∴
∴,
∴
∴
又∴
又∴
∴，
∴.
18.如图，直四棱柱的底面是菱形，，
分别是的中点.
1. 证明：平面；
2. 求二面角的正弦值.
{width="1.1548611111111111in" height="1.488888888888889in"}
答案：
1. 见解析；
2. .
解答：
1. 连结和，∵分别是和的中点，∴且，
又是，∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
{width="1.3055555555555556in" height="1.65625in"}
2. 以为原点建立如图坐标系，由题，，，
，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，
由得，令得，
由得，令得，
∴，∴二面角的正弦值为.
{width="1.7375in" height="2.1645833333333333in"}
19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.
1. 若，求的方程；
2. 若，求.
答案：
（1）；
（2）.
解答：
（1）设直线的方程为，设，，
联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.
（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，
.
20.已知函数,为的导函数.证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有个零点.
答案：
略
解答：
(1)对进行求导可得，，
取，则,
在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知当时，单调增，且，可得
则在此区间单调减；
当时，单调增，且，则在此区间单调增；又则在上有唯一零点.
当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，，单调增；当时，单调减，且，所以在上无零点；
当时，单调减，单调减，则在上单调减, ,所以在上存在一个零点.
当时，恒成立，则在上无零点.
综上可得，有且仅有个零点.
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示"甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效"的概率，则，，，其中，，．假设，．
（i）证明：为等比数列；
（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性．
答案：
（1）略；（2）略
解答：
（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、、．
得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；
得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；
得分时是都治愈或都未治愈，则．
则的分布列为：
{width="4.738888888888889in" height="0.7055555555555556in"}
（2）（i）因为，，
则，，．
可得，则，
则，则，
所以为等比数列．
（ii）的首项为，那么可得：
，
，
..................
，
以上7个式子相加，得到，
则，则，
再把后面三个式子相加，得，
则．
表示"甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4"，因为，，，则实验结果中"甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4"这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的．
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
1. 求和的直角坐标方程；
2. 求上的点到距离的最小值.
答案：
略
解答：
(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到
而直线：将代入即可得到
2. 将曲线化成参数方程形式为{width="1.5520833333333333in" height="0.7604166666666666in"}
则
所以当时，最小值为
23. 已知为正数，且满足，证明：
```{=html}
<!-- -->
```
1.
2.
答案：
见解析：
解答：
1. ，.
由基本不等式可得：，
于是得到.
2. 由基本不等式得到：，
，.
于是得到
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I卷）
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文科数学
========
1. 设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
所以
2. 已知集合，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，，则，又，则，故选C.
3.已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的"断臂维纳斯"便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
{width="1.4284722222222221in" height="2.682638888888889in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
方法一：
设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，，，
根据题意可知,故；又，，故；
所以身高，将代入可得.
根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；
即，，将代入可得
所以，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.
6. 函数在的图像大致为（ ）
A.{width="2.3756944444444446in" height="1.2666666666666666in"}
B.{width="2.448611111111111in" height="1.5208333333333333in"}
C.{width="2.3229166666666665in" height="1.4909722222222221in"}
D.{width="2.1979166666666665in" height="1.2208333333333334in"}
答案：
D
解答：
∵，
∴为奇函数，排除A.
又，排除C，
，排除B，故选D.
6.某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（ ）.
A.号学生
B.号学生
C.号学生
D.号学生
答案：
C
解答：
从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.
7. （ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为
化简可得
8. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
> A.
>
> B.
>
> C.
>
> D.
答案：
B
解答：
，且，，有，设与的夹角为，则有，即，，，，，故与的夹角为，选.
9. 右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
{width="1.3645833333333333in" height="2.0625in"}
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得，满足条件，
选项B代入运算可得,不符合条件，
选项C代入运算可得,不符合条件，
选项D代入运算可得,不符合条件.
10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
根据题意可知，所以，
离心率.
11. 的内角的对边分别为，已知，，则（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由正弦定理可得到：，即，
又由余弦定理可得到：，于是可得到
12. 已知椭圆的焦点坐标为，，过的直线与交于，两点，若
，，则的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得
，故答案选B.
{width="2.1534722222222222in" height="1.6534722222222222in"}
13.曲线在点处的切线方程为 [.]{.underline}
答案：
解答：
∵，
∴结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，
∴切线方程为.
14. 记为等比数列的前项和，若，，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
，
设等比数列公比为
∴
∴
所以
15．函数的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
答案：
解答：
，
因为，知当时取最小值，
则的最小值为．
16.已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
如图，过点做平面的垂线段，垂足为，则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，，
{width="1.5208333333333333in" height="1.3333333333333333in"}
17.某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
---------- ------- ----------
满 意 不 满 意
男 顾 客
女 顾 客
---------- ------- ----------
1. 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
2. 能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
> 附：
-- --
-- --
> 答案：
>
> (1)男顾客的的满意概率为
女顾客的的满意概率为
> \(2\) 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
>
> 解答：
1. 男顾客的的满意概率为
> 女顾客的的满意概率为.
\(2\)
有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.记为等差数列的前项和，已知；
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围.
答案：
（1）
（2）
解答：
（1）由结合可得，联立得，所以
（2）由可得，故，.
由知，故等价于，解得，
所以的取值范围是
19. 如图直四棱柱的底面是菱形，，，分别是的中点.
（1）证明：平面
（2）求点到平面的距离.
{width="2.3229166666666665in" height="2.6041666666666665in"}
答案：
见解析
解答：
（1）连结相交于点，再过点作交于点，再连结，.
分别是的中点.
于是可得到，，
于是得到平面平面，
由平面，于是得到平面
{width="2.3645833333333335in" height="2.59375in"}
（2）为中点，为菱形且
，又为直四棱柱，
，又，
，设点到平面的距离为
由得
解得
所以点到平面的距离为
20. 已知函数，是的导数.
```{=html}
<!-- -->
```
1. 证明：在区间存在唯一零点；
2. 若时，，求的取值范围.
答案：
略
解答：
1. 由题意得
令，∴
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，又，
∴，即，
∴在区间存在唯一零点.
2. 令，
∴，
由（1）知在上先增后减，存在，使得，且，，，
∴在上先增后减，，，，
当时，在上小于，单调递减，
又，则不合题意，
当时，即，时，
若，，在上单调递增，在上单调递减，
则解得，
而解得，故，
若，，在上单调递增，且，
故只需解得；
若，，在上单调递增，且，
故存在时，，不合题意，
综上所述，的取值范围为.
21. 已知点关于坐标原点对称，，过点且与直线
相切.
1. 若在直线上，求的半径；
2. 是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.
答案：
1. 或；
2. 见解析.
解答：
1. ∵过点，∴圆心在的中垂线上即直线上，设圆的方程为
，又，根据得；
∵与直线相切，∴，联解方程得或.
2. 设的坐标为，根据条件即
化简得，即的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以存在定点，使.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
3. 求和的直角坐标方程；
4. 求上的点到距离的最小值.
答案：
略
解答：
(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到
而直线：将代入即可得到
3. 将曲线化成参数方程形式为{width="1.5520833333333333in" height="0.7604166666666666in"}
则
所以当时，最小值为
23.已知，，为正数，且满足，证明：
1. ；
2. .
答案：（1）见解析；
> （2）见解析.
解析：（1），，，
，即，当且仅当时取等号.且，，都为正数，，，，故.
（2），
当且仅当时等号成立，即时等号成立.又，
当且仅当时等号成立，，故，即得.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷）
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理科数学
========
一、选择题
1\. 设集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
或，，∴.
2\. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
C
解析：
，对应的点坐标为,故选C.
3．已知， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
∵，
∴，解得，，
∴.
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程。设。由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：
D
解答：
所以有
化简可得，可得。
5\. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A. 中位数
B. 平均数
C. 方差
D．极差
答案：
A
解答：
由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。
6\. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
由函数在上是增函数，且，可得，即.
7\. 设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
解析：
根据面面平行的判定定理易得答案.选B.
8\. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解答：
抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，
∴，∴.
9\. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
对于A,函数的周期,在区间单调递增,符合题意；
对于B,函数的周期,在区间单调递减,不符合题意；
对于C，函数，周期,不符合题意；
对于D,函数的周期,不符合题意.
10\. 已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
，，
则，所以，
所以.
11\. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答：
∵，∴,
又，∴
解得，即.
{width="1.679861111111111in" height="1.2541666666666667in"}
12\. 已知函数的定义域为，，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：
B
解答：
由当，，且当时，可知当时，，当时，，......当时，，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是。
二、填空题
13\. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 [ ]{.underline} .
答案：
0.98
解答：
经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为。
14\. 已知是奇函数，且当时, .若，则\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解答：
∵，
∴.
15\. 的内角的对边分别为，若则的面积为\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解析：
,
16\. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 [ ]{.underline} 个面，其棱长为 [ ]{.underline} .(本题第一空2分，第二空3分.)
{width="1.7152777777777777in" height="2.0430555555555556in"} {width="1.71875in" height="2.004166666666667in"}
答案：
26
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.
三、解答题
17\. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，
（1）证明：平面;
（2）若，求二面角的正弦值.
{width="1.1159722222222221in" height="1.851388888888889in"}
答案：
（1）见解析
（2）
解析：
（1）证明：∵平面，平面，
∴，又，，
∴平面.
（2）设底面边长为，高为，∴，，
∵平面，∴即，∴解得.
∵平面，∴，又，∴平面，故为平面的一个法向量.
∵平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量，
在中，∵故与成角，
∴二面角的正弦值为.
18\. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.
1. 求；
2. 求事件"且甲获胜"的概率.
答案：
（1）；（2）
解析：
1. 时，有两种可能：
①甲连赢两局结束比赛，此时；
②乙连赢两局结束比赛，此时，
∴；
2. 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，
此时.
19\. 已知数列和满足，，，.
（1）证明： 是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式.
答案：
（1）见解析
（2），.
解析：
(1)将，相加可得，
整理可得，又，故是首项为，公比为的等比数列.
将，作差可得，
整理可得，又，故是首项为，公差为的等差数列.
（2）由是首项为，公比为的等比数列可得①；
由是首项为，公差为的等差数列可得②；
①②相加化简得，①②相减化简得。
20\. 已知函数
\(1\) 讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；
(2) 设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线。
答案：
略
解答：
（1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点；
（2）因为是函数的一个零点，所以有。曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为，所以曲线在处的切线也是曲线的切线。
21\. 已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.
①证明：是直角三角形；
②求的面积的最大值.
答案：
见解析
解答：
(1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴的交点）.
\(2\) ①依题意设，直线的斜率为 ，则
，
∴，
又，
∴，
∴，即{width="0.5in" height="0.21875in"}是直角三角形.
{width="2.029166666666667in" height="1.4520833333333334in"}
②直线{width="0.28125in" height="0.21875in"}的方程为，联立 ，得 ，
则直线，
联立直线和椭圆，可得，
则，∴ ，
令，则，
∴，
∵，
∴.
四、选做题（2选1）
22.选修4-4（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.
1. 当时，求及的极坐标方程；
2. 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
答案：
1. ，的极坐标方程：；
2. 点轨迹的极坐标方程为.
解答：
1. 当时，，
以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；
2. ∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，∴点轨迹的极坐标方程为.
23.选修4-5（不等式选讲）
已知。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围。
答案：
略
解答：
（1）当时，
所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。
（2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知不恒成立。所以的取值范围是。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）
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文科数学
========
1.设集合，，则( )
E.
F.
G.
H.
答案：
C
解析：
，，∴.
2\. 设，则 ( )
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为，所以.
3\. 已知向量， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意知，所以.
4\. 生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
计测量过的3只兔子为、、，设测量过的只兔子为、则3只兔子的种类有,则恰好有两只测量过的有种，所以其概率为.
5\. 在"一带一路"知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
答案：
A
解答：
根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6\. 设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
当时，，，又为奇函数，
有.
7\. 设为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案.
8\. 若是函数两个相邻的极值点，则=
A．
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意可知即,所以.
9.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解析：
抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，
∴，∴.
10\. 曲线在点处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为.
11\. 已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，，
则，所以，
所以.
12.设F为双曲线的右焦点，0为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若,则的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：设点坐标为，则以为直径的圆的方程为\-\-\-\--①，圆的方程\-\-\-\--②，则①-②，化简得到，代入②式，求得，则设点坐标为，点坐标为，故，又,则化简得到，，故.故选A.
二、填空题
13\. 若变量满足约束条件则的最大值是 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
根据不等式组约束条件可知目标函数在处取得最大值为.
14\. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 [ ]{.underline} .
答案：
解答：
平均正点率的估计值.
15\. 的内角的对边分别为.已知，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
根据正弦定理可得,即，显然，所以，故.
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 [ ]{.underline} 个面，其棱长为 [ ]{.underline} .(本题第一空2分，第二空3分.)
{width="1.7152777777777777in" height="2.0430555555555556in"}{width="1.71875in" height="2.004166666666667in"}
答案：
26
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.
三、解答题
17.如图，长方体的底面是正方形，点E在棱上，.
1. 证明：平面
2. 若,,求四棱锥的体积.
{width="1.4444444444444444in" height="2.0527777777777776in"}
答案：
1. 看解析
2. 看解析
解答：
1. 证明：因为面，面
∴ 又，∴平面；
2. 设则 ，，
因为 ∴，∴
18.已知是各项均为正数的等比数列，.
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前n项和.
答案：
（1）；
（2）
解答：
(1)已知，故，求得或，又，故，则.
(2)把代入，求得，故数列的前项和为.
19\. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.
-------- -- -- -- -- --
的分组
企业数
-------- -- -- -- -- --
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：.
答案：
详见解析
解答:
（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是，
这类企业中产值负增长的企业比例是.
（2）这类企业产值增长率的平均数是
这类企业产值增长率的方差是
所以这类企业产值增长率的标准差是.
20\. 已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点.
（1）若为等边三角形，求的离心率；
（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.
答案：
详见解析
解答:
（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以.
（2）由题意可得，因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，解得.
因为，即，即，
所以，所以.
21\. 已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
答案：
见解析
解答：
（1），设，
则在上递增，，，
所以存在唯一，使得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，所以存在唯一的极值点.
（2）由（1）知存在唯一，使得，即，
，
，，
所以函数在上，上分别有一个零点.
设，，则，
有，
，
设，当时，恒有，
则时，有.
四、选做题（2选1）
22.在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.
3. 当时，求及的极坐标方程；
4. 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
答案：
3. ，的极坐标方程：；
4. 点轨迹的极坐标方程为.
解析：
3. 当时，，
以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；
4. ∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，∴点轨迹的极坐标方程为.
23\. \[选修4-5：不等式选讲\]
已知
1. 当时，求不等式的解集：
2. 若时，，求得取值范围.
答案
（1）看解析
（2）看解析
解答：
（1）当时，
所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。
（2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知不恒成立。所以的取值范围是。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III卷）
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理科数学
========
1. 选择题
```{=html}
<!-- -->
```
1. 已知集合，则（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
A.
B. B.
C. C.
D. D.
答案：
A
解答：
，所以.
2.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
,.
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
4.的展开式中的系数为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意可知含的项为，所以系数为.
5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
设该等比数列的首项，公比，由已知得，，
因为且，则可解得，又因为，
即可解得，则.
6. 已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A.,
B.,
C.,
D.,
答案：
D
解析：
令，则，，得.
，可得.故选D.
7.函数在的图像大致为（ ）
A.{width="0.7916666666666666in" height="0.8402777777777778in"}
B.{width="0.8125in" height="0.8611111111111112in"}
C.{width="0.8055555555555556in" height="0.7986111111111112in"}
D.{width="0.7986111111111112in" height="0.8472222222222222in"}
答案：
B
解析：
∵，∴，∴为奇函数，排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.
8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ）
{width="1.9444444444444444in" height="1.3472222222222223in"}
A.，且直线，是相交直线
B.，且直线，是相交直线
C.，且直线，是异面直线
D.，且直线，是异面直线
答案：
B
解析：
因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：， ，所以，故选B.
9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
{width="1.2361111111111112in" height="3.2354166666666666in"}
答案：
C
解析：
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：；
第四次循环：；
...
第七次循环：，
此时循环结束，可得.故选C.
10. 双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（ ）
A: B: C: D:
答案:
A
解析：
由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A;
11. 若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析:
依据题意函数为偶函数且函数在单调递减，则函数在上单调递增；因为；又因为；所以；故选C.
12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：
在有且仅有个极大值点
在有且仅有个极小值点
在单调递增
的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
A. B. C. D.
答案：
D
解析：
{width="4.317361111111111in" height="1.4479166666666667in"}
根据题意，画出草图，由图可知，
由题意可得，，解得，
所以，解得，故对；
令得，∴图像中轴右侧第一个最值点为最大值点，故对；
∵，∴在有个或个极小值点，故错；
∵，∴，故对.
二.填空题
13.已知，为单位向量，且，若，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
∵，∴，
∵，∴.
14.记为等差数列的前项和，若，，则 [ ]{.underline} .
答案：
解析：
设该等差数列的公差为，∵，∴，故，
∴.
15.设 、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_.
答案：
解析：
已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为.
16.学生到工厂劳动实践，利用D打印技术制作模型。如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，,D打印机所用原料密度为，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为 [ ]{.underline} .
{width="1.4479166666666667in" height="1.0680555555555555in"}
答案：
解答：
，.
.
三．解答题
17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成
两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：
{width="4.968055555555556in" height="1.65625in"}
记为事件"乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到的估计值为0.70.
1. 求乙离子残留百分比直方图中的值；
2. 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
答案：
见解析
解答:
1. 依题意得，解得.
2.
得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.
18.的内角的对边分别为.已知.
(1求B;
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：
1.
（2）见解析
解析：
因为；结合正弦定理,得,即；得到；
2. 因为,所以又因为,;又因为（因为为锐角，若越大越大，则越小越小；越大）；所以，所以.
19.图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明：图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小.
{width="2.048611111111111in" height="1.3784722222222223in"}{width="1.6770833333333333in" height="1.354861111111111in"}
答案：
见解析
解析：
证明：（1）由题意知，，，又，平面，又平面，平面平面.
(2)分别取，的中点为，，连结，，则，
四边形为棱形，且60，
，
又平面，
，即平面，
以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
设平面的一个法向量为,
，令，则,
得到，
平面的一个法向量为，
,故二面角的大小为.
20.已知函数.
1. 讨论的单调性；
2. 是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
答案：
见解析
解析：
1.
当时，，此时在单调递增.
当时，令，解得或，令，解得.
此时在单调递增，在单调递减.
当时，令，解得或，令，解得.
此时在单调递增，在单调递减.
综上可得，当时，在单调递增.
当时，在单调递增，在单调递减.
当时，在单调递增，在单调递减.
2. 由（1）中结论可知，当时，在单调递增，
此时，∴，满足题意.
当时，若，即，则在单调递减，
此时，∴，满足题意.
若，即，则在单调递减，在单调递增.
此时
∵
∴当时，，
由可得，与矛盾，故不成立.
当时，，
由可得，与矛盾，故不成立.
综上可知，或满足题意.
21.已知曲线，为直线上的动点.过作的两条切线,切点分别是,,
（1）证明：直线过定点;
（2）若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积.
答案：
见解析；
解答：
（1）当点在时，设过的直线方程为，与曲线联立化简得
，由于直线与曲线相切，则有，解得，
并求得坐标分别为，所以直线的方程为；
当点横坐标不为时，设直线的方程为（），由已知可得直线
不过坐标原点即，联立直线方程与曲线的方程可得，，
消并化简得，∵有两个交点∴，
设，，根据韦达定理有，
，，
由已知可得曲线为抛物线等价于函数的图像，
则有，则抛物线在上的切线方程为①，
同理，抛物线在上的切线方程为②，
联立①，②并消去可得，
由已知可得两条切线的交点在直线上，则有
，
化简得，，∵，∴，
即，即为，解得，经检验满足条件，
所以直线的方程为过定点，
综上所述，直线过定点得证.
（2）由（1）得直线的方程为，
当时，即直线方程为，此时点的坐标为，
以为圆心的圆与直线相切于恰为中点，
此时；
当时，直线方程与曲线方程联立化简得，
，，，
则中点坐标为，
由已知可得，即，
解得，，
由对称性不妨取，则直线方程为，
求得的坐标为，，
到直线距离，到直线距离，
则，
综上所述，四边形的面积为或.
4. 选做题（2选1）
22.如图，在极坐标系中，,,,,弧,,所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧,曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出,,的极坐标方程；
（2）曲线由,,构成，若点在上，且,求的极坐标.
{width="2.15in" height="0.825in"}
答案：
见解答
解答：
1. 由题意可知,,的直角坐标方程为：，，，所以
,,的极坐标为，，.
2. 时，，，
时，，或，
时，，，所以点的极坐标为，，，.
23.设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
答案：
见解析
解析：
1. 根据柯西不等式，
故，当且仅当，即，时，取最小值;
2. 方法一：根据柯西不等式，
，证得或.
方法二：令，，
有
，，证得或
{width="0.3055555555555556in" height="0.5in"}2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III卷）
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文科数学
========
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合*B*再求出交集.
【详解】，
∴，则，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解即可.
【详解】．故选D．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
5.函数在的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
令，得或，再根据*x*的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{*a~n~*}的公比为，则，
解得，，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
7.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有*a*，*b*的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ）
{width="2.3541666666666665in" height="1.8541666666666667in"}
A. ，且直线是相交直线
B. ，且直线是相交直线
C. ，且直线是异面直线
D. ，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
{width="3.09375in" height="2.34375in"}
【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。
9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于（ ）
{width="0.9895833333333334in" height="2.5520833333333335in"}
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.
【详解】输入的为，
不满足条件；
不满足条件；
满足条件
输出，故选D．
【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
10.已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点，则①．
又，
②．
由①②得，
即，
，
故选B．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。
11.记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④
【答案】A
【解析】
{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}分析】
根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.
【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
{width="3.25in" height="2.9895833333333335in"}
【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断。
12.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.已知向量，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
14.记为等差数列的前项和，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.
【详解】得
【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键。
15.设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
16.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
{width="1.8125in" height="1.46875in"}
【答案】118．8
【解析】
【分析】
根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.
【详解】由题意得， ，
四棱锥*O*−*EFG*的高3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：**
17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
{width="6.0in" height="1.7083333333333333in"}
记为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于"，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ，；(2) ，.
【解析】
【分析】
(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
18.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2).
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.
19.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
{width="3.4583333333333335in" height="1.4479166666666667in"}
【答案】(1)见详解；(2)4.
【解析】
【分析】
(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2) 欲求四边形的面积，需求出所对应的高，然后乘以即可。
【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM。
因此。
在中，DE=1，，故。
所以四边形ACGD的面积为4.
{width="1.1041666666666667in" height="0.8020833333333334in"}
【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形的面积考查考生的空间想象能力.
20.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【解析】
【分析】
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.
【详解】(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
\(2\)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.
21.已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.
（1）证明：直线过定点：
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.
【答案】(1)见详解；(2) 或.
【解析】
【分析】
（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，最后求出圆的方程.
【详解】(1)证明：设,,则。又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立。所以直线恒过定点.
(2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得：
化简得.于是,设为线段的中点，则
由于，而,与向量平行，所以，
解得或.
当时，，所求圆的方程为;
当时，或，所求圆的方程为.
所以圆的方程为或.
【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分**
**选修4-4：坐标系与参数方程**
22.如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
{width="1.6458333333333333in" height="1.1458333333333333in"}
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.
【答案】(1) ,,,
\(2\) ,,,.
【解析】
【分析】
(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.
(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为,,,.
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
**选修4-5：不等式选讲**
> 23.设，且.
>
> （1）求的最小值；
>
> （2）若成立，证明：或.
【答案】(1) ；(2)见详解.
【解析】
【分析】
(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.
{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立
所以的最小值为.
\(2\)
因为，所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
所以成立，所以有或.
【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
{width="0.5138888888888888in" height="0.3333333333333333in"}**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
数 学（理）（北京卷）
=====================
**本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**第一部分（选择题 共40分）**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。**
1.已知复数*z*=2+i，则
A. B. C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵ 故选D.
【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
2.执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为
{width="2.0625in" height="3.0416666666666665in"}
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
【详解】运行第一次， ， ，
运行第二次， ， ，
运行第三次， ， ，
结束循环，输出 ，故选*B*.
【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.
> 3.已知直线*l*的参数方程为（*t*为参数），则点（1,0）到直线*l*的距离是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.
【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.
【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
> 4.已知椭圆（*a*＞*b*＞0）的离心率为，则
A. *a*^2^=2*b*^2^ B. 3*a*^2^=4*b*^2^ C. *a*=2*b* D. 3*a*=4*b*
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
> 5.若*x*，*y*满足，且*y*≥−1，则3*x+y*的最大值为
A. −7 B. 1 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.
【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.
{width="3.2604166666666665in" height="3.2083333333333335in"}
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据"画､移､解"等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.
6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为*m*~1~的星的亮度为*E*~2~（*k*=1,2）.已知太阳的星等是--26.7，天狼星的星等是--1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 10^10.1^ B. 10.1 C. lg10.1 D. 10--^10.1^
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，然后将对数式换为指数式求再求
【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,
令 ， ，
，
，
故选D.
【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
> 7.设点*A*，*B*，*C*不共线，则"与的夹角为锐角"是""的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C三点不共线,∴
\|+\|\>\|\|\|+\|\>\|-\|
\|+\|^2^\>\|-\|^2^•\>0与
的夹角为锐角.故"与的夹角为锐角"是"\|+\|\>\|\|"的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线*C*：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
> {width="1.78125in" height="1.71875in"}
>
> ①曲线*C*恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
>
> ②曲线*C*上任意一点到原点的距离都不超过；
>
> ③曲线*C*所围成的"心形"区域的面积小于3.
>
> 其中，所有正确结论的序号是
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}详解】由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.
如图所示,易知,
四边形的面积,很明显"心形"区域的面积大于,即"心形"区域的面积大于3,说法③错误.
{width="2.5520833333333335in" height="2.6041666666666665in"}
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透"美育思想".
**第二部分（非选择题 共110分）**
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。**
9.函数*f*(*x*)=sin^2^2*x*的最小正周期是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】.
【解析】
【分析】
将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
10.设等差数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*a*~2~=−3，*S*~5~=−10，则*a*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，*S~n~*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). 0. (2). -10.
【解析】
【分析】
首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.
【详解】等差数列中,,得,公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="2.71875in" height="2.7395833333333335in"}
【答案】40.
【解析】
【分析】
画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.
【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示
几何体的体积V=4^3^-（2+4）×2×4=40
{width="3.21875in" height="2.4270833333333335in"}
【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
12.已知*l*，*m*是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
> ①*l*⊥*m*；②*m*∥；③*l*⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】如果*l*⊥α，*m*∥α，则*l*⊥*m*.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果*l*⊥α，*m*∥α，则*l*⊥*m*. 正确；
（2）如果*l*⊥α，*l*⊥*m*，则*m*∥α.不正确，有可能*m*在平面α内；
（3）如果*l*⊥*m*，*m*∥α，则*l*⊥α.不正确，有可能*l*与α斜交、*l*∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
13.设函数*f*（*x*）=e*^x^*+*a*e^−*x*^（*a*为常数）．若*f*（*x*）为奇函数，则*a*=\_\_\_\_\_\_\_\_；若*f*（*x*）是**R**上的增函数，则*a*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). -1; (2). .
【解析】
【分析】
首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.
【详解】若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付*x*元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当*x*=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则*x*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120进行比较，再根据促销规则可的结果；
（2）根据、分别探究.
【详解】（1）*x*=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，
需要支付（60+80）-10=130元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为*y*元，
元时，李明得到的金额为*y*×80%，符合要求.
元时，有（*y*-*x*）×80%≥*y*×70%成立，
即8（*y*-*x*）≥7*y*，*x*≤，即*x*≤（）*~min~*=15元.
所以*x*的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.
**三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
15.在△*ABC*中，*a*=3，*b*−*c*=2，cos*B*=．
（Ⅰ）求*b*，*c*的值；
（Ⅱ）求sin（*B*--*C*）的值．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意列出关于*a*,*b*,*c*的方程组，求解方程组即可确定*b*,*c*的值；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角*C*为锐角，故，
故.
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.如图，在四棱锥*P*--*ABCD*中，*PA*⊥平面*ABCD*，*AD*⊥*CD*，*AD*∥*BC*，*PA*=*AD*=*CD*=2，*BC*=3．*E*为*PD*的中点，点*F*在*PC*上，且．
（Ⅰ）求证：*CD*⊥平面*PAD*；
（Ⅱ）求二面角*F--AE--P*的余弦值；
（Ⅲ）设点*G*在*PB*上，且．判断直线*AG*是否在平面*AEF*内，说明理由．
{width="2.0520833333333335in" height="1.5729166666666667in"}
【答案】(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角*F*-*AE*-*P*的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点*G*的坐标，然后结合平面的法向量和直线*AG*的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】(Ⅰ)由于*PA*⊥平面*ABCD*，*CD*平面*ABCD*，则*PA*⊥*CD*，
由题意可知*AD*⊥*CD*，且*PA*∩*AD*=*A*，
由线面垂直的判定定理可得*CD*⊥平面*PAD*.
(Ⅱ)以点*A*为坐标原点，平面*ABCD*内与*AD*垂直的直线为*x*轴，*AD*,*AP*方向为*y*轴，*z*轴建立如图所示的空间直角坐标系，
{width="2.5416666666666665in" height="2.4479166666666665in"}
易知：，
由可得点*F*的坐标为，
由可得，
设平面*AEF*的法向量为：，则
，
据此可得平面*AEF*的一个法向量为：，
很明显平面*AEP*的一个法向量为，
，
二面角*F*-*AE*-*P*的平面角为锐角，故二面角*F*-*AE*-*P*的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面*AEF*的一个法向量为：，
其且点*A*在平面*AEF*内，故直线*AG*在平面*AEF*内.
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------+---------------+----------+
| {width="1.4583333333333333in" height="0.6145833333333334in"}交付金额（元） | （0,1000\] | （1000,2000\] | 大于2000 |
| | | | |
| 支付方式 | | | |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------+---------------+----------+
| 仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------+---------------+----------+
| 仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------+---------------+----------+
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以*X*表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求*X*的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；
(Ⅱ)首先确定*X*可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：
该学生上个月*A*，*B*两种支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用*A*支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
仅使用*B*支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，
且*X*可能的取值为0,1,2.
，，，
*X*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}分布列为：
----- --- --- ---
*X* 0 1 2
----- --- --- ---
其数学期望：.
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用*A*的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了"小概率事件".
【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.
18.已知抛物线*C*：*x*^2^=−2*py*经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线*C*的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设*O*为原点，过抛物线*C*的焦点作斜率不为0的直线*l*交抛物线*C*于两点*M*，*N*，直线*y*=−1分别交直线*OM*，*ON*于点*A*和点*B*.求证：以*AB*为直径的圆经过*y*轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令*x*=0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以*AB*为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以*AB*为直径的圆经过*y*轴上的两个定点.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为*M*（*a*），当*M*（*a*）最小时，求*a*的值．
【答案】（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得*a*的值.
【详解】（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知数列{*a~n~*}，从中选取第*i*~1~项、第*i*~2~项、...、第*i~m~*项(*i*~1~\<*i*~2~\<...\<*i~m~*)，若，则称新数列为{*a~n~*}的长度为*m*的递增子列．规定：数列{*a~n~*}的任意一项都是{*a~n~*}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{*a~n~*}的长度为*p*的递增子列的末项的最小值为，长度为*q*的递增子列的末项的最小值为.若*p*\<*q*，求证：\<；
（Ⅲ）设无穷数列{*a~n~*}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{*a~n~*}的长度为*s*的递增子列末项的最小值为2*s*--1，且长度为*s*末项为2*s*--1的递增子列恰有2^*s*-1^个（*s*=1，2，...），求数列{*a~n~*}的通项公式．
【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6.
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；
(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；
(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.
【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.
(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，
设所有长度为的子列的末项分别为：，
所有长度为的子列的末项分别为：，
则，
注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，
故，
据此可得：{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，
下面说明此数列满足题意.
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.
长度为的递增子列末项的最小值为2*s*-1，
下面用数学归纳法证明长度为*s*末项为2*s*-1的递增子列恰有个：
当时命题显然成立，
假设当时命题成立，即长度为*k*末项为2*k*-1的递增子列恰有个，
则当时，对于时得到的每一个子列，
可构造：和两个满足题意的递增子列，
则长度为*k*+1末项为2*k*+1的递增子列恰有个，
综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.
注：当时，所有满足题意的数列为：，
当时，数列对应的两个递增子列为：和.
【点睛】"新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是"难题"，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
{width="0.4861111111111111in" height="0.3055555555555556in"}**绝密★本科目考试启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试
==================================
数 学（文）（北京卷）
=====================
**本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**第一部分（选择题 共40分）**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。**
1.已知集合*A*={*x*\|--1\<*x*\<2}，*B*={*x*\|*x*\>1}，则*A*∪*B*=
A. （--1，1） B. （1，2） C. （--1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
2.已知复数*z*=2+i，则
A. B. C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵ 故选D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..
3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A. B. *y*= C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选*A*.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
4.执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为
{width="2.0625in" height="3.0416666666666665in"}
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
【详解】运行第一次， ， ，
运行第二次， ， ，
运行第三次， ， ，
结束循环，输出 ，故选*B*.
【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.
5.已知双曲线（*a*＞0）的离心率是 则*a*=
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于*a*的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中*a,b,c*的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.设函数*f*（*x*）=cos*x*+*b*sin*x*（*b*为常数），则"*b*=0"是"*f*（*x*）为偶函数"的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而""是"为偶函数"的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为*m*~1~的星的亮度为*E*~2~（*k*=1,2）.已知太阳的星等是--26.7，天狼星的星等是--1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 10^10.1^ B. 10.1 C. lg10.1 D. 10--^10.1^
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选：A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
8.如图，*A*，*B*是半径为2的圆周上的定点，*P*为圆周上的动点，是锐角，大小为*β*.图中阴影区域的面积的最大值为
{width="1.4895833333333333in" height="1.3854166666666667in"}
A. 4*β*+4cos*β* B. 4*β*+4sin*β* C. 2*β*+2cos*β* D. 2*β*+2sin*β*
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先确定面积最大时点*P*的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
【详解】观察图象可知，当*P*为弧*AB*的中点时，阴影部分的面积*S*取最大值，
{width="2.0416666666666665in" height="2.0416666666666665in"}
此时∠*BOP*=∠*AOP*=*π*-*β*, 面积*S*的最大值为*+S*~△*POB*~+ *S*~△*POA*~=4*β*+
.
故选：*B*.
【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
**第二部分（非选择题 共110分）**
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。**
9.已知向量=（－4，3），=（6，*m*），且，则*m*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】8.
【解析】
【分析】
利用转化得到加以计算，得到.
【详解】向量
则.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
10.若*x*，*y*满足 则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). . (2). 1.
【解析】
【分析】
作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.
【详解】作出可行域如图阴影部分所示.
{width="3.78125in" height="3.1979166666666665in"}
设*z*=*y*-*x*,则*y*=*x*+*z*.当直线*l*~0~：*y*=*x*+*z*经过点*A*（2,-1）时,*z*取最小值-3，经过点*B*（2,3）时,*z*取最大值1.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据"画、移、解"等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
11.设抛物线*y*^2^=4*x*的焦点为*F*，准线为*l*.则以*F*为圆心，且与*l*相切的圆的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】(*x*-1)^2^+*y*^2^=4.
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线*y*^2^=4*x*中，2*p*=4，*p*=2，
焦点*F*（1,0），准线*l*的方程为*x*=-1，
以*F*为圆心，
且与*l*相切的圆的方程为 (*x*-1)^2^+*y*^2^=2^2^,即为(*x*-1)^2^+*y*^2^=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
{width="2.71875in" height="2.7395833333333335in"}
【答案】40.
【解析】
【分析】
本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.
【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,
{width="2.6354166666666665in" height="2.5in"}
几何体的体积.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
13.已知*l*，*m*是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
> ①*l*⊥*m*；②*m*∥；③*l*⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】如果*l*⊥α，*m*∥α，则*l*⊥*m*.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果*l*⊥α，*m*∥α，则*l*⊥*m*. 正确；
（2）如果*l*⊥α，*l*⊥*m*，则*m*∥α.不正确，有可能*m*在平面α内；
（3）如果*l*⊥*m*，*m*∥α，则*l*⊥α.不正确，有可能*l*与α斜交、*l*∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付*x*元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当*x*=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则*x*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
**三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。**
15.在△*ABC*中，*a*=3，，cos*B*=．
（Ⅰ）求*b*，*c*的值；
（Ⅱ）求sin（*B*+*C*）的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意列出关于*a*,*b*,*c*的方程组，求解方程组即可确定*b*,*c*的值；
(Ⅱ)由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得的值.
【详解】（Ⅰ）由余弦定理可得，
因为，所以；因为，所以解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以；
因为为的内角，所以.
因为.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.设{*a~n~*}是等差数列，*a*~1~=--10，且*a*~2~+10，*a*~3~+8，*a*~4~+6成等比数列．
（Ⅰ）求{*a~n~*}的通项公式；
（Ⅱ）记{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，求*S~n~*的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| {width="1.9791666666666667in" height="0.6458333333333334in"}支付金额 | 不大于2000元 | 大于2000元 |
| | | |
| 支付方式 | | |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| 仅使用A | 27人 | 3人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
| 仅使用B | 24人 | 1人 |
+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------+------------+
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（Ⅰ）400人；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；
(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；
(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.
【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用*A*的人数有30人，仅使用*B*的人数有25人，
由题意知*A*,*B*两种支付方式都不使用的有5人，
所以样本中两种支付方式都使用的有，
所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.
（Ⅱ）因为样本中仅使用*B*的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，
所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，
因为从仅使用*B*的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，
依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用*B*的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.
【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.如图，在四棱锥中，平面*ABCD*，底部*ABCD*为菱形，*E*为*CD*的中点.
{width="2.1666666666666665in" height="1.78125in"}
（Ⅰ）求证：*BD*⊥平面*PAC*；
（Ⅱ）若∠*ABC*=60°，求证：平面*PAB*⊥平面*PAE*；
（Ⅲ）棱*PB*上是否存在点*F*，使得*CF*∥平面*PAE*？说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
【详解】（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面{width="0.14444444444444443in" height="0.18333333333333332in"}菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面{width="5.555555555555555e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:
{width="2.0729166666666665in" height="2.0625in"}
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程；
（Ⅱ）设*O*为原点，直线与椭圆*C*交于两个不同点*P*，*Q*，直线*AP*与*x*轴交于点*M*，直线*AQ*与*x*轴交于点*N*，若\|*OM*\|·\|*ON*\|=2，求证：直线*l*经过定点.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意确定*a*,*b*的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定*OM*,*ON*的表达式，结合韦达定理确定*t*的值即可证明直线恒过定点.
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20.已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为*M*（*a*），当*M*（*a*）最小时，求*a*的值．
【答案】（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得*a*的值.
【详解】（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
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数学（理工类）
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**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
**1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。**
**2.本卷共8小题。**
**参考公式：**
**·如果事件、互斥，那么.**
**·如果事件、相互独立，那么.**
**·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.**
**·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求，再求。
【详解】因为，
所以.
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值。
由，得，
所以。
故选C。
{width="1.6979166666666667in" height="2.1458333333333335in"}
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.设，则""是""的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故""是""的必要不充分条件，
故选B。
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
{width="2.3541666666666665in" height="3.6770833333333335in"}
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】，
结束循环，故输出。
故选B。
【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点*A*和点*B*，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴。
故选D。
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出*AB*的长度。
6.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】，
，
，故，
所以。
故选A。
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。
7.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C。
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。
8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立。
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若{width="0.1527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以。当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。
**第Ⅱ卷**
**二.填空题：本大题共6小题.**
9.是虚数单位，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】。
【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.
10.是展开式中的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】**.**
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆柱的高为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得。
【详解】圆化为普通方程为，
圆心坐标为，圆的半径为，
由直线与圆相切，则有，解得。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。
13.设，则的最小值为\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14\. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】**.**
【解析】
【分析】
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，
所以。
所以{width="0.13819444444444445in" height="8.333333333333333e-2in"}
{width="2.5416666666666665in" height="1.9375in"}
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
**三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15\. 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件"上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2"，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
17.如图，平面，，.
{width="2.0833333333333335in" height="1.9270833333333333in"}
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线*BF*的方向向量和平面*ADE*的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线*CE*的方向向量和平面*BDE*的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于*CF*长度的方程，解方程可得*CF*的长度.
【详解】依题意，可以建立以*A*为原点，分别以的方向为*x*轴，*y*轴，*z*轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
{width="2.3854166666666665in" height="2.5729166666666665in"}
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面*ADE*的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面*BDE*的法向量，
则，即，
不妨令*z*=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面*BDF*的法向量，则，即.
不妨令*y*=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意｡
所以，线段的长为.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于*a*,*b*,*c*的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点*P*的坐标，从而可得*OP*的斜率，然后利用斜率公式可得*MN*的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，*b*=2，*c*=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前*n*项和公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(*i*).
所以，数列的通项公式为.
(*ii*)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前*n*项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.设函数为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；
(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ){width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；
(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.
【详解】(Ⅰ)由已知，有.
当时，有，得，则单调递减;
当时，有，得，则单调递增.
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：，
从而.当时，，故
.
因此，在区间上单调递减，进而.
所以，当时，.
(Ⅲ)依题意，，即.
记，则.
且.
由及(Ⅰ)得.
由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，
因此.
又由(Ⅱ)知，故：
.
所以.
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
============================================
文科数学
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**本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。**
**答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**祝各位考生考试顺利**
**第Ⅰ卷**
**注意事项：**
> **1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。**
**2.本卷共8小题，每小题5分共40分。**
**参考公式：**
**·如果事件*A，B*互斥，那么.**
**·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高**
**·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高**
**一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.设集合， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求，再求。
【详解】因为，
所以.
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，
故目标函数在点处取得最大值。
由，得，
所以。
故选C。
{width="1.6979166666666667in" height="2.1458333333333335in"}
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.设，则""是""的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出。
故""是""的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据*p*⇒*q*，*q*⇒*p*进行判断；
(2)集合法：根据由*p*，*q*成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
{width="2.3541666666666665in" height="3.6770833333333335in"}
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】，
结束循环，故输出{width="0.13819444444444445in" height="8.333333333333333e-2in"}
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】；
；
。
故。
故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
6.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点*A*和点*B*，且（为原点），则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】的方程为，双曲线的渐近线方程为，
故得，
所以，，，
所以。
故选D。
【点睛】双曲线的离心率.
7.已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A. -2 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】为奇函数，可知，
由可得；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，
由的最小正周期为可得，
由，可得，
所以，。
故选C。
8.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
{width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}分析】
画出图象及直线，借助图象分析。
【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。
即，即，
或者，得，，即，得，
所以的取值范围是。
故选D。
{width="2.6145833333333335in" height="1.3020833333333333in"}
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。
**绝密★启用前**
**第Ⅱ卷**
**注意事项：**
**1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。**
**2.本卷共12小题，共110分。**
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。**
9.是虚数单位，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一：。
解法二：。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即*a*＋*b*i(*a*，*b*∈**R**)的形式，再根据题意求解．
10\. 设，使不等式成立的的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式。
【详解】，
即，
即，
故的取值范围是。
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
11\. 曲线在点处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
【详解】，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即。
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(*x*~0~，*f*(*x*~0~))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数*f*(*x*)的导数*f*′(*x*)；
②求切线的斜率*f*′(*x*~0~)；
③写出切线方程*y*－*f*(*x*~0~)＝*f*′(*x*~0~)(*x*－*x*~0~)，并化简．
(2)如果已知点(*x*~1~，*y*~1~)不在曲线上，则设出切点(*x*~0~，*y*~0~)，解方程组得切点(*x*~0~，*y*~0~)，进而确定切线方程．
12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】**.**
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为，
故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
故其体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
13\. 设，，，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。
【详解】，
等号当且仅当，即时成立。
故所求的最小值为。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14\. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】**.**
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解：解法一：如图，过点作的平行线交于，
因为，故四边形为菱形。
因为，，所以，即.
因为，
所以.
{width="3.65625in" height="2.7291666666666665in"}
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，
所以。
所以。
{width="2.5416666666666665in" height="1.9375in"}
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
**三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中""表示享受，"×"表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 员工 | *A* | *B* | *C* | *D* | *E* | *F* |
| | | | | | | |
| 项目 | | | | | | |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 继续教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 大病医疗 | × | × | × | ○ | × | × |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 住房贷款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
| 赡养老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
+--------------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件"抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同"，求事件发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【解析】
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，时间M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16\. 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17\. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
{width="2.875in" height="1.6979166666666667in"}
（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.
【解析】
【分析】
（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；
（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.
【详解】（I）证明：连接，易知，，
{width="2.53125in" height="1.59375in"}
又由，故，
又因为平面，平面，
所以平面.
（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，故，
又已知，，
所以平面.
（III）解：连接，由（II）中平面，
可知为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形，且为的中点，
所以，又，
在中，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.
18\. 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I），；
（II）
【解析】
【分析】
（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
19\. 设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为*B*.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
【答案】（I）首先设椭圆的半焦距为，根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.
【解析】
【分析】
（I）；
（II）.
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，
代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，因为，
且由（I）知，故，解得，
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆与相切，得，解得，
所以椭圆的方程为：.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
20\. 设函数，其中.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（I）在内单调递增.；
（II）（i）见解析；（ii）见解析.
【解析】
【分析】
（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；
（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；
（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
【详解】（I）解：由已知，{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}定义域为，
且，
因此当时，，从而，
所以在内单调递增.
（II）证明：（i）由（I）知，，
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以在内单调递减，
因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，，即，
从而，即，
以内当时，，又，故，
两边取对数，得，
于是，整理得，
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
{width="0.41597222222222224in" height="0.3333333333333333in"}
{width="0.3055555555555556in" height="0.4861111111111111in"}**绝密★启用前**
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
============================================
**数学Ⅰ**
注意事项
**考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求**
> **1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题\~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。**
>
> **2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。**
>
> **3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。**
>
> **4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。**
**5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。**
**参考公式：**
> **样本数据的方差，其中．**
>
> **柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．**
>
> **锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．**
**一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．**
> 1.已知集合，，则\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知，.
【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.
> 2.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数*a*的值是\_\_\_\_\_.
【答案】2.
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得*a*的值.
【详解】，
令得.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
> 3.下图是一个算法流程图，则输出的*S*的值是\_\_\_\_\_.
>
> {width="1.3541666666666667in" height="2.0in"}
【答案】5.
【解析】
【分析】
结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可.
【详解】执行第一次，不成立，继续循环，；
执行第二次，不成立，继续循环，；
执行第三次，不成立，继续循环，；
执行第四次，成立，输出
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
> 4.函数的定义域是\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意得到关于*x*的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
> 5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确"分类""分步"，根据顺序有无，明确"排列""组合".
7.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
8.已知数列是等差数列，是其前*n*项和.若，则的值是\_\_\_\_\_.
【答案】16.
【解析】
【分析】
由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.
【详解】由题意可得：，
解得：，则.
【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
9.如图，长方体的体积是120，*E*为的中点，则三棱锥*E*-*BCD*的体积是\_\_\_\_\_.
> {width="2.0833333333333335in" height="1.625in"}
【答案】10.
【解析】
【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】因为长方体的体积为120，
所以，
因为为的中点，
所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
【点睛】本题蕴含"整体和局部"的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用"割"与"补"的方法解题.
10.在平面直角坐标系中，*P*是曲线上的一个动点，则点*P*到直线*x*+*y*=0的距离的最小值是\_\_\_\_\_.
【答案】4.
【解析】
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点*Q*即为点*P*到直线的距离最小.
由，得，，
即切点，
则切点*Q*到直线的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
11.在平面直角坐标系中，点*A*在曲线*y*=ln*x*上，且该曲线在点*A*处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点*A*的坐标是\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点*A*在曲线上{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，
且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一的实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
12.如图，在中，*D*是*BC*的中点，*E*在边*AB*上，*BE*=2*EA*，*AD*与*CE*交于点.若，则的值是\_\_\_\_\_.
> {width="2.34375in" height="1.4166666666666667in"}
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点*D*作*DF*//*CE*，交*AB*于点*F*，由*BE*=2*EA*，*D*为*BC*中点，知*BF*=*FE*=*EA*,*AO*=*OD*.
{width="1.875in" height="1.6145833333333333in"}
，
得即故.
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
> 13.已知，则的值是\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
14.设是定义在**R**上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中*k*\>0.若在区间(0，9\]上，关于*x*的方程有8个不同的实数根，则*k*的取值范围是\_\_\_\_\_.
【答案】.
【解析】
【分析】
分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定*k*的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数与的图象，要使在(0,9\]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.
{width="5.760416666666667in" height="1.8125in"}
当时，函数与的图象有2个交点；
当时，的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数与的图象有6个交点.当与图象相切时，圆心（1，0）到直线的距离为1，即，得，函数与的图象有3个交点；当过点（1,1）时，函数与的图象有6个交点，此时，得.
综上可知，满足在(0,9\]上有8个实根的*k*的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
**二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
15.在△*ABC*中，角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*．
（1）若*a*=3*c*，*b*=，cos*B*=，求*c*的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合余弦定理得到关于*c*的方程，解方程可得边长*c*的值；
(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.
【详解】（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
16.如图，在直三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*D*，*E*分别为*BC*，*AC*的中点，*AB*=*BC*．
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求证：（1）*A*~1~*B*~1~∥平面*DEC*~1~；
（2）*BE*⊥*C*~1~*E*．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.
【详解】（1）因为*D*，*E*分别为*BC*，*AC*的中点，
{width="1.5208333333333333in" height="1.9270833333333333in"}
所以*ED*∥*AB*.
在直三棱柱*ABC-A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*AB*∥*A*~1~*B*~1~，
所以*A*~1~*B*~1~∥*ED*.
又因为*ED*⊂平面*DEC*~1~，*A*~1~*B*~1~平面*DEC*~1~，
所以*A*~1~*B*~1~∥平面*DEC*~1~.
（2）因为*AB*=*BC*，*E*为*AC*的中点，所以*BE*⊥*AC*.
因为三棱柱*ABC-A*~1~*B*~1~*C*~1~是直棱柱，所以*CC*~1~⊥平面*ABC*.
又因为*BE*⊂平面*ABC*，所以*CC*~1~⊥*BE*.
因为*C*~1~*C*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，*AC*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，*C*~1~*C*∩*AC*=*C*，
所以*BE*⊥平面*A*~1~*ACC*~1~.
因为*C*~1~*E*⊂平面*A*~1~*ACC*~1~，所以*BE*⊥*C*~1~*E*.
【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
17.如图，在平面直角坐标系*xOy*中，椭圆*C*:的焦点为*F*~1~（--1、0），
*F*~2~（1，0）．过*F*~2~作*x*轴的垂线*l*，在*x*轴的上方，*l*与圆*F*~2~:交于点*A*，与椭圆*C*交于点*D*.连结*AF*~1~并延长交圆*F*~2~于点*B*，连结*BF*~2~交椭圆*C*于点*E*，连结*DF*~1~．已知*DF*~1~=．
> {width="2.3125in" height="1.8541666666666667in"}
（1）求椭圆*C*的标准方程；
（2）求点*E*的坐标．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得*a*,*b*的值即可确定椭圆方程；
(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点*B*的坐标，联立直线*BF*~2~与椭圆的方程即可确定点*E*的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点*E*的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点*E*的坐标.
【详解】（1）设椭圆*C*的焦距为2*c*.
因为*F*~1~(－1，0)，*F*~2~(1，0)，所以*F*~1~*F*~2~=2，*c*=1.
又因为*DF*~1~=，*AF*~2~⊥*x*轴，所以*DF*~2~=，
因此2*a*=*DF*~1~+*DF*~2~=4，从而*a*=2{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}
由*b*^2^=*a*^2^-*c*^2^，得*b*^2^=3.
因此，椭圆*C*的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆*C*：，*a*=2，
因为*AF*~2~⊥*x*轴，所以点*A*的横坐标为1.
将*x*=1代入圆*F*~2~的方程(*x*-1) ^2^+*y*^2^=16，解得*y*=±4.
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因为点*A*在*x*轴上方，所以*A*(1，4).
又*F*~1~(-1，0)，所以直线*AF*~1~：*y*=2*x*+2.
由，得，
解得或.
将代入，得，
因此.又*F*~2~(1，0)，所以直线*BF*~2~：.
由，得，解得或.
又因为*E*是线段*BF*~2~与椭圆的交点，所以.
将代入，得.因此.
解法二：
由（1）知，椭圆*C*：.如图，连结*EF*~1~.
{width="1.7291666666666667in" height="1.5520833333333333in"}
因为*BF*~2~=2*a*，*EF*~1~+*EF*~2~=2*a*，所以*EF*~1~=*EB*，
从而∠*BF*~1~*E*=∠*B*.
因为*F*~2~*A*=*F*~2~*B*，所以∠*A*=∠*B*，
所以∠*A*=∠*BF*~1~*E*，从而*EF*~1~∥*F*~2~*A*.
因为*AF*~2~⊥*x*轴，所以*EF*~1~⊥*x*轴.
因为*F*~1~(-1，0)，由，得.
又因为*E*是线段*BF*~2~与椭圆的交点，所以.
因此.
【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
18.如图，一个湖的边界是圆心为*O*的圆，湖的一侧有一条直线型公路*l*，湖上有桥*AB*（*AB*是圆*O*的直径）．规划在公路*l*上选两个点*P*、*Q*，并修建两段直线型道路*PB*、*QA*．规划要求:线段*PB*、*QA*上的所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径．已知点*A*、*B*到直线*l*的距离分别为*AC*和*BD*（*C*、*D*为垂足），测得*AB*=10，*AC*=6，*BD*=12（单位:百米）．
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（1）若道路*PB*与桥*AB*垂直，求道路*PB*的长；
（2）在规划要求下，*P*和*Q*中能否有一个点选在*D*处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路*PB*和*QA*的长度均为*d*（单位：百米）.求当*d*最小时，*P*、*Q*两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.
【解析】
【分析】
解：解法一：
（1）过*A*作，垂足为*E*.利用几何关系即可求得道路*PB*的长；
（2）分类讨论*P*和*Q*中能否有一个点选在*D*处即可.
（3）先讨论点*P*的位置，然后再讨论点*Q*的位置即可确定当*d*最小时，*P*、*Q*两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点*P*和点*B*的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路*PB*的长；
（2）分类讨论*P*和*Q*中能否有一个点选在*D*处即可.
（3）先讨论点*P*的位置，然后再讨论点*Q*的位置即可确定当*d*最小时，*P*、*Q*两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过*A*作，垂足为*E*.
由已知条件得，四边形*ACDE*为矩形，.
因为*PB*⊥*AB*，
所以.
所以.
因此道路*PB*的长为15（百米）.
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（2）①若*P*在*D*处，由（1）可得*E*在圆上，则线段*BE*上的点（除*B*，*E*）到点*O*的距离均小于圆*O*的半径，所以*P*选在*D*处不满足规划要求.
②若*Q*在*D*处，连结*AD*，由（1）知，
从而，所以∠*BAD*为锐角.
所以线段*AD*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径.
因此，*Q*选在*D*处也不满足规划要求.
综上，*P*和*Q*均不能选在*D*处.
（3）先讨论点*P*的位置.
当∠*OBP*\<90°时，线段*PB*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径，点*P*不符合规划要求；
当∠*OBP*≥90°时，对线段*PB*上任意一点*F*，*OF*≥*OB*，即线段*PB*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径，点*P*符合规划要求.
设为*l*上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠*OBP*\>90°时，在中，.
由上可知，*d*≥15.
再讨论点*Q*的位置.
由（2）知，要使得*QA*≥15，点*Q*只有位于点*C*的右侧，才能符合规划要求.当*QA*=15时，.此时，线段*QA*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径.
综上，当*PB*⊥*AB*，点*Q*位于点*C*右侧，且*CQ*=时，*d*最小，此时*P*，*Q*两点间的距离*PQ*=*PD*+*CD*+*CQ*=17+.
因此，*d*最小时，*P*，*Q*两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过*O*作*OH*⊥*l*，垂足为*H.*
以*O*为坐标原点，直线*OH*为*y*轴，建立平面直角坐标系.
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因为*BD*=12，*AC*=6，所以*OH*=9，直线*l*的方程为*y*=9，点*A*，*B*的纵坐标分别为3，−3.
因为*AB*为圆*O*的直径，*AB*=10，所以圆*O*的方程为*x*^2^+*y*^2^=25.
从而*A*（4，3），*B*（−4，−3），直线*AB*的斜率为.
因为*PB*⊥*AB*，所以直线*PB*的斜率为，
直线*PB*的方程为.
所以*P*（−13，9），.
因此道路*PB*的长为15（百米）.
（2）①若*P*在*D*处，取线段*BD*上一点*E*（−4，0），则*EO*=4\<5，所以*P*选在*D*处不满足规划要求.
②若*Q*在*D*处，连结*AD*，由（1）知*D*（−4，9），又*A*（4，3），
所以线段*AD*：.
在线段*AD*上取点*M*（3，），因为，
所以线段*AD*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径.
因此*Q*选在*D*处也不满足规划要求.
综上，*P*和*Q*均不能选在*D*处.
（3）先讨论点*P*的位置.
当∠*OBP*\<90°时，线段*PB*上存在点到点*O*的距离小于圆*O*的半径，点*P*不符合规划要求；
当∠*OBP*≥90°时，对线段*PB*上任意一点*F*，*OF*≥*OB*，即线段*PB*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径，点*P*符合规划要求.
设为*l*上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠*OBP*\>90°时，在中，.
由上可知，*d*≥15.
再讨论点*Q*的位置.
由（2）知，要使得*QA≥*15，点*Q*只有位于点*C*的右侧，才能符合规划要求.
当*QA*=15时，设*Q*（*a*，9），由，
得*a*=，所以*Q*（，9），此时，线段*QA*上所有点到点*O*的距离均不小于圆*O*的半径.
综上，当*P*（−13，9），*Q*（，9）时，*d*最小，此时*P*，*Q*两点间的距离
.
因此，*d*最小时，*P*，*Q*两点间的距离为（百米）.
【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
19.设函数，为*f*（*x*）的导函数．
（1）若*a*=*b*=*c*，*f*（4）=8，求*a*的值；
（2）若*a*≠*b*，*b*=*c*，且*f*（*x*）和的零点均在集合中，求*f*（*x*）的极小值；
（3）若，且*f*（*x*）的极大值为*M*，求证:*M*≤．
【答案】（1）；
（2）见解析；
（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到关于*a*的方程，解方程即可确定*a*的值；
（2）由题意首先确定*a*,*b*,*c*的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.
（3）由题意首先确定函数的极大值*M*的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：
解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；
解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：
-- ---- -------- ----
\+ 0 --
极大值
-- ---- -------- ----
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【详解】（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- -------- ---- -------- ----
1
{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"} \+ 0 -- 0 \+
极大值 极小值
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- -------- ---- -------- ----
所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- -------- ---- -------- ----
{width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"} \+ 0 -- 0 \+
极大值 极小值
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- -------- ---- -------- ----
所以的极大值．
解法一：
．因此．
解法二：
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：
-- ---- -------- ----
\+ 0 --
极大值
-- ---- -------- ----
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．
20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".
（1）已知等比数列{*a~n~*}满足：，求证:数列{*a~n~*}为"M－数列"；
（2）已知数列{*b~n~*}满足:，其中*S~n~*为数列{*b~n~*}的前*n*项和．
①求数列{*b~n~*}的通项公式；
②设*m*为正整数，若存在"M－数列"{*c~n~*}，对任意正整数*k*，当*k*≤*m*时，都有成立，求*m*的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）①*b~n~*=*n*；②5.
【解析】
【分析】
（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{*b~n~*}是等差数列，据此即可确定其通项公式；
②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得*m*的最大值．
【详解】（1）设等比数列{*a~n~*}的公比为*q*，所以*a*~1~≠0，*q*≠0.
由，得，解得．
因此数列为"*M*---数列".
（2）①因为，所以．
由得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{*b~n~*}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{*b~n~*}的通项公式为*b~n~*=*n*.
②由①知，*b~k~*=*k*，.
因为数列{*c~n~*}为"*M*--数列"，设公比为*q*，所以*c*~1~=1，*q*\>0.
因{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}*c~k~*≤*b~k~*≤*c~k~*~+1~，所以，其中*k*=1，2，3，...，*m*.
当*k*=1时，有*q*≥1；
当*k*=2，3，...，*m*时，有．
设*f*（*x*）=，则．
令，得*x*=*e*.列表如下：
------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*x* *e* (*e*，+∞)
\+ 0 --
*f*（*x*） {width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"} 极大值 {width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}
------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
因为，所以．
取，当*k*=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求*m*的最大值不小于5．
若*m*≥6，分别取*k*=3，6，得3≤*q*^3^，且*q*^5^≤6，从而*q*^15^≥243，且*q*^15^≤216，
所以*q*不存在.因此所求*m*的最大值小于6.
综上，所求*m*的最大值为5．
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
> **数学Ⅱ(附加题)**
**【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
21.已知矩阵
（1）求***A***^2^；
（2）求矩阵***A***的特征值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用矩阵的乘法运算法则计算的值即可；
(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.
【详解】（1）因为，
所以
==．
（2）矩阵***A***的特征多项式为
.
令，解得***A***的特征值.
【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．
22.在极坐标系中，已知两点，直线*l*的方程为.
（1）求*A*，*B*两点间的距离；
（2）求点*B*到直线*l*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}距离.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】
(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；
(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点*B*的坐标结合几何性质可得点*B*到直线的距离.
【详解】（1）设极点为*O*.在△*OAB*中，*A*（3，），*B*（，），
由余弦定理，得*AB*=.
（2）因为直线*l*{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}方程为，
则直线*l*过点，倾斜角为．
又，所以点*B*到直线*l*的距离为.
【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
23.设，解不等式.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.
【详解】当*x*\<0时，原不等式可化为，解得*x*\<--：
当0≤*x*≤时，原不等式可化为*x*+1--2*x*\>2，即*x*\<--1，无解；
当*x*\>时，原不等式可化为*x*+2*x*--1\>2，解得*x*\>1.
综上，原不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．
**【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
24.设.已知.
（1）求*n*的值；
（2）设，其中，求的值.
【答案】（1）；
（2）-32.
【解析】
【分析】
(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的*n*的值确定有理项和无理项从而可得*a*,*b*的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的*n*的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
**解法一：**
因为，所以，
从而．
**解法二：**
．
因为，所以．
因此．
【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
25.在平面直角坐标系*xOy*中，设点集，令.从集合*M~n~*中任取两个不同的点，用随机变量*X*表示它们之间的距离.
（1）当*n*=1时，求*X*的概率分布；
（2）对给定的正整数*n*（*n*≥3），求概率*P*（*X*≤*n*）（用*n*表示）.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先确定*X*可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论①.，②.，③.，④.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.
【详解】（1）当时，的所有可能取值是．
的概率分布为，
．
（2）设和是从中取出的两个点．
因为，所以仅需考虑的情况．
①若，则，不存在的取法；
②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；
④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．
综上，当时，的所有可能取值是和，且
．
因此，．
【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．
{width="0.4722222222222222in" height="0.2916666666666667in"}2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
=================================================================================================================================================
**参考公式：**
+-------------------------------------------------------------------------+------------------------------------+
| 若事件互斥，则 | 柱体的体积公式 |
| | |
| 若事件相互独立，则 | 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 |
| | |
| 若事件在一次试验中发生的概率是*,*则次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 | 锥体的体积公式 |
| | |
| 台体的体积公式 | 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 |
| | |
| 其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 | 球的表面积公式 |
| | |
| | 球的体积公式 |
| | |
| | 其中表示球的半径 |
+-------------------------------------------------------------------------+------------------------------------+
**选择题部分（共40分）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）
A. B. 1
C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. B. 1
C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据"画、移、解"等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.
【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的"幂势既同，则积不容易"称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）
{width="2.1145833333333335in" height="1.9583333333333333in"}
A. 158 B. 162
C. 182 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先根据三视图，还原得到几何体---棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.
【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为.
【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
5.若，则""是 ""的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用"特殊值法"，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，""是""的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用"赋值法"，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A. {width="1.386111111111111in" height="1.3541666666666667in"} B. {width="1.3854166666666667in" height="1.2708333333333333in"}
C. {width="1.4479166666666667in" height="1.5in"} D. {width="1.3229166666666667in" height="1.4166666666666667in"}
【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
7.设，则随机变量的分布列是：
{width="3.6458333333333335in" height="0.8958333333333334in"}
则当在内增大时（ ）
A. 增大 B. 减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
【答案】D
【解析】
【分析】
研究方差随变化{width="0.14583333333333334in" height="0.19444444444444445in"}增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.
{width="1.4375in" height="1.6354166666666667in"}
方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
法2：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用"特殊位置法"，寻求简便解法.
9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如右图：
且，
解得，，．
故选：．
{width="2.5208333333333335in" height="2.375in"}
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按"一元化"想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..
10.设，数列中，， ,则（ ）
A. 当 B. 当
C. 当 D. 当
【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.
【详解】选项B：不动点满足时，如图，若，
排除
{width="1.96875in" height="1.2708333333333333in"}
如图，若{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}不动点则
选项C：不动点满足，不动点为，令，则，
排除
选项D：不动点满足，不动点{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，令，则，排除.
选项A：证明：当时，，
处理一：可依次迭代到；
处理二：当时，，则则
，则.
故选A
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用"排除法"求解.
**非选择题部分（共110分）**
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分**
11.复数（为虚数单位），则\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】.
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.
12.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.
【详解】可知，把代入得，此时.
【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
13.在二项式的展开式中，常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_；系数为有理数的项的个数是\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是"幂指数"不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.
14.在中，，，，点在线段上，若，则\_\_\_\_；\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入，在、中应用正弦定理，建立方程，进而得解..
【详解】在中，正弦定理有：，而,
，，所以.
{width="1.2604166666666667in" height="1.5729166666666667in"}
【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知，
由中位线定理可得，设可得，
联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以
{width="2.5729166666666665in" height="2.5416666666666665in"}
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知，
由中位线定理可得，即
求得，所以.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
16.已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题{width="3.4722222222222224e-2in" height="9.722222222222222e-2in"}从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】使得，
使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图
{width="1.1666666666666667in" height="1.1979166666666667in"}
只需，即，即的最大值是
【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
17.已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_；最大值是\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】 (1). 0 (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入"基向量"入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
{width="6.614583333333333in" height="1.8125in"}
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从"基向量"入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
**三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
18.设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.如图，已知三棱柱，平面平面*,*，分别是的中点.
{width="2.1770833333333335in" height="2.1041666666666665in"}
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值**.**
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
{width="2.2708333333333335in" height="2.2708333333333335in"}
等边中，，则，
平面*ABC*⊥平面，且平面*ABC*∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面*ABC*内作*EH*⊥*AC*，以点*E*为坐标原点，*EH*,*EC*,方向分别为*x*,*y*,*z*轴正方向建立空间直角坐标系.
{width="2.2083333333333335in" height="2.4895833333333335in"}
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线*EF*的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线*EF*与平面所成角{width="0.1736111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20.设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由题意可得：，解得：，
则数列的通项公式为.
其前*n*项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：
，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21.如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.
{width="2.3020833333333335in" height="2.1041666666666665in"}
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
【答案】（1）1，；（2），.
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标确定*p*的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点*G*的坐标.
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线*AB*的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点*C*的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线*AC*的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.
当且仅当，即，时等号成立.
此时，，则点*G*的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围.
注：为自然对数的底数.
【答案】（1）的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到*a*的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【详解】(1)当时，，函数的定义域为，且：
，
因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)构造函数，
注意到：，
注意到时恒成立，满足；
当时，，不合题意，
且，解得：，故.
下面证明刚好是满足题意的实数*a*的取值范围.
分类讨论：
(*a*)当时，，
令，则：
，
易知，则函数单调递减，，满足题意.
(*b*)当时，等价于，
左侧是关于*a*的开口向下的二次函数,
其判别式，
令，注意到当时,，
于是在上单调递增,而，
于是当时命题成立,
而当时,此时的对称轴为随着递增,
于是对称轴在的右侧,而成立，(不等式等价于).
因此.
综上可得：实数*a*的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
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**数 学 答 案**
**一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）**
1．（4分）已知集合{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，2，3，4，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，5，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.53125in" height="0.2604166666666667in"}[ ]{.underline}{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}[，]{.underline}{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}集合{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，2，3，4，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，5，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="0.7916666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}．
故答案为：{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}．
2．（4分）计算{width="1.0833333333333333in" height="0.40625in"}[ 2 ]{.underline}．
【解答】解：{width="2.1770833333333335in" height="0.7395833333333334in"}．
故答案为：2．
3．（4分）不等式{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}的解集为[ ]{.underline}{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：由{width="0.59375in" height="0.20833333333333334in"}得{width="0.8229166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，即{width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}
故答案为：{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}．
4．（4分）函数{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的反函数为[ ]{.underline}{width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：由{width="0.8229166666666666in" height="0.23958333333333334in"}解得{width="0.46875in" height="0.2604166666666667in"}，
{width="1.28125in" height="0.25in"}
故答案为{width="0.23958333333333334in" height="0.23958333333333334in"} {width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}
5．（4分）设{width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位，{width="0.84375in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}的值为[ ]{.underline}{width="0.3125in" height="0.22916666666666666in"}[ ]{.underline}
【解答】解：由{width="0.84375in" height="0.17708333333333334in"}，得{width="0.6770833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，即{width="0.6145833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="1.6145833333333333in" height="0.2604166666666667in"}．
故答案为：{width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}．
6．（4分）已知{width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，当方程有无穷多解时，{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值为[ ]{.underline}{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：由题意，可知：
{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}方程有无穷多解，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}可对①{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，得：{width="0.8020833333333334in" height="0.20833333333333334in"}．
再与②式比较，可得：{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}．
故答案为：{width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}．
7．（5分）在{width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}的展开式中，常数项等于[ 15 ]{.underline}．
【解答】解：{width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}展开式的通项为{width="0.8333333333333334in" height="0.3333333333333333in"}令{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}得{width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，
故展开式的常数项为第3项：{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}．
故答案为：15．
8．（5分）在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.9479166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，且{width="0.6145833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}[ ]{.underline}{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：{width="1.0729166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}由正弦定理可得：{width="0.75in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}由{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，可得：{width="0.46875in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}由余弦定理可得：{width="1.2083333333333333in" height="0.40625in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}解得：{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}．
故答案为：{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}．
9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有[ 24 ]{.underline}种（结果用数值表示）
【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有{width="0.5833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}种，
故答案为：24．
10．（5分）如图，已知正方形{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，其中{width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，函数{width="0.46875in" height="0.23958333333333334in"}交{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}于点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，函数{width="0.46875in" height="0.3333333333333333in"}交{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}于点{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}，当{width="0.7916666666666666in" height="0.20833333333333334in"}最小时，则{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}的值为[ ]{.underline}{width="0.21875in" height="0.21875in"}[ ]{.underline}．
{width="2.0520833333333335in" height="1.8020833333333333in"}
【解答】解：由题意得：{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}点坐标为{width="0.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}点坐标为{width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，
{width="1.9479166666666667in" height="0.4479166666666667in"}，
当且仅当{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}时，取最小值，
故答案为：{width="0.21875in" height="0.21875in"}．
11．（5分）在椭圆{width="0.71875in" height="0.40625in"}上任意一点{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}与{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}关于{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴对称，若有{width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，则{width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}的夹角范围为[ ]{.underline}{width="0.7916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}[，]{.underline}{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：设{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}点{width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，
椭圆{width="0.71875in" height="0.40625in"}的焦点坐标为{width="0.375in" height="0.25in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}{width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，
{width="0.9479166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，
结合{width="0.71875in" height="0.40625in"}
可得：{width="0.4270833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}
故{width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}的夹角{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}满足：
{width="4.260416666666667in" height="0.5104166666666666in"}，{width="0.28125in" height="0.3854166666666667in"}
故{width="1.0104166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}
故答案为：{width="0.7916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}
12．（5分）已知集合{width="0.3854166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.78125in" height="0.2604166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，存在正数{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，使得对任意{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，都有{width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}，则{width="9.375e-2in" height="0.15625in"}的值是[ 1或]{.underline}{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}[ ]{.underline}．
【解答】解：当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，当{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}时，则{width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，
当{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}时，则{width="0.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，
即当{width="0.3229166666666667in" height="0.15625in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}；当{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，即{width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}；
当{width="0.5104166666666666in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，当{width="0.5416666666666666in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，即{width="0.96875in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="1.40625in" height="0.20833333333333334in"}，解得{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
{width="3.1875in" height="2.6875in"}
当{width="0.90625in" height="0.17708333333333334in"}时，当{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}时，则{width="0.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}．
当{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，
即当{width="0.3229166666666667in" height="0.15625in"}时，{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，当{width="0.5104166666666666in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，即{width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，
即当{width="0.5416666666666666in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，当{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，即{width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="1.40625in" height="0.20833333333333334in"}，解得{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
{width="2.96875in" height="2.5416666666666665in"}
当{width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}时，同理可得无解．
综上，{width="9.375e-2in" height="0.15625in"}的值为1或{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．
故答案为：1或{width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}．
**二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）**
13．（5分）下列函数中，值域为{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"} B．{width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"} C．{width="0.5729166666666666in" height="0.19791666666666666in"} D．{width="0.5729166666666666in" height="0.16666666666666666in"}
【解答】解：{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"}的值域为{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}错
{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.46875in" height="0.25in"}的定义域为{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，值域也是{width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}正确．
{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5729166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的值域为{width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}错
{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.5729166666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值域为{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}错．
故选：{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
14．（5分）已知{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，则"{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}"的{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}等价，{width="0.59375in" height="0.23958333333333334in"}，得"{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}"，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"} "{width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}"是"{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"}"的充要条件，
故选：{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}．
15．（5分）已知平面{width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}、{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两两垂直，直线{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}满足：{width="0.40625in" height="0.15625in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}，则直线{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}不可能满足以下哪种关系{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【解答】解：如图1，可得{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}可能两两垂直；
如图2，可得{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}可能两两相交；
如图3，可得{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}、{width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}、{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}可能两两异面；
{width="1.6875in" height="1.7291666666666667in"}{width="2.0729166666666665in" height="1.8541666666666667in"}{width="2.0729166666666665in" height="1.8541666666666667in"}
故选：{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
16．（5分）以{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}为圆心的两圆均过{width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，与{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴分别交于{width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.21875in" height="0.21875in"}，{width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，且满足{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}，则点{width="0.5104166666666666in" height="0.4166666666666667in"}的轨迹是{width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"} {width="9.375e-2in" height="0.20833333333333334in"}
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【解答】解：因为{width="1.3020833333333333in" height="0.28125in"}，则{width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，
同理可得{width="0.71875in" height="0.23958333333333334in"}，
又因为{width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"}，
所以{width="0.5in" height="0.21875in"}，
则{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}，
即{width="0.8854166666666666in" height="0.21875in"}，
则{width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，
设{width="0.5104166666666666in" height="0.875in"}，则{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}为直线，
故选：{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}．
**三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）**
17．（14分）如图，在正三棱锥{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}中，{width="2.40625in" height="0.23958333333333334in"}．
（1）若{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的中点为{width="0.19791666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的中点为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，求{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的夹角；
（2）求{width="0.5833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}的体积．
{width="1.2083333333333333in" height="1.2083333333333333in"}
【解答】解：（1）{width="0.3229166666666667in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}分别为{width="0.23958333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}的中点，{width="0.7604166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，
则{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}为{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}所成角，
在{width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}中，由{width="0.8020833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}，
可得{width="2.9479166666666665in" height="0.4479166666666667in"}，
{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}与{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的夹角为{width="0.6354166666666666in" height="0.4166666666666667in"}；
（2）过{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}作底面垂线，垂直为{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}为底面三角形的中心，
连接{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}并延长，交{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}于{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，则{width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.9270833333333334in" height="0.3854166666666667in"}．
{width="1.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"}．
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}{width="1.9270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}．
{width="1.4583333333333333in" height="1.6770833333333333in"}
18．（14分）已知数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.375in" height="0.21875in"}，前{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}项和为{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}．
（1）若{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}为等差数列，且{width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}，求{width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}；
（2）若{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}为等比数列，且{width="0.6770833333333334in" height="0.28125in"}，求公比{width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围．
【解答】解：（1）{width="1.6354166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="1.96875in" height="0.3854166666666667in"}；
（2）{width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}存在，{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}{width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}存在，{width="0.71875in" height="0.20833333333333334in"}且{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}{width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}{width="0.6145833333333334in" height="0.4166666666666667in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}或{width="0.5833333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}公比{width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围为{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.5104166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
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年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"} 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"} 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重{width="0.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
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（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设{width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}表示1978年，第{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}年卫生总费用与年份{width="9.375e-2in" height="0.15625in"}之间拟合函数{width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}研究函数{width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}是减函数，且{width="1.1354166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，
{width="1.40625in" height="0.3854166666666667in"}在{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}上单调递增，
令{width="1.4583333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，解得{width="0.5729166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}当{width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，我国卫生总费用超过12万亿，
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
20．（16分）已知抛物线方程{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为焦点，{width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}为抛物线准线上一点，{width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}为线段{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与抛物线的交点，定义：{width="0.8020833333333334in" height="0.4166666666666667in"}．
（1）当{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}时，求{width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}；
（2）证明：存在常数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，使得{width="1.03125in" height="0.20833333333333334in"}；
（3）{width="0.15625in" height="0.21875in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}为抛物线准线上三点，且{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}，判断{width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}与{width="0.4479166666666667in" height="0.21875in"}的关系．
【解答】解：（1）抛物线方程{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}的焦点{width="0.4270833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}，
{width="0.75in" height="0.5520833333333334in"}，{width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的方程为{width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}，代入抛物线的方程，解得{width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，
抛物线的准线方程为{width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，可得{width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，
{width="1.0in" height="0.3854166666666667in"}，{width="1.0416666666666667in" height="0.4166666666666667in"}；
（2）证明：当{width="0.5104166666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，{width="1.8645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}，
设{width="0.59375in" height="0.21875in"}，{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则{width="0.59375in" height="0.21875in"}，
联立{width="0.6354166666666666in" height="0.20833333333333334in"}和{width="0.5in" height="0.23958333333333334in"}，可得{width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，{width="2.3854166666666665in" height="0.4479166666666667in"}，
{width="4.03125in" height="0.5in"}
{width="2.0104166666666665in" height="0.4479166666666667in"}，
则存在常数{width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，使得{width="1.03125in" height="0.20833333333333334in"}；
（3）设{width="0.5833333333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，{width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}，则
{width="4.947916666666667in" height="0.28125in"}
{width="4.78125in" height="0.4479166666666667in"}，
由{width="4.28125in" height="0.28125in"}，
{width="3.8854166666666665in" height="0.23958333333333334in"}，
则{width="1.3645833333333333in" height="0.21875in"}．
21．（18分）已知等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的公差{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.71875in" height="0.21875in"}，集合{width="1.34375in" height="0.28125in"}．
（1）若{width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}；
（2）若{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}使得集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有两个元素；
（3）若集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有三个元素：{width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是不超过7的正整数，求{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的所有可能的值．
【解答】解：（1）{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的公差{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.71875in" height="0.21875in"}，集合{width="1.34375in" height="0.28125in"}．
{width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}当{width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，
集合{width="0.6354166666666666in" height="0.4166666666666667in"}，0，{width="0.3020833333333333in" height="0.4166666666666667in"}．
（2）{width="0.13541666666666666in" height="0.125in"}{width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，数列{width="0.28125in" height="0.21875in"}满足{width="0.71875in" height="0.21875in"}，集合{width="1.34375in" height="0.28125in"}恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的终边落在{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴的正负半轴上时，集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有两个元素，此时{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，
②{width="0.15625in" height="0.21875in"}终边落在{width="0.23958333333333334in" height="0.17708333333333334in"}上，要使得集合{width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}恰好有两个元素，可以使{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}的终边关于{width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴对称，如图{width="0.25in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，此时{width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，
综上，{width="0.5in" height="0.3854166666666667in"}或者{width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}．
（3）①当{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，集合{width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，{width="0.15625in" height="0.21875in"}，{width="0.21875in" height="0.21875in"}，符合题意．
②当{width="0.3645833333333333in" height="0.16666666666666666in"}时，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}，{width="1.15625in" height="0.21875in"}，或者{width="1.1354166666666667in" height="0.21875in"}，{width="1.5729166666666667in" height="1.5729166666666667in"}
等差数列{width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的公差{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="1.15625in" height="0.21875in"}，{width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，又{width="0.4479166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，2
当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时满足条件，此时{width="0.4166666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，1，{width="0.25in" height="0.20833333333333334in"}．
③当{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}，{width="1.15625in" height="0.21875in"}，或者{width="1.125in" height="0.21875in"}，因为{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，2．
当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，1，{width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}满足题意．
④当{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，{width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}，
所以{width="1.15625in" height="0.21875in"}或者{width="1.1354166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，2，3．
当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}，满足题意．
⑤当{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.53125in" height="0.21875in"}，{width="1.6770833333333333in" height="0.21875in"}，所以{width="1.15625in" height="0.21875in"}，或者{width="1.1354166666666667in" height="0.21875in"}，{width="0.40625in" height="0.20833333333333334in"}，{width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，故{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，2，3
当{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，因为{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.59375in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.375in" height="0.17708333333333334in"}，不符合条件．
当{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}时，因为{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}，{width="0.375in" height="0.13541666666666666in"}不是整数，不符合条件．
当{width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}时，因为{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有{width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}或者{width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}，{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}，或者{width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}，此时，{width="0.375in" height="0.13541666666666666in"}均不是整数，不符合题意．
综上，{width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}，4，5，6．
{width="5.114583333333333in" height="1.09375in"}
{width="1.9270833333333333in" height="1.8958333333333333in"}
{width="1.59375in" height="1.6041666666666667in"}
{width="3.1979166666666665in" height="3.1041666666666665in"}
2019年上海秋季高考数学试卷
==========================
**参考答案**
**一. 填空题**
1\.
2\. ，
3\. ，
4\. ，的系数为
5\. ，线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当，时，
6\. ，
7\. ，法一：，∴；
法二：由，（），求二次最值
8\. ，由得：（），∴为等比数列，且，
，∴
9\. ，依题意求得：，，设坐标为，
有：，带入有：，
即
10\. ，法一：（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字）；
法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）
11\. ，法一：由得：，∴，，利用两点间距离公式求解极限：；
法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在轴投影为1，渐近线斜角满足：，∴
12\.
**二. 选择题**
13\. 选D，依题意：为直线的一个法向量，∴方向向量为
14\. 选B，依题意：，
15\. 选C，法一：依次代入选项的值，检验的奇偶性；
法二：，若为偶函数，则，且
也为偶函数（偶函数偶函数=偶函数），∴，当时，
16\. 选D，取特殊值检验法：例如：令和，求是否存在（考试中，
若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在）
**三. 解答题**
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1）km；（2）35.752km.
20.（1）；（2），；（3）.
21.（1）3、5、7；（2）略；（3）.
| 1 | |
**2013年江西省高考数学试卷（理科）**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i
2．（5分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1） C．（0，1\] D．\[0，1\]
3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，...的第四项等于（ ）
A．﹣24 B．0 C．12 D．24
4．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
5．（5分）（x^2^﹣）^5^的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
6．（5分）若S~1~=x^2^dx，S~2~=dx，S~3~=e^x^dx，则S~1~，S~2~，S~3~的大小关系为（ ）
A．S~1~＜S~2~＜S~3~ B．S~2~＜S~1~＜S~3~ C．S~2~＜S~3~＜S~1~ D．S~3~＜S~2~＜S~1~
7．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A．S=2\*i﹣2 B．S=2\*i﹣1 C．S=2\*i D．S=2\*i+4
8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l~1~，l~2~之间，l∥l~1~，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l~1~平行移动到l~2~，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
**二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
11．（5分）函数y=sin2x+2sin^2^x最小正周期T为[ ]{.underline}．
12．（5分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为[ ]{.underline}．
13．（5分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x^）=x+e^x^，则f′（1）=[ ]{.underline}．
14．（5分）抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=[ ]{.underline}．
**三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．**
15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为[ ]{.underline}．
16．（不等式选做题）
在实数范围内，不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集为[ ]{.underline}．
**四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
18．（12分）正项数列{a~n~}的前n项和S~n~满足：S~n~^2^
（1）求数列{a~n~}的通项公式a~n~；
（2）令b，数列{b~n~}的前n项和为T~n~．证明：对于任意n∈N^\*^，都有T．
19．（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~，A~7~，A~8~（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
21．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k~1~，k~2~，k~3~．问：是否存在常数λ，使得k~1~+k~2~=λk~3~？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
22．（14分）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=对称；
（2）若x~0~满足f（f（x~0~））=x~0~，但f（x~0~）≠x~0~，则x~0~称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x~1~，x~2~，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x~1~，x~2~，和a，设x~3~为函数f（f（x））的最大值点，A（x~1~，f（f（x~1~））），B（x~2~，f（f（x~2~））），C（x~3~，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
**2013年江西省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（ ）
A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i
【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．
【解答】解：根据题意得：zi=4，
解得：z=﹣4i．
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）函数y=ln（1﹣x）的定义域为（ ）
A．（0，1） B．\[0，1） C．（0，1\] D．\[0，1\]
【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项
【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为\[0，1）
故选：B．
【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．
3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，...的第四项等于（ ）
A．﹣24 B．0 C．12 D．24
【分析】由题意可得（3x+3）^2^=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）^2^=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．
4．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
A．08 B．07 C．02 D．01
【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，...，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
5．（5分）（x^2^﹣）^5^的展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40
【分析】利用（x）^5^展开式中的通项公式T~r+1~=•x^2（5﹣r）^•（﹣2）^r^•x^﹣3r^，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（x）^5^展开式中的常数项．
【解答】解：设（x）^5^展开式中的通项为T~r+1~，
则T~r+1~=•x^2（5﹣r）^•（﹣2）^r^•x^﹣3r^=（﹣2）^r^••x^10﹣5r^，
令10﹣5r=0得r=2，
∴（x）^5^展开式中的常数项为（﹣2）^2^×=4×10=40．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．
6．（5分）若S~1~=x^2^dx，S~2~=dx，S~3~=e^x^dx，则S~1~，S~2~，S~3~的大小关系为（ ）
A．S~1~＜S~2~＜S~3~ B．S~2~＜S~1~＜S~3~ C．S~2~＜S~3~＜S~1~ D．S~3~＜S~2~＜S~1~
【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．
【解答】解：由于S~1~=x^2^dx=\|=，
S~2~=dx=lnx\|=ln2，
S~3~=e^x^dx=e^x^\|=e^2^﹣e．
且ln2＜＜e^2^﹣e，则S~2~＜S~1~＜S~3~．
故选：B．
【点评】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
7．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A．S=2\*i﹣2 B．S=2\*i﹣1 C．S=2\*i D．S=2\*i+4
【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．
【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2\*I时，
程序在运行过程中各变量的值如下表示：
i S 是否继续循环
循环前1 0/
第一圈 2 5 是
第二圈 3 6 是
第三圈 4 9 是
第四圈 5 10 否
故输出的i值为：5，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．
8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．
【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，
直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．
9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．
【解答】解：由y=，得x^2^+y^2^=1（y≥0）．
所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），
设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，
则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．
则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．
则=
==．
令，则，当，即时，S~△ABO~有最大值为．
此时由，解得k=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．
10．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l~1~，l~2~之间，l∥l~1~，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l~1~平行移动到l~2~，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知：随着l从l~1~平行移动到l~2~，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．
【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；
当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；
当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，
在正△AED中，AE=ED=DA=1，
∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．
又当x=时，图中y~0~=+（2﹣）=＞2﹣2．
故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．
**二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
11．（5分）函数y=sin2x+2sin^2^x最小正周期T为[ π ]{.underline}．
【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．
【解答】解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin（2x﹣）+，
∵ω=2，∴T=π．
故答案为：π
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（5分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．
【解答】解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．
∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．
∴在上的射影为 =，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．
13．（5分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x^）=x+e^x^，则f′（1）=[ 2 ]{.underline}．
【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．
【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e^x^）=x+e^x^，
令e^x^=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，
∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．
14．（5分）抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=[ 6 ]{.underline}．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，
准线方程与双曲线联立可得：，
解得x=±，
因为△ABF为等边三角形，所以，即p^2^=3x^2^，
即，解得p=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．
**三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．**
15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）
设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为[ ρcos^2^θ﹣sinθ=0 ]{.underline}．
【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．
【解答】解：由（t为参数），得y=x^2^，
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρcos^2^θ﹣sinθ=0．
即曲线C的极坐标方程是ρcos^2^θ﹣sinθ=0．
故答案为：ρcos^2^θ﹣sinθ=0．
【点评】本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．
16．（不等式选做题）
在实数范围内，不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集为[ \[0，4\] ]{.underline}．
【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．
【解答】解：不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集，就是﹣1≤\|x﹣2\|﹣1≤1的解集，也就是0≤\|x﹣2\|≤2的解集，
0≤\|x﹣2\|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．
所以不等式的解集为\[0，4\]．
故答案为：\[0，4\]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．
**四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范围．
【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b^2^，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b^2^的范围，即可求出b的范围．
【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，
即sinAsinB﹣sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，
又B为三角形的内角，
则B=；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，
∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2ac•cosB，即b^2^=a^2^+c^2^﹣ac=（a+c）^2^﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）^2^+，
∵0＜a＜1，∴≤b^2^＜1，
则≤b＜1．
【点评】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
18．（12分）正项数列{a~n~}的前n项和S~n~满足：S~n~^2^
（1）求数列{a~n~}的通项公式a~n~；
（2）令b，数列{b~n~}的前n项和为T~n~．证明：对于任意n∈N^\*^，都有T．
【分析】（I）由S~n~^2^可求s~n~，然后利用a~1~=s~1~，n≥2时，a~n~=s~n~﹣s~n﹣1~可求a~n~
（II）由b==，利用裂项求和可求T~n~，利用放缩法即可证明
【解答】解：（I）由S~n~^2^
可得，\[\]（S~n~+1）=0
∵正项数列{a~n~}，S~n~＞0
∴S~n~=n^2^+n
于是a~1~=S~1~=2
n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=n^2^+n﹣（n﹣1）^2^﹣（n﹣1）=2n，而n=1时也适合
∴a~n~=2n
（II）证明：由b==
∴\]
=
【点评】本题主要考查了递推公式a~1~=s~1~，n≥2时，a~n~=s~n~﹣s~n﹣1~在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用．
19．（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~，A~7~，A~8~（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求
（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值
【解答】解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种
X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形
所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==
（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1
X=﹣2时有2种情形
X=1时有8种情形
X=﹣1时，有10种情形
X的分布列为：
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X ﹣2 ﹣1 0 1
P    
--- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
EX==
【点评】本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【分析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=
∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）
∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）
设平面BCP的法向量=（1，y~1~，z~1~），则
解得y~1~=﹣，z~1~=，可得=（1，﹣，），
设平面DCP的法向量=（1，y~2~，z~2~），则
解得y~2~=，z~2~=2，可得=（1，，2），
∴cos＜，＞===
因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜，＞=﹣．
【点评】本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．
21．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k~1~，k~2~，k~3~．问：是否存在常数λ，使得k~1~+k~2~=λk~3~？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），利用根与系数的关系求得x~1~+x~2~=，，再求点M的坐标，分别表示出k~1~，k~2~，k~3~．比较k~1~+k~2~=λk~3~即可求得参数的值；
方法二：设B（x~0~，y~0~）（x~0~≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k~1~，k~2~，k~3~．比较k~1~+k~2~=λk~3~即可求得参数的值
【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①
由离心率e=得=，即a=2c，则b^2^=3c^2^②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③
代入椭圆方程并整理得（4k^2^+3）x^2^﹣8k^2^x+4k^2^﹣12=0
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
x~1~+x~2~=，④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，=k﹣
注意到A，F，B共线，则有k=k~AF~=k~BF~，即有==k
所以k~1~+k~2~=+=+﹣（+）
=2k﹣×⑤
④代入⑤得k~1~+k~2~=2k﹣×=2k﹣1
又k~3~=k﹣，所以k~1~+k~2~=2k~3~
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x~0~，y~0~）（x~0~≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k~3~=，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k~1~=，直线PB的斜率为k~2~=
所以k~1~+k~2~=+=2×=2k~3~，
故存在常数λ=2符合题意
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．
22．（14分）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．
（1）f（x）的图象关于直线x=对称；
（2）若x~0~满足f（f（x~0~））=x~0~，但f（x~0~）≠x~0~，则x~0~称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x~1~，x~2~，试确定a的取值范围；
（3）对于（2）中的x~1~，x~2~，和a，设x~3~为函数f（f（x））的最大值点，A（x~1~，f（f（x~1~））），B（x~2~，f（f（x~2~））），C（x~3~，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
【分析】（1）只要证明成立即可；
（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；
（3）由（2）得出x~3~，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
【解答】（1）证明：∵==a（1﹣2\|x\|），=a（1﹣2\|x\|），
∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．
（2）解：当时，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当时，有f（f（x））=．
∴f（f（x））=x有解集，{x\|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
当时，有f（f（x））=，
∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．
由f（0）=0，，，．
故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．
（3）由（2）得，．
∵x~2~为函数f（x）的最大值点，∴，或．
当时，S（a）=••\|﹣\|=．
求导得：S′（a）=．
∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．
当时，S（a）=，求导得．
∵，从而有．
∴当时，S（a）单调递增．
【点评】本题考查了新定义"二阶周期点"、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
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2022届新高考开学数学摸底考试卷4
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则＝
A． B． C． D．
3．若*a*，*b*，*c*满足，，，则
A．*c*＜*a*＜*b* B．*b*＜*c*＜*a* C．*a*＜*b*＜*c* D．*c*＜*b*＜*a*
4．已知函数(A＞0，＞0，)的图像如图所示，则
A．＝2，＝ B．＝2，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
5．函数的部分图像大致为
{width="1.0833333333333333in" height="1.0416666666666667in"} {width="1.0916666666666666in" height="1.1416666666666666in"} {width="0.975in" height="1.125in"} {width="0.925in" height="1.125in"}
A B C D
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，)，(＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150 B．200 C．300 D．400
7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题"今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?"其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?
A．90 B．120 C．140 D．150
8．在三棱锥P---ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，AB＝，Q是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P---ABC的外接球的表面积为
A．50π B．55π C．57π D．108π
{width="2.060416666666667in" height="1.6923611111111112in"} {width="1.7486111111111111in" height="1.8895833333333334in"}
第4题 第10题
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，当0≤*x*≤2时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线*x*＝2对称
C．当0≤*x*≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤*x*≤8时，函数的最小值为
10．如图，正方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC~1~，BB~1~的中点，则
A．直线DD~1~与直线AF垂直
B．直线A~1~G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则
A．实轴为2
B．渐近线为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
12．已知，，记M＝，则
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知向量＝(1，*m*)，＝(，)，若⊥，则*m*＝ [ ]{.underline} ．
14．的展开式中*x*的系数为 [ ]{.underline} ．
15．某系列智能手机玻璃版有"星河银"、"罗兰紫"、"翡冷翠"、"亮黑色"四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买"亮黑色"或"星河银"，则乙不购买"罗兰紫"，则这四位市民不同的购买方案有 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 种．
16．已知函数，①若*a*＝1，则不等式的解集为 [ ]{.underline} ；②若存 在实数*b*，使函数有两个零点，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，*a*，*b*，*c*分别为内角A，B，C的对边，且满足(*b*﹣*a*)(sinB＋sinA)＝*c*(sinB﹣sinC)．
（1）求A的大小；
（2）若*a*＝2，B＝，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点(*n*，)均在函数的图像上，其中*a*为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设是一个公比为*q*(*q*＞0，*q*≠1)的等比数列， [ ]{.underline} ，且它的首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）令()，证明的前*n*项和．
19．（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~D⊥DC，如图2．
（1）求证：A~1~E⊥平面BCDE；
（2）求二面角E---A~1~B---C的余弦值．
{width="3.6902777777777778in" height="1.1805555555555556in"}
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：(*a*＞*b*＞0)的右准线方程为*x*＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直 线的斜率．
21．（本小题满分12分）
南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
---------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
得分 \[30，40) \[40，50) \[50，60) \[60，70) \[70，80) \[80，90) \[90，100)
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
---------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为"比较了解"（得分不低于60分）和"不太了解"（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为"居民对垃圾分类的了解程度"与"性别"有关?
------ ---------- ---------- ------
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
------ ---------- ---------- ------
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同*m*(*m*)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这*m*＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求*m*的最小值．
附公式及表：
，其中．
----- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P() 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
----- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中*a*R，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求实数和*a*的值；
（3）证明()．
江苏省南京六校联合体2021届高三暑假学情检测
2022届新高考开学数学摸底考试卷4
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵集合A＝，∴集合A＝，
∵集合B＝，∴集合B＝，
∴AB＝，故选C．
2．已知复数满足，则＝
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵，∴，，
∴，故选D．
3．若*a*，*b*，*c*满足，，，则
A．*c*＜*a*＜*b* B．*b*＜*c*＜*a* C．*a*＜*b*＜*c* D．*c*＜*b*＜*a*
答案：A
解析：由，知1＜*a*＜2，由，，
∴*c*＜*a*＜*b*，故选A．
4．已知函数(A＞0，＞0，)的图像如图所示，则
{width="2.060416666666667in" height="1.6923611111111112in"}
A．＝2，＝ B．＝2，＝
C．＝，＝ D．＝，＝
答案：D
解析：，，，，，
∵，∴＝，故选D．
5．函数的部分图像大致为
{width="1.0833333333333333in" height="1.0416666666666667in"} {width="1.0916666666666666in" height="1.1416666666666666in"} {width="0.975in" height="1.125in"} {width="0.925in" height="1.125in"}
A B C D
答案：C
解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次*x*＞0时，＞0，故选C．
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布N(105，)，(＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为
A．150 B．200 C．300 D．400
答案：C
解析：，故选C．
7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题"今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?"其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?
A．90 B．120 C．140 D．150
答案：B
解析：．故选B．
8．在三棱锥P---ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，AB＝，Q是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P---ABC的外接球的表面积为
A．50π B．55π C．57π D．108π
答案：C
解析：三棱锥{width="0.5826388888888889in" height="0.1763888888888889in"}中，{width="0.3638888888888889in" height="0.16597222222222222in"}平面{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}，直线{width="0.24930555555555556in" height="0.2076388888888889in"}与平面{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}所成角为{width="0.13472222222222222in" height="0.1763888888888889in"}，
> 如图所示；则{width="1.0722222222222222in" height="0.41597222222222224in"}，且{width="0.32222222222222224in" height="0.1763888888888889in"}的最大值是{width="0.24930555555555556in" height="0.41597222222222224in"}，
>
> {width="1.0097222222222222in" height="0.24930555555555556in"}，{width="0.37430555555555556in" height="0.2076388888888889in"}的最小值是{width="0.21805555555555556in" height="0.21805555555555556in"}，即{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}到{width="0.24930555555555556in" height="0.1763888888888889in"}的距离为{width="0.21805555555555556in" height="0.21805555555555556in"}，
>
> {width="0.7388888888888889in" height="0.2076388888888889in"}，{width="0.7597222222222222in" height="0.21805555555555556in"}，在{width="0.5826388888888889in" height="0.19722222222222222in"}中可得{width="0.7076388888888889in" height="0.38472222222222224in"}，即可得{width="0.46805555555555556in" height="0.1763888888888889in"}；
>
> 取{width="0.4263888888888889in" height="0.1763888888888889in"}的外接圆圆心为{width="0.19722222222222222in" height="0.1763888888888889in"}，作{width="0.6243055555555556in" height="0.1763888888888889in"}，
>
> {width="0.13472222222222222in" height="0.13472222222222222in"}{width="0.8222222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，解得{width="0.5097222222222222in" height="0.21805555555555556in"}；
>
> {width="0.8013888888888889in" height="0.21805555555555556in"}，
>
> 取{width="0.1763888888888889in" height="0.16597222222222222in"}为{width="0.2388888888888889in" height="0.16597222222222222in"}的中点，{width="1.1659722222222222in" height="0.21805555555555556in"}，{width="0.5097222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，
>
> 由勾股定理得{width="1.8743055555555554in" height="0.41597222222222224in"}，
>
> {width="0.13472222222222222in" height="0.13472222222222222in"}三棱锥{width="0.5826388888888889in" height="0.1763888888888889in"}的外接球的表面积是
>
> {width="1.9993055555555554in" height="0.41597222222222224in"}．
>
> {width="1.9916666666666667in" height="1.375in"}
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，当0≤*x*≤2时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线*x*＝2对称
C．当0≤*x*≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤*x*≤8时，函数的最小值为
答案：ABC
解析：由知的最小正周期为4，故A正确；
由知的图像关于直线*x*＝2对称，故B正确；
当0≤*x*≤4时，函数的最大值为2，故C正确；
当6≤*x*≤8时，函数的最小值为，故D错误．故选ABC．
10．如图，正方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC~1~，BB~1~的中点，则
{width="1.7486111111111111in" height="1.8895833333333334in"}
A．直线DD~1~与直线AF垂直
B．直线A~1~G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
答案：BD
解析：取{width="0.29097222222222224in" height="0.21805555555555556in"}中点{width="0.19722222222222222in" height="0.16597222222222222in"}，则{width="0.3013888888888889in" height="0.16597222222222222in"}为{width="0.25972222222222224in" height="0.16597222222222222in"}在平面{width="0.5097222222222222in" height="0.21805555555555556in"}上的射影，
{width="0.41597222222222224in" height="0.16597222222222222in"}与{width="0.29097222222222224in" height="0.21805555555555556in"}不垂直，{width="0.37430555555555556in" height="0.16597222222222222in"}与{width="0.29097222222222224in" height="0.21805555555555556in"}不垂直，故{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}错；
取{width="0.3013888888888889in" height="0.21805555555555556in"}中点{width="0.16597222222222222in" height="0.1763888888888889in"}，连接{width="0.29097222222222224in" height="0.21805555555555556in"}，{width="0.25972222222222224in" height="0.1763888888888889in"}，可得平面{width="0.5409722222222222in" height="0.21805555555555556in"}平面{width="0.34305555555555556in" height="0.16597222222222222in"}，故{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}正确；
把截面{width="0.34305555555555556in" height="0.16597222222222222in"}补形为四边形{width="0.4576388888888889in" height="0.21805555555555556in"}，由等腰梯形计算其面积{width="0.37430555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，故D正确；
> 假设{width="0.15555555555555556in" height="0.1763888888888889in"}与{width="0.16597222222222222in" height="0.1763888888888889in"}到平面{width="0.34305555555555556in" height="0.16597222222222222in"}的距离相等，即平面{width="0.34305555555555556in" height="0.16597222222222222in"}将{width="0.25972222222222224in" height="0.1763888888888889in"}平分，则平面{width="0.34305555555555556in" height="0.16597222222222222in"}必过{width="0.25972222222222224in" height="0.1763888888888889in"}的中点，连接{width="0.25972222222222224in" height="0.1763888888888889in"}交{width="0.24930555555555556in" height="0.16597222222222222in"}于{width="0.1763888888888889in" height="0.16597222222222222in"}，而{width="0.1763888888888889in" height="0.16597222222222222in"}不是{width="0.25972222222222224in" height="0.1763888888888889in"}中点，则假设不成立，故C错．
故选：BD．
11．在平面直角坐标系*xOy*中，已知双曲线，则
A．实轴为2
B．渐近线为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
答案：BC
解析：由双曲线 的方程可得，{width="0.41597222222222224in" height="0.2076388888888889in"}，{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}，{width="1.0097222222222222in" height="0.2076388888888889in"}，所以{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}，{width="0.5097222222222222in" height="0.21805555555555556in"}，{width="0.3326388888888889in" height="0.1763888888888889in"}，所以{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}不正确，
所以实轴长{width="0.4263888888888889in" height="0.1763888888888889in"}，离心率{width="0.37430555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，渐近线方程为{width="1.051388888888889in" height="0.38472222222222224in"}，所以{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}，{width="0.15555555555555556in" height="0.1763888888888889in"}正确，
> 因为准线方程为{width="0.6243055555555556in" height="0.40555555555555556in"}，设渐近线{width="0.5305555555555556in" height="0.24930555555555556in"}与渐近线的交点为{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}，两个方程联立可得{width="0.5305555555555556in" height="0.24930555555555556in"}，另一条渐近线的方程为：{width="0.7388888888888889in" height="0.24930555555555556in"}，所以{width="0.15555555555555556in" height="0.16597222222222222in"}到它的距离为{width="1.301388888888889in" height="0.41597222222222224in"}，所以{width="0.16597222222222222in" height="0.16597222222222222in"}不正确．
故选：{width="0.24930555555555556in" height="0.1763888888888889in"}．
12．已知，，记M＝，则
A．M的最小值为 B．当M最小时，
C．M的最小值为 D．当M最小时，
答案：AB
解析：由{width="1.207638888888889in" height="0.21805555555555556in"}，得{width="0.9993055555555556in" height="0.21805555555555556in"}，
> {width="1.582638888888889in" height="0.2388888888888889in"}的最小值可转化为函数{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}得{width="0.5930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，
因为与直线平行的直线斜率为{width="0.24930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，
所以{width="0.6763888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，解得{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}，则切点坐标为{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}，
> 所以{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}到直线上的距离
>
> ，
>
> 即函数{width="0.8847222222222222in" height="0.2076388888888889in"}上的点到直线上的点的距离最小值为，
所以{width="1.2805555555555554in" height="0.2388888888888889in"}的最小值为，
> 又过{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}且与垂直的直线为{width="1.0722222222222222in" height="0.2076388888888889in"}，即{width="1.176388888888889in" height="0.2076388888888889in"}，
联立，解得{width="0.4263888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，
即当{width="0.19722222222222222in" height="0.16597222222222222in"}最小时，．
故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知向量＝(1，*m*)，＝(，)，若⊥，则*m*＝ [ ]{.underline} ．
答案：
解析：．
14．的展开式中*x*的系数为 [ ]{.underline} ．
答案：﹣280
解析：由于{width="0.5097222222222222in" height="0.38472222222222224in"}的展开式的通项公式为{width="1.1972222222222222in" height="0.2388888888888889in"}，
则令，求得，可得展开式中*x*的系数为．
15．某系列智能手机玻璃版有"星河银"、"罗兰紫"、"翡冷翠"、"亮黑色"四种颜色．若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机，若甲购买"亮黑色"或"星河银"，则乙不购买"罗兰紫"，则这四位市民不同的购买方案有 [ ]{.underline}
[ ]{.underline} 种．
答案：20
解析：依题意，就甲实际购买的手机颜色进行分类，第一类，甲实际购买的手机颜色为"亮黑色"与"星河银"之一，满足题意的购买方案有(种)；第二类，甲实际购买的手机颜色不是"亮黑色"，也不是"星河银"，满足题意的购买方案有(种)，由分类加法计数原理可知，满足题意的购买方案有8＋12＝20(种)．
16．已知函数，①若*a*＝1，则不等式的解集为 [ ]{.underline} ；②若存 在实数*b*，使函数有两个零点，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} ．
答案：①（－∞，0\] ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
解析：①当{width="0.32222222222222224in" height="0.1763888888888889in"}时，{width="1.0097222222222222in" height="0.46805555555555556in"}，则令，即有或，解得*x*≤0或，
故的解集为（－∞，0\]；
②由函数{width="0.9576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}只有一个零点时，{width="0.4576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}时，{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}或{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}，
当{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}时，{width="1.0409722222222222in" height="0.46805555555555556in"}，此时{width="0.9576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}只有一个零点；
当{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}时，{width="0.32222222222222224in" height="0.2076388888888889in"}有2个零点；
同理当{width="0.34305555555555556in" height="0.1763888888888889in"}时，{width="1.0409722222222222in" height="0.46805555555555556in"}，{width="0.9576388888888889in" height="0.2076388888888889in"}只有一个零点
> 当*a*＞4时，有2个零点， 故可得*a*的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，*a*，*b*，*c*分别为内角A，B，C的对边，且满足(*b*﹣*a*)(sinB＋sinA)＝*c*(sinB﹣sinC)．
（1）求A的大小；
（2）若*a*＝2，B＝，求△ABC的面积．
**解：（1）因为，**
**由正弦定理，得，即，**
**所以，**
**因为，所以．**
2. **由正弦定理，得．**
**由余弦定理，得，**
**解得．**
**所以的面积．**
18．（本小题满分12分）
给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点(*n*，)均在函数的图像上，其中*a*为常数；③．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设是一个公比为*q*(*q*＞0，*q*≠1)的等比数列， [ ]{.underline} ，且它的首项．
（1）求数列的通项公式；
（2）令()，证明的前*n*项和．
解：若选：因为成等差数列，所以.
又因为数列是等比数列，即解得 或（舍去）**......**3分
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
若选：点均在函数的图像上，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
若选：，因为是公比为的等比数列，
所以，即解得或（舍去）
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式
（2）证明：因为，所以
所以
所以
19．（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~D⊥DC，如图2．
（1）求证：A~1~E⊥平面BCDE；
（2）求二面角E---A~1~B---C的余弦值．
{width="3.6902777777777778in" height="1.1805555555555556in"}
**解：（1）**∵*DE*⊥*BE*，*BE*∥*DC*，∴*DE*⊥*DC．*
又∵*A*~1~*D*⊥*DC*，*A*{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.5e-2in"}~1~*D*∩*DE*=*D*，∴*DC*⊥平面*A*~1~*DE*，∴*DC*⊥*A*~1~*E*．
又∵*A*~1~*E*⊥*DE*，*DC*∩*DE*=*D*，∴*A*~1~*E*⊥平面*BCDE*．
**（2）**∵*A*~1~*E*⊥平面*BCDE*，*DE*⊥*BE*，
∴以*EB*，*ED*，*EA*~1~所在直线分别为*x*轴，*y*轴和*z*轴，建立空间直角坐标系（如图）．
{width="2.216666666666667in" height="1.175in"}
易知*DE*=2{width="0.175in" height="0.175in"}，则*A*~1~(0，0，2)，*B*(2，0，0)，*C*(4，2{width="0.175in" height="0.175in"}，0)，*D*(0，2{width="0.175in" height="0.175in"}，0)，
∴=(−2，0，2)，=(2，2{width="0.175in" height="0.175in"}，0)，
易知平面*A*~1~*BE*的一个法向量为*n*=(0，1，0)．
设平面*A*~1~*BC*的法向量为*m*=(*x*，*y*，*z*)，
由·*m*={width="1.6666666666666666e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}0，·*m*=0，得{width="0.925in" height="0.425in"}令*y*=1，得*m*=(−{width="0.175in" height="0.175in"}，1，−{width="0.175in" height="0.175in"})，
∴cos〈*m*，*n*〉={width="0.36666666666666664in" height="0.275in"}={width="0.3416666666666667in" height="0.3416666666666667in"}={width="0.175in" height="0.325in"}．
由图得二面角*E* −*A*~1~*B* −*C*为钝二面角，∴二面角*E* −*A*~1~*B* −*C*的余弦值为−{width="0.175in" height="0.325in"}．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：(*a*＞*b*＞0)的右准线方程为*x*＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直 线的斜率．
解：（1）由题意知，直线的方程为，，
右焦点到直线的距离为，
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，椭圆的方程为；
（2）由（1）知，， 直线的方程，
联立方程组，
解得或（舍），即，
直线的斜.
其他方法：
方法二: 由（1）知，， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.
方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，
所以,，当三点共线时有，，
即，解得或，又由题意知，得或，所以.
21．（本小题满分12分）
南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
---------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
得分 \[30，40) \[40，50) \[50，60) \[60，70) \[70，80) \[80，90) \[90，100)
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
---------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ----------- ------------
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为"比较了解"（得分不低于60分）和"不太了解"（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为"居民对垃圾分类的了解程度"与"性别"有关?
------ ---------- ---------- ------
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
------ ---------- ---------- ------
（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人， 连同*m*(*m*)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这*m*＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求*m*的最小值．
附公式及表：
，其中．
----- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
P() 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
----- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6；
（2）由题意得列联表如下：
------ ---------- ---------- ------
不太了解 比较了解 总计
男性 250 330 580
女性 150 270 420
总计 400 600 1000
------ ---------- ---------- ------
K^2^＝≈5.542
因为 5.542＞3.841，
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关
3. 由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人
随机变量*ξ*的所以可能取值为0，1，2，3，其中
*P*（*ξ＝0*）*＝*，*P*（*ξ＝1*）*＝*，*P*（*ξ＝2*）*＝*，*P*（*ξ＝3*）*＝*，
所以随机变量*ξ*的分布列为：
----- --- --- --- ---
*ξ* 0 1 2 3
*P*
----- --- --- --- ---
*E*（*ξ*）*＝*×0＋×1＋×2＋×3≥2
解得*m*≥2，所以*m*的最小值为2
法二：由题意知，随机变量*ξ*服从超几何分布*H*（3，*m*＋6，*m*＋10），
则*E*（*ξ*）*＝*，
由*E*（*ξ*）≥2 得*m*≥2，所以*m*的最小值为2
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中*a*R，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
3. 求实数和*a*的值；
（3）证明()．
解：（1）函数*f*(*x*)的定义域为（0，＋∞），且*f* ′(*x*)＝2*x*－2ln*x*－2，令*h*(*x*)＝*f* ′(*x*)，
则有*h*′(*x*)＝，由*h*′(*x*)＝0可得*x*＝1，如下表：
----------- ---------- -------- ------------
*x* （0，1） 1 （1，＋∞）
*h*′(*x*) － 0 *＋*
*h*(*x*) ↘ 极小值 ↗
----------- ---------- -------- ------------
所以*h*(*x*)≥*h*(1)＝*0* ，即*f* ′(*x*)≥0，*f*(*x*)在（0，＋∞）上单调递增
2. 函数*g*(*x*)的定义域为（0，＋∞），且*g* ′(*x*)＝1－－
由已知，得*g* ′(*x~0~*)＝0，即 *x~0~^2^*－2*x~0~*ln*x~0~*－*a*＝0 ①
由 *g* (*x~0~*)＝2可得*x~0~^2^*－*x~0~（*ln*x~0~）^2^*－2*x~0~*＋*a*＝0 ②
联立①②消去*a*可得2*x~0~*－*（*ln*x~0~）^2^* －2ln*x~0~*－2＝0 ③
令 *t* (*x*)＝2*x*－*（*ln*x）^2^* －2ln*x*－2，则*t*′ (*x*)＝2－－ ＝
由 ①知 *x*－ln*x*－1≥0，故*t*′ (*x*)≥0，所以*t* (*x*)在（0，＋∞）上单调递增
*t* (*1*)＝0，所以方程③有唯一解*x~0~*＝1，代入①，可得*a*＝1.
3. 由（1）知*f* (*x*)＝*x*^2^－2*x*ln*x在*（0，＋∞）上单调递增，
故当*x*∈（1，＋∞），*f* (*x*)＞*f* (*1*)＝1，所以*g* ′(*x*)＝1－－＝＞0，
可得*g*(*x*)在（1，＋∞）上单调递增。当*x*＞1时， *g*(*x*)＞*g*(*1*)＝2，即*x＋*－*（*ln*x）^2^* ＞2
亦即（－ ）^2^＞*（*ln*x）^2^* ，这时－＞0， ln*x*＞0，故得－＞ln*x*
*取x*＝，*k*∈***N*^\*^**。可得－＞ln（2*k*＋1）－ln（2*k*－1）
而－＝ 故＞\[ln（2*k*＋1）－ln（2*k*－1）\]＝ln（2*n＋*1）
所以＞ln（2*n＋*1）
| 1 | |
**湖北省武汉市2020年中考数学真题**
**一、选择题**
1.的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
2.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．
【详解】解：由式子在实数范围内有意义，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A. 两个小球的标号之和等于1 B. 两个小球的标号之和等于6
C. 两个小球的标号之和大于1 D. 两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【解析】
【分析】
随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A："两个小球的标号之和等于1"为不可能事件，故选项A错误；
选项B："两个小球的标号之和等于6"为随机事件，故选项B正确；
选项C："两个小球的标号之和大于1"为必然事件，故选项C错误；
选项D："两个小球的标号之和大于6"为不可能事件，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义"在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形"逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据左视图的定义即可求解．
【详解】根据图形可知左视图为
故选A．
【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知左视图的定义．
6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据概率公式即可求解．
【详解】画树状图：
∴P（选中甲、乙两位）=
故选C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7.若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y~1~＞y~2~，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
9.如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，
∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，
即BC=2x=2，
在Rt△ABC中，．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键
10.下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的""形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的方格纸片．把""形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的方格纸片，将""形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有种不同放置方法，则的值是（ ）
A. 160 B. 128 C. 80 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出方格纸片中共含有多少个方格纸片，再乘以4即可得．
【详解】由图可知，在方格纸片中，方格纸片的个数为（个）
则
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在方格纸片中，方格纸片的个数是解题关键．
**二、填空题**
11.计算的结果是\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】==3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】将这组数据按从小到大进行排序为
则这组数据的中位数是
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．
13.计算的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的减法法则进行计算即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
14.在探索数学名题"尺规三等分角"的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】26°．
【解析】
【分析】
设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用x表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、 ∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可．
【详解】解：设∠BAC=x
∵平行四边形的对角线
∴DC//AB,AD=BC,AD//BC
∴∠DCA=∠BAC=x
∵AE=BE
∴∠EBA =∠BAC=x
∴∠BEC=2x
∵
∴BE=BC
∴∠BCE=∠BEC =2x
∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x
∵AD//BC，
∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．
故答案为26°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键．
15.抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是\_\_\_\_\_\_\_\_（填写序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】
①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与时的函数值相等，即为
当时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当时，
则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或
对应的的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．
16.如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意可以设*DE*=*EM*=*x*，在三角形*AEM*中用勾股定理进一步可以用*t*表示出*x*，再可以设*CF*=*y*，连接*MF*，所以*BF*=2−*y*，在三角形*MFN*与三角形*MFB*中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用*t*表示出*y*，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.
【详解】设*DE*=*EM*=*x*，
∴，
∴*x*= ，
设*CF*=*y*，连接*FM*，
∴*BF*=2−*y*，
又∵*FN*= *y*，*NM*=1，
∴，
∴*y*=，
∴四边形的面积为：=∙1，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.
**三、解答题**
17.计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键．
18.如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】平分，平分
，即
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
19.为改善民生；提高城市活力，某市有序推行"地摊经济"政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：表示"非常支持"，表示"支持"，表示"不关心"，表示"不支持"，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
 
（1）这次共抽取了\_\_\_\_\_\_\_\_名居民进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示"支持"的类居民大约有多少人？
【答案】（1）60，；（2）图见解析；（3）该社区表示"支持"的类居民大约有1200人．
【解析】
【分析】
（1）根据C类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D类居民人数的占比，然后乘以即可得；
（2）根据（1）的结论，先求出A类居民的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出表示"支持"的类居民的占比，再乘以2000即可得．
【详解】（1）总共抽取的居民人数为（名）
D类居民人数的占比为
则类所对应的扇形圆心角的大小是
故答案：60，；
（2）A类居民的人数为（名）
补全条形统计图如下所示：
（3）表示"支持"的类居民的占比为
则（名）
答：该社区表示"支持"的类居民大约有1200人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20.在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；
（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；
（2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，则四边形是正方形，连接，DB，交AB于点E，则E点为所求；
（3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过E点作线段交于，交于，则为所求．
【详解】解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；
（2）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
则四边形是正方形，连接，DB，交AB于点E，
则E点为所求，
理由如下：∵四边形是正方形，
∴，，
则有，
∴E点为所求；
（3）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
过E点作线段交于，交于，
则为所求；
理由如下：∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴
∵，
∴,
∵四边形的顶点坐标分别为，，，，
∴四边形是平行四边形，
根据是平行四边形的对角线，
∴
∴
∴，
∴垂直平分
∴是点关于直线的对称点，
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
21.如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）的值为．
【解析】
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角平分线的定义即可得证；
（2）如图（见解析），先根据角的和差、等量代换可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，设，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出x的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得．
【详解】（1）如图，连接OD
由圆的切线的性质得：
又
则平分；
（2）如图，连接BD
由圆周角定理得：
在和中，
设，则，且
在和中，
，即
解得或（不符题意，舍去）
经检验，是所列分式方程的解
则在中，
故的值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正弦三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
22.某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求，的值；
（2）当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
（3）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，直接写出，两城总运费的和的最小值（用含有的式子表示）．
【答案】（1），；（2）A城生产20件，B城生产80件；（3）当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y也为0，再利用待定系数法即可求出a、b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式，从而可得出，两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，先列出从A城运往D地的产品数量、从B城运往C地的产品数量、从B城运往D地的产品数量，再求出n的取值范围，然后根据题干运费信息列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即时，
则，解得
故，；
（2）由（1）得：
设，两城生产这批产品的总成本的和为
则
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元
此时
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件
由题意得：，解得
整理得：
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当时，在内，随的增大而减小
则时，取得最小值，最小值为
②当时，在内，随的增大而增大
则时，取得最小值，最小值为
答：当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的实际应用等知识点，较难的是题（3），正确设立未知数，建立函数关系式是解题关键．
23.问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
  
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】
【分析】
问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了相似三角形综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．
 
（1）直接写出抛物线，解析式；
（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x^2^-4x-2；抛物线的解析式为：y=x^2^-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x^2^-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．
【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：y=(x-2)^2^-6，即y=x^2^-4x-2，
抛物线的解析式为：y=(x-2+2)^2^-6，即y=x^2^-6．
（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，
∵是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点A的坐标为（x，x^2^-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x^2^-4x-2，
∴x-2= x^2^-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A的坐标为（5，3）；
同理，当点B、点A在x轴下方时，
x-2= -(x^2^-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点的坐标为（4，-2），
综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，
∴，
∴x^2^-kx-6=0，
设点E的横坐标为x~E~，点F的横坐标为x~F~，
∴x~E~+x~F~=k，
∴中点M的横坐标x~M~==，
中点M的纵坐标y~M~=kx=，
∴点M的坐标为（，）；
同理可得：点N的坐标为（，），
设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），
将M（，）、N（，）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为y= ·x+2（），
不论k取何值时（），当x=0时，y=2，
∴直线经过定点（0，2）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
| 1 | |
**2019年江苏省南京市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（2分）（2019•南京）2018年中国与"一带一路"沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是
A． B． C． D．
2．（2分）（2019•南京）计算的结果是
A． B． C． D．
3．（2分）（2019•南京）面积为4的正方形的边长是
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
4．（2分）（2019•南京）实数、、满足且，它们在数轴上的对应点的位置可以是
A． B．
C． D．
5．（2分）（2019•南京）下列整数中，与最接近的是
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2分）（2019•南京）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
**二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
7．（2分）（2019•南京）的相反数是[ ]{.underline}，的倒数是[ ]{.underline}．
8．（2分）（2019•南京）计算的结果是[ ]{.underline}．
9．（2分）（2019•南京）分解因式的结果是[ ]{.underline}．
10．（2分）（2019•南京）已知是关于的方程的一个根，则[ ]{.underline}．
11．（2分）（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理"同旁内角互补，两直线平行"的推理形式：[ ]{.underline}，．
12．（2分）（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有[ ]{.underline}．
13．（2分）（2019•南京）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
------ --------- ----- ----- ----- ---------
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
------ --------- ----- ----- ----- ---------
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是[ ]{.underline}．
14．（2分）（2019•南京）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则[ ]{.underline}．
15．（2分）（2019•南京）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分．若，，则的长[ ]{.underline}．
16．（2分）（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（7分）（2019•南京）化简：
18．（7分）（2019•南京）解方程：．
19．（7分）（2019•南京）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．
20．（8分）（2019•南京）如图是某市连续5天的天气情况．
（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
21．（8分）（2019•南京）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是[ ]{.underline}．
22．（7分）（2019•南京）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．
23．（8分）（2019•南京）已知一次函数为常数，和．
（1）当时，若，求的取值范围．
（2）当时，．结合图象，直接写出的取值范围．
24．（8分）（2019•南京）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．
（参考数据：，．
25．（8分）（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
26．（9分）（2019•南京）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．
小明的作法
1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．
2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
27．（11分）（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
（1）①已知点，则[ ]{.underline}．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是[ ]{.underline}．
（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．
（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
**2019年江苏省南京市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1．（2分）2018年中国与"一带一路"沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：
故选：．
2．（2分）计算的结果是
A． B． C． D．
【分析】根据积的乘方法则解答即可．
【解答】解：．
故选：．
3．（2分）面积为4的正方形的边长是
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；
故选：．
4．（2分）实数、、满足且，它们在数轴上的对应点的位置可以是
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式的性质，先判断的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解答】解：因为且，
所以．
选项符合，条件，故满足条件的对应点位置可以是．
选项不满足，选项、不满足，故满足条件的对应点位置不可以是、、．
故选：．
5．（2分）下列整数中，与最接近的是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】由于，可判断与4最接近，从而可判断与最接近的整数为6．
【解答】解：，
，
与最接近的是4，
与最接近的是6．
故选：．
6．（2分）如图，△是由经过平移得到的，△还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与△重合．
【解答】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转，即可得到△；
先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到△；
故选：．
**二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
7．（2分）的相反数是[ 2 ]{.underline}，的倒数是[ ]{.underline}．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的相反数是 2，的倒数是 2，
故答案为：2，2．
8．（2分）计算的结果是[ 0 ]{.underline}．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式．
故答案为0．
9．（2分）分解因式的结果是[ ]{.underline}．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
10．（2分）已知是关于的方程的一个根，则[ 1 ]{.underline}．
【分析】把代入方程得到关于的方程，然后解关于的方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为1．
11．（2分）结合图，用符号语言表达定理"同旁内角互补，两直线平行"的推理形式：[ ]{.underline}，．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：，
（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为：．
12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有[ 5 ]{.underline}．
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：．
故答案为：5．
13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
------ --------- ----- ----- ----- ---------
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 102 98 80 93 127
------ --------- ----- ----- ----- ---------
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是[ 7200 ]{.underline}．
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是（人，
故答案为：7200．
14．（2分）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则[ ]{.underline}．
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：连接，
、是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（2分）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分．若，，则的长[ ]{.underline}．
【分析】作于，由角平分线的性质得出，设，则，由线段垂直平分线得出，，得出，得出，，，，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．
【解答】解：作于，如图所示：
平分，
，
设，则，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
故答案为：．
16．（2分）在中，，，，则的长的取值范围是[ ]{.underline}．
【分析】作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，而，即可得出答案．
【解答】解：作的外接圆，如图所示：
，，
当时，是直径最长，
，
，
，，
，
；
当时，是等边三角形，，
，
长的取值范围是；
故答案为：．
**三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**
17．（7分）化简：
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为，计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
18．（7分）解方程：．
【分析】方程两边都乘以最简公分母化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以去分母得，
，
即，
解得
检验：当时，，
是原方程的解，
故原分式方程的解是．
19．（7分）如图，是的边的中点，，，与相交于点．求证：．
【分析】依据四边形是平行四边形，即可得出，依据，即可得出，，即可判定．
【解答】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
，
，，
．
20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．
（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；
（2）用"先平均，再求差，然后平方，最后再平均"得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用来表示，计算公式是：
（可简单记忆为"方差等于差方的平均数" ．
【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是
，，
方差分别是
，
，
，
该市这5天的日最低气温波动大；
（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．
21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是[ ]{.underline}．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．
22．（7分）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．
【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得结论．
【解答】证明：连接，
，
，
，即，
，
．
23．（8分）已知一次函数为常数，和．
（1）当时，若，求的取值范围．
（2）当时，．结合图象，直接写出的取值范围．
【分析】（1）解不等式即可；
（2）先计算出对应的的函数值，然后根据时，一次函数为常数，的图象在直线的上方确定的范围．
【解答】解：（1）时，，
根据题意得，
解得；
（2）当时，，把代入得，解得，
当时，；
当时，．
24．（8分）如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．
（参考数据：，．
【分析】延长交于，利用正切的定义用表示出、，根据题意列式求出，计算即可．
【解答】解：延长交于，
则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得，，
解得，，
，，
，
，
，
，
答：隧道的长度为．
25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长，宽，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【分析】设扩充后广场的长为，宽为，根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解答．
【解答】解：设扩充后广场的长为，宽为，
依题意得：
解得，（舍去）．
所以，，
答：扩充后广场的长为，宽为．
26．（9分）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．
小明的作法
1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．
2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
（1）证明小明所作的四边形是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）求出几种特殊位置的的值判断即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）如图1中，当四边形是正方形时，设正方形的边长为．
在中，，，，
，
则，，
，
，
，
，
观察图象可知：时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．
，
，
，
解得，
，
如图3中，当四边形是菱形时，设菱形的边长为．
，
，
，
，
，
，
观察图象可知：当或时，菱形的个数为0，当或时，菱形的个数为1，当时，菱形的个数为2．
27．（11分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点，和，，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
（1）①已知点，则[ 3 ]{.underline}．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是[ ]{.underline}．
（2）函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点，使．
（3）函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【分析】（1）①根据定义可求出；②由两点间距离：及点是函数的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点的坐标；
（2）由条件知，根据题意得，整理得，由△可证得该函数的图象上不存在点，使．
（3）根据条件可得，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
（4）以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，可由，，证明结论即可．
【解答】解：（1）①由题意得：；
②设，由定义两点间的距离可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：3，；
（2）假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得，
，
，，
，
，
，
△，
方程没有实数根，
该函数的图象上不存在点，使．
（3）设，
根据题意得，，
，
又，
，，
当时，有最小值3，此时点的坐标是．
（4）如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处．
理由：设过点的直线与轴相交于点．在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线，与轴相交于点．
，
，，
同理，
，
，，，
上述方案修建的道路最短．
| 1 | |
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：图中阴影部分表示的集合为,故选A.
考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.
2\. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
选D.\[来源:学,科,网\]
考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.\[来源:Zxxk.Com\]
3\. 如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
【答案】A
考点：几何概型.
4\. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（ ）
A．45 B．50 C.55 D．60
【答案】D
【解析】
试题分析：由表格可知，，所以，所以有
，解得，故选D.
考点：线性回归.
5\. 已知焦点在轴上的双曲线的中点是原点，离心率等于 .以双曲线的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
考点： 双曲线的标准方程与几何性质.
6\. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．  B．35 C.  D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为的等腰三角形，三棱柱的高为，两个三棱锥的底面底与高皆为的等腰三角形，高为，因此几何体的体积为 ，故选C.
考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.
7\. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的为（ ）
（参考数据：,,）
A．12 B．24 C. 36 D．4
【答案】B
考点：1.数学文化；2.程序框图.
8\. 如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）
A．  B．  C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由图象可知，函数，由此知此函数是由的图象向右平移 个单位得到的，由选项可知D正确，故选D.看完
考点：三角函数的图象与性质.
9\. 三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.
10\. 在中，角，，的对边分别为，，，且.若的面积，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：由及正弦定理得，所以，又因为为三角形内角，，所以，又，即，由余弦定理可得\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
，当且仅当时等号成立，解此不等式得，即的最小值为，故选B.
考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.
【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.
11\. 已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：函数与方程.
【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
12\. 已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：导数与函数的单调性、极值、最值.
【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
考点：二项式定理.
14\. 已知抛物线方程为，焦点为，是坐标原点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，若的面积为，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为，准线为，设，则，又因为 ，，所以，所以，，代入得，解之得或，又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以.\[来源:ZXXK\]
考点：抛物线的标准方程及几何性质.
15\. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
【解析】
试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有.故满足条件的公法共有种方法.
考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.
【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．"含"与"不含"的问题："含"，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；"不含"，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
16\. 若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
【答案】
考点：线性规划.
【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）
设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.
（1）求数列,的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】(1) ；(2) .
考点：1.与的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.
【名师点睛】本题考查与的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
18\. （本小题满分12分）
某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为"环保卫士-12369"的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：
（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？
下面临界值表供参考：
参考公式：，其中.
【答案】（1）；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
（Ⅱ）根据以上数据得到如表：
---------- ------------ ---------- ------
非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计
---------- ------------ ---------- ------
............8分
的观测值.
有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关...............................12分
考点：1.古典概型；2.独立性检验.
【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求的观察值或已知观察值，判断命题的正确性.
19\. （本小题满分12分）
已知在三棱柱中，侧面为正方形，延长到，使得，平面平面，，.
（1）若分别为，的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
（2）连接，在中，
，
所以由余弦定理得是等腰直角三角形，，
又因为平面平面，平面平面平面，平面，，............7分
又因为侧面，为正方形，，分别以所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，..................8分
设平面的一个法向量为，则，即，令，则
，
故为平面的一个法向量，
所以，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.
20\. （本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
21\. （本小题满分12分）
已知函数，且曲线与轴切于原点.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
（2）不等式，
整理得，
即或，............6分
令.
当时，；当时，，
在单调递减，在单调递增，，
即，所以在上单调递增，而；
故.
当或时，；同理可得，当时，.
当恒成立可得，当或时，，
当时，，故和是方程的两根，
从而.............12分
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.
**请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.
【答案】（1）直线的普通方程,曲线的普通方程为；（2）最小值为，相应的点为或.
∴当，即或，上式取最小值.
即当或，的最小值为.
【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用.
23\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知实数，，函数的最大值为3.
（1）求的值；
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .\[来源:学§科§网\]
【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.
| 1 | |
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
> A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为集合中至少有3个元素，所以，所以，故选C．
考点：1、集合的元素；2、对数的性质．
2.复数的共轭复数的虚部是（ ）
> A． B． C．-1 D．1
【答案】C
考点：复数的概念及运算．
3\. 下列结论正确的是（ ）
> A．若直线平面，直线平面，则
>
> B．若直线平面，直线平面，则\[来源:\]
>
> C．若两直线与平面所成的角相等，则
>
> D．若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则
【答案】A
【解析】
试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线平面，直线平面，则，正确；B中，若直线平面，直线平面，则两平面可能相交或平行，故B错；C中，若两直线与平面所成的角相等，则可能相交、平行或异面，故C错；D中，若直线上两个不同的点到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错，故选A．
考点：空间直线与平面间的位置关系．
【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中"不共线的三点"，"不共线"是很重要的条件．
4.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）
> A．29 B．31 C．33 D．36\[来源:Zxxk.Com\]
【答案】B
考点：等比数列通项公式及求前项和公式．
【一题多解】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故选B．
5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）
> A． B． C． D．
【答案】D
【解析】\[来源:学,科,网\]
试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D．
考点：简单的线性规划问题．
6.若，则的最小值为（ ）
> A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
考点：1、对数的运算；2、基本不等式．
7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）
> 
>
> A．计算数列前5项的和 B．计算数列前5项的和 
>
> C．计算数列前6项的和 D．计算数列前6项的和
【答案】D
考点：循环结构流程图．
【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．
8.中，"角成等差数列"是""的（ ）
> A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】\[来源:\]
试题分析：由角成等差数列，得；由，得＝，化简得，所以,或，所以"角成等差数列"是""的充分不必要条件，故选A．
考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．
9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（ ）
> A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为二次三项式对于一切实数恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以＝，故选D．
考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．
10.已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
> A． B． C． D．
【答案】A
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．
11.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
> A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由条件知，方程，即在上有解．设，则．因为，所以在有唯一的极值点．因为＝，，，又，所以方程在上有解等价于，所以的取值范围为，故选B．
考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．
12.如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）
> 
>
> A． B． C． D．
【答案】C\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
考点：向量的几何意义．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若实数，且满足，则的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，且满足，所以，又，所以，即．
考点：基本不等式．
14.若，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】0
【解析】
试题分析：由，得，所以或 ．因为，所以，所以＝＋＝＝＝＝．
考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角．
15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
> 
【答案】80
考点：空间几何体的三视图及体积．
【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的"组合"，同时注意三视图的作图原则："长对正，高平齐，宽相等"，由此可确定几何体中各数据．
16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
试题分析：函数的图像如图所示，因为，所以关于的方程在上有2个根．令，则方程在上有2个不同的正解，所以，解得．
考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．
【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）已知，集合，把中的元素从小到大依次排成一列，得到数列．
> （1）求数列的通项公式；
>
> （2）记，设数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
（2）∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．
18.（本小题满分12分）已知向量，记．
> （1）若，求的值；
>
> （2）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
所以，又因为，
故函数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．
【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角的值是关键，结合三角形形状得到函数的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉，实在可惜．
19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．
> 
>
> （1）求证：；
>
> （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）．
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因为三棱柱是直三棱柱，
则底面，所以．
又，从而侧面，
又侧面，故．．．．．．．．．．．．．．．．6分
解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则
考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．
【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于"线线垂直"、"线面垂直"、"面面垂直"之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
20.（本小题满分12分）已知函数．
> （1）若曲线 上点处的切线过点，求函数的单调减区间；
>
> （2）若函数在上无零点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
（2）因为在区间上恒成立不可能，
故要使函数在上无零点，只要对任意的恒成立，
即对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
令，
则．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
再令，
则，
故在上为减函数，于是，
从而，，于是在上为增函数，所以，
故要使恒成立，只要，
综上，若函数在上无零点，则的最小值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的"两种"常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．
21.（本小题满分12分）已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．
> （1）求的值；
>
> （2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；
>
> （3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．
【答案】（1）；（2）；（3）若时，，函数极小值点为；若时，当时，函数极小值点为，极大值点为（其中，）
（3）的定义域为，
∴
方程 （\*）的判别式
．
①若时，，方程（\*）的两个实根为，或，
则时，；时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．
**请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
> 已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点．
>
> 
>
> （1）求证：；
>
> （2）若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理．
23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
> 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
>
> （1）若直线与曲线交于两点，求的值；
>
> （2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】（1）2；（2）16．
【解析】
试题分析：（1）求出曲线的普通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）用椭圆参数方程设矩形的四点，面积用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解．
试题解析：（1）已知曲线 的标准方程为，则其左焦点为．
则，将直线的参数方程与曲线联立，
得，则．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由曲线的方程为，可设曲线上的定点，
则以为顶点的内接矩形周长为，
因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
> 已知使不等式成立．
>
> （1）求满足条件的实数的集合；
>
> （2）若，对，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）6．
考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．
| 1 | |
**数学（****理）试题**
> **第Ⅰ卷（共60分）\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B．  C． D．
2\. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3\. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4\. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
5\. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ）
A． B． C． D．
6\. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7\. 为了得到，只需将作如下变换（ ）
A． 向右平移个单位 B．向右平移个单位 
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8\. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过
中的那部分区域的面积为（ ）\[来源:ZXXK\]
A． B． C． D．
9\. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10\. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
11\. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为
（ ）
A． 个 B．个 C． 个 D． 个
12\. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）
A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上增减函数
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 的展开式中项的系数为 [ ]{.underline} ．
14\. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 [ ]{.underline} ．
15\. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 [ ]{.underline} ．
\[来源:ZXXK\]
16\. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的.
（1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）;
（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）.
18\. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面
平面,且,且.
（1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;
（2）求二面角的余弦值.
\[来源:\]
19\. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
-- -- ----------- -- --
\[来源:\]
-- -- ----------- -- --
且的数学期望,求的值;
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：① 产品的"性价比"；
②"性价比"大的产品更具可购买性.
20\. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程;
（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标；
\(3\) 在(2) 的条件下求面积的最大值.
21\. （本小题满分12分）已知函数(常数).
（1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点;
（2）若函数存在两个极值点,证明:.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.
（1）若,求的值;
（2）若,证明:.
23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:
为参数), 曲线的极坐标方程为:.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.
24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式;
（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.
**河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）**
**试题参考答案**
1. **选择题：**每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意**.**
**ADCBA DCDCB DB**
2. **填空题：每题5分，共20分.**
**13.** 14. 15. **16.**
**三、解答题**
**17.本题满分12分**
**解：**（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万）的表达式为
（2）设 为数列的前项和，则从 年到年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得： 万
新政策实施到年年人口均值为
故到年不需要调整政策．
**18．本题满分12分**
解：（1）连接，交于点，连接，则平面
证明：为中点，为中点
为的中位线，
又平面平面
平面平面=,平面,
平面
，
又，
平面
所以平面
（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，
平面PEA
平面PEA的法向量
另外，，
，,设平面DPE的法向量，则
，令，得
又为锐二面角,所以二面角的余弦值为
19．本题满分12分
**解：（1） ，即** **①**
**又由 的概率分布列得** **②**
**由①** **② 得**
**（2）由已知得，样本的频率分布表如下：**
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
**用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X~2~的概率分布列如下：**
-- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- --
**所以，**
**即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：**
**因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为**
**因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为**
**据此，乙厂的产品更具可购买性。**
20．本题满分12分
解：（1）由题意 即
（2）设，
由得
同理  
i\) 时， 过定点
ii\) 时过点过定点
（3）由（2）知
令时取等号时去等号，
21．本题满分12分
解：依题意，
令，则.
（1）①当时，，所以无解，则函数 不存在大于零的极值点；
②当时，由，故在 单调递增. 又，，
所以在有且只有一个零点. 3分
又注意到在的零点左侧，，在的零点右侧，，
所以函数在有且只有一个极值点.
综上所述，当 时，函数在内有且只有一个极值点. 4分
（2）因为函数存在两个极值点（不妨设），
所以,是的两个零点，且由（1）知，必有.
令得 ；
令 得；
令得.
所以在单调递增，在单调递减， 6分
又因为，
所以必有. 
令，解得， 8分
此时 .
因为是的两个零点，
所以，.
将代数式视为以为自变量的函数
则 .
当时，因为，所以，
则在单调递增.
因为，所以，
又因为，所以.
当时，因为，所以，
则在单调递减，
因为，所以.
综上知，且．． 12分
22.本题满分10分
（1）解：因为 四点共圆；,又,又.
（2）,又,
又因为 四点共圆；.
**23．本题满分10分**
解：(1) ., 由,得,
所以曲线的直角坐标方程为,由,消去解得：.所以直线*l*的普通方程为.
(2)把 代入, 整理得 ,
设其两根分别为 ，则 .
**24、本题满分10分**
**解析：**
**（1）**由得 ， ，解得 ．
所以原不等式的解集为.
（2）因为对任意 ，都有 ，使得 成立
所以 ，
有，当且仅当时, 取等号,,所以从而 或**.** 所以 实数的取值范围.
| 1 | |
**北师大版六年级（下）期中数学试卷（2）**
**一、填空题：15分**
1．一幅图的比例尺是．A、B两地相距140km，画在这幅图上应是[ ]{.underline}cm．
2．用一张长31.4厘米，宽20厘米的长方形的纸围成一个圆柱体，这张纸的长就是圆柱体的[ ]{.underline}，宽是圆柱体的[ ]{.underline}．
3．一个圆柱体的侧面展开是一个边长是8cm的正方形．这个圆柱的侧面积是[ ]{.underline}cm^2^．
4．一个零件长8毫米，画在设计图上是16厘米，这幅设计图的比例尺是[ ]{.underline}．
5．六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成[ ]{.underline}比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量，成[ ]{.underline}比例；3x=y，x和y成[ ]{.underline}比例；实际距离一定，图上距离和比例尺成[ ]{.underline}比例．
6．两个等高的圆柱体的底面半径的比是4：3，它们的体积比是[ ]{.underline}．
7．46米^2^=[ ]{.underline}分米^2^ 5600分米^3^=[ ]{.underline}米^3^
7.08升=[ ]{.underline}升[ ]{.underline}毫升 3dm^3^50cm^3^=[ ]{.underline}dm^3^．
8．一个圆锥形零件，底面半径是6dm，高是半径的一半，这个零件的体积是[ ]{.underline}dm^3^．
9．把一个圆柱体平均分成若干份切开，拼成一个近似的长方体．这个长方体的底面积是7平方分米，高是8分米，圆柱体的体积是[ ]{.underline}立方分米．
10．一个圆柱形水池的内壁和底面都要抹上水泥，水池底面直径是4米，水池深15分米．抹水泥的面积是[ ]{.underline}平方米．
11．压路机的前轮是圆柱形，轮宽4m，直径1.5m，前轮转动一周，压路的面积是[ ]{.underline}m^2^．
12．在一幅平面图上，5厘米的线段表示实际距离50米．这幅图的比例尺是[ ]{.underline}．
13．底面积是30平方厘米、高5厘米的圆锥的体积是[ ]{.underline}立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是[ ]{.underline}立方厘米．
14．将体积为56.52dm^3^的铁块熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥体零件，圆锥的高是[ ]{.underline}dm．
**二、判断题：10分**
15．平行四边形的面积一定，底与高成反比例．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．一根电线，用去的米数与剩下的米数成反比例．[ ]{.underline}．
17．订阅《少年文艺》的份数与总钱数成反比例．[ ]{.underline}．
18．长方体的底面积一定，高和体积成反比例．[ ]{.underline}． （判断对错）
19．圆的半径和面积成正比例．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．圆柱的底面直径是3厘米，高3π厘米，侧面展开后是一个正方形．[ ]{.underline}．
**三、计算：**
21．计算下面立体图形的表面积：
22．计算下面立体图形的体积：
**四、解决问题：24分**
23．一种饮料罐的形状为圆柱形底面直径6厘米，高为10厘米，按上图方式放入纸箱，这个箱子的体积至少是多少立方厘米？
24．一个底面积1.5平方分米的玻璃缸里有一块石头，如图所示．水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？
25．制20节底面半径为5厘米、长为40厘米的圆柱形铁皮通风管，至少要用多大面积的铁皮？
26．在一幅比例尺是1：5000000的图上，量得甲城到乙城的距离是9厘米．一辆汽车从甲城开往乙城，每时行驶80千米，5小时能到达乙城吗？
**五、附加题：**
27．把两根底面积相等的2米长的圆柱体拼成一根圆柱体钢材以后，表面积减少了0.6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，拼成后的这根钢材重多少千克？
**北师大版六年级（下）期中数学试卷（2）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题：15分**
1．一幅图的比例尺是．A、B两地相距140km，画在这幅图上应是[ 3.5 ]{.underline}cm．
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）．
【分析】根据线段比例尺的意义，知道在图上是1厘米的距离，实际距离是40千米，现在知道实际距离是140千米，根据整数除法的意义，即可求出图上距离是多少．
【解答】解：140÷40=3.5（厘米）；
答：画在这幅图上应是3.5厘米．
故答案为：3.5．
2．用一张长31.4厘米，宽20厘米的长方形的纸围成一个圆柱体，这张纸的长就是圆柱体的[ 底面周长 ]{.underline}，宽是圆柱体的[ 高 ]{.underline}．
【考点】圆柱的展开图．
【分析】根据对圆柱的认识和通过操作获得的知识直接填入即可．
【解答】解：因为圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高．
所以长方形也可以围成一个圆柱，长就是这个圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高．
故答案为：底面周长，高
3．一个圆柱体的侧面展开是一个边长是8cm的正方形．这个圆柱的侧面积是[ 64 ]{.underline}cm^2^．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆柱的展开图．
【分析】由题意知，要求圆柱的侧面积就是求边长是8cm的正方形的面积，可利用正方形面积公式S=a^2^求得即可．
【解答】解：8^2^=64（cm^2^）；
故答案为：64．
4．一个零件长8毫米，画在设计图上是16厘米，这幅设计图的比例尺是[ 20：1 ]{.underline}．
【考点】比例尺．
【分析】分析条件可知，图上距离和实际距离的单位名称不统一，统一后再根据比例尺的概念（图上距离：实际距离=比例尺），求出数值比例尺．
【解答】解：16厘米=160毫米，
160：8=20：1；
故答案为：20：1．
5．六年级同学排队做广播操，每行人数和排成的行数成[ 反 ]{.underline}比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量，成[ 正 ]{.underline}比例；3x=y，x和y成[ 正 ]{.underline}比例；实际距离一定，图上距离和比例尺成[ 正 ]{.underline}比例．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】判定两种量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例．
【解答】解：①每行人数×排成的行数=总人数（一定），是乘积一定，每行人数和排成的行数成反比例；
②花生油的质量÷花生的质量=出油率（一定），是比值一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；
③3x=y，x÷y=（一定），是比值一定，x和y成正比例；
④图上距离÷比例尺=实际距离（一定），是比值一定，图上距离和比例尺成正比例；
故答案为：反，正，正，正．
6．两个等高的圆柱体的底面半径的比是4：3，它们的体积比是[ 16：9 ]{.underline}．
【考点】比的应用．
【分析】圆柱体的体积=底面积×高，底面积=底面半径的平方×圆周率．由于两个圆柱的高相等，所以它们体积的比就是它们半径平方的比．已知它们的半径比为4：3，所以它们的体积比是4^2^：3^2^=16：9．
【解答】解：由圆柱体的体积可知，圆柱体体积=底面半径的平方×圆周率×高，又两个圆柱体等高，所以它们的体积比是：
4^2^：3^2^=16：9；
故答案为16：9．
7．46米^2^=[ 4600 ]{.underline}分米^2^ 5600分米^3^=[ 5.6 ]{.underline}米^3^
7.08升=[ 7 ]{.underline}升[ 80 ]{.underline}毫升 3dm^3^50cm^3^=[ 3.05 ]{.underline}dm^3^．
【考点】面积单位间的进率及单位换算；体积、容积进率及单位换算．
【分析】把46米^2^换算成分米^2^数，用46乘进率100得4600分米^2^；把换算成数，用乘进率1000得；
把5600分米^3^换算成米^3^数，用5600除以进率1000得5.6米^3^；
把7.08升换算成复名数，整数部分就是7升，把小数部分0.08升换算成毫升数，用0.08乘进率1000得80毫升；
把3dm^3^50cm^3^换算成dm^3^数，先把50cm^3^换算成dm^3^数，用50除以进率1000得0.05dm^3^，再加上3dm^3^得3.05dm^3^．
【解答】46米^2^=4600分米^2^；
5600分米^3^=5.6米^3^；
7.08升=7升80毫升；
3dm^3^50cm^3^=3.05dm^3^．
故答案为：4600，5.6，7，80，3.05．
8．一个圆锥形零件，底面半径是6dm，高是半径的一半，这个零件的体积是[ 113.04 ]{.underline}dm^3^．
【考点】圆锥的体积．
【分析】根据"底面半径是6dm，高是半径的一半可求出高，再根据圆锥的体积公式，V=Sh，列式解答即可．
【解答】解：因为，V=Sh，
所以，体积是：×π×6^2^×（6÷2）
=×3.14×36×3
=113.04（立方分米）
答：这个零件的体积是113.04立方分米．
9．把一个圆柱体平均分成若干份切开，拼成一个近似的长方体．这个长方体的底面积是7平方分米，高是8分米，圆柱体的体积是[ 56 ]{.underline}立方分米．
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】由题意知：圆柱体转化成了与它等底等高的长方体，体积是不变的；所以要求圆柱体的体积，可求出长方体的体积即可．
【解答】解：7×8=56（立方分米）；
故答案为56．
10．一个圆柱形水池的内壁和底面都要抹上水泥，水池底面直径是4米，水池深15分米．抹水泥的面积是[ 31.4 ]{.underline}平方米．
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】由题意知：抹水泥的面积应是侧面积加上底面积，可利用各自的面积公式分别求出再加在一起；但要注意同一单位，也就是把"15分米"化成"1.5米"．
【解答】解：15分米=1.5米；
3.14×4×1.5+3.14×（）^2^，
=3.14×6+3.14×4，
=3.14×10，
=31.4（平方米）；
故答案为31.4．
11．压路机的前轮是圆柱形，轮宽4m，直径1.5m，前轮转动一周，压路的面积是[ 18.84 ]{.underline}m^2^．
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】压路机压路的面积实际上就是圆柱形滚筒的侧面积，要求转动一周压路的面积，就是求它的侧面积是多少，可利用侧面积公式S=πdh列式解答．
【解答】解：3.14×1.5×4
=4.71×4
=18.84（平方米）；
故答案为18.84．
12．在一幅平面图上，5厘米的线段表示实际距离50米．这幅图的比例尺是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】比例尺．
【分析】分析条件可知：图上距离和实际距离的单位名称不一致，要化成单位名称一致后，再根据比例尺的概念（=比例尺），求出比例尺．
【解答】解：50米=5000厘米，
=；
所以这幅图的比例尺是．
故答案为：．
13．底面积是30平方厘米、高5厘米的圆锥的体积是[ 50 ]{.underline}立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是[ 150 ]{.underline}立方厘米．
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
【分析】先利用圆锥的体积公式V=sh求得体积是多少，再用圆锥的体积乘3求得圆柱的体积即可．
【解答】解：30×5×=50（立方厘米）；
50×3=150（立方厘米）；
答：圆锥的体积是50立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是150立方厘米．
故答案为：50，150．
14．将体积为56.52dm^3^的铁块熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥体零件，圆锥的高是[ 1.5 ]{.underline}dm．
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】分析条件"将体积为56.52dm^3^的铁块熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥体零件"可知，这个圆锥的体积是56.52
dm^3^；又知道它的底面直径是12dm，则能算出圆锥的底面积，把圆锥的高设为x，根据"圆锥的体积 V=Sh"可以列出方程，算出答案．
【解答】解：设圆锥的高是x分米，根据题意的
×\[3.14×（12÷2）^2^\]×x=56.52
37.68x=56.52
x=1.5（dm）
故填1.5．
**二、判断题：10分**
15．平行四边形的面积一定，底与高成反比例．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】正比例和反比例的意义．
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系．既然平行四边形的面积一定，那么就看那两个变量（底与高）是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：根据题意可得以下数量关系式：
平行四边形的底×高=面积（一定），
可以看出，底与高是两种相关联的量，底随高的变化而变化，
平行四边形的面积是一定的，也就是底与高相对应数的乘积一定，所以底与高成反比例关系．
故答案为：正确．
16．一根电线，用去的米数与剩下的米数成反比例．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．
②两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
③除了这两种情况，其余的都不成比例关系
【解答】解：用去的米数与剩下的米数相加是总米数，
它们与总量是加数、加数、和的关系，
它们的乘积不是一定的，比值也不是一定的．
所以用去的米数与剩下的米数不成任何比例关系．
故答案为：错误．
17．订阅《少年文艺》的份数与总钱数成反比例．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】订阅《少年文艺》的份数与总钱数是两种相关联的量，总钱数÷份数=每份的钱数，每份的钱数，即单价一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例，不成反比例．
【解答】解：总钱数÷份数=每份的钱数，
每份的钱数，即单价一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例；
故答案为：错误．
18．长方体的底面积一定，高和体积成反比例．[ 错误 ]{.underline}． （判断对错）
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】长方体的高和体积是两种相关联的量，长方体的体积变化，高也随着变化，这两种量的比值底面积一定，所以成正比例，不成反比例．
【解答】解：长方体的体积÷高=长方体的底面积，
长方体的底面积一定，也就是这两种量的比值一定，所以成正比例；
故答案为：错误．
19．圆的半径和面积成正比例．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量．
【分析】判断圆的半径和面积是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是比值不一定，就不成正比例．
【解答】解：圆的面积÷半径=圆周率×半径（不一定），是比值不一定，圆的半径和面积不成正比例．
故判断为：错误．
20．圆柱的底面直径是3厘米，高3π厘米，侧面展开后是一个正方形．[ 正确 ]{.underline}．
【考点】圆柱的展开图．
【分析】根据圆柱的侧面展开是一个长方形，其长为底面周长，宽为高来计算后判断即可．
【解答】解：侧面展开后长方形的长（底面周长）=3π厘米，
侧面展开后长方形的宽=圆柱的高=3π厘米，
因为：3π厘米=3π厘米，
所以：侧面展开后长方形的长=宽，此图形是正方形．
故答案为：正确
**三、计算：**
21．计算下面立体图形的表面积：
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】先分别求出圆柱的侧面积和底面积，再用侧面积加上两个底面的面积即可．
【解答】解：侧面积：18.84×10=188.4（平方分米）
底面半径：18.84÷3.14÷2=3（分米）
表面积：3.14×3^2^×2+188.4
=3.14×9×2+188.4
=3.14×18+188.4
=56.52+188.4
=244.92（平方分米）．
答：立体图形的表面积是244.92平方分米．
22．计算下面立体图形的体积：
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．
【分析】可直接运用圆柱的体积公式V=sh和圆锥的体积公式V=sh列式解答即可．
【解答】解：（1）3.14×3^2^×4，
=3.14×36，
=113.04（立方厘米）；
（2）3.14×（6÷2）^2^×6×，
=3.14×9×2，
=3.14×18，
=56.52（立方米）；
答：圆柱的体积是113.04立方厘米，圆锥的体积是56.52立方米．
**六、解决问题：24分**
23．一种饮料罐的形状为圆柱形底面直径6厘米，高为10厘米，按上图方式放入纸箱，这个箱子的体积至少是多少立方厘米？
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】每排放6罐，箱子的长是（6×6）厘米，放了5排，箱子宽是（6×4）厘米，高就是易拉罐的高，利用长方体的体积公式解答．
【解答】解：（6×6）×（6×4）×10
=36×24×10
=8640（立方厘米）；
答：这个箱子的体积至少是8640立方厘米．
24．一个底面积1.5平方分米的玻璃缸里有一块石头，如图所示．水深18厘米，拿出石块后水面下降到15厘米，这块石头体积是多少？
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】分析"一个底面积1.5平方分米的玻璃缸里有一块石头，如图所示．水深18厘米"这个条件，可以根据V=sh算出水和石头的总体积；分析条件"拿出石块后水面下降到15厘米"可知，这个玻璃缸里的水深15厘米，又知道底面积，则可以根据V=sh求出水的体积；用水和石头的体积减去水的体积，就是这块石头的体积．注意：在算这道题时，单位不统一，因此首先要把1.5平方分米看作150平方厘米．
【解答】解：1.5平方分米=150平方厘米
总体积 V=sh
=150×18
=2700（立方厘米）
水的体积 V=sh
=150×15
=2250（立方厘米）
石头的体积=总体积﹣水的体积
=2700﹣2250
=450（立方厘米）
答：这块石头体积是450立方厘米．
25．制20节底面半径为5厘米、长为40厘米的圆柱形铁皮通风管，至少要用多大面积的铁皮？
【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积．
【分析】因为通风管没有底面只有侧面，要求制作圆柱形铁皮通风管需要多少铁皮，实际上就是求它的侧面积，本题可先求一节的侧面积，再求20节的侧面积即可．
【解答】解：（3.14×5×2×40）×20，
=（3.14×400）×20，
=3.14×8000，
=25120（平方厘米）；
答：至少要用25120平方厘米的铁皮．
26．在一幅比例尺是1：5000000的图上，量得甲城到乙城的距离是9厘米．一辆汽车从甲城开往乙城，每时行驶80千米，5小时能到达乙城吗？
【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）；整数、小数复合应用题．
【分析】根据比例尺的意义，知道在图上是1厘米的距离，实际距离是5000000厘米，现在知道图上距离是9厘米，根据整数乘法的意义，即可求出实际距离是多少；再根据速度，路程和时间的关系，列式解答即可．
【解答】解：5000000×9=45000000（厘米）；
45000000厘米=450千米；
450÷80=5.75（小时）；
因为5.75小时＞5小时；
所以5小时不能到达乙城．
答：5小时不能到达乙城．
**七、附加题：**
27．把两根底面积相等的2米长的圆柱体拼成一根圆柱体钢材以后，表面积减少了0.6平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，拼成后的这根钢材重多少千克？
【考点】关于圆柱的应用题．
【分析】由"把两根底面积相等的2米长的圆柱体拼成一根圆柱体钢材以后，表面积减少了0.6平方分米"，知道面积减少的是两个底面；而圆柱的体积即可求出，由重量=每立方分米钢材重量×圆柱体的体积，列式解答即可．
【解答】解：底面积：0.6÷2=0.3（平方分米）
2米=20分米
圆柱体的体积：0.3×20×2=12（立方分米）
重量：2××7.8=93.6（千克）
答：拼成后的这根钢材重93.6千克．
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### 高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
注：若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.
3. 多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
6. 几个常见的函数方程
> (1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，，
.
7. 几个函数方程的周期(约定a\>0)
（1），则的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
(4)且，则的周期T=4a；
\(5\)
,则的周期T=5a；
(6)，则的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)（，且）.
(2)（，且）.
9. 根式的性质
（1）.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，.
10. 有理指数幂的运算性质
(1).
(2).
(3).
注：若a＞0，p是一个无理数，则a^p^表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
~.~
34.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2);
(3).
注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
> 若,,,,则函数
(1) 当时,在和上为增函数.
(2) (2)当时,在和上为减函数.
推论:设，，，且，则
（1）.
（2）.
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**2020---2021学年度上期期末调研试卷**
**二年级数学**
小朋友们：今天是个收获的时刻，希望你能认真读题，认真思考，认真分析，拿起手中的笔，细心、正确的写出答案，注意书写要工整哟！
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
得分
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一、口算我最棒。（每小题1分，共8分。）
9 × 4 = 8 × 8 = 7 × 9 = 60 + 5 + 20 =
6 × 5 = 3 × 4 = 8 × 2 = 9 × 9 - 50 =
> 二、列竖式计算下面各题。（左边两题各2分，其它4题各3分，共16分。）
37 + 49 = 72 - 19 + 23 = 23 + 25 - 38 =
80 - 26 = 96 - （24 + 26）= 89 -23 -18 =
> 三、认真读题，正确填空。（第8、9、10题每空2分。其它每空1分，共26分。）
1、在（ ）里填上合适的单位。
教学楼高20（ ）；课桌高65（ ）；爸爸身高170（ ）。
2、你最喜欢的一句乘法口诀是（ ），用这句口诀写出两个不同的乘法算式（ ）和（ ）。
3、括号里最大能填几？
36 ＞ 7 × （ ） （ ） × 9 ＜ 60 7 × 8 ＞ （ ）× 9
4、一个三角尺上有（ ）个直角，（ ）个锐角，一共（ ）个角。
5、（ ）比28多35；56比37多（ ）。
**6、认钟表。（写出钟面上的时间）**
（ ） （ ） （ ）
7、下面的图形分别是谁看到的？
①聪聪 ③旺旺
②明明 （ ） （ ） （ ）
8、
左图铅笔的长（ ）厘米。
9、写出用0 ，2 ，5 三个数字卡片所组成的不同两位数（ ）。
10、三个小朋友，每两人握一次手，一共可以握（ ）次手。
四、认真想一想，我会判断对和错。（每小题1分，共5分。）
1、因为2+2=2×2，所以3+3=3×3。 （ ）
2、计算加法时；从个位加起；计算减法时，从十位减起。 （ ）
3、角的两条边越长，这个角就越大。 （ ）
4、求几个相同加数的和，用乘法计算可以简便。 （ ）
5、要判断一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。 （ ）
五、认真比较，我会选择正确答案。（每小题2分，共10分。）
1、算式：6+6+6+5改写成乘加算式是（ ）。
**① 3×6+5 ② 4×6-1 ③ 4×6+1**
2、乘积是36的算式是（ ）。
**① 30+6 ② 37-1 ③ 6×6**
**3、钟面上时针转一圈是（ ）小时。**
**① 1 ② 12 ③5**
**4、**
**左图中共有( )个角。**
1. **1 ② 3 ③ 6**
**5、三好学生站成2行领奖，第一行7人，第二行8人，一共有（ ）名三好学生。**
**① 7×8 ② 7+8 ③ 2×7+8**
六、画一画，我画的最标准。（5分）
1、画一条5厘米长的线段，再画一条比5厘米少2厘米的线段。（2分）
2、用所给的点为角的顶点，分别画1个锐角、1个直角、1个钝角。（3分）
A· B· C·
七、走近生活，解决问题。（30分）
**1、二（1）班有48人，二（2）班有52人，两个班一共有学生多少人？**
**2、妈妈买水果花了36元，买生活用品花了45元，付给售货员100元，应找回多少元？**
3. **学校买来笤帚70把，平均分给8个班，每班7把，还剩下多少把？**
**4、买文具**
**（1）小明买了一个书包和2本笔记本，一共花了多少钱？**
2. **4支毛笔比一个文具盒贵多少钱？**
**5、西亚超市搞促销活动，每盒酸奶4元，若购买的酸奶超出2盒，则超出部分每盒3元，妈妈要买6盒酸奶，带30元钱够吗？**
2020---2021学年度上期期末调研试卷
二年级数学参考答案及评分标准
一、口算我最棒。（每小题1分，共8分。）
36 64 63 85 30 12 16 31
二、列竖式计算下面各题。（左边两题各2分，其它4题各3分，共16分。）
86 76 10 54 46 48
三、认真读题，正确填空。（第8、9、10题每空2分。其它每空1分，共26分。）
1、米 厘米 厘米 2、略 3、5 6 6 4、1 2 3
5、63 19 6、7：30 9：05 8：55 7、①聪聪 ②明明 ③旺旺
8、3 9、20 50 52 25 10、3
四、认真想一想，我会判断对和错。（每小题1分，共5分。）
1、× 2、× 3、× 4、√ 5、√
五、认真比较，我会选择正确答案。（每小题2分，共10分。）
1、① 2、③ 3、② 4、③ 5、②
六、画一画，我画的最标准。（5分）
（略）要求：画图规范，正确。
七、走近生活，解决问题。（第4题10分，其它各5分，共30分。）
1、48+52=100（人）
2、100-36-45=19（元）或100-（36+45）=19（元）
3、70-8×7=14（把）
4、（1）58+2×8=74（元）
（2）4×5-16=4（元）
5、（略）
6-2=4（盒） 4×2=8（元） 4×3=12（元）
8+12=20（元） 20＜30
答：带30元钱够。
| 1 | |
**作业要求**
1. 用干净、完整的数学本作答；需抄题并标清题号；
（如第一大题的第一小题：一/1、）
2. 每次做题前，都要有标题，标题一般是课题的名称加时间；
3. 作业一般在下次上课前上交，最晚是下次上课前半小时，；
4. 作业不附带答案，讲解一般单独进行；若是错误率较高，则在下节课上课前5分钟内讲解；
若上交的作业是电子文档，重命名为：（姓名）+（专题名称）
**乘除法中的拼拆进阶**
1. 直接写出得数
1、56×9×125＝
2、17×25×8×13＝
3、75×125×28×8＝
4、31×25×29×8＝
5、6666×5556+3333×8888=
6、108×89+108×13-216=
2. 解答题
小明在巧算6×25×5×8的时候和其他同学起了争执，小明觉得此题有两种巧算的方法，其他同学只做出了一种。请问：你觉得有几种巧算方法？
| 1 | |
 **★初三第 讲**
**自招真题**
**Perhaps it\'s the weather, fortune,**
**or there is someone without giving up.**
**15岁觉得游泳难，放弃游泳，**
**到18岁遇到一个你喜欢的人约你去游泳，**
**你只好说"我不会耶"。**
**18岁觉得英文难，放弃英文，**
**28岁出现一个很棒但要会英文的工作，**
**你只好说"我不会耶"。**
**人生前期越嫌麻烦，越懒得学，**
**后来就越可能错过让你动心的人和事，**
**错过新风景！**
**要得到你必须付出**
**要付出你还要学会坚持**
**如果你真的觉得很难 那你可以放弃**
**但是你放弃了就不要抱怨**
**我觉得人生就是这样**
**世界真的是平衡的**
**每个人都是通过自己的努力**
**去决定自己生活的样子**
+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| **初升高自招试题汇编** |
| |
| **题型目录（括号内为主要拓展自何章节）** |
| |
| [**[【题型1】【找规律】]{.underline}**](\l)（小学奥数） |
| |
| [**[【题型2】【创新题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型3】【巧算】]{.underline}**](\l)（六上-分数、七下-实数） |
| |
| [**[【题型4】【根式开方问题】]{.underline}**](\l)（八上-二次根式） |
| |
| [**[【题型5】【化简与求值】]{.underline}**](\l)（六下-绝对值、七上-分式、八上-二次根式） |
| |
| [**[【题型6】【有理数、无理数与反证法】]{.underline}**](\l)（七下-实数、高一上-不等式） |
| |
| [**[【题型7】【方程与方程组的求解】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
| |
| [**[【题型8】【方程的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
| |
| [**[【题型9】【一次函数、反比例函数的性质】]{.underline}**](\l)（八上-反比例函数、八下-一次函数） |
| |
| [**[【题型10】【函数的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-一次函数） |
| |
| [**[【题型11】【二次方程与韦达定理】]{.underline}**](\l)（八上-一元二次方程） |
| |
| [**[【题型12】【二次函数及其性质】]{.underline}**](\l)（九上-二次函数（但几乎大部分为高一上函数题型）） |
| |
| [**[【题型13】【动点问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型14】【不等式与最值问题】]{.underline}**](\l)（高一上-不等式） |
| |
| [**[【题型15】【平面几何之面积割补】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、六上-圆和扇形） |
| |
| [**[【题型16】【平面几何之几何中的度量与计算问题】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
| |
| [**[【题型17】【平面几何之计算与证明】]{.underline}**](\l)（九下-圆（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| [**[【题型18】【组合计数与概率】]{.underline}**](\l)（高三-概率初步） |
| |
| [**[【题型19】【几何组合计数问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| [**[【题型20】【根与多项式问题】]{.underline}**](\l)（高一-函数） |
| |
| [**[【题型21】【数论之十进制与整数的性质】]{.underline}**](\l)（六上-数的整除（但几乎全部超纲此部分极难）） |
| |
| **注1：**自招题型变化形式较多，绝不是二十余类能总结的，此处只是挑选部分供参考。 |
| |
| **注2：**自招题型也非难度一致，四校八大普通市重点各有各相应的难度档次，为方便参考所有例题都标注了出自哪所学校的真题。 |
| |
| **注3、**很多题型和能力不是初三培养的，对应的年级都标注好了，主要学完这一章就可以做了。 |
| |
| 一、从**学校分类上**此处选题分了三挡： |
| |
| **第一档**\--四校，本问选的上中和华二真题。 |
| |
| **第二档**\--较好市重点难度，本文选的进才中学真题，更想选建平的，但真题资料非常难收集。 |
| |
| **第三档**\--华师一附及普通市重点模拟题。 |
| |
| 二、从**题型难度上**也大致分为三档： |
| |
| **第一档：**基础送分题型： |
| |
| 如**[【题型1】【题型3】【题型4】【题型8】【题型9】【题型15】【题型18】]{.underline}** |
| |
| 这一部分如果不能讲绝大部分答对，基本也不必畅想自招训练了。 |
| |
| 如果能答对一半，可能还能搭上最弱市重点的末班车。 |
| |
| 此部分算是全市前十民办学校的校考常规题，此部分学校的孩子通常是小学长时间学过奥数且具备一定悟性的，但也是需要一定的自我归纳总结能力的。 |
| |
| 95%以上的普通公办学校校考卷中连这一程度的题型都很难见到。 |
| |
| **第二档：**中等入围题型： |
| |
| 如**[【题型2】【题型5】【题型10】【题型11】【题型13】【题型20】]{.underline}** |
| |
| 此部分能答对一半以上的同学具备了一定的竞争力，但需要补充一些课本之外的知识点，也需要把握各个常见拓展知识点的易错点。 |
| |
| 此部分的常规拓展有： |
| |
| **1、韦达定理** |
| |
| **2、二次函数根的范围与系数之间的关系** |
| |
| **3、高一函数的奇偶性、周期性等基本性质** |
| |
| **4、双重根式** |
| |
| **5、分段函数的图像和性质** |
| |
| **6、余式定理** |
| |
| **。。。等等** |
| |
| **第三档：**拓展拉分 |
| |
| 如**[【题型6】【题型7】【题型12】【题型14】【题型16】【题型17】【题型19】【题型21】]{.underline}** |
| |
| 此部分题型少数会出现在全市拔尖民办学校校考的附加题中，想应对此部分知识点需要补充的拓展知识点较多，而且命题范围极广。 |
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| 建议拓展补充的知识点有: |
| |
| 1. **同余等相关数论问题** |
| |
| 2. **高一不等式证明中的各种不同思想方法，尤其是放缩法、反证法。** |
| |
| 3. **初二下的代数方程章节一定多做一些竞赛类题型，此题型常考解答题。** |
| |
| 4. **高一函数部分的对称性和单调性。** |
| |
| 5. **圆需要补充的知识点有很多，比如各中心、四点共圆的证法和应用、圆周角定理、切线长定理、弦切角定理、圆幂定理（包括相交弦定理、切割线定理及割线定理）等等。。。** |
| |
| 6. **抽屉原理。** |
| |
| 7. **高二的排列组合基本原理，及与统计的结合题型。** |
| |
| 8. **我也不知道了，感觉还有很多可以把近10-15年新知杯真题刷两遍。** |
| |
| [**[【题型1】【找规律】]{.underline}**](\l)（小学奥数） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
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| |
| **【华二附中】** |
| |
|  |
| |
| **【进才中学】** |
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|  |
| |
| [**[【题型2】【创新题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
| |
| **【华二附中】** |
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|  |
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| **【进才中学】** |
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| **【上海中学】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| [**[【题型3】【巧算】]{.underline}**](\l)（六上-分数、七下-实数） |
| |
| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| [**[【题型4】【根式开方问题】]{.underline}**](\l)（八上-二次根式） |
| |
| **【华二附中】** |
| |
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| **【上海中学】** |
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|  |
| |
| [**[【题型5】【化简与求值】]{.underline}**](\l)（六下-绝对值、七上-分式、八上-二次根式） |
| |
| **【复旦附中】** |
| |
|  |
| |
| **【华二附中】** |
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|  |
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| [**[【题型6】【有理数、无理数与反证法】]{.underline}**](\l)（七下-实数、高一上-不等式） |
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| **【复旦附中】** |
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| [**[【题型7】【方程与方程组的求解】]{.underline}**](\l)（八下-代数方程） |
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| **【华二附中】** |
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| **【上海中学】** |
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| [**[【题型8】【方程的实际应用】]{.underline}**](\l) |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| [**[【题型9】【一次函数、反比例函数的性质】]{.underline}**](\l)（八上-反比例函数、八下-一次函数） |
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| **【华师一附】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| [**[【题型10】【函数的实际应用】]{.underline}**](\l)（八下-一次函数） |
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| **【华师一附】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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|  |
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| [**[【题型11】【二次方程与韦达定理】]{.underline}**](\l) |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【复旦附中】** |
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|  |
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| **【华二附中】** |
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| **【华师一附】** |
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| [**[【题型12】【二次函数及其性质】]{.underline}**](\l) |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【华二附中】** |
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| **【上海中学】** |
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| **【进才中学】** |
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| **【华二附中】** |
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| **【上海中学】** |
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| **【华师一附】** |
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| **【华师一附】** |
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| [**[【题型13】【动点问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
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| **【华二附中】** |
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| [**[【题型14】【不等式与最值问题】]{.underline}**](\l)（高一上-不等式） |
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| **【华二附中】** |
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| **【华师一附】** |
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| **【华二附中】** |
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| **【进才中学】** |
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| **【上海中学】** |
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| [**[【题型15】【平面几何之面积割补】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
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| **【华二附中】** |
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| **【华师一附】** |
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| [**[【题型16】【平面几何之几何中的度量与计算问题】]{.underline}**](\l)（八下-四边形、九下-圆） |
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| **【华二附中】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【上海中学】** |
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| **【华师一附】** |
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| **【华二附中】** |
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| **【进才中学】** |
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| [**[【题型17】【平面几何之计算与证明】]{.underline}**](\l)（九下-圆（但几乎全部超纲此部分极难）） |
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| **【华二附中】** |
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| **【华师一附】** |
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| **【上海中学】** |
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| [**[【题型18】【组合计数与概率】]{.underline}**](\l)（高三-概率初步） |
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| **【华师一附】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| **【进才中学】** |
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| **【普通市重点自招模拟题】** |
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| [**[【题型19】【几何组合计数问题】]{.underline}**](\l)（综合能力） |
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| **【上海中学】** |
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| **【上海中学】** |
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| [**[【题型20】【根与多项式问题】]{.underline}**](\l)（高一-函数） |
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| **【上海中学】** |
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| **【华二附中】** |
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| **【华师一附】** |
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| [**[【题型21】【数论之十进制与整数的性质】]{.underline}**](\l)（六上-数的整除（但几乎全部超纲此部分极难）） |
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| **【华二附中】** |
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| **【上海中学】** |
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| **【进才中学】** |
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法------分数除法（三）》同步检测1（附答案）**
1.解方程。
x＝10 18x＝
x＝25 x＝
2．用" "画出下面各题中的单位"1"。 来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1)苹果的重量是梨的。
(2)已经行了全程的。
(3)鸡的只数是鸭的。
(4)原价打九折是现价。
3．写出等量关系式。
(1)女生有20人，是男生人数的，男生有多少人？
（ ）×＝（ ）
(2)小勇体重24千克，是爸爸体重的，爸爸的体重多少千克？
（ ）×（ ）＝（ ）
4\. 这个周末我看了35页，正好是这本课外读物的。这本课外读物一共有多少页？
5\.
6．(1)草地上有30只羊，24头牛，牛的头数是羊的几分之几？
(2)草地上有30只羊，牛的头数是羊的，牛有多少头？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(3)草地上有24头牛，是羊的只数的，羊有多少只？
7．有甲、乙两只水桶，如果把甲桶里的半桶水倒入乙桶，刚好装满乙桶的。现在，乙桶有一满桶水，倒出它的，刚好是3千克，求甲桶可装水多少千克。
**参考答案**
1\. x＝28 x＝ x＝35 x＝
2.（1）梨 （2）全程 （3）鸭 （4）原价
3.（1）男生人数 女生人数
（2）爸爸的体重 小勇的体重
4\. 35÷＝49（页）
5.（1）24÷＝30（元） 16÷＝20（元）
6.（1）24÷30＝ （2）30×＝20（头） （3）24÷＝36（只）
7\. 3÷＝18（千克） 18××2＝24（千克）
| 1 | |
**湖北省咸宁市2020年中考数学试题**
**一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）**
1.早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、=1，故选项不符合；
B、=5，故选项不符合；
C、=-6，故选项符合；
D、=，故选项不符合；
故选C.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：305000000用科学记数法表示为3.05×10^8^，\
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可.
【详解】解：A、，故选项不符合；
B、，故选项符合；
C、，故选项不符合；
D、，故选项不符合；
故选B.
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是关键.
4.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视图．
【详解】解：该几何体的左视图是：
故选A.
【点睛】本题考查了三视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
5.如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ）
A. 乙的最好成绩比甲高 B. 乙的成绩的平均数比甲小
C. 乙的成绩的中位数比甲小 D. 乙的成绩比甲稳定
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线统计图得出甲乙成绩的各项数据，从而判断各选项.
【详解】解：由图可知：
甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9，
乙运动员的成绩为：8、9、8、7、8，
A、甲的最好成绩为10环，乙的最好成绩为9环，故选项错误；
B、甲的成绩平均数为：（6+7+10+8+9）÷5=8，
乙的成绩平均数为：（8+9+8+7+8）÷5=8，
一样大，故选项错误；
C、甲的成绩的中位数为8，乙的成绩的中位数为8，一样大，故选项错误；
D、甲的成绩的方差为=2，
乙的成绩的方差为=0.4，
0.4＜2，所以乙的成绩比甲稳定，故选项正确；
故选D.
【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差，关键是根据甲乙成绩计算出各项数据.
6.如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S~阴影~=S~扇形OAB~-S~△OAB~算出结果.
【详解】解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴S~阴影~=S~扇形OAB~-S~△OAB~==，
故选D.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°.
7.在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为"好点"．下列函数的图象中不存在"好点"的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据"好点"的定义判断出"好点"即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在"好点".
【详解】解：根据"好点"的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即"好点"为（0，0），故选项不符合；
B、，无解，即该函数图像中不存在"好点"，故选项符合；
C、，解得：，经检验是原方程的解，即"好点"为（，）和（-，-），故选项不符合；
D、，解得：x=0或3，即"好点"为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解"好点"的定义.
8.如图，在矩形中，，，*E*是的中点，将沿直线翻折，点*B*落在点*F*处，连结，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，
∴BE=CE=EF=，
∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴==，
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.
**二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）**
9.点*A*在数轴上的位置如图所示，则点*A*表示的数的相反数是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】-3
【解析】
【分析】
点A在数轴上表示的数是3，根据相反数的含义和求法，判断出点A表示的数的相反数是多少即可．
【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是3，\
∴点A表示的数的相反数是-3．\
故答案为：-3．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握．
10.因式分解：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】m（x-1）^2^
【解析】
【分析】
先提取公因式m，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
11.如图，请填写一个条件，使结论成立：∵\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，∴．
【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
12.若关于*x*的一元二次方程有实数根，则*n*的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】n≥0
【解析】
【分析】
根据平方非负性可得结果．
【详解】解：∵关于*x*的一元二次方程有实数根，
而，
∴n≥0，
故答案为：n≥0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键．
13.某校开展以"我和我的祖国"为主题的"大合唱"活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
可知：共有6种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有1种，
∴小聪和小慧被同时选中的概率是，
故答案为：.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
14.如图，海上有一灯塔*P*，位于小岛*A*北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛*A*出发，由西向东航行到达*B*处，这时测得灯塔*P*在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔*P*的正南方，此时轮船与灯塔*P*的距离是\_\_\_\_\_\_\_\_．（结果保留一位小数，）
【答案】20.8
【解析】
【分析】
证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
【详解】解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，\
∴AB=BP=24，\
在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8.
故答案为：20.8.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
15.按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，...，若*a*，*b*，*c*表示这列数中的连续三个数，猜想*a*，*b*，*c*满足的关系式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】bc=a
【解析】
【分析】
根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到*a*，*b*，*c*之间满足的关系式．
【详解】解：∵一列数：3，，，，，，，，...，\
可发现：第n个数等于前面两个数的商，\
∵*a*，*b*，*c*表示这列数中的连续三个数，\
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出*a*，*b*，*c*之间的关系式．
16.如图，四边形是边长为2的正方形，点*E*是边上一动点（不与点*B*，*C*重合），，且交正方形外角的平分线于点*F*，交于点*G*，连接，有下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断①；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断②；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④.
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，故①正确；
在BA上截取BM=BE，
∵四边形ABCD为正方形，\
∴∠B=90°，BA=BC，\
∴△BEM为等腰直角三角形，\
∴∠BME=45°，\
∴∠AME=135°，\
∵BA-BM=BC-BE，\
∴AM=CE，\
∵CF为正方形外角平分线，\
∴∠DCF=45°，\
∴∠ECF=135°=∠AME，\
∵∠BAE=∠FEC，\
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，故②正确；
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，
∴，故③正确；
设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，\
S~△AME~=•x•（2-x）=，
当x=1时，S~△AME~有最大值，\
而△AME≌△ECF，\
∴S~△AME~=S~△CEF~，\
∴S~△CEF~有最大值，所以④错误；
综上：正确结论的序号是：①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.
**三、专心解一解（本大题共8小题，满分2分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）**
17.（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）-3＜x＜-2
【解析】
【分析】
（1）根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解得两个不等式的解集，再合并即可.
【详解】解：（1）原式=
=0；
（2），
解不等式①得：x＜-2，
解不等式②得：x＞-3，
∴不等式组的解集为：-3＜x＜-2.
【点睛】本题考查了实数的混合运算与解不等式组，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.
18.如图，在中，以点*B*为圆心，长为半径画弧，交于点*E*，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点*P*，使（标出点*P*的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；
（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P.
【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）如图，点P即为所作图形，
∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，
∴∠APB=90°.
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图.
19.如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为\_\_\_\_\_\_；
（3）直接写出时*x*的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】
（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y~1~=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S~△AOB~=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
------ ----------------- ----------
组别 在线阅读时间*t* （人数）
A 4
B 8
C *a*
D 16
E 2
------ ----------------- ----------
根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有\_\_\_\_\_\_人，\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_；
（2）求扇形统计图中扇形*D*的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于?
【答案】（1）50，20，8；（2）115.2°；（3）722
【解析】
【分析】
（1）根据B组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据C组所占百分比求出a值，最后根据A组人数求出所占百分比；
（2）求出D组所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用样本中在线阅读时间不少于的总人数除以50，再乘以全校总人数即可.
【详解】解：（1）∵B组的人数为8人，所占百分比为16%，
∴被调查的同学共有8÷16%=50人，
a=50×40%=20人，4÷50×100%=8%，
∴m=8，
故答案为：50，20，8；
（2）（1-40%-16%-8%-4%）×360°=115.2°，
则扇形统计图中扇形*D*的圆心角的度数为：115.2°；
（3）950×=722人，
∴全校有722学生平均每天的在线阅读时间不少于.
【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.如图，在中，，点*O*在上，以为半径的半圆*O*交于点*D*，交于点*E*，过点*D*作半圆*O*的切线，交于点*F*．
（1）求证：；
（2）若，，，求半圆*O*的半径长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可；
（2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可.
【详解】解：（1）连接OD，
∵DF和半圆相切，
∴OD⊥DF，
∴∠BDF+∠ADO=90°，
∵∠ADO=∠OAD，
∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，
∴∠BDF=∠B，
∴BF=DF；
（2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD，
∵，
∴BF=DF=2，
∵，，∠C=90°，
∴AB=，
∴cos∠B==，
∴，解得：BG==DG，
∴AD=AB-BD=，
过点O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH=AD=，
∵cos∠BAC=，
∴AO=，
即半圆*O*的半径长为.
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22.5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩*m*盒（*m*为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含*m*的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付*w*元，求*w*关于*m*的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；（2）；（3），需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【解析】
【分析】
（1）设每盒水银体温计的价格是x元，根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可；
（2）先用m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数；
（3）分当m≤4时，当m＞4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有900名学生求出口罩的盒数m，从而得到体温计的盒数以及总费用.
【详解】解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，
根据题意可得：，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，
50+150=200元，
∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；
（2）∵购买口罩m盒，
∴共有口罩100m个，
∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，
∴需要发放支水银体温计，
∴需要购买盒水银体温计；
（3）由题意可得：
令200m+5m×50=1800，
解得：m=4，
若未超过1800元，即当m≤4时，
则w=200m+5m×50=450m，
若超过1800元，即当m＞4时，
w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360，
∴*w*关于*m*的函数关系式为，
若该校九年级有900名学生，即=900，
解得：m=18，
则=6840，
答：需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系.
23.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为\_\_\_\_\_\_；
证明：
（2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点*D*．
求证：四边形是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分当∠A和∠C互余时，当∠B和∠D互余时，两种情况求解；
（2）连接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圆周角定理证明∠C+∠A=90°即可；
（3）作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，从而得出，根据△ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.
【详解】解：（1）∵四边形是对余四边形，
当∠A和∠C互余时，
∠A+∠C=90°，
当∠B与∠D互余时，
∠B+∠D=90°，
则∠A+∠C=360°-90°=270°，
故答案：90°或270°；
（2）如图，连接BO，
可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A，
而∠BON+∠BOM=180°，
∴2∠C+2∠A=180°，
∴∠C+∠A=90°，
∴四边形是对余四边形；
（3）∵四边形ABCD为对于四边形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=30°，
如图，作△ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，
则∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°，
∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°，
∴GF是圆O的直径，
∵AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△FEC，得：，则，
同理，△ACD∽△GCE，得：，则，
△BCD∽△GCF，得：，
可得：，
而，
∴，
∴，
∴，
∵AB=BC=AC，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.
24.如图，在平面直角坐标系中，直线与*x*轴交于点*A*，与*y*轴交于点*B*，抛物线过点*B*且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点*P*是抛物线上一动点，当时，求点*P*的坐标；
（3）点在*x*轴的正半轴上，点是*y*轴正半轴上的一动点，且满足．
①求*m*与*n*之间的函数关系式；
②当*m*在什么范围时，符合条件的*N*点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.
【详解】解：（1）∵直线与*x*轴交于点*A*，与*y*轴交于点*B*，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（4，0），B（0，2），
∵抛物线经过B（0，2），，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，
∵，
∴，
当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，
∵，
∴B，Q关于x轴对称，
∴Q（0，-2），又A（4，0），
设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，
，解得：，
∴直线AQ的表达式为：，联立得：
，解得：x=3或-2，
∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），
综上，当时，点*P*的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠MNO+∠CND=90°，
∵∠OMN+∠MNO=90°，
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，
∴△MNO∽△NCD，
∴，即，
整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，
以MC为直径画圆E，
∵，
∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），
∵点M在y轴正半轴，
当圆E与线段OD相切时，
有NE=MC，即NE^2^=MC^2^，
∵M（0，m），，
∴E（，），
∴=，
解得：m=，
当点M与点O重合时，如图，
此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，
∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，
故m的取值范围是：0＜m＜.
【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.
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